三年级第3讲枚举法一

1. 【原题 ch03-chaoyue-01】小明参加了一次小测验，每个小题 $2$ 分，每个大题 $5$ 分，两种题目各有 $3$ 道。小明的得分一共有多少种不同的可能？

详细思路

是哪类问题：这是「分类列表求得分种数」题：得分由两部分组成（小题得分 + 大题得分），先分别列出各部分的可能取值，再两两相加。

关键切入点：小题每道 $2$ 分共 $3$ 道，答对数只能是 $0\sim 3$，得分 $0、2、4、6$ 共 $4$ 种；大题每道 $5$ 分共 $3$ 道，得分 $0、5、10、15$ 共 $4$ 种。关键一步是：把 $4\times 4=16$ 个和列成表格后要**检查有没有重复**——因为小题得分都不超过 $6$，而大题得分是 $5$ 的倍数且跨度 $5$，$16$ 个和恰好互不相同，所以种数就是 $16$。

方法概述：分别列出两部分的可能得分，两两相加列表，再确认各和互不相同。

规范步骤：

小题可能得分：$0,2,4,6$（共 $3+1=4$ 种）（答对 $0\sim3$ 道）
大题可能得分：$0,5,10,15$（共 $3+1=4$ 种）（答对 $0\sim3$ 道）
两两相加列表并检查互不相同：$4\times 4=16$（乘法原理 + 去重检查）
写出答案：$16$ 种

第一套

题目：小明参加一次小测验，每个小题 $3$ 分，每个大题 $7$ 分，两种题目各有 $4$ 道。小明的得分一共有多少种不同的可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列小题得分）：小题答对 $0\sim 4$ 道，得分为 $0,3,6,9,12$，共 $4+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（列大题得分）：大题答对 $0\sim 4$ 道，得分为 $0,7,14,21,28$，共 $4+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（列表相加）：把两部分得分两两相加，表格里一共有 $5\times 5=\underline{\quad}$ 个和。
第 4 步（检查互不相同）：小题得分都不超过 $12$ 且都是 $3$ 的倍数，大题得分是 $7$ 的倍数，逐个核对可知这些和互不相同，所以得分种数为 $\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：一次射击比赛中，小靶每命中一次记 $3$ 环、大靶每命中一次记 $7$ 环，两种靶各打 $4$ 发。这名选手的总环数一共有多少种不同的可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列小靶环数）：小靶命中 $0\sim 4$ 发，环数为 $0,3,6,9,12$，共 $4+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（列大靶环数）：大靶命中 $0\sim 4$ 发，环数为 $0,7,14,21,28$，共 $4+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（列表相加）：两部分环数两两相加，共 $5\times 5=\underline{\quad}$ 个和。
第 4 步（检查互不相同）：核对后这些和互不相同，总环数共 $\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：一次测验中，小题每道 $2$ 分共 $4$ 道，大题每道 $5$ 分共 $3$ 道。得分一共有多少种不同的可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列小题得分）：小题答对 $0\sim 4$ 道，得分为 $0,2,4,6,8$，共 $4+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（列大题得分）：大题答对 $0\sim 3$ 道，得分为 $0,5,10,15$，共 $3+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（列表相加）：两部分得分两两相加，共 $5\times 4=\underline{\quad}$ 个和。
第 4 步（检查互不相同）：小题得分最大 $8$，但相邻大题得分相差 $5$，逐格核对后仍互不相同，故共 $\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：一次测验中，每个小题 $2$ 分、每个大题 $4$ 分，两种题目各有 $3$ 道。得分一共有多少种不同的可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列两部分得分）：小题得分为 $0,2,4,6$，共 $3+1=\underline{\quad}$ 种；大题得分为 $0,4,8,12$，共 $3+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（列表相加）：表格里一共有 $4\times 4=\underline{\quad}$ 个和。
第 3 步（发现重复）：这次 $4$ 是 $2$ 的倍数，两部分会撞车。设小题答对 $a$ 道、大题答对 $b$ 道，总分 $=2a+4b=2\times(a+2b)$，其中 $a,b$ 都取 $0\sim 3$，所以 $a+2b$ 最大为 $3+2\times 3=\underline{\quad}$，最小为 $0$，且 $0$ 到最大值之间每个整数都取得到。
第 4 步（去重后计数）：不同总分共 $9-0+1=\underline{\quad}$ 种，比表格里的 $16$ 个和少了 $16-10=\underline{\quad}$ 个重复。

2. 【原题 ch03-chaoyue-02】几个小朋友在屋子里玩石头剪刀布，墨莫在门外问他们一共有几个人，其中一个小朋友说，出石头的人不停手指，出剪子的人伸出 $2$ 根手指，出布的人伸出 $5$ 根手指，所有人伸出的手指数加起来一共是 $22$ 根。请问：屋子里可能有几个人在玩游戏？

详细思路

是哪类问题：这是「不定方程枚举」题：石头不伸手指、剪子伸 2 根、布伸 5 根，手指总数 22，求可能人数。

关键切入点：按系数大的“出布人数”枚举：手指总数减去布贡献后须为偶数（剪子每人 2 根），从而定出剪子人数；石头人数不影响手指数，需由题设另定。

方法概述：按出布人数枚举，剩余手指数须为偶数。

规范步骤：

出布 2 人：剪子手指：$22-5\times2=12$（枚举）
出布 4 人：剪子手指：$22-4\times5=2$（枚举）
加石头人数得总人数：$3+2+6=11,\ 3+4+1=8,\ 3+0+11=14$（分类）

3. 【原题 ch03-chaoyue-03】一次小测验一共 $4$ 道题，最初每位同学都有 $4$ 分的基础分。然后每答对一道题加 $3$ 分，每答错一道题或不答扣 $1$ 分，同学们的得分可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「加减分得分枚举」题：得分 $=$ 基础分 $+$ 答对加分 $-$ 答错扣分，要先枚举“答对几道、答错几道”，再算得分并去掉重复值。

关键切入点：注意题面与配套答案的口径并不一致：题面说“每答错一道或不答扣 $1$ 分”，若严格照此，设答对 $c$ 道，其余 $4-c$ 道（答错或不答）每道都扣 $1$ 分，得分 $=4+3c-(4-c)=4c$，只有 $0,4,8,12,16$ 共 $5$ 种，得不到配套的 $14$ 种。配套答案实际按“不答不计分”处理：设答对 $c$ 道、答错 $w$ 道（$c+w\le4$，其余为不答且不扣分），得分 $=4+3c-w$。本讲与配套口径一致，采用后者——答题结果按 $c$ 分类共 $5+4+3+2+1=15$ 种，其中“$4$ 道全不答”与“答对 $1$ 道、答错 $3$ 道”得分都是 $4$ 分，重复 $1$ 组，故不同得分为 $15-1=14$ 种。

方法概述：先厘清计分口径（取“不答不计分”），再按答对、答错的道数列表算分并去重。

规范步骤：

厘清计分口径（题面与配套不一致）：取“不答不计分”：得分 $=4+3c-w,\ c+w\le4$（若按题面“不答也扣”则得分 $=4c$ 只有 5 种，配套取不答不计分）
数答题结果的种数：$5+4+3+2+1=15$（按 $c$ 分类枚举）
找出重复的得分：$4+3\times0-0=4=4+3\times1-3$（全不答与“1 对 3 错”都得 4 分）
去掉重复得分（有 $1$ 组重复）：$15-1=14$（去重）
写出答案：$14$ 种

第一套

题目：一次小测验一共 $5$ 道题，最初每位同学都有 $5$ 分的基础分，每答对一道加 $3$ 分，每答错一道扣 $1$ 分，不答不加不扣。同学们的得分可能有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列公式）：设答对 $c$ 道、答错 $w$ 道，$c+w\le 5$，得分 $=5+3c-w$。
第 2 步（数答题结果）：按 $c$ 分类，$c=0$ 有 $6$ 种，$c=1$ 有 $5$ 种，……$c=5$ 有 $1$ 种，共 $6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（定范围）：最高分是全答对 $5+3\times 5=\underline{\quad}$ 分，最低分是全答错 $5-5=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（去重）：逐格列表后发现有 $3$ 组答题结果的得分相同，所以不同得分共 $21-3=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：一次投篮游戏共投 $5$ 次，每人先有 $5$ 分的底分，每投进一次加 $3$ 分，每投偏一次扣 $1$ 分，弃投不加不扣。最后得分可能有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列公式）：设投进 $c$ 次、投偏 $w$ 次，$c+w\le 5$，得分 $=5+3c-w$。
第 2 步（数投篮结果）：按 $c$ 分类共 $6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（定范围）：最高 $5+3\times 5=\underline{\quad}$ 分，最低 $5-5=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（去重）：列表后有 $3$ 组结果得分相同，不同得分共 $21-3=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：一次测验一共 $4$ 道题，每人有 $8$ 分的基础分，每答对一道加 $4$ 分，每答错一道扣 $2$ 分，不答不加不扣。得分可能有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列公式）：设答对 $c$ 道、答错 $w$ 道，$c+w\le 4$，得分 $=8+4c-2w$。
第 2 步（数答题结果）：按 $c$ 分类共 $5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（定范围）：最高 $8+4\times 4=\underline{\quad}$ 分，最低 $8-2\times 4=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（去重）：由于加分 $4$ 与扣分 $2$ 成倍数关系，列表后有 $3$ 组得分相同，不同得分共 $15-3=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：一次测验一共 $6$ 道题，每人有 $6$ 分的基础分，每答对一道加 $3$ 分，每答错一道扣 $1$ 分，不答不加不扣。得分可能有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列公式）：设答对 $c$ 道、答错 $w$ 道，$c+w\le 6$，得分 $=6+3c-w$。
第 2 步（数答题结果）：按 $c$ 分类，$c=0$ 有 $7$ 种，$c=1$ 有 $6$ 种，……$c=6$ 有 $1$ 种，共 $7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（定范围）：最高 $6+3\times 6=\underline{\quad}$ 分，最低 $6-6=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（找重复）：注意 $3c-w$ 中，多答对 $1$ 道（$+3$）与少答错 $3$ 道（$+3$）效果一样，因此会出现成组重复；逐格列表后共有 $6$ 组重复。
第 5 步（去重后计数）：不同得分共 $28-6=\underline{\quad}$ 种。

4. 【原题 ch03-chaoyue-04】现在有 $1$ 分、$2$ 分、$5$ 分的硬币各 $5$ 枚，要用这些硬币凑出 $2$ 角钱，一共有多少种不同的凑法？

详细思路

是哪类问题：这是「凑钱（带枚数上限）」题：用有限枚数的几种面值凑出定额，要按面值最大的硬币枚数从多到少分类枚举。

关键切入点：$2$ 角 $=20$ 分。先估范围：$1$ 分、$2$ 分硬币各 $5$ 枚，加起来最多只有 $5\times 1+5\times 2=15$ 分，凑不到 $20$ 分，所以 $5$ 分硬币至少要取 $1$ 枚——这一步把枚举范围一下子压小了。再按 $5$ 分硬币枚数分类：取 $4$ 枚（$20$ 分）恰好，$1$ 种；取 $3$ 枚还差 $5$ 分，用 $1$ 分、$2$ 分凑 $5$ 分有 $3$ 种；取 $2$ 枚还差 $10$ 分，有 $3$ 种；取 $1$ 枚还差 $15$ 分，只能 $5$ 枚 $1$ 分加 $5$ 枚 $2$ 分，$1$ 种。

方法概述：先用“小面值总和不够”缩小范围，再按大面值枚数从多到少分类枚举。

规范步骤：

换成同一单位：$2\ 角=20\ 分$（统一单位）
估范围：$5\times 1+5\times 2=15<20$（故 $5$ 分至少 $1$ 枚）
按 $5$ 分枚数分类：$4枚:1;\ 3枚:3;\ 2枚:3;\ 1枚:1$（分类枚举）
相加：$1+3+3+1=8$（分类相加）
写出答案：$8$ 种

第一套

题目：现在有 $1$ 分、$2$ 分、$5$ 分的硬币各 $6$ 枚，要用这些硬币凑出 $25$ 分，一共有多少种不同的凑法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（缩小范围）：$1$ 分和 $2$ 分硬币最多只有 $6\times 1+6\times 2=\underline{\quad}$ 分，还差 $25-18=\underline{\quad}$ 分，所以 $5$ 分硬币至少要取 $2$ 枚。
第 2 步（按 $5$ 分枚数从少到多分类）：取 $2$ 枚（$10$ 分）时还需用 $1$ 分、$2$ 分凑出 $25-10=\underline{\quad}$ 分，而 $1$ 分最多 $6$ 枚，$2$ 分枚数只能取 $5$ 或 $6$，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：取 $3$ 枚（$15$ 分）时还需凑 $10$ 分，$2$ 分枚数可取 $2\sim 5$，有 $\underline{\quad}$ 种；取 $4$ 枚（$20$ 分）时还需凑 $5$ 分，$2$ 分枚数可取 $0,1,2$，有 $\underline{\quad}$ 种；取 $5$ 枚（$25$ 分）时刚好凑足，有 $\underline{\quad}$ 种；取 $6$ 枚就超过了。
第 4 步（分类相加）：一共 $2+4+3+1=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：文具店有 $1$ 元、$2$ 元、$5$ 元的代金券各 $6$ 张，要用这些代金券正好付清 $25$ 元的书款，一共有多少种不同的付法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（缩小范围）：$1$ 元和 $2$ 元的券最多只有 $6\times 1+6\times 2=\underline{\quad}$ 元，还差 $25-18=\underline{\quad}$ 元，所以 $5$ 元券至少要用 $2$ 张。
第 2 步（按 $5$ 元券张数分类）：用 $2$ 张时还需用 $1$ 元、$2$ 元凑出 $25-10=\underline{\quad}$ 元，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：用 $3$ 张有 $\underline{\quad}$ 种；用 $4$ 张有 $\underline{\quad}$ 种；用 $5$ 张刚好付清，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（分类相加）：一共 $2+4+3+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：现在有 $1$ 分、$2$ 分、$5$ 分的硬币各 $5$ 枚，要用这些硬币凑出 $18$ 分，一共有多少种不同的凑法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（缩小范围）：$1$ 分和 $2$ 分硬币最多只有 $5\times 1+5\times 2=\underline{\quad}$ 分，还差 $18-15=\underline{\quad}$ 分，所以 $5$ 分硬币至少要取 $1$ 枚。
第 2 步（按 $5$ 分枚数分类）：取 $1$ 枚时还需凑 $18-5=\underline{\quad}$ 分，$2$ 分枚数只能取 $4$ 或 $5$，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：取 $2$ 枚时还需凑 $8$ 分，$2$ 分枚数可取 $2,3,4$，有 $\underline{\quad}$ 种；取 $3$ 枚时还需凑 $3$ 分，$2$ 分枚数可取 $0,1$，有 $\underline{\quad}$ 种；取 $4$ 枚就超过了。
第 4 步（分类相加）：一共 $2+3+2=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：现在有 $1$ 分、$2$ 分、$5$ 分的硬币各 $5$ 枚，另外还有 $1$ 枚 $1$ 角的硬币。要凑出 $2$ 角钱，一共有多少种不同的凑法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（多一种面值就先按它分类）：$1$ 角 $=10$ 分，只有 $1$ 枚，所以先分成“不用它”和“用它”两类。
第 2 步（不用 $1$ 角）：就是用 $1、2、5$ 分各 $5$ 枚凑 $20$ 分，按 $5$ 分枚数分类得 $1+3+3+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（用 $1$ 角）：还需再凑 $20-10=\underline{\quad}$ 分。按 $5$ 分枚数分类：取 $0$ 枚时用 $1、2$ 分凑 $10$ 分，$2$ 分枚数只能取 $3,4,5$，有 $\underline{\quad}$ 种；取 $1$ 枚时凑 $5$ 分，$2$ 分枚数取 $0,1,2$，有 $\underline{\quad}$ 种；取 $2$ 枚时刚好凑足，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（这一类小计）：$3+3+1=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（两类相加）：一共 $8+7=\underline{\quad}$ 种。

5. 【原题 ch03-chaoyue-05】如图 $3-7$，妈妈在 $5$ 张卡片上分别写了 $1、1、1、2、2$ 这 $5$ 个数字，让小明从里面抽出 $3$ 张来组成一个三位数。小明可能组成多少个不同的三位数？

详细思路

是哪类问题：这是「可重数字组数」题：卡片上的数字有重复，先按“抽到哪几张（组合）”分类，再对每一类枚举能排出的三位数。

关键切入点：$5$ 张卡片是 $1、1、1、2、2$，抽 $3$ 张时，$2$ 最多只有 $2$ 张，所以抽到的只可能是“$3$ 个 $1$”“$2$ 个 $1$、$1$ 个 $2$”“$1$ 个 $1$、$2$ 个 $2$”三类。关键在于：卡片相同，所以同一类里只按数字排列去数，不能把相同卡片当成不同卡片重复计算。

方法概述：先按抽到的数字组合分类，再对每类枚举排成的三位数。

规范步骤：

分类：抽到的 $3$ 张只有三种可能：$(1,1,1),(1,1,2),(1,2,2)$（受卡片张数限制）
逐类排数：$111;\ 112,121,211;\ 122,212,221$（排列枚举）
分类相加：$1+3+3=7$（分类相加）
写出答案：$7$ 个

第一套

题目：妈妈在 $7$ 张卡片上分别写了 $1、1、1、1、2、2、2$ 这 $7$ 个数字，让小明从里面抽出 $3$ 张来组成一个三位数。小明可能组成多少个不同的三位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：$1$ 有 $4$ 张、$2$ 有 $3$ 张，抽 $3$ 张时 $1$ 的张数可以是 $3,2,1,0$，共 $4$ 类。
第 2 步（逐类排数）：$3$ 个 $1$ 只能排成 $111$，有 $\underline{\quad}$ 个；$2$ 个 $1$、$1$ 个 $2$ 可排成 $112,121,211$，有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步：$1$ 个 $1$、$2$ 个 $2$ 可排成 $122,212,221$，有 $\underline{\quad}$ 个；$3$ 个 $2$ 只能排成 $222$，有 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（分类相加）：一共 $1+3+3+1=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：游戏盒里有 $7$ 个号码牌，上面分别写着 $1、1、1、1、2、2、2$。小明摸出 $3$ 个号码牌，按摸出的顺序排成一个三位数的门牌号。可能排出多少个不同的门牌号？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：按摸到几个 $1$ 分类，可以是 $3,2,1,0$ 个，共 $4$ 类。
第 2 步（逐类排数）：$3$ 个 $1$ 有 $\underline{\quad}$ 个；$2$ 个 $1$、$1$ 个 $2$ 有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步：$1$ 个 $1$、$2$ 个 $2$ 有 $\underline{\quad}$ 个；$3$ 个 $2$ 有 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（分类相加）：一共 $1+3+3+1=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：$5$ 张卡片上分别写着 $1、1、2、2、3$，从中抽出 $3$ 张排成一个三位数，可能组成多少个不同的三位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：抽到的 $3$ 张只可能是 $(1,1,2)、(1,1,3)、(1,2,2)、(2,2,3)、(1,2,3)$ 这 $5$ 类。
第 2 步（有两个相同数字的四类）：像 $(1,1,2)$ 这样“两同一异”的，只要定下不同的那个数字放哪一位，有 $\underline{\quad}$ 个；$(1,1,3)、(1,2,2)、(2,2,3)$ 同理各有 $\underline{\quad}、\underline{\quad}、\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（三个数字都不同的一类）：$(1,2,3)$ 是全排列，有 $3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（分类相加）：一共 $3+3+3+3+6=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：$5$ 张卡片上分别写着 $0、1、1、2、2$，从中抽出 $3$ 张排成一个三位数（最高位不能是 $0$），可能组成多少个不同的三位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先按有没有抽到 $0$ 分两大类）：因为 $0$ 不能放在最高位，抽到 $0$ 的那类要另外处理。
第 2 步（不含 $0$）：从 $1、1、2、2$ 中抽 $3$ 张，只能是 $(1,1,2)$ 或 $(1,2,2)$，各有 $\underline{\quad}、\underline{\quad}$ 个，小计 $3+3=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（含 $0$，且另两张相同）：$(0,1,1)$ 的三个排列 $011、101、110$ 中，首位是 $0$ 的要去掉 $1$ 个，剩 $3-1=\underline{\quad}$ 个；$(0,2,2)$ 同理剩 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（含 $0$，且另两张不同）：$(0,1,2)$ 三个数字互不相同，全排列有 $3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 个，其中首位是 $0$ 的有 $2\times 1=\underline{\quad}$ 个，剩 $6-2=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（分类相加）：一共 $3+3+2+2+4=\underline{\quad}$ 个。

6. 【原题 ch03-chaoyue-06】刘老师在某一个星期中要去 $3$ 次健身馆，因为是为了防止运动过量，他不能连续两天都去。刘老师一共有多少种符合条件的时间安排？

详细思路

是哪类问题：这是「不相邻组合枚举」题：在一串连续的日子里选出若干天，要求任意两天都不挨着，按“最早的一天是哪天”分类枚举最不容易重漏。

关键切入点：一星期 $7$ 天里选 $3$ 天且两两不相邻。若最早去的是周一，剩下两天要在周三到周日（$5$ 天）里选两个不相邻的，按较早那天分类得 $3+2+1=6$ 种；若最早是周二，剩下两天在周四到周日（$4$ 天）里选，得 $2+1=3$ 种；若最早是周三，剩下两天只能是周五、周日，$1$ 种；最早不可能晚于周三，否则后面排不下 $3$ 天。

方法概述：按最早去的那一天分类，每类再在剩下的连续天数里数不相邻的选法。

规范步骤：

最早去周一：$3+2+1=6$（剩 $5$ 天里选 $2$ 天不相邻）
最早去周二：$2+1=3$（剩 $4$ 天里选 $2$ 天不相邻）
最早去周三：$1$（只剩周五、周日一种）
分类相加：$6+3+1=10$（分类相加）
写出答案：$10$ 种

第一套

题目：刘老师在连续的 $9$ 天中要去 $3$ 次健身馆，为防止运动过量，他不能连续两天都去。刘老师一共有多少种符合条件的时间安排？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定分类标准）：按最早去的是第几天分类。若最早去第 $1$ 天，剩下两天要在第 $3\sim 9$ 天（共 $9-2=\underline{\quad}$ 天）里选两个不相邻的。
第 2 步：在连续 $7$ 天里选 $2$ 天不相邻，按较早那天分类得 $5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：最早去第 $2$ 天时，剩下两天在第 $4\sim 9$ 天（$6$ 天）里选，得 $4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种；最早第 $3$ 天时在 $5$ 天里选，得 $3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步：最早第 $4$ 天时在 $4$ 天里选，得 $2+1=\underline{\quad}$ 种；最早第 $5$ 天时只有 $\underline{\quad}$ 种；最早不能晚于第 $5$ 天，否则后面排不下 $3$ 天。
第 5 步（分类相加）：一共 $15+10+6+3+1=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：某商场在连续的 $9$ 天里要安排 $3$ 次促销活动，为了不让顾客疲劳，任意两次活动不能安排在相邻的两天。一共有多少种不同的安排？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定分类标准）：按最早的一次活动在第几天分类。若在第 $1$ 天，剩下两次要排在第 $3\sim 9$ 天（共 $9-2=\underline{\quad}$ 天）里且不相邻。
第 2 步：连续 $7$ 天里选 $2$ 天不相邻，共 $5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：最早在第 $2$ 天得 $4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种；最早在第 $3$ 天得 $3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步：最早在第 $4$ 天得 $2+1=\underline{\quad}$ 种；最早在第 $5$ 天得 $\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（分类相加）：一共 $15+10+6+3+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：在连续的 $8$ 天里选 $3$ 天去游泳，任意两天都不能相邻，一共有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按最早一天分类）：最早选第 $1$ 天时，剩下两天在第 $3\sim 8$ 天（共 $8-2=\underline{\quad}$ 天）里选且不相邻，得 $4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：最早选第 $2$ 天时在 $5$ 天里选，得 $3+2+1=\underline{\quad}$ 种；最早选第 $3$ 天时在 $4$ 天里选，得 $2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：最早选第 $4$ 天时只有 $\underline{\quad}$ 种；再晚就排不下了。
第 4 步（分类相加）：一共 $10+6+3+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：在连续的 $9$ 天里选 $4$ 天去健身，任意两天都不能相邻，一共有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先明确最晚起点）：$4$ 天两两不相邻，至少要占 $4+3=\underline{\quad}$ 天的跨度，所以最早的一天只能是第 $1、2、3$ 天。
第 2 步（最早第 $1$ 天）：剩下 $3$ 天要在第 $3\sim 9$ 天（共 $9-2=\underline{\quad}$ 天）里两两不相邻地选，按同样办法分类得 $6+3+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（最早第 $2$ 天）：剩下 $3$ 天在第 $4\sim 9$ 天（$6$ 天）里选，得 $3+1=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（最早第 $3$ 天）：剩下 $3$ 天在第 $5\sim 9$ 天（$5$ 天）里选，只有 $5、7、9$ 一种，得 $\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（分类相加）：一共 $10+4+1=\underline{\quad}$ 种。

7. 【原题 ch03-chaoyue-07】在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？

详细思路

是哪类问题：这是「算盘记数 + 分类枚举」题：算盘上一颗上珠表示 $5$、一颗下珠表示 $1$，所以数字 $1、5$ 各要 $1$ 颗珠子，数字 $2、6$ 各要 $2$ 颗，$0$ 不要珠子。要按“最高位用了几颗珠子”分类。

关键切入点：四位数的千位不能是 $0$，所以千位至少有 $1$ 颗珠子；总共只有 $2$ 颗珠子，因此千位要么占 $2$ 颗、要么占 $1$ 颗。千位占 $2$ 颗时后三位全是 $0$，千位数字只能是 $2$ 或 $6$，得 $2000、6000$ 共 $2$ 个；千位占 $1$ 颗时千位是 $1$ 或 $5$（$2$ 种），另一颗珠子放在百、十、个位中的某一位（$3$ 种位置），该位数字是 $1$ 或 $5$（$2$ 种），共 $2\times 3\times 2=12$ 个。

方法概述：按最高位占几颗珠子分类，再枚举另一颗珠子的位置与取值。

规范步骤：

一颗珠子能表示的数字：$1\ 或\ 5$；两颗珠子：$2\ 或\ 6$（上珠 5、下珠 1）
千位占 $2$ 颗珠：$2000,6000$，共 $2$ 个（后三位全 $0$）
千位占 $1$ 颗珠：$2\times 3\times 2=12$（另一颗珠的位置与取值）
分类相加：$2+12=14$（分类相加）
写出答案：$14$ 个

第一套

题目：在算盘上（一颗上珠表示 $5$，一颗下珠表示 $1$），用三颗珠子可以表示多少个不同的四位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先记住对应关系）：需要 $1$ 颗珠子的数字是 $1、5$（$2$ 个），需要 $2$ 颗的是 $2、6$（$2$ 个），需要 $3$ 颗的是 $3、7$（$2$ 个），$0$ 不用珠子。四位数千位不能是 $0$，所以千位至少 $1$ 颗珠。
第 2 步（千位占 $3$ 颗）：后三位全是 $0$，千位只能是 $3$ 或 $7$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（千位占 $2$ 颗）：千位是 $2$ 或 $6$（$2$ 种），剩 $1$ 颗珠放在后三位中的一位、取值 $1$ 或 $5$，有 $2\times 3=\underline{\quad}$ 种，这一类共 $2\times 6=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（千位占 $1$ 颗）：先数“$2$ 颗珠放在后三位”的方法——两颗都在同一位（该位是 $2$ 或 $6$）有 $3\times 2=\underline{\quad}$ 种；两颗分在不同两位（各位是 $1$ 或 $5$）有 $3\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种，合计 $6+12=\underline{\quad}$ 种。千位是 $1$ 或 $5$，这一类共 $2\times 18=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（分类相加）：一共 $2+12+36=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：一个老式计数器每一位上都有上珠和下珠，一颗上珠代表 $5$、一颗下珠代表 $1$。用三颗珠子一共可以拨出多少个不同的四位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（对应关系）：拨 $1$ 颗珠的数字是 $1、5$，拨 $2$ 颗的是 $2、6$，拨 $3$ 颗的是 $3、7$，$0$ 不拨珠。千位不能是 $0$。
第 2 步（千位拨 $3$ 颗）：后三位全 $0$，千位是 $3$ 或 $7$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（千位拨 $2$ 颗）：剩 $1$ 颗放后三位有 $2\times 3=\underline{\quad}$ 种，这一类共 $2\times 6=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（千位拨 $1$ 颗）：$2$ 颗放后三位——同一位有 $3\times 2=\underline{\quad}$ 种，分两位有 $3\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种，合计 $6+12=\underline{\quad}$ 种；这一类共 $2\times 18=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（分类相加）：一共 $2+12+36=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：在算盘上用两颗珠子可以表示多少个不同的五位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：五位数的万位不能是 $0$，所以万位至少 $1$ 颗珠；总共 $2$ 颗，万位要么占 $2$ 颗、要么占 $1$ 颗。
第 2 步（万位占 $2$ 颗）：后四位全是 $0$，万位只能是 $2$ 或 $6$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（万位占 $1$ 颗）：另一颗珠子放在千、百、十、个位中的一位，取值 $1$ 或 $5$，有 $2\times 4=\underline{\quad}$ 种；万位是 $1$ 或 $5$，这一类共 $2\times 8=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（分类相加）：一共 $2+16=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：在算盘上，用两颗或三颗珠子一共可以表示多少个不同的四位数？（同一个数不重复计算）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（再分一层）：珠子数不固定，先按“用 $2$ 颗”和“用 $3$ 颗”分成两大类；同一个四位数所需的珠子数是唯一确定的，所以两类不会重复。
第 2 步（用 $2$ 颗）：千位占 $2$ 颗时有 $2$ 个；千位占 $1$ 颗时有 $2\times 3\times 2=12$ 个，小计 $2+12=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（用 $3$ 颗）：千位占 $3$ 颗有 $2$ 个；千位占 $2$ 颗有 $2\times 6=\underline{\quad}$ 个；千位占 $1$ 颗有 $2\times 18=\underline{\quad}$ 个，小计 $2+12+36=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（两大类相加）：一共 $14+50=\underline{\quad}$ 个。

8. 【原题 ch03-chaoyue-08】一座 $99$ 层摩天大楼的电梯上有一个显示楼层的液晶屏，如图 $3-8$，由于屏幕受到损坏，显示左位数字的 $7$ 根线段中有 $1$ 根不能亮了，显示右位数字的 $7$ 根线段中有 $3$ 根不能亮了。请问：电梯在运行的过程中，还有多少个楼层的数字显示是正确的？

详细思路

是哪类问题：这是「七段数码管显示」题：坏了的线段限制了每一位能正确显示哪些数字，再把十位、个位搭配。

关键切入点：能否正确显示取决于坏的是哪几根线段，故按‘最多能显示几个’来数。十位坏 $1$ 根时最多能正确显示 $1,3,4,5,7,9$ 共 $6$ 个；个位坏 $3$ 根时最多能正确显示 $1,7$（或 $1,4$）共 $2$ 个。$9$ 层以下十位不显示，所以每个能显示的个位数字 $d$，对应的正确楼层有：一位数 $d$ 本身，加上十位取 $6$ 个之一的两位数，共 $1+6=7$ 层。

方法概述：分位定出可显示数字，再按‘每个个位数字配 7 层’搭配计数。

规范步骤：

十位（坏 1 根）能正确显示的数字：$1,3,4,5,7,9$ 共 $6$ 个（分位枚举）
个位（坏 3 根）能正确显示的数字：$1,7$（或 $1,4$）共 $2$ 个（分位枚举）
固定一个能显示的个位数字，可正确显示的楼层：一位数 $+$ 十位取 $6$ 个之一 $=1+6=7$ 层（含十位不显示的一位数）
两种个位合计：$7\times 2=14$（搭配计数）

9. 【原题 ch03-tuozhan-01】如图 $3-3$，小高画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少要画几笔？

详细思路

是哪类问题：这是「一笔画 / 直线段计数」题：一笔不能拐弯，所以一笔只能画一条直线段，要数图中直线段总数。

关键切入点：把小房子拆成烟囱①、窗户②、房身③三部分分别数，避免整体数时的重漏。

方法概述：分部分数直线段再相加。

规范步骤：

房身③：$4$ 笔（分部分）
两扇窗户②每扇 6 笔：$6\times 2=12$（分部分）
含烟囱的①：$4+11=15$（分部分）
相加：$4+12+15=31$（求和）

10. 【原题 ch03-tuozhan-02】小高把 $8$ 块绿豆糕摆成如图 $3-4$ 所示的图形，让墨莫挑两块挨在一起的绿豆糕。请问：墨莫一共有多少种不同的挑法？

详细思路

是哪类问题：这是「相邻对枚举」题：数出图 $3\text{-}4$ 中所有挨在一起（有公共边）的两块绿豆糕。

关键切入点：观察图 $3\text{-}4$：$8$ 块糕连成一片，且没有任何四块围成一圈（图形是‘T/十字’形的枝杈，不含回路、也没有 $2\times2$ 的方块或‘洞’）。把每对相邻块之间连一条线，$8$ 块就恰好连成一棵不含回路的‘树’，而树的连线数总比结点数少 $1$。

方法概述：用‘无回路 ⇒ 相邻对数＝块数−1’一步定出。

规范步骤：

确认图形无回路：没有四块围成一圈（无 $2\times2$ 方块、无洞）（图形是树状枝杈）
树的连线数＝结点数−1：$8-1=7$（每一对相邻＝一条连线）
得到相邻对总数：$7$（计数）

11. 【原题 ch03-tuozhan-03】要沿着如图 $3-5$ 所示的道路从 $A$ 点走到 $B$ 点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？

详细思路

是哪类问题：这是「路径枚举」题：图 $3\text{-}5$ 的道路像数字 $8$，$A$ 在下、$B$ 在上，每段路最多走一次，数 $A\to B$ 的走法。

关键切入点：‘$8$’字只有一个交叉口，记作 $M$：下环是 $A$ 与 $M$ 之间的两条弧（记左弧 $a_1$、右弧 $a_2$），上环是 $M$ 与 $B$ 之间的两条弧（记左弧 $b_1$、右弧 $b_2$）。从 $A$ 到 $B$ 必先经 $M$ 再到 $B$，且到 $M$ 后无法折返回 $A$，所以每条走法 $=$ 选一条下弧 $+$ 选一条上弧。

方法概述：记交叉口 $M$，按‘下环选一条弧、上环选一条弧’搭配。

规范步骤：

下环 $A\to M$ 的走法：左弧 $a_1$、右弧 $a_2$，共 $2$ 种（分类）
上环 $M\to B$ 的走法：左弧 $b_1$、右弧 $b_2$，共 $2$ 种（分类）
逐条列出全部路线：$a_1b_1,\ a_1b_2,\ a_2b_1,\ a_2b_2$（四条路线）
计数：$2\times2=4$（乘法原理）

12. 【原题 ch03-tuozhan-04】小高、萱萱、卡莉娅三个人去看电影，他们买了三张座位号相邻的票。他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法？

详细思路

是哪类问题：这是「全排列」题：三个相邻座位排三人，顺序不同算不同，用树状图逐层枚举。

关键切入点：第一个位置 3 种、第二个 2 种、第三个 1 种，树状图正好列出 $3\times2\times1=6$ 条路径。

方法概述：树状图按位置分层枚举。

规范步骤：

三个位置逐层：$3,2,1$（逐层枚举）
相乘：$3\times2\times1=6$（乘法原理）

第一套

题目：小高、萱萱、卡莉娅、菲欧娜四人买了 $4$ 张相邻的票，座位顺序一共有多少种不同的安排方法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐层枚举）：四个位置依次有 $4,3,2,1$ 种选择。
第 2 步（相乘）：$4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三名运动员站在相邻的三个领奖台上合影，他们的站位一共有多少种不同的安排？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐层枚举）：三个台依次有 $3,2,1$ 种选择。
第 2 步（相乘）：$3\times2\times1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把红、黄、绿三个不同的球排成一排，有多少种不同的排法？请用树状图列出。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐层枚举）：第一个 3 种、第二个 2 种、第三个 1 种。
第 2 步（相乘）：$3\times2\times1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：甲、乙、丙、丁 $4$ 人排成一排照相，要求甲和乙必须挨在一起，有多少种不同的排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（捆绑）：把甲、乙捆成一个整体，与丙、丁共 $3$ 个单位排列，$3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（内部）：捆在一起的甲、乙自身还能换位，$2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（相乘）：$6\times2=\underline{\quad}$。

13. 【原题 ch03-tuozhan-05】小李摆摊卖货，小木偶每个卖 $1$ 元，大木偶每个卖 $2$ 元，他今天一共卖出了 $5$ 个木偶，小李今天一共可能卖了多少钱？

详细思路

是哪类问题：这是「总数一定的取值枚举」题：共卖 $5$ 个木偶，小 $1$ 元大 $2$ 元，问总钱数有多少种。

关键切入点：小木偶 $x$ 个、大木偶 $5-x$ 个，钱数 $=x+2(5-x)$，随大木偶个数每多 $1$ 元变一次；大木偶取 $0\sim5$ 得钱数 $5\sim10$，各不相同。

方法概述：按小木偶个数从多到少枚举，算出对应钱数。

规范步骤：

钱数随组合变化：$5,6,7,8,9,10$（逐一枚举）
计数：$10-5+1=6$（取值个数）

第一套

题目：小木偶每个 $1$ 元、大木偶每个 $2$ 元，小李今天一共卖出 $8$ 个木偶，一共可能卖了多少钱？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举）：大木偶取 $0\sim8$，钱数从 $8$ 元起每次多 $1$ 元，得 $8,9,\dots,16$ 元。
第 2 步（计数）：$16-8+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：小摊上小风车每个 $1$ 元、大风车每个 $2$ 元，一天卖出 $5$ 个风车，一共可能卖了多少钱？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举）：大风车取 $0\sim5$，钱数得 $5,6,7,8,9,10$ 元。
第 2 步（计数）：$10-5+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：小票每张 $1$ 元、大票每张 $3$ 元，一共卖出 $6$ 张票，一共可能卖了多少钱？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举）：大票取 $0\sim6$，钱数 $=6+2\times$大票数，得 $6,8,10,12,14,16,18$ 元（每次多 $2$ 元）。
第 2 步（隔项计数）：把这些钱数都除以 $2$ 得 $3,4,5,6,7,8,9$，个数 $=9-3+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：小木偶每个 $1$ 元、大木偶每个 $2$ 元，一共卖出 $5$ 个木偶，且大木偶至少卖出 $1$ 个，一共可能卖了多少钱？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用下界压缩）：大木偶至少 $1$ 个，取 $1\sim5$，钱数 $=5+$大木偶数，得 $6,7,8,9,10$ 元。
第 2 步（计数）：$5-1+1=\underline{\quad}$。

14. 【原题 ch03-tuozhan-06】（1）老师给小高 $14$ 个相同的作业本，如果小高把这些本子全部分给墨莫和卡莉娅，有多少种不同的分法？（可以分给一个人）（2）老师给小高 $14$ 个相同的作业本，如果小高要把这些本子分成 $2$ 堆，有多少种不同的分法？

详细思路

是哪类问题：这是「整数拆分」题，两小问对比“计次序可空”与“不计次序非空”。

关键切入点：（1）分给两人算次序、可给一人 $0$ 个，墨莫取 $0\sim14$ 共 $15$；（2）分两堆不计次序、每堆 $\ge1$，按较少一堆 $1\sim7$ 得 $7$。

方法概述：分两人按一人所得 $0\sim14$ 枚举；分两堆按较少一堆非空枚举。

规范步骤：

（1）墨莫取 $0\sim14$：$14-0+1=15$（计次序可空）
（2）较少一堆 $1\sim7$：$7-1+1=7$（不计次序非空）

第一套

题目：老师给小高 $20$ 个相同的作业本。（1）全部分给墨莫和卡莉娅（可以分给一个人），有多少种分法？（2）把它们分成 $2$ 堆，有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分两人·计次序可空）：墨莫取 $0\sim20$，$20-0+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（分两堆·不计次序非空）：较少一堆取 $1\sim10$，$10-1+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：有 $14$ 颗相同的糖。（1）全部分给弟弟和妹妹（可以只给一人），有多少种分法？（2）把它们分成 $2$ 堆，有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分两人·计次序可空）：弟弟取 $0\sim14$，$14-0+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（分两堆·不计次序非空）：较少一堆取 $1\sim7$，$7-1+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $16$ 个相同的作业本。（1）全部分给两人（可给一人），有多少种分法？（2）分成 $2$ 堆，有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分两人·计次序可空）：一人取 $0\sim16$，$16-0+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（分两堆·不计次序非空）：较少一堆取 $1\sim8$，$8-1+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $14$ 个相同的作业本全部分给小高、墨莫、卡莉娅三人，每人至少 $1$ 本，一共有多少种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定一人枚举）：小高拿 $k$ 本（$k$ 从 $1$ 到 $12$）时，其余两人共 $14-k$ 本、每人 $\ge1$，有 $13-k$ 种。
第 2 步（逐项列出）：小高拿 $1,2,\dots,12$ 本对应 $12,11,\dots,1$ 种。
第 3 步（求和）：$12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

15. 【原题 ch03-tuozhan-07】盘子里一共有 $20$ 颗花生，小高和墨莫一起吃，每人一口吃 $2$ 颗，两个人一起把花生吃完（每人至少一口），请列举出他们吃花生数量的所有情况。

详细思路

是哪类问题：这是「偶数拆分」题：每人一口吃 $2$ 颗，所以各人吃的颗数都是偶数，两人各至少一口。

关键切入点：小高吃的颗数是 $2,4,\dots,18$（偶数、至少一口、至多剩 $2$ 颗给墨莫）；把它们都除以 $2$ 得 $1\sim9$，共 $9$ 种。

方法概述：利用“每口 2 颗”定出各人颗数为偶数，再按小高从少到多枚举。

规范步骤：

小高偶数颗数：$2,4,\dots,18$（每口 2 颗）
化归再数：$18\div2=9,\ 9-1+1=9$（等差化归）

第一套

题目：盘子里有 $30$ 颗花生，小高和墨莫每人一口吃 $2$ 颗，一起吃完（每人至少一口），共有多少种不同的情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（偶数）：小高吃的是偶数颗，$2,4,\dots,28$。
第 2 步（化归再数）：都除以 $2$ 得 $1\sim14$，$14-1+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一盒里有 $20$ 块饼干，姐姐和弟弟每人一口吃 $2$ 块，一起吃完（每人至少一口），共有多少种不同的情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（偶数）：姐姐吃的是偶数块，$2,4,\dots,18$。
第 2 步（化归再数）：都除以 $2$ 得 $1\sim9$，$9-1+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：盘子里有 $24$ 颗花生，两人每人一口吃 $2$ 颗，一起吃完（每人至少一口），共有多少种不同的情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（偶数）：小高吃 $2,4,\dots,22$。
第 2 步（化归再数）：都除以 $2$ 得 $1\sim11$，$11-1+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：盘子里有 $20$ 颗花生，小高、墨莫、卡莉娅三人每人一口吃 $2$ 颗，一起吃完（每人至少一口），共有多少种不同的情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化归）：各人吃的都是偶数、至少 $2$ 颗，都除以 $2$ 后变成“$10$ 分给三人、每人至少 $1$”的有序拆分。
第 2 步（固定一人枚举）：第一人分 $k$（$1\sim8$）时其余两人有 $9-k$ 种，即 $8,7,\dots,1$ 种。
第 3 步（求和）：$8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch03-tuozhan-08】如图 $3-6$，有 $7$ 个按键，上面分别写着 $1\sim 7$ 这 $7$ 个数字。请问：（1）从中选出 $2$ 个按键，使它们上面数字的差等于 $2$，一共有多少种选法？（2）从中选出 $2$ 个按键，使它们上面数字的和大于 $9$，一共有多少种选法？

详细思路

是哪类问题：这是「数对枚举」题：从写着 $1\sim7$ 的按键中选 2 个，分别按“差为 2”“和大于 9”枚举数对。

关键切入点：（1）按较小数从小到大枚举差为 2 的对：较小数取 $1\sim5$；（2）和大于 9 即和为 $10,11,12,13$，按和分类数对。

方法概述：定值差按较小数枚举；限定和按和分类枚举。

规范步骤：

（1）较小数 $1\sim5$：$5-1+1=5$（按差枚举）
（2）和为 10,11,12,13：$2+2+1+1=6$（按和分类）
写出答案：$（1）5；（2）6$

第一套

题目：有 $10$ 个按键，写着 $1\sim10$。（1）选 $2$ 个使数字差等于 $2$，有多少种选法？（2）选 $2$ 个使数字和大于 $15$，有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按差枚举）：差为 $2$，较小数取 $1\sim8$，$8-1+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（按和分类）：和大于 $15$ 即和为 $16,17,18,19$；和 $16$ 有 $(6,10),(7,9)$、和 $17$ 有 $(7,10),(8,9)$、和 $18$ 有 $(8,10)$、和 $19$ 有 $(9,10)$，共 $2+2+1+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：有 $7$ 张卡片，分别写着 $1\sim7$。（1）抽 $2$ 张使数字差为 $2$，有多少种抽法？（2）抽 $2$ 张使数字和大于 $9$，有多少种抽法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按差枚举）：差为 $2$，较小数取 $1\sim5$，$5-1+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（按和分类）：和为 $10,11,12,13$，分别有 $2,2,1,1$ 对，共 $2+2+1+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从写着 $1\sim7$ 的 $7$ 个按键中选 $2$ 个，使它们的数字差等于 $3$，有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按差枚举）：差为 $3$ 的数对是 $(1,4),(2,5),(3,6),(4,7)$，较小数取 $1\sim4$。
第 2 步（计数）：$4-1+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从写着 $1\sim7$ 的 $7$ 个按键中选 $2$ 个，使它们数字的乘积大于 $20$，有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（含 7 的对）：较大数是 $7$ 时，$7\times3=21,7\times4,7\times5,7\times6$ 都大于 $20$，配 $3,4,5,6$ 共 $4$ 对。
第 2 步（含 6 不含 7 的对）：较大数是 $6$ 时，$6\times4=24,6\times5=30$ 大于 $20$，配 $4,5$ 共 $2$ 对（$6\times3=18$ 不算）。
第 3 步（求和）：$4+2=\underline{\quad}$。

17. 【原题 ch03-tuozhan-09】小高、墨莫、卡莉娅三个人有 $7$ 本课外书，每个人至少有一本，小高、墨莫、卡莉娅分别有几本课外书？请列出全部可能的情况。

详细思路

是哪类问题：这是「三元有序拆分（每人非空）」题：$7$ 本书分给三个不同的人，每人至少 $1$ 本。

关键切入点：三人不同要计次序；固定小高所得再枚举另两人。小高有 $1$ 本时其余两人和为 $6$、各 $\ge1$ 有 $5$ 种，依次得 $5+4+3+2+1$。

方法概述：固定一人所得，再枚举另两人，用“每人至少 1 本”定范围。

规范步骤：

小高从 1 本到 5 本：其余两人有 $5,4,3,2,1$ 种（分类枚举）
求和：$5+4+3+2+1=15$（相加）

第一套

题目：小高、墨莫、卡莉娅三人有 $10$ 本课外书，每人至少 $1$ 本，共有多少种不同的情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定一人枚举）：小高从 $1$ 本到 $8$ 本，其余两人依次有 $8,7,\dots,1$ 种。
第 2 步（求和）：$8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：把 $7$ 支相同的铅笔分给三个不同的小朋友，每人至少 $1$ 支，共有多少种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定一人枚举）：第一人从 $1$ 支到 $5$ 支，其余两人依次有 $5,4,3,2,1$ 种。
第 2 步（求和）：$5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：三个不同的小朋友分 $8$ 本书，每人至少 $1$ 本，共有多少种不同的情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定一人枚举）：第一人从 $1$ 本到 $6$ 本，其余两人依次有 $6,5,4,3,2,1$ 种。
第 2 步（求和）：$6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：三个不同的小朋友分 $10$ 本书，每人至少 $2$ 本，共有多少种不同的情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用下界压缩）：每人至少 $2$ 本，先给每人 $2$ 本（共 $6$ 本），剩下 $10-6=\underline{\quad}$ 本随意分给三人（可空）。
第 2 步（化归后枚举）：把剩下 $4$ 本有序分给三人（可空），第一人拿 $k$（$0\sim4$）时其余两人有 $5-k$ 种，即 $5,4,3,2,1$ 种。
第 3 步（求和）：$5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

18. 【原题 ch03-tuozhan-10】小王有 $5$ 个相同的飞机模型，他要把它们放在 $3$ 层的货架上，每层至少要放 $1$ 个，一共有多少种不同的放法？过了几天，他又把 $18$ 个相同的汽车模型放到一个 $3$ 层货架上，每层最少要放 $5$ 个，这又有多少种不同的放法？

详细思路

是哪类问题：这是「有序三元拆分」题，两问分别是“每层至少 1 个”和“每层至少 5 个（带下界转化）”。

关键切入点：（1）$5$ 个放 3 层每层 $\ge1$，树状图得 $3+2+1=6$；（2）$18$ 个每层 $\ge5$，先每层放 $5$ 个用去 $15$，剩 $3$ 个随意分 3 层，$4+3+2+1=10$。

方法概述：每层至少 1 个直接枚举；带下界先垫满再分配余量。

规范步骤：

（1）每层至少 1 个：$3+2+1=6$（有序枚举）
（2）先垫满：$18-5\times3=3$（带下界转化）
（2）余 3 个分 3 层：$4+3+2+1=10$（有序枚举）

第一套

题目：（1）$7$ 个飞机模型放 $3$ 层货架，每层至少 $1$ 个，有多少种放法？（2）$24$ 个汽车模型放 $3$ 层，每层至少 $6$ 个，有多少种放法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每层至少 1 个）：第一层拿 $k$（$1\sim5$）时其余两层有 $6-k$ 种，$5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（带下界转化）：先每层放 $6$ 个用去 $18$，剩 $24-6\times3=\underline{\quad}$ 个随意分 3 层。
第 3 步（余 6 个分 3 层）：$7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：（1）$5$ 本书放 $3$ 层书架，每层至少 $1$ 本，有多少种放法？（2）$18$ 个苹果放 $3$ 层架子，每层至少 $5$ 个，有多少种放法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每层至少 1 本）：$3+2+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（带下界转化）：先每层放 $5$ 个，剩 $18-5\times3=\underline{\quad}$ 个随意分。
第 3 步（余 3 个分 3 层）：$4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$6$ 个飞机模型放 $3$ 层货架，每层至少 $1$ 个，有多少种不同的放法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每层至少 1 个）：第一层拿 $k$（$1\sim4$）时其余两层有 $5-k$ 种，得 $4,3,2,1$ 种。
第 2 步（求和）：$4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$6$ 个模型放 $4$ 层货架，每层至少 $1$ 个，有多少种不同的放法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（多一层、按第一层枚举）：第一层放 $1$ 个时，剩 $5$ 个放 $3$ 层每层 $\ge1$ 有 $6$ 种；放 $2$ 个时剩 $4$ 个放 $3$ 层有 $3$ 种；放 $3$ 个时剩 $3$ 个放 $3$ 层有 $1$ 种。
第 2 步（求和）：$6+3+1=\underline{\quad}$。

19. 【原题 ch03-tuozhan-11】（1）小明买回来一袋糖豆，数了一下，一共有 $10$ 颗。现在他要把这些糖豆分成 $3$ 堆，一共有多少种不同的分法？（2）如果小明有两袋糖豆，每袋 $10$ 颗，他要把这两袋糖豆分成 $3$ 堆，每堆最少要有 $5$ 颗，一共有多少种不同的分法？

详细思路

是哪类问题：这是「不计次序三堆拆分」题，两问是“分 3 堆”和“每堆至少 5 颗（带下界转化）”。

关键切入点：（1）$10$ 分 3 堆、每堆 $\ge1$、不计次序，按最小一堆枚举得 $4+3+1=8$；（2）$20$ 每堆 $\ge5$，先每堆放 $5$（共 $15$），剩 $5$ 颗不计次序分 3 堆得 $5$ 种。

方法概述：不计次序按最小一堆非降枚举；带下界先垫满再分余量。

规范步骤：

（1）按最小堆枚举：$4+3+1=8$（非降枚举）
（2）先垫满：$20-5\times3=5$（带下界转化）
（2）余 5 颗分 3 堆：$1+1+2+1=5$（非降枚举）

第一套

题目：（1）把 $12$ 颗糖豆分成 $3$ 堆，有多少种不同的分法？（2）把 $20$ 颗糖豆分成 $3$ 堆、每堆至少 $5$ 颗，有多少种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（不计次序、按最小堆枚举）：最小一堆为 $1$ 时有 $5$ 种，为 $2$ 时 $4$ 种，为 $3$ 时 $2$ 种，为 $4$ 时 $1$ 种，$5+4+2+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（带下界转化）：先每堆放 $5$ 颗，剩 $20-5\times3=\underline{\quad}$ 颗不计次序分 3 堆。
第 3 步（余 5 颗分 3 堆）：$(5,0,0),(4,1,0),(3,2,0),(3,1,1),(2,2,1)$ 共 $1+1+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：（1）把 $10$ 块积木分成 $3$ 堆，有多少种不同的分法？（2）把 $20$ 块积木分成 $3$ 堆、每堆至少 $5$ 块，有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按最小堆枚举）：最小一堆为 $1$ 有 $4$ 种、为 $2$ 有 $3$ 种、为 $3$ 有 $1$ 种，$4+3+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（带下界转化）：先每堆放 $5$ 块，剩 $20-5\times3=\underline{\quad}$ 块分 3 堆。
第 3 步（余 5 块分 3 堆）：$1+1+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $12$ 颗糖豆分成 $3$ 堆（每堆至少 $1$ 颗），一共有多少种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按最小堆枚举）：最小一堆为 $1,2,3,4$ 时分别有 $5,4,2,1$ 种。
第 2 步（求和）：$5+4+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $22$ 颗糖豆分成 $3$ 堆，每堆至少 $6$ 颗，一共有多少种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（带下界转化）：先每堆放 $6$ 颗（共 $18$），剩 $22-6\times3=\underline{\quad}$ 颗不计次序分 3 堆（可空）。
第 2 步（枚举余量）：把 $4$ 颗分 3 堆（不计次序、可空）：$(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1)$ 共 $\underline{\quad}$ 种。

20. 【原题 ch03-tuozhan-12】$A、B、C、D、E$ 这五个人一起回答一道题，结果只有两个人答对了。所有可能的回答情况一共有多少种？

详细思路

是哪类问题：这是「组合（选 2 人）」题：$5$ 人中恰有 $2$ 人答对，不计次序地选 $2$ 人。

关键切入点：按字典序逐一配对：与 $A$ 配 $4$ 种、与 $B$（不含 $A$）配 $3$ 种……得 $4+3+2+1=10$，正好去掉重复。

方法概述：按字典序逐一配对枚举去重。

规范步骤：

逐一配对：$4,3,2,1$ 种（有序去重）
求和：$4+3+2+1=10$（相加）

第一套

题目：$A、B、C、D、E、F、G$ 这 $7$ 个人一起答一道题，恰有 $2$ 人答对，一共有多少种不同的情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐一配对）：与第一人配 $6$ 种，与第二人（不含第一人）配 $5$ 种……
第 2 步（求和）：$6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$5$ 名同学握手，每两人握一次，一共握多少次手？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐一配对）：第一人与其余 $4$ 人各握 $1$ 次，第二人再与其余 $3$ 人……
第 2 步（求和）：$4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：平面上有 $6$ 个点，任意三点不共线，每两点连一条线段，一共能连多少条线段？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐一配对）：第一个点与其余 $5$ 个点连线，第二个点再与其余 $4$ 个……
第 2 步（求和）：$5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$5$ 个人一起答一道题，恰有 $3$ 人答对，一共有多少种不同的情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（正难则反）：$5$ 人中 $3$ 人答对，相当于 $2$ 人答错，转成“选 $2$ 人答错”。
第 2 步（逐一配对）：选 $2$ 人答错 $=4+3+2+1=\underline{\quad}$。

21. 【原题 ch03-tuozhan-13】（1）有 $2$ 个相同的白球和 $1$ 个红球，如果把这 $3$ 个小球排成一排，有多少种不同的排法？（2）有 $2$ 个相同的白球和 $3$ 个相同的红球，如果把这 $5$ 个小球排成一排，有多少种不同的排法？

详细思路

是哪类问题：这是「可重排列」题：有相同元素时，只要定下少数元素的位置，整排就定了。

关键切入点：（1）$2$ 白 $1$ 红排一排，只需定红球位置，共 $3$ 个位置故 $3$ 种；（2）$2$ 白 $3$ 红排一排，只需从 $5$ 个位置里选 $2$ 个放白球，$4+3+2+1=10$。

方法概述：有重复元素时只确定少数球的位置。

规范步骤：

（1）定红球位置：$3$ 种（确定少数元素）
（2）5 个位置选 2 个放白球：$4+3+2+1=10$（组合选位）

第一套

题目：（1）$3$ 个相同的白球和 $1$ 个红球排成一排，有多少种排法？（2）$2$ 个相同的白球和 $4$ 个相同的红球排成一排，有多少种排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定红球位置）：$4$ 个位置任选一个放红球，$4-1+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（选位放白球）：$6$ 个位置里选 $2$ 个放白球，$5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：（1）$2$ 面相同的红旗和 $1$ 面黄旗排成一列，有多少种排法？（2）$2$ 面相同的红旗和 $3$ 面相同的黄旗排成一列，有多少种排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定黄旗位置）：$3$ 个位置任选一个，$3-1+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（选位放红旗）：$5$ 个位置选 $2$ 个，$4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$2$ 个相同的白球和 $2$ 个相同的红球排成一排，有多少种不同的排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（选位）：$4$ 个位置里选 $2$ 个放白球，其余放红球。
第 2 步（计数）：$3+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$2$ 个相同的白球、$1$ 个红球、$1$ 个蓝球排成一排，有多少种不同的排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐色定位）：$4$ 个位置先选 $1$ 个放红球（$4$ 种），再从剩下 $3$ 个位置选 $1$ 个放蓝球（$3$ 种），剩下两个位置放白球。
第 2 步（相乘）：$4\times3=\underline{\quad}$。

22. 【原题 ch03-tuozhan-14】班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里选出四个参加乒乓球赛，有多少种不同的选法？如果已经选出了甲、乙、丙、丁，现在要把他们分成两组，进行双打比赛，有多少种不同的分法？

详细思路

是哪类问题：这是「组合 + 分组」题：从 $5$ 人选 $4$ 人＝去掉 $1$ 人；再把 $4$ 人分两组双打（不计组序）。

关键切入点：选 $4$ 人只需决定去掉谁，$5$ 种；$4$ 人分两组双打，只看与甲同组的是谁，有 $3$ 种（乙丙丁）。

方法概述：选 $4$ 人转成去 $1$ 人；分两组只看与甲同组者。

规范步骤：

选 4 人＝去 1 人：$5$（正难则反）
与甲同组者：乙、丙、丁 $3$ 种（不计组序）

第一套

题目：从 $8$ 个小朋友里选出 $7$ 个参加比赛，有多少种选法？如果 $6$ 个小朋友要两两分成 $3$ 组双打，有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（选 7 人＝去 1 人）：去掉谁有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（6 人配 3 组）：与第一人配对有 $5$ 种，余 $4$ 人中第一人配对有 $3$ 种，最后 $2$ 人 $1$ 种，$5\times3\times1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：从 $5$ 位老师里选 $4$ 位当评委，有多少种选法？已选出的 $4$ 位老师两两分成 $2$ 组主持，有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（选 4 人＝去 1 人）：去掉谁有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（4 人分 2 组）：只看与第一位同组的是谁，有 $\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：从 $6$ 个人中选出 $5$ 个人参加合唱，有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（选 5 人＝去 1 人）：只需决定去掉谁。
第 2 步（计数）：$\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：从 $5$ 个人中选出 $3$ 个人打扫卫生，有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（正难则反）：选 $3$ 人相当于挑 $2$ 人不去。
第 2 步（逐一配对）：选 $2$ 人不去 $=4+3+2+1=\underline{\quad}$。

23. 【原题 ch03-xingqu-01】（1）$1\sim 20$ 共有多少个数？（2）$20\sim 40$ 共有多少个数？

详细思路

是哪类问题：这是「连续整数计数」题：数「从 $a$ 到 $b$ 一共有多少个整数」，两端都要算。

关键切入点：端点都包含时，个数不是 $b-a$ 而是 $b-a+1$；漏掉 $+1$ 就少数一个（如植树问题“两端都栽”）。

方法概述：从 $a$ 到 $b$ 的整数个数 $=b-a+1$。

规范步骤：

第 (1) 问 $1$ 到 $20$ 两端都算：$20-1+1=20$（端点都含）
第 (2) 问 $20$ 到 $40$ 两端都算：$40-20+1=21$（端点都含）
写出答案：$（1）20；（2）21$

第一套

题目：（1）$2\sim 60$ 共有多少个数？（2）$70\sim 150$ 共有多少个数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（两端都算）：第 (1) 问从 $2$ 到 $60$，个数 $=60-2+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（两端都算）：第 (2) 问从 $70$ 到 $150$，个数 $=150-70+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一栋楼从第 $2$ 层到第 $60$ 层共有多少层？一条街从第 $70$ 号到第 $150$ 号共有多少个门牌？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（两端都算）：楼层从 $2$ 到 $60$，$60-2+1=\underline{\quad}$（层）。
第 2 步（两端都算）：门牌从 $70$ 到 $150$，$150-70+1=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：（1）$1\sim 100$ 里有多少个数？（2）在 $1\sim 100$ 里，从 $50$ 到 $100$ 又有多少个数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（两端都算）：$1$ 到 $100$，个数 $=\underline{\quad}=100$（先写出算式再算）。
第 2 步（两端都算）：$50$ 到 $100$，$100-50+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $30$ 到 $70$ 一共有多少个整数？其中偶数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（两端都算）：整数个数 $=70-30+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（偶数化归）：偶数是 $30,32,\dots,70$，把它们都除以 $2$ 得 $15,16,\dots,35$。
第 3 步（再数一段）：$15$ 到 $35$ 的整数个数 $=35-15+1=\underline{\quad}$，即偶数有这么多个。

24. 【原题 ch03-xingqu-02】如图 $3-1$ 所示，桌上有一些围棋子，其中有多少枚黑子？

详细思路

是哪类问题：这是「点阵计数」题：棋盘上黑白子交错，要按行有序数出黑子，做到不重不漏。

关键切入点：整块是 $5\times 5=25$ 枚棋子；黑子分散在各行，逐行数、再求和最稳妥，凭一眼估会数错。

方法概述：按行有序数黑子，逐行相加。

规范步骤：

整块棋子数：$5\times 5=25$（点阵总数）
逐行数黑子：$4,2,4,2,4$（有序枚举）
各行相加：$4+2+4+2+4=16$（求和）

25. 【原题 ch03-xingqu-03】墨莫在一张纸上画了一些图形，如图 $3-2$ 所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。请你数一数，纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形是图形的边框，不算在内）

详细思路

是哪类问题：这是「数线段」题：把纸上若干图形逐个编号，数出每个图形的边数再相加。

关键切入点：分散的图形一起数容易重漏，给每个图形编号 $A\sim F$ 后逐个数边，最后求和。

方法概述：逐图数边再求和。

规范步骤：

给 6 个图形编号并逐个数边：$A5,B3,C4,D3,E5,F4$（分类枚举）
边数相加：$5+3+4+3+5+4=24$（求和）

26. 【原题 ch03-xingqu-04】小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游，要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？

详细思路

是哪类问题：这是「排列（计次序）」题：走遍 3 个景点，游览顺序不同算不同，用字典排列法逐层定位置。

关键切入点：第一个位置有 3 种选择，定下后第二个只剩 2 种，最后 1 种，逐层相乘 $3\times2\times1$。

方法概述：依次确定每个位置，逐层相乘。

规范步骤：

第一个景点：$3$ 种（逐层枚举）
第二、三个景点：$2$ 种、$1$ 种（逐层枚举）
相乘：$3\times2\times1=6$（乘法原理）

第一套

题目：要走遍香山、颐和园、圆明园、天坛这 $4$ 个景点，一共有多少种不同的游览顺序？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐层枚举）：第一个景点 $4$ 种，第二个 $3$ 种，第三个 $2$ 种，第四个 $1$ 种。
第 2 步（相乘）：$4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：书架上要把《语文》《数学》《英语》这 $3$ 本书排成一排，有多少种不同的排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐层枚举）：第一格 $3$ 种，第二格 $2$ 种，第三格 $1$ 种。
第 2 步（相乘）：$3\times2\times1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把红、黄、蓝 $3$ 面不同的旗排成一列，有多少种不同的排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐层枚举）：第一面 $3$ 种，第二面 $2$ 种，第三面 $1$ 种。
第 2 步（相乘）：$3\times2\times1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1,2,3,4$ 这 $4$ 个数字组成没有重复数字的三位数，一共能组成多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认知识点）：这是从 $4$ 个数字里排 $3$ 个（计次序），逐层定数位。
第 2 步（逐层枚举）：百位 $4$ 种，十位 $3$ 种，个位 $2$ 种。
第 3 步（相乘）：$4\times3\times2=\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch03-xingqu-05】小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这 $4$ 个地方中选 $2$ 个去旅游，小王有多少种不同的选择？如果小王想去其中的 $3$ 个地方，又有多少种选择？

详细思路

是哪类问题：这是「组合（不计次序）」题：从 4 个地方选 2 个不讲顺序；选 3 个可“正难则反”转成选 1 个不去。

关键切入点：选 2 个用有序配对枚举去重得 $3+2+1=6$；选 3 个相当于挑 1 个不去，只有 4 种，比正面枚举省力。

方法概述：选 2 个配对枚举；选 3 个转化为选 1 个不去。

规范步骤：

选 2 个配对枚举：$3+2+1=6$（组合去重）
选 3 个＝选 1 个不去：$4$（正难则反）
写出答案：$（选2）6；（选3）4$

第一套

题目：从青岛、三亚、桂林、杭州、厦门、大理这 $6$ 个地方中选 $2$ 个去旅游，有多少种选择？如果想去其中 $5$ 个地方呢？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（选 2 个·配对枚举）：把 6 个地方两两配对、不计次序，共 $5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（选 5 个·正难则反）：选 5 个相当于挑 $1$ 个不去，$6$ 个地方里挑 $1$ 个，有 $6$ 种。

第二套

题目：果篮里有苹果、香蕉、橙子、葡萄 $4$ 种水果，选 $2$ 种做拼盘有多少种选法？选 $3$ 种呢？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（选 2 种·配对枚举）：两两配对、不计次序，$3+2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（选 3 种·正难则反）：选 3 种相当于挑 $1$ 种不用，$4$ 种水果里挑 $1$ 种，有 $4$ 种。

第三套

题目：$5$ 个球队进行单循环赛，每两队之间赛一场，一共要赛多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认知识点）：每场比赛就是从 5 队里不计次序选 2 队，是组合。
第 2 步（配对枚举）：$4+3+2+1=\underline{\quad}$ 场。

第三套

题目：从数字 $1,2,3,4,5$ 中选 $2$ 个不同的数字组成一个两位数，能组成多少个不同的两位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（辨析）：组成两位数要计次序（$12$ 与 $21$ 不同），这是排列不是组合。
第 2 步（逐层枚举）：十位 $5$ 种，个位 $4$ 种。
第 3 步（相乘）：$5\times4=\underline{\quad}$。

28. 【原题 ch03-xingqu-06】小烧饼每个 $5$ 角钱，大烧饼每个 $2$ 元钱，墨莫一共有 $6$ 元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，那么一共有多少种不同的买法？

详细思路

是哪类问题：这是「按一种量枚举（不定方程非负整数解）」题：钱数固定，两种价格的物品各买几个。

关键切入点：把元化成角避免小数（$6$ 元＝$60$ 角、小 $5$ 角、大 $20$ 角）；按大烧饼个数从少到多枚举，剩下的钱恒能被 $5$ 角整除，故每个大烧饼个数对应一种买法。

方法概述：按大烧饼个数枚举，逐一定出小烧饼个数。

规范步骤：

化成角：$6$ 元 $=60$ 角（统一单位）
大烧饼取 $0,1,2,3$ 个：$20\times3=60$（按一种量枚举）
共 4 种：$3-0+1=4$（计数）

第一套

题目：小烧饼每个 $5$ 角，大烧饼每个 $2$ 元，墨莫一共有 $10$ 元钱，全部买烧饼共有多少种不同的买法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成角）：$10$ 元 $=10\times 10=\underline{\quad}$ 角，小 $5$ 角、大 $20$ 角。
第 2 步（按大烧饼枚举）：大烧饼每个 $20$ 角，最多能买 $100\div 20=\underline{\quad}$ 个，所以大烧饼可取 $0,1,\dots,5$ 个，每种剩下的钱都能用小烧饼买完。
第 3 步（计数）：$5-0+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：小本子每本 $5$ 角，大本子每本 $2$ 元，小高有 $6$ 元钱全部用来买本子，一共有多少种不同的买法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成角）：$6$ 元 $=6\times 10=\underline{\quad}$ 角，小 $5$ 角、大 $20$ 角。
第 2 步（按大本子枚举）：大本子每本 $20$ 角，最多能买 $60\div 20=\underline{\quad}$ 本，可取 $0,1,2,3$ 本，剩下的都能买小本子。
第 3 步（计数）：$3-0+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：小玩具每个 $5$ 角，大玩具每个 $4$ 元，用 $12$ 元全部买玩具，有多少种不同的买法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成角）：$12$ 元 $=12\times 10=\underline{\quad}$ 角，小 $5$ 角、大 $40$ 角。
第 2 步（按大玩具枚举）：大玩具最多能买 $120\div 40=\underline{\quad}$ 个，可取 $0,1,2,3$ 个，剩下的钱都是 $5$ 角的倍数，都能买小玩具。
第 3 步（计数）：$3-0+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：小烧饼每个 $5$ 角，大烧饼每个 $2$ 元，墨莫有 $6$ 元钱全部买烧饼，但小烧饼最多只有 $8$ 个，有多少种不同的买法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（不加限制先枚举）：大烧饼取 $0,1,2,3$ 个，对应要买的小烧饼是 $12,8,4,0$ 个。
第 2 步（用上界筛掉）：小烧饼不能超过 $8$ 个，$12$ 个那种要去掉，只剩大烧饼取 $1,2,3$ 个。
第 3 步（计数）：$3-1+1=\underline{\quad}$。

29. 【原题 ch03-xingqu-07】在一次知识抢答比赛中，小高和墨莫两个人一共答对了 $10$ 道题，并且每人都有答对的题目。请问每道题答对得 $1$ 分，那么小高和墨莫分别可能得多少分？请把所有可能填到下面的表格里。

详细思路

是哪类问题：这是「和一定的有序对枚举」题：两人答对题数之和为 $10$、每人至少 $1$ 道，按一人得分列表枚举。

关键切入点：两人不同、要计次序；固定和为 $10$、每人 $\ge1$，小高得分只能取 $1\sim9$，对应墨莫 $9\sim1$。

方法概述：固定两数之和且都 $\ge1$，按一人得分从小到大列表。

规范步骤：

小高得分范围：$1\sim9$（每人 $\ge1$）
对应墨莫得分：$9\sim1$（和为 10）
计数：$9-1+1=9$（有序对枚举）

第一套

题目：小高和墨莫一共答对了 $20$ 道题，每人都至少答对 $1$ 道，每题 $1$ 分。两人的得分分别可能是多少？共有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定上界）：墨莫也至少 $1$ 分，所以小高最多 $20-1=\underline{\quad}$ 分。
第 2 步（定范围并计数）：小高得分取 $1\sim19$，共 $\underline{\quad}=19$ 种（先写出计数算式）。

第二套

题目：哥哥和弟弟一共采了 $10$ 个蘑菇，每人至少采到 $1$ 个。两人采的个数分别可能是多少？共有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定上界）：弟弟也至少采 $1$ 个，所以哥哥最多采 $10-1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（定范围并计数）：哥哥采的取 $1\sim9$，共 $\underline{\quad}=9$ 种（先写出计数算式）。

第三套

题目：把 $10$ 分发给小高和墨莫两人（每题 $1$ 分，允许有人得 $0$ 分），两人得分分别可能是多少？共有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定范围）：允许得 $0$ 分，小高得分可取 $0\sim10$。
第 2 步（计数）：$10-0+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：小高和墨莫一共答对了 $20$ 道题，每人都至少答对 $2$ 道，每题 $1$ 分。两人的得分共有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用下界压缩范围）：每人至少 $2$ 分，小高最少 $2$ 分；墨莫也要 $\ge2$，即 $20-$小高$\ge2$，小高最多 $18$ 分。
第 2 步（定范围）：小高得分取 $2\sim18$。
第 3 步（计数）：$18-2+1=\underline{\quad}$。

30. 【原题 ch03-xingqu-08】两个海盗分 $20$ 枚金币，请问：（1）如果每个海盗最少分到 $5$ 枚金币，一共有多少种不同的分法？（2）如果每个海盗最多分到 $16$ 枚金币，一共有多少种不同的分法？

详细思路

是哪类问题：这是「带上下界的整数拆分」题：两个海盗分 20 枚金币，分别加下界、上界限制。

关键切入点：（1）固定下界 5，海盗 A 取 $5\sim15$（此时 B 也 $\ge5$）；（2）“每人最多 16”等价于“每人最少 $20-16=4$”，A 取 $4\sim16$。

方法概述：有序两部分和一定，把上界翻译成下界，再按一方所得枚举。

规范步骤：

（1）A 取 $5\sim15$：$15-5+1=11$（固定下界）
（2）上界化下界：$20-16=4$（上界→下界）
（2）A 取 $4\sim16$：$16-4+1=13$（计数）

第一套

题目：两个海盗分 $30$ 枚金币。（1）如果每人最少分到 $8$ 枚，有多少种分法？（2）如果每人最多分到 $24$ 枚，有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（下界）：A 取 $8\sim22$（B 也 $\ge8$），$22-8+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（上界化下界）：每人最多 $24$，即最少 $30-24=\underline{\quad}$ 枚。
第 3 步（计数）：A 取 $6\sim24$，$24-6+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：把 $20$ 张贴纸分给两个小朋友。（1）如果每人最少分到 $5$ 张，有多少种分法？（2）如果每人最多分到 $16$ 张，有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（下界）：甲取 $5\sim15$，$15-5+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（上界化下界）：每人最多 $16$，即最少 $20-16=\underline{\quad}$ 张，甲取 $4\sim16$，$16-4+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两个海盗分 $20$ 枚金币。（1）如果每人最少分到 $2$ 枚，有多少种分法？（2）如果每人最多分到 $15$ 枚，有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（下界）：A 最少 $2$ 枚，且 B$\ge2$ 要求 A$\le18$，A 取 $2\sim18$，$18-2+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（上界化下界）：每人最多 $15$ 枚，即每人最少 $20-15=\underline{\quad}$ 枚。
第 3 步（计数）：A 取 $5\sim15$，$15-5+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两个海盗分 $30$ 枚金币，每人分到的金币数都在 $10$ 到 $20$ 枚之间（含 $10$ 和 $20$），有多少种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（下界）：A$\ge10$。
第 2 步（上界化下界）：A$\le20$；同时 B$=30-$A$\le20$ 要求 A$\ge30-20=\underline{\quad}$；B$\ge10$ 要求 A$\le20$。
第 3 步（合并范围）：A 取 $10\sim20$，$20-10+1=\underline{\quad}$。

31. 【原题 ch03-xingqu-09】有 $15$ 个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？

详细思路

是哪类问题：这是「不计次序分两堆」题：$15$ 个球分两堆，两堆不分先后，只按较多一堆枚举避免重复。

关键切入点：和为 $15$（奇数），较多一堆从 $8$ 到 $14$（不能到 $15$，否则另一堆为 $0$），共 $7$ 种；两堆相差＝多$-$少。

方法概述：不计次序只按较多一堆从大到小枚举。

规范步骤：

较多一堆范围：$8\sim14$（不计次序去重）
计数：$14-8+1=7$（枚举）
相差：$14-1=13,\dots,8-7=1$（作差）

第一套

题目：有 $25$ 个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（不计次序）：和为 $25$，只按较多一堆枚举，较多一堆取 $13\sim24$（不能到 $25$）。
第 2 步（计数）：$24-13+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：有 $15$ 颗糖，要把它们分装到两个相同的盒子里（每盒至少 $1$ 颗），一共有几种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（不计次序）：和为 $15$，只按较多一盒枚举，取 $8\sim14$。
第 2 步（计数）：$14-8+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $16$ 个玻璃球，要把它们分成两堆（每堆至少 $1$ 个），一共有几种不同的分法？两堆相差最多是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（不计次序）：和为 $16$（偶数），较多一堆取 $8\sim15$（$8$ 时两堆相等也算一种，$16$ 不行）。
第 2 步（计数）：$15-8+1=\underline{\quad}$。
第 3 步（作差）：相差最大的一种是 $15$ 个和 $1$ 个，相差 $15-1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $20$ 个玻璃球分成两堆，且每堆至少 $3$ 个，一共有几种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（下界+不计次序）：设较少一堆为 $a$，则 $a\ge3$，且 $a\le20-a$ 得 $a\le10$。
第 2 步（定范围）：$a$ 取 $3\sim10$。
第 3 步（计数）：$10-3+1=\underline{\quad}$。

32. 【原题 ch03-xingqu-10】张奶奶去超市买了 $12$ 盒光明牛奶，这些牛奶需要装在 $2$ 个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装 $10$ 盒。张奶奶一共有几种不同的装法？

详细思路

是哪类问题：这是「带上界、不计次序分两袋」题：$12$ 盒装 $2$ 个相同的袋子，每袋最多 $10$ 盒。

关键切入点：两袋相同（不计次序），只按较少一袋枚举；“每袋最多 $10$”等价于“每袋最少 $12-10=2$”，较少一袋取 $2\sim6$。

方法概述：上界化下界，按较少一袋枚举。

规范步骤：

上界化下界：$12-10=2$（每袋最少 2）
较少一袋范围：$2\sim6$（不计次序去重）
计数：$6-2+1=5$（枚举）

第一套

题目：张奶奶买了 $18$ 盒牛奶，装在 $2$ 个相同的袋子里，每袋最多只能装 $14$ 盒，一共有几种不同的装法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（上界化下界）：每袋最多 $14$，即最少 $18-14=\underline{\quad}$ 盒。
第 2 步（较少一袋范围）：较少一袋取 $4\sim9$（$9$ 时两袋各 $9$），$9-4+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$12$ 个苹果装进 $2$ 个相同的篮子，每个篮子最多装 $10$ 个，一共有几种不同的装法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（上界化下界）：每篮最多 $10$，即最少 $12-10=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（计数）：较少一篮取 $2\sim6$，$6-2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$14$ 盒牛奶装进 $2$ 个相同的袋子，每袋最多 $9$ 盒，一共有几种不同的装法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（上界化下界）：每袋最多 $9$，即最少 $14-9=\underline{\quad}$ 盒。
第 2 步（计数）：较少一袋取 $5\sim7$，$7-5+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$20$ 盒牛奶装进 $2$ 个相同的袋子，每袋装的盒数都在 $8$ 到 $12$ 盒之间（含 $8$ 和 $12$），一共有几种不同的装法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（下界）：较少一袋 $a\ge8$。
第 2 步（上界）：另一袋 $20-a\le12$ 也要求 $a\ge20-12=\underline{\quad}$；又 $a\le20-a$ 得 $a\le10$。
第 3 步（合并计数）：$a$ 取 $8\sim10$，$10-8+1=\underline{\quad}$。

竞赛数学 · 三年级第3讲《枚举法一》举一反三练习卷

附录 · 答案

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