三年级第4讲找规律

1. 【原题 ch04-chaoyue-01】找规律，填空：（1）$1,3,4,7,1,8,9,7,\underline{\quad},3,9,2$；（2）$1,2,6,24,120,\underline{\quad},5040$；（3）$2,3,10,15,26,35,\underline{\quad},63,82,99$。

详细思路

是哪类问题：这是「特殊数列找规律」类：对特殊数列采用取个位、逐项乘序号、二阶差或与平方数比较等方法。

关键切入点：（1）从第 3 项起每项为前两项之和的个位，$9+7=16$ 取个位 $6$；（2）第 $n$ 项是前一项乘 $n$（阶乘型），$120\times6=720$；（3）与平方数比较：奇数位 $n^2+1$、偶数位 $n^2-1$，$7\times7+1=50$。

方法概述：识别取个位、乘序号、平方加减这三类特殊规律。

规范步骤：

(1) 取个位斐波那契：$9+7=16\to6$（取个位）
(2) 阶乘型：$120\times6=720$（乘序号）
(3) 平方加减：$7\times7+1=50$（与平方数比较）
写出答案：$（1）6；（2）720；（3）50$

第一套

题目：找规律，填空：（1）$3,7,0,7,7,4,1,5,\underline{\quad},1,7$；（2）$1,2,6,24,120,720,\underline{\quad},40320$；（3）$50,63,82,99,\underline{\quad},143$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·取个位斐波那契）：从第 3 项起每项是前两项之和的个位。空格前两项为 $1,5$，$1+5=\underline{\quad}$，取个位得 $6$。
第 2 步（第 (2) 组·乘序号）：$1,1\times2,2\times3,6\times4,24\times5,120\times6,\cdots$，即第 $n$ 项是前一项乘 $n$。第 7 项 $720\times7=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (3) 组·与平方数比较）：奇数位是 $n\times n+1$、偶数位是 $n\times n-1$（$82=9\times9+1$，$99=10\times10-1$）。空格 $11\times11+1=\underline{\quad}$，验证 $12\times12-1=\underline{\quad}$ 为 $143$。

第二套

题目：三组特别的密码各有规律：（1）$3,7,0,7,7,4,1,5,\underline{\quad},1,7$；（2）$1,2,6,24,120,720,\underline{\quad},40320$；（3）$50,63,82,99,\underline{\quad},143$。补全每组。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（密码一·取个位斐波那契）：每位是前两位之和的个位，空格前两位 $1,5$，$1+5=\underline{\quad}$，个位为 $6$。
第 2 步（密码二·乘序号）：第 $n$ 位是前一位乘 $n$，第 7 位 $720\times7=\underline{\quad}$。
第 3 步（密码三·平方加减）：$11\times11+1=\underline{\quad}$，验证 $12\times12-1=\underline{\quad}$ 为 $143$。

第三套

题目：找规律，填空：（1）$1,2,6,24,\underline{\quad},720,5040$；（2）$0,3,8,15,24,\underline{\quad},48,63$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·阶乘型）：第 $n$ 项是前一项乘 $n$。第 5 项 $24\times5=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (2) 组·平方减一）：各项是 $n\times n-1$（$8=3\times3-1$，$15=4\times4-1$）。第 6 项 $6\times6-1=\underline{\quad}$，验证 $7\times7-1=\underline{\quad}$ 为 $48$。

第三套

题目：数列 $1,2,6,24,120,\cdots$ 中，第 $n$ 项等于前一项乘以 $n$。求第 $7$ 项，并求第 $6$ 项与第 $7$ 项之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 6 项）：$120\times6=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 7 项）：$720\times7=\underline{\quad}$。
第 3 步（求和）：$720+5040=\underline{\quad}$。

2. 【原题 ch04-chaoyue-02】如图 4-17，请按照已有图形的规律画出下一个图形。每个正方形被两条对角线和两条中线分成 $8$ 块，块中有小圆圈在其中运动。

详细思路

是哪类问题：这是「图形循环运动找规律」类：把两个圆圈分别按各自的步数沿顺时针推进，确定下一幅位置。

关键切入点：正方形分成 $8$ 块，两个圆圈都顺时针前进，一个每次 $1$ 格、另一个每次 $2$ 格。

方法概述：对两个圆圈按不同步数沿顺时针各自推进一步，画出下一幅。

规范步骤：

分块：正方形分 8 块（图形周期运动）
两圆各自推进：一个 +1 格、一个 +2 格（不同速度的循环）
作图：画出下一幅

3. 【原题 ch04-chaoyue-03】请在图 4-18 中的横线上填入恰当的图形，使得整幅图的构成具有某种规律。

详细思路

是哪类问题：这是「图阵找规律作图」类：分别保证每行大图形 $3$ 种、小图形 $2$ 种各出现，定出缺失图形。

关键切入点：每行大图形总是正方形、正三角、倒三角三种；每行小图形总是一个小圆和一个方块两种。

方法概述：按行内“大图形 3 种、小图形 2 种各出现”的约束反推缺失图形。

规范步骤：

大图形约束：每行 3 种各一次（图阵行列规律）
小图形约束：每行小圆与方块各出现（大小图形各自循环）
作图：定出横线处图形

4. 【原题 ch04-chaoyue-04】观察图 4-19 每幅图中三个数的规律。请问：其中第几幅图的三个数之和为 $1234$？图中第 $n$ 幅“小人”两手各举一个数（依次为 $n$ 和 $n+1$），身上一个数（依次为 $3,5,7,9,\cdots$）。

详细思路

是哪类问题：这是「图形通项求项数」类：写出第 $n$ 幅图三数之和的表达式 $4n+2$，再解方程求 $n$。

关键切入点：第 $n$ 幅图两手举 $n$ 与 $n+1$，身上举第 $n$ 个奇数 $2n+1$，三数之和 $n+(n+1)+(2n+1)=4n+2$。令 $4n+2=1234$ 得 $n=308$。

方法概述：先写三数之和的通项，再解方程定出幅号。

规范步骤：

写通项：$n+(n+1)+(2n+1)=4n+2$（通项）
解方程：$4n+2=1234\Rightarrow n=308$（方程）
写出答案：第 308 幅

第一套

题目：有一列图，第 $n$ 幅里小人左手举 $n$、右手举 $n+1$、胸前举第 $n$ 个奇数（即 $2n+1$）。第几幅图里三个数之和是 $2022$？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三数之和）：$n+(n+1)+(2n+1)$ 合并，$n$ 的个数为 $1+1+2=\underline{\quad}$，常数为 $1+1=\underline{\quad}$，所以和 $=4n+2$。
第 2 步（列式）：$4n+2=2022$，先 $2022-2=\underline{\quad}$。
第 3 步（试出 $n$）：需 $4\times n=2020$，验证 $4\times505=\underline{\quad}$ 恰为 $2020$，所以是第 $505$ 幅。

第二套

题目：运动会入场，第 $n$ 个方阵举三块牌：左牌 $n$、右牌 $n+1$、中牌是第 $n$ 个奇数（即 $2n+1$）。第几个方阵三块牌上的数之和是 $2022$？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三数之和）：合并 $n+(n+1)+(2n+1)$，$n$ 的个数 $1+1+2=\underline{\quad}$，常数 $1+1=\underline{\quad}$，和 $=4n+2$。
第 2 步（列式）：$4n+2=2022$，$2022-2=\underline{\quad}$。
第 3 步（试出）：需 $4\times n=2020$，$4\times505=\underline{\quad}$，即第 $505$ 个。

第三套

题目：第 $n$ 个图里三个数分别是 $n$、$2n$、$3n$。第几个图里三数之和是 $300$？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求和通项）：$n+2n+3n$ 合并，共 $1+2+3=\underline{\quad}$ 个 $n$，即和 $=6n$。
第 2 步（试出 $n$）：需 $6\times n=300$，验证 $6\times50=\underline{\quad}$ 为 $300$，即第 $50$ 个。

第三套

题目：第 $n$ 幅图里三数之和为 $4n+2$。已知某幅图三数之和是 $1234$，求这幅图，以及它后面第 $50$ 幅图的三数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求这幅图的幅号）：$4n+2=1234$，$4\times n=1234-2=\underline{\quad}$，验证 $4\times308=\underline{\quad}$ 为 $1232$，即第 $308$ 幅。
第 2 步（后面第 50 幅的幅号）：$308+50=\underline{\quad}$。
第 3 步（它的三数之和）：$4\times358+2=\underline{\quad}$。

5. 【原题 ch04-chaoyue-05】图 4-20 中所填的数之间有着统一的规律，那么空白圆圈内应该填几？下行圆圈依次为 $72,27,18,21,\underline{\quad},9,13$，上方箭头所指的数依次为 $99,45,39,36,33,31$。

详细思路

是哪类问题：这是「数位规律找规律」类：归纳箭头所指数等于相关两数各数位数字之和，代入求空白圆圈。

关键切入点：箭头所指的数等于相邻两数各个数位上数字之和，如 $27=9+9+7+2$、$18=4+5+2+7$，故空白处 $=3+6+2+1=12$。

方法概述：把相关两数拆成数位再相加，代入求未知圆圈。

规范步骤：

验规律：$27=9+9+7+2$（数位拆分求和）
代入空白：$3+6+2+1=12$（数位拆分求和）
写出答案：$12$

6. 【原题 ch04-chaoyue-06】观察图 4-21 中各图形的规律，画出“?”处的图形。图中依次是脸（方脸/圆脸）、眼睛、嘴巴和脸上阴影各按规律变化的 $5$ 幅图。

详细思路

是哪类问题：这是「图形多属性找规律作图」类：把图分解为脸型、眼睛、嘴巴、阴影等部件，各按其循环或旋转规律确定。

关键切入点：脸型正方/圆交替；眼睛黑方块/白椭圆交替；嘴巴笑/一般/生气三种循环；阴影从左上角顺时针每 $4$ 次一循环。

方法概述：逐个部件按各自的交替、循环、旋转规律定形，再合成整幅。

规范步骤：

脸型/眼睛交替：方圆交替、眼睛两态交替（图形多属性规律）
嘴巴/阴影循环：嘴巴 3 态循环、阴影顺时针周期 4（循环与旋转）
作图：合成“?”处图形

7. 【原题 ch04-chaoyue-07】找规律，请在图 4-22 的空格中填入适当的数。数表为 $5\times5$：第 $1$ 行全 $1$；第 $1$ 列全 $1$；其余各行依次为 $1,3,5,7,9$；$1,5,13,25,41$；$1,7,25,63,129$；$1,9,41,129,\underline{\quad}$。

详细思路

是哪类问题：这是「数阵找规律」类：发现任一 $2\times2$ 田字格右下角等于其余三数之和，逐格推算。

关键切入点：取含空格的田字格，其余三数为 $129,129,63$，故空格 $=129+129+63=321$。

方法概述：认出田字格右下 $=$ 其余三数之和的规律，代入求空格。

规范步骤：

认出田字格规律：右下 = 其余三数之和（田字格求和规律）
代入求空格：$129+129+63=321$（求和）
写出答案：$321$

第一套

题目：下面 $5\times5$ 数表中，任意一个 $2\times2$ 田字格里，右下角的数都等于其余 $3$ 个数之和。各行依次为：第 $1$ 行 $2,2,2,2,2$；第 $2$ 行 $2,6,10,14,18$；第 $3$ 行 $2,10,26,50,82$；第 $4$ 行 $2,14,50,126,258$；第 $5$ 行 $2,18,82,258,\underline{\quad}$。求右下角 $?$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出规律）：任一田字格右下 $=$ 其余三数之和，如第 $2$ 行第 $2$ 列 $2+2+2=\underline{\quad}$、第 $3$ 行第 $3$ 列 $6+10+10=\underline{\quad}$。
第 2 步（定位 $?$）：$?$ 在第 $4,5$ 行与第 $4,5$ 列的田字格，其余三数为 $126,258,258$。
第 3 步（求 $?$）：$126+258+258=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一块 $5\times5$ 花砖墙，每块砖上写着一个数，规律是：任意 $2\times2$ 的四块砖里，右下那块等于其余三块之和。各行依次为：$2,2,2,2,2$；$2,6,10,14,18$；$2,10,26,50,82$；$2,14,50,126,258$；$2,18,82,258,\underline{\quad}$。求右下角那块砖上的数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出规律）：右下 $=$ 其余三块之和，如 $2+2+2=\underline{\quad}$、$6+10+10=\underline{\quad}$。
第 2 步（定位）：右下角砖的其余三块为 $126,258,258$。
第 3 步（求和）：$126+258+258=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$4\times4$ 数表中任一 $2\times2$ 田字格右下角等于其余三数之和。各行为：第 $1$ 行 $1,1,1,1$；第 $2$ 行 $1,3,5,7$；第 $3$ 行 $1,5,\underline{\quad},25$；第 $4$ 行 $1,7,25,\underline{\quad}$。求两个空格。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 3 行第 3 列）：田字格其余三数为 $3,5,5$，$3+5+5=\underline{\quad}$。
第 2 步（右下角）：田字格其余三数为 $13,25,25$，$13+25+25=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在原 $5\times5$ 数表中，任一田字格右下角等于其余三数之和。已知第 $4$ 行为 $1,7,25,63,129$，第 $5$ 行为 $1,9,41,129,\underline{\quad}$。先求出第 $5$ 行末尾的 $?$，再求第 $5$ 行五个数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求 $?$）：$?$ 所在田字格其余三数为 $63,129,129$，$63+129+129=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 5 行求和）：$1+9+41+129+321=\underline{\quad}$。

8. 【原题 ch04-chaoyue-08】下面这几个数列的规律很特别，你能填出其中的数吗？（1）$1,121,2,61,3,41,4,31,\underline{\quad},\underline{\quad},6,21$；（2）$1,7,12,24,31,47,50,\underline{\quad},73,85,90,96$；（3）$3,6,21,42,84,69,291,483,\underline{\quad},\underline{\quad}$。

详细思路

是哪类问题：这是「特殊交错数列找规律」类：把数列拆成子数列找连续自然数、乘积规律；差不规则时先列出相邻差，观察它是否左右对称（回文）。

关键切入点：（1）奇数位是连续自然数 $1,2,3,4,5,6$，故第一空 $5$；偶数位满足“序号 × 该项 $=121,122,123,124,125,126$”，故第二空 $125\div5=25$。（2）把相邻两项的差逐一算出，得 $6,5,12,7,16,3,\ ?_1\ ,\ ?_2\ ,12,5,6$（$?_1,?_2$ 两处均未知），这串差以正中间的 $3$ 为轴左右对称（回文），故 $?_1$ 与另一侧对称位的 $16$ 相等得 $?_1=16$，空格 $=50+16=66$，再验证 $?_2=73-66=7$ 与另一侧对称位的 $7$ 一致。（3）底层是一个每次乘 $2$ 的数列 $3,6,12,24,48,96,192,384,768,1536$（即首项 $3$、公比 $2$）；从第 $3$ 项起把每个数的数字逆序书写便得题面（$12\to21,24\to42,48\to84,96\to69,192\to291,384\to483$），故两空为 $768\to867$、$1536\to6351$。

方法概述：拆子数列找连续自然数与乘积规律；差不规则时列出相邻差，观察其是否回文对称。

规范步骤：

(1) 奇位·连续自然数：奇数位 $1,2,3,4,\underline{\ },6$ 是连续自然数，故第一空 $=5$（拆奇偶）
(1) 偶位·序号×该项：$1\times121,2\times61,3\times41,4\times31$ 依次为 $121,122,123,124$，且 $6\times21=126$；故第 5 个偶位项满足 $5\times?=125$，即 $125\div5=25$（乘积随序号递增1）
(2) 逐一算相邻差：相邻差为 $6,5,12,7,16,3,\ ?_1\ ,\ ?_2\ ,12,5,6$，其中 $?_1$ 是空格与前一项 $50$ 之差、$?_2$ 是 $73$ 与空格之差，两处都未知（先列相邻差）
(2) 发现差回文对称：这串差以正中间的 $3$ 为轴左右对称（回文）：两端都是 $6$、往里依次是 $5,12,7$；由对称，$?_1$ 等于另一侧对称位的 $16$、$?_2$ 等于另一侧对称位的 $7$，即 $?_1=16$、$?_2=7$（回文对称）
(2) 补出空格：由 $?_1=16$ 得空格 $=50+16=66$；再用 $?_2$ 验证 $73-66=7$ 恰与左侧对称位的 $7$ 相等（对称补差）
(3) 还原底层翻倍数列：把第三组还原：底层是每次乘 $2$ 的数列 $3,6,12,24,48,96,192,384,768,1536$（首项 $3$、公比 $2$）（等比还原）
(3) 逐项数字逆序：从第 $3$ 项起，把每个数的数字逆序书写即得题面：$12\to21$、$24\to42$、$48\to84$、$96\to69$、$192\to291$、$384\to483$，与题面完全吻合（数位逆序）
(3) 补出两空：故第九项由 $768$ 逆序得 $867$、第十项由 $1536$ 逆序得 $6351$（数位逆序）
写出答案：$（1）5,25；（2）66；（3）867,6351$

9. 【原题 ch04-tuozhan-01】找规律，填空：（1）$8,15,22,29,36,\underline{\quad},\underline{\quad},57$；（2）$1,2,4,8,\underline{\quad},32,64$；（3）$3,4,6,9,13,18,\underline{\quad},31$；（4）$3,5,9,17,33,\underline{\quad},129$。

详细思路

是哪类问题：这是「数列找规律填空」类：分别看相邻两项的差或比，判定等差、等比、差按序号递增、差本身成等比等规律。

关键切入点：（1）每次 $+7$；（2）每次 $\times2$；（3）差依次为项数 $1,2,3,4,5,6$；（4）差为 $2,4,8,16,32$ 的等比。

方法概述：看差看比，分清加法、乘法或“差再成规律”三类。

规范步骤：

(1) 等差 +7：$36+7=43,\ 43+7=50$（等差）
(2) 等比 ×2：$8\times2=16$（等比）
(3) 差为项数：$18+6=24$（差递增）
(4) 差成等比：$33+32=65$（差成等比）
写出答案：$（1）43,50；（2）16；（3）24；（4）65$

第一套

题目：找规律，填空：（1）$12,24,36,48,60,\underline{\quad},\underline{\quad},96$；（2）$2,4,8,16,\underline{\quad},64,128$；（3）$5,6,8,11,15,20,\underline{\quad},33$；（4）$4,6,10,18,34,\underline{\quad},130$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·等差）：公差 $24-12=\underline{\quad}$，第 6 项 $60+12=\underline{\quad}$，第 7 项 $72+12=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (2) 组·等比）：每项是前一项的 $2$ 倍，空格 $16\times2=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (3) 组·差递增）：相邻差依次为 $1,2,3,4,5,\cdots$，第 6、7 项之差为 $6$，空格 $20+6=\underline{\quad}$，验证 $26+7=\underline{\quad}$ 为 $33$。
第 4 步（第 (4) 组·差成等比）：相邻差为 $2,4,8,16,32,\cdots$，下一个差为 $32$，空格 $34+32=\underline{\quad}$，验证 $66+64=\underline{\quad}$ 为 $130$。

第二套

题目：四台机器各自的产量记录：（1）$12,24,36,48,60,\underline{\quad},\underline{\quad},96$；（2）$2,4,8,16,\underline{\quad},64,128$；（3）$5,6,8,11,15,20,\underline{\quad},33$；（4）$4,6,10,18,34,\underline{\quad},130$。按各自规律补全。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（一号·等差）：公差 $24-12=\underline{\quad}$，$60+12=\underline{\quad}$，$72+12=\underline{\quad}$。
第 2 步（二号·等比）：每次翻倍，$16\times2=\underline{\quad}$。
第 3 步（三号·差递增）：差为 $1,2,3,\cdots$，$20+6=\underline{\quad}$，验证 $26+7=\underline{\quad}$ 为 $33$。
第 4 步（四号·差成等比）：差为 $2,4,8,16,32,\cdots$，$34+32=\underline{\quad}$，验证 $66+64=\underline{\quad}$ 为 $130$。

第三套

题目：找规律，填空：（1）$2,3,5,8,12,\underline{\quad},\underline{\quad},30$；（2）$1,3,7,15,31,\underline{\quad},127$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·差递增）：相邻差为 $1,2,3,4,\cdots$。第 6 项 $12+5=\underline{\quad}$，第 7 项 $17+6=\underline{\quad}$，验证 $23+7=\underline{\quad}$ 为 $30$。
第 2 步（第 (2) 组·差成等比）：相邻差为 $2,4,8,16,\cdots$。空格 $31+32=\underline{\quad}$，验证 $63+64=\underline{\quad}$ 为 $127$。

第三套

题目：数列 $1,2,4,7,11,16,\cdots$ 的相邻两项之差依次是 $1,2,3,4,5,\cdots$。求这个数列的第 $10$ 项。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出规律）：第 $n$ 项到第 $n+1$ 项加的数就是 $n$，即差为 $1,2,3,\cdots$。
第 2 步（逐项加到第 10 项）：第 7 项 $16+6=\underline{\quad}$，第 8 项 $22+7=\underline{\quad}$，第 9 项 $29+8=\underline{\quad}$，第 10 项 $37+9=\underline{\quad}$。

10. 【原题 ch04-tuozhan-02】找规律，填空：（1）$\underline{\quad},\underline{\quad},76,70,64,58,52,46$；（2）$\underline{\quad},66,56,47,39,32,26,21$；（3）$1,2,2,4,8,32,\underline{\quad}$；（4）$2,6,12,20,30,42,\underline{\quad},72,90$。

详细思路

是哪类问题：这是「数列找规律填空」类：通过逐差或相邻项的乘积关系识别规律后补项。

关键切入点：（1）每次 $-6$，向左加回；（2）差为 $?,10,9,8,7,6,5$，最左差为 $11$，第 1 项 $66+11=77$；（3）从第 3 项起每项为前两项之积；（4）相邻两项之差 $4,6,8,\cdots$ 或 $n\times(n+1)$。

方法概述：看差看积：等差、差递减、相邻乘积、相邻自然数之积逐一验证。

规范步骤：

(1) 递减 6：$76+6=82,\ 82+6=88$（递减）
(2) 差递减：$66+11=77$（差数列）
(3) 相邻乘积：$8\times32=256$（相邻两项乘积）
(4) 相邻自然数之积：$7\times8=56$（相邻自然数之积）
写出答案：$（1）88,82；（2）77；（3）256；（4）56$

第一套

题目：找规律，填空：（1）$\underline{\quad},\underline{\quad},90,82,74,66,58,50$；（2）$\underline{\quad},88,76,65,55,46,38,31$；（3）$2,3,6,18,108,\underline{\quad}$；（4）$2,6,12,20,30,42,56,\underline{\quad},90$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·递减等差）：后项比前项少 $90-82=\underline{\quad}$，向左应加。第 2 项 $90+8=\underline{\quad}$，第 1 项 $98+8=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (2) 组·差递减）：相邻差 $88-76=\underline{\quad}$、$76-65=11$、$\cdots$ 依次减小，故最左一段的差为 $12+1=\underline{\quad}$，第 1 项 $88+13=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (3) 组·相邻乘积）：从第 3 项起每项为前两项之积，空格 $18\times108=\underline{\quad}$。
第 4 步（第 (4) 组·相邻自然数之积）：各项为 $1\times2,2\times3,\cdots$，空格是第 8 项 $8\times9=\underline{\quad}$。

第二套

题目：四条记录各有规律：（1）$\underline{\quad},\underline{\quad},90,82,74,66,58,50$；（2）$\underline{\quad},88,76,65,55,46,38,31$；（3）$2,3,6,18,108,\underline{\quad}$；（4）$2,6,12,20,30,42,56,\underline{\quad},90$。补全。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（记录一·递减）：每次少 $90-82=\underline{\quad}$，向左加：$90+8=\underline{\quad}$，$98+8=\underline{\quad}$。
第 2 步（记录二·差递减）：$88-76=\underline{\quad}$，最左差 $12+1=\underline{\quad}$，第 1 项 $88+13=\underline{\quad}$。
第 3 步（记录三·相邻乘积）：$18\times108=\underline{\quad}$。
第 4 步（记录四·相邻自然数之积）：$8\times9=\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律，填空：（1）$1,3,3,9,27,\underline{\quad}$；（2）$1,3,7,13,21,\underline{\quad},\underline{\quad},57$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·相邻乘积）：从第 3 项起每项为前两项之积，空格 $9\times27=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (2) 组·差递增）：相邻差为 $2,4,6,8,\cdots$。第 6 项 $21+10=\underline{\quad}$，第 7 项 $31+12=\underline{\quad}$，验证 $43+14=\underline{\quad}$ 为 $57$。

第三套

题目：数列 $2,6,12,20,30,42,\cdots$ 的第 $n$ 项等于 $n\times(n+1)$。求第 $12$ 项，以及第 $12$ 项比第 $11$ 项多多少。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 12 项）：$12\times13=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 11 项）：$11\times12=\underline{\quad}$。
第 3 步（求差）：$156-132=\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch04-tuozhan-03】找规律，填空：（1）$1,2,4,4,7,8,10,16,13,32,\underline{\quad},\underline{\quad},19,128$；（2）$1,2,3,3,6,5,10,8,15,13,\underline{\quad},\underline{\quad},28,34$。

详细思路

是哪类问题：这是「交错数列」类：把交错数列拆成奇数位置、偶数位置两个子数列分别找规律。

关键切入点：（1）奇数位 $1,4,7,10,13,\cdots$ 公差 $3$，偶数位 $2,4,8,16,32,\cdots$ 每次 $\times2$；（2）奇数位 $1,3,6,10,15,\cdots$ 差递增，偶数位 $2,3,5,8,13,\cdots$ 斐波那契型。

方法概述：先按奇偶位置拆分，再对每个子数列分别识别等差、等比、差递增或斐波那契。

规范步骤：

(1) 奇偶子列补空：$13+3=16,\ 32\times2=64$（拆奇偶）
(2) 奇偶子列补空：$15+6=21,\ 13+8=21$（拆奇偶）
写出答案：$（1）16,64；（2）21,21$

第一套

题目：找规律，填空：（1）$2,3,7,9,12,27,17,81,22,243,\underline{\quad},\underline{\quad},32,2187$；（2）$2,3,5,4,9,7,14,11,20,18,\underline{\quad},\underline{\quad},35,47$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 列·拆奇偶）：奇数位置 $2,7,12,17,22,\cdots$ 每项加 $7-2=\underline{\quad}$；偶数位置 $3,9,27,81,\cdots$ 每项乘 $3$。
第 2 步（补两空）：第 11 项（奇）$22+5=\underline{\quad}$，第 12 项（偶）$243\times3=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (2) 列·拆奇偶）：奇数位置 $2,5,9,14,20,\cdots$ 相邻差为 $3,4,5,6,\cdots$；偶数位置 $3,4,7,11,18,\cdots$ 从第 3 项起每项为前两项之和。
第 4 步（补两空）：第 11 项（奇）差为 $7$，$20+7=\underline{\quad}$；第 12 项（偶）$11+18=\underline{\quad}$。

第二套

题目：两串信号各由两台设备交替发出：（1）$2,3,7,9,12,27,17,81,22,243,\underline{\quad},\underline{\quad},32,2187$；（2）$2,3,5,4,9,7,14,11,20,18,\underline{\quad},\underline{\quad},35,47$。补全。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（信号一·拆奇偶）：单数位 $2,7,12,17,22,\cdots$ 每次加 $7-2=\underline{\quad}$；双数位 $3,9,27,81,\cdots$ 每次 $\times3$。
第 2 步（补两空）：$22+5=\underline{\quad}$，$243\times3=\underline{\quad}$。
第 3 步（信号二·拆奇偶）：单数位 $2,5,9,14,20,\cdots$ 差为 $3,4,5,6,\cdots$；双数位 $3,4,7,11,18,\cdots$ 斐波那契型。
第 4 步（补两空）：$20+7=\underline{\quad}$，$11+18=\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律，填空：$5,2,10,6,15,18,20,54,\underline{\quad},\underline{\quad}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆奇偶）：奇数位置 $5,10,15,20,\cdots$ 每项加 $10-5=\underline{\quad}$；偶数位置 $2,6,18,54,\cdots$ 每项乘 $3$。
第 2 步（补两空）：第 9 项（奇）$20+5=\underline{\quad}$，第 10 项（偶）$54\times3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列 $1,2,4,5,7,8,10,11,\cdots$ 中，奇数位置是 $1,4,7,10,\cdots$（每次 $+3$），偶数位置是 $2,5,8,11,\cdots$（每次 $+3$）。求第 $15$ 项。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆分定位）：奇数位置子数列 $1,4,7,10,\cdots$ 每次加 $3$。第 $15$ 项正是这个子数列的第 $8$ 项。
第 2 步（逐项推到第 8 项）：$10+3=\underline{\quad}$，$13+3=\underline{\quad}$，$16+3=\underline{\quad}$，$19+3=\underline{\quad}$。

12. 【原题 ch04-tuozhan-04】图 4-7 和图 4-8 中的数都是按某种规律排列的，请分别根据规律填上“?”处的数。（1）图 4-7 为一个数字三角形（类似杨辉三角）；（2）图 4-8 为一个 $5\times5$ 的回旋（蛇形）数表。

详细思路

是哪类问题：这是「数阵找规律」类：（1）每个数等于它上方两数之和（杨辉三角）；（2）按蛇形箭头把数表还原成连续奇数列。

关键切入点：（1）第 5 行“?” $=1+4=5$，第 6 行“?” $=10+10=20$；（2）蛇形展开为奇数列，$31$ 后一个奇数是 $33$，第 $9$ 个之后是 $31+9\times2=49$。

方法概述：（1）上两数求和；（2）按蛇形顺序还原成奇数列再定位。

规范步骤：

(1) 上两数之和：$1+4=5,\ 10+10=20$（杨辉三角）
(2) 蛇形奇数列：$31+2=33,\ 31+9\times2=49$（蛇形数表）
写出答案：$（1）5,20；（2）33,49$

13. 【原题 ch04-tuozhan-05】图 4-9 所示的两组图形中的数各自都有规律，请按照规律填出“?”处的数。（1）上方三数 $70,32$ 下 $732$；$51,48$ 下 $558$；$12,69$ 下 $189$；$32,45$ 下 $?$。（2）四只小猪，左耳、右耳与头顶数字及脸上数字之间有规律，求第 $4$ 只猪头顶的“?”。

详细思路

是哪类问题：这是「图形与数找规律」类：从前几组归纳数与数之间的运算（拼数、和、积）规律，再代入待求一组。

关键切入点：（1）下方三位数：百位取左数十位、个位取右数个位、十位取左数个位与右数十位之和，$32,45\to3,(2+4),5=365$；（2）猪头上的数 $=$（左耳$+$鼻）$\times$（右耳$+$鼻），$(6+7)\times(3+7)=130$。

方法概述：归纳位置数之间的拼合、和、积规律，代入求未知。

规范步骤：

(1) 拼数规律：$32,45\to百3,十(2+4)=6,个5=365$（数字拼合）
(2) 和与积：$(6+7)\times(3+7)=130$（和与积运算）
写出答案：$（1）365；（2）130$

14. 【原题 ch04-tuozhan-06】观察图 4-10 中各组图形中数的规律，填出“?”处的数。（1）每组为上、左、右、下四个椭圆中的数，如上 $29$、左 $6$、右 $5$、下 $1$；上 $40$、左 $7$、右 $9$、下 $?$。（2）每组为上方箭头、左右两椭圆与下方菱形中的数，如箭头 $7$、左 $6$、右 $5$、菱形 $18$；箭头 $4$、左 $7$、右 $8$、菱形 $?$。

详细思路

是哪类问题：这是「图形与数找规律」类：归纳每组图中各位置数之间的加、乘关系，代入求未知数。

关键切入点：（1）中间两数之积等于上下两数之和：$6\times5=29+1$，故 $?=7\times9-40=23$；（2）箭头、左、右三数之和等于下方菱形：$7+6+5=18$，故 $?=4+7+8=19$。

方法概述：先在已知组里验出加乘关系，再代入待求组。

规范步骤：

(1) 积=上下之和：$?=7\times9-40=23$（和与积关系）
(2) 三数之和：$?=4+7+8=19$（和关系）
写出答案：$（1）23；（2）19$

第一套

题目：找规律求数：（1）每组上、左、右、下四个数满足“左右两数之积等于上下两数之和”。已知：上 $30$、左 $6$、右 $6$、下 $6$；上 $45$、左 $8$、右 $8$、下 $?$。（2）每组箭头、左、右、下四数满足“箭头、左、右三数之和等于下方数”。已知：箭头 $9$、左 $7$、右 $6$、下 $22$；箭头 $8$、左 $9$、右 $12$、下 $?$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·验规律）：左右之积 $=$ 上下之和，$6\times6=30+6=\underline{\quad}$（验证成立）。
第 2 步（求 ?）：$8\times8=45+?$，故 $?=64-45=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (2) 组·验规律）：三数之和 $9+7+6=\underline{\quad}$ 等于下方 $22$。
第 4 步（求 ?）：$?=8+9+12=\underline{\quad}$。

第二套

题目：魔法卡片有规律：（1）每张卡上、左、右、下四数满足“左右两数之积等于上下两数之和”。上 $30$、左 $6$、右 $6$、下 $6$；上 $45$、左 $8$、右 $8$、下 $?$。（2）每张卡箭头、左、右、下四数满足“箭头、左、右三数之和等于下方数”。箭头 $9$、左 $7$、右 $6$、下 $22$；箭头 $8$、左 $9$、右 $12$、下 $?$。求各 $?$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（卡一·验规律）：$6\times6=30+6=\underline{\quad}$。
第 2 步（求 ?）：$8\times8=45+?$，$?=64-45=\underline{\quad}$。
第 3 步（卡二·验规律）：$9+7+6=\underline{\quad}$ 等于 $22$。
第 4 步（求 ?）：$?=8+9+12=\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律求数：每组三数满足“上方数等于左右两数之积减去 $2$”。已知：左 $5$、右 $4$、上 $18$；左 $6$、右 $7$、上 $40$；左 $8$、右 $9$、上 $?$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（验规律）：左右之积减 $2$，$5\times4-2=\underline{\quad}$、$6\times7-2=\underline{\quad}$。
第 2 步（求 ?）：$8\times9-2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律求数：每组四数满足“下方数等于（左数加右数）乘以上方数”。已知：上 $2$、左 $3$、右 $4$、下 $14$；上 $3$、左 $5$、右 $2$、下 $21$；上 $4$、左 $6$、右 $7$、下 $?$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（验规律）：$(左+右)\times 上$，$(3+4)\times2=\underline{\quad}$、$(5+2)\times3=\underline{\quad}$。
第 2 步（先算括号）：$6+7=\underline{\quad}$。
第 3 步（求 ?）：$13\times4=\underline{\quad}$。

15. 【原题 ch04-tuozhan-07】如图 4-11，$5$ 个方格表中的数有一定的规律，请按照规律填出第 $4$ 个方格表中的数。已知 $5$ 个表为 $\begin{smallmatrix}1&5\\30&6\end{smallmatrix}$，$\begin{smallmatrix}2&7\\63&9\end{smallmatrix}$，$\begin{smallmatrix}3&9\\108&12\end{smallmatrix}$，第 $4$ 个空白，$\begin{smallmatrix}5&13\\234&18\end{smallmatrix}$。

详细思路

是哪类问题：这是「数表找规律」类：纵向看各表同一位置的递增规律，横向看表内各数的加乘关系。

关键切入点：左上角每表 $+1$（$4$）；右上角每表 $+2$（$11$）；右下角 $=$ 第一行两数之和 $4+11=15$；左下角 $=$ 第二列两数之积 $11\times15=165$。

方法概述：先由“同位置逐表递增”定出第一行两数，再由表内和、积关系补全其余。

规范步骤：

左上 +1：$3+1=4$（同位置递增）
右上 +2：$9+2=11$（同位置递增）
右下=首行之和：$4+11=15$（和关系）
左下=右列之积：$11\times15=165$（积关系）
写出答案：$左上4,右上11,左下165,右下15$

第一套

题目：$5$ 个方格表（每个表记为“左上、右上／左下、右下”）依次有规律：$2,7／63,9$；$4,10／140,14$；$6,13／?,?$；第 $4$ 个空白；$10,19／?,29$。已知左上每表 $+2$、右上每表 $+3$，右下 $=$ 第一行两数之和，左下 $=$ 第二列两数之积。求第 $3$ 个表的左下、右下两个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（右下 $=$ 首行之和）：第 $3$ 表右下 $=6+13=\underline{\quad}$。
第 2 步（左下 $=$ 右列之积）：右列为右上 $13$、右下 $19$，左下 $=13\times19=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证递增）：右上每表 $+3$，$13+3=\underline{\quad}$ 与第 $4$ 表右上 $16$ 一致（顺推）。

第二套

题目：若干张卡片各印四个数“左上、右上／左下、右下”，规律：左上每张 $+2$、右上每张 $+3$，右下 $=$ 第一行两数之和，左下 $=$ 第二列两数之积。已知某张卡为左上 $6$、右上 $13$、左下 $?$、右下 $?$。求这张卡的左下、右下。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（右下 $=$ 首行之和）：$6+13=\underline{\quad}$。
第 2 步（左下 $=$ 右列之积）：右列为 $13$ 与 $19$，$13\times19=\underline{\quad}$。

第三套

题目：某方格表“左上、右上／左下、右下”规律为：右下 $=$ 左上 $+$ 右上，左下 $=$ 右下 $\times$ 右上。已知左上 $7$、右上 $8$，求左下、右下。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（右下 $=$ 首行之和）：$7+8=\underline{\quad}$。
第 2 步（左下 $=$ 右下乘右上）：$15\times8=\underline{\quad}$。

第三套

题目：某方格表“左上、右上／左下、右下”规律为：右下 $=$ 左上 $+$ 右上，左下 $=$ 左上 $\times$ 右下。已知右上 $9$、右下 $16$、左下 $112$，求左上。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（由右下逆推左上）：右下 $=$ 左上 $+9=16$，故左上 $=16-9=\underline{\quad}$。
第 2 步（验证左下）：左下 $=$ 左上 $\times$ 右下 $=7\times16=\underline{\quad}$ 与题给 $112$ 一致。

16. 【原题 ch04-tuozhan-08】观察图 4-12 中的规律，请按照这种规律，填出空格中的图形（从 A、B、C、D、E 中选出）。

详细思路

是哪类问题：这是「图形变换找规律选择」类：找出整体位置与每格内部图形都按逆时针旋转的双重规律。

关键切入点：每个图形都是上一个沿逆时针旋转一格得到，且每格内部图形也逆时针旋转 $90^\circ$。

方法概述：抓住“整体旋转 + 局部旋转”双重规律，选出符合的一项。

规范步骤：

整体旋转：逆时针旋转一格（图形旋转）
局部旋转：每格内部逆时针 90°（整体与局部同时旋转）
作答：选 D

17. 【原题 ch04-tuozhan-09】观察图 4-13 中的图形，找出它们的规律，然后填出“?”处的图形。

详细思路

是哪类问题：这是「图形变换找规律作图」类：归纳第一组的变换（保留一半、翻转、颜色变白），应用到第二组。

关键切入点：外框图形变化后只剩右边一半并倒过来，内部图形变白、位置不变。

方法概述：把第一组观察到的变换规则原样套到第二组。

规范步骤：

外框变换：保留右半并倒置（对称/翻转）
内部变换：颜色变白、位置不变（颜色变化）
作图：对三角形内黑菱形作同样变换

18. 【原题 ch04-tuozhan-10】根据图 4-14 中的规律，填出图中第 $5$ 列其余 $3$ 个图形。

详细思路

是哪类问题：这是「图形周期找规律」类：找出图形按固定周期循环出现的规律，推出缺失位置。

关键切入点：花色只有 $3$ 种，相同花色每隔两个图形出现一次。

方法概述：按周期 $3$ 的循环规律确定第 $5$ 列缺失的 $3$ 个图形。

规范步骤：

看花色种数：共 3 种花色（图形周期循环）
看循环间隔：每隔两个出现一次（周期 3）（图阵找规律）
作图：定出第 5 列 3 个图形

19. 【原题 ch04-tuozhan-11】图 4-15 中的前 $3$ 个图形都是由 $A$、$B$、$C$、$D$（线段或圆）中的两个组合而成，记为 $A*B$，$C*D$，$A*D$。请你画出 $B*C$ 表示的图形。

详细思路

是哪类问题：这是「图形运算找规律」类：通过比较多个组合图找出各字母代表的基本图形，再按要求组合。

关键切入点：由 $A*B$ 与 $A*D$ 的公共部分识别 $A$ 为竖线，进而得 $B$ 为大圆、$D$ 为横线、$C$ 为小圆，$B*C$ 即大圆套小圆。

方法概述：用公共部分识别每个字母代表的图形，再组合出目标图。

规范步骤：

找公共部分：A 为竖线（公共部分识别）
分解各图形：B 大圆、C 小圆、D 横线（图形分解与组合）
组合：B*C 为同心圆

20. 【原题 ch04-tuozhan-12】观察图 4-16 中各图形与它下面的数之间的关系，写出“?”处的数。各图形与数依次为：三角形内含正方形 $68$；倒三角形内含圆 $91$；圆内含圆 $11$；正方形内含三角形 $86$；圆内含正方形 $18$；倒三角形内含倒三角形 $?$。

详细思路

是哪类问题：这是「图形编码找规律」类：根据已知图形与数字反推每种图形代表的数字，再拼出待求图形对应的两位数。

关键切入点：由 $11$（两圆）定“圆 $=1$”；由 $91$ 定“倒三角 $=9$”；由 $18$ 定“正方形 $=8$”，则“正三角 $=6$”。倒三角内含倒三角对应 $99$。

方法概述：先解出每种图形代表的数字，再按“外图形×10 + 内图形”拼两位数。

规范步骤：

定圆=1：两圆对应 11（两位数编码）
定倒三角=9、正方形=8、正三角=6：由 91,18 反推（图形与数字对应）
拼数：倒三角内倒三角 = 99

21. 【原题 ch04-tuozhan-13】有一列数组，每组由 $3$ 个数组成。它们依次是 $(1,3,6),(2,6,12),(3,9,18),\cdots$。请问：第 $20$ 个数组内 $3$ 个数的和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数组通项求和」类：分别找出每组三个数关于组号的规律（$n,3n,6n$），再求和。

关键切入点：第 $1$ 个数是组号 $n$；第 $2$ 个是 $3n$；第 $3$ 个是 $6n$。第 $20$ 组为 $20,60,120$，和 $200$。

方法概述：先写出每个数关于组号的通项，代入组号再求和。

规范步骤：

三数通项：$n,\ 3n,\ 6n$（倍数关系）
代入第 20 组：$20,\ 60,\ 120$（第 n 项）
求和：$20+60+120=200$（求和）
写出答案：$200$

第一套

题目：有一列数组，每组由 $3$ 个数组成：$(1,3,6),(2,6,12),(3,9,18),\cdots$。求第 $30$ 个数组内 $3$ 个数的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 1 个数）：每组第 1 个数就是组号，第 30 组第 1 个数为 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第 2、3 个数）：第 2 个是第 1 个的 $3$ 倍 $30\times3=\underline{\quad}$，第 3 个是 $6$ 倍 $30\times6=\underline{\quad}$。
第 3 步（求和）：$30+90+180=\underline{\quad}$。

第二套

题目：运动会分组发放器材，每组三样数量依次是 $(1,3,6),(2,6,12),(3,9,18),\cdots$。求第 $30$ 组三样器材的总数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一样）：第一样的数量就是组号，第 30 组为 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第二、三样）：第二样是第一样的 $3$ 倍 $30\times3=\underline{\quad}$，第三样是 $6$ 倍 $30\times6=\underline{\quad}$。
第 3 步（求和）：$30+90+180=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数组 $(2,5,8),(4,10,16),(6,15,24),\cdots$，求第 $15$ 组三数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找每个数与组号的关系）：第 1 个是组号的 $2$ 倍、第 2 个是 $5$ 倍、第 3 个是 $8$ 倍。第 15 组为 $2\times15=\underline{\quad}$、$5\times15=\underline{\quad}$、$8\times15=\underline{\quad}$。
第 2 步（求和）：$30+75+120=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数组 $(1,3,6),(2,6,12),(3,9,18),\cdots$，第几个数组的三数之和是 $450$？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三数之和通项）：第 $n$ 组三数为 $n,3n,6n$，共有 $1+3+6=\underline{\quad}$ 个 $n$，即和 $=10\times n$。
第 2 步（试出组号）：需 $10\times n=450$，验证 $10\times45=\underline{\quad}$ 恰为 $450$，所以是第 $45$ 组。

22. 【原题 ch04-tuozhan-14】下面是一串按某种规律排列的自然数：$1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,\cdots$。请问：其中第 $101$ 个数至第 $110$ 个数的和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「重复型数列求和」类：确定每个数重复两次，定位第 $101$～$110$ 项的值再求和。

关键切入点：每个自然数连续出现两次，第 $n$ 个数为 $\lceil n\div2\rceil$。第 $101$～$110$ 项为 $51,51,52,52,53,53,54,54,55,55$，平均数 $53$，共 $10$ 个，和 $530$。

方法概述：先定位这一段的取值，再用平均数或分组求和。

规范步骤：

定位区间取值：$51,51,\cdots,55,55$（位置与值对应）
求和：$53\times10=530$（等差数列求和）
写出答案：$530$

第一套

题目：数列 $1,1,2,2,3,3,4,4,\cdots$（每个自然数连续出现两次）。求第 $201$ 个数到第 $210$ 个数的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位）：每个数占两个位置，第 $201$ 到第 $210$ 个数恰好是 $101,101,102,102,103,103,104,104,105,105$。
第 2 步（分组求和）：先求 $101+102+103+104+105=\underline{\quad}$，再乘 $2$（每个数出现两次）$515\times2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：做操报数时，每个自然数都被连续喊两遍：$1,1,2,2,3,3,\cdots$。求第 $201$ 声到第 $210$ 声喊出的数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位）：每个数喊两遍，第 $201$ 到第 $210$ 声是 $101,101,102,102,103,103,104,104,105,105$。
第 2 步（分组求和）：$101+102+103+104+105=\underline{\quad}$，再乘 $2$：$515\times2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列 $1,1,2,2,3,3,\cdots$（每个自然数出现两次）。求前 $20$ 个数的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看清有几个不同的数）：前 $20$ 个数是 $1$ 到 $10$ 各出现两次。
第 2 步（求和）：$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=\underline{\quad}$，再乘 $2$：$55\times2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列 $1,1,2,2,3,3,\cdots$（每个自然数出现两次）。先求第 $100$ 个数是几，再求第 $95$ 个数到第 $104$ 个数的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 100 项）：每个数两次，第 $99,100$ 项都是 $50$。
第 2 步（列出第 95～104 项）：它们是 $48,48,49,49,50,50,51,51,52,52$，不同的数为 $48,49,50,51,52$，其和 $48+49+50+51+52=\underline{\quad}$。
第 3 步（每个两次）：$250\times2=\underline{\quad}$。

23. 【原题 ch04-xingqu-01】找规律，填空：（1）$2,6,10,14,18,22,\underline{\quad},\underline{\quad},34$；（2）$97,88,79,70,61,\underline{\quad},\underline{\quad},34$；（3）$\underline{\quad},\underline{\quad},15,24,35,48,63,80,99$。

详细思路

是哪类问题：这是「数列找规律填空」类：观察相邻两项的差（或差的差），判定等差、递减或二阶差规律，再向两端补项。

关键切入点：（1）相邻差恒为 $4$，是递增等差；（2）后项恒比前项少 $9$，是递减数列；（3）相邻差是连续奇数 $7,9,11,\cdots$，属二阶差，需向左逆推。

方法概述：先算相邻两项的差；差恒定用等差规律，差再成规律用逐差法向两端补。

规范步骤：

(1) 差恒为 4，向右补：$22+4=26,\ 26+4=30$（等差规律）
(2) 后项比前项少 9，向右补：$61-9=52,\ 52-9=43$（递减规律）
(3) 差为连续奇数，向左逆推：$15-7=8,\ 8-5=3$（二阶差逆推）
写出答案：$（1）26,30；（2）52,43；（3）3,8$

第一套

题目：找规律，填空：（1）$7,16,25,34,43,\underline{\quad},\underline{\quad},70$；（2）$150,139,128,117,106,\underline{\quad},\underline{\quad},73$；（3）$\underline{\quad},\underline{\quad},28,40,54,70,88,108$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·定差）：相邻两项差相等，$16-7=\underline{\quad}$，这是递增等差数列。
第 2 步（补右端两项）：把 $43$ 依次加上这个公差，得第 6 项 $\underline{\quad}$、第 7 项 $\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (2) 组·定差）：后一项都比前一项小，$150-139=\underline{\quad}$，这是递减数列。
第 4 步（补右端两项）：把 $106$ 依次减去这个差，得第 6 项 $\underline{\quad}$、第 7 项 $\underline{\quad}$。
第 5 步（第 (3) 组·看二阶差）：相邻差为 $40-28=\underline{\quad}$、$54-40=\underline{\quad}$、$\cdots$ 是连续偶数，逐项递增。
第 6 步（向左逆推）：向左走时相邻差每次减 $2$。$28$ 前面那一段的差为 $\underline{\quad}$，用 $28$ 减去它得第 2 项 $\underline{\quad}$；再往左一段的差为 $\underline{\quad}$，同样减去得第 1 项 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：按规律填数：（1）游行队伍每隔一段插一面彩旗，编号依次 $7,16,25,34,43,\underline{\quad},\underline{\quad},70$；（2）一口枯井的水位（厘米）连续记录为 $150,139,128,117,106,\underline{\quad},\underline{\quad},73$；（3）某剧场每排座位数依次为 $\underline{\quad},\underline{\quad},28,40,54,70,88,108$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（彩旗·定差）：相邻编号差相等，$16-7=\underline{\quad}$。
第 2 步（补两面旗）：把 $43$ 依次加上这个差，得 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
第 3 步（水位·定差）：每次下降相同，$150-139=\underline{\quad}$（厘米）。
第 4 步（补两次记录）：把 $106$ 依次减去这个降幅，得 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$（厘米）。
第 5 步（座位·二阶差）：每排比前一排多的数为 $40-28=\underline{\quad}$、$54-40=\underline{\quad}$、$\cdots$ 连续偶数。
第 6 步（向左逆推）：向左时每排多的数每次减 $2$。$28$ 前一排的增量为 $\underline{\quad}$，用 $28$ 减去它得第 2 排 $\underline{\quad}$；再前一排增量为 $\underline{\quad}$，减去得第 1 排 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律，填空：（1）$8,\underline{\quad},\underline{\quad},29,36,43$；（2）$2,6,\underline{\quad},20,30,\underline{\quad},56$；（3）$96,\underline{\quad},78,69,\underline{\quad},51$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·定差）：由 $29,36,43$ 知公差 $36-29=\underline{\quad}$。
第 2 步（向右补两项）：从 $8$ 起依次加上这个公差，得第 2 项 $\underline{\quad}$、第 3 项 $\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (2) 组·相邻自然数之积）：各项是 $1\times2,2\times3,3\times4,\cdots$。第 3 项 $3\times4=\underline{\quad}$，第 6 项 $6\times7=\underline{\quad}$。
第 4 步（第 (3) 组·递减等差）：$96$ 与 $78$ 之间隔了两步，故公差 $(96-78)\div2=\underline{\quad}$。
第 5 步（补两空）：第 2 项用 $96$ 减去这个公差得 $\underline{\quad}$；第 5 项用 $69$ 减去这个公差得 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律，填空：$1,3,4,9,7,27,10,\underline{\quad},\underline{\quad},243$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（判断结构）：这是交错数列，把奇数位置与偶数位置分开看。奇数位置 $1,4,7,10,\cdots$ 是公差 $4-1=\underline{\quad}$ 的等差数列；偶数位置 $3,9,27,\cdots$ 后一项是前一项的 $3$ 倍。
第 2 步（第 8 项在偶数位置）：$27\times3=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 9 项在奇数位置）：$10+3=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证末项）：偶数位置 $81\times3=243$，与题给末项一致。

24. 【原题 ch04-xingqu-02】找规律，填空：（1）$1,1,2,3,5,8,13,21,\underline{\quad},\underline{\quad},89$；（2）$\underline{\quad},\underline{\quad},12,19,31,50,81,131,212$。

详细思路

是哪类问题：这是「斐波那契型数列」类：从第 3 项起每项等于前两项之和；已知末端可正推，已知中段可逆推求前项。

关键切入点：（1）$13+21=34$、$21+34=55$ 正推；（2）由 $12+?=19$ 得第 2 项 $19-12=7$，再 $?+7=12$ 得第 1 项 $12-7=5$，是逆推。

方法概述：抓住“后项 = 前两项之和”，正推用加、逆推用减。

规范步骤：

(1) 正推两项：$13+21=34,\ 21+34=55$（斐波那契规律）
(2) 逆推第 2 项：$19-12=7$（逆推求前项）
(2) 逆推第 1 项：$12-7=5$（逆推求前项）
写出答案：$（1）34,55；（2）5,7$

第一套

题目：找规律，填空：（1）$2,3,5,8,13,21,34,55,\underline{\quad},\underline{\quad},233$；（2）$\underline{\quad},\underline{\quad},20,32,52,84,136,220$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出规律）：从第 3 项起每项等于前两项之和。（1）组第 9 项 $=34+55=\underline{\quad}$。
第 2 步（补第 10 项）：第 10 项 $=55+$ 第 9 项 $=\underline{\quad}$；再把第 9、10 两项相加得 $233$，与题给末项一致。
第 3 步（第 (2) 组逆推）：由 $第2项+20=32$ 得第 2 项 $\underline{\quad}$；再由 $第1项+第2项=20$，用 $20$ 减去第 2 项得第 1 项 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：一串通关密码前后有联系，从第 3 位起每一位都是前两位之和：（1）$2,3,5,8,13,21,34,55,\underline{\quad},\underline{\quad},233$；（2）$\underline{\quad},\underline{\quad},20,32,52,84,136,220$。补全密码。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出规律）：后一位 $=$ 前两位之和。（1）第 9 位 $=34+55=\underline{\quad}$。
第 2 步（补第 10 位）：第 10 位 $=55+$ 第 9 位 $=\underline{\quad}$；把第 9、10 位相加得 $233$，与末位一致。
第 3 步（第 (2) 串逆推）：第 2 位 $\underline{\quad}$（由 $第2位+20=32$ 得）；第 1 位 $\underline{\quad}$（由 $第1位+第2位=20$ 得）。

第三套

题目：找规律，填空：（1）$2,\underline{\quad},7,12,19,\underline{\quad},50$；（2）$1,4,5,9,14,\underline{\quad},\underline{\quad},60$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出规律）：从第 3 项起每项为前两项之和。第 (1) 组由 $第2项+2=7$ 得第 2 项 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (1) 组补第 6 项）：第 6 项 $=19+12=\underline{\quad}$；再加上 $19$ 得 $50$，与末项一致。
第 3 步（第 (2) 组正推）：第 6 项 $=14+9=\underline{\quad}$，第 7 项 $=$ 第 6 项 $+14=\underline{\quad}$；两者相加得 $60$，与末项一致。

第三套

题目：找规律，填空：$3,4,7,1,8,9,7,\underline{\quad},3,\underline{\quad}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出规律）：从第 3 项起，每项等于前两项之和的个位数字（满十只留个位）。如 $7+1=8$、$1+8=9$。
第 2 步（第 8 项）：前两项为 $9,7$，$9+7=\underline{\quad}$，取个位得 $16-10=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 10 项）：前两项为 $6,3$，$6+3=\underline{\quad}$，不足十，个位就是它本身。

25. 【原题 ch04-xingqu-03】找规律，填空：（1）$1,3,9,27,81,\underline{\quad},729$；（2）$1,4,9,16,25,\underline{\quad},\underline{\quad},64$。

详细思路

是哪类问题：这是「等比 / 平方数找规律」类：后项是前项的固定倍数为等比；各项恰是 $1\times1,2\times2,\cdots$ 为平方数列。

关键切入点：（1）后项都是前项的 $3$ 倍，$81\times3=243$；（2）平方数列 $1,4,9,16,25,36,49,64$，即 $6\times6=36$、$7\times7=49$（也可用相邻差为连续奇数验证）。

方法概述：看相邻两项的比是否恒定判等比；对照 $n\times n$ 判平方数。

规范步骤：

(1) 等比补项：$81\times3=243$（等比规律）
(2) 平方数补项：$6\times6=36,\ 7\times7=49$（平方数规律）
写出答案：$（1）243；（2）36,49$

第一套

题目：找规律，填空：（1）$2,6,18,54,162,\underline{\quad},1458$；（2）$36,49,64,81,\underline{\quad},\underline{\quad},144$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·定倍数）：后一项都是前一项的几倍？$6\div2=\underline{\quad}$，这是等比数列。
第 2 步（补第 6 项）：$162\times3=\underline{\quad}$；再乘 $3$ 得 $1458$，与末项一致。
第 3 步（第 (2) 组·平方数）：各项依次是 $6\times6,7\times7,8\times8,9\times9,\cdots$。第 5 项 $10\times10=\underline{\quad}$，第 6 项 $11\times11=\underline{\quad}$；第 7 项 $12\times12=144$ 与题给一致。

第二套

题目：（1）一种浮萍每天覆盖的水面面积（平方分米）依次为 $2,6,18,54,162,\underline{\quad},1458$；（2）用棋子摆正方形阵，每个用子数依次为 $36,49,64,81,\underline{\quad},\underline{\quad},144$。按规律补全。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（浮萍·定倍数）：每天是前一天的几倍？$6\div2=\underline{\quad}$ 倍。
第 2 步（补第 6 天）：$162\times3=\underline{\quad}$（平方分米）；再乘 $3$ 得 $1458$，与末项一致。
第 3 步（棋阵·平方数）：各阵用子数是 $6\times6,7\times7,\cdots$。$10\times10=\underline{\quad}$，$11\times11=\underline{\quad}$；$12\times12=144$ 与题给一致。

第三套

题目：找规律，填空：（1）$1,5,25,125,\underline{\quad},\underline{\quad}$；（2）$\underline{\quad},\underline{\quad},36,49,64$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·定倍数）：后一项是前一项的几倍？$25\div5=\underline{\quad}$ 倍。
第 2 步（补两项）：第 5 项 $125\times5=\underline{\quad}$，第 6 项再乘 $5$ 得 $\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (2) 组·平方数逆推）：$36,49,64$ 是 $6\times6,7\times7,8\times8$，向左是 $5\times5=\underline{\quad}$、$4\times4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律，填空：$2,5,10,17,26,\underline{\quad},\underline{\quad},65$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先看相邻差）：$5-2=\underline{\quad}$、$10-5=\underline{\quad}$，差是连续奇数，属二阶差，提示要与平方数比较。
第 2 步（与平方数比较）：$2=1\times1+1$，$5=2\times2+1$，$10=3\times3+1$，$17=4\times4+1$，$26=5\times5+1$，规律是“第 $n$ 项 $=n\times n+1$”。
第 3 步（第 6 项）：$6\times6+1=\underline{\quad}$。
第 4 步（第 7 项）：$7\times7+1=\underline{\quad}$；第 8 项 $8\times8+1=65$ 与题给末项一致。

26. 【原题 ch04-xingqu-04】找规律，填空：（1）$40,2,37,4,34,6,31,8,\underline{\quad},\underline{\quad},25,12$；（2）$1,2,2,4,3,8,4,16,5,\underline{\quad},\underline{\quad},64,7$。

详细思路

是哪类问题：这是「交错数列」类：一个数列由两条规律交替编成，拆成奇数位置、偶数位置两个子数列分别找规律。

关键切入点：（1）奇数位 $40,37,34,31,\cdots$ 每次 $-3$，偶数位 $2,4,6,8,\cdots$ 每次 $+2$；（2）奇数位是连续自然数 $1,2,3,4,5,\cdots$，偶数位 $2,4,8,16,\cdots$ 每次 $\times2$。

方法概述：把交错数列按位置奇偶拆成两个子数列，各自找规律再对号补空。

规范步骤：

(1) 奇偶子列：$奇:40,37,34,31(-3);\ 偶:2,4,6,8(+2)$（拆奇偶）
(1) 补两空：$31-3=28,\ 8+2=10$（分别按规律补）
(2) 奇偶子列并补空：$16\times2=32,\ 5+1=6$（拆奇偶）
写出答案：$（1）28,10；（2）32,6$

第一套

题目：找规律，填空：（1）$100,5,96,8,92,11,88,14,\underline{\quad},\underline{\quad},80,20$；（2）$1,3,2,6,3,12,4,24,5,\underline{\quad},\underline{\quad},96,7$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·拆奇偶）：奇数位置 $100,96,92,88,\cdots$ 每项比前一项少 $100-96=\underline{\quad}$；偶数位置 $5,8,11,14,\cdots$ 每项比前一项多 $8-5=\underline{\quad}$。
第 2 步（补两空）：第 9 项（奇）用 $88$ 减去奇数位置的差，得 $\underline{\quad}$；第 10 项（偶）用 $14$ 加上偶数位置的差，得 $\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (2) 组·拆奇偶）：奇数位置 $1,2,3,4,\cdots$ 是连续自然数；偶数位置 $3,6,12,24,\cdots$ 每项是前一项的 $2$ 倍。
第 4 步（补两空）：第 10 项（偶）$24\times2=\underline{\quad}$，第 11 项（奇）$5+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：两个报数小组轮流报数，报出的数交替记成一串：（1）$100,5,96,8,92,11,88,14,\underline{\quad},\underline{\quad},80,20$；（2）$1,3,2,6,3,12,4,24,5,\underline{\quad},\underline{\quad},96,7$。补全每一串。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆两组·第一串）：单数位置一组 $100,96,92,88,\cdots$ 每次少 $100-96=\underline{\quad}$；双数位置一组 $5,8,11,14,\cdots$ 每次多 $8-5=\underline{\quad}$。
第 2 步（补两空）：单数位置用 $88$ 减去那个差得 $\underline{\quad}$；双数位置用 $14$ 加上那个差得 $\underline{\quad}$。
第 3 步（拆两组·第二串）：单数位置 $1,2,3,4,\cdots$ 连续自然数；双数位置 $3,6,12,24,\cdots$ 每次 $\times2$。
第 4 步（补两空）：$24\times2=\underline{\quad}$，$5+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律，填空：（1）$2,50,6,45,18,40,54,35,\underline{\quad},\underline{\quad}$；（2）$1,2,4,4,9,8,16,16,\underline{\quad},\underline{\quad}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组·拆奇偶）：奇数位置 $2,6,18,54,\cdots$ 每项是前一项的 $6\div2=\underline{\quad}$ 倍；偶数位置 $50,45,40,35,\cdots$ 每项比前一项少 $50-45=\underline{\quad}$。
第 2 步（补两空）：第 9 项（奇）$\underline{\quad}$，第 10 项（偶）$\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (2) 组·拆奇偶）：奇数位置 $1,4,9,16,\cdots$ 是平方数 $1\times1,2\times2,\cdots$；偶数位置 $2,4,8,16,\cdots$ 每项是前一项的 $2$ 倍。
第 4 步（补两空）：第 9 项（奇）$5\times5=\underline{\quad}$，第 10 项（偶）$16\times2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律，填空：$1,2,5,4,3,10,7,4,20,\underline{\quad},\underline{\quad},40$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆成三个子数列）：按位置除以 $3$ 的余数分三组。第 $1,4,7,10$ 项为 $1,4,7,\cdots$（每次 $+3$）；第 $2,5,8,11$ 项为 $2,3,4,\cdots$（每次 $+1$）；第 $3,6,9,12$ 项为 $5,10,20,\cdots$（每次 $\times2$）。
第 2 步（先核对第三组）：$5,10,20$ 每项是前一项的 $10\div5=\underline{\quad}$ 倍，$20\times2=40$ 与题给末项一致，说明分组正确。
第 3 步（第 10 项，属第一组）：$7+3=\underline{\quad}$。
第 4 步（第 11 项，属第二组）：$4+1=\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch04-xingqu-05】找规律，请在图 4-1 中的空格内填入适当的数。（1）上行 $1,5,9,\underline{\quad}$，下行 $3,7,11,15$；（2）上行 $1,3,5,21,\underline{\quad}$，下行 $1,2,8,13,55$。

详细思路

是哪类问题：这是「数表找规律」类：横看、纵看数表，或沿箭头方向把数表展开成一个数列。

关键切入点：（1）每行相邻差 $4$、每列上下差 $2$，沿箭头恰是连续奇数 $1,3,5,\cdots,15$，空格 $9+4=13$；（2）沿箭头方向是斐波那契型 $\cdots,13,21,34,55$，空格 $13+21=34$。

方法概述：把数表按行、列或箭头方向还原成熟悉的数列再补空。

规范步骤：

(1) 每行差 4：$9+4=13$（数表横向规律）
(2) 沿箭头斐波那契：$13+21=34$（斐波那契型）
写出答案：$（1）13；（2）34$

28. 【原题 ch04-xingqu-06】找规律，请在图 4-2 中的空格内填入适当的数。（1）数表上行 $18,27,39,45$，下行 $35,44,56,\underline{\quad}$；（2）数表为 $18,3,15$；$36,15,21$；$27,\underline{\quad},15$。

详细思路

是哪类问题：这是「数表找规律」类：比较同列上下两数之差（纵向规律），或同行各数之间的加减关系（横向规律）。

关键切入点：（1）每列第 2 行比第 1 行大 $17$，空格 $45+17=62$；（2）每行左边数等于右边两数之和，空格 $27-15=12$。

方法概述：纵看找同列固定差，横看找同行加减关系。

规范步骤：

(1) 纵向差 17：$45+17=62$（数表纵向规律）
(2) 横向和关系：$27-15=12$（数表横向关系）
写出答案：$（1）62；（2）12$

第一套

题目：找规律填数：（1）数表上行 $24,38,51,60$，下行 $53,67,80,\underline{\quad}$；（2）数表每行三个数：$42,17,25$；$58,33,25$；$50,\underline{\quad},26$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 表·纵向看）：每一列下行数都比上行数大 $53-24=\underline{\quad}$。
第 2 步（补空）：第 4 列 $60+29=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (2) 表·横向看）：每行左边的数等于右边两数之和，如 $17+25=\underline{\quad}$、$33+25=\underline{\quad}$。
第 4 步（补空）：第 3 行 $50-26=\underline{\quad}$。

第二套

题目：（1）兄弟两人连续 $4$ 个月的身高记录（厘米）：哥哥 $24,38,51,60$，弟弟 $53,67,80,\underline{\quad}$，每月弟弟都比哥哥高相同的数；（2）三笔账每笔含“总额、支出、结余”：$42,17,25$；$58,33,25$；$50,\underline{\quad},26$，总额等于支出加结余。求各空。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（身高·纵向）：每月弟弟比哥哥高 $53-24=\underline{\quad}$（厘米）。
第 2 步（补空）：第 4 月 $60+29=\underline{\quad}$（厘米）。
第 3 步（账目·横向）：总额 $=$ 支出 $+$ 结余，$17+25=\underline{\quad}$、$33+25=\underline{\quad}$。
第 4 步（补空）：第 3 笔支出 $50-26=\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律填数：数表三行，第 3 行每个数等于同列上方两数之和。第 1 行 $12,25,31,40$；第 2 行 $18,26,24,35$；第 3 行 $30,51,\underline{\quad},\underline{\quad}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找关系）：第 3 行每数 $=$ 同列上两数之和，如 $12+18=\underline{\quad}$、$25+26=\underline{\quad}$。
第 2 步（补两空）：第 3 列 $31+24=\underline{\quad}$，第 4 列 $40+35=\underline{\quad}$。

第三套

题目：找规律填数：数表两行都是等差数列，且每列下行都比上行大 $19$。上行 $7,\underline{\quad},19,\underline{\quad}$，下行 $\underline{\quad},32,\underline{\quad},44$。求各空。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（上行公差）：上行是等差数列，$7$ 到 $19$ 跨 $2$ 步，故公差为 $6$。第 2 项 $7+6=\underline{\quad}$，第 4 项 $19+6=\underline{\quad}$。
第 2 步（纵向 $+19$）：下行第 1 项 $7+19=\underline{\quad}$，第 3 项 $19+19=\underline{\quad}$；验证第 4 项 $25+19=\underline{\quad}$ 为 $44$。

29. 【原题 ch04-xingqu-07】图 4-3 的表格中的数有一定的规律，请你按照规律填出空格中的数。上行 $1,5,5,13,9,34,\underline{\quad},89,17$；下行 $3,3,8,7,21,11,\underline{\quad},15,144$。

详细思路

是哪类问题：这是「数表找规律」类：按图中箭头把相连的数分成两组，分别识别为奇数数列与斐波那契型数列。

关键切入点：第 1 组 $1,3,5,7,9,11,?,15,17$ 是从 $1$ 起的奇数数列，故上行空格 $11+2=13$；第 2 组 $3,5,8,13,21,34,?,89,144$ 从第 3 项起每项为前两项之和，故下行空格 $21+34=55$。

方法概述：按箭头把数表拆成两条数列，分别用奇数列、斐波那契型补空。

规范步骤：

第 1 组奇数列：$11+2=13$（奇数数列）
第 2 组斐波那契：$21+34=55$（斐波那契型）
写出答案：$上行 13；下行 55$

30. 【原题 ch04-xingqu-08】观察图 4-4 中各组图形的规律，填空格处的图形。（1）每组由两个 $2\times2$ 方格组成，前一格中两个图形按箭头变换为后一格；（2）每组由两个 $2\times2$ 方格组成，前一格中含手势与“$+$”“$-$”符号，按规律变换为后一格。

详细思路

是哪类问题：这是「图形变换找规律」类：对照前后两格观察图形位置与符号的变换规律，再作用到待填的一格。

关键切入点：（1）图形依箭头方向交换位置（上下、左右互换）；（2）图形位置交换、符号在“$+$”“$-$”间变换。

方法概述：找出图形的位置交换与符号变换规律，按同一变换画出空格。

规范步骤：

(1) 位置互换：按箭头把两个图形交换位置（图形位置变换）
(2) 位置+符号变换：位置交换、符号在 $+,-$ 间切换（图形找规律）
作图：按上述规律画出空格图形

31. 【原题 ch04-xingqu-09】观察图 4-5 中四幅图的规律，画出 D 处的图形。

详细思路

是哪类问题：这是「图形找规律作图」类：观察图形旋转方向与附加小球个数的变化，推断下一幅。

关键切入点：方块（旗子）方向随图旋转，小球个数依次增加。

方法概述：分别抓住旋转方向与小球个数递增两条规律，画出 D 处图形。

规范步骤：

看旋转：方块方向按固定方向旋转（图形旋转规律）
看数量：小球个数依次递增（数量递增规律）
作图：综合旋转与递增画出 D

32. 【原题 ch04-xingqu-10】图 4-6 原本是由 $9$ 个“小人”排列成的方阵，但有一个小人没有到位。请你根据图形的规律，在标有“?”的位置画出你认为合适的“小人”。

详细思路

是哪类问题：这是「数独式图形找规律」类：把小人按头、身子等部件分类，保证每行每列各种形状各出现一次。

关键切入点：每行（每列）的头有同样 $3$ 种、身子有同样 $3$ 种，据已出现的形状定出“?”处缺的头与身子。

方法概述：按“每行每列各属性各出现一次”的约束，反推缺失小人的部件。

规范步骤：

分部件：头 3 种、身子 3 种（属性分类）
按行列约束定形：每行每列各形状各一次（行列各出现一次）
作图：画出“?”处小人

竞赛数学 · 三年级第4讲《找规律》举一反三练习卷

附录 · 答案

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