竞赛数学 · 三年级 第9讲《等差数列》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch09-chaoyue-01】图 9-3 是一个堆放铅笔的“V”形架。如果“V”形架上一共放有 $210$ 枝铅笔，那么最上层有多少枝铅笔？
详细思路
是哪类问题：「堆叠求层数」类：每层数量是 $1$ 到 $n$ 的连续整数，令总和等于给定数求 $n$。
关键切入点：第 $k$ 层 $k$ 枝铅笔，总数 $1+2+\cdots+n=(1+n)\times n\div 2=210$，即 $n\times(n+1)=420=20\times 21$，得 $n=20$。
方法概述：把每层铅笔数看成 $1$ 到 $n$ 的连续整数求和，令和为 $210$ 求 $n$。
规范步骤：
  1. 列方程：$(1+n)\times n\div 2=210$（求和公式）
  2. 化为两数之积：$n\times(n+1)=420$（两边乘2）
  3. 找连续两数：$420=20\times 21$，故 n=20（试值）
第一套
题目：一个“V”形架每层枝数为 $1,2,3,\cdots$，共放 $300$ 枝铅笔，最上层有多少枝？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化为两数之积）：由 $(1+n)\times n\div 2=300$，两边乘 $2$ 得 $n\times(n+1)=300\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（试相邻两整数求最上层枝数）：找相邻两整数使乘积为 $600$；由 $24\times 25=600$，取较小的那个，得最上层 $n=\underline{\quad}$ 枝。
  3. 第 3 步（验证）：代回 $(1+24)\times 24\div 2=300$，与总数 $300$ 相符。
第二套
题目：一堆钢管堆成三角形，从上到下每层依次为 $1,2,3,\cdots$ 根，共 $210$ 根，最下面一层有多少根？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化为两数之积）：由 $(1+n)\times n\div 2=210$，两边乘 $2$ 得 $n\times(n+1)=210\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（试相邻两整数求最下层根数）：找相邻两整数使乘积为 $420$；由 $20\times 21=420$，取较小的那个，得最下层 $n=\underline{\quad}$ 根。
  3. 第 3 步（验证）：代回 $(1+20)\times 20\div 2=210$，与总数 $210$ 相符。
第三套
题目：每层依次为 $1,2,3,\cdots$ 根的三角形钢管堆共 $253$ 根，最下层有多少根？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化为两数之积）：由 $(1+n)\times n\div 2=253$，两边乘 $2$ 得 $n\times(n+1)=253\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（试相邻两整数求最下层根数）：找相邻两整数使乘积为 $506$；由 $22\times 23=506$，取较小的那个，得最下层 $n=\underline{\quad}$ 根。
  3. 第 3 步（验证）：代回 $(1+22)\times 22\div 2=253$，与总数 $253$ 相符。
第三套
题目：“V”形架每层枝数为 $1,2,3,\cdots$，共 $210$ 枝。共有多少层？其中偶数层（第 $2,4,\cdots$ 层）一共放了多少枝？奇数层共多少枝？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求层数）：$n\times(n+1)=210\times 2=\underline{\quad}$，得 $n=20$。
  2. 第 2 步（偶数层求和）：偶数层枝数 $2,4,\cdots,20$ 共 $10$ 层，和 $=(2+20)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（奇数层求和）：$210-110=\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch09-chaoyue-02】下面的各算式是按规律排列的：$1+1,2+3,3+5,1+7,2+9,3+11,1+13,2+15,3+17,\cdots$。请写出其中和结果为 $98$ 的算式。
详细思路
是哪类问题：「规律算式求项」类：分别找出两个加数的变化规律，利用奇偶性确定满足条件的项。
关键切入点：第一个加数按 $1,2,3$ 循环；第二个加数是连续奇数 $1,3,5,\cdots$。和为偶数 $98$ 须“奇 $+$ 奇”，第二个加数只能是 $95$ 或 $97$。
方法概述：分别找出两个加数的变化规律，利用奇偶性确定满足条件的项。
规范步骤：
  1. 第二加数 $95$ 是第几个奇数：$(95-1)\div 2+1=48$（连续奇数项数）
  2. 第二加数 $97$ 是第几个奇数：$(97-1)\div 2+1=49$（连续奇数项数）
  3. 第 $48$、$49$ 个算式的第一加数：$48\div 3 余 0\Rightarrow 3；49\div 3 余 1\Rightarrow 1$（循环节）
  4. 写出算式：$3+95=98，1+97=98$（验证）
3. 【原题 ch09-chaoyue-03】一串数共有 $11$ 个，中间数最大。从中间数往前数，每一个比前一个小 $2$；从中间数往后数，每一个比前一个小 $3$。已知这 $11$ 个数的总和为 $200$，那么中间数是多少？
详细思路
是哪类问题：「中间数求值」类：以中间数为基准表示各数，列总和方程求中间数。
关键切入点：设中间数为 $a$。前 $5$ 个比 $a$ 小 $2,4,6,8,10$，后 $5$ 个比 $a$ 小 $3,6,9,12,15$，总和 $=11a-30-45=200$。
方法概述：以中间数为基准表示各数，列总和方程求中间数。
规范步骤：
  1. 前 $5$ 个的差之和：$2+4+6+8+10=30$（累加）
  2. 后 $5$ 个的差之和：$3+6+9+12+15=45$（累加）
  3. 列方程求中间数：$11a-75=200，a=(200+75)\div 11=25$（解方程）
第一套
题目：一串数共 $11$ 个，中间数最大。从中间往前每个比前一个小 $3$，从中间往后每个比前一个小 $4$。这 $11$ 个数总和为 $225$，中间数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（前 $5$ 个差之和）：$3+6+9+12+15=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（后 $5$ 个差之和）：$4+8+12+16+20=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列方程）：$11a-45-60=225$，即 $11a=225+105=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求中间数）：$330\div 11=\underline{\quad}$。
第二套
题目：$11$ 座山峰排成一行，中间的最高。从中间往一侧每座比前一座矮 $2$ 米，往另一侧每座矮 $3$ 米。$11$ 座山峰高度之和为 $200$ 米，中间那座多高？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一侧 $5$ 座差之和）：$2+4+6+8+10=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（另一侧 $5$ 座差之和）：$3+6+9+12+15=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列方程）：$11a-75=200$，即 $11a=200+75=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求中间那座）：$275\div 11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一串数共 $9$ 个，中间数最大。从中间往前每个比前一个小 $2$，往后每个比前一个小 $3$。这 $9$ 个数总和为 $220$，中间数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（前 $4$ 个差之和）：$2+4+6+8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（后 $4$ 个差之和）：$3+6+9+12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列方程）：$9a-50=220$，即 $9a=220+50=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求中间数）：$270\div 9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一串数共 $11$ 个，中间数最大。从中间往前每个比前一个小 $2$，往后每个比前一个小 $3$，总和 $200$。求中间数，以及这 $11$ 个数中最小的一个。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求中间数）：$11a-75=200$，$a=275\div 11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（最前一个）：$25-10=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（最后一个）：$25-15=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch09-chaoyue-04】如图 9-4，有一个边长为 $1$ 米的大等边三角形，将它分割成许多边长为 $2$ 厘米的小等边三角形。（1）边长为 $2$ 厘米的小等边三角形共有多少个？（2）图中所有长度为 $2$ 厘米的线段的总长度是多少？
详细思路
是哪类问题：「三角形分割计数与求长」类：按行将小三角形与线段归为等差数列，分类求和。
关键切入点：$1$ 米 $=100$ 厘米，每边分 $100\div 2=50$ 段共 $50$ 行。正立小三角每行 $1\sim 50$，倒立每行 $1\sim 49$；线段分三个方向，每方向长度 $2,4,\cdots,100$。
方法概述：按行（层）将小三角形与线段归为等差数列，分类求和。
规范步骤：
  1. 分成几行：$100\div 2=50$（边长换算）
  2. 正立小三角总数：$(1+50)\times 50\div 2=1275$（求和公式）
  3. 倒立小三角总数：$(1+49)\times 49\div 2=1225$（求和公式）
  4. 小三角总数：$1275+1225=2500$（相加）
  5. 单方向线段总长：$(2+100)\times 50\div 2=2550$（求和公式）
  6. 三方向总长：$2550\times 3=7650$（对称）
5. 【原题 ch09-chaoyue-05】按规律写出一列算式：$1000-1,993-4,986-7,979-10,\cdots$，如果要保证被减数比减数大，最多能写出几个算式？请写出最后的算式。
详细思路
是哪类问题：「并列数列求项数」类：分析被减数与减数之差构成的等差数列，求保持“被减数大于减数”的最大项数。
关键切入点：被减数 $1000,993,\cdots$（公差 $-7$），减数 $1,4,\cdots$（公差 $+3$）。每写一个算式，差缩小 $7+3=10$；首差 $1000-1=999$，$999\div 10=99$ 余 $9$，还满足，故项数 $99+1=100$。
方法概述：分析被减数与减数之差构成的等差数列，求出保持大于关系的最大项数。
规范步骤：
  1. 首差：$1000-1=999$（第1个算式的差）
  2. 每次差缩小：$7+3=10$（两公差之和）
  3. 求项数：$999\div 10=99 余 9，项数=99+1=100$（项数公式）
  4. 末算式：被减数 $=1000-99\times 7=307$，减数 $=1+99\times 3=298$（通项公式）
第一套
题目：按规律写算式：$2000-1,1993-4,1986-7,\cdots$（被减数每次减 $7$，减数每次加 $3$）。要保证被减数比减数大，最多能写几个算式？最后一个算式是什么？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首差）：$2000-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（每次差缩小）：$7+3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求项数）：$1999\div 10=199$ 余 $9$，余数 $9>0$ 仍满足，项数 $=199+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（末算式）：被减数 $=2000-(200-1)\times 7=\underline{\quad}$，减数 $=1+(200-1)\times 3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：甲杯有水 $1000$ 毫升，每次倒出 $7$ 毫升；乙杯有水 $1$ 毫升，每次加入 $3$ 毫升。两杯同时操作，要保证甲杯的水仍比乙杯多，最多能操作几次（含起始的一次比较）？最后一次两杯各多少毫升？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首次差）：$1000-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（每次差缩小）：$7+3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求次数）：$999\div 10=99$ 余 $9$，项数 $=99+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（最后一次）：甲 $=1000-(100-1)\times 7=\underline{\quad}$，乙 $=1+(100-1)\times 3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：按规律写算式：$900-2,893-6,886-10,\cdots$（被减数每次减 $7$，减数每次加 $4$）。要保证被减数比减数大，最多能写几个？最后一个算式是什么？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首差）：$900-2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（每次差缩小）：$7+4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求项数）：$898\div 11=81$ 余 $7$，余数 $7>0$ 仍满足，项数 $=81+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（末算式）：被减数 $=900-(82-1)\times 7=\underline{\quad}$，减数 $=2+(82-1)\times 4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：按规律写算式 $1000-1,993-4,986-7,\cdots$，在保证被减数比减数大的前提下共写了 $100$ 个算式。这 $100$ 个算式里所有被减数之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求项数）：$(1000-307)\div 7+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被减数求和）：被减数是首 $1000$、末 $307$、$100$ 项的等差数列，和 $=(1000+307)\times 100\div 2=\underline{\quad}$。
6. 【原题 ch09-chaoyue-06】在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为 $656$，且第一名的分数超过了 $90$ 分（满分 $100$ 分），已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？
详细思路
是哪类问题：「成绩等差数列求项」类：由总和求首末项之和，结合整数与超 $90$ 分的限制确定公差，再求第三名分数。
关键切入点：$8$ 项首尾配对 $4$ 组，首 $+$ 末 $=656\div 4=164$；首末差是 $7$ 个公差且须能被 $7$ 整除，末项在 $90\sim 100$ 间。试首末差 $=28$：末 $=96$、首 $=68$、公差 $=4$，符合。
方法概述：由总和求首末项之和，结合整数与范围限制确定公差，再求第三名分数。
规范步骤：
  1. 首末项之和：$8$ 项首尾配对成 $4$ 组、每组和相等，故首项 $+$ 末项 $=656\div 4=164$（首尾配对）
  2. 末项须为整数 ⟹ 首末差是 $14$ 的倍数：末项 $=(164+首末差)\div 2$，而首末差 $=7\times$ 公差；要末项为整数，$164+7\times$ 公差须为偶数，故公差为偶数，首末差 $\in\{14,28,42,\cdots\}$（整数约束）
  3. 试首末差 $14$：末项不足 $90$，舍：$(164+14)\div 2=89$，第一名 $89<90$，不合“超过 $90$ 分”，舍（范围限制）
  4. 试首末差 $42$：末项超满分，舍：$(164+42)\div 2=103$，第一名 $103>100$，超过满分，舍（范围限制）
  5. 试首末差 $28$：合题，定首末项：$(164+28)\div 2=96$，在 $90\sim100$ 间，故末项（第一名）$=96$、首项 $=164-96=68$（范围限制）
  6. 求公差：$(96-68)\div 7=4$（首末差除以7）
  7. 第三名（第 $8$ 项最高，第三名为第 $6$ 项）：$96-(3-1)\times 4=88$（通项公式）
7. 【原题 ch09-chaoyue-07】三年级一班期末数学考试中，前 $10$ 名的成绩恰好构成一个等差数列，已知考试满分 $100$ 分，每个同学的得分都是整数，而且第 $3$、$4$、$5$、$6$ 名一共得了 $354$ 分，又知道小高得了 $96$ 分，那么第 $10$ 名得了多少分？
详细思路
是哪类问题：「成绩等差数列推理」类：由四项之和求出中间两项之和，分类讨论公差，确定第 $10$ 名。
关键切入点：第 $3\sim 6$ 名连续 $4$ 项，第 $3$ 名 $+$ 第 $6$ 名 $=354\div 2=177$（奇数），故公差为奇数。试公差 $3$：第 $3$ 名 $93$、第 $2$ 名 $96$（小高），合题。
方法概述：由四项之和求出中间两项之和，分类讨论公差，确定第 $10$ 名。
规范步骤：
  1. 第 $3$+第 $6$ 名：$354\div 2=177$（首尾配对）
  2. 试公差 $3$ 求第 $3$ 名：$(177+9)\div 2=93$（和差关系）
  3. 验证第 $2$ 名为 $96$：$93+3=96$（恰为小高）
  4. 求第 $10$ 名：$93-3\times(10-3)=72$（通项公式）
8. 【原题 ch09-chaoyue-08】王老师给小区里的一些小朋友发游戏卡片，这些小朋友得到的卡片数目恰好构成一个等差数列。小高发现自己分到的最少，于是找王老师要卡片，王老师给小高加了 $36$ 张，这时所有小朋友的卡片数也构成一个等差数列；变化后，墨莫的卡片最少，于是向王老师要来 $18$ 张，这时所有小朋友的卡片数仍构成一个等差数列。又已知在发卡片的过程中，每个小朋友手中的卡片都没有超过 $100$ 张，而且刚开始时有人拿的卡片数超过了 $90$ 张。请问：王老师开始时发给墨莫的卡片比发给小高的多几张？
详细思路
是哪类问题：「等差数列逻辑推理」类：由两次加卡片后仍构成等差数列推断人数，再分类讨论顺序求差值。
关键切入点：若超过 $3$ 人，墨莫也需加 $36$ 张才成等差，矛盾，故只有 $3$ 人。给小高加 $36$ 后按顺序分类，只有“墨莫、小高、$X$”一种合题：开始墨莫比小高多 $36\times 2\div 3=24$ 张。
方法概述：由两次加卡片后仍构成等差数列推断人数，再分类讨论顺序求差值。
规范步骤：
  1. 推断人数为 $3$：设 $n$ 人、初始从小到大公差 $d$，小高 $=a$（最小）。给小高加 $36$ 后仍成等差：若 $n\ge4$，中间各项间距被 $d$ 固定，$a+36$ 只能接到最大端，即须 $36=n\times d$；此后墨莫（新的最小者）加 $18$ 又要成等差，同理须 $18=n\times d$，与 $36=n\times d$ 矛盾。故 $n=3$（反证·等差刚性）
  2. 排除“小高变最大”一支：$n=3$ 时若 $a+36$ 成最大项，则公差 $=36\div 3=12$，初始为 $a,a+12,a+24$；由“开始有人超 $90$”得 $a+24>90$（$a\ge67$），但过程中小高达 $a+36\le100$ 得 $a\le64$，矛盾，舍去（范围限制）
  3. 小高变中间项，用中项性质求公差：故 $a+36$ 为中间项，$2\times(a+36)=(a+d)+(a+2d)$，即 $72=3\times d$，得公差 $d=72\div3=24$（中项性质）
  4. 求墨莫比小高多的张数：墨莫初始 $=a+d$、小高初始 $=a$，两者之差即公差 $=24$；也可由 $36\times2\div3=24$ 直接得（公差即所求差值）
9. 【原题 ch09-tuozhan-01】（1）一个等差数列共有 $13$ 项，每一项都比它的前一项大 $2$，并且首项为 $23$，求末项是多少？（2）一个等差数列共有 $13$ 项，每一项都比它的前一项小 $7$，并且末项为 $125$，求首项是多少？
详细思路
是哪类问题：「递增/递减数列求项」类：辨清公差正负后用通项公式求末项或首项。
关键切入点：第 (1) 题公差 $+2$，末项 $=$ 首项 $+12$ 个公差；第 (2) 题“每项小 $7$”即公差 $-7$，倒推首项。
方法概述：辨清公差正负后用通项公式。
规范步骤：
  1. 第 (1) 题求末项：$23+(13-1)\times 2=47$（通项公式）
  2. 第 (2) 题倒推首项：$125+(13-1)\times 7=209$（公差为负，倒推）
第一套
题目：（1）等差数列共 $15$ 项，每项比前项大 $3$，首项 $30$，求末项。（2）等差数列共 $15$ 项，每项比前项小 $8$，末项 $200$，求首项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题）：末项 $=30+(15-1)\times 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 题）：首项 $=200+(15-1)\times 8=\underline{\quad}$。
第二套
题目：（1）储蓄 $13$ 天，每天比前一天多存 $2$ 元，第一天存 $23$ 元，最后一天存多少元？（2）某电量表连读 $13$ 天，每天比前一天少 $7$ 度，最后一天 $125$ 度，第一天多少度？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题）：末项 $=23+(13-1)\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 题）：首项 $=125+(13-1)\times 7=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列共 $20$ 项，每项比前项大 $4$，首项 $7$，求末项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（走过的公差）：$(20-1)\times 4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（加首项）：$7+76=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列共 $13$ 项，每项比前项小 $7$，末项为 $125$。求首项及这 $13$ 项的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求首项）：$125+(13-1)\times 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和）：$(209+125)\times 13\div 2=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch09-tuozhan-02】一个等差数列的首项为 $11$，第 $10$ 项为 $200$，这个等差数列的公差等于多少？第 $19$ 项等于多少？
详细思路
是哪类问题：「已知两项求公差与第 n 项」类：首项与第 $10$ 项相隔 $9$ 个公差。
关键切入点：公差 $=(200-11)\div 9$；第 $19$ 项可用通项公式，也可用第 $10$ 项是第 $1$、$19$ 项中间项。
方法概述：由首项与第 $10$ 项相隔的公差个数求公差，再求第 $19$ 项。
规范步骤：
  1. 求公差：$(200-11)\div 9=21$（差除以个数）
  2. 求第 $19$ 项：$11+(19-1)\times 21=389$（通项公式）
第一套
题目：一个等差数列的首项为 $13$，第 $10$ 项为 $238$，求公差与第 $19$ 项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相隔个数）：$10-1=\underline{\quad}$ 个公差。
  2. 第 2 步（求公差）：$(238-13)\div 9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求第 $19$ 项）：$13+(19-1)\times 25=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一列水管接头间距相等，第 $1$ 个接头在 $11$ 米处、第 $10$ 个接头在 $200$ 米处，相邻接头相距多少米？第 $19$ 个接头在多少米处？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：$(200-11)\div 9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求第 $19$ 个）：$11+(19-1)\times 21=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列的首项为 $11$，第 $10$ 项为 $200$。已知第 $10$ 项是第 $1$、$19$ 项的中间项，求第 $19$ 项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中间项性质）：第 $1$ 项 $+$ 第 $19$ 项 $=200\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求第 $19$ 项）：$400-11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列的首项为 $11$，第 $10$ 项为 $200$，求公差及前 $19$ 项的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：$(200-11)\div 9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求第 $19$ 项）：$11+18\times 21=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求前 $19$ 项和）：$(11+389)\times 19\div 2=\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch09-tuozhan-03】墨莫读一本课外书，第一天读了 $15$ 页，以后每天都比前一天多读 $3$ 页，最后一天读了 $36$ 页，刚好把书读完。请问：墨莫一共读了多少天？这本课外书共有多少页？
详细思路
是哪类问题：「逐日递增应用题」类：把每天页数看成等差数列，先求项数（天数）再求和（总页数）。
关键切入点：首 $15$ 末 $36$ 公差 $3$：天数 $=$ 项数，总页数 $=$ 各项之和。
方法概述：把每天页数看成等差数列，先求项数再求和。
规范步骤：
  1. 求天数（项数）：$(36-15)\div 3+1=8$（项数公式）
  2. 求总页数（求和）：$(15+36)\times 8\div 2=204$（求和公式）
第一套
题目：读一本书，第一天读 $20$ 页，以后每天多读 $5$ 页，最后一天读 $65$ 页刚好读完。共读几天？这本书共多少页？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求天数）：$(65-20)\div 5+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求总页数）：$(20+65)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：工人搬砖，第一小时搬 $15$ 块，以后每小时多搬 $3$ 块，最后一小时搬 $36$ 块刚好搬完。共搬几小时？一共多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求小时数）：$(36-15)\div 3+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求总块数）：$(15+36)\times 8\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：读一本书，第一天读 $40$ 页，以后每天多读 $4$ 页，最后一天读 $64$ 页读完。共读几天？共多少页？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求天数）：$(64-40)\div 4+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求总页数）：$(40+64)\times 7\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：读一本书，第一天读 $15$ 页，以后每天多读 $3$ 页，最后一天读 $36$ 页读完。共读几天？第 $5$ 天读多少页？全书多少页？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求天数）：$(36-15)\div 3+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 $5$ 天页数）：$15+(5-1)\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（全书页数）：$(15+36)\times 8\div 2=\underline{\quad}$。
12. 【原题 ch09-tuozhan-04】计算：（1）$3+6+9+12+15+18+21+24+27+30$；（2）$41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1$。
详细思路
是哪类问题：「等差数列求和」类：确定首项、末项、项数后代入求和公式。
关键切入点：第 (1) 题公差 $3$、$10$ 项；第 (2) 题公差 $4$（递减），先求项数再求和。
方法概述：确定首项、末项、项数后代入求和公式。
规范步骤：
  1. 第 (1) 题：$(3+30)\times 10\div 2=165$（求和公式）
  2. 第 (2) 题项数：$(41-1)\div 4+1=11$（项数公式）
  3. 第 (2) 题求和：$(41+1)\times 11\div 2=231$（求和公式）
第一套
题目：计算：（1）$5+10+15+\cdots+100$；（2）$81+75+69+\cdots+3$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题）：项数 $=(100-5)\div 5+1=\underline{\quad}$，和 $=(5+100)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(81-3)\div 6+1=\underline{\quad}$，和 $=(81+3)\times 14\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两堆货物：（1）各层 $3,6,9,\cdots,30$ 件，共多少件？（2）另一堆各层 $41,37,33,\cdots,1$ 件，共多少件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 堆）：$(3+30)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 堆）：项数 $=(41-1)\div 4+1=\underline{\quad}$，和 $=(41+1)\times 11\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$6+12+18+\cdots+120$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求项数）：$(120-6)\div 6+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和）：$(6+120)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$(3+6+9+\cdots+30)+(41+37+33+\cdots+1)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一式）：$(3+30)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二式项数）：$(41-1)\div 4+1=\underline{\quad}$，和 $=(41+1)\times 11\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合计）：$165+231=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch09-tuozhan-05】计算：（1）$5+11+17+\cdots+77+83$；（2）$193+187+181+\cdots+103$。
详细思路
是哪类问题：「等差数列求和」类：省略号数列先求项数再求和。
关键切入点：第 (1) 题公差 $6$、首 $5$ 末 $83$；第 (2) 题公差 $6$（递减）、首 $193$ 末 $103$。
方法概述：先求项数再用求和公式。
规范步骤：
  1. 第 (1) 题项数：$(83-5)\div 6+1=14$（项数公式）
  2. 第 (1) 题求和：$(5+83)\times 14\div 2=616$（求和公式）
  3. 第 (2) 题项数：$(193-103)\div 6+1=16$（项数公式）
  4. 第 (2) 题求和：$(193+103)\times 16\div 2=2368$（求和公式）
第一套
题目：计算：（1）$7+15+23+\cdots+167$；（2）$295+288+281+\cdots+106$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题）：项数 $=(167-7)\div 8+1=\underline{\quad}$，和 $=(7+167)\times 21\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(295-106)\div 7+1=\underline{\quad}$，和 $=(295+106)\times 28\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两摞台阶砖数：（1）$5,11,17,\cdots,83$，共多少块？（2）$193,187,181,\cdots,103$，共多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 摞）：项数 $=(83-5)\div 6+1=\underline{\quad}$，和 $=(5+83)\times 14\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 摞）：项数 $=(193-103)\div 6+1=\underline{\quad}$，和 $=(193+103)\times 16\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$4+9+14+\cdots+99$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求项数）：$(99-4)\div 5+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和）：$(4+99)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$(193+187+\cdots+103)-(5+11+\cdots+83)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一式）：$(193+103)\times 16\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二式）：$(5+83)\times 14\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相减）：$2368-616=\underline{\quad}$。
14. 【原题 ch09-tuozhan-06】有一堆粗细均匀的圆木。堆成如图 9-2 的形状，如最上面一层有 $6$ 根，共堆了 $25$ 层。请问：这堆圆木一共有多少根？
详细思路
是哪类问题：「堆垛求和」类：先用通项求末层根数，再用求和公式求总根数。
关键切入点：每层根数首 $6$、公差 $1$、$25$ 层，末层 $=6+24=30$，总数为求和。
方法概述：先求末层根数，再用求和公式求总根数。
规范步骤：
  1. 求末层：$6+(25-1)\times 1=30$（通项公式）
  2. 求总数：$(6+30)\times 25\div 2=450$（求和公式）
第一套
题目：一堆圆木最上层 $8$ 根，每往下一层多 $1$ 根，共 $30$ 层，一共多少根？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求末层）：$8+(30-1)\times 1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求总数）：$(8+37)\times 30\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一摞钢管最上层 $6$ 根，每往下一层多 $1$ 根，共堆 $25$ 层，一共多少根？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求末层）：$6+(25-1)\times 1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求总数）：$(6+30)\times 25\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一堆钢管最上层 $5$ 根，每往下一层多 $2$ 根，共 $20$ 层，一共多少根？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求末层）：$5+(20-1)\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求总数）：$(5+43)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一堆圆木最上层 $6$ 根，每往下一层多 $1$ 根，共 $25$ 层。这堆圆木共多少根？平均每层多少根？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求末层）：$6+24\times 1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求总数）：$(6+30)\times 25\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求平均）：$450\div 25=\underline{\quad}$。
15. 【原题 ch09-tuozhan-07】已知一等差数列第 $8$ 项等于 $50$，第 $15$ 项等于 $71$，请问：（1）这个等差数列的第 $1$ 项是多少？（2）这个等差数列前 $10$ 项的和是多少？
详细思路
是哪类问题：「已知两项求首项与前 n 项和」类：先求公差、首项，再求第 $10$ 项后求和。
关键切入点：第 $15$ 与第 $8$ 项相隔 $7$ 个公差；第 $8$ 与第 $1$ 项也相隔 $7$ 个公差。
方法概述：由两项求公差与首项，再求第 $10$ 项后用求和公式。
规范步骤：
  1. 求公差：$(71-50)\div 7=3$（差除以个数）
  2. 求首项：$50-7\times 3=29$（倒推首项）
  3. 求第 $10$ 项：$29+9\times 3=56$（通项公式）
  4. 求前 $10$ 项和：$(29+56)\times 10\div 2=425$（求和公式）
第一套
题目：一个等差数列第 $8$ 项等于 $60$，第 $15$ 项等于 $116$。求第 $1$ 项及前 $10$ 项的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：$(116-60)\div 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求首项）：$60-7\times 8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求第 $10$ 项）：$4+9\times 8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求前 $10$ 项和）：$(4+76)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一列里程碑间距相等，第 $8$ 块在 $50$ 千米、第 $15$ 块在 $71$ 千米。第 $1$ 块在多少千米？前 $10$ 块里程数之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：$(71-50)\div 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求第 $1$ 块）：$50-7\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求第 $10$ 块）：$29+9\times 3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求前 $10$ 块之和）：$(29+56)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列第 $8$ 项等于 $50$，第 $15$ 项等于 $71$。求第 $1$ 项与第 $20$ 项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：$(71-50)\div 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求首项）：$50-7\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求第 $20$ 项）：$29+(20-1)\times 3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列第 $8$ 项等于 $50$，第 $15$ 项等于 $71$。求第 $1$ 项及前 $15$ 项的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：$(71-50)\div 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求首项）：$50-7\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求前 $15$ 项和）：第 $15$ 项 $=71$，和 $=(29+71)\times 15\div 2=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch09-tuozhan-08】一个等差数列的第 $1$ 项是 $21$，前 $7$ 项的和为 $105$，这个数列的第 $10$ 项是多少？
详细思路
是哪类问题：「已知和与首项求第 n 项」类：由前 $7$ 项和逆推第 $7$ 项，再求公差、第 $10$ 项。
关键切入点：和 $=$（首 $+$ 第 $7$）$\times 7\div 2$，故第 $1$ 项 $+$ 第 $7$ 项 $=105\times 2\div 7=30$；公差可为负。
方法概述：由和求出第 $7$ 项，再求公差，最后求第 $10$ 项。
规范步骤：
  1. 求首末项之和：$105\times 2\div 7=30$（求和公式逆用）
  2. 求第 $7$ 项：$30-21=9$（和减首项）
  3. 求公差：$(9-21)\div 6=-2$（差除以个数）
  4. 求第 $10$ 项：$21+9\times(-2)=3$（通项公式）
第一套
题目：一个等差数列的第 $1$ 项是 $40$，前 $7$ 项的和为 $217$，求第 $10$ 项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求首末之和）：$217\times 2\div 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求第 $7$ 项）：$62-40=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求公差）：$(22-40)\div 6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求第 $10$ 项）：$40+9\times(-3)=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一堆货物分 $7$ 天运走，每天运的件数构成等差数列，第一天运 $21$ 件，$7$ 天共运 $105$ 件。照这个规律，第 $10$ 天会运多少件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求首末之和）：$105\times 2\div 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求第 $7$ 天）：$30-21=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求公差）：$(9-21)\div 6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求第 $10$ 天）：$21+9\times(-2)=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列的第 $1$ 项是 $5$，前 $7$ 项的和为 $77$，求第 $10$ 项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求首末之和）：$77\times 2\div 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求第 $7$ 项）：$22-5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求公差）：$(17-5)\div 6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求第 $10$ 项）：$5+9\times 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列的第 $1$ 项是 $21$，前 $7$ 项的和为 $105$，求第 $10$ 项及前 $10$ 项的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求第 $7$ 项）：$105\times 2\div 7-21=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求公差）：$(9-21)\div 6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求第 $10$ 项）：$21+9\times(-2)=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求前 $10$ 项和）：$(21+3)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
17. 【原题 ch09-tuozhan-09】把 $248$ 表示成 $8$ 个连续偶数的和，其中最大的那个偶数是多少？
详细思路
是哪类问题：「连续偶数分解」类：用和求首末项之和，结合首末项之差求最大项。
关键切入点：$8$ 个连续偶数公差 $2$、$8$ 项：首 $+$ 末 $=248\times 2\div 8$，末 $-$ 首 $=(8-1)\times 2$。
方法概述：用和求首末项之和，结合首末项之差求最大项。
规范步骤：
  1. 求首末之和：$248\times 2\div 8=62$（求和公式逆用）
  2. 求首末之差：$(8-1)\times 2=14$（公差乘间隔）
  3. 求最大项（末项）：$(62+14)\div 2=38$（和差关系）
第一套
题目：把 $470$ 表示成 $10$ 个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求首末之和）：$470\times 2\div 10=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求首末之差）：$(10-1)\times 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求最大项）：$(94+18)\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：$8$ 天摘苹果，每天比前一天多摘 $2$ 筐（都是偶数），$8$ 天共摘 $248$ 筐，最多的一天摘了多少筐？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求首末之和）：$248\times 2\div 8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求首末之差）：$(8-1)\times 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求最多一天）：$(62+14)\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 $245$ 表示成 $7$ 个连续奇数的和，其中最大的奇数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求首末之和）：$245\times 2\div 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求首末之差）：$(7-1)\times 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求最大项）：$(70+12)\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 $248$ 表示成 $8$ 个连续偶数的和，其中最大与最小的偶数各是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求首末之和）：$248\times 2\div 8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求最大项）：末 $-$ 首 $=14$，最大 $=(62+14)\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求最小项）：最小 $=62-38=\underline{\quad}$。
18. 【原题 ch09-tuozhan-10】编号为 $1\sim 9$ 的九个玻璃杯中共放有 $351$ 颗小玻璃珠，除编号为 $1$ 的杯子外，每个杯子里的小玻璃珠都比前一号杯子多同样的颗数。（1）如果 $1$ 号杯子内放了 $11$ 颗小玻璃珠，那么后面的杯子比前一号杯子多放几颗？（2）如果 $3$ 号杯子内放了 $23$ 颗小玻璃珠，那么 $8$ 号杯子中放了几颗？
详细思路
是哪类问题：「中间项与公差求项」类：总和 $\div$ 项数 $=$ 中间项，再由某已知项求公差与指定项。
关键切入点：$9$ 项的中间项是第 $5$ 个 $=351\div 9=39$；由 $1$ 号或 $3$ 号与中间项之差求公差。
方法概述：由总和除以项数得中间项，再求公差与指定项。
规范步骤：
  1. 求中间项（第 $5$ 个）：$351\div 9=39$（求和=中间项×项数）
  2. 第 (1) 问求公差：$(39-11)\div 4=7$（差除以个数）
  3. 第 (2) 问求公差：$(39-23)\div(5-3)=8$（差除以个数）
  4. 第 (2) 问求 $8$ 号：$23+(8-3)\times 8=63$（通项公式）
第一套
题目：编号 $1\sim 11$ 的杯子共放 $407$ 颗珠子，每号比前一号多同样的颗数。（1）若 $1$ 号放 $17$ 颗，每号多几颗？（2）若 $2$ 号放 $25$ 颗，$10$ 号放几颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求中间项，第 $6$ 个）：$407\div 11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：公差 $=(37-17)\div(6-1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：公差 $=(37-25)\div(6-2)=\underline{\quad}$，$10$ 号 $=25+(10-2)\times 3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：$9$ 个书架共放 $351$ 本书，每个比前一个多同样本数。（1）若第 $1$ 个放 $11$ 本，每个多几本？（2）若第 $3$ 个放 $23$ 本，第 $8$ 个放几本？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求中间项，第 $5$ 个）：$351\div 9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：公差 $=(39-11)\div 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：公差 $=(39-23)\div(5-3)=\underline{\quad}$，第 $8$ 个 $=23+(8-3)\times 8=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$7$ 个盒子共放 $259$ 颗珠子，每个比前一个多同样颗数。若 $1$ 号放 $19$ 颗，求公差及 $7$ 号的颗数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求中间项，第 $4$ 个）：$259\div 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求公差）：$(37-19)\div(4-1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求 $7$ 号）：$19+(7-1)\times 6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$9$ 个杯子共放 $351$ 颗珠子，每个比前一个多同样颗数，$3$ 号放 $23$ 颗。求每个杯子比前一个多几颗、$1$ 号与 $9$ 号各几颗。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求中间项，第 $5$ 个）：$351\div 9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求公差）：$(39-23)\div(5-3)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求 $1$ 号）：$39-(5-1)\times 8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求 $9$ 号）：$39+(9-5)\times 8=\underline{\quad}$。
19. 【原题 ch09-tuozhan-11】魔术师表演魔术，刚开始，桌上的盒子里放着 $3$ 个乒乓球。第一次，他从盒子里拿出盒子里乒乓球的 $3$ 倍放回盒子里；第二次，他从盒子里拿出此时盒子里乒乓球的 $3$ 倍放回盒子里……第 $10$ 次，他从盒子里拿出 $10$ 个小球，把每个球变成了 $3$ 个，再全部放回盒子里。请你算一算，现在盒子里一共有多少个乒乓球？
详细思路
是哪类问题：「逐次增长求和」类：每次比原来多的个数构成等差数列，求和后加原有数。
关键切入点：第 $k$ 次拿出 $k$ 个、放回 $3k$ 个，多 $3k-k=2k$ 个；增量 $2,4,\cdots,20$ 是公差 $2$、$10$ 项的等差数列。
方法概述：分析每次增加的个数构成等差数列，求和后加上原有数。
规范步骤：
  1. 找每次增量：$第k次多 3k-k=2k 个$（增量分析）
  2. 增量求和：$(2+20)\times 10\div 2=110$（求和公式）
  3. 加原有数：$110+3=113$（总数）
第一套
题目：盒子里原有 $5$ 个乒乓球。每次拿出盒子里球数的 $3$ 倍放回（第 $k$ 次拿 $k$ 个、放回 $3k$ 个），共做 $12$ 次。现在盒子里有多少个球？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（末次增量）：第 $12$ 次多 $2\times 12=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（增量求和）：$(2+24)\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加原有数）：$156+5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：池塘里原有 $3$ 条鱼。饲养员每次捞出池里鱼数的 $3$ 倍再放回（第 $k$ 次捞 $k$ 条、放回 $3k$ 条），共做 $10$ 次。现在池里有多少条鱼？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（末次增量）：第 $10$ 次多 $2\times 10=\underline{\quad}$ 条。
  2. 第 2 步（增量求和）：$(2+20)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加原有数）：$110+3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：盒子里原有 $2$ 个球。每次拿出盒里球数的 $4$ 倍放回（第 $k$ 次拿 $k$ 个、放回 $4k$ 个），共 $10$ 次。现在有多少个球？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（末次增量）：每次多 $4k-k=3k$，第 $10$ 次多 $3\times 10=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（增量求和）：$(3+30)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加原有数）：$165+2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：盒子里原有 $3$ 个球，每次拿出球数的 $3$ 倍放回，共 $10$ 次。最后共有多少个球？平均每次增加多少个球？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（增量求和）：$(2+20)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（加原有数）：$110+3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（平均每次增量）：$110\div 10=\underline{\quad}$。
20. 【原题 ch09-tuozhan-12】小王和小李同时开始工作。小王第一个月得到 $1000$ 元工资，以后每月多得 $60$ 元；小李第一个月得到 $500$ 元工资，以后每月多得 $45$ 元。两人工作一年后，两人的工资总数相差多少元？
详细思路
是哪类问题：「差额累计应用题」类：每月两人工资差构成等差数列，求前 $12$ 项之和。
关键切入点：首月差 $1000-500=500$；每月差再增 $60-45=15$；$12$ 个月差为首 $500$、公差 $15$、$12$ 项的等差数列。
方法概述：考察每月工资差构成的等差数列，求其前 $12$ 项之和。
规范步骤：
  1. 首月差：$1000-500=500$（初始差）
  2. 每月差增量：$60-45=15$（两人涨幅差）
  3. 末月差：$500+15\times 11=665$（通项公式）
  4. 一年总差：$(500+665)\times 12\div 2=6990$（求和公式）
第一套
题目：小王第一个月 $1500$ 元、以后每月多 $80$ 元；小李第一个月 $700$ 元、以后每月多 $50$ 元。一年后两人工资总数相差多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首月差）：$1500-700=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（每月差增量）：$80-50=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（末月差）：$800+30\times 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（一年总差）：$(800+1130)\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两台机器同时开工。甲第一天产 $1000$ 件、以后每天多产 $60$ 件；乙第一天产 $500$ 件、以后每天多产 $45$ 件。工作 $12$ 天后，两台机器产量总数相差多少件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首日差）：$1000-500=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（每日差增量）：$60-45=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（末日差）：$500+15\times 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（总差）：$(500+665)\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲首月存 $900$ 元、以后每月多存 $50$ 元；乙首月存 $400$ 元、以后每月多存 $30$ 元。一年后两人存款总数相差多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首月差）：$900-400=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（每月差增量）：$50-30=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（末月差）：$500+20\times 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（一年总差）：$(500+720)\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：小王第一个月 $1000$ 元、以后每月多 $60$ 元；小李第一个月 $500$ 元、以后每月多 $45$ 元。一年（$12$ 个月）后两人工资总数相差多少元？前 $6$ 个月两人工资差累计多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（末月差）：$500+15\times 11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（全年总差）：$(500+665)\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 $6$ 月差）：$500+15\times 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（前 $6$ 月差累计）：$(500+575)\times 6\div 2=\underline{\quad}$。
21. 【原题 ch09-tuozhan-13】在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成公差为 $3$ 的等差数列，总分为 $609$，卡莉娅发现自己的分数算少了 $21$ 分，加了 $21$ 分后，他们的成绩还是一个等差数列，请问：卡莉娅正确的分数是多少？
详细思路
是哪类问题：「成绩等差数列推理」类：更正一项后仍为等差数列，推出人数与中间项。
关键切入点：把最低分（首项）加 $21$ 后成为新数列的最高分，须比原最高分恰好多 $1$ 个公差，可推出：加的分数 $=$ 人数 $\times$ 公差，故人数 $=21\div 3=7$；中间项 $=609\div 7=87$。
方法概述：由“更正后仍是等差数列”推出人数，再由总和求中间项，求卡莉娅更正后分数。
规范步骤：
  1. 求人数：$21\div 3=7$（加分=人数×公差）
  2. 求中间项（第 $4$ 名）：$609\div 7=87$（求和=中间项×项数）
  3. 原卡莉娅（首项）：$87-(4-1)\times 3=78$（通项公式）
  4. 更正后分数：$78+21=99$（首项加更正分）
第一套
题目：一组同学的分数构成公差为 $3$ 的等差数列，总分 $810$。卡莉娅发现自己的分数算少了 $27$ 分，加上 $27$ 分后，成绩仍是等差数列。卡莉娅正确的分数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求人数）：人数 $=27\div 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求中间项，第 $5$ 名）：$810\div 9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（原卡莉娅是首项）：$90-(5-1)\times 3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（更正后）：$78+27=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一列数构成公差为 $3$ 的等差数列，总和 $609$。其中最小的一个数被抄少了 $21$，补上 $21$ 后这列数仍是等差数列。这个数正确的值是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求个数）：个数 $=21\div 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求中间数，第 $4$ 个）：$609\div 7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（原来的这个数，即首项）：$87-(4-1)\times 3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（更正后）：$78+21=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一组同学的分数构成公差为 $3$ 的等差数列，总分 $609$。卡莉娅发现自己分数算多了 $21$ 分，减去 $21$ 分后成绩仍是等差数列（她原是最高分）。卡莉娅正确的分数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求人数）：人数 $=21\div 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求中间项，第 $4$ 名）：$609\div 7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（原卡莉娅是末项/最高）：$87+(7-4)\times 3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（更正后）：$96-21=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一组同学的分数构成公差为 $3$ 的等差数列，总分 $609$。卡莉娅分数算少了 $21$ 分，补上后仍是等差数列。求卡莉娅正确的分数，以及更正后全组的总分。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求人数）：$21\div 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求中间项，第 $4$ 名）：$609\div 7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（更正后卡莉娅）：$78+21=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（更正后总分）：$609+21=\underline{\quad}$。
22. 【原题 ch09-tuozhan-14】已知一个等差数列的前 $15$ 项之和为 $450$，前 $20$ 项之和为 $750$，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？
详细思路
是哪类问题：「已知两段和求公差首项」类：用两段前 $n$ 项和分别求出对应两项之和，再求公差与首项。
关键切入点：前 $15$ 项和给出第 $1$ 项 $+$ 第 $15$ 项；前 $20$ 项和给出第 $1$ 项 $+$ 第 $20$ 项；两式相减得第 $20$ 项 $-$ 第 $15$ 项 $=5$ 个公差。
方法概述：用两段前 n 项和分别求出对应两项之和，再求公差与首项。
规范步骤：
  1. 第 $1$+第 $15$ 项：$450\times 2\div 15=60$（求和公式逆用）
  2. 第 $1$+第 $20$ 项：$750\times 2\div 20=75$（求和公式逆用）
  3. 求公差：$(75-60)\div 5=3$（两式相减除以间隔）
  4. 求首项：$2\times 首项+42=60，首项=(60-14\times 3)\div 2=9$（代回求首项）
第一套
题目：一个等差数列前 $15$ 项之和为 $570$，前 $20$ 项之和为 $960$，求公差与首项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 $1$+第 $15$ 项）：$570\times 2\div 15=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 $1$+第 $20$ 项）：$960\times 2\div 20=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 $20$ 与第 $15$ 项之差）：$96-76=\underline{\quad}$，公差 $=20\div 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求首项）：$(76-14\times 4)\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一列货车前 $15$ 节共装 $450$ 吨、前 $20$ 节共装 $750$ 吨，各节装货量构成等差数列。相邻两节相差多少吨？第 $1$ 节装多少吨？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 $1$+第 $15$ 节）：$450\times 2\div 15=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 $1$+第 $20$ 节）：$750\times 2\div 20=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 $20$ 与第 $15$ 节之差）：$75-60=\underline{\quad}$，公差 $=15\div 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求第 $1$ 节）：$(60-14\times 3)\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列前 $10$ 项之和为 $210$，前 $15$ 项之和为 $465$，求公差与首项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 $1$+第 $10$ 项）：$210\times 2\div 10=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 $1$+第 $15$ 项）：$465\times 2\div 15=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 $15$ 与第 $10$ 项之差）：$62-42=\underline{\quad}$，公差 $=20\div 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求首项）：$(42-9\times 4)\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列前 $15$ 项之和为 $450$，前 $20$ 项之和为 $750$，求公差、首项及第 $20$ 项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 $1$+第 $15$ 项）：$450\times 2\div 15=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 $1$+第 $20$ 项）：$750\times 2\div 20=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求公差）：$(75-60)\div 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求首项）：$(60-14\times 3)\div 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求第 $20$ 项）：$9+(20-1)\times 3=\underline{\quad}$。
23. 【原题 ch09-xingqu-01】数列 $2,4,6,8,10,\cdots$ 中，$50$ 是第几个数？
详细思路
是哪类问题：「等差数列求项数」类：给出首项、公差和某个数，问它是第几项。
关键切入点：认出这是首项 $2$、公差 $2$ 的等差数列，要求的“第几个”就是项数。项数 $=$（末项 $-$ 首项）$\div$ 公差 $+1$：其中（末项 $-$ 首项）$\div$ 公差是从首项走到末项跨了几个公差，$+1$ 把首项本身也数进去。
方法概述：用项数公式 项数 $=$（末项 $-$ 首项）$\div$ 公差 $+1$。
规范步骤：
  1. 认出首项 $2$、公差 $2$：$公差=4-2=2$（相邻两项之差）
  2. 求从首项到 $50$ 跨了几个公差：$(50-2)\div 2=24$（差除以公差）
  3. 加 $1$ 得项数：$24+1=25$（项数公式）
第一套
题目：数列 $3,7,11,15,\cdots$ 中，$99$ 是第几个数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出公差）：相邻两项相减，公差 $=7-3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（跨几个公差）：从首项走到 $99$，$(99-3)\div 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加 $1$ 得项数）：$24+1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：剧场座位从前往后每排比前一排多 $2$ 个：第 $1$ 排 $2$ 个，第 $2$ 排 $4$ 个……有一排恰好 $50$ 个座位，它是第几排？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出公差）：每排比前排多，公差 $=4-2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（跨几个公差）：$(50-2)\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加 $1$ 得排号）：$24+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把比 $10$ 大的偶数从小到大排成一列，$100$ 是第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定首项）：比 $10$ 大的最小偶数是 $12$，公差 $=14-12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（跨几个公差）：$(100-12)\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加 $1$ 得项数）：$44+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：数列 $2,4,6,8,\cdots,50$ 一共有多少项？这些数的和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求项数）：$(50-2)\div 2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和公式）：和 $=$（首项 $+$ 末项）$\times$ 项数 $\div 2=(2+50)\times 25\div 2=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch09-xingqu-02】数列 $1,3,5,7,9,11,\cdots$ 中，第 $20$ 项是多少？
详细思路
是哪类问题：「等差数列求第 n 项（通项）」类：已知首项、公差，求指定项。
关键切入点：首项 $1$、公差 $2$，第 $20$ 项 $=$ 首项 $+(20-1)$ 个公差。通项公式把“走了几步”乘公差再加首项。
方法概述：用通项公式 末项 $=$ 首项 $+$（项数 $-1$）$\times$ 公差。
规范步骤：
  1. 认出公差：$公差=3-1=2$（相邻两项之差）
  2. 算走过的公差个数：$(20-1)\times 2=38$（项数减一乘公差）
  3. 加首项：$1+38=39$（通项公式）
第一套
题目：数列 $4,9,14,19,\cdots$ 中，第 $30$ 项是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出公差）：公差 $=9-4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（走过的公差个数）：$(30-1)\times 5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加首项）：$4+145=\underline{\quad}$。
第二套
题目：小高存钱：第 $1$ 天存 $1$ 元，以后每天都比前一天多存 $2$ 元。第 $20$ 天存多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出公差）：公差 $=3-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（走过的公差个数）：$(20-1)\times 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加首项）：$1+38=\underline{\quad}$。
第三套
题目：数列 $100,97,94,\cdots$ 中，第 $25$ 项是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出公差）：公差 $=97-100=\underline{\quad}$（每项减小）。
  2. 第 2 步（走过的公差）：$(25-1)\times(-3)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加首项）：$100+(-72)=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列第 $3$ 项是 $10$，第 $8$ 项是 $25$，第 $20$ 项是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：第 $8$ 项与第 $3$ 项相差 $(8-3)=5$ 个公差，公差 $=(25-10)\div 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求首项）：首项 $=$ 第 $3$ 项 $-(3-1)\times$ 公差 $=10-2\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求第 $20$ 项）：$4+(20-1)\times 3=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch09-xingqu-03】（1）$2,5,8,11,14,\cdots$，上面是按规律排列的一串数，其中第 $21$ 项是多少？（2）把比 $100$ 大的奇数从小到大排成一列，其中第 $21$ 个是多少？
详细思路
是哪类问题：「求第 n 项」类，两小问：一问一般等差，一问“比某数大的奇数”。
关键切入点：关键都是先定首项与公差再用通项公式。（2）中比 $100$ 大的最小奇数是 $101$，公差 $2$。
方法概述：确定首项与公差后代入通项公式。
规范步骤：
  1. 第 (1) 问：首 $2$ 公差 $3$：$2+(21-1)\times 3=62$（通项公式）
  2. 第 (2) 问：首 $101$ 公差 $2$：$101+(21-1)\times 2=141$（连续奇数通项）
第一套
题目：（1）$3,8,13,\cdots$ 的第 $30$ 项是多少？（2）把比 $200$ 大的奇数从小到大排列，第 $30$ 个是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：首项 $3$、公差 $=8-3=\underline{\quad}$，第 $30$ 项 $=3+(30-1)\times 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：比 $200$ 大的最小奇数是 $201$、公差 $2$，第 $30$ 个 $=201+(30-1)\times 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：（1）阶梯教室第 $1$ 排 $2$ 盏灯，每排比前排多 $3$ 盏，第 $21$ 排有几盏？（2）某街门牌号都是比 $100$ 大的奇数，从小到大第 $21$ 个门牌号是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：首项 $2$、公差 $3$，第 $21$ 排 $=2+(21-1)\times 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：首项 $101$、公差 $2$，第 $21$ 个 $=101+(21-1)\times 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把比 $50$ 大的偶数从小到大排成一列，第 $25$ 个是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定首项）：比 $50$ 大的最小偶数是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（代入通项）：首项 $52$、公差 $2$，第 $25$ 个 $=52+(25-1)\times 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：数列 $2,5,8,\cdots$ 的前 $21$ 项的和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求末项）：第 $21$ 项 $=2+(21-1)\times 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和公式）：和 $=(2+62)\times 21\div 2=\underline{\quad}$。
26. 【原题 ch09-xingqu-04】如图 9-1，有一堆按规律摆放的砖。从上往下数，第 $1$ 层有 $1$ 块砖，第 $2$ 层有 $5$ 块砖，第 $3$ 层有 $9$ 块砖……按照这样的规律，第 $19$ 层有多少块砖？
详细思路
是哪类问题：「图形规律求第 n 项」类：从图形抽象出每层数量的等差数列。
关键切入点：每层砖数 $1,5,9,\cdots$ 是首项 $1$、公差 $4$ 的等差数列，第 $19$ 层用通项公式求。
方法概述：从图形抽象出每层砖数的等差数列，再用通项公式求末项。
规范步骤：
  1. 认出公差：$公差=5-1=4$（相邻层之差）
  2. 走过的公差个数：$(19-1)\times 4=72$（项数减一乘公差）
  3. 加首层：$1+72=73$（通项公式）
第一套
题目：一堆砖，第 $1$ 层 $1$ 块，第 $2$ 层 $6$ 块，第 $3$ 层 $11$ 块……第 $25$ 层有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出公差）：公差 $=6-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（走过的公差）：$(25-1)\times 5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加首层）：$1+120=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一段台阶，第 $1$ 级铺 $1$ 块石板，第 $2$ 级 $5$ 块，第 $3$ 级 $9$ 块……第 $19$ 级铺多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出公差）：公差 $=5-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（走过的公差）：$(19-1)\times 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加首级）：$1+72=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一堆钢管，最上层 $3$ 根，每往下一层多 $2$ 根，第 $20$ 层有多少根？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（走过的公差）：公差 $2$，$(20-1)\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（加首层）：$3+38=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一堆砖第 $1$ 层 $1$ 块、第 $2$ 层 $5$ 块、第 $3$ 层 $9$ 块……共 $19$ 层。这堆砖一共有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求末层）：第 $19$ 层 $=1+(19-1)\times 4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求总数）：总数 $=(1+73)\times 19\div 2=\underline{\quad}$。
27. 【原题 ch09-xingqu-05】已知一个等差数列第 $9$ 项等于 $131$，第 $10$ 项等于 $137$，这个数列的第 $1$ 项是多少？第 $19$ 项是多少？
详细思路
是哪类问题：「已知两项求其它项」类：先由相邻两项求公差，再倒推首项、正推其它项。
关键切入点：第 $10$ 项 $-$ 第 $9$ 项 $=$ 公差 $=6$；第 $1$ 项 $=$ 第 $9$ 项 $-8$ 个公差；也可用第 $10$ 项是第 $1$、$19$ 项的中间项。
方法概述：先求公差，再用通项公式推第 $1$、$19$ 项；或用中间项二倍关系。
规范步骤：
  1. 相邻项求公差：$公差=137-131=6$（相邻两项之差）
  2. 倒推首项：$131-(9-1)\times 6=83$（通项公式）
  3. 正推第 $19$ 项：$83+(19-1)\times 6=191$（通项公式）
第一套
题目：一个等差数列第 $9$ 项等于 $200$，第 $10$ 项等于 $212$，求第 $1$ 项与第 $19$ 项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：公差 $=212-200=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倒推首项）：第 $1$ 项 $=200-(9-1)\times 12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（正推第 $19$ 项）：$104+(19-1)\times 12=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一座塔各层地面高度构成等差数列：第 $9$ 层高 $131$ 米、第 $10$ 层高 $137$ 米。第 $1$ 层与第 $19$ 层各高多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：公差 $=137-131=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倒推第 $1$ 层）：$131-(9-1)\times 6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（正推第 $19$ 层）：$83+(19-1)\times 6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列第 $9$ 项等于 $131$、第 $10$ 项等于 $137$。已知第 $10$ 项是第 $1$ 项与第 $19$ 项的中间项，求第 $19$ 项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差与首项）：公差 $=137-131=\underline{\quad}$，首项 $=131-8\times 6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（中间项性质）：第 $10$ 项是第 $1$、$19$ 项的中间项，故第 $1$ 项 $+$ 第 $19$ 项 $=137\times 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求第 $19$ 项）：$274-83=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列第 $9$ 项等于 $131$、第 $10$ 项等于 $137$。求第 $1$ 项及前 $10$ 项的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：公差 $=137-131=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求首项）：$131-8\times 6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求前 $10$ 项和）：和 $=(83+137)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
28. 【原题 ch09-xingqu-06】墨莫先在黑板上写了一个等差数列，刚写完小高就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只剩下第四个数 $31$ 和第十个数 $73$。你能算出这个等差数列的公差与首项吗？
详细思路
是哪类问题：「已知两项求公差与首项」类：两个不相邻项之间相隔若干个公差。
关键切入点：第 $10$ 项与第 $4$ 项相隔 $10-4=6$ 个公差，故公差 $=(73-31)\div 6$；再倒推首项。
方法概述：由两个已知项相隔的公差个数求公差，再倒推首项。
规范步骤：
  1. 求相隔公差个数：$10-4=6$（项数之差）
  2. 求公差：$(73-31)\div 6=7$（差除以个数）
  3. 倒推首项：$31-(4-1)\times 7=10$（通项公式）
第一套
题目：一个等差数列的第 $4$ 项是 $50$，第 $10$ 项是 $122$，求它的公差与首项。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相隔个数）：$10-4=\underline{\quad}$ 个公差。
  2. 第 2 步（求公差）：$(122-50)\div 6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（倒推首项）：$50-(4-1)\times 12=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一段楼梯各级离地高度构成等差数列，第 $4$ 级离地 $31$ 厘米、第 $10$ 级离地 $73$ 厘米。每级比下一级高多少厘米？第 $1$ 级离地多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相隔个数）：$10-4=\underline{\quad}$ 个高度差。
  2. 第 2 步（每级高度差）：$(73-31)\div 6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 $1$ 级）：$31-(4-1)\times 7=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列共 $12$ 项，第 $4$ 项是 $31$、第 $10$ 项是 $73$，求公差与末项（第 $12$ 项）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：$(73-31)\div 6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求末项）：末项 $=$ 第 $4$ 项 $+(12-4)\times 7=31+8\times 7=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等差数列的第 $4$ 项是 $31$、第 $10$ 项是 $73$，求首项及前 $10$ 项的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公差）：$(73-31)\div 6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求首项）：$31-3\times 7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求前 $10$ 项和）：第 $10$ 项 $=73$，和 $=(10+73)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
29. 【原题 ch09-xingqu-07】体育课上老师指挥大家排一排，墨莫站排头，小高站排尾，从排头到排尾依次报数。（1）如果墨莫报 $3$，小高报 $25$，每位同学报的数都比前一位多 $2$，那么队伍里一共有多少人？（2）如果墨莫报 $17$，小高报 $150$，每位同学报的数都比前一位多 $7$，那么队伍里一共有多少人？
详细思路
是哪类问题：「报数求项数」类应用：把报数看成等差数列，人数就是项数。
关键切入点：首项、末项是排头排尾报的数，公差是每人比前一位多的数，用项数公式求人数。
方法概述：把报数转化为等差数列，用项数公式求人数。
规范步骤：
  1. 第 (1) 问：首 $3$ 末 $25$ 公差 $2$：$(25-3)\div 2+1=12$（项数公式）
  2. 第 (2) 问：首 $17$ 末 $150$ 公差 $7$：$(150-17)\div 7+1=20$（项数公式）
第一套
题目：排头报 $5$、排尾报 $95$、每人比前一位多 $3$，共多少人？（2）排头报 $12$、排尾报 $152$、每人多 $7$，共多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：$(95-5)\div 3+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：$(152-12)\div 7+1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一排灯柱依次编号报数。（1）第一根报 $3$、最后一根报 $25$，每根比前一根多 $2$，共几根？（2）第一根报 $17$、最后一根报 $150$，每根多 $7$，共几根？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：$(25-3)\div 2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：$(150-17)\div 7+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：从大到小报数：排头报 $100$，排尾报 $40$，每人比前一位少报 $4$，共多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求首末之差）：$100-40=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求项数）：$60\div 4+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：排头报 $3$、排尾报 $25$、每人比前一位多 $2$。共多少人？所有人报的数之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求人数）：$(25-3)\div 2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求总和）：和 $=(3+25)\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
30. 【原题 ch09-xingqu-08】计算：（1）$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12$；（2）$11+12+13+14+15+16+17+18+19$。
详细思路
是哪类问题：「连续整数求和」类：确定首项、末项、项数后代入求和公式。
关键切入点：和 $=$（首项 $+$ 末项）$\times$ 项数 $\div 2$，本质是把首尾配对，每对之和相同。
方法概述：确定首项、末项、项数后代入求和公式。
规范步骤：
  1. 第 (1) 题：$1$ 到 $12$：$(1+12)\times 12\div 2=78$（求和公式）
  2. 第 (2) 题：$11$ 到 $19$（$9$ 项）：$(11+19)\times 9\div 2=135$（求和公式）
第一套
题目：计算：（1）$1+2+\cdots+20$；（2）$21+22+\cdots+40$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题）：$20$ 项，和 $=(1+20)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(40-21)+1=\underline{\quad}$，和 $=(21+40)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：剧场座位：第 $1$ 排 $1$ 个……第 $12$ 排 $12$ 个，前 $12$ 排共多少个？第 $11$ 到 $19$ 排（每排等于排号个数）共多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（前 $12$ 排）：$(1+12)\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 $11$ 到 $19$ 排）：$(11+19)\times 9\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$2+4+6+\cdots+20$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求项数）：$(20-2)\div 2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和）：$(2+20)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$1$ 到 $20$ 所有数的和是多少？其中的奇数 $1+3+5+\cdots+19$ 的和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全部和）：$(1+20)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（奇数项数）：$(19-1)\div 2+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（奇数和）：$(1+19)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch09-xingqu-09】计算：（1）$100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90$；（2）$21+19+17+\cdots+3+1$。
详细思路
是哪类问题：「等差数列求和」类：求和与顺序无关，先定项数再用求和公式。
关键切入点：第 (1) 题倒序连续整数，首 $100$ 末 $90$ 共 $11$ 项；第 (2) 题公差 $2$ 先求项数。
方法概述：先确定项数，再用求和公式。
规范步骤：
  1. 第 (1) 题：首 $100$ 末 $90$ 共 $11$ 项：$(100+90)\times 11\div 2=1045$（求和公式）
  2. 第 (2) 题：项数：$(21-1)\div 2+1=11$（项数公式）
  3. 第 (2) 题：求和：$(21+1)\times 11\div 2=121$（求和公式）
第一套
题目：计算：（1）$200+199+\cdots+180$；（2）$41+39+37+\cdots+3+1$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题）：项数 $=(200-180)+1=\underline{\quad}$，和 $=(200+180)\times 21\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(41-1)\div 2+1=\underline{\quad}$，和 $=(41+1)\times 21\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：（1）从 $100$ 层往下数到 $90$ 层，各层台数依次为 $100,99,\cdots,90$，共多少台？（2）倒数报数 $21,19,17,\cdots,1$ 的和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题）：$(100+90)\times 11\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(21-1)\div 2+1=\underline{\quad}$，和 $=(21+1)\times 11\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$100+97+94+\cdots+1$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求项数）：公差 $3$，$(100-1)\div 3+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和）：$(100+1)\times 34\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$(100+99+\cdots+90)-(1+2+\cdots+11)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一段和）：$(100+90)\times 11\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二段和）：$(1+11)\times 11\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相减）：$1045-66=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch09-xingqu-10】计算：（1）$2+6+10+\cdots+90$；（2）$41+44+47+\cdots+101$。
详细思路
是哪类问题：「先求项数再求和」类：省略号数列先用项数公式补出项数，再求和。
关键切入点：第 (1) 题公差 $4$、第 (2) 题公差 $3$，都要先算项数才能求和。
方法概述：先用项数公式求项数，再代入求和公式。
规范步骤：
  1. 第 (1) 题项数：$(90-2)\div 4+1=23$（项数公式）
  2. 第 (1) 题求和：$(2+90)\times 23\div 2=1058$（求和公式）
  3. 第 (2) 题项数：$(101-41)\div 3+1=21$（项数公式）
  4. 第 (2) 题求和：$(41+101)\times 21\div 2=1491$（求和公式）
第一套
题目：计算：（1）$3+8+13+\cdots+153$；（2）$52+56+60+\cdots+152$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题）：项数 $=(153-3)\div 5+1=\underline{\quad}$，和 $=(3+153)\times 31\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(152-52)\div 4+1=\underline{\quad}$，和 $=(52+152)\times 26\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：堆放货物：（1）各层件数为 $2,6,10,\cdots,90$，共多少件？（2）另一堆各层为 $41,44,47,\cdots,101$，共多少件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 堆）：项数 $=(90-2)\div 4+1=\underline{\quad}$，和 $=(2+90)\times 23\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 堆）：项数 $=(101-41)\div 3+1=\underline{\quad}$，和 $=(41+101)\times 21\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$5+10+15+\cdots+100$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求项数）：$(100-5)\div 5+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和）：$(5+100)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$2+6+10+\cdots+90$ 的和是多少？这些数的平均数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求项数）：$(90-2)\div 4+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和）：$(2+90)\times 23\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求平均数）：$1058\div 23=\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch09-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（化为两数之积）：由 $(1+n)\times n\div 2=300$，两边乘 $2$ 得 $n\times(n+1)=300\times 2=\underline{600}$。
    2. 第 2 步（试相邻两整数求最上层枝数）：找相邻两整数使乘积为 $600$；由 $24\times 25=600$，取较小的那个，得最上层 $n=\underline{24}$ 枝。
    3. 第 3 步（验证）：代回 $(1+24)\times 24\div 2=300$，与总数 $300$ 相符。
    最终答案：$24$ 枝。
  2. 1. ch09-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（化为两数之积）：由 $(1+n)\times n\div 2=210$，两边乘 $2$ 得 $n\times(n+1)=210\times 2=\underline{420}$。
    2. 第 2 步（试相邻两整数求最下层根数）：找相邻两整数使乘积为 $420$；由 $20\times 21=420$，取较小的那个，得最下层 $n=\underline{20}$ 根。
    3. 第 3 步（验证）：代回 $(1+20)\times 20\div 2=210$，与总数 $210$ 相符。
    最终答案：$20$ 根。
  3. 1. ch09-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（化为两数之积）：由 $(1+n)\times n\div 2=253$，两边乘 $2$ 得 $n\times(n+1)=253\times 2=\underline{506}$。
    2. 第 2 步（试相邻两整数求最下层根数）：找相邻两整数使乘积为 $506$；由 $22\times 23=506$，取较小的那个，得最下层 $n=\underline{22}$ 根。
    3. 第 3 步（验证）：代回 $(1+22)\times 22\div 2=253$，与总数 $253$ 相符。
    最终答案：$22$ 根。
  4. 1. ch09-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（求层数）：$n\times(n+1)=210\times 2=\underline{420}$，得 $n=20$。
    2. 第 2 步（偶数层求和）：偶数层枝数 $2,4,\cdots,20$ 共 $10$ 层，和 $=(2+20)\times 10\div 2=\underline{110}$。
    3. 第 3 步（奇数层求和）：$210-110=\underline{100}$。
    最终答案：$20$ 层；偶数层 $110$ 枝，奇数层 $100$ 枝。
  5. 3. ch09-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（前 $5$ 个差之和）：$3+6+9+12+15=\underline{45}$。
    2. 第 2 步（后 $5$ 个差之和）：$4+8+12+16+20=\underline{60}$。
    3. 第 3 步（列方程）：$11a-45-60=225$，即 $11a=225+105=\underline{330}$。
    4. 第 4 步（求中间数）：$330\div 11=\underline{30}$。
    最终答案：$30$。
  6. 3. ch09-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（一侧 $5$ 座差之和）：$2+4+6+8+10=\underline{30}$。
    2. 第 2 步（另一侧 $5$ 座差之和）：$3+6+9+12+15=\underline{45}$。
    3. 第 3 步（列方程）：$11a-75=200$，即 $11a=200+75=\underline{275}$。
    4. 第 4 步（求中间那座）：$275\div 11=\underline{25}$。
    最终答案：$25$ 米。
  7. 3. ch09-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（前 $4$ 个差之和）：$2+4+6+8=\underline{20}$。
    2. 第 2 步（后 $4$ 个差之和）：$3+6+9+12=\underline{30}$。
    3. 第 3 步（列方程）：$9a-50=220$，即 $9a=220+50=\underline{270}$。
    4. 第 4 步（求中间数）：$270\div 9=\underline{30}$。
    最终答案：$30$。
  8. 3. ch09-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求中间数）：$11a-75=200$，$a=275\div 11=\underline{25}$。
    2. 第 2 步（最前一个）：$25-10=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（最后一个）：$25-15=\underline{10}$。
    最终答案：中间数 $25$；最小的数是 $10$（最后一个）。
  9. 5. ch09-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（首差）：$2000-1=\underline{1999}$。
    2. 第 2 步（每次差缩小）：$7+3=\underline{10}$。
    3. 第 3 步（求项数）：$1999\div 10=199$ 余 $9$，余数 $9>0$ 仍满足，项数 $=199+1=\underline{200}$。
    4. 第 4 步（末算式）：被减数 $=2000-(200-1)\times 7=\underline{607}$，减数 $=1+(200-1)\times 3=\underline{598}$。
    最终答案：$200$ 个；最后算式为 $607-598$。
  10. 5. ch09-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（首次差）：$1000-1=\underline{999}$。
    2. 第 2 步（每次差缩小）：$7+3=\underline{10}$。
    3. 第 3 步（求次数）：$999\div 10=99$ 余 $9$，项数 $=99+1=\underline{100}$。
    4. 第 4 步（最后一次）：甲 $=1000-(100-1)\times 7=\underline{307}$，乙 $=1+(100-1)\times 3=\underline{298}$。
    最终答案：$100$ 次；最后甲 $307$、乙 $298$ 毫升。
  11. 5. ch09-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（首差）：$900-2=\underline{898}$。
    2. 第 2 步（每次差缩小）：$7+4=\underline{11}$。
    3. 第 3 步（求项数）：$898\div 11=81$ 余 $7$，余数 $7>0$ 仍满足，项数 $=81+1=\underline{82}$。
    4. 第 4 步（末算式）：被减数 $=900-(82-1)\times 7=\underline{333}$，减数 $=2+(82-1)\times 4=\underline{326}$。
    最终答案：$82$ 个；最后算式为 $333-326$。
  12. 5. ch09-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求项数）：$(1000-307)\div 7+1=\underline{100}$。
    2. 第 2 步（被减数求和）：被减数是首 $1000$、末 $307$、$100$ 项的等差数列，和 $=(1000+307)\times 100\div 2=\underline{65350}$。
    最终答案：$100$ 个算式；被减数之和 $65350$。
  13. 9. ch09-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题）：末项 $=30+(15-1)\times 3=\underline{72}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 题）：首项 $=200+(15-1)\times 8=\underline{312}$。
    最终答案：（1）$72$；（2）$312$。
  14. 9. ch09-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 题）：末项 $=23+(13-1)\times 2=\underline{47}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 题）：首项 $=125+(13-1)\times 7=\underline{209}$。
    最终答案：（1）$47$ 元；（2）$209$ 度。
  15. 9. ch09-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（走过的公差）：$(20-1)\times 4=\underline{76}$。
    2. 第 2 步（加首项）：$7+76=\underline{83}$。
    最终答案：$83$。
  16. 9. ch09-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（求首项）：$125+(13-1)\times 7=\underline{209}$。
    2. 第 2 步（求和）：$(209+125)\times 13\div 2=\underline{2171}$。
    最终答案：首项 $209$；和 $2171$。
  17. 10. ch09-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（相隔个数）：$10-1=\underline{9}$ 个公差。
    2. 第 2 步（求公差）：$(238-13)\div 9=\underline{25}$。
    3. 第 3 步（求第 $19$ 项）：$13+(19-1)\times 25=\underline{463}$。
    最终答案：公差 $25$；第 $19$ 项 $463$。
  18. 10. ch09-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（求公差）：$(200-11)\div 9=\underline{21}$。
    2. 第 2 步（求第 $19$ 个）：$11+(19-1)\times 21=\underline{389}$。
    最终答案：相距 $21$ 米；第 $19$ 个在 $389$ 米处。
  19. 10. ch09-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（中间项性质）：第 $1$ 项 $+$ 第 $19$ 项 $=200\times 2=\underline{400}$。
    2. 第 2 步（求第 $19$ 项）：$400-11=\underline{389}$。
    最终答案：第 $19$ 项为 $389$。
  20. 10. ch09-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求公差）：$(200-11)\div 9=\underline{21}$。
    2. 第 2 步（求第 $19$ 项）：$11+18\times 21=\underline{389}$。
    3. 第 3 步（求前 $19$ 项和）：$(11+389)\times 19\div 2=\underline{3800}$。
    最终答案：公差 $21$；前 $19$ 项和 $3800$。
  21. 11. ch09-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（求天数）：$(65-20)\div 5+1=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（求总页数）：$(20+65)\times 10\div 2=\underline{425}$。
    最终答案：$10$ 天；$425$ 页。
  22. 11. ch09-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（求小时数）：$(36-15)\div 3+1=\underline{8}$。
    2. 第 2 步（求总块数）：$(15+36)\times 8\div 2=\underline{204}$。
    最终答案：$8$ 小时；$204$ 块。
  23. 11. ch09-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求天数）：$(64-40)\div 4+1=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（求总页数）：$(40+64)\times 7\div 2=\underline{364}$。
    最终答案：$7$ 天；$364$ 页。
  24. 11. ch09-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求天数）：$(36-15)\div 3+1=\underline{8}$。
    2. 第 2 步（第 $5$ 天页数）：$15+(5-1)\times 3=\underline{27}$。
    3. 第 3 步（全书页数）：$(15+36)\times 8\div 2=\underline{204}$。
    最终答案：$8$ 天；第 $5$ 天 $27$ 页；全书 $204$ 页。
  25. 12. ch09-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题）：项数 $=(100-5)\div 5+1=\underline{20}$，和 $=(5+100)\times 20\div 2=\underline{1050}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(81-3)\div 6+1=\underline{14}$，和 $=(81+3)\times 14\div 2=\underline{588}$。
    最终答案：（1）$1050$；（2）$588$。
  26. 12. ch09-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 堆）：$(3+30)\times 10\div 2=\underline{165}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 堆）：项数 $=(41-1)\div 4+1=\underline{11}$，和 $=(41+1)\times 11\div 2=\underline{231}$。
    最终答案：（1）$165$ 件；（2）$231$ 件。
  27. 12. ch09-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求项数）：$(120-6)\div 6+1=\underline{20}$。
    2. 第 2 步（求和）：$(6+120)\times 20\div 2=\underline{1260}$。
    最终答案：$1260$。
  28. 12. ch09-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（第一式）：$(3+30)\times 10\div 2=\underline{165}$。
    2. 第 2 步（第二式项数）：$(41-1)\div 4+1=\underline{11}$，和 $=(41+1)\times 11\div 2=\underline{231}$。
    3. 第 3 步（合计）：$165+231=\underline{396}$。
    最终答案：$396$。
  29. 13. ch09-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题）：项数 $=(167-7)\div 8+1=\underline{21}$，和 $=(7+167)\times 21\div 2=\underline{1827}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(295-106)\div 7+1=\underline{28}$，和 $=(295+106)\times 28\div 2=\underline{5614}$。
    最终答案：（1）$1827$；（2）$5614$。
  30. 13. ch09-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 摞）：项数 $=(83-5)\div 6+1=\underline{14}$，和 $=(5+83)\times 14\div 2=\underline{616}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 摞）：项数 $=(193-103)\div 6+1=\underline{16}$，和 $=(193+103)\times 16\div 2=\underline{2368}$。
    最终答案：（1）$616$ 块；（2）$2368$ 块。
  31. 13. ch09-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求项数）：$(99-4)\div 5+1=\underline{20}$。
    2. 第 2 步（求和）：$(4+99)\times 20\div 2=\underline{1030}$。
    最终答案：$1030$。
  32. 13. ch09-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（第一式）：$(193+103)\times 16\div 2=\underline{2368}$。
    2. 第 2 步（第二式）：$(5+83)\times 14\div 2=\underline{616}$。
    3. 第 3 步（相减）：$2368-616=\underline{1752}$。
    最终答案：$1752$。
  33. 14. ch09-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（求末层）：$8+(30-1)\times 1=\underline{37}$。
    2. 第 2 步（求总数）：$(8+37)\times 30\div 2=\underline{675}$。
    最终答案：$675$ 根。
  34. 14. ch09-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（求末层）：$6+(25-1)\times 1=\underline{30}$。
    2. 第 2 步（求总数）：$(6+30)\times 25\div 2=\underline{450}$。
    最终答案：$450$ 根。
  35. 14. ch09-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求末层）：$5+(20-1)\times 2=\underline{43}$。
    2. 第 2 步（求总数）：$(5+43)\times 20\div 2=\underline{480}$。
    最终答案：$480$ 根。
  36. 14. ch09-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求末层）：$6+24\times 1=\underline{30}$。
    2. 第 2 步（求总数）：$(6+30)\times 25\div 2=\underline{450}$。
    3. 第 3 步（求平均）：$450\div 25=\underline{18}$。
    最终答案：$450$ 根；平均每层 $18$ 根。
  37. 15. ch09-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（求公差）：$(116-60)\div 7=\underline{8}$。
    2. 第 2 步（求首项）：$60-7\times 8=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（求第 $10$ 项）：$4+9\times 8=\underline{76}$。
    4. 第 4 步（求前 $10$ 项和）：$(4+76)\times 10\div 2=\underline{400}$。
    最终答案：（1）$4$；（2）$400$。
  38. 15. ch09-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（求公差）：$(71-50)\div 7=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（求第 $1$ 块）：$50-7\times 3=\underline{29}$。
    3. 第 3 步（求第 $10$ 块）：$29+9\times 3=\underline{56}$。
    4. 第 4 步（求前 $10$ 块之和）：$(29+56)\times 10\div 2=\underline{425}$。
    最终答案：第 $1$ 块 $29$ 千米；前 $10$ 块和 $425$。
  39. 15. ch09-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求公差）：$(71-50)\div 7=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（求首项）：$50-7\times 3=\underline{29}$。
    3. 第 3 步（求第 $20$ 项）：$29+(20-1)\times 3=\underline{86}$。
    最终答案：第 $1$ 项 $29$；第 $20$ 项 $86$。
  40. 15. ch09-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求公差）：$(71-50)\div 7=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（求首项）：$50-7\times 3=\underline{29}$。
    3. 第 3 步（求前 $15$ 项和）：第 $15$ 项 $=71$，和 $=(29+71)\times 15\div 2=\underline{750}$。
    最终答案：第 $1$ 项 $29$；前 $15$ 项和 $750$。
  41. 16. ch09-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（求首末之和）：$217\times 2\div 7=\underline{62}$。
    2. 第 2 步（求第 $7$ 项）：$62-40=\underline{22}$。
    3. 第 3 步（求公差）：$(22-40)\div 6=\underline{-3}$。
    4. 第 4 步（求第 $10$ 项）：$40+9\times(-3)=\underline{13}$。
    最终答案：$13$。
  42. 16. ch09-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（求首末之和）：$105\times 2\div 7=\underline{30}$。
    2. 第 2 步（求第 $7$ 天）：$30-21=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（求公差）：$(9-21)\div 6=\underline{-2}$。
    4. 第 4 步（求第 $10$ 天）：$21+9\times(-2)=\underline{3}$。
    最终答案：$3$ 件。
  43. 16. ch09-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（求首末之和）：$77\times 2\div 7=\underline{22}$。
    2. 第 2 步（求第 $7$ 项）：$22-5=\underline{17}$。
    3. 第 3 步（求公差）：$(17-5)\div 6=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（求第 $10$ 项）：$5+9\times 2=\underline{23}$。
    最终答案：$23$。
  44. 16. ch09-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（求第 $7$ 项）：$105\times 2\div 7-21=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（求公差）：$(9-21)\div 6=\underline{-2}$。
    3. 第 3 步（求第 $10$ 项）：$21+9\times(-2)=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（求前 $10$ 项和）：$(21+3)\times 10\div 2=\underline{120}$。
    最终答案：第 $10$ 项 $3$；前 $10$ 项和 $120$。
  45. 17. ch09-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（求首末之和）：$470\times 2\div 10=\underline{94}$。
    2. 第 2 步（求首末之差）：$(10-1)\times 2=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（求最大项）：$(94+18)\div 2=\underline{56}$。
    最终答案：$56$。
  46. 17. ch09-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（求首末之和）：$248\times 2\div 8=\underline{62}$。
    2. 第 2 步（求首末之差）：$(8-1)\times 2=\underline{14}$。
    3. 第 3 步（求最多一天）：$(62+14)\div 2=\underline{38}$。
    最终答案：$38$ 筐。
  47. 17. ch09-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（求首末之和）：$245\times 2\div 7=\underline{70}$。
    2. 第 2 步（求首末之差）：$(7-1)\times 2=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（求最大项）：$(70+12)\div 2=\underline{41}$。
    最终答案：$41$。
  48. 17. ch09-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（求首末之和）：$248\times 2\div 8=\underline{62}$。
    2. 第 2 步（求最大项）：末 $-$ 首 $=14$，最大 $=(62+14)\div 2=\underline{38}$。
    3. 第 3 步（求最小项）：最小 $=62-38=\underline{24}$。
    最终答案：最大 $38$，最小 $24$。
  49. 18. ch09-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（求中间项，第 $6$ 个）：$407\div 11=\underline{37}$。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：公差 $=(37-17)\div(6-1)=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：公差 $=(37-25)\div(6-2)=\underline{3}$，$10$ 号 $=25+(10-2)\times 3=\underline{49}$。
    最终答案：（1）$4$ 颗；（2）$49$ 颗。
  50. 18. ch09-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（求中间项，第 $5$ 个）：$351\div 9=\underline{39}$。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：公差 $=(39-11)\div 4=\underline{7}$。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：公差 $=(39-23)\div(5-3)=\underline{8}$，第 $8$ 个 $=23+(8-3)\times 8=\underline{63}$。
    最终答案：（1）$7$ 本；（2）$63$ 本。
  51. 18. ch09-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（求中间项，第 $4$ 个）：$259\div 7=\underline{37}$。
    2. 第 2 步（求公差）：$(37-19)\div(4-1)=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（求 $7$ 号）：$19+(7-1)\times 6=\underline{55}$。
    最终答案：公差 $6$；$7$ 号 $55$ 颗。
  52. 18. ch09-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（求中间项，第 $5$ 个）：$351\div 9=\underline{39}$。
    2. 第 2 步（求公差）：$(39-23)\div(5-3)=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（求 $1$ 号）：$39-(5-1)\times 8=\underline{7}$。
    4. 第 4 步（求 $9$ 号）：$39+(9-5)\times 8=\underline{71}$。
    最终答案：每个多 $8$ 颗；$1$ 号 $7$ 颗，$9$ 号 $71$ 颗。
  53. 19. ch09-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（末次增量）：第 $12$ 次多 $2\times 12=\underline{24}$ 个。
    2. 第 2 步（增量求和）：$(2+24)\times 12\div 2=\underline{156}$。
    3. 第 3 步（加原有数）：$156+5=\underline{161}$。
    最终答案：$161$ 个。
  54. 19. ch09-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（末次增量）：第 $10$ 次多 $2\times 10=\underline{20}$ 条。
    2. 第 2 步（增量求和）：$(2+20)\times 10\div 2=\underline{110}$。
    3. 第 3 步（加原有数）：$110+3=\underline{113}$。
    最终答案：$113$ 条。
  55. 19. ch09-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（末次增量）：每次多 $4k-k=3k$，第 $10$ 次多 $3\times 10=\underline{30}$ 个。
    2. 第 2 步（增量求和）：$(3+30)\times 10\div 2=\underline{165}$。
    3. 第 3 步（加原有数）：$165+2=\underline{167}$。
    最终答案：$167$ 个。
  56. 19. ch09-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（增量求和）：$(2+20)\times 10\div 2=\underline{110}$。
    2. 第 2 步（加原有数）：$110+3=\underline{113}$。
    3. 第 3 步（平均每次增量）：$110\div 10=\underline{11}$。
    最终答案：共 $113$ 个；平均每次增 $11$ 个。
  57. 20. ch09-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（首月差）：$1500-700=\underline{800}$。
    2. 第 2 步（每月差增量）：$80-50=\underline{30}$。
    3. 第 3 步（末月差）：$800+30\times 11=\underline{1130}$。
    4. 第 4 步（一年总差）：$(800+1130)\times 12\div 2=\underline{11580}$。
    最终答案：$11580$ 元。
  58. 20. ch09-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（首日差）：$1000-500=\underline{500}$。
    2. 第 2 步（每日差增量）：$60-45=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（末日差）：$500+15\times 11=\underline{665}$。
    4. 第 4 步（总差）：$(500+665)\times 12\div 2=\underline{6990}$。
    最终答案：$6990$ 件。
  59. 20. ch09-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（首月差）：$900-400=\underline{500}$。
    2. 第 2 步（每月差增量）：$50-30=\underline{20}$。
    3. 第 3 步（末月差）：$500+20\times 11=\underline{720}$。
    4. 第 4 步（一年总差）：$(500+720)\times 12\div 2=\underline{7320}$。
    最终答案：$7320$ 元。
  60. 20. ch09-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（末月差）：$500+15\times 11=\underline{665}$。
    2. 第 2 步（全年总差）：$(500+665)\times 12\div 2=\underline{6990}$。
    3. 第 3 步（第 $6$ 月差）：$500+15\times 5=\underline{575}$。
    4. 第 4 步（前 $6$ 月差累计）：$(500+575)\times 6\div 2=\underline{3225}$。
    最终答案：全年 $6990$ 元；前半年 $3225$ 元。
  61. 21. ch09-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（求人数）：人数 $=27\div 3=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（求中间项，第 $5$ 名）：$810\div 9=\underline{90}$。
    3. 第 3 步（原卡莉娅是首项）：$90-(5-1)\times 3=\underline{78}$。
    4. 第 4 步（更正后）：$78+27=\underline{105}$。
    最终答案：$105$ 分。
  62. 21. ch09-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（求个数）：个数 $=21\div 3=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（求中间数，第 $4$ 个）：$609\div 7=\underline{87}$。
    3. 第 3 步（原来的这个数，即首项）：$87-(4-1)\times 3=\underline{78}$。
    4. 第 4 步（更正后）：$78+21=\underline{99}$。
    最终答案：$99$。
  63. 21. ch09-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（求人数）：人数 $=21\div 3=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（求中间项，第 $4$ 名）：$609\div 7=\underline{87}$。
    3. 第 3 步（原卡莉娅是末项/最高）：$87+(7-4)\times 3=\underline{96}$。
    4. 第 4 步（更正后）：$96-21=\underline{75}$。
    最终答案：$75$ 分。
  64. 21. ch09-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（求人数）：$21\div 3=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（求中间项，第 $4$ 名）：$609\div 7=\underline{87}$。
    3. 第 3 步（更正后卡莉娅）：$78+21=\underline{99}$。
    4. 第 4 步（更正后总分）：$609+21=\underline{630}$。
    最终答案：卡莉娅 $99$ 分；全组总分 $630$。
  65. 22. ch09-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（第 $1$+第 $15$ 项）：$570\times 2\div 15=\underline{76}$。
    2. 第 2 步（第 $1$+第 $20$ 项）：$960\times 2\div 20=\underline{96}$。
    3. 第 3 步（第 $20$ 与第 $15$ 项之差）：$96-76=\underline{20}$，公差 $=20\div 5=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（求首项）：$(76-14\times 4)\div 2=\underline{10}$。
    最终答案：公差 $4$；首项 $10$。
  66. 22. ch09-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（第 $1$+第 $15$ 节）：$450\times 2\div 15=\underline{60}$。
    2. 第 2 步（第 $1$+第 $20$ 节）：$750\times 2\div 20=\underline{75}$。
    3. 第 3 步（第 $20$ 与第 $15$ 节之差）：$75-60=\underline{15}$，公差 $=15\div 5=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（求第 $1$ 节）：$(60-14\times 3)\div 2=\underline{9}$。
    最终答案：相差 $3$ 吨；第 $1$ 节 $9$ 吨。
  67. 22. ch09-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（第 $1$+第 $10$ 项）：$210\times 2\div 10=\underline{42}$。
    2. 第 2 步（第 $1$+第 $15$ 项）：$465\times 2\div 15=\underline{62}$。
    3. 第 3 步（第 $15$ 与第 $10$ 项之差）：$62-42=\underline{20}$，公差 $=20\div 5=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（求首项）：$(42-9\times 4)\div 2=\underline{3}$。
    最终答案：公差 $4$；首项 $3$。
  68. 22. ch09-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（第 $1$+第 $15$ 项）：$450\times 2\div 15=\underline{60}$。
    2. 第 2 步（第 $1$+第 $20$ 项）：$750\times 2\div 20=\underline{75}$。
    3. 第 3 步（求公差）：$(75-60)\div 5=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（求首项）：$(60-14\times 3)\div 2=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（求第 $20$ 项）：$9+(20-1)\times 3=\underline{66}$。
    最终答案：公差 $3$；首项 $9$；第 $20$ 项 $66$。
  69. 23. ch09-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（认出公差）：相邻两项相减，公差 $=7-3=\underline{4}$。
    2. 第 2 步（跨几个公差）：从首项走到 $99$，$(99-3)\div 4=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（加 $1$ 得项数）：$24+1=\underline{25}$。
    最终答案：第 $25$ 个。
  70. 23. ch09-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（认出公差）：每排比前排多，公差 $=4-2=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（跨几个公差）：$(50-2)\div 2=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（加 $1$ 得排号）：$24+1=\underline{25}$。
    最终答案：第 $25$ 排。
  71. 23. ch09-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（定首项）：比 $10$ 大的最小偶数是 $12$，公差 $=14-12=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（跨几个公差）：$(100-12)\div 2=\underline{44}$。
    3. 第 3 步（加 $1$ 得项数）：$44+1=\underline{45}$。
    最终答案：第 $45$ 个。
  72. 23. ch09-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（求项数）：$(50-2)\div 2+1=\underline{25}$。
    2. 第 2 步（求和公式）：和 $=$（首项 $+$ 末项）$\times$ 项数 $\div 2=(2+50)\times 25\div 2=\underline{650}$。
    最终答案：$25$ 项；和为 $650$。
  73. 24. ch09-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（认出公差）：公差 $=9-4=\underline{5}$。
    2. 第 2 步（走过的公差个数）：$(30-1)\times 5=\underline{145}$。
    3. 第 3 步（加首项）：$4+145=\underline{149}$。
    最终答案：$149$。
  74. 24. ch09-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（认出公差）：公差 $=3-1=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（走过的公差个数）：$(20-1)\times 2=\underline{38}$。
    3. 第 3 步（加首项）：$1+38=\underline{39}$。
    最终答案：第 $20$ 天存 $39$ 元。
  75. 24. ch09-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（认出公差）：公差 $=97-100=\underline{-3}$（每项减小）。
    2. 第 2 步（走过的公差）：$(25-1)\times(-3)=\underline{-72}$。
    3. 第 3 步（加首项）：$100+(-72)=\underline{28}$。
    最终答案：$28$。
  76. 24. ch09-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求公差）：第 $8$ 项与第 $3$ 项相差 $(8-3)=5$ 个公差，公差 $=(25-10)\div 5=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（求首项）：首项 $=$ 第 $3$ 项 $-(3-1)\times$ 公差 $=10-2\times 3=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（求第 $20$ 项）：$4+(20-1)\times 3=\underline{61}$。
    最终答案：$61$。
  77. 25. ch09-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：首项 $3$、公差 $=8-3=\underline{5}$，第 $30$ 项 $=3+(30-1)\times 5=\underline{148}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：比 $200$ 大的最小奇数是 $201$、公差 $2$，第 $30$ 个 $=201+(30-1)\times 2=\underline{259}$。
    最终答案：（1）$148$；（2）$259$。
  78. 25. ch09-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：首项 $2$、公差 $3$，第 $21$ 排 $=2+(21-1)\times 3=\underline{62}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：首项 $101$、公差 $2$，第 $21$ 个 $=101+(21-1)\times 2=\underline{141}$。
    最终答案：（1）$62$ 盏；（2）$141$ 号。
  79. 25. ch09-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（定首项）：比 $50$ 大的最小偶数是 $\underline{52}$。
    2. 第 2 步（代入通项）：首项 $52$、公差 $2$，第 $25$ 个 $=52+(25-1)\times 2=\underline{100}$。
    最终答案：$100$。
  80. 25. ch09-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求末项）：第 $21$ 项 $=2+(21-1)\times 3=\underline{62}$。
    2. 第 2 步（求和公式）：和 $=(2+62)\times 21\div 2=\underline{672}$。
    最终答案：$672$。
  81. 26. ch09-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（认出公差）：公差 $=6-1=\underline{5}$。
    2. 第 2 步（走过的公差）：$(25-1)\times 5=\underline{120}$。
    3. 第 3 步（加首层）：$1+120=\underline{121}$。
    最终答案：$121$ 块。
  82. 26. ch09-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（认出公差）：公差 $=5-1=\underline{4}$。
    2. 第 2 步（走过的公差）：$(19-1)\times 4=\underline{72}$。
    3. 第 3 步（加首级）：$1+72=\underline{73}$。
    最终答案：$73$ 块。
  83. 26. ch09-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（走过的公差）：公差 $2$，$(20-1)\times 2=\underline{38}$。
    2. 第 2 步（加首层）：$3+38=\underline{41}$。
    最终答案：$41$ 根。
  84. 26. ch09-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求末层）：第 $19$ 层 $=1+(19-1)\times 4=\underline{73}$。
    2. 第 2 步（求总数）：总数 $=(1+73)\times 19\div 2=\underline{703}$。
    最终答案：$703$ 块。
  85. 27. ch09-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（求公差）：公差 $=212-200=\underline{12}$。
    2. 第 2 步（倒推首项）：第 $1$ 项 $=200-(9-1)\times 12=\underline{104}$。
    3. 第 3 步（正推第 $19$ 项）：$104+(19-1)\times 12=\underline{320}$。
    最终答案：第 $1$ 项 $104$，第 $19$ 项 $320$。
  86. 27. ch09-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（求公差）：公差 $=137-131=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（倒推第 $1$ 层）：$131-(9-1)\times 6=\underline{83}$。
    3. 第 3 步（正推第 $19$ 层）：$83+(19-1)\times 6=\underline{191}$。
    最终答案：第 $1$ 层 $83$ 米，第 $19$ 层 $191$ 米。
  87. 27. ch09-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求公差与首项）：公差 $=137-131=\underline{6}$，首项 $=131-8\times 6=\underline{83}$。
    2. 第 2 步（中间项性质）：第 $10$ 项是第 $1$、$19$ 项的中间项，故第 $1$ 项 $+$ 第 $19$ 项 $=137\times 2=\underline{274}$。
    3. 第 3 步（求第 $19$ 项）：$274-83=\underline{191}$。
    最终答案：第 $19$ 项是 $191$。
  88. 27. ch09-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求公差）：公差 $=137-131=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（求首项）：$131-8\times 6=\underline{83}$。
    3. 第 3 步（求前 $10$ 项和）：和 $=(83+137)\times 10\div 2=\underline{1100}$。
    最终答案：第 $1$ 项 $83$，前 $10$ 项和 $1100$。
  89. 28. ch09-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（相隔个数）：$10-4=\underline{6}$ 个公差。
    2. 第 2 步（求公差）：$(122-50)\div 6=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（倒推首项）：$50-(4-1)\times 12=\underline{14}$。
    最终答案：公差 $12$，首项 $14$。
  90. 28. ch09-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（相隔个数）：$10-4=\underline{6}$ 个高度差。
    2. 第 2 步（每级高度差）：$(73-31)\div 6=\underline{7}$。
    3. 第 3 步（第 $1$ 级）：$31-(4-1)\times 7=\underline{10}$。
    最终答案：每级高 $7$ 厘米，第 $1$ 级离地 $10$ 厘米。
  91. 28. ch09-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求公差）：$(73-31)\div 6=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（求末项）：末项 $=$ 第 $4$ 项 $+(12-4)\times 7=31+8\times 7=\underline{87}$。
    最终答案：公差 $7$，末项 $87$。
  92. 28. ch09-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求公差）：$(73-31)\div 6=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（求首项）：$31-3\times 7=\underline{10}$。
    3. 第 3 步（求前 $10$ 项和）：第 $10$ 项 $=73$，和 $=(10+73)\times 10\div 2=\underline{415}$。
    最终答案：首项 $10$，前 $10$ 项和 $415$。
  93. 29. ch09-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：$(95-5)\div 3+1=\underline{31}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：$(152-12)\div 7+1=\underline{21}$。
    最终答案：（1）$31$ 人；（2）$21$ 人。
  94. 29. ch09-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：$(25-3)\div 2+1=\underline{12}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：$(150-17)\div 7+1=\underline{20}$。
    最终答案：（1）$12$ 根；（2）$20$ 根。
  95. 29. ch09-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求首末之差）：$100-40=\underline{60}$。
    2. 第 2 步（求项数）：$60\div 4+1=\underline{16}$。
    最终答案：$16$ 人。
  96. 29. ch09-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求人数）：$(25-3)\div 2+1=\underline{12}$。
    2. 第 2 步（求总和）：和 $=(3+25)\times 12\div 2=\underline{168}$。
    最终答案：$12$ 人；报数之和 $168$。
  97. 30. ch09-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题）：$20$ 项，和 $=(1+20)\times 20\div 2=\underline{210}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(40-21)+1=\underline{20}$，和 $=(21+40)\times 20\div 2=\underline{610}$。
    最终答案：（1）$210$；（2）$610$。
  98. 30. ch09-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（前 $12$ 排）：$(1+12)\times 12\div 2=\underline{78}$。
    2. 第 2 步（第 $11$ 到 $19$ 排）：$(11+19)\times 9\div 2=\underline{135}$。
    最终答案：前 $12$ 排 $78$ 个；第 $11$ 到 $19$ 排 $135$ 个。
  99. 30. ch09-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（求项数）：$(20-2)\div 2+1=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（求和）：$(2+20)\times 10\div 2=\underline{110}$。
    最终答案：$110$。
  100. 30. ch09-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（全部和）：$(1+20)\times 20\div 2=\underline{210}$。
    2. 第 2 步（奇数项数）：$(19-1)\div 2+1=\underline{10}$。
    3. 第 3 步（奇数和）：$(1+19)\times 10\div 2=\underline{100}$。
    最终答案：全部和 $210$；奇数和 $100$。
  101. 31. ch09-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题）：项数 $=(200-180)+1=\underline{21}$，和 $=(200+180)\times 21\div 2=\underline{3990}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(41-1)\div 2+1=\underline{21}$，和 $=(41+1)\times 21\div 2=\underline{441}$。
    最终答案：（1）$3990$；（2）$441$。
  102. 31. ch09-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 题）：$(100+90)\times 11\div 2=\underline{1045}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(21-1)\div 2+1=\underline{11}$，和 $=(21+1)\times 11\div 2=\underline{121}$。
    最终答案：（1）$1045$；（2）$121$。
  103. 31. ch09-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（求项数）：公差 $3$，$(100-1)\div 3+1=\underline{34}$。
    2. 第 2 步（求和）：$(100+1)\times 34\div 2=\underline{1717}$。
    最终答案：$1717$。
  104. 31. ch09-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（第一段和）：$(100+90)\times 11\div 2=\underline{1045}$。
    2. 第 2 步（第二段和）：$(1+11)\times 11\div 2=\underline{66}$。
    3. 第 3 步（相减）：$1045-66=\underline{979}$。
    最终答案：$979$。
  105. 32. ch09-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题）：项数 $=(153-3)\div 5+1=\underline{31}$，和 $=(3+153)\times 31\div 2=\underline{2418}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 题）：项数 $=(152-52)\div 4+1=\underline{26}$，和 $=(52+152)\times 26\div 2=\underline{2652}$。
    最终答案：（1）$2418$；（2）$2652$。
  106. 32. ch09-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 堆）：项数 $=(90-2)\div 4+1=\underline{23}$，和 $=(2+90)\times 23\div 2=\underline{1058}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 堆）：项数 $=(101-41)\div 3+1=\underline{21}$，和 $=(41+101)\times 21\div 2=\underline{1491}$。
    最终答案：（1）$1058$ 件；（2）$1491$ 件。
  107. 32. ch09-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（求项数）：$(100-5)\div 5+1=\underline{20}$。
    2. 第 2 步（求和）：$(5+100)\times 20\div 2=\underline{1050}$。
    最终答案：$1050$。
  108. 32. ch09-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（求项数）：$(90-2)\div 4+1=\underline{23}$。
    2. 第 2 步（求和）：$(2+90)\times 23\div 2=\underline{1058}$。
    3. 第 3 步（求平均数）：$1058\div 23=\underline{46}$。
    最终答案：和 $1058$；平均数 $46$。