竞赛数学 · 三年级 第10讲《几何图形的认知》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch10-chaoyue-01】图 10-19 是一个任意形状的三角形 $ABC$，可以把它折叠成如图所示的长方形，使得 $A$、$B$、$C$ 都重合在 $BC$ 上 $P$ 这一点。请在三角形 $ABC$ 中标出 $P$ 点的位置，并画出折痕。
详细思路
是哪类问题：这是「三角形折成长方形」类：把三角形折叠使三个顶点重合于一点，标出该点与折痕。
关键切入点：取最长边作高，垂足即为重合点 $P$；横折痕是两腰中点的连线（与底平行），再连两中点与垂足即得折痕。
方法概述：以最长边上的高的垂足为重合点，两腰中点连线为折痕。
规范步骤：
  1. 作最长边上的高：$垂足即 P$（垂足）
  2. 取两腰中点：$连线为横折痕$（中点连线）
  3. 连中点与垂足：$得其余折痕$（对称）
2. 【原题 ch10-chaoyue-02】请尝试：（1）把一个正方形折叠一次后变成一个三角形；（2）把一个正方形折叠一次后变成一个长方形；（3）把一个正方形折叠一次后变成一个梯形。
详细思路
是哪类问题：这是「折叠变换」类：把正方形折一次分别变成三角形、长方形、梯形。
关键切入点：选不同的对折线：沿对角线折得等腰直角三角形；沿一组对边中点连线折得长方形；沿一条不过中心、与一组对边相交的斜线折得梯形。
方法概述：按目标图形选择对角线、中点连线或斜线对折。
规范步骤：
  1. 对角线折：$等腰直角三角形$（折叠）
  2. 中点连线折：$长方形$（折叠）
  3. 斜线折：$梯形$（折叠）
3. 【原题 ch10-chaoyue-03】如图 10-20，有 5 个完全相同的骰子摆成一排，5 个骰子底面的点数之和是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「骰子相对面」类：由相邻关系确定骰子各对面，再求 5 颗骰子底面点数之和。
关键切入点：由相邻关系推出：$4$ 对 $5$、$2$ 对 $6$、$1$ 对 $3$。再逐颗判断底面点数为 $4,6,3,1,4$，求和得 $18$。
方法概述：先定对面关系，再逐颗判断底面并求和。
规范步骤：
  1. 定对面：$4↔5,\ 2↔6,\ 1↔3$（排除法）
  2. 各底面点数：$4,6,3,1,4$（空间想象）
  3. 求和：$4+6+3+1+4=18$
4. 【原题 ch10-chaoyue-04】如图 10-21，在正方体的 6 个表面上写有计算机字体的 $1\sim 6$（虚线表示通过透视所能看到的情况）。现在将这个正方体剪开，如图 10-22 所示，请你在剩下的 5 个方格中标出数字 $1\sim 5$，请注意这些数字的方向要和原来的正方体保持一致。
详细思路
是哪类问题：这是「正方体展开图填数」类：由立体图确定各面数字与方向，在展开图空格填 1~5 并保持朝向。
关键切入点：先由立体图确定相对面与每个数字的朝向，再把展开图沿折痕还原对应到立体图，逐格填数并保持方向一致。
方法概述：由立体图定面与朝向，再对应展开图逐格填数。
规范步骤：
  1. 定相对面与朝向：$由透视图读出$（空间想象）
  2. 还原对应：$展开图↔立体图各面$（还原）
  3. 填数保向：$1\sim 5 按朝向填入$
5. 【原题 ch10-chaoyue-05】如图 10-23，正方体的 8 个顶点都被截去后，得到一个新的几何体。这个新的几何体有几个面？几个顶点？几条棱？
详细思路
是哪类问题：这是「截角多面体计数」类：正方体 8 个顶点各截去一刀，求新几何体的面、顶点、棱数。
关键切入点：每截一个顶点：多出 1 个三角形面、原顶点变成 3 个新顶点、多出 3 条新棱。原正方体 6 面、8 顶点、12 棱。
方法概述：分析截一个顶点的增量，再乘顶点数与原图叠加。
规范步骤：
  1. 面：$6+8=14$（原6+新8）（每顶点加1面）
  2. 顶点：$8\times 3=24$（每顶点出3新顶点）
  3. 棱：$12+8\times 3=36$（原12+新24）
第一套
题目：把一个五棱柱的每个顶点都截去一刀（每个顶点连着 $3$ 条棱），得到一个新几何体。它有几个面、几个顶点、几条棱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（面）：五棱柱原有 $7$ 个面（$2$ 底 $+5$ 侧）、$15$ 条棱、$10$ 个顶点。每截一个顶点多出 $1$ 个面，截后面数 $7+10=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（顶点）：每个顶点截出 $3$ 个新顶点，截后顶点 $10\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（棱）：每截一个顶点多出 $3$ 条新棱，截后棱 $15+10\times 3=15+30=\underline{\quad}$。
第二套
题目：把一块正方体木块的 $8$ 个角各削去一刀（每个角削出一个小三角形面），削成的新木块有几个面、几个顶点、几条棱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（面）：原 $6$ 个面，每削一个角多 $1$ 个面，$6+8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（顶点）：每个角削出 $3$ 个新顶点，$8\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（棱）：原 $12$ 条棱，每个角多 $3$ 条，$12+8\times 3=12+24=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把一个三棱柱的每个顶点都截去一刀（每个顶点连 $3$ 条棱），得到的新几何体有几个面、几个顶点、几条棱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（面）：三棱柱原有 $5$ 个面、$9$ 条棱、$6$ 个顶点。截后面数 $5+6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（顶点）：$6\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（棱）：$9+6\times 3=9+18=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把正方体 $8$ 个顶点各截去一刀，得到新几何体。求它的面、顶点、棱数，并验证“顶点数 $-$ 棱数 $+$ 面数 $=2$”。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（面）：$6+8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（顶点）：$8\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（棱）：$12+8\times 3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（欧拉公式）：$24-36+14=\underline{\quad}$，正好等于 $2$。
6. 【原题 ch10-chaoyue-06】有一个 $3\times 4\times 5$ 的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成 $60$ 个 $1\times 1\times 1$ 的小正方体。请问，这些小正方体中最多有多少个是恰有一面被染红的？
详细思路
是哪类问题：这是「长方体相邻面染色最值」类：$3\times4\times5$ 长方体染相邻两面，求恰有一面染红的小正方体最多几个。
关键切入点：两相邻面共享一条棱，各面上“恰一面染红”的小正方体要去掉公共棱上（被染两面）的一行；要最多就让两个相邻面尽量大。按三种相邻面选法分别计算比较。
方法概述：按相邻两面选法分类计数，去掉公共棱重复，取最大。
规范步骤：
  1. ①3×4与3×5：$3\times(4-1)+3\times(5-1)=9+12=21$（去公共棱）
  2. ②3×4与4×5：$4\times(3-1)+4\times(5-1)=8+16=24$（去公共棱）
  3. ③3×5与4×5：$5\times(3-1)+5\times(4-1)=10+15=25$（去公共棱）
  4. 取最大：$25$（比较）
第一套
题目：一个 $4\times 5\times 6$ 的长方体，把相邻的两个面染红，再切成 $1\times1\times1$ 的小正方体。这些小正方体中恰有一面染红的最多有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（① 共享棱长 $4$）：$4\times(5-1)=\underline{\quad}$、$4\times(6-1)=\underline{\quad}$，共 $16+20=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（② 共享棱长 $5$）：$5\times(4-1)=\underline{\quad}$、$5\times(6-1)=\underline{\quad}$，共 $15+25=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（③ 共享棱长 $6$）：$6\times(4-1)=\underline{\quad}$、$6\times(5-1)=\underline{\quad}$，共 $18+24=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：比较 $36,40,42$，最多 $\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：一个 $3\times 4\times 5$ 的礼品盒，把相邻的两个面贴上金纸，再把它切成 $1\times1\times1$ 的小方块。恰有一面贴金的小方块最多有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（① 共享棱长 $3$）：$3\times(4-1)=\underline{\quad}$、$3\times(5-1)=\underline{\quad}$，共 $9+12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（② 共享棱长 $4$）：$4\times(3-1)=\underline{\quad}$、$4\times(5-1)=\underline{\quad}$，共 $8+16=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（③ 共享棱长 $5$）：$5\times(3-1)=\underline{\quad}$、$5\times(4-1)=\underline{\quad}$，共 $10+15=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：比较后最多 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：一个 $3\times 4\times 5$ 的长方体，把相邻的两个面染红后切成单位小正方体。恰有一面染红的小正方体最少有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（①）：$3\times(4-1)=\underline{\quad}$、$3\times(5-1)=\underline{\quad}$，共 $9+12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（②）：$4\times(3-1)=\underline{\quad}$、$4\times(5-1)=\underline{\quad}$，共 $8+16=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（③）：$5\times(3-1)=\underline{\quad}$、$5\times(4-1)=\underline{\quad}$，共 $10+15=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：比较 $21,24,25$，最少 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：一个 $4\times 5\times 6$ 的长方体，把相邻的两个面染红，使恰有一面染红的小正方体尽量多。此时恰有一面染红的有多少个？被染到（至少一面染红）的小正方体又共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（选最大方案③，共享棱 $6$）：恰一面 $6\times(4-1)=\underline{\quad}$、$6\times(5-1)=\underline{\quad}$，共 $18+24=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：两个染色面各有 $4\times 6=\underline{\quad}$、$5\times 6=\underline{\quad}$ 个小方块。
  3. 第 3 步：两面沿公共棱重叠 $6$ 个，至少一面染红的共 $24+30-6=\underline{\quad}$ 个。
7. 【原题 ch10-chaoyue-07】将一个正方体纸盒的某些棱剪开后，可以将其平铺成一个“平面展开图”，也就是由 6 个正方形连接起来的一整张纸片。两个展开图如果经过旋转或者翻转后可以完全重合，那么就算是一种平面图形。请尝试：一共有多少种平面图形？
详细思路
是哪类问题：这是「正方体平面展开图种类」类：数由 6 个正方形连成的正方体展开图共几种。
关键切入点：按中间一行（列）正方形的个数分类：$1\text{-}4\text{-}1$、$2\text{-}3\text{-}1$、$2\text{-}2\text{-}2$、$3\text{-}3$ 等，逐一画出并剔除旋转、翻转后重合的，共 $11$ 种。
方法概述：按中间一排正方形个数分类枚举，剔除旋转翻转重复。
规范步骤：
  1. 1-4-1 型：$6$ 种（分类枚举）
  2. 2-3-1 型：$3$ 种（分类枚举）
  3. 2-2-2、3-3 型：$1+1$ 种（分类枚举）
  4. 合计：$11$ 种
8. 【原题 ch10-chaoyue-08】如图 10-24 所示，边长为 3 厘米的大正方体由边长为 1 厘米的小正方体组成，已知 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$G$、$H$ 是正方体的八个顶点，$P$ 是 $ABCD$ 面上的中心，请回答下列问题：（1）如图 10-25 所示，用一个过 $P$、$E$、$F$ 三点的平面将大正方体切开，这时切开的面是什么形状？此时一共还剩下多少个完整的小正方体（边长为 1 厘米的）？（2）如图 10-26 所示，用一个过 $P$、$E$、$F$、$C$ 四点的平面将大正方体切开，这时切开的面是什么形状？此时一共还剩下多少个完整的小正方体？
详细思路
是哪类问题：这是「正方体切割截面与计数」类：过给定点切开 $3\times3\times3$ 大正方体，判断截面形状并数剩下的完整小正方体。
关键切入点：确定切割平面破坏了哪些小正方体，用总数 $27$ 减去被破坏的个数；同时由三点位置判断截面形状。
方法概述：定被破坏的小正方体，$27$ 减之；由点位置判断截面。
规范步骤：
  1. (1)截面：$长方形$（截面判断）
  2. (1)破坏数：$3\times 3=9，剩 27-9=18$（计数）
  3. (2)截面：$正三角形（AC=AF=FC）$（截面判断）
  4. (2)破坏数：$5+3+1=9，剩 27-9=18$（计数）
9. 【原题 ch10-tuozhan-01】如图 10-9，数一数，图中共有多少个直角？多少个锐角？多少个钝角？
详细思路
是哪类问题：这是「数角并分类」类：数出图中直角、锐角、钝角各有多少。
关键切入点：两个正方形各贡献 4 个直角（组成一条直线的不算），共 8 个直角；两条对角线（斜线）把直角分割，得到的小于直角的是锐角、大于直角的是钝角，按位置不重不漏地数。
方法概述：先数原有直角，再看斜线分割出的锐角与钝角。
规范步骤：
  1. 直角：$4\times 2=8$（两个正方形各4个）（分类计数）
  2. 锐角：$12$ 个（斜线分割）
  3. 钝角：$6$ 个（斜线分割）
10. 【原题 ch10-tuozhan-02】如图 10-10，数一数，图中共有多少个正方形？
详细思路
是哪类问题：这是「数正方形」类：在方格图里数出全部正方形。
关键切入点：按边长大小分类：$n\times n$ 的方格里，边长为 $k$ 的正方形有 $(n-k+1)^2$ 个；本题 $2\times 2$ 网格，边长 1 的有 $4$ 个，边长 2 的有 $1$ 个。
方法概述：按边长分类计数，再求和。
规范步骤：
  1. 边长1的正方形：$2\times 2=4$（个）（分类计数）
  2. 边长2的正方形：$1\times 1=1$（个）（分类计数）
  3. 合计：$4+1=5$（个）
第一套
题目：在一个由 $3\times 3$ 个小方格组成的大正方形中，一共能数出多少个正方形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：边长为 $1$ 的正方形有 $3\times 3=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步：边长为 $2$ 的正方形有 $2\times 2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步：边长为 $3$ 的正方形有 $1\times 1=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步：合计 $9+4+1=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：一扇窗户的窗格是 $3\times 3$ 个小方格，问这扇窗上一共能数出多少个正方形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：边长为 $1$ 格的正方形有 $3\times 3=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步：边长为 $2$ 格的正方形有 $2\times 2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步：边长为 $3$ 格的正方形有 $1\times 1=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步：合计 $9+4+1=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：在一个 $2\times 3$（$2$ 行 $3$ 列）的方格图中，一共能数出多少个正方形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：边长为 $1$ 的正方形有 $2\times 3=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步：边长为 $2$ 的正方形有 $1\times 2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步：合计 $6+2=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：在一个由 $4\times 4$ 个小方格组成的大正方形中，一共能数出多少个正方形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：边长为 $1$ 的有 $4\times 4=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步：边长为 $2$ 的有 $3\times 3=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步：边长为 $3$ 的有 $2\times 2=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步：边长为 $4$ 的有 $1\times 1=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步：合计 $16+9+4+1=\underline{\quad}$ 个。
11. 【原题 ch10-tuozhan-03】用两个完全相同的、各边长分别为 3、4、5 的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的（1）等腰三角形？（2）平行四边形？
详细思路
是哪类问题：这是「直角三角形拼图」类：两个相同的 3、4、5 直角三角形拼等腰三角形、平行四边形各几种。
关键切入点：两块纸片必有一条边完全重合，按重合的边（斜边 5、直角边 3、直角边 4）分类，逐一拼出并判断所得图形类型。
方法概述：按重合边分类，逐一判断拼成的图形。
规范步骤：
  1. 斜边5重合：$得长方形（也是平行四边形）$（分类）
  2. 直角边3重合：$得等腰三角形与平行四边形各 1$（分类）
  3. 直角边4重合：$得等腰三角形与平行四边形各 1$（分类）
  4. 计数：$等腰三角形 2 种，平行四边形 3 种$
12. 【原题 ch10-tuozhan-04】如图 10-11，一张长方形纸片，长为 2，宽为 1，$A$ 点是长边上的中点。沿着图中虚线将这张纸片剪成两块，再将这两块重新组合（不能重叠），可以拼成哪些你熟悉的图形？请将它们画出来。
详细思路
是哪类问题：这是「剪拼变换」类：长方形沿虚线剪成两块，重新拼成熟悉的图形。
关键切入点：剪下的是底 1、高 1 的直角三角形，把它拼到剩下直角梯形的不同边上，可得等腰直角三角形、等腰梯形、平行四边形和原长方形。
方法概述：把剪下的三角形拼到梯形不同边上，得到不同图形。
规范步骤：
  1. 拼到垂直腰上：$等腰直角三角形$（剪拼）
  2. 拼成梯形/平行四边形：$等腰梯形、平行四边形$（剪拼）
  3. 斜边拼回：$原长方形$（剪拼）
13. 【原题 ch10-tuozhan-05】如图 10-12，将正方形纸片沿对角线对折一次，得到一个等腰直角三角形；再对折一次，得到一个较小的三角形；最后，再对折一次，然后将所得的小等腰直角三角形用剪刀沿斜边上的高线剪开。那么展开后，原来的正方形纸片一共被剪成了几片？都是什么图形？
详细思路
是哪类问题：这是「折叠剪开」类：正方形三次对折后沿斜边高线剪开，展开后数被剪成几片。
关键切入点：把折叠过程逆向展开，标出折痕与剪痕，借助对称性判断：剪痕把大正方形分成四周 4 个等腰直角三角形和中间 1 个正方形。
方法概述：逆向展开、标折痕剪痕，按对称数出各片。
规范步骤：
  1. 展开还原：$把小三角形逐步展开$（对称）
  2. 标出剪痕：$虚线分割大正方形$（对称）
  3. 数片：$4 个等腰直角三角形 + 1 个正方形$
14. 【原题 ch10-tuozhan-06】用 12 个边长为 1 的小正方形拼一个大长方形，那么这个长方形的周长最短是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「面积一定求最短周长」类：用 12 个单位正方形拼长方形，求最短周长。
关键切入点：把 12 分解成长×宽的各组整数因数，分别求周长；长、宽越接近，周长越短。
方法概述：枚举因数分解，比较各组周长取最小。
规范步骤：
  1. 1×12：$(12+1)\times 2=26$（周长公式）
  2. 2×6：$(6+2)\times 2=16$（周长公式）
  3. 3×4：$(3+4)\times 2=14$（周长公式）
  4. 取最短：$14$（比较）
第一套
题目：用 $36$ 个边长为 $1$ 的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$36=1\times 36$，周长 $(1+36)\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$36=2\times 18$，周长 $(2+18)\times 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$36=3\times 12$，周长 $(3+12)\times 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$36=4\times 9$，周长 $(4+9)\times 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$36=6\times 6$，周长 $(6+6)\times 2=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：比较 $74,40,30,26,24$，最短周长是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：用 $12$ 盆花摆成一个长方形花坛（每行、每列盆数相同），要给花坛围一圈栅栏。摆成怎样时栅栏最短？最短是多少（以盆间距为单位）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$12=1\times 12$，周长 $(1+12)\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$12=2\times 6$，周长 $(2+6)\times 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$12=3\times 4$，周长 $(3+4)\times 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：比较后最短周长是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $12$ 个边长为 $1$ 的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$12=1\times 12$，周长 $(1+12)\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$12=2\times 6$，周长 $(2+6)\times 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$12=3\times 4$，周长 $(3+4)\times 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：比较后最长周长是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个长方形的周长是 $26$，长、宽都是整数，它的面积最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：长 $+$ 宽 $=26\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：长宽越接近面积越大，试 $6\times 7=\underline{\quad}$、$5\times 8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：比较各组，面积最大是 $\underline{\quad}$。
15. 【原题 ch10-tuozhan-07】如图 10-13，用 4 个完全相同的边长分别为 5、12、13 的直角三角形拼成一个“风车”，求这个风车的周长。
详细思路
是哪类问题：这是「拼图求周长」类：4 个 5、12、13 直角三角形拼成风车，求周长。
关键切入点：风车外沿由 4 条斜边（13）和 4 条短边组成，短边等于两直角边之差 $12-5=7$；也可用 4 个三角形总周长减去被遮住的重叠部分。
方法概述：分析外沿线段构成，斜边与直角边之差累加。
规范步骤：
  1. 4 条斜边：$4\times 13=52$（外沿）
  2. 4 条短边(直角边之差)：$12-5=7,\ 4\times 7=28$（外沿）
  3. 周长：$52+28=80$（求和）
第一套
题目：用 $4$ 个完全相同的、边长分别为 $8$、$15$、$17$ 的直角三角形拼成一个“风车”，求这个风车的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：外沿 $4$ 条斜边共 $4\times 17=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$4$ 条短边等于两直角边之差 $15-8=\underline{\quad}$，共 $4\times 7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：风车周长 $68+28=\underline{\quad}$。
第二套
题目：小明用 $4$ 个完全相同的边长为 $6$、$8$、$10$ 的直角三角形纸片拼成一个风车玩具，求这个风车的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：外沿 $4$ 条斜边共 $4\times 10=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$4$ 条短边等于两直角边之差 $8-6=\underline{\quad}$，共 $4\times 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：风车周长 $40+8=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $4$ 个完全相同的边长为 $5$、$12$、$13$ 的直角三角形拼成风车。用“总周长减去重叠部分”的方法求它的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：一个三角形周长 $5+12+13=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$4$ 个三角形周长共 $30\times 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：拼接时每个三角形各有一段短直角边被遮住，遮住 $5+5=\underline{\quad}$，$4$ 处共 $10\times 4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：风车周长 $120-40=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $4$ 个完全相同的边长为 $5$、$12$、$13$ 的直角三角形拼成风车。求这个风车的周长和面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：外沿 $4$ 条斜边共 $4\times 13=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$4$ 条短边等于直角边之差 $12-5=\underline{\quad}$，共 $4\times 7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：周长 $52+28=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：一个直角三角形面积 $5\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：风车面积 $4\times 30=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch10-tuozhan-08】一个等腰三角形的两条边的长度分别是 3 和 4，那么这个三角形的周长可能是多少？另外一个等腰三角形的两条边的长度分别是 4 和 9，这个三角形周长可能是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「等腰三角形周长讨论」类：已知两条边长，讨论周长的可能值。
关键切入点：两条给定边分别当腰或底两种情况，各用“两边之和大于第三边”检验能否构成三角形，能则求周长。
方法概述：分类假设腰与底，验证三边关系再求周长。
规范步骤：
  1. 两边3、4：腰3底4：$3+3=6>4，周长 3+3+4=10$（三边关系）
  2. 腰4底3：$3+4=7>4，周长 4+4+3=11$（三边关系）
  3. 两边4、9：腰4底9：$4+4=8<9，不成$（三边关系）
  4. 腰9底4：$4+9=13>9，周长 9+9+4=22$（三边关系）
第一套
题目：一个等腰三角形的两条边长分别是 $5$ 和 $6$，周长可能是多少？另一个等腰三角形的两条边长分别是 $5$ 和 $11$，周长可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（腰 $5$ 底 $6$）：两腰之和 $5+5=\underline{\quad}>6$，能构成，周长 $5+5+6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（腰 $6$ 底 $5$）：较短两边之和 $5+6=\underline{\quad}>6$，能构成，周长 $6+6+5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（腰 $5$ 底 $11$）：两腰之和 $5+5=\underline{\quad}<11$，不能构成。
  4. 第 4 步（腰 $11$ 底 $5$）：较短两边之和 $5+11=\underline{\quad}>11$，能构成，周长 $11+11+5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：用彩带做等腰三角形彩旗：一面旗两条边长是 $3$ 和 $4$，另一面旗两条边长是 $4$ 和 $9$。两面旗的一圈彩带各可能用多长？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（腰 $3$ 底 $4$）：$3+3=\underline{\quad}>4$，能构成，周长 $3+3+4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（腰 $4$ 底 $3$）：$3+4=\underline{\quad}>4$，能构成，周长 $4+4+3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（腰 $4$ 底 $9$）：$4+4=\underline{\quad}<9$，不能构成。
  4. 第 4 步（腰 $9$ 底 $4$）：$4+9=\underline{\quad}>9$，能构成，周长 $9+9+4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个等腰三角形的一条腰长 $7$，周长是 $25$，它的底边长多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：两条腰共 $7\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：底边 $25-14=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：验证 $7+7=\underline{\quad}>11$，能构成三角形。
第三套
题目：一个等腰三角形的两条边长分别是：（甲）$5$ 和 $8$；（乙）$6$ 和 $13$；（丙）$7$ 和 $10$。把三种情形都讨论一遍，这样的等腰三角形周长一共有多少种不同的值？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（甲 $5,8$）：$5,5,8$ 中 $5+5=\underline{\quad}>8$，周长 $5+5+8=\underline{\quad}$；$8,8,5$ 周长 $8+8+5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乙 $6,13$）：$6,6,13$ 中 $6+6=\underline{\quad}<13$，不成；$13,13,6$ 周长 $13+13+6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（丙 $7,10$）：$7,7,10$ 中 $7+7=\underline{\quad}>10$，周长 $7+7+10=\underline{\quad}$；$10,10,7$ 周长 $10+10+7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：不同的周长值共 $\underline{\quad}$ 种。
17. 【原题 ch10-tuozhan-09】周长是 12，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？
详细思路
是哪类问题：这是「整数边图形计数」类：周长 12、整数边的等腰三角形、长方形各几种。
关键切入点：周长 12 为偶数，等腰三角形底边也是偶数，只能是 2 或 4，逐一求腰并验证三边关系；长方形长宽之和为 6，枚举整数组合。
方法概述：由奇偶定底边、枚举满足三边关系的等腰三角形；长方形按长宽之和枚举。
规范步骤：
  1. 底2：$腰(12-2)\div 2=5,\ (2,5,5)$（枚举）
  2. 底4：$腰(12-4)\div 2=4,\ (4,4,4)$（枚举）
  3. 长方形长宽和：$12\div 2=6：(1,5)(2,4)(3,3)$（枚举）
  4. 计数：$等腰 2 种，长方形 3 种$
第一套
题目：周长是 $16$、各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形）：长 $+$ 宽 $=16\div 2=\underline{\quad}$，整数组合 $(1,7)(2,6)(3,5)(4,4)$，共 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（等腰三角形）：周长 $16$ 偶，底边也偶。底 $2$ 时腰 $(16-2)\div 2=\underline{\quad}$，$7+7=\underline{\quad}>2$；底 $4$ 时腰 $(16-4)\div 2=\underline{\quad}$；底 $6$ 时腰 $(16-6)\div 2=\underline{\quad}$；底 $8$ 时腰 $4$，$4+4=\underline{\quad}$ 不大于 $8$，舍。共 $\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：用一根 $12$ 厘米长的铁丝，围成各边长都是整数的等腰三角形或长方形。等腰三角形有几种围法？长方形有几种围法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形）：长 $+$ 宽 $=12\div 2=\underline{\quad}$，整数组合 $(1,5)(2,4)(3,3)$，共 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（等腰三角形）：底边偶。底 $2$ 时腰 $(12-2)\div 2=\underline{\quad}$；底 $4$ 时腰 $(12-4)\div 2=\underline{\quad}$；底 $6$ 时腰 $3$，$3+3=\underline{\quad}$ 不大于 $6$，舍。共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：周长是 $18$、各边长都是整数的等腰三角形有几种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：周长 $18$ 偶，底边也偶。底 $2$ 腰 $(18-2)\div 2=\underline{\quad}$；底 $4$ 腰 $(18-4)\div 2=\underline{\quad}$；底 $6$ 腰 $(18-6)\div 2=\underline{\quad}$；底 $8$ 腰 $(18-8)\div 2=\underline{\quad}$，$5+5=\underline{\quad}>8$ 成立；底 $10$ 腰 $4$，$4+4=\underline{\quad}<10$ 舍。
  2. 第 2 步：共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：周长是 $14$、各边长都是整数的三角形有几种？其中等腰三角形有几种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（范围）：设 $a\le b\le c$，$a+b+c=14$。$c<14\div 2=\underline{\quad}$ 得 $c\le 6$；若 $c\le 4$ 则三边和至多 $4\times 3=\underline{\quad}<14$，故 $c\ge 5$。
  2. 第 2 步（$c=6$）：$a+b=14-6=\underline{\quad}$，得 $(2,6,6)$、$(3,5,6)$、$(4,4,6)$。
  3. 第 3 步（$c=5$）：$a+b=14-5=\underline{\quad}$，得 $(4,5,5)$。
  4. 第 4 步（计数）：共 $\underline{\quad}$ 种三角形；其中等腰的 $(2,6,6)$、$(4,4,6)$、$(4,5,5)$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
18. 【原题 ch10-tuozhan-10】图 10-14 中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你根据图中已知的信息，判断 $A$、$B$、$C$ 的对面分别标的是哪个字母？
详细思路
是哪类问题：这是「正方体相对面判断」类：由四个相同标法的正方体已知信息判断对面。
关键切入点：相同标法的几个正方体给出各字母的相邻关系，相邻的一定不相对，逐一排除相邻字母确定对面。
方法概述：汇总相邻关系、排除相邻，锁定对面。
规范步骤：
  1. A的相邻：$A 与 C、D、E、F 相邻$（排除法）
  2. 定A的对面：$A 的对面是 D$（排除法）
  3. 定其余：$B 对 F，C 对 E$（排除法）
19. 【原题 ch10-tuozhan-11】如图 10-15，第 1 个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着 $ABCDEF$ 六个字母，其中 $A$ 与 $D$ 相对，$B$ 与 $E$ 相对，$C$ 与 $F$ 相对。木块上写有字母 $A$ 的那个面朝下，标有字母 $D$ 的那个面朝向第一格，然后让木块按照箭头方向，沿着图中方格滚动。当木块滚到 21 格时，木块向上的面上写的是哪个字母？
详细思路
是哪类问题：这是「正方体滚动找规律」类：木块沿方格滚动，问到第 21 格朝上的字母。
关键切入点：木块每沿同一方向滚 4 格，各面字母恢复原样（周期 4）。从第 1 格到第 21 格共滚 20 格，$20\div 4=5$ 个整周期，各面与初始完全一样，故朝上仍是 $A$。
方法概述：找出滚动 4 格一周期，判断到达格数是否整周期。
规范步骤：
  1. 找周期：$每滚 4 格各面复原$（周期规律）
  2. 算滚动数：$(21-1)\div 4=5$（整周期）（整除）
  3. 定朝上：$与初始相同，朝上是 A$
20. 【原题 ch10-tuozhan-12】如图 10-16，在一个正方体的表面上写着 $1\sim 6$ 这 6 个自然数，并且 1 对着 4，2 对着 5，3 对着 6。现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面能展开如图 10-17 所示。如果只知道 1 和 2 所在的面，那么图中标“?”（这里用字母代号）应该填什么？
详细思路
是哪类问题：这是「正方体展开图还原」类：由展开图与已知面推断“?”处的字母。
关键切入点：把展开图沿不同底面还原成正方体，根据两两相邻、相对的关系推断未知面，最终确定“?”填 $A$。
方法概述：还原展开图，用相邻相对关系推断未知面。
规范步骤：
  1. 找两两相邻面：$A、B、D 两两相邻；A、B、C 两两相邻$（相邻关系）
  2. 定相对：$1 所在面与 D 相对$（相对关系）
  3. 确定问号：$填 A$
21. 【原题 ch10-tuozhan-13】图 10-18 是一个立体图形的展开图，请问：原来立体图形的棱和面各有多少？
详细思路
是哪类问题：这是「展开图数棱数面」类：由展开图判断立体形状，数棱与面。
关键切入点：展开图有 4 个三角形和 5 个长方形，折成“底面长方形的四棱柱顶上加四棱锥”的房子形状；面 $4+5=9$ 个，棱 $8+8=16$ 条（注意共用棱不重复计）。
方法概述：由展开图判断立体形状，分别数面与棱。
规范步骤：
  1. 数面：$4+5=9$（个）（分类计数）
  2. 数棱：$8+8=16$（条）（分类计数，共用棱不重复）
22. 【原题 ch10-tuozhan-14】一个棱长为 4 厘米的正方体木块，将它 6 个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为 1 厘米的小正方体。请问，在这些小正方体中：（1）3 面涂上红色的有多少块？（2）只有 2 面涂上红色的有多少块？（3）只有 1 面涂上红色的有多少块？（4）没有涂色的有多少块？（5）至少有 1 面涂上红色的有多少块？
详细思路
是哪类问题：这是「正方体表面染色」类：棱长 4 的正方体 6 面涂红，锯成单位小正方体，按涂色面数分类计数。
关键切入点：按小正方体在大正方体中的位置分类：顶点处 3 面涂色，棱上（去两端）2 面，面中央 1 面，内部 0 面；至少 1 面 = 总数 − 内部。
方法概述：按位置（顶点/棱/面/内部）分类计数。
规范步骤：
  1. 总数：$4\times 4\times 4=64$（锯块总数）
  2. 3面(8顶点)：$8$（块）（顶点）
  3. 2面(棱上)：$12\times(4-2)=24$（块）（棱）
  4. 1面(面中央)：$6\times(4-2)\times(4-2)=24$（块）（面）
  5. 0面(内部)：$(4-2)^3=8$（块）（内部）
  6. 至少1面：$64-8=56$（块）（总数减内部）
第一套
题目：一个棱长为 $5$ 厘米的正方体木块，$6$ 个面都涂满红漆，再锯成棱长 $1$ 厘米的小正方体。（1）$3$ 面红的、（2）$2$ 面红的、（3）$1$ 面红的、（4）没涂色的、（5）至少 $1$ 面红的各有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：一共锯成 $5\times 5\times 5=\underline{\quad}$ 块。
  2. 第 2 步：（1）$3$ 面红在 $8$ 个顶点处，共 $\underline{\quad}$ 块。
  3. 第 3 步：（2）$2$ 面红在棱上（去两端），$12\times(5-2)=\underline{\quad}$ 块。
  4. 第 4 步：（3）$1$ 面红在面中央，$6\times(5-2)\times(5-2)=\underline{\quad}$ 块。
  5. 第 5 步：（4）没涂色在内部，$(5-2)\times(5-2)\times(5-2)=\underline{\quad}$ 块。
  6. 第 6 步：（5）至少 $1$ 面红 $=125-27=\underline{\quad}$ 块。
第二套
题目：一块棱长 $4$ 分米的大积木，$6$ 个面都刷上蓝色，然后切成棱长 $1$ 分米的小积木。$3$ 面蓝、$2$ 面蓝、$1$ 面蓝、没颜色、至少 $1$ 面蓝的各有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：一共切成 $4\times 4\times 4=\underline{\quad}$ 块。
  2. 第 2 步：$3$ 面蓝在 $8$ 个顶点处，共 $\underline{\quad}$ 块。
  3. 第 3 步：$2$ 面蓝在棱上，$12\times(4-2)=\underline{\quad}$ 块。
  4. 第 4 步：$1$ 面蓝在面中央，$6\times(4-2)\times(4-2)=\underline{\quad}$ 块。
  5. 第 5 步：没颜色在内部，$(4-2)\times(4-2)\times(4-2)=\underline{\quad}$ 块。
  6. 第 6 步：至少 $1$ 面蓝 $=64-8=\underline{\quad}$ 块。
第三套
题目：一个 $3\times 4\times 5$ 的长方体，$6$ 个面都涂红，切成棱长 $1$ 的小正方体。$3$ 面红、$2$ 面红、$1$ 面红、没涂色的各有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：一共 $3\times 4\times 5=\underline{\quad}$ 块。
  2. 第 2 步：$3$ 面红（$8$ 个顶点）：$\underline{\quad}$ 块。
  3. 第 3 步：$2$ 面红（棱上去两端）：$4\times((3-2)+(4-2)+(5-2))=\underline{\quad}$ 块。
  4. 第 4 步：$1$ 面红（面中央）：$2\times((3-2)\times(4-2)+(3-2)\times(5-2)+(4-2)\times(5-2))=\underline{\quad}$ 块。
  5. 第 5 步：没涂色（内部）：$(3-2)\times(4-2)\times(5-2)=\underline{\quad}$ 块。
  6. 第 6 步：验证 $8+24+22+6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个棱长 $6$ 的正方体 $6$ 面涂红，锯成单位小正方体。$3$ 面、$2$ 面、$1$ 面、没涂色、至少 $1$ 面、至少 $2$ 面涂红的各有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总数 $6\times 6\times 6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$3$ 面（顶点）$\underline{\quad}$ 块。
  3. 第 3 步：$2$ 面（棱上）$12\times(6-2)=\underline{\quad}$ 块。
  4. 第 4 步：$1$ 面（面中央）$6\times(6-2)\times(6-2)=\underline{\quad}$ 块。
  5. 第 5 步：没涂色（内部）$(6-2)\times(6-2)\times(6-2)=\underline{\quad}$ 块。
  6. 第 6 步：至少 $1$ 面 $=216-64=\underline{\quad}$ 块。
  7. 第 7 步：至少 $2$ 面（$=3$ 面 $+2$ 面）$8+48=\underline{\quad}$ 块。
23. 【原题 ch10-xingqu-01】正三角形、正方形和正五边形中，哪个图形的内角最大？
详细思路
是哪类问题：这是「正多边形内角」类：给几个正多边形，比较它们每个内角的大小。
关键切入点：$n$ 边形的内角和是 $(n-2)\times 180^\circ$，正多边形每个内角相等，用内角和除以边数即得。边数越多，每个内角越大。
方法概述：内角 $=$ 内角和 $\div$ 边数 $=(n-2)\times 180^\circ\div n$，逐个算出再比较。
规范步骤：
  1. 正三角形内角：$(3-2)\times 180^\circ\div 3=60^\circ$（内角和÷边数）
  2. 正方形内角：$(4-2)\times 180^\circ\div 4=90^\circ$（内角和÷边数）
  3. 正五边形内角：$(5-2)\times 180^\circ\div 5=108^\circ$（内角和÷边数）
  4. 比较：$60^\circ<90^\circ<108^\circ$，正五边形内角最大
第一套
题目：正六边形、正八边形、正十边形中，哪个图形的内角最大？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（内角和公式）：正 $n$ 边形内角和 $=(n-2)\times 180^\circ$，每个内角 $=$ 内角和 $\div n$。正六边形内角和 $(6-2)\times 180=\underline{\quad}$，每个内角 $720\div 6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：正八边形内角和 $(8-2)\times 180=\underline{\quad}$，每个内角 $1080\div 8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：正十边形内角和 $(10-2)\times 180=\underline{\quad}$，每个内角 $1440\div 10=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（比较）：$120<135<144$，正十边形内角最大。
第二套
题目：要用一种正多边形地砖，正方形、正六边形、正八边形三种砖中，哪种砖每个内角最大？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：正方形内角和 $(4-2)\times 180=\underline{\quad}$，每个内角 $360\div 4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：正六边形内角和 $(6-2)\times 180=\underline{\quad}$，每个内角 $720\div 6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：正八边形内角和 $(8-2)\times 180=\underline{\quad}$，每个内角 $1080\div 8=\underline{\quad}$。最大是正八边形。
第三套
题目：正方形、正五边形、正六边形中，哪个图形的内角最小？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：正方形内角和 $(4-2)\times 180=\underline{\quad}$，每个内角 $360\div 4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：正五边形内角和 $(5-2)\times 180=\underline{\quad}$，每个内角 $540\div 5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：正六边形内角和 $(6-2)\times 180=\underline{\quad}$，每个内角 $720\div 6=\underline{\quad}$。最小是正方形。
第三套
题目：正十二边形的每个内角是多少度？每个外角又是多少度？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（内角和）：$(12-2)\times 180=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（每个内角）：$1800\div 12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（每个外角）：外角与内角互补，$180-150=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch10-xingqu-02】请在图 10-1 中分别画出三角形、长方形、正方形、平行四边形和梯形，其中每个图形的两条边已经画出。
详细思路
是哪类问题：这是「按特征补全图形」类：给出每个图形的两条边，要求补成指定的图形。
关键切入点：关键在于抓住每种图形的边角特征：三角形三边首尾相接；长方形四角是直角、对边相等；正方形四边相等且四角直角；平行四边形两组对边分别平行且相等；梯形只有一组对边平行。
方法概述：根据各图形的边、角特征，把已画的两条边补全成完整图形。
规范步骤：
  1. 看两条边关系：$相交/平行、等长与否$（确定可补成的图形）
  2. 按特征补边：$补足到满足对应图形的边角要求$（图形定义）
  3. 得到五种图形：$三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形$
25. 【原题 ch10-xingqu-03】根据图 10-2 中的几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形。
详细思路
是哪类问题：这是「图形找规律」类：观察一列正多边形边数的变化，补出缺的图形。
关键切入点：各图形都是正多边形，边数依次是 $3,4,5,?,7$，是每次加 $1$ 的等差规律，所以缺的第四个图形有 $6$ 条边。
方法概述：找出边数依次递增 1 的规律，确定缺失图形的边数，画对应正多边形。
规范步骤：
  1. 数已知图形边数：$3,4,5,\ ?,\ 7$（观察规律）
  2. 补出缺的边数：$5+1=6$（等差递增）
  3. 画正六边形：$六条边的正多边形$
26. 【原题 ch10-xingqu-04】如图 10-3，数一数，图中共有多少个角？
详细思路
是哪类问题：这是「数角」类：在带对角线的正方形图里，数出全部的角。
关键切入点：角是从同一顶点出发的两条射线组成的。要按顶点分类、由小到大组合，做到不重不漏。
方法概述：以同一顶点出发的射线为依据，分类数出所有角。
规范步骤：
  1. 数正方形四个直角：$4$ 个（四个顶角）
  2. 对角线把两个直角各分成两个角：$再添 4 个$（对角线分角）
  3. 合计：$4+4=8$
27. 【原题 ch10-xingqu-05】如图 10-4，将一个边长为 4 厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形。请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「剪拼后周长变化」类：正方形对折剪开成两个长方形，问周长和比原来多多少。
关键切入点：沿折痕剪开会新增两条边（各等于折痕长），且分属两个长方形，增加的周长就是这两条新边之和；也可直接算两长方形周长和减去正方形周长。
方法概述：比较剪前剪后边的增减：新增两条折痕长的边，就是多出的周长。
规范步骤：
  1. 正方形周长：$4\times 4=16$（厘米）（正方形周长）
  2. 每个长方形长4宽2，周长：$(4+2)\times 2=12$（厘米）（长方形周长）
  3. 两长方形周长和减正方形周长：$12\times 2-16=8$（厘米）（作差）
  4. 结论：$多 8 厘米$
第一套
题目：将一个边长为 $10$ 厘米的正方形对折后沿折线剪开，得到两个长方形。这两个长方形的周长之和比原正方形的周长多几厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：正方形周长 $10\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：剪开后每个长方形长 $10$ 宽 $5$，周长 $(10+5)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：两个长方形周长和 $30\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步：与原正方形周长作差 $60-40=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一张边长为 $8$ 厘米的正方形彩纸，对折后沿折痕剪成两个长方形。这两个长方形的周长之和比原彩纸的周长多几厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：正方形彩纸周长 $8\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：每个长方形长 $8$ 宽 $4$，周长 $(8+4)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：两个长方形周长和 $24\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步：作差 $48-32=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个长 $8$ 宽 $4$ 的长方形，沿长边的中线（把长平分）剪开成两个小正方形。这两个正方形的周长之和比原长方形的周长多几厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：原长方形周长 $(8+4)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：剪成两个边长 $4$ 的正方形，每个周长 $4\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：两个正方形周长和 $16\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步：作差 $32-24=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个边长为 $12$ 厘米的正方形，用两刀平行地把它剪成三个相同的长方形。这三个长方形的周长之和比原正方形的周长多几厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：正方形周长 $12\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：每个长方形长 $12$ 宽 $4$，周长 $(12+4)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：三个长方形周长和 $32\times 3=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步：作差 $96-48=\underline{\quad}$（厘米）。
28. 【原题 ch10-xingqu-06】用 7 根长度都是 1 寸的火柴棒拼成了一个三角形。请问：这个三角形的三条边长分别是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「固定周长的整数三角形」类：用若干等长火柴拼三角形，问三边长有几种。
关键切入点：火柴根数就是周长。三角形要满足两边之和大于第三边，且每边至少 1，据此对固定周长做整数拆分讨论。
方法概述：由周长固定，枚举最长边，检验三角形三边关系。
规范步骤：
  1. 周长：$1\times 7=7$（寸）（根数即周长）
  2. 最长边为3寸：$另两边和 7-3=4$，拆成 $1+3$、$2+2$，得 $(3,3,1)$、$(3,2,2)$（整数拆分）
  3. 最长边不超过3：$若最长边\ge 4，另两边和\le 3<4，围不成$（三边关系）
  4. 结论：$共 2 种$
第一套
题目：用 $9$ 根长度都是 $1$ 寸的火柴棒拼成一个三角形。这个三角形的三条边长分别是多少？（写出所有情况）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（周长）：$9$ 根火柴，三角形周长 $=1\times 9=\underline{\quad}$（寸）。
  2. 第 2 步（最长边为 4）：另两边之和 $9-4=\underline{\quad}$，拆成 $1+4$、$2+3$，得三角形 $(1,4,4)$、$(2,3,4)$。
  3. 第 3 步（最长边为 3）：三边都不超过 3 且和为 9，只能是 $(3,3,3)$；验证 $3+3=\underline{\quad}>3$，成立。
  4. 第 4 步（最长边不能到 5）：否则另两边之和 $\le 9-5=\underline{\quad}<5$，围不成三角形。
  5. 第 5 步（计数）：共 $2+1=\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：用 $9$ 根等长的小木棒（每根 $1$ 分米）首尾相接围成一个三角形，每条边都由整根小木棒组成。这个三角形的三条边长分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（周长）：$9$ 根小木棒，三角形周长 $=1\times 9=\underline{\quad}$（分米）。
  2. 第 2 步（最长边为 4）：另两边之和 $9-4=\underline{\quad}$，拆成 $1+4$、$2+3$，得 $(1,4,4)$、$(2,3,4)$。
  3. 第 3 步（最长边为 3）：只能是 $(3,3,3)$；验证 $3+3=\underline{\quad}>3$，成立。
  4. 第 4 步（最长边不能到 5）：否则另两边之和 $\le 9-5=\underline{\quad}<5$，围不成。
  5. 第 5 步（计数）：共 $2+1=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：三条边长都是整数、周长为 $10$ 的三角形有几种？（旋转、翻转相同的算一种）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定最长边范围）：设三边 $a\le b\le c$，$a+b+c=10$。最长边小于周长的一半，$c<10\div 2=\underline{\quad}$，所以 $c\le 4$。
  2. 第 2 步（$c=4$）：另两边之和 $a+b=10-4=\underline{\quad}$，$a\le b\le 4$，拆成 $(2,4)$、$(3,3)$，得 $(2,4,4)$、$(3,3,4)$。
  3. 第 3 步（验证）：$2+4=\underline{\quad}>4$、$3+3=\underline{\quad}>4$，都能构成三角形。
  4. 第 4 步（计数）：共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：三条边长都是整数、周长为 $12$ 的三角形有几种？其中等腰三角形又有几种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（范围）：设 $a\le b\le c$，$a+b+c=12$。$c<12\div 2=\underline{\quad}$ 得 $c\le 5$；又 $c\ge 12\div 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（$c=5$）：$a+b=12-5=\underline{\quad}$，拆成 $(2,5)$、$(3,4)$，得 $(2,5,5)$、$(3,4,5)$；验证 $2+5=\underline{\quad}>5$、$3+4=\underline{\quad}>5$。
  3. 第 3 步（$c=4$）：$a+b=12-4=\underline{\quad}$，$a\le b\le 4$，只能 $(4,4)$，得 $(4,4,4)$。
  4. 第 4 步（计数）：共 $\underline{\quad}$ 种三角形；其中等腰的 $(2,5,5)$、$(4,4,4)$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
29. 【原题 ch10-xingqu-07】有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为 3 厘米、4 厘米和 5 厘米，不许重叠，用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形（经过旋转或翻转后相同的平行四边形算同一种）？
详细思路
是哪类问题：这是「三角形拼平行四边形」类：两个相同直角三角形不重叠拼平行四边形，问几种。
关键切入点：拼成平行四边形必须把两条相等的边粘在一起。三边 3、4、5 各粘一次：粘 3 得对边 4、5 的平行四边形，粘 4 得对边 3、5 的平行四边形，粘 5（斜边）得长方形，共 3 种。
方法概述：按粘合的边分类，把长度相等的对应边两两相粘。
规范步骤：
  1. 粘长为3的边：$得对边 4、5 的平行四边形$（等边相粘）
  2. 粘长为4的边：$得对边 3、5 的平行四边形$（等边相粘）
  3. 粘长为5的斜边：$得长方形（特殊平行四边形）$（等边相粘）
  4. 计数：$共 3 种$
30. 【原题 ch10-xingqu-08】图 10-5 中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？
详细思路
是哪类问题：这是「图形分类与从属关系」类：判断图中哪些是三角形、长方形、平行四边形、菱形。
关键切入点：长方形、菱形都是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的长方形和菱形；据此逐一判断，注意包含关系（一个图形可同时属于多类）。
方法概述：依据各图形定义与包含关系逐一归类。
规范步骤：
  1. 三角形：$④⑦$（三条边）
  2. 长方形：$①②$（四直角）
  3. 平行四边形：$①②③⑥$（两组对边平行）
  4. 菱形：$①⑥$（四边相等）
31. 【原题 ch10-xingqu-09】图 10-6 的“金字塔”和图 10-7 的正八面体各有几条棱，几个面？
详细思路
是哪类问题：这是「立体图形数棱数面」类：数四棱锥（金字塔）与正八面体的棱数、面数。
关键切入点：把棱、面分层标号计数。$n$ 棱锥有 $2n$ 条棱（底 $n$ + 侧 $n$）、$n+1$ 个面（底 1 + 侧 $n$）；正八面体上下各 4 个三角形面、共 12 条棱。
方法概述：分层标号、分类计数，避免重复或遗漏。
规范步骤：
  1. 四棱锥的棱：$4+4=8$（底4+侧4）（分类计数）
  2. 四棱锥的面：$1+4=5$（底1+侧4）（分类计数）
  3. 正八面体的棱：$4+4+4=12$（分层计数）
  4. 正八面体的面：$4+4=8$（分层计数）
第一套
题目：五棱锥和六棱锥各有几条棱、几个面？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（棱锥规律）：$n$ 棱锥有 $2n$ 条棱（底 $n$ + 侧 $n$）、$n+1$ 个面（底面 $1$ + 侧面 $n$）。五棱锥的棱 $2\times 5=\underline{\quad}$，面 $5+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：六棱锥的棱 $2\times 6=\underline{\quad}$，面 $6+1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一顶四棱锥形状的帐篷和一个正八面体形状的骰子，各有几条棱、几个面？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：四棱锥帐篷的棱 $4+4=\underline{\quad}$（底 $4$ + 侧 $4$），面 $1+4=\underline{\quad}$（底 $1$ + 侧 $4$）。
  2. 第 2 步：正八面体骰子的棱 $4+4+4=\underline{\quad}$，面 $4+4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个五棱柱有几条棱、几个面、几个顶点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（棱柱规律）：$n$ 棱柱有 $3n$ 条棱（上底 $n$ + 下底 $n$ + 侧棱 $n$）、$n+2$ 个面、$2n$ 个顶点。五棱柱的棱 $3\times 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：面 $5+2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：顶点 $2\times 5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个七棱柱有几条棱、几个面、几个顶点？并验证“顶点数 $-$ 棱数 $+$ 面数 $=2$”。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：棱 $3\times 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：面 $7+2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：顶点 $2\times 7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（欧拉公式）：$14-21+9=\underline{\quad}$，正好等于 $2$。
32. 【原题 ch10-xingqu-10】一个正方体的六个面上分别写着 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$ 六个字母。请你根据图 10-8 的三种摆放情况，判断每个字母的对面是什么？
详细思路
是哪类问题：这是「正方体相对面判断」类：由三种摆放的可见面，推断每个字母的对面。
关键切入点：六个面写六个不同字母，相邻的两个面一定不相对。找出重复出现的字母，逐次排除与它相邻的字母，剩下的即为它的对面。
方法概述：抓重复字母、排除相邻，锁定每组对面。
规范步骤：
  1. 由前两图定B：$B 不与 A、F、C、E 相邻相对，故 B 与 D 相对$（排除法）
  2. 由后两图定E：$E 不与 B、C、D、F 相对，故 E 与 A 相对$（排除法）
  3. 剩余一组：$C 与 F 相对$（三组对面）

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 5. ch10-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（面）：五棱柱原有 $7$ 个面（$2$ 底 $+5$ 侧）、$15$ 条棱、$10$ 个顶点。每截一个顶点多出 $1$ 个面，截后面数 $7+10=\underline{17}$。
    2. 第 2 步（顶点）：每个顶点截出 $3$ 个新顶点，截后顶点 $10\times 3=\underline{30}$。
    3. 第 3 步（棱）：每截一个顶点多出 $3$ 条新棱，截后棱 $15+10\times 3=15+30=\underline{45}$。
    最终答案：$17$ 个面，$30$ 个顶点，$45$ 条棱。
  2. 5. ch10-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（面）：原 $6$ 个面，每削一个角多 $1$ 个面，$6+8=\underline{14}$。
    2. 第 2 步（顶点）：每个角削出 $3$ 个新顶点，$8\times 3=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（棱）：原 $12$ 条棱，每个角多 $3$ 条，$12+8\times 3=12+24=\underline{36}$。
    最终答案：$14$ 个面，$24$ 个顶点，$36$ 条棱。
  3. 5. ch10-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（面）：三棱柱原有 $5$ 个面、$9$ 条棱、$6$ 个顶点。截后面数 $5+6=\underline{11}$。
    2. 第 2 步（顶点）：$6\times 3=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（棱）：$9+6\times 3=9+18=\underline{27}$。
    最终答案：$11$ 个面，$18$ 个顶点，$27$ 条棱。
  4. 5. ch10-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（面）：$6+8=\underline{14}$。
    2. 第 2 步（顶点）：$8\times 3=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（棱）：$12+8\times 3=\underline{36}$。
    4. 第 4 步（欧拉公式）：$24-36+14=\underline{2}$，正好等于 $2$。
    最终答案：$14$ 面、$24$ 顶点、$36$ 棱；$24-36+14=2$，欧拉公式成立。
  5. 6. ch10-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（① 共享棱长 $4$）：$4\times(5-1)=\underline{16}$、$4\times(6-1)=\underline{20}$，共 $16+20=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（② 共享棱长 $5$）：$5\times(4-1)=\underline{15}$、$5\times(6-1)=\underline{25}$，共 $15+25=\underline{40}$。
    3. 第 3 步（③ 共享棱长 $6$）：$6\times(4-1)=\underline{18}$、$6\times(5-1)=\underline{24}$，共 $18+24=\underline{42}$。
    4. 第 4 步：比较 $36,40,42$，最多 $\underline{42}$ 个。
    最终答案：$42$ 个。
  6. 6. ch10-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（① 共享棱长 $3$）：$3\times(4-1)=\underline{9}$、$3\times(5-1)=\underline{12}$，共 $9+12=\underline{21}$。
    2. 第 2 步（② 共享棱长 $4$）：$4\times(3-1)=\underline{8}$、$4\times(5-1)=\underline{16}$，共 $8+16=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（③ 共享棱长 $5$）：$5\times(3-1)=\underline{10}$、$5\times(4-1)=\underline{15}$，共 $10+15=\underline{25}$。
    4. 第 4 步：比较后最多 $\underline{25}$ 个。
    最终答案：$25$ 个。
  7. 6. ch10-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（①）：$3\times(4-1)=\underline{9}$、$3\times(5-1)=\underline{12}$，共 $9+12=\underline{21}$。
    2. 第 2 步（②）：$4\times(3-1)=\underline{8}$、$4\times(5-1)=\underline{16}$，共 $8+16=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（③）：$5\times(3-1)=\underline{10}$、$5\times(4-1)=\underline{15}$，共 $10+15=\underline{25}$。
    4. 第 4 步：比较 $21,24,25$，最少 $\underline{21}$ 个。
    最终答案：$21$ 个。
  8. 6. ch10-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（选最大方案③，共享棱 $6$）：恰一面 $6\times(4-1)=\underline{18}$、$6\times(5-1)=\underline{24}$，共 $18+24=\underline{42}$。
    2. 第 2 步：两个染色面各有 $4\times 6=\underline{24}$、$5\times 6=\underline{30}$ 个小方块。
    3. 第 3 步：两面沿公共棱重叠 $6$ 个，至少一面染红的共 $24+30-6=\underline{48}$ 个。
    最终答案：恰有一面染红 $42$ 个；至少一面染红 $48$ 个。
  9. 10. ch10-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步：边长为 $1$ 的正方形有 $3\times 3=\underline{9}$ 个。
    2. 第 2 步：边长为 $2$ 的正方形有 $2\times 2=\underline{4}$ 个。
    3. 第 3 步：边长为 $3$ 的正方形有 $1\times 1=\underline{1}$ 个。
    4. 第 4 步：合计 $9+4+1=\underline{14}$ 个。
    最终答案：$14$ 个。
  10. 10. ch10-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：边长为 $1$ 格的正方形有 $3\times 3=\underline{9}$ 个。
    2. 第 2 步：边长为 $2$ 格的正方形有 $2\times 2=\underline{4}$ 个。
    3. 第 3 步：边长为 $3$ 格的正方形有 $1\times 1=\underline{1}$ 个。
    4. 第 4 步：合计 $9+4+1=\underline{14}$ 个。
    最终答案：$14$ 个。
  11. 10. ch10-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：边长为 $1$ 的正方形有 $2\times 3=\underline{6}$ 个。
    2. 第 2 步：边长为 $2$ 的正方形有 $1\times 2=\underline{2}$ 个。
    3. 第 3 步：合计 $6+2=\underline{8}$ 个。
    最终答案：$8$ 个。
  12. 10. ch10-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：边长为 $1$ 的有 $4\times 4=\underline{16}$ 个。
    2. 第 2 步：边长为 $2$ 的有 $3\times 3=\underline{9}$ 个。
    3. 第 3 步：边长为 $3$ 的有 $2\times 2=\underline{4}$ 个。
    4. 第 4 步：边长为 $4$ 的有 $1\times 1=\underline{1}$ 个。
    5. 第 5 步：合计 $16+9+4+1=\underline{30}$ 个。
    最终答案：$30$ 个。
  13. 14. ch10-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步：$36=1\times 36$，周长 $(1+36)\times 2=\underline{74}$。
    2. 第 2 步：$36=2\times 18$，周长 $(2+18)\times 2=\underline{40}$。
    3. 第 3 步：$36=3\times 12$，周长 $(3+12)\times 2=\underline{30}$。
    4. 第 4 步：$36=4\times 9$，周长 $(4+9)\times 2=\underline{26}$。
    5. 第 5 步：$36=6\times 6$，周长 $(6+6)\times 2=\underline{24}$。
    6. 第 6 步：比较 $74,40,30,26,24$，最短周长是 $\underline{24}$。
    最终答案：$24$。
  14. 14. ch10-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步：$12=1\times 12$，周长 $(1+12)\times 2=\underline{26}$。
    2. 第 2 步：$12=2\times 6$，周长 $(2+6)\times 2=\underline{16}$。
    3. 第 3 步：$12=3\times 4$，周长 $(3+4)\times 2=\underline{14}$。
    4. 第 4 步：比较后最短周长是 $\underline{14}$。
    最终答案：摆成 $3\times 4$ 时最短，最短 $14$。
  15. 14. ch10-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步：$12=1\times 12$，周长 $(1+12)\times 2=\underline{26}$。
    2. 第 2 步：$12=2\times 6$，周长 $(2+6)\times 2=\underline{16}$。
    3. 第 3 步：$12=3\times 4$，周长 $(3+4)\times 2=\underline{14}$。
    4. 第 4 步：比较后最长周长是 $\underline{26}$。
    最终答案：$26$。
  16. 14. ch10-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步：长 $+$ 宽 $=26\div 2=\underline{13}$。
    2. 第 2 步：长宽越接近面积越大，试 $6\times 7=\underline{42}$、$5\times 8=\underline{40}$。
    3. 第 3 步：比较各组，面积最大是 $\underline{42}$。
    最终答案：$42$（长 $7$、宽 $6$ 时）。
  17. 15. ch10-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步：外沿 $4$ 条斜边共 $4\times 17=\underline{68}$。
    2. 第 2 步：$4$ 条短边等于两直角边之差 $15-8=\underline{7}$，共 $4\times 7=\underline{28}$。
    3. 第 3 步：风车周长 $68+28=\underline{96}$。
    最终答案：$96$。
  18. 15. ch10-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步：外沿 $4$ 条斜边共 $4\times 10=\underline{40}$。
    2. 第 2 步：$4$ 条短边等于两直角边之差 $8-6=\underline{2}$，共 $4\times 2=\underline{8}$。
    3. 第 3 步：风车周长 $40+8=\underline{48}$。
    最终答案：$48$。
  19. 15. ch10-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步：一个三角形周长 $5+12+13=\underline{30}$。
    2. 第 2 步：$4$ 个三角形周长共 $30\times 4=\underline{120}$。
    3. 第 3 步：拼接时每个三角形各有一段短直角边被遮住，遮住 $5+5=\underline{10}$，$4$ 处共 $10\times 4=\underline{40}$。
    4. 第 4 步：风车周长 $120-40=\underline{80}$。
    最终答案：$80$。
  20. 15. ch10-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步：外沿 $4$ 条斜边共 $4\times 13=\underline{52}$。
    2. 第 2 步：$4$ 条短边等于直角边之差 $12-5=\underline{7}$，共 $4\times 7=\underline{28}$。
    3. 第 3 步：周长 $52+28=\underline{80}$。
    4. 第 4 步：一个直角三角形面积 $5\times 12\div 2=\underline{30}$。
    5. 第 5 步：风车面积 $4\times 30=\underline{120}$。
    最终答案：周长 $80$，面积 $120$。
  21. 16. ch10-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（腰 $5$ 底 $6$）：两腰之和 $5+5=\underline{10}>6$，能构成，周长 $5+5+6=\underline{16}$。
    2. 第 2 步（腰 $6$ 底 $5$）：较短两边之和 $5+6=\underline{11}>6$，能构成，周长 $6+6+5=\underline{17}$。
    3. 第 3 步（腰 $5$ 底 $11$）：两腰之和 $5+5=\underline{10}<11$，不能构成。
    4. 第 4 步（腰 $11$ 底 $5$）：较短两边之和 $5+11=\underline{16}>11$，能构成，周长 $11+11+5=\underline{27}$。
    最终答案：第一个周长为 $16$ 或 $17$；第二个周长为 $27$。
  22. 16. ch10-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（腰 $3$ 底 $4$）：$3+3=\underline{6}>4$，能构成，周长 $3+3+4=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（腰 $4$ 底 $3$）：$3+4=\underline{7}>4$，能构成，周长 $4+4+3=\underline{11}$。
    3. 第 3 步（腰 $4$ 底 $9$）：$4+4=\underline{8}<9$，不能构成。
    4. 第 4 步（腰 $9$ 底 $4$）：$4+9=\underline{13}>9$，能构成，周长 $9+9+4=\underline{22}$。
    最终答案：第一面旗 $10$ 或 $11$；第二面旗 $22$。
  23. 16. ch10-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步：两条腰共 $7\times 2=\underline{14}$。
    2. 第 2 步：底边 $25-14=\underline{11}$。
    3. 第 3 步：验证 $7+7=\underline{14}>11$，能构成三角形。
    最终答案：底边长 $11$。
  24. 16. ch10-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（甲 $5,8$）：$5,5,8$ 中 $5+5=\underline{10}>8$，周长 $5+5+8=\underline{18}$；$8,8,5$ 周长 $8+8+5=\underline{21}$。
    2. 第 2 步（乙 $6,13$）：$6,6,13$ 中 $6+6=\underline{12}<13$，不成；$13,13,6$ 周长 $13+13+6=\underline{32}$。
    3. 第 3 步（丙 $7,10$）：$7,7,10$ 中 $7+7=\underline{14}>10$，周长 $7+7+10=\underline{24}$；$10,10,7$ 周长 $10+10+7=\underline{27}$。
    4. 第 4 步：不同的周长值共 $\underline{5}$ 种。
    最终答案：周长可能是 $18,21,32,24,27$，共 $5$ 种。
  25. 17. ch10-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（长方形）：长 $+$ 宽 $=16\div 2=\underline{8}$，整数组合 $(1,7)(2,6)(3,5)(4,4)$，共 $\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步（等腰三角形）：周长 $16$ 偶，底边也偶。底 $2$ 时腰 $(16-2)\div 2=\underline{7}$，$7+7=\underline{14}>2$；底 $4$ 时腰 $(16-4)\div 2=\underline{6}$；底 $6$ 时腰 $(16-6)\div 2=\underline{5}$；底 $8$ 时腰 $4$，$4+4=\underline{8}$ 不大于 $8$，舍。共 $\underline{3}$ 种。
    最终答案：等腰三角形有 $3$ 种（底 $2/4/6$）；长方形有 $4$ 种。
  26. 17. ch10-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（长方形）：长 $+$ 宽 $=12\div 2=\underline{6}$，整数组合 $(1,5)(2,4)(3,3)$，共 $\underline{3}$ 种。
    2. 第 2 步（等腰三角形）：底边偶。底 $2$ 时腰 $(12-2)\div 2=\underline{5}$；底 $4$ 时腰 $(12-4)\div 2=\underline{4}$；底 $6$ 时腰 $3$，$3+3=\underline{6}$ 不大于 $6$，舍。共 $\underline{2}$ 种。
    最终答案：等腰三角形有 $2$ 种；长方形有 $3$ 种。
  27. 17. ch10-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步：周长 $18$ 偶，底边也偶。底 $2$ 腰 $(18-2)\div 2=\underline{8}$；底 $4$ 腰 $(18-4)\div 2=\underline{7}$；底 $6$ 腰 $(18-6)\div 2=\underline{6}$；底 $8$ 腰 $(18-8)\div 2=\underline{5}$，$5+5=\underline{10}>8$ 成立；底 $10$ 腰 $4$，$4+4=\underline{8}<10$ 舍。
    2. 第 2 步：共 $\underline{4}$ 种。
    最终答案：共 $4$ 种（底 $2/4/6/8$）。
  28. 17. ch10-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（范围）：设 $a\le b\le c$，$a+b+c=14$。$c<14\div 2=\underline{7}$ 得 $c\le 6$；若 $c\le 4$ 则三边和至多 $4\times 3=\underline{12}<14$，故 $c\ge 5$。
    2. 第 2 步（$c=6$）：$a+b=14-6=\underline{8}$，得 $(2,6,6)$、$(3,5,6)$、$(4,4,6)$。
    3. 第 3 步（$c=5$）：$a+b=14-5=\underline{9}$，得 $(4,5,5)$。
    4. 第 4 步（计数）：共 $\underline{4}$ 种三角形；其中等腰的 $(2,6,6)$、$(4,4,6)$、$(4,5,5)$ 共 $\underline{3}$ 种。
    最终答案：共 $4$ 种三角形；其中等腰的有 $3$ 种。
  29. 22. ch10-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步：一共锯成 $5\times 5\times 5=\underline{125}$ 块。
    2. 第 2 步：（1）$3$ 面红在 $8$ 个顶点处，共 $\underline{8}$ 块。
    3. 第 3 步：（2）$2$ 面红在棱上（去两端），$12\times(5-2)=\underline{36}$ 块。
    4. 第 4 步：（3）$1$ 面红在面中央，$6\times(5-2)\times(5-2)=\underline{54}$ 块。
    5. 第 5 步：（4）没涂色在内部，$(5-2)\times(5-2)\times(5-2)=\underline{27}$ 块。
    6. 第 6 步：（5）至少 $1$ 面红 $=125-27=\underline{98}$ 块。
    最终答案：（1）$8$；（2）$36$；（3）$54$；（4）$27$；（5）$98$。
  30. 22. ch10-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步：一共切成 $4\times 4\times 4=\underline{64}$ 块。
    2. 第 2 步：$3$ 面蓝在 $8$ 个顶点处，共 $\underline{8}$ 块。
    3. 第 3 步：$2$ 面蓝在棱上，$12\times(4-2)=\underline{24}$ 块。
    4. 第 4 步：$1$ 面蓝在面中央，$6\times(4-2)\times(4-2)=\underline{24}$ 块。
    5. 第 5 步：没颜色在内部，$(4-2)\times(4-2)\times(4-2)=\underline{8}$ 块。
    6. 第 6 步：至少 $1$ 面蓝 $=64-8=\underline{56}$ 块。
    最终答案：$3$ 面 $8$；$2$ 面 $24$；$1$ 面 $24$；没颜色 $8$；至少 $1$ 面 $56$。
  31. 22. ch10-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步：一共 $3\times 4\times 5=\underline{60}$ 块。
    2. 第 2 步：$3$ 面红（$8$ 个顶点）：$\underline{8}$ 块。
    3. 第 3 步：$2$ 面红（棱上去两端）：$4\times((3-2)+(4-2)+(5-2))=\underline{24}$ 块。
    4. 第 4 步：$1$ 面红（面中央）：$2\times((3-2)\times(4-2)+(3-2)\times(5-2)+(4-2)\times(5-2))=\underline{22}$ 块。
    5. 第 5 步：没涂色（内部）：$(3-2)\times(4-2)\times(5-2)=\underline{6}$ 块。
    6. 第 6 步：验证 $8+24+22+6=\underline{60}$。
    最终答案：$3$ 面 $8$；$2$ 面 $24$；$1$ 面 $22$；没涂色 $6$。
  32. 22. ch10-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步：总数 $6\times 6\times 6=\underline{216}$。
    2. 第 2 步：$3$ 面（顶点）$\underline{8}$ 块。
    3. 第 3 步：$2$ 面（棱上）$12\times(6-2)=\underline{48}$ 块。
    4. 第 4 步：$1$ 面（面中央）$6\times(6-2)\times(6-2)=\underline{96}$ 块。
    5. 第 5 步：没涂色（内部）$(6-2)\times(6-2)\times(6-2)=\underline{64}$ 块。
    6. 第 6 步：至少 $1$ 面 $=216-64=\underline{152}$ 块。
    7. 第 7 步：至少 $2$ 面（$=3$ 面 $+2$ 面）$8+48=\underline{56}$ 块。
    最终答案：$3$ 面 $8$；$2$ 面 $48$；$1$ 面 $96$；没涂色 $64$；至少 $1$ 面 $152$；至少 $2$ 面 $56$。
  33. 23. ch10-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（内角和公式）：正 $n$ 边形内角和 $=(n-2)\times 180^\circ$，每个内角 $=$ 内角和 $\div n$。正六边形内角和 $(6-2)\times 180=\underline{720}$，每个内角 $720\div 6=\underline{120}$。
    2. 第 2 步：正八边形内角和 $(8-2)\times 180=\underline{1080}$，每个内角 $1080\div 8=\underline{135}$。
    3. 第 3 步：正十边形内角和 $(10-2)\times 180=\underline{1440}$，每个内角 $1440\div 10=\underline{144}$。
    4. 第 4 步（比较）：$120<135<144$，正十边形内角最大。
    最终答案：正十边形（内角 $144^\circ$ 最大）。
  34. 23. ch10-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：正方形内角和 $(4-2)\times 180=\underline{360}$，每个内角 $360\div 4=\underline{90}$。
    2. 第 2 步：正六边形内角和 $(6-2)\times 180=\underline{720}$，每个内角 $720\div 6=\underline{120}$。
    3. 第 3 步：正八边形内角和 $(8-2)\times 180=\underline{1080}$，每个内角 $1080\div 8=\underline{135}$。最大是正八边形。
    最终答案：正八边形（内角 $135^\circ$ 最大）。
  35. 23. ch10-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步：正方形内角和 $(4-2)\times 180=\underline{360}$，每个内角 $360\div 4=\underline{90}$。
    2. 第 2 步：正五边形内角和 $(5-2)\times 180=\underline{540}$，每个内角 $540\div 5=\underline{108}$。
    3. 第 3 步：正六边形内角和 $(6-2)\times 180=\underline{720}$，每个内角 $720\div 6=\underline{120}$。最小是正方形。
    最终答案：正方形（内角 $90^\circ$ 最小）。
  36. 23. ch10-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（内角和）：$(12-2)\times 180=\underline{1800}$。
    2. 第 2 步（每个内角）：$1800\div 12=\underline{150}$。
    3. 第 3 步（每个外角）：外角与内角互补，$180-150=\underline{30}$。
    最终答案：每个内角 $150^\circ$，每个外角 $30^\circ$。
  37. 27. ch10-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步：正方形周长 $10\times 4=\underline{40}$（厘米）。
    2. 第 2 步：剪开后每个长方形长 $10$ 宽 $5$，周长 $(10+5)\times 2=\underline{30}$（厘米）。
    3. 第 3 步：两个长方形周长和 $30\times 2=\underline{60}$（厘米）。
    4. 第 4 步：与原正方形周长作差 $60-40=\underline{20}$（厘米）。
    最终答案：多 $20$ 厘米。
  38. 27. ch10-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步：正方形彩纸周长 $8\times 4=\underline{32}$（厘米）。
    2. 第 2 步：每个长方形长 $8$ 宽 $4$，周长 $(8+4)\times 2=\underline{24}$（厘米）。
    3. 第 3 步：两个长方形周长和 $24\times 2=\underline{48}$（厘米）。
    4. 第 4 步：作差 $48-32=\underline{16}$（厘米）。
    最终答案：多 $16$ 厘米。
  39. 27. ch10-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步：原长方形周长 $(8+4)\times 2=\underline{24}$（厘米）。
    2. 第 2 步：剪成两个边长 $4$ 的正方形，每个周长 $4\times 4=\underline{16}$（厘米）。
    3. 第 3 步：两个正方形周长和 $16\times 2=\underline{32}$（厘米）。
    4. 第 4 步：作差 $32-24=\underline{8}$（厘米）。
    最终答案：多 $8$ 厘米。
  40. 27. ch10-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步：正方形周长 $12\times 4=\underline{48}$（厘米）。
    2. 第 2 步：每个长方形长 $12$ 宽 $4$，周长 $(12+4)\times 2=\underline{32}$（厘米）。
    3. 第 3 步：三个长方形周长和 $32\times 3=\underline{96}$（厘米）。
    4. 第 4 步：作差 $96-48=\underline{48}$（厘米）。
    最终答案：多 $48$ 厘米。
  41. 28. ch10-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（周长）：$9$ 根火柴，三角形周长 $=1\times 9=\underline{9}$（寸）。
    2. 第 2 步（最长边为 4）：另两边之和 $9-4=\underline{5}$，拆成 $1+4$、$2+3$，得三角形 $(1,4,4)$、$(2,3,4)$。
    3. 第 3 步（最长边为 3）：三边都不超过 3 且和为 9，只能是 $(3,3,3)$；验证 $3+3=\underline{6}>3$，成立。
    4. 第 4 步（最长边不能到 5）：否则另两边之和 $\le 9-5=\underline{4}<5$，围不成三角形。
    5. 第 5 步（计数）：共 $2+1=\underline{3}$ 种。
    最终答案：三边长为 $(1,4,4)$、$(2,3,4)$、$(3,3,3)$，共 $3$ 种。
  42. 28. ch10-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（周长）：$9$ 根小木棒，三角形周长 $=1\times 9=\underline{9}$（分米）。
    2. 第 2 步（最长边为 4）：另两边之和 $9-4=\underline{5}$，拆成 $1+4$、$2+3$，得 $(1,4,4)$、$(2,3,4)$。
    3. 第 3 步（最长边为 3）：只能是 $(3,3,3)$；验证 $3+3=\underline{6}>3$，成立。
    4. 第 4 步（最长边不能到 5）：否则另两边之和 $\le 9-5=\underline{4}<5$，围不成。
    5. 第 5 步（计数）：共 $2+1=\underline{3}$ 种。
    最终答案：三边长为 $(1,4,4)$、$(2,3,4)$、$(3,3,3)$，共 $3$ 种。
  43. 28. ch10-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（定最长边范围）：设三边 $a\le b\le c$，$a+b+c=10$。最长边小于周长的一半，$c<10\div 2=\underline{5}$，所以 $c\le 4$。
    2. 第 2 步（$c=4$）：另两边之和 $a+b=10-4=\underline{6}$，$a\le b\le 4$，拆成 $(2,4)$、$(3,3)$，得 $(2,4,4)$、$(3,3,4)$。
    3. 第 3 步（验证）：$2+4=\underline{6}>4$、$3+3=\underline{6}>4$，都能构成三角形。
    4. 第 4 步（计数）：共 $\underline{2}$ 种。
    最终答案：共 $2$ 种：$(2,4,4)$、$(3,3,4)$。
  44. 28. ch10-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（范围）：设 $a\le b\le c$，$a+b+c=12$。$c<12\div 2=\underline{6}$ 得 $c\le 5$；又 $c\ge 12\div 3=\underline{4}$。
    2. 第 2 步（$c=5$）：$a+b=12-5=\underline{7}$，拆成 $(2,5)$、$(3,4)$，得 $(2,5,5)$、$(3,4,5)$；验证 $2+5=\underline{7}>5$、$3+4=\underline{7}>5$。
    3. 第 3 步（$c=4$）：$a+b=12-4=\underline{8}$，$a\le b\le 4$，只能 $(4,4)$，得 $(4,4,4)$。
    4. 第 4 步（计数）：共 $\underline{3}$ 种三角形；其中等腰的 $(2,5,5)$、$(4,4,4)$ 共 $\underline{2}$ 种。
    最终答案：共 $3$ 种三角形：$(2,5,5)$、$(3,4,5)$、$(4,4,4)$；其中等腰的有 $2$ 种。
  45. 31. ch10-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（棱锥规律）：$n$ 棱锥有 $2n$ 条棱（底 $n$ + 侧 $n$）、$n+1$ 个面（底面 $1$ + 侧面 $n$）。五棱锥的棱 $2\times 5=\underline{10}$，面 $5+1=\underline{6}$。
    2. 第 2 步：六棱锥的棱 $2\times 6=\underline{12}$，面 $6+1=\underline{7}$。
    最终答案：五棱锥有 $10$ 条棱、$6$ 个面；六棱锥有 $12$ 条棱、$7$ 个面。
  46. 31. ch10-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步：四棱锥帐篷的棱 $4+4=\underline{8}$（底 $4$ + 侧 $4$），面 $1+4=\underline{5}$（底 $1$ + 侧 $4$）。
    2. 第 2 步：正八面体骰子的棱 $4+4+4=\underline{12}$，面 $4+4=\underline{8}$。
    最终答案：帐篷有 $8$ 条棱、$5$ 个面；骰子有 $12$ 条棱、$8$ 个面。
  47. 31. ch10-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（棱柱规律）：$n$ 棱柱有 $3n$ 条棱（上底 $n$ + 下底 $n$ + 侧棱 $n$）、$n+2$ 个面、$2n$ 个顶点。五棱柱的棱 $3\times 5=\underline{15}$。
    2. 第 2 步：面 $5+2=\underline{7}$。
    3. 第 3 步：顶点 $2\times 5=\underline{10}$。
    最终答案：五棱柱有 $15$ 条棱、$7$ 个面、$10$ 个顶点。
  48. 31. ch10-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步：棱 $3\times 7=\underline{21}$。
    2. 第 2 步：面 $7+2=\underline{9}$。
    3. 第 3 步：顶点 $2\times 7=\underline{14}$。
    4. 第 4 步（欧拉公式）：$14-21+9=\underline{2}$，正好等于 $2$。
    最终答案：七棱柱有 $21$ 条棱、$9$ 个面、$14$ 个顶点；$14-21+9=2$，欧拉公式成立。