三年级第12讲智巧趣题一

1. 【原题 ch12-chaoyue-01】用 $4$ 根火柴棒组成小杯子的形状，如图 $12-16$ 给出了两种不同的组成方式，而且两个杯子里各放了一颗五角星。（1）请移动图 $(a)$ 中的两根火柴棒，使得五角星在杯子外面，但杯子的形状不得改变；（2）请移动图 $(b)$ 中的两根火柴棒，使得五角星在杯子外面，但杯子的形状不得改变。

详细思路

是哪类问题：这是「火柴棒移动·平移/翻转」类结构题：不改变杯形让五角星到杯外。

关键切入点：实质是移动 2 根火柴棒把整个杯子平移或翻转杯口朝向，使杯子相对五角星移位，五角星就落在杯外。

方法概述：保持杯形不变，移动 2 根使杯子相对五角星移位。

规范步骤：

（1）图(a)移 2 根让杯子整体移位/翻转：（平移）
（2）图(b)同理移 2 根：（翻转）
五角星落在杯外（见参考图）：

2. 【原题 ch12-chaoyue-02】如图 $12-17$ 是用 $24$ 根火柴棒摆成的两个正方形，请你只移动其中 $4$ 根火柴棒，使它变成两个完全相同的正方形。

详细思路

是哪类问题：这是「火柴棒移动·正方形构造」类结构题：移动 4 根使一大一小两正方形变成两个相同的。

关键切入点：把构成大、小正方形的 4 根重新安放，使两正方形边长相等，即成两个完全相同的正方形。

方法概述：移动 4 根调整两正方形边长使其相同。

规范步骤：

原图一大一小两正方形（共 24 根）：（现状）
移动 4 根让两正方形边长相等：（调整）
成两个完全相同的正方形（见参考图）：

3. 【原题 ch12-chaoyue-03】如图 $12-18$，黑板上画了 $9$ 个点，有人可以用 $5$ 条线段把它们串联起来，而这 $5$ 条线段可以用一笔画成。实际上我们可以做得更好：用 $4$ 条线段就能把这 $9$ 个点串联起来，而且这 $4$ 条线段仍然是用一笔画成的。请大家找出这种画法。

详细思路

是哪类问题：这是「一笔画·突破边界思维」类结构题：用 4 条线段一笔串联 9 个点。

关键切入点：4 条线段中横线、竖线各最多 2 条；必须让线段画到点阵之外再折回，只剩 2 个奇点，即可一笔画成。

方法概述：突破“线段不能超出点阵”的定式，让线段画到点外再一笔串联。

规范步骤：

横线、竖线各不能有 3 条：（分析）
让斜线伸出点阵外再折回：（突破边界）
只剩两个奇点，可一笔画成（见参考图）：

4. 【原题 ch12-chaoyue-04】在国际象棋中，皇后可以沿横线、竖线、斜线吃子。如图 $12-19$，我们在棋盘上放置一个皇后（图中放在中央的格子）。要想在一个 $4\times 4$ 的棋盘中放下 $4$ 个皇后，同时它们相互之间不能吃子，那么应该怎么放？

详细思路

是哪类问题：这是「N 皇后·棋盘放置」类结构题：每行每列每斜线各放 1 个皇后。

关键切入点：每行放 1 个共 4 个；按行逐步排除同列、同斜线的位置确定各皇后，再由对称得到另一解。

方法概述：每行每列每斜线各放 1 个，逐行排除定位并用对称得另一解。

规范步骤：

每行放 1 个，共 4 个皇后：$4$（行约束）
逐行排除同列、同斜线位置确定各皇后：（排除）
由对称性得到另一种放法：（对称）

5. 【原题 ch12-chaoyue-05】$3$ 个朋友去旅馆住宿，每人交了 $10$ 元押金。第二天老板发现他们一共消费了 $25$ 元，于是从押金中扣除后，让服务员将剩余的 $5$ 元送回给房客。服务员在路上想：反正客人也不知道他们花了多少钱，$5$ 元钱 $3$ 个人也没法分，不如我藏起 $2$ 元钱算了。于是他就找给客人 $3$ 元，相当于每人找回了 $1$ 元钱。请大家想一想：$3$ 个人每人交了 $10$ 元，又找回了 $1$ 元，相当于花了 $9$ 元，$3$ 个人一共花了 $27$ 元，如果加上服务员藏的 $2$ 元一共是 $29$ 元。可一开始三个人总共交了 $30$ 元，这之间相差了 $1$ 元！那这 $1$ 元钱哪儿去了呢？

详细思路

是哪类问题：这是「逻辑陷阱·钱款核算」类题：厘清各笔钱去向，识破错误加法。

关键切入点：客人实付 27 元中已包含服务员藏的 2 元，不应再加。正确核算：客付 27 = 房费 25 + 藏 2；27 + 退回 3 = 30，与最初的 30 元相符，并没少 1 元。

方法概述：厘清各笔钱去向，识破“27+2”的错误，正确算为 27+3=30。

规范步骤：

三人共交 3×10=30 元：$10\times3=30$（押金）
每人实付 10-1=9 元，共 9×3=27 元：$9\times3=27$（客付）
27 元 = 房费 25 + 藏 2；再 +退回 3 = 30：$27+3=30$（正确核算）

第一套

题目：$3$ 个人合住旅馆，每人先付 $100$ 元押金（共 $300$ 元）。老板算出房费 $250$ 元，退回 $50$ 元让服务员送还。服务员藏起 $20$ 元，只退给 $3$ 人 $30$ 元（每人 $10$ 元）。有人算：每人实付 $100-10=90$ 元，$3$ 人共 $270$ 元，再加藏的 $20$ 元是 $290$ 元，与 $300$ 元差了 $10$ 元。这 $10$ 元哪去了？

引导填空（在横线上填关键结果）：

每人实付 $100-10=\underline{\quad}$ 元，$3$ 人共 $90\times3=\underline{\quad}$ 元。
这 $270$ 元里已经包含服务员藏的 $20$ 元：$250+20=\underline{\quad}$ 元（房费 $+$ 藏款）。
正确核算应把退款加上，而不是把藏款再加：$270+30=\underline{\quad}$ 元，与交的 $300$ 元相符。

第二套

题目：$3$ 个学生合租一间自习室，每人先交 $10$ 元（共 $30$ 元）。管理员算出实际只需 $25$ 元，退回 $5$ 元让同学甲去还。甲藏起 $2$ 元，把 $3$ 元还给大家（每人 $1$ 元）。有人说：每人花了 $10-1=9$ 元，$3$ 人共 $27$ 元，加甲藏的 $2$ 元是 $29$ 元，与 $30$ 元差 $1$ 元。这 $1$ 元哪去了？

引导填空（在横线上填关键结果）：

每人实付 $10-1=\underline{\quad}$ 元，$3$ 人共 $9\times3=\underline{\quad}$ 元。
这 $27$ 元里已含甲藏的 $2$ 元：$25+2=\underline{\quad}$ 元。
正确核算是客付加退款：$27+3=\underline{\quad}$ 元，与交的 $30$ 元相符。

第三套

题目：$3$ 人各付 $10$ 元（共 $30$ 元），实际消费 $22$ 元，退回 $8$ 元。服务员藏起 $2$ 元，退给 $3$ 人 $6$ 元（每人 $2$ 元）。有人算：每人花 $10-2=8$ 元，共 $24$ 元，加藏的 $2$ 元是 $26$ 元，与 $30$ 元差 $4$ 元。错在哪？

引导填空（在横线上填关键结果）：

每人实付 $10-2=\underline{\quad}$ 元，$3$ 人共 $8\times3=\underline{\quad}$ 元。
这 $24$ 元里已含藏的 $2$ 元：$22+2=\underline{\quad}$ 元。
正确应是客付加退款：$24+6=\underline{\quad}$ 元，与 $30$ 元相符。

第三套

题目：$3$ 人各付 $10$ 元（共 $30$ 元），房费 $25$ 元，退回 $5$ 元，服务员藏 $2$ 元，退给客人 $3$ 元。（1）写出“交的总钱 $=$ 房费 $+$ 藏款 $+$ 退款”的核算等式；（2）有人错误地算成“客付 $27+$ 藏 $2=29$”，请说明客付的 $27$ 元里减掉藏的 $2$ 元应得房费多少、再加退款多少才等于 $30$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

（1）交的总钱 $=$ 房费 $+$ 藏款 $+$ 退款：$25+2+3=\underline{\quad}$ 元。
（2）客付 $27$ 元里已含藏的 $2$ 元，减掉得房费 $27-2=\underline{\quad}$ 元。
正确应是客付加退款 $27+3=\underline{\quad}$ 元，一分没少。

6. 【原题 ch12-chaoyue-06】玩具加工厂要把小正方体形状积木的六个面染色，两个面染红色，两个面染蓝色，另两个面染黄色。厂里的机器可以同时给 $6$ 个小正方体的一面染上相同的颜色，每次需要 $5$ 分钟。现在有 $8$ 个积木要加工，那么用这种机器最少需要多少分钟才能完成？

详细思路

是哪类问题：这是「统筹染色·最优时间」类题：先按总面数估下界，再由每种颜色的面数定每色次数。

关键切入点：8 个积木共 48 个面，机器每次 6 面 → 至少 8 次；但每种颜色 16 个面、每次只能染同色 6 面，故每色至少 3 次（6+6+4），三色共 9 次，9×5=45 分。

方法概述：由每色 16 面、每次同色 6 面推出每色 3 次，共 9 次，乘 5 分钟。

规范步骤：

8 个积木共 8×6=48 面，下界 48÷6=8 次：$48\div6=8$（总面下界）
每色 8×2=16 面，需 6+6+4=16 → 每色 3 次：$6+6+4=16$（每色次数）
三色共 3×3=9 次，时间 9×5=45 分：$9\times5=45$（总时间）

第一套

题目：每个小正方体有 $6$ 个面，$2$ 面染红、$2$ 面染蓝、$2$ 面染黄。机器每次给 $6$ 个正方体的各 $1$ 面染同一种颜色，每次 $5$ 分钟。现有 $10$ 个正方体，最少几分钟染完？

引导填空（在横线上填关键结果）：

每种颜色的总面数：$10\times2=\underline{\quad}$ 面。
机器一次最多染 $6$ 个同色面，$20$ 面按 $6+6+6+2=\underline{\quad}$ 分成 $\underline{\quad}$ 次（每色）。
三种颜色共 $3\times4=\underline{\quad}$ 次，每次 $5$ 分钟，共 $12\times5=\underline{\quad}$ 分钟。

第二套

题目：每个玻璃立方块有 $6$ 个面，$2$ 面镀金、$2$ 面镀银、$2$ 面镀铜。机器每次给 $6$ 个立方块各 $1$ 面镀同一种膜，每次 $5$ 分钟。现有 $8$ 个立方块，最少几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

每种膜的总面数：$8\times2=\underline{\quad}$ 面。
每次最多镀 $6$ 个同种膜面，$16$ 面按 $6+6+4=\underline{\quad}$ 分成 $\underline{\quad}$ 次（每种膜）。
三种膜共 $3\times3=\underline{\quad}$ 次，每次 $5$ 分钟，共 $9\times5=\underline{\quad}$ 分钟。

第三套

题目：每个正方体有 $6$ 个面，$3$ 面染红、$3$ 面染绿。机器每次给 $6$ 个正方体各 $1$ 面染同色，每次 $5$ 分钟。现有 $8$ 个正方体，最少几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

每种颜色的总面数：$8\times3=\underline{\quad}$ 面。
每次最多染 $6$ 个同色面，$24$ 面需 $24\div6=\underline{\quad}$ 次（每色）。
两种颜色共 $2\times4=\underline{\quad}$ 次，每次 $5$ 分钟，共 $8\times5=\underline{\quad}$ 分钟。

第三套

题目：每个正方体有 $6$ 个面，$2$ 红 $2$ 蓝 $2$ 黄。机器每次 $6$ 面同色、每次 $5$ 分钟。现有 $7$ 个正方体，最少几分钟？（先按总面数估下界，再看每种颜色要几次。）

引导填空（在横线上填关键结果）：

总面数：$7\times6=\underline{\quad}$ 面，按面数下界 $42\div6=\underline{\quad}$ 次。
但每色 $7\times2=14$ 面，按 $6+6+2=\underline{\quad}$ 分成 $3$ 次；三色共 $3\times3=\underline{\quad}$ 次（比下界 $7$ 多）。
时间 $9\times5=\underline{\quad}$ 分钟。

7. 【原题 ch12-chaoyue-07】哈利·波特的魔杖被敌人藏在了魔法迷宫里。如图 $12-20$，迷宫有 $25$ 个房间，分别标有号码，魔杖就在 $13$ 号房间内。在这座迷宫中有如下的机关：每次走进一个房间，就会立刻被转移到带有相同号码的那个房间，然后再走进相邻的房间（有公共边的房间是相邻的），立刻又会被转移；如此继续。如果哈利·波特先走入 $1$ 号房间，并要走进最中间的 $13$ 号房间，请你写出转移次数最少的路线且依次经过的房间号（相同的房间号只写一个即可）。如果偶数号房间是陷阱，哈利·波特从 $1$ 号房间开始不重复地经过所有的奇数号房间，最终到达 $13$ 号房间，有多少种不同的可能路线？

详细思路

是哪类问题：这是「规则迷宫·路径计数」类结构题：按转移机关搜索最少转移路线，再在限制下计数。

关键切入点：第一问按“进房即转移到同号房间再进相邻房间”找最少转移路线 1→11→9→13；第二问只走奇数号房间，枚举后仅 1→3→7→5→11→9→13 可行。

方法概述：按机关规则搜索路径，先求最少转移，再在只经过奇数号的限制下枚举。

规范步骤：

第一问：最少转移路线 1→11→9→13：（搜索）
第二问：删去偶数号，枚举奇数号路径：（计数）
只有 1→3→7→5→11→9→13 一种：$1$（唯一）

8. 【原题 ch12-chaoyue-08】如图 $12-21$ 所示，水面上有 $7$ 块石头，中间的 $1$ 块空着石头，左侧蹲着 $3$ 只青蛙，只能往右跳；右侧蹲着 $3$ 只青蛙，只能往左跳。跳跃的规则是：必须按照特定的方向，青蛙可以跳到与之相邻的空石头上，或者越过相邻的 $1$ 只青蛙跳到接着的空石头上。请设计一个合理的跳跃顺序，使得右侧的三只青蛙都跳到最左侧的三块石头上，左侧的三只青蛙都跳到右侧的三块石头上。（注：每次只能有 $1$ 只青蛙跳跃，每块石头上最多只能有 $1$ 只青蛙。）

详细思路

是哪类问题：这是「跳蛙交换·操作序列」类结构题：交替使用“相邻移动”与“跳越一只”实现两侧交换。

关键切入点：把 7 块石头标 1~7（初始 4 号空），按规则逐步移动空位，共 15 步使左右青蛙完全交换。

方法概述：交替用相邻移动与跳越一只，逐步移动空位，共 15 步。

规范步骤：

石头标 1~7，初始 4 号为空：（建模）
按规则跳跃，交替相邻移动与跳越：（操作）
共 15 步完成两侧交换：$15$

9. 【原题 ch12-tuozhan-01】（1）如图 $12-8(a)$ 所示，用 $8$ 根火柴棒摆放成了一条向左游动的鱼，请移动 $3$ 根火柴棒，使得这条鱼掉头向右游动；（2）如图 $12-8(b)$ 所示，用 $10$ 根火柴棒摆放成了一把椅子，请移动 $2$ 根火柴棒，将这把椅子倒过来。

详细思路

是哪类问题：这是「火柴棒移动·对称与翻转」类结构题：移动指定根数改变图形朝向。

关键切入点：抓住对称关系：把决定鱼游向的 3 根移到对称另一侧使鱼掉头；把椅子的 2 根移到对应位置使其上下翻转。

方法概述：利用对称，移动指定根数的火柴棒改变朝向。

规范步骤：

（1）鱼：把鱼身鱼尾方向的 3 根移到对称侧：（鱼掉头向右）
（2）椅子：把靠背/椅腿的 2 根移到对应位置：（椅子翻转）

10. 【原题 ch12-tuozhan-02】如图 $12-9$，用 $9$ 根火柴棒摆放成了 $3$ 个三角形。最少需要移动几根火柴棒，才能使得它变成含有 $4$ 个三角形的图形？

详细思路

是哪类问题：这是「火柴棒移动·共边构造」类结构题：不增减火柴棒，通过共用边增加三角形个数。

关键切入点：原来 3 个三角形分开排；移动 2 根使三角形之间共用边，就能在 9 根不变下出现 4 个三角形。

方法概述：移动 2 根使三角形互相共边，增加三角形个数。

规范步骤：

原图 3 个分离三角形（9 根）：$3\times3=9$（计数）
移动 2 根让三角形共边：（共用边）
出现 4 个三角形：$4$

11. 【原题 ch12-tuozhan-03】如图 $12-10$ 所示，$12$ 根火柴棒组成 $1$ 大 $4$ 小 $5$ 个正方形。（1）请拿掉 $2$ 根火柴棒，使得余下的火柴棒恰好构成 $2$ 个正方形；（2）请移动 $3$ 根火柴棒，使得它变成 $3$ 个相同的正方形。

详细思路

是哪类问题：这是「火柴棒拿取/移动·正方形构造」类结构题。

关键切入点：（1）拿掉 2 根后剩下大小各 1 个正方形；（2）移动 3 根后重组成 3 个相同的小正方形。

方法概述：通过拿取或移动火柴棒重组，使剩下的图形恰为指定个数的正方形。

规范步骤：

（1）拿掉 2 根 → 剩大、小各 1 个正方形：（拿取）
（2）移动 3 根 → 变成 3 个相同小正方形：（移动重组）

12. 【原题 ch12-tuozhan-04】图 $12-11$ 是一座博物馆的示意图，游客从入口进入博物馆。是否能找到一条参观路线，每扇门恰好经过一次？

详细思路

是哪类问题：这是「一笔画·房间—门模型」类题：房间看作点、门看作线，按奇点判断。

关键切入点：统计各点引出的门数，图中有 4 个奇点，多于 2，故不存在恰好经过每扇门一次的路线。

方法概述：化房间为点、化门为线，按奇点个数判断。

规范步骤：

每个房间（含外部）看作点，门看作线：（建模）
统计奇点：共 4 个：$1+1+1+1=4$（奇点计数）
奇点 4 个 > 2，不能一笔走遍：（判据）

第一套

题目：一座房子有若干房间（含房子外部），把每个房间看作点、每扇门看作连接两点的线。各房间引出的门数为 $3,3,3,3,4,4$。能否找到一条参观路线，每扇门恰好经过一次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

把房间看作点、门看作线，转化为一笔画：奇点为 $0$ 或 $2$ 才能。
先算门数：$(3+3+3+3+4+4)\div2=\underline{\quad}$ 扇。
数奇点：从 $3,3,3,3,4,4$ 中挑出奇数度的房间，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 多于 $2$，不能。

第二套

题目：一座城堡各厅堂（含城堡外）由门相连，把厅堂看作点、门看作线。各厅堂引出的门数为 $3,5,3,5,4$。能否每扇门恰好经过一次走遍城堡？

引导填空（在横线上填关键结果）：

把厅堂看作点、门看作线，转化为一笔画。
门数：$(3+5+3+5+4)\div2=\underline{\quad}$ 扇。
数奇点：从 $3,5,3,5,4$ 中挑出奇数度的厅堂，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 不能。

第三套

题目：一座博物馆各展厅（含馆外）由门相连，把展厅看作点、门看作线。各展厅引出的门数为 $2,2,2,3,3,4$。能否每扇门恰好经过一次参观完？

引导填空（在横线上填关键结果）：

把展厅看作点、门看作线，转化为一笔画。
门数：$(2+2+2+3+3+4)\div2=\underline{\quad}$ 扇。
数奇点：从 $2,2,2,3,3,4$ 中挑出奇数度的展厅，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 奇点恰为 $2$，能（从一个奇点出发到另一奇点）。

第三套

题目：一座迷宫各房间（含迷宫外）由门相连，把房间看作点、门看作线。各房间引出的门数为 $3,3,3,3,3,3,3,3$。（1）能否一次走遍每扇门恰好一次？（2）若不能，至少要走几条互不重复的路线才能走遍所有门？

引导填空（在横线上填关键结果）：

把房间看作点、门看作线，转化为一笔画。
门数：$(3\times8)\div2=\underline{\quad}$ 扇。
数奇点：从 $3,3,3,3,3,3,3,3$ 中挑出奇数度的房间，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 不能一次走遍。
最少路线数 $=$ 奇点数 $\div 2=\underline{\quad}$ 条。

13. 【原题 ch12-tuozhan-05】图 $12-12$ 中哪些图形可以一笔画出？哪些不能？不能一笔画出的图形最少要画几笔？（图中有：①带高的三角形、②五角星嵌五边形、③扇子、④太阳、⑤花、⑥箭靶）

详细思路

是哪类问题：这是「一笔画 / 多笔画综合判定」类题：能一笔画看奇点是否为 0 或 2，不能则最少笔数 = 奇点数 ÷ 2。

关键切入点：②五角星嵌五边形 0 奇点、③扇子/⑤花/⑥箭靶各 2 奇点 → 能一笔画；①带高三角形 6 奇点 → 3 笔；④太阳分成 9 部分 → 9 笔。

方法概述：数奇点：0 或 2 可一笔画，否则最少笔数为奇点数的一半。

规范步骤：

②③⑤⑥ 奇点为 0 或 2，能一笔画：（判据）
①带高三角形 6 个奇点：最少 6÷2=3 笔：$6\div2=3$（多笔画）
④太阳分成 9 部分：最少 9 笔：$9$（不连通/多笔）

第一套

题目：判断下列连通图形能否一笔画，不能的求最少笔数。甲：度数 $2,3,3,4$；乙：度数 $3,3,3,3,4,4$；丙：度数 $3,3,3,3,3,3,3,3$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

判据：奇点为 $0$ 或 $2$ 能一笔画，否则最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$。
甲图度数 $2,3,3,4$，挑出奇数度的点，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 能一笔画。
乙图度数 $3,3,3,3,4,4$，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 不能，最少 $\underline{\quad}$ 笔。
丙图度数 $3,3,3,3,3,3,3,3$，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 最少 $\underline{\quad}$ 笔。

第二套

题目：手工课上要一笔画出两个连通花样，判断能否一笔画，不能的求最少笔数。甲花样各点度数 $3,3,2,2,2$；乙花样各点度数 $3,3,3,3,3,3$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

判据：奇点为 $0$ 或 $2$ 能一笔画，否则最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$。
甲花样度数 $3,3,2,2,2$，挑出奇数度的点，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 能一笔画。
乙花样度数 $3,3,3,3,3,3$，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 不能，最少 $\underline{\quad}$ 笔。

第三套

题目：（1）某连通图形最少要 $4$ 笔画出，它有几个奇点？（2）另一个连通图形各点度数为 $3,3,3,3,4,4$，能否一笔画？不能则最少几笔？（3）第三个连通图形各点度数为 $3,3,3,3,3,3,2,2$，最少几笔？

引导填空（在横线上填关键结果）：

公式：最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$，即奇点数 $=$ 笔数 $\times 2$。
（1）奇点数 $=4\times2=\underline{\quad}$ 个。
（2）从 $3,3,3,3,4,4$ 中挑出奇数度的点，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 不能一笔画，最少 $\underline{\quad}$ 笔。
（3）从 $3,3,3,3,3,3,2,2$ 中挑出奇数度的点，奇点共 $\underline{\quad}$ 个，最少 $\underline{\quad}$ 笔。

第三套

题目：一个连通图形各点度数为 $3,3,3,3,3,3,4,4,4,4$。（1）最少几笔画出？（2）若把两个奇点用一条新线相连，使它们都变成偶点，这时最少几笔？

引导填空（在横线上填关键结果）：

最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$。
（1）从 $3,3,3,3,3,3,4,4,4,4$ 中挑出奇数度的点，奇点共 $\underline{\quad}$ 个，最少 $\underline{\quad}$ 笔。
（2）连线后两个奇点变偶点，剩下奇点共 $\underline{\quad}$ 个，最少 $\underline{\quad}$ 笔。

14. 【原题 ch12-tuozhan-06】如图 $12-13$，现在有 $7$ 个满杯的果汁，$7$ 个半杯的果汁和 $7$ 个空杯，要想把它们平分给三个人，使得每人都分到同样多的果汁和杯子，应该怎么分？

详细思路

是哪类问题：这是「平均分配·凑数」类题：先算每人应得的杯数与果汁量，再用满、半、空杯凑成相等分配。

关键切入点：共 21 个杯子，果汁总量 7+7×½=10½ 杯。故每人分 21÷3=7 个杯子、10½÷3=3½ 杯果汁。把满杯记 2 单位、半杯记 1 单位，总 21 单位，每人 7 单位。

方法概述：先求每人应得杯数与果汁量，再凑成相等分配。

规范步骤：

杯子总数 7+7+7=21，每人 21÷3=7 个：$21\div3=7$（平分杯子）
满记 2、半记 1 单位，果汁共 7×2+7×1=21 单位：$7\times2+7\times1=21$（折算）
每人 21÷3=7 单位 = 3½ 杯：$21\div3=7$（平分果汁）
一种分法：前两人各 3 满 1 半 3 空；第三人 1 满 5 半 1 空：（凑数）

第一套

题目：有 $10$ 个满杯果汁、$10$ 个半杯果汁、$10$ 个空杯，平分给 $3$ 个人，每人分到同样多的果汁和杯子。每人应分几个杯子、多少杯果汁？

引导填空（在横线上填关键结果）：

先分杯子：杯子总数 $10+10+10=\underline{\quad}$ 个，每人 $30\div3=\underline{\quad}$ 个。
再分果汁：把满杯记 $2$ 个单位、半杯记 $1$ 个单位，果汁共 $10\times2+10\times1=\underline{\quad}$ 个单位，每人 $30\div3=\underline{\quad}$ 个单位。
换算成杯：$10$ 个单位（每 $2$ 单位 $=1$ 杯）$=\underline{\quad}$ 杯。

第二套

题目：有 $8$ 桶满油、$8$ 桶半桶油、$8$ 个空桶，平分给 $3$ 个人，每人分到同样多的油和桶。每人应分几个桶、多少桶油？

引导填空（在横线上填关键结果）：

先分桶：桶总数 $8+8+8=\underline{\quad}$ 个，每人 $24\div3=\underline{\quad}$ 个。
再分油：满桶记 $2$ 单位、半桶记 $1$ 单位，油共 $8\times2+8\times1=\underline{\quad}$ 单位，每人 $24\div3=\underline{\quad}$ 单位。
换算成桶：$8$ 单位 $=\underline{\quad}$ 桶。

第三套

题目：有 $9$ 个满杯、$9$ 个半杯、$9$ 个空杯，平分给 $3$ 个人。每人应分几个杯子、多少杯果汁？

引导填空（在横线上填关键结果）：

分杯子：$9+9+9=\underline{\quad}$ 个，每人 $27\div3=\underline{\quad}$ 个。
分果汁：满记 $2$、半记 $1$ 单位，共 $9\times2+9\times1=\underline{\quad}$ 单位，每人 $27\div3=\underline{\quad}$ 单位。
换算成杯：$9$ 单位 $=\underline{\quad}$ 杯。

第三套

题目：有 $12$ 个满杯、$12$ 个半杯、$12$ 个空杯，平分给 $4$ 个人，每人分到同样多的果汁和杯子。每人应分几个杯子、多少杯果汁？

引导填空（在横线上填关键结果）：

分杯子：$12+12+12=\underline{\quad}$ 个，每人 $36\div4=\underline{\quad}$ 个。
分果汁：满记 $2$、半记 $1$ 单位，共 $12\times2+12\times1=\underline{\quad}$ 单位，每人 $36\div4=\underline{\quad}$ 单位。
换算成杯：$9$ 单位 $=\underline{\quad}$ 杯。

15. 【原题 ch12-tuozhan-07】足球队有 $18$ 名队员，其中有 $10$ 名穿大号球衣，有 $8$ 名穿小号球衣。小马虎将 $10$ 件大号球衣和 $8$ 件小号球衣领回来后，一人一件随便地发给了每个队员，结果有的小马虎领到了小号球衣，有的小队员领到了大号球衣。问：大号队员领到小号球衣的人数与小号队员领到大号球衣的人数哪个多？

详细思路

是哪类问题：这是「配对守恒」类趣题：利用大号球衣总数与大号队员总数相等作差。

关键切入点：领到大号球衣的（大号队员数）+（小号队员数）=10 件大号球衣；大号队员（领大号）+（领小号）=10 人。两式相减即得两类人数相等。

方法概述：用大号球衣总数=大号队员总数，作差得两类人数相等。

规范步骤：

领到大号球衣的人共 10（=大号球衣件数）：$10$（球衣守恒）
大号队员共 10 人：$10$（队员数）
两式相减：大号领小号 = 小号领大号：$10-10=0$（作差）

16. 【原题 ch12-tuozhan-08】如图 $12-14$ 所示，桌子上有 $3$ 张卡片，每张卡片上写着一个数字。请你用这 $3$ 张卡片组成一个三位数，使得这个三位数除以 $9$ 后没有余数。（三张卡片上的数字分别是 $4$、$5$、$6$）

详细思路

是哪类问题：这是「整除判定·数字翻转巧思」类题：用各位数字之和判断是否为 9 的倍数。

关键切入点：4+5+6=15 不是 9 的倍数；把 6 倒过来当作 9，则 4+5+9=18 能被 9 整除，故 459、495、549 等都是 9 的倍数。

方法概述：数字和判断 9 的倍数；把 6 倒置成 9 凑出数字和 18。

规范步骤：

4+5+6=15，不能被 9 整除：$4+5+6=15$（数字和）
把 6 倒置成 9，4+5+9=18 能被 9 整除：$4+5+9=18$（翻转巧思）
验证：459÷9=51、495÷9=55 无余数：$459\div9=51$（整除）

17. 【原题 ch12-tuozhan-09】小吃店需要制作 $3$ 个煎饼，制作一个煎饼必须按照正反两面各烙 $3$ 分钟。现在有 $2$ 个炉子，每个炉子每次只能煎好它的一面。要想煎好所有的煎饼，最少需要花多少时间？

详细思路

是哪类问题：这是「统筹安排·最优时间」类题：保证每个炉子每锅都不空闲。

关键切入点：3 个饼共 6 个面，2 个炉子一锅烙 2 面，6÷2=3 锅，每锅 3 分钟，共 9 分钟；交错安排使三锅都不空。

方法概述：让每锅都装满，用总面数除以炉数算锅数再乘每面时间。

规范步骤：

3 个饼共 3×2=6 个面：$3\times2=6$（总面数）
2 个炉子一锅烙 2 面，需 6÷2=3 锅：$6\div2=3$（锅数）
每锅 3 分钟，共 3×3=9 分钟：$3\times3=9$（总时间）

第一套

题目：要煎 $5$ 个饼，每个饼正反两面各煎 $4$ 分钟。有 $2$ 个平底锅，每个锅每次只能煎 $1$ 个面。最少要多少分钟才能全部煎好？

引导填空（在横线上填关键结果）：

先算总面数：$5$ 个饼共 $5\times2=\underline{\quad}$ 个面。
$2$ 个锅一锅煎 $2$ 面，需 $10\div2=\underline{\quad}$ 锅（$5$ 个饼多于 $2$，可安排每锅都不空）。
每锅 $4$ 分钟，共 $5\times4=\underline{\quad}$ 分钟。

第二套

题目：烤 $6$ 片面包，每片正反两面各烤 $3$ 分钟。烤箱每次只能烤 $2$ 个面。最少要多少分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

总面数：$6\times2=\underline{\quad}$ 个面。
每次烤 $2$ 面，需 $12\div2=\underline{\quad}$ 次。
每次 $3$ 分钟，共 $6\times3=\underline{\quad}$ 分钟。

第三套

题目：要煎 $6$ 个饼，每个饼两面各煎 $4$ 分钟。有 $3$ 个锅，每个锅每次煎 $1$ 面。最少几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

总面数：$6\times2=\underline{\quad}$ 个面。
$3$ 个锅一锅煎 $3$ 面，需 $12\div3=\underline{\quad}$ 锅。
每锅 $4$ 分钟，共 $4\times4=\underline{\quad}$ 分钟。

第三套

题目：要煎 $7$ 个饼，每个饼两面各煎 $3$ 分钟。有 $2$ 个锅，每次共煎 $2$ 面。最少几分钟？（提示：先按总面数算下界，再与“单个饼至少要 $2$ 面 $\times 3=6$ 分钟”比较。）

引导填空（在横线上填关键结果）：

总面数：$7\times2=\underline{\quad}$ 个面。
$2$ 个锅一锅 $2$ 面，需 $14\div2=\underline{\quad}$ 锅，时间 $7\times3=\underline{\quad}$ 分钟。
单个饼最少要 $2\times3=\underline{\quad}$ 分钟。
取两者中较大的：最少 $\underline{\quad}$ 分钟。

18. 【原题 ch12-tuozhan-10】商场举行促销活动，在购买商品时，每消费 $50$ 元现金就可以得到一张 $20$ 元的购物券，每消费 $100$ 元就能得到一张 $50$ 元的购物券。现在小明要买 $37$ 件 $10$ 元的商品，他该怎样去买才能让花出去的钱最少？

详细思路

是哪类问题：这是「促销返券·最优购物」类题：叠加使用现金消费和返券使实付现金最少。

关键切入点：37 件共 370 元。先花 200 元得 2 张 50 元券（共 100 元），买到 300 元商品；还差 70 元，再花 50 元现金 + 得 20 元券买下，共花 200+50=250 元。

方法概述：充分利用满额返券，把现金与返券叠加使用。

规范步骤：

商品总价 37×10=370 元：$37\times10=370$（总价）
先花 200 元得 100 元券，买 300 元商品：$200+100=300$（满100返50）
还差 370-300=70 元商品：$370-300=70$（余额）
再花 50 元 + 20 元券买下，共 200+50=250 元：$200+50=250$（满50返20）

19. 【原题 ch12-tuozhan-11】池塘里生长着一种浮萍，这种植物在水面上繁殖，每天都能增长一倍。如果 $10$ 天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么多少天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面？

详细思路

是哪类问题：这是「倍增·逆推」类题：面积每天翻倍，则长满前一天恰好占一半。

关键切入点：10 天长满；因每天面积翻一番，第 9 天恰好是第 10 天的一半，即占一半水面。

方法概述：面积每天翻倍，长满前一天即一半，故第 9 天。

规范步骤：

第 10 天长满：$10$（已知）
每天翻倍 → 前一天是一半：（逆推）
占一半在第 10-1=9 天：$10-1=9$

第一套

题目：一种浮萍每天面积翻一倍，$20$ 天正好长满池塘。第几天占满一半水面？第几天占满四分之一水面？

引导填空（在横线上填关键结果）：

每天翻倍 $\Rightarrow$ 长满前一天恰好是一半，占一半在第 $20-1=\underline{\quad}$ 天。
再前一天是一半的一半 $=$ 四分之一，占 $\frac14$ 在第 $20-2=\underline{\quad}$ 天。

第二套

题目：一种细菌每小时数量翻一倍，$24$ 小时正好装满一个瓶子。第几小时装满一半？第几小时装满四分之一？

引导填空（在横线上填关键结果）：

每小时翻倍 $\Rightarrow$ 装满前一小时恰好是一半，第 $24-1=\underline{\quad}$ 小时占一半。
再前一小时是四分之一，第 $24-2=\underline{\quad}$ 小时占四分之一。

第三套

题目：一种浮萍每天面积变成前一天的 $3$ 倍，$8$ 天正好长满池塘。第几天占 $\frac13$ 水面？第几天占 $\frac19$ 水面？

引导填空（在横线上填关键结果）：

每天变 $3$ 倍 $\Rightarrow$ 长满前一天是 $\frac13$，第 $8-1=\underline{\quad}$ 天占 $\frac13$。
再前一天是 $\frac13$ 的 $\frac13=\frac19$，第 $8-2=\underline{\quad}$ 天占 $\frac19$。

第三套

题目：一种浮萍每天面积翻一倍，$10$ 天正好长满池塘。（1）第几天占 $\frac18$ 水面？（2）从那天到长满，面积变成了原来的几倍？

引导填空（在横线上填关键结果）：

（1）$\frac18=\frac12\times\frac12\times\frac12$，即长满前 $3$ 天，第 $10-3=\underline{\quad}$ 天占 $\frac18$。
（2）从第 $7$ 天到第 $10$ 天共翻 $3$ 次，面积变成 $2\times2\times2=\underline{\quad}$ 倍。

20. 【原题 ch12-tuozhan-12】一休去河边打水。他有两个桶，大桶能装 $9$ 升水，小桶能装 $4$ 升水。要想恰好从河中打上 $6$ 升的水带回去，他应该怎么办？

详细思路

是哪类问题：这是「倒水量取」类操作题：在 9 升与 4 升两桶间反复倒水凑出 6 升。

关键切入点：利用两桶容量差 9-4，反复倒满、倒空，使大桶最终恰好剩 6 升。

方法概述：反复在 9 升桶与 4 升桶间倒水凑 6 升。

规范步骤：

盛满大桶 9 升，倒入小桶 → 大 5 小 4：$9-4=5$（倒水）
小桶倒回河，大桶再倒入小桶 → 大 1 小 4：$5-4=1$（继续）
小倒回、大 1 升入小；再满大桶用大补满小桶 → 大 6：$9-3=6$（凑 6）

21. 【原题 ch12-tuozhan-13】有大、中、小 $3$ 个瓶子，分别可以装水 $1000$ 克、$700$ 克和 $300$ 克。现在大瓶中装满水，希望利用 $3$ 个瓶子相互间倒水，使得在中瓶和小瓶上能够标出装 $100$ 克水的刻度线，但是水又不能洒到地上，可以怎么办？

详细思路

是哪类问题：这是「倒水量取·标刻度」类操作题：利用 1000/700/300 克三瓶容量差凑出 100 克。

关键切入点：大倒满中、中倒满小、小倒回大、中再倒满小，中瓶恰剩 100 克，可标刻度。

方法概述：利用三瓶容量差反复倒水凑 100 克再标刻度。

规范步骤：

大倒满中 → 大 300 中 700 小 0：$1000-700=300$（倒水）
中倒满小 → 中 400 小 300：$700-300=400$（继续）
小倒回大、中再倒满小 → 中 100：$400-300=100$（得 100 克）

22. 【原题 ch12-tuozhan-14】如图 $12-15$，有一个院子里住着 $A$、$B$、$C$ 三户人家。$B$ 户人家要修一条专用路通向中间院门 $F$。$A$ 户人家要修一条专用路到右边院门 $G$。$C$ 户人家要修一条专用路到左边院门 $E$。如果这三条专用路彼此不能交叉，那么应该怎么修？

详细思路

是哪类问题：这是「平面布线·不相交路径」类结构题：让某条路绕行以避免相交。

关键切入点：直接连会相交；让 A 户的路从 B、C 上（下）方绕过，C 户的路从下方绕到 E，三条路即互不相交。

方法概述：让其中的路绕过障碍走非直线，避免相交。

规范步骤：

直连 A-G、C-E 会与 B-F 相交：（分析）
让 A 的路绕过 B、C，C 的路从下方绕到 E：（绕行）
三条专用路彼此不相交（见参考图）：

23. 【原题 ch12-xingqu-01】如图 $12-1$ 所示，用 $12$ 根火柴棒可以摆出 $3$ 个正方形，如果用 $11$ 根火柴棒刚好摆出 $3$ 个正方形，应该怎么摆？用 $10$ 根火柴棒呢？

详细思路

是哪类问题：这是「火柴棒拼摆」类结构题：用尽量少的火柴棒摆出规定个数的正方形。

关键切入点：要减少火柴棒又保持 3 个正方形，关键是让相邻正方形共用公共边，每共用一条边就省 1 根。

方法概述：让正方形共用公共边来减少火柴棒根数。

规范步骤：

3 个独立正方形需 $3\times4=12$ 根：$3\times4=12$（无共用边）
让两个正方形共用 1 条边，省 1 根：$12-1=11$（共用一条边）
再让正方形多共用 1 条边，再省 1 根：$11-1=10$（共用更多边）
答案：11 根、10 根各有相应摆法（见参考图）：$11,\ 10$

24. 【原题 ch12-xingqu-02】如图 $12-2$ 所示，如果一根火柴棒长为 $1$，那么拼 $1$ 个边长为 $1$ 的小等边三角形需要 $3$ 根火柴棒，而拼 $1$ 串边长为 $1$ 的小等边三角形需要 $5$ 根火柴棒。你能用 $12$ 根火柴棒拼出 $6$ 个边长为 $1$ 的小等边三角形吗？

详细思路

是哪类问题：这是「火柴棒拼摆」类结构题：用共用边的方式把若干小等边三角形拼在一起。

关键切入点：6 个三角形若各自独立需 18 根；围成正六边形并连 6 条半径，让三角形互相共边，恰好 12 根。

方法概述：围成正六边形再连 6 条半径，使三角形共用边以省火柴棒。

规范步骤：

正六边形 6 条边各 1 根：$6$（外围 6 根）
中心向 6 个顶点连 6 条半径：$6$（内部 6 根）
合计：$6+6=12$（正好 12 根拼出 6 个小三角形）

25. 【原题 ch12-xingqu-03】如图 $12-3$ 所示，我们用 $13$ 根火柴棒摆放成了一头向右前进的猪。请移动 $1$ 根火柴棒，使得这头猪调头向左前进。

详细思路

是哪类问题：这是「火柴棒移动·图形对称」类结构题：移动 1 根火柴棒改变图形朝向。

关键切入点：整头猪左右对称，把表示猪嘴（或尾巴）的那 1 根移到对称的另一侧，朝向即由右改为左。

方法概述：利用左右对称，移动 1 根火柴棒改变朝向。

规范步骤：

找出决定朝向的那 1 根火柴棒（猪嘴/尾巴处）：（对称分析）
把它移到对称的另一侧：（朝向翻转）
整头猪由向右变为向左（见参考图）：

26. 【原题 ch12-xingqu-04】在图 $12-4$ 中，哪些图形可以一笔画出？（图中有：①“田”字格、②五角星、③禁止符号、④树、⑤箭头、⑥卡车）

详细思路

是哪类问题：这是「一笔画判定」类题：数出图中奇点（引出线条数为奇数的点）的个数来判断能否一笔画。

关键切入点：判据是：连通图中奇点个数为 0 或 2 时能一笔画，否则不能。逐个数各图的奇点个数即可。

方法概述：数奇点个数，为 0 或 2 即可一笔画。

规范步骤：

②五角星无奇点（0 个）：$0$（偶点全连通）
④树、⑤箭头、⑥卡车各 2 个奇点：$2$（奇点为 2 可一笔画）
①田字格奇点多于 2、③禁止符号不连通：（不能一笔画）
结论：②④⑤⑥能，①③不能：

第一套

题目：下面 $3$ 个连通图形，各顶点引出的线条数（度数）如下，判断能否一笔画出；不能的求最少笔数。甲：$2,2,3,3,2$；乙：$3,3,3,3$；丙：$3,3,3,3,3,3$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

判据：连通图中奇点（度数为奇数的点）个数为 $0$ 或 $2$ 时能一笔画；否则不能，且最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$。
甲图度数 $2,2,3,3,2$，从中挑出奇数度的点，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 符合可一笔画的条件。
乙图度数 $3,3,3,3$，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 多于 $2$，不能一笔画，最少 $\underline{\quad}$ 笔。
丙图度数 $3,3,3,3,3,3$，奇点共 $\underline{\quad}$ 个，最少 $\underline{\quad}$ 笔。

第二套

题目：一座科技馆的通道平面图，把每个路口看作点、通道看作线。图甲各路口引出的通道数为 $3,3,4,4,2$；图乙为 $3,3,3,3,4,4$。能否从某处出发不重复走遍所有通道（一笔画）？不能则最少几笔？

引导填空（在横线上填关键结果）：

判据：奇点个数为 $0$ 或 $2$ 能一笔画，否则最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$。
甲图度数 $3,3,4,4,2$，挑出奇数度的路口，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 能一笔画。
乙图度数 $3,3,3,3,4,4$，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 不能，最少 $\underline{\quad}$ 笔。

第三套

题目：判断下列连通图形能否一笔画，不能的求最少笔数。甲：度数 $2,3,3,4,4,2$；乙：度数 $3,3,3,3,4$；丙：度数 $3,3,3,3,3,3,4,4$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

判据：奇点为 $0$ 或 $2$ 能一笔画，否则最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$。
甲图度数 $2,3,3,4,4,2$，挑出奇数度的点，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 能一笔画。
乙图度数 $3,3,3,3,4$，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 不能，最少 $\underline{\quad}$ 笔。
丙图度数 $3,3,3,3,3,3,4,4$，奇点共 $\underline{\quad}$ 个，最少 $\underline{\quad}$ 笔。

第三套

题目：一个连通图形有 $8$ 个顶点，度数都是 $3$。（1）能否一笔画？最少几笔？（2）若把其中两个顶点各减去一条线（度数变成 $2$），这时最少几笔？

引导填空（在横线上填关键结果）：

判据：奇点为 $0$ 或 $2$ 能一笔画，否则最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$。
（1）度数 $3$ 是奇数，所以每个顶点都是奇点 $\Rightarrow$ 奇点多于 $2$，不能一笔画，最少 $\underline{\quad}$ 笔。
（2）两个顶点度数变成 $2$（偶点）后，剩下的奇点共 $\underline{\quad}$ 个，最少 $\underline{\quad}$ 笔。

27. 【原题 ch12-xingqu-05】如图 $12-5$ 所示，两条河流的交汇处有两个小岛，有 $7$ 座桥连接这两个岛及河岸。一个散步者能不能一次走遍这 $7$ 座桥，而且每座桥恰好经过 $1$ 次？

详细思路

是哪类问题：这是「七桥问题 / 一笔画」类题：把岛与岸看作点、桥看作线，转化为一笔画。

关键切入点：四个点（两岛两岸）引出的桥数都是奇数，共有 4 个奇点，奇点多于 2，故不能一次走遍每桥恰好一次。

方法概述：化桥为线、化岛与岸为点，按奇点个数判断。

规范步骤：

两岛两岸看作 4 个点，桥看作线：（建模）
统计各点引出的桥数：均为奇数，共 4 个奇点：$1+1+1+1=4$（奇点计数）
奇点 4 个 > 2，不能一笔画：（判据）

第一套

题目：某河两岸与三个小岛之间架了若干座桥。把两岸和三个岛看作 $5$ 个点，各点引出的桥数为 $3,3,3,3,4$。能不能一次不重复地走遍所有桥？

引导填空（在横线上填关键结果）：

把桥看作线、岛与岸看作点，转化为一笔画。
先由度数之和算桥数：$(3+3+3+3+4)\div2=\underline{\quad}$ 座桥。
再数奇点：从 $3,3,3,3,4$ 中挑出奇数度的点，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 多于 $2$，不能一笔走遍。

第二套

题目：四个城区之间架着一些天桥。把城区看作点，各城区引出的天桥数为 $3,5,3,3$。能否一次不重复地走遍所有天桥？

引导填空（在横线上填关键结果）：

把天桥看作线、城区看作点，转化为一笔画。
桥数：$(3+5+3+3)\div2=\underline{\quad}$ 座。
数奇点：从 $3,5,3,3$ 中挑出奇数度的城区，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 不能一次走遍。

第三套

题目：六个展厅由门相连，把展厅看作点，各展厅引出的门数为 $2,2,3,3,4,4$。（1）一共有多少扇门？（2）能否从某展厅出发不重复走遍所有门？

引导填空（在横线上填关键结果）：

把门看作线、展厅看作点，转化为一笔画。
每扇门被两端各数一次，所以门数 $=(2+2+3+3+4+4)\div2=\underline{\quad}$ 扇。
数奇点：从 $2,2,3,3,4,4$ 中挑出奇数度的展厅，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 奇点恰为 $2$，能一笔走遍（从一个奇点出发到另一个奇点）。

第三套

题目：六个区域由道路相连，把区域看作点，各区域引出的路数为 $3,3,3,3,3,3$。（1）能否一次不重复走遍所有路？（2）若不能，至少要分几次（几笔）才能走完所有路？

引导填空（在横线上填关键结果）：

把路看作线、区域看作点，转化为一笔画。
路数：$(3+3+3+3+3+3)\div2=\underline{\quad}$ 条。
数奇点：从 $3,3,3,3,3,3$ 中挑出奇数度的区域，奇点共 $\underline{\quad}$ 个 $\Rightarrow$ 多于 $2$，不能一次走遍。
最少次数 $=$ 奇点数 $\div 2=\underline{\quad}$ 次。

28. 【原题 ch12-xingqu-06】最少几笔可以画出如图 $12-6$ 中的图形？（图为 $3\times 2$ 的方格网）

详细思路

是哪类问题：这是「多笔画·最少笔数」类题：奇点（引出线条数为奇数的点）多于 2 时，最少笔数 = 奇点数 ÷ 2。

关键切入点：真实插图是 3×3 的方格网，共 4×4=16 个格点：四角各引 2 条线（偶点），中间 2×2=4 个点各引 4 条线（偶点），其余落在四条边中间的点各引 3 条线（奇点）——奇点共 8 个。当奇点为 2k（k>1）个时，最少笔数为奇点数的一半。

方法概述：先按每个点引出的线条数逐点分清奇偶、数清奇点个数，再用“最少笔数 = 奇点数 ÷ 2”计算。

规范步骤：

真实插图为 3×3 方格网，共 $4\times4$ 个格点：$4\times4=16$（点的总数）
四个角点各引出 2 条线，是偶点：$4$（角点为偶点，不计）
中间 $2\times2$ 个点各引出 4 条线，是偶点：$2\times2=4$（内部为偶点，不计）
其余落在四条边中间的点各引出 3 条线，都是奇点，共 $16-4-4$ 个：$16-4-4=8$（奇点计数）
奇点 8 个多于 2，最少笔数 = 奇点数 ÷ 2：$8\div2=4$（多笔画规律）
答案：最少 4 笔：$4$

第一套

题目：一个连通图形有 $16$ 个顶点，其中 $12$ 个顶点的度数是 $3$，另外 $4$ 个顶点的度数是 $4$。最少几笔可以画出？

引导填空（在横线上填关键结果）：

规律：奇点多于 $2$ 时，最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$。
先判断哪些是奇点：度数 $3$ 的才是奇点，度数 $4$ 的是偶点，所以奇点共 $\underline{\quad}$ 个。
最少笔数 $=12\div2=\underline{\quad}$ 笔。

第二套

题目：一个连通的管道网，各接口引出的管道数为 $3,3,3,3,4,4,4,4,3,3$。要让检修工每段管道恰好走一次，最少要分几笔（几趟）走完？

引导填空（在横线上填关键结果）：

把接口看作点、管道看作线，最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$。
数奇点：从 $3,3,3,3,4,4,4,4,3,3$ 中挑出奇数度的接口，奇点共 $\underline{\quad}$ 个。
最少笔数 $=6\div2=\underline{\quad}$ 笔。

第三套

题目：已知某连通图形最少要 $5$ 笔才能画出。（1）它有多少个奇点？（2）若在它的两个奇点之间添一条线，使这两点都变成偶点，这时最少几笔？（3）要让它能一笔画出，至少还要再这样添几条线？

引导填空（在横线上填关键结果）：

公式：最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$，反过来奇点数 $=$ 最少笔数 $\times 2$。
（1）奇点数 $=5\times2=\underline{\quad}$ 个。
（2）添一条线消掉两个奇点，剩下奇点 $10-2=\underline{\quad}$ 个，最少 $\underline{\quad}$ 笔。
（3）能一笔画要求奇点只剩 $2$ 个，还要消掉 $8-2=\underline{\quad}$ 个奇点，每条线消 $2$ 个，还需 $6\div2=\underline{\quad}$ 条。

第三套

题目：一个连通图形各顶点度数为 $3,3,3,3,3,3,4,4$。（1）最少几笔画出？（2）若在两个奇点之间添一条线，使这两点都变成偶点，这时最少几笔？

引导填空（在横线上填关键结果）：

最少笔数 $=$ 奇点数 $\div 2$。
（1）数奇点：从 $3,3,3,3,3,3,4,4$ 中挑出奇数度的点，奇点共 $\underline{\quad}$ 个，最少 $\underline{\quad}$ 笔。
（2）添线后两个奇点变偶点，剩下奇点共 $\underline{\quad}$ 个，最少 $\underline{\quad}$ 笔。

29. 【原题 ch12-xingqu-07】有一杯牛奶，卡莉娅先喝了半杯牛奶，然后加满水；再喝了半杯，再加满水；最后全部喝完。问：卡莉娅喝的牛奶多还是水多？

详细思路

是哪类问题：这是「守恒思想」类趣题：抓住原有牛奶总量不变来比较喝掉的牛奶与水。

关键切入点：不论加几次水，杯中原有的 1 杯牛奶最终全部被喝掉；所加的水也全部被喝掉，而加水总量恰好等于喝掉的体积，也是 1 杯。

方法概述：抓住牛奶总量不变：原有牛奶全喝掉，所加的水也全喝掉，两者相等。

规范步骤：

原有牛奶 1 杯，最终全部喝掉：（牛奶守恒）
所加水总量 = 喝掉体积 = 1 杯，也全部喝掉：（水量守恒）
喝的牛奶与水一样多：

30. 【原题 ch12-xingqu-08】过节了，爸爸妈妈给小光和小强各买了一盒相同数目的弹珠。打开后发现，小光的弹珠全是红的，而小强的弹珠全是绿的。第一天玩弹珠，小光给小强 $10$ 枚弹珠。第二天小光又同小强玩弹珠，结果小光赢了 $10$ 枚弹珠。这时，小光盒里的绿弹珠多，还是小强盒里的红弹珠多？

详细思路

是哪类问题：这是「交换守恒」类趣题：两盒弹珠总数始终相等，据此比较跑进跑出的异色弹珠数。

关键切入点：两天交换后每盒仍各 n 枚（给出 10 又赢回 10，净变化 0）。小光盒里跑进来的绿珠数，正好等于小光原有红珠跑到小强盒的枚数。

方法概述：利用两盒总数恒相等：跑进甲盒的异色数 = 跑到乙盒的同色数。

规范步骤：

初始两盒各 n 枚：（总数相等）
两天净变化为 0，仍各 n 枚：$10-10=0$（守恒）
小光盒绿珠数 = 小强盒红珠数：

31. 【原题 ch12-xingqu-09】如图 $12-7$，有 $6$ 个杯子放成一排，前三个杯子中盛了一些水，而后三个杯子是空的。要使得盛水的杯子和空的杯子相互交叉排成一排，最少要动几个杯子？

详细思路

是哪类问题：这是「最少操作」类趣题：不移动杯子位置，只倒水就能改变排列。

关键切入点：把第 2 杯的水倒入第 5 个空杯，“满满空空空空”即变成“满空满空满空”交叉排列，只动了 1 个杯子。

方法概述：只把第二杯水倒入第五杯，即只动 1 个杯子。

规范步骤：

目标：盛水杯与空杯交叉排列：（分析）
把第 2 杯水倒入第 5 个空杯：（一次倒水）
排列变为满空满空满空，只动 1 个：$1$

32. 【原题 ch12-xingqu-10】有一根粗细不均匀的绳子，如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧 $2$ 个小时。但由于绳子粗细不均匀，所以不能确定燃烧到绳子中点需要多长时间。但现在想用这根绳子来确定 $1$ 个小时的时间，应该怎么做？

详细思路

是哪类问题：这是「燃绳计时」类趣题：两端同时点燃使总燃烧速度加倍。

关键切入点：从一端烧完全长要 2 小时；两端同时点燃，两段火合起来的速度是原来的 2 倍，烧完只需 2÷2=1 小时。

方法概述：两端同时点燃，总燃速加倍，烧完即为总时长的一半。

规范步骤：

从一端烧完要 2 小时：$2$（已知）
两端同时点燃，燃速变为 2 倍：$2$（关键）
烧完时间 = 2÷2 = 1 小时：$2\div2=1$

第一套

题目：一根粗细不均的绳子，从一端点燃恰好烧 $6$ 小时。怎样用它量出 $3$ 小时？

引导填空（在横线上填关键结果）：

关键：两端同时点燃，两段火合起来的燃烧速度是原来的 $\underline{\quad}$ 倍。
所以烧完的时间 $=6\div2=\underline{\quad}$ 小时，正好量出 $3$ 小时。

第二套

题目：一盘粗细不均的蚊香，从一端点燃能烧 $8$ 小时。如何用它量出 $4$ 小时？

引导填空（在横线上填关键结果）：

两端同时点燃，燃烧速度变为原来的 $\underline{\quad}$ 倍。
烧完时间 $=8\div2=\underline{\quad}$ 小时，即 $4$ 小时。

第三套

题目：一根香从一端点燃能烧 $10$ 分钟，怎样用它量出 $5$ 分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

两端同时点燃，燃烧速度变为原来的 $\underline{\quad}$ 倍。
烧完时间 $=10\div2=\underline{\quad}$ 分钟，即 $5$ 分钟。

第三套

题目：有两根都能从一端烧 $2$ 小时的粗细不均的绳子。怎样量出 $1.5$ 小时（$90$ 分钟）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

先把甲绳两端同时点燃、乙绳只点一端。甲绳烧完用 $2\div2=\underline{\quad}$ 小时。
这时乙绳已烧掉相当于 $1$ 小时的量，还剩相当于 $2-1=\underline{\quad}$ 小时的量。
立刻点燃乙绳另一端，剩下的从两端烧，再用 $(2-1)\div2=\underline{\quad}$ 小时。
共计 $1+0.5=\underline{\quad}$ 小时。

竞赛数学 · 三年级第12讲《智巧趣题一》举一反三练习卷

附录 · 答案

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