三年级第14讲枚举法二

1. 【原题 ch14-chaoyue-01】墨莫买了一些大福娃和小福娃，一共不到 $10$ 个，且两种福娃的个数不一样多。请问：两种福娃的个数可能有多少种的情况？

详细思路

是哪类问题：这是「两类物品有序计数」类：两种福娃各至少 $1$ 个、总数 $2\sim9$、两数不相等，按总数分类，去掉两数相等的情形。

关键切入点：总数 $t$ 时有序对 $(a,b)$ 各 $\ge1$ 有 $t-1$ 个，其中 $a=b$ 当 $t$ 为偶数时恰 $1$ 个。$t=2\sim9$ 去掉相等后依次为 $0,2,2,4,4,6,6,8$，共 $32$。

方法概述：按总数分类枚举有序对，去掉相等情形。

规范步骤：

总数 t 的有序对：$t-1$ 个（各 $\ge1$）（有序枚举）
去掉相等：偶数总数各去 1 个（$a e b$）
求和：$0+2+2+4+4+6+6+8=32$（分类相加）

第一套

题目：墨莫买了大、小两种福娃，一共不到 $14$ 个，且两种个数不一样多（每种至少 $1$ 个）。两种个数可能有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按总数分类）：总数 $t$ 从 $2$ 到 $13$，有序对各 $\ge1$ 有 $t-1$ 个，偶数总数再去掉相等的 $1$ 个。
第 2 步（逐类）：$t=2\sim13$ 去掉相等后为 $0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12$。其中 $t=13$ 一项为 $\underline{\quad}$。
第 3 步（求和）：$0+2+2+4+4+6+6+8+8+10+10+12=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：小高买了大、小两种气球，一共不到 $10$ 个，且两种个数不一样多（每种至少 $1$ 个）。两种个数可能有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按总数分类）：总数 $t$ 从 $2$ 到 $9$，有序对各 $\ge1$ 有 $t-1$ 个，偶数总数去掉相等 $1$ 个。
第 2 步（逐类）：$t=2\sim9$ 去相等后为 $0,2,2,4,4,6,6,8$；其中 $t=9$ 一项为 $\underline{\quad}$。
第 3 步（求和）：$0+2+2+4+4+6+6+8=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：两种福娃一共不到 $12$ 个，且两种个数不一样多（每种至少 $1$ 个），两种个数可能有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按总数分类）：总数 $t$ 从 $2$ 到 $11$。
第 2 步（逐类）：去相等后为 $0,2,2,4,4,6,6,8,8,10$；其中 $t=11$ 一项为 $\underline{\quad}$。
第 3 步（求和）：$0+2+2+4+4+6+6+8+8+10=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：两种福娃一共不到 $12$ 个（每种至少 $1$ 个），且大福娃比小福娃多。两种个数可能有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先不管大小）：总数 $2\sim11$、两数不等的有序对共 $50$ 个（同上一题）。
第 2 步（去掉一半）：不等的两数中「大 $>$ 小」与「大 $<$ 小」一一对应，各占一半。按总数看，$t=3\sim11$ 满足大 $>$ 小的依次为 $1,1,2,2,3,3,4,4,5$，其中 $t=11$ 一项为 $\underline{\quad}$。
第 3 步（求和）：$1+1+2+2+3+3+4+4+5=\underline{\quad}$ 种。

2. 【原题 ch14-chaoyue-02】三条边的边长均为整数，且最长边的边长是 $8$ 厘米，这样的三角形共有多少种？

详细思路

是哪类问题：这是「整边三角形计数」类：最长边 $8$、另两边为不超过 $8$ 的正整数、且两短边之和大于 $8$（三边关系）、不计两短边顺序，按次长边从大到小枚举。

关键切入点：设两短边 $a\le b\le8$，需 $a+b>8$。$b=8$ 时 $a=1\sim8$ 共 8 个；$b=7$ 时 $a=2\sim7$ 共 6 个；$b=6$ 时 4 个；$b=5$ 时 2 个。

方法概述：固定最长边，按次长边枚举满足三边关系的组合。

规范步骤：

b=8：$a=1\sim8$，8 个（$a+b>8$）
b=7,6,5：$6,\ 4,\ 2$ 个（逐类）
求和：$8+6+4+2=20$（分类相加）

第一套

题目：三边长都是整数、最长边为 $12$ 厘米的三角形共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（设两短边）：$a\le b\le 12$，需 $a+b>12$，按 $b$ 从大到小枚举。
第 2 步（逐类）：$b=12$ 时 $a=1\sim12$ 有 $\underline{\quad}$ 个；$b=11$ 有 $10$；$b=10$ 有 $8$；$b=9$ 有 $6$；$b=8$ 有 $4$；$b=7$ 有 $2$。
第 3 步（求和）：$12+10+8+6+4+2=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：用长度为整数厘米的小棒摆三角形，最长的一根是 $8$ 厘米，能摆出多少种不同的三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（设两短边）：$a\le b\le 8$，需 $a+b>8$。
第 2 步（逐类）：$b=8$ 有 $\underline{\quad}$ 个；$b=7,6,5$ 有 $6,4,2$ 个。
第 3 步（求和）：$8+6+4+2=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：三边长都是整数、最长边为 $10$ 厘米的三角形共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（设两短边）：$a\le b\le 10$，需 $a+b>10$。
第 2 步（逐类）：$b=10$ 有 $\underline{\quad}$ 个；$b=9,8,7,6$ 有 $8,6,4,2$ 个。
第 3 步（求和）：$10+8+6+4+2=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：三边长都是整数、最长边为 $10$ 厘米，且三边互不相等（不等边三角形），这样的三角形共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（设两短边）：$a<b<10$ 且 $a\ne b$，需 $a+b>10$，按 $b$ 从大到小枚举。
第 2 步（逐类，去掉相等）：$b=9$ 有 $7$ 个；$b=8$ 有 $5$；$b=7$ 有 $3$；$b=6$ 有 $\underline{\quad}$。
第 3 步（求和）：$7+5+3+1=\underline{\quad}$ 种。

3. 【原题 ch14-chaoyue-03】有 $19$ 本书，分成 $5$ 份，如果每份至少一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？

详细思路

是哪类问题：这是「互不相同的整数拆分」类：$5$ 份本数互异、每份 $\ge1$、和为 $19$。最小的五个互异正整数 $1,2,3,4,5$ 之和为 $15$，把多出的 $4$ 调整给各份并保持互异。

关键切入点：从 $1,2,3,4,5$ 出发把多余 4 本加到某些份上、保持严格递增，枚举得 $1{+}2{+}3{+}4{+}9,\ 1{+}2{+}3{+}5{+}8,\ 1{+}2{+}3{+}6{+}7,\ 1{+}2{+}4{+}5{+}7,\ 1{+}3{+}4{+}5{+}6$ 共 5 种。

方法概述：从最小互异分配出发，把多余量调整给各份并保持互异。

规范步骤：

基础分配：$1+2+3+4+5=15$（最小互异五数）
补齐差额 4 并保持互异：枚举 5 组（调整法）
结论：共 5 种

第一套

题目：有 $21$ 本书分成 $5$ 份，每份至少一本且本数互不相同，一共有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（基础与差额）：最小互异五数和 $1+2+3+4+5=15$，还差 $21-15=\underline{\quad}$ 本。
第 2 步（调整枚举）：把 $6$ 本加到各份上并保持互异，列出所有互异五数组。
第 3 步（数出）：一共有 $\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：把 $19$ 颗糖分给 $5$ 个小朋友，每人至少 $1$ 颗且人人拿到的颗数互不相同，一共有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（基础与差额）：最小互异五数和 $1+2+3+4+5=15$，还差 $19-15=\underline{\quad}$ 颗。
第 2 步（调整枚举）：把多余 $4$ 颗调整给各人并保持互异。
第 3 步（数出）：一共有 $\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：有 $20$ 本书分成 $5$ 份，每份至少一本且本数互不相同，一共有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（基础与差额）：$1+2+3+4+5=15$，还差 $20-15=\underline{\quad}$ 本。
第 2 步（调整枚举并数出）：保持互异地把 $5$ 本调整给各份，共 $\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：有 $25$ 本书分成 $6$ 份，每份至少一本且本数互不相同，一共有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（基础与差额）：最小互异六数和 $1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}$，还差 $25-21=4$ 本。
第 2 步（调整枚举）：保持互异地把多余 $4$ 本调整给各份。
第 3 步（数出）：一共有 $\underline{\quad}$ 种。

4. 【原题 ch14-chaoyue-04】在 NBA 总决赛中，由洛杉矶湖人队对阵底特律活塞队。比赛采用 $7$ 场 $4$ 胜制，每胜一场就会获得 $1$ 分的积分。最终湖人队获得了胜利，双方的积分是 $4:2$，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？

详细思路

是哪类问题：这是「不落后约束的比赛进程」类：湖人以 $4:2$ 取胜、全程积分不落后。末局必为湖人胜，前 $5$ 局（湖人胜 3、活塞胜 2）要满足每一时刻湖人不落后。

关键切入点：把前 5 局看成从 $(0,0)$ 到 $(3,2)$ 且湖人始终不落后的路径，用反射法得 $C(5,2)-C(5,1)=10-5=5$，末局固定为湖人胜，故共 5 种。

方法概述：把比赛画成折线，用「不落后路径 = 总路径 − 越界路径」计数。

规范步骤：

末局固定：末局湖人胜，前 5 局 3 胜 2 负（最后一分决胜）
不落后路径数：$C(5,2)-C(5,1)=10-5=5$（反射法）
结论：共 5 种

第一套

题目：某队以 $4:3$ 战胜对手，且全程积分从未落后。比赛过程的胜负情况有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（末局固定）：末局本队胜，前 $6$ 局本队胜 $3$、对手胜 $3$，且全程不落后。
第 2 步（不落后路径）：从 $(0,0)$ 到 $(3,3)$ 且不落后的路径数 $C(6,3)-C(6,2)=20-15=\underline{\quad}$。
第 3 步（结论）：共 $\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：甲、乙两班拔河比赛，甲班以 $4:2$ 获胜且全程从未落后，比赛的胜负过程有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（末局固定）：末局甲胜，前 $5$ 局甲胜 $3$、乙胜 $2$，全程甲不落后。
第 2 步（不落后路径）：$C(5,2)-C(5,1)=10-5=\underline{\quad}$。
第 3 步（结论）：共 $\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：甲、乙竞选，甲得 $4$ 票、乙得 $2$ 票。唱票过程中甲的票数始终不少于乙，唱票次序有多少种可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（不固定末张）：这是从 $(0,0)$ 到 $(4,2)$ 且甲始终不落后的路径数。
第 2 步（反射法）：$C(6,2)-C(6,1)=15-6=\underline{\quad}$。
第 3 步（结论）：共 $\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：某队以 $5:3$ 战胜对手（先胜 $5$ 局制），且全程积分从未落后。比赛的胜负情况有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（末局固定）：末局本队胜，前 $7$ 局本队胜 $4$、对手胜 $3$，全程不落后。
第 2 步（不落后路径）：$C(7,3)-C(7,2)=35-21=\underline{\quad}$。
第 3 步（结论）：共 $\underline{\quad}$ 种。

5. 【原题 ch14-chaoyue-05】甲、乙、丙三个人传球，第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙……经过 $4$ 次传球后，球正好回到甲手中。那么一共有多少种不同的传球方式？

详细思路

是哪类问题：这是「传球回到起点计数」类：三人传球、每次只能传给另外两人之一，从甲开始、经 $4$ 次传球回到甲。用树形图逐次展开、保留第 4 次回到甲的路径。

关键切入点：每次传球有 $2$ 个去向，$4$ 次共 $2^4=16$ 条路径，其中第 4 次落回甲的正好是回文式对称的一半路径，数得 $6$ 条。

方法概述：用树形图逐次展开，筛出末次回到起点的路径。

规范步骤：

首传：甲传给乙或丙，2 种（两个去向）
逐层展开到第 4 次：每步 2 种（树形图）
筛回到甲：共 6 种（末次落回甲）

第一套

题目：甲、乙、丙三人传球，从甲开始，每次传给另外两人之一，经 $6$ 次传球后回到甲，有多少种传球方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列递推）：设第 $n$ 次传球后球在甲手中的方式数为 $a_n$、不在甲的为 $b_n$。已知 $a_0=1,b_0=0$，且 $a_{n}=b_{n-1}$、$b_{n}=2a_{n-1}+b_{n-1}$。
第 2 步（逐步算）：依次得 $a_1=0,a_2=2,a_3=2,a_4=6,a_5=10,a_6=\underline{\quad}$。
第 3 步（结论）：共 $\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：甲、乙、丙三只小猴抛接毽子，从甲开始，每次抛给另外两只之一，抛 $4$ 次后毽子回到甲，有多少种抛法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首抛）：甲抛给乙或丙，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（展开筛选）：用树形图展开 $4$ 次并筛出末次回到甲的，得 $\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：甲、乙、丙三人传球，从甲开始，每次传给另外两人之一，经 $5$ 次传球后回到甲，有多少种传球方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用递推）：$a_n=b_{n-1}$、$b_n=2a_{n-1}+b_{n-1}$，$a_0=1,b_0=0$。
第 2 步（逐步算）：$a_1=0,a_2=2,a_3=2,a_4=6,a_5=\underline{\quad}$。
第 3 步（结论）：共 $\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：甲、乙、丙、丁四人传球，从甲开始，每次传给另外三人之一，经 $4$ 次传球后回到甲，有多少种传球方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列递推，注意去向变 3 个）：$a_n=b_{n-1}$、$b_n=3a_{n-1}+2b_{n-1}$，$a_0=1,b_0=0$。
第 2 步（逐步算）：$a_1=0,b_1=3$；$a_2=3,b_2=6$；$a_3=6,b_3=21$；$a_4=\underline{\quad}$。
第 3 步（结论）：共 $\underline{\quad}$ 种。

6. 【原题 ch14-chaoyue-06】如图 14-6，现在要从图中的 $A$ 点走到 $B$ 点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少种不同的走法？

详细思路

是哪类问题：这是「不重复经点的路线计数」类：利用图 14-6 各点、各边的对称性，按从 $A$ 出发第一步的去向分类，枚举每个点最多经过一次的走法。

关键切入点：第一步可走到 $C$ 或 $D$，利用对称性分别枚举、合并，得从 $A$ 到 $B$ 共 16 种走法。

方法概述：利用对称性、按第一步去向枚举不重复经点的路线。

规范步骤：

按第一步去向分类：到 C 或到 D（对称）
枚举合并：共 16 种

7. 【原题 ch14-chaoyue-07】（1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图 14-7 所示。一段时间后，每人都想要换到与原来座位不相邻的位置上。那么有多少种换座位的方法？（2）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图 14-8 所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到与原来座位不相邻的位置上（没有公共边）。那么有多少种换座位的方法？

详细思路

是哪类问题：这是「错位换座位计数」类：把座位看作图，每人都换到与原座位不相邻的位置，用树形图枚举并排除相邻情形。

关键切入点：(1) 五个座位排成一排，枚举错位且不相邻的换法得 4 种；(2) 六个座位按图 14-8 的相邻关系，由对称固定一人后枚举得 8 种。

方法概述：把座位看作图，枚举每人新位置并排除相邻。

规范步骤：

五座位：树形图枚举（4 种）
六座位：对称 + 树形图（8 种）

8. 【原题 ch14-chaoyue-08】如图 14-9，一只蚂蚁从 $A$ 点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次。一共有多少种不同的走法？

详细思路

是哪类问题：这是「多面体顶点周游」类：正八面体 $6$ 个顶点，每个顶点与除对顶点外的 $4$ 个相邻，从 $A$ 出发恰好经过每个顶点各一次。

关键切入点：利用八面体的对称性、固定第一步去向后用树形图逐点展开、保证每点恰经过一次，去重后得 16 种走法。

方法概述：利用对称性固定第一步，树形图枚举周游路线。

规范步骤：

固定第一步：对称约化（四个相邻点等价）
树形图枚举去重：共 16 种

9. 【原题 ch14-tuozhan-01】小高、墨莫、卡莉娅三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了 $5$ 件宝物，这三个人找到的宝物数量可能有多少种情况？

详细思路

是哪类问题：这是「三人有序分物（可含零）」类：三人找到的宝物数之和固定、每人可为 $0$，固定第一人从 $0$ 枚举，后两人有序枚举。

关键切入点：小高 $=t$ 时后两人和为 $5-t$、可为 $0$，有序数对有 $(5-t)+1$ 个：$t=0\sim5$ 分别得 $6,5,4,3,2,1$。

方法概述：固定第一人从 0 枚举，后两人有序数对求和。

规范步骤：

小高 0：其余和 5、可为 0：$5+1=6$ 种（含零有序数对）
小高 1~5：$5,4,3,2,1$ 种（逐类）
求和：$6+5+4+3+2+1=21$（分类相加）

第一套

题目：三个人一共找到 $8$ 件宝物（每人可能找到 $0$ 件），三人找到的数量有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定第一人）：第一人 $=t$ 时其余两人和 $8-t$、可为 $0$，有 $(8-t)+1$ 种。
第 2 步（逐类）：$t=0$ 得 $8+1=\underline{\quad}$ 种，……，$t=8$ 得 $0+1=1$ 种。
第 3 步（求和）：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：三个小组一共得了 $5$ 面小红旗（每组可能得 $0$ 面），三组得到的面数有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定第一组）：第一组 $=t$ 时其余两组和 $5-t$、可为 $0$，有 $(5-t)+1$ 种。
第 2 步（逐类）：$t=0$ 得 $5+1=\underline{\quad}$ 种，……，$t=5$ 得 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：三个人一共找到 $6$ 件宝物（每人可能 $0$ 件），三人找到的数量有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定第一人）：第一人 $=t$ 时其余两人和 $6-t$、可为 $0$，有 $(6-t)+1$ 种。
第 2 步（逐类）：$t=0$ 得 $6+1=\underline{\quad}$ 种，……，$t=6$ 得 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：三个人一共找到 $5$ 件宝物，每人最多只能拿 $3$ 件（可为 $0$），三人的数量有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定第一人，注意上限）：第一人 $=t\ (0\le t\le 3)$，其余两人和 $5-t$、每人 $0\sim3$。
第 2 步（逐类，去掉超过 3 的）：$t=0$ 时其余和 $5$、每人 $\le3$ 有 $(2,3),(3,2)$ 共 $\underline{\quad}$ 种；$t=1$ 有 $3$ 种；$t=2$ 有 $4$ 种；$t=3$ 有 $3$ 种。
第 3 步（求和）：$2+3+4+3=\underline{\quad}$ 种。

10. 【原题 ch14-tuozhan-02】小高、墨莫和卡莉娅三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有 $20$ 根，并且每个人吃的薯条都比 $5$ 根多。请问，每个人吃的薯条数量有多少种情况？

详细思路

是哪类问题：这是「三人有序分物（有下限）」类：每人至少 $6$ 根、总和 $20$，先由「其余两人各至少 6」定出第一人的上限，再固定第一人枚举。

关键切入点：墨莫、卡莉娅各至少 6，故小高至多 $20-12=8$，即小高吃 $6,7,8$；小高 $=t$ 时其余两人和 $20-t$、各 $\ge6$，有 $(20-t)-11$ 种：$t=6,7,8$ 得 $3,2,1$。

方法概述：先由下限定第一人范围，再固定第一人枚举。

规范步骤：

小高上限：$20-6-6=8$（其余两人各至少 6）
小高 6、7、8：$3,\ 2,\ 1$ 种（逐类）
求和：$3+2+1=6$（分类相加）

第一套

题目：三个人一起吃完 $24$ 根薯条，每人吃的都比 $5$ 根多（即至少 $6$ 根），每人吃的数量有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定第一人范围）：其余两人各至少 6，第一人至多 $24-6-6=\underline{\quad}$ 根，即吃 $6\sim12$ 根。
第 2 步（逐类）：第一人 $=6$ 时其余和 $18$、各 $\ge6$ 有 $18-11=\underline{\quad}$ 种，……，$=12$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：三个人分 $20$ 颗棋子，每人都要分到比 $5$ 颗多（至少 $6$ 颗），每人分到的数量有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定第一人范围）：其余两人各至少 6，第一人至多 $20-6-6=\underline{\quad}$ 颗。
第 2 步（逐类）：第一人 $=6$ 得 $14-11=\underline{\quad}$ 种；$=7$ 得 $2$ 种；$=8$ 得 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$3+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：三个人一共吃了 $24$ 根薯条，每人至少吃 $7$ 根，每人吃的数量有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定第一人范围）：其余两人各至少 7，第一人至多 $24-7-7=\underline{\quad}$ 根，即吃 $7\sim10$ 根。
第 2 步（逐类）：第一人 $=7$ 时其余和 $17$、各 $\ge7$ 有 $17-13=\underline{\quad}$ 种；$=8,9,10$ 得 $3,2,1$ 种。
第 3 步（求和）：$4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：四个人一起吃完 $28$ 根薯条，每人吃的都至少 $6$ 根，每人吃的数量有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定第一人范围）：其余三人各至少 6，第一人至多 $28-6-6-6=\underline{\quad}$ 根，即吃 $6\sim10$ 根。
第 2 步（逐类，其余三人有下限有序）：第一人 $=6$ 有 $15$ 种；$=7$ 有 $10$ 种；$=8$ 有 $6$ 种；$=9$ 有 $3$ 种；$=10$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$15+10+6+3+1=\underline{\quad}$ 种。

11. 【原题 ch14-tuozhan-03】老师要求每个同学写出 $3$ 个自然数，要求这 $3$ 个数的和是 $8$，如果两个同学写出的 $3$ 个自然数相同，只是顺序不一样，就算是同一种写法。试问：同学们至多能给出多少种不同的写法？

详细思路

是哪类问题：这是「无序拆分（含零）」类：三个自然数之和固定、可为 $0$、不计顺序，规定从小到大，按最小数分类枚举。

关键切入点：$a\le b\le c$。$a=0$ 时 $b+c=8,\ 0\le b\le c$ 有 $(0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)$ 共 5 种；$a=1$ 有 3 种；$a=2$ 有 2 种。

方法概述：规定从小到大且可含零，按最小数分类枚举。

规范步骤：

最小数 0：$0+0+8,\dots,0+4+4$（5 种）
最小数 1、2：$1+1+6,1+2+5,1+3+4;\ 2+2+4,2+3+3$（3 种、2 种）
求和：$5+3+2=10$（分类相加）

第一套

题目：写出 $3$ 个自然数（可以是 $0$），它们的和是 $12$，不计顺序算同一种，一共有多少种写法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c$，按最小数分类。
第 2 步（逐类）：$a=0$ 时 $b+c=12,\ b\le c$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=1$ 有 5 种；$a=2$ 有 4 种；$a=3$ 有 2 种；$a=4$ 有 1 种。
第 3 步（求和）：$7+5+4+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：把 $8$ 元钱分装进 $3$ 个红包（可以有空红包），只看每个红包里的钱数、不分先后，一共有多少种装法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c$，按最小红包分类。
第 2 步（逐类）：$a=0$ 时 $b+c=8$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=1$ 有 3 种；$a=2$ 有 2 种。
第 3 步（求和）：$5+3+2=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：写出 $3$ 个自然数（可以是 $0$），它们的和是 $10$，不计顺序，一共有多少种写法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c$，按最小数分类。
第 2 步（逐类）：$a=0$ 时 $b+c=10$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=1$ 有 4 种；$a=2$ 有 3 种；$a=3$ 有 1 种。
第 3 步（求和）：$6+4+3+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：写出 $4$ 个自然数（可以是 $0$），它们的和是 $8$，不计顺序，一共有多少种写法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c\le d$，按最小数分类。
第 2 步（逐类）：$a=0$ 时其余三数和 $8$、可为 $0$ 不计序有 $\underline{\quad}$ 种；$a=1$ 有 4 种；$a=2$ 有 1 种。
第 3 步（求和）：$10+4+1=\underline{\quad}$ 种。

12. 【原题 ch14-tuozhan-04】王老师去打羽毛球，他拿了 $3$ 个一模一样的球桶，每个球桶最多能装 $8$ 个羽毛球。他拿了一盒，发现 $3$ 个球桶里面一共有 $16$ 个羽毛球。请问，$3$ 个球桶里面可能分别有几个羽毛球？

详细思路

是哪类问题：这是「有上限的无序拆分」类：三桶球一模一样（不计顺序）、每桶 $0\sim8$、总和 $16$，规定从小到大，按最小桶枚举并受上限约束。

关键切入点：$a\le b\le c\le 8$。逐一枚举：最小桶 $0,1,2,3,4,5$ 分别得 $1,1,2,2,3,1$ 种，合起来 $10$ 种。

方法概述：规定从小到大、受上限 8 约束，按最小桶枚举。

规范步骤：

最小桶 0、1：$(0,8,8);\ (1,7,8)$（各 1 种）
最小桶 2、3、4、5：$2,2,3,1$ 种（逐类）
求和：$1+1+2+2+3+1=10$（分类相加）

第一套

题目：$3$ 个一样的桶，每桶最多装 $10$ 个球，一共装了 $20$ 个球，各桶球数（不分先后）有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c\le 10$，按最小桶枚举。
第 2 步（逐类）：最小桶 $0,1,2,3,4,5,6$ 分别有 $1,1,2,2,3,3,2$ 种。
第 3 步（求和）：$1+1+2+2+3+3+2=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：$3$ 个一样的花瓶，每个最多插 $8$ 枝花，一共插了 $16$ 枝，各花瓶插花数（不分先后）有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c\le 8$，按最小花瓶枚举。
第 2 步（逐类）：最小 $0,1,2,3,4,5$ 分别有 $1,1,2,2,3,1$ 种。
第 3 步（求和）：$1+1+2+2+3+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：$3$ 个一样的桶，每桶最多装 $8$ 个球，一共装了 $12$ 个球，各桶球数（不分先后）有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c\le 8$，按最小桶枚举。
第 2 步（逐类）：最小桶 $0,1,2,3,4$ 分别有 $3,3,4,2,1$ 种。
第 3 步（求和）：$3+3+4+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：$4$ 个一样的桶，每桶最多装 $8$ 个球，一共装了 $20$ 个球，各桶球数（不分先后）有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c\le d\le 8$，按最小桶枚举。
第 2 步（逐类）：最小桶 $0,1,2,3,4,5$ 分别有 $4,5,7,6,4,1$ 种。
第 3 步（求和）：$4+5+7+6+4+1=\underline{\quad}$ 种。

13. 【原题 ch14-tuozhan-05】商店里有 $12$ 种不同的签字笔，价格分别为 $1,2,3,4,\cdots,11,12$ 元。小高准备买 $3$ 枝不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉 $15$ 元，请问：小高一共有多少种不同的买法？

详细思路

是哪类问题：这是「三个互异数之和」类：三枝笔价格互不相同、取自 $1\sim12$、和为 $15$，规定从小到大，按最便宜的一枝分类枚举，去掉相同与越界。

关键切入点：$a<b<c\le12$。$a=1$ 时 $b+c=14,\ 1<b<c$ 有 $(2,12),(3,11),(4,10),(5,9),(6,8)$ 共 5 种；$a=2$ 有 4 种；$a=3$ 有 2 种；$a=4$ 有 1 种。

方法概述：规定从小到大、互不相同，按最小数分类枚举。

规范步骤：

最小 1：$(1,2,12),\dots,(1,6,8)$（5 种）
最小 2、3、4：$4,\ 2,\ 1$ 种（逐类）
求和：$5+4+2+1=12$（分类相加）

第一套

题目：有价格分别为 $1\sim15$ 元的签字笔各一种，买 $3$ 枝价格互不相同的笔恰好花 $20$ 元，有多少种买法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a<b<c\le 15$，按最便宜的 $a$ 分类。
第 2 步（逐类）：$a=1$ 时 $b+c=19,\ 1<b<c\le15$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=2$ 有 6 种；$a=3$ 有 5 种；$a=4$ 有 3 种；$a=5$ 有 2 种。
第 3 步（求和）：$6+6+5+3+2=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：编号 $1\sim12$ 的 $12$ 张卡片，抽 $3$ 张编号互不相同的卡片使编号和为 $15$，有多少种抽法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a<b<c\le 12$，按最小编号分类。
第 2 步（逐类）：$a=1$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=2$ 有 4 种；$a=3$ 有 2 种；$a=4$ 有 1 种。
第 3 步（求和）：$5+4+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：价格 $1\sim12$ 元的笔各一种，买 $3$ 枝价格互不相同的笔恰好花 $18$ 元，有多少种买法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a<b<c\le 12$，按最小价 $a$ 分类。
第 2 步（逐类）：$a=1$ 时 $b+c=17$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=2$ 有 4 种；$a=3$ 有 4 种；$a=4$ 有 2 种；$a=5$ 有 1 种。
第 3 步（求和）：$4+4+4+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：价格 $1\sim12$ 元的笔各一种，买 $4$ 枝价格互不相同的笔恰好花 $22$ 元，有多少种买法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a<b<c<d\le 12$，按最小价 $a$ 分类。
第 2 步（逐类）：$a=1$ 时其余三枝互异、$\le12$、和 $21$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=2$ 有 9 种；$a=3$ 有 4 种；$a=4$ 有 1 种。
第 3 步（求和）：$13+9+4+1=\underline{\quad}$ 种。

14. 【原题 ch14-tuozhan-06】王老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比 $5$ 大的数字。试问：王老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？

详细思路

是哪类问题：这是「数位严格递增」类：三位数百位<十位<个位、数字都 $\le5$（且非零），等价于从 $1\sim5$ 中任取 $3$ 个不同数字，从小到大唯一排成一个数。

关键切入点：取定 $3$ 个不同数字后只有唯一的递增排法，故个数 $=$ 从 $5$ 个数里取 $3$ 个的组合数 $C(5,3)=10$。

方法概述：把「严格递增」转化为「取 3 个不同数字」的组合计数。

规范步骤：

转化为取数：从 $1,2,3,4,5$ 取 3 个（递增排法唯一）
组合数：$C(5,3)=\dfrac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10$（取 3 个）
结论：共 10 个

第一套

题目：一个三位数，百位<十位<个位，且各位数字都不超过 $7$（且非零），这样的三位数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：等于从 $1\sim7$ 中取 $3$ 个不同数字，递增排法唯一。
第 2 步（组合数）：$C(7,3)=\dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：从 $1\sim5$ 号 $5$ 名选手中选出 $3$ 人组成接力队，按号码从小到大出场，有多少种不同的出场名单？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：一份名单就是从 $5$ 人里取 $3$ 人（出场顺序由号码唯一确定）。
第 2 步（组合数）：$C(5,3)=\dfrac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：一个三位数，百位>十位>个位，且各位数字都不超过 $5$（个位可为 $0$ 吗？此处要求都为 $1\sim5$），这样的三位数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：从 $1\sim5$ 取 $3$ 个不同数字，递减排法也唯一。
第 2 步（组合数）：$C(5,3)=\dfrac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：一个四位数，千位<百位<十位<个位，且各位数字都取自 $1\sim7$，这样的四位数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：等于从 $1\sim7$ 取 $4$ 个不同数字，递增排法唯一。
第 2 步（组合数）：$C(7,4)=\dfrac{7\times6\times5\times4}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 个。

15. 【原题 ch14-tuozhan-07】常昊与古力两人进行围棋比赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？

详细思路

是哪类问题：这是「几胜制比赛进程计数」类：常昊先胜 3 局获胜，最后一局必为常昊胜，之前常昊恰好胜 2 局，按常昊取得第 3 胜的局数分类。

关键切入点：第 3 胜在第 3 局：前 2 局全胜，$C(2,2)=1$ 种；在第 4 局：前 3 局中胜 2 负 1，$C(3,2)=3$ 种；在第 5 局：前 4 局胜 2 负 2，$C(4,2)=6$ 种。

方法概述：固定末局为胜，按取得决定性一胜的局数分类。

规范步骤：

第 3 局结束：$C(2,2)=1$（前 2 局全胜）
第 4、5 局结束：$C(3,2)=3,\ C(4,2)=6$（前面胜 2 负若干）
求和：$1+3+6=10$（分类相加）

第一套

题目：两人比赛，谁先胜 $4$ 局谁赢。如果最后甲获胜，比赛进程有多少种可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（末局固定）：末局必是甲胜，之前甲恰胜 3 局，按甲取得第 4 胜的局数分类。
第 2 步（逐类）：第 4 局结束 $C(3,3)=1$；第 5 局 $C(4,3)=\underline{\quad}$；第 6 局 $C(5,3)=10$；第 7 局 $C(6,3)=20$。
第 3 步（求和）：$1+4+10+20=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：乒乓球五局三胜制，最后小明以先胜 $3$ 局获胜，比赛进程有多少种可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（末局固定）：末局是小明胜，之前恰胜 2 局，按取得第 3 胜的局数分类。
第 2 步（逐类）：第 3 局 $C(2,2)=1$；第 4 局 $C(3,2)=\underline{\quad}$；第 5 局 $C(4,2)=6$。
第 3 步（求和）：$1+3+6=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：两人下棋，谁先胜 $3$ 局谁赢。若最后乙获胜，比赛进程有多少种可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（末局固定）：末局是乙胜，之前乙恰胜 2 局，按取得第 3 胜的局数分类。
第 2 步（逐类）：第 3 局 $C(2,2)=1$；第 4 局 $C(3,2)=\underline{\quad}$；第 5 局 $C(4,2)=6$。
第 3 步（求和）：$1+3+6=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：两人下棋，谁先胜 $3$ 局谁赢，最后甲以先胜 $3$ 局获胜，并且比赛过程中甲的胜局数从未落后于乙。这样的比赛进程有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先看常规进程）：不加限制时按上法共有 $1+3+6=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（去掉曾落后的）：逐一检查每种进程，划掉某一时刻乙胜局多于甲的，剩下的进程按第 3 胜局数分类为：第 3 局 $1$ 种、第 4 局 $2$ 种、第 5 局 $2$ 种。
第 3 步（求和）：$1+2+2=\underline{\quad}$ 种。

16. 【原题 ch14-tuozhan-08】$5$ 块六边形的地毯拼成了图 14-3 中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在墨莫站在 $1$ 号地毯上，他想要走到 $5$ 号地毯上，如果墨莫每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如 $1\to 2\to 3\to 5$ 就是一种可能的走法。请问：墨莫一共有多少种不同的走法？

详细思路

是哪类问题：这是「图上不重复路线计数」类：按地毯的相邻关系（有公共边即相邻），从 1 号出发只向右走、用树形图不重复地枚举到 5 号的走法。

关键切入点：依图 14-3 的相邻关系逐步展开，得到 $1\to2\to3\to4\to5$、$1\to2\to4\to5$、$1\to3\to4\to5$、$1\to3\to5$、$1\to2\to3\to5$ 等，共 5 种。

方法概述：依相邻关系从起点用树形图枚举。

规范步骤：

从 1 出发按相邻展开：树形图（只向右走）
数出走法：共 5 种

17. 【原题 ch14-tuozhan-09】从图 14-4 的左下角的 $A$ 点走到右上角的 $B$ 点，如果要求只能向上或者向右走，一共有多少种不同的走法？如果要求只要不走重复的路线就可以，那么从 $A$ 点走到 $B$ 点一共有多少种不同的走法？

详细思路

是哪类问题：这是「格点路线计数」类：把每条路用线段表示。第一问只能向上或向右，第二问只要不重复经过同一段路。

关键切入点：按题图（由 3 个方块组成）分情况枚举：只上或右走共 5 种；允许绕行但不重复共 9 种。

方法概述：把路化为线段，按各段方向次序枚举。

规范步骤：

只上或右：枚举各段方向，5 种（最短路线）
不重复路线：再加绕行，9 种

18. 【原题 ch14-tuozhan-10】妈妈买来 $7$ 个鸡蛋，每天至少吃 $2$ 个，吃完为止。如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？

详细思路

是哪类问题：这是「有序分天（有下限）」类：$7$ 个鸡蛋每天至少吃 $2$ 个、吃完为止、天数不限且计顺序，按吃的天数分类，每类里有序枚举。

关键切入点：至少 2 个/天，故最多吃 3 天。1 天：一次吃完 1 种；2 天：第一天吃 $2\sim5$ 对应第二天 $5\sim2$ 共 4 种；3 天：$(2,2,3)$ 的各种顺序共 3 种。

方法概述：按天数分类，每天数目有序枚举。

规范步骤：

1 天：$(7)$（1 种）
2 天：$(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)$（4 种）
3 天并求和：$(2,2,3)$ 的 3 种顺序；$1+4+3=8$（分类相加）

第一套

题目：$11$ 个鸡蛋，每天至少吃 $2$ 个，吃完为止，天数不限（计顺序），一共有多少种吃法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定天数范围）：每天至少 $2$ 个，最多吃 $5$ 天。
第 2 步（逐类，有序枚举）：$1$ 天 $1$ 种；$2$ 天 $8$ 种；$3$ 天 $21$ 种；$4$ 天 $20$ 种；$5$ 天 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（求和）：$1+8+21+20+5=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：$7$ 页作业，每天至少做 $2$ 页，做完为止，天数不限（计顺序），一共有多少种安排？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定天数范围）：每天至少 $2$ 页，最多做 $3$ 天。
第 2 步（逐类）：$1$ 天 $1$ 种；$2$ 天有 $(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)$ 共 $\underline{\quad}$ 种；$3$ 天 $3$ 种。
第 3 步（求和）：$1+4+3=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：$9$ 个鸡蛋，每天至少吃 $2$ 个，吃完为止，天数不限（计顺序），一共有多少种吃法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定天数范围）：最多吃 $4$ 天。
第 2 步（逐类）：$1$ 天 $1$ 种；$2$ 天 $6$ 种；$3$ 天 $10$ 种；$4$ 天 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（求和）：$1+6+10+4=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：$10$ 个鸡蛋，每天至少吃 $3$ 个，吃完为止，天数不限（计顺序），一共有多少种吃法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定天数范围）：每天至少 $3$ 个，最多吃 $3$ 天。
第 2 步（逐类）：$1$ 天 $1$ 种；$2$ 天（第一天 $3\sim7$）$5$ 种；$3$ 天（$3,3,4$ 的顺序）$\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（求和）：$1+5+3=\underline{\quad}$ 种。

19. 【原题 ch14-tuozhan-11】有一类小于 $1000$ 的自然数，每个数都由若干个 $1$ 和若干个 $2$ 组成，并且每个数中，$1$ 的个数比 $2$ 的个数多。这样的数一共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「特定数字组成的数计数」类：小于 $1000$ 的数（最多三位）由若干个 $1$ 和若干个 $2$ 组成、既含 $1$ 又含 $2$、且 $1$ 比 $2$ 多，按位数枚举。

关键切入点：一、二位数无法既含 $1,2$ 又让 $1$ 多于 $2$（一位只有一个数字；两位若一个 $1$ 一个 $2$ 则相等）。三位数要 $1$ 多于 $2$ 且都出现，只能两个 $1$、一个 $2$，即 $112,121,211$ 共 3 个。

方法概述：按位数分类，枚举 $1$ 多于 $2$ 且都出现的数。

规范步骤：

一、二位：均不可能（无法满足 1 多于 2 且都出现）
三位：两个 1 一个 2：$112,121,211$（3 个）
结论：共 3 个

第一套

题目：小于 $10000$ 的自然数，由若干个 $1$ 和若干个 $2$ 组成（都出现），且 $1$ 的个数比 $2$ 的个数多，这样的数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三位）：两个 $1$ 一个 $2$，有 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（四位）：$1$ 多于 $2$ 且都出现，只能三个 $1$ 一个 $2$，$2$ 的位置有 $C(4,1)=4$ 个。
第 3 步（求和）：$3+4=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：用红、蓝两种珠子串成一条不足 $4$ 颗的手链（串成一排、既有红又有蓝），且红珠比蓝珠多，有多少种不同的排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（一、二颗）：均无法既含两色又让红比蓝多，$0$ 种。
第 2 步（三颗）：两红一蓝，蓝珠位置有 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（求和）：$0+0+3=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：小于 $1000$ 的自然数，由若干个 $4$ 和若干个 $8$ 组成（都出现），且 $4$ 的个数比 $8$ 的个数多，这样的数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（一、二位）：均不可能。
第 2 步（三位）：两个 $4$ 一个 $8$，$8$ 的位置有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（结论）：共 $\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：小于 $100000$ 的自然数，由若干个 $1$ 和若干个 $2$ 组成（都出现），且 $1$ 的个数比 $2$ 的个数多，这样的数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三位）：两个 $1$ 一个 $2$，$3$ 个。
第 2 步（四位）：三个 $1$ 一个 $2$，$C(4,1)=4$ 个。
第 3 步（五位）：四个 $1$ 一个 $2$ 有 $C(5,1)=5$ 个，三个 $1$ 两个 $2$ 有 $C(5,2)=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（求和）：$3+4+5+10=\underline{\quad}$ 个。

20. 【原题 ch14-tuozhan-12】老师拿来三块木板，上面分别写着数字 $1,2,3$。墨莫可以用这些木板拼出多少个不同的数？

详细思路

是哪类问题：这是「数字卡片拼数」类：用写着 $1,2,3$ 的三块木板，可用 $1$ 块、$2$ 块或 $3$ 块拼数，按用几块木板分类枚举。

关键切入点：用 1 块：$3$ 个一位数；用 2 块：首位 3 种、次位 2 种共 $6$ 个两位数；用 3 块：$3\times2\times1=6$ 个三位数。

方法概述：按使用木板数分类，分别数一位、两位、三位数。

规范步骤：

用 1 块：$1,2,3$（3 个）
用 2 块、3 块：$3\times2=6;\ 3\times2\times1=6$（各 6 个）
求和：$3+6+6=15$（分类相加）

第一套

题目：用写着 $1,2,3,4$ 的四块木板，可以拼出多少个不同的数（可用 $1\sim4$ 块）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：按用 $1,2,3,4$ 块分。
第 2 步（逐类）：$1$ 块 $4$ 个；$2$ 块 $4\times3=\underline{\quad}$ 个；$3$ 块 $4\times3\times2=24$ 个；$4$ 块 $4\times3\times2\times1=24$ 个。
第 3 步（求和）：$4+12+24+24=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：$3$ 张分别写着 $1,2,3$ 的卡片，可以摆出多少个不同的数（可用 $1\sim3$ 张）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：按用 $1,2,3$ 张分。
第 2 步（逐类）：$1$ 张 $3$ 个；$2$ 张 $3\times2=\underline{\quad}$ 个；$3$ 张 $6$ 个。
第 3 步（求和）：$3+6+6=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：用写着 $2,4,6$ 的三块木板，可以拼出多少个不同的数（可用 $1\sim3$ 块）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：按用 $1,2,3$ 块分。
第 2 步（逐类）：$1$ 块 $3$ 个；$2$ 块 $3\times2=\underline{\quad}$ 个；$3$ 块 $6$ 个。
第 3 步（求和）：$3+6+6=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：用写着 $0,1,2,3$ 的四块木板拼数（可用 $1\sim4$ 块），要求最高位不是 $0$，能拼出多少个不同的数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（一位）：非零一位数有 $1,2,3$ 共 $3$ 个。
第 2 步（两位）：首位 $3$ 种（非 0）、次位从剩下 $3$ 块里选 $3$ 种，共 $3\times3=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（三位、四位）：分别为 $18$ 个、$18$ 个。
第 4 步（求和）：$3+9+18+18=\underline{\quad}$ 个。

21. 【原题 ch14-tuozhan-13】午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和橘子这 $3$ 种水果，每种都有很多个。小高想要挑 $3$ 个水果吃，请问：一共有多少种选择？

详细思路

是哪类问题：这是「可重复取物计数」类：从 $3$ 种水果里挑 $3$ 个（同种可重复、不计顺序），按挑出的水果含几种分类。

关键切入点：全同（3 个一样）：$3$ 种；两种（一种 2 个一种 1 个）：选 2 个的种类 3 种 $\times$ 选 1 个的种类 2 种 $=6$ 种；三种各一：$1$ 种。

方法概述：按挑出水果的「花色数」分类枚举。

规范步骤：

全同：$3$ 种（3 个同一种）
两种、三种：$3\times2=6;\ 1$（一种 2 个一种 1 个 / 各 1 个）
求和：$3+6+1=10$（分类相加）

第一套

题目：食堂有苹果、香蕉、橘子、梨 $4$ 种水果（每种很多），挑 $3$ 个吃，有多少种选择？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按花色数分类）：挑出的 $3$ 个含 $1$、$2$ 或 $3$ 种。
第 2 步（逐类）：全同 $4$ 种；两种（一种 2 个一种 1 个）$4\times3=\underline{\quad}$ 种；三种各一 $C(4,3)=4$ 种。
第 3 步（求和）：$4+12+4=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：文具店有红、蓝、黑 $3$ 种笔（每种很多），买 $3$ 枝，有多少种不同的买法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按颜色数分类）：$3$ 枝含 $1$、$2$ 或 $3$ 种颜色。
第 2 步（逐类）：全同 $3$ 种；两色 $3\times2=\underline{\quad}$ 种；三色各一 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$3+6+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：从苹果、香蕉、橘子 $3$ 种水果里挑 $4$ 个（可重复），有多少种选择？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按花色数分类）：$4$ 个含 $1,2,3$ 种。
第 2 步（逐类）：全同 $3$ 种；两种（$3+1$ 或 $2+2$）$6+3=9$ 种；三种（$2+1+1$）$\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（求和）：$3+9+3=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：从苹果、香蕉、橘子、梨 $4$ 种水果里挑 $4$ 个（可重复），有多少种选择？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按花色数分类）：$4$ 个含 $1,2,3,4$ 种。
第 2 步（逐类）：全同 $4$ 种；两种（$3+1$ 或 $2+2$）$4\times3+C(4,2)=12+6=18$ 种；三种（$2+1+1$）$4\times3=12$ 种；四种各一 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（求和）：$4+18+12+1=\underline{\quad}$ 种。

22. 【原题 ch14-tuozhan-14】（1）如图 14-5(a)，方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，方格纸上每一小段的长度都是 $1$ 厘米。试问：小蚂蚁爬了 $2$ 厘米之后，可能在哪些位置？把可能的位置在图上标出来。（不包括出发点）（2）如图 14-5(b)，方格纸上每一小段的长度也是 $1$ 厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了 $3$ 厘米之后，恰好在黑线上。请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？

详细思路

是哪类问题：这是「格点定步数行走计数」类：小蚂蚁每步向上下左右之一移动 $1$ 厘米，用树形图按每步方向枚举，并利用上下、左右的对称性。

关键切入点：第 (1) 问爬 2 厘米后可能到达 8 个位置；第 (2) 问爬 3 厘米后恰在黑线上，用树形图并借对称性数得 20 种路线。

方法概述：用树形图按每步方向枚举，借对称性减少重复。

规范步骤：

爬 2 厘米可达位置：上下左右各 2 格与斜向 4 点（共 8 个）
爬 3 厘米在黑线上：树形图 + 对称性（20 种）

23. 【原题 ch14-xingqu-01】老师把 $9$ 颗糖分给阿呆和阿瓜，使得他俩每人都有糖，有多少种不同的分法？

详细思路

是哪类问题：这是「两人有序分物枚举」类：把定量物品分给两个人、每人至少 1 个，固定其中一人的数量从小到大依次列举，另一人随之确定，做到不重不漏。

关键切入点：阿呆分到的糖数可以是 $1$ 到 $8$，每定一个值阿瓜就唯一确定（阿瓜 $=9-$阿呆）；因此分法数 $=$ 阿呆可取值的个数。

方法概述：固定一人的糖数从最小枚举到最大。

规范步骤：

阿呆至少 $1$ 颗、至多 $8$ 颗（阿瓜也要 $\ge 1$）：$1\le 阿呆\le 8$（每人至少 1 颗）
阿瓜随之确定：$阿瓜=9-阿呆$（一一对应）
数出取值个数：$9-1=8$（连续整数个数）

第一套

题目：老师把 $15$ 颗糖分给阿呆和阿瓜，每人都要有糖，有多少种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举范围）：阿呆最少 $1$ 颗，最多 $15-1=\underline{\quad}$ 颗（阿瓜至少 $1$ 颗）。
第 2 步（数种数）：阿呆每取一个值阿瓜就定了，故分法数 $=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：妈妈把 $9$ 个橘子分给哥哥和妹妹，每人都要分到橘子，有多少种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举范围）：哥哥最少 $1$ 个，最多 $9-1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（数种数）：妹妹 $=9-$哥哥随之确定，分法数 $=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：把 $10$ 颗糖分给两人，每人至少 $2$ 颗，有多少种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定下限后的范围）：第一人至少 $2$ 颗；另一人也要 $\ge 2$，故第一人最多 $10-2=\underline{\quad}$ 颗。
第 2 步（数种数）：第一人可取 $2,3,\dots,8$，共 $8-2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：把 $12$ 颗糖分给两人，每人至少 $1$ 颗，且两人的糖数不一样多，有多少种不同的分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先不管限制）：每人 $\ge 1$ 时，第一人取 $1\sim 11$，共 $12-1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（去掉相等）：两人一样多只有 $6+6$ 这 $\underline{\quad}$ 种要去掉。
第 3 步（相减）：$11-1=\underline{\quad}$ 种。

24. 【原题 ch14-xingqu-02】用 $1,2,3$ 这三个数字各一次可以组成多少个三位数？

详细思路

是哪类问题：这是「字典排列组数」类：给定几个互不相同的数字各用一次排成多位数，按位从小到大字典枚举，个数 $=$ 数字个数的阶乘。

关键切入点：首位有 $3$ 种选择，选定后十位有剩下的 $2$ 种，个位只剩 $1$ 种，故 $3\times2\times1=6$。

方法概述：按首位从小到大字典枚举，各位相乘。

规范步骤：

按首位分类：$1\_\_,\ 2\_\_,\ 3\_\_$（字典排列）
每类内排后两位：$3\times2\times1=6$（逐位相乘）
列出：$123,132,213,231,312,321$（共 6 个）

第一套

题目：用 $5,6,7$ 这三个数字各一次可以组成多少个不同的三位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位选择）：首位可以是 $5,6,7$，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（后两位）：首位定后十位剩 $2$ 种、个位剩 $1$ 种，共 $3\times2\times1=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：小高、墨莫、卡莉娅三人排成一排照相，一共有多少种不同的排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（排最左）：最左的位置有 $\underline{\quad}$ 种选择（$3$ 人任选其一）。
第 2 步（其余位置）：剩下两个位置有 $2\times1$ 种，合计 $3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：用 $1,2,3$ 中的两个不同数字组成两位数，一共可以组成多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（十位选择）：十位可取 $1,2,3$，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（个位选择）：个位取剩下两个之一，有 $2$ 种，共 $3\times2=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：用 $0,1,2,3$ 这四个数字各一次可以组成多少个不同的四位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（不管限制）：四个数字全排列有 $4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（去掉首位为 0）：首位是 $0$ 的把后三位全排列，有 $3\times2\times1=\underline{\quad}$ 个要去掉。
第 3 步（相减）：$24-6=\underline{\quad}$ 个。

25. 【原题 ch14-xingqu-03】有一些三位数的各位数字都不是 $0$，且各位数字之和为 $6$，这样的三位数有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「数位之和限定枚举」类：三位数各位非零、数字和固定，按百位从小到大分类，每类里十位与个位之和确定、再数出满足的搭配。

关键切入点：百位 $=h$ 时十位与个位之和为 $6-h$，两者都 $\ge 1$，这样的有序数对有 $(6-h)-1$ 个：$h=1\sim4$ 分别得 $4,3,2,1$ 个。

方法概述：按百位分类，逐类数十位与个位的搭配再求和。

规范步骤：

百位 1：十位+个位=5，$\ge1$：$5-1=4$ 个（有序数对）
百位 2、3、4：$4-1=3,\ 3-1=2,\ 2-1=1$（逐类计数）
求和：$4+3+2+1=10$（分类相加）

第一套

题目：各位数字都不是 $0$，且各位数字之和为 $8$ 的三位数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（百位分类）：百位 $=h$ 时，十位与个位之和为 $8-h$，两者都 $\ge 1$，有 $(8-h)-1$ 个。
第 2 步（逐类）：百位 $1$ 时 $7-1=\underline{\quad}$ 个；百位 $6$ 时 $2-1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（求和）：$6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：一个三位数的密码，各位数字都不是 $0$，各位数字之和恰好是 $6$。这样的密码一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（百位分类）：百位 $=h$ 时十位与个位之和 $6-h$、都 $\ge 1$，有 $(6-h)-1$ 个。
第 2 步（逐类）：百位 $1,2,3,4$ 分别有 $5-1=\underline{\quad}$、$4-1=3$、$3-1=2$、$2-1=1$ 个。
第 3 步（求和）：$4+3+2+1=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：各位数字都不是 $0$，各位数字之和为 $7$ 的三位数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（百位分类）：百位 $=h$ 时十位加个位为 $7-h$、都 $\ge 1$，有 $(7-h)-1$ 个。
第 2 步（逐类）：百位 $1$ 得 $6-1=\underline{\quad}$ 个，……，百位 $5$ 得 $2-1=1$ 个。
第 3 步（求和）：$5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：一个三位数（百位不为 $0$，十位、个位可以是 $0$），各位数字之和为 $6$，这样的三位数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（百位分类）：百位 $=h\ (1\le h\le 6)$ 时十位加个位为 $6-h$，两者可为 $0$，有 $(6-h)+1$ 个。
第 2 步（逐类）：百位 $1$ 得 $5+1=\underline{\quad}$ 个；百位 $6$ 得 $0+1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（求和）：$6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 个。

26. 【原题 ch14-xingqu-04】汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有 $8$ 颗蛀牙。他们三人的蛀牙数量有多少种情况？

详细思路

是哪类问题：这是「三人有序分物」类：三人蛀牙数都 $\ge 1$、和固定，固定第一人从小到大枚举，后两人一增一减各成一段区间。

关键切入点：汤姆 $=t$ 时后两人之和为 $8-t$、各 $\ge 1$，有序数对有 $(8-t)-1$ 个：$t=1\sim6$ 分别得 $6,5,4,3,2,1$。

方法概述：固定第一人枚举，后两人有序数对求和。

规范步骤：

汤姆 1：其余和 7、$\ge1$：$7-1=6$ 种（有序数对）
汤姆 2~6：$5,4,3,2,1$ 种（逐类）
求和：$6+5+4+3+2+1=21$（分类相加）

第一套

题目：三个人一共有 $10$ 颗蛀牙，每人至少 $1$ 颗，三人的蛀牙数量有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定第一人）：第一人 $=t$ 时其余两人和 $10-t$、各 $\ge 1$，有 $(10-t)-1$ 种。
第 2 步（逐类）：$t=1$ 得 $9-1=\underline{\quad}$ 种，……，$t=8$ 得 $2-1=1$ 种。
第 3 步（求和）：$8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：三个小朋友一共折了 $8$ 只纸鹤，每人至少折 $1$ 只，三人折的只数有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定第一人）：第一人 $=t$ 时其余两人和 $8-t$、各 $\ge 1$，有 $(8-t)-1$ 种。
第 2 步（逐类）：$t=1$ 得 $7-1=\underline{\quad}$ 种，……，$t=6$ 得 $2-1=1$ 种。
第 3 步（求和）：$6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：三个人一共有 $9$ 颗蛀牙，每人至少 $1$ 颗，三人的蛀牙数量有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定第一人）：第一人 $=t$ 时其余两人和 $9-t$、各 $\ge 1$，有 $(9-t)-1$ 种。
第 2 步（逐类）：$t=1$ 得 $8-1=\underline{\quad}$ 种，……，$t=7$ 得 $2-1=1$ 种。
第 3 步（求和）：$7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：三个人一共有 $8$ 颗蛀牙，每人至少 $1$ 颗、至多 $4$ 颗，三人的蛀牙数量有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定第一人，注意上限）：第一人 $=t\ (1\le t\le 4)$，其余两人和 $8-t$、每人 $1\sim4$。
第 2 步（逐类数）：$t=1$ 时其余和 $7$、每人 $\le 4$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$t=2$ 有 $3$ 种；$t=3$ 有 $4$ 种；$t=4$ 有 $3$ 种。
第 3 步（求和）：$2+3+4+3=\underline{\quad}$ 种。

27. 【原题 ch14-xingqu-05】老师让小明写出 $3$ 个非零的自然数，$3$ 个数的和是 $9$，如果数被加的顺序不同算同一种写法，即 $6+2+1$ 还有 $2+1+6$、$1+6+2$ 都算是同一种写法。请问，小明一共有多少种不同的写法？

详细思路

是哪类问题：这是「不计顺序的整数拆分」类：三个非零自然数之和固定、不计顺序，规定从小到大排列，按最小数分类枚举避免重复。

关键切入点：规定 $a\le b\le c$。最小数 $a=1$ 时 $b+c=8$ 且 $b\ge1,b\le c$，有 $(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)$ 共 4 种；$a=2$ 有 $(2,5),(3,4)$ 共 2 种；$a=3$ 有 $(3,3)$ 共 1 种。

方法概述：规定从小到大，按最小数分类枚举。

规范步骤：

最小数 1：$1+1+7,1+2+6,1+3+5,1+4+4$（4 种）
最小数 2、3：$2+2+5,2+3+4;\ 3+3+3$（2 种、1 种）
求和：$4+2+1=7$（分类相加）

第一套

题目：写出 $3$ 个非零自然数，使它们的和是 $12$，只计数值不计顺序，一共有多少种不同的写法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：设 $a\le b\le c$，按最小数 $a$ 分类。
第 2 步（逐类）：$a=1$ 时 $b+c=11,\ b\le c$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=2$ 有 $4$ 种；$a=3$ 有 $2$ 种；$a=4$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$5+4+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：把 $9$ 块糖分成 $3$ 堆，每堆至少 $1$ 块，如果各堆只看数量、不分先后，一共有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：设三堆 $a\le b\le c$，按最小堆 $a$ 分类。
第 2 步（逐类）：$a=1$ 时 $b+c=8,\ b\le c$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=2$ 有 $2$ 种；$a=3$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$4+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：写出 $3$ 个非零自然数，使它们的和是 $10$，只计数值不计顺序，一共有多少种写法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c$，按最小数 $a$ 分类。
第 2 步（逐类）：$a=1$ 时 $b+c=9$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=2$ 有 $3$ 种；$a=3$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$4+3+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：写出 $4$ 个非零自然数，使它们的和是 $12$，只计数值不计顺序，一共有多少种写法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：设 $a\le b\le c\le d$，按最小数 $a$ 分类。
第 2 步（逐类）：$a=1$ 时其余三数和 $11$、$\ge1$ 不计序有 $\underline{\quad}$ 种；$a=2$ 有 $4$ 种；$a=3$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$10+4+1=\underline{\quad}$ 种。

28. 【原题 ch14-xingqu-06】生物老师让大家观察蚂蚁的习性，小波在小区的广场上发现了 $12$ 只黑蚂蚁，这 $12$ 只蚂蚁恰好凑成了 $3$ 堆，每堆至少有 $2$ 只。请问，这 $3$ 堆蚂蚁可能各有几只？

详细思路

是哪类问题：这是「有下限的无序拆分」类：三堆蚂蚁之和固定、每堆 $\ge 2$、不计顺序，规定从小到大，固定最小堆枚举。

关键切入点：规定 $a\le b\le c$、$a\ge2$。$a=2$ 时 $b+c=10,\ 2\le b\le c$ 有 $(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)$ 共 4 种；$a=3$ 有 $(3,6),(4,5)$ 共 2 种；$a=4$ 有 $(4,4)$ 共 1 种。

方法概述：规定从小到大且各 $\ge 2$，固定最小堆枚举。

规范步骤：

最小堆 2：$(2,2,8),(2,3,7),(2,4,6),(2,5,5)$（4 种）
最小堆 3、4：$(3,3,6),(3,4,5);\ (4,4,4)$（2 种、1 种）
求和：$4+2+1=7$（分类相加）

第一套

题目：$18$ 只蚂蚁凑成 $3$ 堆，每堆至少 $2$ 只，这 $3$ 堆可能各有几只（不分先后）？共多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c$、$a\ge 2$，按最小堆分类。
第 2 步（逐类）：$a=2$ 时 $b+c=16$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=3$ 有 $5$ 种；$a=4$ 有 $4$ 种；$a=5$ 有 $2$ 种；$a=6$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$7+5+4+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：把 $12$ 本书放进 $3$ 个书架，每个书架至少放 $2$ 本，各书架只看本数不分先后，一共有多少种放法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c$、$a\ge 2$，按最小架分类。
第 2 步（逐类）：$a=2$ 时 $b+c=10$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=3$ 有 $2$ 种；$a=4$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$4+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：$15$ 颗糖分成 $3$ 堆，每堆至少 $3$ 颗，各堆只看数量不分先后，一共有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大）：$a\le b\le c$、$a\ge 3$，按最小堆分类。
第 2 步（逐类）：$a=3$ 时 $b+c=12$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$a=4$ 有 $2$ 种；$a=5$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$4+2+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：$12$ 只蚂蚁凑成 $3$ 堆，每堆至少 $2$ 只、至多 $6$ 只，不分先后一共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规定从小到大，注意上限）：$a\le b\le c$、$2\le a,b,c\le 6$。
第 2 步（逐类，去掉超过 6 的）：$a=2$ 时 $b+c=10,\ b\le c\le 6$ 只有 $(4,6),(5,5)$ 共 $\underline{\quad}$ 种；$a=3$ 有 $2$ 种；$a=4$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$2+2+1=\underline{\quad}$ 种。

29. 【原题 ch14-xingqu-07】一个三位数，每一位上的数字都是 $1,2,3$ 中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？

详细思路

是哪类问题：这是「相邻不同的数字串」类：每位取自固定几个数字、相邻两位不同，用树形图按位枚举——首位自由、其后每位都要避开前一位，选择数固定，用乘法原理相乘。

关键切入点：百位 $3$ 种；十位要与百位不同，剩 $2$ 种；个位要与十位不同，也剩 $2$ 种；故 $3\times2\times2=12$。

方法概述：首位自由、其余位各避开前一位，按乘法原理相乘。

规范步骤：

百位 3 种：$1,2,3$（自由选）
十位、个位各避开前一位：$2,\ 2$ 种（相邻不同）
相乘：$3\times2\times2=12$（乘法原理）

第一套

题目：一个三位数，每位数字都取自 $1,2,3,4$，且相邻两位不同，一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（百位）：百位可取 $1,2,3,4$，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（其余位）：十位、个位各要避开前一位，都剩 $3$ 种，共 $4\times3\times3=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：用红、黄、蓝三种颜色给排成一排的 $3$ 个格子涂色，相邻格子颜色不同，有多少种涂法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 1 格）：第 1 格有 $\underline{\quad}$ 种颜色可选。
第 2 步（其余格）：第 2、3 格各避开左边一格，都剩 $2$ 种，共 $3\times2\times2=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：一个四位数，每位数字都取自 $1,2,3$，且相邻两位不同，一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（千位）：千位有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（其余三位）：每位避开前一位都剩 $2$ 种，共 $3\times2\times2\times2=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：一个四位数，每位数字都取自 $1,2,3,4$，且相邻两位不同，一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（千位）：千位有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（其余三位）：每位避开前一位都剩 $3$ 种。
第 3 步（相乘）：$4\times3\times3\times3=\underline{\quad}$ 个。

30. 【原题 ch14-xingqu-08】如图 14-1，一只小蚂蚁从一个正四面体的顶点 $A$ 出发，沿着这个正四面体的棱依次不重复地走过其余 $4$ 个顶点再回到顶点 $A$。试问：小蚂蚁一共有多少种不同的走法？

详细思路

是哪类问题：这是「多面体顶点周游」类：正四面体每两个顶点间都有棱（相当于完全图 $K_4$），从 $A$ 出发经过其余 $3$ 个顶点各一次再回到 $A$。

关键切入点：中间三点是 $B,C,D$ 的一个排列，任意排列都走得通，故走法数 $=3!=6$。

方法概述：把中间三顶点视为全排列，字典枚举。

规范步骤：

中间三点全排列：$3\times2\times1=6$（任意两顶点相邻）
字典枚举：$A\to B\to C\to D\to A$ 等 6 种
结论：共 6 种

31. 【原题 ch14-xingqu-09】在图 14-2 中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？

详细思路

是哪类问题：这是「图形计数」类：按长方形的规格（长 $\times$ 宽）分类，逐类数出横放、竖放的个数再求和。

关键切入点：依题图逐规格数：$1\times1$ 有 9 个，$2\times1$ 有 8 个，$3\times1$ 有 6 个，$4\times1$ 有 4 个，$5\times1$ 有 2 个。

方法概述：按规格分类，逐类数出再求和。

规范步骤：

逐规格计数：$9,8,6,4,2$（含横竖两向）
求和：$9+8+6+4+2=29$（分类相加）

32. 【原题 ch14-xingqu-10】如果只能用 $1$ 元、$2$ 元、$5$ 元的纸币付款，那么要买价格是 $13$ 元的东西，一共有多少种不同的付款办法？（不考虑找钱的情况）

详细思路

是哪类问题：这是「付款方案分类枚举」类：用几种面值凑一个总额，按最大面值的张数从多到少分类，每类里再枚举其余面值的组合。

关键切入点：按 $5$ 元张数分类：$0$ 张时用 $1,2$ 元凑 $13$，$2$ 元用 $0\sim6$ 张共 $7$ 种；$1$ 张时凑 $8$ 元共 $5$ 种；$2$ 张时凑 $3$ 元共 $2$ 种。

方法概述：按最大面值张数分类，逐类枚举其余面值。

规范步骤：

5 元 0 张：凑 13：$2$ 元 $0\sim6$ 张，$7$ 种（枚举 2 元张数）
5 元 1、2 张：$5,\ 2$ 种（逐类）
求和：$7+5+2=14$（分类相加）

第一套

题目：只用 $1$ 元、$2$ 元、$5$ 元的纸币付 $23$ 元（不找零），一共有多少种付法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按 5 元张数分类）：$23\div5$ 最多 $4$ 张，故 $5$ 元用 $0,1,2,3,4$ 张。
第 2 步（逐类，数 2 元张数）：$5$ 元 $0$ 张时凑 $23$、$2$ 元 $0\sim11$ 张有 $\underline{\quad}$ 种；$1$ 张凑 $18$ 有 $10$ 种；$2$ 张凑 $13$ 有 $7$ 种；$3$ 张凑 $8$ 有 $5$ 种；$4$ 张凑 $3$ 有 $2$ 种。
第 3 步（求和）：$12+10+7+5+2=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：用 $1$ 元、$2$ 元、$5$ 元硬币投币买一张 $13$ 元的车票（不找零），一共有多少种投币办法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按 5 元枚数分类）：$5$ 元用 $0,1,2$ 枚。
第 2 步（逐类）：$0$ 枚凑 $13$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$1$ 枚凑 $8$ 有 $5$ 种；$2$ 枚凑 $3$ 有 $2$ 种。
第 3 步（求和）：$7+5+2=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：只用 $1$ 元、$2$ 元、$5$ 元的纸币付 $20$ 元（不找零），一共有多少种付法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按 5 元张数分类）：$5$ 元用 $0,1,2,3,4$ 张。
第 2 步（逐类）：$0$ 张凑 $20$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$1$ 张凑 $15$ 有 $8$ 种；$2$ 张凑 $10$ 有 $6$ 种；$3$ 张凑 $5$ 有 $3$ 种；$4$ 张凑 $0$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$11+8+6+3+1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：用 $1$ 元、$2$ 元、$5$ 元、$10$ 元的纸币付 $20$ 元（不找零），一共有多少种付法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先按 10 元张数分类）：$10$ 元用 $0,1,2$ 张。
第 2 步（逐类化为老问题）：$10$ 元 $0$ 张时用 $1,2,5$ 元凑 $20$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$1$ 张时凑 $10$ 有 $10$ 种；$2$ 张时凑 $0$ 有 $1$ 种。
第 3 步（求和）：$29+10+1=\underline{\quad}$ 种。

竞赛数学 · 三年级第14讲《枚举法二》举一反三练习卷

附录 · 答案

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