竞赛数学 · 三年级 第19讲《间隔与阵列》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch19-chaoyue-01】如图 $19\text{-}2$，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为 $100$ 米，宽为 $70$ 米。现在要在所有道路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且拐弯的地点（顶点或中点）都要种上树。那么最少要种多少棵树？
详细思路
是哪类问题：这是「网格/田字路植树问题」：用各段长度的公约数确定最大间距，分别算横、纵道路棵数求和，再减去重复计算的交叉点。
关键切入点：长被中点分成两段各 50、宽被中点分成两段各 35，间距须整除 50 与 35，最大取 5；3 条横路各 $100\div 5+1=21$、3 条纵路各 $70\div 5+1=15$；9 个交叉点各被算两次，减 9。
方法概述：间距取各段长的最大公约数；横纵棵数求和减去交叉点数。
规范步骤：
  1. 每条横路棵数：$100\div 5+1=21$（段数 + 1）
  2. 3 条横路：$21\times 3=63$（3 条）
  3. 每条纵路棵数：$70\div 5+1=15$（段数 + 1）
  4. 3 条纵路：$15\times 3=45$（3 条）
  5. 求和：$63+45=108$（横 + 纵）
  6. 减去 9 个交叉点：$108-9=99$（交叉点各算两次）
第一套
题目：一个长方形“田”字道路，长 $120$ 米、宽 $90$ 米（含横、纵各一条中线，共 3 条横路、3 条纵路）。在所有道路上等距种树，拐点（顶点或中点）都要种。最少种多少棵树？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间距要整除半长 60 与半宽 45，最大取 15；每条横路 = $120\div 15+1$）：$120\div 15+1=\underline{\quad}$（棵），3 条横路 $9\times 3=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步（每条纵路 = $90\div 15+1$）：$90\div 15+1=\underline{\quad}$（棵），3 条纵路 $7\times 3=\underline{\quad}$（棵）。
  3. 第 3 步（合计再减 9 个交叉点）：$27+21=\underline{\quad}$，$48-9=\underline{\quad}$（棵）。
第二套
题目：一块长方形“田”字花圃小径，长 $80$ 米、宽 $60$ 米（横、纵各一条中线，共 3 条横路、3 条纵路）。在小径上等距种花，拐点都要种。最少种多少棵花？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间距要整除半长 40 与半宽 30，最大取 10；每条横路 = $80\div 10+1$）：$80\div 10+1=\underline{\quad}$（棵），3 条横路 $9\times 3=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步（每条纵路 = $60\div 10+1$）：$60\div 10+1=\underline{\quad}$（棵），3 条纵路 $7\times 3=\underline{\quad}$（棵）。
  3. 第 3 步（合计再减 9 个交叉点）：$27+21=\underline{\quad}$，$48-9=\underline{\quad}$（棵）。
第三套
题目：一个长方形回路（只有外框、没有中线），长 $100$ 米、宽 $70$ 米。沿回路每隔 $10$ 米种一棵树。一共要种多少棵树？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（矩形回路是封闭环形，周长 = $(100+70)\times 2$）：$(100+70)\times 2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（环形棵数 = 周长 ÷ 间距）：$340\div 10=\underline{\quad}$（棵）。
第三套
题目：一个长方形“日”字道路，长 $100$ 米、宽 $70$ 米，只有一条水平中线（共 3 条横路、2 条纵路，6 个交叉点）。等距种树，拐点都要种，间距取最大。最少种多少棵树？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间距要整除全长 100 与半宽 35，取最大 5；3 条横路 = $100\div 5+1$）：$100\div 5+1=\underline{\quad}$，$21\times 3=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步（2 条纵路 = $70\div 5+1$）：$70\div 5+1=\underline{\quad}$，$15\times 2=\underline{\quad}$（棵）。
  3. 第 3 步（6 个交叉点各算两次，减 6）：$63+30=\underline{\quad}$，$93-6=\underline{\quad}$（棵）。
2. 【原题 ch19-chaoyue-02】在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图 $19\text{-}3$ 中的阵列类似。从外向内一共 $8$ 层，依次站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学。已知参加表演的六年级同学有 $126$ 人，请问：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「正多边形空心阵列问题」：正六边形阵列相邻层人数差 6（每边差 1、6 条边）；用和差与等差数列求和，填满时逐层向内补。
关键切入点：六年级两层差 6、和 126，最外层 $(126+6)\div 2=66$；8 层是首项 66、公差 −6 的等差数列，用求和公式；最里 24 人每边 5，填满再逐层向内补每边 4、3、2、1（18、12、6、1 人）。
方法概述：六边形相邻层差 6；和差求最外层，等差求和求总数，向内逐层补满。
规范步骤：
  1. 最外层：$(126+6)\div 2=66$（和差问题）
  2. 8 层总人数：$(66+24)\times 8\div 2=360$（等差求和）
  3. 最里层每边：$24\div 6+1=5$（每边人数）
  4. 填满还需人数：$18+12+6+1=37$（向内逐层补）
  5. 向内各层人数校验：(4-1)\times 6=18,\ (3-1)\times 6=12,\ (2-1)\times 6=6（每层 = 每边 ×6 − 6）
第一套
题目：一个空心正六边形阵列，从外向内共 6 层。已知最外面两层（相邻两层）一共 $138$ 人。（1）最外层多少人？（2）这个阵列一共多少人？（3）最里层每边多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相邻层差 6，两层共 138，最外 = $(138+6)\div 2$）：$(138+6)\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（6 层等差求和，最里 42，= $(72+42)\times 6\div 2$）：$(72+42)\times 6\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（最里 42 每边 = $42\div 6+1$）：$42\div 6+1=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：同学们摆成一个空心正六边形灯阵，从外向内共 8 层。已知最外面两层一共 $150$ 人。（1）最外层多少人？（2）阵列一共多少人？（3）最里层每边多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外 = $(150+6)\div 2$）：$(150+6)\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（8 层求和，最里 36，= $(78+36)\times 8\div 2$）：$(78+36)\times 8\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（最里 36 每边 = $36\div 6+1$）：$36\div 6+1=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一个空心正方形阵列，从外向内共 8 层。已知最外面两层一共 $120$ 人。（1）最外层多少人？（2）阵列一共多少人？（3）最里层每边多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（正方形相邻层差 8，两层共 120，最外 = $(120+8)\div 2$）：$(120+8)\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（8 层求和，最里 8，= $(64+8)\times 8\div 2$）：$(64+8)\times 8\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（最里 8 每边 = $8\div 4+1$）：$8\div 4+1=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一个空心正三角形阵列，从外向内共 5 层。已知最外面两层一共 $105$ 人。（1）最外层多少人？每边多少人？（2）阵列一共多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三角形相邻层差 9，两层共 105，最外 = $(105+9)\div 2$）：$(105+9)\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（最外每边 = $57\div 3+1$）：$57\div 3+1=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（5 层求和，最里 21，= $(57+21)\times 5\div 2$）：$(57+21)\times 5\div 2=\underline{\quad}$（人）。
3. 【原题 ch19-chaoyue-03】若干名男生站成一排，站好后墨莫的左侧有 $15$ 人，小高恰好在整个队伍的正中间，而且他们两人之间（不包括他们自己）一共有 $3$ 人。队伍可能有多少人？（写出所有可能的答案）
详细思路
是哪类问题：这是「排队正中间问题」：分小高在墨莫左右两种情况求小高左侧人数，再由“正中间”得总人数 = 一侧人数 ×2 + 1，答案非唯一。
关键切入点：情况一小高在墨莫右：小高左侧 $15+1+3=19$，总 $19\times 2+1=39$；情况二小高在墨莫左：他们之间的 3 人属于墨莫左边 15 人，小高左侧 $15-4=11$，总 $11\times 2+1=23$。
方法概述：分类讨论小高相对墨莫的左右位置，各求一侧人数，再用“正中间”得总数。
规范步骤：
  1. 情况一：小高左侧人数：$15+1+3=19$（墨莫及其左侧 + 中间 3 人）
  2. 情况一：总人数：$19\times 2+1=39$（正中间 ×2 + 1）
  3. 情况二：小高左侧人数：$15-4=11$（扣去墨莫与中间 3 人及小高本身）
  4. 情况二：总人数：$11\times 2+1=23$（正中间 ×2 + 1）
4. 【原题 ch19-chaoyue-04】墨莫拿出一根绳子，对折之后在中间剪了一刀，结果绳子被剪成 $3$ 段。如果墨莫把这根绳子对折 $3$ 次，再从中间剪了 $2$ 刀，绳子会被剪成几段？如果墨莫把这根绳子对折 $4$ 次，再从中间剪 $3$ 刀，绳子会被剪成几段？
详细思路
是哪类问题：这是「对折剪绳问题」：对折 n 次得 $2^n$ 层，剪 k 刀产生 $k\times$层数 个分点，段数 = 分点数 + 1。
关键切入点：对折 3 次有 $2\times2\times2=8$ 层，剪 2 刀有 $2\times 8=16$ 个分点，段数 $16+1=17$；对折 4 次 16 层，剪 3 刀 48 分点，段数 49。
方法概述：层数 = $2^n$；分点数 = 刀数 × 层数；段数 = 分点数 + 1。
规范步骤：
  1. 对折 3 次层数：$1\times 2\times 2\times 2=8$（每折翻倍）
  2. 剪 2 刀分点与段数：$2\times 8=16,\ 16+1=17$（分点 + 1）
  3. 对折 4 次层数：$1\times 2\times 2\times 2\times 2=16$（每折翻倍）
  4. 剪 3 刀分点与段数：$3\times 16=48,\ 48+1=49$（分点 + 1）
第一套
题目：一根绳子：（1）对折 $4$ 次后从中间剪 $3$ 刀，会被剪成几段？（2）对折 $5$ 次后从中间剪 $2$ 刀，会被剪成几段？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对折 4 次层数 = $2\times2\times2\times2$）：$1*2*2*2*2=\underline{\quad}$（层）。
  2. 第 2 步（剪 3 刀分点 = $3\times 16$）：$3\times 16=\underline{\quad}$（个），段数 = $48+1=\underline{\quad}$（段）。
  3. 第 3 步（对折 5 次层数 = $2^5$）：$1*2*2*2*2*2=\underline{\quad}$（层），剪 2 刀分点 $2\times 32=\underline{\quad}$，段数 $64+1=\underline{\quad}$（段）。
第二套
题目：一条彩带对折 $3$ 次后，从中间剪 $3$ 刀，会被剪成几段？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对折 3 次层数 = $2\times2\times2$）：$1*2*2*2=\underline{\quad}$（层）。
  2. 第 2 步（剪 3 刀分点 = $3\times 8$）：$3\times 8=\underline{\quad}$（个），段数 $24+1=\underline{\quad}$（段）。
第三套
题目：一根绳子对折 $3$ 次后，从中间剪了若干刀，结果被剪成 $33$ 段。剪了几刀？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分点数 = 段数 − 1）：$33-1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（层数 = $2\times2\times2=8$，刀数 = 分点 ÷ 层数）：$32\div 8=\underline{\quad}$（刀）。
第三套
题目：一根绳子对折 $5$ 次。（1）从中间剪 $3$ 刀，被剪成几段？（2）如果想把它剪成 $129$ 段，应从中间剪几刀？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对折 5 次层数）：$1*2*2*2*2*2=\underline{\quad}$（层）。
  2. 第 2 步（剪 3 刀分点 = $3\times 32$，段数 = $96+1$）：$3\times 32=\underline{\quad}$，$96+1=\underline{\quad}$（段）。
  3. 第 3 步（要 129 段需分点 = $129-1=\underline{\quad}$，刀数 = $128\div 32=\underline{\quad}$ 刀）。
5. 【原题 ch19-chaoyue-05】水池周围种了一些树，墨莫和卡莉娅沿顺时针方向绕水池散步，边走边数树的棵数。由于两人的出发地点不同，因此墨莫数的第 $20$ 棵在卡莉娅那儿是第 $7$ 棵，墨莫数的第 $7$ 棵在卡莉娅那儿是第 $94$ 棵。请问：水池四周一共种了多少棵树？
详细思路
是哪类问题：这是「环形双编号数树问题」：用两棵公共树把环分成两段，分别在两人编号下数出两段的棵数，再加上两棵公共树。
关键切入点：取墨莫第 7、第 20 棵为 A、B。从 A 顺时针到 B（不含端点）在墨莫编号下是第 8~19 号，$19-8+1=12$ 棵；从 B 顺时针到 A（不含端点）在卡莉娅编号下是第 8~93 号，$93-8+1=86$ 棵；再加 A、B 两棵。
方法概述：两棵公共树分环为两弧，各在一套编号下计数，再加两棵公共树。
规范步骤：
  1. A→B 弧上棵数（墨莫编号 8~19）：$19-8+1=12$（弧上计数）
  2. B→A 弧上棵数（卡莉娅编号 8~93）：$93-8+1=86$（弧上计数）
  3. 加上 A、B 两棵：$2+12+86=100$（合计）
6. 【原题 ch19-chaoyue-06】小高用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去 $28$ 个棋子，使得图形变成一个三层的空心方阵。开始时小高可能摆了多少个棋子？
详细思路
是哪类问题：这是「空心方阵增层分类问题」：增加一层的 28 个棋子可放在最外层、最内层或外半圈内半圈，分三种情况，用相邻层差 8 与和差问题求原有棋子数。
关键切入点：① 28 放最外层：原外 $28-8=20$、原内 $20-8=12$，共 $20+12=32$；② 28 放最内层：原内 28、原外 $28+8=36$，共 $36+44=80$；③ 外半圈内半圈：外 L $(28+10)\div 2=19$、内 L $(28-10)\div 2=9$，原两层 $4\times(9-1)+4\times(7-1)=56$。
方法概述：增层棋子的三种放法分别用相邻层差 8 与和差问题求原棋子数。
规范步骤：
  1. ① 放最外层：原外层：$28-8=20$（相邻层差 8）
  2. ① 原内层与总数：$20-8=12,\ 20+12=32$（两层和）
  3. ② 放最内层：原外层：$28+8=36$（相邻层差 8）
  4. ② 原两层总数：$36+44=80$（两层和）
  5. ③ 半圈：外 L、内 L：$(28+10)\div 2=19,\ (28-10)\div 2=9$（和差问题）
  6. ③ 原两层总数：$4\times(9-1)+4\times(7-1)=56$（L 形折算）
7. 【原题 ch19-chaoyue-07】阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等。已知方阵最外圈一圈都是男生，往内一圈都是女生，然后是男生……如此下去直到最里面。如果男生总数比女生总数多 $52$ 人，那么共有学生多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「方阵分层男女计数」问题：一圈男一圈女配成一组，每组男比女多 8；由相差数求组数与层数，再用等差数列求总人数。
关键切入点：男比女多 52，$52=6\times 8+4$，即 6 组另余最里 4 人组成的方阵，故层数 $2\times 6+1=13$；最里 4 人、每层加 8，最外 $4+8\times 12=100$，用等差求和。
方法概述：男女各一圈配一组、每组多 8；由相差得组数与层数，等差求和求总人数。
规范步骤：
  1. 组数与余数：$52=6\times 8+4$（每组多 8、余最里方阵）
  2. 层数：$2\times 6+1=13$（组数 ×2 + 1）
  3. 最外层：$4+8\times 12=100$（最里 4、每层加 8）
  4. 总人数：$(4+100)\times 13\div 2=676$（等差求和）
第一套
题目：操场上一个实心方阵，最外圈男生、往内一圈女生，如此交替直到最里。男生总数比女生总数多 $76$ 人。一共多少名学生？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每圈男女一组多 8，余 4 人是最里层，组数 = $(76-4)\div 8$）：$(76-4)\div 8=\underline{\quad}$（组）。
  2. 第 2 步（层数 = $2\times 9+1$）：$2\times 9+1=\underline{\quad}$（层）。
  3. 第 3 步（最外层 = $4+8\times 18$）：$4+8\times 18=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（总人数 = $(4+148)\times 19\div 2$）：$(4+148)\times 19\div 2=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：一个实心方阵，最外圈红花、往内一圈黄花，如此交替。红花比黄花多 $60$ 朵。一共多少朵花？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每圈一组多 8，余 4，组数 = $(60-4)\div 8$）：$(60-4)\div 8=\underline{\quad}$（组）。
  2. 第 2 步（层数 = $2\times 7+1$）：$2\times 7+1=\underline{\quad}$（层）。
  3. 第 3 步（最外层 = $4+8\times 14$）：$4+8\times 14=\underline{\quad}$（朵）。
  4. 第 4 步（总数 = $(4+116)\times 15\div 2$）：$(4+116)\times 15\div 2=\underline{\quad}$（朵）。
第三套
题目：一个实心方阵共 $13$ 层，最里层是 $2\times 2=4$ 人，每向外一层多 8 人。最外层多少人？一共多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外层 = $4+8\times 12$）：$4+8\times 12=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（等差求和 = $(4+100)\times 13\div 2$）：$(4+100)\times 13\div 2=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一个实心方阵，最外圈男、往内一圈女交替。男比女多 $52$ 人。一共多少人？其中男、女各多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（组数 = $(52-4)\div 8$）：$(52-4)\div 8=\underline{\quad}$（组）。
  2. 第 2 步（层数 = $2\times 6+1$）：$2\times 6+1=\underline{\quad}$（层）。
  3. 第 3 步（总人数 = $(4+100)\times 13\div 2$）：$(4+100)\times 13\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（男 = (总 + 52) ÷ 2，女 = (总 − 52) ÷ 2）：$(676+52)\div 2=\underline{\quad}$，$(676-52)\div 2=\underline{\quad}$（人）。
8. 【原题 ch19-chaoyue-08】如图 $19\text{-}4$，这是一些棋子摆成的正三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”。（1）如果有一个 $5$ 层的空心三角阵，最外层每边有 $20$ 枚棋子，那么一共有多少枚棋子？（2）如果一个空心三角阵共有 $294$ 枚棋子，那么它最多有多少层？（3）如果一个空心三角阵共有 $294$ 枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？（4）已知一个空心三角阵共有 $108$ 枚棋子，如果增加 $42$ 枚棋子后可以让它增加一层，请问：如何增加这 $42$ 枚棋子？
详细思路
是哪类问题：这是「空心三角阵计数问题」：三角阵每层 = 每边 ×3 − 3、相邻层差 9；需分类讨论层数与最外层取值，并构造增补方案（难度 ★5）。
关键切入点：(1) 最外层 $20\times 3-3=57$，向内每层减 9，5 层和 $57+48+39+30+21=195$；(2) 最内尽量小时约 8 层内讨论得最多 7 层；(3) 层数尽量少时 4 层符合，最里 60、最外 $60+3\times 9=87$；(4) $108$ 为最内每边 10 的三层（各层 45、36、27），中心加一条边 7 枚、外面加两条边 35 枚，共 42 枚。
方法概述：三角阵每层 = 每边 ×3 − 3、相邻层差 9；分类讨论层数与最外层，构造增补方案。
规范步骤：
  1. (1) 最外层：$20\times 3-3=57$（每边 ×3 − 3）
  2. (1) 5 层和：$57+48+39+30+21=195$（相邻层差 9）
  3. (3) 最外层（4 层、最里 60）：$60+3\times 9=87$（层差 9）
  4. (4) 108 = 三层 45+36+27：$45+36+27=108$（每层 = 每边 ×3 − 3）
  5. (4) 增补 7 + 35：$7+35=42$（中心一条边 + 外面两条边）
9. 【原题 ch19-tuozhan-01】王老师想做一张木凳，他先把一根木头锯成 $4$ 段，用了 $12$ 分钟。如果要把另一根木头锯成 $8$ 段，需要几分钟？（假设王老师每锯断一次所花的时间相同）
详细思路
是哪类问题：这是「锯木头/分段问题」：锯成 n 段要锯 n−1 次，先求每次用时，再乘新的锯次。
关键切入点：锯成 4 段要锯 $4-1=3$ 次，$12$ 分钟平均分给 3 次，每次 $12\div 3=4$ 分；锯成 8 段要锯 $8-1=7$ 次。
方法概述：用“锯的次数 = 段数 − 1”求每次用时，再乘新的锯次。
规范步骤：
  1. 锯成 4 段的次数：$4-1=3$（次数 = 段数 − 1）
  2. 每次用时：$12\div 3=4$（总时间 ÷ 次数）
  3. 锯成 8 段的次数：$8-1=7$（次数 = 段数 − 1）
  4. 总时间：$7\times 4=28$（每次 × 次数）
第一套
题目：把一根木头锯成 $5$ 段用了 $20$ 分钟。如果把另一根木头锯成 $10$ 段，需要几分钟？（每锯断一次用时相同）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（锯成 5 段的次数 = 段数 − 1）：$5-1=\underline{\quad}$（次）。
  2. 第 2 步（每次用时）：$20\div 4=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（锯成 10 段的次数）：$10-1=\underline{\quad}$（次）。
  4. 第 4 步（总时间）：$9\times 5=\underline{\quad}$（分）。
第二套
题目：把一根布条剪成 $6$ 段用了 $25$ 分钟。如果把另一根布条剪成 $11$ 段，需要几分钟？（每剪断一次用时相同）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剪成 6 段的次数 = 段数 − 1）：$6-1=\underline{\quad}$（次）。
  2. 第 2 步（每次用时）：$25\div 5=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（剪成 11 段的次数）：$11-1=\underline{\quad}$（次）。
  4. 第 4 步（总时间）：$10\times 5=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：每锯断一次都用 $4$ 分钟。把一根木头锯成若干段共用了 $28$ 分钟，锯成了几段？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（锯的次数 = 总时间 ÷ 每次用时）：$28\div 4=\underline{\quad}$（次）。
  2. 第 2 步（段数 = 次数 + 1）：$7+1=\underline{\quad}$（段）。
第三套
题目：把一根木头锯成 $4$ 段用 $12$ 分钟。现在要把 $3$ 根同样的木头各锯成 $8$ 段，一共需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每次用时）：$12\div 3=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（每根锯成 8 段的次数）：$8-1=\underline{\quad}$（次）。
  3. 第 3 步（3 根共锯的次数）：$7\times 3=\underline{\quad}$（次）。
  4. 第 4 步（总时间）：$21\times 4=\underline{\quad}$（分）。
10. 【原题 ch19-tuozhan-02】小高和墨莫去王老师家玩，王老师住在 $15$ 层，两人同时从一楼往上走，速度都保持不变，当小高走到第 $3$ 层的时候，墨莫恰好走到了第 $5$ 层。请问：当墨莫走到王老师家的时候，小高走到了第几层？
详细思路
是哪类问题：这是「爬楼梯速度比问题」：用“段数 = 楼层数 − 1”比较两人同时间走的段数得速度比，再按比例求楼层。
关键切入点：小高到 3 层走 $3-1=2$ 段，墨莫到 5 层走 $5-1=4$ 段，同一时间墨莫走 4 段、小高走 2 段，故墨莫速度是小高的 2 倍；墨莫到 15 层走 14 段，小高走 $14\div 2=7$ 段。
方法概述：用段数比得速度比，再按比例求另一人所走段数及楼层。
规范步骤：
  1. 小高走的段数：$3-1=2$（段数 = 楼层数 − 1）
  2. 墨莫走的段数：$5-1=4$（段数 = 楼层数 − 1）
  3. 速度倍数：$4\div 2=2$（同时间段数比）
  4. 墨莫到 15 层的段数：$15-1=14$（段数 = 楼层数 − 1）
  5. 小高走的段数：$14\div 2=7$（按速度比）
  6. 小高所在楼层：$7+1=8$（楼层 = 段数 + 1）
第一套
题目：两人同时从一楼上楼，速度不变。当小高到第 $4$ 层时墨莫恰好到第 $7$ 层。当墨莫到第 $19$ 层时，小高到了第几层？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小高走的段数）：$4-1=\underline{\quad}$（段）。
  2. 第 2 步（墨莫走的段数）：$7-1=\underline{\quad}$（段）。
  3. 第 3 步（速度倍数 = 6 ÷ 3）：$6\div 3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（墨莫到 19 层的段数）：$19-1=\underline{\quad}$（段）。
  5. 第 5 步（小高走的段数 = 18 ÷ 2）：$18\div 2=\underline{\quad}$（段）。
  6. 第 6 步（小高所在楼层）：$9+1=\underline{\quad}$（层）。
第二套
题目：甲、乙同时从一楼上楼，速度不变。当甲到第 $3$ 层时乙恰好到第 $7$ 层。当乙到第 $13$ 层时，甲到了第几层？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（甲走的段数）：$3-1=\underline{\quad}$（段）。
  2. 第 2 步（乙走的段数）：$7-1=\underline{\quad}$（段）。
  3. 第 3 步（速度倍数 = 6 ÷ 2）：$6\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（乙到 13 层的段数）：$13-1=\underline{\quad}$（段）。
  5. 第 5 步（甲走的段数 = 12 ÷ 3）：$12\div 3=\underline{\quad}$（段）。
  6. 第 6 步（甲所在楼层）：$4+1=\underline{\quad}$（层）。
第三套
题目：小高到第 $3$ 层时墨莫恰好到第 $5$ 层（同时出发、速度不变）。当小高到第 $8$ 层时，墨莫到了第几层？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小高走的段数）：$8-1=\underline{\quad}$（段）。
  2. 第 2 步（墨莫走的段数 = 7 × 2）：$7\times 2=\underline{\quad}$（段）。
  3. 第 3 步（墨莫所在楼层 = 段数 + 1）：$14+1=\underline{\quad}$（层）。
第三套
题目：墨莫的速度是小高的 2 倍。墨莫从 1 层到 15 层用了 $70$ 秒。小高走同样长的时间，能走到第几层？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（墨莫走的段数）：$15-1=\underline{\quad}$（段）。
  2. 第 2 步（墨莫每段用时）：$70\div 14=\underline{\quad}$（秒）。
  3. 第 3 步（小高每段用时是 2 倍）：$5\times 2=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步（小高走的段数）：$70\div 10=\underline{\quad}$（段）。
  5. 第 5 步（小高所在楼层）：$7+1=\underline{\quad}$（层）。
11. 【原题 ch19-tuozhan-03】有一块三角形土地，三条边的长度分别为 $120$ 米、$150$ 米、$80$ 米，如果在边界上每隔 $10$ 米种一棵树，三角形的每个顶点都必须种，一共要种多少棵树？
详细思路
是哪类问题：这是「多边形边界植树问题」：先按每条边“段数 + 1”分别算棵数求和，再减去每个顶点被重复计算的次数。
关键切入点：三条边各按 $边长\div 10+1$ 算棵数得 13、16、9，共 38；三个顶点同时是相邻两边端点，各多算 1 次，减 3。
方法概述：各边“段数 + 1”求棵数之和，再减去顶点重复数（三角形减 3）。
规范步骤：
  1. $120$ 米边棵数：$120\div 10+1=13$（段数 + 1）
  2. $150$ 米边棵数：$150\div 10+1=16$（段数 + 1）
  3. $80$ 米边棵数：$80\div 10+1=9$（段数 + 1）
  4. 求和：$13+16+9=38$（三边相加）
  5. 减去 3 个重复顶点：$38-3=35$（顶点各多算 1 次）
第一套
题目：一块三角形土地三条边分别为 $150$ 米、$200$ 米、$250$ 米，在边界上每隔 $10$ 米种一棵树，三个顶点都种。一共要种多少棵树？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各边棵数 = 边长 ÷ 间距 + 1）：$150\div 10+1=\underline{\quad}$、$200\div 10+1=\underline{\quad}$、$250\div 10+1=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步（三边求和）：$16+21+26=\underline{\quad}$（棵）。
  3. 第 3 步（3 个顶点各重复 1 次，减 3）：$63-3=\underline{\quad}$（棵）。
第二套
题目：一个三角形花圃三条边分别为 $120$ 米、$160$ 米、$200$ 米，在边界上每隔 $8$ 米放一盏灯，三个顶点都放。一共要放多少盏灯？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各边灯数 = 边长 ÷ 间距 + 1）：$120\div 8+1=\underline{\quad}$、$160\div 8+1=\underline{\quad}$、$200\div 8+1=\underline{\quad}$（盏）。
  2. 第 2 步（三边求和）：$16+21+26=\underline{\quad}$（盏）。
  3. 第 3 步（3 个顶点各重复 1 次，减 3）：$63-3=\underline{\quad}$（盏）。
第三套
题目：一块长方形土地，长 $120$ 米、宽 $80$ 米，在边界上每隔 $10$ 米种一棵树，四个顶点都种。一共要种多少棵树？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各边棵数）：长边 $120\div 10+1=\underline{\quad}$、短边 $80\div 10+1=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步（四条边求和，两长两短）：$13+9+13+9=\underline{\quad}$（棵）。
  3. 第 3 步（4 个顶点各重复 1 次，减 4）：$44-4=\underline{\quad}$（棵）。
第三套
题目：一个正六边形花坛，每条边长 $100$ 米，在边界上每隔 $10$ 米种一棵树，六个顶点都种。一共要种多少棵树？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每边棵数 = 边长 ÷ 间距 + 1）：$100\div 10+1=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步（六条边求和）：$11\times 6=\underline{\quad}$（棵）。
  3. 第 3 步（6 个顶点各重复 1 次，减 6）：$66-6=\underline{\quad}$（棵）。
12. 【原题 ch19-tuozhan-04】体育课上老师让 $42$ 个同学站成一行，卡莉娅发现有一半人站在她的左边；萱萱发现自己是从右往左数的第 $12$ 个。卡莉娅和萱萱之间有多少个同学？
详细思路
是哪类问题：这是「排队求两人之间人数」问题：把两人位置都换成从同一端的序号，再用“总数 − 左段 − 右段”求中间。
关键切入点：卡莉娅左边 $42\div 2=21$ 人，故她左起第 22；萱萱右起第 12。用总数减去卡莉娅及其左边、减去萱萱及其右边即得中间。
方法概述：统一到同一端序号，中间人数 = 大序号 − 小序号 − 1（或总数 − 左段 − 右段）。
规范步骤：
  1. 卡莉娅左边人数：$42\div 2=21$（一半）
  2. 卡莉娅左起序号：$21+1=22$（左边 + 自己）
  3. 萱萱换成左起序号：$42-12+1=31$（右起转左起）
  4. 两人之间：$31-22-1=8$（大 − 小 − 1）
第一套
题目：$60$ 个同学站成一行，卡莉娅发现有一半人站在她左边；萱萱是从右往左数第 $15$ 个。卡莉娅和萱萱之间有多少个同学？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（卡左边人数 = 60 ÷ 2）：$60\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（卡是左起第几）：$30+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（萱右起第 15 换成左起）：$60-15+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（两人之间 = 大 − 小 − 1）：$46-31-1=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：$48$ 名运动员排成一行入场，小刚发现有一半人在他左边；小丽是从右往左数第 $10$ 个。小刚和小丽之间有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小刚左边人数 = 48 ÷ 2）：$48\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（小刚是左起第几）：$24+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（小丽右起第 10 换成左起）：$48-10+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（两人之间 = 大 − 小 − 1）：$39-25-1=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：$42$ 个同学站成一行，甲是左起第 $10$ 个，乙是右起第 $8$ 个。甲、乙之间有多少个同学？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乙右起第 8 换成左起）：$42-8+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（两人之间 = 大 − 小 − 1）：$35-10-1=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：$49$ 个同学站成一行，卡莉娅恰好站在正中间；萱萱是从右往左数第 $10$ 个。卡莉娅和萱萱之间有多少个同学？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（卡在正中间，左右各 $(49-1)\div 2$）：$(49-1)\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（卡是左起第几）：$24+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（萱右起第 10 换成左起）：$49-10+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（两人之间 = 大 − 小 − 1）：$40-25-1=\underline{\quad}$（人）。
13. 【原题 ch19-tuozhan-05】班里一共有 $42$ 名学生，站成一圈做游戏。现在从小高开始数，请问：（1）如果墨莫是顺时针数第 $26$ 个，萱萱是顺时针数第 $17$ 个，墨莫与萱萱之间有几名同学？（2）如果墨莫是顺时针数第 $22$ 个，萱萱是逆时针数第 $13$ 个，墨莫与萱萱之间有几名同学？（3）如果墨莫是顺时针数第 $27$ 个，萱萱是逆时针数第 $31$ 个，墨莫与萱萱之间有几名同学？
详细思路
是哪类问题：这是「环形排队求间隔人数」问题：统一编号方向后，用差或和判断两人之间的人数，注意环形上的重叠。
关键切入点：(1) 同为顺时针，直接相减减 1；(2) 一顺一逆，从萱萱顺时针到墨莫是 $22+13-1=34$，之间 = 总数 − 34；(3) 一顺一逆且 $27+31=58>42$，重叠 $58-42=16$（含小高与两人），减 3。
方法概述：同向用差、异向用和，注意环形重叠要用总数或减去起点与两端。
规范步骤：
  1. (1) 同向：$26-17-1=8$（同向差 − 1）
  2. (2) 一段人数：$22+13-1=34$（异向和 − 1）
  3. (2) 另一段：$42-34=8$（总数 − 已知段）
  4. (3) 两序号相加：$27+31=58$（重叠情形）
  5. (3) 重叠数：$58-42=16$（含起点与两人）
  6. (3) 之间：$16-3=13$（减小高与墨莫、萱萱）
第一套
题目：$50$ 名同学站成一圈，从小高开始数。（1）墨莫顺时针第 $30$、萱萱顺时针第 $12$，两人之间几名？（2）墨莫顺时针第 $25$、萱萱逆时针第 $14$，两人之间几名？（3）墨莫顺时针第 $35$、萱萱逆时针第 $28$，两人之间几名？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（1 同向：之间 = 大 − 小 − 1）：$30-12-1=\underline{\quad}$（名）。
  2. 第 2 步（2 异向：从萱萱顺时针到墨莫 = $25+14-1$）：$25+14-1=\underline{\quad}$（名），之间 = $50-38=\underline{\quad}$（名）。
  3. 第 3 步（3 异向重叠：$35+28=\underline{\quad}$ 超过 50，重叠 $63-50=\underline{\quad}$，之间 = $13-3=\underline{\quad}$（名）。
第二套
题目：$40$ 个小朋友围成一圈做游戏，从丁丁开始数。（1）冬冬顺时针第 $28$、莉莉顺时针第 $15$，两人之间几名？（2）冬冬顺时针第 $20$、莉莉逆时针第 $12$，两人之间几名？（3）冬冬顺时针第 $30$、莉莉逆时针第 $25$，两人之间几名？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（1 同向）：$28-15-1=\underline{\quad}$（名）。
  2. 第 2 步（2 异向：$20+12-1$）：$20+12-1=\underline{\quad}$，之间 $40-31=\underline{\quad}$（名）。
  3. 第 3 步（3 重叠：$30+25=\underline{\quad}$，重叠 $55-40=\underline{\quad}$，之间 $15-3=\underline{\quad}$）（名）。
第三套
题目：$42$ 人站成一圈，从同一起点数。（1）甲顺时针第 $30$、乙顺时针第 $10$，之间几人？（2）甲顺时针第 $25$、乙逆时针第 $10$（不重叠），之间几人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同向：大 − 小 − 1）：$30-10-1=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（异向：一段 = $25+10-1$）：$25+10-1=\underline{\quad}$，之间 $42-34=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：$60$ 人站成一圈，从同一起点数。墨莫顺时针第 $40$、萱萱逆时针第 $35$。求墨莫、萱萱之间的人数，以及圈上另一侧（其余）人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两序号相加）：$40+35=\underline{\quad}$（超过 60）。
  2. 第 2 步（重叠数 = 75 − 60）：$75-60=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（之间 = 重叠 − 3）：$15-3=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（另一侧 = 总数 − 两人 − 之间）：$60-2-12=\underline{\quad}$（人）。
14. 【原题 ch19-tuozhan-06】一整块大豆腐长 $40$ 厘米，宽 $20$ 厘米，厨师准备把它切成一些长 $5$ 厘米，宽 $4$ 厘米的小块，而且每次只能沿着直线切。如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？
详细思路
是哪类问题：这是「切割/分块问题」：每个方向分成若干段需切“段数 − 1”刀，两种长宽对应方式各算一次取最少。
关键切入点：$40$ 与 $20$ 都要切成 $5$ 与 $4$：切法一 $40$ 按 5（8 段 7 刀）、$20$ 按 4（5 段 4 刀）共 11 刀；切法二 $40$ 按 4、$20$ 按 5 共 12 刀，取较少。
方法概述：每方向切“段数 − 1”刀，比较两种对应方式取最少。
规范步骤：
  1. 切法一：40 按 5：$40\div 5=8,\ 8-1=7$（段数 − 1）
  2. 切法一：20 按 4：$20\div 4=5,\ 5-1=4$，共 $7+4=11$（段数 − 1）
  3. 切法二：40 按 4、20 按 5：$(10-1)+(4-1)=9+3=12$（另一种对应）
  4. 取最少：$11<12$，至少 11 刀（比较取小）
第一套
题目：一整块豆腐长 $80$ 厘米、宽 $40$ 厘米，要切成长 $10$ 厘米、宽 $5$ 厘米的小块，每次只沿直线切且不能移动豆腐。至少要切几次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（切法一：长 80 按 10）：$80\div 10=\underline{\quad}$（段），刀数 $8-1=\underline{\quad}$（刀）。
  2. 第 2 步（切法一：宽 40 按 5）：$40\div 5=\underline{\quad}$（段），刀数 $8-1=\underline{\quad}$（刀），合计 $7+7=\underline{\quad}$（刀）。
  3. 第 3 步（切法二：长 80 按 5、宽 40 按 10）：$80\div 5=\underline{\quad}$、$40\div 10=\underline{\quad}$，刀数 $(16-1)+(4-1)=\underline{\quad}$（刀）。
  4. 第 4 步（取较少）：比较 $14$ 与 $18$，至少 $\underline{\quad}$ 刀。
第二套
题目：一块蛋糕长 $60$ 厘米、宽 $24$ 厘米，要切成长 $6$ 厘米、宽 $4$ 厘米的小块，每次只沿直线切且不能移动蛋糕。至少要切几次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（切法一：长 60 按 6）：$60\div 6=\underline{\quad}$（段），刀数 $10-1=\underline{\quad}$（刀）。
  2. 第 2 步（切法一：宽 24 按 4）：$24\div 4=\underline{\quad}$（段），刀数 $6-1=\underline{\quad}$（刀），合计 $9+5=\underline{\quad}$（刀）。
  3. 第 3 步（切法二：长 60 按 4、宽 24 按 6）：$60\div 4=\underline{\quad}$、$24\div 6=\underline{\quad}$，刀数 $(15-1)+(4-1)=\underline{\quad}$（刀）。
  4. 第 4 步（取较少）：比较 $14$ 与 $17$，至少 $\underline{\quad}$ 刀。
第三套
题目：一块豆腐长 $80$ 厘米、宽 $60$ 厘米，要切成长 $10$ 厘米、宽 $5$ 厘米的小块，每次只沿直线切且不能移动。至少要切几次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（切法一：长 80 按 10）：$80\div 10=\underline{\quad}$（段），刀数 $8-1=\underline{\quad}$（刀）。
  2. 第 2 步（切法一：宽 60 按 5）：$60\div 5=\underline{\quad}$（段），刀数 $12-1=\underline{\quad}$（刀），合计 $7+11=\underline{\quad}$（刀）。
  3. 第 3 步（切法二：长 80 按 5、宽 60 按 10）：$80\div 5=\underline{\quad}$、$60\div 10=\underline{\quad}$，刀数 $(16-1)+(6-1)=\underline{\quad}$（刀）。
  4. 第 4 步（取较少）：比较 $18$ 与 $20$，至少 $\underline{\quad}$ 刀。
第三套
题目：一块豆腐长 $80$ 厘米、宽 $40$ 厘米，要切成长 $10$ 厘米、宽 $5$ 厘米的小块，每次只沿直线切且不能移动。至少要切几次？一共能切出多少小块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（切法一刀数）：长 $80\div 10=\underline{\quad}$ 段、宽 $40\div 5=\underline{\quad}$ 段，刀数 $(8-1)+(8-1)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（切法二刀数）：$(80\div 5-1)+(40\div 10-1)=(16-1)+(4-1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取最少）：至少 $\underline{\quad}$ 刀。
  4. 第 4 步（小块总数 = 段数 × 段数）：$8\times 8=\underline{\quad}$（块）。
15. 【原题 ch19-tuozhan-07】若干名同学站成一个 $15\times 15$ 的实心方阵。请问：最外层一共有多少名同学？这个方阵一共有多少层？从里向外算起的第七层有多少名同学？
详细思路
是哪类问题：这是「实心方阵分层计数」问题：每层用“每边 ×4 − 4”计数，奇数方阵各层每边依次减 2 直到最里层为 1。
关键切入点：最外层 $15\times 4-4=56$；每边依次 15、13、…、1 共 8 层；里向外第七层就是外向里第二层，每边 13。
方法概述：每层 = 每边 ×4 − 4；奇阵层数 = (每边 + 1) ÷ 2。
规范步骤：
  1. 最外层：$15\times 4-4=56$（每边 ×4 − 4）
  2. 层数：$(15+1)\div 2=8$（每边依次减 2 到 1）
  3. 里向外第七层（= 外向里第二层）：$13\times 4-4=48$（每边 13）
第一套
题目：若干名同学站成一个 $21\times 21$ 的实心方阵。最外层多少名？一共多少层？从里向外第七层多少名？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外层 = $21\times 4-4$）：$21\times 4-4=\underline{\quad}$（名）。
  2. 第 2 步（层数 = $(21+1)\div 2$）：$(21+1)\div 2=\underline{\quad}$（层）。
  3. 第 3 步（里向外第七层每边 13，= $13\times 4-4$）：$13\times 4-4=\underline{\quad}$（名）。
第二套
题目：一些棋子摆成一个 $17\times 17$ 的实心方阵。最外层多少枚？一共多少层？从里向外第七层多少枚？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外层 = $17\times 4-4$）：$17\times 4-4=\underline{\quad}$（枚）。
  2. 第 2 步（层数 = $(17+1)\div 2$）：$(17+1)\div 2=\underline{\quad}$（层）。
  3. 第 3 步（里向外第七层每边 13，= $13\times 4-4$）：$13\times 4-4=\underline{\quad}$（枚）。
第三套
题目：若干人站成一个 $20\times 20$ 的实心方阵。最外层多少人？一共多少层？从外向里第五层多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外层 = $20\times 4-4$）：$20\times 4-4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（偶阵层数 = $20\div 2$）：$20\div 2=\underline{\quad}$（层）。
  3. 第 3 步（外向里第五层每边 12，= $12\times 4-4$）：$12\times 4-4=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一个实心方阵最外层有 $80$ 人。它每边多少人？一共多少层？一共多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每边 = $(80+4)\div 4$）：$(80+4)\div 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（层数 = $(21+1)\div 2$）：$(21+1)\div 2=\underline{\quad}$（层）。
  3. 第 3 步（总人数 = $21\times 21$）：$21\times 21=\underline{\quad}$（人）。
16. 【原题 ch19-tuozhan-08】一个实心方阵，最外层一共有 $20$ 人。请问：（1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？（2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「方阵扩充问题」：用“最外层 = 每边 ×4 − 4”反求每边；扩大方阵的增量是相邻平方数之差；外加一层比原外层多 8。
关键切入点：最外层 20 人 → 每边 $(20+4)\div 4=6$，总 $6\times 6=36$；变 $7\times 7$ 增 $49-36=13$；外加一层比原外层多 8，即 $20+8=28$。
方法概述：反求每边→算总数；扩大用平方差；外加一层 = 原外层 + 8。
规范步骤：
  1. 每边人数：$(20+4)\div 4=6$（反求每边）
  2. 总人数：$6\times 6=36$（每边平方）
  3. 扩成 7×7 的增量：$7\times 7-6\times 6=13$（平方差）
  4. 外加一层：$20+8=28$（比原外层多 8）
第一套
题目：一个实心方阵最外层有 $44$ 人。（1）每边多少人？共多少人？（2）扩成更大方阵至少增加多少人？（3）外加一层要增加多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每边 = $(44+4)\div 4$）：$(44+4)\div 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（总人数 = $12\times 12$）：$12\times 12=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（扩成 $13\times 13$ 的增量 = $13\times 13-12\times 12$）：$13\times 13-12\times 12=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（外加一层 = 原外层 + 8）：$44+8=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：一些花摆成实心方阵，最外层有 $36$ 盆。（1）每边多少盆？共多少盆？（2）扩成更大方阵至少增加多少盆？（3）外加一层要增加多少盆？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每边 = $(36+4)\div 4$）：$(36+4)\div 4=\underline{\quad}$（盆）。
  2. 第 2 步（总数 = $10\times 10$）：$10\times 10=\underline{\quad}$（盆）。
  3. 第 3 步（扩成 $11\times 11$ 增量）：$11\times 11-10\times 10=\underline{\quad}$（盆）。
  4. 第 4 步（外加一层 = 原外层 + 8）：$36+8=\underline{\quad}$（盆）。
第三套
题目：一个实心方阵每边 $8$ 人。最外层多少人？一共多少人？如果缩小成 $6\times 6$，要减少多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外层 = $8\times 4-4$）：$8\times 4-4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（总人数 = $8\times 8$）：$8\times 8=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（缩成 $6\times 6$ 减少 = $64-36$）：$64-36=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一个实心方阵最外层有 $44$ 人。（1）每边多少人？共多少人？（2）若去掉一行一列（即去掉一个 L 形），要减少多少人？剩下多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每边 = $(44+4)\div 4$）：$(44+4)\div 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（总人数 = $12\times 12$）：$12\times 12=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（去一行一列是 L 形，人数 = 每边 ×2 − 1）：$12\times 2-1=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（剩下人数）：$144-23=\underline{\quad}$（人）。
17. 【原题 ch19-tuozhan-09】一个实心方阵，最外层共有 $44$ 人。请问：（1）这个方阵共有多少人？（2）要让这个方阵减少一行一列，一共要减少多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「方阵缩减问题」：用“最外层 = 每边 ×4 − 4”反求每边；减一行一列是去掉 L 形，人数为“每边 ×2 − 1”。
关键切入点：最外层 44 → 每边 $(44+4)\div 4=12$，总 $12\times 12=144$；去掉一行一列的 L 形，用 $12\times 2$ 会把拐角多算一次，故减 1。
方法概述：反求每边→算总数；L 形人数 = 每边 ×2 − 1。
规范步骤：
  1. 每边人数：$(44+4)\div 4=12$（反求每边）
  2. 总人数：$12\times 12=144$（每边平方）
  3. 去 L 形（减一行一列）：$12\times 2-1=23$（拐角减 1）
第一套
题目：一个实心方阵最外层共有 $60$ 人。（1）这个方阵共多少人？（2）减少一行一列一共要减少多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每边 = $(60+4)\div 4$）：$(60+4)\div 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（总人数 = $16\times 16$）：$16\times 16=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（去 L 形 = 每边 ×2 − 1）：$16\times 2-1=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：一些瓷砖铺成实心方阵，最外层共有 $52$ 块。（1）这个方阵共多少块？（2）减少一行一列一共要减少多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每边 = $(52+4)\div 4$）：$(52+4)\div 4=\underline{\quad}$（块）。
  2. 第 2 步（总块数 = $14\times 14$）：$14\times 14=\underline{\quad}$（块）。
  3. 第 3 步（去 L 形 = 每边 ×2 − 1）：$14\times 2-1=\underline{\quad}$（块）。
第三套
题目：一个实心方阵最外层有 $44$ 人。如果给它加一行一列（增加一个 L 形），要增加多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原每边 = $(44+4)\div 4$）：$(44+4)\div 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（加一行一列后每边）：$12+1=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（增加的 L 形 = 新每边 ×2 − 1）：$13\times 2-1=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一个实心方阵最外层有 $44$ 人。如果连续减去两行两列（去掉两个 L 形），一共要减少多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每边 = $(44+4)\div 4$）：$(44+4)\div 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（去第一个 L 形，每边 12）：$12\times 2-1=\underline{\quad}$（人），余每边 11。
  3. 第 3 步（去第二个 L 形，每边 11）：$11\times 2-1=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（两次共减）：$23+21=\underline{\quad}$（人）。
18. 【原题 ch19-tuozhan-10】红领巾小学三年级有 $120$ 个学生，他们排成一个三层的空心方阵。请问：（1）这个方阵最外层每边有多少个学生？（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个学生？（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个学生？
详细思路
是哪类问题：这是「空心方阵分层问题」：各层人数成公差为 8 的等差数列，中间层 = 总数 ÷ 层数，再向外、向内逐层加减 8。
关键切入点：三层总数 120，中间层 $120\div 3=40$；最里 $40-8=32$、最外 $40+8=48$；最外每边 $48\div 4+1=13$。
方法概述：空心方阵相邻层差 8，中间层 = 总数 ÷ 层数，外加一层再多 8、内加一层再少 8。
规范步骤：
  1. 中间层：$120\div 3=40$（总数 ÷ 层数）
  2. 最里层：$40-8=32$（比中间少 8）
  3. 最外层：$40+8=48$（比中间多 8）
  4. 最外每边：$48\div 4+1=13$（每边人数）
  5. 外加一层：$48+8=56$（比原外层多 8）
  6. 内加一层：$32-8=24$（比原里层少 8）
第一套
题目：$200$ 个学生排成一个五层的空心方阵。（1）最外层每边多少人？（2）在外面加一层变六层，要增加几人？（3）在内部再加一层变七层，还要增加几人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（五层中间层 = 总数 ÷ 5）：$200\div 5=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（最外层 = 中间 + 2×8）：$40+8+8=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（最外层每边 = 最外 ÷ 4 + 1）：$56\div 4+1=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（外加一层 = 最外 + 8）：$56+8=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（最里层 = 中间 − 2×8 = $40-8-8=\underline{\quad}$，内加一层 = 最里 − 8 = $24-8=\underline{\quad}$）。
第二套
题目：$180$ 盆花摆成一个三层的空心方阵。（1）最外层每边多少盆？（2）外面加一层要增加几盆？（3）内部再加一层还要增加几盆？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中间层 = 180 ÷ 3）：$180\div 3=\underline{\quad}$（盆）。
  2. 第 2 步（最外层 = 中间 + 8）：$60+8=\underline{\quad}$（盆）。
  3. 第 3 步（最外每边 = 68 ÷ 4 + 1）：$68\div 4+1=\underline{\quad}$（盆）。
  4. 第 4 步（外加一层 = 68 + 8）：$68+8=\underline{\quad}$（盆）。
  5. 第 5 步（最里 = 60 − 8 = $60-8=\underline{\quad}$，内加 = 52 − 8 = $52-8=\underline{\quad}$）。
第三套
题目：一个三层空心方阵，最外层每边有 $13$ 人。最外层多少人？中间层、最里层各多少人？一共多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外层人数 = (每边 − 1) × 4）：$(13-1)\times 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（中间层 = 最外 − 8）：$48-8=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（最里层 = 中间 − 8）：$40-8=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（三层总人数）：$48+40+32=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一个四层空心方阵，最外层每边有 $15$ 人。这个方阵一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外层 = (15 − 1) × 4）：$(15-1)\times 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（相邻层差 8，四层依次 56、48、40、32，最里 = $56-8-8-8$）：$56-8-8-8=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（等差求和 = (最外 + 最里) × 层数 ÷ 2）：$(56+32)\times 4\div 2=\underline{\quad}$（人）。
19. 【原题 ch19-tuozhan-11】用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺一块正方形墙面：由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖……依次铺下去，一共用了 $400$ 块瓷砖。请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？
详细思路
是哪类问题：这是「方阵着色相差问题」：把方阵分层，相邻两层（红、绿各一）配成一组，每组红比绿多 8，再乘组数。
关键切入点：$400=20\times 20$，共 $20\div 2=10$ 层；从外往里相邻两层一组，共 5 组，每组红比绿多 8。
方法概述：分层配对，每组多 8，红多的总数 = 组数 ×8。
规范步骤：
  1. 确定方阵与层数：$20\times 20=400,\ 20\div 2=10$（边长与层数）
  2. 分组：$10\div 2=5$（相邻两层一组）
  3. 红比绿多：$5\times 8=40$（每组多 8）
第一套
题目：用红、绿两色瓷砖铺一块正方形墙面，最外层红、次层绿……交替铺，共用 $1600$ 块瓷砖。哪种颜色更多？相差多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$40\times 40=1600$，层数 = $40\div 2$）：$40\div 2=\underline{\quad}$（层）。
  2. 第 2 步（相邻红绿两层一组，组数 = $20\div 2$）：$20\div 2=\underline{\quad}$（组）。
  3. 第 3 步（每组红比绿多 8，共多）：$10\times 8=\underline{\quad}$（块）。
第二套
题目：用黑、白两色地砖铺一块正方形地面，最外层黑、次层白……交替铺，共用 $1296$ 块地砖。哪种颜色更多？相差多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$36\times 36=1296$，层数 = $36\div 2$）：$36\div 2=\underline{\quad}$（层）。
  2. 第 2 步（相邻两层一组，组数 = $18\div 2$）：$18\div 2=\underline{\quad}$（组）。
  3. 第 3 步（每组黑比白多 8，共多）：$9\times 8=\underline{\quad}$（块）。
第三套
题目：用红、绿两色瓷砖交替铺一块正方形墙面（最外层红），共用 $576$ 块。哪种更多？相差多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$24\times 24=576$，层数 = $24\div 2$）：$24\div 2=\underline{\quad}$（层）。
  2. 第 2 步（相邻两层一组，组数 = $12\div 2$）：$12\div 2=\underline{\quad}$（组）。
  3. 第 3 步（每组红比绿多 8，共多）：$6\times 8=\underline{\quad}$（块）。
第三套
题目：用红、绿两色瓷砖交替铺一块 $20\times 20$ 的正方形墙面，最外层是红色。红色瓷砖一共有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（红层从外到里每边 20、16、12、8、4，人数 = 每边 ×4 − 4）：$20\times 4-4=\underline{\quad}$（最外红层）。
  2. 第 2 步（其余红层）：$16\times 4-4=\underline{\quad}$、$12\times 4-4=\underline{\quad}$、$8\times 4-4=\underline{\quad}$、$4\times 4-4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（红色总数）：$76+60+44+28+12=\underline{\quad}$（块）。
20. 【原题 ch19-tuozhan-12】王老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了 $6$ 棵树苗；后来又运来了 $34$ 棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵。那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？
详细思路
是哪类问题：这是「方阵扩充与平方差问题」：把扩充的树苗按围一层（L 形）或多层分类；或设边长用 $(a+b)(a-b)=40$ 配对求解，答案有两种。
关键切入点：由小方阵扩到大方阵共用 $6+34=40$ 棵。围一层：每边 $40\div 4+1=11$；围两层：两层依相邻差 8 得 $(40+8)\div 2=24$、$(40-8)\div 2=16$，对应大方阵每边 7；三层及以上不成立。
方法概述：扩充量按围一层/两层分类；或用平方差 $(a+b)(a-b)=40$ 配对，得每边 11 或 7。
规范步骤：
  1. 扩充总量：$6+34=40$（小变大共用树苗）
  2. 围一层：每边：$40\div 4+1=11$（一层每边）
  3. 围两层：两层人数：$(40+8)\div 2=24,\ (40-8)\div 2=16$（相邻层差 8）
  4. 两层对应大方阵每边为 7（由 $7\times7-3\times3=40$ 验证）：$7\times 7-3\times 3=40$（平方差）
  5. 围一层对应 $11\times11-9\times9=40$：$11\times 11-9\times 9=40$（平方差）
21. 【原题 ch19-tuozhan-13】如图 $19\text{-}1$，一块绿草地由 $3$ 块相同的等边三角形草地和一个水池构成。要在草地与草地的公共点处种上花（即图中的 $A$、$B$、$C$ 点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有 $10$ 朵花。请问：整个绿草地一共要种多少朵花？
详细思路
是哪类问题：这是「三角阵列计数与去重」问题：每片三角点阵的花数用 $1+2+\cdots+10$ 求和，三片相加后减去公共顶点重复计算的部分。
关键切入点：每片每边 10 朵，点数 $1+2+\cdots+10=55$；三片共 $55\times 3=165$；三个公共点各被两片各算一次、多算 1 次，减 3。
方法概述：三角点阵每边 n 朵共 $n(n+1)\div 2$；三片相加减去 3 个公共顶点。
规范步骤：
  1. 每片点数：$1+2+\cdots+10=55$（三角点阵求和）
  2. 三片相加：$55\times 3=165$（三片）
  3. 减去公共点：$165-3=162$（三点各多算 1）
第一套
题目：$3$ 块相同的等边三角形草地两两在一个公共点相接（共 3 个公共点），每块草地上花朵排成三角形点阵，每块最外层每边有 $12$ 朵花。整个绿草地一共要种多少朵花？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每片点数 = $1+2+\cdots+12=(1+12)\times 12\div 2$）：$(1+12)\times 12\div 2=\underline{\quad}$（朵）。
  2. 第 2 步（三片相加）：$78\times 3=\underline{\quad}$（朵）。
  3. 第 3 步（3 个公共点各多算 1 次，减 3）：$234-3=\underline{\quad}$（朵）。
第二套
题目：$3$ 块相同的三角形花坛两两在一个公共点相接（共 3 个公共点），每块花坛上花排成三角形点阵，每块最外层每边有 $11$ 朵。一共要种多少朵花？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每片点数 = $(1+11)\times 11\div 2$）：$(1+11)\times 11\div 2=\underline{\quad}$（朵）。
  2. 第 2 步（三片相加）：$66\times 3=\underline{\quad}$（朵）。
  3. 第 3 步（3 个公共点减 3）：$198-3=\underline{\quad}$（朵）。
第三套
题目：一个实心三角形点阵，最外层每边有 $20$ 枚棋子。这个点阵一共有多少枚棋子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三角点阵 = $1+2+\cdots+20=(1+20)\times 20\div 2$）：$(1+20)\times 20\div 2=\underline{\quad}$（枚）。
第三套
题目：$3$ 块相同的三角形草地两两在一个公共点相接（共 3 个公共点），每块草地上的花只排在三角形的边界上（空心三角点阵），每块最外层每边有 $10$ 朵。一共要种多少朵花？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（空心三角点阵每边 10，每片 = 每边 ×3 − 3）：$10\times 3-3=\underline{\quad}$（朵）。
  2. 第 2 步（三片相加）：$27\times 3=\underline{\quad}$（朵）。
  3. 第 3 步（3 个公共点减 3）：$81-3=\underline{\quad}$（朵）。
22. 【原题 ch19-tuozhan-14】有 $10\,000$ 人参加国庆节游行庆祝活动，这些人被平均分成 $25$ 队，每队以 $20$ 人为一排，前进过程中，排与排之间相隔 $1$ 米，队与队之间相隔 $6$ 米。那么这支游行队伍的长度是多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「队列/游行长度问题」：先求每个方阵自身长度（排间隔），再加各方阵之间的间隔距离，注意间隔数比个数少 1。
关键切入点：$10000\div 25=400$ 人每队正好一个方阵；每队 20 排，$20-1=19$ 个排间隔各 1 米，方阵长 19 米；25 个方阵有 24 个队间隔各 6 米。
方法概述：队伍总长 = 每方阵长 × 队数 + 队距 × 队间隔数。
规范步骤：
  1. 每队人数：$10000\div 25=400$（平均分）
  2. 每队排间隔：$20-1=19$（间隔 = 排数 − 1）
  3. 每方阵长：$19\times 1=19$（排间隔 × 排距）
  4. 总长：$19\times 25+6\times 24=619$（方阵 + 队距）
第一套
题目：$8000$ 人分成 $20$ 队，每队以 $25$ 人为一排。排与排相隔 $1$ 米，队与队相隔 $8$ 米。这支队伍长多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每队人数）：$8000\div 20=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（每队长 = (排数 − 1) × 排距）：$(25-1)\times 1=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（20 队有 19 个队间隔，总长 = 每队长 × 队数 + 队距 × 间隔）：$24\times 20+8\times 19=\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：花车巡游共 $30$ 队，每队 $20$ 排。排与排相隔 $2$ 米，队与队相隔 $5$ 米。这支巡游队伍长多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每队长 = (20 − 1) × 2）：$(20-1)\times 2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（30 队有 29 个队间隔，总长）：$38\times 30+5\times 29=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：$3$ 个方阵排成一列前进，每个方阵有 $25$ 排、排距 $1$ 米，相邻两个方阵相隔 $6$ 米。这列队伍长多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每方阵长 = (排数 − 1) × 排距）：$(25-1)\times 1=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（3 个方阵有 2 个间隔，总长）：$24\times 3+6\times 2=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：$25$ 个方阵排成一列，每个方阵 $20$ 排、排距 $1$ 米，全队总长 $619$ 米。相邻两个方阵之间的间隔（队距）是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每方阵长 = (20 − 1) × 1）：$(20-1)\times 1=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（25 个方阵总长）：$19\times 25=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（队间隔总长 = 619 − 475）：$619-475=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（队距 = 144 ÷ 24 个间隔）：$144\div 24=\underline{\quad}$（米）。
23. 【原题 ch19-xingqu-01】在长为 $10$ 米的小桥一侧每隔 $1$ 米插一面彩旗，小桥两端都要有彩旗。一共需要多少面彩旗？
详细思路
是哪类问题：这是「两端都种的植树问题」：在一段直线上等间隔插旗，两端都要有，旗数比间隔数多 1。
关键切入点：先把全长按间距分段得到间隔数 $10\div 1=10$；因为两端都插旗，端点比中间多出一个，所以旗数 = 间隔数 + 1。
方法概述：先算间隔数 = 全长 ÷ 间距，再用“旗数 = 间隔数 + 1”。
规范步骤：
  1. 算间隔数：$10\div 1=10$（全长 ÷ 间距）
  2. 两端都插，旗数 = 间隔数 + 1：$10+1=11$（端点比间隔多 1）
第一套
题目：在长为 $60$ 米的小桥一侧每隔 $2$ 米插一面彩旗，小桥两端都要有彩旗。一共需要多少面彩旗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算间隔数）：间隔数 = 全长 ÷ 间距，$60\div 2=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（两端都插，旗数 = 间隔数 + 1）：$30+1=\underline{\quad}$（面）。
第二套
题目：一条长 $80$ 米的走廊一侧每隔 $4$ 米摆一盆花，走廊两端都要摆。一共需要多少盆花？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算间隔数）：间隔数 = 全长 ÷ 间距，$80\div 4=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（两端都摆，盆数 = 间隔数 + 1）：$20+1=\underline{\quad}$（盆）。
第三套
题目：一座桥两端都插了彩旗，一共插了 $21$ 面，相邻两面彩旗间隔 $2$ 米。这座桥长多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两端都插，间隔数 = 旗数 − 1）：$21-1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（全长 = 间隔数 × 间距）：$20\times 2=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：在长为 $100$ 米的小桥两侧每隔 $5$ 米各插一面彩旗，小桥两端都要有彩旗。一共需要多少面彩旗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算每侧间隔数）：$100\div 5=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（每侧两端都插，旗数 = 间隔数 + 1）：$20+1=\underline{\quad}$（面）。
  3. 第 3 步（两侧都插，×2）：$21\times 2=\underline{\quad}$（面）。
24. 【原题 ch19-xingqu-02】$10$ 名学生从左至右站成一排，相邻两名学生的间隔都是 $1$ 米。请问：排头和排尾的距离是多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「排队间隔问题」：一排人之间的间隔数比人数少 1，首尾距离 = 间隔数 × 每段长。
关键切入点：$10$ 人排一排，两人之间的空当有 $10-1=9$ 个，每个间隔 $1$ 米，故排头到排尾就是 $9$ 段。
方法概述：用“间隔数 = 人数 − 1”求间隔个数，再乘每个间隔长。
规范步骤：
  1. 算间隔数：$10-1=9$（间隔数 = 人数 − 1）
  2. 首尾距离 = 间隔数 × 每段长：$9\times 1=9$（每段 1 米）
第一套
题目：$25$ 名学生从左至右站成一排，相邻两名学生的间隔都是 $2$ 米。排头和排尾的距离是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间隔数 = 人数 − 1）：$25-1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（距离 = 间隔数 × 每段长）：$24\times 2=\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：一条路边等距立着 $30$ 根电线杆，相邻两根间隔都是 $50$ 米。第一根到最后一根相距多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间隔数 = 根数 − 1）：$30-1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（距离 = 间隔数 × 每段长）：$29\times 50=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一排学生站成一行，排头到排尾相距 $48$ 米，相邻两人间隔 $2$ 米。这一排一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间隔数 = 距离 ÷ 每段长）：$48\div 2=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（人数 = 间隔数 + 1）：$24+1=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：$25$ 名学生间隔 $2$ 米，先站成一排、再围成一圈。分别求：排成一排时排头到排尾的距离；围成一圈时这一圈的总长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（直线：间隔数 = 人数 − 1）：$25-1=\underline{\quad}$，首尾距离 $24\times 2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（环形：间隔数 = 人数）：一圈总长 $25\times 2=\underline{\quad}$（米）。
25. 【原题 ch19-xingqu-03】社区门口有一条长为 $100$ 米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔 $10$ 米种一棵，而且马路的两端都要种。一共需要种多少棵树？
详细思路
是哪类问题：这是「两端都种的植树问题」：先算间隔数，两端都种则棵数比间隔数多 1。
关键切入点：全长 $100$ 米、间距 $10$ 米，故有 $100\div 10=10$ 个间隔；两端都种，棵数 = 间隔数 + 1。
方法概述：先算间隔数 = 总长 ÷ 间距，再用“棵数 = 间隔数 + 1”。
规范步骤：
  1. 算间隔数：$100\div 10=10$（总长 ÷ 间距）
  2. 两端都种，棵数 = 间隔数 + 1：$10+1=11$（端点多 1）
第一套
题目：一条长为 $400$ 米的马路一侧种树，每隔 $20$ 米种一棵，两端都要种。一共需要种多少棵树？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算间隔数）：$400\div 20=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（两端都种，棵数 = 间隔数 + 1）：$20+1=\underline{\quad}$（棵）。
第二套
题目：一条长 $300$ 米的栏杆每隔 $15$ 米立一根柱子，两端都要立。一共需要立多少根柱子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算间隔数）：$300\div 15=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（两端都立，柱数 = 间隔数 + 1）：$20+1=\underline{\quad}$（根）。
第三套
题目：一条路两端都种树，一共种了 $21$ 棵，相邻两棵间距 $20$ 米。这条路长多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间隔数 = 棵数 − 1）：$21-1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（路长 = 间隔数 × 间距）：$20\times 20=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一条长 $400$ 米的马路一侧每隔 $20$ 米种一棵树。分别求：一端是路口不种、只有另一端种时的棵数；两端都种时的棵数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算间隔数）：$400\div 20=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（一端种，棵数 = 间隔数）：共 $\underline{\quad}$ 棵。
  3. 第 3 步（两端都种，棵数 = 间隔数 + 1）：$20+1=\underline{\quad}$（棵）。
26. 【原题 ch19-xingqu-04】学校门前有条长 $100$ 米的马路，马路两侧一共种了 $42$ 棵树，每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且马路的两端都种了。请问：相邻两棵树之间的距离是多大？
详细思路
是哪类问题：这是「两侧种树、已知棵数求间距」问题：先求每侧棵数，再由棵数得间隔数，最后总长 ÷ 间隔数得间距。
关键切入点：两侧共 $42$ 棵，每侧 $42\div 2=21$ 棵；两端都种则每侧间隔数 = 棵数 − 1 = 20；$100$ 米被分成 $20$ 段，间距 = 总长 ÷ 段数。
方法概述：先求每侧棵数，再由“间隔数 = 棵数 − 1”得段数，最后用总长除以段数。
规范步骤：
  1. 每侧棵数：$42\div 2=21$（两侧平分）
  2. 每侧间隔数：$21-1=20$（间隔数 = 棵数 − 1）
  3. 间距 = 总长 ÷ 段数：$100\div 20=5$（平均分段）
第一套
题目：一条长 $300$ 米的马路两侧一共种了 $62$ 棵树，每侧相邻两棵距离相等，两端都种。相邻两棵树之间的距离是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每侧棵数）：$62\div 2=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步（每侧间隔数 = 棵数 − 1）：$31-1=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（间距 = 总长 ÷ 段数）：$300\div 30=\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：一条长 $240$ 米的步道两侧一共安装了 $50$ 盏灯，每侧相邻两灯距离相等，两端都装。相邻两盏灯之间的距离是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每侧灯数）：$50\div 2=\underline{\quad}$（盏）。
  2. 第 2 步（每侧间隔数 = 灯数 − 1）：$25-1=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（间距 = 总长 ÷ 段数）：$240\div 24=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一条长 $100$ 米的马路一侧种了 $21$ 棵树，相邻两棵距离相等，两端都种。相邻两棵树之间的距离是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间隔数 = 棵数 − 1）：$21-1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（间距 = 总长 ÷ 段数）：$100\div 20=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一条马路两侧一共种了 $82$ 棵树，每侧相邻两棵距离都是 $5$ 米，两端都种。这条马路长多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每侧棵数）：$82\div 2=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步（每侧间隔数 = 棵数 − 1）：$41-1=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（路长 = 段数 × 间距）：$40\times 5=\underline{\quad}$（米）。
27. 【原题 ch19-xingqu-05】萱萱上楼，从第一层走到第三层需要上 $36$ 级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么萱萱从第一层走到第六层一共需要上多少级台阶？
详细思路
是哪类问题：这是「爬楼梯问题」：楼层之间的“段数”比楼层数少 1，各层台阶相同，用每段台阶数乘新的段数。
关键切入点：从第 1 层到第 3 层走了 $3-1=2$ 段，共 $36$ 级，每段 $36\div 2=18$ 级；到第 6 层走 $6-1=5$ 段。
方法概述：用“段数 = 楼层数 − 1”求每段台阶数，再乘新的段数。
规范步骤：
  1. 第 1→3 层的段数：$3-1=2$（段数 = 楼层数 − 1）
  2. 每段台阶数：$36\div 2=18$（总数 ÷ 段数）
  3. 第 1→6 层的段数：$6-1=5$（段数 = 楼层数 − 1）
  4. 总台阶数：$18\times 5=90$（每段 × 段数）
第一套
题目：从第一层走到第四层需要上 $60$ 级台阶，各层楼之间的台阶数相同。从第一层走到第九层一共需要上多少级台阶？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1→4 层段数 = 楼层数 − 1）：$4-1=\underline{\quad}$（段）。
  2. 第 2 步（每段台阶数）：$60\div 3=\underline{\quad}$（级）。
  3. 第 3 步（第 1→9 层段数）：$9-1=\underline{\quad}$（段）。
  4. 第 4 步（总台阶数）：$20\times 8=\underline{\quad}$（级）。
第二套
题目：一座塔楼从第一层登到第三层要走 $48$ 级台阶，各层之间台阶数相同。从第一层登到第七层一共要走多少级台阶？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1→3 层段数）：$3-1=\underline{\quad}$（段）。
  2. 第 2 步（每段台阶数）：$48\div 2=\underline{\quad}$（级）。
  3. 第 3 步（第 1→7 层段数）：$7-1=\underline{\quad}$（段）。
  4. 第 4 步（总台阶数）：$24\times 6=\underline{\quad}$（级）。
第三套
题目：各层楼之间台阶数相同，从第一层走到第五层一共走了 $80$ 级台阶。从第一层走到第八层要走多少级台阶？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1→5 层段数）：$5-1=\underline{\quad}$（段）。
  2. 第 2 步（每段台阶数）：$80\div 4=\underline{\quad}$（级）。
  3. 第 3 步（第 1→8 层段数）：$8-1=\underline{\quad}$（段）。
  4. 第 4 步（总台阶数）：$20\times 7=\underline{\quad}$（级）。
第三套
题目：某楼各层台阶数相同，从第一层到第三层共 $36$ 级。小明从一层往上一共走了 $126$ 级台阶，他走到了第几层？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每段台阶数）：$36\div 2=\underline{\quad}$（级）。
  2. 第 2 步（走了几段）：$126\div 18=\underline{\quad}$（段）。
  3. 第 3 步（楼层 = 段数 + 1）：$7+1=\underline{\quad}$（层）。
28. 【原题 ch19-xingqu-06】学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排，请问：（1）萱萱和女生站成一排，她发现自己的左侧有 $7$ 人，右侧有 $8$ 人，女生一共有多少人？（2）墨莫和男生站成一排，他发现自己是左起第 $7$ 个，右起第 $9$ 个，男生一共有多少人？（3）小高也在男生队伍里，他是左起第 $4$ 个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？
详细思路
是哪类问题：这是「排队报数求总数/位置」问题：数两侧人数时，要判断自己是被遗漏（+1）还是被重复（−1）。
关键切入点：(1) 左 7 右 8 都没算自己，$8+7$ 后要 +1；(2) 左起、右起序号都数到自己，$7+9$ 把自己算了两次，要 −1；(3) 右侧 = 总数 − 左起序号，右起序号 = 右侧人数 + 1。
方法概述：两侧人数相加后 +1（遗漏）或 −1（重复）；已知总数与一端序号可推另一端。
规范步骤：
  1. (1) 两侧 + 自己：$8+7+1=16$（自己被遗漏 +1）
  2. (2) 两序号 − 重复：$7+9-1=15$（自己被重复 −1）
  3. (3) 右侧人数：$15-4=11$（总数 − 左起序号）
  4. (3) 右起序号：$11+1=12$（右侧人数 + 1）
第一套
题目：（1）萱萱和女生站一排，左侧有 $12$ 人、右侧有 $15$ 人，女生一共多少人？（2）墨莫和男生站一排，他左起第 $10$ 个、右起第 $12$ 个，男生一共多少人？（3）小高在这队男生里是左起第 $5$ 个，他右侧有几人？右起第几人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（1：两侧都没算自己，+1）：$12+15+1=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（2：左右序号都数到自己，−1）：$10+12-1=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（3：右侧 = 总数 − 左起序号）：$21-5=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（3：右起序号 = 右侧人数 + 1）：$16+1=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：一队小朋友排成一行。（1）红红左侧有 $9$ 人、右侧有 $10$ 人，这一队共几人？（2）明明左起第 $8$、右起第 $11$，这一队共几人？（3）亮亮左起第 $6$，他右侧有几人？右起第几人？（第 3 问用第 2 问的总人数）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（1：两侧 + 自己）：$9+10+1=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（2：两序号 − 重复）：$8+11-1=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（3：右侧 = 总数 − 左起序号）：$18-6=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（3：右起序号 = 右侧 + 1）：$12+1=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：（1）第一队里有人两侧各有 $20$ 人和 $19$ 人（都不含自己），这队几人？（2）第二队里有人是左起第 $13$、右起第 $16$，这队几人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（遗漏型：两侧 + 自己）：$20+19+1=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（重复型：两序号 − 自己）：$13+16-1=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一排共 $30$ 人，甲是左起第 $8$ 个，乙是右起第 $10$ 个。甲、乙之间有几个人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把右起序号换成左起）：右起第 $10$ = 左起第 $30-10+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（两人之间 = 大序号 − 小序号 − 1）：$21-8-1=\underline{\quad}$（人）。
29. 【原题 ch19-xingqu-07】学校运动会闭幕式结束后，班长萱萱让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍中）。她从左往右数，发现墨莫是第 $25$ 个；然后她又从右往左数，发现小高正好是第 $29$ 个。如果队伍里一共有 $31$ 个人，那么墨莫和小高之间有几个人？
详细思路
是哪类问题：这是「两端报数求中间人数」问题：两次计数之和超出总人数的部分就是被数重的人，其中包含两个端点。
关键切入点：$29+25=54$ 比总数 $31$ 多 $23$，多出的 $23$ 人正是从墨莫到小高被数了两次的人（含墨莫、小高两端），去掉两端得中间。
方法概述：两次计数之和 − 总人数 = 重叠数（含两端），再 − 2 得中间人数。
规范步骤：
  1. 两次序号相加：$29+25=54$（两次计数）
  2. 超出总数即重叠：$54-31=23$（含两端）
  3. 去掉两端得中间：$23-2=21$（减墨莫、小高）
第一套
题目：一排共有 $40$ 人。从左往右数，甲是第 $30$ 个；从右往左数，乙是第 $25$ 个。甲和乙之间有几个人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两次序号相加）：$30+25=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（超出总数即重叠数）：$55-40=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（重叠含两端，减 2 得中间）：$15-2=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：礼堂一排座位共 $50$ 个且都坐满。从左数，红红坐第 $40$；从右数，明明坐第 $35$。两人之间有几个人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两次序号相加）：$40+35=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（超出总数即重叠数）：$75-50=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（重叠含两端，减 2）：$25-2=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一排共 $40$ 人，甲是左起第 $12$ 个，乙是左起第 $30$ 个。甲、乙之间有几个人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同向计数，两人之间 = 大序号 − 小序号 − 1）：$30-12-1=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：$42$ 人围成一圈，从同一起点数：一人按顺时针是第 $27$ 个，另一人按逆时针是第 $31$ 个。这两人之间有几个人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两序号相加）：$27+31=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（超出总数为重叠）：$58-42=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（环形重叠含起点与两人，减 3）：$16-3=\underline{\quad}$（人）。
30. 【原题 ch19-xingqu-08】学校有一个圆形水池，水池的周长为 $40$ 米。如果绕着水池每隔 $4$ 米种一棵树，一共要种几棵树？
详细思路
是哪类问题：这是「环形植树问题」：环线首尾相接，棵数等于间隔数 = 周长 ÷ 间距。
关键切入点：周长 $40$ 米、每隔 $4$ 米一棵，间隔数 $40\div 4=10$；环形上首尾相接，棵数与间隔数一样多。
方法概述：环线上棵数 = 间隔数 = 周长 ÷ 间距。
规范步骤：
  1. 算间隔数：$40\div 4=10$（周长 ÷ 间距）
  2. 环形上棵数 = 间隔数：$10$（首尾相接）
第一套
题目：一个圆形水池周长为 $120$ 米，绕着水池每隔 $6$ 米种一棵树，一共要种几棵树？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间隔数 = 周长 ÷ 间距）：$120\div 6=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（环形上棵数 = 间隔数）：共 $\underline{\quad}$ 棵。
第二套
题目：一个圆形花坛周长为 $200$ 米，绕花坛每隔 $8$ 米摆一盆花，一共要摆几盆花？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间隔数 = 周长 ÷ 间距）：$200\div 8=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（环形上盆数 = 间隔数）：共 $\underline{\quad}$ 盆。
第三套
题目：绕一个环形跑道每隔 $6$ 米种一棵树，一共种了 $20$ 棵。这条环形跑道周长多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（环形上间隔数 = 棵数）：间隔数为 $20$ 个。
  2. 第 2 步（周长 = 间隔数 × 间距）：$20\times 6=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：分别在一条长 $120$ 米的直路和一个周长 $120$ 米的环形水池边种树，都每隔 $6$ 米种一棵。直路两端都种时种几棵？环形水池边种几棵？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（直线两端都种，棵数 = 间隔数 + 1）：$120\div 6+1=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步（环形，棵数 = 间隔数）：$120\div 6=\underline{\quad}$（棵）。
31. 【原题 ch19-xingqu-09】$50$ 个男生沿着 $300$ 米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等。现在，每相邻两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「环形插入加密」问题：环形上间隔数 = 人数，每个间隔插入若干人后被等分，新间距 = 原间距 ÷ 段数。
关键切入点：$50$ 人有 $50$ 个间隔，每个间隔插 $2$ 个女生共 $50\times 2=100$；原间距 $300\div 50=6$，插 2 人把一段分成 3 段，新间距 = 原间距 ÷ 3。
方法概述：环形上间隔数 = 人数；插入 $k$ 人后每段分成 $k+1$ 段，新间距 = 原间距 ÷ (k+1)。
规范步骤：
  1. 加入女生数：$50\times 2=100$（间隔数 × 每处插入数）
  2. 原间距：$300\div 50=6$（周长 ÷ 人数）
  3. 新间距：$6\div 3=2$（每段分成 3 段）
第一套
题目：$60$ 个男生沿 $480$ 米的环形跑道等距站成一圈。现在每相邻两个男生之间加入 $3$ 个女生，相邻两人仍等距。一共加入多少个女生？加入后相邻两人之间的距离是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（环形间隔数 = 人数，每处插 3 人）：女生 $60\times 3=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（原间距 = 周长 ÷ 男生数）：$480\div 60=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（每处插 3 人分成 4 段，新间距 = 原间距 ÷ 4）：$8\div 4=\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：$60$ 盆红花沿 $360$ 米的环形花带等距摆一圈。现在每相邻两盆红花之间加摆 $2$ 盆黄花，相邻两盆仍等距。一共加了多少盆黄花？加后相邻两盆之间的距离是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（黄花数 = 间隔数 × 每处插入数）：$60\times 2=\underline{\quad}$（盆）。
  2. 第 2 步（原间距 = 周长 ÷ 盆数）：$360\div 60=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（每处插 2 盆分成 3 段，新间距 = 原间距 ÷ 3）：$6\div 3=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：环形上原有 $50$ 棵树等距，间距 $6$ 米。现在要在每相邻两棵之间加插若干棵，使间距变为 $2$ 米。每两棵之间要加几棵？一共加多少棵？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（新段数 = 原间距 ÷ 新间距）：$6\div 2=\underline{\quad}$（段）。
  2. 第 2 步（每处加入 = 段数 − 1）：$3-1=\underline{\quad}$（棵）。
  3. 第 3 步（共加 = 间隔数 × 每处）：$50\times 2=\underline{\quad}$（棵）。
第三套
题目：一条直路两端都种，共种了 $51$ 棵树，间距 $6$ 米。现在每相邻两棵之间加插 $2$ 棵，使间距变小。加插后一共有多少棵树？新间距是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原间隔数 = 棵数 − 1）：$51-1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（每处加 2 棵，共加）：$50\times 2=\underline{\quad}$（棵）。
  3. 第 3 步（加后总棵数）：$51+100=\underline{\quad}$（棵）。
  4. 第 4 步（新间距 = 原间距 ÷ 3）：$6\div 3=\underline{\quad}$（米）。
32. 【原题 ch19-xingqu-10】有 $100$ 人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「实心方阵分层计数」问题：每层人数 = 每边 ×4 − 4（四角各算两次要减 4），相邻两层相差 8。
关键切入点：$100$ 人是 $10\times 10$ 方阵，最外层每边 10 人；外向里第二层是 $8\times 8$ 的外圈，每边少 2、四边共少 8；偶阵最里是 $2\times 2=4$ 人，由里向外每层加 8。
方法概述：用“每边 ×4 − 4”求每层人数；相邻两层差 8，逐层加减。
规范步骤：
  1. 最外层：$10\times 4-4=36$（每边 ×4 − 4）
  2. 外向里第二层：$8\times 4-4=28$（每边少 2）
  3. 偶阵最里层：$2\times 4-4=4$（2×2 方阵）
  4. 里向外第三层：$4+8+8=20$（每层加 8）
第一套
题目：$196$ 人站成一个实心方阵（$14\times 14$）。最外层共多少人？从外向里第二层多少人？从里向外第三层多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外层 = 每边 ×4 − 4）：$14\times 4-4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（外向里第二层每边少 2，即 $12\times 4-4$）：$12\times 4-4=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（偶阵最里 $2\times 2=4$ 人，每向外一层加 8，里向外第三层）：$4+8+8=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：$144$ 盆花摆成一个实心方阵（$12\times 12$）。最外层摆多少盆？从外向里第二层多少盆？从里向外第三层多少盆？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外层 = 每边 ×4 − 4）：$12\times 4-4=\underline{\quad}$（盆）。
  2. 第 2 步（外向里第二层 = $10\times 4-4$）：$10\times 4-4=\underline{\quad}$（盆）。
  3. 第 3 步（偶阵最里 4 盆，每向外一层加 8）：$4+8+8=\underline{\quad}$（盆）。
第三套
题目：$121$ 人站成一个实心方阵（$11\times 11$）。最外层多少人？从外向里第二层多少人？从外向里第三层多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最外层 = $11\times 4-4$）：$11\times 4-4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（外向里第二层每边少 2，$9\times 4-4$）：$9\times 4-4=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（外向里第三层每边再少 2，$7\times 4-4$）：$7\times 4-4=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一个实心方阵最外层有 $60$ 人。它每边有多少人？一共有多少人？从外向里第二层有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每边 = (最外 + 4) ÷ 4）：$(60+4)\div 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（总人数 = 每边 × 每边）：$16\times 16=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（外向里第二层 = $14\times 4-4$）：$14\times 4-4=\underline{\quad}$（人）。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch19-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（间距要整除半长 60 与半宽 45，最大取 15；每条横路 = $120\div 15+1$）：$120\div 15+1=\underline{9}$（棵），3 条横路 $9\times 3=\underline{27}$（棵）。
    2. 第 2 步（每条纵路 = $90\div 15+1$）：$90\div 15+1=\underline{7}$（棵），3 条纵路 $7\times 3=\underline{21}$（棵）。
    3. 第 3 步（合计再减 9 个交叉点）：$27+21=\underline{48}$，$48-9=\underline{39}$（棵）。
    最终答案：$39$ 棵。
  2. 1. ch19-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（间距要整除半长 40 与半宽 30，最大取 10；每条横路 = $80\div 10+1$）：$80\div 10+1=\underline{9}$（棵），3 条横路 $9\times 3=\underline{27}$（棵）。
    2. 第 2 步（每条纵路 = $60\div 10+1$）：$60\div 10+1=\underline{7}$（棵），3 条纵路 $7\times 3=\underline{21}$（棵）。
    3. 第 3 步（合计再减 9 个交叉点）：$27+21=\underline{48}$，$48-9=\underline{39}$（棵）。
    最终答案：$39$ 棵。
  3. 1. ch19-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（矩形回路是封闭环形，周长 = $(100+70)\times 2$）：$(100+70)\times 2=\underline{340}$（米）。
    2. 第 2 步（环形棵数 = 周长 ÷ 间距）：$340\div 10=\underline{34}$（棵）。
    最终答案：$34$ 棵。
  4. 1. ch19-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（间距要整除全长 100 与半宽 35，取最大 5；3 条横路 = $100\div 5+1$）：$100\div 5+1=\underline{21}$，$21\times 3=\underline{63}$（棵）。
    2. 第 2 步（2 条纵路 = $70\div 5+1$）：$70\div 5+1=\underline{15}$，$15\times 2=\underline{30}$（棵）。
    3. 第 3 步（6 个交叉点各算两次，减 6）：$63+30=\underline{93}$，$93-6=\underline{87}$（棵）。
    最终答案：$87$ 棵。
  5. 2. ch19-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（相邻层差 6，两层共 138，最外 = $(138+6)\div 2$）：$(138+6)\div 2=\underline{72}$（人）。
    2. 第 2 步（6 层等差求和，最里 42，= $(72+42)\times 6\div 2$）：$(72+42)\times 6\div 2=\underline{342}$（人）。
    3. 第 3 步（最里 42 每边 = $42\div 6+1$）：$42\div 6+1=\underline{8}$（人）。
    最终答案：最外层 $72$ 人；共 $342$ 人；最里层每边 $8$ 人。
  6. 2. ch19-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（最外 = $(150+6)\div 2$）：$(150+6)\div 2=\underline{78}$（人）。
    2. 第 2 步（8 层求和，最里 36，= $(78+36)\times 8\div 2$）：$(78+36)\times 8\div 2=\underline{456}$（人）。
    3. 第 3 步（最里 36 每边 = $36\div 6+1$）：$36\div 6+1=\underline{7}$（人）。
    最终答案：最外层 $78$ 人；共 $456$ 人；最里层每边 $7$ 人。
  7. 2. ch19-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（正方形相邻层差 8，两层共 120，最外 = $(120+8)\div 2$）：$(120+8)\div 2=\underline{64}$（人）。
    2. 第 2 步（8 层求和，最里 8，= $(64+8)\times 8\div 2$）：$(64+8)\times 8\div 2=\underline{288}$（人）。
    3. 第 3 步（最里 8 每边 = $8\div 4+1$）：$8\div 4+1=\underline{3}$（人）。
    最终答案：最外层 $64$ 人；共 $288$ 人；最里层每边 $3$ 人。
  8. 2. ch19-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（三角形相邻层差 9，两层共 105，最外 = $(105+9)\div 2$）：$(105+9)\div 2=\underline{57}$（人）。
    2. 第 2 步（最外每边 = $57\div 3+1$）：$57\div 3+1=\underline{20}$（人）。
    3. 第 3 步（5 层求和，最里 21，= $(57+21)\times 5\div 2$）：$(57+21)\times 5\div 2=\underline{195}$（人）。
    最终答案：最外层 $57$ 人、每边 $20$ 人；共 $195$ 人。
  9. 4. ch19-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（对折 4 次层数 = $2\times2\times2\times2$）：$1*2*2*2*2=\underline{16}$（层）。
    2. 第 2 步（剪 3 刀分点 = $3\times 16$）：$3\times 16=\underline{48}$（个），段数 = $48+1=\underline{49}$（段）。
    3. 第 3 步（对折 5 次层数 = $2^5$）：$1*2*2*2*2*2=\underline{32}$（层），剪 2 刀分点 $2\times 32=\underline{64}$，段数 $64+1=\underline{65}$（段）。
    最终答案：（1）$49$ 段；（2）$65$ 段。
  10. 4. ch19-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（对折 3 次层数 = $2\times2\times2$）：$1*2*2*2=\underline{8}$（层）。
    2. 第 2 步（剪 3 刀分点 = $3\times 8$）：$3\times 8=\underline{24}$（个），段数 $24+1=\underline{25}$（段）。
    最终答案：$25$ 段。
  11. 4. ch19-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分点数 = 段数 − 1）：$33-1=\underline{32}$（个）。
    2. 第 2 步（层数 = $2\times2\times2=8$，刀数 = 分点 ÷ 层数）：$32\div 8=\underline{4}$（刀）。
    最终答案：$4$ 刀。
  12. 4. ch19-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（对折 5 次层数）：$1*2*2*2*2*2=\underline{32}$（层）。
    2. 第 2 步（剪 3 刀分点 = $3\times 32$，段数 = $96+1$）：$3\times 32=\underline{96}$，$96+1=\underline{97}$（段）。
    3. 第 3 步（要 129 段需分点 = $129-1=\underline{128}$，刀数 = $128\div 32=\underline{4}$ 刀）。
    最终答案：（1）$97$ 段；（2）需剪 $4$ 刀。
  13. 7. ch19-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（每圈男女一组多 8，余 4 人是最里层，组数 = $(76-4)\div 8$）：$(76-4)\div 8=\underline{9}$（组）。
    2. 第 2 步（层数 = $2\times 9+1$）：$2\times 9+1=\underline{19}$（层）。
    3. 第 3 步（最外层 = $4+8\times 18$）：$4+8\times 18=\underline{148}$（人）。
    4. 第 4 步（总人数 = $(4+148)\times 19\div 2$）：$(4+148)\times 19\div 2=\underline{1444}$（人）。
    最终答案：$1444$ 人。
  14. 7. ch19-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步（每圈一组多 8，余 4，组数 = $(60-4)\div 8$）：$(60-4)\div 8=\underline{7}$（组）。
    2. 第 2 步（层数 = $2\times 7+1$）：$2\times 7+1=\underline{15}$（层）。
    3. 第 3 步（最外层 = $4+8\times 14$）：$4+8\times 14=\underline{116}$（朵）。
    4. 第 4 步（总数 = $(4+116)\times 15\div 2$）：$(4+116)\times 15\div 2=\underline{900}$（朵）。
    最终答案：$900$ 朵。
  15. 7. ch19-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（最外层 = $4+8\times 12$）：$4+8\times 12=\underline{100}$（人）。
    2. 第 2 步（等差求和 = $(4+100)\times 13\div 2$）：$(4+100)\times 13\div 2=\underline{676}$（人）。
    最终答案：最外层 $100$ 人；共 $676$ 人。
  16. 7. ch19-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（组数 = $(52-4)\div 8$）：$(52-4)\div 8=\underline{6}$（组）。
    2. 第 2 步（层数 = $2\times 6+1$）：$2\times 6+1=\underline{13}$（层）。
    3. 第 3 步（总人数 = $(4+100)\times 13\div 2$）：$(4+100)\times 13\div 2=\underline{676}$（人）。
    4. 第 4 步（男 = (总 + 52) ÷ 2，女 = (总 − 52) ÷ 2）：$(676+52)\div 2=\underline{364}$，$(676-52)\div 2=\underline{312}$（人）。
    最终答案：共 $676$ 人（男 $364$ 人、女 $312$ 人）。
  17. 9. ch19-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（锯成 5 段的次数 = 段数 − 1）：$5-1=\underline{4}$（次）。
    2. 第 2 步（每次用时）：$20\div 4=\underline{5}$（分）。
    3. 第 3 步（锯成 10 段的次数）：$10-1=\underline{9}$（次）。
    4. 第 4 步（总时间）：$9\times 5=\underline{45}$（分）。
    最终答案：$45$ 分钟。
  18. 9. ch19-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（剪成 6 段的次数 = 段数 − 1）：$6-1=\underline{5}$（次）。
    2. 第 2 步（每次用时）：$25\div 5=\underline{5}$（分）。
    3. 第 3 步（剪成 11 段的次数）：$11-1=\underline{10}$（次）。
    4. 第 4 步（总时间）：$10\times 5=\underline{50}$（分）。
    最终答案：$50$ 分钟。
  19. 9. ch19-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（锯的次数 = 总时间 ÷ 每次用时）：$28\div 4=\underline{7}$（次）。
    2. 第 2 步（段数 = 次数 + 1）：$7+1=\underline{8}$（段）。
    最终答案：$8$ 段。
  20. 9. ch19-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（每次用时）：$12\div 3=\underline{4}$（分）。
    2. 第 2 步（每根锯成 8 段的次数）：$8-1=\underline{7}$（次）。
    3. 第 3 步（3 根共锯的次数）：$7\times 3=\underline{21}$（次）。
    4. 第 4 步（总时间）：$21\times 4=\underline{84}$（分）。
    最终答案：$84$ 分钟。
  21. 10. ch19-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（小高走的段数）：$4-1=\underline{3}$（段）。
    2. 第 2 步（墨莫走的段数）：$7-1=\underline{6}$（段）。
    3. 第 3 步（速度倍数 = 6 ÷ 3）：$6\div 3=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（墨莫到 19 层的段数）：$19-1=\underline{18}$（段）。
    5. 第 5 步（小高走的段数 = 18 ÷ 2）：$18\div 2=\underline{9}$（段）。
    6. 第 6 步（小高所在楼层）：$9+1=\underline{10}$（层）。
    最终答案：第 $10$ 层。
  22. 10. ch19-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（甲走的段数）：$3-1=\underline{2}$（段）。
    2. 第 2 步（乙走的段数）：$7-1=\underline{6}$（段）。
    3. 第 3 步（速度倍数 = 6 ÷ 2）：$6\div 2=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（乙到 13 层的段数）：$13-1=\underline{12}$（段）。
    5. 第 5 步（甲走的段数 = 12 ÷ 3）：$12\div 3=\underline{4}$（段）。
    6. 第 6 步（甲所在楼层）：$4+1=\underline{5}$（层）。
    最终答案：第 $5$ 层。
  23. 10. ch19-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（小高走的段数）：$8-1=\underline{7}$（段）。
    2. 第 2 步（墨莫走的段数 = 7 × 2）：$7\times 2=\underline{14}$（段）。
    3. 第 3 步（墨莫所在楼层 = 段数 + 1）：$14+1=\underline{15}$（层）。
    最终答案：第 $15$ 层。
  24. 10. ch19-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（墨莫走的段数）：$15-1=\underline{14}$（段）。
    2. 第 2 步（墨莫每段用时）：$70\div 14=\underline{5}$（秒）。
    3. 第 3 步（小高每段用时是 2 倍）：$5\times 2=\underline{10}$（秒）。
    4. 第 4 步（小高走的段数）：$70\div 10=\underline{7}$（段）。
    5. 第 5 步（小高所在楼层）：$7+1=\underline{8}$（层）。
    最终答案：第 $8$ 层。
  25. 11. ch19-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（各边棵数 = 边长 ÷ 间距 + 1）：$150\div 10+1=\underline{16}$、$200\div 10+1=\underline{21}$、$250\div 10+1=\underline{26}$（棵）。
    2. 第 2 步（三边求和）：$16+21+26=\underline{63}$（棵）。
    3. 第 3 步（3 个顶点各重复 1 次，减 3）：$63-3=\underline{60}$（棵）。
    最终答案：$60$ 棵。
  26. 11. ch19-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（各边灯数 = 边长 ÷ 间距 + 1）：$120\div 8+1=\underline{16}$、$160\div 8+1=\underline{21}$、$200\div 8+1=\underline{26}$（盏）。
    2. 第 2 步（三边求和）：$16+21+26=\underline{63}$（盏）。
    3. 第 3 步（3 个顶点各重复 1 次，减 3）：$63-3=\underline{60}$（盏）。
    最终答案：$60$ 盏。
  27. 11. ch19-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（各边棵数）：长边 $120\div 10+1=\underline{13}$、短边 $80\div 10+1=\underline{9}$（棵）。
    2. 第 2 步（四条边求和，两长两短）：$13+9+13+9=\underline{44}$（棵）。
    3. 第 3 步（4 个顶点各重复 1 次，减 4）：$44-4=\underline{40}$（棵）。
    最终答案：$40$ 棵。
  28. 11. ch19-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（每边棵数 = 边长 ÷ 间距 + 1）：$100\div 10+1=\underline{11}$（棵）。
    2. 第 2 步（六条边求和）：$11\times 6=\underline{66}$（棵）。
    3. 第 3 步（6 个顶点各重复 1 次，减 6）：$66-6=\underline{60}$（棵）。
    最终答案：$60$ 棵。
  29. 12. ch19-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（卡左边人数 = 60 ÷ 2）：$60\div 2=\underline{30}$（人）。
    2. 第 2 步（卡是左起第几）：$30+1=\underline{31}$。
    3. 第 3 步（萱右起第 15 换成左起）：$60-15+1=\underline{46}$。
    4. 第 4 步（两人之间 = 大 − 小 − 1）：$46-31-1=\underline{14}$（人）。
    最终答案：$14$ 人。
  30. 12. ch19-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（小刚左边人数 = 48 ÷ 2）：$48\div 2=\underline{24}$（人）。
    2. 第 2 步（小刚是左起第几）：$24+1=\underline{25}$。
    3. 第 3 步（小丽右起第 10 换成左起）：$48-10+1=\underline{39}$。
    4. 第 4 步（两人之间 = 大 − 小 − 1）：$39-25-1=\underline{13}$（人）。
    最终答案：$13$ 人。
  31. 12. ch19-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（乙右起第 8 换成左起）：$42-8+1=\underline{35}$。
    2. 第 2 步（两人之间 = 大 − 小 − 1）：$35-10-1=\underline{24}$（人）。
    最终答案：$24$ 人。
  32. 12. ch19-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（卡在正中间，左右各 $(49-1)\div 2$）：$(49-1)\div 2=\underline{24}$（人）。
    2. 第 2 步（卡是左起第几）：$24+1=\underline{25}$。
    3. 第 3 步（萱右起第 10 换成左起）：$49-10+1=\underline{40}$。
    4. 第 4 步（两人之间 = 大 − 小 − 1）：$40-25-1=\underline{14}$（人）。
    最终答案：$14$ 人。
  33. 13. ch19-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（1 同向：之间 = 大 − 小 − 1）：$30-12-1=\underline{17}$（名）。
    2. 第 2 步（2 异向：从萱萱顺时针到墨莫 = $25+14-1$）：$25+14-1=\underline{38}$（名），之间 = $50-38=\underline{12}$（名）。
    3. 第 3 步（3 异向重叠：$35+28=\underline{63}$ 超过 50，重叠 $63-50=\underline{13}$，之间 = $13-3=\underline{10}$（名）。
    最终答案：（1）$17$ 名；（2）$12$ 名；（3）$10$ 名。
  34. 13. ch19-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（1 同向）：$28-15-1=\underline{12}$（名）。
    2. 第 2 步（2 异向：$20+12-1$）：$20+12-1=\underline{31}$，之间 $40-31=\underline{9}$（名）。
    3. 第 3 步（3 重叠：$30+25=\underline{55}$，重叠 $55-40=\underline{15}$，之间 $15-3=\underline{12}$）（名）。
    最终答案：（1）$12$ 名；（2）$9$ 名；（3）$12$ 名。
  35. 13. ch19-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（同向：大 − 小 − 1）：$30-10-1=\underline{19}$（人）。
    2. 第 2 步（异向：一段 = $25+10-1$）：$25+10-1=\underline{34}$，之间 $42-34=\underline{8}$（人）。
    最终答案：（1）$19$ 人；（2）$8$ 人。
  36. 13. ch19-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（两序号相加）：$40+35=\underline{75}$（超过 60）。
    2. 第 2 步（重叠数 = 75 − 60）：$75-60=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（之间 = 重叠 − 3）：$15-3=\underline{12}$（人）。
    4. 第 4 步（另一侧 = 总数 − 两人 − 之间）：$60-2-12=\underline{46}$（人）。
    最终答案：两人之间 $12$ 人；另一侧 $46$ 人。
  37. 14. ch19-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（切法一：长 80 按 10）：$80\div 10=\underline{8}$（段），刀数 $8-1=\underline{7}$（刀）。
    2. 第 2 步（切法一：宽 40 按 5）：$40\div 5=\underline{8}$（段），刀数 $8-1=\underline{7}$（刀），合计 $7+7=\underline{14}$（刀）。
    3. 第 3 步（切法二：长 80 按 5、宽 40 按 10）：$80\div 5=\underline{16}$、$40\div 10=\underline{4}$，刀数 $(16-1)+(4-1)=\underline{18}$（刀）。
    4. 第 4 步（取较少）：比较 $14$ 与 $18$，至少 $\underline{14}$ 刀。
    最终答案：$14$ 次。
  38. 14. ch19-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（切法一：长 60 按 6）：$60\div 6=\underline{10}$（段），刀数 $10-1=\underline{9}$（刀）。
    2. 第 2 步（切法一：宽 24 按 4）：$24\div 4=\underline{6}$（段），刀数 $6-1=\underline{5}$（刀），合计 $9+5=\underline{14}$（刀）。
    3. 第 3 步（切法二：长 60 按 4、宽 24 按 6）：$60\div 4=\underline{15}$、$24\div 6=\underline{4}$，刀数 $(15-1)+(4-1)=\underline{17}$（刀）。
    4. 第 4 步（取较少）：比较 $14$ 与 $17$，至少 $\underline{14}$ 刀。
    最终答案：$14$ 次。
  39. 14. ch19-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（切法一：长 80 按 10）：$80\div 10=\underline{8}$（段），刀数 $8-1=\underline{7}$（刀）。
    2. 第 2 步（切法一：宽 60 按 5）：$60\div 5=\underline{12}$（段），刀数 $12-1=\underline{11}$（刀），合计 $7+11=\underline{18}$（刀）。
    3. 第 3 步（切法二：长 80 按 5、宽 60 按 10）：$80\div 5=\underline{16}$、$60\div 10=\underline{6}$，刀数 $(16-1)+(6-1)=\underline{20}$（刀）。
    4. 第 4 步（取较少）：比较 $18$ 与 $20$，至少 $\underline{18}$ 刀。
    最终答案：$18$ 次。
  40. 14. ch19-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（切法一刀数）：长 $80\div 10=\underline{8}$ 段、宽 $40\div 5=\underline{8}$ 段，刀数 $(8-1)+(8-1)=\underline{14}$。
    2. 第 2 步（切法二刀数）：$(80\div 5-1)+(40\div 10-1)=(16-1)+(4-1)=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（取最少）：至少 $\underline{14}$ 刀。
    4. 第 4 步（小块总数 = 段数 × 段数）：$8\times 8=\underline{64}$（块）。
    最终答案：至少 $14$ 次，共 $64$ 小块。
  41. 15. ch19-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（最外层 = $21\times 4-4$）：$21\times 4-4=\underline{80}$（名）。
    2. 第 2 步（层数 = $(21+1)\div 2$）：$(21+1)\div 2=\underline{11}$（层）。
    3. 第 3 步（里向外第七层每边 13，= $13\times 4-4$）：$13\times 4-4=\underline{48}$（名）。
    最终答案：最外层 $80$ 名；共 $11$ 层；里向外第七层 $48$ 名。
  42. 15. ch19-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（最外层 = $17\times 4-4$）：$17\times 4-4=\underline{64}$（枚）。
    2. 第 2 步（层数 = $(17+1)\div 2$）：$(17+1)\div 2=\underline{9}$（层）。
    3. 第 3 步（里向外第七层每边 13，= $13\times 4-4$）：$13\times 4-4=\underline{48}$（枚）。
    最终答案：最外层 $64$ 枚；共 $9$ 层；里向外第七层 $48$ 枚。
  43. 15. ch19-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（最外层 = $20\times 4-4$）：$20\times 4-4=\underline{76}$（人）。
    2. 第 2 步（偶阵层数 = $20\div 2$）：$20\div 2=\underline{10}$（层）。
    3. 第 3 步（外向里第五层每边 12，= $12\times 4-4$）：$12\times 4-4=\underline{44}$（人）。
    最终答案：最外层 $76$ 人；共 $10$ 层；从外向里第五层 $44$ 人。
  44. 15. ch19-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（每边 = $(80+4)\div 4$）：$(80+4)\div 4=\underline{21}$（人）。
    2. 第 2 步（层数 = $(21+1)\div 2$）：$(21+1)\div 2=\underline{11}$（层）。
    3. 第 3 步（总人数 = $21\times 21$）：$21\times 21=\underline{441}$（人）。
    最终答案：每边 $21$ 人；共 $11$ 层；一共 $441$ 人。
  45. 16. ch19-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（每边 = $(44+4)\div 4$）：$(44+4)\div 4=\underline{12}$（人）。
    2. 第 2 步（总人数 = $12\times 12$）：$12\times 12=\underline{144}$（人）。
    3. 第 3 步（扩成 $13\times 13$ 的增量 = $13\times 13-12\times 12$）：$13\times 13-12\times 12=\underline{25}$（人）。
    4. 第 4 步（外加一层 = 原外层 + 8）：$44+8=\underline{52}$（人）。
    最终答案：（1）每边 $12$ 人，共 $144$ 人；（2）至少增加 $25$ 人；（3）需增加 $52$ 人。
  46. 16. ch19-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（每边 = $(36+4)\div 4$）：$(36+4)\div 4=\underline{10}$（盆）。
    2. 第 2 步（总数 = $10\times 10$）：$10\times 10=\underline{100}$（盆）。
    3. 第 3 步（扩成 $11\times 11$ 增量）：$11\times 11-10\times 10=\underline{21}$（盆）。
    4. 第 4 步（外加一层 = 原外层 + 8）：$36+8=\underline{44}$（盆）。
    最终答案：（1）每边 $10$ 盆，共 $100$ 盆；（2）至少增加 $21$ 盆；（3）需增加 $44$ 盆。
  47. 16. ch19-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（最外层 = $8\times 4-4$）：$8\times 4-4=\underline{28}$（人）。
    2. 第 2 步（总人数 = $8\times 8$）：$8\times 8=\underline{64}$（人）。
    3. 第 3 步（缩成 $6\times 6$ 减少 = $64-36$）：$64-36=\underline{28}$（人）。
    最终答案：最外层 $28$ 人；共 $64$ 人；缩小减少 $28$ 人。
  48. 16. ch19-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（每边 = $(44+4)\div 4$）：$(44+4)\div 4=\underline{12}$（人）。
    2. 第 2 步（总人数 = $12\times 12$）：$12\times 12=\underline{144}$（人）。
    3. 第 3 步（去一行一列是 L 形，人数 = 每边 ×2 − 1）：$12\times 2-1=\underline{23}$（人）。
    4. 第 4 步（剩下人数）：$144-23=\underline{121}$（人）。
    最终答案：每边 $12$ 人；共 $144$ 人；去 L 形减 $23$ 人，剩 $121$ 人。
  49. 17. ch19-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（每边 = $(60+4)\div 4$）：$(60+4)\div 4=\underline{16}$（人）。
    2. 第 2 步（总人数 = $16\times 16$）：$16\times 16=\underline{256}$（人）。
    3. 第 3 步（去 L 形 = 每边 ×2 − 1）：$16\times 2-1=\underline{31}$（人）。
    最终答案：（1）$256$ 人；（2）减少 $31$ 人。
  50. 17. ch19-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（每边 = $(52+4)\div 4$）：$(52+4)\div 4=\underline{14}$（块）。
    2. 第 2 步（总块数 = $14\times 14$）：$14\times 14=\underline{196}$（块）。
    3. 第 3 步（去 L 形 = 每边 ×2 − 1）：$14\times 2-1=\underline{27}$（块）。
    最终答案：（1）$196$ 块；（2）减少 $27$ 块。
  51. 17. ch19-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（原每边 = $(44+4)\div 4$）：$(44+4)\div 4=\underline{12}$（人）。
    2. 第 2 步（加一行一列后每边）：$12+1=\underline{13}$（人）。
    3. 第 3 步（增加的 L 形 = 新每边 ×2 − 1）：$13\times 2-1=\underline{25}$（人）。
    最终答案：加一行一列增加 $25$ 人。
  52. 17. ch19-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（每边 = $(44+4)\div 4$）：$(44+4)\div 4=\underline{12}$（人）。
    2. 第 2 步（去第一个 L 形，每边 12）：$12\times 2-1=\underline{23}$（人），余每边 11。
    3. 第 3 步（去第二个 L 形，每边 11）：$11\times 2-1=\underline{21}$（人）。
    4. 第 4 步（两次共减）：$23+21=\underline{44}$（人）。
    最终答案：减两行两列共减少 $44$ 人。
  53. 18. ch19-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（五层中间层 = 总数 ÷ 5）：$200\div 5=\underline{40}$（人）。
    2. 第 2 步（最外层 = 中间 + 2×8）：$40+8+8=\underline{56}$（人）。
    3. 第 3 步（最外层每边 = 最外 ÷ 4 + 1）：$56\div 4+1=\underline{15}$（人）。
    4. 第 4 步（外加一层 = 最外 + 8）：$56+8=\underline{64}$（人）。
    5. 第 5 步（最里层 = 中间 − 2×8 = $40-8-8=\underline{24}$，内加一层 = 最里 − 8 = $24-8=\underline{16}$）。
    最终答案：（1）每边 $15$ 人；（2）增加 $64$ 人；（3）再增加 $16$ 人。
  54. 18. ch19-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（中间层 = 180 ÷ 3）：$180\div 3=\underline{60}$（盆）。
    2. 第 2 步（最外层 = 中间 + 8）：$60+8=\underline{68}$（盆）。
    3. 第 3 步（最外每边 = 68 ÷ 4 + 1）：$68\div 4+1=\underline{18}$（盆）。
    4. 第 4 步（外加一层 = 68 + 8）：$68+8=\underline{76}$（盆）。
    5. 第 5 步（最里 = 60 − 8 = $60-8=\underline{52}$，内加 = 52 − 8 = $52-8=\underline{44}$）。
    最终答案：（1）每边 $18$ 盆；（2）增加 $76$ 盆；（3）再增加 $44$ 盆。
  55. 18. ch19-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（最外层人数 = (每边 − 1) × 4）：$(13-1)\times 4=\underline{48}$（人）。
    2. 第 2 步（中间层 = 最外 − 8）：$48-8=\underline{40}$（人）。
    3. 第 3 步（最里层 = 中间 − 8）：$40-8=\underline{32}$（人）。
    4. 第 4 步（三层总人数）：$48+40+32=\underline{120}$（人）。
    最终答案：最外 $48$、中间 $40$、最里 $32$，共 $120$ 人。
  56. 18. ch19-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（最外层 = (15 − 1) × 4）：$(15-1)\times 4=\underline{56}$（人）。
    2. 第 2 步（相邻层差 8，四层依次 56、48、40、32，最里 = $56-8-8-8$）：$56-8-8-8=\underline{32}$（人）。
    3. 第 3 步（等差求和 = (最外 + 最里) × 层数 ÷ 2）：$(56+32)\times 4\div 2=\underline{176}$（人）。
    最终答案：共 $176$ 人。
  57. 19. ch19-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（$40\times 40=1600$，层数 = $40\div 2$）：$40\div 2=\underline{20}$（层）。
    2. 第 2 步（相邻红绿两层一组，组数 = $20\div 2$）：$20\div 2=\underline{10}$（组）。
    3. 第 3 步（每组红比绿多 8，共多）：$10\times 8=\underline{80}$（块）。
    最终答案：红色更多，相差 $80$ 块。
  58. 19. ch19-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（$36\times 36=1296$，层数 = $36\div 2$）：$36\div 2=\underline{18}$（层）。
    2. 第 2 步（相邻两层一组，组数 = $18\div 2$）：$18\div 2=\underline{9}$（组）。
    3. 第 3 步（每组黑比白多 8，共多）：$9\times 8=\underline{72}$（块）。
    最终答案：黑色更多，相差 $72$ 块。
  59. 19. ch19-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（$24\times 24=576$，层数 = $24\div 2$）：$24\div 2=\underline{12}$（层）。
    2. 第 2 步（相邻两层一组，组数 = $12\div 2$）：$12\div 2=\underline{6}$（组）。
    3. 第 3 步（每组红比绿多 8，共多）：$6\times 8=\underline{48}$（块）。
    最终答案：红色更多，相差 $48$ 块。
  60. 19. ch19-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（红层从外到里每边 20、16、12、8、4，人数 = 每边 ×4 − 4）：$20\times 4-4=\underline{76}$（最外红层）。
    2. 第 2 步（其余红层）：$16\times 4-4=\underline{60}$、$12\times 4-4=\underline{44}$、$8\times 4-4=\underline{28}$、$4\times 4-4=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（红色总数）：$76+60+44+28+12=\underline{220}$（块）。
    最终答案：红色共 $220$ 块。
  61. 21. ch19-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（每片点数 = $1+2+\cdots+12=(1+12)\times 12\div 2$）：$(1+12)\times 12\div 2=\underline{78}$（朵）。
    2. 第 2 步（三片相加）：$78\times 3=\underline{234}$（朵）。
    3. 第 3 步（3 个公共点各多算 1 次，减 3）：$234-3=\underline{231}$（朵）。
    最终答案：$231$ 朵。
  62. 21. ch19-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（每片点数 = $(1+11)\times 11\div 2$）：$(1+11)\times 11\div 2=\underline{66}$（朵）。
    2. 第 2 步（三片相加）：$66\times 3=\underline{198}$（朵）。
    3. 第 3 步（3 个公共点减 3）：$198-3=\underline{195}$（朵）。
    最终答案：$195$ 朵。
  63. 21. ch19-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（三角点阵 = $1+2+\cdots+20=(1+20)\times 20\div 2$）：$(1+20)\times 20\div 2=\underline{210}$（枚）。
    最终答案：$210$ 枚。
  64. 21. ch19-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（空心三角点阵每边 10，每片 = 每边 ×3 − 3）：$10\times 3-3=\underline{27}$（朵）。
    2. 第 2 步（三片相加）：$27\times 3=\underline{81}$（朵）。
    3. 第 3 步（3 个公共点减 3）：$81-3=\underline{78}$（朵）。
    最终答案：$78$ 朵。
  65. 22. ch19-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（每队人数）：$8000\div 20=\underline{400}$（人）。
    2. 第 2 步（每队长 = (排数 − 1) × 排距）：$(25-1)\times 1=\underline{24}$（米）。
    3. 第 3 步（20 队有 19 个队间隔，总长 = 每队长 × 队数 + 队距 × 间隔）：$24\times 20+8\times 19=\underline{632}$（米）。
    最终答案：$632$ 米。
  66. 22. ch19-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（每队长 = (20 − 1) × 2）：$(20-1)\times 2=\underline{38}$（米）。
    2. 第 2 步（30 队有 29 个队间隔，总长）：$38\times 30+5\times 29=\underline{1285}$（米）。
    最终答案：$1285$ 米。
  67. 22. ch19-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（每方阵长 = (排数 − 1) × 排距）：$(25-1)\times 1=\underline{24}$（米）。
    2. 第 2 步（3 个方阵有 2 个间隔，总长）：$24\times 3+6\times 2=\underline{84}$（米）。
    最终答案：$84$ 米。
  68. 22. ch19-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（每方阵长 = (20 − 1) × 1）：$(20-1)\times 1=\underline{19}$（米）。
    2. 第 2 步（25 个方阵总长）：$19\times 25=\underline{475}$（米）。
    3. 第 3 步（队间隔总长 = 619 − 475）：$619-475=\underline{144}$（米）。
    4. 第 4 步（队距 = 144 ÷ 24 个间隔）：$144\div 24=\underline{6}$（米）。
    最终答案：队距 $6$ 米。
  69. 23. ch19-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（算间隔数）：间隔数 = 全长 ÷ 间距，$60\div 2=\underline{30}$（个）。
    2. 第 2 步（两端都插，旗数 = 间隔数 + 1）：$30+1=\underline{31}$（面）。
    最终答案：$31$ 面。
  70. 23. ch19-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（算间隔数）：间隔数 = 全长 ÷ 间距，$80\div 4=\underline{20}$（个）。
    2. 第 2 步（两端都摆，盆数 = 间隔数 + 1）：$20+1=\underline{21}$（盆）。
    最终答案：$21$ 盆。
  71. 23. ch19-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（两端都插，间隔数 = 旗数 − 1）：$21-1=\underline{20}$（个）。
    2. 第 2 步（全长 = 间隔数 × 间距）：$20\times 2=\underline{40}$（米）。
    最终答案：$40$ 米。
  72. 23. ch19-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（算每侧间隔数）：$100\div 5=\underline{20}$（个）。
    2. 第 2 步（每侧两端都插，旗数 = 间隔数 + 1）：$20+1=\underline{21}$（面）。
    3. 第 3 步（两侧都插，×2）：$21\times 2=\underline{42}$（面）。
    最终答案：$42$ 面。
  73. 24. ch19-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（间隔数 = 人数 − 1）：$25-1=\underline{24}$（个）。
    2. 第 2 步（距离 = 间隔数 × 每段长）：$24\times 2=\underline{48}$（米）。
    最终答案：$48$ 米。
  74. 24. ch19-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（间隔数 = 根数 − 1）：$30-1=\underline{29}$（个）。
    2. 第 2 步（距离 = 间隔数 × 每段长）：$29\times 50=\underline{1450}$（米）。
    最终答案：$1450$ 米。
  75. 24. ch19-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（间隔数 = 距离 ÷ 每段长）：$48\div 2=\underline{24}$（个）。
    2. 第 2 步（人数 = 间隔数 + 1）：$24+1=\underline{25}$（人）。
    最终答案：$25$ 人。
  76. 24. ch19-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（直线：间隔数 = 人数 − 1）：$25-1=\underline{24}$，首尾距离 $24\times 2=\underline{48}$（米）。
    2. 第 2 步（环形：间隔数 = 人数）：一圈总长 $25\times 2=\underline{50}$（米）。
    最终答案：直线首尾 $48$ 米；环形一圈 $50$ 米。
  77. 25. ch19-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（算间隔数）：$400\div 20=\underline{20}$（个）。
    2. 第 2 步（两端都种，棵数 = 间隔数 + 1）：$20+1=\underline{21}$（棵）。
    最终答案：$21$ 棵。
  78. 25. ch19-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（算间隔数）：$300\div 15=\underline{20}$（个）。
    2. 第 2 步（两端都立，柱数 = 间隔数 + 1）：$20+1=\underline{21}$（根）。
    最终答案：$21$ 根。
  79. 25. ch19-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（间隔数 = 棵数 − 1）：$21-1=\underline{20}$（个）。
    2. 第 2 步（路长 = 间隔数 × 间距）：$20\times 20=\underline{400}$（米）。
    最终答案：$400$ 米。
  80. 25. ch19-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（算间隔数）：$400\div 20=\underline{20}$（个）。
    2. 第 2 步（一端种，棵数 = 间隔数）：共 $\underline{20}$ 棵。
    3. 第 3 步（两端都种，棵数 = 间隔数 + 1）：$20+1=\underline{21}$（棵）。
    最终答案：一端种 $20$ 棵；两端种 $21$ 棵。
  81. 26. ch19-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（每侧棵数）：$62\div 2=\underline{31}$（棵）。
    2. 第 2 步（每侧间隔数 = 棵数 − 1）：$31-1=\underline{30}$（个）。
    3. 第 3 步（间距 = 总长 ÷ 段数）：$300\div 30=\underline{10}$（米）。
    最终答案：$10$ 米。
  82. 26. ch19-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（每侧灯数）：$50\div 2=\underline{25}$（盏）。
    2. 第 2 步（每侧间隔数 = 灯数 − 1）：$25-1=\underline{24}$（个）。
    3. 第 3 步（间距 = 总长 ÷ 段数）：$240\div 24=\underline{10}$（米）。
    最终答案：$10$ 米。
  83. 26. ch19-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（间隔数 = 棵数 − 1）：$21-1=\underline{20}$（个）。
    2. 第 2 步（间距 = 总长 ÷ 段数）：$100\div 20=\underline{5}$（米）。
    最终答案：$5$ 米。
  84. 26. ch19-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（每侧棵数）：$82\div 2=\underline{41}$（棵）。
    2. 第 2 步（每侧间隔数 = 棵数 − 1）：$41-1=\underline{40}$（个）。
    3. 第 3 步（路长 = 段数 × 间距）：$40\times 5=\underline{200}$（米）。
    最终答案：$200$ 米。
  85. 27. ch19-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（第 1→4 层段数 = 楼层数 − 1）：$4-1=\underline{3}$（段）。
    2. 第 2 步（每段台阶数）：$60\div 3=\underline{20}$（级）。
    3. 第 3 步（第 1→9 层段数）：$9-1=\underline{8}$（段）。
    4. 第 4 步（总台阶数）：$20\times 8=\underline{160}$（级）。
    最终答案：$160$ 级。
  86. 27. ch19-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（第 1→3 层段数）：$3-1=\underline{2}$（段）。
    2. 第 2 步（每段台阶数）：$48\div 2=\underline{24}$（级）。
    3. 第 3 步（第 1→7 层段数）：$7-1=\underline{6}$（段）。
    4. 第 4 步（总台阶数）：$24\times 6=\underline{144}$（级）。
    最终答案：$144$ 级。
  87. 27. ch19-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1→5 层段数）：$5-1=\underline{4}$（段）。
    2. 第 2 步（每段台阶数）：$80\div 4=\underline{20}$（级）。
    3. 第 3 步（第 1→8 层段数）：$8-1=\underline{7}$（段）。
    4. 第 4 步（总台阶数）：$20\times 7=\underline{140}$（级）。
    最终答案：$140$ 级。
  88. 27. ch19-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（每段台阶数）：$36\div 2=\underline{18}$（级）。
    2. 第 2 步（走了几段）：$126\div 18=\underline{7}$（段）。
    3. 第 3 步（楼层 = 段数 + 1）：$7+1=\underline{8}$（层）。
    最终答案：第 $8$ 层。
  89. 28. ch19-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（1：两侧都没算自己，+1）：$12+15+1=\underline{28}$（人）。
    2. 第 2 步（2：左右序号都数到自己，−1）：$10+12-1=\underline{21}$（人）。
    3. 第 3 步（3：右侧 = 总数 − 左起序号）：$21-5=\underline{16}$（人）。
    4. 第 4 步（3：右起序号 = 右侧人数 + 1）：$16+1=\underline{17}$（人）。
    最终答案：（1）$28$ 人；（2）$21$ 人；（3）$16$ 人，右起第 $17$ 人。
  90. 28. ch19-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（1：两侧 + 自己）：$9+10+1=\underline{20}$（人）。
    2. 第 2 步（2：两序号 − 重复）：$8+11-1=\underline{18}$（人）。
    3. 第 3 步（3：右侧 = 总数 − 左起序号）：$18-6=\underline{12}$（人）。
    4. 第 4 步（3：右起序号 = 右侧 + 1）：$12+1=\underline{13}$（人）。
    最终答案：（1）$20$ 人；（2）$18$ 人；（3）$12$ 人，右起第 $13$ 人。
  91. 28. ch19-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（遗漏型：两侧 + 自己）：$20+19+1=\underline{40}$（人）。
    2. 第 2 步（重复型：两序号 − 自己）：$13+16-1=\underline{28}$（人）。
    最终答案：第一队 $40$ 人；第二队 $28$ 人。
  92. 28. ch19-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（把右起序号换成左起）：右起第 $10$ = 左起第 $30-10+1=\underline{21}$。
    2. 第 2 步（两人之间 = 大序号 − 小序号 − 1）：$21-8-1=\underline{12}$（人）。
    最终答案：$12$ 人。
  93. 29. ch19-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（两次序号相加）：$30+25=\underline{55}$。
    2. 第 2 步（超出总数即重叠数）：$55-40=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（重叠含两端，减 2 得中间）：$15-2=\underline{13}$（人）。
    最终答案：$13$ 人。
  94. 29. ch19-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（两次序号相加）：$40+35=\underline{75}$。
    2. 第 2 步（超出总数即重叠数）：$75-50=\underline{25}$。
    3. 第 3 步（重叠含两端，减 2）：$25-2=\underline{23}$（人）。
    最终答案：$23$ 人。
  95. 29. ch19-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（同向计数，两人之间 = 大序号 − 小序号 − 1）：$30-12-1=\underline{17}$（人）。
    最终答案：$17$ 人。
  96. 29. ch19-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（两序号相加）：$27+31=\underline{58}$。
    2. 第 2 步（超出总数为重叠）：$58-42=\underline{16}$。
    3. 第 3 步（环形重叠含起点与两人，减 3）：$16-3=\underline{13}$（人）。
    最终答案：$13$ 人。
  97. 30. ch19-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（间隔数 = 周长 ÷ 间距）：$120\div 6=\underline{20}$（个）。
    2. 第 2 步（环形上棵数 = 间隔数）：共 $\underline{20}$ 棵。
    最终答案：$20$ 棵。
  98. 30. ch19-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（间隔数 = 周长 ÷ 间距）：$200\div 8=\underline{25}$（个）。
    2. 第 2 步（环形上盆数 = 间隔数）：共 $\underline{25}$ 盆。
    最终答案：$25$ 盆。
  99. 30. ch19-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（环形上间隔数 = 棵数）：间隔数为 $20$ 个。
    2. 第 2 步（周长 = 间隔数 × 间距）：$20\times 6=\underline{120}$（米）。
    最终答案：$120$ 米。
  100. 30. ch19-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（直线两端都种，棵数 = 间隔数 + 1）：$120\div 6+1=\underline{21}$（棵）。
    2. 第 2 步（环形，棵数 = 间隔数）：$120\div 6=\underline{20}$（棵）。
    最终答案：直路 $21$ 棵；环形 $20$ 棵。
  101. 31. ch19-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（环形间隔数 = 人数，每处插 3 人）：女生 $60\times 3=\underline{180}$（个）。
    2. 第 2 步（原间距 = 周长 ÷ 男生数）：$480\div 60=\underline{8}$（米）。
    3. 第 3 步（每处插 3 人分成 4 段，新间距 = 原间距 ÷ 4）：$8\div 4=\underline{2}$（米）。
    最终答案：加入 $180$ 个女生；新间距 $2$ 米。
  102. 31. ch19-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（黄花数 = 间隔数 × 每处插入数）：$60\times 2=\underline{120}$（盆）。
    2. 第 2 步（原间距 = 周长 ÷ 盆数）：$360\div 60=\underline{6}$（米）。
    3. 第 3 步（每处插 2 盆分成 3 段，新间距 = 原间距 ÷ 3）：$6\div 3=\underline{2}$（米）。
    最终答案：加入 $120$ 盆黄花；新间距 $2$ 米。
  103. 31. ch19-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（新段数 = 原间距 ÷ 新间距）：$6\div 2=\underline{3}$（段）。
    2. 第 2 步（每处加入 = 段数 − 1）：$3-1=\underline{2}$（棵）。
    3. 第 3 步（共加 = 间隔数 × 每处）：$50\times 2=\underline{100}$（棵）。
    最终答案：每处加 $2$ 棵，共加 $100$ 棵。
  104. 31. ch19-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（原间隔数 = 棵数 − 1）：$51-1=\underline{50}$（个）。
    2. 第 2 步（每处加 2 棵，共加）：$50\times 2=\underline{100}$（棵）。
    3. 第 3 步（加后总棵数）：$51+100=\underline{151}$（棵）。
    4. 第 4 步（新间距 = 原间距 ÷ 3）：$6\div 3=\underline{2}$（米）。
    最终答案：共 $151$ 棵；新间距 $2$ 米。
  105. 32. ch19-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（最外层 = 每边 ×4 − 4）：$14\times 4-4=\underline{52}$（人）。
    2. 第 2 步（外向里第二层每边少 2，即 $12\times 4-4$）：$12\times 4-4=\underline{44}$（人）。
    3. 第 3 步（偶阵最里 $2\times 2=4$ 人，每向外一层加 8，里向外第三层）：$4+8+8=\underline{20}$（人）。
    最终答案：最外层 $52$ 人；从外向里第二层 $44$ 人；从里向外第三层 $20$ 人。
  106. 32. ch19-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（最外层 = 每边 ×4 − 4）：$12\times 4-4=\underline{44}$（盆）。
    2. 第 2 步（外向里第二层 = $10\times 4-4$）：$10\times 4-4=\underline{36}$（盆）。
    3. 第 3 步（偶阵最里 4 盆，每向外一层加 8）：$4+8+8=\underline{20}$（盆）。
    最终答案：最外层 $44$ 盆；从外向里第二层 $36$ 盆；从里向外第三层 $20$ 盆。
  107. 32. ch19-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（最外层 = $11\times 4-4$）：$11\times 4-4=\underline{40}$（人）。
    2. 第 2 步（外向里第二层每边少 2，$9\times 4-4$）：$9\times 4-4=\underline{32}$（人）。
    3. 第 3 步（外向里第三层每边再少 2，$7\times 4-4$）：$7\times 4-4=\underline{24}$（人）。
    最终答案：最外层 $40$ 人；从外向里第二层 $32$ 人；从外向里第三层 $24$ 人。
  108. 32. ch19-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（每边 = (最外 + 4) ÷ 4）：$(60+4)\div 4=\underline{16}$（人）。
    2. 第 2 步（总人数 = 每边 × 每边）：$16\times 16=\underline{256}$（人）。
    3. 第 3 步（外向里第二层 = $14\times 4-4$）：$14\times 4-4=\underline{52}$（人）。
    最终答案：每边 $16$ 人；共 $256$ 人；从外向里第二层 $52$ 人。