竞赛数学 · 三年级 第20讲《算符与数字》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch20-chaoyue-01】康夫、小静和大雄三个人家里的电话号码都是八位的，并且每个电话号码任意相邻三位数字的和都是 $26$。如果康夫和小静家的电话号码首位是相同的，那么大雄家的号码是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「相邻数位和恒定 + 周期排列」类：八位号码任意相邻三位数字之和都是 $26$。$0\sim9$ 中三个数字之和为 $26$ 的只有 $8,9,9$，所以号码只含 $8,9$，且每相邻三位是两个 $9$、一个 $8$，按周期重复。
关键切入点：$8,9,9$ 的排列有 $899,989,998$ 三种，各自周期重复写成八位得 $89989989,99899899,98998998$。康夫、小静首位相同，所以他们是两个以 $9$ 开头的号码，大雄只能是以 $8$ 开头的 $89989989$。
方法概述：由相邻三位和为 26 定出只能用 8、9，按周期重复构造三种号码，由首位不同定出大雄号码。
规范步骤：
  1. 定数字：三数和 $26$ 只有 $8+9+9$（和恒定）
  2. 周期构造三种：$89989989,\ 99899899,\ 98998998$（周期排列）
  3. 由首位定大雄：两人首位相同（$9$），大雄首位为 $8$（首位判别）
  4. 写出答案：$89989989$
第一套
题目：三个人的电话号码都是九位，任意相邻三位数字之和都是 $26$。若其中两人号码首位相同，那么第三人的号码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定数字）：相邻三位之和是 $26$，而 $0\sim9$ 中三数之和为 $26$ 的只有 $8+9+9$，所以号码只含 $8,9$，且每相邻三位是两个 $9$、一个 $8$。
  2. 第 2 步（周期构造）：按 $899,989,998$ 三种排列周期重复成九位，得三个号码 $899899899,\ 989989989,\ 998998998$。
  3. 第 3 步（由首位定大雄）：两人首位相同（都为 $9$），大雄首位只能是 $8$，其号码为 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：康夫、小静、大雄三人的电话号码都是八位，任意相邻三位数字之和都是 $26$。康夫和小静首位相同，大雄家的号码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定数字）：相邻三位之和 $26$，而三个数字之和为 $26$ 的只有 $8+9+9$，所以号码只含 $8,9$。
  2. 第 2 步（周期构造）：按 $899,989,998$ 三种排列周期重复成八位，得 $89989989,\ 98998998,\ 99899899$。
  3. 第 3 步（由首位定大雄）：康夫、小静首位相同（都为 $9$），大雄首位只能是 $8$，其号码为 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：若一个八位号码任意相邻三位数字之和都是 $26$，那么这样的号码中最大的一个是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定数字）：相邻三位之和 $26$ 只有 $8+9+9$，所以号码只含 $8,9$。
  2. 第 2 步（构造三种八位号码）：$89989989,\ 98998998,\ 99899899$。
  3. 第 3 步（取最大）：比较三个号码（首位 $9$ 者更大，再看后续数位），最大的一个是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：三个人的电话号码都是十位，任意相邻三位数字之和都是 $26$。若其中两人首位相同，那么第三人的号码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定数字）：相邻三位之和 $26$ 只有 $8+9+9$，所以号码只含 $8,9$。
  2. 第 2 步（周期构造十位号码）：按 $899,989,998$ 周期重复成十位，得 $8998998998,\ 9899899899,\ 9989989989$。
  3. 第 3 步（由首位定大雄）：两人首位相同（都为 $9$），大雄首位只能是 $8$，其号码为 $\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch20-chaoyue-02】甲、乙二人同时计算一个加法算式，甲把第一个加数的个位抄成了 $8$，得到答案为 $123$；而乙则把第二个加数的十位数字抄成了 $5$，得到答案为 $132$。请问：正确答案应该是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「抄错数字的还原 + 位值分析」类：两人各抄错一处得到不同的和，分别分析抄错处对结果的影响，逐位还原真实加数。
关键切入点：甲把第一个加数个位抄成 $8$ 得 $123$：由个位 $8+?=13$ 知第二个加数个位是 $5$。乙把第二个加数十位抄成 $5$（即用了 $55$）得 $132$，故真第一个加数 $=132-55=77$。再由甲：真第一个加数为 $\overline{78}$，第二个加数 $=123-78=45$。正确的和 $=77+45=122$。
方法概述：分别分析两人抄错处对结果的影响，逐位还原真实加数求正确和。
规范步骤：
  1. 由甲个位定次加数个位：$8+5=13$，次加数个位为 $5$（位值分析）
  2. 由乙定真首加数：$132-55=77$（还原）
  3. 由甲定次加数：$123-78=45$（还原）
  4. 求正确和：$77+45=122$（求和）
第一套
题目：甲、乙同算一道两位数加法。甲把第一个加数的个位抄成 $7$，得 $84$；乙把第二个加数的十位抄成 $2$，得 $73$。正确答案是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由甲个位）：甲把首加数个位抄成 $7$，甲的和 $84$ 个位是 $4$，$7+□=14$，次加数个位 $=14-7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（由乙定真首加数）：乙把次加数十位抄成 $2$（用了 $27$），真首加数 $=73-27=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（由甲定次加数）：甲用的首加数是 $47$，次加数 $=84-47=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（正确和）：$46+37=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两名同学同算一道加法。第一人把第一个加数的个位错抄成 $8$，得 $123$；第二人把第二个加数的十位错抄成 $5$，得 $132$。正确的和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由甲个位）：$8+□=13$，次加数个位 $=13-8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（由乙定真首加数）：乙用了 $55$，真首加数 $=132-55=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（由甲定次加数）：甲用的首加数是 $78$，次加数 $=123-78=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（正确和）：$77+45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲、乙同算一道两位数加法。甲把第一个加数的个位抄成 $6$，得 $135$；乙把第二个加数的十位抄成 $3$，得 $124$。正确答案是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由甲个位）：甲把首加数个位抄成 $6$，甲的和 $135$ 个位 $5$，$6+□=15$，次加数个位 $=15-6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（由乙定真首加数）：乙把次加数十位抄成 $3$（用了 $39$），真首加数 $=124-39=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（由甲定次加数）：甲用的首加数是 $86$，次加数 $=135-86=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（正确和）：$85+49=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲、乙同算一道两位数加法。甲把第一个加数的十位抄成 $9$，得 $151$；乙把第二个加数的个位抄成 $4$，得 $117$。正确答案是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由乙个位）：乙把次加数个位抄成 $4$，乙的和 $117$ 个位 $7$，真首加数个位 $=7-4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（由甲定次加数）：甲把首加数十位抄成 $9$（用了 $93$），次加数 $=151-93=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（由乙定真首加数）：乙用的次加数是 $54$，真首加数 $=117-54=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（正确和）：$63+58=\underline{\quad}$。
3. 【原题 ch20-chaoyue-03】让我们来玩“$24$ 点游戏”，游戏规则是：用给定的 $4$ 个数凑 $24$，数可以打乱顺序，每个数仅用一次，可用“$+$、$-$、$\times$、$\div$ 或（ ）”。（1）$3,\ 4,\ 4,\ 10$；（2）$11,\ 11,\ 5,\ 1$。
详细思路
是哪类问题：这是「$24$ 点游戏（特殊数关系）」：观察数之间的特殊关系巧凑 $24$。
关键切入点：（1）用两个 $4$：$10-3=7$，$7\times4=28$，再减另一个 $4$ 得 $24$：$(10-3)\times4-4=24$。（2）$11\times11=121$，而 $24\times5=120$ 与 $121$ 只差 $1$：$(11\times11-1)\div5=24$。
方法概述：观察特殊数关系（如 $11\times11=121$ 与 $24\times5=120$ 相差 1）巧凑。
规范步骤：
  1. （1）先乘：$(10-3)\times4=28$（凑接近）
  2. （1）再减：$28-4=24$（微调）
  3. （2）特殊关系：$11\times11-1=120$，$120\div5=24$（特殊关系）
  4. 写出答案：$（1）(10-3)\times4-4=24；（2）(11\times11-1)\div5=24$
第一套
题目：用给定 $4$ 个数凑 $24$（可打乱顺序、各用一次、可加括号）。（1）$2,\ 3,\ 7,\ 8$；（2）$3,\ 5,\ 7,\ 9$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题·先乘）：$2\times(8+7-3)$ 中 $8+7-3=\underline{\quad}$，再 $2\times12=24$。
  2. 第 2 步（相乘）：$2\times(8+7-3)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (2) 题·凑差再乘）：$(9+3)\times(7-5)$ 中 $9+3=\underline{\quad}$、$7-5=2$，积为 $24$。
  4. 第 4 步（相乘）：$(9+3)\times(7-5)=\underline{\quad}$。
第二套
题目：抽到 $3,4,4,10$ 四张牌玩“$24$ 点”，怎样算出 $24$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先乘）：$(10-3)\times4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（再减）：$28-4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $6,6,5,5$ 凑 $24$（可打乱顺序、各用一次、可加括号）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（凑差）：$5+5-6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（相乘）：$6\times(5+5-6)=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用四个 $5$ 凑 $24$（各用一次、可加括号）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找特殊关系）：$5\times5=\underline{\quad}$，比 $24$ 大 $1$。
  2. 第 2 步（用 $5\div5$ 凑 1 减去）：$5\times5-5\div5=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch20-chaoyue-04】在下面算式中合适的地方填入“$+$、$-$、$\times$、$\div$ 或（ ）”，使等式成立。（1）$8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8=2008$；（2）$1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ 5\ \ 6\ \ 7\ \ 8\ \ 9=2008$。
详细思路
是哪类问题：这是「拆分凑目标数（大数）」类：利用 $2008\div8$ 等关系逐步拆分，把大批相同数字凑成目标。
关键切入点：（1）$2008\div8=251$，把 $11$ 个 $8$ 凑成 $251$：$251=31\times8+3$，$31=8+8+8+8-8\div8$，$3=(8+8+8)\div8$，得 $[(8+8+8+8-8\div8)\times8+(8+8+8)\div8]\times8=2008$。（2）$1+(2+3\times4)\times(5+6+7)\times8-9=1+14\times18\times8-9=2008$。
方法概述：利用 2008÷8 等关系逐步拆分，把大批相同数字凑成目标。
规范步骤：
  1. （1）提出一个 8：$2008\div8=251$（拆分）
  2. （1）凑 251：$251=31\times8+3$，逐步用 8 凑出（拆分）
  3. （2）凑 2008：$1+14\times18\times8-9=2008$（分组凑）
  4. 写出答案：见最终答案
5. 【原题 ch20-chaoyue-05】（1）在下面的算式中填入一对括号，使计算出来的结果最大，应该怎么填？$$12+4\times 5+15-6+8$$（2）如果允许填入两对括号，要使计算出来的结果最大，应该怎么填？$$12+4\times 5+15-6+8$$
详细思路
是哪类问题：这是「添括号求最大值」类：同样两个数，加、减、乘中乘法结果最大，所以在乘号附近添括号、扩大被乘数。
关键切入点：（1）让 $\times5$ 后括起尽量大的和：$12+4\times(5+15-6+8)=12+4\times22=100$。（2）再把 $12+4$ 也括起作被乘数：$(12+4)\times(5+15-6+8)=16\times22=352$。
方法概述：在乘号附近加括号扩大被乘数，使乘积最大。
规范步骤：
  1. （1）括起被乘数：$12+4\times(5+15-6+8)=12+88=100$（扩大被乘数）
  2. （2）再括 $12+4$：$(12+4)\times(5+15-6+8)=16\times22=352$（扩大被乘数）
  3. 写出答案：$（1）100；（2）352$
第一套
题目：（1）在 $14+3\times6+20-5+9$ 中填入一对括号使结果最大；（2）若允许填两对括号，结果最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一对括号·扩大被乘数）：把 $\times6$ 前的 $14+3$ 括起，$14+3=\underline{\quad}$，$(14+3)\times6=102$。
  2. 第 2 步（算出）：$(14+3)\times6+20-5+9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（两对括号·再扩大）：$(14+3)\times(6+20-5+9)=17\times30=\underline{\quad}$。
第二套
题目：给算式 $12+4\times5+15-6+8$ 添一对括号，使计算结果最大，最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一对括号）：$12+4\times(5+15-6+8)$ 中 $5+15-6+8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算出）：$12+4\times22=\underline{\quad}$。
第三套
题目：给算式 $10+5\times4+12-3+6$ 添一对括号，使结果最大，最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一对括号）：$10+5\times(4+12-3+6)$ 中 $4+12-3+6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算出）：$10+5\times19=\underline{\quad}$。
第三套
题目：给算式 $12+4\times5+15-6+8+10$ 添两对括号，使计算结果最大，最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两对括号·扩大被乘数）：把 $12+4$ 与后面的和都括起，后一括号 $5+15-6+8+10=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算出）：$(12+4)\times(5+15-6+8+10)=16\times32=\underline{\quad}$。
6. 【原题 ch20-chaoyue-06】桌上放着这样一道算术题：$89+16+69+\overline{6A}+\overline{B8}+88$。甲、乙两位同学面对面坐在桌子两侧，看到这个算式的各数字都有意义，而且他们计算这道题的结果恰好相同，则 $A$ 和 $B$ 表示的数字分别是几？
详细思路
是哪类问题：这是「数字倒置（旋转对称）+ 两面读数相等」类：把对面倒过来读出的算式与原式的结果相等列式，依倒置数字取值讨论求 $A,B$。
关键切入点：只有 $0,1,6,8,9$ 倒过来仍是数字（$6\leftrightarrow9$）。原式 $89+16+69+\overline{6A}+\overline{B8}+88$，要使各数都有意义，$A,B$ 只能取这些数字；经讨论只有 $A=1,B=9$ 时两面读出的结果都是 $421$，相等成立。
方法概述：把对面读出的算式与原式相等列式，依倒置数字取值讨论求 A、B。
规范步骤：
  1. 定可用数字：$0,1,6,8,9$ 可倒置，$6\leftrightarrow9$（字符对应）
  2. 取 $A=1,B=9$ 验证正面：$89+16+69+61+98+88=421$（求正面和）
  3. 验证反面：倒过来读 $88+86+19+69+91+68=421$（求反面和）
  4. 写出答案：$A=1,\ B=9$（两面相等）
7. 【原题 ch20-chaoyue-07】老师在黑板上写了 $1\sim 9$ 中的 $4$ 个不同的数字：$\triangle\triangle\triangle\triangle$，其中每个 $\triangle$ 代表一个数字，并在前两个数字与后两个数字之间添上 $3$ 个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除中的 $3$ 个）：$(\triangle\bigcirc\triangle)\bigcirc(\triangle\bigcirc\triangle)$，其中 $\bigcirc$ 表示运算符号。结果发现无论怎样添运算符号，计算结果都是整数，请按顺序写出这 $4$ 个 $\triangle$ 代表的数字。
详细思路
是哪类问题：这是「整除性分析 + 枚举」类：$(\triangle\bigcirc\triangle)\bigcirc(\triangle\bigcirc\triangle)$ 中填 $3$ 个不同运算符号，要求无论怎样填结果都是整数，重点保证除法处能整除。
关键切入点：只有除法会出现非整数，所以两个括号内的两数要能整除、且中间填除号时后括号结果要能整除前括号结果。逐一筛选，按顺序得 $9,3,2,1$：$9$ 与 $3$（$9\div3=3$）、$2$ 与 $1$（$2\div1=2$）都整除，且前括号结果能被后括号结果整除。
方法概述：抓除法保证整除：要求各处除法都整除，逐一筛选确定四个数字。
规范步骤：
  1. 抓除法：只有除法可能非整数（整除性）
  2. 括号内整除：$9\div3=3,\ 2\div1=2$（整除）
  3. 括号间整除：如 $(9-3)\div(2-1)=6$ 等都整数（整除）
  4. 写出答案：$9,3,2,1$
8. 【原题 ch20-chaoyue-08】在下面算式中合适的地方填入“$+$、$-$、$\times$、$\div$ 或（ ）”（两个数之间可以不填，不填则前后数合并成多位数），使等式成立。（1）$2\ \ 0\ \ 0\ \ 8\ \ 0\ \ 8\ \ 0\ \ 8=1000$；（2）$8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 8=2008$。
详细思路
是哪类问题：这是「添运算符号与括号 + 数位合并凑目标」类：用合并出的多位数快速接近目标，再用余下数字微调凑齐。
关键切入点：（1）$200+808=1008$，再用 $0,8$ 凑出 $-8$：$200+808+0-8=1000$。（2）合并出 $88$：$(8+8+8)\times(88-8)=24\times80=1920$，再加 $88$ 得 $2008$：$(8+8+8)\times(88-8)+88=2008$。
方法概述：用合并的多位数快速接近目标，再用余下数字微调凑齐。
规范步骤：
  1. （1）合并三位数接近：$200+808=1008$（数位合并）
  2. （1）微调：$1008+0-8=1000$（补差）
  3. （2）合并并连乘：$(8+8+8)\times(88-8)=1920$，$1920+88=2008$（合并凑目标）
  4. 写出答案：$（1）200+808+0-8=1000；（2）(8+8+8)\times(88-8)+88=2008$
9. 【原题 ch20-tuozhan-01】把“$+$、$-$、$\times$、$\div$”这 $4$ 个运算符号不重复地填入图 20-1 的 $4$ 个 $\square$ 内，使得这些算式的结果中最大数与最小数的和是 $15$。那么含有加号和乘号的那两个算式的结果的乘积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「运算符号分配 + 枚举」类：把 $+,-,\times,\div$ 各一个填入 $5\square1,6\square2,7\square3,8\square4$ 四个算式，按“最大数与最小数之和为 $15$”的约束枚举确定分配。
关键切入点：四个算式的结果中最大数与最小数之和是 $15$。逐一试分配：$5\times1=5$、$6\div2=3$、$7-3=4$、$8+4=12$，四个结果为 $5,3,4,12$，最大 $12$、最小 $3$，$12+3=15$ 恰好符合。含加号的算式结果是 $8+4=12$，含乘号的是 $5\times1=5$，乘积 $12\times5=60$。
方法概述：把四种运算分配到四个算式，依“最大数与最小数之和为 15”枚举验证。
规范步骤：
  1. 试分配：$5\times1=5,\ 6\div2=3,\ 7-3=4,\ 8+4=12$（枚举分配）
  2. 验证约束：$12+3=15$，符合（最大与最小之和）
  3. 求乘积：含加号结果 $12$、含乘号结果 $5$，$12\times5=60$（求结果之积）
  4. 写出答案：$60$
10. 【原题 ch20-tuozhan-02】下面有 $9$ 个数，在相邻两个数之间都填上一个“$+$”或“$-$”，使得结果为 $31$。请问：所有减数（即前面为减号的数）的乘积最大是多少？$$9\ \ 8\ \ 7\ \ 6\ \ 5\ \ 4\ \ 3\ \ 2\ \ 1=31$$
详细思路
是哪类问题：这是「填加减号 + 附加最值」类：先用全加求差、差半变号定出“需变号的数之和”，再在满足该和的组合中比较减数的乘积取最值。
关键切入点：全加 $9+8+\cdots+1=45$，与目标 $31$ 相差 $14$，$14\div2=7$，所以要变号的数之和是 $7$。和为 $7$ 的组合有 $\{7\},\{6,1\},\{5,2\},\{4,3\},\{4,2,1\}$，减数乘积分别为 $7,6,10,12,8$，最大是 $4\times3=12$。
方法概述：全加求差半得需变号数之和，枚举满足条件的组合并比较乘积。
规范步骤：
  1. 全加：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=45$（求全加和）
  2. 求差取半：$(45-31)\div2=7$（需变号数之和）
  3. 枚举和为 7 的组合比较乘积（含单个 7）：$7=7,\ 6\times1=6,\ 5\times2=10,\ 4\times3=12,\ 4\times2\times1=8$（比较乘积）
  4. 取最大：$12$（取最值）
第一套
题目：在 $9\ 8\ 7\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2\ 1$ 相邻两数间填 “$+$” 或 “$-$” 使结果为 $25$。所有减数（前面为减号的数）的乘积最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $25$ 的差是 $45-25=\underline{\quad}$，需变号的数之和 $=20\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举和为 $10$ 的组合比较乘积）：$6\times4=\underline{\quad}$，$7\times3=\underline{\quad}$，$5\times3\times2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取最大）：其中乘积最大是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：九张分数牌 $9,8,7,6,5,4,3,2,1$ 排成一行，相邻两牌间记 “$+$” 或 “$-$”，使总分为 $31$。所有记减号的牌上数的乘积最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $31$ 差 $14$，需变号的数之和 $=14\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举和为 $7$ 的组合比较乘积）：$6\times1=\underline{\quad}$，$5\times2=\underline{\quad}$，$4\times3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：在 $8\ 7\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2\ 1$ 相邻两数间填 “$+$” 或 “$-$” 使结果为 $20$。所有减数的乘积最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：$8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $20$ 差 $16$，需变号的数之和 $=16\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举和为 $8$ 的组合比较乘积）：$7\times1=\underline{\quad}$，$6\times2=\underline{\quad}$，$5\times3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：在 $9\ 8\ 7\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2\ 1$ 相邻两数间填 “$+$” 或 “$-$” 使结果为 $31$（至少有一个减号）。所有减数的乘积最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加求差取半）：$45$ 与目标 $31$ 差 $14$，需变号的数之和 $=14\div2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（这次求乘积最小，枚举和为 $7$ 的组合）：$6\times1=\underline{\quad}$，$5\times2=\underline{\quad}$，$4\times3=\underline{\quad}$，$7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取最小）：其中乘积最小是 $\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch20-tuozhan-03】让我们来玩“$24$ 点游戏”，游戏规则是：用给定的 $4$ 个数凑 $24$，数可以打乱顺序，每个数仅用一次，可用“$+$、$-$、$\times$、$\div$ 或（ ）”。（1）$2,\ 4,\ 6,\ 8$；（2）$4,\ 5,\ 7,\ 9$。
详细思路
是哪类问题：这是「$24$ 点游戏」：先拿出一个数，看怎样由它得到 $24$，再用其余三数配合它。
关键切入点：（1）$4-2=2$，$6\times8\div2=24$，即 $6\times8\div(4-2)=24$。（2）$7-4=3$，$3\times5+9=24$，即 $(7-4)\times5+9=24$。
方法概述：先固定一个能接近 24 的乘积，再用其余数加减微调。
规范步骤：
  1. （1）凑差：$4-2=2$（凑配合数）
  2. （1）成 24：$6\times8\div2=24$（组合）
  3. （2）凑差：$7-4=3$，$3\times5+9=24$（凑配合数）
  4. 写出答案：$（1）6\times8\div(4-2)=24；（2）(7-4)\times5+9=24$
第一套
题目：用给定 $4$ 个数凑 $24$（可打乱顺序、各用一次、可加括号）。（1）$2,\ 4,\ 6,\ 8$；（2）$3,\ 5,\ 7,\ 9$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题·先加大）：$4\times8=\underline{\quad}$，比 $24$ 大 $8$，用 $6$、$2$ 补：$6+2=8$。
  2. 第 2 步（相减）：$4\times8-6-2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (2) 题·凑差再乘）：$2\times6=\underline{\quad}$ 差一点，用 $(9+3)\times(... )$。改凑 $9+3=12$、$7-5=2$：$12\times2=24$。
  4. 第 4 步（相乘）：$(9+3)\times(7-5)=\underline{\quad}$。
第二套
题目：抽到 $2,4,6,8$ 四张牌玩“$24$ 点”，怎样算出 $24$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（凑差）：$4-2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（成 24）：$6\times8\div2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $4,5,7,9$ 凑 $24$（可打乱顺序、各用一次、可加括号）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（凑差再乘）：$7-4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（成 24）：$3\times5+9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $11,11,5,1$ 凑 $24$（可打乱顺序、各用一次、可加括号）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找特殊关系）：$11\times11=\underline{\quad}$，而 $24\times5=120$，只差 $1$。
  2. 第 2 步（借 1、除 5）：$(11\times11-1)\div5=\underline{\quad}$。
12. 【原题 ch20-tuozhan-04】在下面各题中填上适当的运算符号和括号，使等式成立。（1）$1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ 5=20$；（2）$5\ \ 5\ \ 5\ \ 5=30$。
详细思路
是哪类问题：这是「添运算符号与括号使等式成立」类：先用部分数凑出接近目标的乘积，再用其余数加减凑齐。
关键切入点：（1）$4\times5=20$ 正好是目标，再用 $1,2,3$ 凑成 $0$ 加上：$1+2-3=0$，得 $1+2-3+4\times5=20$。（2）$5\div5+5=6$，再乘 $5$ 得 $30$：$(5\div5+5)\times5=30$。
方法概述：先用部分数凑出接近目标的乘积，再用其余数加减凑齐。
规范步骤：
  1. （1）凑主体：$4\times5=20$（凑接近目标）
  2. （1）其余凑 0：$1+2-3=0$，$0+20=20$（凑补差）
  3. （2）括号内凑 6：$5\div5+5=6$，$6\times5=30$（括号改序）
  4. 写出答案：$（1）1+2-3+4\times5=20；（2）(5\div5+5)\times5=30$
第一套
题目：在下面各题中填上适当的运算符号和括号，使等式成立。（1）$1\ 2\ 3\ 4\ 5=19$；（2）$6\ 6\ 6\ 6=42$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题·凑主体）：$3\times4=\underline{\quad}$，接近 $19$。
  2. 第 2 步（补差）：$(1+2+3)\times4-5$ 中 $1+2+3=\underline{\quad}$，$6\times4-5=19$。
  3. 第 3 步（第 (2) 题·括号凑 7）：$6\div6+6=\underline{\quad}$，再乘 $6$ 得 $42$。
  4. 第 4 步（相乘）：$(6\div6+6)\times6=\underline{\quad}$。
第二套
题目：用数字 $1,2,3,4,5$（按顺序）添符号和括号，凑出 $20$，怎样凑？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（凑主体）：$4\times5=\underline{\quad}$，正好 $20$。
  2. 第 2 步（其余凑 0）：$1+2-3=\underline{\quad}$，加上 $20$ 仍是 $20$。
第三套
题目：用四个 $4$ 添符号和括号，使 $4\ 4\ 4\ 4=20$ 成立。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（括号凑 5）：$4\div4+4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（相乘）：$(4\div4+4)\times4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用数字 $1,2,3,4,5$（按顺序）添符号和括号，使结果为 $100$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先乘出大数）：$1\times(2+3)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（连乘）：$1\times(2+3)\times4\times5=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch20-tuozhan-05】在下面各题中填上适当的运算符号和括号（两个数之间可以不填，不填则前后数合并成多位数），使等式成立。（1）$4\ \ 4\ \ 4\ \ 4\ \ 4\ \ 4=10$；（2）$5\ \ 5\ \ 5\ \ 5\ \ 5\ \ 5=100$。
详细思路
是哪类问题：这是「相同数字凑目标（可组多位数）」类：先凑出与目标接近的数，剩余数字凑成补差；必要时把数字合并成多位数。
关键切入点：（1）$4+4=8$ 接近 $10$，剩下四个 $4$ 凑成 $2$：$4\div4+4\div4=2$，得 $4+4+4\div4+4\div4=10$。（2）$(5+5)\times5+(5+5)\times5=100$；也可合并成多位数 $(555-55)\div5=100$。
方法概述：先凑出接近目标的数，剩余数字凑成补差，必要时合并多位数。
规范步骤：
  1. （1）凑接近数：$4+4=8$（凑接近目标）
  2. （1）凑补差 2：$4\div4+4\div4=2$，$8+2=10$（凑补差）
  3. （2）两组各 50：$(5+5)\times5+(5+5)\times5=100$（分组凑整）
  4. 写出答案：$（1）4+4+4\div4+4\div4=10；（2）(5+5)\times5+(5+5)\times5=100$
第一套
题目：在下面算式中填上适当的运算符号和括号，使等式成立。$$6\ 6\ 6\ 6\ 6\ 6=10$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（凑接近数）：$6+6=\underline{\quad}$，接近 $10$。
  2. 第 2 步（凑补差 $-2$）：剩下四个 $6$ 凑成 $-2$：$-6\div6-6\div6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并）：$12-2=\underline{\quad}$，即 $6+6-6\div6-6\div6=10$。
第二套
题目：用 $6$ 张写着 $4$ 的卡片添符号和括号，凑出 $10$，怎样凑？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（凑接近数）：$4+4=\underline{\quad}$，接近 $10$。
  2. 第 2 步（凑补差 2）：$4\div4+4\div4=\underline{\quad}$，合起来得 $10$。
第三套
题目：在下面算式中填上适当的运算符号和括号（可合并成多位数），使等式成立。$$6\ 6\ 6\ 6\ 6\ 6=100$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并多位数）：把三个 $6$ 合并成 $666$、两个 $6$ 合并成 $66$，先算 $666-66=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（再除）：$(666-66)\div6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在下面算式中填上适当的运算符号和括号（可合并成多位数），使 $5\ 5\ 5\ 5\ 5\ 5=100$ 成立（要求用到合并出的三位数）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并多位数）：把三个 $5$ 合并成 $555$、两个 $5$ 合并成 $55$，$555-55=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（再除）：$(555-55)\div5=\underline{\quad}$。
14. 【原题 ch20-tuozhan-06】在下面的算式中合适的地方填入小括号，使等式成立。（1）$48-12\times 3\div 2+1=7$；（2）$30+20\div 10\div 5\times 2=50$。
详细思路
是哪类问题：这是「添括号使等式成立」类：在算式中添小括号改变运算顺序，枚举可放括号的位置逐一验算。
关键切入点：（1）$(48-12\times3)\div2+1=(48-36)\div2+1=6+1=7$。（2）$30+20\div(10\div5)\times2=30+20\div2\times2=30+20=50$。
方法概述：枚举可放括号的位置，逐一验算找出使等式成立者。
规范步骤：
  1. （1）括住前两步：$(48-12\times3)\div2+1=6+1=7$（改运算顺序）
  2. （2）括住 $10\div5$：$30+20\div(10\div5)\times2=30+20=50$（改运算顺序）
  3. 写出答案：$（1）(48-12\times3)\div2+1；（2）30+20\div(10\div5)\times2$
第一套
题目：在下面算式中合适的地方填入一对小括号，使等式成立。$$60-12\times4\div2+1=7$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（试把前两项括起）：$(60-12\times4)=60-48=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（继续算）：$(60-12\times4)\div2+1=12\div2+1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：黑板上写着 $30+20\div10\div5\times2$，老师要求只添一对小括号让它等于 $50$，该括在哪里？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把 $10\div5$ 括起）：$10\div5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（继续算）：$30+20\div(10\div5)\times2=30+20\div2\times2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在下面算式中合适的地方填入一对小括号，使等式成立。$$50+30\div10\div5\times2=80$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把 $10\div5$ 括起）：$10\div5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（继续算）：$50+30\div(10\div5)\times2=50+30\div2\times2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在下面算式中合适的地方填入一对小括号，使等式成立。$$24-12\times3\div2+1=5$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把中间三步括起）：括号里 $12\times3\div2+1=18+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用被减数减）：$24-(12\times3\div2+1)=24-19=\underline{\quad}$。
15. 【原题 ch20-tuozhan-07】在下面的算式中填入一对括号，使得算式的结果最大。$$2+3\times 4+5\times 4+3\times 2$$
详细思路
是哪类问题：这是「添括号求最大值」类：乘法比同样几个数相加大，所以把括号加在能让数量最多的连乘项扩大最多的位置。
关键切入点：把中间的 $4+5\times4+3$ 括起来作被乘数：$2+3\times(4+5\times4+3)\times2=2+3\times27\times2=2+162=164$。
方法概述：把括号加在能让连乘项扩大最多的位置。
规范步骤：
  1. 括住中间的和：$4+5\times4+3=27$（扩大被乘数）
  2. 并入连乘：$2+3\times27\times2=2+162=164$（求积）
  3. 写出答案：$2+3\times(4+5\times4+3)\times2=164$
第一套
题目：在下面算式中填入一对括号，使算式的结果最大。$$2+4\times5+4\times5+4\times2$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（括住中间的和）：$5+4\times5+4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（并入连乘）：$2+4\times29\times2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：小明想给 $2+3\times4+5\times4+3\times2$ 添一对括号，让计算结果尽量大，应怎样添？结果是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（括住中间的和）：$4+5\times4+3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（并入连乘）：$2+3\times27\times2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在下面算式中填入一对括号，使算式的结果最大。$$2+3\times5+4\times3+5\times2$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（括住中间的和）：$5+4\times3+5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（并入连乘）：$2+3\times22\times2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在下面算式中填入一对括号，使算式的结果最大。$$3+4\times5+6\times4+5\times3$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（括住中间的和）：$5+6\times4+5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（并入连乘）：$3+4\times34\times3=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch20-tuozhan-08】把“$+$、$-$、$\times$、$\div$”这四个运算符号，分别填入下面四个 $\bigcirc$ 内，使等式成立。（1）$(4\bigcirc 12\bigcirc 6)\bigcirc(17\bigcirc 9)=48$；（2）$(6\bigcirc 18\bigcirc 3)\bigcirc(7\bigcirc 2)=12$。
详细思路
是哪类问题：这是「运算符号分配 + 添括号」类：把 $+,-,\times,\div$ 各一个填入四个圆圈。按两括号之间的符号分情况，再确定括号内符号并验算。
关键切入点：（1）因 $6\times8=48$，令两括号间填 $\times$、$17\square9$ 填 $-$ 得 $8$，只需 $4\square12\square6=6$：$4+12\div6=6$，故 $(4+12\div6)\times(17-9)=48$。（2）同法 $(6+18\times3)\div(7-2)=60\div5=12$。
方法概述：按两括号间的符号分情况，再确定括号内符号并验算。
规范步骤：
  1. （1）定框架：$(4+12\div6)\times(17-9)$（分配符号）
  2. （1）验算：$6\times8=48$（验证）
  3. （2）验算：$(6+18\times3)\div(7-2)=60\div5=12$（验证）
  4. 写出答案：$（1）(4+12\div6)\times(17-9)=48；（2）(6+18\times3)\div(7-2)=12$
第一套
题目：把 “$+,-,\times,\div$” 各一个填入下面四个 $\bigcirc$ 内，使等式成立。$$(3\bigcirc8\bigcirc2)\bigcirc(9\bigcirc5)=28$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算括号内除法）：$8\div2=\underline{\quad}$，则左括号 $3+8\div2=7$。
  2. 第 2 步（两括号相乘）：$(3+8\div2)\times(9-5)=7\times4=\underline{\quad}$。
第二套
题目：把运算符号卡片 “$+,-,\times,\div$” 各一张放进四个方框，使 $(4\square12\square6)\square(17\square9)=48$ 成立。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算括号内除法）：$12\div6=\underline{\quad}$，则左括号 $4+12\div6=6$。
  2. 第 2 步（两括号相乘）：$(4+12\div6)\times(17-9)=6\times8=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 “$+,-,\times,\div$” 各一个填入四个 $\bigcirc$ 内，使等式成立。$$(3\bigcirc8\bigcirc2)\bigcirc(10\bigcirc4)=42$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算括号内除法）：$8\div2=\underline{\quad}$，则左括号 $3+8\div2=7$。
  2. 第 2 步（两括号相乘）：$(3+8\div2)\times(10-4)=7\times6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 “$+,-,\times,\div$” 各一个填入四个 $\bigcirc$ 内，使等式成立。$$(4\bigcirc10\bigcirc2)\bigcirc(7\bigcirc5)=12$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算括号内乘法）：$10\times2=\underline{\quad}$，则左括号 $4+10\times2=24$。
  2. 第 2 步（左括号除以右括号）：$(4+10\times2)\div(7-5)=24\div2=\underline{\quad}$。
17. 【原题 ch20-tuozhan-09】（1）把“$+$、$-$、$\times$、$\div$”各一个填入下面的 $\square$ 内，要使得算式的结果最大，那么能得到的最大的结果是多少？$$5\ \square\ 4\ \square\ 3\ \square\ 2\ \square\ 1$$（2）如果再允许添上一对括号，那么计算的结果最大是多少？$$5\ \square\ 4\ \square\ 3\ \square\ 2\ \square\ 1$$
详细思路
是哪类问题：这是「填四则符号 / 添括号求最大值」类：让乘、加发挥增大作用，减、除放在影响最小处；允许添括号时用括号扩大连乘项。
关键切入点：（1）$5\times4=20$ 做主体，$+3$，把 $2\div1=2$ 放在减号后：$5\times4+3-2\div1=21$。（2）添一对括号让乘法作用扩大：$5\times(4+3)-2\div1=35-2=33$。
方法概述：乘加放增大处、减除放影响最小处；加括号扩大连乘项。
规范步骤：
  1. （1）主体：$5\times4=20$（乘法增大）
  2. （1）减除放最小：$5\times4+3-2\div1=21$（减除放最小处）
  3. （2）括号扩大乘法：$5\times(4+3)-2\div1=35-2=33$（扩大连乘）
  4. 写出答案：$（1）21；（2）33$
第一套
题目：在 $6\ \square\ 5\ \square\ 4\ \square\ 3\ \square\ 1$ 的 $\square$ 中填 “$+,-,\times,\div$” 各一个，结果最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乘法造大数）：$6\times5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（加中间数、除以 1）：$3\div1=\underline{\quad}$ 影响最小，放在减号后。
  3. 第 3 步（合并）：$6\times5+4-3\div1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：用 $5,4,3,2,1$（按顺序）与 “$+,-,\times,\div$” 各一个排成式子，结果最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乘法造大数）：$5\times4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（加、减除放最小处）：$5\times4+3-2\div1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在 $7\ \square\ 5\ \square\ 3\ \square\ 2\ \square\ 1$ 的 $\square$ 中填 “$+,-,\times,\div$” 各一个，结果最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乘法造大数）：$7\times5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（合并）：$7\times5+3-2\div1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在 $6\ \square\ 5\ \square\ 4\ \square\ 3\ \square\ 1$ 中填 “$+,-,\times,\div$” 各一个，并允许再添一对括号，结果最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（括号扩大乘法）：$5+4=\underline{\quad}$，再乘 $6$。
  2. 第 2 步（相乘）：$6\times(5+4)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（减除放最小处）：$3\div1=\underline{\quad}$，$54-3=51$。
18. 【原题 ch20-tuozhan-10】有一辆速度不超过每小时 $100$ 千米的汽车，它的里程表显示这辆汽车已行驶了 $15951$ 千米，这个数从左往右读与从右往左读是一样的。又开了两小时后，里程表上的数从左往右读与从右往左读仍然是一样的。问：汽车每小时行多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「回文数 + 范围限制」类：读法左右相同的数（回文数）在一段范围内逐位确定，再作差求速度。
关键切入点：速度不超过 $100$，两小时最多行 $200$ 千米，所以下一个回文数在 $15951$ 与 $15951+200=16151$ 之间。万位、个位都是 $1$，百位只能是 $6$（填 $5$ 会更小），中间填 $0$ 得 $16061$。速度 $(16061-15951)\div2=55$。
方法概述：依速度上限确定回文数范围，逐位确定数字后作差求速度。
规范步骤：
  1. 定范围：$15951+200=16151$，回文数在 $(15951,16151]$（范围限制）
  2. 逐位确定：回文数为 $16061$（逐位定）
  3. 作差求速度：$(16061-15951)\div2=55$（求速度）
第一套
题目：一辆速度不超过每小时 $100$ 千米的汽车，里程表显示 $13931$ 千米（回文数）。又开两小时后里程表仍是回文数。汽车每小时行多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定范围）：两小时最多行 $200$ 千米，下一个回文数不超过 $13931+200=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（逐位确定）：万位、个位都是 $1$，中间凑成回文且大于 $13931$，得 $14041$；行了 $14041-13931=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（求速度）：$110\div2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：公交车里程表显示 $15951$ 千米（回文数），车速不超过每小时 $100$ 千米。又开两小时后里程表仍是回文数。这段时间平均每小时行多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定范围）：下一个回文数不超过 $15951+200=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（逐位确定）：回文数为 $16061$，行了 $16061-15951=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（求速度）：$110\div2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一辆速度不超过每小时 $100$ 千米的汽车，里程表显示 $69896$ 千米（回文数）。又开两小时后里程表仍是回文数。汽车每小时行多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定范围）：下一个回文数不超过 $69896+200=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（逐位确定）：回文数为 $69996$，行了 $69996-69896=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（求速度）：$100\div2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一辆速度不超过每小时 $100$ 千米的汽车，里程表显示 $15951$ 千米（回文数）。又开三小时后里程表仍是回文数。汽车每小时行多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定范围）：三小时最多行 $300$ 千米，下一个合适的回文数不超过 $15951+300=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（逐位确定）：$16061$ 行了 $110$ 千米，$110\div3$ 不是整数；取 $16161$，行了 $16161-15951=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（求速度）：$210\div3=\underline{\quad}$。
19. 【原题 ch20-tuozhan-11】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如：$246$，$1347$。这类数中最大的自然数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「斐波那契型数字构造」类：从第三位起每位是前两位之和（不超过 $9$）、首位非 $0$。要最大就让位数尽量多，从最小的起始两位累加。
关键切入点：从 $1,0$ 开始累加：$1,0,1,1,2,3,5,8$，下一位 $5+8=13$ 超过 $9$，到此为止。位数最多，得最大的数 $10112358$。
方法概述：从最小起始两位累加构造，保证每位不超过 9，使位数最多。
规范步骤：
  1. 起始两位取最小：$1,0$（使位数最多）
  2. 逐位累加：$1,0,1,1,2,3,5,8$（每位=前两位之和）
  3. 到 13 停止：$5+8=13>9$，停（数位限制）
  4. 写出答案：$10112358$
第一套
题目：有一类自然数，从第三个数字起每个数字都是前面两个数字之和。这类数中最大的四位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首位取最大）：要最大先让首位尽量大，取 $9$；次位只能取 $0$（否则第三位就超过 $9$）。
  2. 第 2 步（逐位累加）：第三位 $9+0=\underline{\quad}$，第四位 $0+9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出）：这样的最大四位数是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：某种编号从第三位起每一位都恰好是前两位数字之和。这种编号里最大的一个是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始取最小以增多位数）：取 $1,0$ 开头。
  2. 第 2 步（逐位累加）：$1+0=\underline{\quad}$，$0+1=\underline{\quad}$，$1+1=\underline{\quad}$，$1+2=\underline{\quad}$，$2+3=\underline{\quad}$，$3+5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（到 13 停）：$5+8=13$ 超过 $9$，停止，得 $10112358$。
第三套
题目：有一类自然数，从第三个数字起每个数字都是前面两个数字之和。这类数中最大的五位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首位尽量大又要够五位）：首位取 $4$、次位取 $0$，才能凑够五位。
  2. 第 2 步（逐位累加）：$4+0=\underline{\quad}$，$0+4=\underline{\quad}$，$4+4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出）：这样的最大五位数是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：有一类自然数，从第三个数字起每个数字都是前面两个数字之和。这类数中最大的是多少？它是几位数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始取最小以增多位数）：取 $1,0$ 开头逐位累加得 $1,0,1,1,2,3,5,8$。
  2. 第 2 步（数一数位数）：$1,0,1,1,2,3,5,8$ 一共有 $\underline{\quad}$ 位。
  3. 第 3 步（写出最大数）：最大的这类数是 $\underline{\quad}$。
20. 【原题 ch20-tuozhan-12】$1234567891011121 3\cdots$ 是从 $1$ 开始的连续自然数按顺序写下的一个多位数，在这个多位数中，从左向右数，当 $4$、$3$ 两个数字第一回依次出现时，接下来的两个数字应该是什么？当 $3$、$1$、$2$ 三个数字第一回依次出现时，接下来的三个数字是什么？
详细思路
是哪类问题：这是「连续自然数串 + 数字定位」类：把从 $1$ 开始的自然数依次连写成一个长数，分析目标数字串首次出现时跨越了哪些相邻的自然数。
关键切入点：$4,3$ 第一次依次出现，不是写 $43$ 时，而是在写 $34\ 35$ 时先出现（$\cdots34\,35\cdots$），所以接下来两个数字是 $5,3$。$3,1,2$ 第一次依次出现在写 $31\ 32$ 时（$\cdots31\,32\cdots$），接下来三个数字是 $4,1,2$。
方法概述：分析目标数字串可能跨越的相邻自然数，确定首次出现位置后读出后续数字。
规范步骤：
  1. 定位 $4,3$：出现在 $34\ 35$ 之间（跨数分析）
  2. 读后两位：$5,3$（读后续）
  3. 定位 $3,1,2$：出现在 $31\ 32$ 之间（跨数分析）
  4. 读后三位：$4,1,2$（读后续）
21. 【原题 ch20-tuozhan-13】玲玲发现：将家里的电话号码从左到右，相邻的两个数字依次相加，得到的和分别是 $9$，$7$，$9$，$2$，$8$，$11$。请你推算一下玲玲家的电话号码是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「相邻数字之和反推」类：$6$ 个相邻和对应 $7$ 位号码，从最小的和入手确定一对相邻数字，再向两端逐位推出全部数字。
关键切入点：和里最小的是 $2$（第 $4$、$5$ 个数字之和）。取第 $4,5$ 位为 $2,0$：第 $3$ 位 $=9-2=7$，第 $2$ 位 $=7-7=0$，第 $1$ 位 $=9-0=9$；第 $6$ 位 $=8-0=8$，第 $7$ 位 $=11-8=3$。号码为 $9072083$。
方法概述：由最小的和确定一对相邻数字，再依次向两端逐位推出全部数字。
规范步骤：
  1. 定最小和处：第 $4,5$ 位取 $2,0$（由最小和入手）
  2. 向左推：$9-2=7,\ 7-7=0,\ 9-0=9$（逐位推断）
  3. 向右推：$8-0=8,\ 11-8=3$（逐位推断）
  4. 写出号码：$9072083$
第一套
题目：某电话号码从左到右相邻两个数字依次相加，得到的和是 $9,11,10,1,8,11$。这个电话号码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（试首位）：经试验首位只能取 $7$（其余取值会使某一位超出 $0\sim9$）。
  2. 第 2 步（逐位推断）：$9-7=\underline{\quad}$，$11-2=\underline{\quad}$，$10-9=\underline{\quad}$，$1-1=\underline{\quad}$，$8-0=\underline{\quad}$，$11-8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出号码）：得 $7291083$。
第二套
题目：玲玲把家里 $7$ 位电话号码相邻两位依次相加，得到 $9,7,9,2,8,11$。她家电话号码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由最小和入手）：和里最小的是 $2$，取第 $4,5$ 位为 $2,0$。
  2. 第 2 步（向左、向右逐位推断）：$9-2=\underline{\quad}$，$7-7=\underline{\quad}$，$9-0=\underline{\quad}$，$8-0=\underline{\quad}$，$11-8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出号码）：得 $9072083$。
第三套
题目：某 $7$ 位电话号码相邻两位依次相加得 $9,6,7,8,9,2$。这个号码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（试首位）：由和 $9,6,7,8,9,2$ 试首位为 $9$。
  2. 第 2 步（逐位推断）：$9-9=\underline{\quad}$，$6-0=\underline{\quad}$，$7-6=\underline{\quad}$，$8-1=\underline{\quad}$，$9-7=\underline{\quad}$，$2-2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出号码）：得 $9061720$。
第三套
题目：某 $8$ 位电话号码相邻两位依次相加得 $10,1,7,9,2,8,11$。这个号码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（试首位）：$7$ 个和对应 $8$ 位号码，试首位为 $9$。
  2. 第 2 步（逐位推断）：$10-9=\underline{\quad}$，$1-1=\underline{\quad}$，$7-0=\underline{\quad}$，$9-7=\underline{\quad}$，$2-2=\underline{\quad}$，$8-0=\underline{\quad}$，$11-8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出号码）：得 $91072083$。
22. 【原题 ch20-tuozhan-14】把 $0\sim 9$ 这十个数字倒过来看，其中 $0$，$1$，$8$ 三个数字不变，$6$ 与 $9$ 两个数字互换，而其余数字倒过来看都没有意义。在一张纸片上写出一个两位数，把纸片倒过来看，恰好与原数相同，这样的两位数有几个？如果写的是一个三位数，倒过来看与原数相同，这样的三位数有几个？
详细思路
是哪类问题：这是「旋转对称数（颠倒不变）计数」类：只有 $0,1,8$ 颠倒不变、$6$ 与 $9$ 互换，其余无意义。按倒置后数位的对应关系确定各位并计数。
关键切入点：两位数：十位可取 $1,6,8,9$（$4$ 种），个位随之确定为 $1,9,8,6$，共 $4$ 个（$11,69,88,96$）。三位数：百位 $4$ 种、十位取 $0,1,8$（$3$ 种）、个位随百位确定，共 $4\times3=12$ 个。
方法概述：依倒置后数位与字符的对应关系，分别确定首尾及中间数字并计数。
规范步骤：
  1. 可用数字：$0,1,8$ 不变，$6\leftrightarrow9$（字符对应）
  2. 两位数计数：十位 $4$ 种，共 $4$ 个（首位定尾位）
  3. 三位数计数：$4\times3=12$ 个（中间位 3 种）
  4. 写出答案：两位数 $4$ 个，三位数 $12$ 个
第一套
题目：把 $0\sim9$ 倒过来看，其中 $0,1,8$ 不变，$6$ 与 $9$ 互换，其余无意义。写出一个三位数，倒过来看与原数相同，这样的三位数有几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（可用数字）：$0,1,8$ 颠倒不变，$6$ 与 $9$ 互换，其余无意义。
  2. 第 2 步（定首尾）：百位可取 $1,6,8,9$（$4$ 种），个位随之确定。
  3. 第 3 步（定中间并计数）：十位可取 $0,1,8$（$3$ 种），共 $4\times3=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：数字卡片倒过来看时，$0,1,8$ 不变、$6$ 与 $9$ 互换、其余无意义。用卡片摆一个两位数，倒过来看与原数相同，这样的两位数有几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（可用数字）：$0,1,8$ 不变，$6\leftrightarrow9$。
  2. 第 2 步（两位数）：十位可取 $1,6,8,9$，共 $\underline{\quad}$ 个（$11,69,88,96$）。
第三套
题目：把数字倒过来看，$0,1,8$ 不变、$6$ 与 $9$ 互换、其余无意义。倒过来看与原数相同的四位数有几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定首尾）：千位可取 $1,6,8,9$（$4$ 种），个位随之确定。
  2. 第 2 步（定第二位并计数）：第二位可取 $0,1,6,8,9$（$5$ 种），第三位随之确定，共 $4\times5=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：把数字倒过来看，$0,1,8$ 不变、$6$ 与 $9$ 互换、其余无意义。倒过来看与原数相同的五位数有几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定首尾）：万位可取 $1,6,8,9$（$4$ 种），个位随之确定。
  2. 第 2 步（定第二、四位）：第二位可取 $0,1,6,8,9$（$5$ 种），第四位随之确定。
  3. 第 3 步（定中间位并计数）：正中间一位可取 $0,1,8$（$3$ 种），共 $4\times5\times3=\underline{\quad}$ 个（先算 $4\times5=\underline{\quad}$ 再乘 $3$）。
23. 【原题 ch20-xingqu-01】在下面各题中填上适当的运算符号和括号，使等式成立。（1）$20\ \ 4\ \ 5=0$；（2）$2\ \ 4\ \ 6=1$。
详细思路
是哪类问题：这是「添运算符号使等式成立」类数字谜：在给定的几个数之间填运算符号（或括号），凑出指定结果。
关键切入点：从最后一步运算倒推：要得 $0$，末步最可能是减法——设法凑出两个相等的数相减；要得 $1$，末步最可能是除法——凑出两个相等的数相除。（1）$4\times5=20$ 与首数 $20$ 相等，$20-4\times5=0$；（2）$2+4=6$ 与 $6$ 相等，$(2+4)\div6=1$。
方法概述：从目标数倒推末步运算，再凑出两个相等的数相减/相除。
规范步骤：
  1. （1）要得 $0$，末步用减法，凑相等两数：$4\times5=20$，与首数 $20$ 相等（凑相等的数）
  2. （1）相减得 $0$：$20-4\times5=0$（末步减法）
  3. （2）要得 $1$，末步用除法，凑相等两数：$2+4=6$，与 $6$ 相等（凑相等的数）
  4. （2）相除得 $1$：$(2+4)\div6=1$（末步除法）
  5. 写出答案：$（1）20-4\times5=0；（2）(2+4)\div6=1$
第一套
题目：在下面各题中填上适当的运算符号，使等式成立。（1）$18\ \ 3\ \ 6=0$；（2）$3\ \ 5\ \ 15=1$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题·定末步）：要得 $0$，末步用减法，只要凑出两个相等的数相减。
  2. 第 2 步（凑相等）：后两数相乘 $3\times6=\underline{\quad}$，恰与首数 $18$ 相等，所以 $18-3\times6=0$。
  3. 第 3 步（第 (2) 题·定末步）：要得 $1$，末步用除法，凑出两个相等的数相除。
  4. 第 4 步（凑相等）：前两数相乘 $3\times5=\underline{\quad}$，与 $15$ 相等，所以 $3\times5\div15=1$。
第二套
题目：数字卡片游戏：把运算符号卡片插到数与数之间，使式子成立。（1）$20\ \ 4\ \ 5=0$；（2）$2\ \ 4\ \ 6=1$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题·定末步）：卡片要拼出 $0$，末步用减法，凑相等两数。
  2. 第 2 步（凑相等）：$4\times5=\underline{\quad}$ 与首数 $20$ 相等，$20-4\times5=0$。
  3. 第 3 步（第 (2) 题·定末步）：要拼出 $1$，末步用除法，凑相等两数。
  4. 第 4 步（凑相等）：$2+4=\underline{\quad}$ 与 $6$ 相等，$(2+4)\div6=1$。
第三套
题目：在下面各题中填上适当的运算符号，使等式成立。（1）$24\ \ 6\ \ 4=0$；（2）$8\ \ 4\ \ 2=1$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题·定末步）：要得 $0$，末步用减法，凑相等两数。
  2. 第 2 步（凑相等）：$6\times4=\underline{\quad}$ 与首数 $24$ 相等，$24-6\times4=0$。
  3. 第 3 步（第 (2) 题·定末步）：要得 $1$，可连续相除。
  4. 第 4 步（连除）：$8\div4=\underline{\quad}$，再 $2\div2=1$，所以 $8\div4\div2=1$。
第三套
题目：在 $8\ \ 2\ \ 2\ \ 2$ 之间填上适当的运算符号，使 $8\ \ 2\ \ 2\ \ 2=0$ 成立。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定末步）：$4$ 个数要凑出 $0$，末步用减法，凑出与首数 $8$ 相等的数。
  2. 第 2 步（连乘凑相等）：后三数连乘 $2\times2\times2=\underline{\quad}$，与首数 $8$ 相等。
  3. 第 3 步（相减）：$8-2\times2\times2=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch20-xingqu-02】在下面相邻两数之间，填上“$+$”或“$-$”，使等式成立。$$6\ \ 5\ \ 4\ \ 3=0$$
详细思路
是哪类问题：这是「填加减号使等式成立」类：相邻两数间只填 $+$ 或 $-$，先全加求出与目标的差，差的一半就是要变号的那些数之和。
关键切入点：全加 $6+5+4+3=18$，比目标 $0$ 多 $18$；把某个数前的 $+$ 改成 $-$，结果会减少这个数的 $2$ 倍，所以要变号的数之和 $=18\div2=9$。找和为 $9$ 的数：$5+4=9$，把 $5$、$4$ 变号得 $6-5-4+3=0$。
方法概述：先全加求出与目标的差，差的一半即需变号的数之和，再枚举。
规范步骤：
  1. 全部相加：$6+5+4+3=18$（求全加和）
  2. 求差并取一半：$(18-0)\div2=9$（差的一半=需变号数之和）
  3. 找和为 $9$ 的数变号：$5+4=9$，把 $5,4$ 变号（枚举变号数）
  4. 验算：$6-5-4+3=0$（代入验证）
第一套
题目：在相邻两数之间填上 “$+$” 或 “$-$”，使等式成立。$$8\ \ 7\ \ 6\ \ 5=2$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：$8+7+6+5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $2$ 的差是 $26-2=\underline{\quad}$，需变号的数之和 $=24\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举变号数）：找和为 $12$ 的数：$7+5=12$，把 $7$、$5$ 变号。
  4. 第 4 步（验算）：$8-7+6-5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：连续四天气温变化量（℃）依次记为 $6,5,4,3$，每天前面记 “$+$”（上升）或 “$-$”（下降）。要使四天净变化为 $0$，该怎样记？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：四天共 $6+5+4+3=\underline{\quad}$（℃）。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $0$ 的差是 $18$，需记“下降”的温度之和 $=18\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举）：和为 $9$ 的是 $5+4$，把这两天记成下降（负）。
  4. 第 4 步（验算）：$6-5-4+3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在相邻两数之间填上 “$+$” 或 “$-$”，使等式成立。$$7\ \ 6\ \ 5\ \ 4=0$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：$7+6+5+4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $0$ 的差是 $22$，需变号的数之和 $=22\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举）：和为 $11$ 的是 $6+5$（首数 $7$ 不能变号），把 $6$、$5$ 变号。
  4. 第 4 步（验算）：$7-6-5+4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在相邻两数之间填上 “$+$” 或 “$-$”，使等式成立。$$9\ \ 8\ \ 7\ \ 6\ \ 5=5$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：$9+8+7+6+5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $5$ 的差是 $35-5=\underline{\quad}$，需变号的数之和 $=30\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举）：和为 $15$ 的是 $8+7$（首数 $9$ 不能变号），把 $8$、$7$ 变号。
  4. 第 4 步（验算）：$9-8-7+6+5=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch20-xingqu-03】在下面相邻两数之间，填上“$+$”或“$-$”，使等式成立。$$6\ \ 5\ \ 4\ \ 3\ \ 2\ \ 1=11$$
详细思路
是哪类问题：这是「填加减号使等式成立」类（本题有多个解）：仍用全加求差、差半变号，符合条件的变号组合可能不止一种。
关键切入点：全加 $6+5+4+3+2+1=21$，与目标 $11$ 相差 $10$，$10\div2=5$，只要把和为 $5$ 的数变号即可。$5$ 单独变号得 $6-5+4+3+2+1=11$；$4+1$ 变号得 $6+5-4+3+2-1=11$；$3+2$ 变号得 $6+5+4-3-2+1=11$。
方法概述：全加求差、差半变号，枚举所有和为差半的组合。
规范步骤：
  1. 全部相加：$6+5+4+3+2+1=21$（求全加和）
  2. 求差取半：$(21-11)\div2=5$（差的一半=需变号数之和）
  3. 枚举和为 $5$ 的组合：$\{5\},\{4,1\},\{3,2\}$（多解枚举）
  4. 写出一解：$6-5+4+3+2+1=11$（代入验证）
第一套
题目：在相邻两数之间填上 “$+$” 或 “$-$”，使等式成立。$$8\ \ 7\ \ 6\ \ 5\ \ 4\ \ 3=15$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：$8+7+6+5+4+3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $15$ 的差是 $33-15=\underline{\quad}$，需变号的数之和 $=18\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举）：和为 $9$ 的有 $\{6,3\}$、$\{5,4\}$ 等，取 $\{6,3\}$ 变号。
  4. 第 4 步（验算）：$8+7-6+5+4-3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：六名同学的基准分依次是 $6,5,4,3,2,1$，每人记“加分（$+$）”或“扣分（$-$）”，要使总分为 $11$，可以怎样记？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：六名同学得分 $6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $11$ 差 $10$，记“扣分”的分数之和 $=10\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举）：和为 $5$ 的可取 $\{5\}$，把这名同学记扣分。
  4. 第 4 步（验算）：$6-5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在相邻两数之间填上 “$+$” 或 “$-$”，使等式成立。$$6\ \ 5\ \ 4\ \ 3\ \ 2\ \ 1=3$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：$6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $3$ 的差是 $21-3=\underline{\quad}$，需变号的数之和 $=18\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举）：和为 $9$ 的可取 $\{5,4\}$（首数 $6$ 不能变号），把 $5$、$4$ 变号。
  4. 第 4 步（验算）：$6-5-4+3+2+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在相邻两数之间填上 “$+$” 或 “$-$”，使等式成立。$$9\ \ 8\ \ 7\ \ 6\ \ 5\ \ 4\ \ 3\ \ 2\ \ 1=23$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全加）：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $23$ 的差是 $45-23=\underline{\quad}$，需变号的数之和 $=22\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举）：和为 $11$ 的可取 $\{8,3\}$，把 $8$、$3$ 变号。
  4. 第 4 步（验算）：$9-8+7+6+5+4-3+2+1=\underline{\quad}$。
26. 【原题 ch20-xingqu-04】在下面算式中合适的地方填入“$+$”或“$-$”（两个数之间可以不填，不填则前后数合并成多位数），使等式成立。$$5\ \ 4\ \ 3\ \ 2\ \ 1=27$$
详细思路
是哪类问题：这是「数位合并 + 添加减号」类：相邻两数间填 $+$、$-$ 或不填（不填则合并成多位数）。先合并出一个接近目标的多位数，再用其余数字加减凑齐。
关键切入点：把 $2$、$1$ 合并成 $21$，接近 $27$；还差 $27-21=6$，用 $5$、$4$、$3$ 凑 $6$：$5+4-3=6$，得 $5+4-3+21=27$。
方法概述：先合并出接近目标的多位数，再用其余数字加减补差。
规范步骤：
  1. 合并接近目标的多位数：$2,1$ 合并成 $21$，接近 $27$（数位合并）
  2. 求补差：$27-21=6$（求差）
  3. 其余数字凑补差：$5+4-3=6$（加减凑数）
  4. 写出答案：$5+4-3+21=27$
第一套
题目：在合适的地方填 “$+$” 或 “$-$”（两数间可不填、不填则合并成多位数），使等式成立。$$6\ \ 5\ \ 4\ \ 3\ \ 2\ \ 1=39$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并多位数）：把末两位 $2$、$1$ 合并成 $21$，接近目标 $39$。
  2. 第 2 步（求补差）：还差 $39-21=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（凑补差）：用 $6,5,4,3$ 凑 $18$：$6+5+4+3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（合起来）：$6+5+4+3+21=\underline{\quad}$。
第二套
题目：用数字牌 $5,4,3,2,1$ 排成一行，在相邻牌间放 “$+$”“$-$” 或紧挨（紧挨则拼成多位数），使结果为 $27$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并多位数）：把 $2$、$1$ 合并成 $21$，接近 $27$。
  2. 第 2 步（求补差）：还差 $27-21=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（凑补差）：$5+4-3=\underline{\quad}$，合起来 $5+4-3+21=27$。
第三套
题目：在合适的地方填 “$+$” 或 “$-$”（两数间可不填、不填则合并成多位数），使等式成立。$$5\ \ 4\ \ 3\ \ 2\ \ 1=60$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并多位数）：把首两位 $5$、$4$ 合并成 $54$，接近 $60$。
  2. 第 2 步（求补差）：还差 $60-54=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（凑补差）：$3+2+1=\underline{\quad}$，合起来 $54+3+2+1=60$。
第三套
题目：在合适的地方填 “$+$” 或 “$-$”（两数间可不填、不填则合并成多位数），使等式成立。$$6\ \ 5\ \ 4\ \ 3\ \ 2\ \ 1=100$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并两个多位数）：把 $6$、$5$ 合并成 $65$，把 $3$、$2$ 合并成 $32$。
  2. 第 2 步（相加）：$65+4+32=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（补差）：还多 $1$，减去：$101-1=\underline{\quad}$。
27. 【原题 ch20-xingqu-05】在下面相邻两数之间，填上“$\times$”或“$\div$”，使等式成立。$$3\ \ 4\ \ 5\ \ 6=10$$
详细思路
是哪类问题：这是「填乘除号使等式成立」类：相邻两数间只填 $\times$ 或 $\div$。先全乘，把某数前的 $\times$ 改成 $\div$，结果就等于全乘积除以这个数的平方。
关键切入点：全乘 $3\times4\times5\times6=360$。要得 $10$，需 $360\div10=36$，而 $36=6\times6$，所以把 $6$ 前的 $\times$ 改成 $\div$：$3\times4\times5\div6=10$。
方法概述：先全乘，用“全乘积÷目标=需变号数的平方”定位要改除号的数。
规范步骤：
  1. 全部相乘：$3\times4\times5\times6=360$（求全乘积）
  2. 求需改数的平方：$360\div10=36=6^2$（全乘积÷目标）
  3. 把 $6$ 前改除号：$3\times4\times5\div6=10$（改乘为除）
  4. 写出答案：$3\times4\times5\div6=10$
第一套
题目：在相邻两数之间填上 “$\times$” 或 “$\div$”，使等式成立。$$4\ \ 5\ \ 6\ \ 9=30$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全乘）：$4\times5\times6\times9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求需改数的平方）：$1080\div30=\underline{\quad}$，而 $36=6\times6$，所以要改的是 $6$。
  3. 第 3 步（改除号并验算）：$4\times5\times9\div6=\underline{\quad}$。
第二套
题目：四张卡片上的数依次是 $3,4,5,6$，在相邻两数间插入 “$\times$” 或 “$\div$” 卡片，使结果为 $10$，怎样插？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全乘）：$3\times4\times5\times6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求需改数的平方）：$360\div10=\underline{\quad}$，$36=6^2$，改 $6$ 的乘号为除号。
  3. 第 3 步（验算）：$3\times4\times5\div6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在相邻两数之间填上 “$\times$” 或 “$\div$”，使等式成立。$$3\ \ 4\ \ 6\ \ 8=16$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全乘）：$3\times4\times6\times8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求需改数的平方）：$576\div16=\underline{\quad}$，$36=6^2$，改 $6$ 的乘号为除号。
  3. 第 3 步（验算）：$3\times4\times8\div6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在相邻两数之间填上 “$\times$” 或 “$\div$”，使等式成立。$$2\ \ 3\ \ 4\ \ 5\ \ 6=20$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全乘）：$2\times3\times4\times5\times6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求需改数的平方）：$720\div20=\underline{\quad}$，$36=6^2$，改 $6$ 的乘号为除号。
  3. 第 3 步（验算）：$2\times3\times4\times5\div6=\underline{\quad}$。
28. 【原题 ch20-xingqu-06】在下面各题的相邻两数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立。（1）$3\ \ 3\ \ 3\ \ 3=10$；（2）$6\ \ 6\ \ 6\ \ 6=4$。
详细思路
是哪类问题：这是「相同数字凑目标」类：用 $4$ 个相同数字添符号和括号凑出目标；先用其中两个凑一个接近目标的数，再把剩下两个凑成补差。
关键切入点：（1）两个 $3$ 相乘得 $9$，很接近 $10$，剩下两个 $3$ 凑成 $1$：$3\div3=1$，得 $3\times3+3\div3=10$。（2）$6$ 与 $4$ 接近，让另外三个 $6$ 凑成 $2$：$(6+6)\div6=2$，得 $6-(6+6)\div6=4$。
方法概述：先用两数凑出接近目标的数，剩余数字凑成补差（必要时加括号）。
规范步骤：
  1. （1）两个 $3$ 相乘：$3\times3=9$，接近 $10$（凑接近目标的数）
  2. （1）剩下两个 $3$ 凑 $1$：$3\div3=1$，$9+1=10$（凑补差）
  3. （2）三个 $6$ 凑 $2$：$(6+6)\div6=2$（凑补差）
  4. （2）相减：$6-2=4$，即 $6-(6+6)\div6=4$（括号改序）
  5. 写出答案：$（1）3\times3+3\div3=10；（2）6-(6+6)\div6=4$
第一套
题目：在下面各题中填上适当的运算符号和括号，使等式成立。（1）$5\ \ 5\ \ 5\ \ 5=26$；（2）$9\ \ 9\ \ 9\ \ 9=7$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题·凑接近数）：两个 $5$ 相乘 $5\times5=\underline{\quad}$，接近 $26$。
  2. 第 2 步（凑补差）：剩下两个 $5$ 凑成 $1$：$5\div5=\underline{\quad}$，$25+1=26$。
  3. 第 3 步（第 (2) 题·三数凑 2）：$(9+9)\div9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相减）：$9-2=\underline{\quad}$，即 $9-(9+9)\div9=7$。
第二套
题目：用 $4$ 张都写着 $3$ 的卡片，添符号和括号凑出 $10$，怎样凑？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（凑接近数）：两个 $3$ 相乘 $3\times3=\underline{\quad}$，接近 $10$。
  2. 第 2 步（凑补差）：另两个 $3$ 凑成 $1$：$3\div3=\underline{\quad}$，合起来 $9+1=10$。
第三套
题目：用 $4$ 个 $7$ 添上符号和括号，使 $7\ \ 7\ \ 7\ \ 7=5$ 成立。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（凑接近数）：两个 $7$ 相乘 $7\times7=\underline{\quad}$……太大，改用加法。
  2. 第 2 步（三数凑 2 再减）：$(7+7)\div7=\underline{\quad}$，$7-2=5$，即 $7-(7+7)\div7=5$。
第三套
题目：在下面算式中填上适当的运算符号和括号，使等式成立。$$4\ \ 4\ \ 4\ \ 4\ \ 4\ \ 4=10$$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（凑接近数）：两个 $4$ 相加 $4+4=\underline{\quad}$，接近 $10$。
  2. 第 2 步（凑补差）：剩下两个 $4$ 凑成 $2$：$4\div4+4\div4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并）：$8+2=\underline{\quad}$，即 $4+4+4\div4+4\div4=10$。
29. 【原题 ch20-xingqu-07】让我们来玩“$24$ 点游戏”，游戏规则是：用给定的 $4$ 个数凑 $24$，数可以打乱顺序，每个数仅用一次，可用“$+$、$-$、$\times$、$\div$ 或（ ）”。（1）$3,\ 4,\ 5,\ 8$；（2）$5,\ 6,\ 7,\ 8$。
详细思路
是哪类问题：这是「$24$ 点游戏」：用 $4$ 个数（可打乱顺序、各用一次、可加括号）凑 $24$；先拿出能直接得 $24$ 的一对因数，再用其余两数配合。
关键切入点：（1）$3\times8=24$，剩下 $5$、$4$ 凑成 $1$：$5-4=1$，得 $3\times8\times(5-4)=24$。（2）$6\times4=24$，由 $5,7,8$ 凑出 $4$：$5+7-8=4$，得 $6\times(5+7-8)=24$。
方法概述：先固定一对能得 24 的因数，再用其余数凑出配合的数。
规范步骤：
  1. （1）定因数：$3\times8=24$（凑 24 的因数）
  2. （1）其余凑 1：$5-4=1$，$24\times1=24$（凑配合数）
  3. （2）定因数：$6\times4=24$，由 $5,7,8$ 凑 $4$（凑 24 的因数）
  4. （2）凑 4：$5+7-8=4$，$6\times4=24$（凑配合数）
  5. 写出答案：$（1）3\times8\times(5-4)=24；（2）6\times(5+7-8)=24$
第一套
题目：用给定 $4$ 个数凑 $24$（可打乱顺序、各用一次、可加括号）。（1）$2,\ 3,\ 5,\ 8$；（2）$3,\ 5,\ 7,\ 9$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题·凑 24）：$2\times8=\underline{\quad}$，还差 $8$，用 $5$、$3$ 补：$5+3=8$。
  2. 第 2 步（相加）：$2\times8+5+3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (2) 题·定因数）：$(9+3)\times(7-5)$ 中 $9+3=\underline{\quad}$、$7-5=2$，积为 $24$。
  4. 第 4 步（相乘）：$(9+3)\times(7-5)=\underline{\quad}$。
第二套
题目：抽到写有 $3,4,5,8$ 的四张扑克牌，玩“$24$ 点”，怎样算出 $24$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定因数）：$3\times8=\underline{\quad}$，正好 $24$。
  2. 第 2 步（其余凑 1）：$5-4=\underline{\quad}$，$24\times1=24$。
第三套
题目：用 $6,6,5,5$ 凑 $24$（可打乱顺序、各用一次、可加括号）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定因数）：$6\times4=\underline{\quad}$，正好 $24$，由 $6$、$6$、$5$、$5$ 中先取两个 $6$…… 改用 $6\times(5+5-6)$。
  2. 第 2 步（凑 4）：$5+5-6=\underline{\quad}$，再 $6\times4=24$。
第三套
题目：用 $11,11,5,1$ 凑 $24$（可打乱顺序、各用一次、可加括号）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找特殊关系）：$11\times11=\underline{\quad}$，而 $24\times5=120$，只差 $1$。
  2. 第 2 步（借 1、除 5）：$(11\times11-1)\div5=\underline{\quad}$。
30. 【原题 ch20-xingqu-08】我们可以在算式 $8\times 3+12\div 4$ 中添加括号来改变原有的运算顺序，如果只能添加一对括号，那么算式的结果最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「添括号改变运算顺序求最值」类：只添一对括号，枚举所有添法，比较结果取最小。
关键切入点：原式 $8\times3+12\div4=24+3=27$。要使结果最小，应削弱乘除的作用；枚举各种加括号方式，$(8\times3+12)\div4=36\div4=9$ 最小。
方法概述：枚举所有可放括号的位置，逐一计算比较，取最小。
规范步骤：
  1. 不加括号原值：$8\times3+12\div4=27$（先看原值）
  2. 把和整体除以 4：$(8\times3+12)\div4=36\div4=9$（枚举加括号）
  3. 其余添法更大：$8\times(3+12)\div4=30,\ (8\times3+12\div4)$ 不变（比较）
  4. 取最小：$9$（取最值）
第一套
题目：在 $6\times4+18\div3$ 中只添一对括号，那么结果最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原值）：$6\times4+18\div3=24+6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（枚举加括号）：$(6\times4+18)\div3=\underline{\quad}$，$6\times(4+18)\div3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取最小）：比较各结果，最小是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：计算器上显示式子 $8\times3+12\div4$，小明想只加一对括号让结果尽量小，最小能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原值）：$8\times3+12\div4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（关键添法）：把前面的和整体除以 $4$：$(8\times3+12)\div4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在 $12\times2+6\div3$ 中只添一对括号，结果最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原值）：$12\times2+6\div3=24+2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（关键添法）：$(12\times2+6)\div3=30\div3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在 $8\times3+12\div4+6$ 中只添一对括号，结果最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原值）：$8\times3+12\div4+6=24+3+6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（枚举合法添法：括号只改顺序、不改符号，末尾始终是 $+6$）：$8\times(3+12\div4)+6=\underline{\quad}$，$8\times(3+12\div4+6)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取最大）：把 $3+12\div4+6=12$ 整体乘 $8$ 最大，结果是 $\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch20-xingqu-09】在下面的 $\square$ 中填入“$+$、$-$、$\times$、$\div$”各一个，要使计算的结果最大，那么算式的结果最大是多少？$$5\ \square\ 5\ \square\ 5\ \square\ 5\ \square\ 5$$
详细思路
是哪类问题：这是「填四则运算符号求最值」类：$4$ 个符号各用一次，要使结果最大，让乘、加发挥增大作用，减、除安排在影响最小处。
关键切入点：让 $5\times5=25$ 做主体，再 $+5$，减去的和除去的都用最小的 $1$：$5\div5=1$。综合 $5\times5+5-5\div5=25+5-1=29$。
方法概述：乘、加放在增大处，减、除放在影响最小处。
规范步骤：
  1. 乘法造大数：$5\times5=25$（乘法增大）
  2. 再加一个 5：$25+5=30$（加法增大）
  3. 减除影响最小：$5\div5=1$，$30-1=29$（减除放最小处）
  4. 最大结果：$5\times5+5-5\div5=29$（取最值）
第一套
题目：在 $6\ \square\ 6\ \square\ 6\ \square\ 6\ \square\ 6$ 的 $\square$ 中填入 “$+,-,\times,\div$” 各一个，结果最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乘法造大数）：$6\times6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（再加一个 6）：$36+6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（减除放最小处）：$6\div6=\underline{\quad}$，$42-1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：用 $5$ 张 “$5$” 卡片与 “$+,-,\times,\div$” 各一张，排成一个式子，结果最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乘法造大数）：$5\times5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（再加、再减除放最小处）：$25+5-5\div5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在 $5\ \square\ 4\ \square\ 3\ \square\ 2\ \square\ 1$ 的 $\square$ 中填入 “$+,-,\times,\div$” 各一个，结果最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乘法造大数）：把最大的两数相乘 $5\times4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（加中间数、除以 1）：$2\div1=\underline{\quad}$ 影响最小，放在减号后。
  3. 第 3 步（合并）：$5\times4+3-2\div1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在 $5\ \square\ 5\ \square\ 5\ \square\ 5\ \square\ 5$ 中填 “$+,-,\times,\div$” 各一个，并允许再添一对括号，结果最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用括号放大乘法）：把 $5+5$ 先括起来 $5+5=\underline{\quad}$，再乘 $5$。
  2. 第 2 步（乘法造更大数）：$5\times(5+5)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（减除放最小处）：$5\div5=\underline{\quad}$，$50-1=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch20-xingqu-10】有一类三位数，各数位上的数字之积是 $18$，在所有这样的三位数中，最大的数与最小的数的差是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「数字积一定、组数求最值」类：三位数各数位数字之积固定（数字取 $1\sim9$、不为 $0$），把积分解成三个一位数因数，再按高位优先组出最大、最小数作差。
关键切入点：$18=1\times2\times9$（这组含最大的 $9$）。要最大，$9$ 放百位、$2$ 放十位得 $921$；要最小，$1$ 放百位、$2$ 放十位得 $129$。差为 $921-129=792$。
方法概述：把积分解成三个一位数因数，高位优先组出最大、最小数再作差。
规范步骤：
  1. 分解出含 9 的一组：$18=1\times2\times9$（分解因数）
  2. 组最大数：$921$（高位优先）
  3. 组最小数：$129$（高位优先）
  4. 作差：$921-129=792$（求差）
第一套
题目：有一类三位数，各数位上的数字之积是 $36$。在所有这样的三位数中，最大的数与最小的数的差是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解因数）：$36$ 拆成三个一位数之积，取含最大数字 $9$ 的一组 $36=1\times4\times9$。
  2. 第 2 步（组最大数）：$9$ 放百位、$4$ 放十位、$1$ 放个位，最大数是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（组最小数）：$1$ 放百位、$4$ 放十位、$9$ 放个位，最小数是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作差）：$941-149=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一种三位数密码，三个数字之积恰是 $18$（数字都不为 $0$）。这类密码里最大的与最小的相差多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解因数）：$18=1\times2\times9$。
  2. 第 2 步（组最大数）：$921$；组最小数 $129$，最大数是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（作差）：$921-129=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：有一类三位数，各数位上的数字之积是 $24$。最大的数与最小的数的差是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解因数）：取含最大数字 $8$ 的一组 $24=1\times3\times8$。
  2. 第 2 步（组最大数）：$8$ 放百位、$3$ 放十位，最大数是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（组最小数）：$1$ 放百位、$3$ 放十位，最小数是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作差）：$831-138=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有一类三位数，各数位上的数字之积是 $18$（数字都不为 $0$）。这些三位数各数位数字之和最大与最小相差多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解因数）：$18$ 拆成三个一位数之积，共有 $1\times2\times9$、$1\times3\times6$、$2\times3\times3$ 等几组。
  2. 第 2 步（求各组之和的最大与最小）：各组三个因数之和分别为 $1+2+9=\underline{\quad}$、$1+3+6=\underline{\quad}$、$2+3+3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（作差）：数字之和最大 $12$、最小 $8$，相差 $12-8=\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch20-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（定数字）：相邻三位之和是 $26$，而 $0\sim9$ 中三数之和为 $26$ 的只有 $8+9+9$，所以号码只含 $8,9$，且每相邻三位是两个 $9$、一个 $8$。
    2. 第 2 步（周期构造）：按 $899,989,998$ 三种排列周期重复成九位，得三个号码 $899899899,\ 989989989,\ 998998998$。
    3. 第 3 步（由首位定大雄）：两人首位相同（都为 $9$），大雄首位只能是 $8$，其号码为 $\underline{899899899}$。
    最终答案：$899899899$。
  2. 1. ch20-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（定数字）：相邻三位之和 $26$，而三个数字之和为 $26$ 的只有 $8+9+9$，所以号码只含 $8,9$。
    2. 第 2 步（周期构造）：按 $899,989,998$ 三种排列周期重复成八位，得 $89989989,\ 98998998,\ 99899899$。
    3. 第 3 步（由首位定大雄）：康夫、小静首位相同（都为 $9$），大雄首位只能是 $8$，其号码为 $\underline{89989989}$。
    最终答案：$89989989$。
  3. 1. ch20-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（定数字）：相邻三位之和 $26$ 只有 $8+9+9$，所以号码只含 $8,9$。
    2. 第 2 步（构造三种八位号码）：$89989989,\ 98998998,\ 99899899$。
    3. 第 3 步（取最大）：比较三个号码（首位 $9$ 者更大，再看后续数位），最大的一个是 $\underline{99899899}$。
    最终答案：$99899899$。
  4. 1. ch20-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（定数字）：相邻三位之和 $26$ 只有 $8+9+9$，所以号码只含 $8,9$。
    2. 第 2 步（周期构造十位号码）：按 $899,989,998$ 周期重复成十位，得 $8998998998,\ 9899899899,\ 9989989989$。
    3. 第 3 步（由首位定大雄）：两人首位相同（都为 $9$），大雄首位只能是 $8$，其号码为 $\underline{8998998998}$。
    最终答案：$8998998998$。
  5. 2. ch20-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（由甲个位）：甲把首加数个位抄成 $7$，甲的和 $84$ 个位是 $4$，$7+□=14$，次加数个位 $=14-7=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（由乙定真首加数）：乙把次加数十位抄成 $2$（用了 $27$），真首加数 $=73-27=\underline{46}$。
    3. 第 3 步（由甲定次加数）：甲用的首加数是 $47$，次加数 $=84-47=\underline{37}$。
    4. 第 4 步（正确和）：$46+37=\underline{83}$。
    最终答案：$83$。
  6. 2. ch20-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（由甲个位）：$8+□=13$，次加数个位 $=13-8=\underline{5}$。
    2. 第 2 步（由乙定真首加数）：乙用了 $55$，真首加数 $=132-55=\underline{77}$。
    3. 第 3 步（由甲定次加数）：甲用的首加数是 $78$，次加数 $=123-78=\underline{45}$。
    4. 第 4 步（正确和）：$77+45=\underline{122}$。
    最终答案：$122$。
  7. 2. ch20-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（由甲个位）：甲把首加数个位抄成 $6$，甲的和 $135$ 个位 $5$，$6+□=15$，次加数个位 $=15-6=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（由乙定真首加数）：乙把次加数十位抄成 $3$（用了 $39$），真首加数 $=124-39=\underline{85}$。
    3. 第 3 步（由甲定次加数）：甲用的首加数是 $86$，次加数 $=135-86=\underline{49}$。
    4. 第 4 步（正确和）：$85+49=\underline{134}$。
    最终答案：$134$。
  8. 2. ch20-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（由乙个位）：乙把次加数个位抄成 $4$，乙的和 $117$ 个位 $7$，真首加数个位 $=7-4=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（由甲定次加数）：甲把首加数十位抄成 $9$（用了 $93$），次加数 $=151-93=\underline{58}$。
    3. 第 3 步（由乙定真首加数）：乙用的次加数是 $54$，真首加数 $=117-54=\underline{63}$。
    4. 第 4 步（正确和）：$63+58=\underline{121}$。
    最终答案：$121$。
  9. 3. ch20-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题·先乘）：$2\times(8+7-3)$ 中 $8+7-3=\underline{12}$，再 $2\times12=24$。
    2. 第 2 步（相乘）：$2\times(8+7-3)=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（第 (2) 题·凑差再乘）：$(9+3)\times(7-5)$ 中 $9+3=\underline{12}$、$7-5=2$，积为 $24$。
    4. 第 4 步（相乘）：$(9+3)\times(7-5)=\underline{24}$。
    最终答案：（1）$2\times(8+7-3)=24$；（2）$(9+3)\times(7-5)=24$。
  10. 3. ch20-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（先乘）：$(10-3)\times4=\underline{28}$。
    2. 第 2 步（再减）：$28-4=\underline{24}$。
    最终答案：$(10-3)\times4-4=24$。
  11. 3. ch20-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（凑差）：$5+5-6=\underline{4}$。
    2. 第 2 步（相乘）：$6\times(5+5-6)=\underline{24}$。
    最终答案：$6\times(5+5-6)=24$。
  12. 3. ch20-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（找特殊关系）：$5\times5=\underline{25}$，比 $24$ 大 $1$。
    2. 第 2 步（用 $5\div5$ 凑 1 减去）：$5\times5-5\div5=\underline{24}$。
    最终答案：$5\times5-5\div5=24$。
  13. 5. ch20-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（一对括号·扩大被乘数）：把 $\times6$ 前的 $14+3$ 括起，$14+3=\underline{17}$，$(14+3)\times6=102$。
    2. 第 2 步（算出）：$(14+3)\times6+20-5+9=\underline{126}$。
    3. 第 3 步（两对括号·再扩大）：$(14+3)\times(6+20-5+9)=17\times30=\underline{510}$。
    最终答案：（1）$126$；（2）$510$。
  14. 5. ch20-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（一对括号）：$12+4\times(5+15-6+8)$ 中 $5+15-6+8=\underline{22}$。
    2. 第 2 步（算出）：$12+4\times22=\underline{100}$。
    最终答案：$100$。
  15. 5. ch20-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（一对括号）：$10+5\times(4+12-3+6)$ 中 $4+12-3+6=\underline{19}$。
    2. 第 2 步（算出）：$10+5\times19=\underline{105}$。
    最终答案：$105$。
  16. 5. ch20-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（两对括号·扩大被乘数）：把 $12+4$ 与后面的和都括起，后一括号 $5+15-6+8+10=\underline{32}$。
    2. 第 2 步（算出）：$(12+4)\times(5+15-6+8+10)=16\times32=\underline{512}$。
    最终答案：$512$。
  17. 10. ch20-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（全加）：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{45}$。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $25$ 的差是 $45-25=\underline{20}$，需变号的数之和 $=20\div2=\underline{10}$。
    3. 第 3 步（枚举和为 $10$ 的组合比较乘积）：$6\times4=\underline{24}$，$7\times3=\underline{21}$，$5\times3\times2=\underline{30}$。
    4. 第 4 步（取最大）：其中乘积最大是 $\underline{30}$。
    最终答案：$30$。
  18. 10. ch20-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（全加）：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{45}$。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $31$ 差 $14$，需变号的数之和 $=14\div2=\underline{7}$。
    3. 第 3 步（枚举和为 $7$ 的组合比较乘积）：$6\times1=\underline{6}$，$5\times2=\underline{10}$，$4\times3=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{12}$。
    最终答案：$12$。
  19. 10. ch20-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（全加）：$8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $20$ 差 $16$，需变号的数之和 $=16\div2=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（枚举和为 $8$ 的组合比较乘积）：$7\times1=\underline{7}$，$6\times2=\underline{12}$，$5\times3=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{15}$。
    最终答案：$15$。
  20. 10. ch20-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（全加求差取半）：$45$ 与目标 $31$ 差 $14$，需变号的数之和 $=14\div2=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（这次求乘积最小，枚举和为 $7$ 的组合）：$6\times1=\underline{6}$，$5\times2=\underline{10}$，$4\times3=\underline{12}$，$7=\underline{7}$。
    3. 第 3 步（取最小）：其中乘积最小是 $\underline{6}$。
    最终答案：$6$。
  21. 11. ch20-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题·先加大）：$4\times8=\underline{32}$，比 $24$ 大 $8$，用 $6$、$2$ 补：$6+2=8$。
    2. 第 2 步（相减）：$4\times8-6-2=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（第 (2) 题·凑差再乘）：$2\times6=\underline{12}$ 差一点，用 $(9+3)\times(... )$。改凑 $9+3=12$、$7-5=2$：$12\times2=24$。
    4. 第 4 步（相乘）：$(9+3)\times(7-5)=\underline{24}$。
    最终答案：（1）$4\times8-6-2=24$；（2）$(9+3)\times(7-5)=24$。
  22. 11. ch20-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（凑差）：$4-2=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（成 24）：$6\times8\div2=\underline{24}$。
    最终答案：$6\times8\div(4-2)=24$。
  23. 11. ch20-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（凑差再乘）：$7-4=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（成 24）：$3\times5+9=\underline{24}$。
    最终答案：$(7-4)\times5+9=24$。
  24. 11. ch20-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（找特殊关系）：$11\times11=\underline{121}$，而 $24\times5=120$，只差 $1$。
    2. 第 2 步（借 1、除 5）：$(11\times11-1)\div5=\underline{24}$。
    最终答案：$(11\times11-1)\div5=24$。
  25. 12. ch20-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题·凑主体）：$3\times4=\underline{12}$，接近 $19$。
    2. 第 2 步（补差）：$(1+2+3)\times4-5$ 中 $1+2+3=\underline{6}$，$6\times4-5=19$。
    3. 第 3 步（第 (2) 题·括号凑 7）：$6\div6+6=\underline{7}$，再乘 $6$ 得 $42$。
    4. 第 4 步（相乘）：$(6\div6+6)\times6=\underline{42}$。
    最终答案：（1）$(1+2+3)\times4-5=19$；（2）$(6\div6+6)\times6=42$。
  26. 12. ch20-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（凑主体）：$4\times5=\underline{20}$，正好 $20$。
    2. 第 2 步（其余凑 0）：$1+2-3=\underline{0}$，加上 $20$ 仍是 $20$。
    最终答案：$1+2-3+4\times5=20$。
  27. 12. ch20-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（括号凑 5）：$4\div4+4=\underline{5}$。
    2. 第 2 步（相乘）：$(4\div4+4)\times4=\underline{20}$。
    最终答案：$(4\div4+4)\times4=20$。
  28. 12. ch20-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（先乘出大数）：$1\times(2+3)=\underline{5}$。
    2. 第 2 步（连乘）：$1\times(2+3)\times4\times5=\underline{100}$。
    最终答案：$1\times(2+3)\times4\times5=100$。
  29. 13. ch20-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（凑接近数）：$6+6=\underline{12}$，接近 $10$。
    2. 第 2 步（凑补差 $-2$）：剩下四个 $6$ 凑成 $-2$：$-6\div6-6\div6=\underline{-2}$。
    3. 第 3 步（合并）：$12-2=\underline{10}$，即 $6+6-6\div6-6\div6=10$。
    最终答案：$6+6-6\div6-6\div6=10$。
  30. 13. ch20-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（凑接近数）：$4+4=\underline{8}$，接近 $10$。
    2. 第 2 步（凑补差 2）：$4\div4+4\div4=\underline{2}$，合起来得 $10$。
    最终答案：$4+4+4\div4+4\div4=10$。
  31. 13. ch20-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（合并多位数）：把三个 $6$ 合并成 $666$、两个 $6$ 合并成 $66$，先算 $666-66=\underline{600}$。
    2. 第 2 步（再除）：$(666-66)\div6=\underline{100}$。
    最终答案：$(666-66)\div6=100$。
  32. 13. ch20-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（合并多位数）：把三个 $5$ 合并成 $555$、两个 $5$ 合并成 $55$，$555-55=\underline{500}$。
    2. 第 2 步（再除）：$(555-55)\div5=\underline{100}$。
    最终答案：$(555-55)\div5=100$。
  33. 14. ch20-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（试把前两项括起）：$(60-12\times4)=60-48=\underline{12}$。
    2. 第 2 步（继续算）：$(60-12\times4)\div2+1=12\div2+1=\underline{7}$。
    最终答案：$(60-12\times4)\div2+1=7$。
  34. 14. ch20-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（把 $10\div5$ 括起）：$10\div5=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（继续算）：$30+20\div(10\div5)\times2=30+20\div2\times2=\underline{50}$。
    最终答案：$30+20\div(10\div5)\times2=50$。
  35. 14. ch20-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（把 $10\div5$ 括起）：$10\div5=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（继续算）：$50+30\div(10\div5)\times2=50+30\div2\times2=\underline{80}$。
    最终答案：$50+30\div(10\div5)\times2=80$。
  36. 14. ch20-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（把中间三步括起）：括号里 $12\times3\div2+1=18+1=\underline{19}$。
    2. 第 2 步（用被减数减）：$24-(12\times3\div2+1)=24-19=\underline{5}$。
    最终答案：$24-(12\times3\div2+1)=5$。
  37. 15. ch20-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（括住中间的和）：$5+4\times5+4=\underline{29}$。
    2. 第 2 步（并入连乘）：$2+4\times29\times2=\underline{234}$。
    最终答案：$234$。
  38. 15. ch20-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（括住中间的和）：$4+5\times4+3=\underline{27}$。
    2. 第 2 步（并入连乘）：$2+3\times27\times2=\underline{164}$。
    最终答案：$164$。
  39. 15. ch20-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（括住中间的和）：$5+4\times3+5=\underline{22}$。
    2. 第 2 步（并入连乘）：$2+3\times22\times2=\underline{134}$。
    最终答案：$134$。
  40. 15. ch20-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（括住中间的和）：$5+6\times4+5=\underline{34}$。
    2. 第 2 步（并入连乘）：$3+4\times34\times3=\underline{411}$。
    最终答案：$411$。
  41. 16. ch20-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（先算括号内除法）：$8\div2=\underline{4}$，则左括号 $3+8\div2=7$。
    2. 第 2 步（两括号相乘）：$(3+8\div2)\times(9-5)=7\times4=\underline{28}$。
    最终答案：$(3+8\div2)\times(9-5)=28$。
  42. 16. ch20-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（先算括号内除法）：$12\div6=\underline{2}$，则左括号 $4+12\div6=6$。
    2. 第 2 步（两括号相乘）：$(4+12\div6)\times(17-9)=6\times8=\underline{48}$。
    最终答案：$(4+12\div6)\times(17-9)=48$。
  43. 16. ch20-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（先算括号内除法）：$8\div2=\underline{4}$，则左括号 $3+8\div2=7$。
    2. 第 2 步（两括号相乘）：$(3+8\div2)\times(10-4)=7\times6=\underline{42}$。
    最终答案：$(3+8\div2)\times(10-4)=42$。
  44. 16. ch20-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（先算括号内乘法）：$10\times2=\underline{20}$，则左括号 $4+10\times2=24$。
    2. 第 2 步（左括号除以右括号）：$(4+10\times2)\div(7-5)=24\div2=\underline{12}$。
    最终答案：$(4+10\times2)\div(7-5)=12$。
  45. 17. ch20-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（乘法造大数）：$6\times5=\underline{30}$。
    2. 第 2 步（加中间数、除以 1）：$3\div1=\underline{3}$ 影响最小，放在减号后。
    3. 第 3 步（合并）：$6\times5+4-3\div1=\underline{31}$。
    最终答案：$31$。
  46. 17. ch20-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（乘法造大数）：$5\times4=\underline{20}$。
    2. 第 2 步（加、减除放最小处）：$5\times4+3-2\div1=\underline{21}$。
    最终答案：$21$。
  47. 17. ch20-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（乘法造大数）：$7\times5=\underline{35}$。
    2. 第 2 步（合并）：$7\times5+3-2\div1=\underline{36}$。
    最终答案：$36$。
  48. 17. ch20-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（括号扩大乘法）：$5+4=\underline{9}$，再乘 $6$。
    2. 第 2 步（相乘）：$6\times(5+4)=\underline{54}$。
    3. 第 3 步（减除放最小处）：$3\div1=\underline{3}$，$54-3=51$。
    最终答案：$51$。
  49. 18. ch20-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（定范围）：两小时最多行 $200$ 千米，下一个回文数不超过 $13931+200=\underline{14131}$。
    2. 第 2 步（逐位确定）：万位、个位都是 $1$，中间凑成回文且大于 $13931$，得 $14041$；行了 $14041-13931=\underline{110}$（千米）。
    3. 第 3 步（求速度）：$110\div2=\underline{55}$。
    最终答案：$55$ 千米。
  50. 18. ch20-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（定范围）：下一个回文数不超过 $15951+200=\underline{16151}$。
    2. 第 2 步（逐位确定）：回文数为 $16061$，行了 $16061-15951=\underline{110}$（千米）。
    3. 第 3 步（求速度）：$110\div2=\underline{55}$。
    最终答案：$55$ 千米。
  51. 18. ch20-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（定范围）：下一个回文数不超过 $69896+200=\underline{70096}$。
    2. 第 2 步（逐位确定）：回文数为 $69996$，行了 $69996-69896=\underline{100}$（千米）。
    3. 第 3 步（求速度）：$100\div2=\underline{50}$。
    最终答案：$50$ 千米。
  52. 18. ch20-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（定范围）：三小时最多行 $300$ 千米，下一个合适的回文数不超过 $15951+300=\underline{16251}$。
    2. 第 2 步（逐位确定）：$16061$ 行了 $110$ 千米，$110\div3$ 不是整数；取 $16161$，行了 $16161-15951=\underline{210}$（千米）。
    3. 第 3 步（求速度）：$210\div3=\underline{70}$。
    最终答案：$70$ 千米。
  53. 19. ch20-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（首位取最大）：要最大先让首位尽量大，取 $9$；次位只能取 $0$（否则第三位就超过 $9$）。
    2. 第 2 步（逐位累加）：第三位 $9+0=\underline{9}$，第四位 $0+9=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（写出）：这样的最大四位数是 $\underline{9099}$。
    最终答案：$9099$。
  54. 19. ch20-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（起始取最小以增多位数）：取 $1,0$ 开头。
    2. 第 2 步（逐位累加）：$1+0=\underline{1}$，$0+1=\underline{1}$，$1+1=\underline{2}$，$1+2=\underline{3}$，$2+3=\underline{5}$，$3+5=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（到 13 停）：$5+8=13$ 超过 $9$，停止，得 $10112358$。
    最终答案：$10112358$。
  55. 19. ch20-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（首位尽量大又要够五位）：首位取 $4$、次位取 $0$，才能凑够五位。
    2. 第 2 步（逐位累加）：$4+0=\underline{4}$，$0+4=\underline{4}$，$4+4=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（写出）：这样的最大五位数是 $\underline{40448}$。
    最终答案：$40448$。
  56. 19. ch20-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（起始取最小以增多位数）：取 $1,0$ 开头逐位累加得 $1,0,1,1,2,3,5,8$。
    2. 第 2 步（数一数位数）：$1,0,1,1,2,3,5,8$ 一共有 $\underline{8}$ 位。
    3. 第 3 步（写出最大数）：最大的这类数是 $\underline{10112358}$。
    最终答案：$10112358$，共 $8$ 位。
  57. 21. ch20-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（试首位）：经试验首位只能取 $7$（其余取值会使某一位超出 $0\sim9$）。
    2. 第 2 步（逐位推断）：$9-7=\underline{2}$，$11-2=\underline{9}$，$10-9=\underline{1}$，$1-1=\underline{0}$，$8-0=\underline{8}$，$11-8=\underline{3}$。
    3. 第 3 步（写出号码）：得 $7291083$。
    最终答案：$7291083$。
  58. 21. ch20-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（由最小和入手）：和里最小的是 $2$，取第 $4,5$ 位为 $2,0$。
    2. 第 2 步（向左、向右逐位推断）：$9-2=\underline{7}$，$7-7=\underline{0}$，$9-0=\underline{9}$，$8-0=\underline{8}$，$11-8=\underline{3}$。
    3. 第 3 步（写出号码）：得 $9072083$。
    最终答案：$9072083$。
  59. 21. ch20-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（试首位）：由和 $9,6,7,8,9,2$ 试首位为 $9$。
    2. 第 2 步（逐位推断）：$9-9=\underline{0}$，$6-0=\underline{6}$，$7-6=\underline{1}$，$8-1=\underline{7}$，$9-7=\underline{2}$，$2-2=\underline{0}$。
    3. 第 3 步（写出号码）：得 $9061720$。
    最终答案：$9061720$。
  60. 21. ch20-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（试首位）：$7$ 个和对应 $8$ 位号码，试首位为 $9$。
    2. 第 2 步（逐位推断）：$10-9=\underline{1}$，$1-1=\underline{0}$，$7-0=\underline{7}$，$9-7=\underline{2}$，$2-2=\underline{0}$，$8-0=\underline{8}$，$11-8=\underline{3}$。
    3. 第 3 步（写出号码）：得 $91072083$。
    最终答案：$91072083$。
  61. 22. ch20-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（可用数字）：$0,1,8$ 颠倒不变，$6$ 与 $9$ 互换，其余无意义。
    2. 第 2 步（定首尾）：百位可取 $1,6,8,9$（$4$ 种），个位随之确定。
    3. 第 3 步（定中间并计数）：十位可取 $0,1,8$（$3$ 种），共 $4\times3=\underline{12}$ 个。
    最终答案：$12$ 个。
  62. 22. ch20-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（可用数字）：$0,1,8$ 不变，$6\leftrightarrow9$。
    2. 第 2 步（两位数）：十位可取 $1,6,8,9$，共 $\underline{4}$ 个（$11,69,88,96$）。
    最终答案：$4$ 个。
  63. 22. ch20-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（定首尾）：千位可取 $1,6,8,9$（$4$ 种），个位随之确定。
    2. 第 2 步（定第二位并计数）：第二位可取 $0,1,6,8,9$（$5$ 种），第三位随之确定，共 $4\times5=\underline{20}$ 个。
    最终答案：$20$ 个。
  64. 22. ch20-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（定首尾）：万位可取 $1,6,8,9$（$4$ 种），个位随之确定。
    2. 第 2 步（定第二、四位）：第二位可取 $0,1,6,8,9$（$5$ 种），第四位随之确定。
    3. 第 3 步（定中间位并计数）：正中间一位可取 $0,1,8$（$3$ 种），共 $4\times5\times3=\underline{60}$ 个（先算 $4\times5=\underline{20}$ 再乘 $3$）。
    最终答案：$60$ 个。
  65. 23. ch20-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题·定末步）：要得 $0$，末步用减法，只要凑出两个相等的数相减。
    2. 第 2 步（凑相等）：后两数相乘 $3\times6=\underline{18}$，恰与首数 $18$ 相等，所以 $18-3\times6=0$。
    3. 第 3 步（第 (2) 题·定末步）：要得 $1$，末步用除法，凑出两个相等的数相除。
    4. 第 4 步（凑相等）：前两数相乘 $3\times5=\underline{15}$，与 $15$ 相等，所以 $3\times5\div15=1$。
    最终答案：（1）$18-3\times6=0$；（2）$3\times5\div15=1$。
  66. 23. ch20-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 题·定末步）：卡片要拼出 $0$，末步用减法，凑相等两数。
    2. 第 2 步（凑相等）：$4\times5=\underline{20}$ 与首数 $20$ 相等，$20-4\times5=0$。
    3. 第 3 步（第 (2) 题·定末步）：要拼出 $1$，末步用除法，凑相等两数。
    4. 第 4 步（凑相等）：$2+4=\underline{6}$ 与 $6$ 相等，$(2+4)\div6=1$。
    最终答案：（1）$20-4\times5=0$；（2）$(2+4)\div6=1$。
  67. 23. ch20-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 题·定末步）：要得 $0$，末步用减法，凑相等两数。
    2. 第 2 步（凑相等）：$6\times4=\underline{24}$ 与首数 $24$ 相等，$24-6\times4=0$。
    3. 第 3 步（第 (2) 题·定末步）：要得 $1$，可连续相除。
    4. 第 4 步（连除）：$8\div4=\underline{2}$，再 $2\div2=1$，所以 $8\div4\div2=1$。
    最终答案：（1）$24-6\times4=0$；（2）$8\div4\div2=1$。
  68. 23. ch20-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（定末步）：$4$ 个数要凑出 $0$，末步用减法，凑出与首数 $8$ 相等的数。
    2. 第 2 步（连乘凑相等）：后三数连乘 $2\times2\times2=\underline{8}$，与首数 $8$ 相等。
    3. 第 3 步（相减）：$8-2\times2\times2=\underline{0}$。
    最终答案：$8-2\times2\times2=0$。
  69. 24. ch20-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（全加）：$8+7+6+5=\underline{26}$。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $2$ 的差是 $26-2=\underline{24}$，需变号的数之和 $=24\div2=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（枚举变号数）：找和为 $12$ 的数：$7+5=12$，把 $7$、$5$ 变号。
    4. 第 4 步（验算）：$8-7+6-5=\underline{2}$。
    最终答案：$8-7+6-5=2$。
  70. 24. ch20-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（全加）：四天共 $6+5+4+3=\underline{18}$（℃）。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $0$ 的差是 $18$，需记“下降”的温度之和 $=18\div2=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（枚举）：和为 $9$ 的是 $5+4$，把这两天记成下降（负）。
    4. 第 4 步（验算）：$6-5-4+3=\underline{0}$。
    最终答案：$6-5-4+3=0$（第二、三天记下降）。
  71. 24. ch20-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（全加）：$7+6+5+4=\underline{22}$。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $0$ 的差是 $22$，需变号的数之和 $=22\div2=\underline{11}$。
    3. 第 3 步（枚举）：和为 $11$ 的是 $6+5$（首数 $7$ 不能变号），把 $6$、$5$ 变号。
    4. 第 4 步（验算）：$7-6-5+4=\underline{0}$。
    最终答案：$7-6-5+4=0$。
  72. 24. ch20-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（全加）：$9+8+7+6+5=\underline{35}$。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $5$ 的差是 $35-5=\underline{30}$，需变号的数之和 $=30\div2=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（枚举）：和为 $15$ 的是 $8+7$（首数 $9$ 不能变号），把 $8$、$7$ 变号。
    4. 第 4 步（验算）：$9-8-7+6+5=\underline{5}$。
    最终答案：$9-8-7+6+5=5$。
  73. 25. ch20-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（全加）：$8+7+6+5+4+3=\underline{33}$。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $15$ 的差是 $33-15=\underline{18}$，需变号的数之和 $=18\div2=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（枚举）：和为 $9$ 的有 $\{6,3\}$、$\{5,4\}$ 等，取 $\{6,3\}$ 变号。
    4. 第 4 步（验算）：$8+7-6+5+4-3=\underline{15}$。
    最终答案：$8+7-6+5+4-3=15$（答案不唯一）。
  74. 25. ch20-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（全加）：六名同学得分 $6+5+4+3+2+1=\underline{21}$（分）。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $11$ 差 $10$，记“扣分”的分数之和 $=10\div2=\underline{5}$。
    3. 第 3 步（枚举）：和为 $5$ 的可取 $\{5\}$，把这名同学记扣分。
    4. 第 4 步（验算）：$6-5+4+3+2+1=\underline{11}$。
    最终答案：$6-5+4+3+2+1=11$（答案不唯一）。
  75. 25. ch20-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（全加）：$6+5+4+3+2+1=\underline{21}$。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $3$ 的差是 $21-3=\underline{18}$，需变号的数之和 $=18\div2=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（枚举）：和为 $9$ 的可取 $\{5,4\}$（首数 $6$ 不能变号），把 $5$、$4$ 变号。
    4. 第 4 步（验算）：$6-5-4+3+2+1=\underline{3}$。
    最终答案：$6-5-4+3+2+1=3$（答案不唯一）。
  76. 25. ch20-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（全加）：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{45}$。
    2. 第 2 步（求差取半）：与目标 $23$ 的差是 $45-23=\underline{22}$，需变号的数之和 $=22\div2=\underline{11}$。
    3. 第 3 步（枚举）：和为 $11$ 的可取 $\{8,3\}$，把 $8$、$3$ 变号。
    4. 第 4 步（验算）：$9-8+7+6+5+4-3+2+1=\underline{23}$。
    最终答案：$9-8+7+6+5+4-3+2+1=23$（答案不唯一）。
  77. 26. ch20-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（合并多位数）：把末两位 $2$、$1$ 合并成 $21$，接近目标 $39$。
    2. 第 2 步（求补差）：还差 $39-21=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（凑补差）：用 $6,5,4,3$ 凑 $18$：$6+5+4+3=\underline{18}$。
    4. 第 4 步（合起来）：$6+5+4+3+21=\underline{39}$。
    最终答案：$6+5+4+3+21=39$。
  78. 26. ch20-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（合并多位数）：把 $2$、$1$ 合并成 $21$，接近 $27$。
    2. 第 2 步（求补差）：还差 $27-21=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（凑补差）：$5+4-3=\underline{6}$，合起来 $5+4-3+21=27$。
    最终答案：$5+4-3+21=27$。
  79. 26. ch20-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（合并多位数）：把首两位 $5$、$4$ 合并成 $54$，接近 $60$。
    2. 第 2 步（求补差）：还差 $60-54=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（凑补差）：$3+2+1=\underline{6}$，合起来 $54+3+2+1=60$。
    最终答案：$54+3+2+1=60$。
  80. 26. ch20-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（合并两个多位数）：把 $6$、$5$ 合并成 $65$，把 $3$、$2$ 合并成 $32$。
    2. 第 2 步（相加）：$65+4+32=\underline{101}$。
    3. 第 3 步（补差）：还多 $1$，减去：$101-1=\underline{100}$。
    最终答案：$65+4+32-1=100$。
  81. 27. ch20-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（全乘）：$4\times5\times6\times9=\underline{1080}$。
    2. 第 2 步（求需改数的平方）：$1080\div30=\underline{36}$，而 $36=6\times6$，所以要改的是 $6$。
    3. 第 3 步（改除号并验算）：$4\times5\times9\div6=\underline{30}$。
    最终答案：$4\times5\times9\div6=30$。
  82. 27. ch20-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（全乘）：$3\times4\times5\times6=\underline{360}$。
    2. 第 2 步（求需改数的平方）：$360\div10=\underline{36}$，$36=6^2$，改 $6$ 的乘号为除号。
    3. 第 3 步（验算）：$3\times4\times5\div6=\underline{10}$。
    最终答案：$3\times4\times5\div6=10$。
  83. 27. ch20-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（全乘）：$3\times4\times6\times8=\underline{576}$。
    2. 第 2 步（求需改数的平方）：$576\div16=\underline{36}$，$36=6^2$，改 $6$ 的乘号为除号。
    3. 第 3 步（验算）：$3\times4\times8\div6=\underline{16}$。
    最终答案：$3\times4\times8\div6=16$。
  84. 27. ch20-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（全乘）：$2\times3\times4\times5\times6=\underline{720}$。
    2. 第 2 步（求需改数的平方）：$720\div20=\underline{36}$，$36=6^2$，改 $6$ 的乘号为除号。
    3. 第 3 步（验算）：$2\times3\times4\times5\div6=\underline{20}$。
    最终答案：$2\times3\times4\times5\div6=20$。
  85. 28. ch20-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题·凑接近数）：两个 $5$ 相乘 $5\times5=\underline{25}$，接近 $26$。
    2. 第 2 步（凑补差）：剩下两个 $5$ 凑成 $1$：$5\div5=\underline{1}$，$25+1=26$。
    3. 第 3 步（第 (2) 题·三数凑 2）：$(9+9)\div9=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（相减）：$9-2=\underline{7}$，即 $9-(9+9)\div9=7$。
    最终答案：（1）$5\times5+5\div5=26$；（2）$9-(9+9)\div9=7$。
  86. 28. ch20-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（凑接近数）：两个 $3$ 相乘 $3\times3=\underline{9}$，接近 $10$。
    2. 第 2 步（凑补差）：另两个 $3$ 凑成 $1$：$3\div3=\underline{1}$，合起来 $9+1=10$。
    最终答案：$3\times3+3\div3=10$。
  87. 28. ch20-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（凑接近数）：两个 $7$ 相乘 $7\times7=\underline{49}$……太大，改用加法。
    2. 第 2 步（三数凑 2 再减）：$(7+7)\div7=\underline{2}$，$7-2=5$，即 $7-(7+7)\div7=5$。
    最终答案：$7-(7+7)\div7=5$。
  88. 28. ch20-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（凑接近数）：两个 $4$ 相加 $4+4=\underline{8}$，接近 $10$。
    2. 第 2 步（凑补差）：剩下两个 $4$ 凑成 $2$：$4\div4+4\div4=\underline{2}$。
    3. 第 3 步（合并）：$8+2=\underline{10}$，即 $4+4+4\div4+4\div4=10$。
    最终答案：$4+4+4\div4+4\div4=10$。
  89. 29. ch20-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题·凑 24）：$2\times8=\underline{16}$，还差 $8$，用 $5$、$3$ 补：$5+3=8$。
    2. 第 2 步（相加）：$2\times8+5+3=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（第 (2) 题·定因数）：$(9+3)\times(7-5)$ 中 $9+3=\underline{12}$、$7-5=2$，积为 $24$。
    4. 第 4 步（相乘）：$(9+3)\times(7-5)=\underline{24}$。
    最终答案：（1）$2\times8+5+3=24$；（2）$(9+3)\times(7-5)=24$。
  90. 29. ch20-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（定因数）：$3\times8=\underline{24}$，正好 $24$。
    2. 第 2 步（其余凑 1）：$5-4=\underline{1}$，$24\times1=24$。
    最终答案：$3\times8\times(5-4)=24$。
  91. 29. ch20-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（定因数）：$6\times4=\underline{24}$，正好 $24$，由 $6$、$6$、$5$、$5$ 中先取两个 $6$…… 改用 $6\times(5+5-6)$。
    2. 第 2 步（凑 4）：$5+5-6=\underline{4}$，再 $6\times4=24$。
    最终答案：$6\times(5+5-6)=24$。
  92. 29. ch20-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（找特殊关系）：$11\times11=\underline{121}$，而 $24\times5=120$，只差 $1$。
    2. 第 2 步（借 1、除 5）：$(11\times11-1)\div5=\underline{24}$。
    最终答案：$(11\times11-1)\div5=24$。
  93. 30. ch20-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（原值）：$6\times4+18\div3=24+6=\underline{30}$。
    2. 第 2 步（枚举加括号）：$(6\times4+18)\div3=\underline{14}$，$6\times(4+18)\div3=\underline{44}$。
    3. 第 3 步（取最小）：比较各结果，最小是 $\underline{14}$。
    最终答案：$14$。
  94. 30. ch20-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（原值）：$8\times3+12\div4=\underline{27}$。
    2. 第 2 步（关键添法）：把前面的和整体除以 $4$：$(8\times3+12)\div4=\underline{9}$。
    最终答案：$9$。
  95. 30. ch20-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（原值）：$12\times2+6\div3=24+2=\underline{26}$。
    2. 第 2 步（关键添法）：$(12\times2+6)\div3=30\div3=\underline{10}$。
    最终答案：$10$。
  96. 30. ch20-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（原值）：$8\times3+12\div4+6=24+3+6=\underline{33}$。
    2. 第 2 步（枚举合法添法：括号只改顺序、不改符号，末尾始终是 $+6$）：$8\times(3+12\div4)+6=\underline{54}$，$8\times(3+12\div4+6)=\underline{96}$。
    3. 第 3 步（取最大）：把 $3+12\div4+6=12$ 整体乘 $8$ 最大，结果是 $\underline{96}$。
    最终答案：$96$。
  97. 31. ch20-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（乘法造大数）：$6\times6=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（再加一个 6）：$36+6=\underline{42}$。
    3. 第 3 步（减除放最小处）：$6\div6=\underline{1}$，$42-1=\underline{41}$。
    最终答案：$41$。
  98. 31. ch20-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（乘法造大数）：$5\times5=\underline{25}$。
    2. 第 2 步（再加、再减除放最小处）：$25+5-5\div5=\underline{29}$。
    最终答案：$29$。
  99. 31. ch20-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（乘法造大数）：把最大的两数相乘 $5\times4=\underline{20}$。
    2. 第 2 步（加中间数、除以 1）：$2\div1=\underline{2}$ 影响最小，放在减号后。
    3. 第 3 步（合并）：$5\times4+3-2\div1=\underline{21}$。
    最终答案：$21$。
  100. 31. ch20-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（用括号放大乘法）：把 $5+5$ 先括起来 $5+5=\underline{10}$，再乘 $5$。
    2. 第 2 步（乘法造更大数）：$5\times(5+5)=\underline{50}$。
    3. 第 3 步（减除放最小处）：$5\div5=\underline{1}$，$50-1=\underline{49}$。
    最终答案：$49$。
  101. 32. ch20-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（分解因数）：$36$ 拆成三个一位数之积，取含最大数字 $9$ 的一组 $36=1\times4\times9$。
    2. 第 2 步（组最大数）：$9$ 放百位、$4$ 放十位、$1$ 放个位，最大数是 $\underline{941}$。
    3. 第 3 步（组最小数）：$1$ 放百位、$4$ 放十位、$9$ 放个位，最小数是 $\underline{149}$。
    4. 第 4 步（作差）：$941-149=\underline{792}$。
    最终答案：$792$。
  102. 32. ch20-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（分解因数）：$18=1\times2\times9$。
    2. 第 2 步（组最大数）：$921$；组最小数 $129$，最大数是 $\underline{921}$。
    3. 第 3 步（作差）：$921-129=\underline{792}$（元）。
    最终答案：$792$。
  103. 32. ch20-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（分解因数）：取含最大数字 $8$ 的一组 $24=1\times3\times8$。
    2. 第 2 步（组最大数）：$8$ 放百位、$3$ 放十位，最大数是 $\underline{831}$。
    3. 第 3 步（组最小数）：$1$ 放百位、$3$ 放十位，最小数是 $\underline{138}$。
    4. 第 4 步（作差）：$831-138=\underline{693}$。
    最终答案：$693$。
  104. 32. ch20-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（分解因数）：$18$ 拆成三个一位数之积，共有 $1\times2\times9$、$1\times3\times6$、$2\times3\times3$ 等几组。
    2. 第 2 步（求各组之和的最大与最小）：各组三个因数之和分别为 $1+2+9=\underline{12}$、$1+3+6=\underline{10}$、$2+3+3=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（作差）：数字之和最大 $12$、最小 $8$，相差 $12-8=\underline{4}$。
    最终答案：$4$。