竞赛数学 · 三年级 第22讲《长度与角度的计算》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch22-chaoyue-01】从一张长 $15$ 厘米、宽 $9$ 厘米的长方形纸片上剪下一块边长尽可能大的正方形，剩下了一块长方形，然后从剩下的长方形中再剪下一个边长尽可能大的正方形……按此方式不断重复，直到剩下一个正方形无法再继续剪为止。请问：所有剪下的正方形的周长之和是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「辗转相除式剪正方形」类：每次剪下最大的正方形（边长 $=$ 当前较短边），像辗转相除一样直到剩正方形。
关键切入点：$15\times 9\to$ 剪边长 $9$，剩 $9\times 6\to$ 剪边长 $6$，剩 $6\times 3\to$ 剪两个边长 $3$；共 $1$ 个 $9$、$1$ 个 $6$、$2$ 个 $3$，周长和 $=9\times 4+6\times 4+3\times 4\times 2=84$。
方法概述：逐次剪最大正方形，统计各正方形边长求周长和。
规范步骤：
  1. 第一次剪：边长 $9$，剩 $9\times 6$（剪最大正方形）
  2. 第二次剪：边长 $6$，剩 $6\times 3$（剪最大正方形）
  3. 最后：两个边长 $3$（剩正方形）
  4. 周长和：$9\times 4+6\times 4+3\times 4\times 2=84$（厘米）（求和）
第一套
题目：从一张长 $20$ 厘米、宽 $12$ 厘米的长方形纸上，每次剪下边长尽可能大的正方形，剩下的再剪，直到剩下的是正方形为止。所有剪下的正方形的周长之和是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次剪）：剪边长 $12$，剩 $12\times(20-12)=12\times$ \underline{\quad}。
  2. 第 2 步（第二次剪）：剪边长 $8$，剩 $8\times(12-8)=8\times$ \underline{\quad}。
  3. 第 3 步（最后）：$8\times 4$ 剪下边长 $4$ 的正方形，剩 $4\times 4$ 再剪 $1$ 个，共 $2$ 个边长 $4$。
  4. 第 4 步（周长和）：$12\times 4+8\times 4+4\times 4\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：裁缝有一块长 $20$ 分米、宽 $12$ 分米的长方形布，每次剪下边长最大的正方形手帕，剩下的接着剪，直到剩正方形为止。所有正方形手帕的周长之和是多少分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次剪）：边长 $12$，剩 $12\times(20-12)=12\times$ \underline{\quad}。
  2. 第 2 步（第二次剪）：边长 $8$，剩 $8\times(12-8)=8\times$ \underline{\quad}。
  3. 第 3 步（最后两个边长 $4$）：周长和 $=12\times 4+8\times 4+4\times 4\times 2=\underline{\quad}$（分米）。
第三套
题目：从长 $21$ 厘米、宽 $15$ 厘米的长方形纸上，每次剪下边长最大的正方形，直到剩正方形。求所有正方形周长之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剪边长 15）：剩 $15\times(21-15)=15\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（剪边长 6）：$15\times 6$ 剪下 $2$ 个边长 $6$，剩 $6\times(15-6-6)=6\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（最后 $6\times 3$ 剪 $2$ 个边长 $3$）：共 $1$ 个 $15$、$2$ 个 $6$、$2$ 个 $3$。
  4. 第 4 步（周长和）：$15\times 4+6\times 4\times 2+3\times 4\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：从长 $20$ 厘米、宽 $12$ 厘米的长方形纸上，每次剪下边长最大的正方形，直到剩正方形。求一共剪出多少个正方形，以及它们的周长之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列出各正方形）：边长依次为 $12$、$8$、$4$、$4$。
  2. 第 2 步（正方形个数）：$1+1+2=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（周长和）：$12\times 4+8\times 4+4\times 4\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
2. 【原题 ch22-chaoyue-02】有一个长 $20$ 厘米、宽 $15$ 厘米的长方形，用 $2$ 条平行于长方形边界的直线可以将其划分成 $3$ 个或 $4$ 个小长方形。这些小长方形周长之和最大是多少厘米？最小是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「切割图形周长最值」类：每切一刀，小长方形周长和增加 $2$ 条等于切线长度的边；切线越长增加越多。
关键切入点：平行于长（长 $20$）的切线每条增加 $2\times 20$，两条最多加 $80$，周长和最大 $=(20+15)\times 2+20\times 2\times 2=150$；平行于宽（宽 $15$）的切线每条加 $2\times 15$，最小 $=(20+15)\times 2+15\times 2\times 2=130$。
方法概述：比较切线平行于长或宽时的增量取最值。
规范步骤：
  1. 原长方形周长：$(20+15)\times 2=70$（厘米）（周长公式）
  2. 最大（两刀都平行于长）：$70+20\times 2\times 2=150$（厘米）（切线越长增加越多）
  3. 最小（两刀都平行于宽）：$70+15\times 2\times 2=130$（厘米）（切线越短增加越少）
第一套
题目：一个长 $30$ 厘米、宽 $20$ 厘米的长方形，用 $2$ 条平行于边的直线把它分成几个小长方形。这些小长方形周长之和最大是多少？最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原长方形周长）：$(30+20)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（最大：两刀都平行于长 30）：$100+30\times 2\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（最小：两刀都平行于宽 20）：$100+20\times 2\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块长 $30$ 米、宽 $20$ 米的长方形菜地，用 $2$ 条平行于边的小路把它分成几块小长方形菜畦。这些菜畦周长之和最大、最小各是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原菜地周长）：$(30+20)\times 2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（最大：小路都平行于长）：$100+30\times 2\times 2=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（最小：小路都平行于宽）：$100+20\times 2\times 2=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一个长 $30$ 厘米、宽 $20$ 厘米的长方形，用 $3$ 条平行于边的直线分成几个小长方形。周长之和最大、最小各是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原周长）：$(30+20)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（最大：三刀都平行于长）：$100+30\times 2\times 3=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（最小：三刀都平行于宽）：$100+20\times 2\times 3=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个长 $30$ 厘米、宽 $20$ 厘米的长方形，用 $1$ 条平行于长、$1$ 条平行于宽的直线分成 $4$ 个小长方形。这 $4$ 个小长方形的周长之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原周长）：$(30+20)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（平行于长的一刀增加）：$30\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（平行于宽的一刀增加）：$20\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（周长和）：$100+60+40=\underline{\quad}$（厘米）。
3. 【原题 ch22-chaoyue-03】如图 22-27，在一个长方形中有一段阴影部分，如果阴影部分恰好是正方形，那么图中大长方形的周长是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「内含正方形求周长」类：阴影正方形把大长方形分成两块空白长方形，用线段关系把大长方形周长拆成两段之和。
关键切入点：由阴影为正方形得 $AE+AD=DG=9$，$BC+CG=EB=6$；两块空白长方形周长 $=(9+6)\times 2=30$，恰等于大长方形周长。
方法概述：用阴影为正方形建立线段关系，把大长方形周长拆成已知段求和。
规范步骤：
  1. 线段关系：$DG=9，EB=6$（正方形性质）
  2. 大长方形周长：$(9+6)\times 2=30$（厘米）（周长拆分求和）
4. 【原题 ch22-chaoyue-04】如图 22-28 所示，在正方形 $ABCD$ 中有一个点 $E$，使三角形 $BCE$ 是正三角形。求 $\angle EAB$ 的大小。
详细思路
是哪类问题：这是「正方形内等边三角形求角」类：$\triangle BCE$ 是正三角形，$AB=BC=BE$ 使 $\triangle ABE$ 等腰，用底角公式求 $\angle EAB$。
关键切入点：$\angle EBC=60^\circ$，故 $\angle ABE=90^\circ-60^\circ=30^\circ$；$AB=BE$，$\triangle ABE$ 等腰，$\angle EAB=(180^\circ-30^\circ)\div 2=75^\circ$。
方法概述：由 $AB=BE$ 得等腰三角形，求顶角后用底角公式。
规范步骤：
  1. $\angle ABE$：$90-60=30$（度）（直角减正三角形角）
  2. 等腰底角：$(180-30)\div 2=75$（度）（等腰三角形底角）
第一套
题目：在正方形 $ABCD$ 的外部、以边 $BC$ 为一边向外作正三角形 $BCE$。求 $\angle EAB$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$\angle ABE$）：$E$ 在外侧，$\angle ABE=\angle ABC+\angle EBC=90+60=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（等腰底角，$AB=BE$）：$\angle EAB=(180-150)\div 2=\underline{\quad}$（度）。
第二套
题目：一块正方形瓷砖 $ABCD$，工人以 $BC$ 边为底向瓷砖外侧贴了一块正三角形 $BCE$。连接 $AE$，求 $\angle EAB$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$\angle ABE$）：$\angle ABE=90+60=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（等腰底角）：$\angle EAB=(180-150)\div 2=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：正方形 $ABCD$ 内有一点 $E$ 使 $\triangle BCE$ 为正三角形。求 $\angle AEB$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$\angle ABE$）：$90-60=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（等腰三角形 $ABE$ 两底角相等，$\angle AEB=\angle EAB$）：$\angle AEB=(180-30)\div 2=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：正方形 $ABCD$ 内有一点 $E$ 使 $\triangle BCE$ 为正三角形。由对称性 $\angle EAB=\angle EDC=75^\circ$、$\angle AEB=\angle DEC=75^\circ$、$\angle BEC=60^\circ$。求 $\angle AED$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（绕点 $E$ 一周为 $360^\circ$）：$\angle AEB+\angle BEC+\angle CED+\angle DEA=360$。
  2. 第 2 步（已知三个角的和）：$75+60+75=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（$\angle AED$）：$360-210=\underline{\quad}$（度）。
5. 【原题 ch22-chaoyue-05】如图 22-29 所示，五条线段依次首尾相连组成了一个五角星。问：$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4+\angle 5$ 等于多少度？
详细思路
是哪类问题：这是「五角星顶角和」类：五个顶角通过三角形外角关系转移到中间图形，恰好凑成一个三角形的内角和 $180^\circ$。
关键切入点：用外角转移（或旋转法）可证明五个顶角之和总是 $180^\circ$，与五角星胖瘦无关。
方法概述：用外角转移或旋转法得五个顶角和为 $180^\circ$。
规范步骤：
  1. 外角转移：五个顶角凑成一个三角形内角和（三角形外角）
  2. 顶角和：$180$（度）（内角和）
第一套
题目：一个五角星，五个顶角中已知四个是 $\angle 1=30^\circ$、$\angle 2=45^\circ$、$\angle 3=28^\circ$、$\angle 4=42^\circ$。求第五个顶角 $\angle 5$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（五个顶角和为 180）：已知四个的和 $30+45+28+42=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（求 $\angle 5$）：$180-145=\underline{\quad}$（度）。
第二套
题目：做一个五角星风筝，五个尖角中量得四个是 $30^\circ,45^\circ,28^\circ,42^\circ$。要使它是标准五角星，最后一个尖角应做成多少度？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（五个尖角和为 180）：已知四个和 $30+45+28+42=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（最后一个）：$180-145=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：一个正五角星的五个顶角都相等。每个顶角是多少度？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（五个相等顶角和为 180）：每个 $=180\div 5=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（验证）：$36\times 5=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：五角星五个顶角中四个是 $\angle 1=35^\circ$、$\angle 2=40^\circ$、$\angle 3=30^\circ$、$\angle 4=45^\circ$。先求 $\angle 5$，再求 $\angle 5$ 的外角。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（已知四个的和）：$35+40+30+45=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（求 $\angle 5$）：$180-150=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（$\angle 5$ 的外角，邻补角）：$180-30=\underline{\quad}$（度）。
6. 【原题 ch22-chaoyue-06】用 $9$ 个相同的直角三角形可以拼成如图 22-30 所示的图形。请问：这种直角三角形的两个锐角分别是多少度？
详细思路
是哪类问题：这是「风车形拼图求角」类：直角三角形两锐角 $a+b=90^\circ$，绕中心点若干个角拼成周角 $360^\circ$，列方程求解。
关键切入点：由内角和 $a+b=90$；绕中心 $3$ 个 $a$、$6$ 个 $b$，$3a+6b=360$，写成 $3(a+b)+3b=360$，得 $3b=90$，$b=30$，$a=60$。
方法概述：用两锐角和为 $90^\circ$ 与绕点角和 $360^\circ$ 列式求解。
规范步骤：
  1. 两锐角和：$a+b=180-90=90$（度）（直角三角形内角和）
  2. 绕点角和：$3a+6b=360$（周角）
  3. 求 $b$：$3b=360-90\times 3=90，b=30$（度）（消元）
  4. 求 $a$：$a=90-30=60$（度）（回代）
第一套
题目：用 $12$ 个相同的直角三角形绕中心点拼成一圈（周角 $360^\circ$），其中 $3$ 个用锐角 $a$、$9$ 个用锐角 $b$。求 $a$、$b$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两锐角和）：$a+b=180-90=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（绕点方程化简）：$3a+9b=360$ 即 $3(a+b)+6b=360$，$3\times 90+6b=360$，$6b=360-270=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（求 $b$）：$b=90\div 6=\underline{\quad}$（度）。
  4. 第 4 步（求 $a$）：$a=90-15=\underline{\quad}$（度）。
第二套
题目：一个风车图案由 $12$ 个相同的直角三角形绕轴心拼成一整圈，其中 $3$ 个贴的是锐角 $a$、$9$ 个贴的是锐角 $b$。求这种直角三角形的两个锐角。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两锐角和）：$a+b=180-90=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（绕轴心一圈 360）：$3(a+b)+6b=360$，$6b=360-270=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（求 $b$）：$90\div 6=\underline{\quad}$（度）。
  4. 第 4 步（求 $a$）：$90-15=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：直角三角形两锐角为 $a$、$b$。绕中心点拼成周角，用了 $2$ 个 $a$ 和 $5$ 个 $b$（$2a+5b=360$）。求 $a$、$b$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两锐角和）：$a+b=180-90=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（绕点方程化简）：$2a+5b=2(a+b)+3b=360$，$3b=360-180=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（求 $b$）：$180\div 3=\underline{\quad}$（度）。
  4. 第 4 步（求 $a$）：$90-60=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：直角三角形两锐角为 $a$、$b$，绕中心点 $3$ 个 $a$、$9$ 个 $b$ 拼成周角。先求 $a$、$b$，再求 $b$ 的余角和 $a$ 的补角。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $b$）：$3(a+b)+6b=360$，$6b=360-270=90$，$b=90\div 6=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（求 $a$）：$a=90-15=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（$b$ 的余角）：$90-15=\underline{\quad}$（度）。
  4. 第 4 步（$a$ 的补角）：$180-75=\underline{\quad}$（度）。
7. 【原题 ch22-chaoyue-07】如图 22-31，在一个正六边形的内部有一个正五边形，请求出三角形 $ABC$ 中角 $A$ 的度数。
详细思路
是哪类问题：这是「正多边形组合求角」类：$\angle A=\angle 1-\angle 2-\angle 3$，用正五边形、正六边形内角和等腰三角形底角逐步求。
关键切入点：正五边形内角 $\angle 1=540\div 5=108$；等腰 $\triangle ADC$ 顶角 $108$，$\angle 2=(180-108)\div 2=36$；等腰 $\triangle AEB$ 顶角 $120$，$\angle 3=(180-120)\div 2=30$；$\angle A=108-36-30=42$。
方法概述：用正多边形内角与等腰底角逐步拆分求 $\angle A$。
规范步骤：
  1. $\angle 1$：$540\div 5=108$（度）（正五边形内角）
  2. $\angle 2$：$(180-108)\div 2=36$（度）（等腰底角）
  3. $\angle 3$：$(180-120)\div 2=30$（度）（等腰底角）
  4. $\angle A$：$108-36-30=42$（度）（角的拆分）
8. 【原题 ch22-chaoyue-08】如图 22-32，有一个长 $22$ 米、宽 $18$ 米的迷宫，其中每条道路的宽度都是 $2$ 米。从 $A$ 点出发，沿道路的中心线向里走去，一直走到 $B$ 点。请问：所走过的路线的长度是多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「迷宫螺旋路线长度」类：所走路线是螺旋走廊的中心线，从外圈 $A$ 一圈圈向内绕到中心 $B$，把中心线拆成一段段直线段，逐段求长再相加。
关键切入点：迷宫外框长 $22$、宽 $18$，每条道路宽 $2$，故相邻两圈中心线相距 $2$。中心线从最外圈起，每绕过一横一竖就向内缩进：横段长从接近 $22$ 逐段递减、竖段长从接近 $18$ 逐段递减，直到走到中心 $B$。把这些依次递减的直线段全部相加，总长为 $197$ 米。
方法概述：把螺旋中心线拆成依次向内递减的直线段，逐段累加。
规范步骤：
  1. 认清路线：所走路线 $=$ 螺旋走廊的中心线，由外向内绕到 $B$（走中心线）
  2. 分段递减：道路宽 $2$ → 相邻圈中心线相距 $2$，横段、竖段长度逐圈递减（螺旋内缩）
  3. 逐段累加：把所有直线段依次相加 $=197$（米）（求和）
9. 【原题 ch22-tuozhan-01】如图 22-12 所示，$5$ 个同样大小的小长方形拼成了一个大长方形，已知小长方形的长是 $12$ 厘米，求大长方形的周长。
详细思路
是哪类问题：这是「长方形拼接求周长」类：$5$ 个相同小长方形拼成大长方形，由拼图关系建立小长与小宽的等量关系。
关键切入点：由图 $3$ 个小宽拼成的长 $=$ $2$ 个小长拼成的长，即 小宽 $\times 3=$ 小长 $\times 2=12\times 2=24$，得小宽 $=8$；大长 $=$ 小长 $\times 2=24$，大宽 $=$ 小长 $+$ 小宽 $=20$。
方法概述：由拼接关系求小宽，再求大长方形长、宽与周长。
规范步骤：
  1. 建立关系：$小宽\times 3=小长\times 2=12\times 2=24$（拼接等量）
  2. 小宽：$24\div 3=8$（厘米）（求小宽）
  3. 大长、大宽：$大长=12\times 2=24，大宽=12+8=20$（拼合）
  4. 大周长：$(24+20)\times 2=88$（厘米）（周长公式）
第一套
题目：$5$ 个相同的小长方形拼成一个大长方形，摆法同图 22-12（$3$ 个小宽的和等于 $2$ 个小长的和）。已知小长方形的长是 $18$ 厘米，求大长方形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拼接等量）：$3$ 个小宽 $=2$ 个小长 $=2\times 18=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（小宽）：$36\div 3=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（大宽 $=$ 小长 $+$ 小宽）：$18+12=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（大周长，大长 $=$ 小长 $\times 2=36$）：$(36+30)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：用 $5$ 块相同的长方形地砖按同一种摆法（$3$ 块砖的宽拼起来等于 $2$ 块砖的长）拼成一大块长方形。已知每块砖长 $18$ 厘米，求大长方形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拼接等量）：$3$ 块砖宽 $=2$ 块砖长 $=2\times 18=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（砖宽）：$36\div 3=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（大宽）：$18+12=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（大周长，大长 $=36$）：$(36+30)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：若干相同小长方形拼成大长方形，摆法使 $4$ 个小宽的和等于 $3$ 个小长的和。已知小长 $=24$ 厘米，大长 $=$ 小长 $\times 3$、大宽 $=$ 小长 $+$ 小宽。求大长方形周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拼接等量）：$4$ 个小宽 $=3$ 个小长 $=3\times 24=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（小宽）：$72\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（大长、大宽）：大长 $=3\times 24=72$，大宽 $=24+18=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（大周长）：$(72+42)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：$5$ 个相同小长方形拼成大长方形（$3$ 个小宽 $=2$ 个小长），小长 $=18$ 厘米。求大长方形的周长和面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小宽）：$3$ 个小宽 $=2\times 18=36$，小宽 $=36\div 3=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（大长、大宽）：大长 $=18\times 2=36$，大宽 $=18+12=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（周长）：$(36+30)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（面积）：$36\times 30=\underline{\quad}$（平方厘米）。
10. 【原题 ch22-tuozhan-02】如图 22-13，用一个边长是 $4$ 厘米的小正方形和 $4$ 个相同的长方形，一起拼成一个边长是 $20$ 厘米的大正方形。请问：长方形的长和宽分别是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「拼图中的和差问题」类：一条长加一条宽拼成大正方形的一条边，长减宽等于小正方形的边长。
关键切入点：由拼接得 长 $+$ 宽 $=$ 大正方形边长 $=20$，长 $-$ 宽 $=$ 小正方形边长 $=4$，正是和差问题：长 $=(20+4)\div 2$，宽 $=(20-4)\div 2$。
方法概述：由拼接得长与宽的和、差，用和差公式求解。
规范步骤：
  1. 和与差：$长+宽=20，长-宽=4$（拼接关系）
  2. 求长：$(20+4)\div 2=12$（厘米）（和差公式）
  3. 求宽：$(20-4)\div 2=8$（厘米）（和差公式）
第一套
题目：用一个边长 $6$ 厘米的小正方形和 $4$ 个相同的长方形，拼成一个边长 $30$ 厘米的大正方形。求长方形的长和宽。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（和与差）：一条长加一条宽 $=$ 大正方形边长，长 $+$ 宽 $=30$；长减宽 $=$ 小正方形边长，长 $-$ 宽 $=6$。
  2. 第 2 步（求长，和差公式）：$(30+6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求宽）：$(30-6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块边长 $30$ 厘米的正方形木板，中间嵌一块边长 $6$ 厘米的正方形，四周由 $4$ 块相同的长方形木条补满。求每块长方形木条的长和宽。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（和与差）：长 $+$ 宽 $=30$（大正方形边长），长 $-$ 宽 $=6$（小正方形边长）。
  2. 第 2 步（求长）：$(30+6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求宽）：$(30-6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个长方形的周长是 $48$ 厘米，长比宽多 $6$ 厘米。求长和宽。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求和）：长 $+$ 宽 $=$ 周长 $\div 2=48\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（求长）：$(24+6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求宽）：$(24-6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：用一个边长 $6$ 厘米的小正方形和 $4$ 个相同长方形拼成边长 $30$ 厘米的大正方形。求长方形的长、宽和面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求长）：$(30+6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（求宽）：$(30-6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求面积）：$18\times 12=\underline{\quad}$（平方厘米）。
11. 【原题 ch22-tuozhan-03】如图 22-14 所示，在一个长为 $8$ 厘米、宽为 $6$ 厘米的长方形纸片上剪去一个边长为 $3$ 厘米的正方形。 （1）如果剪去的正方形在右上角，那么剩下的图形周长是多少厘米？ （2）如果剪去的正方形在右边，那么剩下的图形周长是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「剪角与剪缺口周长」类：正方形剪在角上时平移补齐、周长不变；剪在边中间时周长增加两条边长。
关键切入点：（1）剪角：缺口两条边平移补回，周长 $=$ 原长方形周长 $=(8+6)\times 2=28$。（2）剪边中间：多出两条正方形的边，周长 $=28+3+3=34$。
方法概述：剪角周长不变；剪边缺口周长增加两条边长。
规范步骤：
  1. 剪角周长：$(8+6)\times 2=28$（厘米）（平移补形）
  2. 剪边缺口周长：$28+3+3=34$（厘米）（增加两条边）
第一套
题目：在一个长 $12$ 厘米、宽 $9$ 厘米的长方形纸片上剪去一个边长 $4$ 厘米的正方形。（1）剪在右上角，剩下图形周长是多少？（2）剪在右边中间（缺口），剩下图形周长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剪角，周长不变）：$(12+9)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（剪边缺口，增加两条边长）：$42+4+4=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块长 $12$ 分米、宽 $9$ 分米的长方形铁皮，剪去一个边长 $4$ 分米的正方形。（1）剪在角上，剩下铁皮周长多少？（2）剪在长边中间成一个缺口，剩下铁皮周长多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剪角，周长不变）：$(12+9)\times 2=\underline{\quad}$（分米）。
  2. 第 2 步（剪缺口，增加两条边长）：$42+4+4=\underline{\quad}$（分米）。
第三套
题目：在长 $12$ 厘米、宽 $9$ 厘米的长方形上剪去两个边长 $4$ 厘米的正方形，都在角上。剩下图形的周长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两个都在角上，平移补齐后周长都不变）：等于原长方形周长。
  2. 第 2 步（周长）：$(12+9)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：在长 $12$ 厘米、宽 $9$ 厘米的长方形的两条长边中间各剪去一个边长 $4$ 厘米的正方形缺口。求剩下图形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原长方形周长）：$(12+9)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（每个缺口增加两条边长）：两个缺口共增加 $4$ 条边长 $4\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（合计）：$42+16=\underline{\quad}$（厘米）。
12. 【原题 ch22-tuozhan-04】如图 22-15，正方形树林边长 $1000$ 米，树林中种有白杨树和榆树。小明从树林的西南角走入树林，向正东方前进。他每碰见一株白杨树就往正北走，每碰到一株榆树就往正东走，最后他走到了东北角上。问小明一共走了多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「阶梯路线求长度」类：只向东、向北走的折线，把所有向东段平移合并 $=$ 边长，所有向北段合并 $=$ 边长。
关键切入点：无论怎样折，向东的总距离恰好等于树林东西边长 $1000$ 米，向北的总距离等于南北边长 $1000$ 米，故总路程 $=1000\times 2$。
方法概述：把同向的段各自平移合并，再相加。
规范步骤：
  1. 向东总距离：$1000$ 米（平移合并）
  2. 向北总距离：$1000$ 米（平移合并）
  3. 总路程：$1000\times 2=2000$（米）（求和）
第一套
题目：正方形树林边长 $1500$ 米。小明从西南角走入，向正东前进，碰到白杨往正北走、碰到榆树往正东走，最后到东北角。他一共走了多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向东总距离 = 边长）：$1500$ 米。
  2. 第 2 步（向北总距离 = 边长）：$1500$ 米。
  3. 第 3 步（总路程）：$1500\times 2=\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：一块边长 $1500$ 米的正方形棋盘田，机器人从西南角出发，只向东或向北沿田埂走格子路，最终到达东北角。它一共走了多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向东总距离 = 边长）：$1500$ 米。
  2. 第 2 步（向北总距离 = 边长）：$1500$ 米。
  3. 第 3 步（总路程）：$1500\times 2=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：长方形树林长 $1200$ 米、宽 $800$ 米。小明从西南角只向东或向北走到东北角。他一共走了多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向东总距离 = 长）：$1200$ 米。
  2. 第 2 步（向北总距离 = 宽）：$800$ 米。
  3. 第 3 步（总路程）：$1200+800=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：长方形树林长 $1200$ 米、宽 $800$ 米。小明先从西南角只向东、向北阶梯走到东北角，再从东北角只向西、向南阶梯走回西南角。他一共走了多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（去程 = 长 + 宽）：$1200+800=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（回程也 = 长 + 宽）：$2000$ 米。
  3. 第 3 步（总路程）：$2000\times 2=\underline{\quad}$（米）。
13. 【原题 ch22-tuozhan-05】如图 22-16，把长为 $2$ 厘米、宽为 $1$ 厘米的 $6$ 个长方形摆成 $3$ 层。摆成的图形周长是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「砖块堆叠图形周长」类：$6$ 个 $2\times 1$ 的长方形砖叠成 $3$ 层的台阶形，相邻边互相垂直，把横向边、纵向边各自平移合并成一个大长方形再求周长。
关键切入点：台阶形相邻边互相垂直，可用平移合并：把所有横向边向上下平移合并，总宽 $=$ 层数 $\times$ 每层水平错开的砖长 $=3\times 2=6$；把所有纵向边向左右平移合并，总高 $=$ 层数 $\times$ 每层砖宽 $=3\times 1=3$。于是周长 $=(6+3)\times 2=18$，与砖的具体块数无关。
方法概述：把台阶形的横、纵边各自平移合并成长方形，再用周长公式。
规范步骤：
  1. 合并后的总宽：$3$ 层各水平错开一条砖长 $2$：$3\times 2=6$（厘米）（横向边平移合并）
  2. 合并后的总高：$3$ 层各高一条砖宽 $1$：$3\times 1=3$（厘米）（纵向边平移合并）
  3. 求周长：$(6+3)\times 2=18$（厘米）（周长公式）
14. 【原题 ch22-tuozhan-06】如图 22-17 所示，将 $3$ 个边长为 $8$ 厘米的正方形叠放在一起，后一个正方形的顶点恰好落在前一个正方形的正中心。那么它们覆盖住的图形周长是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「叠放正方形周长」类：$3$ 个边长 $8$ 的正方形，后一个顶点落在前一个正中心，覆盖图形的边界由若干整边与半边组成，数清各段再相加。
关键切入点：顶点落在正中心，说明相邻两正方形在水平、竖直方向都恰好错开半条边长 $8\div 2=4$。数覆盖图形（三个正方形的公共外轮廓）：第一个正方形的上边、左边和第三个正方形的下边、右边共 $4$ 条整边（各 $8$）没有被遮住；中间的两处台阶各露出若干半边，合计 $8$ 条半边（各 $4$）。故周长 $=8\times 4+4\times 8=32+32=64$。
方法概述：先由“顶点落中心”得错开量 $4$，再把边界分成“整边”和“半边”两部分累加。
规范步骤：
  1. 错开量（半边长）：$8\div 2=4$（厘米）（顶点落在正中心）
  2. 整边部分：首个正方形的上边、左边与末个正方形的下边、右边共 $4$ 条整边：$8\times 4=32$（厘米）（未被遮住的整边）
  3. 半边部分：两处台阶合计露出 $8$ 条半边，每条 $4$：$4\times 8=32$（厘米）（台阶露出的半边）
  4. 覆盖图形周长：$32+32=64$（厘米）（两部分相加）
15. 【原题 ch22-tuozhan-07】如图 22-18，有一个八边形，任意相邻的两条边都互相垂直。已知其中 $3$ 条边的长度，这个八边形的周长是多少厘米？（单位：厘米）
详细思路
是哪类问题：这是「直角八边形周长」类：相邻边互相垂直，把竖向边、横向边各自平移合并。
关键切入点：已知竖向三条 $8,4,12$ 合并 $=24$，由对称横向合并也 $=24$，故周长 $=24+24=48$。
方法概述：把横、竖边各自平移合并求周长。
规范步骤：
  1. 竖向边合并：$8+4+12=24$（厘米）（平移合并）
  2. 横向边合并：$24$（厘米）（平移合并）
  3. 周长：$24+24=48$（厘米）（求和）
16. 【原题 ch22-tuozhan-08】（1）如图 22-19 所示，从一个大长方形的边上挖去一个正方形得到一个多边形，大长方形的长是 $6$ 厘米，宽是 $4$ 厘米，正方形的边长是 $2$ 厘米，这个图形的周长是多少厘米？ （2）如图 22-20 所示，四个长方形组成了一个多边形，如果图中所标数值的单位都是厘米，那么这个多边形的周长是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「组合图形周长」类：（1）从长方形边上挖正方形；（2）四个长方形拼成的多边形，都用平移法归并。
关键切入点：（1）平移后 $=$ 大长方形周长加正方形向上凸出的两条边 $=(6+4)\times 2+2\times 2=24$。（2）平移后 $=$ 阴影长方形周长加 $6$ 条凸出的长 $=(2+12)\times 2+5\times 2+3\times 2+6\times 2=56$。
方法概述：用平移把不规则边归并到长方形边，再补凸出部分。
规范步骤：
  1. 第 (1) 题周长：$(6+4)\times 2+2\times 2=24$（厘米）（平移+补凸）
  2. 第 (2) 题周长：$(2+12)\times 2+5\times 2+3\times 2+6\times 2=56$（厘米）（平移+补凸）
17. 【原题 ch22-tuozhan-09】如图 22-21，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。这个多边形的周长是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「复杂直角多边形周长」类：相邻边互相垂直，向上边长和 $=$ 向下边长和、向左 $=$ 向右，周长 $=$（向上和 $+$ 向左和）$\times 2$。
关键切入点：把标向上箭头的边（$2,5,6,6$）与标向左箭头的边（$2,3,2,1,2,3$）分别相加，再乘 $2$：$(2+5+6+6+2+3+2+1+2+3)\times 2=64$。
方法概述：把横、竖边各自平移合并，用一个方向的边长和 $\times 2$。
规范步骤：
  1. 向上边长和：$2+5+6+6=19$（厘米）（平移合并）
  2. 向左边长和：$2+3+2+1+2+3=13$（厘米）（平移合并）
  3. 周长：$(19+13)\times 2=64$（厘米）（周长公式）
第一套
题目：一个相邻边都互相垂直的多边形，向上的各边长依次是 $3,6,7,8$ 厘米，向左的各边长依次是 $3,4,2,2,3,4$ 厘米。求这个多边形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向上边长和）：$3+6+7+8=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（向左边长和）：$3+4+2+2+3+4=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（周长）：向上 $=$ 向下、向左 $=$ 向右，周长 $=(24+18)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块相邻边都互相垂直的地块，向北的各段边依次是 $3,6,7,8$ 米，向西的各段边依次是 $3,4,2,2,3,4$ 米。求地块的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向北边长和）：$3+6+7+8=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（向西边长和）：$3+4+2+2+3+4=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（周长）：$(24+18)\times 2=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一个相邻边都互相垂直的多边形，向上的各边长依次是 $4,4,5,6,6$ 厘米，向左的各边长依次是 $2,3,4,5,3,3$ 厘米。求周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向上边长和）：$4+4+5+6+6=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（向左边长和）：$2+3+4+5+3+3=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（周长）：$(25+20)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个相邻边都互相垂直的多边形，向上的各边长依次是 $3,6,7,8$ 厘米。向左的边中有五条为 $3,4,2,2,3$ 厘米，还有一条未知；已知向右的边长总和为 $18$ 厘米。求这条未知边和多边形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向左和 = 向右和 = 18）：已知五条为 $3+4+2+2+3=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（未知边）：$18-14=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（向上边长和）：$3+6+7+8=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（周长）：$(24+18)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
18. 【原题 ch22-tuozhan-10】如图 22-22 所示，一张边长为 $10$ 厘米的正方形纸片，被横着剪了一刀，竖着剪了两刀，分成了 $6$ 块小长方形纸片。这 $6$ 个小长方形的周长总和等于多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「剪纸周长总和」类：原正方形周长，加上每剪一刀新增的两条等于边长的边。
关键切入点：横剪 $1$ 刀增加 $10\times 2$，竖剪 $2$ 刀增加 $10\times 2\times 2$；所以 $6$ 块小长方形周长总和 $=10\times 4+10\times 2+10\times 2\times 2=100$。
方法概述：原正方形周长加上每刀新增的两条边长。
规范步骤：
  1. 原正方形周长：$10\times 4=40$（厘米）（周长公式）
  2. 横剪 $1$ 刀增加：$10\times 2=20$（厘米）（每刀+2 条边）
  3. 竖剪 $2$ 刀增加：$10\times 2\times 2=40$（厘米）（每刀+2 条边）
  4. 总和：$40+20+40=100$（厘米）（求和）
第一套
题目：一张边长 $12$ 厘米的正方形纸片，横着剪 $2$ 刀、竖着剪 $3$ 刀，分成若干块小长方形。这些小长方形的周长总和是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原正方形周长）：$12\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（横剪 2 刀增加）：$12\times 2\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（竖剪 3 刀增加）：$12\times 2\times 3=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（总和）：$48+48+72=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块边长 $12$ 分米的正方形豆腐，横切 $2$ 刀、竖切 $3$ 刀，切成若干小长方块。这些小长方块（从上方看）的周长总和是多少分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原正方形周长）：$12\times 4=\underline{\quad}$（分米）。
  2. 第 2 步（横切 2 刀增加）：$12\times 2\times 2=\underline{\quad}$（分米）。
  3. 第 3 步（竖切 3 刀增加）：$12\times 2\times 3=\underline{\quad}$（分米）。
  4. 第 4 步（总和）：$48+48+72=\underline{\quad}$（分米）。
第三套
题目：一张边长 $10$ 厘米的正方形纸，横着剪 $4$ 刀，分成 $5$ 条小长方形。这些小长方形的周长总和是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原正方形周长）：$10\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（横剪 4 刀增加）：$10\times 2\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（总和）：$40+80=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一张长 $12$ 厘米、宽 $8$ 厘米的长方形纸片，横着剪 $1$ 刀（沿长的方向，剪出的新边长 $12$）、竖着剪 $2$ 刀（沿宽的方向，剪出的新边长 $8$）。这些小长方形的周长总和是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原长方形周长）：$(12+8)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（横剪 1 刀增加，每条长 12）：$12\times 2\times 1=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（竖剪 2 刀增加，每条长 8）：$8\times 2\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（总和）：$40+24+32=\underline{\quad}$（厘米）。
19. 【原题 ch22-tuozhan-11】如图 22-23 所示，$\angle 1=40^\circ$，$\angle 2=50^\circ$，$\angle 3=60^\circ$，$\angle 4$ 等于多少度？
详细思路
是哪类问题：这是「8 字形求角」类：两三角形共顶点，$OC$、$OB$ 成对顶交叉，由对顶角相等得两组角和相等。
关键切入点：对顶角相等 $\Rightarrow \angle 1+\angle 2=\angle 3+\angle 4$，所以 $\angle 4=\angle 1+\angle 2-\angle 3=40+50-60=30$。
方法概述：由对顶角相等得两组角和相等，从而求 $\angle 4$。
规范步骤：
  1. 对顶角相等：$\angle 1+\angle 2=\angle 3+\angle 4$（对顶角）
  2. 求 $\angle 4$：$40+50-60=30$（度）（移项相减）
第一套
题目：如 8 字形图，$\angle 1=55^\circ$，$\angle 2=65^\circ$，$\angle 3=70^\circ$，求 $\angle 4$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对顶角相等）：$\angle 1+\angle 2=\angle 3+\angle 4$，两组角和相等。
  2. 第 2 步（求 $\angle 4$）：$55+65-70=\underline{\quad}$（度）。
第二套
题目：两根细木条在中间钉成交叉（对顶角相等），构成 8 字形。上面三角形两底角 $55^\circ$、$65^\circ$，下面三角形一个底角 $70^\circ$，求它的另一个底角。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对顶角相等）：上、下两三角形在交叉顶点处的角相等，故两底角和相等。
  2. 第 2 步（求另一底角）：$55+65-70=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：8 字形图中 $\angle 2=65^\circ$，$\angle 3=70^\circ$，$\angle 4=50^\circ$，求 $\angle 1$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对顶角相等）：$\angle 1+\angle 2=\angle 3+\angle 4$。
  2. 第 2 步（求 $\angle 1$）：$70+50-65=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：8 字形图中 $\angle 1=55^\circ$，$\angle 2=65^\circ$；下面三角形的顶角（交叉处对顶角）与上面三角形的顶角相等，且下面三角形另一底角 $\angle 3$ 满足 $\angle 3=70^\circ$。先求上面三角形的顶角，再求 $\angle 4$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（上面三角形顶角，内角和）：$180-55-65=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（对顶角相等，下面三角形顶角也是 60）：$\angle 4=180-60-70=\underline{\quad}$（度）。
20. 【原题 ch22-tuozhan-12】如图 22-24 所示，$\angle 1=100^\circ$，$\angle 2=60^\circ$，$\angle 3=90^\circ$，$\angle 4$ 等于多少度？
详细思路
是哪类问题：这是「多边形外角计算」类：$\angle 1,\angle 2,\angle 3,\angle 4$ 是四边形四个顶点处的外角，外角和为 $360^\circ$。
关键切入点：任意四边形外角和 $=360^\circ$，故 $\angle 4=360-100-60-90=110$。
方法概述：利用四边形外角和为 $360^\circ$ 求未知外角。
规范步骤：
  1. 外角和：$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=360$（外角和定理）
  2. 求 $\angle 4$：$360-100-60-90=110$（度）（相减）
第一套
题目：四边形的四个外角中，$\angle 1=120^\circ$，$\angle 2=70^\circ$，$\angle 3=85^\circ$，求 $\angle 4$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（外角和为 360）：$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=360$。
  2. 第 2 步（求 $\angle 4$）：$360-120-70-85=\underline{\quad}$（度）。
第二套
题目：一块四边形空地，沿四个顶点向外转弯，转过的角（外角）依次是 $120^\circ$、$70^\circ$、$85^\circ$ 和 $\angle 4$。绕一圈共转 $360^\circ$，求 $\angle 4$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（绕一圈转 360）：四个外角和 $=360$。
  2. 第 2 步（求 $\angle 4$）：$360-120-70-85=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：五边形的五个外角中，四个是 $80^\circ,70^\circ,60^\circ,90^\circ$，求第五个外角。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（任意多边形外角和为 360）：五个外角和 $=360$。
  2. 第 2 步（求第五个）：$360-80-70-60-90=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：四边形四个外角 $\angle 1=120^\circ$、$\angle 2=70^\circ$、$\angle 3=85^\circ$。先求 $\angle 4$，再求 $\angle 4$ 所在顶点的内角。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求外角 $\angle 4$）：$360-120-70-85=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（内角与外角互补）：内角 $=180-85=\underline{\quad}$（度）。
21. 【原题 ch22-tuozhan-13】如图 22-25 所示，在三角形 $ABC$ 中，$\angle 1=\angle 2$，$\angle 3=\angle 4$，$\angle 5=130^\circ$。$\angle A$ 等于多少度？
详细思路
是哪类问题：这是「双角平分求顶角」类：$\angle 1=\angle 2$、$\angle 3=\angle 4$，先在小三角形求 $\angle 2+\angle 4$，再用倍角与大三角形内角和求 $\angle A$。
关键切入点：小三角形中 $\angle 5+\angle 2+\angle 4=180$，得 $\angle 2+\angle 4=50$；由 $\angle ABC=2\angle 2$、$\angle ACB=2\angle 4$，得两底角和 $=100$，故 $\angle A=180-100=80$。
方法概述：先求 $\angle 2+\angle 4$，再倍角、再用内角和。
规范步骤：
  1. 小三角形：$\angle 2+\angle 4=180-130=50$（度）（内角和）
  2. 两底角和：$2\times 50=100$（度）（倍角）
  3. 顶角：$180-100=80$（度）（大三角形内角和）
第一套
题目：三角形 $ABC$ 中，$\angle ABC$、$\angle ACB$ 各被平分，两条角平分线交于 $O$，$\angle BOC=135^\circ$。求 $\angle A$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小三角形内角和）：$\angle 2+\angle 4=180-135=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（两底角和 = 2 倍）：$2\times 45=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（顶角）：$180-90=\underline{\quad}$（度）。
第二套
题目：三角形屋架 $ABC$ 中，底部两个角各安装了一根平分角的支撑，两支撑交于 $O$，量得 $\angle BOC=135^\circ$。求顶角 $\angle A$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小三角形内角和）：$\angle 2+\angle 4=180-135=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（两底角和）：$2\times 45=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（顶角）：$180-90=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 中，两底角各被平分，两平分线交于 $O$，已知顶角 $\angle A=80^\circ$。求 $\angle BOC$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两底角和）：$180-80=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（各取一半，两半角和）：$100\div 2=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（$\angle BOC$）：$180-50=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 中两底角各被平分，两平分线交于 $O$，$\angle BOC=135^\circ$。先求 $\angle A$，再求 $\angle A$ 的外角。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$\angle 2+\angle 4$）：$180-135=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（顶角 $\angle A$）：$180-2\times 45=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（$\angle A$ 的外角）：$180-90=\underline{\quad}$（度）。
22. 【原题 ch22-tuozhan-14】如图 22-26 所示，纸上已经画有一个正方形，请你用一块三角板做工具，在纸上画出一个 $75^\circ$ 的角。
详细思路
是哪类问题：这是「三角板作特殊角」类：用三角板上的 $30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$ 角拼、减，得到 $75^\circ$。
关键切入点：拼角：$30^\circ+45^\circ=75^\circ$；或先由 $45^\circ-30^\circ=15^\circ$，再用正方形的 $90^\circ-15^\circ=75^\circ$。
方法概述：用三角板的特殊角相加、相减拼出 $75^\circ$。
规范步骤：
  1. 拼角相加：$30+45=75$（度）（拼角）
  2. 另法：相减：$90-(45-30)=75$（度）（拼角）
23. 【原题 ch22-xingqu-01】根据长方形长、宽与周长的关系，把图 22-1 填完整。 | | | | | | --- | --- | --- | --- | | 长 | $15$ | | $20$ | | 宽 | $6$ | $7$ | | | 周长 | | $30$ | $50$ |
详细思路
是哪类问题：这是「长方形周长公式」类填表题：周长 $=$（长 $+$ 宽）$\times 2$，已知其中两个量就能求第三个量。
关键切入点：抓住一个等式三处用：已知长、宽求周长直接代入；已知宽与周长求长，先用周长 $\div 2$ 得长与宽之和，再减宽；已知长与周长求宽同理。
方法概述：逐列套用周长 $=$（长 $+$ 宽）$\times 2$，缺谁求谁。
规范步骤：
  1. 第一列已知长 $15$、宽 $6$，求周长：$(15+6)\times 2=42$（周长公式）
  2. 第二列已知宽 $7$、周长 $30$，求长：$30\div 2-7=8$（周长÷2得和再减宽）
  3. 第三列已知长 $20$、周长 $50$，求宽：$50\div 2-20=5$（周长÷2得和再减长）
  4. 写出答案：$周长42，长8，宽5$
第一套
题目：根据长方形长、宽与周长的关系填表（单位：厘米）：第一列长 $35$、宽 $14$；第二列宽 $16$、周长 $80$；第三列长 $40$、周长 $110$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一列·公式代入）：周长 $=$（长 $+$ 宽）$\times 2=(35+14)\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二列·先求长宽之和）：周长 $\div 2=$ 长 $+$ 宽，$80\div 2=\underline{\quad}$，再减去宽 $40-16=\underline{\quad}$，得长。
  3. 第 3 步（第三列·同理求宽）：$110\div 2=\underline{\quad}$，再减去长 $55-40=\underline{\quad}$，得宽。
第二套
题目：三块长方形菜地：甲地长 $35$ 米、宽 $14$ 米；乙地宽 $16$ 米、周长 $80$ 米；丙地长 $40$ 米、周长 $110$ 米。分别求甲地周长、乙地的长、丙地的宽。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（甲地·公式代入）：周长 $=(35+14)\times 2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（乙地·先求长宽之和）：$80\div 2=\underline{\quad}$，长 $=40-16=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（丙地·同理）：$110\div 2=\underline{\quad}$，宽 $=55-40=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：已知一个正方形的周长是 $48$ 厘米，一个长方形的宽是 $9$ 厘米、周长与该正方形相等，求长方形的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（正方形边长）：正方形周长 $=$ 边长 $\times 4$，边长 $=48\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（长方形长宽之和）：长方形周长也是 $48$，$48\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求长）：长 $=24-9=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个长方形宽 $16$ 厘米、周长 $80$ 厘米。求它的长，并求它的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长宽之和）：$80\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（求长）：长 $=40-16=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求面积）：面积 $=$ 长 $\times$ 宽 $=24\times 16=\underline{\quad}$（平方厘米）。
24. 【原题 ch22-xingqu-02】如图 22-2，用 $16$ 个周长为 $8$ 厘米的小正方形拼成了一个大正方形，大正方形的周长是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形拼接周长」类：由小正方形周长求出小边长，再由每边小正方形个数求大边长和大周长。
关键切入点：两次用到正方形周长 $=$ 边长 $\times 4$：小正方形周长 $8$ 得小边长 $2$；$16$ 个拼成大正方形，每边 $\sqrt{16}=4$ 个，大边长 $=2\times 4=8$，大周长 $=8\times 4=32$。
方法概述：先由小正方形周长求小边长，再求大边长与大周长。
规范步骤：
  1. 小正方形边长：$8\div 4=2$（厘米）（正方形周长公式）
  2. 每边个数（$4\times 4=16$）：$4$ 个（总数开方）
  3. 大正方形边长：$2\times 4=8$（厘米）（边长×每边个数）
  4. 大正方形周长：$8\times 4=32$（厘米）（正方形周长公式）
第一套
题目：用 $25$ 个周长为 $12$ 厘米的小正方形拼成一个大正方形，大正方形的周长是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小正方形边长）：小正方形周长 $=$ 边长 $\times 4$，边长 $=12\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（每边个数）：$25$ 个拼成正方形，每边个数 $\times$ 每边个数 $=25$，因为 $5\times 5=\underline{\quad}$，所以每边 $5$ 个。
  3. 第 3 步（大边长）：大正方形边长 $=3\times 5=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（大周长）：大正方形周长 $=15\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：用 $25$ 块周长为 $12$ 厘米的正方形瓷砖，不留缝隙拼成一块大的正方形地面。这块正方形地面的周长是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小瓷砖边长）：边长 $=12\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（每边块数）：$5\times 5=\underline{\quad}=25$，所以每边 $5$ 块。
  3. 第 3 步（大边长）：$3\times 5=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（大周长）：$15\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：用 $24$ 个周长为 $8$ 厘米的小正方形拼成一个长 $6$ 个、宽 $4$ 个的大长方形，大长方形的周长是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小边长）：边长 $=8\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（大长方形长）：长 $=2\times 6=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（大长方形宽）：宽 $=2\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（周长）：$(12+8)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：用 $36$ 个周长为 $8$ 厘米的小正方形拼成一个大正方形。求大正方形的周长和面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小边长）：$8\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（每边个数）：$6\times 6=\underline{\quad}=36$，每边 $6$ 个。
  3. 第 3 步（大边长）：$2\times 6=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（大周长）：$12\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（大面积）：$12\times 12=\underline{\quad}$（平方厘米）。
25. 【原题 ch22-xingqu-03】如图 22-3，$20$ 个边长为 $3$ 厘米的小正三角形按图 22-3 中的方式拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「三角形拼接周长」类：数出平行四边形每条边由几条小三角形的边组成，再用周长公式。
关键切入点：关键在读图数边：$20$ 个边长 $3$ 厘米的小正三角形斜排成一行，平行四边形较长的一组对边各由 $10$ 条小边组成（$3\times 10=30$），较短的一组对边各是 $1$ 条小边（$3$），故周长 $=(30+3)\times 2$。
方法概述：数出各边所含小三角形边数，再求周长。
规范步骤：
  1. 较长边长度：$3\times 10=30$（厘米）（10 条小边）
  2. 较短边长度：$3$（厘米）（1 条小边）
  3. 平行四边形周长：$(30+3)\times 2=66$（厘米）（周长公式）
26. 【原题 ch22-xingqu-04】如图 22-4 所示，内部正方形的周长为 $24$ 厘米，请根据图中给出的数，求出长方形的周长。（单位：厘米）
详细思路
是哪类问题：这是「套框图形周长」类：内部有一个正方形，四周留白已知，长 $=$ 左白 $+$ 正方形边 $+$ 右白，宽同理。
关键切入点：先由正方形周长 $24$ 求边长 $6$；长方形的长 $=2+6+4=12$，宽 $=1+6+3=10$，再用周长公式。
方法概述：先求内正方形边长，加上四周留白得长与宽，再求周长。
规范步骤：
  1. 正方形边长：$24\div 4=6$（厘米）（正方形周长公式）
  2. 长方形的长：$2+6+4=12$（厘米）（左白+边长+右白）
  3. 长方形的宽：$1+6+3=10$（厘米）（上白+边长+下白）
  4. 长方形周长：$(12+10)\times 2=44$（厘米）（周长公式）
第一套
题目：一个正方形放在长方形内部，正方形周长为 $36$ 厘米。正方形左边留白 $3$ 厘米、右边留白 $5$ 厘米、上边留白 $2$ 厘米、下边留白 $4$ 厘米。求长方形的周长。（单位：厘米）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（正方形边长）：$36\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（长方形的长）：左白 $+$ 边长 $+$ 右白 $=3+9+5=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（长方形的宽）：上白 $+$ 边长 $+$ 下白 $=2+9+4=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（周长）：$(17+15)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一张正方形照片贴在长方形相框中央偏位处，照片周长 $36$ 厘米，照片到相框四边的空白依次为左 $3$、右 $5$、上 $2$、下 $4$ 厘米。求相框外框的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（照片边长）：$36\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（外框长）：$3+9+5=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（外框宽）：$2+9+4=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（外框周长）：$(17+15)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个周长为 $40$ 厘米的正方形放在长方形内，左右留白各 $5$ 厘米、上下留白各 $3$ 厘米。求长方形周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（正方形边长）：$40\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（长方形的长）：$5+10+5=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（长方形的宽）：$3+10+3=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（周长）：$(20+16)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个周长 $36$ 厘米的正方形放在长方形内，左白 $3$、右白 $5$、上白 $2$、下白 $4$ 厘米。求长方形的面积，以及长方形中正方形以外（留白）部分的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（正方形边长）：$36\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（长与宽）：长 $=3+9+5=17$，宽 $=2+9+4=15$，长方形面积 $=17\times 15=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（正方形面积）：$9\times 9=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（留白面积）：$255-81=\underline{\quad}$（平方厘米）。
27. 【原题 ch22-xingqu-05】长方形的院子里有一条 “$6$” 字形的小路，路宽 $1$ 米，具体情况如图 22-5 所示。现要在小路上铺满砖，其余地方种草，那么这片绿地的周长是多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「小路类图形周长」类：绿地是院子里“$6$”字形小路两侧的空白部分，所求周长就是绿地与小路的公共边界，等于“$6$”字形的外轮廓线加上它内部空洞的轮廓线之和。
关键切入点：关键是“平移归并”：“$6$”字形的相邻边都互相垂直，把外轮廓上所有横向边向上下平移、纵向边向左右平移，可归并成外框的宽与高；内部方形空洞的轮廓单独计入。把图中标出的各段（上边框厚 $1$、开口高 $4$、空洞高 $5$、底宽 $5$ 等）按此法逐段累加，外轮廓与内孔轮廓相加，得绿地周长 $50$ 米。
方法概述：先认清绿地周长 = 外轮廓 + 内孔轮廓，再用平移把各段归并累加。
规范步骤：
  1. 认清边界：绿地周长 = “$6$”字外轮廓线 $+$ 内部空洞轮廓线（绿地夹在小路两侧）
  2. 平移归并外轮廓：相邻边互相垂直，横向边、纵向边各自平移到外框方向合并（平移转化）
  3. 累加各段得周长：外轮廓各段与内孔各段相加 $=50$（米）（逐段累加）
28. 【原题 ch22-xingqu-06】如图 22-6 所示，在一个大长方形的右上角挖去一个小长方形，如果大长方形的长是 $7$ 厘米，宽是 $5$ 厘米，小长方形的长是 $5$ 厘米，宽是 $3$ 厘米，那么该图形的周长是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「挖角图形周长」类：从大长方形右上角挖去一个小长方形，把凹进去的两条边平移补齐后，周长与原大长方形相等。
关键切入点：关键结论：挖去的是‘角’，凹口两条边平移后恰好补成整条长和宽，周长不变，与小长方形尺寸无关，只需算大长方形周长。
方法概述：把凹角两条边平移补成大长方形，周长 $=$ 大长方形周长。
规范步骤：
  1. 平移补形：凹口两条边平移补成大长方形（平移补形）
  2. 大长方形周长：$(7+5)\times 2=24$（厘米）（周长公式）
第一套
题目：从一个长 $12$ 厘米、宽 $8$ 厘米的大长方形右上角挖去一个长 $5$ 厘米、宽 $4$ 厘米的小长方形。求剩下图形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（平移补形）：挖去的是角，凹口两条边平移后补成整条长和宽，周长等于大长方形周长，与小长方形尺寸无关。
  2. 第 2 步（大长方形周长）：$(12+8)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块长 $12$ 米、宽 $8$ 米的长方形草坪，在一个角上盖了一间长 $5$ 米、宽 $4$ 米的小屋（占掉那个角）。剩下草坪的周长（含小屋两条内墙）是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（平移补形）：小屋占在角上，凹口两条边平移后补成整条长和宽，周长等于原长方形周长。
  2. 第 2 步（原长方形周长）：$(12+8)\times 2=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：从一个长 $12$ 厘米、宽 $8$ 厘米的大长方形的两个角上各挖去一个小长方形（都在角上）。求剩下图形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（平移补形）：两个凹口都在角上，各自平移补齐后周长都不变，仍等于大长方形周长。
  2. 第 2 步（周长）：$(12+8)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：从一个长 $12$ 厘米、宽 $8$ 厘米的大长方形的一条长边中间，向内挖去一个边长 $3$ 厘米的正方形缺口。求剩下图形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算大长方形周长）：$(12+8)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（缺口在边中间，不在角上）：平移后底边补齐，但缺口多出两条竖边，周长要增加 $2$ 条边长 $3+3=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（合计）：$40+6=\underline{\quad}$（厘米）。
29. 【原题 ch22-xingqu-07】如图 22-7 所示，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直，请根据图中所给出的数，求出这个多边形的周长。（单位：厘米）
详细思路
是哪类问题：这是「台阶形图形周长」类：相邻边互相垂直，把横边都平移到上下、竖边都平移到两侧，可归并成一个长方形。
关键切入点：对任意这种直角多边形，向上的边长总和 $=$ 向下的，向左的 $=$ 向右的，故周长 $=$（向上边长和 $+$ 向左边长和）$\times 2$；本题归并成长 $8$、宽 $6$ 的长方形。
方法概述：利用相邻边垂直把横、竖边各自平移归并成长方形求周长。
规范步骤：
  1. 平移归并成长方形：长 $8$、宽 $6$（平移转化）
  2. 求周长：$(8+6)\times 2=28$（厘米）（周长公式）
第一套
题目：一个台阶形多边形，任意相邻两条边都互相垂直。它所有指向上方的边长依次是 $4,5,6$ 厘米，所有指向左方的边长依次是 $3,4,5,3$ 厘米。求这个多边形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向上边长和）：$4+5+6=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（向左边长和）：$3+4+5+3=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（周长）：向上和向下相等、向左和向右相等，所以周长 $=(15+15)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块相邻边都互相垂直的台阶形花圃，向北的各段边依次是 $4,5,6$ 米，向西的各段边依次是 $3,4,5,3$ 米。求花圃的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向北边长和）：$4+5+6=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（向西边长和）：$3+4+5+3=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（周长）：向北和向南相等、向西和向东相等，周长 $=(15+15)\times 2=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一个相邻边都互相垂直的直角多边形，向上的边长依次是 $2,3,4,5$ 厘米，向左的边长依次是 $6,2,4$ 厘米。求周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向上边长和）：$2+3+4+5=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（向左边长和）：$6+2+4=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（周长）：$(14+12)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个相邻边都互相垂直的直角多边形，向上的边长依次是 $4,5,6$ 厘米。向左的边中有三条为 $3,4,5$ 厘米，还有一条未知；已知向右的边长总和是 $15$ 厘米。求这条未知边的长和多边形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（向左边长和 = 向右边长和）：向左边长总和也应为 $15$，已知三条为 $3+4+5=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（未知边）：$15-12=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（向上边长和）：$4+5+6=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（周长）：$(15+15)\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
30. 【原题 ch22-xingqu-08】图 22-8 中有几个锐角？几个直角？几个钝角？
详细思路
是哪类问题：这是「数角问题」类：按图中各三角形分别数锐角、直角、钝角，再算上拼合处新形成的角。
关键切入点：左上三角形有 $2$ 锐角、$1$ 钝角；右下三角形有 $3$ 锐角；两三角形拼合处又多出 $1$ 直角、$1$ 钝角。合计 $5$ 锐角、$1$ 直角、$2$ 钝角。
方法概述：分块数角，再补上拼合处的角。
规范步骤：
  1. 左上三角形：$2$ 锐角、$1$ 钝角（数角）
  2. 右下三角形：$3$ 锐角（数角）
  3. 拼合处：多 $1$ 直角、$1$ 钝角（拼合成角）
  4. 合计：锐角 $2+3=5$，钝角 $1+1=2$，直角 $1$（累加）
31. 【原题 ch22-xingqu-09】如图 22-9 所示，$\angle 1$ 等于 $130^\circ$，$\angle 2$ 等于 $110^\circ$，那么 $\angle 3$ 等于多少？
详细思路
是哪类问题：这是「三角形角度计算」类：$\angle 1$、$\angle 2$ 是三角形两个底角的外角，先用邻补角求底角，再用内角和求顶角。
关键切入点：邻补角互补（和为 $180^\circ$）：底角一 $=180^\circ-130^\circ=50^\circ$，底角二 $=180^\circ-110^\circ=70^\circ$；再由三角形内角和 $180^\circ$ 求 $\angle 3$。
方法概述：先用邻补角求两底角，再用内角和求顶角。
规范步骤：
  1. 底角一：$180-130=50$（度）（邻补角）
  2. 底角二：$180-110=70$（度）（邻补角）
  3. 顶角：$180-50-70=60$（度）（三角形内角和）
第一套
题目：三角形两个底角的外角分别是 $\angle 1=140^\circ$、$\angle 2=115^\circ$，求顶角 $\angle 3$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（邻补角求底角一）：$180-140=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（邻补角求底角二）：$180-115=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（内角和求顶角）：$180-40-65=\underline{\quad}$（度）。
第二套
题目：测量一个三角形屋架，量得底部两个角向外的补角分别是 $140^\circ$ 和 $115^\circ$。求屋架顶角的度数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（邻补角求底角一）：$180-140=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（邻补角求底角二）：$180-115=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（内角和求顶角）：$180-40-65=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：三角形的一个底角是 $50^\circ$，另一个底角的外角是 $150^\circ$。求顶角。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（邻补角求另一底角）：$180-150=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（内角和求顶角）：$180-50-30=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：三角形两个底角的外角是 $140^\circ$、$115^\circ$。先求顶角 $\angle 3$，再求 $\angle 3$ 的外角。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两底角）：$180-140=40$、$180-115=65$，两底角和 $=40+65=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（顶角）：$180-105=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（顶角的外角，邻补角）：$180-75=\underline{\quad}$（度）。
32. 【原题 ch22-xingqu-10】如图 22-10 所示，在长方形 $ABCD$ 中，$\angle ACB$ 等于 $34^\circ$，现在将其沿对角线 $AC$ 折起，形成如图 22-11 所示的图形。那么 $\angle OCD$ 的度数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「折叠求角」类：长方形沿对角线折叠，折叠前后对应角相等，用直角分解求所需角。
关键切入点：长方形一角是 $90^\circ$，$\angle ACD=90^\circ-\angle ACB=56^\circ$；折叠使 $\angle ACO=\angle ACB=34^\circ$，故 $\angle OCD=\angle ACD-\angle ACO=56^\circ-34^\circ=22^\circ$。
方法概述：由直角分出 $\angle ACD$，再减去折叠得到的相等角。
规范步骤：
  1. 求 $\angle ACD$：$90-34=56$（度）（直角分解）
  2. 折叠角相等：$\angle ACO=\angle ACB=34$（度）（折叠）
  3. 求 $\angle OCD$：$56-34=22$（度）（角的差）
第一套
题目：长方形 $ABCD$ 中 $\angle ACB=38^\circ$，沿对角线 $AC$ 折起，折叠后 $\angle ACO=\angle ACB$。求 $\angle OCD$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（直角分解）：$\angle ACD=90-38=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（折叠角相等）：$\angle ACO=\angle ACB=38^\circ$。
  3. 第 3 步（求 $\angle OCD$）：$52-38=\underline{\quad}$（度）。
第二套
题目：把一张长方形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折叠，已知 $\angle ACB=38^\circ$，折叠后 $\angle ACO=\angle ACB$。求折叠后 $\angle OCD$ 的度数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（直角分解）：$\angle ACD=90-38=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（求 $\angle OCD$）：$\angle OCD=\angle ACD-\angle ACO=52-38=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：长方形 $ABCD$ 中 $\angle ACB=34^\circ$，沿对角线 $AC$ 折起，$\angle ACO=\angle ACB$。求 $\angle OCD$ 与 $\angle ACO$ 的和 $\angle ACD$ 应是多少（用来检验）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$\angle ACD$）：$90-34=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（$\angle OCD$）：$56-34=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（检验：$\angle ACO+\angle OCD$）：$34+22=\underline{\quad}$（度），与 $\angle ACD$ 相等。
第三套
题目：长方形 $ABCD$ 中 $\angle ACB=34^\circ$，沿对角线 $AC$ 折起，$\angle ACO=\angle ACB$。求 $\angle OCD$，再求折叠后 $OC$ 与 $CB$ 的夹角 $\angle OCB$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$\angle ACD$）：$90-34=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（$\angle OCD$）：$56-34=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（$\angle OCB=\angle ACO+\angle ACB$）：$34+34=\underline{\quad}$（度）。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch22-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（第一次剪）：剪边长 $12$，剩 $12\times(20-12)=12\times$ \underline{8}。
    2. 第 2 步（第二次剪）：剪边长 $8$，剩 $8\times(12-8)=8\times$ \underline{4}。
    3. 第 3 步（最后）：$8\times 4$ 剪下边长 $4$ 的正方形，剩 $4\times 4$ 再剪 $1$ 个，共 $2$ 个边长 $4$。
    4. 第 4 步（周长和）：$12\times 4+8\times 4+4\times 4\times 2=\underline{112}$（厘米）。
    最终答案：$112$ 厘米。
  2. 1. ch22-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（第一次剪）：边长 $12$，剩 $12\times(20-12)=12\times$ \underline{8}。
    2. 第 2 步（第二次剪）：边长 $8$，剩 $8\times(12-8)=8\times$ \underline{4}。
    3. 第 3 步（最后两个边长 $4$）：周长和 $=12\times 4+8\times 4+4\times 4\times 2=\underline{112}$（分米）。
    最终答案：$112$ 分米。
  3. 1. ch22-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（剪边长 15）：剩 $15\times(21-15)=15\times\underline{6}$。
    2. 第 2 步（剪边长 6）：$15\times 6$ 剪下 $2$ 个边长 $6$，剩 $6\times(15-6-6)=6\times\underline{3}$。
    3. 第 3 步（最后 $6\times 3$ 剪 $2$ 个边长 $3$）：共 $1$ 个 $15$、$2$ 个 $6$、$2$ 个 $3$。
    4. 第 4 步（周长和）：$15\times 4+6\times 4\times 2+3\times 4\times 2=\underline{132}$（厘米）。
    最终答案：$132$ 厘米。
  4. 1. ch22-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（列出各正方形）：边长依次为 $12$、$8$、$4$、$4$。
    2. 第 2 步（正方形个数）：$1+1+2=\underline{4}$（个）。
    3. 第 3 步（周长和）：$12\times 4+8\times 4+4\times 4\times 2=\underline{112}$（厘米）。
    最终答案：共 $4$ 个正方形，周长和 $112$ 厘米。
  5. 2. ch22-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（原长方形周长）：$(30+20)\times 2=\underline{100}$（厘米）。
    2. 第 2 步（最大：两刀都平行于长 30）：$100+30\times 2\times 2=\underline{220}$（厘米）。
    3. 第 3 步（最小：两刀都平行于宽 20）：$100+20\times 2\times 2=\underline{180}$（厘米）。
    最终答案：最大 $220$ 厘米，最小 $180$ 厘米。
  6. 2. ch22-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（原菜地周长）：$(30+20)\times 2=\underline{100}$（米）。
    2. 第 2 步（最大：小路都平行于长）：$100+30\times 2\times 2=\underline{220}$（米）。
    3. 第 3 步（最小：小路都平行于宽）：$100+20\times 2\times 2=\underline{180}$（米）。
    最终答案：最大 $220$ 米，最小 $180$ 米。
  7. 2. ch22-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（原周长）：$(30+20)\times 2=\underline{100}$（厘米）。
    2. 第 2 步（最大：三刀都平行于长）：$100+30\times 2\times 3=\underline{280}$（厘米）。
    3. 第 3 步（最小：三刀都平行于宽）：$100+20\times 2\times 3=\underline{220}$（厘米）。
    最终答案：最大 $280$ 厘米，最小 $220$ 厘米。
  8. 2. ch22-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（原周长）：$(30+20)\times 2=\underline{100}$（厘米）。
    2. 第 2 步（平行于长的一刀增加）：$30\times 2=\underline{60}$（厘米）。
    3. 第 3 步（平行于宽的一刀增加）：$20\times 2=\underline{40}$（厘米）。
    4. 第 4 步（周长和）：$100+60+40=\underline{200}$（厘米）。
    最终答案：$200$ 厘米。
  9. 4. ch22-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（$\angle ABE$）：$E$ 在外侧，$\angle ABE=\angle ABC+\angle EBC=90+60=\underline{150}$（度）。
    2. 第 2 步（等腰底角，$AB=BE$）：$\angle EAB=(180-150)\div 2=\underline{15}$（度）。
    最终答案：$15^\circ$。
  10. 4. ch22-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（$\angle ABE$）：$\angle ABE=90+60=\underline{150}$（度）。
    2. 第 2 步（等腰底角）：$\angle EAB=(180-150)\div 2=\underline{15}$（度）。
    最终答案：$15^\circ$。
  11. 4. ch22-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（$\angle ABE$）：$90-60=\underline{30}$（度）。
    2. 第 2 步（等腰三角形 $ABE$ 两底角相等，$\angle AEB=\angle EAB$）：$\angle AEB=(180-30)\div 2=\underline{75}$（度）。
    最终答案：$75^\circ$。
  12. 4. ch22-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（绕点 $E$ 一周为 $360^\circ$）：$\angle AEB+\angle BEC+\angle CED+\angle DEA=360$。
    2. 第 2 步（已知三个角的和）：$75+60+75=\underline{210}$（度）。
    3. 第 3 步（$\angle AED$）：$360-210=\underline{150}$（度）。
    最终答案：$150^\circ$。
  13. 5. ch22-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（五个顶角和为 180）：已知四个的和 $30+45+28+42=\underline{145}$（度）。
    2. 第 2 步（求 $\angle 5$）：$180-145=\underline{35}$（度）。
    最终答案：$35^\circ$。
  14. 5. ch22-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（五个尖角和为 180）：已知四个和 $30+45+28+42=\underline{145}$（度）。
    2. 第 2 步（最后一个）：$180-145=\underline{35}$（度）。
    最终答案：$35^\circ$。
  15. 5. ch22-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（五个相等顶角和为 180）：每个 $=180\div 5=\underline{36}$（度）。
    2. 第 2 步（验证）：$36\times 5=\underline{180}$（度）。
    最终答案：每个顶角 $36^\circ$。
  16. 5. ch22-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（已知四个的和）：$35+40+30+45=\underline{150}$（度）。
    2. 第 2 步（求 $\angle 5$）：$180-150=\underline{30}$（度）。
    3. 第 3 步（$\angle 5$ 的外角，邻补角）：$180-30=\underline{150}$（度）。
    最终答案：$\angle 5=30^\circ$，其外角 $150^\circ$。
  17. 6. ch22-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（两锐角和）：$a+b=180-90=\underline{90}$（度）。
    2. 第 2 步（绕点方程化简）：$3a+9b=360$ 即 $3(a+b)+6b=360$，$3\times 90+6b=360$，$6b=360-270=\underline{90}$（度）。
    3. 第 3 步（求 $b$）：$b=90\div 6=\underline{15}$（度）。
    4. 第 4 步（求 $a$）：$a=90-15=\underline{75}$（度）。
    最终答案：$a=75^\circ$，$b=15^\circ$。
  18. 6. ch22-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（两锐角和）：$a+b=180-90=\underline{90}$（度）。
    2. 第 2 步（绕轴心一圈 360）：$3(a+b)+6b=360$，$6b=360-270=\underline{90}$（度）。
    3. 第 3 步（求 $b$）：$90\div 6=\underline{15}$（度）。
    4. 第 4 步（求 $a$）：$90-15=\underline{75}$（度）。
    最终答案：$a=75^\circ$，$b=15^\circ$。
  19. 6. ch22-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（两锐角和）：$a+b=180-90=\underline{90}$（度）。
    2. 第 2 步（绕点方程化简）：$2a+5b=2(a+b)+3b=360$，$3b=360-180=\underline{180}$（度）。
    3. 第 3 步（求 $b$）：$180\div 3=\underline{60}$（度）。
    4. 第 4 步（求 $a$）：$90-60=\underline{30}$（度）。
    最终答案：$a=30^\circ$，$b=60^\circ$。
  20. 6. ch22-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $b$）：$3(a+b)+6b=360$，$6b=360-270=90$，$b=90\div 6=\underline{15}$（度）。
    2. 第 2 步（求 $a$）：$a=90-15=\underline{75}$（度）。
    3. 第 3 步（$b$ 的余角）：$90-15=\underline{75}$（度）。
    4. 第 4 步（$a$ 的补角）：$180-75=\underline{105}$（度）。
    最终答案：$a=75^\circ$，$b=15^\circ$；$b$ 的余角 $75^\circ$，$a$ 的补角 $105^\circ$。
  21. 9. ch22-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（拼接等量）：$3$ 个小宽 $=2$ 个小长 $=2\times 18=\underline{36}$（厘米）。
    2. 第 2 步（小宽）：$36\div 3=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（大宽 $=$ 小长 $+$ 小宽）：$18+12=\underline{30}$（厘米）。
    4. 第 4 步（大周长，大长 $=$ 小长 $\times 2=36$）：$(36+30)\times 2=\underline{132}$（厘米）。
    最终答案：$132$ 厘米。
  22. 9. ch22-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（拼接等量）：$3$ 块砖宽 $=2$ 块砖长 $=2\times 18=\underline{36}$（厘米）。
    2. 第 2 步（砖宽）：$36\div 3=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（大宽）：$18+12=\underline{30}$（厘米）。
    4. 第 4 步（大周长，大长 $=36$）：$(36+30)\times 2=\underline{132}$（厘米）。
    最终答案：$132$ 厘米。
  23. 9. ch22-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（拼接等量）：$4$ 个小宽 $=3$ 个小长 $=3\times 24=\underline{72}$（厘米）。
    2. 第 2 步（小宽）：$72\div 4=\underline{18}$（厘米）。
    3. 第 3 步（大长、大宽）：大长 $=3\times 24=72$，大宽 $=24+18=\underline{42}$（厘米）。
    4. 第 4 步（大周长）：$(72+42)\times 2=\underline{228}$（厘米）。
    最终答案：$228$ 厘米。
  24. 9. ch22-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（小宽）：$3$ 个小宽 $=2\times 18=36$，小宽 $=36\div 3=\underline{12}$（厘米）。
    2. 第 2 步（大长、大宽）：大长 $=18\times 2=36$，大宽 $=18+12=\underline{30}$（厘米）。
    3. 第 3 步（周长）：$(36+30)\times 2=\underline{132}$（厘米）。
    4. 第 4 步（面积）：$36\times 30=\underline{1080}$（平方厘米）。
    最终答案：周长 $132$ 厘米，面积 $1080$ 平方厘米。
  25. 10. ch22-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（和与差）：一条长加一条宽 $=$ 大正方形边长，长 $+$ 宽 $=30$；长减宽 $=$ 小正方形边长，长 $-$ 宽 $=6$。
    2. 第 2 步（求长，和差公式）：$(30+6)\div 2=\underline{18}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求宽）：$(30-6)\div 2=\underline{12}$（厘米）。
    最终答案：长 $18$ 厘米，宽 $12$ 厘米。
  26. 10. ch22-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（和与差）：长 $+$ 宽 $=30$（大正方形边长），长 $-$ 宽 $=6$（小正方形边长）。
    2. 第 2 步（求长）：$(30+6)\div 2=\underline{18}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求宽）：$(30-6)\div 2=\underline{12}$（厘米）。
    最终答案：长 $18$ 厘米，宽 $12$ 厘米。
  27. 10. ch22-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求和）：长 $+$ 宽 $=$ 周长 $\div 2=48\div 2=\underline{24}$（厘米）。
    2. 第 2 步（求长）：$(24+6)\div 2=\underline{15}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求宽）：$(24-6)\div 2=\underline{9}$（厘米）。
    最终答案：长 $15$ 厘米，宽 $9$ 厘米。
  28. 10. ch22-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求长）：$(30+6)\div 2=\underline{18}$（厘米）。
    2. 第 2 步（求宽）：$(30-6)\div 2=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求面积）：$18\times 12=\underline{216}$（平方厘米）。
    最终答案：长 $18$ 厘米，宽 $12$ 厘米，面积 $216$ 平方厘米。
  29. 11. ch22-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（剪角，周长不变）：$(12+9)\times 2=\underline{42}$（厘米）。
    2. 第 2 步（剪边缺口，增加两条边长）：$42+4+4=\underline{50}$（厘米）。
    最终答案：（1）$42$ 厘米；（2）$50$ 厘米。
  30. 11. ch22-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（剪角，周长不变）：$(12+9)\times 2=\underline{42}$（分米）。
    2. 第 2 步（剪缺口，增加两条边长）：$42+4+4=\underline{50}$（分米）。
    最终答案：（1）$42$ 分米；（2）$50$ 分米。
  31. 11. ch22-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（两个都在角上，平移补齐后周长都不变）：等于原长方形周长。
    2. 第 2 步（周长）：$(12+9)\times 2=\underline{42}$（厘米）。
    最终答案：$42$ 厘米。
  32. 11. ch22-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（原长方形周长）：$(12+9)\times 2=\underline{42}$（厘米）。
    2. 第 2 步（每个缺口增加两条边长）：两个缺口共增加 $4$ 条边长 $4\times 4=\underline{16}$（厘米）。
    3. 第 3 步（合计）：$42+16=\underline{58}$（厘米）。
    最终答案：$58$ 厘米。
  33. 12. ch22-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（向东总距离 = 边长）：$1500$ 米。
    2. 第 2 步（向北总距离 = 边长）：$1500$ 米。
    3. 第 3 步（总路程）：$1500\times 2=\underline{3000}$（米）。
    最终答案：$3000$ 米。
  34. 12. ch22-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（向东总距离 = 边长）：$1500$ 米。
    2. 第 2 步（向北总距离 = 边长）：$1500$ 米。
    3. 第 3 步（总路程）：$1500\times 2=\underline{3000}$（米）。
    最终答案：$3000$ 米。
  35. 12. ch22-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（向东总距离 = 长）：$1200$ 米。
    2. 第 2 步（向北总距离 = 宽）：$800$ 米。
    3. 第 3 步（总路程）：$1200+800=\underline{2000}$（米）。
    最终答案：$2000$ 米。
  36. 12. ch22-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（去程 = 长 + 宽）：$1200+800=\underline{2000}$（米）。
    2. 第 2 步（回程也 = 长 + 宽）：$2000$ 米。
    3. 第 3 步（总路程）：$2000\times 2=\underline{4000}$（米）。
    最终答案：$4000$ 米。
  37. 17. ch22-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（向上边长和）：$3+6+7+8=\underline{24}$（厘米）。
    2. 第 2 步（向左边长和）：$3+4+2+2+3+4=\underline{18}$（厘米）。
    3. 第 3 步（周长）：向上 $=$ 向下、向左 $=$ 向右，周长 $=(24+18)\times 2=\underline{84}$（厘米）。
    最终答案：$84$ 厘米。
  38. 17. ch22-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（向北边长和）：$3+6+7+8=\underline{24}$（米）。
    2. 第 2 步（向西边长和）：$3+4+2+2+3+4=\underline{18}$（米）。
    3. 第 3 步（周长）：$(24+18)\times 2=\underline{84}$（米）。
    最终答案：$84$ 米。
  39. 17. ch22-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（向上边长和）：$4+4+5+6+6=\underline{25}$（厘米）。
    2. 第 2 步（向左边长和）：$2+3+4+5+3+3=\underline{20}$（厘米）。
    3. 第 3 步（周长）：$(25+20)\times 2=\underline{90}$（厘米）。
    最终答案：$90$ 厘米。
  40. 17. ch22-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（向左和 = 向右和 = 18）：已知五条为 $3+4+2+2+3=\underline{14}$（厘米）。
    2. 第 2 步（未知边）：$18-14=\underline{4}$（厘米）。
    3. 第 3 步（向上边长和）：$3+6+7+8=\underline{24}$（厘米）。
    4. 第 4 步（周长）：$(24+18)\times 2=\underline{84}$（厘米）。
    最终答案：未知边 $4$ 厘米，周长 $84$ 厘米。
  41. 18. ch22-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（原正方形周长）：$12\times 4=\underline{48}$（厘米）。
    2. 第 2 步（横剪 2 刀增加）：$12\times 2\times 2=\underline{48}$（厘米）。
    3. 第 3 步（竖剪 3 刀增加）：$12\times 2\times 3=\underline{72}$（厘米）。
    4. 第 4 步（总和）：$48+48+72=\underline{168}$（厘米）。
    最终答案：$168$ 厘米。
  42. 18. ch22-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（原正方形周长）：$12\times 4=\underline{48}$（分米）。
    2. 第 2 步（横切 2 刀增加）：$12\times 2\times 2=\underline{48}$（分米）。
    3. 第 3 步（竖切 3 刀增加）：$12\times 2\times 3=\underline{72}$（分米）。
    4. 第 4 步（总和）：$48+48+72=\underline{168}$（分米）。
    最终答案：$168$ 分米。
  43. 18. ch22-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（原正方形周长）：$10\times 4=\underline{40}$（厘米）。
    2. 第 2 步（横剪 4 刀增加）：$10\times 2\times 4=\underline{80}$（厘米）。
    3. 第 3 步（总和）：$40+80=\underline{120}$（厘米）。
    最终答案：$120$ 厘米。
  44. 18. ch22-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（原长方形周长）：$(12+8)\times 2=\underline{40}$（厘米）。
    2. 第 2 步（横剪 1 刀增加，每条长 12）：$12\times 2\times 1=\underline{24}$（厘米）。
    3. 第 3 步（竖剪 2 刀增加，每条长 8）：$8\times 2\times 2=\underline{32}$（厘米）。
    4. 第 4 步（总和）：$40+24+32=\underline{96}$（厘米）。
    最终答案：$96$ 厘米。
  45. 19. ch22-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（对顶角相等）：$\angle 1+\angle 2=\angle 3+\angle 4$，两组角和相等。
    2. 第 2 步（求 $\angle 4$）：$55+65-70=\underline{50}$（度）。
    最终答案：$50^\circ$。
  46. 19. ch22-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（对顶角相等）：上、下两三角形在交叉顶点处的角相等，故两底角和相等。
    2. 第 2 步（求另一底角）：$55+65-70=\underline{50}$（度）。
    最终答案：$50^\circ$。
  47. 19. ch22-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（对顶角相等）：$\angle 1+\angle 2=\angle 3+\angle 4$。
    2. 第 2 步（求 $\angle 1$）：$70+50-65=\underline{55}$（度）。
    最终答案：$55^\circ$。
  48. 19. ch22-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（上面三角形顶角，内角和）：$180-55-65=\underline{60}$（度）。
    2. 第 2 步（对顶角相等，下面三角形顶角也是 60）：$\angle 4=180-60-70=\underline{50}$（度）。
    最终答案：上面顶角 $60^\circ$，$\angle 4=50^\circ$。
  49. 20. ch22-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（外角和为 360）：$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=360$。
    2. 第 2 步（求 $\angle 4$）：$360-120-70-85=\underline{85}$（度）。
    最终答案：$85^\circ$。
  50. 20. ch22-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（绕一圈转 360）：四个外角和 $=360$。
    2. 第 2 步（求 $\angle 4$）：$360-120-70-85=\underline{85}$（度）。
    最终答案：$85^\circ$。
  51. 20. ch22-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（任意多边形外角和为 360）：五个外角和 $=360$。
    2. 第 2 步（求第五个）：$360-80-70-60-90=\underline{60}$（度）。
    最终答案：$60^\circ$。
  52. 20. ch22-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（求外角 $\angle 4$）：$360-120-70-85=\underline{85}$（度）。
    2. 第 2 步（内角与外角互补）：内角 $=180-85=\underline{95}$（度）。
    最终答案：$\angle 4=85^\circ$，该顶点内角 $95^\circ$。
  53. 21. ch22-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（小三角形内角和）：$\angle 2+\angle 4=180-135=\underline{45}$（度）。
    2. 第 2 步（两底角和 = 2 倍）：$2\times 45=\underline{90}$（度）。
    3. 第 3 步（顶角）：$180-90=\underline{90}$（度）。
    最终答案：$90^\circ$。
  54. 21. ch22-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（小三角形内角和）：$\angle 2+\angle 4=180-135=\underline{45}$（度）。
    2. 第 2 步（两底角和）：$2\times 45=\underline{90}$（度）。
    3. 第 3 步（顶角）：$180-90=\underline{90}$（度）。
    最终答案：$90^\circ$。
  55. 21. ch22-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（两底角和）：$180-80=\underline{100}$（度）。
    2. 第 2 步（各取一半，两半角和）：$100\div 2=\underline{50}$（度）。
    3. 第 3 步（$\angle BOC$）：$180-50=\underline{130}$（度）。
    最终答案：$130^\circ$。
  56. 21. ch22-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（$\angle 2+\angle 4$）：$180-135=\underline{45}$（度）。
    2. 第 2 步（顶角 $\angle A$）：$180-2\times 45=\underline{90}$（度）。
    3. 第 3 步（$\angle A$ 的外角）：$180-90=\underline{90}$（度）。
    最终答案：$\angle A=90^\circ$，其外角 $90^\circ$。
  57. 23. ch22-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（第一列·公式代入）：周长 $=$（长 $+$ 宽）$\times 2=(35+14)\times 2=\underline{98}$。
    2. 第 2 步（第二列·先求长宽之和）：周长 $\div 2=$ 长 $+$ 宽，$80\div 2=\underline{40}$，再减去宽 $40-16=\underline{24}$，得长。
    3. 第 3 步（第三列·同理求宽）：$110\div 2=\underline{55}$，再减去长 $55-40=\underline{15}$，得宽。
    最终答案：第一列周长 $98$，第二列长 $24$，第三列宽 $15$（厘米）。
  58. 23. ch22-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（甲地·公式代入）：周长 $=(35+14)\times 2=\underline{98}$（米）。
    2. 第 2 步（乙地·先求长宽之和）：$80\div 2=\underline{40}$，长 $=40-16=\underline{24}$（米）。
    3. 第 3 步（丙地·同理）：$110\div 2=\underline{55}$，宽 $=55-40=\underline{15}$（米）。
    最终答案：甲地周长 $98$ 米，乙地长 $24$ 米，丙地宽 $15$ 米。
  59. 23. ch22-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（正方形边长）：正方形周长 $=$ 边长 $\times 4$，边长 $=48\div 4=\underline{12}$（厘米）。
    2. 第 2 步（长方形长宽之和）：长方形周长也是 $48$，$48\div 2=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（求长）：长 $=24-9=\underline{15}$（厘米）。
    最终答案：正方形边长 $12$ 厘米，长方形长 $15$ 厘米。
  60. 23. ch22-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（长宽之和）：$80\div 2=\underline{40}$（厘米）。
    2. 第 2 步（求长）：长 $=40-16=\underline{24}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求面积）：面积 $=$ 长 $\times$ 宽 $=24\times 16=\underline{384}$（平方厘米）。
    最终答案：长 $24$ 厘米，面积 $384$ 平方厘米。
  61. 24. ch22-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（小正方形边长）：小正方形周长 $=$ 边长 $\times 4$，边长 $=12\div 4=\underline{3}$（厘米）。
    2. 第 2 步（每边个数）：$25$ 个拼成正方形，每边个数 $\times$ 每边个数 $=25$，因为 $5\times 5=\underline{25}$，所以每边 $5$ 个。
    3. 第 3 步（大边长）：大正方形边长 $=3\times 5=\underline{15}$（厘米）。
    4. 第 4 步（大周长）：大正方形周长 $=15\times 4=\underline{60}$（厘米）。
    最终答案：$60$ 厘米。
  62. 24. ch22-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（小瓷砖边长）：边长 $=12\div 4=\underline{3}$（厘米）。
    2. 第 2 步（每边块数）：$5\times 5=\underline{25}=25$，所以每边 $5$ 块。
    3. 第 3 步（大边长）：$3\times 5=\underline{15}$（厘米）。
    4. 第 4 步（大周长）：$15\times 4=\underline{60}$（厘米）。
    最终答案：$60$ 厘米。
  63. 24. ch22-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（小边长）：边长 $=8\div 4=\underline{2}$（厘米）。
    2. 第 2 步（大长方形长）：长 $=2\times 6=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（大长方形宽）：宽 $=2\times 4=\underline{8}$（厘米）。
    4. 第 4 步（周长）：$(12+8)\times 2=\underline{40}$（厘米）。
    最终答案：$40$ 厘米。
  64. 24. ch22-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（小边长）：$8\div 4=\underline{2}$（厘米）。
    2. 第 2 步（每边个数）：$6\times 6=\underline{36}=36$，每边 $6$ 个。
    3. 第 3 步（大边长）：$2\times 6=\underline{12}$（厘米）。
    4. 第 4 步（大周长）：$12\times 4=\underline{48}$（厘米）。
    5. 第 5 步（大面积）：$12\times 12=\underline{144}$（平方厘米）。
    最终答案：周长 $48$ 厘米，面积 $144$ 平方厘米。
  65. 26. ch22-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（正方形边长）：$36\div 4=\underline{9}$（厘米）。
    2. 第 2 步（长方形的长）：左白 $+$ 边长 $+$ 右白 $=3+9+5=\underline{17}$（厘米）。
    3. 第 3 步（长方形的宽）：上白 $+$ 边长 $+$ 下白 $=2+9+4=\underline{15}$（厘米）。
    4. 第 4 步（周长）：$(17+15)\times 2=\underline{64}$（厘米）。
    最终答案：$64$ 厘米。
  66. 26. ch22-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（照片边长）：$36\div 4=\underline{9}$（厘米）。
    2. 第 2 步（外框长）：$3+9+5=\underline{17}$（厘米）。
    3. 第 3 步（外框宽）：$2+9+4=\underline{15}$（厘米）。
    4. 第 4 步（外框周长）：$(17+15)\times 2=\underline{64}$（厘米）。
    最终答案：$64$ 厘米。
  67. 26. ch22-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（正方形边长）：$40\div 4=\underline{10}$（厘米）。
    2. 第 2 步（长方形的长）：$5+10+5=\underline{20}$（厘米）。
    3. 第 3 步（长方形的宽）：$3+10+3=\underline{16}$（厘米）。
    4. 第 4 步（周长）：$(20+16)\times 2=\underline{72}$（厘米）。
    最终答案：$72$ 厘米。
  68. 26. ch22-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（正方形边长）：$36\div 4=\underline{9}$（厘米）。
    2. 第 2 步（长与宽）：长 $=3+9+5=17$，宽 $=2+9+4=15$，长方形面积 $=17\times 15=\underline{255}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（正方形面积）：$9\times 9=\underline{81}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（留白面积）：$255-81=\underline{174}$（平方厘米）。
    最终答案：长方形面积 $255$ 平方厘米，留白面积 $174$ 平方厘米。
  69. 28. ch22-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（平移补形）：挖去的是角，凹口两条边平移后补成整条长和宽，周长等于大长方形周长，与小长方形尺寸无关。
    2. 第 2 步（大长方形周长）：$(12+8)\times 2=\underline{40}$（厘米）。
    最终答案：$40$ 厘米。
  70. 28. ch22-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（平移补形）：小屋占在角上，凹口两条边平移后补成整条长和宽，周长等于原长方形周长。
    2. 第 2 步（原长方形周长）：$(12+8)\times 2=\underline{40}$（米）。
    最终答案：$40$ 米。
  71. 28. ch22-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（平移补形）：两个凹口都在角上，各自平移补齐后周长都不变，仍等于大长方形周长。
    2. 第 2 步（周长）：$(12+8)\times 2=\underline{40}$（厘米）。
    最终答案：$40$ 厘米。
  72. 28. ch22-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（先算大长方形周长）：$(12+8)\times 2=\underline{40}$（厘米）。
    2. 第 2 步（缺口在边中间，不在角上）：平移后底边补齐，但缺口多出两条竖边，周长要增加 $2$ 条边长 $3+3=\underline{6}$（厘米）。
    3. 第 3 步（合计）：$40+6=\underline{46}$（厘米）。
    最终答案：$46$ 厘米。
  73. 29. ch22-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（向上边长和）：$4+5+6=\underline{15}$（厘米）。
    2. 第 2 步（向左边长和）：$3+4+5+3=\underline{15}$（厘米）。
    3. 第 3 步（周长）：向上和向下相等、向左和向右相等，所以周长 $=(15+15)\times 2=\underline{60}$（厘米）。
    最终答案：$60$ 厘米。
  74. 29. ch22-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（向北边长和）：$4+5+6=\underline{15}$（米）。
    2. 第 2 步（向西边长和）：$3+4+5+3=\underline{15}$（米）。
    3. 第 3 步（周长）：向北和向南相等、向西和向东相等，周长 $=(15+15)\times 2=\underline{60}$（米）。
    最终答案：$60$ 米。
  75. 29. ch22-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（向上边长和）：$2+3+4+5=\underline{14}$（厘米）。
    2. 第 2 步（向左边长和）：$6+2+4=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（周长）：$(14+12)\times 2=\underline{52}$（厘米）。
    最终答案：$52$ 厘米。
  76. 29. ch22-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（向左边长和 = 向右边长和）：向左边长总和也应为 $15$，已知三条为 $3+4+5=\underline{12}$（厘米）。
    2. 第 2 步（未知边）：$15-12=\underline{3}$（厘米）。
    3. 第 3 步（向上边长和）：$4+5+6=\underline{15}$（厘米）。
    4. 第 4 步（周长）：$(15+15)\times 2=\underline{60}$（厘米）。
    最终答案：未知边 $3$ 厘米，周长 $60$ 厘米。
  77. 31. ch22-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（邻补角求底角一）：$180-140=\underline{40}$（度）。
    2. 第 2 步（邻补角求底角二）：$180-115=\underline{65}$（度）。
    3. 第 3 步（内角和求顶角）：$180-40-65=\underline{75}$（度）。
    最终答案：$75^\circ$。
  78. 31. ch22-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（邻补角求底角一）：$180-140=\underline{40}$（度）。
    2. 第 2 步（邻补角求底角二）：$180-115=\underline{65}$（度）。
    3. 第 3 步（内角和求顶角）：$180-40-65=\underline{75}$（度）。
    最终答案：$75^\circ$。
  79. 31. ch22-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（邻补角求另一底角）：$180-150=\underline{30}$（度）。
    2. 第 2 步（内角和求顶角）：$180-50-30=\underline{100}$（度）。
    最终答案：$100^\circ$。
  80. 31. ch22-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（两底角）：$180-140=40$、$180-115=65$，两底角和 $=40+65=\underline{105}$（度）。
    2. 第 2 步（顶角）：$180-105=\underline{75}$（度）。
    3. 第 3 步（顶角的外角，邻补角）：$180-75=\underline{105}$（度）。
    最终答案：顶角 $75^\circ$，其外角 $105^\circ$。
  81. 32. ch22-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（直角分解）：$\angle ACD=90-38=\underline{52}$（度）。
    2. 第 2 步（折叠角相等）：$\angle ACO=\angle ACB=38^\circ$。
    3. 第 3 步（求 $\angle OCD$）：$52-38=\underline{14}$（度）。
    最终答案：$14^\circ$。
  82. 32. ch22-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（直角分解）：$\angle ACD=90-38=\underline{52}$（度）。
    2. 第 2 步（求 $\angle OCD$）：$\angle OCD=\angle ACD-\angle ACO=52-38=\underline{14}$（度）。
    最终答案：$14^\circ$。
  83. 32. ch22-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（$\angle ACD$）：$90-34=\underline{56}$（度）。
    2. 第 2 步（$\angle OCD$）：$56-34=\underline{22}$（度）。
    3. 第 3 步（检验：$\angle ACO+\angle OCD$）：$34+22=\underline{56}$（度），与 $\angle ACD$ 相等。
    最终答案：$\angle OCD=22^\circ$，$\angle ACO+\angle OCD=56^\circ=\angle ACD$。
  84. 32. ch22-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（$\angle ACD$）：$90-34=\underline{56}$（度）。
    2. 第 2 步（$\angle OCD$）：$56-34=\underline{22}$（度）。
    3. 第 3 步（$\angle OCB=\angle ACO+\angle ACB$）：$34+34=\underline{68}$（度）。
    最终答案：$\angle OCD=22^\circ$，$\angle OCB=68^\circ$。