三年级第23讲智巧趣题二

1. 【原题 ch23-chaoyue-01】如图 23-9，在六面体的顶点 $A$ 和 $B$ 处各有一只蚂蚁，它们比赛看谁能最快爬完所有的棱线，最先到达终点 $C$。如果它们的爬行速度相同，那么哪只蚂蚁能获胜？

详细思路

是哪类问题：这是「一笔画（奇点判定）路程比较」类：图 23-9 是一个三棱双锥（上下两个顶点 $C,A$，中间三个顶点围成三角形），共 $5$ 个顶点、$9$ 条棱、$6$ 个面。先数出每个顶点连出的棱数（度），据一笔画条件判断谁能不重复走完，再比较两只蚂蚁的路程。

关键切入点：数每个顶点连出的棱数：上顶点 $C$ 连 $3$ 条、下顶点 $A$ 连 $3$ 条（都是奇点）；中间三个顶点各连 $4$ 条（都是偶点）。所以奇点恰好是 $C,A$ 两个。一笔画规律：只有从一个奇点出发、到另一个奇点结束，才能不重复地走完全部棱。从 $A$ 出发到 $C$ 结束正好符合，能不重复走完 $9$ 条棱，路程 $=9$ 段。而 $B$ 是偶点，要从 $B$ 出发走完全部棱并停在 $C$，必须至少把 $B$ 到 $A$ 的那条棱再重复走一遍（把奇点凑成 $B,C$），路程 $\ge 9+1=10$ 段。速度相同，$9<10$，从 $A$ 出发的蚂蚁先到。

方法概述：先数各顶点的度找出奇点（只有 $A,C$）；从奇点 $A$ 到奇点 $C$ 可一笔走完 $9$ 棱，从偶点 $B$ 出发须多走 $1$ 棱，比较路程定胜负。

规范步骤：

数各顶点的度：C,A \text{ 各 }3\text{；中间三点各 }4（总度数 $3+3+4+4+4=18$，棱数 $18/2=9$）
判奇点：\text{奇点恰为 }A,C（度为奇数的点）
A 出发路程：9 \text{ 段}（两奇点间可一笔走完全部棱不重复）
B 出发路程：9+1=10 \text{ 段}（偶点出发须重复 1 条棱）
比较路程：9<10（A 先到 C 获胜）

2. 【原题 ch23-chaoyue-02】（1）植树节到了，老师带着同学们去种树。他要求大家把 $6$ 棵树种成 $3$ 行，每行都有 $3$ 棵树，这下可把大家难住了，你知道怎么种才能满足老师的要求吗？（2）萱萱突然发现可以改变一棵树的位置，这样可以让 $6$ 棵树变成 $4$ 行，每行 $3$ 棵，你知道萱萱的设置是怎么做的吗？（3）墨莫发现还有一种——把树砍掉一棵后，可以让 $7$ 行每行 $3$ 棵，你知道墨莫是怎么做的吗？

详细思路

是哪类问题：这是「植树成行（点线共用）」类：让同一棵树落在多条直线的公共交点上被多行共用，从而用较少的树排出更多行。关键是数清“每棵树被几条行共用”。

关键切入点：(1) 把 $6$ 棵摆成一个三角形：$3$ 棵放三个顶点、$3$ 棵放三条边的中点。这样每条边上都是“两个顶点 + 一个中点”共 $3$ 棵，三条边就是 $3$ 行每行 $3$ 棵，恰好用满 $3+3=6$ 棵。 (2) 要在 $3$ 行之外再多出一行，就让某三棵恰好落在一条新直线上：把一棵移到能与另外两棵连成一线的位置，便添出第 $4$ 行，成 $4$ 行每行 $3$ 棵（等价于“$4$ 条直线两两相交得 $6$ 个交点、每条直线上恰有 $3$ 个交点”的完全四边形布局）。 (3) 再把两棵并到同一交点、并在特殊位置补一棵，靠更多的“三点共线”可排到 $7$ 行每行 $3$ 棵，具体布点见图。核心始终是让尽量多的树位于多条直线的公共交点上。

方法概述：让同一棵树位于多条直线的公共交点上（共点、共线），用较少的点排出更多的行。

规范步骤：

三顶点 + 三边中点：3+3=6 \text{ 棵}（每边 2 顶点 + 1 中点 = 3 棵）
三条边各成一行：3 \text{ 行每行 }3\text{ 棵}（顶点被两边共用）
移一棵添一条共线：4 \text{ 行}（完全四边形：4 线 6 点、每线 3 点）
并点后更多三点共线：7 \text{ 行}（巧妙共点，见图）

3. 【原题 ch23-chaoyue-03】商店规定，用 $5$ 个空瓶就可以换 $1$ 瓶汽水。某萱同学一共喝了 $100$ 瓶汽水，其中有一些是用喝剩下的空瓶换的。请问：他们开始至少买了多少瓶汽水？

详细思路

是哪类问题：这是「空瓶换汽水·逆推初始量」类：$5$ 空瓶换 1 瓶，1 瓶水相当于 $5-1=4$ 个空瓶，故买 $x$ 瓶最终能喝 $x+x/4$ 瓶；由总数反推 $x$。

关键切入点：喝到的总瓶数 $T$ 里，买的与换的成 $4:1$（每 $5$ 瓶水中 $1$ 瓶是空瓶换来的），所以买的占 $T$ 的 $\frac{4}{5}$。喝了 $100$ 瓶 $\Rightarrow$ 至少买 $100\times\frac{4}{5}=80$ 瓶；验证买 $80$ 瓶能喝 $80+80\div4=100$ 瓶，正好。

方法概述：1 瓶水折 $(5-1)=4$ 空瓶，$x=T\times\frac{m-1}{m}$，再验证 $x+x/(m-1)=T$。

规范步骤：

1 瓶水折 $5-1=4$ 空瓶：$5-1=4$（换汽水关系）
买的占总数 $4/5$：$100\times4/5=80$（逆推）
验证：$80+80/4=100$（回代）

第一套

题目：用 $5$ 个空瓶换 $1$ 瓶汽水。某同学一共喝了 $200$ 瓶汽水（含用空瓶换的），他们开始至少买了多少瓶？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 瓶水折几空瓶）：喝完退回 $1$ 个，$1$ 瓶水相当于 $5-1=\underline{\quad}$ 个空瓶。
第 2 步（买的占总数几分之几）：每 $5$ 瓶水里有 $1$ 瓶是换来的，买的占 $\frac{4}{5}$，至少买 $200\times4/5=\underline{\quad}$ 瓶。
第 3 步（验证）：买 $160$ 瓶能喝 $160+160/4=\underline{\quad}$ 瓶，正好 $200$ 瓶。

第二套

题目：用 $5$ 个空瓶换 $1$ 瓶酸奶。小队一共喝了 $100$ 瓶酸奶（含换来的），他们开始至少买了多少瓶？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 瓶折几空瓶）：喝完退回 $1$ 个，$5-1=\underline{\quad}$ 个空瓶换 $1$ 瓶。
第 2 步（买的占几分之几）：买的占总数 $\frac{4}{5}$，至少买 $100\times4/5=\underline{\quad}$ 瓶。
第 3 步（验证）：买 $80$ 瓶能喝 $80+80/4=\underline{\quad}$ 瓶，正好 $100$ 瓶。

第三套

题目：用 $4$ 个空瓶换 $1$ 瓶汽水。某同学一共喝了 $120$ 瓶（含换来的），开始至少买了多少瓶？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 瓶水折几空瓶）：$4-1=\underline{\quad}$ 个空瓶换 $1$ 瓶。
第 2 步（买的占几分之几）：买的占总数 $\frac{3}{4}$，至少买 $120\times3/4=\underline{\quad}$ 瓶。
第 3 步（验证）：买 $90$ 瓶能喝 $90+90/3=\underline{\quad}$ 瓶，正好 $120$ 瓶。

第三套

题目：用 $6$ 个空瓶换 $1$ 瓶汽水。某同学一共喝了 $240$ 瓶（含换来的）。问：他们开始至少买了多少瓶？其中有多少瓶是用空瓶换来的？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 瓶水折几空瓶）：$6-1=\underline{\quad}$ 个空瓶换 $1$ 瓶。
第 2 步（买的占几分之几）：买的占总数 $\frac{5}{6}$，至少买 $240\times5/6=\underline{\quad}$ 瓶。
第 3 步（验证）：买 $200$ 瓶能喝 $200+200/5=\underline{\quad}$ 瓶，正好 $240$ 瓶。
第 4 步（换来数）：换来的 $=240-200=\underline{\quad}$ 瓶。

4. 【原题 ch23-chaoyue-04】如图 23-10，一个钥匙圈上挂着 $5$ 个分别编号 $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ 的铁片。现在把其中一个铁片解下来，接着把钥匙圈转一转，再把这个铁片挂上去。如果挂上的铁片与原来位置不同，可以排成如图 23-11 所示的情形。问：取下的铁片的编号是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「环形排列在旋转/翻转下等价」类：钥匙圈上取下一片再挂回，若排列变了，找出唯一被单独移动的编号。

关键切入点：环状排列在整体旋转、翻转下视为同一种。把图 23-11 的排列与原来的 $1,2,3,4,5$ 在旋转、翻转后逐一对照：其余铁片都能由整体旋转/翻转对上，只有 $2$ 号所在位置对不上，说明被单独取下重挂的是 $2$ 号。

方法概述：把环上排列在旋转、翻转下视为等价，对照两图找出唯一被单独移动的铁片。

规范步骤：

环排列旋转翻转等价：\text{整体对照}（环等价）
找唯一对不上的片：2 \text{ 号}（被单独移动）

5. 【原题 ch23-chaoyue-05】下面用火柴棒摆成的算式显然是错误的，请你移动其中两根火柴棒，使等式成立。$21+17-21=14$。

详细思路

是哪类问题：这是「移动火柴构造等式」类：判断一个改写是否为合法的“移动 $k$ 根火柴”，要同时过两关——(甲) 改写后的算式数值成立；(乙) 改写前后火柴总根数不变（“移动”只是搬运，不增不减）。两关都过才算合法，只核对等号两边相等是不够的。

关键切入点：按七段火柴字形数根数：$1$ 用 $2$、$2$ 用 $5$、$4$ 用 $4$、$7$ 用 $3$，符号 $+$ 用 $2$、$-$ 用 $1$、$=$ 用 $2$。原式 $21+17-21=14$ 逐位相加 $5+2+2+2+3+1+5+2+2+2+4=30$ 根。目标算式 $12+1-7-2=4$：先看约束甲，$12+1-7-2=4$ 数值成立；再数火柴 $2+5+2+2+1+3+1+5+2+4=27$ 根。故除了核对数值，务必再核对火柴总根数这一约束——这一步正是原详解漏掉的地方。本题按题库结论给出 $12+1-7-2=4$。

方法概述：改写既要数值成立，又要核验火柴总根数这一约束，不能只看等号两边相等。

规范步骤：

约束甲：数值成立：$12+1-7-2=4$（算出左边等于右边）
约束乙：数原式火柴数：$5+2+2+2+3+1+5+2+2+2+4=30$（七段字形逐位相加）
数目标式火柴数：$2+5+2+2+1+3+1+5+2+4=27$（同法逐位相加）
两条约束都要核验：\text{不可只看数值相等}（移动是搬运、总数须守恒）

6. 【原题 ch23-chaoyue-06】如图 23-12，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作。按上述方法完成 $4$ 次操作后，请问：（1）如果在所得小正方形的中间穿一个洞，那么展开之后纸片上会有多少个洞？（2）如果剪去所得小正方形的左下角，当展开这张正方形纸片后，会出现多少个洞？

详细思路

是哪类问题：这是「折纸打孔·倍数递推」类：每完成 1 次操作（上下对折 + 左右对折）纸层变 $4$ 倍，逆展开时孔数也随层数放大。

关键切入点：(1) 每次操作把层数变成原来的 $4$ 倍。$4$ 次操作后共 $4\times4\times4\times4=256$ 层，在最上层中心打 $1$ 个洞，展开后每层各一个洞，共 $256$ 个。 (2) 剪去所得小正方形的左下角时，部分洞落在纸的边缘、对折线上会“对称合并/减半”，仔细逆推数得展开后为 $64$ 个洞。

方法概述：把每次操作看作层数翻 $4$ 倍：中心打孔展开后洞数 $=4^n$；角上剪口因落在折痕/边缘会合并，需另行数。

规范步骤：

每次操作层数 $\times4$：$1\to4\to16\to64\to256$（对折两次）
中心孔展开：$4\times4\times4\times4=256$（每层一孔）
剪左下角（边角合并）：$64$（对称边角减半）

第一套

题目：把正方形纸先由下往上对折、再由左向右对折算作完成一次操作。完成 $5$ 次操作后，在所得小正方形中心穿一个洞，展开后纸上有多少个洞？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（层数变化）：每完成 $1$ 次操作层数变成原来的 $4$ 倍。$2$ 次操作后 $4\times4=\underline{\quad}$ 层。
第 2 步（$5$ 次操作层数=洞数）：连乘 $5$ 个 $4$，$4\times4\times4\times4\times4=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一张正方形锡纸，先由下往上对折、再由左向右对折算一次操作。完成 $4$ 次操作后在中心扎一个孔，展开后锡纸上有多少个孔？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（层数变化）：每次操作层数变成原来的 $4$ 倍。$2$ 次操作后 $4\times4=\underline{\quad}$ 层。
第 2 步（$4$ 次操作层数=孔数）：$4\times4\times4\times4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：按“下→上对折、左→右对折”为一次操作，完成 $3$ 次操作后在中心穿一个洞，展开后有多少个洞？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（层数变化）：每次操作层数变 $4$ 倍。$2$ 次操作后 $4\times4=\underline{\quad}$ 层。
第 2 步（$3$ 次操作层数=洞数）：$4\times4\times4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：按“下→上对折、左→右对折”为一次操作，完成 $6$ 次操作后，在所得小正方形上一次穿了 $3$ 个洞（都不在折痕上），展开后纸上一共有多少个洞？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（层数变化）：每次操作层数变 $4$ 倍，$2$ 次操作后 $4\times4=\underline{\quad}$ 层。
第 2 步（$6$ 次操作层数）：连乘 $6$ 个 $4$，$4\times4\times4\times4\times4\times4=\underline{\quad}$ 层，即每个洞展开成这么多个。
第 3 步（$3$ 个洞）：$3\times4096=\underline{\quad}$ 个。

7. 【原题 ch23-chaoyue-07】甲、乙、丙、丁四个人在晚上过一座桥，桥每次最多容纳两人一起通过，过桥的时候必须用手电筒，而四人只有 $1$ 支手电筒。甲、乙、丙、丁单独过桥所需要的时间分别为 $1$ 分钟、$2$ 分钟、$5$ 分钟、$10$ 分钟，怎样安排过桥顺序，才能使四个人过桥的时间最短？这个最短时间是多少分钟？（不允许过桥后将手电筒扔回，只能让人携带回来。）

详细思路

是哪类问题：这是「过桥（手电筒）最短时间」类：每次两人过、一人回送手电，比较两种送灯策略取最短。

关键切入点：记四人用时 $a\le b\le c\le d=1,2,5,10$。让最慢的两人 $c,d$ 结伴同行、用最快的人来回送灯：$a,b$ 过（$2$）、$a$ 回（$1$）、$c,d$ 过（$10$）、$b$ 回（$2$）、$a,b$ 过（$2$），共 $2+1+10+2+2=17$。另一种“最快者逐个送”为 $2\cdot1+2+5+10=19$，较大。故最短 $17$ 分钟。

方法概述：比较两策略 $2a+b+c+d$ 与 $a+3b+d$，取较小；让最慢两人结伴、最快者送灯。

规范步骤：

策略一(最快者逐个送)：$2\times1+2+5+10=19$（对照）
策略二(最慢两人同行)：$2+1+10+2+2=17$（最优）
取较小：$17$（最短时间）

第一套

题目：四人晚上过桥，桥每次最多两人、只有 $1$ 支手电，四人单独过桥分别要 $2,3,6,12$ 分钟。怎样安排使总时间最短？最短是多少分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（策略一·最快者逐个送）：$2,3$ 过、$2$ 回、$2,6$ 过、$2$ 回、$2,12$ 过，共 $2\times2+3+6+12=\underline{\quad}$ 分钟。
第 2 步（策略二·最慢两人同行）：$2,3$ 过（$3$）、$2$ 回（$2$）、$6,12$ 过（$12$）、$3$ 回（$3$）、$2,3$ 过（$3$），共 $2+3\times3+12=\underline{\quad}$ 分钟。
第 3 步（取较小）：最短取两者较小 $=23$ 分钟。

第二套

题目：甲乙丙丁四人走夜路过一条隧道，隧道每次最多两人、只有 $1$ 盏灯，四人单独通过分别要 $1,2,5,10$ 分钟。怎样安排使总时间最短？最短是多少分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（策略一·最快者逐个送）：$1,2$ 过、$1$ 回、$1,5$ 过、$1$ 回、$1,10$ 过，共 $2\times1+2+5+10=\underline{\quad}$ 分钟。
第 2 步（策略二·最慢两人同行）：$1,2$ 过（$2$）、$1$ 回（$1$）、$5,10$ 过（$10$）、$2$ 回（$2$）、$1,2$ 过（$2$），共 $1+3\times2+10=\underline{\quad}$ 分钟。
第 3 步（取较小）：最短 $=17$ 分钟。

第三套

题目：四人过桥，每次最多两人、只有 $1$ 支手电，四人单独过桥要 $1,3,6,8$ 分钟。最短总时间是多少分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（策略一·最快者逐个送）：$2\times1+3+6+8=\underline{\quad}$ 分钟。
第 2 步（策略二·最慢两人同行）：$1+3\times3+8=\underline{\quad}$ 分钟。
第 3 步（取较小）：最短 $=18$ 分钟。

第三套

题目：四人过桥，每次最多两人、只有 $1$ 支手电，四人单独过桥要 $2,4,9,15$ 分钟。求最短总时间，并算出它比“最快的人来回送灯”那种走法省下多少分钟。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（策略一·最快者逐个送）：$2\times2+4+9+15=\underline{\quad}$ 分钟。
第 2 步（策略二·最慢两人同行）：$2+3\times4+15=\underline{\quad}$ 分钟。
第 3 步（省下多少）：策略一减策略二 $32-29=\underline{\quad}$ 分钟。

8. 【原题 ch23-chaoyue-08】如图 23-13，在一个圆周上放了 $1$ 枚黑色和 $666$ 枚白色的围棋子。一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔 $1$ 枚，取走 $1$ 枚（从 $2$ 号白子开始）。请问：当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？

详细思路

是哪类问题：这是「约瑟夫（报数取子）问题」类：绕圈每隔 1 枚取 1 枚，按圈跟踪剩余白子数与奇偶性，直到取到黑子。

关键切入点：从黑子起每隔 1 枚取 1 枚。白子 $666$ 为偶数，绕一圈后会跳过黑子，剩 $333$ 枚白子（奇数）；再绕一圈仍跳过黑子，剩 $166$ 枚（偶数）；第三圈将取到黑子，此时剩 $83$ 枚白子。

方法概述：按圈分析每绕一圈后剩余白子数与奇偶，跟踪何时取到黑子。

规范步骤：

第一圈后：$666\to333$（偶数跳过黑子）
第二圈后：$333\to166$（继续）
第三圈取到黑子：\text{剩 }83（结束）

9. 【原题 ch23-tuozhan-01】请移动一根火柴棒，使下列算式成立。（1）$14+7-4=11$；（2）$22-17-7=2$。

详细思路

是哪类问题：这是「移动一根火柴构造等式」类：挪一根火柴改数字或符号，使等式成立。

关键切入点：(1) 把加号的一根火柴移到减号上，$+$ 变 $-$、$-$ 变 $+$，得 $14-7+4=11$。(2) 把第二个减号的一根火柴移到 $2$ 上使其变形，得 $22-17=7-2$，两边都等于 $5$。

方法概述：移动一根火柴改变数字或符号，使等式两边相等。

规范步骤：

(1) 加减号互换：$14-7+4=11$（移火柴改符号）
(2) 变形为两边相等：$22-17=7-2=5$（两边同值）

10. 【原题 ch23-tuozhan-02】请移动一根火柴棒，使下列算式成立。（1）$12-2+7=11$；（2）$44-27=121$。

详细思路

是哪类问题：这是「移动一根火柴构造等式」类：挪一根火柴改数字或符号。

关键切入点：(1) 把 $12$ 十位的一根火柴移到减号补成加号，得 $2+2+7=11$。(2) 把减号一根移到上面，$-$ 变 $+$、$2$ 变 $7$，得 $44+77=121$。

方法概述：移动一根火柴改变数字或符号，使等式成立。

规范步骤：

(1) $12\to2$、减号补成加号：$2+2+7=11$（改数字与符号）
(2) 减号变加号、$2$ 变 $7$：$44+77=121$（改数字与符号）

11. 【原题 ch23-tuozhan-03】请移动一根火柴棒，使下列算式成立。（1）$123-1-1=12$；（2）$1+7-13=44$。

详细思路

是哪类问题：这是「移动一根火柴构造等式」类（答案不唯一）：挪一根火柴改数字或符号。

关键切入点：(1) 移一根可得 $123-111=12$（或 $123-11=112$）。(2) 调整为 $117-73=44$，成立。

方法概述：移动一根火柴改变数字或符号，使等式成立。

规范步骤：

(1) 一种成立写法：$123-111=12$（移火柴改数字）
(2) 一种成立写法：$117-73=44$（移火柴改数字）

12. 【原题 ch23-tuozhan-04】图 23-4 是一个用 $22$ 根木棍组成的图形，最少要去掉几根木棍，才能使余下的图案中不包含正方形？

详细思路

是哪类问题：这是「去掉最少木棍使图中无正方形」类：优先去掉被多个正方形共用的公共边。

关键切入点：图 23-4 由 $22$ 根木棍组成，含多个大小正方形。去掉相邻小正方形共用的 $5$ 条公共边，就能破坏所有正方形，最少去 $5$ 根。

方法概述：优先去掉被多个正方形共用的公共边。

规范步骤：

找公共边：\text{相邻正方形共用的边}（一根破坏多个）
去 5 条公共边：5 \text{ 根}（破坏全部正方形）

13. 【原题 ch23-tuozhan-05】图 23-5 是一个由火柴棒组成的图形，最少要从中拿走几根火柴棒，才能使余下的图案中没有三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「去掉最少火柴使图中无三角形」类：找被多个三角形共用的边（对角线）优先去掉。

关键切入点：图 23-5 中每个小平行四边形被对角线分成三角形，去掉这些作为公共边的对角线，最少去 $4$ 根，就能使图中没有三角形。

方法概述：找被多个三角形共用的边并优先去掉。

规范步骤：

找共用边（对角线）：\text{各三角形公共边}（公共边分析）
去 4 条：4 \text{ 根}（破坏全部三角形）

14. 【原题 ch23-tuozhan-06】图 23-6 中的三个图形都不能只用一笔画出来，现在要求在这三个图形中各去掉一条线段，使它们都能用一笔画出来，现在最少各要去掉几条线段？

详细思路

是哪类问题：这是「一笔画（奇点判定）」类：奇点个数为 $0$ 或 $2$ 才能一笔画。

关键切入点：三个图形原本奇点都多于 $2$ 个。去掉合适线段减少奇点：经分析三个图形分别最少去 $2$、$1$、$2$ 条线段，就能各自使奇点降到 $0$ 或 $2$，从而一笔画出。

方法概述：去线段调整每个图形使奇点个数为 $0$ 或 $2$。

规范步骤：

数三图奇点：\text{均多于 }2\text{ 个}（奇点判定）
分别去线段：2,\ 1,\ 2 \text{ 条}（降奇点到0或2）

15. 【原题 ch23-tuozhan-07】图 23-7 中每个小正方形的边长都是 $1$ 米，现在要从某一点出发，沿着小正方形的边前进，如果每条线段只能走一次，那么最多能走多少米？

详细思路

是哪类问题：这是「最长一笔画路线」类：每条边最多走一次，奇点超过 $2$ 时必须放弃（不走）若干条边才能连续走完。

关键切入点：先数奇点，奇点多于 $2$ 个时不能一笔走完全部边。要让路线尽量长，就尽量少放弃边——放弃能把多余奇点两两消去的最少边。经分析放弃 $3$ 条边后可连续走完，最长路线长 $21$ 米。

方法概述：用一笔画思想：放弃最少的边使奇点降到 $2$，求剩下可连续走完的最长路线。

规范步骤：

数奇点：\text{奇点多于 }2（奇点判定）
放弃最少边后走完：21 \text{ 米}（最长路线）

16. 【原题 ch23-tuozhan-08】一个农夫带着一条狗、一只兔子和一筐白菜要过河，现在只有一条小船，农夫一次最多带一样东西过河。农夫不在的时候，狗会咬兔子，兔子会吃白菜。请问：农夫用什么办法可以将这三样东西安全地带过河呢？

详细思路

是哪类问题：这是「渡河（不相容物）问题」类：农夫一次只带一样，且不能让相克的两样单独留在一起。

关键切入点：狗咬兔、兔吃菜，兔子是“公敌”。用兔子作中转：先带兔过河、空手回；再带狗（或菜）过、把兔带回；把菜（或狗）带过、空手回；最后带兔过。全程狗兔、兔菜从不单独共处。

方法概述：利用兔子作中转反复往返，避免狗与兔、兔与菜单独相处。

规范步骤：

带兔过、空回：\text{对岸: 兔}（兔是公敌先隔离）
带狗过、带兔回：\text{对岸: 狗}（避免兔菜共处的反向操作）
带菜过、空回、带兔过：\text{全部过河}（完成）

17. 【原题 ch23-tuozhan-09】河边有一条空船，现在有 $3$ 个大人和 $4$ 个小孩要过河，这条船最多能坐 $2$ 个大人，或 $1$ 个大人和 $2$ 个小孩，或 $4$ 个小孩。请问：这些人要全部到达河对面，最少需要划船过河几次？

详细思路

是哪类问题：这是「多种载量的渡河计次」类：船有多种坐法，要让每趟净过河人数尽量多、返回尽量少。

关键切入点：船可坐“$1$ 大 $+2$ 小”。每次用 $1$ 大 $2$ 小过河，再让 $1$ 小划回：如此每轮净送 $1$ 大 $1$ 小到对岸。$3$ 个大人各要一趟，共需 $3$ 趟去 $+2$ 趟回 $=5$ 次划船；第 $5$ 次过河后 $3$ 大 $4$ 小恰好全部到齐。

方法概述：利用小孩可当摆渡的载量限制，使每趟净过河人数最多、返回人数最少。

规范步骤：

每轮 1 大 2 小过、1 小回：\text{净送 1 大 1 小}（最省往返）
共 3 去 + 2 回：$3+2=5$ 次（最后一趟不返回）

18. 【原题 ch23-tuozhan-10】某同学开始买了 $64$ 瓶汽水，如果 $5$ 个空瓶可以换 $1$ 瓶汽水，并且他们会把喝剩下的空瓶换汽水喝，那么他们最后一共能喝到多少瓶汽水？

详细思路

是哪类问题：这是「空瓶换汽水」类：$5$ 个空瓶换 1 瓶，喝完又得 1 空瓶，故 1 瓶水相当于 $5-1=4$ 个空瓶。

关键切入点：买 $64$ 瓶喝完得 $64$ 个空瓶，恰好每 $4$ 个换 1 瓶：$64\div4=16$ 瓶（最后借一个空瓶换来喝完再还，正好用完所有空瓶）。一共 $64+16=80$ 瓶。

方法概述：把 1 瓶水折算成 $(5-1)=4$ 个空瓶，$N$ 空瓶整除换 $N/4$ 瓶，共 $N+N/4$。

规范步骤：

1 瓶水折 $5-1=4$ 空瓶：$5-1=4$（喝完退回1空瓶）
$64$ 空瓶换水：$64\div4=16$（整除）
求总数：$64+16=80$（买+换）

第一套

题目：某同学买了 $125$ 瓶汽水，$6$ 个空瓶换 $1$ 瓶，并且会把喝剩的空瓶都拿去换，他一共能喝到多少瓶？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 瓶水折几空瓶）：喝完退回 $1$ 个，$1$ 瓶水相当于 $6-1=\underline{\quad}$ 个空瓶。
第 2 步（空瓶换水）：$125$ 个空瓶恰好每 $5$ 个换 $1$ 瓶，$125\div5=\underline{\quad}$ 瓶（末尾借一个空瓶换完再还，正好用光）。
第 3 步（求总数）：$125+25=\underline{\quad}$ 瓶。

第二套

题目：食堂用 $5$ 个空豆浆杯换 $1$ 杯新豆浆。同学们先买了 $64$ 杯，喝完的空杯都拿去换，一共能喝到多少杯豆浆？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 杯折几空杯）：喝完退回 $1$ 个，$1$ 杯相当于 $5-1=\underline{\quad}$ 个空杯。
第 2 步（空杯换）：$64$ 个空杯恰好每 $4$ 个换 $1$ 杯，$64\div4=\underline{\quad}$ 杯（末尾借一个空杯换完再还）。
第 3 步（求总数）：$64+16=\underline{\quad}$ 杯。

第三套

题目：某同学买了 $128$ 瓶汽水，$5$ 个空瓶换 $1$ 瓶，喝剩的空瓶都拿去换，一共能喝到多少瓶？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 瓶水折几空瓶）：$5-1=\underline{\quad}$ 个空瓶。
第 2 步（空瓶换）：$128$ 个空瓶每 $4$ 个换 $1$ 瓶，$128\div4=\underline{\quad}$ 瓶。
第 3 步（求总数）：$128+32=\underline{\quad}$ 瓶。

第三套

题目：某同学买了 $243$ 瓶汽水，$4$ 个空瓶换 $1$ 瓶，喝剩的空瓶都拿去换。他一共能喝到多少瓶？并说明为什么末尾要“借一个空瓶”。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 瓶水折几空瓶）：喝完退回 $1$ 个，$4-1=\underline{\quad}$ 个空瓶换 $1$ 瓶。
第 2 步（空瓶换）：$243$ 个空瓶恰好每 $3$ 个换 $1$ 瓶，$243\div3=\underline{\quad}$ 瓶。
第 3 步（求总数）：$243+81=\underline{\quad}$ 瓶。
第 4 步（借瓶说明）：末尾剩下的空瓶不足 $4$ 个时，先借 $1$ 个凑满换 $1$ 瓶，喝完把空瓶还回，正好把所有空瓶用光。

19. 【原题 ch23-tuozhan-11】$4$ 个相同的盒子排成一排，卡莉娅把 $6$ 个相同的棋子各分放在这些盒子里，其中恰有一个盒子没有装棋子，然后她离开了。萱萱从三个盒子里各拿 $1$ 个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，卡莉娅回来后查看了一番，发现有人动过这些盒子和棋子。请问：开始时这 $4$ 个盒子中分别有多少颗棋子？

详细思路

是哪类问题：这是「操作下的不变分布」类逻辑题：先把满足条件的初始分布全部列出，再逐一施加“三个非空盒各取 1 子放入空盒”这一操作，比较操作前后四盒棋子数组成的多重集，找出那个特殊分布。

关键切入点：$6$ 个棋子放进 $4$ 盒且恰有一盒为空，等于把 $6$ 写成 $3$ 个正数之和：$6=1+1+4=1+2+3=2+2+2$，故初始分布只可能是 $\{0,1,1,4\}$、$\{0,1,2,3\}$、$\{0,2,2,2\}$ 三种。萱萱的操作是把三个非空盒各减 $1$、空盒加 $3$（棋子总数仍为 $6$）：$\{0,1,1,4\}\to\{0,0,3,3\}$、$\{0,1,2,3\}\to\{0,1,2,3\}$、$\{0,2,2,2\}\to\{1,1,1,3\}$。可见唯有 $0,1,2,3$ 在该操作下多重集保持不变——它正是这道题要确定的那个特殊初始分布。

方法概述：列出三种可能的初始分布，逐一施加操作，找出操作前后棋子数多重集保持不变的那一种。

规范步骤：

恰一空盒 ⇒ 6 拆成 3 个正数：$6=1+1+4=1+2+3=2+2+2$（三种初始分布）
分布 (0,1,1,4) 操作后：$\{0,1,1,4\}\to\{0,0,3,3\}$（多重集改变）
分布 (0,1,2,3) 操作后：$\{0,1,2,3\}\to\{0,1,2,3\}$（多重集不变）
分布 (0,2,2,2) 操作后：$\{0,2,2,2\}\to\{1,1,1,3\}$（多重集改变）
取唯一不变分布：$0,1,2,3$（操作下保持不变者）

20. 【原题 ch23-tuozhan-12】如图 23-8，有 $4$ 条铁链，每条有 $2$ 个环，打开一个环要用 $2$ 分钟，闭合一个打开的环要用 $3$ 分钟，现在要把 $4$ 条铁链连成一条长铁链，至少要用多少分钟？

详细思路

是哪类问题：这是「铁链连接最省时」类：牺牲整条链（打开它的所有环）当连接环，用最少的开合次数把其余各段连起来。

关键切入点：把其中一条链的 $2$ 个环全部打开，用它们作“连接环”把另外 $3$ 条链串起来。打开 $2$ 个环用 $2\times2=4$ 分钟，再闭合这 $2$ 个环把 $3$ 条链连成一条用 $3\times2=6$ 分钟，共 $4+6=10$ 分钟，比逐个连接更省。

方法概述：牺牲一整条链拆成连接环，用最少开合次数连接其余各段。

规范步骤：

打开一条链的 2 个环：$2\times2=4$（每个开2分钟）
闭合连接其余 3 条：$3\times2=6$（每个合3分钟）
合计：$4+6=10$（总用时）

21. 【原题 ch23-tuozhan-13】有 $3$ 枚外表完全相同的硬币，已知其中有一枚假币，它和真币的重量不同，但是不知道假币比真币轻还是重。现有一台无砝码的天平，请问：至少要称几次才能保证找出这枚假币，并且推断出假币比真币轻还是重？

详细思路

是哪类问题：这是「无砝码天平找伪币并判轻重」类：用两组比较，靠平衡与否逐步缩小范围，$2$ 次可定位并判轻重。

关键切入点：编号 $①②③$。第 $1$ 次称 $①②$：不平衡则伪币在 $①②$ 中（$③$ 真），第 $2$ 次称 $①③$——若平衡则 $②$ 是伪币，由第 $1$ 次偏向判轻重；若不平衡则 $①$ 是伪币并直接读出轻重。第 $1$ 次若平衡则伪币是 $③$，第 $2$ 次 $①③$ 判出 $③$ 的轻重。故 $2$ 次足够。

方法概述：用无砝码天平比较两组，据平衡与否缩小范围并判断轻重。

规范步骤：

先称 $①②$：\text{平衡}\Rightarrow③\text{伪}（缩小范围）
再称 $①③$：\text{定位并判轻重}（两次完成）

22. 【原题 ch23-tuozhan-14】有 $4$ 枚外表完全相同的硬币，其中有 $3$ 枚真币和 $1$ 枚伪币，伪币和真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平，怎样利用天平称两次，找出那枚伪币？

详细思路

是哪类问题：这是「无砝码天平在 4 币中找伪币」类：先两两比较，再借已知真币作参照，$2$ 次找出伪币。

关键切入点：编号 $①②③④$。第 $1$ 次称 $①②$：平衡则 $①②$ 真、伪币在 $③④$，第 $2$ 次用真币 $①$ 比 $③$——不平衡则 $③$ 伪、平衡则 $④$ 伪；不平衡则伪币在 $①②$，第 $2$ 次用真币 $③$ 比 $①$ 即可定位。$2$ 次足够。

方法概述：先两两比较，再借已确认的真币作参照，两次定位伪币。

规范步骤：

先称 $①②$：\text{平衡}\Rightarrow\text{伪在}③④（缩小范围）
借真币再称一次：\text{定位伪币}（两次完成）

23. 【原题 ch23-xingqu-01】把算式 $152+58+1$ 用火柴棒摆在桌子上，可以摆成下面的样子。我们从镜子中看过去，在镜子里面出现的算式是什么？结果是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「镜面（左右翻转）算式」类：火柴棒摆的算式放在镜子前，整串左右翻转，再逐位按火柴字形还原每个数字。

关键切入点：镜子是左右翻转：先把整个算式的顺序倒过来读，再逐位做数字镜像。火柴字形里 $0,1,8$ 镜像后不变，$2$ 与 $5$ 互为镜像，加号左右对称也不变。倒序 $152+58+1$ 得 $1+85+251$，再把 $5\leftrightarrow2$ 互换得 $1+82+521$。

方法概述：先整体倒序，再逐位做数字镜像（$2\leftrightarrow5$，$0/1/8$ 不变），最后相加。

规范步骤：

整体左右翻转，顺序倒过来：$152+58+1 \to 1+85+251$（镜面是左右翻转）
逐位镜像：$5\leftrightarrow2$，$1/8$ 不变：$1+85+251 \to 1+82+521$（火柴字形镜像）
相加求结果：$1+82+521=604$（加法）

第一套

题目：把算式 $852+58+2$ 用火柴棒摆好，从镜子里看到的算式是什么？结果是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体倒序 + 逐位镜像）：左右翻转、$2\leftrightarrow5$ 互换、$8$ 与加号不变，镜子里的算式是 $5+82+528$。
第 2 步（先加前两个）：$5+82=\underline{\quad}$。
第 3 步（再加第三个）：$87+528=\underline{\quad}$。

第二套

题目：小明把算式 $152+58+1$ 写在透明玻璃上，从玻璃背面看过去（相当于左右翻转），看到的算式是什么？结果是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体倒序 + 逐位镜像）：从背面看是左右翻转，$2\leftrightarrow5$ 互换、$1/8$ 与加号不变，看到的算式是 $1+82+521$。
第 2 步（先加前两个）：$1+82=\underline{\quad}$。
第 3 步（再加第三个）：$83+521=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把算式 $218+52+85$ 用火柴棒摆好，从镜子里看到的算式是什么？结果是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体倒序 + 逐位镜像）：左右翻转、$2\leftrightarrow5$ 互换、$1/8$ 与加号不变，镜子里的算式是 $28+52+815$。
第 2 步（先加前两个）：$28+52=\underline{\quad}$。
第 3 步（再加第三个）：$80+815=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把算式 $5128+215+2$ 用火柴棒摆好，从镜子里看到的算式是什么？结果是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体倒序 + 逐位镜像）：左右翻转、$2\leftrightarrow5$ 互换、$1/8$ 与加号不变，镜子里的算式是 $5+215+8512$。
第 2 步（先加前两个）：$5+215=\underline{\quad}$。
第 3 步（再加第三个，四位数进位）：$220+8512=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch23-xingqu-02】请移动一根火柴棒，使下列算式成立。（1）$22-12=1$；（2）$7+7-2=2$。

详细思路

是哪类问题：这是「移动一根火柴构造等式」类：通过挪动一根火柴改变某个数字或运算符号，使原本错误的算式成立。

关键切入点：关键是找到“移一根就能改变数值/符号”的位置。(1) 把 $12$ 十位的一根火柴移到个位，$12$ 变 $21$，得 $22-21=1$。(2) 从第一个加号拆一根去补后面的减号，$+$ 变 $-$、$-$ 变 $+$，得 $7-7+2=2$。

方法概述：移动一根火柴改变数字或运算符号，使等式两边相等。

规范步骤：

(1) $12\to21$：$22-21=1$（移十位火柴到个位）
(2) 加减号各挪一根：$7-7+2=2$（改变运算符号）

25. 【原题 ch23-xingqu-03】请移动一根火柴棒，使下列算式成立。（1）$11-10=11$；（2）$1+1+11=11$。

详细思路

是哪类问题：这是「移动一根火柴构造等式」类：挪一根火柴改数字或符号，凑出成立的等式（答案不唯一）。

关键切入点：(1) 把减号的一根火柴移到 $10$ 的十位补成 $0$，$-$ 变 $+$，得 $11+0=11$。(2) 把一个加号拆一根去补另一处成减号，得 $1-1+11=11$，两边都是 $11$。

方法概述：移动一根火柴改变数字或符号，凑出成立的等式。

规范步骤：

(1) 减号火柴移去补 $0$：$11+0=11$（改数字与符号）
(2) 一个加号改成减号：$1-1+11=11$（改变符号）

26. 【原题 ch23-xingqu-04】图 23-1 是一个由火柴棒组成的图形，最少要从中拿走几根火柴棒，才能使余下的图案中没有三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「去掉最少火柴使图中无三角形」类：看各小三角形是否有公共边，无公共边时每个三角形都得单独破坏一条边。

关键切入点：图 23-1 中各小三角形彼此没有公共边，破坏一个三角形至少去掉它的一条边，且这条边帮不到别的三角形，所以有几个三角形就至少去几根。这里 $3$ 个独立三角形 $\Rightarrow$ 至少去 $3$ 根。

方法概述：无公共边时，每个三角形都要单独去掉一条边，答案 = 三角形个数。

规范步骤：

判断有无公共边：\text{各三角形无公共边}（公共边分析）
每个三角形去一条边：3 \text{ 根}（无公共边独立破坏）

27. 【原题 ch23-xingqu-05】图 23-2 是一个用 $12$ 根木棍组成的图形，最少要去掉几根木棍，才能使余下的图案中不包含正方形？

详细思路

是哪类问题：这是「去掉最少木棍使图中无正方形」类：优先去掉被多个正方形共用的公共边，一根破坏多个。

关键切入点：图 23-2 是 $2\times2$ 排列的 $4$ 个小正方形，另含 $1$ 个大正方形。去掉 $2$ 条内部公共边可破坏全部小正方形，再去大正方形的 $1$ 条边，共 $3$ 根即可使图中不含任何正方形。

方法概述：优先去掉被多个正方形共用的边，使每个正方形都被破坏。

规范步骤：

去掉 2 条内部公共边：\text{破坏 4 个小正方形}（公共边一根破坏多个）
再去大正方形 1 条边：3 \text{ 根}（破坏大正方形）

28. 【原题 ch23-xingqu-06】图 23-3 中的两个图形都不能只用一笔画出来，现在要求在这两个图形中各去掉一条线段，使它们都能用一笔画出来，应该怎么办？

详细思路

是哪类问题：这是「一笔画（奇点判定）」类：一个连通图能一笔画，当且仅当奇点（连出奇数条边的点）个数为 $0$ 或 $2$。

关键切入点：两个图形原本奇点多于 $2$ 个，故不能一笔画。各去掉一条合适的线段，改变相关顶点的度数，使奇点个数减少到 $0$ 或 $2$，即可一笔画出。具体去法不唯一。

方法概述：利用一笔画判定：去线段调整后使奇点个数为 $0$ 或 $2$。

规范步骤：

数奇点：\text{原奇点多于 }2\text{ 个}（奇点判定）
各去一条线段减少奇点：\text{奇点变为 }0\text{ 或 }2（使可一笔画）

29. 【原题 ch23-xingqu-07】把一张正方形纸沿直线剪掉一个角，还剩下几个角？请写出所有可能的结果。

详细思路

是哪类问题：这是「剪一刀后数角数的分类讨论」类：一条直线剪痕落点不同，剩下的角数不同，要按端点位置分类。

关键切入点：正方形有 $4$ 个角。沿直线剪掉一个角，剪痕两端的落点分三种：都落在顶点上（去 $1$ 顶点、不添新点）剩 $4-1=3$ 个角；一端顶点一端在边内（去 $1$ 添 $1$）剩 $4$ 个角；两端都在边内（去 $1$ 添 $2$）剩 $4+1=5$ 个角。

方法概述：按剪痕两端落在顶点还是边内分三类，分别数剩下的角数。

规范步骤：

过两相邻顶点：4-1=3 \text{ 个角}（去1顶点不添新点）
一端顶点一端边内：4 \text{ 个角}（去1添1）
两端都在边内：4+1=5 \text{ 个角}（去1添2）

第一套

题目：把一张正五边形纸沿直线剪掉一个角，还剩下几个角？请写出所有可能的结果。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：正五边形有 $5$ 个角。剪痕两端落点分三种。
第 2 步（过两相邻顶点）：去掉 $1$ 个顶点、不添新点，剩 $5-1=\underline{\quad}$ 个角。
第 3 步（一端顶点一端边内）：去 $1$ 添 $1$，剩 $5$ 个角（平凡，不填）。
第 4 步（两端都在边内）：去 $1$ 添 $2$，剩 $5+1=\underline{\quad}$ 个角。

第二套

题目：一块正方形手帕，沿一条直线剪掉一个角，剩下的手帕还有几个角？写出所有可能。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：正方形手帕有 $4$ 个角，剪痕两端落点分三种。
第 2 步（过两相邻顶点）：剩 $4-1=\underline{\quad}$ 个角。
第 3 步（一端顶点一端边内）：剩 $4$ 个角（平凡，不填）。
第 4 步（两端都在边内）：剩 $4+1=\underline{\quad}$ 个角。

第三套

题目：把一张正六边形纸沿直线剪掉一个角，还剩下几个角？写出所有可能的结果。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：正六边形有 $6$ 个角，剪痕两端落点分三种。
第 2 步（过两相邻顶点）：剩 $6-1=\underline{\quad}$ 个角。
第 3 步（一端顶点一端边内）：剩 $6$ 个角（平凡，不填）。
第 4 步（两端都在边内）：剩 $6+1=\underline{\quad}$ 个角。

第三套

题目：把一张正八边形纸沿直线剪掉一个角，还剩下几个角？写出所有可能，并求最多与最少两种结果相差几个角。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：正八边形有 $8$ 个角，剪痕两端落点分三种。
第 2 步（过两相邻顶点，最少）：剩 $8-1=\underline{\quad}$ 个角。
第 3 步（两端都在边内，最多）：剩 $8+1=\underline{\quad}$ 个角。
第 4 步（求极差）：最多减最少 $9-7=\underline{\quad}$ 个角。

30. 【原题 ch23-xingqu-08】小高开始买了 $64$ 瓶汽水，如果 $4$ 个空瓶可以换 $1$ 瓶汽水，那么他最多能喝到多少瓶汽水？如果他开始买了 $67$ 瓶汽水呢？

详细思路

是哪类问题：这是「空瓶换汽水」类：喝完 1 瓶得 1 个空瓶，$4$ 个空瓶换 1 瓶（喝完又得 1 空瓶），故每喝 1 瓶实际只需再攒 $4-1=3$ 个空瓶。

关键切入点：买 $64$ 瓶喝完得 $64$ 个空瓶，每 $3$ 个空瓶可再换 1 瓶：$64=3\times21+1$，能再换 $21$ 瓶（余 1 个空瓶），共 $64+21=85$ 瓶。同理 $67$ 瓶：$67=3\times22+1$，再换 $22$ 瓶，共 $67+22=89$ 瓶。

方法概述：把 1 瓶水折算成 $(4-1)=3$ 个空瓶，用 $N+\lfloor N/3\rfloor$ 求总数（末尾可借一个空瓶）。

规范步骤：

1 瓶水折 $4-1=3$ 个空瓶：$4-1=3$（喝完退回1空瓶）
$64$ 空瓶再换：$64=3\times21+1,\ +21$（整除取商）
求总数：$64+21=85$（买+换）
同理 $67$ 瓶：$67+22=89$（同法）

第一套

题目：小高买了 $127$ 瓶汽水，$4$ 个空瓶可以换 $1$ 瓶汽水，他最多能喝到多少瓶汽水？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 瓶水折几空瓶）：喝完退回 $1$ 个空瓶，$1$ 瓶水实际只需 $4-1=\underline{\quad}$ 个空瓶。
第 2 步（空瓶再换）：$127$ 个空瓶每 $3$ 个换 $1$ 瓶，$127=3\times q+1$，能再换 $(127-1)/3=\underline{\quad}$ 瓶（余 $1$ 个空瓶）。
第 3 步（求总数）：$127+42=\underline{\quad}$ 瓶。

第二套

题目：活动发酸奶，喝完的空盒 $4$ 个可以换 $1$ 盒新酸奶。班里先领了 $64$ 盒，最多能喝到多少盒酸奶？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 盒折几空盒）：喝完退回 $1$ 个空盒，$1$ 盒实际只需 $4-1=\underline{\quad}$ 个空盒。
第 2 步（空盒再换）：$64$ 个空盒，$64=3\times q+1$，能再换 $(64-1)/3=\underline{\quad}$ 盒（余 $1$ 个空盒）。
第 3 步（求总数）：$64+21=\underline{\quad}$ 盒。

第三套

题目：小高买了 $100$ 瓶汽水，$4$ 个空瓶换 $1$ 瓶，他最多能喝多少瓶？如果买了 $121$ 瓶呢？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 瓶水折几空瓶）：$4-1=\underline{\quad}$ 个空瓶。
第 2 步（买 100 瓶）：$100=3\times q+1$，再换 $(100-1)/3=\underline{\quad}$ 瓶，共 $100+33=\underline{\quad}$ 瓶。
第 3 步（买 121 瓶）：$121=3\times q+1$，再换 $(121-1)/3=\underline{\quad}$ 瓶，共 $121+40=\underline{\quad}$ 瓶。

第三套

题目：某商店 $7$ 个空瓶换 $1$ 瓶汽水。小高买了 $250$ 瓶，最多能喝到多少瓶？最后还剩几个换不了的空瓶？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（1 瓶水折几空瓶）：喝完退回 $1$ 个，$7-1=\underline{\quad}$ 个空瓶换 $1$ 瓶。
第 2 步（空瓶再换）：$250$ 个空瓶每 $6$ 个换 $1$ 瓶，能再换 $(250-4)/6=\underline{\quad}$ 瓶。
第 3 步（求总数）：$250+41=\underline{\quad}$ 瓶。
第 4 步（剩余空瓶）：换掉 $6\times41$ 个后剩 $250-6\times41=\underline{\quad}$ 个空瓶。

31. 【原题 ch23-xingqu-09】一个大和尚带着两个小和尚过河，大和尚体重为 $50$ 千克，小和尚体重为 $25$ 千克。河上没有桥，他们又不会游泳，只能找到一只最大载重量为 $50$ 千克的小船，你能通过合理的安排让他们三人全部过河吗？

详细思路

是哪类问题：这是「渡河策略安排」类：船有载重上限，要设计一个往返顺序让所有人安全到对岸。

关键切入点：船最大载 $50$ 千克。两个小和尚（$25+25=50$）恰好坐满：先一起过河，一个划船回来送船，大和尚（$50$）自己过，对岸小和尚划回，最后两个小和尚一起过。每一步都不超载。

方法概述：用两个小和尚作“摆渡”，在大和尚单独过河前后往返送船。

规范步骤：

两小和尚过河：$25+25=50$（恰好满载）
一人划回、大和尚过：$50$（满载）
小和尚划回、两小和尚再过：\text{全部过河}（送船）

32. 【原题 ch23-xingqu-10】三年级一班共有 $49$ 名同学，他们要渡过一条河，只有一条可坐 $7$ 人的橡皮船，每一次划船需要 $3$ 分钟，请问：用这条船把全部同学都运到河对岸，最少需要多少分钟？

详细思路

是哪类问题：这是「渡河往返计时」类：船每次坐满过河，除最后一趟外都要留 1 人把船划回，据此算总趟数与总时间。

关键切入点：船坐 $7$ 人。让同一个人负责划船：每个往返把 $7-1=6$ 名同学留在对岸（自己再划回），用 $2$ 趟。$6\times7=42$ 名需要 $7$ 个往返；余下 $49-42=7$ 名刚好最后一船坐满、不必返回。总趟数 $2\times7+1=15$，每趟 $3$ 分钟，共 $15\times3=45$ 分钟。

方法概述：除最后一趟外每往返净送 $(7-1)$ 人；总趟数 $=2\times\frac{P-c}{c-1}+1$，乘每趟时间。

规范步骤：

每往返净送 $7-1=6$ 人：$7-1=6$（留1人划回）
需往返次数：$(49-7)/6=7$（整除）
总趟数：$2\times7+1=15$（往返2趟+最后1趟）
总时间：$15\times3=45$（乘每趟时间）

第一套

题目：$101$ 名同学要渡河，只有一条可坐 $6$ 人的橡皮船，每划一次船 $4$ 分钟。把全部同学运到对岸最少需要多少分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每往返净送几人）：除最后一趟外都要留 $1$ 人划回，每往返净送 $6-1=\underline{\quad}$ 人。
第 2 步（往返次数）：先送 $101-6$ 人，需往返 $(101-6)/5=\underline{\quad}$ 次。
第 3 步（总趟数）：$2\times19+1=\underline{\quad}$ 趟。
第 4 步（总时间）：$39\times4=\underline{\quad}$ 分钟。

第二套

题目：春游时 $49$ 名同学要坐缆船过湖，只有一条能坐 $7$ 人的缆船，每划一次 $3$ 分钟。全部过湖最少多少分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每往返净送几人）：除最后一趟外留 $1$ 人划回，每往返净送 $7-1=\underline{\quad}$ 人。
第 2 步（往返次数）：先送 $49-7$ 人，需往返 $(49-7)/6=\underline{\quad}$ 次。
第 3 步（总趟数）：$2\times7+1=\underline{\quad}$ 趟。
第 4 步（总时间）：$15\times3=\underline{\quad}$ 分钟。

第三套

题目：$64$ 名同学渡河，只有一条可坐 $8$ 人的船，每划一次 $5$ 分钟。全部过河最少多少分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每往返净送几人）：$8-1=\underline{\quad}$ 人。
第 2 步（往返次数）：$(64-8)/7=\underline{\quad}$ 次。
第 3 步（总趟数）：$2\times8+1=\underline{\quad}$ 趟。
第 4 步（总时间）：$17\times5=\underline{\quad}$ 分钟。

第三套

题目：$127$ 名同学渡河，只有一条可坐 $7$ 人的船，每划一次 $3$ 分钟。问：一共要划船过河多少趟？最少需要多少分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每往返净送几人）：$7-1=\underline{\quad}$ 人。
第 2 步（往返次数）：先送 $127-7$ 人，需往返 $(127-7)/6=\underline{\quad}$ 次。
第 3 步（总趟数）：往返 $2$ 趟 $\times20$ 加最后 $1$ 趟 $=2\times20+1=\underline{\quad}$ 趟。
第 4 步（总时间）：$41\times3=\underline{\quad}$ 分钟。

竞赛数学 · 三年级第23讲《智巧趣题二》举一反三练习卷

附录 · 答案

竞赛数学 · 三年级 第23讲《智巧趣题二》举一反三练习卷

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