竞赛数学 · 五年级 第2讲《整除》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch02-chaoyue-01】在所有各位数字互不相同的五位数中，能被 45 整除的数最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「整除条件下的最小值构造」类：要最小就让高位尽量小，再用被 $5$ 定个位、被 $9$ 定剩下那一位，遇到数字重复就回退调整。
关键切入点：$45=5\times9$。被 $5$ 把个位锁在 $0$ 或 $5$；要五位数最小，前几位应尽量取 $1,0,2,3\cdots$。先试前四位 $1023$，个位只能取 $5$，但 $10235$ 的数字和 $11$ 不是 $9$ 的倍数；保留前三位 $102$、把十位当作可调的一位，$\overline{102\square5}$ 需 $\square=1$ 与首位重复；再把前三位调成 $103$，$\overline{103\square5}$ 由数字和得 $\square=9$，各位互不相同，成功。
方法概述：高位尽量小 → 被 $5$ 定个位 → 被 $9$ 定中间位 → 有重复就回退。
规范步骤：
  1. 拆分 $45$：$45=5\times9$（合数拆分）
  2. 定个位：个位为 $0$ 或 $5$；前几位要小，故个位取 $5$（被 $5$ 整除的特征）
  3. 试前三位 $102$：$\overline{102\square5}$ 数字和 $8+\square$ 为 $9$ 的倍数得 $\square=1$，与首位重复（被 $9$ 整除的特征）
  4. 调为 $103$：$\overline{103\square5}$ 数字和 $9+\square$ 为 $9$ 的倍数得 $\square=9$（逐位调整）
  5. 验算：$10395\div45=231$，数字 $1,0,3,9,5$ 互不相同
第一套
题目：在所有各位数字互不相同的五位数中，能被 $75$ 整除的数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：$75=25\times\underline{\quad}$，且 $25$ 与 $3$ 互质，要同时被 $25$ 和 $3$ 整除。
  2. 第 2 步（被 $25$ 定末两位）：末两位只能是 $00,25,50,75$。
  3. 第 3 步（高位取最小）：前三位尽量小取 $102$；末两位中 $00$ 自身重复、$25$ 与百位的 $2$ 重复、$50$ 与十位的 $0$ 重复，只剩 $75$，得 $10275$。
  4. 第 4 步（检验被 $3$）：数字和 $1+0+2+7+5=\underline{\quad}$，是 $3$ 的倍数，符合要求。
  5. 第 5 步（验算）：$10275\div75=\underline{\quad}$，数字 $1,0,2,7,5$ 互不相同。
第二套
题目：运动会给参赛队编五位数号码牌，要求号码各位数字互不相同，并且能被 $45$ 整除。这样的号码最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：$45=5\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（定个位）：被 $5$ 整除，个位是 $0$ 或 $5$。
  3. 第 3 步（试前三位 $102$）：$\overline{102\square5}$ 的数字和为 $1+0+2+5+\square=\underline{\quad}+\square$，要是 $9$ 的倍数得 $\square=9-8=\underline{\quad}$，与首位重复，不行。
  4. 第 4 步（调为 $103$）：$\overline{103\square5}$ 的数字和为 $\underline{\quad}+\square$，是 $9$ 的倍数得 $\square=18-9=\underline{\quad}$，数字互不相同。
  5. 第 5 步（验算）：号码为 $10395$，$10395\div45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在所有各位数字互不相同的五位数中，能被 $45$ 整除的数最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（高位取最大）：要最大，前三位尽量取 $9,8,7$。
  2. 第 2 步（试个位为 $5$）：$\overline{987\square5}$ 的数字和为 $9+8+7+5+\square=\underline{\quad}+\square$，要是 $9$ 的倍数只能取 $36$，$\square=36-29=\underline{\quad}$，与百位重复，不行。
  3. 第 3 步（改个位为 $0$）：$\overline{987\square0}$ 的数字和为 $\underline{\quad}+\square$，是 $9$ 的倍数只能取 $27$，$\square=27-24=\underline{\quad}$，数字 $9,8,7,3,0$ 互不相同。
  4. 第 4 步（验算）：五位数为 $98730$，$98730\div45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在所有各位数字互不相同的六位数中，能被 $45$ 整除的数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（高位取最小）：六位数要最小，前四位尽量取 $1,0,2,3$。
  2. 第 2 步（定个位）：被 $5$ 整除个位是 $0$ 或 $5$，而 $0$ 已用过，所以个位取 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用被 $9$ 定十位）：$\overline{1023\square5}$ 的数字和为 $1+0+2+3+5+\square=\underline{\quad}+\square$，要是 $9$ 的倍数只能取 $18$，$\square=18-11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检查并验算）：六位数为 $102375$，数字 $1,0,2,3,7,5$ 互不相同，$102375\div45=\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch02-chaoyue-02】将自然数 $1,2,3,\cdots$ 依次写下去形成一个多位数“$123456789101112\cdots$”。当写到某个数 $N$ 时，所形成的多位数恰好第一次能被 90 整除，请问：$N$ 是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「数字串构造 + 整除」类：把「$123456789101112\cdots N$ 能被 $90$ 整除」拆成末位为 $0$（被 $10$）与数字和被 $9$ 整除两个条件。
关键切入点：关键有两点：一是这个大数的末位就是 $N$ 的末位，要被 $10$ 整除必须 $N$ 的末位是 $0$；二是这个大数的各位数字之和恰好等于 $1+2+\cdots+N=\dfrac{N(N+1)}{2}$，于是被 $9$ 整除的条件变成对这个等差数列和的判断。把 $N=10,20,30,\cdots$ 依次代入即可。
方法概述：被 $10$ 定 $N$ 的末位为 $0$，被 $9$ 用 $1+2+\cdots+N$ 的和判断。
规范步骤：
  1. 拆分 $90$：$90=9\times10$（合数拆分）
  2. 被 $10$：末位为 $0$，故 $N$ 是 $10$ 的倍数（被 $10$ 整除的特征）
  3. 被 $9$：数字和 $=1+2+\cdots+N=\dfrac{N(N+1)}{2}$（等差数列求和）
  4. 逐个试：$N=10,20,\cdots,70$ 时和为 $55,210,465,820,1275,1830,2485$，数字和都不是 $9$ 的倍数（枚举）
  5. 命中：$N=80$：$\dfrac{80\times81}{2}=3240$，$3+2+4+0=9$，能被 $9$ 整除
第一套
题目：将自然数 $1,2,3,\cdots$ 依次写下去形成多位数 $123456789101112\cdots$。当写到某个数 $N$ 时，所形成的多位数恰好第一次能被 $450$ 整除，$N$ 是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：$450=2\times9\times\underline{\quad}$，所以要同时被 $2$、$9$、$25$ 整除；被 $2$ 与被 $25$ 合起来就是末两位要能被 $50$ 整除，即末两位为 $00$ 或 $50$。
  2. 第 2 步（定 $N$ 的末位）：末两位为 $00$ 或 $50$，说明 $N$ 的末位是 $0$，即 $N$ 是 $10$ 的倍数。
  3. 第 3 步（被 $9$ 的条件）：多位数的数字和等于 $1+2+\cdots+N=\dfrac{N(N+1)}{2}$，要是 $9$ 的倍数。
  4. 第 4 步（逐个试）：$N=50$ 时和为 $\dfrac{50\times51}{2}=\underline{\quad}$，数字和 $1+2+7+5=15$ 不合；$N=350$ 时和为 $\dfrac{350\times351}{2}=\underline{\quad}$，数字和 $6+1+4+2+5=\underline{\quad}$ 是 $9$ 的倍数。
  5. 第 5 步（检查末两位）：写到 $350$ 时末两位正是 $50$，能被 $50$ 整除，所以 $N=\underline{\quad}$。
第二套
题目：小高在纸带上依次写下 $1,2,3,\cdots$，连成一个越来越长的多位数。当他写到某个数 $N$ 时，这个多位数恰好第一次能被 $90$ 整除。$N$ 是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：$90=9\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $10$）：多位数的末位就是 $N$ 的末位，必须是 $0$，所以 $N$ 是 $10$ 的倍数。
  3. 第 3 步（被 $9$）：数字和为 $1+2+\cdots+N=\dfrac{N(N+1)}{2}$。
  4. 第 4 步（逐个试）：$N=10$ 时为 $\dfrac{10\times11}{2}=\underline{\quad}$，不是 $9$ 的倍数；一直试到 $N=80$，$\dfrac{80\times81}{2}=\underline{\quad}$，数字和 $3+2+4+0=\underline{\quad}$ 是 $9$ 的倍数。
  5. 第 5 步（验算）：$3240\div9=\underline{\quad}$，所以 $N=80$。
第三套
题目：将自然数 $1,2,3,\cdots$ 依次写下去形成多位数 $123456789101112\cdots$。当写到某个数 $N$ 时，它第一次能被 $45$ 整除，$N$ 是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：$45=5\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $5$）：末位是 $0$ 或 $5$，所以 $N$ 的末位是 $0$ 或 $5$。
  3. 第 3 步（被 $9$）：数字和为 $\dfrac{N(N+1)}{2}$，要是 $9$ 的倍数。
  4. 第 4 步（逐个试）：$N=5,10,15,20,25,30$ 时依次为 $15,55,120,210,325,465$，都不是 $9$ 的倍数；$N=35$ 时 $\dfrac{35\times36}{2}=\underline{\quad}$，$630\div9=\underline{\quad}$，能整除。
  5. 第 5 步（作答）：$N=\underline{\quad}$。
第三套
题目：将自然数 $1,2,3,\cdots$ 依次写下去形成多位数 $123456789101112\cdots$。当写到某个数 $N$ 时，它第一次能被 $900$ 整除，$N$ 是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：$900=4\times9\times\underline{\quad}$，被 $4$ 与被 $25$ 合起来就是末两位能被 $100$ 整除，即末两位是 $00$。
  2. 第 2 步（定 $N$）：末两位为 $00$，说明 $N$ 是 $100$ 的倍数。
  3. 第 3 步（被 $9$ 逐个试）：$N=100$ 时 $\dfrac{100\times101}{2}=\underline{\quad}$，数字和 $5+0+5+0=\underline{\quad}$ 不是 $9$ 的倍数；依次试到 $N=800$，$\dfrac{800\times801}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：$320400$ 的数字和为 $3+2+0+4+0+0=\underline{\quad}$，是 $9$ 的倍数，$320400\div9=\underline{\quad}$，所以 $N=800$。
3. 【原题 ch02-chaoyue-03】萱萱的爸爸买回来两箱杯子。两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价 $117.\square\triangle$ 元”、“总价 $127.\bigcirc\diamondsuit$ 元”（$\square,\triangle,\bigcirc,\diamondsuit$ 四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）。爸爸告诉萱萱，其中一箱装了 99 只 $A$ 型杯子，另一箱装了 75 只 $B$ 型杯子，每只杯子的价格都是整数分。但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是 $A$ 型杯子、哪个箱子装的是 $B$ 型杯子了。同学们，你能像萱萱一样把价签上的数分辨出来吗？
详细思路
是哪类问题：这是「两位截断 + 分类讨论」类：把价钱化成「分」后成为五位数，两张价签一张被 $99$ 整除、一张被 $75$ 整除，但不知哪张对应哪个，需要分两种情况讨论并用「四个数字互不相同」筛选。
关键切入点：$99$ 用两位截断法最省事：$\overline{117\square\triangle}$ 分成 $1$、$17$、$\overline{\square\triangle}$ 三段，和为 $99$ 的倍数；$75=25\times3$，末两位只能是 $00,25,50,75$，再用数字和判被 $3$。两种对应关系各解一次，最后用四个数字互不相同排除一种。
方法概述：两位截断解被 $99$，末两位加数字和解被 $75$，两种搭配各试一次再筛。
规范步骤：
  1. 化成分：$117.\square\triangle$ 元 $=\overline{117\square\triangle}$ 分，$127.\bigcirc\diamondsuit$ 元 $=\overline{127\bigcirc\diamondsuit}$ 分（单位换算）
  2. 情况一：$127$ 那张被 $99$ 整除：$1+27+\overline{\bigcirc\diamondsuit}=99$，得 $\overline{\bigcirc\diamondsuit}=71$；另一张被 $75$ 整除得 $\overline{\square\triangle}=75$，与 $7$ 重复，舍去（分类讨论）
  3. 情况二：$117$ 那张被 $99$ 整除：$1+17+\overline{\square\triangle}=99$，得 $\overline{\square\triangle}=81$（两位截断法）
  4. 解另一张被 $75$：末两位为 $00,25,50,75$，其中只有 $12750$ 的数字和 $15$ 是 $3$ 的倍数，得 $\overline{\bigcirc\diamondsuit}=50$（被 $75$ 整除）
  5. 检验：$8,1,5,0$ 互不相同，符合
第一套
题目：两个箱子的价签分别写着「总价 $134.\square\triangle$ 元」与「总价 $142.\bigcirc\diamondsuit$ 元」（四个数字互不相同）。其中一箱装 $99$ 只 $A$ 型杯子，另一箱装 $75$ 只 $B$ 型杯子，每只杯子的价格都是整数分。求两张价签上的数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化成分）：两张价签分别是 $\overline{134\square\triangle}$ 分与 $\overline{142\bigcirc\diamondsuit}$ 分。
  2. 第 2 步（情况一：$134$ 那张被 $99$ 整除）：两位截断得 $1+34+\overline{\square\triangle}$ 是 $99$ 的倍数，$1+34=\underline{\quad}$，所以 $\overline{\square\triangle}=99-35=\underline{\quad}$，这张是 $134.64$ 元。
  3. 第 3 步（另一张被 $75$ 整除）：$\overline{142\bigcirc\diamondsuit}$ 的末两位只能是 $00,25,50,75$；数字和分别为 $7,14,\underline{\quad},19$，只有 $14250$ 的数字和是 $3$ 的倍数，所以 $\overline{\bigcirc\diamondsuit}=50$。
  4. 第 4 步（情况二并排除）：若 $142$ 那张被 $99$ 整除，则 $1+42+\overline{\bigcirc\diamondsuit}=99$ 得 $\overline{\bigcirc\diamondsuit}=\underline{\quad}$，另一张被 $75$ 整除得 $\overline{\square\triangle}=25$，四个数字为 $2,5,5,6$ 有重复，舍去。
  5. 第 5 步（验算）：$13464\div99=\underline{\quad}$，$14250\div75=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两袋螺丝的标签分别写着「总价 $117.\square\triangle$ 元」与「总价 $127.\bigcirc\diamondsuit$ 元」（四个数字互不相同）。一袋装 $99$ 颗甲种螺丝，另一袋装 $75$ 颗乙种螺丝，每颗的价格都是整数分。求两张标签上的数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化成分）：两张标签是 $\overline{117\square\triangle}$ 分与 $\overline{127\bigcirc\diamondsuit}$ 分。
  2. 第 2 步（先试 $127$ 那张被 $99$ 整除）：两位截断得 $1+27+\overline{\bigcirc\diamondsuit}=99$，$\overline{\bigcirc\diamondsuit}=99-28=\underline{\quad}$；再由另一张被 $75$ 整除得 $\overline{\square\triangle}=75$，与 $71$ 中的 $7$ 重复，这种情况不成立。
  3. 第 3 步（改试 $117$ 那张被 $99$ 整除）：$1+17+\overline{\square\triangle}=99$，$\overline{\square\triangle}=99-18=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（另一张被 $75$ 整除）：末两位取 $00,25,50,75$，数字和依次为 $10,17,\underline{\quad},22$，只有 $12750$ 的数字和是 $3$ 的倍数，故 $\overline{\bigcirc\diamondsuit}=50$。
  5. 第 5 步（验算）：$11781\div99=\underline{\quad}$，$12750\div75=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一箱装了 $99$ 只杯子，价签写着「总价 $117.\square\triangle$ 元」，每只杯子的价格是整数分。求价签上的数与每只杯子的价格。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化成分）：总价是 $\overline{117\square\triangle}$ 分，它要能被 $99$ 整除。
  2. 第 2 步（两位截断）：从右往左每两位一段，得 $1+17+\overline{\square\triangle}$，$1+17=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（夹逼定值）：$\overline{\square\triangle}$ 在 $0\sim99$ 之间，所以 $18+\overline{\square\triangle}$ 在 $18\sim117$ 之间，只能等于 $99$，$\overline{\square\triangle}=99-18=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求单价）：总价 $11781$ 分，每只 $11781\div99=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：两个箱子的价签分别写着「总价 $117.\square\triangle$ 元」与「总价 $127.\bigcirc\diamondsuit$ 元」（四个数字互不相同），一箱 $99$ 只 $A$ 型杯、一箱 $75$ 只 $B$ 型杯，每只价格都是整数分。求两张价签上的数，并求两种杯子的单价相差多少分。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定两张价签）：与前面相同，得 $11781$ 分（$99$ 只）与 $12750$ 分（$75$ 只）。
  2. 第 2 步（求 $A$ 型单价）：$11781\div99=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（求 $B$ 型单价）：$12750\div75=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（求差）：$170-119=\underline{\quad}$（分），即 $B$ 型比 $A$ 型每只贵 $\underline{\quad}$ 分。
4. 【原题 ch02-chaoyue-04】小高在一张纸条上依次写下 $2,3,4,5,6,7$ 这 6 个数字，形成一个六位数。卡莉娅把这张纸条撕成了三节。这三节纸条上的数加起来得到的和（如图 2-1，三节纸条上的和为 $23+456+7=486$）能被 55 整除。请问：卡莉娅可能是在什么位置撕断的这张纸条？
详细思路
是哪类问题：这是「个位分析 + 分类讨论」类：三段数的和要被 $55$ 整除，先用被 $5$ 卡住和的个位，把撕法缩到极少几种，再用被 $11$ 逐一验算。
关键切入点：关键是不管怎么撕，第三段的个位一定是 $7$。要和的个位是 $0$ 或 $5$，前两段个位之和的个位就必须是 $3$ 或 $8$；而前两段的个位只能来自 $2,3,4,5,6$，配得出的只有 $3+5$ 与 $2+6$，对应撕法 $23|45|67$ 与 $2|3456|7$。最后用被 $11$ 检验这两种。
方法概述：用被 $5$ 定个位缩小撕法 → 逐一验算被 $11$。
规范步骤：
  1. 看第三段个位：第三段末位一定是 $7$（个位分析）
  2. 定前两段个位之和：和的个位为 $0$ 或 $5$，故前两段个位之和的个位为 $3$ 或 $8$（被 $5$ 整除的特征）
  3. 枚举撕法：只能是 $3+5$（$23|45|67$）或 $2+6$（$2|3456|7$）（分类讨论）
  4. 验算被 $11$：$23+45+67=135$ 不是 $11$ 的倍数；$2+3456+7=3465=11\times315$（被 $11$ 整除）
  5. 写出答案：撕成 $2$、$3456$、$7$
第一套
题目：在纸条上依次写下 $4,5,6,7,8,9$ 这 $6$ 个数字形成一个六位数，再把纸条撕成三节。已知三节上的数之和能被 $55$ 整除，纸条是在什么位置撕断的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看第三段个位）：不论怎么撕，第三段的末位一定是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用被 $5$ 缩小范围）：和的个位必须是 $0$ 或 $5$，而第三段个位是 $9$，所以前两段个位之和的个位要是 $1$ 或 $6$。前两段的个位只能取自 $4,5,6,7,8$，配得出个位为 $1$ 的只有 $4+7=\underline{\quad}$（撕法 $4|567|89$）与 $5+6=11$（撕法 $45|6|789$）。
  3. 第 3 步（逐一验算）：$45+6+789=\underline{\quad}$，$840$ 不是 $11$ 的倍数；$4+567+89=\underline{\quad}$，$660\div55=\underline{\quad}$，能整除。
  4. 第 4 步（作答）：所以撕法是 $4$、$567$、$89$，$660\div11=\underline{\quad}$，$660\div5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一条印着 $2,3,4,5,6,7$ 的纸带被剪成三段，三段上的数加起来的和能被 $55$ 整除。剪刀是在哪两个位置落下的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第三段个位）：第三段的末位一定是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $5$ 缩范围）：和的个位是 $0$ 或 $5$，故前两段个位之和的个位是 $3$ 或 $8$，只能是 $3+5$ 或 $2+6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（逐一验算）：$23+45+67=\underline{\quad}$ 不是 $11$ 的倍数；$2+3456+7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作答）：$3465\div55=\underline{\quad}$，所以剪成 $2$、$3456$、$7$。
第三套
题目：在纸条上依次写下 $2,3,4,5,6,7$ 形成六位数，把纸条撕成三节，三节上的数之和能被 $45$ 整除。可能的撕法有哪些？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $5$ 定个位）：和的个位是 $0$ 或 $5$，与前面一样，撕法只能是 $23|45|67$ 或 $2|3456|7$。
  2. 第 2 步（验第一种被 $9$）：$23+45+67=\underline{\quad}$，数字和 $1+3+5=\underline{\quad}$ 是 $9$ 的倍数，$135\div45=\underline{\quad}$，符合。
  3. 第 3 步（验第二种被 $9$）：$2+3456+7=\underline{\quad}$，数字和 $3+4+6+5=\underline{\quad}$ 是 $9$ 的倍数，$3465\div45=\underline{\quad}$，也符合。
  4. 第 4 步（作答）：两种撕法都可以。
第三套
题目：在纸条上依次写下 $2,3,4,5,6,7,8$ 这 $7$ 个数字形成一个七位数，再把纸条撕成三节。已知三节上的数之和能被 $55$ 整除，纸条是在什么位置撕断的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第三段个位）：第三段末位一定是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $5$ 缩范围）：和的个位是 $0$ 或 $5$，所以前两段个位之和的个位是 $2$ 或 $7$。
  3. 第 3 步（枚举并验算）：撕成 $2345|67|8$ 时，前两段个位为 $5$ 与 $7$，和的个位 $5+7+8=\underline{\quad}$ 的个位是 $0$，符合；此时和为 $2345+67+8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验被 $11$ 并作答）：$2420\div55=\underline{\quad}$，$2420\div11=\underline{\quad}$，所以撕成 $2345$、$67$、$8$。
5. 【原题 ch02-chaoyue-05】将一个自然数 $N$ 接在任一自然数的右面（例如将 2 接在 13 的右面得到 132），如果所得的新数都能被 $N$ 整除，那么称 $N$ 为“神奇数”。请求出所有的两位“神奇数”。
详细思路
是哪类问题：这是「和差整除性 + 因数分析」类：把「$N$ 接在任意自然数右面」写成加法式子，用和差整除性把条件化简为「$N$ 整除 $100$」。
关键切入点：关键在于把「接在右面」翻译成算式：把两位数 $N$ 接在自然数 $k$ 的右面得到 $100k+N$。因为 $N$ 显然整除 $N$，由和差整除性，$N\mid(100k+N)$ 等价于 $N\mid100k$；要对一切 $k$ 都成立（取 $k=1$ 即可），就必须 $N\mid100$。反之若 $N\mid100$，则 $N$ 整除任意 $100k$，条件也成立。
方法概述：把「接在右面」化为 $100k+N$，用和差整除性化简为 $N\mid100$，再找 $100$ 的两位因数。
规范步骤：
  1. 写出新数：把 $N$ 接在 $k$ 右面得 $100k+N$（$N$ 为两位数）（位值原理）
  2. 用和差整除性：$N\mid N$，故 $N\mid(100k+N)\iff N\mid 100k$（和差整除性）
  3. 取 $k=1$：必须 $N\mid100$（特例定条件）
  4. 反向验证：若 $N\mid100$，则对一切 $k$ 都有 $N\mid100k$，条件成立（充分性）
  5. 找两位因数：$100=2^2\times5^2$，两位因数有 $10,20,25,50$（因数分析）
6. 【原题 ch02-chaoyue-06】在六位数 $\overline{11\square\square11}$ 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除。方框中的两位数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「整除转乘法竖式」类：同时被 $17$ 和 $19$ 整除就是被 $323$ 整除，于是问题变成找一个三位乘数，使 $323\times\overline{\square\square\square}$ 的首两位与末两位都是 $11$。
关键切入点：关键是把两个不好用的整除特征合成一个乘法竖式：$17\times19=323$。再用末位分析（积的个位是 $1$，$3\times7=21$ 的个位是 $1$，故乘数个位为 $7$）与大小估计（积在 $110000\sim119999$ 之间，$110000\div323\approx340$，故乘数百位是 $3$），最后定十位。
方法概述：合成 $323$ → 列竖式 → 末位定个位、估算定百位、代入定十位。
规范步骤：
  1. 合成除数：$17\times19=323$（互质合并）
  2. 末位分析：积的个位为 $1$，$3\times7=21$，故乘数个位是 $7$（末位分析）
  3. 大小估计：积在 $110000\sim119999$ 之间，$323\times300=96900$，$323\times400=129200$，故乘数百位是 $3$（估算）
  4. 定十位：$323\times357=115311$，首两位与末两位都是 $11$（逐位确定）
  5. 写出答案：方框中的两位数是 $53$
第一套
题目：在六位数 $\overline{22\square\square55}$ 的两个方框内各填一个数字，使这个数能同时被 $17$ 和 $19$ 整除。方框中的两位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合成除数）：$17\times19=\underline{\quad}$，只需这个六位数是 $323$ 的倍数。
  2. 第 2 步（末位分析）：积的个位是 $5$，而 $3\times5=15$ 的个位正是 $5$，所以乘数的个位是 $5$。
  3. 第 3 步（大小估计）：积在 $220000\sim229999$ 之间，$323\times600=\underline{\quad}$、$323\times700=\underline{\quad}$，所以乘数的百位是 $6$。
  4. 第 4 步（定十位）：试 $\overline{6\square5}$，$323\times685=\underline{\quad}$，首两位是 $22$、末两位是 $55$，符合要求。
  5. 第 5 步（作答与验算）：六位数是 $221255$，方框中的两位数是 $12$；$221255\div17=\underline{\quad}$，$221255\div19=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一台仪器的序列号是六位数 $\overline{11\square\square11}$，中间两位模糊。已知序列号能同时被 $17$ 和 $19$ 整除，中间两位是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合成除数）：$17\times19=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（末位分析）：积的个位是 $1$，$3\times7=\underline{\quad}$ 的个位是 $1$，所以乘数个位是 $7$。
  3. 第 3 步（大小估计）：积在 $110000\sim119999$ 之间，$323\times300=\underline{\quad}$、$323\times400=\underline{\quad}$，所以乘数百位是 $3$。
  4. 第 4 步（定十位并验算）：$323\times357=\underline{\quad}$，所以中间两位是 $53$。
第三套
题目：在六位数 $\overline{11\square\square11}$ 的两个方框内各填一个数字，使这个数能同时被 $7$ 和 $13$ 整除。方框中的两位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合成除数）：$7\times13=\underline{\quad}$，只需这个数是 $91$ 的倍数。
  2. 第 2 步（用三位截断）：$\overline{11ab11}$ 分成 $\overline{11a}$ 与 $\overline{b11}$ 两段，截断值为 $\overline{b11}-\overline{11a}$，要能被 $91$ 整除。
  3. 第 3 步（试算）：当两个方框都填 $1$ 时，六位数为 $111111=111\times1001$，而 $1001=7\times11\times\underline{\quad}$，所以它一定能同时被 $7$ 和 $13$ 整除。
  4. 第 4 步（验算）：$111111\div7=\underline{\quad}$，$111111\div13=\underline{\quad}$，$111111\div91=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在六位数 $\overline{11\square\square11}$ 中填入两个数字，使它能同时被 $17$ 和 $19$ 整除。求这个六位数除以 $323$ 的商，并判断这个商能否被 $3$ 整除。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求六位数）：由末位分析与估算得乘数为 $357$，六位数为 $323\times357=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求商）：$115311\div323=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（判断商被 $3$）：商是 $357$，数字和 $3+5+7=\underline{\quad}$，是 $3$ 的倍数，所以商能被 $3$ 整除，$357\div3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（顺带一算）：$115311\div3=\underline{\quad}$，说明原六位数也能被 $3$ 整除。
7. 【原题 ch02-chaoyue-07】多位数 $A$ 由数字 $1,3,5,7,9$ 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且 $A$ 可以被 $A$ 中任意一个数字整除。求这样的 $A$ 的最小值。
详细思路
是哪类问题：这是「数字集合约束下的最小值枚举」类：先把整除条件合成一个数（被 $5,7,9$ 整除即被 $315$ 整除），再用数字和定位数、用末位定个位，最后从小到大枚举。
关键切入点：关键有三步：一是 $A$ 要能被 $1,3,5,7,9$ 整除，其中 $3\mid9$，所以只需被 $5,7,9$ 整除；二是被 $9$ 整除要求数字和是 $9$ 的倍数，而 $1+3+5+7+9=25$，最少要补到 $27$，补的是两个 $1$，共 $7$ 个数字；三是被 $5$ 要求末位是 $5$。剩下的就是把 $1,1,1,3,7,9$ 从小到大排在前面并逐个试被 $7$ 整除。
方法概述：合成 $315$ → 数字和定位数 → 末位定为 $5$ → 从小到大枚举试被 $7$。
规范步骤：
  1. 合成条件：只需 $A$ 被 $5,7,9$ 整除，即被 $5\times7\times9=315$ 整除（互质合并）
  2. 定数字和：$1+3+5+7+9=25$，最小的 $9$ 的倍数是 $27$，需再添两个 $1$（被 $9$ 整除的特征）
  3. 定末位：被 $5$ 整除且首位非零，末位取 $5$（被 $5$ 整除的特征）
  4. 枚举：$1113795,1113975,1117395,1117935,\cdots$ 中第一个被 $7$ 整除的是 $1117935$（枚举）
  5. 验算：$1117935\div315=3549$
第一套
题目：多位数 $A$ 由数字 $3,5,7,9$ 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且 $A$ 能被 $A$ 中任意一个数字整除。求这样的 $A$ 的最小值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合成条件）：$A$ 要被 $3,5,7,9$ 整除，而 $3$ 是 $9$ 的因数，所以只需被 $5\times7\times9=\underline{\quad}$ 整除。
  2. 第 2 步（定数字和与位数）：$3+5+7+9=\underline{\quad}$，不是 $9$ 的倍数，最少补到 $27$，要补 $27-24=\underline{\quad}$，即再添一个 $3$，共 $5$ 个数字。
  3. 第 3 步（定末位）：被 $5$ 整除，末位是 $5$。
  4. 第 4 步（从小到大枚举）：前四位由 $3,3,7,9$ 排成，依次得 $33795,33975,37395,37935,39375,\cdots$，第一个能被 $7$ 整除的是 $39375$（$39375\div7=\underline{\quad}$）。
  5. 第 5 步（验算）：$39375\div315=\underline{\quad}$，$39375\div9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：密码锁的密码 $A$ 只用数字 $1,3,5,7,9$ 组成，每个数字都可以重复但至少出现一次，并且 $A$ 能被 $A$ 中任意一个数字整除。这样的密码最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合成条件）：只需 $A$ 被 $5\times7\times9=\underline{\quad}$ 整除。
  2. 第 2 步（定数字和）：$1+3+5+7+9=\underline{\quad}$，要补到最小的 $9$ 的倍数 $27$，需补 $27-25=\underline{\quad}$，即再添两个 $1$，一共 $7$ 个数字。
  3. 第 3 步（定末位）：被 $5$ 整除，末位是 $5$。
  4. 第 4 步（枚举）：把 $1,1,1,3,7,9$ 从小到大排在前面：$1113795,1113975,1117395,1117935,\cdots$，第一个被 $7$ 整除的是 $1117935$，$1117935\div7=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$1117935\div315=\underline{\quad}$。
第三套
题目：多位数 $A$ 由数字 $1,5,7,9$ 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且 $A$ 能被 $A$ 中任意一个数字整除。求这样的 $A$ 的最小值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合成条件）：只需被 $5\times7\times9=\underline{\quad}$ 整除（$1$ 不构成限制）。
  2. 第 2 步（定数字和）：$1+5+7+9=\underline{\quad}$，最少补到 $27$，需补 $27-22=\underline{\quad}$，即再添一个 $5$，共 $5$ 个数字。
  3. 第 3 步（定末位）：末位是 $5$。
  4. 第 4 步（枚举）：前四位由 $1,5,7,9$ 排成，从小到大 $15795,15975,17595,17955,\cdots$，第一个被 $7$ 整除的是 $17955$，$17955\div7=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$17955\div315=\underline{\quad}$，$17955\div9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：多位数 $A$ 由数字 $1,3,5,7,9$ 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且 $A$ 能被 $A$ 中任意一个数字整除。求这样的 $A$ 中第二小的数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沿用前面的结论）：$A$ 要被 $315$ 整除，数字和为 $27$，共 $7$ 位，末位为 $5$，最小的是 $1117935$。
  2. 第 2 步（继续枚举）：把 $1,1,1,3,7,9$ 排在前面、按从小到大继续找，下一个候选是 $1131795$。
  3. 第 3 步（验被 $7$）：$1131795\div7=\underline{\quad}$，能整除；再验被 $9$：数字和 $1+1+3+1+7+9+5=\underline{\quad}$，是 $9$ 的倍数。
  4. 第 4 步（验算）：$1131795\div315=\underline{\quad}$，所以第二小的是 $1131795$。
8. 【原题 ch02-chaoyue-08】有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”。比如 $2332,\ 181,\ 77$ 都是回文数。如果一个六位回文数除以 95 的商也是回文数，那么这个六位数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「回文数 + 整除数字谜」类：把条件写成 $\overline{abba}\times95=\overline{5cddc5}$，用首位估计与末位分析把商的首位定死，再枚举验证。
关键切入点：关键是先定六位回文数的首末位：它能被 $95$ 整除，就能被 $5$ 整除，末位只能是 $0$ 或 $5$；而回文数的首位与末位相同、首位不能为 $0$，所以首末位都是 $5$。再看商：六位数除以 $95$ 得四位数，商的首位由 $5\div9$ 的估计得到 $5$ 或 $6$，又由末位（积的个位为 $5$）知商是奇数，故商的首位是 $5$。最后枚举 $5005,5115,\cdots,5995$。
方法概述：先定首末位为 $5$ → 估计与末位定商的首位 → 枚举四位回文商。
规范步骤：
  1. 定首末位：能被 $5$ 整除且首位非零，故六位回文数首末位都是 $5$（被 $5$ 整除的特征）
  2. 写成数字谜：$\overline{abba}\times95=\overline{5cddc5}$（整除与竖式）
  3. 定商的首位：由大小估计 $a$ 为 $5$ 或 $6$；由末位是 $5$ 知积为奇数，故 $a$ 是奇数，$a=5$（末位与估算）
  4. 枚举：$5005,5115,\cdots,5995$ 逐个乘 $95$，只有 $5555\times95=527725$ 是回文数（枚举）
  5. 写出答案：这个六位数是 $527725$
第一套
题目：如果一个六位回文数除以 $85$ 的商也是回文数，那么这个六位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定首末位）：$85=5\times\underline{\quad}$，六位数能被 $5$ 整除，末位是 $0$ 或 $5$；回文数首位与末位相同且不能为 $0$，所以首末位都是 $5$。
  2. 第 2 步（写成数字谜）：设商为四位回文数 $\overline{abba}$，则 $\overline{abba}\times85=\overline{5cddc5}$。
  3. 第 3 步（估商的首位）：六位数在 $500000\sim599999$ 之间，$500000\div85\approx5882$，$599999\div85\approx7058$，所以商的首位是 $5,6$ 或 $7$；由积的个位是 $5$ 知商是奇数，首位取 $7$ 试算。
  4. 第 4 步（枚举验证）：$7007\times85=\underline{\quad}$ 正是回文数 $595595$。
  5. 第 5 步（验算）：$595595\div85=\underline{\quad}$，$595595\div5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一枚纪念币的编号是六位回文数，把它除以 $95$，所得的商也是回文数。这枚纪念币的编号是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定首末位）：编号能被 $95$ 整除就能被 $5$ 整除，末位是 $0$ 或 $5$；回文数首位与末位相同且不为 $0$，故首末位都是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写成竖式）：设商为四位回文数 $\overline{abba}$，则 $\overline{abba}\times95=\overline{5cddc5}$。
  3. 第 3 步（定商首位）：由大小估计首位是 $5$ 或 $6$；积的个位是 $5$，说明商是奇数，所以首位是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（枚举）：$5005\times95=\underline{\quad}$、$5115\times95=485925$、…、$5555\times95=\underline{\quad}$ 是回文数。
  5. 第 5 步（验算）：$527725\div95=\underline{\quad}$。
第三套
题目：如果一个五位回文数除以 $95$ 的商也是回文数，那么这个五位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定首末位）：五位回文数能被 $5$ 整除，末位是 $0$ 或 $5$，首位与末位相同且不为 $0$，所以首末位都是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（估商的位数）：五位数在 $50000\sim59999$ 之间，除以 $95$ 得到的商是三位数（$50000\div95\approx526$，$59999\div95\approx631$）。
  3. 第 3 步（枚举三位回文数）：三位回文数中在 $526\sim631$ 之间的有 $535,545,555,565,575,585,595,606,616,626$；逐个乘 $95$，$555\times95=\underline{\quad}$ 正是回文数。
  4. 第 4 步（验算）：$52725\div95=\underline{\quad}$，$52725\div5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个六位回文数除以 $55$ 的商也是回文数。这样的六位回文数最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定首末位）：能被 $55$ 整除就能被 $5$ 整除，末位是 $0$ 或 $5$；回文数首位不为 $0$，所以首末位都是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（估商）：六位数在 $500000\sim599999$ 之间，除以 $55$ 得到的商是五位数（$500000\div55\approx9090$ 到 $599999\div55\approx10909$），所以商是五位回文数 $10101$ 或四位回文数 $9999$ 等。
  3. 第 3 步（从大到小试）：要六位数最大，商也要最大。$10101\times55=\underline{\quad}$，是回文数 $555555$，符合要求。
  4. 第 4 步（验算）：$555555\div55=\underline{\quad}$，$555555\div11=\underline{\quad}$，$555555\div5=\underline{\quad}$。
9. 【原题 ch02-tuozhan-01】判断下面 11 个数的整除性：$23487,\ 3568,\ 8875,\ 6765,\ 5880,\ 7538,\ 198954,\ 6512,\ 93625,\ 864,\ 407$。（1）这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？（2）哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？（3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？（4）哪些数能被 11 整除？
详细思路
是哪类问题：这是「整除特征综合判断」类：同一批数要按 $4,8$（末两位/末三位）、$25,125$（末两位/末三位）、$3,9$（数字和）、$11$（奇偶位差）四套标准分别筛一遍。
关键切入点：关键是把四套判别法按「看哪里」分类记忆：$4,25$ 看末两位，$8,125$ 看末三位，$3,9$ 看各位数字之和，$11$ 看奇数位与偶数位数字和之差。判断时对每个数只做一次相应的小计算，就不必做长除法。
方法概述：分四组分别用末两位、末三位、数字和、奇偶位差判断。
规范步骤：
  1. 被 $4$、$8$：$3568,5880,6512,864$ 的末两位 $68,80,12,64$ 与末三位 $568,880,512,864$ 都合格（末两位/末三位）
  2. 被 $25$、$125$：$8875,93625$ 的末三位 $875,625$ 分别为 $125\times7,125\times5$（末三位）
  3. 被 $3$、$9$：数字和：$23487\to24$，$6765\to24$，$5880\to21$，$198954\to36$，$864\to18$；其中 $36,18$ 是 $9$ 的倍数（数字和）
  4. 被 $11$：$6765$：$(6+6)-(7+5)=0$；$6512$：$(6+1)-(5+2)=0$；$407$：$(4+7)-0=11$（奇偶位差）
  5. 写出答案：见下
第一套
题目：判断下面 9 个数的整除性：$47216,\ 8925,\ 6435,\ 72150,\ 3872,\ 105125,\ 9702,\ 583,\ 5124$。（1）哪些能被 $4$ 整除？哪些能被 $8$ 整除？（2）哪些能被 $25$ 整除？哪些能被 $125$ 整除？（3）哪些能被 $3$ 整除？哪些能被 $9$ 整除？（4）哪些能被 $11$ 整除？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $4$ 看末两位）：$16\div4=\underline{\quad}$、$72\div4=\underline{\quad}$、$24\div4=\underline{\quad}$，所以是 $47216,3872,5124$。
  2. 第 2 步（被 $8$ 看末三位）：$216\div8=\underline{\quad}$、$872\div8=\underline{\quad}$ 能整除，而 $124\div8$ 除不尽，所以是 $47216,3872$。
  3. 第 3 步（被 $25$、$125$）：末两位为 $25,50,25$ 的三个数能被 $25$ 整除；再看末三位，$125\div125=\underline{\quad}$，而 $925,150$ 都不是 $125$ 的倍数，所以只有 $105125$ 能被 $125$ 整除。
  4. 第 4 步（被 $3$、$9$ 看数字和）：$8+9+2+5=\underline{\quad}$，$6+4+3+5=\underline{\quad}$，$9+7+0+2=\underline{\quad}$，$5+1+2+4=\underline{\quad}$，其中和为 $18$ 的两个数还能被 $9$ 整除。
  5. 第 5 步（被 $11$ 看奇偶位差）：$583$ 的差为 $(3+5)-8=\underline{\quad}$，$3872$ 的差为 $(2+8)-(7+3)=\underline{\quad}$，$9702\div11=\underline{\quad}$。
第二套
题目：科技馆的 9 件展品编号为 $47216,\ 8925,\ 6435,\ 72150,\ 3872,\ 105125,\ 9702,\ 583,\ 5124$。编号能被 $4$、$8$ 整除的放 A 区，能被 $25$、$125$ 整除的放 B 区，能被 $3$、$9$ 整除的放 C 区，能被 $11$ 整除的放 D 区。请分别写出各区的展品编号。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（A 区）：被 $4$ 看末两位，$16\div4=\underline{\quad}$、$72\div4=\underline{\quad}$、$24\div4=\underline{\quad}$；被 $8$ 看末三位，$216\div8=\underline{\quad}$、$872\div8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（B 区）：末两位是 $25,50$ 的能被 $25$ 整除；末三位 $125\div125=\underline{\quad}$，只有 $105125$ 能被 $125$ 整除。
  3. 第 3 步（C 区）：数字和 $8+9+2+5=\underline{\quad}$、$6+4+3+5=\underline{\quad}$、$9+7+0+2=\underline{\quad}$，和为 $18$ 的还能被 $9$ 整除。
  4. 第 4 步（D 区）：奇偶位差 $(3+5)-8=\underline{\quad}$、$(2+8)-(7+3)=\underline{\quad}$，再验算 $6435\div11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：判断下面 8 个数：$1980,\ 4725,\ 3672,\ 5550,\ 8316,\ 2430,\ 7128,\ 945$。哪些能被 $6$ 整除？哪些能被 $15$ 整除？哪些能被 $45$ 整除？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分合数）：$6=2\times3$，$15=3\times5$，$45=5\times9$，都要拆成两个互质因数分别判断。
  2. 第 2 步（被 $6$）：既是偶数、数字和又是 $3$ 的倍数，$1+9+8+0=\underline{\quad}$，$3+6+7+2=\underline{\quad}$，$8+3+1+6=\underline{\quad}$，得 $1980,3672,5550,8316,2430,7128$。
  3. 第 3 步（被 $15$）：末位是 $0$ 或 $5$ 且数字和是 $3$ 的倍数，$4+7+2+5=\underline{\quad}$，$9+4+5=\underline{\quad}$，得 $1980,4725,5550,2430,945$。
  4. 第 4 步（被 $45$）：在被 $15$ 整除的数里挑数字和是 $9$ 的倍数的，$5550$ 的数字和 $15$ 不合格，其余 $1980\div45=\underline{\quad}$、$4725\div45=\underline{\quad}$、$2430\div45=\underline{\quad}$、$945\div45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：五位数 $\overline{72\square50}$ 能同时被 $9$ 和 $25$ 整除，求这个五位数，并求它除以 $225$ 的商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $25$）：末两位是 $50$，$50\div25=\underline{\quad}$，条件自动满足。
  2. 第 2 步（被 $9$）：数字和为 $7+2+\square+5+0=\underline{\quad}+\square$，要是 $9$ 的倍数，只能是 $18$，所以 $\square=18-14=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求商）：五位数为 $72450$，因为 $9$ 与 $25$ 互质，它能被 $9\times25=\underline{\quad}$ 整除，$72450\div225=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch02-tuozhan-02】$\overline{173\square}$ 是一个四位数。数学老师说：“我在其中的方框内先后填入 3 个数字，得到 3 个四位数，依次能被 9，11，8 整除。”问：数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「一空多解、逐条件求值」类：同一个空位分别在被 $9$、被 $11$、被 $8$ 三种要求下取不同数字，最后求三个数字之和。
关键切入点：三个条件互不相干，要分别用各自的判别法：被 $9$ 用数字和 $11+\square$；被 $11$ 用奇偶位差 $(\square+7)-(3+1)=\square+3$；被 $8$ 只看末三位 $\overline{73\square}$。每次都要注意 $\square$ 只能取 $0\sim9$，据此把倍数唯一定下来。
方法概述：对三个条件分别用数字和、奇偶位差、末三位求出各自的数字，再求和。
规范步骤：
  1. 被 $9$：$1+7+3+\square=11+\square$ 是 $9$ 的倍数，只能为 $18$，$\square=7$（被 $9$ 整除的特征）
  2. 被 $11$：奇数位和 $\square+7$，偶数位和 $3+1=4$，差 $\square+3$ 只能为 $11$，$\square=8$（被 $11$ 整除的特征）
  3. 被 $8$：$\overline{73\square}$ 被 $8$ 整除，$736\div8=92$，$\square=6$（被 $8$ 整除的特征）
  4. 求和：$7+8+6=21$
第一套
题目：$\overline{254\square}$ 是一个四位数。在方框内先后填入 $3$ 个数字，得到的 $3$ 个四位数依次能被 $9$、$11$、$8$ 整除。求这 $3$ 个数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $9$）：数字和为 $2+5+4+\square=\underline{\quad}+\square$，要是 $9$ 的倍数，只能是 $18$，所以第一个数字是 $18-11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $11$）：从右数，奇数位是 $\square$ 与 $5$，偶数位是 $4$ 与 $2$，差为 $(\square+5)-(4+2)=\square-\underline{\quad}$，它要是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，所以第二个数字是 $1$。
  3. 第 3 步（被 $8$）：只看末三位 $\overline{54\square}$，$544\div8=\underline{\quad}$ 能整除，所以第三个数字是 $4$。
  4. 第 4 步（求和）：$7+1+4=\underline{\quad}$。
第二套
题目：抽奖券的号码形如 $\overline{254\square}$，末位待定。主办方先后写下 $3$ 个数字，使号码依次能被 $9$、$11$、$8$ 整除。求这 $3$ 个数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $9$）：数字和 $2+5+4+\square=\underline{\quad}+\square$ 是 $9$ 的倍数，得第一个数字 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $11$）：奇偶位差 $(\square+5)-(4+2)=\square-\underline{\quad}$ 只能为 $0$，得第二个数字 $1$。
  3. 第 3 步（被 $8$）：末三位 $\overline{54\square}$，$544\div8=\underline{\quad}$，得第三个数字 $4$。
  4. 第 4 步（求和）：$7+1+4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$\overline{715\square}$ 是一个四位数。在方框内先后填入 $3$ 个数字，使所得四位数依次能被 $9$、$11$、$8$ 整除。求这 $3$ 个数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $9$）：数字和为 $7+1+5+\square=\underline{\quad}+\square$，是 $9$ 的倍数只能取 $18$，第一个数字是 $18-13=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $11$）：奇数位是 $\square$ 与 $1$，偶数位是 $5$ 与 $7$，差为 $(\square+1)-12=\square-\underline{\quad}$，只能为 $-11$，所以第二个数字是 $0$。
  3. 第 3 步（被 $8$）：末三位 $\overline{15\square}$，$152\div8=\underline{\quad}$，所以第三个数字是 $2$。
  4. 第 4 步（求和）：$5+0+2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$\overline{254\square}$ 的方框内先后填入 $3$ 个数字，使所得的 $3$ 个四位数依次能被 $9$、$11$、$8$ 整除。求这 $3$ 个四位数的和，并判断这个和能否被 $9$ 整除。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求出三个四位数）：由被 $9$ 得 $2547$，由被 $11$ 得 $2541$，由被 $8$ 得 $\underline{\quad}$（因为 $544\div8=68$）。
  2. 第 2 步（求和）：$2547+2541+2544=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（判断被 $9$）：和的数字和为 $7+6+3+2=\underline{\quad}$，它是 $9$ 的倍数，所以和能被 $9$ 整除。
  4. 第 4 步（验算）：$7632\div9=\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch02-tuozhan-03】多位数 $\underbrace{3232\cdots32}_{n\text{个}32}1$ 能被 11 整除，满足条件的 $n$ 最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「周期数字串的整除」类：数位极多，不能逐位加，而要按周期数出奇数位和偶数位上各有几个哪种数字，把和写成含 $n$ 的式子。
关键切入点：关键在于「$32$」这个周期块中，$3$ 总落在奇数位、$2$ 总落在偶数位（末尾还有一个 $1$ 占最低的奇数位）。所以奇数位和 $=3n+1$，偶数位和 $=2n$，差 $=n+1$。要它能被 $11$ 整除，最小取 $n+1=11$。
方法概述：按周期数清奇偶位上的数字，把奇偶位和之差写成 $n$ 的式子再解。
规范步骤：
  1. 数奇数位：每个 $3$ 与末尾的 $1$ 都在奇数位，和为 $3n+1$（周期定位）
  2. 数偶数位：每个 $2$ 在偶数位，和为 $2n$（周期定位）
  3. 作差并求最小 $n$：$(3n+1)-2n=n+1$ 是 $11$ 的倍数，最小 $n+1=11$，$n=10$（被 $11$ 整除的特征）
  4. 写出答案：$n$ 最小是 $10$
第一套
题目：多位数 $\underbrace{7272\cdots72}_{n\text{个}72}5$ 能被 $11$ 整除，满足条件的 $n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数奇数位）：末尾的 $5$ 在第 $1$ 位（奇数位），每个 $7$ 也都落在奇数位，所以奇数位数字之和为 $7n+\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（数偶数位）：每个 $2$ 都落在偶数位，偶数位数字之和为 $\underline{\quad}n$。
  3. 第 3 步（作差）：$(7n+5)-2n=\underline{\quad}n+5$。
  4. 第 4 步（求最小 $n$）：$5n+5=5(n+1)$ 要是 $11$ 的倍数，因为 $5$ 与 $11$ 互质，所以 $n+1$ 是 $11$ 的倍数，最小 $n+1=11$，$n=\underline{\quad}$。
第二套
题目：打印机重复打印数字块「$32$」共 $n$ 次，最后再打印一个 $1$，得到一个多位数。若这个多位数能被 $11$ 整除，$n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数奇数位）：末尾的 $1$ 与每个 $3$ 都在奇数位，和为 $3n+\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（数偶数位）：每个 $2$ 在偶数位，和为 $\underline{\quad}n$。
  3. 第 3 步（作差）：$(3n+1)-2n=n+\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最小 $n$）：$n+1$ 是 $11$ 的倍数，最小 $n=11-1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：多位数 $\underbrace{4141\cdots41}_{n\text{个}41}$ 能被 $11$ 整除，满足条件的 $n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数奇数位）：每个 $1$ 都在奇数位，奇数位数字之和为 $\underline{\quad}n$。
  2. 第 2 步（数偶数位）：每个 $4$ 都在偶数位，偶数位数字之和为 $\underline{\quad}n$。
  3. 第 3 步（作差）：$4n-n=\underline{\quad}n$。
  4. 第 4 步（求最小 $n$）：$3n$ 要是 $11$ 的倍数，$3$ 与 $11$ 互质，所以 $n$ 是 $11$ 的倍数，最小 $n=\underline{\quad}$。
第三套
题目：多位数 $\underbrace{7272\cdots72}_{n\text{个}72}0$ 能同时被 $11$ 和 $45$ 整除，满足条件的 $n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $5$）：末位是 $0$，条件自动满足。
  2. 第 2 步（被 $9$）：各位数字之和为 $(7+2)\times n+0=\underline{\quad}n$，它总是 $9$ 的倍数，所以对任何 $n$ 都成立。
  3. 第 3 步（被 $11$）：末位 $0$ 与每个 $7$ 在奇数位，和为 $7n$；每个 $2$ 在偶数位，和为 $2n$；差为 $7n-2n=\underline{\quad}n$。
  4. 第 4 步（求最小 $n$）：$5n$ 是 $11$ 的倍数，$5$ 与 $11$ 互质，故 $n$ 是 $11$ 的倍数，最小 $n=\underline{\quad}$；此时数字和为 $9\times11=\underline{\quad}$。
12. 【原题 ch02-tuozhan-04】五位数 $\overline{3\square07\square}$ 能同时被 11 和 25 整除。这个五位数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「多条件补漏」类：两位未知，先用限制最强的被 $25$ 把个位锁死，再用被 $11$ 的奇偶位差解出另一位。
关键切入点：被 $25$ 只看末两位 $\overline{7\square}$，在 $70\sim79$ 中只有 $75$ 是 $25$ 的倍数，一步就定死个位是 $5$；剩下的未知数字只出现在被 $11$ 的差式里，直接解出即可。先用「候选最少」的条件，是多条件补漏题的通法。
方法概述：先用被 $25$ 定个位，再用被 $11$ 的奇偶位差定另一位。
规范步骤：
  1. 被 $25$ 定末两位：$\overline{7\square}$ 是 $25$ 的倍数，只能是 $75$，个位为 $5$（被 $25$ 整除的特征）
  2. 写奇偶位和：奇数位和 $=5+0+3=8$，偶数位和 $=7+\square$（被 $11$ 整除的特征）
  3. 作差解方程：$(7+\square)-8=\square-1$ 是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，$\square=1$（夹逼确定）
  4. 验算：$31075\div11=2825$，$31075\div25=1243$
第一套
题目：五位数 $\overline{7\square05\square}$ 能同时被 $11$ 和 $25$ 整除。这个五位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先用被 $25$）：末两位是 $\overline{5\square}$，在 $50\sim59$ 中只有 $50$ 是 $25$ 的倍数（$50\div25=\underline{\quad}$），所以个位是 $0$。
  2. 第 2 步（写奇偶位和）：五位数成为 $\overline{7\square050}$。从右数，奇数位数字是 $0,0,7$，和为 $\underline{\quad}$；偶数位数字是 $5,\square$，和为 $5+\square$。
  3. 第 3 步（作差求解）：$(5+\square)-7=\square-\underline{\quad}$ 要是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，所以 $\square=2$。
  4. 第 4 步（验算）：五位数为 $72050$，$72050\div11=\underline{\quad}$，$72050\div25=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一台机器的出厂编号是五位数 $\overline{3\square07\square}$，其中两位被磨损。已知编号能同时被 $11$ 和 $25$ 整除，求这个编号。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $25$）：末两位 $\overline{7\square}$ 是 $25$ 的倍数，只能是 $75$（$75\div25=\underline{\quad}$），个位是 $5$。
  2. 第 2 步（奇偶位和）：奇数位数字 $5,0,3$ 之和为 $\underline{\quad}$，偶数位为 $7+\square$。
  3. 第 3 步（作差）：$(7+\square)-8=\square-\underline{\quad}$ 只能为 $0$，所以 $\square=1$。
  4. 第 4 步（验算）：编号为 $31075$，$31075\div275=\underline{\quad}$。
第三套
题目：五位数 $\overline{5\square62\square}$ 能同时被 $11$ 和 $25$ 整除。这个五位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $25$）：末两位是 $\overline{2\square}$，在 $20\sim29$ 中只有 $25$ 是 $25$ 的倍数，所以个位是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（奇偶位和）：五位数为 $\overline{5\square625}$，奇数位数字是 $5,6,5$，和为 $\underline{\quad}$；偶数位是 $2,\square$，和为 $2+\square$。
  3. 第 3 步（作差）：$16-(2+\square)=14-\square$ 要是 $11$ 的倍数，只能为 $11$，所以 $\square=14-11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：五位数为 $53625$，$53625\div11=\underline{\quad}$，$53625\div25=\underline{\quad}$。
第三套
题目：五位数 $\overline{\square20\square5}$ 能同时被 $11$、$25$ 和 $9$ 整除。这个五位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $25$）：末两位是 $\overline{\square5}$，只能是 $25$ 或 $75$，所以十位是 $2$ 或 $7$。
  2. 第 2 步（被 $11$）：设首位为 $a$、十位为 $b$。奇数位数字是 $5,0,a$，和为 $5+a$；偶数位是 $b,2$，和为 $b+2$。差为 $(5+a)-(b+2)=a-b+\underline{\quad}$，要是 $11$ 的倍数。$b=2$ 时 $a$ 无解；$b=7$ 时 $a-7+3=a-4$ 只能为 $0$，$a=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（验被 $9$）：五位数为 $42075$，数字和 $4+2+0+7+5=\underline{\quad}$，是 $9$ 的倍数，符合要求。
  4. 第 4 步（验算）：$42075\div11=\underline{\quad}$，$42075\div25=\underline{\quad}$，$42075\div9=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch02-tuozhan-05】牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“$\overline{67\square8\square}$”，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？
详细思路
是哪类问题：这是「实际问题转整除 + 双条件补漏」类：$45$ 人工资相同，总额必是 $45$ 的倍数；$45=5\times9$，拆成被 $5$ 与被 $9$ 两个条件分别用。
关键切入点：$45$ 不是质数，直接判断很难；把它拆成互质的 $5$ 与 $9$，就能各用一套现成的判别法。被 $5$ 只允许末位是 $0$ 或 $5$，把问题分成两支；每支中末位已定，数字和只剩一个未知数，用被 $9$ 一解即得。
方法概述：把 $45$ 拆成 $5\times9$，先用被 $5$ 分类，再用数字和定另一位。
规范步骤：
  1. 转化条件：总工资 $=$ 每人工资 $\times45$，故 $\overline{67\square8\square}$ 能被 $45$ 整除（倍数关系）
  2. 拆分 $45$：$45=5\times9$，且 $5$ 与 $9$ 互质（合数拆分）
  3. 被 $5$ 分类：末位为 $0$ 或 $5$（被 $5$ 整除的特征）
  4. 末位为 $0$：$6+7+\square+8+0=21+\square$ 被 $9$ 整除，$\square=6$，得 $67680$（被 $9$ 整除的特征）
  5. 末位为 $5$：$6+7+\square+8+5=26+\square$ 被 $9$ 整除，$\square=1$，得 $67185$（被 $9$ 整除的特征）
  6. 写出答案：$67680$ 元或 $67185$ 元
第一套
题目：$45$ 名工人每人工资相同且都是整数元，总工资的记录只剩下 $\overline{83\square4\square}$。总工资可能是多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化并拆分）：总工资能被 $45$ 整除，而 $45=5\times\underline{\quad}$，$5$ 与 $9$ 互质，可分别判断。
  2. 第 2 步（被 $5$ 分类）：末位只能是 $0$ 或 $5$。
  3. 第 3 步（末位为 $0$）：数字和为 $8+3+\square+4+0=\underline{\quad}+\square$，是 $9$ 的倍数只能取 $18$，$\square=18-15=\underline{\quad}$，总工资为 $83340$ 元。
  4. 第 4 步（末位为 $5$）：数字和为 $8+3+\square+4+5=\underline{\quad}+\square$，是 $9$ 的倍数只能取 $27$，$\square=27-20=\underline{\quad}$，总工资为 $83745$ 元。
  5. 第 5 步（验算）：$83340\div45=\underline{\quad}$，$83745\div45=\underline{\quad}$。
第二套
题目：学校为 $45$ 个班订购同样多的图书，总册数记在一张被撕坏的单据上，只剩 $\overline{67\square8\square}$。总册数可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化并拆分）：总册数能被 $45$ 整除，$45=5\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（末位为 $0$）：数字和 $6+7+\square+8+0=\underline{\quad}+\square$ 要是 $9$ 的倍数，$\square=27-21=\underline{\quad}$，得 $67680$。
  3. 第 3 步（末位为 $5$）：数字和 $6+7+\square+8+5=\underline{\quad}+\square$ 要是 $9$ 的倍数，$\square=27-26=\underline{\quad}$，得 $67185$。
  4. 第 4 步（验算）：$67680\div45=\underline{\quad}$，$67185\div45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：五位数 $\overline{4\square365}$ 能被 $45$ 整除，求出所有满足要求的五位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $5$）：末位是 $5$，条件已满足。
  2. 第 2 步（被 $9$）：数字和为 $4+\square+3+6+5=\underline{\quad}+\square$，要是 $9$ 的倍数。
  3. 第 3 步（取值）：$18+\square$ 在 $18$ 与 $27$ 之间，可取 $18$ 或 $27$，即 $\square=0$ 或 $\square=27-18=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：$40365\div45=\underline{\quad}$，$49365\div45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$45$ 名工人每人工资相同且都是整数元，总工资记录只剩 $\overline{83\square4\square}$。已知每名工人的工资是偶数元，总工资是多少？每人工资是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求候选）：由被 $45$ 整除可得两个候选：$83340$ 与 $83745$（做法同前）。
  2. 第 2 步（用偶数条件）：每人工资是偶数，则总工资 $=45\times$ 偶数 也是偶数，所以总工资末位必须是偶数，$83745$ 是奇数被排除。
  3. 第 3 步（求每人工资）：总工资为 $83340$ 元，每人 $83340\div45=\underline{\quad}$（元），它确实是偶数（$1852\div2=\underline{\quad}$）。
  4. 第 4 步（验算）：$45\times1852=\underline{\quad}$，与总工资一致。
14. 【原题 ch02-tuozhan-06】六位数 $\overline{\square2008\square}$ 能同时被 9 和 11 整除。这个六位数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「同时被 $9$ 和 $11$ 整除」类：因为 $9$ 与 $11$ 互质，等价于被 $99$ 整除，而判断被 $99$ 整除有专门的两位截断法。
关键切入点：关键是 $100$ 除以 $99$ 余 $1$，所以把一个数从右往左每两位分成一段后，各段之和与原数被 $99$ 除的余数相同。于是 $\overline{A2008B}$ 被 $99$ 整除等价于 $\overline{A2}+00+\overline{8B}$ 是 $99$ 的倍数；由取值范围可知这个和只能恰好是 $99$。
方法概述：把被 $9$、$11$ 合并成被 $99$，用两位截断法求和后夹逼定值。
规范步骤：
  1. 合并条件：$9$ 与 $11$ 互质，同时被 $9,11$ 整除即被 $99$ 整除（互质合并）
  2. 两位截断：$\overline{A2008B}\to \overline{A2}+00+\overline{8B}$（$100\div99$ 余 $1$）
  3. 夹逼定值：$12\le\overline{A2}\le92$，$80\le\overline{8B}\le89$，和在 $92\sim181$ 之间，只能等于 $99$（范围分析）
  4. 解出数字：$\overline{A2}+\overline{8B}=99$，末位 $2+B$ 进位得 $9$ 需 $B=7$，则 $\overline{A2}=99-87=12$，$A=1$（逐位确定）
  5. 验算：$120087\div99=1213$
第一套
题目：六位数 $\overline{\square3005\square}$ 能同时被 $9$ 和 $11$ 整除。这个六位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并条件）：$9$ 与 $11$ 互质，所以这个数能被 $9\times11=\underline{\quad}$ 整除。
  2. 第 2 步（两位截断）：从右往左每两位一段，得 $\overline{a3}$、$00$、$\overline{5b}$，它们的和要是 $99$ 的倍数。
  3. 第 3 步（夹逼）：$\overline{a3}$ 在 $13\sim93$ 之间，$\overline{5b}$ 在 $50\sim59$ 之间，和在 $63$ 与 $152$ 之间，所以和只能是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（逐位定数）：$\overline{a3}+\overline{5b}=99$，个位 $3+b$ 要等于 $9$，故 $b=9-3=\underline{\quad}$；于是 $\overline{a3}=99-56=\underline{\quad}$，$a=4$。
  5. 第 5 步（验算）：六位数为 $430056$，$430056\div99=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一张彩票的号码是六位数 $\overline{\square2008\square}$，首尾两位被涂掉了。已知号码能同时被 $9$ 和 $11$ 整除，求这个号码。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并条件）：$9$ 与 $11$ 互质，号码能被 $9\times11=\underline{\quad}$ 整除。
  2. 第 2 步（两位截断）：分成 $\overline{a2}$、$00$、$\overline{8b}$，三段之和要是 $99$ 的倍数。
  3. 第 3 步（夹逼）：$\overline{a2}$ 在 $12\sim92$、$\overline{8b}$ 在 $80\sim89$ 之间，和在 $92\sim181$ 之间，只能是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（定数）：个位 $2+b=9$ 得 $b=\underline{\quad}$，$\overline{a2}=99-87=\underline{\quad}$，$a=1$。
  5. 第 5 步（验算）：号码为 $120087$，$120087\div99=\underline{\quad}$。
第三套
题目：六位数 $\overline{\square4007\square}$ 能同时被 $9$ 和 $11$ 整除。这个六位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并）：两个条件合并为被 $\underline{\quad}$ 整除。
  2. 第 2 步（两位截断）：分成 $\overline{a4}$、$00$、$\overline{7b}$，和要是 $99$ 的倍数。
  3. 第 3 步（夹逼）：$\overline{a4}$ 在 $14\sim94$、$\overline{7b}$ 在 $70\sim79$ 之间，和在 $84\sim173$ 之间，只能是 $99$。
  4. 第 4 步（定数）：个位 $4+b=9$ 得 $b=\underline{\quad}$，$\overline{a4}=99-75=\underline{\quad}$，所以 $a=2$。
  5. 第 5 步（验算）：六位数为 $240075$，$240075\div99=\underline{\quad}$。
第三套
题目：六位数 $\overline{\square3005\square}$ 能同时被 $9$ 和 $11$ 整除。求这个六位数，它除以 $99$ 的商是多少？这个商能被 $4$ 整除吗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求六位数）：由两位截断法得 $\overline{a3}+00+\overline{5b}=99$，解得 $b=6$、$a=4$，六位数为 $430056$。
  2. 第 2 步（求商）：$430056\div99=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（判断商被 $4$）：商是 $4344$，只看末两位，$44\div4=\underline{\quad}$，所以商能被 $4$ 整除，$4344\div4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（顺带验算）：$430056\div4=\underline{\quad}$，说明原数也能被 $4$ 整除。
15. 【原题 ch02-tuozhan-07】请从 $1,2,3,4,5,6,7$ 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它是 99 的倍数。这个五位数最大是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「选数字组成倍数的最值」类：被 $99$ 整除拆成被 $9$（定数字和）与被 $11$（定奇偶位和），先定「选哪 $5$ 个数字」，再定「怎么排」。
关键切入点：第一层用被 $9$：$5$ 个数字之和在 $15\sim25$ 之间，只能是 $18$，于是要从 $7$ 个数中去掉和为 $28-18=10$ 的两个数。第二层用被 $11$：奇偶位和相加为 $18$、相差为 $11$ 的倍数，只能都等于 $9$。最后为求最大，把大数字放到高位。
方法概述：被 $9$ 定数字总和 → 定出被删的两数 → 被 $11$ 定奇偶位分组 → 大数放高位。
规范步骤：
  1. 被 $9$ 定和：$5$ 数之和在 $15\sim25$ 之间且是 $9$ 的倍数，只能是 $18$（被 $9$ 整除的特征）
  2. 定被删的两数：$1+2+\cdots+7=28$，删去两数之和为 $28-18=10$，即删 $\{3,7\}$ 或 $\{4,6\}$（和差分析）
  3. 被 $11$ 定分组：奇位和 $+$ 偶位和 $=18$、差为 $11$ 的倍数，只能同为 $9$（被 $11$ 整除的特征）
  4. 情况一：剩 $1,2,4,5,6$：奇数位 $\{1,2,6\}$、偶数位 $\{4,5\}$，最大为 $65241$（最值排列）
  5. 情况二：剩 $1,2,3,5,7$：奇数位 $\{1,3,5\}$、偶数位 $\{2,7\}$，最大为 $57321$（最值排列）
  6. 比较：$65241>57321$
第一套
题目：从 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 这 $8$ 个数字中选出 $5$ 个组成一个五位数（数字不重复），使它是 $99$ 的倍数。这个五位数最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $9$ 定和）：选出的 $5$ 个数字之和最小是 $1+2+3+4+5=\underline{\quad}$，最大是 $4+5+6+7+8=\underline{\quad}$，其中是 $9$ 的倍数的只有 $18$ 与 $27$。要数最大，先试和为 $27$。
  2. 第 2 步（定删去的三个数）：$1+2+\cdots+8=\underline{\quad}$，和为 $27$ 就要删去和为 $36-27=\underline{\quad}$ 的三个数：$\{1,2,6\},\{1,3,5\},\{2,3,4\}$。
  3. 第 3 步（被 $11$ 定分组）：奇位和 $+$ 偶位和 $=27$ 是奇数，所以两者之差是奇数，只能是 $11$，于是奇位和 $=(27+11)\div2=\underline{\quad}$，偶位和 $=27-19=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（挑最大）：剩下 $\{1,5,6,7,8\}$ 时，偶数位取和为 $8$ 的 $\{1,7\}$，奇数位为 $\{5,6,8\}$，把大数放高位得 $87615$；另两组分别只能得到 $86724$ 与 $85734$，都更小。
  5. 第 5 步（验算）：$87615\div99=\underline{\quad}$。
第二套
题目：运动会颁奖牌上要刻一个五位编号，编号的数字从 $1,2,3,4,5,6,7$ 中选 $5$ 个且不重复，并且要求编号是 $99$ 的倍数。这个编号最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $9$ 定和）：$5$ 个数字之和最小 $1+2+3+4+5=\underline{\quad}$，最大 $3+4+5+6+7=\underline{\quad}$，是 $9$ 的倍数只能是 $18$。
  2. 第 2 步（定删去的两数）：$1+2+\cdots+7=\underline{\quad}$，删去两数之和为 $28-18=\underline{\quad}$，即删 $\{3,7\}$ 或 $\{4,6\}$。
  3. 第 3 步（被 $11$ 定分组）：奇位和与偶位和相加为 $18$、相差为 $11$ 的倍数，只能都等于 $18\div2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（挑最大）：剩 $\{1,2,4,5,6\}$ 时得 $65241$；剩 $\{1,2,3,5,7\}$ 时得 $57321$，取较大者。
  5. 第 5 步（验算）：$65241\div99=\underline{\quad}$。
第三套
题目：从 $1,2,3,4,5,6,7$ 中选出 $5$ 个数字组成一个五位数（数字不重复），使它是 $99$ 的倍数。这个五位数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定和与删数）：与求最大时一样，$5$ 个数字之和只能是 $18$，删去的两数之和为 $28-18=\underline{\quad}$，即删 $\{3,7\}$ 或 $\{4,6\}$。
  2. 第 2 步（定分组）：奇位和与偶位和都等于 $18\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（挑最小）：要最小就把小数字放高位。剩 $\{1,2,3,5,7\}$ 时，万位取 $1$、千位取 $2$，可排出 $12375$；剩 $\{1,2,4,5,6\}$ 时最小只能排出 $14256$，更大。
  4. 第 4 步（验算）：$12375\div99=\underline{\quad}$，奇位和 $5+3+1=\underline{\quad}$、偶位和 $7+2=\underline{\quad}$ 确实相等。
第三套
题目：从 $1,2,3,4,5,6,7$ 中选出 $5$ 个数字组成一个五位偶数（数字不重复），使它是 $99$ 的倍数。这个五位偶数最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同前两层）：数字和只能是 $18$，奇位和与偶位和都等于 $\underline{\quad}$，可选数字组为 $\{1,2,4,5,6\}$ 或 $\{1,2,3,5,7\}$。
  2. 第 2 步（加偶数条件）：个位必须是偶数。先看数字组 $\{1,2,3,5,7\}$：其中唯一的偶数是 $2$，个位只能放 $2$；而个位属于奇数位，奇数位三数之和要等于 $9$，于是另两个奇数位数字之和应为 $9-2=\underline{\quad}$，但从剩下的 $\{1,3,5,7\}$ 里任取两数之和都不等于 $7$，这组排不出符合条件的数，所以主要看 $\{1,2,4,5,6\}$。
  3. 第 3 步（$\{1,2,4,5,6\}$ 排最大）：奇数位是 $\{1,2,6\}$、偶数位是 $\{4,5\}$。个位取偶数，只能取 $2$（若取 $6$，万位只剩 $1$ 或 $2$ 太小）。万位取 $6$、百位取 $1$，千位取 $5$、十位取 $4$，得 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：$65142\div99=\underline{\quad}$，个位 $2$ 是偶数。
16. 【原题 ch02-tuozhan-08】卡莉娅写了一个两位数 59，墨莫写了一个两位数 89，他们让小高写一个一位数放在 59 与 89 之间拼成一个五位数 $\overline{59\square89}$，使得这个五位数能被 7 整除。请问：小高写的数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「被 $7$ 整除的补漏」类：中间一位未知，用三位截断法把五位数变小，再逐个试出唯一的数字。
关键切入点：被 $7$ 整除没有像 $3,9,11$ 那样简单的数字和判据，但可以用 $1001=7\times11\times13$ 做三位截断：$\overline{59\square89}$ 的截断值为 $\overline{\square89}-59$，范围只有三位数，试算量很小。也可以直接对 $10$ 个候选五位数试除。
方法概述：三位截断把数变小，再逐个试除定出唯一数字。
规范步骤：
  1. 三位截断：$\overline{59\square89}\to \overline{\square89}-59$（$1001=7\times11\times13$）
  2. 逐个试：$\square=6$ 时 $689-59=630$，$630\div7=90$，能整除（试算）
  3. 验算：$59689=7\times8527$
  4. 写出答案：小高写的数是 $6$
第一套
题目：在 $47$ 与 $63$ 之间写一个一位数，拼成五位数 $\overline{47\square63}$，使它能被 $7$ 整除。这个一位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三位截断）：从右往左每三位一段，$\overline{47\square63}$ 化为 $\overline{\square63}-47$。
  2. 第 2 步（逐个试）：$\square=6$ 时，$663-47=\underline{\quad}$，而 $616\div7=\underline{\quad}$ 恰好整除，其余取值都除不尽。
  3. 第 3 步（还原验算）：五位数为 $47663$，$47663\div7=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一张门票号码形如 $\overline{59\square89}$，中间一位由工作人员填写。要使号码能被 $7$ 整除，中间应填哪个数字？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三位截断）：号码化为 $\overline{\square89}-59$。
  2. 第 2 步（逐个试）：填 $6$ 时 $689-59=\underline{\quad}$，$630\div7=\underline{\quad}$ 能整除。
  3. 第 3 步（验算）：号码为 $59689$，$59689\div7=\underline{\quad}$。
第三套
题目：五位数 $\overline{47\square63}$ 能被 $13$ 整除，中间的一位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三位截断）：$1001=7\times11\times13$，所以对 $13$ 同样可用截断，$\overline{47\square63}\to\overline{\square63}-47$。
  2. 第 2 步（逐个试）：$\square=4$ 时 $463-47=\underline{\quad}$，$416\div13=\underline{\quad}$ 恰好整除。
  3. 第 3 步（验算）：五位数为 $47463$，$47463\div13=\underline{\quad}$。
第三套
题目：六位数 $\overline{59\square\square89}$ 能同时被 $7$ 和 $13$ 整除，求这个六位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并条件）：$7$ 与 $13$ 互质，所以这个数能被 $7\times13=\underline{\quad}$ 整除。
  2. 第 2 步（三位截断）：从右往左每三位一段，得 $\overline{\square89}-\overline{59\square}$，它要是 $91$ 的倍数。
  3. 第 3 步（试算）：当两个方框依次填 $8,6$ 时，截断值为 $689-598=\underline{\quad}$，恰好就是 $91$ 本身，符合要求。
  4. 第 4 步（验算）：六位数为 $598689$，$598689\div91=\underline{\quad}$，$598689\div7=\underline{\quad}$，$598689\div13=\underline{\quad}$。
17. 【原题 ch02-tuozhan-09】已知 51 位数 $\underbrace{55\cdots5}_{25\text{个}5}\square\underbrace{99\cdots9}_{25\text{个}9}$ 能被 13 整除，中间方格内的数字是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「超长数字串化简」类：$51$ 位数没法直接算，要利用 $999999$、$555555$ 都能被 $13$ 整除，成段地把数「削短」。
关键切入点：关键是 $999999=13\times76923$、$555555=13\times42735$，而在一个数的末尾去掉 $999999$（或在首部去掉 $555555\underbrace{0\cdots0}_{k}$）都不改变它被 $13$ 整除的性质。每削一次就少 $6$ 位，$25$ 个 $9$ 削去 $24$ 个、$25$ 个 $5$ 削去 $24$ 个，最后只剩三位数 $\overline{5\square9}$。
方法概述：反复整段削去 $999999$ 与 $555555$，把 $51$ 位数化为三位数再枚举。
规范步骤：
  1. 找可削去的整段：$999999\div13=76923$，$555555\div13=42735$（整除性质）
  2. 削去末尾的 $9$：$25$ 个 $9$ 每次去掉 $6$ 个，去掉 $24$ 个后只剩 $1$ 个 $9$（和差整除性）
  3. 削去开头的 $5$：$25$ 个 $5$ 每次去掉 $6$ 个，去掉 $24$ 个后只剩 $1$ 个 $5$（和差整除性）
  4. 枚举三位数：$\overline{5\square9}$ 被 $13$ 整除，$559\div13=43$，故 $\square=5$（枚举）
  5. 写出答案：方格内的数字是 $5$
第一套
题目：已知 $51$ 位数 $\underbrace{11\cdots1}_{25\text{个}1}\square\underbrace{99\cdots9}_{25\text{个}9}$ 能被 $13$ 整除，中间方格内的数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找整段）：$999999\div13=\underline{\quad}$，$111111\div13=\underline{\quad}$，两段都能被 $13$ 整除，可以整段削去。
  2. 第 2 步（削短）：末尾 $25$ 个 $9$ 每次削去 $6$ 个，削 $4$ 次共削 $6\times4=\underline{\quad}$ 个，剩 $25-24=\underline{\quad}$ 个；开头 $25$ 个 $1$ 同样剩 $1$ 个。
  3. 第 3 步（枚举三位数）：剩下 $\overline{1\square9}$ 要能被 $13$ 整除，试算得 $169\div13=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作答）：所以方格内的数字是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：一台机器打印出一串 $51$ 位的检验号：先打 $25$ 个 $5$，再打一个看不清的数字，最后打 $25$ 个 $9$。已知检验号能被 $13$ 整除，看不清的数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找整段）：$999999\div13=\underline{\quad}$，$555555\div13=\underline{\quad}$，都能整段削去。
  2. 第 2 步（削短）：两端各削去 $6\times4=\underline{\quad}$ 个数字，各剩 $25-24=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（枚举）：剩下 $\overline{5\square9}$ 被 $13$ 整除，$559\div13=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作答）：看不清的数字是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $51$ 位数 $\underbrace{55\cdots5}_{25\text{个}5}\square\underbrace{99\cdots9}_{25\text{个}9}$ 能被 $7$ 整除，中间方格内的数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找整段）：$999999\div7=\underline{\quad}$，$555555\div7=\underline{\quad}$，两段都能被 $7$ 整除。
  2. 第 2 步（削短）：两端各削去 $24$ 个数字后只剩 $\overline{5\square9}$。
  3. 第 3 步（枚举）：$\overline{5\square9}$ 要被 $7$ 整除，$539\div7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作答）：方格内的数字是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $51$ 位数 $\underbrace{55\cdots5}_{25\text{个}5}\square\underbrace{99\cdots9}_{25\text{个}9}$ 能同时被 $7$ 和 $11$ 整除，中间方格内的数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并条件）：$7$ 与 $11$ 互质，所以这个数能被 $7\times11=\underline{\quad}$ 整除。
  2. 第 2 步（找整段）：$999999\div77=\underline{\quad}$，$555555\div77=\underline{\quad}$，两段都能被 $77$ 整除，可整段削去。
  3. 第 3 步（削短并枚举）：两端各削去 $24$ 个数字后剩 $\overline{5\square9}$，要被 $77$ 整除，$539\div77=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作答）：方格内的数字是 $\underline{\quad}$。
18. 【原题 ch02-tuozhan-10】（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字 0。如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数，它的各位数字之和为 13，如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「被 $11$ 整除的最值构造」类：从位数最少、最高位最小开始试，用奇偶位和的关系判断能否办到。
关键切入点：（1）两位的 $11$ 的倍数十位与个位相同，与「数字互不相同」矛盾，所以至少三位；三位含 $0$ 分两种放法，$\overline{ab0}$ 会逼出 $a=b$，只能是 $\overline{a0b}$，此时 $a+b=11$，最小取 $a=2,b=9$。（2）奇偶位和相加为 $13$（奇数），故两者之差也是奇数，只能是 $11$，于是两个和分别是 $12$ 与 $1$。
方法概述：先定位数下界，再让高位尽量小，用奇偶位和之差定数字。
规范步骤：
  1. （1）排除两位数：两位的 $11$ 的倍数形如 $\overline{aa}$，数字重复（被 $11$ 整除的特征）
  2. （1）三位数分类：$\overline{ab0}$ 需 $a=b$ 不合题意；$\overline{a0b}$ 需 $a+b=11$（分类讨论）
  3. （1）取最小：$a$ 尽量小：$a=2,b=9$，得 $209=11\times19$（最值分析）
  4. （2）用奇偶性定两个和：$a+b=13$ 为奇数，则奇偶位和之差 $a-b$ 也是奇数且不超过 $13$，只能为 $\pm11$，于是奇位和与偶位和分别是 $12$ 与 $1$（奇偶性分析）
  5. （2）落到三位数上：把三位数记作 $\overline{a c b}$（百位 $a$、十位 $c$、个位 $b$）：奇数位是个位与百位，和 $a+b=12$；偶数位只有十位，即 $c=1$（分组求和）
  6. （2）取最小：要三位数最小先让百位 $a$ 最小；由 $a+b=12$ 且 $b\le9$ 得 $a\ge3$，取 $a=3,\ b=9,\ c=1$，得最小数 $319=11\times29$（最值分析）
第一套
题目：一个多位数各位数字之和为 $20$，且能被 $11$ 整除。这个多位数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用奇偶性判断差）：设奇数位数字之和为 $a$、偶数位数字之和为 $b$，则 $a+b=\underline{\quad}$ 是偶数，所以 $a-b$ 也是偶数；它又要是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，即 $a=b=20\div2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（排除三位数）：三位数时偶数位只有一个数字，它要等于 $10$，不可能，所以至少是四位数。
  3. 第 3 步（四位数取最小）：四位数的奇数位是个位与百位，偶数位是十位与千位，两组和都要是 $10$。要最小，千位取 $1$，则十位取 $10-1=\underline{\quad}$；再让百位取 $1$，个位取 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：这个数是 $1199$，$1199\div11=\underline{\quad}$，数字和 $1+1+9+9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某储蓄卡的密码是一个多位数，各位数字之和为 $13$，并且这个数能被 $11$ 整除。这样的密码最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用奇偶性）：设奇数位和为 $a$、偶数位和为 $b$，$a+b=\underline{\quad}$ 是奇数，所以 $a-b$ 也是奇数；它是 $11$ 的倍数且不超过 $13$，只能是 $\pm11$。
  2. 第 2 步（求两个和）：由 $a+b=13$、$a-b=11$ 得 $a=(13+11)\div2=\underline{\quad}$，$b=13-12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取最小）：位数越少越小，三位数时偶数位只有十位，取 $b=1$；奇数位是百位与个位，和为 $12$，要最小百位取 $3$、个位取 $12-3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：这个数是 $319$，$319\div11=\underline{\quad}$，数字和 $3+1+9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个多位数（两位及两位以上）各位数字互不相同，并且含有数字 $5$。如果它能被 $11$ 整除，那么这个多位数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（排除两位数）：两位的 $11$ 的倍数是 $11,22,\cdots,99$，十位与个位相同，与「互不相同」矛盾，所以至少三位。
  2. 第 2 步（从小到大找三位数）：三位的 $11$ 的倍数依次是 $110,121,132,143,154,\cdots$，前四个要么有重复数字、要么不含 $5$。
  3. 第 3 步（锁定）：$154$ 的三个数字 $1,5,4$ 互不相同且含 $5$，$154\div11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算奇偶位差）：$(4+1)-5=\underline{\quad}$，能被 $11$ 整除。
第三套
题目：一个多位数各位数字之和为 $24$，且能被 $11$ 整除。这个多位数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定两个和）：奇数位和 $a$ 与偶数位和 $b$ 满足 $a+b=\underline{\quad}$ 为偶数，故 $a-b$ 为偶数且是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，所以 $a=b=24\div2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（排除三位数）：三位数时偶数位只有十位一个数字，要等于 $12$，不可能，所以至少四位。
  3. 第 3 步（四位数取最小）：千位与十位同属偶数位、和为 $12$，千位尽量小取 $3$，十位取 $12-3=\underline{\quad}$；百位与个位同属奇数位、和为 $12$，百位尽量小取 $3$，个位取 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：这个数是 $3399$，$3399\div11=\underline{\quad}$，数字和 $3+3+9+9=\underline{\quad}$。
19. 【原题 ch02-tuozhan-11】用数字 $6,7,8$ 各两个，要组成能同时被 $6,7,8$ 整除的六位数。请写出一个满足要求的六位数。
详细思路
是哪类问题：这是「整除构造」类：要一次满足被 $6,7,8$ 整除，靠的是认出 $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times1001$ 这个能被 $7$ 整除的现成结构。
关键切入点：被 $7$ 整除最难凑，所以先解决它：把六个数字排成 $\overline{abcabc}$，由 $1001=7\times11\times13$ 自动被 $7$ 整除。被 $6$ 只要末位是偶数（数字和 $6+6+7+7+8+8=42$ 已是 $3$ 的倍数）；被 $8$ 只看末三位 $\overline{abc}$，试出 $768\div8=96$ 即可。
方法概述：先用 $\overline{abcabc}$ 结构保证被 $7$ 整除，再用末三位调出被 $8$，最后检查被 $6$。
规范步骤：
  1. 算数字和：$6+6+7+7+8+8=42$ 是 $3$ 的倍数（被 $3$ 整除的特征）
  2. 用 $abcabc$ 结构：$\overline{abcabc}=\overline{abc}\times1001$，$1001=7\times11\times13$（被 $7$ 整除）
  3. 调末三位被 $8$：$768\div8=96$（被 $8$ 整除的特征）
  4. 检查被 $6$：末位 $8$ 是偶数，数字和 $42$ 是 $3$ 的倍数（被 $6$ 整除）
  5. 写出答案：$768768=768\times1001$
第一套
题目：用数字 $2,4,6$ 各两个，组成一个能同时被 $6,7,8$ 整除的六位数。请写出一个满足要求的六位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先看被 $3$）：六个数字之和为 $2+2+4+4+6+6=\underline{\quad}$，是 $3$ 的倍数，所以只要末位是偶数就能被 $6$ 整除。
  2. 第 2 步（用结构保证被 $7$）：把数排成 $\overline{abcabc}$ 的形式，因为 $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times\underline{\quad}$，而 $1001=7\times11\times13$。
  3. 第 3 步（调末三位被 $8$）：只看 $\overline{abc}$，试出 $264\div8=\underline{\quad}$，所以取 $\overline{abc}=264$。
  4. 第 4 步（写出并验算）：六位数为 $264\times1001=\underline{\quad}$，且 $264264\div7=\underline{\quad}$，$264264\div6=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某公司要选一个六位数作为热线号码，号码要用数字 $6,7,8$ 各两个组成，并且能同时被 $6,7,8$ 整除。请写出一个满足要求的号码。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $3$）：数字和为 $6+6+7+7+8+8=\underline{\quad}$，是 $3$ 的倍数。
  2. 第 2 步（被 $7$）：排成 $\overline{abcabc}$，它等于 $\overline{abc}\times\underline{\quad}$，一定能被 $7$ 整除。
  3. 第 3 步（被 $8$）：末三位 $768\div8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出并验算）：号码为 $768\times1001=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用数字 $6,7,8$ 各两个，组成一个能同时被 $6,7,11,13$ 整除的六位数。请写出一个满足要求的六位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并三个条件）：$7\times11\times13=\underline{\quad}$，所以只要这个数是 $1001$ 的倍数，就同时被 $7,11,13$ 整除。
  2. 第 2 步（用结构）：把数排成 $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times1001$ 即可。
  3. 第 3 步（被 $6$）：数字和 $42$ 是 $3$ 的倍数，只要末位为偶数；取 $\overline{abc}=678$，末位 $8$ 是偶数。
  4. 第 4 步（写出并验算）：六位数为 $678\times1001=\underline{\quad}$，$678678\div1001=\underline{\quad}$，$678678\div6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用数字 $2,4,6$ 各两个组成能同时被 $6,7,8$ 整除的六位数，这样的六位数最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定被 $8$ 与被 $6$）：末位必须是偶数（三个数字都是偶数，自动满足），末三位还要能被 $8$ 整除。
  2. 第 2 步（尽量把大数放前面）：要最大，先试最高两位都取 $6$，即 $\overline{66\square\square\square\square}$，剩下的数字是 $2,2,4,4$。
  3. 第 3 步（试末三位）：末三位由剩下的数字组成，$424\div8=\underline{\quad}$ 能整除，于是六位数为 $662424$；再验证被 $7$：$662424\div7=\underline{\quad}$，整除。
  4. 第 4 步（验算全部条件）：$662424\div6=\underline{\quad}$，$662424\div8=\underline{\quad}$，所以最大是 $662424$。
20. 【原题 ch02-tuozhan-12】墨莫和小高玩一个数字游戏。墨莫先给一个三位数的百位与个位填好，然后小高来填写这张纸条的数字于三位数的十位。如果最后这个三位数能被 11 整除，那么小高获胜，否则墨莫获胜。墨莫想了一会，想到了一个必胜的办法。请问：墨莫想到的办法是什么？
详细思路
是哪类问题：这是「整除特征 + 博弈策略」类：谁能控制「奇数位和与偶数位和之差」，谁就能决定这个三位数能否被 $11$ 整除。
关键切入点：关键是看清双方各控制哪些位：墨莫填的百位和个位都是奇数位，小高填的十位是偶数位。设墨莫两数之和为 $S$，小高填 $x$，则差为 $S-x$。若 $0\le S\le9$，小高填 $x=S$ 使差为 $0$；若 $11\le S\le18$，小高填 $x=S-11$ 使差为 $11$。唯独 $S=10$ 时，$S-x=10-x$ 在 $1\sim10$ 之间，永远不是 $11$ 的倍数。
方法概述：把胜负化为「差能否被 $11$ 整除」，再找出小高无法补救的那个和。
规范步骤：
  1. 判断谁控制哪些位：百位、个位是奇数位（墨莫），十位是偶数位（小高）（被 $11$ 整除的特征）
  2. 写出差：差 $=S-x$，其中 $S$ 为墨莫两数之和，$x$ 为小高所填（作差）
  3. 小高能赢的情形：$S\le9$ 时取 $x=S$ 得差 $0$；$S\ge11$ 时取 $x=S-11$ 得差 $11$（分类讨论）
  4. 找必胜和：$S=10$ 时 $10-x$ 取值 $1\sim10$，都不是 $11$ 的倍数（反证）
  5. 写出策略：墨莫使百位与个位之和为 $10$，必胜
21. 【原题 ch02-tuozhan-13】对于一个自然数 $N$，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被 $N+1$ 整除。请问：一共有多少个不大于 10 的破坏数？
详细思路
是哪类问题：这是「整除概念 + 分类论证」类：要判断把 $N$ 接在任意自然数右端后，新数能否被 $N+1$ 整除，需要对 $N$ 分奇偶讨论并举反例。
关键切入点：关键在于末位决定的整除性：$N$ 是奇数时，新数末位是奇数（个位为 $N$ 的个位），而 $N+1$ 是偶数，偶数不可能整除奇数，所以所有奇数都是破坏数；$N$ 是偶数时只需各举一个反例即可否定，$12\div3,\ 56\div7,\ 18\div9,\ 110\div11$ 都能整除，说明 $2,6,8,10$ 都不是；而末位是 $4$ 的数永远不是 $5$ 的倍数，所以 $4$ 是破坏数。
方法概述：奇数用奇偶性一网打尽，偶数逐个举反例或用末位说明。
规范步骤：
  1. 奇数全是破坏数：$N$ 为奇数时新数为奇数，$N+1$ 为偶数，不能整除，故 $1,3,5,7,9$ 都是（奇偶性分析）
  2. $4$ 是破坏数：末位为 $4$ 的数都不是 $5$ 的倍数（末位与整除）
  3. 举反例排除 $2,6,8,10$：$12\div3=4,\ 56\div7=8,\ 18\div9=2,\ 110\div11=10$（举反例）
  4. 计数：$1,3,4,5,7,9$ 共 $6$ 个
22. 【原题 ch02-tuozhan-14】一个五位数，它的末三位为 999。如果这个数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「整除与乘法竖式（数字谜）」类：把「能被 $23$ 整除」写成 $23\times$ 乘数 $=$ 目标数，再从末位往前逐位定出乘数。
关键切入点：关键是用末位分析定乘数的每一位：积的个位是 $9$，而 $23$ 的个位是 $3$，$3\times3=9$ 定出乘数个位是 $3$；再看十位、百位依次定出 $1$、$9$。要五位数最小，乘数就要最小，于是乘数取 $913$。
方法概述：列竖式 $23\times\overline{\square\square\square}=\overline{\square\square999}$，从个位起逐位定乘数。
规范步骤：
  1. 定乘数个位：$3\times3=9$，个位为 $3$，$23\times3=69$（末位分析）
  2. 定乘数十位：要使十位为 $9$，取 $1$：$23\times13=299$（逐位确定）
  3. 定乘数百位：要使百位为 $9$ 且积为五位数并尽量小，取 $9$：$23\times913=20999$（最值分析）
  4. 验算：$20999\div23=913$，末三位为 $999$
第一套
题目：一个五位数的末三位是 $888$。如果这个数能被 $29$ 整除，那么这个五位数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列竖式）：设这个数为 $29\times n$，要求积的末三位是 $888$。
  2. 第 2 步（定乘数个位）：$29$ 的个位是 $9$，只有 $9\times2$ 的个位是 $8$，所以 $n$ 的个位是 $2$，$29\times2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（定乘数十位）：试 $\overline{\square2}$，$29\times72=\underline{\quad}$，末两位是 $88$，所以十位是 $7$。
  4. 第 4 步（定乘数百位）：试 $\overline{\square72}$，$29\times272=\underline{\quad}$，末三位是 $888$，所以 $n$ 的末三位是 $272$。
  5. 第 5 步（取最小的五位数）：$7888$ 只有四位，下一个符合的乘数是 $1272$，$29\times1272=\underline{\quad}$，$36888\div29=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一批零件的编号是五位数，末三位为 $999$。已知编号能被 $23$ 整除，这样的编号最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列竖式）：编号 $=23\times n$，且末三位是 $999$。
  2. 第 2 步（定个位）：$3\times3=9$，$n$ 的个位是 $3$，$23\times3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（定十位）：$23\times13=\underline{\quad}$，末两位是 $99$，十位取 $1$。
  4. 第 4 步（定百位并取最小）：$23\times913=\underline{\quad}$，末三位是 $999$，且这是最小的五位数。
  5. 第 5 步（验算）：$20999\div23=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个五位数的末三位为 $999$。如果这个数能被 $23$ 整除，那么这个五位数最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定乘数的末三位）：由末位逐位分析（个位 $3$、十位 $1$、百位 $9$）可知，乘数的末三位一定是 $913$，即乘数是 $913,1913,2913,3913,\cdots$。
  2. 第 2 步（逐个算出五位数）：$23\times913=\underline{\quad}$，$23\times1913=\underline{\quad}$，$23\times2913=\underline{\quad}$，$23\times3913=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再往上就超过五位）：$23\times4913=\underline{\quad}$ 已是六位数，所以最大的五位数是 $89999$。
  4. 第 4 步（验算）：$89999\div23=\underline{\quad}$，末三位是 $999$。
第三套
题目：一个六位数的末三位为 $999$。如果这个数能被 $23$ 整除，那么这个六位数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定乘数的末三位）：与前面一样，乘数的末三位必须是 $913$。
  2. 第 2 步（估范围）：六位数最小是 $100000$，所以乘数至少是 $100000\div23\approx4348$。
  3. 第 3 步（取最小的合格乘数）：末三位为 $913$ 且不小于 $4348$ 的最小整数是 $4913$，$23\times4913=\underline{\quad}$；而上一个乘数 $3913$ 只能得到 $23\times3913=\underline{\quad}$，还是五位数。
  4. 第 4 步（验算）：$112999\div23=\underline{\quad}$，末三位为 $999$。
23. 【原题 ch02-xingqu-01】下面有 9 个自然数：$14,\ 35,\ 80,\ 152,\ 650,\ 434,\ 4375,\ 9064,\ 24125$。在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被 2 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？（2）有哪些数能被 5 整除？哪些能被 25 整除？哪些能被 125 整除？
详细思路
是哪类问题：这是「整除特征判断」类：给一串数，用末几位的特征快速判断能否被 $2,4,8$ 和 $5,25,125$ 整除，不必真的做除法。
关键切入点：关键在于 $2,5$ 都整除 $10$；$4,25$ 都整除 $100$；$8,125$ 都整除 $1000$。所以一个数去掉末一位（末两位、末三位）后剩下的部分是 $10$（$100$、$1000$）的倍数，一定能被 $2,5$（$4,25$；$8,125$）整除，于是只要看末一位、末两位、末三位就够了。
方法概述：看末一位判断 $2,5$；看末两位判断 $4,25$；看末三位判断 $8,125$。
规范步骤：
  1. 看末一位：偶数能被 $2$ 整除：$14,80,152,650,434,9064$ 末位是偶数（$2\mid 10$）
  2. 看末两位判断 $4$：$80,52,64$ 分别有 $80\div4=20,\ 52\div4=13,\ 64\div4=16$（$4\mid 100$）
  3. 看末三位判断 $8$：$080\div8=10,\ 152\div8=19,\ 064\div8=8$（$8\mid 1000$）
  4. 看末一位判断 $5$：$35,80,650,4375,24125$ 末位是 $0$ 或 $5$（$5\mid 10$）
  5. 看末两位判断 $25$、末三位判断 $125$：$50\div25=2,\ 75\div25=3,\ 25\div25=1$；$375\div125=3,\ 125\div125=1$（$25\mid100,\ 125\mid1000$）
  6. 写出答案：$2$：$14,80,152,650,434,9064$；$4$、$8$：$80,152,9064$；$5$：$35,80,650,4375,24125$；$25$：$650,4375,24125$；$125$：$4375,24125$
第一套
题目：下面有 9 个自然数：$26,\ 45,\ 96,\ 344,\ 750,\ 826,\ 6875,\ 17032,\ 43125$。（1）哪些能被 $2$ 整除？哪些能被 $4$ 整除？哪些能被 $8$ 整除？（2）哪些能被 $5$ 整除？哪些能被 $25$ 整除？哪些能被 $125$ 整除？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $2$）：只看末一位是不是偶数，末位为 $6,6,4,0,6,2$ 的六个数入选，一共 $\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（被 $4$）：$4$ 能整除 $100$，只需看末两位。$344$ 的末两位是 $44$，$44\div4=\underline{\quad}$；$17032$ 的末两位是 $32$，$32\div4=\underline{\quad}$；而 $750$ 的末两位 $50$、$826$ 的末两位 $26$ 都不是 $4$ 的倍数。
  3. 第 3 步（被 $8$）：$8$ 能整除 $1000$，只需看末三位。$344\div8=\underline{\quad}$，$096\div8=\underline{\quad}$，$032\div8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（被 $5$）：末位是 $0$ 或 $5$ 的数入选，共 $\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（被 $25$、$125$）：看末两位与末三位，$750\div125=\underline{\quad}$，$875\div125=\underline{\quad}$，$125\div125=\underline{\quad}$。
第二套
题目：图书馆给 9 箱新书编号：$26,\ 45,\ 96,\ 344,\ 750,\ 826,\ 6875,\ 17032,\ 43125$。（1）编号能被 $2$ 整除的箱子放一楼，能被 $4$ 整除的贴蓝标，能被 $8$ 整除的贴金标，分别是哪些？（2）编号能被 $5$、$25$、$125$ 整除的分别是哪些？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一楼）：编号末位是偶数即可，末位为 $6,6,4,0,6,2$ 的共 $\underline{\quad}$ 箱。
  2. 第 2 步（蓝标）：只看末两位能否被 $4$ 整除，$44\div4=\underline{\quad}$，$32\div4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（金标）：只看末三位能否被 $8$ 整除，$096\div8=\underline{\quad}$，$344\div8=\underline{\quad}$，$032\div8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（被 $5$、$25$、$125$）：末位 $0$ 或 $5$ 的共 $\underline{\quad}$ 箱；再看末三位，$750\div125=\underline{\quad}$，$875\div125=\underline{\quad}$，$125\div125=\underline{\quad}$。
第三套
题目：对 $5$ 个数 $3000,\ 7248,\ 15625,\ 4160,\ 96500$：（1）哪些能被 $8$ 整除？（2）哪些能被 $125$ 整除？（3）哪些能同时被 $8$ 和 $125$ 整除（即能被 $1000$ 整除）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $8$）：看末三位。$000\div8=0$；$248\div8=\underline{\quad}$；$160\div8=\underline{\quad}$；$500\div8$ 除不尽；$625\div8$ 除不尽。
  2. 第 2 步（被 $125$）：仍看末三位。$000\div125=0$；$625\div125=\underline{\quad}$；$500\div125=\underline{\quad}$；$248,160$ 都不是 $125$ 的倍数。
  3. 第 3 步（被 $1000$）：既被 $8$ 又被 $125$，即末三位为 $000$，只有 $3000$，$3000\div1000=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三位数 $\overline{3\square6}$ 能被 $4$ 整除，$\square$ 可以填哪些数字？其中又能被 $8$ 整除的三位数有哪些？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $4$ 只看末两位）：末两位是 $\overline{\square6}$，逐个试：$16\div4=\underline{\quad}$，$36\div4=\underline{\quad}$，$56\div4=\underline{\quad}$，$76\div4=\underline{\quad}$，$96\div4=\underline{\quad}$，所以 $\square$ 取奇数，即 $1,3,5,7,9$。
  2. 第 2 步（被 $8$ 要看末三位）：在 $5$ 个三位数 $316,336,356,376,396$ 中逐个试除，$336\div8=\underline{\quad}$、$376\div8=\underline{\quad}$ 都能整除，而 $316,356,396$ 都除不尽，所以能被 $8$ 整除的是 $336$ 和 $376$。
  3. 第 3 步：写出答案，$\square$ 可填 $1,3,5,7,9$；能被 $8$ 整除的三位数是 $336$ 和 $376$。
24. 【原题 ch02-xingqu-02】有如下 9 个三位数：$452,\ 387,\ 228,\ 975,\ 525,\ 882,\ 715,\ 775,\ 837$。这些数中哪些能被 3 整除？哪些能被 9 整除？哪些能同时被 2 和 3 整除？
详细思路
是哪类问题：这是「整除特征判断」类：判断能否被 $3$、$9$ 整除，看各位数字之和；再叠加偶数条件判断能否同时被 $2$ 和 $3$ 整除。
关键切入点：$10,100,1000$ 除以 $9$ 都余 $1$，所以一个数减去它的各位数字之和一定是 $9$ 的倍数。因此该数能被 $9$（或 $3$）整除，当且仅当各位数字之和能被 $9$（或 $3$）整除。同时被 $2$ 和 $3$ 整除，就是既是偶数、数字和又是 $3$ 的倍数。
方法概述：先算各位数字之和，再用和去判断 $3$ 和 $9$；同时被 $2,3$ 整除的要再看末位是否偶数。
规范步骤：
  1. 逐个求各位数字之和：$4+5+2=11,\ 3+8+7=18,\ 2+2+8=12,\ 9+7+5=21,\ 5+2+5=12,\ 8+8+2=18,\ 7+1+5=13,\ 7+7+5=19,\ 8+3+7=18$（数字和判别法）
  2. 和是 $3$ 的倍数的数能被 $3$ 整除：$18,12,21,12,18,18$ 对应 $387,228,975,525,882,837$（被 $3$ 整除的特征）
  3. 和是 $9$ 的倍数的数能被 $9$ 整除：$18$ 对应 $387,882,837$（被 $9$ 整除的特征）
  4. 在被 $3$ 整除的数中挑偶数：$228,882$（同时被 $2$ 和 $3$ 整除）
  5. 写出答案：被 $3$：$387,228,975,525,882,837$；被 $9$：$387,882,837$；同时被 $2,3$：$228,882$
第一套
题目：有如下 9 个四位数：$1452,\ 2387,\ 3228,\ 4975,\ 5526,\ 6882,\ 7715,\ 8775,\ 9837$。哪些能被 $3$ 整除？哪些能被 $9$ 整除？哪些能同时被 $2$ 和 $3$ 整除？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求数字和）：$1+4+5+2=\underline{\quad}$，$2+3+8+7=\underline{\quad}$，$3+2+2+8=\underline{\quad}$，$5+5+2+6=\underline{\quad}$，$8+7+7+5=\underline{\quad}$，$9+8+3+7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（判断被 $3$）：数字和是 $3$ 的倍数的入选，得 $1452,3228,5526,6882,8775,9837$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（判断被 $9$）：数字和是 $9$ 的倍数的才入选，$5526$ 的和 $18$、$8775$ 与 $9837$ 的和都是 $\underline{\quad}$，所以是 $5526,8775,9837$。
  4. 第 4 步（同时被 $2$、$3$）：在被 $3$ 整除的数里挑末位是偶数的，$1452\div6=\underline{\quad}$，$6882\div6=\underline{\quad}$。
第二套
题目：少年宫给 9 个社团编号：$1452,\ 2387,\ 3228,\ 4975,\ 5526,\ 6882,\ 7715,\ 8775,\ 9837$。编号能被 $3$ 整除的社团周三活动，能被 $9$ 整除的周五加练，能同时被 $2$ 和 $3$ 整除的可以借用大厅。分别是哪些社团？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：先算编号的各位数字之和，$1+4+5+2=\underline{\quad}$，$3+2+2+8=\underline{\quad}$，$5+5+2+6=\underline{\quad}$，$6+8+8+2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（周三活动）：数字和被 $3$ 整除的编号入选，共 $\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（周五加练）：数字和被 $9$ 整除的入选，$8775$ 与 $9837$ 的数字和都是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（借大厅）：被 $3$ 整除又是偶数的编号，$5526\div6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有 7 个四位数：$4113,\ 2538,\ 7452,\ 3711,\ 6084,\ 5325,\ 4116$。哪些能被 $9$ 整除？哪些能被 $6$ 整除？哪些能被 $18$ 整除？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字和）：$4+1+1+3=\underline{\quad}$，$2+5+3+8=\underline{\quad}$，$3+7+1+1=\underline{\quad}$，$5+3+2+5=\underline{\quad}$，$4+1+1+6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $9$）：数字和是 $9$ 的倍数的入选，得 $4113,2538,7452,6084$。
  3. 第 3 步（被 $6$）：$6=2\times3$，要求既是偶数、数字和又是 $3$ 的倍数，得 $2538,7452,6084,4116$，其中 $2538\div6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（被 $18$）：$18=2\times9$，即在被 $9$ 整除的数里挑偶数，$7452\div18=\underline{\quad}$，$6084\div18=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三位数 $\overline{4\square8}$ 能同时被 $9$ 和 $6$ 整除，求 $\square$ 与这个三位数，并求它除以 $18$ 的商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $9$ 的要求）：各位数字之和为 $4+\square+8=12+\square$，它要是 $9$ 的倍数；$\square$ 只能是 $0\sim9$ 的数字，故 $12+\square=\underline{\quad}$，得 $\square=18-12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $6$ 的要求）：末位 $8$ 是偶数，且数字和已是 $3$ 的倍数，所以自动满足，这个三位数是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求商）：$18=2\times9$，$468\div18=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch02-xingqu-03】有如下 4 个自然数：$2695,\ 1804,\ 1963,\ 23205$。这些数中哪些能被 11 整除？哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？
详细思路
是哪类问题：这是「被 $7,11,13$ 整除」类：位数较多时用三位截断法，把数从右往左每三位分段，再交错加减，判断所得较小的数即可。
关键切入点：关键在 $1001=7\times11\times13$，所以 $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times1001$ 一定能被 $7,11,13$ 整除；由此把一个数拆成「末三位」与「前面部分」，两者之差与原数对 $7,11,13$ 的整除性一致。这样 $2695$ 只需看 $695-2=693$。
方法概述：从右往左每三位一段，交错相减得到一个小数，再判断这个小数能否被 $7,11,13$ 整除。
规范步骤：
  1. 四个数分别做三位截断：$695-2=693,\ 804-1=803,\ 963-1=962,\ 205-23=182$（$1001=7\times11\times13$）
  2. 判断被 $11$：$693\div11=63,\ 803\div11=73$（截断后判断）
  3. 判断被 $7$：$693\div7=99,\ 182\div7=26$（截断后判断）
  4. 判断被 $13$：$962\div13=74,\ 182\div13=14$（截断后判断）
  5. 写出答案：被 $11$：$2695,1804$；被 $7$：$2695,23205$；被 $13$：$1963,23205$
第一套
题目：有如下 4 个自然数：$3861,\ 5824,\ 9163,\ 23751$。这些数中哪些能被 $11$ 整除？哪些能被 $7$ 整除？哪些能被 $13$ 整除？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三位截断）：从右往左每三位一段，用末三位减去前面的部分：$861-3=\underline{\quad}$，$824-5=\underline{\quad}$，$163-9=\underline{\quad}$，$751-23=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（判断被 $11$）：$858\div11=\underline{\quad}$，$154\div11=\underline{\quad}$，而 $819,728$ 都不是 $11$ 的倍数。
  3. 第 3 步（判断被 $7$）：$819\div7=\underline{\quad}$，$154\div7=\underline{\quad}$，$728\div7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（判断被 $13$）：$858\div13=\underline{\quad}$，$819\div13=\underline{\quad}$，$728\div13=\underline{\quad}$。
第二套
题目：仓库里有 4 个货位号：$3861,\ 5824,\ 9163,\ 23751$。号码能被 $11$ 整除的归甲组，能被 $7$ 整除的归乙组，能被 $13$ 整除的归丙组。请分别写出各组的货位号。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：用三位截断法把号码变小，$861-3=\underline{\quad}$，$824-5=\underline{\quad}$，$163-9=\underline{\quad}$，$751-23=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（甲组）：$858\div11=\underline{\quad}$，$154\div11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（乙组）：$819\div7=\underline{\quad}$，$154\div7=\underline{\quad}$，$728\div7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（丙组）：$858\div13=\underline{\quad}$，$819\div13=\underline{\quad}$，$728\div13=\underline{\quad}$。
第三套
题目：判断 $358358$ 与 $246246$ 能否同时被 $7,11,13$ 整除，并求 $358358\div7\div11\div13$ 的结果。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出结构）：形如 $\overline{abcabc}$ 的六位数等于 $\overline{abc}\times1001$，而 $1001=7\times11\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用三位截断验证）：$358-358=\underline{\quad}$，$246-246=\underline{\quad}$，差是 $0$，说明两个数都能同时被 $7,11,13$ 整除。
  3. 第 3 步（连除）：$358358\div7=\underline{\quad}$，再 $\div11=\underline{\quad}$，再 $\div13=\underline{\quad}$。
第三套
题目：四位数 $\overline{2\square95}$ 能被 $7$ 整除，求 $\square$，并求这个四位数除以 $7$ 的商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先截断）：$\overline{2\square95}$ 的三位截断为 $\overline{\square95}-2$，即 $\overline{\square95}$ 减去 $2$ 后要能被 $7$ 整除。
  2. 第 2 步（逐个试）：$\square$ 从 $0$ 试到 $9$，$695-2=\underline{\quad}$，而 $693\div7=\underline{\quad}$ 恰好整除，其余的 $\overline{\square95}-2$ 都除不尽，所以 $\square=6$。
  3. 第 3 步（求商）：这个四位数是 $2695$，$2695\div7=\underline{\quad}$。
26. 【原题 ch02-xingqu-04】一个三位数 $\overline{6\square4}$ 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“$\square$”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被 3 整除，“$\square$”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被 4 整除，“$\square$”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除？如果有可能，“$\square$”可能等于多少？
详细思路
是哪类问题：这是「数字补漏」类：三位数中有一位未知，要求它能被某数整除，反过来推出未知数字的所有可能值。
关键切入点：被 $3$ 整除只跟各位数字之和有关，于是 $6+\square+4=10+\square$ 要是 $3$ 的倍数；被 $4$ 整除只跟末两位有关，于是 $\overline{\square4}$ 要是 $4$ 的倍数。两个条件分别求解后再取公共部分，就是同时被 $3$ 和 $4$ 整除（即被 $12$ 整除）的情形。
方法概述：被 $3$ 用数字和、被 $4$ 用末两位，分别求出所有取值再取交集。
规范步骤：
  1. 被 $3$：数字和为 $3$ 的倍数：$6+\square+4=10+\square$ 是 $3$ 的倍数，$\square=2,5,8$（被 $3$ 整除的特征）
  2. 被 $4$：末两位为 $4$ 的倍数：$\overline{\square4}=04,24,44,64,84$，$\square=0,2,4,6,8$（被 $4$ 整除的特征）
  3. 取两组的公共值：$\{2,5,8\}\cap\{0,2,4,6,8\}=\{2,8\}$（同时满足）
  4. 写出答案：$（1）2,5,8；（2）0,2,4,6,8；（3）2 或 8$
第一套
题目：三位数 $\overline{8\square6}$ 的十位未知。（1）若它能被 $3$ 整除，$\square$ 可能是多少？（2）若它能被 $4$ 整除，$\square$ 可能是多少？（3）若它同时被 $3$ 和 $4$ 整除，$\square$ 可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $3$）：数字和是 $8+\square+6=\underline{\quad}+\square$，它要是 $3$ 的倍数；$14+1=\underline{\quad}$、$14+4=\underline{\quad}$、$14+7=\underline{\quad}$ 都是 $3$ 的倍数，所以 $\square=1,4,7$。
  2. 第 2 步（被 $4$）：只看末两位 $\overline{\square6}$，$16\div4=\underline{\quad}$、$36\div4=\underline{\quad}$、$56\div4=\underline{\quad}$、$76\div4=\underline{\quad}$、$96\div4=\underline{\quad}$，所以 $\square=1,3,5,7,9$。
  3. 第 3 步（同时满足）：取两组的公共值 $\{1,4,7\}$ 与 $\{1,3,5,7,9\}$，得 $\square=1$ 或 $7$，此时三位数是 $816$ 与 $876$，$816\div12=\underline{\quad}$，$876\div12=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某班门牌号是三位数 $\overline{6\square4}$，中间一位被贴纸挡住了。（1）若门牌号能被 $3$ 整除，被挡的数字可能是多少？（2）若能被 $4$ 整除呢？（3）若同时能被 $3$ 和 $4$ 整除呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $3$）：数字和 $6+\square+4=\underline{\quad}+\square$ 要是 $3$ 的倍数，$10+2=\underline{\quad}$、$10+5=\underline{\quad}$、$10+8=\underline{\quad}$，所以被挡数字是 $2,5,8$。
  2. 第 2 步（被 $4$）：只看末两位 $\overline{\square4}$，$24\div4=\underline{\quad}$、$44\div4=\underline{\quad}$、$64\div4=\underline{\quad}$、$84\div4=\underline{\quad}$，再加上 $04$，所以是 $0,2,4,6,8$。
  3. 第 3 步（同时满足）：两组公共值为 $2$ 和 $8$，门牌号是 $624$ 或 $684$，$624\div12=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三位数 $\overline{9\square6}$ 的十位未知。（1）若它能被 $9$ 整除，$\square$ 是多少？（2）若它能被 $4$ 整除，$\square$ 可能是多少？（3）若同时被 $9$ 和 $4$ 整除（即被 $36$ 整除），$\square$ 是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $9$）：数字和为 $9+\square+6=\underline{\quad}+\square$，要是 $9$ 的倍数，只能是 $18$，所以 $\square=18-15=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $4$）：末两位 $\overline{\square6}$ 要是 $4$ 的倍数，$16,36,56,76,96$ 都行，所以 $\square=1,3,5,7,9$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（同时满足）：两组的公共值是 $\square=3$，此时三位数为 $936$，$936\div36=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三位数 $\overline{8\square6}$ 能同时被 $3$ 和 $8$ 整除，求 $\square$ 与这个三位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $3$）：数字和 $8+\square+6=\underline{\quad}+\square$ 要是 $3$ 的倍数，所以 $\square=1,4,7$。
  2. 第 2 步（被 $8$）：三位数本身就是末三位，必须整除试算：$816\div8=\underline{\quad}$、$856\div8=\underline{\quad}$、$896\div8=\underline{\quad}$ 能整除，所以 $\square=1,5,9$。
  3. 第 3 步（取公共值）：$\{1,4,7\}$ 与 $\{1,5,9\}$ 的公共值是 $\square=1$，三位数是 $816$，$816\div24=\underline{\quad}$。
27. 【原题 ch02-xingqu-05】四位数 $\overline{23\square5}$ 能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数。
详细思路
是哪类问题：这是「被 $11$ 整除的补漏」类：四位数中有一位未知，用奇数位数字之和与偶数位数字之和的差来定位这个数字。
关键切入点：因为 $10$ 除以 $11$ 余 $-1$，奇数位上的计数单位对 $11$ 余 $1$、偶数位余 $-1$，所以一个数能被 $11$ 整除当且仅当「奇数位数字和 $-$ 偶数位数字和」能被 $11$ 整除。这里差是 $6-\square$，而 $\square$ 是 $0\sim9$ 的数字，差只能取 $0$。
方法概述：算奇偶位数字和之差，令它等于 $0$（或 $\pm11$）解出未知数字。
规范步骤：
  1. 分出奇偶位：从右数：$5$、$3$ 在奇数位，$\square$、$2$ 在偶数位（被 $11$ 整除的特征）
  2. 写出两个和：奇数位和 $=5+3=8$，偶数位和 $=\square+2$（分组求和）
  3. 令差能被 $11$ 整除：$8-(\square+2)=6-\square$，只能等于 $0$，故 $\square=6$（差为 $11$ 的倍数）
  4. 写出答案：$2365=11\times215$（验算）
第一套
题目：四位数 $\overline{47\square6}$ 能被 $11$ 整除，求出所有满足要求的四位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分奇偶位）：从右往左数，$6$ 和 $7$ 在奇数位，$\square$ 和 $4$ 在偶数位。
  2. 第 2 步（求两个和）：奇数位数字之和为 $6+7=\underline{\quad}$，偶数位数字之和为 $\square+4$。
  3. 第 3 步（令差被 $11$ 整除）：差为 $13-(\square+4)=9-\square$，因为 $\square$ 只能是 $0\sim9$ 的数字，这个差只能取 $0$，所以 $\square=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：四位数为 $4796$，$4796\div11=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一张储物柜的编号是四位数 $\overline{23\square5}$，中间一位磨掉了。已知编号能被 $11$ 整除，求这个编号。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分奇偶位）：从右数，$5$ 与 $3$ 在奇数位，磨掉的数字与 $2$ 在偶数位。
  2. 第 2 步（求两个和）：奇数位和为 $5+3=\underline{\quad}$，偶数位和为 $\square+2$。
  3. 第 3 步（差被 $11$ 整除）：$8-(\square+2)=6-\square$ 只能为 $0$，故 $\square=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：编号为 $2365$，$2365\div11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：五位数 $\overline{6\square174}$ 能被 $11$ 整除，求这个五位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分奇偶位）：从右往左，$4,1,6$ 在奇数位，$7,\square$ 在偶数位。
  2. 第 2 步（求两个和）：奇数位和为 $4+1+6=\underline{\quad}$，偶数位和为 $7+\square$。
  3. 第 3 步（令差被 $11$ 整除）：$11-(7+\square)=4-\square$ 只能为 $0$，所以 $\square=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：五位数为 $64174$，$64174\div11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：四位数 $\overline{4\square\square6}$ 能同时被 $11$ 和 $9$ 整除，求这个四位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $9$ 的条件）：设两个方框依次为 $a$、$b$，数字和为 $4+a+b+6=\underline{\quad}+a+b$，它要是 $9$ 的倍数，所以 $a+b=8$ 或 $17$。
  2. 第 2 步（被 $11$ 的条件）：从右数，$6$ 与 $a$ 在奇数位，$b$ 与 $4$ 在偶数位，差为 $(6+a)-(b+4)=a-b+\underline{\quad}$，它要是 $11$ 的倍数，故 $a-b=-2$ 或 $9$。
  3. 第 3 步（联立求解）：由 $a+b=8$、$a-b=-2$ 得 $a=(8-2)\div2=\underline{\quad}$，$b=8-3=\underline{\quad}$；其余组合都得不到 $0\sim9$ 的整数。
  4. 第 4 步（验算）：四位数为 $4356$，$4356\div11=\underline{\quad}$，$4356\div9=\underline{\quad}$。
28. 【原题 ch02-xingqu-06】新学年开学了，同学们要改穿新的校服。萱萱收了 9 位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。老师给了萱萱一张纸条，上面写着“交来校服费 $\overline{2\square38}$ 元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了。墨莫看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？
详细思路
是哪类问题：这是「整除特征在生活中的应用」类：$9$ 人交同样多的钱，总数一定是 $9$ 的倍数，于是转化为被 $9$ 整除的数字补漏。
关键切入点：先把生活条件翻译成整除条件：每人一样多、共 $9$ 人，总钱数 $=$ 每人钱数 $\times9$，所以 $\overline{2\square38}$ 能被 $9$ 整除。再用被 $9$ 整除的特征，数字和 $2+\square+3+8=13+\square$ 要是 $9$ 的倍数，而 $13+\square$ 在 $13\sim22$ 之间，只能是 $18$。
方法概述：把「$9$ 人平分」翻译成被 $9$ 整除，再用数字和求未知数字。
规范步骤：
  1. 翻译条件：总钱数 $=$ 每人钱数 $\times 9$，故 $\overline{2\square38}$ 能被 $9$ 整除（倍数关系）
  2. 写数字和：$2+\square+3+8=13+\square$（被 $9$ 整除的特征）
  3. 定范围求解：$13\le 13+\square\le 22$，只能 $13+\square=18$，故 $\square=5$（夹逼确定）
  4. 验算：$2538\div9=282$
第一套
题目：$9$ 位同学交同样多的活动费，收齐后总数记作 $\overline{5\square47}$ 元，中间一位被污损。求这个数字，并求每人交了多少元。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译条件）：$9$ 人每人一样多，所以总钱数能被 $\underline{\quad}$ 整除。
  2. 第 2 步（写数字和）：$5+\square+4+7=\underline{\quad}+\square$。
  3. 第 3 步（夹逼定值）：$16+\square$ 在 $16$ 与 $25$ 之间，是 $9$ 的倍数只能等于 $18$，所以 $\square=18-16=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求每人）：总数为 $5247$ 元，每人交 $5247\div9=\underline{\quad}$（元）。
第二套
题目：果园把苹果装进 $9$ 个同样重的箱子，总重记作 $\overline{5\square47}$ 千克，其中一位数字被雨水泡花了。求这个数字与每箱的重量。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译条件）：$9$ 箱一样重，所以总重能被 $\underline{\quad}$ 整除。
  2. 第 2 步（写数字和）：$5+\square+4+7=\underline{\quad}+\square$，它要是 $9$ 的倍数。
  3. 第 3 步（定值）：$16+\square$ 只能是 $18$，所以 $\square=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求每箱）：$5247\div9=\underline{\quad}$（千克）。
第三套
题目：五位数 $\overline{48\square63}$ 能被 $9$ 整除，求这个五位数与它除以 $9$ 的商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写数字和）：$4+8+\square+6+3=\underline{\quad}+\square$。
  2. 第 2 步（夹逼定值）：$21+\square$ 在 $21$ 与 $30$ 之间，是 $9$ 的倍数只能是 $27$，所以 $\square=27-21=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求商）：五位数是 $48663$，$48663\div9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$9$ 位同学交同样多的钱，总数记作 $\overline{5\square4\square}$ 元，两个方框里的数字相同，且总数是偶数。求总数与每人交的钱数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设未知数）：设方框中的数字为 $a$，数字和为 $5+a+4+a=\underline{\quad}+2a$。
  2. 第 2 步（被 $9$）：$9+2a$ 要是 $9$ 的倍数，$2a$ 也必须是 $9$ 的倍数，而 $0\le 2a\le 18$，所以 $2a=0$ 或 $18$，即 $a=0$ 或 $a=18\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用偶数排除）：总数末位就是 $a$，要求是偶数，所以 $a=\underline{\quad}$，总数为 $5040$ 元。
  4. 第 4 步（求每人）：$5040\div9=\underline{\quad}$（元）。
29. 【原题 ch02-xingqu-07】四位数 $\overline{2\square9\square}$ 能同时被 3 和 5 整除，求出所有满足要求的四位数。
详细思路
是哪类问题：这是「多条件数字补漏」类：两位未知，先用被 $5$ 整除锁定个位（只有 $0$、$5$ 两种），再分情况用数字和满足被 $3$ 整除。
关键切入点：两个未知数字一起试太慢，关键是先用限制最强的条件——被 $5$ 整除只允许个位是 $0$ 或 $5$，一下把问题分成两支；每一支里个位已定，数字和只剩一个未知数，再用被 $3$ 整除逐个取值即可。
方法概述：先用被 $5$ 定个位，分类后再用数字和定另一位。
规范步骤：
  1. 被 $5$ 定个位：个位为 $0$ 或 $5$，即 $\overline{2\square90}$ 或 $\overline{2\square95}$（被 $5$ 整除的特征）
  2. 第一支：个位为 $0$：$2+\square+9+0=11+\square$ 是 $3$ 的倍数，$\square=1,4,7$（被 $3$ 整除的特征）
  3. 第二支：个位为 $5$：$2+\square+9+5=16+\square$ 是 $3$ 的倍数，$\square=2,5,8$（被 $3$ 整除的特征）
  4. 写出答案：$2190,2490,2790,2295,2595,2895$
第一套
题目：四位数 $\overline{7\square4\square}$ 能同时被 $3$ 和 $5$ 整除，求出所有满足要求的四位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先用被 $5$）：个位只能是 $0$ 或 $5$，把问题分成 $\overline{7\square40}$ 与 $\overline{7\square45}$ 两支。
  2. 第 2 步（个位为 $0$ 这一支）：数字和为 $7+\square+4+0=\underline{\quad}+\square$，要是 $3$ 的倍数，$\square=1,4,7$，得 $7140,7440,7740$。
  3. 第 3 步（个位为 $5$ 这一支）：数字和为 $7+\square+4+5=\underline{\quad}+\square$，要是 $3$ 的倍数，$\square=2,5,8$，得 $7245,7545,7845$。
  4. 第 4 步（验算）：$7140\div15=\underline{\quad}$，$7845\div15=\underline{\quad}$，一共有 $3+3=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：一张演出票的编号是四位数 $\overline{7\square4\square}$，其中两位看不清。已知编号能同时被 $3$ 和 $5$ 整除，求所有可能的编号。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $5$ 定个位）：编号末位只能是 $0$ 或 $5$。
  2. 第 2 步（末位为 $0$）：数字和 $7+\square+4+0=\underline{\quad}+\square$ 是 $3$ 的倍数，$\square=1,4,7$，编号为 $7140,7440,7740$。
  3. 第 3 步（末位为 $5$）：数字和 $7+\square+4+5=\underline{\quad}+\square$ 是 $3$ 的倍数，$\square=2,5,8$，编号为 $7245,7545,7845$。
  4. 第 4 步（共几个）：一共有 $3+3=\underline{\quad}$ 种可能，其中最小的是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：四位数 $\overline{7\square4\square}$ 能被 $45$ 整除，求出所有满足要求的四位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分 $45$）：$45=5\times9$，所以这个数要同时被 $5$ 和 $9$ 整除。
  2. 第 2 步（被 $5$ 定个位）：个位是 $0$ 或 $5$。
  3. 第 3 步（个位为 $0$）：数字和 $7+\square+4+0=\underline{\quad}+\square$ 要是 $9$ 的倍数，只能等于 $18$，$\square=18-11=\underline{\quad}$，得 $7740$。
  4. 第 4 步（个位为 $5$）：数字和 $7+\square+4+5=\underline{\quad}+\square$ 要是 $9$ 的倍数，只能等于 $18$，$\square=18-16=\underline{\quad}$，得 $7245$。
  5. 第 5 步（验算）：$7740\div45=\underline{\quad}$，$7245\div45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：四位数 $\overline{7\square4\square}$ 能同时被 $3$ 和 $5$ 整除，还要求它是偶数、且各位数字互不相同。求这个四位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $5$ 且是偶数）：个位既要是 $0$ 或 $5$，又要是偶数，所以个位只能是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $3$）：数字和 $7+\square+4+0=\underline{\quad}+\square$ 要是 $3$ 的倍数，所以 $\square=1,4,7$。
  3. 第 3 步（用互不相同筛选）：数字已有 $7,4,0$，所以 $\square$ 不能是 $7$ 也不能是 $4$，只剩 $\square=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：四位数是 $7140$，$7140\div15=\underline{\quad}$，各位数字 $7,1,4,0$ 互不相同。
30. 【原题 ch02-xingqu-08】四位偶数 $\overline{6\square4\square}$ 能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数。
详细思路
是哪类问题：这是「被 $11$ 整除的双未知补漏」类：两位未知，用奇偶位和之差先把两数之和锁死，再用偶数条件挑出全部解。
关键切入点：设四位数为 $\overline{6a4b}$。奇数位（从右数第 $1,3$ 位）是 $b$ 与 $a$，偶数位是 $4$ 与 $6$，差为 $(a+b)-10$。由于 $0\le a+b\le 18$，这个差只能是 $0$，于是 $a+b=10$。再要求是偶数，$b$ 取偶数即可逐一配出解。
方法概述：先由奇偶位差定出 $a+b=10$，再按 $b$ 是偶数枚举。
规范步骤：
  1. 分奇偶位：奇数位：$b,a$；偶数位：$4,6$（被 $11$ 整除的特征）
  2. 写出差：$(a+b)-(4+6)=(a+b)-10$（作差）
  3. 定 $a+b$：$0\le a+b\le 18$，差是 $11$ 的倍数只能为 $0$，故 $a+b=10$（夹逼确定）
  4. 按偶数枚举 $b$：$b=2,4,6,8$ 依次得 $a=8,6,4,2$（偶数条件）
  5. 写出答案：$6842,6644,6446,6248$
第一套
题目：四位偶数 $\overline{8\square2\square}$ 能被 $11$ 整除，求出所有满足要求的四位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分奇偶位）：设两个方框依次为 $a,b$。从右数，奇数位是 $b$ 与 $a$，偶数位是 $2$ 与 $8$。
  2. 第 2 步（写差）：偶数位之和为 $2+8=\underline{\quad}$，差为 $(a+b)-10$。
  3. 第 3 步（定和）：$a+b$ 最小为 $0$、最大为 $9+9=\underline{\quad}$，差要是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，所以 $a+b=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（按偶数枚举）：$b$ 取偶数，$b=2$ 时 $a=10-2=\underline{\quad}$；$b=4$ 时 $a=\underline{\quad}$；$b=6$ 时 $a=\underline{\quad}$；$b=8$ 时 $a=\underline{\quad}$；$b=0$ 时 $a=10$ 不是数字，舍去。
  5. 第 5 步（验算）：$8822\div11=\underline{\quad}$，$8228\div11=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一批货物的箱号是四位偶数 $\overline{6\square4\square}$，其中两位模糊了。已知箱号能被 $11$ 整除，求所有可能的箱号。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分奇偶位）：设模糊的两位依次是 $a,b$，奇数位是 $b,a$，偶数位是 $4,6$。
  2. 第 2 步（写差）：偶数位之和 $4+6=\underline{\quad}$，差为 $(a+b)-10$。
  3. 第 3 步（定和）：差只能为 $0$，故 $a+b=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（按偶数枚举）：$b=2,4,6,8$ 时 $a$ 依次为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$6842\div11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：四位奇数 $\overline{6\square4\square}$ 能被 $11$ 整除，求出所有满足要求的四位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定和）：与偶数情形一样，奇偶位之差为 $(a+b)-(4+6)$，只能为 $0$，所以 $a+b=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（按奇数枚举）：末位 $b$ 取奇数，$b=1,3,5,7,9$ 时 $a=\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（验算）：$6941\div11=\underline{\quad}$，$6149\div11=\underline{\quad}$，一共 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：四位偶数 $\overline{8\square2\square}$ 能同时被 $11$ 和 $4$ 整除，求出所有满足要求的四位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $11$）：奇偶位之差为 $(a+b)-(2+8)$，只能为 $0$，所以 $a+b=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $4$ 只看末两位）：末两位是 $\overline{2b}$，$20\div4=\underline{\quad}$、$24\div4=\underline{\quad}$、$28\div4=\underline{\quad}$ 能整除，所以 $b=0,4,8$。
  3. 第 3 步（配对）：$b=0$ 时 $a=10$ 不是数字，舍去；$b=4$ 时 $a=\underline{\quad}$；$b=8$ 时 $a=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：$8624\div44=\underline{\quad}$，$8228\div44=\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch02-xingqu-09】一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他，目前只有形如“$\overline{1234\square6\square8}$”的号码可以申请。也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。王经理打算申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码。请问：他申请的号码可能是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「多条件补漏 + 分类讨论」类：八位数中两位未知，用被 $8$ 的末三位条件先定后一个空，再对每种情况用被 $11$ 定前一个空。
关键切入点：被 $8$ 只与末三位 $\overline{6b8}$ 有关，只涉及 $b$，一次就能把 $b$ 的可能值缩到 $0,4,8$ 三种；被 $11$ 的条件同时含 $a,b$，所以放在后面、按 $b$ 分类逐个解出 $a$。先用只含一个未知量的条件，是这类题的通法。
方法概述：先用被 $8$ 定 $b$，再分三类用奇偶位差定 $a$。
规范步骤：
  1. 被 $8$ 看末三位：$\overline{6b8}$ 能被 $8$ 整除，$608\div8=76,\ 648\div8=81,\ 688\div8=86$，故 $b=0,4,8$（被 $8$ 整除的特征）
  2. 写奇偶位和：奇数位和 $=8+6+4+2=20$，偶数位和 $=b+a+3+1$（被 $11$ 整除的特征）
  3. $b=0$：解 $a$：$20-(a+4)=11\Rightarrow a=5$，得 $12345608$（分类讨论）
  4. $b=4$：解 $a$：$20-(a+8)=11\Rightarrow a=1$，得 $12341648$（分类讨论）
  5. $b=8$：解 $a$：$20-(a+12)=0\Rightarrow a=8$，得 $12348688$（分类讨论）
  6. 写出答案：$12345608,\ 12341648,\ 12348688$
第一套
题目：八位数 $\overline{4567\square2\square8}$ 中两个方框各填一个数字，使它能同时被 $8$ 和 $11$ 整除。这样的八位数有哪些？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先用被 $8$）：只看末三位 $\overline{2b8}$，$208\div8=\underline{\quad}$、$248\div8=\underline{\quad}$、$288\div8=\underline{\quad}$ 能整除，所以 $b=0,4,8$。
  2. 第 2 步（写奇偶位和）：从右数，奇数位数字是 $8,2,7,5$，和为 $8+2+7+5=\underline{\quad}$；偶数位数字是 $b,a,6,4$，和为 $a+b+\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（$b=0$）：差为 $22-(a+10)=12-a$，要是 $11$ 的倍数，得 $a=12-11=\underline{\quad}$，八位数为 $45671208$。
  4. 第 4 步（$b=4$、$b=8$）：同理差为 $12-a-b$，$b=4$ 时 $a=\underline{\quad}$，$b=8$ 时 $a=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$45671208\div88=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某公司申请会员卡号，卡号形如 $\overline{1234\square6\square8}$，两个方框可以任意填数字，其余数字不能改。公司希望卡号能同时被 $8$ 和 $11$ 整除。卡号可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先用被 $8$）：只看末三位 $\overline{6b8}$，$608\div8=\underline{\quad}$、$648\div8=\underline{\quad}$、$688\div8=\underline{\quad}$，所以 $b=0,4,8$。
  2. 第 2 步（奇偶位和）：奇数位数字 $8,6,4,2$ 之和为 $\underline{\quad}$；偶数位之和为 $b+a+3+1$。
  3. 第 3 步（分类求 $a$）：$b=0$ 时 $20-(a+4)=11$，$a=\underline{\quad}$；$b=4$ 时 $20-(a+8)=11$，$a=\underline{\quad}$；$b=8$ 时 $20-(a+12)=0$，$a=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：$12345608\div88=\underline{\quad}$。
第三套
题目：七位数 $\overline{567\square2\square4}$ 中两个方框各填一个数字，使它能同时被 $8$ 和 $11$ 整除。求这个七位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $8$）：末三位 $\overline{2b4}$ 要被 $8$ 整除，$224\div8=\underline{\quad}$、$264\div8=\underline{\quad}$ 能整除，所以 $b=2$ 或 $6$。
  2. 第 2 步（奇偶位和）：从右数，奇数位数字是 $4,2,7,5$，和为 $\underline{\quad}$；偶数位数字是 $b,a,6$，和为 $a+b+6$。
  3. 第 3 步（求解）：差为 $18-(a+b+6)=12-a-b$，要是 $11$ 的倍数只能为 $0$，即 $a+b=12$；$b=2$ 时 $a=10$ 不是数字，舍去；$b=6$ 时 $a=12-6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：七位数为 $5676264$，$5676264\div88=\underline{\quad}$。
第三套
题目：八位数 $\overline{4567\square2\square8}$ 能同时被 $8$、$11$ 和 $3$ 整除。求这个八位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（被 $8$、被 $11$）：与前面相同，先得到三个候选 $45671208$、$45674288$、$45678248$。
  2. 第 2 步（算数字和）：$4+5+6+7+1+2+0+8=\underline{\quad}$；$4+5+6+7+4+2+8+8=\underline{\quad}$；$4+5+6+7+8+2+4+8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用被 $3$ 筛选）：只有数字和 $33$ 是 $3$ 的倍数（$33\div3=\underline{\quad}$），另外两个 $44$ 都不是，所以八位数是 $45671208$。
  4. 第 4 步（验算）：$45671208\div264=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch02-xingqu-10】一个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被 4 整除。这个四位数最大是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「整除条件下的最值构造」类：要最大，就从最高位开始一位一位地取最大，同时保证每一位仍能满足后面的整除条件。
关键切入点：关键是两个条件作用在不同位置：$\overline{abc}$ 被 $4$ 整除只管 $\overline{bc}$，而被 $9$ 整除靠数字和、可由个位 $d$ 最后调节。所以先让 $a=9$、$b=8$，再让 $\overline{bc}$ 被 $4$ 整除取到最大的 $c$，最后用被 $9$ 定出 $d$，并检查各位互不相同。
方法概述：从高位到低位贪心取最大，个位留给被 $9$ 整除来调节。
规范步骤：
  1. 定首位：$a=9$（最值分析）
  2. 定百位与十位：$b=8$，由 $\overline{8c}$ 被 $4$ 整除且数字互不相同得 $c=4$（$84\div4=21$）（被 $4$ 整除的特征）
  3. 定个位：$9+8+4+d=21+d$ 被 $9$ 整除，$d=6$（被 $9$ 整除的特征）
  4. 检查并作答：$9,8,4,6$ 互不相同，$9846\div9=1094$，$984\div4=246$
第一套
题目：一个各位数字互不相同的四位数能被 $9$ 整除，去掉个位数字后剩下的三位数能被 $25$ 整除。这个四位数最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定千位）：要最大，千位取 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（定百位、十位）：三位数 $\overline{9bc}$ 被 $25$ 整除，只看末两位 $\overline{bc}$，可能是 $00,25,50,75$；要最大且数字互不相同，取 $75$，即 $b=7,c=5$，三位数为 $975$，$975\div25=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（定个位）：$9+7+5+d=\underline{\quad}+d$ 要是 $9$ 的倍数，只能是 $27$，$d=27-21=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检查并验算）：$9,7,5,6$ 互不相同，$9756\div9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：运动会给方队编号，编号是各位数字互不相同的四位数，且能被 $9$ 整除；把编号的个位擦掉后剩下的三位数能被 $4$ 整除。这样的编号最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定千位）：要最大，千位取 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（定百位、十位）：三位数 $\overline{9bc}$ 被 $4$ 整除只看 $\overline{bc}$，取 $b=8$，再让 $\overline{8c}$ 被 $4$ 整除且 $c$ 尽量大又不与已有数字重复，$84\div4=\underline{\quad}$，故 $c=4$。
  3. 第 3 步（定个位）：$9+8+4+d=\underline{\quad}+d$ 要是 $9$ 的倍数，$d=27-21=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：编号为 $9846$，$9846\div9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个各位数字互不相同的四位数能被 $9$ 整除，去掉个位数字后剩下的三位数能被 $4$ 整除。这个四位数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定千位）：要最小，千位取 $\underline{\quad}$；百位再取最小的 $0$。
  2. 第 2 步（定十位）：三位数 $\overline{10c}$ 被 $4$ 整除，$c$ 从小试：$100\div4=25$ 但 $c=0$ 与百位重复；$104\div4=\underline{\quad}$，此时个位 $d$ 满足 $1+0+4+d=5+d$ 是 $9$ 的倍数得 $d=4$，与 $c$ 重复，也不行；再取 $c=8$，$108\div4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（定个位）：$1+0+8+d=\underline{\quad}+d$ 是 $9$ 的倍数，$d=0$ 与百位重复，取 $d=18-9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：四位数为 $1089$，各位互不相同，$1089\div9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个各位数字互不相同的五位数能被 $9$ 整除，去掉个位数字后剩下的四位数能被 $4$ 整除。这个五位数最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定高三位）：要最大，依次取 $9,8,7$。
  2. 第 2 步（定千位后的一位）：四位数 $\overline{987d}$ 被 $4$ 整除只看 $\overline{7d}$，$76\div4=\underline{\quad}$、$72\div4=\underline{\quad}$，先试最大的 $d=6$。
  3. 第 3 步（试 $d=6$）：数字和为 $9+8+7+6+e=\underline{\quad}+e$，要是 $9$ 的倍数只能是 $36$，$e=36-30=\underline{\quad}$ 与 $d$ 重复，舍去。
  4. 第 4 步（改试 $d=2$）：数字和为 $9+8+7+2+e=\underline{\quad}+e$，是 $9$ 的倍数只能是 $27$，$e=27-26=\underline{\quad}$，各位 $9,8,7,2,1$ 互不相同。
  5. 第 5 步（验算）：$98721\div9=\underline{\quad}$，$9872\div4=\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch02-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（拆分）：$75=25\times\underline{3}$，且 $25$ 与 $3$ 互质，要同时被 $25$ 和 $3$ 整除。
    2. 第 2 步（被 $25$ 定末两位）：末两位只能是 $00,25,50,75$。
    3. 第 3 步（高位取最小）：前三位尽量小取 $102$；末两位中 $00$ 自身重复、$25$ 与百位的 $2$ 重复、$50$ 与十位的 $0$ 重复，只剩 $75$，得 $10275$。
    4. 第 4 步（检验被 $3$）：数字和 $1+0+2+7+5=\underline{15}$，是 $3$ 的倍数，符合要求。
    5. 第 5 步（验算）：$10275\div75=\underline{137}$，数字 $1,0,2,7,5$ 互不相同。
    最终答案：这个五位数最小是 $10275$。
  2. 1. ch02-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（拆分）：$45=5\times\underline{9}$。
    2. 第 2 步（定个位）：被 $5$ 整除，个位是 $0$ 或 $5$。
    3. 第 3 步（试前三位 $102$）：$\overline{102\square5}$ 的数字和为 $1+0+2+5+\square=\underline{8}+\square$，要是 $9$ 的倍数得 $\square=9-8=\underline{1}$，与首位重复，不行。
    4. 第 4 步（调为 $103$）：$\overline{103\square5}$ 的数字和为 $\underline{9}+\square$，是 $9$ 的倍数得 $\square=18-9=\underline{9}$，数字互不相同。
    5. 第 5 步（验算）：号码为 $10395$，$10395\div45=\underline{231}$。
    最终答案：这样的号码最小是 $10395$。
  3. 1. ch02-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（高位取最大）：要最大，前三位尽量取 $9,8,7$。
    2. 第 2 步（试个位为 $5$）：$\overline{987\square5}$ 的数字和为 $9+8+7+5+\square=\underline{29}+\square$，要是 $9$ 的倍数只能取 $36$，$\square=36-29=\underline{7}$，与百位重复，不行。
    3. 第 3 步（改个位为 $0$）：$\overline{987\square0}$ 的数字和为 $\underline{24}+\square$，是 $9$ 的倍数只能取 $27$，$\square=27-24=\underline{3}$，数字 $9,8,7,3,0$ 互不相同。
    4. 第 4 步（验算）：五位数为 $98730$，$98730\div45=\underline{2194}$。
    最终答案：这个五位数最大是 $98730$。
  4. 1. ch02-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（高位取最小）：六位数要最小，前四位尽量取 $1,0,2,3$。
    2. 第 2 步（定个位）：被 $5$ 整除个位是 $0$ 或 $5$，而 $0$ 已用过，所以个位取 $\underline{5}$。
    3. 第 3 步（用被 $9$ 定十位）：$\overline{1023\square5}$ 的数字和为 $1+0+2+3+5+\square=\underline{11}+\square$，要是 $9$ 的倍数只能取 $18$，$\square=18-11=\underline{7}$。
    4. 第 4 步（检查并验算）：六位数为 $102375$，数字 $1,0,2,3,7,5$ 互不相同，$102375\div45=\underline{2275}$。
    最终答案：这个六位数最小是 $102375$。
  5. 2. ch02-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（拆分）：$450=2\times9\times\underline{25}$，所以要同时被 $2$、$9$、$25$ 整除；被 $2$ 与被 $25$ 合起来就是末两位要能被 $50$ 整除，即末两位为 $00$ 或 $50$。
    2. 第 2 步（定 $N$ 的末位）：末两位为 $00$ 或 $50$，说明 $N$ 的末位是 $0$，即 $N$ 是 $10$ 的倍数。
    3. 第 3 步（被 $9$ 的条件）：多位数的数字和等于 $1+2+\cdots+N=\dfrac{N(N+1)}{2}$，要是 $9$ 的倍数。
    4. 第 4 步（逐个试）：$N=50$ 时和为 $\dfrac{50\times51}{2}=\underline{1275}$，数字和 $1+2+7+5=15$ 不合；$N=350$ 时和为 $\dfrac{350\times351}{2}=\underline{61425}$，数字和 $6+1+4+2+5=\underline{18}$ 是 $9$ 的倍数。
    5. 第 5 步（检查末两位）：写到 $350$ 时末两位正是 $50$，能被 $50$ 整除，所以 $N=\underline{350}$。
    最终答案：$N$ 是 $350$。
  6. 2. ch02-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（拆分）：$90=9\times\underline{10}$。
    2. 第 2 步（被 $10$）：多位数的末位就是 $N$ 的末位，必须是 $0$，所以 $N$ 是 $10$ 的倍数。
    3. 第 3 步（被 $9$）：数字和为 $1+2+\cdots+N=\dfrac{N(N+1)}{2}$。
    4. 第 4 步（逐个试）：$N=10$ 时为 $\dfrac{10\times11}{2}=\underline{55}$，不是 $9$ 的倍数；一直试到 $N=80$，$\dfrac{80\times81}{2}=\underline{3240}$，数字和 $3+2+4+0=\underline{9}$ 是 $9$ 的倍数。
    5. 第 5 步（验算）：$3240\div9=\underline{360}$，所以 $N=80$。
    最终答案：$N$ 是 $80$。
  7. 2. ch02-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分）：$45=5\times\underline{5}$。
    2. 第 2 步（被 $5$）：末位是 $0$ 或 $5$，所以 $N$ 的末位是 $0$ 或 $5$。
    3. 第 3 步（被 $9$）：数字和为 $\dfrac{N(N+1)}{2}$，要是 $9$ 的倍数。
    4. 第 4 步（逐个试）：$N=5,10,15,20,25,30$ 时依次为 $15,55,120,210,325,465$，都不是 $9$ 的倍数；$N=35$ 时 $\dfrac{35\times36}{2}=\underline{630}$，$630\div9=\underline{70}$，能整除。
    5. 第 5 步（作答）：$N=\underline{35}$。
    最终答案：$N$ 是 $35$。
  8. 2. ch02-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分）：$900=4\times9\times\underline{25}$，被 $4$ 与被 $25$ 合起来就是末两位能被 $100$ 整除，即末两位是 $00$。
    2. 第 2 步（定 $N$）：末两位为 $00$，说明 $N$ 是 $100$ 的倍数。
    3. 第 3 步（被 $9$ 逐个试）：$N=100$ 时 $\dfrac{100\times101}{2}=\underline{5050}$，数字和 $5+0+5+0=\underline{10}$ 不是 $9$ 的倍数；依次试到 $N=800$，$\dfrac{800\times801}{2}=\underline{320400}$。
    4. 第 4 步（验算）：$320400$ 的数字和为 $3+2+0+4+0+0=\underline{9}$，是 $9$ 的倍数，$320400\div9=\underline{35600}$，所以 $N=800$。
    最终答案：$N$ 是 $800$。
  9. 3. ch02-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（化成分）：两张价签分别是 $\overline{134\square\triangle}$ 分与 $\overline{142\bigcirc\diamondsuit}$ 分。
    2. 第 2 步（情况一：$134$ 那张被 $99$ 整除）：两位截断得 $1+34+\overline{\square\triangle}$ 是 $99$ 的倍数，$1+34=\underline{35}$，所以 $\overline{\square\triangle}=99-35=\underline{64}$，这张是 $134.64$ 元。
    3. 第 3 步（另一张被 $75$ 整除）：$\overline{142\bigcirc\diamondsuit}$ 的末两位只能是 $00,25,50,75$；数字和分别为 $7,14,\underline{12},19$，只有 $14250$ 的数字和是 $3$ 的倍数，所以 $\overline{\bigcirc\diamondsuit}=50$。
    4. 第 4 步（情况二并排除）：若 $142$ 那张被 $99$ 整除，则 $1+42+\overline{\bigcirc\diamondsuit}=99$ 得 $\overline{\bigcirc\diamondsuit}=\underline{56}$，另一张被 $75$ 整除得 $\overline{\square\triangle}=25$，四个数字为 $2,5,5,6$ 有重复，舍去。
    5. 第 5 步（验算）：$13464\div99=\underline{136}$，$14250\div75=\underline{190}$。
    最终答案：两张价签分别是 $134.64$ 元（$99$ 只）与 $142.50$ 元（$75$ 只）。
  10. 3. ch02-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（化成分）：两张标签是 $\overline{117\square\triangle}$ 分与 $\overline{127\bigcirc\diamondsuit}$ 分。
    2. 第 2 步（先试 $127$ 那张被 $99$ 整除）：两位截断得 $1+27+\overline{\bigcirc\diamondsuit}=99$，$\overline{\bigcirc\diamondsuit}=99-28=\underline{71}$；再由另一张被 $75$ 整除得 $\overline{\square\triangle}=75$，与 $71$ 中的 $7$ 重复，这种情况不成立。
    3. 第 3 步（改试 $117$ 那张被 $99$ 整除）：$1+17+\overline{\square\triangle}=99$，$\overline{\square\triangle}=99-18=\underline{81}$。
    4. 第 4 步（另一张被 $75$ 整除）：末两位取 $00,25,50,75$，数字和依次为 $10,17,\underline{15},22$，只有 $12750$ 的数字和是 $3$ 的倍数，故 $\overline{\bigcirc\diamondsuit}=50$。
    5. 第 5 步（验算）：$11781\div99=\underline{119}$，$12750\div75=\underline{170}$。
    最终答案：两张标签分别是 $117.81$ 元（$99$ 颗）与 $127.50$ 元（$75$ 颗）。
  11. 3. ch02-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（化成分）：总价是 $\overline{117\square\triangle}$ 分，它要能被 $99$ 整除。
    2. 第 2 步（两位截断）：从右往左每两位一段，得 $1+17+\overline{\square\triangle}$，$1+17=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（夹逼定值）：$\overline{\square\triangle}$ 在 $0\sim99$ 之间，所以 $18+\overline{\square\triangle}$ 在 $18\sim117$ 之间，只能等于 $99$，$\overline{\square\triangle}=99-18=\underline{81}$。
    4. 第 4 步（求单价）：总价 $11781$ 分，每只 $11781\div99=\underline{119}$（分）。
    最终答案：价签上是 $117.81$ 元，每只杯子 $119$ 分（即 $1.19$ 元）。
  12. 3. ch02-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（定两张价签）：与前面相同，得 $11781$ 分（$99$ 只）与 $12750$ 分（$75$ 只）。
    2. 第 2 步（求 $A$ 型单价）：$11781\div99=\underline{119}$（分）。
    3. 第 3 步（求 $B$ 型单价）：$12750\div75=\underline{170}$（分）。
    4. 第 4 步（求差）：$170-119=\underline{51}$（分），即 $B$ 型比 $A$ 型每只贵 $\underline{51}$ 分。
    最终答案：两张价签是 $117.81$ 元与 $127.50$ 元；$B$ 型杯每只比 $A$ 型杯贵 $51$ 分。
  13. 4. ch02-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（看第三段个位）：不论怎么撕，第三段的末位一定是 $\underline{9}$。
    2. 第 2 步（用被 $5$ 缩小范围）：和的个位必须是 $0$ 或 $5$，而第三段个位是 $9$，所以前两段个位之和的个位要是 $1$ 或 $6$。前两段的个位只能取自 $4,5,6,7,8$，配得出个位为 $1$ 的只有 $4+7=\underline{11}$（撕法 $4|567|89$）与 $5+6=11$（撕法 $45|6|789$）。
    3. 第 3 步（逐一验算）：$45+6+789=\underline{840}$，$840$ 不是 $11$ 的倍数；$4+567+89=\underline{660}$，$660\div55=\underline{12}$，能整除。
    4. 第 4 步（作答）：所以撕法是 $4$、$567$、$89$，$660\div11=\underline{60}$，$660\div5=\underline{132}$。
    最终答案：纸条撕成 $4$、$567$、$89$ 三节（和为 $660=55\times12$）。
  14. 4. ch02-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（第三段个位）：第三段的末位一定是 $\underline{7}$。
    2. 第 2 步（被 $5$ 缩范围）：和的个位是 $0$ 或 $5$，故前两段个位之和的个位是 $3$ 或 $8$，只能是 $3+5$ 或 $2+6=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（逐一验算）：$23+45+67=\underline{135}$ 不是 $11$ 的倍数；$2+3456+7=\underline{3465}$。
    4. 第 4 步（作答）：$3465\div55=\underline{63}$，所以剪成 $2$、$3456$、$7$。
    最终答案：剪成 $2$、$3456$、$7$ 三段（和为 $3465$）。
  15. 4. ch02-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $5$ 定个位）：和的个位是 $0$ 或 $5$，与前面一样，撕法只能是 $23|45|67$ 或 $2|3456|7$。
    2. 第 2 步（验第一种被 $9$）：$23+45+67=\underline{135}$，数字和 $1+3+5=\underline{9}$ 是 $9$ 的倍数，$135\div45=\underline{3}$，符合。
    3. 第 3 步（验第二种被 $9$）：$2+3456+7=\underline{3465}$，数字和 $3+4+6+5=\underline{18}$ 是 $9$ 的倍数，$3465\div45=\underline{77}$，也符合。
    4. 第 4 步（作答）：两种撕法都可以。
    最终答案：两种撕法都可以：$23|45|67$（和 $135$）与 $2|3456|7$（和 $3465$）。
  16. 4. ch02-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（第三段个位）：第三段末位一定是 $\underline{8}$。
    2. 第 2 步（被 $5$ 缩范围）：和的个位是 $0$ 或 $5$，所以前两段个位之和的个位是 $2$ 或 $7$。
    3. 第 3 步（枚举并验算）：撕成 $2345|67|8$ 时，前两段个位为 $5$ 与 $7$，和的个位 $5+7+8=\underline{20}$ 的个位是 $0$，符合；此时和为 $2345+67+8=\underline{2420}$。
    4. 第 4 步（验被 $11$ 并作答）：$2420\div55=\underline{44}$，$2420\div11=\underline{220}$，所以撕成 $2345$、$67$、$8$。
    最终答案：纸条撕成 $2345$、$67$、$8$ 三节（和为 $2420=55\times44$）。
  17. 6. ch02-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（合成除数）：$17\times19=\underline{323}$，只需这个六位数是 $323$ 的倍数。
    2. 第 2 步（末位分析）：积的个位是 $5$，而 $3\times5=15$ 的个位正是 $5$，所以乘数的个位是 $5$。
    3. 第 3 步（大小估计）：积在 $220000\sim229999$ 之间，$323\times600=\underline{193800}$、$323\times700=\underline{226100}$，所以乘数的百位是 $6$。
    4. 第 4 步（定十位）：试 $\overline{6\square5}$，$323\times685=\underline{221255}$，首两位是 $22$、末两位是 $55$，符合要求。
    5. 第 5 步（作答与验算）：六位数是 $221255$，方框中的两位数是 $12$；$221255\div17=\underline{13015}$，$221255\div19=\underline{11645}$。
    最终答案：方框中的两位数是 $12$（六位数为 $221255$）。
  18. 6. ch02-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（合成除数）：$17\times19=\underline{323}$。
    2. 第 2 步（末位分析）：积的个位是 $1$，$3\times7=\underline{21}$ 的个位是 $1$，所以乘数个位是 $7$。
    3. 第 3 步（大小估计）：积在 $110000\sim119999$ 之间，$323\times300=\underline{96900}$、$323\times400=\underline{129200}$，所以乘数百位是 $3$。
    4. 第 4 步（定十位并验算）：$323\times357=\underline{115311}$，所以中间两位是 $53$。
    最终答案：中间两位是 $53$（序列号为 $115311$）。
  19. 6. ch02-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（合成除数）：$7\times13=\underline{91}$，只需这个数是 $91$ 的倍数。
    2. 第 2 步（用三位截断）：$\overline{11ab11}$ 分成 $\overline{11a}$ 与 $\overline{b11}$ 两段，截断值为 $\overline{b11}-\overline{11a}$，要能被 $91$ 整除。
    3. 第 3 步（试算）：当两个方框都填 $1$ 时，六位数为 $111111=111\times1001$，而 $1001=7\times11\times\underline{13}$，所以它一定能同时被 $7$ 和 $13$ 整除。
    4. 第 4 步（验算）：$111111\div7=\underline{15873}$，$111111\div13=\underline{8547}$，$111111\div91=\underline{1221}$。
    最终答案：方框中的两位数是 $11$（六位数为 $111111$）。
  20. 6. ch02-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求六位数）：由末位分析与估算得乘数为 $357$，六位数为 $323\times357=\underline{115311}$。
    2. 第 2 步（求商）：$115311\div323=\underline{357}$。
    3. 第 3 步（判断商被 $3$）：商是 $357$，数字和 $3+5+7=\underline{15}$，是 $3$ 的倍数，所以商能被 $3$ 整除，$357\div3=\underline{119}$。
    4. 第 4 步（顺带一算）：$115311\div3=\underline{38437}$，说明原六位数也能被 $3$ 整除。
    最终答案：六位数是 $115311$，商是 $357$，商能被 $3$ 整除（$357\div3=119$）。
  21. 7. ch02-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（合成条件）：$A$ 要被 $3,5,7,9$ 整除，而 $3$ 是 $9$ 的因数，所以只需被 $5\times7\times9=\underline{315}$ 整除。
    2. 第 2 步（定数字和与位数）：$3+5+7+9=\underline{24}$，不是 $9$ 的倍数，最少补到 $27$，要补 $27-24=\underline{3}$，即再添一个 $3$，共 $5$ 个数字。
    3. 第 3 步（定末位）：被 $5$ 整除，末位是 $5$。
    4. 第 4 步（从小到大枚举）：前四位由 $3,3,7,9$ 排成，依次得 $33795,33975,37395,37935,39375,\cdots$，第一个能被 $7$ 整除的是 $39375$（$39375\div7=\underline{5625}$）。
    5. 第 5 步（验算）：$39375\div315=\underline{125}$，$39375\div9=\underline{4375}$。
    最终答案：$A$ 的最小值是 $39375$。
  22. 7. ch02-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步（合成条件）：只需 $A$ 被 $5\times7\times9=\underline{315}$ 整除。
    2. 第 2 步（定数字和）：$1+3+5+7+9=\underline{25}$，要补到最小的 $9$ 的倍数 $27$，需补 $27-25=\underline{2}$，即再添两个 $1$，一共 $7$ 个数字。
    3. 第 3 步（定末位）：被 $5$ 整除，末位是 $5$。
    4. 第 4 步（枚举）：把 $1,1,1,3,7,9$ 从小到大排在前面：$1113795,1113975,1117395,1117935,\cdots$，第一个被 $7$ 整除的是 $1117935$，$1117935\div7=\underline{159705}$。
    5. 第 5 步（验算）：$1117935\div315=\underline{3549}$。
    最终答案：这样的密码最小是 $1117935$。
  23. 7. ch02-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（合成条件）：只需被 $5\times7\times9=\underline{315}$ 整除（$1$ 不构成限制）。
    2. 第 2 步（定数字和）：$1+5+7+9=\underline{22}$，最少补到 $27$，需补 $27-22=\underline{5}$，即再添一个 $5$，共 $5$ 个数字。
    3. 第 3 步（定末位）：末位是 $5$。
    4. 第 4 步（枚举）：前四位由 $1,5,7,9$ 排成，从小到大 $15795,15975,17595,17955,\cdots$，第一个被 $7$ 整除的是 $17955$，$17955\div7=\underline{2565}$。
    5. 第 5 步（验算）：$17955\div315=\underline{57}$，$17955\div9=\underline{1995}$。
    最终答案：$A$ 的最小值是 $17955$。
  24. 7. ch02-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（沿用前面的结论）：$A$ 要被 $315$ 整除，数字和为 $27$，共 $7$ 位，末位为 $5$，最小的是 $1117935$。
    2. 第 2 步（继续枚举）：把 $1,1,1,3,7,9$ 排在前面、按从小到大继续找，下一个候选是 $1131795$。
    3. 第 3 步（验被 $7$）：$1131795\div7=\underline{161685}$，能整除；再验被 $9$：数字和 $1+1+3+1+7+9+5=\underline{27}$，是 $9$ 的倍数。
    4. 第 4 步（验算）：$1131795\div315=\underline{3593}$，所以第二小的是 $1131795$。
    最终答案：第二小的 $A$ 是 $1131795$。
  25. 8. ch02-chaoyue-08 · 第一套
    1. 第 1 步（定首末位）：$85=5\times\underline{17}$，六位数能被 $5$ 整除，末位是 $0$ 或 $5$；回文数首位与末位相同且不能为 $0$，所以首末位都是 $5$。
    2. 第 2 步（写成数字谜）：设商为四位回文数 $\overline{abba}$，则 $\overline{abba}\times85=\overline{5cddc5}$。
    3. 第 3 步（估商的首位）：六位数在 $500000\sim599999$ 之间，$500000\div85\approx5882$，$599999\div85\approx7058$，所以商的首位是 $5,6$ 或 $7$；由积的个位是 $5$ 知商是奇数，首位取 $7$ 试算。
    4. 第 4 步（枚举验证）：$7007\times85=\underline{595595}$ 正是回文数 $595595$。
    5. 第 5 步（验算）：$595595\div85=\underline{7007}$，$595595\div5=\underline{119119}$。
    最终答案：这个六位数是 $595595$（$595595\div85=7007$）。
  26. 8. ch02-chaoyue-08 · 第二套
    1. 第 1 步（定首末位）：编号能被 $95$ 整除就能被 $5$ 整除，末位是 $0$ 或 $5$；回文数首位与末位相同且不为 $0$，故首末位都是 $\underline{5}$。
    2. 第 2 步（写成竖式）：设商为四位回文数 $\overline{abba}$，则 $\overline{abba}\times95=\overline{5cddc5}$。
    3. 第 3 步（定商首位）：由大小估计首位是 $5$ 或 $6$；积的个位是 $5$，说明商是奇数，所以首位是 $\underline{5}$。
    4. 第 4 步（枚举）：$5005\times95=\underline{475475}$、$5115\times95=485925$、…、$5555\times95=\underline{527725}$ 是回文数。
    5. 第 5 步（验算）：$527725\div95=\underline{5555}$。
    最终答案：编号是 $527725$。
  27. 8. ch02-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（定首末位）：五位回文数能被 $5$ 整除，末位是 $0$ 或 $5$，首位与末位相同且不为 $0$，所以首末位都是 $\underline{5}$。
    2. 第 2 步（估商的位数）：五位数在 $50000\sim59999$ 之间，除以 $95$ 得到的商是三位数（$50000\div95\approx526$，$59999\div95\approx631$）。
    3. 第 3 步（枚举三位回文数）：三位回文数中在 $526\sim631$ 之间的有 $535,545,555,565,575,585,595,606,616,626$；逐个乘 $95$，$555\times95=\underline{52725}$ 正是回文数。
    4. 第 4 步（验算）：$52725\div95=\underline{555}$，$52725\div5=\underline{10545}$。
    最终答案：这个五位数是 $52725$（$52725\div95=555$）。
  28. 8. ch02-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（定首末位）：能被 $55$ 整除就能被 $5$ 整除，末位是 $0$ 或 $5$；回文数首位不为 $0$，所以首末位都是 $\underline{5}$。
    2. 第 2 步（估商）：六位数在 $500000\sim599999$ 之间，除以 $55$ 得到的商是五位数（$500000\div55\approx9090$ 到 $599999\div55\approx10909$），所以商是五位回文数 $10101$ 或四位回文数 $9999$ 等。
    3. 第 3 步（从大到小试）：要六位数最大，商也要最大。$10101\times55=\underline{555555}$，是回文数 $555555$，符合要求。
    4. 第 4 步（验算）：$555555\div55=\underline{10101}$，$555555\div11=\underline{50505}$，$555555\div5=\underline{111111}$。
    最终答案：这样的六位回文数最大是 $555555$（$555555\div55=10101$）。
  29. 9. ch02-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（被 $4$ 看末两位）：$16\div4=\underline{4}$、$72\div4=\underline{18}$、$24\div4=\underline{6}$，所以是 $47216,3872,5124$。
    2. 第 2 步（被 $8$ 看末三位）：$216\div8=\underline{27}$、$872\div8=\underline{109}$ 能整除，而 $124\div8$ 除不尽，所以是 $47216,3872$。
    3. 第 3 步（被 $25$、$125$）：末两位为 $25,50,25$ 的三个数能被 $25$ 整除；再看末三位，$125\div125=\underline{1}$，而 $925,150$ 都不是 $125$ 的倍数，所以只有 $105125$ 能被 $125$ 整除。
    4. 第 4 步（被 $3$、$9$ 看数字和）：$8+9+2+5=\underline{24}$，$6+4+3+5=\underline{18}$，$9+7+0+2=\underline{18}$，$5+1+2+4=\underline{12}$，其中和为 $18$ 的两个数还能被 $9$ 整除。
    5. 第 5 步（被 $11$ 看奇偶位差）：$583$ 的差为 $(3+5)-8=\underline{0}$，$3872$ 的差为 $(2+8)-(7+3)=\underline{0}$，$9702\div11=\underline{882}$。
    最终答案：（1）被 $4$：$47216,3872,5124$；被 $8$：$47216,3872$。（2）被 $25$：$8925,72150,105125$；被 $125$：$105125$。（3）被 $3$：$8925,6435,72150,9702,5124$；被 $9$：$6435,9702$。（4）被 $11$：$6435,3872,9702,583$。
  30. 9. ch02-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（A 区）：被 $4$ 看末两位，$16\div4=\underline{4}$、$72\div4=\underline{18}$、$24\div4=\underline{6}$；被 $8$ 看末三位，$216\div8=\underline{27}$、$872\div8=\underline{109}$。
    2. 第 2 步（B 区）：末两位是 $25,50$ 的能被 $25$ 整除；末三位 $125\div125=\underline{1}$，只有 $105125$ 能被 $125$ 整除。
    3. 第 3 步（C 区）：数字和 $8+9+2+5=\underline{24}$、$6+4+3+5=\underline{18}$、$9+7+0+2=\underline{18}$，和为 $18$ 的还能被 $9$ 整除。
    4. 第 4 步（D 区）：奇偶位差 $(3+5)-8=\underline{0}$、$(2+8)-(7+3)=\underline{0}$，再验算 $6435\div11=\underline{585}$。
    最终答案：A 区：被 $4$ 的 $47216,3872,5124$，被 $8$ 的 $47216,3872$；B 区：被 $25$ 的 $8925,72150,105125$，被 $125$ 的 $105125$；C 区：被 $3$ 的 $8925,6435,72150,9702,5124$，被 $9$ 的 $6435,9702$；D 区：$6435,3872,9702,583$。
  31. 9. ch02-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分合数）：$6=2\times3$，$15=3\times5$，$45=5\times9$，都要拆成两个互质因数分别判断。
    2. 第 2 步（被 $6$）：既是偶数、数字和又是 $3$ 的倍数，$1+9+8+0=\underline{18}$，$3+6+7+2=\underline{18}$，$8+3+1+6=\underline{18}$，得 $1980,3672,5550,8316,2430,7128$。
    3. 第 3 步（被 $15$）：末位是 $0$ 或 $5$ 且数字和是 $3$ 的倍数，$4+7+2+5=\underline{18}$，$9+4+5=\underline{18}$，得 $1980,4725,5550,2430,945$。
    4. 第 4 步（被 $45$）：在被 $15$ 整除的数里挑数字和是 $9$ 的倍数的，$5550$ 的数字和 $15$ 不合格，其余 $1980\div45=\underline{44}$、$4725\div45=\underline{105}$、$2430\div45=\underline{54}$、$945\div45=\underline{21}$。
    最终答案：能被 $6$ 整除：$1980,3672,5550,8316,2430,7128$；能被 $15$ 整除：$1980,4725,5550,2430,945$；能被 $45$ 整除：$1980,4725,2430,945$。
  32. 9. ch02-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $25$）：末两位是 $50$，$50\div25=\underline{2}$，条件自动满足。
    2. 第 2 步（被 $9$）：数字和为 $7+2+\square+5+0=\underline{14}+\square$，要是 $9$ 的倍数，只能是 $18$，所以 $\square=18-14=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（求商）：五位数为 $72450$，因为 $9$ 与 $25$ 互质，它能被 $9\times25=\underline{225}$ 整除，$72450\div225=\underline{322}$。
    最终答案：这个五位数是 $72450$，$72450\div225=322$。
  33. 10. ch02-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（被 $9$）：数字和为 $2+5+4+\square=\underline{11}+\square$，要是 $9$ 的倍数，只能是 $18$，所以第一个数字是 $18-11=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（被 $11$）：从右数，奇数位是 $\square$ 与 $5$，偶数位是 $4$ 与 $2$，差为 $(\square+5)-(4+2)=\square-\underline{1}$，它要是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，所以第二个数字是 $1$。
    3. 第 3 步（被 $8$）：只看末三位 $\overline{54\square}$，$544\div8=\underline{68}$ 能整除，所以第三个数字是 $4$。
    4. 第 4 步（求和）：$7+1+4=\underline{12}$。
    最终答案：这 $3$ 个数字之和是 $12$。
  34. 10. ch02-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（被 $9$）：数字和 $2+5+4+\square=\underline{11}+\square$ 是 $9$ 的倍数，得第一个数字 $\underline{7}$。
    2. 第 2 步（被 $11$）：奇偶位差 $(\square+5)-(4+2)=\square-\underline{1}$ 只能为 $0$，得第二个数字 $1$。
    3. 第 3 步（被 $8$）：末三位 $\overline{54\square}$，$544\div8=\underline{68}$，得第三个数字 $4$。
    4. 第 4 步（求和）：$7+1+4=\underline{12}$。
    最终答案：这 $3$ 个数字之和是 $12$。
  35. 10. ch02-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $9$）：数字和为 $7+1+5+\square=\underline{13}+\square$，是 $9$ 的倍数只能取 $18$，第一个数字是 $18-13=\underline{5}$。
    2. 第 2 步（被 $11$）：奇数位是 $\square$ 与 $1$，偶数位是 $5$ 与 $7$，差为 $(\square+1)-12=\square-\underline{11}$，只能为 $-11$，所以第二个数字是 $0$。
    3. 第 3 步（被 $8$）：末三位 $\overline{15\square}$，$152\div8=\underline{19}$，所以第三个数字是 $2$。
    4. 第 4 步（求和）：$5+0+2=\underline{7}$。
    最终答案：这 $3$ 个数字之和是 $7$。
  36. 10. ch02-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求出三个四位数）：由被 $9$ 得 $2547$，由被 $11$ 得 $2541$，由被 $8$ 得 $\underline{2544}$（因为 $544\div8=68$）。
    2. 第 2 步（求和）：$2547+2541+2544=\underline{7632}$。
    3. 第 3 步（判断被 $9$）：和的数字和为 $7+6+3+2=\underline{18}$，它是 $9$ 的倍数，所以和能被 $9$ 整除。
    4. 第 4 步（验算）：$7632\div9=\underline{848}$。
    最终答案：三个四位数的和是 $7632$，它能被 $9$ 整除（$7632\div9=848$）。
  37. 11. ch02-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（数奇数位）：末尾的 $5$ 在第 $1$ 位（奇数位），每个 $7$ 也都落在奇数位，所以奇数位数字之和为 $7n+\underline{5}$。
    2. 第 2 步（数偶数位）：每个 $2$ 都落在偶数位，偶数位数字之和为 $\underline{2}n$。
    3. 第 3 步（作差）：$(7n+5)-2n=\underline{5}n+5$。
    4. 第 4 步（求最小 $n$）：$5n+5=5(n+1)$ 要是 $11$ 的倍数，因为 $5$ 与 $11$ 互质，所以 $n+1$ 是 $11$ 的倍数，最小 $n+1=11$，$n=\underline{10}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $10$。
  38. 11. ch02-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（数奇数位）：末尾的 $1$ 与每个 $3$ 都在奇数位，和为 $3n+\underline{1}$。
    2. 第 2 步（数偶数位）：每个 $2$ 在偶数位，和为 $\underline{2}n$。
    3. 第 3 步（作差）：$(3n+1)-2n=n+\underline{1}$。
    4. 第 4 步（求最小 $n$）：$n+1$ 是 $11$ 的倍数，最小 $n=11-1=\underline{10}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $10$。
  39. 11. ch02-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（数奇数位）：每个 $1$ 都在奇数位，奇数位数字之和为 $\underline{1}n$。
    2. 第 2 步（数偶数位）：每个 $4$ 都在偶数位，偶数位数字之和为 $\underline{4}n$。
    3. 第 3 步（作差）：$4n-n=\underline{3}n$。
    4. 第 4 步（求最小 $n$）：$3n$ 要是 $11$ 的倍数，$3$ 与 $11$ 互质，所以 $n$ 是 $11$ 的倍数，最小 $n=\underline{11}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $11$。
  40. 11. ch02-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $5$）：末位是 $0$，条件自动满足。
    2. 第 2 步（被 $9$）：各位数字之和为 $(7+2)\times n+0=\underline{9}n$，它总是 $9$ 的倍数，所以对任何 $n$ 都成立。
    3. 第 3 步（被 $11$）：末位 $0$ 与每个 $7$ 在奇数位，和为 $7n$；每个 $2$ 在偶数位，和为 $2n$；差为 $7n-2n=\underline{5}n$。
    4. 第 4 步（求最小 $n$）：$5n$ 是 $11$ 的倍数，$5$ 与 $11$ 互质，故 $n$ 是 $11$ 的倍数，最小 $n=\underline{11}$；此时数字和为 $9\times11=\underline{99}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $11$。
  41. 12. ch02-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（先用被 $25$）：末两位是 $\overline{5\square}$，在 $50\sim59$ 中只有 $50$ 是 $25$ 的倍数（$50\div25=\underline{2}$），所以个位是 $0$。
    2. 第 2 步（写奇偶位和）：五位数成为 $\overline{7\square050}$。从右数，奇数位数字是 $0,0,7$，和为 $\underline{7}$；偶数位数字是 $5,\square$，和为 $5+\square$。
    3. 第 3 步（作差求解）：$(5+\square)-7=\square-\underline{2}$ 要是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，所以 $\square=2$。
    4. 第 4 步（验算）：五位数为 $72050$，$72050\div11=\underline{6550}$，$72050\div25=\underline{2882}$。
    最终答案：这个五位数是 $72050$。
  42. 12. ch02-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（被 $25$）：末两位 $\overline{7\square}$ 是 $25$ 的倍数，只能是 $75$（$75\div25=\underline{3}$），个位是 $5$。
    2. 第 2 步（奇偶位和）：奇数位数字 $5,0,3$ 之和为 $\underline{8}$，偶数位为 $7+\square$。
    3. 第 3 步（作差）：$(7+\square)-8=\square-\underline{1}$ 只能为 $0$，所以 $\square=1$。
    4. 第 4 步（验算）：编号为 $31075$，$31075\div275=\underline{113}$。
    最终答案：这个编号是 $31075$。
  43. 12. ch02-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $25$）：末两位是 $\overline{2\square}$，在 $20\sim29$ 中只有 $25$ 是 $25$ 的倍数，所以个位是 $\underline{5}$。
    2. 第 2 步（奇偶位和）：五位数为 $\overline{5\square625}$，奇数位数字是 $5,6,5$，和为 $\underline{16}$；偶数位是 $2,\square$，和为 $2+\square$。
    3. 第 3 步（作差）：$16-(2+\square)=14-\square$ 要是 $11$ 的倍数，只能为 $11$，所以 $\square=14-11=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（验算）：五位数为 $53625$，$53625\div11=\underline{4875}$，$53625\div25=\underline{2145}$。
    最终答案：这个五位数是 $53625$。
  44. 12. ch02-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $25$）：末两位是 $\overline{\square5}$，只能是 $25$ 或 $75$，所以十位是 $2$ 或 $7$。
    2. 第 2 步（被 $11$）：设首位为 $a$、十位为 $b$。奇数位数字是 $5,0,a$，和为 $5+a$；偶数位是 $b,2$，和为 $b+2$。差为 $(5+a)-(b+2)=a-b+\underline{3}$，要是 $11$ 的倍数。$b=2$ 时 $a$ 无解；$b=7$ 时 $a-7+3=a-4$ 只能为 $0$，$a=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（验被 $9$）：五位数为 $42075$，数字和 $4+2+0+7+5=\underline{18}$，是 $9$ 的倍数，符合要求。
    4. 第 4 步（验算）：$42075\div11=\underline{3825}$，$42075\div25=\underline{1683}$，$42075\div9=\underline{4675}$。
    最终答案：这个五位数是 $42075$。
  45. 13. ch02-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（转化并拆分）：总工资能被 $45$ 整除，而 $45=5\times\underline{9}$，$5$ 与 $9$ 互质，可分别判断。
    2. 第 2 步（被 $5$ 分类）：末位只能是 $0$ 或 $5$。
    3. 第 3 步（末位为 $0$）：数字和为 $8+3+\square+4+0=\underline{15}+\square$，是 $9$ 的倍数只能取 $18$，$\square=18-15=\underline{3}$，总工资为 $83340$ 元。
    4. 第 4 步（末位为 $5$）：数字和为 $8+3+\square+4+5=\underline{20}+\square$，是 $9$ 的倍数只能取 $27$，$\square=27-20=\underline{7}$，总工资为 $83745$ 元。
    5. 第 5 步（验算）：$83340\div45=\underline{1852}$，$83745\div45=\underline{1861}$。
    最终答案：总工资可能是 $83340$ 元或 $83745$ 元。
  46. 13. ch02-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（转化并拆分）：总册数能被 $45$ 整除，$45=5\times\underline{9}$。
    2. 第 2 步（末位为 $0$）：数字和 $6+7+\square+8+0=\underline{21}+\square$ 要是 $9$ 的倍数，$\square=27-21=\underline{6}$，得 $67680$。
    3. 第 3 步（末位为 $5$）：数字和 $6+7+\square+8+5=\underline{26}+\square$ 要是 $9$ 的倍数，$\square=27-26=\underline{1}$，得 $67185$。
    4. 第 4 步（验算）：$67680\div45=\underline{1504}$，$67185\div45=\underline{1493}$。
    最终答案：总册数可能是 $67680$ 册或 $67185$ 册。
  47. 13. ch02-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $5$）：末位是 $5$，条件已满足。
    2. 第 2 步（被 $9$）：数字和为 $4+\square+3+6+5=\underline{18}+\square$，要是 $9$ 的倍数。
    3. 第 3 步（取值）：$18+\square$ 在 $18$ 与 $27$ 之间，可取 $18$ 或 $27$，即 $\square=0$ 或 $\square=27-18=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（验算）：$40365\div45=\underline{897}$，$49365\div45=\underline{1097}$。
    最终答案：满足要求的五位数是 $40365$ 与 $49365$。
  48. 13. ch02-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（先求候选）：由被 $45$ 整除可得两个候选：$83340$ 与 $83745$（做法同前）。
    2. 第 2 步（用偶数条件）：每人工资是偶数，则总工资 $=45\times$ 偶数 也是偶数，所以总工资末位必须是偶数，$83745$ 是奇数被排除。
    3. 第 3 步（求每人工资）：总工资为 $83340$ 元，每人 $83340\div45=\underline{1852}$（元），它确实是偶数（$1852\div2=\underline{926}$）。
    4. 第 4 步（验算）：$45\times1852=\underline{83340}$，与总工资一致。
    最终答案：总工资是 $83340$ 元，每人工资是 $1852$ 元。
  49. 14. ch02-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（合并条件）：$9$ 与 $11$ 互质，所以这个数能被 $9\times11=\underline{99}$ 整除。
    2. 第 2 步（两位截断）：从右往左每两位一段，得 $\overline{a3}$、$00$、$\overline{5b}$，它们的和要是 $99$ 的倍数。
    3. 第 3 步（夹逼）：$\overline{a3}$ 在 $13\sim93$ 之间，$\overline{5b}$ 在 $50\sim59$ 之间，和在 $63$ 与 $152$ 之间，所以和只能是 $\underline{99}$。
    4. 第 4 步（逐位定数）：$\overline{a3}+\overline{5b}=99$，个位 $3+b$ 要等于 $9$，故 $b=9-3=\underline{6}$；于是 $\overline{a3}=99-56=\underline{43}$，$a=4$。
    5. 第 5 步（验算）：六位数为 $430056$，$430056\div99=\underline{4344}$。
    最终答案：这个六位数是 $430056$。
  50. 14. ch02-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（合并条件）：$9$ 与 $11$ 互质，号码能被 $9\times11=\underline{99}$ 整除。
    2. 第 2 步（两位截断）：分成 $\overline{a2}$、$00$、$\overline{8b}$，三段之和要是 $99$ 的倍数。
    3. 第 3 步（夹逼）：$\overline{a2}$ 在 $12\sim92$、$\overline{8b}$ 在 $80\sim89$ 之间，和在 $92\sim181$ 之间，只能是 $\underline{99}$。
    4. 第 4 步（定数）：个位 $2+b=9$ 得 $b=\underline{7}$，$\overline{a2}=99-87=\underline{12}$，$a=1$。
    5. 第 5 步（验算）：号码为 $120087$，$120087\div99=\underline{1213}$。
    最终答案：这个号码是 $120087$。
  51. 14. ch02-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（合并）：两个条件合并为被 $\underline{99}$ 整除。
    2. 第 2 步（两位截断）：分成 $\overline{a4}$、$00$、$\overline{7b}$，和要是 $99$ 的倍数。
    3. 第 3 步（夹逼）：$\overline{a4}$ 在 $14\sim94$、$\overline{7b}$ 在 $70\sim79$ 之间，和在 $84\sim173$ 之间，只能是 $99$。
    4. 第 4 步（定数）：个位 $4+b=9$ 得 $b=\underline{5}$，$\overline{a4}=99-75=\underline{24}$，所以 $a=2$。
    5. 第 5 步（验算）：六位数为 $240075$，$240075\div99=\underline{2425}$。
    最终答案：这个六位数是 $240075$。
  52. 14. ch02-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求六位数）：由两位截断法得 $\overline{a3}+00+\overline{5b}=99$，解得 $b=6$、$a=4$，六位数为 $430056$。
    2. 第 2 步（求商）：$430056\div99=\underline{4344}$。
    3. 第 3 步（判断商被 $4$）：商是 $4344$，只看末两位，$44\div4=\underline{11}$，所以商能被 $4$ 整除，$4344\div4=\underline{1086}$。
    4. 第 4 步（顺带验算）：$430056\div4=\underline{107514}$，说明原数也能被 $4$ 整除。
    最终答案：六位数是 $430056$，商是 $4344$，商能被 $4$ 整除（$4344\div4=1086$）。
  53. 15. ch02-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（被 $9$ 定和）：选出的 $5$ 个数字之和最小是 $1+2+3+4+5=\underline{15}$，最大是 $4+5+6+7+8=\underline{30}$，其中是 $9$ 的倍数的只有 $18$ 与 $27$。要数最大，先试和为 $27$。
    2. 第 2 步（定删去的三个数）：$1+2+\cdots+8=\underline{36}$，和为 $27$ 就要删去和为 $36-27=\underline{9}$ 的三个数：$\{1,2,6\},\{1,3,5\},\{2,3,4\}$。
    3. 第 3 步（被 $11$ 定分组）：奇位和 $+$ 偶位和 $=27$ 是奇数，所以两者之差是奇数，只能是 $11$，于是奇位和 $=(27+11)\div2=\underline{19}$，偶位和 $=27-19=\underline{8}$。
    4. 第 4 步（挑最大）：剩下 $\{1,5,6,7,8\}$ 时，偶数位取和为 $8$ 的 $\{1,7\}$，奇数位为 $\{5,6,8\}$，把大数放高位得 $87615$；另两组分别只能得到 $86724$ 与 $85734$，都更小。
    5. 第 5 步（验算）：$87615\div99=\underline{885}$。
    最终答案：这个五位数最大是 $87615$。
  54. 15. ch02-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（被 $9$ 定和）：$5$ 个数字之和最小 $1+2+3+4+5=\underline{15}$，最大 $3+4+5+6+7=\underline{25}$，是 $9$ 的倍数只能是 $18$。
    2. 第 2 步（定删去的两数）：$1+2+\cdots+7=\underline{28}$，删去两数之和为 $28-18=\underline{10}$，即删 $\{3,7\}$ 或 $\{4,6\}$。
    3. 第 3 步（被 $11$ 定分组）：奇位和与偶位和相加为 $18$、相差为 $11$ 的倍数，只能都等于 $18\div2=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（挑最大）：剩 $\{1,2,4,5,6\}$ 时得 $65241$；剩 $\{1,2,3,5,7\}$ 时得 $57321$，取较大者。
    5. 第 5 步（验算）：$65241\div99=\underline{659}$。
    最终答案：这个编号最大是 $65241$。
  55. 15. ch02-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（定和与删数）：与求最大时一样，$5$ 个数字之和只能是 $18$，删去的两数之和为 $28-18=\underline{10}$，即删 $\{3,7\}$ 或 $\{4,6\}$。
    2. 第 2 步（定分组）：奇位和与偶位和都等于 $18\div2=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（挑最小）：要最小就把小数字放高位。剩 $\{1,2,3,5,7\}$ 时，万位取 $1$、千位取 $2$，可排出 $12375$；剩 $\{1,2,4,5,6\}$ 时最小只能排出 $14256$，更大。
    4. 第 4 步（验算）：$12375\div99=\underline{125}$，奇位和 $5+3+1=\underline{9}$、偶位和 $7+2=\underline{9}$ 确实相等。
    最终答案：这个五位数最小是 $12375$。
  56. 15. ch02-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（同前两层）：数字和只能是 $18$，奇位和与偶位和都等于 $\underline{9}$，可选数字组为 $\{1,2,4,5,6\}$ 或 $\{1,2,3,5,7\}$。
    2. 第 2 步（加偶数条件）：个位必须是偶数。先看数字组 $\{1,2,3,5,7\}$：其中唯一的偶数是 $2$，个位只能放 $2$；而个位属于奇数位，奇数位三数之和要等于 $9$，于是另两个奇数位数字之和应为 $9-2=\underline{7}$，但从剩下的 $\{1,3,5,7\}$ 里任取两数之和都不等于 $7$，这组排不出符合条件的数，所以主要看 $\{1,2,4,5,6\}$。
    3. 第 3 步（$\{1,2,4,5,6\}$ 排最大）：奇数位是 $\{1,2,6\}$、偶数位是 $\{4,5\}$。个位取偶数，只能取 $2$（若取 $6$，万位只剩 $1$ 或 $2$ 太小）。万位取 $6$、百位取 $1$，千位取 $5$、十位取 $4$，得 $\underline{65142}$。
    4. 第 4 步（验算）：$65142\div99=\underline{658}$，个位 $2$ 是偶数。
    最终答案：这个五位偶数最大是 $65142$。
  57. 16. ch02-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（三位截断）：从右往左每三位一段，$\overline{47\square63}$ 化为 $\overline{\square63}-47$。
    2. 第 2 步（逐个试）：$\square=6$ 时，$663-47=\underline{616}$，而 $616\div7=\underline{88}$ 恰好整除，其余取值都除不尽。
    3. 第 3 步（还原验算）：五位数为 $47663$，$47663\div7=\underline{6809}$。
    最终答案：这个一位数是 $6$，五位数是 $47663$。
  58. 16. ch02-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（三位截断）：号码化为 $\overline{\square89}-59$。
    2. 第 2 步（逐个试）：填 $6$ 时 $689-59=\underline{630}$，$630\div7=\underline{90}$ 能整除。
    3. 第 3 步（验算）：号码为 $59689$，$59689\div7=\underline{8527}$。
    最终答案：中间应填 $6$，号码是 $59689$。
  59. 16. ch02-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（三位截断）：$1001=7\times11\times13$，所以对 $13$ 同样可用截断，$\overline{47\square63}\to\overline{\square63}-47$。
    2. 第 2 步（逐个试）：$\square=4$ 时 $463-47=\underline{416}$，$416\div13=\underline{32}$ 恰好整除。
    3. 第 3 步（验算）：五位数为 $47463$，$47463\div13=\underline{3651}$。
    最终答案：中间的数字是 $4$，五位数是 $47463$。
  60. 16. ch02-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（合并条件）：$7$ 与 $13$ 互质，所以这个数能被 $7\times13=\underline{91}$ 整除。
    2. 第 2 步（三位截断）：从右往左每三位一段，得 $\overline{\square89}-\overline{59\square}$，它要是 $91$ 的倍数。
    3. 第 3 步（试算）：当两个方框依次填 $8,6$ 时，截断值为 $689-598=\underline{91}$，恰好就是 $91$ 本身，符合要求。
    4. 第 4 步（验算）：六位数为 $598689$，$598689\div91=\underline{6579}$，$598689\div7=\underline{85527}$，$598689\div13=\underline{46053}$。
    最终答案：这个六位数是 $598689$。
  61. 17. ch02-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（找整段）：$999999\div13=\underline{76923}$，$111111\div13=\underline{8547}$，两段都能被 $13$ 整除，可以整段削去。
    2. 第 2 步（削短）：末尾 $25$ 个 $9$ 每次削去 $6$ 个，削 $4$ 次共削 $6\times4=\underline{24}$ 个，剩 $25-24=\underline{1}$ 个；开头 $25$ 个 $1$ 同样剩 $1$ 个。
    3. 第 3 步（枚举三位数）：剩下 $\overline{1\square9}$ 要能被 $13$ 整除，试算得 $169\div13=\underline{13}$。
    4. 第 4 步（作答）：所以方格内的数字是 $\underline{6}$。
    最终答案：中间方格内的数字是 $6$。
  62. 17. ch02-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（找整段）：$999999\div13=\underline{76923}$，$555555\div13=\underline{42735}$，都能整段削去。
    2. 第 2 步（削短）：两端各削去 $6\times4=\underline{24}$ 个数字，各剩 $25-24=\underline{1}$ 个。
    3. 第 3 步（枚举）：剩下 $\overline{5\square9}$ 被 $13$ 整除，$559\div13=\underline{43}$。
    4. 第 4 步（作答）：看不清的数字是 $\underline{5}$。
    最终答案：看不清的数字是 $5$。
  63. 17. ch02-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（找整段）：$999999\div7=\underline{142857}$，$555555\div7=\underline{79365}$，两段都能被 $7$ 整除。
    2. 第 2 步（削短）：两端各削去 $24$ 个数字后只剩 $\overline{5\square9}$。
    3. 第 3 步（枚举）：$\overline{5\square9}$ 要被 $7$ 整除，$539\div7=\underline{77}$。
    4. 第 4 步（作答）：方格内的数字是 $\underline{3}$。
    最终答案：中间方格内的数字是 $3$。
  64. 17. ch02-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（合并条件）：$7$ 与 $11$ 互质，所以这个数能被 $7\times11=\underline{77}$ 整除。
    2. 第 2 步（找整段）：$999999\div77=\underline{12987}$，$555555\div77=\underline{7215}$，两段都能被 $77$ 整除，可整段削去。
    3. 第 3 步（削短并枚举）：两端各削去 $24$ 个数字后剩 $\overline{5\square9}$，要被 $77$ 整除，$539\div77=\underline{7}$。
    4. 第 4 步（作答）：方格内的数字是 $\underline{3}$。
    最终答案：中间方格内的数字是 $3$。
  65. 18. ch02-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（用奇偶性判断差）：设奇数位数字之和为 $a$、偶数位数字之和为 $b$，则 $a+b=\underline{20}$ 是偶数，所以 $a-b$ 也是偶数；它又要是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，即 $a=b=20\div2=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（排除三位数）：三位数时偶数位只有一个数字，它要等于 $10$，不可能，所以至少是四位数。
    3. 第 3 步（四位数取最小）：四位数的奇数位是个位与百位，偶数位是十位与千位，两组和都要是 $10$。要最小，千位取 $1$，则十位取 $10-1=\underline{9}$；再让百位取 $1$，个位取 $\underline{9}$。
    4. 第 4 步（验算）：这个数是 $1199$，$1199\div11=\underline{109}$，数字和 $1+1+9+9=\underline{20}$。
    最终答案：这个多位数最小是 $1199$。
  66. 18. ch02-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（用奇偶性）：设奇数位和为 $a$、偶数位和为 $b$，$a+b=\underline{13}$ 是奇数，所以 $a-b$ 也是奇数；它是 $11$ 的倍数且不超过 $13$，只能是 $\pm11$。
    2. 第 2 步（求两个和）：由 $a+b=13$、$a-b=11$ 得 $a=(13+11)\div2=\underline{12}$，$b=13-12=\underline{1}$。
    3. 第 3 步（取最小）：位数越少越小，三位数时偶数位只有十位，取 $b=1$；奇数位是百位与个位，和为 $12$，要最小百位取 $3$、个位取 $12-3=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（验算）：这个数是 $319$，$319\div11=\underline{29}$，数字和 $3+1+9=\underline{13}$。
    最终答案：这个密码最小是 $319$。
  67. 18. ch02-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（排除两位数）：两位的 $11$ 的倍数是 $11,22,\cdots,99$，十位与个位相同，与「互不相同」矛盾，所以至少三位。
    2. 第 2 步（从小到大找三位数）：三位的 $11$ 的倍数依次是 $110,121,132,143,154,\cdots$，前四个要么有重复数字、要么不含 $5$。
    3. 第 3 步（锁定）：$154$ 的三个数字 $1,5,4$ 互不相同且含 $5$，$154\div11=\underline{14}$。
    4. 第 4 步（验算奇偶位差）：$(4+1)-5=\underline{0}$，能被 $11$ 整除。
    最终答案：这个多位数最小是 $154$。
  68. 18. ch02-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（定两个和）：奇数位和 $a$ 与偶数位和 $b$ 满足 $a+b=\underline{24}$ 为偶数，故 $a-b$ 为偶数且是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，所以 $a=b=24\div2=\underline{12}$。
    2. 第 2 步（排除三位数）：三位数时偶数位只有十位一个数字，要等于 $12$，不可能，所以至少四位。
    3. 第 3 步（四位数取最小）：千位与十位同属偶数位、和为 $12$，千位尽量小取 $3$，十位取 $12-3=\underline{9}$；百位与个位同属奇数位、和为 $12$，百位尽量小取 $3$，个位取 $\underline{9}$。
    4. 第 4 步（验算）：这个数是 $3399$，$3399\div11=\underline{309}$，数字和 $3+3+9+9=\underline{24}$。
    最终答案：这个多位数最小是 $3399$。
  69. 19. ch02-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（先看被 $3$）：六个数字之和为 $2+2+4+4+6+6=\underline{24}$，是 $3$ 的倍数，所以只要末位是偶数就能被 $6$ 整除。
    2. 第 2 步（用结构保证被 $7$）：把数排成 $\overline{abcabc}$ 的形式，因为 $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times\underline{1001}$，而 $1001=7\times11\times13$。
    3. 第 3 步（调末三位被 $8$）：只看 $\overline{abc}$，试出 $264\div8=\underline{33}$，所以取 $\overline{abc}=264$。
    4. 第 4 步（写出并验算）：六位数为 $264\times1001=\underline{264264}$，且 $264264\div7=\underline{37752}$，$264264\div6=\underline{44044}$。
    最终答案：一个满足要求的六位数是 $264264$。
  70. 19. ch02-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（被 $3$）：数字和为 $6+6+7+7+8+8=\underline{42}$，是 $3$ 的倍数。
    2. 第 2 步（被 $7$）：排成 $\overline{abcabc}$，它等于 $\overline{abc}\times\underline{1001}$，一定能被 $7$ 整除。
    3. 第 3 步（被 $8$）：末三位 $768\div8=\underline{96}$。
    4. 第 4 步（写出并验算）：号码为 $768\times1001=\underline{768768}$。
    最终答案：一个满足要求的号码是 $768768$。
  71. 19. ch02-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（合并三个条件）：$7\times11\times13=\underline{1001}$，所以只要这个数是 $1001$ 的倍数，就同时被 $7,11,13$ 整除。
    2. 第 2 步（用结构）：把数排成 $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times1001$ 即可。
    3. 第 3 步（被 $6$）：数字和 $42$ 是 $3$ 的倍数，只要末位为偶数；取 $\overline{abc}=678$，末位 $8$ 是偶数。
    4. 第 4 步（写出并验算）：六位数为 $678\times1001=\underline{678678}$，$678678\div1001=\underline{678}$，$678678\div6=\underline{113113}$。
    最终答案：一个满足要求的六位数是 $678678$。
  72. 19. ch02-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（先定被 $8$ 与被 $6$）：末位必须是偶数（三个数字都是偶数，自动满足），末三位还要能被 $8$ 整除。
    2. 第 2 步（尽量把大数放前面）：要最大，先试最高两位都取 $6$，即 $\overline{66\square\square\square\square}$，剩下的数字是 $2,2,4,4$。
    3. 第 3 步（试末三位）：末三位由剩下的数字组成，$424\div8=\underline{53}$ 能整除，于是六位数为 $662424$；再验证被 $7$：$662424\div7=\underline{94632}$，整除。
    4. 第 4 步（验算全部条件）：$662424\div6=\underline{110404}$，$662424\div8=\underline{82803}$，所以最大是 $662424$。
    最终答案：这样的六位数最大是 $662424$。
  73. 22. ch02-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（列竖式）：设这个数为 $29\times n$，要求积的末三位是 $888$。
    2. 第 2 步（定乘数个位）：$29$ 的个位是 $9$，只有 $9\times2$ 的个位是 $8$，所以 $n$ 的个位是 $2$，$29\times2=\underline{58}$。
    3. 第 3 步（定乘数十位）：试 $\overline{\square2}$，$29\times72=\underline{2088}$，末两位是 $88$，所以十位是 $7$。
    4. 第 4 步（定乘数百位）：试 $\overline{\square72}$，$29\times272=\underline{7888}$，末三位是 $888$，所以 $n$ 的末三位是 $272$。
    5. 第 5 步（取最小的五位数）：$7888$ 只有四位，下一个符合的乘数是 $1272$，$29\times1272=\underline{36888}$，$36888\div29=\underline{1272}$。
    最终答案：这个五位数最小是 $36888$。
  74. 22. ch02-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（列竖式）：编号 $=23\times n$，且末三位是 $999$。
    2. 第 2 步（定个位）：$3\times3=9$，$n$ 的个位是 $3$，$23\times3=\underline{69}$。
    3. 第 3 步（定十位）：$23\times13=\underline{299}$，末两位是 $99$，十位取 $1$。
    4. 第 4 步（定百位并取最小）：$23\times913=\underline{20999}$，末三位是 $999$，且这是最小的五位数。
    5. 第 5 步（验算）：$20999\div23=\underline{913}$。
    最终答案：这样的编号最小是 $20999$。
  75. 22. ch02-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（先定乘数的末三位）：由末位逐位分析（个位 $3$、十位 $1$、百位 $9$）可知，乘数的末三位一定是 $913$，即乘数是 $913,1913,2913,3913,\cdots$。
    2. 第 2 步（逐个算出五位数）：$23\times913=\underline{20999}$，$23\times1913=\underline{43999}$，$23\times2913=\underline{66999}$，$23\times3913=\underline{89999}$。
    3. 第 3 步（再往上就超过五位）：$23\times4913=\underline{112999}$ 已是六位数，所以最大的五位数是 $89999$。
    4. 第 4 步（验算）：$89999\div23=\underline{3913}$，末三位是 $999$。
    最终答案：这个五位数最大是 $89999$。
  76. 22. ch02-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（定乘数的末三位）：与前面一样，乘数的末三位必须是 $913$。
    2. 第 2 步（估范围）：六位数最小是 $100000$，所以乘数至少是 $100000\div23\approx4348$。
    3. 第 3 步（取最小的合格乘数）：末三位为 $913$ 且不小于 $4348$ 的最小整数是 $4913$，$23\times4913=\underline{112999}$；而上一个乘数 $3913$ 只能得到 $23\times3913=\underline{89999}$，还是五位数。
    4. 第 4 步（验算）：$112999\div23=\underline{4913}$，末三位为 $999$。
    最终答案：这个六位数最小是 $112999$。
  77. 23. ch02-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（被 $2$）：只看末一位是不是偶数，末位为 $6,6,4,0,6,2$ 的六个数入选，一共 $\underline{6}$ 个。
    2. 第 2 步（被 $4$）：$4$ 能整除 $100$，只需看末两位。$344$ 的末两位是 $44$，$44\div4=\underline{11}$；$17032$ 的末两位是 $32$，$32\div4=\underline{8}$；而 $750$ 的末两位 $50$、$826$ 的末两位 $26$ 都不是 $4$ 的倍数。
    3. 第 3 步（被 $8$）：$8$ 能整除 $1000$，只需看末三位。$344\div8=\underline{43}$，$096\div8=\underline{12}$，$032\div8=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（被 $5$）：末位是 $0$ 或 $5$ 的数入选，共 $\underline{4}$ 个。
    5. 第 5 步（被 $25$、$125$）：看末两位与末三位，$750\div125=\underline{6}$，$875\div125=\underline{7}$，$125\div125=\underline{1}$。
    最终答案：（1）被 $2$：$26,96,344,750,826,17032$；被 $4$：$96,344,17032$；被 $8$：$96,344,17032$。（2）被 $5$：$45,750,6875,43125$；被 $25$：$750,6875,43125$；被 $125$：$750,6875,43125$。
  78. 23. ch02-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（一楼）：编号末位是偶数即可，末位为 $6,6,4,0,6,2$ 的共 $\underline{6}$ 箱。
    2. 第 2 步（蓝标）：只看末两位能否被 $4$ 整除，$44\div4=\underline{11}$，$32\div4=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（金标）：只看末三位能否被 $8$ 整除，$096\div8=\underline{12}$，$344\div8=\underline{43}$，$032\div8=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（被 $5$、$25$、$125$）：末位 $0$ 或 $5$ 的共 $\underline{4}$ 箱；再看末三位，$750\div125=\underline{6}$，$875\div125=\underline{7}$，$125\div125=\underline{1}$。
    最终答案：（1）一楼：$26,96,344,750,826,17032$；蓝标：$96,344,17032$；金标：$96,344,17032$。（2）被 $5$：$45,750,6875,43125$；被 $25$ 与被 $125$：$750,6875,43125$。
  79. 23. ch02-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $8$）：看末三位。$000\div8=0$；$248\div8=\underline{31}$；$160\div8=\underline{20}$；$500\div8$ 除不尽；$625\div8$ 除不尽。
    2. 第 2 步（被 $125$）：仍看末三位。$000\div125=0$；$625\div125=\underline{5}$；$500\div125=\underline{4}$；$248,160$ 都不是 $125$ 的倍数。
    3. 第 3 步（被 $1000$）：既被 $8$ 又被 $125$，即末三位为 $000$，只有 $3000$，$3000\div1000=\underline{3}$。
    最终答案：（1）被 $8$：$3000,7248,4160$。（2）被 $125$：$3000,15625,96500$。（3）同时被 $8$ 和 $125$（被 $1000$）：$3000$。
  80. 23. ch02-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $4$ 只看末两位）：末两位是 $\overline{\square6}$，逐个试：$16\div4=\underline{4}$，$36\div4=\underline{9}$，$56\div4=\underline{14}$，$76\div4=\underline{19}$，$96\div4=\underline{24}$，所以 $\square$ 取奇数，即 $1,3,5,7,9$。
    2. 第 2 步（被 $8$ 要看末三位）：在 $5$ 个三位数 $316,336,356,376,396$ 中逐个试除，$336\div8=\underline{42}$、$376\div8=\underline{47}$ 都能整除，而 $316,356,396$ 都除不尽，所以能被 $8$ 整除的是 $336$ 和 $376$。
    3. 第 3 步：写出答案，$\square$ 可填 $1,3,5,7,9$；能被 $8$ 整除的三位数是 $336$ 和 $376$。
    最终答案：$\square$ 可以填 $1,3,5,7,9$；其中能被 $8$ 整除的三位数是 $336$ 和 $376$。
  81. 24. ch02-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（先求数字和）：$1+4+5+2=\underline{12}$，$2+3+8+7=\underline{20}$，$3+2+2+8=\underline{15}$，$5+5+2+6=\underline{18}$，$8+7+7+5=\underline{27}$，$9+8+3+7=\underline{27}$。
    2. 第 2 步（判断被 $3$）：数字和是 $3$ 的倍数的入选，得 $1452,3228,5526,6882,8775,9837$ 共 $\underline{6}$ 个。
    3. 第 3 步（判断被 $9$）：数字和是 $9$ 的倍数的才入选，$5526$ 的和 $18$、$8775$ 与 $9837$ 的和都是 $\underline{27}$，所以是 $5526,8775,9837$。
    4. 第 4 步（同时被 $2$、$3$）：在被 $3$ 整除的数里挑末位是偶数的，$1452\div6=\underline{242}$，$6882\div6=\underline{1147}$。
    最终答案：能被 $3$ 整除：$1452,3228,5526,6882,8775,9837$；能被 $9$ 整除：$5526,8775,9837$；能同时被 $2$ 和 $3$ 整除：$1452,3228,5526,6882$。
  82. 24. ch02-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：先算编号的各位数字之和，$1+4+5+2=\underline{12}$，$3+2+2+8=\underline{15}$，$5+5+2+6=\underline{18}$，$6+8+8+2=\underline{24}$。
    2. 第 2 步（周三活动）：数字和被 $3$ 整除的编号入选，共 $\underline{6}$ 个。
    3. 第 3 步（周五加练）：数字和被 $9$ 整除的入选，$8775$ 与 $9837$ 的数字和都是 $\underline{27}$。
    4. 第 4 步（借大厅）：被 $3$ 整除又是偶数的编号，$5526\div6=\underline{921}$。
    最终答案：周三活动：$1452,3228,5526,6882,8775,9837$；周五加练：$5526,8775,9837$；可借大厅：$1452,3228,5526,6882$。
  83. 24. ch02-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（数字和）：$4+1+1+3=\underline{9}$，$2+5+3+8=\underline{18}$，$3+7+1+1=\underline{12}$，$5+3+2+5=\underline{15}$，$4+1+1+6=\underline{12}$。
    2. 第 2 步（被 $9$）：数字和是 $9$ 的倍数的入选，得 $4113,2538,7452,6084$。
    3. 第 3 步（被 $6$）：$6=2\times3$，要求既是偶数、数字和又是 $3$ 的倍数，得 $2538,7452,6084,4116$，其中 $2538\div6=\underline{423}$。
    4. 第 4 步（被 $18$）：$18=2\times9$，即在被 $9$ 整除的数里挑偶数，$7452\div18=\underline{414}$，$6084\div18=\underline{338}$。
    最终答案：能被 $9$ 整除：$4113,2538,7452,6084$；能被 $6$ 整除：$2538,7452,6084,4116$；能被 $18$ 整除：$2538,7452,6084$。
  84. 24. ch02-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $9$ 的要求）：各位数字之和为 $4+\square+8=12+\square$，它要是 $9$ 的倍数；$\square$ 只能是 $0\sim9$ 的数字，故 $12+\square=\underline{18}$，得 $\square=18-12=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（被 $6$ 的要求）：末位 $8$ 是偶数，且数字和已是 $3$ 的倍数，所以自动满足，这个三位数是 $\underline{468}$。
    3. 第 3 步（求商）：$18=2\times9$，$468\div18=\underline{26}$。
    最终答案：$\square=6$，这个三位数是 $468$，$468\div18=26$。
  85. 25. ch02-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（三位截断）：从右往左每三位一段，用末三位减去前面的部分：$861-3=\underline{858}$，$824-5=\underline{819}$，$163-9=\underline{154}$，$751-23=\underline{728}$。
    2. 第 2 步（判断被 $11$）：$858\div11=\underline{78}$，$154\div11=\underline{14}$，而 $819,728$ 都不是 $11$ 的倍数。
    3. 第 3 步（判断被 $7$）：$819\div7=\underline{117}$，$154\div7=\underline{22}$，$728\div7=\underline{104}$。
    4. 第 4 步（判断被 $13$）：$858\div13=\underline{66}$，$819\div13=\underline{63}$，$728\div13=\underline{56}$。
    最终答案：能被 $11$ 整除：$3861,9163$；能被 $7$ 整除：$5824,9163,23751$；能被 $13$ 整除：$3861,5824,23751$。
  86. 25. ch02-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步：用三位截断法把号码变小，$861-3=\underline{858}$，$824-5=\underline{819}$，$163-9=\underline{154}$，$751-23=\underline{728}$。
    2. 第 2 步（甲组）：$858\div11=\underline{78}$，$154\div11=\underline{14}$。
    3. 第 3 步（乙组）：$819\div7=\underline{117}$，$154\div7=\underline{22}$，$728\div7=\underline{104}$。
    4. 第 4 步（丙组）：$858\div13=\underline{66}$，$819\div13=\underline{63}$，$728\div13=\underline{56}$。
    最终答案：甲组（被 $11$）：$3861,9163$；乙组（被 $7$）：$5824,9163,23751$；丙组（被 $13$）：$3861,5824,23751$。
  87. 25. ch02-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（认出结构）：形如 $\overline{abcabc}$ 的六位数等于 $\overline{abc}\times1001$，而 $1001=7\times11\times\underline{13}$。
    2. 第 2 步（用三位截断验证）：$358-358=\underline{0}$，$246-246=\underline{0}$，差是 $0$，说明两个数都能同时被 $7,11,13$ 整除。
    3. 第 3 步（连除）：$358358\div7=\underline{51194}$，再 $\div11=\underline{4654}$，再 $\div13=\underline{358}$。
    最终答案：两个数都能同时被 $7,11,13$ 整除；$358358\div7\div11\div13=358$。
  88. 25. ch02-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（先截断）：$\overline{2\square95}$ 的三位截断为 $\overline{\square95}-2$，即 $\overline{\square95}$ 减去 $2$ 后要能被 $7$ 整除。
    2. 第 2 步（逐个试）：$\square$ 从 $0$ 试到 $9$，$695-2=\underline{693}$，而 $693\div7=\underline{99}$ 恰好整除，其余的 $\overline{\square95}-2$ 都除不尽，所以 $\square=6$。
    3. 第 3 步（求商）：这个四位数是 $2695$，$2695\div7=\underline{385}$。
    最终答案：$\square=6$，这个四位数是 $2695$，$2695\div7=385$。
  89. 26. ch02-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（被 $3$）：数字和是 $8+\square+6=\underline{14}+\square$，它要是 $3$ 的倍数；$14+1=\underline{15}$、$14+4=\underline{18}$、$14+7=\underline{21}$ 都是 $3$ 的倍数，所以 $\square=1,4,7$。
    2. 第 2 步（被 $4$）：只看末两位 $\overline{\square6}$，$16\div4=\underline{4}$、$36\div4=\underline{9}$、$56\div4=\underline{14}$、$76\div4=\underline{19}$、$96\div4=\underline{24}$，所以 $\square=1,3,5,7,9$。
    3. 第 3 步（同时满足）：取两组的公共值 $\{1,4,7\}$ 与 $\{1,3,5,7,9\}$，得 $\square=1$ 或 $7$，此时三位数是 $816$ 与 $876$，$816\div12=\underline{68}$，$876\div12=\underline{73}$。
    最终答案：（1）$\square=1,4,7$；（2）$\square=1,3,5,7,9$；（3）$\square=1$ 或 $7$。
  90. 26. ch02-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（被 $3$）：数字和 $6+\square+4=\underline{10}+\square$ 要是 $3$ 的倍数，$10+2=\underline{12}$、$10+5=\underline{15}$、$10+8=\underline{18}$，所以被挡数字是 $2,5,8$。
    2. 第 2 步（被 $4$）：只看末两位 $\overline{\square4}$，$24\div4=\underline{6}$、$44\div4=\underline{11}$、$64\div4=\underline{16}$、$84\div4=\underline{21}$，再加上 $04$，所以是 $0,2,4,6,8$。
    3. 第 3 步（同时满足）：两组公共值为 $2$ 和 $8$，门牌号是 $624$ 或 $684$，$624\div12=\underline{52}$。
    最终答案：（1）$2,5,8$；（2）$0,2,4,6,8$；（3）$2$ 或 $8$，门牌号是 $624$ 或 $684$。
  91. 26. ch02-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $9$）：数字和为 $9+\square+6=\underline{15}+\square$，要是 $9$ 的倍数，只能是 $18$，所以 $\square=18-15=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（被 $4$）：末两位 $\overline{\square6}$ 要是 $4$ 的倍数，$16,36,56,76,96$ 都行，所以 $\square=1,3,5,7,9$，共 $\underline{5}$ 个。
    3. 第 3 步（同时满足）：两组的公共值是 $\square=3$，此时三位数为 $936$，$936\div36=\underline{26}$。
    最终答案：（1）$\square=3$；（2）$\square=1,3,5,7,9$；（3）$\square=3$，三位数是 $936$。
  92. 26. ch02-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $3$）：数字和 $8+\square+6=\underline{14}+\square$ 要是 $3$ 的倍数，所以 $\square=1,4,7$。
    2. 第 2 步（被 $8$）：三位数本身就是末三位，必须整除试算：$816\div8=\underline{102}$、$856\div8=\underline{107}$、$896\div8=\underline{112}$ 能整除，所以 $\square=1,5,9$。
    3. 第 3 步（取公共值）：$\{1,4,7\}$ 与 $\{1,5,9\}$ 的公共值是 $\square=1$，三位数是 $816$，$816\div24=\underline{34}$。
    最终答案：$\square=1$，这个三位数是 $816$。
  93. 27. ch02-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（分奇偶位）：从右往左数，$6$ 和 $7$ 在奇数位，$\square$ 和 $4$ 在偶数位。
    2. 第 2 步（求两个和）：奇数位数字之和为 $6+7=\underline{13}$，偶数位数字之和为 $\square+4$。
    3. 第 3 步（令差被 $11$ 整除）：差为 $13-(\square+4)=9-\square$，因为 $\square$ 只能是 $0\sim9$ 的数字，这个差只能取 $0$，所以 $\square=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（验算）：四位数为 $4796$，$4796\div11=\underline{436}$。
    最终答案：$\square=9$，四位数是 $4796$。
  94. 27. ch02-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（分奇偶位）：从右数，$5$ 与 $3$ 在奇数位，磨掉的数字与 $2$ 在偶数位。
    2. 第 2 步（求两个和）：奇数位和为 $5+3=\underline{8}$，偶数位和为 $\square+2$。
    3. 第 3 步（差被 $11$ 整除）：$8-(\square+2)=6-\square$ 只能为 $0$，故 $\square=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（验算）：编号为 $2365$，$2365\div11=\underline{215}$。
    最终答案：编号是 $2365$。
  95. 27. ch02-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（分奇偶位）：从右往左，$4,1,6$ 在奇数位，$7,\square$ 在偶数位。
    2. 第 2 步（求两个和）：奇数位和为 $4+1+6=\underline{11}$，偶数位和为 $7+\square$。
    3. 第 3 步（令差被 $11$ 整除）：$11-(7+\square)=4-\square$ 只能为 $0$，所以 $\square=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（验算）：五位数为 $64174$，$64174\div11=\underline{5834}$。
    最终答案：这个五位数是 $64174$。
  96. 27. ch02-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $9$ 的条件）：设两个方框依次为 $a$、$b$，数字和为 $4+a+b+6=\underline{10}+a+b$，它要是 $9$ 的倍数，所以 $a+b=8$ 或 $17$。
    2. 第 2 步（被 $11$ 的条件）：从右数，$6$ 与 $a$ 在奇数位，$b$ 与 $4$ 在偶数位，差为 $(6+a)-(b+4)=a-b+\underline{2}$，它要是 $11$ 的倍数，故 $a-b=-2$ 或 $9$。
    3. 第 3 步（联立求解）：由 $a+b=8$、$a-b=-2$ 得 $a=(8-2)\div2=\underline{3}$，$b=8-3=\underline{5}$；其余组合都得不到 $0\sim9$ 的整数。
    4. 第 4 步（验算）：四位数为 $4356$，$4356\div11=\underline{396}$，$4356\div9=\underline{484}$。
    最终答案：这个四位数是 $4356$。
  97. 28. ch02-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（翻译条件）：$9$ 人每人一样多，所以总钱数能被 $\underline{9}$ 整除。
    2. 第 2 步（写数字和）：$5+\square+4+7=\underline{16}+\square$。
    3. 第 3 步（夹逼定值）：$16+\square$ 在 $16$ 与 $25$ 之间，是 $9$ 的倍数只能等于 $18$，所以 $\square=18-16=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（求每人）：总数为 $5247$ 元，每人交 $5247\div9=\underline{583}$（元）。
    最终答案：被污损的数字是 $2$，总数 $5247$ 元，每人交 $583$ 元。
  98. 28. ch02-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（翻译条件）：$9$ 箱一样重，所以总重能被 $\underline{9}$ 整除。
    2. 第 2 步（写数字和）：$5+\square+4+7=\underline{16}+\square$，它要是 $9$ 的倍数。
    3. 第 3 步（定值）：$16+\square$ 只能是 $18$，所以 $\square=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（求每箱）：$5247\div9=\underline{583}$（千克）。
    最终答案：被泡花的数字是 $2$，总重 $5247$ 千克，每箱 $583$ 千克。
  99. 28. ch02-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（写数字和）：$4+8+\square+6+3=\underline{21}+\square$。
    2. 第 2 步（夹逼定值）：$21+\square$ 在 $21$ 与 $30$ 之间，是 $9$ 的倍数只能是 $27$，所以 $\square=27-21=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（求商）：五位数是 $48663$，$48663\div9=\underline{5407}$。
    最终答案：这个五位数是 $48663$，$48663\div9=5407$。
  100. 28. ch02-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（设未知数）：设方框中的数字为 $a$，数字和为 $5+a+4+a=\underline{9}+2a$。
    2. 第 2 步（被 $9$）：$9+2a$ 要是 $9$ 的倍数，$2a$ 也必须是 $9$ 的倍数，而 $0\le 2a\le 18$，所以 $2a=0$ 或 $18$，即 $a=0$ 或 $a=18\div2=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（用偶数排除）：总数末位就是 $a$，要求是偶数，所以 $a=\underline{0}$，总数为 $5040$ 元。
    4. 第 4 步（求每人）：$5040\div9=\underline{560}$（元）。
    最终答案：总数是 $5040$ 元，每人交 $560$ 元。
  101. 29. ch02-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（先用被 $5$）：个位只能是 $0$ 或 $5$，把问题分成 $\overline{7\square40}$ 与 $\overline{7\square45}$ 两支。
    2. 第 2 步（个位为 $0$ 这一支）：数字和为 $7+\square+4+0=\underline{11}+\square$，要是 $3$ 的倍数，$\square=1,4,7$，得 $7140,7440,7740$。
    3. 第 3 步（个位为 $5$ 这一支）：数字和为 $7+\square+4+5=\underline{16}+\square$，要是 $3$ 的倍数，$\square=2,5,8$，得 $7245,7545,7845$。
    4. 第 4 步（验算）：$7140\div15=\underline{476}$，$7845\div15=\underline{523}$，一共有 $3+3=\underline{6}$ 个。
    最终答案：满足要求的四位数有 $7140,7440,7740,7245,7545,7845$。
  102. 29. ch02-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（被 $5$ 定个位）：编号末位只能是 $0$ 或 $5$。
    2. 第 2 步（末位为 $0$）：数字和 $7+\square+4+0=\underline{11}+\square$ 是 $3$ 的倍数，$\square=1,4,7$，编号为 $7140,7440,7740$。
    3. 第 3 步（末位为 $5$）：数字和 $7+\square+4+5=\underline{16}+\square$ 是 $3$ 的倍数，$\square=2,5,8$，编号为 $7245,7545,7845$。
    4. 第 4 步（共几个）：一共有 $3+3=\underline{6}$ 种可能，其中最小的是 $\underline{7140}$。
    最终答案：可能的编号有 $7140,7245,7440,7545,7740,7845$，共 $6$ 种。
  103. 29. ch02-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分 $45$）：$45=5\times9$，所以这个数要同时被 $5$ 和 $9$ 整除。
    2. 第 2 步（被 $5$ 定个位）：个位是 $0$ 或 $5$。
    3. 第 3 步（个位为 $0$）：数字和 $7+\square+4+0=\underline{11}+\square$ 要是 $9$ 的倍数，只能等于 $18$，$\square=18-11=\underline{7}$，得 $7740$。
    4. 第 4 步（个位为 $5$）：数字和 $7+\square+4+5=\underline{16}+\square$ 要是 $9$ 的倍数，只能等于 $18$，$\square=18-16=\underline{2}$，得 $7245$。
    5. 第 5 步（验算）：$7740\div45=\underline{172}$，$7245\div45=\underline{161}$。
    最终答案：满足要求的四位数是 $7740$ 与 $7245$。
  104. 29. ch02-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $5$ 且是偶数）：个位既要是 $0$ 或 $5$，又要是偶数，所以个位只能是 $\underline{0}$。
    2. 第 2 步（被 $3$）：数字和 $7+\square+4+0=\underline{11}+\square$ 要是 $3$ 的倍数，所以 $\square=1,4,7$。
    3. 第 3 步（用互不相同筛选）：数字已有 $7,4,0$，所以 $\square$ 不能是 $7$ 也不能是 $4$，只剩 $\square=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（验算）：四位数是 $7140$，$7140\div15=\underline{476}$，各位数字 $7,1,4,0$ 互不相同。
    最终答案：这个四位数是 $7140$。
  105. 30. ch02-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（分奇偶位）：设两个方框依次为 $a,b$。从右数，奇数位是 $b$ 与 $a$，偶数位是 $2$ 与 $8$。
    2. 第 2 步（写差）：偶数位之和为 $2+8=\underline{10}$，差为 $(a+b)-10$。
    3. 第 3 步（定和）：$a+b$ 最小为 $0$、最大为 $9+9=\underline{18}$，差要是 $11$ 的倍数，只能为 $0$，所以 $a+b=\underline{10}$。
    4. 第 4 步（按偶数枚举）：$b$ 取偶数，$b=2$ 时 $a=10-2=\underline{8}$；$b=4$ 时 $a=\underline{6}$；$b=6$ 时 $a=\underline{4}$；$b=8$ 时 $a=\underline{2}$；$b=0$ 时 $a=10$ 不是数字，舍去。
    5. 第 5 步（验算）：$8822\div11=\underline{802}$，$8228\div11=\underline{748}$。
    最终答案：满足要求的四位偶数是 $8822,8624,8426,8228$。
  106. 30. ch02-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（分奇偶位）：设模糊的两位依次是 $a,b$，奇数位是 $b,a$，偶数位是 $4,6$。
    2. 第 2 步（写差）：偶数位之和 $4+6=\underline{10}$，差为 $(a+b)-10$。
    3. 第 3 步（定和）：差只能为 $0$，故 $a+b=\underline{10}$。
    4. 第 4 步（按偶数枚举）：$b=2,4,6,8$ 时 $a$ 依次为 $\underline{8}$、$\underline{6}$、$\underline{4}$、$\underline{2}$。
    5. 第 5 步（验算）：$6842\div11=\underline{622}$。
    最终答案：可能的箱号是 $6842,6644,6446,6248$。
  107. 30. ch02-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（定和）：与偶数情形一样，奇偶位之差为 $(a+b)-(4+6)$，只能为 $0$，所以 $a+b=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（按奇数枚举）：末位 $b$ 取奇数，$b=1,3,5,7,9$ 时 $a=\underline{9}$、$\underline{7}$、$\underline{5}$、$\underline{3}$、$\underline{1}$。
    3. 第 3 步（验算）：$6941\div11=\underline{631}$，$6149\div11=\underline{559}$，一共 $\underline{5}$ 个。
    最终答案：满足要求的四位奇数是 $6941,6743,6545,6347,6149$。
  108. 30. ch02-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $11$）：奇偶位之差为 $(a+b)-(2+8)$，只能为 $0$，所以 $a+b=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（被 $4$ 只看末两位）：末两位是 $\overline{2b}$，$20\div4=\underline{5}$、$24\div4=\underline{6}$、$28\div4=\underline{7}$ 能整除，所以 $b=0,4,8$。
    3. 第 3 步（配对）：$b=0$ 时 $a=10$ 不是数字，舍去；$b=4$ 时 $a=\underline{6}$；$b=8$ 时 $a=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（验算）：$8624\div44=\underline{196}$，$8228\div44=\underline{187}$。
    最终答案：满足要求的四位数是 $8624$ 与 $8228$。
  109. 31. ch02-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（先用被 $8$）：只看末三位 $\overline{2b8}$，$208\div8=\underline{26}$、$248\div8=\underline{31}$、$288\div8=\underline{36}$ 能整除，所以 $b=0,4,8$。
    2. 第 2 步（写奇偶位和）：从右数，奇数位数字是 $8,2,7,5$，和为 $8+2+7+5=\underline{22}$；偶数位数字是 $b,a,6,4$，和为 $a+b+\underline{10}$。
    3. 第 3 步（$b=0$）：差为 $22-(a+10)=12-a$，要是 $11$ 的倍数，得 $a=12-11=\underline{1}$，八位数为 $45671208$。
    4. 第 4 步（$b=4$、$b=8$）：同理差为 $12-a-b$，$b=4$ 时 $a=\underline{8}$，$b=8$ 时 $a=\underline{4}$。
    5. 第 5 步（验算）：$45671208\div88=\underline{518991}$。
    最终答案：这样的八位数有 $45671208$、$45674288$、$45678248$。
  110. 31. ch02-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（先用被 $8$）：只看末三位 $\overline{6b8}$，$608\div8=\underline{76}$、$648\div8=\underline{81}$、$688\div8=\underline{86}$，所以 $b=0,4,8$。
    2. 第 2 步（奇偶位和）：奇数位数字 $8,6,4,2$ 之和为 $\underline{20}$；偶数位之和为 $b+a+3+1$。
    3. 第 3 步（分类求 $a$）：$b=0$ 时 $20-(a+4)=11$，$a=\underline{5}$；$b=4$ 时 $20-(a+8)=11$，$a=\underline{1}$；$b=8$ 时 $20-(a+12)=0$，$a=\underline{8}$。
    4. 第 4 步（验算）：$12345608\div88=\underline{140291}$。
    最终答案：卡号可能是 $12345608$、$12341648$ 或 $12348688$。
  111. 31. ch02-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $8$）：末三位 $\overline{2b4}$ 要被 $8$ 整除，$224\div8=\underline{28}$、$264\div8=\underline{33}$ 能整除，所以 $b=2$ 或 $6$。
    2. 第 2 步（奇偶位和）：从右数，奇数位数字是 $4,2,7,5$，和为 $\underline{18}$；偶数位数字是 $b,a,6$，和为 $a+b+6$。
    3. 第 3 步（求解）：差为 $18-(a+b+6)=12-a-b$，要是 $11$ 的倍数只能为 $0$，即 $a+b=12$；$b=2$ 时 $a=10$ 不是数字，舍去；$b=6$ 时 $a=12-6=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（验算）：七位数为 $5676264$，$5676264\div88=\underline{64503}$。
    最终答案：这个七位数是 $5676264$。
  112. 31. ch02-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（被 $8$、被 $11$）：与前面相同，先得到三个候选 $45671208$、$45674288$、$45678248$。
    2. 第 2 步（算数字和）：$4+5+6+7+1+2+0+8=\underline{33}$；$4+5+6+7+4+2+8+8=\underline{44}$；$4+5+6+7+8+2+4+8=\underline{44}$。
    3. 第 3 步（用被 $3$ 筛选）：只有数字和 $33$ 是 $3$ 的倍数（$33\div3=\underline{11}$），另外两个 $44$ 都不是，所以八位数是 $45671208$。
    4. 第 4 步（验算）：$45671208\div264=\underline{172997}$。
    最终答案：这个八位数是 $45671208$。
  113. 32. ch02-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（定千位）：要最大，千位取 $\underline{9}$。
    2. 第 2 步（定百位、十位）：三位数 $\overline{9bc}$ 被 $25$ 整除，只看末两位 $\overline{bc}$，可能是 $00,25,50,75$；要最大且数字互不相同，取 $75$，即 $b=7,c=5$，三位数为 $975$，$975\div25=\underline{39}$。
    3. 第 3 步（定个位）：$9+7+5+d=\underline{21}+d$ 要是 $9$ 的倍数，只能是 $27$，$d=27-21=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（检查并验算）：$9,7,5,6$ 互不相同，$9756\div9=\underline{1084}$。
    最终答案：这个四位数最大是 $9756$。
  114. 32. ch02-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（定千位）：要最大，千位取 $\underline{9}$。
    2. 第 2 步（定百位、十位）：三位数 $\overline{9bc}$ 被 $4$ 整除只看 $\overline{bc}$，取 $b=8$，再让 $\overline{8c}$ 被 $4$ 整除且 $c$ 尽量大又不与已有数字重复，$84\div4=\underline{21}$，故 $c=4$。
    3. 第 3 步（定个位）：$9+8+4+d=\underline{21}+d$ 要是 $9$ 的倍数，$d=27-21=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（验算）：编号为 $9846$，$9846\div9=\underline{1094}$。
    最终答案：编号最大是 $9846$。
  115. 32. ch02-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（定千位）：要最小，千位取 $\underline{1}$；百位再取最小的 $0$。
    2. 第 2 步（定十位）：三位数 $\overline{10c}$ 被 $4$ 整除，$c$ 从小试：$100\div4=25$ 但 $c=0$ 与百位重复；$104\div4=\underline{26}$，此时个位 $d$ 满足 $1+0+4+d=5+d$ 是 $9$ 的倍数得 $d=4$，与 $c$ 重复，也不行；再取 $c=8$，$108\div4=\underline{27}$。
    3. 第 3 步（定个位）：$1+0+8+d=\underline{9}+d$ 是 $9$ 的倍数，$d=0$ 与百位重复，取 $d=18-9=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（验算）：四位数为 $1089$，各位互不相同，$1089\div9=\underline{121}$。
    最终答案：这个四位数最小是 $1089$。
  116. 32. ch02-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（定高三位）：要最大，依次取 $9,8,7$。
    2. 第 2 步（定千位后的一位）：四位数 $\overline{987d}$ 被 $4$ 整除只看 $\overline{7d}$，$76\div4=\underline{19}$、$72\div4=\underline{18}$，先试最大的 $d=6$。
    3. 第 3 步（试 $d=6$）：数字和为 $9+8+7+6+e=\underline{30}+e$，要是 $9$ 的倍数只能是 $36$，$e=36-30=\underline{6}$ 与 $d$ 重复，舍去。
    4. 第 4 步（改试 $d=2$）：数字和为 $9+8+7+2+e=\underline{26}+e$，是 $9$ 的倍数只能是 $27$，$e=27-26=\underline{1}$，各位 $9,8,7,2,1$ 互不相同。
    5. 第 5 步（验算）：$98721\div9=\underline{10969}$，$9872\div4=\underline{2468}$。
    最终答案：这个五位数最大是 $98721$。