五年级第3讲质数与合数

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）

1. ch03-chaoyue-01 · 第一套
1. 第 1 步（个位规则）：除 $2$ 外质数都是奇数，所以拼出的数个位只能是 $3$ 或 \underline{7}。
2. 第 2 步（一位数）：$3$ 和 $7$ 都是质数，共 \underline{2} 个（$4$ 是偶数，不是质数）。
3. 第 3 步（两位数，个位为 $3$ 或 $7$）：候选是 $43,73,37,47$，都是质数，共 \underline{4} 个。
4. 第 4 步（三位数）：数字和 $3+4+7=\underline{14}$ 不是 $3$ 的倍数，所以要逐个判：$347,743$ 是质数，$437=19\times 23$、$473=11\times \underline{43}$ 是合数。合计 $2+4+2=\underline{8}$ 个。
最终答案：一共可以拼成 $8$ 个质数：$3,7,37,43,47,73,347,743$。
1. ch03-chaoyue-01 · 第二套
1. 第 1 步：中奖号码是质数，个位只能是 $3$ 或 \underline{7}。
2. 第 2 步（一位号码）：$3$、$7$ 中奖，共 \underline{2} 个。
3. 第 3 步（两位号码）：$43,73,37,47$ 都是质数，共 \underline{4} 个。
4. 第 4 步（三位号码）：数字和 $3+4+7=\underline{14}$ 不是 $3$ 的倍数，需逐个判；$347,743$ 中奖，$473=11\times \underline{43}$ 不中。合计 $2+4+2=\underline{8}$ 个。
最终答案：共有 $8$ 个中奖号码：$3,7,37,43,47,73,347,743$。
1. ch03-chaoyue-01 · 第三套
1. 第 1 步（一位数）：$2$ 和 $3$ 是质数，$1$ 既不是质数也不是合数，共 \underline{2} 个。
2. 第 2 步（两位数）：个位为偶数的 $12,32$ 排除；剩下 $13,21,23,31$，其中 $21=3\times \underline{7}$ 是合数，得 $13,23,31$ 共 \underline{3} 个。
3. 第 3 步（三位数）：数字和 $1+2+3=\underline{6}$ 是 $3$ 的倍数，所以用满三张卡片拼出的数都能被 $3$ 整除，全是合数。
4. 第 4 步（合计）：$2+3=\underline{5}$ 个。
最终答案：共 $5$ 个：$2,3,13,23,31$。
1. ch03-chaoyue-01 · 第三套
1. 第 1 步（列全）：能拼成的质数是 $3,7,37,43,47,73,347,743$，共 \underline{8} 个。
2. 第 2 步（一位、两位部分求和）：$3+7=\underline{10}$，$37+43=\underline{80}$，$47+73=\underline{120}$。
3. 第 3 步（三位部分求和）：$347+743=\underline{1090}$。
4. 第 4 步（合计）：$10+80+120+1090=\underline{1300}$。
最终答案：这些质数的和是 $1300$。
2. ch03-chaoyue-02 · 第一套
1. 第 1 步（找坏数字）：个位是 $0,4,6,8$ 的数都是偶数，个位是 $5$ 的两位以上的数是 $5$ 的倍数，所以 $0,4,6,8$ 都不能放在个位，共 \underline{4} 个数字必须挤到十位或更高位。
2. 第 2 步（$0$ 更特殊）：$0$ 不能单独成数，也不能作首位，只能夹在中间，所以要造一个三位数，如 $401$；验算它是质数（$20\times 20=400<401<441$，试除到 $19$ 都不尽）。
3. 第 3 步（安排其余坏数字）：$6$ 和 $8$ 各带一个数字：$67$、$89$，都是质数，用掉 $6,7,8,9$ 共 \underline{4} 个数字。
4. 第 4 步（剩下的单独成数并计数）：还剩 $2,3,5$ 三个数字，都是一位质数；合计 $1+2+3=\underline{6}$ 个质数。
最终答案：最多能组成 $6$ 个质数，例如 $2,3,5,67,89,401$。
2. ch03-chaoyue-02 · 第二套
1. 第 1 步：个位是 $0,4,6,8$ 的号码都是偶数，所以这 \underline{4} 个数字都必须放在十位或更高位。
2. 第 2 步：$0$ 还不能作首位，只能夹在中间，于是造三位号码 $401$（它是质数）。
3. 第 3 步：$6,8$ 各带一张卡片组成 $67$、$89$，用掉 \underline{4} 张卡片。
4. 第 4 步：剩下 $2,3,5$ 各自成号码；共 $1+2+3=\underline{6}$ 个。
最终答案：最多能排出 $6$ 个号码，例如 $2,3,5,67,89,401$。
2. ch03-chaoyue-02 · 第三套
1. 第 1 步（找坏数字）：不能作个位的是 $4$ 和 \underline{6}，它们必须进十位。
2. 第 2 步（各带一个数字）：$41$、$67$ 都是质数，用掉 $1,4,6,7$ 共 \underline{4} 个数字。
3. 第 3 步（剩下的单独成数）：还剩 $2,3,5$，都是一位质数，共 \underline{3} 个。
4. 第 4 步（合计）：$2+3=\underline{5}$ 个。
最终答案：最多能组成 $5$ 个质数，例如 $2,3,5,41,67$。
2. ch03-chaoyue-02 · 第三套
1. 第 1 步（先定结构）：要组成 $6$ 个数，$9$ 个数字只能是「$3$ 个一位数 $+$ $3$ 个两位数」，因为 $3\times 1+3\times 2=\underline{9}$ 个数字正好用完。
2. 第 2 步（想清楚谁该进十位）：和 $=$ 十位数字之和 $\times 10+$ 个位与一位数之和。要让和最小，就该让最小的数字去当十位；但 $4,6,8$ 必须进十位（否则那个数是偶数），它们已经占满 \underline{3} 个十位。
3. 第 3 步（配个位）：$4,6,8$ 各配一个数字成质数，取 $41,67,89$，剩下 $2,3,5$ 单独成数。
4. 第 4 步（求和）：$41+67+89=\underline{197}$，再加 $2+3+5=\underline{10}$，合计 $197+10=\underline{207}$。
最终答案：这 $6$ 个质数的和最小是 $207$（例如 $2,3,5,41,67,89$）。
3. ch03-chaoyue-03 · 第一套
1. 第 1 步（整除性定一个质数）：乘积是 $7$ 的倍数，而三个质数相乘要含因数 $7$，只能是其中一个质数就等于 \underline{7}，设 $C=7$。
2. 第 2 步（代入约简）：$7AB=7(A+B+7)$，两边同除以 $7$ 得 $AB=A+B+\underline{7}$。
3. 第 3 步（配方）：两边减 $A$、减 $B$、加 $1$，得 $(A-1)(B-1)=7+1=\underline{8}$。
4. 第 4 步（枚举因数对并检验）：$8=1\times 8\Rightarrow A=2,B=9$，$9$ 不是质数舍去；$8=2\times 4\Rightarrow A=3,B=\underline{5}$，都是质数。验算 $3\times 5\times 7=\underline{105}$，$3+5+7=15$，$15\times 7=105$。
最终答案：这三个质数是 $3,5,7$。
3. ch03-chaoyue-03 · 第二套
1. 第 1 步：乘积是 $7$ 的倍数，三个质数相乘要含 $7$，只能有一盒正好是 \underline{7} 颗。
2. 第 2 步：设另两盒是 $A,B$ 颗，$7AB=7(A+B+7)$，约去 $7$ 得 $AB=A+B+\underline{7}$。
3. 第 3 步：配方得 $(A-1)(B-1)=7+1=\underline{8}$。
4. 第 4 步：$8=2\times 4$ 给出 $A=3$、$B=\underline{5}$；验算 $3\times 5\times 7=\underline{105}$（颗数之积），总数 $15$，$15\times 7=105$。
最终答案：三个盒子分别装 $3,5,7$ 颗珠子。
3. ch03-chaoyue-03 · 第三套
1. 第 1 步（整除性）：乘积是 $3$ 的倍数，故必有一个质数是 \underline{3}，设 $C=3$。
2. 第 2 步（代入约简）：$3AB=3(A+B+3)$，约去 $3$ 得 $AB=A+B+\underline{3}$。
3. 第 3 步（配方）：$(A-1)(B-1)=3+1=\underline{4}$。
4. 第 4 步（枚举）：$4=1\times 4\Rightarrow A=2,B=\underline{5}$，都是质数且与 $3$ 互不相同；$4=2\times 2\Rightarrow A=B=3$，三数相同，不合题意。验算 $2\times 3\times 5=\underline{30}$，$2+3+5=10$，$10\times 3=30$。
最终答案：这三个质数是 $2,3,5$。
3. ch03-chaoyue-03 · 第三套
1. 第 1 步（定一个质数）：乘积含因数 $7$，故其中一个质数是 \underline{7}。
2. 第 2 步（化简配方）：$AB=A+B+7$，即 $(A-1)(B-1)=\underline{8}$。
3. 第 3 步（求出三数）：$8=2\times 4$ 给出 $A=3$、$B=\underline{5}$，故三质数是 $3,5,7$。
4. 第 4 步（求平方和）：$3\times 3=9$、$5\times 5=25$、$7\times 7=49$，合计 $9+25+49=\underline{83}$。
最终答案：这三个质数是 $3,5,7$，平方和为 $83$。
4. ch03-chaoyue-04 · 第一套
1. 第 1 步（分解质因数）：$900=2^2\times 3^2\times \underline{25}$，其中两个 $5$ 只能是 $5$ 或 $10$ 所带。
2. 第 2 步（枚举拆法算和）：如 $\{1,2,9,5,10\}$ 和为 $1+2+9+5+10=\underline{27}$；$\{2,2,9,5,5\}$ 和为 \underline{23}；$\{3,3,4,5,5\}$ 和为 $20$；把所有拆法算完，可能的总环数是 $20,21,23,24,25,27,31$。
3. 第 3 步（找差为 $8$ 的一对）：在这些数里，$31-23=\underline{8}$，只有这一对相差 $8$。
4. 第 4 步（对应到人）：甲比乙少，所以甲是 $23$ 环、乙是 \underline{31} 环。
最终答案：甲的总环数是 $23$，乙的总环数是 $31$。
4. ch03-chaoyue-04 · 第二套
1. 第 1 步：$900=2^2\times 3^2\times \underline{25}$，含因数 $5$ 的那几次得分只能是 $5$ 或 $10$。
2. 第 2 步：枚举拆法求和，如 $1+2+9+5+10=\underline{27}$、$2+2+9+5+5=\underline{23}$；全部可能的总分是 $20,21,23,24,25,27,31$。
3. 第 3 步：相差 $8$ 的只有 $31-23=\underline{8}$ 这一对。
4. 第 4 步：小刚少，所以小刚 $23$ 分、小强 \underline{31} 分。
最终答案：小刚 $23$ 分，小强 $31$ 分。
4. ch03-chaoyue-04 · 第三套
1. 第 1 步（分解）：$900=2^2\times 3^2\times \underline{25}$。
2. 第 2 步（列出全部可能的总环数）：$20,21,23,24,25,27,31$，其中最小的 $20$ 来自 $\{3,3,4,5,5\}$，验算 $3\times 3\times 4\times 5\times 5=\underline{900}$，和为 $3+3+4+5+5=\underline{20}$。
3. 第 3 步（找差为 $11$ 的一对）：$31-20=\underline{11}$，只有这一对。
4. 第 4 步（作答）：甲 $20$ 环、乙 \underline{31} 环。
最终答案：甲的总环数是 $20$，乙的总环数是 $31$。
4. ch03-chaoyue-04 · 第三套
1. 第 1 步（列出可能的和）：$900=2^2\times 3^2\times 5^2$，全部可能的总环数是 $20,21,23,24,25,27,31$。
2. 第 2 步（配对）：相差 $8$ 的只有 $31-23=\underline{8}$，故甲 $23$ 环、乙 \underline{31} 环。
3. 第 3 步（求总和）：$23+31=\underline{54}$（环）。
4. 第 4 步（求平均）：两人共射 $5+5=10$ 箭，平均每箭 $54\div 10=\underline{5.4}$ 环。
最终答案：两人总环数之和是 $54$ 环，平均每箭 $5.4$ 环。
6. ch03-chaoyue-06 · 第一套
1. 第 1 步（找权重）：逐层相乘时，$5$ 个数被乘进最终结果的次数依次是 $1,4,6,4,$ \underline{1}（杨辉三角第 $5$ 行）。
2. 第 2 步（数因数 $5$）：$14\to 0$、$25\to 2$、$16\to 0$、$35\to 1$、$50\to 2$；加权求和 $0\times 1+2\times 4+0\times 6+1\times 4+2\times 1=\underline{14}$。
3. 第 3 步（数因数 $2$）：$14\to 1$、$25\to 0$、$16\to 4$、$35\to 0$、$50\to 1$；加权求和 $1\times 1+0\times 4+4\times 6+0\times 4+1\times 1=\underline{26}$。
4. 第 4 步（取较小者）：$\min(26,14)=\underline{14}$，所以末尾有 $14$ 个 $0$。
最终答案：末尾有 $14$ 个连续的 $0$。
6. ch03-chaoyue-06 · 第二套
1. 第 1 步：每个原始得分被乘进最终结果的次数依次是 $1,4,6,4,$ \underline{1}。
2. 第 2 步：各数含因数 $5$ 的个数是 $0,2,0,1,2$，加权和 $0\times 1+2\times 4+0\times 6+1\times 4+2\times 1=\underline{14}$。
3. 第 3 步：各数含因数 $2$ 的个数是 $1,0,4,0,1$，加权和 $1\times 1+0\times 4+4\times 6+0\times 4+1\times 1=\underline{26}$。
4. 第 4 步：末尾零个数取较小者 $\min(26,14)=\underline{14}$。
最终答案：末尾有 $14$ 个连续的 $0$。
6. ch03-chaoyue-06 · 第三套
1. 第 1 步（权重）：$1,4,6,4,$ \underline{1}。
2. 第 2 步（数因数 $5$）：$11\to 0$、$20\to 1$、$25\to 2$、$40\to 1$、$15\to 1$；加权和 $0\times 1+1\times 4+2\times 6+1\times 4+1\times 1=\underline{21}$。
3. 第 3 步（数因数 $2$）：$11\to 0$、$20\to 2$、$25\to 0$、$40\to 3$、$15\to 0$；加权和 $0\times 1+2\times 4+0\times 6+3\times 4+0\times 1=\underline{20}$。
4. 第 4 步（取较小者）：这次是因数 $2$ 少，$\min(21,20)=\underline{20}$。
最终答案：末尾有 $20$ 个连续的 $0$。
6. ch03-chaoyue-06 · 第三套
1. 第 1 步（权重）：$1,4,6,4,$ \underline{1}。
2. 第 2 步（因数 $5$ 的总数）：$0\times 1+2\times 4+0\times 6+1\times 4+2\times 1=\underline{14}$。
3. 第 3 步（因数 $2$ 的总数）：$1\times 1+0\times 4+4\times 6+0\times 4+1\times 1=\underline{26}$。
4. 第 4 步（末尾零与差）：末尾零取较小者 $14$；因数 $2$ 比因数 $5$ 多 $26-14=\underline{12}$ 个。
最终答案：末尾有 $14$ 个连续的 $0$；因数 $2$ 比因数 $5$ 多 $12$ 个。
7. ch03-chaoyue-07 · 第一套
1. 第 1 步（配对）：把相邻的两个阶乘配成一对，$(2k-1)!\times(2k)!=[(2k-1)!]^2\times 2k$，每对都能提出一个平方因子。
2. 第 2 步（数对数）：$180$ 个阶乘正好配成 $180\div 2=\underline{90}$ 对。
3. 第 3 步（整理每对多出的 $2k$）：$2\times 4\times\cdots\times 180$ 中每个因数提一个 $2$，得 $2^{90}\times(1\times 2\times\cdots\times 90)=2^{90}\times 90!$；而 $2^{90}$ 是平方数，因为指数 $90\div 2=\underline{45}$ 是整数。
4. 第 4 步（找出多余的部分）：不是平方数的只剩 $90!$，所以去掉的是 \underline{90} 的阶乘。
最终答案：被去掉的数是 $90!$。
7. ch03-chaoyue-07 · 第二套
1. 第 1 步：把相邻两张配成一对，$(2k-1)!\times(2k)!=[(2k-1)!]^2\times 2k$。
2. 第 2 步：$180$ 张正好配成 $180\div 2=\underline{90}$ 对。
3. 第 3 步：每对多出的 $2k$ 相乘得 $2^{90}\times 90!$，其中 $2^{90}$ 是平方数（指数 $90\div 2=\underline{45}$）。
4. 第 4 步：多余的只有 $90!$，所以拿走的是第 \underline{90} 张。
最终答案：拿走的是第 $90$ 张（写着 $90!$）。
7. ch03-chaoyue-07 · 第三套
1. 第 1 步（配对）：$(2k-1)!\times(2k)!=[(2k-1)!]^2\times 2k$。
2. 第 2 步（数对数）：$60\div 2=\underline{30}$ 对。
3. 第 3 步（整理多出的部分）：$2\times 4\times\cdots\times 60=2^{30}\times 30!$，其中 $2^{30}$ 是平方数（指数 $30\div 2=\underline{15}$）。
4. 第 4 步（作答）：多余的是 \underline{30} 的阶乘。
最终答案：去掉的是 $30!$。
7. ch03-chaoyue-07 · 第三套
1. 第 1 步（配对）：$180$ 个阶乘配成 $180\div 2=\underline{90}$ 对，每对提出一个平方因子。
2. 第 2 步（整理）：多出的部分是 $2\times 4\times\cdots\times 180=2^{90}\times 90!$，其中 $2^{90}$ 是平方数，所以要去掉的是 \underline{90} 的阶乘。
3. 第 3 步（数 $90!$ 中因数 $5$）：$90\div 5=\underline{18}$ 个，$90\div 25$ 取整得 \underline{3} 个再补。
4. 第 4 步（合计末尾零）：$18+3=\underline{21}$ 个。
最终答案：被去掉的是 $90!$；它的末尾有 $21$ 个连续的 $0$。
8. ch03-chaoyue-08 · 第一套
1. 第 1 步（套公式）：每个因式换成 $\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$，一共有 \underline{200} 个因式，所以分母上出现 $6^{200}$。
2. 第 2 步（分子拆成三串）：$(1\times 2\times\cdots\times 200)\times(2\times 3\times\cdots\times 201)\times(3\times 5\times\cdots\times 401)$，其中第一串就是 $200!$，与题目分母约掉。
3. 第 3 步（逐层约分）：剩下的两串与 $6^{200}=2^{200}\times 3^{200}$ 逐层抵消，最后只剩下一点点因数 $2$ 和 $3$ 没约完。
4. 第 4 步（算出剩余分母）：剩余的是 $2^3\times 3^3$，即 $8\times 27=\underline{216}$。
最终答案：最简分数的分母是 $216$。
8. ch03-chaoyue-08 · 第二套
1. 第 1 步：每个 $S_k=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$，共 \underline{200} 个，因此分母上共有 $6^{200}$。
2. 第 2 步：分子拆成 $(1\times 2\times\cdots\times 200)\times(2\times 3\times\cdots\times 201)\times(3\times 5\times\cdots\times 401)$，第一串正是 $200!$，与题目分母约掉。
3. 第 3 步：余下两串与 $6^{200}=2^{200}\times 3^{200}$ 逐层抵消。
4. 第 4 步：最后剩下 $2^3\times 3^3=8\times 27=\underline{216}$。
最终答案：最简分数的分母是 $216$。
8. ch03-chaoyue-08 · 第三套
1. 第 1 步（套公式）：共 \underline{50} 个因式，分母上出现 $6^{50}$。
2. 第 2 步（拆三串）：$(1\times 2\times\cdots\times 50)\times(2\times 3\times\cdots\times 51)\times(3\times 5\times\cdots\times 101)$，第一串就是 $50!$，与题目分母约掉。
3. 第 3 步（逐层约分）：余下部分与 $6^{50}=2^{50}\times 3^{50}$ 抵消。
4. 第 4 步（读出分母）：最后剩下 $2^3\times 3=8\times 3=\underline{24}$。
最终答案：最简分数的分母是 $24$。
8. ch03-chaoyue-08 · 第三套
1. 第 1 步（化简）：共 \underline{200} 个因式，分子拆成三串后第一串与 $200!$ 约掉，余下与 $6^{200}$ 抵消。
2. 第 2 步（求分母）：剩余分母是 $2^3\times 3^3=8\times 27=\underline{216}$。
3. 第 3 步（分解质因数）：$216=2^3\times 3^3$，验算 $2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 3=\underline{216}$。
4. 第 4 步（求因数个数）：各指数加 $1$ 相乘，$(3+1)\times(3+1)=\underline{16}$ 个。
最终答案：最简分数的分母是 $216=2^3\times 3^3$，它共有 $16$ 个因数。
9. ch03-tuozhan-01 · 第一套
1. 第 1 步（定个位）：三位质数的个位只能是 $1,3,7,$ \underline{9}。
2. 第 2 步（定百位）：颠倒后百位变成原来的个位，而百位不能是 $0$，本题百位固定为 $1$，颠倒后个位就是 $1$，符合要求。
3. 第 3 步（列出 $100\sim 200$ 的质数并逐个颠倒检验）：$101\to 101$、$107\to \underline{701}$、$113\to 311$、$131\to 131$、$149\to 941$、$151,157,167,179,181,191,199$ 也都合格；而 $103\to 301=7\times \underline{43}$ 是合数，$109\to 901=17\times 53$ 也是合数，都要划掉。
4. 第 4 步（数一数）：符合的共 \underline{12} 个。
最终答案：共 $12$ 个：$101,107,113,131,149,151,157,167,179,181,191,199$。
9. ch03-tuozhan-01 · 第二套
1. 第 1 步：编号是质数，个位只能是 $1,3,7,$ \underline{9}。
2. 第 2 步：颠倒后个位变成原来的百位 $1$，仍是奇数，可行。
3. 第 3 步：逐个检验，$107\to \underline{701}$ 是质数；而 $103\to 301=7\times \underline{43}$ 是合数，划掉。
4. 第 4 步：合格的编号共 \underline{12} 个。
最终答案：幸运票编号共 $12$ 个：$101,107,113,131,149,151,157,167,179,181,191,199$。
9. ch03-tuozhan-01 · 第三套
1. 第 1 步（先找出全部）：两位质数中交换后仍为质数的有 $11,13,17,31,37,71,73,79,97$，共 \underline{9} 个。
2. 第 2 步（排除交换后不变的）：$11$ 交换后还是 $11$，要去掉，剩下 $9-1=\underline{8}$ 个。
3. 第 3 步（两两配对）：$13\leftrightarrow 31$、$17\leftrightarrow 71$、$37\leftrightarrow 73$、$79\leftrightarrow \underline{97}$。
4. 第 4 步（数对数）：$8\div 2=\underline{4}$ 对。
最终答案：共 $8$ 个：$13,17,31,37,71,73,79,97$，正好配成 $4$ 对。
9. ch03-tuozhan-01 · 第三套
1. 第 1 步（找全）：这样的两位质数是 $11,13,17,31,37,71,73,79,97$，共 \underline{9} 个。
2. 第 2 步（利用成对的特点凑整相加）：$13+31=\underline{44}$，$17+71=\underline{88}$，$37+73=\underline{110}$，$79+97=\underline{176}$。
3. 第 3 步（把四对相加）：$44+88+110+176=\underline{418}$。
4. 第 4 步（补上落单的 $11$）：$418+11=\underline{429}$。
最终答案：这 $9$ 个质数是 $11,13,17,31,37,71,73,79,97$，它们的和是 $429$。
10. ch03-tuozhan-02 · 第一套
1. 第 1 步（先卡上界）：$11$ 个连续自然数中至少有 \underline{5} 个偶数（$11\div 2$ 向下取整），除 $2$ 外都是合数。
2. 第 2 步（再看奇数）：剩下至多 $6$ 个奇数，其中必有 $3$ 的倍数、也会出现个位是 $5$ 的数，所以质数不会太多。
3. 第 3 步（举例达到）：取 $3\sim 13$，其中的质数是 $3,5,7,11,$ \underline{13}，共 \underline{5} 个。
4. 第 4 步（作答）：所以 $11$ 个连续自然数中最多有 \underline{5} 个质数。
最终答案：最多有 $5$ 个，例如 $3\sim 13$ 中的 $3,5,7,11,13$。
10. ch03-tuozhan-02 · 第二套
1. 第 1 步：$11$ 个连续号码中至少有 \underline{5} 个偶数号，除 $2$ 号外都不是质数。
2. 第 2 步：剩下的奇数号里还会出现 $3$ 的倍数和个位是 $5$ 的号码。
3. 第 3 步：取 $3\sim 13$ 号，质数号是 $3,5,7,11,$ \underline{13}，共 \underline{5} 个。
4. 第 4 步：所以最多 \underline{5} 个。
最终答案：最多 $5$ 个，例如 $3$ 号到 $13$ 号中的 $3,5,7,11,13$ 号。
10. ch03-tuozhan-02 · 第三套
1. 第 1 步（卡上界）：$7$ 个连续自然数中至少有 \underline{3} 个偶数（$7\div 2$ 向下取整），除 $2$ 外都是合数。
2. 第 2 步（看奇数）：剩下至多 $4$ 个奇数，其中一般含有 $3$ 的倍数或 $9,15,21,25$ 这类合数。
3. 第 3 步（举例）：取 $1\sim 7$，质数是 $2,3,5,$ \underline{7}，共 \underline{4} 个。
4. 第 4 步（作答）：最多 \underline{4} 个。
最终答案：最多有 $4$ 个，例如 $1\sim 7$ 中的 $2,3,5,7$。
10. ch03-tuozhan-02 · 第三套
1. 第 1 步（从最小处试起）：起点取 $1$ 时，$1\sim 11$ 中的质数是 $2,3,5,7,11$，共 \underline{5} 个，已达到 $5$；但题目要求起点最小，还要看 $1$ 是不是能再往前。自然数从 $1$ 开始，所以起点 $1$ 就是最小的。
2. 第 2 步（写出这 $5$ 个质数）：$2,3,5,7,$ \underline{11}。
3. 第 3 步（凑整求和）：$3+7=\underline{10}$，$2+11=\underline{13}$，再加 $5$。
4. 第 4 步（合计）：$10+13+5=\underline{28}$。
最终答案：最小起点是 $1$（即 $1\sim 11$），这 $5$ 个质数是 $2,3,5,7,11$，和为 $28$。
11. ch03-tuozhan-03 · 第一套
1. 第 1 步（第 (1) 问先判奇偶）：$55$ 是奇数，奇 $=$ 偶 $+$ 奇，所以其中一个质数必定是唯一的偶质数 \underline{2}。
2. 第 2 步：另一个就是 $55-2=\underline{53}$，它是质数；两数的差为 $53-2=\underline{51}$。
3. 第 3 步（第 (2) 问）：$60$ 是偶数，如果三个质数都是奇数，和就是奇数，矛盾，所以必含质数 $2$，剩下两个质数的和是 $60-2=\underline{58}$。
4. 第 4 步（配对）：在奇质数里找和为 $58$ 的一对：$17+\underline{41}=58$，所以三个质数是 $2,17,41$。
最终答案：（1）这两个质数是 $2$ 和 $53$，差是 $51$；（2）例如 $2,17,41$。
11. ch03-tuozhan-03 · 第二套
1. 第 1 步：$55$ 是奇数，两个质数一奇一偶，所以其中一人的张数是唯一的偶质数 \underline{2} 张。
2. 第 2 步：另一人是 $55-2=\underline{53}$ 张，相差 $53-2=\underline{51}$ 张。
3. 第 3 步：$60$ 是偶数，三个奇质数之和是奇数，矛盾，故必有一人是 $2$ 张，其余两人共 $60-2=\underline{58}$ 张。
4. 第 4 步：$17+\underline{41}=58$，所以三人可以是 $2,17,41$ 张。
最终答案：（1）相差 $51$ 张（$2$ 张与 $53$ 张）；（2）例如 $2,17,41$ 张。
11. ch03-tuozhan-03 · 第三套
1. 第 1 步（奇偶分析）：$45$ 是奇数，必有一个加数是偶质数 \underline{2}。
2. 第 2 步（定另一个）：$45-2=\underline{43}$，用 $2,3,5$ 试除都不尽（$6\times 6=36<43<49$），是质数。
3. 第 3 步（求差）：$43-2=\underline{41}$。
4. 第 4 步（求积）：$2\times 43=\underline{86}$。
最终答案：这两个质数是 $2$ 和 $43$，积是 $86$，差是 $41$。
11. ch03-tuozhan-03 · 第三套
1. 第 1 步（奇偶分析）：$85$ 是奇数，必含偶质数 \underline{2}。
2. 第 2 步（定另一个）：$85-2=\underline{83}$，用 $2,3,5,7$ 试除都不尽（$9\times 9=81<83<100$），是质数。
3. 第 3 步（求积）：$2\times 83=\underline{166}$。
4. 第 4 步（数因数）：$166=2\times 83$ 是两个不同质数之积，因数个数 $=(1+1)\times(1+1)=\underline{4}$ 个，它们是 $1,2,83,166$。
最终答案：这两个质数是 $2$ 和 $83$，积为 $166$，共有 $4$ 个因数（$1,2,83,166$）。
12. ch03-tuozhan-04 · 第一套
1. 第 1 步（$504$）：连续提 $2$，$504\div 2=252\to 126\to \underline{126}$，共提出 $2^3$；再提 $3$：$63=3^2\times \underline{7}$，所以 $504=2^3\times 3^2\times 7$。
2. 第 2 步（$847$）：$847\div 7=\underline{121}$，而 $121=11\times \underline{11}$，所以 $847=7\times 11^2$。
3. 第 3 步（$431$）：$20\times 20=400<431<441=21\times \underline{21}$，只需用 $2,3,5,7,11,13,17,19$ 试除，全都除不尽，是质数。
4. 第 4 步（$20790$）：末位是 $0$，先提 $2$ 和 $5$：$20790\div 10=\underline{2079}$；$2079$ 的数字和是 $18$，连续提 $3$：$2079\div 3=693\to 231\to \underline{77}$；最后 $77=7\times 11$。
最终答案：（1）$504=2^3\times 3^2\times 7$；（2）$847=7\times 11^2$；（3）$431$ 是质数；（4）$20790=2\times 3^3\times 5\times 7\times 11$。
12. ch03-tuozhan-04 · 第二套
1. 第 1 步（$504$ 个）：$504\div 2=252\to 126\to \underline{126}$，共三次；再 $63=3^2\times \underline{7}$。
2. 第 2 步（$847$ 个）：$847\div 7=\underline{121}$，$121=11\times \underline{11}$。
3. 第 3 步（$431$ 个）：$20\times 20=400<431<441=21\times \underline{21}$，试除到 $19$ 都不尽，不能再分。
4. 第 4 步（$20790$ 个）：先提 $10$，$20790\div 10=\underline{2079}$；再连续提 $3$：$2079\div 3=693\to 231\to \underline{77}$；最后 $77=7\times 11$。
最终答案：（1）$504=2^3\times 3^2\times 7$；（2）$847=7\times 11^2$；（3）$431$ 是质数；（4）$20790=2\times 3^3\times 5\times 7\times 11$。
12. ch03-tuozhan-04 · 第三套
1. 第 1 步（$675$）：末位是 $5$，先提 $5$：$675\div 5=135$，$135\div 5=\underline{27}$；再 $27=3^3$，所以 $675=3^3\times 5^2$。
2. 第 2 步（$1573$）：$1573\div 11=\underline{143}$，而 $143=11\times \underline{13}$，所以 $1573=11^2\times 13$。
3. 第 3 步（$509$）：$22\times 22=484<509<529=23\times \underline{23}$，试除 $2,3,5,7,11,13,17,19$ 都不尽，是质数。
4. 第 4 步（$8316$）：$8316\div 4=\underline{2079}$；$2079=3^3\times 77$，$77=7\times \underline{11}$，所以 $8316=2^2\times 3^3\times 7\times 11$。
最终答案：（1）$675=3^3\times 5^2$；（2）$1573=11^2\times 13$；（3）$509$ 是质数；（4）$8316=2^2\times 3^3\times 7\times 11$。
12. ch03-tuozhan-04 · 第三套
1. 第 1 步（先提 $10$）：$20790\div 10=\underline{2079}$，即 $20790=2\times 5\times 2079$。
2. 第 2 步（连续提 $3$）：$2079\div 3=693$，$693\div 3=231$，$231\div 3=\underline{77}$，共提出 $3^3$。
3. 第 3 步（收尾）：$77=7\times \underline{11}$，所以 $20790=2\times 3^3\times 5\times 7\times 11$。
4. 第 4 步（因数个数公式）：各指数加 $1$ 相乘，$(1+1)\times(3+1)\times(1+1)\times(1+1)\times(1+1)=\underline{64}$ 个。
最终答案：$20790=2\times 3^3\times 5\times 7\times 11$，共有 $64$ 个因数。
13. ch03-tuozhan-05 · 第一套
1. 第 1 步（分解质因数）：$360=2^3\times 3^2\times \underline{5}$，得到三块「不可拆开」的零件 $8$、$9$、$5$。
2. 第 2 步（把三块分给分子和分母）：分子取 $1$ 时分母 $360$；分子取 $5$ 时分母 $8\times 9=\underline{72}$；分子取 $8$ 时分母 $9\times 5=\underline{45}$；分子取 $9$ 时分母 $8\times 5=\underline{40}$。
3. 第 3 步（排序）：$\dfrac{1}{360}<\dfrac{5}{72}<\dfrac{8}{45}<\dfrac{9}{40}$。
4. 第 4 步（取第三个并验算）：第三个是 $\dfrac{8}{45}$，验算 $8\times 45=\underline{360}$，且 $8$ 与 $45$ 互质。
最终答案：第三个分数是 $\dfrac{8}{45}$。
13. ch03-tuozhan-05 · 第二套
1. 第 1 步：$360=2^3\times 3^2\times \underline{5}$，互质要求同一个质数的次幂不能拆到两边，得零件 $8,9,5$。
2. 第 2 步：宽取 $1$ 时长 $360$；宽取 $5$ 时长 $8\times 9=\underline{72}$；宽取 $8$ 时长 $9\times 5=\underline{45}$；宽取 $9$ 时长 $8\times 5=\underline{40}$。
3. 第 3 步：比值从小到大是 $\dfrac{1}{360},\dfrac{5}{72},\dfrac{8}{45},\dfrac{9}{40}$。
4. 第 4 步：第三个是 $\dfrac{8}{45}$，验算 $8\times 45=\underline{360}$（平方厘米）。
最终答案：第三个比值是 $\dfrac{8}{45}$。
13. ch03-tuozhan-05 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$84=2^2\times 3\times \underline{7}$，零件是 $4,3,7$。
2. 第 2 步（分块）：分子 $1$ 对分母 $84$；分子 $3$ 对分母 $4\times 7=\underline{28}$；分子 $4$ 对分母 $3\times 7=\underline{21}$；分子 $7$ 对分母 $4\times 3=\underline{12}$。
3. 第 3 步（排序）：$\dfrac{1}{84}<\dfrac{3}{28}<\dfrac{4}{21}<\dfrac{7}{12}$。
4. 第 4 步（取第三个）：$\dfrac{4}{21}$，验算 $4\times 21=\underline{84}$。
最终答案：第三个分数是 $\dfrac{4}{21}$。
13. ch03-tuozhan-05 · 第三套
1. 第 1 步（数零件）：$360=2^3\times 3^2\times 5$，共有 \underline{3} 个不同的质因数，每个质因数块只能整块地放到分子或分母。
2. 第 2 步（数分法）：每块有 $2$ 种去处，共 $2\times 2\times 2=\underline{8}$ 种；分子小于分母的恰好占一半，$8\div 2=\underline{4}$ 个。
3. 第 3 步（排序取第三个）：$\dfrac{1}{360},\dfrac{5}{72},\dfrac{8}{45},\dfrac{9}{40}$，第三个是 $\dfrac{8}{45}$。
4. 第 4 步（求和）：$8+45=\underline{53}$。
最终答案：这样的最简真分数共有 $4$ 个；第三个是 $\dfrac{8}{45}$，分子与分母之和为 $53$。
14. ch03-tuozhan-06 · 第一套
1. 第 1 步（分解错积）：$2646=2\times 3^3\times 7^2$，验算 $2\times 27=54$，$54\times 49=\underline{2646}$。
2. 第 2 步（拼成两个两位数）：可能的分法有 $27\times 98$、$42\times 63$、$49\times 54$，其中含数字 $8$ 的乘数只有 \underline{98}。
3. 第 3 步（把看错的数改回）：$98$ 的个位 $8$ 本应是 $5$，还原为 \underline{95}。
4. 第 4 步（算正确乘积）：$27\times 95=\underline{2565}$。
最终答案：正确的乘积是 $2565$（原式为 $27\times 95$）。
14. ch03-tuozhan-06 · 第二套
1. 第 1 步（分解错误总价）：$2646=2\times 3^3\times 7^2$，即 $2\times 27=54$，$54\times 49=\underline{2646}$。
2. 第 2 步（拼成两个两位数）：$27\times 98$、$42\times 63$、$49\times 54$ 三种，含数字 $8$ 的只有 \underline{98}。
3. 第 3 步（还原）：$98$ 中的 $8$ 本应是 $5$，即 \underline{95}。
4. 第 4 步（算正确总价）：$27\times 95=\underline{2565}$（元）。
最终答案：正确的总价是 $2565$ 元。
14. ch03-tuozhan-06 · 第三套
1. 第 1 步（分解错积）：$3038=2\times 7^2\times \underline{31}$。
2. 第 2 步（拼两位数）：$3038=31\times 98=49\times 62$，其中含数字 $8$ 的乘数是 \underline{98}。
3. 第 3 步（还原）：把 $98$ 的 $8$ 改回 $5$，得 \underline{95}。
4. 第 4 步（算正确乘积）：$31\times 95=\underline{2945}$。
最终答案：正确的乘积是 $2945$（原式为 $31\times 95$）。
14. ch03-tuozhan-06 · 第三套
1. 第 1 步（还原算式）：$2646=27\times 98$，含 $8$ 的乘数是 $98$，本应是 \underline{95}，所以正确乘积是 $27\times 95=\underline{2565}$。
2. 第 2 步（求差）：$2646-2565=\underline{81}$。
3. 第 3 步（解释这个差）：看错使那个乘数多了 $98-95=\underline{3}$，所以乘积多出 $27\times 3=\underline{81}$，正好是另一个乘数 $27$ 的 $3$ 倍。
4. 第 4 步（结论）：差 $81=27\times \underline{3}$，一定是另一个乘数的倍数。
最终答案：正确乘积是 $2565$；错误乘积比它多 $81$，这个差等于另一个乘数 $27$ 的 $3$ 倍。
15. ch03-tuozhan-07 · 第一套
1. 第 1 步（立方估算定位）：$60\times 60\times 60=216000<328440<343000=70\times 70\times \underline{70}$，所以中间数在 $60$ 与 $70$ 之间。
2. 第 2 步（分解质因数找大零件）：$328440=2^3\times 3\times 5\times 7\times 17\times \underline{23}$，其中最大的质因数是 $23$。
3. 第 3 步（用大质因数锁定）：含 $23$ 且落在 $60\sim 70$ 的数只有 $23\times 3=\underline{69}$，所以中间数附近是 $69$；再看 $17$：$17\times 4=\underline{68}$，正好是 $68$。
4. 第 4 步（定出三数并求和）：三数为 $68,69,70$，验算 $68\times 69=4692$，$4692\times 70=\underline{328440}$；求和 $68+69+70=\underline{207}$。
最终答案：这三个连续自然数是 $68,69,70$，它们的和是 $207$。
15. ch03-tuozhan-07 · 第二套
1. 第 1 步（估算）：$60^3=216000<328440<343000=70\times 70\times \underline{70}$，所以三条棱都在 $60\sim 70$ 之间。
2. 第 2 步（分解质因数）：$328440=2^3\times 3\times 5\times 7\times 17\times \underline{23}$。
3. 第 3 步（锁定）：$23\times 3=\underline{69}$、$17\times 4=\underline{68}$，都落在区间内。
4. 第 4 步（验算并求和）：$68\times 69=4692$，$4692\times 70=\underline{328440}$（立方厘米）；三棱之和 $68+69+70=\underline{207}$（厘米）。
最终答案：长、宽、高分别是 $70,69,68$ 厘米，和为 $207$ 厘米。
15. ch03-tuozhan-07 · 第三套
1. 第 1 步（估算）：$30\times 30\times 30=27000<32736<35937=33\times 33\times \underline{33}$，中间数在 $30\sim 33$ 之间。
2. 第 2 步（分解质因数）：$32736=2^5\times 3\times 11\times \underline{31}$，最大质因数是 $31$。
3. 第 3 步（用 $31$ 锁定）：含 $31$ 且在区间附近的只有 $31$ 本身，所以三数是 $31,32,33$；验算 $32=2^5$，$33=3\times \underline{11}$。
4. 第 4 步（求和）：$31+32+33=\underline{96}$。
最终答案：这三个数是 $31,32,33$，和是 $96$。
15. ch03-tuozhan-07 · 第三套
1. 第 1 步（估算）：四个连续数的积接近中间数的四次方，$30^4=810000<1413720<1500625=35^4$，所以这些数在 $30\sim 36$ 之间。
2. 第 2 步（分解质因数）：$1413720=2^3\times 3^3\times 5\times 7\times 11\times \underline{17}$，大质因数是 $17$。
3. 第 3 步（锁定）：含 $17$ 且在区间内的是 $17\times 2=\underline{34}$；相邻的还有 $3\times 11=\underline{33}$、$5\times 7=\underline{35}$、$36$。
4. 第 4 步（验算并求和）：$33\times 34=1122$，$35\times 36=1260$，$1122\times 1260=\underline{1413720}$；四数之和 $33+34+35+36=\underline{138}$。
最终答案：这四个数是 $33,34,35,36$，它们的和是 $138$。
16. ch03-tuozhan-08 · 第一套
1. 第 1 步（分解质因数缩小范围）：$96=2^5\times \underline{3}$，所以每枪的环数只能由 $2$ 和 $3$ 搭配而成。
2. 第 2 步（枚举三数组）：不超过 $10$ 的三数组只有 $\{2,6,8\}$、$\{3,4,8\}$、$\{4,4,6\}$，验算 $2\times 6\times 8=\underline{96}$。
3. 第 3 步（算总环数）：$2+6+8=\underline{16}$，$3+4+8=\underline{15}$，$4+4+6=\underline{14}$。
4. 第 4 步（对应到人）：总环数从高到低是 $16,15,14$，即甲、乙、丙；含 $3$ 环的只有 $\{3,4,8\}$，总环数 $15$，排第二，所以是乙。
最终答案：$3$ 环的那一枪是乙打的。
16. ch03-tuozhan-08 · 第二套
1. 第 1 步：$96=2^5\times \underline{3}$，每次得分只能由 $2$、$3$ 搭配。
2. 第 2 步：不超过 $10$ 的三数组只有 $\{2,6,8\}$、$\{3,4,8\}$、$\{4,4,6\}$，验算 $2\times 6\times 8=\underline{96}$。
3. 第 3 步：三组总分分别是 $2+6+8=\underline{16}$、$3+4+8=\underline{15}$、$4+4+6=\underline{14}$。
4. 第 4 步：含 $3$ 分的组总分是 $15$，排第二，对应乙。
最终答案：得 $3$ 分的那一次是乙投的。
16. ch03-tuozhan-08 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$108=2^2\times 3^3$，验算 $4\times 27=\underline{108}$。
2. 第 2 步（枚举）：不超过 $10$ 的三数组是 $\{2,6,9\}$、$\{3,4,9\}$、$\{3,6,6\}$。
3. 第 3 步（算总环数）：$2+6+9=\underline{17}$、$3+4+9=\underline{16}$、$3+6+6=\underline{15}$。
4. 第 4 步（对应）：含 $4$ 环的是 $\{3,4,9\}$，总环数 $16$ 排第二，所以是乙。
最终答案：$4$ 环的那一枪是乙打的。
16. ch03-tuozhan-08 · 第三套
1. 第 1 步（枚举三数组）：$108=2^2\times 3^3$，不超过 $10$ 的三数组是 $\{2,6,9\}$、$\{3,4,9\}$、$\{3,6,6\}$，验算 $2\times 6\times 9=\underline{108}$。
2. 第 2 步（算总环数）：$2+6+9=\underline{17}$、$3+4+9=\underline{16}$、$3+6+6=\underline{15}$。
3. 第 3 步（对应到人）：$17>16>15$，故甲是 $\{2,6,9\}$、乙是 $\{3,4,9\}$、丙是 $\{3,6,6\}$；含 $2$ 环的是甲。
4. 第 4 步（求总和）：$17+16+15=\underline{48}$。
最终答案：$2$ 环的那一枪是甲打的；三人总环数之和是 $48$。
17. ch03-tuozhan-09 · 第一套
1. 第 1 步（分解已知的数）：$1875=3\times 5^4$，含 \underline{4} 个因数 $5$、$0$ 个因数 $2$；$2464=2^5\times 7\times 11$，含 \underline{5} 个因数 $2$、$0$ 个因数 $5$。
2. 第 2 步（算因数 $5$ 的缺口）：要 $6$ 个，现有 $4$ 个，还差 $6-4=\underline{2}$ 个。
3. 第 3 步（算因数 $2$ 的缺口）：要 $6$ 个，现有 $5$ 个，还差 $6-5=\underline{1}$ 个。
4. 第 4 步（补最小的数）：方框至少含 $5^2\times 2=25\times 2=\underline{50}$，所以最小填 $50$。
最终答案：方框内最小填 $50$。
17. ch03-tuozhan-09 · 第二套
1. 第 1 步：$1875=3\times 5^4$，含 \underline{4} 个因数 $5$；$2464=2^5\times 7\times 11$，含 \underline{5} 个因数 $2$。
2. 第 2 步：因数 $5$ 还差 $6-4=\underline{2}$ 个。
3. 第 3 步：因数 $2$ 还差 $6-5=\underline{1}$ 个。
4. 第 4 步：方框最小填 $25\times 2=\underline{50}$（件）。
最终答案：方框里最小填 $50$。
17. ch03-tuozhan-09 · 第三套
1. 第 1 步（分解）：$2250=2\times 3^2\times 5^3$，含 $1$ 个因数 $2$、\underline{3} 个因数 $5$；$448=2^6\times 7$，含 \underline{6} 个因数 $2$。
2. 第 2 步（清点）：因数 $2$ 共 $1+6=\underline{7}$ 个，已经超过 $5$ 个，不用补。
3. 第 3 步（算 $5$ 的缺口）：要 $5$ 个，现有 $3$ 个，还差 $5-3=\underline{2}$ 个。
4. 第 4 步（补最小的数）：方框至少含 $5\times 5=\underline{25}$。
最终答案：方框内最小填 $25$。
17. ch03-tuozhan-09 · 第三套
1. 第 1 步（清点）：$1875$ 提供 \underline{4} 个因数 $5$，$2464$ 提供 \underline{5} 个因数 $2$。
2. 第 2 步（算缺口）：因数 $5$ 差 $6-4=\underline{2}$ 个，因数 $2$ 差 $6-5=\underline{1}$ 个，所以方框必须是 $5^2\times 2=50$ 的倍数。
3. 第 3 步（最小）：最小就取这个缺口本身 $25\times 2=\underline{50}$。
4. 第 4 步（第二小）：下一个 $50$ 的倍数是 $50\times 2=\underline{100}$（中间的 $75$ 虽含两个 $5$ 却不含因数 $2$，不合格）。
最终答案：最小填 $50$，第二小填 $100$。
18. ch03-tuozhan-10 · 第一套
1. 第 1 步（第 (1) 问，分层数 $5$）：$60\div 5=\underline{12}$ 个，$60\div 25$ 取整得 \underline{2} 个，共 $12+2=\underline{14}$ 个，所以末尾有 $14$ 个 $0$。
2. 第 2 步（第 (2) 问，先数 $1\sim 200$）：$200\div 5=\underline{40}$、$200\div 25=\underline{8}$、$200\div 125$ 取整得 $1$。
3. 第 3 步（合计大段）：$40+8+1=\underline{49}$ 个因数 $5$。
4. 第 4 步（大段减小段）：$49-14=\underline{35}$ 个，所以 $61\sim 200$ 连乘末尾有 $35$ 个 $0$。
最终答案：（1）末尾有 $14$ 个连续的 $0$；（2）末尾有 $35$ 个连续的 $0$。
18. ch03-tuozhan-10 · 第二套
1. 第 1 步：$60\div 5=\underline{12}$、$60\div 25$ 取整得 \underline{2}，共 $12+2=\underline{14}$ 个因数 $5$，第一次结果末尾 $14$ 个 $0$。
2. 第 2 步：$200\div 5=\underline{40}$、$200\div 25=\underline{8}$、$200\div 125$ 取整得 $1$。
3. 第 3 步：$1\sim 200$ 共 $40+8+1=\underline{49}$ 个因数 $5$。
4. 第 4 步：$61\sim 200$ 的个数 $=49-14=\underline{35}$，即末尾 $35$ 个 $0$。
最终答案：第一次末尾有 $14$ 个 $0$，第二次末尾有 $35$ 个 $0$。
18. ch03-tuozhan-10 · 第三套
1. 第 1 步（数 $5$ 的倍数）：$45\div 5=\underline{9}$ 个。
2. 第 2 步（补 $25$ 的倍数）：$45$ 以内 $25$ 的倍数只有 $25$ 一个，再补 \underline{1} 个。
3. 第 3 步（合计）：因数 $5$ 共 $9+1=\underline{10}$ 个。
4. 第 4 步（确认 $2$ 够）：$45$ 以内偶数有 \underline{22} 个，因数 $2$ 远多于 $10$，末尾就是 $10$ 个 $0$。
最终答案：末尾有 $10$ 个连续的 $0$。
18. ch03-tuozhan-10 · 第三套
1. 第 1 步（数因数 $5$）：$200\div 5=40$、$200\div 25=8$、$200\div 125$ 取整得 $1$，共 $40+8+1=\underline{49}$ 个，末尾有 $49$ 个 $0$。
2. 第 2 步（数因数 $2$，逐层取整）：$200\div 2=100$、$200\div 4=50$、$200\div 8=25$、$200\div 16=\underline{12}$（取整）、$200\div 32=6$。
3. 第 3 步（继续到底）：$200\div 64=3$、$200\div 128=\underline{1}$（取整）。
4. 第 4 步（合计）：$100+50+25+12+6+3+1=\underline{197}$ 个因数 $2$。
最终答案：末尾有 $49$ 个连续的 $0$；乘积中含有 $197$ 个因数 $2$。
19. ch03-tuozhan-11 · 第一套
1. 第 1 步（分工）：两个连续数一奇一偶，因数 $5$ 只能来自其中一个，因数 $2$ 只能来自另一个。
2. 第 2 步（找三位数里 $5$ 的最高次幂）：$5^4=\underline{625}$ 是三位数，$5^5=3125$ 已是四位数，所以含 $5$ 的那个数最多提供 \underline{4} 个因数 $5$。
3. 第 3 步（看邻居提供多少个 $2$）：$625$ 的邻居 $624=2^4\times 39$，提供 \underline{4} 个因数 $2$。
4. 第 4 步（配对取较少者并验算）：$\min(4,4)=4$，$624\times 625=\underline{390000}$，末尾恰有 $4$ 个 $0$。
最终答案：最多有 $4$ 个连续的 $0$（例如 $624\times 625=390000$）。
19. ch03-tuozhan-11 · 第二套
1. 第 1 步：相邻两个编号一奇一偶，因数 $5$ 只来自其中一个，因数 $2$ 只来自另一个。
2. 第 2 步：三位数中 $5$ 的最高次幂是 $5^4=\underline{625}$，最多提供 \underline{4} 个因数 $5$。
3. 第 3 步：$624=2^4\times 39$，提供 \underline{4} 个因数 $2$。
4. 第 4 步：$624\times 625=\underline{390000}$，末尾有 $4$ 个 $0$。
最终答案：最多有 $4$ 个连续的 $0$。
19. ch03-tuozhan-11 · 第三套
1. 第 1 步（找四位数里 $5$ 的最高次幂）：$5^5=\underline{3125}$ 是四位数，$5^6=15625$ 已是五位数，所以最多提供 \underline{5} 个因数 $5$。
2. 第 2 步（挑合适的倍数）：$3\times 3125=\underline{9375}$ 仍是四位数，且它是奇数，邻居必是偶数。
3. 第 3 步（看邻居的因数 $2$）：$9376=2^5\times 293$，提供 \underline{5} 个因数 $2$。
4. 第 4 步（取较少者）：$\min(5,5)=\underline{5}$，所以末尾最多 $5$ 个 $0$。
最终答案：最多有 $5$ 个连续的 $0$（例如 $9375\times 9376$）。
19. ch03-tuozhan-11 · 第三套
1. 第 1 步（分工分析）：因数 $5$ 全在一个数里，因数 $2$ 全在另一个（偶）数里。
2. 第 2 步（定含 $5$ 的数）：三位数里 $5^4=\underline{625}$ 提供 \underline{4} 个因数 $5$，是最多的。
3. 第 3 步（定邻居）：$625$ 的两个邻居是 $624$ 和 $626$；$624=2^4\times 39$ 提供 $4$ 个 $2$，而 $626=2\times 313$ 只提供 \underline{1} 个，所以取 $624$。
4. 第 4 步（算乘积）：$624\times 625=\underline{390000}$，末尾 $4$ 个 $0$。
最终答案：最多有 $4$ 个连续的 $0$，这两个数是 $624$ 和 $625$，乘积为 $390000$。
20. ch03-tuozhan-12 · 第一套
1. 第 1 步（转化）：末尾 $20$ 个 $0$ 就是要有 $20$ 个因数 \underline{5}（因数 $2$ 一定够）。
2. 第 2 步（先数到 $75$）：$75\div 5=\underline{15}$ 个，其中 $25,50,75$ 各再多贡献 $1$ 个，共 $15+3=\underline{18}$ 个。
3. 第 3 步（还差多少）：$20-18=\underline{2}$ 个。
4. 第 4 步（继续往上乘）：$80$ 提供 $1$ 个（共 $19$ 个），$85=5\times \underline{17}$ 再提供 $1$ 个，累计正好 $20$ 个。
最终答案：乘积中出现的最大自然数最小是 $85$。
20. ch03-tuozhan-12 · 第二套
1. 第 1 步：末尾 $20$ 个 $0$ 即需要 $20$ 个因数 \underline{5}。
2. 第 2 步：数到 $75$ 号时，$75\div 5=\underline{15}$ 个，加上 $25,50,75$ 各多的 $1$ 个，共 $15+3=\underline{18}$ 个。
3. 第 3 步：还差 $20-18=\underline{2}$ 个。
4. 第 4 步：$80$ 号补 $1$ 个，$85=5\times \underline{17}$ 号再补 $1$ 个，正好 $20$ 个。
最终答案：他最少要乘到 $85$ 号。
20. ch03-tuozhan-12 · 第三套
1. 第 1 步（转化）：要有 $10$ 个因数 \underline{5}。
2. 第 2 步（数到 $40$）：$40\div 5=\underline{8}$ 个，$25$ 再多 $1$ 个，共 $8+1=\underline{9}$ 个。
3. 第 3 步（缺口）：$10-9=\underline{1}$ 个。
4. 第 4 步（补上）：下一个 $5$ 的倍数是 $45=5\times \underline{9}$，提供第 $10$ 个因数 $5$。
最终答案：乘积中出现的最大自然数最小是 $45$。
20. ch03-tuozhan-12 · 第三套
1. 第 1 步（第 (1) 问，数到 $100$）：$100\div 5=20$ 个，$100\div 25=\underline{4}$ 个再补，共 $20+4=\underline{24}$ 个。
2. 第 2 步（补足缺口）：还差 $25-24=\underline{1}$ 个，下一个 $5$ 的倍数是 $105=5\times \underline{21}$，正好补上。
3. 第 3 步（第 (2) 问，看跳跃）：数到 $24$ 时因数 $5$ 有 $24\div 5$ 取整 $=\underline{4}$ 个；再乘进 $25=5^2$，一次就多 $2$ 个，变成 $4+2=\underline{6}$ 个。
4. 第 4 步（结论）：个数从 $4$ 直接跳到 $6$，跳过了 $5$，所以末尾不可能恰好有 $5$ 个 $0$。
最终答案：（1）最大自然数最小是 $105$；（2）不可能，因为乘进 $25$ 时因数 $5$ 的个数从 $4$ 直接跳到 $6$，跳过了 $5$。
21. ch03-tuozhan-13 · 第一套
1. 第 1 步（分解质因数）：$1512=2^3\times 3^3\times \underline{7}$。
2. 第 2 步（看指数奇偶）：$2$ 的指数是 $3$、$3$ 的指数是 $3$、$7$ 的指数是 $1$，全是奇数，每个都要再补一个。
3. 第 3 步（算最小乘数）：$2\times 3\times 7=\underline{42}$。
4. 第 4 步（算乘积并开平方）：$1512\times 42=\underline{63504}$；补完后指数是 $4,4,2$，各取一半得底数 $2^2\times 3^2\times 7=\underline{252}$，即 $252$ 的平方。
最终答案：至少要乘 $42$；乘积 $63504$ 是 $252$ 的平方。
21. ch03-tuozhan-13 · 第二套
1. 第 1 步（分解质因数）：$1512=2^3\times 3^3\times \underline{7}$。
2. 第 2 步（正方形的条件）：总块数是平方数，即各质因数指数都要成偶数；现在三个指数 $3,3,1$ 都是奇数。
3. 第 3 步（算最小倍数）：每个质因数各补一个，$2\times 3\times 7=\underline{42}$。
4. 第 4 步（算总块数与边长）：$1512\times 42=\underline{63504}$ 块，边长为 $2^2\times 3^2\times 7=\underline{252}$ 块。
最终答案：倍数最小是 $42$；正方形每边有 $252$ 块（共 $63504$ 块）。
21. ch03-tuozhan-13 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$600=2^3\times 3\times 5^2$，验算 $8\times 3\times 25=\underline{600}$。
2. 第 2 步（挑出奇指数）：$5$ 的指数已经是偶数 $2$，不用管；只有 $2$（指数 $3$）和 $3$（指数 $1$）要补。
3. 第 3 步（算最小乘数）：$2\times 3=\underline{6}$。
4. 第 4 步（求乘积与底数）：$600\times 6=\underline{3600}$，指数变成 $4,2,2$，各取一半得 $2^2\times 3\times 5=\underline{60}$。
最终答案：至少要乘 $6$；乘积 $3600$ 是 $60$ 的平方。
21. ch03-tuozhan-13 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$1512=2^3\times 3^3\times \underline{7}$。
2. 第 2 步（立方数的条件）：各质因数的指数都必须是 $3$ 的倍数。$2$ 和 $3$ 的指数已经是 $3$，只有 $7$ 的指数 $1$ 不够，还差 $3-1=\underline{2}$。
3. 第 3 步（算最小乘数）：要补两个 $7$，即 $7\times 7=\underline{49}$。
4. 第 4 步（求乘积与底数）：$1512\times 49=\underline{74088}$，指数变成 $3,3,3$，各取三分之一得 $2\times 3\times 7=\underline{42}$，即 $42$ 的立方。
最终答案：至少要乘 $49$；乘积 $74088$ 是 $42$ 的立方。
22. ch03-tuozhan-14 · 第一套
1. 第 1 步（第 (1) 问分解）：$84=2^2\times 3\times \underline{7}$，指数为奇数的是 $3$ 和 $7$，所以乘数必须含 $3\times 7=\underline{21}$，形如 $21\times k^2$。
2. 第 2 步（用三位数卡）：$k=1$ 得 $21$、$k=2$ 得 $84$，都不是三位数；$k=3$ 得 $21\times 9=\underline{189}$，是最小的三位数解。验算 $84\times 189=\underline{15876}=126^2$。
3. 第 3 步（第 (2) 问分解）：$108=2^2\times 3^3$，立方数要求指数都是 $3$ 的倍数；$3$ 的指数已是 $3$，$2$ 的指数要从 $2$ 补到 $3$，所以乘数形如 $2\times a^3$。
4. 第 4 步（卡范围）：$2a^3\leqslant 999$ 得 $a^3\leqslant 499$，故 $a=4,5,6,7$，对应 $128,250,432,686$，共 \underline{4} 个。
最终答案：（1）最小的三位数是 $189$（$84\times 189=15876=126^2$）；（2）共有 $4$ 个：$128,250,432,686$。
22. ch03-tuozhan-14 · 第二套
1. 第 1 步：$84=2^2\times 3\times \underline{7}$，要成平方数须含 $3\times 7=\underline{21}$，每箱块数形如 $21\times k^2$。
2. 第 2 步：$k=3$ 时 $21\times 9=\underline{189}$（块），是最小的三位数；验算 $84\times 189=\underline{15876}$（块）$=126^2$。
3. 第 3 步：$108=2^2\times 3^3$，要成立方数须补一个 $2$，每箱块数形如 $2\times a^3$。
4. 第 4 步：$2a^3\leqslant 999$ 得 $a=4,5,6,7$，即 $128,250,432,686$ 块，共 \underline{4} 种。
最终答案：（1）每箱最少 $189$ 块；（2）共有 $4$ 种：$128,250,432,686$ 块。
22. ch03-tuozhan-14 · 第三套
1. 第 1 步（第 (1) 问）：$90=2\times 3^2\times \underline{5}$，指数为奇数的是 $2$ 和 $5$，乘数形如 $10\times k^2$。
2. 第 2 步（卡三位数）：$k=1,2,3$ 分别得 $10,40,90$ 都不够；$k=4$ 得 $10\times 16=\underline{160}$，验算 $90\times 160=\underline{14400}=120^2$。
3. 第 3 步（第 (2) 问）：$40=2^3\times 5$，$2$ 的指数已是 $3$，$5$ 的指数要从 $1$ 补到 $3$，所以乘数形如 $5^2\times a^3=25a^3$。
4. 第 4 步（卡范围）：$25a^3\leqslant 999$ 得 $a^3\leqslant 39$，故 $a=1,2,3$，对应 $25,200,675$；其中三位数只有 $200$ 和 $675$，共 \underline{2} 个。
最终答案：（1）最小的三位数是 $160$（$90\times 160=14400=120^2$）；（2）共有 $2$ 个：$200$ 和 $675$。
22. ch03-tuozhan-14 · 第三套
1. 第 1 步（分解并写出乘数形式）：$108=2^2\times 3^3$，$3$ 的指数已是 $3$ 的倍数，只需把 $2$ 的指数从 $2$ 补到 $3$，故乘数形如 $2\times a^3$。
2. 第 2 步（卡三位数范围）：$2a^3\leqslant 999$ 得 $a^3\leqslant 499$；又要 $2a^3\geqslant 100$，得 $a\geqslant 4$，所以 $a=4,5,6,$ \underline{7}。
3. 第 3 步（算出这些三位数）：$2\times 64=\underline{128}$、$2\times 125=\underline{250}$、$2\times 216=\underline{432}$、$2\times 343=\underline{686}$。
4. 第 4 步（求和）：$128+250+432+686=\underline{1496}$。
最终答案：共有 $4$ 个：$128,250,432,686$，它们的和是 $1496$。
23. ch03-xingqu-01 · 第一套
1. 第 1 步（想清楚要用哪些筛子）：若 $n<100$ 是合数，它必有一个不超过 $\sqrt{100}=10$ 的质因数，所以只要用 $2,3,5,$ \underline{7} 这几个质数去试除就够了。
2. 第 2 步（分段数）：$10$ 以内的质数是 $2,3,5,7$，共 \underline{4} 个。
3. 第 3 步：$10$ 到 $50$ 之间的质数是 $11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$，共 \underline{11} 个。
4. 第 4 步：$50$ 到 $100$ 之间的质数是 $53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$，共 \underline{10} 个。
5. 第 5 步（合计）：$4+11+10=\underline{25}$ 个。
最终答案：$100$ 以内共有 $25$ 个质数：$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$。
23. ch03-xingqu-01 · 第二套
1. 第 1 步（把「贴标签」翻译成「找质数」）：编号 $n\leqslant 100$，只需用不超过 $\sqrt{100}=10$ 的质数 $2,3,5,$ \underline{7} 试除。
2. 第 2 步：$10$ 以内要贴的编号是 $2,3,5,7$，共 \underline{4} 张。
3. 第 3 步：$10\sim 50$ 要贴的编号共 \underline{11} 张。
4. 第 4 步：$50\sim 100$ 要贴的编号共 \underline{10} 张。
5. 第 5 步：一共 $4+11+10=\underline{25}$ 张标签。
最终答案：共贴 $25$ 张标签，编号为 $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$。
23. ch03-xingqu-01 · 第三套
1. 第 1 步（定筛子）：$150<169=13\times 13$，所以只要用不超过 $12$ 的质数 $2,3,5,7,$ \underline{11} 试除。
2. 第 2 步（先粗筛）：$100\sim 150$ 中的偶数、个位是 $5$ 的数全部划掉，剩下个位为 $1,3,7,9$ 的数。
3. 第 3 步（再细筛）：划掉 $3$ 的倍数（如 $111,117,123,129,141,147$）、$7$ 的倍数（$119,133$）、$11$ 的倍数（$121,143$）、$13$ 的倍数（$143$ 已划）。
4. 第 4 步：剩下 $101,103,107,109,113,127,131,137,139,149$，共 \underline{10} 个。
最终答案：$100$ 到 $150$ 之间的质数是 $101,103,107,109,113,127,131,137,139,149$，共 $10$ 个。
23. ch03-xingqu-01 · 第三套
1. 第 1 步（先有质数表）：$100$ 以内的质数共 \underline{25} 个，$2,3,5,7,11,\cdots,97$。
2. 第 2 步（找相差 $2$ 的相邻两项）：$(3,5)$、$(5,7)$、$(11,13)$、$(17,19)$、$(29,31)$、$(41,43)$、$(59,61)$、$(71,73)$，共 \underline{8} 对。
3. 第 3 步（注意 $97$ 后面）：$97+2=99=9\times \underline{11}$ 是合数，所以 $97$ 不在孪生对中，最大的一对是 $(71,73)$。
4. 第 4 步：最大一对之和 $71+73=\underline{144}$。
最终答案：$100$ 以内共有 $8$ 对孪生质数，最大的一对是 $71$ 和 $73$，其和为 $144$。
24. ch03-xingqu-02 · 第一套
1. 第 1 步（先判断奇偶）：$24$ 是偶数，两个加数可以都是奇质数。从小到大试：$24-5=\underline{19}$、$24-7=\underline{17}$、$24-11=\underline{13}$，它们都是质数。
2. 第 2 步：$33$ 是奇数，奇数 $=$ 偶 $+$ 奇，所以两个质数中必有一个是唯一的偶质数 \underline{2}。
3. 第 3 步：另一个就被确定为 $33-2=\underline{31}$，它是质数，所以 $33=2+31$。
4. 第 4 步：$35$ 也是奇数，同理另一个必须是 $35-2=\underline{33}$；但 $33=3\times \underline{11}$ 是合数，唯一候选被排除。
最终答案：（1）$24=5+19=7+17=11+13$；（2）$33=2+31$；（3）不存在（$35-2=33$ 是合数）。
24. ch03-xingqu-02 · 第二套
1. 第 1 步：$24$ 颗是偶数，两袋都可以是奇质数：$24-5=\underline{19}$、$24-7=\underline{17}$、$24-11=\underline{13}$（颗）。
2. 第 2 步：$33$ 颗是奇数，必有一袋是唯一的偶质数 \underline{2} 颗。
3. 第 3 步：另一袋 $33-2=\underline{31}$（颗），是质数，可行。
4. 第 4 步：$35$ 颗时另一袋应是 $35-2=\underline{33}$（颗），但 $33=3\times \underline{11}$ 是合数，所以装不成。
最终答案：（1）$5$ 和 $19$、$7$ 和 $17$、$11$ 和 $13$；（2）$2$ 和 $31$；（3）不存在。
24. ch03-xingqu-02 · 第三套
1. 第 1 步（奇偶分析）：$40$ 是偶数。若含偶质数 $2$，另一个是 $40-2=\underline{38}$，而 $38=2\times 19$ 是合数，所以两个加数只能都是奇质数。
2. 第 2 步（从小的奇质数逐个试）：$40-3=\underline{37}$ 是质数；$40-7=33$、$40-13=27$ 都是合数。
3. 第 3 步：继续试 $40-11=\underline{29}$、$40-17=\underline{23}$，都是质数。
4. 第 4 步：因为 $20$ 以后会重复，共得 \underline{3} 种写法。
最终答案：共 $3$ 种：$40=3+37=11+29=17+23$。
24. ch03-xingqu-02 · 第三套
1. 第 1 步（奇偶分析）：$30$ 是偶数；若含 $2$，另一个是 $30-2=\underline{28}$，而 $28$ 是合数，所以两个都是奇质数。
2. 第 2 步（枚举全部拆法）：$30=7+\underline{23}=11+\underline{19}=13+\underline{17}$。
3. 第 3 步（比较乘积）：和一定时，两数越接近乘积越大，所以先算最接近的一组 $13\times 17=\underline{221}$。
4. 第 4 步（验证）：$11\times 19=\underline{209}$、$7\times 23=\underline{161}$，都比它小，所以最大乘积是 $221$。
最终答案：最大乘积是 $13\times 17=221$。
25. ch03-xingqu-03 · 第一套
1. 第 1 步（转化思路）：要让一段连续整数里一个质数也没有，就要把它塞进两个相邻质数之间的「空档」。所以要找间隔至少是 $14$ 的相邻质数。
2. 第 2 步（找这对质数）：$113$ 与 $127$ 是相邻质数，中间夹着 $127-113-1=\underline{13}$ 个自然数，正好够。
3. 第 3 步（写出这段数）：从 $113+1=\underline{114}$ 一直到 $127-1=\underline{126}$。
4. 第 4 步（逐个说明是合数）：如 $114=2\times \underline{57}$、$119=7\times \underline{17}$、$121=11\times \underline{11}$、$125=5\times \underline{25}$，其余的也都能分解。
最终答案：反例：$114,115,116,\cdots,126$ 这 $13$ 个连续整数全是合数。
25. ch03-xingqu-03 · 第二套
1. 第 1 步：要让这 $13$ 天的编号都不是质数，就把它们放进两个相邻质数之间的空档里。
2. 第 2 步：$113$ 与 $127$ 是相邻质数，中间空出 $127-113-1=\underline{13}$ 个编号。
3. 第 3 步：这些编号从 $113+1=\underline{114}$ 号到 $127-1=\underline{126}$ 号。
4. 第 4 步：逐个检验，如 $114=2\times \underline{57}$、$119=7\times \underline{17}$、$121=11\times \underline{11}$、$125=5\times \underline{25}$，全是合数。
最终答案：从第 $114$ 天到第 $126$ 天这 $13$ 天的编号全是合数，老师的说法错误。
25. ch03-xingqu-03 · 第三套
1. 第 1 步（思路）：要找最小的一段，就从小往大看相邻质数的间隔，第一次出现间隔 $\geqslant 6$ 的地方就是答案。
2. 第 2 步（逐对看）：$13,17$ 之间只有 $17-13-1=\underline{3}$ 个数，不够；$23,29$ 之间有 $29-23-1=\underline{5}$ 个数，够了。
3. 第 3 步（写出这段数）：从 $23+1=\underline{24}$ 到 $29-1=\underline{28}$。
4. 第 4 步（验证都是合数）：$24=2\times 12$、$25=5\times \underline{5}$、$26=2\times 13$、$27=3\times \underline{9}$、$28=4\times 7$。
最终答案：最小的一段是 $24,25,26,27,28$，它们全是合数。
25. ch03-xingqu-03 · 第三套
1. 第 1 步（先列质数表）：$100$ 以内共有 \underline{25} 个质数。
2. 第 2 步（逐对求差找最大）：常见的大间隔有 $29-23=6$、$97-89=\underline{8}$，其中最大的是 $8$。
3. 第 3 步（算中间夹几个数）：$97-89-1=\underline{7}$ 个连续合数，即 $90\sim 96$。
4. 第 4 步（求和，用首尾配对）：$(90+96)\times 7\div 2=\underline{651}$。
最终答案：最大差是 $8$（$89$ 与 $97$）；中间夹着 $7$ 个连续合数 $90\sim 96$，它们的和是 $651$。
26. ch03-xingqu-04 · 第一套
1. 第 1 步（先排除小首项）：公差 $30$ 是 $2,3,5$ 的倍数。若首项取 $2$，各项全是偶数；取 $3$ 则各项全是 \underline{3} 的倍数；取 $5$ 则各项全是 $5$ 的倍数。所以首项至少从下一个质数开始试。
2. 第 2 步（试首项 $7$）：逐项加 $30$，得 $7$、$7+30=\underline{37}$、$37+30=\underline{67}$。
3. 第 3 步（继续）：$67+30=\underline{97}$、$97+30=\underline{127}$。
4. 第 4 步（逐项验质）：$127$ 用 $2,3,5,7,11$ 试除都除不尽（$11\times 11=121<127<169$），是质数；其余四项也都是质数。
最终答案：$7,37,67,97,127$（公差为 $30$，五项都是质数）。
26. ch03-xingqu-04 · 第二套
1. 第 1 步：编号相隔 $30$，而 $30$ 是 $2,3,5$ 的倍数。首项若是 $2$ 各项全是偶数；若是 $3$ 各项全是 \underline{3} 的倍数；若是 $5$ 各项全是 $5$ 的倍数，都不行。
2. 第 2 步（从 $7$ 号试起）：$7+30=\underline{37}$、$37+30=\underline{67}$。
3. 第 3 步：$67+30=\underline{97}$、$97+30=\underline{127}$。
4. 第 4 步：这五个编号都是质数，符合要求。
最终答案：编号为 $7,37,67,97,127$ 的五个储物柜。
26. ch03-xingqu-04 · 第三套
1. 第 1 步（分析公差）：$42=2\times 3\times \underline{7}$，是 $2,3,7$ 的倍数，所以首项不能取 $2,3,7$。
2. 第 2 步（试首项 $5$）：$5+42=\underline{47}$、$47+42=\underline{89}$。
3. 第 3 步：$89+42=\underline{131}$、$131+42=\underline{173}$。
4. 第 4 步（验最大的一项）：$173$ 用不超过 $13$ 的质数试除都不整除（$13\times 13=169<173$），是质数。
最终答案：$5,47,89,131,173$（公差为 $42$，五项都是质数）。
26. ch03-xingqu-04 · 第三套
1. 第 1 步（排除首项）：公差 $8$ 是偶数，若首项是奇质数则三项都是奇数，可行；若首项是 $2$，第二项 $2+8=\underline{10}$ 是合数，排除。
2. 第 2 步（从 $3$ 试起）：$3+8=\underline{11}$、$11+8=\underline{19}$，三项都是质数。
3. 第 3 步（先乘前两项）：$3\times 11=\underline{33}$。
4. 第 4 步（再乘末项）：$33\times 19=\underline{627}$。
最终答案：这三个质数是 $3,11,19$，乘积为 $627$。
27. ch03-xingqu-05 · 第一套
1. 第 1 步（$224$ 先提 $2$）：$224\div 2=112$，$112\div 2=56$，$56\div 2=28$，$28\div 2=14$，$14\div 2=\underline{7}$，商是质数，停。
2. 第 2 步（数一数除了几次 $2$）：一共除了 \underline{5} 次，所以 $224=2^5\times 7$，验算 $32\times 7=\underline{224}$。
3. 第 3 步（$1073$ 是奇数）：$2,3,5,7,11,13,17,19,23$ 都试不尽，试到 $29$ 时 $1073\div 29=\underline{37}$，而 $37$ 是质数。
4. 第 4 步（判断 $307$）：$17\times 17=289<307<324=18\times \underline{18}$，所以只需用 $2,3,5,7,11,13,17$ 试除，全都除不尽。
最终答案：（1）$224=2^5\times 7$；（2）$1073=29\times 37$；（3）$307$ 是质数。
27. ch03-xingqu-05 · 第二套
1. 第 1 步：$224$ 是偶数，连续除以 $2$：$224\div 2=112\to 56\to 28\to 14\to \underline{7}$。
2. 第 2 步：共除了 \underline{5} 次 $2$，所以 $224=2^5\times 7$，验算 $32\times 7=\underline{224}$（颗）。
3. 第 3 步：$1073$ 是奇数，试除到 $29$ 时 $1073\div 29=\underline{37}$。
4. 第 4 步：$307$ 只需试除到 $17$（因为 $17\times 17=289<307<324=18\times \underline{18}$），全不整除，所以不能再分。
最终答案：（1）$224=2^5\times 7$；（2）$1073=29\times 37$；（3）$307$ 是质数，无法再分解。
27. ch03-xingqu-05 · 第三套
1. 第 1 步（$1296$ 先提 $2$）：$1296\div 2=648\to 324\to 162\to \underline{81}$，共除了 $4$ 次 $2$。
2. 第 2 步（剩下的 $81$ 提 $3$）：$81=3\times 3\times 3\times \underline{3}$，所以 $1296=2^4\times 3^4$，验算 $16\times 81=\underline{1296}$。
3. 第 3 步（$2431$）：$2431\div 11=\underline{221}$，再把 $221$ 分解为 $13\times \underline{17}$。
4. 第 4 步（$401$）：$20\times 20=400<401<441=21\times 21$，用 $2,3,5,7,11,13,17,19$ 试除都不尽，是质数。
最终答案：（1）$1296=2^4\times 3^4$；（2）$2431=11\times 13\times 17$；（3）$401$ 是质数。
27. ch03-xingqu-05 · 第三套
1. 第 1 步（提 $2$）：$8820\div 2=4410$，$4410\div 2=\underline{2205}$，共提出 $2^2$。
2. 第 2 步（提 $3$）：$2205\div 3=735$，$735\div 3=\underline{245}$，共提出 $3^2$。
3. 第 3 步（提 $5$ 和 $7$）：$245\div 5=\underline{49}$，而 $49=7\times \underline{7}$，所以 $8820=2^2\times 3^2\times 5\times 7^2$。
4. 第 4 步（用因数个数公式）：把各质因数的指数都加 $1$ 再相乘，$(2+1)\times(2+1)\times(1+1)\times(2+1)=\underline{54}$ 个。
最终答案：$8820=2^2\times 3^2\times 5\times 7^2$，共有 $54$ 个因数。
28. ch03-xingqu-06 · 第一套
1. 第 1 步（先分解质因数缩小范围）：$330=2\times 3\times 5\times \underline{11}$。
2. 第 2 步（想清楚结构）：设较小的两个数是 $a,b$，第三个数就是 $a+b$，于是 $a\times b\times(a+b)=330$。
3. 第 3 步（在因数中试）：试 $a=5,b=6$，则第三个数是 $5+6=\underline{11}$。
4. 第 4 步（验算乘积）：$5\times 6=\underline{30}$，再乘 $11$ 得 $30\times 11=\underline{330}$，符合。
最终答案：这三个数是 $5$、$6$、$11$（$5\times 6\times 11=330$，且 $5+6=11$）。
28. ch03-xingqu-06 · 第二套
1. 第 1 步：体积 $=$ 长 $\times$ 宽 $\times$ 高，先分解 $330=2\times 3\times 5\times \underline{11}$。
2. 第 2 步：设宽、高为 $a,b$（厘米），则长为 $a+b$，于是 $a\times b\times(a+b)=330$。
3. 第 3 步：试宽 $5$、高 $6$，则长为 $5+6=\underline{11}$（厘米）。
4. 第 4 步：验算体积 $5\times 6=\underline{30}$，$30\times 11=\underline{330}$（立方厘米），符合。
最终答案：宽 $5$ 厘米、高 $6$ 厘米、长 $11$ 厘米。
28. ch03-xingqu-06 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$96=2^5\times \underline{3}$，所以三个数都只能由 $2$ 和 $3$ 组成。
2. 第 2 步（结构）：设较小两数为 $a,b$，则 $a\times b\times(a+b)=96$。
3. 第 3 步（试算）：取 $a=2,b=6$，第三个数为 $2+6=\underline{8}$。
4. 第 4 步（验算）：$2\times 6=\underline{12}$，$12\times 8=\underline{96}$，符合。
最终答案：这三个数是 $2$、$6$、$8$（$2\times 6\times 8=96$，且 $2+6=8$）。
28. ch03-xingqu-06 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$960=2^6\times 3\times \underline{5}$。
2. 第 2 步（结构）：设较小两数为 $a,b$，则 $a\times b\times(a+b)=960$。
3. 第 3 步（试算）：取 $a=6,b=10$，第三个数为 $6+10=\underline{16}$；验算 $6\times 10=60$，$60\times 16=\underline{960}$。
4. 第 4 步（求最小公倍数）：$6=2\times 3$，$10=2\times 5$，$16=2^4$，每个质因数取最高次幂相乘：$16\times 3\times 5=\underline{240}$。
最终答案：这三个数是 $6$、$10$、$16$，它们的最小公倍数是 $240$。
29. ch03-xingqu-07 · 第一套
1. 第 1 步（分解质因数）：$462=2\times 3\times 7\times \underline{11}$。
2. 第 2 步（含 $11$ 的搭配）：$11$、$2\times 11=\underline{22}$、$3\times 11=\underline{33}$、$6\times 11=\underline{66}$（再乘 $7$ 就超过两位）。
3. 第 3 步（不含 $11$ 的搭配）：$2\times 7=\underline{14}$、$3\times 7=\underline{21}$、$2\times 3\times 7=\underline{42}$。
4. 第 4 步（汇总排序）：$11,14,21,22,33,42,66,77$，共 \underline{8} 个。
最终答案：共 $8$ 个：$11,14,21,22,33,42,66,77$。
29. ch03-xingqu-07 · 第二套
1. 第 1 步：「刚好分完」就是每组本数是 $462$ 的因数。先分解 $462=2\times 3\times 7\times \underline{11}$。
2. 第 2 步（含 $11$）：$11$、$2\times 11=\underline{22}$、$3\times 11=\underline{33}$、$6\times 11=\underline{66}$（本）。
3. 第 3 步（不含 $11$）：$2\times 7=\underline{14}$、$3\times 7=\underline{21}$、$2\times 3\times 7=\underline{42}$（本）。
4. 第 4 步：共有 \underline{8} 种可能。
最终答案：每组可能是 $11,14,21,22,33,42,66,77$ 本，共 $8$ 种。
29. ch03-xingqu-07 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$630=2\times 3^2\times 5\times \underline{7}$，注意 $3$ 带平方，搭配时 $3$ 可以取 $0,1,2$ 次。
2. 第 2 步（因数总数）：$(1+1)\times(2+1)\times(1+1)\times(1+1)=\underline{24}$ 个因数。
3. 第 3 步（列出两位的）：$10,14,15,18,21,30,35,42,45,63,70,90$。其中 $18=2\times 3^2$，$45=3^2\times \underline{5}$，$63=3^2\times \underline{7}$。
4. 第 4 步（数一数）：共 \underline{12} 个。
最终答案：共 $12$ 个：$10,14,15,18,21,30,35,42,45,63,70,90$。
29. ch03-xingqu-07 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$462=2\times 3\times 7\times \underline{11}$。
2. 第 2 步（列全两位因数）：$11,14,21,22,33,42,66,77$，共 \underline{8} 个。
3. 第 3 步（凑整相加）：把它们两两配对，$11+77=\underline{88}$，$14+66=\underline{80}$，$21+33=\underline{54}$，$22+42=\underline{64}$。
4. 第 4 步（合计）：$88+80+54+64=\underline{286}$。
最终答案：这些两位数的和是 $286$。
30. ch03-xingqu-08 · 第一套
1. 第 1 步（分解质因数）：$5852=2^2\times 7\times 11\times \underline{19}$。
2. 第 2 步（估算定位）：$76\times 76=5776<5852<5929=77\times \underline{77}$，所以这两个数就在 $76$ 与 $77$ 附近。
3. 第 3 步（把质因数搭成这两个数）：$4\times 19=\underline{76}$，$7\times 11=\underline{77}$，正好相差 $1$。
4. 第 4 步（验算）：$76\times 77=\underline{5852}$，所以较小的数是 $76$。
最终答案：较小的数是 $76$（$76\times 77=5852$）。
30. ch03-xingqu-08 · 第二套
1. 第 1 步：设宽为 $a$ 米，则长为 $a+1$ 米，$a\times(a+1)=5852$。先分解 $5852=2^2\times 7\times 11\times \underline{19}$。
2. 第 2 步（估算）：$76\times 76=5776<5852<5929=77\times \underline{77}$。
3. 第 3 步（搭配质因数）：$4\times 19=\underline{76}$，$7\times 11=\underline{77}$。
4. 第 4 步（验算）：$76\times 77=\underline{5852}$（平方米），所以宽是 $76$ 米。
最终答案：宽是 $76$ 米（长 $77$ 米）。
30. ch03-xingqu-08 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$3306=2\times 3\times 19\times \underline{29}$。
2. 第 2 步（估算定位）：$57\times 57=3249<3306<3364=58\times \underline{58}$。
3. 第 3 步（搭配）：$3\times 19=\underline{57}$，$2\times 29=\underline{58}$，正好相差 $1$。
4. 第 4 步（验算）：$57\times 58=\underline{3306}$。
最终答案：这两个数是 $57$ 和 $58$。
30. ch03-xingqu-08 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$4692=2^2\times 3\times 17\times \underline{23}$。
2. 第 2 步（估算定位）：$68\times 68=4624<4692<4761=69\times \underline{69}$。
3. 第 3 步（搭配）：$4\times 17=\underline{68}$，$3\times 23=\underline{69}$，验算 $68\times 69=\underline{4692}$。
4. 第 4 步（求和并判奇偶）：$68+69=\underline{137}$；两个连续自然数一奇一偶，和必为奇数。
最终答案：这两个数是 $68$ 和 $69$，和为 $137$，是奇数。
31. ch03-xingqu-09 · 第一套
1. 第 1 步（先分解质因数）：$4=2^2$，$10=2\times 5$，$28=2^2\times 7$，$48=2^4\times 3$，$54=2\times 3^3$，$110=2\times 5\times \underline{11}$，$112=2^4\times 7$，$198=2\times 3^2\times 11$。
2. 第 2 步（找稀有质因数）：带因数 $5$ 的只有 $10$ 和 $110$，必须一边一个；带因数 $7$ 的只有 $28$ 和 $112$，也要分开；带因数 $11$ 的 $110$ 与 $198$ 同样分开。
3. 第 3 步（配平后算第一组）：取 $\{10,28,48,198\}$，$10\times 28=\underline{280}$，$280\times 48=\underline{13440}$，$13440\times 198=\underline{2661120}$。
4. 第 4 步（算另一组验证）：$\{4,54,110,112\}$，$4\times 54=216$，$216\times 110=\underline{23760}$，$23760\times 112=\underline{2661120}$，两组相等。
最终答案：一组是 $10,28,48,198$，另一组是 $4,54,110,112$，两组乘积都等于 $2661120$。
31. ch03-xingqu-09 · 第二套
1. 第 1 步：先把每个重量分解质因数，$110=2\times 5\times \underline{11}$，其余同理。
2. 第 2 步：带因数 $5$ 的只有 $10$ 和 $110$，必须分到两堆；带因数 $7$ 的 $28$ 和 $112$ 也分开；带 $11$ 的 $110$ 与 $198$ 分开。
3. 第 3 步：第一堆取 $\{10,28,48,198\}$，$10\times 28=\underline{280}$，$280\times 48=\underline{13440}$，$13440\times 198=\underline{2661120}$。
4. 第 4 步：第二堆 $\{4,54,110,112\}$，$4\times 54=216$，$216\times 110=\underline{23760}$，$23760\times 112=\underline{2661120}$，两堆相等。
最终答案：一堆是 $10,28,48,198$ 千克，另一堆是 $4,54,110,112$ 千克，两堆乘积都是 $2661120$。
31. ch03-xingqu-09 · 第三套
1. 第 1 步（分解质因数）：$6=2\times 3$，$10=2\times 5$，$22=2\times 11$，$25=5^2$，$45=3^2\times 5$，$55=5\times \underline{11}$，$70=2\times 5\times 7$，$84=2^2\times 3\times 7$。
2. 第 2 步（配平稀有质因数）：带 $7$ 的只有 $70$ 和 $84$，分开；带 $11$ 的只有 $22$ 和 $55$，分开；$25$ 带两个 $5$，要与另一组的 $10$、$45$ 等配平。
3. 第 3 步（算第一组）：$\{6,25,55,84\}$，$6\times 25=\underline{150}$，$150\times 55=\underline{8250}$，$8250\times 84=\underline{693000}$。
4. 第 4 步（算第二组）：$\{10,22,45,70\}$，$10\times 22=220$，$220\times 45=\underline{9900}$，$9900\times 70=\underline{693000}$。
最终答案：一组是 $6,25,55,84$，另一组是 $10,22,45,70$，两组乘积都等于 $693000$。
31. ch03-xingqu-09 · 第三套
1. 第 1 步（分组）：按稀有质因数 $7$（$70,84$）、$11$（$22,55$）分开，得 $\{6,25,55,84\}$ 与 $\{10,22,45,70\}$。
2. 第 2 步（算出组积）：$6\times 25\times 55\times 84=\underline{693000}$。
3. 第 3 步（提出 $2$ 和 $5$）：$693000$ 末尾有 $3$ 个 $0$，先提出 $10^3=2^3\times 5^3$，剩下 $693000\div 1000=\underline{693}$。
4. 第 4 步（分解 $693$）：$693=3^2\times \underline{77}$，其中 $77=7\times \underline{11}$，所以组积 $=2^3\times 3^2\times 5^3\times 7\times 11$。
最终答案：两组分别是 $6,25,55,84$ 与 $10,22,45,70$，每组乘积都是 $693000=2^3\times 3^2\times 5^3\times 7\times 11$。
32. ch03-xingqu-10 · 第一套
1. 第 1 步（转化）：末尾零的个数 $=$ 因数 $2$ 与因数 $5$ 能配成的对数，而因数 $2$ 远多于 $5$，所以只要数因数 \underline{5} 的个数。
2. 第 2 步（数 $5$ 的倍数）：$1\sim 40$ 中 $5$ 的倍数有 $40\div 5=\underline{8}$ 个，各贡献一个因数 $5$。
3. 第 3 步（补上 $25$ 的倍数）：$25$ 含两个 $5$，要再多算一次，$40\div 25$ 的整数部分是 \underline{1} 个。
4. 第 4 步（合计）：因数 $5$ 共 $8+1=\underline{9}$ 个，所以末尾有 $9$ 个 $0$。
最终答案：末尾有 $9$ 个连续的 $0$。
32. ch03-xingqu-10 · 第二套
1. 第 1 步：末尾零由因数 $2$ 与 \underline{5} 配对产生，而因数 $2$ 更多，所以只数后者。
2. 第 2 步：$1\sim 40$ 中 $5$ 的倍数有 $40\div 5=\underline{8}$ 个。
3. 第 3 步：$25$ 里含两个 $5$，要再补 \underline{1} 个。
4. 第 4 步：共 $8+1=\underline{9}$ 个因数 $5$，末尾就是 $9$ 个 $0$。
最终答案：末尾有 $9$ 个连续的 $0$。
32. ch03-xingqu-10 · 第三套
1. 第 1 步（只数 $5$）：$1\sim 25$ 中 $5$ 的倍数有 $25\div 5=\underline{5}$ 个。
2. 第 2 步（注意 $25$ 本身）：$25=5\times \underline{5}$，含两个因数 $5$，前面只算了一个，要再补 $1$ 个。
3. 第 3 步（合计）：因数 $5$ 共 $5+1=\underline{6}$ 个。
4. 第 4 步（确认 $2$ 够用）：$1\sim 25$ 中偶数有 \underline{12} 个，因数 $2$ 远多于 $6$，所以末尾有 $6$ 个 $0$。
最终答案：末尾有 $6$ 个连续的 $0$。
32. ch03-xingqu-10 · 第三套
1. 第 1 步（数因数 $5$）：$50\div 5=\underline{10}$ 个，再加 $25$ 的倍数 $50\div 25=\underline{2}$ 个，共 $10+2=\underline{12}$ 个。
2. 第 2 步（末尾零）：因数 $2$ 更多，所以末尾有 $12$ 个 $0$。
3. 第 3 步（数因数 $2$，逐层累加）：$50\div 2=25$、$50\div 4=12$、$50\div 8=6$、$50\div 16=3$、$50\div 32=\underline{1}$（都取整数部分）。
4. 第 4 步（合计）：$25+12+6+3+1=\underline{47}$ 个因数 $2$。
最终答案：末尾有 $12$ 个连续的 $0$；乘积中含有 $47$ 个因数 $2$。

竞赛数学 · 五年级 第3讲《质数与合数》举一反三练习卷

附录 · 答案

竞赛数学 · 五年级第3讲《质数与合数》举一反三练习卷