竞赛数学 · 五年级 第4讲《包含与排除》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch04-chaoyue-01】森林里住着 $100$ 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的 $2$ 倍。不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 $3$ 倍。它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？
详细思路
是哪类问题：这是「两个对象的容斥原理 + 倍数关系与方程」类：两个倍数条件互相牵制，设一个未知数后列方程。
关键切入点：凡是不爱吃萝卜的都爱吃白菜，说明每只兔子至少爱吃一种，并集就是 $100$。设爱吃白菜的有 $b$ 只，则爱吃萝卜的有 $2b$ 只；不爱吃萝卜的有 $100-2b$ 只，不爱吃白菜的有 $100-b$ 只。由「不爱吃白菜的是不爱吃萝卜的 $3$ 倍」列出方程即可求 $b$，再用容斥求交集。
方法概述：设爱吃白菜的只数为未知数，用「不爱…」的倍数关系列方程，再用容斥求交集。
规范步骤：
  1. 设未知数并表示两个「不爱」：$不爱萝卜=100-2b,\;不爱白菜=100-b$（补集）
  2. 列方程：$100-b=3(100-2b)$（倍数关系）
  3. 解方程：$5b=200,\;b=40$（移项化简）
  4. 容斥求交集：$2\times 40+40-100=20$（只）（两个对象的容斥原理）
  5. 写出答案：$20$ 只
第一套
题目：森林里住着 $234$ 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的 $2$ 倍，不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 $5$ 倍。它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设未知数）：设爱吃白菜的有 $b$ 只，则爱吃萝卜的有 $2b$ 只。因为每只兔子至少爱吃一种，所以不爱吃萝卜的有 $234-2b$ 只，不爱吃白菜的有 $234-b$ 只。
  2. 第 2 步（列方程）：由「不爱吃白菜的是不爱吃萝卜的 $5$ 倍」得 $234-b=5(234-2b)$，去括号整理得 $9b=234\times 5-234=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（解方程）：$b=936\div 9=\underline{\quad}$（只）爱吃白菜，爱吃萝卜的有 $2\times 104=\underline{\quad}$（只）。
  4. 第 4 步（容斥求交集）：$208+104-234=\underline{\quad}$（只）两样都爱吃。
第二套
题目：某社区有 $234$ 位居民，凡是不看晚报的居民都看早报。看早报的人数是看晚报人数的 $2$ 倍，不看晚报的人数是不看早报人数的 $5$ 倍。请问：有多少位居民早报晚报都看？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设未知数）：设看晚报的有 $b$ 人，则看早报的有 $2b$ 人；不看早报的有 $234-2b$ 人，不看晚报的有 $234-b$ 人。
  2. 第 2 步（列方程）：$234-b=5(234-2b)$，整理得 $9b=234\times 5-234=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（解方程）：$b=936\div 9=\underline{\quad}$（人），看早报的有 $2\times 104=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（容斥求交集）：$208+104-234=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：森林里住着 $234$ 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。爱吃萝卜的数量是爱吃白菜数量的 $2$ 倍，不爱吃白菜的数量是不爱吃萝卜数量的 $5$ 倍。请问：只爱吃萝卜（不爱吃白菜）的小白兔有多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程求爱吃白菜的只数）：设爱吃白菜的有 $b$ 只，由 $234-b=5(234-2b)$ 得 $9b=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$（只）。
  2. 第 2 步（直接用补集）：只爱吃萝卜的就是不爱吃白菜的，$234-104=\underline{\quad}$（只）。
第三套
题目：森林里住着 $234$ 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。爱吃萝卜的数量是爱吃白菜数量的 $2$ 倍，不爱吃白菜的数量是不爱吃萝卜数量的 $5$ 倍。请问：（1）爱吃萝卜的有多少只？（2）两样都爱吃的有多少只？（3）只爱吃白菜的有多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：设爱吃白菜的有 $b$ 只，由 $234-b=5(234-2b)$ 得 $9b=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$（只）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：爱吃萝卜的有 $2\times 104=\underline{\quad}$（只）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问，容斥求交集）：$208+104-234=\underline{\quad}$（只）。
  4. 第 4 步（第 (3) 问，求单独区域）：只爱吃白菜的有 $104-78=\underline{\quad}$（只）；检验：$130+78+26=\underline{\quad}$，与总数相符。
2. 【原题 ch04-chaoyue-02】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 $16$ 幅画不是六年级的，有 $15$ 幅画不是五年级的，五、六年级共展出 $25$ 幅画。其他年级的画共有多少幅？
详细思路
是哪类问题：这是「两个对象的容斥原理 + 补集与方程」类：条件全是「不是某年级」的补集形式，把画分成①五年级、②六年级、③其他三块后列式。
关键切入点：「不是六年级的有 $16$ 幅」就是 ①$+$③$=16$；「不是五年级的有 $15$ 幅」就是 ②$+$③$=15$；「五、六年级共 $25$ 幅」就是 ①$+$②$=25$。三式相加得 $2($①$+$②$+$③$)=56$，故总数 $28$，再减去 ①$+$② 就得 ③。
方法概述：把三块两两求和的三个式子相加，得到两倍总数。
规范步骤：
  1. 翻译三个条件：$①+③=16,\;②+③=15,\;①+②=25$（补集翻译）
  2. 三式相加：$2(①+②+③)=16+15+25=56$（每块被加两次）
  3. 求总数：$①+②+③=28$（幅）（除以 2）
  4. 求其他年级：$③=28-25=3$（幅）（总数减去五六年级）
第一套
题目：育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 $40$ 幅画不是六年级的，有 $34$ 幅画不是五年级的，五、六年级共展出 $62$ 幅画。其他年级的画共有多少幅？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译条件）：把画分成①五年级、②六年级、③其他三块。「不是六年级的 $40$ 幅」即 ①$+$③$=40$，「不是五年级的 $34$ 幅」即 ②$+$③$=34$，「五、六年级共 $62$ 幅」即 ①$+$②$=62$。
  2. 第 2 步（三式相加）：每一块都恰好被加了两次，$40+34+62=\underline{\quad}$，它等于总数的 $2$ 倍。
  3. 第 3 步（求总数）：$136\div 2=\underline{\quad}$（幅）。
  4. 第 4 步（求其他年级）：$68-62=\underline{\quad}$（幅）。
第二套
题目：科技节展出了许多件作品，其中有 $40$ 件不是机器人组的，有 $34$ 件不是编程组的，机器人组和编程组共展出 $62$ 件。其他小组的作品共有多少件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译条件）：分成①编程组、②机器人组、③其他三块，得 ①$+$③$=40$，②$+$③$=34$，①$+$②$=62$。
  2. 第 2 步（三式相加）：$40+34+62=\underline{\quad}$，等于总数的 $2$ 倍。
  3. 第 3 步（求总数）：$136\div 2=\underline{\quad}$（件）。
  4. 第 4 步（求其他小组）：$68-62=\underline{\quad}$（件）。
第三套
题目：育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 $40$ 幅画不是六年级的，有 $34$ 幅画不是五年级的，五、六年级共展出 $62$ 幅画。五年级的画共有多少幅？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三式相加求总数）：$40+34+62=\underline{\quad}$，总数为 $136\div 2=\underline{\quad}$（幅）。
  2. 第 2 步（求其他年级）：$68-62=\underline{\quad}$（幅）。
  3. 第 3 步（求五年级）：「不是六年级的 $40$ 幅」由五年级与其他年级组成，所以五年级有 $40-6=\underline{\quad}$（幅）。
第三套
题目：育才小学画展共展出 $68$ 幅画，其中有 $40$ 幅画不是六年级的，有 $34$ 幅画不是五年级的。请问：（1）其他年级的画共有多少幅？（2）五年级的画比六年级的画多几幅？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求五、六年级各自的幅数）：「不是六年级的 $40$ 幅」中除去其他年级就是五年级，所以六年级有 $68-40=\underline{\quad}$（幅），五年级有 $68-34=\underline{\quad}$（幅）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：其他年级的画 $=68-28-34=\underline{\quad}$（幅）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：$34-28=\underline{\quad}$（幅），也可直接由 $40-34$ 得到。
3. 【原题 ch04-chaoyue-03】DY有 $105$ 名男生和 $75$ 名女生参加数学竞赛，有 $95$ 名女生和 $85$ 名男生参加作文竞赛，参加这两项竞赛一共有 $280$ 名学生参加了竞赛。其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同，请问：只参加数学竞赛的女生有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「二维容斥（性别 × 项目）+ 相等条件方程」类：先用容斥求出两项都参加的总人数，再用相等条件把它按男女拆开。
关键切入点：参加数学的共 $105+75=180$ 人，参加作文的共 $85+95=180$ 人，总参赛 $280$ 人，故两项都参加的有 $180+180-280=80$ 人。设男生两项都参加的为③、女生两项都参加的为⑤，则「只参加数学的男生」$=105-$③，「只参加作文的女生」$=95-$⑤，两者相等给出 ③$-$⑤$=105-95=10$；又 ③$+$⑤$=80$，用和差问题解得 ⑤$=(80-10)\div 2=35$，最后 $75-35=40$。
方法概述：容斥求两项都参加的总人数 → 相等条件给出差 → 和差问题拆分 → 求单独区域。
规范步骤：
  1. 分别求两项的参加人数：$105+75=180,\;85+95=180$（人）（按性别合并）
  2. 容斥求两项都参加的人数：$180+180-280=80$（人）（两个对象的容斥原理）
  3. 由相等条件得男女两项都参加人数之差：$③-⑤=105-95=10$（人）（相等条件）
  4. 和差问题求⑤：$⑤=(80-10)\div 2=35$（人）（和差问题）
  5. 求只参加数学的女生：$75-35=40$（人）（单独区域计数）
第一套
题目：有 $210$ 名男生和 $150$ 名女生参加数学竞赛，有 $170$ 名男生和 $190$ 名女生参加作文竞赛，参加这两项竞赛的一共有 $560$ 名学生。其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同。请问：只参加数学竞赛的女生有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分别求两项人数）：参加数学的有 $210+150=\underline{\quad}$（人），参加作文的有 $170+190=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（容斥求两项都参加的人数）：$360+360-560=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（用相等条件求差）：只参加数学的男生 $=210-③$，只参加作文的女生 $=190-⑤$，两者相等，所以 $③-⑤=210-190=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（和差问题）：③$+$⑤$=160$，所以 $⑤=(160-20)\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（求只参加数学的女生）：参加数学的女生共 $150$ 人，$150-70=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某公司有 $210$ 名男员工和 $150$ 名女员工报名了技术考核，有 $170$ 名男员工和 $190$ 名女员工报名了管理考核，报名这两项考核的一共有 $560$ 人。其中只报名技术考核的男员工人数与只报名管理考核的女员工人数相同。请问：只报名技术考核的女员工有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分别求两项人数）：$210+150=\underline{\quad}$（人），$170+190=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（容斥求两项都报名的人数）：$360+360-560=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（相等条件求差）：$③-⑤=210-190=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（和差问题）：$⑤=(160-20)\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（求答案）：$150-70=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：有 $210$ 名男生和 $150$ 名女生参加数学竞赛，有 $170$ 名男生和 $190$ 名女生参加作文竞赛，参加两项竞赛的一共有 $560$ 名学生。其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同。请问：只参加作文竞赛的女生有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥求两项都参加的人数）：$210+150+170+190-560=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（相等条件与和差问题）：$③-⑤=210-190=\underline{\quad}$，$⑤=(160-20)\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（求只参加作文的女生）：参加作文的女生共 $190$ 人，$190-70=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：有 $210$ 名男生和 $150$ 名女生参加数学竞赛，有 $170$ 名男生和 $190$ 名女生参加作文竞赛，参加两项竞赛的一共有 $560$ 名学生。其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同。请问：（1）两项都参加的男生有多少人？（2）只参加数学竞赛的男生有多少人？请验证它确实等于只参加作文竞赛的女生人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥求两项都参加的人数）：$210+150+170+190-560=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（相等条件给出差）：$③-⑤=210-190=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问，和差问题求较大数）：$③=(160+20)\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：只参加数学的男生有 $210-90=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（验证）：$⑤=160-90=\underline{\quad}$（人），只参加作文的女生有 $190-70=\underline{\quad}$（人），两者相等。
4. 【原题 ch04-chaoyue-04】小高和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片。回家后，小高先把所有有自己像的照片放到自己的相册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里。爸爸认为应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从小高和妈妈的相册里一共拿出了 $37$ 张照片放到了自己的相册。妈妈不同意，又把放在小高和爸爸的相册里所有有自己像的 $45$ 张照片都拿出来放到了自己的相册。请问：究竟是妈妈和小高的合影多，还是爸爸和小高的合影多？多几张？
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理·文氏图分区比较」类：两次「拿照片」的动作分别对应文氏图中的两块区域，比较这两块即可，不必求出每块的具体张数。
关键切入点：爸爸从小高和妈妈的相册里拿出的 $37$ 张，都是「有爸爸像但原先不在爸爸相册」的照片；妈妈从小高和爸爸的相册里拿出的 $45$ 张，都是「有妈妈像但原先不在妈妈相册」的照片。把两次拿出的照片按含谁的像分区后比较，相同的部分互相抵消，剩下的差正是「妈妈和小高的合影」比「爸爸和小高的合影」多出的张数。
方法概述：把两次动作对应的区域相减，直接比较。
规范步骤：
  1. 第一次动作对应的区域：$37\;张：有爸爸像、原不在爸爸相册$（分区）
  2. 第二次动作对应的区域：$45\;张：有妈妈像、原不在妈妈相册$（分区）
  3. 相减比较：$45-37=8$（张）（公共部分抵消）
  4. 写出答案：妈妈和小高的合影多 $8$ 张
第一套
题目：小高和爸爸妈妈去旅游照了很多照片。回家后，小高先把所有有自己像的照片放到自己的相册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里。爸爸从小高和妈妈的相册里一共拿出了 $51$ 张有自己像的照片放到自己相册；妈妈又把放在小高和爸爸相册里所有有自己像的 $68$ 张照片拿出来放到自己相册。请问：究竟是妈妈和小高的合影多，还是爸爸和小高的合影多？多几张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认清两次动作的区域）：爸爸拿走的 $51$ 张都是「有爸爸像但原先不在爸爸相册」的，妈妈拿走的 $68$ 张都是「有妈妈像但原先不在妈妈相册」的。
  2. 第 2 步（比较）：两块中相同的部分互相抵消，差就是两种合影的张数差，$68-51=\underline{\quad}$（张）。
  3. 第 3 步（判断谁多）：因为 $68>51$，所以妈妈和小高的合影多 $\underline{\quad}$ 张。
第二套
题目：三位同学整理班级活动的照片。先把所有有甲像的照片归入甲的文件夹，再把剩下有乙像的归入乙的文件夹，最后把剩下的归入丙的文件夹。之后丙从甲、乙的文件夹里取走了所有有自己像的 $51$ 张照片，乙又从甲、丙的文件夹里取走了所有有自己像的 $68$ 张照片。请问：是乙和甲的合影多，还是丙和甲的合影多？多几张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认清两次动作的区域）：丙取走的 $51$ 张都是「有丙像但原先不在丙的文件夹」的，乙取走的 $68$ 张都是「有乙像但原先不在乙的文件夹」的。
  2. 第 2 步（比较）：$68-51=\underline{\quad}$（张）。
  3. 第 3 步（判断谁多）：乙和甲的合影多 $\underline{\quad}$ 张。
第三套
题目：整理方式同上：小高先取走所有有自己像的照片，再把剩下有妈妈像的放入妈妈相册，最后把剩下的放入爸爸相册。之后爸爸从小高和妈妈的相册里拿出了 $68$ 张有自己像的照片，妈妈又从小高和爸爸的相册里拿出了所有有自己像的 $51$ 张照片。请问：是妈妈和小高的合影多，还是爸爸和小高的合影多？多几张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认清两次动作的区域）：爸爸拿走的 $68$ 张对应「爸爸与小高的合影」那一侧，妈妈拿走的 $51$ 张对应「妈妈与小高的合影」那一侧。
  2. 第 2 步（比较）：$68-51=\underline{\quad}$（张）。
  3. 第 3 步（判断谁多）：这次是爸爸和小高的合影多 $\underline{\quad}$ 张。
第三套
题目：小高一家共照了 $200$ 张照片，其中有小高像的 $120$ 张，有妈妈像的 $110$ 张，有爸爸像的 $95$ 张，三人都有的 $40$ 张，一个人也没照到的有 $15$ 张。请问：恰好只有两个人出现的照片有多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：至少有一人出现的照片有 $200-15=\underline{\quad}$（张）。
  2. 第 2 步（用三对象容斥反解两两交集之和）：由 $120+110+95-（两两交集之和）+40=185$，先算 $120+110+95=\underline{\quad}$，再得两两交集之和 $=325+40-185=\underline{\quad}$（张）。
  3. 第 3 步（去掉三人合影被重复计的部分）：三人都有的 $40$ 张在三个两两交集里各被算了一次，共 $3$ 次，所以恰好两人出现的有 $180-40\times 3=\underline{\quad}$（张）。
5. 【原题 ch04-chaoyue-05】一次测验共有 $5$ 道试题，测试后统计如下：有 $81\%$ 的同学做对第 $1$ 题，有 $85\%$ 的同学做对第 $2$ 题，有 $91\%$ 的同学做对第 $3$ 题，有 $74\%$ 的同学做对第 $4$ 题，有 $79\%$ 的同学做对第 $5$ 题。如果做错了 $3$ 道或 $3$ 道以上试题的同学为考试不合格，请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？
详细思路
是哪类问题：这是「最值型容斥·极端情形分析（抽屉原理）」类：把百分数当作 $100$ 个人来处理，用「做错的总道数」限制不合格的人数。
关键切入点：假设有 $100$ 人参加。五题共做对 $81+85+91+74+79=410$ 道，因此共做错 $5\times 100-410=90$ 道。合格率最高时，可以让每个人错的题都不超过 $2$ 道（$90$ 道错题分给 $100$ 人，完全做得到），此时人人合格，合格率最多 $100\%$。合格率最低时，要让不合格的人尽量多；每个不合格的人至少错 $3$ 道，$90$ 道错题最多造成 $90\div 3=30$ 人不合格，所以合格的至少 $100-30=70$ 人，合格率最少 $70\%$。
方法概述：错题总数 $\div$ 每个不合格者至少错的题数 $=$ 不合格人数的上限。
规范步骤：
  1. 假设 $100$ 人，算总做对道数：$81+85+91+74+79=410$（道）（把百分数当人数）
  2. 算总做错道数：$5\times 100-410=90$（道）（补集）
  3. 最多合格率：$90$ 道错题可让每人至多错 $2$ 道，人人合格，$100\%$（极端情形）
  4. 最少合格率：$90\div 3=30$ 人不合格，$100-30=70$，即 $70\%$（抽屉原理）
第一套
题目：一次测验共有 $5$ 道试题，测试后统计：有 $88\%$ 的同学做对第 $1$ 题，$90\%$ 做对第 $2$ 题，$85\%$ 做对第 $3$ 题，$79\%$ 做对第 $4$ 题，$86\%$ 做对第 $5$ 题。如果做错了 $3$ 道或 $3$ 道以上试题的同学为考试不合格，请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（假设 $100$ 人，算做对总道数）：$88+90+85+79+86=\underline{\quad}$（道）。
  2. 第 2 步（算做错总道数）：五道题共 $5\times 100=\underline{\quad}$（道次），所以做错 $500-428=\underline{\quad}$（道）。
  3. 第 3 步（最多合格率）：$72$ 道错题可以分散到 $100$ 人身上，让每人至多错 $2$ 道，于是人人合格，最多合格率是 $\underline{\quad}\%$。
  4. 第 4 步（最少合格率）：每个不合格的人至少错 $3$ 道，所以不合格的人最多 $72\div 3=\underline{\quad}$（人），合格的至少 $100-24=\underline{\quad}$（人），即最少合格率 $76\%$。
第二套
题目：某工厂对 $5$ 项指标抽检：有 $88\%$ 的产品第 $1$ 项合格，$90\%$ 第 $2$ 项合格，$85\%$ 第 $3$ 项合格，$79\%$ 第 $4$ 项合格，$86\%$ 第 $5$ 项合格。若有 $3$ 项或 $3$ 项以上不合格的产品判为废品，请问：非废品率最多、最少各是百分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（假设 $100$ 件，算合格项总数）：$88+90+85+79+86=\underline{\quad}$（项）。
  2. 第 2 步（算不合格项总数）：$5\times 100=\underline{\quad}$（项次），不合格 $500-428=\underline{\quad}$（项）。
  3. 第 3 步（最多非废品率）：$72$ 项不合格可分散到 $100$ 件产品上，每件至多 $2$ 项不合格，最多 $\underline{\quad}\%$。
  4. 第 4 步（最少非废品率）：废品最多 $72\div 3=\underline{\quad}$（件），非废品至少 $100-24=\underline{\quad}$（件）。
第三套
题目：一次测验共有 $6$ 道试题，统计：有 $88\%$ 的同学做对第 $1$ 题，$92\%$ 做对第 $2$ 题，$85\%$ 做对第 $3$ 题，$79\%$ 做对第 $4$ 题，$86\%$ 做对第 $5$ 题，$92\%$ 做对第 $6$ 题。做错 $3$ 道或以上为不合格，请问：合格率最少达百分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（假设 $100$ 人，算做对总道数）：$88+92+85+79+86+92=\underline{\quad}$（道）。
  2. 第 2 步（算做错总道数）：$6\times 100=\underline{\quad}$（道次），做错 $600-522=\underline{\quad}$（道）。
  3. 第 3 步（最少合格率）：不合格的人最多 $78\div 3=\underline{\quad}$（人），合格的至少 $100-26=\underline{\quad}$（人），即 $74\%$。
第三套
题目：一次测验共有 $5$ 道试题，统计：有 $88\%$ 的同学做对第 $1$ 题，$90\%$ 做对第 $2$ 题，$85\%$ 做对第 $3$ 题，$79\%$ 做对第 $4$ 题，$86\%$ 做对第 $5$ 题。请问：（1）若做错 $3$ 道或以上为不合格，合格率最少达百分之几？（2）若把标准改严为「做错 $2$ 道或以上即不合格」，合格率最少又达百分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算做错总道数）：$88+90+85+79+86=\underline{\quad}$（道）做对，$5\times 100-428=\underline{\quad}$（道）做错。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：每个不合格者至少错 $3$ 道，不合格最多 $72\div 3=\underline{\quad}$（人），合格最少 $100-24=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问，标准变严）：每个不合格者只需错 $2$ 道，不合格最多 $72\div 2=\underline{\quad}$（人），合格最少 $100-36=\underline{\quad}$（人）。
6. 【原题 ch04-chaoyue-06】五年级一班有 $22$ 人参加语文竞赛，$32$ 人参加数学竞赛，$27$ 人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和数学竞赛的有 $12$ 人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有 $14$ 人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有 $15$ 人。请问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理 + 最值型容斥」类：总人数随三交增大而增大，要求最少人数就要让三交尽量小。
关键切入点：由容斥，参加竞赛的总人数 $=22+32+27-12-14-15+三科都参加的 =40+三科都参加的$，所以三交越小、总人数越少。三交也不能太小：参加语文竞赛的 $22$ 人中，还参加其他竞赛的有 $12+14-三交$ 人，这个数不能超过 $22$，于是三交 $\ge 12+14-22=4$。取到 $4$ 时各分区都非负、可以实现，总人数最少为 $44$。
方法概述：写出容斥式 → 在每个集合内部估出三交的下界 → 取最小值代入。
规范步骤：
  1. 写出容斥式的常数部分：$22+32+27-12-14-15=40$（三对象容斥）
  2. 在语文集合内估界：$12+14-三交 \le 22 \Rightarrow 三交 \ge 4$（集合内部不超过集合本身）
  3. 取最小值代入：$40+4=44$（人）（极端情形）
  4. 写出答案：最少 $44$ 人
第一套
题目：五年级一班有 $40$ 人参加语文竞赛，$55$ 人参加数学竞赛，$48$ 人参加英语竞赛，其中同时参加语文和数学竞赛的有 $25$ 人，同时参加语文和英语竞赛的有 $28$ 人，同时参加数学和英语竞赛的有 $30$ 人。请问：参加竞赛的总人数最少是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写出容斥式常数部分）：$40+55+48=\underline{\quad}$，$143-25-28-30=\underline{\quad}$，所以总人数 $=60+三科都参加的人数$。
  2. 第 2 步（想清方向）：三科都参加的人数越少，总人数越少，所以要找它的最小值。
  3. 第 3 步（在各集合内部估界）：在语文的 $40$ 人中，还参加其他科的有 $25+28-三交 \le 40$，得三交 $\ge 25+28-40=\underline{\quad}$；在数学的 $55$ 人中得三交 $\ge 25+30-55=\underline{\quad}$；在英语的 $48$ 人中得三交 $\ge 28+30-48=\underline{\quad}$。三个下界取最大的，三交最少是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（代入）：总人数最少 $60+13=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某社区有 $40$ 人报名书法班，$55$ 人报名绘画班，$48$ 人报名舞蹈班，其中同时报名书法和绘画的有 $25$ 人，同时报名书法和舞蹈的有 $28$ 人，同时报名绘画和舞蹈的有 $30$ 人。请问：报名的总人数最少是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥式常数部分）：$40+55+48=\underline{\quad}$，$143-25-28-30=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（估三交的下界）：在书法的 $40$ 人中得三交 $\ge 25+28-40=\underline{\quad}$；在绘画的 $55$ 人中得 $\ge 25+30-55=\underline{\quad}$；在舞蹈的 $48$ 人中得 $\ge 28+30-48=\underline{\quad}$，取最大的 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（代入）：$60+13=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级一班有 $40$ 人参加语文竞赛，$55$ 人参加数学竞赛，$48$ 人参加英语竞赛，其中同时参加语文和数学竞赛的有 $25$ 人，同时参加语文和英语竞赛的有 $28$ 人，同时参加数学和英语竞赛的有 $30$ 人。请问：参加竞赛的总人数最多是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥式常数部分）：$40+55+48-25-28-30=\underline{\quad}$，总人数 $=60+三交$。
  2. 第 2 步（求三交的上界）：三交不能超过任何一个两两交集，最小的两两交集是 $\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（代入）：总人数最多 $60+25=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级一班共有 $90$ 名学生。其中 $40$ 人参加语文竞赛，$55$ 人参加数学竞赛，$48$ 人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有 $25$ 人，同时参加语文和英语竞赛的有 $28$ 人，同时参加数学和英语竞赛的有 $30$ 人。请问：（1）参加竞赛的总人数最少是多少？（2）未参加任何竞赛的人数最多是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥式常数部分）：$40+55+48-25-28-30=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（估三交下界）：三个下界分别为 $25+28-40=\underline{\quad}$、$25+30-55=\underline{\quad}$、$28+30-48=\underline{\quad}$，取最大的 $13$。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：参加竞赛的总人数最少 $60+13=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问取补集）：参加的最少时未参加的最多，$90-73=\underline{\quad}$（人）。
7. 【原题 ch04-chaoyue-07】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 $100$ 盆花浇水。已知甲浇了 $30$ 盆，乙浇了 $75$ 盆，丙浇了 $80$ 盆，丁浇了 $90$ 盆，请问：（1）恰好被 $3$ 个人浇过的花最少有多少盆？（2）恰好被 $1$ 个人浇过的花最多有多少盆？
详细思路
是哪类问题：这是「多对象容斥·最值型（次数分配）」类：总浇水次数固定，按「每盆花被几个人浇过」分类，通过调整分配求某一类的最少/最多盆数。
关键切入点：四人共浇了 $30+75+80+90=275$ 次。被 $4$ 人都浇过的花每盆消耗 $4$ 次，但甲只浇了 $30$ 盆，所以被 $4$ 人浇过的花最多 $30$ 盆。（1）要让恰好被 $3$ 人浇过的花最少，先让 $30$ 盆被 $4$ 人浇（用去 $120$ 次），余下 $70$ 盆还要承担 $275-120=155$ 次；若这 $70$ 盆每盆只被 $2$ 人浇，只有 $140$ 次，还差 $15$ 次，只能把其中 $15$ 盆升为被 $3$ 人浇，故至少 $15$ 盆。（2）要让恰好被 $1$ 人浇过的花最多，余下的 $70$ 盆中设有 $a$ 盆只被 $1$ 人浇、其余尽量被 $3$ 人浇，由 $a+3(70-a)=155$ 得 $a=27.5$，取整后最多 $27$ 盆（此时 $27$ 盆浇 $1$ 次、$42$ 盆浇 $3$ 次、$1$ 盆浇 $2$ 次，合计 $155$ 次）。
方法概述：按被浇人数分类 → 先把被 $4$ 人浇的取到最大 → 对剩余次数作极端分配。
规范步骤：
  1. 算总浇水次数：$30+75+80+90=275$（次）（合并）
  2. 被 $4$ 人浇过的最多盆数：$30$ 盆（受甲的 $30$ 盆限制）（最小的一个人限制）
  3. 余下次数：$275-30\times 4=155$（次）分给余下 $70$ 盆（扣除）
  4. 第 (1) 问：$70\times 2=140,\;155-140=15$（盆）（极端分配）
  5. 第 (2) 问：$27+42\times 3+1\times 2=155$，故最多 $27$ 盆（极端分配并验算）
8. 【原题 ch04-chaoyue-08】一根 $1.8$ 米长的木棍，从左端开始每隔 $2$ 厘米划一个刻度，每隔 $3$ 厘米划一个刻度，每隔 $5$ 厘米划一个刻度，每隔 $7$ 厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
详细思路
是哪类问题：这是「四个对象的容斥原理 + 倍数计数」类：先把「划刻度」转化为「$1\sim 180$ 中是 $2,3,5,7$ 倍数的数」，再用四对象容斥数个数，最后由刻度个数换算段数。
关键切入点：木棍长 $180$ 厘米，从左端起第 $k$ 厘米处有刻度，当且仅当 $k$ 是 $2,3,5,7$ 中某个数的倍数。$1\sim 180$ 中这样的 $k$ 共 $139$ 个，但 $k=180$ 落在木棍右端点，不是切口，所以真正的切口有 $138$ 个，把木棍分成 $138+1=139$ 段。
方法概述：转化为倍数计数 → 四对象容斥 → 切口数加 $1$ 得段数。
规范步骤：
  1. 单个倍数个数：$[180/2]=90,\;[180/3]=60,\;[180/5]=36,\;[180/7]=25$（倍数计数）
  2. 两两公倍数个数：$30,18,12,12,8,5$（$6,10,14,15,21,35$ 的倍数）（公倍数）
  3. 三三公倍数个数：$6,4,2,1$（$30,42,70,105$ 的倍数）（公倍数）
  4. 四者公倍数个数：$[180/210]=0$（公倍数）
  5. 四对象容斥：$211-85+13-0=139$（个刻度位置，含右端点）（四对象容斥）
  6. 换算段数：右端点不是切口，切口 $138$ 个，段数 $138+1=139$（切口与段数）
第一套
题目：一根 $2.1$ 米长的木棍，从左端开始每隔 $2$ 厘米划一个刻度，每隔 $3$ 厘米划一个刻度，每隔 $5$ 厘米划一个刻度，每隔 $7$ 厘米划一个刻度。如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：木棍长 $210$ 厘米，第 $k$ 厘米处有刻度当且仅当 $k$ 是 $2,3,5,7$ 之一的倍数，所以先数 $1\sim 210$ 中这样的数。
  2. 第 2 步（单个倍数）：$210\div 2=\underline{\quad}$，$210\div 3=\underline{\quad}$，$210\div 5=\underline{\quad}$，$210\div 7=\underline{\quad}$，四者之和为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（两两公倍数）：$6,10,14,15,21,35$ 的倍数个数分别是 $35,21,15,14,10,6$，共 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（三三公倍数）：$30,42,70,105$ 的倍数个数分别是 $7,5,3,2$，共 $\underline{\quad}$；四者的公倍数 $210$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（四对象容斥）：刻度位置共 $247-101+17-1=\underline{\quad}$ 个（含右端点 $210$）。
  6. 第 6 步（换算段数）：右端点不是切口，切口有 $162-1=\underline{\quad}$ 个，段数 $161+1=\underline{\quad}$（段）。
第二套
题目：一条 $2.1$ 米长的彩带，从左端开始每隔 $2$ 厘米做一个记号，每隔 $3$ 厘米做一个记号，每隔 $5$ 厘米做一个记号，每隔 $7$ 厘米做一个记号。如果沿所有记号把彩带剪断，一共可以剪成多少段？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：彩带长 $210$ 厘米，第 $k$ 厘米处有记号当且仅当 $k$ 是 $2,3,5,7$ 之一的倍数。
  2. 第 2 步（单个倍数）：$210\div 2=\underline{\quad}$，$210\div 3=\underline{\quad}$，$210\div 5=\underline{\quad}$，$210\div 7=\underline{\quad}$，共 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（两两公倍数）：$35+21+15+14+10+6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（三三公倍数与四者公倍数）：$7+5+3+2=\underline{\quad}$，$210$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（四对象容斥）：$247-101+17-1=\underline{\quad}$ 个记号（含右端点）。
  6. 第 6 步（换算段数）：切口 $162-1=\underline{\quad}$ 个，段数 $161+1=\underline{\quad}$（段）。
第三套
题目：一根 $2.1$ 米长的木棍，从左端开始每隔 $2$ 厘米、每隔 $3$ 厘米、每隔 $5$ 厘米各划一个刻度。如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（单个倍数）：$210\div 2=\underline{\quad}$，$210\div 3=\underline{\quad}$，$210\div 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（两两与三者公倍数）：$6$ 的倍数 $210\div 6=\underline{\quad}$，$10$ 的倍数 $210\div 10=\underline{\quad}$，$15$ 的倍数 $210\div 15=\underline{\quad}$，$30$ 的倍数 $210\div 30=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（三对象容斥）：刻度位置共 $105+70+42-35-21-14+7=\underline{\quad}$ 个（含右端点）。
  4. 第 4 步（换算段数）：切口 $154-1=\underline{\quad}$ 个，段数 $153+1=\underline{\quad}$（段）。
第三套
题目：一根 $2.1$ 米长的木棍，从左端开始每隔 $2$ 厘米、$3$ 厘米、$5$ 厘米、$7$ 厘米各划一个刻度（同一位置可能被多次划到）。请问：（1）一共可以截成多少段小木棍？（2）有多少个位置被划了不止一次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（单个倍数之和）：$105+70+42+30=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（两两、三三、四者公倍数）：两两公倍数共 $35+21+15+14+10+6=\underline{\quad}$，三三公倍数共 $7+5+3+2=\underline{\quad}$，四者公倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：刻度位置共 $247-101+17-1=\underline{\quad}$ 个（含右端点），切口 $161$ 个，段数 $161+1=\underline{\quad}$（段）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：被划不止一次的位置就是至少是两个间隔的公倍数的位置。在两两公倍数的 $101$ 个中，三个间隔的公倍数被算了 $3$ 次、四个间隔的公倍数被算了 $6$ 次，修正后为 $101-2\times 17+3\times 1=\underline{\quad}$（个）。
9. 【原题 ch04-tuozhan-01】在一个办公室里，有 $7$ 个人爱喝茶，$10$ 个人爱喝咖啡，$3$ 个人既爱喝茶又爱喝咖啡。如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「两个对象的容斥原理」类：每人至少爱一种，所以总人数就是两个集合的并集。
关键切入点：爱喝茶的 $7$ 人与爱喝咖啡的 $10$ 人相加时，两样都爱的 $3$ 人被数了两次，必须减掉一次。因为每人至少爱一种，没有人落在两个集合之外，所以并集就是办公室总人数。
方法概述：总人数 $=$ 茶 $+$ 咖啡 $-$ 两样都爱。
规范步骤：
  1. 先相加：$7+10=17$（人次）（先合并）
  2. 减去重复计数的人：$17-3=14$（人）（容斥原理）
  3. 写出答案：$14$ 人（每人至少爱一种，并集即总人数）
第一套
题目：在一个办公室里，有 $38$ 个人爱喝茶，$45$ 个人爱喝咖啡，$17$ 个人既爱喝茶又爱喝咖啡。如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先相加）：$38+45=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（减去重复）：既爱茶又爱咖啡的 $17$ 人被数了两次，减掉一次，$83-17=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：社团招新，报名武术的有 $38$ 人，报名街舞的有 $45$ 人，两项都报名的有 $17$ 人。如果来报名的每个人都至少报了一项，那么一共有多少人来报名？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先相加）：$38+45=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（减去重复）：$83-17=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：在一个办公室里，有 $38$ 个人爱喝茶，$45$ 个人爱喝咖啡，每个人都至少爱喝其中一种，办公室里共有 $66$ 人。那么既爱喝茶又爱喝咖啡的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先相加）：$38+45=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（比较人次与人数）：多出来的人次正是被数了两次的人，$83-66=\underline{\quad}$（人）两样都爱。
第三套
题目：某办公室共有 $80$ 人，其中有 $14$ 人茶和咖啡都不爱喝。爱喝茶的有 $38$ 人，爱喝咖啡的有 $45$ 人。那么既爱喝茶又爱喝咖啡的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：至少爱喝一种的有 $80-14=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（先相加）：$38+45=\underline{\quad}$（人次）。
  3. 第 3 步（反解交集）：$83-66=\underline{\quad}$（人）两样都爱。
10. 【原题 ch04-tuozhan-02】某餐馆有 $27$ 道招牌菜，卡莉娅吃过其中的 $13$ 道，墨莉吃过其中的 $7$ 道，而且有 $2$ 道菜是两人都吃过的。请问：有多少道招牌菜是两人都没吃过的？
详细思路
是哪类问题：这是「两个对象的容斥原理 + 补集计数」类：先求「至少被一人吃过」的并集，再用总数减去它。
关键切入点：两人都没吃过的菜，是所有菜中除去「至少被一人吃过」的部分。所以先用容斥求并集 $13+7-2=18$，再取补集。
方法概述：先容斥求并，再取补集。
规范步骤：
  1. 容斥求并集：$13+7-2=18$（道）（两个对象的容斥原理）
  2. 取补集：$27-18=9$（道）（补集计数）
  3. 写出答案：$9$ 道
第一套
题目：某餐馆有 $60$ 道招牌菜，卡莉娅吃过其中的 $34$ 道，墨莉吃过其中的 $25$ 道，而且有 $11$ 道菜是两人都吃过的。请问：有多少道招牌菜是两人都没吃过的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥求并集）：至少被一人吃过的有 $34+25-11=\underline{\quad}$（道）。
  2. 第 2 步（取补集）：两人都没吃过的有 $60-48=\underline{\quad}$（道）。
第二套
题目：某乐团的曲库里有 $60$ 首曲子，小提琴手演奏过其中 $34$ 首，长笛手演奏过其中 $25$ 首，有 $11$ 首是两人都演奏过的。请问：有多少首曲子是两人都没演奏过的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥求并集）：至少被一人演奏过的有 $34+25-11=\underline{\quad}$（首）。
  2. 第 2 步（取补集）：$60-48=\underline{\quad}$（首）。
第三套
题目：某餐馆有 $60$ 道招牌菜，卡莉娅吃过其中的 $34$ 道，墨莉吃过其中的 $25$ 道，有 $11$ 道菜是两人都吃过的。请问：恰好只被一个人吃过的招牌菜有多少道？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥求并集）：至少被一人吃过的有 $34+25-11=\underline{\quad}$（道）。
  2. 第 2 步（去掉交集）：恰好被一人吃过的 $=48-11=\underline{\quad}$（道）。
第三套
题目：某餐馆有 $60$ 道招牌菜，卡莉娅吃过 $34$ 道，墨莉吃过 $25$ 道，小高吃过 $20$ 道；卡莉娅和墨莉都吃过的有 $11$ 道，卡莉娅和小高都吃过的有 $9$ 道，墨莉和小高都吃过的有 $8$ 道，三人都吃过的有 $5$ 道。请问：有多少道招牌菜是三人都没吃过的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三对象容斥先相加）：$34+25+20=\underline{\quad}$（道次）。
  2. 第 2 步（减去两两重复）：$79-11-9-8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加回三交）：$51+5=\underline{\quad}$（道）至少被一人吃过。
  4. 第 4 步（取补集）：$60-56=\underline{\quad}$（道）三人都没吃过。
11. 【原题 ch04-tuozhan-03】五年级二班有 $40$ 名同学，其中有 $25$ 人没参加数学小组，有 $18$ 人参加航模小组，有 $10$ 人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「两个对象的容斥原理 + 只属于一个集合的计数」类：条件给的是「没参加数学小组」的人数，要先转成参加人数。
关键切入点：先用补集把「没参加数学小组的 $25$ 人」转成「参加数学小组的 $40-25=15$ 人」；再用容斥求至少参加一个小组的人数 $15+18-10=23$；这 $23$ 人里含两个都参加的 $10$ 人，去掉后才是「只参加一个」的人数。
方法概述：补集→容斥求并→再减一次交集。
规范步骤：
  1. 补集求参加数学小组的人数：$40-25=15$（人）（补集）
  2. 容斥求至少参加一个小组的人数：$15+18-10=23$（人）（两个对象的容斥原理）
  3. 去掉两个都参加的：$23-10=13$（人）（只属于一个集合）
  4. 写出答案：$13$ 人
第一套
题目：五年级二班有 $90$ 名同学，其中有 $52$ 人没参加数学小组，有 $45$ 人参加航模小组，有 $22$ 人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集转化）：没参加数学小组的有 $52$ 人，所以参加数学小组的有 $90-52=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（容斥求并集）：至少参加一个小组的有 $38+45-22=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（再减一次交集）：只参加一个小组的有 $61-22=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某车间有 $90$ 名工人，其中有 $52$ 人没有电工证，有 $45$ 人有焊工证，有 $22$ 人两种证都有。那么只有其中一种证的工人共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集转化）：有电工证的有 $90-52=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（容斥求并集）：至少有一种证的有 $38+45-22=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（再减一次交集）：只有一种证的有 $61-22=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级二班有 $90$ 名同学，其中有 $52$ 人没参加数学小组，有 $45$ 人参加航模小组，有 $22$ 人两个小组都参加。那么两个小组都没参加的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集转化）：参加数学小组的有 $90-52=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（容斥求并集）：至少参加一个小组的有 $38+45-22=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（再取补集）：两个都没参加的有 $90-61=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级二班有 $90$ 名同学，其中有 $52$ 人没参加数学小组，有 $45$ 人参加航模小组，只参加了两个小组之一的有 $39$ 人。那么两个小组都参加的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集转化）：参加数学小组的有 $90-52=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（列式）：设两个都参加的有 $x$ 人，只参加一个的人数 $=(38+45-x)-x$，先算 $38+45=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（解方程）：$83-2x=39$，所以 $2x=83-39=\underline{\quad}$，$x=44\div 2=\underline{\quad}$（人）。
12. 【原题 ch04-tuozhan-04】在 $1$ 至 $100$ 这 $100$ 个自然数中，既不能被 $2$ 整除也不能被 $3$ 整除的数有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「数论中的容斥原理（倍数计数）」类：先分别数出 $2$ 的倍数、$3$ 的倍数，再用容斥去掉重复的 $6$ 的倍数，最后取补集。
关键切入点：同时被 $2$ 和 $3$ 整除等价于被 $6$ 整除，这是本题的关键转化。$1\sim 100$ 中 $2$ 的倍数有 $100\div 2=50$ 个，$3$ 的倍数有 $33$ 个（取整），$6$ 的倍数有 $16$ 个。相加时 $6$ 的倍数被数了两次，减掉一次即得「至少被一个整除」的个数，再用 $100$ 减。
方法概述：倍数计数 → 容斥求并 → 取补集。
规范步骤：
  1. 数 $2$ 的倍数：$[100\div 2]=50$（个）（倍数计数）
  2. 数 $3$ 的倍数：$[100\div 3]=33$（个）（倍数计数取整）
  3. 数同时被 $2,3$ 整除（即 $6$ 的倍数）：$[100\div 6]=16$（个）（公倍数）
  4. 容斥求并：$50+33-16=67$（个）（容斥原理）
  5. 取补集：$100-67=33$（个）（补集计数）
第一套
题目：在 $1$ 至 $300$ 这 $300$ 个自然数中，既不能被 $3$ 整除也不能被 $5$ 整除的数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分别数倍数）：$3$ 的倍数有 $300\div 3=\underline{\quad}$（个），$5$ 的倍数有 $300\div 5=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（找重复）：同时被 $3,5$ 整除就是被 $\underline{\quad}$ 整除，这样的数有 $300\div 15=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（容斥求并）：能被 $3$ 或 $5$ 整除的有 $100+60-20=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（取补集）：$300-140=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：抽奖箱里有编号为 $1$ 到 $300$ 的 $300$ 张卡片。编号既不是 $3$ 的倍数也不是 $5$ 的倍数的卡片有多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分别数倍数）：$3$ 的倍数有 $300\div 3=\underline{\quad}$（张），$5$ 的倍数有 $300\div 5=\underline{\quad}$（张）。
  2. 第 2 步（找重复）：既是 $3$ 又是 $5$ 的倍数就是 $\underline{\quad}$ 的倍数，有 $300\div 15=\underline{\quad}$（张）。
  3. 第 3 步（容斥求并）：$100+60-20=\underline{\quad}$（张）。
  4. 第 4 步（取补集）：$300-140=\underline{\quad}$（张）。
第三套
题目：在 $1$ 至 $300$ 这 $300$ 个自然数中，能被 $3$ 或 $5$ 整除的数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分别数倍数）：$300\div 3=\underline{\quad}$（个），$300\div 5=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（减去重复）：$15$ 的倍数被数了两次，有 $300\div 15=\underline{\quad}$ 个，所以能被 $3$ 或 $5$ 整除的有 $100+60-20=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：在 $1$ 至 $300$ 这 $300$ 个自然数中，既不能被 $2$ 整除，也不能被 $3$ 整除，还不能被 $5$ 整除的数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分别数倍数）：$2$ 的倍数 $300\div 2=\underline{\quad}$（个），$3$ 的倍数 $300\div 3=\underline{\quad}$（个），$5$ 的倍数 $300\div 5=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（数两两公倍数）：$6$ 的倍数 $300\div 6=\underline{\quad}$（个），$10$ 的倍数 $300\div 10=\underline{\quad}$（个），$15$ 的倍数 $300\div 15=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（数三者公倍数）：同时被 $2,3,5$ 整除就是 $30$ 的倍数，有 $300\div 30=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（三对象容斥）：$150+100+60-50-30-20+10=\underline{\quad}$（个）能被其中至少一个整除。
  5. 第 5 步（取补集）：$300-220=\underline{\quad}$（个）。
13. 【原题 ch04-tuozhan-05】渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共 $305$ 人参加。参加长跑比赛的有 $150$ 名男生和 $90$ 名女生，参加游泳比赛的有 $120$ 名男生和 $70$ 名女生，有 $110$ 名男生两项比赛都参加了。请问：只参加游泳比赛而没参加长跑比赛的女生有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「二维容斥（性别 × 项目）」类：先在「男生」这一维用容斥算出男生总数，再用总人数求女生总数，最后在女生里分区。
关键切入点：题目只给了男生「两项都参加」的人数，所以容斥只能先用在男生上：男生共 $150+120-110=160$ 人。全体 $305$ 人减去男生得女生 $145$ 人。由于每个女生要么参加长跑要么只参加游泳，参加长跑的女生有 $90$ 人，剩下的就是只参加游泳的女生。
方法概述：先对男生用容斥求男生数 → 补出女生数 → 女生内部分区。
规范步骤：
  1. 对男生用容斥：$150+120-110=160$（人）男生（两个对象的容斥原理）
  2. 求女生总数：$305-160=145$（人）女生（补集）
  3. 女生内部分区：$145-90=55$（人）（只参加游泳的女生）
  4. 写出答案：$55$ 人
第一套
题目：某小学举行长跑和游泳比赛，共 $620$ 人参加。参加长跑比赛的有 $300$ 名男生和 $180$ 名女生，参加游泳比赛的有 $250$ 名男生和 $150$ 名女生，有 $220$ 名男生两项比赛都参加了。请问：只参加游泳比赛而没参加长跑比赛的女生有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算男生总数）：男生中两项都参加的被数了两次，$300+250-220=\underline{\quad}$（人）是男生总数。
  2. 第 2 步（补出女生总数）：$620-330=\underline{\quad}$（人）是女生总数。
  3. 第 3 步（女生内部分区）：女生中有 $180$ 人参加了长跑，所以只参加游泳的女生有 $290-180=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某公司组织登山和骑行两项活动，共 $620$ 人参加。参加登山的有 $300$ 名男员工和 $180$ 名女员工，参加骑行的有 $250$ 名男员工和 $150$ 名女员工，有 $220$ 名男员工两项都参加了。请问：只参加骑行而没参加登山的女员工有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算男员工总数）：$300+250-220=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（补出女员工总数）：$620-330=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（女员工内部分区）：$290-180=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某小学举行长跑和游泳比赛，共 $620$ 人参加。参加长跑的有 $300$ 名男生和 $180$ 名女生，参加游泳的有 $250$ 名男生和 $150$ 名女生，有 $220$ 名男生两项都参加了。请问：只参加长跑比赛而没参加游泳比赛的女生有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算男生总数）：$300+250-220=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（补出女生总数）：$620-330=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（女生内部分区）：女生中有 $150$ 人参加了游泳，所以只参加长跑的女生有 $290-150=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某小学举行长跑和游泳比赛，共 $620$ 人参加。参加长跑的有 $300$ 名男生和 $180$ 名女生，参加游泳的有 $250$ 名男生和 $150$ 名女生，有 $220$ 名男生两项都参加了。请问：（1）两项都参加的女生有多少人？（2）只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算男生总数）：$300+250-220=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（补出女生总数）：$620-330=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（女生内部再用一次容斥）：女生中参加长跑 $180$ 人、参加游泳 $150$ 人，合计 $180+150=\underline{\quad}$（人次），比女生总数多出的部分就是两项都参加的女生，$330-290=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：只参加游泳的女生有 $150-40=\underline{\quad}$（人）。
14. 【原题 ch04-tuozhan-06】森林里有一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种。爱吃萝卜的小白兔有 $12$ 只不爱吃白菜，爱吃白菜的有 $23$ 只不爱吃青草，爱吃青草的小白兔有 $34$ 只不爱吃萝卜。如果三种食物都爱吃的小白兔有 $5$ 只，那么这群小白兔一共有多少只？
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理·文氏图分区计数」类：题目给的三个条件恰好是文氏图中互不重叠的三块，加上中心块正好拼满全图。
关键切入点：关键是发现「爱吃萝卜但不爱白菜」「爱吃白菜但不爱青草」「爱吃青草但不爱萝卜」这三块与「三种都爱」这一块互不重叠，且合起来正好覆盖文氏图的全部 $7$ 个区域。既然不重不漏，直接相加即可，不需要加减修正。
方法概述：验证四块不重不漏后直接相加。
规范步骤：
  1. 认出三块互不重叠：$12,\;23,\;34$ 三块两两不重叠（条件中的「不爱…」把重叠切掉了）
  2. 补上中心块：$三种都爱的 5 只不在上面三块中$（分区计数）
  3. 四块相加：$12+23+34+5=74$（只）（不重不漏）
  4. 写出答案：$74$ 只
第一套
题目：森林里有一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种。爱吃萝卜的小白兔有 $26$ 只不爱吃白菜，爱吃白菜的有 $41$ 只不爱吃青草，爱吃青草的小白兔有 $58$ 只不爱吃萝卜。如果三种食物都爱吃的小白兔有 $9$ 只，那么这群小白兔一共有多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（判断是否重叠）：三块分别是「爱萝卜但不爱白菜」「爱白菜但不爱青草」「爱青草但不爱萝卜」，它们两两不重叠，且都不含「三种都爱」的那部分。
  2. 第 2 步（三块先相加）：$26+41+58=\underline{\quad}$（只）。
  3. 第 3 步（补上中心块）：再加上三种都爱的 $9$ 只，$125+9=\underline{\quad}$（只）。
第二套
题目：一个班的同学每人都至少订阅了报纸、杂志、听书中的一种。订报纸的有 $26$ 人不订杂志，订杂志的有 $41$ 人不听书，听书的有 $58$ 人不订报纸。如果三种都订的有 $9$ 人，那么这个班一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（判断是否重叠）：三块两两不重叠，且都不含「三种都订」的那部分。
  2. 第 2 步（三块先相加）：$26+41+58=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（补上中心块）：$125+9=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：森林里有一群小白兔共 $134$ 只，每只都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或几种。爱吃萝卜的有 $26$ 只不爱吃白菜，爱吃白菜的有 $41$ 只不爱吃青草，爱吃青草的有 $58$ 只不爱吃萝卜。那么三种食物都爱吃的有多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三块先相加）：$26+41+58=\underline{\quad}$（只）。
  2. 第 2 步（反求中心块）：这三块加上「三种都爱」正好是全部，所以三种都爱的有 $134-125=\underline{\quad}$（只）。
第三套
题目：森林里共有 $150$ 只小白兔，其中有 $16$ 只三种食物都不爱吃，其余每只都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或几种。爱吃萝卜的有 $26$ 只不爱吃白菜，爱吃白菜的有 $41$ 只不爱吃青草，爱吃青草的有 $58$ 只不爱吃萝卜。那么三种食物都爱吃的小白兔有多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求出至少爱吃一种的）：$150-16=\underline{\quad}$（只）至少爱吃一种。
  2. 第 2 步（三块先相加）：$26+41+58=\underline{\quad}$（只）。
  3. 第 3 步（反求中心块）：$134-125=\underline{\quad}$（只）三种都爱吃。
15. 【原题 ch04-tuozhan-07】三位基金经理投资若干只股票，张经理买过其中 $66$ 只，王经理买过其中 $40$ 只，李经理买过其中 $23$ 只，张经理和王经理都买过的有 $17$ 只，王经理和李经理都买过的有 $13$ 只，李经理和张经理都买过的有 $9$ 只，三个人都买过的有 $6$ 只。请问：这三位经理一共买过多少只股票？
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理」标准题：已知三个集合、三个两两交集与三交，求并集。
关键切入点：三人买过的股票数相加时，被两人同时买过的股票被数了 $2$ 次，被三人都买过的被数了 $3$ 次。减去三个两两交集后三交被扣成 $0$ 次，需再加回一次。
方法概述：并集 $=$ 三者之和 $-$ 三个两两交集 $+$ 三交。
规范步骤：
  1. 先相加：$66+40+23=129$（只次）（先合并）
  2. 减去两两交集：$129-17-13-9=90$（去重）
  3. 加回三交：$90+6=96$（只）（容斥修正）
  4. 写出答案：$96$ 只
第一套
题目：三位基金经理投资若干只股票，张经理买过其中 $120$ 只，王经理买过 $88$ 只，李经理买过 $75$ 只，张、王都买过的有 $34$ 只，王、李都买过的有 $29$ 只，李、张都买过的有 $21$ 只，三个人都买过的有 $13$ 只。请问：这三位经理一共买过多少只股票？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先相加）：$120+88+75=\underline{\quad}$（只次）。
  2. 第 2 步（减去两两交集）：$283-34-29-21=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加回三交）：三人都买过的被减了 $3$ 次、多减 $1$ 次，加回来 $199+13=\underline{\quad}$（只）。
第二套
题目：三家出版社出版了若干种图书，甲社出过其中 $120$ 种，乙社出过 $88$ 种，丙社出过 $75$ 种；甲、乙都出过的有 $34$ 种，乙、丙都出过的有 $29$ 种，丙、甲都出过的有 $21$ 种，三家都出过的有 $13$ 种。请问：这三家出版社一共出过多少种图书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先相加）：$120+88+75=\underline{\quad}$（种次）。
  2. 第 2 步（减去两两交集）：$283-34-29-21=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加回三交）：$199+13=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：三位基金经理买过的股票共 $212$ 只。张经理买过 $120$ 只，王经理买过 $88$ 只，李经理买过 $75$ 只，张、王都买过的有 $34$ 只，王、李都买过的有 $29$ 只，李、张都买过的有 $21$ 只。请问：三个人都买过的有多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算出容斥式的已知部分）：$120+88+75-34-29-21=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（反解三交）：$212-199=\underline{\quad}$（只）。
第三套
题目：市场上共有 $260$ 只股票。张经理买过 $120$ 只，王经理买过 $88$ 只，李经理买过 $75$ 只，张、王都买过的有 $34$ 只，王、李都买过的有 $29$ 只，李、张都买过的有 $21$ 只，三人都买过的有 $13$ 只。请问：（1）三人都没买过的有多少只？（2）只有张经理一个人买过的有多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥求并集）：$120+88+75=\underline{\quad}$，减去两两交集 $283-34-29-21=\underline{\quad}$，加回三交 $199+13=\underline{\quad}$（只）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问取补集）：$260-212=\underline{\quad}$（只）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：张经理买的 $120$ 只中，王或李也买过的有 $34+21-13=\underline{\quad}$（只），所以只有张经理买过的有 $120-42=\underline{\quad}$（只）。
16. 【原题 ch04-tuozhan-08】唐僧西天取经共历经了 $81$ 难，其中单独被过了 $3$ 难，与孙悟空一起渡过了 $77$ 难，与猪八戒一起渡过了 $65$ 难，与沙和尚一起渡过了 $62$ 难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了 $64$ 难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了 $61$ 难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了 $60$ 难，请问：师徒四人共同渡过的有多少难？
详细思路
是哪类问题：这是「多对象容斥原理·公共部分反解」类：把三个徒弟看作三个集合，用三对象容斥列等式，反解出三集合的公共部分。
关键切入点：唐僧单独渡过 $3$ 难，说明至少有一个徒弟参与的难有 $81-3=78$ 个，这就是三个徒弟对应集合的并集。「与孙悟空一起」即孙悟空集合，「与孙悟空和猪八戒一起」即两者的交集。代入三对象容斥公式 $A+B+C-AB-AC-BC+ABC=A\cup B\cup C$，唯一未知的 $ABC$（师徒四人共渡）可直接反解。
方法概述：补集求并集 → 三对象容斥列等式 → 反解三交。
规范步骤：
  1. 求至少有一个徒弟参与的难数：$81-3=78$（难）（补集）
  2. 代入三对象容斥公式：$77+65+62-64-61-60+x=78$（三对象容斥）
  3. 算出已知部分：$77+65+62-64-61-60=19$（先算常数）
  4. 反解：$x=78-19=59$（难）（移项）
  5. 写出答案：$59$ 难
第一套
题目：某位旅人共历经 $120$ 难，其中单独渡过了 $5$ 难，与甲一起渡过了 $110$ 难，与乙一起渡过了 $96$ 难，与丙一起渡过了 $90$ 难，同时与甲和乙一起渡过了 $92$ 难，同时与甲和丙一起渡过了 $88$ 难，同时与乙和丙一起渡过了 $85$ 难。请问：四人共同渡过的有多少难？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：至少有一位同伴参与的难有 $120-5=\underline{\quad}$（难）。
  2. 第 2 步（列三对象容斥式）：$110+96+90-92-88-85+四人共渡=115$，先算已知部分 $110+96+90=\underline{\quad}$，$296-92-88-85=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（反解）：四人共渡的难数为 $115-31=\underline{\quad}$（难）。
第二套
题目：某科考队完成了 $120$ 项任务，其中队长单独完成了 $5$ 项，与甲共同完成 $110$ 项，与乙共同完成 $96$ 项，与丙共同完成 $90$ 项，与甲乙同时共同完成 $92$ 项，与甲丙同时共同完成 $88$ 项，与乙丙同时共同完成 $85$ 项。请问：四人共同完成的任务有多少项？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：至少有一位队员参与的任务有 $120-5=\underline{\quad}$（项）。
  2. 第 2 步（列三对象容斥式）：$110+96+90=\underline{\quad}$，$296-92-88-85=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（反解）：$115-31=\underline{\quad}$（项）。
第三套
题目：某位旅人共历经 $120$ 难，其中单独渡过了 $5$ 难，与乙一起渡过了 $96$ 难，与丙一起渡过了 $90$ 难，同时与甲和乙一起渡过了 $92$ 难，同时与甲和丙一起渡过了 $88$ 难，同时与乙和丙一起渡过了 $85$ 难，四人共同渡过了 $84$ 难。请问：与甲一起渡过了多少难？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：至少有一位同伴参与的难有 $120-5=\underline{\quad}$（难）。
  2. 第 2 步（把与甲一起的难数当未知数）：$与甲+96+90-92-88-85+84=115$，先算式中的已知部分 $96+90-92-88-85+84=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（反解）：与甲一起渡过的难有 $115-5=\underline{\quad}$（难）。
第三套
题目：某位旅人共历经 $120$ 难，其中单独渡过了 $5$ 难，与甲一起渡过了 $110$ 难，与乙一起渡过了 $96$ 难，与丙一起渡过了 $90$ 难，同时与甲和乙一起渡过了 $92$ 难，同时与甲和丙一起渡过了 $88$ 难，同时与乙和丙一起渡过了 $85$ 难。请问：（1）四人共同渡过的有多少难？（2）只有甲一人陪同（乙、丙都没参与）的有多少难？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：$120-5=\underline{\quad}$（难）至少有一位同伴参与。
  2. 第 2 步（列式反解第 (1) 问）：$110+96+90-92-88-85=\underline{\quad}$，所以四人共渡 $115-31=\underline{\quad}$（难）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问在甲内部分区）：与甲一起的 $110$ 难中，乙或丙也参与的有 $92+88-84=\underline{\quad}$（难）（其中重叠部分正是四人共渡的 $84$ 难）。
  4. 第 4 步（求单独区域）：只有甲陪同的有 $110-96=\underline{\quad}$（难）。
17. 【原题 ch04-tuozhan-09】培英学校有学生 $1000$ 人，有 $500$ 人订阅了《中国少年报》，有 $350$ 人订阅了《少年文艺》，有 $250$ 人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有 $400$ 人，三种报刊都订的有 $100$ 人。请问：培英学校有多少人没有订报？
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理·重复计数修正」类：条件给的是「至少订两种」而不是三个两两交集，需要从「人次」的角度修正。
关键切入点：把三种报刊的订阅人数相加得 $1100$ 人次。在这些人次里，只订一种的人被算 $1$ 次，只订两种的人被算 $2$ 次，三种都订的人被算 $3$ 次。至少订两种的 $400$ 人里含三种都订的 $100$ 人，所以只订两种的有 $300$ 人。于是从人次中扣掉多算的部分：只订两种的每人多算 $1$ 次、三种都订的每人多算 $2$ 次。
方法概述：人次 $-$ 多算次数 $=$ 人数，再取补集。
规范步骤：
  1. 求只订两种的人数：$400-100=300$（人）（至少两种含三种）
  2. 算总人次：$500+350+250=1100$（人次）（先合并）
  3. 扣掉多算的次数：$1100-300-100\times 2=600$（人）（重复计数修正）
  4. 取补集：$1000-600=400$（人）（补集计数）
第一套
题目：某校有学生 $2000$ 人，有 $800$ 人订阅了《中国少年报》，有 $650$ 人订阅了《少年文艺》，有 $520$ 人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有 $700$ 人，三种报刊都订的有 $180$ 人。请问：该校有多少人没有订报？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剥出只订两种的人）：至少订两种的 $700$ 人里含着三种都订的 $180$ 人，所以只订两种的有 $700-180=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（算总人次）：$800+650+520=\underline{\quad}$（人次）。
  3. 第 3 步（扣掉多算次数）：只订两种的每人多算 $1$ 次共 $520$ 次，三种都订的每人多算 $2$ 次共 $180\times 2=\underline{\quad}$ 次，所以订报人数为 $1970-520-360=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（取补集）：没订报的有 $2000-1090=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某社区有居民 $2000$ 人，订牛奶的有 $800$ 人，订酸奶的有 $650$ 人，订豆浆的有 $520$ 人，至少订两种的有 $700$ 人，三种都订的有 $180$ 人。请问：该社区有多少人一种也没订？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剥出只订两种的人）：$700-180=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（算总人次）：$800+650+520=\underline{\quad}$（人次）。
  3. 第 3 步（扣掉多算次数）：三种都订的多算 $180\times 2=\underline{\quad}$ 次，订奶（浆）的人数为 $1970-520-360=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（取补集）：$2000-1090=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某校有学生 $2000$ 人，有 $800$ 人订阅了《中国少年报》，有 $650$ 人订阅了《少年文艺》，有 $520$ 人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有 $700$ 人，三种报刊都订的有 $180$ 人。请问：只订阅一种报刊的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求只订两种的人）：$700-180=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（求订报总人数）：总人次 $800+650+520=\underline{\quad}$，扣掉多算的次数得 $1970-520-180\times 2=\underline{\quad}$（人）订了报。
  3. 第 3 步（去掉至少订两种的）：只订一种的有 $1090-700=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某校有学生 $2000$ 人，有 $800$ 人订阅了《中国少年报》，有 $650$ 人订阅了《少年文艺》，有 $520$ 人订阅了《数学报》。已知只订阅一种报刊的有 $390$ 人，只订阅两种报刊的有 $520$ 人。请问：三种报刊都订的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总人次）：$800+650+520=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（按被计次数拆开）：只订一种的算 $1$ 次共 $390$ 次，只订两种的算 $2$ 次共 $520\times 2=\underline{\quad}$ 次，设三种都订的有 $x$ 人算 $3$ 次，得 $390+1040+3x=1970$。
  3. 第 3 步（解方程）：$3x=1970-390-1040=\underline{\quad}$，$x=540\div 3=\underline{\quad}$（人）。
18. 【原题 ch04-tuozhan-10】五年级一班有 $46$ 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组，其中有 $24$ 人参加了数学小组，$20$ 人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有 $10$ 人。参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 $3.5$ 倍，还是三项小组都参加的人数的 $7$ 倍；既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的 $2$ 倍。求参加文艺小组的人数。
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理 + 倍数关系与方程」类：几个未知量之间是倍数关系，可用「份数」统一表示后再借助文氏图求解。
关键切入点：把三项都参加的人数设为 $1$ 份，则文艺组 $=7$ 份，数学与文艺的交 $=7\div 3.5=2$ 份，语文与文艺的交 $=2$ 份。文艺圈里「只参加文艺」的部分要从 $7$ 份中去掉两块交集，但三项都参加的那 $1$ 份被去掉了两次，需要补回一次，得 $7-2-2+1=4$ 份。另一方面，参加数学或语文的人由两对象容斥得 $34$ 人，其余 $46-34=12$ 人恰好只参加文艺，对应 $4$ 份。
方法概述：设三交为 $1$ 份统一倍数 → 求只参加文艺的份数 → 用容斥求出其实际人数 → 求 $1$ 份。
规范步骤：
  1. 统一份数：$三项都参加=1 份,\;文艺=7 份$（倍数关系）
  2. 求两块交集的份数：$数∩文=7\div 3.5=2 份,\;文∩语=1\times 2=2 份$（倍数关系）
  3. 求只参加文艺的份数：$7-2-2+1=4$（份）（文氏图分区）
  4. 求参加数学或语文的人数：$24+20-10=34$（人）（两对象容斥）
  5. 求只参加文艺的人数：$46-34=12$（人）（补集）
  6. 求 $1$ 份并求文艺组人数：$12\div 4=3,\;3\times 7=21$（人）（份数还原）
第一套
题目：五年级一班有 $78$ 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组，其中有 $40$ 人参加了数学小组，$34$ 人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有 $16$ 人。参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 $3.5$ 倍，还是三项小组都参加的人数的 $7$ 倍；既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的 $2$ 倍。求参加文艺小组的人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一份数）：把三项都参加的人数看作 $1$ 份，则文艺小组是 $7$ 份，既参加数学又参加文艺的是 $7\div 3.5=\underline{\quad}$ 份，既参加文艺又参加语文的是 $1\times 2=\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步（求只参加文艺的份数）：从文艺的 $7$ 份中去掉两块交集，三项都参加的 $1$ 份被去掉两次要补回一次，$7-2-2+1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（容斥求参加数学或语文的人数）：$40+34-16=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求只参加文艺的实际人数）：$78-58=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（份数还原）：$1$ 份 $=20\div 4=\underline{\quad}$（人），文艺小组有 $5\times 7=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某工厂 $78$ 名工人参加车工、钳工、焊工三项技能培训，其中 $40$ 人参加车工班，$34$ 人参加钳工班，两班都参加的有 $16$ 人。参加焊工班的人数是既参加车工班又参加焊工班人数的 $3.5$ 倍，还是三项都参加人数的 $7$ 倍；既参加焊工班也参加钳工班的人数等于三项都参加人数的 $2$ 倍。求参加焊工班的人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一份数）：三项都参加的看作 $1$ 份，焊工班是 $7$ 份，车工与焊工的交是 $7\div 3.5=\underline{\quad}$ 份，焊工与钳工的交是 $1\times 2=\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步（求只参加焊工的份数）：$7-2-2+1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（容斥求参加车工或钳工的人数）：$40+34-16=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求只参加焊工的实际人数）：$78-58=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（份数还原）：$1$ 份 $=20\div 4=\underline{\quad}$（人），焊工班有 $5\times 7=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级一班有 $78$ 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组，其中有 $40$ 人参加了数学小组，$34$ 人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有 $16$ 人。参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 $4$ 倍，还是三项小组都参加的人数的 $8$ 倍；既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的 $2$ 倍。求参加文艺小组的人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一份数）：三项都参加的看作 $1$ 份，文艺小组是 $8$ 份，数学与文艺的交是 $8\div 4=\underline{\quad}$ 份，文艺与语文的交是 $1\times 2=\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步（求只参加文艺的份数）：$8-2-2+1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（容斥）：参加数学或语文的有 $40+34-16=\underline{\quad}$（人），只参加文艺的有 $78-58=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（份数还原）：$1$ 份 $=20\div 5=\underline{\quad}$（人），文艺小组有 $4\times 8=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级一班有 $78$ 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组，其中有 $40$ 人参加了数学小组，$34$ 人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有 $16$ 人。参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 $3.5$ 倍，还是三项小组都参加的人数的 $7$ 倍；既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的 $2$ 倍。请问：（1）三项小组都参加的有多少人？（2）只参加数学小组的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一份数并求只参加文艺的份数）：三项都参加记 $1$ 份，数∩文 $=7\div 3.5=\underline{\quad}$ 份，文∩语 $=2$ 份，只参加文艺 $=7-2-2+1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求 $1$ 份是多少人）：参加数学或语文的有 $40+34-16=\underline{\quad}$（人），只参加文艺的有 $78-58=\underline{\quad}$（人），所以 $1$ 份 $=20\div 4=\underline{\quad}$（人），即第 (1) 问的答案。
  3. 第 3 步（第 (2) 问在数学圈里分区）：数∩语 $=16$ 人，数∩文 $=2$ 份 $=\underline{\quad}$（人），三项都参加的 $5$ 人被减了两次要补回一次，只参加数学的有 $40-16-10+5=\underline{\quad}$（人）。
19. 【原题 ch04-tuozhan-11】学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项。根据报名情况，学校决定对象棋的前 $9$ 名、围棋的前 $10$ 名和军棋的前 $11$ 名发放奖品。请问：最少有几人获得奖品？
详细思路
是哪类问题：这是「最值型容斥·极端情形分析」类：总份数固定、每人领取份数有上限，求最少人数。
关键切入点：三项共发出 $9+10+11=30$ 份奖品。因为每人最多参加两项，所以一个人最多拿 $2$ 份。要让获奖人数尽量少，就要让每个人都「拿满」$2$ 份，此时人数最少为 $30\div 2=15$；这种分法能够实现（把 $30$ 份奖品两两配成 $15$ 组不同项目即可）。
方法概述：总份数 $\div$ 每人份数上限 $=$ 最少人数。
规范步骤：
  1. 算总份数：$9+10+11=30$（份）（合并）
  2. 认出每人上限：$每人最多参加两项 \Rightarrow 最多得 2 份$（题设）
  3. 取极端：人人拿满：$30\div 2=15$（人）（极端情形）
  4. 写出答案：最少 $15$ 人
第一套
题目：学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项。学校决定对象棋的前 $14$ 名、围棋的前 $17$ 名和军棋的前 $19$ 名发放奖品。请问：最少有几人获得奖品？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总份数）：$14+17+19=\underline{\quad}$（份）奖品。
  2. 第 2 步（认出每人上限）：每人最多参加两项，所以一个人最多拿 $\underline{\quad}$ 份。
  3. 第 3 步（取极端）：要让人数最少，就让每人都拿满，最少 $50\div 2=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：运动会设跳远、跳高、投掷三个项目，每人最多参加其中两项。大会给跳远前 $14$ 名、跳高前 $17$ 名、投掷前 $19$ 名颁发证书。请问：最少有几人获得证书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总份数）：$14+17+19=\underline{\quad}$（张）证书。
  2. 第 2 步（认出每人上限）：每人最多拿 $\underline{\quad}$ 张。
  3. 第 3 步（取极端）：$50\div 2=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：学校举行四项棋类比赛，每人最多参加其中两项。学校决定对四项比赛的前 $12$ 名、前 $14$ 名、前 $16$ 名和前 $18$ 名发放奖品。请问：最少有几人获得奖品？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总份数）：$12+14+16+18=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（每人上限仍是 $2$ 份，取极端）：$60\div 2=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某校共有 $40$ 名同学报名棋类比赛，比赛分象棋、围棋、军棋三项，每人最多参加其中两项。学校对象棋的前 $14$ 名、围棋的前 $17$ 名和军棋的前 $19$ 名发放奖品。请问：（1）最少有几人获得奖品？（2）最多有几名报名同学没有获得奖品？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总份数）：$14+17+19=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问取极端）：每人最多拿 $2$ 份，最少 $50\div 2=\underline{\quad}$（人）获奖。
  3. 第 3 步（第 (2) 问取补集）：获奖人数最少时没获奖的人数最多，$40-25=\underline{\quad}$（人）。
20. 【原题 ch04-tuozhan-12】图书室有 $100$ 本书，借阅图书者需在图书上签名。已知这 $100$ 本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有 $33$ 本、$44$ 本和 $55$ 本，其中同时有甲、乙签名的图书为 $29$ 本，同时有甲、丙签名的图书为 $25$ 本，同时有乙、丙签名的图书为 $36$ 本。问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理 + 最值型容斥」类：并集随三交变化，要让「没被借过的最少」，就要让三交尽可能大。
关键切入点：由容斥，被至少一人签名的书 $=33+44+55-29-25-36+三人都借过的$，前面是常数 $42$，所以三交越大、并集越大、没借过的越少。三交不能超过任何一个两两交集，其中甲丙只有 $25$ 本，因此三交最多 $25$；取 $25$ 时各分块都非负、方案可实现。
方法概述：写出容斥式 → 判断三交的最大值 → 代入求并集 → 取补集。
规范步骤：
  1. 写出容斥式的常数部分：$33+44+55-29-25-36=42$（三对象容斥）
  2. 判断三交的上界：$三交 \le \min(29,25,36)=25$（三交不超过任一两两交集）
  3. 取最大值代入：$42+25=67$（本）被至少一人借过（极端情形）
  4. 取补集：$100-67=33$（本）（补集计数）
第一套
题目：图书室有 $200$ 本书，借阅者需在书上签名。这 $200$ 本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有 $72$ 本、$88$ 本和 $95$ 本，其中同时有甲、乙签名的有 $60$ 本，同时有甲、丙签名的有 $52$ 本，同时有乙、丙签名的有 $70$ 本。问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写出容斥式的常数部分）：$72+88+95=\underline{\quad}$，$255-60-52-70=\underline{\quad}$，所以被至少一人借过的书 $=73+三人都借过的$。
  2. 第 2 步（判断三交的上界）：三人都借过的书不能超过任何一个两两交集，其中最小的是甲丙的 $52$ 本，所以三交最多是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（代入求并集）：$73+52=\underline{\quad}$（本）被至少一人借过。
  4. 第 4 步（取补集）：没被借过的最少有 $200-125=\underline{\quad}$（本）。
第二套
题目：某仓库有 $200$ 件样品，检验员甲、乙、丙检验过的分别有 $72$ 件、$88$ 件和 $95$ 件，甲乙都检验过的有 $60$ 件，甲丙都检验过的有 $52$ 件，乙丙都检验过的有 $70$ 件。问：这批样品中最少有多少件没有被任何一人检验过？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥式常数部分）：$72+88+95=\underline{\quad}$，$255-60-52-70=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（三交的上界）：三交最多等于最小的两两交集，即 $\underline{\quad}$（件）。
  3. 第 3 步（代入求并集）：$73+52=\underline{\quad}$（件）。
  4. 第 4 步（取补集）：$200-125=\underline{\quad}$（件）。
第三套
题目：图书室有 $200$ 本书，其中有甲、乙、丙三人签名的分别有 $72$ 本、$88$ 本和 $95$ 本，同时有甲、乙签名的有 $60$ 本，同时有甲、丙签名的有 $52$ 本，同时有乙、丙签名的有 $70$ 本。问：这批图书中最多有多少本被甲、乙、丙中至少一人借阅过？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥式常数部分）：$72+88+95-60-52-70=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（要让并集最大就让三交最大）：三交最多为最小的两两交集 $\underline{\quad}$（本）。
  3. 第 3 步（代入）：最多有 $73+52=\underline{\quad}$（本）被至少一人借过。
第三套
题目：图书室有 $200$ 本书，其中有甲、乙、丙三人签名的分别有 $72$ 本、$88$ 本和 $95$ 本，同时有甲、乙签名的有 $60$ 本，同时有甲、丙签名的有 $52$ 本，同时有乙、丙签名的有 $70$ 本。问：这批图书中最多有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（想清方向）：没借过的最多，就要让被至少一人借过的最少，也就是让三人都借过的本数最少。
  2. 第 2 步（找三交的下界）：在甲的 $72$ 本里，乙或丙也签过的有 $60+52-三交$，它不能超过 $72$，所以三交 $\ge 60+52-72=\underline{\quad}$；同理在乙的 $88$ 本里得三交 $\ge 60+70-88=\underline{\quad}$，在丙的 $95$ 本里得三交 $\ge 52+70-95=\underline{\quad}$。三个下界取最大的，三交最少是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（代入求并集）：$72+88+95-60-52-70=\underline{\quad}$，$73+42=\underline{\quad}$（本）。
  4. 第 4 步（取补集）：没借过的最多有 $200-115=\underline{\quad}$（本）。
21. 【原题 ch04-tuozhan-13】五年级三班有 $50$ 名学生，参加语文竞赛的有 $28$ 人，参加数学竞赛的有 $22$ 人，参加英语竞赛的有 $20$ 人。如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能是多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「最值型容斥·极端情形分析」类：总人次固定、每人参加科目数有上限，求参赛人数的最小值与未参赛人数的最大值。
关键切入点：三科共 $28+22+20=70$ 人次。每人最多参加两科，即每人最多贡献 $2$ 人次，所以参赛人数至少为 $70\div 2=35$。要让未参赛的人最多，就让参赛的人最少，取 $35$ 人。
方法概述：总人次 $\div$ 每人上限 $=$ 参赛最少人数，再用总人数相减。
规范步骤：
  1. 算总人次：$28+22+20=70$（人次）（合并）
  2. 每人最多 $2$ 人次：$参赛人数 \ge 70\div 2=35$（人）（极端情形）
  3. 参赛最少时未参赛最多：$50-35=15$（人）（补集）
  4. 写出答案：最多 $15$ 人
第一套
题目：五年级三班有 $90$ 名学生，参加语文竞赛的有 $48$ 人，参加数学竞赛的有 $42$ 人，参加英语竞赛的有 $36$ 人。如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能是多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总人次）：$48+42+36=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（每人上限）：每人最多参加两科，最多贡献 $\underline{\quad}$ 人次，所以参赛人数至少是 $126\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（取补集）：参赛人数最少时未参赛人数最多，$90-63=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某车间有 $90$ 名工人，参加安全培训的有 $48$ 人，参加技能培训的有 $42$ 人，参加质量培训的有 $36$ 人。如果每人最多参加两项培训，那么该车间未参加任何培训的人数最多可能是多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总人次）：$48+42+36=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（每人上限）：每人最多贡献 $\underline{\quad}$ 人次，参加培训的至少 $126\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（取补集）：$90-63=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级三班有 $90$ 名学生，参加四科竞赛的人数分别是 $40$ 人、$38$ 人、$34$ 人、$32$ 人。如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能是多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总人次）：$40+38+34+32=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（每人上限）：参赛人数至少 $144\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（取补集）：$90-72=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级三班有 $90$ 名学生，参加四科竞赛的人数分别是 $40$ 人、$38$ 人、$34$ 人、$32$ 人。如果每人最多参加三科竞赛，那么：（1）参加竞赛的至少有多少人？（2）未参加竞赛的最多有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总人次）：$40+38+34+32=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问，每人上限变为 $3$）：每人最多贡献 $\underline{\quad}$ 人次，所以参赛人数至少 $144\div 3=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问取补集）：$90-48=\underline{\quad}$（人）。
22. 【原题 ch04-tuozhan-14】甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有 $100$ 个故事。已知甲读过了 $85$ 个故事，乙读了 $70$ 个故事，丙读了 $62$ 个故事。（1）甲、乙、丙三人都读过的故事最少有多少个？（2）如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人都读过的故事最少有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「重复计数与抽屉原理 + 最值型容斥」类：第 (1) 问用「总读次减去每个故事最多被读 $2$ 次的额度」估出必然被读 $3$ 次的个数；第 (2) 问加上「连续」限制后，改用区间的左右挤压来分析。
关键切入点：第 (1) 问：三人共读 $85+70+62=217$ 次，若每个故事最多被读 $2$ 次，全书只能承载 $100\times 2=200$ 次，多出的 $17$ 次必须落在被读 $3$ 次的故事上，故三人共读的故事至少 $17$ 个。第 (2) 问：三段连续区间要使公共部分最小，应把区间尽量分向两端；把最长的一段与最短的一段推到一端、另一段推到另一端后，重叠长度为两段较短区间长度之和减去总数，即 $70+62-100=32$。
方法概述：(1) 总次数 $-$ 每个故事 $2$ 次的额度；(2) 两段较短区间之长相加减总数。
规范步骤：
  1. 算三人读的总次数：$85+70+62=217$（次）（合并）
  2. 每个故事最多被读 $2$ 次的额度：$100\times 2=200$（次）（抽屉原理）
  3. 第 (1) 问：$217-200=17$（个）（超出额度必被读 3 次）
  4. 第 (2) 问：把区间推向两端：$70+62-100=32$（个）（连续区间的最小重叠）
  5. 写出答案：$（1）17;（2）32$
第一套
题目：甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有 $200$ 个故事。已知甲读过 $170$ 个故事，乙读过 $140$ 个故事，丙读过 $124$ 个故事。（1）甲、乙、丙三人都读过的故事最少有多少个？（2）如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人都读过的故事最少有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总读次）：$170+140+124=\underline{\quad}$（次）。
  2. 第 2 步（算「每个故事被读 2 次」的额度）：$200\times 2=\underline{\quad}$（次）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：超出额度的次数只能落在被读 $3$ 次的故事上，$434-400=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：三段连续区间要重叠最少，就把它们尽量推向两端，重叠部分是两段较短区间之长相加再减去总数，$140+124-200=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：甲、乙、丙三人在同一个视频平台上看同一套共 $200$ 集的纪录片。甲看过 $170$ 集，乙看过 $140$ 集，丙看过 $124$ 集。（1）三人都看过的集数最少有多少集？（2）如果每人都是从某一集开始连续往后看，那么三人都看过的集数最少有多少集？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总观看次数）：$170+140+124=\underline{\quad}$（次）。
  2. 第 2 步（算「每集被看 2 次」的额度）：$200\times 2=\underline{\quad}$（次）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：$434-400=\underline{\quad}$（集）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：$140+124-200=\underline{\quad}$（集）。
第三套
题目：甲、乙、丙、丁四人都在读同一本故事书，书中有 $200$ 个故事。甲读过 $170$ 个，乙读过 $140$ 个，丙读过 $124$ 个，丁读过 $180$ 个。请问：四人都读过的故事最少有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总读次）：$170+140+124+180=\underline{\quad}$（次）。
  2. 第 2 步（算「每个故事被读 3 次」的额度）：四人中若某个故事不是人人都读，则最多被读 $3$ 次，全书额度为 $200\times 3=\underline{\quad}$（次）。
  3. 第 3 步（求超出部分）：$614-600=\underline{\quad}$（个）故事必须被四人都读过。
第三套
题目：甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有 $200$ 个故事。甲读过 $170$ 个，乙读过 $140$ 个，丙读过 $124$ 个。请问：（1）三人都读过的故事最少有多少个？（2）至少有一人没读过的故事最多有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总读次与额度）：$170+140+124=\underline{\quad}$（次），$200\times 2=\underline{\quad}$（次）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：$434-400=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问取补集）：「至少一人没读过」与「三人都读过」正好互补，三人都读过的最少时它最多，$200-34=\underline{\quad}$（个）。
23. 【原题 ch04-xingqu-01】某次练习共有 $2$ 道题，做对第一题的有 $40$ 人，这 $40$ 人中有 $13$ 人第 $2$ 题做错了，那么第 $1$ 题第 $2$ 题全对的共有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「简单容斥（去重计数）」类：在一个已知集合里，把不符合条件的那部分去掉，剩下的就是要求的。
关键切入点：关键是看清「两题全对的人」藏在哪里：全对的人一定做对了第一题，所以他们都在做对第一题的 $40$ 人里。这 $40$ 人按第二题分成两类——第二题错的 $13$ 人、第二题也对的（即全对）若干人。两类不重不漏，故用减法。
方法概述：在做对第一题的人里减去第二题做错的人。
规范步骤：
  1. 认清全对的人来自哪个范围：$全对的人 \subseteq 做对第一题的 40 人$（全对必含做对第一题）
  2. 把这 $40$ 人按第二题对错分两类：$40 = 13 + 全对人数$（分类不重不漏）
  3. 作减法求出全对人数：$40-13=27$（人）（去掉不符合条件的部分）
  4. 写出答案：$27$ 人
第一套
题目：某次练习共有 $2$ 道题，做对第一题的有 $86$ 人，这 $86$ 人中有 $29$ 人第 $2$ 题做错了，那么第 $1$ 题第 $2$ 题全对的共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（想清范围）：两题全对的人一定做对了第一题，所以要在做对第一题的 $86$ 人里找。这 $86$ 人按第二题对错分成两类，其中一类是第二题做错的 $29$ 人，所以列式为 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（计算）：$86-29=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：射击比赛有两轮。第一轮命中靶心的有 $86$ 名选手，这 $86$ 人中有 $29$ 人第二轮脱靶了。那么两轮都命中靶心的共有多少名选手？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（想清范围）：两轮都命中的人一定在第一轮命中的 $86$ 人里，把其中第二轮脱靶的去掉即可，列式为 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（计算）：$86-29=\underline{\quad}$（名）。
第三套
题目：某次练习共有 $2$ 道题，全班 $100$ 人都交了卷。第 $1$ 题做错的有 $12$ 人，第 $2$ 题做错的有 $25$ 人，没有人两道题都做错。那么两题全对的共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出不重叠）：因为没有人两题都错，所以「第 1 题错的 $12$ 人」和「第 2 题错的 $25$ 人」是两批不同的人，做错题的一共有 $12+25=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（用总数去掉）：全对的人就是一道题也没错的人，$100-37=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某次练习共有 $2$ 道题，全班 $100$ 人参加。做对第 $1$ 题的有 $86$ 人，做对第 $2$ 题的有 $74$ 人，两题全对的有 $65$ 人。那么两题都做错的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥求并集）：把两批做对的人直接相加，全对的人被数了两次，要减去一次，至少做对一题的有 $86+74-65=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（补集思想）：两题都做错的人就是「一题也没做对」的人，用总人数减去至少对一题的人数：$100-95=\underline{\quad}$（人）。
24. 【原题 ch04-xingqu-02】暑假里，萱萱和小高一起讨论“金陵十八景”。他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。如果萱萱去过其中的十二景，那么小高去过其中的几景？
详细思路
是哪类问题：这是「两个对象的容斥原理」类：已知并集（十八景每处都有人去过）与交集（两人都去过的），反过来求其中一个集合。
关键切入点：十八景每一处都至少有一人去过，说明两人去过的景点合起来正好覆盖全部 $18$ 处，即并集 $=18$。容斥公式 $A+B-A\cap B=A\cup B$ 里，$A\cup B=18$、$A\cap B=5$、$A=12$ 三个量已知，把公式当成等式反解即可。
方法概述：用容斥公式反解未知的那个集合：$B=A\cup B+A\cap B-A$。
规范步骤：
  1. 读出并集：$A\cup B=18$（每处都有人去过）
  2. 写出容斥公式：$12+B-5=18$（两个对象的容斥原理）
  3. 反解：$B=18+5-12=11$（景）（移项）
  4. 写出答案：$11$ 景
第一套
题目：萱萱和小高讨论某地的 $30$ 处名胜。他们发现这 $30$ 处中的每一处都有人去过，而且有 $9$ 处是两人都去过的。如果萱萱去过其中的 $21$ 处，那么小高去过其中的几处？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（读出并集）：每一处都有人去过，说明两人去过的景点合起来正好是全部，即并集 $=\underline{\quad}$（处）。
  2. 第 2 步（列容斥式）：两人去过的处数之和减去都去过的处数等于并集，即 $21+小高-9=30$，反解得小高 $=30+9-21=\underline{\quad}$（处）。
第二套
题目：电影社整理片单，共 $30$ 部影片，其中每一部都至少被卡莉娅或墨莉看过，有 $9$ 部是两人都看过的。如果卡莉娅看过其中 $21$ 部，那么墨莉看过其中几部？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（读出并集）：每部影片都至少被一人看过，所以并集 $=\underline{\quad}$（部）。
  2. 第 2 步（列容斥式）：$21+墨莉-9=30$，反解得墨莉 $=30+9-21=\underline{\quad}$（部）。
第三套
题目：萱萱和小高讨论某地的名胜。萱萱去过 $24$ 处，小高去过 $19$ 处，两人去过的名胜合起来共 $30$ 处。那么两人都去过的有几处？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列容斥式）：$24+19-两人都去过=30$，先算两人处数之和 $24+19=\underline{\quad}$（处）。
  2. 第 2 步（反解交集）：$两人都去过=43-30=\underline{\quad}$（处）。
第三套
题目：萱萱和小高讨论某地的 $36$ 处名胜，其中有 $4$ 处两人都没去过，有 $7$ 处是两人都去过的。如果萱萱去过其中 $20$ 处，那么小高去过其中几处？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：$36$ 处里有 $4$ 处两人都没去过，所以至少一人去过的有 $36-4=\underline{\quad}$（处），这才是并集。
  2. 第 2 步（列容斥式）：$20+小高-7=32$，反解得小高 $=32+7-20=\underline{\quad}$（处）。
25. 【原题 ch04-xingqu-03】在一群小朋友中，有 $12$ 人看过动画片《黑猫警长》，有 $21$ 人看过动画片《大闹天宫》，并且有 $8$ 人两部动画片都看过。请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「两个对象的容斥原理」最基本的形态：已知两个集合与它们的交集，求并集。
关键切入点：把看过《黑猫警长》的 $12$ 人与看过《大闹天宫》的 $21$ 人直接相加，两部都看过的 $8$ 人被数了两遍，必须减掉一遍，才得到「至少看过一部」的真实人数。
方法概述：并集 $=$ 两集合之和 $-$ 交集。
规范步骤：
  1. 先把两部分直接相加：$12+21=33$（人次）（先合并）
  2. 找出被重复计数的人：$两部都看过的 8 人被数了 2 次$（交集重复）
  3. 减去一次重复：$33-8=25$（人）（容斥原理）
  4. 写出答案：$25$ 人
第一套
题目：在一群小朋友中，有 $46$ 人看过动画片《黑猫警长》，有 $58$ 人看过动画片《大闹天宫》，并且有 $23$ 人两部动画片都看过。请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先相加）：把两部分人数直接加起来 $46+58=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（找重复）：两部都看过的 $23$ 人在上面被数了 $2$ 次，多算了 $\underline{\quad}$ 次。
  3. 第 3 步（减去重复）：至少看过一部的有 $104-23=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：图书角统计借阅情况：借过《西游记》的有 $46$ 人，借过《三国演义》的有 $58$ 人，两本都借过的有 $23$ 人。请问：至少借过其中一本的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先相加）：$46+58=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（找重复）：两本都借过的 $23$ 人被数了 $2$ 次，多算了 $\underline{\quad}$ 次。
  3. 第 3 步（减去重复）：至少借过一本的有 $104-23=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：在一群小朋友中，有 $46$ 人看过《黑猫警长》，有 $58$ 人看过《大闹天宫》，至少看过其中一部的共有 $81$ 人。请问：两部都看过的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列容斥式）：$46+58-两部都看过=81$，先算 $46+58=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（反解交集）：多出来的人次就是被重复计数的人，$104-81=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一群小朋友共 $90$ 人。有 $46$ 人看过《黑猫警长》，有 $58$ 人看过《大闹天宫》，有 $23$ 人两部都看过。请问：两部都没看过的小朋友有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥求并集）：至少看过一部的有 $46+58-23=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（补集）：两部都没看过的就是剩下的人，$90-81=\underline{\quad}$（人）。
26. 【原题 ch04-xingqu-04】一群小朋友共有 $40$ 人，他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃馒头的有 $30$ 人，两种都喜欢吃的有 $7$ 人，那么只喜欢吃米饭的有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「两个对象的容斥原理」中的「只属于一个集合」类：求单独属于某一集合的元素个数。
关键切入点：每人至少喜欢一种，所以并集就是 $40$ 人。不喜欢馒头的人有 $40-30=10$ 人，这 $10$ 人既然都至少喜欢一种、又不喜欢馒头，就只能是「只喜欢米饭」的，所以只喜欢米饭的有 $10$ 人。注意「只喜欢米饭」要把两种都喜欢的 $7$ 人也排除在外。（题库标注 $17$ 人有误：$17$ 是「喜欢米饭的总人数」＝只喜欢米饭 $10$ ＋两种都喜欢 $7$，漏减了交集；本题问「只喜欢米饭」，正解为 $10$ 人。）
方法概述：只喜欢米饭 $=$ 总人数 $-$ 喜欢馒头的人数（不喜欢馒头的人必然只喜欢米饭）。
规范步骤：
  1. 求只喜欢馒头的人数：$30-7=23$（人）（从馒头组中去掉交集）
  2. 不喜欢馒头的人必然只喜欢米饭：$40-30=10$（人）（并集减去喜欢馒头的）
  3. 验证：并集减只馒头再减交集：$40-23-7=10$（人）（并集分三块）
  4. 写出答案：$10$ 人
第一套
题目：一群小朋友共有 $96$ 人，他们都喜欢吃面条或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃面条的有 $71$ 人，两种都喜欢吃的有 $23$ 人，那么只喜欢吃米饭的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剥出只喜欢面条的）：喜欢面条的 $71$ 人里含着两种都喜欢的 $23$ 人，所以只喜欢面条的有 $71-23=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（不喜欢面条的必然只喜欢米饭）：每人至少喜欢一种，不喜欢面条的人只能只喜欢米饭，$96-71=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（验证）：从总数里减去只喜欢面条的 $48$ 人和两种都喜欢的 $23$ 人，$96-48-23=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某旅行团共 $96$ 名旅客，每人都乘坐过高铁或飞机中的一种或两种。乘坐过高铁的有 $71$ 人，两种都乘坐过的有 $23$ 人，那么只乘坐过飞机的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剥出只坐高铁的）：$71-23=\underline{\quad}$（人）只乘坐过高铁。
  2. 第 2 步（不坐高铁的必然只坐飞机）：$96-71=\underline{\quad}$（人）只乘坐过飞机。
  3. 第 3 步（验证）：$96-48-23=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：一群小朋友共有 $96$ 人，他们都喜欢吃面条或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃米饭的有 $68$ 人，两种都喜欢吃的有 $23$ 人，那么只喜欢吃面条的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剥出只喜欢米饭的）：$68-23=\underline{\quad}$（人）只喜欢米饭。
  2. 第 2 步（不喜欢米饭的必然只喜欢面条）：$96-68=\underline{\quad}$（人）只喜欢面条。
第三套
题目：一群小朋友共有 $96$ 人，其中有 $8$ 人面条和米饭都不喜欢吃。喜欢吃面条的有 $71$ 人，两种都喜欢吃的有 $23$ 人，那么只喜欢吃米饭的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：先去掉两种都不喜欢的人，至少喜欢一种的有 $96-8=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（剥出只喜欢面条的）：$71-23=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（在并集里减掉喜欢面条的）：不喜欢面条的必然只喜欢米饭，$88-71=\underline{\quad}$（人）只喜欢米饭。
27. 【原题 ch04-xingqu-05】五年级一班 $45$ 个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有 $10$ 人，数学及语文均得满分的有 $3$ 人，这两科都没有得满分的有 $29$ 人。请问：语文得满分的有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「两个对象的容斥原理 + 补集思想」类：先由「都没得满分」求出并集，再用容斥公式反解另一个集合。
关键切入点：全班 $45$ 人分成两块：两科都没满分的 $29$ 人，和至少一科满分的人。后者就是并集，等于 $45-29=16$。再把容斥公式 $数学+语文-两科都满分=并集$ 当等式反解语文人数。
方法概述：先补集求并集，再用容斥公式反解。
规范步骤：
  1. 补集求并集：$45-29=16$（人）至少一科满分（补集思想）
  2. 列容斥等式：$10+语文-3=16$（两个对象的容斥原理）
  3. 反解：$语文=16+3-10=9$（人）（移项）
  4. 写出答案：$9$ 人
第一套
题目：五年级一班 $60$ 个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有 $18$ 人，数学及语文均得满分的有 $6$ 人，这两科都没有得满分的有 $38$ 人。请问：语文得满分的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：全班 $60$ 人中有 $38$ 人两科都没满分，所以至少一科得满分的有 $60-38=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（列容斥等式）：数学满分 $+$ 语文满分 $-$ 两科都满分 $=$ 至少一科满分，即 $18+语文-6=22$，反解得语文 $=22+6-18=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：运动会体能测试共 $80$ 名同学参加，跳远达标的有 $25$ 人，跳远和短跑均达标的有 $9$ 人，两项都没达标的有 $46$ 人。请问：短跑达标的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：至少一项达标的有 $80-46=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（列容斥等式）：$25+短跑-9=34$，反解得短跑 $=34+9-25=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级一班 $60$ 个学生参加期末考试，数学得满分的有 $18$ 人，语文得满分的有 $10$ 人，这两科都没有得满分的有 $38$ 人。请问：两科都得满分的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：至少一科满分的有 $60-38=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（反解交集）：$18+10-两科都满分=22$，先算 $18+10=\underline{\quad}$，再得两科都满分 $=28-22=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级一班 $60$ 个学生参加期末考试，数学得满分的有 $18$ 人，语文得满分的有 $10$ 人，这两科都没有得满分的有 $38$ 人。请问：恰好只有一科得满分的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求并集）：至少一科满分的有 $60-38=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（反解交集）：$18+10-两科都满分=22$，所以两科都满分的有 $28-22=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（去掉交集）：恰好一科满分的人 $=$ 至少一科满分 $-$ 两科都满分 $=22-6=\underline{\quad}$（人）。
28. 【原题 ch04-xingqu-06】如图 $4-1$，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 $30$，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 $6,8,5$，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为 $2$。请问：（1）只被甲或乙覆盖，而没被丙覆盖的部分的面积是多少？（2）只被这 $3$ 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理·文氏图分区计算」类：把三个圆分成 $7$ 块，逐块算出面积后再按题目要求拼起来。
关键切入点：关键在于分清「重合部分」与「只被两个圆覆盖」的区别：甲乙重合的 $6$ 里包含了三圆公共的 $2$，所以只被甲乙覆盖（不含丙）的是 $6-2=4$。把三块「只被两圆覆盖」和中心块算出后，每个圆的面积减去它内部的三块，就得到「只被这个圆覆盖」的部分。
方法概述：先算中心块与三块「恰两圆」，再用整圆面积倒推三块「恰一圆」，最后按问拼合。
规范步骤：
  1. 算只被甲、乙覆盖（不含丙）的部分：$6-2=4$（重合部分含中心块）
  2. 算只被甲、丙覆盖（不含乙）与只被乙、丙覆盖（不含甲）的部分：$5-2=3,\;8-2=6$（同理）
  3. 用整圆倒推只被甲覆盖的部分：$30-4-3-2=21$（整圆分四块）
  4. 同法求只被乙、只被丙覆盖的部分：$30-4-6-2=18,\;30-3-6-2=19$（整圆分四块）
  5. 第 (1) 问：拼出只被甲或乙覆盖而没被丙覆盖的部分：$21+4+18=43$（三块相加）
  6. 第 (2) 问：只被一个圆覆盖的部分：$21+18+19=58$（三块相加）
第一套
题目：已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 $48$，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 $11,14,9$，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为 $4$。请问：（1）只被甲或乙覆盖，而没被丙覆盖的部分的面积是多少？（2）只被这 $3$ 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剥出「恰两圆」的块）：甲乙重合的 $11$ 里含着三圆公共的 $4$，所以只被甲、乙覆盖的是 $11-4=\underline{\quad}$；同理只被甲、丙覆盖的是 $9-4=\underline{\quad}$，只被乙、丙覆盖的是 $14-4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倒推「恰一圆」的块）：甲圆被分成四块，$48-7-5-4=\underline{\quad}$ 是只被甲覆盖的；同理只被乙覆盖的是 $48-7-10-4=\underline{\quad}$，只被丙覆盖的是 $48-5-10-4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：只被甲或乙覆盖而没被丙覆盖的，由「只甲」「只甲乙」「只乙」三块拼成，$32+7+27=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：只被一个圆覆盖的是三块「恰一圆」之和，$32+27+29=\underline{\quad}$。
第二套
题目：学校有阅读、书法、绘画三个社团，人数均为 $48$ 人。同时参加阅读与书法的有 $11$ 人，同时参加书法与绘画的有 $14$ 人，同时参加阅读与绘画的有 $9$ 人，三个社团都参加的有 $4$ 人。请问：（1）参加阅读或书法但没参加绘画的有多少人？（2）只参加三个社团中某一个社团的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剥出「恰两社团」）：只参加阅读与书法的有 $11-4=\underline{\quad}$（人），只参加阅读与绘画的有 $9-4=\underline{\quad}$（人），只参加书法与绘画的有 $14-4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（倒推「恰一社团」）：只参加阅读的有 $48-7-5-4=\underline{\quad}$（人），只参加书法的有 $48-7-10-4=\underline{\quad}$（人），只参加绘画的有 $48-5-10-4=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：$32+7+27=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：$32+27+29=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 $48$，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 $11,14,9$，同时被三个圆覆盖的部分的面积为 $4$。请问：被这三个圆覆盖的总面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三圆面积先相加）：$48\times 3=\underline{\quad}$，这样重合处被重复计算了。
  2. 第 2 步（减去两两重合）：$144-11-14-9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（把中心块补回一次）：三圆公共部分被减多了一次，要加回来，$110+4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在一块面积为 $150$ 的长方形纸板上放着甲、乙、丙三个圆，圆的面积均为 $48$，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 $11,14,9$，同时被三个圆覆盖的部分的面积为 $4$（三个圆都在纸板内）。请问：纸板上没有被任何圆覆盖的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥求覆盖总面积）：$48\times 3=\underline{\quad}$，减去两两重合 $144-11-14-9=\underline{\quad}$，再把中心块加回 $110+4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（补集）：没被覆盖的面积 $=150-114=\underline{\quad}$。
29. 【原题 ch04-xingqu-07】在一个由 $30$ 人组成的合唱队中，每人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有 $10$ 个人爱喝红茶，$12$ 个人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问：只爱喝花茶的有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理·补集与分区计数」类：把总体按「爱不爱红茶」「爱不爱绿茶」层层筛掉，剩下的就是所求。
关键切入点：每人至少爱喝一种，所以「只爱喝花茶」等价于「既不爱红茶也不爱绿茶」。于是先从 $30$ 人中去掉爱喝红茶的 $10$ 人，得到不爱红茶的 $20$ 人；题目又说这 $20$ 人里有 $12$ 人爱喝绿茶，再去掉，剩下的就只能爱花茶。
方法概述：两次取补集：先去掉爱红茶的，再去掉其中爱绿茶的。
规范步骤：
  1. 转化问题：$只爱花茶 \iff 不爱红茶且不爱绿茶$（每人至少爱一种）
  2. 去掉爱红茶的：$30-10=20$（人）（补集）
  3. 再去掉这 $20$ 人中爱绿茶的：$20-12=8$（人）（分区计数）
  4. 写成一个式子：$30-10-12=8$（人）（连减）
第一套
题目：在一个由 $88$ 人组成的合唱队中，每人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有 $27$ 个人爱喝红茶，$35$ 个人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问：只爱喝花茶的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化问题）：因为每人至少爱一种，「只爱花茶」就是「既不爱红茶也不爱绿茶」。
  2. 第 2 步（去掉爱红茶的）：不爱喝红茶的有 $88-27=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（再去掉其中爱绿茶的）：这 $61$ 人里有 $35$ 人爱绿茶，剩下 $61-35=\underline{\quad}$（人）只爱花茶。
第二套
题目：图书馆有 $88$ 名读者，每人都借阅科幻、历史、传记中的一类或几类。其中有 $27$ 人借过科幻书，$35$ 人没借科幻书却借了历史书。请问：只借传记的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化问题）：每人至少借一类，「只借传记」就是「既没借科幻也没借历史」。
  2. 第 2 步（去掉借科幻的）：没借科幻的有 $88-27=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（再去掉其中借历史的）：$61-35=\underline{\quad}$（人）只借传记。
第三套
题目：在一个由 $88$ 人组成的合唱队中，每人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有 $27$ 个人爱喝红茶，只爱喝花茶的有 $26$ 人。请问：不爱喝红茶却爱喝绿茶的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（去掉爱红茶的）：不爱喝红茶的有 $88-27=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（反求中间一层）：这 $61$ 人分成两类——爱绿茶的、和只爱花茶的 $26$ 人，所以不爱红茶却爱绿茶的有 $61-26=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：在一个由 $88$ 人组成的合唱队中，每人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有 $27$ 人爱喝红茶，$50$ 人爱喝绿茶，$15$ 人红茶绿茶都爱喝。请问：只爱喝花茶的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求「不爱红茶却爱绿茶」）：爱绿茶的 $50$ 人里有 $15$ 人也爱红茶，去掉后 $50-15=\underline{\quad}$（人）是不爱红茶却爱绿茶的。
  2. 第 2 步（去掉爱红茶的）：不爱喝红茶的有 $88-27=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（再去掉爱绿茶的）：$61-35=\underline{\quad}$（人）只爱花茶。
30. 【原题 ch04-xingqu-08】光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是 $54$ 人、$46$ 人、$36$ 人。同时参加体育小组和音乐小组的有 $4$ 人，同时参加体育小组和书法小组的有 $7$ 人，同时参加音乐小组和书法小组的有 $10$ 人，三组都参加的有 $2$ 人。光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理」的标准形态：已知三个集合、三个两两交集与三交，求并集。
关键切入点：三个小组人数直接相加时，同时参加两个组的人被数了 $2$ 次、三个组都参加的人被数了 $3$ 次。减去三个两两交集后，三组都参加的人被减了 $3$ 次、变成一次也没算，所以还要再加回来一次。
方法概述：并集 $=$ 三集合之和 $-$ 三个两两交集 $+$ 三交。
规范步骤：
  1. 三组人数相加：$54+46+36=136$（人次）（先合并）
  2. 减去三个两两交集：$136-4-7-10=115$（去掉重复）
  3. 把三交加回一次：$115+2=117$（人）（容斥修正）
  4. 写出答案：$117$ 人
第一套
题目：光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是 $78$ 人、$65$ 人、$59$ 人。同时参加体育小组和音乐小组的有 $13$ 人，同时参加体育小组和书法小组的有 $11$ 人，同时参加音乐小组和书法小组的有 $16$ 人，三组都参加的有 $5$ 人。参加课外活动的一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先相加）：$78+65+59=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（减去两两重复）：$202-13-11-16=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（把三交加回一次）：三组都参加的 $5$ 人被减掉了 $3$ 次，多减了 $1$ 次，加回来 $162+5=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某影展设科幻、悬疑、纪录三个单元，购票观众分别是 $78$ 人、$65$ 人、$59$ 人。同时看了科幻和悬疑的有 $13$ 人，同时看了科幻和纪录的有 $11$ 人，同时看了悬疑和纪录的有 $16$ 人，三个单元都看了的有 $5$ 人。购票观众一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先相加）：$78+65+59=\underline{\quad}$（人次）。
  2. 第 2 步（减去两两重复）：$202-13-11-16=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（把三交加回一次）：$162+5=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加人数分别是 $78$ 人、$65$ 人、$59$ 人。同时参加体育和音乐的有 $13$ 人，同时参加体育和书法的有 $11$ 人，同时参加音乐和书法的有 $16$ 人，参加课外活动的一共有 $167$ 人。那么三个小组都参加的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写出容斥式）：$78+65+59-13-11-16+三组都参加=167$，先算左边已知部分 $78+65+59-13-11-16=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（反解）：三组都参加的有 $167-162=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：光明小学五年级共有 $200$ 名学生。课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加人数分别是 $78$ 人、$65$ 人、$59$ 人。同时参加体育和音乐的有 $13$ 人，同时参加体育和书法的有 $11$ 人，同时参加音乐和书法的有 $16$ 人，三组都参加的有 $5$ 人。那么一个小组也没参加的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥求并集）：$78+65+59=\underline{\quad}$，减去两两重复 $202-13-11-16=\underline{\quad}$，再加回三交 $162+5=\underline{\quad}$（人）参加了课外活动。
  2. 第 2 步（补集）：一个小组也没参加的有 $200-167=\underline{\quad}$（人）。
31. 【原题 ch04-xingqu-09】卫生部对 $120$ 种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查，结果发现：含有维生素 A 的有 $62$ 种，含有维生素 C 的有 $90$ 种，含有维生素 E 的有 $68$ 种，同时含有维生素 A 和 C 的有 $48$ 种，同时含有维生素 A 和 E 的有 $36$ 种，同时含有维生素 C 和 E 的有 $50$ 种，同时含有这三种维生素的有 $25$ 种。请问：（1）这三种维生素都不含的食物有多少种？（2）仅含维生素 A 的食物有多少种？
详细思路
是哪类问题：这是「三个对象的容斥原理 + 补集计数 + 单独区域计数」类：第 (1) 问求补集，第 (2) 问求只属于一个集合的部分。
关键切入点：第 (1) 问先用三对象容斥求出「至少含一种维生素」的种数，再从总数 $120$ 中减去。第 (2) 问的关键是：在含 A 的 $62$ 种里，「同时含 C 或 E」的种数要用两对象容斥算成 $48+36-25=59$（同时含 A、C 与同时含 A、E 重叠的部分正是三种都含的 $25$），剩下的才是仅含 A 的。
方法概述：(1) 容斥求并再取补集；(2) 在 A 内部再做一次两对象容斥。
规范步骤：
  1. 三对象容斥求并集：$62+90+68-48-36-50+25=111$（种）（三对象容斥）
  2. 第 (1) 问取补集：$120-111=9$（种）（补集计数）
  3. 在含 A 的食物中求「还含 C 或 E」的：$48+36-25=59$（种）（A 内部的两对象容斥）
  4. 第 (2) 问求仅含 A 的：$62-59=3$（种）（单独区域计数）
第一套
题目：对 $200$ 种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查：含 A 的有 $96$ 种，含 C 的有 $124$ 种，含 E 的有 $88$ 种，同时含 A 和 C 的有 $60$ 种，同时含 A 和 E 的有 $52$ 种，同时含 C 和 E 的有 $58$ 种，三种都含的有 $34$ 种。请问：（1）三种维生素都不含的食物有多少种？（2）仅含维生素 A 的食物有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三对象容斥）：先相加 $96+124+88=\underline{\quad}$，减去两两重合 $308-60-52-58=\underline{\quad}$，再把三交加回一次 $138+34=\underline{\quad}$（种）至少含一种。
  2. 第 2 步（第 (1) 问取补集）：$200-172=\underline{\quad}$（种）三种都不含。
  3. 第 3 步（在含 A 的食物中看）：含 A 的 $96$ 种里，同时含 C 或含 E 的有 $60+52-34=\underline{\quad}$（种）（重叠的正是三种都含的 $34$ 种）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：仅含 A 的有 $96-78=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：影评人统计 $200$ 部影片是否含动作、喜剧、爱情元素：含动作的有 $96$ 部，含喜剧的有 $124$ 部，含爱情的有 $88$ 部，同时含动作与喜剧的有 $60$ 部，同时含动作与爱情的有 $52$ 部，同时含喜剧与爱情的有 $58$ 部，三种元素都含的有 $34$ 部。请问：（1）三种元素都不含的影片有多少部？（2）仅含动作元素的影片有多少部？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三对象容斥）：$96+124+88=\underline{\quad}$，$308-60-52-58=\underline{\quad}$，$138+34=\underline{\quad}$（部）至少含一种元素。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：$200-172=\underline{\quad}$（部）。
  3. 第 3 步（含动作的内部）：同时还含喜剧或爱情的有 $60+52-34=\underline{\quad}$（部）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：仅含动作的有 $96-78=\underline{\quad}$（部）。
第三套
题目：对某批食物调查：含 A 的有 $96$ 种，含 C 的有 $124$ 种，含 E 的有 $88$ 种，同时含 A 和 C 的有 $60$ 种，同时含 A 和 E 的有 $52$ 种，同时含 C 和 E 的有 $58$ 种，三种都含的有 $34$ 种。请问：仅含维生素 C 的食物有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（在含 C 的食物中看）：含 C 的 $124$ 种里，同时还含 A 或 E 的有 $60+58-34=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（求单独区域）：仅含 C 的有 $124-84=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：对某批食物调查：同时含 A 和 C 的有 $60$ 种，同时含 A 和 E 的有 $52$ 种，同时含 C 和 E 的有 $58$ 种，三种都含的有 $34$ 种。请问：恰好含其中两种维生素的食物有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剥出「恰含 A、C」）：同时含 A、C 的 $60$ 种里含着三种都含的 $34$ 种，所以恰含 A、C 两种的有 $60-34=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（另两块同理）：恰含 A、E 的有 $52-34=\underline{\quad}$（种），恰含 C、E 的有 $58-34=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（三块相加）：恰含两种的共 $26+18+24=\underline{\quad}$（种）。
32. 【原题 ch04-xingqu-10】操场上有 $50$ 名同学在跑步或跳绳，其中女生有 $18$ 名，跳绳的同学有 $31$ 名，跑步的男生有 $14$ 名。跳绳的女生有多少名？
详细思路
是哪类问题：这是「二维分类计数（列表法）」类：同学同时按「男/女」和「跑步/跳绳」两个维度分类，可列 $2\times2$ 的表格逐格填。
关键切入点：两个维度各分两类，共四格：跑步男、跑步女、跳绳男、跳绳女。已知总人数、女生数可得男生数；男生这一行里已知跑步男，可得跳绳男；跳绳这一列里已知跳绳总数，就能得到跳绳女。
方法概述：先补出男生总数，再在男生行中求跳绳男，最后在跳绳列中求跳绳女。
规范步骤：
  1. 求男生人数：$50-18=32$（人）（总数减女生）
  2. 在男生这一行求跳绳男：$32-14=18$（人）（男生分跑步与跳绳）
  3. 在跳绳这一列求跳绳女：$31-18=13$（名）（跳绳分男与女）
  4. 写出答案：$13$ 名
第一套
题目：操场上有 $120$ 名同学在跑步或跳绳，其中女生有 $46$ 名，跳绳的同学有 $73$ 名，跑步的男生有 $32$ 名。跳绳的女生有多少名？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先补男生总数）：$120-46=\underline{\quad}$（名）男生。
  2. 第 2 步（在男生这一行里分）：男生分跑步与跳绳两类，跳绳的男生有 $74-32=\underline{\quad}$（名）。
  3. 第 3 步（在跳绳这一列里分）：跳绳的共 $73$ 名，所以跳绳的女生有 $73-42=\underline{\quad}$（名）。
第二套
题目：某公司 $120$ 名员工上班只乘地铁或公交，其中女员工有 $46$ 名，乘公交的有 $73$ 名，乘地铁的男员工有 $32$ 名。乘公交的女员工有多少名？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先补男员工总数）：$120-46=\underline{\quad}$（名）。
  2. 第 2 步（在男员工这一行里分）：乘公交的男员工有 $74-32=\underline{\quad}$（名）。
  3. 第 3 步（在公交这一列里分）：$73-42=\underline{\quad}$（名）。
第三套
题目：操场上有 $120$ 名同学在跑步或跳绳，其中女生有 $46$ 名，跳绳的同学有 $73$ 名，跑步的男生有 $32$ 名。跑步的女生有多少名？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求跑步总人数）：$120-73=\underline{\quad}$（名）在跑步。
  2. 第 2 步（在跑步这一列里分）：跑步的女生有 $47-32=\underline{\quad}$（名）。
第三套
题目：操场上有 $130$ 名同学，其中有 $10$ 名同学既没跑步也没跳绳，其余同学都在跑步或跳绳（每人只做一项）。参加活动的同学中女生有 $46$ 名，跳绳的有 $73$ 名，跑步的男生有 $32$ 名。跳绳的女生有多少名？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补集求参加活动的人数）：$130-10=\underline{\quad}$（名）在跑步或跳绳。
  2. 第 2 步（求男生总数）：$120-46=\underline{\quad}$（名）男生。
  3. 第 3 步（男生行）：跳绳的男生有 $74-32=\underline{\quad}$（名）。
  4. 第 4 步（跳绳列）：跳绳的女生有 $73-42=\underline{\quad}$（名）。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch04-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（设未知数）：设爱吃白菜的有 $b$ 只，则爱吃萝卜的有 $2b$ 只。因为每只兔子至少爱吃一种，所以不爱吃萝卜的有 $234-2b$ 只，不爱吃白菜的有 $234-b$ 只。
    2. 第 2 步（列方程）：由「不爱吃白菜的是不爱吃萝卜的 $5$ 倍」得 $234-b=5(234-2b)$，去括号整理得 $9b=234\times 5-234=\underline{936}$。
    3. 第 3 步（解方程）：$b=936\div 9=\underline{104}$（只）爱吃白菜，爱吃萝卜的有 $2\times 104=\underline{208}$（只）。
    4. 第 4 步（容斥求交集）：$208+104-234=\underline{78}$（只）两样都爱吃。
    最终答案：$78$ 只。
  2. 1. ch04-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（设未知数）：设看晚报的有 $b$ 人，则看早报的有 $2b$ 人；不看早报的有 $234-2b$ 人，不看晚报的有 $234-b$ 人。
    2. 第 2 步（列方程）：$234-b=5(234-2b)$，整理得 $9b=234\times 5-234=\underline{936}$。
    3. 第 3 步（解方程）：$b=936\div 9=\underline{104}$（人），看早报的有 $2\times 104=\underline{208}$（人）。
    4. 第 4 步（容斥求交集）：$208+104-234=\underline{78}$（人）。
    最终答案：$78$ 人。
  3. 1. ch04-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程求爱吃白菜的只数）：设爱吃白菜的有 $b$ 只，由 $234-b=5(234-2b)$ 得 $9b=\underline{936}$，$b=\underline{104}$（只）。
    2. 第 2 步（直接用补集）：只爱吃萝卜的就是不爱吃白菜的，$234-104=\underline{130}$（只）。
    最终答案：$130$ 只。
  4. 1. ch04-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：设爱吃白菜的有 $b$ 只，由 $234-b=5(234-2b)$ 得 $9b=\underline{936}$，$b=\underline{104}$（只）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：爱吃萝卜的有 $2\times 104=\underline{208}$（只）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问，容斥求交集）：$208+104-234=\underline{78}$（只）。
    4. 第 4 步（第 (3) 问，求单独区域）：只爱吃白菜的有 $104-78=\underline{26}$（只）；检验：$130+78+26=\underline{234}$，与总数相符。
    最终答案：（1）$208$ 只；（2）$78$ 只；（3）$26$ 只。
  5. 2. ch04-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（翻译条件）：把画分成①五年级、②六年级、③其他三块。「不是六年级的 $40$ 幅」即 ①$+$③$=40$，「不是五年级的 $34$ 幅」即 ②$+$③$=34$，「五、六年级共 $62$ 幅」即 ①$+$②$=62$。
    2. 第 2 步（三式相加）：每一块都恰好被加了两次，$40+34+62=\underline{136}$，它等于总数的 $2$ 倍。
    3. 第 3 步（求总数）：$136\div 2=\underline{68}$（幅）。
    4. 第 4 步（求其他年级）：$68-62=\underline{6}$（幅）。
    最终答案：$6$ 幅。
  6. 2. ch04-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（翻译条件）：分成①编程组、②机器人组、③其他三块，得 ①$+$③$=40$，②$+$③$=34$，①$+$②$=62$。
    2. 第 2 步（三式相加）：$40+34+62=\underline{136}$，等于总数的 $2$ 倍。
    3. 第 3 步（求总数）：$136\div 2=\underline{68}$（件）。
    4. 第 4 步（求其他小组）：$68-62=\underline{6}$（件）。
    最终答案：$6$ 件。
  7. 2. ch04-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（三式相加求总数）：$40+34+62=\underline{136}$，总数为 $136\div 2=\underline{68}$（幅）。
    2. 第 2 步（求其他年级）：$68-62=\underline{6}$（幅）。
    3. 第 3 步（求五年级）：「不是六年级的 $40$ 幅」由五年级与其他年级组成，所以五年级有 $40-6=\underline{34}$（幅）。
    最终答案：$34$ 幅。
  8. 2. ch04-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（先求五、六年级各自的幅数）：「不是六年级的 $40$ 幅」中除去其他年级就是五年级，所以六年级有 $68-40=\underline{28}$（幅），五年级有 $68-34=\underline{34}$（幅）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：其他年级的画 $=68-28-34=\underline{6}$（幅）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：$34-28=\underline{6}$（幅），也可直接由 $40-34$ 得到。
    最终答案：（1）$6$ 幅；（2）多 $6$ 幅。
  9. 3. ch04-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（分别求两项人数）：参加数学的有 $210+150=\underline{360}$（人），参加作文的有 $170+190=\underline{360}$（人）。
    2. 第 2 步（容斥求两项都参加的人数）：$360+360-560=\underline{160}$（人）。
    3. 第 3 步（用相等条件求差）：只参加数学的男生 $=210-③$，只参加作文的女生 $=190-⑤$，两者相等，所以 $③-⑤=210-190=\underline{20}$（人）。
    4. 第 4 步（和差问题）：③$+$⑤$=160$，所以 $⑤=(160-20)\div 2=\underline{70}$（人）。
    5. 第 5 步（求只参加数学的女生）：参加数学的女生共 $150$ 人，$150-70=\underline{80}$（人）。
    最终答案：$80$ 人。
  10. 3. ch04-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（分别求两项人数）：$210+150=\underline{360}$（人），$170+190=\underline{360}$（人）。
    2. 第 2 步（容斥求两项都报名的人数）：$360+360-560=\underline{160}$（人）。
    3. 第 3 步（相等条件求差）：$③-⑤=210-190=\underline{20}$（人）。
    4. 第 4 步（和差问题）：$⑤=(160-20)\div 2=\underline{70}$（人）。
    5. 第 5 步（求答案）：$150-70=\underline{80}$（人）。
    最终答案：$80$ 人。
  11. 3. ch04-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥求两项都参加的人数）：$210+150+170+190-560=\underline{160}$（人）。
    2. 第 2 步（相等条件与和差问题）：$③-⑤=210-190=\underline{20}$，$⑤=(160-20)\div 2=\underline{70}$（人）。
    3. 第 3 步（求只参加作文的女生）：参加作文的女生共 $190$ 人，$190-70=\underline{120}$（人）。
    最终答案：$120$ 人。
  12. 3. ch04-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥求两项都参加的人数）：$210+150+170+190-560=\underline{160}$（人）。
    2. 第 2 步（相等条件给出差）：$③-⑤=210-190=\underline{20}$（人）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问，和差问题求较大数）：$③=(160+20)\div 2=\underline{90}$（人）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：只参加数学的男生有 $210-90=\underline{120}$（人）。
    5. 第 5 步（验证）：$⑤=160-90=\underline{70}$（人），只参加作文的女生有 $190-70=\underline{120}$（人），两者相等。
    最终答案：（1）$90$ 人；（2）$120$ 人，等于只参加作文竞赛的女生人数 $120$ 人。
  13. 4. ch04-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（认清两次动作的区域）：爸爸拿走的 $51$ 张都是「有爸爸像但原先不在爸爸相册」的，妈妈拿走的 $68$ 张都是「有妈妈像但原先不在妈妈相册」的。
    2. 第 2 步（比较）：两块中相同的部分互相抵消，差就是两种合影的张数差，$68-51=\underline{17}$（张）。
    3. 第 3 步（判断谁多）：因为 $68>51$，所以妈妈和小高的合影多 $\underline{17}$ 张。
    最终答案：妈妈和小高的合影多，多 $17$ 张。
  14. 4. ch04-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（认清两次动作的区域）：丙取走的 $51$ 张都是「有丙像但原先不在丙的文件夹」的，乙取走的 $68$ 张都是「有乙像但原先不在乙的文件夹」的。
    2. 第 2 步（比较）：$68-51=\underline{17}$（张）。
    3. 第 3 步（判断谁多）：乙和甲的合影多 $\underline{17}$ 张。
    最终答案：乙和甲的合影多，多 $17$ 张。
  15. 4. ch04-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（认清两次动作的区域）：爸爸拿走的 $68$ 张对应「爸爸与小高的合影」那一侧，妈妈拿走的 $51$ 张对应「妈妈与小高的合影」那一侧。
    2. 第 2 步（比较）：$68-51=\underline{17}$（张）。
    3. 第 3 步（判断谁多）：这次是爸爸和小高的合影多 $\underline{17}$ 张。
    最终答案：爸爸和小高的合影多，多 $17$ 张。
  16. 4. ch04-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（补集求并集）：至少有一人出现的照片有 $200-15=\underline{185}$（张）。
    2. 第 2 步（用三对象容斥反解两两交集之和）：由 $120+110+95-（两两交集之和）+40=185$，先算 $120+110+95=\underline{325}$，再得两两交集之和 $=325+40-185=\underline{180}$（张）。
    3. 第 3 步（去掉三人合影被重复计的部分）：三人都有的 $40$ 张在三个两两交集里各被算了一次，共 $3$ 次，所以恰好两人出现的有 $180-40\times 3=\underline{60}$（张）。
    最终答案：$60$ 张。
  17. 5. ch04-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（假设 $100$ 人，算做对总道数）：$88+90+85+79+86=\underline{428}$（道）。
    2. 第 2 步（算做错总道数）：五道题共 $5\times 100=\underline{500}$（道次），所以做错 $500-428=\underline{72}$（道）。
    3. 第 3 步（最多合格率）：$72$ 道错题可以分散到 $100$ 人身上，让每人至多错 $2$ 道，于是人人合格，最多合格率是 $\underline{100}\%$。
    4. 第 4 步（最少合格率）：每个不合格的人至少错 $3$ 道，所以不合格的人最多 $72\div 3=\underline{24}$（人），合格的至少 $100-24=\underline{76}$（人），即最少合格率 $76\%$。
    最终答案：最多 $100\%$；最少 $76\%$。
  18. 5. ch04-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（假设 $100$ 件，算合格项总数）：$88+90+85+79+86=\underline{428}$（项）。
    2. 第 2 步（算不合格项总数）：$5\times 100=\underline{500}$（项次），不合格 $500-428=\underline{72}$（项）。
    3. 第 3 步（最多非废品率）：$72$ 项不合格可分散到 $100$ 件产品上，每件至多 $2$ 项不合格，最多 $\underline{100}\%$。
    4. 第 4 步（最少非废品率）：废品最多 $72\div 3=\underline{24}$（件），非废品至少 $100-24=\underline{76}$（件）。
    最终答案：最多 $100\%$；最少 $76\%$。
  19. 5. ch04-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（假设 $100$ 人，算做对总道数）：$88+92+85+79+86+92=\underline{522}$（道）。
    2. 第 2 步（算做错总道数）：$6\times 100=\underline{600}$（道次），做错 $600-522=\underline{78}$（道）。
    3. 第 3 步（最少合格率）：不合格的人最多 $78\div 3=\underline{26}$（人），合格的至少 $100-26=\underline{74}$（人），即 $74\%$。
    最终答案：最少 $74\%$。
  20. 5. ch04-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（算做错总道数）：$88+90+85+79+86=\underline{428}$（道）做对，$5\times 100-428=\underline{72}$（道）做错。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：每个不合格者至少错 $3$ 道，不合格最多 $72\div 3=\underline{24}$（人），合格最少 $100-24=\underline{76}$（人）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问，标准变严）：每个不合格者只需错 $2$ 道，不合格最多 $72\div 2=\underline{36}$（人），合格最少 $100-36=\underline{64}$（人）。
    最终答案：（1）最少 $76\%$；（2）最少 $64\%$。
  21. 6. ch04-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（写出容斥式常数部分）：$40+55+48=\underline{143}$，$143-25-28-30=\underline{60}$，所以总人数 $=60+三科都参加的人数$。
    2. 第 2 步（想清方向）：三科都参加的人数越少，总人数越少，所以要找它的最小值。
    3. 第 3 步（在各集合内部估界）：在语文的 $40$ 人中，还参加其他科的有 $25+28-三交 \le 40$，得三交 $\ge 25+28-40=\underline{13}$；在数学的 $55$ 人中得三交 $\ge 25+30-55=\underline{0}$；在英语的 $48$ 人中得三交 $\ge 28+30-48=\underline{10}$。三个下界取最大的，三交最少是 $\underline{13}$。
    4. 第 4 步（代入）：总人数最少 $60+13=\underline{73}$（人）。
    最终答案：最少 $73$ 人。
  22. 6. ch04-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（容斥式常数部分）：$40+55+48=\underline{143}$，$143-25-28-30=\underline{60}$。
    2. 第 2 步（估三交的下界）：在书法的 $40$ 人中得三交 $\ge 25+28-40=\underline{13}$；在绘画的 $55$ 人中得 $\ge 25+30-55=\underline{0}$；在舞蹈的 $48$ 人中得 $\ge 28+30-48=\underline{10}$，取最大的 $\underline{13}$。
    3. 第 3 步（代入）：$60+13=\underline{73}$（人）。
    最终答案：最少 $73$ 人。
  23. 6. ch04-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥式常数部分）：$40+55+48-25-28-30=\underline{60}$，总人数 $=60+三交$。
    2. 第 2 步（求三交的上界）：三交不能超过任何一个两两交集，最小的两两交集是 $\underline{25}$（人）。
    3. 第 3 步（代入）：总人数最多 $60+25=\underline{85}$（人）。
    最终答案：最多 $85$ 人。
  24. 6. ch04-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥式常数部分）：$40+55+48-25-28-30=\underline{60}$。
    2. 第 2 步（估三交下界）：三个下界分别为 $25+28-40=\underline{13}$、$25+30-55=\underline{0}$、$28+30-48=\underline{10}$，取最大的 $13$。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：参加竞赛的总人数最少 $60+13=\underline{73}$（人）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问取补集）：参加的最少时未参加的最多，$90-73=\underline{17}$（人）。
    最终答案：（1）最少 $73$ 人；（2）最多 $17$ 人。
  25. 8. ch04-chaoyue-08 · 第一套
    1. 第 1 步（转化）：木棍长 $210$ 厘米，第 $k$ 厘米处有刻度当且仅当 $k$ 是 $2,3,5,7$ 之一的倍数，所以先数 $1\sim 210$ 中这样的数。
    2. 第 2 步（单个倍数）：$210\div 2=\underline{105}$，$210\div 3=\underline{70}$，$210\div 5=\underline{42}$，$210\div 7=\underline{30}$，四者之和为 $\underline{247}$。
    3. 第 3 步（两两公倍数）：$6,10,14,15,21,35$ 的倍数个数分别是 $35,21,15,14,10,6$，共 $\underline{101}$。
    4. 第 4 步（三三公倍数）：$30,42,70,105$ 的倍数个数分别是 $7,5,3,2$，共 $\underline{17}$；四者的公倍数 $210$ 的倍数有 $\underline{1}$ 个。
    5. 第 5 步（四对象容斥）：刻度位置共 $247-101+17-1=\underline{162}$ 个（含右端点 $210$）。
    6. 第 6 步（换算段数）：右端点不是切口，切口有 $162-1=\underline{161}$ 个，段数 $161+1=\underline{162}$（段）。
    最终答案：$162$ 段。
  26. 8. ch04-chaoyue-08 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：彩带长 $210$ 厘米，第 $k$ 厘米处有记号当且仅当 $k$ 是 $2,3,5,7$ 之一的倍数。
    2. 第 2 步（单个倍数）：$210\div 2=\underline{105}$，$210\div 3=\underline{70}$，$210\div 5=\underline{42}$，$210\div 7=\underline{30}$，共 $\underline{247}$。
    3. 第 3 步（两两公倍数）：$35+21+15+14+10+6=\underline{101}$。
    4. 第 4 步（三三公倍数与四者公倍数）：$7+5+3+2=\underline{17}$，$210$ 的倍数有 $\underline{1}$ 个。
    5. 第 5 步（四对象容斥）：$247-101+17-1=\underline{162}$ 个记号（含右端点）。
    6. 第 6 步（换算段数）：切口 $162-1=\underline{161}$ 个，段数 $161+1=\underline{162}$（段）。
    最终答案：$162$ 段。
  27. 8. ch04-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（单个倍数）：$210\div 2=\underline{105}$，$210\div 3=\underline{70}$，$210\div 5=\underline{42}$。
    2. 第 2 步（两两与三者公倍数）：$6$ 的倍数 $210\div 6=\underline{35}$，$10$ 的倍数 $210\div 10=\underline{21}$，$15$ 的倍数 $210\div 15=\underline{14}$，$30$ 的倍数 $210\div 30=\underline{7}$。
    3. 第 3 步（三对象容斥）：刻度位置共 $105+70+42-35-21-14+7=\underline{154}$ 个（含右端点）。
    4. 第 4 步（换算段数）：切口 $154-1=\underline{153}$ 个，段数 $153+1=\underline{154}$（段）。
    最终答案：$154$ 段。
  28. 8. ch04-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（单个倍数之和）：$105+70+42+30=\underline{247}$。
    2. 第 2 步（两两、三三、四者公倍数）：两两公倍数共 $35+21+15+14+10+6=\underline{101}$，三三公倍数共 $7+5+3+2=\underline{17}$，四者公倍数有 $\underline{1}$ 个。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：刻度位置共 $247-101+17-1=\underline{162}$ 个（含右端点），切口 $161$ 个，段数 $161+1=\underline{162}$（段）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：被划不止一次的位置就是至少是两个间隔的公倍数的位置。在两两公倍数的 $101$ 个中，三个间隔的公倍数被算了 $3$ 次、四个间隔的公倍数被算了 $6$ 次，修正后为 $101-2\times 17+3\times 1=\underline{70}$（个）。
    最终答案：（1）$162$ 段；（2）$70$ 个。
  29. 9. ch04-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（先相加）：$38+45=\underline{83}$（人次）。
    2. 第 2 步（减去重复）：既爱茶又爱咖啡的 $17$ 人被数了两次，减掉一次，$83-17=\underline{66}$（人）。
    最终答案：$66$ 人。
  30. 9. ch04-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（先相加）：$38+45=\underline{83}$（人次）。
    2. 第 2 步（减去重复）：$83-17=\underline{66}$（人）。
    最终答案：$66$ 人。
  31. 9. ch04-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（先相加）：$38+45=\underline{83}$（人次）。
    2. 第 2 步（比较人次与人数）：多出来的人次正是被数了两次的人，$83-66=\underline{17}$（人）两样都爱。
    最终答案：$17$ 人。
  32. 9. ch04-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（补集求并集）：至少爱喝一种的有 $80-14=\underline{66}$（人）。
    2. 第 2 步（先相加）：$38+45=\underline{83}$（人次）。
    3. 第 3 步（反解交集）：$83-66=\underline{17}$（人）两样都爱。
    最终答案：$17$ 人。
  33. 10. ch04-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（容斥求并集）：至少被一人吃过的有 $34+25-11=\underline{48}$（道）。
    2. 第 2 步（取补集）：两人都没吃过的有 $60-48=\underline{12}$（道）。
    最终答案：$12$ 道。
  34. 10. ch04-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（容斥求并集）：至少被一人演奏过的有 $34+25-11=\underline{48}$（首）。
    2. 第 2 步（取补集）：$60-48=\underline{12}$（首）。
    最终答案：$12$ 首。
  35. 10. ch04-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥求并集）：至少被一人吃过的有 $34+25-11=\underline{48}$（道）。
    2. 第 2 步（去掉交集）：恰好被一人吃过的 $=48-11=\underline{37}$（道）。
    最终答案：$37$ 道。
  36. 10. ch04-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（三对象容斥先相加）：$34+25+20=\underline{79}$（道次）。
    2. 第 2 步（减去两两重复）：$79-11-9-8=\underline{51}$。
    3. 第 3 步（加回三交）：$51+5=\underline{56}$（道）至少被一人吃过。
    4. 第 4 步（取补集）：$60-56=\underline{4}$（道）三人都没吃过。
    最终答案：$4$ 道。
  37. 11. ch04-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（补集转化）：没参加数学小组的有 $52$ 人，所以参加数学小组的有 $90-52=\underline{38}$（人）。
    2. 第 2 步（容斥求并集）：至少参加一个小组的有 $38+45-22=\underline{61}$（人）。
    3. 第 3 步（再减一次交集）：只参加一个小组的有 $61-22=\underline{39}$（人）。
    最终答案：$39$ 人。
  38. 11. ch04-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（补集转化）：有电工证的有 $90-52=\underline{38}$（人）。
    2. 第 2 步（容斥求并集）：至少有一种证的有 $38+45-22=\underline{61}$（人）。
    3. 第 3 步（再减一次交集）：只有一种证的有 $61-22=\underline{39}$（人）。
    最终答案：$39$ 人。
  39. 11. ch04-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（补集转化）：参加数学小组的有 $90-52=\underline{38}$（人）。
    2. 第 2 步（容斥求并集）：至少参加一个小组的有 $38+45-22=\underline{61}$（人）。
    3. 第 3 步（再取补集）：两个都没参加的有 $90-61=\underline{29}$（人）。
    最终答案：$29$ 人。
  40. 11. ch04-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（补集转化）：参加数学小组的有 $90-52=\underline{38}$（人）。
    2. 第 2 步（列式）：设两个都参加的有 $x$ 人，只参加一个的人数 $=(38+45-x)-x$，先算 $38+45=\underline{83}$。
    3. 第 3 步（解方程）：$83-2x=39$，所以 $2x=83-39=\underline{44}$，$x=44\div 2=\underline{22}$（人）。
    最终答案：$22$ 人。
  41. 12. ch04-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（分别数倍数）：$3$ 的倍数有 $300\div 3=\underline{100}$（个），$5$ 的倍数有 $300\div 5=\underline{60}$（个）。
    2. 第 2 步（找重复）：同时被 $3,5$ 整除就是被 $\underline{15}$ 整除，这样的数有 $300\div 15=\underline{20}$（个）。
    3. 第 3 步（容斥求并）：能被 $3$ 或 $5$ 整除的有 $100+60-20=\underline{140}$（个）。
    4. 第 4 步（取补集）：$300-140=\underline{160}$（个）。
    最终答案：$160$ 个。
  42. 12. ch04-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（分别数倍数）：$3$ 的倍数有 $300\div 3=\underline{100}$（张），$5$ 的倍数有 $300\div 5=\underline{60}$（张）。
    2. 第 2 步（找重复）：既是 $3$ 又是 $5$ 的倍数就是 $\underline{15}$ 的倍数，有 $300\div 15=\underline{20}$（张）。
    3. 第 3 步（容斥求并）：$100+60-20=\underline{140}$（张）。
    4. 第 4 步（取补集）：$300-140=\underline{160}$（张）。
    最终答案：$160$ 张。
  43. 12. ch04-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分别数倍数）：$300\div 3=\underline{100}$（个），$300\div 5=\underline{60}$（个）。
    2. 第 2 步（减去重复）：$15$ 的倍数被数了两次，有 $300\div 15=\underline{20}$ 个，所以能被 $3$ 或 $5$ 整除的有 $100+60-20=\underline{140}$（个）。
    最终答案：$140$ 个。
  44. 12. ch04-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分别数倍数）：$2$ 的倍数 $300\div 2=\underline{150}$（个），$3$ 的倍数 $300\div 3=\underline{100}$（个），$5$ 的倍数 $300\div 5=\underline{60}$（个）。
    2. 第 2 步（数两两公倍数）：$6$ 的倍数 $300\div 6=\underline{50}$（个），$10$ 的倍数 $300\div 10=\underline{30}$（个），$15$ 的倍数 $300\div 15=\underline{20}$（个）。
    3. 第 3 步（数三者公倍数）：同时被 $2,3,5$ 整除就是 $30$ 的倍数，有 $300\div 30=\underline{10}$（个）。
    4. 第 4 步（三对象容斥）：$150+100+60-50-30-20+10=\underline{220}$（个）能被其中至少一个整除。
    5. 第 5 步（取补集）：$300-220=\underline{80}$（个）。
    最终答案：$80$ 个。
  45. 13. ch04-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（先算男生总数）：男生中两项都参加的被数了两次，$300+250-220=\underline{330}$（人）是男生总数。
    2. 第 2 步（补出女生总数）：$620-330=\underline{290}$（人）是女生总数。
    3. 第 3 步（女生内部分区）：女生中有 $180$ 人参加了长跑，所以只参加游泳的女生有 $290-180=\underline{110}$（人）。
    最终答案：$110$ 人。
  46. 13. ch04-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（先算男员工总数）：$300+250-220=\underline{330}$（人）。
    2. 第 2 步（补出女员工总数）：$620-330=\underline{290}$（人）。
    3. 第 3 步（女员工内部分区）：$290-180=\underline{110}$（人）。
    最终答案：$110$ 人。
  47. 13. ch04-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（先算男生总数）：$300+250-220=\underline{330}$（人）。
    2. 第 2 步（补出女生总数）：$620-330=\underline{290}$（人）。
    3. 第 3 步（女生内部分区）：女生中有 $150$ 人参加了游泳，所以只参加长跑的女生有 $290-150=\underline{140}$（人）。
    最终答案：$140$ 人。
  48. 13. ch04-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（先算男生总数）：$300+250-220=\underline{330}$（人）。
    2. 第 2 步（补出女生总数）：$620-330=\underline{290}$（人）。
    3. 第 3 步（女生内部再用一次容斥）：女生中参加长跑 $180$ 人、参加游泳 $150$ 人，合计 $180+150=\underline{330}$（人次），比女生总数多出的部分就是两项都参加的女生，$330-290=\underline{40}$（人）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：只参加游泳的女生有 $150-40=\underline{110}$（人）。
    最终答案：（1）$40$ 人；（2）$110$ 人。
  49. 14. ch04-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（判断是否重叠）：三块分别是「爱萝卜但不爱白菜」「爱白菜但不爱青草」「爱青草但不爱萝卜」，它们两两不重叠，且都不含「三种都爱」的那部分。
    2. 第 2 步（三块先相加）：$26+41+58=\underline{125}$（只）。
    3. 第 3 步（补上中心块）：再加上三种都爱的 $9$ 只，$125+9=\underline{134}$（只）。
    最终答案：$134$ 只。
  50. 14. ch04-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（判断是否重叠）：三块两两不重叠，且都不含「三种都订」的那部分。
    2. 第 2 步（三块先相加）：$26+41+58=\underline{125}$（人）。
    3. 第 3 步（补上中心块）：$125+9=\underline{134}$（人）。
    最终答案：$134$ 人。
  51. 14. ch04-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（三块先相加）：$26+41+58=\underline{125}$（只）。
    2. 第 2 步（反求中心块）：这三块加上「三种都爱」正好是全部，所以三种都爱的有 $134-125=\underline{9}$（只）。
    最终答案：$9$ 只。
  52. 14. ch04-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（补集求出至少爱吃一种的）：$150-16=\underline{134}$（只）至少爱吃一种。
    2. 第 2 步（三块先相加）：$26+41+58=\underline{125}$（只）。
    3. 第 3 步（反求中心块）：$134-125=\underline{9}$（只）三种都爱吃。
    最终答案：$9$ 只。
  53. 15. ch04-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（先相加）：$120+88+75=\underline{283}$（只次）。
    2. 第 2 步（减去两两交集）：$283-34-29-21=\underline{199}$。
    3. 第 3 步（加回三交）：三人都买过的被减了 $3$ 次、多减 $1$ 次，加回来 $199+13=\underline{212}$（只）。
    最终答案：$212$ 只。
  54. 15. ch04-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（先相加）：$120+88+75=\underline{283}$（种次）。
    2. 第 2 步（减去两两交集）：$283-34-29-21=\underline{199}$。
    3. 第 3 步（加回三交）：$199+13=\underline{212}$（种）。
    最终答案：$212$ 种。
  55. 15. ch04-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（算出容斥式的已知部分）：$120+88+75-34-29-21=\underline{199}$。
    2. 第 2 步（反解三交）：$212-199=\underline{13}$（只）。
    最终答案：$13$ 只。
  56. 15. ch04-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥求并集）：$120+88+75=\underline{283}$，减去两两交集 $283-34-29-21=\underline{199}$，加回三交 $199+13=\underline{212}$（只）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问取补集）：$260-212=\underline{48}$（只）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：张经理买的 $120$ 只中，王或李也买过的有 $34+21-13=\underline{42}$（只），所以只有张经理买过的有 $120-42=\underline{78}$（只）。
    最终答案：（1）$48$ 只；（2）$78$ 只。
  57. 16. ch04-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（补集求并集）：至少有一位同伴参与的难有 $120-5=\underline{115}$（难）。
    2. 第 2 步（列三对象容斥式）：$110+96+90-92-88-85+四人共渡=115$，先算已知部分 $110+96+90=\underline{296}$，$296-92-88-85=\underline{31}$。
    3. 第 3 步（反解）：四人共渡的难数为 $115-31=\underline{84}$（难）。
    最终答案：$84$ 难。
  58. 16. ch04-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（补集求并集）：至少有一位队员参与的任务有 $120-5=\underline{115}$（项）。
    2. 第 2 步（列三对象容斥式）：$110+96+90=\underline{296}$，$296-92-88-85=\underline{31}$。
    3. 第 3 步（反解）：$115-31=\underline{84}$（项）。
    最终答案：$84$ 项。
  59. 16. ch04-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（补集求并集）：至少有一位同伴参与的难有 $120-5=\underline{115}$（难）。
    2. 第 2 步（把与甲一起的难数当未知数）：$与甲+96+90-92-88-85+84=115$，先算式中的已知部分 $96+90-92-88-85+84=\underline{5}$。
    3. 第 3 步（反解）：与甲一起渡过的难有 $115-5=\underline{110}$（难）。
    最终答案：$110$ 难。
  60. 16. ch04-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（补集求并集）：$120-5=\underline{115}$（难）至少有一位同伴参与。
    2. 第 2 步（列式反解第 (1) 问）：$110+96+90-92-88-85=\underline{31}$，所以四人共渡 $115-31=\underline{84}$（难）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问在甲内部分区）：与甲一起的 $110$ 难中，乙或丙也参与的有 $92+88-84=\underline{96}$（难）（其中重叠部分正是四人共渡的 $84$ 难）。
    4. 第 4 步（求单独区域）：只有甲陪同的有 $110-96=\underline{14}$（难）。
    最终答案：（1）$84$ 难；（2）$14$ 难。
  61. 17. ch04-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（剥出只订两种的人）：至少订两种的 $700$ 人里含着三种都订的 $180$ 人，所以只订两种的有 $700-180=\underline{520}$（人）。
    2. 第 2 步（算总人次）：$800+650+520=\underline{1970}$（人次）。
    3. 第 3 步（扣掉多算次数）：只订两种的每人多算 $1$ 次共 $520$ 次，三种都订的每人多算 $2$ 次共 $180\times 2=\underline{360}$ 次，所以订报人数为 $1970-520-360=\underline{1090}$（人）。
    4. 第 4 步（取补集）：没订报的有 $2000-1090=\underline{910}$（人）。
    最终答案：$910$ 人。
  62. 17. ch04-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（剥出只订两种的人）：$700-180=\underline{520}$（人）。
    2. 第 2 步（算总人次）：$800+650+520=\underline{1970}$（人次）。
    3. 第 3 步（扣掉多算次数）：三种都订的多算 $180\times 2=\underline{360}$ 次，订奶（浆）的人数为 $1970-520-360=\underline{1090}$（人）。
    4. 第 4 步（取补集）：$2000-1090=\underline{910}$（人）。
    最终答案：$910$ 人。
  63. 17. ch04-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（求只订两种的人）：$700-180=\underline{520}$（人）。
    2. 第 2 步（求订报总人数）：总人次 $800+650+520=\underline{1970}$，扣掉多算的次数得 $1970-520-180\times 2=\underline{1090}$（人）订了报。
    3. 第 3 步（去掉至少订两种的）：只订一种的有 $1090-700=\underline{390}$（人）。
    最终答案：$390$ 人。
  64. 17. ch04-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（算总人次）：$800+650+520=\underline{1970}$（人次）。
    2. 第 2 步（按被计次数拆开）：只订一种的算 $1$ 次共 $390$ 次，只订两种的算 $2$ 次共 $520\times 2=\underline{1040}$ 次，设三种都订的有 $x$ 人算 $3$ 次，得 $390+1040+3x=1970$。
    3. 第 3 步（解方程）：$3x=1970-390-1040=\underline{540}$，$x=540\div 3=\underline{180}$（人）。
    最终答案：$180$ 人。
  65. 18. ch04-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（统一份数）：把三项都参加的人数看作 $1$ 份，则文艺小组是 $7$ 份，既参加数学又参加文艺的是 $7\div 3.5=\underline{2}$ 份，既参加文艺又参加语文的是 $1\times 2=\underline{2}$ 份。
    2. 第 2 步（求只参加文艺的份数）：从文艺的 $7$ 份中去掉两块交集，三项都参加的 $1$ 份被去掉两次要补回一次，$7-2-2+1=\underline{4}$（份）。
    3. 第 3 步（容斥求参加数学或语文的人数）：$40+34-16=\underline{58}$（人）。
    4. 第 4 步（求只参加文艺的实际人数）：$78-58=\underline{20}$（人）。
    5. 第 5 步（份数还原）：$1$ 份 $=20\div 4=\underline{5}$（人），文艺小组有 $5\times 7=\underline{35}$（人）。
    最终答案：$35$ 人。
  66. 18. ch04-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（统一份数）：三项都参加的看作 $1$ 份，焊工班是 $7$ 份，车工与焊工的交是 $7\div 3.5=\underline{2}$ 份，焊工与钳工的交是 $1\times 2=\underline{2}$ 份。
    2. 第 2 步（求只参加焊工的份数）：$7-2-2+1=\underline{4}$（份）。
    3. 第 3 步（容斥求参加车工或钳工的人数）：$40+34-16=\underline{58}$（人）。
    4. 第 4 步（求只参加焊工的实际人数）：$78-58=\underline{20}$（人）。
    5. 第 5 步（份数还原）：$1$ 份 $=20\div 4=\underline{5}$（人），焊工班有 $5\times 7=\underline{35}$（人）。
    最终答案：$35$ 人。
  67. 18. ch04-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（统一份数）：三项都参加的看作 $1$ 份，文艺小组是 $8$ 份，数学与文艺的交是 $8\div 4=\underline{2}$ 份，文艺与语文的交是 $1\times 2=\underline{2}$ 份。
    2. 第 2 步（求只参加文艺的份数）：$8-2-2+1=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步（容斥）：参加数学或语文的有 $40+34-16=\underline{58}$（人），只参加文艺的有 $78-58=\underline{20}$（人）。
    4. 第 4 步（份数还原）：$1$ 份 $=20\div 5=\underline{4}$（人），文艺小组有 $4\times 8=\underline{32}$（人）。
    最终答案：$32$ 人。
  68. 18. ch04-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（统一份数并求只参加文艺的份数）：三项都参加记 $1$ 份，数∩文 $=7\div 3.5=\underline{2}$ 份，文∩语 $=2$ 份，只参加文艺 $=7-2-2+1=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步（求 $1$ 份是多少人）：参加数学或语文的有 $40+34-16=\underline{58}$（人），只参加文艺的有 $78-58=\underline{20}$（人），所以 $1$ 份 $=20\div 4=\underline{5}$（人），即第 (1) 问的答案。
    3. 第 3 步（第 (2) 问在数学圈里分区）：数∩语 $=16$ 人，数∩文 $=2$ 份 $=\underline{10}$（人），三项都参加的 $5$ 人被减了两次要补回一次，只参加数学的有 $40-16-10+5=\underline{19}$（人）。
    最终答案：（1）$5$ 人；（2）$19$ 人。
  69. 19. ch04-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（算总份数）：$14+17+19=\underline{50}$（份）奖品。
    2. 第 2 步（认出每人上限）：每人最多参加两项，所以一个人最多拿 $\underline{2}$ 份。
    3. 第 3 步（取极端）：要让人数最少，就让每人都拿满，最少 $50\div 2=\underline{25}$（人）。
    最终答案：最少 $25$ 人。
  70. 19. ch04-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（算总份数）：$14+17+19=\underline{50}$（张）证书。
    2. 第 2 步（认出每人上限）：每人最多拿 $\underline{2}$ 张。
    3. 第 3 步（取极端）：$50\div 2=\underline{25}$（人）。
    最终答案：最少 $25$ 人。
  71. 19. ch04-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（算总份数）：$12+14+16+18=\underline{60}$（份）。
    2. 第 2 步（每人上限仍是 $2$ 份，取极端）：$60\div 2=\underline{30}$（人）。
    最终答案：最少 $30$ 人。
  72. 19. ch04-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（算总份数）：$14+17+19=\underline{50}$（份）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问取极端）：每人最多拿 $2$ 份，最少 $50\div 2=\underline{25}$（人）获奖。
    3. 第 3 步（第 (2) 问取补集）：获奖人数最少时没获奖的人数最多，$40-25=\underline{15}$（人）。
    最终答案：（1）最少 $25$ 人；（2）最多 $15$ 人。
  73. 20. ch04-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（写出容斥式的常数部分）：$72+88+95=\underline{255}$，$255-60-52-70=\underline{73}$，所以被至少一人借过的书 $=73+三人都借过的$。
    2. 第 2 步（判断三交的上界）：三人都借过的书不能超过任何一个两两交集，其中最小的是甲丙的 $52$ 本，所以三交最多是 $\underline{52}$。
    3. 第 3 步（代入求并集）：$73+52=\underline{125}$（本）被至少一人借过。
    4. 第 4 步（取补集）：没被借过的最少有 $200-125=\underline{75}$（本）。
    最终答案：最少有 $75$ 本。
  74. 20. ch04-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（容斥式常数部分）：$72+88+95=\underline{255}$，$255-60-52-70=\underline{73}$。
    2. 第 2 步（三交的上界）：三交最多等于最小的两两交集，即 $\underline{52}$（件）。
    3. 第 3 步（代入求并集）：$73+52=\underline{125}$（件）。
    4. 第 4 步（取补集）：$200-125=\underline{75}$（件）。
    最终答案：最少有 $75$ 件。
  75. 20. ch04-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥式常数部分）：$72+88+95-60-52-70=\underline{73}$。
    2. 第 2 步（要让并集最大就让三交最大）：三交最多为最小的两两交集 $\underline{52}$（本）。
    3. 第 3 步（代入）：最多有 $73+52=\underline{125}$（本）被至少一人借过。
    最终答案：最多 $125$ 本。
  76. 20. ch04-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（想清方向）：没借过的最多，就要让被至少一人借过的最少，也就是让三人都借过的本数最少。
    2. 第 2 步（找三交的下界）：在甲的 $72$ 本里，乙或丙也签过的有 $60+52-三交$，它不能超过 $72$，所以三交 $\ge 60+52-72=\underline{40}$；同理在乙的 $88$ 本里得三交 $\ge 60+70-88=\underline{42}$，在丙的 $95$ 本里得三交 $\ge 52+70-95=\underline{27}$。三个下界取最大的，三交最少是 $\underline{42}$。
    3. 第 3 步（代入求并集）：$72+88+95-60-52-70=\underline{73}$，$73+42=\underline{115}$（本）。
    4. 第 4 步（取补集）：没借过的最多有 $200-115=\underline{85}$（本）。
    最终答案：最多 $85$ 本。
  77. 21. ch04-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（算总人次）：$48+42+36=\underline{126}$（人次）。
    2. 第 2 步（每人上限）：每人最多参加两科，最多贡献 $\underline{2}$ 人次，所以参赛人数至少是 $126\div 2=\underline{63}$（人）。
    3. 第 3 步（取补集）：参赛人数最少时未参赛人数最多，$90-63=\underline{27}$（人）。
    最终答案：最多 $27$ 人。
  78. 21. ch04-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（算总人次）：$48+42+36=\underline{126}$（人次）。
    2. 第 2 步（每人上限）：每人最多贡献 $\underline{2}$ 人次，参加培训的至少 $126\div 2=\underline{63}$（人）。
    3. 第 3 步（取补集）：$90-63=\underline{27}$（人）。
    最终答案：最多 $27$ 人。
  79. 21. ch04-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（算总人次）：$40+38+34+32=\underline{144}$（人次）。
    2. 第 2 步（每人上限）：参赛人数至少 $144\div 2=\underline{72}$（人）。
    3. 第 3 步（取补集）：$90-72=\underline{18}$（人）。
    最终答案：最多 $18$ 人。
  80. 21. ch04-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（算总人次）：$40+38+34+32=\underline{144}$（人次）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问，每人上限变为 $3$）：每人最多贡献 $\underline{3}$ 人次，所以参赛人数至少 $144\div 3=\underline{48}$（人）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问取补集）：$90-48=\underline{42}$（人）。
    最终答案：（1）至少 $48$ 人；（2）最多 $42$ 人。
  81. 22. ch04-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（算总读次）：$170+140+124=\underline{434}$（次）。
    2. 第 2 步（算「每个故事被读 2 次」的额度）：$200\times 2=\underline{400}$（次）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：超出额度的次数只能落在被读 $3$ 次的故事上，$434-400=\underline{34}$（个）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：三段连续区间要重叠最少，就把它们尽量推向两端，重叠部分是两段较短区间之长相加再减去总数，$140+124-200=\underline{64}$（个）。
    最终答案：（1）最少 $34$ 个；（2）最少 $64$ 个。
  82. 22. ch04-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（算总观看次数）：$170+140+124=\underline{434}$（次）。
    2. 第 2 步（算「每集被看 2 次」的额度）：$200\times 2=\underline{400}$（次）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：$434-400=\underline{34}$（集）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：$140+124-200=\underline{64}$（集）。
    最终答案：（1）最少 $34$ 集；（2）最少 $64$ 集。
  83. 22. ch04-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（算总读次）：$170+140+124+180=\underline{614}$（次）。
    2. 第 2 步（算「每个故事被读 3 次」的额度）：四人中若某个故事不是人人都读，则最多被读 $3$ 次，全书额度为 $200\times 3=\underline{600}$（次）。
    3. 第 3 步（求超出部分）：$614-600=\underline{14}$（个）故事必须被四人都读过。
    最终答案：最少 $14$ 个。
  84. 22. ch04-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（算总读次与额度）：$170+140+124=\underline{434}$（次），$200\times 2=\underline{400}$（次）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：$434-400=\underline{34}$（个）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问取补集）：「至少一人没读过」与「三人都读过」正好互补，三人都读过的最少时它最多，$200-34=\underline{166}$（个）。
    最终答案：（1）最少 $34$ 个；（2）最多 $166$ 个。
  85. 23. ch04-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（想清范围）：两题全对的人一定做对了第一题，所以要在做对第一题的 $86$ 人里找。这 $86$ 人按第二题对错分成两类，其中一类是第二题做错的 $29$ 人，所以列式为 $\underline{86-29}$。
    2. 第 2 步（计算）：$86-29=\underline{57}$（人）。
    最终答案：$57$ 人。
  86. 23. ch04-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（想清范围）：两轮都命中的人一定在第一轮命中的 $86$ 人里，把其中第二轮脱靶的去掉即可，列式为 $\underline{86-29}$。
    2. 第 2 步（计算）：$86-29=\underline{57}$（名）。
    最终答案：$57$ 名。
  87. 23. ch04-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（认出不重叠）：因为没有人两题都错，所以「第 1 题错的 $12$ 人」和「第 2 题错的 $25$ 人」是两批不同的人，做错题的一共有 $12+25=\underline{37}$（人）。
    2. 第 2 步（用总数去掉）：全对的人就是一道题也没错的人，$100-37=\underline{63}$（人）。
    最终答案：$63$ 人。
  88. 23. ch04-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥求并集）：把两批做对的人直接相加，全对的人被数了两次，要减去一次，至少做对一题的有 $86+74-65=\underline{95}$（人）。
    2. 第 2 步（补集思想）：两题都做错的人就是「一题也没做对」的人，用总人数减去至少对一题的人数：$100-95=\underline{5}$（人）。
    最终答案：$5$ 人。
  89. 24. ch04-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（读出并集）：每一处都有人去过，说明两人去过的景点合起来正好是全部，即并集 $=\underline{30}$（处）。
    2. 第 2 步（列容斥式）：两人去过的处数之和减去都去过的处数等于并集，即 $21+小高-9=30$，反解得小高 $=30+9-21=\underline{18}$（处）。
    最终答案：$18$ 处。
  90. 24. ch04-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（读出并集）：每部影片都至少被一人看过，所以并集 $=\underline{30}$（部）。
    2. 第 2 步（列容斥式）：$21+墨莉-9=30$，反解得墨莉 $=30+9-21=\underline{18}$（部）。
    最终答案：$18$ 部。
  91. 24. ch04-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（列容斥式）：$24+19-两人都去过=30$，先算两人处数之和 $24+19=\underline{43}$（处）。
    2. 第 2 步（反解交集）：$两人都去过=43-30=\underline{13}$（处）。
    最终答案：$13$ 处。
  92. 24. ch04-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（补集求并集）：$36$ 处里有 $4$ 处两人都没去过，所以至少一人去过的有 $36-4=\underline{32}$（处），这才是并集。
    2. 第 2 步（列容斥式）：$20+小高-7=32$，反解得小高 $=32+7-20=\underline{19}$（处）。
    最终答案：$19$ 处。
  93. 25. ch04-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（先相加）：把两部分人数直接加起来 $46+58=\underline{104}$（人次）。
    2. 第 2 步（找重复）：两部都看过的 $23$ 人在上面被数了 $2$ 次，多算了 $\underline{1}$ 次。
    3. 第 3 步（减去重复）：至少看过一部的有 $104-23=\underline{81}$（人）。
    最终答案：$81$ 人。
  94. 25. ch04-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（先相加）：$46+58=\underline{104}$（人次）。
    2. 第 2 步（找重复）：两本都借过的 $23$ 人被数了 $2$ 次，多算了 $\underline{1}$ 次。
    3. 第 3 步（减去重复）：至少借过一本的有 $104-23=\underline{81}$（人）。
    最终答案：$81$ 人。
  95. 25. ch04-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（列容斥式）：$46+58-两部都看过=81$，先算 $46+58=\underline{104}$（人次）。
    2. 第 2 步（反解交集）：多出来的人次就是被重复计数的人，$104-81=\underline{23}$（人）。
    最终答案：$23$ 人。
  96. 25. ch04-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥求并集）：至少看过一部的有 $46+58-23=\underline{81}$（人）。
    2. 第 2 步（补集）：两部都没看过的就是剩下的人，$90-81=\underline{9}$（人）。
    最终答案：$9$ 人。
  97. 26. ch04-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（剥出只喜欢面条的）：喜欢面条的 $71$ 人里含着两种都喜欢的 $23$ 人，所以只喜欢面条的有 $71-23=\underline{48}$（人）。
    2. 第 2 步（不喜欢面条的必然只喜欢米饭）：每人至少喜欢一种，不喜欢面条的人只能只喜欢米饭，$96-71=\underline{25}$（人）。
    3. 第 3 步（验证）：从总数里减去只喜欢面条的 $48$ 人和两种都喜欢的 $23$ 人，$96-48-23=\underline{25}$（人）。
    最终答案：$25$ 人。
  98. 26. ch04-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（剥出只坐高铁的）：$71-23=\underline{48}$（人）只乘坐过高铁。
    2. 第 2 步（不坐高铁的必然只坐飞机）：$96-71=\underline{25}$（人）只乘坐过飞机。
    3. 第 3 步（验证）：$96-48-23=\underline{25}$（人）。
    最终答案：$25$ 人。
  99. 26. ch04-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（剥出只喜欢米饭的）：$68-23=\underline{45}$（人）只喜欢米饭。
    2. 第 2 步（不喜欢米饭的必然只喜欢面条）：$96-68=\underline{28}$（人）只喜欢面条。
    最终答案：$28$ 人。
  100. 26. ch04-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（补集求并集）：先去掉两种都不喜欢的人，至少喜欢一种的有 $96-8=\underline{88}$（人）。
    2. 第 2 步（剥出只喜欢面条的）：$71-23=\underline{48}$（人）。
    3. 第 3 步（在并集里减掉喜欢面条的）：不喜欢面条的必然只喜欢米饭，$88-71=\underline{17}$（人）只喜欢米饭。
    最终答案：$17$ 人。
  101. 27. ch04-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（补集求并集）：全班 $60$ 人中有 $38$ 人两科都没满分，所以至少一科得满分的有 $60-38=\underline{22}$（人）。
    2. 第 2 步（列容斥等式）：数学满分 $+$ 语文满分 $-$ 两科都满分 $=$ 至少一科满分，即 $18+语文-6=22$，反解得语文 $=22+6-18=\underline{10}$（人）。
    最终答案：$10$ 人。
  102. 27. ch04-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（补集求并集）：至少一项达标的有 $80-46=\underline{34}$（人）。
    2. 第 2 步（列容斥等式）：$25+短跑-9=34$，反解得短跑 $=34+9-25=\underline{18}$（人）。
    最终答案：$18$ 人。
  103. 27. ch04-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（补集求并集）：至少一科满分的有 $60-38=\underline{22}$（人）。
    2. 第 2 步（反解交集）：$18+10-两科都满分=22$，先算 $18+10=\underline{28}$，再得两科都满分 $=28-22=\underline{6}$（人）。
    最终答案：$6$ 人。
  104. 27. ch04-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（补集求并集）：至少一科满分的有 $60-38=\underline{22}$（人）。
    2. 第 2 步（反解交集）：$18+10-两科都满分=22$，所以两科都满分的有 $28-22=\underline{6}$（人）。
    3. 第 3 步（去掉交集）：恰好一科满分的人 $=$ 至少一科满分 $-$ 两科都满分 $=22-6=\underline{16}$（人）。
    最终答案：$16$ 人。
  105. 28. ch04-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（剥出「恰两圆」的块）：甲乙重合的 $11$ 里含着三圆公共的 $4$，所以只被甲、乙覆盖的是 $11-4=\underline{7}$；同理只被甲、丙覆盖的是 $9-4=\underline{5}$，只被乙、丙覆盖的是 $14-4=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（倒推「恰一圆」的块）：甲圆被分成四块，$48-7-5-4=\underline{32}$ 是只被甲覆盖的；同理只被乙覆盖的是 $48-7-10-4=\underline{27}$，只被丙覆盖的是 $48-5-10-4=\underline{29}$。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：只被甲或乙覆盖而没被丙覆盖的，由「只甲」「只甲乙」「只乙」三块拼成，$32+7+27=\underline{66}$。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：只被一个圆覆盖的是三块「恰一圆」之和，$32+27+29=\underline{88}$。
    最终答案：（1）$66$；（2）$88$。
  106. 28. ch04-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（剥出「恰两社团」）：只参加阅读与书法的有 $11-4=\underline{7}$（人），只参加阅读与绘画的有 $9-4=\underline{5}$（人），只参加书法与绘画的有 $14-4=\underline{10}$（人）。
    2. 第 2 步（倒推「恰一社团」）：只参加阅读的有 $48-7-5-4=\underline{32}$（人），只参加书法的有 $48-7-10-4=\underline{27}$（人），只参加绘画的有 $48-5-10-4=\underline{29}$（人）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：$32+7+27=\underline{66}$（人）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：$32+27+29=\underline{88}$（人）。
    最终答案：（1）$66$ 人；（2）$88$ 人。
  107. 28. ch04-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（三圆面积先相加）：$48\times 3=\underline{144}$，这样重合处被重复计算了。
    2. 第 2 步（减去两两重合）：$144-11-14-9=\underline{110}$。
    3. 第 3 步（把中心块补回一次）：三圆公共部分被减多了一次，要加回来，$110+4=\underline{114}$。
    最终答案：$114$。
  108. 28. ch04-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥求覆盖总面积）：$48\times 3=\underline{144}$，减去两两重合 $144-11-14-9=\underline{110}$，再把中心块加回 $110+4=\underline{114}$。
    2. 第 2 步（补集）：没被覆盖的面积 $=150-114=\underline{36}$。
    最终答案：$36$。
  109. 29. ch04-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（转化问题）：因为每人至少爱一种，「只爱花茶」就是「既不爱红茶也不爱绿茶」。
    2. 第 2 步（去掉爱红茶的）：不爱喝红茶的有 $88-27=\underline{61}$（人）。
    3. 第 3 步（再去掉其中爱绿茶的）：这 $61$ 人里有 $35$ 人爱绿茶，剩下 $61-35=\underline{26}$（人）只爱花茶。
    最终答案：$26$ 人。
  110. 29. ch04-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（转化问题）：每人至少借一类，「只借传记」就是「既没借科幻也没借历史」。
    2. 第 2 步（去掉借科幻的）：没借科幻的有 $88-27=\underline{61}$（人）。
    3. 第 3 步（再去掉其中借历史的）：$61-35=\underline{26}$（人）只借传记。
    最终答案：$26$ 人。
  111. 29. ch04-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（去掉爱红茶的）：不爱喝红茶的有 $88-27=\underline{61}$（人）。
    2. 第 2 步（反求中间一层）：这 $61$ 人分成两类——爱绿茶的、和只爱花茶的 $26$ 人，所以不爱红茶却爱绿茶的有 $61-26=\underline{35}$（人）。
    最终答案：$35$ 人。
  112. 29. ch04-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（先求「不爱红茶却爱绿茶」）：爱绿茶的 $50$ 人里有 $15$ 人也爱红茶，去掉后 $50-15=\underline{35}$（人）是不爱红茶却爱绿茶的。
    2. 第 2 步（去掉爱红茶的）：不爱喝红茶的有 $88-27=\underline{61}$（人）。
    3. 第 3 步（再去掉爱绿茶的）：$61-35=\underline{26}$（人）只爱花茶。
    最终答案：$26$ 人。
  113. 30. ch04-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（先相加）：$78+65+59=\underline{202}$（人次）。
    2. 第 2 步（减去两两重复）：$202-13-11-16=\underline{162}$。
    3. 第 3 步（把三交加回一次）：三组都参加的 $5$ 人被减掉了 $3$ 次，多减了 $1$ 次，加回来 $162+5=\underline{167}$（人）。
    最终答案：$167$ 人。
  114. 30. ch04-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（先相加）：$78+65+59=\underline{202}$（人次）。
    2. 第 2 步（减去两两重复）：$202-13-11-16=\underline{162}$。
    3. 第 3 步（把三交加回一次）：$162+5=\underline{167}$（人）。
    最终答案：$167$ 人。
  115. 30. ch04-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（写出容斥式）：$78+65+59-13-11-16+三组都参加=167$，先算左边已知部分 $78+65+59-13-11-16=\underline{162}$。
    2. 第 2 步（反解）：三组都参加的有 $167-162=\underline{5}$（人）。
    最终答案：$5$ 人。
  116. 30. ch04-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（容斥求并集）：$78+65+59=\underline{202}$，减去两两重复 $202-13-11-16=\underline{162}$，再加回三交 $162+5=\underline{167}$（人）参加了课外活动。
    2. 第 2 步（补集）：一个小组也没参加的有 $200-167=\underline{33}$（人）。
    最终答案：$33$ 人。
  117. 31. ch04-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（三对象容斥）：先相加 $96+124+88=\underline{308}$，减去两两重合 $308-60-52-58=\underline{138}$，再把三交加回一次 $138+34=\underline{172}$（种）至少含一种。
    2. 第 2 步（第 (1) 问取补集）：$200-172=\underline{28}$（种）三种都不含。
    3. 第 3 步（在含 A 的食物中看）：含 A 的 $96$ 种里，同时含 C 或含 E 的有 $60+52-34=\underline{78}$（种）（重叠的正是三种都含的 $34$ 种）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：仅含 A 的有 $96-78=\underline{18}$（种）。
    最终答案：（1）$28$ 种；（2）$18$ 种。
  118. 31. ch04-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（三对象容斥）：$96+124+88=\underline{308}$，$308-60-52-58=\underline{138}$，$138+34=\underline{172}$（部）至少含一种元素。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：$200-172=\underline{28}$（部）。
    3. 第 3 步（含动作的内部）：同时还含喜剧或爱情的有 $60+52-34=\underline{78}$（部）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：仅含动作的有 $96-78=\underline{18}$（部）。
    最终答案：（1）$28$ 部；（2）$18$ 部。
  119. 31. ch04-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（在含 C 的食物中看）：含 C 的 $124$ 种里，同时还含 A 或 E 的有 $60+58-34=\underline{84}$（种）。
    2. 第 2 步（求单独区域）：仅含 C 的有 $124-84=\underline{40}$（种）。
    最终答案：$40$ 种。
  120. 31. ch04-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（剥出「恰含 A、C」）：同时含 A、C 的 $60$ 种里含着三种都含的 $34$ 种，所以恰含 A、C 两种的有 $60-34=\underline{26}$（种）。
    2. 第 2 步（另两块同理）：恰含 A、E 的有 $52-34=\underline{18}$（种），恰含 C、E 的有 $58-34=\underline{24}$（种）。
    3. 第 3 步（三块相加）：恰含两种的共 $26+18+24=\underline{68}$（种）。
    最终答案：$68$ 种。
  121. 32. ch04-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（先补男生总数）：$120-46=\underline{74}$（名）男生。
    2. 第 2 步（在男生这一行里分）：男生分跑步与跳绳两类，跳绳的男生有 $74-32=\underline{42}$（名）。
    3. 第 3 步（在跳绳这一列里分）：跳绳的共 $73$ 名，所以跳绳的女生有 $73-42=\underline{31}$（名）。
    最终答案：$31$ 名。
  122. 32. ch04-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（先补男员工总数）：$120-46=\underline{74}$（名）。
    2. 第 2 步（在男员工这一行里分）：乘公交的男员工有 $74-32=\underline{42}$（名）。
    3. 第 3 步（在公交这一列里分）：$73-42=\underline{31}$（名）。
    最终答案：$31$ 名。
  123. 32. ch04-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（求跑步总人数）：$120-73=\underline{47}$（名）在跑步。
    2. 第 2 步（在跑步这一列里分）：跑步的女生有 $47-32=\underline{15}$（名）。
    最终答案：$15$ 名。
  124. 32. ch04-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（补集求参加活动的人数）：$130-10=\underline{120}$（名）在跑步或跳绳。
    2. 第 2 步（求男生总数）：$120-46=\underline{74}$（名）男生。
    3. 第 3 步（男生行）：跳绳的男生有 $74-32=\underline{42}$（名）。
    4. 第 4 步（跳绳列）：跳绳的女生有 $73-42=\underline{31}$（名）。
    最终答案：$31$ 名。