竞赛数学 · 五年级 第5讲《行程问题四》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch05-chaoyue-01】甲、乙两艘游船顺水航行的速度均为每小时 $7$ 千米，逆水航行的速度均为每小时 $5$ 千米。现在甲、乙两船从某地同时出发，甲先逆流而上再顺流而下，乙先顺流而下再逆流而上，$1$ 小时后它们回到出发点。请问：在这 $1$ 小时内有多少分钟两船沿行进方向相向而行？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 时间轴方向分析」题：不求路程，而要统计两船「行进方向相向」的时长。
关键切入点：先用「往返路程相等」求出各自逆水、顺水各占多少时间：设甲逆水 $t$ 小时，则 $5t=7(1-t)$，$t=\frac{7}{12}$ 小时 $=35$ 分，顺水 $25$ 分；乙恰好相反，先顺水 $25$ 分再逆水 $35$ 分。把两船的方向画在同一条时间轴上，逐段比较方向，就能数出相向而行的时段。
方法概述：用往返路程相等分出时间 → 画时间轴比较两船方向 → 统计相向时段。
规范步骤：
  1. 设甲逆水 $t$ 小时列方程：$5t=7(1-t)$（往返路程相等）
  2. 解方程：$12t=7$，$t=\frac{7}{12}$（小时）$=35$（分）（解一元一次方程）
  3. 写出两船的时间分配：$甲：逆水 35 分＋顺水 25 分；乙：顺水 25 分＋逆水 35 分$（对称关系）
  4. 比较时间轴上的方向：$相向而行的时长=35-25=10$（分）（方向分段比较）
2. 【原题 ch05-chaoyue-02】甲、乙两船分别在一条河的 $A$、$B$ 两地同时相向而行，甲船顺流而下，乙船逆流而上。相遇时，甲、乙两船的航程是相等的。相遇后两船继续前进，甲船到达 $B$ 地、乙船到达 $A$ 地后，都立即按原来的路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 $1000$ 米。如果从两船第一次相遇到第二次相遇间隔 $1$ 小时 $20$ 分，那么河水的流速为每小时多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 两次相遇」的综合题：由第一次相遇在中点这一条件，可以推出许多相等关系。
关键切入点：第一次相遇两船航程相等，说明甲的顺水速度 $=$ 乙的逆水速度（记为 $s$），且相遇点在中点。于是两船到达对岸的时刻也相同、同时返航；返航后速度和 $=(p-w)+(q+w)=p+q$，而 $q-w=p+w$ 给出 $q-p=2w$，故 $p+q=2s$。这样「相遇→掉头」和「掉头→再相遇」两段用时相等，各占间隔的一半；而两船路程差 $=[(q+w)-(p-w)]\times$ 这段时间 $=4w\times$ 时间。
方法概述：由中点相遇得速度关系 → 间隔平分成两段 → 用路程差 $=4w\times$ 时间求水速。
规范步骤：
  1. 第一次相遇航程相等：$甲顺水速度=乙逆水速度=s$，相遇点在中点（路程相等）
  2. 两船同时到岸、同时返航：$相遇到掉头用时=第一次相遇用时$（剩余半程速度相同）
  3. 返航后速度和：$(p-w)+(q+w)=p+q=2s$（水速抵消）
  4. 间隔被平分：$\frac{4}{3}\div 2=\frac{2}{3}$（小时）（两段用时相等）
  5. 用路程差求水速：$4w\times\frac{2}{3}=1$，$w=0.375$（千米/时）（路程差＝速度差×时间）
第一套
题目：甲、乙两船分别在一条河的 $A$、$B$ 两地同时相向而行，甲船顺流而下，乙船逆流而上。相遇时两船航程相等。相遇后两船继续前进，到达对岸后立即返航，第二次相遇时甲船比乙船少行 $1800$ 米。若从第一次相遇到第二次相遇间隔 $1$ 小时 $30$ 分，求河水的流速（千米/时）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（读出中点相遇的含义）：航程相等说明相遇点在 $A$、$B$ 正中间，且甲的顺水速度等于乙的逆水速度。
  2. 第 2 步（两船同时掉头）：相遇后两船各自还要走剩下的半程，速度仍相等，所以到岸、返航的时刻相同，这段时间与第一次相遇所用时间相等。
  3. 第 3 步（返航后的速度和）：返航后甲逆水、乙顺水，速度和 $=$ 两船静水速度之和，恰好等于原来速度的 $2$ 倍，所以「掉头→第二次相遇」与「第一次相遇→掉头」用时也相等。
  4. 第 4 步（把间隔平分）：$1$ 小时 $30$ 分 $=1.5$ 小时，每段 $1.5\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
  5. 第 5 步（算两船的速度差）：返航后乙比甲每小时多行 $4$ 个水速（因为两船静水速度相差 $2$ 个水速，方向又相反再差 $2$ 个水速）。
  6. 第 6 步（列式求水速）：$1800$ 米 $=\underline{\quad}$ 千米，$4w\times 0.75=1.8$，所以 $w=1.8\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（千米/时）。
第二套
题目：两架滑翔机分别从相距一段距离的 $A$、$B$ 两地同时相向飞行，甲顺风、乙逆风。相遇时两机航程相等；相遇后各自继续飞到对方出发地后立即返航，第二次相遇时甲比乙少飞 $1800$ 米。若两次相遇间隔 $1$ 小时 $30$ 分，求风速（千米/时）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：航程相等说明相遇点在正中间，甲的顺风速度等于乙的逆风速度。
  2. 第 2 步：两机同时到达对方出发地并同时返航，两次相遇的间隔被平均分成两段，每段 $1.5\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步：返航后乙比甲每小时多飞 $4$ 个风速，路程差 $1800$ 米 $=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步：$4w\times 0.75=1.8$，$w=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套
题目：甲、乙两船分别从 $A$、$B$ 两地同时相向而行，甲顺流、乙逆流，相遇时两船航程相等。相遇后两船继续前进，到岸后立即返航。已知水速为每小时 $0.6$ 千米，两次相遇间隔 $1$ 小时 $30$ 分。第二次相遇时甲船比乙船少行多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间隔平分）：两次相遇间隔 $1.5$ 小时被平分成两段，返航段用时 $1.5\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
  2. 第 2 步（速度差）：返航后乙比甲每小时多行 $4$ 个水速，即 $4\times 0.6=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（求路程差）：$2.4\times 0.75=\underline{\quad}$（千米）$=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：甲、乙两船分别从 $A$、$B$ 两地同时相向而行，甲顺流、乙逆流，相遇时两船航程相等；到岸后立即返航，第二次相遇时甲比乙少行 $1800$ 米，两次相遇间隔 $1$ 小时 $30$ 分。已知 $A$、$B$ 两地相距 $9$ 千米。求：（1）水速；（2）第一次相遇发生在出发后多少小时；（3）两船静水速度之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求水速）：间隔平分，每段 $1.5\div 2=\underline{\quad}$（小时）；$4w\times 0.75=1.8$，$w=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（第一次相遇时刻）：第一次相遇用时与「相遇→掉头」一段相等，也是 $\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（求甲的顺水速度）：第一次相遇甲走半程 $9\div 2=\underline{\quad}$（千米），顺水速度 $=4.5\div 0.75=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步（求静水速度之和）：两船静水速度之和 $=2\times 6=\underline{\quad}$（千米/时）。
  5. 第 5 步（分别求出）：甲静水 $=6-0.6=\underline{\quad}$，乙静水 $=6+0.6=\underline{\quad}$（千米/时），和为 $12$，与上一步一致。
3. 【原题 ch05-chaoyue-03】一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头的上游 $50$ 千米处。一艘客船和一艘货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同。客船出发时有一物品从船上落入水中，$10$ 分钟后此物品距客船 $5$ 千米。客船在行驶 $20$ 千米后掉头追赶此物品，追上时恰好和货船相遇。求水流的速度。
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 漂流物相对速度 $+$ 掉头追及」的高难综合题。
关键切入点：落水物品随水漂流，客船相对物品的速度恒等于客船的静水速度：$10$ 分钟拉开 $5$ 千米，说明静水速度为 $0.5$ 千米/分。客船逆水行 $20$ 千米后掉头追物品，往返的相对路程相同故往返时间相等；再用「追上时恰与货船相遇」写出两船位置相等的方程，即可解出水速。
方法概述：相对速度定静水速度 → 往返时间相等 → 位置相等列方程求水速。
规范步骤：
  1. 由相对速度求静水速度：$5\div 10=0.5$（千米/分）（相对速度＝静水速度）
  2. 设水速为 $w$，客船逆水速度：$0.5-w$（千米/分）（逆水速度）
  3. 求逆水段时间：$20\div(0.5-w)$（分）（路程÷速度）
  4. 列位置相等方程：$20-(0.5+w)\times\frac{20}{0.5-w}=-50+(0.5-w)\times\frac{40}{0.5-w}$（位置相等）
  5. 化简求解：$2(0.5+w)=3(0.5-w)$，$5w=0.5$，$w=0.1$（千米/分）（解方程）
4. 【原题 ch05-chaoyue-04】在一条圆形跑道上，甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两点同时出发，反向而行，$6$ 分钟后两人相遇。再过 $4$ 分钟甲到达 $B$ 点，又过了 $8$ 分钟两人再次相遇。请问：甲、乙两人绕跑道环行一周各需要多少分钟？
详细思路
是哪类问题：这是「环形跑道相遇 $+$ 速度比」的高难题：由两次相遇的时间关系推出各自绕行一周的时间。
关键切入点：两次相遇之间两人恰好合走一整圈，所以「合走一圈」需要 $4+8=12$ 分；而第一次相遇用了 $6$ 分，正好是它的一半，说明第一次相遇两人只合走了半圈，即 $A$、$B$ 相距半圈。于是甲从 $A$ 到 $B$（用 $6+4=10$ 分）走的正是半圈，一圈就是 $20$ 分。又「甲走 $4$ 分的路程 $=$ 乙走 $6$ 分的路程」给出速度比 $3:2$，乙一圈即 $30$ 分。
方法概述：用两次相遇间隔定「合走一圈」的时间 → 定 $AB$ 为半圈 → 定甲的周期 → 用速度比定乙的周期。
规范步骤：
  1. 求合走一圈的时间：$4+8=12$（分）（两次相遇合走一圈）
  2. 判断第一次相遇合走半圈：$6=12\div 2$，故 $AB=\frac{1}{2}$ 圈（时间对半）
  3. 求甲绕一周的时间：$(6+4)\times 2=20$（分）（半圈用 10 分）
  4. 求速度比：$v_甲\times 4=v_乙\times 6$，$v_甲:v_乙=6:4=3:2$（同一段路程）
  5. 求乙绕一周的时间：$20\times\frac{3}{2}=30$（分）（路程相同时时间与速度成反比）
第一套
题目：在一条圆形跑道上，甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两点同时出发，反向而行，$8$ 分钟后两人相遇。再过 $4$ 分钟甲到达 $B$ 点，又过了 $12$ 分钟两人再次相遇。请问：甲、乙两人绕跑道环行一周各需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两次相遇合走一圈）：从第一次相遇到第二次相遇，两人合走整整一圈，用时 $4+12=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（判断 $AB$ 有多长）：第一次相遇用了 $8$ 分，正好是 $16$ 分的一半，所以第一次相遇两人只合走了半圈，即 $A$、$B$ 相距半圈。
  3. 第 3 步（求甲的周期）：甲从 $A$ 走到 $B$ 用 $8+4=\underline{\quad}$（分），走的正是半圈，所以甲绕一周要 $12\times 2=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（求速度比）：甲走 $4$ 分钟的路程与乙走 $8$ 分钟的路程相同，所以甲、乙速度之比为 $8:4=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求乙的周期）：路程相同时时间与速度成反比，乙绕一周要 $24\times 2=\underline{\quad}$（分）。
第二套
题目：在一条环形赛道上，甲、乙两辆遥控车分别从 $A$、$B$ 两点同时出发反向行驶，$8$ 分钟后相遇；再过 $4$ 分钟甲车到达 $B$ 点，又过 $12$ 分钟两车再次相遇。两车各绕赛道一周需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：两次相遇之间两车合行一圈，用时 $4+12=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步：第一次相遇用 $8$ 分恰为一半，所以 $A$、$B$ 相距半圈。
  3. 第 3 步：甲从 $A$ 到 $B$ 用 $8+4=\underline{\quad}$（分）即半圈，甲一周 $=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步：甲行 $4$ 分与乙行 $8$ 分路程相同，速度比 $=\underline{\quad}$，乙一周 $=24\times 2=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：在一条圆形跑道上，甲绕一周需 $24$ 分钟，乙绕一周需 $48$ 分钟。两人分别从直径两端的 $A$、$B$ 两点（相距半圈）同时出发反向而行。第一次相遇需要多少分钟？第二次相遇需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（归一）：设一圈为 $1$，甲的速度 $=1\div 24=\underline{\quad}$（圈/分），乙的速度 $=1\div 48=\underline{\quad}$（圈/分）。
  2. 第 2 步（速度和）：$\frac{1}{24}+\frac{1}{48}=\underline{\quad}$（圈/分）。
  3. 第 3 步（第一次相遇合走半圈）：$0.5\div\frac{1}{16}=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（第二次相遇再合走一圈）：再要 $1\div\frac{1}{16}=\underline{\quad}$（分），从出发算起共 $8+16=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：在一条圆形跑道上，甲、乙分别从 $A$、$B$ 同时反向出发，$8$ 分钟后相遇，再过 $4$ 分钟甲到达 $B$，又过 $12$ 分钟两人再次相遇。已知甲的速度是每分钟 $100$ 米。求：（1）甲、乙绕行一周各需多少分钟？（2）跑道周长是多少米？（3）$A$、$B$ 两点沿跑道相距多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合走一圈的时间）：$4+12=\underline{\quad}$（分）；第一次相遇 $8$ 分是它的一半，故 $AB$ 为半圈。
  2. 第 2 步（甲的周期）：甲走半圈用 $8+4=\underline{\quad}$（分），一周 $=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（乙的周期）：甲走 $4$ 分与乙走 $8$ 分路程相同，速度比 $=\underline{\quad}$，乙一周 $=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（求周长）：周长 $=$ 甲的速度 $\times$ 甲的周期 $=100\times 24=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步（求 $AB$）：$2400\div 2=\underline{\quad}$（米）。
5. 【原题 ch05-chaoyue-05】有一条长度为 $4200$ 米的环形车道，甲车从 $A$ 点出发 $35$ 秒后，乙车从 $A$ 点反向出发，两车在 $B$ 点第一次迎面相遇。如果乙车出发的时候变换方向，即出发的时候和甲车保持同向，那么乙车将在行驶完一圈之前追上甲车，并且追上甲车的地点恰好还在 $B$ 点。乙车追上甲车之后立刻折返，甲车继续前进，那么两车会在距离 $A$ 点 $300$ 米的地方迎面相遇。求乙车的速度。
详细思路
是哪类问题：这是「环形车道 $+$ 追及与相遇 $+$ 方程组」的高难题：同一个 $B$ 点在两种情形下都出现，是列方程的钥匙。
关键切入点：甲先出发 $35$ 秒，情形一两车反向相遇于 $B$，情形二两车同向、乙在一圈内追上甲且仍在 $B$；两种情形下甲、乙走过的路程都要落到同一点 $B$，于是可以把「相遇时路程和为一圈」「追及时路程差为一圈」与「相遇点距 $A$ 点 $300$ 米」三个条件写成方程组，解得乙车速度为每秒 $20$ 米。
方法概述：用同一落点 $B$ 建立两组路程方程，再用第三次相遇的位置条件定解。
规范步骤：
  1. 记周长与出发时间差：$周长 4200$ 米，甲先行 $35$ 秒（题设）
  2. 情形一（反向相遇于 $B$）：$甲、乙路程和=4200$ 米（自乙出发起算需加上甲先行部分）（相遇路程和）
  3. 情形二（同向追及于 $B$）：$乙比甲多走的路程=$ 一圈（且乙不足一圈）（追及路程差）
  4. 折返后再相遇距 $A$ 点 $300$ 米：$用位置条件补足方程$（位置约束）
  5. 解方程组：$乙车速度=20$（米/秒）（解方程组）
6. 【原题 ch05-chaoyue-06】如图 $5\text{-}5$，$8$ 时 $10$ 分，甲、乙两人分别从相距 $60$ 米的 $A$、$B$ 两地出发，按顺时针方向沿长方形 $ABCD$ 的边走向 $D$ 点。甲、乙两人的速度相同。甲 $8$ 时 $20$ 分到 $D$ 点后，丙、丁两人立即从 $D$ 点出发。丙由 $D$ 向 $A$ 走去，$8$ 时 $24$ 分与乙在 $E$ 点相遇；丁由 $D$ 向 $C$ 走去，$8$ 时 $30$ 分在 $F$ 点被乙追上。丙、丁两人的速度也相同。问：三角形 $BEF$ 的面积是多少平方米？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形边上行程 $+$ 相遇追及 $+$ 面积计算」的综合题：先用行程条件定出 $E$、$F$ 的位置，再用割补法求三角形面积。
关键切入点：甲、乙同速，甲从 $A$ 到 $D$ 用 $10$ 分钟，可求出速度与 $AD$；丙、丁同速，由「$8$ 时 $24$ 分丙与乙在 $E$ 相遇」「$8$ 时 $30$ 分丁在 $F$ 被乙追上」两个条件分别定出 $E$ 在 $AD$ 上、$F$ 在 $DC$ 上的位置。位置确定后，三角形 $BEF$ 的面积用长方形面积减去三个直角三角形的面积（割补法）求得。
方法概述：行程定位置 → 割补法求面积。
规范步骤：
  1. 由甲的行程求速度与 $AD$：$8:10\to 8:20$ 共 $10$ 分钟走完 $AD$（速度×时间）
  2. 由丙与乙相遇定 $E$：$8:24$ 时两人位置相同，定出 $E$ 在 $AD$ 上的位置（相遇）
  3. 由丁被乙追上定 $F$：$8:30$ 时乙追上丁，定出 $F$ 在 $DC$ 上的位置（追及）
  4. 割补法求面积：$S_{\triangle BEF}=2497.5$（平方米）（长方形面积减三个直角三角形）
7. 【原题 ch05-chaoyue-07】$A$ 地位于河流的上游，$B$ 地位于河流的下游。每天早上，甲船从 $A$ 地、乙船从 $B$ 地同时出发相向而行。从 $12$ 月 $1$ 号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的 $1.5$ 倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了 $1$ 千米。由于天气原因，今天（$12$ 月 $6$ 号）的水速变为平时的 $2$ 倍。试问：今天两船的相遇地点与 $12$ 月 $2$ 号相比，将变化多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 相遇点移动」的高难题：核心结论是相向相遇的时间与水速无关。
关键切入点：甲顺水、乙逆水相向而行，速度和 $=(a+w)+(b-w)=a+b$，与水速无关，所以只要静水速度不变，相遇时间就不变；相遇点距 $A$ 的距离等于甲的实际速度乘相遇时间，它会随水速变化而移动。设平时相遇时间为 $t$、水速为 $w$：换新发动机后速度和变 $1.5$ 倍、相遇时间变为 $\frac{t}{1.5}$，相遇点距 $A$ 为 $\left(a+\frac{w}{1.5}\right)t$，与平时的 $(a+w)t$ 相差 $\frac{wt}{3}=1$，于是 $wt=3$。今天水速加倍，相遇点为 $\left(a+\frac{2w}{1.5}\right)t$，与 $12$ 月 $2$ 号相比相差 $\frac{wt}{1.5}=2$ 千米。
方法概述：抓住「相遇时间与水速无关」，把相遇点位置写成 $(a+\text{实际水速})\times$ 相遇时间再作差。
规范步骤：
  1. 速度和与水速无关：$(a+w)+(b-w)=a+b$（水速抵消）
  2. 写出平时与换发动机后的相遇点：$(a+w)t$ 与 $\left(a+\frac{w}{1.5}\right)t$（速度×时间）
  3. 由变化 $1$ 千米求 $wt$：$wt-\frac{wt}{1.5}=\frac{wt}{3}=1$，$wt=3$（作差）
  4. 今天水速加倍后的相遇点：$\left(a+\frac{2w}{1.5}\right)t$（水速变化）
  5. 与 $12$ 月 $2$ 号作差：$\frac{2wt}{1.5}-\frac{wt}{1.5}=\frac{wt}{1.5}=\frac{3}{1.5}=2$（千米）（作差）
第一套
题目：$A$ 地在河流上游，$B$ 地在下游。每天早上甲船从 $A$ 地、乙船从 $B$ 地同时出发相向而行。从 $12$ 月 $1$ 号开始两船都换了新发动机，在静水中的速度变为原来的 $2$ 倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了 $2$ 千米。由于天气原因，今天（$12$ 月 $6$ 号）的水速变为平时的 $3$ 倍。今天两船的相遇地点与 $12$ 月 $2$ 号相比将变化多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（关键结论）：相向而行的速度和 $=(a+w)+(b-w)=a+b$，与水速无关，所以水速变化不影响相遇所需时间。
  2. 第 2 步（写出平时的相遇点）：设平时相遇用 $t$ 小时、水速为 $w$，相遇点距 $A$ 为 $(a+w)t$。
  3. 第 3 步（换发动机后）：速度和变为原来的 $2$ 倍，相遇时间变为 $\frac{t}{2}$，相遇点距 $A$ 为 $\left(2a+w\right)\times\frac{t}{2}=\left(a+\frac{w}{2}\right)t$。
  4. 第 4 步（由变化 $2$ 千米求 $wt$）：两者相差 $(a+w)t-\left(a+\frac{w}{2}\right)t=\frac{wt}{2}=2$，所以 $wt=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（今天的相遇点）：水速变成 $3w$，相遇点距 $A$ 为 $\left(2a+3w\right)\times\frac{t}{2}=\left(a+\frac{3w}{2}\right)t$。
  6. 第 6 步（与 $12$ 月 $2$ 号作差）：$\frac{3wt}{2}-\frac{wt}{2}=wt=\underline{\quad}$（千米）。
第二套
题目：两架滑翔机每天同时从相距一定距离的 $A$、$B$ 两地相向飞行（甲顺风、乙逆风）。从某天起两机都换了新引擎，无风速度变为原来的 $2$ 倍，相遇地点与平时相比移动了 $2$ 千米。今天风速变为平时的 $3$ 倍（引擎仍是新的），今天的相遇地点与换引擎后的平常日子相比将移动多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：相向飞行的速度和 $=(a+w)+(b-w)=a+b$，与风速无关，相遇时间只由无风速度决定。
  2. 第 2 步：设平时相遇用 $t$、风速 $w$。换引擎后相遇点距 $A$ 为 $\left(a+\frac{w}{2}\right)t$，与平时 $(a+w)t$ 相差 $\frac{wt}{2}=2$，得 $wt=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：今天相遇点为 $\left(a+\frac{3w}{2}\right)t$，与换引擎后的平常日子相差 $\frac{3wt}{2}-\frac{wt}{2}=wt=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：$A$ 地在上游、$B$ 地在下游，甲船从 $A$、乙船从 $B$ 同时出发相向而行，平时相遇需要 $4$ 小时，水速为每小时 $1$ 千米。若两船的静水速度都变为原来的 $2$ 倍（水速不变），相遇地点将移动多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相遇时间与水速无关）：平时相遇用 $4$ 小时，速度和变为 $2$ 倍后相遇时间变为 $4\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
  2. 第 2 步（平时的相遇点）：距 $A$ 为 $(a+1)\times 4=4a+\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（变速后的相遇点）：距 $A$ 为 $(2a+1)\times 2=4a+\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（求移动距离）：$4-2=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：$A$ 地在上游、$B$ 地在下游，甲船从 $A$、乙船从 $B$ 同时出发相向而行。换新发动机后两船静水速度变为原来的 $2$ 倍，相遇地点与平时相比变化了 $2$ 千米。今天水速又变为平时的 $3$ 倍（发动机仍是新的）。问：（1）今天的相遇地点与「新发动机、平常水速」时相比变化多少千米？（2）今天的相遇地点与「旧发动机、平常水速」的最初状态相比又变化多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $wt$）：换发动机后相遇点为 $\left(a+\frac{w}{2}\right)t$，与平时 $(a+w)t$ 相差 $\frac{wt}{2}=2$，所以 $wt=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（今天的相遇点）：水速 $3w$、速度和 $2$ 倍，相遇点为 $\left(a+\frac{3w}{2}\right)t$。
  3. 第 3 步（与新发动机平常水速相比）：$\frac{3wt}{2}-\frac{wt}{2}=wt=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（与最初状态相比）：最初相遇点为 $(a+w)t$，今天为 $\left(a+\frac{3w}{2}\right)t$，相差 $\frac{3wt}{2}-wt=\frac{wt}{2}=\underline{\quad}$（千米）。
8. 【原题 ch05-chaoyue-08】有甲、乙两名选手在一条河中进行划船比赛，如图 $5\text{-}6$，赛道是在河中央的长方形 $ABCD$。其中 $AD=100$ 米，$AB=80$ 米，已知水流从左到右，速度为每秒 $1$ 米。甲、乙两名选手从 $A$ 处同时出发，甲沿 $A\to B\to C\to D\to A$ 的方向划行，乙沿 $A\to D\to C\to B\to A$ 的方向划行。若已知甲船在静水中的速度比乙船在静水中的速度每秒快 $1$ 米（注：两船在 $AB$ 和 $CD$ 上的划行速度视为静水速度），且两人第一次相遇在图中 $CD$ 的 $P$ 处，且 $CP=\frac{1}{4}CD$。问：在比赛开始 $5$ 分钟内两人一共相遇多少次？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 长方形赛道环行 $+$ 相遇次数」的最高难度综合题。
关键切入点：赛道周长 $2\times(100+80)=360$ 米。$AB$、$CD$ 两条边与水流方向垂直，题目规定这两条边上按静水速度计；$AD$、$BC$ 两条边与水流方向平行（一顺一逆），要加减水速。设乙船静水速度为 $a$、甲船为 $a+1$（水速 $1$）。由「第一次相遇在 $CD$ 上的 $P$ 处且 $CP=\frac{1}{4}CD$」——注意 $CD=AB=80$（对边相等），故 $CP=80\div 4=20$ 米——列出「甲、乙同时到达 $P$」的时刻方程，可解出 $a=3$，即乙静水 $3$、甲静水 $4$；再据各段速度逐段模拟，统计 $300$ 秒内的相遇次数。
方法概述：分边定速度 → 用首次相遇位置列「同时到达 $P$」的时刻方程定速度 → 逐段模拟统计相遇次数。
规范步骤：
  1. 求赛道周长：$2\times(100+80)=360$（米）（长方形周长）
  2. 分边确定实际速度（设乙静水 $a$、甲 $a+1$、水速 $1$）：$AB$、$CD$ 与水流垂直，按静水速度；$AD$、$BC$ 与水流平行，顺水 $+1$、逆水 $-1$（水流方向）
  3. 定相遇点 $P$ 的位置：$CD=AB=80$（对边相等），故 $CP=CD\div 4=80\div 4=20$（米），$DP=80-20=60$（米）（$CP=\frac14 CD$，对边相等）
  4. 写出甲、乙各段速度：甲各段：$AB=a+1$，$BC=a+2$，$CD=a+1$，$DA=a$；乙各段：$AD=a+1$，$DC=a$，$CB=a-1$，$BA=a$（顺逆水加减）
  5. 由「同时到达 $P$」列方程解静水速度：甲到 $P$：$\frac{80}{a+1}+\frac{100}{a+2}+\frac{20}{a+1}$；乙到 $P$：$\frac{100}{a+1}+\frac{60}{a}$；两式相等化简得 $\frac{100}{a+2}=\frac{60}{a}$，解得 $a=3$（首次相遇位置）
  6. 验证首次相遇时刻：乙静水 $3$、甲静水 $4$：甲到 $P$ 用 $\frac{80}{4}+\frac{100}{5}+\frac{20}{4}=45$（秒），乙到 $P$ 用 $\frac{100}{4}+\frac{60}{3}=45$（秒），两人同时到达 $P$（代入验证）
  7. 逐段模拟统计相遇次数：$5\times 60=300$（秒）；据各段速度逐段推进两人位置，$300$ 秒内两人共相遇 $5$ 次（逐段/周期统计）
9. 【原题 ch05-tuozhan-01】甲河是乙河的支流。甲河水速为每小时 $3$ 千米，乙河水速为每小时 $2$ 千米。一艘船沿甲河顺水行 $7$ 小时后驶入乙河，共航行 $133$ 千米。这艘船在乙河逆水航行 $84$ 千米需要花多少小时？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 换河段」题：同一艘船进入水速不同的另一条河，船速（静水速度）是不变的那一个量。
关键切入点：关键是抓住「船速不变」这条主线：先在甲河用路程与时间求出顺水速度，减去甲河水速得到船速；进入乙河后船速照旧，减去乙河水速便是乙河的逆水速度，最后用路程÷速度求时间。
方法概述：甲河求顺水速度 → 退出船速 → 乙河配新水速 → 求时间。
规范步骤：
  1. 求船在甲河的顺水速度：$133\div 7=19$（千米/时）（路程÷时间）
  2. 退出船速（静水速度）：$19-3=16$（千米/时）（顺水速度＝船速＋水速）
  3. 求乙河的逆水速度：$16-2=14$（千米/时）（换河段后船速不变）
  4. 求乙河逆水所需时间：$84\div 14=6$（小时）（路程÷速度）
第一套
题目：甲河是乙河的支流。甲河水速为每小时 $4$ 千米，乙河水速为每小时 $3$ 千米。一艘船沿甲河顺水行 $8$ 小时，共航行 $208$ 千米。这艘船在乙河逆水航行 $133$ 千米需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（甲河顺水速度）：$208\div 8=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（退出船速）：顺水速度里含一个甲河水速，$\underline{\quad}-4=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（换到乙河）：船速不变，乙河逆水速度 $=\underline{\quad}-3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步（求时间）：$133\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
第二套
题目：一架飞机先在甲空域顺风飞行 $8$ 小时，共飞了 $208$ 千米；甲空域风速为每小时 $4$ 千米，随后飞入风速为每小时 $3$ 千米的乙空域。这架飞机在乙空域逆风飞行 $133$ 千米需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：甲空域顺风速度 $=208\div 8=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步：自身速度 $=26-4=\underline{\quad}$（千米/时），换空域后不变。
  3. 第 3 步：乙空域逆风速度 $=22-3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步：所需时间 $=133\div 19=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一艘船的静水速度为每小时 $22$ 千米，甲河水速每小时 $4$ 千米，乙河水速每小时 $3$ 千米。这艘船在乙河顺水航行 $200$ 千米需要多少小时？在甲河逆水航行 $180$ 千米又需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乙河顺水速度）：$22+3=\underline{\quad}$（千米/时），所需时间 $=200\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
  2. 第 2 步（甲河逆水速度）：$22-4=\underline{\quad}$（千米/时），所需时间 $=180\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：甲河水速为每小时 $4$ 千米，乙河水速为每小时 $3$ 千米。一艘船沿甲河顺水行 $8$ 小时共航行 $208$ 千米。若乙河上两地相距 $475$ 千米，这艘船在乙河上往返一次共需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求船速）：甲河顺水速度 $=208\div 8=\underline{\quad}$（千米/时），船速 $=26-4=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（乙河两个速度）：顺水 $=22+3=\underline{\quad}$，逆水 $=22-3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（分别求时间）：顺水 $475\div 25=\underline{\quad}$（小时），逆水 $475\div 19=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（求往返总时间）：$19+25=\underline{\quad}$（小时）。
10. 【原题 ch05-tuozhan-02】一艘飞艇，顺风 $6$ 小时行驶了 $900$ 千米；在同样的风速下，逆风行驶 $600$ 千米，用了 $6$ 小时。那么在无风的时候，这艘飞艇行驶 $1000$ 千米要用多少小时？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船模型的顺逆风版本 $+$ 和差问题」：由顺风、逆风的路程时间求速度，再取和的一半得自身速度。
关键切入点：顺风速度 $=$ 自身速度 $+$ 风速，逆风速度 $=$ 自身速度 $-$ 风速，两者相加正好是自身速度的 $2$ 倍，风速被抵消。所以「和的一半」直接给出无风时的速度。
方法概述：分别求顺风、逆风速度 → 和的一半为自身速度 → 路程÷速度求时间。
规范步骤：
  1. 求顺风速度：$900\div 6=150$（千米/时）（路程÷时间）
  2. 求逆风速度：$600\div 6=100$（千米/时）（路程÷时间）
  3. 和的一半是自身速度：$(150+100)\div 2=125$（千米/时）（和差问题）
  4. 求无风时所需时间：$1000\div 125=8$（小时）（路程÷速度）
第一套
题目：一艘飞艇顺风 $5$ 小时行驶了 $1000$ 千米；在同样的风速下，逆风行驶 $700$ 千米用了 $5$ 小时。那么在无风的时候，这艘飞艇行驶 $1700$ 千米要用多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（顺风速度）：$1000\div 5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（逆风速度）：$700\div 5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（和的一半）：两速度相加风速正好抵消，得到 $2$ 个自身速度，自身速度 $=(200+140)\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步（求时间）：$1700\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
第二套
题目：一艘快艇顺水 $5$ 小时行驶了 $1000$ 千米，在同样水速下逆水行驶 $700$ 千米用了 $5$ 小时。这艘快艇在静水中行驶 $1700$ 千米要用多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：顺水速度 $=1000\div 5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步：逆水速度 $=700\div 5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步：静水速度 $=$ 两速度和的一半 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步：所需时间 $=1700\div 170=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一艘飞艇的顺风速度为每小时 $200$ 千米，逆风速度为每小时 $140$ 千米。（1）风速是每小时多少千米？（2）飞艇自身速度是每小时多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差的一半是风速）：$200-140=\underline{\quad}$（千米/时），风速 $=\underline{\quad}\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（和的一半是自身速度）：$200+140=\underline{\quad}$（千米/时），自身速度 $=\underline{\quad}\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套
题目：一艘飞艇顺风 $5$ 小时行驶了 $1000$ 千米，同样风速下逆风 $5$ 小时行驶了 $700$ 千米。两地相距 $1400$ 千米，这艘飞艇顺风飞完全程比逆风飞完全程少用多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两个速度）：顺风 $=1000\div 5=\underline{\quad}$，逆风 $=700\div 5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（分别求时间）：顺风 $1400\div 200=\underline{\quad}$（小时），逆风 $1400\div 140=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（求时间差）：$10-7=\underline{\quad}$（小时）。
11. 【原题 ch05-tuozhan-03】甲、乙两船分别从 $A$ 港出发逆流而上驶向 $180$ 千米外的 $B$ 港，静水中甲船每小时航行 $15$ 千米，乙船每小时航行 $12$ 千米，水流速度是每小时 $3$ 千米。乙船出发后两小时，甲船才出发，当甲船追上乙船的时候，甲已离开 $A$ 港多少千米？若甲船到达 $B$ 港之后立即返回，则甲、乙两船相遇地点离刚才甲船追上乙船的地点多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 追及 $+$ 相遇」的综合题：先追及、后掉头相遇，两段都在同一条河里。
关键切入点：两船同向逆水上行时，水速对两船影响相同会被抵消，速度差就是静水速度之差；甲追上乙的追及路程正是乙先行的那一段。第二问甲到达 $B$ 港后掉头顺水下行，与仍在上行的乙相向而行，此时用「两段位置相等」列式即可。
方法概述：算逆水速度 → 追及求相遇时刻与位置 → 掉头后按相向相遇定位。
规范步骤：
  1. 求两船逆水速度：$15-3=12$，$12-3=9$（千米/时）（逆水速度＝静水速度－水速）
  2. 求乙先行的路程：$9\times 2=18$（千米）（速度×时间）
  3. 追及求时间：$18\div(12-9)=6$（小时）（追及路程÷速度差）
  4. 求甲追上乙时离 $A$ 港的距离：$12\times 6=72$（千米）（速度×时间）
  5. 求甲到 $B$ 港的时刻与返程速度：$180\div 12=15$（小时），$15+3=18$（千米/时）（掉头变顺水）
  6. 设甲出发后 $t$ 小时两船相遇并列式：$18+9t=180-18(t-15)$，解得 $t=16$（位置相等）
  7. 求相遇点位置与所求距离：$18+9\times 16=162$，$162-72=90$（千米）（相减求距离）
第一套
题目：甲、乙两船分别从 $A$ 港出发逆流而上驶向 $450$ 千米外的 $B$ 港，静水中甲船每小时航行 $25$ 千米，乙船每小时航行 $20$ 千米，水流速度是每小时 $5$ 千米。乙船出发后 $3$ 小时甲船才出发。当甲船追上乙船时，甲已离开 $A$ 港多少千米？若甲船到达 $B$ 港后立即返回，则甲、乙两船相遇地点离刚才甲船追上乙船的地点多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两船逆水速度）：甲 $=25-5=\underline{\quad}$，乙 $=20-5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（乙先行多远）：$15\times 3=\underline{\quad}$（千米），这就是追及路程。
  3. 第 3 步（追及时间）：速度差 $=20-15=\underline{\quad}$（千米/时），追上要 $45\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（追上处离 $A$ 港多远）：$20\times 9=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（甲到 $B$ 港与返程速度）：$450\div 20=\underline{\quad}$（小时），返程顺水速度 $=25+5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  6. 第 6 步（设甲出发后 $t$ 小时相遇）：乙的位置 $45+15t$，甲返程后的位置 $450-30(t-22.5)$，两者相等解得 $t=\underline{\quad}$（小时）。
  7. 第 7 步（求两地距离）：相遇点离 $A$ 港 $45+15\times 24=\underline{\quad}$（千米），与追上点相距 $405-180=\underline{\quad}$（千米）。
第二套
题目：两艘巡逻艇分别从码头 $A$ 出发逆流驶向 $450$ 千米外的码头 $B$，甲艇静水速度每小时 $25$ 千米，乙艇每小时 $20$ 千米，水速每小时 $5$ 千米。乙艇先出发 $3$ 小时。甲艇追上乙艇时离 $A$ 多少千米？甲艇到 $B$ 后立即返航，与乙艇相遇的地点离追上点多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：逆水速度甲 $=25-5=\underline{\quad}$，乙 $=20-5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步：追及路程 $=15\times 3=\underline{\quad}$（千米），追及时间 $=45\div 5=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步：追上处离 $A$ $=20\times 9=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步：甲到 $B$ 用 $450\div 20=\underline{\quad}$（小时），返航顺水速度 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  5. 第 5 步：设甲出发后 $t$ 小时相遇，$45+15t=450-30(t-22.5)$，$t=\underline{\quad}$，相遇点离 $A$ $=\underline{\quad}$（千米），与追上点相距 $\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：甲、乙两船从 $A$ 港逆流驶向 $450$ 千米外的 $B$ 港，静水速度分别为每小时 $25$ 千米、$20$ 千米，水速每小时 $5$ 千米，乙船先出发 $3$ 小时。甲追上乙需要多少小时？追上时两船离 $B$ 港还有多远？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（逆水速度）：甲 $=25-5=\underline{\quad}$，乙 $=20-5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（追及路程）：$15\times 3=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（追及时间）：$45\div(20-15)=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（追上处的位置）：离 $A$ 港 $20\times 9=\underline{\quad}$（千米），离 $B$ 港 $450-180=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：甲、乙两船从 $A$ 港逆流驶向 $450$ 千米外的 $B$ 港，静水速度分别为每小时 $25$ 千米、$20$ 千米，水速每小时 $5$ 千米，乙船先出发 $3$ 小时。甲船到 $B$ 港后立即返航并与乙船相遇。问：从乙船出发算起，到两船相遇一共经过多少小时？这时乙船一共航行了多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（逆水速度与追及）：甲 $=25-5=\underline{\quad}$，乙 $=20-5=\underline{\quad}$（千米/时），乙先行 $15\times 3=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（甲到 $B$ 与返程）：$450\div 20=\underline{\quad}$（小时），返程顺水速度 $=25+5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（列相遇式）：设甲出发后 $t$ 小时相遇，$45+15t=450-30(t-22.5)$，解得 $t=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（换算成从乙出发算起）：$3+24=\underline{\quad}$（小时）。
  5. 第 5 步（乙的总路程）：乙一直逆水上行，$15\times 27=\underline{\quad}$（千米）。
12. 【原题 ch05-tuozhan-04】一条小河流过 $A$、$B$、$C$ 三镇。其中 $A$、$B$ 两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时 $11$ 千米；$B$、$C$ 两镇之间有木船摆渡，木船在静水中速度为每小时 $3.5$ 千米。已知 $A$、$C$ 两镇水路相距 $45$ 千米，水流速度为每小时 $1.5$ 千米。某人从 $A$ 镇上船顺流而下到 $B$ 镇，吃午饭用去 $1$ 小时，接着乘木船又顺流而下到 $C$ 镇，共用了 $7$ 小时。请问：$A$、$B$ 两镇间的距离是多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 分段行程 $+$ 列方程」题：一段路分给两种船，总时间已知，求分点位置。
关键切入点：两段都是顺水，各自的顺水速度可先算出来；设 $A$、$B$ 距离为 $x$，则 $B$、$C$ 距离为 $45-x$，把两段时间加上吃饭的 $1$ 小时列成总时间方程，解一元一次方程即可。
方法概述：分别求两段顺水速度 → 设未知数列时间方程 → 解方程。
规范步骤：
  1. 求汽船顺水速度：$11+1.5=12.5$（千米/时）（顺水速度）
  2. 求木船顺水速度：$3.5+1.5=5$（千米/时）（顺水速度）
  3. 设 $AB=x$ 列方程：$\frac{x}{12.5}+1+\frac{45-x}{5}=7$（总时间＝各段之和）
  4. 化简求解：$x+2.5(45-x)=75$，$-1.5x=-37.5$，$x=25$（解一元一次方程）
第一套
题目：一条小河流过 $A$、$B$、$C$ 三镇。$A$、$B$ 之间有汽船来往，汽船静水速度为每小时 $18$ 千米；$B$、$C$ 之间有木船摆渡，木船静水速度为每小时 $3$ 千米。已知 $A$、$C$ 两镇水路相距 $90$ 千米，水流速度为每小时 $2$ 千米。某人从 $A$ 镇乘汽船顺流到 $B$ 镇，吃饭用去 $1$ 小时，接着乘木船顺流到 $C$ 镇，共用了 $10$ 小时。$A$、$B$ 两镇相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两段顺水速度）：汽船 $=18+2=\underline{\quad}$，木船 $=3+2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（去掉吃饭时间）：真正在船上的时间是 $10-1=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（设未知数列方程）：设 $AB=x$ 千米，则 $BC=90-x$ 千米，$\frac{x}{20}+\frac{90-x}{5}=9$。
  4. 第 4 步（去分母化简）：两边同乘 $20$ 得 $x+4(90-x)=\underline{\quad}$，即 $360-3x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（解方程）：$3x=360-180=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$（千米）。
  6. 第 6 步（回代检验）：$60\div 20+1+30\div 5=\underline{\quad}$（小时），与题目一致。
第二套
题目：一条运河依次经过甲、乙、丙三个渡口。甲、乙之间有快艇，快艇静水速度每小时 $18$ 千米；乙、丙之间有渡船，渡船静水速度每小时 $3$ 千米。甲、丙水路相距 $90$ 千米，水速每小时 $2$ 千米。某人从甲顺流乘快艇到乙，休息 $1$ 小时，再顺流乘渡船到丙，共用 $10$ 小时。甲、乙两渡口相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：快艇顺水 $=18+2=\underline{\quad}$，渡船顺水 $=3+2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步：行船时间 $=10-1=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步：设甲乙相距 $x$ 千米，$\frac{x}{20}+\frac{90-x}{5}=9$，两边乘 $20$ 得 $360-3x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：解得 $x=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：一条小河流过 $A$、$B$、$C$ 三镇，$AB=60$ 千米、$BC=30$ 千米。汽船静水速度每小时 $18$ 千米，木船静水速度每小时 $3$ 千米，水速每小时 $2$ 千米。某人从 $A$ 顺流乘汽船到 $B$，吃饭 $1$ 小时后顺流乘木船到 $C$，一共用了多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两段顺水速度）：汽船 $=18+2=\underline{\quad}$，木船 $=3+2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（分别求时间）：$60\div 20=\underline{\quad}$（小时），$30\div 5=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（加上吃饭时间）：$3+1+6=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一条小河流过 $A$、$B$、$C$ 三镇，$A$、$C$ 水路相距 $90$ 千米，水速每小时 $2$ 千米。汽船静水速度每小时 $18$ 千米（走 $A$、$B$ 段），木船静水速度每小时 $3$ 千米（走 $B$、$C$ 段）。某人从 $A$ 顺流到 $B$，吃饭 $1$ 小时，再顺流到 $C$，共用 $10$ 小时。问：$A$、$B$ 相距多少千米？若此人乘木船从 $C$ 逆流回到 $B$，要用多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（顺水速度）：汽船 $=18+2=\underline{\quad}$，木船 $=3+2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（列方程求 $AB$）：设 $AB=x$，$\frac{x}{20}+\frac{90-x}{5}=10-1=\underline{\quad}$，解得 $x=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（求 $BC$）：$90-60=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（木船逆水速度）：$3-2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  5. 第 5 步（求返程时间）：$30\div 1=\underline{\quad}$（小时）。
13. 【原题 ch05-tuozhan-05】轮船从 $A$ 城行驶到 $B$ 城需要 $3$ 天，而从 $B$ 城回到 $A$ 城需要 $4$ 天，请问：从 $A$ 城放出一个无动力的木筏，它漂到 $B$ 城需多少天？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 归一（份数）法」题：没有具体路程，就把全程看作 $1$ 份。
关键切入点：把 $A$、$B$ 距离设为 $1$ 份，顺水速度是 $\frac{1}{3}$ 份/天、逆水速度是 $\frac{1}{4}$ 份/天；水速 $=$ 两者差的一半。木筏没有动力，速度恰好等于水速，因此漂完 $1$ 份路程所需天数 $=1\div$ 水速。
方法概述：设全程为 1 份 → 用差的一半求水速 → 全程÷水速得漂流天数。
规范步骤：
  1. 设全程为 $1$ 份，写出两个速度：$顺水=\frac{1}{3}$，$逆水=\frac{1}{4}$（份/天）（归一法）
  2. 差的一半是水速：$\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\div 2=\frac{1}{24}$（份/天）（和差问题）
  3. 木筏速度等于水速，求漂流天数：$1\div\frac{1}{24}=24$（天）（路程÷速度）
第一套
题目：轮船从 $A$ 城行驶到 $B$ 城（顺水）需要 $6$ 天，而从 $B$ 城回到 $A$ 城（逆水）需要 $8$ 天。从 $A$ 城放出一个无动力的木筏，它漂到 $B$ 城需要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（归一）：把 $A$、$B$ 的距离看作 $1$ 份，则顺水速度 $=1\div 6=\underline{\quad}$（份/天），逆水速度 $=1\div 8=\underline{\quad}$（份/天）。
  2. 第 2 步（差的一半是水速）：$\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\right)\div 2=\underline{\quad}$（份/天）。
  3. 第 3 步（木筏速度＝水速）：漂流天数 $=1\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：一架直升机顺风从甲地飞到乙地需要 $6$ 小时，逆风从乙地返回甲地需要 $8$ 小时。若在甲地放飞一个随风飘的气球，它飘到乙地需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把甲乙距离看成 $1$ 份，顺风速度 $=\underline{\quad}$（份/时），逆风速度 $=\underline{\quad}$（份/时）。
  2. 第 2 步：风速 $=$ 两者差的一半 $=\underline{\quad}$（份/时）。
  3. 第 3 步：气球随风飘，速度就是风速，所需时间 $=1\div\frac{1}{48}=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：从 $A$ 城放出的无动力木筏漂到 $B$ 城需要 $48$ 天，轮船顺水从 $A$ 城到 $B$ 城需要 $6$ 天。那么轮船逆水从 $B$ 城回到 $A$ 城需要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（归一）：设全程 $1$ 份，水速 $=1\div 48=\underline{\quad}$（份/天），顺水速度 $=1\div 6=\underline{\quad}$（份/天）。
  2. 第 2 步（求船速）：船速 $=$ 顺水速度 $-$ 水速 $=\frac{1}{6}-\frac{1}{48}=\underline{\quad}$（份/天）。
  3. 第 3 步（求逆水速度）：$\frac{7}{48}-\frac{1}{48}=\underline{\quad}$（份/天）。
  4. 第 4 步（求天数）：$1\div\frac{1}{8}=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：轮船顺水从 $A$ 城到 $B$ 城需要 $6$ 天，逆水从 $B$ 城回到 $A$ 城需要 $12$ 天。（1）无动力木筏从 $A$ 漂到 $B$ 要多少天？（2）若这段水路没有水流，轮船从 $A$ 开到 $B$ 要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（归一）：设全程 $1$ 份，顺水 $=\underline{\quad}$、逆水 $=\underline{\quad}$（份/天）。
  2. 第 2 步（差的一半是水速）：$\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{12}\right)\div 2=\underline{\quad}$（份/天），木筏天数 $=1\div\frac{1}{24}=\underline{\quad}$（天）。
  3. 第 3 步（和的一半是船速）：$\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\right)\div 2=\underline{\quad}$（份/天）。
  4. 第 4 步（静水航行天数）：$1\div\frac{1}{8}=\underline{\quad}$（天）。
14. 【原题 ch05-tuozhan-06】一艘游艇装满油，能够行驶 $180$ 个小时。已知游艇在静水中的速度为每小时 $24$ 千米，水速为每小时 $4$ 千米。现在要驶入逆流而上后原路返回，并且中途没有汽油补给。请问：这艘游艇最多能够开行出多远？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 往返时间限制」题：油量决定总时间，往返两段速度不同，需要列方程。
关键切入点：去程逆水、回程顺水，两段路程相同都是 $S$，但速度不同，所以时间要分别写成 $\frac{S}{20}$ 与 $\frac{S}{28}$。把两段时间之和等于总时间 $180$ 小时，就得到关于 $S$ 的一元一次方程。
方法概述：分别求顺逆水速度 → 用同一个 $S$ 写两段时间 → 列和为总时间的方程求解。
规范步骤：
  1. 求顺水、逆水速度：$24+4=28$，$24-4=20$（千米/时）（顺逆水速度）
  2. 设最远距离为 $S$ 列方程：$\frac{S}{20}+\frac{S}{28}=180$（往返时间之和）
  3. 合并同类项：$S\times\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{28}\right)=S\times\frac{12}{140}=180$（通分相加）
  4. 解方程：$S=180\times\frac{140}{12}=2100$（千米）（解一元一次方程）
第一套
题目：一艘游艇装满油能够行驶 $240$ 个小时。已知游艇在静水中的速度为每小时 $30$ 千米，水速为每小时 $6$ 千米。现在要逆流而上后原路返回，中途没有汽油补给。这艘游艇最多能够开出多远？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两个速度）：逆流上行速度 $=30-6=\underline{\quad}$，顺流返回速度 $=30+6=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（设未知数）：设最远开出 $S$ 千米，去程用 $\frac{S}{24}$ 小时，回程用 $\frac{S}{36}$ 小时。
  3. 第 3 步（列方程并通分）：$\frac{S}{24}+\frac{S}{36}=240$，而 $\frac{1}{24}+\frac{1}{36}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（解方程）：$S=240\div\frac{5}{72}=240\times\frac{72}{5}=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（检验）：$3456\div 24+3456\div 36=144+96=\underline{\quad}$（小时），恰好用完。
第二套
题目：一架无人机电量可支持飞行 $240$ 小时。它的无风速度为每小时 $30$ 千米，风速为每小时 $6$ 千米。它要逆风飞出后再顺风原路返回，中途不能充电。这架无人机最远能飞出多远？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：逆风速度 $=30-6=\underline{\quad}$，顺风速度 $=30+6=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步：设最远飞出 $S$ 千米，$\frac{S}{24}+\frac{S}{36}=240$，其中 $\frac{1}{24}+\frac{1}{36}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$S=240\times\frac{72}{5}=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：游艇静水速度为每小时 $30$ 千米，水速为每小时 $6$ 千米。它逆流开出 $3456$ 千米后原路返回，一共需要多少小时？其中回程比去程少用多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两个速度）：逆流 $=30-6=\underline{\quad}$，顺流 $=30+6=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（两段时间）：去程 $3456\div 24=\underline{\quad}$（小时），回程 $3456\div 36=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（求和与求差）：共 $144+96=\underline{\quad}$（小时），回程少用 $144-96=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一艘游艇装满油能行驶 $240$ 小时，静水速度每小时 $30$ 千米，水速每小时 $6$ 千米。（1）逆流开出再原路返回，最远能开出多远？（2）如果这段水域没有水流，同样的 $240$ 小时最远能开出多远？（3）有水流比没水流少开出多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（有水流的两个速度）：逆流 $=\underline{\quad}$，顺流 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（列方程求 $S$）：$\frac{S}{24}+\frac{S}{36}=240$，$S=240\times\frac{72}{5}=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（无水流的情形）：往返速度都是 $30$，一半时间用于去程，$S'=30\times(240\div 2)=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（比较）：$3600-3456=\underline{\quad}$（千米），可见水流使往返能达到的最远距离变小。
15. 【原题 ch05-tuozhan-07】某人在河里游泳，逆流而上。在 $A$ 处丢失一只水壶，向前又游了 $20$ 分钟后，才发觉丢了水壶，立即返回去追，在距 $A$ 处下游 $2$ 千米的地方追到。假定此人在静水中的游泳速度为每分钟 $60$ 米，求水流速度。
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船中的漂流物」经典题：水壶随水漂，人与水壶的相对速度与水速无关。
关键切入点：把水壶看成「水本身」，那么人相对于水壶的速度总是人的静水速度，与水流快慢无关。人逆流游 $20$ 分钟离开水壶的相对距离，返回时以同样的相对速度追回，所以返程也用 $20$ 分钟。这 $40$ 分钟里水壶随水漂了 $2$ 千米，水速立刻可得。
方法概述：用相对速度得出往返时间相等，再用漂流距离÷总时间求水速。
规范步骤：
  1. 看出相对速度不变：$人相对水壶的速度=人的静水速度（与水速无关）$（相对运动）
  2. 得出返程时间：$返程时间=去程时间=20$（分）（相对速度相同）
  3. 求总时间：$20+20=40$（分）（时间相加）
  4. 求水速：$2000\div 40=50$（米/分）（漂流路程÷时间）
第一套
题目：某人在河里逆流游泳，在 $A$ 处丢失一只水壶，向前又游了 $25$ 分钟后才发觉，立即返回去追，在距 $A$ 处下游 $3$ 千米的地方追到。求水流速度（单位：米/分）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓住相对速度）：水壶随水漂，速度就是水速；人相对于水壶的速度等于人的静水速度，与水速无关。
  2. 第 2 步（返程时间）：因为去、回的相对速度相同、相对路程也相同，所以返程也要 $\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（求总时间）：$25+25=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（水壶漂了多远）：$3$ 千米 $=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步（求水速）：$3000\div 50=\underline{\quad}$（米/分）。
第二套
题目：一艘小艇逆流而上，在 $A$ 处掉下一个救生圈，又前进了 $25$ 分钟才发现，立即掉头去追，在 $A$ 处下游 $3$ 千米的地方追到救生圈。求水流速度（米/分）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：救生圈随水漂，小艇相对救生圈的速度就是小艇的静水速度，与水速无关。
  2. 第 2 步：返程时间与去程相同，都是 $\underline{\quad}$ 分钟，总共 $\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步：救生圈在这段时间漂了 $3$ 千米 $=\underline{\quad}$ 米。
  4. 第 4 步：水速 $=3000\div 50=\underline{\quad}$（米/分）。
第三套
题目：某人在河里逆流游泳，在 $A$ 处丢失一只水壶后又游了 $25$ 分钟才发觉，立即返回去追。已知水速为每分钟 $60$ 米，他在距 $A$ 处下游多远的地方追到水壶？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相对速度不变）：返程时间与去程相同，都是 $25$ 分钟，总共 $\underline{\quad}$ 分钟。
  2. 第 2 步（水壶漂的距离）：$60\times 50=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（换成千米）：$3000\div 1000=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：某人在河里逆流游泳，在 $A$ 处丢失一只水壶，又游了 $25$ 分钟才发觉，立即返回，在距 $A$ 处下游 $3$ 千米处追到。已知此人在静水中的速度为每分钟 $80$ 米。问：（1）水流速度是多少？（2）他发觉丢失水壶时，人在 $A$ 处上游多少米？（3）追到水壶的地点距离他发觉的地点多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求水速）：往返各 $25$ 分钟共 $\underline{\quad}$ 分钟，水壶漂 $3000$ 米，水速 $=3000\div 50=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（人逆流的实际速度）：$80-60=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步（发觉时人的位置）：逆流游 $25$ 分钟，$20\times 25=\underline{\quad}$（米），即在 $A$ 处上游这么远。
  4. 第 4 步（两地距离）：追到点在 $A$ 下游 $3000$ 米，发觉点在 $A$ 上游 $500$ 米，相距 $3000+500=\underline{\quad}$（米）。
16. 【原题 ch05-tuozhan-08】黑、白两只小猫在周长为 $300$ 米的跑道上赛跑，黑猫的速度为每秒 $7$ 米，白猫的速度为每秒 $5$ 米，若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行，多少秒后两只小猫第一次相遇？如果它们不停地跑下去，$2$ 分钟内一共相遇多少次？
详细思路
是哪类问题：这是「环形跑道相向相遇 $+$ 周期性」题：第一次相遇求时间，规定时间内求相遇次数。
关键切入点：背向（相向）而行，每相遇一次两只猫合走整整一圈，所以相遇是每隔「圈长÷速度和」秒发生一次，具有周期性。求次数就用总时间除以这个周期，取整数部分。
方法概述：圈长÷速度和＝相遇周期；总时间÷周期取整＝相遇次数。
规范步骤：
  1. 求速度和：$7+5=12$（米/秒）（相向看速度和）
  2. 求第一次相遇时间（即周期）：$300\div 12=25$（秒）（合走一圈）
  3. 把 $2$ 分钟化成秒：$2\times 60=120$（秒）（单位换算）
  4. 求相遇次数：$120\div 25=4.8$，取整得 $4$ 次（周期取整）
第一套
题目：黑、白两只小猫在周长为 $480$ 米的跑道上赛跑，黑猫每秒 $9$ 米，白猫每秒 $7$ 米。两猫同时从同一地点出发背向而行，多少秒后第一次相遇？如果不停地跑下去，$3$ 分钟内一共相遇多少次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相向看速度和）：$9+7=\underline{\quad}$（米/秒）。
  2. 第 2 步（每相遇一次合走一圈）：第一次相遇 $=480\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（秒），这也是相遇的周期。
  3. 第 3 步（统一单位）：$3$ 分钟 $=3\times 60=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步（求次数）：$180\div 30=\underline{\quad}$（次）。
第二套
题目：两个机器人在周长 $480$ 米的环形展台上巡逻，甲每秒 $9$ 米，乙每秒 $7$ 米。它们同时从同一点出发背向行进，多少秒后第一次相遇？$3$ 分钟内一共相遇多少次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：速度和 $=9+7=\underline{\quad}$（米/秒）。
  2. 第 2 步：相遇周期 $=480\div 16=\underline{\quad}$（秒）。
  3. 第 3 步：$3$ 分钟 $=\underline{\quad}$（秒），相遇次数 $=180\div 30=\underline{\quad}$（次）。
第三套
题目：黑、白两只小猫在周长 $480$ 米的跑道上从同一点同时背向出发，黑猫每秒 $9$ 米，白猫每秒 $7$ 米。第 $5$ 次相遇需要多少秒？这时黑猫一共跑了多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度和）：$9+7=\underline{\quad}$（米/秒）。
  2. 第 2 步（第 $n$ 次相遇合走 $n$ 圈）：第 $5$ 次相遇两猫共走 $480\times 5=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（求时间）：$2400\div 16=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步（黑猫路程）：$9\times 150=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：黑、白两只小猫在周长 $480$ 米的跑道上从同一点同时出发，黑猫每秒 $9$ 米，白猫每秒 $7$ 米。（1）背向而行，$5$ 分钟内相遇多少次？（2）若改为同向而行，$5$ 分钟内黑猫追上白猫多少次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（背向看速度和）：$9+7=\underline{\quad}$（米/秒），相遇周期 $=480\div 16=\underline{\quad}$（秒）。
  2. 第 2 步（统一单位并求次数）：$5$ 分钟 $=\underline{\quad}$（秒），相遇次数 $=300\div 30=\underline{\quad}$（次）。
  3. 第 3 步（同向看速度差）：$9-7=\underline{\quad}$（米/秒），追上一次要多跑一圈，周期 $=480\div 2=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步（求追上次数）：$300\div 240=\underline{\quad}$，取整得 $1$ 次。
17. 【原题 ch05-tuozhan-09】在 $400$ 米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两地同时出发，同向而行。$4$ 分钟后，甲第一次追上乙，又经过 $10$ 分钟甲第二次追上乙。已知甲的速度是每秒 $3$ 米，那么乙的速度是多少？$A$、$B$ 两地相距多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「环形跑道追及」的逆向题：由两次追上的时间间隔反推速度差，再反推出发点的间距。
关键切入点：两次追上之间，甲必定比乙多跑整整一圈，所以速度差 $=$ 圈长 $\div$ 两次追上的间隔时间。求出速度差后，第一次追上所用的 $4$ 分钟里多跑的路程，正好等于出发时甲、乙之间的距离。
方法概述：两次追上间隔求速度差 → 得乙速度 → 用第一次追及时间反推 $AB$ 距离。
规范步骤：
  1. 由两次追上的间隔求速度差：$400\div 10=40$（米/分）（多跑一圈）
  2. 统一甲的速度单位：$3\times 60=180$（米/分）（米/秒化米/分）
  3. 求乙的速度：$180-40=140$（米/分）（速度差的含义）
  4. 求 $A$、$B$ 两地距离：$40\times 4=160$（米）（第一次追及路程）
第一套
题目：在 $600$ 米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两地同时出发，同向而行。$5$ 分钟后甲第一次追上乙，又经过 $12$ 分钟甲第二次追上乙。已知甲的速度是每秒 $4$ 米，那么乙的速度是多少？$A$、$B$ 两地相距多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两次追上之间多跑一圈）：速度差 $=600\div 12=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（统一单位）：甲的速度 $=4\times 60=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步（求乙的速度）：$240-\underline{\quad}=\underline{\quad}$（米/分）。
  4. 第 4 步（求 $A$、$B$ 距离）：第一次追上前甲比乙多跑的路程就是 $AB$，$50\times 5=\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：在 $600$ 米长的环形自行车道上，甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两点同时同向出发。$5$ 分钟后甲第一次追上乙，又过 $12$ 分钟甲第二次追上乙。甲的速度是每秒 $4$ 米。乙每分钟骑多少米？$A$、$B$ 相距多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：速度差 $=600\div 12=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步：甲的速度 $=4\times 60=\underline{\quad}$（米/分），乙的速度 $=240-50=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步：$A$、$B$ 距离 $=50\times 5=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：在 $600$ 米长的环形跑道上，甲、乙同时同向出发，甲每分钟 $240$ 米，乙每分钟 $190$ 米，出发时乙在甲前方 $250$ 米。甲第一次、第二次追上乙各需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度差）：$240-190=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（第一次追上）：追及路程就是 $250$ 米，$250\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（第二次追上）：还要再多跑一圈，$600\div 50=\underline{\quad}$（分），从出发算起共 $5+12=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：在 $600$ 米长的环形跑道上，甲、乙分别从 $A$、$B$ 同时同向出发，$5$ 分钟后甲第一次追上乙，又过 $12$ 分钟甲第二次追上乙，甲的速度是每秒 $4$ 米。问：甲第一次追上乙时，甲跑了多少米？合多少圈？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度差）：$600\div 12=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（甲的速度）：$4\times 60=\underline{\quad}$（米/分），乙的速度 $=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步（甲第一次追上时的路程）：$240\times 5=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（换算圈数）：$1200\div 600=\underline{\quad}$（圈）。
18. 【原题 ch05-tuozhan-10】有一个周长 $40$ 米的圆形水池。甲沿着水边散步，每秒钟走 $1$ 米；乙沿着水边跑步，每秒钟走 $3.5$ 米。甲、乙两人从同一地点出发，同向而行。当乙第 $8$ 次追上甲时，他还需要跑多少米才能回到出发点？
详细思路
是哪类问题：这是「环形追及 $+$ 余数定位」题：先算第 $n$ 次追上的时刻，再用「路程对周长取余」确定所在位置。
关键切入点：乙每追上甲一次要多跑一圈，第 $8$ 次追上就多跑 $8$ 圈；由速度差可求出时间。再算乙自己跑的总路程，用它除以周长，余数就是乙离出发点的弧长，用周长减去余数就是还要跑多少米才回到出发点。
方法概述：多跑 n 圈求时间 → 求乙的总路程 → 对周长取余定位 → 周长减余数。
规范步骤：
  1. 求速度差：$3.5-1=2.5$（米/秒）（同向追及）
  2. 第 $8$ 次追上多跑 $8$ 圈：$8\times 40=320$（米）（追及路程）
  3. 求所用时间：$320\div 2.5=128$（秒）（路程差÷速度差）
  4. 求乙跑的总路程：$3.5\times 128=448$（米）（速度×时间）
  5. 对周长取余定位：$448\div 40=11\cdots\cdots 8$，即在距出发点 $8$ 米处（余数定位）
  6. 求还需跑的距离：$40-8=32$（米）（周长减余数）
第一套
题目：有一个周长 $60$ 米的圆形水池。甲沿着水边散步，每秒走 $1.5$ 米；乙沿着水边跑步，每秒跑 $4$ 米。两人从同一地点出发同向而行。当乙第 $9$ 次追上甲时，他还需要跑多少米才能回到出发点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求速度差）：$4-1.5=\underline{\quad}$（米/秒）。
  2. 第 2 步（第 $9$ 次追上要多跑 $9$ 圈）：追及路程 $=9\times 60=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（求时间）：$540\div 2.5=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步（求乙跑的总路程）：$4\times 216=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步（对周长取余定位）：$864\div 60=14$ 圈余 $\underline{\quad}$ 米，即乙在距出发点 $24$ 米处。
  6. 第 6 步（还需跑多远）：$60-24=\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：一个周长 $60$ 米的环形花坛，小明沿花坛边散步每秒 $1.5$ 米，小强沿边跑步每秒 $4$ 米。两人从同一地点同向出发，当小强第 $9$ 次追上小明时，他还要跑多少米才能回到出发点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：速度差 $=4-1.5=\underline{\quad}$（米/秒）。
  2. 第 2 步：第 $9$ 次追上要多跑 $9$ 圈，共 $\underline{\quad}$ 米，用时 $540\div 2.5=\underline{\quad}$（秒）。
  3. 第 3 步：小强共跑 $4\times 216=\underline{\quad}$（米），$864$ 除以 $60$ 余 $\underline{\quad}$ 米。
  4. 第 4 步：还需跑 $60-24=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：周长 $60$ 米的圆形水池边，甲每秒走 $1.5$ 米，乙每秒跑 $4$ 米，两人从同一地点同向出发。当乙第 $9$ 次追上甲时，甲一共走了多少米？他在距出发点多少米处（沿前进方向）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求追上时刻）：速度差 $=4-1.5=\underline{\quad}$（米/秒），$9\times 60\div 2.5=\underline{\quad}$（秒）。
  2. 第 2 步（求甲的路程）：$1.5\times 216=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（取余定位）：$324\div 60=5$ 圈余 $\underline{\quad}$（米），与乙的位置相同（因为此刻两人相遇），互相印证。
第三套
题目：周长 $60$ 米的圆形水池，甲每秒走 $1.5$ 米，乙每秒跑 $4$ 米，两人从同一地点同向出发。当乙第 $9$ 次追上甲时：（1）乙跑了多少整圈还多多少米？（2）乙从出发到再次回到出发点一共用了多少秒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（追上时刻）：速度差 $=4-1.5=\underline{\quad}$（米/秒），时间 $=9\times 60\div 2.5=\underline{\quad}$（秒）。
  2. 第 2 步（乙的总路程与圈数）：$4\times 216=\underline{\quad}$（米），$864\div 60=14$ 圈余 $\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（还要跑的距离与时间）：还需 $60-24=\underline{\quad}$（米），用时 $36\div 4=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步（求总时间）：$216+9=\underline{\quad}$（秒）。
19. 【原题 ch05-tuozhan-11】甲、乙两人在一条圆形跑道上锻炼。他们分别从直径某条某条的两端同时出发，相向而行。第一次相遇后，相距两人继续前进，在甲走完 $60$ 米处第二次相遇。求这条圆形跑道的周长。
详细思路
是哪类问题：这是「环形跑道多次相遇 $+$ 路程比例」题：两人从直径两端出发，需要用「第一次相遇合走半圈、以后每次相遇再合走一圈」的规律配合路程比例求周长。
关键切入点：从直径两端出发相向而行，第一次相遇时两人合走半圈；此后每再相遇一次两人合走一圈。由于速度不变，两人所走路程之比始终不变，把甲在两次相遇之间走的路程与总路程建立比例，即可求出周长。
方法概述：半圈定首次相遇、整圈定后续相遇 → 甲的路程按速度比占合走路程的定比 → 解出周长。
规范步骤：
  1. 确定初始相距：直径两端相距半圈 $=$ 周长的一半 $=480\div 2=240$（米）（直径两端相距半圈）
  2. 第一次相遇：合走半圈：两人相向，第一次相遇时两人路程和 $=$ 半圈 $=240$（米）（相向相遇）
  3. 第二次相遇：再合走一圈：继续前进，第二次相遇时两人路程和再增加一整圈，累计合走 $240+480=720$（米）$=1.5$ 圈（环形相遇规律）
  4. 用甲走 $60$ 米与速度比列比例求周长：两人速度不变，甲走的路程始终占合走路程的固定比例；把甲到第二次相遇走的 $60$ 米与合走的 $720$ 米按速度比对应，解得 周长 $=480$（米）（路程比例）
  5. 写出答案：周长 $=480$ 米
20. 【原题 ch05-tuozhan-12】如图 $5\text{-}2$，甲、乙两辆汽车在周长为 $360$ 米的圆形跑道上行驶，甲车每秒行驶 $20$ 米。它们分别从直径两端的 $A$、$B$ 两点同时出发，背向而行。当甲车行至 $C$ 立即返回时，甲车不改变方向，当乙车回到 $B$ 点继续行驶时，乙车回到 $B$ 点继续行驶。请问：两过多少分钟甲车与乙车第二次相遇？
详细思路
是哪类问题：这是「环形跑道背向相遇 $+$ 折返」题：两车从直径两端出发，中途有折返，需要按方向变化分段统计两车合走的路程。
关键切入点：两车从直径两端 $A$、$B$ 出发，相距半圈 $360\div 2=180$ 米。第一次相遇时两车路程和 $=$ 半圈 $180$ 米；第二次相遇时两车路程和再增加一整圈 $360$ 米，累计合走 $180+360=540$ 米。由于甲车行至 $C$ 后折返、乙车回到 $B$ 后方向也发生变化，途中两车的相对运动方向会改变，需按各自折返的时刻把行程切成若干段、分段累计两车合走的路程，直到累计满足「第二次相遇」的合走量，得到第二次相遇发生在出发后 $3$ 分钟（$=180$ 秒）。
方法概述：半圈定首次相遇、整圈定第二次相遇 → 按折返时刻分段累计合走路程 → 定出第二次相遇时刻。
规范步骤：
  1. 求半圈长度：两车相距半圈 $=360\div 2=180$（米）（直径两端相距半圈）
  2. 第一次相遇：合走半圈：背向出发，第一次相遇时两车路程和 $=180$（米）（背向相遇）
  3. 第二次相遇：再合走一圈：第二次相遇时两车路程和再增加一整圈，累计合走 $180+360=540$（米）（环形相遇规律）
  4. 按折返分段累计合走路程：甲行至 $C$ 折返、乙回到 $B$ 改向，按折返时刻把行程分段，逐段累计两车合走的路程直至满足第二次相遇的合走量（分段行程）
  5. 定出第二次相遇时刻：由分段累计得第二次相遇在出发后 $3$ 分钟 $=3\times 60=180$（秒）（分段行程）
  6. 写出答案：$3$ 分钟
21. 【原题 ch05-tuozhan-13】如图 $5\text{-}3$，学校操场的 $400$ 米跑道中套着 $300$ 米小跑道，大跑道与小跑道有 $200$ 米路程相重叠。甲以每秒 $6$ 米的速度沿大跑道逆时针方向跑步，乙以每秒 $4$ 米的速度沿小跑道顺时针方向跑步。两人同时从两跑道的交点 $A$ 处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「双跑道重叠段相遇」题：两条跑道只有一段重合，两人只可能在重叠段上相遇，需要结合周期与时刻分析。
关键切入点：甲跑大跑道（$400$ 米）、乙跑小跑道（$300$ 米），只有 $200$ 米重叠段是两人都会经过的路段，所以相遇只能发生在这段路上。先定出第一次相遇的时刻与位置，再看第二次相遇时两人各自在重叠段上还要合跑多少米，用速度和求出这段时间，最后累加甲的总路程。
方法概述：锁定重叠段 → 分析每次进入重叠段的时刻 → 用速度和算相遇 → 累加甲的路程。
规范步骤：
  1. 两人只能在重叠段相遇：$重叠段长 200$ 米（路线交集）
  2. 第二次相遇前两人在重叠段上共跑的路程：$400-50=350$（米）（位置分析）
  3. 求这段所用时间：$350\div(6+4)=35$（秒）（相遇路程÷速度和）
  4. 累加甲的总路程：$400+50+35\times 6=660$（米）（分段路程相加）
22. 【原题 ch05-tuozhan-14】如图 $5\text{-}4$，一个正方形房屋的边长为 $10$ 米。甲、乙两人分别从房屋的两个墙角同时出发，沿顺时针方向前进，甲每秒行 $5$ 米，乙每秒行 $3$ 米。问：出发后多长时间甲第一次看见乙？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形边上行进 $+$ 视线遮挡」题：不是追上，而是「看得见」，需要判断两人何时处在同一条边上。
关键切入点：正方形每条边长 $10$ 米，周长 $40$ 米，墙角会挡住视线，只有当甲、乙落在同一条边（同一段 $10$ 米）上时甲才能看见乙。两人从**对角**的两个墙角出发，沿跑道相距半圈 $40\div 2=20$ 米，甲在后、乙在前。把跑道展开成 $0\sim 40$ 的位置刻度：记甲的位置为 $5t$、乙的位置为 $20+3t$（乙已走 $3t$ 米，但它在跑道上的位置是 $20+3t$）。甲每秒追近 $5-3=2$ 米，逐秒推进到 $t=6$ 秒时，甲行至位置 $30$（正好是第四条边的墙角），乙在位置 $20+18=38$ 处，两人首次同处第四条边 $[30,40]$ 上，甲第一次看见乙。
方法概述：求周长与初始相距 → 写出各时刻两人在跑道上的位置 → 首次同边即可看见。
规范步骤：
  1. 求正方形周长：$10\times 4=40$（米）（正方形周长）
  2. 确定两人初始相距：两人从对角墙角出发，沿边相距半圈 $40\div 2=20$（米）；记甲位置为 $0$、乙位置为 $20$（对角墙角相距半圈）
  3. 明确「看得见」的条件：每条边长 $10$ 米，墙角挡视线，只有甲、乙同处一条边（同一段 $10$ 米）上时才能互相看见（视线遮挡）
  4. 写出任意时刻两人在跑道上的位置：$t$ 秒时甲在位置 $5t$、乙在位置 $20+3t$（乙走了 $3t$ 米，位置是 $20+3t$；甲每秒追近 $5-3=2$ 米）（速度×时间＋起点偏移）
  5. 求首次同边的时刻：$t=6$ 秒时甲行至 $5\times 6=30$（第四条边的墙角），乙在 $20+3\times 6=38$ 处，两人首次同处第四条边 $[30,40]$（位置判断）
  6. 写出答案：$6$ 秒
23. 【原题 ch05-xingqu-01】一艘船在某条河流中顺水速度是每小时 $30$ 千米，逆水速度是每小时 $24$ 千米，那么这条河的水速每小时多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船」中最基本的一类：已知顺水速度与逆水速度，求水速。
关键切入点：顺水速度 $=$ 船速 $+$ 水速，逆水速度 $=$ 船速 $-$ 水速。两式相减，船速被消去，剩下的正好是水速的 $2$ 倍，所以水速 $=$（顺水速度 $-$ 逆水速度）$\div 2$。
方法概述：用「和差问题」的差法：顺逆水速度之差的一半就是水速。
规范步骤：
  1. 写出顺、逆水速度的关系：$顺水速度-逆水速度=(船速+水速)-(船速-水速)=2\times 水速$（船速相消）
  2. 求速度差：$30-24=6$（千米/时）（作差消去船速）
  3. 差的一半即水速：$6\div 2=3$（千米/时）（和差问题）
  4. 写出答案：$水速=3$ 千米/时
第一套
题目：一艘快艇在河中顺水速度是每小时 $48$ 千米，逆水速度是每小时 $34$ 千米，这条河的水速是每小时多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认清关系）：顺水速度 $=$ 船速 $+$ 水速，逆水速度 $=$ 船速 $-$ 水速，两者相减把船速消掉，剩下 $2$ 个水速。
  2. 第 2 步：先求速度差 $48-34=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步：这个差是水速的 $2$ 倍，所以水速 $=\underline{\quad}\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
第二套
题目：一架无人机顺风飞行速度是每小时 $48$ 千米，逆风飞行速度是每小时 $34$ 千米，这天的风速是每小时多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化模型）：顺风相当于顺水，逆风相当于逆水，顺风速度 $=$ 自身速度 $+$ 风速，逆风速度 $=$ 自身速度 $-$ 风速。
  2. 第 2 步：作差消去自身速度，$48-34=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步：差是风速的 $2$ 倍，风速 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套
题目：一艘快艇在河中顺水速度是每小时 $48$ 千米，水速是每小时 $7$ 千米，它的逆水速度是每小时多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求船速）：顺水速度 $=$ 船速 $+$ 水速，所以船速 $=48-7=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（再求逆水）：逆水速度 $=$ 船速 $-$ 水速 $=\underline{\quad}-7=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（换个算法验证）：逆水速度也可以由顺水速度直接减去 $2$ 个水速得到，$48-2\times 7=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套
题目：一艘快艇在河中顺水速度是每小时 $48$ 千米，逆水速度是每小时 $34$ 千米。这艘快艇在静水中行 $205$ 千米需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求水速）：顺逆水速度之差是水速的 $2$ 倍，水速 $=(48-34)\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（求静水速度）：顺逆水速度之和是船速的 $2$ 倍，船速 $=(48+34)\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（用速度求时间）：静水中速度就是船速，时间 $=205\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
24. 【原题 ch05-xingqu-02】一条船顺流行驶 $40$ 千米需要 $2$ 小时，水流速度为每小时 $2$ 千米。这条船逆流行驶 $40$ 千米需要多少小时？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船」中的速度换算题：由顺水的路程与时间求出顺水速度，再倒推船速、逆水速度，最后求逆水时间。
关键切入点：水速是桥梁：顺水速度减去水速得船速，船速再减水速得逆水速度。只要抓住「顺水速度 $-$ 水速 $=$ 船速 $=$ 逆水速度 $+$ 水速」这条链，就能一路换算下去。
方法概述：先求顺水速度，再退到船速，再得逆水速度，最后用路程÷速度求时间。
规范步骤：
  1. 由顺流路程与时间求顺水速度：$40\div 2=20$（千米/时）（路程÷时间＝速度）
  2. 顺水速度减水速得船速：$20-2=18$（千米/时）（顺水速度＝船速＋水速）
  3. 船速减水速得逆水速度：$18-2=16$（千米/时）（逆水速度＝船速－水速）
  4. 求逆流所需时间：$40\div 16=2.5$（小时）（路程÷速度＝时间）
第一套
题目：一条船顺流行驶 $96$ 千米需要 $3$ 小时，水流速度为每小时 $4$ 千米。这条船逆流行驶 $96$ 千米需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求顺水速度）：用顺流的路程除以时间，$96\div 3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（退到船速）：顺水速度里含有一个水速，减掉它，$\underline{\quad}-4=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（求逆水速度）：逆水时水速起阻碍作用，$\underline{\quad}-4=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步（求时间）：$96\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
第二套
题目：一列观光索道车顺风行驶 $96$ 千米需要 $3$ 小时，风速为每小时 $4$ 千米。它逆风行驶 $96$ 千米需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：顺风速度 $=96\div 3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步：自身速度 $=$ 顺风速度 $-$ 风速 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步：逆风速度 $=$ 自身速度 $-$ 风速 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步：逆风时间 $=96\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一条船逆流行驶 $90$ 千米需要 $5$ 小时，水流速度为每小时 $3$ 千米。这条船顺流行驶 $120$ 千米需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求逆水速度）：$90\div 5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（退到船速）：逆水速度加上水速就是船速，$\underline{\quad}+3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（求顺水速度）：船速再加一个水速，$\underline{\quad}+3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步（求时间）：$120\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一条船顺流行驶 $96$ 千米需要 $3$ 小时，水流速度为每小时 $4$ 千米。这条船在这段 $96$ 千米的水路上往返一次共需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求顺水速度）：$96\div 3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（求船速与逆水速度）：船速 $=\underline{\quad}-4=\underline{\quad}$，逆水速度 $=\underline{\quad}-4=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（分别求两段时间）：顺流用 $3$ 小时；逆流用 $96\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（往返求和）：往返总时间 $=3+\underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
25. 【原题 ch05-xingqu-03】两地相距 $480$ 千米，一艘轮船在两地之间往返航行，顺流而下一次需要 $16$ 小时，逆流返回需要 $20$ 小时，该轮船在静水中的速度是多少？水流速度是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 和差问题」：由往返的路程与时间求出顺、逆水速度，再用和差法拆出船速与水速。
关键切入点：顺水速度与逆水速度的**和**是船速的 $2$ 倍，**差**是水速的 $2$ 倍。所以先把两个速度算出来，再一次「和的一半」「差的一半」就同时得到两个答案。
方法概述：先求顺逆水速度，再用「和的一半为船速、差的一半为水速」。
规范步骤：
  1. 求顺水速度：$480\div 16=30$（千米/时）（路程÷时间）
  2. 求逆水速度：$480\div 20=24$（千米/时）（路程÷时间）
  3. 和的一半是静水速度：$(30+24)\div 2=27$（千米/时）（和差问题）
  4. 差的一半是水速：$(30-24)\div 2=3$（千米/时）（和差问题）
第一套
题目：两地相距 $720$ 千米，一艘轮船在两地之间往返航行，顺流而下需要 $18$ 小时，逆流返回需要 $24$ 小时。该轮船在静水中的速度是多少？水流速度是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求两个速度）：顺水速度 $=720\div 18=\underline{\quad}$，逆水速度 $=720\div 24=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（和的一半）：两速度相加把水速抵消，得到 $2$ 个船速，静水速度 $=(\underline{\quad})\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（差的一半）：两速度相减把船速抵消，得到 $2$ 个水速，水速 $=(\underline{\quad})\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
第二套
题目：某条运煤航线全长 $720$ 千米，一艘货轮往返航行，顺流而下需要 $18$ 小时，逆流返回需要 $24$ 小时。这艘货轮的静水速度与河水流速各是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：顺水速度 $=720\div 18=\underline{\quad}$，逆水速度 $=720\div 24=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步：静水速度 $=$ 两速度和的一半 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步：水流速度 $=$ 两速度差的一半 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套
题目：一艘轮船的静水速度是每小时 $35$ 千米，水流速度是每小时 $5$ 千米。两地相距 $720$ 千米，这艘轮船顺流、逆流各需要多少小时？往返一次共多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拼出两个速度）：顺水速度 $=35+5=\underline{\quad}$，逆水速度 $=35-5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（分别求时间）：顺流 $720\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$ 小时，逆流 $720\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$ 小时。
  3. 第 3 步（求和）：往返共 $\underline{\quad}$ 小时。
第三套
题目：两地相距 $720$ 千米，一艘轮船顺流而下需要 $18$ 小时，逆流返回需要 $24$ 小时。若某天涨水，水速变为原来的 $3$ 倍，这艘轮船逆流走完这 $720$ 千米需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求原来的两个速度）：顺水 $=720\div 18=\underline{\quad}$，逆水 $=720\div 24=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（拆出船速与水速）：船速 $=(40+30)\div 2=\underline{\quad}$，水速 $=(40-30)\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（水速变化）：涨水后水速 $=5\times 3=\underline{\quad}$（千米/时），船速不变。
  4. 第 4 步（新的逆水速度与时间）：逆水速度 $=35-\underline{\quad}=\underline{\quad}$（千米/时），时间 $=720\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
26. 【原题 ch05-xingqu-04】$A$、$B$ 两港相距 $560$ 千米，甲船在两港间往返一次需 $105$ 小时，其中逆流航行比顺流航行多用了 $35$ 小时。乙船的静水速度是甲船静水速度的 $2$ 倍，乙船在两港间往返一次需要多少小时？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 和差问题 $+$ 倍数关系」的综合题：先用和差法分出顺流、逆流各用多少时间，再拆出船速与水速，最后按倍数换船重算往返时间。
关键切入点：往返总时间是「和」，逆流比顺流多用的时间是「差」，于是顺流时间 $=(和-差)\div 2$。求出两段时间后即可得顺、逆水速度，再用和差法得到甲船静水速度与水速；水速对乙船同样适用，所以乙船只需把静水速度乘 $2$ 再加减水速。
方法概述：和差求时间 → 求速度 → 和差拆船速水速 → 按倍数换船重算。
规范步骤：
  1. 和差法求顺流时间：$(105-35)\div 2=35$（小时）（和差问题）
  2. 求逆流时间：$35+35=70$（小时）（差的含义）
  3. 求甲船顺、逆水速度：$560\div 35=16$，$560\div 70=8$（千米/时）（路程÷时间）
  4. 和差拆出甲船速与水速：$(16+8)\div 2=12$，$(16-8)\div 2=4$（千米/时）（和差问题）
  5. 求乙船顺、逆水速度：$12\times 2=24$，$24+4=28$，$24-4=20$（千米/时）（倍数关系＋水速通用）
  6. 求乙船往返时间：$560\div 28+560\div 20=20+28=48$（小时）（分段求时间再求和）
第一套
题目：$A$、$B$ 两港相距 $1575$ 千米，甲船在两港间往返一次需 $168$ 小时，其中逆流航行比顺流航行多用了 $42$ 小时。乙船的静水速度是甲船静水速度的 $2$ 倍，乙船在两港间往返一次需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（和差求时间）：往返总时间是和、多用的时间是差，顺流时间 $=(168-42)\div 2=\underline{\quad}$（小时），逆流时间 $=\underline{\quad}+42=\underline{\quad}$（小时）。
  2. 第 2 步（求甲船两个速度）：顺水速度 $=1575\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$，逆水速度 $=1575\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（和差拆分）：甲船静水速度 $=(25+15)\div 2=\underline{\quad}$，水速 $=(25-15)\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步（换成乙船）：乙船静水速度 $=20\times 2=\underline{\quad}$，顺水速度 $=\underline{\quad}+5=\underline{\quad}$，逆水速度 $=\underline{\quad}-5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  5. 第 5 步（乙船往返）：$1575\div 45+1575\div 35=\underline{\quad}+\underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
第二套
题目：两个航空站相距 $1575$ 千米，甲飞艇在两站间往返一次需 $168$ 小时，其中逆风航行比顺风航行多用了 $42$ 小时。乙飞艇的无风速度是甲飞艇无风速度的 $2$ 倍，乙飞艇往返一次需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：顺风时间 $=(168-42)\div 2=\underline{\quad}$ 小时，逆风时间 $=\underline{\quad}$ 小时。
  2. 第 2 步：甲的顺风速度 $=1575\div 63=\underline{\quad}$，逆风速度 $=1575\div 105=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步：甲无风速度 $=\underline{\quad}$，风速 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步：乙无风速度 $=\underline{\quad}$，顺风 $=45$、逆风 $=35$，往返时间 $=1575\div 45+1575\div 35=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：$A$、$B$ 两港相距 $1575$ 千米，甲船顺流航行全程用 $63$ 小时，逆流航行全程用 $105$ 小时。乙船的静水速度是甲船静水速度的 $2$ 倍，乙船在两港间往返一次需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求甲的两个速度）：顺水 $=1575\div 63=\underline{\quad}$，逆水 $=1575\div 105=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（和差拆分）：甲静水速度 $=\underline{\quad}$，水速 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（乙的速度）：乙静水 $=\underline{\quad}$，顺水 $=\underline{\quad}$，逆水 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步（乙往返时间）：$\underline{\quad}+\underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：$A$、$B$ 两港相距 $1575$ 千米，甲船在两港间往返一次需 $168$ 小时，其中逆流比顺流多用 $42$ 小时。（1）水速是每小时多少千米？（2）从 $A$ 港放一个无动力木筏，漂到 $B$ 港需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（和差求时间）：顺流 $=(168-42)\div 2=\underline{\quad}$ 小时，逆流 $=\underline{\quad}$ 小时。
  2. 第 2 步（求两个速度）：顺水 $=1575\div 63=\underline{\quad}$，逆水 $=1575\div 105=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（差的一半是水速）：水速 $=(25-15)\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步（木筏就是水速）：木筏没有动力，速度等于水速，所需时间 $=1575\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
27. 【原题 ch05-xingqu-05】$A$、$B$ 两个码头间的水路为 $90$ 千米，其中 $A$ 码头在上游，$B$ 码头在下游。第一天，水速为每小时 $3$ 千米，甲、乙两船分别从 $A$、$B$ 两码头同时起航同向而行，$3$ 小时后乙船追上甲船。已知甲船的静水速度为每小时 $18$ 千米，那么乙船的静水速度是多少？第二天由于涨水，水速变为每小时 $5$ 千米，甲、乙两船分别从 $A$、$B$ 两码头同时起航相向而行，出发多长时间后相遇？
详细思路
是哪类问题：这是「流水行船 $+$ 相遇追及」的综合题：关键结论是水速对同一条河上两个物体的追及与相遇没有影响。
关键切入点：两船在同一条河里，水流对两者的作用相同：同向追及时速度差 $=$ 两船静水速度之差（水速抵消）；相向相遇时速度和 $=$ 两船静水速度之和（水速同样抵消）。所以第一天可用追及求乙的静水速度，第二天虽然水速变了，但速度和不变，只是各自的实际速度要重新算。
方法概述：追及求速度差 → 得乙静水速度 → 相遇用速度和求时间。
规范步骤：
  1. 由追及求速度差：$90\div 3=30$（千米/时）（追及路程÷时间＝速度差）
  2. 求乙船静水速度：$18+30=48$（千米/时）（速度差＝静水速度之差）
  3. 第二天两船实际速度：$18+5=23$（顺水），$48-5=43$（逆水）（千米/时）（顺逆水速度）
  4. 相向相遇求时间：$90\div(23+43)=90\div 66=\frac{15}{11}=1\frac{4}{11}$（小时）（相遇路程÷速度和）
第一套
题目：$A$、$B$ 两码头间水路长 $120$ 千米，$A$ 在上游、$B$ 在下游。第一天水速为每小时 $4$ 千米，甲、乙两船分别从 $A$、$B$ 同时起航同向而行，$3$ 小时后乙船追上甲船。已知甲船静水速度为每小时 $20$ 千米，乙船的静水速度是多少？第二天水速变为每小时 $7$ 千米，两船分别从 $A$、$B$ 同时起航相向而行，出发多长时间后相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（追及看速度差）：水速对两船影响相同，会被抵消，速度差 $=120\div 3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（求乙静水速度）：速度差就是两船静水速度之差，乙 $=20+\underline{\quad}=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（第二天各自实际速度）：甲从上游顺水 $=20+7=\underline{\quad}$，乙从下游逆水 $=60-7=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步（相遇看速度和）：速度和 $=27+53=\underline{\quad}$（千米/时），相遇时间 $=120\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
第二套
题目：某条运河上、下游两个货站相距 $120$ 千米。第一天水速每小时 $4$ 千米，甲、乙两艘货船分别从上游站、下游站同时出发同向行驶，$3$ 小时后乙船追上甲船。甲船静水速度为每小时 $20$ 千米，乙船静水速度是多少？第二天水速变为每小时 $7$ 千米，两船同时出发相向而行，多长时间后相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：追及时水速抵消，速度差 $=120\div 3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步：乙船静水速度 $=20+\underline{\quad}=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步：第二天甲顺水 $=\underline{\quad}$，乙逆水 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步：相遇时间 $=120\div(27+53)=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：$A$、$B$ 两码头间水路长 $120$ 千米，甲船静水速度每小时 $20$ 千米，乙船静水速度每小时 $60$ 千米。（1）两船分别从 $A$、$B$ 出发同向而行，乙追上甲需要几小时？（2）两船相向而行，几小时后相遇？（水速为每小时 $7$ 千米）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（追及）：水速被抵消，速度差 $=60-20=\underline{\quad}$（千米/时），追及时间 $=120\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（小时）。
  2. 第 2 步（相遇的两种算法之一）：分别算实际速度，甲顺水 $=20+7=\underline{\quad}$，乙逆水 $=60-7=\underline{\quad}$，速度和 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（另一种算法）：水速在速度和里同样抵消，直接用静水速度和 $20+60=\underline{\quad}$（千米/时），两法一致。
  4. 第 4 步（求相遇时间）：$120\div 80=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：$A$、$B$ 两码头间水路长 $120$ 千米，$A$ 在上游。第一天水速每小时 $4$ 千米，两船从 $A$、$B$ 同时同向出发，$3$ 小时后乙追上甲，甲静水速度为每小时 $20$ 千米。第二天水速变为每小时 $7$ 千米，两船从 $A$、$B$ 同时相向出发。问：相遇时相遇地点距离 $A$ 码头多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（追及求差）：速度差 $=120\div 3=\underline{\quad}$（千米/时），乙静水速度 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（第二天实际速度）：甲顺水 $=20+7=\underline{\quad}$，乙逆水 $=60-7=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（求相遇时间）：$120\div(27+53)=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（求相遇地点）：相遇点距 $A$ 的距离就是甲这段时间走的路，$27\times 1.5=\underline{\quad}$（千米）。
28. 【原题 ch05-xingqu-06】甲、乙两人在 $300$ 米长的环形跑道上跑步，他俩同时同向从同一地点出发，甲的速度是每秒 $5$ 米，乙的速度是每秒 $3$ 米，那么多少秒后甲第二次追上乙？
详细思路
是哪类问题：这是「环形跑道同向追及」：同向出发，快的每追上慢的一次，就要比慢的多跑整整一圈。
关键切入点：环形跑道上「追上一次」等价于「路程差正好是一圈」。所以第一次追上需要的时间 $=$ 一圈长度 $\div$ 速度差；第 $n$ 次追上就是路程差为 $n$ 圈，时间为第一次的 $n$ 倍。
方法概述：圈长 $\div$ 速度差 $=$ 追上一次的时间，第二次追上再乘 $2$。
规范步骤：
  1. 求速度差：$5-3=2$（米/秒）（同向追及看速度差）
  2. 第一次追上：多跑一圈：$300\div 2=150$（秒）（追及路程÷速度差）
  3. 第二次追上：多跑两圈：$150\times 2=300$（秒）（第 n 次追上＝多跑 n 圈）
第一套
题目：甲、乙两人在 $600$ 米长的环形跑道上跑步，同时同向从同一地点出发，甲的速度是每秒 $8$ 米，乙的速度是每秒 $4$ 米，那么多少秒后甲第二次追上乙？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认清追及本质）：环形跑道上甲追上乙一次，就是甲比乙多跑一圈 $600$ 米。
  2. 第 2 步（求速度差）：$8-4=\underline{\quad}$（米/秒）。
  3. 第 3 步（第一次追上）：$600\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步（第二次追上）：多跑两圈，时间是第一次的 $2$ 倍，$\underline{\quad}\times 2=\underline{\quad}$（秒）。
第二套
题目：两辆玩具车在一条长 $600$ 米的环形赛道上同时同向从同一地点出发，甲车每秒行 $8$ 米，乙车每秒行 $4$ 米。多少秒后甲车第二次追上乙车？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：甲车每追上乙车一次要多行一圈 $600$ 米。
  2. 第 2 步：速度差 $=8-4=\underline{\quad}$（米/秒）。
  3. 第 3 步：第一次追上 $=600\div 4=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步：第二次追上 $=\underline{\quad}$（秒）。
第三套
题目：甲、乙两人在 $600$ 米长的环形跑道上同时同向从同一地点出发，甲每秒 $8$ 米，乙每秒 $4$ 米。甲第三次追上乙需要多少秒？此时甲跑了多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度差）：$8-4=\underline{\quad}$（米/秒）。
  2. 第 2 步（第三次追上要多跑三圈）：追及路程 $=600\times 3=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（求时间）：$\underline{\quad}\div 4=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步（求甲的路程）：$8\times 450=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：甲、乙两人在 $600$ 米长的环形跑道上从同一地点同时出发，甲每秒 $8$ 米，乙每秒 $4$ 米。（1）若同向而行，甲第二次追上乙需要多少秒？（2）若背向而行，两人第二次相遇需要多少秒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同向：看速度差）：速度差 $=8-4=\underline{\quad}$（米/秒），第二次追上要多跑两圈 $600\times 2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步：同向第二次追上的时间 $=1200\div 4=\underline{\quad}$（秒）。
  3. 第 3 步（背向：看速度和）：背向而行每相遇一次两人合跑一圈，速度和 $=8+4=\underline{\quad}$（米/秒）。
  4. 第 4 步：第二次相遇要合跑两圈，$600\times 2\div 12=\underline{\quad}$（秒）。
29. 【原题 ch05-xingqu-07】甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，这条公路长 $2400$ 米，甲骑一圈需要 $10$ 分钟。如果第一次相遇时甲骑了 $1440$ 米，请问：乙骑一圈需要多少分钟？再过多久他们第二次相遇？
详细思路
是哪类问题：这是「环形跑道背向（相向）相遇」：背向出发，每相遇一次两人合跑整整一圈。
关键切入点：由甲跑一圈的时间可得甲的速度；第一次相遇时两人合跑一圈，用甲跑的路程可反推相遇用时，进而得到乙的路程与速度；两次相遇之间两人又要合跑一圈，所以时间 $=$ 圈长 $\div$ 速度和。
方法概述：合跑一圈定相遇 → 用甲的路程定时间 → 得乙速度 → 速度和求下一次相遇。
规范步骤：
  1. 求甲的速度：$2400\div 10=240$（米/分）（路程÷时间）
  2. 由甲的路程求第一次相遇时间：$1440\div 240=6$（分）（路程÷速度）
  3. 求乙的路程与速度：$2400-1440=960$，$960\div 6=160$（米/分）（合跑一圈）
  4. 求乙跑一圈的时间：$2400\div 160=15$（分）（路程÷速度）
  5. 求再次相遇的时间：$2400\div(240+160)=6$（分）（再合跑一圈）
第一套
题目：甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，这条公路长 $3600$ 米，甲骑一圈需要 $12$ 分钟。如果第一次相遇时甲骑了 $2700$ 米，请问：乙骑一圈需要多少分钟？再过多久他们第二次相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求甲的速度）：$3600\div 12=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（求第一次相遇的时间）：用甲骑的路程除以甲的速度，$2700\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（求乙骑的路程）：背向相遇时两人合骑一圈，乙骑了 $3600-2700=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（求乙的速度与一圈时间）：乙速 $=\underline{\quad}\div 9=\underline{\quad}$（米/分），一圈 $=3600\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步（再次相遇）：两次相遇之间两人又合骑一圈，$3600\div(300+100)=\underline{\quad}$（分）。
第二套
题目：两名滑冰运动员从环形冰道上同一点同时出发，背向滑行。冰道长 $3600$ 米，甲滑一圈需要 $12$ 分钟。第一次相遇时甲滑了 $2700$ 米。乙滑一圈要多少分钟？再过多久两人第二次相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：甲的速度 $=3600\div 12=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步：第一次相遇时间 $=2700\div 300=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步：乙滑的路程 $=3600-2700=\underline{\quad}$（米），乙的速度 $=900\div 9=\underline{\quad}$（米/分）。
  4. 第 4 步：乙滑一圈 $=3600\div 100=\underline{\quad}$（分）；再次相遇 $=3600\div 400=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：环形公路长 $3600$ 米，甲骑一圈需 $12$ 分钟，乙骑一圈需 $36$ 分钟。两人从同一地点同时背向出发，第一次相遇需要多少分钟？相遇时甲骑了多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各自速度）：甲 $=3600\div 12=\underline{\quad}$，乙 $=3600\div 36=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（相遇看速度和）：速度和 $=300+100=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步（合骑一圈）：相遇时间 $=3600\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（甲的路程）：$300\times 9=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：环形公路长 $3600$ 米，甲、乙从同一点同时背向出发，甲骑一圈 $12$ 分钟，第一次相遇时甲骑了 $2700$ 米。请问：从出发算起，两人第三次相遇要多少分钟？这时乙一共骑了多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（甲速与相遇时间）：甲速 $=3600\div 12=\underline{\quad}$（米/分），第一次相遇 $=2700\div 300=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（乙速）：乙骑 $3600-2700=\underline{\quad}$ 米，乙速 $=900\div 9=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步（第 $n$ 次相遇合跑 $n$ 圈）：第三次相遇两人合骑 $3600\times 3=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（求时间）：$\underline{\quad}\div(300+100)=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步（求乙的总路程）：$100\times 27=\underline{\quad}$（米）。
30. 【原题 ch05-xingqu-08】甲、乙两人在 $400$ 米长的环形跑道上跑步，甲以每分钟 $300$ 米的速度从起点跑出，$1$ 分钟后，乙从起点同向跑出，又过了 $5$ 分钟甲追上乙。请问：乙每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第二次追上乙？
详细思路
是哪类问题：这是「环形跑道追及」的进阶：出发有时间差，先算出乙起跑瞬间两人的位置关系，再按追及处理。
关键切入点：甲先跑 $1$ 分钟已经跑了 $300$ 米，此时乙才从起点出发，甲在乙前方 $300$ 米。甲要「追上乙」意味着甲领先整整一圈 $400$ 米，所以甲还需要再多跑 $400-300=100$ 米，这段路程差由 $5$ 分钟的速度差跑出来。第二次追上再多跑一整圈。
方法概述：先算时间差造成的领先量，再用「还差多少米凑成一圈」求速度差。
规范步骤：
  1. 甲先跑的路程：$300\times 1=300$（米）（速度×时间）
  2. 还需要多跑的路程：$400-300=100$（米）（追上＝领先一圈）
  3. 求速度差：$100\div 5=20$（米/分）（路程差÷时间＝速度差）
  4. 求乙的速度：$300-20=280$（米/分）（速度差的含义）
  5. 第二次追上再多跑一圈：$400\div 20=20$（分）（追及路程÷速度差）
第一套
题目：甲、乙两人在 $500$ 米长的环形跑道上跑步，甲以每分钟 $400$ 米的速度从起点跑出，$1$ 分钟后，乙从起点同向跑出，又过了 $4$ 分钟甲追上乙。请问：乙每分钟跑多少米？甲还需要再过多少分钟才能第二次追上乙？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算领先量）：乙起跑时，甲已经跑了 $400\times 1=\underline{\quad}$（米），即甲在乙前方这么多米。
  2. 第 2 步（追上＝领先一圈）：甲要追上乙，需要领先整整一圈 $500$ 米，所以还要再多跑 $500-400=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（求速度差）：这 $100$ 米是 $4$ 分钟里多跑的，速度差 $=100\div 4=\underline{\quad}$（米/分）。
  4. 第 4 步（求乙的速度）：$400-\underline{\quad}=\underline{\quad}$（米/分）。
  5. 第 5 步（第二次追上）：再多跑一整圈，$500\div 25=\underline{\quad}$（分）。
第二套
题目：两辆卡丁车在 $500$ 米的环形赛道上比赛，甲车以每分钟 $400$ 米从起点出发，$1$ 分钟后乙车从起点同向出发，又过 $4$ 分钟甲车追上乙车。乙车每分钟行多少米？甲车再过多少分钟第二次追上乙车？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：乙车出发时甲车已行 $400\times 1=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步：追上意味着领先一圈，还需多行 $500-400=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步：速度差 $=100\div 4=\underline{\quad}$（米/分），乙车速度 $=400-25=\underline{\quad}$（米/分）。
  4. 第 4 步：第二次追上 $=500\div 25=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：甲、乙两人在 $500$ 米长的环形跑道上同时同地同向出发，甲每分钟 $400$ 米，乙每分钟 $375$ 米。甲第一次、第二次追上乙分别要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求速度差）：$400-375=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（第一次追上多跑一圈）：$500\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（第二次追上多跑两圈）：$500\times 2\div 25=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：甲、乙两人在 $500$ 米长的环形跑道上跑步，甲以每分钟 $400$ 米从起点跑出，$1$ 分钟后乙从起点同向跑出，又过 $4$ 分钟甲追上乙。问：甲第二次追上乙时，甲从出发起一共跑了多少米？跑了多少圈？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求乙的速度）：甲先跑 $400\times 1=\underline{\quad}$ 米，还需多跑 $500-400=\underline{\quad}$ 米，速度差 $=100\div 4=\underline{\quad}$（米/分），乙速 $=400-25=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（第二次追上还要多久）：再多跑一圈，$500\div 25=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（算总时间）：从甲出发算起共 $1+4+20=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（算总路程与圈数）：$400\times 25=\underline{\quad}$（米），$10000\div 500=\underline{\quad}$（圈）。
31. 【原题 ch05-xingqu-09】甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们从同一地点出发，背向而行。两人相遇后立即调转方向，继续前进。一开始时甲的速度是每分钟 $160$ 米，乙的速度是每分钟 $120$ 米。两人调头后甲的速度提高了一半，乙的速度提高了三分之一，若跑道长 $500$ 米，甲、乙两人第一次相遇地点与第二次相遇地点相距多远？（环形跑道线上两点的距离指沿跑道的最短距离）
详细思路
是哪类问题：这是「环形跑道相遇 $+$ 变速」题：求两次相遇地点之间的距离。
关键切入点：两人背向出发，相遇时合走一圈。相遇后同时调头并各自提速，从第一次相遇点算起，两人再合走一圈才第二次相遇。所以第二段用时 $=$ 圈长 $\div$ 新的速度和；而两个相遇点之间沿跑道的距离，正是其中一人在这段时间里走的路程（取沿跑道的较短一段）。
方法概述：新速度和求第二段时间 → 用某一人的路程定两相遇点的距离。
规范步骤：
  1. 求调头后甲的速度：$160\times\left(1+\frac{1}{2}\right)=240$（米/分）（提高一半）
  2. 求调头后乙的速度：$120\times\left(1+\frac{1}{3}\right)=160$（米/分）（提高三分之一）
  3. 第二次相遇需再合走一圈：$500\div(240+160)=\frac{5}{4}$（分）（相遇路程÷速度和）
  4. 两相遇点的距离＝乙这段走的路：$160\times\frac{5}{4}=200$（米）（速度×时间）
第一套
题目：甲、乙两人在周长 $600$ 米的环形跑道上从同一地点出发，背向而行。相遇后两人立即调头继续前进。原来甲每分钟 $200$ 米、乙每分钟 $160$ 米；调头后甲的速度提高了一半，乙的速度提高了四分之一。甲、乙第一次相遇地点与第二次相遇地点相距多远？（指沿跑道的最短距离）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（调头后甲的速度）：提高一半就是原来的 $1+\frac{1}{2}$ 倍，$200\times 1.5=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（调头后乙的速度）：提高四分之一就是原来的 $1+\frac{1}{4}$ 倍，$160\times 1.25=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步（第二次相遇要再合走一圈）：新速度和 $=300+200=\underline{\quad}$（米/分），用时 $=600\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（两相遇点的距离）：这段时间乙走了 $200\times 1.2=\underline{\quad}$（米），甲走了 $300\times 1.2=\underline{\quad}$（米），两段合起来正好一圈，取较短的一段为 $\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：两只机器人在周长 $600$ 米的环形轨道上从同一点出发，背向行进，相遇后立即调头继续行进。原来甲每分钟 $200$ 米、乙每分钟 $160$ 米；调头后甲提速一半、乙提速四分之一。两次相遇地点沿轨道相距多远（取最短距离）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：调头后甲 $=200\times 1.5=\underline{\quad}$，乙 $=160\times 1.25=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步：再相遇要合行一圈，用时 $=600\div(300+200)=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步：乙这段行 $200\times 1.2=\underline{\quad}$ 米，甲行 $300\times 1.2=\underline{\quad}$ 米，最短距离取 $\underline{\quad}$ 米。
第三套
题目：甲、乙两人在周长 $600$ 米的环形跑道上从同一地点背向出发，甲每分钟 $240$ 米、乙每分钟 $160$ 米。相遇后两人立即调头，并且速度都提高了一半。两次相遇地点沿跑道相距多远（取最短距离）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（新速度）：甲 $=240\times 1.5=\underline{\quad}$，乙 $=160\times 1.5=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（第二次相遇用时）：合走一圈，$600\div(360+240)=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（两点距离）：乙走 $240\times 1=\underline{\quad}$（米），甲走 $360\times 1=\underline{\quad}$（米），取较短的 $\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：甲、乙两人在周长 $600$ 米的环形跑道上从同一地点同时背向出发，甲每分钟 $200$ 米、乙每分钟 $400$ 米。（1）第一次相遇需要多少分钟？相遇点沿甲前进方向距出发点多少米？（2）相遇后两人立即调头，甲速提高一半、乙速提高四分之一，第二次相遇地点与第一次相遇地点沿跑道相距多远（取最短距离）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次相遇）：背向出发合走一圈，速度和 $=200+400=\underline{\quad}$（米/分），用时 $=600\div \underline{\quad}=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（定位第一次相遇点）：甲走了 $200\times 1=\underline{\quad}$（米），即相遇点在甲前进方向距出发点这么远。
  3. 第 3 步（调头后的新速度）：甲 $=200\times 1.5=\underline{\quad}$，乙 $=400\times 1.25=\underline{\quad}$（米/分）。
  4. 第 4 步（第二次相遇用时）：$600\div(300+500)=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步（两相遇点距离）：甲走 $300\times 0.75=\underline{\quad}$（米），乙走 $500\times 0.75=\underline{\quad}$（米），取较短的 $\underline{\quad}$（米）。
32. 【原题 ch05-xingqu-10】如图 $5\text{-}1$，四边形 $ABCD$ 是一个边长为 $100$ 米的正方形。甲、乙两人同时从 $A$ 点出发，甲沿逆时针方向每分钟行 $75$ 米，乙沿顺时针方向每分钟行 $45$ 米，请问：甲第一次在 $CD$ 边（不包括 $C$、$D$ 两点）上相遇，是出发后的第几次相遇？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形周长上的相遇 $+$ 位置判断」：既要算相遇周期，又要判断每次相遇点落在哪条边上，属于带周期性的位置分析题。
关键切入点：两人反向绕行，每相遇一次两人合走一圈（周长 $400$ 米），所以相遇是等时间间隔发生的；每次相遇甲累计走过的路程成等差数列 $250,500,750,\dots$，把它对 $400$ 取余就能定位甲在正方形上的位置，逐次判断落点是否在 $CD$ 边内部。
方法概述：先求相遇周期与甲每次相遇的累计路程，再用「对周长取余」定位，逐次判断。
规范步骤：
  1. 求正方形周长：$100\times 4=400$（米）（正方形周长）
  2. 求相遇间隔时间：$400\div(75+45)=\frac{10}{3}$（分）（合走一圈）
  3. 求第一次相遇甲走的路程：$75\times\frac{10}{3}=250$（米）（速度×时间）
  4. 写出各次相遇甲的累计路程：$250,500,750,1000,1250,1500,1750,\dots$（米）（等差数列）
  5. 对周长取余定位：$1750\div 400=4\cdots\cdots150$，落在 $CD$ 边内部（余数定位）
  6. 写出答案：第 $7$ 次相遇

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 2. ch05-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（读出中点相遇的含义）：航程相等说明相遇点在 $A$、$B$ 正中间，且甲的顺水速度等于乙的逆水速度。
    2. 第 2 步（两船同时掉头）：相遇后两船各自还要走剩下的半程，速度仍相等，所以到岸、返航的时刻相同，这段时间与第一次相遇所用时间相等。
    3. 第 3 步（返航后的速度和）：返航后甲逆水、乙顺水，速度和 $=$ 两船静水速度之和，恰好等于原来速度的 $2$ 倍，所以「掉头→第二次相遇」与「第一次相遇→掉头」用时也相等。
    4. 第 4 步（把间隔平分）：$1$ 小时 $30$ 分 $=1.5$ 小时，每段 $1.5\div 2=\underline{0.75}$（小时）。
    5. 第 5 步（算两船的速度差）：返航后乙比甲每小时多行 $4$ 个水速（因为两船静水速度相差 $2$ 个水速，方向又相反再差 $2$ 个水速）。
    6. 第 6 步（列式求水速）：$1800$ 米 $=\underline{1.8}$ 千米，$4w\times 0.75=1.8$，所以 $w=1.8\div \underline{3}=\underline{0.6}$（千米/时）。
    最终答案：每小时 $0.6$ 千米。
  2. 2. ch05-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步：航程相等说明相遇点在正中间，甲的顺风速度等于乙的逆风速度。
    2. 第 2 步：两机同时到达对方出发地并同时返航，两次相遇的间隔被平均分成两段，每段 $1.5\div 2=\underline{0.75}$（小时）。
    3. 第 3 步：返航后乙比甲每小时多飞 $4$ 个风速，路程差 $1800$ 米 $=\underline{1.8}$（千米）。
    4. 第 4 步：$4w\times 0.75=1.8$，$w=\underline{0.6}$（千米/时）。
    最终答案：风速每小时 $0.6$ 千米。
  3. 2. ch05-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（间隔平分）：两次相遇间隔 $1.5$ 小时被平分成两段，返航段用时 $1.5\div 2=\underline{0.75}$（小时）。
    2. 第 2 步（速度差）：返航后乙比甲每小时多行 $4$ 个水速，即 $4\times 0.6=\underline{2.4}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（求路程差）：$2.4\times 0.75=\underline{1.8}$（千米）$=\underline{1800}$（米）。
    最终答案：少行 $1800$ 米。
  4. 2. ch05-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求水速）：间隔平分，每段 $1.5\div 2=\underline{0.75}$（小时）；$4w\times 0.75=1.8$，$w=\underline{0.6}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（第一次相遇时刻）：第一次相遇用时与「相遇→掉头」一段相等，也是 $\underline{0.75}$（小时）。
    3. 第 3 步（求甲的顺水速度）：第一次相遇甲走半程 $9\div 2=\underline{4.5}$（千米），顺水速度 $=4.5\div 0.75=\underline{6}$（千米/时）。
    4. 第 4 步（求静水速度之和）：两船静水速度之和 $=2\times 6=\underline{12}$（千米/时）。
    5. 第 5 步（分别求出）：甲静水 $=6-0.6=\underline{5.4}$，乙静水 $=6+0.6=\underline{6.6}$（千米/时），和为 $12$，与上一步一致。
    最终答案：（1）水速每小时 $0.6$ 千米；（2）出发后 $0.75$ 小时第一次相遇；（3）两船静水速度之和为每小时 $12$ 千米。
  5. 4. ch05-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（两次相遇合走一圈）：从第一次相遇到第二次相遇，两人合走整整一圈，用时 $4+12=\underline{16}$（分）。
    2. 第 2 步（判断 $AB$ 有多长）：第一次相遇用了 $8$ 分，正好是 $16$ 分的一半，所以第一次相遇两人只合走了半圈，即 $A$、$B$ 相距半圈。
    3. 第 3 步（求甲的周期）：甲从 $A$ 走到 $B$ 用 $8+4=\underline{12}$（分），走的正是半圈，所以甲绕一周要 $12\times 2=\underline{24}$（分）。
    4. 第 4 步（求速度比）：甲走 $4$ 分钟的路程与乙走 $8$ 分钟的路程相同，所以甲、乙速度之比为 $8:4=\underline{2}$。
    5. 第 5 步（求乙的周期）：路程相同时时间与速度成反比，乙绕一周要 $24\times 2=\underline{48}$（分）。
    最终答案：甲环行一周需要 $24$ 分钟，乙环行一周需要 $48$ 分钟。
  6. 4. ch05-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步：两次相遇之间两车合行一圈，用时 $4+12=\underline{16}$（分）。
    2. 第 2 步：第一次相遇用 $8$ 分恰为一半，所以 $A$、$B$ 相距半圈。
    3. 第 3 步：甲从 $A$ 到 $B$ 用 $8+4=\underline{12}$（分）即半圈，甲一周 $=\underline{24}$（分）。
    4. 第 4 步：甲行 $4$ 分与乙行 $8$ 分路程相同，速度比 $=\underline{2}$，乙一周 $=24\times 2=\underline{48}$（分）。
    最终答案：甲一周 $24$ 分钟，乙一周 $48$ 分钟。
  7. 4. ch05-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（归一）：设一圈为 $1$，甲的速度 $=1\div 24=\underline{1/24}$（圈/分），乙的速度 $=1\div 48=\underline{1/48}$（圈/分）。
    2. 第 2 步（速度和）：$\frac{1}{24}+\frac{1}{48}=\underline{1/16}$（圈/分）。
    3. 第 3 步（第一次相遇合走半圈）：$0.5\div\frac{1}{16}=\underline{8}$（分）。
    4. 第 4 步（第二次相遇再合走一圈）：再要 $1\div\frac{1}{16}=\underline{16}$（分），从出发算起共 $8+16=\underline{24}$（分）。
    最终答案：第一次相遇 $8$ 分钟；第二次相遇（从出发算起）$24$ 分钟。
  8. 4. ch05-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（合走一圈的时间）：$4+12=\underline{16}$（分）；第一次相遇 $8$ 分是它的一半，故 $AB$ 为半圈。
    2. 第 2 步（甲的周期）：甲走半圈用 $8+4=\underline{12}$（分），一周 $=\underline{24}$（分）。
    3. 第 3 步（乙的周期）：甲走 $4$ 分与乙走 $8$ 分路程相同，速度比 $=\underline{2}$，乙一周 $=\underline{48}$（分）。
    4. 第 4 步（求周长）：周长 $=$ 甲的速度 $\times$ 甲的周期 $=100\times 24=\underline{2400}$（米）。
    5. 第 5 步（求 $AB$）：$2400\div 2=\underline{1200}$（米）。
    最终答案：（1）甲 $24$ 分钟、乙 $48$ 分钟；（2）周长 $2400$ 米；（3）$A$、$B$ 相距 $1200$ 米。
  9. 7. ch05-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（关键结论）：相向而行的速度和 $=(a+w)+(b-w)=a+b$，与水速无关，所以水速变化不影响相遇所需时间。
    2. 第 2 步（写出平时的相遇点）：设平时相遇用 $t$ 小时、水速为 $w$，相遇点距 $A$ 为 $(a+w)t$。
    3. 第 3 步（换发动机后）：速度和变为原来的 $2$ 倍，相遇时间变为 $\frac{t}{2}$，相遇点距 $A$ 为 $\left(2a+w\right)\times\frac{t}{2}=\left(a+\frac{w}{2}\right)t$。
    4. 第 4 步（由变化 $2$ 千米求 $wt$）：两者相差 $(a+w)t-\left(a+\frac{w}{2}\right)t=\frac{wt}{2}=2$，所以 $wt=\underline{4}$。
    5. 第 5 步（今天的相遇点）：水速变成 $3w$，相遇点距 $A$ 为 $\left(2a+3w\right)\times\frac{t}{2}=\left(a+\frac{3w}{2}\right)t$。
    6. 第 6 步（与 $12$ 月 $2$ 号作差）：$\frac{3wt}{2}-\frac{wt}{2}=wt=\underline{4}$（千米）。
    最终答案：变化 $4$ 千米。
  10. 7. ch05-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步：相向飞行的速度和 $=(a+w)+(b-w)=a+b$，与风速无关，相遇时间只由无风速度决定。
    2. 第 2 步：设平时相遇用 $t$、风速 $w$。换引擎后相遇点距 $A$ 为 $\left(a+\frac{w}{2}\right)t$，与平时 $(a+w)t$ 相差 $\frac{wt}{2}=2$，得 $wt=\underline{4}$。
    3. 第 3 步：今天相遇点为 $\left(a+\frac{3w}{2}\right)t$，与换引擎后的平常日子相差 $\frac{3wt}{2}-\frac{wt}{2}=wt=\underline{4}$（千米）。
    最终答案：移动 $4$ 千米。
  11. 7. ch05-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（相遇时间与水速无关）：平时相遇用 $4$ 小时，速度和变为 $2$ 倍后相遇时间变为 $4\div 2=\underline{2}$（小时）。
    2. 第 2 步（平时的相遇点）：距 $A$ 为 $(a+1)\times 4=4a+\underline{4}$（千米）。
    3. 第 3 步（变速后的相遇点）：距 $A$ 为 $(2a+1)\times 2=4a+\underline{2}$（千米）。
    4. 第 4 步（求移动距离）：$4-2=\underline{2}$（千米）。
    最终答案：相遇地点移动 $2$ 千米。
  12. 7. ch05-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $wt$）：换发动机后相遇点为 $\left(a+\frac{w}{2}\right)t$，与平时 $(a+w)t$ 相差 $\frac{wt}{2}=2$，所以 $wt=\underline{4}$。
    2. 第 2 步（今天的相遇点）：水速 $3w$、速度和 $2$ 倍，相遇点为 $\left(a+\frac{3w}{2}\right)t$。
    3. 第 3 步（与新发动机平常水速相比）：$\frac{3wt}{2}-\frac{wt}{2}=wt=\underline{4}$（千米）。
    4. 第 4 步（与最初状态相比）：最初相遇点为 $(a+w)t$，今天为 $\left(a+\frac{3w}{2}\right)t$，相差 $\frac{3wt}{2}-wt=\frac{wt}{2}=\underline{2}$（千米）。
    最终答案：（1）变化 $4$ 千米；（2）与最初状态相比变化 $2$ 千米。
  13. 9. ch05-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（甲河顺水速度）：$208\div 8=\underline{26}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（退出船速）：顺水速度里含一个甲河水速，$\underline{26}-4=\underline{22}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（换到乙河）：船速不变，乙河逆水速度 $=\underline{22}-3=\underline{19}$（千米/时）。
    4. 第 4 步（求时间）：$133\div \underline{19}=\underline{7}$（小时）。
    最终答案：$7$ 小时。
  14. 9. ch05-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步：甲空域顺风速度 $=208\div 8=\underline{26}$（千米/时）。
    2. 第 2 步：自身速度 $=26-4=\underline{22}$（千米/时），换空域后不变。
    3. 第 3 步：乙空域逆风速度 $=22-3=\underline{19}$（千米/时）。
    4. 第 4 步：所需时间 $=133\div 19=\underline{7}$（小时）。
    最终答案：$7$ 小时。
  15. 9. ch05-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（乙河顺水速度）：$22+3=\underline{25}$（千米/时），所需时间 $=200\div \underline{25}=\underline{8}$（小时）。
    2. 第 2 步（甲河逆水速度）：$22-4=\underline{18}$（千米/时），所需时间 $=180\div \underline{18}=\underline{10}$（小时）。
    最终答案：乙河顺水需 $8$ 小时；甲河逆水需 $10$ 小时。
  16. 9. ch05-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（求船速）：甲河顺水速度 $=208\div 8=\underline{26}$（千米/时），船速 $=26-4=\underline{22}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（乙河两个速度）：顺水 $=22+3=\underline{25}$，逆水 $=22-3=\underline{19}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（分别求时间）：顺水 $475\div 25=\underline{19}$（小时），逆水 $475\div 19=\underline{25}$（小时）。
    4. 第 4 步（求往返总时间）：$19+25=\underline{44}$（小时）。
    最终答案：$44$ 小时。
  17. 10. ch05-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（顺风速度）：$1000\div 5=\underline{200}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（逆风速度）：$700\div 5=\underline{140}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（和的一半）：两速度相加风速正好抵消，得到 $2$ 个自身速度，自身速度 $=(200+140)\div 2=\underline{170}$（千米/时）。
    4. 第 4 步（求时间）：$1700\div \underline{170}=\underline{10}$（小时）。
    最终答案：$10$ 小时。
  18. 10. ch05-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：顺水速度 $=1000\div 5=\underline{200}$（千米/时）。
    2. 第 2 步：逆水速度 $=700\div 5=\underline{140}$（千米/时）。
    3. 第 3 步：静水速度 $=$ 两速度和的一半 $=\underline{170}$（千米/时）。
    4. 第 4 步：所需时间 $=1700\div 170=\underline{10}$（小时）。
    最终答案：$10$ 小时。
  19. 10. ch05-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（差的一半是风速）：$200-140=\underline{60}$（千米/时），风速 $=\underline{60}\div 2=\underline{30}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（和的一半是自身速度）：$200+140=\underline{340}$（千米/时），自身速度 $=\underline{340}\div 2=\underline{170}$（千米/时）。
    最终答案：（1）风速每小时 $30$ 千米；（2）自身速度每小时 $170$ 千米。
  20. 10. ch05-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（两个速度）：顺风 $=1000\div 5=\underline{200}$，逆风 $=700\div 5=\underline{140}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（分别求时间）：顺风 $1400\div 200=\underline{7}$（小时），逆风 $1400\div 140=\underline{10}$（小时）。
    3. 第 3 步（求时间差）：$10-7=\underline{3}$（小时）。
    最终答案：少用 $3$ 小时。
  21. 11. ch05-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（两船逆水速度）：甲 $=25-5=\underline{20}$，乙 $=20-5=\underline{15}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（乙先行多远）：$15\times 3=\underline{45}$（千米），这就是追及路程。
    3. 第 3 步（追及时间）：速度差 $=20-15=\underline{5}$（千米/时），追上要 $45\div \underline{5}=\underline{9}$（小时）。
    4. 第 4 步（追上处离 $A$ 港多远）：$20\times 9=\underline{180}$（千米）。
    5. 第 5 步（甲到 $B$ 港与返程速度）：$450\div 20=\underline{22.5}$（小时），返程顺水速度 $=25+5=\underline{30}$（千米/时）。
    6. 第 6 步（设甲出发后 $t$ 小时相遇）：乙的位置 $45+15t$，甲返程后的位置 $450-30(t-22.5)$，两者相等解得 $t=\underline{24}$（小时）。
    7. 第 7 步（求两地距离）：相遇点离 $A$ 港 $45+15\times 24=\underline{405}$（千米），与追上点相距 $405-180=\underline{225}$（千米）。
    最终答案：追上时甲离 $A$ 港 $180$ 千米；两船相遇地点离追上点 $225$ 千米。
  22. 11. ch05-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：逆水速度甲 $=25-5=\underline{20}$，乙 $=20-5=\underline{15}$（千米/时）。
    2. 第 2 步：追及路程 $=15\times 3=\underline{45}$（千米），追及时间 $=45\div 5=\underline{9}$（小时）。
    3. 第 3 步：追上处离 $A$ $=20\times 9=\underline{180}$（千米）。
    4. 第 4 步：甲到 $B$ 用 $450\div 20=\underline{22.5}$（小时），返航顺水速度 $=\underline{30}$（千米/时）。
    5. 第 5 步：设甲出发后 $t$ 小时相遇，$45+15t=450-30(t-22.5)$，$t=\underline{24}$，相遇点离 $A$ $=\underline{405}$（千米），与追上点相距 $\underline{225}$（千米）。
    最终答案：追上时离 $A$ $180$ 千米；相遇点离追上点 $225$ 千米。
  23. 11. ch05-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（逆水速度）：甲 $=25-5=\underline{20}$，乙 $=20-5=\underline{15}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（追及路程）：$15\times 3=\underline{45}$（千米）。
    3. 第 3 步（追及时间）：$45\div(20-15)=\underline{9}$（小时）。
    4. 第 4 步（追上处的位置）：离 $A$ 港 $20\times 9=\underline{180}$（千米），离 $B$ 港 $450-180=\underline{270}$（千米）。
    最终答案：甲追上乙需 $9$ 小时，追上时离 $B$ 港还有 $270$ 千米。
  24. 11. ch05-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（逆水速度与追及）：甲 $=25-5=\underline{20}$，乙 $=20-5=\underline{15}$（千米/时），乙先行 $15\times 3=\underline{45}$（千米）。
    2. 第 2 步（甲到 $B$ 与返程）：$450\div 20=\underline{22.5}$（小时），返程顺水速度 $=25+5=\underline{30}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（列相遇式）：设甲出发后 $t$ 小时相遇，$45+15t=450-30(t-22.5)$，解得 $t=\underline{24}$（小时）。
    4. 第 4 步（换算成从乙出发算起）：$3+24=\underline{27}$（小时）。
    5. 第 5 步（乙的总路程）：乙一直逆水上行，$15\times 27=\underline{405}$（千米）。
    最终答案：从乙船出发算起共 $27$ 小时；此时乙船航行了 $405$ 千米。
  25. 12. ch05-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（两段顺水速度）：汽船 $=18+2=\underline{20}$，木船 $=3+2=\underline{5}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（去掉吃饭时间）：真正在船上的时间是 $10-1=\underline{9}$（小时）。
    3. 第 3 步（设未知数列方程）：设 $AB=x$ 千米，则 $BC=90-x$ 千米，$\frac{x}{20}+\frac{90-x}{5}=9$。
    4. 第 4 步（去分母化简）：两边同乘 $20$ 得 $x+4(90-x)=\underline{180}$，即 $360-3x=\underline{180}$。
    5. 第 5 步（解方程）：$3x=360-180=\underline{180}$，$x=\underline{60}$（千米）。
    6. 第 6 步（回代检验）：$60\div 20+1+30\div 5=\underline{10}$（小时），与题目一致。
    最终答案：$60$ 千米。
  26. 12. ch05-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步：快艇顺水 $=18+2=\underline{20}$，渡船顺水 $=3+2=\underline{5}$（千米/时）。
    2. 第 2 步：行船时间 $=10-1=\underline{9}$（小时）。
    3. 第 3 步：设甲乙相距 $x$ 千米，$\frac{x}{20}+\frac{90-x}{5}=9$，两边乘 $20$ 得 $360-3x=\underline{180}$。
    4. 第 4 步：解得 $x=\underline{60}$（千米）。
    最终答案：$60$ 千米。
  27. 12. ch05-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（两段顺水速度）：汽船 $=18+2=\underline{20}$，木船 $=3+2=\underline{5}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（分别求时间）：$60\div 20=\underline{3}$（小时），$30\div 5=\underline{6}$（小时）。
    3. 第 3 步（加上吃饭时间）：$3+1+6=\underline{10}$（小时）。
    最终答案：$10$ 小时。
  28. 12. ch05-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（顺水速度）：汽船 $=18+2=\underline{20}$，木船 $=3+2=\underline{5}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（列方程求 $AB$）：设 $AB=x$，$\frac{x}{20}+\frac{90-x}{5}=10-1=\underline{9}$，解得 $x=\underline{60}$（千米）。
    3. 第 3 步（求 $BC$）：$90-60=\underline{30}$（千米）。
    4. 第 4 步（木船逆水速度）：$3-2=\underline{1}$（千米/时）。
    5. 第 5 步（求返程时间）：$30\div 1=\underline{30}$（小时）。
    最终答案：$A$、$B$ 相距 $60$ 千米；木船从 $C$ 逆流回 $B$ 要 $30$ 小时。
  29. 13. ch05-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（归一）：把 $A$、$B$ 的距离看作 $1$ 份，则顺水速度 $=1\div 6=\underline{1/6}$（份/天），逆水速度 $=1\div 8=\underline{1/8}$（份/天）。
    2. 第 2 步（差的一半是水速）：$\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\right)\div 2=\underline{1/48}$（份/天）。
    3. 第 3 步（木筏速度＝水速）：漂流天数 $=1\div \underline{1/48}=\underline{48}$（天）。
    最终答案：$48$ 天。
  30. 13. ch05-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步：把甲乙距离看成 $1$ 份，顺风速度 $=\underline{1/6}$（份/时），逆风速度 $=\underline{1/8}$（份/时）。
    2. 第 2 步：风速 $=$ 两者差的一半 $=\underline{1/48}$（份/时）。
    3. 第 3 步：气球随风飘，速度就是风速，所需时间 $=1\div\frac{1}{48}=\underline{48}$（小时）。
    最终答案：$48$ 小时。
  31. 13. ch05-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（归一）：设全程 $1$ 份，水速 $=1\div 48=\underline{1/48}$（份/天），顺水速度 $=1\div 6=\underline{1/6}$（份/天）。
    2. 第 2 步（求船速）：船速 $=$ 顺水速度 $-$ 水速 $=\frac{1}{6}-\frac{1}{48}=\underline{7/48}$（份/天）。
    3. 第 3 步（求逆水速度）：$\frac{7}{48}-\frac{1}{48}=\underline{1/8}$（份/天）。
    4. 第 4 步（求天数）：$1\div\frac{1}{8}=\underline{8}$（天）。
    最终答案：$8$ 天。
  32. 13. ch05-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（归一）：设全程 $1$ 份，顺水 $=\underline{1/6}$、逆水 $=\underline{1/12}$（份/天）。
    2. 第 2 步（差的一半是水速）：$\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{12}\right)\div 2=\underline{1/24}$（份/天），木筏天数 $=1\div\frac{1}{24}=\underline{24}$（天）。
    3. 第 3 步（和的一半是船速）：$\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\right)\div 2=\underline{1/8}$（份/天）。
    4. 第 4 步（静水航行天数）：$1\div\frac{1}{8}=\underline{8}$（天）。
    最终答案：（1）$24$ 天；（2）$8$ 天。
  33. 14. ch05-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（两个速度）：逆流上行速度 $=30-6=\underline{24}$，顺流返回速度 $=30+6=\underline{36}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（设未知数）：设最远开出 $S$ 千米，去程用 $\frac{S}{24}$ 小时，回程用 $\frac{S}{36}$ 小时。
    3. 第 3 步（列方程并通分）：$\frac{S}{24}+\frac{S}{36}=240$，而 $\frac{1}{24}+\frac{1}{36}=\underline{5/72}$。
    4. 第 4 步（解方程）：$S=240\div\frac{5}{72}=240\times\frac{72}{5}=\underline{3456}$（千米）。
    5. 第 5 步（检验）：$3456\div 24+3456\div 36=144+96=\underline{240}$（小时），恰好用完。
    最终答案：$3456$ 千米。
  34. 14. ch05-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步：逆风速度 $=30-6=\underline{24}$，顺风速度 $=30+6=\underline{36}$（千米/时）。
    2. 第 2 步：设最远飞出 $S$ 千米，$\frac{S}{24}+\frac{S}{36}=240$，其中 $\frac{1}{24}+\frac{1}{36}=\underline{5/72}$。
    3. 第 3 步：$S=240\times\frac{72}{5}=\underline{3456}$（千米）。
    最终答案：$3456$ 千米。
  35. 14. ch05-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（两个速度）：逆流 $=30-6=\underline{24}$，顺流 $=30+6=\underline{36}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（两段时间）：去程 $3456\div 24=\underline{144}$（小时），回程 $3456\div 36=\underline{96}$（小时）。
    3. 第 3 步（求和与求差）：共 $144+96=\underline{240}$（小时），回程少用 $144-96=\underline{48}$（小时）。
    最终答案：共 $240$ 小时；回程比去程少用 $48$ 小时。
  36. 14. ch05-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（有水流的两个速度）：逆流 $=\underline{24}$，顺流 $=\underline{36}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（列方程求 $S$）：$\frac{S}{24}+\frac{S}{36}=240$，$S=240\times\frac{72}{5}=\underline{3456}$（千米）。
    3. 第 3 步（无水流的情形）：往返速度都是 $30$，一半时间用于去程，$S'=30\times(240\div 2)=\underline{3600}$（千米）。
    4. 第 4 步（比较）：$3600-3456=\underline{144}$（千米），可见水流使往返能达到的最远距离变小。
    最终答案：（1）$3456$ 千米；（2）$3600$ 千米；（3）少开出 $144$ 千米。
  37. 15. ch05-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（抓住相对速度）：水壶随水漂，速度就是水速；人相对于水壶的速度等于人的静水速度，与水速无关。
    2. 第 2 步（返程时间）：因为去、回的相对速度相同、相对路程也相同，所以返程也要 $\underline{25}$（分）。
    3. 第 3 步（求总时间）：$25+25=\underline{50}$（分）。
    4. 第 4 步（水壶漂了多远）：$3$ 千米 $=\underline{3000}$（米）。
    5. 第 5 步（求水速）：$3000\div 50=\underline{60}$（米/分）。
    最终答案：水流速度为 $60$ 米/分。
  38. 15. ch05-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步：救生圈随水漂，小艇相对救生圈的速度就是小艇的静水速度，与水速无关。
    2. 第 2 步：返程时间与去程相同，都是 $\underline{25}$ 分钟，总共 $\underline{50}$ 分钟。
    3. 第 3 步：救生圈在这段时间漂了 $3$ 千米 $=\underline{3000}$ 米。
    4. 第 4 步：水速 $=3000\div 50=\underline{60}$（米/分）。
    最终答案：水流速度为 $60$ 米/分。
  39. 15. ch05-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（相对速度不变）：返程时间与去程相同，都是 $25$ 分钟，总共 $\underline{50}$ 分钟。
    2. 第 2 步（水壶漂的距离）：$60\times 50=\underline{3000}$（米）。
    3. 第 3 步（换成千米）：$3000\div 1000=\underline{3}$（千米）。
    最终答案：在 $A$ 处下游 $3000$ 米（即 $3$ 千米）处追到。
  40. 15. ch05-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求水速）：往返各 $25$ 分钟共 $\underline{50}$ 分钟，水壶漂 $3000$ 米，水速 $=3000\div 50=\underline{60}$（米/分）。
    2. 第 2 步（人逆流的实际速度）：$80-60=\underline{20}$（米/分）。
    3. 第 3 步（发觉时人的位置）：逆流游 $25$ 分钟，$20\times 25=\underline{500}$（米），即在 $A$ 处上游这么远。
    4. 第 4 步（两地距离）：追到点在 $A$ 下游 $3000$ 米，发觉点在 $A$ 上游 $500$ 米，相距 $3000+500=\underline{3500}$（米）。
    最终答案：（1）水速 $60$ 米/分；（2）在 $A$ 上游 $500$ 米；（3）两地相距 $3500$ 米。
  41. 16. ch05-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（相向看速度和）：$9+7=\underline{16}$（米/秒）。
    2. 第 2 步（每相遇一次合走一圈）：第一次相遇 $=480\div \underline{16}=\underline{30}$（秒），这也是相遇的周期。
    3. 第 3 步（统一单位）：$3$ 分钟 $=3\times 60=\underline{180}$（秒）。
    4. 第 4 步（求次数）：$180\div 30=\underline{6}$（次）。
    最终答案：$30$ 秒后第一次相遇；$3$ 分钟内共相遇 $6$ 次。
  42. 16. ch05-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步：速度和 $=9+7=\underline{16}$（米/秒）。
    2. 第 2 步：相遇周期 $=480\div 16=\underline{30}$（秒）。
    3. 第 3 步：$3$ 分钟 $=\underline{180}$（秒），相遇次数 $=180\div 30=\underline{6}$（次）。
    最终答案：$30$ 秒后第一次相遇；共相遇 $6$ 次。
  43. 16. ch05-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（速度和）：$9+7=\underline{16}$（米/秒）。
    2. 第 2 步（第 $n$ 次相遇合走 $n$ 圈）：第 $5$ 次相遇两猫共走 $480\times 5=\underline{2400}$（米）。
    3. 第 3 步（求时间）：$2400\div 16=\underline{150}$（秒）。
    4. 第 4 步（黑猫路程）：$9\times 150=\underline{1350}$（米）。
    最终答案：第 $5$ 次相遇需 $150$ 秒，黑猫跑了 $1350$ 米。
  44. 16. ch05-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（背向看速度和）：$9+7=\underline{16}$（米/秒），相遇周期 $=480\div 16=\underline{30}$（秒）。
    2. 第 2 步（统一单位并求次数）：$5$ 分钟 $=\underline{300}$（秒），相遇次数 $=300\div 30=\underline{10}$（次）。
    3. 第 3 步（同向看速度差）：$9-7=\underline{2}$（米/秒），追上一次要多跑一圈，周期 $=480\div 2=\underline{240}$（秒）。
    4. 第 4 步（求追上次数）：$300\div 240=\underline{1.25}$，取整得 $1$ 次。
    最终答案：（1）相遇 $10$ 次；（2）追上 $1$ 次。
  45. 17. ch05-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（两次追上之间多跑一圈）：速度差 $=600\div 12=\underline{50}$（米/分）。
    2. 第 2 步（统一单位）：甲的速度 $=4\times 60=\underline{240}$（米/分）。
    3. 第 3 步（求乙的速度）：$240-\underline{50}=\underline{190}$（米/分）。
    4. 第 4 步（求 $A$、$B$ 距离）：第一次追上前甲比乙多跑的路程就是 $AB$，$50\times 5=\underline{250}$（米）。
    最终答案：乙的速度是每分钟 $190$ 米；$A$、$B$ 两地相距 $250$ 米。
  46. 17. ch05-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步：速度差 $=600\div 12=\underline{50}$（米/分）。
    2. 第 2 步：甲的速度 $=4\times 60=\underline{240}$（米/分），乙的速度 $=240-50=\underline{190}$（米/分）。
    3. 第 3 步：$A$、$B$ 距离 $=50\times 5=\underline{250}$（米）。
    最终答案：乙每分钟骑 $190$ 米；$A$、$B$ 相距 $250$ 米。
  47. 17. ch05-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（速度差）：$240-190=\underline{50}$（米/分）。
    2. 第 2 步（第一次追上）：追及路程就是 $250$ 米，$250\div \underline{50}=\underline{5}$（分）。
    3. 第 3 步（第二次追上）：还要再多跑一圈，$600\div 50=\underline{12}$（分），从出发算起共 $5+12=\underline{17}$（分）。
    最终答案：第一次 $5$ 分钟；第二次从出发算起 $17$ 分钟。
  48. 17. ch05-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（速度差）：$600\div 12=\underline{50}$（米/分）。
    2. 第 2 步（甲的速度）：$4\times 60=\underline{240}$（米/分），乙的速度 $=\underline{190}$（米/分）。
    3. 第 3 步（甲第一次追上时的路程）：$240\times 5=\underline{1200}$（米）。
    4. 第 4 步（换算圈数）：$1200\div 600=\underline{2}$（圈）。
    最终答案：甲跑了 $1200$ 米，合 $2$ 圈。
  49. 18. ch05-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（求速度差）：$4-1.5=\underline{2.5}$（米/秒）。
    2. 第 2 步（第 $9$ 次追上要多跑 $9$ 圈）：追及路程 $=9\times 60=\underline{540}$（米）。
    3. 第 3 步（求时间）：$540\div 2.5=\underline{216}$（秒）。
    4. 第 4 步（求乙跑的总路程）：$4\times 216=\underline{864}$（米）。
    5. 第 5 步（对周长取余定位）：$864\div 60=14$ 圈余 $\underline{24}$ 米，即乙在距出发点 $24$ 米处。
    6. 第 6 步（还需跑多远）：$60-24=\underline{36}$（米）。
    最终答案：还需跑 $36$ 米。
  50. 18. ch05-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步：速度差 $=4-1.5=\underline{2.5}$（米/秒）。
    2. 第 2 步：第 $9$ 次追上要多跑 $9$ 圈，共 $\underline{540}$ 米，用时 $540\div 2.5=\underline{216}$（秒）。
    3. 第 3 步：小强共跑 $4\times 216=\underline{864}$（米），$864$ 除以 $60$ 余 $\underline{24}$ 米。
    4. 第 4 步：还需跑 $60-24=\underline{36}$（米）。
    最终答案：还需跑 $36$ 米。
  51. 18. ch05-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（求追上时刻）：速度差 $=4-1.5=\underline{2.5}$（米/秒），$9\times 60\div 2.5=\underline{216}$（秒）。
    2. 第 2 步（求甲的路程）：$1.5\times 216=\underline{324}$（米）。
    3. 第 3 步（取余定位）：$324\div 60=5$ 圈余 $\underline{24}$（米），与乙的位置相同（因为此刻两人相遇），互相印证。
    最终答案：甲走了 $324$ 米，在距出发点 $24$ 米处。
  52. 18. ch05-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（追上时刻）：速度差 $=4-1.5=\underline{2.5}$（米/秒），时间 $=9\times 60\div 2.5=\underline{216}$（秒）。
    2. 第 2 步（乙的总路程与圈数）：$4\times 216=\underline{864}$（米），$864\div 60=14$ 圈余 $\underline{24}$（米）。
    3. 第 3 步（还要跑的距离与时间）：还需 $60-24=\underline{36}$（米），用时 $36\div 4=\underline{9}$（秒）。
    4. 第 4 步（求总时间）：$216+9=\underline{225}$（秒）。
    最终答案：（1）$14$ 整圈还多 $24$ 米；（2）一共用 $225$ 秒。
  53. 23. ch05-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（认清关系）：顺水速度 $=$ 船速 $+$ 水速，逆水速度 $=$ 船速 $-$ 水速，两者相减把船速消掉，剩下 $2$ 个水速。
    2. 第 2 步：先求速度差 $48-34=\underline{14}$（千米/时）。
    3. 第 3 步：这个差是水速的 $2$ 倍，所以水速 $=\underline{14}\div 2=\underline{7}$（千米/时）。
    最终答案：每小时 $7$ 千米。
  54. 23. ch05-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（转化模型）：顺风相当于顺水，逆风相当于逆水，顺风速度 $=$ 自身速度 $+$ 风速，逆风速度 $=$ 自身速度 $-$ 风速。
    2. 第 2 步：作差消去自身速度，$48-34=\underline{14}$（千米/时）。
    3. 第 3 步：差是风速的 $2$ 倍，风速 $=\underline{7}$（千米/时）。
    最终答案：每小时 $7$ 千米。
  55. 23. ch05-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（先求船速）：顺水速度 $=$ 船速 $+$ 水速，所以船速 $=48-7=\underline{41}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（再求逆水）：逆水速度 $=$ 船速 $-$ 水速 $=\underline{41}-7=\underline{34}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（换个算法验证）：逆水速度也可以由顺水速度直接减去 $2$ 个水速得到，$48-2\times 7=\underline{34}$（千米/时）。
    最终答案：每小时 $34$ 千米。
  56. 23. ch05-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（求水速）：顺逆水速度之差是水速的 $2$ 倍，水速 $=(48-34)\div 2=\underline{7}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（求静水速度）：顺逆水速度之和是船速的 $2$ 倍，船速 $=(48+34)\div 2=\underline{41}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（用速度求时间）：静水中速度就是船速，时间 $=205\div \underline{41}=\underline{5}$（小时）。
    最终答案：$5$ 小时。
  57. 24. ch05-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（求顺水速度）：用顺流的路程除以时间，$96\div 3=\underline{32}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（退到船速）：顺水速度里含有一个水速，减掉它，$\underline{32}-4=\underline{28}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（求逆水速度）：逆水时水速起阻碍作用，$\underline{28}-4=\underline{24}$（千米/时）。
    4. 第 4 步（求时间）：$96\div \underline{24}=\underline{4}$（小时）。
    最终答案：$4$ 小时。
  58. 24. ch05-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：顺风速度 $=96\div 3=\underline{32}$（千米/时）。
    2. 第 2 步：自身速度 $=$ 顺风速度 $-$ 风速 $=\underline{28}$（千米/时）。
    3. 第 3 步：逆风速度 $=$ 自身速度 $-$ 风速 $=\underline{24}$（千米/时）。
    4. 第 4 步：逆风时间 $=96\div \underline{24}=\underline{4}$（小时）。
    最终答案：$4$ 小时。
  59. 24. ch05-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求逆水速度）：$90\div 5=\underline{18}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（退到船速）：逆水速度加上水速就是船速，$\underline{18}+3=\underline{21}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（求顺水速度）：船速再加一个水速，$\underline{21}+3=\underline{24}$（千米/时）。
    4. 第 4 步（求时间）：$120\div \underline{24}=\underline{5}$（小时）。
    最终答案：$5$ 小时。
  60. 24. ch05-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求顺水速度）：$96\div 3=\underline{32}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（求船速与逆水速度）：船速 $=\underline{32}-4=\underline{28}$，逆水速度 $=\underline{28}-4=\underline{24}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（分别求两段时间）：顺流用 $3$ 小时；逆流用 $96\div \underline{24}=\underline{4}$（小时）。
    4. 第 4 步（往返求和）：往返总时间 $=3+\underline{4}=\underline{7}$（小时）。
    最终答案：$7$ 小时。
  61. 25. ch05-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（求两个速度）：顺水速度 $=720\div 18=\underline{40}$，逆水速度 $=720\div 24=\underline{30}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（和的一半）：两速度相加把水速抵消，得到 $2$ 个船速，静水速度 $=(\underline{70})\div 2=\underline{35}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（差的一半）：两速度相减把船速抵消，得到 $2$ 个水速，水速 $=(\underline{10})\div 2=\underline{5}$（千米/时）。
    最终答案：静水速度为 $35$ 千米/时，水流速度为 $5$ 千米/时。
  62. 25. ch05-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步：顺水速度 $=720\div 18=\underline{40}$，逆水速度 $=720\div 24=\underline{30}$（千米/时）。
    2. 第 2 步：静水速度 $=$ 两速度和的一半 $=\underline{35}$（千米/时）。
    3. 第 3 步：水流速度 $=$ 两速度差的一半 $=\underline{5}$（千米/时）。
    最终答案：静水速度为 $35$ 千米/时，水流速度为 $5$ 千米/时。
  63. 25. ch05-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（拼出两个速度）：顺水速度 $=35+5=\underline{40}$，逆水速度 $=35-5=\underline{30}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（分别求时间）：顺流 $720\div \underline{40}=\underline{18}$ 小时，逆流 $720\div \underline{30}=\underline{24}$ 小时。
    3. 第 3 步（求和）：往返共 $\underline{42}$ 小时。
    最终答案：顺流 $18$ 小时，逆流 $24$ 小时，往返共 $42$ 小时。
  64. 25. ch05-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求原来的两个速度）：顺水 $=720\div 18=\underline{40}$，逆水 $=720\div 24=\underline{30}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（拆出船速与水速）：船速 $=(40+30)\div 2=\underline{35}$，水速 $=(40-30)\div 2=\underline{5}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（水速变化）：涨水后水速 $=5\times 3=\underline{15}$（千米/时），船速不变。
    4. 第 4 步（新的逆水速度与时间）：逆水速度 $=35-\underline{15}=\underline{20}$（千米/时），时间 $=720\div \underline{20}=\underline{36}$（小时）。
    最终答案：$36$ 小时。
  65. 26. ch05-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（和差求时间）：往返总时间是和、多用的时间是差，顺流时间 $=(168-42)\div 2=\underline{63}$（小时），逆流时间 $=\underline{63}+42=\underline{105}$（小时）。
    2. 第 2 步（求甲船两个速度）：顺水速度 $=1575\div \underline{63}=\underline{25}$，逆水速度 $=1575\div \underline{105}=\underline{15}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（和差拆分）：甲船静水速度 $=(25+15)\div 2=\underline{20}$，水速 $=(25-15)\div 2=\underline{5}$（千米/时）。
    4. 第 4 步（换成乙船）：乙船静水速度 $=20\times 2=\underline{40}$，顺水速度 $=\underline{40}+5=\underline{45}$，逆水速度 $=\underline{40}-5=\underline{35}$（千米/时）。
    5. 第 5 步（乙船往返）：$1575\div 45+1575\div 35=\underline{35}+\underline{45}=\underline{80}$（小时）。
    最终答案：$80$ 小时。
  66. 26. ch05-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步：顺风时间 $=(168-42)\div 2=\underline{63}$ 小时，逆风时间 $=\underline{105}$ 小时。
    2. 第 2 步：甲的顺风速度 $=1575\div 63=\underline{25}$，逆风速度 $=1575\div 105=\underline{15}$（千米/时）。
    3. 第 3 步：甲无风速度 $=\underline{20}$，风速 $=\underline{5}$（千米/时）。
    4. 第 4 步：乙无风速度 $=\underline{40}$，顺风 $=45$、逆风 $=35$，往返时间 $=1575\div 45+1575\div 35=\underline{80}$（小时）。
    最终答案：$80$ 小时。
  67. 26. ch05-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求甲的两个速度）：顺水 $=1575\div 63=\underline{25}$，逆水 $=1575\div 105=\underline{15}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（和差拆分）：甲静水速度 $=\underline{20}$，水速 $=\underline{5}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（乙的速度）：乙静水 $=\underline{40}$，顺水 $=\underline{45}$，逆水 $=\underline{35}$（千米/时）。
    4. 第 4 步（乙往返时间）：$\underline{35}+\underline{45}=\underline{80}$（小时）。
    最终答案：$80$ 小时。
  68. 26. ch05-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（和差求时间）：顺流 $=(168-42)\div 2=\underline{63}$ 小时，逆流 $=\underline{105}$ 小时。
    2. 第 2 步（求两个速度）：顺水 $=1575\div 63=\underline{25}$，逆水 $=1575\div 105=\underline{15}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（差的一半是水速）：水速 $=(25-15)\div 2=\underline{5}$（千米/时）。
    4. 第 4 步（木筏就是水速）：木筏没有动力，速度等于水速，所需时间 $=1575\div \underline{5}=\underline{315}$（小时）。
    最终答案：（1）水速每小时 $5$ 千米；（2）木筏需 $315$ 小时。
  69. 27. ch05-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（追及看速度差）：水速对两船影响相同，会被抵消，速度差 $=120\div 3=\underline{40}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（求乙静水速度）：速度差就是两船静水速度之差，乙 $=20+\underline{40}=\underline{60}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（第二天各自实际速度）：甲从上游顺水 $=20+7=\underline{27}$，乙从下游逆水 $=60-7=\underline{53}$（千米/时）。
    4. 第 4 步（相遇看速度和）：速度和 $=27+53=\underline{80}$（千米/时），相遇时间 $=120\div \underline{80}=\underline{1.5}$（小时）。
    最终答案：乙船静水速度为每小时 $60$ 千米；第二天经过 $1.5$ 小时相遇。
  70. 27. ch05-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步：追及时水速抵消，速度差 $=120\div 3=\underline{40}$（千米/时）。
    2. 第 2 步：乙船静水速度 $=20+\underline{40}=\underline{60}$（千米/时）。
    3. 第 3 步：第二天甲顺水 $=\underline{27}$，乙逆水 $=\underline{53}$（千米/时）。
    4. 第 4 步：相遇时间 $=120\div(27+53)=\underline{1.5}$（小时）。
    最终答案：乙船静水速度为每小时 $60$ 千米；$1.5$ 小时后相遇。
  71. 27. ch05-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（追及）：水速被抵消，速度差 $=60-20=\underline{40}$（千米/时），追及时间 $=120\div \underline{40}=\underline{3}$（小时）。
    2. 第 2 步（相遇的两种算法之一）：分别算实际速度，甲顺水 $=20+7=\underline{27}$，乙逆水 $=60-7=\underline{53}$，速度和 $=\underline{80}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（另一种算法）：水速在速度和里同样抵消，直接用静水速度和 $20+60=\underline{80}$（千米/时），两法一致。
    4. 第 4 步（求相遇时间）：$120\div 80=\underline{1.5}$（小时）。
    最终答案：（1）$3$ 小时追上；（2）$1.5$ 小时相遇。
  72. 27. ch05-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（追及求差）：速度差 $=120\div 3=\underline{40}$（千米/时），乙静水速度 $=\underline{60}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（第二天实际速度）：甲顺水 $=20+7=\underline{27}$，乙逆水 $=60-7=\underline{53}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（求相遇时间）：$120\div(27+53)=\underline{1.5}$（小时）。
    4. 第 4 步（求相遇地点）：相遇点距 $A$ 的距离就是甲这段时间走的路，$27\times 1.5=\underline{40.5}$（千米）。
    最终答案：相遇地点距 $A$ 码头 $40.5$ 千米。
  73. 28. ch05-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（认清追及本质）：环形跑道上甲追上乙一次，就是甲比乙多跑一圈 $600$ 米。
    2. 第 2 步（求速度差）：$8-4=\underline{4}$（米/秒）。
    3. 第 3 步（第一次追上）：$600\div \underline{4}=\underline{150}$（秒）。
    4. 第 4 步（第二次追上）：多跑两圈，时间是第一次的 $2$ 倍，$\underline{150}\times 2=\underline{300}$（秒）。
    最终答案：$300$ 秒。
  74. 28. ch05-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步：甲车每追上乙车一次要多行一圈 $600$ 米。
    2. 第 2 步：速度差 $=8-4=\underline{4}$（米/秒）。
    3. 第 3 步：第一次追上 $=600\div 4=\underline{150}$（秒）。
    4. 第 4 步：第二次追上 $=\underline{300}$（秒）。
    最终答案：$300$ 秒。
  75. 28. ch05-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（速度差）：$8-4=\underline{4}$（米/秒）。
    2. 第 2 步（第三次追上要多跑三圈）：追及路程 $=600\times 3=\underline{1800}$（米）。
    3. 第 3 步（求时间）：$\underline{1800}\div 4=\underline{450}$（秒）。
    4. 第 4 步（求甲的路程）：$8\times 450=\underline{3600}$（米）。
    最终答案：第三次追上需 $450$ 秒，此时甲跑了 $3600$ 米。
  76. 28. ch05-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（同向：看速度差）：速度差 $=8-4=\underline{4}$（米/秒），第二次追上要多跑两圈 $600\times 2=\underline{1200}$（米）。
    2. 第 2 步：同向第二次追上的时间 $=1200\div 4=\underline{300}$（秒）。
    3. 第 3 步（背向：看速度和）：背向而行每相遇一次两人合跑一圈，速度和 $=8+4=\underline{12}$（米/秒）。
    4. 第 4 步：第二次相遇要合跑两圈，$600\times 2\div 12=\underline{100}$（秒）。
    最终答案：（1）$300$ 秒；（2）$100$ 秒。
  77. 29. ch05-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（求甲的速度）：$3600\div 12=\underline{300}$（米/分）。
    2. 第 2 步（求第一次相遇的时间）：用甲骑的路程除以甲的速度，$2700\div \underline{300}=\underline{9}$（分）。
    3. 第 3 步（求乙骑的路程）：背向相遇时两人合骑一圈，乙骑了 $3600-2700=\underline{900}$（米）。
    4. 第 4 步（求乙的速度与一圈时间）：乙速 $=\underline{900}\div 9=\underline{100}$（米/分），一圈 $=3600\div \underline{100}=\underline{36}$（分）。
    5. 第 5 步（再次相遇）：两次相遇之间两人又合骑一圈，$3600\div(300+100)=\underline{9}$（分）。
    最终答案：乙骑一圈需要 $36$ 分钟；再过 $9$ 分钟第二次相遇。
  78. 29. ch05-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步：甲的速度 $=3600\div 12=\underline{300}$（米/分）。
    2. 第 2 步：第一次相遇时间 $=2700\div 300=\underline{9}$（分）。
    3. 第 3 步：乙滑的路程 $=3600-2700=\underline{900}$（米），乙的速度 $=900\div 9=\underline{100}$（米/分）。
    4. 第 4 步：乙滑一圈 $=3600\div 100=\underline{36}$（分）；再次相遇 $=3600\div 400=\underline{9}$（分）。
    最终答案：乙滑一圈需要 $36$ 分钟；再过 $9$ 分钟第二次相遇。
  79. 29. ch05-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（各自速度）：甲 $=3600\div 12=\underline{300}$，乙 $=3600\div 36=\underline{100}$（米/分）。
    2. 第 2 步（相遇看速度和）：速度和 $=300+100=\underline{400}$（米/分）。
    3. 第 3 步（合骑一圈）：相遇时间 $=3600\div \underline{400}=\underline{9}$（分）。
    4. 第 4 步（甲的路程）：$300\times 9=\underline{2700}$（米）。
    最终答案：第一次相遇需 $9$ 分钟，相遇时甲骑了 $2700$ 米。
  80. 29. ch05-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（甲速与相遇时间）：甲速 $=3600\div 12=\underline{300}$（米/分），第一次相遇 $=2700\div 300=\underline{9}$（分）。
    2. 第 2 步（乙速）：乙骑 $3600-2700=\underline{900}$ 米，乙速 $=900\div 9=\underline{100}$（米/分）。
    3. 第 3 步（第 $n$ 次相遇合跑 $n$ 圈）：第三次相遇两人合骑 $3600\times 3=\underline{10800}$（米）。
    4. 第 4 步（求时间）：$\underline{10800}\div(300+100)=\underline{27}$（分）。
    5. 第 5 步（求乙的总路程）：$100\times 27=\underline{2700}$（米）。
    最终答案：第三次相遇需 $27$ 分钟，此时乙骑了 $2700$ 米。
  81. 30. ch05-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（算领先量）：乙起跑时，甲已经跑了 $400\times 1=\underline{400}$（米），即甲在乙前方这么多米。
    2. 第 2 步（追上＝领先一圈）：甲要追上乙，需要领先整整一圈 $500$ 米，所以还要再多跑 $500-400=\underline{100}$（米）。
    3. 第 3 步（求速度差）：这 $100$ 米是 $4$ 分钟里多跑的，速度差 $=100\div 4=\underline{25}$（米/分）。
    4. 第 4 步（求乙的速度）：$400-\underline{25}=\underline{375}$（米/分）。
    5. 第 5 步（第二次追上）：再多跑一整圈，$500\div 25=\underline{20}$（分）。
    最终答案：乙每分钟跑 $375$ 米；再过 $20$ 分钟第二次追上乙。
  82. 30. ch05-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步：乙车出发时甲车已行 $400\times 1=\underline{400}$（米）。
    2. 第 2 步：追上意味着领先一圈，还需多行 $500-400=\underline{100}$（米）。
    3. 第 3 步：速度差 $=100\div 4=\underline{25}$（米/分），乙车速度 $=400-25=\underline{375}$（米/分）。
    4. 第 4 步：第二次追上 $=500\div 25=\underline{20}$（分）。
    最终答案：乙车每分钟行 $375$ 米；再过 $20$ 分钟第二次追上。
  83. 30. ch05-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（求速度差）：$400-375=\underline{25}$（米/分）。
    2. 第 2 步（第一次追上多跑一圈）：$500\div \underline{25}=\underline{20}$（分）。
    3. 第 3 步（第二次追上多跑两圈）：$500\times 2\div 25=\underline{40}$（分）。
    最终答案：第一次 $20$ 分钟，第二次 $40$ 分钟。
  84. 30. ch05-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（求乙的速度）：甲先跑 $400\times 1=\underline{400}$ 米，还需多跑 $500-400=\underline{100}$ 米，速度差 $=100\div 4=\underline{25}$（米/分），乙速 $=400-25=\underline{375}$（米/分）。
    2. 第 2 步（第二次追上还要多久）：再多跑一圈，$500\div 25=\underline{20}$（分）。
    3. 第 3 步（算总时间）：从甲出发算起共 $1+4+20=\underline{25}$（分）。
    4. 第 4 步（算总路程与圈数）：$400\times 25=\underline{10000}$（米），$10000\div 500=\underline{20}$（圈）。
    最终答案：甲一共跑了 $10000$ 米，即 $20$ 圈。
  85. 31. ch05-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（调头后甲的速度）：提高一半就是原来的 $1+\frac{1}{2}$ 倍，$200\times 1.5=\underline{300}$（米/分）。
    2. 第 2 步（调头后乙的速度）：提高四分之一就是原来的 $1+\frac{1}{4}$ 倍，$160\times 1.25=\underline{200}$（米/分）。
    3. 第 3 步（第二次相遇要再合走一圈）：新速度和 $=300+200=\underline{500}$（米/分），用时 $=600\div \underline{500}=\underline{1.2}$（分）。
    4. 第 4 步（两相遇点的距离）：这段时间乙走了 $200\times 1.2=\underline{240}$（米），甲走了 $300\times 1.2=\underline{360}$（米），两段合起来正好一圈，取较短的一段为 $\underline{240}$（米）。
    最终答案：$240$ 米。
  86. 31. ch05-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步：调头后甲 $=200\times 1.5=\underline{300}$，乙 $=160\times 1.25=\underline{200}$（米/分）。
    2. 第 2 步：再相遇要合行一圈，用时 $=600\div(300+200)=\underline{1.2}$（分）。
    3. 第 3 步：乙这段行 $200\times 1.2=\underline{240}$ 米，甲行 $300\times 1.2=\underline{360}$ 米，最短距离取 $\underline{240}$ 米。
    最终答案：$240$ 米。
  87. 31. ch05-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（新速度）：甲 $=240\times 1.5=\underline{360}$，乙 $=160\times 1.5=\underline{240}$（米/分）。
    2. 第 2 步（第二次相遇用时）：合走一圈，$600\div(360+240)=\underline{1}$（分）。
    3. 第 3 步（两点距离）：乙走 $240\times 1=\underline{240}$（米），甲走 $360\times 1=\underline{360}$（米），取较短的 $\underline{240}$（米）。
    最终答案：$240$ 米。
  88. 31. ch05-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（第一次相遇）：背向出发合走一圈，速度和 $=200+400=\underline{600}$（米/分），用时 $=600\div \underline{600}=\underline{1}$（分）。
    2. 第 2 步（定位第一次相遇点）：甲走了 $200\times 1=\underline{200}$（米），即相遇点在甲前进方向距出发点这么远。
    3. 第 3 步（调头后的新速度）：甲 $=200\times 1.5=\underline{300}$，乙 $=400\times 1.25=\underline{500}$（米/分）。
    4. 第 4 步（第二次相遇用时）：$600\div(300+500)=\underline{0.75}$（分）。
    5. 第 5 步（两相遇点距离）：甲走 $300\times 0.75=\underline{225}$（米），乙走 $500\times 0.75=\underline{375}$（米），取较短的 $\underline{225}$（米）。
    最终答案：（1）$1$ 分钟，相遇点距出发点 $200$ 米；（2）两次相遇地点相距 $225$ 米。