五年级第6讲几何计数

1. 【原题 ch06-chaoyue-01】图 6-25 是一个等边三角形的点阵。以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）？

详细思路

是哪类问题：这是「点阵中的等腰三角形计数」问题：在一个等边三角形点阵中数所有等腰（含等边）三角形。

关键切入点：关键是**按形状分类**而不是按大小分类，因为等腰三角形的样子差别很大，只有分形状才能不重不漏。依次是：正方向的正三角形 $(1+3+5)+3+1=13$ 个、斜放的正三角形 $2$ 个、最小的等腰钝角三角形 $3\times 2\times 3=18$ 个、与之相似的大等腰钝角三角形 $3$ 个、等腰锐角三角形 $3$ 个。其中钝角那一类最容易漏，要靠「每个方向 $\times$ 每个位置」有序地数。

方法概述：把等腰三角形按正三角形、斜正三角形、钝角与锐角等腰三角形等形状分类计数。

规范步骤：

正方向的正三角形：$(1+3+5)+3+1=13$（个）（按边长逐类）
斜放的正三角形：$2$（个）（易漏，单列一类）
最小的等腰钝角三角形：$3\times 2\times 3=18$（个）（方向 $\times$ 位置有序计数）
较大的等腰钝角三角形与等腰锐角三角形：$3$ 个与 $3$ 个（补齐剩余形状）
各类相加：$13+2+18+3+3=39$（个）（分类求和）

2. 【原题 ch06-chaoyue-02】如图 6-26，数一数，图中共有多少个三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「删线—添线」的三角形计数问题：图中有一个倒三角形的两条斜边把图搞乱了。

关键切入点：关键还是**先减后加**，而且要留意「两条线共用」的部分。先去掉那两条斜边，剩下的规整图形有 $(1+2+3+4+5+6)\times 2=42$ 个三角形；每添回一条斜边，新增以它为边的三角形 $12$ 个，两条共 $24$ 个；但还有 $1$ 个三角形**同时用到两条斜边**，它在前面按「单条斜边」统计时一次也没被算到，必须补回来。

方法概述：先去掉两条斜边数基础三角形，再逐条添回斜边统计新增，并补回两条斜边公共的三角形。

规范步骤：

去掉两条斜边后的基础图形：$(1+2+3+4+5+6)\times 2=42$（个）（化归为规整图形）
每添回一条斜边新增 $12$ 个，两条：$12\times 2=24$（个）（只数增量）
同时用到两条斜边的三角形还有 $1$ 个，需补回：$1$（个）（避免遗漏交叉情形）
合计：$42+12\times 2+1=67$（个）（求和）

3. 【原题 ch06-chaoyue-03】如图 6-27，这是一个 $4\times 8$ 的矩形网格，每一个小格都是一个正方形，请问：（1）包含有两个“$\bigstar$”的矩形共有多少个？（2）至少包含一个“$\bigstar$”的矩形有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「含特定点的矩形计数 + 容斥原理」问题：$4\times 8$ 的网格中有两个「$\bigstar$」。

关键切入点：核心手法是把「矩形包含某个点」翻译成**四条边各自的位置限制**，再用乘法原理相乘。第 (1) 问要同时包含两个 $\bigstar$，限制更紧：左边必须在两个 $\bigstar$ 的左侧（$3$ 种）、上边 $2$ 种、右边 $5$ 种、下边 $1$ 种，得 $30$ 个。第 (2) 问「至少含一个」不能直接相加，因为同时含两个的被算了两遍，要用**容斥原理**：$120+72-30$。

方法概述：通过确定矩形四条边相对于标记点的位置来计数，至少含一个时用容斥。

规范步骤：

同时含两个 $\bigstar$：四条边的可选位置分别是 $3,2,5,1$：$3\times 2\times 5\times 1=30$（个）（乘法原理）
含上面那个 $\bigstar$ 的：$4\times 2\times 5\times 3=120$（个）（乘法原理）
含下面那个 $\bigstar$ 的：$3\times 4\times 6\times 1=72$（个）（乘法原理）
至少含一个：相加会把「同时含两个」算两遍，减去一次：$120+72-30=162$（个）（容斥原理）

第一套

题目：一个 $5\times 10$ 的矩形网格（共 $6$ 条横线、$11$ 条竖线）中标着两个「$\bigstar$」：$\bigstar_1$ 的左面有 $4$ 条竖线、右面有 $7$ 条，下面有 $2$ 条横线、上面有 $4$ 条；$\bigstar_2$ 的左面有 $7$ 条竖线、右面有 $4$ 条，下面有 $4$ 条横线、上面有 $2$ 条。请问：（1）同时包含两个「$\bigstar$」的矩形有多少个？（2）至少包含一个「$\bigstar$」的矩形有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把「含点」翻译成边的位置）：矩形含某个 $\bigstar$，就是左边取在它左侧、右边取在它右侧、下边取在它下方、上边取在它上方，四条边独立选取后相乘。
第 2 步（含 $\bigstar_1$）：$4\times 7\times 2\times 4=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（含 $\bigstar_2$）：$7\times 4\times 4\times 2=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（同时含两个）：限制取更紧的一侧——左边要同时在两星左侧，只有 $4$ 条可选；右边同时在两星右侧，只有 $4$ 条；下边 $2$ 条；上边 $2$ 条。$4\times 4\times 2\times 2=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（至少含一个，用容斥）：直接相加会把「同时含两个」算两遍，所以 $224+224-64=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：一块 $5\times 10$ 的农田被 $6$ 条东西向田埂和 $11$ 条南北向田埂分成方格，田里有两口井：$1$ 号井西面有 $4$ 条南北向田埂、东面有 $7$ 条，南面有 $2$ 条东西向田埂、北面有 $4$ 条；$2$ 号井西面有 $7$ 条南北向田埂、东面有 $4$ 条，南面有 $4$ 条东西向田埂、北面有 $2$ 条。农场主要划出一块矩形地块，请问：（1）同时含两口井的矩形地块有多少个？（2）至少含一口井的有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把「含井」翻译成边界位置）：地块含某口井，就是西边界在井西、东边界在井东、南边界在井南、北边界在井北，四条边界独立选取后相乘。
第 2 步（含 $1$ 号井）：$4\times 7\times 2\times 4=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（含 $2$ 号井）：$7\times 4\times 4\times 2=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（同时含两口）：每一侧都取更紧的限制，西 $4$ 条、东 $4$ 条、南 $2$ 条、北 $2$ 条，$4\times 4\times 2\times 2=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（至少含一口，用容斥）：$224+224-64=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：在一个 $4\times 8$ 的矩形网格中标着两个「$\bigstar$」，已知包含上面那个的矩形有 $120$ 个，包含下面那个的有 $72$ 个，同时包含两个的有 $30$ 个。请问：**恰好**包含一个「$\bigstar$」的矩形有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（「至少一个」与「恰好一个」差在哪）：把两类相加会把「同时含两个」算两遍，用容斥得至少含一个的有 $120+72-30=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步（再剔除）：「至少一个」里还包含了同时含两个的那 $30$ 个，恰好含一个 $=162-30=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（换个算法验证）：只含上面那个的有 $120-30=\underline{\quad}$ 个，只含下面那个的有 $72-30=\underline{\quad}$ 个，相加得 \underline{\quad} 个，一致。

第三套

题目：一个 $5\times 10$ 的矩形网格（$6$ 条横线、$11$ 条竖线）中标着两个「$\bigstar$」，已知含 $\bigstar_1$ 的矩形有 $224$ 个，含 $\bigstar_2$ 的有 $224$ 个，同时含两个的有 $64$ 个。请问：（1）至少含一个的有多少个？（2）恰好含一个的有多少个？（3）网格中矩形总共有多少个？（4）一个「$\bigstar$」都不含的有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（至少一个，用容斥）：$224+224-64=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步（恰好一个）：从「至少一个」中再去掉同时含两个的，$384-64=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（矩形总数）：两横两竖定一个矩形，$C_6^2=\dfrac{6\times 5}{2}=\underline{\quad}$，$C_{11}^2=\dfrac{11\times 10}{2}=\underline{\quad}$，总数 $15\times 55=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（一个都不含，取补集）：$825-384=\underline{\quad}$（个）。

4. 【原题 ch06-chaoyue-04】如图 6-28，在图中的 $3\times 3$ 正方形格子中，格线的交点称为格点。例如：$A,B,C$ 这 $3$ 个点都是格点。那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「按顶点类型分类 + 去重」的格点三角形计数问题：要数完全覆盖住指定阴影小方格的三角形。

关键切入点：关键是两步。第一步**换主角**：不去直接枚举三角形，而是枚举「以某个格点为顶点」的三角形，并按点的位置把 $16$ 个格点分成三类（大正方形顶点 $4$ 个、大正方形边上 $8$ 个、阴影正方形顶点 $4$ 个），每类各取一个代表数出 $1,5,1$ 个，于是得到 $1\times 4+5\times 8+1\times 4=48$。第二步**去重**：每个三角形有 $3$ 个顶点，会在三处各被数一次，所以要除以 $3$。

方法概述：按顶点类型分类，统计以各类点为顶点能覆盖阴影的三角形数，再除以每个三角形被数到的次数 $3$。

规范步骤：

以 $A$ 类（大正方形顶点，共 $4$ 个）为顶点的：$1\times 4=4$（按顶点类型分类）
以 $B$ 类（大正方形边上，共 $8$ 个）为顶点的：$5\times 8=40$（同类点由对称性同数）
以 $C$ 类（阴影正方形顶点，共 $4$ 个）为顶点的：$1\times 4=4$（按顶点类型分类）
含重复的总计：$4+40+4=48$（汇总）
每个三角形有 $3$ 个顶点、被数了 $3$ 遍：$48\div 3=16$（个）（除以重复倍数去重）

5. 【原题 ch06-chaoyue-05】如图 6-29，用 $12$ 个点将圆周 $12$ 等分。以这些点为顶点的梯形共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「圆周等分点上的梯形计数」问题：$12$ 等分圆周，以分点为顶点数梯形。

关键切入点：两个关键。其一，**梯形的两底是圆中的一对平行弦**，而在等分圆里两条弦平行的充要条件是「它们所夹的两段弧相等」，于是可以用**弧长**来描述一个梯形：设上底所对弧长为 $a$、下底所对弧长为 $b$，则必须 $a<b$ 且 $a,b$ 同奇偶（这样两侧的弧才能均分），还要 $a+b<12$。其二，用**旋转对称**去掉位置的自由度：每种形状旋转 $\dfrac{1}{12}$ 圆周就得到一个新梯形，所以先数出本质不同的形状有 $4+3+2+1=10$ 种，再乘 $12$ 个旋转位置。

方法概述：梯形的两底是圆中的平行弦（弧长之和不超过半圆），先数本质不同的形状再乘旋转位置数。

规范步骤：

上底弧长为 $1$ 时，下底弧长可取 $3,5,7,9$：$4$（种）（同奇偶且 $a+b<12$）
上底弧长为 $2$ 时，下底可取 $4,6,8$：$3$（种）（同上）
上底弧长为 $3,4$ 时，分别可取 $5,7$ 与 $6$：$2$ 种与 $1$ 种（同上）
本质不同的形状：$4+3+2+1=10$（种）（先数形状）
每种形状可旋转到 $12$ 个位置：$10\times 12=120$（个）（旋转对称）

第一套

题目：用 $16$ 个点将圆周 $16$ 等分。以这些点为顶点的梯形共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（怎样描述一个梯形）：梯形的两底是一对平行弦。设每段小弧长为 $1$，上底所对弧长为 $a$、下底所对弧长为 $b$，要成为梯形必须 $a<b$、$a$ 与 $b$ 同奇偶，且 $a+b<16$。
第 2 步（逐个枚举形状）：$a=1$ 时 $b$ 可取 $3,5,7,9,11,13$，共 \underline{\quad} 种；$a=2$ 时 $b$ 可取 $4,6,8,10,12$，共 \underline{\quad} 种。
第 3 步：$a=3$ 时 $b$ 可取 $5,7,9,11$，共 \underline{\quad} 种；$a=4$ 时 $b$ 可取 $6,8,10$，共 \underline{\quad} 种。
第 4 步：$a=5$ 时 $b$ 可取 $7,9$，共 \underline{\quad} 种；$a=6$ 时 $b$ 只能取 $8$，共 \underline{\quad} 种；$a\ge 7$ 时再也凑不出满足条件的 $b$。
第 5 步：本质不同的形状共 $6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$（种）。
第 6 步（旋转还原）：每种形状旋转 $\dfrac{1}{16}$ 圆周都得到一个新梯形，共 $16$ 个位置，梯形总数 $21\times 16=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：一张圆桌周围均匀地摆着 $16$ 个座位。会务组想从中挑出 $4$ 个座位，使它们的连线恰好围成一个梯形（有且只有一组对边平行）。请问：共有多少种不同的挑法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（怎样描述一种挑法）：梯形的两底是一对平行弦。设相邻两座位间的弧长为 $1$，上底所对弧长为 $a$、下底所对弧长为 $b$，需满足 $a<b$、$a$ 与 $b$ 同奇偶，且 $a+b<16$。
第 2 步：$a=1$ 时 $b$ 可取 $3,5,7,9,11,13$，共 \underline{\quad} 种；$a=2$ 时 $b$ 可取 $4,6,8,10,12$，共 \underline{\quad} 种。
第 3 步：$a=3$ 时共 \underline{\quad} 种；$a=4$ 时共 \underline{\quad} 种。
第 4 步：$a=5$ 时共 \underline{\quad} 种；$a=6$ 时共 \underline{\quad} 种。
第 5 步：本质不同的形状共 $6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$（种）。
第 6 步（转一圈）：每种形状可以绕圆桌转到 $16$ 个不同位置，共 $21\times 16=\underline{\quad}$（种）。

第三套

题目：用 $12$ 个点将圆周 $12$ 等分。以这些点为顶点的**直角**三角形共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（判定的抓手）：圆周角定理告诉我们，圆内接三角形是直角三角形，当且仅当它有一条边是**直径**；所以只要先选直径，再选第三个顶点。
第 2 步（数直径）：$12$ 等分点中，正对的两点连成直径，共 $12\div 2=\underline{\quad}$ 条。
第 3 步（选第三点）：直径用掉 $2$ 个点，第三个顶点在剩下的 $12-2=\underline{\quad}$ 个点中任选。
第 4 步（乘法原理，且不会重复）：一个直角三角形只有一条边是直径，不会被重复计数，共 $6\times 10=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：用 $16$ 个点将圆周 $16$ 等分。请问：（1）以这些点为顶点的梯形有多少个？（2）矩形有多少个？（3）四个顶点都在这些点上、且**至少有一组对边平行**的四边形共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（梯形）：设上底所对弧长为 $a$、下底为 $b$，需 $a<b$、同奇偶且 $a+b<16$。$a=1,2,3,4,5,6$ 时分别有 $6,5,4,3,2,1$ 种形状，共 $6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$（种）。
第 2 步：每种形状可旋转到 $16$ 个位置，梯形共 $21\times 16=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（矩形为什么要单独算）：矩形有**两组**对边平行，按梯形的定义（只有一组对边平行）它不算梯形，所以第 (1) 问里没有把它算进去。圆内接矩形的两条对角线都必须是直径，$16$ 等分点共有 $16\div 2=\underline{\quad}$ 条直径。
第 4 步：任取 $2$ 条直径，它们的四个端点就围成一个矩形，$C_8^2=\dfrac{8\times 7}{2}=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（合并）：至少有一组对边平行的四边形 $=$ 梯形 $+$ 矩形 $=336+28=\underline{\quad}$（个）。

6. 【原题 ch06-chaoyue-06】一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形。如图 6-30 中，共有多少个不同的曲边形？

详细思路

是哪类问题：这是「圆被内接正方形及其对角线分割后的曲边形计数」问题。

关键切入点：关键是抓住「曲边形必须含弧」这一点，从而**按所含圆弧的段数分类**；同一段数下还要再看弧与弧的**相对位置**（相连还是相间），因为这会影响能不能围成封闭图形，这正是本题最容易出错的地方。各类借助图形的对称性成组地数：含一弧 $8\times 4=32$ 个、含相连两弧 $4\times 4=16$ 个、含相间两弧 $3\times 2=6$ 个、含三弧 $2\times 4=8$ 个、含四弧 $1$ 个。

方法概述：按曲边形所含圆弧的段数及相对位置分类，借助对称性计数。

规范步骤：

含一段弧的：$8\times 4=32$（个）（按弧段数分类 + 对称成组）
含相连两段弧的：$4\times 4=16$（个）（同段数下再分相对位置）
含相间两段弧的：$3\times 2=6$（个）（相间与相连要分开）
含三段弧的与含四段弧的：$2\times 4=8$ 个与 $1$ 个（对称成组）
各类相加：$32+16+6+8+1=63$（个）（分类求和）

7. 【原题 ch06-chaoyue-07】如图 6-31，木板上钉着 $16$ 枚钉子，排成四行四列的方阵。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「点阵中的等腰三角形计数」问题：四行四列共 $16$ 枚钉子，用橡皮筋套等腰三角形。

关键切入点：关键是选一个能让每个三角形**只被数一次**的枚举主角——这里选**顶角所在的顶点**。格点上不存在等边三角形，所以每个等腰三角形的顶角顶点是唯一的，按顶角顶点枚举既不重也不漏。再由对称性把 $16$ 个点分成三类（外层顶点 $4$ 个、外层边上 $8$ 个、内层 $4$ 个），同类点的结果相同，只需各算一次：分别是 $6,8,15$ 个。

方法概述：以等腰三角形顶角的顶点定位，把 $16$ 个点按位置分三类分别统计。

规范步骤：

确定枚举主角：格点上没有等边三角形，故顶角顶点唯一：按顶角顶点枚举不重不漏（保证唯一性）
$A$ 类（外层 $4$ 个顶点），每个作顶角顶点可套出 $6$ 个：$6\times 4=24$（个）（对称同类）
$B$ 类（外层边上 $8$ 个点），每个 $8$ 个：$8\times 8=64$（个）（对称同类）
$C$ 类（内层 $4$ 个点），每个 $15$ 个：$15\times 4=60$（个）（对称同类）
三类相加：$24+64+60=148$（个）（分类求和）

第一套

题目：木板上钉着 $25$ 枚钉子，排成五行五列的方阵。已知：以最外层四个角上的点为顶角顶点，各能套出 $10$ 个等腰三角形；以最外层每条边上非中点的 $8$ 个点为顶角顶点，各能套出 $13$ 个；以最外层四条边的中点为顶角顶点，各能套出 $16$ 个；以内层 $3\times 3$ 方阵四个角上的点为顶角顶点，各能套出 $23$ 个；以内层四条边中点为顶角顶点，各能套出 $26$ 个；以正中心那个点为顶角顶点，能套出 $40$ 个。请问：一共可以套出多少个不同的等腰三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（为什么按顶角顶点数）：格点上不存在等边三角形，所以每个等腰三角形的顶角顶点是唯一的，按顶角顶点枚举既不重复也不遗漏。
第 2 步（外层角点与外层边上非中点）：$4\times 10=\underline{\quad}$（个）；$8\times 13=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（外层边中点）：共 $4$ 个，$4\times 16=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（内层角点与内层边中点）：各 $4$ 个，$4\times 23=\underline{\quad}$（个）；$4\times 26=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（中心点）：只有 $1$ 个，$1\times 40=\underline{\quad}$（个）。
第 6 步：六类相加 $40+104+64+92+104+40=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：科技馆的展板上均匀嵌着 $25$ 个磁扣，排成五行五列。用皮筋套住三个磁扣可以拼出三角形。已知：以外层四个角上的磁扣作顶角顶点，各能套出 $10$ 个等腰三角形；以外层每条边上非中点的 $8$ 个磁扣作顶角顶点，各 $13$ 个；以外层四条边的中点作顶角顶点，各 $16$ 个；以内层 $3\times 3$ 方阵四个角上的磁扣作顶角顶点，各 $23$ 个；以内层四条边中点作顶角顶点，各 $26$ 个；以正中心的磁扣作顶角顶点，能套出 $40$ 个。请问：一共能套出多少个不同的等腰三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（为什么按顶角顶点数）：这样的点阵上不存在等边三角形，每个等腰三角形的顶角顶点唯一，按顶角顶点分类不重不漏。
第 2 步（外层角与外层边上非中点）：$4\times 10=\underline{\quad}$（个）；$8\times 13=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（外层边中点）：$4\times 16=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（内层角与内层边中点）：$4\times 23=\underline{\quad}$（个）；$4\times 26=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（中心磁扣）：$1\times 40=\underline{\quad}$（个）。
第 6 步：合计 $40+104+64+92+104+40=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：木板上钉着 $20$ 枚钉子，排成四行五列的长方形点阵。已知：以四个角上的点为顶角顶点，各能套出 $6$ 个等腰三角形；以上下两条长边上非中点的 $4$ 个点为顶角顶点，各能套出 $12$ 个；以上下两条长边的中点（共 $2$ 个）为顶角顶点，各 $14$ 个；以左右两条短边上的 $4$ 个内点为顶角顶点，各 $9$ 个；以内部 $2\times 3$ 区域中左右两列的 $4$ 个点为顶角顶点，各 $16$ 个；以内部中间一列的 $2$ 个点为顶角顶点，各 $24$ 个。请问：一共可以套出多少个不同的等腰三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举主角）：点阵上没有等边三角形，每个等腰三角形的顶角顶点唯一，按顶角顶点分类计数。
第 2 步（长方形点阵的类别更碎）：因为行列数不等，上下长边与左右短边不再对称，必须分开算。四个角点：$4\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（长边上的点）：非中点的 $4$ 个 $4\times 12=\underline{\quad}$（个）；中点 $2$ 个 $2\times 14=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（短边上的内点）：$4\times 9=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（内部点）：左右两列 $4$ 个 $4\times 16=\underline{\quad}$（个）；中间一列 $2$ 个 $2\times 24=\underline{\quad}$（个）。
第 6 步：六类相加 $24+48+28+36+64+48=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：木板上钉着 $25$ 枚钉子，排成五行五列的方阵。按顶角顶点分类，各类点能套出的等腰三角形个数为：外层四个角点各 $10$ 个，外层边上非中点的 $8$ 个点各 $13$ 个，外层四条边的中点各 $16$ 个，内层 $3\times 3$ 方阵的四个角点各 $23$ 个，内层四条边中点各 $26$ 个，正中心 $1$ 个点 $40$ 个。请问：（1）等腰三角形一共有多少个？（2）其中顶角顶点落在**最外圈**的有多少个？（3）顶角顶点落在最外圈以内的有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先分清哪些点在最外圈）：五行五列共 $25$ 个点，最外圈是一圈边框，共 $25-3\times 3=\underline{\quad}$ 个点；它们正是角点 $4$ 个、边上非中点 $8$ 个、边中点 $4$ 个。
第 2 步（最外圈小计）：$4\times 10=\underline{\quad}$、$8\times 13=\underline{\quad}$、$4\times 16=\underline{\quad}$，合计 $40+104+64=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（内圈小计）：内层角点 $4\times 23=\underline{\quad}$、内层边中点 $4\times 26=\underline{\quad}$、中心 $40$ 个，合计 $92+104+40=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（总数）：$208+236=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（回头验算）：用总数减去内圈也应得外圈，$444-236=\underline{\quad}$，与第 2 步一致。

8. 【原题 ch06-chaoyue-08】如图 6-32，在 $3\times 3$ 的方格表中，每个小正方形的面积均为 $1$。请问：（1）以格点为顶点共可以连出多少个面积为 $4$ 的三角形？（2）以格点为顶点共可以连出多少个面积为 $3$ 的三角形？（3）以格点为顶点共可以连出多少个面积为 $1.5$ 的三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「按指定面积数格点三角形」问题：在 $3\times 3$ 方格表中分别数出面积为 $4$、$3$、$1.5$ 的三角形。

关键切入点：关键是**先定形状、再定位置**。给定面积后，三角形的底与高只有有限几种搭配，于是可以先在一个尽量小的矩形（如 $2\times 3$、$1\times 3$、$2\times 2$）里把该面积的三角形形状枚举清楚，数出每个小矩形里有几个；再数出 $3\times 3$ 表中这样的小矩形各有多少个，相乘累加。最后还要单独补上那些「装不进小矩形、只能撑满整张 $3\times 3$ 表」的三角形——这一步最容易漏。

方法概述：对每种面积，确定三角形可能的形状，再借助 $3\times 3$ 表中各种小矩形的个数累加计数。

规范步骤：

面积为 $4$：只能占据一个角，四个角各一个：$4$（个）（面积已达表的一半，形状唯一）
面积为 $3$：在 $2\times 3$ 长方形内有 $4+4+2=10$ 个形状位置，表中有 $4$ 个这样的长方形：$4\times(4+4+2)=40$（个）（先定形状再乘位置数）
另有 $8$ 个撑满整表的面积 $3$ 的三角形：$40+8=48$（个）（补上装不进小矩形的）
面积为 $1.5$：$1\times 3$ 长方形中各 $8$ 个、共 $6$ 个这样的长方形：$6\times(4+4)=48$（个）（分小矩形累加）
$2\times 2$ 正方形中各 $4$ 个（共 $4$ 个）、$2\times 3$ 长方形中各 $4$ 个（共 $4$ 个）：$4\times 4=16$，$4\times 4=16$（分小矩形累加）
再补上撑满整表的 $8+4=12$ 个：$48+16+16+12=92$（个）（补漏后求和）

9. 【原题 ch06-tuozhan-01】如图 6-10，数一数，图中有多少个三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「正三角形网格中数三角形」问题：边长为 $5$ 的大三角形被分成 $25$ 个最小三角形，要数出图中所有三角形。

关键切入点：关键是选一个能覆盖所有情况的分类标准。这里按**所含最小三角形的个数**（即边长的平方 $1,4,9,16,25$）分类，每一类内部再区分**朝上**与**朝下**——因为倒放的三角形要「嵌」进网格，位置比正放的少得多，容易漏掉。如边长为 $2$ 时朝上有 $10$ 个而朝下只有 $3$ 个，边长再大就没有朝下的了。

方法概述：按所含最小三角形个数（即边长的平方）分类，并区分朝上和朝下。

规范步骤：

含 $1$ 个小三角形：朝上 $15$ 个、朝下 $10$ 个：$15+10=25$（个）（正倒分别计数）
含 $4$ 个小三角形（边长 $2$）：朝上 $10$ 个、朝下 $3$ 个：$10+3=13$（个）（正倒分别计数）
含 $9$ 个小三角形（边长 $3$）：只有朝上的：$6$（个）（朝下的嵌不进去）
含 $16$ 个（边长 $4$）与含 $25$ 个（边长 $5$）：$3$ 个与 $1$ 个（大三角形位置很少）
各类相加：$25+13+6+3+1=48$（个）（分类求和）

第一套

题目：一个边长为 $7$ 的正三角形被分成 $49$ 个最小的正三角形。数一数，图中共有多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定分类标准）：按三角形的边长 $k$ 分类，每类再分朝上、朝下。朝上且边长为 $k$ 的有 $\dfrac{(8-k)(9-k)}{2}$ 个，$k=1\sim 7$ 依次是 $28,21,15,10,6,3,1$，朝上合计 \underline{\quad} 个。
第 2 步（朝下的少得多）：朝下的三角形要倒着嵌进网格，边长为 $k$ 时只有 $\dfrac{(8-2k)(9-2k)}{2}$ 个。$k=1$：$\dfrac{6\times 7}{2}=\underline{\quad}$；$k=2$：$\dfrac{4\times 5}{2}=\underline{\quad}$；$k=3$：$\dfrac{2\times 3}{2}=\underline{\quad}$；$k\ge 4$ 时嵌不进去。
第 3 步：朝下合计 $21+10+3=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：三角形总数 $84+34=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：工人师傅在一块边长为 $7$ 米的正三角形广告牌上，用细线把它均分成 $49$ 个最小的正三角形格子。验收员要数出广告牌上一共能看到多少个三角形，答案是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定分类标准）：按三角形边长 $k$ 分类，每类再分尖朝上、尖朝下。尖朝上且边长为 $k$ 的有 $\dfrac{(8-k)(9-k)}{2}$ 个，$k=1\sim 7$ 依次为 $28,21,15,10,6,3,1$，合计 \underline{\quad} 个。
第 2 步（尖朝下的少）：边长为 $k$ 的倒三角形有 $\dfrac{(8-2k)(9-2k)}{2}$ 个。$k=1$：$\dfrac{6\times 7}{2}=\underline{\quad}$；$k=2$：$\dfrac{4\times 5}{2}=\underline{\quad}$；$k=3$：$\dfrac{2\times 3}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：尖朝下合计 $21+10+3=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：总数 $84+34=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个边长为 $6$ 的正三角形被分成 $36$ 个最小的正三角形。请分别求出图中**朝上**与**朝下**的三角形个数，以及三角形的总个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（朝上）：边长为 $k$ 的朝上三角形有 $\dfrac{(7-k)(8-k)}{2}$ 个。$k=1$：\underline{\quad}；$k=2$：\underline{\quad}；$k=3$：\underline{\quad}；$k=4$：\underline{\quad}；$k=5$：\underline{\quad}；$k=6$：\underline{\quad}（个）。
第 2 步：朝上合计 $21+15+10+6+3+1=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（朝下）：边长为 $k$ 的朝下三角形有 $\dfrac{(7-2k)(8-2k)}{2}$ 个。$k=1$：$\dfrac{5\times 6}{2}=\underline{\quad}$；$k=2$：$\dfrac{3\times 4}{2}=\underline{\quad}$；$k=3$：$\dfrac{1\times 2}{2}=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：朝下合计 $15+6+1=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步：总数 $56+22=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个边长为 $7$ 的正三角形被分成 $49$ 个最小的正三角形。请问：（1）图中共有多少个三角形？（2）其中边长为**奇数**的三角形有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按边长汇总）：把同一边长的朝上、朝下合在一起。$k=1$：朝上 $28$、朝下 $21$，共 \underline{\quad} 个；$k=2$：朝上 $21$、朝下 $10$，共 \underline{\quad} 个。
第 2 步：$k=3$：朝上 $15$、朝下 $3$，共 \underline{\quad} 个；$k=4,5,6,7$ 都没有朝下的，依次是 $10,6,3,1$ 个。
第 3 步：三角形总数 $49+31+18+10+6+3+1=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（筛出奇数边长）：只留 $k=1,3,5,7$ 这几类，$49+18+6+1=\underline{\quad}$（个）。

10. 【原题 ch06-tuozhan-02】如图 6-11 和 6-12，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「不规则图形中数三角形」问题：图 6-11 由 $7$ 个小块拼成，图 6-12 是两个正六边形再添对角线。

关键切入点：两图各用一招。图 6-11 按**所含小块数**分类：$1$ 块的 $5$ 个、$2$ 块的 $4$ 个（其中 $\triangle AIF$ 最容易漏）、$3$ 块和 $4$ 块各 $1$ 个、$5$ 块和 $6$ 块的一个也没有、$7$ 块的就是大 $\triangle ABC$。图 6-12 用**添线法**：先数主干图形得 $12$ 个，再添对角线 $AB$——新增的三角形必以 $AC,CB,AB$ 为边，共 $10$ 个；由对称性另一条对角线同样新增 $10$ 个，且两者不交叉重复。

方法概述：按所含基本块数分类计数；对复杂图先数主干图形，再逐条添对角线统计新增。

规范步骤：

图 6-11 按块数分类：$1$ 块 $5$ 个、$2$ 块 $4$ 个：$5+4=9$（个）（分类计数）
$3$ 块、$4$ 块、$7$ 块各 $1$ 个：$1+1+1=3$（个）（补齐大块情形）
图 6-11 合计：$5+4+1+1+1=12$（个）（分类求和）
图 6-12 先数主干（两正六边形加对角线）：$12$（个）（先数基本图）
添对角线 $AB$：以 $AC,CB$ 为边各 $3$ 个，以 $AB$ 为边 $4$ 个：$3+3+4=10$（个）（只数新增）
由对称性，添另一条对角线同样新增 $10$ 个：$12+10+10=32$（个）（利用对称性）

11. 【原题 ch06-tuozhan-03】如图 6-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「一图三变」的三角形计数问题：先数五角星形（图 1），再看擦掉一条线段（图 2）与添上一条线段（图 3）后的变化。

关键切入点：核心思路是**先把基本图数清楚，再用增量处理另外两图**，避免三次重数。图 1 按所含小块数分类：$1$ 块的 $10$ 个、$2$ 块的 $10$ 个、$3$ 块的分两种形状各 $5$ 个（这里最易数漏）、$5$ 块的 $5$ 个。图 2 只需减去「以被擦线段为一条边」的三角形；图 3 只需加上「以新线段或其一部分为边」的三角形——删线只减、添线只加，是这类题最省力的算法。

方法概述：先数基本图（五角星）三角形，再通过删去或增加一条线段调整数目。

规范步骤：

图 1 按块数分类：$1$ 块 $10$ 个、$2$ 块 $10$ 个：$10+10=20$（个）（分类计数）
$3$ 块的有两种形状，各 $5$ 个：$5+5=10$（个）（同块数下再分形状，防漏）
$5$ 块的有 $5$ 个，图 1 合计：$10+10+10+5=35$（个）（分类求和）
图 2：擦掉一条线段，减少的是以它为边的三角形，共 $6$ 个：$35-6=29$（个）（删线只减）
图 3：添上 $AC$，新增以 $AB$ 为边的 $4$ 个、以 $BC$ 为边的 $2$ 个、以 $AC$ 为边的 $6$ 个：$4+2+6=12$（个）（添线只加）
图 3 合计：$35+12=47$（个）（基本图 + 增量）

12. 【原题 ch06-tuozhan-04】如图 6-14，数一数，图中有多少个三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「拆图 + 补跨界」的三角形计数问题：图 6-14 是两个上题那样的五角星形拼接而成。

关键切入点：关键是**化归 + 补漏**。先把原图拆成一大一小两部分，上一题已算出每部分各有 $35$ 个三角形，且两部分内部的三角形互不重复；但拆图必然漏掉「一部分边、另一部分边」拼出来的**跨界三角形**，必须专门补上。跨界三角形只有两种形状，分别有 $10$ 个和 $5$ 个。

方法概述：把复杂图分成两个已知部分，再补上跨越两部分的三角形。

规范步骤：

拆成两部分，各有 $35$ 个三角形且不重复：$35\times 2=70$（个）（化归到已解决的问题）
补上跨越两部分的三角形：第一种 $10$ 个、第二种 $5$ 个：$10+5=15$（个）（拆图后补漏）
合计：$35\times 2+10+5=85$（个）（求和）

13. 【原题 ch06-tuozhan-05】如图 6-15，数一数，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）

详细思路

是哪类问题：这是「不规则划分中的长方形计数」问题：图 6-15 被分成 $7$ 个大小不一的小块，不能套用「两横两竖」的公式。

关键切入点：关键在于当划分不规整时，**改用「所含小块数」作分类标准**：一个长方形是由哪几块拼起来的，块数就是它的「身份证号」。从 $1$ 块数到 $7$ 块，每类逐一检查哪些拼法恰好围成长方形，得到 $7,4,2,1,1,1,1$。这样既避免了漏掉大长方形，也不会把不能拼成长方形的组合算进去。

方法概述：对不规则划分的图形，按拼成长方形所用的小块数逐一分类计数。

规范步骤：

由 $1$ 块组成的：$7$（个）（按所含小块数分类）
由 $2$ 块、$3$ 块组成的：$4$ 个与 $2$ 个（逐类检查能否拼成长方形）
由 $4,5,6,7$ 块组成的各 $1$ 个：$1+1+1+1=4$（个）（大长方形不能漏）
各类相加：$7+4+2+1+1+1+1=17$（个）（分类求和）

14. 【原题 ch06-tuozhan-06】如图 6-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形。用 $16$ 个同样大小的菱形组成如图所示的一个大菱形。数一数，图中共有多少个菱形？

详细思路

是哪类问题：这是「菱形阵中的菱形计数」问题：$16$ 个小菱形拼成一个 $4\times 4$ 的大菱形，要数出所有大小的菱形。

关键切入点：关键是看穿它与方格表数正方形**完全同构**：把两组平行的斜线看成「横线」和「竖线」，小菱形就相当于小方格。于是同样按边长分类，边长为 $k$ 的菱形其「左上角」有 $(4-k+1)\times(4-k+1)$ 个位置，个数是 $(5-k)^2$，答案照样是平方和 $16+9+4+1$。认出同构，就把一个新图形化归成了做过的老问题。

方法概述：与方格中正方形计数类似，按边长分类，$4\times 4$ 菱形阵中边长为 $k$ 的菱形有 $(4-k+1)^2$ 个。

规范步骤：

边长为 $1$：$4\times 4=16$（个）（与方格数正方形同构）
边长为 $2$：$3\times 3=9$（个）（顶点定位法）
边长为 $3$、$4$：$2\times 2=4$ 个与 $1$ 个（顶点定位法）
各类相加：$16+9+4+1=30$（个）（平方和）

第一套

题目：用 $36$ 个同样大小的小菱形拼成一个 $6\times 6$ 的大菱形。数一数，图中共有多少个菱形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看穿同构）：把两组平行斜线当作「横线」「竖线」，数菱形就和在 $6\times 6$ 方格表里数正方形一样。边长为 $k$ 的菱形，其一个角只能落在 $(7-k)\times(7-k)$ 的范围里。边长 $1$：$6\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步：边长 $2$：$5\times 5=\underline{\quad}$；边长 $3$：$4\times 4=\underline{\quad}$；边长 $4$：$3\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步：边长 $5$：$2\times 2=\underline{\quad}$；边长 $6$：$1\times 1=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：各类相加 $36+25+16+9+4+1=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：墙面上用 $36$ 块同样大小的菱形瓷砖拼出一个 $6\times 6$ 的大菱形图案。设计师想知道：这幅图案中一共能看出多少个菱形（包括由若干块瓷砖拼成的大菱形）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看穿同构）：把两组平行的砖缝当作「横线」「竖线」，数菱形就和在 $6\times 6$ 方格里数正方形一样。边长为 $k$ 块的菱形，一个角只能落在 $(7-k)\times(7-k)$ 的范围内。边长 $1$ 块：$6\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步：边长 $2$ 块：$5\times 5=\underline{\quad}$；边长 $3$ 块：$4\times 4=\underline{\quad}$；边长 $4$ 块：$3\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步：边长 $5$ 块：$2\times 2=\underline{\quad}$；边长 $6$ 块：$1\times 1=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：合计 $36+25+16+9+4+1=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：用 $35$ 个同样大小的小菱形拼成一个 $5$ 行 $7$ 列的平行四边形（沿两个斜方向分别有 $5$ 层和 $7$ 层）。数一数，图中共有多少个菱形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（哪里不同）：两个方向的层数不再相等，所以边长为 $k$ 的菱形其一个角的可放范围是$(5-k+1)$ 行 $\times(7-k+1)$ 列，个数是两者相乘而不再是平方。边长 $1$：$5\times 7=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步：边长 $2$：$4\times 6=\underline{\quad}$；边长 $3$：$3\times 5=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步：边长 $4$：$2\times 4=\underline{\quad}$；边长 $5$：$1\times 3=\underline{\quad}$（个）；边长再大就超过只有 $5$ 层的方向了。
第 4 步：各类相加 $35+24+15+8+3=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：用 $36$ 个同样大小的小菱形拼成一个 $6\times 6$ 的大菱形。请问：（1）图中共有多少个菱形？（2）图中共有多少个平行四边形（菱形也是平行四边形）？（3）其中不是菱形的平行四边形有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数菱形）：按边长分类，个数依次是 $36,25,16,9,4,1$，合计 \underline{\quad} 个。
第 2 步（数平行四边形要换方法）：一个平行四边形由两条同方向的平行线和两条另一方向的平行线唯一确定。每个方向都有 $6+1=\underline{\quad}$ 条线。
第 3 步：从 $7$ 条中取 $2$ 条有 $C_7^2=\dfrac{7\times 6}{2}=\underline{\quad}$ 种，由乘法原理，平行四边形共 $21\times 21=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（作差）：不是菱形的平行四边形 $=441-91=\underline{\quad}$（个）。

15. 【原题 ch06-tuozhan-07】如图 6-17，这是一个长为 $9$，宽为 $4$ 的网格，每个小格都是 $1$ 个正方形，请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出多少个包含黑点的长方形？

详细思路

是哪类问题：这是「网格中的长方形计数 + 含特定点的计数」问题：$9\times 4$ 的网格，第 (2) 问要求长方形必须罩住一个黑点。

关键切入点：第 (1) 问的关键是**长方形 $\leftrightarrow$ 两横两竖**：选定 $2$ 条横线、$2$ 条竖线就唯一围出一个长方形，用乘法原理即可。第 (2) 问的关键是把「罩住黑点」翻译成**对四条边位置的限制**：上边必须在黑点上方、下边在下方、左边在左侧、右边在右侧。这样四条边各自独立地选，仍然用乘法原理，直接算出 $2\times 3\times 6\times 4$，比先数总数再筛选省事得多。

方法概述：取两横两竖确定一个矩形；含黑点时分别在黑点两侧选取横竖线。

规范步骤：

网格有 $5$ 条横线、$10$ 条竖线：$C_5^2=10$，$C_{10}^2=45$（先把格数换成线数）
两横两竖定一个长方形：$C_5^2\times C_{10}^2=10\times 45=450$（个）（乘法原理）
含黑点的限制：上边取黑点上方的 $2$ 条、下边取下方的 $3$ 条：$2\times 3$（把「含点」翻译成边的位置）
左边取黑点左侧的 $6$ 条、右边取右侧的 $4$ 条：$6\times 4$（四边独立选取）
由乘法原理：$2\times 3\times 6\times 4=144$（个）（乘法原理）

第一套

题目：一个长为 $12$、宽为 $5$ 的网格，每个小格都是 $1$ 个正方形，格中有一个黑点，它上面有 $2$ 条横线、下面有 $4$ 条横线，左面有 $8$ 条竖线、右面有 $5$ 条竖线。请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出多少个包含黑点的长方形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先把格数换成线数）：宽 $5$ 需要 $5+1=\underline{\quad}$ 条横线，长 $12$ 需要 $12+1=\underline{\quad}$ 条竖线。
第 2 步（数长方形）：两横两竖唯一确定一个长方形。$C_6^2=\dfrac{6\times 5}{2}=\underline{\quad}$，$C_{13}^2=\dfrac{13\times 12}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：由乘法原理，长方形共 $15\times 78=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（把「含黑点」翻译成边的位置）：上边必须取黑点上方的横线（$2$ 条），下边取下方的（$4$ 条），左边取左侧的竖线（$8$ 条），右边取右侧的（$5$ 条），四条边独立选取。
第 5 步：由乘法原理，含黑点的长方形共 $2\times 4\times 8\times 5=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：某园区的道路网东西向有 $6$ 条路、南北向有 $13$ 条路，围成一个 $12\times 5$ 的方格状园区。园区里有一处喷泉，它北面有 $2$ 条东西向路、南面有 $4$ 条，西面有 $8$ 条南北向路、东面有 $5$ 条。请问：（1）这些道路一共围出多少个矩形地块？（2）其中包含喷泉的矩形地块有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（确认线数）：东西向路 $6$ 条、南北向路 $13$ 条，正好把园区分成 $6-1=\underline{\quad}$ 行、$13-1=\underline{\quad}$ 列小格。
第 2 步（数地块）：两条东西向路与两条南北向路围出一个矩形地块。$C_6^2=\dfrac{6\times 5}{2}=\underline{\quad}$，$C_{13}^2=\dfrac{13\times 12}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：由乘法原理共 $15\times 78=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（含喷泉的限制）：北边界取喷泉以北的路（$2$ 条），南边界取以南的（$4$ 条），西边界取以西的（$8$ 条），东边界取以东的（$5$ 条）。
第 5 步：共 $2\times 4\times 8\times 5=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个长为 $9$、宽为 $4$ 的网格，格中有一个黑点，它上面有 $2$ 条横线、下面有 $3$ 条横线，左面有 $6$ 条竖线、右面有 $4$ 条竖线。请问：**不**包含黑点的长方形有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（正难则反）：直接数「不含黑点」要分很多种情形，不如用「总数 $-$ 含黑点数」。
第 2 步（数总数）：网格有 $5$ 条横线、$10$ 条竖线，$C_5^2\times C_{10}^2=10\times 45=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（数含黑点的）：四条边分别取在黑点的上、下、左、右侧，$2\times 3\times 6\times 4=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（作差）：不含黑点的长方形 $=450-144=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个长为 $12$、宽为 $5$ 的网格，格中有一个黑点，它上面有 $2$ 条横线、下面有 $4$ 条横线，左面有 $8$ 条竖线、右面有 $5$ 条竖线。请问：（1）共有多少个长方形？（2）含黑点的有多少个？（3）不含黑点的有多少个？（4）所有长方形中正方形有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数总数）：$6$ 条横线、$13$ 条竖线，$C_6^2\times C_{13}^2=15\times 78=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步（含黑点）：四条边分别取在黑点的上、下、左、右侧，$2\times 4\times 8\times 5=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（不含黑点，作差）：$1170-320=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（数正方形要换标准）：正方形不能用「任取两横两竖」，要按边长分类。边长为 $k$ 的正方形一个角可放 $(5-k+1)$ 行 $\times(12-k+1)$ 列。$k=1$：$5\times 12=\underline{\quad}$；$k=2$：$4\times 11=\underline{\quad}$；$k=3$：$3\times 10=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步：$k=4$：$2\times 9=\underline{\quad}$；$k=5$：$1\times 8=\underline{\quad}$（个）；边长再大就超过宽 $5$ 了。
第 6 步：正方形合计 $60+44+30+18+8=\underline{\quad}$（个）。

16. 【原题 ch06-tuozhan-08】如图 6-18，数一数图中有多少个长方形？

详细思路

是哪类问题：这是「不规则区域中的长方形计数 + 容斥原理」问题：图形是一个 L 形，不能整体套用「两横两竖」的公式。

关键切入点：关键是**先补成矩形再去重**：把 L 形看成「下方一块矩形区域」与「右方一块矩形区域」的并，两块各自都是规整矩形，可以分别用组合数算出 $C_4^2\times C_6^2=90$ 与 $C_7^2\times C_3^2=63$。但两块**重叠**的那个 $3\times 2$ 小矩形区域里的长方形被数了两遍，按容斥原理要减去一次，即 $C_4^2\times C_3^2=18$。「分块 + 容斥」是处理凹图形计数的通法。

方法概述：把 L 形分成两块矩形区域分别用组合数计数，再用容斥减去重复部分。

规范步骤：

下方矩形区域（$4$ 条横线、$6$ 条竖线）：$C_4^2\times C_6^2=6\times 15=90$（个）（分块后各自规整）
右方矩形区域（$7$ 条横线、$3$ 条竖线）：$C_7^2\times C_3^2=21\times 3=63$（个）（分块计数）
两块重叠处（$4$ 条横线、$3$ 条竖线）被数了两遍：$C_4^2\times C_3^2=6\times 3=18$（个）（找出重复部分）
容斥：加起来再减去一次重复：$90+63-18=135$（个）（容斥原理）

第一套

题目：一个 L 形图案由两块矩形网格区域拼成：下方一块是 $4$ 行 $7$ 列的方格，右方一块是 $9$ 行 $3$ 列的方格，两块重叠的部分是右下角 $4$ 行 $3$ 列的方格。数一数，整个 L 形中共有多少个长方形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（为什么要分块）：L 形是凹的，不能整体用「两横两竖」，先把它看成下方矩形区域与右方矩形区域的并。
第 2 步（下方一块）：$4$ 行方格有 $4+1=\underline{\quad}$ 条横线，$7$ 列方格有 $7+1=\underline{\quad}$ 条竖线，长方形共 $C_5^2\times C_8^2=10\times 28=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（右方一块）：$9$ 行、$3$ 列对应 $10$ 条横线、$4$ 条竖线，长方形共 $C_{10}^2\times C_4^2=45\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（找重复）：重叠的 $4$ 行 $3$ 列区域里的长方形被两块各数了一遍，共 $C_5^2\times C_4^2=10\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（容斥）：$280+270-60=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：某展厅的地面铺成 L 形：下方一块是 $4$ 行 $7$ 列的方形地砖，右方一块是 $9$ 行 $3$ 列的方形地砖，两块重叠的部分是右下角 $4$ 行 $3$ 列的地砖。若干块相邻地砖可以围成一个矩形展区，请问：一共能划分出多少个矩形展区？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（为什么要分块）：L 形是凹的，整体用不了「两横两竖」，先看成下方与右方两块矩形区域的并。
第 2 步（下方一块）：$4$ 行地砖对应 $4+1=\underline{\quad}$ 条砖缝线，$7$ 列对应 $7+1=\underline{\quad}$ 条，矩形共 $C_5^2\times C_8^2=10\times 28=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（右方一块）：$9$ 行、$3$ 列对应 $10$ 条与 $4$ 条线，矩形共 $C_{10}^2\times C_4^2=45\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（找重复）：重叠的 $4$ 行 $3$ 列处被数了两遍，共 $C_5^2\times C_4^2=10\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（容斥）：$280+270-60=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个 L 形网格由下方 $3$ 行 $6$ 列的方格与右方 $5$ 行 $2$ 列的方格拼成，两块重叠的部分是右下角 $3$ 行 $2$ 列的方格。数一数，图中共有多少个长方形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分块）：把 L 形拆成下方矩形区域与右方矩形区域，重叠处稍后再扣。
第 2 步（下方一块）：$3$ 行 $6$ 列对应 $4$ 条横线、$7$ 条竖线，$C_4^2\times C_7^2=6\times 21=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（右方一块）：$5$ 行 $2$ 列对应 $6$ 条横线、$3$ 条竖线，$C_6^2\times C_3^2=15\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（找重复）：重叠的 $3$ 行 $2$ 列对应 $4$ 条横线、$3$ 条竖线，$C_4^2\times C_3^2=6\times 3=\underline{\quad}$（个）被数了两遍。
第 5 步（容斥）：$126+45-18=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个十字形网格由一条横条与一条竖条交叠而成：横条是 $3$ 行 $9$ 列的方格，竖条是 $9$ 行 $3$ 列的方格，它们正中重叠的部分是 $3$ 行 $3$ 列的方格。数一数，整个十字形中共有多少个长方形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先想清楚能不能分块）：十字形里的任何一个长方形，若它超出横条的三行，就必须整个落在竖条的三列内；所以每个长方形要么全在横条里，要么全在竖条里，可以按两块分别数。
第 2 步（横条）：$3$ 行 $9$ 列对应 $3+1=\underline{\quad}$ 条横线、$9+1=\underline{\quad}$ 条竖线，长方形共 $C_4^2\times C_{10}^2=6\times 45=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（竖条）：$9$ 行 $3$ 列对应 $10$ 条横线、$4$ 条竖线，$C_{10}^2\times C_4^2=45\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（找重复）：正中 $3$ 行 $3$ 列的重叠区里的长方形被数了两遍，共 $C_4^2\times C_4^2=6\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（容斥）：$270+270-36=\underline{\quad}$（个）。

17. 【原题 ch06-tuozhan-09】如图 6-19，数一数，图中共有多少个平行四边形？

详细思路

是哪类问题：这是「按方向分类 + 对称性」的平行四边形计数问题。

关键切入点：关键是两次「化繁为简」。第一次靠**对称性**：图中平行四边形只有尖朝右、尖朝左、尖朝上三种方向，由图形的三重对称性，三种一样多，只要数一种再乘 $3$。第二次靠**删线**：尖朝上的平行四边形两组边都是斜线、用不到横线，于是把所有横线擦掉，图形一下子变简单，按所含最小平行四边形的块数数出 $6+6+2+1=15$ 个。

方法概述：利用三个方向的对称性，只数一个方向再乘以 $3$。

规范步骤：

由对称性，三种方向的个数相同，只数尖朝上的：总数 $=$ 一种方向的个数 $\times 3$（利用对称性）
尖朝上的用不到横线，把横线全擦掉再数：最小的 $6$ 个（删去无关线条）
两块拼成的 $6$ 个、三块的 $2$ 个、四块的 $1$ 个：$6+6+2+1=15$（个）（按块数分类）
乘以方向数：$15\times 3=45$（个）（对称性还原）

18. 【原题 ch06-tuozhan-10】如图 6-20，$18$ 个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形。数一数，图中共有多少个梯形？

详细思路

是哪类问题：这是「按底边方向分类」的梯形计数问题：$18$ 个小正三角形拼成的平行四边形中数梯形。

关键切入点：关键是抓住梯形的定义特征——**有且只有一组对边平行**，所以先找它的上底、下底所在的那组平行线。图中恰有三组方向的平行线（左上右下斜线、左下右上斜线、竖线），于是梯形也就分成三类，按底的方向分类即可不重不漏。再由图形的对称性，两类斜线方向的梯形个数相同，只需算一类；竖线方向要单独算，因为它与两个斜方向并不对称。

方法概述：按梯形上下底所在平行线的方向分三类，对斜线方向利用对称性。

规范步骤：

底是左上右下斜线的：一层的 $6\times 3=18$ 个，两层的 $2\times 2=4$ 个：$18+4=22$（个）（按底的方向分类）
由对称性，底是左下右上斜线的同样多：$22$（个）（利用对称性）
底是竖线的：一层的 $1+4+4+1=10$ 个，两层的 $2$ 个：$10+2=12$（个）（该方向不对称，单独算）
三类相加：$22+22+12=56$（个）（分类求和）

19. 【原题 ch06-tuozhan-11】如图 6-21，木板上钉着 $12$ 枚钉子，排成三行四列的长方形。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「点阵中的三角形计数」问题：三行四列共 $12$ 枚钉子，用橡皮筋套三角形。

关键切入点：关键是**正难则反**。直接去数「能围成三角形的三点组」很难分类，但注意到：任取三点，要么围成三角形，要么三点共线——两种情况恰好互补。于是先算总的三点组 $C_{12}^3=220$，再把**共线三点组**减掉。共线的情形有条理可循：每条横线上 $4$ 个点贡献 $C_4^3=4$ 组，$3$ 条横线共 $12$ 组；竖线只有 $3$ 个点，每条恰好 $1$ 组，共 $5$ 组；此外还有 $8$ 条斜的直线上各恰含 $1$ 个共线三点组。

方法概述：用 $C_{12}^3$ 减去所有共线三点组的个数。

规范步骤：

任取三点的组数：$C_{12}^3=\dfrac{12\times 11\times 10}{6}=220$（组）（先算总数）
横线上的共线三点组：每行 $C_4^3=4$ 组，共 $3$ 行：$4\times 3=12$（组）（按直线方向清点）
竖线上的：每列 $3$ 个点恰好 $1$ 组，共 $4$ 列：$1\times 4=4$（组）（按直线方向清点）
斜方向：另有 $4$ 条斜线各含 $1$ 个共线三点组：$1\times 4=4$（组）（逐条清点斜线）
共线三点组合计（竖线与斜线合起来正是图中虚线所示的 $8$ 条直线）：$12+4+4=20$（组）（汇总）
作差：$220-20=200$（个）（正难则反）

第一套

题目：木板上钉着 $15$ 枚钉子，排成三行五列的长方形点阵。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？（提示：斜方向上恰含三个钉子的直线共有 $8$ 条。）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（正难则反）：三个点要么围成三角形，要么共线，两种情况互补。先算任取三点的总组数 $C_{15}^3=\dfrac{15\times 14\times 13}{6}=\underline{\quad}$（组）。
第 2 步（横线上的共线组）：每行 $5$ 个点，任取 $3$ 个都共线，$C_5^3=\dfrac{5\times 4\times 3}{6}=\underline{\quad}$ 组；$3$ 行共 $10\times 3=\underline{\quad}$（组）。
第 3 步（竖线上的）：每列只有 $3$ 个点，恰好 $1$ 组；$5$ 列共 \underline{\quad}（组）。
第 4 步（斜线上的）：题给斜方向上恰含三点的直线有 $8$ 条，各贡献 $1$ 组，共 \underline{\quad}（组）。
第 5 步：共线三点组合计 $30+5+8=\underline{\quad}$（组）。
第 6 步（作差）：三角形个数 $=455-43=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：公园里立着 $15$ 根小柱子，排成三行五列的长方形阵。工作人员想在任意三根柱子之间拉三段彩带围成一个三角形，一共有多少种不同的围法？（提示：斜方向上恰有三根柱子在一条直线上的情形共有 $8$ 种。）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（正难则反）：三根柱子要么围成三角形，要么在一条直线上。先算任取三根的总数 $C_{15}^3=\dfrac{15\times 14\times 13}{6}=\underline{\quad}$（种）。
第 2 步（同一行）：每行 $5$ 根，任取 $3$ 根都共线，$C_5^3=\dfrac{5\times 4\times 3}{6}=\underline{\quad}$ 种；$3$ 行共 $10\times 3=\underline{\quad}$（种）。
第 3 步（同一列）：每列只有 $3$ 根，恰 $1$ 种；$5$ 列共 \underline{\quad}（种）。
第 4 步（斜方向）：题给共 \underline{\quad} 种。
第 5 步：共线的情形合计 $30+5+8=\underline{\quad}$（种）。
第 6 步（作差）：围法 $=455-43=\underline{\quad}$（种）。

第三套

题目：木板上钉着 $16$ 枚钉子，排成四行四列的正方形点阵。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？（提示：除横线、竖线外，斜方向上还有 $12$ 个共线三点组。）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（正难则反）：先算总的三点组 $C_{16}^3=\dfrac{16\times 15\times 14}{6}=\underline{\quad}$（组）。
第 2 步（横线）：每行 $4$ 个点，$C_4^3=\underline{\quad}$ 组；$4$ 行共 $4\times 4=\underline{\quad}$（组）。
第 3 步（竖线）：正方形点阵里竖线与横线地位相同，同样是 \underline{\quad} 组。
第 4 步（斜线）：题给 $12$ 组，于是共线三点组合计 $16+16+12=\underline{\quad}$（组）。
第 5 步（作差）：$560-44=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：木板上钉着 $20$ 枚钉子，排成四行五列的长方形点阵。（提示：斜方向上的共线三点组共有 $24$ 个。）请问：（1）任取三枚钉子共有多少种取法？（2）其中三点共线的有多少组？（3）一共可以套出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总数）：$C_{20}^3=\dfrac{20\times 19\times 18}{6}=\underline{\quad}$（组）。
第 2 步（横线上的共线组）：每行 $5$ 个点，$C_5^3=\dfrac{5\times 4\times 3}{6}=\underline{\quad}$ 组；共 $4$ 行，$10\times 4=\underline{\quad}$（组）。
第 3 步（竖线上的）：每列 $4$ 个点，$C_4^3=\underline{\quad}$ 组；共 $5$ 列，$4\times 5=\underline{\quad}$（组）。
第 4 步（斜线上的）：题给 $24$ 组。共线三点组合计 $40+20+24=\underline{\quad}$（组）。
第 5 步（作差）：三角形个数 $=1140-84=\underline{\quad}$（个）。

20. 【原题 ch06-tuozhan-12】如图 6-22，方格纸上放了 $20$ 枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？

详细思路

是哪类问题：这是「格点上的正方形计数」问题：$20$ 枚棋子摆在方格纸上，以棋子为顶点连正方形。

关键切入点：关键是别忘了**斜放的正方形**——这是最容易漏的一类。正放的 $9$ 个一眼可数；斜放的要有章法地找：**先确定一条边的倾斜方式**（右移 $a$、上移 $b$），再检查其余顶点是否都落在棋子上。试下来只有四种倾斜方式可行，分别有 $4,2,4,2$ 个，共 $12$ 个。

方法概述：正放的正方形直接数，斜放的正方形按倾斜方式分类枚举。

规范步骤：

正放的小正方形：$9$（个）（一眼可数）
斜放的按倾斜方式分四类：$4+2+4+2=12$（个）（先定一条边的斜率再验顶点）
两类相加：$12+9=21$（个）（分类求和）

21. 【原题 ch06-tuozhan-13】一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图 6-23 中，共有多少个不同的曲边形？

详细思路

是哪类问题：这是「按部件组合的曲边形计数」问题：图形由中间 $1$ 个五角星和边上 $5$ 个弓形小块组成。

关键切入点：关键是先弄清「哪些部件组合能围成一个封闭的曲边形」。由于弓形小块彼此不相邻，**两块或更多块必须靠中间的五角星连起来**，所以：含 $1$ 块的有两种（单独一块、或一块加五角星），共 $2\times 5=10$ 个；含 $k\ge 2$ 块的必定带五角星，只要从 $5$ 块里选出 $k$ 块即可，个数就是组合数 $C_5^k$。又因为曲边形至少要含 $1$ 个弓形（否则只剩全直边的五角星），按含块数分类恰好不重不漏。

方法概述：把图形拆成五角星与若干弓形小块，按所含小块数用组合数计数。

规范步骤：

含 $1$ 个小块：单独一块，或一块加五角星：$2\times 5=10$（个）（两种搭法）
含 $2$ 个小块：必须带五角星才连得起来：$C_5^2=10$（个）（组合数选块）
含 $3$ 个、$4$ 个小块：$C_5^3=10$ 个，$C_5^4=5$ 个（组合数选块）
含 $5$ 个小块：$C_5^5=1$（个）（全选）
各类相加：$10+10+10+5+1=36$（个）（分类求和）

第一套

题目：一个图形由中间 $1$ 个六角星和它周围 $6$ 个互不相邻的弓形小块组成（每个小块都有一条边是弧线）。请问：图中共有多少个不同的曲边形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先想清楚怎样才能围成封闭图形）：弓形小块彼此不相邻，所以两块及以上必须靠中间的六角星连起来；又因为曲边形至少要含 $1$ 个弓形，可按所含小块数分类。
第 2 步（含 $1$ 块）：可以只有这一块，也可以这一块加上六角星，共两种搭法，$2\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（含 $2$ 块）：必带六角星，只需从 $6$ 块中选 $2$ 块，$C_6^2=\dfrac{6\times 5}{2}=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：含 $3$ 块 $C_6^3=\dfrac{6\times 5\times 4}{6}=\underline{\quad}$ 个；含 $4$ 块 $C_6^4=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步：含 $5$ 块 $C_6^5=\underline{\quad}$ 个；含 $6$ 块 $C_6^6=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步：各类相加 $12+15+20+15+6+1=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：一枚徽章的图案是中间 $1$ 个六角星，周围镶着 $6$ 片互不相邻的花瓣，每片花瓣都有一条边是弧线。设计师把「至少含一片花瓣的封闭图形」称为一个曲边图案。请问：这枚徽章上共有多少个不同的曲边图案？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（怎样才封闭）：花瓣彼此不相邻，两片及以上必须靠中间的六角星连起来；又因为曲边图案至少含 $1$ 片花瓣，按所含花瓣数分类。
第 2 步（含 $1$ 片）：可以只取这片花瓣，也可以再加上六角星，$2\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（含 $2$ 片）：必带六角星，$C_6^2=\dfrac{6\times 5}{2}=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：含 $3$ 片 $C_6^3=\dfrac{6\times 5\times 4}{6}=\underline{\quad}$ 个；含 $4$ 片 $C_6^4=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步：含 $5$ 片 $C_6^5=\underline{\quad}$ 个；含 $6$ 片 $C_6^6=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步：合计 $12+15+20+15+6+1=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个图形由中间 $1$ 个五角星和周围 $5$ 个互不相邻的弓形小块组成。请问：其中**含有中间五角星**的曲边形共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（加了什么限制）：现在中间的五角星必须选，所以只需决定「$5$ 个弓形小块各选还是不选」；但又不能一个都不选，否则图形全是直边、不是曲边形。
第 2 步（按选几块分类）：选 $1$ 块 $C_5^1=\underline{\quad}$ 个；选 $2$ 块 $C_5^2=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步：选 $3$ 块 $C_5^3=\underline{\quad}$ 个；选 $4$ 块 $C_5^4=\underline{\quad}$ 个；选 $5$ 块 $C_5^5=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步：合计 $5+10+10+5+1=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个图形由中间 $1$ 个六角星和周围 $6$ 个互不相邻的弓形小块组成。请问：（1）不含中间六角星的曲边形有多少个？（2）含中间六角星的曲边形有多少个？（3）曲边形一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（不含星的最简单）：弓形小块两两不相邻，不借助六角星就连不起来，所以不含星的曲边形只能是单独一块，共 \underline{\quad} 个。
第 2 步（含星的怎么数）：六角星必选，只需决定 $6$ 个小块各选或不选，每块 $2$ 种选择，共 $2^6=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：其中「一块都不选」得到的是全直边的六角星，不是曲边形，要去掉，所以含星的曲边形有 $64-1=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（合计）：$6+63=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（回头验算）：按含块数分类也应得同样结果，$12+15+20+15+6+1=\underline{\quad}$，一致。

22. 【原题 ch06-tuozhan-14】如图 6-24，一个 $2\times 3$ 的网格中，每个小正方形的面积都是 $1$。以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为 $1$ 的三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「按面积分类的格点三角形计数」问题：$2\times 3$ 网格的全部格点中，数出面积恰为 $1$ 的三角形。

关键切入点：关键是先把「面积为 $1$」翻译成**底与高的搭配**：由 $S=\dfrac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}=1$ 得底 $\times$ 高 $=2$，在格点上只有「底 $2$ 高 $1$」和「底 $1$ 高 $2$」两种。于是按底所在的方向分成两大类分别计数，得到 $50$ 个和 $48$ 个。但两类会**重叠**——直角边分别为 $1$ 和 $2$ 的直角三角形同时满足两种描述，被数了两遍，每个 $1\times 2$ 长方形里有 $4$ 个这样的三角形、这样的长方形共 $7$ 个，故要减去 $28$ 个。

方法概述：把面积为 $1$ 的三角形按「底 $2$ 高 $1$」「底 $1$ 高 $2$」两类计数，再减去两类重复的直角三角形。

规范步骤：

由面积公式定出底与高：底 $\times$ 高 $=2\times 1=2$（把面积条件翻译成底高搭配）
底在横线上的一类：$8+16+8+3+3+6+6=50$（个）（按底所在直线分类）
底在竖线上的一类：$12+12+6+6+6+6=48$（个）（按底所在直线分类）
两类重复的直角三角形：每个 $1\times 2$ 长方形中 $4$ 个，共 $7$ 个长方形：$4\times 7=28$（个）（找出重复部分）
容斥作差：$50+48-28=70$（个）（容斥原理）

23. 【原题 ch06-xingqu-01】如图 6-1，线段 $AB,BC,CD,DE$ 的长度都是 $3$ 厘米。请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？

详细思路

是哪类问题：这是「一条直线上的线段计数」问题：直线被若干分点截成连续小段，要数出所有线段的条数，并求全部线段的长度之和。

关键切入点：关键在于**分类**：不重不漏的办法是按「一条线段由几条小段拼成」来分类。由 $1$ 条小段拼成的有 $4$ 条，由 $2$ 条拼成的有 $3$ 条……含的小段越多，能放的位置越少，条数依次递减 $1$。求长度和时同一类的线段等长，可以「类内先乘、类间再加」，比逐条累加省力。

方法概述：按组成的小线段条数分类计数，再分别算出每一类的长度小计后求和。

规范步骤：

按含小段数分类数条数：$4+3+2+1=10$（条）（分类计数，不重不漏）
含 $1$ 条小段的一类：每条长 $3$ 厘米，共 $4$ 条：$3\times 4=12$（厘米）（类内等长，先乘）
含 $2$ 条小段的一类：每条长 $6$ 厘米，共 $3$ 条：$6\times 3=18$（厘米）（类内等长，先乘）
含 $3$ 条小段的一类：每条长 $9$ 厘米，共 $2$ 条：$9\times 2=18$（厘米）（类内等长，先乘）
含 $4$ 条小段的一类：只有 $AE$ 一条，长 $12$ 厘米：$12\times 1=12$（厘米）（最长线段唯一）
各类长度小计相加：$12+18+18+12=60$（厘米）（类间求和）
写出答案：$10$ 条；$60$ 厘米

第一套

题目：直线上依次有 $7$ 个点，把线段分成了 $6$ 小段，每小段的长度都是 $5$ 厘米。请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（怎么分类）：按「一条线段由几条小段拼成」分类才不重不漏。含 $1$ 条小段的有 \underline{\quad} 条，含 $2$ 条的有 \underline{\quad} 条，含 $3$ 条的有 \underline{\quad} 条。
第 2 步：接着数下去，含 $4,5,6$ 条小段的分别有 \underline{\quad}、\underline{\quad}、\underline{\quad} 条。
第 3 步：把各类相加得线段总条数 $6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$（条）。
第 4 步（分类求长）：同一类的线段等长，先算类内小计。含 $1$ 条小段的每条长 $5$ 厘米，小计 $5\times 6=\underline{\quad}$；含 $2$ 条的每条长 $10$ 厘米，小计 $10\times 5=\underline{\quad}$；含 $3$ 条的每条长 $15$ 厘米，小计 $15\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
第 5 步：含 $4,5,6$ 条小段的每条分别长 $20,25,30$ 厘米，小计 $20\times 3=\underline{\quad}$、$25\times 2=\underline{\quad}$、$30\times 1=\underline{\quad}$（厘米）。
第 6 步：各类小计相加得总长 $30+50+60+60+50+30=\underline{\quad}$（厘米）。

第二套

题目：一条笔直的公交专线上依次设有 $7$ 个站台，相邻两站之间的距离都是 $5$ 千米。请问：以这些站台为端点一共可以规划出多少条不同的行车区间？这些区间的里程之和是多少千米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（怎么分类）：一个区间跨过几个相邻站距，就归为哪一类。跨 $1$ 段的有 \underline{\quad} 条，跨 $2$ 段的有 \underline{\quad} 条，跨 $3$ 段的有 \underline{\quad} 条。
第 2 步：跨 $4,5,6$ 段的分别有 \underline{\quad}、\underline{\quad}、\underline{\quad} 条。
第 3 步：区间总数 $6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$（条）。
第 4 步（分类求里程）：跨 $1$ 段的每条 $5$ 千米，小计 $5\times 6=\underline{\quad}$；跨 $2$ 段的每条 $10$ 千米，小计 $10\times 5=\underline{\quad}$；跨 $3$ 段的每条 $15$ 千米，小计 $15\times 4=\underline{\quad}$（千米）。
第 5 步：跨 $4,5,6$ 段的小计分别为 $20\times 3=\underline{\quad}$、$25\times 2=\underline{\quad}$、$30\times 1=\underline{\quad}$（千米）。
第 6 步：总里程 $30+50+60+60+50+30=\underline{\quad}$（千米）。

第三套

题目：直线上依次有 $8$ 个点，相邻两点之间的距离都是 $4$ 厘米。请问：以这些点为端点一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换个角度）：一条线段由它的两个端点唯一确定，所以线段条数就是从 $8$ 个点中取 $2$ 个的方法数，$C_8^2=\dfrac{8\times 7}{2}=\underline{\quad}$（条）。
第 2 步（与分类法对照）：按含几条小段分类，得到 $7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$，两法结果一致。
第 3 步（分类求长）：含 $k$ 条小段的线段有 $(8-k)$ 条、每条长 $4k$ 厘米。$k=1$：$4\times 7=\underline{\quad}$；$k=2$：$8\times 6=\underline{\quad}$；$k=3$：$12\times 5=\underline{\quad}$；$k=4$：$16\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
第 4 步：$k=5$：$20\times 3=\underline{\quad}$；$k=6$：$24\times 2=\underline{\quad}$；$k=7$：$28\times 1=\underline{\quad}$（厘米）。
第 5 步：各类小计相加 $28+48+60+64+60+48+28=\underline{\quad}$（厘米）。

第三套

题目：直线上依次有 $10$ 个点，相邻两点之间的距离都是 $3$ 厘米。请问：（1）以这些点为端点共有多少条线段？（2）这些线段的长度之和是多少厘米？（3）这些线段的平均长度是多少厘米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数条数）：两点定一条线段，$C_{10}^2=\dfrac{10\times 9}{2}=\underline{\quad}$（条）。
第 2 步（分类求长）：含 $k$ 条小段的线段有 $(10-k)$ 条、每条长 $3k$ 厘米。$k=1$：$3\times 9=\underline{\quad}$；$k=2$：$6\times 8=\underline{\quad}$；$k=3$：$9\times 7=\underline{\quad}$；$k=4$：$12\times 6=\underline{\quad}$（厘米）。
第 3 步：$k=5$：$15\times 5=\underline{\quad}$；$k=6$：$18\times 4=\underline{\quad}$；$k=7$：$21\times 3=\underline{\quad}$；$k=8$：$24\times 2=\underline{\quad}$；$k=9$：$27\times 1=\underline{\quad}$（厘米）。
第 4 步：总长 $27+48+63+72+75+72+63+48+27=\underline{\quad}$（厘米）。
第 5 步（求平均）：平均长度 $=$ 总长 $\div$ 条数 $=495\div 45=\underline{\quad}$（厘米）。

24. 【原题 ch06-xingqu-02】小明把巧克力棒摆成了如图 6-2 所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（3）嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「正三角形网格中的火柴棒与三角形计数」问题：一个边长为 $4$ 的大正三角形被均匀分割，要数小棒条数与各种大小的三角形个数，并考察删去一根小棒后的变化。

关键切入点：两个抓手。其一是**对称性**：三个方向的小棒完全同构，只要数清横向的 $1+2+3+4=10$ 根，乘 $3$ 即可，避免逐根去点。其二是**按边长分类**：三角形的边长只能是 $1,2,3,4$，边长为 $1$ 的按层数「$1,3,5,7$」逐层数最稳妥。第 (3) 问不必重数，删掉一根小棒只会毁掉「以它为边（或边的一部分）」的三角形，数出这些减掉即可。

方法概述：用对称性数棒；按边长分层数三角形；删边后只减去以该边为边的三角形。

规范步骤：

数横向小棒：四层依次 $1,2,3,4$ 根：$1+2+3+4=10$（根）（逐层计数）
三个方向同构，乘 $3$：$10\times 3=30$（根）（利用对称性）
边长为 $1$ 的三角形按层数：$1+3+5+7=16$（个）（逐层分类）
边长为 $2,3,4$ 的分别有 $7,3,1$ 个：$7+3+1=11$（个）（按边长分类）
三角形总数：$16+7+3+1=27$（个）（各类求和）
吃掉一根后，减少的是以它为边的三角形：边长 $1$ 的 $2$ 个、边长 $2$ 的 $2$ 个、边长 $3$ 的 $1$ 个：$2+2+1=5$（个）（只统计受影响的三角形）
剩下的三角形个数：$27-5=22$（个）（作差）

第一套

题目：把巧克力棒摆成一个边长为 $6$ 的正三角形网格（每条小短边是一根巧克力棒，网格共 $6$ 层）。请问：（1）一共用了多少根巧克力棒？（2）图中一共有多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用对称性数棒）：先只数横向的，六层依次是 $1,2,3,4,5,6$ 根，共 $1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}$（根）。
第 2 步：三个方向的小棒条数相同，所以总数 $21\times 3=\underline{\quad}$（根）。
第 3 步（按边长分类）：边长为 $1$ 的三角形（含朝上、朝下）按层数，第 $1\sim 6$ 层依次是 $1,3,5,7,9,11$ 个，共 $1+3+5+7+9+11=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：边长为 $2$ 的朝上有 $15$ 个、朝下有 $6$ 个，共 \underline{\quad} 个；边长为 $3$ 的朝上有 $10$ 个、朝下有 $1$ 个，共 \underline{\quad} 个。
第 5 步：边长为 $4,5,6$ 的都只有朝上的，分别是 \underline{\quad}、\underline{\quad}、\underline{\quad} 个。
第 6 步：各类相加 $36+21+11+6+3+1=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：园艺师用同样长的竹条搭出一个边长为 $6$ 的正三角形花架（每条小短边是一根竹条，共 $6$ 层）。请问：（1）一共需要多少根竹条？（2）花架上一共能看到多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用对称性数竹条）：横向的六层依次是 $1,2,3,4,5,6$ 根，共 $1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}$（根）。
第 2 步：三个方向根数相同，总数 $21\times 3=\underline{\quad}$（根）。
第 3 步（按边长分类）：边长为 $1$ 的三角形逐层数得 $1+3+5+7+9+11=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：边长为 $2$ 的朝上 $15$ 个、朝下 $6$ 个，共 \underline{\quad} 个；边长为 $3$ 的朝上 $10$ 个、朝下 $1$ 个，共 \underline{\quad} 个。
第 5 步：边长为 $4,5,6$ 的分别有 \underline{\quad}、\underline{\quad}、\underline{\quad} 个。
第 6 步：合计 $36+21+11+6+3+1=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个边长为 $5$ 的正三角形网格（共 $5$ 层小正三角形）。请分别数出其中**朝上**的三角形和**朝下**的三角形各有多少个，并求三角形的总个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（朝上的怎么数）：边长为 $k$ 的朝上三角形，其顶点可放的位置排成一个三角阵，共 $\dfrac{(6-k)(7-k)}{2}$ 个。$k=1$：\underline{\quad} 个；$k=2$：\underline{\quad} 个；$k=3$：\underline{\quad} 个；$k=4$：\underline{\quad} 个；$k=5$：\underline{\quad} 个。
第 2 步：朝上的合计 $15+10+6+3+1=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（朝下的怎么数）：朝下的三角形要「倒着」放进网格，边长为 $k$ 时只有 $5-2k+1$ 行位置。$k=1$ 时有 \underline{\quad} 个；$k=2$ 时有 \underline{\quad} 个；$k\ge 3$ 时放不下。
第 4 步：朝下的合计 $10+3=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步：总数 $35+13=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个边长为 $7$ 的正三角形网格（共 $7$ 层小正三角形）。请问：（1）一共有多少根小棒？（2）朝上的三角形有多少个？（3）朝下的三角形有多少个？（4）三角形总数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数棒）：横向的七层依次 $1\sim 7$ 根，共 $1+2+3+4+5+6+7=\underline{\quad}$ 根；三个方向同构，总数 $28\times 3=\underline{\quad}$（根）。
第 2 步（朝上）：边长为 $k$ 的朝上三角形有 $\dfrac{(8-k)(9-k)}{2}$ 个，$k=1\sim 7$ 依次是 $28,21,15,10,6,3,1$，合计 \underline{\quad} 个。
第 3 步（朝下）：边长为 $k$ 的朝下三角形有 $\dfrac{(8-2k)(9-2k)}{2}$ 个（算出非正数就是放不下）。$k=1$：$\dfrac{6\times 7}{2}=\underline{\quad}$；$k=2$：$\dfrac{4\times 5}{2}=\underline{\quad}$；$k=3$：$\dfrac{2\times 3}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步：朝下的合计 $21+10+3=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步：三角形总数 $84+34=\underline{\quad}$（个）。

25. 【原题 ch06-xingqu-03】如图 6-3，它是由 $18$ 个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形。图中包含“$*$”的各种大小的正三角形一共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「含特定元素的三角形计数」问题：在 $18$ 个小正三角形拼成的四边形中，只统计**覆盖了标记「$*$」**的各种大小的正三角形。

关键切入点：关键是加上「必须盖住 $*$」这个限制后，不能再整体地数，而要**按边长分类后逐类检查位置**：边长越大越难放进图形，但覆盖 $*$ 的可能位置反而要逐一比对。边长为 $1$ 时只有 $*$ 所在的那一个小三角形；边长为 $2$ 时 $*$ 可以落在大三角形的不同相对位置上，共 $4$ 个；边长为 $3$ 时整个图里能放下且盖住 $*$ 的只有 $1$ 个。

方法概述：按正三角形的边长分类，只统计覆盖了标记小三角形的那些。

规范步骤：

边长为 $1$ 且含 $*$ 的：$1$（个）（只有 $*$ 自身）
边长为 $2$ 且含 $*$ 的：$4$（个）（按 $*$ 的相对位置逐一比对）
边长为 $3$ 且含 $*$ 的：$1$（个）（更大的放不下）
各类相加：$1+4+1=6$（个）（分类求和）

26. 【原题 ch06-xingqu-04】数一数，图 6-4 中共有多少个三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「添线法数三角形」问题：图形中有一条「捣乱」的斜线，直接数容易重漏。

关键切入点：关键在于**先减后加**：先把那条斜线擦掉，剩下的是规整图形，容易数出 $6$ 个三角形；再把斜线添回去——新增的三角形必然以这条斜线（或它的一部分）为一条边，只统计这类新增的，得 $7$ 个。这样把一个乱图拆成「基本图 + 增量」两笔清账。

方法概述：先去掉一条线数出基本三角形，再添回该线统计新增的三角形。

规范步骤：

去掉斜线后数基本三角形：$6$（个）（化归为规整图形）
添回斜线，新增的三角形都以该斜线或其一部分为边：$7$（个）（只数增量，避免重复）
两部分相加：$6+7=13$（个）（基本图 + 增量）

27. 【原题 ch06-xingqu-05】如图 6-5，在一个 $4\times 4$ 的方格表中，共有多少个正方形？

详细思路

是哪类问题：这是「方格表中的正方形计数」问题：$4\times 4$ 方格表里既有小正方形，也有由若干小格拼成的更大正方形。

关键切入点：关键是**按边长分类**：边长为 $k$ 的正方形，它的左上角只能落在一个 $(4-k+1)\times(4-k+1)$ 的区域里，所以个数是 $(4-k+1)^2$，即 $16,9,4,1$——正好是一串平方数。认出这个规律，就把「数图形」变成了「算平方和」。

方法概述：按正方形边长分类，$n\times n$ 方格中边长为 $k$ 的正方形有 $(n-k+1)^2$ 个。

规范步骤：

边长为 $1$：左上角有 $4\times 4$ 个位置：$4\times 4=16$（个）（左上角定位法）
边长为 $2$：左上角有 $3\times 3$ 个位置：$3\times 3=9$（个）（左上角定位法）
边长为 $3$：左上角有 $2\times 2$ 个位置：$2\times 2=4$（个）（左上角定位法）
边长为 $4$：只有整个方格表：$1\times 1=1$（个）（最大正方形唯一）
各类相加：$16+9+4+1=30$（个）（平方和）

第一套

题目：在一个 $6\times 6$ 的方格表中，一共有多少个正方形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（怎么定位）：边长为 $k$ 的正方形，左上角只能落在 $(6-k+1)\times(6-k+1)$ 的区域内，所以个数是 $(7-k)^2$。边长 $1$：$6\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步：边长 $2$：$5\times 5=\underline{\quad}$；边长 $3$：$4\times 4=\underline{\quad}$；边长 $4$：$3\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步：边长 $5$：$2\times 2=\underline{\quad}$；边长 $6$：$1\times 1=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：各类相加（这是一串平方和）$36+25+16+9+4+1=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：广场上用同样大小的方形地砖铺成一块 $6$ 行 $6$ 列的正方形区域。若干块相邻地砖可以围成更大的正方形。请问：这块区域中一共能找出多少个正方形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（怎么定位）：边长为 $k$ 块砖的正方形，左上角砖只能落在 $(7-k)\times(7-k)$ 的范围里。边长 $1$ 块：$6\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步：边长 $2$ 块：$5\times 5=\underline{\quad}$；边长 $3$ 块：$4\times 4=\underline{\quad}$；边长 $4$ 块：$3\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步：边长 $5$ 块：$2\times 2=\underline{\quad}$；边长 $6$ 块：$1\times 1=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：合计 $36+25+16+9+4+1=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：在一个 $5$ 行 $7$ 列的长方形方格表中，一共有多少个正方形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（和正方形网格有什么不同）：网格不再是正方形，边长为 $k$ 的正方形左上角的可放范围是$(5-k+1)$ 行 $\times(7-k+1)$ 列，个数是两者相乘而不再是平方。边长 $1$：$5\times 7=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步：边长 $2$：$4\times 6=\underline{\quad}$；边长 $3$：$3\times 5=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步：边长 $4$：$2\times 4=\underline{\quad}$；边长 $5$：$1\times 3=\underline{\quad}$（个）；边长再大就超出了只有 $5$ 行的限制。
第 4 步：各类相加 $35+24+15+8+3=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：在一个 $6\times 6$ 的方格表中：（1）一共有多少个正方形？（2）一共有多少个长方形（正方形也算长方形）？（3）其中不是正方形的长方形有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数正方形）：按边长分类，个数依次是 $36,25,16,9,4,1$，合计 \underline{\quad} 个。
第 2 步（数长方形要换方法）：一个长方形由两条横线和两条竖线唯一确定。$6\times 6$ 的方格表有 $7$ 条横线和 $7$ 条竖线，从 $7$ 条横线中取 $2$ 条有 $C_7^2=\dfrac{7\times 6}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：竖线同理也是 $21$ 种，由乘法原理，长方形共 $21\times 21=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（作差）：不是正方形的长方形 $=441-91=\underline{\quad}$（个）。

28. 【原题 ch06-xingqu-06】如图 6-6，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？

详细思路

是哪类问题：这是「网格中的线段与矩形计数」问题：图中横线、竖线交织，要数所有线段与所有矩形。

关键切入点：两个关键。数线段时**按方向拆开**：每条横线上有 $5$ 个交点，任取 $2$ 个就定出一条线段，故每条横线贡献 $C_5^2=10$ 条；竖线同理。数矩形时抓住**矩形由两横两竖唯一确定**：选定 $2$ 条横线作上下边、$2$ 条竖线作左右边，就恰好围出一个矩形，于是用乘法原理把「数图形」化成「选直线」。

方法概述：横、竖方向分别用组合数数线段；选两横两竖确定一个矩形。

规范步骤：

每条横线上 $5$ 个点，取两点定一条线段：$C_5^2=10$（条）（两点定一段）
$4$ 条横线的横向线段：$10\times 4=40$（条）（按方向汇总）
每条竖线上 $4$ 个点：$C_4^2=6$（条）（两点定一段）
$5$ 条竖线的竖向线段：$6\times 5=30$（条）（按方向汇总）
线段总数：$40+30=70$（条）（两方向相加）
选 $2$ 横 $2$ 竖定一个矩形：$C_4^2\times C_5^2=6\times 10=60$（个）（乘法原理）

第一套

题目：一个网格图中共有 $6$ 条横线和 $8$ 条竖线，它们两两相交。请问：图中一共有多少条线段？多少个矩形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（横向线段）：每条横线上有 $8$ 个交点，任取 $2$ 个定一条线段，$C_8^2=\dfrac{8\times 7}{2}=\underline{\quad}$（条）。
第 2 步：$6$ 条横线共 $28\times 6=\underline{\quad}$（条）。
第 3 步（竖向线段）：每条竖线上有 $6$ 个交点，$C_6^2=\dfrac{6\times 5}{2}=\underline{\quad}$（条）；$8$ 条竖线共 $15\times 8=\underline{\quad}$（条）。
第 4 步：线段总数 $168+120=\underline{\quad}$（条）。
第 5 步（数矩形）：两横两竖唯一确定一个矩形，由乘法原理得 $C_6^2\times C_8^2=15\times 28=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：某城区的街道图上有 $6$ 条东西向大街和 $8$ 条南北向大街，它们两两相交。请问：以这些交叉路口为端点的**直行路段**一共有多少条？由这些街道围成的**矩形街区**一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（东西向路段）：每条东西向大街上有 $8$ 个路口，任取 $2$ 个定一条路段，$C_8^2=\dfrac{8\times 7}{2}=\underline{\quad}$（条）。
第 2 步：$6$ 条东西向大街共 $28\times 6=\underline{\quad}$（条）。
第 3 步（南北向路段）：每条南北向大街上有 $6$ 个路口，$C_6^2=\dfrac{6\times 5}{2}=\underline{\quad}$（条）；$8$ 条共 $15\times 8=\underline{\quad}$（条）。
第 4 步：路段总数 $168+120=\underline{\quad}$（条）。
第 5 步（数街区）：两条东西向、两条南北向大街围出一个矩形街区，$C_6^2\times C_8^2=15\times 28=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个网格被分成了 $4$ 行 $6$ 列共 $24$ 个小方格。请问：图中一共有多少条线段？多少个矩形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先把格数换成线数）：$4$ 行小方格需要 $4+1=\underline{\quad}$ 条横线，$6$ 列小方格需要 $6+1=\underline{\quad}$ 条竖线。
第 2 步（横向线段）：每条横线上有 $7$ 个交点，$C_7^2=\dfrac{7\times 6}{2}=\underline{\quad}$ 条；$5$ 条横线共 $21\times 5=\underline{\quad}$（条）。
第 3 步（竖向线段）：每条竖线上有 $5$ 个交点，$C_5^2=\underline{\quad}$ 条；$7$ 条竖线共 $10\times 7=\underline{\quad}$（条）。
第 4 步：线段总数 $105+70=\underline{\quad}$（条）。
第 5 步（数矩形）：$C_5^2\times C_7^2=10\times 21=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：一个网格图中共有 $6$ 条横线和 $8$ 条竖线，相邻两条横线、相邻两条竖线的间距都相等。请问：（1）图中一共有多少个矩形？（2）其中正方形有多少个？（3）不是正方形的矩形有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数矩形）：两横两竖定一个矩形，$C_6^2\times C_8^2=15\times 28=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步（先弄清格数）：$6$ 条横线把图分成 $6-1=\underline{\quad}$ 行小方格，$8$ 条竖线把图分成 $8-1=\underline{\quad}$ 列小方格。
第 3 步（数正方形）：边长为 $k$ 的正方形左上角可放 $(5-k+1)$ 行 $\times(7-k+1)$ 列。$k=1$：$5\times 7=\underline{\quad}$；$k=2$：$4\times 6=\underline{\quad}$；$k=3$：$3\times 5=\underline{\quad}$；$k=4$：$2\times 4=\underline{\quad}$；$k=5$：$1\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：正方形合计 $35+24+15+8+3=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（作差）：不是正方形的矩形 $=420-85=\underline{\quad}$（个）。

29. 【原题 ch06-xingqu-07】如图 6-7，$AB,CD,EF,MN$ 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「作差型的图形计数」问题：图中梯形和三角形都很多，但题目只要它们**个数的差**。

关键切入点：关键在于**先拆单元、再算差**。由顶点 $O$ 引出的射线与四条平行线，把整个图形切成 $10$ 个完全相同的基本单元（顶点处的小三角形连同它下方的梯形）。在一个单元内，梯形有 $6$ 个、三角形有 $4$ 个，差是 $2$。由于每个单元贡献的差都一样，总差就是 $2\times 10$——不必分别求出梯形和三角形的总数，绕开了最繁的一步。

方法概述：把图形拆成若干相同的基本单元，求出单元内梯形与三角形个数之差后乘以单元个数。

规范步骤：

在一个基本单元内数梯形与三角形：梯形 $6$ 个，三角形 $4$ 个（先研究最小重复块）
单元内的差：$6-4=2$（作差）
整图含 $10$ 个这样的单元：$2\times 10=20$（差可叠加）

30. 【原题 ch06-xingqu-08】如图 6-8，$125$ 个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体。其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「立体计数 + 相间染色」问题：$5\times 5\times 5$ 的大立方体由黑白相间的小立方体拼成，只数**露在表面**的黑色小立方体。

关键切入点：关键有两点。其一，「露在表面」等价于「至少有一个坐标位于最外层」，所以要按**位置分类**：棱上的（有两个方向都在最外层）和面上非棱的。其二，相间染色让每条棱上黑白交替，$5$ 个格子里黑色恰好是第 $2$、$4$ 两个，即每条棱 $2$ 个；每个面除去四条边框后是 $3\times 3$ 的小方阵，其中黑色 $4$ 个。分类的好处是**棱上的方块被两个面共有，单独算一次就不会重复**。

方法概述：把表面黑色小方块按所在位置（棱上、面上）分类，避免重复地统计。

规范步骤：

每条棱上 $5$ 个小立方体，黑白相间，黑色占 $2$ 个：$2$（个/棱）（相间染色）
大立方体有 $12$ 条棱：$2\times 12=24$（个）（棱上单独算，避免面间重复）
每个面除去棱上的，剩 $3\times 3$ 的方阵，其中黑色 $4$ 个：$4$（个/面）（面内相间分布）
大立方体有 $6$ 个面：$4\times 6=24$（个）（按面汇总）
两类相加：$24+24=48$（个）（分类求和）

第一套

题目：$343$ 个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个 $7\times 7\times 7$ 的大立方体，八个顶角上的小立方体都是白色。其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先定分类）：露在表面的小立方体分两类——棱上的和面上非棱的，棱上的被两个面共有，必须单独算一次才不重复。
第 2 步（棱上）：每条棱上有 $7$ 个小立方体，两端是白色、黑白相间，所以黑色在第 $2,4,6$ 个位置，每条棱有 \underline{\quad} 个黑色。
第 3 步：大立方体共 $12$ 条棱，棱上黑色共 $3\times 12=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（面上）：每个面去掉四周的棱后剩下 $5\times 5=\underline{\quad}$ 个小立方体，它们仍黑白相间，其中黑色有 \underline{\quad} 个。
第 5 步：共 $6$ 个面，面上黑色共 $12\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第 6 步：两类相加 $36+72=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：某展厅用 $343$ 块黑白相间的方形积木垒成一个 $7\times 7\times 7$ 的立方体展台，八个顶角上的积木都是白色。讲解员想知道：从外面能看见的黑色积木一共有多少块？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先定分类）：能看见的积木分棱上的和面上非棱的两类；棱上的属于两个面，单独算一次才不重复。
第 2 步（棱上）：每条棱有 $7$ 块积木，两端是白色、黑白相间，黑色在第 $2,4,6$ 块，每条棱 \underline{\quad} 块黑色。
第 3 步：立方体共 $12$ 条棱，共 $3\times 12=\underline{\quad}$（块）。
第 4 步（面上）：每个面去掉四周棱后剩 $5\times 5=\underline{\quad}$ 块，其中黑色 \underline{\quad} 块。
第 5 步：$6$ 个面共 $12\times 6=\underline{\quad}$（块）。
第 6 步：合计 $36+72=\underline{\quad}$（块）。

第三套

题目：$125$ 个黑色与白色小立方体相间排列拼成一个 $5\times 5\times 5$ 的大立方体，已知露在表面的黑色小立方体有 $48$ 个。请问：露在表面的**白色**小立方体有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（正难则反）：与其重新分类去数白色，不如先算出露在表面的小立方体总数，再减去黑色的。
第 2 步（挖去内芯）：把最外一层剥掉后，里面藏着一个 $3\times 3\times 3$ 的小立方体，它的 $3^3=\underline{\quad}$ 个小方块都看不见。
第 3 步：露在表面的小立方体总数 $=5^3-3^3=125-27=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步（作差）：露在表面的白色 $=98-48=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：$343$ 个黑色与白色小立方体相间排列拼成一个 $7\times 7\times 7$ 的大立方体，八个顶角上的小立方体都是白色。已知露在表面的黑色小立方体有 $108$ 个。请问：（1）露在表面的小立方体共有多少个？（2）露在表面的白色小立方体有多少个？（3）整个大立方体中黑色小立方体共有多少个？（4）完全藏在内部的黑色小立方体有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（表面块总数）：剥去最外一层后内部是 $5\times 5\times 5$，故露在表面的共 $7^3-5^3=343-\underline{\quad}=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步（表面白色）：作差得 $218-108=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（黑色总数怎么数）：把大立方体切成 $7$ 层，每层是 $7\times 7=49$ 格的黑白相间方阵。顶角为白色时，第 $1,3,5,7$ 这 $4$ 层里每层黑色 $24$ 个，共 $24\times 4=\underline{\quad}$（个）。
第 4 步：第 $2,4,6$ 这 $3$ 层里每层黑色 $25$ 个，共 $25\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步：黑色总数 $96+75=\underline{\quad}$（个）。
第 6 步（藏在内部的黑色）：$171-108=\underline{\quad}$（个）。

31. 【原题 ch06-xingqu-09】平面上有 $9$ 个点，以这些点为顶点可以连出多少条线段？

详细思路

是哪类问题：这是最基础的「组合计数」问题：平面上若干个点，两两相连能得到多少条线段。

关键切入点：关键是认识到**线段与「点对」一一对应**：给定两个点就有唯一一条线段，反过来每条线段也只对应它的两个端点。于是「数线段」被翻译成「从 $9$ 个点里取 $2$ 个的取法数」，即组合数 $C_9^2$。计算时用 $\dfrac{9\times 8}{2}$：先按有顺序的选法数 $9\times 8$，再因为「甲乙」与「乙甲」是同一条线段而除以 $2$。

方法概述：每两点确定一条线段，用组合数 $C_9^2$ 计数。

规范步骤：

线段与点对一一对应：线段数 $=C_9^2$（两点定一段）
先算有顺序的选法：$9\times 8=72$（第一个点 $9$ 种、第二个点 $8$ 种）
每条线段被算了 $2$ 次，除以 $2$：$72\div 2=36$（条）（去掉顺序造成的重复）

第一套

题目：平面上有 $15$ 个点，其中任意三点都不在同一条直线上。以这些点为顶点可以连出多少条线段？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（为什么能用组合数）：每两个点确定唯一一条线段，每条线段也只有两个端点，所以线段数就是从 $15$ 个点中取 $2$ 个的方法数 $C_{15}^2$。
第 2 步：先算有顺序的选法：第一个点 $15$ 种、第二个点 $14$ 种，共 $15\times 14=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：「甲乙」和「乙甲」是同一条线段，每条被算了 $2$ 次，所以 $210\div 2=\underline{\quad}$（条）。

第二套

题目：某航空公司在 $15$ 个城市之间开辟航线，要求任意两个城市之间都有直达航线（往返算同一条航线）。请问：一共需要开辟多少条航线？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（为什么能用组合数）：每两个城市之间恰好一条航线，航线与「城市对」一一对应，所以航线数就是 $C_{15}^2$。
第 2 步：先算有顺序的选法：起点 $15$ 种、终点 $14$ 种，共 $15\times 14=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：往返算同一条航线，每条被算了 $2$ 次，$210\div 2=\underline{\quad}$（条）。

第三套

题目：平面上有 $12$ 个点，任意三点都不在同一条直线上。请问：（1）可以连出多少条线段？（2）以这些点为顶点可以画出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数线段）：两点定一段，$C_{12}^2=\dfrac{12\times 11}{2}=\underline{\quad}$（条）。
第 2 步（数三角形要选几个点）：三个不共线的点定一个三角形，因此要从 $12$ 个点中取 $3$ 个。
第 3 步：先算有顺序的选法 $12\times 11\times 10=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步：同样三个点有 $3\times 2\times 1=6$ 种排列顺序、对应同一个三角形，所以 $1320\div 6=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：平面上有 $15$ 个点，其中恰有 $5$ 个点在同一条直线上，除此之外再无三点共线。请问：（1）以这些点为端点可以连出多少条线段？（2）可以画出多少条不同的直线？（3）可以画出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（线段不受影响）：无论是否共线，每两点仍恰好定一条线段，$C_{15}^2=\dfrac{15\times 14}{2}=\underline{\quad}$（条）。
第 2 步（直线要合并）：那 $5$ 个共线点两两确定的 $C_5^2=\dfrac{5\times 4}{2}=\underline{\quad}$ 条线段其实落在同一条直线上，本来算了这么多次，现在只该算 $1$ 次。
第 3 步：直线条数 $=105-10+1=\underline{\quad}$（条）。
第 4 步（三角形要扣除）：任取 $3$ 点共 $C_{15}^3=\dfrac{15\times 14\times 13}{6}=\underline{\quad}$ 种，但三点共线时围不成三角形。
第 5 步：共线的三点组只出现在那 $5$ 个点中，有 $C_5^3=\dfrac{5\times 4\times 3}{6}=\underline{\quad}$ 组。
第 6 步：三角形个数 $=455-10=\underline{\quad}$（个）。

32. 【原题 ch06-xingqu-10】如图 6-9，在 $2\times 3$ 的长方形中，每个小正方形的面积都是 $1$。请问：以 $A,B,C,D,E,F,G$ 为顶点且面积为 $1$ 的三角形共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「格点三角形计数」问题：在 $2\times 3$ 的长方形中，只用 $A\sim G$ 这 $7$ 个指定的点作顶点，数出面积恰为 $1$ 的三角形。

关键切入点：关键是**按底边所在的直线分类**，做到不重不漏。面积为 $1$ 意味着「底 $\times$ 高 $=2$」，而这些点集中在上、下两条水平直线上（外加中间的点 $C$），所以三角形的一条边多半落在 $DG$ 或 $AB$ 上。于是分成三类：底在 $DG$ 上的、底在 $AB$ 上的、两条线上都没有边的（这时必然用到中间的点 $C$）。三类互不重叠，逐类列举即可。

方法概述：按三角形的底边所在直线（上边、下边或都不在）分类，逐一列举。

规范步骤：

第一类：有一条边在直线 $DG$ 上：$\triangle DEA,\triangle DEB,\triangle EFA,\triangle EFB,\triangle FGA,\triangle FGB,\triangle DGC,\triangle EGC$，共 $8$ 个（按底边所在直线分类）
第二类：有一条边在直线 $AB$ 上：$\triangle ABD,\triangle ABE,\triangle ABF,\triangle ABG$，共 $4$ 个（另一条底边直线）
第三类：两条线上都没有边，必含点 $C$：$\triangle CAG,\triangle CBF$，共 $2$ 个（补齐剩余情形）
三类相加：$8+4+2=14$（个）（分类求和）

竞赛数学 · 五年级第6讲《几何计数》举一反三练习卷

附录 · 答案

竞赛数学 · 五年级 第6讲《几何计数》举一反三练习卷

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