竞赛数学 · 五年级 第7讲《约数与倍数》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch07-chaoyue-01】$360$ 有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「奇约数计数 + 约数和」题：把「奇」这个条件翻译成质因数的语言再计算。
关键切入点：一个约数是奇数，等价于它不含质因数 $2$。$360=2^3\times3^2\times5$，去掉 $2$ 的部分后剩下 $3^2\times5=45$，于是 $360$ 的奇约数与 $45$ 的全部约数一一对应，个数 $(2+1)(1+1)=6$ 个。求和时既可直接把 $1,3,5,9,15,45$ 加起来，也可用约数和公式 $(1+3+9)(1+5)=13\times6=78$——后者更快且不易漏。
方法概述：去掉质因数 $2$ 转为奇部分的全部约数，再用约数个数与约数和公式。
规范步骤：
  1. 分解：$360=2^3\times3^2\times5$（短除法）
  2. 取奇部分：奇约数即 $3^2\times5=45$ 的约数（奇数不含 $2$）
  3. 数个数：$(2+1)\times(1+1)=6$（个）（约数个数公式）
  4. 求和：$(1+3+9)\times(1+5)=13\times6=78$（约数和公式）
  5. 列举复核：$1+3+5+9+15+45=78$（直接相加复核）
  6. 写出答案：$6$ 个奇约数，和为 $78$
第一套
题目：$1800$ 有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$1800=2^3\times3^2\times5^2$。
  2. 第 2 步（转为奇部分）：奇约数不含 $2$，就是 $3^2\times5^2=\underline{\quad}$ 的全部约数。
  3. 第 3 步（数个数）：$(2+1)\times(2+1)=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（用约数和公式）：$3$ 这一档的和是 $1+3+9=\underline{\quad}$，$5$ 这一档的和是 $1+5+25=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（相乘得总和）：$13\times31=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一批 $360$ 个零件要装箱，每箱个数相同。若要求每箱个数是奇数，共有多少种装法？这些每箱个数加起来是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：每箱个数是 $360$ 的约数，且要求为奇数。
  2. 第 2 步（取奇部分）：$360=2^3\times3^2\times5$，去掉 $2$ 后是 $3^2\times5=\underline{\quad}$，奇约数就是它的全部约数。
  3. 第 3 步（数个数）：$(2+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$ 种装法。
  4. 第 4 步（求和）：$(1+3+9)\times(1+5)=13\times6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$2520$ 有多少个奇约数？它们的和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$2520=2^3\times3^2\times5\times7$。
  2. 第 2 步（取奇部分）：奇约数即 $3^2\times5\times7=\underline{\quad}$ 的全部约数。
  3. 第 3 步（数个数）：$(2+1)\times(1+1)\times(1+1)=3\times2\times2=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（约数和公式）：$(1+3+9)\times(1+5)\times(1+7)=13\times6\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$1200$ 有多少个奇约数？它们的和是多少？$1200$ 的全部约数之和又是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$1200=2^4\times3\times5^2$。
  2. 第 2 步（奇部分）：奇约数即 $3\times5^2=\underline{\quad}$ 的约数，个数 $=(1+1)\times(2+1)=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（奇约数和）：$(1+3)\times(1+5+25)=4\times31=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（补上 $2$ 这一档）：全部约数之和还要乘上 $2$ 的各次幂之和 $1+2+4+8+16=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（总和）：$31\times124=\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch07-chaoyue-02】求出所有恰好有 $10$ 个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和。
详细思路
是哪类问题：这是「由约数个数反推数 + 约数和公式」题：从个数的分解形式倒推质因数结构。
关键切入点：约数个数 $10=10\times1=2\times5$，对应结构只有 $p^9$ 或 $p^4\times q$。$p^9$ 最小是 $2^9=512$，不是两位数，排除；所以只能是 $p^4\times q$。要成两位数，$p^4$ 必须小，取 $p=2$ 得 $16$，$q$ 取奇质数：$16\times3=48$、$16\times5=80$，而 $16\times7=112$ 已是三位数；$p=3$ 时 $3^4=81$，乘任何质数都超过两位。所以只有 $48,80$。求约数和用公式按档相乘。
方法概述：把个数分解成结构式 → 按两位数范围筛 → 用约数和公式。
规范步骤：
  1. 分解个数：$10=10\times1=2\times5$，对应 $p^9$ 或 $p^4\times q$（约数个数公式反用）
  2. 排除 $p^9$：$2^9=512$ 已是三位数（范围限制）
  3. 枚举 $p^4\times q$：$16\times3=48$，$16\times5=80$，$16\times7=112$（超）（枚举）
  4. 求 $48$ 的约数和：$(1+2+4+8+16)\times(1+3)=31\times4=124$（约数和公式）
  5. 求 $80$ 的约数和：$(1+2+4+8+16)\times(1+5)=31\times6=186$（约数和公式）
  6. 写出答案：$48$（和 $124$）与 $80$（和 $186$）
第一套
题目：求出所有恰好有 $14$ 个约数的三位数，并求出其中最小的那个数的所有约数之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解个数）：$14=14\times1=2\times7$，对应结构只有 $p^{13}$ 或 $p^6\times q$。
  2. 第 2 步（排除 $p^{13}$）：最小的 $2^{13}=8192$，远超三位数。
  3. 第 3 步（枚举 $p^6\times q$）：$2^6=\underline{\quad}$，乘奇质数：$64\times3=\underline{\quad}$，$64\times5=320$，$64\times7=448$，$64\times11=704$，$64\times13=\underline{\quad}$，而 $64\times17=1088$ 已是四位数；$3^6=729$ 乘任何质数都超三位。
  4. 第 4 步（最小者的约数和）：最小的是 $192=2^6\times3$，$2$ 这一档的和 $1+2+4+8+16+32+64=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（乘另一档）：$127\times(1+3)=127\times4=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某社团人数是两位数，且把人数平均分成若干组的分法恰好有 $10$ 种（每组人数为整数，组数也为整数）。人数可能是多少？对每种可能，把所有可行的「每组人数」加起来分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：分法数就是人数的约数个数，即找约数个数为 $10$ 的两位数。
  2. 第 2 步（分解个数）：$10=2\times5$，结构只能是 $p^4\times q$（$p^9$ 最小为 $512$，不是两位数）。
  3. 第 3 步（枚举）：$2^4=16$，$16\times3=\underline{\quad}$，$16\times5=\underline{\quad}$，$16\times7=112$ 超出两位数。
  4. 第 4 步（求约数和）：$48$ 的约数和 $=(1+2+4+8+16)\times(1+3)=31\times4=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$80$ 的约数和 $=(1+2+4+8+16)\times(1+5)=31\times6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：求出所有恰好有 $12$ 个约数的两位数，并求出其中最小的那个数的所有约数之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解个数）：$12=2\times6=3\times4=2\times2\times3$，对应结构 $p^{11}$、$p^5q$、$p^3q^2$、$p^2qr$ 等。
  2. 第 2 步（枚举两位数）：$2^2\times3\times5=\underline{\quad}$，$2^3\times3^2=\underline{\quad}$，$2^2\times3\times7=84$，$2\times3^2\times5=\underline{\quad}$，$2^5\times3=\underline{\quad}$。符合的两位数是 $60,72,84,90,96$。
  3. 第 3 步（求最小者的约数和）：最小的是 $60=2^2\times3\times5$，各档和为 $(1+2+4)=\underline{\quad}$、$(1+3)=4$、$(1+5)=6$。
  4. 第 4 步（相乘）：$7\times4\times6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：求出所有恰好有 $10$ 个约数的两位数，并把每个数的所有约数乘起来，写出结果的质因数分解形式。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找数）：$10=2\times5$，结构只能是 $p^4\times q$，两位数只有 $16\times3=\underline{\quad}$ 和 $16\times5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（配对思想）：约数两两配对、每对乘积等于原数，$10$ 个约数配成 $10\div2=\underline{\quad}$ 对，所以约数之积 $=N^5$。
  3. 第 3 步（算 $48$）：$48=2^4\times3$，指数各乘 $5$：$4\times5=\underline{\quad}$，$1\times5=\underline{\quad}$，即 $48^5=2^{20}\times3^5$。
  4. 第 4 步（算 $80$）：$80=2^4\times5$，同样得 $80^5=2^{20}\times5^{\underline{\quad}}$。
3. 【原题 ch07-chaoyue-03】已知 $a$ 与 $b$ 的最大公约数是 $4$，$a$ 与 $c$、$b$ 与 $c$ 的最小公倍数都是 $100$，而且 $a\le b$。满足条件的自然数 $a,b,c$ 共有多少组？
详细思路
是哪类问题：这是「质因数指数分析 + 分类枚举」题：三个数被最大公约数与最小公倍数的条件同时约束，需逐质因数列表讨论。
关键切入点：$4=2^2$，$100=2^2\times5^2$。先看质因数 $2$：$(a,b)=4$ 说明 $a,b$ 中 $2$ 的指数最小值是 $2$；$[a,c]=[b,c]=100$ 又说明 $a,b$ 中 $2$ 的指数不超过 $2$。两头一夹，$a,b$ 都恰含 $2^2$，此时 $c$ 中 $2$ 的指数可取 $0,1,2$。再看质因数 $5$：$(a,b)$ 不含 $5$，故 $a,b$ 中至少一个不含 $5$；而 $[a,c]=[b,c]$ 都含 $5^2$，所以缺 $5$ 的那个必须靠 $c$ 补齐，即 $c$ 含 $5^2$，另一个的 $5$ 指数可取 $0,1,2$。把两个质因数的选法配合起来，逐一列举可得共 $9$ 组。
方法概述：逐质因数用「最大公约数给下界、最小公倍数给上界」夹出指数，再分类计数。
规范步骤：
  1. 分解条件：$4=2^2$，$100=2^2\times5^2$（质因数分解）
  2. 定 $2$ 的指数：$a,b$ 中 $2$ 的指数都恰为 $2$；$c$ 中可为 $0,1,2$（上下界夹逼）
  3. 定 $5$ 的指数：$a,b$ 不能都含 $5$；$c$ 必含 $5^2$（最大公约数不含 $5$）
  4. 分类计数：按 $a,b$ 中 $5$ 的指数与 $c$ 中 $2$ 的指数搭配，逐一列举（分类讨论）
  5. 写出答案：共 $9$ 组
第一套
题目：已知 $a$ 与 $b$ 的最大公约数是 $9$，$a$ 与 $c$、$b$ 与 $c$ 的最小公倍数都是 $225$，且 $a\le b$。满足条件的自然数 $a,b,c$ 共有多少组？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解条件）：$9=3^2$，$225=3^2\times5^2$。
  2. 第 2 步（夹逼 $3$ 的指数）：$(a,b)=9$ 说明 $a,b$ 中 $3$ 的指数最小值是 $2$；最小公倍数是 $225$ 又说明它们的 $3$ 指数不超过 $2$。所以 $a,b$ 中 $3$ 的指数都恰为 $2$，而 $c$ 中 $3$ 的指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（分析 $5$ 的指数）：$(a,b)=9$ 不含 $5$，说明 $a,b$ 至少一个不含 $5$；两个最小公倍数都含 $5^2$，所以 $c$ 必须含 $5^2$，另一个数的 $5$ 指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（配合计数）：两类选择互相独立，共 $3\times3=\underline{\quad}$ 组。
第二套
题目：三张卡片上各写一个自然数 $a,b,c$。已知 $a$ 与 $b$ 的最大公约数是 $4$，$a$ 与 $c$、$b$ 与 $c$ 的最小公倍数都是 $100$，且 $a\le b$。这样的三张卡片共有多少种写法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解条件）：$4=2^2$，$100=2^2\times5^2$。
  2. 第 2 步（夹逼 $2$ 的指数）：最大公约数给下界、最小公倍数给上界，$a,b$ 中 $2$ 的指数都恰是 $2$；$c$ 中 $2$ 的指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（分析 $5$ 的指数）：最大公约数 $4$ 不含 $5$，故 $a,b$ 至少一个不含 $5$；两个最小公倍数都含 $5^2$，所以 $c$ 含 $5^2$，另一个数的 $5$ 指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（相乘）：共 $3\times3=\underline{\quad}$ 种写法。
第三套
题目：已知 $a$ 与 $b$ 的最大公约数是 $4$，$a$ 与 $c$、$b$ 与 $c$ 的最小公倍数都是 $196$，且 $a\le b$。满足条件的 $a,b,c$ 共有多少组？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$4=2^2$，$196=2^2\times7^2$。
  2. 第 2 步（夹逼 $2$ 的指数）：$a,b$ 中 $2$ 的指数都恰为 $2$，$c$ 中可取 $0,1,2$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（分析 $7$ 的指数）：最大公约数不含 $7$，故 $a,b$ 至少一个不含 $7$；最小公倍数都含 $7^2$，故 $c$ 含 $7^2$，另一个数的 $7$ 指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（相乘）：共 $3\times3=\underline{\quad}$ 组。
第三套
题目：已知 $a$ 与 $b$ 的最大公约数是 $8$，$a$ 与 $c$、$b$ 与 $c$ 的最小公倍数都是 $200$，且 $a\le b$。满足条件的自然数 $a,b,c$ 共有多少组？（可用穷举列表法）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$8=2^3$，$200=2^3\times5^2$。
  2. 第 2 步（夹逼 $2$ 的指数）：最大公约数要求 $a,b$ 中 $2$ 的指数最小值为 $3$，最小公倍数要求不超过 $3$，所以 $a,b$ 中 $2$ 的指数都恰为 $3$，$c$ 中 $2$ 的指数可取 $0,1,2,3$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（分析 $5$ 的指数）：$8$ 不含 $5$，故 $a,b$ 至少一个不含 $5$；两个最小公倍数都含 $5^2$，故 $c$ 含 $5^2$，另一个数的 $5$ 指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（相乘计数）：$4\times3=\underline{\quad}$ 组。
4. 【原题 ch07-chaoyue-04】所有 $70$ 的倍数中，共有多少个数恰有 $70$ 个约数？
详细思路
是哪类问题：这是「约数个数公式 + 排列计数」题：在「必须是某数的倍数」的限制下数出满足约数个数条件的数。
关键切入点：$70=2\times5\times7$，所以 $N$ 至少含 $2,5,7$ 各一次，写成 $N=2^a\times5^b\times7^c\times\cdots$ 且 $a,b,c\ge1$。约数个数 $(a+1)(b+1)(c+1)\cdots=70=2\times5\times7$。因为 $a+1,b+1,c+1$ 都 $\ge2$，三个因数已经把 $70$ 用完，$N$ 不能再含别的质因数。于是就是把 $2,5,7$ 分配给 $a+1,b+1,c+1$，共 $3\times2\times1=6$ 种排列，即 $6$ 个数。
方法概述：把倍数条件翻译成指数下界，再把个数分解式的因子做排列计数。
规范步骤：
  1. 分解 $70$：$70=2\times5\times7$（质因数分解）
  2. 设结构：$N=2^a\times5^b\times7^c$，$a,b,c\ge1$（倍数条件）
  3. 约数个数方程：$(a+1)(b+1)(c+1)=70=2\times5\times7$（约数个数公式）
  4. 排除额外质因数：三个因数都 $\ge2$ 已用完 $70$，故不能再有别的质因数（因数分析）
  5. 排列计数：把 $2,5,7$ 分配给三个位置，共 $3\times2\times1=6$ 种（排列）
  6. 写出答案：共 $6$ 个数
第一套
题目：所有 $2310$ 的倍数中，共有多少个数恰有 $2310$ 个约数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$2310=2\times3\times5\times7\times11$，共 $\underline{\quad}$ 个不同的质因数。
  2. 第 2 步（设结构）：$N$ 是 $2310$ 的倍数，所以 $N=2^{a_1}\times3^{a_2}\times5^{a_3}\times7^{a_4}\times11^{a_5}\times\cdots$，且每个指数都 $\ge1$。
  3. 第 3 步（约数个数方程）：$(a_1+1)(a_2+1)\cdots=2310=2\times3\times5\times7\times11$，五个因数都 $\ge2$ 已把 $2310$ 用完，所以 $N$ 不能再含别的质因数。
  4. 第 4 步（排列计数）：把 $2,3,5,7,11$ 分配到五个位置，共 $5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：某种编号必须是 $70$ 的倍数，且这个编号恰好有 $70$ 个约数。这样的编号一共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$70=2\times5\times7$，编号 $N$ 必含 $2,5,7$，写成 $N=2^a\times5^b\times7^c$，$a,b,c\ge1$。
  2. 第 2 步（约数个数方程）：$(a+1)(b+1)(c+1)=\underline{\quad}$，而 $70=2\times5\times7$。
  3. 第 3 步（排除其他质因数）：三个因数都不小于 $2$，已经把 $70$ 用完，$N$ 不能含别的质因数。
  4. 第 4 步（排列计数）：把 $2,5,7$ 分给三个位置，共 $3\times2\times1=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：所有 $165$ 的倍数中，共有多少个数恰有 $165$ 个约数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$165=3\times5\times11$。
  2. 第 2 步（设结构）：$N=3^a\times5^b\times11^c$，且 $a,b,c\ge1$。
  3. 第 3 步（约数个数方程）：$(a+1)(b+1)(c+1)=165=3\times5\times\underline{\quad}$，三个因数都 $\ge2$ 已用完，$N$ 不能再含别的质因数。
  4. 第 4 步（排列计数）：共 $3\times2\times1=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：所有 $70$ 的倍数中恰有 $70$ 个约数的数共有 $6$ 个，其中最小的是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（结构）：$N=2^a\times5^b\times7^c$，$(a+1)(b+1)(c+1)=70=2\times5\times7$，所以指数只能是 $1,4,6$ 的一个排列。
  2. 第 2 步（怎样最小）：底数越大，指数就该越小。所以把最大的指数 $6$ 给最小的质数 $2$，把最小的指数 $1$ 给最大的质数 $7$。
  3. 第 3 步（算各部分）：$2^6=\underline{\quad}$，$5^4=\underline{\quad}$，$7^1=7$。
  4. 第 4 步（相乘）：$64\times625\times7=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（对比验证）：若换成 $2^6\times5\times7^4=64\times5\times2401=\underline{\quad}$，比 $280000$ 大，说明前面的分配确实最小。
5. 【原题 ch07-chaoyue-05】自然数 $n$ 是 $1,2,3,\cdots,10$ 的公倍数，而且它恰有 $72$ 个约数。$n$ 的最小值是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「最小公倍数 + 约数个数 + 最小值」的综合最值题。
关键切入点：$n$ 是 $1\sim10$ 的公倍数，等价于 $n$ 是 $[1,2,\cdots,10]=2520=2^3\times3^2\times5\times7$ 的倍数，也就是 $n$ 中 $2$ 的指数 $\ge3$、$3$ 的指数 $\ge2$、$5,7$ 的指数 $\ge1$。$2520$ 本身约数个数是 $4\times3\times2\times2=48$，要凑到 $72$，只能在某些指数上再加。$72\div48=\frac{3}{2}$，可行方案有两种：把 $5$ 的指数由 $1$ 提到 $2$（$2\to3$ 档，$48\times\frac{3}{2}=72$），得 $2520\times5=12600$；或把 $2$ 的指数由 $3$ 提到 $5$（$4\to6$ 档），得 $2520\times4=10080$。比较取小者 $10080$。
方法概述：先求 $1\sim10$ 的最小公倍数定下指数下界，再比较各种加指数方案的大小。
规范步骤：
  1. 求最小公倍数：$[1,2,\cdots,10]=2^3\times3^2\times5\times7=2520$（最小公倍数）
  2. 算现有约数个数：$(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)=48$（约数个数公式）
  3. 找升级方案：$72=6\times3\times2\times2$ 或 $4\times3\times3\times2$（分解目标个数）
  4. 方案一：$2^5\times3^2\times5\times7=2520\times4=10\,080$（把 $2$ 的指数提到 $5$）
  5. 方案二：$2^3\times3^2\times5^2\times7=2520\times5=12\,600$（把 $5$ 的指数提到 $2$）
  6. 取最小：$10\,080<12\,600$，故 $n$ 最小为 $10\,080$（比较）
  7. 写出答案：$n$ 的最小值是 $10\,080$
第一套
题目：自然数 $n$ 是 $1,2,3,\cdots,12$ 的公倍数，而且恰有 $128$ 个约数。$n$ 的最小值是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求最小公倍数）：$[1,2,\cdots,12]=2^3\times3^2\times5\times7\times11=\underline{\quad}$（即 $8\times9\times5\times7\times11$）。
  2. 第 2 步（算现有约数个数）：$(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=4\times3\times2\times2\times2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（分析目标）：$128=2^7$，所以每个「指数加一」都必须是 $2$ 的幂。现在 $3$ 那一档是 $3$，不是 $2$ 的幂，必须把 $3$ 的指数由 $2$ 提到 $3$，使该档变成 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（核对总数）：此时约数个数 $=4\times4\times2\times2\times2=\underline{\quad}$，恰好是 $128$。
  5. 第 5 步（算 $n$）：$n=2^3\times3^3\times5\times7\times11=27720\times3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一批货物的总件数能被 $1$ 到 $10$ 的每个数整除，且这个件数恰有 $72$ 个约数。这批货物最少多少件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：件数是 $1\sim10$ 的公倍数，即 $[1,2,\cdots,10]=8\times9\times5\times7=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步（现有个数）：$2520=2^3\times3^2\times5\times7$，约数个数 $=4\times3\times2\times2=\underline{\quad}$ 个，还不到 $72$。
  3. 第 3 步（方案一）：把 $2$ 的指数提到 $5$，档位由 $4$ 变 $6$，个数 $=6\times3\times2\times2=72$，此时件数 $=2520\times4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（方案二）：把 $5$ 的指数提到 $2$，档位由 $2$ 变 $3$，个数 $=4\times3\times3\times2=72$，件数 $=2520\times5=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（取小）：比较两个方案，最少是 $\underline{\quad}$ 件。
第三套
题目：自然数 $n$ 是 $1,2,3,\cdots,8$ 的公倍数，而且恰有 $96$ 个约数。$n$ 的最小值是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求最小公倍数）：$[1,2,\cdots,8]=2^3\times3\times5\times7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（现有个数）：$(3+1)(1+1)(1+1)(1+1)=4\times2\times2\times2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（要补多少）：$96\div32=\underline{\quad}$，即还要把约数个数扩大到 $3$ 倍。
  4. 第 4 步（比较方案）：可以把 $3$ 的指数提到 $3$（档位 $2\to4$，只扩大 $2$ 倍，不够）；把 $2$ 的指数提到 $5$ 再配合别的都更大。最省的是新增一个最小的新质因数 $11$ 并把 $3$ 的指数提到 $2$：$n=2^3\times3^2\times5\times7\times11$，档位 $4\times3\times2\times2\times2=\underline{\quad}$，恰为 $96$。
  5. 第 5 步（算出 $n$）：$n=8\times9\times5\times7\times11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：自然数 $n$ 是 $1,2,3,\cdots,10$ 的公倍数，而且恰有 $144$ 个约数。$n$ 的最小值是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（下界）：$n$ 必是 $[1,2,\cdots,10]=\underline{\quad}$（即 $8\times9\times5\times7$）的倍数，$2520$ 的约数个数为 $4\times3\times2\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（要扩大几倍）：$144\div48=\underline{\quad}$，即约数个数要变成原来的 $3$ 倍。
  3. 第 3 步（方案 A：新增一个最小的新质因数）：加上 $11$ 使档位多乘 $2$，再把 $2$ 的指数由 $3$ 提到 $5$（档位 $4\to6$，多乘 $\frac{3}{2}$），此时档位为 $6\times3\times2\times2\times2=\underline{\quad}$，$n=2^5\times3^2\times5\times7\times11=2520\times4\times11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（方案 B：不新增质因数）：把 $2$ 提到 $2^5$、$3$ 提到 $3^3$、$5$ 提到 $5^2$，档位为 $6\times4\times3\times2=\underline{\quad}$，也恰是 $144$，此时 $n=2^5\times3^3\times5^2\times7=32\times27\times25\times7=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（取最小）：$110880$ 与 $151200$ 相比，较小的是 $\underline{\quad}$，所以 $n$ 的最小值是 $110\,880$。
6. 【原题 ch07-chaoyue-06】三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处。里圈跑道长 $\frac{1}{5}$ 千米，中圈跑道长 $\frac{1}{4}$ 千米，外圈跑道长 $\frac{3}{8}$ 千米。甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑 $3\frac{1}{2}$ 千米，乙每小时跑 $4$ 千米，丙每小时跑 $5$ 千米，他们同时出发。请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？
详细思路
是哪类问题：这是「分数的最小公倍数 + 环形跑道」题：三人同时回到出发点，就是三个「跑一圈用时」的公倍数中最小的那个。
关键切入点：先把每人跑一圈的时间算出来：甲 $\frac{1}{5}\div3\frac{1}{2}=\frac{2}{35}$ 小时，乙 $\frac{1}{4}\div4=\frac{1}{16}$，丙 $\frac{3}{8}\div5=\frac{3}{40}$。三人同时回到出发点，所用时间必须同时是这三个时间的整数倍，即求三个分数的最小公倍数。分数最小公倍数公式为「分子的最小公倍数 ÷ 分母的最大公约数」：$\frac{[2,1,3]}{(35,16,40)}=\frac{6}{1}=6$ 小时。
方法概述：先求每圈用时，再用「分子取最小公倍数、分母取最大公约数」求分数的最小公倍数。
规范步骤：
  1. 求甲每圈用时：$\frac{1}{5}\div\frac{7}{2}=\frac{2}{35}$（小时）（路程÷速度）
  2. 求乙、丙每圈用时：$\frac{1}{4}\div4=\frac{1}{16}$，$\frac{3}{8}\div5=\frac{3}{40}$（路程÷速度）
  3. 转化为分数最小公倍数：求 $\left[\frac{2}{35},\frac{1}{16},\frac{3}{40}\right]$（同时回到出发点）
  4. 用公式：$\frac{[2,1,3]}{(35,16,40)}=\frac{6}{1}=6$（小时）（分数最小公倍数）
  5. 复核圈数：$6\div\frac{2}{35}=105$，$6\div\frac{1}{16}=96$，$6\div\frac{3}{40}=80$，都是整数（验证）
  6. 写出答案：$6$ 小时后三人第一次同时回到出发点
第一套
题目：三条同心圆跑道分别长 $\frac{3}{8}$ 千米、$\frac{1}{3}$ 千米、$\frac{1}{2}$ 千米。甲、乙、丙分别在这三条道上同向跑步，速度依次为每小时 $5$ 千米、$2\frac{1}{2}$ 千米、$3$ 千米，同时从同一射线出发。几小时后三人第一次同时回到出发点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求每圈用时）：甲 $\frac{3}{8}\div5=\underline{\quad}$（写成分数即 $\frac{3}{40}$ 小时）。
  2. 第 2 步：乙 $\frac{1}{3}\div\frac{5}{2}=\frac{2}{15}$ 小时，丙 $\frac{1}{2}\div3=\underline{\quad}$（即 $\frac{1}{6}$ 小时）。
  3. 第 3 步（转化）：所求时间是 $\frac{3}{40},\frac{2}{15},\frac{1}{6}$ 的最小公倍数。
  4. 第 4 步（分子取最小公倍数）：$[3,2,1]=\underline{\quad}$；分母取最大公约数：$(40,15,6)=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（得答案并复核圈数）：时间 $=6\div1=\underline{\quad}$ 小时；甲跑 $6\div\frac{3}{40}=\underline{\quad}$ 圈，乙跑 $6\div\frac{2}{15}=\underline{\quad}$ 圈，都是整数。
第二套
题目：三个齿轮转一圈分别需要 $\frac{2}{35}$ 分钟、$\frac{1}{16}$ 分钟、$\frac{3}{40}$ 分钟。三者同时从起始位置开始转动，至少多少分钟后它们第一次同时回到起始位置？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：所求时间必须同时是三个转一圈时间的整数倍，即求三个分数的最小公倍数。
  2. 第 2 步（分子取最小公倍数）：分子是 $2,1,3$，$[2,1,3]=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分母取最大公约数）：分母是 $35,16,40$，$(35,16,40)=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（得答案）：最小公倍数 $=6\div1=\underline{\quad}$ 分钟。
  5. 第 5 步（复核）：$6\div\frac{2}{35}=\underline{\quad}$ 圈，是整数，符合。
第三套
题目：三个转盘转一圈分别用 $\frac{1}{2}$ 分钟、$\frac{2}{3}$ 分钟、$\frac{3}{4}$ 分钟。它们同时启动后，至少多少分钟第一次同时回到起点？各转了多少圈？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：求 $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4}$ 的最小公倍数。
  2. 第 2 步（分子取最小公倍数）：$[1,2,3]=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分母取最大公约数）：$(2,3,4)=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（得时间）：$6\div1=\underline{\quad}$ 分钟。
  5. 第 5 步（求圈数）：$6\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$ 圈，$6\div\frac{2}{3}=\underline{\quad}$ 圈，$6\div\frac{3}{4}=\underline{\quad}$ 圈。
第三套
题目：三条圆形跑道长分别为 $\frac{1}{5}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{3}{10}$ 千米，甲、乙、丙分别以每小时 $2\frac{1}{2}$、$3$、$4$ 千米的速度同向出发。（1）几小时后三人第一次同时回到出发点？（2）此时三人各跑了多少圈？谁跑的圈数最多，比最少的多几圈？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求每圈用时）：甲 $\frac{1}{5}\div\frac{5}{2}=\underline{\quad}$（即 $\frac{2}{25}$ 小时）；乙 $\frac{1}{4}\div3=\underline{\quad}$（即 $\frac{1}{12}$ 小时）；丙 $\frac{3}{10}\div4=\underline{\quad}$（即 $\frac{3}{40}$ 小时）。
  2. 第 2 步（分子取最小公倍数）：分子是 $2,1,3$，$[2,1,3]=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分母取最大公约数）：分母是 $25,12,40$，$(25,12,40)=\underline{\quad}$，所以时间 $=6\div1=\underline{\quad}$ 小时。
  4. 第 4 步（求圈数）：甲 $6\div\frac{2}{25}=\underline{\quad}$ 圈，乙 $6\div\frac{1}{12}=\underline{\quad}$ 圈，丙 $6\div\frac{3}{40}=\underline{\quad}$ 圈。
  5. 第 5 步（比较）：圈数最多的是丙 $80$ 圈，最少的是乙 $72$ 圈，相差 $80-72=\underline{\quad}$ 圈。
7. 【原题 ch07-chaoyue-07】如图 $7-1$，在一个 $600\times600$ 的方格表 $ABCD$ 中，将 $AB$ 与线段 $CD$ 上端点以外的有格点 $N_1,N_2,\cdots,N_{599}$ 分别相连，再得到一些过格点的线段。请问：（1）不会与其他格点相交的线段共有多少条？（2）经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）？（3）除去端点，还恰好经过 $29$ 个格点的线段有多少条？
详细思路
是哪类问题：这是「最大公约数 + 互质计数（欧拉函数思想）+ 容斥原理」的格点题。
关键切入点：把 $A$ 与 $CD$ 上第 $k$ 个格点相连，这条线段除端点外经过的格点个数恰为 $(k,600)-1$：因为线段的横纵坐标每走 $\frac{600}{(k,600)}$、$\frac{k}{(k,600)}$ 就回到一次格点，一共被均分成 $(k,600)$ 段。于是（1）不经过其他格点 $\Leftrightarrow(k,600)=1$，就是数 $1\sim599$ 中与 $600$ 互质的个数，用容斥算；（2）经过格点最多即 $(k,600)$ 最大，$k<600$ 时最大是 $300$，经过 $299$ 个；（3）恰经过 $29$ 个即 $(k,600)=30$，此时 $k=30a$ 且 $a$ 与 $20$ 互质，$a$ 取 $1\sim19$ 中与 $20$ 互质的数共 $8$ 个。
方法概述：把「经过格点数」翻译成 $(k,600)-1$，再用容斥与互质计数处理。
规范步骤：
  1. 关键转化：线段 $AN_k$ 除端点外经过 $(k,600)-1$ 个格点（格点等分）
  2. 第 (1) 问用容斥：$600=2^3\times3\times5^2$；不互质的有 $300+200+120-100-60-40+20=440$ 个（容斥原理）
  3. 得互质个数：$600-440=160$（互质计数）
  4. 第 (2) 问取最大公约数最大：$k<600$ 时 $(k,600)$ 最大为 $300$（$k=300$），经过 $300-1=299$ 个格点（最大真约数）
  5. 第 (3) 问：$(k,600)=30$ 即 $k=30a$ 且 $(a,20)=1$，$a\in\{1,3,7,9,11,13,17,19\}$ 共 $8$ 个（互质计数）
  6. 写出答案：$160$ 条；$299$ 个；$8$ 条
第一套
题目：在一个 $900\times900$ 的方格表中，把顶点 $A$ 与对边上的 $899$ 个内部格点 $N_1,\cdots,N_{899}$ 分别相连。（1）不经过其他格点的线段有多少条？（2）经过格点最多的线段（不含端点）经过多少个格点？（3）除端点外恰好经过 $29$ 个格点的线段有多少条？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（关键转化）：线段 $AN_k$ 除端点外经过 $(k,900)-1$ 个格点。
  2. 第 2 步（第 (1) 问用容斥）：$900=2^2\times3^2\times5^2$。$1\sim900$ 中 $2$ 的倍数有 $450$ 个，$3$ 的倍数有 $300$ 个，$5$ 的倍数有 $180$ 个；$6$ 的倍数 $150$ 个，$10$ 的倍数 $90$ 个，$15$ 的倍数 $60$ 个，$30$ 的倍数 $30$ 个。不互质的共 $450+300+180-150-90-60+30=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（得互质条数）：$900-660=\underline{\quad}$ 条。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：$k<900$ 时 $(k,900)$ 最大是 $900\div2=\underline{\quad}$（取 $k=450$），此时经过 $450-1=\underline{\quad}$ 个格点。
  5. 第 5 步（第 (3) 问）：恰经过 $29$ 个即 $(k,900)=30$，$k=30a$ 且 $a$ 与 $900\div30=\underline{\quad}$ 互质，$a$ 在 $1\sim29$ 中与 $30$ 互质的有 $1,7,11,13,17,19,23,29$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：一块 $600\times600$ 的方形苗圃，四周按单位间隔埋了标桩。从角桩 $A$ 向对边的 $599$ 个内部标桩各拉一条直绳。（1）中途不碰到任何标桩的绳子有多少条？（2）中途碰到标桩最多的一条碰到多少个？（3）中途恰好碰到 $29$ 个标桩的绳子有多少条？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：第 $k$ 条绳中途碰到的标桩数是 $(k,600)-1$。
  2. 第 2 步（第 (1) 问容斥）：$600=2^3\times3\times5^2$，$1\sim600$ 中与 $600$ 不互质的有 $300+200+120-100-60-40+20=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步：互质的有 $600-440=\underline{\quad}$ 条。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：$(k,600)$ 最大为 $600\div2=\underline{\quad}$，碰到 $300-1=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（第 (3) 问）：$(k,600)=30$，$k=30a$ 且 $a$ 与 $600\div30=\underline{\quad}$ 互质，$a$ 取 $1,3,7,9,11,13,17,19$ 共 $8$ 条。
第三套
题目：在 $1000\times1000$ 的方格表中，把顶点 $A$ 与对边上 $999$ 个内部格点分别相连。（1）不经过其他格点的线段有多少条？（2）经过格点最多的经过多少个？（3）除端点外恰经过 $24$ 个格点的线段有多少条？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：线段 $AN_k$ 除端点外经过 $(k,1000)-1$ 个格点。
  2. 第 2 步（容斥）：$1000=2^3\times5^3$，只有两个质因数。$1\sim1000$ 中 $2$ 的倍数 $500$ 个、$5$ 的倍数 $200$ 个、$10$ 的倍数 $100$ 个，不互质的共 $500+200-100=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（互质条数）：$1000-600=\underline{\quad}$ 条。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：最大的 $(k,1000)$ 是 $1000\div2=\underline{\quad}$，经过 $500-1=\underline{\quad}$ 个格点。
  5. 第 5 步（第 (3) 问）：恰经过 $24$ 个即 $(k,1000)=25$，$k=25a$ 且 $a$ 与 $1000\div25=\underline{\quad}$ 互质；$1\sim39$ 中与 $40$ 互质的数共 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：在 $720\times720$ 的方格表中，把顶点 $A$ 与对边上 $719$ 个内部格点分别相连。（1）不经过其他格点的线段有多少条？（2）经过格点最多的经过多少个？（3）除端点外恰经过 $47$ 个格点的线段有多少条？（4）除端点外恰经过 $5$ 个格点的线段有多少条？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：线段 $AN_k$ 除端点外经过 $(k,720)-1$ 个格点。
  2. 第 2 步（容斥）：$720=2^4\times3^2\times5$。$1\sim720$ 中 $2$ 的倍数 $360$ 个、$3$ 的倍数 $240$ 个、$5$ 的倍数 $144$ 个；$6$ 的倍数 $120$ 个、$10$ 的倍数 $72$ 个、$15$ 的倍数 $48$ 个、$30$ 的倍数 $24$ 个。不互质的共 $360+240+144-120-72-48+24=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：互质的有 $720-528=\underline{\quad}$ 条。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：最大的 $(k,720)$ 为 $720\div2=\underline{\quad}$，经过 $360-1=\underline{\quad}$ 个格点。
  5. 第 5 步（第 (3) 问）：恰经过 $47$ 个即 $(k,720)=48$，$k=48a$ 且 $a$ 与 $720\div48=\underline{\quad}$ 互质；$1\sim14$ 中与 $15$ 互质的有 $1,2,4,7,8,11,13,14$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（第 (4) 问）：恰经过 $5$ 个即 $(k,720)=6$，$k=6a$ 且 $a$ 与 $720\div6=\underline{\quad}$ 互质；$1\sim119$ 中与 $120$ 互质的共 $\underline{\quad}$ 个。
8. 【原题 ch07-chaoyue-08】有些自然数等于自身约数个数的平方，例如 $1$ 和 $9$ 都有此性质。请问：是否还有其他的自然数有此性质？如果有，请举例；如果没有，请说明理由。
详细思路
是哪类问题：这是「约数个数方程 + 不等式估计」的存在性讨论题：要证明除 $1$ 和 $9$ 外再无别的解。
关键切入点：设这个自然数为 $M$，约数个数为 $t$，条件是 $M=t^2$。反过来把 $M$ 写成 $N^2$，则 $N$ 就是 $M$ 的约数个数。把 $N=p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n}$，则 $N^2$ 的约数个数为 $(2a_1+1)\cdots(2a_n+1)$，于是方程变成 $p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n}=(2a_1+1)\cdots(2a_n+1)$。右边全是奇数，所以左边不能含 $2$；而对奇质数 $p\ge3$ 有 $p^a\ge3^a>2a+1$（$a\ge2$ 或 $p>3$ 时严格大于），只有 $p=3,a=1$ 时两边都等于 $3$。所以 $N=1$ 或 $N=3$，$M=1$ 或 $9$。
方法概述：设 $M=N^2$，把约数个数写成 $\prod(2a_i+1)$，用奇偶性与大小估计逐项夹死。
规范步骤：
  1. 设法：设 $M=N^2$，则 $N$ 是 $M$ 的约数个数（题意转化）
  2. 写出方程：$p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n}=(2a_1+1)\cdots(2a_n+1)$（约数个数公式）
  3. 奇偶性：右边是奇数，故 $N$ 不含质因数 $2$（奇偶分析）
  4. 单项估计：$n=1$ 时 $p^a=2a+1$，只有 $p=3,a=1$ 成立（大小估计）
  5. 多项估计：$n\ge2$ 时左边增长远快于右边，无解（大小估计）
  6. 写出答案：只有 $M=1$ 和 $M=9$
9. 【原题 ch07-tuozhan-01】$72$ 共有多少个约数？其中有多少个约数是 $3$ 的倍数？
详细思路
是哪类问题：这是「带条件的约数计数」题：先用公式数出全部约数，再数出其中是某个数的倍数的那部分。
关键切入点：全部约数用「指数加一连乘」即可。难点在第二问：约数中是 $3$ 的倍数的，一定含有质因数 $3$，可以把这个 $3$ 提出来写成 $3\times d$；此时 $d$ 只需是 $72\div3=24$ 的约数，且这种对应是一一对应，于是问题转化为「$24$ 有几个约数」，再用一次公式即可。提因子转化是这类题的通法。
方法概述：先用约数个数公式；再把条件因子提出，转化为对商求约数个数。
规范步骤：
  1. 分解：$72=2^3\times3^2$（短除法）
  2. 约数个数：$(3+1)\times(2+1)=12$（个）（约数个数公式）
  3. 提出因子 $3$：约数 $=3\times d$，其中 $d\mid 72\div3=24$（一一对应）
  4. 对 $24$ 用公式：$24=2^3\times3$，$(3+1)\times(1+1)=8$（个）（约数个数公式）
  5. 写出答案：共 $12$ 个约数，其中 $3$ 的倍数有 $8$ 个
第一套
题目：$360$ 共有多少个约数？其中有多少个约数是 $3$ 的倍数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$360=2^3\times3^2\times5$。
  2. 第 2 步（总个数）：指数加一连乘，$(3+1)\times(2+1)\times(1+1)=4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（提因子）：是 $3$ 的倍数的约数写成 $3\times d$，则 $d$ 是 $360\div3=\underline{\quad}$ 的约数。
  4. 第 4 步（再用公式）：$120=2^3\times3\times5$，约数个数 $=4\times2\times2=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：$72$ 块糖要装进若干个盒子，每盒块数相同。（1）一共有多少种装法？（2）其中每盒块数是 $3$ 的倍数的装法有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：每盒块数必须整除 $72$，装法数就是 $72$ 的约数个数。
  2. 第 2 步（分解并计数）：$72=2^3\times3^2$，装法共 $(3+1)\times(2+1)=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（提因子）：每盒块数是 $3$ 的倍数，写成 $3\times d$，则 $d$ 是 $72\div3=\underline{\quad}$ 的约数。
  4. 第 4 步（再用公式）：$24=2^3\times3$，共 $4\times2=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：$540$ 共有多少个约数？其中是 $5$ 的倍数的约数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$540=2^2\times3^3\times5$。
  2. 第 2 步（总个数）：$(2+1)\times(3+1)\times(1+1)=3\times4\times2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（提因子 $5$）：约数写成 $5\times d$，$d$ 是 $540\div5=\underline{\quad}$ 的约数。
  4. 第 4 步（再用公式）：$108=2^2\times3^3$，约数个数 $=3\times4=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：$720$ 共有多少个约数？其中是 $6$ 的倍数的有多少个？是奇数的又有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$720=2^4\times3^2\times5$。
  2. 第 2 步（总个数）：$(4+1)\times(2+1)\times(1+1)=5\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（提出 $6$）：是 $6$ 的倍数的约数写成 $6\times d$，$d$ 是 $720\div6=\underline{\quad}$ 的约数。
  4. 第 4 步（再用公式）：$120=2^3\times3\times5$，个数 $=4\times2\times2=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（奇约数）：奇约数不含 $2$，即 $3^2\times5=45$ 的约数，共 $3\times2=\underline{\quad}$ 个。
10. 【原题 ch07-tuozhan-02】$5400$ 共有多少个约数？求出所有约数乘积的质因数分解形式。
详细思路
是哪类问题：这是「约数个数公式 + 约数之积公式」题：既要数出约数个数，又要求出全部约数的乘积。
关键切入点：约数总是成对出现：$d$ 与 $N\div d$ 配对，每对乘积恰为 $N$。$5400$ 有 $48$ 个约数，正好配成 $48\div2=24$ 对，所以全部约数之积 $=5400^{24}$。再把 $5400=2^3\times3^3\times5^2$ 代入，指数各乘 $24$ 即得质因数分解形式。要点是理解「配对」——它把连乘变成了幂。
方法概述：先用公式数约数，再用配对法把约数之积写成 $N^{个数\div2}$ 并展开指数。
规范步骤：
  1. 分解：$5400=2^3\times3^3\times5^2$（短除法）
  2. 约数个数：$(3+1)\times(3+1)\times(2+1)=48$（个）（约数个数公式）
  3. 配对：$48\div2=24$ 对，每对之积为 $5400$（约数配对）
  4. 约数之积：$5400^{24}=(2^3\times3^3\times5^2)^{24}=2^{72}\times3^{72}\times5^{48}$（指数各乘 $24$）
  5. 写出答案：$48$ 个；乘积为 $2^{72}\times3^{72}\times5^{48}$
第一套
题目：$7560$ 共有多少个约数？求出所有约数乘积的质因数分解形式。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$7560=2^3\times3^3\times5\times7$。
  2. 第 2 步（约数个数）：$(3+1)\times(3+1)\times(1+1)\times(1+1)=4\times4\times2\times2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（配对）：约数两两配对，每对之积都是 $7560$，共 $64\div2=\underline{\quad}$ 对，所以乘积 $=7560^{32}$。
  4. 第 4 步（展开指数）：把每个指数都乘 $32$，$3\times32=\underline{\quad}$，$1\times32=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一个长方体礼盒的体积是 $5400$ 立方厘米。若把「每种可能的整数棱长」看成 $5400$ 的一个约数：（1）这样的数一共有多少个？（2）把它们全部乘起来，结果的质因数分解形式是什么？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$5400=2^3\times3^3\times5^2$。
  2. 第 2 步（个数）：$(3+1)\times(3+1)\times(2+1)=4\times4\times3=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（配对）：每个约数 $d$ 与 $5400\div d$ 配成一对、乘积为 $5400$，共 $48\div2=\underline{\quad}$ 对。
  4. 第 4 步（展开）：乘积 $=5400^{24}$，指数各乘 $24$：$3\times24=\underline{\quad}$，$2\times24=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$12600$ 共有多少个约数？求出所有约数乘积的质因数分解形式。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$12600=2^3\times3^2\times5^2\times7$。
  2. 第 2 步（个数）：$4\times3\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（配对）：共 $72\div2=\underline{\quad}$ 对，乘积 $=12600^{36}$。
  4. 第 4 步（展开指数）：$3\times36=\underline{\quad}$，$2\times36=\underline{\quad}$，$1\times36=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$3600$ 共有多少个约数？为什么这个个数是奇数？求出所有约数乘积的质因数分解形式。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$3600=2^4\times3^2\times5^2$。
  2. 第 2 步（个数）：$(4+1)\times(2+1)\times(2+1)=5\times3\times3=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（为什么是奇数）：$3600=60\times60$ 是完全平方数，配对时 $60$ 与自己配成一对，只算一个，所以个数为奇数。
  4. 第 4 步（配对求积）：把 $60$ 单独留出，其余 $45-1=\underline{\quad}$ 个约数配成 $44\div2=\underline{\quad}$ 对，乘积 $=3600^{22}\times60=60^{44}\times60=60^{45}$。
  5. 第 5 步（展开）：$60=2^2\times3\times5$，指数各乘 $45$：$2\times45=\underline{\quad}$，$1\times45=\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch07-tuozhan-03】有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的 $27$ 倍。已知甲数是 $2,4,6,8,10,12,14,16$ 的倍数，但不是 $18$ 的倍数；乙数是两位数。乙数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「最小公倍数的质因数指数分析」题：由最小公倍数与甲数的倍数关系，反推乙数。
关键切入点：关键是盯住质因数 $3$ 的个数。甲是 $2,4,\cdots,16$ 的公倍数，所以甲是 $[2,4,6,8,10,12,14,16]=1680=2^4\times3\times5\times7$ 的倍数，含至少 $1$ 个 $3$；又甲不是 $18=2\times3^2$ 的倍数，说明甲恰好含 $1$ 个 $3$。最小公倍数是甲的 $27=3^3$ 倍，而最小公倍数在 $2,5,7$ 等质因数上不会超过甲与乙的最高次，唯一能带来 $3^3$ 倍的只有乙，故最小公倍数含 $3^{1+3}=3^4$，从而乙必须含 $3^4=81$。乙是两位数，只能是 $81$。
方法概述：锁定质因数 $3$ 的指数：甲恰含 $3^1$，最小公倍数含 $3^4$，故乙含 $3^4$。
规范步骤：
  1. 求甲必须是谁的倍数：$[2,4,6,8,10,12,14,16]=2^4\times3\times5\times7=1680$（最小公倍数）
  2. 定甲中 $3$ 的个数：甲含 $3$；又甲不是 $18=2\times3^2$ 的倍数，故甲恰含 $3^1$（倍数判断）
  3. 由 $27$ 倍定最小公倍数中 $3$ 的个数：$27=3^3$，故最小公倍数含 $3^{1+3}=3^4$（指数分析）
  4. 反推乙：最小公倍数中 $3$ 的指数取自甲、乙的较大者，故乙含 $3^4=81$（最小公倍数取高次）
  5. 用两位数限制定乙：$81$ 是两位数，$81\times2=162$ 已是三位数，故乙 $=81$（范围限制）
  6. 写出答案：乙数是 $81$
12. 【原题 ch07-tuozhan-04】两数乘积是 $2800$，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 $1$。这两个数分别是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「约数个数 + 完全平方数」的判定题：由约数个数相差 $1$ 反推两个数。
关键切入点：两个约数个数相差 $1$，说明一奇一偶。而约数个数为奇数的数恰好是完全平方数（因为只有完全平方数配对时中间那个约数会与自己配对）。所以先在 $2800$ 的约数里找完全平方数：$1,4,16,400$。再逐个配对检验：$16=2^4$ 有 $5$ 个约数，配对的 $2800\div16=175=5^2\times7$ 有 $6$ 个约数，恰好相差 $1$，符合。
方法概述：由个数相差 $1$ 推出必有完全平方数 → 在约数中找完全平方数 → 配对检验。
规范步骤：
  1. 分解：$2800=2^4\times5^2\times7$（短除法）
  2. 用奇偶性质：约数个数相差 $1$ 则一奇一偶，个数为奇数者是完全平方数（完全平方数约数个数为奇数）
  3. 找完全平方约数：$1,4,16,400$（枚举）
  4. 配对检验 $16$：$16=2^4$ 有 $5$ 个约数；$2800\div16=175=5^2\times7$ 有 $6$ 个约数（约数个数公式）
  5. 结论：$5$ 与 $6$ 恰相差 $1$，故两数为 $16$ 与 $175$
  6. 写出答案：$16$ 和 $175$
第一套
题目：两数乘积是 $4400$，其中一个数的约数个数比另一个多 $1$，且两个数都大于 $1$。这两个数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$4400=2^4\times5^2\times11$。
  2. 第 2 步（奇偶分析）：两个约数个数相差 $1$，必是一奇一偶；约数个数为奇数的数一定是完全平方数。
  3. 第 3 步（找完全平方约数）：$4400$ 的约数中大于 $1$ 的完全平方数有 $4,16,400$，先试 $16=2^4$，它的约数个数 $=4+1=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（配对）：另一个数为 $4400\div16=\underline{\quad}$，而 $275=5^2\times11$ 的约数个数 $=3\times2=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（检验）：$6-5=\underline{\quad}$，恰好相差 $1$，符合要求。
第二套
题目：一个长方形的面积是 $2800$ 平方厘米，长与宽都是整数厘米且都大于 $1$ 厘米。已知长的约数个数比宽的约数个数多 $1$。求长和宽。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：长 $\times$ 宽 $=2800$，即求乘积为 $2800$ 且约数个数相差 $1$ 的一对数。
  2. 第 2 步（奇偶分析）：约数个数相差 $1$ 必一奇一偶，个数为奇数的那个是完全平方数。
  3. 第 3 步（试 $16$）：$16=2^4$，约数个数 $=4+1=\underline{\quad}$ 个；另一边 $2800\div16=\underline{\quad}$ 厘米。
  4. 第 4 步（检验）：$175=5^2\times7$，约数个数 $=3\times2=\underline{\quad}$ 个，比 $5$ 多 $\underline{\quad}$，符合。
第三套
题目：两数乘积是 $2816$，其中一个数的约数个数比另一个多 $1$，且两数都大于 $1$。这两个数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$2816=2^8\times11$。
  2. 第 2 步（找完全平方约数）：大于 $1$ 的完全平方约数有 $4,16,64,256$。试 $64=2^6$，约数个数 $=6+1=\underline{\quad}$ 个（奇数，符合完全平方）。
  3. 第 3 步（配对）：另一个数为 $2816\div64=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：$44=2^2\times11$，约数个数 $=3\times2=\underline{\quad}$ 个，$7-6=\underline{\quad}$，恰相差 $1$。
第三套
题目：两数乘积是 $2808$，其中一个数的约数个数比另一个多 $1$，且两数都大于 $1$。（1）求这两个数；（2）求它们的最大公约数与最小公倍数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$2808=2^3\times3^3\times13$。
  2. 第 2 步（找完全平方约数）：大于 $1$ 的有 $4,9,36$。试 $36=2^2\times3^2$，约数个数 $=3\times3=\underline{\quad}$ 个（奇数）。
  3. 第 3 步（配对检验）：另一数 $=2808\div36=\underline{\quad}$，$78=2\times3\times13$ 的约数个数 $=2\times2\times2=\underline{\quad}$ 个，与 $9$ 相差 $1$，符合。
  4. 第 4 步（求最大公约数）：$36=2^2\times3^2$，$78=2\times3\times13$，公有取低次得 $2\times3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求最小公倍数）：用两数之积除以最大公约数，$2808\div6=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch07-tuozhan-05】计算：（1）$(391,357)$，$[391,357]$；（2）$(18,24,36)$，$[18,24,36]$。
详细思路
是哪类问题：这是「质因数分解求最大公约数与最小公倍数」题：难点在 $391,357$ 这类数不好一眼分解。
关键切入点：遇到三位数先按小质数顺次试除：$357$ 各位数字和 $3+5+7=15$ 是 $3$ 的倍数，故 $357=3\times119=3\times7\times17$；再看 $391$，试到 $17$ 时 $391=17\times23$。发现公共质因数 $17$ 后，$(\ )$ 取公有低次得 $17$，$[\ ]$ 取全体高次得 $17\times3\times7\times23$。第 (2) 题三个数则直接分解后逐个质因数比对。
方法概述：顺次试除分解质因数，再公有取低次、全体取高次。
规范步骤：
  1. 分解 $357$：$357=3\times7\times17$（数字和为 $15$，先除以 $3$）
  2. 分解 $391$：$391=17\times23$（试除到 $17$）
  3. 求两量：$(391,357)=17$，$[391,357]=17\times3\times7\times23=8211$（公有取低次、全体取高次）
  4. 分解三个数：$18=2\times3^2,\ 24=2^3\times3,\ 36=2^2\times3^2$（短除法）
  5. 求两量：$(18,24,36)=2\times3=6$，$[18,24,36]=2^3\times3^2=72$
  6. 写出答案：$17,8211$；$6,72$
第一套
题目：计算：（1）$(551,589)$，$[551,589]$；（2）$(24,36,60)$，$[24,36,60]$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解 $551$）：顺次试除，$551\div19=\underline{\quad}$，所以 $551=19\times29$。
  2. 第 2 步（分解 $589$）：$589\div19=\underline{\quad}$，所以 $589=19\times31$。
  3. 第 3 步（求两量）：公有质因数是 $19$，$(551,589)=\underline{\quad}$；全体取高次，$[551,589]=19\times29\times31=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（分解三个数）：$24=2^3\times3$，$36=2^2\times3^2$，$60=2^2\times3\times5$。
  5. 第 5 步（公有取低次）：$2$ 取 $2^2$、$3$ 取 $3^1$，$(24,36,60)=4\times3=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（全体取高次）：$[24,36,60]=8\times9\times5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两根彩带分别长 $391$ 厘米和 $357$ 厘米。（1）若剪成同样长的整数厘米小段且不浪费，每段最长多少厘米？（2）若把同样长度的彩带首尾接起来，两种彩带至少各接多少厘米才一样长？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（辨别）：每段最长求最大公约数；一样长的最短总长求最小公倍数。
  2. 第 2 步（分解）：$357\div3=\underline{\quad}$，$119=7\times17$，故 $357=3\times7\times17$；$391\div17=\underline{\quad}$，故 $391=17\times23$。
  3. 第 3 步（最大公约数）：公有质因数只有 $17$，所以每段最长 $\underline{\quad}$ 厘米。
  4. 第 4 步（最小公倍数）：$[391,357]=17\times3\times7\times23=\underline{\quad}$ 厘米。
第三套
题目：计算：（1）$(403,533)$，$[403,533]$；（2）$(20,30,45)$，$[20,30,45]$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$403\div13=\underline{\quad}$，$533\div13=\underline{\quad}$，所以 $403=13\times31$，$533=13\times41$。
  2. 第 2 步（求两量）：$(403,533)=\underline{\quad}$，$[403,533]=13\times31\times41=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分解三数）：$20=2^2\times5$，$30=2\times3\times5$，$45=3^2\times5$。
  4. 第 4 步（公有取低次）：三个数都含的只有 $5$，$(20,30,45)=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（全体取高次）：$[20,30,45]=4\times9\times5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：（1）求 $(682,806)$ 与 $[682,806]$；（2）验证 $682\times806=(682,806)\times[682,806]$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：两数都是偶数，$682\div2=\underline{\quad}$，$806\div2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（继续分解）：$341=11\times31$，$403=13\times31$，所以 $682=2\times11\times31$，$806=2\times13\times31$。
  3. 第 3 步（公有取低次）：公有质因数是 $2$ 和 $31$，$(682,806)=2\times31=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（全体取高次）：$[682,806]=2\times11\times13\times31=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验证）：$62\times8866=\underline{\quad}$，而 $682\times806=\underline{\quad}$，两者相等。
14. 【原题 ch07-tuozhan-06】$1547,1573,1859$ 这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「辗转相除 + 质因数分解」的综合题：三个难分解的四位数，求最大公约数与最小公倍数。
关键切入点：三个数的最大公约数可以两两递推：先用辗转相除求出前两个的最大公约数，再看它能否整除第三个。求最小公倍数时，因为已经借辗转相除找到了公共质因数 $13$，就能把三个数都分解开：$1547=13\times7\times17$，$1573=13\times11^2$，$1859=13^2\times11$，再全体取高次即可。
方法概述：辗转相除定最大公约数，借它拆开每个数，再全体取高次求最小公倍数。
规范步骤：
  1. 辗转相除：$1573\div1547=1\cdots26$，$1547\div26=59\cdots13$，$26\div13=2\cdots0$（欧几里得算法）
  2. 得两数最大公约数：$(1573,1547)=13$（最后非零余数）
  3. 并入第三个数：$1859\div13=143$，能整除，故三数最大公约数为 $13$（整除判断）
  4. 分解三个数：$1547=13\times7\times17$，$1573=13\times11^2$，$1859=13^2\times11$（借公因数拆开）
  5. 全体取高次：$[1547,1573,1859]=7\times11^2\times13^2\times17=2\,433\,431$（最小公倍数）
  6. 写出答案：最大公约数 $13$，最小公倍数 $2\,433\,431$
第一套
题目：$2261,2299,2717$ 这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（辗转相除）：$2299\div2261=1\cdots\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$2261\div38=59\cdots\underline{\quad}$（因为 $38\times59=2242$），再 $38\div19=2\cdots0$，所以 $(2261,2299)=19$。
  3. 第 3 步（并入第三数）：$2717\div19=\underline{\quad}$，能整除，所以三数的最大公约数是 $19$。
  4. 第 4 步（借公因数拆开）：$2261=19\times7\times17$，$2299=19\times11^2$，$2717=19\times11\times13$。
  5. 第 5 步（全体取高次）：$[2261,2299,2717]=7\times121\times13\times17\times19=\underline{\quad}$。
第二套
题目：三种齿轮的齿数分别是 $1547,1573,1859$。（1）三种齿轮能共用的最大整齿分组是多少齿？（2）三种齿轮同时从起始位置转动，至少转过多少齿后再次同时回到起始位置？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（辨别）：共用最大分组求最大公约数，同时回到起点求最小公倍数。
  2. 第 2 步（辗转相除）：$1573\div1547=1\cdots\underline{\quad}$，$1547\div26=59\cdots\underline{\quad}$，$26\div13=2\cdots0$，得 $(1573,1547)=13$。
  3. 第 3 步（并入第三个）：$1859\div13=\underline{\quad}$，能整除，故最大公约数为 $13$ 齿。
  4. 第 4 步（求最小公倍数）：$1547=13\times7\times17$，$1573=13\times11^2$，$1859=13^2\times11$，全体取高次得 $7\times121\times169\times17=\underline{\quad}$ 齿。
第三套
题目：求 $1073,1147,1591$ 的最大公约数与最小公倍数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（辗转相除）：$1147\div1073=1\cdots\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$1073\div74=14\cdots\underline{\quad}$（$74\times14=1036$），再 $74\div37=2\cdots0$，所以 $(1073,1147)=37$。
  3. 第 3 步（并入第三数）：$1591\div37=\underline{\quad}$，能整除，故最大公约数为 $37$。
  4. 第 4 步（拆开）：$1073=37\times29$，$1147=37\times31$，$1591=37\times43$。
  5. 第 5 步（全体取高次）：最小公倍数 $=37\times29\times31\times43=\underline{\quad}$。
第三套
题目：（1）求 $2183,2701,3293$ 的最大公约数与最小公倍数；（2）它们的最小公倍数是最大公约数的多少倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（辗转相除）：$2701\div2183=1\cdots\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$2183\div518=4\cdots\underline{\quad}$（$518\times4=2072$），$518\div111=4\cdots\underline{\quad}$（$111\times4=444$），$111\div74=1\cdots37$，$74\div37=2\cdots0$，故 $(2183,2701)=37$。
  3. 第 3 步（并入第三数）：$3293\div37=\underline{\quad}$，能整除，最大公约数为 $37$。
  4. 第 4 步（拆开求最小公倍数）：$2183=37\times59$，$2701=37\times73$，$3293=37\times89$，最小公倍数 $=37\times59\times73\times89=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求倍数）：$14182951\div37=\underline{\quad}$。
15. 【原题 ch07-tuozhan-07】张阿姨把 $225$ 个苹果、$350$ 个梨和 $150$ 个橘子平均分给小朋友们，最后剩下 $9$ 个苹果、$26$ 个梨和 $6$ 个橘子没分出去。请问：每个小朋友各分了多少个苹果？
详细思路
是哪类问题：这是「带余数的平均分配」题：分完还有剩余，要先把余数减掉再找公约数，并用余数限制人数。
关键切入点：剩下的部分是没能分出去的，所以真正被平分的是 $225-9=216$、$350-26=324$、$150-6=144$。人数同时整除这三个数，是它们的公约数。这里不能直接说「最多」，还要注意：既然梨剩了 $26$ 个还不能再分，说明人数必须大于 $26$，否则还能继续分。$(216,324,144)=36$，$36$ 的约数中大于 $26$ 的只有 $36$，人数唯一确定。
方法概述：先减余数 → 求最大公约数 → 用「人数 > 最大余数」筛出唯一解。
规范步骤：
  1. 减去余数：$225-9=216$，$350-26=324$，$150-6=144$（分出去的部分）
  2. 人数是三数的公约数：$216=2^3\times3^3,\ 324=2^2\times3^4,\ 144=2^4\times3^2$（平均分配）
  3. 求最大公约数：$(216,324,144)=2^2\times3^2=36$（公有取低次）
  4. 用余数限制：人数 $>26$，$36$ 的约数中只有 $36$ 满足（约数取舍）
  5. 求每人苹果：$216\div36=6$（个）（平均分）
  6. 写出答案：每人分得 $6$ 个苹果
第一套
题目：把 $450$ 个苹果、$700$ 个梨、$300$ 个橘子平均分给小朋友，最后剩下 $18$ 个苹果、$52$ 个梨、$12$ 个橘子。请问：有多少个小朋友？每人分得多少个苹果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先减余数）：分出去的苹果 $450-18=\underline{\quad}$ 个，梨 $700-52=\underline{\quad}$ 个，橘子 $300-12=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（人数是公约数）：$432=2^4\times3^3$，$648=2^3\times3^4$，$288=2^5\times3^2$，公有取低次得 $8\times9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用余数筛）：梨剩了 $52$ 个还分不动，说明人数必须大于 $52$。$72$ 的约数中大于 $52$ 的只有 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（每人苹果）：$432\div72=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：社团把 $225$ 支铅笔、$350$ 本本子、$150$ 块橡皮平均分给成员，最后剩下 $9$ 支铅笔、$26$ 本本子、$6$ 块橡皮。请问：每位成员分到几支铅笔？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先减余数）：分出去的铅笔 $225-9=\underline{\quad}$，本子 $350-26=\underline{\quad}$，橡皮 $150-6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（人数是公约数）：$(216,324,144)=4\times9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用余数筛）：本子剩 $26$ 本还分不动，人数必须大于 $26$；$36$ 的约数中只有 $36$ 满足。
  4. 第 4 步（每人铅笔）：$216\div36=\underline{\quad}$ 支。
第三套
题目：把 $272$ 颗糖、$372$ 块饼干、$294$ 个果冻平均分给小朋友，最后剩下 $20$ 颗糖、$12$ 块饼干、$6$ 个果冻。请问：有多少个小朋友？每人分得几块饼干？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先减余数）：糖 $272-20=\underline{\quad}$，饼干 $372-12=\underline{\quad}$，果冻 $294-6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求最大公约数）：$252=2^2\times3^2\times7$，$360=2^3\times3^2\times5$，$288=2^5\times3^2$，公有取低次得 $4\times9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用余数筛）：最大余数是糖的 $20$，人数必须大于 $20$；$36$ 的约数中大于 $20$ 的只有 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（每人饼干）：$360\div36=\underline{\quad}$ 块。
第三套
题目：把 $505$ 个苹果、$635$ 个梨、$345$ 个橘子平均分给小朋友，最后剩下 $25$ 个苹果、$11$ 个梨、$9$ 个橘子。请问：（1）有多少个小朋友？（2）每人各分到多少个？（3）一共分出去多少个水果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先减余数）：苹果 $505-25=\underline{\quad}$，梨 $635-11=\underline{\quad}$，橘子 $345-9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求最大公约数）：$480=2^5\times3\times5$，$624=2^4\times3\times13$，$336=2^4\times3\times7$，公有取低次得 $16\times3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用余数筛）：最大余数是 $25$，人数须大于 $25$；$48$ 的约数中大于 $25$ 的只有 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（每人份额）：苹果 $480\div48=\underline{\quad}$，梨 $624\div48=\underline{\quad}$，橘子 $336\div48=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（总量）：分出去的水果共 $480+624+336=\underline{\quad}$ 个。
16. 【原题 ch07-tuozhan-08】一个数和 $16$ 的最大公约数是 $8$，最小公倍数是 $80$，这个数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「两数之积等于最大公约数与最小公倍数之积」的直接应用题。
关键切入点：关系式 $a\times b=(a,b)\times[a,b]$ 把三个已知量串在一起：已知 $(\ )=8$、$[\ ]=80$，两数之积就被定死为 $640$；再除以已知的 $16$ 就得到另一个数。做完一定回代验算，确认 $(40,16)=8$、$[40,16]=80$ 都对得上。
方法概述：两量相乘得两数之积，再除以已知数，最后回代验算。
规范步骤：
  1. 写关系式：$a\times16=(a,16)\times[a,16]$（两数之积等于两量之积）
  2. 算两数之积：$8\times80=640$（代入）
  3. 求这个数：$640\div16=40$（除以已知数）
  4. 回代验算：$40=2^3\times5,\ 16=2^4$，$(40,16)=2^3=8$，$[40,16]=2^4\times5=80$（复核）
  5. 写出答案：这个数是 $40$
第一套
题目：一个数和 $24$ 的最大公约数是 $12$，最小公倍数是 $360$，这个数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用关系式）：两数之积 $=12\times360=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求这个数）：$4320\div24=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（回代验算最大公约数）：$180=2^2\times3^2\times5$，$24=2^3\times3$，公有取低次得 $4\times3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代验算最小公倍数）：全体取高次得 $8\times9\times5=\underline{\quad}$，与题目一致。
第二套
题目：甲、乙两种包装盒每箱装的个数都是整数。已知乙每箱装 $16$ 个，两种箱数的最大公约数是 $8$、最小公倍数是 $80$。甲每箱装多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用关系式）：两数之积 $=8\times80=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求甲）：$640\div16=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（复核）：$(40,16)=\underline{\quad}$，$[40,16]=\underline{\quad}$，与题目一致。
第三套
题目：一个数和 $45$ 的最大公约数是 $15$，最小公倍数是 $315$，这个数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用关系式）：两数之积 $=15\times315=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求这个数）：$4725\div45=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（回代验算）：$105=3\times5\times7$，$45=3^2\times5$，公有取低次得 $3\times5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验最小公倍数）：全体取高次得 $9\times5\times7=\underline{\quad}$，与题目一致。
第三套
题目：一个数和 $36$ 的最大公约数是 $6$，最小公倍数是 $252$。（1）这个数是多少？（2）它一共有多少个约数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用关系式）：两数之积 $=6\times252=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求这个数）：$1512\div36=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（回代验算）：$42=2\times3\times7$，$36=2^2\times3^2$，公有取低次得 $2\times3=\underline{\quad}$，全体取高次得 $4\times9\times7=\underline{\quad}$，与题目一致。
  4. 第 4 步（求约数个数）：$42=2\times3\times7$，指数都是 $1$，约数个数 $=2\times2\times2=\underline{\quad}$ 个。
17. 【原题 ch07-tuozhan-09】两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 $18$，最小公倍数是 $216$。这两个数分别是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「互质分解 + 附加条件筛解」题：不仅要拆，还要用「不成倍数关系」筛掉平凡解。
关键切入点：设两数为 $18a$、$18b$（$a,b$ 互质），则 $ab=216\div18=12$。把 $12$ 拆成两个互质因数：$1\times12$、$3\times4$（$2\times6$ 因都含 $2$ 不互质）。若取 $1\times12$，两数是 $18$ 与 $216$，此时 $216$ 是 $18$ 的倍数，与「不成倍数关系」矛盾，舍去；所以只能 $3\times4$，两数为 $54$ 与 $72$。这里「不成倍数关系」正是排除 $a=1$ 的条件。
方法概述：设互质因数 → 拆商 → 用「不成倍数」排除 $a=1$ 的拆法。
规范步骤：
  1. 算商：$216\div18=12$（$ab=[\ ]\div(\ )$）
  2. 找互质拆法：$12=1\times12=3\times4$（$2\times6$ 不互质）（互质分解）
  3. 用条件筛：$1\times12$ 给出 $18$ 与 $216$，成倍数关系，舍去（不成倍数关系的条件）
  4. 还原两数：$18\times3=54$，$18\times4=72$（乘回最大公约数）
  5. 写出答案：两数是 $54$ 和 $72$
第一套
题目：两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 $24$，最小公倍数是 $480$。这两个数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法算商）：设两数为 $24a$、$24b$（$a,b$ 互质），则 $ab=480\div24=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（找互质拆法）：$20=1\times20=2\times10=4\times5$，其中 $2$ 与 $10$ 都含 $2$、不互质，舍去。
  3. 第 3 步（用不成倍数筛）：$1\times20$ 会给出 $24$ 与 $24\times20=\underline{\quad}$，后者是前者的倍数，与条件矛盾，舍去。
  4. 第 4 步（还原）：只能取 $4\times5$，两数为 $24\times4=\underline{\quad}$ 与 $24\times5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两队人数都不是对方的倍数，它们人数的最大公约数是 $18$、最小公倍数是 $216$。两队各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法算商）：设两队人数为 $18a$、$18b$（$a,b$ 互质），$ab=216\div18=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（互质拆法）：$12=1\times12=2\times6=3\times4$，$2$ 与 $6$ 不互质，舍去。
  3. 第 3 步（用不成倍数筛）：$1\times12$ 给出 $18$ 与 $18\times12=\underline{\quad}$，是倍数关系，舍去。
  4. 第 4 步（还原）：取 $3\times4$，两队为 $18\times3=\underline{\quad}$ 人与 $18\times4=\underline{\quad}$ 人。
第三套
题目：两个自然数不成倍数关系，最大公约数是 $21$，最小公倍数是 $588$。求这两个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算商）：$ab=588\div21=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（互质拆法）：$28=1\times28=2\times14=4\times7$，$2$ 与 $14$ 不互质舍去。
  3. 第 3 步（用不成倍数筛）：$1\times28$ 给出 $21$ 与 $21\times28=\underline{\quad}$，成倍数关系舍去。
  4. 第 4 步（还原）：取 $4\times7$，两数为 $21\times4=\underline{\quad}$ 与 $21\times7=\underline{\quad}$。
第三套
题目：两个自然数不成倍数关系，最大公约数是 $9$，最小公倍数是 $1620$。请写出所有可能的两个数，并分别求出它们的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算商）：设两数为 $9a$、$9b$（$a,b$ 互质），$ab=1620\div9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（找互质拆法）：$180=2^2\times3^2\times5$，同一质因数不能分到两边，所以 $4,9,5$ 三块整块分配。除去 $1\times180$（会成倍数关系，舍去），可拆成 $4\times45$、$9\times20$、$5\times36$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原第一组）：$9\times4=36$ 与 $9\times45=\underline{\quad}$，和为 $36+405=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（还原第二组）：$9\times9=81$ 与 $9\times20=\underline{\quad}$，和为 $81+180=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（还原第三组）：$9\times5=45$ 与 $9\times36=\underline{\quad}$，和为 $45+324=\underline{\quad}$。
18. 【原题 ch07-tuozhan-10】两个数的最大公约数是 $6$，最小公倍数是 $420$，如果这两个数相差 $18$，那么较小的数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「互质因子设法 + 差的条件」题：三个条件（最大公约数、最小公倍数、差）一起定出两个数。
关键切入点：设两数为 $6a$、$6b$ 且 $a,b$ 互质。由 $6a\times6b=6\times420$ 得 $ab=70$；由差 $6\times(b-a)=18$ 得 $b-a=3$。于是要在 $70$ 的互质因数对中找相差 $3$ 的一对：$70=1\times70=2\times35=5\times14=7\times10$，只有 $7$ 与 $10$ 相差 $3$ 且互质。所以较小的数是 $6\times7=42$。把「积」和「差」两个条件同时用上是关键。
方法概述：设 $6a,6b$（互质）→ 由两量得 $ab$，由差得 $b-a$ → 在互质因数对中匹配。
规范步骤：
  1. 设法：两数为 $6a$、$6b$，$a,b$ 互质（互质因子设法）
  2. 由两量之积得 $ab$：$36ab=6\times420$，$ab=70$（两数之积等于两量之积）
  3. 由差得 $b-a$：$6\times(b-a)=18$，$b-a=3$（提取公因数）
  4. 匹配互质因数对：$70=7\times10$，且 $10-7=3$，互质（枚举筛选）
  5. 求较小数：$6\times7=42$（还原）
  6. 写出答案：较小的数是 $42$
第一套
题目：两个数的最大公约数是 $8$，最小公倍数是 $1120$，如果这两个数相差 $184$，那么较小的数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法）：设两数为 $8a$、$8b$（$a,b$ 互质）。
  2. 第 2 步（由两量得 $ab$）：$8a\times8b=8\times1120$，所以 $ab=8\times1120\div64=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（由差得 $b-a$）：$8\times(b-a)=184$，所以 $b-a=184\div8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（匹配）：$140=1\times140=4\times35=5\times28=7\times20$，其中相差 $23$ 的是 $5$ 与 $28$（$28-5=\underline{\quad}$），且 $5,28$ 互质。
  5. 第 5 步（还原）：较小的数 $=8\times5=\underline{\quad}$，较大的数 $=8\times28=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两根绳子的长度（整厘米）的最大公约数是 $6$、最小公倍数是 $420$，两根相差 $18$ 厘米。较短的一根多长？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法）：设两根长为 $6a$、$6b$ 厘米（$a,b$ 互质）。
  2. 第 2 步（由两量得 $ab$）：$36ab=6\times420$，$ab=6\times420\div36=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（由差得 $b-a$）：$6\times(b-a)=18$，$b-a=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（匹配）：$70=7\times10$，恰好 $10-7=3$ 且互质。
  5. 第 5 步（还原）：较短的一根 $=6\times7=\underline{\quad}$ 厘米。
第三套
题目：两个数的最大公约数是 $12$，最小公倍数是 $720$，两数相差 $132$。求较小的数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法与求积）：设两数为 $12a$、$12b$（互质），$ab=12\times720\div144=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（由差得 $b-a$）：$12\times(b-a)=132$，$b-a=132\div12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（匹配）：$60=1\times60=3\times20=4\times15=5\times12$，其中 $15-4=\underline{\quad}$，正好是 $11$，且 $4,15$ 互质。
  4. 第 4 步（还原）：较小数 $=12\times4=\underline{\quad}$，较大数 $=12\times15=\underline{\quad}$。
第三套
题目：两个数的最大公约数是 $15$，最小公倍数是 $3150$，两数相差 $165$。（1）求这两个数；（2）求它们的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法求积）：设两数为 $15a$、$15b$（互质），$ab=15\times3150\div225=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（由差得 $b-a$）：$15\times(b-a)=165$，$b-a=165\div15=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（匹配）：要找 $ab=210$ 且 $b-a=11$ 的互质一对，试 $10\times21=\underline{\quad}$，且 $21-10=\underline{\quad}$，$10$ 与 $21$ 互质，符合。
  4. 第 4 步（还原两数）：较小 $=15\times10=\underline{\quad}$，较大 $=15\times21=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求和）：$150+315=\underline{\quad}$。
19. 【原题 ch07-tuozhan-11】卡莉娅、小高、萱萱在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 $35$，最小公倍数是 $70$。这三个数的和可能是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「约数倍数夹逼 + 分类讨论」题：三个数被最大公约数与最小公倍数同时夹住，取值极少。
关键切入点：每个数都是最大公约数 $35$ 的倍数，又都是最小公倍数 $70$ 的约数，于是每个数只能取 $35$ 或 $70$（$70$ 的倍数中是 $35$ 倍数的只有这两个）。再用两端条件收口：最大公约数是 $35$ 说明不能三个都是 $70$（否则最大公约数是 $70$）；最小公倍数是 $70$ 说明不能三个都是 $35$。所以 $70$ 的个数只能是 $1$ 个或 $2$ 个，分两类算和。
方法概述：先夹逼出每个数的候选值，再按取值个数分类讨论。
规范步骤：
  1. 夹逼：每个数是 $35$ 的倍数且是 $70$ 的约数，只能是 $35$ 或 $70$（约数倍数夹逼）
  2. 排除全同：不能全为 $70$（否则最大公约数为 $70$），也不能全为 $35$（否则最小公倍数为 $35$）（两端条件）
  3. 情形一：两个 $35$、一个 $70$：$35+35+70=140$（分类讨论）
  4. 情形二：一个 $35$、两个 $70$：$35+70+70=175$（分类讨论）
  5. 写出答案：和可能是 $140$ 或 $175$
第一套
题目：三个自然数的最大公约数是 $26$，最小公倍数是 $52$。这三个数的和可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（夹逼）：每个数都是 $26$ 的倍数又是 $52$ 的约数，而 $52\div26=\underline{\quad}$，所以每个数只能是 $26$ 或 $52$。
  2. 第 2 步（排除全同）：三个都取 $52$ 则最大公约数是 $52$，不合；三个都取 $26$ 则最小公倍数是 $26$，也不合。
  3. 第 3 步（情形一：两个 $26$、一个 $52$）：和 $=26+26+52=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（情形二：一个 $26$、两个 $52$）：和 $=26+52+52=\underline{\quad}$。
第二套
题目：三位同学各写了一个自然数，最大公约数是 $35$、最小公倍数是 $70$。三个数的和可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（夹逼）：每个数是 $35$ 的倍数且是 $70$ 的约数，$70\div35=\underline{\quad}$，所以只能取 $35$ 或 $70$。
  2. 第 2 步（排除全同）：全取 $70$ 最大公约数会变成 $70$；全取 $35$ 最小公倍数只有 $35$，都不合题意。
  3. 第 3 步（两个 $35$、一个 $70$）：和 $=35+35+70=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（一个 $35$、两个 $70$）：和 $=35+70+70=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三个自然数的最大公约数是 $45$，最小公倍数是 $90$。这三个数的和可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（夹逼）：$90\div45=\underline{\quad}$，每个数只能是 $45$ 或 $90$。
  2. 第 2 步（排除全同）：不能全是 $45$（最小公倍数会是 $45$），也不能全是 $90$（最大公约数会是 $90$）。
  3. 第 3 步（两个 $45$、一个 $90$）：和 $=45+45+90=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（一个 $45$、两个 $90$）：和 $=45+90+90=\underline{\quad}$。
第三套
题目：四个自然数的最大公约数是 $12$，最小公倍数是 $24$。这四个数的和可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（夹逼）：每个数是 $12$ 的倍数且是 $24$ 的约数，$24\div12=\underline{\quad}$，所以每个数只能是 $12$ 或 $24$。
  2. 第 2 步（两端条件）：至少要有一个 $12$（否则最大公约数是 $24$），也至少要有一个 $24$（否则最小公倍数是 $12$），所以 $24$ 的个数只能是 $1,2,3$ 个。
  3. 第 3 步（一个 $24$）：和 $=12+12+12+24=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（两个 $24$）：和 $=12+12+24+24=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（三个 $24$）：和 $=12+24+24+24=\underline{\quad}$。
20. 【原题 ch07-tuozhan-12】有 $4$ 个不同的正整数，它们的和是 $1111$。请问：它们的最大公约数最大能是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「最大公约数整除总和 + 不等式估计」题：既要用整除性缩范围，又要用最小和作上界。
关键切入点：设最大公约数为 $d$，则四个数都是 $d$ 的倍数，它们的和 $1111$ 也是 $d$ 的倍数，所以 $d$ 是 $1111=11\times101$ 的约数：$1,11,101,1111$。又四个数互不相同，最小的四个 $d$ 的倍数是 $d,2d,3d,4d$，和至少 $10d$，故 $10d\le1111$，$d\le111.1$。两个条件夹出 $d$ 最大为 $101$，再举出 $101\times(1+2+3+5)=1111$ 说明确实取得到。
方法概述：整除性给候选，最小和给上界，再构造实例说明可取。
规范步骤：
  1. 整除性：$d\mid1111=11\times101$，故 $d\in\{1,11,101,1111\}$（公约数整除和）
  2. 不等式估计：四数不同，和 $\ge d(1+2+3+4)=10d$，故 $10d\le1111$，$d\le111$（最小和上界）
  3. 取最大候选：$101\le111$，故 $d$ 最大取 $101$（夹逼）
  4. 构造实例：$101\times1+101\times2+101\times3+101\times5=101\times11=1111$（存在性）
  5. 写出答案：最大公约数最大是 $101$
第一套
题目：有 $5$ 个不同的正整数，它们的和是 $2145$。请问：它们的最大公约数最大能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整除性）：设最大公约数为 $d$，则和也是 $d$ 的倍数，$2145=3\times5\times11\times13$，所以 $d$ 是 $2145$ 的约数。
  2. 第 2 步（最小和上界）：$5$ 个数互不相同，最小取 $d,2d,3d,4d,5d$，和至少 $d\times(1+2+3+4+5)=\underline{\quad}\times d$。
  3. 第 3 步（解不等式）：$15d\le2145$，所以 $d\le2145\div15=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取最大约数）：$2145$ 的约数中不超过 $143$ 的最大者是 $11\times13=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（构造验证）：取 $143,286,429,572,715$，它们的和 $=143\times15=\underline{\quad}$，恰为 $2145$。
第二套
题目：四个班级各捐了不同数量的图书，共 $1111$ 本。若每班捐的本数都是同一个数 $d$ 的整数倍，那么 $d$ 最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整除性）：每班本数都是 $d$ 的倍数，总数也是，$1111=11\times\underline{\quad}$，所以 $d$ 是 $1111$ 的约数。
  2. 第 2 步（最小和上界）：四个数互不相同，至少是 $d,2d,3d,4d$，和至少 $d\times(1+2+3+4)=\underline{\quad}\times d$。
  3. 第 3 步（解不等式）：$10d\le1111$，所以 $d\le111$（取整）。
  4. 第 4 步（取最大约数）：$1111$ 的约数 $1,11,101,1111$ 中不超过 $111$ 的最大者是 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（构造）：$101\times1+101\times2+101\times3+101\times5=101\times11=\underline{\quad}$，正好 $1111$ 本。
第三套
题目：有 $4$ 个不同的正整数，它们的和是 $2323$。它们的最大公约数最大能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整除性）：$2323=23\times101$，$d$ 必是 $2323$ 的约数，候选为 $1,23,101,2323$。
  2. 第 2 步（最小和上界）：四数不同，和至少 $d\times(1+2+3+4)=\underline{\quad}\times d$，所以 $10d\le2323$，$d\le232$（取整）。
  3. 第 3 步（取最大候选）：候选中不超过 $232$ 的最大者是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（构造）：$2323\div101=\underline{\quad}$，要把 $23$ 拆成 $4$ 个不同正整数之和，如 $1+2+3+17=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（写出实例）：四数为 $101,202,303,1717$，和恰为 $2323$。
第三套
题目：有 $6$ 个不同的正整数，它们的和是 $4095$。（1）它们的最大公约数最大能是多少？（2）写出一组符合条件的数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整除性）：$4095=3^2\times5\times7\times13$，最大公约数 $d$ 必是 $4095$ 的约数。
  2. 第 2 步（最小和上界）：$6$ 个不同数至少是 $d,2d,\cdots,6d$，和至少 $d\times(1+2+3+4+5+6)=\underline{\quad}\times d$。
  3. 第 3 步（解不等式）：$21d\le4095$，所以 $d\le4095\div21=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（找最大约数）：试 $195=3\times5\times13$，$4095\div195=\underline{\quad}$，能整除且 $195\le195$，所以 $d$ 最大为 $195$。
  5. 第 5 步（构造）：商 $21$ 恰好等于 $1+2+3+4+5+6$，所以取 $195,390,585,780,975,1170$，和 $=195\times21=\underline{\quad}$。
21. 【原题 ch07-tuozhan-13】甲、乙两个数的最小公倍数是 $90$，乙、丙两个数的最小公倍数是 $105$，甲、丙两个数的最小公倍数是 $126$。请问：甲数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「最小公倍数的质因数指数分析」题：由三个两两最小公倍数反推其中一个数。
关键切入点：最小公倍数在每个质因数上「取两数的较高次幂」，所以可以逐个质因数分析。$90=2\times3^2\times5$，$105=3\times5\times7$，$126=2\times3^2\times7$。看质因数 $2$：甲乙、甲丙的最小公倍数都含 $2$，而乙丙的不含 $2$，说明 $2$ 只能来自甲，故甲含 $2$；看 $3$：甲乙、甲丙都含 $3^2$，乙丙只含 $3^1$，说明 $3^2$ 也只能来自甲；看 $5$：甲乙含 $5$ 但甲丙不含，说明 $5$ 来自乙而非甲；同理 $7$ 来自丙。所以甲 $=2\times3^2=18$。
方法概述：对每个质因数比较三个最小公倍数的指数，谁「两个含、一个不含」就归到公共的那个数。
规范步骤：
  1. 分解三个最小公倍数：$90=2\times3^2\times5,\ 105=3\times5\times7,\ 126=2\times3^2\times7$（质因数分解）
  2. 定甲中 $2$ 的指数：甲乙、甲丙含 $2$，乙丙不含 $2$，故 $2$ 来自甲（指数分析）
  3. 定甲中 $3$ 的指数：甲乙、甲丙含 $3^2$，乙丙只含 $3$，故甲含 $3^2$（指数分析）
  4. 排除 $5,7$：甲丙不含 $5$ 故甲不含 $5$；甲乙不含 $7$ 故甲不含 $7$（指数分析）
  5. 得甲：甲 $=2\times3^2=18$
  6. 写出答案：甲数是 $18$
第一套
题目：甲、乙的最小公倍数是 $900$，乙、丙的最小公倍数是 $1225$，甲、丙的最小公倍数是 $1764$。甲数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$900=2^2\times3^2\times5^2$，$1225=5^2\times7^2$，$1764=2^2\times3^2\times7^2$。
  2. 第 2 步（看质因数 $2$）：甲乙、甲丙都含 $2^2$，乙丙不含 $2$，说明 $2^2$ 只能来自甲，甲含 $2^2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（看质因数 $3$）：甲乙、甲丙都含 $3^2$，乙丙不含 $3$，所以甲含 $3^2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（排除 $5,7$）：甲丙不含 $5$，故甲不含 $5$；甲乙不含 $7$，故甲不含 $7$。
  5. 第 5 步（得甲）：甲 $=4\times9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：三台机器 甲、乙、丙 的保养周期（天）满足：甲乙同时保养的最短间隔是 $90$ 天，乙丙是 $105$ 天，甲丙是 $126$ 天。甲的保养周期是多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：同时保养的最短间隔就是两周期的最小公倍数。
  2. 第 2 步（分解）：$90=2\times3^2\times5$，$105=3\times5\times7$，$126=2\times3^2\times7$。
  3. 第 3 步（看 $2$）：含甲的两个最小公倍数都有 $2$，不含甲的那个没有 $2$，所以 $2$ 来自甲。
  4. 第 4 步（看 $3$）：含甲的两个都含 $3^2=\underline{\quad}$，而乙丙只含 $3$，所以甲含 $3^2$。
  5. 第 5 步（得甲）：甲不含 $5$、不含 $7$，所以甲 $=2\times9=\underline{\quad}$ 天。
第三套
题目：甲、乙的最小公倍数是 $1260$，乙、丙的最小公倍数是 $385$，甲、丙的最小公倍数是 $396$。甲数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$1260=2^2\times3^2\times5\times7$，$385=5\times7\times11$，$396=2^2\times3^2\times11$。
  2. 第 2 步（看 $2$）：甲乙、甲丙都含 $2^2$，乙丙不含 $2$，所以甲含 $2^2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（看 $3$）：甲乙、甲丙都含 $3^2$，乙丙不含 $3$，所以甲含 $3^2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（排除 $5,7,11$）：甲丙不含 $5,7$，甲乙不含 $11$，所以甲都不含。
  5. 第 5 步（得甲）：甲 $=4\times9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲、乙的最小公倍数是 $1980$，乙、丙的最小公倍数是 $2695$，甲、丙的最小公倍数是 $1764$。（1）甲数是多少？（2）甲有多少个约数？它是完全平方数吗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$1980=2^2\times3^2\times5\times11$，$2695=5\times7^2\times11$，$1764=2^2\times3^2\times7^2$。
  2. 第 2 步（看 $2$ 与 $3$）：甲乙、甲丙都含 $2^2$ 与 $3^2$，而乙丙两者都不含，所以甲含 $2^2\times3^2=4\times9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（排除其他质因数）：甲丙不含 $5,11$，甲乙不含 $7$，所以甲 $=36$。
  4. 第 4 步（约数个数）：$36=2^2\times3^2$，约数个数 $=(2+1)\times(2+1)=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（判完全平方）：$6\times6=\underline{\quad}$，所以 $36$ 是完全平方数，这也解释了它的约数个数为奇数。
22. 【原题 ch07-tuozhan-14】甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数 $2$ 和 $3$，并且都有 $12$ 个约数。它们的最大公约数是 $12$。请问：甲、乙两数之和是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「约数个数结构 + 最大公约数判定」题：由约数个数反推质因数指数，再用最大公约数定位。
关键切入点：只含质因数 $2,3$ 的数写成 $2^a\times3^b$（$a,b\ge1$），约数个数 $(a+1)(b+1)=12$。把 $12$ 拆成两个大于 $1$ 的数：$2\times6,3\times4,4\times3,6\times2$，对应 $(a,b)=(1,5),(2,3),(3,2),(5,1)$，即 $486,108,72,96$ 四个候选。最大公约数 $12=2^2\times3$ 说明两数中 $2$ 的最低指数是 $2$、$3$ 的最低指数是 $1$，逐对检验只有 $108=2^2\times3^3$ 与 $96=2^5\times3$ 满足（$\min(2,5)=2$，$\min(3,1)=1$）。
方法概述：由约数个数拆指数得候选 → 用最大公约数的最低指数条件配对。
规范步骤：
  1. 设法：数为 $2^a\times3^b$，$(a+1)(b+1)=12$（约数个数公式）
  2. 列候选：$(a,b)=(1,5),(2,3),(3,2),(5,1)$，即 $486,108,72,96$（拆分 $12$）
  3. 用最大公约数定指数：$12=2^2\times3$，故两数中 $2$ 的最低指数为 $2$、$3$ 的最低指数为 $1$（最大公约数取低次）
  4. 配对检验：$108=2^2\times3^3$ 与 $96=2^5\times3$：$\min(2,5)=2$，$\min(3,1)=1$，符合（逐对检验）
  5. 求和：$108+96=204$
  6. 写出答案：两数之和是 $204$
第一套
题目：甲、乙是两个不同的自然数，都只含质因数 $2$ 和 $3$，并且都恰有 $16$ 个约数，它们的最大公约数是 $24$。甲、乙两数之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法）：设数为 $2^a\times3^b$（$a,b\ge1$），则 $(a+1)(b+1)=16$。
  2. 第 2 步（拆 $16$）：拆成两个大于 $1$ 的数：$2\times8,4\times4,8\times2$，对应 $(a,b)=(1,7),(3,3),(7,1)$，即 $2\times3^7=4374$、$2^3\times3^3=\underline{\quad}$、$2^7\times3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用最大公约数定指数）：$24=2^3\times3$，说明两数中 $2$ 的最低指数是 $3$、$3$ 的最低指数是 $1$。
  4. 第 4 步（配对检验）：$216=2^3\times3^3$ 与 $384=2^7\times3$，$2$ 的最低指数是 $3$、$3$ 的最低指数是 $1$，符合；含 $4374=2\times3^7$ 的组合里 $2$ 的最低指数只有 $1$，不符合。
  5. 第 5 步（求和）：$216+384=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两个不同的编号都只含质因数 $2$ 和 $3$，且各恰有 $12$ 个约数，两编号的最大公约数是 $12$。两个编号之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法）：编号形如 $2^a\times3^b$（$a,b\ge1$），$(a+1)(b+1)=12$。
  2. 第 2 步（列候选）：$(a,b)=(1,5),(2,3),(3,2),(5,1)$，即 $486$、$2^2\times3^3=\underline{\quad}$、$2^3\times3^2=72$、$2^5\times3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用最大公约数）：$12=2^2\times3$，两数中 $2$ 的最低指数是 $2$、$3$ 的最低指数是 $1$。
  4. 第 4 步（配对）：$108=2^2\times3^3$ 与 $96=2^5\times3$ 恰好满足，求和 $108+96=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲、乙是两个不同的自然数，都只含质因数 $2$ 和 $3$，都恰有 $12$ 个约数，它们的最大公约数是 $18$。甲、乙两数之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列候选）：由 $(a+1)(b+1)=12$ 得候选 $2\times3^5=486$、$2^2\times3^3=108$、$2^3\times3^2=\underline{\quad}$、$2^5\times3=96$。
  2. 第 2 步（用最大公约数定指数）：$18=2\times3^2$，两数中 $2$ 的最低指数是 $1$、$3$ 的最低指数是 $2$。
  3. 第 3 步（配对检验）：只有 $486=2\times3^5$ 与 $72=2^3\times3^2$ 满足（$2$ 的最低指数 $1$，$3$ 的最低指数 $2$）。
  4. 第 4 步（求和）：$486+72=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲、乙都只含质因数 $2$ 和 $3$，都恰有 $12$ 个约数，最大公约数是 $12$。（1）求甲、乙；（2）求它们的最小公倍数；（3）验证两数之积等于最大公约数与最小公倍数之积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列候选）：由 $(a+1)(b+1)=12$ 得 $486,108,72,96$ 四个候选。
  2. 第 2 步（用最大公约数配对）：$12=2^2\times3$ 要求 $2$ 的最低指数为 $2$、$3$ 的最低指数为 $1$，只有 $108=2^2\times3^3$ 与 $96=2^5\times3$ 满足，和为 $108+96=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求最小公倍数）：全体取高次，$2$ 取 $2^5$、$3$ 取 $3^3$，$[108,96]=32\times27=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算两数之积）：$108\times96=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验证关系）：$12\times864=\underline{\quad}$，与 $10368$ 相等，关系成立。
23. 【原题 ch07-xingqu-01】（1）请写出 $4$ 个 $24$ 的约数；（2）请写出 $4$ 个 $24$ 的倍数；（3）请写出 $24$ 的所有约数。
详细思路
是哪类问题：这是「约数与倍数的概念」题：判断谁是谁的约数、谁是谁的倍数，并把一个数的全部约数不重不漏地找出来。
关键切入点：约数与倍数是一对相互的说法：$a\times b=24$ 就同时说明 $a,b$ 都是 $24$ 的约数、$24$ 是 $a,b$ 的倍数。找全部约数的关键是**成对地找**：从 $1$ 开始试除，除得尽就同时得到一对约数 $d$ 与 $24\div d$，试到两个约数相遇（$d\times d\ge 24$）就找全了；找倍数则是把这个数乘 $1,2,3,\cdots$，倍数有无穷多个。
方法概述：成对试除找全部约数；连续倍乘写出倍数。
规范步骤：
  1. 成对试除：$1\times24$、$2\times12$：$24\div1=24,\ 24\div2=12$（每除尽一次得到一对约数）
  2. 继续 $3\times8$、$4\times6$，到 $4$ 与 $6$ 相遇即可停：$24\div3=8,\ 24\div4=6$（$5$ 除不尽；$5\times5=25>24$ 说明已找全）
  3. 汇总 $24$ 的全部约数：$1,2,3,4,6,8,12,24$，共 $8$ 个（成对试除法）
  4. 倍数由 $24$ 连续倍乘得到：$24\times1=24,\ 24\times2=48,\ 24\times3=72,\ 24\times4=96$（倍数的定义）
  5. 写出答案：约数任取 $4$ 个如 $1,2,3,4$；倍数任取 $4$ 个如 $24,48,72,96$；全部约数 $8$ 个
第一套
题目：（1）请写出 $4$ 个 $36$ 的倍数；（2）请写出 $36$ 的所有约数，一共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（倍数怎么来）：把 $36$ 依次乘 $1,2,3,4$，$36\times2=\underline{\quad}$，$36\times3=\underline{\quad}$，$36\times4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（成对试除找约数）：从 $1$ 开始试除，除得尽就得到一对。$36\div1=36$；$36\div2=\underline{\quad}$；$36\div3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：继续试除，$36\div4=\underline{\quad}$；$5$ 除不尽跳过；$36\div6=\underline{\quad}$，两个约数在这里相遇，可以停了。
  4. 第 4 步（数一数）：把这些约数按从小到大排好是 $1,2,3,4,6,9,12,18,36$，一共 $\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：老师有 $24$ 颗糖，要平均分成若干堆（每堆颗数相同，堆数与每堆颗数都是整数）。（1）写出 $4$ 种可行的每堆颗数；（2）一共有多少种分法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：每堆颗数必须能整除 $24$，所以问题就是找 $24$ 的全部约数。
  2. 第 2 步（成对试除）：$24\div1=24$；$24\div2=\underline{\quad}$；$24\div3=\underline{\quad}$；$24\div4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$5$ 除不尽，而 $4$ 与 $6$ 已经相遇，说明找全了。全部约数为 $1,2,3,4,6,8,12,24$。
  4. 第 4 步（数分法）：有几个约数就有几种分法，共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：请写出 $60$ 的所有约数，并说明一共有多少个。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配对思想）：约数总是成对出现，找到 $d$ 就同时找到 $60\div d$。
  2. 第 2 步：$60\div1=60$；$60\div2=\underline{\quad}$；$60\div3=\underline{\quad}$；$60\div4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$60\div5=\underline{\quad}$；$60\div6=\underline{\quad}$；再往下 $7,8$ 都除不尽，而 $8\times8=64>60$，说明已找全。
  4. 第 4 步（数个数）：约数为 $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：把 $72$ 分解质因数，并求 $72$ 一共有多少个约数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解质因数）：短除，$72\div2=\underline{\quad}$，$36\div2=\underline{\quad}$，$18\div2=\underline{\quad}$，$9=3\times3$，所以 $72=2^3\times3^2$。
  2. 第 2 步（约数怎么造）：$72$ 的约数形如 $2^a\times3^b$，$a$ 可取 $0,1,2,3$ 共 $3+1=\underline{\quad}$ 种，$b$ 可取 $0,1,2$ 共 $2+1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（乘法原理）：两种选法互相独立，约数个数为 $4\times3=\underline{\quad}$ 个。
24. 【原题 ch07-xingqu-02】（1）请写出 $105$ 的所有约数；（2）请写出 $72$ 的所有约数。
详细思路
是哪类问题：这是「用质因数分解找全部约数」题：直接试除容易漏，先把数拆成质因数的乘积，再由质因数搭配出全部约数。
关键切入点：任何约数都只能由这个数自己的质因数搭配而成。$105=3\times5\times7$ 的约数就是从 $3,5,7$ 中「选或不选」搭出来的：不选得 $1$，选一个得 $3,5,7$，选两个得 $15,21,35$，全选得 $105$，共 $2\times2\times2=8$ 个。$72=2^3\times3^2$ 则是 $2$ 取 $0\sim3$ 个、$3$ 取 $0\sim2$ 个，共 $4\times3=12$ 个，按大小排出即可不重不漏。
方法概述：先分解质因数，再按「每个质因数取几个」系统搭配出全部约数。
规范步骤：
  1. 分解 $105$：$105=3\times5\times7$（短除法）
  2. 按选 $0,1,2,3$ 个质因数搭配：$1;\ 3,5,7;\ 3\times5=15,3\times7=21,5\times7=35;\ 105$（乘法原理不重不漏）
  3. 分解 $72$：$72=2^3\times3^2$（短除法）
  4. 按 $2^a\times3^b$（$a\le3,b\le2$）搭配：$1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72$（共 $4\times3=12$ 个）
  5. 写出答案：$105$ 有 $8$ 个约数，$72$ 有 $12$ 个约数
第一套
题目：（1）请写出 $165$ 的所有约数；（2）$108$ 一共有多少个约数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解 $165$）：$165\div3=\underline{\quad}$，$55=5\times11$，所以 $165=3\times5\times11$。
  2. 第 2 步（两两搭配）：选两个质因数相乘，$3\times5=\underline{\quad}$，$3\times11=\underline{\quad}$，$5\times11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（数一数）：每个质因数都只有选或不选两种，共 $2\times2\times2=\underline{\quad}$ 个约数，即 $1,3,5,11,15,33,55,165$。
  4. 第 4 步（分解 $108$）：$108=2^2\times3^3$，$2$ 可取 $0\sim2$ 共 $2+1=\underline{\quad}$ 种，$3$ 可取 $0\sim3$ 共 $3+1=\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步：约数个数为 $3\times4=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：体育老师有 $105$ 名同学，要排成每行人数相同的长方形队形（行数与每行人数都是整数）。请写出所有可能的每行人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：每行人数必须整除 $105$，问题即求 $105$ 的全部约数。
  2. 第 2 步（分解）：$105\div3=\underline{\quad}$，$35=5\times7$，所以 $105=3\times5\times7$。
  3. 第 3 步（搭配）：两两相乘得 $3\times5=\underline{\quad}$，$3\times7=\underline{\quad}$，$5\times7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（数一数）：加上 $1$ 和 $105$ 本身，共 $2\times2\times2=\underline{\quad}$ 种排法。
第三套
题目：请写出 $231$ 的所有约数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$231\div3=\underline{\quad}$，$77=7\times11$，所以 $231=3\times7\times11$。
  2. 第 2 步（选一个）：约数中是质数的有 $3,7,11$。
  3. 第 3 步（选两个）：$3\times7=\underline{\quad}$，$3\times11=\underline{\quad}$，$7\times11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（选零个与全选）：$1$ 与 $3\times7\times11=\underline{\quad}$。共 $2\times2\times2=\underline{\quad}$ 个约数。
第三套
题目：$360$ 一共有多少个约数？其中是偶数的约数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$360=2^3\times3^2\times5$。
  2. 第 2 步（约数个数公式）：三个指数各加一再相乘，$(3+1)\times(2+1)\times(1+1)=4\times3\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（先算奇约数）：奇约数不含质因数 $2$，就是 $3^2\times5=45$ 的约数，共 $(2+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（作差得偶约数）：偶约数个数 $=24-6=\underline{\quad}$ 个。
25. 【原题 ch07-xingqu-03】（1）$20\,000$ 的约数有多少个？（2）$720$ 的约数有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「约数个数公式」题：数很大时不能逐个试除，要用质因数分解直接算出约数的个数。
关键切入点：把 $N=p^a\times q^b\times\cdots$，则 $N$ 的每个约数都是 $p^x\times q^y\cdots$（$0\le x\le a$，$0\le y\le b$）。$x$ 有 $a+1$ 种取法、$y$ 有 $b+1$ 种取法，各自独立，由乘法原理约数个数就是 $(a+1)(b+1)\cdots$。所以关键只是把指数找准。
方法概述：分解质因数，再用「各指数加一连乘」求约数个数。
规范步骤：
  1. 分解 $20\,000$：$20\,000=2^5\times5^4$（$20000=32\times625$）
  2. 指数加一连乘：$(5+1)\times(4+1)=6\times5=30$（约数个数公式）
  3. 分解 $720$：$720=2^4\times3^2\times5$（短除法）
  4. 指数加一连乘：$(4+1)\times(2+1)\times(1+1)=5\times3\times2=30$（约数个数公式）
  5. 写出答案：两数都恰有 $30$ 个约数
第一套
题目：（1）$200\,000$ 的约数有多少个？（2）$1440$ 的约数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$200\,000=2^6\times5^5$（因为 $64\times3125=\underline{\quad}$）。
  2. 第 2 步（指数加一）：$6+1=\underline{\quad}$，$5+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（连乘）：约数个数 $=7\times6=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（分解 $1440$）：$1440=2^5\times3^2\times5$，指数加一分别为 $5+1=\underline{\quad}$、$2+1=\underline{\quad}$、$1+1=2$。
  5. 第 5 步（连乘）：约数个数 $=6\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：某仓库有 $20\,000$ 个零件，要装进若干个箱子且每箱数量相同；另有 $720$ 个螺丝也要按每包数量相同分包。请问：零件的装箱方案与螺丝的分包方案各有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：每箱数量必须整除总数，方案数就是总数的约数个数。
  2. 第 2 步（分解 $20\,000$）：$20\,000=2^5\times5^4$，指数加一为 $5+1=\underline{\quad}$、$4+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：装箱方案 $=6\times5=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（分解 $720$）：$720=2^4\times3^2\times5$，方案数 $=5\times3\times2=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：$2016$ 的约数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：不断除以 $2$，$2016\div2=1008$，$1008\div2=504$，$504\div2=252$，$252\div2=126$，$126\div2=\underline{\quad}$，得到 $2016=2^5\times63$。
  2. 第 2 步：$63\div9=\underline{\quad}$，所以 $63=3^2\times7$，$2016=2^5\times3^2\times7$。
  3. 第 3 步（指数加一）：$5+1=\underline{\quad}$、$2+1=\underline{\quad}$、$1+1=2$。
  4. 第 4 步（连乘）：约数个数 $=6\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：$1200$ 的约数有多少个？其中是 $4$ 的倍数的约数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$1200=2^4\times3\times5^2$。
  2. 第 2 步（总数）：$(4+1)\times(1+1)\times(2+1)=5\times2\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（转化条件）：是 $4$ 的倍数的约数可写成 $4\times d$，其中 $d$ 必须是 $1200\div4=\underline{\quad}$ 的约数。
  4. 第 4 步（再用公式）：$300=2^2\times3\times5^2$，约数个数 $=3\times2\times3=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步：所以 $1200$ 的约数中是 $4$ 的倍数的有 $18$ 个。
26. 【原题 ch07-xingqu-04】计算：（1）$(28,72)$，$[28,72]$；（2）$(28,44,260)$，$[28,44,260]$。
详细思路
是哪类问题：这是「求最大公约数与最小公倍数」题：用分解质因数的通用方法，一次把 $(\ )$ 与 $[\ ]$ 都求出来。
关键切入点：把每个数写成质因数的幂之积后，公约数只能由**每个数都有**的质因数搭成，所以最大公约数取各数公有质因数的**最低次幂**相乘；公倍数必须包含**每个数**的全部质因数，所以最小公倍数取所有出现过的质因数的**最高次幂**相乘。口诀：最大公约数取公有、取低次；最小公倍数取全体、取高次。
方法概述：分解质因数后，公有取低次求 $(\ )$、全体取高次求 $[\ ]$。
规范步骤：
  1. 分解：$28=2^2\times7,\ 72=2^3\times3^2$（短除法）
  2. 公有质因数只有 $2$，取低次幂：$(28,72)=2^2=4$（取公有取低次）
  3. 全体质因数取高次幂：$[28,72]=2^3\times3^2\times7=504$（取全体取高次）
  4. 分解三个数：$28=2^2\times7,\ 44=2^2\times11,\ 260=2^2\times5\times13$（短除法）
  5. 公有取低次、全体取高次：$(28,44,260)=2^2=4$，$[28,44,260]=2^2\times5\times7\times11\times13=20\,020$
  6. 写出答案：$4,504$；$4,20\,020$
第一套
题目：计算：（1）$(68,120)$，$[68,120]$；（2）$(92,44,260)$，$[92,44,260]$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$68=2^2\times17$，$120=2^3\times3\times5$。
  2. 第 2 步（公有取低次）：公有的质因数只有 $2$，最低次是 $2^2$，所以 $(68,120)=2\times2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（全体取高次）：$2$ 取 $2^3$，再乘上 $3,5,17$，$[68,120]=8\times3\times5\times17=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（分解三个数）：$92=2^2\times23$，$44=2^2\times11$，$260=2^2\times5\times13$。
  5. 第 5 步（公有取低次）：三个数公有的只有 $2^2$，$(92,44,260)=2\times2=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（全体取高次）：$[92,44,260]=4\times5\times11\times13\times23=\underline{\quad}$。
第二套
题目：甲灯每 $28$ 秒闪一次，乙灯每 $72$ 秒闪一次。（1）两灯同时闪过后，至少再过多少秒又同时闪？（2）若两种间隔都要用同一种整秒的计时单位来量，这个单位最大是多少秒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（辨别问题）：同时闪要找公倍数中最小的，用 $[\ ]$；统一计时单位要找公约数中最大的，用 $(\ )$。
  2. 第 2 步（分解）：$28=2^2\times7$，$72=2^3\times3^2$。
  3. 第 3 步（全体取高次求最小公倍数）：$[28,72]=8\times9\times7=\underline{\quad}$ 秒。
  4. 第 4 步（公有取低次求最大公约数）：$(28,72)=2\times2=\underline{\quad}$ 秒。
第三套
题目：计算：$(45,75)$，$[45,75]$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$45=3^2\times5$，$75=3\times5^2$。
  2. 第 2 步（公有取低次）：$3$ 取 $3^1$，$5$ 取 $5^1$，所以 $(45,75)=3\times5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（全体取高次）：$3$ 取 $3^2$，$5$ 取 $5^2$，$[45,75]=9\times25=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（自检）：两数之积应等于 $(\ )\times[\ ]$，$15\times225=\underline{\quad}$，而 $45\times75=\underline{\quad}$，一致。
第三套
题目：已知 $84$ 与 $120$。（1）求 $(84,120)$；（2）利用两数之积等于最大公约数与最小公倍数之积，求 $[84,120]$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解）：$84=2^2\times3\times7$，$120=2^3\times3\times5$。
  2. 第 2 步（公有取低次）：$2$ 取 $2^2$、$3$ 取 $3^1$，$(84,120)=4\times3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算两数之积）：$84\times120=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用关系式）：$[84,120]=10080\div12=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（用取高次法复核）：$[84,120]=8\times3\times5\times7=\underline{\quad}$，两法一致。
27. 【原题 ch07-xingqu-05】两个数的差是 $6$，它们的最大公约数可能是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「公约数整除差」的性质题：由两数之差反推最大公约数的所有可能取值。
关键切入点：如果 $d$ 同时整除 $a$ 和 $b$，那么 $a-b$ 也被 $d$ 整除。于是两数的任何公约数（包括最大公约数）都必须是差 $6$ 的约数，可能值只能在 $1,2,3,6$ 里取。反过来每个值都要能举出实例才算真的取得到，所以再补一组例子说明四种都可实现。
方法概述：公约数必整除差 → 最大公约数是差的约数 → 逐个举例验证可取。
规范步骤：
  1. 写出关键性质：$d\mid a,\ d\mid b\Rightarrow d\mid(a-b)$（公约数整除差）
  2. 本题差为 $6$，故最大公约数是 $6$ 的约数：$1,2,3,6$（约数枚举）
  3. 逐个举例验证可取到：$(1,7)=1;\ (2,8)=2;\ (3,9)=3;\ (6,12)=6$（构造实例）
  4. 写出答案：可能是 $1,2,3,6$
第一套
题目：两个数的差是 $30$，它们的最大公约数可能是多少？一共有多少种可能？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用性质）：公约数能整除两个数，就一定能整除它们的差 $30$，所以最大公约数必是 $30$ 的约数。
  2. 第 2 步（成对找 $30$ 的约数）：$30\div1=30$，$30\div2=\underline{\quad}$，$30\div3=\underline{\quad}$，$30\div5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列全）：$30=2\times3\times5$，约数为 $1,2,3,5,6,10,15,30$，共 $2\times2\times2=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（举例验证最大的一种）：取 $30$ 与 $30+30=\underline{\quad}$，它们的最大公约数正好是 $30$。
第二套
题目：两筐苹果，第一筐比第二筐多 $6$ 个。若把两筐苹果分别装进若干个小袋，每袋个数相同且都装满，那么每袋能装多少个？请写出所有可能的情况。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：每袋个数必须同时整除两筐的个数，即是两数的公约数。
  2. 第 2 步（用性质）：公约数一定整除两数的差 $6$，所以每袋个数只能是 $6$ 的约数。
  3. 第 3 步（成对列举）：$6\div1=6$、$6\div2=\underline{\quad}$，配对得到 $6$ 的全部约数是 $1,2,3,6$。
  4. 第 4 步（数一数）：所以每袋可装的个数一共有 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：两个数的差是 $100$，它们的最大公约数最大可能是多少？一共有多少种可能取值？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用性质）：最大公约数必是差 $100$ 的约数。
  2. 第 2 步（分解算个数）：$100=2^2\times5^2$，约数个数 $=(2+1)\times(2+1)=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（取最大）：$100$ 的最大约数是它本身 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（举例验证可取到）：取 $100$ 与 $100+100=\underline{\quad}$，最大公约数正好是 $100$。
第三套
题目：两个数的差是 $42$，它们的最大公约数是 $14$。请问：满足条件的两个数中，较小的数最小是多少？此时两数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先验一致性）：公约数必整除差，$42\div14=\underline{\quad}$ 是整数，条件不矛盾。
  2. 第 2 步（设法）：设两数为 $14a$ 与 $14b$，且 $a,b$ 互质。由差得 $14\times(b-a)=42$，所以 $b-a=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取最小）：要较小的数最小就取 $a=1$，此时 $b=1+3=\underline{\quad}$，且 $1$ 与 $4$ 互质，符合要求。
  4. 第 4 步（还原两数）：较小数 $=14\times1=\underline{\quad}$，较大数 $=14\times4=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（复核）：$56-14=\underline{\quad}$，且 $(14,56)=14$，全部符合。
28. 【原题 ch07-xingqu-06】（1）求 $1085$ 和 $1178$ 的最大公约数和最小公倍数；（2）求 $3553,3910$ 和 $1411$ 的最大公约数。
详细思路
是哪类问题：这是「辗转相除法（欧几里得算法）」题：两个数不好分解质因数时，用连续取余数的办法求最大公约数，再由关系式求最小公倍数。
关键切入点：核心依据仍是「公约数整除差」：$(a,b)=(b,\ a-b)=(b,\ a\bmod b)$，因为 $a$ 与 $b$ 的公约数一定整除余数。于是大数不断被余数替换，数越来越小，直到余数为 $0$，此时的除数就是最大公约数。求最小公倍数则直接用 $[a,b]=a\times b\div(a,b)$，避免难分解的质因数。
方法概述：大数除小数取余，辗转下去到余数为 $0$；再用 $a\times b\div(a,b)$ 求最小公倍数。
规范步骤：
  1. 第一次相除：$1178\div1085=1\cdots93$（辗转相除）
  2. 用除数除余数：$1085\div93=11\cdots62$（辗转相除）
  3. 继续：$93\div62=1\cdots31$，$62\div31=2\cdots0$（余数为 $0$ 即停）
  4. 得最大公约数：$(1085,1178)=31$（最后一个非零余数）
  5. 求最小公倍数：$[1085,1178]=1085\times1178\div31=41\,230$（两数之积等于两量之积）
  6. 第 (2) 题同法：$(3553,3910)=17$，又 $1411\div17=83$，故 $(3553,3910,1411)=17$（先两个再并第三个）
  7. 写出答案：$31,41\,230$；$17$
第一套
题目：（1）求 $2021$ 和 $2107$ 的最大公约数和最小公倍数；（2）求 $(2021,2107,3311)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（大减小起手）：$2107\div2021=1\cdots\underline{\quad}$，余数就是 $2107-2021$。
  2. 第 2 步（辗转）：$2021\div86=23\cdots\underline{\quad}$（因为 $86\times23=1978$）。
  3. 第 3 步（再辗转）：$86\div43=2\cdots\underline{\quad}$，余数为 $0$，所以 $(2021,2107)=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最小公倍数）：先约再乘，$2021\div43=\underline{\quad}$，再 $47\times2107=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（并入第三个数）：$3311\div43=\underline{\quad}$，能整除，所以 $(2021,2107,3311)=43$。
第二套
题目：一条走廊长 $1085$ 厘米，另一条长 $1178$ 厘米，都要用同一种正方形地砖恰好铺满（不许切割）。（1）地砖边长最大是多少厘米？（2）若把两条走廊接成同样长度的整段来算，最短的公共长度是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（辨别）：地砖边长要同时整除两个长度，求最大公约数；公共长度求最小公倍数。
  2. 第 2 步（辗转相除）：$1178\div1085=1\cdots\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$1085\div93=11\cdots\underline{\quad}$（$93\times11=1023$）。
  4. 第 4 步：$93\div62=1\cdots\underline{\quad}$，$62\div31=2\cdots0$，所以最大公约数是 $31$ 厘米。
  5. 第 5 步（求最小公倍数）：$1085\div31=\underline{\quad}$，$35\times1178=\underline{\quad}$ 厘米。
第三套
题目：求 $1591$ 和 $2183$ 的最大公约数与最小公倍数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$2183\div1591=1\cdots\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$1591\div592=2\cdots\underline{\quad}$（$592\times2=1184$）。
  3. 第 3 步：$592\div407=1\cdots\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$407\div185=2\cdots\underline{\quad}$（$185\times2=370$），再 $185\div37=5\cdots0$，所以 $(1591,2183)=37$。
  5. 第 5 步（最小公倍数）：$1591\div37=\underline{\quad}$，$43\times2183=\underline{\quad}$。
第三套
题目：（1）用辗转相除法求 $(1085,1178)$；（2）把分数 $\dfrac{1085}{1178}$ 化成最简分数；（3）验证 $1085\times1178=(1085,1178)\times[1085,1178]$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（辗转相除）：$1178\div1085=1\cdots\underline{\quad}$，$1085\div93=11\cdots\underline{\quad}$，$93\div62=1\cdots\underline{\quad}$，$62\div31=2\cdots0$，故 $(1085,1178)=31$。
  2. 第 2 步（约分要点）：约分就是分子分母同除以最大公约数。分子 $1085\div31=\underline{\quad}$，分母 $1178\div31=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（判互质）：$35=5\times7$，$38=2\times19$，没有公共质因数，所以 $\dfrac{35}{38}$ 已是最简。
  4. 第 4 步（求最小公倍数）：$[1085,1178]=35\times1178=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验证关系）：$31\times41230=\underline{\quad}$，而 $1085\times1178=\underline{\quad}$，两者相等。
29. 【原题 ch07-xingqu-07】教师节到了，校工会买了 $320$ 个苹果、$240$ 个橘子、$200$ 个香蕉来慰问退休老职工。请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、香蕉各有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「最大公约数的应用」题：把几堆物品平均分成若干份同样的礼物，求最多能分多少份。
关键切入点：每份礼物里三种水果的个数都必须是整数，说明份数同时整除 $320,240,200$，即份数是它们的公约数；要「最多」，就取最大公约数。求出份数后，再用总数除以份数得到每份的个数。
方法概述：份数 = 三数的最大公约数；每份个数 = 总数 ÷ 份数。
规范步骤：
  1. 分解质因数：$320=2^6\times5,\ 240=2^4\times3\times5,\ 200=2^3\times5^2$（短除法）
  2. 公有取低次：$(320,240,200)=2^3\times5=40$（最大公约数）
  3. 每份苹果：$320\div40=8$（个）（总数÷份数）
  4. 每份橘子、香蕉：$240\div40=6$，$200\div40=5$（个）（总数÷份数）
  5. 写出答案：最多 $40$ 份，每份苹果 $8$、橘子 $6$、香蕉 $5$ 个
第一套
题目：学校买了 $480$ 个苹果、$360$ 个橘子、$600$ 根香蕉做慰问礼包。请问：最多能分成多少份同样的礼包？每份中三种水果各多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：份数必须同时整除三个总数，所以份数是三数的公约数，最多就取最大公约数。
  2. 第 2 步（分解）：$480=2^5\times3\times5$，$360=2^3\times3^2\times5$，$600=2^3\times3\times5^2$。
  3. 第 3 步（公有取低次）：$2$ 取 $2^3$、$3$ 取 $3^1$、$5$ 取 $5^1$，份数 $=8\times3\times5=\underline{\quad}$ 份。
  4. 第 4 步（每份个数）：苹果 $480\div120=\underline{\quad}$，橘子 $360\div120=\underline{\quad}$，香蕉 $600\div120=\underline{\quad}$。
第二套
题目：文具室有 $320$ 支铅笔、$240$ 块橡皮、$200$ 本本子，要打包成若干个同样的学习包发给同学。请问：最多能打多少个包？每包中三样文具各多少件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：包数必须同时整除 $320,240,200$，最多即取最大公约数。
  2. 第 2 步（分解）：$320=2^6\times5$，$240=2^4\times3\times5$，$200=2^3\times5^2$。
  3. 第 3 步（公有取低次）：$(320,240,200)=8\times5=\underline{\quad}$ 个包。
  4. 第 4 步（每包件数）：铅笔 $320\div40=\underline{\quad}$，橡皮 $240\div40=\underline{\quad}$，本子 $200\div40=\underline{\quad}$。
第三套
题目：图书角有 $168$ 本图画书、$252$ 本故事书、$420$ 张书签，要分成若干份完全相同的礼物。最多能分多少份？每份各多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：份数是 $168,252,420$ 的最大公约数。
  2. 第 2 步（分解）：$168=2^3\times3\times7$，$252=2^2\times3^2\times7$，$420=2^2\times3\times5\times7$。
  3. 第 3 步（公有取低次）：$2$ 取 $2^2$、$3$ 取 $3^1$、$7$ 取 $7^1$，份数 $=4\times3\times7=\underline{\quad}$ 份。
  4. 第 4 步（每份数量）：$168\div84=\underline{\quad}$，$252\div84=\underline{\quad}$，$420\div84=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 $500$ 颗糖和 $320$ 块饼干平均分给小朋友，最后剩下 $20$ 颗糖和 $8$ 块饼干没分出去。请问：一共有多少个小朋友？每人分到糖和饼干各多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先减余数）：真正分出去的糖有 $500-20=\underline{\quad}$ 颗，饼干有 $320-8=\underline{\quad}$ 块。
  2. 第 2 步（转化）：人数必须同时整除这两个数，所以人数是它们的公约数。
  3. 第 3 步（求最大公约数）：$480=2^5\times3\times5$，$312=2^3\times3\times13$，公有取低次得 $8\times3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（关键取舍）：糖剩了 $20$ 颗还没分完，说明人数必须大于 $20$。$24$ 的约数中大于 $20$ 的只有 $\underline{\quad}$，所以人数唯一确定。
  5. 第 5 步（每人份额）：糖 $480\div24=\underline{\quad}$ 颗，饼干 $312\div24=\underline{\quad}$ 块。
30. 【原题 ch07-xingqu-08】一块长方形草地，长 $120$ 米，宽 $90$ 米。现在要在它的四周种树，要求四个角和各边中点都种树，且相邻两棵树的距离都相等。请问：最少要种多少棵树？
详细思路
是哪类问题：这是「最大公约数 + 封闭周长植树」题：在长方形四周等距种树，且规定四角与各边中点必须有树，求最少棵数。
关键切入点：四角与各边中点都要有树，等于把每条边从中点处断开，株距必须能整除半长 $120\div2=60$ 与半宽 $90\div2=45$，即株距是 $60,45$ 的公约数。棵数与株距成反比，要棵数最少就取株距最大，即 $(60,45)=15$ 米。又因为四周是封闭图形，棵数正好等于段数，用周长除以株距即可。
方法概述：株距取半长半宽的最大公约数；封闭周长上棵数 = 周长 ÷ 株距。
规范步骤：
  1. 算半长半宽：$120\div2=60$，$90\div2=45$（中点必须有树）
  2. 株距取最大公约数：$(60,45)=15$（米）（株距最大则棵数最少）
  3. 算周长：$(120+90)\times2=420$（米）（长方形周长）
  4. 封闭图形棵数等于段数：$420\div15=28$（棵）（封闭周长植树）
  5. 写出答案：最少种 $28$ 棵
第一套
题目：一块长方形草地长 $180$ 米、宽 $150$ 米，要在四周等距种树，且四个角和各边中点都要种。最少种多少棵？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中点条件）：中点要有树，所以株距必须整除半长 $180\div2=\underline{\quad}$ 米和半宽 $150\div2=\underline{\quad}$ 米。
  2. 第 2 步（棵数最少即株距最大）：株距取 $(90,75)$。$90=2\times3^2\times5$，$75=3\times5^2$，公有取低次得 $3\times5=\underline{\quad}$ 米。
  3. 第 3 步（算周长）：$(180+150)\times2=\underline{\quad}$ 米。
  4. 第 4 步（封闭周长棵数等于段数）：$660\div15=\underline{\quad}$ 棵。
第二套
题目：一个长方形花坛长 $120$ 米、宽 $90$ 米，要沿四周等距装地灯，四个角和各边中点都必须装。最少装多少盏灯？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中点条件）：灯距必须整除半长 $120\div2=\underline{\quad}$ 米与半宽 $90\div2=\underline{\quad}$ 米。
  2. 第 2 步（灯最少即间距最大）：取 $(60,45)=3\times5=\underline{\quad}$ 米。
  3. 第 3 步（周长）：$(120+90)\times2=\underline{\quad}$ 米。
  4. 第 4 步（封闭周长上盏数等于段数）：$420\div15=\underline{\quad}$ 盏。
第三套
题目：长方形操场长 $200$ 米、宽 $160$ 米，四周等距立旗杆，四角与各边中点都要立。最少立多少根？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：半长 $200\div2=\underline{\quad}$ 米，半宽 $160\div2=\underline{\quad}$ 米。
  2. 第 2 步：间距取 $(100,80)$。$100=2^2\times5^2$，$80=2^4\times5$，公有取低次得 $4\times5=\underline{\quad}$ 米。
  3. 第 3 步：周长 $(200+160)\times2=\underline{\quad}$ 米。
  4. 第 4 步：根数 $=720\div20=\underline{\quad}$ 根。
第三套
题目：长方形草坪长 $240$ 米、宽 $180$ 米，四周等距种树，四角与各边中点都要种。每棵树苗 $8$ 元。请问：最少要种多少棵？共需多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中点条件）：株距整除半长 $240\div2=\underline{\quad}$ 米与半宽 $180\div2=\underline{\quad}$ 米。
  2. 第 2 步（株距最大）：$120=2^3\times3\times5$，$90=2\times3^2\times5$，公有取低次得 $2\times3\times5=\underline{\quad}$ 米。
  3. 第 3 步（周长）：$(240+180)\times2=\underline{\quad}$ 米。
  4. 第 4 步（棵数）：封闭周长上棵数等于段数，$840\div30=\underline{\quad}$ 棵。
  5. 第 5 步（总价）：$28\times8=\underline{\quad}$ 元。
31. 【原题 ch07-xingqu-09】甲数和乙数的最大公约数是 $6$，最小公倍数是 $90$。如果甲数是 $18$，那么乙数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「两数之积等于最大公约数与最小公倍数之积」的应用题：已知 $(\ )$、$[\ ]$ 与其中一个数，求另一个数。
关键切入点：把 $a=(a,b)\times m$、$b=(a,b)\times n$（$m,n$ 互质）代入即知 $a\times b=(a,b)\times[a,b]$。所以只要知道 $(\ )$、$[\ ]$，两数的乘积就定死了；再除以已知的那个数就得到另一个。这条关系把「找数」变成一步除法。
方法概述：先由 $(\ )\times[\ ]$ 得两数之积，再除以已知数。
规范步骤：
  1. 写出关系式：$甲\times乙=(甲,乙)\times[甲,乙]$（两数之积等于两量之积）
  2. 算两数之积：$6\times90=540$（代入已知）
  3. 求乙数：$540\div18=30$（除以已知数）
  4. 复核：$(18,30)=6$，$[18,30]=90$，符合（回代检验）
  5. 写出答案：乙数是 $30$
第一套
题目：甲数和乙数的最大公约数是 $12$，最小公倍数是 $360$。如果甲数是 $72$，那么乙数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用关系式）：两数之积等于最大公约数与最小公倍数之积，$12\times360=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求乙数）：$4320\div72=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（回代复核）：$72=2^3\times3^2$，$60=2^2\times3\times5$，公有取低次得 $(72,60)=4\times3=\underline{\quad}$，全体取高次得 $[72,60]=8\times9\times5=\underline{\quad}$，与题目一致。
第二套
题目：两台机器的检修周期（天）满足：最大公约数是 $6$，最小公倍数是 $90$。已知第一台的周期是 $18$ 天，第二台是多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用关系式）：两周期之积 $=6\times90=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求第二台）：$540\div18=\underline{\quad}$ 天。
  3. 第 3 步（复核）：$(18,30)=\underline{\quad}$，$[18,30]=90$，符合题意。
第三套
题目：两个数的最大公约数是 $15$，最小公倍数是 $450$，其中一个数是 $90$，另一个数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用关系式）：两数之积 $=15\times450=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求另一个数）：$6750\div90=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（复核最大公约数）：$90=2\times3^2\times5$，$75=3\times5^2$，公有取低次得 $3\times5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（复核最小公倍数）：全体取高次得 $2\times9\times25=\underline{\quad}$，与题目一致。
第三套
题目：两个数的乘积是 $1080$，最大公约数是 $6$。求它们的最小公倍数，并写出所有可能的两个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求最小公倍数）：由 $甲\times乙=(甲,乙)\times[甲,乙]$ 得 $[甲,乙]=1080\div6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（设法）：设两数为 $6a$ 与 $6b$ 且 $a,b$ 互质，则 $6a\times6b=1080$，所以 $a\times b=1080\div36=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（把 $30$ 拆成互质两数之积）：$30=1\times30=2\times15=3\times10=5\times6$，四种拆法中两个因数都互质，所以共 $\underline{\quad}$ 组解。
  4. 第 4 步（还原）：$6\times1=6$ 与 $6\times30=\underline{\quad}$；$6\times2=12$ 与 $6\times15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（继续还原）：$6\times3=18$ 与 $6\times10=\underline{\quad}$；$6\times5=30$ 与 $6\times6=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch07-xingqu-10】墨莫和小高在黑板上各写了一个自然数，它们的最大公约数是 $42$，最小公倍数是 $168$，那么这两个数的和是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「已知最大公约数与最小公倍数求两数」题：用互质分解把倍数关系拆开。
关键切入点：设两数为 $42a$ 与 $42b$ 且 $a,b$ 互质，则最小公倍数为 $42ab$，于是 $ab=168\div42=4$。把 $4$ 拆成两个互质的数相乘，$2\times2$ 不互质，只有 $1\times4$ 可行，所以两数是 $42$ 与 $168$。关键是「拆出的两个因数必须互质」，否则公共部分会跑进最大公约数里。
方法概述：设 $两数=d\times a$、$d\times b$（$a,b$ 互质），由 $ab=[\ ]\div(\ )$ 枚举互质拆法。
规范步骤：
  1. 算商：$168\div42=4$（$[\ ]\div(\ )=ab$）
  2. 把 $4$ 拆成互质两数之积：$4=1\times4$（$2\times2$ 不互质，舍去）（互质分解）
  3. 还原两数：$42\times1=42$，$42\times4=168$（乘回最大公约数）
  4. 求和：$42+168=210$
  5. 写出答案：两数之和是 $210$
第一套
题目：两个自然数的最大公约数是 $60$，最小公倍数是 $540$，那么这两个数的和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法）：设两数为 $60a$ 与 $60b$，$a,b$ 互质，则最小公倍数为 $60ab$。
  2. 第 2 步（求 $ab$）：$ab=540\div60=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（互质拆分）：$9=1\times9=3\times3$，其中 $3$ 与 $3$ 不互质要舍去，所以只能取 $a=1,b=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（还原）：两数为 $60\times1=60$ 与 $60\times9=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求和）：$60+540=\underline{\quad}$。
第二套
题目：甲、乙两班各有一个整数人数，它们的最大公约数是 $42$，最小公倍数是 $168$。两班一共多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法）：设两班人数为 $42a$ 与 $42b$，$a,b$ 互质。
  2. 第 2 步（求 $ab$）：$ab=168\div42=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（互质拆分）：$4=1\times4=2\times2$，$2$ 与 $2$ 不互质舍去，所以 $a=1,b=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（还原并求和）：两班人数为 $42$ 与 $42\times4=\underline{\quad}$，共 $42+168=\underline{\quad}$ 人。
第三套
题目：两个自然数的最大公约数是 $30$，最小公倍数是 $750$，求这两个数及它们的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $ab$）：$ab=750\div30=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（互质拆分）：$25=1\times25=5\times5$，后者两个因数都含 $5$、不互质，舍去，故 $a=1,b=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（还原）：两数为 $30$ 与 $30\times25=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求和）：$30+750=\underline{\quad}$。
第三套
题目：两个自然数的最大公约数是 $12$，最小公倍数是 $720$。请写出所有可能的两个数，并分别求出它们的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设法求 $ab$）：设两数为 $12a$、$12b$（$a,b$ 互质），则 $ab=720\div12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（找互质拆法）：$60=2^2\times3\times5$。同一个质因数不能被拆到两边，所以 $4,3,5$ 三块只能整块分配，拆法有 $1\times60$、$3\times20$、$4\times15$、$5\times12$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原第一、二组）：$12$ 与 $12\times60=\underline{\quad}$，和为 $12+720=\underline{\quad}$；$12\times3=36$ 与 $12\times20=\underline{\quad}$，和为 $36+240=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（还原第三、四组）：$12\times4=48$ 与 $12\times15=\underline{\quad}$，和为 $48+180=\underline{\quad}$；$12\times5=60$ 与 $12\times12=\underline{\quad}$，和为 $60+144=\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch07-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（分解）：$1800=2^3\times3^2\times5^2$。
    2. 第 2 步（转为奇部分）：奇约数不含 $2$，就是 $3^2\times5^2=\underline{225}$ 的全部约数。
    3. 第 3 步（数个数）：$(2+1)\times(2+1)=\underline{9}$ 个。
    4. 第 4 步（用约数和公式）：$3$ 这一档的和是 $1+3+9=\underline{13}$，$5$ 这一档的和是 $1+5+25=\underline{31}$。
    5. 第 5 步（相乘得总和）：$13\times31=\underline{403}$。
    最终答案：$1800$ 有 $9$ 个奇约数，和为 $403$。
  2. 1. ch07-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：每箱个数是 $360$ 的约数，且要求为奇数。
    2. 第 2 步（取奇部分）：$360=2^3\times3^2\times5$，去掉 $2$ 后是 $3^2\times5=\underline{45}$，奇约数就是它的全部约数。
    3. 第 3 步（数个数）：$(2+1)\times(1+1)=\underline{6}$ 种装法。
    4. 第 4 步（求和）：$(1+3+9)\times(1+5)=13\times6=\underline{78}$。
    最终答案：共 $6$ 种装法，这些数之和是 $78$。
  3. 1. ch07-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$2520=2^3\times3^2\times5\times7$。
    2. 第 2 步（取奇部分）：奇约数即 $3^2\times5\times7=\underline{315}$ 的全部约数。
    3. 第 3 步（数个数）：$(2+1)\times(1+1)\times(1+1)=3\times2\times2=\underline{12}$ 个。
    4. 第 4 步（约数和公式）：$(1+3+9)\times(1+5)\times(1+7)=13\times6\times\underline{8}=\underline{624}$。
    最终答案：$2520$ 有 $12$ 个奇约数，和为 $624$。
  4. 1. ch07-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$1200=2^4\times3\times5^2$。
    2. 第 2 步（奇部分）：奇约数即 $3\times5^2=\underline{75}$ 的约数，个数 $=(1+1)\times(2+1)=\underline{6}$ 个。
    3. 第 3 步（奇约数和）：$(1+3)\times(1+5+25)=4\times31=\underline{124}$。
    4. 第 4 步（补上 $2$ 这一档）：全部约数之和还要乘上 $2$ 的各次幂之和 $1+2+4+8+16=\underline{31}$。
    5. 第 5 步（总和）：$31\times124=\underline{3844}$。
    最终答案：$1200$ 有 $6$ 个奇约数，和为 $124$；全部约数之和为 $3844$。
  5. 2. ch07-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（分解个数）：$14=14\times1=2\times7$，对应结构只有 $p^{13}$ 或 $p^6\times q$。
    2. 第 2 步（排除 $p^{13}$）：最小的 $2^{13}=8192$，远超三位数。
    3. 第 3 步（枚举 $p^6\times q$）：$2^6=\underline{64}$，乘奇质数：$64\times3=\underline{192}$，$64\times5=320$，$64\times7=448$，$64\times11=704$，$64\times13=\underline{832}$，而 $64\times17=1088$ 已是四位数；$3^6=729$ 乘任何质数都超三位。
    4. 第 4 步（最小者的约数和）：最小的是 $192=2^6\times3$，$2$ 这一档的和 $1+2+4+8+16+32+64=\underline{127}$。
    5. 第 5 步（乘另一档）：$127\times(1+3)=127\times4=\underline{508}$。
    最终答案：三位数有 $192,320,448,704,832$；最小的 $192$ 的约数之和是 $508$。
  6. 2. ch07-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：分法数就是人数的约数个数，即找约数个数为 $10$ 的两位数。
    2. 第 2 步（分解个数）：$10=2\times5$，结构只能是 $p^4\times q$（$p^9$ 最小为 $512$，不是两位数）。
    3. 第 3 步（枚举）：$2^4=16$，$16\times3=\underline{48}$，$16\times5=\underline{80}$，$16\times7=112$ 超出两位数。
    4. 第 4 步（求约数和）：$48$ 的约数和 $=(1+2+4+8+16)\times(1+3)=31\times4=\underline{124}$。
    5. 第 5 步：$80$ 的约数和 $=(1+2+4+8+16)\times(1+5)=31\times6=\underline{186}$。
    最终答案：人数可能是 $48$（约数和 $124$）或 $80$（约数和 $186$）。
  7. 2. ch07-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（分解个数）：$12=2\times6=3\times4=2\times2\times3$，对应结构 $p^{11}$、$p^5q$、$p^3q^2$、$p^2qr$ 等。
    2. 第 2 步（枚举两位数）：$2^2\times3\times5=\underline{60}$，$2^3\times3^2=\underline{72}$，$2^2\times3\times7=84$，$2\times3^2\times5=\underline{90}$，$2^5\times3=\underline{96}$。符合的两位数是 $60,72,84,90,96$。
    3. 第 3 步（求最小者的约数和）：最小的是 $60=2^2\times3\times5$，各档和为 $(1+2+4)=\underline{7}$、$(1+3)=4$、$(1+5)=6$。
    4. 第 4 步（相乘）：$7\times4\times6=\underline{168}$。
    最终答案：两位数有 $60,72,84,90,96$；最小的 $60$ 的约数之和是 $168$。
  8. 2. ch07-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（找数）：$10=2\times5$，结构只能是 $p^4\times q$，两位数只有 $16\times3=\underline{48}$ 和 $16\times5=\underline{80}$。
    2. 第 2 步（配对思想）：约数两两配对、每对乘积等于原数，$10$ 个约数配成 $10\div2=\underline{5}$ 对，所以约数之积 $=N^5$。
    3. 第 3 步（算 $48$）：$48=2^4\times3$，指数各乘 $5$：$4\times5=\underline{20}$，$1\times5=\underline{5}$，即 $48^5=2^{20}\times3^5$。
    4. 第 4 步（算 $80$）：$80=2^4\times5$，同样得 $80^5=2^{20}\times5^{\underline{5}}$。
    最终答案：两位数是 $48$ 与 $80$；$48^5=2^{20}\times3^5$，$80^5=2^{20}\times5^5$。
  9. 3. ch07-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（分解条件）：$9=3^2$，$225=3^2\times5^2$。
    2. 第 2 步（夹逼 $3$ 的指数）：$(a,b)=9$ 说明 $a,b$ 中 $3$ 的指数最小值是 $2$；最小公倍数是 $225$ 又说明它们的 $3$ 指数不超过 $2$。所以 $a,b$ 中 $3$ 的指数都恰为 $2$，而 $c$ 中 $3$ 的指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{3}$ 种。
    3. 第 3 步（分析 $5$ 的指数）：$(a,b)=9$ 不含 $5$，说明 $a,b$ 至少一个不含 $5$；两个最小公倍数都含 $5^2$，所以 $c$ 必须含 $5^2$，另一个数的 $5$ 指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{3}$ 种。
    4. 第 4 步（配合计数）：两类选择互相独立，共 $3\times3=\underline{9}$ 组。
    最终答案：共有 $9$ 组。
  10. 3. ch07-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（分解条件）：$4=2^2$，$100=2^2\times5^2$。
    2. 第 2 步（夹逼 $2$ 的指数）：最大公约数给下界、最小公倍数给上界，$a,b$ 中 $2$ 的指数都恰是 $2$；$c$ 中 $2$ 的指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{3}$ 种。
    3. 第 3 步（分析 $5$ 的指数）：最大公约数 $4$ 不含 $5$，故 $a,b$ 至少一个不含 $5$；两个最小公倍数都含 $5^2$，所以 $c$ 含 $5^2$，另一个数的 $5$ 指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{3}$ 种。
    4. 第 4 步（相乘）：共 $3\times3=\underline{9}$ 种写法。
    最终答案：共有 $9$ 种写法。
  11. 3. ch07-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$4=2^2$，$196=2^2\times7^2$。
    2. 第 2 步（夹逼 $2$ 的指数）：$a,b$ 中 $2$ 的指数都恰为 $2$，$c$ 中可取 $0,1,2$ 共 $\underline{3}$ 种。
    3. 第 3 步（分析 $7$ 的指数）：最大公约数不含 $7$，故 $a,b$ 至少一个不含 $7$；最小公倍数都含 $7^2$，故 $c$ 含 $7^2$，另一个数的 $7$ 指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{3}$ 种。
    4. 第 4 步（相乘）：共 $3\times3=\underline{9}$ 组。
    最终答案：共有 $9$ 组。
  12. 3. ch07-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$8=2^3$，$200=2^3\times5^2$。
    2. 第 2 步（夹逼 $2$ 的指数）：最大公约数要求 $a,b$ 中 $2$ 的指数最小值为 $3$，最小公倍数要求不超过 $3$，所以 $a,b$ 中 $2$ 的指数都恰为 $3$，$c$ 中 $2$ 的指数可取 $0,1,2,3$ 共 $\underline{4}$ 种。
    3. 第 3 步（分析 $5$ 的指数）：$8$ 不含 $5$，故 $a,b$ 至少一个不含 $5$；两个最小公倍数都含 $5^2$，故 $c$ 含 $5^2$，另一个数的 $5$ 指数可取 $0,1,2$ 共 $\underline{3}$ 种。
    4. 第 4 步（相乘计数）：$4\times3=\underline{12}$ 组。
    最终答案：共有 $12$ 组。
  13. 4. ch07-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（分解）：$2310=2\times3\times5\times7\times11$，共 $\underline{5}$ 个不同的质因数。
    2. 第 2 步（设结构）：$N$ 是 $2310$ 的倍数，所以 $N=2^{a_1}\times3^{a_2}\times5^{a_3}\times7^{a_4}\times11^{a_5}\times\cdots$，且每个指数都 $\ge1$。
    3. 第 3 步（约数个数方程）：$(a_1+1)(a_2+1)\cdots=2310=2\times3\times5\times7\times11$，五个因数都 $\ge2$ 已把 $2310$ 用完，所以 $N$ 不能再含别的质因数。
    4. 第 4 步（排列计数）：把 $2,3,5,7,11$ 分配到五个位置，共 $5\times4\times3\times2\times1=\underline{120}$ 种。
    最终答案：共有 $120$ 个数。
  14. 4. ch07-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（分解）：$70=2\times5\times7$，编号 $N$ 必含 $2,5,7$，写成 $N=2^a\times5^b\times7^c$，$a,b,c\ge1$。
    2. 第 2 步（约数个数方程）：$(a+1)(b+1)(c+1)=\underline{70}$，而 $70=2\times5\times7$。
    3. 第 3 步（排除其他质因数）：三个因数都不小于 $2$，已经把 $70$ 用完，$N$ 不能含别的质因数。
    4. 第 4 步（排列计数）：把 $2,5,7$ 分给三个位置，共 $3\times2\times1=\underline{6}$ 个。
    最终答案：共有 $6$ 个编号。
  15. 4. ch07-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$165=3\times5\times11$。
    2. 第 2 步（设结构）：$N=3^a\times5^b\times11^c$，且 $a,b,c\ge1$。
    3. 第 3 步（约数个数方程）：$(a+1)(b+1)(c+1)=165=3\times5\times\underline{11}$，三个因数都 $\ge2$ 已用完，$N$ 不能再含别的质因数。
    4. 第 4 步（排列计数）：共 $3\times2\times1=\underline{6}$ 个。
    最终答案：共有 $6$ 个数。
  16. 4. ch07-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（结构）：$N=2^a\times5^b\times7^c$，$(a+1)(b+1)(c+1)=70=2\times5\times7$，所以指数只能是 $1,4,6$ 的一个排列。
    2. 第 2 步（怎样最小）：底数越大，指数就该越小。所以把最大的指数 $6$ 给最小的质数 $2$，把最小的指数 $1$ 给最大的质数 $7$。
    3. 第 3 步（算各部分）：$2^6=\underline{64}$，$5^4=\underline{625}$，$7^1=7$。
    4. 第 4 步（相乘）：$64\times625\times7=\underline{280000}$。
    5. 第 5 步（对比验证）：若换成 $2^6\times5\times7^4=64\times5\times2401=\underline{768320}$，比 $280000$ 大，说明前面的分配确实最小。
    最终答案：最小的是 $280\,000$。
  17. 5. ch07-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（求最小公倍数）：$[1,2,\cdots,12]=2^3\times3^2\times5\times7\times11=\underline{27720}$（即 $8\times9\times5\times7\times11$）。
    2. 第 2 步（算现有约数个数）：$(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=4\times3\times2\times2\times2=\underline{96}$ 个。
    3. 第 3 步（分析目标）：$128=2^7$，所以每个「指数加一」都必须是 $2$ 的幂。现在 $3$ 那一档是 $3$，不是 $2$ 的幂，必须把 $3$ 的指数由 $2$ 提到 $3$，使该档变成 $\underline{4}$。
    4. 第 4 步（核对总数）：此时约数个数 $=4\times4\times2\times2\times2=\underline{128}$，恰好是 $128$。
    5. 第 5 步（算 $n$）：$n=2^3\times3^3\times5\times7\times11=27720\times3=\underline{83160}$。
    最终答案：$n$ 的最小值是 $83\,160$。
  18. 5. ch07-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：件数是 $1\sim10$ 的公倍数，即 $[1,2,\cdots,10]=8\times9\times5\times7=\underline{2520}$ 的倍数。
    2. 第 2 步（现有个数）：$2520=2^3\times3^2\times5\times7$，约数个数 $=4\times3\times2\times2=\underline{48}$ 个，还不到 $72$。
    3. 第 3 步（方案一）：把 $2$ 的指数提到 $5$，档位由 $4$ 变 $6$，个数 $=6\times3\times2\times2=72$，此时件数 $=2520\times4=\underline{10080}$。
    4. 第 4 步（方案二）：把 $5$ 的指数提到 $2$，档位由 $2$ 变 $3$，个数 $=4\times3\times3\times2=72$，件数 $=2520\times5=\underline{12600}$。
    5. 第 5 步（取小）：比较两个方案，最少是 $\underline{10080}$ 件。
    最终答案：最少 $10\,080$ 件。
  19. 5. ch07-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求最小公倍数）：$[1,2,\cdots,8]=2^3\times3\times5\times7=\underline{840}$。
    2. 第 2 步（现有个数）：$(3+1)(1+1)(1+1)(1+1)=4\times2\times2\times2=\underline{32}$ 个。
    3. 第 3 步（要补多少）：$96\div32=\underline{3}$，即还要把约数个数扩大到 $3$ 倍。
    4. 第 4 步（比较方案）：可以把 $3$ 的指数提到 $3$（档位 $2\to4$，只扩大 $2$ 倍，不够）；把 $2$ 的指数提到 $5$ 再配合别的都更大。最省的是新增一个最小的新质因数 $11$ 并把 $3$ 的指数提到 $2$：$n=2^3\times3^2\times5\times7\times11$，档位 $4\times3\times2\times2\times2=\underline{96}$，恰为 $96$。
    5. 第 5 步（算出 $n$）：$n=8\times9\times5\times7\times11=\underline{27720}$。
    最终答案：$n$ 的最小值是 $27\,720$。
  20. 5. ch07-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（下界）：$n$ 必是 $[1,2,\cdots,10]=\underline{2520}$（即 $8\times9\times5\times7$）的倍数，$2520$ 的约数个数为 $4\times3\times2\times2=\underline{48}$。
    2. 第 2 步（要扩大几倍）：$144\div48=\underline{3}$，即约数个数要变成原来的 $3$ 倍。
    3. 第 3 步（方案 A：新增一个最小的新质因数）：加上 $11$ 使档位多乘 $2$，再把 $2$ 的指数由 $3$ 提到 $5$（档位 $4\to6$，多乘 $\frac{3}{2}$），此时档位为 $6\times3\times2\times2\times2=\underline{144}$，$n=2^5\times3^2\times5\times7\times11=2520\times4\times11=\underline{110880}$。
    4. 第 4 步（方案 B：不新增质因数）：把 $2$ 提到 $2^5$、$3$ 提到 $3^3$、$5$ 提到 $5^2$，档位为 $6\times4\times3\times2=\underline{144}$，也恰是 $144$，此时 $n=2^5\times3^3\times5^2\times7=32\times27\times25\times7=\underline{151200}$。
    5. 第 5 步（取最小）：$110880$ 与 $151200$ 相比，较小的是 $\underline{110880}$，所以 $n$ 的最小值是 $110\,880$。
    最终答案：$n$ 的最小值是 $110\,880$。
  21. 6. ch07-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（求每圈用时）：甲 $\frac{3}{8}\div5=\underline{0.075}$（写成分数即 $\frac{3}{40}$ 小时）。
    2. 第 2 步：乙 $\frac{1}{3}\div\frac{5}{2}=\frac{2}{15}$ 小时，丙 $\frac{1}{2}\div3=\underline{0.166666667}$（即 $\frac{1}{6}$ 小时）。
    3. 第 3 步（转化）：所求时间是 $\frac{3}{40},\frac{2}{15},\frac{1}{6}$ 的最小公倍数。
    4. 第 4 步（分子取最小公倍数）：$[3,2,1]=\underline{6}$；分母取最大公约数：$(40,15,6)=\underline{1}$。
    5. 第 5 步（得答案并复核圈数）：时间 $=6\div1=\underline{6}$ 小时；甲跑 $6\div\frac{3}{40}=\underline{80}$ 圈，乙跑 $6\div\frac{2}{15}=\underline{45}$ 圈，都是整数。
    最终答案：$6$ 小时后三人第一次同时回到出发点（各跑 $80,45,36$ 圈）。
  22. 6. ch07-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：所求时间必须同时是三个转一圈时间的整数倍，即求三个分数的最小公倍数。
    2. 第 2 步（分子取最小公倍数）：分子是 $2,1,3$，$[2,1,3]=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（分母取最大公约数）：分母是 $35,16,40$，$(35,16,40)=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（得答案）：最小公倍数 $=6\div1=\underline{6}$ 分钟。
    5. 第 5 步（复核）：$6\div\frac{2}{35}=\underline{105}$ 圈，是整数，符合。
    最终答案：至少 $6$ 分钟。
  23. 6. ch07-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：求 $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4}$ 的最小公倍数。
    2. 第 2 步（分子取最小公倍数）：$[1,2,3]=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（分母取最大公约数）：$(2,3,4)=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（得时间）：$6\div1=\underline{6}$ 分钟。
    5. 第 5 步（求圈数）：$6\div\frac{1}{2}=\underline{12}$ 圈，$6\div\frac{2}{3}=\underline{9}$ 圈，$6\div\frac{3}{4}=\underline{8}$ 圈。
    最终答案：至少 $6$ 分钟，三者分别转了 $12,9,8$ 圈。
  24. 6. ch07-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求每圈用时）：甲 $\frac{1}{5}\div\frac{5}{2}=\underline{0.08}$（即 $\frac{2}{25}$ 小时）；乙 $\frac{1}{4}\div3=\underline{0.083333333}$（即 $\frac{1}{12}$ 小时）；丙 $\frac{3}{10}\div4=\underline{0.075}$（即 $\frac{3}{40}$ 小时）。
    2. 第 2 步（分子取最小公倍数）：分子是 $2,1,3$，$[2,1,3]=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（分母取最大公约数）：分母是 $25,12,40$，$(25,12,40)=\underline{1}$，所以时间 $=6\div1=\underline{6}$ 小时。
    4. 第 4 步（求圈数）：甲 $6\div\frac{2}{25}=\underline{75}$ 圈，乙 $6\div\frac{1}{12}=\underline{72}$ 圈，丙 $6\div\frac{3}{40}=\underline{80}$ 圈。
    5. 第 5 步（比较）：圈数最多的是丙 $80$ 圈，最少的是乙 $72$ 圈，相差 $80-72=\underline{8}$ 圈。
    最终答案：（1）$6$ 小时；（2）甲 $75$ 圈、乙 $72$ 圈、丙 $80$ 圈，丙最多，比最少的乙多 $8$ 圈。
  25. 7. ch07-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（关键转化）：线段 $AN_k$ 除端点外经过 $(k,900)-1$ 个格点。
    2. 第 2 步（第 (1) 问用容斥）：$900=2^2\times3^2\times5^2$。$1\sim900$ 中 $2$ 的倍数有 $450$ 个，$3$ 的倍数有 $300$ 个，$5$ 的倍数有 $180$ 个；$6$ 的倍数 $150$ 个，$10$ 的倍数 $90$ 个，$15$ 的倍数 $60$ 个，$30$ 的倍数 $30$ 个。不互质的共 $450+300+180-150-90-60+30=\underline{660}$ 个。
    3. 第 3 步（得互质条数）：$900-660=\underline{240}$ 条。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：$k<900$ 时 $(k,900)$ 最大是 $900\div2=\underline{450}$（取 $k=450$），此时经过 $450-1=\underline{449}$ 个格点。
    5. 第 5 步（第 (3) 问）：恰经过 $29$ 个即 $(k,900)=30$，$k=30a$ 且 $a$ 与 $900\div30=\underline{30}$ 互质，$a$ 在 $1\sim29$ 中与 $30$ 互质的有 $1,7,11,13,17,19,23,29$ 共 $\underline{8}$ 个。
    最终答案：（1）$240$ 条；（2）$449$ 个；（3）$8$ 条。
  26. 7. ch07-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：第 $k$ 条绳中途碰到的标桩数是 $(k,600)-1$。
    2. 第 2 步（第 (1) 问容斥）：$600=2^3\times3\times5^2$，$1\sim600$ 中与 $600$ 不互质的有 $300+200+120-100-60-40+20=\underline{440}$ 个。
    3. 第 3 步：互质的有 $600-440=\underline{160}$ 条。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：$(k,600)$ 最大为 $600\div2=\underline{300}$，碰到 $300-1=\underline{299}$ 个。
    5. 第 5 步（第 (3) 问）：$(k,600)=30$，$k=30a$ 且 $a$ 与 $600\div30=\underline{20}$ 互质，$a$ 取 $1,3,7,9,11,13,17,19$ 共 $8$ 条。
    最终答案：（1）$160$ 条；（2）$299$ 个；（3）$8$ 条。
  27. 7. ch07-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：线段 $AN_k$ 除端点外经过 $(k,1000)-1$ 个格点。
    2. 第 2 步（容斥）：$1000=2^3\times5^3$，只有两个质因数。$1\sim1000$ 中 $2$ 的倍数 $500$ 个、$5$ 的倍数 $200$ 个、$10$ 的倍数 $100$ 个，不互质的共 $500+200-100=\underline{600}$ 个。
    3. 第 3 步（互质条数）：$1000-600=\underline{400}$ 条。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：最大的 $(k,1000)$ 是 $1000\div2=\underline{500}$，经过 $500-1=\underline{499}$ 个格点。
    5. 第 5 步（第 (3) 问）：恰经过 $24$ 个即 $(k,1000)=25$，$k=25a$ 且 $a$ 与 $1000\div25=\underline{40}$ 互质；$1\sim39$ 中与 $40$ 互质的数共 $\underline{16}$ 个。
    最终答案：（1）$400$ 条；（2）$499$ 个；（3）$16$ 条。
  28. 7. ch07-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：线段 $AN_k$ 除端点外经过 $(k,720)-1$ 个格点。
    2. 第 2 步（容斥）：$720=2^4\times3^2\times5$。$1\sim720$ 中 $2$ 的倍数 $360$ 个、$3$ 的倍数 $240$ 个、$5$ 的倍数 $144$ 个；$6$ 的倍数 $120$ 个、$10$ 的倍数 $72$ 个、$15$ 的倍数 $48$ 个、$30$ 的倍数 $24$ 个。不互质的共 $360+240+144-120-72-48+24=\underline{528}$ 个。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：互质的有 $720-528=\underline{192}$ 条。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：最大的 $(k,720)$ 为 $720\div2=\underline{360}$，经过 $360-1=\underline{359}$ 个格点。
    5. 第 5 步（第 (3) 问）：恰经过 $47$ 个即 $(k,720)=48$，$k=48a$ 且 $a$ 与 $720\div48=\underline{15}$ 互质；$1\sim14$ 中与 $15$ 互质的有 $1,2,4,7,8,11,13,14$ 共 $\underline{8}$ 个。
    6. 第 6 步（第 (4) 问）：恰经过 $5$ 个即 $(k,720)=6$，$k=6a$ 且 $a$ 与 $720\div6=\underline{120}$ 互质；$1\sim119$ 中与 $120$ 互质的共 $\underline{32}$ 个。
    最终答案：（1）$192$ 条；（2）$359$ 个；（3）$8$ 条；（4）$32$ 条。
  29. 9. ch07-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（分解）：$360=2^3\times3^2\times5$。
    2. 第 2 步（总个数）：指数加一连乘，$(3+1)\times(2+1)\times(1+1)=4\times3\times2=\underline{24}$ 个。
    3. 第 3 步（提因子）：是 $3$ 的倍数的约数写成 $3\times d$，则 $d$ 是 $360\div3=\underline{120}$ 的约数。
    4. 第 4 步（再用公式）：$120=2^3\times3\times5$，约数个数 $=4\times2\times2=\underline{16}$ 个。
    最终答案：$360$ 共有 $24$ 个约数，其中 $3$ 的倍数有 $16$ 个。
  30. 9. ch07-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：每盒块数必须整除 $72$，装法数就是 $72$ 的约数个数。
    2. 第 2 步（分解并计数）：$72=2^3\times3^2$，装法共 $(3+1)\times(2+1)=\underline{12}$ 种。
    3. 第 3 步（提因子）：每盒块数是 $3$ 的倍数，写成 $3\times d$，则 $d$ 是 $72\div3=\underline{24}$ 的约数。
    4. 第 4 步（再用公式）：$24=2^3\times3$，共 $4\times2=\underline{8}$ 种。
    最终答案：（1）$12$ 种；（2）$8$ 种。
  31. 9. ch07-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$540=2^2\times3^3\times5$。
    2. 第 2 步（总个数）：$(2+1)\times(3+1)\times(1+1)=3\times4\times2=\underline{24}$ 个。
    3. 第 3 步（提因子 $5$）：约数写成 $5\times d$，$d$ 是 $540\div5=\underline{108}$ 的约数。
    4. 第 4 步（再用公式）：$108=2^2\times3^3$，约数个数 $=3\times4=\underline{12}$ 个。
    最终答案：$540$ 共有 $24$ 个约数，其中 $5$ 的倍数有 $12$ 个。
  32. 9. ch07-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$720=2^4\times3^2\times5$。
    2. 第 2 步（总个数）：$(4+1)\times(2+1)\times(1+1)=5\times3\times2=\underline{30}$ 个。
    3. 第 3 步（提出 $6$）：是 $6$ 的倍数的约数写成 $6\times d$，$d$ 是 $720\div6=\underline{120}$ 的约数。
    4. 第 4 步（再用公式）：$120=2^3\times3\times5$，个数 $=4\times2\times2=\underline{16}$ 个。
    5. 第 5 步（奇约数）：奇约数不含 $2$，即 $3^2\times5=45$ 的约数，共 $3\times2=\underline{6}$ 个。
    最终答案：共 $30$ 个约数，其中 $6$ 的倍数 $16$ 个，奇数 $6$ 个。
  33. 10. ch07-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（分解）：$7560=2^3\times3^3\times5\times7$。
    2. 第 2 步（约数个数）：$(3+1)\times(3+1)\times(1+1)\times(1+1)=4\times4\times2\times2=\underline{64}$ 个。
    3. 第 3 步（配对）：约数两两配对，每对之积都是 $7560$，共 $64\div2=\underline{32}$ 对，所以乘积 $=7560^{32}$。
    4. 第 4 步（展开指数）：把每个指数都乘 $32$，$3\times32=\underline{96}$，$1\times32=\underline{32}$。
    最终答案：共 $64$ 个约数；乘积为 $2^{96}\times3^{96}\times5^{32}\times7^{32}$。
  34. 10. ch07-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（分解）：$5400=2^3\times3^3\times5^2$。
    2. 第 2 步（个数）：$(3+1)\times(3+1)\times(2+1)=4\times4\times3=\underline{48}$ 个。
    3. 第 3 步（配对）：每个约数 $d$ 与 $5400\div d$ 配成一对、乘积为 $5400$，共 $48\div2=\underline{24}$ 对。
    4. 第 4 步（展开）：乘积 $=5400^{24}$，指数各乘 $24$：$3\times24=\underline{72}$，$2\times24=\underline{48}$。
    最终答案：（1）$48$ 个；（2）$2^{72}\times3^{72}\times5^{48}$。
  35. 10. ch07-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$12600=2^3\times3^2\times5^2\times7$。
    2. 第 2 步（个数）：$4\times3\times3\times2=\underline{72}$ 个。
    3. 第 3 步（配对）：共 $72\div2=\underline{36}$ 对，乘积 $=12600^{36}$。
    4. 第 4 步（展开指数）：$3\times36=\underline{108}$，$2\times36=\underline{72}$，$1\times36=\underline{36}$。
    最终答案：共 $72$ 个约数；乘积为 $2^{108}\times3^{72}\times5^{72}\times7^{36}$。
  36. 10. ch07-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$3600=2^4\times3^2\times5^2$。
    2. 第 2 步（个数）：$(4+1)\times(2+1)\times(2+1)=5\times3\times3=\underline{45}$ 个。
    3. 第 3 步（为什么是奇数）：$3600=60\times60$ 是完全平方数，配对时 $60$ 与自己配成一对，只算一个，所以个数为奇数。
    4. 第 4 步（配对求积）：把 $60$ 单独留出，其余 $45-1=\underline{44}$ 个约数配成 $44\div2=\underline{22}$ 对，乘积 $=3600^{22}\times60=60^{44}\times60=60^{45}$。
    5. 第 5 步（展开）：$60=2^2\times3\times5$，指数各乘 $45$：$2\times45=\underline{90}$，$1\times45=\underline{45}$。
    最终答案：共 $45$ 个约数（奇数，因为 $3600$ 是完全平方数）；乘积为 $60^{45}=2^{90}\times3^{45}\times5^{45}$。
  37. 12. ch07-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（分解）：$4400=2^4\times5^2\times11$。
    2. 第 2 步（奇偶分析）：两个约数个数相差 $1$，必是一奇一偶；约数个数为奇数的数一定是完全平方数。
    3. 第 3 步（找完全平方约数）：$4400$ 的约数中大于 $1$ 的完全平方数有 $4,16,400$，先试 $16=2^4$，它的约数个数 $=4+1=\underline{5}$ 个。
    4. 第 4 步（配对）：另一个数为 $4400\div16=\underline{275}$，而 $275=5^2\times11$ 的约数个数 $=3\times2=\underline{6}$ 个。
    5. 第 5 步（检验）：$6-5=\underline{1}$，恰好相差 $1$，符合要求。
    最终答案：这两个数是 $16$ 和 $275$。
  38. 12. ch07-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：长 $\times$ 宽 $=2800$，即求乘积为 $2800$ 且约数个数相差 $1$ 的一对数。
    2. 第 2 步（奇偶分析）：约数个数相差 $1$ 必一奇一偶，个数为奇数的那个是完全平方数。
    3. 第 3 步（试 $16$）：$16=2^4$，约数个数 $=4+1=\underline{5}$ 个；另一边 $2800\div16=\underline{175}$ 厘米。
    4. 第 4 步（检验）：$175=5^2\times7$，约数个数 $=3\times2=\underline{6}$ 个，比 $5$ 多 $\underline{1}$，符合。
    最终答案：宽 $16$ 厘米，长 $175$ 厘米。
  39. 12. ch07-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$2816=2^8\times11$。
    2. 第 2 步（找完全平方约数）：大于 $1$ 的完全平方约数有 $4,16,64,256$。试 $64=2^6$，约数个数 $=6+1=\underline{7}$ 个（奇数，符合完全平方）。
    3. 第 3 步（配对）：另一个数为 $2816\div64=\underline{44}$。
    4. 第 4 步（检验）：$44=2^2\times11$，约数个数 $=3\times2=\underline{6}$ 个，$7-6=\underline{1}$，恰相差 $1$。
    最终答案：这两个数是 $44$ 和 $64$。
  40. 12. ch07-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$2808=2^3\times3^3\times13$。
    2. 第 2 步（找完全平方约数）：大于 $1$ 的有 $4,9,36$。试 $36=2^2\times3^2$，约数个数 $=3\times3=\underline{9}$ 个（奇数）。
    3. 第 3 步（配对检验）：另一数 $=2808\div36=\underline{78}$，$78=2\times3\times13$ 的约数个数 $=2\times2\times2=\underline{8}$ 个，与 $9$ 相差 $1$，符合。
    4. 第 4 步（求最大公约数）：$36=2^2\times3^2$，$78=2\times3\times13$，公有取低次得 $2\times3=\underline{6}$。
    5. 第 5 步（求最小公倍数）：用两数之积除以最大公约数，$2808\div6=\underline{468}$。
    最终答案：（1）$36$ 和 $78$；（2）最大公约数 $6$，最小公倍数 $468$。
  41. 13. ch07-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（分解 $551$）：顺次试除，$551\div19=\underline{29}$，所以 $551=19\times29$。
    2. 第 2 步（分解 $589$）：$589\div19=\underline{31}$，所以 $589=19\times31$。
    3. 第 3 步（求两量）：公有质因数是 $19$，$(551,589)=\underline{19}$；全体取高次，$[551,589]=19\times29\times31=\underline{17081}$。
    4. 第 4 步（分解三个数）：$24=2^3\times3$，$36=2^2\times3^2$，$60=2^2\times3\times5$。
    5. 第 5 步（公有取低次）：$2$ 取 $2^2$、$3$ 取 $3^1$，$(24,36,60)=4\times3=\underline{12}$。
    6. 第 6 步（全体取高次）：$[24,36,60]=8\times9\times5=\underline{360}$。
    最终答案：（1）$(551,589)=19$，$[551,589]=17\,081$；（2）$(24,36,60)=12$，$[24,36,60]=360$。
  42. 13. ch07-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（辨别）：每段最长求最大公约数；一样长的最短总长求最小公倍数。
    2. 第 2 步（分解）：$357\div3=\underline{119}$，$119=7\times17$，故 $357=3\times7\times17$；$391\div17=\underline{23}$，故 $391=17\times23$。
    3. 第 3 步（最大公约数）：公有质因数只有 $17$，所以每段最长 $\underline{17}$ 厘米。
    4. 第 4 步（最小公倍数）：$[391,357]=17\times3\times7\times23=\underline{8211}$ 厘米。
    最终答案：（1）每段最长 $17$ 厘米；（2）至少各接到 $8211$ 厘米。
  43. 13. ch07-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$403\div13=\underline{31}$，$533\div13=\underline{41}$，所以 $403=13\times31$，$533=13\times41$。
    2. 第 2 步（求两量）：$(403,533)=\underline{13}$，$[403,533]=13\times31\times41=\underline{16523}$。
    3. 第 3 步（分解三数）：$20=2^2\times5$，$30=2\times3\times5$，$45=3^2\times5$。
    4. 第 4 步（公有取低次）：三个数都含的只有 $5$，$(20,30,45)=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（全体取高次）：$[20,30,45]=4\times9\times5=\underline{180}$。
    最终答案：（1）$(403,533)=13$，$[403,533]=16\,523$；（2）$(20,30,45)=5$，$[20,30,45]=180$。
  44. 13. ch07-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：两数都是偶数，$682\div2=\underline{341}$，$806\div2=\underline{403}$。
    2. 第 2 步（继续分解）：$341=11\times31$，$403=13\times31$，所以 $682=2\times11\times31$，$806=2\times13\times31$。
    3. 第 3 步（公有取低次）：公有质因数是 $2$ 和 $31$，$(682,806)=2\times31=\underline{62}$。
    4. 第 4 步（全体取高次）：$[682,806]=2\times11\times13\times31=\underline{8866}$。
    5. 第 5 步（验证）：$62\times8866=\underline{549692}$，而 $682\times806=\underline{549692}$，两者相等。
    最终答案：（1）$(682,806)=62$，$[682,806]=8866$；（2）两边都是 $549\,692$，关系成立。
  45. 14. ch07-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（辗转相除）：$2299\div2261=1\cdots\underline{38}$。
    2. 第 2 步：$2261\div38=59\cdots\underline{19}$（因为 $38\times59=2242$），再 $38\div19=2\cdots0$，所以 $(2261,2299)=19$。
    3. 第 3 步（并入第三数）：$2717\div19=\underline{143}$，能整除，所以三数的最大公约数是 $19$。
    4. 第 4 步（借公因数拆开）：$2261=19\times7\times17$，$2299=19\times11^2$，$2717=19\times11\times13$。
    5. 第 5 步（全体取高次）：$[2261,2299,2717]=7\times121\times13\times17\times19=\underline{3556553}$。
    最终答案：最大公约数是 $19$，最小公倍数是 $3\,556\,553$。
  46. 14. ch07-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（辨别）：共用最大分组求最大公约数，同时回到起点求最小公倍数。
    2. 第 2 步（辗转相除）：$1573\div1547=1\cdots\underline{26}$，$1547\div26=59\cdots\underline{13}$，$26\div13=2\cdots0$，得 $(1573,1547)=13$。
    3. 第 3 步（并入第三个）：$1859\div13=\underline{143}$，能整除，故最大公约数为 $13$ 齿。
    4. 第 4 步（求最小公倍数）：$1547=13\times7\times17$，$1573=13\times11^2$，$1859=13^2\times11$，全体取高次得 $7\times121\times169\times17=\underline{2433431}$ 齿。
    最终答案：（1）$13$ 齿；（2）至少 $2\,433\,431$ 齿。
  47. 14. ch07-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（辗转相除）：$1147\div1073=1\cdots\underline{74}$。
    2. 第 2 步：$1073\div74=14\cdots\underline{37}$（$74\times14=1036$），再 $74\div37=2\cdots0$，所以 $(1073,1147)=37$。
    3. 第 3 步（并入第三数）：$1591\div37=\underline{43}$，能整除，故最大公约数为 $37$。
    4. 第 4 步（拆开）：$1073=37\times29$，$1147=37\times31$，$1591=37\times43$。
    5. 第 5 步（全体取高次）：最小公倍数 $=37\times29\times31\times43=\underline{1430309}$。
    最终答案：最大公约数是 $37$，最小公倍数是 $1\,430\,309$。
  48. 14. ch07-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（辗转相除）：$2701\div2183=1\cdots\underline{518}$。
    2. 第 2 步：$2183\div518=4\cdots\underline{111}$（$518\times4=2072$），$518\div111=4\cdots\underline{74}$（$111\times4=444$），$111\div74=1\cdots37$，$74\div37=2\cdots0$，故 $(2183,2701)=37$。
    3. 第 3 步（并入第三数）：$3293\div37=\underline{89}$，能整除，最大公约数为 $37$。
    4. 第 4 步（拆开求最小公倍数）：$2183=37\times59$，$2701=37\times73$，$3293=37\times89$，最小公倍数 $=37\times59\times73\times89=\underline{14182951}$。
    5. 第 5 步（求倍数）：$14182951\div37=\underline{383323}$。
    最终答案：（1）最大公约数 $37$，最小公倍数 $14\,182\,951$；（2）是最大公约数的 $383\,323$ 倍。
  49. 15. ch07-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（先减余数）：分出去的苹果 $450-18=\underline{432}$ 个，梨 $700-52=\underline{648}$ 个，橘子 $300-12=\underline{288}$ 个。
    2. 第 2 步（人数是公约数）：$432=2^4\times3^3$，$648=2^3\times3^4$，$288=2^5\times3^2$，公有取低次得 $8\times9=\underline{72}$。
    3. 第 3 步（用余数筛）：梨剩了 $52$ 个还分不动，说明人数必须大于 $52$。$72$ 的约数中大于 $52$ 的只有 $\underline{72}$。
    4. 第 4 步（每人苹果）：$432\div72=\underline{6}$ 个。
    最终答案：共有 $72$ 个小朋友，每人分得 $6$ 个苹果。
  50. 15. ch07-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（先减余数）：分出去的铅笔 $225-9=\underline{216}$，本子 $350-26=\underline{324}$，橡皮 $150-6=\underline{144}$。
    2. 第 2 步（人数是公约数）：$(216,324,144)=4\times9=\underline{36}$。
    3. 第 3 步（用余数筛）：本子剩 $26$ 本还分不动，人数必须大于 $26$；$36$ 的约数中只有 $36$ 满足。
    4. 第 4 步（每人铅笔）：$216\div36=\underline{6}$ 支。
    最终答案：每位成员分到 $6$ 支铅笔。
  51. 15. ch07-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（先减余数）：糖 $272-20=\underline{252}$，饼干 $372-12=\underline{360}$，果冻 $294-6=\underline{288}$。
    2. 第 2 步（求最大公约数）：$252=2^2\times3^2\times7$，$360=2^3\times3^2\times5$，$288=2^5\times3^2$，公有取低次得 $4\times9=\underline{36}$。
    3. 第 3 步（用余数筛）：最大余数是糖的 $20$，人数必须大于 $20$；$36$ 的约数中大于 $20$ 的只有 $\underline{36}$。
    4. 第 4 步（每人饼干）：$360\div36=\underline{10}$ 块。
    最终答案：共有 $36$ 个小朋友，每人分得 $10$ 块饼干。
  52. 15. ch07-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（先减余数）：苹果 $505-25=\underline{480}$，梨 $635-11=\underline{624}$，橘子 $345-9=\underline{336}$。
    2. 第 2 步（求最大公约数）：$480=2^5\times3\times5$，$624=2^4\times3\times13$，$336=2^4\times3\times7$，公有取低次得 $16\times3=\underline{48}$。
    3. 第 3 步（用余数筛）：最大余数是 $25$，人数须大于 $25$；$48$ 的约数中大于 $25$ 的只有 $\underline{48}$。
    4. 第 4 步（每人份额）：苹果 $480\div48=\underline{10}$，梨 $624\div48=\underline{13}$，橘子 $336\div48=\underline{7}$。
    5. 第 5 步（总量）：分出去的水果共 $480+624+336=\underline{1440}$ 个。
    最终答案：（1）$48$ 个小朋友；（2）每人苹果 $10$、梨 $13$、橘子 $7$ 个；（3）共分出 $1440$ 个。
  53. 16. ch07-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（用关系式）：两数之积 $=12\times360=\underline{4320}$。
    2. 第 2 步（求这个数）：$4320\div24=\underline{180}$。
    3. 第 3 步（回代验算最大公约数）：$180=2^2\times3^2\times5$，$24=2^3\times3$，公有取低次得 $4\times3=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（回代验算最小公倍数）：全体取高次得 $8\times9\times5=\underline{360}$，与题目一致。
    最终答案：这个数是 $180$。
  54. 16. ch07-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（用关系式）：两数之积 $=8\times80=\underline{640}$。
    2. 第 2 步（求甲）：$640\div16=\underline{40}$ 个。
    3. 第 3 步（复核）：$(40,16)=\underline{8}$，$[40,16]=\underline{80}$，与题目一致。
    最终答案：甲每箱装 $40$ 个。
  55. 16. ch07-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（用关系式）：两数之积 $=15\times315=\underline{4725}$。
    2. 第 2 步（求这个数）：$4725\div45=\underline{105}$。
    3. 第 3 步（回代验算）：$105=3\times5\times7$，$45=3^2\times5$，公有取低次得 $3\times5=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（验最小公倍数）：全体取高次得 $9\times5\times7=\underline{315}$，与题目一致。
    最终答案：这个数是 $105$。
  56. 16. ch07-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（用关系式）：两数之积 $=6\times252=\underline{1512}$。
    2. 第 2 步（求这个数）：$1512\div36=\underline{42}$。
    3. 第 3 步（回代验算）：$42=2\times3\times7$，$36=2^2\times3^2$，公有取低次得 $2\times3=\underline{6}$，全体取高次得 $4\times9\times7=\underline{252}$，与题目一致。
    4. 第 4 步（求约数个数）：$42=2\times3\times7$，指数都是 $1$，约数个数 $=2\times2\times2=\underline{8}$ 个。
    最终答案：（1）这个数是 $42$；（2）它有 $8$ 个约数。
  57. 17. ch07-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（设法算商）：设两数为 $24a$、$24b$（$a,b$ 互质），则 $ab=480\div24=\underline{20}$。
    2. 第 2 步（找互质拆法）：$20=1\times20=2\times10=4\times5$，其中 $2$ 与 $10$ 都含 $2$、不互质，舍去。
    3. 第 3 步（用不成倍数筛）：$1\times20$ 会给出 $24$ 与 $24\times20=\underline{480}$，后者是前者的倍数，与条件矛盾，舍去。
    4. 第 4 步（还原）：只能取 $4\times5$，两数为 $24\times4=\underline{96}$ 与 $24\times5=\underline{120}$。
    最终答案：这两个数是 $96$ 和 $120$。
  58. 17. ch07-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（设法算商）：设两队人数为 $18a$、$18b$（$a,b$ 互质），$ab=216\div18=\underline{12}$。
    2. 第 2 步（互质拆法）：$12=1\times12=2\times6=3\times4$，$2$ 与 $6$ 不互质，舍去。
    3. 第 3 步（用不成倍数筛）：$1\times12$ 给出 $18$ 与 $18\times12=\underline{216}$，是倍数关系，舍去。
    4. 第 4 步（还原）：取 $3\times4$，两队为 $18\times3=\underline{54}$ 人与 $18\times4=\underline{72}$ 人。
    最终答案：两队分别是 $54$ 人和 $72$ 人。
  59. 17. ch07-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（算商）：$ab=588\div21=\underline{28}$。
    2. 第 2 步（互质拆法）：$28=1\times28=2\times14=4\times7$，$2$ 与 $14$ 不互质舍去。
    3. 第 3 步（用不成倍数筛）：$1\times28$ 给出 $21$ 与 $21\times28=\underline{588}$，成倍数关系舍去。
    4. 第 4 步（还原）：取 $4\times7$，两数为 $21\times4=\underline{84}$ 与 $21\times7=\underline{147}$。
    最终答案：这两个数是 $84$ 和 $147$。
  60. 17. ch07-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（算商）：设两数为 $9a$、$9b$（$a,b$ 互质），$ab=1620\div9=\underline{180}$。
    2. 第 2 步（找互质拆法）：$180=2^2\times3^2\times5$，同一质因数不能分到两边，所以 $4,9,5$ 三块整块分配。除去 $1\times180$（会成倍数关系，舍去），可拆成 $4\times45$、$9\times20$、$5\times36$，共 $\underline{3}$ 组。
    3. 第 3 步（还原第一组）：$9\times4=36$ 与 $9\times45=\underline{405}$，和为 $36+405=\underline{441}$。
    4. 第 4 步（还原第二组）：$9\times9=81$ 与 $9\times20=\underline{180}$，和为 $81+180=\underline{261}$。
    5. 第 5 步（还原第三组）：$9\times5=45$ 与 $9\times36=\underline{324}$，和为 $45+324=\underline{369}$。
    最终答案：三组：$36$ 与 $405$（和 $441$）、$81$ 与 $180$（和 $261$）、$45$ 与 $324$（和 $369$）。
  61. 18. ch07-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（设法）：设两数为 $8a$、$8b$（$a,b$ 互质）。
    2. 第 2 步（由两量得 $ab$）：$8a\times8b=8\times1120$，所以 $ab=8\times1120\div64=\underline{140}$。
    3. 第 3 步（由差得 $b-a$）：$8\times(b-a)=184$，所以 $b-a=184\div8=\underline{23}$。
    4. 第 4 步（匹配）：$140=1\times140=4\times35=5\times28=7\times20$，其中相差 $23$ 的是 $5$ 与 $28$（$28-5=\underline{23}$），且 $5,28$ 互质。
    5. 第 5 步（还原）：较小的数 $=8\times5=\underline{40}$，较大的数 $=8\times28=\underline{224}$。
    最终答案：较小的数是 $40$（另一个数是 $224$）。
  62. 18. ch07-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（设法）：设两根长为 $6a$、$6b$ 厘米（$a,b$ 互质）。
    2. 第 2 步（由两量得 $ab$）：$36ab=6\times420$，$ab=6\times420\div36=\underline{70}$。
    3. 第 3 步（由差得 $b-a$）：$6\times(b-a)=18$，$b-a=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（匹配）：$70=7\times10$，恰好 $10-7=3$ 且互质。
    5. 第 5 步（还原）：较短的一根 $=6\times7=\underline{42}$ 厘米。
    最终答案：较短的一根长 $42$ 厘米。
  63. 18. ch07-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（设法与求积）：设两数为 $12a$、$12b$（互质），$ab=12\times720\div144=\underline{60}$。
    2. 第 2 步（由差得 $b-a$）：$12\times(b-a)=132$，$b-a=132\div12=\underline{11}$。
    3. 第 3 步（匹配）：$60=1\times60=3\times20=4\times15=5\times12$，其中 $15-4=\underline{11}$，正好是 $11$，且 $4,15$ 互质。
    4. 第 4 步（还原）：较小数 $=12\times4=\underline{48}$，较大数 $=12\times15=\underline{180}$。
    最终答案：较小的数是 $48$（另一个是 $180$）。
  64. 18. ch07-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（设法求积）：设两数为 $15a$、$15b$（互质），$ab=15\times3150\div225=\underline{210}$。
    2. 第 2 步（由差得 $b-a$）：$15\times(b-a)=165$，$b-a=165\div15=\underline{11}$。
    3. 第 3 步（匹配）：要找 $ab=210$ 且 $b-a=11$ 的互质一对，试 $10\times21=\underline{210}$，且 $21-10=\underline{11}$，$10$ 与 $21$ 互质，符合。
    4. 第 4 步（还原两数）：较小 $=15\times10=\underline{150}$，较大 $=15\times21=\underline{315}$。
    5. 第 5 步（求和）：$150+315=\underline{465}$。
    最终答案：（1）两数是 $150$ 和 $315$；（2）和是 $465$。
  65. 19. ch07-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（夹逼）：每个数都是 $26$ 的倍数又是 $52$ 的约数，而 $52\div26=\underline{2}$，所以每个数只能是 $26$ 或 $52$。
    2. 第 2 步（排除全同）：三个都取 $52$ 则最大公约数是 $52$，不合；三个都取 $26$ 则最小公倍数是 $26$，也不合。
    3. 第 3 步（情形一：两个 $26$、一个 $52$）：和 $=26+26+52=\underline{104}$。
    4. 第 4 步（情形二：一个 $26$、两个 $52$）：和 $=26+52+52=\underline{130}$。
    最终答案：和可能是 $104$ 或 $130$。
  66. 19. ch07-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（夹逼）：每个数是 $35$ 的倍数且是 $70$ 的约数，$70\div35=\underline{2}$，所以只能取 $35$ 或 $70$。
    2. 第 2 步（排除全同）：全取 $70$ 最大公约数会变成 $70$；全取 $35$ 最小公倍数只有 $35$，都不合题意。
    3. 第 3 步（两个 $35$、一个 $70$）：和 $=35+35+70=\underline{140}$。
    4. 第 4 步（一个 $35$、两个 $70$）：和 $=35+70+70=\underline{175}$。
    最终答案：和可能是 $140$ 或 $175$。
  67. 19. ch07-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（夹逼）：$90\div45=\underline{2}$，每个数只能是 $45$ 或 $90$。
    2. 第 2 步（排除全同）：不能全是 $45$（最小公倍数会是 $45$），也不能全是 $90$（最大公约数会是 $90$）。
    3. 第 3 步（两个 $45$、一个 $90$）：和 $=45+45+90=\underline{180}$。
    4. 第 4 步（一个 $45$、两个 $90$）：和 $=45+90+90=\underline{225}$。
    最终答案：和可能是 $180$ 或 $225$。
  68. 19. ch07-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（夹逼）：每个数是 $12$ 的倍数且是 $24$ 的约数，$24\div12=\underline{2}$，所以每个数只能是 $12$ 或 $24$。
    2. 第 2 步（两端条件）：至少要有一个 $12$（否则最大公约数是 $24$），也至少要有一个 $24$（否则最小公倍数是 $12$），所以 $24$ 的个数只能是 $1,2,3$ 个。
    3. 第 3 步（一个 $24$）：和 $=12+12+12+24=\underline{60}$。
    4. 第 4 步（两个 $24$）：和 $=12+12+24+24=\underline{72}$。
    5. 第 5 步（三个 $24$）：和 $=12+24+24+24=\underline{84}$。
    最终答案：和可能是 $60$、$72$ 或 $84$。
  69. 20. ch07-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（整除性）：设最大公约数为 $d$，则和也是 $d$ 的倍数，$2145=3\times5\times11\times13$，所以 $d$ 是 $2145$ 的约数。
    2. 第 2 步（最小和上界）：$5$ 个数互不相同，最小取 $d,2d,3d,4d,5d$，和至少 $d\times(1+2+3+4+5)=\underline{15}\times d$。
    3. 第 3 步（解不等式）：$15d\le2145$，所以 $d\le2145\div15=\underline{143}$。
    4. 第 4 步（取最大约数）：$2145$ 的约数中不超过 $143$ 的最大者是 $11\times13=\underline{143}$。
    5. 第 5 步（构造验证）：取 $143,286,429,572,715$，它们的和 $=143\times15=\underline{2145}$，恰为 $2145$。
    最终答案：最大公约数最大能是 $143$。
  70. 20. ch07-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（整除性）：每班本数都是 $d$ 的倍数，总数也是，$1111=11\times\underline{101}$，所以 $d$ 是 $1111$ 的约数。
    2. 第 2 步（最小和上界）：四个数互不相同，至少是 $d,2d,3d,4d$，和至少 $d\times(1+2+3+4)=\underline{10}\times d$。
    3. 第 3 步（解不等式）：$10d\le1111$，所以 $d\le111$（取整）。
    4. 第 4 步（取最大约数）：$1111$ 的约数 $1,11,101,1111$ 中不超过 $111$ 的最大者是 $\underline{101}$。
    5. 第 5 步（构造）：$101\times1+101\times2+101\times3+101\times5=101\times11=\underline{1111}$，正好 $1111$ 本。
    最终答案：$d$ 最大是 $101$。
  71. 20. ch07-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（整除性）：$2323=23\times101$，$d$ 必是 $2323$ 的约数，候选为 $1,23,101,2323$。
    2. 第 2 步（最小和上界）：四数不同，和至少 $d\times(1+2+3+4)=\underline{10}\times d$，所以 $10d\le2323$，$d\le232$（取整）。
    3. 第 3 步（取最大候选）：候选中不超过 $232$ 的最大者是 $\underline{101}$。
    4. 第 4 步（构造）：$2323\div101=\underline{23}$，要把 $23$ 拆成 $4$ 个不同正整数之和，如 $1+2+3+17=\underline{23}$。
    5. 第 5 步（写出实例）：四数为 $101,202,303,1717$，和恰为 $2323$。
    最终答案：最大公约数最大能是 $101$。
  72. 20. ch07-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（整除性）：$4095=3^2\times5\times7\times13$，最大公约数 $d$ 必是 $4095$ 的约数。
    2. 第 2 步（最小和上界）：$6$ 个不同数至少是 $d,2d,\cdots,6d$，和至少 $d\times(1+2+3+4+5+6)=\underline{21}\times d$。
    3. 第 3 步（解不等式）：$21d\le4095$，所以 $d\le4095\div21=\underline{195}$。
    4. 第 4 步（找最大约数）：试 $195=3\times5\times13$，$4095\div195=\underline{21}$，能整除且 $195\le195$，所以 $d$ 最大为 $195$。
    5. 第 5 步（构造）：商 $21$ 恰好等于 $1+2+3+4+5+6$，所以取 $195,390,585,780,975,1170$，和 $=195\times21=\underline{4095}$。
    最终答案：（1）最大公约数最大是 $195$；（2）如 $195,390,585,780,975,1170$。
  73. 21. ch07-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（分解）：$900=2^2\times3^2\times5^2$，$1225=5^2\times7^2$，$1764=2^2\times3^2\times7^2$。
    2. 第 2 步（看质因数 $2$）：甲乙、甲丙都含 $2^2$，乙丙不含 $2$，说明 $2^2$ 只能来自甲，甲含 $2^2=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（看质因数 $3$）：甲乙、甲丙都含 $3^2$，乙丙不含 $3$，所以甲含 $3^2=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（排除 $5,7$）：甲丙不含 $5$，故甲不含 $5$；甲乙不含 $7$，故甲不含 $7$。
    5. 第 5 步（得甲）：甲 $=4\times9=\underline{36}$。
    最终答案：甲数是 $36$。
  74. 21. ch07-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：同时保养的最短间隔就是两周期的最小公倍数。
    2. 第 2 步（分解）：$90=2\times3^2\times5$，$105=3\times5\times7$，$126=2\times3^2\times7$。
    3. 第 3 步（看 $2$）：含甲的两个最小公倍数都有 $2$，不含甲的那个没有 $2$，所以 $2$ 来自甲。
    4. 第 4 步（看 $3$）：含甲的两个都含 $3^2=\underline{9}$，而乙丙只含 $3$，所以甲含 $3^2$。
    5. 第 5 步（得甲）：甲不含 $5$、不含 $7$，所以甲 $=2\times9=\underline{18}$ 天。
    最终答案：甲的保养周期是 $18$ 天。
  75. 21. ch07-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$1260=2^2\times3^2\times5\times7$，$385=5\times7\times11$，$396=2^2\times3^2\times11$。
    2. 第 2 步（看 $2$）：甲乙、甲丙都含 $2^2$，乙丙不含 $2$，所以甲含 $2^2=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（看 $3$）：甲乙、甲丙都含 $3^2$，乙丙不含 $3$，所以甲含 $3^2=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（排除 $5,7,11$）：甲丙不含 $5,7$，甲乙不含 $11$，所以甲都不含。
    5. 第 5 步（得甲）：甲 $=4\times9=\underline{36}$。
    最终答案：甲数是 $36$。
  76. 21. ch07-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$1980=2^2\times3^2\times5\times11$，$2695=5\times7^2\times11$，$1764=2^2\times3^2\times7^2$。
    2. 第 2 步（看 $2$ 与 $3$）：甲乙、甲丙都含 $2^2$ 与 $3^2$，而乙丙两者都不含，所以甲含 $2^2\times3^2=4\times9=\underline{36}$。
    3. 第 3 步（排除其他质因数）：甲丙不含 $5,11$，甲乙不含 $7$，所以甲 $=36$。
    4. 第 4 步（约数个数）：$36=2^2\times3^2$，约数个数 $=(2+1)\times(2+1)=\underline{9}$ 个。
    5. 第 5 步（判完全平方）：$6\times6=\underline{36}$，所以 $36$ 是完全平方数，这也解释了它的约数个数为奇数。
    最终答案：（1）甲数是 $36$；（2）有 $9$ 个约数，且 $36=6^2$ 是完全平方数。
  77. 22. ch07-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（设法）：设数为 $2^a\times3^b$（$a,b\ge1$），则 $(a+1)(b+1)=16$。
    2. 第 2 步（拆 $16$）：拆成两个大于 $1$ 的数：$2\times8,4\times4,8\times2$，对应 $(a,b)=(1,7),(3,3),(7,1)$，即 $2\times3^7=4374$、$2^3\times3^3=\underline{216}$、$2^7\times3=\underline{384}$。
    3. 第 3 步（用最大公约数定指数）：$24=2^3\times3$，说明两数中 $2$ 的最低指数是 $3$、$3$ 的最低指数是 $1$。
    4. 第 4 步（配对检验）：$216=2^3\times3^3$ 与 $384=2^7\times3$，$2$ 的最低指数是 $3$、$3$ 的最低指数是 $1$，符合；含 $4374=2\times3^7$ 的组合里 $2$ 的最低指数只有 $1$，不符合。
    5. 第 5 步（求和）：$216+384=\underline{600}$。
    最终答案：两数之和是 $600$。
  78. 22. ch07-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（设法）：编号形如 $2^a\times3^b$（$a,b\ge1$），$(a+1)(b+1)=12$。
    2. 第 2 步（列候选）：$(a,b)=(1,5),(2,3),(3,2),(5,1)$，即 $486$、$2^2\times3^3=\underline{108}$、$2^3\times3^2=72$、$2^5\times3=\underline{96}$。
    3. 第 3 步（用最大公约数）：$12=2^2\times3$，两数中 $2$ 的最低指数是 $2$、$3$ 的最低指数是 $1$。
    4. 第 4 步（配对）：$108=2^2\times3^3$ 与 $96=2^5\times3$ 恰好满足，求和 $108+96=\underline{204}$。
    最终答案：两个编号之和是 $204$。
  79. 22. ch07-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（列候选）：由 $(a+1)(b+1)=12$ 得候选 $2\times3^5=486$、$2^2\times3^3=108$、$2^3\times3^2=\underline{72}$、$2^5\times3=96$。
    2. 第 2 步（用最大公约数定指数）：$18=2\times3^2$，两数中 $2$ 的最低指数是 $1$、$3$ 的最低指数是 $2$。
    3. 第 3 步（配对检验）：只有 $486=2\times3^5$ 与 $72=2^3\times3^2$ 满足（$2$ 的最低指数 $1$，$3$ 的最低指数 $2$）。
    4. 第 4 步（求和）：$486+72=\underline{558}$。
    最终答案：两数之和是 $558$。
  80. 22. ch07-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（列候选）：由 $(a+1)(b+1)=12$ 得 $486,108,72,96$ 四个候选。
    2. 第 2 步（用最大公约数配对）：$12=2^2\times3$ 要求 $2$ 的最低指数为 $2$、$3$ 的最低指数为 $1$，只有 $108=2^2\times3^3$ 与 $96=2^5\times3$ 满足，和为 $108+96=\underline{204}$。
    3. 第 3 步（求最小公倍数）：全体取高次，$2$ 取 $2^5$、$3$ 取 $3^3$，$[108,96]=32\times27=\underline{864}$。
    4. 第 4 步（算两数之积）：$108\times96=\underline{10368}$。
    5. 第 5 步（验证关系）：$12\times864=\underline{10368}$，与 $10368$ 相等，关系成立。
    最终答案：（1）$108$ 和 $96$（和 $204$）；（2）最小公倍数 $864$；（3）两边都是 $10\,368$，关系成立。
  81. 23. ch07-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（倍数怎么来）：把 $36$ 依次乘 $1,2,3,4$，$36\times2=\underline{72}$，$36\times3=\underline{108}$，$36\times4=\underline{144}$。
    2. 第 2 步（成对试除找约数）：从 $1$ 开始试除，除得尽就得到一对。$36\div1=36$；$36\div2=\underline{18}$；$36\div3=\underline{12}$。
    3. 第 3 步：继续试除，$36\div4=\underline{9}$；$5$ 除不尽跳过；$36\div6=\underline{6}$，两个约数在这里相遇，可以停了。
    4. 第 4 步（数一数）：把这些约数按从小到大排好是 $1,2,3,4,6,9,12,18,36$，一共 $\underline{9}$ 个。
    最终答案：（1）如 $36,72,108,144$；（2）$1,2,3,4,6,9,12,18,36$，共 $9$ 个。
  82. 23. ch07-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：每堆颗数必须能整除 $24$，所以问题就是找 $24$ 的全部约数。
    2. 第 2 步（成对试除）：$24\div1=24$；$24\div2=\underline{12}$；$24\div3=\underline{8}$；$24\div4=\underline{6}$。
    3. 第 3 步：$5$ 除不尽，而 $4$ 与 $6$ 已经相遇，说明找全了。全部约数为 $1,2,3,4,6,8,12,24$。
    4. 第 4 步（数分法）：有几个约数就有几种分法，共 $\underline{8}$ 种。
    最终答案：（1）如每堆 $1,2,3,4$ 颗；（2）共 $8$ 种分法。
  83. 23. ch07-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（配对思想）：约数总是成对出现，找到 $d$ 就同时找到 $60\div d$。
    2. 第 2 步：$60\div1=60$；$60\div2=\underline{30}$；$60\div3=\underline{20}$；$60\div4=\underline{15}$。
    3. 第 3 步：$60\div5=\underline{12}$；$60\div6=\underline{10}$；再往下 $7,8$ 都除不尽，而 $8\times8=64>60$，说明已找全。
    4. 第 4 步（数个数）：约数为 $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$，共 $\underline{12}$ 个。
    最终答案：$1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$，共 $12$ 个。
  84. 23. ch07-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（分解质因数）：短除，$72\div2=\underline{36}$，$36\div2=\underline{18}$，$18\div2=\underline{9}$，$9=3\times3$，所以 $72=2^3\times3^2$。
    2. 第 2 步（约数怎么造）：$72$ 的约数形如 $2^a\times3^b$，$a$ 可取 $0,1,2,3$ 共 $3+1=\underline{4}$ 种，$b$ 可取 $0,1,2$ 共 $2+1=\underline{3}$ 种。
    3. 第 3 步（乘法原理）：两种选法互相独立，约数个数为 $4\times3=\underline{12}$ 个。
    最终答案：$72=2^3\times3^2$，共有 $12$ 个约数。
  85. 24. ch07-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（分解 $165$）：$165\div3=\underline{55}$，$55=5\times11$，所以 $165=3\times5\times11$。
    2. 第 2 步（两两搭配）：选两个质因数相乘，$3\times5=\underline{15}$，$3\times11=\underline{33}$，$5\times11=\underline{55}$。
    3. 第 3 步（数一数）：每个质因数都只有选或不选两种，共 $2\times2\times2=\underline{8}$ 个约数，即 $1,3,5,11,15,33,55,165$。
    4. 第 4 步（分解 $108$）：$108=2^2\times3^3$，$2$ 可取 $0\sim2$ 共 $2+1=\underline{3}$ 种，$3$ 可取 $0\sim3$ 共 $3+1=\underline{4}$ 种。
    5. 第 5 步：约数个数为 $3\times4=\underline{12}$ 个。
    最终答案：（1）$1,3,5,11,15,33,55,165$；（2）$108$ 共有 $12$ 个约数。
  86. 24. ch07-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：每行人数必须整除 $105$，问题即求 $105$ 的全部约数。
    2. 第 2 步（分解）：$105\div3=\underline{35}$，$35=5\times7$，所以 $105=3\times5\times7$。
    3. 第 3 步（搭配）：两两相乘得 $3\times5=\underline{15}$，$3\times7=\underline{21}$，$5\times7=\underline{35}$。
    4. 第 4 步（数一数）：加上 $1$ 和 $105$ 本身，共 $2\times2\times2=\underline{8}$ 种排法。
    最终答案：每行可以是 $1,3,5,7,15,21,35,105$ 人，共 $8$ 种。
  87. 24. ch07-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$231\div3=\underline{77}$，$77=7\times11$，所以 $231=3\times7\times11$。
    2. 第 2 步（选一个）：约数中是质数的有 $3,7,11$。
    3. 第 3 步（选两个）：$3\times7=\underline{21}$，$3\times11=\underline{33}$，$7\times11=\underline{77}$。
    4. 第 4 步（选零个与全选）：$1$ 与 $3\times7\times11=\underline{231}$。共 $2\times2\times2=\underline{8}$ 个约数。
    最终答案：$1,3,7,11,21,33,77,231$，共 $8$ 个。
  88. 24. ch07-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$360=2^3\times3^2\times5$。
    2. 第 2 步（约数个数公式）：三个指数各加一再相乘，$(3+1)\times(2+1)\times(1+1)=4\times3\times\underline{2}=\underline{24}$ 个。
    3. 第 3 步（先算奇约数）：奇约数不含质因数 $2$，就是 $3^2\times5=45$ 的约数，共 $(2+1)\times(1+1)=\underline{6}$ 个。
    4. 第 4 步（作差得偶约数）：偶约数个数 $=24-6=\underline{18}$ 个。
    最终答案：$360$ 共有 $24$ 个约数，其中偶约数 $18$ 个。
  89. 25. ch07-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（分解）：$200\,000=2^6\times5^5$（因为 $64\times3125=\underline{200000}$）。
    2. 第 2 步（指数加一）：$6+1=\underline{7}$，$5+1=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（连乘）：约数个数 $=7\times6=\underline{42}$ 个。
    4. 第 4 步（分解 $1440$）：$1440=2^5\times3^2\times5$，指数加一分别为 $5+1=\underline{6}$、$2+1=\underline{3}$、$1+1=2$。
    5. 第 5 步（连乘）：约数个数 $=6\times3\times2=\underline{36}$ 个。
    最终答案：（1）$42$ 个；（2）$36$ 个。
  90. 25. ch07-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：每箱数量必须整除总数，方案数就是总数的约数个数。
    2. 第 2 步（分解 $20\,000$）：$20\,000=2^5\times5^4$，指数加一为 $5+1=\underline{6}$、$4+1=\underline{5}$。
    3. 第 3 步：装箱方案 $=6\times5=\underline{30}$ 种。
    4. 第 4 步（分解 $720$）：$720=2^4\times3^2\times5$，方案数 $=5\times3\times2=\underline{30}$ 种。
    最终答案：装箱 $30$ 种，分包 $30$ 种。
  91. 25. ch07-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：不断除以 $2$，$2016\div2=1008$，$1008\div2=504$，$504\div2=252$，$252\div2=126$，$126\div2=\underline{63}$，得到 $2016=2^5\times63$。
    2. 第 2 步：$63\div9=\underline{7}$，所以 $63=3^2\times7$，$2016=2^5\times3^2\times7$。
    3. 第 3 步（指数加一）：$5+1=\underline{6}$、$2+1=\underline{3}$、$1+1=2$。
    4. 第 4 步（连乘）：约数个数 $=6\times3\times2=\underline{36}$ 个。
    最终答案：$36$ 个。
  92. 25. ch07-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$1200=2^4\times3\times5^2$。
    2. 第 2 步（总数）：$(4+1)\times(1+1)\times(2+1)=5\times2\times\underline{3}=\underline{30}$ 个。
    3. 第 3 步（转化条件）：是 $4$ 的倍数的约数可写成 $4\times d$，其中 $d$ 必须是 $1200\div4=\underline{300}$ 的约数。
    4. 第 4 步（再用公式）：$300=2^2\times3\times5^2$，约数个数 $=3\times2\times3=\underline{18}$ 个。
    5. 第 5 步：所以 $1200$ 的约数中是 $4$ 的倍数的有 $18$ 个。
    最终答案：共 $30$ 个约数，其中 $4$ 的倍数有 $18$ 个。
  93. 26. ch07-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（分解）：$68=2^2\times17$，$120=2^3\times3\times5$。
    2. 第 2 步（公有取低次）：公有的质因数只有 $2$，最低次是 $2^2$，所以 $(68,120)=2\times2=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（全体取高次）：$2$ 取 $2^3$，再乘上 $3,5,17$，$[68,120]=8\times3\times5\times17=\underline{2040}$。
    4. 第 4 步（分解三个数）：$92=2^2\times23$，$44=2^2\times11$，$260=2^2\times5\times13$。
    5. 第 5 步（公有取低次）：三个数公有的只有 $2^2$，$(92,44,260)=2\times2=\underline{4}$。
    6. 第 6 步（全体取高次）：$[92,44,260]=4\times5\times11\times13\times23=\underline{65780}$。
    最终答案：（1）$(68,120)=4$，$[68,120]=2040$；（2）$(92,44,260)=4$，$[92,44,260]=65\,780$。
  94. 26. ch07-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（辨别问题）：同时闪要找公倍数中最小的，用 $[\ ]$；统一计时单位要找公约数中最大的，用 $(\ )$。
    2. 第 2 步（分解）：$28=2^2\times7$，$72=2^3\times3^2$。
    3. 第 3 步（全体取高次求最小公倍数）：$[28,72]=8\times9\times7=\underline{504}$ 秒。
    4. 第 4 步（公有取低次求最大公约数）：$(28,72)=2\times2=\underline{4}$ 秒。
    最终答案：（1）至少再过 $504$ 秒；（2）单位最大是 $4$ 秒。
  95. 26. ch07-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$45=3^2\times5$，$75=3\times5^2$。
    2. 第 2 步（公有取低次）：$3$ 取 $3^1$，$5$ 取 $5^1$，所以 $(45,75)=3\times5=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（全体取高次）：$3$ 取 $3^2$，$5$ 取 $5^2$，$[45,75]=9\times25=\underline{225}$。
    4. 第 4 步（自检）：两数之积应等于 $(\ )\times[\ ]$，$15\times225=\underline{3375}$，而 $45\times75=\underline{3375}$，一致。
    最终答案：$(45,75)=15$，$[45,75]=225$。
  96. 26. ch07-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分解）：$84=2^2\times3\times7$，$120=2^3\times3\times5$。
    2. 第 2 步（公有取低次）：$2$ 取 $2^2$、$3$ 取 $3^1$，$(84,120)=4\times3=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（算两数之积）：$84\times120=\underline{10080}$。
    4. 第 4 步（用关系式）：$[84,120]=10080\div12=\underline{840}$。
    5. 第 5 步（用取高次法复核）：$[84,120]=8\times3\times5\times7=\underline{840}$，两法一致。
    最终答案：$(84,120)=12$，$[84,120]=840$。
  97. 27. ch07-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（用性质）：公约数能整除两个数，就一定能整除它们的差 $30$，所以最大公约数必是 $30$ 的约数。
    2. 第 2 步（成对找 $30$ 的约数）：$30\div1=30$，$30\div2=\underline{15}$，$30\div3=\underline{10}$，$30\div5=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（列全）：$30=2\times3\times5$，约数为 $1,2,3,5,6,10,15,30$，共 $2\times2\times2=\underline{8}$ 个。
    4. 第 4 步（举例验证最大的一种）：取 $30$ 与 $30+30=\underline{60}$，它们的最大公约数正好是 $30$。
    最终答案：可能是 $1,2,3,5,6,10,15,30$，共 $8$ 种。
  98. 27. ch07-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：每袋个数必须同时整除两筐的个数，即是两数的公约数。
    2. 第 2 步（用性质）：公约数一定整除两数的差 $6$，所以每袋个数只能是 $6$ 的约数。
    3. 第 3 步（成对列举）：$6\div1=6$、$6\div2=\underline{3}$，配对得到 $6$ 的全部约数是 $1,2,3,6$。
    4. 第 4 步（数一数）：所以每袋可装的个数一共有 $\underline{4}$ 种。
    最终答案：可能是每袋 $1,2,3,6$ 个，共 $4$ 种。
  99. 27. ch07-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（用性质）：最大公约数必是差 $100$ 的约数。
    2. 第 2 步（分解算个数）：$100=2^2\times5^2$，约数个数 $=(2+1)\times(2+1)=\underline{9}$ 个。
    3. 第 3 步（取最大）：$100$ 的最大约数是它本身 $\underline{100}$。
    4. 第 4 步（举例验证可取到）：取 $100$ 与 $100+100=\underline{200}$，最大公约数正好是 $100$。
    最终答案：最大可能是 $100$，共有 $9$ 种可能取值。
  100. 27. ch07-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（先验一致性）：公约数必整除差，$42\div14=\underline{3}$ 是整数，条件不矛盾。
    2. 第 2 步（设法）：设两数为 $14a$ 与 $14b$，且 $a,b$ 互质。由差得 $14\times(b-a)=42$，所以 $b-a=\underline{3}$。
    3. 第 3 步（取最小）：要较小的数最小就取 $a=1$，此时 $b=1+3=\underline{4}$，且 $1$ 与 $4$ 互质，符合要求。
    4. 第 4 步（还原两数）：较小数 $=14\times1=\underline{14}$，较大数 $=14\times4=\underline{56}$。
    5. 第 5 步（复核）：$56-14=\underline{42}$，且 $(14,56)=14$，全部符合。
    最终答案：较小的数最小是 $14$，两数为 $14$ 和 $56$。
  101. 28. ch07-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（大减小起手）：$2107\div2021=1\cdots\underline{86}$，余数就是 $2107-2021$。
    2. 第 2 步（辗转）：$2021\div86=23\cdots\underline{43}$（因为 $86\times23=1978$）。
    3. 第 3 步（再辗转）：$86\div43=2\cdots\underline{0}$，余数为 $0$，所以 $(2021,2107)=\underline{43}$。
    4. 第 4 步（求最小公倍数）：先约再乘，$2021\div43=\underline{47}$，再 $47\times2107=\underline{99029}$。
    5. 第 5 步（并入第三个数）：$3311\div43=\underline{77}$，能整除，所以 $(2021,2107,3311)=43$。
    最终答案：（1）$(2021,2107)=43$，$[2021,2107]=99\,029$；（2）$(2021,2107,3311)=43$。
  102. 28. ch07-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（辨别）：地砖边长要同时整除两个长度，求最大公约数；公共长度求最小公倍数。
    2. 第 2 步（辗转相除）：$1178\div1085=1\cdots\underline{93}$。
    3. 第 3 步：$1085\div93=11\cdots\underline{62}$（$93\times11=1023$）。
    4. 第 4 步：$93\div62=1\cdots\underline{31}$，$62\div31=2\cdots0$，所以最大公约数是 $31$ 厘米。
    5. 第 5 步（求最小公倍数）：$1085\div31=\underline{35}$，$35\times1178=\underline{41230}$ 厘米。
    最终答案：（1）地砖边长最大 $31$ 厘米；（2）最短公共长度 $41\,230$ 厘米。
  103. 28. ch07-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步：$2183\div1591=1\cdots\underline{592}$。
    2. 第 2 步：$1591\div592=2\cdots\underline{407}$（$592\times2=1184$）。
    3. 第 3 步：$592\div407=1\cdots\underline{185}$。
    4. 第 4 步：$407\div185=2\cdots\underline{37}$（$185\times2=370$），再 $185\div37=5\cdots0$，所以 $(1591,2183)=37$。
    5. 第 5 步（最小公倍数）：$1591\div37=\underline{43}$，$43\times2183=\underline{93869}$。
    最终答案：$(1591,2183)=37$，$[1591,2183]=93\,869$。
  104. 28. ch07-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（辗转相除）：$1178\div1085=1\cdots\underline{93}$，$1085\div93=11\cdots\underline{62}$，$93\div62=1\cdots\underline{31}$，$62\div31=2\cdots0$，故 $(1085,1178)=31$。
    2. 第 2 步（约分要点）：约分就是分子分母同除以最大公约数。分子 $1085\div31=\underline{35}$，分母 $1178\div31=\underline{38}$。
    3. 第 3 步（判互质）：$35=5\times7$，$38=2\times19$，没有公共质因数，所以 $\dfrac{35}{38}$ 已是最简。
    4. 第 4 步（求最小公倍数）：$[1085,1178]=35\times1178=\underline{41230}$。
    5. 第 5 步（验证关系）：$31\times41230=\underline{1278130}$，而 $1085\times1178=\underline{1278130}$，两者相等。
    最终答案：（1）$31$；（2）$\dfrac{35}{38}$；（3）两边都等于 $1\,278\,130$，关系成立。
  105. 29. ch07-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（转化）：份数必须同时整除三个总数，所以份数是三数的公约数，最多就取最大公约数。
    2. 第 2 步（分解）：$480=2^5\times3\times5$，$360=2^3\times3^2\times5$，$600=2^3\times3\times5^2$。
    3. 第 3 步（公有取低次）：$2$ 取 $2^3$、$3$ 取 $3^1$、$5$ 取 $5^1$，份数 $=8\times3\times5=\underline{120}$ 份。
    4. 第 4 步（每份个数）：苹果 $480\div120=\underline{4}$，橘子 $360\div120=\underline{3}$，香蕉 $600\div120=\underline{5}$。
    最终答案：最多 $120$ 份，每份苹果 $4$ 个、橘子 $3$ 个、香蕉 $5$ 根。
  106. 29. ch07-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：包数必须同时整除 $320,240,200$，最多即取最大公约数。
    2. 第 2 步（分解）：$320=2^6\times5$，$240=2^4\times3\times5$，$200=2^3\times5^2$。
    3. 第 3 步（公有取低次）：$(320,240,200)=8\times5=\underline{40}$ 个包。
    4. 第 4 步（每包件数）：铅笔 $320\div40=\underline{8}$，橡皮 $240\div40=\underline{6}$，本子 $200\div40=\underline{5}$。
    最终答案：最多 $40$ 个包，每包铅笔 $8$ 支、橡皮 $6$ 块、本子 $5$ 本。
  107. 29. ch07-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：份数是 $168,252,420$ 的最大公约数。
    2. 第 2 步（分解）：$168=2^3\times3\times7$，$252=2^2\times3^2\times7$，$420=2^2\times3\times5\times7$。
    3. 第 3 步（公有取低次）：$2$ 取 $2^2$、$3$ 取 $3^1$、$7$ 取 $7^1$，份数 $=4\times3\times7=\underline{84}$ 份。
    4. 第 4 步（每份数量）：$168\div84=\underline{2}$，$252\div84=\underline{3}$，$420\div84=\underline{5}$。
    最终答案：最多 $84$ 份，每份图画书 $2$ 本、故事书 $3$ 本、书签 $5$ 张。
  108. 29. ch07-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（先减余数）：真正分出去的糖有 $500-20=\underline{480}$ 颗，饼干有 $320-8=\underline{312}$ 块。
    2. 第 2 步（转化）：人数必须同时整除这两个数，所以人数是它们的公约数。
    3. 第 3 步（求最大公约数）：$480=2^5\times3\times5$，$312=2^3\times3\times13$，公有取低次得 $8\times3=\underline{24}$。
    4. 第 4 步（关键取舍）：糖剩了 $20$ 颗还没分完，说明人数必须大于 $20$。$24$ 的约数中大于 $20$ 的只有 $\underline{24}$，所以人数唯一确定。
    5. 第 5 步（每人份额）：糖 $480\div24=\underline{20}$ 颗，饼干 $312\div24=\underline{13}$ 块。
    最终答案：共 $24$ 个小朋友，每人糖 $20$ 颗、饼干 $13$ 块。
  109. 30. ch07-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（中点条件）：中点要有树，所以株距必须整除半长 $180\div2=\underline{90}$ 米和半宽 $150\div2=\underline{75}$ 米。
    2. 第 2 步（棵数最少即株距最大）：株距取 $(90,75)$。$90=2\times3^2\times5$，$75=3\times5^2$，公有取低次得 $3\times5=\underline{15}$ 米。
    3. 第 3 步（算周长）：$(180+150)\times2=\underline{660}$ 米。
    4. 第 4 步（封闭周长棵数等于段数）：$660\div15=\underline{44}$ 棵。
    最终答案：最少种 $44$ 棵。
  110. 30. ch07-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（中点条件）：灯距必须整除半长 $120\div2=\underline{60}$ 米与半宽 $90\div2=\underline{45}$ 米。
    2. 第 2 步（灯最少即间距最大）：取 $(60,45)=3\times5=\underline{15}$ 米。
    3. 第 3 步（周长）：$(120+90)\times2=\underline{420}$ 米。
    4. 第 4 步（封闭周长上盏数等于段数）：$420\div15=\underline{28}$ 盏。
    最终答案：最少装 $28$ 盏灯。
  111. 30. ch07-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步：半长 $200\div2=\underline{100}$ 米，半宽 $160\div2=\underline{80}$ 米。
    2. 第 2 步：间距取 $(100,80)$。$100=2^2\times5^2$，$80=2^4\times5$，公有取低次得 $4\times5=\underline{20}$ 米。
    3. 第 3 步：周长 $(200+160)\times2=\underline{720}$ 米。
    4. 第 4 步：根数 $=720\div20=\underline{36}$ 根。
    最终答案：最少立 $36$ 根。
  112. 30. ch07-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（中点条件）：株距整除半长 $240\div2=\underline{120}$ 米与半宽 $180\div2=\underline{90}$ 米。
    2. 第 2 步（株距最大）：$120=2^3\times3\times5$，$90=2\times3^2\times5$，公有取低次得 $2\times3\times5=\underline{30}$ 米。
    3. 第 3 步（周长）：$(240+180)\times2=\underline{840}$ 米。
    4. 第 4 步（棵数）：封闭周长上棵数等于段数，$840\div30=\underline{28}$ 棵。
    5. 第 5 步（总价）：$28\times8=\underline{224}$ 元。
    最终答案：最少种 $28$ 棵，共需 $224$ 元。
  113. 31. ch07-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（用关系式）：两数之积等于最大公约数与最小公倍数之积，$12\times360=\underline{4320}$。
    2. 第 2 步（求乙数）：$4320\div72=\underline{60}$。
    3. 第 3 步（回代复核）：$72=2^3\times3^2$，$60=2^2\times3\times5$，公有取低次得 $(72,60)=4\times3=\underline{12}$，全体取高次得 $[72,60]=8\times9\times5=\underline{360}$，与题目一致。
    最终答案：乙数是 $60$。
  114. 31. ch07-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（用关系式）：两周期之积 $=6\times90=\underline{540}$。
    2. 第 2 步（求第二台）：$540\div18=\underline{30}$ 天。
    3. 第 3 步（复核）：$(18,30)=\underline{6}$，$[18,30]=90$，符合题意。
    最终答案：第二台的周期是 $30$ 天。
  115. 31. ch07-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（用关系式）：两数之积 $=15\times450=\underline{6750}$。
    2. 第 2 步（求另一个数）：$6750\div90=\underline{75}$。
    3. 第 3 步（复核最大公约数）：$90=2\times3^2\times5$，$75=3\times5^2$，公有取低次得 $3\times5=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（复核最小公倍数）：全体取高次得 $2\times9\times25=\underline{450}$，与题目一致。
    最终答案：另一个数是 $75$。
  116. 31. ch07-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（求最小公倍数）：由 $甲\times乙=(甲,乙)\times[甲,乙]$ 得 $[甲,乙]=1080\div6=\underline{180}$。
    2. 第 2 步（设法）：设两数为 $6a$ 与 $6b$ 且 $a,b$ 互质，则 $6a\times6b=1080$，所以 $a\times b=1080\div36=\underline{30}$。
    3. 第 3 步（把 $30$ 拆成互质两数之积）：$30=1\times30=2\times15=3\times10=5\times6$，四种拆法中两个因数都互质，所以共 $\underline{4}$ 组解。
    4. 第 4 步（还原）：$6\times1=6$ 与 $6\times30=\underline{180}$；$6\times2=12$ 与 $6\times15=\underline{90}$。
    5. 第 5 步（继续还原）：$6\times3=18$ 与 $6\times10=\underline{60}$；$6\times5=30$ 与 $6\times6=\underline{36}$。
    最终答案：最小公倍数是 $180$；两数可能是 $6$ 与 $180$、$12$ 与 $90$、$18$ 与 $60$、$30$ 与 $36$。
  117. 32. ch07-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（设法）：设两数为 $60a$ 与 $60b$，$a,b$ 互质，则最小公倍数为 $60ab$。
    2. 第 2 步（求 $ab$）：$ab=540\div60=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（互质拆分）：$9=1\times9=3\times3$，其中 $3$ 与 $3$ 不互质要舍去，所以只能取 $a=1,b=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（还原）：两数为 $60\times1=60$ 与 $60\times9=\underline{540}$。
    5. 第 5 步（求和）：$60+540=\underline{600}$。
    最终答案：两数之和是 $600$。
  118. 32. ch07-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（设法）：设两班人数为 $42a$ 与 $42b$，$a,b$ 互质。
    2. 第 2 步（求 $ab$）：$ab=168\div42=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（互质拆分）：$4=1\times4=2\times2$，$2$ 与 $2$ 不互质舍去，所以 $a=1,b=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（还原并求和）：两班人数为 $42$ 与 $42\times4=\underline{168}$，共 $42+168=\underline{210}$ 人。
    最终答案：两班一共 $210$ 人。
  119. 32. ch07-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $ab$）：$ab=750\div30=\underline{25}$。
    2. 第 2 步（互质拆分）：$25=1\times25=5\times5$，后者两个因数都含 $5$、不互质，舍去，故 $a=1,b=\underline{25}$。
    3. 第 3 步（还原）：两数为 $30$ 与 $30\times25=\underline{750}$。
    4. 第 4 步（求和）：$30+750=\underline{780}$。
    最终答案：两数是 $30$ 和 $750$，和为 $780$。
  120. 32. ch07-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（设法求 $ab$）：设两数为 $12a$、$12b$（$a,b$ 互质），则 $ab=720\div12=\underline{60}$。
    2. 第 2 步（找互质拆法）：$60=2^2\times3\times5$。同一个质因数不能被拆到两边，所以 $4,3,5$ 三块只能整块分配，拆法有 $1\times60$、$3\times20$、$4\times15$、$5\times12$，共 $\underline{4}$ 组。
    3. 第 3 步（还原第一、二组）：$12$ 与 $12\times60=\underline{720}$，和为 $12+720=\underline{732}$；$12\times3=36$ 与 $12\times20=\underline{240}$，和为 $36+240=\underline{276}$。
    4. 第 4 步（还原第三、四组）：$12\times4=48$ 与 $12\times15=\underline{180}$，和为 $48+180=\underline{228}$；$12\times5=60$ 与 $12\times12=\underline{144}$，和为 $60+144=\underline{204}$。
    最终答案：四组：$12$ 与 $720$（和 $732$）、$36$ 与 $240$（和 $276$）、$48$ 与 $180$（和 $228$）、$60$ 与 $144$（和 $204$）。