竞赛数学 · 五年级 第8讲《分数与循环小数》举一反三练习卷

附录 · 答案

1. 1. ch08-chaoyue-01 · 第一套
   1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{0}5\dot{4}=\frac{54}{999}$，同除 $27$ 得 $\frac{\underline{2}}{\underline{37}}$；$0.\dot{1}79672\dot{2}=\frac{179672}{999999}$。
   2. 第 2 步（相乘）：$999999\div37=27027$，而 $179672\div37=\underline{4856}$ 正好整除，所以积 $=\frac{2\times4856}{999999}=\frac{\underline{9712}}{999999}$。
   3. 第 3 步（写成循环小数）：分子补足 $6$ 位为 $009712$，所以积 $=0.\dot{0}0971\dot{2}$，循环节 $6$ 位。
   4. 第 4 步（定位第 $100$ 位）：$100\div6=16\cdots\cdots\underline{4}$，第 $100$ 位是循环节第 $4$ 位，即 $\underline{7}$。
   5. 第 5 步（看第 $101$ 位）：第 $101$ 位是循环节第 $5$ 位，即 $\underline{1}$，小于 $5$，应舍去，所以末位保持不变。
   最终答案：最后一位小数是 $7$。
2. 1. ch08-chaoyue-01 · 第二套
   1. 第 1 步：$0.\dot{0}5\dot{4}=\frac{54}{999}=\frac{\underline{2}}{37}$；$179672\div37=\underline{4856}$。
   2. 第 2 步：积 $=\frac{2\times4856}{999999}=\frac{\underline{9712}}{999999}=0.\dot{0}0971\dot{2}$。
   3. 第 3 步：$100\div6=16\cdots\cdots\underline{4}$，第 $100$ 位是循环节第 $4$ 位 $7$；第 $101$ 位是 $\underline{1}$，不足 $5$ 舍去。
   最终答案：最后一位小数是 $7$。
3. 1. ch08-chaoyue-01 · 第三套
   1. 第 1 步：$0.\dot{0}8\dot{1}=\frac{81}{999}$，同除 $27$ 得 $\frac{\underline{3}}{37}$。
   2. 第 2 步：$179672\div37=4856$，所以积 $=\frac{3\times4856}{999999}=\frac{\underline{14568}}{999999}=0.\dot{0}1456\dot{8}$。
   3. 第 3 步：$100\div6=16\cdots\cdots\underline{4}$，第 $100$ 位是循环节 $014568$ 的第 $4$ 位，即 $\underline{5}$。
   4. 第 4 步：第 $101$ 位是第 $5$ 位，即 $\underline{6}$，不小于 $5$ 要进位，所以末位是 $5+1=\underline{6}$。
   最终答案：最后一位小数是 $6$。
4. 1. ch08-chaoyue-01 · 第三套
   1. 第 1 步：由前面的算法，积 $=\frac{9712}{999999}=0.\dot{0}0971\dot{2}$，循环节 $009712$ 共 $6$ 位。
   2. 第 2 步（定位第 $200$ 位）：$200\div6=33\cdots\cdots\underline{2}$，所以第 $200$ 位是循环节的第 $2$ 位，即 $\underline{0}$。
   3. 第 3 步（看第 $201$ 位）：第 $201$ 位是循环节第 $3$ 位，即 $\underline{9}$，不小于 $5$，要进位。
   4. 第 4 步（进位）：末位由 $0$ 变成 $0+1=\underline{1}$。
   最终答案：最后一位小数是 $1$。
5. 9. ch08-tuozhan-01 · 第一套
   1. 第 1 步：$8=2^3$ 只含质因数 $2$ → 有限小数。$8\times125=1000$，分子 $7\times125=\underline{875}$，所以 $\frac{7}{8}=0.875$。
   2. 第 2 步：$\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$，$6=2\times3$ 兼含 $2$ 与 $3$ → 混循环小数 $1.1\dot{6}$。回验小数部分：分子 $16-1=\underline{15}$，而 $\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$，正确。
   3. 第 3 步：$52\div9=5\cdots\cdots\underline{7}$，所以 $\frac{52}{9}=5\frac{7}{9}=5.\dot{7}$（纯循环小数）。
   4. 第 4 步：$7$ 不含 $2,5$ → 纯循环小数。$3\times142857=\underline{428571}$，所以 $\frac{3}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}$。
   5. 第 5 步：$11$ 不含 $2,5$ → 纯循环小数。$10\times9=\underline{90}$，所以 $\frac{10}{11}=\frac{90}{99}=0.\dot{9}\dot{0}$。
   最终答案：$\frac{7}{8}=0.875$（有限）；$\frac{7}{6}=1.1\dot{6}$（混循环）；$\frac{52}{9}=5.\dot{7}$（纯循环）；$\frac{3}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}$（纯循环）；$\frac{10}{11}=0.\dot{9}\dot{0}$（纯循环）。
6. 9. ch08-tuozhan-01 · 第二套
   1. 第 1 步：$8=2^3$ → 有限小数，$7\times125=\underline{875}$，即 $0.875$ 厘米。
   2. 第 2 步：$\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$，$6=2\times3$ → 混循环小数 $1.1\dot{6}$ 厘米；回验分子 $16-1=\underline{15}$，$\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$。
   3. 第 3 步：$52\div9=5\cdots\cdots\underline{7}$，即 $5\frac{7}{9}=5.\dot{7}$ 厘米（纯循环）。
   4. 第 4 步：$3\times142857=\underline{428571}$，即 $0.\dot{4}2857\dot{1}$ 厘米；$10\times9=\underline{90}$，即 $0.\dot{9}\dot{0}$ 厘米（都是纯循环）。
   最终答案：$0.875$、$1.1\dot{6}$、$5.\dot{7}$、$0.\dot{4}2857\dot{1}$、$0.\dot{9}\dot{0}$（厘米）；只有第一个是有限小数。
7. 9. ch08-tuozhan-01 · 第三套
   1. 第 1 步：$40=2^3\times5$ → 有限小数，$9\times25=\underline{225}$，即 $\frac{9}{40}=0.225$。
   2. 第 2 步：$\frac{11}{6}=1\frac{5}{6}$，$6=2\times3$ → 混循环小数 $1.8\dot{3}$；回验分子 $83-8=\underline{75}$，$\frac{75}{90}=\frac{5}{6}$，正确。
   3. 第 3 步：$25\div9=2\cdots\cdots\underline{7}$，所以 $\frac{25}{9}=2\frac{7}{9}=2.\dot{7}$（纯循环）。
   4. 第 4 步：$13\times76923=999999$，$4\times76923=\underline{307692}$，所以 $\frac{4}{13}=0.\dot{3}0769\dot{2}$（纯循环）。
   最终答案：$\frac{9}{40}=0.225$（有限）；$\frac{11}{6}=1.8\dot{3}$（混循环）；$\frac{25}{9}=2.\dot{7}$（纯循环）；$\frac{4}{13}=0.\dot{3}0769\dot{2}$（纯循环）。
8. 9. ch08-tuozhan-01 · 第三套
   1. 第 1 步（化小数）：$3\times142857=\underline{428571}$，$\frac{3}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}$；$10\times9=\underline{90}$，$\frac{10}{11}=0.\dot{9}\dot{0}$。
   2. 第 2 步（定位）：$\frac{3}{7}$ 的循环节 $428571$ 有 $6$ 位，$2024\div6=337\cdots\cdots\underline{2}$。
   3. 第 3 步：余数是 $2$，说明第 $2024$ 位是循环节的第 $2$ 位，即数字 $\underline{2}$。
   4. 第 4 步：$\frac{10}{11}$ 的循环节 $90$ 有 $2$ 位，$2024\div2=\underline{1012}$ 正好整除，第 $2024$ 位是循环节最后一位，即数字 $\underline{0}$。
   最终答案：$\frac{3}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}$，第 $2024$ 位是 $2$；$\frac{10}{11}=0.\dot{9}\dot{0}$，第 $2024$ 位是 $0$。
9. 10. ch08-tuozhan-02 · 第一套
   1. 第 1 步：$0.\dot{3}\dot{6}$ 纯循环、循环节 $2$ 位，得 $\frac{36}{99}$；同除 $9$ 得 $\frac{\underline{4}}{\underline{11}}$。
   2. 第 2 步：$0.\dot{1}23\dot{4}$ 纯循环、循环节 $4$ 位，分母写 $4$ 个 $9$，即 $\underline{9999}$，得 $\frac{1234}{9999}$（$1234=2\times617$ 与分母无公因数，已最简）。
   3. 第 3 步：$3.2\dot{4}0\dot{5}$ 整数部分是 $3$；小数部分不循环 $1$ 位、循环 $3$ 位，分子 $=2405-2=\underline{2403}$，分母是 $3$ 个 $9$ 后跟 $1$ 个 $0$，即 $\underline{9990}$。
   4. 第 4 步（约分）：$2403$ 与 $9990$ 的最大公约数是 $27$，$2403\div27=\underline{89}$、$9990\div27=\underline{370}$，所以 $3.2\dot{4}0\dot{5}=3\frac{89}{370}$。
   5. 第 5 步：$7.48\dot{0}7692\dot{3}$ 整数部分 $7$；小数部分不循环 $2$ 位、循环 $6$ 位，分子 $=48076923-48=\underline{48076875}$，分母是 $6$ 个 $9$ 后跟 $2$ 个 $0$，即 $\underline{99999900}$，约分后得 $7\frac{25}{52}$。
   最终答案：$0.\dot{3}\dot{6}=\frac{4}{11}$；$0.\dot{1}23\dot{4}=\frac{1234}{9999}$；$3.2\dot{4}0\dot{5}=3\frac{89}{370}$；$7.48\dot{0}7692\dot{3}=7\frac{25}{52}$。
10. 10. ch08-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：$0.\dot{3}\dot{6}=\frac{36}{99}$，同除 $9$ 得 $\frac{\underline{4}}{\underline{11}}$。
    2. 第 2 步：$0.\dot{1}23\dot{4}$ 循环节 $4$ 位，分母是 $\underline{9999}$，即 $\frac{1234}{9999}$。
    3. 第 3 步：$3.2\dot{4}0\dot{5}$ 的小数部分分子 $=2405-2=\underline{2403}$，分母 $9990$，约分（同除 $27$）得 $\frac{\underline{89}}{\underline{370}}$，所以读数是 $3\frac{89}{370}$。
    4. 第 4 步：$7.48\dot{0}7692\dot{3}$ 的小数部分分子 $=48076923-48=\underline{48076875}$，分母 $99999900$，约分后是 $\frac{25}{52}$，读数为 $7\frac{25}{52}$。
    最终答案：$\frac{4}{11}$、$\frac{1234}{9999}$、$3\frac{89}{370}$、$7\frac{25}{52}$。
11. 10. ch08-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：$0.\dot{5}\dot{7}=\frac{57}{99}$，同除 $3$ 得 $\frac{\underline{19}}{\underline{33}}$。
    2. 第 2 步：$0.\dot{2}46\dot{9}$ 循环节 $4$ 位，得 $\frac{2469}{9999}$；同除 $3$ 得 $\frac{\underline{823}}{\underline{3333}}$。
    3. 第 3 步：$4.3\dot{1}0\dot{2}$ 整数部分 $4$，小数部分不循环 $1$ 位、循环 $3$ 位，分子 $=3102-3=\underline{3099}$，分母 $9990$。
    4. 第 4 步（约分）：$3099$ 与 $9990$ 同除 $3$，$3099\div3=\underline{1033}$、$9990\div3=\underline{3330}$，所以 $4.3\dot{1}0\dot{2}=4\frac{1033}{3330}$。
    最终答案：$0.\dot{5}\dot{7}=\frac{19}{33}$；$0.\dot{2}46\dot{9}=\frac{823}{3333}$；$4.3\dot{1}0\dot{2}=4\frac{1033}{3330}$。
12. 10. ch08-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（各自化分数）：$0.\dot{4}\dot{8}=\frac{48}{99}$，同除 $3$ 得 $\frac{\underline{16}}{\underline{33}}$；$0.\dot{1}35\dot{3}=\frac{1353}{9999}$，同除 $33$ 得 $\frac{\underline{41}}{\underline{303}}$。
    2. 第 2 步（找公分母）：$33=3\times11$、$303=3\times101$，最小公倍数是 $3\times11\times101=\underline{3333}$。
    3. 第 3 步（通分）：$3333\div33=101$，$\frac{16}{33}=\frac{16\times101}{3333}=\frac{\underline{1616}}{3333}$；$3333\div303=11$，$\frac{41}{303}=\frac{41\times11}{3333}=\frac{\underline{451}}{3333}$。
    4. 第 4 步（相加并约分）：$1616+451=\underline{2067}$，得 $\frac{2067}{3333}$；同除 $3$ 得 $\frac{\underline{689}}{\underline{1111}}$。
    5. 第 5 步（化回循环小数）：$1111\times9=9999$，分子 $689\times9=\underline{6201}$，所以结果是 $0.\dot{6}20\dot{1}$。
    最终答案：$0.\dot{4}\dot{8}+0.\dot{1}35\dot{3}=\frac{689}{1111}=0.\dot{6}20\dot{1}$。
13. 11. ch08-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（先约分再判别）：$\frac{24}{132}$ 同除 $12$ 得 $\frac{\underline{2}}{\underline{11}}$；$\frac{27}{864}$ 同除 $27$ 得 $\frac{\underline{1}}{\underline{32}}$；$\frac{63}{231}$ 同除 $21$ 得 $\frac{\underline{3}}{\underline{11}}$；$\frac{13}{1313}$ 同除 $13$ 得 $\frac{\underline{1}}{\underline{101}}$。
    2. 第 2 步（判类）：分母只含 $2,5$ 的是有限小数——$\frac{7}{8},\frac{21}{50},\frac{1}{32},\frac{189}{625}$；分母不含 $2,5$ 的是纯循环小数——$\frac{5}{17},\frac{2}{11},\frac{3}{11},\frac{1}{101}$；分母 $150=2\times3\times5^2$ 两类质因数都有，$\frac{19}{150}$ 是混循环小数。
    3. 第 3 步（化 $\frac{4}{15}$）：$15=3\times5$ 是混循环，$0.2\dot{6}$；回验分子 $26-2=\underline{24}$，$\frac{24}{90}=\frac{4}{15}$，正确。
    4. 第 4 步（化 $\frac{21}{37}$）：$37\times27=999$，分子 $21\times27=\underline{567}$，所以 $\frac{21}{37}=\frac{567}{999}=0.\dot{5}6\dot{7}$。
    5. 第 5 步（化 $\frac{15}{143}$）：$143\times6993=999999$，分子 $15\times6993=\underline{104895}$，所以 $\frac{15}{143}=\frac{104895}{999999}=0.\dot{1}04 89\dot{5}$。
    最终答案：（1）有限小数：$\frac{7}{8},\frac{21}{50},\frac{27}{864},\frac{189}{625}$；纯循环：$\frac{5}{17},\frac{24}{132},\frac{63}{231},\frac{13}{1313}$；混循环：$\frac{19}{150}$。（2）$\frac{4}{15}=0.2\dot{6}$，$\frac{21}{37}=0.\dot{5}6\dot{7}$，$\frac{15}{143}=0.\dot{1}0489\dot{5}$。
14. 11. ch08-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：$\frac{24}{132}$ 同除 $12$ 得 $\frac{\underline{2}}{\underline{11}}$，分母 $11$ 不含 $2,5$ → 纯循环小数。
    2. 第 2 步：$\frac{27}{864}$ 同除 $27$ 得 $\frac{\underline{1}}{\underline{32}}$，分母 $32=2^5$ → 有限小数。
    3. 第 3 步：$\frac{63}{231}$ 同除 $21$ 得 $\frac{\underline{3}}{\underline{11}}$，分母 $11$ → 纯循环小数。
    4. 第 4 步：$\frac{13}{1313}$ 同除 $13$ 得 $\frac{\underline{1}}{\underline{101}}$，分母 $101$ → 纯循环小数。
    5. 第 5 步：$\frac{19}{150}$ 已最简，$150=2\times3\times5^2$ 既含 $2,5$ 又含 $3$ → 混循环小数。
    最终答案：$\frac{24}{132}=\frac{2}{11}$（纯循环）；$\frac{27}{864}=\frac{1}{32}$（有限）；$\frac{63}{231}=\frac{3}{11}$（纯循环）；$\frac{13}{1313}=\frac{1}{101}$（纯循环）；$\frac{19}{150}$（混循环）。
15. 11. ch08-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步：$55=5\times11$ 既含 $5$ 又含 $11$ → 混循环小数 $0.1\dot{6}\dot{3}$；回验分子 $163-1=\underline{162}$，而 $\frac{162}{990}=\frac{9}{55}$，正确。
    2. 第 2 步：$37$ 不含 $2,5$ → 纯循环。$37\times27=999$，分子 $7\times27=\underline{189}$，所以 $\frac{7}{37}=\frac{189}{999}=0.\dot{1}8\dot{9}$。
    3. 第 3 步：$143=11\times13$ 不含 $2,5$ → 纯循环。$143\times6993=999999$，分子 $7\times6993=\underline{48951}$，所以 $\frac{7}{143}=\frac{48951}{999999}=0.\dot{0}4895\dot{1}$（循环节写足 $6$ 位，首位补 $0$）。
    最终答案：$\frac{9}{55}=0.1\dot{6}\dot{3}$；$\frac{7}{37}=0.\dot{1}8\dot{9}$；$\frac{7}{143}=0.\dot{0}4895\dot{1}$。
16. 11. ch08-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步：$37$ 不含 $2,5$ → 纯循环。分子 $7\times27=\underline{189}$，$\frac{7}{37}=0.\dot{1}8\dot{9}$，即 $0.189189\cdots$。
    2. 第 2 步：$55=5\times11$ → 混循环。回验分子 $163-1=\underline{162}$，$\frac{162}{990}=\frac{9}{55}$，所以 $\frac{9}{55}=0.1\dot{6}\dot{3}$，即 $0.163636\cdots$。
    3. 第 3 步（比较）：两数十分位都是 $1$，比较百分位：$8$ 与 $6$，$8>6$，所以 $\frac{7}{37}>\frac{9}{55}$。
    4. 第 4 步（用分数验证）：通分到 $37\times55=\underline{2035}$，$\frac{7}{37}=\frac{7\times55}{2035}=\frac{\underline{385}}{2035}$，$\frac{9}{55}=\frac{9\times37}{2035}=\frac{\underline{333}}{2035}$，$385>333$，结论一致。
    最终答案：$\frac{7}{37}=0.\dot{1}8\dot{9}$（纯循环）；$\frac{9}{55}=0.1\dot{6}\dot{3}$（混循环）；$\frac{7}{37}>\frac{9}{55}$。
17. 12. ch08-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步：第 (1) 问三个数循环节都是 $2$ 位，分母同为 $99$，分子相加 $7+29+63=\underline{99}$，所以和是 $\frac{99}{99}=\underline{1}$。
    2. 第 2 步：第 (2) 问循环节分别是 $1,2,4$ 位，通分到 $9999$。$\frac{2}{9}=\frac{2\times1111}{9999}=\frac{\underline{2222}}{9999}$，$\frac{23}{99}=\frac{23\times101}{9999}=\frac{\underline{2323}}{9999}$。
    3. 第 3 步：分子相加 $2222+2323+2345=\underline{6890}$，得 $\frac{6890}{9999}$（$9999=3^2\times11\times101$ 与 $6890=2\times5\times13\times53$ 无公因数，已最简）。
    4. 第 4 步：第 (3) 问分母同为 $99$，分子相加 $45+53+67=\underline{165}$，得 $\frac{165}{99}$；同除 $33$ 得 $\frac{\underline{5}}{\underline{3}}$，即 $1\frac{2}{3}$。
    最终答案：（1）$1$；（2）$\frac{6890}{9999}$；（3）$\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$。
18. 12. ch08-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步：第一组循环节都是 $2$ 位，分母同为 $99$，分子相加 $7+29+63=\underline{99}$，和为 $\frac{99}{99}=\underline{1}$。
    2. 第 2 步：第二组分母也都是 $99$，分子相加 $45+53+67=\underline{165}$，和为 $\frac{165}{99}$。
    3. 第 3 步：约分，$165\div33=\underline{5}$、$99\div33=\underline{3}$，即 $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$。
    最终答案：第一组和为 $1$；第二组和为 $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$。
19. 12. ch08-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步：第 (1) 问分母都是 $99$，分子相加 $9+37+53=\underline{99}$，恰好得 $\frac{99}{99}=\underline{1}$。
    2. 第 2 步：第 (2) 问循环节 $1,2,4$ 位，通分到 $9999$：$\frac{3}{9}=\frac{3\times1111}{9999}=\frac{\underline{3333}}{9999}$，$\frac{34}{99}=\frac{34\times101}{9999}=\frac{\underline{3434}}{9999}$。
    3. 第 3 步：分子相加 $3333+3434+3456=\underline{10223}$，所以和为 $\frac{10223}{9999}=1\frac{224}{9999}$。
    最终答案：（1）$1$；（2）$\frac{10223}{9999}=1\frac{224}{9999}$。
20. 12. ch08-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（混循环化分数）：$0.1\dot{2}=\frac{12-1}{90}=\frac{\underline{11}}{90}$，$0.2\dot{5}=\frac{25-2}{90}=\frac{\underline{23}}{90}$。
    2. 第 2 步（先加同分母的两项）：$\frac{11}{90}+\frac{23}{90}=\frac{\underline{34}}{90}$。
    3. 第 3 步（与纯循环项通分）：$0.\dot{3}\dot{4}=\frac{34}{99}$，$90=2\times3^2\times5$、$99=3^2\times11$，最小公倍数 $2\times3^2\times5\times11=\underline{990}$。
    4. 第 4 步（通分相加）：$\frac{34}{90}=\frac{34\times11}{990}=\frac{\underline{374}}{990}$，$\frac{34}{99}=\frac{34\times10}{990}=\frac{\underline{340}}{990}$，分子相加 $374+340=\underline{714}$。
    5. 第 5 步（约分并化回小数）：$714$ 与 $990$ 同除 $6$ 得 $\frac{\underline{119}}{\underline{165}}$；$165=3\times5\times11$ 含 $5$，是混循环小数，回验分子 $721-7=\underline{714}$，而 $\frac{714}{990}=\frac{119}{165}$，所以结果是 $0.7\dot{2}\dot{1}$。
    最终答案：$0.1\dot{2}+0.2\dot{5}+0.\dot{3}\dot{4}=\frac{119}{165}=0.7\dot{2}\dot{1}$。
21. 13. ch08-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步：第 (1) 问都是纯循环、循环节 $2$ 位，分母同为 $99$，分子是 $2,13,24,\cdots,90$ 的等差数列，公差 $11$。项数 $=(90-2)\div11+1=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（等差求和）：分子和 $=(2+90)\times9\div2=\underline{414}$，所以原式 $=\frac{414}{99}$。
    3. 第 3 步（约分）：同除 $9$，$414\div9=\underline{46}$、$99\div9=\underline{11}$，得 $\frac{46}{11}$；化带分数 $46-44=\underline{2}$，即 $4\frac{2}{11}$。
    4. 第 4 步：第 (2) 问都是混循环（循环节 $1$ 位），分母同为 $90$，分子依次是 $12-1=11$、$23-2=21$、$\cdots$，相加 $11+21+31+41+71+81=\underline{256}$。
    5. 第 5 步（约分）：$\frac{256}{90}$ 同除 $2$，$256\div2=\underline{128}$、$90\div2=\underline{45}$，得 $\frac{128}{45}=2\frac{38}{45}$。
    最终答案：（1）$\frac{46}{11}=4\frac{2}{11}$；（2）$\frac{128}{45}=2\frac{38}{45}$。
22. 13. ch08-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步：都是纯循环、循环节 $2$ 位，分母同为 $99$；分子 $2,13,24,\cdots,90$ 成等差，公差 $11$，项数 $=(90-2)\div11+1=\underline{9}$。
    2. 第 2 步：分子和 $=(2+90)\times9\div2=\underline{414}$。
    3. 第 3 步：总和 $=\frac{414}{99}$，同除 $9$ 得 $\frac{\underline{46}}{\underline{11}}$ 克，即 $4\frac{2}{11}$ 克。
    最终答案：$\frac{46}{11}=4\frac{2}{11}$ 克。
23. 13. ch08-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步：都是纯循环、循环节 $2$ 位，分母同为 $99$；分子 $3,15,27,\cdots,99$ 公差 $12$，项数 $=(99-3)\div12+1=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（等差求和）：分子和 $=(3+99)\times9\div2=\underline{459}$。
    3. 第 3 步（约分）：$\frac{459}{99}$ 同除 $9$ 得 $\frac{\underline{51}}{\underline{11}}$；化带分数 $51-44=\underline{7}$，即 $4\frac{7}{11}$。
    最终答案：$\frac{51}{11}=4\frac{7}{11}$。
24. 13. ch08-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（辨类型）：八个数都是混循环（不循环 $1$ 位、循环节 $1$ 位），分母都是 $\underline{90}$。
    2. 第 2 步（求各自分子）：$12-1=11$，$23-2=21$，$\cdots$，$89-8=\underline{81}$；这些分子成公差 $10$ 的等差数列，项数 $8$。
    3. 第 3 步（等差求和）：分子和 $=(11+81)\times8\div2=\underline{368}$。
    4. 第 4 步（约分）：$\frac{368}{90}$ 同除 $2$ 得 $\frac{\underline{184}}{\underline{45}}$，即 $4\frac{4}{45}$。
    5. 第 5 步（化回小数）：$45=3^2\times5$ 含 $5$ 又含 $3$，是混循环小数；回验分子 $408-40=\underline{368}$，而 $\frac{368}{90}=\frac{184}{45}$，所以结果是 $4.0\dot{8}$。
    最终答案：$\frac{184}{45}=4\frac{4}{45}=4.0\dot{8}$。
25. 14. ch08-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（化分数）：$15.\dot{5}$ 是纯循环，化成假分数分子 $15\times9+5=\underline{140}$，即 $\frac{140}{9}$；$0.\dot{8}\dot{0}=\frac{80}{99}$；$4.0\dot{5}$ 是混循环，分子 $=405-40=\underline{365}$，即 $\frac{365}{90}=\frac{73}{18}$。
    2. 第 2 步（算括号）：通分到 $99$，$\frac{140}{9}=\frac{140\times11}{99}=\frac{\underline{1540}}{99}$，相减得 $\frac{1540-80}{99}=\frac{\underline{1460}}{99}$。
    3. 第 3 步（除法转乘、先约后乘）：$\frac{1460}{99}\times\frac{18}{73}$ 中 $1460\div73=\underline{20}$，于是分子为 $20\times18=\underline{360}$，得 $\frac{360}{99}$。
    4. 第 4 步（约分）：同除 $9$ 得 $\frac{\underline{40}}{\underline{11}}$，即 $3\frac{7}{11}$。
    5. 第 5 步（第 (2) 题化分数）：$0.\dot{8}2\dot{5}=\frac{825}{999}$，同除 $3$ 得 $\frac{275}{333}$；$0.2\dot{9}\dot{1}$ 分子 $=291-2=\underline{289}$，$0.29\dot{1}$ 分子 $=291-29=\underline{262}$。
    6. 第 6 步（算括号）：通分到 $9900$，$\frac{289}{990}=\frac{\underline{2890}}{9900}$、$\frac{262}{900}=\frac{\underline{2882}}{9900}$，相加得 $\frac{5772}{9900}$，同除 $12$ 得 $\frac{481}{825}$。
    7. 第 7 步（先约后乘）：$\frac{481}{825}\times\frac{275}{333}$ 中 $825\div275=\underline{3}$，故积为 $\frac{481}{3\times333}=\frac{481}{999}$；再同除 $37$ 得 $\frac{\underline{13}}{\underline{27}}$。
    最终答案：（1）$\frac{40}{11}=3\frac{7}{11}$；（2）$\frac{13}{27}$（即 $0.\dot{4}8\dot{1}$）。
26. 14. ch08-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步：$15.\dot{5}=\frac{15\times9+5}{9}=\frac{\underline{140}}{9}$，$0.\dot{8}\dot{0}=\frac{80}{99}$，$4.0\dot{5}=\frac{405-40}{90}=\frac{\underline{365}}{90}=\frac{73}{18}$。
    2. 第 2 步：通分到 $99$ 求差，$\frac{140\times11-80}{99}=\frac{\underline{1460}}{99}$。
    3. 第 3 步：份数 $=\frac{1460}{99}\div\frac{73}{18}=\frac{1460}{99}\times\frac{18}{73}$；$1460\div73=\underline{20}$，得 $\frac{20\times18}{99}=\frac{\underline{360}}{99}$。
    4. 第 4 步：同除 $9$ 得 $\frac{\underline{40}}{\underline{11}}$，即 $3\frac{7}{11}$ 份。
    最终答案：$\frac{40}{11}=3\frac{7}{11}$ 份。
27. 14. ch08-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步：$11.\dot{5}=\frac{11\times9+5}{9}=\frac{\underline{104}}{9}$，$0.\dot{5}\dot{4}=\frac{54}{99}$，$6.0\dot{5}=\frac{605-60}{90}=\frac{\underline{545}}{90}=\frac{109}{18}$。
    2. 第 2 步：通分到 $99$ 求差，$\frac{104\times11-54}{99}=\frac{\underline{1090}}{99}$。
    3. 第 3 步：$\frac{1090}{99}\times\frac{18}{109}$ 中 $1090\div109=\underline{10}$，得 $\frac{10\times18}{99}=\frac{\underline{180}}{99}$，同除 $9$ 得 $\frac{20}{11}=1\frac{9}{11}$。
    4. 第 4 步：$0.\dot{9}2\dot{5}=\frac{925}{999}$；$0.5\dot{6}\dot{4}$ 分子 $=564-5=\underline{559}$，$0.56\dot{4}$ 分子 $=564-56=\underline{508}$。
    5. 第 5 步：通分到 $9900$ 相加 $\frac{559\times10+508\times11}{9900}=\frac{\underline{11178}}{9900}$，再与 $\frac{925}{999}$ 相乘，约分后得 $\frac{23}{22}=1\frac{1}{22}$。
    最终答案：（1）$\frac{20}{11}=1\frac{9}{11}$；（2）$\frac{23}{22}=1\frac{1}{22}$（即 $1.0\dot{4}\dot{5}$）。
28. 14. ch08-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{7}4\dot{0}=\frac{740}{999}$，同除 $37$ 得 $\frac{\underline{20}}{\underline{27}}$。
    2. 第 2 步（括号内两数化分数）：$0.9\dot{6}\dot{1}$ 分子 $=961-9=\underline{952}$，即 $\frac{952}{990}$；$0.96\dot{1}$ 分子 $=961-96=\underline{865}$，即 $\frac{865}{900}$。
    3. 第 3 步（通分相加）：通分到 $9900$，$\frac{952\times10+865\times11}{9900}=\frac{\underline{19035}}{9900}$。
    4. 第 4 步（先约后乘）：$\frac{19035}{9900}$ 同除 $45$ 得 $\frac{423}{220}$；再乘 $\frac{20}{27}$，先约分——$220\div20=\underline{11}$（即 $\frac{20}{220}=\frac{1}{11}$），而 $423$ 与 $27$ 都是 $9$ 的倍数，$423\div9=\underline{47}$、$27\div9=\underline{3}$，得 $\frac{47}{3\times11}=\frac{47}{33}=1\frac{14}{33}$。
    5. 第 5 步（化回循环小数）：$33=3\times11$ 不含 $2,5$，是纯循环小数；$\frac{47}{33}=\frac{47\times3}{99}=\frac{\underline{141}}{99}$，所以结果是 $1.\dot{4}\dot{2}$。
    最终答案：$0.\dot{7}4\dot{0}\times(0.9\dot{6}\dot{1}+0.96\dot{1})=\frac{47}{33}=1\frac{14}{33}=1.\dot{4}\dot{2}$。
29. 15. ch08-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（统一分母）：三个数的循环节都是 $4$ 位或 $2$ 位，都能化到分母 $9999$。$1.\dot{2}76\dot{0}=1\frac{2760}{9999}$，化成假分数分子 $9999+2760=\underline{12759}$。
    2. 第 2 步：$0.\dot{4}\dot{2}=\frac{42}{99}$，因为 $9999\div99=101$，所以分子要乘 $101$：$42\times101=\underline{4242}$。
    3. 第 3 步（括号内相加）：$12759+4242=\underline{17001}$，即 $\frac{17001}{9999}$。
    4. 第 4 步（除数化假分数）：$2.\dot{2}67\dot{0}=2\frac{2670}{9999}$，分子 $=2\times9999+2670=\underline{22668}$。
    5. 第 5 步（相除，分母抵消）：$\frac{17001}{9999}\div\frac{22668}{9999}=\frac{17001}{22668}$；两数的最大公约数是 $5667$，$17001\div5667=\underline{3}$、$22668\div5667=\underline{4}$，得 $\frac{3}{4}=0.75$。
    最终答案：$\frac{3}{4}$，用小数表示为 $0.75$。
30. 15. ch08-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步：$1.\dot{2}76\dot{0}=\frac{9999+2760}{9999}=\frac{\underline{12759}}{9999}$。
    2. 第 2 步：$0.\dot{4}\dot{2}=\frac{42}{99}=\frac{42\times101}{9999}=\frac{\underline{4242}}{9999}$。
    3. 第 3 步：相加得 $\frac{12759+4242}{9999}=\frac{\underline{17001}}{9999}$；基准值 $2.\dot{2}67\dot{0}=\frac{2\times9999+2670}{9999}=\frac{\underline{22668}}{9999}$。
    4. 第 4 步：相除时两个 $9999$ 抵消，得 $\frac{17001}{22668}$，同除 $5667$ 得 $\frac{\underline{3}}{\underline{4}}$，即 $0.75$。
    最终答案：$\frac{3}{4}=0.75$。
31. 15. ch08-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步：$1.\dot{0}45\dot{6}=1\frac{456}{9999}$，假分数分子 $9999+456=\underline{10455}$。
    2. 第 2 步：$0.\dot{1}\dot{2}=\frac{12}{99}$，分子乘 $101$ 化到 $9999$：$12\times101=\underline{1212}$。
    3. 第 3 步：括号内相加 $10455+1212=\underline{11667}$。
    4. 第 4 步：除数 $2.\dot{3}33\dot{6}$ 的分子 $=2\times9999+3336=\underline{23334}$。
    5. 第 5 步：相除得 $\frac{11667}{23334}$，而 $23334\div11667=\underline{2}$，所以结果是 $\frac{1}{2}=0.5$。
    最终答案：$\frac{1}{2}=0.5$。
32. 15. ch08-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步：$1.\dot{0}07\dot{6}=1\frac{76}{9999}$，假分数分子 $9999+76=\underline{10075}$。
    2. 第 2 步：$0.\dot{9}\dot{0}=\frac{90}{99}$，分子乘 $101$ 化到 $9999$：$90\times101=\underline{9090}$。
    3. 第 3 步：括号内相加 $10075+9090=\underline{19165}$；除数分子 $=2\times9999+3000=\underline{22998}$。
    4. 第 4 步：相除得 $\frac{19165}{22998}$，两数的最大公约数是 $3833$，$19165\div3833=\underline{5}$、$22998\div3833=\underline{6}$，得 $\frac{5}{6}$。
    5. 第 5 步（化循环小数）：$6=2\times3$ 既含 $2$ 又含 $3$，是混循环小数 $0.8\dot{3}$；回验分子 $83-8=\underline{75}$，而 $\frac{75}{90}=\frac{5}{6}$，正确。
    最终答案：$\frac{5}{6}=0.8\dot{3}$。
33. 16. ch08-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（求公分母）：$7,10,11,12$ 两两互质或只共用 $2$，最小公倍数是 $4620$。
    2. 第 2 步（通分）：$4620\div7=\underline{660}$，$4620\div10=\underline{462}$，$4620\div11=\underline{420}$，$4620\div12=\underline{385}$。
    3. 第 3 步（求和）：分子相加 $660+462+420+385=\underline{1927}$，和为 $\frac{1927}{4620}$。
    4. 第 4 步（定形态）：$4620=2^2\times3\times5\times7\times11$，其中 $2^2$ 与 $5$ 决定不循环部分是 $2$ 位；余下的 $3\times7\times11$ 决定循环节长度取 $1,6,2$ 的最小公倍数，即 $\underline{6}$ 位。
    5. 第 5 步（写结果）：所以和是 $0.41\dot{7}0995\dot{6}$。
    最终答案：$\frac{1927}{4620}=0.41\dot{7}0995\dot{6}$。
34. 16. ch08-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步：每台每小时的工作量分别是 $\frac{1}{7},\frac{1}{10},\frac{1}{11},\frac{1}{12}$，合起来要求它们的和；公分母取 $4620$。
    2. 第 2 步：$4620\div7=\underline{660}$，$4620\div10=\underline{462}$，$4620\div11=\underline{420}$，$4620\div12=\underline{385}$。
    3. 第 3 步：分子相加 $660+462+420+385=\underline{1927}$，每小时灌 $\frac{1927}{4620}$ 池。
    4. 第 4 步：$4620$ 含 $2^2$ 与 $5$，不循环 $2$ 位；余下 $3\times7\times11$ 使循环节长 $\underline{6}$ 位，所以结果是 $0.41\dot{7}0995\dot{6}$。
    最终答案：每小时灌满全池的 $\frac{1927}{4620}=0.41\dot{7}0995\dot{6}$。
35. 16. ch08-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步：$[6,10,11]=330$，$330\div6=\underline{55}$，$330\div10=\underline{33}$，$330\div11=\underline{30}$。
    2. 第 2 步：分子相加 $55+33+30=\underline{118}$，和为 $\frac{118}{330}$；同除 $2$ 得 $\frac{\underline{59}}{\underline{165}}$。
    3. 第 3 步：$165=3\times5\times11$ 含质因数 $5$（$1$ 个），所以不循环部分 $1$ 位；余下 $3\times11=33$ 使循环节长 $2$ 位。
    4. 第 4 步：结果是 $0.3\dot{5}\dot{7}$；回验分子 $357-3=\underline{354}$，而 $\frac{354}{990}=\frac{59}{165}$，正确。
    最终答案：$\frac{59}{165}=0.3\dot{5}\dot{7}$。
36. 16. ch08-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步：$[9,10,11,12,15]=1980$；$1980\div9=220$，$1980\div10=198$，$1980\div11=180$，$1980\div12=165$，$1980\div15=\underline{132}$。
    2. 第 2 步：分子相加 $220+198+180+165+132=\underline{895}$，和为 $\frac{895}{1980}$。
    3. 第 3 步（约分）：同除 $5$，$895\div5=\underline{179}$、$1980\div5=\underline{396}$，得 $\frac{179}{396}$。
    4. 第 4 步（定形态）：$396=2^2\times3^2\times11$，含 $2^2$ 但不含 $5$，所以不循环部分 $2$ 位；余下 $3^2\times11=99$ 使循环节长 $2$ 位。
    5. 第 5 步（写结果）：结果是 $0.45\dot{2}\dot{0}$；回验分子 $4520-45=\underline{4475}$，而 $\frac{4475}{9900}=\frac{179}{396}$，正确。
    最终答案：$\frac{179}{396}=0.45\dot{2}\dot{0}$。
37. 17. ch08-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（求公分母）：$3,7,11,13$ 两两互质，最小公分母是 $3\times7\times11\times13=\underline{3003}$。
    2. 第 2 步（通分）：$3003\div3=\underline{1001}$，$3003\div7=\underline{429}$，$3003\div11=\underline{273}$，$3003\div13=\underline{231}$。
    3. 第 3 步（求和）：分子相加 $3003+1001+429+273+231=\underline{4937}$，和为 $\frac{4937}{3003}$。
    4. 第 4 步（定形态）：$3003=3\times7\times11\times13$ 不含 $2$ 和 $5$，所以是纯循环小数（没有不循环部分）；循环节长度取各周期 $1,6,2,6$ 的最小公倍数，即 $\underline{6}$ 位。
    5. 第 5 步（写结果）：所以和是 $1.\dot{6}4402\dot{2}$。
    最终答案：$\frac{4937}{3003}=1.\dot{6}4402\dot{2}$。
38. 17. ch08-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步：公分母 $=3\times7\times11\times13=\underline{3003}$。
    2. 第 2 步：$3003\div3=\underline{1001}$，$3003\div7=\underline{429}$，$3003\div11=\underline{273}$，$3003\div13=\underline{231}$。
    3. 第 3 步：分子相加 $3003+1001+429+273+231=\underline{4937}$，总长 $\frac{4937}{3003}$ 米。
    4. 第 4 步：分母不含 $2,5$ → 纯循环；循环节长 $[1,6,2,6]=\underline{6}$ 位，所以总长是 $1.\dot{6}4402\dot{2}$ 米。
    最终答案：总长 $\frac{4937}{3003}=1.\dot{6}4402\dot{2}$ 米。
39. 17. ch08-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步：公分母 $=2\times3\times7\times11=\underline{462}$。
    2. 第 2 步：$462\div2=\underline{231}$，$462\div3=\underline{154}$，$462\div7=\underline{66}$，$462\div11=\underline{42}$。
    3. 第 3 步：分子相加 $231+154+66+42=\underline{493}$，和为 $\frac{493}{462}$。
    4. 第 4 步：$462=2\times3\times7\times11$ 含一个 $2$ → 不循环 $1$ 位；余下 $3\times7\times11$ 使循环节长 $[1,6,2]=\underline{6}$ 位。
    5. 第 5 步：所以结果是 $1.0\dot{6}7099\dot{5}$。
    最终答案：$\frac{493}{462}=1.0\dot{6}7099\dot{5}$。
40. 17. ch08-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（求公分母）：$[1,3,5,7,9,11,13]=3^2\times5\times7\times11\times13=\underline{45045}$。
    2. 第 2 步（通分）：$45045\div3=\underline{15015}$，$45045\div5=\underline{9009}$，$45045\div7=\underline{6435}$，$45045\div9=\underline{5005}$，$45045\div11=\underline{4095}$，$45045\div13=\underline{3465}$。
    3. 第 3 步（求和）：$45045+15015+9009+6435+5005+4095+3465=\underline{88069}$，和为 $\frac{88069}{45045}$。
    4. 第 4 步（定形态）：$45045$ 含一个 $5$、不含 $2$ → 不循环 $1$ 位；余下 $3^2\times7\times11\times13$ 使循环节长度为 $[1,6,2,6]=\underline{6}$ 位。
    5. 第 5 步（写结果）：结果是 $1.9\dot{5}5133\dot{7}$。
    最终答案：$\frac{88069}{45045}=1.9\dot{5}5133\dot{7}$。
41. 18. ch08-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步：每个循环节的数字和都是 $1+2+4+5+7+8=\underline{27}$。
    2. 第 2 步（带余除法）：$27\times500=13500$，所以 $13512\div27=500\cdots\cdots\underline{12}$。
    3. 第 3 步（找前缀和为 $12$ 的轮排）：$571428$ 的前 $2$ 位 $5+7=\underline{12}$；$714285$ 的前 $3$ 位 $7+1+4=\underline{12}$。两种都符合。
    4. 第 4 步（第一组）：循环节 $571428$ 对应 $\frac{4}{7}$，$a=4$，$n=500\times6+2=\underline{3002}$。
    5. 第 5 步（第二组）：循环节 $714285$ 对应 $\frac{5}{7}$，$a=5$，$n=500\times6+3=\underline{3003}$。
    最终答案：$a=4$，$n=3002$；或 $a=5$，$n=3003$。
42. 18. ch08-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步：不论 $a$ 是几，循环节数字和都是 $\underline{27}$。
    2. 第 2 步：$13512\div27=500\cdots\cdots\underline{12}$，即 $500$ 个整循环节再加一段前缀，前缀数字和为 $12$。
    3. 第 3 步：$5+7=\underline{12}$ 对应 $\frac{4}{7}$ 的前 $2$ 位，$7+1+4=\underline{12}$ 对应 $\frac{5}{7}$ 的前 $3$ 位。
    4. 第 4 步：所以 $a=4$ 时 $n=500\times6+2=\underline{3002}$；$a=5$ 时 $n=500\times6+3=\underline{3003}$。
    最终答案：$a=4$，$n=3002$；或 $a=5$，$n=3003$。
43. 18. ch08-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步：$27\times400=10800$，所以 $10820\div27=400\cdots\cdots\underline{20}$。
    2. 第 2 步（找前缀和为 $20$ 的轮排）：$142857$ 的前 $5$ 位 $1+4+2+8+5=\underline{20}$；$857142$ 的前 $3$ 位 $8+5+7=\underline{20}$。
    3. 第 3 步（第一组）：循环节 $142857$ 对应 $\frac{1}{7}$，$a=1$，$n=400\times6+5=\underline{2405}$。
    4. 第 4 步（第二组）：循环节 $857142$ 对应 $\frac{6}{7}$，$a=6$，$n=400\times6+3=\underline{2403}$。
    最终答案：$a=1$，$n=2405$；或 $a=6$，$n=2403$。
44. 18. ch08-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步：$27\times600=16200$，所以 $16207\div27=600\cdots\cdots\underline{7}$。
    2. 第 2 步（找前缀和为 $7$ 的轮排）：$142857$ 的前 $3$ 位 $1+4+2=\underline{7}$；$714285$ 的前 $1$ 位就是 $\underline{7}$。
    3. 第 3 步（第一组）：$a=1$，$n=600\times6+3=\underline{3603}$，第 $n$ 位是循环节 $142857$ 的第 $3$ 位，即 $\underline{2}$。
    4. 第 4 步（第二组）：$a=5$，$n=600\times6+1=\underline{3601}$，第 $n$ 位是循环节 $714285$ 的第 $1$ 位，即 $\underline{7}$。
    最终答案：$a=1$，$n=3603$，第 $n$ 位是 $2$；或 $a=5$，$n=3601$，第 $n$ 位是 $7$。
45. 20. ch08-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（化小数）：$101\times99=9999$，所以 $\frac{23}{101}=\frac{23\times99}{9999}=\frac{\underline{2277}}{9999}=0.\dot{2}27\dot{7}$。
    2. 第 2 步：同理 $\frac{78}{101}=\frac{78\times99}{9999}=\frac{\underline{7722}}{9999}=0.\dot{7}72\dot{2}$。
    3. 第 3 步（定位）：两个循环节都是 $4$ 位，$2008\div4=\underline{502}$ 正好整除，所以第 $2008$ 位都是各自循环节的最后一位。
    4. 第 4 步（求和）：$2277$ 的末位是 $7$，$7722$ 的末位是 $2$，和为 $7+2=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（复核）：$\frac{23}{101}+\frac{78}{101}=1$，两数互补，每一位数字之和都应是 $9$，与上面结果一致。
    最终答案：$9$。
46. 20. ch08-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步：$\frac{23}{101}=\frac{\underline{2277}}{9999}=0.\dot{2}27\dot{7}$，$\frac{78}{101}=\frac{\underline{7722}}{9999}=0.\dot{7}72\dot{2}$。
    2. 第 2 步：循环节都是 $4$ 位，$2008\div4=\underline{502}$，正好整除，第 $2008$ 位是循环节末位。
    3. 第 3 步：末位分别是 $7$ 和 $2$，和为 $\underline{9}$。
    最终答案：$9$。
47. 20. ch08-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步：$\frac{37}{101}=\frac{37\times99}{9999}=\frac{\underline{3663}}{9999}=0.\dot{3}66\dot{3}$；$\frac{64}{101}=\frac{64\times99}{9999}=\frac{\underline{6336}}{9999}=0.\dot{6}33\dot{6}$。
    2. 第 2 步：循环节 $4$ 位，$2012\div4=\underline{503}$，整除，第 $2012$ 位是循环节末位，分别是 $3$ 和 $6$。
    3. 第 3 步：和为 $3+6=\underline{9}$；也可用 $\frac{37}{101}+\frac{64}{101}=1$ 直接判定每位数字和为 $9$。
    最终答案：$9$。
48. 20. ch08-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（化小数）：$13\times99=\underline{1287}$，所以 $\frac{13}{101}=0.\dot{1}28\dot{7}$，循环节是 $1287$。
    2. 第 2 步（定位）：循环节 $4$ 位，$2008\div4=\underline{502}$ 正好整除，所以第 $2008$ 位是循环节最后一位，即 $\underline{7}$。
    3. 第 3 步（循环节数字和）：$1+2+8+7=\underline{18}$。
    4. 第 4 步（前 $2008$ 位求和）：正好是 $502$ 个完整循环节，总和 $=18\times502=\underline{9036}$。
    最终答案：（1）第 $2008$ 位是 $7$；（2）前 $2008$ 位数字之和是 $9036$。
49. 21. ch08-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（化分数）：$1.4\dot{5}$ 是混循环，分子 $=145-14=\underline{131}$，即 $\frac{131}{90}$。
    2. 第 2 步（通分求差）：$90$ 与 $100$ 的最小公倍数取 $180$（$1.45=\frac{29}{20}$）。$\frac{131}{90}=\frac{131\times2}{180}=\frac{\underline{262}}{180}$，$\frac{29}{20}=\frac{29\times9}{180}=\frac{\underline{261}}{180}$。
    3. 第 3 步：两因数之差 $=\frac{262-261}{180}=\frac{\underline{1}}{180}$，即 $\frac{1}{180}$。
    4. 第 4 步（求 $a$）：$a=1.5\div\frac{1}{180}=1.5\times180=\underline{270}$。
    5. 第 5 步（回代）：正确结果 $=\frac{131}{90}\times270=131\times3=\underline{393}$。
    最终答案：正确结果是 $393$。
50. 21. ch08-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步：$1.4\dot{5}=\frac{145-14}{90}=\frac{\underline{131}}{90}$。
    2. 第 2 步：与 $1.45=\frac{29}{20}$ 通分到 $180$：$\frac{\underline{262}}{180}$ 与 $\frac{\underline{261}}{180}$，单价之差是 $\frac{1}{180}$ 元。
    3. 第 3 步：件数 $a=1.5\div\frac{1}{180}=\underline{270}$（件）。
    4. 第 4 步：正确总价 $=\frac{131}{90}\times270=\underline{393}$（元）。
    最终答案：正确总价是 $393$ 元。
51. 21. ch08-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数并约分）：$2.3\dot{6}$ 的分子 $=236-23=\underline{213}$，得 $\frac{213}{90}$；同除 $3$ 得 $\frac{\underline{71}}{\underline{30}}$。
    2. 第 2 步（通分求差）：$2.36=\frac{59}{25}$，与 $\frac{71}{30}$ 通分到 $150$：$71\times5=\underline{355}$，$59\times6=\underline{354}$，差 $=\frac{355-354}{150}=\frac{1}{150}$。
    3. 第 3 步（求 $a$）：$a=0.8\div\frac{1}{150}=0.8\times150=\underline{120}$。
    4. 第 4 步（回代）：正确结果 $=\frac{71}{30}\times120=71\times4=\underline{284}$。
    最终答案：正确结果是 $284$。
52. 21. ch08-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步：$1.4\dot{5}=\frac{145-14}{90}=\frac{\underline{131}}{90}$；与 $1.45=\frac{29}{20}$ 通分到 $180$ 后，差 $=\frac{131\times2-29\times9}{180}=\frac{\underline{1}}{180}$。
    2. 第 2 步（求 $a$）：$a=1.5\times180=\underline{270}$。
    3. 第 3 步（正确结果）：$\frac{131}{90}\times270=131\times\underline{3}=393$。
    4. 第 4 步（再算 $a\times0.\dot{4}$）：$0.\dot{4}=\frac{4}{9}$，$270\times\frac{4}{9}=\frac{270}{9}\times4=30\times4=\underline{120}$。
    最终答案：（1）$a=270$，正确结果 $393$；（2）$a\times0.\dot{4}=120$。
53. 22. ch08-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（判断看丢哪个点）：只能看丢第一个循环点，于是 $0.0\dot{5}\dot{4}$ 变成 $0.05\dot{4}$。
    2. 第 2 步（两数化分数）：$0.0\dot{5}\dot{4}=\frac{054-0}{990}=\frac{54}{990}$；$0.05\dot{4}=\frac{54-5}{900}=\frac{\underline{49}}{900}$。
    3. 第 3 步（通分求差）：通分到 $9900$，$\frac{54}{990}=\frac{54\times10}{9900}=\frac{\underline{540}}{9900}$，$\frac{49}{900}=\frac{49\times11}{9900}=\frac{\underline{539}}{9900}$，差 $=\frac{540-539}{9900}=\frac{\underline{1}}{9900}$。
    4. 第 4 步（求 $a$）：减少量 $0.\dot{4}\dot{4}=\frac{44}{99}$，同除 $11$ 得 $\frac{\underline{4}}{\underline{9}}$；于是 $a=\frac{4}{9}\times9900=\underline{4400}$。
    5. 第 5 步（回代）：正确结果 $=\frac{540}{9900}\times4400=\underline{240}$。
    最终答案：正确结果是 $240$。
54. 22. ch08-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步：$0.0\dot{5}\dot{4}=\frac{54}{990}$，$0.05\dot{4}=\frac{54-5}{900}=\frac{\underline{49}}{900}$。
    2. 第 2 步：通分到 $9900$，两数分别是 $\frac{\underline{540}}{9900}$ 与 $\frac{\underline{539}}{9900}$，每单位差 $\frac{1}{9900}$ 克。
    3. 第 3 步：$0.\dot{4}\dot{4}=\frac{44}{99}=\frac{4}{9}$，所以 $a=\frac{4}{9}\times9900=\underline{4400}$（个）。
    4. 第 4 步：正确总量 $=\frac{540}{9900}\times4400=\underline{240}$（克）。
    最终答案：正确总量是 $240$ 克。
55. 22. ch08-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步：看丢第一个循环点后 $0.0\dot{8}\dot{7}$ 变成 $0.08\dot{7}$；$0.0\dot{8}\dot{7}=\frac{87}{990}$，$0.08\dot{7}=\frac{87-8}{900}=\frac{\underline{79}}{900}$。
    2. 第 2 步：通分到 $9900$，$\frac{87}{990}=\frac{\underline{870}}{9900}$，$\frac{79}{900}=\frac{\underline{869}}{9900}$，差 $=\frac{870-869}{9900}=\frac{1}{9900}$。
    3. 第 3 步：减少量 $0.\dot{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，所以 $a=\frac{1}{3}\times9900=\underline{3300}$。
    4. 第 4 步：正确结果 $=\frac{870}{9900}\times3300=\underline{290}$。
    最终答案：正确结果是 $290$。
56. 22. ch08-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步：$0.0\dot{5}\dot{4}=\frac{54}{990}$，看丢点后为 $0.05\dot{4}=\frac{\underline{49}}{900}$，两数之差 $\frac{1}{9900}$。
    2. 第 2 步：$0.\dot{4}\dot{4}=\frac{4}{9}$，所以 $a=\frac{4}{9}\times9900=\underline{4400}$，正确结果 $=\frac{540}{9900}\times4400=\underline{240}$。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：$0.054=\frac{54}{1000}$，与 $\frac{54}{990}$ 通分到 $5500$：$\frac{54}{990}=\frac{\underline{300}}{5500}$，$\frac{54}{1000}=\frac{\underline{297}}{5500}$，差 $=\frac{300-297}{5500}=\frac{\underline{3}}{5500}$。
    4. 第 4 步：乘积减少 $=\frac{3}{5500}\times4400=\underline{2.4}$。
    最终答案：（1）$a=4400$，正确结果 $240$；（2）抄成 $0.054$ 时乘积减少 $2.4$。
57. 23. ch08-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（判类型）：$16=2^4$、$40=2^3\times5$ 只含质因数 $2,5$，化出来是有限小数；把分母扩成 $10^n$——$16\times625=10000$，分子 $7\times625=\underline{4375}$，所以 $\frac{7}{16}=0.4375$；$40\times25=1000$，分子 $17\times25=\underline{425}$，所以 $\frac{17}{40}=0.425$。
    2. 第 2 步（纯循环）：$11$、$33$ 都不含质因数 $2,5$，化出来是纯循环小数；把分母扩成 $99$——$5\times9=\underline{45}$，故 $\frac{5}{11}=\frac{45}{99}=0.\dot{4}\dot{5}$；$7\times3=\underline{21}$，故 $\frac{7}{33}=\frac{21}{99}=0.\dot{2}\dot{1}$。
    3. 第 3 步（混循环）：$12=2^2\times3$ 既含 $2$ 又含 $3$，化出来是混循环小数 $0.58\dot{3}$；反过来用混循环化分数的公式检验，分子应是 $583-58=\underline{525}$，$\frac{525}{900}=\frac{7}{12}$ 对上了。
    4. 第 4 步（$7$ 作分母）：$\frac{1}{7}$ 的循环节是 $142857$，$\frac{5}{7}=\frac{5\times142857}{999999}$，分子 $5\times142857=\underline{714285}$，所以 $\frac{5}{7}=0.\dot{7}1428\dot{5}$。
    最终答案：（1）$0.4375$，$0.425$；（2）$0.\dot{4}\dot{5}$，$0.\dot{2}\dot{1}$；（3）$0.58\dot{3}$；（4）$0.\dot{7}1428\dot{5}$。
58. 23. ch08-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：$16=2^4$，扩成万分之几，$7\times625=\underline{4375}$，第一根是 $0.4375$ 米（有限小数）。
    2. 第 2 步：$40=2^3\times5$，扩成千分之几，$17\times25=\underline{425}$，第二根是 $0.425$ 米（有限小数）。
    3. 第 3 步：$11$ 不含 $2,5$，扩成 $99$ 作分母，$5\times9=\underline{45}$，第三根是 $0.\dot{4}\dot{5}$ 米（纯循环小数）。
    4. 第 4 步：$12=2^2\times3$ 兼含 $2$ 与 $3$，是混循环小数 $0.58\dot{3}$ 米；检验分子 $583-58=\underline{525}$，$\frac{525}{900}=\frac{7}{12}$，正确。
    最终答案：$0.4375$ 米，$0.425$ 米，$0.\dot{4}\dot{5}$ 米，$0.58\dot{3}$ 米。
59. 23. ch08-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步：$40=2^3\times5$ 只含 $2,5$ → 有限小数。$40\times25=1000$，分子 $9\times25=\underline{225}$，所以 $\frac{9}{40}=0.225$。
    2. 第 2 步：$15=3\times5$ 既含 $5$ 又含 $3$ → 混循环小数 $0.2\dot{6}$。检验：分子 $26-2=\underline{24}$，$\frac{24}{90}=\frac{4}{15}$，对上了。
    3. 第 3 步：$11$ 不含 $2,5$ → 纯循环小数。$8\times9=\underline{72}$，所以 $\frac{8}{11}=\frac{72}{99}=0.\dot{7}\dot{2}$。
    4. 第 4 步：$13$ 不含 $2,5$ → 纯循环小数，且 $13\times76923=999999$，分子 $3\times76923=\underline{230769}$，所以 $\frac{3}{13}=0.\dot{2}3076\dot{9}$。
    最终答案：$\frac{9}{40}=0.225$（有限）；$\frac{4}{15}=0.2\dot{6}$（混循环）；$\frac{8}{11}=0.\dot{7}\dot{2}$（纯循环）；$\frac{3}{13}=0.\dot{2}3076\dot{9}$（纯循环）。
60. 23. ch08-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（化小数）：$7\times142857=999999$，$\frac{3}{7}=\frac{3\times142857}{999999}$，分子 $3\times142857=\underline{428571}$，所以 $\frac{3}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}$；同理 $5\times9=\underline{45}$，$\frac{5}{11}=\frac{45}{99}=0.\dot{4}\dot{5}$。
    2. 第 2 步（找周期）：$\frac{3}{7}$ 的循环节 $428571$ 共 $6$ 位，$100\div6=16\cdots\cdots\underline{4}$，余数就是第 $100$ 位在循环节里的位次。
    3. 第 3 步：数循环节 $4,2,8,5,7,1$ 的第 $4$ 位，得第 $100$ 位数字是 $\underline{5}$。
    4. 第 4 步：$\frac{5}{11}$ 的循环节 $45$ 只有 $2$ 位，$100\div2=\underline{50}$ 正好整除，说明第 $100$ 位是循环节的最后一位，即 $\underline{5}$。
    最终答案：$\frac{3}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}$，第 $100$ 位是 $5$；$\frac{5}{11}=0.\dot{4}\dot{5}$，第 $100$ 位是 $5$。
61. 24. ch08-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（位数定分母）：$0.47$ 是两位小数，分母取 $100$，得 $\frac{47}{100}$；$0.4803$ 是四位小数，分母应取 $\underline{10000}$，得 $\frac{4803}{10000}$。两个分子都与分母互质，已经最简。
    2. 第 2 步（约分 $0.36$）：$0.36=\frac{36}{100}$，$36$ 与 $100$ 的最大公约数是 $\underline{4}$，于是 $36\div4=\underline{9}$、$100\div4=\underline{25}$，得 $\frac{9}{25}$。
    3. 第 3 步（约分 $0.625$）：$0.625=\frac{625}{1000}$，最大公约数是 $\underline{125}$，$625\div125=\underline{5}$、$1000\div125=\underline{8}$，得 $\frac{5}{8}$。
    4. 第 4 步（约分 $0.1875$）：$0.1875=\frac{1875}{10000}$，最大公约数是 $\underline{625}$，$1875\div625=\underline{3}$、$10000\div625=\underline{16}$，得 $\frac{3}{16}$。
    最终答案：（1）$\frac{47}{100}$，$\frac{4803}{10000}$；（2）$\frac{9}{25}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{16}$。
62. 24. ch08-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：$0.47$ 是两位小数，分母取 $100$，即 $\frac{47}{100}$ 克，$47$ 与 $100$ 互质，已最简。
    2. 第 2 步：$0.36=\frac{36}{100}$，最大公约数是 $\underline{4}$，约得 $\frac{\underline{9}}{\underline{25}}$ 克。
    3. 第 3 步：$0.625=\frac{625}{1000}$，最大公约数是 $\underline{125}$，约得 $\frac{\underline{5}}{\underline{8}}$ 克。
    4. 第 4 步：$0.1875=\frac{1875}{10000}$，最大公约数是 $\underline{625}$，约得 $\frac{\underline{3}}{\underline{16}}$ 克。
    最终答案：$\frac{47}{100}$ 克，$\frac{9}{25}$ 克，$\frac{5}{8}$ 克，$\frac{3}{16}$ 克。
63. 24. ch08-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步：整数部分照抄，只把小数部分化成分数。$2.75$ 的小数部分 $0.75=\frac{75}{100}$，最大公约数 $\underline{25}$，约得 $\frac{\underline{3}}{\underline{4}}$，所以 $2.75=2\frac{3}{4}$。
    2. 第 2 步：$1.024$ 的小数部分 $0.024=\frac{24}{1000}$，最大公约数 $\underline{8}$，约得 $\frac{\underline{3}}{\underline{125}}$，所以 $1.024=1\frac{3}{125}$。
    3. 第 3 步：$3.0625$ 的小数部分 $0.0625=\frac{625}{10000}$，最大公约数 $\underline{625}$，约得 $\frac{\underline{1}}{\underline{16}}$，所以 $3.0625=3\frac{1}{16}$。
    最终答案：$2.75=2\frac{3}{4}$；$1.024=1\frac{3}{125}$；$3.0625=3\frac{1}{16}$。
64. 24. ch08-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（各自化简）：$0.36=\frac{36}{100}$，同除 $\underline{4}$ 得 $\frac{9}{25}$；$0.625=\frac{625}{1000}$，同除 $\underline{125}$ 得 $\frac{5}{8}$。
    2. 第 2 步（找公分母）：$25=5^2$、$8=2^3$ 互质，最小公分母是 $25\times8=\underline{200}$。
    3. 第 3 步（通分）：$\frac{9}{25}=\frac{9\times8}{200}=\frac{\underline{72}}{200}$，$\frac{5}{8}=\frac{5\times25}{200}=\frac{\underline{125}}{200}$。
    4. 第 4 步（相加）：分子相加 $72+125=\underline{197}$，和是 $\frac{197}{200}$。
    5. 第 5 步（化回小数）：$200\times5=1000$，分子 $197\times5=\underline{985}$，所以和是 $0.985$。
    最终答案：$0.36+0.625=\frac{9}{25}+\frac{5}{8}=\frac{197}{200}=0.985$。
65. 25. ch08-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（纯循环，循环节 $1$ 位）：分母写一个 $9$，$0.\dot{7}=\frac{7}{9}$，$7$ 与 $9$ 互质，已最简。
    2. 第 2 步（纯循环，循环节 $2$ 位）：分母要写 $\underline{99}$，所以 $0.\dot{4}\dot{7}=\frac{47}{99}$（$47$ 是质数，已最简）。
    3. 第 3 步（混循环 $0.0\dot{7}$）：不循环部分是 $0$（$1$ 位），循环节 $7$（$1$ 位）。分子 $=07-0=\underline{7}$，分母是 $1$ 个 $9$ 后面跟 $1$ 个 $0$，即 $\underline{90}$，所以 $0.0\dot{7}=\frac{7}{90}$。
    4. 第 4 步（混循环 $0.4\dot{7}$）：不循环部分是 $4$，分子 $=47-4=\underline{43}$，分母仍是 $90$，所以 $0.4\dot{7}=\frac{43}{90}$（已最简）。
    最终答案：（1）$\frac{7}{9}$；（2）$\frac{47}{99}$；（3）$\frac{7}{90}$，$\frac{43}{90}$。
66. 25. ch08-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步：$0.\dot{7}$ 循环节 $1$ 位，分母一个 $9$，即 $\frac{7}{9}$ 秒。
    2. 第 2 步：$0.\dot{4}\dot{7}$ 循环节 $2$ 位，分母要写 $\underline{99}$，即 $\frac{47}{99}$ 秒。
    3. 第 3 步：$0.4\dot{7}$ 是混循环，分子 $=47-4=\underline{43}$，分母是 $1$ 个 $9$ 跟 $1$ 个 $0$，即 $\underline{90}$，所以是 $\frac{43}{90}$ 秒。
    最终答案：$\frac{7}{9}$ 秒，$\frac{47}{99}$ 秒，$\frac{43}{90}$ 秒。
67. 25. ch08-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步：$0.\dot{1}\dot{3}$ 是纯循环、循环节 $2$ 位，分母写 $\underline{99}$，得 $\frac{13}{99}$，已最简。
    2. 第 2 步：$0.2\dot{4}\dot{5}$ 是混循环，不循环 $1$ 位、循环节 $2$ 位。分子 $=245-2=\underline{243}$，分母是 $2$ 个 $9$ 后跟 $1$ 个 $0$，即 $\underline{990}$。
    3. 第 3 步（约分）：$243$ 与 $990$ 的最大公约数是 $9$，$243\div9=\underline{27}$、$990\div9=\underline{110}$，所以 $0.2\dot{4}\dot{5}=\frac{27}{110}$。
    最终答案：$0.\dot{1}\dot{3}=\frac{13}{99}$；$0.2\dot{4}\dot{5}=\frac{27}{110}$。
68. 25. ch08-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（各自化分数）：$0.4\dot{7}$ 是混循环，分子 $=47-4=\underline{43}$，分母 $90$，即 $\frac{43}{90}$；$0.\dot{4}\dot{7}$ 是纯循环，即 $\frac{47}{99}$。
    2. 第 2 步（找公分母）：$90=2\times3^2\times5$、$99=3^2\times11$，最小公倍数是 $2\times3^2\times5\times11=\underline{990}$。
    3. 第 3 步（通分）：$990\div90=11$，$\frac{43}{90}=\frac{43\times11}{990}=\frac{\underline{473}}{990}$；$990\div99=10$，$\frac{47}{99}=\frac{47\times10}{990}=\frac{\underline{470}}{990}$。
    4. 第 4 步（相加）：分子相加 $473+470=\underline{943}$，所以和是 $\frac{943}{990}$（$943=23\times41$，与 $990$ 互质，已最简）。
    最终答案：$0.4\dot{7}+0.\dot{4}\dot{7}=\frac{43}{90}+\frac{47}{99}=\frac{943}{990}$。
69. 26. ch08-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步：$0.\dot{8}$ 循环节 $1$ 位，分母一个 $9$，得 $\frac{8}{9}$，已最简。
    2. 第 2 步：$0.\dot{2}\dot{4}$ 循环节 $2$ 位，得 $\frac{24}{99}$；分子分母同除 $3$，$24\div3=\underline{8}$、$99\div3=\underline{33}$，即 $\frac{8}{33}$。
    3. 第 3 步：$0.\dot{2}3\dot{4}$ 循环节 $3$ 位，得 $\frac{234}{999}$；同除 $9$，$234\div9=\underline{26}$、$999\div9=\underline{111}$，即 $\frac{26}{111}$。
    4. 第 4 步：$0.2\dot{3}\dot{4}$ 的循环点不在小数点后第一位，是混循环。分子 $=234-2=\underline{232}$，分母是 $2$ 个 $9$ 跟 $1$ 个 $0$，即 $\underline{990}$。
    5. 第 5 步（约分）：$232$ 与 $990$ 同除 $2$，$232\div2=\underline{116}$、$990\div2=\underline{495}$，得 $\frac{116}{495}$。
    最终答案：$0.\dot{8}=\frac{8}{9}$；$0.\dot{2}\dot{4}=\frac{8}{33}$；$0.\dot{2}3\dot{4}=\frac{26}{111}$；$0.2\dot{3}\dot{4}=\frac{116}{495}$。
70. 26. ch08-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步：$0.\dot{8}=\frac{8}{9}$（循环节 $1$ 位）。
    2. 第 2 步：$0.\dot{2}\dot{4}=\frac{24}{99}$，同除 $3$ 得 $\frac{\underline{8}}{\underline{33}}$。
    3. 第 3 步：$0.\dot{2}3\dot{4}=\frac{234}{999}$，同除 $9$ 得 $\frac{\underline{26}}{\underline{111}}$。
    4. 第 4 步：$0.2\dot{3}\dot{4}$ 是混循环，分子 $=234-2=\underline{232}$，分母 $990$，约分后是 $\frac{\underline{116}}{\underline{495}}$。
    最终答案：$\frac{8}{9}$，$\frac{8}{33}$，$\frac{26}{111}$，$\frac{116}{495}$。
71. 26. ch08-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步：$0.\dot{6}=\frac{6}{9}$，同除 $3$ 得 $\frac{\underline{2}}{\underline{3}}$。
    2. 第 2 步：$0.\dot{4}\dot{5}=\frac{45}{99}$，同除 $9$ 得 $\frac{\underline{5}}{\underline{11}}$。
    3. 第 3 步：$0.\dot{4}5\dot{6}=\frac{456}{999}$，同除 $3$ 得 $\frac{\underline{152}}{\underline{333}}$。
    4. 第 4 步：$0.4\dot{5}\dot{6}$ 的第一位 $4$ 不循环，是混循环，分子 $=456-4=\underline{452}$，分母 $\underline{990}$，同除 $2$ 得 $\frac{\underline{226}}{\underline{495}}$。
    最终答案：$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$；$0.\dot{4}\dot{5}=\frac{5}{11}$；$0.\dot{4}5\dot{6}=\frac{152}{333}$；$0.4\dot{5}\dot{6}=\frac{226}{495}$。
72. 26. ch08-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（各自化分数）：$0.\dot{2}\dot{4}=\frac{24}{99}=\frac{8}{33}$；$0.2\dot{3}\dot{4}$ 是混循环，分子 $=234-2=\underline{232}$，得 $\frac{232}{990}=\frac{116}{495}$。
    2. 第 2 步（通分）：$495\div33=\underline{15}$，所以 $\frac{8}{33}=\frac{8\times15}{495}=\frac{\underline{120}}{495}$。
    3. 第 3 步（相加）：$120+116=\underline{236}$，和是 $\frac{236}{495}$。
    4. 第 4 步（化回循环小数）：$495=3^2\times5\times11$ 含质因数 $5$，所以结果是混循环小数；设它是 $0.4\dot{7}\dot{6}$，用公式回验分子 $476-4=\underline{472}$，而 $\frac{472}{990}=\frac{236}{495}$，正好相符。
    最终答案：$0.\dot{2}\dot{4}+0.2\dot{3}\dot{4}=\frac{236}{495}=0.4\dot{7}\dot{6}$。
73. 27. ch08-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步：三个数循环节都是 $1$ 位，化分数后分母都是 $9$，分子直接相加 $4+5+6=\underline{15}$，得 $\frac{15}{9}$；同除 $3$ 得 $\frac{\underline{5}}{\underline{3}}$，即 $1\frac{2}{3}$。
    2. 第 2 步：第 (2) 题循环节都是 $2$ 位，分母都是 $99$，分子相加 $15+30=\underline{45}$，得 $\frac{45}{99}$；同除 $9$ 得 $\frac{\underline{5}}{\underline{11}}$。
    3. 第 3 步：第 (3) 题分母同为 $99$，分子相加 $24+36+39=\underline{99}$，得 $\frac{99}{99}=\underline{1}$。
    最终答案：（1）$\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$；（2）$\frac{5}{11}$；（3）$1$。
74. 27. ch08-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步：三个成绩循环节 $1$ 位，分母都是 $9$，$4+5+6=\underline{15}$，总和 $\frac{15}{9}$，约分得 $\frac{\underline{5}}{\underline{3}}$ 米。
    2. 第 2 步：两块菜地循环节 $2$ 位，分母都是 $99$，$15+30=\underline{45}$，总面积 $\frac{45}{99}$，约分得 $\frac{\underline{5}}{\underline{11}}$ 公顷。
    最终答案：成绩总和 $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$ 米；面积总和 $\frac{5}{11}$ 公顷。
75. 27. ch08-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（各自化分数）：三个都是纯循环，循环节分别是 $1,2,4$ 位，所以 $0.\dot{1}=\frac{1}{9}$，$0.\dot{1}\dot{2}=\frac{12}{99}$，$0.\dot{1}23\dot{4}=\frac{1234}{9999}$。
    2. 第 2 步（找公分母）：$9$、$99$ 都是 $9999$ 的约数（$9999\div9=1111$，$9999\div99=101$），所以公分母取 $9999$。
    3. 第 3 步（通分）：$\frac{1}{9}=\frac{1\times1111}{9999}=\frac{\underline{1111}}{9999}$，$\frac{12}{99}=\frac{12\times101}{9999}=\frac{\underline{1212}}{9999}$。
    4. 第 4 步（相加）：分子相加 $1111+1212+1234=\underline{3557}$，所以原式 $=\frac{3557}{9999}$（$9999=3^2\times11\times101$，与 $3557$ 无公因数，已最简）。
    最终答案：$\frac{3557}{9999}$。
76. 27. ch08-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数）：三个都是循环节 $2$ 位的纯循环小数，分母都是 $99$，分子依次是 $54,27,18$。
    2. 第 2 步（同分母加减）：分子按符号计算 $54+27-18=\underline{63}$，得 $\frac{63}{99}$。
    3. 第 3 步（约分）：$63$ 与 $99$ 的最大公约数是 $9$，$63\div9=\underline{7}$、$99\div9=\underline{11}$，得 $\frac{7}{11}$。
    4. 第 4 步（化回循环小数）：$11$ 不含质因数 $2,5$，结果是纯循环小数；$\frac{7}{11}=\frac{7\times9}{99}=\frac{\underline{63}}{99}$，所以等于 $0.\dot{6}\dot{3}$。
    最终答案：$0.\dot{5}\dot{4}+0.\dot{2}\dot{7}-0.\dot{1}\dot{8}=\frac{7}{11}=0.\dot{6}\dot{3}$。
77. 28. ch08-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（化分数）：五个数都是循环节 $5$ 位的纯循环小数，分母都写 $5$ 个 $9$，即 $99999$，分子分别是循环节本身。
    2. 第 2 步（看轮换）：循环节 $13579,35791,57913,79135,91357$ 是同一组数字轮排，所以 $1,3,5,7,9$ 在每个数位上各出现一次；先算这五个数字的和 $1+3+5+7+9=\underline{25}$。
    3. 第 3 步（算分子和）：分子之和 $=25\times11111=\underline{277775}$。
    4. 第 4 步（约分）：分子分母同除 $11111$，$277775\div11111=\underline{25}$、$99999\div11111=\underline{9}$，得 $\frac{25}{9}$。
    5. 第 5 步（化带分数）：$25\div9=2\cdots\cdots\underline{7}$，所以原式 $=2\frac{7}{9}$。
    最终答案：$\frac{25}{9}=2\frac{7}{9}$。
78. 28. ch08-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步：五个读数都是循环节 $5$ 位的纯循环小数，分母同为 $99999$。
    2. 第 2 步：循环节互为轮换，$1,3,5,7,9$ 每个数位各出现一次，数字和 $1+3+5+7+9=\underline{25}$。
    3. 第 3 步：分子之和 $=25\times11111=\underline{277775}$，总和为 $\frac{277775}{99999}$。
    4. 第 4 步：同除 $11111$ 约分得 $\frac{\underline{25}}{\underline{9}}$，即 $2\frac{7}{9}$ 伏。
    最终答案：$\frac{25}{9}=2\frac{7}{9}$ 伏。
79. 28. ch08-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步：四个数循环节都是 $4$ 位，分母都写 $4$ 个 $9$，即 $\underline{9999}$。
    2. 第 2 步：循环节是 $1,2,3,4$ 的轮排，每个数字在千、百、十、个位各出现一次，数字和 $1+2+3+4=\underline{10}$。
    3. 第 3 步：分子之和 $=10\times1111=\underline{11110}$。
    4. 第 4 步：约分，$11110\div1111=\underline{10}$、$9999\div1111=\underline{9}$，得 $\frac{10}{9}=1\frac{1}{9}$。
    最终答案：$\frac{10}{9}=1\frac{1}{9}$。
80. 28. ch08-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步：五个数循环节都是 $5$ 位，分母同为 $99999$；循环节是 $2,4,6,8,0$ 的轮排。
    2. 第 2 步：数字和 $2+4+6+8+0=\underline{20}$，分子之和 $=20\times11111=\underline{222220}$。
    3. 第 3 步：约分，$222220\div11111=\underline{20}$、$99999\div11111=\underline{9}$，得 $\frac{20}{9}$。
    4. 第 4 步：化带分数，$20\div9=2\cdots\cdots\underline{2}$，即 $2\frac{2}{9}$。
    5. 第 5 步（化回循环小数）：分母 $9$ 不含质因数 $2,5$，是纯循环小数，循环节 $1$ 位就是分子 $\underline{2}$，所以结果是 $2.\dot{2}$。
    最终答案：$\frac{20}{9}=2\frac{2}{9}=2.\dot{2}$。
81. 29. ch08-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（化分数）：$2.\dot{4}\dot{2}$ 的整数部分是 $2$、循环节 $2$ 位，写成假分数分子是 $2\times99+42=\underline{240}$，即 $\frac{240}{99}$；$0.\dot{2}9\dot{7}=\frac{297}{999}$，同除 $27$ 得 $\frac{\underline{11}}{\underline{37}}$。
    2. 第 2 步（先约后乘）：$\frac{240}{99}\times\frac{11}{37}$ 中 $99$ 与 $11$ 可约，$99\div11=\underline{9}$，于是原式 $=\frac{240}{9\times37}=\frac{240}{333}$。
    3. 第 3 步（再约分）：$240$ 与 $333$ 同除 $3$，$240\div3=\underline{80}$、$333\div3=\underline{111}$，得 $\frac{80}{111}$。
    4. 第 4 步（化回循环小数）：$111\times9=999$，分子 $80\times9=\underline{720}$，所以 $\frac{80}{111}=\frac{720}{999}=0.\dot{7}2\dot{0}$。
    5. 第 5 步（第 (2) 题化分数）：$0.5\dot{6}$ 是混循环，分子 $=56-5=\underline{51}$，得 $\frac{51}{90}$，同除 $3$ 得 $\frac{\underline{17}}{\underline{30}}$；$0.\dot{4}5\dot{9}=\frac{459}{999}$，同除 $27$ 得 $\frac{\underline{17}}{\underline{37}}$。
    6. 第 6 步（除法转乘）：$\frac{17}{30}\div\frac{17}{37}=\frac{17}{30}\times\frac{37}{17}$，约去 $17$ 得 $\frac{37}{30}$；化带分数 $37-30=\underline{7}$，即 $1\frac{7}{30}$。
    7. 第 7 步（化回循环小数）：$30=2\times3\times5$ 既含 $2,5$ 又含 $3$，是混循环小数 $1.2\dot{3}$；回验分子 $123-12=\underline{111}$，而 $\frac{111}{90}=\frac{37}{30}$，正确。
    最终答案：（1）$\frac{80}{111}=0.\dot{7}2\dot{0}$；（2）$\frac{37}{30}=1.2\dot{3}$。
82. 29. ch08-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步：质量 $=$ 密度 $\times$ 体积。$2.\dot{4}\dot{2}=\frac{2\times99+42}{99}=\frac{\underline{240}}{99}$，$0.\dot{2}9\dot{7}=\frac{297}{999}=\frac{11}{37}$。
    2. 第 2 步：先约后乘，$99\div11=\underline{9}$，得 $\frac{240}{333}$，再同除 $3$ 得 $\frac{\underline{80}}{\underline{111}}$ 克。
    3. 第 3 步：化回小数，$80\times9=\underline{720}$，所以质量是 $0.\dot{7}2\dot{0}$ 克。
    4. 第 4 步：段数 $=$ 总长 $\div$ 每段长。$0.5\dot{6}=\frac{56-5}{90}=\frac{\underline{51}}{90}=\frac{17}{30}$，$0.\dot{4}5\dot{9}=\frac{459}{999}=\frac{17}{37}$，相除约去 $17$ 得 $\frac{37}{30}=1.2\dot{3}$（段）。
    最终答案：质量 $\frac{80}{111}=0.\dot{7}2\dot{0}$ 克；可截 $\frac{37}{30}=1.2\dot{3}$ 段。
83. 29. ch08-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步：$1.\dot{6}\dot{3}=\frac{1\times99+63}{99}=\frac{\underline{162}}{99}$，同除 $9$ 得 $\frac{\underline{18}}{\underline{11}}$；$0.\dot{2}9\dot{7}=\frac{297}{999}=\frac{11}{37}$。
    2. 第 2 步：$\frac{18}{11}\times\frac{11}{37}$ 约去 $11$，得 $\frac{18}{37}$；化回循环小数时 $37\times27=999$，分子 $18\times27=\underline{486}$，所以是 $0.\dot{4}8\dot{6}$。
    3. 第 3 步：$0.7\dot{5}$ 是混循环，分子 $=75-7=\underline{68}$，得 $\frac{68}{90}$，同除 $2$ 得 $\frac{\underline{34}}{\underline{45}}$。
    4. 第 4 步：$\frac{34}{45}\div\frac{17}{37}=\frac{34}{45}\times\frac{37}{17}$，约去 $17$ 得 $\frac{2\times37}{45}=\frac{\underline{74}}{45}$，即 $1\frac{29}{45}$。
    5. 第 5 步：$45=3^2\times5$ 含 $5$ 又含 $3$，结果是混循环小数 $1.6\dot{4}$；回验分子 $164-16=\underline{148}$，而 $\frac{148}{90}=\frac{74}{45}$，正确。
    最终答案：（1）$\frac{18}{37}=0.\dot{4}8\dot{6}$；（2）$\frac{74}{45}=1.6\dot{4}$。
84. 29. ch08-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（全部化分数）：$0.5\dot{6}=\frac{56-5}{90}=\frac{\underline{51}}{90}=\frac{17}{30}$；$0.\dot{4}5\dot{9}=\frac{459}{999}=\frac{17}{37}$；$0.\dot{2}\dot{7}=\frac{27}{99}$，同除 $9$ 得 $\frac{\underline{3}}{\underline{11}}$。
    2. 第 2 步（同级运算从左到右）：先算除法 $\frac{17}{30}\div\frac{17}{37}=\frac{17}{30}\times\frac{37}{17}=\frac{37}{30}$。
    3. 第 3 步（再算乘法）：$\frac{37}{30}\times\frac{3}{11}$，先约 $30$ 与 $3$，$30\div3=\underline{10}$，得 $\frac{37}{10\times11}=\frac{37}{\underline{110}}$。
    4. 第 4 步（化回循环小数）：$110=2\times5\times11$ 既含 $2,5$ 又含 $11$，是混循环小数 $0.3\dot{3}\dot{6}$；回验分子 $336-3=\underline{333}$，而 $\frac{333}{990}=\frac{37}{110}$，正确。
    最终答案：$0.5\dot{6}\div0.\dot{4}5\dot{9}\times0.\dot{2}\dot{7}=\frac{37}{110}=0.3\dot{3}\dot{6}$。
85. 30. ch08-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{2}=\frac{2}{9}$，$0.\dot{6}=\frac{6}{9}$，后者约分得 $\frac{\underline{2}}{\underline{3}}$。
    2. 第 2 步（先算乘法）：$\frac{2}{9}\times\frac{2}{3}=\frac{2\times2}{9\times3}=\frac{\underline{4}}{\underline{27}}$。
    3. 第 3 步（再算除法）：$\frac{2}{9}\div\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\times\frac{3}{2}$，约去 $2$ 后为 $\frac{3}{9}=\frac{\underline{1}}{\underline{3}}$。
    4. 第 4 步（通分到 $27$）：$\frac{2}{9}=\frac{\underline{6}}{27}$，$\frac{2}{3}=\frac{\underline{18}}{27}$，$\frac{1}{3}=\frac{\underline{9}}{27}$。
    5. 第 5 步（按符号合并）：$6+18-4+9=\underline{29}$，所以原式 $=\frac{29}{27}=1\frac{2}{27}$。
    6. 第 6 步（化回循环小数）：$27$ 不含质因数 $2,5$，是纯循环小数；$27\times37=999$，分子 $29\times37=\underline{1073}$，所以结果是 $1.\dot{0}7\dot{4}$。
    最终答案：$\frac{29}{27}=1\frac{2}{27}=1.\dot{0}7\dot{4}$。
86. 30. ch08-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步：$x=\frac{2}{9}$，$y=\frac{6}{9}=\frac{\underline{2}}{\underline{3}}$。
    2. 第 2 步：积 $xy=\frac{2\times2}{9\times3}=\frac{\underline{4}}{27}$；商 $x\div y=\frac{2}{9}\times\frac{3}{2}=\frac{\underline{1}}{\underline{3}}$。
    3. 第 3 步：通分到 $27$ 后按符号合并 $6+18-4+9=\underline{29}$，得 $\frac{29}{27}$。
    4. 第 4 步：$29\times37=\underline{1073}$，所以输出 $\frac{1073}{999}=1.\dot{0}7\dot{4}$。
    最终答案：$\frac{29}{27}=1.\dot{0}7\dot{4}$。
87. 30. ch08-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{4}=\frac{4}{9}$，$0.\dot{2}=\frac{2}{9}$，$0.\dot{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$0.\dot{5}=\frac{5}{9}$。
    2. 第 2 步（先算括号）：$\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{\underline{6}}{9}$。
    3. 第 3 步（再算除法）：$\frac{6}{9}\div\frac{1}{3}=\frac{6}{9}\times3=\frac{\underline{18}}{9}$，即 $2$。
    4. 第 4 步（最后减法）：$2-\frac{5}{9}=\frac{18-5}{9}=\frac{\underline{13}}{9}$，即 $1\frac{4}{9}$。
    5. 第 5 步（化回循环小数）：分母 $9$ 不含 $2,5$，纯循环，循环节 $1$ 位就是分子 $\underline{4}$，结果为 $1.\dot{4}$。
    最终答案：$\frac{13}{9}=1\frac{4}{9}=1.\dot{4}$。
88. 30. ch08-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{1}=\frac{1}{9}$，$0.\dot{3}=\frac{3}{9}$，$0.\dot{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
    2. 第 2 步（先算括号）：$\frac{1}{9}+\frac{3}{9}=\frac{\underline{4}}{9}$。
    3. 第 3 步（算乘法）：$\frac{4}{9}\times\frac{2}{3}=\frac{4\times2}{9\times3}=\frac{\underline{8}}{\underline{27}}$。
    4. 第 4 步（算除法）：$\frac{1}{9}\div\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\times3=\frac{1}{3}$，通分到 $27$ 是 $\frac{\underline{9}}{27}$。
    5. 第 5 步（相加）：$8+9=\underline{17}$，得 $\frac{17}{27}$。
    6. 第 6 步（化回循环小数）：$27\times37=999$，分子 $17\times37=\underline{629}$，所以结果是 $0.\dot{6}2\dot{9}$。
    最终答案：$(0.\dot{1}+0.\dot{3})\times0.\dot{6}+0.\dot{1}\div0.\dot{3}=\frac{17}{27}=0.\dot{6}2\dot{9}$。
89. 31. ch08-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（化小数）：$5\times142857=\underline{714285}$，所以 $\frac{5}{7}=0.\dot{7}1428\dot{5}$，循环节是 $714285$。
    2. 第 2 步（循环节数字和）：$7+1+4+2+8+5=\underline{27}$。
    3. 第 3 步（拆周期）：循环节 $6$ 位，$2000\div6=333\cdots\cdots\underline{2}$，即 $333$ 个整循环节再加 $2$ 位零头。
    4. 第 4 步（零头）：零头是循环节的前 $2$ 位 $7,1$，和为 $7+1=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（总和）：$27\times333+8=\underline{8999}$。
    最终答案：$8999$。
90. 31. ch08-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步：$5\times142857=\underline{714285}$，$\frac{5}{7}=0.\dot{7}1428\dot{5}$，每 $6$ 个数字一循环。
    2. 第 2 步：一个循环节的数字和 $7+1+4+2+8+5=\underline{27}$。
    3. 第 3 步：$2000\div6=333\cdots\cdots\underline{2}$，打印了 $333$ 个整循环节和 $2$ 个零头数字。
    4. 第 4 步：零头两位是 $7,1$，所以总和 $=27\times333+\underline{8}=\underline{8999}$。
    最终答案：$8999$。
91. 31. ch08-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（化小数）：$3\times9=\underline{27}$，所以 $\frac{3}{11}=\frac{27}{99}=0.\dot{2}\dot{7}$，循环节是 $27$。
    2. 第 2 步（循环节数字和）：$2+7=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（拆周期）：循环节 $2$ 位，$1001\div2=500\cdots\cdots\underline{1}$。
    4. 第 4 步（零头）：零头是循环节第 $1$ 位，即数字 $2$；总和 $=9\times500+2=\underline{4502}$。
    最终答案：$4502$。
92. 31. ch08-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（化小数）：$6\times142857=\underline{857142}$，所以 $\frac{6}{7}=0.\dot{8}5714\dot{2}$，循环节 $857142$。
    2. 第 2 步（循环节数字和）：$8+5+7+1+4+2=\underline{27}$。
    3. 第 3 步（拆周期）：$2024\div6=337\cdots\cdots\underline{2}$。
    4. 第 4 步（求和）：$337$ 个整循环节加上零头两位 $8,5$，总和 $=27\times337+(8+5)=\underline{9112}$。
    5. 第 5 步（定位第 $2024$ 位）：余数是 $2$，说明第 $2024$ 位是循环节的第 $2$ 位，即数字 $\underline{5}$。
    最终答案：（1）$9112$；（2）第 $2024$ 位是 $5$。
93. 32. ch08-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（共同点）：$\frac{1}{7}\sim\frac{6}{7}$ 的循环节都由 $1,2,4,5,7,8$ 轮排而成，每个循环节的数字和都是 $1+2+4+5+7+8=\underline{27}$。
    2. 第 2 步（带余除法）：$4996\div27=185\cdots\cdots\underline{1}$（因为 $27\times185=4995$）。
    3. 第 3 步（分析余数）：说明取了 $185$ 个整循环节后还多出 $1$，这个 $1$ 必须是下一个循环节最前面若干位的数字和；六个轮排 $142857,285714,428571,571428,714285,857142$ 中，只有 $142857$ 的首位是 $1$。
    4. 第 4 步（反查 $a$）：所以循环节是 $142857$，对应 $\frac{1}{7}$，即 $a=\underline{1}$；此时取的位数 $n=185\times6+1=\underline{1111}$。
    最终答案：$a=1$（此时共取了 $1111$ 位）。
94. 32. ch08-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步：不论 $a$ 取几，循环节都由 $1,2,4,5,7,8$ 组成，数字和都是 $\underline{27}$。
    2. 第 2 步：$4996\div27=185\cdots\cdots\underline{1}$。
    3. 第 3 步：余下的 $1$ 必须是下一循环节的开头几位之和，六个轮排中只有 $142857$ 以 $1$ 开头，所以 $a=\underline{1}$。
    最终答案：$a=1$。
95. 32. ch08-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步：每个循环节的数字和都是 $\underline{27}$。
    2. 第 2 步：$2704\div27=100\cdots\cdots\underline{4}$（$27\times100=2700$）。
    3. 第 3 步：余数 $4$ 要由下一循环节的前缀凑出。逐个看六个轮排的首位：$1,2,4,5,7,8$，只有 $428571$ 的首位正好是 $4$；再检查其它轮排的前两位和（$1+4=5$、$2+8=10$、$5+7=12$、$7+1=8$、$8+5=13$）都不等于 $4$，所以解唯一。
    4. 第 4 步：循环节是 $428571$，对应 $\frac{3}{7}$，即 $a=\underline{3}$；位数 $n=100\times6+1=\underline{601}$。
    最终答案：$a=3$（此时共取了 $601$ 位）。
96. 32. ch08-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步：每个循环节数字和是 $\underline{27}$；$5421\div27=200\cdots\cdots\underline{21}$（$27\times200=5400$）。
    2. 第 2 步（找前缀）：余数 $21$ 要等于某个轮排前几位的数字和。逐个试：$857142$ 的前 $4$ 位 $8+5+7+1=\underline{21}$，正好是 $21$；其余轮排的各前缀和（如 $142857$ 依次是 $1,5,7,15,20$，$285714$ 依次是 $2,10,15,22,23$）都取不到 $21$，所以解唯一。
    3. 第 3 步（定 $a$）：循环节 $857142$ 对应 $\frac{6}{7}$，即 $a=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（定 $n$）：位数 $n=200\times6+4=\underline{1204}$。
    最终答案：$a=6$，$n=1204$。