竞赛数学 · 五年级 第9讲《比较与估算》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch09-chaoyue-01】算式 $\dfrac{1}{\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{28}+\frac{1}{29}}$ 计算结果的整数部分是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「繁分数求整数部分」的加强版：粗放缩（最大项、最小项）夹不住，要用「对称配对」——把首尾对称的两项配成一对，每对的和都不小于中间项的 2 倍。
关键切入点：分母是 $\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{29}$。把 $\frac{1}{11}$ 与 $\frac{1}{29}$、$\frac{1}{12}$ 与 $\frac{1}{28}$……配对，每对两个分母之和都是 $40$，而 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{40}{mn}\geqslant\frac{40}{400}=\frac{1}{10}$（$mn<400$ 时严格大于）。9 对再加上 $\frac{1}{10}$ 与 $\frac{1}{20}$，分母已超过 $1$，所以原式小于 $1$。
方法概述：对称配对放缩证明分母大于 1，从而整数部分为 0。
规范步骤：
  1. 数项数：$10\sim 29$ 共 $29-10+1=20$ 项（计数）
  2. 配对：$\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{29}\right),\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{28}\right),\cdots,\left(\frac{1}{19}+\frac{1}{21}\right)$ 共 $19-11+1=9$ 对，余下 $\frac{1}{10}$ 与 $\frac{1}{20}$（首尾配对）
  3. 每对的下界：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{40}{mn}>\frac{40}{400}=\frac{1}{10}$（和定差大：$mn<20\times 20$）
  4. 合计下界：分母 $>\frac{1}{10}+9\times\frac{1}{10}+\frac{1}{20}=1.05>1$（求和）
  5. 取倒数：原式 $<1$，且显然大于 $0$，整数部分是 $0$（倒数反向）
第一套
题目：算式 $\dfrac{1}{\frac{1}{20}+\frac{1}{21}+\cdots+\frac{1}{58}+\frac{1}{59}}$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数项数）：分母共 $59-20+1=\underline{\quad}$ 项。
  2. 第 2 步（配对）：把 $\frac{1}{21}$ 与 $\frac{1}{59}$、$\frac{1}{22}$ 与 $\frac{1}{58}$……配对，每对分母之和都是 $80$，共 $39-21+1=\underline{\quad}$ 对，余下 $\frac{1}{20}$ 与 $\frac{1}{40}$。
  3. 第 3 步（每对下界）：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{80}{mn}>\frac{80}{40\times 40}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（合计）：分母 $>\frac{1}{20}+19\times 0.05+\frac{1}{40}=\underline{\quad}$，大于 $1$。
  5. 第 5 步（取倒数取整）：原式小于 $1$ 且大于 $0$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：有 20 台机器，第 $k$ 台单独完成一项工程需要 $k$ 天（$k=10,11,\cdots,29$）。20 台同时工作，完成这项工程所需天数的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列式）：所需天数 $=\dfrac{1}{\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{29}}$，分母共 $29-10+1=\underline{\quad}$ 项。
  2. 第 2 步（配对）：$\frac{1}{11}$ 与 $\frac{1}{29}$、$\frac{1}{12}$ 与 $\frac{1}{28}$……共 $19-11+1=\underline{\quad}$ 对，余下 $\frac{1}{10}$、$\frac{1}{20}$。
  3. 第 3 步（每对下界）：每对分母之和为 $40$，$\frac{40}{mn}>\frac{40}{400}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（合计）：分母 $>\frac{1}{10}+9\times 0.1+\frac{1}{20}=\underline{\quad}$，大于 $1$，故天数小于 $1$，整数部分是 $\underline{\quad}$ 天。
第三套
题目：算式 $\dfrac{1}{\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{17}+\frac{1}{18}}$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数项数）：分母共 $18-6+1=\underline{\quad}$ 项。
  2. 第 2 步（配对）：$\frac{1}{7}$ 与 $\frac{1}{17}$、$\frac{1}{8}$ 与 $\frac{1}{16}$……共 $11-7+1=\underline{\quad}$ 对，余下 $\frac{1}{6}$ 与 $\frac{1}{12}$。
  3. 第 3 步（每对下界）：每对分母之和为 $24$，$\frac{24}{mn}>\frac{24}{12\times 12}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（合计）：分母 $>\frac{1}{6}+5\times\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\underline{\quad}$，大于 $1$，故整数部分是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $\dfrac{1}{\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{29}}$ 的整数部分是多少？它是否大于 $0.6$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配对放缩定整数部分）：分母 $>\frac{1}{10}+9\times\frac{40}{400}+\frac{1}{20}=\underline{\quad}$，大于 $1$，故原式小于 $1$，整数部分是 $0$。
  2. 第 2 步（要判断是否大于 $0.6$，需要分母的上界）：把 20 项分成两段，前 10 项 $\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{19}<10\times\frac{1}{10}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（后一段）：后 10 项 $\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{29}<10\times\frac{1}{20}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取倒数比较）：分母 $<1+0.5=\underline{\quad}$，所以原式 $>\dfrac{1}{1.5}=\underline{\quad}$（约 $0.667$），确实大于 $0.6$。
2. 【原题 ch09-chaoyue-02】算式 $5.285714\times 4.9\times 3.857142$ 计算结果的整数部分是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「用分数逼近小数再放缩」类：$5.285714$、$3.857142$ 分别是 $5\frac{2}{7}$、$3\frac{6}{7}$ 的截断值，换成分数后三个数相乘恰好凑成整齐的 $99.9$。
关键切入点：$5\frac{2}{7}=\frac{37}{7}$，$3\frac{6}{7}=\frac{27}{7}$，而 $37\times 27=999$、$999\times 4.9\div 49=99.9$。原式的两个因数都比对应分数略小，故原式 $<99.9$；再用 $5.28\times 4.9\times 3.85>99$ 得下界，整数部分只能是 $99$。
方法概述：上界用分数凑整，下界用截断小数，夹逼取整。
规范步骤：
  1. 认出分数：$5.285714<5\frac{2}{7}=\frac{37}{7}$，$3.857142<3\frac{6}{7}=\frac{27}{7}$（循环小数的近似）
  2. 算上界：$\frac{37}{7}\times 4.9\times\frac{27}{7}=\frac{37\times 27\times 4.9}{49}=\frac{999\times 4.9}{49}=99.9$（凑整相乘）
  3. 算下界：$5.28\times 4.9\times 3.85=99.6072>99$（截断取下界）
  4. 夹逼取整：$99<原式<99.9$，整数部分是 $99$（夹逼）
第一套
题目：算式 $6.428571\times 4.9\times 2.714285$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出分数）：$6.428571<6\frac{3}{7}=\dfrac{45}{7}$，$2.714285<2\frac{5}{7}=\dfrac{19}{7}$（$6\times 7+3=\underline{\quad}$，$2\times 7+5=\underline{\quad}$）。
  2. 第 2 步（算上界）：$\dfrac{45}{7}\times 4.9\times\dfrac{19}{7}=\dfrac{45\times 19\times 4.9}{49}$，先算 $45\times 19=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算出上界）：$\dfrac{855\times 4.9}{49}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算下界）：$6.42\times 4.9\times 2.71=\underline{\quad}$（保留四位小数 $85.2494$），大于 $85$。
  5. 第 5 步（夹逼取整）：$85<原式<85.5$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：一个长方体木箱的长、宽、高分别是 $5.285714$ 分米、$4.9$ 分米、$3.857142$ 分米。它体积（立方分米）的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出分数）：$5.285714<5\frac{2}{7}=\dfrac{37}{7}$，$3.857142<3\frac{6}{7}=\dfrac{27}{7}$。
  2. 第 2 步（算上界）：$37\times 27=\underline{\quad}$，故体积 $<\dfrac{999\times 4.9}{49}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算下界）：$5.28\times 4.9=\underline{\quad}$，再乘 $3.85$ 得 $\underline{\quad}$，大于 $99$。
  4. 第 4 步（夹逼取整）：整数部分是 $\underline{\quad}$ 立方分米。
第三套
题目：算式 $4.285714\times 4.9\times 2.857142$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出分数）：$4.285714<4\frac{2}{7}=\dfrac{30}{7}$，$2.857142<2\frac{6}{7}=\dfrac{20}{7}$（$4\times 7+2=\underline{\quad}$）。
  2. 第 2 步（算上界）：$30\times 20=\underline{\quad}$，上界为 $\dfrac{600\times 4.9}{49}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算下界）：$4.28\times 4.9\times 2.85=\underline{\quad}$（约 $59.77$），大于 $59$。
  4. 第 4 步（夹逼取整）：$59<原式<60$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $5.285714\times 4.9\times 3.857142$ 的整数部分是多少？它是否大于 $99.5$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（上界）：$\dfrac{37}{7}\times 4.9\times\dfrac{27}{7}=\dfrac{999\times 4.9}{49}=\underline{\quad}$，故原式小于 $99.9$。
  2. 第 2 步（粗下界定整数部分）：$5.28\times 4.9\times 3.85=\underline{\quad}$，大于 $99$，所以整数部分是 $99$。
  3. 第 3 步（要判断是否大于 $99.5$，把下界抬高）：把每个因数只截到小数点后四位，$5.2857\times 4.9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$25.89993\times 3.8571=\underline{\quad}$（约 $99.8987$），大于 $99.5$，所以原式确实大于 $99.5$。
3. 【原题 ch09-chaoyue-03】在算式 $\frac{1}{\square}+\frac{4}{\square}<1$ 中，方框里填的都是整数，且不等式成立。这个式子左边最大是多少？请说明理由。
详细思路
是哪类问题：这是「分数逼近 1 求最值」类：两个方框都要填整数，直接乱试没方向；抓住 $\frac{4}{\square}$ 的分母必须大于 $4$，再按它从小到大分类，每类里把 $\frac{1}{\square}$ 取到最大即可。
关键切入点：记为 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}<1$。因为 $\frac{4}{b}<1$，所以 $b\geqslant 5$。$b$ 越小 $\frac{4}{b}$ 越大，但留给 $\frac{1}{a}$ 的空间越小，需要逐个试：$b=5$ 时 $\frac{1}{a}<\frac{1}{5}$ 取 $a=6$ 得 $\frac{29}{30}$；$b=6,7,8$ 分别得 $\frac{11}{12},\frac{19}{21},\frac{5}{6}$；$b\geqslant 9$ 时至多 $\frac{1}{2}+\frac{4}{9}=\frac{17}{18}$。比较后最大是 $\frac{29}{30}$。
方法概述：先定分母下限，再按分母分类取每类最大值，最后比较。
规范步骤：
  1. 定 $b$ 的下限：$\frac{4}{b}<1\Rightarrow b\geqslant 5$（分数小于 1）
  2. $b=5$：$\frac{1}{a}<1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\Rightarrow a\geqslant 6$，最大 $\frac{1}{6}+\frac{4}{5}=\frac{29}{30}$（取临界整数）
  3. $b=6,7,8$：依次得 $\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{11}{12}$，$\frac{1}{3}+\frac{4}{7}=\frac{19}{21}$，$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$（同法）
  4. $b\geqslant 9$：至多 $\frac{1}{2}+\frac{4}{9}=\frac{17}{18}<\frac{29}{30}$（上界估计）
  5. 比较取最大：$\frac{29}{30}$ 最大（$29\times 18=522>17\times 30=510$）（交叉相乘）
第一套
题目：在算式 $\frac{1}{\square}+\frac{5}{\square}<1$ 中，方框里填的都是正整数且不等式成立。这个式子左边最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定分母下限）：记为 $\frac{1}{a}+\frac{5}{b}<1$。由 $\frac{5}{b}<1$ 得 $b\geqslant\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（试 $b=6$）：$\frac{1}{a}<1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$，所以 $a\geqslant 7$，此时最大值是 $\frac{1}{7}+\frac{5}{6}=\dfrac{6+35}{42}=\dfrac{\underline{\quad}}{42}$。
  3. 第 3 步（试 $b=7,8$）：$b=7$ 时 $\frac{1}{a}<\frac{2}{7}$，$a\geqslant 4$，得 $\frac{1}{4}+\frac{5}{7}=\dfrac{\underline{\quad}}{28}$；$b=8$ 时 $a\geqslant 3$，得 $\frac{1}{3}+\frac{5}{8}=\dfrac{\underline{\quad}}{24}$。
  4. 第 4 步（$b\geqslant 11$ 的上界）：此时至多 $\frac{1}{2}+\frac{5}{11}=\dfrac{\underline{\quad}}{22}$，比 $\frac{41}{42}$ 小。
  5. 第 5 步（比较）：交叉相乘 $41\times 28=\underline{\quad}>27\times 42=\underline{\quad}$，所以最大值是 $\frac{41}{42}$。
第二套
题目：一块蛋糕分给两组人：第一组分到 $\frac{1}{\square}$，第二组分到 $\frac{4}{\square}$，两个方框填正整数，且两组分到的合起来不足整块。两组分到的合计最多是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定分母下限）：由 $\frac{4}{b}<1$ 得 $b\geqslant\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（试 $b=5$）：$\frac{1}{a}<1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，所以 $a\geqslant 6$，此时合计 $\frac{1}{6}+\frac{4}{5}=\dfrac{5+24}{30}=\dfrac{\underline{\quad}}{30}$。
  3. 第 3 步（试 $b=6,7,8$）：依次得 $\frac{11}{12}$、$\frac{19}{21}$、$\frac{5}{6}$，都比 $\frac{29}{30}$ 小。
  4. 第 4 步（$b\geqslant 9$ 的上界）：至多 $\frac{1}{2}+\frac{4}{9}=\dfrac{\underline{\quad}}{18}$；交叉相乘 $29\times 18=\underline{\quad}>17\times 30=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（结论）：合计最多是 $\frac{29}{30}$。
第三套
题目：在算式 $\frac{1}{\square}+\frac{3}{\square}<1$ 中，方框里填的都是正整数且不等式成立。这个式子左边最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定分母下限）：由 $\frac{3}{b}<1$ 得 $b\geqslant\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（试 $b=4$）：$\frac{1}{a}<1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，$a\geqslant 5$，得 $\frac{1}{5}+\frac{3}{4}=\dfrac{4+15}{20}=\dfrac{\underline{\quad}}{20}$。
  3. 第 3 步（试 $b=5,6$）：$b=5$ 时 $a\geqslant 3$，得 $\frac{1}{3}+\frac{3}{5}=\dfrac{\underline{\quad}}{15}$；$b=6$ 时 $a\geqslant 3$，得 $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$。
  4. 第 4 步（$b\geqslant 7$ 的上界）：至多 $\frac{1}{2}+\frac{3}{7}=\dfrac{\underline{\quad}}{14}$，交叉相乘 $19\times 14=\underline{\quad}>13\times 20=\underline{\quad}$，故最大是 $\frac{19}{20}$。
第三套
题目：在算式 $\frac{1}{\square}+\frac{4}{\square}<1$ 中方框填正整数。求左边的最大值，此时两个方框中数的和是多少？这个最大值与 $1$ 相差多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求最大值）：由 $b\geqslant 5$ 分类可得最大值在 $a=6$、$b=5$ 时取到，为 $\frac{1}{6}+\frac{4}{5}=\dfrac{5+24}{30}=\dfrac{\underline{\quad}}{30}$。
  2. 第 2 步（验证不超过 1）：$29<30$，所以 $\frac{29}{30}<1$ 成立。
  3. 第 3 步（求两数之和）：$6+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求与 1 的差）：$1-\frac{29}{30}=\dfrac{30-29}{30}=\dfrac{\underline{\quad}}{30}$。
4. 【原题 ch09-chaoyue-04】两个小数相乘，乘积四舍五入以后是 22.5。这两个数都只有一位小数，且整数部分都是 4。请问：这两个数的乘积四舍五入前是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「四舍五入反推 + 整数解枚举」类：两个数都只有一位小数，把它们写成 $4+\frac{a}{10}$、$4+\frac{b}{10}$（$a,b$ 是 $0\sim 9$ 的整数），乘积的范围就变成关于 $a,b$ 的整数不等式。
关键切入点：由 $22.45\leqslant\left(4+\frac{a}{10}\right)\left(4+\frac{b}{10}\right)<22.55$，两边乘 $100$ 得 $2245\leqslant 1600+40(a+b)+ab<2255$，即 $645\leqslant 40(a+b)+ab<655$。由 $0\leqslant ab\leqslant 81$ 夹出 $a+b=15$ 或 $16$，再逐一验证只有 $a=6,b=9$ 成立。
方法概述：把小数写成整数形式 → 不等式夹出和 → 枚举验证。
规范步骤：
  1. 列不等式：$22.45\leqslant\left(4+\frac{a}{10}\right)\left(4+\frac{b}{10}\right)<22.55$（四舍五入到十分位）
  2. 去分母整理：$645\leqslant 40(a+b)+ab<655$（两边乘 100 再减 1600）
  3. 夹出 $a+b$：由 $0\leqslant ab\leqslant 81$ 得 $564\leqslant 40(a+b)<655$，故 $a+b=15$ 或 $16$（范围夹逼）
  4. $a+b=15$：$645-600=45\leqslant ab<55$，且 $a+b=15$，得 $a=6,b=9$（$ab=54$）（枚举）
  5. $a+b=16$：需 $5\leqslant ab<15$，但 $a+b=16$ 时 $ab\geqslant 63$，无解（排除）
  6. 算乘积：$4.6\times 4.9=22.54$（验算）
第一套
题目：两个小数相乘，乘积四舍五入到十分位后是 $45.5$。这两个数都只有一位小数，且整数部分都是 6。请问：这两个数的乘积四舍五入前是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设数列式）：设两数为 $6+\frac{a}{10}$、$6+\frac{b}{10}$（$a\leqslant b$ 且都是 $0\sim 9$ 的整数），则 $45.45\leqslant\left(6+\frac{a}{10}\right)\left(6+\frac{b}{10}\right)<45.55$。
  2. 第 2 步（去分母）：两边乘 $100$ 再减去 $60\times 60=\underline{\quad}$，得 $4545-3600=\underline{\quad}\leqslant 60(a+b)+ab<4555-3600=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（夹出 $a+b$）：因为 $0\leqslant ab\leqslant 81$，所以 $945-81=\underline{\quad}\leqslant 60(a+b)<955$，故 $a+b=15$（$60\times 15=\underline{\quad}$）。
  4. 第 4 步（求 $ab$）：$945-900=\underline{\quad}\leqslant ab<55$，与 $a+b=15$ 联立得 $a=6$、$b=9$，$ab=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（算乘积）：$6.6\times 6.9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块长方形地砖的长与宽都只有一位小数（单位：分米），整数部分都是 4，面积四舍五入到十分位后是 $22.5$ 平方分米。这块地砖四舍五入前的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设数列式）：设长宽为 $4+\frac{a}{10}$、$4+\frac{b}{10}$，则 $22.45\leqslant\left(4+\frac{a}{10}\right)\left(4+\frac{b}{10}\right)<22.55$。
  2. 第 2 步（去分母）：两边乘 $100$ 再减 $1600$，得 $\underline{\quad}\leqslant 40(a+b)+ab<\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（夹出 $a+b$）：由 $0\leqslant ab\leqslant 81$ 得 $645-81=\underline{\quad}\leqslant 40(a+b)$，故 $a+b=15$ 或 $16$。
  4. 第 4 步（逐一验证）：$a+b=15$ 时 $645-600=\underline{\quad}\leqslant ab<55$，得 $a=6,b=9$；$a+b=16$ 时 $ab\geqslant 63$ 超出范围，无解。
  5. 第 5 步（算面积）：$4.6\times 4.9=\underline{\quad}$ 平方分米。
第三套
题目：两个小数相乘，乘积四舍五入到十分位后是 $33.0$。这两个数都只有一位小数，且整数部分都是 5。求四舍五入前的乘积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设数列式）：$32.95\leqslant\left(5+\frac{a}{10}\right)\left(5+\frac{b}{10}\right)<33.05$。
  2. 第 2 步（去分母）：两边乘 $100$ 再减 $50\times 50=\underline{\quad}$，得 $3295-2500=\underline{\quad}\leqslant 50(a+b)+ab<3305-2500=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（夹出 $a+b$）：由 $0\leqslant ab\leqslant 81$ 得 $795-81=\underline{\quad}\leqslant 50(a+b)<805$，故 $a+b=15$（$50\times 15=\underline{\quad}$）。
  4. 第 4 步（求 $ab$）：$795-750=\underline{\quad}\leqslant ab<55$，与 $a+b=15$ 联立得 $a=6,b=9$。
  5. 第 5 步（算乘积）：$5.6\times 5.9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：两个小数相乘，乘积四舍五入到十分位后是 $22.5$，两数都只有一位小数且整数部分都是 4。求四舍五入前的乘积，以及这两个数的和与差。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（去分母）：$645\leqslant 40(a+b)+ab<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求解）：由 $0\leqslant ab\leqslant 81$ 夹出 $a+b=15$ 或 $16$；$a+b=15$ 时 $45\leqslant ab<55$，得 $a=6,b=9$（$ab=\underline{\quad}$），两数是 $4.6$ 与 $4.9$。
  3. 第 3 步（算乘积）：$4.6\times 4.9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求和与差）：$4.6+4.9=\underline{\quad}$，$4.9-4.6=\underline{\quad}$。
5. 【原题 ch09-chaoyue-05】老师在黑板上从 1 开始写了若干个连续自然数：1，2，3，⋯ 后来擦掉其中的一个数，计算剩下数的平均数保留两位小数后是 12.52。老师擦掉的数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「平均数微扰反推」类：擦掉一个数后平均数只会小幅变化，据此先把原来的个数 $n$ 锁定在很少的几种可能，再回代求被擦的数。
关键切入点：$1\sim n$ 的平均数是 $\frac{n+1}{2}$，一定是 $0.5$ 的倍数；擦掉一个数后平均数的变化不超过 $0.5$。剩下数的平均数是 $12.52$，所以原平均数只能是 $12.5$（$n=24$）或 $13$（$n=25$）。$n=24$ 时总和 $300$，$a\approx 300-12.52\times 23=12.04$，取 $a=12$ 验证 $288\div 23=12.5217\cdots\approx 12.52$ 成立；$n=25$ 时验证均不成立。
方法概述：用平均数性质锁定 n，再回代验算被擦的数。
规范步骤：
  1. 原平均数的形式：$1\sim n$ 的平均数 $\frac{n+1}{2}$ 是 $0.5$ 的倍数（等差数列平均数）
  2. 锁定 $n$：变化不超过 $0.5$，故原平均数是 $12.5$ 或 $13$，即 $n=24$ 或 $25$（微扰估计）
  3. $n=24$：总和 $\frac{24\times 25}{2}=300$，$a\approx 300-12.52\times 23=12.04$，取 $a=12$（回代）
  4. 验算：$(300-12)\div 23=288\div 23=12.5217\cdots\approx 12.52$，成立（四舍五入验算）
  5. $n=25$：总和 $325$，$a\approx 325-12.52\times 24=24.52$，取 $24$ 或 $25$ 验算都不符合（排除）
  6. 写出答案：擦掉的数是 $12$
第一套
题目：老师从 1 开始写了若干个连续自然数：$1,2,3,\cdots$，后来擦掉其中一个数，剩下数的平均数保留两位小数后是 $17.53$。老师擦掉的数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（锁定个数）：$1\sim n$ 的平均数 $\frac{n+1}{2}$ 是 $0.5$ 的倍数，擦掉一个数后变化不超过 $0.5$，所以原平均数是 $17.5$ 或 $18$，即 $n=34$ 或 $n=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（试 $n=35$）：总和 $\dfrac{35\times 36}{2}=\underline{\quad}$，被擦的数 $a\approx 630-17.53\times 34=630-\underline{\quad}=33.98$，取 $a=34$。
  3. 第 3 步（验算）：$(630-34)\div 34=596\div 34=\underline{\quad}$，保留两位小数正是 $17.53$。
  4. 第 4 步（排除 $n=34$）：总和 $\dfrac{34\times 35}{2}=\underline{\quad}$，$a\approx 595-17.53\times 33=16.51$，取 $16$ 得 $579\div 33\approx 17.55$、取 $17$ 得 $578\div 33\approx 17.52$，都不符合。
第二套
题目：黑板上依次写着从 1 开始的若干个连续自然数，值日生擦掉了其中一个。剩下各数的平均数保留两位小数后是 $12.52$。被擦掉的数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（锁定个数）：原平均数 $\frac{n+1}{2}$ 是 $0.5$ 的倍数，只能是 $12.5$ 或 $13$，即 $n=24$ 或 $n=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（试 $n=24$）：总和 $\dfrac{24\times 25}{2}=\underline{\quad}$，$a\approx 300-12.52\times 23=300-\underline{\quad}=12.04$，取 $a=12$。
  3. 第 3 步（验算）：$(300-12)\div 23=288\div 23=\underline{\quad}$，约等于 $12.52$，成立。
  4. 第 4 步（排除 $n=25$）：总和 $\dfrac{25\times 26}{2}=\underline{\quad}$，$a\approx 24.52$，取 $24$ 或 $25$ 验算都不符合。
第三套
题目：从 1 开始写了若干个连续自然数，擦掉其中一个后，剩下数的平均数保留两位小数是 $13.56$。擦掉的数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（锁定个数）：原平均数只能是 $13.5$ 或 $14$，即 $n=26$ 或 $n=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（试 $n=26$）：总和 $\dfrac{26\times 27}{2}=\underline{\quad}$，$a\approx 351-13.56\times 25=351-\underline{\quad}=12$。
  3. 第 3 步（验算）：$(351-12)\div 25=339\div 25=\underline{\quad}$，正好是 $13.56$。
  4. 第 4 步（排除 $n=27$）：总和 $\dfrac{27\times 28}{2}=\underline{\quad}$，$a\approx 25.44$，取 $25$ 得 $\approx 13.58$、取 $26$ 得 $\approx 13.54$，都不符合。
第三套
题目：从 1 开始写了若干个连续自然数，擦掉一个后剩下数的平均数保留两位小数是 $12.52$。求被擦的数、剩下各数的和，以及剩下各数平均数保留三位小数的值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（锁定并求解）：原平均数是 $12.5$，$n=24$，总和 $\dfrac{24\times 25}{2}=\underline{\quad}$，被擦的数是 $12$。
  2. 第 2 步（剩下各数之和）：$300-12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（剩下的个数）：$24-1=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（保留三位小数）：$288\div 23=12.52173\cdots\approx\underline{\quad}$。
6. 【原题 ch09-chaoyue-06】某天中午，3 个老师买盒饭吃。如果买 4 盒分着吃可以让大家都吃饱，而且还有剩余。此时又来了一位老师，结果发现再多买一盒还不够大家吃。后来又来了若干位老师，结果再多买几盒盒饭后，不多不少刚好够大家吃。如果每个老师的饭量都一样，那么后来至少再来了多少位老师？
详细思路
是哪类问题：这是「分数范围 + 最小分母」类：先把“吃得饱还有剩”“再多买一盒还不够”翻译成饭量的两个不等式，再由“正好吃完整数盒”推出人数必须是饭量分数的分母的倍数。
关键切入点：$4$ 盒够 $3$ 人吃还有剩 $\Rightarrow$ 每人饭量 $<\frac{4}{3}$；$5$ 盒不够 $4$ 人吃 $\Rightarrow$ 每人饭量 $>\frac{5}{4}$。把饭量写成 $1+\frac{t}{m}$（最简），则 $\frac{1}{4}<\frac{t}{m}<\frac{1}{3}$，即 $3t<m<4t$。要正好吃完整数盒，人数至少是 $m$。$t=1$ 时 $3<m<4$ 无整数解；$t=2$ 时 $6<m<8$，$m=7$ 最小。已有 $4$ 人，故至少再来 $7-4=3$ 人。
方法概述：把条件化成分数不等式，求最小分母。
规范步骤：
  1. 翻译条件：$\frac{5}{4}<r<\frac{4}{3}$（够吃有剩 / 不够吃）
  2. 写成 $1+\frac{t}{m}$：$\frac{1}{4}<\frac{t}{m}<\frac{1}{3}$（减去 1）
  3. 去分母：$3t<m<4t$（交叉相乘）
  4. 找最小 $m$：$t=1$ 时 $3<m<4$ 无解；$t=2$ 时 $6<m<8$，$m=7$（枚举）
  5. 求人数：人数至少 $7$，已有 $4$ 人，至少再来 $7-4=3$ 人（作差）
第一套
题目：某天中午 4 位老师买盒饭吃。买 5 盒分着吃可以让大家都吃饱，而且还有剩余；此时又来了一位老师，结果发现再多买一盒（共 6 盒）还不够大家吃。后来又来了若干位老师，再多买几盒后不多不少刚好够吃。每位老师饭量相同，问后来至少又来了多少位老师？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译条件）：$5$ 盒够 $4$ 人吃还有剩，故饭量 $r<\dfrac{5}{4}$；$6$ 盒不够 $5$ 人吃，故 $r>\dfrac{6}{5}$。
  2. 第 2 步（写成 $1+\frac{t}{m}$）：由 $\frac{6}{5}<1+\frac{t}{m}<\frac{5}{4}$ 得 $\dfrac{1}{5}<\dfrac{t}{m}<\dfrac{1}{4}$。
  3. 第 3 步（去分母）：交叉相乘得 $4t<m<5t$。
  4. 第 4 步（找最小分母）：$t=1$ 时 $4<m<5$ 无整数解；$t=2$ 时 $4\times 2=\underline{\quad}<m<5\times 2=\underline{\quad}$，故 $m=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求人数）：人数至少是 $9$，已有 $5$ 人，至少再来 $9-5=\underline{\quad}$ 位。
第二套
题目：3 位同学买披萨吃。买 4 个可以让大家都吃饱且有剩余；这时又来了一位同学，再多买一个（共 5 个）却不够吃。后来又来了若干位同学，再多买几个后不多不少刚好吃完。每人饭量相同，后来至少又来了多少位同学？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译条件）：$\dfrac{5}{4}<r<\dfrac{4}{3}$。
  2. 第 2 步（写成 $1+\frac{t}{m}$）：$\dfrac{1}{4}<\dfrac{t}{m}<\dfrac{1}{3}$。
  3. 第 3 步（去分母）：$3t<m<4t$。
  4. 第 4 步（找最小分母）：$t=1$ 无解；$t=2$ 时 $3\times 2=\underline{\quad}<m<4\times 2=\underline{\quad}$，$m=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求人数）：已有 $4$ 人，至少再来 $7-4=\underline{\quad}$ 位。
第三套
题目：2 位老师买盒饭，买 3 盒够吃且有剩余；又来一位老师后，买 4 盒却不够吃。后来又来了若干位，再多买几盒刚好吃完。每人饭量相同，后来至少又来了多少位？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译条件）：$\dfrac{4}{3}<r<\dfrac{3}{2}$。
  2. 第 2 步（写成 $1+\frac{t}{m}$）：$\dfrac{1}{3}<\dfrac{t}{m}<\dfrac{1}{2}$。
  3. 第 3 步（去分母）：$2t<m<3t$。
  4. 第 4 步（找最小分母）：$t=1$ 时 $2<m<3$ 无解；$t=2$ 时 $2\times 2=\underline{\quad}<m<3\times 2=\underline{\quad}$，$m=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求人数）：已有 $3$ 人，至少再来 $5-3=\underline{\quad}$ 位。
第三套
题目：3 位老师买盒饭，4 盒够吃有剩；又来一位后 5 盒不够吃；再来若干位后，多买几盒刚好吃完。每人饭量相同。求：最少还要再来几位老师？此时每位老师的饭量是几盒？一共买了几盒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求最小分母）：由 $\frac{1}{4}<\frac{t}{m}<\frac{1}{3}$ 得 $3t<m<4t$；$t=2$ 时 $3\times 2=\underline{\quad}<m<4\times 2=\underline{\quad}$，$m=7$，故至少再来 $7-4=\underline{\quad}$ 位。
  2. 第 2 步（求饭量）：饭量 $r=1+\dfrac{2}{7}=\dfrac{7+2}{7}=\dfrac{\underline{\quad}}{7}$ 盒。
  3. 第 3 步（检验范围）：$\frac{9}{7}$ 确实在 $\frac{5}{4}$ 与 $\frac{4}{3}$ 之间（$9\times 4=\underline{\quad}>5\times 7=\underline{\quad}$，$9\times 3=\underline{\quad}<4\times 7=\underline{\quad}$）。
  4. 第 4 步（求盒数）：$7$ 位老师共吃 $7\times\dfrac{9}{7}=\underline{\quad}$ 盒。
7. 【原题 ch09-chaoyue-07】请比较 $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{2007}{2008}$ 与 $\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}+\cdots+\frac{1984}{1983}$ 的大小。
详细思路
是哪类问题：这是「长和式比较」类：每个分数都接近 $1$，把它们写成 $1$ 减（或加）一个单位分数，两个大和就变成“整数部分之差”与“单位分数之和”的比较。
关键切入点：第一个式子共 $2008$ 项，每项写成 $1-\frac{1}{k}$（首项就是 $1$），和为 $2008-\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)$；第二个式子共 $1983$ 项，每项写成 $1+\frac{1}{k}$，和为 $1983+\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}\right)$。于是只需比较 $2008-1983-1=24$ 与两串单位分数之和；用 $2$ 的幂分组可证后者小于 $21$。
方法概述：拆成 1±单位分数 → 化归为常数与调和和的比较 → 分组放缩。
规范步骤：
  1. 第一个式子拆分：$1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2007}{2008}=2008-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)$（每项 $=1-\frac{1}{k}$）
  2. 第二个式子拆分：$\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\cdots+\frac{1984}{1983}=1983+\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}\right)$（每项 $=1+\frac{1}{k}$）
  3. 化归：比较 $2008-1983-1=24$ 与 $2\times\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}\right)+\left(\frac{1}{1984}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)$（移项合并）
  4. 分组放缩：$\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{1024}+\cdots+\frac{1}{1983}\right)<10$（10 组，每组小于 1）
  5. 零头：$\frac{1}{1984}+\cdots+\frac{1}{2008}<25\times\frac{1}{1984}<1$（最大项放缩）
  6. 比较：$2\times 10+1=21<24$，故第一个式子大（夹逼比较）
第一套
题目：比较 $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{2999}{3000}$ 与 $\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\cdots+\frac{2976}{2975}$ 的大小。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一个式子拆分）：共 $3000$ 项，每项写成 $1-\frac{1}{k}$，和 $=3000-\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{3000}\right)$。
  2. 第 2 步（第二个式子拆分）：共 $2975$ 项，每项写成 $1+\frac{1}{k}$，和 $=2975+\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2975}\right)$。
  3. 第 3 步（化归）：两式相减后只需比较 $3000-2975-1=\underline{\quad}$ 与 $2\times\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2975}\right)+\left(\frac{1}{2976}+\cdots+\frac{1}{3000}\right)$。
  4. 第 4 步（分组放缩）：把 $\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2975}$ 按 $2$ 的幂分成 $[2,3],[4,7],[8,15],\cdots,[2048,2975]$ 共 $\underline{\quad}$ 组，每组都小于 $1$（如 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}<2\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$），所以它小于 $11$。
  5. 第 5 步（合计比较）：$2\times 11+1=\underline{\quad}$，小于 $24$，所以第一个式子大。
第二套
题目：甲、乙两队各自记录若干天的效率：甲队记录为 $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2007}{2008}$，乙队记录为 $\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\cdots+\frac{1984}{1983}$。哪一队的记录总和更大？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（甲队拆分）：共 $2008$ 项，每项 $=1-\frac{1}{k}$，总和 $=2008-\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)$。
  2. 第 2 步（乙队拆分）：共 $1983$ 项，每项 $=1+\frac{1}{k}$，总和 $=1983+\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}\right)$。
  3. 第 3 步（化归）：只需比较 $2008-1983-1=\underline{\quad}$ 与两串单位分数之和。
  4. 第 4 步（分组放缩）：$\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}$ 分成 $\underline{\quad}$ 组，每组小于 $1$（如 $\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{7}<4\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$），故小于 $10$；零头 $\frac{1}{1984}+\cdots+\frac{1}{2008}<1$。
  5. 第 5 步（比较）：$2\times 10+1=\underline{\quad}<24$，甲队更大。
第三套
题目：比较 $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{99}{100}$ 与 $\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\cdots+\frac{76}{75}$ 的大小。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：前者 $=100-\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{100}\right)$，后者 $=75+\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{75}\right)$。
  2. 第 2 步（化归）：只需比较 $100-75-1=\underline{\quad}$ 与 $2\times\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{75}\right)+\left(\frac{1}{76}+\cdots+\frac{1}{100}\right)$。
  3. 第 3 步（分组放缩）：$\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{75}$ 分成 $[2,3],[4,7],[8,15],[16,31],[32,63],[64,75]$ 共 $\underline{\quad}$ 组，每组小于 $1$，故小于 $6$；零头 $\frac{1}{76}+\cdots+\frac{1}{100}<25\times\frac{1}{76}=\underline{\quad}$（小于 $1$）。
  4. 第 4 步（比较）：$2\times 6+1=\underline{\quad}<24$，所以第一个式子大。
第三套
题目：比较 $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2007}{2008}$ 与 $\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\cdots+\frac{1984}{1983}$ 的大小，并说明前者至少比后者大多少。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化归）：两式之差 $=2008-1983-1-\left[2\times\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}\right)+\left(\frac{1}{1984}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)\right]$，其中 $2008-1983-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（放缩中括号）：$\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}$ 分成 $10$ 组、每组小于 $1$，故小于 $10$；零头小于 $25\times\frac{1}{1984}=\underline{\quad}$，更小于 $1$。
  3. 第 3 步（中括号上界）：$2\times 10+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（估计差）：差 $>24-21=\underline{\quad}$，即前者至少比后者大 $3$。
8. 【原题 ch09-chaoyue-08】小姚计算 27 个正整数的平均数，保留六位小数后为 8.329610，老师说结果中某些数字肯定是错的，那么小姚至少算错了几个数字？此时正确的平均数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「由分母结构判断小数形态」类：分母 $27$ 不含因数 $2$ 和 $5$，所以平均数化成小数后一定是纯循环小数，而且循环节恰好 3 位——这就给正确答案定了“形状”。
关键切入点：$\frac{a}{27}=\frac{37a}{999}$（$a$ 是这 27 个正整数之和，为整数）。凡分母为 $999$ 的分数化成小数都是三位一循环的纯循环小数 $8.\dot{b}c\dot{d}=8.bcd\,bcd\cdots$，且循环节 $\overline{bcd}=37a-8\times 999=37(a-216)$ 必是 $37$ 的倍数。把它四舍五入到六位小数：第 $7$ 位又是 $b$，若 $b\geqslant 5$ 则第 $6$ 位要进 $1$（可能连带向前进位）。小姚写的 $8.329610$ 里，第 $1$、$4$ 位本应都等于 $b$ 却写成 $3$ 与 $6$；第 $2$ 位若 $c=2$ 正确则第 $5$ 位应是 $2$ 或 $3$，可小姚写的是 $1$——两处不可能同时对，故至少错 $2$ 位。只改 $2$ 位就能凑成的候选循环节是 $609$ 与 $629$：$609$ 不是 $37$ 的倍数（$37\times 16=592<609<629=37\times 17$）被排除，$629=37\times 17$ 才成立，对应 $8.\dot{6}2\dot{9}=8.629629\cdots$，四舍五入到六位为 $8.629630$，与小姚结果恰好只差第 $1$ 位（$3\to 6$）与第 $5$ 位（$1\to 3$）两处。
方法概述：化成 $\frac{37a}{999}$ 判定“三位一循环、循环节是 $37$ 的倍数”，再对照小姚的结果找最少改动。
规范步骤：
  1. 判断小数形态：$27=3^3$ 不含因数 $2,5$，$\frac{a}{27}=\frac{37a}{999}$ 是三位一循环的纯循环小数 $8.\dot{b}c\dot{d}$（纯循环小数与分数互化）
  2. 循环节的约束：小数部分 $=\frac{37a}{999}-8=\frac{37a-8\times 999}{999}=\frac{37(a-216)}{999}$，故循环节 $\overline{bcd}=37(a-216)$ 是 $37$ 的倍数（整除判断）
  3. 展开六位并考虑进位：$8.\dot{b}c\dot{d}=8.bcd\,bcd\cdots$，四舍五入到六位时第 $7$ 位是 $b$：$b\geqslant 5$ 则第 $6$ 位进 $1$（四舍五入）
  4. 证明至少错 2 位：第 $1$、$4$ 位都应是 $b$，小姚却写 $3$、$6$（不相等，至少错 $1$ 位）；又若第 $2$ 位 $c=2$ 正确则第 $5$ 位应是 $2$ 或 $3$，而小姚写 $1$，故错处不止落在第 $1$、$4$ 位——至少错 $2$ 位（循环结构约束）
  5. 筛选候选并定值：只改 $2$ 位的候选循环节 $609$、$629$ 中，$609$ 不是 $37$ 的倍数（$37\times 16=592$，$37\times 17=629$）被排除；$629=37\times 17$，即 $a-216=17$，$a=233$，平均数 $233\div 27=8.629629\cdots$（整除验证）
  6. 写出答案：至少算错 $2$ 个数字，正确平均数是 $8.\dot{6}2\dot{9}$（四舍五入到六位为 $8.629630$）
9. 【原题 ch09-tuozhan-01】分别比较下面每组中两个数的大小：（1）$0.\dot{1}3\dot{5}$ 与 $\frac{3}{19}$；（2）$0.\dot{4}0\dot{9}$ 与 $\frac{15}{37}$；（3）$0.97$ 与 $\frac{1949}{2008}$。
详细思路
是哪类问题：这是「循环小数与分数比大小」类：纯循环小数化分数有捷径——循环节作分子，几位循环就写几个 $9$ 作分母；有限小数与分数比，直接把小数乘上分母去分母最快。
关键切入点：$0.\dot{1}3\dot{5}=\frac{135}{999}=\frac{5}{37}$，与 $\frac{3}{19}$ 交叉相乘即可；第 (2) 题反过来把分数化成循环小数：$\frac{15}{37}=\frac{405}{999}=0.\dot{4}0\dot{5}$，与 $0.\dot{4}0\dot{9}$ 逐位比；第 (3) 题用去分母法 $0.97\times 2008$ 与 $1949$ 比。
方法概述：纯循环小数 $\leftrightarrow$ 分数互化，再交叉相乘或去分母。
规范步骤：
  1. 第 (1) 题化分数：$0.\dot{1}3\dot{5}=\frac{135}{999}=\frac{5}{37}$（纯循环小数化分数）
  2. 第 (1) 题交叉相乘：$5\times 19=95<3\times 37=111$，故 $0.\dot{1}3\dot{5}<\frac{3}{19}$（交叉相乘）
  3. 第 (2) 题分数化循环小数：$\frac{15}{37}=\frac{15\times 27}{999}=\frac{405}{999}=0.\dot{4}0\dot{5}$（凑成分母 999）
  4. 第 (2) 题逐位比：$405<409$，故 $0.\dot{4}0\dot{9}>\frac{15}{37}$（同型循环小数比较）
  5. 第 (3) 题去分母：$0.97\times 2008=1947.76<1949$，故 $0.97<\frac{1949}{2008}$（去分母比较）
  6. 写出答案：三组结论如上
第一套
题目：分别比较下面每组中两个数的大小：（1）$0.\dot{2}1\dot{6}$ 与 $\frac{5}{23}$；（2）$0.\dot{5}7\dot{1}$ 与 $\frac{21}{37}$；（3）$0.98$ 与 $\frac{1979}{2008}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$0.\dot{2}1\dot{6}=\dfrac{216}{999}$，分子分母同除以 $27$ 得 $\dfrac{216\div 27}{999\div 27}=\dfrac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}$，即 $\frac{8}{37}$。
  2. 第 2 步（交叉相乘）：$8\times 23=\underline{\quad}$，$5\times 37=\underline{\quad}$，前者小，所以 $0.\dot{2}1\dot{6}<\frac{5}{23}$。
  3. 第 3 步：把 $\frac{21}{37}$ 化成分母 $999$ 的形式，分子是 $21\times 27=\underline{\quad}$，即 $0.\dot{5}6\dot{7}$。
  4. 第 4 步（逐位比）：$567<571$，所以 $0.\dot{5}7\dot{1}>\frac{21}{37}$。
  5. 第 5 步（去分母）：$0.98\times 2008=\underline{\quad}$，比 $1979$ 小，所以 $0.98<\frac{1979}{2008}$。
第二套
题目：三组同学分别记录同一实验的成功率：第 (1) 组两次记为 $0.\dot{1}3\dot{5}$ 与 $\frac{3}{19}$；第 (2) 组记为 $0.\dot{4}0\dot{9}$ 与 $\frac{15}{37}$；第 (3) 组记为 $0.97$ 与 $\frac{1949}{2008}$。分别判断每组哪个更大。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$0.\dot{1}3\dot{5}=\dfrac{135}{999}=\dfrac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}$（分子分母同除以 $27$）。
  2. 第 2 步：$5\times 19=\underline{\quad}<3\times 37=\underline{\quad}$，所以 $\frac{3}{19}$ 更大。
  3. 第 3 步：$\frac{15}{37}=\dfrac{\underline{\quad}}{999}=0.\dot{4}0\dot{5}<0.\dot{4}0\dot{9}$，所以 $0.\dot{4}0\dot{9}$ 更大。
  4. 第 4 步：$0.97\times 2008=\underline{\quad}<1949$，所以 $\frac{1949}{2008}$ 更大。
第三套
题目：比较 $0.\dot{1}8\dot{9}$ 与 $\frac{4}{21}$ 的大小。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{1}8\dot{9}=\dfrac{189}{999}$，同除以 $27$ 得 $\dfrac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}$，即 $\frac{7}{37}$。
  2. 第 2 步（交叉相乘）：$7\times 21=\underline{\quad}$，$4\times 37=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（下结论）：$147<148$，所以 $0.\dot{1}8\dot{9}<\frac{4}{21}$。
第三套
题目：把 $0.\dot{1}8\dot{9}$、$\frac{4}{21}$、$0.19$ 三个数从小到大排列。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{1}8\dot{9}=\dfrac{189}{999}=\dfrac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}$，即 $\frac{7}{37}$。
  2. 第 2 步（比 $\frac{7}{37}$ 与 $0.19$）：去分母，$0.19\times 37=\underline{\quad}$，比分子 $7$ 大，所以 $0.\dot{1}8\dot{9}<0.19$。
  3. 第 3 步（比 $0.19$ 与 $\frac{4}{21}$）：$0.19\times 21=\underline{\quad}$，比分子 $4$ 小，所以 $0.19<\frac{4}{21}$。
  4. 第 4 步（串起来）：$0.\dot{1}8\dot{9}<0.19<\frac{4}{21}$。
10. 【原题 ch09-tuozhan-02】现有 7 个数，其中 5 个分别是 $3.\dot{1}\dot{4}$，$3\frac{1}{7}$，$\frac{116}{37}$，$3.\dot{1}\dot{5}$，$3\frac{37}{273}$，如果将这 7 个数按照从小到大排列，第三个数是 $\frac{116}{37}$。请问：位于中间的数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「排序 + 名次推断」类：把已知的 5 个数排好，再由“$\frac{116}{37}$ 在 7 个数中排第 3”反推未给出的两个数的位置。
关键切入点：五个数整数部分都是 $3$，只需比小数部分。$\frac{116}{37}=3\frac{5}{37}$，$3.\dot{1}\dot{4}=3\frac{14}{99}$，$3.\dot{1}\dot{5}=3\frac{15}{99}$。$\frac{116}{37}$ 在已知 5 数中最小，却在 7 数中排第 3，说明未给出的两数都比它小、占据最前两位，于是后 5 个位置完全确定。
方法概述：统一成 $3+$ 真分数比较，排序后用名次差定位未知数。
规范步骤：
  1. 化成带分数：$\frac{116}{37}=3\frac{5}{37}$，$3.\dot{1}\dot{4}=3\frac{14}{99}$，$3.\dot{1}\dot{5}=3\frac{15}{99}$（假分数化带分数 / 循环小数化分数）
  2. 比 $\frac{5}{37}$ 与 $\frac{37}{273}$：$5\times 273=1365<37\times 37=1369$，故 $\frac{116}{37}<3\frac{37}{273}$（交叉相乘）
  3. 比 $\frac{37}{273}$ 与 $\frac{14}{99}$：$37\times 99=3663<14\times 273=3822$，故 $3\frac{37}{273}<3.\dot{1}\dot{4}$（交叉相乘）
  4. 比 $\frac{14}{99}$ 与 $\frac{1}{7}$、$\frac{1}{7}$ 与 $\frac{15}{99}$：$14\times 7=98<99$；$1\times 99=99<15\times 7=105$（交叉相乘）
  5. 已知 5 数从小到大：$\frac{116}{37}<3\frac{37}{273}<3.\dot{1}\dot{4}<3\frac{1}{7}<3.\dot{1}\dot{5}$（串成链）
  6. 推断未知数：未给出的 $7-5=2$ 个数都比 $\frac{116}{37}$ 小，排在最前（名次推断）
  7. 找中间数：第 $(7+1)\div 2=4$ 个是 $3\frac{37}{273}$（中位定位）
第一套
题目：现有 7 个数，其中 5 个分别是 $4.\dot{1}\dot{6}$，$4\frac{1}{6}$，$4\frac{13}{80}$，$4.\dot{1}\dot{7}$，$4\frac{5}{31}$。如果把这 7 个数从小到大排列，第 3 个数是 $4\frac{5}{31}$。请问：位于正中间的数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一形式）：整数部分都是 $4$，只比小数部分。$4.\dot{1}\dot{6}=4\frac{16}{99}$，$4.\dot{1}\dot{7}=4\frac{17}{99}$。
  2. 第 2 步（排已知 5 数）：$5\times 99=\underline{\quad}<16\times 31=\underline{\quad}$，故 $\frac{5}{31}<\frac{16}{99}$；$16\times 80=\underline{\quad}<13\times 99=\underline{\quad}$，故 $\frac{16}{99}<\frac{13}{80}$；$13\times 6=\underline{\quad}<80$，故 $\frac{13}{80}<\frac{1}{6}$；$1\times 99=99<17\times 6=\underline{\quad}$，故 $\frac{1}{6}<\frac{17}{99}$。
  3. 第 3 步（推断未知数）：$4\frac{5}{31}$ 在已知 5 数中排第 1，在 7 数中排第 3，说明未给出的 $7-5=\underline{\quad}$ 个数都比它小。
  4. 第 4 步（找中间）：7 数从小到大为 $\square,\square,4\frac{5}{31},4.\dot{1}\dot{6},4\frac{13}{80},4\frac{1}{6},4.\dot{1}\dot{7}$，正中间是第 $(7+1)\div 2=\underline{\quad}$ 个，即 $4.\dot{1}\dot{6}$。
第二套
题目：7 位选手的比赛用时（秒）中有 5 个是 $3.\dot{1}\dot{4}$，$3\frac{1}{7}$，$\frac{116}{37}$，$3.\dot{1}\dot{5}$，$3\frac{37}{273}$。把 7 个用时从小到大排列时，$\frac{116}{37}$ 排第 3。位于正中间的用时是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一形式）：$\frac{116}{37}=3\frac{5}{37}$，$3.\dot{1}\dot{4}=3\frac{14}{99}$，$3.\dot{1}\dot{5}=3\frac{15}{99}$。
  2. 第 2 步（排已知 5 数）：$5\times 273=\underline{\quad}<37\times 37=\underline{\quad}$；$37\times 99=\underline{\quad}<14\times 273=\underline{\quad}$；$14\times 7=\underline{\quad}<99$；$99<15\times 7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（推断）：未给出的 $7-5=\underline{\quad}$ 个都比 $\frac{116}{37}$ 小。
  4. 第 4 步（找中间）：正中间是第 $(7+1)\div 2=\underline{\quad}$ 个，即 $3\frac{37}{273}$。
第三套
题目：现有 9 个数，其中 6 个分别是 $\frac{116}{37}$，$3\frac{37}{273}$，$3.\dot{1}\dot{4}$，$3\frac{1}{7}$，$3.\dot{1}\dot{5}$，$3.16$。若把 9 个数从小到大排列，$\frac{116}{37}$ 排第 4。请问：从大到小排列时第 3 个数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（排已知 6 数）：由 $5\times 273=\underline{\quad}<37\times 37=\underline{\quad}$、$37\times 99=\underline{\quad}<14\times 273=\underline{\quad}$、$14\times 7=\underline{\quad}<99<15\times 7=\underline{\quad}$ 以及 $3.\dot{1}\dot{5}<3.16$，得 $\frac{116}{37}<3\frac{37}{273}<3.\dot{1}\dot{4}<3\frac{1}{7}<3.\dot{1}\dot{5}<3.16$。
  2. 第 2 步（推断）：$\frac{116}{37}$ 在已知 6 数中排第 1、在 9 数中排第 4，说明未给出的 $9-6=\underline{\quad}$ 个数都比它小，排在最前三位。
  3. 第 3 步（换向）：从大到小第 3 个就是从小到大第 $9+1-3=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（读出答案）：从小到大第 7 个是 $3\frac{1}{7}$。
第三套
题目：现有 7 个数，其中 5 个分别是 $3.\dot{1}\dot{4}$，$3\frac{1}{7}$，$\frac{116}{37}$，$3.\dot{1}\dot{5}$，$3\frac{37}{273}$，从小到大排列时第 3 个数是 $\frac{116}{37}$。求「位于正中间的数」与 $\frac{116}{37}$ 的差（写成最简分数）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（排序）：由 $5\times 273=\underline{\quad}<37\times 37=\underline{\quad}$、$37\times 99=\underline{\quad}<14\times 273=\underline{\quad}$ 等可得 $\frac{116}{37}<3\frac{37}{273}<3.\dot{1}\dot{4}<3\frac{1}{7}<3.\dot{1}\dot{5}$。
  2. 第 2 步（定位）：未给出的 $7-5=\underline{\quad}$ 个数最小，正中间第 $(7+1)\div 2=\underline{\quad}$ 个是 $3\frac{37}{273}$。
  3. 第 3 步（作差）：整数部分相同，只需算 $\frac{37}{273}-\frac{5}{37}$，公分母 $273\times 37=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算分子）：$37\times 37-5\times 273=\underline{\quad}$，所以差是 $\frac{4}{10101}$。
11. 【原题 ch09-tuozhan-03】在下面 9 个分数算式中：①$\frac{3}{5}+\frac{5}{20}$；②$\frac{3}{6}+\frac{6}{20}$；③$\frac{3}{7}+\frac{7}{20}$；④$\frac{3}{8}+\frac{8}{20}$；⑤$\frac{3}{9}+\frac{9}{20}$；⑥$\frac{3}{10}+\frac{10}{20}$；⑦$\frac{3}{11}+\frac{11}{20}$；⑧$\frac{3}{12}+\frac{12}{20}$；⑨$\frac{3}{13}+\frac{13}{20}$。第几个算式的结果最小？这个结果等于多少？
详细思路
是哪类问题：这是「一列算式找最值」类：9 个算式形状相同，前一项在变小、后一项在变大，用相邻两式作差判断增减方向，转折点就是最小值。
关键切入点：第 $n$ 式与第 $n+1$ 式作差，前一项之差是 $\frac{3}{k(k+1)}$（越往后越小），后一项之差恒为 $\frac{1}{20}$。只要 $\frac{3}{k(k+1)}>\frac{1}{20}$ 就还在下降，反之开始上升。$k=5,6,7$ 时仍下降，到 $k=8$ 时 $\frac{3}{72}<\frac{1}{20}$ 开始上升，所以第④式最小。
方法概述：相邻作差判断增减，找转折点。
规范步骤：
  1. ①与②作差：$\left(\frac{3}{5}-\frac{3}{6}\right)-\left(\frac{6}{20}-\frac{5}{20}\right)=\frac{3}{30}-\frac{1}{20}$（同型作差）
  2. 判正负：$3\times 20=60>1\times 30=30$，故差为正，①$>$②（交叉相乘）
  3. 同理②$>$③$>$④：$\frac{3}{42}>\frac{1}{20}$、$\frac{3}{56}>\frac{1}{20}$（同法）
  4. ④与⑤作差：$\left(\frac{9}{20}-\frac{8}{20}\right)-\left(\frac{3}{8}-\frac{3}{9}\right)=\frac{1}{20}-\frac{3}{72}$（同型作差）
  5. 判正负：$1\times 72=72>3\times 20=60$，故 $\frac{1}{20}>\frac{3}{72}$，④$<$⑤，此后一路增大（交叉相乘）
  6. 算最小值：$\frac{3}{8}+\frac{8}{20}=\frac{15}{40}+\frac{16}{40}=\frac{31}{40}$（通分相加）
第一套
题目：在下面 10 个算式中：第 $k$ 个算式是 $\frac{5}{k+5}+\frac{k+5}{30}$（$k=1,2,\cdots,10$），即 $\frac{5}{6}+\frac{6}{30}$，$\frac{5}{7}+\frac{7}{30}$，$\cdots$，$\frac{5}{15}+\frac{15}{30}$。第几个算式的结果最小？这个结果等于多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相邻作差）：相邻两式相差 $\dfrac{5}{m(m+1)}-\dfrac{1}{30}$（$m$ 是前一式的分母）。只要它为正，算式就还在变小。
  2. 第 2 步（转成整数比较）：$\dfrac{5}{m(m+1)}>\dfrac{1}{30}$ 等价于 $m(m+1)<5\times 30=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（找转折）：$m=11$ 时 $11\times 12=\underline{\quad}<150$，仍在下降；$m=12$ 时 $12\times 13=\underline{\quad}>150$，开始上升。所以分母为 $12$ 的那个算式最小。
  4. 第 4 步（定序号）：分母从 $6$ 开始，$12$ 是第 $12-6+1=\underline{\quad}$ 个算式。
  5. 第 5 步（算结果）：$\frac{5}{12}+\frac{12}{30}=\frac{25}{60}+\frac{24}{60}=\dfrac{\underline{\quad}}{60}$。
第二套
题目：9 种配方的成本（元）依次是 $\frac{3}{5}+\frac{5}{20}$，$\frac{3}{6}+\frac{6}{20}$，$\frac{3}{7}+\frac{7}{20}$，$\cdots$，$\frac{3}{13}+\frac{13}{20}$。哪种配方成本最低？最低成本是多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相邻作差）：相邻两式之差为 $\dfrac{3}{m(m+1)}-\dfrac{1}{20}$。
  2. 第 2 步（整数判别）：差为正等价于 $m(m+1)<3\times 20=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（找转折）：$m=7$ 时 $7\times 8=\underline{\quad}<60$ 仍在下降；$m=8$ 时 $8\times 9=\underline{\quad}>60$ 开始上升，故分母为 $8$ 的第 $8-5+1=\underline{\quad}$ 个算式最低。
  4. 第 4 步（算结果）：$\frac{3}{8}+\frac{8}{20}=\frac{15}{40}+\frac{16}{40}=\dfrac{\underline{\quad}}{40}$ 元。
第三套
题目：在 5 个算式 $\frac{2}{3}+\frac{3}{12}$，$\frac{2}{4}+\frac{4}{12}$，$\frac{2}{5}+\frac{5}{12}$，$\frac{2}{6}+\frac{6}{12}$，$\frac{2}{7}+\frac{7}{12}$ 中，第几个结果最小？结果是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相邻作差）：相邻两式之差为 $\dfrac{2}{m(m+1)}-\dfrac{1}{12}$。
  2. 第 2 步（整数判别）：差为正等价于 $m(m+1)<2\times 12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（找转折）：$m=4$ 时 $4\times 5=\underline{\quad}<24$ 仍下降；$m=5$ 时 $5\times 6=\underline{\quad}>24$ 开始上升，故分母为 $5$ 的算式最小，它是第 $5-3+1=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（算结果）：$\frac{2}{5}+\frac{5}{12}=\frac{24}{60}+\frac{25}{60}=\dfrac{\underline{\quad}}{60}$。
第三套
题目：在 9 个算式 $\frac{3}{5}+\frac{5}{20}$，$\frac{3}{6}+\frac{6}{20}$，$\cdots$，$\frac{3}{13}+\frac{13}{20}$ 中，最小的结果是多少？最大的结果是多少？两者相差多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找最小）：相邻作差得判别式 $m(m+1)$ 与 $3\times 20=\underline{\quad}$ 比大小；$7\times 8=\underline{\quad}<60<8\times 9=\underline{\quad}$，故第④式 $\frac{3}{8}+\frac{8}{20}=\dfrac{\underline{\quad}}{40}$ 最小。
  2. 第 2 步（找最大）：④之前一路下降、之后一路上升，最大值只能在两端 ① 或 ⑨ 中产生。
  3. 第 3 步（比两端）：$①=\frac{3}{5}+\frac{5}{20}=\frac{17}{20}$，$⑨=\frac{3}{13}+\frac{13}{20}=\dfrac{60+169}{260}=\dfrac{\underline{\quad}}{260}$；交叉相乘 $229\times 20=\underline{\quad}>17\times 260=\underline{\quad}$，所以 ⑨ 最大。
  4. 第 4 步（作差）：公分母 $520$，$\frac{229}{260}=\dfrac{\underline{\quad}}{520}$，$\frac{31}{40}=\dfrac{\underline{\quad}}{520}$，分子相减 $458-403=\underline{\quad}$，约分得 $\frac{55}{520}=\frac{11}{104}$。
12. 【原题 ch09-tuozhan-04】下面的 4 个算式中，哪个算式的结果最大？①$\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)\times 20$；②$\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{29}\right)\times 30$；③$\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{37}\right)\times 40$；④$\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{47}\right)\times 50$。
详细思路
是哪类问题：这是「同基准作差」类：四个算式的结果都接近 $2$，直接算很麻烦，统一减去 $2$ 后剩下的“零头”很小且形状整齐，比零头即可。
关键切入点：$\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)\times L-2=\frac{L-m}{m}+\frac{L-n}{n}$。四个算式减去 $2$ 后分别是 $\frac{3}{17}+\frac{1}{19}$、$\frac{1}{4}+\frac{1}{29}$、$\frac{9}{31}+\frac{3}{37}$、$\frac{9}{41}+\frac{3}{47}$。③的两项都分别大于其余各式的对应项，故③最大。
方法概述：统一减去 2，逐项比较零头。
规范步骤：
  1. 算零头：$①-2=\frac{20-17}{17}+\frac{20-19}{19}=\frac{3}{17}+\frac{1}{19}$（乘法分配律展开）
  2. 同法：$②-2=\frac{6}{24}+\frac{1}{29}=\frac{1}{4}+\frac{1}{29}$，$③-2=\frac{9}{31}+\frac{3}{37}$，$④-2=\frac{9}{41}+\frac{3}{47}$（同法）
  3. ③与④逐项比：$\frac{9}{31}>\frac{9}{41}$，$\frac{3}{37}>\frac{3}{47}$，故③$>$④（同分子比分母）
  4. ③与②逐项比：$9\times 4=36>31$ 故 $\frac{9}{31}>\frac{1}{4}$；$3\times 29=87>37$ 故 $\frac{3}{37}>\frac{1}{29}$（交叉相乘）
  5. ③与①逐项比：$9\times 17=153>3\times 31=93$；$3\times 19=57>37$（交叉相乘）
  6. 写出答案：第③个算式最大
第一套
题目：下面 4 个算式中，哪个结果最大？①$\left(\frac{1}{23}+\frac{1}{27}\right)\times 30$；②$\left(\frac{1}{33}+\frac{1}{39}\right)\times 40$；③$\left(\frac{1}{43}+\frac{1}{47}\right)\times 50$；④$\left(\frac{1}{53}+\frac{1}{59}\right)\times 60$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一减 2）：$\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)\times L-2=\frac{L-m}{m}+\frac{L-n}{n}$。①的零头是 $\dfrac{30-23}{23}+\dfrac{30-27}{27}=\dfrac{\underline{\quad}}{23}+\dfrac{\underline{\quad}}{27}$，后一项约分成 $\frac{1}{9}$（$27\div 3=\underline{\quad}$）。
  2. 第 2 步（其余三式的零头）：②是 $\dfrac{\underline{\quad}}{33}+\dfrac{1}{39}$，③是 $\dfrac{7}{43}+\dfrac{\underline{\quad}}{47}$，④是 $\dfrac{7}{53}+\dfrac{\underline{\quad}}{59}$。
  3. 第 3 步（比第一项）：分子都是 $7$，分母 $23$ 最小，所以 $\frac{7}{23}$ 最大。
  4. 第 4 步（比第二项）：$\frac{1}{9}$ 与 $\frac{3}{47}$ 交叉相乘，$1\times 47=\underline{\quad}>3\times 9=\underline{\quad}$，故 $\frac{1}{9}$ 最大；它也大于 $\frac{1}{39}$、$\frac{1}{59}$。两项都最大，所以①最大。
第二套
题目：四台机器每分钟的产量（件）分别是 ①$\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)\times 20$；②$\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{29}\right)\times 30$；③$\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{37}\right)\times 40$；④$\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{47}\right)\times 50$。哪台机器产量最高？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一减 2）：①的零头是 $\dfrac{20-17}{17}+\dfrac{20-19}{19}=\dfrac{\underline{\quad}}{17}+\dfrac{\underline{\quad}}{19}$。
  2. 第 2 步：②的零头是 $\dfrac{30-24}{24}+\dfrac{1}{29}=\dfrac{\underline{\quad}}{24}+\dfrac{1}{29}$，即 $\frac{1}{4}+\frac{1}{29}$；③是 $\dfrac{\underline{\quad}}{31}+\dfrac{\underline{\quad}}{37}$；④是 $\dfrac{\underline{\quad}}{41}+\dfrac{3}{47}$。
  3. 第 3 步（逐项比）：$\frac{9}{31}>\frac{9}{41}$、$\frac{3}{37}>\frac{3}{47}$；又 $9\times 4=\underline{\quad}>31$、$3\times 29=\underline{\quad}>37$；再有 $9\times 17=\underline{\quad}>3\times 31=\underline{\quad}$、$3\times 19=\underline{\quad}>37$。
  4. 第 4 步（下结论）：③的零头最大，所以第③台机器产量最高。
第三套
题目：比较 $\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)\times 20$ 与 $\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{37}\right)\times 40$ 的大小。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一减 2）：前式零头 $\dfrac{20-17}{17}+\dfrac{20-19}{19}=\dfrac{\underline{\quad}}{17}+\dfrac{1}{19}$；后式零头 $\dfrac{40-31}{31}+\dfrac{40-37}{37}=\dfrac{\underline{\quad}}{31}+\dfrac{\underline{\quad}}{37}$。
  2. 第 2 步（比第一项）：$9\times 17=\underline{\quad}>3\times 31=\underline{\quad}$，故 $\frac{9}{31}>\frac{3}{17}$。
  3. 第 3 步（比第二项）：$3\times 19=\underline{\quad}>1\times 37=37$，故 $\frac{3}{37}>\frac{1}{19}$。
  4. 第 4 步（下结论）：后式零头更大，所以 $\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{37}\right)\times 40$ 更大。
第三套
题目：在①$\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)\times 20$、②$\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{29}\right)\times 30$、③$\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{37}\right)\times 40$、④$\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{47}\right)\times 50$ 中找出最大的一个，并判断它是否超过 $2.4$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一减 2 找最大）：零头分别是 $\frac{3}{17}+\frac{1}{19}$、$\frac{1}{4}+\frac{1}{29}$、$\dfrac{\underline{\quad}}{31}+\dfrac{\underline{\quad}}{37}$、$\frac{9}{41}+\frac{3}{47}$；由 $9\times 17=\underline{\quad}>3\times 31=\underline{\quad}$、$3\times 29=\underline{\quad}>37$ 等可知③最大。
  2. 第 2 步（精确求值）：$\frac{1}{31}+\frac{1}{37}=\dfrac{31+37}{31\times 37}=\dfrac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（乘 40）：$③=\dfrac{68\times 40}{1147}=\dfrac{\underline{\quad}}{1147}$。
  4. 第 4 步（与 $2.4$ 比）：去分母，$2.4\times 1147=\underline{\quad}$，比 $2720$ 大，所以③没有超过 $2.4$。
13. 【原题 ch09-tuozhan-05】从所有分母小于 10 的真分数中，找出一个最接近 0.618 的分数。
详细思路
是哪类问题：这是「用简单分数逼近小数」类：分母范围有限，与其枚举所有分数，不如反过来——用目标小数乘每个可能的分母，看谁最接近整数。
关键切入点：若 $\frac{p}{q}\approx 0.618$，则 $p\approx 0.618q$。所以把 $0.618$ 依次乘 $1\sim 9$，谁的结果离整数最近，对应的 $q$ 就最好；$0.618\times 8=4.944$ 离 $5$ 只差 $0.056$，是九个里最近的，故取 $\frac{5}{8}$。
方法概述：目标小数乘分母，找最接近整数者。
规范步骤：
  1. 逐个相乘：$0.618\times 1=0.618$，$\times 2=1.236$，$\times 3=1.854$，$\times 4=2.472$，$\times 5=3.09$（转化为找最接近整数）
  2. 继续：$\times 6=3.708$，$\times 7=4.326$，$\times 8=4.944$，$\times 9=5.562$（枚举）
  3. 找最接近整数者：$4.944$ 与 $5$ 只差 $0.056$，误差 $0.056\div 8=0.007$ 最小（误差比较）
  4. 写出分数：$\frac{5}{8}=0.625$（取分子为最接近的整数）
第一套
题目：从所有分母小于 10 的真分数中，找出一个最接近 $0.382$ 的分数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：若 $\frac{p}{q}\approx 0.382$，则 $p\approx 0.382\times q$，所以把 $0.382$ 依次乘 $1\sim 9$，看谁最接近整数。
  2. 第 2 步（关键的几个）：$0.382\times 5=\underline{\quad}$（离 $2$ 差 $0.09$），$0.382\times 8=\underline{\quad}$（离 $3$ 差 $0.056$）。
  3. 第 3 步（比误差）：换算成分数的误差要除以分母，$0.09\div 5=\underline{\quad}$，$0.056\div 8=\underline{\quad}$，后者更小。
  4. 第 4 步（写出分数）：取 $q=8$、$p=3$，所求分数是 $\frac{3}{8}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某零件的合格比例是 $0.618$。工厂要用一个分母小于 10 的真分数来近似表示它，应该选哪个分数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：把 $0.618$ 依次乘 $1\sim 9$，看谁最接近整数。
  2. 第 2 步（算关键值）：$0.618\times 5=\underline{\quad}$，$0.618\times 8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（找最近）：$4.944$ 与整数 $5$ 只差 $5-4.944=\underline{\quad}$，是九个结果中最接近整数的。
  4. 第 4 步（写出分数）：所求分数是 $\frac{5}{8}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：从所有分母小于 10 的真分数中，找出一个最接近 $0.707$ 的分数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：把 $0.707$ 依次乘 $1\sim 9$，看谁最接近整数。
  2. 第 2 步（算关键值）：$0.707\times 7=\underline{\quad}$，$0.707\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（比误差）：$4.949$ 离 $5$ 差 $5-4.949=\underline{\quad}$，换算成分数误差为 $0.051\div 7=\underline{\quad}$，比其他都小。
  4. 第 4 步（写出分数）：所求分数是 $\frac{5}{7}$，约等于 $0.714$。
第三套
题目：从所有分母小于 10 的真分数中找出最接近 $0.618$ 的分数，并求出它与 $0.618$ 的差是多少。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找分数）：$0.618\times 8=\underline{\quad}$ 最接近整数 $5$，所求分数是 $\frac{5}{8}$。
  2. 第 2 步（化成小数）：$\frac{5}{8}=5\div 8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求差）：$0.625-0.618=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写成分数）：$0.007=\dfrac{7}{\underline{\quad}}$，即所求分数比 $0.618$ 大 $\frac{7}{1000}$。
14. 【原题 ch09-tuozhan-06】在不等式 $\frac{5}{22}<\frac{23}{\square}<\frac{4}{17}$ 的方框中填入一个自然数，使得不等号成立。一共有多少种不同的填法？
详细思路
是哪类问题：这是「方框填数计数」类：未知数在分母上，用通分子把不等式转成对 $20\square$ 的范围限制，再数一数范围内有几个 $\square$。
关键切入点：分子 $5,23,4$ 的公倍数取 $460$：$\frac{5}{22}=\frac{460}{2024}$，$\frac{23}{\square}=\frac{460}{20\square}$，$\frac{4}{17}=\frac{460}{1955}$。分子相同时分母越大分数越小，于是 $1955<20\square<2024$，即 $97.75<\square<101.2$，整数解有 4 个。
方法概述：通分子 → 分母范围 → 数整数个数。
规范步骤：
  1. 取公倍数 460：$5\times 92=460$，$23\times 20=460$，$4\times 115=460$（通分子）
  2. 改写三个分数：$\frac{460}{2024}<\frac{460}{20\square}<\frac{460}{1955}$（分子分母同乘）
  3. 比分母：$1955<20\square<2024$（分子相同分母越大数越小）
  4. 解范围：$97.75<\square<101.2$（两边同除以 20）
  5. 数个数：$\square=98,99,100,101$，共 $101-98+1=4$ 个（整数计数）
第一套
题目：在不等式 $\frac{7}{30}<\frac{29}{\square}<\frac{5}{21}$ 的方框中填入一个自然数，使不等号成立。一共有多少种不同的填法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（取公倍数）：分子 $7,29,5$ 的最小公倍数是 $7\times 29\times 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（通分子）：$\frac{7}{30}=\dfrac{1015}{30\times 145}=\dfrac{1015}{\underline{\quad}}$，$\frac{29}{\square}=\dfrac{1015}{35\square}$，$\frac{5}{21}=\dfrac{1015}{21\times 203}=\dfrac{1015}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（比分母）：分子相同、分母越大分数越小，所以 $4263<35\square<\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（解范围）：两边同除以 $35$，得 $121.8<\square<\underline{\quad}$，故 $\square=122,123,124$。
  5. 第 5 步（数个数）：共 $124-122+1=\underline{\quad}$ 种填法。
第二套
题目：某商品的折扣率大于 $\frac{5}{22}$ 且小于 $\frac{4}{17}$，可以写成 $\frac{23}{\square}$（$\square$ 是自然数）。这样的 $\square$ 一共有多少种取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（取公倍数）：分子 $5,23,4$ 的公倍数取 $5\times 92=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（通分子）：$\frac{5}{22}=\dfrac{460}{\underline{\quad}}$，$\frac{23}{\square}=\dfrac{460}{20\square}$，$\frac{4}{17}=\dfrac{460}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（比分母）：$1955<20\square<\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（解范围并计数）：$97.75<\square<101.2$，$\square=98,99,100,101$，共 $101-98+1=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：在不等式 $\frac{3}{14}<\frac{13}{\square}<\frac{2}{9}$ 的方框中填入自然数，使不等号成立。一共有多少种填法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（取公倍数）：分子 $3,13,2$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（通分子）：$\frac{3}{14}=\dfrac{78}{\underline{\quad}}$（分母 $14\times 26$），$\frac{13}{\square}=\dfrac{78}{6\square}$，$\frac{2}{9}=\dfrac{78}{\underline{\quad}}$（分母 $9\times 39$）。
  3. 第 3 步（比分母）：$351<6\square<\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（解范围并计数）：$58.5<\square<60.\dot{6}$，$\square=59,60$，共 $60-59+1=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：在不等式 $\frac{5}{22}<\frac{23}{\square}<\frac{4}{17}$ 中填入自然数 $\square$，共有多少种填法？其中使 $\frac{23}{\square}$ 最大的是哪一个分数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（通分子）：公倍数取 $460$，得 $1955<20\square<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（解范围）：$1955\div 20=\underline{\quad}$，$2024\div 20=\underline{\quad}$，所以 $\square=98,99,100,101$，共 $101-98+1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（找最大分数）：分子相同，分母越小分数越大，所以取最小的 $\square=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac{23}{98}$ 确实大于 $\frac{5}{22}$，因为 $5\times 98=\underline{\quad}<23\times 22=\underline{\quad}$。
15. 【原题 ch09-tuozhan-07】$1.65$，$1.65+\frac{1}{30}$，$1.65+\frac{2}{30}$，$1.65+\frac{3}{30}$，$\cdots$，$1.65+\frac{29}{30}$，这 30 个数的整数部分之和是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「一列数的整数部分求和」类：这 30 个数从 $1.65$ 起每次增加 $\frac{1}{30}$，整数部分只会是 $1$ 或 $2$，关键是找出从第几个数开始跨过 $2$。
关键切入点：距离 $2$ 还差 $2-1.65=0.35$，而每步只增加 $\frac{1}{30}$，$0.35\times 30=10.5$ 说明加满 $10$ 步还不到 $2$，加 $11$ 步就超过 $2$。于是前 $11$ 个数（加 $0\sim 10$ 步）整数部分是 $1$，后 $19$ 个是 $2$。
方法概述：找跨越整数的临界步数，再分类相加。
规范步骤：
  1. 算到 2 的差：$2-1.65=0.35$（作差）
  2. 换算成步数：$0.35\times 30=10.5$，即需要 $10.5$ 步才能到 $2$（每步 $\frac{1}{30}$）
  3. 分类：加 $0\sim 10$ 步的 $10-0+1=11$ 个数整数部分为 $1$；其余 $30-11=19$ 个为 $2$（分类）
  4. 检查最大数：$1.65+\frac{29}{30}<3$，故后一类整数部分确实都是 $2$（上界检查）
  5. 求和：$1\times 11+2\times 19=49$（分类求和）
第一套
题目：$1.44$，$1.44+\frac{1}{40}$，$1.44+\frac{2}{40}$，$\cdots$，$1.44+\frac{39}{40}$，这 40 个数的整数部分之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算到 2 的差）：$2-1.44=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（换算步数）：每步增加 $\frac{1}{40}$，需要 $0.56\times 40=\underline{\quad}$ 步才能到 $2$。
  3. 第 3 步（分类）：加 $0\sim 22$ 步的数都还不到 $2$，共 $22-0+1=\underline{\quad}$ 个，整数部分是 $1$；其余 $40-23=\underline{\quad}$ 个整数部分是 $2$（最大的 $1.44+\frac{39}{40}=2.415<3$）。
  4. 第 4 步（分类求和）：$1\times 23+2\times 17=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某商店 30 天的日销量（吨）依次是 $1.65$，$1.65+\frac{1}{30}$，$1.65+\frac{2}{30}$，$\cdots$，$1.65+\frac{29}{30}$。若每天只按整吨记账（不足 1 吨的零头舍去），30 天共记账多少吨？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算到 2 的差）：$2-1.65=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（换算步数）：每天增加 $\frac{1}{30}$，$0.35\times 30=\underline{\quad}$ 步才到 $2$。
  3. 第 3 步（分类）：前 $10-0+1=\underline{\quad}$ 天记 $1$ 吨，其余 $30-11=\underline{\quad}$ 天记 $2$ 吨。
  4. 第 4 步（求和）：$1\times 11+2\times 19=\underline{\quad}$ 吨。
第三套
题目：$2.7$，$2.7+\frac{1}{25}$，$2.7+\frac{2}{25}$，$\cdots$，$2.7+\frac{24}{25}$，这 25 个数的整数部分之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算到 3 的差）：$3-2.7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（换算步数）：$0.3\times 25=\underline{\quad}$ 步才到 $3$。
  3. 第 3 步（分类）：加 $0\sim 7$ 步共 $7-0+1=\underline{\quad}$ 个数整数部分是 $2$；其余 $25-8=\underline{\quad}$ 个是 $3$。
  4. 第 4 步（求和）：$2\times 8+3\times 17=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$1.65$，$1.65+\frac{1}{30}$，$1.65+\frac{2}{30}$，$\cdots$，$1.65+\frac{59}{30}$，这 60 个数的整数部分之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次跨越）：$2-1.65=\underline{\quad}$，$0.35\times 30=\underline{\quad}$，所以加 $0\sim 10$ 步共 $10-0+1=\underline{\quad}$ 个数整数部分是 $1$。
  2. 第 2 步（第二次跨越）：$3-1.65=\underline{\quad}$，$1.35\times 30=\underline{\quad}$，所以加 $11\sim 40$ 步的数整数部分是 $2$，共 $40-11+1=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（最后一段）：剩下加 $41\sim 59$ 步的 $59-41+1=\underline{\quad}$ 个数整数部分是 $3$（最大的是 $1.65+\frac{59}{30}<4$）。
  4. 第 4 步（分类求和）：$1\times 11+2\times 30+3\times 19=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch09-tuozhan-08】算式 $\dfrac{1}{\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\cdots+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}}$ 计算结果的整数部分是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「繁分数求整数部分」类：分母是一串分数之和，算不出精确值，但可以用“最大项 $\times$ 项数”和“最小项 $\times$ 项数”把它夹住，再取倒数。
关键切入点：分母是 $10$ 个分数之和，最小项 $\frac{1}{20}$、最大项 $\frac{1}{11}$，于是分母在 $\frac{10}{20}=0.5$ 与 $\frac{10}{11}$ 之间。取倒数时大小方向要反过来：原式在 $\frac{11}{10}=1.1$ 与 $2$ 之间，整数部分是 $1$。
方法概述：最大最小项放缩夹住分母，再取倒数反向。
规范步骤：
  1. 数项数：$11\sim 20$ 共 $20-11+1=10$ 项（计数）
  2. 放缩分母：$\frac{1}{20}\times 10=\frac{1}{2}<\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{20}<\frac{1}{11}\times 10=\frac{10}{11}$（最小、最大项放缩）
  3. 取倒数（方向反转）：$\frac{11}{10}<原式<2$（倒数反序）
  4. 取整数部分：$1.1<原式<2$，整数部分是 $1$（夹逼）
第一套
题目：算式 $\dfrac{1}{\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\cdots+\frac{1}{39}+\frac{1}{40}}$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数项数）：分母共有 $40-21+1=\underline{\quad}$ 项。
  2. 第 2 步（下界）：每项都不小于最小的 $\frac{1}{40}$，所以分母 $>\frac{1}{40}\times 20=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（上界）：每项都不大于最大的 $\frac{1}{21}$，所以分母 $<\frac{1}{21}\times 20=\dfrac{20}{21}$，约为 $\underline{\quad}$（保留三位小数）。
  4. 第 4 步（取倒数）：分母在 $0.5$ 与 $\frac{20}{21}$ 之间，原式就在 $\frac{21}{20}=\underline{\quad}$ 与 $\dfrac{1}{0.5}=\underline{\quad}$ 之间。
  5. 第 5 步（取整）：$1.05<原式<2$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：有 10 台机器，第 $k$ 台单独完成工程需要 $k$ 天（$k=11,12,\cdots,20$）。10 台一起干，完成整个工程所需天数的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列式）：合作天数 $=\dfrac{1}{\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{20}}$，分母共 $20-11+1=\underline{\quad}$ 项。
  2. 第 2 步（放缩）：分母 $>\frac{1}{20}\times 10=\underline{\quad}$，$<\frac{1}{11}\times 10=\frac{10}{11}$。
  3. 第 3 步（取倒数）：合作天数在 $\frac{11}{10}=\underline{\quad}$ 与 $\dfrac{1}{0.5}=\underline{\quad}$ 之间。
  4. 第 4 步（取整）：整数部分是 $\underline{\quad}$ 天。
第三套
题目：算式 $\dfrac{1}{\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}}$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数项数）：分母共 $15-11+1=\underline{\quad}$ 项。
  2. 第 2 步（放缩）：分母 $>\frac{1}{15}\times 5=\dfrac{1}{3}$，$<\frac{1}{11}\times 5=\dfrac{5}{11}$。
  3. 第 3 步（取倒数）：原式在 $\dfrac{11}{5}=\underline{\quad}$ 与 $3$ 之间（$\dfrac{1}{1/3}=\underline{\quad}$）。
  4. 第 4 步（取整）：$2.2<原式<3$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $\dfrac{1}{\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{20}}$ 的整数部分是多少？它是否大于 $1.3$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（粗放缩定整数部分）：分母在 $\frac{10}{20}=\underline{\quad}$ 与 $\frac{10}{11}$ 之间，故原式在 $\frac{11}{10}=\underline{\quad}$ 与 $2$ 之间，整数部分是 $1$。
  2. 第 2 步（要判断是否大于 $1.3$，须把分母压得更紧）：分成两段，前 5 项 $\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{15}<\frac{5}{11}$，后 5 项 $\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{20}<\frac{5}{16}$。
  3. 第 3 步（合并上界）：$\frac{5}{11}+\frac{5}{16}=\dfrac{5\times 16+5\times 11}{11\times 16}=\dfrac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}$。
  4. 第 4 步（取倒数比较）：分母 $<\frac{135}{176}$，所以原式 $>\dfrac{176}{135}=\underline{\quad}$（保留三位小数），确实大于 $1.3$。
17. 【原题 ch09-tuozhan-09】求下述算式计算结果的整数部分：$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)\times 385$。
详细思路
是哪类问题：这是「分配律展开后取整数部分」类：$385=5\times 7\times 11$，乘进括号后有几项是整数，剩下几项是带分数，把整数部分与真分数部分分开处理。
关键切入点：$385\div 5=77$、$385\div 7=55$、$385\div 11=35$ 都是整数；$385\div 2=192\cdots 1$、$385\div 3=128\cdots 1$、$385\div 13=29\cdots 8$ 各留一个真分数。整数部分先加起来是 $516$，真分数部分 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{8}{13}$ 在 $1$ 与 $2$ 之间，故整数部分是 $516+1=517$。
方法概述：分配律展开 → 整数部分求和 → 真分数部分夹逼。
规范步骤：
  1. 分配律展开：$\frac{385}{2}+\frac{385}{3}+\frac{385}{5}+\frac{385}{7}+\frac{385}{11}+\frac{385}{13}$（乘法分配律）
  2. 带余除法：$192\frac{1}{2}+128\frac{1}{3}+77+55+35+29\frac{8}{13}$（带余除法）
  3. 整数部分求和：$192+128+77+55+35+29=516$（加法）
  4. 真分数部分通分：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{8}{13}=\frac{39+26+48}{78}=\frac{113}{78}$（通分）
  5. 夹逼：$78<113<156$，故 $1<\frac{113}{78}<2$（判断整数部分）
  6. 求和：$516+1=517$（合并）
第一套
题目：求算式 $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)\times 1155$ 计算结果的整数部分。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解乘数）：$1155=3\times 5\times 7\times 11$，所以除以 $3,5,7,11$ 都整除：$1155\div 3=\underline{\quad}$，$1155\div 5=\underline{\quad}$，$1155\div 7=\underline{\quad}$，$1155\div 11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（带余除法）：$1155\div 2=577\cdots 1$，$1155\div 13=88\cdots 11$，即 $577\frac{1}{2}$ 与 $88\frac{11}{13}$。
  3. 第 3 步（整数部分求和）：$577+385+231+165+105+88=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（真分数部分）：$\frac{1}{2}+\frac{11}{13}=\dfrac{13+22}{26}=\dfrac{\underline{\quad}}{26}$，因为 $26<35<52$，它在 $1$ 与 $2$ 之间。
  5. 第 5 步（合并）：整数部分是 $1551+1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某工程队有 6 个小组，工作效率分别是全队的 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{11},\frac{1}{13}$（单位：件/时）的 $385$ 倍。6 个小组 1 小时完成的总件数的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分配律展开）：总件数 $=\frac{385}{2}+\frac{385}{3}+\frac{385}{5}+\frac{385}{7}+\frac{385}{11}+\frac{385}{13}$，其中 $385\div 5=\underline{\quad}$，$385\div 7=\underline{\quad}$，$385\div 11=\underline{\quad}$ 都是整数。
  2. 第 2 步（带余除法）：$385\div 2=192\cdots 1$，$385\div 3=128\cdots 1$，$385\div 13=29\cdots 8$。
  3. 第 3 步（整数部分求和）：$192+128+77+55+35+29=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（真分数部分）：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{8}{13}=\dfrac{39+26+48}{78}=\dfrac{\underline{\quad}}{78}$，在 $1$ 与 $2$ 之间。
  5. 第 5 步（合并）：$516+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：求算式 $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\right)\times 63$ 计算结果的整数部分。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分配律展开）：$\frac{63}{2}+\frac{63}{3}+\frac{63}{7}+\frac{63}{9}$，其中 $63\div 3=\underline{\quad}$，$63\div 7=\underline{\quad}$，$63\div 9=\underline{\quad}$ 都是整数。
  2. 第 2 步（带余除法）：$63\div 2=31\cdots 1$，即 $31\frac{1}{2}$。
  3. 第 3 步（整数部分求和）：$31+21+9+7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（真分数部分）：只剩 $\frac{1}{2}$，它小于 $1$，所以整数部分就是 $68+0=\underline{\quad}$。
第三套
题目：求 $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)\times 385$ 的整数部分，并判断结果是否超过 $517.5$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（展开取整）：整数部分之和 $192+128+77+55+35+29=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（真分数部分）：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{8}{13}=\dfrac{\underline{\quad}}{78}$，由 $78<113<156$ 知它在 $1$ 与 $2$ 之间，故整数部分为 $516+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算小数部分）：真分数部分减去 $1$ 得 $\dfrac{113-78}{78}=\dfrac{\underline{\quad}}{78}$。
  4. 第 4 步（与 $\frac{1}{2}$ 比较）：$35\times 2=\underline{\quad}<78$，所以 $\frac{35}{78}<\frac{1}{2}$，结果没有超过 $517.5$。
18. 【原题 ch09-tuozhan-10】算式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}$ 计算结果的整数部分是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「调和和求整数部分」类：项数多、每项不同，只能分组放缩——把项按 $2$ 的幂分组，每组用“项数 $\times$ 最大项”得上界、“项数 $\times$ 最小项”得下界。
关键切入点：分成 $1$、$\frac{1}{2}$、$(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$、$(\frac{1}{5}\sim\frac{1}{8})$、$(\frac{1}{9}\sim\frac{1}{16})$ 五块。每块用最小项估下界都恰好得 $\frac{1}{2}$，合起来正好是 $3$（严格大于）；用最大项估上界得 $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{8}{9}<4$。所以整数部分是 $3$。
方法概述：按 2 的幂分组，双向放缩夹逼。
规范步骤：
  1. 分组：$1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}\right)$（按 2 的幂分组）
  2. 下界（每组用最小项）：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，故和 $>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=3$（最小项放缩）
  3. 上界（每组用最大项）：$\frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{8}{9}$，故和 $<1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{8}{9}\approx 3.856<4$（最大项放缩）
  4. 夹逼取整：$3<和<4$，整数部分是 $3$（夹逼）
第一套
题目：算式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（下界）：只看前 16 项就够了。$1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}\right)>1+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{8}{16}=\underline{\quad}$，再加上剩下 4 个正数，和仍大于 $3$。
  2. 第 2 步（上界·先算准前 4 项）：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\underline{\quad}$（保留四位小数 $2.0833$）。
  3. 第 3 步（上界·细分成小组）：$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}<\frac{2}{5}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{7}+\frac{1}{8}<\frac{2}{7}\approx 0.2857$，$\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{12}<\frac{4}{9}\approx 0.4444$，$\frac{1}{13}+\cdots+\frac{1}{16}<\frac{4}{13}\approx 0.3077$，$\frac{1}{17}+\cdots+\frac{1}{20}<\frac{4}{17}\approx\underline{\quad}$（保留四位小数）。
  4. 第 4 步（合上界）：$2.0833+0.4+0.2857+0.4444+0.3077+0.2353=\underline{\quad}$，小于 $4$。
  5. 第 5 步（夹逼取整）：$3<和<4$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：16 台水泵，第 $k$ 台每小时能注满水池的 $\frac{1}{k}$（$k=1,2,\cdots,16$）。若 16 台同时开 1 小时，注水量相当于几池水的整数部分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列式分组）：注水量 $=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}\right)$。
  2. 第 2 步（下界）：每组用最小项，$\frac{2}{4}=\underline{\quad}$，$\frac{4}{8}=\underline{\quad}$，$\frac{8}{16}=\underline{\quad}$，所以和 $>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（上界）：每组用最大项，和 $<1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{8}{9}=\underline{\quad}$（约 $3.856$），小于 $4$。
  4. 第 4 步（取整）：整数部分是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分组）：$1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)$。
  2. 第 2 步（下界）：每组用最小项，$\frac{2}{4}+\frac{4}{8}=\underline{\quad}$，故和 $>1+\frac{1}{2}+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（上界）：每组用最大项，和 $<1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\underline{\quad}$，小于 $3$。
  4. 第 4 步（夹逼取整）：$2.5<和<3$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{16}$ 的整数部分是多少？这个和是否小于 $3.5$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定整数部分）：下界 $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{8}{16}=\underline{\quad}$，上界 $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{8}{9}\approx 3.856<4$，整数部分是 $3$。
  2. 第 2 步（要判断是否小于 3.5，须把上界压紧）：前 8 项直接精确相加，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{8}=\underline{\quad}$（约 $2.7179$）。
  3. 第 3 步（后 8 项细分两组）：$\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{12}<\frac{4}{9}$，$\frac{1}{13}+\cdots+\frac{1}{16}<\frac{4}{13}$。
  4. 第 4 步（合并上界）：和 $<\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\frac{4}{9}+\frac{4}{13}=\underline{\quad}$（约 $3.470$），小于 $3.5$。
19. 【原题 ch09-tuozhan-11】（1）算式 $33.333\times 33.333$ 计算结果的整数部分是多少？（2）算式 $333.33\times 333.33$ 计算结果的整数部分是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「特殊数字乘法」类：$33.333$、$333.33$ 都是由 $33333$ 移动小数点得到的，只要算一次 $33333\times 33333$，两问都能读出答案。
关键切入点：$33333=\frac{99999}{3}=\frac{100000-1}{3}$，于是 $33333^2=\frac{(100000-1)^2}{9}=\frac{9999800001}{9}=1111088889$。$33.333=\frac{33333}{1000}$，平方就是把结果的小数点左移 6 位；$333.33=\frac{33333}{100}$，平方是左移 4 位。
方法概述：化成 $\frac{10^n-1}{3}$ 求平方，再移小数点。
规范步骤：
  1. 改写：$33333=\frac{100000-1}{3}$（凑整技巧）
  2. 平方：$33333^2=\frac{100000^2-2\times 100000+1}{9}=\frac{9999800001}{9}=1111088889$（平方公式）
  3. 第 (1) 问：$33.333\times 33.333=1111.088889$，整数部分 $1111$（小数点左移 6 位）
  4. 第 (2) 问：$333.33\times 333.33=111108.8889$，整数部分 $111108$（小数点左移 4 位）
第一套
题目：（1）算式 $333.333\times 333.333$ 计算结果的整数部分是多少？（2）算式 $3333.33\times 3333.33$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（改写）：$333333=\dfrac{1000000-1}{3}$，因为 $999999\div 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（平方）：$333333\times 333333=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：$333.333=\dfrac{333333}{1000}$，平方后小数点左移 6 位，得 $111110.888889$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：$3333.33=\dfrac{333333}{100}$，平方后小数点左移 4 位，得 $11111088.8889$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块正方形草坪的边长是 $33.333$ 米，另一块正方形草坪的边长是 $333.33$ 米。分别求两块草坪面积的整数部分（平方米）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（改写）：$33333=\dfrac{100000-1}{3}$，因为 $99999\div 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（平方）：$33333\times 33333=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第一块）：$33.333^2=1111.088889$，整数部分是 $\underline{\quad}$ 平方米。
  4. 第 4 步（第二块）：$333.33^2=111108.8889$，整数部分是 $\underline{\quad}$ 平方米。
第三套
题目：（1）算式 $66.666\times 66.666$ 计算结果的整数部分是多少？（2）算式 $666.66\times 666.66$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（关联已知）：$66666=2\times 33333$，所以 $66666^2=4\times 33333^2=4\times 1111088889=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：$66.666=\dfrac{66666}{1000}$，平方后小数点左移 6 位，得 $4444.355556$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：$666.66=\dfrac{66666}{100}$，平方后小数点左移 4 位，得 $444435.5556$，整数部分是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $33.333\times 33.333+33.333\times 66.667$ 计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（提取公因数）：两项都含 $33.333$，用乘法分配律逆用，原式 $=33.333\times(33.333+66.667)$。
  2. 第 2 步（括号凑整）：$33.333+66.667=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相乘）：$33.333\times 100=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取整数部分）：$3333.3$ 的整数部分是 $\underline{\quad}$。
20. 【原题 ch09-tuozhan-12】将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是 7 和 9。这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能的取值？
详细思路
是哪类问题：这是「区间乘法 + 整数计数」类：两个数各自只知道四舍五入后的值，先各自写出取值区间，再相乘得到乘积区间，最后数区间里能出现几个整数部分。
关键切入点：$a$ 四舍五入到个位是 $7$，故 $6.5\leqslant a<7.5$；同理 $8.5\leqslant b<9.5$。两个正数区间相乘，最小值 $6.5\times 8.5=55.25$、最大值（取不到）$7.5\times 9.5=71.25$。乘积能取遍 $[55.25,71.25)$，整数部分从 $55$ 到 $71$。
方法概述：各自定区间 → 相乘定乘积区间 → 数整数部分个数。
规范步骤：
  1. 写出两个区间：$6.5\leqslant a<7.5$，$8.5\leqslant b<9.5$（四舍五入到个位）
  2. 乘积下界：$6.5\times 8.5=55.25$（正数区间相乘）
  3. 乘积上界：$7.5\times 9.5=71.25$（取不到）（正数区间相乘）
  4. 数整数部分：整数部分可为 $55,56,\cdots,71$，共 $71-55+1=17$ 种（整数计数）
第一套
题目：将两个小数四舍五入到个位后，所得数值分别是 12 和 15。这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能的取值？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写区间）：$11.5\leqslant a<\underline{\quad}$，$14.5\leqslant b<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乘积下界）：$11.5\times 14.5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（乘积上界）：$12.5\times 15.5=\underline{\quad}$（取不到）。
  4. 第 4 步（数个数）：整数部分可取 $166\sim 193$，共 $193-166+1=\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：一块长方形木板的长与宽（米）四舍五入到个位后分别是 9 和 7。这块木板面积（平方米）的整数部分共有多少种可能？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写区间）：宽 $6.5\leqslant a<\underline{\quad}$，长 $8.5\leqslant b<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（面积下界）：$6.5\times 8.5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（面积上界）：$7.5\times 9.5=\underline{\quad}$（取不到）。
  4. 第 4 步（数个数）：整数部分从 $55$ 到 $71$，共 $71-55+1=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：将两个小数四舍五入到个位后分别是 4 和 6。这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能的取值？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写区间）：$3.5\leqslant a<\underline{\quad}$，$5.5\leqslant b<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乘积区间）：$3.5\times 5.5=\underline{\quad}$，$4.5\times 6.5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（数个数）：整数部分从 $19$ 到 $29$，共 $29-19+1=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：将三个小数四舍五入到个位后，所得数值分别是 3、5、7。这三个小数乘积的整数部分共有多少种可能的取值？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写区间）：$2.5\leqslant a<3.5$，$4.5\leqslant b<5.5$，$6.5\leqslant c<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乘积下界）：$2.5\times 4.5\times 6.5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（乘积上界）：$3.5\times 5.5\times 7.5=\underline{\quad}$（取不到）。
  4. 第 4 步（数个数）：整数部分从 $73$ 到 $144$，共 $144-73+1=\underline{\quad}$ 种。
21. 【原题 ch09-tuozhan-13】有一道题目要求 17 个自然数的平均数，结果保留两位小数。冬冬的计算结果是 11.28，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数位上的数都正确，请问：正确答案是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「近似值部分数字出错」类：只有百分位错、其余数位对，说明准确平均数四舍五入后一定形如 $11.2\square$，由此得到准确值的区间，再用“总和是整数”筛出可能值。
关键切入点：由 $11.2\square$ 可知 $11.195\leqslant a<11.295$。总和 $17a$ 落在 $[190.315,192.015)$，其中整数只有 $191$ 与 $192$。分别除以 $17$ 得两个可能的平均数，再各自保留两位小数。
方法概述：近似值定区间 → 乘个数得整数总和 → 逐一还原平均数。
规范步骤：
  1. 定平均数区间：$11.195\leqslant a<11.295$（百分位未知、其余数位正确）
  2. 乘 17 得总和区间：$11.195\times 17=190.315\leqslant 17a<11.295\times 17=192.015$（不等式同乘）
  3. 取整数总和：总和只能是 $191$ 或 $192$（自然数之和是整数）
  4. 还原平均数：$191\div 17=11.2353\cdots\approx 11.24$；$192\div 17=11.2941\cdots\approx 11.29$（除法 + 四舍五入）
  5. 写出答案：$11.24$ 或 $11.29$
第一套
题目：有一道题目要求 23 个自然数的平均数，结果保留两位小数。冬冬算得 14.36，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数位都对。请问：正确答案可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定区间）：正确的平均数 $a$ 四舍五入后形如 $14.3\square$，所以 $14.295\leqslant a<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乘个数）：总和 $23a$ 满足 $14.295\times 23=\underline{\quad}\leqslant 23a<14.395\times 23=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取整数）：区间内的整数是 $329$、$330$、$331$，共 $331-329+1=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（还原平均数）：$329\div 23=14.3043\cdots\approx 14.30$；$330\div 23=14.3478\cdots\approx\underline{\quad}$；$331\div 23=14.3913\cdots\approx 14.39$。
第二套
题目：统计 17 户人家的用电度数（都是自然数）的平均值，结果保留两位小数。小明算得 11.28，检查员说百分位上的数字错了、其他数位都对。正确的平均值是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定区间）：正确平均值 $a$ 满足 $11.195\leqslant a<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乘户数）：总度数 $17a$ 满足 $11.195\times 17=\underline{\quad}\leqslant 17a<11.295\times 17=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取整数）：总度数只能是 $191$ 或 $192$，共 $192-191+1=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（还原）：$191\div 17\approx 11.24$，$192\div 17\approx\underline{\quad}$。
第三套
题目：求 19 个自然数的平均数并保留两位小数，冬冬算得 9.47，老师说百分位错了、其他数位都对。正确答案是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定区间）：$9.395\leqslant a<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乘个数）：$9.395\times 19=\underline{\quad}\leqslant 19a<9.495\times 19=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取整数）：总和只能是 $179$ 或 $180$。
  4. 第 4 步（还原并排除）：$179\div 19=9.4210\cdots\approx\underline{\quad}$；$180\div 19=9.4736\cdots\approx 9.47$，但 $9.47$ 正是冬冬算错的那个数（百分位必须不同），要排除。
  5. 第 5 步（写答案）：正确答案是 $9.42$。
第三套
题目：17 个自然数的平均数保留两位小数后冬冬算得 11.28，老师说百分位错了、其余数位正确。求正确答案，并把每种可能的平均数保留三位小数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定区间）：$11.195\leqslant a<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乘个数取整）：$11.195\times 17=\underline{\quad}\leqslant 17a<11.295\times 17=\underline{\quad}$，总和只能是 $191$ 或 $192$。
  3. 第 3 步（保留两位）：$191\div 17\approx\underline{\quad}$，$192\div 17\approx 11.29$。
  4. 第 4 步（保留三位）：$191\div 17=11.23529\cdots\approx\underline{\quad}$；$192\div 17=11.29411\cdots\approx\underline{\quad}$。
22. 【原题 ch09-tuozhan-14】有一个算式 $\frac{1}{\square}+\frac{1}{\square}+\frac{1}{\square}\approx 0.658$，算式左边的方框各代表一个一位数，右边的结果为四舍五入到千分位后的近似值。方框中填入的三个数字分别为多少？
详细思路
是哪类问题：这是「单位分数和的枚举」类：三个方框都是一位数，直接试要试很多次，先用放缩把最小的那个数卡死在很小的范围内，再逐层试。
关键切入点：设 $a\leqslant b\leqslant c$。若 $a\leqslant 2$，则和至少是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=0.\dot{7}\dot{2}>0.658$，太大；若 $a\geqslant 5$，则和至多是 $\frac{1}{5}\times 3=0.6<0.658$，太小。故 $a$ 只能是 $3$ 或 $4$，再逐一试出 $a=3,b=5,c=8$。
方法概述：先放缩定最小数的范围，再逐层枚举。
规范步骤：
  1. 排除 $a\leqslant 2$：$\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=0.\dot{7}\dot{2}>0.658$（取最小可能的和仍超标）
  2. 排除 $a\geqslant 5$：$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=0.6<0.658$（取最大可能的和仍不够）
  3. 试 $a=4$：$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\approx 0.408$，$b=4$ 时 $\frac{1}{c}\approx 0.158$ 无解；$b\geqslant 5$ 时至多 $0.4<0.408$，矛盾（分类讨论）
  4. 试 $a=3$：$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\approx 0.325$，试得 $b=5$，$c=8$（枚举）
  5. 验算：$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=0.6583\cdots\approx 0.658$（回代验证）
第一套
题目：算式 $\frac{1}{\square}+\frac{1}{\square}+\frac{1}{\square}\approx 0.569$，方框中各填一个一位数，右边是四舍五入到千分位的近似值。三个方框中的数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（卡住最小数 $a$ 的下限）：若 $a\leqslant 2$，和至少是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\underline{\quad}$（约 $0.722$），已超过 $0.569$，所以 $a\geqslant 3$。
  2. 第 2 步（卡住最小数 $a$ 的上限）：若 $a\geqslant 6$，和至多是 $\frac{1}{6}\times 3=\underline{\quad}$，小于 $0.569$，所以 $a\leqslant 5$；作为对照，$\frac{1}{4}\times 3=\underline{\quad}$ 还远大于 $0.569$，说明 $a$ 小了不行、大了也不行。
  3. 第 3 步（逐层试）：取 $a=3$，则 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\approx 0.569-0.333=\underline{\quad}$（约 $0.236$）；试 $b=8,c=9$ 得 $\frac{1}{8}+\frac{1}{9}=\underline{\quad}$（约 $0.2361$），正好。
  4. 第 4 步（验算）：$\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}=\underline{\quad}$，四舍五入到千分位正是 $0.569$。
第二套
题目：三条水管同时注水，第一条每小时注满水池的 $\frac{1}{\square}$，第二、三条同理，三条合起来每小时约注满水池的 $0.658$（四舍五入到千分位）。三个方框都是一位数，分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（排除太小的分母）：若最小的分母 $\leqslant 2$，三管之和至少是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\underline{\quad}$，超过 $0.658$。
  2. 第 2 步（排除太大的分母）：若最小的分母 $\geqslant 5$，三管之和至多是 $\frac{1}{5}\times 3=\underline{\quad}$，不足 $0.658$。
  3. 第 3 步（逐层试）：故最小分母是 $3$ 或 $4$；试 $a=3$ 时 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\approx 0.658-0.333=\underline{\quad}$，试得 $b=5$、$c=8$：$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\underline{\quad}$，约等于 $0.658$。
第三套
题目：算式 $\frac{1}{\square}+\frac{1}{\square}+\frac{1}{\square}\approx 0.754$，方框中各填一个一位数，右边是四舍五入到千分位的近似值。三个方框中的数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定最小数）：若最小分母 $a\geqslant 3$，和至多 $\frac{1}{3}\times 3=\underline{\quad}$，仍大于 $0.754$，需继续判断；但若 $a\geqslant 4$，和至多 $\frac{1}{4}\times 3=\underline{\quad}$，小于 $0.754$，故 $a\leqslant 3$。
  2. 第 2 步（排除 $a=1$）：$a=1$ 时和已超过 $1$，故 $a=2$ 或 $3$。
  3. 第 3 步（试 $a=2$）：$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\approx 0.754-0.5=\underline{\quad}$；试 $b=7$、$c=9$ 得 $\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\underline{\quad}$（约 $0.254$），正好。
  4. 第 4 步（验算）：$\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\underline{\quad}$，四舍五入到千分位是 $0.754$。
第三套
题目：算式 $\frac{1}{\square}+\frac{1}{\square}+\frac{1}{\square}\approx 0.658$（四舍五入到千分位），方框各填一个一位数。求这三个数，并求它们的和与最小公倍数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定范围）：最小分母 $a$ 满足：$a\leqslant 2$ 时和至少 $\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\underline{\quad}$ 太大，$a\geqslant 5$ 时和至多 $\frac{1}{5}\times 3=\underline{\quad}$ 太小，故 $a=3$ 或 $4$。
  2. 第 2 步（试出解）：$a=3$ 时 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\approx 0.325$，试得 $b=5,c=8$，验算 $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求和）：$3+5+8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最小公倍数）：$3,5,8$ 两两互质，最小公倍数是 $3\times 5\times 8=\underline{\quad}$。
23. 【原题 ch09-xingqu-01】分别比较下面每组中两个数的大小：（1）$0.375$ 与 $\frac{7}{19}$；（2）$0.4\dot{2}\dot{3}$ 与 $\frac{3}{7}$；（3）$1.34\dot{7}$ 与 $\frac{31}{23}$。
详细思路
是哪类问题：这是「小数与分数比大小」类：一边是小数（含循环小数），一边是分数，不能直接看，必须先化成同一种形式再比。
关键切入点：把循环小数化成分数后，比较 $\frac{a}{b}$ 与 $\frac{c}{d}$ 只要交叉相乘比 $a\times d$ 与 $c\times b$ 即可（分母为正）；纯小数与分数比较时，直接把小数乘上分母，与分子比大小最省事。
方法概述：循环小数先化分数，再交叉相乘比大小。
规范步骤：
  1. 第 (1) 组：小数乘分母与分子比：$0.375\times 19=7.125>7$，故 $0.375>\frac{7}{19}$（同分母下比分子）
  2. 第 (2) 组：混循环小数化分数：$0.4\dot{2}\dot{3}=\frac{423-4}{990}=\frac{419}{990}$（混循环小数化分数法则）
  3. 第 (2) 组交叉相乘：$419\times 7=2933<3\times 990=2970$，故 $0.4\dot{2}\dot{3}<\frac{3}{7}$（交叉相乘比大小）
  4. 第 (3) 组化分数并交叉相乘：$1.34\dot{7}=\frac{1347-134}{900}=\frac{1213}{900}$，$1213\times 23=27899<31\times 900=27900$（交叉相乘比大小）
  5. 写出答案：$0.375>\frac{7}{19}$；$0.4\dot{2}\dot{3}<\frac{3}{7}$；$1.34\dot{7}<\frac{31}{23}$
第一套
题目：分别比较下面每组中两个数的大小：（1）$0.4375$ 与 $\frac{9}{23}$；（2）$0.5\dot{1}\dot{6}$ 与 $\frac{4}{7}$；（3）$1.23\dot{6}$ 与 $\frac{37}{30}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小数与分数比）：把小数乘上分母再与分子比，$0.4375\times 23=\underline{\quad}$，它比分子 $9$ 大，所以 $0.4375>\frac{9}{23}$。
  2. 第 2 步（混循环化分数）：循环节 $16$ 前有 1 位不循环，$0.5\dot{1}\dot{6}=\dfrac{516-5}{990}=\dfrac{\underline{\quad}}{990}$。
  3. 第 3 步（交叉相乘）：$511\times 7=\underline{\quad}$，$4\times 990=\underline{\quad}$，前者小，所以 $0.5\dot{1}\dot{6}<\frac{4}{7}$。
  4. 第 4 步：$1.23\dot{6}=\dfrac{1236-123}{900}=\dfrac{\underline{\quad}}{900}$，交叉相乘 $1113\times 30=\underline{\quad}$，$37\times 900=\underline{\quad}$，前者大，所以 $1.23\dot{6}>\frac{37}{30}$。
第二套
题目：三组同学测量同一根绳子被分掉的份额：第 (1) 组记为 $0.375$，另一份记为 $\frac{7}{19}$；第 (2) 组记为 $0.4\dot{2}\dot{3}$ 与 $\frac{3}{7}$；第 (3) 组记为 $1.34\dot{7}$ 与 $\frac{31}{23}$。分别判断每组中哪一个更大。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第 (1) 组把小数乘分母，$0.375\times 19=\underline{\quad}$，比分子 $7$ 大，所以 $0.375$ 更大。
  2. 第 2 步：第 (2) 组先化分数，$0.4\dot{2}\dot{3}=\dfrac{423-4}{990}=\dfrac{\underline{\quad}}{990}$。
  3. 第 3 步：交叉相乘 $419\times 7=\underline{\quad}$，$3\times 990=\underline{\quad}$，所以 $\frac{3}{7}$ 更大。
  4. 第 4 步：第 (3) 组 $1.34\dot{7}=\dfrac{1347-134}{900}=\dfrac{\underline{\quad}}{900}$，$1213\times 23=\underline{\quad}$，$31\times 900=\underline{\quad}$，所以 $\frac{31}{23}$ 更大。
第三套
题目：比较 $0.\dot{2}\dot{7}$ 与 $\frac{5}{18}$ 的大小。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（纯循环化分数）：循环节 2 位，分母写两个 $9$，$0.\dot{2}\dot{7}=\dfrac{27}{99}$，约分后分子是 $27\div 9=\underline{\quad}$，分母是 $99\div 9=\underline{\quad}$，即 $\frac{3}{11}$。
  2. 第 2 步（交叉相乘）：$3\times 18=\underline{\quad}$，$5\times 11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（下结论）：前者小于后者，所以 $0.\dot{2}\dot{7}<\frac{5}{18}$。
第三套
题目：把 $0.\dot{2}\dot{7}$、$\frac{5}{18}$、$0.28$ 三个数从小到大排列。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$0.\dot{2}\dot{7}=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}$（分子 $27\div 9=\underline{\quad}$，分母 $99\div 9=\underline{\quad}$）。
  2. 第 2 步：比 $\frac{3}{11}$ 与 $\frac{5}{18}$，交叉相乘 $3\times 18=\underline{\quad}$、$5\times 11=\underline{\quad}$，所以 $\frac{3}{11}<\frac{5}{18}$。
  3. 第 3 步：比 $\frac{5}{18}$ 与 $0.28$，把小数乘分母 $0.28\times 18=\underline{\quad}$，它比分子 $5$ 大，所以 $\frac{5}{18}<0.28$。
  4. 第 4 步（串起来排序）：$0.\dot{2}\dot{7}<\frac{5}{18}<0.28$。
24. 【原题 ch09-xingqu-02】有 5 个数：$0.17$，$\frac{1}{6}$，$\frac{4}{23}$，$0.\dot{1}\dot{7}$，$0.1\dot{7}$，请将它们从大到小排列。
详细思路
是哪类问题：这是「多个小数与分数混排」类：把循环小数与分数统一成可比形式后逐对比较，串成一条大小链。
关键切入点：五个数都在 $0.16\sim 0.18$ 之间，差距很小，逐位比小数容易看花眼；稳妥办法是把每个数写成分数，相邻两个用交叉相乘判定，再把结论串成链。$0.\dot{1}\dot{7}=\frac{17}{99}$，$0.1\dot{7}=\frac{17-1}{90}=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}$。
方法概述：全化成分数，相邻交叉相乘，串成大小链。
规范步骤：
  1. 循环小数化分数：$0.\dot{1}\dot{7}=\frac{17}{99}$，$0.1\dot{7}=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}$（循环小数化分数法则）
  2. 比 $\frac{8}{45}$ 与 $\frac{4}{23}$：$8\times 23=184>4\times 45=180$，故 $0.1\dot{7}>\frac{4}{23}$（交叉相乘）
  3. 比 $\frac{4}{23}$ 与 $\frac{17}{99}$：$4\times 99=396>17\times 23=391$，故 $\frac{4}{23}>0.\dot{1}\dot{7}$（交叉相乘）
  4. 比 $\frac{17}{99}$ 与 $0.17$：$0.17\times 99=16.83<17$，故 $0.\dot{1}\dot{7}>0.17$（小数乘分母比分子）
  5. 比 $0.17$ 与 $\frac{1}{6}$：$0.17\times 6=1.02>1$，故 $0.17>\frac{1}{6}$（小数乘分母比分子）
  6. 串成大小链：$0.1\dot{7}>\frac{4}{23}>0.\dot{1}\dot{7}>0.17>\frac{1}{6}$（传递性）
第一套
题目：有 5 个数：$0.23$，$\frac{2}{9}$，$\frac{5}{22}$，$0.\dot{2}\dot{3}$，$0.2\dot{3}$，请把它们从大到小排列。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{2}\dot{3}=\dfrac{23}{99}$；$0.2\dot{3}=\dfrac{23-2}{90}=\dfrac{\underline{\quad}}{90}=\dfrac{7}{30}$。
  2. 第 2 步：比 $\frac{7}{30}$ 与 $\frac{23}{99}$，交叉相乘 $7\times 99=\underline{\quad}$、$23\times 30=\underline{\quad}$，所以 $0.2\dot{3}>0.\dot{2}\dot{3}$。
  3. 第 3 步：比 $\frac{23}{99}$ 与 $0.23$，把小数乘分母 $0.23\times 99=\underline{\quad}$，它比分子 $23$ 小，所以 $0.\dot{2}\dot{3}>0.23$。
  4. 第 4 步：比 $0.23$ 与 $\frac{5}{22}$，$0.23\times 22=\underline{\quad}$，比分子 $5$ 大，所以 $0.23>\frac{5}{22}$。
  5. 第 5 步：比 $\frac{5}{22}$ 与 $\frac{2}{9}$，$5\times 9=\underline{\quad}$、$2\times 22=\underline{\quad}$，所以 $\frac{5}{22}>\frac{2}{9}$。
  6. 第 6 步（串成链）：$0.2\dot{3}>0.\dot{2}\dot{3}>0.23>\frac{5}{22}>\frac{2}{9}$。
第二套
题目：五种溶液的浓度分别是 $0.17$、$\frac{1}{6}$、$\frac{4}{23}$、$0.\dot{1}\dot{7}$、$0.1\dot{7}$。请把它们按浓度从大到小排列。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{1}\dot{7}=\dfrac{17}{99}$；$0.1\dot{7}=\dfrac{17-1}{90}=\dfrac{\underline{\quad}}{90}=\dfrac{8}{45}$。
  2. 第 2 步：$\frac{8}{45}$ 与 $\frac{4}{23}$ 交叉相乘，$8\times 23=\underline{\quad}$、$4\times 45=\underline{\quad}$，故 $0.1\dot{7}$ 最浓。
  3. 第 3 步：$\frac{4}{23}$ 与 $\frac{17}{99}$ 交叉相乘，$4\times 99=\underline{\quad}$、$17\times 23=\underline{\quad}$，故 $\frac{4}{23}>0.\dot{1}\dot{7}$。
  4. 第 4 步：$0.17\times 99=\underline{\quad}$ 小于 $17$，故 $0.\dot{1}\dot{7}>0.17$；$0.17\times 6=\underline{\quad}$ 大于 $1$，故 $0.17>\frac{1}{6}$。
  5. 第 5 步：串成链得到排列。
第三套
题目：把 $0.\dot{3}\dot{5}$，$0.3\dot{5}$，$0.35$，$\frac{5}{14}$ 从大到小排列。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{3}\dot{5}=\dfrac{35}{99}$；$0.3\dot{5}=\dfrac{35-3}{90}=\dfrac{\underline{\quad}}{90}=\dfrac{16}{45}$。
  2. 第 2 步：$\frac{5}{14}$ 与 $\frac{16}{45}$ 交叉相乘，$5\times 45=\underline{\quad}$、$16\times 14=\underline{\quad}$，所以 $\frac{5}{14}>0.3\dot{5}$。
  3. 第 3 步：$\frac{16}{45}$ 与 $\frac{35}{99}$ 交叉相乘，$16\times 99=\underline{\quad}$、$35\times 45=\underline{\quad}$，所以 $0.3\dot{5}>0.\dot{3}\dot{5}$。
  4. 第 4 步：$0.35\times 99=\underline{\quad}$ 小于 $35$，所以 $0.\dot{3}\dot{5}>0.35$。
  5. 第 5 步（串成链）：$\frac{5}{14}>0.3\dot{5}>0.\dot{3}\dot{5}>0.35$。
第三套
题目：把 $0.\dot{3}\dot{5}$，$0.3\dot{5}$，$0.35$，$\frac{5}{14}$ 从大到小排列，并求最大数与最小数的差（结果写成最简分数）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化分数）：$0.3\dot{5}=\dfrac{35-3}{90}=\dfrac{\underline{\quad}}{90}=\dfrac{16}{45}$，$0.\dot{3}\dot{5}=\dfrac{35}{99}$。
  2. 第 2 步（排序）：$5\times 45=\underline{\quad}>16\times 14=\underline{\quad}$，$16\times 99=\underline{\quad}>35\times 45=\underline{\quad}$，$0.35\times 99=\underline{\quad}<35$，故 $\frac{5}{14}>0.3\dot{5}>0.\dot{3}\dot{5}>0.35$。
  3. 第 3 步（作差通分）：最大是 $\frac{5}{14}$，最小是 $0.35=\frac{7}{20}$，公分母取 $140$：$\frac{5}{14}=\dfrac{\underline{\quad}}{140}$，$\frac{7}{20}=\dfrac{\underline{\quad}}{140}$。
  4. 第 4 步（相减）：分子相减 $50-49=\underline{\quad}$，所以差是 $\frac{1}{140}$。
25. 【原题 ch09-xingqu-03】有 8 个数，$0.\dot{5}\dot{1}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{9}$，$0.5\dot{1}$，$\frac{24}{47}$，$\frac{13}{25}$ 是其中的 6 个，如果按从小到大的顺序排列，第 4 个数是 $0.5\dot{1}$，那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数？
详细思路
是哪类问题：这是「排序 + 名次推断」类：给出的数只是全部数的一部分，要靠“某个数在全体中的名次”反推没给出的数落在哪里。
关键切入点：先把给出的 6 个数排好序，看清 $0.5\dot{1}$ 在这 6 个数中排第几；题目说它在 8 个数中排第 4，说明比它小的数一共有 3 个，而给出的只有 1 个，所以没给出的 2 个数都比它小，只能挤在最前面。这样 8 个数中较大的 5 个位置就完全确定了。
方法概述：先排已知数定位，再用名次差推断未知数的位置。
规范步骤：
  1. 循环小数化分数：$0.\dot{5}\dot{1}=\frac{51}{99}=\frac{17}{33}$，$0.5\dot{1}=\frac{51-5}{90}=\frac{23}{45}$（循环小数化分数）
  2. 比 $\frac{24}{47}$ 与 $\frac{23}{45}$：$24\times 45=1080<23\times 47=1081$，故 $\frac{24}{47}<0.5\dot{1}$（交叉相乘）
  3. 比 $\frac{23}{45}$ 与 $\frac{17}{33}$：$23\times 33=759<17\times 45=765$，故 $0.5\dot{1}<0.\dot{5}\dot{1}$（交叉相乘）
  4. 比 $\frac{17}{33}$ 与 $\frac{13}{25}$、$\frac{13}{25}$ 与 $\frac{5}{9}$、$\frac{5}{9}$ 与 $\frac{2}{3}$：$17\times 25=425<13\times 33=429$；$13\times 9=117<5\times 25=125$；$5\times 3=15<2\times 9=18$（交叉相乘）
  5. 已知 6 数从小到大：$\frac{24}{47}<0.5\dot{1}<0.\dot{5}\dot{1}<\frac{13}{25}<\frac{5}{9}<\frac{2}{3}$（串成链）
  6. 推断未知数位置：$0.5\dot{1}$ 在 8 数中排第 $4$，比它小的共 $3$ 个，已知的只有 $1$ 个，故未给出的 $8-6=2$ 个数都比它小（名次推断）
  7. 换成从大到小：从小到大 $0.\dot{5}\dot{1}$ 排第 $5$，从大到小排第 $8+1-5=4$（位置对称）
  8. 写出答案：$0.\dot{5}\dot{1}$
第一套
题目：有 8 个数，$0.\dot{7}\dot{2}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{7}{9}$，$0.7\dot{2}$，$\frac{34}{47}$，$\frac{18}{25}$ 是其中的 6 个。如果按从小到大的顺序排列，第 4 个数是 $0.7\dot{2}$，那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{7}\dot{2}=\dfrac{72}{99}=\dfrac{8}{11}$；$0.7\dot{2}=\dfrac{72-7}{90}=\dfrac{\underline{\quad}}{90}=\dfrac{13}{18}$。
  2. 第 2 步（把已知 6 个数排序）：$18\times 18=\underline{\quad}<13\times 25=\underline{\quad}$，故 $\frac{18}{25}<\frac{13}{18}$；$13\times 47=\underline{\quad}<34\times 18=\underline{\quad}$，故 $\frac{13}{18}<\frac{34}{47}$；$34\times 11=\underline{\quad}<8\times 47=\underline{\quad}$，故 $\frac{34}{47}<\frac{8}{11}$；再由 $8\times 9=\underline{\quad}<7\times 11=\underline{\quad}$ 与 $7\times 6=\underline{\quad}<5\times 9=\underline{\quad}$ 得 $\frac{8}{11}<\frac{7}{9}<\frac{5}{6}$。
  3. 第 3 步（推断未知数）：$0.7\dot{2}$ 在已知 6 数中排第 2，而在 8 数中排第 4，说明没给出的 $8-6=\underline{\quad}$ 个数都比它小。
  4. 第 4 步（换向）：8 个数从小到大为 $\square,\square,\frac{18}{25},0.7\dot{2},\frac{34}{47},\frac{8}{11},\frac{7}{9},\frac{5}{6}$，从大到小第 4 个就是从小到大第 $8+1-4=\underline{\quad}$ 个，即 $\frac{34}{47}$。
第二套
题目：某次射击比赛有 8 名选手的命中率，其中 6 个是 $0.\dot{5}\dot{1}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{9}$，$0.5\dot{1}$，$\frac{24}{47}$，$\frac{13}{25}$。把 8 个命中率从低到高排，$0.5\dot{1}$ 排在第 4 位；那么从高到低排时，第 4 位是哪一个命中率？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{5}\dot{1}=\dfrac{51}{99}=\dfrac{17}{33}$；$0.5\dot{1}=\dfrac{51-5}{90}=\dfrac{\underline{\quad}}{90}=\dfrac{23}{45}$。
  2. 第 2 步（已知 6 个排序）：$24\times 45=\underline{\quad}<23\times 47=\underline{\quad}$；$23\times 33=\underline{\quad}<17\times 45=\underline{\quad}$；$17\times 25=\underline{\quad}<13\times 33=\underline{\quad}$；$13\times 9=\underline{\quad}<5\times 25=\underline{\quad}$；$5\times 3=\underline{\quad}<2\times 9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（推断）：没给出的 $8-6=\underline{\quad}$ 个都比 $0.5\dot{1}$ 小。
  4. 第 4 步（换向）：从高到低第 4 位就是从低到高第 $8+1-4=\underline{\quad}$ 位，即 $0.\dot{5}\dot{1}$。
第三套
题目：有 7 个数，其中 5 个是 $0.\dot{2}\dot{4}$，$0.2\dot{4}$，$\frac{6}{25}$，$\frac{17}{70}$，$\frac{5}{21}$。如果把这 7 个数从小到大排列，第 3 个数是 $\frac{5}{21}$，那么位于正中间的数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{2}\dot{4}=\dfrac{24}{99}=\dfrac{8}{33}$；$0.2\dot{4}=\dfrac{24-2}{90}=\dfrac{\underline{\quad}}{90}=\dfrac{11}{45}$。
  2. 第 2 步（已知 5 个排序）：$5\times 25=\underline{\quad}<6\times 21=\underline{\quad}$，$6\times 33=\underline{\quad}<8\times 25=\underline{\quad}$，$8\times 70=\underline{\quad}<17\times 33=\underline{\quad}$，$17\times 45=\underline{\quad}<11\times 70=\underline{\quad}$，故 $\frac{5}{21}<\frac{6}{25}<0.\dot{2}\dot{4}<\frac{17}{70}<0.2\dot{4}$。
  3. 第 3 步（推断）：$\frac{5}{21}$ 在已知 5 数中排第 1，在 7 数中排第 3，说明没给出的 $7-5=\underline{\quad}$ 个数都比它小，排在最前面。
  4. 第 4 步（找中间）：7 个数正中间是第 $(7+1)\div 2=\underline{\quad}$ 个，即 $\frac{6}{25}$。
第三套
题目：有 8 个数，$0.\dot{7}\dot{2}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{7}{9}$，$0.7\dot{2}$，$\frac{34}{47}$，$\frac{18}{25}$ 是其中的 6 个。按从小到大排列时第 4 个数是 $0.7\dot{2}$。请求出「从大到小第 4 个数」与「从小到大第 4 个数」的差（写成最简分数）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化分数与排序）：$0.7\dot{2}=\dfrac{72-7}{90}=\dfrac{\underline{\quad}}{90}=\dfrac{13}{18}$，$0.\dot{7}\dot{2}=\dfrac{8}{11}$；由 $13\times 47=\underline{\quad}<34\times 18=\underline{\quad}$ 等可得 $\frac{18}{25}<\frac{13}{18}<\frac{34}{47}<\frac{8}{11}<\frac{7}{9}<\frac{5}{6}$。
  2. 第 2 步（推断）：没给出的 $8-6=\underline{\quad}$ 个数都比 $0.7\dot{2}$ 小，故 8 数从小到大为 $\square,\square,\frac{18}{25},\frac{13}{18},\frac{34}{47},\frac{8}{11},\frac{7}{9},\frac{5}{6}$。
  3. 第 3 步（定位两个数）：从小到大第 4 个是 $\frac{13}{18}$；从大到小第 4 个是从小到大第 $8+1-4=\underline{\quad}$ 个，即 $\frac{34}{47}$。
  4. 第 4 步（通分作差）：公分母 $47\times 18=\underline{\quad}$，分子相减 $34\times 18-13\times 47=\underline{\quad}$，所以差是 $\frac{1}{846}$。
26. 【原题 ch09-xingqu-04】在不等式 $\frac{2}{3}<\frac{5}{\square}<\frac{3}{4}$ 的方框中填入一个自然数，使得不等式成立。
详细思路
是哪类问题：这是「分数大小比较·方框填数」类：未知数在分母上，直接通分母很麻烦，改用「通分子」——把三个分数的分子化成相同的数，分母越大分数越小。
关键切入点：$\frac{2}{3}$、$\frac{5}{\square}$、$\frac{3}{4}$ 的分子 $2,5,3$ 的最小公倍数是 $30$，都化成分子 $30$：$\frac{2}{3}=\frac{30}{45}$，$\frac{5}{\square}=\frac{30}{6\square}$，$\frac{3}{4}=\frac{30}{40}$。分子相同时分母越大数越小，原不等式就变成 $45>6\square>40$。
方法概述：通分子后比分母，把不等式转成对分母的整数范围限制。
规范步骤：
  1. 取分子的公倍数：$[2,5,3]=30$（通分子）
  2. 三个分数都化成分子 $30$：$\frac{2}{3}=\frac{30}{45}$，$\frac{5}{\square}=\frac{30}{6\square}$，$\frac{3}{4}=\frac{30}{40}$（分子分母同乘）
  3. 分子相同比分母（大小方向相反）：$45>6\square>40$（分子相同分母越大数越小）
  4. 解出整数：$6\square$ 只能是 $42$，$\square=42\div 6=7$（整除枚举）
  5. 写出答案：$\square=7$
第一套
题目：在不等式 $\frac{3}{8}<\frac{7}{\square}<\frac{2}{5}$ 的方框中填入一个自然数，使不等式成立。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定公倍数）：分子 $3,7,2$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（通分子）：$\frac{3}{8}=\dfrac{42}{\underline{\quad}}$（分母 $8\times 14$），$\frac{7}{\square}=\dfrac{42}{6\square}$，$\frac{2}{5}=\dfrac{42}{\underline{\quad}}$（分母 $5\times 21$）。
  3. 第 3 步（比分母）：分子相同，分母越大数越小，所以 $112>6\square>\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求整数）：$6$ 的倍数中在这个范围里的只有 $6\times 18=\underline{\quad}$，所以 $\square=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某班男生占全班的比例大于 $\frac{2}{3}$ 且小于 $\frac{3}{4}$。已知男生人数为 $5$ 的某个倍数关系可写成 $\frac{5}{\square}$（$\square$ 为自然数）。请求出 $\square$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定公倍数）：分子 $2,5,3$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（通分子）：$\frac{2}{3}=\dfrac{30}{\underline{\quad}}$，$\frac{5}{\square}=\dfrac{30}{6\square}$，$\frac{3}{4}=\dfrac{30}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（比分母）：$45>6\square>\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求整数）：只有 $6\times 7=\underline{\quad}$ 落在范围内，所以 $\square=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在不等式 $\frac{7}{12}<\frac{\square}{24}<\frac{2}{3}$ 的方框中填入一个自然数，使不等式成立。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（通分母）：这次未知数在分子上，把三个分数都化成分母 $24$：$\frac{7}{12}=\dfrac{\underline{\quad}}{24}$，$\frac{2}{3}=\dfrac{\underline{\quad}}{24}$。
  2. 第 2 步（比分子）：分母相同比分子，$14<\square<\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求整数）：中间的自然数只有 $\square=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在不等式 $\frac{1}{3}<\frac{5}{\square}<\frac{2}{5}$ 的方框中填入自然数，使不等式成立。一共有多少种不同的填法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定公倍数）：分子 $1,5,2$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（通分子）：$\frac{1}{3}=\dfrac{10}{\underline{\quad}}$，$\frac{5}{\square}=\dfrac{10}{2\square}$，$\frac{2}{5}=\dfrac{10}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（比分母）：$30>2\square>\underline{\quad}$，即 $\square$ 要满足 $15>\square>\underline{\quad}$（两边同除以 $2$）。
  4. 第 4 步（数一数）：$\square$ 可取 $13,14$，共 $15-12-1=\underline{\quad}$ 种填法。
27. 【原题 ch09-xingqu-05】在大于 $\frac{1}{7}$ 且小于 $\frac{3}{11}$ 的最简真分数中，分子不超过 3 的共有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「区间内最简真分数计数」类：分子被限制在很小的范围内，就按分子分类，每类用通分子把范围转成对分母的整数范围，再去掉不最简的。
关键切入点：分子只能取 $1,2,3$，所以按 $k=1,2,3$ 分三类。每类里把 $\frac{1}{7}$、$\frac{k}{N}$、$\frac{3}{11}$ 都化成同一个分子，分子相同时分母越大分数越小，于是范围立刻变成 $N$ 的整数范围；最后再把与分子不互质的 $N$ 去掉，保证分数最简。
方法概述：按分子分类 + 通分子转分母范围 + 剔除不最简。
规范步骤：
  1. $k=1$：通分子 3：$\frac{1}{7}=\frac{3}{21}$，$\frac{1}{N}=\frac{3}{3N}$，$\frac{3}{11}$，得 $11<3N<21$（通分子）
  2. $k=1$ 的解：$3N=12,15,18$，即 $N=4,5,6$，共 $3$ 个（枚举）
  3. $k=2$：通分子 6：$\frac{1}{7}=\frac{6}{42}$，$\frac{2}{N}=\frac{6}{3N}$，$\frac{3}{11}=\frac{6}{22}$，得 $22<3N<42$，$N=8\sim 13$（通分子）
  4. $k=2$ 剔除偶数：$N=9,11,13$，共 $3$ 个（最简分数要求 $\gcd(2,N)=1$）
  5. $k=3$：通分子 3：$\frac{3}{21}<\frac{3}{N}<\frac{3}{11}$，得 $11<N<21$（通分子）
  6. $k=3$ 剔除 $3$ 的倍数：$N=13,14,16,17,19,20$，共 $6$ 个（最简分数要求 $\gcd(3,N)=1$）
  7. 求和：$3+3+6=12$（分类相加）
第一套
题目：在大于 $\frac{1}{9}$ 且小于 $\frac{4}{15}$ 的最简真分数中，分子不超过 3 的共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$k=1$）：通分子 $4$，$\frac{1}{9}=\dfrac{4}{\underline{\quad}}$，$\frac{1}{N}=\dfrac{4}{4N}$，$\frac{4}{15}$，得 $15<4N<36$，所以 $N$ 可取 $4,5,6,7,8$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（$k=2$）：通分子 $4$，$\frac{2}{N}=\dfrac{4}{2N}$，得 $15<2N<36$，$N$ 从 $8$ 到 $17$；再去掉偶数（否则不最简），只剩 $9,11,13,15,17$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（$k=3$）：通分子 $12$，$\frac{1}{9}=\dfrac{12}{\underline{\quad}}$，$\frac{3}{N}=\dfrac{12}{4N}$，$\frac{4}{15}=\dfrac{12}{\underline{\quad}}$，得 $45<4N<108$，$N$ 从 $12$ 到 $26$；去掉 $3$ 的倍数 $12,15,18,21,24$，剩 $15-\underline{\quad}=10$ 个。
  4. 第 4 步（求和）：$5+5+10=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：一批合格产品的合格率（写成最简真分数）必须大于 $\frac{1}{7}$ 且小于 $\frac{3}{11}$，且分子不超过 3。这样的合格率共有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$k=1$）：通分子 $3$，$\frac{1}{7}=\dfrac{3}{\underline{\quad}}$，$\frac{1}{N}=\dfrac{3}{3N}$，得 $11<3N<21$，$N=4,5,6$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（$k=2$）：通分子 $6$，$\frac{1}{7}=\dfrac{6}{\underline{\quad}}$，$\frac{3}{11}=\dfrac{6}{\underline{\quad}}$，得 $22<3N<42$，$N=8\sim 13$；去掉偶数后剩 $9,11,13$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（$k=3$）：$\frac{3}{21}<\frac{3}{N}<\frac{3}{11}$，得 $11<N<21$；去掉 $3$ 的倍数 $12,15,18$，剩 $9-3=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（求和）：$3+3+6=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：在大于 $\frac{1}{7}$ 且小于 $\frac{3}{11}$ 的分数中，分母最小的最简真分数是哪一个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（从小分母试起）：分母 $2$ 时 $\frac{1}{2}$ 太大（$1\times 11=11>3\times 2=\underline{\quad}$，即 $\frac{1}{2}>\frac{3}{11}$）。
  2. 第 2 步：分母 $3$ 时 $\frac{1}{3}$ 也太大，因为 $1\times 11=11>3\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：分母 $4$ 时试 $\frac{1}{4}$：与 $\frac{1}{7}$ 比有 $4<7$ 故 $\frac{1}{4}>\frac{1}{7}$；与 $\frac{3}{11}$ 比，交叉相乘 $1\times 11=11<3\times 4=\underline{\quad}$，故 $\frac{1}{4}<\frac{3}{11}$，符合条件。
  4. 第 4 步（下结论）：分母最小是 $\underline{\quad}$，所求分数是 $\frac{1}{4}$。
第三套
题目：在大于 $\frac{1}{7}$ 且小于 $\frac{3}{11}$ 的最简真分数中，分子不超过 3 的共有多少个？其中最大的一个是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分类计数）：$k=1$ 时 $11<3N<21$，$N=4,5,6$，共 $\underline{\quad}$ 个；$k=2$ 时 $22<3N<42$ 且 $N$ 为奇数，$N=9,11,13$，共 $\underline{\quad}$ 个；$k=3$ 时 $11<N<21$ 且 $N$ 不是 $3$ 的倍数，共 $\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（总数）：$3+3+6=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（找最大）：每类中分母最小的最大，三类的“冠军”分别是 $\frac{1}{4}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{3}{13}$。比 $\frac{1}{4}$ 与 $\frac{2}{9}$：$1\times 9=9>2\times 4=\underline{\quad}$，故 $\frac{1}{4}$ 大。
  4. 第 4 步：比 $\frac{1}{4}$ 与 $\frac{3}{13}$：$1\times 13=13>3\times 4=\underline{\quad}$，故 $\frac{1}{4}$ 最大。
28. 【原题 ch09-xingqu-06】$A=\frac{1}{11}+\frac{1}{29}$，$B=\frac{1}{13}+\frac{1}{27}$，$C=\frac{1}{14}+\frac{1}{26}$，$D=\frac{1}{9}+\frac{1}{31}$，$E=\frac{1}{7}+\frac{1}{33}$，请将 $A,B,C,D,E$ 按从小到大的顺序排列起来。
详细思路
是哪类问题：这是「结构化比较」类：五个算式都是两个单位分数相加，且两个分母之和相同（都是 $40$），因此可以整体通分成同一个分子。
关键切入点：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}$。本题每组 $m+n=40$，所以五个数都写成 $\frac{40}{mn}$——分子相同！这样只要比分母 $mn$：两数之和一定时，两数越接近乘积越大，而分母越大分数越小。
方法概述：统一写成 $\frac{40}{mn}$，比乘积 $mn$ 即可。
规范步骤：
  1. 统一写成同分子：$A=\frac{40}{11\times 29}$，$B=\frac{40}{13\times 27}$，$C=\frac{40}{14\times 26}$，$D=\frac{40}{9\times 31}$，$E=\frac{40}{7\times 33}$（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}$）
  2. 算出各分母：$319,\;351,\;364,\;279,\;231$（乘法）
  3. 比分母（和定差大：越接近乘积越大）：$364>351>319>279>231$（和定差大原理）
  4. 分母越大分数越小：$C<B<A<D<E$（同分子比较）
  5. 写出答案：$C<B<A<D<E$
第一套
题目：$A=\frac{1}{17}+\frac{1}{43}$，$B=\frac{1}{19}+\frac{1}{41}$，$C=\frac{1}{23}+\frac{1}{37}$，$D=\frac{1}{29}+\frac{1}{31}$，$E=\frac{1}{13}+\frac{1}{47}$，请把它们从小到大排列。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（发现共同点）：每组两个分母之和都是 $17+43=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（统一分子）：用 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}$，五个数都写成 $\dfrac{60}{mn}$。
  3. 第 3 步（算分母）：$17\times 43=\underline{\quad}$，$19\times 41=\underline{\quad}$，$23\times 37=\underline{\quad}$，$29\times 31=\underline{\quad}$，$13\times 47=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（比大小）：分子相同，分母越大分数越小，分母从大到小是 $899>851>779>731>611$，所以 $D<C<B<A<E$。
第二套
题目：五条生产线的效率分别是 $A=\frac{1}{11}+\frac{1}{29}$，$B=\frac{1}{13}+\frac{1}{27}$，$C=\frac{1}{14}+\frac{1}{26}$，$D=\frac{1}{9}+\frac{1}{31}$，$E=\frac{1}{7}+\frac{1}{33}$（单位：件/分）。请把五条生产线按效率从低到高排列。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（发现共同点）：每组两个分母之和都是 $11+29=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（统一分子）：都写成 $\dfrac{40}{mn}$。
  3. 第 3 步（算分母）：$11\times 29=\underline{\quad}$，$13\times 27=\underline{\quad}$，$14\times 26=\underline{\quad}$，$9\times 31=\underline{\quad}$，$7\times 33=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（比大小）：分母越大效率越低，所以 $C<B<A<D<E$。
第三套
题目：比较 $\frac{1}{16}+\frac{1}{34}$ 与 $\frac{1}{24}+\frac{1}{26}$ 的大小。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看分母之和）：$16+34=\underline{\quad}$，$24+26=\underline{\quad}$，两组的分母之和相同。
  2. 第 2 步（统一分子）：两式分别是 $\dfrac{50}{16\times 34}$ 与 $\dfrac{50}{24\times 26}$。
  3. 第 3 步（算分母）：$16\times 34=\underline{\quad}$，$24\times 26=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（下结论）：$544<624$，分母小的分数大，所以 $\frac{1}{16}+\frac{1}{34}>\frac{1}{24}+\frac{1}{26}$。
第三套
题目：$A=\frac{1}{11}+\frac{1}{29}$，$B=\frac{1}{13}+\frac{1}{27}$，$C=\frac{1}{14}+\frac{1}{26}$，$D=\frac{1}{9}+\frac{1}{31}$，$E=\frac{1}{7}+\frac{1}{33}$。请从小到大排列，并把其中最大的数化成最简分数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一分子）：每组分母之和都是 $\underline{\quad}$，故都可写成 $\dfrac{40}{mn}$。
  2. 第 2 步（算分母）：$14\times 26=\underline{\quad}$，$13\times 27=\underline{\quad}$，$11\times 29=\underline{\quad}$，$9\times 31=\underline{\quad}$，$7\times 33=\underline{\quad}$，分母越大数越小，故 $C<B<A<D<E$。
  3. 第 3 步（最大者求值）：最大的是 $E=\dfrac{40}{7\times 33}=\dfrac{40}{\underline{\quad}}$。
  4. 第 4 步（约分）：$231=3\times 7\times 11$ 与 $40$ 没有公因数（最大公因数是 $\underline{\quad}$），所以 $E=\frac{40}{231}$ 已是最简分数。
29. 【原题 ch09-xingqu-07】$A=\frac{1}{5}+\frac{1}{29}$，$B=\frac{1}{6}+\frac{2}{29}$，它们中较大的是哪个？
详细思路
是哪类问题：这是「作差比较」类：两个和式直接通分很繁，改成相减，把同类项配到一起，差的符号就一目了然。
关键切入点：$B-A$ 中，$\frac{2}{29}$ 与 $\frac{1}{29}$ 同分母可直接相减得 $\frac{1}{29}$；$\frac{1}{6}$ 与 $\frac{1}{5}$ 相减得 $-\frac{1}{30}$。于是 $B-A=\frac{1}{29}-\frac{1}{30}$，两个单位分数比分母即可判定正负。
方法概述：作差 + 同类配对 + 单位分数比分母。
规范步骤：
  1. 作差并配对：$B-A=\left(\frac{2}{29}-\frac{1}{29}\right)-\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)$（去括号后同类项配对）
  2. 各自算出：$\frac{2}{29}-\frac{1}{29}=\frac{1}{29}$，$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{5\times 6}=\frac{1}{30}$（同分母相减 / 邻数差公式）
  3. 比较两个单位分数：$\frac{1}{29}-\frac{1}{30}>0$（分母小的大）（单位分数比较）
  4. 写出答案：$B>A$
第一套
题目：$A=\frac{1}{7}+\frac{1}{43}$，$B=\frac{1}{8}+\frac{2}{43}$，它们中较大的是哪一个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差配对）：$B-A=\left(\frac{2}{43}-\frac{1}{43}\right)-\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)$，同分母那组得分子 $2-1=\underline{\quad}$，即 $\frac{1}{43}$。
  2. 第 2 步（相邻单位分数差）：$\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=\dfrac{1}{7\times 8}=\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（比两个单位分数）：$\frac{1}{43}-\frac{1}{56}$，通分后分子是 $56-43=\underline{\quad}$，分母是 $43\times 56=\underline{\quad}$，差为 $\frac{13}{2408}>0$。
  4. 第 4 步（下结论）：$B-A>0$，所以 $B$ 较大。
第二套
题目：甲、乙两台机器一天完成的工作量分别是 $A=\frac{1}{5}+\frac{1}{29}$ 与 $B=\frac{1}{6}+\frac{2}{29}$（单位：工程量）。哪台机器一天完成得多？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差配对）：$B-A=\left(\frac{2}{29}-\frac{1}{29}\right)-\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)$，同分母那组分子 $2-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\dfrac{1}{5\times 6}=\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步：$\frac{1}{29}-\frac{1}{30}$ 通分后分子 $30-29=\underline{\quad}$，分母 $29\times 30=\underline{\quad}$，差为 $\frac{1}{870}>0$。
  4. 第 4 步：$B>A$，乙机器完成得多。
第三套
题目：$A=\frac{1}{8}+\frac{1}{45}$，$B=\frac{1}{9}+\frac{2}{45}$，它们中较大的是哪一个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差配对）：$B-A=\left(\frac{2}{45}-\frac{1}{45}\right)-\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\right)$，前一组得 $\frac{1}{45}$。
  2. 第 2 步：$\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\dfrac{1}{8\times 9}=\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步：$\frac{1}{45}-\frac{1}{72}$ 通分，分子 $72-45=\underline{\quad}$，分母 $45\times 72=\underline{\quad}$，差为 $\frac{27}{3240}>0$。
  4. 第 4 步：所以 $B$ 较大。
第三套
题目：$A=\frac{1}{5}+\frac{1}{29}$，$B=\frac{1}{6}+\frac{2}{29}$，$C=\frac{1}{7}+\frac{3}{29}$，请把 $A,B,C$ 从小到大排列。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$B-A$）：$B-A=\frac{1}{29}-\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{29}-\dfrac{1}{\underline{\quad}}>0$，所以 $A<B$。
  2. 第 2 步（$C-B$）：$C-B=\left(\frac{3}{29}-\frac{2}{29}\right)-\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{29}-\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（判正负）：$\frac{1}{29}-\frac{1}{42}$ 的分子是 $42-29=\underline{\quad}$，分母是 $29\times 42=\underline{\quad}$，差为正，所以 $B<C$。
  4. 第 4 步（串起来）：$A<B<C$。
30. 【原题 ch09-xingqu-08】计算：$0.1\dot{6}+0.\dot{1}4285\dot{7}+0.12\dot{5}+0.\dot{1}$，结果保留三位小数。
详细思路
是哪类问题：这是「循环小数求和取近似」类：循环小数位数无限，直接竖式要小心进位，更稳的办法是先化成分数精确相加，最后再取近似。
关键切入点：四个加数里 $0.1\dot{6}=\frac{1}{6}$、$0.\dot{1}4285\dot{7}=\frac{1}{7}$、$0.\dot{1}=\frac{1}{9}$ 是循环小数；第三个 $0.125=\frac{1}{8}$ 其实是**有限小数**（$\frac{1}{8}$ 除得尽，写作 $0.125$，本不带循环点）。四个数还原成单位分数，公分母 $[6,7,8,9]=504$，精确和 $\frac{275}{504}=0.545634\cdots$，四舍五入到三位得 $0.546$。（提示：即便把第三个数严格按 $0.12\dot{5}=\frac{113}{900}$ 计算，总和 $\frac{3441}{6300}=0.546190\cdots$，到三位仍是 $0.546$，答案不受影响。）
方法概述：循环小数还原成单位分数，通分精确求和，最后四舍五入；注意 $\frac{1}{8}=0.125$ 是有限小数。
规范步骤：
  1. 还原成分数：$0.1\dot{6}=\frac{1}{6}$，$0.\dot{1}4285\dot{7}=\frac{1}{7}$，$0.125=\frac{1}{8}$，$0.\dot{1}=\frac{1}{9}$（其中 $\frac{1}{8}=0.125$ 是有限小数）（循环小数与有限小数化分数）
  2. 通分（公分母 $504$）：$\frac{84}{504}+\frac{72}{504}+\frac{63}{504}+\frac{56}{504}$（通分）
  3. 求和：$\frac{84+72+63+56}{504}=\frac{275}{504}$（同分母相加）
  4. 化小数：$275\div 504=0.545634\cdots$（除法）
  5. 四舍五入到三位：$0.546$（第四位是 $6$，向前进一）
  6. 稳健性检验：若把第三个数严格读作 $0.12\dot{5}=\frac{113}{900}$，则和 $=\frac{1050+900+791+700}{6300}=\frac{3441}{6300}=0.546190\cdots$，到三位仍是 $0.546$（四舍五入结果不受循环点写法影响）
第一套
题目：计算：$0.1\dot{6}+0.\dot{1}4285\dot{7}+0.125+0.\dot{1}+0.\dot{0}\dot{9}$，结果保留三位小数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原分数）：五个循环小数依次是 $\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{11}$。
  2. 第 2 步（定公分母）：$[6,7,8,9,11]=504\times 11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（通分）：分子依次是 $5544\div 6=\underline{\quad}$，$5544\div 7=\underline{\quad}$，$5544\div 8=\underline{\quad}$，$5544\div 9=\underline{\quad}$，$5544\div 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求和）：$924+792+693+616+504=\underline{\quad}$，即和为 $\frac{3529}{5544}$。
  5. 第 5 步（取近似）：$3529\div 5544=0.63654\cdots$，第四位是 $5$，进位后保留三位小数得 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：四条水管每小时分别注满水池的 $0.1\dot{6}$、$0.\dot{1}4285\dot{7}$、$0.125$、$0.\dot{1}$。四管齐开，一小时共注满水池的几分之几？结果保留三位小数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原分数）：四个数依次是 $\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9}$。
  2. 第 2 步（通分）：公分母 $504$，分子依次是 $504\div 6=\underline{\quad}$，$504\div 7=\underline{\quad}$，$504\div 8=\underline{\quad}$，$504\div 9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求和）：$84+72+63+56=\underline{\quad}$，即 $\frac{275}{504}$。
  4. 第 4 步（取近似）：$275\div 504=0.545634\cdots$，保留三位小数得 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$0.\dot{3}+0.1\dot{6}+0.08\dot{3}+0.\dot{0}\dot{9}$，结果保留三位小数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原分数）：$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$，$0.1\dot{6}=\frac{1}{6}$，$0.08\dot{3}=\frac{1}{12}$，$0.\dot{0}\dot{9}=\frac{1}{11}$。
  2. 第 2 步（定公分母）：$[3,6,12,11]=12\times 11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（通分）：分子依次是 $132\div 3=\underline{\quad}$，$132\div 6=\underline{\quad}$，$132\div 12=\underline{\quad}$，$132\div 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求和）：$44+22+11+12=\underline{\quad}$，和为 $\frac{89}{132}$。
  5. 第 5 步（取近似）：$89\div 132=0.6742\cdots$，保留三位小数得 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算 $0.1\dot{6}+0.\dot{1}4285\dot{7}+0.125+0.\dot{1}+0.1$，结果保留四位小数，并判断它与 $0.645$ 的大小。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原分数）：五个数是 $\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10}$。
  2. 第 2 步（定公分母）：前四个的公分母是 $504$，再与 $10$ 取公倍数得 $504\times 10=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（通分求和）：前四个的和是 $\frac{275}{504}=\dfrac{\underline{\quad}}{5040}$，加上 $\frac{1}{10}=\dfrac{\underline{\quad}}{5040}$，总分子 $2750+504=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取近似）：$3254\div 5040=0.6456349\cdots$，保留四位小数得 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（比较）：$0.6456>0.645$，所以结果比 $0.645$ 大。
31. 【原题 ch09-xingqu-09】某次考试中，13 名同学的平均分四舍五入到十分位后等于 85.4，且每名同学的得分都是整数。请问：这 13 名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？
详细思路
是哪类问题：这是「四舍五入反推范围」类：已知近似值，要反推准确值所在的区间，再用“总分是整数”这个硬条件把区间里的唯一整数挑出来。
关键切入点：四舍五入到十分位等于 $85.4$，说明准确的平均分不小于 $85.35$ 且小于 $85.45$。把区间两端同乘 $13$ 就得到总分的范围；区间 $[1109.55,1110.85)$ 里只有一个整数 $1110$，总分随即确定，平均分也就定死了。
方法概述：近似值反推区间 → 乘人数得总分区间 → 用整数性锁定唯一值。
规范步骤：
  1. 由近似值定平均分区间：$85.35\leqslant \bar{x}<85.45$（四舍五入到十分位）
  2. 乘人数得总分区间：$85.35\times 13=1109.55\leqslant S<85.45\times 13=1110.85$（不等式两边同乘正数）
  3. 取区间内整数：$S=1110$（得分都是整数，总分必为整数）
  4. 算精确平均分：$1110\div 13=85.3846\cdots$（除法）
  5. 保留两位小数：$85.38$（第三位是 $4$，舍去）
第一套
题目：某次考试中 17 名同学的平均分四舍五入到十分位后等于 92.7，且每人得分都是整数。求这 17 名同学的总分，以及平均分四舍五入到百分位的值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（反推区间）：平均分 $\bar{x}$ 满足 $92.65\leqslant\bar{x}<\underline{\quad}$（把 $92.7$ 的十分位向两边各放 $0.05$）。
  2. 第 2 步（乘人数）：总分 $S$ 满足 $92.65\times 17=\underline{\quad}\leqslant S<92.75\times 17=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（锁定整数）：区间里唯一的整数是 $S=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算平均分）：$1576\div 17=92.7058\cdots$，保留两位小数得 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：某车间 13 名工人的日均产量（件）四舍五入到十分位后是 85.4，且每人的产量都是整数件。求 13 人的总产量，以及日均产量四舍五入到百分位的值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（反推区间）：日均产量 $\bar{x}$ 满足 $85.35\leqslant\bar{x}<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乘人数）：总产量 $S$ 满足 $85.35\times 13=\underline{\quad}\leqslant S<85.45\times 13=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（锁定整数）：区间内唯一整数 $S=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算平均）：$1110\div 13=85.3846\cdots$，保留两位小数得 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：11 名同学的平均分四舍五入到十分位后等于 74.6，每人得分都是整数。求总分与保留两位小数的平均分。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（反推区间）：$74.55\leqslant\bar{x}<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乘人数）：$74.55\times 11=\underline{\quad}\leqslant S<74.65\times 11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（锁定整数）：唯一整数 $S=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算平均）：$821\div 11=74.6363\cdots$，保留两位小数得 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：13 名同学的平均分四舍五入到十分位后等于 85.4，每人得分都是整数。若再加入一名得 90 分的同学，求这 14 人的平均分（保留两位小数）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（反推区间）：$85.35\leqslant\bar{x}<\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（乘人数）：$85.35\times 13=\underline{\quad}\leqslant S<85.45\times 13=\underline{\quad}$，唯一整数 $S=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加入新同学）：新总分 $1110+90=\underline{\quad}$，新人数 $13+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算新平均分）：$1200\div 14=85.714\cdots$，保留两位小数得 $\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch09-xingqu-10】算式 $1\frac{10}{100}+2\frac{10}{101}+3\frac{10}{102}+\cdots+11\frac{10}{110}$ 的计算结果的整数部分是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「带分数求和取整数部分」类：把每个带分数拆成“整数 + 真分数”，整数部分能直接求和，真分数部分用最大项、最小项放缩夹住。
关键切入点：整数部分 $1+2+\cdots+11$ 是等差数列求和，得 $66$。真分数部分共 $11$ 个，最小的是 $\frac{10}{110}$，最大的是 $\frac{10}{100}$，于是和被夹在 $\frac{10}{110}\times 11=1$ 与 $\frac{10}{100}\times 11=1.1$ 之间，整数部分恰是 $1$。
方法概述：拆分 + 等差求和 + 最大最小项放缩夹逼。
规范步骤：
  1. 拆成整数与分数两部分：$(1+2+\cdots+11)+\left(\frac{10}{100}+\cdots+\frac{10}{110}\right)$（带分数拆分）
  2. 整数部分求和：$(1+11)\times 11\div 2=66$（等差数列求和）
  3. 分数部分放缩：$\frac{10}{110}\times 11=1<\frac{10}{100}+\cdots+\frac{10}{110}<\frac{10}{100}\times 11=1.1$（最小项、最大项放缩）
  4. 取整数部分：分数部分的整数部分是 $1$，故总和的整数部分是 $66+1=67$（夹逼）
  5. 写出答案：$67$
第一套
题目：算式 $1\frac{20}{400}+2\frac{20}{401}+3\frac{20}{402}+\cdots+21\frac{20}{420}$ 的计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：分成整数部分 $1+2+\cdots+21$ 与分数部分 $\frac{20}{400}+\cdots+\frac{20}{420}$，共 $420-400+1=\underline{\quad}$ 项。
  2. 第 2 步（整数求和）：$(1+21)\times 21\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（放缩下界）：每项都不小于最小的 $\frac{20}{420}$，所以分数部分 $>\frac{20}{420}\times 21=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（放缩上界）：每项都不大于最大的 $\frac{20}{400}$，所以分数部分 $<\frac{20}{400}\times 21=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（取整）：分数部分在 $1$ 与 $1.05$ 之间，整数部分是 $1$，总的整数部分为 $231+1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：有 11 桶油，第 $k$ 桶的重量是 $k\frac{10}{99+k}$ 千克（$k=1,2,\cdots,11$），即依次为 $1\frac{10}{100},2\frac{10}{101},\cdots,11\frac{10}{110}$ 千克。这 11 桶油总重量的整数部分是多少千克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：总重 $=(1+2+\cdots+11)+\left(\frac{10}{100}+\cdots+\frac{10}{110}\right)$。
  2. 第 2 步（整数求和）：$(1+11)\times 11\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（放缩）：分数部分大于 $\frac{10}{110}\times 11=\underline{\quad}$，小于 $\frac{10}{100}\times 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取整）：分数部分整数部分为 $1$，总重整数部分是 $66+1=\underline{\quad}$ 千克。
第三套
题目：算式 $1\frac{5}{50}+2\frac{5}{51}+3\frac{5}{52}+4\frac{5}{53}+5\frac{5}{54}+6\frac{5}{55}$ 的计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：整数部分 $1+2+\cdots+6$，分数部分共 $55-50+1=\underline{\quad}$ 项。
  2. 第 2 步（整数求和）：$(1+6)\times 6\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（放缩）：分数部分 $>\frac{5}{55}\times 6=\underline{\quad}$，$<\frac{5}{50}\times 6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取整）：分数部分介于 $0$ 与 $1$ 之间，整数部分为 $0$，所以总的整数部分是 $21+0=\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $1\frac{20}{100}+2\frac{20}{101}+3\frac{20}{102}+\cdots+11\frac{20}{110}$ 的计算结果的整数部分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分）：整数部分 $1+2+\cdots+11=\underline{\quad}$，分数部分是 $\frac{20}{100}+\cdots+\frac{20}{110}$，共 $\underline{\quad}$ 项。
  2. 第 2 步（下界）：每项都不小于 $\frac{20}{110}$，分数部分 $>\frac{20}{110}\times 11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（上界）：每项都不大于 $\frac{20}{100}$，分数部分 $<\frac{20}{100}\times 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取整）：分数部分在 $2$ 与 $2.2$ 之间，整数部分是 $2$，总的整数部分是 $66+2=\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch09-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（数项数）：分母共 $59-20+1=\underline{40}$ 项。
    2. 第 2 步（配对）：把 $\frac{1}{21}$ 与 $\frac{1}{59}$、$\frac{1}{22}$ 与 $\frac{1}{58}$……配对，每对分母之和都是 $80$，共 $39-21+1=\underline{19}$ 对，余下 $\frac{1}{20}$ 与 $\frac{1}{40}$。
    3. 第 3 步（每对下界）：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{80}{mn}>\frac{80}{40\times 40}=\underline{0.05}$。
    4. 第 4 步（合计）：分母 $>\frac{1}{20}+19\times 0.05+\frac{1}{40}=\underline{1.025}$，大于 $1$。
    5. 第 5 步（取倒数取整）：原式小于 $1$ 且大于 $0$，整数部分是 $\underline{0}$。
    最终答案：$0$。
  2. 1. ch09-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（列式）：所需天数 $=\dfrac{1}{\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{29}}$，分母共 $29-10+1=\underline{20}$ 项。
    2. 第 2 步（配对）：$\frac{1}{11}$ 与 $\frac{1}{29}$、$\frac{1}{12}$ 与 $\frac{1}{28}$……共 $19-11+1=\underline{9}$ 对，余下 $\frac{1}{10}$、$\frac{1}{20}$。
    3. 第 3 步（每对下界）：每对分母之和为 $40$，$\frac{40}{mn}>\frac{40}{400}=\underline{0.1}$。
    4. 第 4 步（合计）：分母 $>\frac{1}{10}+9\times 0.1+\frac{1}{20}=\underline{1.05}$，大于 $1$，故天数小于 $1$，整数部分是 $\underline{0}$ 天。
    最终答案：$0$（天）。
  3. 1. ch09-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（数项数）：分母共 $18-6+1=\underline{13}$ 项。
    2. 第 2 步（配对）：$\frac{1}{7}$ 与 $\frac{1}{17}$、$\frac{1}{8}$ 与 $\frac{1}{16}$……共 $11-7+1=\underline{5}$ 对，余下 $\frac{1}{6}$ 与 $\frac{1}{12}$。
    3. 第 3 步（每对下界）：每对分母之和为 $24$，$\frac{24}{mn}>\frac{24}{12\times 12}=\underline{0.166666667}$。
    4. 第 4 步（合计）：分母 $>\frac{1}{6}+5\times\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\underline{1.083333333}$，大于 $1$，故整数部分是 $\underline{0}$。
    最终答案：$0$。
  4. 1. ch09-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（配对放缩定整数部分）：分母 $>\frac{1}{10}+9\times\frac{40}{400}+\frac{1}{20}=\underline{1.05}$，大于 $1$，故原式小于 $1$，整数部分是 $0$。
    2. 第 2 步（要判断是否大于 $0.6$，需要分母的上界）：把 20 项分成两段，前 10 项 $\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{19}<10\times\frac{1}{10}=\underline{1}$。
    3. 第 3 步（后一段）：后 10 项 $\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{29}<10\times\frac{1}{20}=\underline{0.5}$。
    4. 第 4 步（取倒数比较）：分母 $<1+0.5=\underline{1.5}$，所以原式 $>\dfrac{1}{1.5}=\underline{0.666666667}$（约 $0.667$），确实大于 $0.6$。
    最终答案：整数部分是 $0$；它大于 $0.6$（约 $0.858$，用分段上界已可判定 $>0.667$）。
  5. 2. ch09-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（认出分数）：$6.428571<6\frac{3}{7}=\dfrac{45}{7}$，$2.714285<2\frac{5}{7}=\dfrac{19}{7}$（$6\times 7+3=\underline{45}$，$2\times 7+5=\underline{19}$）。
    2. 第 2 步（算上界）：$\dfrac{45}{7}\times 4.9\times\dfrac{19}{7}=\dfrac{45\times 19\times 4.9}{49}$，先算 $45\times 19=\underline{855}$。
    3. 第 3 步（算出上界）：$\dfrac{855\times 4.9}{49}=\underline{85.5}$。
    4. 第 4 步（算下界）：$6.42\times 4.9\times 2.71=\underline{85.25118}$（保留四位小数 $85.2494$），大于 $85$。
    5. 第 5 步（夹逼取整）：$85<原式<85.5$，整数部分是 $\underline{85}$。
    最终答案：$85$。
  6. 2. ch09-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（认出分数）：$5.285714<5\frac{2}{7}=\dfrac{37}{7}$，$3.857142<3\frac{6}{7}=\dfrac{27}{7}$。
    2. 第 2 步（算上界）：$37\times 27=\underline{999}$，故体积 $<\dfrac{999\times 4.9}{49}=\underline{99.9}$。
    3. 第 3 步（算下界）：$5.28\times 4.9=\underline{25.872}$，再乘 $3.85$ 得 $\underline{99.6072}$，大于 $99$。
    4. 第 4 步（夹逼取整）：整数部分是 $\underline{99}$ 立方分米。
    最终答案：$99$（立方分米）。
  7. 2. ch09-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（认出分数）：$4.285714<4\frac{2}{7}=\dfrac{30}{7}$，$2.857142<2\frac{6}{7}=\dfrac{20}{7}$（$4\times 7+2=\underline{30}$）。
    2. 第 2 步（算上界）：$30\times 20=\underline{600}$，上界为 $\dfrac{600\times 4.9}{49}=\underline{60}$。
    3. 第 3 步（算下界）：$4.28\times 4.9\times 2.85=\underline{59.7702}$（约 $59.77$），大于 $59$。
    4. 第 4 步（夹逼取整）：$59<原式<60$，整数部分是 $\underline{59}$。
    最终答案：$59$。
  8. 2. ch09-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（上界）：$\dfrac{37}{7}\times 4.9\times\dfrac{27}{7}=\dfrac{999\times 4.9}{49}=\underline{99.9}$，故原式小于 $99.9$。
    2. 第 2 步（粗下界定整数部分）：$5.28\times 4.9\times 3.85=\underline{99.6072}$，大于 $99$，所以整数部分是 $99$。
    3. 第 3 步（要判断是否大于 $99.5$，把下界抬高）：把每个因数只截到小数点后四位，$5.2857\times 4.9=\underline{25.89993}$。
    4. 第 4 步（继续）：$25.89993\times 3.8571=\underline{99.898620003}$（约 $99.8987$），大于 $99.5$，所以原式确实大于 $99.5$。
    最终答案：整数部分是 $99$；它大于 $99.5$（约 $99.8999$）。
  9. 3. ch09-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（定分母下限）：记为 $\frac{1}{a}+\frac{5}{b}<1$。由 $\frac{5}{b}<1$ 得 $b\geqslant\underline{6}$。
    2. 第 2 步（试 $b=6$）：$\frac{1}{a}<1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$，所以 $a\geqslant 7$，此时最大值是 $\frac{1}{7}+\frac{5}{6}=\dfrac{6+35}{42}=\dfrac{\underline{41}}{42}$。
    3. 第 3 步（试 $b=7,8$）：$b=7$ 时 $\frac{1}{a}<\frac{2}{7}$，$a\geqslant 4$，得 $\frac{1}{4}+\frac{5}{7}=\dfrac{\underline{27}}{28}$；$b=8$ 时 $a\geqslant 3$，得 $\frac{1}{3}+\frac{5}{8}=\dfrac{\underline{23}}{24}$。
    4. 第 4 步（$b\geqslant 11$ 的上界）：此时至多 $\frac{1}{2}+\frac{5}{11}=\dfrac{\underline{21}}{22}$，比 $\frac{41}{42}$ 小。
    5. 第 5 步（比较）：交叉相乘 $41\times 28=\underline{1148}>27\times 42=\underline{1134}$，所以最大值是 $\frac{41}{42}$。
    最终答案：$\frac{41}{42}$。
  10. 3. ch09-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（定分母下限）：由 $\frac{4}{b}<1$ 得 $b\geqslant\underline{5}$。
    2. 第 2 步（试 $b=5$）：$\frac{1}{a}<1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，所以 $a\geqslant 6$，此时合计 $\frac{1}{6}+\frac{4}{5}=\dfrac{5+24}{30}=\dfrac{\underline{29}}{30}$。
    3. 第 3 步（试 $b=6,7,8$）：依次得 $\frac{11}{12}$、$\frac{19}{21}$、$\frac{5}{6}$，都比 $\frac{29}{30}$ 小。
    4. 第 4 步（$b\geqslant 9$ 的上界）：至多 $\frac{1}{2}+\frac{4}{9}=\dfrac{\underline{17}}{18}$；交叉相乘 $29\times 18=\underline{522}>17\times 30=\underline{510}$。
    5. 第 5 步（结论）：合计最多是 $\frac{29}{30}$。
    最终答案：$\frac{29}{30}$。
  11. 3. ch09-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（定分母下限）：由 $\frac{3}{b}<1$ 得 $b\geqslant\underline{4}$。
    2. 第 2 步（试 $b=4$）：$\frac{1}{a}<1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，$a\geqslant 5$，得 $\frac{1}{5}+\frac{3}{4}=\dfrac{4+15}{20}=\dfrac{\underline{19}}{20}$。
    3. 第 3 步（试 $b=5,6$）：$b=5$ 时 $a\geqslant 3$，得 $\frac{1}{3}+\frac{3}{5}=\dfrac{\underline{14}}{15}$；$b=6$ 时 $a\geqslant 3$，得 $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$。
    4. 第 4 步（$b\geqslant 7$ 的上界）：至多 $\frac{1}{2}+\frac{3}{7}=\dfrac{\underline{13}}{14}$，交叉相乘 $19\times 14=\underline{266}>13\times 20=\underline{260}$，故最大是 $\frac{19}{20}$。
    最终答案：$\frac{19}{20}$。
  12. 3. ch09-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求最大值）：由 $b\geqslant 5$ 分类可得最大值在 $a=6$、$b=5$ 时取到，为 $\frac{1}{6}+\frac{4}{5}=\dfrac{5+24}{30}=\dfrac{\underline{29}}{30}$。
    2. 第 2 步（验证不超过 1）：$29<30$，所以 $\frac{29}{30}<1$ 成立。
    3. 第 3 步（求两数之和）：$6+5=\underline{11}$。
    4. 第 4 步（求与 1 的差）：$1-\frac{29}{30}=\dfrac{30-29}{30}=\dfrac{\underline{1}}{30}$。
    最终答案：最大值是 $\frac{29}{30}$；两个方框中数的和是 $11$；它与 $1$ 相差 $\frac{1}{30}$。
  13. 4. ch09-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（设数列式）：设两数为 $6+\frac{a}{10}$、$6+\frac{b}{10}$（$a\leqslant b$ 且都是 $0\sim 9$ 的整数），则 $45.45\leqslant\left(6+\frac{a}{10}\right)\left(6+\frac{b}{10}\right)<45.55$。
    2. 第 2 步（去分母）：两边乘 $100$ 再减去 $60\times 60=\underline{3600}$，得 $4545-3600=\underline{945}\leqslant 60(a+b)+ab<4555-3600=\underline{955}$。
    3. 第 3 步（夹出 $a+b$）：因为 $0\leqslant ab\leqslant 81$，所以 $945-81=\underline{864}\leqslant 60(a+b)<955$，故 $a+b=15$（$60\times 15=\underline{900}$）。
    4. 第 4 步（求 $ab$）：$945-900=\underline{45}\leqslant ab<55$，与 $a+b=15$ 联立得 $a=6$、$b=9$，$ab=\underline{54}$。
    5. 第 5 步（算乘积）：$6.6\times 6.9=\underline{45.54}$。
    最终答案：$45.54$。
  14. 4. ch09-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（设数列式）：设长宽为 $4+\frac{a}{10}$、$4+\frac{b}{10}$，则 $22.45\leqslant\left(4+\frac{a}{10}\right)\left(4+\frac{b}{10}\right)<22.55$。
    2. 第 2 步（去分母）：两边乘 $100$ 再减 $1600$，得 $\underline{645}\leqslant 40(a+b)+ab<\underline{655}$。
    3. 第 3 步（夹出 $a+b$）：由 $0\leqslant ab\leqslant 81$ 得 $645-81=\underline{564}\leqslant 40(a+b)$，故 $a+b=15$ 或 $16$。
    4. 第 4 步（逐一验证）：$a+b=15$ 时 $645-600=\underline{45}\leqslant ab<55$，得 $a=6,b=9$；$a+b=16$ 时 $ab\geqslant 63$ 超出范围，无解。
    5. 第 5 步（算面积）：$4.6\times 4.9=\underline{22.54}$ 平方分米。
    最终答案：$22.54$ 平方分米。
  15. 4. ch09-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（设数列式）：$32.95\leqslant\left(5+\frac{a}{10}\right)\left(5+\frac{b}{10}\right)<33.05$。
    2. 第 2 步（去分母）：两边乘 $100$ 再减 $50\times 50=\underline{2500}$，得 $3295-2500=\underline{795}\leqslant 50(a+b)+ab<3305-2500=\underline{805}$。
    3. 第 3 步（夹出 $a+b$）：由 $0\leqslant ab\leqslant 81$ 得 $795-81=\underline{714}\leqslant 50(a+b)<805$，故 $a+b=15$（$50\times 15=\underline{750}$）。
    4. 第 4 步（求 $ab$）：$795-750=\underline{45}\leqslant ab<55$，与 $a+b=15$ 联立得 $a=6,b=9$。
    5. 第 5 步（算乘积）：$5.6\times 5.9=\underline{33.04}$。
    最终答案：$33.04$。
  16. 4. ch09-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（去分母）：$645\leqslant 40(a+b)+ab<\underline{655}$。
    2. 第 2 步（求解）：由 $0\leqslant ab\leqslant 81$ 夹出 $a+b=15$ 或 $16$；$a+b=15$ 时 $45\leqslant ab<55$，得 $a=6,b=9$（$ab=\underline{54}$），两数是 $4.6$ 与 $4.9$。
    3. 第 3 步（算乘积）：$4.6\times 4.9=\underline{22.54}$。
    4. 第 4 步（求和与差）：$4.6+4.9=\underline{9.5}$，$4.9-4.6=\underline{0.3}$。
    最终答案：乘积是 $22.54$；两数的和是 $9.5$，差是 $0.3$。
  17. 5. ch09-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（锁定个数）：$1\sim n$ 的平均数 $\frac{n+1}{2}$ 是 $0.5$ 的倍数，擦掉一个数后变化不超过 $0.5$，所以原平均数是 $17.5$ 或 $18$，即 $n=34$ 或 $n=\underline{35}$。
    2. 第 2 步（试 $n=35$）：总和 $\dfrac{35\times 36}{2}=\underline{630}$，被擦的数 $a\approx 630-17.53\times 34=630-\underline{596.02}=33.98$，取 $a=34$。
    3. 第 3 步（验算）：$(630-34)\div 34=596\div 34=\underline{17.529411765}$，保留两位小数正是 $17.53$。
    4. 第 4 步（排除 $n=34$）：总和 $\dfrac{34\times 35}{2}=\underline{595}$，$a\approx 595-17.53\times 33=16.51$，取 $16$ 得 $579\div 33\approx 17.55$、取 $17$ 得 $578\div 33\approx 17.52$，都不符合。
    最终答案：$34$。
  18. 5. ch09-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（锁定个数）：原平均数 $\frac{n+1}{2}$ 是 $0.5$ 的倍数，只能是 $12.5$ 或 $13$，即 $n=24$ 或 $n=\underline{25}$。
    2. 第 2 步（试 $n=24$）：总和 $\dfrac{24\times 25}{2}=\underline{300}$，$a\approx 300-12.52\times 23=300-\underline{287.96}=12.04$，取 $a=12$。
    3. 第 3 步（验算）：$(300-12)\div 23=288\div 23=\underline{12.52173913}$，约等于 $12.52$，成立。
    4. 第 4 步（排除 $n=25$）：总和 $\dfrac{25\times 26}{2}=\underline{325}$，$a\approx 24.52$，取 $24$ 或 $25$ 验算都不符合。
    最终答案：$12$。
  19. 5. ch09-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（锁定个数）：原平均数只能是 $13.5$ 或 $14$，即 $n=26$ 或 $n=\underline{27}$。
    2. 第 2 步（试 $n=26$）：总和 $\dfrac{26\times 27}{2}=\underline{351}$，$a\approx 351-13.56\times 25=351-\underline{339}=12$。
    3. 第 3 步（验算）：$(351-12)\div 25=339\div 25=\underline{13.56}$，正好是 $13.56$。
    4. 第 4 步（排除 $n=27$）：总和 $\dfrac{27\times 28}{2}=\underline{378}$，$a\approx 25.44$，取 $25$ 得 $\approx 13.58$、取 $26$ 得 $\approx 13.54$，都不符合。
    最终答案：$12$。
  20. 5. ch09-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（锁定并求解）：原平均数是 $12.5$，$n=24$，总和 $\dfrac{24\times 25}{2}=\underline{300}$，被擦的数是 $12$。
    2. 第 2 步（剩下各数之和）：$300-12=\underline{288}$。
    3. 第 3 步（剩下的个数）：$24-1=\underline{23}$ 个。
    4. 第 4 步（保留三位小数）：$288\div 23=12.52173\cdots\approx\underline{12.522}$。
    最终答案：被擦的数是 $12$；剩下各数的和是 $288$；平均数保留三位小数是 $12.522$。
  21. 6. ch09-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（翻译条件）：$5$ 盒够 $4$ 人吃还有剩，故饭量 $r<\dfrac{5}{4}$；$6$ 盒不够 $5$ 人吃，故 $r>\dfrac{6}{5}$。
    2. 第 2 步（写成 $1+\frac{t}{m}$）：由 $\frac{6}{5}<1+\frac{t}{m}<\frac{5}{4}$ 得 $\dfrac{1}{5}<\dfrac{t}{m}<\dfrac{1}{4}$。
    3. 第 3 步（去分母）：交叉相乘得 $4t<m<5t$。
    4. 第 4 步（找最小分母）：$t=1$ 时 $4<m<5$ 无整数解；$t=2$ 时 $4\times 2=\underline{8}<m<5\times 2=\underline{10}$，故 $m=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（求人数）：人数至少是 $9$，已有 $5$ 人，至少再来 $9-5=\underline{4}$ 位。
    最终答案：至少再来 $4$ 位。
  22. 6. ch09-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（翻译条件）：$\dfrac{5}{4}<r<\dfrac{4}{3}$。
    2. 第 2 步（写成 $1+\frac{t}{m}$）：$\dfrac{1}{4}<\dfrac{t}{m}<\dfrac{1}{3}$。
    3. 第 3 步（去分母）：$3t<m<4t$。
    4. 第 4 步（找最小分母）：$t=1$ 无解；$t=2$ 时 $3\times 2=\underline{6}<m<4\times 2=\underline{8}$，$m=\underline{7}$。
    5. 第 5 步（求人数）：已有 $4$ 人，至少再来 $7-4=\underline{3}$ 位。
    最终答案：至少再来 $3$ 位。
  23. 6. ch09-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（翻译条件）：$\dfrac{4}{3}<r<\dfrac{3}{2}$。
    2. 第 2 步（写成 $1+\frac{t}{m}$）：$\dfrac{1}{3}<\dfrac{t}{m}<\dfrac{1}{2}$。
    3. 第 3 步（去分母）：$2t<m<3t$。
    4. 第 4 步（找最小分母）：$t=1$ 时 $2<m<3$ 无解；$t=2$ 时 $2\times 2=\underline{4}<m<3\times 2=\underline{6}$，$m=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（求人数）：已有 $3$ 人，至少再来 $5-3=\underline{2}$ 位。
    最终答案：至少再来 $2$ 位。
  24. 6. ch09-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求最小分母）：由 $\frac{1}{4}<\frac{t}{m}<\frac{1}{3}$ 得 $3t<m<4t$；$t=2$ 时 $3\times 2=\underline{6}<m<4\times 2=\underline{8}$，$m=7$，故至少再来 $7-4=\underline{3}$ 位。
    2. 第 2 步（求饭量）：饭量 $r=1+\dfrac{2}{7}=\dfrac{7+2}{7}=\dfrac{\underline{9}}{7}$ 盒。
    3. 第 3 步（检验范围）：$\frac{9}{7}$ 确实在 $\frac{5}{4}$ 与 $\frac{4}{3}$ 之间（$9\times 4=\underline{36}>5\times 7=\underline{35}$，$9\times 3=\underline{27}<4\times 7=\underline{28}$）。
    4. 第 4 步（求盒数）：$7$ 位老师共吃 $7\times\dfrac{9}{7}=\underline{9}$ 盒。
    最终答案：至少再来 $3$ 位；每位老师饭量是 $\frac{9}{7}$ 盒；一共买了 $9$ 盒。
  25. 7. ch09-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（第一个式子拆分）：共 $3000$ 项，每项写成 $1-\frac{1}{k}$，和 $=3000-\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{3000}\right)$。
    2. 第 2 步（第二个式子拆分）：共 $2975$ 项，每项写成 $1+\frac{1}{k}$，和 $=2975+\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2975}\right)$。
    3. 第 3 步（化归）：两式相减后只需比较 $3000-2975-1=\underline{24}$ 与 $2\times\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2975}\right)+\left(\frac{1}{2976}+\cdots+\frac{1}{3000}\right)$。
    4. 第 4 步（分组放缩）：把 $\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2975}$ 按 $2$ 的幂分成 $[2,3],[4,7],[8,15],\cdots,[2048,2975]$ 共 $\underline{11}$ 组，每组都小于 $1$（如 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}<2\times\frac{1}{2}=\underline{1}$），所以它小于 $11$。
    5. 第 5 步（合计比较）：$2\times 11+1=\underline{23}$，小于 $24$，所以第一个式子大。
    最终答案：第一个比第二个大。
  26. 7. ch09-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步（甲队拆分）：共 $2008$ 项，每项 $=1-\frac{1}{k}$，总和 $=2008-\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)$。
    2. 第 2 步（乙队拆分）：共 $1983$ 项，每项 $=1+\frac{1}{k}$，总和 $=1983+\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}\right)$。
    3. 第 3 步（化归）：只需比较 $2008-1983-1=\underline{24}$ 与两串单位分数之和。
    4. 第 4 步（分组放缩）：$\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}$ 分成 $\underline{10}$ 组，每组小于 $1$（如 $\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{7}<4\times\frac{1}{4}=\underline{1}$），故小于 $10$；零头 $\frac{1}{1984}+\cdots+\frac{1}{2008}<1$。
    5. 第 5 步（比较）：$2\times 10+1=\underline{21}<24$，甲队更大。
    最终答案：甲队（第一个式子）更大。
  27. 7. ch09-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分）：前者 $=100-\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{100}\right)$，后者 $=75+\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{75}\right)$。
    2. 第 2 步（化归）：只需比较 $100-75-1=\underline{24}$ 与 $2\times\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{75}\right)+\left(\frac{1}{76}+\cdots+\frac{1}{100}\right)$。
    3. 第 3 步（分组放缩）：$\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{75}$ 分成 $[2,3],[4,7],[8,15],[16,31],[32,63],[64,75]$ 共 $\underline{6}$ 组，每组小于 $1$，故小于 $6$；零头 $\frac{1}{76}+\cdots+\frac{1}{100}<25\times\frac{1}{76}=\underline{0.328947368}$（小于 $1$）。
    4. 第 4 步（比较）：$2\times 6+1=\underline{13}<24$，所以第一个式子大。
    最终答案：第一个比第二个大。
  28. 7. ch09-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（化归）：两式之差 $=2008-1983-1-\left[2\times\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}\right)+\left(\frac{1}{1984}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)\right]$，其中 $2008-1983-1=\underline{24}$。
    2. 第 2 步（放缩中括号）：$\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1983}$ 分成 $10$ 组、每组小于 $1$，故小于 $10$；零头小于 $25\times\frac{1}{1984}=\underline{0.012600806}$，更小于 $1$。
    3. 第 3 步（中括号上界）：$2\times 10+1=\underline{21}$。
    4. 第 4 步（估计差）：差 $>24-21=\underline{3}$，即前者至少比后者大 $3$。
    最终答案：前者更大，且至少比后者大 $3$。
  29. 9. ch09-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步：$0.\dot{2}1\dot{6}=\dfrac{216}{999}$，分子分母同除以 $27$ 得 $\dfrac{216\div 27}{999\div 27}=\dfrac{\underline{8}}{\underline{37}}$，即 $\frac{8}{37}$。
    2. 第 2 步（交叉相乘）：$8\times 23=\underline{184}$，$5\times 37=\underline{185}$，前者小，所以 $0.\dot{2}1\dot{6}<\frac{5}{23}$。
    3. 第 3 步：把 $\frac{21}{37}$ 化成分母 $999$ 的形式，分子是 $21\times 27=\underline{567}$，即 $0.\dot{5}6\dot{7}$。
    4. 第 4 步（逐位比）：$567<571$，所以 $0.\dot{5}7\dot{1}>\frac{21}{37}$。
    5. 第 5 步（去分母）：$0.98\times 2008=\underline{1967.84}$，比 $1979$ 小，所以 $0.98<\frac{1979}{2008}$。
    最终答案：（1）$0.\dot{2}1\dot{6}<\frac{5}{23}$；（2）$0.\dot{5}7\dot{1}>\frac{21}{37}$；（3）$0.98<\frac{1979}{2008}$。
  30. 9. ch09-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步：$0.\dot{1}3\dot{5}=\dfrac{135}{999}=\dfrac{\underline{5}}{\underline{37}}$（分子分母同除以 $27$）。
    2. 第 2 步：$5\times 19=\underline{95}<3\times 37=\underline{111}$，所以 $\frac{3}{19}$ 更大。
    3. 第 3 步：$\frac{15}{37}=\dfrac{\underline{405}}{999}=0.\dot{4}0\dot{5}<0.\dot{4}0\dot{9}$，所以 $0.\dot{4}0\dot{9}$ 更大。
    4. 第 4 步：$0.97\times 2008=\underline{1947.76}<1949$，所以 $\frac{1949}{2008}$ 更大。
    最终答案：（1）$\frac{3}{19}$ 更大；（2）$0.\dot{4}0\dot{9}$ 更大；（3）$\frac{1949}{2008}$ 更大。
  31. 9. ch09-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{1}8\dot{9}=\dfrac{189}{999}$，同除以 $27$ 得 $\dfrac{\underline{7}}{\underline{37}}$，即 $\frac{7}{37}$。
    2. 第 2 步（交叉相乘）：$7\times 21=\underline{147}$，$4\times 37=\underline{148}$。
    3. 第 3 步（下结论）：$147<148$，所以 $0.\dot{1}8\dot{9}<\frac{4}{21}$。
    最终答案：$0.\dot{1}8\dot{9}<\frac{4}{21}$。
  32. 9. ch09-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{1}8\dot{9}=\dfrac{189}{999}=\dfrac{\underline{7}}{\underline{37}}$，即 $\frac{7}{37}$。
    2. 第 2 步（比 $\frac{7}{37}$ 与 $0.19$）：去分母，$0.19\times 37=\underline{7.03}$，比分子 $7$ 大，所以 $0.\dot{1}8\dot{9}<0.19$。
    3. 第 3 步（比 $0.19$ 与 $\frac{4}{21}$）：$0.19\times 21=\underline{3.99}$，比分子 $4$ 小，所以 $0.19<\frac{4}{21}$。
    4. 第 4 步（串起来）：$0.\dot{1}8\dot{9}<0.19<\frac{4}{21}$。
    最终答案：$0.\dot{1}8\dot{9}<0.19<\frac{4}{21}$。
  33. 10. ch09-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（统一形式）：整数部分都是 $4$，只比小数部分。$4.\dot{1}\dot{6}=4\frac{16}{99}$，$4.\dot{1}\dot{7}=4\frac{17}{99}$。
    2. 第 2 步（排已知 5 数）：$5\times 99=\underline{495}<16\times 31=\underline{496}$，故 $\frac{5}{31}<\frac{16}{99}$；$16\times 80=\underline{1280}<13\times 99=\underline{1287}$，故 $\frac{16}{99}<\frac{13}{80}$；$13\times 6=\underline{78}<80$，故 $\frac{13}{80}<\frac{1}{6}$；$1\times 99=99<17\times 6=\underline{102}$，故 $\frac{1}{6}<\frac{17}{99}$。
    3. 第 3 步（推断未知数）：$4\frac{5}{31}$ 在已知 5 数中排第 1，在 7 数中排第 3，说明未给出的 $7-5=\underline{2}$ 个数都比它小。
    4. 第 4 步（找中间）：7 数从小到大为 $\square,\square,4\frac{5}{31},4.\dot{1}\dot{6},4\frac{13}{80},4\frac{1}{6},4.\dot{1}\dot{7}$，正中间是第 $(7+1)\div 2=\underline{4}$ 个，即 $4.\dot{1}\dot{6}$。
    最终答案：$4.\dot{1}\dot{6}$（即 $4\frac{16}{99}$）。
  34. 10. ch09-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（统一形式）：$\frac{116}{37}=3\frac{5}{37}$，$3.\dot{1}\dot{4}=3\frac{14}{99}$，$3.\dot{1}\dot{5}=3\frac{15}{99}$。
    2. 第 2 步（排已知 5 数）：$5\times 273=\underline{1365}<37\times 37=\underline{1369}$；$37\times 99=\underline{3663}<14\times 273=\underline{3822}$；$14\times 7=\underline{98}<99$；$99<15\times 7=\underline{105}$。
    3. 第 3 步（推断）：未给出的 $7-5=\underline{2}$ 个都比 $\frac{116}{37}$ 小。
    4. 第 4 步（找中间）：正中间是第 $(7+1)\div 2=\underline{4}$ 个，即 $3\frac{37}{273}$。
    最终答案：$3\frac{37}{273}$ 秒。
  35. 10. ch09-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（排已知 6 数）：由 $5\times 273=\underline{1365}<37\times 37=\underline{1369}$、$37\times 99=\underline{3663}<14\times 273=\underline{3822}$、$14\times 7=\underline{98}<99<15\times 7=\underline{105}$ 以及 $3.\dot{1}\dot{5}<3.16$，得 $\frac{116}{37}<3\frac{37}{273}<3.\dot{1}\dot{4}<3\frac{1}{7}<3.\dot{1}\dot{5}<3.16$。
    2. 第 2 步（推断）：$\frac{116}{37}$ 在已知 6 数中排第 1、在 9 数中排第 4，说明未给出的 $9-6=\underline{3}$ 个数都比它小，排在最前三位。
    3. 第 3 步（换向）：从大到小第 3 个就是从小到大第 $9+1-3=\underline{7}$ 个。
    4. 第 4 步（读出答案）：从小到大第 7 个是 $3\frac{1}{7}$。
    最终答案：$3\frac{1}{7}$。
  36. 10. ch09-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（排序）：由 $5\times 273=\underline{1365}<37\times 37=\underline{1369}$、$37\times 99=\underline{3663}<14\times 273=\underline{3822}$ 等可得 $\frac{116}{37}<3\frac{37}{273}<3.\dot{1}\dot{4}<3\frac{1}{7}<3.\dot{1}\dot{5}$。
    2. 第 2 步（定位）：未给出的 $7-5=\underline{2}$ 个数最小，正中间第 $(7+1)\div 2=\underline{4}$ 个是 $3\frac{37}{273}$。
    3. 第 3 步（作差）：整数部分相同，只需算 $\frac{37}{273}-\frac{5}{37}$，公分母 $273\times 37=\underline{10101}$。
    4. 第 4 步（算分子）：$37\times 37-5\times 273=\underline{4}$，所以差是 $\frac{4}{10101}$。
    最终答案：差是 $\frac{4}{10101}$。
  37. 11. ch09-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（相邻作差）：相邻两式相差 $\dfrac{5}{m(m+1)}-\dfrac{1}{30}$（$m$ 是前一式的分母）。只要它为正，算式就还在变小。
    2. 第 2 步（转成整数比较）：$\dfrac{5}{m(m+1)}>\dfrac{1}{30}$ 等价于 $m(m+1)<5\times 30=\underline{150}$。
    3. 第 3 步（找转折）：$m=11$ 时 $11\times 12=\underline{132}<150$，仍在下降；$m=12$ 时 $12\times 13=\underline{156}>150$，开始上升。所以分母为 $12$ 的那个算式最小。
    4. 第 4 步（定序号）：分母从 $6$ 开始，$12$ 是第 $12-6+1=\underline{7}$ 个算式。
    5. 第 5 步（算结果）：$\frac{5}{12}+\frac{12}{30}=\frac{25}{60}+\frac{24}{60}=\dfrac{\underline{49}}{60}$。
    最终答案：第 $7$ 个算式最小，结果是 $\frac{49}{60}$。
  38. 11. ch09-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（相邻作差）：相邻两式之差为 $\dfrac{3}{m(m+1)}-\dfrac{1}{20}$。
    2. 第 2 步（整数判别）：差为正等价于 $m(m+1)<3\times 20=\underline{60}$。
    3. 第 3 步（找转折）：$m=7$ 时 $7\times 8=\underline{56}<60$ 仍在下降；$m=8$ 时 $8\times 9=\underline{72}>60$ 开始上升，故分母为 $8$ 的第 $8-5+1=\underline{4}$ 个算式最低。
    4. 第 4 步（算结果）：$\frac{3}{8}+\frac{8}{20}=\frac{15}{40}+\frac{16}{40}=\dfrac{\underline{31}}{40}$ 元。
    最终答案：第④种配方成本最低，为 $\frac{31}{40}$ 元。
  39. 11. ch09-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（相邻作差）：相邻两式之差为 $\dfrac{2}{m(m+1)}-\dfrac{1}{12}$。
    2. 第 2 步（整数判别）：差为正等价于 $m(m+1)<2\times 12=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（找转折）：$m=4$ 时 $4\times 5=\underline{20}<24$ 仍下降；$m=5$ 时 $5\times 6=\underline{30}>24$ 开始上升，故分母为 $5$ 的算式最小，它是第 $5-3+1=\underline{3}$ 个。
    4. 第 4 步（算结果）：$\frac{2}{5}+\frac{5}{12}=\frac{24}{60}+\frac{25}{60}=\dfrac{\underline{49}}{60}$。
    最终答案：第 $3$ 个算式最小，结果是 $\frac{49}{60}$。
  40. 11. ch09-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（找最小）：相邻作差得判别式 $m(m+1)$ 与 $3\times 20=\underline{60}$ 比大小；$7\times 8=\underline{56}<60<8\times 9=\underline{72}$，故第④式 $\frac{3}{8}+\frac{8}{20}=\dfrac{\underline{31}}{40}$ 最小。
    2. 第 2 步（找最大）：④之前一路下降、之后一路上升，最大值只能在两端 ① 或 ⑨ 中产生。
    3. 第 3 步（比两端）：$①=\frac{3}{5}+\frac{5}{20}=\frac{17}{20}$，$⑨=\frac{3}{13}+\frac{13}{20}=\dfrac{60+169}{260}=\dfrac{\underline{229}}{260}$；交叉相乘 $229\times 20=\underline{4580}>17\times 260=\underline{4420}$，所以 ⑨ 最大。
    4. 第 4 步（作差）：公分母 $520$，$\frac{229}{260}=\dfrac{\underline{458}}{520}$，$\frac{31}{40}=\dfrac{\underline{403}}{520}$，分子相减 $458-403=\underline{55}$，约分得 $\frac{55}{520}=\frac{11}{104}$。
    最终答案：最小是第④式 $\frac{31}{40}$，最大是第⑨式 $\frac{229}{260}$，两者相差 $\frac{11}{104}$。
  41. 12. ch09-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（统一减 2）：$\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)\times L-2=\frac{L-m}{m}+\frac{L-n}{n}$。①的零头是 $\dfrac{30-23}{23}+\dfrac{30-27}{27}=\dfrac{\underline{7}}{23}+\dfrac{\underline{3}}{27}$，后一项约分成 $\frac{1}{9}$（$27\div 3=\underline{9}$）。
    2. 第 2 步（其余三式的零头）：②是 $\dfrac{\underline{7}}{33}+\dfrac{1}{39}$，③是 $\dfrac{7}{43}+\dfrac{\underline{3}}{47}$，④是 $\dfrac{7}{53}+\dfrac{\underline{1}}{59}$。
    3. 第 3 步（比第一项）：分子都是 $7$，分母 $23$ 最小，所以 $\frac{7}{23}$ 最大。
    4. 第 4 步（比第二项）：$\frac{1}{9}$ 与 $\frac{3}{47}$ 交叉相乘，$1\times 47=\underline{47}>3\times 9=\underline{27}$，故 $\frac{1}{9}$ 最大；它也大于 $\frac{1}{39}$、$\frac{1}{59}$。两项都最大，所以①最大。
    最终答案：第①个算式结果最大。
  42. 12. ch09-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（统一减 2）：①的零头是 $\dfrac{20-17}{17}+\dfrac{20-19}{19}=\dfrac{\underline{3}}{17}+\dfrac{\underline{1}}{19}$。
    2. 第 2 步：②的零头是 $\dfrac{30-24}{24}+\dfrac{1}{29}=\dfrac{\underline{6}}{24}+\dfrac{1}{29}$，即 $\frac{1}{4}+\frac{1}{29}$；③是 $\dfrac{\underline{9}}{31}+\dfrac{\underline{3}}{37}$；④是 $\dfrac{\underline{9}}{41}+\dfrac{3}{47}$。
    3. 第 3 步（逐项比）：$\frac{9}{31}>\frac{9}{41}$、$\frac{3}{37}>\frac{3}{47}$；又 $9\times 4=\underline{36}>31$、$3\times 29=\underline{87}>37$；再有 $9\times 17=\underline{153}>3\times 31=\underline{93}$、$3\times 19=\underline{57}>37$。
    4. 第 4 步（下结论）：③的零头最大，所以第③台机器产量最高。
    最终答案：第③台机器产量最高。
  43. 12. ch09-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（统一减 2）：前式零头 $\dfrac{20-17}{17}+\dfrac{20-19}{19}=\dfrac{\underline{3}}{17}+\dfrac{1}{19}$；后式零头 $\dfrac{40-31}{31}+\dfrac{40-37}{37}=\dfrac{\underline{9}}{31}+\dfrac{\underline{3}}{37}$。
    2. 第 2 步（比第一项）：$9\times 17=\underline{153}>3\times 31=\underline{93}$，故 $\frac{9}{31}>\frac{3}{17}$。
    3. 第 3 步（比第二项）：$3\times 19=\underline{57}>1\times 37=37$，故 $\frac{3}{37}>\frac{1}{19}$。
    4. 第 4 步（下结论）：后式零头更大，所以 $\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{37}\right)\times 40$ 更大。
    最终答案：$\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{37}\right)\times 40$ 更大。
  44. 12. ch09-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（统一减 2 找最大）：零头分别是 $\frac{3}{17}+\frac{1}{19}$、$\frac{1}{4}+\frac{1}{29}$、$\dfrac{\underline{9}}{31}+\dfrac{\underline{3}}{37}$、$\frac{9}{41}+\frac{3}{47}$；由 $9\times 17=\underline{153}>3\times 31=\underline{93}$、$3\times 29=\underline{87}>37$ 等可知③最大。
    2. 第 2 步（精确求值）：$\frac{1}{31}+\frac{1}{37}=\dfrac{31+37}{31\times 37}=\dfrac{\underline{68}}{\underline{1147}}$。
    3. 第 3 步（乘 40）：$③=\dfrac{68\times 40}{1147}=\dfrac{\underline{2720}}{1147}$。
    4. 第 4 步（与 $2.4$ 比）：去分母，$2.4\times 1147=\underline{2752.8}$，比 $2720$ 大，所以③没有超过 $2.4$。
    最终答案：第③个最大，它约等于 $2.371$，没有超过 $2.4$。
  45. 13. ch09-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（转化）：若 $\frac{p}{q}\approx 0.382$，则 $p\approx 0.382\times q$，所以把 $0.382$ 依次乘 $1\sim 9$，看谁最接近整数。
    2. 第 2 步（关键的几个）：$0.382\times 5=\underline{1.91}$（离 $2$ 差 $0.09$），$0.382\times 8=\underline{3.056}$（离 $3$ 差 $0.056$）。
    3. 第 3 步（比误差）：换算成分数的误差要除以分母，$0.09\div 5=\underline{0.018}$，$0.056\div 8=\underline{0.007}$，后者更小。
    4. 第 4 步（写出分数）：取 $q=8$、$p=3$，所求分数是 $\frac{3}{8}=\underline{0.375}$。
    最终答案：$\frac{3}{8}$。
  46. 13. ch09-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：把 $0.618$ 依次乘 $1\sim 9$，看谁最接近整数。
    2. 第 2 步（算关键值）：$0.618\times 5=\underline{3.09}$，$0.618\times 8=\underline{4.944}$。
    3. 第 3 步（找最近）：$4.944$ 与整数 $5$ 只差 $5-4.944=\underline{0.056}$，是九个结果中最接近整数的。
    4. 第 4 步（写出分数）：所求分数是 $\frac{5}{8}=\underline{0.625}$。
    最终答案：$\frac{5}{8}$。
  47. 13. ch09-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：把 $0.707$ 依次乘 $1\sim 9$，看谁最接近整数。
    2. 第 2 步（算关键值）：$0.707\times 7=\underline{4.949}$，$0.707\times 3=\underline{2.121}$。
    3. 第 3 步（比误差）：$4.949$ 离 $5$ 差 $5-4.949=\underline{0.051}$，换算成分数误差为 $0.051\div 7=\underline{0.007285714}$，比其他都小。
    4. 第 4 步（写出分数）：所求分数是 $\frac{5}{7}$，约等于 $0.714$。
    最终答案：$\frac{5}{7}$。
  48. 13. ch09-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（找分数）：$0.618\times 8=\underline{4.944}$ 最接近整数 $5$，所求分数是 $\frac{5}{8}$。
    2. 第 2 步（化成小数）：$\frac{5}{8}=5\div 8=\underline{0.625}$。
    3. 第 3 步（求差）：$0.625-0.618=\underline{0.007}$。
    4. 第 4 步（写成分数）：$0.007=\dfrac{7}{\underline{1000}}$，即所求分数比 $0.618$ 大 $\frac{7}{1000}$。
    最终答案：最接近的分数是 $\frac{5}{8}$，它比 $0.618$ 大 $0.007$（即 $\frac{7}{1000}$）。
  49. 14. ch09-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（取公倍数）：分子 $7,29,5$ 的最小公倍数是 $7\times 29\times 5=\underline{1015}$。
    2. 第 2 步（通分子）：$\frac{7}{30}=\dfrac{1015}{30\times 145}=\dfrac{1015}{\underline{4350}}$，$\frac{29}{\square}=\dfrac{1015}{35\square}$，$\frac{5}{21}=\dfrac{1015}{21\times 203}=\dfrac{1015}{\underline{4263}}$。
    3. 第 3 步（比分母）：分子相同、分母越大分数越小，所以 $4263<35\square<\underline{4350}$。
    4. 第 4 步（解范围）：两边同除以 $35$，得 $121.8<\square<\underline{124.285714286}$，故 $\square=122,123,124$。
    5. 第 5 步（数个数）：共 $124-122+1=\underline{3}$ 种填法。
    最终答案：$3$ 种。
  50. 14. ch09-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（取公倍数）：分子 $5,23,4$ 的公倍数取 $5\times 92=\underline{460}$。
    2. 第 2 步（通分子）：$\frac{5}{22}=\dfrac{460}{\underline{2024}}$，$\frac{23}{\square}=\dfrac{460}{20\square}$，$\frac{4}{17}=\dfrac{460}{\underline{1955}}$。
    3. 第 3 步（比分母）：$1955<20\square<\underline{2024}$。
    4. 第 4 步（解范围并计数）：$97.75<\square<101.2$，$\square=98,99,100,101$，共 $101-98+1=\underline{4}$ 种。
    最终答案：$4$ 种。
  51. 14. ch09-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（取公倍数）：分子 $3,13,2$ 的最小公倍数是 $\underline{78}$。
    2. 第 2 步（通分子）：$\frac{3}{14}=\dfrac{78}{\underline{364}}$（分母 $14\times 26$），$\frac{13}{\square}=\dfrac{78}{6\square}$，$\frac{2}{9}=\dfrac{78}{\underline{351}}$（分母 $9\times 39$）。
    3. 第 3 步（比分母）：$351<6\square<\underline{364}$。
    4. 第 4 步（解范围并计数）：$58.5<\square<60.\dot{6}$，$\square=59,60$，共 $60-59+1=\underline{2}$ 种。
    最终答案：$2$ 种。
  52. 14. ch09-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（通分子）：公倍数取 $460$，得 $1955<20\square<\underline{2024}$。
    2. 第 2 步（解范围）：$1955\div 20=\underline{97.75}$，$2024\div 20=\underline{101.2}$，所以 $\square=98,99,100,101$，共 $101-98+1=\underline{4}$ 种。
    3. 第 3 步（找最大分数）：分子相同，分母越小分数越大，所以取最小的 $\square=\underline{98}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac{23}{98}$ 确实大于 $\frac{5}{22}$，因为 $5\times 98=\underline{490}<23\times 22=\underline{506}$。
    最终答案：共 $4$ 种填法；其中最大的分数是 $\frac{23}{98}$。
  53. 15. ch09-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（算到 2 的差）：$2-1.44=\underline{0.56}$。
    2. 第 2 步（换算步数）：每步增加 $\frac{1}{40}$，需要 $0.56\times 40=\underline{22.4}$ 步才能到 $2$。
    3. 第 3 步（分类）：加 $0\sim 22$ 步的数都还不到 $2$，共 $22-0+1=\underline{23}$ 个，整数部分是 $1$；其余 $40-23=\underline{17}$ 个整数部分是 $2$（最大的 $1.44+\frac{39}{40}=2.415<3$）。
    4. 第 4 步（分类求和）：$1\times 23+2\times 17=\underline{57}$。
    最终答案：$57$。
  54. 15. ch09-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（算到 2 的差）：$2-1.65=\underline{0.35}$。
    2. 第 2 步（换算步数）：每天增加 $\frac{1}{30}$，$0.35\times 30=\underline{10.5}$ 步才到 $2$。
    3. 第 3 步（分类）：前 $10-0+1=\underline{11}$ 天记 $1$ 吨，其余 $30-11=\underline{19}$ 天记 $2$ 吨。
    4. 第 4 步（求和）：$1\times 11+2\times 19=\underline{49}$ 吨。
    最终答案：$49$ 吨。
  55. 15. ch09-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（算到 3 的差）：$3-2.7=\underline{0.3}$。
    2. 第 2 步（换算步数）：$0.3\times 25=\underline{7.5}$ 步才到 $3$。
    3. 第 3 步（分类）：加 $0\sim 7$ 步共 $7-0+1=\underline{8}$ 个数整数部分是 $2$；其余 $25-8=\underline{17}$ 个是 $3$。
    4. 第 4 步（求和）：$2\times 8+3\times 17=\underline{67}$。
    最终答案：$67$。
  56. 15. ch09-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（第一次跨越）：$2-1.65=\underline{0.35}$，$0.35\times 30=\underline{10.5}$，所以加 $0\sim 10$ 步共 $10-0+1=\underline{11}$ 个数整数部分是 $1$。
    2. 第 2 步（第二次跨越）：$3-1.65=\underline{1.35}$，$1.35\times 30=\underline{40.5}$，所以加 $11\sim 40$ 步的数整数部分是 $2$，共 $40-11+1=\underline{30}$ 个。
    3. 第 3 步（最后一段）：剩下加 $41\sim 59$ 步的 $59-41+1=\underline{19}$ 个数整数部分是 $3$（最大的是 $1.65+\frac{59}{30}<4$）。
    4. 第 4 步（分类求和）：$1\times 11+2\times 30+3\times 19=\underline{128}$。
    最终答案：$128$。
  57. 16. ch09-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（数项数）：分母共有 $40-21+1=\underline{20}$ 项。
    2. 第 2 步（下界）：每项都不小于最小的 $\frac{1}{40}$，所以分母 $>\frac{1}{40}\times 20=\underline{0.5}$。
    3. 第 3 步（上界）：每项都不大于最大的 $\frac{1}{21}$，所以分母 $<\frac{1}{21}\times 20=\dfrac{20}{21}$，约为 $\underline{0.952}$（保留三位小数）。
    4. 第 4 步（取倒数）：分母在 $0.5$ 与 $\frac{20}{21}$ 之间，原式就在 $\frac{21}{20}=\underline{1.05}$ 与 $\dfrac{1}{0.5}=\underline{2}$ 之间。
    5. 第 5 步（取整）：$1.05<原式<2$，整数部分是 $\underline{1}$。
    最终答案：$1$。
  58. 16. ch09-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（列式）：合作天数 $=\dfrac{1}{\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{20}}$，分母共 $20-11+1=\underline{10}$ 项。
    2. 第 2 步（放缩）：分母 $>\frac{1}{20}\times 10=\underline{0.5}$，$<\frac{1}{11}\times 10=\frac{10}{11}$。
    3. 第 3 步（取倒数）：合作天数在 $\frac{11}{10}=\underline{1.1}$ 与 $\dfrac{1}{0.5}=\underline{2}$ 之间。
    4. 第 4 步（取整）：整数部分是 $\underline{1}$ 天。
    最终答案：$1$（天）。
  59. 16. ch09-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（数项数）：分母共 $15-11+1=\underline{5}$ 项。
    2. 第 2 步（放缩）：分母 $>\frac{1}{15}\times 5=\dfrac{1}{3}$，$<\frac{1}{11}\times 5=\dfrac{5}{11}$。
    3. 第 3 步（取倒数）：原式在 $\dfrac{11}{5}=\underline{2.2}$ 与 $3$ 之间（$\dfrac{1}{1/3}=\underline{3}$）。
    4. 第 4 步（取整）：$2.2<原式<3$，整数部分是 $\underline{2}$。
    最终答案：$2$。
  60. 16. ch09-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（粗放缩定整数部分）：分母在 $\frac{10}{20}=\underline{0.5}$ 与 $\frac{10}{11}$ 之间，故原式在 $\frac{11}{10}=\underline{1.1}$ 与 $2$ 之间，整数部分是 $1$。
    2. 第 2 步（要判断是否大于 $1.3$，须把分母压得更紧）：分成两段，前 5 项 $\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{15}<\frac{5}{11}$，后 5 项 $\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{20}<\frac{5}{16}$。
    3. 第 3 步（合并上界）：$\frac{5}{11}+\frac{5}{16}=\dfrac{5\times 16+5\times 11}{11\times 16}=\dfrac{\underline{135}}{\underline{176}}$。
    4. 第 4 步（取倒数比较）：分母 $<\frac{135}{176}$，所以原式 $>\dfrac{176}{135}=\underline{1.304}$（保留三位小数），确实大于 $1.3$。
    最终答案：整数部分是 $1$；它大于 $1.3$（约 $1.495$，用分段放缩已可判定 $>1.304$）。
  61. 17. ch09-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（分解乘数）：$1155=3\times 5\times 7\times 11$，所以除以 $3,5,7,11$ 都整除：$1155\div 3=\underline{385}$，$1155\div 5=\underline{231}$，$1155\div 7=\underline{165}$，$1155\div 11=\underline{105}$。
    2. 第 2 步（带余除法）：$1155\div 2=577\cdots 1$，$1155\div 13=88\cdots 11$，即 $577\frac{1}{2}$ 与 $88\frac{11}{13}$。
    3. 第 3 步（整数部分求和）：$577+385+231+165+105+88=\underline{1551}$。
    4. 第 4 步（真分数部分）：$\frac{1}{2}+\frac{11}{13}=\dfrac{13+22}{26}=\dfrac{\underline{35}}{26}$，因为 $26<35<52$，它在 $1$ 与 $2$ 之间。
    5. 第 5 步（合并）：整数部分是 $1551+1=\underline{1552}$。
    最终答案：$1552$。
  62. 17. ch09-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（分配律展开）：总件数 $=\frac{385}{2}+\frac{385}{3}+\frac{385}{5}+\frac{385}{7}+\frac{385}{11}+\frac{385}{13}$，其中 $385\div 5=\underline{77}$，$385\div 7=\underline{55}$，$385\div 11=\underline{35}$ 都是整数。
    2. 第 2 步（带余除法）：$385\div 2=192\cdots 1$，$385\div 3=128\cdots 1$，$385\div 13=29\cdots 8$。
    3. 第 3 步（整数部分求和）：$192+128+77+55+35+29=\underline{516}$。
    4. 第 4 步（真分数部分）：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{8}{13}=\dfrac{39+26+48}{78}=\dfrac{\underline{113}}{78}$，在 $1$ 与 $2$ 之间。
    5. 第 5 步（合并）：$516+1=\underline{517}$。
    最终答案：$517$（件）。
  63. 17. ch09-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（分配律展开）：$\frac{63}{2}+\frac{63}{3}+\frac{63}{7}+\frac{63}{9}$，其中 $63\div 3=\underline{21}$，$63\div 7=\underline{9}$，$63\div 9=\underline{7}$ 都是整数。
    2. 第 2 步（带余除法）：$63\div 2=31\cdots 1$，即 $31\frac{1}{2}$。
    3. 第 3 步（整数部分求和）：$31+21+9+7=\underline{68}$。
    4. 第 4 步（真分数部分）：只剩 $\frac{1}{2}$，它小于 $1$，所以整数部分就是 $68+0=\underline{68}$。
    最终答案：$68$。
  64. 17. ch09-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（展开取整）：整数部分之和 $192+128+77+55+35+29=\underline{516}$。
    2. 第 2 步（真分数部分）：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{8}{13}=\dfrac{\underline{113}}{78}$，由 $78<113<156$ 知它在 $1$ 与 $2$ 之间，故整数部分为 $516+1=\underline{517}$。
    3. 第 3 步（算小数部分）：真分数部分减去 $1$ 得 $\dfrac{113-78}{78}=\dfrac{\underline{35}}{78}$。
    4. 第 4 步（与 $\frac{1}{2}$ 比较）：$35\times 2=\underline{70}<78$，所以 $\frac{35}{78}<\frac{1}{2}$，结果没有超过 $517.5$。
    最终答案：整数部分是 $517$；结果约为 $517.449$，没有超过 $517.5$。
  65. 18. ch09-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（下界）：只看前 16 项就够了。$1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}\right)>1+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{8}{16}=\underline{3}$，再加上剩下 4 个正数，和仍大于 $3$。
    2. 第 2 步（上界·先算准前 4 项）：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\underline{2.083333333}$（保留四位小数 $2.0833$）。
    3. 第 3 步（上界·细分成小组）：$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}<\frac{2}{5}=\underline{0.4}$，$\frac{1}{7}+\frac{1}{8}<\frac{2}{7}\approx 0.2857$，$\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{12}<\frac{4}{9}\approx 0.4444$，$\frac{1}{13}+\cdots+\frac{1}{16}<\frac{4}{13}\approx 0.3077$，$\frac{1}{17}+\cdots+\frac{1}{20}<\frac{4}{17}\approx\underline{0.2353}$（保留四位小数）。
    4. 第 4 步（合上界）：$2.0833+0.4+0.2857+0.4444+0.3077+0.2353=\underline{3.7564}$，小于 $4$。
    5. 第 5 步（夹逼取整）：$3<和<4$，整数部分是 $\underline{3}$。
    最终答案：$3$。
  66. 18. ch09-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（列式分组）：注水量 $=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}\right)$。
    2. 第 2 步（下界）：每组用最小项，$\frac{2}{4}=\underline{0.5}$，$\frac{4}{8}=\underline{0.5}$，$\frac{8}{16}=\underline{0.5}$，所以和 $>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\underline{3}$。
    3. 第 3 步（上界）：每组用最大项，和 $<1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{8}{9}=\underline{3.855555556}$（约 $3.856$），小于 $4$。
    4. 第 4 步（取整）：整数部分是 $\underline{3}$。
    最终答案：$3$。
  67. 18. ch09-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（分组）：$1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)$。
    2. 第 2 步（下界）：每组用最小项，$\frac{2}{4}+\frac{4}{8}=\underline{1}$，故和 $>1+\frac{1}{2}+1=\underline{2.5}$。
    3. 第 3 步（上界）：每组用最大项，和 $<1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\underline{2.966666667}$，小于 $3$。
    4. 第 4 步（夹逼取整）：$2.5<和<3$，整数部分是 $\underline{2}$。
    最终答案：$2$。
  68. 18. ch09-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（定整数部分）：下界 $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{8}{16}=\underline{3}$，上界 $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{8}{9}\approx 3.856<4$，整数部分是 $3$。
    2. 第 2 步（要判断是否小于 3.5，须把上界压紧）：前 8 项直接精确相加，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{8}=\underline{2.717857143}$（约 $2.7179$）。
    3. 第 3 步（后 8 项细分两组）：$\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{12}<\frac{4}{9}$，$\frac{1}{13}+\cdots+\frac{1}{16}<\frac{4}{13}$。
    4. 第 4 步（合并上界）：和 $<\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\frac{4}{9}+\frac{4}{13}=\underline{3.469993895}$（约 $3.470$），小于 $3.5$。
    最终答案：整数部分是 $3$；这个和小于 $3.5$。
  69. 19. ch09-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（改写）：$333333=\dfrac{1000000-1}{3}$，因为 $999999\div 3=\underline{333333}$。
    2. 第 2 步（平方）：$333333\times 333333=\underline{111110888889}$。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：$333.333=\dfrac{333333}{1000}$，平方后小数点左移 6 位，得 $111110.888889$，整数部分是 $\underline{111110}$。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：$3333.33=\dfrac{333333}{100}$，平方后小数点左移 4 位，得 $11111088.8889$，整数部分是 $\underline{11111088}$。
    最终答案：（1）$111110$；（2）$11111088$。
  70. 19. ch09-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（改写）：$33333=\dfrac{100000-1}{3}$，因为 $99999\div 3=\underline{33333}$。
    2. 第 2 步（平方）：$33333\times 33333=\underline{1111088889}$。
    3. 第 3 步（第一块）：$33.333^2=1111.088889$，整数部分是 $\underline{1111}$ 平方米。
    4. 第 4 步（第二块）：$333.33^2=111108.8889$，整数部分是 $\underline{111108}$ 平方米。
    最终答案：（1）$1111$ 平方米；（2）$111108$ 平方米。
  71. 19. ch09-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（关联已知）：$66666=2\times 33333$，所以 $66666^2=4\times 33333^2=4\times 1111088889=\underline{4444355556}$。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：$66.666=\dfrac{66666}{1000}$，平方后小数点左移 6 位，得 $4444.355556$，整数部分是 $\underline{4444}$。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：$666.66=\dfrac{66666}{100}$，平方后小数点左移 4 位，得 $444435.5556$，整数部分是 $\underline{444435}$。
    最终答案：（1）$4444$；（2）$444435$。
  72. 19. ch09-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（提取公因数）：两项都含 $33.333$，用乘法分配律逆用，原式 $=33.333\times(33.333+66.667)$。
    2. 第 2 步（括号凑整）：$33.333+66.667=\underline{100}$。
    3. 第 3 步（相乘）：$33.333\times 100=\underline{3333.3}$。
    4. 第 4 步（取整数部分）：$3333.3$ 的整数部分是 $\underline{3333}$。
    最终答案：$3333$。
  73. 20. ch09-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（写区间）：$11.5\leqslant a<\underline{12.5}$，$14.5\leqslant b<\underline{15.5}$。
    2. 第 2 步（乘积下界）：$11.5\times 14.5=\underline{166.75}$。
    3. 第 3 步（乘积上界）：$12.5\times 15.5=\underline{193.75}$（取不到）。
    4. 第 4 步（数个数）：整数部分可取 $166\sim 193$，共 $193-166+1=\underline{28}$ 种。
    最终答案：$28$ 种。
  74. 20. ch09-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（写区间）：宽 $6.5\leqslant a<\underline{7.5}$，长 $8.5\leqslant b<\underline{9.5}$。
    2. 第 2 步（面积下界）：$6.5\times 8.5=\underline{55.25}$。
    3. 第 3 步（面积上界）：$7.5\times 9.5=\underline{71.25}$（取不到）。
    4. 第 4 步（数个数）：整数部分从 $55$ 到 $71$，共 $71-55+1=\underline{17}$ 种。
    最终答案：$17$ 种。
  75. 20. ch09-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（写区间）：$3.5\leqslant a<\underline{4.5}$，$5.5\leqslant b<\underline{6.5}$。
    2. 第 2 步（乘积区间）：$3.5\times 5.5=\underline{19.25}$，$4.5\times 6.5=\underline{29.25}$。
    3. 第 3 步（数个数）：整数部分从 $19$ 到 $29$，共 $29-19+1=\underline{11}$ 种。
    最终答案：$11$ 种。
  76. 20. ch09-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（写区间）：$2.5\leqslant a<3.5$，$4.5\leqslant b<5.5$，$6.5\leqslant c<\underline{7.5}$。
    2. 第 2 步（乘积下界）：$2.5\times 4.5\times 6.5=\underline{73.125}$。
    3. 第 3 步（乘积上界）：$3.5\times 5.5\times 7.5=\underline{144.375}$（取不到）。
    4. 第 4 步（数个数）：整数部分从 $73$ 到 $144$，共 $144-73+1=\underline{72}$ 种。
    最终答案：$72$ 种。
  77. 21. ch09-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（定区间）：正确的平均数 $a$ 四舍五入后形如 $14.3\square$，所以 $14.295\leqslant a<\underline{14.395}$。
    2. 第 2 步（乘个数）：总和 $23a$ 满足 $14.295\times 23=\underline{328.785}\leqslant 23a<14.395\times 23=\underline{331.085}$。
    3. 第 3 步（取整数）：区间内的整数是 $329$、$330$、$331$，共 $331-329+1=\underline{3}$ 个。
    4. 第 4 步（还原平均数）：$329\div 23=14.3043\cdots\approx 14.30$；$330\div 23=14.3478\cdots\approx\underline{14.35}$；$331\div 23=14.3913\cdots\approx 14.39$。
    最终答案：正确答案可能是 $14.30$、$14.35$ 或 $14.39$。
  78. 21. ch09-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（定区间）：正确平均值 $a$ 满足 $11.195\leqslant a<\underline{11.295}$。
    2. 第 2 步（乘户数）：总度数 $17a$ 满足 $11.195\times 17=\underline{190.315}\leqslant 17a<11.295\times 17=\underline{192.015}$。
    3. 第 3 步（取整数）：总度数只能是 $191$ 或 $192$，共 $192-191+1=\underline{2}$ 种。
    4. 第 4 步（还原）：$191\div 17\approx 11.24$，$192\div 17\approx\underline{11.29}$。
    最终答案：正确的平均值是 $11.24$ 或 $11.29$。
  79. 21. ch09-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（定区间）：$9.395\leqslant a<\underline{9.495}$。
    2. 第 2 步（乘个数）：$9.395\times 19=\underline{178.505}\leqslant 19a<9.495\times 19=\underline{180.405}$。
    3. 第 3 步（取整数）：总和只能是 $179$ 或 $180$。
    4. 第 4 步（还原并排除）：$179\div 19=9.4210\cdots\approx\underline{9.42}$；$180\div 19=9.4736\cdots\approx 9.47$，但 $9.47$ 正是冬冬算错的那个数（百分位必须不同），要排除。
    5. 第 5 步（写答案）：正确答案是 $9.42$。
    最终答案：$9.42$。
  80. 21. ch09-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（定区间）：$11.195\leqslant a<\underline{11.295}$。
    2. 第 2 步（乘个数取整）：$11.195\times 17=\underline{190.315}\leqslant 17a<11.295\times 17=\underline{192.015}$，总和只能是 $191$ 或 $192$。
    3. 第 3 步（保留两位）：$191\div 17\approx\underline{11.24}$，$192\div 17\approx 11.29$。
    4. 第 4 步（保留三位）：$191\div 17=11.23529\cdots\approx\underline{11.235}$；$192\div 17=11.29411\cdots\approx\underline{11.294}$。
    最终答案：正确答案是 $11.24$ 或 $11.29$；保留三位小数分别是 $11.235$ 与 $11.294$。
  81. 22. ch09-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（卡住最小数 $a$ 的下限）：若 $a\leqslant 2$，和至少是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\underline{0.722222222}$（约 $0.722$），已超过 $0.569$，所以 $a\geqslant 3$。
    2. 第 2 步（卡住最小数 $a$ 的上限）：若 $a\geqslant 6$，和至多是 $\frac{1}{6}\times 3=\underline{0.5}$，小于 $0.569$，所以 $a\leqslant 5$；作为对照，$\frac{1}{4}\times 3=\underline{0.75}$ 还远大于 $0.569$，说明 $a$ 小了不行、大了也不行。
    3. 第 3 步（逐层试）：取 $a=3$，则 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\approx 0.569-0.333=\underline{0.236}$（约 $0.236$）；试 $b=8,c=9$ 得 $\frac{1}{8}+\frac{1}{9}=\underline{0.236111111}$（约 $0.2361$），正好。
    4. 第 4 步（验算）：$\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}=\underline{0.569444444}$，四舍五入到千分位正是 $0.569$。
    最终答案：三个数分别是 $3,8,9$。
  82. 22. ch09-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（排除太小的分母）：若最小的分母 $\leqslant 2$，三管之和至少是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\underline{0.722222222}$，超过 $0.658$。
    2. 第 2 步（排除太大的分母）：若最小的分母 $\geqslant 5$，三管之和至多是 $\frac{1}{5}\times 3=\underline{0.6}$，不足 $0.658$。
    3. 第 3 步（逐层试）：故最小分母是 $3$ 或 $4$；试 $a=3$ 时 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\approx 0.658-0.333=\underline{0.325}$，试得 $b=5$、$c=8$：$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\underline{0.325}$。
    4. 第 4 步（验算）：$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\underline{0.658333333}$，约等于 $0.658$。
    最终答案：三个数分别是 $3,5,8$。
  83. 22. ch09-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（定最小数）：若最小分母 $a\geqslant 3$，和至多 $\frac{1}{3}\times 3=\underline{1}$，仍大于 $0.754$，需继续判断；但若 $a\geqslant 4$，和至多 $\frac{1}{4}\times 3=\underline{0.75}$，小于 $0.754$，故 $a\leqslant 3$。
    2. 第 2 步（排除 $a=1$）：$a=1$ 时和已超过 $1$，故 $a=2$ 或 $3$。
    3. 第 3 步（试 $a=2$）：$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\approx 0.754-0.5=\underline{0.254}$；试 $b=7$、$c=9$ 得 $\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\underline{0.253968254}$（约 $0.254$），正好。
    4. 第 4 步（验算）：$\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\underline{0.753968254}$，四舍五入到千分位是 $0.754$。
    最终答案：三个数分别是 $2,7,9$。
  84. 22. ch09-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（定范围）：最小分母 $a$ 满足：$a\leqslant 2$ 时和至少 $\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\underline{0.722222222}$ 太大，$a\geqslant 5$ 时和至多 $\frac{1}{5}\times 3=\underline{0.6}$ 太小，故 $a=3$ 或 $4$。
    2. 第 2 步（试出解）：$a=3$ 时 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\approx 0.325$，试得 $b=5,c=8$，验算 $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\underline{0.658333333}$。
    3. 第 3 步（求和）：$3+5+8=\underline{16}$。
    4. 第 4 步（求最小公倍数）：$3,5,8$ 两两互质，最小公倍数是 $3\times 5\times 8=\underline{120}$。
    最终答案：三个数是 $3,5,8$；它们的和是 $16$，最小公倍数是 $120$。
  85. 23. ch09-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（小数与分数比）：把小数乘上分母再与分子比，$0.4375\times 23=\underline{10.0625}$，它比分子 $9$ 大，所以 $0.4375>\frac{9}{23}$。
    2. 第 2 步（混循环化分数）：循环节 $16$ 前有 1 位不循环，$0.5\dot{1}\dot{6}=\dfrac{516-5}{990}=\dfrac{\underline{511}}{990}$。
    3. 第 3 步（交叉相乘）：$511\times 7=\underline{3577}$，$4\times 990=\underline{3960}$，前者小，所以 $0.5\dot{1}\dot{6}<\frac{4}{7}$。
    4. 第 4 步：$1.23\dot{6}=\dfrac{1236-123}{900}=\dfrac{\underline{1113}}{900}$，交叉相乘 $1113\times 30=\underline{33390}$，$37\times 900=\underline{33300}$，前者大，所以 $1.23\dot{6}>\frac{37}{30}$。
    最终答案：（1）$0.4375>\frac{9}{23}$；（2）$0.5\dot{1}\dot{6}<\frac{4}{7}$；（3）$1.23\dot{6}>\frac{37}{30}$。
  86. 23. ch09-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：第 (1) 组把小数乘分母，$0.375\times 19=\underline{7.125}$，比分子 $7$ 大，所以 $0.375$ 更大。
    2. 第 2 步：第 (2) 组先化分数，$0.4\dot{2}\dot{3}=\dfrac{423-4}{990}=\dfrac{\underline{419}}{990}$。
    3. 第 3 步：交叉相乘 $419\times 7=\underline{2933}$，$3\times 990=\underline{2970}$，所以 $\frac{3}{7}$ 更大。
    4. 第 4 步：第 (3) 组 $1.34\dot{7}=\dfrac{1347-134}{900}=\dfrac{\underline{1213}}{900}$，$1213\times 23=\underline{27899}$，$31\times 900=\underline{27900}$，所以 $\frac{31}{23}$ 更大。
    最终答案：（1）$0.375$ 更大；（2）$\frac{3}{7}$ 更大；（3）$\frac{31}{23}$ 更大。
  87. 23. ch09-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（纯循环化分数）：循环节 2 位，分母写两个 $9$，$0.\dot{2}\dot{7}=\dfrac{27}{99}$，约分后分子是 $27\div 9=\underline{3}$，分母是 $99\div 9=\underline{11}$，即 $\frac{3}{11}$。
    2. 第 2 步（交叉相乘）：$3\times 18=\underline{54}$，$5\times 11=\underline{55}$。
    3. 第 3 步（下结论）：前者小于后者，所以 $0.\dot{2}\dot{7}<\frac{5}{18}$。
    最终答案：$0.\dot{2}\dot{7}<\frac{5}{18}$。
  88. 23. ch09-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步：$0.\dot{2}\dot{7}=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}$（分子 $27\div 9=\underline{3}$，分母 $99\div 9=\underline{11}$）。
    2. 第 2 步：比 $\frac{3}{11}$ 与 $\frac{5}{18}$，交叉相乘 $3\times 18=\underline{54}$、$5\times 11=\underline{55}$，所以 $\frac{3}{11}<\frac{5}{18}$。
    3. 第 3 步：比 $\frac{5}{18}$ 与 $0.28$，把小数乘分母 $0.28\times 18=\underline{5.04}$，它比分子 $5$ 大，所以 $\frac{5}{18}<0.28$。
    4. 第 4 步（串起来排序）：$0.\dot{2}\dot{7}<\frac{5}{18}<0.28$。
    最终答案：$0.\dot{2}\dot{7}<\frac{5}{18}<0.28$。
  89. 24. ch09-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{2}\dot{3}=\dfrac{23}{99}$；$0.2\dot{3}=\dfrac{23-2}{90}=\dfrac{\underline{21}}{90}=\dfrac{7}{30}$。
    2. 第 2 步：比 $\frac{7}{30}$ 与 $\frac{23}{99}$，交叉相乘 $7\times 99=\underline{693}$、$23\times 30=\underline{690}$，所以 $0.2\dot{3}>0.\dot{2}\dot{3}$。
    3. 第 3 步：比 $\frac{23}{99}$ 与 $0.23$，把小数乘分母 $0.23\times 99=\underline{22.77}$，它比分子 $23$ 小，所以 $0.\dot{2}\dot{3}>0.23$。
    4. 第 4 步：比 $0.23$ 与 $\frac{5}{22}$，$0.23\times 22=\underline{5.06}$，比分子 $5$ 大，所以 $0.23>\frac{5}{22}$。
    5. 第 5 步：比 $\frac{5}{22}$ 与 $\frac{2}{9}$，$5\times 9=\underline{45}$、$2\times 22=\underline{44}$，所以 $\frac{5}{22}>\frac{2}{9}$。
    6. 第 6 步（串成链）：$0.2\dot{3}>0.\dot{2}\dot{3}>0.23>\frac{5}{22}>\frac{2}{9}$。
    最终答案：$0.2\dot{3}>0.\dot{2}\dot{3}>0.23>\frac{5}{22}>\frac{2}{9}$。
  90. 24. ch09-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{1}\dot{7}=\dfrac{17}{99}$；$0.1\dot{7}=\dfrac{17-1}{90}=\dfrac{\underline{16}}{90}=\dfrac{8}{45}$。
    2. 第 2 步：$\frac{8}{45}$ 与 $\frac{4}{23}$ 交叉相乘，$8\times 23=\underline{184}$、$4\times 45=\underline{180}$，故 $0.1\dot{7}$ 最浓。
    3. 第 3 步：$\frac{4}{23}$ 与 $\frac{17}{99}$ 交叉相乘，$4\times 99=\underline{396}$、$17\times 23=\underline{391}$，故 $\frac{4}{23}>0.\dot{1}\dot{7}$。
    4. 第 4 步：$0.17\times 99=\underline{16.83}$ 小于 $17$，故 $0.\dot{1}\dot{7}>0.17$；$0.17\times 6=\underline{1.02}$ 大于 $1$，故 $0.17>\frac{1}{6}$。
    5. 第 5 步：串成链得到排列。
    最终答案：$0.1\dot{7}>\frac{4}{23}>0.\dot{1}\dot{7}>0.17>\frac{1}{6}$。
  91. 24. ch09-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{3}\dot{5}=\dfrac{35}{99}$；$0.3\dot{5}=\dfrac{35-3}{90}=\dfrac{\underline{32}}{90}=\dfrac{16}{45}$。
    2. 第 2 步：$\frac{5}{14}$ 与 $\frac{16}{45}$ 交叉相乘，$5\times 45=\underline{225}$、$16\times 14=\underline{224}$，所以 $\frac{5}{14}>0.3\dot{5}$。
    3. 第 3 步：$\frac{16}{45}$ 与 $\frac{35}{99}$ 交叉相乘，$16\times 99=\underline{1584}$、$35\times 45=\underline{1575}$，所以 $0.3\dot{5}>0.\dot{3}\dot{5}$。
    4. 第 4 步：$0.35\times 99=\underline{34.65}$ 小于 $35$，所以 $0.\dot{3}\dot{5}>0.35$。
    5. 第 5 步（串成链）：$\frac{5}{14}>0.3\dot{5}>0.\dot{3}\dot{5}>0.35$。
    最终答案：$\frac{5}{14}>0.3\dot{5}>0.\dot{3}\dot{5}>0.35$。
  92. 24. ch09-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.3\dot{5}=\dfrac{35-3}{90}=\dfrac{\underline{32}}{90}=\dfrac{16}{45}$，$0.\dot{3}\dot{5}=\dfrac{35}{99}$。
    2. 第 2 步（排序）：$5\times 45=\underline{225}>16\times 14=\underline{224}$，$16\times 99=\underline{1584}>35\times 45=\underline{1575}$，$0.35\times 99=\underline{34.65}<35$，故 $\frac{5}{14}>0.3\dot{5}>0.\dot{3}\dot{5}>0.35$。
    3. 第 3 步（作差通分）：最大是 $\frac{5}{14}$，最小是 $0.35=\frac{7}{20}$，公分母取 $140$：$\frac{5}{14}=\dfrac{\underline{50}}{140}$，$\frac{7}{20}=\dfrac{\underline{49}}{140}$。
    4. 第 4 步（相减）：分子相减 $50-49=\underline{1}$，所以差是 $\frac{1}{140}$。
    最终答案：排列为 $\frac{5}{14}>0.3\dot{5}>0.\dot{3}\dot{5}>0.35$；最大与最小的差是 $\frac{1}{140}$。
  93. 25. ch09-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{7}\dot{2}=\dfrac{72}{99}=\dfrac{8}{11}$；$0.7\dot{2}=\dfrac{72-7}{90}=\dfrac{\underline{65}}{90}=\dfrac{13}{18}$。
    2. 第 2 步（把已知 6 个数排序）：$18\times 18=\underline{324}<13\times 25=\underline{325}$，故 $\frac{18}{25}<\frac{13}{18}$；$13\times 47=\underline{611}<34\times 18=\underline{612}$，故 $\frac{13}{18}<\frac{34}{47}$；$34\times 11=\underline{374}<8\times 47=\underline{376}$，故 $\frac{34}{47}<\frac{8}{11}$；再由 $8\times 9=\underline{72}<7\times 11=\underline{77}$ 与 $7\times 6=\underline{42}<5\times 9=\underline{45}$ 得 $\frac{8}{11}<\frac{7}{9}<\frac{5}{6}$。
    3. 第 3 步（推断未知数）：$0.7\dot{2}$ 在已知 6 数中排第 2，而在 8 数中排第 4，说明没给出的 $8-6=\underline{2}$ 个数都比它小。
    4. 第 4 步（换向）：8 个数从小到大为 $\square,\square,\frac{18}{25},0.7\dot{2},\frac{34}{47},\frac{8}{11},\frac{7}{9},\frac{5}{6}$，从大到小第 4 个就是从小到大第 $8+1-4=\underline{5}$ 个，即 $\frac{34}{47}$。
    最终答案：$\frac{34}{47}$。
  94. 25. ch09-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{5}\dot{1}=\dfrac{51}{99}=\dfrac{17}{33}$；$0.5\dot{1}=\dfrac{51-5}{90}=\dfrac{\underline{46}}{90}=\dfrac{23}{45}$。
    2. 第 2 步（已知 6 个排序）：$24\times 45=\underline{1080}<23\times 47=\underline{1081}$；$23\times 33=\underline{759}<17\times 45=\underline{765}$；$17\times 25=\underline{425}<13\times 33=\underline{429}$；$13\times 9=\underline{117}<5\times 25=\underline{125}$；$5\times 3=\underline{15}<2\times 9=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（推断）：没给出的 $8-6=\underline{2}$ 个都比 $0.5\dot{1}$ 小。
    4. 第 4 步（换向）：从高到低第 4 位就是从低到高第 $8+1-4=\underline{5}$ 位，即 $0.\dot{5}\dot{1}$。
    最终答案：$0.\dot{5}\dot{1}$。
  95. 25. ch09-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数）：$0.\dot{2}\dot{4}=\dfrac{24}{99}=\dfrac{8}{33}$；$0.2\dot{4}=\dfrac{24-2}{90}=\dfrac{\underline{22}}{90}=\dfrac{11}{45}$。
    2. 第 2 步（已知 5 个排序）：$5\times 25=\underline{125}<6\times 21=\underline{126}$，$6\times 33=\underline{198}<8\times 25=\underline{200}$，$8\times 70=\underline{560}<17\times 33=\underline{561}$，$17\times 45=\underline{765}<11\times 70=\underline{770}$，故 $\frac{5}{21}<\frac{6}{25}<0.\dot{2}\dot{4}<\frac{17}{70}<0.2\dot{4}$。
    3. 第 3 步（推断）：$\frac{5}{21}$ 在已知 5 数中排第 1，在 7 数中排第 3，说明没给出的 $7-5=\underline{2}$ 个数都比它小，排在最前面。
    4. 第 4 步（找中间）：7 个数正中间是第 $(7+1)\div 2=\underline{4}$ 个，即 $\frac{6}{25}$。
    最终答案：$\frac{6}{25}$。
  96. 25. ch09-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（化分数与排序）：$0.7\dot{2}=\dfrac{72-7}{90}=\dfrac{\underline{65}}{90}=\dfrac{13}{18}$，$0.\dot{7}\dot{2}=\dfrac{8}{11}$；由 $13\times 47=\underline{611}<34\times 18=\underline{612}$ 等可得 $\frac{18}{25}<\frac{13}{18}<\frac{34}{47}<\frac{8}{11}<\frac{7}{9}<\frac{5}{6}$。
    2. 第 2 步（推断）：没给出的 $8-6=\underline{2}$ 个数都比 $0.7\dot{2}$ 小，故 8 数从小到大为 $\square,\square,\frac{18}{25},\frac{13}{18},\frac{34}{47},\frac{8}{11},\frac{7}{9},\frac{5}{6}$。
    3. 第 3 步（定位两个数）：从小到大第 4 个是 $\frac{13}{18}$；从大到小第 4 个是从小到大第 $8+1-4=\underline{5}$ 个，即 $\frac{34}{47}$。
    4. 第 4 步（通分作差）：公分母 $47\times 18=\underline{846}$，分子相减 $34\times 18-13\times 47=\underline{1}$，所以差是 $\frac{1}{846}$。
    最终答案：差是 $\frac{1}{846}$。
  97. 26. ch09-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（定公倍数）：分子 $3,7,2$ 的最小公倍数是 $\underline{42}$。
    2. 第 2 步（通分子）：$\frac{3}{8}=\dfrac{42}{\underline{112}}$（分母 $8\times 14$），$\frac{7}{\square}=\dfrac{42}{6\square}$，$\frac{2}{5}=\dfrac{42}{\underline{105}}$（分母 $5\times 21$）。
    3. 第 3 步（比分母）：分子相同，分母越大数越小，所以 $112>6\square>\underline{105}$。
    4. 第 4 步（求整数）：$6$ 的倍数中在这个范围里的只有 $6\times 18=\underline{108}$，所以 $\square=\underline{18}$。
    最终答案：$18$。
  98. 26. ch09-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（定公倍数）：分子 $2,5,3$ 的最小公倍数是 $\underline{30}$。
    2. 第 2 步（通分子）：$\frac{2}{3}=\dfrac{30}{\underline{45}}$，$\frac{5}{\square}=\dfrac{30}{6\square}$，$\frac{3}{4}=\dfrac{30}{\underline{40}}$。
    3. 第 3 步（比分母）：$45>6\square>\underline{40}$。
    4. 第 4 步（求整数）：只有 $6\times 7=\underline{42}$ 落在范围内，所以 $\square=\underline{7}$。
    最终答案：$7$。
  99. 26. ch09-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（通分母）：这次未知数在分子上，把三个分数都化成分母 $24$：$\frac{7}{12}=\dfrac{\underline{14}}{24}$，$\frac{2}{3}=\dfrac{\underline{16}}{24}$。
    2. 第 2 步（比分子）：分母相同比分子，$14<\square<\underline{16}$。
    3. 第 3 步（求整数）：中间的自然数只有 $\square=\underline{15}$。
    最终答案：$15$。
  100. 26. ch09-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（定公倍数）：分子 $1,5,2$ 的最小公倍数是 $\underline{10}$。
    2. 第 2 步（通分子）：$\frac{1}{3}=\dfrac{10}{\underline{30}}$，$\frac{5}{\square}=\dfrac{10}{2\square}$，$\frac{2}{5}=\dfrac{10}{\underline{25}}$。
    3. 第 3 步（比分母）：$30>2\square>\underline{25}$，即 $\square$ 要满足 $15>\square>\underline{12.5}$（两边同除以 $2$）。
    4. 第 4 步（数一数）：$\square$ 可取 $13,14$，共 $15-12-1=\underline{2}$ 种填法。
    最终答案：$2$ 种。
  101. 27. ch09-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（$k=1$）：通分子 $4$，$\frac{1}{9}=\dfrac{4}{\underline{36}}$，$\frac{1}{N}=\dfrac{4}{4N}$，$\frac{4}{15}$，得 $15<4N<36$，所以 $N$ 可取 $4,5,6,7,8$，共 $\underline{5}$ 个。
    2. 第 2 步（$k=2$）：通分子 $4$，$\frac{2}{N}=\dfrac{4}{2N}$，得 $15<2N<36$，$N$ 从 $8$ 到 $17$；再去掉偶数（否则不最简），只剩 $9,11,13,15,17$，共 $\underline{5}$ 个。
    3. 第 3 步（$k=3$）：通分子 $12$，$\frac{1}{9}=\dfrac{12}{\underline{108}}$，$\frac{3}{N}=\dfrac{12}{4N}$，$\frac{4}{15}=\dfrac{12}{\underline{45}}$，得 $45<4N<108$，$N$ 从 $12$ 到 $26$；去掉 $3$ 的倍数 $12,15,18,21,24$，剩 $15-\underline{5}=10$ 个。
    4. 第 4 步（求和）：$5+5+10=\underline{20}$ 个。
    最终答案：$20$ 个。
  102. 27. ch09-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（$k=1$）：通分子 $3$，$\frac{1}{7}=\dfrac{3}{\underline{21}}$，$\frac{1}{N}=\dfrac{3}{3N}$，得 $11<3N<21$，$N=4,5,6$，共 $\underline{3}$ 个。
    2. 第 2 步（$k=2$）：通分子 $6$，$\frac{1}{7}=\dfrac{6}{\underline{42}}$，$\frac{3}{11}=\dfrac{6}{\underline{22}}$，得 $22<3N<42$，$N=8\sim 13$；去掉偶数后剩 $9,11,13$，共 $\underline{3}$ 个。
    3. 第 3 步（$k=3$）：$\frac{3}{21}<\frac{3}{N}<\frac{3}{11}$，得 $11<N<21$；去掉 $3$ 的倍数 $12,15,18$，剩 $9-3=\underline{6}$ 个。
    4. 第 4 步（求和）：$3+3+6=\underline{12}$ 种。
    最终答案：$12$ 种。
  103. 27. ch09-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（从小分母试起）：分母 $2$ 时 $\frac{1}{2}$ 太大（$1\times 11=11>3\times 2=\underline{6}$，即 $\frac{1}{2}>\frac{3}{11}$）。
    2. 第 2 步：分母 $3$ 时 $\frac{1}{3}$ 也太大，因为 $1\times 11=11>3\times 3=\underline{9}$。
    3. 第 3 步：分母 $4$ 时试 $\frac{1}{4}$：与 $\frac{1}{7}$ 比有 $4<7$ 故 $\frac{1}{4}>\frac{1}{7}$；与 $\frac{3}{11}$ 比，交叉相乘 $1\times 11=11<3\times 4=\underline{12}$，故 $\frac{1}{4}<\frac{3}{11}$，符合条件。
    4. 第 4 步（下结论）：分母最小是 $\underline{4}$，所求分数是 $\frac{1}{4}$。
    最终答案：$\frac{1}{4}$。
  104. 27. ch09-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（分类计数）：$k=1$ 时 $11<3N<21$，$N=4,5,6$，共 $\underline{3}$ 个；$k=2$ 时 $22<3N<42$ 且 $N$ 为奇数，$N=9,11,13$，共 $\underline{3}$ 个；$k=3$ 时 $11<N<21$ 且 $N$ 不是 $3$ 的倍数，共 $\underline{6}$ 个。
    2. 第 2 步（总数）：$3+3+6=\underline{12}$ 个。
    3. 第 3 步（找最大）：每类中分母最小的最大，三类的“冠军”分别是 $\frac{1}{4}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{3}{13}$。比 $\frac{1}{4}$ 与 $\frac{2}{9}$：$1\times 9=9>2\times 4=\underline{8}$，故 $\frac{1}{4}$ 大。
    4. 第 4 步：比 $\frac{1}{4}$ 与 $\frac{3}{13}$：$1\times 13=13>3\times 4=\underline{12}$，故 $\frac{1}{4}$ 最大。
    最终答案：共 $12$ 个，其中最大的是 $\frac{1}{4}$。
  105. 28. ch09-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（发现共同点）：每组两个分母之和都是 $17+43=\underline{60}$。
    2. 第 2 步（统一分子）：用 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}$，五个数都写成 $\dfrac{60}{mn}$。
    3. 第 3 步（算分母）：$17\times 43=\underline{731}$，$19\times 41=\underline{779}$，$23\times 37=\underline{851}$，$29\times 31=\underline{899}$，$13\times 47=\underline{611}$。
    4. 第 4 步（比大小）：分子相同，分母越大分数越小，分母从大到小是 $899>851>779>731>611$，所以 $D<C<B<A<E$。
    最终答案：$D<C<B<A<E$。
  106. 28. ch09-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（发现共同点）：每组两个分母之和都是 $11+29=\underline{40}$。
    2. 第 2 步（统一分子）：都写成 $\dfrac{40}{mn}$。
    3. 第 3 步（算分母）：$11\times 29=\underline{319}$，$13\times 27=\underline{351}$，$14\times 26=\underline{364}$，$9\times 31=\underline{279}$，$7\times 33=\underline{231}$。
    4. 第 4 步（比大小）：分母越大效率越低，所以 $C<B<A<D<E$。
    最终答案：$C<B<A<D<E$。
  107. 28. ch09-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（看分母之和）：$16+34=\underline{50}$，$24+26=\underline{50}$，两组的分母之和相同。
    2. 第 2 步（统一分子）：两式分别是 $\dfrac{50}{16\times 34}$ 与 $\dfrac{50}{24\times 26}$。
    3. 第 3 步（算分母）：$16\times 34=\underline{544}$，$24\times 26=\underline{624}$。
    4. 第 4 步（下结论）：$544<624$，分母小的分数大，所以 $\frac{1}{16}+\frac{1}{34}>\frac{1}{24}+\frac{1}{26}$。
    最终答案：$\frac{1}{16}+\frac{1}{34}>\frac{1}{24}+\frac{1}{26}$。
  108. 28. ch09-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（统一分子）：每组分母之和都是 $\underline{40}$，故都可写成 $\dfrac{40}{mn}$。
    2. 第 2 步（算分母）：$14\times 26=\underline{364}$，$13\times 27=\underline{351}$，$11\times 29=\underline{319}$，$9\times 31=\underline{279}$，$7\times 33=\underline{231}$，分母越大数越小，故 $C<B<A<D<E$。
    3. 第 3 步（最大者求值）：最大的是 $E=\dfrac{40}{7\times 33}=\dfrac{40}{\underline{231}}$。
    4. 第 4 步（约分）：$231=3\times 7\times 11$ 与 $40$ 没有公因数（最大公因数是 $\underline{1}$），所以 $E=\frac{40}{231}$ 已是最简分数。
    最终答案：$C<B<A<D<E$，其中最大的 $E=\frac{40}{231}$。
  109. 29. ch09-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（作差配对）：$B-A=\left(\frac{2}{43}-\frac{1}{43}\right)-\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)$，同分母那组得分子 $2-1=\underline{1}$，即 $\frac{1}{43}$。
    2. 第 2 步（相邻单位分数差）：$\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=\dfrac{1}{7\times 8}=\dfrac{1}{\underline{56}}$。
    3. 第 3 步（比两个单位分数）：$\frac{1}{43}-\frac{1}{56}$，通分后分子是 $56-43=\underline{13}$，分母是 $43\times 56=\underline{2408}$，差为 $\frac{13}{2408}>0$。
    4. 第 4 步（下结论）：$B-A>0$，所以 $B$ 较大。
    最终答案：$B$ 较大。
  110. 29. ch09-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（作差配对）：$B-A=\left(\frac{2}{29}-\frac{1}{29}\right)-\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)$，同分母那组分子 $2-1=\underline{1}$。
    2. 第 2 步：$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\dfrac{1}{5\times 6}=\dfrac{1}{\underline{30}}$。
    3. 第 3 步：$\frac{1}{29}-\frac{1}{30}$ 通分后分子 $30-29=\underline{1}$，分母 $29\times 30=\underline{870}$，差为 $\frac{1}{870}>0$。
    4. 第 4 步：$B>A$，乙机器完成得多。
    最终答案：乙（即 $B$）较大。
  111. 29. ch09-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（作差配对）：$B-A=\left(\frac{2}{45}-\frac{1}{45}\right)-\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\right)$，前一组得 $\frac{1}{45}$。
    2. 第 2 步：$\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\dfrac{1}{8\times 9}=\dfrac{1}{\underline{72}}$。
    3. 第 3 步：$\frac{1}{45}-\frac{1}{72}$ 通分，分子 $72-45=\underline{27}$，分母 $45\times 72=\underline{3240}$，差为 $\frac{27}{3240}>0$。
    4. 第 4 步：所以 $B$ 较大。
    最终答案：$B$ 较大。
  112. 29. ch09-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（$B-A$）：$B-A=\frac{1}{29}-\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{29}-\dfrac{1}{\underline{30}}>0$，所以 $A<B$。
    2. 第 2 步（$C-B$）：$C-B=\left(\frac{3}{29}-\frac{2}{29}\right)-\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{29}-\dfrac{1}{\underline{42}}$。
    3. 第 3 步（判正负）：$\frac{1}{29}-\frac{1}{42}$ 的分子是 $42-29=\underline{13}$，分母是 $29\times 42=\underline{1218}$，差为正，所以 $B<C$。
    4. 第 4 步（串起来）：$A<B<C$。
    最终答案：$A<B<C$。
  113. 30. ch09-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（还原分数）：五个循环小数依次是 $\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{11}$。
    2. 第 2 步（定公分母）：$[6,7,8,9,11]=504\times 11=\underline{5544}$。
    3. 第 3 步（通分）：分子依次是 $5544\div 6=\underline{924}$，$5544\div 7=\underline{792}$，$5544\div 8=\underline{693}$，$5544\div 9=\underline{616}$，$5544\div 11=\underline{504}$。
    4. 第 4 步（求和）：$924+792+693+616+504=\underline{3529}$，即和为 $\frac{3529}{5544}$。
    5. 第 5 步（取近似）：$3529\div 5544=0.63654\cdots$，第四位是 $5$，进位后保留三位小数得 $\underline{0.637}$。
    最终答案：$0.637$。
  114. 30. ch09-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（还原分数）：四个数依次是 $\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9}$。
    2. 第 2 步（通分）：公分母 $504$，分子依次是 $504\div 6=\underline{84}$，$504\div 7=\underline{72}$，$504\div 8=\underline{63}$，$504\div 9=\underline{56}$。
    3. 第 3 步（求和）：$84+72+63+56=\underline{275}$，即 $\frac{275}{504}$。
    4. 第 4 步（取近似）：$275\div 504=0.545634\cdots$，保留三位小数得 $\underline{0.546}$。
    最终答案：$0.546$（约占水池的 $0.546$）。
  115. 30. ch09-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（还原分数）：$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$，$0.1\dot{6}=\frac{1}{6}$，$0.08\dot{3}=\frac{1}{12}$，$0.\dot{0}\dot{9}=\frac{1}{11}$。
    2. 第 2 步（定公分母）：$[3,6,12,11]=12\times 11=\underline{132}$。
    3. 第 3 步（通分）：分子依次是 $132\div 3=\underline{44}$，$132\div 6=\underline{22}$，$132\div 12=\underline{11}$，$132\div 11=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（求和）：$44+22+11+12=\underline{89}$，和为 $\frac{89}{132}$。
    5. 第 5 步（取近似）：$89\div 132=0.6742\cdots$，保留三位小数得 $\underline{0.674}$。
    最终答案：$0.674$。
  116. 30. ch09-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（还原分数）：五个数是 $\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10}$。
    2. 第 2 步（定公分母）：前四个的公分母是 $504$，再与 $10$ 取公倍数得 $504\times 10=\underline{5040}$。
    3. 第 3 步（通分求和）：前四个的和是 $\frac{275}{504}=\dfrac{\underline{2750}}{5040}$，加上 $\frac{1}{10}=\dfrac{\underline{504}}{5040}$，总分子 $2750+504=\underline{3254}$。
    4. 第 4 步（取近似）：$3254\div 5040=0.6456349\cdots$，保留四位小数得 $\underline{0.6456}$。
    5. 第 5 步（比较）：$0.6456>0.645$，所以结果比 $0.645$ 大。
    最终答案：结果约为 $0.6456$，比 $0.645$ 大。
  117. 31. ch09-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（反推区间）：平均分 $\bar{x}$ 满足 $92.65\leqslant\bar{x}<\underline{92.75}$（把 $92.7$ 的十分位向两边各放 $0.05$）。
    2. 第 2 步（乘人数）：总分 $S$ 满足 $92.65\times 17=\underline{1575.05}\leqslant S<92.75\times 17=\underline{1576.75}$。
    3. 第 3 步（锁定整数）：区间里唯一的整数是 $S=\underline{1576}$。
    4. 第 4 步（算平均分）：$1576\div 17=92.7058\cdots$，保留两位小数得 $\underline{92.71}$。
    最终答案：总分是 $1576$；平均分保留两位小数是 $92.71$。
  118. 31. ch09-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（反推区间）：日均产量 $\bar{x}$ 满足 $85.35\leqslant\bar{x}<\underline{85.45}$。
    2. 第 2 步（乘人数）：总产量 $S$ 满足 $85.35\times 13=\underline{1109.55}\leqslant S<85.45\times 13=\underline{1110.85}$。
    3. 第 3 步（锁定整数）：区间内唯一整数 $S=\underline{1110}$。
    4. 第 4 步（算平均）：$1110\div 13=85.3846\cdots$，保留两位小数得 $\underline{85.38}$。
    最终答案：总产量是 $1110$ 件；日均产量保留两位小数是 $85.38$ 件。
  119. 31. ch09-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（反推区间）：$74.55\leqslant\bar{x}<\underline{74.65}$。
    2. 第 2 步（乘人数）：$74.55\times 11=\underline{820.05}\leqslant S<74.65\times 11=\underline{821.15}$。
    3. 第 3 步（锁定整数）：唯一整数 $S=\underline{821}$。
    4. 第 4 步（算平均）：$821\div 11=74.6363\cdots$，保留两位小数得 $\underline{74.64}$。
    最终答案：总分是 $821$；平均分保留两位小数是 $74.64$。
  120. 31. ch09-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（反推区间）：$85.35\leqslant\bar{x}<\underline{85.45}$。
    2. 第 2 步（乘人数）：$85.35\times 13=\underline{1109.55}\leqslant S<85.45\times 13=\underline{1110.85}$，唯一整数 $S=\underline{1110}$。
    3. 第 3 步（加入新同学）：新总分 $1110+90=\underline{1200}$，新人数 $13+1=\underline{14}$。
    4. 第 4 步（算新平均分）：$1200\div 14=85.714\cdots$，保留两位小数得 $\underline{85.71}$。
    最终答案：14 人的平均分约是 $85.71$。
  121. 32. ch09-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（拆分）：分成整数部分 $1+2+\cdots+21$ 与分数部分 $\frac{20}{400}+\cdots+\frac{20}{420}$，共 $420-400+1=\underline{21}$ 项。
    2. 第 2 步（整数求和）：$(1+21)\times 21\div 2=\underline{231}$。
    3. 第 3 步（放缩下界）：每项都不小于最小的 $\frac{20}{420}$，所以分数部分 $>\frac{20}{420}\times 21=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（放缩上界）：每项都不大于最大的 $\frac{20}{400}$，所以分数部分 $<\frac{20}{400}\times 21=\underline{1.05}$。
    5. 第 5 步（取整）：分数部分在 $1$ 与 $1.05$ 之间，整数部分是 $1$，总的整数部分为 $231+1=\underline{232}$。
    最终答案：$232$。
  122. 32. ch09-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（拆分）：总重 $=(1+2+\cdots+11)+\left(\frac{10}{100}+\cdots+\frac{10}{110}\right)$。
    2. 第 2 步（整数求和）：$(1+11)\times 11\div 2=\underline{66}$。
    3. 第 3 步（放缩）：分数部分大于 $\frac{10}{110}\times 11=\underline{1}$，小于 $\frac{10}{100}\times 11=\underline{1.1}$。
    4. 第 4 步（取整）：分数部分整数部分为 $1$，总重整数部分是 $66+1=\underline{67}$ 千克。
    最终答案：$67$ 千克。
  123. 32. ch09-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分）：整数部分 $1+2+\cdots+6$，分数部分共 $55-50+1=\underline{6}$ 项。
    2. 第 2 步（整数求和）：$(1+6)\times 6\div 2=\underline{21}$。
    3. 第 3 步（放缩）：分数部分 $>\frac{5}{55}\times 6=\underline{0.545454545}$，$<\frac{5}{50}\times 6=\underline{0.6}$。
    4. 第 4 步（取整）：分数部分介于 $0$ 与 $1$ 之间，整数部分为 $0$，所以总的整数部分是 $21+0=\underline{21}$。
    最终答案：$21$。
  124. 32. ch09-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分）：整数部分 $1+2+\cdots+11=\underline{66}$，分数部分是 $\frac{20}{100}+\cdots+\frac{20}{110}$，共 $\underline{11}$ 项。
    2. 第 2 步（下界）：每项都不小于 $\frac{20}{110}$，分数部分 $>\frac{20}{110}\times 11=\underline{2}$。
    3. 第 3 步（上界）：每项都不大于 $\frac{20}{100}$，分数部分 $<\frac{20}{100}\times 11=\underline{2.2}$。
    4. 第 4 步（取整）：分数部分在 $2$ 与 $2.2$ 之间，整数部分是 $2$，总的整数部分是 $66+2=\underline{68}$。
    最终答案：$68$。