五年级第10讲数字谜综合一

1. 【原题 ch10-chaoyue-01】两个学生计算同一个乘法算式，两个乘数都是两位数。他们各抄错了一个数字，但计算结果都是 $1360$。实际上正确结果的个位不是 $0$，那么正确结果应该是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「抄错一位数字的乘法」类数字谜：两个错误算式的乘积相同，要靠「与正确算式只差一位」还原原式。

关键切入点：把 $1360=2^4\times5\times17$ 写成两个两位数之积，只有 $16\times85$、$17\times80$、$20\times68$、$34\times40$ 四种，两个学生抄的一定是其中两种。每人只抄错一个数字，所以每个错误算式与正确算式有 $3$ 个数字相同；两个错误算式之间就至少有 $2$ 个数字相同。四种分解两两对比，只有 $16\times85$ 与 $17\times80$ 共有两个数字（十位 $1$ 与 $8$），于是正确算式的两个乘数十位是 $1$ 和 $8$，个位要么都取错误算式里「另一个人的那个」，即 $17\times85$，要么都取 $16\times80$；后者积的个位是 $0$，被题目排除。

方法概述：分解成两位数之积，找出仅差一位的两种方案，交换个位还原正确算式。

规范步骤：

分解质因数：$1360=2^4\times5\times17$（为列举分解做准备）
列出两位数 $\times$ 两位数的全部分解：$16\times85,\ 17\times80,\ 20\times68,\ 34\times40$（枚举）
找共有两个数字的一对：只有 $16\times85$ 与 $17\times80$（十位同为 $1$ 和 $8$）（每人只错一位）
还原正确算式的候选：$17\times85=1445$ 或 $16\times80=1280$（个位两种取法）
用「个位不是 $0$」筛选：$1280$ 个位是 $0$，排除（题目条件）
写出答案：$17\times85=1445$

第一套

题目：两个学生计算同一个乘法算式，两个乘数都是两位数。他们各抄错了一个数字，但计算结果都是 $5940$。实际上正确结果的个位不是 $0$，那么正确结果应该是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$5940$ 的数字和是 $18$，$5940\div4=1485$，$1485\div27=55$，所以 $5940=2\times2\times3\times3\times3\times5\times11=\underline{\quad}$。
第 2 步（列出两位数 $\times$ 两位数的全部分解）：较小的因数至少 $\lceil5940\div99\rceil=60$，$5940\div60=\underline{\quad}$；再往上 $5940\div66=\underline{\quad}$；$61\sim65$ 都不能整除。所以只有 $60\times99$ 与 $66\times90$ 两种。
第 3 步（对比两个错误算式）：$60\times99$ 与 $66\times90$ 的十位分别同为 $6$ 和 $9$，说明正确算式两个乘数的十位就是 $6$ 和 $9$。
第 4 步（还原个位）：每人只抄错一位，所以正确算式的个位要么同时取「另一人的那位」得 $66\times99$，要么同时取 $60\times90$；$60\times90=\underline{\quad}$ 个位是 $0$，被排除。
第 5 步（算出正确结果）：$66\times99=\underline{\quad}$。

第二套

题目：仓库两名员工各自计算同一批货的总件数：每箱件数与箱数都是两位数。两人各把其中一个数字抄错了一位，算出来的总件数却都是 $5940$ 件。已知正确的总件数的个位不是 $0$，那么正确的总件数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$5940=2\times2\times3\times3\times3\times5\times11=\underline{\quad}$。
第 2 步（列出两位数 $\times$ 两位数的全部分解）：$5940\div60=\underline{\quad}$，$5940\div66=\underline{\quad}$，只有这两种。
第 3 步（对比）：两个错误算式的十位分别同为 $6$ 和 $9$，正确算式的十位也是 $6$ 和 $9$。
第 4 步（还原个位）：候选是 $66\times99$ 与 $60\times90$；$60\times90=\underline{\quad}$ 个位是 $0$，排除。
第 5 步（算出正确结果）：$66\times99=\underline{\quad}$（件）。

第三套

题目：两个学生计算同一个乘法算式，两个乘数都是两位数。他们各抄错了一个数字，但计算结果都是 $3850$。实际上正确结果的个位不是 $0$，那么正确结果应该是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$3850=2\times5\times5\times7\times11=\underline{\quad}$。
第 2 步（列出两位数 $\times$ 两位数的全部分解）：$3850\div50=\underline{\quad}$，$3850\div55=\underline{\quad}$，$3850\div70=55$ 重复，所以只有 $50\times77$ 与 $55\times70$。
第 3 步（对比十位）：两式的十位分别同为 $5$ 和 $7$。
第 4 步（还原个位并筛选）：候选是 $55\times77$ 与 $50\times70$；$50\times70=\underline{\quad}$ 个位是 $0$，排除。
第 5 步（算出正确结果）：$55\times77=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两个学生计算同一个乘法算式，两个乘数都是两位数。他们各抄错了一个数字，但计算结果都是 $4230$。实际上正确结果的个位不是 $0$。请问：正确结果应该是多少？它比错误结果多多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$4230=2\times3\times3\times5\times47=\underline{\quad}$。
第 2 步（抓大质因数 $47$）：含 $47$ 的两位数因数只有 $47$，所以一种分解是 $47\times(4230\div47)=47\times\underline{\quad}$；另外 $4230\div45=\underline{\quad}$，得到 $45\times94$。
第 3 步（对比十位）：$45\times94$ 与 $47\times90$ 的十位分别同为 $4$ 和 $9$。
第 4 步（还原个位并筛选）：候选是 $47\times94$ 与 $45\times90$；$45\times90=\underline{\quad}$ 个位是 $0$，排除。
第 5 步（算出正确结果）：$47\times94=\underline{\quad}$。
第 6 步（求与错误结果之差）：$4418-4230=\underline{\quad}$。

2. 【原题 ch10-chaoyue-02】用 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「构造质数并最优化」类问题：把 $0\sim9$ 各用一次组成若干个质数，使它们的和最小。

关键切入点：先想清楚哪些数字只能待在高位：质数的个位只能是 $1,2,3,5,7,9$，所以 $0,4,6,8$ 至少要占十位，说明一定会出现两位数；而 $0$ 不能当首位，只能出现在某个三位数的十位上，说明一定会出现三位数。要让和最小，就要让这个三位数的百位尽量小，于是按百位是 $1,2,3,4,5$ 分类逐一估算，只有百位为 $4$ 时能真正凑出（$401$ 是质数），得到 $401,89,67,2,3,5$，和为 $567$。

方法概述：分析 $0,4,6,8$ 的位置必含三位数，按三位数的百位分类求和取最小。

规范步骤：

定个位可用数字：$1,2,3,5,7,9$（质数个位不能是 $0,4,6,8$）
推出必有三位数：$0$ 不能作首位，只能待在三位数的十位上（位置分析）
百位是 $1$ 或 $3$ 或 $5$ 的情形：$4,6,8$ 中会有多个被迫占十位，总和分别大于 $640$、$700$、$680$（估算下界）
百位是 $2$ 的情形：$201,207$ 是 $3$ 的倍数，$203=7\times29$，$209=11\times19$，都不是质数（整除性排除）
百位是 $4$ 的情形：取 $401,89,67,2,3,5$（$401$ 是质数）
求和：$401+89+67+2+3+5=567$
写出答案：最小是 $567$

3. 【原题 ch10-chaoyue-03】已知 $A=0.\dot{a}13\dot{b}$ 是纯循环小数，将它写成最简分数后，使得分母最小。那么这个分数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「纯循环小数化分数 + 约分求最小分母」类问题：四位循环节的分母固定是 $9999$，问题变成「最多能约去多少」。

关键切入点：$0.\dot{a}13\dot{b}=\frac{\overline{a13b}}{9999}$，而 $9999=99\times101$。要让分母最小，就要让约去的公约数最大。先试 $101$：四位数被 $101$ 整除当且仅当它的前两位与后两位相等，即 $\overline{a1}=\overline{3b}$，得 $a=3,b=1$，可这时小数变成 $0.\dot{3}13\dot{1}=0.3131\cdots$，循环节退化成两位，不符合题意。再试 $99$：四位数被 $99$ 整除当且仅当前两位与后两位之和是 $99$，即 $\overline{a1}+\overline{3b}=99$，解得 $a=6,b=8$，此时 $\frac{6138}{9999}=\frac{62}{101}$。

方法概述：化成 $\frac{\overline{a13b}}{9999}$，按能否被 $101$、$99$ 整除依次尝试使分母最小。

规范步骤：

化成分数：$0.\dot{a}13\dot{b}=\frac{\overline{a13b}}{9999}$（四位纯循环小数）
分解分母：$9999=99\times101$（为约分做准备）
先试约去 $101$：要求 $\overline{a1}=\overline{3b}$，即 $a=3,b=1$（$101$ 的整除特征）
排除该情形：$0.\dot{3}13\dot{1}=0.3131\cdots$ 循环节退化为两位，不合题意（循环节约束）
再试约去 $99$：要求 $\overline{a1}+\overline{3b}=99$，即 $10a+1+30+b=99$，$10a+b=68$，$a=6,b=8$（$99$ 的整除特征）
约分：$\frac{6138}{9999}=\frac{6138\div99}{9999\div99}=\frac{62}{101}$（同除以 $99$）
写出答案：$\frac{62}{101}$

第一套

题目：已知 $A=0.\dot{a}24\dot{b}$ 是纯循环小数，将它写成最简分数后，使得分母最小。那么这个分数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成分数并分解分母）：$0.\dot{a}24\dot{b}=\frac{\overline{a24b}}{9999}$，而 $9999=99\times101=\underline{\quad}$。
第 2 步（先试约去 $101$）：四位数被 $101$ 整除要求前两位与后两位相等，即 $\overline{a2}=\overline{4b}$，得 $a=4$、$b=2$；这时 $A=0.\dot{4}24\dot{2}=0.4242\cdots$，循环节退化成两位，不合题意，排除。
第 3 步（再试约去 $99$）：四位数被 $99$ 整除要求前两位与后两位之和是 $99$，即 $(10a+2)+(40+b)=99$，所以 $10a+b=99-42=\underline{\quad}$，得 $a=5$、$b=7$。
第 4 步（约分）：四位数是 $5247$，分子 $5247\div99=\underline{\quad}$，分母 $9999\div99=\underline{\quad}$。
第 5 步（验算）：$99\times53=\underline{\quad}$，与 $5247$ 一致。

第二套

题目：科学课上记录一个周期性变化的读数，结果是纯循环小数 $A=0.\dot{a}24\dot{b}$。要把它写成最简分数，并且让分母尽可能小。请问：这个分数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成分数并分解分母）：$A=\frac{\overline{a24b}}{9999}$，$9999=99\times101=\underline{\quad}$。
第 2 步（先试约去 $101$）：需要 $\overline{a2}=\overline{4b}$，即 $a=4,b=2$，此时循环节退化成 $\dot{4}\dot{2}$，不合题意。
第 3 步（再试约去 $99$）：需要 $(10a+2)+(40+b)=99$，即 $10a+b=99-42=\underline{\quad}$，得 $a=5,b=7$。
第 4 步（约分）：$5247\div99=\underline{\quad}$，$9999\div99=\underline{\quad}$。
第 5 步（验算）：$99\times53=\underline{\quad}$。

第三套

题目：已知 $A=0.\dot{a}35\dot{b}$ 是纯循环小数，将它写成最简分数后，使得分母最小。那么这个分数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成分数并分解分母）：$A=\frac{\overline{a35b}}{9999}$，$9999=99\times101=\underline{\quad}$。
第 2 步（先试约去 $101$）：需要 $\overline{a3}=\overline{5b}$，即 $a=5,b=3$，此时 $A=0.\dot{5}35\dot{3}=0.5353\cdots$，循环节退化，排除。
第 3 步（再试约去 $99$）：需要 $(10a+3)+(50+b)=99$，即 $10a+b=99-53=\underline{\quad}$，得 $a=4,b=6$。
第 4 步（约分）：四位数是 $4356$，$4356\div99=\underline{\quad}$，$9999\div99=\underline{\quad}$。
第 5 步（验算）：$99\times44=\underline{\quad}$。

第三套

题目：已知 $A=0.\dot{a}46\dot{b}$ 是纯循环小数，将它写成最简分数后，使得分母最小。请问：这个分数是多少？$A$ 的循环节是哪个四位数？这个最简分数的分子与分母之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成分数并分解分母）：$A=\frac{\overline{a46b}}{9999}$，$9999=99\times101=\underline{\quad}$。
第 2 步（先试约去 $101$）：需要 $\overline{a4}=\overline{6b}$，即 $a=6,b=4$，此时 $A=0.\dot{6}46\dot{4}=0.6464\cdots$ 循环节退化成两位，排除。
第 3 步（再试约去 $99$）：需要 $(10a+4)+(60+b)=99$，即 $10a+b=99-64=\underline{\quad}$，得 $a=3,b=5$，循环节是四位数 $\underline{\quad}$。
第 4 步（约分）：$3465\div99=\underline{\quad}$，$9999\div99=\underline{\quad}$，所以 $A=\frac{35}{101}$。
第 5 步（验算）：$99\times35=\underline{\quad}$。
第 6 步（求分子与分母之和）：$35+101=\underline{\quad}$。

4. 【原题 ch10-chaoyue-04】数学家维纳在博士毕业典礼上说：“我现在年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含数字 $0$ 至 $9$ 各一次，所以所有数字都得朝拜我。我将在数学领域干出一番大事业。”请问：他是几岁毕业的？

详细思路

是哪类问题：这是「幂的位数估计 + 数字不重复」类问题：由两个幂的位数把底数限定在很小的范围，再逐一验证数字。

关键切入点：先用位数卡范围：$N^3$ 是四位数说明 $10\leqslant N\leqslant21$（$10^3=1000$，$21^3=9261$，$22^3=10648$ 已是五位）；$N^4$ 是六位数说明 $N\geqslant18$（$17^4=83521$ 只有五位）。两个范围一交，$N$ 只能是 $18,19,20,21$，逐一算出两个幂看数字有没有重复即可。

方法概述：由两个幂的位数交出很窄的范围，再逐一验证数字是否恰好用一次。

规范步骤：

由三次方是四位数定上界：$21^3=9261$，$22^3=10648$，故 $N\leqslant21$（位数估计）
由四次方是六位数定下界：$17^4=83521$ 是五位，$18^4=104976$ 是六位，故 $N\geqslant18$（位数估计）
得到候选：$N=18,19,20,21$（两个范围求交）
逐一验证：$19^3=6859,19^4=130321$ 有重复；$20$、$21$ 同样有重复（数字不重复）
确定答案：$18^3=5832$，$18^4=104976$，合起来恰是 $0\sim9$ 各一次（回代检验）
写出答案：$18$ 岁

第一套

题目：有一个自然数，它的平方是一个四位数，它的立方是一个六位数，并且这两个数刚好包含数字 $0$ 至 $9$ 各一次。请问：这个自然数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（由平方是四位数定范围）：$31^2=961$ 是三位，$32^2=1024$ 是四位，$99^2=9801$ 是四位，所以 $32\leqslant N\leqslant99$。
第 2 步（由立方是六位数定范围）：$46^3=\underline{\quad}$ 只有五位，$47^3=103823$ 是六位；$99^3=970299$ 仍是六位，所以 $47\leqslant N\leqslant99$。
第 3 步（两个范围求交并逐一验证）：$N$ 在 $47$ 到 $99$ 之间；两个幂合起来共 $4+6=10$ 位，要求数字互不重复。逐一试算，$N=69$ 时 $69^2=\underline{\quad}$，$69^3=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证数字）：$4761$ 与 $328509$ 合起来的十个数字是 $4,7,6,1,3,2,8,5,0,9$，恰好是 $0\sim9$ 各一次。

第二套

题目：密码学社团出了一道题：某个自然数的平方是一个四位数，立方是一个六位数，把这两个数写在一起，恰好用到数字 $0$ 至 $9$ 各一次。这个自然数就是本周的社团口令，请把它求出来。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（由平方是四位数定范围）：$32^2=1024$，$99^2=9801$，所以 $32\leqslant N\leqslant99$。
第 2 步（由立方是六位数定范围）：$46^3=\underline{\quad}$ 只有五位，所以 $N\geqslant47$。
第 3 步（逐一试算）：$N=69$ 时 $69^2=\underline{\quad}$，$69^3=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证数字）：两数合起来是 $4,7,6,1,3,2,8,5,0,9$，恰是 $0\sim9$ 各一次。

第三套

题目：有一个自然数，它的平方是一个三位数，它的立方是一个五位数，并且这两个数的 $8$ 个数字互不相同。请问：这个自然数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（由平方是三位数定范围）：$9^2=81$ 是两位，$10^2=100$ 是三位，$31^2=961$ 是三位，$32^2=1024$ 是四位，所以 $10\leqslant N\leqslant31$。
第 2 步（由立方是五位数定范围）：$21^3=\underline{\quad}$ 只有四位，$22^3=10648$ 是五位；$31^3=29791$ 仍是五位，所以 $22\leqslant N\leqslant31$。
第 3 步（逐一验证）：只需试 $22\sim31$ 这 $10$ 个数。$N=24$ 时 $24^2=\underline{\quad}$，$24^3=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证数字）：$576$ 与 $13824$ 的八个数字是 $5,7,6,1,3,8,2,4$，互不相同。

第三套

题目：有一个自然数，它的平方是一个四位数，它的立方是一个六位数，并且这两个数刚好包含数字 $0$ 至 $9$ 各一次。请问：这个自然数是多少？它的立方与平方的差是多少？和又是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定范围）：平方是四位数得 $32\leqslant N\leqslant99$；$46^3=\underline{\quad}$ 只有五位，故还要 $N\geqslant47$。
第 2 步（逐一试算）：$N=69$ 时 $69^2=\underline{\quad}$，$69^3=\underline{\quad}$，两数合起来恰是 $0\sim9$ 各一次。
第 3 步（求立方与平方的差）：$328509-4761=\underline{\quad}$。
第 4 步（求立方与平方的和）：$328509+4761=\underline{\quad}$。
第 5 步（换个角度验算差）：立方减平方还可以写成 $N^2\times(N-1)=4761\times68=\underline{\quad}$，与第 3 步一致。

5. 【原题 ch10-chaoyue-05】一个四位数的每一位数字都是非零的偶数。它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方。请问：这个四位数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「完全平方数 + 数位约束」类问题：用平方数的末位特征和数位的奇偶把候选压到很少，再逐一验证。

关键切入点：平方是四位数说明平方根是两位数，且十位在 $3\sim9$ 之间；又要求平方根由偶数数字组成，十位只能是 $4,6,8$。再看这个四位数：它是偶数的平方，必是 $4$ 的倍数，而 $4$ 的倍数看末两位，十位是偶数就要求个位能被 $4$ 整除；个位非零，只能是 $4$ 或 $8$，而平方数的个位不可能是 $8$，所以个位是 $4$，平方根的个位只能是 $2$ 或 $8$。候选只剩 $42,48,62,68,82,88$ 六个。

方法概述：由平方根是偶数数字的两位数缩小范围，再用平方数末位特征筛选后枚举。

规范步骤：

定平方根的位数：四位数的平方根是两位数，十位在 $3\sim9$（$31^2=961$，$100^2=10000$）
用「偶数数字」定十位：平方根十位只能是 $4,6,8$（题目要求）
用 $4$ 的倍数定个位：平方数是 $4$ 的倍数，十位为偶数则个位须被 $4$ 整除，个位是 $4$ 或 $8$（$4$ 的整除特征看末两位）
排除个位 $8$：平方数个位不可能是 $8$，故平方数个位是 $4$（平方数末位特征）
得到候选：平方根个位是 $2$ 或 $8$，候选 $42,48,62,68,82,88$（枚举）
逐一验证：$68^2=4624$，各位都是非零偶数（回代检验）
写出答案：$4624$

第一套

题目：一个六位数的每一位数字都是非零的偶数。它又恰好是某个由非零偶数数字组成的数的平方。请问：这个六位数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定平方根的位数）：$316^2=99856$ 是五位，$317^2=\underline{\quad}$ 是六位；$999^2=998001$ 是六位，所以平方根是三位数。
第 2 步（数一数候选个数）：平方根的每一位都取自 $2,4,6,8$，共 $4\times4\times4=\underline{\quad}$ 种；又要不小于 $317$，首位只能是 $4,6,8$。
第 3 步（用末位特征筛）：个位取 $2,4,6,8$ 时平方的末位分别是 $4,6,6,4$，都是非零偶数，末位这一关全部通过，只能逐一试算。
第 4 步（试算得解）：$668^2=\underline{\quad}$，各位是 $4,4,6,2,2,4$，全是非零偶数。
第 5 步（验算是 $4$ 的倍数）：$446224\div4=\underline{\quad}$，是整数，符合「偶数的平方是 $4$ 的倍数」。

第二套

题目：一块正方形广场的面积是一个六位数（单位：平方米），它的每一位数字都是非零的偶数；这块广场的边长（单位：米）也是一个每位数字都是非零偶数的整数。求这块广场的面积。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定边长的位数）：$316^2=99856$ 是五位，$317^2=\underline{\quad}$ 是六位，所以边长是三位数。
第 2 步（数候选）：边长每位取自 $2,4,6,8$，共 $4\times4\times4=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（逐一试算）：$668^2=\underline{\quad}$，各位都是非零偶数。
第 4 步（验算）：$446224\div4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个五位数的每一位数字都是非零的偶数。它又恰好是某个由非零偶数数字组成的数的平方。请问：这个五位数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定平方根的位数）：$99^2=9801$ 是四位，$100^2=10000$ 是五位，$316^2=\underline{\quad}$ 是五位，$317^2$ 已是六位，所以平方根是 $100\sim316$ 之间的三位数。
第 2 步（定首位）：平方根各位都取自 $2,4,6,8$ 且不超过 $316$，首位只能是 $2$，共 $4\times4=\underline{\quad}$ 种候选。
第 3 步（逐一试算）：$262^2=\underline{\quad}$，各位是 $6,8,6,4,4$，全是非零偶数。
第 4 步（验算）：$68644\div4=\underline{\quad}$，是整数。

第三套

题目：一个四位数的每一位数字都是合数数字（即 $4,6,8,9$ 之一），并且它是一个完全平方数。请问：这样的四位数有哪些？它们的和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定平方根的范围）：四位数的平方根是两位数，$32^2=1024$，$99^2=9801$，所以平方根在 $32\sim99$ 之间。
第 2 步（用末位特征筛）：平方数的末位只可能是 $0,1,4,5,6,9$，而末位必须是合数数字，所以末位只能是 $4,6,9$。
第 3 步（逐一试算并记录）：$67^2=\underline{\quad}$，$83^2=\underline{\quad}$，$92^2=\underline{\quad}$，$93^2=\underline{\quad}$，四个数的每一位都是 $4,6,8,9$ 中的数字。
第 4 步（说明没有别的）：其余平方根算出的四位数中都会出现 $0,1,2,3,5,7$ 这些非合数数字，被排除。
第 5 步（求和）：$4489+6889+8464+8649=\underline{\quad}$。

6. 【原题 ch10-chaoyue-06】在图 $10-4$ 所示算式的每个方框内填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖式成立。竖式为三位数 $\overline{\square7\square}$ 乘两位数 $\overline{\square\square}$ 的乘法。

详细思路

是哪类问题：这是「质数约束的乘法竖式」类数字谜：所有出现的数字都必须是 $2,3,5,7$，靠个位相乘的末位一步锁死关键数字。

关键切入点：先看第一个部分积 $\overline{A7B}\times C=\overline{DEFG}$ 的个位：$B\times C$ 的末位 $G$ 也必须是质数数字。把 $2,3,5,7$ 两两相乘看末位，能落在 $\{2,3,5,7\}$ 里的只有 $5\times3=15$、$5\times5=25$、$5\times7=35$，末位都是 $5$。所以 $G=5$，且 $B,C$ 中至少一个是 $5$。若 $B\neq5$ 则 $C=5$，试 $B=3$ 得 $73\times5=365$、$B=7$ 得 $77\times5=385$，十位分别是 $6$、$8$ 都不是质数，排除。于是 $B=5$，再对 $A\in\{2,3,5,7\}$、$C\in\{3,5,7\}$ 共 $12$ 种逐一试算，只有 $775\times3=2325$ 成立。

方法概述：由部分积个位锁定 $5$，分类讨论后逐一试验得到唯一解。

规范步骤：

看部分积的个位：$B\times C$ 的末位必须是 $2,3,5,7$ 之一（所有数字都是质数数字）
枚举末位：只有 $5\times3,5\times5,5\times7$ 合格，末位都是 $5$（两两相乘验算）
分类讨论：若 $B\neq5$ 则 $C=5$：$73\times5=365$、$77\times5=385$ 十位不是质数，排除（排除）
定 $B=5$：再试 $A\in\{2,3,5,7\}$、$C\in\{3,5,7\}$ 共 $12$ 种（枚举）
找到部分积：$775\times3=2325$，各位都是质数数字（验算）
补全竖式：乘数是 $\overline{CC}=33$，$775\times33=25575$（两位乘数各位同为 $3$）
写出答案：$775\times33=25575$

7. 【原题 ch10-chaoyue-07】$a,b,c$ 是三个互不相同的自然数，且满足 $\overline{abc}\times\overline{bca}=\overline{7bc}\times\overline{cba}$，求三位数 $\overline{abc}$。

详细思路

是哪类问题：这是「循环位字母乘法等式 + 同余分析」类难题：两边分别对 $100$ 和 $9$ 取余数，把三个未知数字的范围压到可枚举。

关键切入点：对 $100$ 取余：$\overline{abc}\equiv\overline{bc}$、$\overline{7bc}\equiv\overline{bc}$，于是 $\overline{bc}\times a\equiv\overline{bc}\times\overline{ba}\pmod{100}$，整理得 $10\mid c(b-c)$，所以「$c=5$ 且 $b-c$ 是偶数」或「$b-c=\pm5$ 且 $c$ 是偶数」。再对 $9$ 取余（弃九法）：$9\mid(a+b+c)(a-7)$，$a$ 的取值也被大大压缩。把两组条件交起来逐一试算，只有 $a=4,b=9,c=5$ 使 $495\times954=795\times594$ 成立。

方法概述：对等式两边取模 $100$ 和模 $9$ 的余数，缩小 $c$、$a$ 的范围后枚举验证。

规范步骤：

对 $100$ 取余：$\overline{bc}\times a\equiv\overline{bc}\times\overline{ba}\pmod{100}$（只看末两位）
整理得整除条件：$100\mid\overline{bc}\times(b-c)\times10$，即 $10\mid c(b-c)$（化简）
分类：$c=5$ 且 $b-c$ 为偶数；或 $b-c=\pm5$ 且 $c$ 为偶数（分类讨论）
对 $9$ 取余：$9\mid(a+b+c)\times(a-7)$（弃九法）
逐一试算：多数情形可由乘数首位大小直接排除（数量级估计）
验证唯一解：$495\times954=472230$，$795\times594=472230$（回代检验）
写出答案：$\overline{abc}=495$

8. 【原题 ch10-chaoyue-08】已知算式 $\overline{abc}\times\overline{bca}\times\overline{cab}=234235286$，其中 $a>b>c$。后来发现右边的乘积的数字顺序出现错误，但是知道个位的 $6$ 是正确的，那么原式中的 $\overline{abc}$ 是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「乘积数字被打乱后还原」类难题：利用「打乱顺序不改变数字和」这一不变量（弃九法）加个位分析锁定字母。

关键切入点：两个关键不变量：一是乘积的个位是 $6$，说明 $a\times b\times c$ 的个位是 $6$；二是乘积的数字顺序被打乱，但除以 $9$ 的余数不变，$234235286$ 的数字和是 $35$，余数是 $8$。而 $\overline{abc},\overline{bca},\overline{cab}$ 三个数的数字和都是 $a+b+c$，除以 $9$ 的余数相同，三个相同余数的乘积对 $9$ 余 $8$，可推出 $a+b+c$ 除以 $3$ 余 $2$。两条件一起筛，只剩 $4$ 组，再用数量级估计与直接验算，得到 $a=9,b=8,c=3$。

方法概述：由个位是 $6$ 列候选数组，用弃九法与数量级估计筛选并逐组验算。

规范步骤：

由个位定条件：$a\times b\times c$ 的个位是 $6$，且 $a>b>c$（个位分析）
算乘积的弃九余数：$2+3+4+2+3+5+2+8+6=35$，$35\div9$ 余 $8$（打乱顺序不改变数字和）
转成对 $a+b+c$ 的条件：三个数对 $9$ 的余数都等于 $a+b+c$ 的余数，故 $a+b+c$ 除以 $3$ 余 $2$（同余分析）
筛出候选：符合两条件的只剩 $4$ 组（枚举）
用数量级排除：$c=1$ 时乘积小于 $200000000$，首位只能是 $1$，而 $234235286$ 中没有 $1$（估算）
逐组验算：$632\times326\times263$ 是 $11$ 位数，不合；$983\times839\times398=328245326$ 与 $234235286$ 数字相同（回代检验）
写出答案：$\overline{abc}=983$

9. 【原题 ch10-tuozhan-01】有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数。再把这个小数和原来的四位数相加，得数是 $4003.64$。求这个四位数。

详细思路

是哪类问题：这是「小数点位置与还原原数」类问题：四位数的某一位后加小数点，新数与原数相加得已知值，要反推原数。

关键切入点：小数点可以加在三个位置，分别把四位数缩小 $10$、$100$、$1000$ 倍，于是和分别是原数的 $1.1$ 倍、$1.01$ 倍、$1.001$ 倍。三种情形各列一个方程，谁能得到四位整数解，谁就是答案。$4003.64\div1.1$、$4003.64\div1.001$ 都不是整数，只有 $4003.64\div1.01=3964$ 成立。

方法概述：按小数点的三个位置分类列方程，用「解必须是四位整数」筛选。

规范步骤：

列出三种可能：$M+\frac{M}{10}$，$M+\frac{M}{100}$，$M+\frac{M}{1000}$（小数点有三个可插位置）
化成倍数形式：$1.1M$，$1.01M$，$1.001M$（提取公因数 $M$）
逐一试算：$4003.64\div1.01=400364\div101=3964$（扩大 $100$ 倍化成整数除法）
排除另外两种：$4003.64\div1.1$ 与 $4003.64\div1.001$ 都不是四位整数（整数解判断）
验算：$3964+39.64=4003.64$（回代检验）
写出答案：$3964$

第一套

题目：有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数。再把这个小数和原来的四位数相加，得数是 $8617.32$。求这个四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列出小数点的三种位置）：设四位数为 $M$，加点后可能变成 $\frac{M}{10}$、$\frac{M}{100}$、$\frac{M}{1000}$，于是和分别是 $1.1M$、$1.01M$、$1.001M$。
第 2 步（先看小数部分有几位）：$8617.32$ 的小数部分是两位，而 $1.1M$ 的小数部分只有一位、$1.001M$ 有三位，所以只能是 $1.01M$。
第 3 步（把除数化成整数再算）：$M=8617.32\div1.01$，被除数、除数同时扩大 $100$ 倍，得 $861732\div101=\underline{\quad}$。
第 4 步（验算）：小数为 $8532\div100=\underline{\quad}$，和为 $8532+85.32=\underline{\quad}$，与题目一致。

第二套

题目：财务把一笔四位数的金额（整数元）又抄了一遍，抄第二遍时在某位数字后多写了一个小数点。把两次抄写的金额相加，得数是 $8617.32$ 元。求这笔金额原来是多少元。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列出小数点的三种位置）：设金额为 $M$ 元，抄错的那次可能是 $\frac{M}{10}$、$\frac{M}{100}$ 或 $\frac{M}{1000}$，两次之和是 $1.1M$、$1.01M$ 或 $1.001M$。
第 2 步（看小数位数）：和是两位小数，只可能是 $1.01M$。
第 3 步（把除数化成整数再算）：$M=8617.32\div1.01=861732\div101=\underline{\quad}$（元）。
第 4 步（验算）：抄错的金额是 $8532\div100=\underline{\quad}$（元），两次相加 $8532+85.32=\underline{\quad}$（元）。

第三套

题目：有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数。再把这个小数和原来的四位数相加，得数是 $7430.423$。求这个四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列出三种位置）：和分别可能是 $1.1M$、$1.01M$、$1.001M$。
第 2 步（看小数位数）：$7430.423$ 的小数部分是三位，所以只能是 $1.001M$，即小数点加在最高位数字之后。
第 3 步（把除数化成整数再算）：$M=7430.423\div1.001=7430423\div1001=\underline{\quad}$。
第 4 步（验算）：小数为 $7423\div1000=\underline{\quad}$，和为 $7423+7.423=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数。再把这个小数和原来的四位数相加，得数是 $7131.3$。请问：这个四位数是多少？这个四位数与那个小数的差又是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列出三种位置）：和分别可能是 $1.1M$、$1.01M$、$1.001M$。
第 2 步（看小数位数）：$7131.3$ 的小数部分只有一位，所以只能是 $1.1M$，即小数点加在十位之后。
第 3 步（把除数化成整数再算）：$M=7131.3\div1.1=71313\div11=\underline{\quad}$。
第 4 步（写出那个小数）：$6483\div10=\underline{\quad}$，验算 $6483+648.3=\underline{\quad}$。
第 5 步（再求差）：差占原数的 $1-0.1=\underline{\quad}$，所以差 $=6483-648.3=\underline{\quad}$。

10. 【原题 ch10-tuozhan-02】$[4.2\times5-(1\div2.5+9.1\div0.7)]\div0.04=100$。改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少？

详细思路

是哪类问题：这是「改动小数点使等式成立」类问题：先算出算式应有的中间值，再判断把哪个数的小数点移动几位才能补上差距。

关键切入点：关键在于「倒着算」：等式右边是 $100$，最后一步是除以 $0.04$，所以方括号里的值必须是 $100\times0.04=4$。可原式方括号里算出来是 $21-(0.4+13)=7.6$，比 $4$ 大了 $3.6$。要让方括号变小，就得让减去的部分变大 $3.6$：把 $2.5$ 的小数点左移一位变成 $0.25$，$1\div0.25$ 由 $0.4$ 变成 $4$，恰好多减 $3.6$。

方法概述：先由结果倒推方括号应取的值，再用「差多少」定位要移动小数点的那个数。

规范步骤：

倒推方括号的值：$100\times0.04=4$（除法的逆运算）
算出原式方括号的值：$4.2\times5=21$，$1\div2.5=0.4$，$9.1\div0.7=13$，$21-(0.4+13)=7.6$（先乘除后加减）
算出差距：$7.6-4=3.6$，说明括号里要多减 $3.6$（比较目标与现值）
定位要改的数：把 $2.5$ 改为 $0.25$，$1\div0.25=4$，比原来的 $0.4$ 大 $3.6$（小数点左移一位，商扩大 $10$ 倍）
验算：$21-(4+13)=4$，$4\div0.04=100$（回代检验）
写出答案：被改动的数变为 $0.25$

第一套

题目：$[9.6\times5-(1\div2.5+8.4\div0.2)]\div0.04=50$。改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（倒推方括号应取的值）：最后一步是除以 $0.04$ 得 $50$，所以方括号里应该是 $50\times0.04=\underline{\quad}$。
第 2 步（算出原式方括号的值）：$9.6\times5=\underline{\quad}$，$1\div2.5=0.4$，$8.4\div0.2=\underline{\quad}$，所以方括号 $=48-(0.4+42)=\underline{\quad}$。
第 3 步（算差距）：$5.6-2=\underline{\quad}$，说明括号里还要多减 $3.6$。
第 4 步（定位要改的数）：把 $2.5$ 的小数点左移一位变成 $0.25$，则 $1\div0.25=\underline{\quad}$，比原来的 $0.4$ 恰好大 $3.6$。
第 5 步（验算）：$48-(4+42)=\underline{\quad}$，$2\div0.04=\underline{\quad}$，等式成立。

第二套

题目：小丁在作业本上抄了一道题：$[9.6\times5-(1\div2.5+8.4\div0.2)]\div0.04=50$，老师说他把其中一个数的小数点抄错了位置。请问：把那个数的小数点移到正确位置后，它应该是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（倒推方括号应取的值）：$50\times0.04=\underline{\quad}$。
第 2 步（算原式方括号的值）：$9.6\times5=\underline{\quad}$，$8.4\div0.2=\underline{\quad}$，方括号 $=48-(0.4+42)=\underline{\quad}$。
第 3 步（算差距）：$5.6-2=\underline{\quad}$。
第 4 步（定位抄错的数）：把 $2.5$ 改成 $0.25$，$1\div0.25=\underline{\quad}$，正好多减 $3.6$。
第 5 步（验算）：$48-(4+42)=\underline{\quad}$，$2\div0.04=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$[4.2\times5-(1\div1.25+8.4\div0.7)]\div0.04=25$。改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（倒推方括号应取的值）：$25\times0.04=\underline{\quad}$。
第 2 步（算原式方括号的值）：$4.2\times5=\underline{\quad}$，$1\div1.25=0.8$，$8.4\div0.7=\underline{\quad}$，方括号 $=21-(0.8+12)=\underline{\quad}$。
第 3 步（算差距）：$8.2-1=\underline{\quad}$，括号里要多减 $7.2$。
第 4 步（定位要改的数）：把 $1.25$ 的小数点左移一位变成 $0.125$，$1\div0.125=\underline{\quad}$，比原来的 $0.8$ 大 $7.2$。
第 5 步（验算）：$21-(8+12)=\underline{\quad}$，$1\div0.04=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$[4.2\times5-(1\div2.5+13.3\div0.7)]\div0.04=400$。改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式。请问：被改动的数变为多少？改动前后等号左边的结果相差多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先老老实实把左边算一遍）：$4.2\times5=\underline{\quad}$，$1\div2.5=0.4$，$13.3\div0.7=\underline{\quad}$，方括号 $=21-(0.4+19)=\underline{\quad}$。
第 2 步（算出原来的结果）：$1.6\div0.04=\underline{\quad}$，比目标 $400$ 小，说明要把结果扩大 $400\div40=\underline{\quad}$ 倍。
第 3 步（判断改哪个数）：方括号里的值 $1.6$ 已经与目标匹配（$400\times0.04=16$ 不成立，而 $1.6\div0.004=400$ 成立），所以要改的不是括号里的数，而是括号外的除数 $0.04$。
第 4 步（把除数缩小 $10$ 倍）：把 $0.04$ 的小数点左移一位变成 $0.004$，则 $1.6\div0.004=\underline{\quad}$，等式成立。
第 5 步（求改动前后结果之差）：$400-40=\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch10-tuozhan-03】用 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质。其中的四位数是 $2940$，另外三个数可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「两两互质组数」类问题：把 $0\sim9$ 分成一位、两位、三位、四位数各一个，要求四个数两两互质。

关键切入点：已知四位数 $2940=2^2\times3\times5\times7^2$，于是另外三个数都不能含质因数 $2,3,5,7$。一位数中不含这四个质因数的只有 $1$。剩下 $3,5,6,7,8$ 组成两位数与三位数，不能含 $2$、$5$ 就意味着它们的个位只能是 $3$ 或 $7$；再按两位数个位是 $3$ 还是 $7$ 分两类，用「数字和是 $3$ 的倍数」把含因数 $3$ 的排掉。

方法概述：由已知数的质因数确定禁用因子，先定一位数，再按个位分类枚举。

规范步骤：

分解四位数：$2940=2^2\times3\times5\times7^2$（锁定禁用质因数 $2,3,5,7$）
定一位数：剩下 $1,3,5,6,7,8$，一位数只能是 $1$（其余都含 $2,3,5,7$）
定个位：两位数与三位数的个位只能是 $3$ 或 $7$（不能是偶数，也不能是 $5$）
情形一：两位数个位是 $3$：$53$ 配 $687/867$、$83$ 配 $567/657$ 数字和都是 $3$ 的倍数，$63$ 本身含 $3$，无解（$3$ 的整除特征）
情形二：两位数个位是 $7$：$57,87$ 含因数 $3$；只有 $67$ 可行，配 $583$ 或 $853$（逐一排查）
验证：$583=11\times53$，$853$ 是质数，都与 $2940$、$67$、$1$ 互质（回代检验）
写出答案：$1,67,583$ 或 $1,67,853$

第一套

题目：用 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质。其中的四位数是 $6270$，另外三个数可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解四位数，锁定禁用质因数）：$6270=2\times3\times5\times11\times19=\underline{\quad}$，所以另外三个数都不能含质因数 $2,3,5,11,19$。
第 2 步（定一位数）：剩下的数字是 $1,3,4,5,8,9$；$4,8$ 含因数 $2$，$3,9$ 含因数 $3$，$5$ 含因数 $5$，所以一位数只能是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（定个位）：两位数与三位数由 $3,4,5,8,9$ 组成，不能是偶数也不能以 $5$ 结尾，所以它们的个位只能是 $3$ 或 $9$。
第 4 步（情形一：两位数个位是 $3$）：候选 $43,53,83,93$。$93$ 含因数 $3$；$53$ 配 $489/849$、$83$ 配 $459/549$，数字和都是 $3$ 的倍数被排除；只剩两位数 $\underline{\quad}$，它配的三位数由 $5,8,9$ 组成、个位是 $9$，即 $589$ 或 $859$，而 $589\div19=\underline{\quad}$ 说明 $589$ 含因数 $19$，排除，得到 $1,43,\underline{\quad}$。
第 5 步（情形二：两位数个位是 $9$）：候选 $49,59,89$（$39$ 含 $3$）。$59$ 配 $483/843$、$89$ 配 $453/543$ 数字和都是 $3$ 的倍数被排除；两位数取 $\underline{\quad}$ 时，三位数由 $3,5,8$ 组成、个位是 $3$，即 $583$ 或 $853$，而 $583\div11=\underline{\quad}$ 含因数 $11$ 被排除，得到 $1,49,\underline{\quad}$。

第二套

题目：实验室给四台仪器编号，编号分别是一位数、两位数、三位数、四位数各一个，用到的数字恰好是 $0$ 至 $9$ 各一次，并且任意两个编号都互质。已知四位数编号是 $6270$，另外三个编号可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解四位编号）：$6270=2\times3\times5\times11\times19=\underline{\quad}$，其余编号不能含质因数 $2,3,5,11,19$。
第 2 步（定一位数编号）：剩下 $1,3,4,5,8,9$，逐个排除后一位数编号只能是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（定个位）：两位数与三位数编号的个位只能是 $3$ 或 $9$。
第 4 步（情形一：两位数个位是 $3$）：可行的两位数是 $\underline{\quad}$；三位数在 $589$ 与 $859$ 中，$589\div19=\underline{\quad}$ 含因数 $19$ 被排除，得 $1,43,\underline{\quad}$。
第 5 步（情形二：两位数个位是 $9$）：可行的两位数是 $\underline{\quad}$；三位数在 $583$ 与 $853$ 中，$583\div11=\underline{\quad}$ 含因数 $11$ 被排除，得 $1,49,\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质。其中的四位数是 $6120$，另外三个数可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解四位数）：$6120=2^3\times3^2\times5\times17=\underline{\quad}$，禁用质因数为 $2,3,5,17$。
第 2 步（定一位数）：剩下 $3,4,5,7,8,9$，其中 $4,8$ 含 $2$，$3,9$ 含 $3$，$5$ 含 $5$，所以一位数只能是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（个位只能是 $3$ 或 $9$）：两位数、三位数由 $3,4,5,8,9$ 组成，不能是偶数、不能以 $5$ 结尾。
第 4 步（排除个位是 $9$ 的两位数）：$39$ 含因数 $3$；$49\div7=\underline{\quad}$，与一位数 $7$ 不互质；$59$ 配 $483/843$、$89$ 配 $453/543$，数字和都是 $3$ 的倍数被排除。
第 5 步（定两位数）：所以两位数个位是 $3$；$93$ 含因数 $3$，$53$ 配 $489/849$、$83$ 配 $459/549$ 数字和都是 $3$ 的倍数，只剩两位数 $\underline{\quad}$。
第 6 步（定三位数）：三位数由 $5,8,9$ 组成、个位是 $9$，即 $\underline{\quad}$ 或 $\underline{\quad}$，两者与 $6120$、$43$、$7$ 都互质。

第三套

题目：用 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质。其中的四位数是 $6180$。请问：另外三个数分别是多少？这四个数的和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解四位数）：$6180=2^2\times3\times5\times103=\underline{\quad}$，禁用质因数为 $2,3,5,103$。
第 2 步（定一位数）：剩下 $2,3,4,5,7,9$，偶数 $2,4$、含 $3$ 的 $3,9$、含 $5$ 的 $5$ 全部排除，一位数只能是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（个位只能是 $3$ 或 $9$）：两位数、三位数由 $2,3,4,5,9$ 组成。
第 4 步（排除个位是 $9$ 的两位数）：$39$ 含 $3$，$49\div7=\underline{\quad}$ 与一位数 $7$ 冲突；$29$ 配 $453/543$、$59$ 配 $243/423$，数字和都是 $3$ 的倍数被排除。
第 5 步（定两位数与三位数）：个位是 $3$ 的候选 $23,43,93$。$93$ 含 $3$；$23$ 配 $459/549$ 数字和是 $3$ 的倍数被排除；两位数取 $\underline{\quad}$，三位数由 $2,5,9$ 组成、个位是 $9$，即 $259$ 或 $529$，而 $259\div7=\underline{\quad}$ 与一位数 $7$ 冲突，所以三位数是 $\underline{\quad}$。
第 6 步（验证互质）：$529=23\times23=\underline{\quad}$，只含质因数 $23$，与 $6180$、$43$、$7$ 都互质。
第 7 步（求四数之和）：$6180+7+43+529=\underline{\quad}$。

12. 【原题 ch10-tuozhan-04】$\overline{数数}\times\overline{科学}=\overline{学数学}$。在上面的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字。请问：“数学”所代表的两位数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「文字乘法算式」类数字谜：由个位相乘的末位关系与整除特征逐步定字。

关键切入点：看个位：「数」$\times$「学」的末位仍是「数」，即 $10\mid(数-1)\times学$。「学」不能是 $0$（否则积的个位是 $0$）；又 $\overline{学数学}$ 首尾同为「学」，是 $11$ 的倍数，可排除「学」$=5$。于是只能 $数-1=0$ 或 $5$，试验得「数」$=1$，算式是 $11\times56=616$。

方法概述：由个位关系推 $10\mid(数-1)\times学$，结合 $11$ 的倍数特征定字。

规范步骤：

看个位：数 $\times$ 学的末位是数，即 $10\mid(数-1)\times学$（个位分析）
排除学 $=0$：若学 $=0$，则 $\overline{科学}$ 的个位是 $0$，积的个位也是 $0\neq数$（反证）
用 $11$ 的倍数排除学 $=5$：$\overline{学数学}=学\times101+数\times10$ 是 $11$ 的倍数（首尾同字）
定数：$数-1=0$ 或 $5$，试验得数 $=1$（逐一试算）
补全算式：$11\times56=616$（回代）
写出答案：$\overline{数学}=16$

13. 【原题 ch10-tuozhan-05】在等式“$\overline{\square\triangle}\times\overline{\triangle\square}\times\overline{\square\bigcirc}\times\overline{\Diamond\triangle}=\overline{\square\triangle\square\triangle\square\triangle}$”中，$\square,\triangle,\bigcirc,\Diamond$ 分别代表不同的数字。四位数 $\overline{\square\triangle\bigcirc\Diamond}$ 是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「符号乘法算式」类数字谜：抓住六位数 $\overline{ababab}$ 的重复结构提取公因数。

关键切入点：$\overline{\square\triangle\square\triangle\square\triangle}=\overline{\square\triangle}\times10101$，两边同时约去 $\overline{\square\triangle}$，剩下三个两位数之积等于 $10101$。而 $10101=3\times7\times13\times37$，写成三个两位数之积只能是 $21\times13\times37$。再看谁和谁有公共符号：$\overline{\triangle\square}$ 与另外两个都有公共数字，而 $13$ 与 $21,37$ 都有公共数字，所以 $\overline{\triangle\square}=13$，进而 $\square=3,\triangle=1,\bigcirc=7,\Diamond=2$。

方法概述：提取 $\overline{ababab}=\overline{ab}\times10101$，分解后按公共数字定位。

规范步骤：

提取重复结构：$\overline{\square\triangle\square\triangle\square\triangle}=\overline{\square\triangle}\times10101$（$ababab=ab\times10101$）
约去公因数：$\overline{\triangle\square}\times\overline{\square\bigcirc}\times\overline{\Diamond\triangle}=10101$（等式两边同除）
分解 $10101$：$10101=3\times7\times13\times37$（质因数分解）
拼成三个两位数：只能是 $21\times13\times37$（两位数限制）
按公共数字定位：$\overline{\triangle\square}=13$，$\overline{\square\bigcirc}=37$，$\overline{\Diamond\triangle}=21$（符号重合关系）
写出四位数：$\square=3,\triangle=1,\bigcirc=7,\Diamond=2$，$\overline{\square\triangle\bigcirc\Diamond}=3172$

14. 【原题 ch10-tuozhan-06】将 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这 $9$ 个数字分别填入下式的各个方框中，使等式成立：$\square\square\times\square\square=\square\square\times\square\square\square=3634$。

详细思路

是哪类问题：这是「乘积相等填数」类问题：把 $1\sim9$ 各一次填进两个乘法算式，一组是两位 $\times$ 两位、一组是两位 $\times$ 三位，乘积都等于给定数。

关键切入点：先分解 $3634=2\times23\times79$，它只有 $8$ 个因数，写成两数之积的方式只有 $1\times3634$、$2\times1817$、$23\times158$、$46\times79$ 四种。其中符合「两位 $\times$ 两位」的只有 $46\times79$，符合「两位 $\times$ 三位」的只有 $23\times158$；把 $4,6,7,9$ 与 $2,3,1,5,8$ 合起来恰好是 $1\sim9$ 各一次，直接成立。

方法概述：分解目标数，列全部两数之积，再按位数与数字不重复筛选。

规范步骤：

分解质因数：$3634=2\times23\times79$（为列举分解做准备）
列出全部两数之积：$1\times3634,\ 2\times1817,\ 23\times158,\ 46\times79$（因数成对出现）
按位数筛选：两位 $\times$ 两位只能是 $46\times79$；两位 $\times$ 三位只能是 $23\times158$（题目规定的形式）
检验数字：$4,6,7,9,2,3,1,5,8$ 恰是 $1\sim9$ 各一次（数字不重复约束）
验算：$46\times79=3634$，$23\times158=3634$（回代检验）
写出答案：$46\times79=23\times158=3634$

第一套

题目：将 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这 $9$ 个数字分别填入下式的各个方框中，使等式成立：$\square\square\times\square\square=\square\square\times\square\square\square=5022$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$5022$ 的数字和是 $9$，$5022\div2=2511$，$2511\div3=837$，$837\div3=279$，$279\div3=93$，$93=3\times31$，所以 $5022=2\times3\times3\times3\times3\times31=\underline{\quad}$。
第 2 步（找两位数 $\times$ 两位数）：两个两位数之积是 $5022$，较小的至少 $\lceil5022\div99\rceil=51$；试 $54$：$5022\div54=\underline{\quad}$，且 $5,4,9,3$ 互不相同，可用。
第 3 步（用剩下的数字配两位数 $\times$ 三位数）：剩下 $1,2,6,7,8$，取两位数 $27$，$5022\div27=\underline{\quad}$，恰好用掉 $1,8,6$。
第 4 步（验算）：$54\times93=\underline{\quad}$，$27\times186=\underline{\quad}$，两积相等且 $1\sim9$ 各用一次。

第二套

题目：两个班做纸花，甲班每人做的朵数和人数都是两位数，乙班人数是两位数、每人做的朵数是三位数，两班做出的朵数都是 $5022$ 朵，并且这 $9$ 个数字恰好是 $1$ 至 $9$ 各用一次。求两个班的人数与每人做的朵数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$5022=2\times3\times3\times3\times3\times31=\underline{\quad}$。
第 2 步（定甲班）：$5022\div54=\underline{\quad}$，即甲班 $54$ 人、每人做 $93$ 朵。
第 3 步（定乙班）：剩下 $1,2,6,7,8$，$5022\div27=\underline{\quad}$，即乙班 $27$ 人、每人做 $186$ 朵。
第 4 步（验算）：$54\times93=\underline{\quad}$，$27\times186=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这 $9$ 个数字分别填入下式的各个方框中，使等式成立：$\square\square\times\square\square=\square\square\times\square\square\square=4662$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$4662$ 的数字和是 $18$，$4662\div2=2331$，$2331\div9=259$，$259=7\times37$，所以 $4662=2\times3\times3\times7\times37=\underline{\quad}$。
第 2 步（抓大质因数 $37$）：含 $37$ 的三位数因数有 $259=7\times37$；取三位数 $259$，则配它的两位数是 $4662\div259=\underline{\quad}$。
第 3 步（用剩下的数字配两位数 $\times$ 两位数）：剩下 $3,4,6,7$，$4662\div63=\underline{\quad}$，恰好用掉 $7,4$。
第 4 步（验算）：$63\times74=\underline{\quad}$，$18\times259=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这 $9$ 个数字分别填入下式的各个方框中，使等式成立：$\square\square\times\square\square=\square\square\times\square\square\square=4234$。填好后，请再求出这 $4$ 个乘数的和与它们的平均数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$4234\div2=2117$，$2117=29\times73$，所以 $4234=2\times29\times73=\underline{\quad}$。
第 2 步（找两位数 $\times$ 两位数）：$73$ 是质数且是两位数，配它的是 $4234\div73=\underline{\quad}$。
第 3 步（配两位数 $\times$ 三位数）：剩下 $1,2,4,6,9$，取两位数 $29$，$4234\div29=\underline{\quad}$，恰好用掉 $1,4,6$。
第 4 步（验算）：$58\times73=\underline{\quad}$，$29\times146=\underline{\quad}$。
第 5 步（求四个乘数之和）：$58+73+29+146=\underline{\quad}$。
第 6 步（求平均数）：$306\div4=\underline{\quad}$。

15. 【原题 ch10-tuozhan-07】循环小数 $0.\dot{A}\dot{B}$ 化成最简分数后，分子与分母之和为 $40$，那么 $A$ 和 $B$ 分别是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「纯循环小数化最简分数」类数字谜：由化简后分子分母之和反推循环节。

关键切入点：两位纯循环小数的分母固定是 $99$：$0.\dot{A}\dot{B}=\frac{\overline{AB}}{99}$。约去的数一定是 $99$ 的约数，即 $3,9,11,33$ 之一，约分后分母只能是 $33,11,9,3$。要让分子与分母之和是 $40$ 且仍是真分数，只有分母 $33$ 可行（分母 $11,9,3$ 时分子会超过分母）。于是分子 $=40-33=7$，原分数是 $\frac{21}{99}$。

方法概述：由分母 $99$ 的约数枚举约分后的分母，再用「和为 $40$」定分子。

规范步骤：

写成分数：$0.\dot{A}\dot{B}=\frac{\overline{AB}}{99}$（两位纯循环小数的分母是 $99$）
列出可能的分母：约去 $3,9,11,33$ 后分母为 $33,11,9,3$（约数分析）
用真分数条件筛选：和为 $40$ 时，分母 $11,9,3$ 都会让分子大于分母，只能取 $33$（真分数要求分子小于分母）
求分子：$40-33=7$（和减分母）
还原约分前的分数：$\frac{7}{33}=\frac{7\times3}{33\times3}=\frac{21}{99}$（同乘 $3$）
写出答案：$A=2$，$B=1$

第一套

题目：循环小数 $0.\dot{A}\dot{B}$ 化成最简分数后，分子与分母之和为 $62$，那么 $A$ 和 $B$ 分别是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写成分数）：$0.\dot{A}\dot{B}=\frac{\overline{AB}}{99}$，约去的数一定是 $99$ 的约数 $3,9,11,33$ 之一，约分后分母只能是 $33,11,9,3$。
第 2 步（用真分数条件定分母）：若分母是 $11$，分子要 $62-11=\underline{\quad}$，比分母还大，不是真分数；分母 $9,3$ 更不行；所以分母只能是 $33$。
第 3 步（求分子）：$62-33=\underline{\quad}$。
第 4 步（还原约分前的分数）：$\frac{29}{33}=\frac{29\times3}{33\times3}$，分子 $29\times3=\underline{\quad}$，即 $\overline{AB}=87$。
第 5 步（写出 $A$、$B$ 并验算）：$A=8$，$B=7$；验算 $87\div3=\underline{\quad}$，$99\div3=\underline{\quad}$，和为 $29+33=\underline{\quad}$。

第二套

题目：小杰把一次测量的结果记成两位纯循环小数 $0.\dot{A}\dot{B}$，化成最简分数后发现分子与分母之和恰好是 $62$。请问：$A$ 和 $B$ 分别是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写成分数）：$0.\dot{A}\dot{B}=\frac{\overline{AB}}{99}$，约分后分母只能是 $33,11,9,3$。
第 2 步（用真分数条件定分母）：分母取 $11$ 时分子要 $62-11=\underline{\quad}$，大于分母，不合；所以分母是 $33$。
第 3 步（求分子）：$62-33=\underline{\quad}$。
第 4 步（还原）：$29\times3=\underline{\quad}$，即 $\overline{AB}=87$。
第 5 步（验算）：$87\div3=\underline{\quad}$，$99\div3=\underline{\quad}$，$29+33=\underline{\quad}$。

第三套

题目：循环小数 $0.\dot{A}\dot{B}$ 化成最简分数后，分子与分母之和为 $65$，那么 $A$ 和 $B$ 分别是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写成分数）：$0.\dot{A}\dot{B}=\frac{\overline{AB}}{99}$，约分后分母只能是 $33,11,9,3$。
第 2 步（定分母）：分母取 $33$ 时分子为 $65-33=\underline{\quad}$，小于 $33$ 是真分数；取 $11$ 时分子要 $65-11=\underline{\quad}$，远大于分母，不合。
第 3 步（还原约分前的分数）：$32\times3=\underline{\quad}$，即 $\overline{AB}=96$。
第 4 步（验算）：$96\div3=\underline{\quad}$，$99\div3=\underline{\quad}$，$32+33=\underline{\quad}$。

第三套

题目：循环小数 $0.\dot{A}\dot{B}$ 化成最简分数后，分子与分母之和为 $64$。请问：$A$ 和 $B$ 分别是多少？$0.\dot{A}\dot{B}\times33$ 的值又是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写成分数）：$0.\dot{A}\dot{B}=\frac{\overline{AB}}{99}$，约分后分母只能是 $33,11,9,3$。
第 2 步（定分母、求分子）：分母只能是 $33$，分子 $=64-33=\underline{\quad}$。
第 3 步（还原约分前的分数）：$31\times3=\underline{\quad}$，即 $\overline{AB}=93$，原循环小数是 $0.\dot{9}\dot{3}$。
第 4 步（验算）：$93\div3=\underline{\quad}$，$99\div3=\underline{\quad}$，$31+33=\underline{\quad}$。
第 5 步（求乘积）：$0.\dot{9}\dot{3}\times33=\frac{31}{33}\times33=\underline{\quad}$，也可以写成 $\frac{93}{99}\times33=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch10-tuozhan-08】已知 $a$ 是一个自然数，$A,B$ 是 $1$ 至 $9$ 中的数字，最简分数 $\frac{a}{222}=0.3\dot{A}3\dot{B}$。请问：$a$ 是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「混循环小数化分数 + 整除性」类数字谜：先把循环小数化成分数，得到一个整除关系，再用末位与数字和分类讨论。

关键切入点：混循环小数 $0.3\dot{A}3\dot{B}$ 的分母是 $9990$（三位循环节、一位不循环），分子是 $\overline{3A3B}-3$。由 $\frac{a}{222}=\frac{\overline{3A3B}-3}{9990}$ 且 $9990\div222=45$，得 $\overline{3A3B}-3=45a$。$45a$ 的个位只能是 $0$ 或 $5$，据此分 $a$ 的奇偶讨论；再用 $45a$ 是 $9$ 的倍数、由数字和定 $A$。

方法概述：化成 $\frac{\overline{3A3B}-3}{9990}$ 得 $\overline{3A3B}-3=45a$，按 $a$ 的奇偶与 $9$ 的倍数特征讨论。

规范步骤：

混循环小数化分数：$0.3\dot{A}3\dot{B}=\frac{\overline{3A3B}-3}{9990}$（循环节 $3$ 位、不循环部分 $1$ 位）
化简整除关系：$9990\div222=45$，故 $\overline{3A3B}-3=45a$（两边同乘）
情形一：$a$ 是奇数：$45a$ 个位是 $5$，故 $B=8$；$\overline{3A35}$ 是 $9$ 的倍数，$3+A+3+5=11+A$，$A=7$（$9$ 的整除特征）
求 $a$：$a=3735\div45=83$（回代）
情形二：$a$ 是偶数：$B=3$，$A=3$，循环节退化为 $\dot{3}3\dot{3}$，不合循环小数要求（排除）
写出答案：$a=83$

17. 【原题 ch10-tuozhan-09】把质数 $373$ 按数位拆开（不改变各数之间的顺序），只能得到 $3,7,37,73$ 这四个数，它们仍然都是质数。请找出所有具有这种性质的质数。

详细思路

是哪类问题：这是「可截断质数」类构造题：要找出所有「任意连续几位组成的数都是质数」的质数。

关键切入点：从位数少的往多的逐位扩展。一位数中 $2,3,5,7$ 都合格。两位数的个位必须是质数且不能是 $2,5$（否则整个两位数有因数 $2$ 或 $5$），只能是 $3$ 或 $7$；十位也要是质数，逐一检验得 $23,53,73,37$。三位数的前两位、后两位都必须在这四个数里，候选只有 $237,537,737,373$，前三个分别被 $3,3,11$ 整除，只剩 $373$。四位数要求前三位与后三位都是 $373$，做不到，因此到三位为止。

方法概述：从一位数出发逐位向高位扩展，保证任意连续子串都是质数。

规范步骤：

一位数：$2,3,5,7$（一位质数全部合格）
两位数的个位：只能是 $3$ 或 $7$（个位是 $2$ 或 $5$ 会带来因数 $2$ 或 $5$）
枚举两位数：$23,53,73,37$（十位也要是质数并逐一检验）
枚举三位数：候选 $237,537,737,373$（前两位与后两位都要在上一步的表里）
排除：$237\div3=79$，$537\div3=179$，$737\div11=67$，只剩 $373$（整除性检验）
说明没有更多位：四位数要求前三位与后三位都是 $373$，不可能（逐位扩展终止）
写出答案：$2,3,5,7,23,53,73,37,373$

18. 【原题 ch10-tuozhan-10】在下面各题中，请你用给出的四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次，使得计算结果等于 $24$。（1）$1,4,5,6$；（2）$1,5,5,5$；（3）$3,3,7,7$；（4）$3,3,8,8$。

详细思路

是哪类问题：这是「$24$ 点」类构造题：用四个数与四则运算凑出 $24$，难点在于必须用除法先造出一个分数。

关键切入点：四组数都不能靠纯粹的加减乘凑出 $24$，共同套路是「用除法造分数，再用乘法放大」：把两个数相除得到 $\frac{1}{4}$、$\frac{24}{5}$、$\frac{24}{7}$、$\frac{1}{3}$ 这样的数，再用剩下的数乘（或除）回去。看到 $7$、$5$ 这类不整除的数时，就该想到让它当乘数、把分母消掉。

方法概述：先用除法造出分数，再用乘法或除法把它放大到 $24$。

规范步骤：

第 (1) 组：$6\div(5\div4-1)=6\div\frac{1}{4}=24$（括号里造出 $\frac{1}{4}$）
第 (2) 组：$(5-1\div5)\times5=\frac{24}{5}\times5=24$（括号里造出 $\frac{24}{5}$）
第 (3) 组：$(3+3\div7)\times7=\frac{24}{7}\times7=24$（括号里造出 $\frac{24}{7}$）
第 (4) 组：$8\div(3-8\div3)=8\div\frac{1}{3}=24$（括号里造出 $\frac{1}{3}$）
写出答案：见四个算式

第一套

题目：在下面各题中，请你用给出的四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次，使得计算结果等于 $24$。（1）$1,3,4,6$；（2）$2,5,5,10$；（3）$5,7,7,11$；（4）$2,2,11,11$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组：造 $\frac{1}{4}$ 再用 $6$ 去除）：先用 $3\div4$ 得 $0.75$，再用 $1$ 减去它得 $\frac{1}{4}$，最后 $6$ 除以 $\frac{1}{4}$。算式是 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (2) 组：先造 $\frac{24}{5}$ 再乘 $5$）：$2\div10=0.2$，$5-0.2=4.8=\frac{24}{5}$，再乘 $5$。算式是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (3) 组：先造 $\frac{24}{7}$ 再乘 $7$）：$11\div7$ 是带分数，用 $5$ 减去它得 $\frac{24}{7}$，再乘 $7$。算式是 $\underline{\quad}$。
第 4 步（第 (4) 组：先造 $\frac{24}{11}$ 再乘 $11$）：$2\div11$ 加上 $2$ 得 $\frac{24}{11}$，再乘 $11$。算式是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：数学社团玩「算 $24$」纸牌，每局翻出 $4$ 张牌，要求把牌面上的数各用一次，通过加、减、乘、除算出 $24$。四局翻到的牌分别是：（1）$1,3,4,6$；（2）$2,5,5,10$；（3）$5,7,7,11$；（4）$2,2,11,11$。请分别写出算式。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 局）：$1-3\div4=\frac{1}{4}$，再让 $6$ 除以它。算式是 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (2) 局）：$5-2\div10=\frac{24}{5}$，再乘 $5$。算式是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (3) 局）：$5-11\div7=\frac{24}{7}$，再乘 $7$。算式是 $\underline{\quad}$。
第 4 步（第 (4) 局）：$2+2\div11=\frac{24}{11}$，再乘 $11$。算式是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：在下面各题中，请你用给出的四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次，使得计算结果等于 $24$。（1）$1,6,6,8$；（2）$4,4,7,7$；（3）$5,5,7,11$；（4）$1,2,7,7$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组：造 $\frac{1}{4}$）：$6\div8=0.75$，$1-0.75=\frac{1}{4}$，再让 $6$ 除以它。算式是 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (2) 组：造 $\frac{24}{7}$）：$4\div7$ 用 $4$ 减去得 $\frac{24}{7}$，再乘 $7$。算式是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (3) 组：造 $\frac{24}{5}$）：$11\div5=2.2$，$7-2.2=4.8=\frac{24}{5}$，再乘 $5$。算式是 $\underline{\quad}$。
第 4 步（第 (4) 组：这次不用造分数）：$7\times7=49$，减 $1$ 得 $48$，再除以 $2$。算式是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：在下面各题中，请你用给出的四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次。要求对每组数分别写出一个结果等于 $24$ 的算式和一个结果等于 $0$ 的算式。（1）$1,3,4,6$；（2）$2,5,5,10$；（3）$5,7,7,11$；（4）$3,3,8,8$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 组）：凑 $24$ 用「造 $\frac{1}{4}$ 再除」，算式是 $\underline{\quad}$；凑 $0$ 要想办法让某个因数为 $0$，$1+3-4=0$，再乘 $6$，算式是 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (2) 组）：凑 $24$ 的算式是 $\underline{\quad}$；凑 $0$ 时注意有两个 $5$，$5-5=0$，再乘上剩下两数之差，算式是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (3) 组）：凑 $24$ 的算式是 $\underline{\quad}$；凑 $0$ 用两个相同的 $7$：$7-7=0$，算式是 $\underline{\quad}$。
第 4 步（第 (4) 组）：凑 $24$ 的算式是 $\underline{\quad}$；凑 $0$ 用 $3-3=0$，算式是 $\underline{\quad}$。

19. 【原题 ch10-tuozhan-11】把 $1$ 至 $6$ 填入下面的方框中，每个数字恰好使用一次，使得等式成立。请写出所有的答案：$\square.\square\times\square.\square=\square.\square$。

详细思路

是哪类问题：这是「小数乘法数字谜」类问题：把数字填进 $\square.\square\times\square.\square=\square.\square$，先化成整数乘法再用整除性筛。

关键切入点：两边同时乘 $100$，等式变成 $\overline{\square\square}\times\overline{\square\square}=\overline{\square\square0}$。右边末位是 $0$，说明左边两个两位数的个位相乘的末位是 $0$，在 $1\sim6$ 中只能是 $5$ 与偶数搭配。于是必有一个乘数个位是 $5$，按 $15,25,35,45,65$ 分五类，逐类用整除性检验即可。

方法概述：两边乘 $100$ 化成整数乘法，按含 $5$ 的乘数分类逐一验算。

规范步骤：

化成整数乘法：$\overline{\square\square}\times\overline{\square\square}=\overline{\square\square0}$（两边同乘 $100$）
看末位：积的末位是 $0$，故一个乘数个位是 $5$，另一个个位是 $2,4,6$（$5\times$ 偶数末位为 $0$）
情形 $\times15$：积是 $3$ 的倍数，候选 $240,420,360,630$；$240\div15=16$（数字重复），$420\div15=28$（$8$ 不在集合），$360\div15=24$ 可行，$630\div15=42$ 可行（逐一验算）
情形 $\times25$：积要是 $25$ 的倍数，十位须为 $0$ 或 $5$，剩下 $1,3,4,6$ 做不到，无解（排除）
情形 $\times35,\times45,\times65$：分别按 $7$ 的倍数、$9$ 的倍数与数量级检验，都无解（排除）
写回小数：$360=24\times15\Rightarrow2.4\times1.5=3.6$；$630=42\times15\Rightarrow4.2\times1.5=6.3$（两边除以 $100$）
写出答案：$2.4\times1.5=3.6$；$4.2\times1.5=6.3$

第一套

题目：把 $1,2,5,6,7,8$ 填入下面的方框中，每个数字恰好使用一次，使得等式成立。请写出所有的答案：$\square.\square\times\square.\square=\square.\square$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成整数乘法）：两边同乘 $100$，等式变成 $\overline{\square\square}\times\overline{\square\square}=\overline{\square\square0}$。
第 2 步（看末位定 $5$ 的位置）：积的末位是 $0$，所以一个乘数的个位是 $5$，另一个乘数的个位是 $2,6,8$ 中的一个。
第 3 步（试个位是 $5$ 的两位数）：候选 $15,65,75,85$。取 $65$，另一个乘数用剩下的 $1,2,7,8$ 组成，$65\times12=\underline{\quad}$，正好用掉 $7,8$，可行。
第 4 步（验算其它候选）：$15$ 时积要是 $3$ 的倍数，剩下 $2,6,7,8$ 组成的 $\overline{\square\square0}$ 中 $780\div15=\underline{\quad}$（数字重复）、$270\div15=18$（$1$ 已用）等都不行；$75$、$85$ 同样无解。
第 5 步（写回小数并验算）：$780=12\times65$，除以 $100$ 得 $1.2\times6.5=\underline{\quad}$；验算 $1.2\times6.5=\underline{\quad}$。

第二套

题目：手工课上要裁一块长方形彩纸，长、宽和面积（单位分别是分米、分米、平方分米）都写成一位小数 $\square.\square$ 的形式，用到的数字恰好是 $1,2,5,6,7,8$ 各一次。求这块彩纸的长、宽和面积。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成整数乘法）：长 $\times$ 宽 $=$ 面积，把三个数都乘 $10$（面积对应乘 $100$），等式变成 $\overline{\square\square}\times\overline{\square\square}=\overline{\square\square0}$。
第 2 步（看末位）：积的末位是 $0$，一个乘数的个位必须是 $5$。
第 3 步（试算）：取乘数 $65$，另一个由 $1,2,7,8$ 组成，$65\times12=\underline{\quad}$，恰好用掉 $7,8$。
第 4 步（排除其它）：换成 $15$ 时，$780\div15=\underline{\quad}$ 出现重复数字，其余候选同样不行。
第 5 步（写回小数）：$780\div100=\underline{\quad}$，验算 $1.2\times6.5=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1,2,4,5,7,8$ 填入下面的方框中，每个数字恰好使用一次，使得等式成立。请写出所有的答案：$\square.\square\times\square.\square=\square.\square$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成整数乘法）：两边同乘 $100$，得 $\overline{\square\square}\times\overline{\square\square}=\overline{\square\square0}$。
第 2 步（看末位）：积的末位是 $0$，一个乘数个位是 $5$，另一个个位是 $2,4,8$ 之一。
第 3 步（试 $15$）：此时积是 $3$ 的倍数，剩下 $2,4,7,8$；取积为 $720$，$720\div15=\underline{\quad}$，恰好用掉 $4,8$，可行。
第 4 步（排除其它候选）：$25$ 要求积是 $25$ 的倍数、十位为 $0$ 或 $5$，剩下的数字做不到；$45$、$75$、$85$ 逐一验算也无解。
第 5 步（写回小数并验算）：$720\div100=\underline{\quad}$，即 $1.5\times4.8=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1,2,4,5,6,7$ 填入下面的方框中，每个数字恰好使用一次，使得等式成立：$\square.\square\times\square.\square=\square.\square$。请写出所有答案，并求出等式中三个小数的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化成整数乘法）：两边同乘 $100$，得 $\overline{\square\square}\times\overline{\square\square}=\overline{\square\square0}$。
第 2 步（看末位）：积的末位是 $0$，所以一个乘数个位是 $5$，另一个个位是 $2,4,6$ 之一。
第 3 步（试 $45$）：剩下 $1,2,6,7$，积取 $720$，$720\div45=\underline{\quad}$，恰好用掉 $1,6$，可行。
第 4 步（排除其它候选）：$15$、$25$、$65$、$75$ 分别按 $3$ 的倍数、$25$ 的倍数、数量级逐一检验，都无解。
第 5 步（写回小数并验算）：$720\div100=\underline{\quad}$，即 $1.6\times4.5=\underline{\quad}$。
第 6 步（求三个小数的和）：$1.6+4.5+7.2=\underline{\quad}$。

20. 【原题 ch10-tuozhan-12】如图 $10-2$ 所示，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字。要使得两个加数的差尽可能小，较大的加数是多少？竖式为 $\overline{\triangle\square\square\triangle1}+\overline{\triangle\square\triangle1\square}=\overline{1010\triangle\square}$。

详细思路

是哪类问题：这是「质数合数加法竖式 + 最优化」类数字谜：先逐位定出每一位上两个数字的和，再调整两加数使差最小。

关键切入点：从个位往高位逐位推：个位是「合数 $+1$ 仍是合数」，只有 $1+8=9$；十位「质数 $+1$ 仍是质数」，只有 $2+1=3$；百位「质数 $+$ 合数 $=10$」，只有 $2+8$；千位「合数 $+$ 合数 $=10$」，只有 $4+6$；万位「质数 $+$ 质数 $=9$」，只有 $2+7$。每一位上两个数字怎么分给两个加数是自由的，要让两数之差最小，就让万位大的那个加数在其余位上尽量取小。

方法概述：逐位列出满足质/合数条件的数字和，再调整两加数使差最小。

规范步骤：

定个位：$1+8=9$（合数加 $1$ 仍是合数）
定十位：$2+1=3$（质数加 $1$ 仍是质数）
定百位：$2+8=10$（质数 $+$ 合数 $=10$）
定千位：$4+6=10$（两个合数之和为 $10$）
定万位：$2+7=9$（两个质数之和为 $9$）
调整使差最小：$26821+74218=101039$（万位大的加数其余位取小）
写出答案：较大的加数是 $74218$

21. 【原题 ch10-tuozhan-13】在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。$\overline{花相似人不同}$ 代表的六位数是多少？算式：$\overline{年年}\times\overline{岁岁}=\overline{花相似}$，$\overline{岁岁}\div\overline{年年}=人\div\overline{不同}$。

详细思路

是哪类问题：这是「文字乘除算式」类数字谜：抓住 $\overline{aa}=a\times11$ 的结构把乘积变成 $121$ 的倍数。

关键切入点：$\overline{年年}\times\overline{岁岁}=年\times11\times岁\times11=年\times岁\times121$，所以三位数「花相似」一定是 $121$ 的倍数。三位的 $121$ 倍数只有 $8$ 个，去掉有重复数字的，只剩 $605,726,847,968$。逐一检验「年 $\times$ 岁」与已用数字是否冲突，只有 $968$（年 $\times$ 岁 $=8=2\times4$）可行；再由第二个算式「岁 $<$ 年」定出岁 $=2$、年 $=4$，最后用剩余数字凑出人 $=5$、不同 $=10$。

方法概述：由 $\overline{年年}\times\overline{岁岁}=年\times岁\times121$ 推「花相似」是 $121$ 的倍数，逐一排除。

规范步骤：

提取 $121$：$\overline{年年}\times\overline{岁岁}=年\times岁\times121$（$\overline{aa}=a\times11$）
列出三位的 $121$ 倍数：$121,242,363,484,605,726,847,968$（枚举）
去掉有重复数字的：只剩 $605,726,847,968$（不同汉字表示不同数字）
逐一检验：$605\Rightarrow年\times岁=5$、$726\Rightarrow6$、$847\Rightarrow7$ 都与已用数字矛盾（排除）
确定 $968$：$968\div121=8=2\times4$，取年 $=4$、岁 $=2$（第二式要求岁 $<$ 年）（回代）
定第二个算式：$22\div44=\frac{1}{2}=5\div10$，故人 $=5$，不同 $=10$（剩余数字 $0,1,3,5,7$）
写出答案：$\overline{花相似人不同}=968510$

22. 【原题 ch10-tuozhan-14】在图 $10-3$ 所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。如果 $\overline{CHINA}$ 代表的五位数能被 $24$ 整除，那么这个五位数是多少？竖式为 $\overline{HONG}+\overline{KONG}=\overline{CHINA}$。

详细思路

是哪类问题：这是「字母加法竖式 + 整除性」类数字谜：两个末三位相同的四位数相加得五位数，靠进位、同余与 $24=8\times3$ 的整除性定字母。

关键切入点：先看千位：两个四位数之和是五位数，进位后 $C=1$，且 $K=9$。再看十位：$N+N$ 的末位仍是 $N$，若个位向十位进位则 $N=9$，与 $K=9$ 冲突，所以 $N=0$ 且个位不进位。两个加数的末三位相同，除以 $8$ 的余数相同，而它们的和被 $8$ 整除，所以每个加数除以 $8$ 的余数是 $0$ 或 $4$，即都是 $4$ 的倍数；由 $N=0$ 推出 $G=4$ 或 $8$，再用「个位不进位」定 $G=4$、$A=8$。

方法概述：由首位与进位定 $K,C,N$，再用被 $8$ 整除的同余分析确定 $G,A$。

规范步骤：

定千位：$K=9$，$C=1$，且百位向千位进位（两个四位数之和是五位数）
定十位：$N+N$ 末位仍是 $N$，若进位则 $N=9$ 与 $K=9$ 冲突，故 $N=0$（进位分析）
用同余分析：两加数末三位相同，除以 $8$ 余数相同；和被 $8$ 整除，故余数是 $0$ 或 $4$（$24=8\times3$）
定 $G$：每个加数都是 $4$ 的倍数，由 $N=0$ 得 $G=4$ 或 $8$；个位不进位故 $G=4$（$4$ 的整除特征看末两位）
定 $A$：$A=4+4=8$（个位相加）
补全竖式：$7604+9604=17208$（试验剩余字母）
验证整除：$17208\div24=717$（回代检验）
写出答案：$\overline{CHINA}=17208$

23. 【原题 ch10-xingqu-01】有一个整数，在它的个位与十位之间加上一个小数点后，得到一个小数。这个小数与原来的整数之差是 $264.6$。求原来的整数。

详细思路

是哪类问题：这是「小数点移动与还原原数」类问题：给一个整数的个位与十位之间插入小数点，整数被缩小到原来的 $\frac{1}{10}$，再由新数与原数的差反推原数。

关键切入点：关键在于看清「插入小数点」到底把数变成了原数的几分之几。个位与十位之间加点，等于把整个数缩小 $10$ 倍，所以新数 $=\frac{1}{10}$ 原数；那么原数与新数的差就占原数的 $1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$。差已知，除以 $\frac{9}{10}$ 即得原数。

方法概述：把差看成原数的 $\frac{9}{10}$，用除法还原原数。

规范步骤：

认出新数是原数的几分之几：$新数=原数\times\frac{1}{10}$（个位与十位之间加小数点＝缩小 $10$ 倍）
算出差占原数的几分之几：$1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$（差＝原数－新数）
用差除以对应分率还原原数：$264.6\div\frac{9}{10}=2646\div9=294$（已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法）
验算：$294-29.4=264.6$（回代检验）
写出答案：$294$

第一套

题目：有一个整数，在它的个位与十位之间加上一个小数点后，得到一个小数。这个小数与原来的整数之差是 $762.3$。求原来的整数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看清小数点把数变成了多少）：在个位与十位之间加小数点，就是把这个数缩小 $10$ 倍，新数是原数的 $\frac{1}{10}$。
第 2 步（求差占原数的几分之几）：差 $=$ 原数 $-$ 新数，用小数写成 $1-0.1=\underline{\quad}$。
第 3 步（把除数化成整数再算）：原数 $=762.3\div0.9$，被除数、除数同时扩大 $10$ 倍，得 $7623\div9=\underline{\quad}$。
第 4 步（验算）：新数 $=847\div10=\underline{\quad}$，差 $=847-84.7=\underline{\quad}$，与题目一致。

第二套

题目：仓库管理员登记一批零件的总重量（整数千克），录入时手滑，在这个整数的个位与十位之间多点了一个小数点，屏幕上显示的重量比真实重量少了 $762.3$ 千克。求真实重量是多少千克。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看清小数点把数变成了多少）：多点一个小数点，重量被缩小 $10$ 倍，显示值是真实值的 $\frac{1}{10}$。
第 2 步（求少的部分占真实值的几分之几）：$1-0.1=\underline{\quad}$。
第 3 步（把除数化成整数再算）：真实重量 $=762.3\div0.9=7623\div9=\underline{\quad}$（千克）。
第 4 步（验算）：显示值 $=847\div10=\underline{\quad}$（千克），少了 $847-84.7=\underline{\quad}$（千克）。

第三套

题目：有一个整数，在它的十位与百位之间加上一个小数点后，得到一个小数。这个小数与原来的整数之差是 $1287.99$。求原来的整数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看清缩小的倍数）：小数点插在十位与百位之间，末两位变成小数部分，数被缩小 $100$ 倍，新数是原数的 $\frac{1}{100}$。
第 2 步（求差占原数的几分之几）：$1-0.01=\underline{\quad}$。
第 3 步（把除数化成整数再算）：原数 $=1287.99\div0.99$，被除数、除数同时扩大 $100$ 倍，得 $128799\div99=\underline{\quad}$。
第 4 步（验算）：新数 $=1301\div100=\underline{\quad}$，差 $=1301-13.01=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一个整数，在它的个位与十位之间加上一个小数点后，得到一个小数。这个小数与原来的整数之和是 $2262.7$。请问：原来的整数是多少？原数与这个小数的差又是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看清小数点把数变成了多少）：新数是原数的 $\frac{1}{10}$。
第 2 步（这次给的是「和」，要先求和占原数的几分之几）：$1+0.1=\underline{\quad}$。
第 3 步（把除数化成整数再算）：原数 $=2262.7\div1.1$，被除数、除数同时扩大 $10$ 倍，得 $22627\div11=\underline{\quad}$。
第 4 步（求出那个小数）：新数 $=2057\div10=\underline{\quad}$。
第 5 步（再求差）：差占原数的 $1-0.1=\underline{\quad}$，所以差 $=2057\times0.9=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch10-xingqu-02】试将 $1,2,3,4,5,6,7$ 分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：$\square\square\square$（这是一个三位数），$\square\square\square$（这是一个三位数），$\square$（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质。已知其中一个三位数已填好，它是 $714$，求另外两个数。

详细思路

是哪类问题：这是「互质填数」类构造题：把若干数字分配到几个数中，要求这些数两两互质，本质是控制它们的质因数不重复。

关键切入点：突破口是位数最少的那个数。先把已知的 $714$ 分解质因数：$714=2\times3\times7\times17$，于是另外两个数都不能含有因数 $2,3,7,17$。剩下的数字是 $2,3,5,6$，其中 $2,3,6$ 都是 $714$ 的约数，只有 $5$ 可以当一位数；三位数由 $2,3,6$ 组成，不能是偶数，个位只能是 $3$，再用 $623=7\times89$ 排除 $623$。

方法概述：先分解已知数的质因数，再以一位数为突破口逐步排除。

规范步骤：

分解已知的三位数：$714=2\times3\times7\times17$（质因数分解锁定禁用因子）
列出剩下的数字：$2,3,5,6$（$1,4,7$ 已被 $714$ 用掉）
定一位数：$2,3,6$ 都是 $714$ 的约数，故一位数只能是 $5$（互质要求无公因数）
定三位数的个位：三位数由 $2,3,6$ 组成，不能是偶数，个位只能是 $3$（偶数与 $714$ 有公因数 $2$）
在 $263$ 与 $623$ 中排除：$623=7\times89$，含因数 $7$，排除（$714$ 含因数 $7$）
写出答案：$5$ 和 $263$

第一套

题目：试将 $1,2,4,5,6,8,9$ 分别填入两个三位数与一个一位数的方框中，每个数字只用一次，使得这三个数中任意两个都互质。已知其中一个三位数是 $812$，求另外两个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解已知数，锁定禁用的质因数）：$812$ 是偶数，$812\div2=406$，$406\div2=203$，$203=7\times29$，所以 $812=2\times2\times7\times29=\underline{\quad}$。
第 2 步（列出剩下的数字并先筛一位数）：剩下 $4,5,6,9$。$4$ 和 $6$ 是偶数，与 $812$ 有公因数 $2$，先排除。
第 3 步（判断 $9$ 行不行）：$9$ 与 $812$ 是否互质，看 $812$ 能否被 $3$ 整除，数字和 $8+1+2=\underline{\quad}$，不是 $3$ 的倍数，所以 $9$ 暂时不能排除，要试一试。
第 4 步（试一位数取 $9$）：此时三位数由 $4,5,6$ 组成且必须是奇数，个位只能是 $5$，即 $465$ 或 $645$；它们的数字和 $4+6+5=\underline{\quad}$ 是 $3$ 的倍数，与 $9$ 不互质，全部排除。
第 5 步（定一位数）：所以一位数只能是 $\underline{\quad}$。
第 6 步（定三位数）：三位数由 $4,6,9$ 组成且必须是奇数，个位只能是 $9$，即 $469$ 或 $649$；$469\div7=\underline{\quad}$，说明 $469$ 含因数 $7$，与 $812$ 不互质，排除。
第 7 步（写出并验证）：另一个三位数是 $\underline{\quad}$，验证 $649\div11=\underline{\quad}$，它只含质因数 $11$ 和 $59$，与 $812$、$5$ 都互质。

第二套

题目：科技节做密码锁，锁芯上有三张卡片：两张写三位数、一张写一位数，用到的数字恰好是 $1,2,4,5,6,8,9$ 各一次，并且任意两张卡片上的数都互质。现在已经看到一张三位数卡片是 $812$，求另外两张卡片上的数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解已知卡片，锁定禁用的质因数）：$812=2\times2\times7\times29=\underline{\quad}$。
第 2 步（先筛一位数卡片）：剩下的数字是 $4,5,6,9$，其中 $4$、$6$ 是偶数，与 $812$ 有公因数 $2$，排除。
第 3 步（判断 $9$）：看 $812$ 能否被 $3$ 整除，数字和 $8+1+2=\underline{\quad}$，不是 $3$ 的倍数，$9$ 还要再试。
第 4 步（试 $9$）：三位数只能由 $4,5,6$ 组成且是奇数，只有 $465$、$645$；数字和 $4+6+5=\underline{\quad}$ 是 $3$ 的倍数，与 $9$ 不互质，排除。
第 5 步（定一位数卡片）：一位数卡片是 $\underline{\quad}$。
第 6 步（定三位数卡片）：由 $4,6,9$ 组成的奇数只有 $469$、$649$；$469\div7=\underline{\quad}$，含因数 $7$，排除。
第 7 步（写出并验证）：另一张卡片是 $\underline{\quad}$，$649\div11=\underline{\quad}$。

第三套

题目：试将 $2,3,4,5,6,7,8$ 分别填入两个三位数与一个一位数的方框中，每个数字只用一次，使得这三个数中任意两个都互质。已知其中一个三位数是 $658$，求另外两个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解已知数）：$658\div2=329$，$329=7\times47$，所以 $658=2\times7\times47=\underline{\quad}$。
第 2 步（筛一位数）：剩下 $2,3,4,7$。$2$、$4$ 是偶数与 $658$ 有公因数 $2$；$7$ 是 $658$ 的约数；都排除，一位数只能是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（定三位数的个位）：三位数由 $2,4,7$ 组成，与 $2$ 互质要求它是奇数，个位只能是 $7$，即 $247$ 或 $427$。
第 4 步（排除）：$427\div7=\underline{\quad}$，含因数 $7$，与 $658$ 不互质，排除。
第 5 步（写出并验证）：另一个三位数是 $\underline{\quad}$，$247\div13=\underline{\quad}$，即 $247=13\times19$，与 $658$、$3$ 都互质。

第三套

题目：试将 $1,2,3,5,6,7,8$ 分别填入两个三位数与一个一位数的方框中，每个数字只用一次，使得这三个数中任意两个都互质。已知其中一个三位数是 $318$。请问：另外两个数是多少？这三个数的和与积各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解已知数）：$318\div2=159$，$159=3\times53$，所以 $318=2\times3\times53=\underline{\quad}$，禁用因数为 $2,3,53$。
第 2 步（列出剩下的数字并先筛一位数）：$318$ 用掉了 $3,1,8$，剩下 $2,5,6,7$。其中 $2$、$6$ 是偶数，与 $318$ 有公因数 $2$，排除；剩 $5$ 与 $7$ 两种可能。
第 3 步（试一位数取 $5$）：此时三位数由 $2,6,7$ 组成且必须是奇数，即 $267$ 或 $627$；它们的数字和 $2+6+7=\underline{\quad}$ 是 $3$ 的倍数，与含因数 $3$ 的 $318$ 不互质，全部排除。
第 4 步（定一位数）：所以一位数只能是 $\underline{\quad}$。
第 5 步（定三位数）：三位数由 $2,5,6$ 组成且必须是奇数，即 $265$ 或 $625$；$265\div5=\underline{\quad}$，说明 $265$ 含因数 $53$，与 $318$ 不互质，排除，所以三位数是 $\underline{\quad}$。
第 6 步（验证互质）：$625=5\times5\times5\times5=\underline{\quad}$，只含质因数 $5$，与 $318$（含 $2,3,53$）、$7$ 都互质。
第 7 步（求和）：$318+625+7=\underline{\quad}$。
第 8 步（求积）：$318\times625\times7=\underline{\quad}$。

25. 【原题 ch10-xingqu-03】用 $1$ 至 $9$ 这 $9$ 个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？

详细思路

是哪类问题：这是「组数最优化」类问题：把给定数字各用一次组成若干个数，让其中合数的个数尽可能多。

关键切入点：先看每个数字单独成数时是不是合数：$4,6,8,9$ 本身就是合数，直接各算一个，这是「白拿」的 $4$ 个。剩下 $1,2,3,5,7$ 单独都不是合数（$1$ 既非质数也非合数，$2,3,5,7$ 是质数），必须两个以上凑在一起才可能变成合数，$5$ 个数字最多凑成 $2$ 个数。所以上限是 $4+2=6$，再给出一个达到 $6$ 的例子即可。

方法概述：本身是合数的数字单独成数，非合数数字尽量两两配成合数。

规范步骤：

挑出本身就是合数的数字：$4,6,8,9$，共 $4$ 个（一位合数只有 $4,6,8,9$）
处理剩下的非合数数字：$1,2,3,5,7$ 共 $5$ 个，最多再组成 $\lfloor5\div2\rfloor=2$ 个数（每个新数至少要用 $2$ 个数字）
求上限：$4+2=6$（两部分相加）
给出实例：$4,6,8,9,21,375$（$21=3\times7$，$375=3\times125$）（构造达到上限的方案）
写出答案：最多 $6$ 个合数

第一套

题目：用 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先数「白拿」的一位合数）：一位数中是合数的只有 $4,6,8,9$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（清点剩下的数字）：剩下 $0,1,2,3,5,7$ 共 $6$ 个，它们单独都不是合数（$0,1$ 既非质数也非合数，$2,3,5,7$ 是质数），必须两个以上凑成一个数，所以最多还能组成 $6\div2=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（求上限）：$4+3=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（造一个达到上限的例子并验证）：取 $4,6,8,9,10,32,75$。验证 $10\div2=\underline{\quad}$，$32\div2=\underline{\quad}$，$75\div5=\underline{\quad}$，三个两位数都是合数。

第二套

题目：数学游园会上有 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 张数字卡片，每张恰好用一次，可以把几张卡片并排组成一个数。摆出的这些数中，最多能有多少个合数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先数单张就是合数的卡片）：$4,6,8,9$ 这 $\underline{\quad}$ 张单独摆出来就是合数。
第 2 步（清点剩下的卡片）：剩下 $0,1,2,3,5,7$ 共 $6$ 张，单独都不是合数，至少两张并排才可能成合数，最多再摆 $6\div2=\underline{\quad}$ 个数。
第 3 步（求上限）：$4+3=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（给出摆法并验证）：$4,6,8,9,10,32,75$，其中 $10\div2=\underline{\quad}$，$32\div2=\underline{\quad}$，$75\div5=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $2,3,4,5,6,7,8,9$ 这 $8$ 个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先数一位合数）：$4,6,8,9$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（剩下的都是质数数字）：剩下 $2,3,5,7$ 共 $4$ 个，单独都是质数，两两组成一个数，最多 $4\div2=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（求上限）：$4+2=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（造例子并验证）：把 $2,3,5,7$ 配成 $27$ 与 $35$，取 $4,6,8,9,27,35$；验证 $27\div3=\underline{\quad}$，$35\div5=\underline{\quad}$，两个两位数都是合数，达到上限。

第三套

题目：用 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字各一次组成若干个数。请问：这些数中最多有多少个合数？在合数个数最多的前提下，这些合数的和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先定最多个数）：一位合数 $4,6,8,9$ 共 $4$ 个；剩下 $0,1,2,3,5,7$ 六个数字每两个凑一个数，最多再得 $3$ 个，合计 $4+3=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（和最小的思路）：个数固定为 $7$ 时，$4,6,8,9$ 必须单独成数，这部分的和是 $4+6+8+9=\underline{\quad}$，不能再变小。
第 3 步（让三个两位数的和最小）：$0,1,2,3,5,7$ 要组成 $3$ 个两位合数，两位数的和 $=$ 十位数字和 $\times10+$ 个位数字和，所以要把小的 $1,2,3$ 放十位、大的 $0,5,7$ 放个位；能同时满足「都是合数」的搭配是 $10,27,35$，它们的和为 $10+27+35=\underline{\quad}$。
第 4 步（合计）：$27+72=\underline{\quad}$。

26. 【原题 ch10-xingqu-04】如图 $10-1$，$4$ 个小三角形的顶点处有 $6$ 个圆圈。在这些圆圈中分别填上 $6$ 个质数（可以重复），使得它们的和是 $20$，而且每个小三角形 $3$ 个顶点上的数之和相等。请问：这 $6$ 个质数的乘积是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数阵图 + 质数」类问题：几个小三角形共用顶点，且各三角形三顶点之和相等，要由结构关系推出各顶点的取值。

关键切入点：关键在于两两比较相邻的小三角形：把两个共用两个顶点的小三角形放在一起看，它们的和相等，减去公共的两个顶点后，剩下的那两个顶点必然相等。于是六个圆圈其实只有三个不同的值 $A,B,C$，各出现两次，从而 $2(A+B+C)=20$，$A+B+C=10$；再在质数里找和为 $10$ 的三个数。

方法概述：用「和相等 $-$ 公共部分」推出对应顶点相等，把六个数化成三个数。

规范步骤：

比较相邻两个小三角形：两式相等且有两个公共顶点，故剩下的两个顶点相等（等量减等量差相等）
得出结构：六个圆圈的值为 $A,A,B,B,C,C$（每个值出现两次）
由总和列式：$2\times(A+B+C)=20$，$A+B+C=10$（六数之和为 $20$）
在质数中找和为 $10$ 的三个数：$2+3+5=10$（$2,3,5$ 是仅有的一组）
求乘积：$2\times2\times3\times3\times5\times5=900$（每个质数各出现两次）
写出答案：$900$

27. 【原题 ch10-xingqu-05】在一个带有余数的除法算式中，商比除数大 $2$，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是 $1023$。请问：此算式中的 $4$ 个数之和最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「带余除法数字谜 + 最大化」类问题：由被除数、除数、商、余数之间的大小关系与乘积关系，反推四个数并让和最大。

关键切入点：先排大小：被除数最大，余数最小（余数 $<$ 除数 $<$ 商）。于是「最大数 $-$ 最小数」就是「被除数 $-$ 余数」，而被除数 $=$ 除数 $\times$ 商 $+$ 余数，所以被除数 $-$ 余数 $=$ 除数 $\times$ 商 $=1023$。再把 $1023$ 分解，配合「商比除数大 $2$」定出唯一一组；要让四数之和最大，余数取最大值 $除数-1$。

方法概述：把「最大 $-$ 最小」转化为「除数 $\times$ 商」，分解后按差为 $2$ 定值，余数取最大。

规范步骤：

排出四个数的大小：被除数最大，余数最小（余数 $<$ 除数 $<$ 商 $<$ 被除数）
把差转成乘积：被除数 $-$ 余数 $=$ 除数 $\times$ 商 $=1023$（$被除数=除数\times商+余数$）
分解 $1023$：$1023=3\times11\times31$（质因数分解）
用「商比除数大 $2$」定值：$1023=31\times33$，故除数 $=31$，商 $=33$（两因数相差 $2$）
取最大余数：余数最大 $=31-1=30$（余数必须小于除数）
求被除数：$1023+30=1053$（被除数 $=$ 差 $+$ 余数）
求和：$1053+33+31+30=1147$（四数相加）
写出答案：$1147$

第一套

题目：在一个带有余数的除法算式中，商比除数大 $2$，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是 $3843$。请问：此算式中的 $4$ 个数之和最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（排大小、把差转成乘积）：被除数最大、余数最小，所以被除数 $-$ 余数 $=$ 除数 $\times$ 商 $=3843$。
第 2 步（分解 $3843$）：$3843$ 的数字和是 $18$，能被 $9$ 整除，$3843\div9=427$，$427=7\times61$，所以 $3843=3\times3\times7\times61=\underline{\quad}$。
第 3 步（用「商比除数大 $2$」凑一对因数）：把 $3843$ 写成两个相差 $2$ 的数之积，商 $=$ $3843\div61=\underline{\quad}$，除数 $=63-2=\underline{\quad}$。
第 4 步（余数取最大）：余数最大 $=61-1=\underline{\quad}$。
第 5 步（求被除数）：$3843+60=\underline{\quad}$。
第 6 步（求四数之和）：$3903+63+61+60=\underline{\quad}$。

第二套

题目：图书馆把一批书平均分到若干个书架上，最后还剩下一些放不满一架。已知每架的本数（商）比书架数（除数）多 $2$；在总本数、书架数、每架本数、剩余本数这 $4$ 个数中，最大数与最小数之差是 $3843$。请问：这 $4$ 个数的和最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（排大小、把差转成乘积）：总本数最大、剩余本数最小，所以总本数 $-$ 剩余 $=$ 书架数 $\times$ 每架本数 $=3843$。
第 2 步（分解 $3843$）：$3843=3\times3\times7\times61=\underline{\quad}$。
第 3 步（用「相差 $2$」定值）：每架本数 $=3843\div61=\underline{\quad}$，书架数 $=63-2=\underline{\quad}$。
第 4 步（剩余取最大）：剩余本数最多 $=61-1=\underline{\quad}$（必须少于书架数）。
第 5 步（求总本数）：$3843+60=\underline{\quad}$（本）。
第 6 步（求四数之和）：$3903+63+61+60=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在一个带有余数的除法算式中，商比除数大 $2$，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是 $1763$。请问：此算式中的 $4$ 个数之和最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把差转成乘积）：被除数 $-$ 余数 $=$ 除数 $\times$ 商 $=1763$。
第 2 步（分解 $1763$）：$1763$ 不是 $2,3,5,7,11,13$ 的倍数，试到 $41$：$1763\div41=\underline{\quad}$，所以 $1763=41\times43$。
第 3 步（用「相差 $2$」定值）：除数 $=43-2=\underline{\quad}$，商 $=43$。
第 4 步（余数取最大）：$41-1=\underline{\quad}$。
第 5 步（求被除数）：$1763+40=\underline{\quad}$。
第 6 步（求和）：$1803+43+41+40=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在一个带有余数的除法算式中，商比除数大 $4$，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是 $2205$。请问：此算式中的 $4$ 个数之和最大可能是多少？最小可能是多少？两者相差多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把差转成乘积）：被除数 $-$ 余数 $=$ 除数 $\times$ 商 $=2205$。
第 2 步（分解 $2205$）：数字和 $9$，$2205\div9=245$，$245=5\times49$，所以 $2205=3\times3\times5\times7\times7=\underline{\quad}$。
第 3 步（用「商比除数大 $4$」凑因数对）：把 $2205$ 拆成相差 $4$ 的两个因数，$2205\div49=\underline{\quad}$，即除数 $=45$、商 $=45+4=\underline{\quad}$。
第 4 步（和最大：余数取最大）：余数最大 $=45-1=\underline{\quad}$，被除数 $=2205+44=\underline{\quad}$，四数之和 $=2249+49+45+44=\underline{\quad}$。
第 5 步（和最小：余数取最小）：带余除法余数不能为 $0$，最小是 $1$，被除数 $=2205+1=\underline{\quad}$，四数之和 $=2206+49+45+1=\underline{\quad}$。
第 6 步（求两者之差）：$2387-2301=\underline{\quad}$。

28. 【原题 ch10-xingqu-06】在乘法算式“$\overline{迎杯}\times\overline{春杯}=\overline{好好好}$”中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字。请问：“迎 $+$ 春 $+$ 杯 $+$ 好”等于多少？

详细思路

是哪类问题：这是「文字乘法算式」类数字谜：由乘积的特殊结构（三位同数字）拆出质因数，再按两位数倍数分类讨论。

关键切入点：突破口是 $\overline{好好好}=好\times111=好\times3\times37$。于是两个两位乘数中必有一个是 $37$ 的倍数；两位数中 $37$ 的倍数只有 $37$ 和 $74$，只有两种情况可试。又因为「迎杯」「春杯」个位同为「杯」，一旦定下 $37$ 或 $74$，个位「杯」就跟着确定，另一个乘数用除法算出即可。

方法概述：利用 $\overline{aaa}=a\times3\times37$ 分解，按 $37$ 的两位数倍数分类讨论。

规范步骤：

拆解三位同数字：$\overline{好好好}=好\times111=好\times3\times37$（$111=3\times37$）
确定其中一个乘数：两位数中 $37$ 的倍数只有 $37,74$（$37\times3=111$ 已是三位数）
情形一：迎杯 $=37$：杯 $=7$，$\overline{春7}\times37=\overline{好好好}$，只有 $27\times37=999$（个位 $7\times7=49$ 末位 $9$，故好 $=9$）
验证情形一：$999\div37=27$，迎 $=3$，春 $=2$，杯 $=7$，好 $=9$（回代检验）
情形二：迎杯 $=74$：杯 $=4$，好 $=6$，但 $666\div74=9$ 不是两位数，无解（排除）
求和：$3+2+7+9=21$
写出答案：$21$

29. 【原题 ch10-xingqu-07】将 $1$ 至 $9$ 这 $9$ 个数填入下面算式中的 $9$ 个方框内（每个数字只能用一次），使等式成立：$\square\square\square\times\square\square=\square\square\times\square\square=5568$。

详细思路

是哪类问题：这是「乘积相等填数」类问题：把 $1\sim9$ 各一次填进两个乘法算式，使两个乘积都等于给定数，本质是「分解 $+$ 数字不重复筛选」。

关键切入点：先把 $5568$ 分解质因数：$5568=2^6\times3\times29$，再把它写成「两个不小于 $10$ 的数之积」的所有方式，逐一检查数字有没有重复。两位数 $\times$ 两位数只可能是 $58\times96$ 或 $64\times87$；若取 $64\times87$，剩下的数字组不出与之匹配的三位数 $\times$ 两位数，只能是 $58\times96$，配 $174\times32$。

方法概述：分解目标数、列全部两数之积、再用「$1\sim9$ 各一次」筛选。

规范步骤：

分解质因数：$5568=2^6\times3\times29$（为列举分解做准备）
列出全部两数之积：$12\times463,\ 16\times348,\ 24\times232,\ 29\times192,\ 32\times174,\ 48\times116,\ 58\times96,\ 64\times87$（按较小因数从小到大）
先删有重复数字的：$24\times232$、$29\times192$、$48\times116$ 内部有重复数字（每个数字只用一次）
锁定两位数 $\times$ 两位数：只剩 $58\times96$ 与 $64\times87$（题目要求其中一组是两位 $\times$ 两位）
配对三位数 $\times$ 两位数：取 $58\times96$，剩下 $1,2,3,4,7$，恰好组成 $174\times32$（数字互补）
验算：$174\times32=5568$，$58\times96=5568$（回代检验）
写出答案：$174\times32=58\times96=5568$

第一套

题目：将 $1$ 至 $9$ 这 $9$ 个数填入下面算式中的 $9$ 个方框内（每个数字只能用一次），使等式成立：$\square\square\square\times\square\square=\square\square\times\square\square=7448$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$7448$ 是偶数，$7448\div2=3724$，$3724\div2=1862$，$1862\div2=931$，$931=7\times7\times19$，所以 $7448=2\times2\times2\times7\times7\times19=\underline{\quad}$。
第 2 步（先找两位数 $\times$ 两位数）：两个两位数之积是 $7448$，较小的那个至少是 $\lceil7448\div99\rceil=76$，试 $76$：$7448\div76=\underline{\quad}$，且 $76,98$ 的数字互不相同，可用。
第 3 步（用剩下的数字配三位数 $\times$ 两位数）：剩下 $1,2,3,4,5$，两位数的十位只能取 $1$（否则积过大），$7448\div14=\underline{\quad}$，恰好是 $532$，用掉 $5,3,2$。
第 4 步（验算两边）：$532\times14=\underline{\quad}$，$76\times98=\underline{\quad}$，两积相等且 $1\sim9$ 各用一次。

第二套

题目：工厂要摆两块面积相同的长方形展板，面积都是 $7448$ 平方分米。第一块的长、宽（单位：分米）分别是一个三位数和一个两位数，第二块的长、宽都是两位数，并且这 $9$ 个数字恰好是 $1$ 至 $9$ 各用一次。求两块展板的长和宽。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$7448=2\times2\times2\times7\times7\times19=\underline{\quad}$。
第 2 步（先定第二块的两位数 $\times$ 两位数）：$7448\div76=\underline{\quad}$，即 $76$ 分米 $\times$ $98$ 分米。
第 3 步（用剩下的数字定第一块）：剩下 $1,2,3,4,5$，$7448\div14=\underline{\quad}$，即 $532$ 分米 $\times$ $14$ 分米。
第 4 步（验算）：$532\times14=\underline{\quad}$，$76\times98=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1$ 至 $9$ 这 $9$ 个数填入下面算式中的 $9$ 个方框内（每个数字只能用一次），使等式成立：$\square\square\square\times\square\square=\square\square\times\square\square=7008$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$7008\div2=3504$，$3504\div2=1752$，$1752\div2=876$，$876\div2=438$，$438\div2=219$，$219=3\times73$，所以 $7008=2^5\times3\times73$，即 $7008=32\times3\times\underline{\quad}$。
第 2 步（抓大质因数）：$73$ 是质数，含 $73$ 的两位数因数只有 $73$ 本身，所以有一个乘数一定是 $73$，另一个是 $7008\div73=\underline{\quad}$。
第 3 步（用剩下的数字配三位数 $\times$ 两位数）：剩下 $1,2,4,5,8$，两位数取 $12$，$7008\div12=\underline{\quad}$，恰好用掉 $5,8,4$。
第 4 步（验算）：$584\times12=\underline{\quad}$，$73\times96=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1$ 至 $9$ 这 $9$ 个数填入下面算式中的 $9$ 个方框内（每个数字只能用一次），使等式成立：$\square\square\square\times\square\square=\square\square\times\square\square=5056$。填好后，请再求出这 $4$ 个乘数的和，以及其中最大数与最小数的差。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$5056\div2=2528$，$2528\div2=1264$，$1264\div2=632$，$632\div2=316$，$316\div2=158$，$158=2\times79$，所以 $5056=2^6\times79$，即 $5056=64\times\underline{\quad}$。
第 2 步（抓大质因数）：$79$ 是质数，两位数因数中含 $79$ 的只有 $79$，所以两位 $\times$ 两位这一组是 $79\times(5056\div79)=79\times\underline{\quad}$。
第 3 步（配三位数 $\times$ 两位数）：剩下 $1,2,3,5,8$，两位数取 $32$，$5056\div32=\underline{\quad}$，恰好用掉 $1,5,8$。
第 4 步（验算）：$158\times32=\underline{\quad}$，$64\times79=\underline{\quad}$。
第 5 步（求四个乘数之和）：$158+32+64+79=\underline{\quad}$。
第 6 步（求最大数与最小数的差）：$158-32=\underline{\quad}$。

30. 【原题 ch10-xingqu-08】小数 $0.AB$ 化成最简分数后，分子与分母的和为 $63$，那么这个小数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「小数化最简分数」类数字谜：由化简后分子与分母的和反推原来的两位小数。

关键切入点：关键是把「约分」写成等式。$0.AB=\frac{\overline{AB}}{100}$，设分子分母同时约去 $k$，那么 $k$ 必须同时是 $\overline{AB}$ 与 $100$ 的约数，化简后分子分母之和为 $\frac{\overline{AB}+100}{k}=63$，即 $\overline{AB}+100=63k$。因为 $\overline{AB}$ 是两位数，$110\leqslant63k\leqslant199$，只有 $k=2$，得 $\overline{AB}=26$。

方法概述：设约去的公约数 $k$（必为 $100$ 的约数），由「分子分母之和」列式求解。

规范步骤：

把小数写成分数：$0.AB=\frac{\overline{AB}}{100}$（两位小数的分母是 $100$）
设约去的数：设同时约去 $k$，$k$ 是 $100$ 的约数（约分只能约公约数）
列出和的等式：$\frac{\overline{AB}+100}{k}=63$，即 $\overline{AB}+100=63k$（分子分母同除以 $k$）
用两位数范围定 $k$：$110\leqslant63k\leqslant199$，故 $k=2$（$\overline{AB}$ 是两位数）
求 $\overline{AB}$：$\overline{AB}=63\times2-100=26$（代回）
验算：$0.26=\frac{26}{100}=\frac{13}{50}$，$13+50=63$（回代检验）
写出答案：$0.26$

第一套

题目：小数 $0.AB$ 化成最简分数后，分子与分母的和为 $83$，那么这个小数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把小数写成分数并设约去的数）：$0.AB=\frac{\overline{AB}}{100}$，设分子分母同时约去 $k$，$k$ 必须是 $100$ 的约数，即 $k$ 只能取 $2,4,5,10,20,25,50$ 之一。
第 2 步（列出和的等式）：约分后分子分母之和为 $\frac{\overline{AB}+100}{k}=83$，即 $\overline{AB}+100=83k$。
第 3 步（用「$\overline{AB}$ 是两位数」定 $k$）：需要 $110\leqslant83k\leqslant199$，故 $k=2$；此时 $\overline{AB}=83\times2-100=\underline{\quad}$。
第 4 步（化简验算）：分子 $66\div2=\underline{\quad}$，分母 $100\div2=\underline{\quad}$，和为 $33+50=\underline{\quad}$，与题目一致。

第二套

题目：小明把一次投篮的命中率记成两位小数 $0.AB$，老师要求写成最简分数上交。写完后小明发现，这个最简分数的分子与分母之和恰好是 $83$。请问：小明的命中率是多少（写成两位小数）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把小数写成分数并设约去的数）：$0.AB=\frac{\overline{AB}}{100}$，约去的 $k$ 必须是 $100$ 的约数。
第 2 步（列式）：$\frac{\overline{AB}+100}{k}=83$，即 $\overline{AB}+100=83k$。
第 3 步（定 $k$ 并求 $\overline{AB}$）：$\overline{AB}$ 是两位数，只有 $k=2$ 可行，$\overline{AB}=83\times2-100=\underline{\quad}$。
第 4 步（化简验算）：$66\div2=\underline{\quad}$，$100\div2=\underline{\quad}$，$33+50=\underline{\quad}$。

第三套

题目：小数 $0.AB$ 化成最简分数后，分子与分母的和为 $49$，那么这个小数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列式）：$0.AB=\frac{\overline{AB}}{100}$，约去 $k$（$100$ 的约数）后 $\frac{\overline{AB}+100}{k}=49$，即 $\overline{AB}+100=49k$。
第 2 步（逐个试 $k$）：$k=2$ 时 $49\times2-100=\underline{\quad}$ 是负数，不行；$k=4$ 时 $49\times4-100=\underline{\quad}$，是两位数，可行；$k=5$ 时 $49\times5=245$ 减 $100$ 得三位数，不行。
第 3 步（化简验算）：$96\div4=\underline{\quad}$，$100\div4=\underline{\quad}$，$24+25=\underline{\quad}$，且 $24$ 与 $25$ 互质，确是最简分数。

第三套

题目：小数 $0.AB$ 化成最简分数后，分子与分母的和为 $99$。请问：这个小数是多少？如果把它改写成纯循环小数 $0.\dot{A}\dot{B}$，化成最简分数后分母是多少？两个分母相差多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列式定 $k$）：$\frac{\overline{AB}+100}{k}=99$，即 $\overline{AB}+100=99k$；$\overline{AB}$ 是两位数，只有 $k=2$，得 $\overline{AB}=99\times2-100=\underline{\quad}$。
第 2 步（化简）：分子 $98\div2=\underline{\quad}$，分母 $100\div2=\underline{\quad}$，和为 $49+50=\underline{\quad}$。
第 3 步（改写成纯循环小数）：纯循环小数的分母是 $99$，即 $0.\dot{9}\dot{8}=\frac{98}{99}$；因为 $99=9\times11$ 而 $98=2\times7\times7$，二者互质，所以已经是最简分数，分母是 $\underline{\quad}$。
第 4 步（求两个分母之差）：$99-50=\underline{\quad}$。

31. 【原题 ch10-xingqu-09】在算式“$\frac{\overline{数学}}{\overline{华罗庚}}+\frac{\overline{竞赛}}{\overline{金杯}}=7$”中，华、罗、庚、金、杯、数、学、竞、赛九个字，分别代表数字 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$。已知“竞 $=8$，赛 $=6$”，请把这个算式写出来。

详细思路

是哪类问题：这是「分数型文字算式」数字谜：两个分数之和为整数，靠「真分数的取值范围」先卡住一个分母，再用倍数关系收网。

关键切入点：突破口是范围估计：$\frac{\overline{数学}}{\overline{华罗庚}}$ 是两位数比三位数，一定是真分数（大于 $0$ 小于 $1$），所以 $\frac{86}{\overline{金杯}}$ 必在 $6$ 与 $7$ 之间，$\overline{金杯}$ 只能是 $13$ 或 $14$。取 $13$ 时 $\frac{\overline{数学}}{\overline{华罗庚}}=7-\frac{86}{13}=\frac{5}{13}$，于是「数学」是 $5$ 的倍数、「华罗庚」是 $13$ 的倍数，再在剩余数字里枚举即可。

方法概述：用真分数范围定「金杯」，再用倍数关系枚举「数学」「华罗庚」。

规范步骤：

判断第一个分数是真分数：两位数 $\div$ 三位数 $<1$（分子小于分母）
卡住第二个分数的范围：$6<\frac{86}{\overline{金杯}}<7$，故 $\overline{金杯}=13$ 或 $14$（$86\div7\approx12.3$，$86\div6\approx14.3$）
情形一 $\overline{金杯}=13$：$\frac{\overline{数学}}{\overline{华罗庚}}=7-\frac{86}{13}=\frac{5}{13}$（通分相减）
由倍数关系枚举：「学」$=5$，「数学」取 $25,45,75,95$，对应「华罗庚」为 $65,117,195,247$（分子分母同比例放大）
检验数字不重复：只有 $\frac{95}{247}$ 满足九个字各不相同（逐一验证）
情形二 $\overline{金杯}=14$：$\frac{\overline{数学}}{\overline{华罗庚}}=\frac{6}{7}$，约分前必出现重复数字，无解（排除）
写出答案：$\frac{95}{247}+\frac{86}{13}=7$

32. 【原题 ch10-xingqu-10】已知“$\overline{BAD}+\overline{BAD}=\overline{GOOD}$”是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，已知 $\overline{GOOD}$ 不是 $8$ 的倍数。请问：$\overline{ABGD}$ 代表的四位数是什么？

详细思路

是哪类问题：这是「字母加法竖式」数字谜：两个相同的三位数相加得四位数，靠首位、个位、进位与整除性逐步定字母。

关键切入点：先看最高位：两个三位数之和最多 $1998$，所以四位数的首位 $G=1$。再看个位：$D+D$ 的末位仍是 $D$，只能 $D=0$。接着分析 $A+A$ 是否进位：若进位则 $A+A=10+A$、同时 $B+B=9+G$，左边都是偶数而右边一奇一偶，矛盾，所以不进位。最后用「$\overline{GOOD}$ 不是 $8$ 的倍数」，由 $D=0$ 推出 $A$ 不能是偶数，$A$ 只能是 $3$。

方法概述：首位定 $G$、个位定 $D$，再用奇偶与进位矛盾、整除性定 $A$。

规范步骤：

定首位：$\overline{BAD}+\overline{BAD}<2000$，故 $G=1$（两个三位数之和小于 $2000$）
定个位：个位 $D+D$ 的末位是 $D$，故 $D=0$（$2D\equiv D\pmod{10}$ 且 $D<10$）
排除 $A+A$ 进位：若进位则 $A+A=10+A$、$B+B=9+G$，左偶右奇偶不一致，矛盾（奇偶分析）
用整除性定 $A$：$\overline{GOOD}$ 不是 $8$ 的倍数 $\Rightarrow$ $\overline{BAD}$ 不是 $4$ 的倍数；$D=0$ 时要求 $A$ 是奇数（$8=2\times4$）
确定唯一解：$A=3$，$\overline{BAD}=830$，$830+830=1660$（逐一验证）
写出所求四位数：$\overline{ABGD}=3810$（按字母顺序拼数）
写出答案：$3810$

第一套

题目：已知“$\overline{BAD}+\overline{BAD}=\overline{GOOD}$”是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，已知 $\overline{GOOD}$ 既是 $8$ 的倍数又是 $9$ 的倍数。请问：$\overline{ABGD}$ 代表的四位数是什么？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定首位）：两个三位数之和小于 $2000$，所以 $G=1$。
第 2 步（定个位）：个位是 $D+D$，末位仍是 $D$，所以 $D=0$。
第 3 步（排除进位）：若 $A+A$ 进位，则 $A+A=10+A$ 且 $B+B=9+G$，左边都是偶数、右边一奇一偶，矛盾；故 $A+A$、$B+B$ 都不进位，竖式为 $\overline{BA0}+\overline{BA0}=1\overline{BA0}$。
第 4 步（用 $9$ 的倍数定数字和）：$\overline{GOOD}=1\overline{BA0}$，数字和 $1+B+A+0$ 要是 $9$ 的倍数；又 $\overline{GOOD}=2\overline{BAD}$，逐一试算得 $\overline{BAD}=720$，此时 $\overline{GOOD}=720\times2=\underline{\quad}$，数字和 $1+4+4+0=\underline{\quad}$ 确是 $9$ 的倍数。
第 5 步（验证 $8$ 的倍数）：$1440\div8=\underline{\quad}$，是整数，符合。
第 6 步（拼出所求四位数）：$A=2$，$B=7$，$G=1$，$D=0$，故 $\overline{ABGD}=2\times1000+7\times100+1\times10+0=\underline{\quad}$。

第二套

题目：密码箱的显示屏上出现一个正确的加法算式“$\overline{BAD}+\overline{BAD}=\overline{GOOD}$”，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字。提示信息说：和 $\overline{GOOD}$ 既能被 $8$ 整除又能被 $9$ 整除。开箱密码是四位数 $\overline{ABGD}$，请求出这个密码。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定首位）：两个三位数相加不到 $2000$，所以 $G=1$。
第 2 步（定个位）：$D+D$ 的末位还是 $D$，所以 $D=0$。
第 3 步（排除进位）：若 $A+A$ 进位会导致「左偶右奇」的矛盾，故不进位。
第 4 步（用 $9$ 的倍数筛）：试算得 $\overline{BAD}=720$，$\overline{GOOD}=720\times2=\underline{\quad}$，数字和 $1+4+4+0=\underline{\quad}$ 是 $9$ 的倍数。
第 5 步（验证 $8$ 的倍数）：$1440\div8=\underline{\quad}$。
第 6 步（拼出密码）：$\overline{ABGD}=2\times1000+7\times100+1\times10+0=\underline{\quad}$。

第三套

题目：已知“$\overline{BAD}+\overline{BAD}=\overline{GOOD}$”是一个正确的加法算式，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，且 $\overline{BAD}$ 是 $4$ 的倍数但不是 $8$ 的倍数。请问：$\overline{ABGD}$ 代表的四位数是什么？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定首位与个位）：仍有 $G=1$、$D=0$，竖式为 $\overline{BA0}+\overline{BA0}=1\overline{BA0}$。
第 2 步（把整除条件翻译到数位上）：$D=0$，所以 $\overline{BAD}$ 的末两位是 $\overline{A0}$；$\overline{BAD}$ 是 $4$ 的倍数即 $\overline{A0}$ 是 $4$ 的倍数，所以 $A$ 必须是偶数。
第 3 步（再用「不是 $8$ 的倍数」筛）：符合前面全部条件的只有 $720$ 与 $940$；$720\div8=\underline{\quad}$ 是整数要排除，$940\div4=\underline{\quad}$ 是整数而 $940\div8=\underline{\quad}$ 不是整数，所以 $\overline{BAD}=940$。
第 4 步（求和并拼数）：$940+940=\underline{\quad}$，$A=4$，$B=9$，$G=1$，$D=0$，$\overline{ABGD}=4\times1000+9\times100+1\times10+0=\underline{\quad}$。

第三套

题目：已知“$\overline{BAD}+\overline{BAD}=\overline{GOOD}$”是一个正确的加法算式，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，且 $\overline{GOOD}$ 是 $8$ 的倍数。请问：$\overline{ABGD}$ 代表的四位数有哪些？它们的和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定首位与个位）：$G=1$，$D=0$，竖式为 $\overline{BA0}+\overline{BA0}=1\overline{BA0}$，且 $A+A$、$B+B$ 都不进位。
第 2 步（把「$\overline{GOOD}$ 是 $8$ 的倍数」翻译过来）：$\overline{GOOD}=2\overline{BAD}$，所以 $\overline{BAD}$ 必须是 $4$ 的倍数；由 $D=0$ 知 $\overline{A0}$ 是 $4$ 的倍数，$A$ 是偶数。
第 3 步（找出全部满足条件的竖式）：满足「不进位 $+$ 字母互不相同」的只有 $720$ 与 $940$，对应 $720\times2=\underline{\quad}$、$940\times2=\underline{\quad}$；验证 $1440\div8=\underline{\quad}$、$1880\div8=\underline{\quad}$ 都是整数。
第 4 步（分别拼出四位数）：$\overline{ABGD}=2\times1000+7\times100+1\times10+0=\underline{\quad}$ 和 $4\times1000+9\times100+1\times10+0=\underline{\quad}$。
第 5 步（求它们的和）：$2710+4910=\underline{\quad}$。

竞赛数学 · 五年级第10讲《数字谜综合一》举一反三练习卷

附录 · 答案

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