竞赛数学 · 五年级 第11讲《和差倍分问题》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch11-chaoyue-01】装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，每包中装的书一样多。第一次，他们领来这批书的 $\frac{7}{12}$，结果打了 $14$ 个包还多 $35$ 本。第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次多出的零头一起，刚好又打了 $11$ 包。请问：这批书共有多少本？
详细思路
是哪类问题：这是「整体化份 + 归一」的综合题：全部书恰好打成整数个包，于是可以把「包」当作新的计量单位，把分率 $\frac{7}{12}$ 作用在总包数上。
关键切入点：两次一共打了 $14+11=25$ 包，说明全部书正好是 $25$ 包。第一次领来的是全部书的 $\frac{7}{12}$，也就是 $25\times\frac{7}{12}=14\frac{7}{12}$ 包；而它实际是「$14$ 包 + $35$ 本」，两相对照，$35$ 本恰好对应 $\frac{7}{12}$ 包。这样就把「本」和「包」挂上了钩，归一求出每包本数。
方法概述：先由总包数把分率换算成包数，用零头对应求每包本数，再乘总包数。
规范步骤：
  1. 求全部书的包数：$14+11=25$（包）（两次打包合计）
  2. 第一次领来的包数：$25\times\frac{7}{12}=14\frac{7}{12}$（包）（占比求量（以包为单位））
  3. 零头对应的包数：$14\frac{7}{12}-14=\frac{7}{12}$（包）$=35$ 本（整包与零头对照）
  4. 归一求每包本数：$35\div\frac{7}{12}=60$（本）（对应量÷分率）
  5. 求总本数：$60\times25=1500$（本）（每包×总包数）
  6. 写出答案：$1500$ 本
第一套
题目：装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，每包中装的书一样多。第一次，他们领来这批书的 $\frac{5}{9}$，结果打了 $13$ 个包还多 $30$ 本。第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次多出的零头一起，刚好又打了 $11$ 包。请问：这批书共有多少本？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化整包）：全部书正好打了 $13+11=\underline{\quad}$（包）。
  2. 第 2 步（分率作用在包数上）：第一次领来的书是全部的 $\frac{5}{9}$，合 $24\times\frac{5}{9}=\underline{\quad}$（包）。
  3. 第 3 步（零头对照）：这部分书是「$13$ 包多 $30$ 本」，所以 $30$ 本对应 $\frac{40}{3}-13=\underline{\quad}$（包）。
  4. 第 4 步（归一）：每包有书 $30\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（本）。
  5. 第 5 步（求总量）：$90\times24=\underline{\quad}$（本）。
第二套
题目：糖果厂把一批糖果装盒，每盒装的糖果一样多。第一次取来这批糖果的 $\frac{5}{9}$，装了 $13$ 盒还多 $30$ 颗。第二次把剩下的糖果全部取来，连同第一次多出的零头一起，刚好又装了 $11$ 盒。这批糖果共有多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化整盒）：全部糖果正好装了 $13+11=\underline{\quad}$（盒）。
  2. 第 2 步（分率作用在盒数上）：第一次取来 $24\times\frac{5}{9}=\underline{\quad}$（盒）。
  3. 第 3 步（零头对照）：$30$ 颗对应 $\frac{40}{3}-13=\underline{\quad}$（盒）。
  4. 第 4 步（归一）：每盒 $30\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（颗）。
  5. 第 5 步：$90\times24=\underline{\quad}$（颗）。
第三套
题目：一批书打包送邮局，每包装的书一样多。第一次领来这批书的 $\frac{5}{9}$，打了 $13$ 个包还多 $30$ 本；第二次把剩下的书连同零头一起，刚好又打了 $11$ 包。每包装多少本书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化整包）：全部书正好是 $13+11=\underline{\quad}$（包）。
  2. 第 2 步（分率作用在包数上）：第一次领来 $24\times\frac{5}{9}=\underline{\quad}$（包）。
  3. 第 3 步（零头对照）：$30$ 本对应 $\frac{40}{3}-13=\underline{\quad}$（包）。
  4. 第 4 步（归一）：每包 $30\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（本）。
第三套
题目：一批书打包送邮局，每包装的书一样多。第一次领来这批书的 $\frac{5}{9}$，打了 $13$ 个包还多 $30$ 本；第二次把剩下的书连同零头一起，刚好又打了 $11$ 包。这批书共多少本？第二次领来了多少本？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化整包）：全部书是 $13+11=\underline{\quad}$（包）。
  2. 第 2 步（分率作用在包数上）：第一次领来 $24\times\frac{5}{9}=\underline{\quad}$（包）。
  3. 第 3 步（零头对照与归一）：$30$ 本对应 $\frac{40}{3}-13=\underline{\quad}$（包），每包 $30\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（本）。
  4. 第 4 步（求总量）：$90\times24=\underline{\quad}$（本）。
  5. 第 5 步（求第二次领书量）：第二次领的是剩下的 $1-\frac{5}{9}=\underline{\quad}$，即 $2160\times\frac{4}{9}=\underline{\quad}$（本）。
2. 【原题 ch11-chaoyue-02】劳动小学五年级选出女生总人数的 $\frac{1}{11}$ 和 $22$ 名男生参加数学竞赛，剩下的女生人数是剩下男生人数的 $2$ 倍。如果女生的总人数比男生的总人数多 $2$ 人，那么劳动小学五年级共有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「设未知总量为单位份」的综合题：题中所有分率都以**女生总人数**为单位 1，因此把女生总数设为 $1$ 份，其余量都用份数表示，再找一个「份数 $\leftrightarrow$ 具体人数」的对应关系。
关键切入点：女生 $\frac{1}{11}$ 参赛，剩下女生 $\frac{10}{11}$ 份；剩下女生是剩下男生的 $2$ 倍，故剩下男生 $\frac{10}{11}\div2=\frac{5}{11}$ 份。男生总数 $=$ 剩下男生 $+$ 参赛的 $22$ 人，同时男生总数比女生总数（$1$ 份）少 $2$ 人。于是 $1-\frac{5}{11}=\frac{6}{11}$ 份恰好对应 $22+2=24$ 人。
方法概述：以女生总数为 $1$ 份表示各量，用「份数差 $\leftrightarrow$ 人数差」建立对应求 1 份。
规范步骤：
  1. 设女生总数为 $1$ 份，剩下的女生：$1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}$（份）（占比互补）
  2. 剩下的男生：$\frac{10}{11}\div2=\frac{5}{11}$（份）（倍数关系）
  3. 建立对应：$1-\frac{5}{11}=\frac{6}{11}$（份）$=22+2=24$（人）（男生比女生少 2 人、参赛 22 人）
  4. 求 1 份（女生总数）：$24\div\frac{6}{11}=44$（人）（对应量÷分率）
  5. 求男生与全年级：$男=44-2=42$，$总=44+42=86$（人）（求和）
  6. 写出答案：$86$ 人
第一套
题目：劳动小学五年级选出女生总人数的 $\frac{1}{13}$ 和 $30$ 名男生参加数学竞赛，剩下的女生人数是剩下男生人数的 $3$ 倍。如果女生的总人数比男生的总人数多 $6$ 人，那么劳动小学五年级共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设单位份）：把女生总人数看作 $1$ 份。参赛女生占 $\frac{1}{13}$，剩下的女生有 $1-\frac{1}{13}=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（倍数关系）：剩下的女生是剩下男生的 $3$ 倍，所以剩下的男生有 $\frac{12}{13}\div3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（建立对应）：男生总数 $=$ 剩下男生 $+30$ 人，又比女生总数少 $6$ 人，所以 $1-\frac{4}{13}=\underline{\quad}$（份）对应 $30+6=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求 1 份）：女生总数 $=36\div\frac{9}{13}=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（求总人数）：男生 $52-6=\underline{\quad}$（人），全年级 $52+46=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：舞蹈社团选出女社员总人数的 $\frac{1}{13}$ 和 $30$ 名男社员参加汇演，剩下的女社员人数是剩下男社员人数的 $3$ 倍。如果女社员总数比男社员总数多 $6$ 人，那么社团一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设单位份）：把女社员总数看作 $1$ 份，剩下的女社员有 $1-\frac{1}{13}=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（倍数关系）：剩下的男社员有 $\frac{12}{13}\div3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（建立对应）：$1-\frac{4}{13}=\underline{\quad}$（份）对应 $30+6=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求 1 份）：女社员 $36\div\frac{9}{13}=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步：男社员 $52-6=\underline{\quad}$（人），共 $52+46=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某校五年级选出女生总人数的 $\frac{1}{13}$ 和 $30$ 名男生参加竞赛，剩下的女生人数是剩下男生人数的 $3$ 倍。女生总人数比男生总人数多 $6$ 人。男生一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设单位份）：女生总数为 $1$ 份，剩下女生 $1-\frac{1}{13}=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（倍数关系）：剩下男生 $\frac{12}{13}\div3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（建立对应）：$1-\frac{4}{13}=\underline{\quad}$（份）对应 $30+6=\underline{\quad}$（人），$1$ 份 $=36\div\frac{9}{13}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求男生数）：$52-6=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某校五年级选出女生总人数的 $\frac{1}{13}$ 和 $30$ 名男生参加竞赛，剩下的女生人数是剩下男生人数的 $3$ 倍。女生总人数比男生总人数多 $6$ 人。全年级共多少人？参加竞赛的一共多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设单位份）：女生总数为 $1$ 份，剩下女生 $1-\frac{1}{13}=\underline{\quad}$（份），剩下男生 $\frac{12}{13}\div3=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（建立对应）：$1-\frac{4}{13}=\underline{\quad}$（份）对应 $30+6=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（求 1 份）：女生 $36\div\frac{9}{13}=\underline{\quad}$（人），男生 $52-6=\underline{\quad}$（人），全年级 $52+46=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求参赛人数）：参赛女生 $52\times\frac{1}{13}=\underline{\quad}$（人），参赛共 $4+30=\underline{\quad}$（人）。
3. 【原题 ch11-chaoyue-03】有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子。已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的 $\frac{2}{5}$。把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的几分之几？
详细思路
是哪类问题：这是「等量代换 + 份数法」的综合题：题中没有任何具体数量，只能设全部黑子为 $1$ 份，再靠「第一堆黑子 $=$ 第二堆白子」这个等量代换把第二堆的总数算出来。
关键切入点：第三堆黑子是全部黑子的 $\frac{2}{5}$，前两堆黑子合计 $\frac{3}{5}$ 份。而第二堆的总数 $=$ 第二堆白子 $+$ 第二堆黑子 $=$ 第一堆黑子 $+$ 第二堆黑子 $=\frac{3}{5}$ 份——这就是等量代换的妙处。三堆一样多，所以全部棋子 $\frac{3}{5}\times3=\frac{9}{5}$ 份，白子 $\frac{9}{5}-1=\frac{4}{5}$ 份。
方法概述：设全部黑子为 $1$ 份，用等量代换求第二堆总数，再乘 3 得全部棋子，最后求白子占比。
规范步骤：
  1. 前两堆黑子合计：$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$（份）（占比互补）
  2. 等量代换求第二堆总数：$第二堆=第一堆黑+第二堆黑=\frac{3}{5}$（份）（第一堆黑子=第二堆白子）
  3. 求全部棋子：$\frac{3}{5}\times3=\frac{9}{5}$（份）（三堆一样多）
  4. 求全部白子：$\frac{9}{5}-1=\frac{4}{5}$（份）（总数减黑子）
  5. 求白子占比：$\frac{4}{5}\div\frac{9}{5}=\frac{4}{9}$（部分÷总数）
  6. 写出答案：$\frac{4}{9}$
第一套
题目：有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子。已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的 $\frac{1}{4}$。把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设单位份）：把全部黑子看作 $1$ 份，第三堆黑子占 $\frac{1}{4}$ 份，前两堆黑子合计 $1-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（等量代换）：第一堆黑子 $=$ 第二堆白子，所以第二堆总数 $=$ 第一堆黑子 $+$ 第二堆黑子 $=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（三堆一样多）：全部棋子 $\frac{3}{4}\times3=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求白子）：$\frac{9}{4}-1=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步（求占比）：$\frac{5}{4}\div\frac{9}{4}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：有三盒围棋子，每盒棋子数一样多，且都只有黑、白两色。已知第一盒里的黑子和第二盒里的白子一样多，第三盒里的黑子占全部黑子的 $\frac{1}{4}$。把三盒棋子倒在一起，白子占全部棋子的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设单位份）：全部黑子看作 $1$ 份，前两盒黑子合计 $1-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（等量代换）：第二盒总数 $=$ 第一盒黑子 $+$ 第二盒黑子 $=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（三盒一样多）：全部棋子 $\frac{3}{4}\times3=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求白子）：$\frac{9}{4}-1=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步（求占比）：$\frac{5}{4}\div\frac{9}{4}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有三堆棋子，每堆一样多，都只有黑、白两色。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的 $\frac{3}{7}$。三堆合在一起，白子占全部棋子的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设单位份）：全部黑子为 $1$ 份，前两堆黑子合计 $1-\frac{3}{7}=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（等量代换）：第二堆总数 $=$ 第一堆黑子 $+$ 第二堆黑子 $=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（三堆一样多）：全部棋子 $\frac{4}{7}\times3=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求白子与占比）：白子 $\frac{12}{7}-1=\underline{\quad}$（份），占 $\frac{5}{7}\div\frac{12}{7}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有三堆棋子，每堆一样多，都只有黑、白两色。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的 $\frac{1}{4}$。已知全部黑子共有 $480$ 枚，求三堆棋子的总数与白子的枚数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设单位份）：全部黑子看作 $1$ 份（即 $480$ 枚），前两堆黑子合计 $1-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（等量代换）：第二堆总数 $=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（三堆一样多）：全部棋子 $\frac{3}{4}\times3=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（份数化具体量）：$1$ 份是 $480$ 枚，总数 $480\times\frac{9}{4}=\underline{\quad}$（枚）。
  5. 第 5 步（求白子）：$1080-480=\underline{\quad}$（枚），白子占 $\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch11-chaoyue-04】某工厂有 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五个车间，人数各不相等。由于工作需要，把 $B$ 车间工人的 $\frac{1}{2}$ 调入 $A$ 车间，$C$ 车间工人的 $\frac{1}{3}$ 调入 $B$ 车间，$D$ 车间工人的 $\frac{1}{4}$ 调入 $C$ 车间，$E$ 车间工人的 $\frac{1}{6}$ 调入 $D$ 车间。现在五个车间都是 $30$ 人。原来每个车间各有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「逆推还原」类应用题：五个车间的调动是链式的（$E\to D\to C\to B\to A$），必须从链条**末端**（只调出不调入的 $E$）开始倒着往回推。
关键切入点：$E$ 只调出不调入，调出 $\frac{1}{6}$ 后剩 $30$ 人，故原有 $30\div\left(1-\frac{1}{6}\right)=36$ 人，调出 $6$ 人给 $D$。$D$ 既调出 $\frac{1}{4}$ 又调入 $6$ 人，所以先把调入的 $6$ 人减掉，$(30-6)$ 才是 $D$ 调出后剩下的量，除以 $1-\frac{1}{4}$ 得原数。依此逐个回推，最后 $A$ 只调入，减去调入量即可。
方法概述：从只调出的车间起逆推：先减去调入量，再除以剩余分率，逐级还原。
规范步骤：
  1. 还原 $E$：$30\div\left(1-\frac{1}{6}\right)=36$（人），调出 $36\times\frac{1}{6}=6$（人）（只调出，直接除以剩余分率）
  2. 还原 $D$：$(30-6)\div\left(1-\frac{1}{4}\right)=32$（人），调出 $32\times\frac{1}{4}=8$（人）（先减调入再除）
  3. 还原 $C$：$(30-8)\div\left(1-\frac{1}{3}\right)=33$（人），调出 $33\times\frac{1}{3}=11$（人）（同上）
  4. 还原 $B$：$(30-11)\div\left(1-\frac{1}{2}\right)=38$（人），调出 $38\times\frac{1}{2}=19$（人）（同上）
  5. 还原 $A$：$30-19=11$（人）（只调入，直接减）
  6. 写出答案：$A,B,C,D,E$ 原有 $11,38,33,32,36$ 人
第一套
题目：某工厂有 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五个车间。把 $B$ 车间工人的 $\frac{1}{2}$ 调入 $A$ 车间，$C$ 车间工人的 $\frac{1}{3}$ 调入 $B$ 车间，$D$ 车间工人的 $\frac{1}{4}$ 调入 $C$ 车间，$E$ 车间工人的 $\frac{1}{6}$ 调入 $D$ 车间。现在五个车间都是 $60$ 人。原来每个车间各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（从链条末端还原 $E$）：$E$ 只调出不调入，原有 $60\div\left(1-\frac{1}{6}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $72\times\frac{1}{6}=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（还原 $D$）：$D$ 调入了 $12$ 人，先减掉：$60-12=48$ 才是 $D$ 调出后剩下的人数，原有 $48\div\left(1-\frac{1}{4}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $64\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（还原 $C$）：原有 $(60-16)\div\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $66\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（还原 $B$）：原有 $(60-22)\div\left(1-\frac{1}{2}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $76\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（还原 $A$）：$A$ 只调入，原有 $60-38=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某小学有甲、乙、丙、丁、戊五个班。把乙班人数的 $\frac{1}{2}$ 调入甲班，丙班人数的 $\frac{1}{3}$ 调入乙班，丁班人数的 $\frac{1}{4}$ 调入丙班，戊班人数的 $\frac{1}{6}$ 调入丁班。现在五个班都是 $60$ 人。原来每班各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（从末端还原戊班）：戊班只调出，原有 $60\div\left(1-\frac{1}{6}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $72\times\frac{1}{6}=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（还原丁班）：先减去调入的 $12$ 人，原有 $48\div\left(1-\frac{1}{4}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $64\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（还原丙班）：$(60-16)\div\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $66\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（还原乙班）：$(60-22)\div\left(1-\frac{1}{2}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $76\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（还原甲班）：$60-38=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某工厂有 $A$、$B$、$C$ 三个车间。把 $B$ 车间工人的 $\frac{1}{2}$ 调入 $A$ 车间，$C$ 车间工人的 $\frac{1}{3}$ 调入 $B$ 车间。现在三个车间都是 $48$ 人。原来每个车间各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（从末端还原 $C$）：$C$ 只调出，原有 $48\div\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $72\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（还原 $B$）：先减去调入的 $24$ 人，原有 $(48-24)\div\left(1-\frac{1}{2}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $48\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（还原 $A$）：$A$ 只调入，原有 $48-24=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某工厂 $A\sim E$ 五个车间按下列方式调动：$B$ 的 $\frac{1}{2}$ 调入 $A$，$C$ 的 $\frac{1}{3}$ 调入 $B$，$D$ 的 $\frac{1}{4}$ 调入 $C$，$E$ 的 $\frac{1}{6}$ 调入 $D$。调动后五个车间都是 $60$ 人。求原来各车间人数，并用「总人数不变」检验答案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原 $E$、$D$）：$E$ 原有 $60\div\left(1-\frac{1}{6}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $12$ 人；$D$ 原有 $(60-12)\div\left(1-\frac{1}{4}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $16$ 人。
  2. 第 2 步（还原 $C$、$B$）：$C$ 原有 $(60-16)\div\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $22$ 人；$B$ 原有 $(60-22)\div\left(1-\frac{1}{2}\right)=\underline{\quad}$（人），调出 $38$ 人。
  3. 第 3 步（还原 $A$）：$60-38=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（守恒检验）：原来五个车间共 $22+76+66+64+72=\underline{\quad}$（人），调动后共 $60\times5=\underline{\quad}$（人），两者相等，答案正确。
5. 【原题 ch11-chaoyue-05】从飞机的窗口向外望去，萱萱看见部分海岛、部分白云以及不大的一片海域。其中白云占去了窗口画面的一半，它遮住了全部海岛的 $\frac{1}{4}$，因此海岛只占窗口画面的 $\frac{1}{4}$。请问：被白云遮住的那部分海洋占窗口画面的几分之几？
详细思路
是哪类问题：这是「部分与整体分率」的综合题：难点是海岛有「被遮住的」和「露出来的」两部分，而 $\frac{1}{4}$ 说的是**全部海岛**中被遮住的比例，$\frac{1}{4}$ 的窗口占比说的却是**露出来的**那部分。
关键切入点：把窗口画面看作单位 1。露出来的海岛是全部海岛的 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，而它占画面 $\frac{1}{4}$，于是全部海岛占画面 $\frac{1}{4}\div\frac{3}{4}=\frac{1}{3}$，被遮住的海岛占画面 $\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$。白云共遮住画面的 $\frac{1}{2}$，减去遮住的海岛，剩下的就是被遮住的海洋。
方法概述：先由「露出部分的占比 ÷ 露出分率」求出整体占比，再求被遮部分，最后用白云占比作差。
规范步骤：
  1. 露出的海岛占全部海岛的分率：$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$（占比互补）
  2. 求全部海岛占画面的分率：$\frac{1}{4}\div\frac{3}{4}=\frac{1}{3}$（对应量÷分率）
  3. 求被遮住的海岛占画面：$\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$（占比求量）
  4. 白云中除海岛外即海洋：$\frac{1}{2}-\frac{1}{12}=\frac{5}{12}$（作差）
  5. 写出答案：$\frac{5}{12}$
第一套
题目：从飞机窗口向外望去，白云占去了窗口画面的 $\frac{3}{5}$，它遮住了全部海岛的 $\frac{1}{3}$，因此没被遮住的海岛只占窗口画面的 $\frac{1}{5}$。请问：被白云遮住的那部分海洋占窗口画面的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分清两种单位 1）：$\frac{1}{3}$ 是对**全部海岛**说的，所以没被遮住的海岛占全部海岛的 $1-\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求整体）：这部分占画面 $\frac{1}{5}$，所以全部海岛占画面的 $\frac{1}{5}\div\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占比求量）：被遮住的海岛占画面的 $\frac{3}{10}\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作差）：白云遮住的部分里除去海岛就是海洋，$\frac{3}{5}-\frac{1}{10}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一张航拍照片上，浓烟占去照片画面的 $\frac{3}{5}$，它遮住了整片森林的 $\frac{1}{3}$，因此没被遮住的森林只占画面的 $\frac{1}{5}$。请问：被浓烟遮住的那部分草原占画面的几分之几？（画面上除森林外全是草原）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分清单位 1）：没被遮住的森林占整片森林的 $1-\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求整体）：整片森林占画面的 $\frac{1}{5}\div\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占比求量）：被遮住的森林占画面的 $\frac{3}{10}\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作差）：$\frac{3}{5}-\frac{1}{10}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：白云占窗口画面的 $\frac{3}{5}$，它遮住了全部海岛的 $\frac{1}{3}$，没被遮住的海岛占画面的 $\frac{1}{5}$。全部海岛占窗口画面的几分之几？被遮住的海岛占画面的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分清单位 1）：没被遮住的海岛占全部海岛的 $1-\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求整体）：全部海岛占画面 $\frac{1}{5}\div\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占比求量）：被遮住的海岛占画面 $\frac{3}{10}\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：白云占窗口画面的 $\frac{3}{5}$，它遮住了全部海岛的 $\frac{1}{3}$，没被遮住的海岛占画面的 $\frac{1}{5}$。画面上除海岛外全是海洋。被白云遮住的海洋占画面的几分之几？又占全部海洋的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分清单位 1）：没被遮住的海岛占全部海岛的 $1-\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求整体）：全部海岛占画面 $\frac{1}{5}\div\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占比求量与作差）：被遮海岛占画面 $\frac{3}{10}\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$，被遮海洋占画面 $\frac{3}{5}-\frac{1}{10}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（换单位 1）：全部海洋占画面 $1-\frac{3}{10}=\underline{\quad}$，所以被遮海洋占全部海洋的 $\frac{1}{2}\div\frac{7}{10}=\underline{\quad}$。
6. 【原题 ch11-chaoyue-06】有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四根材料相同的蜡烛，其中 $A$ 和 $B$ 一样粗，$C$ 和 $D$ 一样粗，$A$ 和 $C$ 一样长，$B$ 和 $D$ 一样长。把四根蜡烛同时点燃，过了 $6$ 小时，$D$ 首先烧完，此时 $B$ 所剩长度是 $C$ 的 $2$ 倍；再过 $1$ 小时 $40$ 分钟，$C$ 正好烧完。请问：$A$、$B$ 还可以再燃烧多久？
详细思路
是哪类问题：这是「燃烧长度与时间成正比 + 份数法」的综合题：四根蜡烛两两同粗、两两同长，同粗的蜡烛在相同时间里烧掉的**长度**相同，这是全部推理的支点。
关键切入点：$D$ 在 $6$ 小时烧完，把 $D$ 的长度记作 $6$ 份（$1$ 份 $=$ 该粗细 $1$ 小时烧掉的长度）。$C$ 与 $D$ 同粗，$C$ 再烧 $1$ 小时 $40$ 分（$\frac{5}{3}$ 小时）才完，故 $6$ 小时后 $C$ 剩 $\frac{5}{3}$ 份，$C$ 全长 $6+\frac{5}{3}=\frac{23}{3}$ 份。此时 $B$ 剩 $\frac{5}{3}\times2=\frac{10}{3}$ 份，而 $B$ 与 $D$ 同长（$6$ 份），故 $B$ 在 $6$ 小时烧掉 $\frac{8}{3}$ 份，$B$ 这种粗细每烧 $1$ 份需 $6\div\frac{8}{3}=\frac{9}{4}$ 小时。
方法概述：以「$1$ 小时烧掉的长度」为份，把四根蜡烛的长度化成份数，再用每份耗时换算剩余燃烧时间。
规范步骤：
  1. 设 $D$ 长 $6$ 份，求 $6$ 小时后 $C$ 的剩余：$1$ 小时 $40$ 分 $=\frac{5}{3}$ 小时，$C$ 剩 $\frac{5}{3}$ 份（同粗蜡烛燃速相同）
  2. 求 $C$（也即 $A$）的全长：$6+\frac{5}{3}=\frac{23}{3}$（份）（$A$ 与 $C$ 一样长）
  3. 求此时 $B$ 的剩余：$\frac{5}{3}\times2=\frac{10}{3}$（份）（$B$ 剩的是 $C$ 的 2 倍）
  4. 求 $B$ 在 6 小时烧掉的份数与每份耗时：$6-\frac{10}{3}=\frac{8}{3}$（份），$6\div\frac{8}{3}=\frac{9}{4}$（小时/份）（归一）
  5. 求 $A$、$B$ 的总燃烧时间：$B:\frac{9}{4}\times6=13\frac{1}{2}$，$A:\frac{9}{4}\times\frac{23}{3}=17\frac{1}{4}$（小时）（份数×每份耗时）
  6. 减去已燃时间 $7\frac{2}{3}$ 小时：$A:17\frac{1}{4}-\frac{23}{3}=9\frac{7}{12}$，$B:13\frac{1}{2}-\frac{23}{3}=5\frac{5}{6}$（小时）（求剩余时间）
  7. 写出答案：$A$ 还能烧 $9\frac{7}{12}$ 小时，$B$ 还能烧 $5\frac{5}{6}$ 小时
7. 【原题 ch11-chaoyue-07】如图 $11\text{-}3$ 所示，两根粗细相同、材质相同但长度不同的蜡烛竖直地漂在水面上。一开始，长蜡烛露出水面的部分是短蜡烛总长度的一半；将两根蜡烛同时点燃 $1$ 小时后，长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等。蜡烛漂在水面上时，露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的 $\frac{1}{9}$，那么短蜡烛还可再烧多久，长蜡烛还可再烧多久？
详细思路
是哪类问题：这是「固定比例 + 差不变量」的综合题：蜡烛露出水面的长度恒为水下长度的 $\frac{1}{9}$，意味着**总长永远是露出部分的 $10$ 倍**，这把「露出长度」和「总长」牢牢绑在一起。
关键切入点：设开始时短蜡烛露出 $1$ 份，则短蜡烛总长 $10$ 份；长蜡烛露出为短蜡烛总长的一半即 $5$ 份，总长 $50$ 份，两者长度差 $40$ 份。燃烧时两根粗细相同，烧掉长度相同，所以**长度差 $40$ 份始终不变**。$1$ 小时后长蜡烛露出等于短蜡烛总长，即长蜡烛总长是短蜡烛的 $10$ 倍，由差倍关系得短蜡烛长 $40\div(10-1)=\frac{40}{9}$ 份。
方法概述：用「总长 $=10\times$ 露出长度」统一量，抓长度差不变，用差倍求出燃烧后的长度，再归一求每份耗时。
规范步骤：
  1. 设短蜡烛露出 $1$ 份：$短总=10$，$长露=5$，$长总=50$（份）（总长是露出的 10 倍）
  2. 求长度差（不变量）：$50-10=40$（份）（同粗蜡烛烧掉长度相同，差不变）
  3. $1$ 小时后由差倍求短蜡烛长：$40\div(10-1)=\frac{40}{9}$（份）（差倍问题）
  4. 求长蜡烛长：$\frac{40}{9}+40=\frac{400}{9}$（份）（差不变）
  5. 求每份燃烧时间：$1$ 小时烧 $10-\frac{40}{9}=\frac{50}{9}$ 份，每份 $1\div\frac{50}{9}=\frac{9}{50}$（小时）（归一）
  6. 求两根还可燃烧的时间：$短:\frac{9}{50}\times\frac{40}{9}=\frac{4}{5}$，$长:\frac{9}{50}\times\frac{400}{9}=8$（小时）（份数×每份耗时）
  7. 写出答案：短蜡烛 $\frac{4}{5}$ 小时，长蜡烛 $8$ 小时
8. 【原题 ch11-chaoyue-08】甲、乙、丙三个好朋友去超市买了 $100$ 元的商品。如果甲付钱，那么甲剩下的钱将是乙、丙剩下钱的 $\frac{2}{13}$；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的 $\frac{9}{16}$；如果丙付钱，丙用他的会员卡就可以享受 $9$ 折优惠，只需付 $90$ 元，那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的 $\frac{1}{3}$。问：甲、乙、丙开始时一共带了多少钱？
详细思路
是哪类问题：这是「列方程解分数应用题」：三个条件里的单位 1 各不相同（分别是乙丙剩余、甲丙剩余、甲乙剩余），无法用份数法统一，只能设总钱数为未知数列方程。
关键切入点：关键转换：若甲付 $100$ 元，三人剩下的钱共 $x-100$；甲剩下的钱是乙、丙剩下钱的 $\frac{2}{13}$，说明甲剩占三人剩余总额的 $\frac{2}{2+13}=\frac{2}{15}$，于是甲原有 $\frac{2}{15}(x-100)+100$。同理乙原有 $\frac{9}{9+16}(x-100)+100$，丙（付 $90$ 元）原有 $\frac{1}{1+3}(x-90)+90$。三人钱数之和等于 $x$，即可解出。
方法概述：把「是另两人剩余的几分之几」化成「占三人剩余总额的几分之几」，逐人表示原有钱数，再由总和列方程。
规范步骤：
  1. 甲付钱时甲剩占剩余总额的分率：$\frac{2}{2+13}=\frac{2}{15}$（倍比化占比）
  2. 乙付钱时乙剩占剩余总额的分率：$\frac{9}{9+16}=\frac{9}{25}$（倍比化占比）
  3. 丙付钱时丙剩占剩余总额的分率：$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$（丙享 9 折只付 90 元）
  4. 列方程：$\frac{2}{15}(x-100)+100+\frac{9}{25}(x-100)+100+\frac{1}{4}(x-90)+90=x$（三人钱数之和为总数）
  5. 解方程：$x=\left(290-\left(\frac{2}{15}+\frac{9}{25}\right)\times100-\frac{1}{4}\times90\right)\div\frac{77}{300}=850$（移项整理）
  6. 检验：$甲=200$，$乙=370$，$丙=280$，$200+370+280=850$（代回检验）
  7. 写出答案：$850$ 元
第一套
题目：甲、乙、丙三个好朋友去超市买了 $200$ 元的商品。如果甲付钱，那么甲剩下的钱将是乙、丙剩下钱的 $\frac{1}{4}$；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的 $\frac{1}{3}$；如果丙付钱，丙用会员卡可享 $9$ 折优惠，只需付 $180$ 元，那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的 $\frac{1}{5}$。问：甲、乙、丙开始时一共带了多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（倍比化占比）：设三人共带 $x$ 元。甲付 $200$ 元后三人共剩 $x-200$ 元，甲剩下的钱占其中的 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$，所以甲原有 $\frac{1}{5}(x-200)+200$ 元。
  2. 第 2 步（同法处理乙）：乙剩下的钱占剩余总额的 $\frac{1}{1+3}=\underline{\quad}$，乙原有 $\frac{1}{4}(x-200)+200$ 元。
  3. 第 3 步（丙享折扣）：丙只付 $180$ 元，丙剩下的钱占剩余总额的 $\frac{1}{1+5}=\underline{\quad}$，丙原有 $\frac{1}{6}(x-180)+180$ 元。
  4. 第 4 步（列方程并整理）：三人钱数之和为 $x$，移项后未知数的系数为 $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$，常数项为 $200+200+180-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)\times200-\frac{1}{6}\times180=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（解方程）：$x=460\div\frac{23}{60}=\underline{\quad}$（元）。
第二套
题目：小明、小红、小刚三人合买了一件 $200$ 元的礼物。如果小明付钱，小明剩下的钱是小红、小刚剩下钱的 $\frac{1}{4}$；如果小红付钱，小红剩下的钱是小明、小刚剩下钱的 $\frac{1}{3}$；如果小刚付钱，小刚用优惠券只需付 $180$ 元，那么小刚剩下的钱是小明、小红剩下钱的 $\frac{1}{5}$。三人开始时一共带了多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（倍比化占比）：设三人共带 $x$ 元。小明付 $200$ 元后三人共剩 $x-200$ 元，小明剩下的占 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：小红剩下的占剩余总额的 $\frac{1}{1+3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：小刚只付 $180$ 元，剩下的占剩余总额的 $\frac{1}{1+5}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程并整理）：未知数系数 $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$，常数项 $200+200+180-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)\times200-\frac{1}{6}\times180=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（解方程）：$x=460\div\frac{23}{60}=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：甲、乙、丙三人去超市买了 $200$ 元的商品。如果甲付钱，甲剩下的钱是乙、丙剩下钱的 $\frac{1}{4}$；如果乙付钱，乙剩下的钱是甲、丙剩下钱的 $\frac{3}{7}$；如果丙付钱，丙用会员卡只需付 $180$ 元，丙剩下的钱是甲、乙剩下钱的 $\frac{2}{5}$。三人开始时一共带了多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（倍比化占比）：设共带 $x$ 元。甲剩下的钱占三人剩余总额的 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：乙剩下的占剩余总额的 $\frac{3}{3+7}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：丙付 $180$ 元，丙剩下的占剩余总额的 $\frac{2}{2+5}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程并整理）：未知数系数 $1-\frac{1}{5}-\frac{3}{10}-\frac{2}{7}=\underline{\quad}$，常数项 $200+200+180-\left(\frac{1}{5}+\frac{3}{10}\right)\times200-\frac{2}{7}\times180=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（解方程）：$x=\frac{3000}{7}\div\frac{3}{14}=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：甲、乙、丙三人买了 $200$ 元的商品。甲付钱则甲剩下的钱是乙、丙剩下钱的 $\frac{1}{4}$；乙付钱则乙剩下的钱是甲、丙剩下钱的 $\frac{1}{3}$；丙付钱可打 $9$ 折只付 $180$ 元，则丙剩下的钱是甲、乙剩下钱的 $\frac{1}{5}$。三人共带了多少钱？甲、乙、丙各带了多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（倍比化占比）：甲剩占剩余总额的 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$，乙剩占 $\frac{1}{1+3}=\underline{\quad}$，丙剩占 $\frac{1}{1+5}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列方程并整理）：未知数系数 $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$，常数项 $200+200+180-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)\times200-\frac{1}{6}\times180=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（解方程）：$x=460\div\frac{23}{60}=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步（回代求各人钱数）：甲 $=\frac{1}{5}\times(1200-200)+200=\underline{\quad}$（元），乙 $=\frac{1}{4}\times(1200-200)+200=\underline{\quad}$（元），丙 $=\frac{1}{6}\times(1200-180)+180=\underline{\quad}$（元）。
  5. 第 5 步（检验）：$400+450+350=\underline{\quad}$（元），与总数相符。
9. 【原题 ch11-tuozhan-01】等候公共汽车的人整齐地排成一列，小高也在其中。他数了一下人数，发现排在他前面的人数占总人数的 $\frac{2}{3}$，排在他后面的人数占总人数的 $\frac{1}{4}$。从前往后数，小高排在第几个？
详细思路
是哪类问题：这是「占比互补 + 分率对应量」类应用题，特别之处在于对应具体量的是**小高自己这 1 个人**。
关键切入点：队伍由「小高前面的人 + 小高 + 小高后面的人」三部分组成，前、后两部分的占比单位 1 都是总人数，于是小高一个人就占 $1-\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$。这 $\frac{1}{12}$ 对应的具体量是 $1$ 人，用 $1\div\frac{1}{12}$ 便得总人数；再算出前面人数，加 $1$ 就是小高的位置。
方法概述：用占比互补求出「小高自己」所占分率，再由 1 人对应求总人数。
规范步骤：
  1. 前后两部分占比相加：$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}$（同一单位 1 可相加）
  2. 剩下的就是小高自己：$1-\frac{11}{12}=\frac{1}{12}$（占比互补）
  3. 由 1 人对应求总人数：$1\div\frac{1}{12}=12$（人）（对应量÷分率）
  4. 求前面的人数：$12\times\frac{2}{3}=8$（人）（占比求量）
  5. 求名次：$8+1=9$（前面 8 人，小高排第 9）
  6. 写出答案：第 $9$ 个
第一套
题目：等候公共汽车的人整齐地排成一列，小高也在其中。他数了一下人数，发现排在他前面的人数占总人数的 $\frac{5}{9}$，排在他后面的人数占总人数的 $\frac{5}{12}$。从前往后数，小高排在第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分率相加）：前、后两部分的单位 1 都是总人数，$\frac{5}{9}+\frac{5}{12}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比互补）：剩下的就是小高自己，占总人数的 $1-\frac{35}{36}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（1 人对应求总量）：总人数为 $1\div\frac{1}{36}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（占比求量）：前面有 $36\times\frac{5}{9}=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（求名次）：$20+1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：运动会入场式上，五年级同学排成一列纵队，小雨也在队中。她发现排在她前面的人数占全队人数的 $\frac{5}{9}$，排在她后面的人数占全队人数的 $\frac{5}{12}$。从前往后数，小雨排在第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分率相加）：$\frac{5}{9}+\frac{5}{12}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比互补）：小雨自己占全队的 $1-\frac{35}{36}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（1 人对应求总量）：全队 $1\div\frac{1}{36}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（占比求量）：前面有 $36\times\frac{5}{9}=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步：$20+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：排队等车时，排在小高前面的人数占总人数的 $\frac{5}{9}$，排在他后面的人数占总人数的 $\frac{5}{12}$。总共有多少人？排在小高后面的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分率相加）：$\frac{5}{9}+\frac{5}{12}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比互补）：小高自己占 $1-\frac{35}{36}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（1 人对应求总量）：总人数 $1\div\frac{1}{36}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（占比求量）：后面有 $36\times\frac{5}{12}=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：排队等车时，排在小高前面的人数占总人数的 $\frac{5}{9}$，排在他后面的人数占总人数的 $\frac{5}{12}$。从前往后数小高排第几个？从后往前数他又排第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分率相加）：$\frac{5}{9}+\frac{5}{12}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比互补）：小高自己占 $1-\frac{35}{36}=\underline{\quad}$，总人数 $1\div\frac{1}{36}=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（从前数）：前面 $36\times\frac{5}{9}=\underline{\quad}$（人），小高排第 $20+1=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（从后数）：后面 $36\times\frac{5}{12}=\underline{\quad}$（人），从后往前数小高排第 $15+1=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（检验）：两个名次之和应比总人数多 $1$，$21+16-36=\underline{\quad}$，验证正确。
10. 【原题 ch11-tuozhan-02】五年级原来有学生 $325$ 人，新学期男生增加 $25$ 人，女生减少了 $\frac{1}{20}$，结果总人数增加了 $16$ 人。请问：现有男生多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「增减抵消」类应用题：男生增加、女生减少，总人数只增加了一部分，用「增加量 $-$ 净增量」求出被抵消掉的女生减少量。
关键切入点：男生增加 $25$ 人，若女生不变，总人数应增加 $25$ 人；但实际只增加 $16$ 人，说明有 $25-16=9$ 人被女生的减少抵消了，也就是女生减少了 $9$ 人。而女生减少的是**原来女生人数**的 $\frac{1}{20}$，于是 $9\div\frac{1}{20}$ 得原女生数，进而得原男生数与现男生数。
方法概述：先用增减抵消求出女生减少量，再由分率对应量求原女生数，最后回推男生数。
规范步骤：
  1. 求女生的减少量：$25-16=9$（人）（增加量减净增量即被抵消的量）
  2. 对应量求原女生数：$9\div\frac{1}{20}=180$（人）（对应量÷分率）
  3. 求原男生数：$325-180=145$（人）（总数减女生）
  4. 求现男生数：$145+25=170$（人）（男生增加了 25 人）
  5. 写出答案：$170$ 人
第一套
题目：某校五年级原来有学生 $900$ 人，新学期男生增加 $60$ 人，女生减少了 $\frac{1}{25}$，结果总人数增加了 $36$ 人。请问：现有男生多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（增减抵消）：男生增加 $60$ 人，总人数只增加 $36$ 人，说明女生减少了 $60-36=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：这 $24$ 人是原女生人数的 $\frac{1}{25}$，原有女生 $24\div\frac{1}{25}=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（求原男生数）：$900-600=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求现男生数）：$300+60=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某工厂原有职工 $900$ 人，今年技术工增加 $60$ 人，普通工减少了 $\frac{1}{25}$，结果全厂职工增加了 $36$ 人。请问：现在技术工有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（增减抵消）：普通工减少了 $60-36=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：原有普通工 $24\div\frac{1}{25}=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步：原有技术工 $900-600=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步：现在技术工 $300+60=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某校五年级原来有学生 $900$ 人，新学期男生增加 $60$ 人，女生减少了 $\frac{1}{25}$，总人数增加了 $36$ 人。现在女生有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（增减抵消）：女生减少了 $60-36=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：原有女生 $24\div\frac{1}{25}=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（求现有量）：女生剩下的分率为 $1-\frac{1}{25}=\underline{\quad}$，现有女生 $600\times\frac{24}{25}=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某校五年级原来有学生 $900$ 人，新学期男生增加 $60$ 人，女生减少了 $\frac{1}{25}$，总人数增加了 $36$ 人。求现在的男生人数，以及现在男生占全年级人数的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（增减抵消）：女生减少了 $60-36=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：原有女生 $24\div\frac{1}{25}=\underline{\quad}$（人），原有男生 $900-600=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（求现男生数）：$300+60=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求现总人数）：$900+36=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（求占比）：$360\div936=\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch11-tuozhan-03】墨墨、小高两人玩电子游戏，通过第一关后，墨墨得了 $120$ 分，小高得了 $200$ 分。接下来，他们俩在第二关得到了相同的分数。累加两关总得分，墨墨的得分是小高的 $\frac{3}{4}$。两人在第二关各得了多少分？
详细思路
是哪类问题：这是「差不变量」类应用题：两人第二关得分相同，所以两人**总分的差**与第一关的差完全一样，这个差是解题的桥梁。
关键切入点：两人第二关加了同样多的分，差不会改变，因此总分之差仍是 $200-120=80$ 分。又「墨墨的总分是小高的 $\frac{3}{4}$」，单位 1 是小高的总分，墨墨比小高少的部分占小高总分的 $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，正对应 $80$ 分，于是小高总分可求，再减去第一关的 $200$ 分即得第二关得分。
方法概述：抓差不变量 → 差对应分率求总分 → 减去第一关得分。
规范步骤：
  1. 抓差不变量：$200-120=80$（分）（两人第二关同分，差不变）
  2. 差所对应的分率：$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$（单位 1 是小高总分）
  3. 对应量求小高总分：$80\div\frac{1}{4}=320$（分）（对应量÷分率）
  4. 求第二关得分：$320-200=120$（分）（总分减第一关得分）
  5. 写出答案：各得 $120$ 分
第一套
题目：墨墨、小高两人玩电子游戏，通过第一关后，墨墨得了 $180$ 分，小高得了 $300$ 分。接下来，他们俩在第二关得到了相同的分数。累加两关总得分，墨墨的得分是小高的 $\frac{2}{3}$。两人在第二关各得了多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓差不变量）：第二关同分，所以总分之差等于第一关之差，$300-180=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（差对应的分率）：单位 1 是小高的总分，墨墨比小高少 $1-\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：小高的总分为 $120\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（求第二关得分）：$360-300=\underline{\quad}$（分）。
第二套
题目：甲、乙两人参加射击比赛。第一轮甲打了 $180$ 环，乙打了 $300$ 环。第二轮两人打出了相同的环数。两轮合计，甲的总环数是乙的 $\frac{2}{3}$。两人第二轮各打了多少环？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓差不变量）：第二轮同环，总环数之差等于第一轮之差，$300-180=\underline{\quad}$（环）。
  2. 第 2 步（差对应的分率）：$1-\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：乙的总环数 $120\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（环）。
  4. 第 4 步：第二轮 $360-300=\underline{\quad}$（环）。
第三套
题目：第一关墨墨得 $180$ 分、小高得 $300$ 分，第二关两人得分相同。两关合计墨墨的总分是小高的 $\frac{2}{3}$。两人的总分之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓差不变量）：$300-180=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（差对应的分率）：$1-\frac{2}{3}=\underline{\quad}$，小高总分 $120\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（求墨墨总分）：$360\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（求和）：$240+360=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：第一关墨墨得 $180$ 分、小高得 $300$ 分，第二关两人得分相同。两关合计墨墨的总分是小高的 $\frac{2}{3}$。两人第二关各得多少分？墨墨的总分占两人总分之和的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓差不变量）：$300-180=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（差对应的分率）：$1-\frac{2}{3}=\underline{\quad}$，小高总分 $120\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（求第二关得分）：$360-300=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（求墨墨总分与两人之和）：墨墨 $360\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$（分），两人共 $240+360=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步（求占比）：$240\div600=\underline{\quad}$。
12. 【原题 ch11-tuozhan-04】有一堆砖，搬走总数的 $\frac{1}{4}$ 后又运来 $306$ 块。这时这堆砖比最开始还多了 $\frac{1}{5}$。这堆砖原来有多少块？
详细思路
是哪类问题：这是「分率合并 + 对应量求总量」类应用题：运来的砖既要**补回搬走的部分**，又要**多出一段**，这两段分率的单位 1 都是原来的砖数。
关键切入点：先搬走原数的 $\frac{1}{4}$，此时比原来少 $\frac{1}{4}$；运来 $306$ 块后比原来多 $\frac{1}{5}$。从「少 $\frac{1}{4}$」变到「多 $\frac{1}{5}$」，一共增加了 $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{9}{20}$，这正是 $306$ 块所对应的分率。
方法概述：把「补差 + 多出」两段分率相加，再用对应量除以分率求原量。
规范步骤：
  1. 搬走后比原来少的分率：$\frac{1}{4}$（搬走总数的 $\frac{1}{4}$）
  2. 合并两段分率：$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{9}{20}$（同一单位 1 可相加）
  3. 对应量求总量：$306\div\frac{9}{20}=680$（块）（对应量÷分率）
  4. 写出答案：$680$ 块
第一套
题目：有一堆砖，搬走总数的 $\frac{2}{9}$ 后又运来 $560$ 块。这时这堆砖比最开始还多了 $\frac{1}{6}$。这堆砖原来有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看清两段）：搬走后比原来少了原数的 $\frac{2}{9}$；运来砖后又比原来多了 $\frac{1}{6}$。
  2. 第 2 步（分率合并）：这 $560$ 块砖对应的分率是 $\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：原来有 $560\div\frac{7}{18}=\underline{\quad}$（块）。
第二套
题目：粮仓里有一批大米，运出总数的 $\frac{2}{9}$ 后又运进 $560$ 袋。这时粮仓里的大米比最开始还多了 $\frac{1}{6}$。粮仓原来有大米多少袋？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看清两段）：运出后比原来少 $\frac{2}{9}$，运进后又比原来多 $\frac{1}{6}$。
  2. 第 2 步（分率合并）：$560$ 袋对应 $\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：$560\div\frac{7}{18}=\underline{\quad}$（袋）。
第三套
题目：有一堆砖，搬走总数的 $\frac{2}{9}$ 后又运来 $560$ 块，这时这堆砖比最开始多了 $\frac{1}{6}$。现在这堆砖有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分率合并）：$560$ 块对应原数的 $\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：原有 $560\div\frac{7}{18}=\underline{\quad}$（块）。
  3. 第 3 步（占比求量）：现在是原来的 $1+\frac{1}{6}=\underline{\quad}$，即 $1440\times\frac{7}{6}=\underline{\quad}$（块）。
第三套
题目：有一堆砖，先搬走总数的 $\frac{2}{9}$，再搬走剩下部分的 $\frac{1}{8}$，然后运来 $560$ 块，这时这堆砖比最开始多了 $\frac{1}{6}$。这堆砖原来有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求剩下的分率）：第一次搬走后还剩总数的 $1-\frac{2}{9}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（连乘换算）：第二次搬走的占总数的 $\frac{7}{9}\times\frac{1}{8}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（两次搬走合计）：$\frac{2}{9}+\frac{7}{72}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（分率合并）：$560$ 块要补回搬走的部分还要多出 $\frac{1}{6}$，对应 $\frac{23}{72}+\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（对应量求总量）：原有 $560\div\frac{35}{72}=\underline{\quad}$（块）。
13. 【原题 ch11-tuozhan-05】用一批纸装订一种练习本。第一天装订了 $120$ 本，还剩全部纸张的 $\frac{2}{5}$；第二天又装订了 $65$ 本，还剩下 $1350$ 张纸。这批纸原来一共有多少张？
详细思路
是哪类问题：这是「分率对应量 + 归一问题」的综合题：先用分率把「纸的总量」换算成「能装订的总本数」，再用剩余纸张归一求出每本用纸。
关键切入点：第一天用去纸的 $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$ 装订了 $120$ 本，说明整批纸能装订 $120\div\frac{3}{5}=200$ 本。第二天再订 $65$ 本后，还能装订 $200-120-65=15$ 本，而这 $15$ 本对应剩下的 $1350$ 张纸，于是每本 $1350\div15=90$ 张，最后乘 $200$ 本得总张数。
方法概述：分率对应量求总本数 → 剩余本数与剩余张数归一 → 相乘求总张数。
规范步骤：
  1. 第一天用纸的分率：$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$（占比互补）
  2. 对应量求总本数：$120\div\frac{3}{5}=200$（本）（对应量÷分率）
  3. 求剩下还能装订的本数：$200-120-65=15$（本）（总本数减已订本数）
  4. 归一求每本用纸：$1350\div15=90$（张）（归一问题）
  5. 求纸的总张数：$90\times200=18000$（张）（每本张数×总本数）
  6. 写出答案：$18000$ 张
第一套
题目：用一批纸装订一种练习本。第一天装订了 $200$ 本，还剩全部纸张的 $\frac{3}{8}$；第二天又装订了 $84$ 本，还剩下 $1800$ 张纸。这批纸原来一共有多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：第一天用去了全部纸张的 $1-\frac{3}{8}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：这部分纸订了 $200$ 本，所以整批纸能订 $200\div\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（本）。
  3. 第 3 步（求剩余本数）：两天共订 $200+84$ 本，还能订 $320-200-84=\underline{\quad}$（本）。
  4. 第 4 步（归一）：这 $36$ 本对应剩下的 $1800$ 张纸，每本用纸 $1800\div36=\underline{\quad}$（张）。
  5. 第 5 步（求总张数）：$50\times320=\underline{\quad}$（张）。
第二套
题目：用一批布料做同一款衣服。第一天做了 $200$ 件，还剩全部布料的 $\frac{3}{8}$；第二天又做了 $84$ 件，还剩下 $1800$ 米布。这批布原来一共有多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：第一天用去全部布料的 $1-\frac{3}{8}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：整批布能做 $200\div\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（件）。
  3. 第 3 步（求剩余件数）：$320-200-84=\underline{\quad}$（件）。
  4. 第 4 步（归一）：每件用布 $1800\div36=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步：$50\times320=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：用一批纸装订练习本。第一天装订了 $200$ 本，还剩全部纸张的 $\frac{3}{8}$；第二天又装订了 $84$ 本，还剩下 $1800$ 张纸。这批纸一共能装订多少本？每本练习本用纸多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：第一天用去全部纸张的 $1-\frac{3}{8}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：整批纸能订 $200\div\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（本）。
  3. 第 3 步（求剩余本数）：$320-200-84=\underline{\quad}$（本）。
  4. 第 4 步（归一）：每本用纸 $1800\div36=\underline{\quad}$（张）。
第三套
题目：用一批纸装订练习本。第一天装订了 $200$ 本，还剩全部纸张的 $\frac{3}{8}$；第二天又装订了 $84$ 本，还剩下 $1800$ 张纸。这批纸一共有多少张？第二天用掉的纸占全部纸张的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：第一天用去 $1-\frac{3}{8}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：能订 $200\div\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（本）。
  3. 第 3 步（求剩余本数并归一）：$320-200-84=\underline{\quad}$（本），每本用纸 $1800\div36=\underline{\quad}$（张）。
  4. 第 4 步（求总张数）：$50\times320=\underline{\quad}$（张）。
  5. 第 5 步（求第二天用纸与占比）：第二天用纸 $84\times50=\underline{\quad}$（张），占全部的 $4200\div16000=\underline{\quad}$。
14. 【原题 ch11-tuozhan-06】刚打完篮球，小高觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝。他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的 $\frac{1}{3}$，第三口则喝了剩下的 $\frac{1}{4}$，第四口再喝剩下的 $\frac{1}{5}$，第五口喝了剩下的 $\frac{1}{6}$。此时瓶子里还剩 $0.5$ 升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
详细思路
是哪类问题：这是「连续分数剩余」类应用题：每一口喝的都是**上一次剩下部分**的几分之几，单位 1 层层改变，必须逐次把剩余折算回整瓶水。
关键切入点：喝掉剩下的 $\frac{1}{n}$，等于剩下的部分再乘 $1-\frac{1}{n}$。于是剩余量占整瓶的分率依次是 $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$、$\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$、$\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$、$\frac{1}{5}\times\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$——恰好呈现 $\frac{1}{n}$ 的规律。最后 $\frac{1}{6}$ 对应 $0.5$ 升，用除法求整瓶。
方法概述：逐口用「乘剩余分率」把剩余折算到整瓶，发现 $\frac{1}{n}$ 规律后用对应量求总量。
规范步骤：
  1. 第一口后剩：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（剩余分率）
  2. 第二口后剩：$\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$（连乘换算单位 1）
  3. 第三口后剩：$\frac{1}{3}\times\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}$（同上）
  4. 第四口后剩：$\frac{1}{4}\times\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{5}$（同上）
  5. 第五口后剩：$\frac{1}{5}\times\left(1-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}$（同上）
  6. 对应量求总量：$0.5\div\frac{1}{6}=3$（升）（对应量÷分率）
  7. 写出答案：$3$ 升
第一套
题目：小高拿起一大瓶矿泉水狂喝。他第一口喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的 $\frac{1}{3}$，之后每一口依次喝掉剩下的 $\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{7}$、$\frac{1}{8}$（共七口）。此时瓶子里还剩 $1.5$ 升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一口）：喝掉一半后剩下整瓶的 $1-\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二、三口）：每次喝的是「剩下部分」的几分之几，要连乘。第二口后剩 $\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{\quad}$；第三口后剩 $\frac{1}{3}\times\left(1-\frac{1}{4}\right)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第四、五口）：$\frac{1}{4}\times\left(1-\frac{1}{5}\right)=\underline{\quad}$；$\frac{1}{5}\times\left(1-\frac{1}{6}\right)=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第六、七口）：$\frac{1}{6}\times\left(1-\frac{1}{7}\right)=\underline{\quad}$；$\frac{1}{7}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（对应量求总量）：最后剩下的 $\frac{1}{8}$ 对应 $1.5$ 升，整瓶有 $1.5\div\frac{1}{8}=\underline{\quad}$（升）。
第二套
题目：一桶食用油，第一次用去整桶的一半，第二次用去剩下的 $\frac{1}{3}$，之后依次用去剩下的 $\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{7}$、$\frac{1}{8}$（共七次）。这时桶里还剩 $1.5$ 升油，那么这桶油原来有几升？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第一次用去一半后剩 $1-\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：第二次后剩 $\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{\quad}$；第三次后剩 $\frac{1}{3}\times\left(1-\frac{1}{4}\right)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：第四、五次后分别剩 $\frac{1}{4}\times\left(1-\frac{1}{5}\right)=\underline{\quad}$、$\frac{1}{5}\times\left(1-\frac{1}{6}\right)=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：第六、七次后分别剩 $\frac{1}{6}\times\left(1-\frac{1}{7}\right)=\underline{\quad}$、$\frac{1}{7}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（对应量求总量）：$1.5\div\frac{1}{8}=\underline{\quad}$（升）。
第三套
题目：一瓶水，第一口喝了整瓶的一半，此后依次喝掉剩下的 $\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{7}$、$\frac{1}{8}$。这时还剩 $1.5$ 升。第一口喝了多少升？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找规律）：每喝一次，剩余占整瓶的分率依次是 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$，第七口后剩 $\frac{1}{7}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：$1.5\div\frac{1}{8}=\underline{\quad}$（升）。
  3. 第 3 步（占比求量）：第一口喝了整瓶的一半，$12\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（升）。
第三套
题目：一瓶水，第一口喝了整瓶的一半，此后依次喝掉剩下的 $\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{7}$、$\frac{1}{8}$。这时还剩 $1.5$ 升。整瓶水原有多少升？前四口一共喝了多少升？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（连续剩余）：第七口后剩整瓶的 $\frac{1}{7}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：整瓶 $1.5\div\frac{1}{8}=\underline{\quad}$（升）。
  3. 第 3 步（找中间剩余）：第四口后剩整瓶的 $\frac{1}{4}\times\left(1-\frac{1}{5}\right)=\underline{\quad}$，即 $12\times\frac{1}{5}=\underline{\quad}$（升）。
  4. 第 4 步（求累计喝水量）：$12-2.4=\underline{\quad}$（升）。
15. 【原题 ch11-tuozhan-07】红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数和的 $\frac{1}{2}$，第二车间的人数是第一、三车间人数和的 $\frac{1}{3}$，第三车间有 $105$ 人。求该厂工人的总数。
详细思路
是哪类问题：这是「『是其余的几分之几』化占比」类应用题：题给的分率单位 1 是**其余部分**，不是总数，必须先换算成占总数的分率才能互补相减。
关键切入点：第一车间是第二、三车间之和的 $\frac{1}{2}$，说明第一车间 $:$ 其余 $=1:2$，于是第一车间占总数的 $\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$。同理第二车间占总数的 $\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$。两者单位 1 都变成总数后，第三车间占 $1-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$，它对应 $105$ 人。
方法概述：把「是其余的 $\frac{a}{b}$」化为占总数的 $\frac{a}{a+b}$，再互补求出已知量的分率，用对应量求总量。
规范步骤：
  1. 第一车间化占比：$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$（是其余的 $\frac{1}{2}$ 即 $1:2$）
  2. 第二车间化占比：$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$（是其余的 $\frac{1}{3}$ 即 $1:3$）
  3. 第三车间占比：$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$（占比互补）
  4. 对应量求总量：$105\div\frac{5}{12}=252$（人）（对应量÷分率）
  5. 写出答案：$252$ 人
第一套
题目：红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数和的 $\frac{1}{4}$，第二车间的人数是第一、三车间人数和的 $\frac{2}{3}$，第三车间有 $168$ 人。求该厂工人的总数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化占比）：第一车间是其余两车间和的 $\frac{1}{4}$，即第一车间 $:$ 其余 $=1:4$，第一车间占总数的 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（化占比）：第二车间是其余的 $\frac{2}{3}$，即 $2:3$，占总数的 $\frac{2}{2+3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占比互补）：第三车间占总数的 $1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（对应量求总量）：这 $\frac{2}{5}$ 对应 $168$ 人，总人数 $168\div\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：三个仓库共存放着一批货物。第一仓库的货物是第二、三仓库货物和的 $\frac{1}{4}$，第二仓库的货物是第一、三仓库货物和的 $\frac{2}{3}$，第三仓库有 $168$ 吨。三个仓库一共有货物多少吨？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化占比）：第一仓库 $:$ 其余 $=1:4$，占总数的 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（化占比）：第二仓库 $:$ 其余 $=2:3$，占总数的 $\frac{2}{2+3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占比互补）：第三仓库占 $1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（对应量求总量）：$168\div\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（吨）。
第三套
题目：三个车间中，第一车间的人数是第二、三车间人数和的 $\frac{1}{4}$，第二车间的人数是第一、三车间人数和的 $\frac{2}{3}$，第三车间有 $168$ 人。第一、第二车间各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化占比）：第一车间占总数的 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$，第二车间占总数的 $\frac{2}{2+3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比互补）：第三车间占 $1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$，对应 $168$ 人。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：总人数 $168\div\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（占比求量）：第一车间 $420\times\frac{1}{5}=\underline{\quad}$（人），第二车间 $420\times\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：三个车间中，第一车间的人数是第二、三车间人数和的 $\frac{1}{4}$，第二车间的人数是第一、三车间人数和的 $\frac{2}{3}$，第三车间有 $168$ 人。该厂共有多少人？第三车间的人数是其余两个车间人数和的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化占比）：第一车间占 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$，第二车间占 $\frac{2}{2+3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比互补）：第三车间占 $1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：总人数 $168\div\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（逆向化倍比）：其余两车间占总数的 $1-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$，所以第三车间是其余两车间和的 $\frac{2}{5}\div\frac{3}{5}=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch11-tuozhan-08】现有苹果、橘子、梨、菠萝四种水果各若干个，苹果的数目是其他三种水果总数的 $\frac{1}{6}$，橘子的数目是其他三种水果总数的 $\frac{5}{16}$，梨的数目是其他三种水果总数的 $\frac{2}{5}$，菠萝有 $56$ 个。这些水果一共有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「『是其余的几分之几』化占比」类应用题的四量版本：三个分率的单位 1 都是「其他三种水果之和」，要逐一化成占总数的分率。
关键切入点：把「是其余的 $\frac{a}{b}$」理解成「本身 $:$ 其余 $=a:b$」，于是它占总数的 $\frac{a}{a+b}$。苹果 $\frac{1}{6}\to\frac{1}{7}$，橘子 $\frac{5}{16}\to\frac{5}{21}$，梨 $\frac{2}{5}\to\frac{2}{7}$。三者单位 1 统一后，菠萝占 $1-\frac{1}{7}-\frac{5}{21}-\frac{2}{7}=\frac{1}{3}$，对应 $56$ 个。
方法概述：逐个把「是其余的 $\frac{a}{b}$」化为占总数的 $\frac{a}{a+b}$，互补求出菠萝占比后用对应量求总量。
规范步骤：
  1. 苹果化占比：$\frac{1}{1+6}=\frac{1}{7}$（$1:6$）
  2. 橘子化占比：$\frac{5}{5+16}=\frac{5}{21}$（$5:16$）
  3. 梨化占比：$\frac{2}{2+5}=\frac{2}{7}$（$2:5$）
  4. 菠萝占比：$1-\frac{1}{7}-\frac{5}{21}-\frac{2}{7}=\frac{1}{3}$（占比互补）
  5. 对应量求总量：$56\div\frac{1}{3}=168$（个）（对应量÷分率）
  6. 写出答案：$168$ 个
第一套
题目：现有苹果、橘子、梨、菠萝四种水果各若干个，苹果的数目是其他三种水果总数的 $\frac{1}{9}$，橘子的数目是其他三种水果总数的 $\frac{3}{17}$，梨的数目是其他三种水果总数的 $\frac{1}{4}$，菠萝有 $231$ 个。这些水果一共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化占比）：苹果 $:$ 其余 $=1:9$，苹果占总数的 $\frac{1}{1+9}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（化占比）：橘子 $:$ 其余 $=3:17$，占总数的 $\frac{3}{3+17}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（化占比）：梨 $:$ 其余 $=1:4$，占总数的 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（占比互补）：菠萝占总数的 $1-\frac{1}{10}-\frac{3}{20}-\frac{1}{5}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（对应量求总量）：$231\div\frac{11}{20}=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：书架上有科技书、故事书、绘本、字典四类书。科技书的本数是其他三类总数的 $\frac{1}{9}$，故事书是其他三类总数的 $\frac{3}{17}$，绘本是其他三类总数的 $\frac{1}{4}$，字典有 $231$ 本。书架上一共有多少本书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化占比）：科技书占总数的 $\frac{1}{1+9}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（化占比）：故事书占总数的 $\frac{3}{3+17}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（化占比）：绘本占总数的 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（占比互补）：字典占总数的 $1-\frac{1}{10}-\frac{3}{20}-\frac{1}{5}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（对应量求总量）：$231\div\frac{11}{20}=\underline{\quad}$（本）。
第三套
题目：苹果的数目是其他三种水果总数的 $\frac{1}{9}$，橘子是其他三种总数的 $\frac{3}{17}$，梨是其他三种总数的 $\frac{1}{4}$，菠萝有 $231$ 个。梨有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化占比）：苹果占 $\frac{1}{1+9}=\underline{\quad}$，橘子占 $\frac{3}{3+17}=\underline{\quad}$，梨占 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比互补）：菠萝占 $1-\frac{1}{10}-\frac{3}{20}-\frac{1}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $231\div\frac{11}{20}=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（占比求量）：梨有 $420\times\frac{1}{5}=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：苹果的数目是其他三种水果总数的 $\frac{1}{9}$，橘子是其他三种总数的 $\frac{3}{17}$，梨是其他三种总数的 $\frac{1}{4}$，菠萝有 $231$ 个。水果一共有多少个？苹果和橘子合起来有多少个？它们合起来比梨多多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化占比）：苹果占 $\frac{1}{1+9}=\underline{\quad}$，橘子占 $\frac{3}{3+17}=\underline{\quad}$，梨占 $\frac{1}{1+4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比互补）：菠萝占 $1-\frac{1}{10}-\frac{3}{20}-\frac{1}{5}=\underline{\quad}$，总数 $231\div\frac{11}{20}=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（分率合并求量）：苹果与橘子合占 $\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\underline{\quad}$，共 $420\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（求差）：梨有 $420\times\frac{1}{5}=\underline{\quad}$（个），$105-84=\underline{\quad}$（个）。
17. 【原题 ch11-tuozhan-09】$2008$ 年 $5$ 月，某爱心慈善组织向四川大地震中受灾严重的汶川地区捐赠帐篷。他们第一次向汶川运去了全部帐篷的 $\frac{3}{8}$，第二次运了 $50$ 顶帐篷。这时，已运去的帐篷数恰好是没运去的 $\frac{5}{7}$。请问：还有多少顶帐篷没有运去？
详细思路
是哪类问题：这是「倍数关系化占比」类应用题：第二次运完后给出的是「已运 $:$ 未运」的倍数关系，要先化成占总数的分率，才能与第一次的 $\frac{3}{8}$ 相减。
关键切入点：把全部帐篷看作单位 1。「已运去的是没运去的 $\frac{5}{7}$」意味着已运 $:$ 未运 $=5:7$，所以已运占总数的 $\frac{5}{5+7}=\frac{5}{12}$。第一次运了 $\frac{3}{8}$，因此第二次运的 $50$ 顶对应 $\frac{5}{12}-\frac{3}{8}=\frac{1}{24}$，总数即可求出，再乘未运占比 $\frac{7}{12}$。
方法概述：倍数关系化占比 → 分率相减对应第二次运量 → 求总量后求未运量。
规范步骤：
  1. 倍数化占比：$\frac{5}{5+7}=\frac{5}{12}$（已运:未运$=5:7$）
  2. 第二次运的分率：$\frac{5}{12}-\frac{3}{8}=\frac{1}{24}$（同一单位 1 可相减）
  3. 对应量求总量：$50\div\frac{1}{24}=1200$（顶）（对应量÷分率）
  4. 求未运数量：$1200\times\left(1-\frac{5}{12}\right)=700$（顶）（占比求量）
  5. 写出答案：$700$ 顶
第一套
题目：某慈善组织向灾区运送帐篷。第一次运去了全部帐篷的 $\frac{2}{5}$，第二次运了 $90$ 顶帐篷。这时，已运去的帐篷数恰好是没运去的 $\frac{9}{11}$。请问：还有多少顶帐篷没有运去？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（倍数化占比）：已运 $:$ 未运 $=9:11$，所以此时已运去的占总数的 $\frac{9}{9+11}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率相减）：第二次运的 $90$ 顶对应 $\frac{9}{20}-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：全部帐篷有 $90\div\frac{1}{20}=\underline{\quad}$（顶）。
  4. 第 4 步（占比求量）：未运去的占 $1-\frac{9}{20}=\underline{\quad}$，共 $1800\times\frac{11}{20}=\underline{\quad}$（顶）。
第二套
题目：救灾队向山区运送大米。第一次运去了全部大米的 $\frac{2}{5}$，第二次运了 $90$ 袋。这时已运去的袋数恰好是没运去的 $\frac{9}{11}$。请问：还有多少袋大米没有运去？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（倍数化占比）：已运 $:$ 未运 $=9:11$，已运占总数的 $\frac{9}{9+11}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率相减）：$90$ 袋对应 $\frac{9}{20}-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $90\div\frac{1}{20}=\underline{\quad}$（袋）。
  4. 第 4 步（占比求量）：未运占 $1-\frac{9}{20}=\underline{\quad}$，共 $1800\times\frac{11}{20}=\underline{\quad}$（袋）。
第三套
题目：第一次运去了全部帐篷的 $\frac{2}{5}$，第二次运了 $90$ 顶，这时已运去的是没运去的 $\frac{9}{11}$。已经运去了多少顶帐篷？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（倍数化占比）：已运占总数的 $\frac{9}{9+11}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率相减）：$90$ 顶对应 $\frac{9}{20}-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $90\div\frac{1}{20}=\underline{\quad}$（顶）。
  4. 第 4 步（占比求量）：已运 $1800\times\frac{9}{20}=\underline{\quad}$（顶）。
第三套
题目：第一次运去了全部帐篷的 $\frac{2}{5}$，第二次运了 $90$ 顶，这时已运去的是没运去的 $\frac{9}{11}$。还有多少顶没运去？若以后每次都运 $90$ 顶，还需要运多少次才能运完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（倍数化占比）：已运占总数的 $\frac{9}{9+11}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率相减）：$90$ 顶对应 $\frac{9}{20}-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $90\div\frac{1}{20}=\underline{\quad}$（顶）。
  4. 第 4 步（占比求量）：未运 $1800\times\left(1-\frac{9}{20}\right)=\underline{\quad}$（顶）。
  5. 第 5 步（归一求次数）：$990\div90=\underline{\quad}$（次）。
18. 【原题 ch11-tuozhan-10】图 $11\text{-}1$ 是某市的园林规划图，其中草地占正方形的 $\frac{3}{4}$，竹林占圆形的 $\frac{5}{7}$，正方形和圆形的公共部分是水池。已知竹林的面积比草地的面积少 $450$ 平方米。问：水池的面积是多少平方米？
详细思路
是哪类问题：这是「公共量作单位份」类的面积份数题：正方形与圆形有重叠部分（水池），两个分率的单位 1 不同（一个是正方形、一个是圆形），必须用公共的水池面积作 $1$ 份把两者接起来。
关键切入点：草地占正方形的 $\frac{3}{4}$，所以水池占正方形的 $\frac{1}{4}$；若水池为 $1$ 份，正方形就是 $4$ 份、草地 $3$ 份。竹林占圆形的 $\frac{5}{7}$，水池占圆形的 $\frac{2}{7}$，圆形就是 $3.5$ 份、竹林 $2.5$ 份。这样两块图形被统一到同一把尺子上，竹林比草地少 $0.5$ 份对应 $450$ 平方米。
方法概述：用公共部分（水池）作单位份，把两个图形的面积都化成份数，再由面积差对应量求 1 份。
规范步骤：
  1. 水池占正方形的分率：$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$（占比互补）
  2. 以水池为 1 份求正方形与草地：$正方形=1\div\frac{1}{4}=4$，$草地=4-1=3$（份）（对应量÷分率）
  3. 水池占圆形的分率：$1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7}$（占比互补）
  4. 求圆形与竹林：$圆形=1\div\frac{2}{7}=3.5$，$竹林=3.5-1=2.5$（份）（同一单位份）
  5. 面积差对应量：$3-2.5=0.5$（份）$=450$ 平方米（差对应）
  6. 求 1 份即水池面积：$450\div0.5=900$（平方米）（归一）
  7. 写出答案：$900$ 平方米
19. 【原题 ch11-tuozhan-11】如图 $11\text{-}2$，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是 $360$ 厘米。甲木棒有 $\frac{3}{4}$ 露在水面上，乙木棒有 $\frac{4}{7}$ 露在水面上，丙木棒有 $\frac{2}{5}$ 露在水面上。请问：水深是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「公共量作单位份」类应用题：三根木棒浸在水里的长度都等于水深，这个公共长度就是天然的 $1$ 份。
关键切入点：每根木棒的分率单位 1 是它**自己的长度**，三根长度不同，不能直接相加。但三根浸水部分都等于水深，所以设水深为 $1$ 份：甲浸水占自己 $\frac{1}{4}$，甲长 $4$ 份；乙浸水占 $\frac{3}{7}$，乙长 $\frac{7}{3}$ 份；丙浸水占 $\frac{3}{5}$，丙长 $\frac{5}{3}$ 份。三根长度和 $360$ 厘米对应 $4+\frac{7}{3}+\frac{5}{3}=8$ 份。
方法概述：以公共的水深作 $1$ 份，把三根木棒的长度都化成份数，再用总长对应总份数归一。
规范步骤：
  1. 甲浸水部分的分率与长度：$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，$甲=1\div\frac{1}{4}=4$（份）（对应量÷分率）
  2. 乙浸水部分的分率与长度：$1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}$，$乙=1\div\frac{3}{7}=\frac{7}{3}$（份）（同上）
  3. 丙浸水部分的分率与长度：$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$，$丙=1\div\frac{3}{5}=\frac{5}{3}$（份）（同上）
  4. 求总份数：$4+\frac{7}{3}+\frac{5}{3}=8$（份）（份数相加）
  5. 归一求 1 份即水深：$360\div8=45$（厘米）（总量÷总份数）
  6. 写出答案：$45$ 厘米
20. 【原题 ch11-tuozhan-12】小高和墨墨一起玩游戏牌。开始时小高手里的牌数是墨莫手里牌数的 $\frac{3}{5}$；玩了若干局后，小高赢了墨墨的 $20$ 张牌，此时小高手里的牌数是墨墨手里牌数的 $\frac{7}{5}$。请问：小高此时一共有多少张牌？
详细思路
是哪类问题：这是「总量不变量」类应用题：赢牌只是牌在两人之间转移，**两人牌的总数始终不变**，所以把总数看作单位 1 最方便。
关键切入点：前后两个倍数关系的单位 1 都是墨墨，而墨墨的牌数前后不同，不能直接比较。化成占总数的分率就统一了：开始小高占 $\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$，后来占 $\frac{7}{7+5}=\frac{7}{12}$。小高多出的 $\frac{7}{12}-\frac{3}{8}=\frac{5}{24}$ 正是赢来的 $20$ 张。
方法概述：抓总量不变 → 倍数关系化为占总数的分率 → 分率之差对应赢的张数求总量 → 占比求量。
规范步骤：
  1. 抓不变量：两人牌的总数不变：$总数=1$（总量不变量）
  2. 开始时小高的占比：$\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$（倍比化占比）
  3. 后来小高的占比：$\frac{7}{7+5}=\frac{7}{12}$（倍比化占比）
  4. 分率之差对应 $20$ 张：$\frac{7}{12}-\frac{3}{8}=\frac{5}{24}$（同一单位 1 可相减）
  5. 对应量求总量：$20\div\frac{5}{24}=96$（张）（对应量÷分率）
  6. 求小高现在的张数：$96\times\frac{7}{12}=56$（张）（占比求量）
  7. 写出答案：$56$ 张
第一套
题目：小高和墨墨一起玩游戏牌。开始时小高手里的牌数是墨墨手里牌数的 $\frac{5}{9}$；玩了若干局后，小高赢了墨墨的 $51$ 张牌，此时小高手里的牌数是墨墨手里牌数的 $\frac{3}{2}$。请问：小高此时一共有多少张牌？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：两人牌的总数不变，看作单位 1。开始时小高占总数的 $\frac{5}{5+9}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倍比化占比）：后来小高占总数的 $\frac{3}{3+2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分率之差）：小高增加了总数的 $\frac{3}{5}-\frac{5}{14}=\underline{\quad}$，对应赢来的 $51$ 张。
  4. 第 4 步（对应量求总量）：牌的总数为 $51\div\frac{17}{70}=\underline{\quad}$（张）。
  5. 第 5 步（占比求量）：小高现在有 $210\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$（张）。
第二套
题目：两个小朋友玩弹珠。开始时小明的弹珠数是小刚的 $\frac{5}{9}$；玩了几轮后，小明赢了小刚的 $51$ 颗弹珠，此时小明的弹珠数是小刚的 $\frac{3}{2}$。请问：小明此时一共有多少颗弹珠？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：两人弹珠总数不变，看作单位 1，开始小明占 $\frac{5}{5+9}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倍比化占比）：后来小明占 $\frac{3}{3+2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分率之差）：$\frac{3}{5}-\frac{5}{14}=\underline{\quad}$，对应 $51$ 颗。
  4. 第 4 步（对应量求总量）：总数 $51\div\frac{17}{70}=\underline{\quad}$（颗）。
  5. 第 5 步（占比求量）：$210\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$（颗）。
第三套
题目：开始时小高的牌数是墨墨的 $\frac{5}{9}$；小高赢了墨墨 $51$ 张牌后，小高的牌数是墨墨的 $\frac{3}{2}$。墨墨现在有多少张牌？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：总数看作单位 1，开始小高占 $\frac{5}{5+9}=\underline{\quad}$，后来占 $\frac{3}{3+2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率之差）：$\frac{3}{5}-\frac{5}{14}=\underline{\quad}$，对应 $51$ 张。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $51\div\frac{17}{70}=\underline{\quad}$（张）。
  4. 第 4 步（占比求量）：墨墨现在占 $1-\frac{3}{5}=\underline{\quad}$，即 $210\times\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（张）。
第三套
题目：开始时小高的牌数是墨墨的 $\frac{5}{9}$；小高赢了墨墨 $51$ 张牌后，小高的牌数是墨墨的 $\frac{3}{2}$。开始时小高有多少张牌？现在有多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：总数看作单位 1，开始小高占 $\frac{5}{5+9}=\underline{\quad}$，后来占 $\frac{3}{3+2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率之差）：$\frac{3}{5}-\frac{5}{14}=\underline{\quad}$，对应 $51$ 张。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $51\div\frac{17}{70}=\underline{\quad}$（张）。
  4. 第 4 步（回推开始张数）：$210\times\frac{5}{14}=\underline{\quad}$（张）。
  5. 第 5 步（求现在张数并检验）：$210\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$（张），检验 $75+51=\underline{\quad}$，与之相符。
21. 【原题 ch11-tuozhan-13】口袋里有若干个球，其中红球占了总球数的 $\frac{5}{12}$。后来又放入 $8$ 个红球，这时红球占了总球数的 $\frac{1}{2}$。现在口袋里有多少个球？
详细思路
是哪类问题：这是「抓住不变量」类应用题：放入的只有红球，**其他颜色的球数量始终没变**，所以拿「其他球」作单位份最省事。
关键切入点：开始其他球占总数的 $1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$，把其他球记作 $1$ 份，总数就是 $1\div\frac{7}{12}=\frac{12}{7}$ 份；放入红球后其他球占 $\frac{1}{2}$，总数变成 $2$ 份。总数增加的 $2-\frac{12}{7}=\frac{2}{7}$ 份正是放入的 $8$ 个红球，于是 $1$ 份可求，再乘 $2$ 得现在的总数。
方法概述：以不变的「其他球」为单位份，把前后总数都化成份数，用份数差对应放入量求 1 份。
规范步骤：
  1. 开始时其他球的占比：$1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$（占比互补）
  2. 开始时总数的份数：$1\div\frac{7}{12}=\frac{12}{7}$（份）（以其他球为 1 份）
  3. 后来其他球的占比与总份数：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$总=1\div\frac{1}{2}=2$（份）（同上）
  4. 份数差对应放入的 8 个：$2-\frac{12}{7}=\frac{2}{7}$，$1$ 份 $=8\div\frac{2}{7}=28$（个）（对应量÷分率）
  5. 求现在的总数：$28\times2=56$（个）（总份数×每份）
  6. 写出答案：$56$ 个
第一套
题目：口袋里有若干个球，其中红球占了总球数的 $\frac{5}{9}$。后来又放入 $12$ 个红球，这时红球占了总球数的 $\frac{2}{3}$。现在口袋里有多少个球？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：只放入了红球，其他球数量不变，把其他球看作 $1$ 份。开始时其他球占总数的 $1-\frac{5}{9}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比化份数）：开始时总数为 $1\div\frac{4}{9}=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（后来的份数）：后来其他球占 $1-\frac{2}{3}=\underline{\quad}$，总数为 $1\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（份数差求 1 份）：总数增加了 $3-\frac{9}{4}=\underline{\quad}$（份），对应放入的 $12$ 个红球，$1$ 份 $=12\div\frac{3}{4}=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步（求现在总数）：$16\times3=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：停车场里停着若干辆车，其中轿车占总数的 $\frac{5}{9}$。后来又开进 $12$ 辆轿车（其他车没有变化），这时轿车占总数的 $\frac{2}{3}$。现在停车场里有多少辆车？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：其他车数量不变，看作 $1$ 份。开始时其他车占总数的 $1-\frac{5}{9}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比化份数）：开始总数 $1\div\frac{4}{9}=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：后来其他车占 $1-\frac{2}{3}=\underline{\quad}$，总数 $1\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（份数差求 1 份）：$3-\frac{9}{4}=\underline{\quad}$（份）对应 $12$ 辆，$1$ 份 $=12\div\frac{3}{4}=\underline{\quad}$（辆）。
  5. 第 5 步：现在共 $16\times3=\underline{\quad}$（辆）。
第三套
题目：口袋里有若干个球，其中红球占总球数的 $\frac{5}{9}$。后来又放入 $12$ 个红球，这时红球占总球数的 $\frac{2}{3}$。原来口袋里有多少个球？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：其他球不变，看作 $1$ 份，开始时其他球占 $1-\frac{5}{9}=\underline{\quad}$，总数为 $1\div\frac{4}{9}=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（后来的份数）：其他球占 $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，总数为 $\underline{\quad}$ 份。
  3. 第 3 步（份数差求 1 份）：$3-\frac{9}{4}=\underline{\quad}$（份）对应 $12$ 个，$1$ 份 $=12\div\frac{3}{4}=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（求原总数）：$16\times\frac{9}{4}=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：口袋里有若干个球，其中红球占总球数的 $\frac{5}{9}$。后来又放入 $12$ 个红球，这时红球占总球数的 $\frac{2}{3}$。现在口袋里有多少个球？现在红球比其他球多多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：其他球不变作 $1$ 份，开始其他球占 $1-\frac{5}{9}=\underline{\quad}$，总数 $1\div\frac{4}{9}=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（后来的份数）：其他球占 $1-\frac{2}{3}=\underline{\quad}$，总数 $1\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（份数差求 1 份）：$3-\frac{9}{4}=\underline{\quad}$（份）对应 $12$ 个，$1$ 份 $=12\div\frac{3}{4}=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（求现在总数）：$16\times3=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步（求相差）：现在红球 $48\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$（个），其他球 $48-32=\underline{\quad}$（个），相差 $32-16=\underline{\quad}$（个）。
22. 【原题 ch11-tuozhan-14】水池中立着长短两根木桩。长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长 $\frac{2}{5}$。当水面升高 $11$ 厘米后，短木桩露出水面的部分比长木桩露出部分短 $\frac{3}{5}$。问水面再升高多少厘米，短木桩露出水面长度将是长木桩露出水面长度的 $\frac{1}{12}$？
详细思路
是哪类问题：这是「差不变量作单位份」类应用题：水面无论怎么升，两根木桩露出水面的长度之差**永远等于两根木桩的长度差**，把这个差记作 $1$ 份，所有比例关系就都能挂到同一把尺子上。
关键切入点：「长比短多 $\frac{2}{5}$」的单位 1 是短木桩露出部分，这多出的部分就是 $1$ 份，故短露 $=\frac{5}{2}$ 份、长露 $=\frac{7}{2}$ 份；水面升高后「短比长少 $\frac{3}{5}$」的单位 1 是长木桩露出部分，少的部分仍是 $1$ 份，故长露 $=\frac{5}{3}$ 份、短露 $=\frac{2}{3}$ 份。长露从 $\frac{7}{2}$ 份减到 $\frac{5}{3}$ 份，减少的 $\frac{11}{6}$ 份就是水面上升的 $11$ 厘米，于是 $1$ 份 $=6$ 厘米。
方法概述：以两桩长度差为 $1$ 份，把前后露出长度都化成份数，用露出长度的减少量对应水面上升高度求 1 份。
规范步骤：
  1. 由「长比短多 $\frac{2}{5}$」化份数：$短露=1\div\frac{2}{5}=\frac{5}{2}$，$长露=\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}$（份）（差作 1 份）
  2. 由「短比长少 $\frac{3}{5}$」化份数：$长露=1\div\frac{3}{5}=\frac{5}{3}$，$短露=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}$（份）（差仍是 1 份）
  3. 露出长度的减少量对应上升高度：$\frac{7}{2}-\frac{5}{3}=\frac{11}{6}$（份）$=11$ 厘米，$1$ 份 $=6$ 厘米（对应量÷份数）
  4. 求此时两桩露出长度：$长露=6\times\frac{5}{3}=10$，$短露=10-6=4$（厘米）（份数×每份）
  5. 求短露为长露 $\frac{1}{12}$ 时的长露：$长露=6\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\frac{72}{11}$（厘米）（差÷差所占分率）
  6. 求还要上升的高度：$10-\frac{72}{11}=\frac{38}{11}=3\frac{5}{11}$（厘米）（长露的减少量即水面上升量）
  7. 写出答案：$3\frac{5}{11}$ 厘米
第一套
题目：水池中立着长短两根木桩。长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长 $\frac{1}{3}$。当水面升高 $14$ 厘米后，短木桩露出水面的部分比长木桩露出部分短 $\frac{1}{2}$。问水面再升高多少厘米，短木桩露出水面长度将是长木桩露出水面长度的 $\frac{1}{8}$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓差不变量）：两根木桩露出水面的长度差始终等于两桩的长度差，把它记作 $1$ 份。「长比短多 $\frac{1}{3}$」的单位 1 是短露，所以短露 $=1\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（份），长露 $=3+1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（升高后化份数）：「短比长少 $\frac{1}{2}$」的单位 1 是长露，长露 $=1\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（份），短露 $=2-1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（对应量求 1 份）：长露从 $4$ 份减到 $2$ 份，减少 $4-2=\underline{\quad}$（份），正是水面上升的 $14$ 厘米，所以 $1$ 份 $=14\div2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求此时的露出长度）：长露 $=7\times2=\underline{\quad}$（厘米），短露 $=14-7=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（求目标时刻的长露）：短露是长露的 $\frac{1}{8}$ 时，长度差占长露的 $1-\frac{1}{8}=\underline{\quad}$，故长露 $=7\div\frac{7}{8}=\underline{\quad}$（厘米）。
  6. 第 6 步（求再上升的高度）：长露减少多少，水面就升高多少，$14-8=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：量筒中竖立着长短两根玻璃棒。长棒露出液面部分比短棒露出部分长 $\frac{1}{3}$。当液面升高 $14$ 毫米后，短棒露出液面的部分比长棒露出部分短 $\frac{1}{2}$。问液面再升高多少毫米，短棒露出液面长度将是长棒露出长度的 $\frac{1}{8}$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓差不变量）：两棒露出液面的长度差恒等于两棒长度差，记作 $1$ 份。短露 $=1\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（份），长露 $=3+1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（升高后化份数）：长露 $=1\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（份），短露 $=2-1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（对应量求 1 份）：长露减少 $4-2=\underline{\quad}$（份）对应 $14$ 毫米，$1$ 份 $=14\div2=\underline{\quad}$（毫米）。
  4. 第 4 步（求此时露出长度）：长露 $=7\times2=\underline{\quad}$（毫米），短露 $=14-7=\underline{\quad}$（毫米）。
  5. 第 5 步（求目标时刻的长露）：$1-\frac{1}{8}=\underline{\quad}$，长露 $=7\div\frac{7}{8}=\underline{\quad}$（毫米）。
  6. 第 6 步：液面再升高 $14-8=\underline{\quad}$（毫米）。
第三套
题目：水池中立着长短两根木桩。长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长 $\frac{1}{3}$。当水面升高 $14$ 厘米后，短木桩露出水面的部分比长木桩露出部分短 $\frac{1}{2}$。此时两根木桩露出水面的部分各有多长？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓差不变量）：把两桩长度差记作 $1$ 份，开始时短露 $=1\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（份），长露 $=3+1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（升高后化份数）：长露 $=1\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（份），短露 $=2-1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（对应量求 1 份）：长露减少 $4-2=\underline{\quad}$（份）对应上升的 $14$ 厘米，$1$ 份 $=14\div2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求露出长度）：长露 $=7\times2=\underline{\quad}$（厘米），短露 $=7\times1=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：水池中立着长短两根木桩。长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长 $\frac{1}{3}$。水面升高 $14$ 厘米后，短木桩露出部分比长木桩露出部分短 $\frac{1}{2}$。问水面还要再升高多少厘米，短木桩露出长度将是长木桩露出长度的 $\frac{1}{8}$？从最开始算起，水面一共升高了多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓差不变量）：长度差记作 $1$ 份，短露 $=1\div\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（份），长露 $=3+1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（升高后化份数）：长露 $=1\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（份），减少 $4-2=\underline{\quad}$（份）对应 $14$ 厘米，$1$ 份 $=14\div2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求此时露出长度）：长露 $=7\times2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求目标时刻长露）：$1-\frac{1}{8}=\underline{\quad}$，长露 $=7\div\frac{7}{8}=\underline{\quad}$（厘米），水面再升高 $14-8=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（求总上升量）：最开始长露 $7\times4=\underline{\quad}$（厘米），一共上升 $28-8=\underline{\quad}$（厘米），也可用 $14+6=\underline{\quad}$ 检验。
23. 【原题 ch11-xingqu-01】有红、黄两种颜色的小球，其中红色小球有 $60$ 个，黄色小球的数量比红色小球的 $\frac{5}{4}$ 倍还多 $1$ 个，那么一共有小球多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「分数倍求量再求和」类应用题：已知一个量，另一个量是它的几分之几倍再多（少）几，最后求两量之和。
关键切入点：关键在认准「谁是单位 1」。题中说黄球比红球的 $\frac{5}{4}$ 倍还多 $1$ 个，是拿**红球**作标准量，所以要先用红球数去乘 $\frac{5}{4}$，再把多出的 $1$ 个加上，得到黄球数；最后两色相加才是总数。先求黄再求和，顺序不能颠倒。
方法概述：以红球为单位 1，先算 $60\times\frac{5}{4}$ 得分数倍对应的量，加 $1$ 得黄球数，再与红球相加。
规范步骤：
  1. 认单位 1：红球是标准量：$红球=60$（题中分数倍以红球为比较标准）
  2. 求红球的 $\frac{5}{4}$ 倍：$60\times\frac{5}{4}=75$（求一个数的几分之几用乘法）
  3. 再多 $1$ 个，得黄球数：$75+1=76$（「还多 1 个」是在倍数量上加）
  4. 两色相加求总数：$60+76=136$（总量=红球+黄球）
  5. 写出答案：$136$ 个
第一套
题目：有红、黄两种颜色的小球，其中红色小球有 $180$ 个，黄色小球的数量比红色小球的 $\frac{7}{6}$ 倍还多 $5$ 个，那么一共有小球多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认单位 1）：分数倍是以**红球**为标准的，红球数已知，先求红球的 $\frac{7}{6}$ 倍：$180\times\frac{7}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（加上多出的部分）：黄球比这个倍数量还多 $5$ 个，所以黄球有 $210+5=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（求总数）：两种球相加，$180+215=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：图书角有科技书和故事书两类。科技书有 $180$ 本，故事书的本数比科技书的 $\frac{7}{6}$ 倍还多 $5$ 本。图书角一共有书多少本？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认单位 1）：分数倍以**科技书**为标准，先求科技书的 $\frac{7}{6}$ 倍：$180\times\frac{7}{6}=\underline{\quad}$（本）。
  2. 第 2 步：故事书还多 $5$ 本，故事书有 $210+5=\underline{\quad}$（本）。
  3. 第 3 步：两类书相加，$180+215=\underline{\quad}$（本）。
第三套
题目：有红、黄两种颜色的小球，其中红色小球有 $240$ 个，黄色小球的数量比红色小球的 $\frac{9}{8}$ 倍还多 $7$ 个。黄色小球比红色小球多多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认单位 1）：仍以红球为标准，先求它的 $\frac{9}{8}$ 倍：$240\times\frac{9}{8}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：黄球还多 $7$ 个，黄球数为 $270+7=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（求相差）：黄球比红球多的个数是 $277-240=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：有红、黄、蓝三种小球。红球有 $180$ 个，黄球的数量比红球的 $\frac{7}{6}$ 倍还多 $5$ 个，蓝球的数量是红、黄两种球总数的 $\frac{1}{5}$。三种球一共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认单位 1）：黄球以红球为标准，先求 $180\times\frac{7}{6}=\underline{\quad}$，再加多出的 $5$ 个，黄球有 $\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（换单位 1）：蓝球的分数以**红黄两球总数**为标准，先求这个标准量：$180+215=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（占比求量）：蓝球有 $395\times\frac{1}{5}=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（求总数）：三种球合计 $395+79=\underline{\quad}$（个）。
24. 【原题 ch11-xingqu-02】运输连要将 $450$ 枚弹药送到前线，其中炮弹占了 $\frac{5}{9}$，其余都是手榴弹。由于遇上敌军伏击，炮弹损失了 $\frac{2}{5}$，而手榴弹只剩下 $\frac{3}{8}$。送到时还剩多少枚弹药？
详细思路
是哪类问题：这是「占比求量 + 分数剩余」类应用题：先按占比把总量分成两部分，再分别按各自的剩余分率算出剩下的量，最后合并。
关键切入点：两次分数的单位 1 不同：$\frac{5}{9}$ 的单位 1 是**全部弹药**，而 $\frac{2}{5}$、$\frac{3}{8}$ 的单位 1 分别是**炮弹**和**手榴弹**。所以必须先把总量拆成炮弹、手榴弹两个具体数目，再各算各的剩余。另外「损失了 $\frac{2}{5}$」要先转成剩下 $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$，而「只剩下 $\frac{3}{8}$」已经是剩余分率，可直接乘。
方法概述：先占比拆总量，再各乘剩余分率，最后求和。
规范步骤：
  1. 占比求炮弹数：$450\times\frac{5}{9}=250$（枚）（求总量的几分之几用乘法）
  2. 其余为手榴弹：$450-250=200$（枚）（两部分互补）
  3. 炮弹损失 $\frac{2}{5}$，剩余分率为 $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$：$250\times\frac{3}{5}=150$（枚）（损失分率化剩余分率）
  4. 手榴弹只剩 $\frac{3}{8}$：$200\times\frac{3}{8}=75$（枚）（剩余分率直接乘）
  5. 合并：$150+75=225$（枚）（总剩余=两部分剩余之和）
  6. 写出答案：$225$ 枚
第一套
题目：运输连要将 $720$ 枚弹药送到前线，其中炮弹占了 $\frac{5}{8}$，其余都是手榴弹。由于遇上敌军伏击，炮弹损失了 $\frac{3}{5}$，而手榴弹只剩下 $\frac{4}{9}$。送到时还剩多少枚弹药？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比求量）：$\frac{5}{8}$ 的单位 1 是全部弹药，炮弹有 $720\times\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（枚），手榴弹有 $720-450=\underline{\quad}$（枚）。
  2. 第 2 步（损失化剩余）：炮弹损失 $\frac{3}{5}$，剩余分率为 $1-\frac{3}{5}=\underline{\quad}$，剩下炮弹 $450\times\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（枚）。
  3. 第 3 步：手榴弹的剩余分率已给出，剩下 $270\times\frac{4}{9}=\underline{\quad}$（枚）。
  4. 第 4 步（合并）：$180+120=\underline{\quad}$（枚）。
第二套
题目：果园运出 $720$ 箱水果，其中苹果占了 $\frac{5}{8}$，其余都是梨。路上颠簸，苹果损坏了 $\frac{3}{5}$，而梨只剩下完好的 $\frac{4}{9}$。到货时完好的水果还有多少箱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比求量）：单位 1 是全部水果，苹果 $720\times\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（箱），梨 $720-450=\underline{\quad}$（箱）。
  2. 第 2 步（损坏化完好）：苹果完好的分率为 $1-\frac{3}{5}=\underline{\quad}$，完好苹果 $450\times\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（箱）。
  3. 第 3 步：完好的梨有 $270\times\frac{4}{9}=\underline{\quad}$（箱）。
  4. 第 4 步：合计 $180+120=\underline{\quad}$（箱）。
第三套
题目：运输连要将 $720$ 枚弹药送到前线，其中炮弹占了 $\frac{5}{8}$，其余都是手榴弹。遇伏后炮弹损失了 $\frac{3}{5}$，手榴弹损失了 $\frac{5}{9}$。一共损失了多少枚弹药？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比求量）：炮弹 $720\times\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（枚），手榴弹 $720-450=\underline{\quad}$（枚）。
  2. 第 2 步（这次直接用损失分率）：损失的炮弹 $450\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$（枚）。
  3. 第 3 步：损失的手榴弹 $270\times\frac{5}{9}=\underline{\quad}$（枚）。
  4. 第 4 步：一共损失 $270+150=\underline{\quad}$（枚）。
第三套
题目：运输连要将 $720$ 枚弹药送到前线，其中炮弹占了 $\frac{5}{8}$，其余都是手榴弹。遇伏后炮弹损失了 $\frac{3}{5}$，手榴弹只剩下 $\frac{4}{9}$。送到时还剩多少枚弹药？剩下的弹药占出发时总数的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比求量）：炮弹 $720\times\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（枚），手榴弹 $720-450=\underline{\quad}$（枚）。
  2. 第 2 步（损失化剩余）：炮弹剩余分率 $1-\frac{3}{5}=\underline{\quad}$，剩下 $450\times\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（枚）；手榴弹剩下 $270\times\frac{4}{9}=\underline{\quad}$（枚）。
  3. 第 3 步（合并）：共剩 $180+120=\underline{\quad}$（枚）。
  4. 第 4 步（求分率）：用剩下的量除以出发时的总量，$300\div720=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch11-xingqu-03】有水果糖和奶糖共 $800$ 颗，其中水果糖的数量是奶糖的 $\frac{7}{9}$，那么水果糖有多少颗？
详细思路
是哪类问题：这是「和倍（分数倍）问题」：已知两部分的和与两部分之间的分数倍关系，求其中一部分。
关键切入点：「水果糖是奶糖的 $\frac{7}{9}$」的单位 1 是**奶糖**，而已知的 $800$ 颗是**总数**，两者单位 1 不一致，不能直接乘。办法是把分数倍改写成份数比：水果糖 $:$ 奶糖 $=7:9$，于是总份数 $7+9=16$，水果糖占总数的 $\frac{7}{16}$——单位 1 就统一到总数上了，可以直接乘。
方法概述：分数倍化为份数比，求出占总数的分率，再用总数乘分率。
规范步骤：
  1. 分数倍化份数比：$水果糖:奶糖=7:9$（$\frac{7}{9}$ 即 $7$ 份比 $9$ 份）
  2. 求总份数：$7+9=16$（份）（和倍问题先求总份数）
  3. 求水果糖占总数的分率：$\frac{7}{16}$（部分份数÷总份数）
  4. 占比求量：$800\times\frac{7}{16}=350$（颗）（求总数的几分之几用乘法）
  5. 写出答案：$350$ 颗
第一套
题目：有水果糖和奶糖共 $1920$ 颗，其中水果糖的数量是奶糖的 $\frac{5}{7}$，那么水果糖有多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位 1）：$\frac{5}{7}$ 的单位 1 是奶糖，而已知量是总数，先把分数倍看成份数比：水果糖 $5$ 份、奶糖 $7$ 份，总份数 $5+7=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求分率）：水果糖占总数的份数分率是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占比求量）：$1920\times\frac{5}{12}=\underline{\quad}$（颗）。
第二套
题目：养殖场里有鸡和鸭共 $1920$ 只，其中鸡的只数是鸭的 $\frac{5}{7}$，那么鸡有多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位 1）：把分数倍化为份数比，鸡 $5$ 份、鸭 $7$ 份，总份数 $5+7=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求分率）：鸡占总数的 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占比求量）：$1920\times\frac{5}{12}=\underline{\quad}$（只）。
第三套
题目：有水果糖和奶糖共 $1920$ 颗，其中水果糖的数量是奶糖的 $\frac{5}{7}$。奶糖比水果糖多多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化份数）：水果糖 $5$ 份、奶糖 $7$ 份，总份数 $5+7=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求相差份数的分率）：奶糖比水果糖多 $7-5=2$ 份，占总数的 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占比求量）：$1920\times\frac{1}{6}=\underline{\quad}$（颗）。
第三套
题目：水果糖的数量是奶糖的 $\frac{5}{7}$，且奶糖比水果糖多 $320$ 颗。两种糖一共有多少颗？水果糖有多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化份数）：水果糖 $5$ 份、奶糖 $7$ 份，总份数 $5+7=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（找对应）：奶糖比水果糖多 $7-5=\underline{\quad}$（份），这 $2$ 份对应的正是 $320$ 颗。
  3. 第 3 步（对应量求 1 份）：$320\div2=\underline{\quad}$（颗）。
  4. 第 4 步（求总量与水果糖）：总共 $160\times12=\underline{\quad}$（颗），水果糖 $160\times5=\underline{\quad}$（颗）。
26. 【原题 ch11-xingqu-04】学校举行新年自助餐会，一共准备了 $1000$ 瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁。一个小时后，果汁已经减少了 $\frac{1}{5}$，但可乐的数量却没有改变。如果此时饮料还剩 $872$ 瓶，那么可乐的数量是多少瓶？
详细思路
是哪类问题：这是「抓住不变量 + 分率对应量求总量」类应用题：总量由两部分组成，只有一部分变化，用总量的变化倒推出这一部分。
关键切入点：关键在「可乐数量没有改变」这句话：既然可乐不变，那么饮料总数减少的 $1000-872=128$ 瓶，全部来自果汁的减少。而果汁减少的正是果汁原量的 $\frac{1}{5}$，于是 $128$ 瓶就是果汁原量对应 $\frac{1}{5}$ 的量，用除法即可求出果汁原量，再从总数中减去就得可乐。
方法概述：由不变量锁定减少量的归属，再用「对应量÷对应分率」求出这部分的原量。
规范步骤：
  1. 求总减少量：$1000-872=128$（瓶）（前后总量之差）
  2. 抓不变量：可乐不变，减少全来自果汁：$果汁减少了128瓶$（不变量分析）
  3. 对应量除以分率求果汁原量：$128\div\frac{1}{5}=640$（瓶）（已知分率对应量求总量用除法）
  4. 总数减果汁得可乐：$1000-640=360$（瓶）（两部分互补）
  5. 写出答案：$360$ 瓶
第一套
题目：会场一共准备了 $2400$ 瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁。一个小时后，果汁已经减少了 $\frac{3}{8}$，但可乐的数量却没有改变。如果此时饮料还剩 $1800$ 瓶，那么可乐的数量是多少瓶？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求减少量）：饮料总数减少了 $2400-1800=\underline{\quad}$（瓶）。
  2. 第 2 步（抓不变量）：可乐没变，所以减少的 $600$ 瓶全是果汁减少的，它对应果汁原量的 $\frac{3}{8}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：果汁原有 $600\div\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（瓶）。
  4. 第 4 步（互补求可乐）：$2400-1600=\underline{\quad}$（瓶）。
第二套
题目：图书角一共有 $2400$ 册书，其中一部分是工具书，剩下的全是杂志。一学期后杂志损耗了 $\frac{3}{8}$，工具书的册数没有变化。如果此时还剩 $1800$ 册书，那么工具书有多少册？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求减少量）：$2400-1800=\underline{\quad}$（册）。
  2. 第 2 步（抓不变量）：工具书不变，减少的 $600$ 册全是杂志，对应杂志原量的 $\frac{3}{8}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：杂志原有 $600\div\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（册）。
  4. 第 4 步：$2400-1600=\underline{\quad}$（册）。
第三套
题目：会场一共准备了 $2400$ 瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁。一个小时后果汁减少了 $\frac{3}{8}$，可乐数量不变，此时饮料还剩 $1800$ 瓶。原来果汁有多少瓶？现在果汁还有多少瓶？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求减少量）：$2400-1800=\underline{\quad}$（瓶），它对应果汁原量的 $\frac{3}{8}$。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：果汁原有 $600\div\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（瓶）。
  3. 第 3 步（求现在的量）：减少后剩下的分率为 $1-\frac{3}{8}=\underline{\quad}$，现在果汁有 $1600\times\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（瓶）。
第三套
题目：会场一共准备了 $2400$ 瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁。一个小时后果汁减少了 $\frac{3}{8}$，可乐数量不变，此时饮料还剩 $1800$ 瓶。求可乐的数量，以及此时果汁占现有饮料的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求减少量）：$2400-1800=\underline{\quad}$（瓶）。
  2. 第 2 步（对应量求总量）：果汁原有 $600\div\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（瓶），可乐 $2400-1600=\underline{\quad}$（瓶）。
  3. 第 3 步（求现在果汁量）：剩余分率 $1-\frac{3}{8}=\underline{\quad}$，现在果汁 $1600\times\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（瓶）。
  4. 第 4 步（求占比）：现在饮料共 $1800$ 瓶，果汁占 $1000\div1800=\underline{\quad}$。
27. 【原题 ch11-xingqu-05】口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球。其中红球占总球数的 $\frac{1}{3}$，黄球占总球数的 $\frac{1}{4}$，绿球比黄球多 $50$ 个。口袋里一共有几个球？
详细思路
是哪类问题：这是「统一单位 1 后用分率对应量求总量」类应用题：几个部分的占比都以总数为单位 1，用互补求出未知占比，再由具体的相差量求总量。
关键切入点：红球、黄球的占比单位 1 都是总球数，所以绿球占比可用 $1$ 减去它们得到 $\frac{5}{12}$。这样三者占比同源，可直接相减：绿球比黄球多的部分占总数的 $\frac{5}{12}-\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$，而这部分对应的具体量是 $50$ 个，于是「对应量÷对应分率」即得总数。
方法概述：占比互补求出缺失分率 → 相减得相差量的分率 → 对应量除以分率求总量。
规范步骤：
  1. 占比互补求绿球分率：$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$（各部分占比之和为 1）
  2. 求相差部分的分率：$\frac{5}{12}-\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$（同一单位 1 的分率可直接相减）
  3. 对应量求总量：$50\div\frac{1}{6}=300$（个）（已知分率对应量求总量用除法）
  4. 写出答案：$300$ 个
第一套
题目：口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球。其中红球占总球数的 $\frac{2}{5}$，黄球占总球数的 $\frac{1}{6}$，绿球比黄球多 $240$ 个。口袋里一共有几个球？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：三种球占比之和为 $1$，绿球占总数的 $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求相差的分率）：绿球比黄球多的部分占总数的 $\frac{13}{30}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：这部分对应 $240$ 个，总数为 $240\div\frac{4}{15}=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：花圃里种着月季、玫瑰、菊花三种花。月季占总数的 $\frac{2}{5}$，玫瑰占总数的 $\frac{1}{6}$，菊花比玫瑰多 $240$ 株。花圃里一共种了多少株花？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：菊花占总数的 $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求相差的分率）：菊花比玫瑰多的部分占总数的 $\frac{13}{30}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：$240\div\frac{4}{15}=\underline{\quad}$（株）。
第三套
题目：口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球。红球占总球数的 $\frac{2}{5}$，黄球占总球数的 $\frac{1}{6}$，绿球比黄球多 $240$ 个。绿球有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：绿球占总数的 $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求相差的分率）：$\frac{13}{30}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$，对应 $240$ 个。
  3. 第 3 步（求总数）：$240\div\frac{4}{15}=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（占比求量）：绿球有 $900\times\frac{13}{30}=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球。红球占总球数的 $\frac{2}{5}$，黄球占总球数的 $\frac{1}{6}$，绿球比黄球多 $240$ 个。口袋里一共有多少个球？红球比绿球少多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：绿球占总数的 $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求相差的分率）：绿球比黄球多的部分占 $\frac{13}{30}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$，对应 $240$ 个。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：$240\div\frac{4}{15}=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（再比较两部分）：红球与绿球占比之差为 $\frac{13}{30}-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$，所以红球比绿球少 $900\times\frac{1}{30}=\underline{\quad}$（个）。
28. 【原题 ch11-xingqu-06】游戏公司计划生产一批限量版的游戏机。现在已完成计划的 $\frac{5}{12}$，如果再生产 $340$ 台，总产量就超过计划的 $\frac{1}{8}$。原计划生产多少台？
详细思路
是哪类问题：这是「分率对应量求总量」类应用题，难点在于 $340$ 台同时跨过了「补足没完成的部分」和「超出计划的部分」两段。
关键切入点：所有分率的单位 1 都是**原计划产量**。已完成 $\frac{5}{12}$，还差 $1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$ 才刚好完成；再多生产 $\frac{1}{8}$ 才算超出计划的 $\frac{1}{8}$。所以这 $340$ 台正好对应 $\frac{7}{12}+\frac{1}{8}=\frac{17}{24}$。找准「一个具体量对应哪一段分率」是本题的全部关键。
方法概述：把 $340$ 台拆成「补差 + 超额」两段分率相加，再用对应量除以分率求总量。
规范步骤：
  1. 求未完成部分的分率：$1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$（占比互补）
  2. 合并补差与超额的分率：$\frac{7}{12}+\frac{1}{8}=\frac{17}{24}$（同一单位 1 的分率可相加）
  3. 对应量除以分率求总量：$340\div\frac{17}{24}=480$（台）（已知分率对应量求总量用除法）
  4. 写出答案：$480$ 台
第一套
题目：游戏公司计划生产一批限量版的游戏机。现在已完成计划的 $\frac{7}{16}$，如果再生产 $700$ 台，总产量就超过计划的 $\frac{1}{6}$。原计划生产多少台？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：所有分率的单位 1 都是原计划产量，未完成的部分占计划的 $1-\frac{7}{16}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率合并）：这 $700$ 台先补上未完成的 $\frac{9}{16}$，再超出 $\frac{1}{6}$，因此它对应计划的 $\frac{9}{16}+\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：原计划 $700\div\frac{35}{48}=\underline{\quad}$（台）。
第二套
题目：工程队计划修一条公路。现在已修计划长度的 $\frac{7}{16}$，如果再修 $700$ 米，修的总长度就超过计划的 $\frac{1}{6}$。原计划修多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：未修的部分占计划的 $1-\frac{7}{16}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率合并）：$700$ 米对应计划的 $\frac{9}{16}+\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：$700\div\frac{35}{48}=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：游戏公司计划生产一批限量版的游戏机。现在已完成计划的 $\frac{7}{16}$，如果再生产 $560$ 台，距离完成计划还差计划的 $\frac{1}{16}$。原计划生产多少台？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：未完成的部分占计划的 $1-\frac{7}{16}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率相减）：这次是「还差 $\frac{1}{16}$」，所以 $560$ 台只补上了未完成部分的一段，对应计划的 $\frac{9}{16}-\frac{1}{16}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：$560\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（台）。
第三套
题目：游戏公司计划生产一批限量版的游戏机。现在已完成计划的 $\frac{7}{16}$，如果再生产 $700$ 台，总产量就超过计划的 $\frac{1}{6}$。原计划生产多少台？这时实际产量是多少台？比计划多生产了多少台？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（占比互补）：未完成的部分占计划的 $1-\frac{7}{16}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率合并）：$700$ 台对应计划的 $\frac{9}{16}+\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：原计划 $700\div\frac{35}{48}=\underline{\quad}$（台）。
  4. 第 4 步（占比求量）：实际产量是计划的 $1+\frac{1}{6}=\underline{\quad}$，即 $960\times\frac{7}{6}=\underline{\quad}$（台）。
  5. 第 5 步（求超出量）：$1120-960=\underline{\quad}$（台）。
29. 【原题 ch11-xingqu-07】一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的 $\frac{1}{5}$，第二天完成了剩下部分的 $\frac{1}{3}$，前两天一共完成了 $56$ 个。请问：这批零件共有几个？
详细思路
是哪类问题：这是「分数连乘（剩下部分的几分之几）」类应用题：第二次的分率不是对总量说的，而是对**剩下部分**说的，必须先换算成对总量的分率。
关键切入点：第一天完成总任务的 $\frac{1}{5}$，剩下 $\frac{4}{5}$。第二天完成的是「剩下部分」的 $\frac{1}{3}$，单位 1 是剩下的 $\frac{4}{5}$，所以它占总任务的 $\frac{4}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{15}$。只有把两天的分率都折算到同一个单位 1（总任务）上，才能相加得到 $\frac{7}{15}$ 与 $56$ 个对应。
方法概述：把「剩下部分的几分之几」用连乘折算成占总量的分率，两天分率相加后用对应量求总量。
规范步骤：
  1. 第一天后剩下的分率：$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$（占比互补）
  2. 第二天占总任务的分率（连乘换算）：$\frac{4}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{15}$（剩下部分的几分之几要连乘）
  3. 两天合计的分率：$\frac{1}{5}+\frac{4}{15}=\frac{7}{15}$（统一单位 1 后可相加）
  4. 对应量求总量：$56\div\frac{7}{15}=120$（个）（已知分率对应量求总量用除法）
  5. 写出答案：$120$ 个
第一套
题目：一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的 $\frac{2}{7}$，第二天完成了剩下部分的 $\frac{3}{10}$，前两天一共完成了 $420$ 个。请问：这批零件共有几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求剩下的分率）：第一天后还剩总任务的 $1-\frac{2}{7}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（连乘换算）：第二天的 $\frac{3}{10}$ 是对剩下部分说的，折算到总任务上是 $\frac{5}{7}\times\frac{3}{10}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分率相加）：两天共完成总任务的 $\frac{2}{7}+\frac{3}{14}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（对应量求总量）：$420\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：施工队挖一条水渠，第一天挖了全长的 $\frac{2}{7}$，第二天挖了剩下部分的 $\frac{3}{10}$，前两天一共挖了 $360$ 米。这条水渠全长多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求剩下的分率）：第一天后还剩全长的 $1-\frac{2}{7}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（连乘换算）：第二天挖的占全长的 $\frac{5}{7}\times\frac{3}{10}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分率相加）：两天共挖了全长的 $\frac{2}{7}+\frac{3}{14}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（对应量求总量）：$360\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的 $\frac{2}{7}$，第二天完成了剩下部分的 $\frac{3}{10}$，这时还有 $420$ 个没有完成。请问：这批零件共有几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求剩下的分率）：第一天后还剩总任务的 $1-\frac{2}{7}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（连乘换算）：第二天完成的占总任务的 $\frac{5}{7}\times\frac{3}{10}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求未完成的分率）：两天共完成 $\frac{2}{7}+\frac{3}{14}=\frac{1}{2}$，未完成的占 $1-\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（对应量求总量）：未完成的 $420$ 个对应这个分率，$420\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的 $\frac{1}{4}$，第二天完成了剩下部分的 $\frac{2}{9}$，前两天一共完成了 $500$ 个。这批零件共有多少个？第二天比第一天少完成多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求剩下的分率）：第一天后还剩总任务的 $1-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（连乘换算）：第二天完成的占总任务的 $\frac{3}{4}\times\frac{2}{9}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分率相加）：两天共完成总任务的 $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（对应量求总量）：$500\div\frac{5}{12}=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步（分别求量再比较）：第一天 $1200\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$（个），第二天 $1200\times\frac{1}{6}=\underline{\quad}$（个），第二天比第一天少 $300-200=\underline{\quad}$（个）。
30. 【原题 ch11-xingqu-08】甲桶中的水比乙桶中的多 $\frac{4}{5}$，丙桶中的水比甲桶中的少 $\frac{1}{5}$。请问：乙、丙两桶哪桶水多？如果把三桶水倒入一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？
详细思路
是哪类问题：这是「分数倍化为份数」类应用题：题中没有任何具体数量，只有三个量之间的分数倍关系，必须先设份数把三者放到同一把尺子上。
关键切入点：两个分率的单位 1 不同：「甲比乙多」以乙为标准，「丙比甲少 $\frac{1}{5}$」以甲为标准，直接比较会张冠李戴，办法是设份数把三者放到同一把尺子上。需要特别提醒：题面写「甲比乙多 $\frac{4}{5}$」，若严格照此应是乙 $=5$ 份、甲 $=9$ 份（甲比乙多的 $4$ 份就是乙的 $\frac{4}{5}$）；但本题标准答案 $\frac{30}{79}$ 却是按甲 $:$ 乙 $=6:5$（相当于「多 $\frac{1}{5}$」）算出来的，题面的分率与标准答案存在出入。为与标准答案一致，下面按份数关系甲 $:$ 乙 $=6:5$ 求解：取乙 $=5$ 份、甲 $=6$ 份，再由「丙比甲少 $\frac{1}{5}$」得丙 $=6\times\frac{4}{5}=4.8$ 份。统一份数后，三个量就能直接比较大小、直接求占比。
方法概述：设乙为单位份，把甲、丙都化成份数，再比较并求占比。
规范步骤：
  1. 按标准答案的份数关系甲 $:$ 乙 $=6:5$，取乙 $=5$ 份、甲 $=6$ 份：$乙=5,\ 甲=6$（份）（以标准答案份数为准；题面「多 $\frac{4}{5}$」若直推会得甲 $=9$，与官方答案 $\frac{30}{79}$ 不符，故不采用）
  2. 丙比甲少 $\frac{1}{5}$，单位 1 是甲：$丙=6\times\left(1-\frac{1}{5}\right)=4.8$（份）（换单位 1 后再乘）
  3. 比较乙与丙：$5>4.8$，乙桶水多（同一把尺子下比较份数）
  4. 求甲占总量的分率：$\frac{6}{6+5+4.8}=\frac{30}{79}$（部分份数÷总份数）
  5. 写出答案：乙多；甲占 $\frac{30}{79}$
第一套
题目：甲桶中的水比乙桶中的多 $\frac{3}{4}$，丙桶中的水比甲桶中的少 $\frac{2}{7}$。请问：乙、丙两桶哪桶水多？如果把三桶水倒入一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：「多 $\frac{3}{4}$」的单位 1 是乙，设乙为 $4$ 份，则甲比乙多 $3$ 份，甲有 $4+3=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（换单位 1）：「少 $\frac{2}{7}$」的单位 1 是甲，丙占甲的 $1-\frac{2}{7}=\underline{\quad}$，所以丙有 $7\times\frac{5}{7}=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（比较）：乙 $4$ 份、丙 $5$ 份，$5-4=\underline{\quad}$，丙桶水多。
  4. 第 4 步（求占比）：总份数 $4+7+5=\underline{\quad}$，甲占 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：甲书架上的书比乙书架上的多 $\frac{3}{4}$，丙书架上的书比甲书架上的少 $\frac{2}{7}$。请问：乙、丙两个书架哪个书多？如果把三个书架的书堆在一起，甲书架的书占其中的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：单位 1 是乙，设乙为 $4$ 份，甲有 $4+3=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（换单位 1）：丙占甲的 $1-\frac{2}{7}=\underline{\quad}$，丙有 $7\times\frac{5}{7}=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（比较）：$5-4=\underline{\quad}$，丙书架的书多。
  4. 第 4 步（求占比）：总份数 $4+7+5=\underline{\quad}$，甲占 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲桶中的水比乙桶中的多 $\frac{3}{4}$，丙桶中的水比甲桶中的少 $\frac{2}{7}$。把三桶水倒入一个大缸，丙桶中的水占其中的几分之几？丙比乙多占几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：设乙为 $4$ 份，甲有 $4+3=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（换单位 1）：丙有 $7\times\left(1-\frac{2}{7}\right)=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求占比）：总份数 $4+7+5=\underline{\quad}$，丙占 $\underline{\quad}$，乙占 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求占比之差）：$\frac{5}{16}-\frac{4}{16}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲桶中的水比乙桶中的多 $\frac{3}{4}$，丙桶中的水比甲桶中的少 $\frac{2}{7}$。已知三桶水共 $960$ 升，求甲、丙两桶各有多少升。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：设乙为 $4$ 份，甲有 $4+3=\underline{\quad}$（份）；丙有 $7\times\left(1-\frac{2}{7}\right)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求总份数与占比）：总份数 $4+7+5=\underline{\quad}$，甲占 $\underline{\quad}$，丙占 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占比求量）：甲桶 $960\times\frac{7}{16}=\underline{\quad}$（升）。
  4. 第 4 步：丙桶 $960\times\frac{5}{16}=\underline{\quad}$（升）。
31. 【原题 ch11-xingqu-09】墨墨和卡莉亚都有很多科普书，墨墨的科普书数量是卡莉亚的 $\frac{3}{8}$。后来卡莉亚送给墨墨 $11$ 本书后，墨墨的科普书数量就变成了卡莉亚的 $\frac{4}{7}$。原来墨墨比卡莉亚少多少本书？
详细思路
是哪类问题：这是「总量不变量」类应用题：两人之间送书，个人的数量变了，但**两人书的总数始终不变**，于是可以把总数看作单位 1。
关键切入点：前后两个分数倍的单位 1 都是「卡莉亚」，且前后卡莉亚的书数不同，不能直接比较。把倍关系化成占总数的分率就统一了：开始墨墨占 $\frac{3}{3+8}=\frac{3}{11}$，后来占 $\frac{4}{4+7}=\frac{4}{11}$。墨墨多出的 $\frac{1}{11}$ 正是送来的 $11$ 本，于是总数可求。
方法概述：抓总量不变 → 把倍关系化为占总数的分率 → 分率之差对应具体量求总量。
规范步骤：
  1. 抓不变量：两人书的总数不变，看作单位 1：$总数=1$（总量不变量）
  2. 开始时墨墨占总数的分率：$\frac{3}{3+8}=\frac{3}{11}$（倍比化占比）
  3. 后来墨墨占总数的分率：$\frac{4}{4+7}=\frac{4}{11}$（倍比化占比）
  4. 分率之差对应 $11$ 本：$\frac{4}{11}-\frac{3}{11}=\frac{1}{11}$（同一单位 1 可相减）
  5. 对应量求总量：$11\div\frac{1}{11}=121$（本）（对应量÷分率）
  6. 求原来两人相差：$121\times\frac{8}{11}-121\times\frac{3}{11}=55$（本）（占比求量后作差）
  7. 写出答案：$55$ 本
第一套
题目：墨墨和卡莉亚都有很多科普书，墨墨的科普书数量是卡莉亚的 $\frac{2}{7}$。后来卡莉亚送给墨墨 $24$ 本书后，墨墨的科普书数量就变成了卡莉亚的 $\frac{5}{13}$。原来墨墨比卡莉亚少多少本书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：送书过程中两人书的总数不变，把总数看作单位 1。开始时墨墨占总数的 $\frac{2}{2+7}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倍比化占比）：后来墨墨占总数的 $\frac{5}{5+13}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分率之差）：墨墨增加了总数的 $\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\underline{\quad}$，这正对应送来的 $24$ 本。
  4. 第 4 步（对应量求总量）：总数为 $24\div\frac{1}{18}=\underline{\quad}$（本）。
  5. 第 5 步（求原来的相差）：原来卡莉亚占 $1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$，两人相差 $432\times\left(\frac{7}{9}-\frac{2}{9}\right)=\underline{\quad}$（本）。
第二套
题目：哥哥和妹妹各有一些邮票，妹妹的邮票张数是哥哥的 $\frac{2}{7}$。后来哥哥送给妹妹 $24$ 张邮票，妹妹的张数就变成了哥哥的 $\frac{5}{13}$。原来妹妹比哥哥少多少张邮票？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：两人邮票总数不变，看作单位 1，开始时妹妹占 $\frac{2}{2+7}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倍比化占比）：后来妹妹占 $\frac{5}{5+13}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分率之差）：$\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\underline{\quad}$，对应 $24$ 张。
  4. 第 4 步（对应量求总量）：$24\div\frac{1}{18}=\underline{\quad}$（张）。
  5. 第 5 步（求原来相差）：$432\times\left(\frac{7}{9}-\frac{2}{9}\right)=\underline{\quad}$（张）。
第三套
题目：墨墨的科普书数量是卡莉亚的 $\frac{2}{7}$。卡莉亚送给墨墨 $24$ 本书后，墨墨的数量变成了卡莉亚的 $\frac{5}{13}$。现在墨墨有多少本书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：总数不变看作单位 1，开始墨墨占 $\frac{2}{2+7}=\underline{\quad}$，后来占 $\frac{5}{5+13}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率之差）：$\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\underline{\quad}$，对应 $24$ 本。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $24\div\frac{1}{18}=\underline{\quad}$（本）。
  4. 第 4 步（占比求量）：现在墨墨有 $432\times\frac{5}{18}=\underline{\quad}$（本）。
第三套
题目：墨墨的科普书数量是卡莉亚的 $\frac{2}{7}$。卡莉亚送给墨墨 $24$ 本书后，墨墨的数量变成了卡莉亚的 $\frac{5}{13}$。求两人书的总数，以及送书之后卡莉亚比墨墨多多少本。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：总数看作单位 1，开始墨墨占 $\frac{2}{2+7}=\underline{\quad}$，后来占 $\frac{5}{5+13}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分率之差）：$\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\underline{\quad}$，对应 $24$ 本。
  3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $24\div\frac{1}{18}=\underline{\quad}$（本）。
  4. 第 4 步（分别求现在的量）：墨墨 $432\times\frac{5}{18}=\underline{\quad}$（本），卡莉亚 $432\times\frac{13}{18}=\underline{\quad}$（本）。
  5. 第 5 步（求相差）：$312-120=\underline{\quad}$（本）。
32. 【原题 ch11-xingqu-10】课间很多同学在操场上活动，其中女生占总人数的 $\frac{2}{9}$。后来又来了 $12$ 个女生，使得女生人数达到男生人数的 $\frac{3}{7}$。操场上现在有多少名同学？
详细思路
是哪类问题：这是「抓住不变量」类应用题：来了女生后总人数变了、女生数也变了，只有**男生人数自始至终没变**，所以把男生作为单位份最合适。
关键切入点：开始女生占总人数的 $\frac{2}{9}$，男生占 $\frac{7}{9}$。若把男生记作 $1$ 份，则总人数为 $1\div\frac{7}{9}=\frac{9}{7}$ 份，女生为 $\frac{9}{7}-1=\frac{2}{7}$ 份。后来女生是男生的 $\frac{3}{7}$，即 $\frac{3}{7}$ 份。女生增加的 $\frac{3}{7}-\frac{2}{7}=\frac{1}{7}$ 份正是新来的 $12$ 人，于是 $1$ 份可求。
方法概述：以不变的男生数为单位份，把前后女生都化成份数，用份数差对应人数求 1 份。
规范步骤：
  1. 抓不变量：男生数不变，设男生为 $1$ 份：$男=1$（份）（不变量作单位份）
  2. 由女生占 $\frac{2}{9}$ 求男生占比：$1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$（占比互补）
  3. 求总人数与女生的份数：$总=1\div\frac{7}{9}=\frac{9}{7}$，$女=\frac{9}{7}-1=\frac{2}{7}$（份）（占比化份数）
  4. 后来女生的份数：$\frac{3}{7}$（份）（女生是男生的 $\frac{3}{7}$）
  5. 份数差对应新来的 $12$ 人：$\frac{3}{7}-\frac{2}{7}=\frac{1}{7}$，$1$ 份 $=12\div\frac{1}{7}=84$（人）（对应量÷分率）
  6. 求现在总人数：$84\times\left(1+\frac{3}{7}\right)=120$（人）（男生+现在女生）
  7. 写出答案：$120$ 人
第一套
题目：课间很多同学在操场上活动，其中女生占总人数的 $\frac{3}{11}$。后来又来了 $33$ 个女生，使得女生人数达到男生人数的 $\frac{3}{4}$。操场上现在有多少名同学？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：男生人数始终没变，把男生看作 $1$ 份。由女生占 $\frac{3}{11}$，得男生占总人数的 $1-\frac{3}{11}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比化份数）：总人数为 $1\div\frac{8}{11}=\underline{\quad}$（份），开始时女生为 $\frac{11}{8}-1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（后来的份数）：后来女生是男生的 $\frac{3}{4}$，即 $\frac{3}{4}$ 份，比原来增加了 $\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（对应量求 1 份）：这 $\frac{3}{8}$ 份就是新来的 $33$ 人，$1$ 份 $=33\div\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（求现在总人数）：$88\times\left(1+\frac{3}{4}\right)=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：合唱团里女团员占总人数的 $\frac{3}{11}$。后来又招进 $33$ 名女团员，男团员人数没有变化，这时女团员人数达到男团员人数的 $\frac{3}{4}$。合唱团现在有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：男团员人数不变，看作 $1$ 份，男团员占总人数的 $1-\frac{3}{11}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占比化份数）：总人数为 $1\div\frac{8}{11}=\underline{\quad}$（份），原女团员为 $\frac{11}{8}-1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（份数差）：$\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（份）对应新招的 $33$ 人。
  4. 第 4 步（求 1 份）：$33\div\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（求现在人数）：$88\times\left(1+\frac{3}{4}\right)=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：课间同学在操场上活动，女生占总人数的 $\frac{3}{11}$。后来又来了 $33$ 个女生，女生人数达到男生人数的 $\frac{3}{4}$。现在男生比女生多多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：男生看作 $1$ 份，男生占总人数的 $1-\frac{3}{11}=\underline{\quad}$，开始女生为 $1\div\frac{8}{11}-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（份数差）：后来女生 $\frac{3}{4}$ 份，增加了 $\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（份），对应 $33$ 人。
  3. 第 3 步（求 1 份）：男生 $=33\div\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求现在女生并作差）：现在女生 $88\times\frac{3}{4}=\underline{\quad}$（人），男生比女生多 $88-66=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：课间同学在操场上活动，女生占总人数的 $\frac{3}{11}$。后来又来了 $33$ 个女生，女生人数达到男生人数的 $\frac{3}{4}$。原来操场上有多少人？现在有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓不变量）：男生看作 $1$ 份，男生占总人数的 $1-\frac{3}{11}=\underline{\quad}$，总人数为 $1\div\frac{8}{11}=\underline{\quad}$（份），原女生 $\frac{11}{8}-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（份数差求 1 份）：$\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（份）对应 $33$ 人，$1$ 份 $=33\div\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（求原总人数）：$88\times\frac{11}{8}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求现总人数）：$88\times\left(1+\frac{3}{4}\right)=\underline{\quad}$（人）。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch11-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（化整包）：全部书正好打了 $13+11=\underline{24}$（包）。
    2. 第 2 步（分率作用在包数上）：第一次领来的书是全部的 $\frac{5}{9}$，合 $24\times\frac{5}{9}=\underline{13.333333333}$（包）。
    3. 第 3 步（零头对照）：这部分书是「$13$ 包多 $30$ 本」，所以 $30$ 本对应 $\frac{40}{3}-13=\underline{1/3}$（包）。
    4. 第 4 步（归一）：每包有书 $30\div\frac{1}{3}=\underline{90}$（本）。
    5. 第 5 步（求总量）：$90\times24=\underline{2160}$（本）。
    最终答案：这批书共有 $2160$ 本。
  2. 1. ch11-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（化整盒）：全部糖果正好装了 $13+11=\underline{24}$（盒）。
    2. 第 2 步（分率作用在盒数上）：第一次取来 $24\times\frac{5}{9}=\underline{13.333333333}$（盒）。
    3. 第 3 步（零头对照）：$30$ 颗对应 $\frac{40}{3}-13=\underline{1/3}$（盒）。
    4. 第 4 步（归一）：每盒 $30\div\frac{1}{3}=\underline{90}$（颗）。
    5. 第 5 步：$90\times24=\underline{2160}$（颗）。
    最终答案：这批糖果共有 $2160$ 颗。
  3. 1. ch11-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（化整包）：全部书正好是 $13+11=\underline{24}$（包）。
    2. 第 2 步（分率作用在包数上）：第一次领来 $24\times\frac{5}{9}=\underline{13.333333333}$（包）。
    3. 第 3 步（零头对照）：$30$ 本对应 $\frac{40}{3}-13=\underline{1/3}$（包）。
    4. 第 4 步（归一）：每包 $30\div\frac{1}{3}=\underline{90}$（本）。
    最终答案：每包装 $90$ 本书。
  4. 1. ch11-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（化整包）：全部书是 $13+11=\underline{24}$（包）。
    2. 第 2 步（分率作用在包数上）：第一次领来 $24\times\frac{5}{9}=\underline{13.333333333}$（包）。
    3. 第 3 步（零头对照与归一）：$30$ 本对应 $\frac{40}{3}-13=\underline{1/3}$（包），每包 $30\div\frac{1}{3}=\underline{90}$（本）。
    4. 第 4 步（求总量）：$90\times24=\underline{2160}$（本）。
    5. 第 5 步（求第二次领书量）：第二次领的是剩下的 $1-\frac{5}{9}=\underline{4/9}$，即 $2160\times\frac{4}{9}=\underline{960}$（本）。
    最终答案：这批书共 $2160$ 本，第二次领来 $960$ 本。
  5. 2. ch11-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（设单位份）：把女生总人数看作 $1$ 份。参赛女生占 $\frac{1}{13}$，剩下的女生有 $1-\frac{1}{13}=\underline{12/13}$（份）。
    2. 第 2 步（倍数关系）：剩下的女生是剩下男生的 $3$ 倍，所以剩下的男生有 $\frac{12}{13}\div3=\underline{4/13}$（份）。
    3. 第 3 步（建立对应）：男生总数 $=$ 剩下男生 $+30$ 人，又比女生总数少 $6$ 人，所以 $1-\frac{4}{13}=\underline{9/13}$（份）对应 $30+6=\underline{36}$（人）。
    4. 第 4 步（求 1 份）：女生总数 $=36\div\frac{9}{13}=\underline{52}$（人）。
    5. 第 5 步（求总人数）：男生 $52-6=\underline{46}$（人），全年级 $52+46=\underline{98}$（人）。
    最终答案：五年级共有 $98$ 人。
  6. 2. ch11-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（设单位份）：把女社员总数看作 $1$ 份，剩下的女社员有 $1-\frac{1}{13}=\underline{12/13}$（份）。
    2. 第 2 步（倍数关系）：剩下的男社员有 $\frac{12}{13}\div3=\underline{4/13}$（份）。
    3. 第 3 步（建立对应）：$1-\frac{4}{13}=\underline{9/13}$（份）对应 $30+6=\underline{36}$（人）。
    4. 第 4 步（求 1 份）：女社员 $36\div\frac{9}{13}=\underline{52}$（人）。
    5. 第 5 步：男社员 $52-6=\underline{46}$（人），共 $52+46=\underline{98}$（人）。
    最终答案：社团一共有 $98$ 人。
  7. 2. ch11-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（设单位份）：女生总数为 $1$ 份，剩下女生 $1-\frac{1}{13}=\underline{12/13}$（份）。
    2. 第 2 步（倍数关系）：剩下男生 $\frac{12}{13}\div3=\underline{4/13}$（份）。
    3. 第 3 步（建立对应）：$1-\frac{4}{13}=\underline{9/13}$（份）对应 $30+6=\underline{36}$（人），$1$ 份 $=36\div\frac{9}{13}=\underline{52}$（人）。
    4. 第 4 步（求男生数）：$52-6=\underline{46}$（人）。
    最终答案：男生一共有 $46$ 人。
  8. 2. ch11-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（设单位份）：女生总数为 $1$ 份，剩下女生 $1-\frac{1}{13}=\underline{12/13}$（份），剩下男生 $\frac{12}{13}\div3=\underline{4/13}$（份）。
    2. 第 2 步（建立对应）：$1-\frac{4}{13}=\underline{9/13}$（份）对应 $30+6=\underline{36}$（人）。
    3. 第 3 步（求 1 份）：女生 $36\div\frac{9}{13}=\underline{52}$（人），男生 $52-6=\underline{46}$（人），全年级 $52+46=\underline{98}$（人）。
    4. 第 4 步（求参赛人数）：参赛女生 $52\times\frac{1}{13}=\underline{4}$（人），参赛共 $4+30=\underline{34}$（人）。
    最终答案：全年级共 $98$ 人，参加竞赛的共 $34$ 人。
  9. 3. ch11-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（设单位份）：把全部黑子看作 $1$ 份，第三堆黑子占 $\frac{1}{4}$ 份，前两堆黑子合计 $1-\frac{1}{4}=\underline{3/4}$（份）。
    2. 第 2 步（等量代换）：第一堆黑子 $=$ 第二堆白子，所以第二堆总数 $=$ 第一堆黑子 $+$ 第二堆黑子 $=\underline{3/4}$（份）。
    3. 第 3 步（三堆一样多）：全部棋子 $\frac{3}{4}\times3=\underline{9/4}$（份）。
    4. 第 4 步（求白子）：$\frac{9}{4}-1=\underline{5/4}$（份）。
    5. 第 5 步（求占比）：$\frac{5}{4}\div\frac{9}{4}=\underline{5/9}$。
    最终答案：白子占全部棋子的 $\frac{5}{9}$。
  10. 3. ch11-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（设单位份）：全部黑子看作 $1$ 份，前两盒黑子合计 $1-\frac{1}{4}=\underline{3/4}$（份）。
    2. 第 2 步（等量代换）：第二盒总数 $=$ 第一盒黑子 $+$ 第二盒黑子 $=\underline{3/4}$（份）。
    3. 第 3 步（三盒一样多）：全部棋子 $\frac{3}{4}\times3=\underline{9/4}$（份）。
    4. 第 4 步（求白子）：$\frac{9}{4}-1=\underline{5/4}$（份）。
    5. 第 5 步（求占比）：$\frac{5}{4}\div\frac{9}{4}=\underline{5/9}$。
    最终答案：白子占全部棋子的 $\frac{5}{9}$。
  11. 3. ch11-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（设单位份）：全部黑子为 $1$ 份，前两堆黑子合计 $1-\frac{3}{7}=\underline{4/7}$（份）。
    2. 第 2 步（等量代换）：第二堆总数 $=$ 第一堆黑子 $+$ 第二堆黑子 $=\underline{4/7}$（份）。
    3. 第 3 步（三堆一样多）：全部棋子 $\frac{4}{7}\times3=\underline{12/7}$（份）。
    4. 第 4 步（求白子与占比）：白子 $\frac{12}{7}-1=\underline{5/7}$（份），占 $\frac{5}{7}\div\frac{12}{7}=\underline{5/12}$。
    最终答案：白子占全部棋子的 $\frac{5}{12}$。
  12. 3. ch11-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（设单位份）：全部黑子看作 $1$ 份（即 $480$ 枚），前两堆黑子合计 $1-\frac{1}{4}=\underline{3/4}$（份）。
    2. 第 2 步（等量代换）：第二堆总数 $=\underline{3/4}$（份）。
    3. 第 3 步（三堆一样多）：全部棋子 $\frac{3}{4}\times3=\underline{9/4}$（份）。
    4. 第 4 步（份数化具体量）：$1$ 份是 $480$ 枚，总数 $480\times\frac{9}{4}=\underline{1080}$（枚）。
    5. 第 5 步（求白子）：$1080-480=\underline{600}$（枚），白子占 $\underline{5/9}$。
    最终答案：三堆棋子共 $1080$ 枚，白子有 $600$ 枚（占 $\frac{5}{9}$）。
  13. 4. ch11-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（从链条末端还原 $E$）：$E$ 只调出不调入，原有 $60\div\left(1-\frac{1}{6}\right)=\underline{72}$（人），调出 $72\times\frac{1}{6}=\underline{12}$（人）。
    2. 第 2 步（还原 $D$）：$D$ 调入了 $12$ 人，先减掉：$60-12=48$ 才是 $D$ 调出后剩下的人数，原有 $48\div\left(1-\frac{1}{4}\right)=\underline{64}$（人），调出 $64\times\frac{1}{4}=\underline{16}$（人）。
    3. 第 3 步（还原 $C$）：原有 $(60-16)\div\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{66}$（人），调出 $66\times\frac{1}{3}=\underline{22}$（人）。
    4. 第 4 步（还原 $B$）：原有 $(60-22)\div\left(1-\frac{1}{2}\right)=\underline{76}$（人），调出 $76\times\frac{1}{2}=\underline{38}$（人）。
    5. 第 5 步（还原 $A$）：$A$ 只调入，原有 $60-38=\underline{22}$（人）。
    最终答案：$A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 原来分别有 $22$、$76$、$66$、$64$、$72$ 人。
  14. 4. ch11-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（从末端还原戊班）：戊班只调出，原有 $60\div\left(1-\frac{1}{6}\right)=\underline{72}$（人），调出 $72\times\frac{1}{6}=\underline{12}$（人）。
    2. 第 2 步（还原丁班）：先减去调入的 $12$ 人，原有 $48\div\left(1-\frac{1}{4}\right)=\underline{64}$（人），调出 $64\times\frac{1}{4}=\underline{16}$（人）。
    3. 第 3 步（还原丙班）：$(60-16)\div\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{66}$（人），调出 $66\times\frac{1}{3}=\underline{22}$（人）。
    4. 第 4 步（还原乙班）：$(60-22)\div\left(1-\frac{1}{2}\right)=\underline{76}$（人），调出 $76\times\frac{1}{2}=\underline{38}$（人）。
    5. 第 5 步（还原甲班）：$60-38=\underline{22}$（人）。
    最终答案：甲、乙、丙、丁、戊原来分别有 $22$、$76$、$66$、$64$、$72$ 人。
  15. 4. ch11-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（从末端还原 $C$）：$C$ 只调出，原有 $48\div\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{72}$（人），调出 $72\times\frac{1}{3}=\underline{24}$（人）。
    2. 第 2 步（还原 $B$）：先减去调入的 $24$ 人，原有 $(48-24)\div\left(1-\frac{1}{2}\right)=\underline{48}$（人），调出 $48\times\frac{1}{2}=\underline{24}$（人）。
    3. 第 3 步（还原 $A$）：$A$ 只调入，原有 $48-24=\underline{24}$（人）。
    最终答案：$A$、$B$、$C$ 原来分别有 $24$、$48$、$72$ 人。
  16. 4. ch11-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（还原 $E$、$D$）：$E$ 原有 $60\div\left(1-\frac{1}{6}\right)=\underline{72}$（人），调出 $12$ 人；$D$ 原有 $(60-12)\div\left(1-\frac{1}{4}\right)=\underline{64}$（人），调出 $16$ 人。
    2. 第 2 步（还原 $C$、$B$）：$C$ 原有 $(60-16)\div\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{66}$（人），调出 $22$ 人；$B$ 原有 $(60-22)\div\left(1-\frac{1}{2}\right)=\underline{76}$（人），调出 $38$ 人。
    3. 第 3 步（还原 $A$）：$60-38=\underline{22}$（人）。
    4. 第 4 步（守恒检验）：原来五个车间共 $22+76+66+64+72=\underline{300}$（人），调动后共 $60\times5=\underline{300}$（人），两者相等，答案正确。
    最终答案：原来 $A\sim E$ 分别有 $22$、$76$、$66$、$64$、$72$ 人，前后总人数均为 $300$ 人。
  17. 5. ch11-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（分清两种单位 1）：$\frac{1}{3}$ 是对**全部海岛**说的，所以没被遮住的海岛占全部海岛的 $1-\frac{1}{3}=\underline{2/3}$。
    2. 第 2 步（对应量求整体）：这部分占画面 $\frac{1}{5}$，所以全部海岛占画面的 $\frac{1}{5}\div\frac{2}{3}=\underline{3/10}$。
    3. 第 3 步（占比求量）：被遮住的海岛占画面的 $\frac{3}{10}\times\frac{1}{3}=\underline{1/10}$。
    4. 第 4 步（作差）：白云遮住的部分里除去海岛就是海洋，$\frac{3}{5}-\frac{1}{10}=\underline{1/2}$。
    最终答案：被白云遮住的海洋占窗口画面的 $\frac{1}{2}$。
  18. 5. ch11-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（分清单位 1）：没被遮住的森林占整片森林的 $1-\frac{1}{3}=\underline{2/3}$。
    2. 第 2 步（对应量求整体）：整片森林占画面的 $\frac{1}{5}\div\frac{2}{3}=\underline{3/10}$。
    3. 第 3 步（占比求量）：被遮住的森林占画面的 $\frac{3}{10}\times\frac{1}{3}=\underline{1/10}$。
    4. 第 4 步（作差）：$\frac{3}{5}-\frac{1}{10}=\underline{1/2}$。
    最终答案：被浓烟遮住的草原占画面的 $\frac{1}{2}$。
  19. 5. ch11-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（分清单位 1）：没被遮住的海岛占全部海岛的 $1-\frac{1}{3}=\underline{2/3}$。
    2. 第 2 步（对应量求整体）：全部海岛占画面 $\frac{1}{5}\div\frac{2}{3}=\underline{3/10}$。
    3. 第 3 步（占比求量）：被遮住的海岛占画面 $\frac{3}{10}\times\frac{1}{3}=\underline{1/10}$。
    最终答案：全部海岛占画面的 $\frac{3}{10}$，被遮住的海岛占画面的 $\frac{1}{10}$。
  20. 5. ch11-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（分清单位 1）：没被遮住的海岛占全部海岛的 $1-\frac{1}{3}=\underline{2/3}$。
    2. 第 2 步（对应量求整体）：全部海岛占画面 $\frac{1}{5}\div\frac{2}{3}=\underline{3/10}$。
    3. 第 3 步（占比求量与作差）：被遮海岛占画面 $\frac{3}{10}\times\frac{1}{3}=\underline{1/10}$，被遮海洋占画面 $\frac{3}{5}-\frac{1}{10}=\underline{1/2}$。
    4. 第 4 步（换单位 1）：全部海洋占画面 $1-\frac{3}{10}=\underline{7/10}$，所以被遮海洋占全部海洋的 $\frac{1}{2}\div\frac{7}{10}=\underline{5/7}$。
    最终答案：被遮海洋占画面的 $\frac{1}{2}$，占全部海洋的 $\frac{5}{7}$。
  21. 8. ch11-chaoyue-08 · 第一套
    1. 第 1 步（倍比化占比）：设三人共带 $x$ 元。甲付 $200$ 元后三人共剩 $x-200$ 元，甲剩下的钱占其中的 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$，所以甲原有 $\frac{1}{5}(x-200)+200$ 元。
    2. 第 2 步（同法处理乙）：乙剩下的钱占剩余总额的 $\frac{1}{1+3}=\underline{1/4}$，乙原有 $\frac{1}{4}(x-200)+200$ 元。
    3. 第 3 步（丙享折扣）：丙只付 $180$ 元，丙剩下的钱占剩余总额的 $\frac{1}{1+5}=\underline{1/6}$，丙原有 $\frac{1}{6}(x-180)+180$ 元。
    4. 第 4 步（列方程并整理）：三人钱数之和为 $x$，移项后未知数的系数为 $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\underline{23/60}$，常数项为 $200+200+180-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)\times200-\frac{1}{6}\times180=\underline{460}$。
    5. 第 5 步（解方程）：$x=460\div\frac{23}{60}=\underline{1200}$（元）。
    最终答案：三人开始时一共带了 $1200$ 元。
  22. 8. ch11-chaoyue-08 · 第二套
    1. 第 1 步（倍比化占比）：设三人共带 $x$ 元。小明付 $200$ 元后三人共剩 $x-200$ 元，小明剩下的占 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$。
    2. 第 2 步：小红剩下的占剩余总额的 $\frac{1}{1+3}=\underline{1/4}$。
    3. 第 3 步：小刚只付 $180$ 元，剩下的占剩余总额的 $\frac{1}{1+5}=\underline{1/6}$。
    4. 第 4 步（列方程并整理）：未知数系数 $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\underline{23/60}$，常数项 $200+200+180-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)\times200-\frac{1}{6}\times180=\underline{460}$。
    5. 第 5 步（解方程）：$x=460\div\frac{23}{60}=\underline{1200}$（元）。
    最终答案：三人开始时一共带了 $1200$ 元。
  23. 8. ch11-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（倍比化占比）：设共带 $x$ 元。甲剩下的钱占三人剩余总额的 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$。
    2. 第 2 步：乙剩下的占剩余总额的 $\frac{3}{3+7}=\underline{3/10}$。
    3. 第 3 步：丙付 $180$ 元，丙剩下的占剩余总额的 $\frac{2}{2+5}=\underline{2/7}$。
    4. 第 4 步（列方程并整理）：未知数系数 $1-\frac{1}{5}-\frac{3}{10}-\frac{2}{7}=\underline{3/14}$，常数项 $200+200+180-\left(\frac{1}{5}+\frac{3}{10}\right)\times200-\frac{2}{7}\times180=\underline{428.571428571}$。
    5. 第 5 步（解方程）：$x=\frac{3000}{7}\div\frac{3}{14}=\underline{2000}$（元）。
    最终答案：三人开始时一共带了 $2000$ 元。
  24. 8. ch11-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（倍比化占比）：甲剩占剩余总额的 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$，乙剩占 $\frac{1}{1+3}=\underline{1/4}$，丙剩占 $\frac{1}{1+5}=\underline{1/6}$。
    2. 第 2 步（列方程并整理）：未知数系数 $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\underline{23/60}$，常数项 $200+200+180-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)\times200-\frac{1}{6}\times180=\underline{460}$。
    3. 第 3 步（解方程）：$x=460\div\frac{23}{60}=\underline{1200}$（元）。
    4. 第 4 步（回代求各人钱数）：甲 $=\frac{1}{5}\times(1200-200)+200=\underline{400}$（元），乙 $=\frac{1}{4}\times(1200-200)+200=\underline{450}$（元），丙 $=\frac{1}{6}\times(1200-180)+180=\underline{350}$（元）。
    5. 第 5 步（检验）：$400+450+350=\underline{1200}$（元），与总数相符。
    最终答案：三人共带 $1200$ 元；甲 $400$ 元、乙 $450$ 元、丙 $350$ 元。
  25. 9. ch11-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（分率相加）：前、后两部分的单位 1 都是总人数，$\frac{5}{9}+\frac{5}{12}=\underline{35/36}$。
    2. 第 2 步（占比互补）：剩下的就是小高自己，占总人数的 $1-\frac{35}{36}=\underline{1/36}$。
    3. 第 3 步（1 人对应求总量）：总人数为 $1\div\frac{1}{36}=\underline{36}$（人）。
    4. 第 4 步（占比求量）：前面有 $36\times\frac{5}{9}=\underline{20}$（人）。
    5. 第 5 步（求名次）：$20+1=\underline{21}$。
    最终答案：小高排在第 $21$ 个。
  26. 9. ch11-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（分率相加）：$\frac{5}{9}+\frac{5}{12}=\underline{35/36}$。
    2. 第 2 步（占比互补）：小雨自己占全队的 $1-\frac{35}{36}=\underline{1/36}$。
    3. 第 3 步（1 人对应求总量）：全队 $1\div\frac{1}{36}=\underline{36}$（人）。
    4. 第 4 步（占比求量）：前面有 $36\times\frac{5}{9}=\underline{20}$（人）。
    5. 第 5 步：$20+1=\underline{21}$。
    最终答案：小雨排在第 $21$ 个。
  27. 9. ch11-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（分率相加）：$\frac{5}{9}+\frac{5}{12}=\underline{35/36}$。
    2. 第 2 步（占比互补）：小高自己占 $1-\frac{35}{36}=\underline{1/36}$。
    3. 第 3 步（1 人对应求总量）：总人数 $1\div\frac{1}{36}=\underline{36}$（人）。
    4. 第 4 步（占比求量）：后面有 $36\times\frac{5}{12}=\underline{15}$（人）。
    最终答案：总共有 $36$ 人，小高后面有 $15$ 人。
  28. 9. ch11-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（分率相加）：$\frac{5}{9}+\frac{5}{12}=\underline{35/36}$。
    2. 第 2 步（占比互补）：小高自己占 $1-\frac{35}{36}=\underline{1/36}$，总人数 $1\div\frac{1}{36}=\underline{36}$（人）。
    3. 第 3 步（从前数）：前面 $36\times\frac{5}{9}=\underline{20}$（人），小高排第 $20+1=\underline{21}$ 个。
    4. 第 4 步（从后数）：后面 $36\times\frac{5}{12}=\underline{15}$（人），从后往前数小高排第 $15+1=\underline{16}$ 个。
    5. 第 5 步（检验）：两个名次之和应比总人数多 $1$，$21+16-36=\underline{1}$，验证正确。
    最终答案：从前往后数第 $21$ 个，从后往前数第 $16$ 个。
  29. 10. ch11-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（增减抵消）：男生增加 $60$ 人，总人数只增加 $36$ 人，说明女生减少了 $60-36=\underline{24}$（人）。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：这 $24$ 人是原女生人数的 $\frac{1}{25}$，原有女生 $24\div\frac{1}{25}=\underline{600}$（人）。
    3. 第 3 步（求原男生数）：$900-600=\underline{300}$（人）。
    4. 第 4 步（求现男生数）：$300+60=\underline{360}$（人）。
    最终答案：现有男生 $360$ 人。
  30. 10. ch11-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（增减抵消）：普通工减少了 $60-36=\underline{24}$（人）。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：原有普通工 $24\div\frac{1}{25}=\underline{600}$（人）。
    3. 第 3 步：原有技术工 $900-600=\underline{300}$（人）。
    4. 第 4 步：现在技术工 $300+60=\underline{360}$（人）。
    最终答案：现在技术工有 $360$ 人。
  31. 10. ch11-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（增减抵消）：女生减少了 $60-36=\underline{24}$（人）。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：原有女生 $24\div\frac{1}{25}=\underline{600}$（人）。
    3. 第 3 步（求现有量）：女生剩下的分率为 $1-\frac{1}{25}=\underline{24/25}$，现有女生 $600\times\frac{24}{25}=\underline{576}$（人）。
    最终答案：现在女生有 $576$ 人。
  32. 10. ch11-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（增减抵消）：女生减少了 $60-36=\underline{24}$（人）。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：原有女生 $24\div\frac{1}{25}=\underline{600}$（人），原有男生 $900-600=\underline{300}$（人）。
    3. 第 3 步（求现男生数）：$300+60=\underline{360}$（人）。
    4. 第 4 步（求现总人数）：$900+36=\underline{936}$（人）。
    5. 第 5 步（求占比）：$360\div936=\underline{5/13}$。
    最终答案：现在男生 $360$ 人，占全年级的 $\frac{5}{13}$。
  33. 11. ch11-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（抓差不变量）：第二关同分，所以总分之差等于第一关之差，$300-180=\underline{120}$（分）。
    2. 第 2 步（差对应的分率）：单位 1 是小高的总分，墨墨比小高少 $1-\frac{2}{3}=\underline{1/3}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：小高的总分为 $120\div\frac{1}{3}=\underline{360}$（分）。
    4. 第 4 步（求第二关得分）：$360-300=\underline{60}$（分）。
    最终答案：两人在第二关都得了 $60$ 分。
  34. 11. ch11-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（抓差不变量）：第二轮同环，总环数之差等于第一轮之差，$300-180=\underline{120}$（环）。
    2. 第 2 步（差对应的分率）：$1-\frac{2}{3}=\underline{1/3}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：乙的总环数 $120\div\frac{1}{3}=\underline{360}$（环）。
    4. 第 4 步：第二轮 $360-300=\underline{60}$（环）。
    最终答案：两人第二轮各打了 $60$ 环。
  35. 11. ch11-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（抓差不变量）：$300-180=\underline{120}$（分）。
    2. 第 2 步（差对应的分率）：$1-\frac{2}{3}=\underline{1/3}$，小高总分 $120\div\frac{1}{3}=\underline{360}$（分）。
    3. 第 3 步（求墨墨总分）：$360\times\frac{2}{3}=\underline{240}$（分）。
    4. 第 4 步（求和）：$240+360=\underline{600}$（分）。
    最终答案：两人的总分之和是 $600$ 分。
  36. 11. ch11-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（抓差不变量）：$300-180=\underline{120}$（分）。
    2. 第 2 步（差对应的分率）：$1-\frac{2}{3}=\underline{1/3}$，小高总分 $120\div\frac{1}{3}=\underline{360}$（分）。
    3. 第 3 步（求第二关得分）：$360-300=\underline{60}$（分）。
    4. 第 4 步（求墨墨总分与两人之和）：墨墨 $360\times\frac{2}{3}=\underline{240}$（分），两人共 $240+360=\underline{600}$（分）。
    5. 第 5 步（求占比）：$240\div600=\underline{2/5}$。
    最终答案：第二关各得 $60$ 分；墨墨的总分占两人总分的 $\frac{2}{5}$。
  37. 12. ch11-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（看清两段）：搬走后比原来少了原数的 $\frac{2}{9}$；运来砖后又比原来多了 $\frac{1}{6}$。
    2. 第 2 步（分率合并）：这 $560$ 块砖对应的分率是 $\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\underline{7/18}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：原来有 $560\div\frac{7}{18}=\underline{1440}$（块）。
    最终答案：这堆砖原来有 $1440$ 块。
  38. 12. ch11-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（看清两段）：运出后比原来少 $\frac{2}{9}$，运进后又比原来多 $\frac{1}{6}$。
    2. 第 2 步（分率合并）：$560$ 袋对应 $\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\underline{7/18}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：$560\div\frac{7}{18}=\underline{1440}$（袋）。
    最终答案：粮仓原来有大米 $1440$ 袋。
  39. 12. ch11-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分率合并）：$560$ 块对应原数的 $\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\underline{7/18}$。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：原有 $560\div\frac{7}{18}=\underline{1440}$（块）。
    3. 第 3 步（占比求量）：现在是原来的 $1+\frac{1}{6}=\underline{7/6}$，即 $1440\times\frac{7}{6}=\underline{1680}$（块）。
    最终答案：现在这堆砖有 $1680$ 块。
  40. 12. ch11-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求剩下的分率）：第一次搬走后还剩总数的 $1-\frac{2}{9}=\underline{7/9}$。
    2. 第 2 步（连乘换算）：第二次搬走的占总数的 $\frac{7}{9}\times\frac{1}{8}=\underline{7/72}$。
    3. 第 3 步（两次搬走合计）：$\frac{2}{9}+\frac{7}{72}=\underline{23/72}$。
    4. 第 4 步（分率合并）：$560$ 块要补回搬走的部分还要多出 $\frac{1}{6}$，对应 $\frac{23}{72}+\frac{1}{6}=\underline{35/72}$。
    5. 第 5 步（对应量求总量）：原有 $560\div\frac{35}{72}=\underline{1152}$（块）。
    最终答案：这堆砖原来有 $1152$ 块。
  41. 13. ch11-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（占比互补）：第一天用去了全部纸张的 $1-\frac{3}{8}=\underline{5/8}$。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：这部分纸订了 $200$ 本，所以整批纸能订 $200\div\frac{5}{8}=\underline{320}$（本）。
    3. 第 3 步（求剩余本数）：两天共订 $200+84$ 本，还能订 $320-200-84=\underline{36}$（本）。
    4. 第 4 步（归一）：这 $36$ 本对应剩下的 $1800$ 张纸，每本用纸 $1800\div36=\underline{50}$（张）。
    5. 第 5 步（求总张数）：$50\times320=\underline{16000}$（张）。
    最终答案：这批纸原来一共有 $16000$ 张。
  42. 13. ch11-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（占比互补）：第一天用去全部布料的 $1-\frac{3}{8}=\underline{5/8}$。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：整批布能做 $200\div\frac{5}{8}=\underline{320}$（件）。
    3. 第 3 步（求剩余件数）：$320-200-84=\underline{36}$（件）。
    4. 第 4 步（归一）：每件用布 $1800\div36=\underline{50}$（米）。
    5. 第 5 步：$50\times320=\underline{16000}$（米）。
    最终答案：这批布原来一共有 $16000$ 米。
  43. 13. ch11-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（占比互补）：第一天用去全部纸张的 $1-\frac{3}{8}=\underline{5/8}$。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：整批纸能订 $200\div\frac{5}{8}=\underline{320}$（本）。
    3. 第 3 步（求剩余本数）：$320-200-84=\underline{36}$（本）。
    4. 第 4 步（归一）：每本用纸 $1800\div36=\underline{50}$（张）。
    最终答案：一共能装订 $320$ 本，每本用纸 $50$ 张。
  44. 13. ch11-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（占比互补）：第一天用去 $1-\frac{3}{8}=\underline{5/8}$。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：能订 $200\div\frac{5}{8}=\underline{320}$（本）。
    3. 第 3 步（求剩余本数并归一）：$320-200-84=\underline{36}$（本），每本用纸 $1800\div36=\underline{50}$（张）。
    4. 第 4 步（求总张数）：$50\times320=\underline{16000}$（张）。
    5. 第 5 步（求第二天用纸与占比）：第二天用纸 $84\times50=\underline{4200}$（张），占全部的 $4200\div16000=\underline{21/80}$。
    最终答案：这批纸共 $16000$ 张，第二天用掉的纸占全部的 $\frac{21}{80}$。
  45. 14. ch11-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（第一口）：喝掉一半后剩下整瓶的 $1-\frac{1}{2}=\underline{1/2}$。
    2. 第 2 步（第二、三口）：每次喝的是「剩下部分」的几分之几，要连乘。第二口后剩 $\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{1/3}$；第三口后剩 $\frac{1}{3}\times\left(1-\frac{1}{4}\right)=\underline{1/4}$。
    3. 第 3 步（第四、五口）：$\frac{1}{4}\times\left(1-\frac{1}{5}\right)=\underline{1/5}$；$\frac{1}{5}\times\left(1-\frac{1}{6}\right)=\underline{1/6}$。
    4. 第 4 步（第六、七口）：$\frac{1}{6}\times\left(1-\frac{1}{7}\right)=\underline{1/7}$；$\frac{1}{7}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)=\underline{1/8}$。
    5. 第 5 步（对应量求总量）：最后剩下的 $\frac{1}{8}$ 对应 $1.5$ 升，整瓶有 $1.5\div\frac{1}{8}=\underline{12}$（升）。
    最终答案：最开始瓶子里有 $12$ 升矿泉水。
  46. 14. ch11-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步：第一次用去一半后剩 $1-\frac{1}{2}=\underline{1/2}$。
    2. 第 2 步：第二次后剩 $\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{3}\right)=\underline{1/3}$；第三次后剩 $\frac{1}{3}\times\left(1-\frac{1}{4}\right)=\underline{1/4}$。
    3. 第 3 步：第四、五次后分别剩 $\frac{1}{4}\times\left(1-\frac{1}{5}\right)=\underline{1/5}$、$\frac{1}{5}\times\left(1-\frac{1}{6}\right)=\underline{1/6}$。
    4. 第 4 步：第六、七次后分别剩 $\frac{1}{6}\times\left(1-\frac{1}{7}\right)=\underline{1/7}$、$\frac{1}{7}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)=\underline{1/8}$。
    5. 第 5 步（对应量求总量）：$1.5\div\frac{1}{8}=\underline{12}$（升）。
    最终答案：这桶油原来有 $12$ 升。
  47. 14. ch11-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（找规律）：每喝一次，剩余占整瓶的分率依次是 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$，第七口后剩 $\frac{1}{7}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)=\underline{1/8}$。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：$1.5\div\frac{1}{8}=\underline{12}$（升）。
    3. 第 3 步（占比求量）：第一口喝了整瓶的一半，$12\times\frac{1}{2}=\underline{6}$（升）。
    最终答案：第一口喝了 $6$ 升。
  48. 14. ch11-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（连续剩余）：第七口后剩整瓶的 $\frac{1}{7}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)=\underline{1/8}$。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：整瓶 $1.5\div\frac{1}{8}=\underline{12}$（升）。
    3. 第 3 步（找中间剩余）：第四口后剩整瓶的 $\frac{1}{4}\times\left(1-\frac{1}{5}\right)=\underline{1/5}$，即 $12\times\frac{1}{5}=\underline{2.4}$（升）。
    4. 第 4 步（求累计喝水量）：$12-2.4=\underline{9.6}$（升）。
    最终答案：整瓶水原有 $12$ 升，前四口一共喝了 $9.6$ 升。
  49. 15. ch11-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（化占比）：第一车间是其余两车间和的 $\frac{1}{4}$，即第一车间 $:$ 其余 $=1:4$，第一车间占总数的 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$。
    2. 第 2 步（化占比）：第二车间是其余的 $\frac{2}{3}$，即 $2:3$，占总数的 $\frac{2}{2+3}=\underline{2/5}$。
    3. 第 3 步（占比互补）：第三车间占总数的 $1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\underline{2/5}$。
    4. 第 4 步（对应量求总量）：这 $\frac{2}{5}$ 对应 $168$ 人，总人数 $168\div\frac{2}{5}=\underline{420}$（人）。
    最终答案：该厂工人总数是 $420$ 人。
  50. 15. ch11-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（化占比）：第一仓库 $:$ 其余 $=1:4$，占总数的 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$。
    2. 第 2 步（化占比）：第二仓库 $:$ 其余 $=2:3$，占总数的 $\frac{2}{2+3}=\underline{2/5}$。
    3. 第 3 步（占比互补）：第三仓库占 $1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\underline{2/5}$。
    4. 第 4 步（对应量求总量）：$168\div\frac{2}{5}=\underline{420}$（吨）。
    最终答案：三个仓库一共有货物 $420$ 吨。
  51. 15. ch11-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（化占比）：第一车间占总数的 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$，第二车间占总数的 $\frac{2}{2+3}=\underline{2/5}$。
    2. 第 2 步（占比互补）：第三车间占 $1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\underline{2/5}$，对应 $168$ 人。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：总人数 $168\div\frac{2}{5}=\underline{420}$（人）。
    4. 第 4 步（占比求量）：第一车间 $420\times\frac{1}{5}=\underline{84}$（人），第二车间 $420\times\frac{2}{5}=\underline{168}$（人）。
    最终答案：第一车间 $84$ 人，第二车间 $168$ 人。
  52. 15. ch11-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（化占比）：第一车间占 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$，第二车间占 $\frac{2}{2+3}=\underline{2/5}$。
    2. 第 2 步（占比互补）：第三车间占 $1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\underline{2/5}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：总人数 $168\div\frac{2}{5}=\underline{420}$（人）。
    4. 第 4 步（逆向化倍比）：其余两车间占总数的 $1-\frac{2}{5}=\underline{3/5}$，所以第三车间是其余两车间和的 $\frac{2}{5}\div\frac{3}{5}=\underline{2/3}$。
    最终答案：全厂共 $420$ 人；第三车间是其余两车间人数和的 $\frac{2}{3}$。
  53. 16. ch11-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（化占比）：苹果 $:$ 其余 $=1:9$，苹果占总数的 $\frac{1}{1+9}=\underline{1/10}$。
    2. 第 2 步（化占比）：橘子 $:$ 其余 $=3:17$，占总数的 $\frac{3}{3+17}=\underline{3/20}$。
    3. 第 3 步（化占比）：梨 $:$ 其余 $=1:4$，占总数的 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$。
    4. 第 4 步（占比互补）：菠萝占总数的 $1-\frac{1}{10}-\frac{3}{20}-\frac{1}{5}=\underline{11/20}$。
    5. 第 5 步（对应量求总量）：$231\div\frac{11}{20}=\underline{420}$（个）。
    最终答案：这些水果一共有 $420$ 个。
  54. 16. ch11-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（化占比）：科技书占总数的 $\frac{1}{1+9}=\underline{1/10}$。
    2. 第 2 步（化占比）：故事书占总数的 $\frac{3}{3+17}=\underline{3/20}$。
    3. 第 3 步（化占比）：绘本占总数的 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$。
    4. 第 4 步（占比互补）：字典占总数的 $1-\frac{1}{10}-\frac{3}{20}-\frac{1}{5}=\underline{11/20}$。
    5. 第 5 步（对应量求总量）：$231\div\frac{11}{20}=\underline{420}$（本）。
    最终答案：书架上一共有 $420$ 本书。
  55. 16. ch11-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（化占比）：苹果占 $\frac{1}{1+9}=\underline{1/10}$，橘子占 $\frac{3}{3+17}=\underline{3/20}$，梨占 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$。
    2. 第 2 步（占比互补）：菠萝占 $1-\frac{1}{10}-\frac{3}{20}-\frac{1}{5}=\underline{11/20}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $231\div\frac{11}{20}=\underline{420}$（个）。
    4. 第 4 步（占比求量）：梨有 $420\times\frac{1}{5}=\underline{84}$（个）。
    最终答案：梨有 $84$ 个。
  56. 16. ch11-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（化占比）：苹果占 $\frac{1}{1+9}=\underline{1/10}$，橘子占 $\frac{3}{3+17}=\underline{3/20}$，梨占 $\frac{1}{1+4}=\underline{1/5}$。
    2. 第 2 步（占比互补）：菠萝占 $1-\frac{1}{10}-\frac{3}{20}-\frac{1}{5}=\underline{11/20}$，总数 $231\div\frac{11}{20}=\underline{420}$（个）。
    3. 第 3 步（分率合并求量）：苹果与橘子合占 $\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\underline{1/4}$，共 $420\times\frac{1}{4}=\underline{105}$（个）。
    4. 第 4 步（求差）：梨有 $420\times\frac{1}{5}=\underline{84}$（个），$105-84=\underline{21}$（个）。
    最终答案：共 $420$ 个；苹果和橘子合起来 $105$ 个，比梨多 $21$ 个。
  57. 17. ch11-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（倍数化占比）：已运 $:$ 未运 $=9:11$，所以此时已运去的占总数的 $\frac{9}{9+11}=\underline{9/20}$。
    2. 第 2 步（分率相减）：第二次运的 $90$ 顶对应 $\frac{9}{20}-\frac{2}{5}=\underline{1/20}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：全部帐篷有 $90\div\frac{1}{20}=\underline{1800}$（顶）。
    4. 第 4 步（占比求量）：未运去的占 $1-\frac{9}{20}=\underline{11/20}$，共 $1800\times\frac{11}{20}=\underline{990}$（顶）。
    最终答案：还有 $990$ 顶帐篷没有运去。
  58. 17. ch11-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（倍数化占比）：已运 $:$ 未运 $=9:11$，已运占总数的 $\frac{9}{9+11}=\underline{9/20}$。
    2. 第 2 步（分率相减）：$90$ 袋对应 $\frac{9}{20}-\frac{2}{5}=\underline{1/20}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $90\div\frac{1}{20}=\underline{1800}$（袋）。
    4. 第 4 步（占比求量）：未运占 $1-\frac{9}{20}=\underline{11/20}$，共 $1800\times\frac{11}{20}=\underline{990}$（袋）。
    最终答案：还有 $990$ 袋大米没有运去。
  59. 17. ch11-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（倍数化占比）：已运占总数的 $\frac{9}{9+11}=\underline{9/20}$。
    2. 第 2 步（分率相减）：$90$ 顶对应 $\frac{9}{20}-\frac{2}{5}=\underline{1/20}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $90\div\frac{1}{20}=\underline{1800}$（顶）。
    4. 第 4 步（占比求量）：已运 $1800\times\frac{9}{20}=\underline{810}$（顶）。
    最终答案：已经运去了 $810$ 顶帐篷。
  60. 17. ch11-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（倍数化占比）：已运占总数的 $\frac{9}{9+11}=\underline{9/20}$。
    2. 第 2 步（分率相减）：$90$ 顶对应 $\frac{9}{20}-\frac{2}{5}=\underline{1/20}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $90\div\frac{1}{20}=\underline{1800}$（顶）。
    4. 第 4 步（占比求量）：未运 $1800\times\left(1-\frac{9}{20}\right)=\underline{990}$（顶）。
    5. 第 5 步（归一求次数）：$990\div90=\underline{11}$（次）。
    最终答案：还有 $990$ 顶没运去，还需要运 $11$ 次。
  61. 20. ch11-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（抓不变量）：两人牌的总数不变，看作单位 1。开始时小高占总数的 $\frac{5}{5+9}=\underline{5/14}$。
    2. 第 2 步（倍比化占比）：后来小高占总数的 $\frac{3}{3+2}=\underline{3/5}$。
    3. 第 3 步（分率之差）：小高增加了总数的 $\frac{3}{5}-\frac{5}{14}=\underline{17/70}$，对应赢来的 $51$ 张。
    4. 第 4 步（对应量求总量）：牌的总数为 $51\div\frac{17}{70}=\underline{210}$（张）。
    5. 第 5 步（占比求量）：小高现在有 $210\times\frac{3}{5}=\underline{126}$（张）。
    最终答案：小高此时一共有 $126$ 张牌。
  62. 20. ch11-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（抓不变量）：两人弹珠总数不变，看作单位 1，开始小明占 $\frac{5}{5+9}=\underline{5/14}$。
    2. 第 2 步（倍比化占比）：后来小明占 $\frac{3}{3+2}=\underline{3/5}$。
    3. 第 3 步（分率之差）：$\frac{3}{5}-\frac{5}{14}=\underline{17/70}$，对应 $51$ 颗。
    4. 第 4 步（对应量求总量）：总数 $51\div\frac{17}{70}=\underline{210}$（颗）。
    5. 第 5 步（占比求量）：$210\times\frac{3}{5}=\underline{126}$（颗）。
    最终答案：小明此时一共有 $126$ 颗弹珠。
  63. 20. ch11-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（抓不变量）：总数看作单位 1，开始小高占 $\frac{5}{5+9}=\underline{5/14}$，后来占 $\frac{3}{3+2}=\underline{3/5}$。
    2. 第 2 步（分率之差）：$\frac{3}{5}-\frac{5}{14}=\underline{17/70}$，对应 $51$ 张。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $51\div\frac{17}{70}=\underline{210}$（张）。
    4. 第 4 步（占比求量）：墨墨现在占 $1-\frac{3}{5}=\underline{2/5}$，即 $210\times\frac{2}{5}=\underline{84}$（张）。
    最终答案：墨墨现在有 $84$ 张牌。
  64. 20. ch11-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（抓不变量）：总数看作单位 1，开始小高占 $\frac{5}{5+9}=\underline{5/14}$，后来占 $\frac{3}{3+2}=\underline{3/5}$。
    2. 第 2 步（分率之差）：$\frac{3}{5}-\frac{5}{14}=\underline{17/70}$，对应 $51$ 张。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $51\div\frac{17}{70}=\underline{210}$（张）。
    4. 第 4 步（回推开始张数）：$210\times\frac{5}{14}=\underline{75}$（张）。
    5. 第 5 步（求现在张数并检验）：$210\times\frac{3}{5}=\underline{126}$（张），检验 $75+51=\underline{126}$，与之相符。
    最终答案：开始时小高有 $75$ 张牌，现在有 $126$ 张。
  65. 21. ch11-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（抓不变量）：只放入了红球，其他球数量不变，把其他球看作 $1$ 份。开始时其他球占总数的 $1-\frac{5}{9}=\underline{4/9}$。
    2. 第 2 步（占比化份数）：开始时总数为 $1\div\frac{4}{9}=\underline{9/4}$（份）。
    3. 第 3 步（后来的份数）：后来其他球占 $1-\frac{2}{3}=\underline{1/3}$，总数为 $1\div\frac{1}{3}=\underline{3}$（份）。
    4. 第 4 步（份数差求 1 份）：总数增加了 $3-\frac{9}{4}=\underline{3/4}$（份），对应放入的 $12$ 个红球，$1$ 份 $=12\div\frac{3}{4}=\underline{16}$（个）。
    5. 第 5 步（求现在总数）：$16\times3=\underline{48}$（个）。
    最终答案：现在口袋里有 $48$ 个球。
  66. 21. ch11-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（抓不变量）：其他车数量不变，看作 $1$ 份。开始时其他车占总数的 $1-\frac{5}{9}=\underline{4/9}$。
    2. 第 2 步（占比化份数）：开始总数 $1\div\frac{4}{9}=\underline{9/4}$（份）。
    3. 第 3 步：后来其他车占 $1-\frac{2}{3}=\underline{1/3}$，总数 $1\div\frac{1}{3}=\underline{3}$（份）。
    4. 第 4 步（份数差求 1 份）：$3-\frac{9}{4}=\underline{3/4}$（份）对应 $12$ 辆，$1$ 份 $=12\div\frac{3}{4}=\underline{16}$（辆）。
    5. 第 5 步：现在共 $16\times3=\underline{48}$（辆）。
    最终答案：现在停车场里有 $48$ 辆车。
  67. 21. ch11-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（抓不变量）：其他球不变，看作 $1$ 份，开始时其他球占 $1-\frac{5}{9}=\underline{4/9}$，总数为 $1\div\frac{4}{9}=\underline{9/4}$（份）。
    2. 第 2 步（后来的份数）：其他球占 $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，总数为 $\underline{3}$ 份。
    3. 第 3 步（份数差求 1 份）：$3-\frac{9}{4}=\underline{3/4}$（份）对应 $12$ 个，$1$ 份 $=12\div\frac{3}{4}=\underline{16}$（个）。
    4. 第 4 步（求原总数）：$16\times\frac{9}{4}=\underline{36}$（个）。
    最终答案：原来口袋里有 $36$ 个球。
  68. 21. ch11-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（抓不变量）：其他球不变作 $1$ 份，开始其他球占 $1-\frac{5}{9}=\underline{4/9}$，总数 $1\div\frac{4}{9}=\underline{9/4}$（份）。
    2. 第 2 步（后来的份数）：其他球占 $1-\frac{2}{3}=\underline{1/3}$，总数 $1\div\frac{1}{3}=\underline{3}$（份）。
    3. 第 3 步（份数差求 1 份）：$3-\frac{9}{4}=\underline{3/4}$（份）对应 $12$ 个，$1$ 份 $=12\div\frac{3}{4}=\underline{16}$（个）。
    4. 第 4 步（求现在总数）：$16\times3=\underline{48}$（个）。
    5. 第 5 步（求相差）：现在红球 $48\times\frac{2}{3}=\underline{32}$（个），其他球 $48-32=\underline{16}$（个），相差 $32-16=\underline{16}$（个）。
    最终答案：现在共有 $48$ 个球，红球比其他球多 $16$ 个。
  69. 22. ch11-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（抓差不变量）：两根木桩露出水面的长度差始终等于两桩的长度差，把它记作 $1$ 份。「长比短多 $\frac{1}{3}$」的单位 1 是短露，所以短露 $=1\div\frac{1}{3}=\underline{3}$（份），长露 $=3+1=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步（升高后化份数）：「短比长少 $\frac{1}{2}$」的单位 1 是长露，长露 $=1\div\frac{1}{2}=\underline{2}$（份），短露 $=2-1=\underline{1}$（份）。
    3. 第 3 步（对应量求 1 份）：长露从 $4$ 份减到 $2$ 份，减少 $4-2=\underline{2}$（份），正是水面上升的 $14$ 厘米，所以 $1$ 份 $=14\div2=\underline{7}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求此时的露出长度）：长露 $=7\times2=\underline{14}$（厘米），短露 $=14-7=\underline{7}$（厘米）。
    5. 第 5 步（求目标时刻的长露）：短露是长露的 $\frac{1}{8}$ 时，长度差占长露的 $1-\frac{1}{8}=\underline{7/8}$，故长露 $=7\div\frac{7}{8}=\underline{8}$（厘米）。
    6. 第 6 步（求再上升的高度）：长露减少多少，水面就升高多少，$14-8=\underline{6}$（厘米）。
    最终答案：水面再升高 $6$ 厘米。
  70. 22. ch11-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（抓差不变量）：两棒露出液面的长度差恒等于两棒长度差，记作 $1$ 份。短露 $=1\div\frac{1}{3}=\underline{3}$（份），长露 $=3+1=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步（升高后化份数）：长露 $=1\div\frac{1}{2}=\underline{2}$（份），短露 $=2-1=\underline{1}$（份）。
    3. 第 3 步（对应量求 1 份）：长露减少 $4-2=\underline{2}$（份）对应 $14$ 毫米，$1$ 份 $=14\div2=\underline{7}$（毫米）。
    4. 第 4 步（求此时露出长度）：长露 $=7\times2=\underline{14}$（毫米），短露 $=14-7=\underline{7}$（毫米）。
    5. 第 5 步（求目标时刻的长露）：$1-\frac{1}{8}=\underline{7/8}$，长露 $=7\div\frac{7}{8}=\underline{8}$（毫米）。
    6. 第 6 步：液面再升高 $14-8=\underline{6}$（毫米）。
    最终答案：液面再升高 $6$ 毫米。
  71. 22. ch11-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（抓差不变量）：把两桩长度差记作 $1$ 份，开始时短露 $=1\div\frac{1}{3}=\underline{3}$（份），长露 $=3+1=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步（升高后化份数）：长露 $=1\div\frac{1}{2}=\underline{2}$（份），短露 $=2-1=\underline{1}$（份）。
    3. 第 3 步（对应量求 1 份）：长露减少 $4-2=\underline{2}$（份）对应上升的 $14$ 厘米，$1$ 份 $=14\div2=\underline{7}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求露出长度）：长露 $=7\times2=\underline{14}$（厘米），短露 $=7\times1=\underline{7}$（厘米）。
    最终答案：此时长木桩露出 $14$ 厘米，短木桩露出 $7$ 厘米。
  72. 22. ch11-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（抓差不变量）：长度差记作 $1$ 份，短露 $=1\div\frac{1}{3}=\underline{3}$（份），长露 $=3+1=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步（升高后化份数）：长露 $=1\div\frac{1}{2}=\underline{2}$（份），减少 $4-2=\underline{2}$（份）对应 $14$ 厘米，$1$ 份 $=14\div2=\underline{7}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求此时露出长度）：长露 $=7\times2=\underline{14}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求目标时刻长露）：$1-\frac{1}{8}=\underline{7/8}$，长露 $=7\div\frac{7}{8}=\underline{8}$（厘米），水面再升高 $14-8=\underline{6}$（厘米）。
    5. 第 5 步（求总上升量）：最开始长露 $7\times4=\underline{28}$（厘米），一共上升 $28-8=\underline{20}$（厘米），也可用 $14+6=\underline{20}$ 检验。
    最终答案：水面再升高 $6$ 厘米；从最开始算起共升高 $20$ 厘米。
  73. 23. ch11-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（认单位 1）：分数倍是以**红球**为标准的，红球数已知，先求红球的 $\frac{7}{6}$ 倍：$180\times\frac{7}{6}=\underline{210}$。
    2. 第 2 步（加上多出的部分）：黄球比这个倍数量还多 $5$ 个，所以黄球有 $210+5=\underline{215}$（个）。
    3. 第 3 步（求总数）：两种球相加，$180+215=\underline{395}$（个）。
    最终答案：一共有小球 $395$ 个。
  74. 23. ch11-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（认单位 1）：分数倍以**科技书**为标准，先求科技书的 $\frac{7}{6}$ 倍：$180\times\frac{7}{6}=\underline{210}$（本）。
    2. 第 2 步：故事书还多 $5$ 本，故事书有 $210+5=\underline{215}$（本）。
    3. 第 3 步：两类书相加，$180+215=\underline{395}$（本）。
    最终答案：一共有书 $395$ 本。
  75. 23. ch11-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（认单位 1）：仍以红球为标准，先求它的 $\frac{9}{8}$ 倍：$240\times\frac{9}{8}=\underline{270}$。
    2. 第 2 步：黄球还多 $7$ 个，黄球数为 $270+7=\underline{277}$（个）。
    3. 第 3 步（求相差）：黄球比红球多的个数是 $277-240=\underline{37}$（个）。
    最终答案：黄色小球比红色小球多 $37$ 个。
  76. 23. ch11-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（认单位 1）：黄球以红球为标准，先求 $180\times\frac{7}{6}=\underline{210}$，再加多出的 $5$ 个，黄球有 $\underline{215}$ 个。
    2. 第 2 步（换单位 1）：蓝球的分数以**红黄两球总数**为标准，先求这个标准量：$180+215=\underline{395}$（个）。
    3. 第 3 步（占比求量）：蓝球有 $395\times\frac{1}{5}=\underline{79}$（个）。
    4. 第 4 步（求总数）：三种球合计 $395+79=\underline{474}$（个）。
    最终答案：三种球一共有 $474$ 个。
  77. 24. ch11-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（占比求量）：$\frac{5}{8}$ 的单位 1 是全部弹药，炮弹有 $720\times\frac{5}{8}=\underline{450}$（枚），手榴弹有 $720-450=\underline{270}$（枚）。
    2. 第 2 步（损失化剩余）：炮弹损失 $\frac{3}{5}$，剩余分率为 $1-\frac{3}{5}=\underline{2/5}$，剩下炮弹 $450\times\frac{2}{5}=\underline{180}$（枚）。
    3. 第 3 步：手榴弹的剩余分率已给出，剩下 $270\times\frac{4}{9}=\underline{120}$（枚）。
    4. 第 4 步（合并）：$180+120=\underline{300}$（枚）。
    最终答案：送到时还剩 $300$ 枚弹药。
  78. 24. ch11-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（占比求量）：单位 1 是全部水果，苹果 $720\times\frac{5}{8}=\underline{450}$（箱），梨 $720-450=\underline{270}$（箱）。
    2. 第 2 步（损坏化完好）：苹果完好的分率为 $1-\frac{3}{5}=\underline{2/5}$，完好苹果 $450\times\frac{2}{5}=\underline{180}$（箱）。
    3. 第 3 步：完好的梨有 $270\times\frac{4}{9}=\underline{120}$（箱）。
    4. 第 4 步：合计 $180+120=\underline{300}$（箱）。
    最终答案：到货时完好的水果还有 $300$ 箱。
  79. 24. ch11-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（占比求量）：炮弹 $720\times\frac{5}{8}=\underline{450}$（枚），手榴弹 $720-450=\underline{270}$（枚）。
    2. 第 2 步（这次直接用损失分率）：损失的炮弹 $450\times\frac{3}{5}=\underline{270}$（枚）。
    3. 第 3 步：损失的手榴弹 $270\times\frac{5}{9}=\underline{150}$（枚）。
    4. 第 4 步：一共损失 $270+150=\underline{420}$（枚）。
    最终答案：一共损失了 $420$ 枚弹药。
  80. 24. ch11-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（占比求量）：炮弹 $720\times\frac{5}{8}=\underline{450}$（枚），手榴弹 $720-450=\underline{270}$（枚）。
    2. 第 2 步（损失化剩余）：炮弹剩余分率 $1-\frac{3}{5}=\underline{2/5}$，剩下 $450\times\frac{2}{5}=\underline{180}$（枚）；手榴弹剩下 $270\times\frac{4}{9}=\underline{120}$（枚）。
    3. 第 3 步（合并）：共剩 $180+120=\underline{300}$（枚）。
    4. 第 4 步（求分率）：用剩下的量除以出发时的总量，$300\div720=\underline{5/12}$。
    最终答案：还剩 $300$ 枚弹药，占出发时总数的 $\frac{5}{12}$。
  81. 25. ch11-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（统一单位 1）：$\frac{5}{7}$ 的单位 1 是奶糖，而已知量是总数，先把分数倍看成份数比：水果糖 $5$ 份、奶糖 $7$ 份，总份数 $5+7=\underline{12}$（份）。
    2. 第 2 步（求分率）：水果糖占总数的份数分率是 $\underline{5/12}$。
    3. 第 3 步（占比求量）：$1920\times\frac{5}{12}=\underline{800}$（颗）。
    最终答案：水果糖有 $800$ 颗。
  82. 25. ch11-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（统一单位 1）：把分数倍化为份数比，鸡 $5$ 份、鸭 $7$ 份，总份数 $5+7=\underline{12}$（份）。
    2. 第 2 步（求分率）：鸡占总数的 $\underline{5/12}$。
    3. 第 3 步（占比求量）：$1920\times\frac{5}{12}=\underline{800}$（只）。
    最终答案：鸡有 $800$ 只。
  83. 25. ch11-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（化份数）：水果糖 $5$ 份、奶糖 $7$ 份，总份数 $5+7=\underline{12}$（份）。
    2. 第 2 步（求相差份数的分率）：奶糖比水果糖多 $7-5=2$ 份，占总数的 $\underline{2/12}$。
    3. 第 3 步（占比求量）：$1920\times\frac{1}{6}=\underline{320}$（颗）。
    最终答案：奶糖比水果糖多 $320$ 颗。
  84. 25. ch11-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（化份数）：水果糖 $5$ 份、奶糖 $7$ 份，总份数 $5+7=\underline{12}$（份）。
    2. 第 2 步（找对应）：奶糖比水果糖多 $7-5=\underline{2}$（份），这 $2$ 份对应的正是 $320$ 颗。
    3. 第 3 步（对应量求 1 份）：$320\div2=\underline{160}$（颗）。
    4. 第 4 步（求总量与水果糖）：总共 $160\times12=\underline{1920}$（颗），水果糖 $160\times5=\underline{800}$（颗）。
    最终答案：两种糖共 $1920$ 颗，水果糖有 $800$ 颗。
  85. 26. ch11-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（求减少量）：饮料总数减少了 $2400-1800=\underline{600}$（瓶）。
    2. 第 2 步（抓不变量）：可乐没变，所以减少的 $600$ 瓶全是果汁减少的，它对应果汁原量的 $\frac{3}{8}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：果汁原有 $600\div\frac{3}{8}=\underline{1600}$（瓶）。
    4. 第 4 步（互补求可乐）：$2400-1600=\underline{800}$（瓶）。
    最终答案：可乐有 $800$ 瓶。
  86. 26. ch11-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（求减少量）：$2400-1800=\underline{600}$（册）。
    2. 第 2 步（抓不变量）：工具书不变，减少的 $600$ 册全是杂志，对应杂志原量的 $\frac{3}{8}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：杂志原有 $600\div\frac{3}{8}=\underline{1600}$（册）。
    4. 第 4 步：$2400-1600=\underline{800}$（册）。
    最终答案：工具书有 $800$ 册。
  87. 26. ch11-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求减少量）：$2400-1800=\underline{600}$（瓶），它对应果汁原量的 $\frac{3}{8}$。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：果汁原有 $600\div\frac{3}{8}=\underline{1600}$（瓶）。
    3. 第 3 步（求现在的量）：减少后剩下的分率为 $1-\frac{3}{8}=\underline{5/8}$，现在果汁有 $1600\times\frac{5}{8}=\underline{1000}$（瓶）。
    最终答案：原来果汁有 $1600$ 瓶，现在还有 $1000$ 瓶。
  88. 26. ch11-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求减少量）：$2400-1800=\underline{600}$（瓶）。
    2. 第 2 步（对应量求总量）：果汁原有 $600\div\frac{3}{8}=\underline{1600}$（瓶），可乐 $2400-1600=\underline{800}$（瓶）。
    3. 第 3 步（求现在果汁量）：剩余分率 $1-\frac{3}{8}=\underline{5/8}$，现在果汁 $1600\times\frac{5}{8}=\underline{1000}$（瓶）。
    4. 第 4 步（求占比）：现在饮料共 $1800$ 瓶，果汁占 $1000\div1800=\underline{5/9}$。
    最终答案：可乐有 $800$ 瓶，此时果汁占现有饮料的 $\frac{5}{9}$。
  89. 27. ch11-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（占比互补）：三种球占比之和为 $1$，绿球占总数的 $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{6}=\underline{13/30}$。
    2. 第 2 步（求相差的分率）：绿球比黄球多的部分占总数的 $\frac{13}{30}-\frac{1}{6}=\underline{4/15}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：这部分对应 $240$ 个，总数为 $240\div\frac{4}{15}=\underline{900}$（个）。
    最终答案：口袋里一共有 $900$ 个球。
  90. 27. ch11-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（占比互补）：菊花占总数的 $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{6}=\underline{13/30}$。
    2. 第 2 步（求相差的分率）：菊花比玫瑰多的部分占总数的 $\frac{13}{30}-\frac{1}{6}=\underline{4/15}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：$240\div\frac{4}{15}=\underline{900}$（株）。
    最终答案：一共种了 $900$ 株花。
  91. 27. ch11-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（占比互补）：绿球占总数的 $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{6}=\underline{13/30}$。
    2. 第 2 步（求相差的分率）：$\frac{13}{30}-\frac{1}{6}=\underline{4/15}$，对应 $240$ 个。
    3. 第 3 步（求总数）：$240\div\frac{4}{15}=\underline{900}$（个）。
    4. 第 4 步（占比求量）：绿球有 $900\times\frac{13}{30}=\underline{390}$（个）。
    最终答案：绿球有 $390$ 个。
  92. 27. ch11-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（占比互补）：绿球占总数的 $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{6}=\underline{13/30}$。
    2. 第 2 步（求相差的分率）：绿球比黄球多的部分占 $\frac{13}{30}-\frac{1}{6}=\underline{4/15}$，对应 $240$ 个。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：$240\div\frac{4}{15}=\underline{900}$（个）。
    4. 第 4 步（再比较两部分）：红球与绿球占比之差为 $\frac{13}{30}-\frac{2}{5}=\underline{1/30}$，所以红球比绿球少 $900\times\frac{1}{30}=\underline{30}$（个）。
    最终答案：一共有 $900$ 个球，红球比绿球少 $30$ 个。
  93. 28. ch11-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（占比互补）：所有分率的单位 1 都是原计划产量，未完成的部分占计划的 $1-\frac{7}{16}=\underline{9/16}$。
    2. 第 2 步（分率合并）：这 $700$ 台先补上未完成的 $\frac{9}{16}$，再超出 $\frac{1}{6}$，因此它对应计划的 $\frac{9}{16}+\frac{1}{6}=\underline{35/48}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：原计划 $700\div\frac{35}{48}=\underline{960}$（台）。
    最终答案：原计划生产 $960$ 台。
  94. 28. ch11-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（占比互补）：未修的部分占计划的 $1-\frac{7}{16}=\underline{9/16}$。
    2. 第 2 步（分率合并）：$700$ 米对应计划的 $\frac{9}{16}+\frac{1}{6}=\underline{35/48}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：$700\div\frac{35}{48}=\underline{960}$（米）。
    最终答案：原计划修 $960$ 米。
  95. 28. ch11-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（占比互补）：未完成的部分占计划的 $1-\frac{7}{16}=\underline{9/16}$。
    2. 第 2 步（分率相减）：这次是「还差 $\frac{1}{16}$」，所以 $560$ 台只补上了未完成部分的一段，对应计划的 $\frac{9}{16}-\frac{1}{16}=\underline{1/2}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：$560\div\frac{1}{2}=\underline{1120}$（台）。
    最终答案：原计划生产 $1120$ 台。
  96. 28. ch11-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（占比互补）：未完成的部分占计划的 $1-\frac{7}{16}=\underline{9/16}$。
    2. 第 2 步（分率合并）：$700$ 台对应计划的 $\frac{9}{16}+\frac{1}{6}=\underline{35/48}$。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：原计划 $700\div\frac{35}{48}=\underline{960}$（台）。
    4. 第 4 步（占比求量）：实际产量是计划的 $1+\frac{1}{6}=\underline{7/6}$，即 $960\times\frac{7}{6}=\underline{1120}$（台）。
    5. 第 5 步（求超出量）：$1120-960=\underline{160}$（台）。
    最终答案：原计划 $960$ 台，实际产量 $1120$ 台，比计划多 $160$ 台。
  97. 29. ch11-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（求剩下的分率）：第一天后还剩总任务的 $1-\frac{2}{7}=\underline{5/7}$。
    2. 第 2 步（连乘换算）：第二天的 $\frac{3}{10}$ 是对剩下部分说的，折算到总任务上是 $\frac{5}{7}\times\frac{3}{10}=\underline{3/14}$。
    3. 第 3 步（分率相加）：两天共完成总任务的 $\frac{2}{7}+\frac{3}{14}=\underline{1/2}$。
    4. 第 4 步（对应量求总量）：$420\div\frac{1}{2}=\underline{840}$（个）。
    最终答案：这批零件共有 $840$ 个。
  98. 29. ch11-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（求剩下的分率）：第一天后还剩全长的 $1-\frac{2}{7}=\underline{5/7}$。
    2. 第 2 步（连乘换算）：第二天挖的占全长的 $\frac{5}{7}\times\frac{3}{10}=\underline{3/14}$。
    3. 第 3 步（分率相加）：两天共挖了全长的 $\frac{2}{7}+\frac{3}{14}=\underline{1/2}$。
    4. 第 4 步（对应量求总量）：$360\div\frac{1}{2}=\underline{720}$（米）。
    最终答案：这条水渠全长 $720$ 米。
  99. 29. ch11-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求剩下的分率）：第一天后还剩总任务的 $1-\frac{2}{7}=\underline{5/7}$。
    2. 第 2 步（连乘换算）：第二天完成的占总任务的 $\frac{5}{7}\times\frac{3}{10}=\underline{3/14}$。
    3. 第 3 步（求未完成的分率）：两天共完成 $\frac{2}{7}+\frac{3}{14}=\frac{1}{2}$，未完成的占 $1-\frac{1}{2}=\underline{1/2}$。
    4. 第 4 步（对应量求总量）：未完成的 $420$ 个对应这个分率，$420\div\frac{1}{2}=\underline{840}$（个）。
    最终答案：这批零件共有 $840$ 个。
  100. 29. ch11-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求剩下的分率）：第一天后还剩总任务的 $1-\frac{1}{4}=\underline{3/4}$。
    2. 第 2 步（连乘换算）：第二天完成的占总任务的 $\frac{3}{4}\times\frac{2}{9}=\underline{1/6}$。
    3. 第 3 步（分率相加）：两天共完成总任务的 $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\underline{5/12}$。
    4. 第 4 步（对应量求总量）：$500\div\frac{5}{12}=\underline{1200}$（个）。
    5. 第 5 步（分别求量再比较）：第一天 $1200\times\frac{1}{4}=\underline{300}$（个），第二天 $1200\times\frac{1}{6}=\underline{200}$（个），第二天比第一天少 $300-200=\underline{100}$（个）。
    最终答案：这批零件共有 $1200$ 个，第二天比第一天少完成 $100$ 个。
  101. 30. ch11-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：「多 $\frac{3}{4}$」的单位 1 是乙，设乙为 $4$ 份，则甲比乙多 $3$ 份，甲有 $4+3=\underline{7}$（份）。
    2. 第 2 步（换单位 1）：「少 $\frac{2}{7}$」的单位 1 是甲，丙占甲的 $1-\frac{2}{7}=\underline{5/7}$，所以丙有 $7\times\frac{5}{7}=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步（比较）：乙 $4$ 份、丙 $5$ 份，$5-4=\underline{1}$，丙桶水多。
    4. 第 4 步（求占比）：总份数 $4+7+5=\underline{16}$，甲占 $\underline{7/16}$。
    最终答案：丙桶中的水比乙桶多；甲桶中的水占大缸的 $\frac{7}{16}$。
  102. 30. ch11-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（设份数）：单位 1 是乙，设乙为 $4$ 份，甲有 $4+3=\underline{7}$（份）。
    2. 第 2 步（换单位 1）：丙占甲的 $1-\frac{2}{7}=\underline{5/7}$，丙有 $7\times\frac{5}{7}=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步（比较）：$5-4=\underline{1}$，丙书架的书多。
    4. 第 4 步（求占比）：总份数 $4+7+5=\underline{16}$，甲占 $\underline{7/16}$。
    最终答案：丙书架的书比乙书架多；甲书架的书占其中的 $\frac{7}{16}$。
  103. 30. ch11-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（设份数）：设乙为 $4$ 份，甲有 $4+3=\underline{7}$（份）。
    2. 第 2 步（换单位 1）：丙有 $7\times\left(1-\frac{2}{7}\right)=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步（求占比）：总份数 $4+7+5=\underline{16}$，丙占 $\underline{5/16}$，乙占 $\underline{4/16}$。
    4. 第 4 步（求占比之差）：$\frac{5}{16}-\frac{4}{16}=\underline{1/16}$。
    最终答案：丙桶占大缸的 $\frac{5}{16}$，比乙桶多占 $\frac{1}{16}$。
  104. 30. ch11-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（设份数）：设乙为 $4$ 份，甲有 $4+3=\underline{7}$（份）；丙有 $7\times\left(1-\frac{2}{7}\right)=\underline{5}$（份）。
    2. 第 2 步（求总份数与占比）：总份数 $4+7+5=\underline{16}$，甲占 $\underline{7/16}$，丙占 $\underline{5/16}$。
    3. 第 3 步（占比求量）：甲桶 $960\times\frac{7}{16}=\underline{420}$（升）。
    4. 第 4 步：丙桶 $960\times\frac{5}{16}=\underline{300}$（升）。
    最终答案：甲桶 $420$ 升，丙桶 $300$ 升。
  105. 31. ch11-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（抓不变量）：送书过程中两人书的总数不变，把总数看作单位 1。开始时墨墨占总数的 $\frac{2}{2+7}=\underline{2/9}$。
    2. 第 2 步（倍比化占比）：后来墨墨占总数的 $\frac{5}{5+13}=\underline{5/18}$。
    3. 第 3 步（分率之差）：墨墨增加了总数的 $\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\underline{1/18}$，这正对应送来的 $24$ 本。
    4. 第 4 步（对应量求总量）：总数为 $24\div\frac{1}{18}=\underline{432}$（本）。
    5. 第 5 步（求原来的相差）：原来卡莉亚占 $1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$，两人相差 $432\times\left(\frac{7}{9}-\frac{2}{9}\right)=\underline{240}$（本）。
    最终答案：原来墨墨比卡莉亚少 $240$ 本书。
  106. 31. ch11-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（抓不变量）：两人邮票总数不变，看作单位 1，开始时妹妹占 $\frac{2}{2+7}=\underline{2/9}$。
    2. 第 2 步（倍比化占比）：后来妹妹占 $\frac{5}{5+13}=\underline{5/18}$。
    3. 第 3 步（分率之差）：$\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\underline{1/18}$，对应 $24$ 张。
    4. 第 4 步（对应量求总量）：$24\div\frac{1}{18}=\underline{432}$（张）。
    5. 第 5 步（求原来相差）：$432\times\left(\frac{7}{9}-\frac{2}{9}\right)=\underline{240}$（张）。
    最终答案：原来妹妹比哥哥少 $240$ 张邮票。
  107. 31. ch11-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（抓不变量）：总数不变看作单位 1，开始墨墨占 $\frac{2}{2+7}=\underline{2/9}$，后来占 $\frac{5}{5+13}=\underline{5/18}$。
    2. 第 2 步（分率之差）：$\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\underline{1/18}$，对应 $24$ 本。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $24\div\frac{1}{18}=\underline{432}$（本）。
    4. 第 4 步（占比求量）：现在墨墨有 $432\times\frac{5}{18}=\underline{120}$（本）。
    最终答案：现在墨墨有 $120$ 本书。
  108. 31. ch11-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（抓不变量）：总数看作单位 1，开始墨墨占 $\frac{2}{2+7}=\underline{2/9}$，后来占 $\frac{5}{5+13}=\underline{5/18}$。
    2. 第 2 步（分率之差）：$\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\underline{1/18}$，对应 $24$ 本。
    3. 第 3 步（对应量求总量）：总数 $24\div\frac{1}{18}=\underline{432}$（本）。
    4. 第 4 步（分别求现在的量）：墨墨 $432\times\frac{5}{18}=\underline{120}$（本），卡莉亚 $432\times\frac{13}{18}=\underline{312}$（本）。
    5. 第 5 步（求相差）：$312-120=\underline{192}$（本）。
    最终答案：两人共有 $432$ 本书，送书后卡莉亚比墨墨多 $192$ 本。
  109. 32. ch11-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（抓不变量）：男生人数始终没变，把男生看作 $1$ 份。由女生占 $\frac{3}{11}$，得男生占总人数的 $1-\frac{3}{11}=\underline{8/11}$。
    2. 第 2 步（占比化份数）：总人数为 $1\div\frac{8}{11}=\underline{11/8}$（份），开始时女生为 $\frac{11}{8}-1=\underline{3/8}$（份）。
    3. 第 3 步（后来的份数）：后来女生是男生的 $\frac{3}{4}$，即 $\frac{3}{4}$ 份，比原来增加了 $\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\underline{3/8}$（份）。
    4. 第 4 步（对应量求 1 份）：这 $\frac{3}{8}$ 份就是新来的 $33$ 人，$1$ 份 $=33\div\frac{3}{8}=\underline{88}$（人）。
    5. 第 5 步（求现在总人数）：$88\times\left(1+\frac{3}{4}\right)=\underline{154}$（人）。
    最终答案：操场上现在有 $154$ 名同学。
  110. 32. ch11-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（抓不变量）：男团员人数不变，看作 $1$ 份，男团员占总人数的 $1-\frac{3}{11}=\underline{8/11}$。
    2. 第 2 步（占比化份数）：总人数为 $1\div\frac{8}{11}=\underline{11/8}$（份），原女团员为 $\frac{11}{8}-1=\underline{3/8}$（份）。
    3. 第 3 步（份数差）：$\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\underline{3/8}$（份）对应新招的 $33$ 人。
    4. 第 4 步（求 1 份）：$33\div\frac{3}{8}=\underline{88}$（人）。
    5. 第 5 步（求现在人数）：$88\times\left(1+\frac{3}{4}\right)=\underline{154}$（人）。
    最终答案：合唱团现在有 $154$ 人。
  111. 32. ch11-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（抓不变量）：男生看作 $1$ 份，男生占总人数的 $1-\frac{3}{11}=\underline{8/11}$，开始女生为 $1\div\frac{8}{11}-1=\underline{3/8}$（份）。
    2. 第 2 步（份数差）：后来女生 $\frac{3}{4}$ 份，增加了 $\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\underline{3/8}$（份），对应 $33$ 人。
    3. 第 3 步（求 1 份）：男生 $=33\div\frac{3}{8}=\underline{88}$（人）。
    4. 第 4 步（求现在女生并作差）：现在女生 $88\times\frac{3}{4}=\underline{66}$（人），男生比女生多 $88-66=\underline{22}$（人）。
    最终答案：现在男生比女生多 $22$ 人。
  112. 32. ch11-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（抓不变量）：男生看作 $1$ 份，男生占总人数的 $1-\frac{3}{11}=\underline{8/11}$，总人数为 $1\div\frac{8}{11}=\underline{11/8}$（份），原女生 $\frac{11}{8}-1=\underline{3/8}$（份）。
    2. 第 2 步（份数差求 1 份）：$\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\underline{3/8}$（份）对应 $33$ 人，$1$ 份 $=33\div\frac{3}{8}=\underline{88}$（人）。
    3. 第 3 步（求原总人数）：$88\times\frac{11}{8}=\underline{121}$（人）。
    4. 第 4 步（求现总人数）：$88\times\left(1+\frac{3}{4}\right)=\underline{154}$（人）。
    最终答案：原来有 $121$ 人，现在有 $154$ 人。