竞赛数学 · 五年级 第12讲《应用题拓展》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch12-chaoyue-01】植物园里菊花与月季花的盆数之比是 $3:4$，兰花与郁金香的盆数之比是 $5:6$，菊花与郁金香的盆数之比是 $4:5$。如果月季比兰花多 $50$ 多盆，那么菊花比郁金香少多少盆？
详细思路
是哪类问题：这是「多重比例统一 + 范围估计」类应用题：三个两两比涉及四种花，要把它们统一到同一套份数上。
关键切入点：菊:月 $=3:4$、菊:郁 $=4:5$，先统一菊花：取 $3$ 与 $4$ 的公倍数 $24$，得菊:月 $=24:32$、菊:郁 $=24:30$。再由兰:郁 $=5:6$ 求兰花：郁金香 $30$ 份对应比里的 $6$，故兰花 $=30\div 6\times 5=25$ 份。这样四种花统一为菊 $24$、月 $32$、兰 $25$、郁 $30$ 份。月季比兰花多 $7$ 份，而“多 $50$ 多盆”只允许 $7\times 8=56$，每份 $8$ 盆。
方法概述：把三组比统一成同一连比，用月季比兰花的差对应份数定每份，再求菊郁之差。
规范步骤：
  1. 统一菊花份数：$3:4=24:32$，$4:5=24:30$（取公倍数 $24$）
  2. 由兰:郁求兰花份数：$30\div 6\times 5=25$（份）（以郁金香为桥梁）
  3. 把差化成份数：$32-25=7$（份）（月季比兰花多）
  4. 用“$50$ 多盆”定每份：$7\times 8=56$，故每份 $8$ 盆（范围估计）
  5. 求菊比郁少多少：$(30-24)\times 8=48$（盆）（份数差乘每份）
第一套
题目：植物园里菊花与月季花的盆数之比是 $4:5$，兰花与郁金香的盆数之比是 $7:9$，菊花与郁金香的盆数之比是 $3:4$。如果月季比兰花多 $90$ 多盆，那么菊花比郁金香少多少盆？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（选谁做基准）：菊花同时出现在两个比里，先统一菊花。菊:月 $=4:5$、菊:郁 $=3:4$，$4$ 与 $3$ 的公倍数取 $108$：菊:月 $=108:\underline{\quad}$（由 $4:5$ 同乘 $27$），菊:郁 $=108:\underline{\quad}$（由 $3:4$ 同乘 $36$）。
  2. 第 2 步（求兰花份数）：兰:郁 $=7:9$，郁金香是 $144$ 份，对应比里的 $9$，所以兰花 $=144\div 9\times 7=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（把差化成份数）：月季比兰花多 $135-112=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（用范围定每份）：$23$ 的倍数中落在“$90$ 多”里的只有 $23\times 4=\underline{\quad}$，所以每份 $\underline{\quad}$ 盆。
  5. 第 5 步（求所问）：菊花比郁金香少 $144-108=\underline{\quad}$（份），即 $36\times 4=\underline{\quad}$（盆）。
第二套
题目：仓库里甲、乙、丙、丁四种货物，甲与乙的箱数之比是 $4:5$，丙与丁的箱数之比是 $7:9$，甲与丁的箱数之比是 $3:4$。如果乙比丙多 $90$ 多箱，那么甲比丁少多少箱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：先统一甲。甲:乙 $=4:5$、甲:丁 $=3:4$，取甲 $=108$ 份：甲:乙 $=108:\underline{\quad}$，甲:丁 $=108:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：丙:丁 $=7:9$，丁为 $144$ 份，故丙 $=144\div 9\times 7=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：乙比丙多 $135-112=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：$23\times 4=\underline{\quad}$ 是唯一落在“$90$ 多”里的倍数，每份 $\underline{\quad}$ 箱。
  5. 第 5 步：甲比丁少 $144-108=\underline{\quad}$（份），即 $36\times 4=\underline{\quad}$（箱）。
第三套
题目：植物园里菊花与月季的盆数之比是 $4:5$，兰花与郁金香之比是 $7:9$，菊花与郁金香之比是 $3:4$。如果月季比兰花多 $130$ 多盆，那么菊花比郁金香少多少盆？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：统一菊花为 $108$ 份，得菊:月:兰:郁 $=108:135:112:\underline{\quad}$（其中兰花由 $144\div 9\times 7=\underline{\quad}$ 得到）。
  2. 第 2 步：月季比兰花多 $135-112=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：$23$ 的倍数中落在“$130$ 多”里的只有 $23\times 6=\underline{\quad}$，每份 $\underline{\quad}$ 盆。
  4. 第 4 步：菊花比郁金香少 $(144-108)\times 6=\underline{\quad}$（盆）。
第三套
题目：植物园里菊花与月季的盆数之比是 $4:5$，兰花与郁金香之比是 $7:9$，菊花与郁金香之比是 $3:4$，月季比兰花多 $90$ 多盆。请问：菊花比郁金香少多少盆？四种花一共有多少盆？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：统一菊花为 $108$ 份，月季 $\underline{\quad}$ 份（$4:5$ 同乘 $27$），郁金香 $\underline{\quad}$ 份（$3:4$ 同乘 $36$），兰花 $144\div 9\times 7=\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步：月季比兰花多 $135-112=\underline{\quad}$（份），$23\times 4=\underline{\quad}$ 落在“$90$ 多”里，每份 $4$ 盆。
  3. 第 3 步（第一问）：菊花比郁金香少 $(144-108)\times 4=\underline{\quad}$（盆）。
  4. 第 4 步（第二问）：四种花的总份数 $108+135+112+144=\underline{\quad}$（份），共 $499\times 4=\underline{\quad}$（盆）。
2. 【原题 ch12-chaoyue-02】甲、乙、丙、丁包揽了班里期中考试的前四名。甲、乙的得分之和是 $108$ 分，乙、丙的得分之和是 $149$ 分，丙、丁的得分之和是 $121$ 分，并且知道其中第一名的得分是第三名的 $2$ 倍，那么第二名的得分是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「和差倍 + 分类讨论」类应用题：给的是相邻两人的得分之和，先两两作差把人与人的差挖出来，再用倍数关系定分。
关键切入点：$（乙+丙）-（甲+乙）=丙-甲=149-108=41$，所以丙比甲多 $41$ 分；$（乙+丙）-（丙+丁）=乙-丁=149-121=28$，乙比丁多 $28$ 分。可见丙比甲高、乙比丁高。若丙是第一名、甲是第三名，则丙 $=2\times$ 甲，又丙 $-$ 甲 $=41$，所以甲 $=41$、丙 $=82$，进而乙 $=108-41=67$、丁 $=121-82=39$，四人得分 $82>67>41>39$，第一名恰是第三名的 $2$ 倍，全部条件成立。
方法概述：由两两之和求出各人差关系，结合第一名是第三名 $2$ 倍分类确定得分。
规范步骤：
  1. 作差消元：$149-108=41$（丙比甲多），$149-121=28$（乙比丁多）（相邻两和相减）
  2. 分类：丙第一、甲第三：丙 $=2\times$甲，丙$-$甲$=$甲$=41$（和差倍）
  3. 求丙：$41\times 2=82$（分）
  4. 求乙、丁：$108-41=67$（分），$121-82=39$（分）（由两和还原）
  5. 验名次：$82>67>41>39$，第一名 $82=2\times 41$（验证分类成立）
  6. 写出答案：第二名 $67$ 分
第一套
题目：甲、乙、丙、丁包揽了班里期中考试的前四名。甲、乙的得分之和是 $120$ 分，乙、丙的得分之和是 $170$ 分，丙、丁的得分之和是 $140$ 分，并且第一名的得分是第三名的 $2$ 倍。那么第二名的得分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差消去乙）：$（乙+丙）-（甲+乙）$ 把乙消掉，$170-120=\underline{\quad}$（分），即丙比甲多这么多。
  2. 第 2 步（再作一次差消去丙）：$（乙+丙）-（丙+丁）$ 把丙消掉，$170-140=\underline{\quad}$（分），即乙比丁多这么多。
  3. 第 3 步（确定谁第一谁第三）：丙比甲高、乙比丁高。设丙是第一名、甲是第三名，则丙 $=2\times$ 甲，于是丙 $-$ 甲恰好等于甲，即甲 $=\underline{\quad}$（分），丙 $=50\times 2=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（求乙、丁）：乙 $=120-50=\underline{\quad}$（分），丁 $=140-100=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步（验名次）：四人得分从高到低是 $100$、$70$、$50$、$40$，第一名 $100=2\times \underline{\quad}$，与条件相符，所以第二名是 $70$ 分。
第二套
题目：甲、乙、丙、丁四人在跳绳比赛中包揽前四名。甲、乙跳的个数之和是 $120$，乙、丙之和是 $170$，丙、丁之和是 $140$，并且第一名的个数是第三名的 $2$ 倍。那么第二名跳了多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$170-120=\underline{\quad}$（个），即丙比甲多这么多。
  2. 第 2 步：$170-140=\underline{\quad}$（个），即乙比丁多这么多。
  3. 第 3 步：设丙第一、甲第三，则丙 $=2\times$ 甲，故甲 $=\underline{\quad}$（个），丙 $=50\times 2=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步：乙 $=120-50=\underline{\quad}$（个），丁 $=140-100=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步（验名次）：$100>70>50>40$，且 $100=2\times \underline{\quad}$，故第二名是 $70$ 个。
第三套
题目：甲、乙、丙、丁包揽前四名。甲、乙得分之和是 $110$，乙、丙之和是 $152$，丙、丁之和是 $125$，第一名的得分是第三名的 $2$ 倍。那么第二名的得分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$152-110=\underline{\quad}$（分），即丙比甲多这么多。
  2. 第 2 步：$152-125=\underline{\quad}$（分），即乙比丁多这么多。
  3. 第 3 步：丙第一、甲第三，丙 $=2\times$ 甲，故甲 $=\underline{\quad}$（分），丙 $=42\times 2=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步：乙 $=110-42=\underline{\quad}$（分），丁 $=125-84=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步（验名次）：$84>68>42>41$，且 $84=2\times \underline{\quad}$，第二名 $68$ 分。
第三套
题目：甲、乙、丙、丁包揽前四名，甲、乙之和 $120$ 分，乙、丙之和 $170$ 分，丙、丁之和 $140$ 分，第一名是第三名的 $2$ 倍。请问：第二名多少分？四人总分是多少？四人平均分是多少？第一名比平均分高多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$170-120=\underline{\quad}$（丙比甲多），$170-140=\underline{\quad}$（乙比丁多）；由丙 $=2\times$ 甲得甲 $=\underline{\quad}$、丙 $=50\times 2=\underline{\quad}$，再得乙 $=120-50=\underline{\quad}$、丁 $=140-100=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（第二问）：四人总分 $50+70+100+40=\underline{\quad}$（分）；也可以用 $120+140=\underline{\quad}$（分）验算，因为“甲乙”与“丙丁”正好把四人各算一次。
  3. 第 3 步（第三问）：平均分 $260\div 4=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（第四问）：第一名比平均分高 $100-65=\underline{\quad}$（分）。
3. 【原题 ch12-chaoyue-03】有四人的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了五次，称得的千克数分别是 $99$，$113$，$125$，$130$，$144$。其中有两人没有一起称过，那么这两个人中较重的那个人的体重是多少千克？
详细思路
是哪类问题：这是「两两求和 + 整体配对」类推理题：四人两两合称本应有 $6$ 个数，只给了 $5$ 个，缺的那一对正是所求。
关键切入点：把四人体重从小到大记作 $a\le b\le c\le d$。在全部 $6$ 个两两和中，$（a+b）+（c+d）=（a+c）+（b+d）=（a+d）+（b+c）=a+b+c+d$，也就是说 $6$ 个和能配成三对、每对之和都等于四人总重。已给的 $5$ 个数里 $99+144=113+130=243$，于是四人总重是 $243$ 千克，剩下的 $125$ 只能与缺称的那个和配对，缺称的一对合重 $243-125=118$（千克）。再由 $99=a+b$、$113=a+c$ 得 $c-b=14$，与 $b+c=118$ 联立即可求出 $b=52$、$c=66$，较重的是 $66$ 千克。
方法概述：利用最大与最小、次大与次小两对之和相等求总重，再定缺称的一对及其中较重者。
规范步骤：
  1. 找出配对相等的两组：$99+144=243$，$113+130=243$（两两和可三三配对，每对之和为总重）
  2. 确定四人总重：总重 $=243$（千克）
  3. 求缺称一对的合重：$243-125=118$（千克）（剩下的 $125$ 与缺的那个配对）
  4. 求两人的差：$113-99=14$（千克）（$(a+c)-(a+b)=c-b$）
  5. 和差问题解出两人：$(118-14)\div 2=52$，$(118+14)\div 2=66$（千克）（和差问题）
  6. 写出答案：较重的是 $66$ 千克
第一套
题目：有四人的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了五次，称得的千克数分别是 $115$，$127$，$145$，$150$，$162$。其中有两人没有一起称过，那么这两个人中较重的那个人的体重是多少千克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（发现配对规律）：四人两两合称本应有 $6$ 个数，它们可以配成三对，每对之和都等于四人体重总和。在已给的五个数里找一找：$115+162=\underline{\quad}$，$127+150=\underline{\quad}$，两者相等，说明四人总重就是这个数。
  2. 第 2 步（求缺称一对的合重）：剩下的 $145$ 要与缺称的那个数配对，所以缺称的两人合重 $277-145=\underline{\quad}$（千克）。
  3. 第 3 步（求这两人的差）：设四人体重从轻到重是 $a,b,c,d$，则最小的 $115=a+b$，次小的 $127=a+c$，两式相减得 $c-b=127-115=\underline{\quad}$（千克）。
  4. 第 4 步（和差问题）：已知这两人的和是 $132$、差是 $12$，较轻的 $(132-12)\div 2=\underline{\quad}$（千克），较重的 $(132+12)\div 2=\underline{\quad}$（千克）。
  5. 第 5 步（验算）：$60+72=\underline{\quad}$，与第 2 步一致。
第二套
题目：有四袋大米，重量都是整千克数。把它们两两放在一起称，共称了五次，称得 $115$，$127$，$145$，$150$，$162$ 千克。其中有两袋没有一起称过，那么这两袋中较重的一袋是多少千克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：六个两两和可配成三对，每对之和等于四袋总重。$115+162=\underline{\quad}$，$127+150=\underline{\quad}$，相等，故总重为此数。
  2. 第 2 步：缺称的一对合重 $277-145=\underline{\quad}$（千克）。
  3. 第 3 步：最小的 $115=a+b$、次小的 $127=a+c$，相减得 $c-b=127-115=\underline{\quad}$（千克）。
  4. 第 4 步：较轻 $(132-12)\div 2=\underline{\quad}$（千克），较重 $(132+12)\div 2=\underline{\quad}$（千克）。
  5. 第 5 步（验算）：$60+72=\underline{\quad}$（千克）。
第三套
题目：四人的体重都是整千克数，两两合称共称五次，得 $105$，$113$，$127$，$136$，$144$ 千克，有两人没有一起称过。求这两人中较重者的体重。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$105+144=\underline{\quad}$，$113+136=\underline{\quad}$，两者相等，即四人总重。
  2. 第 2 步：缺称的一对合重 $249-127=\underline{\quad}$（千克）。
  3. 第 3 步：最小的 $105=a+b$、次小的 $113=a+c$，相减得 $113-105=\underline{\quad}$（千克），就是这两人的差。
  4. 第 4 步：较轻 $(122-8)\div 2=\underline{\quad}$（千克），较重 $(122+8)\div 2=\underline{\quad}$（千克）。
  5. 第 5 步（验算）：$57+65=\underline{\quad}$（千克）。
第三套
题目：四人的体重都是整千克数，两两合称五次得 $115$，$127$，$145$，$150$，$162$ 千克，其中两人没有一起称过。请问：这两人中较重者多少千克？四人中最轻的和最重的各是多少千克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$115+162=\underline{\quad}$、$127+150=\underline{\quad}$，四人总重 $277$ 千克；缺称一对合重 $277-145=\underline{\quad}$（千克）。
  2. 第 2 步（第一问）：$127-115=\underline{\quad}$（千克）是两人之差，较轻 $(132-12)\div 2=\underline{\quad}$、较重 $(132+12)\div 2=\underline{\quad}$（千克）。
  3. 第 3 步（求最轻）：最小的合称 $115$ 就是最轻与次轻两人之和，最轻 $=115-60=\underline{\quad}$（千克）。
  4. 第 4 步（求最重）：四人总重减去其余三人，最重 $=277-55-60-72=\underline{\quad}$（千克）。
  5. 第 5 步（验算）：最大的合称应是最重与次重之和 $90+72=\underline{\quad}$，与已给的 $162$ 相符。
4. 【原题 ch12-chaoyue-04】有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到 $7$ 张；如果每人分 $8$ 张卡片，则还缺少 $5$ 张。现在把所有卡片都分完，每人分到 $60$ 张，而且还多出 $4$ 张。问：共有多少个小朋友？
详细思路
是哪类问题：这是「盈亏问题 + 整除分析」类应用题：同一盒卡片被反复用不同方式分，把条件都翻译成“每盒张数 $m$ 与人数 $n$”的关系再求整数解。
关键切入点：由“每人分 $8$ 张还缺 $5$ 张”得 $m=8n-5$；由“只分一盒每人至少 $7$ 张”得 $m\ge 7n$，代入得 $8n-5\ge 7n$，即 $n\ge 5$。全部卡片共 $60n+4$ 张，它一定是盒数与 $m$ 的乘积，所以 $m\mid(60n+4)$。设盒数为 $k$，则 $k=\frac{60n+4}{8n-5}$，$n$ 越大这个值越接近 $7.5$，而 $n=5$ 时它约为 $8.7$，故 $k$ 只能是 $8$；由 $8(8n-5)=60n+4$ 得 $4n=44$，$n=11$。
方法概述：由盈亏列出每盒张数与人数关系，再用总张数的整除性确定人数。
规范步骤：
  1. 把“缺 $5$ 张”写成等式：$m=8n-5$（盈亏问题）
  2. 把“至少 $7$ 张”写成不等式：$8n-5\ge 7n\Rightarrow n\ge 5$（范围估计）
  3. 总张数与盒数的关系：总张数 $=60n+4=k\times(8n-5)$（整除分析）
  4. 估计盒数 $k$ 的范围：$7.5<k\le\frac{60\times 5+4}{35}\approx 8.7$，故 $k=8$（范围估计）
  5. 解出人数：$8(8n-5)=60n+4\Rightarrow 4n=44\Rightarrow n=11$（解方程）
  6. 验算：$m=83$，总张数 $664=8\times 83$，且 $83\ge 77$
第一套
题目：有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友：如果只分一盒，每人至少可以得到 $11$ 张；如果每人分 $13$ 张卡片，则一盒还缺少 $8$ 张。现在把所有卡片都分完，每人分到 $111$ 张，而且还多出 $6$ 张。问：共有多少个小朋友？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把“缺 $8$ 张”写成等式）：设每盒 $m$ 张、小朋友 $n$ 人。“每人分 $13$ 张缺 $8$ 张”说明一盒的张数是 $m=13n-\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（把“至少 $11$ 张”写成不等式）：$13n-8\ge 11n$，两边约掉 $11n$ 得 $2n\ge 8$，所以 $n\ge 8\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用总张数的整除性）：全部卡片共 $111n+6$ 张，它等于盒数 $k$ 乘每盒张数，即 $k(13n-8)=111n+6$。$n$ 很大时 $k$ 接近 $111\div 13\approx 8.5$，而 $n=4$ 时 $k$ 约为 $450\div 44\approx 10.2$，所以 $k$ 只能取 $9$ 或 $10$。
  4. 第 4 步（逐个试 $k$）：$k=10$ 时 $130n-80=111n+6$，$19n=86$ 不是整数，舍去；$k=9$ 时 $117n-72=111n+6$，$6n=72+6=\underline{\quad}$，$n=78\div 6=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（验算）：每盒 $13\times 13-8=\underline{\quad}$（张），总张数 $111\times 13+6=\underline{\quad}$（张），盒数 $1449\div 161=\underline{\quad}$（盒），且 $161\ge 11\times 13=\underline{\quad}$，各条件都满足。
第二套
题目：有若干箱贴纸，每箱数量一样多。把贴纸分给一些同学：如果只分一箱，每人至少能得到 $11$ 张；如果每人分 $13$ 张，则一箱还缺 $8$ 张。现在把所有贴纸都分完，每人分到 $111$ 张，还多出 $6$ 张。问：共有多少名同学？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每箱 $m$ 张、同学 $n$ 人，由“每人 $13$ 张缺 $8$ 张”得 $m=13n-\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：由“至少 $11$ 张”得 $13n-8\ge 11n$，即 $2n\ge 8$，$n\ge 8\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：总张数 $111n+6=k(13n-8)$，$k$ 只能是 $9$ 或 $10$。
  4. 第 4 步：$k=10$ 时 $19n=86$ 不成立；$k=9$ 时 $6n=72+6=\underline{\quad}$，$n=78\div 6=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（验算）：每箱 $13\times 13-8=\underline{\quad}$（张），总张数 $111\times 13+6=\underline{\quad}$（张），箱数 $1449\div 161=\underline{\quad}$（箱），且 $161\ge 11\times 13=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有若干盒卡片，每盒张数相同。只分一盒时每人至少能得 $14$ 张；每人分 $16$ 张则一盒缺 $10$ 张；把所有卡片分完，每人分到 $122$ 张还多出 $10$ 张。问：共有多少个小朋友？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每盒 $m$ 张、$n$ 人，由“缺 $10$ 张”得 $m=16n-\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：由“至少 $14$ 张”得 $16n-10\ge 14n$，即 $2n\ge 10$，$n\ge 10\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：总张数 $122n+10=k(16n-10)$；$n$ 大时 $k$ 接近 $122\div 16\approx 7.6$，$n=5$ 时约 $620\div 70\approx 8.9$，故 $k=8$。
  4. 第 4 步：$8(16n-10)=122n+10$，即 $128n-80=122n+10$，$6n=80+10=\underline{\quad}$，$n=90\div 6=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（验算）：每盒 $16\times 15-10=\underline{\quad}$（张），总张数 $122\times 15+10=\underline{\quad}$（张），盒数 $1840\div 230=\underline{\quad}$（盒）。
第三套
题目：有若干盒卡片，每盒张数相同。只分一盒时每人至少得 $11$ 张；每人分 $13$ 张则一盒缺 $8$ 张；把所有卡片分完，每人分到 $111$ 张还多 $6$ 张。问：共有多少个小朋友？每盒多少张？一共多少盒？一共多少张卡片？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：由“缺 $8$ 张”得 $m=13n-\underline{\quad}$；由“至少 $11$ 张”得 $2n\ge 8$，$n\ge \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第一问）：$k=9$ 时 $117n-72=111n+6$，$6n=\underline{\quad}$，$n=78\div 6=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（第二问）：每盒 $13\times 13-8=\underline{\quad}$（张）。
  4. 第 4 步（第四问先算总数）：一共 $111\times 13+6=\underline{\quad}$（张）。
  5. 第 5 步（第三问）：盒数 $1449\div 161=\underline{\quad}$（盒）。
  6. 第 6 步（验算）：$9\times 161=\underline{\quad}$（张），与总张数相符；又 $161\ge 11\times 13=\underline{\quad}$，“只分一盒每人至少 $11$ 张”也成立。
5. 【原题 ch12-chaoyue-05】某次考试共有 $100$ 道题，每题一分，做错不扣分，甲、乙、丙三位同学分别得 $90$ 分、$70$ 分、$50$ 分。其中 $3$ 个人都做出来的题叫做“容易题”，只有 $1$ 个人做出来的题目叫做“较难题”，没人做出来的题目叫做“特难题”，且“较难题”是“特难题”的 $3$ 倍。又已知丙同学做出的题中超过 $80\%$ 的是“容易题”，但又不全是“容易题”。请问：“特难题”共有多少道？
详细思路
是哪类问题：这是「按做出人数分类计数 + 方程建模」类应用题：把 $100$ 道题按“被几个人做出来”分成四类，再用总做出题数列方程。
关键切入点：设特难题（$0$ 人做出）$a$ 道，则较难题（$1$ 人做出）$3a$ 道；再设容易题（$3$ 人做出）$b$ 道，于是有 $2$ 人做出的题有 $100-a-3a-b=100-4a-b$ 道。三人做出的题目总数是 $90+70+50=210$ 道次，按类别计数为 $1\times 3a+2\times(100-4a-b)+3\times b=210$，整理得 $b-5a=10$，即 $b=5a+10$。丙做出 $50$ 道，其中容易题 $b$ 道要超过 $80\%$ 但不全是，即 $40<b<50$，由 $b=5a+10$ 得 $a=7$（此时 $b=45$）。
方法概述：按做出人数分类计数列方程，结合丙的 $80\%$ 约束确定特难题数。
规范步骤：
  1. 设未知数并表示各类题数：特难 $a$、较难 $3a$、容易 $b$、$2$ 人做出 $100-4a-b$（分类计数）
  2. 统计三人做出的题数总和：$90+70+50=210$（道次）（按人计数）
  3. 按类别计数列方程：$3a+2(100-4a-b)+3b=210$（同一量两种数法）
  4. 化简：$b-5a=10$，即 $b=5a+10$（整理）
  5. 用丙的约束定 $a$：$40<b<50$ 且 $b=5a+10$，得 $b=45$、$a=7$（百分数约束）
  6. 写出答案：特难题 $7$ 道
6. 【原题 ch12-chaoyue-06】中关村一小、中关村二小两校春游的人数都是 $10$ 的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满。现在知道，若两校都租用有 $14$ 个座位的旅游车，则两校共需租用这种车 $72$ 辆；若两校都租用 $19$ 个座位的旅游车，则中关村二小要比中关村一小多租用这种车 $7$ 辆。问两校参加这次春游的人数各是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「进一法取整 + 整数约束」类应用题：人数要换成车辆数必须向上取整，取整会“抹掉”一部分信息，只能靠范围与整除性补回来。
关键切入点：两校人数都是 $10$ 的倍数。若都租 $14$ 座车共 $72$ 辆，则总人数不超过 $14\times 72=1008$，又至少要比 $14\times 70=980$ 多（否则 $71$ 辆就够，两校各自取整最多只“浪费” $2$ 辆），可知总人数在 $1000$ 左右且是 $10$ 的倍数；取总人数 $1000$ 人。再看 $19$ 座车：一小 $430$ 人需 $\lceil430\div19\rceil=23$ 辆，二小 $570$ 人需 $570\div19=30$ 辆，恰好相差 $7$ 辆，同时 $\lceil430\div14\rceil=31$、$\lceil570\div14\rceil=41$，共 $72$ 辆，全部条件吻合。
方法概述：用尽量坐满、向上取整列出车辆数与人数关系，结合 $10$ 的倍数求解。
规范步骤：
  1. 估计总人数：$14\times 70=980$，$14\times 72=1008$，故总人数约为 $1000$（进一法取整的范围）
  2. 设两校人数：一小 $430$ 人，二小 $570$ 人，共 $1000$ 人（均为 $10$ 的倍数）
  3. 验证 $14$ 座车：$430\div 14=30.7\to 31$（辆），$570\div 14=40.7\to 41$（辆），$31+41=72$（辆）（进一法）
  4. 验证 $19$ 座车：$430\div 19=22.6\to 23$（辆），$570\div 19=30$（辆），$30-23=7$（辆）（进一法）
  5. 写出答案：一小 $430$ 人，二小 $570$ 人
7. 【原题 ch12-chaoyue-07】工地要用每根长 $7.4$ 米的原材料做 $100$ 套钢筋，每套 $3$ 根，长度分别为 $2.9$ 米、$1.5$ 米、$2.1$ 米。请问：至少要用多少根原材料？
详细思路
是哪类问题：这是「下料问题·组合优化」类应用题：要在“每根原材料只有 $7.4$ 米”的限制下，凑出三种长度各 $100$ 根，且用料最省。
关键切入点：先找出浪费最少的几种切法：$2.9+1.5\times 3=7.4$（不浪费）；$2.9\times 2+1.5=7.3$（浪费 $0.1$ 米）；$2.9+2.1\times 2=7.1$（浪费 $0.3$ 米）。三种长度各要 $100$ 根，用第一种切法 $30$ 根、第二种 $10$ 根、第三种 $50$ 根：$2.9$ 米的有 $30+20+50=100$ 根，$1.5$ 米的有 $90+10=100$ 根，$2.1$ 米的有 $100$ 根，正好满足，共用 $30+10+50=90$ 根原材料。
方法概述：列出每根原材料的几种少浪费切法，搭配各长度需求使总根数最少。
规范步骤：
  1. 列出少浪费的切法：$2.9+1.5\times 3=7.4$；$2.9\times 2+1.5=7.3$；$2.9+2.1\times 2=7.1$（枚举切法）
  2. 搭配根数：三种切法分别用 $30$、$10$、$50$ 根（组合优化）
  3. 核对 $2.9$ 米：$30\times 1+10\times 2+50\times 1=100$（根）（计数核对）
  4. 核对 $1.5$ 米：$30\times 3+10\times 1=100$（根）（计数核对）
  5. 核对 $2.1$ 米：$50\times 2=100$（根）（计数核对）
  6. 求原材料根数：$30+10+50=90$（根）
8. 【原题 ch12-chaoyue-08】四只猴子摘了一堆桃子，它们准备先回去睡一觉后再来分桃子。过了一会，其中一只猴子来了，它见别的猴子没来，便把桃子平分成 $4$ 堆，发现余下 $3$ 个，于是给其中三堆各多分了一个桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；又过了一会儿，另一只猴子来了，它把桃子又平分成 $4$ 堆，发现余下 $3$ 个，于是给其中三堆各多分了一个桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；轮到另外两只猴子时，分别发生了同样的事情。如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「余数与整除 + 递推」类应用题：每只猴子的动作完全一样，要找出“前一只与后一只拿走的桃子”之间的固定关系。
关键切入点：设总数为 $4k+3$，第一只猴子平分成 $4$ 堆每堆 $k$ 个、余 $3$ 个，给三堆各加 $1$ 后拿走剩下的一堆 $k$ 个，还剩 $3k+3$ 个。第二只猴子拿走 $\frac{(3k+3)-3}{4}=\frac{3}{4}k$ 个——恰好是第一只的 $\frac{3}{4}$。同理每只猴子拿走的都是前一只的 $\frac{3}{4}$，第四只拿走 $\left(\frac{3}{4}\right)^3k=\frac{27k}{64}$ 个。要求每次都是整数且最后一只至少拿 $1$ 个，$k$ 必须是 $64$ 的倍数，最小 $k=64$，总数最少 $4\times 64+3=259$ 个。
方法概述：设总数为 $4k+3$ 逐次表示各猴所得，要求每步整数且末次至少 $1$ 个，取最小总数。
规范步骤：
  1. 设总数并算第一只：总数 $=4k+3$，第一只拿走 $k$ 个，剩 $3k+3$ 个（带余除法）
  2. 算第二只：$\frac{(3k+3)-3}{4}=\frac{3}{4}k$（个）（同样的操作）
  3. 发现固定比例：每只拿走的都是前一只的 $\frac{3}{4}$（递推）
  4. 第四只拿走的个数：$\left(\frac{3}{4}\right)^3k=\frac{27k}{64}$（个）（连乘）
  5. 定 $k$ 的最小值：$64\mid k$ 且 $\frac{27k}{64}\ge 1$，故 $k=64$（整除与最小值）
  6. 求总数：$4\times 64+3=259$（个）
第一套
题目：五只猴子摘了一堆桃子，准备睡一觉再来分。第一只猴子先来，把桃子平分成 $4$ 堆，发现余下 $3$ 个，于是给其中三堆各多分一个，然后拿走余下的一堆跑掉了；后面四只猴子来的时候，分别发生了同样的事情。如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设总数）：设总数为 $4k+3$。第一只猴子平分成 $4$ 堆每堆 $k$ 个、余 $3$ 个，给三堆各加 $1$ 后拿走剩下的一堆，拿走 $\underline{\quad}\times k$ 个，还剩 $3k+3$ 个。
  2. 第 2 步（算第二只）：第二只面对 $3k+3$ 个，它拿走 $\dfrac{(3k+3)-3}{4}=\dfrac{\underline{\quad}}{4}k$ 个，正好是第一只的 $\frac{3}{4}$。
  3. 第 3 步（找规律）：每只猴子拿走的都是前一只的 $\frac{3}{4}$，所以第五只拿走 $\left(\frac{3}{4}\right)^{\underline{\quad}}k$ 个（指数等于 $5-1$）。
  4. 第 4 步（定 $k$）：要让这四次除以 $4$ 都得到整数，$k$ 必须是 $4^4=\underline{\quad}$ 的倍数；又要求第五只至少拿 $1$ 个，取最小的 $k=256$。
  5. 第 5 步（求总数）：$4\times 256+3=\underline{\quad}$（个）。
  6. 第 6 步（验算五只猴子各拿多少）：依次是 $256$、$256\times 3/4=\underline{\quad}$、$192\times 3/4=\underline{\quad}$、$144\times 3/4=\underline{\quad}$、$108\times 3/4=\underline{\quad}$（个），最后一只拿到的仍不小于 $1$。
第二套
题目：五个小朋友一起摘了一堆糖果，约好过后再分。第一个小朋友先来，把糖果平分成 $4$ 堆，发现余下 $3$ 颗，于是给其中三堆各多放一颗，然后拿走余下的一堆走了；后面四个小朋友来的时候也都这样做。如果最后一个小朋友至少拿走了一颗糖，那么这堆糖果至少有多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设总数为 $4k+3$，第一个人拿走 $\underline{\quad}\times k$ 颗，剩 $3k+3$ 颗。
  2. 第 2 步：第二个人拿走 $\dfrac{(3k+3)-3}{4}=\dfrac{\underline{\quad}}{4}k$ 颗，是前一个人的 $\frac{3}{4}$。
  3. 第 3 步：第五个人拿走 $\left(\frac{3}{4}\right)^{\underline{\quad}}k$ 颗。
  4. 第 4 步：$k$ 必须是 $4^4=\underline{\quad}$ 的倍数，取最小 $k=256$。
  5. 第 5 步：总数 $4\times 256+3=\underline{\quad}$（颗）。
  6. 第 6 步（验算）：五人依次拿 $256$、$256\times 3/4=\underline{\quad}$、$192\times 3/4=\underline{\quad}$、$144\times 3/4=\underline{\quad}$、$108\times 3/4=\underline{\quad}$（颗）。
第三套
题目：四只猴子摘了一堆桃子。每只猴子来的时候都把桃子平分成 $5$ 堆，发现余下 $4$ 个，于是给其中四堆各多分一个，然后拿走余下的一堆跑掉。如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设总数为 $5k+4$，第一只拿走 $k$ 个，剩下 $\underline{\quad}k+4$ 个（把四堆各加一个后合起来）。
  2. 第 2 步：第二只面对 $4k+4$ 个，拿走 $\dfrac{(4k+4)-4}{5}=\dfrac{\underline{\quad}}{5}k$ 个，是第一只的 $\frac{4}{5}$。
  3. 第 3 步：每只都是前一只的 $\frac{4}{5}$，第四只拿走 $\left(\frac{4}{5}\right)^{\underline{\quad}}k$ 个。
  4. 第 4 步：要让三次除以 $5$ 都是整数，$k$ 必须是 $5^3=\underline{\quad}$ 的倍数，取最小 $k=125$。
  5. 第 5 步：总数 $5\times 125+4=\underline{\quad}$（个）。
  6. 第 6 步（验算）：四只依次拿 $125$、$125\times 4/5=\underline{\quad}$、$100\times 4/5=\underline{\quad}$、$80\times 4/5=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：五只猴子摘了一堆桃子，每只猴子来时都把桃子平分成 $4$ 堆、余下 $3$ 个，给其中三堆各多分一个后拿走余下的一堆。最后一只猴子至少拿走一个桃子。请问：这堆桃子至少有多少个？五只猴子各拿走多少个？最后还剩多少个桃子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定总数）：每只拿走的是前一只的 $\frac{3}{4}$，要连续四次除以 $4$ 得整数，$k$ 必须是 $4^4=\underline{\quad}$ 的倍数，最小 $k=256$，总数 $4\times 256+3=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（各猴所得）：$256$、$256\times 3/4=\underline{\quad}$、$192\times 3/4=\underline{\quad}$、$144\times 3/4=\underline{\quad}$、$108\times 3/4=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（求五只猴子共拿走）：$256+192+144+108+81=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（求剩余）：$1027-781=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步（换个算法验算）：最后一只拿走 $81$ 个前，堆里有 $4\times 81+3=\underline{\quad}$ 个，它拿走 $81$ 个后剩下 $327-81=\underline{\quad}$（个），与上面一致。
9. 【原题 ch12-tuozhan-01】红旗小学共有师生 $1081$ 人。其中老师与学生的人数之比为 $2:45$，男生与女生的人数之比为 $5:4$。请问：红旗小学的老师、男生和女生各有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「多层按比分配」类应用题：先用第一个比把总数分成两部分，再用第二个比把其中一部分继续分。
关键切入点：第一个比 $2:45$ 管的是“老师与学生”，总份数 $47$，可直接从 $1081$ 人里分出老师；第二个比 $5:4$ 管的只是学生内部，必须先把学生人数算出来再分，不能拿它去分 $1081$。分清每个比作用的对象是这类题的关键。
方法概述：先按师生比分出老师与学生，再按男女比分配学生。
规范步骤：
  1. 第一层分配：$1081\div(2+45)=23$（人/份），老师 $=23\times 2=46$（人）（按比分配）
  2. 求学生人数：$1081-46=1035$（人）（总数减老师）
  3. 第二层分配：$1035\div(5+4)=115$（人/份）（比只作用于学生）
  4. 求男生、女生：男 $=115\times 5=575$（人），女 $=115\times 4=460$（人）（按份数分配）
  5. 写出答案：老师 $46$、男生 $575$、女生 $460$
第一套
题目：新苗小学共有师生 $1700$ 人。其中老师与学生的人数之比为 $4:81$，男生与女生的人数之比为 $5:4$。请问：老师、男生和女生各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一层：分出老师）：师生总份数 $4+81=\underline{\quad}$（份），每份 $1700\div 85=\underline{\quad}$（人），老师 $20\times 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（求学生数）：$1700-80=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（第二层：分学生）：注意 $5:4$ 只分学生，不分总人数。学生的总份数 $5+4=\underline{\quad}$（份），每份 $1620\div 9=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步：男生 $180\times 5=\underline{\quad}$（人），女生 $180\times 4=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某工厂共有职工 $1700$ 人，其中管理人员与一线工人的人数之比为 $4:81$，一线工人中男工与女工的人数之比为 $5:4$。请问：管理人员、男工、女工各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总份数 $4+81=\underline{\quad}$（份），每份 $1700\div 85=\underline{\quad}$（人），管理人员 $20\times 4=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步：一线工人 $1700-80=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步：工人内部总份数 $5+4=\underline{\quad}$（份），每份 $1620\div 9=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步：男工 $180\times 5=\underline{\quad}$（人），女工 $180\times 4=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：新苗小学共有师生 $1700$ 人，老师与学生的人数之比为 $4:81$，学生中男生与女生的人数之比为 $7:5$。请问：男生和女生各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总份数 $4+81=\underline{\quad}$（份），每份 $1700\div 85=\underline{\quad}$（人），老师 $20\times 4=\underline{\quad}$（人），学生 $1700-80=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步：学生内部总份数 $7+5=\underline{\quad}$（份），每份 $1620\div 12=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步：男生 $135\times 7=\underline{\quad}$（人），女生 $135\times 5=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：新苗小学共有师生 $1700$ 人，老师与学生的人数之比为 $4:81$，学生中男生与女生的人数之比为 $5:4$。请问：男生比老师多多少人？男生人数与全校师生总数的比是多少（把这个比化成最简整数比后，求前项与后项之和）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每份 $1700\div(4+81)=\underline{\quad}$（人），老师 $20\times 4=\underline{\quad}$（人），学生 $1700-80=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步：学生每份 $1620\div(5+4)=\underline{\quad}$（人），男生 $180\times 5=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（第一问）：男生比老师多 $900-80=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（第二问）：男生与总人数之比是 $900:1700$，两项同除以 $100$ 得 $900\div 100=\underline{\quad}$、$1700\div 100=\underline{\quad}$，即 $9:17$，前后项之和 $9+17=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch12-tuozhan-02】萱萱去商店买了 $4$ 千克水果糖、$2$ 千克奶糖和 $3$ 千克巧克力糖。如果每块糖果的重量都相同，奶糖和巧克力糖一共有 $160$ 块，那么水果糖有多少块？
详细思路
是哪类问题：这是「等量关系转化为比 + 按比分配」类应用题：给的是重量，问的是块数，需要一次转化。
关键切入点：每块糖果一样重，所以“重量多几倍，块数就多几倍”，块数之比等于重量之比 $4:2:3$。奶糖和巧克力糖合起来是 $2+3=5$ 份，正好对应已知的 $160$ 块，这样就能求出一份是多少块。
方法概述：同重量下块数与总重成正比，把重量比当块数比按份数求解。
规范步骤：
  1. 把重量比转成块数比：水果:奶:巧$=4:2:3$（每块重量相同）
  2. 已知的两种合占几份：$2+3=5$（份）（对应 $160$ 块）
  3. 求每份：$160\div 5=32$（块）（总量除以份数）
  4. 求水果糖：$32\times 4=128$（块）（每份乘份数）
  5. 写出答案：$128$ 块
第一套
题目：萱萱买了 $6$ 千克水果糖、$3$ 千克奶糖和 $5$ 千克巧克力糖。如果每块糖果的重量都相同，奶糖和巧克力糖一共有 $352$ 块，那么水果糖有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（为什么可以把重量比当块数比）：每块糖一样重，所以块数与重量成正比，块数之比就是重量之比 $6:3:5$。
  2. 第 2 步（找已知量对应的份数）：奶糖和巧克力糖合起来占 $3+5=\underline{\quad}$（份），正好是 $352$ 块。
  3. 第 3 步（求每份）：$352\div 8=\underline{\quad}$（块）。
  4. 第 4 步（求水果糖）：水果糖占 $6$ 份，$44\times 6=\underline{\quad}$（块）。
第二套
题目：工人师傅领了 $6$ 千克圆钉、$3$ 千克方钉和 $5$ 千克螺丝钉。如果每枚钉子的重量都相同，方钉和螺丝钉一共有 $352$ 枚，那么圆钉有多少枚？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每枚钉子一样重，枚数之比等于重量之比 $6:3:5$。
  2. 第 2 步：方钉与螺丝钉共占 $3+5=\underline{\quad}$（份），对应 $352$ 枚。
  3. 第 3 步：每份 $352\div 8=\underline{\quad}$（枚）。
  4. 第 4 步：圆钉 $44\times 6=\underline{\quad}$（枚）。
第三套
题目：萱萱买了 $6$ 千克水果糖、$3$ 千克奶糖和 $5$ 千克巧克力糖，每块糖重量相同。已知水果糖有 $264$ 块，那么三种糖一共有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：块数之比等于重量之比 $6:3:5$，总份数 $6+3+5=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：水果糖 $264$ 块占 $6$ 份，每份 $264\div 6=\underline{\quad}$（块）。
  3. 第 3 步：三种糖共 $44\times 14=\underline{\quad}$（块）。
第三套
题目：萱萱买了 $6$ 千克水果糖、$3$ 千克奶糖和 $5$ 千克巧克力糖，每块糖重量相同，奶糖和巧克力糖一共 $352$ 块。请问：水果糖比巧克力糖多多少块？三种糖一共多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：块数之比 $=6:3:5$；奶糖与巧克力糖共 $3+5=\underline{\quad}$（份），每份 $352\div 8=\underline{\quad}$（块）。
  2. 第 2 步（第一问）：水果糖比巧克力糖多 $6-5=\underline{\quad}$（份），即 $44\times 1=\underline{\quad}$（块）。
  3. 第 3 步（第二问）：总份数 $6+3+5=\underline{\quad}$（份），共 $44\times 14=\underline{\quad}$（块）。
11. 【原题 ch12-tuozhan-03】万泉小学的师生在植树节栽种柳树、杨树和槐树共 $860$ 棵，其中柳树和杨树棵数的比为 $3:4$，杨树与槐树棵数的比为 $5:2$。请问：这三种树各栽种了多少棵？
详细思路
是哪类问题：这是「连比统一 + 按比分配」类应用题：两个两两比通过公共项统一成三项连比后，再分配总量。
关键切入点：杨树在两个比里都出现，是桥梁。柳:杨 $=3:4$、杨:槐 $=5:2$，把杨统一成 $20$（$4$ 与 $5$ 的最小公倍数）：柳:杨 $=15:20$，杨:槐 $=20:8$，于是柳:杨:槐 $=15:20:8$，总份数 $43$，正好整除 $860$。
方法概述：以公共项杨树统一比，得三者连比后按份数分配总量。
规范步骤：
  1. 统一杨树的份数：$3:4=15:20$，$5:2=20:8$（比的基本性质）
  2. 写出连比与总份数：柳:杨:槐$=15:20:8$，$15+20+8=43$（份）（以杨树为桥梁）
  3. 求每份：$860\div 43=20$（棵）（总量除以总份数）
  4. 求三种树：$20\times 15=300$，$20\times 20=400$，$20\times 8=160$（棵）（按份数分配）
  5. 写出答案：柳 $300$、杨 $400$、槐 $160$
第一套
题目：某校师生在植树节栽种柳树、杨树和槐树共 $1950$ 棵，其中柳树与杨树棵数的比为 $4:5$，杨树与槐树棵数的比为 $7:3$。请问：三种树各栽了多少棵？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找桥梁并统一）：杨树在两个比里分别是 $5$ 和 $7$，取公共份数 $35$。柳:杨 $=4:5=\underline{\quad}:35$，杨:槐 $=7:3=35:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写连比）：柳:杨:槐 $=28:35:15$，总份数 $28+35+15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求每份）：$1950\div 78=\underline{\quad}$（棵）。
  4. 第 4 步（分配）：柳 $25\times 28=\underline{\quad}$，杨 $25\times 35=\underline{\quad}$，槐 $25\times 15=\underline{\quad}$（棵）。
第二套
题目：商店进了苹果汁、橙汁和葡萄汁共 $1950$ 瓶，苹果汁与橙汁瓶数的比为 $4:5$，橙汁与葡萄汁瓶数的比为 $7:3$。请问：三种饮料各进了多少瓶？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：以橙汁为桥梁，苹果汁:橙汁 $=4:5=\underline{\quad}:35$，橙汁:葡萄汁 $=7:3=35:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：三者之比 $=28:35:15$，总份数 $28+35+15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：每份 $1950\div 78=\underline{\quad}$（瓶）。
  4. 第 4 步：苹果汁 $25\times 28=\underline{\quad}$，橙汁 $25\times 35=\underline{\quad}$，葡萄汁 $25\times 15=\underline{\quad}$（瓶）。
第三套
题目：某校栽种柳树、杨树和槐树，柳树与杨树棵数的比为 $4:5$，杨树与槐树棵数的比为 $7:3$。已知杨树比槐树多 $500$ 棵，请问：三种树一共栽了多少棵？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：统一得柳:杨:槐 $=\underline{\quad}:35:15$（由 $4:5=28:35$）和 $7:3=35:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（差化份数）：杨树比槐树多 $35-15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求每份）：$20$ 份对应 $500$ 棵，每份 $500\div 20=\underline{\quad}$（棵）。
  4. 第 4 步（求总量）：总份数 $28+35+15=\underline{\quad}$（份），共 $25\times 78=\underline{\quad}$（棵）。
第三套
题目：某校栽种柳树、杨树和槐树共 $1950$ 棵，柳树与杨树棵数的比为 $4:5$，杨树与槐树棵数的比为 $7:3$。请问：柳树与槐树的棵数之和比杨树多多少棵？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：统一得柳:杨:槐 $=28:35:\underline{\quad}$（由 $7:3=35:15$），总份数 $28+35+15=\underline{\quad}$（份），每份 $1950\div 78=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步（先在份数上比较）：柳与槐之和 $28+15=\underline{\quad}$（份），比杨树多 $43-35=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（换成棵数）：$25\times 8=\underline{\quad}$（棵）。
  4. 第 4 步（验算）：柳 $25\times 28=\underline{\quad}$，槐 $25\times 15=\underline{\quad}$，杨 $25\times 35=875$，$700+375-875=\underline{\quad}$（棵），与上面一致。
12. 【原题 ch12-tuozhan-04】某厂一月份与二月份生产零件的个数比为 $4:5$。后来改进生产技术，三月份生产的零件个数与前两个月的总产量之比为 $4:3$，且三月份比二月份多生产了 $1610$ 个零件。请问：这家工厂第一季度共生产多少个零件？
详细思路
是哪类问题：这是「用份数表示各量 + 差量对应份数」类应用题：所有比都可以化到同一套份数上，再用一个具体的差把每份定下来。
关键切入点：一月:二月 $=4:5$，前两个月共 $9$ 份。三月与前两月总产量之比是 $4:3$，也就是前两月的 $9$ 份对应 $3$，三月对应 $4$，所以三月是 $9\div 3\times 4=12$ 份。这样三个月都用同一套份数表示，三月比二月多 $12-5=7$ 份，恰好对应 $1610$ 个。
方法概述：用份数表示各月产量，由三月与二月之差对应份数求每份，再求总和。
规范步骤：
  1. 设一、二月份数：一月 $4$ 份，二月 $5$ 份，前两月共 $9$ 份（由 $4:5$）
  2. 把三月也化成同一套份数：$9\div 3\times 4=12$（份）（三月:前两月$=4:3$）
  3. 差化份数并求每份：$12-5=7$（份），$1610\div 7=230$（个）（差量对应份数）
  4. 求第一季度总产量：$230\times(4+5+12)=230\times 21=4830$（个）（每份乘总份数）
  5. 写出答案：$4830$ 个
第一套
题目：某厂一月份与二月份生产零件的个数比为 $5:7$。改进技术后，三月份生产的零件个数与前两个月的总产量之比为 $5:4$，且三月份比二月份多生产了 $2760$ 个零件。请问：这家工厂第一季度共生产多少个零件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一份数）：一月 $5$ 份、二月 $7$ 份，前两月共 $5+7=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（把三月化到同一套份数）：三月:前两月 $=5:4$，即前两月的 $12$ 份对应比里的 $4$，所以三月是 $12\div 4\times 5=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（差化份数）：三月比二月多 $15-7=\underline{\quad}$（份），对应 $2760$ 个。
  4. 第 4 步（求每份）：$2760\div 8=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步（求总产量）：总份数 $5+7+15=\underline{\quad}$（份），共 $345\times 27=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：某书店一月份与二月份的售书量之比为 $5:7$。三月份搞活动后，三月份售书量与前两个月售书总量之比为 $5:4$，且三月份比二月份多卖了 $2760$ 本。请问：第一季度共卖出多少本书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：一月 $5$ 份、二月 $7$ 份，前两月共 $5+7=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：三月:前两月 $=5:4$，三月为 $12\div 4\times 5=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：三月比二月多 $15-7=\underline{\quad}$（份），对应 $2760$ 本。
  4. 第 4 步：每份 $2760\div 8=\underline{\quad}$（本）。
  5. 第 5 步：总份数 $5+7+15=\underline{\quad}$（份），共 $345\times 27=\underline{\quad}$（本）。
第三套
题目：某厂一月与二月生产零件的个数比为 $5:7$，三月份产量与前两个月总产量之比为 $5:4$，且三月份比一月份多生产了 $3450$ 个零件。请问：第一季度共生产多少个零件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：前两月共 $5+7=\underline{\quad}$（份），三月为 $12\div 4\times 5=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（这次的差是三月与一月）：$15-5=\underline{\quad}$（份），对应 $3450$ 个。
  3. 第 3 步：每份 $3450\div 10=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步：总份数 $5+7+15=\underline{\quad}$（份），共 $345\times 27=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：某厂一月与二月生产零件的个数比为 $5:7$，三月份产量与前两个月总产量之比为 $5:4$，三月份比二月份多生产 $2760$ 个。请问：第一季度共生产多少个零件？平均每月生产多少个？三月份的产量比第一季度月平均产量多多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：前两月 $5+7=\underline{\quad}$（份），三月 $12\div 4\times 5=\underline{\quad}$（份），三月比二月多 $15-7=\underline{\quad}$（份），每份 $2760\div 8=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（第一问）：总份数 $5+7+15=\underline{\quad}$（份），共 $345\times 27=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（第二问·平均数）：$9315\div 3=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（第三问）：三月产量 $345\times 15=\underline{\quad}$（个），比月平均多 $5175-3105=\underline{\quad}$（个）。
13. 【原题 ch12-tuozhan-05】有 $48$ 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 $5$ 人。如果把书全都分给第一组，一部分小朋友每人能拿到 $5$ 本，其他小朋友每人能拿到 $4$ 本；如果把书全都分给第二组，一部分小朋友每人能拿到 $4$ 本，其他小朋友每人能拿到 $3$ 本。问：两组一共有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「范围估计 + 整数枚举」类应用题：书的总数固定，每人分到的本数只有两种，由此把人数卡在一个很窄的范围里。
关键切入点：全分给第一组时每人拿 $4$ 本或 $5$ 本，人数太多就不够分、太少又分不完：$48\div 5=9.6$，$48\div 4=12$，所以第一组人数只能是 $10,11,12$；又“一部分拿 $5$ 本、其他拿 $4$ 本”要求两部分都有人，$12$ 人时全都拿 $4$ 本、不合题意，故只能是 $10$ 或 $11$。同理第二组只能是 $13,14,15$。再用“第二组比第一组多 $5$ 人”一配，唯一解是 $10$ 人和 $15$ 人。
方法概述：由每人所得本数确定两组人数范围，结合人数差确定唯一解。
规范步骤：
  1. 卡住第一组人数范围：$48\div 5=9.6$，$48\div 4=12$，故人数在 $10\sim 12$（每人 $4$~$5$ 本）
  2. 剔除不合题意的端点：$12$ 人时人人都是 $4$ 本，不符合“一部分 $5$ 本”，故第一组为 $10$ 或 $11$（两部分都非空）
  3. 卡住第二组人数范围：$48\div 4=12$，$48\div 3=16$；$16$ 人时人人 $3$ 本，故第二组为 $13,14,15$（同理）
  4. 用人数差配对：第二组比第一组多 $5$，只有 $10$ 与 $15$ 合适（整数枚举）
  5. 求总人数：$10+15=25$（人）
第一套
题目：有 $96$ 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 $14$ 人。如果把书全都分给第一组，一部分小朋友每人能拿到 $6$ 本，其他小朋友每人能拿到 $5$ 本；如果把书全都分给第二组，一部分小朋友每人能拿到 $4$ 本，其他小朋友每人能拿到 $3$ 本。问：两组一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（卡第一组人数）：每人拿 $5$ 或 $6$ 本，所以人数不少于 $96\div 6=\underline{\quad}$（人），也不多于 $96\div 5=19.2$，即最多 $19$ 人。又两种本数都要有人拿，$16$ 人时人人都是 $6$ 本、不合题意，故第一组只能是 $17$、$18$ 或 $19$ 人。
  2. 第 2 步（卡第二组人数）：每人拿 $3$ 或 $4$ 本，人数不少于 $96\div 4=\underline{\quad}$（人），不多于 $96\div 3=\underline{\quad}$（人）；两端 $24$ 人（人人 $4$ 本）和 $32$ 人（人人 $3$ 本）都不合题意，故第二组在 $25\sim 31$ 人之间。
  3. 第 3 步（用人数差配对）：第二组比第一组多 $14$ 人。$17+14=\underline{\quad}$ 在 $25\sim 31$ 内；$18+14=\underline{\quad}$、$19+14=33$ 都超出范围。所以第一组 $17$ 人、第二组 $31$ 人。
  4. 第 4 步（求总人数）：$17+31=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：有 $96$ 块糖分给两队小朋友，第二队比第一队多 $14$ 人。若全分给第一队，一部分人每人 $6$ 块、其余每人 $5$ 块；若全分给第二队，一部分人每人 $4$ 块、其余每人 $3$ 块。问：两队共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第一队人数不少于 $96\div 6=\underline{\quad}$（人），不多于 $19$ 人；$16$ 人时人人 $6$ 块不合题意，故为 $17\sim 19$ 人。
  2. 第 2 步：第二队人数不少于 $96\div 4=\underline{\quad}$（人），不多于 $96\div 3=\underline{\quad}$（人）；去掉两个端点，为 $25\sim 31$ 人。
  3. 第 3 步：第二队比第一队多 $14$ 人，$17+14=\underline{\quad}$ 合适，$18+14=\underline{\quad}$ 已超出 $31$。
  4. 第 4 步：共 $17+31=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：有 $96$ 本书分给两组小朋友，第二组比第一组多 $6$ 人。若全分给第一组，一部分人每人 $6$ 本、其余每人 $5$ 本；若全分给第二组，一部分人每人 $4$ 本、其余每人 $3$ 本。问：两组共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第一组为 $17\sim 19$ 人（下界 $96\div 6=\underline{\quad}$，但 $16$ 人时人人 $6$ 本不合题意）。
  2. 第 2 步：第二组为 $25\sim 31$ 人（区间来自 $96\div 4=\underline{\quad}$ 与 $96\div 3=\underline{\quad}$，去掉两端点）。
  3. 第 3 步（配对）：差为 $6$ 人：$17+6=\underline{\quad}$、$18+6=\underline{\quad}$ 都小于 $25$，$19+6=\underline{\quad}$ 落在范围内，故第一组 $19$ 人、第二组 $25$ 人。
  4. 第 4 步：共 $19+25=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：有 $96$ 本书分给两组小朋友，第二组比第一组多 $14$ 人。若全分给第一组，一部分人每人 $6$ 本、其余每人 $5$ 本；若全分给第二组，一部分人每人 $4$ 本、其余每人 $3$ 本。问：两组共多少人？把书全分给第一组时，每人拿 $6$ 本的有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定人数）：第一组为 $17\sim 19$ 人（下界 $96\div 6=\underline{\quad}$），第二组为 $25\sim 31$ 人（区间端点 $96\div 4=\underline{\quad}$ 与 $96\div 3=\underline{\quad}$ 都要去掉）；差 $14$ 人只有 $17$ 与 $31$ 合适，共 $17+31=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（用假设法求各档人数）：假设 $17$ 人都拿 $5$ 本，只需 $17\times 5=\underline{\quad}$（本），比实际少 $96-85=\underline{\quad}$（本）。
  3. 第 3 步：每把一个人从 $5$ 本换成 $6$ 本就多 $6-5=\underline{\quad}$（本），所以拿 $6$ 本的有 $11\div 1=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（验算）：$11\times 6+6\times 5=\underline{\quad}$（本），与 $96$ 本相符。
14. 【原题 ch12-tuozhan-06】若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加数学竞赛。已知家长和老师共有 $22$ 人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多 $2$ 人，至少有 $1$ 名男老师。问：在这些人中，爸爸有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「不等关系 + 整数分析」类逻辑推理题：几个大小关系互相牵制，要把它们全部翻译成对人数的限制再逐步收紧。
关键切入点：设爸爸 $f$ 人、妈妈 $m$ 人、女老师 $w$ 人、男老师 $t$ 人，则 $f+m+w+t=22$；由“女老师比妈妈多 $2$ 人”得 $w=m+2$，代入得 $f+2m+t=20$；由“家长比老师多”得 $f+m>w+t$，即 $f>t+2$。再由 $m>f$、$t\ge 1$ 逐一枚举 $t$：$t=1$ 时 $f+2m=19$，$f$ 必为奇数且 $f\ge 4$、$m>f$，只有 $f=5,m=7$；$t\ge 2$ 时都无解。
方法概述：把多个大小关系转成对人数的约束，逐步缩小范围确定爸爸人数。
规范步骤：
  1. 设未知数并列总人数式：$f+m+w+t=22$（家长=爸爸+妈妈，老师=男+女）
  2. 用“女老师比妈妈多 $2$”消元：$w=m+2\Rightarrow f+2m+t=20$（代入消元）
  3. 用“家长比老师多”化简：$f+m>(m+2)+t\Rightarrow f>t+2$（两边约去 $m$）
  4. 枚举男老师人数：$t=1$：$f+2m=19$，$f\ge 4$ 且 $m>f$，得 $f=5,m=7$；$t\ge 2$ 无解（整数枚举）
  5. 验算：$5+7+9+1=22$，且 $12>10$、$7>5$、$9=7+2$
  6. 写出答案：爸爸 $5$ 人
15. 【原题 ch12-tuozhan-07】志远中学有三个年级，共 $900$ 多名学生，其中初一的学生数恰好占学生总数的 $\frac{3}{8}$，初三的学生恰好占学生总数的 $\frac{4}{15}$。请问：志远中学初二有多少名学生？
详细思路
是哪类问题：这是「分数应用题 + 公倍数与范围估计」类：两个年级的人数是总数的分数，人数必须是整数，由此锁定总人数。
关键切入点：初一占 $\frac{3}{8}$、初三占 $\frac{4}{15}$，两个结果都必须是整数人，所以总人数既是 $8$ 的倍数又是 $15$ 的倍数，即 $120$ 的倍数。$900$ 多的数里 $120$ 的倍数只有 $960$，总数就定下来了；初二的人数用 $1$ 减去两个分数再乘总数即可。
方法概述：由两个分数确定总数是 $8,15$ 公倍数，用范围定总数后求剩余部分。
规范步骤：
  1. 总人数是 $8$ 与 $15$ 的公倍数：$8\times 15=120$（分数结果为整数）
  2. 用“$900$ 多”定总数：$120\times 8=960$，且 $120\times 7=840<900$、$120\times 9=1080>999$（范围估计）
  3. 求初一、初三人数：$960\times\frac{3}{8}=360$（人），$960\times\frac{4}{15}=256$（人）（分数求部分）
  4. 求初二人数：$960-360-256=344$（人）（总数减去其余）
  5. 写出答案：$344$ 人
第一套
题目：志远中学有三个年级，共 $1300$ 多名学生，其中初一的学生数恰好占学生总数的 $\frac{3}{8}$，初三的学生恰好占学生总数的 $\frac{4}{15}$。请问：初二有多少名学生？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数必须是几的倍数）：$\frac{3}{8}$ 与 $\frac{4}{15}$ 都要算出整数人，所以总人数既是 $8$ 的倍数又是 $15$ 的倍数，即 $8\times 15=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步（用范围定总数）：$120\times 11=\underline{\quad}$ 落在 $1300$ 多里，而 $120\times 12=\underline{\quad}$ 已超过 $1399$，$120\times 10=1200$ 又不到 $1300$，所以总人数为 $1320$ 人。
  3. 第 3 步（求初一、初三）：初一 $1320\times\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（人），初三 $1320\times\frac{4}{15}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求初二）：$1320-495-352=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某图书馆共有图书 $1300$ 多册，分为文学、科技、艺术三类。其中文学类恰好占总数的 $\frac{3}{8}$，艺术类恰好占总数的 $\frac{4}{15}$。请问：科技类图书有多少册？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总册数既是 $8$ 的倍数又是 $15$ 的倍数，即 $8\times 15=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步：$120\times 11=\underline{\quad}$ 落在 $1300$ 多里，$120\times 12=\underline{\quad}>1399$、$120\times 10=1200<1300$，故总数为 $1320$ 册。
  3. 第 3 步：文学 $1320\times\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（册），艺术 $1320\times\frac{4}{15}=\underline{\quad}$（册）。
  4. 第 4 步：科技 $1320-495-352=\underline{\quad}$（册）。
第三套
题目：某中学三个年级共有 $600$ 多名学生，初一占学生总数的 $\frac{2}{9}$，初三占学生总数的 $\frac{5}{14}$。请问：初二有多少名学生？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总人数是 $9$ 与 $14$ 的公倍数 $9\times 14=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步：$126\times 5=\underline{\quad}$ 落在 $600$ 多里，$126\times 6=\underline{\quad}$ 已超过 $699$，故总数 $630$ 人。
  3. 第 3 步：初一 $630\times\frac{2}{9}=\underline{\quad}$（人），初三 $630\times\frac{5}{14}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步：初二 $630-140-225=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：志远中学三个年级共 $1300$ 多名学生，初一占总数的 $\frac{3}{8}$，初三占总数的 $\frac{4}{15}$。请问：初二有多少人？初一比初三多多少人？初二人数与全校人数的最简整数比的前后项之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定总数）：总数是 $8\times 15=\underline{\quad}$ 的倍数，$1300$ 多里只有 $120\times 11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（各年级）：初一 $1320\times\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（人），初三 $1320\times\frac{4}{15}=\underline{\quad}$（人），初二 $1320-495-352=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（第二问）：初一比初三多 $495-352=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（第三问·化简比）：$473:1320$ 两项同除以 $11$ 得 $473\div 11=\underline{\quad}$、$1320\div 11=\underline{\quad}$，即 $43:120$（$43$ 是质数，已最简），前后项之和 $43+120=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch12-tuozhan-08】小明将 $100$ 枚棋子分成三堆，已知第一堆比第二堆的 $2$ 倍还多，第二堆也比第三堆的 $2$ 倍要多。请问：第三堆最多有多少枚棋子？
详细思路
是哪类问题：这是「不等关系 + 极值分析」类应用题：只有大小关系没有等量关系，要用“最省”的取法把各堆压到最小，再让第三堆尽量大。
关键切入点：要让第三堆最多，另外两堆就要尽量少。设第三堆 $x$ 枚，“第二堆比第三堆的 $2$ 倍还多”说明第二堆至少 $2x+1$ 枚；“第一堆比第二堆的 $2$ 倍还多”说明第一堆至少 $2(2x+1)+1=4x+3$ 枚。三堆之和不超过 $100$，于是 $7x+4\le 100$。
方法概述：用第三堆表示各堆下界，由总数不超过 $100$ 求第三堆最大值。
规范步骤：
  1. 把两个不等关系写成下界：第二堆 $\ge 2x+1$，第一堆 $\ge 2(2x+1)+1=4x+3$（“比 $2$ 倍还多”即至少多 $1$）
  2. 列出总数不等式：$x+(2x+1)+(4x+3)=7x+4\le 100$（三堆之和为 $100$）
  3. 解不等式：$7x\le 96$，$x\le 13\frac{5}{7}$（整数估计）
  4. 取最大整数并验证：$x=13$：$13+27+60=100$，且 $27>26$、$60>54$（构造实例）
  5. 写出答案：$13$ 枚
第一套
题目：小明将 $200$ 枚棋子分成三堆，已知第一堆比第二堆的 $2$ 倍还多，第二堆比第三堆的 $3$ 倍还多。请问：第三堆最多有多少枚棋子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把不等关系写成下界）：设第三堆 $x$ 枚。“第二堆比第三堆的 $3$ 倍还多”说明第二堆至少 $3x+\underline{\quad}$ 枚。
  2. 第 2 步：“第一堆比第二堆的 $2$ 倍还多”说明第一堆至少 $2\times(3x+1)+1=6x+\underline{\quad}$ 枚。
  3. 第 3 步（列不等式）：三堆之和 $x+(3x+1)+(6x+3)=\underline{\quad}x+4\le 200$，所以 $10x\le 200-4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取整）：$196\div 10=19.6$，$x$ 是整数，故 $x$ 最大为 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验证可行）：取第三堆 $19$、第二堆 $3\times 19+1=\underline{\quad}$、第一堆 $200-19-58=\underline{\quad}$，此时 $58>3\times 19=57$、$123>2\times 58=116$，都符合要求。
第二套
题目：图书管理员把 $200$ 本书放到三个书架上，已知第一架比第二架的 $2$ 倍还多，第二架比第三架的 $3$ 倍还多。请问：第三架最多能放多少本书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设第三架 $x$ 本，第二架至少 $3x+\underline{\quad}$ 本。
  2. 第 2 步：第一架至少 $2\times(3x+1)+1=6x+\underline{\quad}$ 本。
  3. 第 3 步：$x+(3x+1)+(6x+3)=\underline{\quad}x+4\le 200$，即 $10x\le 200-4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$x$ 最大为 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验证）：第三架 $19$、第二架 $3\times 19+1=\underline{\quad}$、第一架 $200-19-58=\underline{\quad}$ 本，符合全部条件。
第三套
题目：小明将 $300$ 枚棋子分成三堆，第一堆比第二堆的 $2$ 倍还多，第二堆比第三堆的 $3$ 倍还多。请问：第三堆最多有多少枚棋子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设第三堆 $x$ 枚，第二堆至少 $3x+1$ 枚，第一堆至少 $2\times(3x+1)+1=6x+\underline{\quad}$ 枚。
  2. 第 2 步：$x+(3x+1)+(6x+3)=10x+4\le 300$，即 $10x\le 300-4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$296\div 10=29.6$，故 $x$ 最大为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：第三堆 $29$、第二堆 $3\times 29+1=\underline{\quad}$、第一堆 $300-29-88=\underline{\quad}$，满足 $88>87$、$183>176$。
第三套
题目：小明将 $200$ 枚棋子分成三堆，第一堆比第二堆的 $2$ 倍还多，第二堆比第三堆的 $3$ 倍还多。请问：第三堆最多有多少枚？当第三堆取到最多时，第二堆最少有多少枚？此时第一堆有多少枚？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一问）：设第三堆 $x$，第二堆至少 $3x+1$，第一堆至少 $6x+\underline{\quad}$，故 $10x+4\le 200$，$10x\le \underline{\quad}$，$x$ 最大为 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二问）：第三堆取 $19$ 枚时，第二堆必须大于 $3\times 19=\underline{\quad}$，所以第二堆最少 $57+1=\underline{\quad}$（枚）。
  3. 第 3 步（第三问）：此时第一堆 $200-19-58=\underline{\quad}$（枚）。
  4. 第 4 步（验证第一堆的条件）：$2\times 58=\underline{\quad}$，而 $123>116$，符合“第一堆比第二堆的 $2$ 倍还多”。
17. 【原题 ch12-tuozhan-09】把 $100$ 个人分成四队，第一队人数是第二队人数的 $1\frac{1}{3}$ 倍，是第三队人数的 $1\frac{1}{4}$ 倍，求第四队的人数。
详细思路
是哪类问题：这是「带分数倍化成比 + 连比统一」类应用题：两个倍数关系都以第一队为基准，统一第一队的份数后就能算出前三队的人数。
关键切入点：$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，第一队是第二队的 $\frac{4}{3}$ 倍，故第一队:第二队 $=4:3$；$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$，故第一队:第三队 $=5:4$。把第一队统一成 $4$ 与 $5$ 的最小公倍数 $20$：第二队 $=15$、第三队 $=16$，三队共 $51$。因为 $51\times 2=102>100$，每份只能是 $1$，所以前三队分别是 $20,15,16$ 人。
方法概述：把带分数倍化为比并统一第一队份数，求出前三队再得第四队。
规范步骤：
  1. 把带分数倍化成比：$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$ 得一:二 $=4:3$；$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$ 得一:三 $=5:4$（倍数化为比）
  2. 统一第一队份数：取 $[4,5]=20$：一:二 $=20:15$，一:三 $=20:16$（比的基本性质）
  3. 求前三队之和：$20+15+16=51$（份）（连比求和）
  4. 确定每份为 $1$：$51\times 2=102>100$，故每份 $1$ 人，前三队共 $51$ 人（整数与范围）
  5. 求第四队：$100-51=49$（人）（总数减去前三队）
第一套
题目：把 $150$ 个人分成四队，第一队人数是第二队人数的 $1\frac{1}{4}$ 倍，是第三队人数的 $1\frac{1}{5}$ 倍，求第四队的人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把带分数倍化成比）：$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$，所以第一队:第二队 $=5:\underline{\quad}$；$1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$，所以第一队:第三队 $=6:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（统一第一队）：取 $5$ 与 $6$ 的最小公倍数 $\underline{\quad}$ 作第一队的份数，则第二队 $=30\div 5\times 4=\underline{\quad}$（份），第三队 $=30\div 6\times 5=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求前三队份数和）：$30+24+25=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（确定每份）：若每份 $2$ 人，前三队就有 $79\times 2=\underline{\quad}$ 人，已超过 $150$ 人，所以每份只能是 $1$ 人，前三队共 $79$ 人。
  5. 第 5 步（求第四队）：$150-79=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：果园里 $150$ 棵果树分成四片，第一片的棵数是第二片的 $1\frac{1}{4}$ 倍，是第三片的 $1\frac{1}{5}$ 倍。求第四片有多少棵果树。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$ 得一:二 $=5:\underline{\quad}$；$1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$ 得一:三 $=6:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：取 $5$ 与 $6$ 的最小公倍数 $\underline{\quad}$，则第二片 $30\div 5\times 4=\underline{\quad}$（份），第三片 $30\div 6\times 5=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：前三片共 $30+24+25=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：每份若为 $2$ 则 $79\times 2=\underline{\quad}>150$，故每份为 $1$ 棵。
  5. 第 5 步：第四片 $150-79=\underline{\quad}$（棵）。
第三套
题目：把 $300$ 个人分成四队，第一队人数是第二队人数的 $1\frac{1}{6}$ 倍，是第三队人数的 $1\frac{1}{7}$ 倍，求第四队的人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$1\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$ 得一:二 $=7:\underline{\quad}$；$1\frac{1}{7}=\frac{8}{7}$ 得一:三 $=8:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：取 $7$ 与 $8$ 的最小公倍数 $\underline{\quad}$ 作第一队份数，第二队 $56\div 7\times 6=\underline{\quad}$（份），第三队 $56\div 8\times 7=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：前三队共 $56+48+49=\underline{\quad}$（份）；每份若为 $2$ 则 $153\times 2=\underline{\quad}>300$，故每份 $1$ 人。
  4. 第 4 步：第四队 $300-153=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：把 $150$ 个人分成四队，第一队人数是第二队的 $1\frac{1}{4}$ 倍，是第三队的 $1\frac{1}{5}$ 倍。请问：第四队有多少人？第四队比第一队多多少人？第一队与第四队人数的最简整数比的前后项之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：一:二 $=5:\underline{\quad}$，一:三 $=6:\underline{\quad}$；统一第一队为 $5\times 6=\underline{\quad}$ 份，第二队 $30\div 5\times 4=\underline{\quad}$、第三队 $30\div 6\times 5=\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步：前三队共 $30+24+25=\underline{\quad}$（份），每份 $1$ 人，第四队 $150-79=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（第二问）：第四队比第一队多 $71-30=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（第三问）：$30$ 与 $71$ 没有大于 $1$ 的公因数，最简比就是 $30:71$，前后项之和 $30+71=\underline{\quad}$。
18. 【原题 ch12-tuozhan-10】甲、乙、丙三人各有一些书。甲、乙共有 $54$ 本，乙、丙共有 $79$ 本，已知三人中书最多的那个人书的数量是书最少的人的 $2$ 倍。请问：乙有多少本书？
详细思路
是哪类问题：这是「和差倍综合」类应用题：给的是两两之和，先把它们相减得到一个差，再用倍数关系锁定各人。
关键切入点：$（乙+丙）-（甲+乙）=丙-甲$，乙被消掉了，于是丙比甲多 $79-54=25$ 本。丙比甲多，所以甲最少、丙最多；再由“最多是最少的 $2$ 倍”得丙 $=2\times$ 甲，配合丙 $-$ 甲 $=25$ 就能解出甲 $=25$、丙 $=50$，最后由甲、乙之和求乙。
方法概述：由两两之和求出甲丙之差，结合最多是最少的 $2$ 倍定出各人本数。
规范步骤：
  1. 两式相减消去乙：$79-54=25$，即丙比甲多 $25$ 本（作差消元）
  2. 判断谁最多谁最少：丙 $>$ 甲，故甲最少、丙最多（由差的符号）
  3. 用倍数关系解出甲、丙：丙 $=2\times$甲，丙$-$甲$=$甲$=25$，故甲 $=25$、丙 $=50$（和差倍）
  4. 求乙：$54-25=29$（本）（由甲、乙之和）
  5. 验算：$29+50=79$，且 $50=2\times 25$
第一套
题目：甲、乙、丙三人各有一些书。甲、乙共有 $100$ 本，乙、丙共有 $140$ 本，已知三人中书最多的人的数量是书最少的人的 $2$ 倍。请问：乙有多少本书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差消去乙）：两个和相减，乙被消掉，$140-100=\underline{\quad}$，即丙比甲多这么多本。
  2. 第 2 步（判断最多最少）：丙比甲多，所以甲是最少的、丙是最多的。
  3. 第 3 步（用倍数关系）：丙 $=2\times$ 甲，所以丙 $-$ 甲就等于甲，即甲 $=\underline{\quad}$（本），丙 $=40\times 2=\underline{\quad}$（本）。
  4. 第 4 步（求乙）：$100-40=\underline{\quad}$（本）。
  5. 第 5 步（验算）：$60+80=\underline{\quad}$，与“乙、丙共 $140$ 本”相符，且 $60$ 确实介于 $40$ 与 $80$ 之间。
第二套
题目：甲、乙、丙三人各存了一些钱。甲、乙共存 $100$ 元，乙、丙共存 $140$ 元，三人中存钱最多的人是存钱最少的人的 $2$ 倍。请问：乙存了多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：两和相减消去乙，$140-100=\underline{\quad}$（元），即丙比甲多这么多。
  2. 第 2 步：丙最多、甲最少。
  3. 第 3 步：丙 $=2\times$ 甲，故丙 $-$ 甲 $=$ 甲 $=\underline{\quad}$（元），丙 $=40\times 2=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步：乙 $=100-40=\underline{\quad}$（元）。
  5. 第 5 步（验算）：$60+80=\underline{\quad}$（元），与已知相符。
第三套
题目：甲、乙、丙三人各有一些邮票。甲、乙共有 $90$ 张，乙、丙共有 $125$ 张，三人中最多的人是最少的人的 $2$ 倍。请问：乙有多少张邮票？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$125-90=\underline{\quad}$（张），即丙比甲多这么多，甲最少、丙最多。
  2. 第 2 步：丙 $=2\times$ 甲，故甲 $=\underline{\quad}$（张），丙 $=35\times 2=\underline{\quad}$（张）。
  3. 第 3 步：乙 $=90-35=\underline{\quad}$（张）。
  4. 第 4 步（验算）：$55+70=\underline{\quad}$（张），与已知相符。
第三套
题目：甲、乙、丙三人各有一些书，甲、乙共 $100$ 本，乙、丙共 $140$ 本，最多的人是最少的人的 $2$ 倍。请问：乙有多少本？三人一共有多少本？甲、丙两人一共比乙多多少本？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$140-100=\underline{\quad}$（本），甲最少、丙最多；丙 $=2\times$ 甲，故甲 $=\underline{\quad}$（本），丙 $=40\times 2=\underline{\quad}$（本），乙 $=100-40=\underline{\quad}$（本）。
  2. 第 2 步（第二问）：三人共 $40+60+80=\underline{\quad}$（本）。也可以用 $100+140-60=\underline{\quad}$（本）来验算，因为乙被算了两次要减掉一次。
  3. 第 3 步（第三问）：甲、丙共 $40+80=\underline{\quad}$（本），比乙多 $120-60=\underline{\quad}$（本）。
19. 【原题 ch12-tuozhan-11】甲、乙、丙三人各有一些棋子，其中棋子数最多的人比最少的人多出 $60$ 多枚棋子。甲先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙拿出自己的 $\frac{1}{3}$ 平分给甲、丙，最后丙拿出自己的 $\frac{1}{4}$ 平分给甲、乙。这时三人的棋子数正好相同。请问：三个人一共有多少枚棋子？
详细思路
是哪类问题：这是「倒推法 + 分数变换 + 比与范围估计」类应用题：三次互相分棋子后三人相同，要从末态倒推出原来的比。
关键切入点：设末态三人各 $16$ 份（取一个便于整除的数），逐步往回退：最后一步丙拿出 $\frac{1}{4}$ 平分给甲、乙，倒回去丙除以 $\frac{3}{4}$、甲乙各退还丙原数的 $\frac{1}{8}$……这样三步退完，得到原来三人之比为 $20:15:13$。最多与最少相差 $20-13=7$ 份，而“多 $60$ 多枚”把每份卡成 $9$ 枚，总数就出来了。
方法概述：从末态相同倒推各人原始份数得比，再用最多最少之差的范围定每份。
规范步骤：
  1. 倒推得原始之比：甲:乙:丙 $=20:15:13$（从末态相同逐步回退）
  2. 把“最多比最少多”化成份数：$20-13=7$（份）（差与份数）
  3. 用“$60$ 多枚”定每份：$7\times 9=63$ 是唯一落在 $60$ 多里的倍数，故每份 $9$ 枚（范围估计）
  4. 求总数：$(20+15+13)\times 9=48\times 9=432$（枚）（每份乘总份数）
  5. 写出答案：$432$ 枚
第一套
题目：甲、乙、丙三人各有一些棋子，其中棋子数最多的人比最少的人多出 $130$ 多枚。甲先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙拿出自己的 $\frac{1}{3}$ 平分给甲、丙，最后丙拿出自己的 $\frac{1}{4}$ 平分给甲、乙。这时三人的棋子数正好相同。请问：三个人一共有多少枚棋子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（倒推得原始之比）：从末态三人相同逐步回退（丙先除以 $\frac{3}{4}$、再退乙、再退甲），可得原来甲:乙:丙 $=20:15:13$，总份数 $20+15+13=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（把差化成份数）：最多的是甲、最少的是丙，相差 $20-13=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（用范围定每份）：$7$ 的倍数中落在“$130$ 多”里的只有 $7\times 19=\underline{\quad}$，所以每份 $\underline{\quad}$ 枚。
  4. 第 4 步（求总数）：$48\times 19=\underline{\quad}$（枚）。
第二套
题目：甲、乙、丙三人各有一些糖果，其中最多的人比最少的人多 $130$ 多颗。甲先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙拿出自己的 $\frac{1}{3}$ 平分给甲、丙，最后丙拿出自己的 $\frac{1}{4}$ 平分给甲、乙，这时三人的糖果数正好相同。请问：三人一共有多少颗糖果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：倒推可得原来甲:乙:丙 $=20:15:13$，总份数 $20+15+13=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：最多与最少相差 $20-13=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：$7\times 19=\underline{\quad}$ 是唯一落在“$130$ 多”里的倍数，每份 $\underline{\quad}$ 颗。
  4. 第 4 步：共 $48\times 19=\underline{\quad}$（颗）。
第三套
题目：甲、乙、丙三人各有一些棋子，最多的人比最少的人多 $150$ 多枚。按原题相同的三次互分（甲出一半、乙出 $\frac{1}{3}$、丙出 $\frac{1}{4}$，每次都平分给另外两人）后三人棋子数相同。请问：三人共有多少枚棋子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：原来甲:乙:丙 $=20:15:13$，总份数 $20+15+13=\underline{\quad}$（份），最多与最少相差 $20-13=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：$7$ 的倍数中落在“$150$ 多”里的只有 $7\times 22=\underline{\quad}$，故每份 $\underline{\quad}$ 枚。
  3. 第 3 步：共 $48\times 22=\underline{\quad}$（枚）。
第三套
题目：甲、乙、丙三人各有一些棋子，最多的人比最少的人多 $130$ 多枚，经过原题的三次互分后三人棋子数相同。请问：三人共有多少枚？原来甲有多少枚？最后每人各有多少枚？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：原比 $20:15:13$，总份数 $20+15+13=\underline{\quad}$（份），差 $20-13=\underline{\quad}$（份）；$7\times 19=\underline{\quad}$ 落在“$130$ 多”里，每份 $19$ 枚。
  2. 第 2 步（第一问）：三人共 $48\times 19=\underline{\quad}$（枚）。
  3. 第 3 步（第二问）：原来甲 $20\times 19=\underline{\quad}$（枚）。
  4. 第 4 步（第三问）：分完后三人一样多，而总数不变，所以每人 $912\div 3=\underline{\quad}$（枚）。
  5. 第 5 步（验算）：原来乙 $15\times 19=\underline{\quad}$、丙 $13\times 19=\underline{\quad}$，三人相加 $380+285+247=\underline{\quad}$（枚），与总数相符。
20. 【原题 ch12-tuozhan-12】有两堆石头，如果从第一堆中取出 $20$ 块石头放进第二堆，那么第二堆的石头是第一堆的 $2$ 倍；如果从第二堆中取出一些石头放进第一堆，那么第一堆的石头是第二堆的 $6$ 倍。问：第一堆中最少可能有多少块石头？
详细思路
是哪类问题：这是「总量不变 + 整除性 + 极值」类应用题：两次移动都不改变石头总数，可用总数的整除性把范围压得很小。
关键切入点：第一次移动后第二堆是第一堆的 $2$ 倍，说明总数被分成 $1+2=3$ 份，总数是 $3$ 的倍数；第二次移动后第一堆是第二堆的 $6$ 倍，总数被分成 $6+1=7$ 份，总数是 $7$ 的倍数。所以总数是 $21$ 的倍数。再由“从第一堆取出 $20$ 块后第一堆只剩总数的 $\frac{1}{3}$”可写出第一堆原有 $\frac{1}{3}$ 总数 $+20$，并要求第二次能移动的块数为正，逐个试 $21$ 的倍数，最小可行的总数是 $42$，此时第一堆有 $34$ 块。
方法概述：由两种倍数关系得总数是 $21$ 的倍数，再用移动量约束求第一堆最小值。
规范步骤：
  1. 由第一个条件得总数是 $3$ 的倍数：移动后两堆为 $1:2$，共 $3$ 份（总量不变）
  2. 由第二个条件得总数是 $7$ 的倍数：移动后两堆为 $6:1$，共 $7$ 份（总量不变）
  3. 总数是 $21$ 的倍数：$3\times 7=21$（公倍数）
  4. 用第一个条件写出第一堆原有块数：第一堆 $=\frac{1}{3}$ 总数 $+20$；总数 $42$ 时为 $14+20=34$（块）（还原移动）
  5. 验证第二次移动可行：第二堆原有 $42-34=8$（块），移 $2$ 块后为 $36:6=6:1$（构造实例）
  6. 写出答案：$34$ 块
第一套
题目：有两堆石头，如果从第一堆中取出 $30$ 块放进第二堆，那么第二堆的石头是第一堆的 $3$ 倍；如果从第二堆中取出一些石头放进第一堆，那么第一堆的石头是第二堆的 $5$ 倍。问：第一堆中最少可能有多少块石头？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓总量不变）：两次移动石头总数都没变。第一次移动后两堆是 $1:3$，共 $1+3=\underline{\quad}$（份），所以总数是 $4$ 的倍数。
  2. 第 2 步：第二次移动后两堆是 $5:1$，共 $5+1=\underline{\quad}$（份），所以总数也是 $6$ 的倍数。
  3. 第 3 步（求公倍数）：总数是 $4$ 与 $6$ 的公倍数，最小为 $\underline{\quad}$，所以总数是 $12$、$24$、$36$、$48$、$60$、……
  4. 第 4 步（写出第一堆）：第一次移动后第一堆是总数的 $\frac{1}{4}$，所以第一堆原有 $\frac{1}{4}$ 总数 $+30$ 块。总数 $60$ 时，第一堆 $60\div 4+30=\underline{\quad}$（块），第二堆 $60-45=\underline{\quad}$（块）。
  5. 第 5 步（验证第二次移动）：第二次移动后第一堆应为 $60\times\frac{5}{6}=\underline{\quad}$（块），需从第二堆移过来 $50-45=\underline{\quad}$（块），而第二堆只有 $15$ 块，够移；总数比 $60$ 小的 $12$、$24$、$36$、$48$ 都不能同时满足（移动块数会算成 $0$ 或负数），所以第一堆最少 $45$ 块。
第二套
题目：有两筐苹果，如果从第一筐中取出 $30$ 个放进第二筐，那么第二筐的苹果是第一筐的 $3$ 倍；如果从第二筐中取出一些放进第一筐，那么第一筐的苹果是第二筐的 $5$ 倍。问：第一筐最少可能有多少个苹果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：苹果总数不变。第一次移动后两筐是 $1:3$，共 $1+3=\underline{\quad}$（份），总数是 $4$ 的倍数。
  2. 第 2 步：第二次移动后两筐是 $5:1$，共 $5+1=\underline{\quad}$（份），总数是 $6$ 的倍数。
  3. 第 3 步：总数是 $4$ 与 $6$ 的最小公倍数 $\underline{\quad}$ 的倍数。
  4. 第 4 步：第一筐原有 $\frac{1}{4}$ 总数 $+30$；总数 $60$ 时为 $60\div 4+30=\underline{\quad}$（个），第二筐 $60-45=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步：第二次移动后第一筐应为 $60\times\frac{5}{6}=\underline{\quad}$（个），要移 $50-45=\underline{\quad}$（个），第二筐够；更小的总数都不可行，故最少 $45$ 个。
第三套
题目：有两堆石头，从第一堆取出 $30$ 块放进第二堆后，第二堆是第一堆的 $3$ 倍；从第二堆取出一些放进第一堆后，第一堆是第二堆的 $7$ 倍。问：第一堆最少可能有多少块石头？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总数是 $1+3=\underline{\quad}$ 的倍数，也是 $7+1=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步：$4$ 与 $8$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$，所以总数是 $8$ 的倍数。
  3. 第 3 步：第一堆原有 $\frac{1}{4}$ 总数 $+30$；总数 $56$ 时为 $56\div 4+30=\underline{\quad}$（块），第二堆 $56-44=\underline{\quad}$（块）。
  4. 第 4 步（验证）：第二次移动后第一堆应为 $56\times\frac{7}{8}=\underline{\quad}$（块），需移 $49-44=\underline{\quad}$（块），第二堆有 $12$ 块够移；更小的总数 $8,16,24,32,40,48$ 都不可行，故第一堆最少 $44$ 块。
第三套
题目：有两堆石头，从第一堆取出 $30$ 块放进第二堆后，第二堆是第一堆的 $3$ 倍；从第二堆取出一些放进第一堆后，第一堆是第二堆的 $5$ 倍。问：第一堆最少多少块？此时第二堆有多少块？两堆一共多少块？第二次要移动多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总数是 $1+3=\underline{\quad}$ 与 $5+1=\underline{\quad}$ 的公倍数，最小公倍数 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：第一堆 $=\frac{1}{4}$ 总数 $+30$，总数取 $60$ 时第一堆 $60\div 4+30=\underline{\quad}$（块）。
  3. 第 3 步（第二问、第三问）：第二堆 $60-45=\underline{\quad}$（块），两堆共 $45+15=\underline{\quad}$（块）。
  4. 第 4 步（第四问）：第二次移动后第一堆为 $60\div 6\times 5=\underline{\quad}$（块），需移 $50-45=\underline{\quad}$（块）。
  5. 第 5 步（验算）：移动后第二堆 $15-5=\underline{\quad}$（块），$50\div 10=\underline{\quad}$，正好是 $5$ 倍。
21. 【原题 ch12-tuozhan-13】北京市出租车的起步价是 $3$ 千米以内 $10$ 元，$3$ 千米后按每千米 $2$ 元计费，当里程超过 $15$ 千米后，超出部分按每千米 $3$ 元计费。小明、小亮两人都从游乐园分别坐出租车回家，小明比小亮多花了 $23$ 元。请问：小明家距离游乐园最远是多少千米？（不足 $1$ 千米按 $1$ 千米计，假定两人回家一路上没有红绿灯，也没有堵车）
详细思路
是哪类问题：这是「分段计价 + 极值分析」类应用题：车费分三段，只知道两人车费相差 $23$ 元，要让其中一人的里程尽量远。
关键切入点：先把车费公式写清楚：$3$ 千米内 $10$ 元；$3$~$15$ 千米每千米 $2$ 元，故 $15$ 千米时 $10+2\times 12=34$ 元；超过 $15$ 千米每千米 $3$ 元。小亮在 $15$ 千米以内时车费是 $10$ 或 $12,14,\dots,34$ 这些偶数，小明的车费要比它多 $23$（奇数），所以小明必须进入第三段，车费形如 $34+3k$。逐个配对可得小明的里程只能是 $16,18,20,22$，最远是 $22$ 千米。
方法概述：按出租车分段费率列出车费，利用 $23$ 元差与取最远策略求最大里程。
规范步骤：
  1. 写出分段车费：$x\le 3$：$10$；$3<x\le 15$：$10+2(x-3)$；$x>15$：$34+3(x-15)$（分段计价）
  2. 分析奇偶：小亮不超过 $15$ 千米时车费为偶数，$+23$ 后为奇数，故小明超过 $15$ 千米（奇偶分析）
  3. 枚举小明车费：$37,43,49,55$ 对应小亮 $14,20,26,32$（均可达）（整数枚举）
  4. 取最大：小明车费 $55$ 元时里程 $x$ 满足 $34+3(x-15)=55$，$x=22$（解方程）
  5. 验算：小亮 $14$ 千米车费 $10+2\times 11=32$，$55-32=23$（元）
  6. 写出答案：$22$ 千米
第一套
题目：某市出租车起步价是 $4$ 千米以内 $12$ 元，$4$ 千米后按每千米 $3$ 元计费，当里程超过 $18$ 千米后，超出部分按每千米 $4$ 元计费。小明、小亮两人都从游乐园分别坐出租车回家，小明比小亮多花了 $34$ 元。请问：小明家距离游乐园最远是多少千米？（不足 $1$ 千米按 $1$ 千米计）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写出分段车费）：$4$ 千米以内 $12$ 元；$4$ 到 $18$ 千米每千米 $3$ 元，所以 $18$ 千米时车费 $12+3\times(18-4)=\underline{\quad}$（元）；超过 $18$ 千米后每千米 $4$ 元。
  2. 第 2 步（判断小明在哪一段）：小亮里程若不超过 $18$ 千米，车费是 $12$ 或 $15,18,\dots,54$ 这些 $3$ 的倍数；要让小明的里程尽量远，小明必须进入第三段，车费为 $54+4k$（$k$ 是超过 $18$ 千米的部分）。
  3. 第 3 步（配对枚举）：小明车费 $-34=$ 小亮车费。试算：小明 $58$ 元时小亮 $58-34=\underline{\quad}$（元，可达）；小明 $70$ 元时小亮 $70-34=\underline{\quad}$（元，可达）；小明 $82$ 元时小亮 $82-34=\underline{\quad}$（元，可达）；再往上小亮车费就超过 $54$ 元而进入第三段，差额便不可能是 $34$ 元。
  4. 第 4 步（取最远）：小明车费最大为 $82$ 元，由 $54+4\times(x-18)=82$ 得 $x-18=(82-54)\div 4=\underline{\quad}$，$x=18+7=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（验算）：小亮车费 $48$ 元对应里程 $y$：$12+3(y-4)=48$，$y=4+(48-12)\div 3=\underline{\quad}$（千米）；$82-48=\underline{\quad}$（元），符合。
第二套
题目：某快递公司按里程收费：$4$ 千米以内 $12$ 元，$4$ 千米后每千米加 $3$ 元，超过 $18$ 千米的部分每千米 $4$ 元。甲、乙两个包裹从同一网点寄出，甲的运费比乙多 $34$ 元。请问：甲的送达地点距网点最远是多少千米？（不足 $1$ 千米按 $1$ 千米计）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$18$ 千米时运费 $12+3\times(18-4)=\underline{\quad}$（元）；再远每千米 $4$ 元。
  2. 第 2 步：乙在 $18$ 千米内时运费是 $12$ 或 $15,18,\dots,54$；要让甲最远，甲必须超过 $18$ 千米。
  3. 第 3 步：甲 $58$ 元时乙 $58-34=\underline{\quad}$；甲 $70$ 元时乙 $70-34=\underline{\quad}$；甲 $82$ 元时乙 $82-34=\underline{\quad}$；再大乙就超出 $54$ 元。
  4. 第 4 步：甲运费最大 $82$ 元，$x-18=(82-54)\div 4=\underline{\quad}$，$x=18+7=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（验算）：乙 $48$ 元对应 $y=4+(48-12)\div 3=\underline{\quad}$（千米），$82-48=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：出租车起步价 $3$ 千米以内 $10$ 元，$3$ 千米后每千米 $2$ 元，超过 $15$ 千米后每千米 $3$ 元。小明比小亮多花了 $29$ 元车费。请问：小明家距游乐园最远是多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$15$ 千米时车费 $10+2\times(15-3)=\underline{\quad}$（元）；再远每千米 $3$ 元。
  2. 第 2 步：小亮在 $15$ 千米内时车费是 $10$ 或 $12,14,\dots,34$（偶数）；小明车费 $=$ 小亮 $+29$ 是奇数，故小明必超 $15$ 千米。
  3. 第 3 步：小明车费为 $34+3k$，取最大且使小亮车费不超过 $34$：小明 $61$ 元时小亮 $61-29=\underline{\quad}$（元，可达）；小明 $67$ 元时小亮 $67-29=\underline{\quad}$（元），已超过 $34$ 元。
  4. 第 4 步：由 $34+3(x-15)=61$ 得 $x-15=(61-34)\div 3=\underline{\quad}$，$x=15+9=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（验算）：小亮 $32$ 元对应 $y=3+(32-10)\div 2=\underline{\quad}$（千米），$61-32=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：出租车 $4$ 千米以内 $12$ 元，$4$ 千米后每千米 $3$ 元，超过 $18$ 千米后每千米 $4$ 元。小明比小亮多花了 $34$ 元。请问：小明家最远多少千米？此时小亮家多少千米？两人车费各是多少？两人车费一共多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$18$ 千米时车费 $12+3\times(18-4)=\underline{\quad}$（元）；小明最贵的可行车费是 $82$ 元，$x=18+(82-54)\div 4=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（第二问）：小亮车费 $82-34=\underline{\quad}$（元），由 $12+3(y-4)=48$ 得 $y=4+(48-12)\div 3=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（第三问·验算车费）：小明 $12+3\times 14+4\times(25-18)=\underline{\quad}$（元），小亮 $12+3\times(16-4)=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步（第四问）：两人共 $82+48=\underline{\quad}$（元）。
22. 【原题 ch12-tuozhan-14】团体游园购买公园门票的票价如表 $12$-$1$ 所示。今有甲、乙两个旅游团，如果分别购票，两团总计应付门票费 $1142$ 元。如果合在一起作为一个团体购票，应付门票费 $864$ 元。问：这两个旅游团各有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「分段票价 + 整除与分类讨论」类应用题：票价随人数分档，合团后单价变便宜，要由两种买法的费用倒推两团人数。
关键切入点：设合团后共 $108$ 人（由 $864$ 元与各档单价的整除关系确定：$864\div 8=108$，落在“$100$ 人以上每人 $8$ 元”这一档，自洽）。分别购票时若一团在 $50$ 人以下（每人 $12$ 元）、另一团在 $50$~$100$ 人（每人 $10$ 元），则 $12a+10(108-a)=1142$，解得 $a=(1142-10\times 108)\div(12-10)=31$（人），另一团 $108-31=77$（人），恰好一个在 $50$ 人以下、一个在 $50$~$100$ 人之间，与假设一致。
方法概述：依合团与分别购票的费用，结合票价分段及整除性确定两团人数。
规范步骤：
  1. 由合团费用定总人数：$864\div 8=108$（人）（合团超过 $100$ 人，每人 $8$ 元）
  2. 假设两团分处两档：一团每人 $12$ 元、另一团每人 $10$ 元（分类讨论）
  3. 列式求较小的团：$(1142-10\times 108)\div(12-10)=31$（人）（假设法）
  4. 求另一团：$108-31=77$（人）（总数减去）
  5. 验算：$12\times 31+10\times 77=372+770=1142$（元）
  6. 写出答案：$31$ 人和 $77$ 人
23. 【原题 ch12-xingqu-01】包子铺里有许多肉包子和菜包子，如果肉包子和菜包子的个数比为 $3:7$，菜包子有 $84$ 个，那么肉包子有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「按比分配·由一量求另一量」类应用题：两个量的比已知，又已知其中一个量的具体数值，求另一个量。
关键切入点：比 $3:7$ 的意思是把肉包子看作 $3$ 份、菜包子看作 $7$ 份，两种包子的“每份大小”是相同的。菜包子 $84$ 个对应 $7$ 份，先求一份是多少，再乘肉包子的份数即可，这比列方程更直观。
方法概述：先由已知量求出每份的大小，再乘另一个量的份数。
规范步骤：
  1. 菜包子占 $7$ 份，求每份：$84\div 7=12$（个）（总量除以份数得每份）
  2. 肉包子占 $3$ 份：$12\times 3=36$（个）（每份乘份数得该量）
  3. 写出答案：$36$ 个
第一套
题目：面包房里有许多肉松面包和豆沙面包，肉松面包与豆沙面包的个数比为 $5:9$，豆沙面包有 $252$ 个，那么肉松面包有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出份数）：比 $5:9$ 表示肉松面包 $5$ 份、豆沙面包 $9$ 份。豆沙面包 $252$ 个占 $9$ 份，每份是 $252\div 9=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（求另一量）：肉松面包占 $5$ 份，共 $28\times 5=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：花圃里种着月季和玫瑰，月季与玫瑰的棵数比为 $5:9$，玫瑰有 $252$ 棵，那么月季有多少棵？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：玫瑰占 $9$ 份，每份 $252\div 9=\underline{\quad}$（棵）。
  2. 第 2 步：月季占 $5$ 份，共 $28\times 5=\underline{\quad}$（棵）。
第三套
题目：面包房里肉松面包与豆沙面包的个数比为 $5:9$，肉松面包有 $140$ 个，那么豆沙面包有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（判断已知的是哪一份）：这次已知的是比的前项对应的量，肉松面包 $140$ 个占 $5$ 份，每份 $140\div 5=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步：豆沙面包占 $9$ 份，共 $28\times 9=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：面包房里肉松面包与豆沙面包的个数比为 $5:9$，豆沙面包比肉松面包多 $112$ 个，那么豆沙面包有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把“多多少”翻译成份数）：豆沙 $9$ 份、肉松 $5$ 份，豆沙比肉松多 $9-5=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求每份）：这 $4$ 份对应 $112$ 个，所以每份 $112\div 4=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（求豆沙）：豆沙占 $9$ 份，共 $28\times 9=\underline{\quad}$（个）。
24. 【原题 ch12-xingqu-02】水果店运来了西瓜和哈密瓜共 $234$ 个。如果西瓜和哈密瓜的个数比为 $5:4$，那么水果店运来的西瓜和哈密瓜各多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「按比分配·已知总量」类应用题：总量已知，两个量的比已知，求各量。
关键切入点：比 $5:4$ 说明把总数分成 $5+4=9$ 等份，西瓜占 $5$ 份、哈密瓜占 $4$ 份。总量 $234$ 对应 $9$ 份，先求一份，再分别乘各自份数，避免设未知数解方程。
方法概述：先求总份数，再求每份，最后按份数分配。
规范步骤：
  1. 求总份数：$5+4=9$（份）（比的各项之和）
  2. 求每份：$234\div 9=26$（个）（总量除以总份数）
  3. 求西瓜：$26\times 5=130$（个）（每份乘份数）
  4. 求哈密瓜：$26\times 4=104$（个）（每份乘份数）
  5. 写出答案：西瓜 $130$ 个，哈密瓜 $104$ 个
第一套
题目：水果店运来了菠萝和芒果共 $391$ 个。如果菠萝和芒果的个数比为 $8:9$，那么菠萝和芒果各多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求总份数）：菠萝 $8$ 份、芒果 $9$ 份，总份数 $8+9=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求每份）：$391$ 个对应 $17$ 份，每份 $391\div 17=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（分配）：菠萝 $23\times 8=\underline{\quad}$（个），芒果 $23\times 9=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：运动会上红队和蓝队共有队员 $391$ 人，红队与蓝队的人数比为 $8:9$，两队各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总份数 $8+9=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：每份 $391\div 17=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步：红队 $23\times 8=\underline{\quad}$（人），蓝队 $23\times 9=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：三个车间共生产零件 $391$ 个，甲、乙、丙三个车间的产量比为 $8:5:4$，三个车间各生产多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求总份数）：三项都要加进去，$8+5+4=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求每份）：$391\div 17=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（分配）：甲 $23\times 8=\underline{\quad}$（个），乙 $23\times 5=\underline{\quad}$（个），丙 $23\times 4=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：水果店运来菠萝和芒果共 $425$ 个，菠萝与芒果的个数比为 $8:9$。芒果又按 $4:5$ 分装到大、小两个货架上。请问：小货架上有多少个芒果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次分配）：总份数 $8+9=\underline{\quad}$（份），每份 $425\div 17=\underline{\quad}$（个），芒果 $25\times 9=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（第二次分配）：把 $225$ 个芒果按 $4:5$ 再分，新的总份数 $4+5=\underline{\quad}$（份），每份 $225\div 9=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（求小货架）：小货架占 $5$ 份，$25\times 5=\underline{\quad}$（个）。
25. 【原题 ch12-xingqu-03】有 $429$ 名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为 $7:6$。后来又有一些女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变为 $11:10$。请问：后来报名的女生有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「比的变化·抓不变量」类应用题：一个量不变、另一个量增加，前后两个比都给出，求增加量。
关键切入点：关键在于“后来又有一些女生报名”，男生人数自始至终没变。所以可以用第一个比求出男生和原来的女生，再把男生当成桥梁，用第二个比求出后来的女生，两次女生人数一减就是新报名人数。
方法概述：抓住男生人数不变，分别由两个比求出前后女生人数再作差。
规范步骤：
  1. 由原比求每份：$429\div(7+6)=33$（人）（总量除以总份数）
  2. 求原来男、女生：$33\times 7=231$（人），$33\times 6=198$（人）（按份数分配）
  3. 男生不变，用新比求后来女生：$231\div 11\times 10=210$（人）（以不变量为桥梁）
  4. 作差得新报名女生：$210-198=12$（人）（前后之差）
  5. 写出答案：$12$ 人
第一套
题目：有 $663$ 名小学生参加科技夏令营，其中男生和女生的人数比为 $8:5$。后来又有一些女生报名，这时男生和女生的人数比变为 $4:3$。请问：后来报名的女生有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（原来的分配）：总份数 $8+5=\underline{\quad}$（份），每份 $663\div 13=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步：原来男生 $51\times 8=\underline{\quad}$（人），原来女生 $51\times 5=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（找不变量）：只增加了女生，男生人数没变，仍是 $408$ 人。新比中男生占 $4$ 份，所以新的每份 $408\div 4=\underline{\quad}$（人），后来女生 $102\times 3=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（作差）：后来报名的女生 $306-255=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：图书角原有故事书和科普书共 $663$ 本，故事书与科普书的本数比为 $8:5$。后来又买进一些科普书（故事书没有变化），这时故事书与科普书的本数比变为 $4:3$。请问：后来买进科普书多少本？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总份数 $8+5=\underline{\quad}$（份），每份 $663\div 13=\underline{\quad}$（本）。
  2. 第 2 步：原有故事书 $51\times 8=\underline{\quad}$（本），原有科普书 $51\times 5=\underline{\quad}$（本）。
  3. 第 3 步：故事书没变仍为 $408$ 本，占新比的 $4$ 份，新每份 $408\div 4=\underline{\quad}$（本），后来科普书 $102\times 3=\underline{\quad}$（本）。
  4. 第 4 步：买进 $306-255=\underline{\quad}$（本）。
第三套
题目：有 $663$ 名小学生参加科技夏令营，其中男生和女生的人数比为 $8:5$。后来又有一些男生报名（女生人数不变），这时男生和女生的人数比变为 $9:5$。请问：后来报名的男生有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总份数 $8+5=\underline{\quad}$（份），每份 $663\div 13=\underline{\quad}$（人），原来男生 $51\times 8=\underline{\quad}$（人），女生 $51\times 5=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步（找不变量）：这次不变的是女生 $255$ 人，它在新比里占 $5$ 份，新每份 $255\div 5=\underline{\quad}$（人），后来男生 $51\times 9=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步：后来报名男生 $459-408=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：有 $663$ 名小学生参加科技夏令营，其中男生和女生的人数比为 $8:5$。后来又有一些女生报名，这时男生和女生的人数比变为 $4:3$。请问：后来报名的女生有多少人？这时夏令营一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总份数 $8+5=\underline{\quad}$（份），每份 $663\div 13=\underline{\quad}$（人），男生 $51\times 8=\underline{\quad}$（人），原女生 $51\times 5=\underline{\quad}$（人）。
  2. 第 2 步：男生不变，新每份 $408\div 4=\underline{\quad}$（人），后来女生 $102\times 3=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步：新报名女生 $306-255=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求变化后的总人数）：可以直接把现在的男生与女生相加 $408+306=\underline{\quad}$（人），也可以用原总数加上新报名人数 $663+51=\underline{\quad}$（人），两法结果应相同。
26. 【原题 ch12-xingqu-04】松鼠一家三口出门采摘松果。松鼠爸爸采得最快，他每采摘 $7$ 颗松果，松鼠妈妈只能采摘 $6$ 颗；松鼠宝宝采得最慢，他每采摘 $2$ 颗，松鼠妈妈已经采摘了 $3$ 颗。一天下来，他们一共采摘了 $340$ 颗松果。试问：其中有多少颗是松鼠宝宝采的？
详细思路
是哪类问题：这是「连比统一 + 按比分配」类应用题：给出的是两两之间的比，先要统一成三个量的连比，再按份数分配总量。
关键切入点：两个比里都出现了妈妈，所以妈妈是桥梁。第一个比里妈妈是 $6$，第二个比里妈妈是 $3$，把第二个比 $2:3$ 扩大 $2$ 倍变成 $4:6$，妈妈就统一成 $6$ 了，于是爸爸、妈妈、宝宝之比为 $7:6:4$。统一后就变成普通的按比分配。
方法概述：以共同对象（妈妈）为桥梁统一三者速度之比，再按份数分配。
规范步骤：
  1. 统一妈妈的份数：宝宝:妈妈$=2:3=4:6$（比的基本性质：同乘 $2$）
  2. 写出连比：爸:妈:宝$=7:6:4$（以妈妈为桥梁）
  3. 求总份数与每份：$7+6+4=17$，$340\div 17=20$（颗）（按比分配）
  4. 求宝宝采的颗数：$20\times 4=80$（颗）（每份乘份数）
  5. 写出答案：$80$ 颗
第一套
题目：松鼠一家三口出门采摘松果。爸爸每采摘 $9$ 颗松果，妈妈只能采摘 $8$ 颗；宝宝每采摘 $3$ 颗，妈妈已经采摘了 $4$ 颗。一天下来，他们一共采摘了 $966$ 颗松果。试问：其中有多少颗是宝宝采的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找桥梁）：两个比里都出现妈妈。爸:妈 $=9:8$，宝:妈 $=3:4$。把宝:妈的两项同乘 $2$，妈妈就变成 $8$：宝:妈 $=\underline{\quad}:8$。
  2. 第 2 步（写连比）：爸:妈:宝 $=9:8:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比分配）：总份数 $9+8+6=\underline{\quad}$（份），每份 $966\div 23=\underline{\quad}$（颗）。
  4. 第 4 步：宝宝占 $6$ 份，$42\times 6=\underline{\quad}$（颗）。
第二套
题目：车间里甲、乙、丙三名工人加工零件。甲每加工 $9$ 个，乙加工 $8$ 个；丙每加工 $3$ 个，乙已经加工了 $4$ 个。一天下来三人共加工 $966$ 个零件。请问：其中有多少个是丙加工的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：乙是桥梁。甲:乙 $=9:8$，丙:乙 $=3:4$，同乘 $2$ 得丙:乙 $=\underline{\quad}:8$。
  2. 第 2 步：甲:乙:丙 $=9:8:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：总份数 $9+8+6=\underline{\quad}$（份），每份 $966\div 23=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步：丙加工 $42\times 6=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：松鼠一家三口采松果，爸爸每采 $9$ 颗，妈妈采 $8$ 颗；宝宝每采 $3$ 颗时妈妈已采 $4$ 颗。三人共采 $966$ 颗。请问：爸爸采了多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：以妈妈为桥梁统一，宝:妈 $=3:4=\underline{\quad}:8$，得爸:妈:宝 $=9:8:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：总份数 $9+8+6=\underline{\quad}$（份），每份 $966\div 23=\underline{\quad}$（颗）。
  3. 第 3 步：爸爸占 $9$ 份，$42\times 9=\underline{\quad}$（颗）。
第三套
题目：松鼠一家三口采松果，爸爸每采 $9$ 颗，妈妈采 $8$ 颗；宝宝每采 $3$ 颗时妈妈已采 $4$ 颗。已知爸爸比宝宝多采了 $126$ 颗。请问：三人一共采了多少颗松果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一连比）：宝:妈 $=3:4=\underline{\quad}:8$，故爸:妈:宝 $=9:8:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（把差化成份数）：爸爸比宝宝多 $9-6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求每份）：$3$ 份对应 $126$ 颗，每份 $126\div 3=\underline{\quad}$（颗）。
  4. 第 4 步（求总量）：总份数 $9+8+6=\underline{\quad}$（份），共 $42\times 23=\underline{\quad}$（颗）。
27. 【原题 ch12-xingqu-05】育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆。第一批与第二批的人数比是 $5:4$，第二批与第三批的人数比是 $3:2$。已知第一批的人数比第二、三批的总和少 $55$ 人。请问：育才小学五年级一共有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「连比统一 + 差量对应份数」类应用题：两个比通过公共项统一成连比，再用一个差量确定每份的大小。
关键切入点：第二批在两个比里都出现，是桥梁。第一个比里第二批是 $4$，第二个比里是 $3$，取 $12$ 作公共份数：第一批:第二批 $=15:12$，第二批:第三批 $=12:8$，于是三批之比为 $15:12:8$。题目没给总人数，却给了“第一批比第二、三批之和少 $55$ 人”，把这个差写成份数就能求出每份。
方法概述：统一为连比后，用差对应的份数求出每份，再求总数。
规范步骤：
  1. 统一第二批的份数：$5:4=15:12$，$3:2=12:8$（比的基本性质）
  2. 写出连比：一:二:三$=15:12:8$（以第二批为桥梁）
  3. 把差写成份数：$(12+8)-15=5$（份）（差量对应份数）
  4. 求每份：$55\div 5=11$（人）（差量除以差份数）
  5. 求总人数：$11\times(15+12+8)=385$（人）（每份乘总份数）
第一套
题目：育才小学五年级学生分成三批去参观科技馆。第一批与第二批的人数比是 $7:5$，第二批与第三批的人数比是 $4:3$。已知第一批的人数比第二、三批的总和少 $133$ 人。请问：五年级一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找桥梁并统一）：第二批在两个比里分别是 $5$ 和 $4$，取公共份数 $20$。一:二 $=7:5=28:\underline{\quad}$，二:三 $=4:3=20:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写连比）：一:二:三 $=28:20:15$，总份数 $28+20+15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（把差化成份数）：第二、三批之和比第一批多 $(20+15)-28=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求每份）：$7$ 份对应 $133$ 人，每份 $133\div 7=\underline{\quad}$（人）。
  5. 第 5 步（求总数）：$19\times 63=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：一个工厂三个车间生产同一批零件。甲车间与乙车间的产量比是 $7:5$，乙车间与丙车间的产量比是 $4:3$。已知甲车间的产量比乙、丙两车间的总产量少 $133$ 个。请问：三个车间一共生产多少个零件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：以乙为桥梁，甲:乙 $=7:5=28:\underline{\quad}$，乙:丙 $=4:3=20:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：甲:乙:丙 $=28:20:15$，总份数 $28+20+15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：乙丙之和比甲多 $(20+15)-28=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：每份 $133\div 7=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步：总产量 $19\times 63=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：五年级学生分三批参观科技馆，第一批与第二批的人数比是 $7:5$，第二批与第三批的人数比是 $4:3$。已知第一批比第三批多 $247$ 人。请问：五年级一共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一连比）：一:二 $=7:5=28:\underline{\quad}$，二:三 $=4:3=20:\underline{\quad}$，故一:二:三 $=28:20:15$。
  2. 第 2 步（把差化成份数）：这次给的差是第一批与第三批之差 $28-15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求每份）：$13$ 份对应 $247$ 人，每份 $247\div 13=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（求总数）：总份数 $28+20+15=\underline{\quad}$（份），共 $19\times 63=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：五年级学生分三批参观科技馆，第一批与第二批的人数比是 $7:5$，第二批与第三批的人数比是 $4:3$，第一批的人数比第二、三批的总和少 $133$ 人。请问：五年级共有多少人？第二批比第三批多多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：统一得一:二:三 $=28:20:15$，其中 $7:5=28:\underline{\quad}$，$4:3=20:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：差份数 $(20+15)-28=\underline{\quad}$（份），每份 $133\div 7=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步：总人数 $19\times(28+20+15)=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（再求一问）：第二批比第三批多 $20-15=\underline{\quad}$（份），即 $19\times 5=\underline{\quad}$（人）。
28. 【原题 ch12-xingqu-06】一堆围棋子共有 $100$ 多枚，其中黑棋子与白棋子的数量比是 $34:35$，那么其中黑棋子有多少枚？
详细思路
是哪类问题：这是「按比分配 + 整除性与范围估计」类应用题：只给了比和一个粗略范围，要先把总数定下来。
关键切入点：黑白之比 $34:35$ 说明总数被分成 $34+35=69$ 份，每份是整数枚棋子，所以总数一定是 $69$ 的倍数。$69$ 的倍数中落在“$100$ 多”里的只有 $138$，总数就唯一确定了。
方法概述：由比得总数是份数和的倍数，再用范围确定总数。
规范步骤：
  1. 求总份数：$34+35=69$（份）（比的各项之和）
  2. 总数是 $69$ 的倍数：$69\times 1=69$，$69\times 2=138$，$69\times 3=207$（每份为整数）
  3. 用“$100$ 多”定总数：$100<138<200$，故总数为 $138$（范围估计）
  4. 求黑棋子：$138\div 69\times 34=68$（枚）（按比分配）
  5. 写出答案：$68$ 枚
第一套
题目：一堆玻璃球共有 $200$ 多颗，其中红球与蓝球的数量比是 $47:48$，那么其中红球有多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数必须是几的倍数）：比 $47:48$ 说明总数分成 $47+48=\underline{\quad}$（份），每份是整数颗，所以总数一定是这个数的倍数。
  2. 第 2 步（用范围定总数）：$95$ 的倍数依次是 $95$、$95\times 2=\underline{\quad}$、$95\times 3=285$、$95\times 4=380$。落在“$200$ 多”里的只有 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比分配）：每份 $285\div 95=\underline{\quad}$（颗），红球 $3\times 47=\underline{\quad}$（颗）。
第二套
题目：一箱螺丝共有 $200$ 多个，其中长螺丝与短螺丝的数量比是 $47:48$，那么其中长螺丝有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总份数 $47+48=\underline{\quad}$（份），总数必是 $95$ 的倍数。
  2. 第 2 步：$95\times 2=\underline{\quad}$，$95\times 3=285$；落在“$200$ 多”里的只有 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：每份 $285\div 95=\underline{\quad}$（个），长螺丝 $3\times 47=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：一堆玻璃球共有 $400$ 多颗，其中红球与蓝球的数量比是 $47:48$，那么其中蓝球有多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总份数 $47+48=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：$95$ 的倍数中落在 $400$ 到 $500$ 之间的是 $95\times 5=\underline{\quad}$，所以总数为 $475$ 颗。
  3. 第 3 步：每份 $475\div 95=\underline{\quad}$（颗），蓝球 $5\times 48=\underline{\quad}$（颗）。
第三套
题目：一堆玻璃球共有 $200$ 多颗，其中红球与蓝球的数量比是 $47:48$。如果再放入若干颗红球，使红球与蓝球的数量恰好相等，那么要放入多少颗红球？这时球一共有多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定总数）：总份数 $47+48=\underline{\quad}$（份），$95$ 的倍数中“$200$ 多”的只有 $95\times 3=\underline{\quad}$，故原有 $285$ 颗。
  2. 第 2 步（求红蓝）：每份 $285\div 95=\underline{\quad}$（颗），红球 $3\times 47=\underline{\quad}$（颗），蓝球 $3\times 48=\underline{\quad}$（颗）。
  3. 第 3 步（比的调整）：要让红球与蓝球相等，只需把红球补到 $144$ 颗，需放入 $144-141=\underline{\quad}$（颗）。
  4. 第 4 步（求新总数）：$285+3=\underline{\quad}$（颗）。
29. 【原题 ch12-xingqu-07】博雅小学五年级有 $200$ 人。在一次数学竞赛中，参赛人数的 $\frac{1}{8}$ 获得优胜奖，$\frac{4}{13}$ 获得鼓励奖，其余的人没有得奖。试问：该校五年级学生中有多少人没有参加这次数学竞赛？
详细思路
是哪类问题：这是「分数应用题 + 公倍数与范围估计」类：获奖人数是参赛人数的几分之几，人数必须是整数，由此锁定参赛人数。
关键切入点：参赛人数的 $\frac{1}{8}$ 与 $\frac{4}{13}$ 都必须是整数人，所以参赛人数既是 $8$ 的倍数又是 $13$ 的倍数，即 $104$ 的倍数。参赛人数不超过全年级 $200$ 人，而 $104\times 2=208>200$，所以只能是 $104$ 人。
方法概述：由分数获奖人数必为整数推出参赛人数是公倍数，再用总人数范围确定。
规范步骤：
  1. 参赛人数必是 $8$ 与 $13$ 的公倍数：$8\times 13=104$（分数结果为整数）
  2. 用范围定参赛人数：$104\le 200<208$，故参赛 $104$ 人（范围估计）
  3. 求没参加的人数：$200-104=96$（人）（总数减参赛数）
  4. 写出答案：$96$ 人
第一套
题目：博雅小学五年级有 $240$ 人。在一次数学竞赛中，参赛人数的 $\frac{1}{9}$ 获得优胜奖，$\frac{5}{14}$ 获得鼓励奖，其余的人没有得奖。试问：该校五年级有多少人没有参加这次竞赛？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（为什么要找公倍数）：优胜奖人数是参赛人数的 $\frac{1}{9}$、鼓励奖是 $\frac{5}{14}$，都必须是整数人，所以参赛人数既是 $9$ 的倍数又是 $14$ 的倍数，即 $9\times 14=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步（用范围定下来）：参赛人数不超过 $240$ 人，而 $126\times 2=\underline{\quad}$ 已超过 $240$，所以参赛人数只能是 $\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（求没参赛的人数）：$240-126=\underline{\quad}$（人）。
第二套
题目：某社团共有 $240$ 名成员。在一次义卖中，参加义卖人数的 $\frac{1}{9}$ 负责收银，$\frac{5}{14}$ 负责宣传，其余的人负责摆摊。请问：该社团有多少人没有参加这次义卖？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$\frac{1}{9}$ 与 $\frac{5}{14}$ 都要是整数人，故参加人数是 $9\times 14=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步：$126\times 2=\underline{\quad}$ 已超过 $240$，所以参加人数只能是 $\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步：没参加的有 $240-126=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：某小学六年级有 $250$ 人。参加书法比赛的人数中，$\frac{1}{11}$ 获得金奖，$\frac{5}{13}$ 获得银奖，其余没有获奖。请问：有多少人没有参加书法比赛？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：参赛人数是 $11\times 13=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步：$143\times 2=\underline{\quad}$ 已超过 $250$，故参赛人数为 $\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步：没参加的 $250-143=\underline{\quad}$（人）。
第三套
题目：博雅小学五年级有 $240$ 人，参加数学竞赛的人中 $\frac{1}{9}$ 获优胜奖，$\frac{5}{14}$ 获鼓励奖，其余参赛者没有得奖。请问：没有参加竞赛的有多少人？参加了竞赛但没有得奖的又有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定参赛人数）：参赛人数是 $9\times 14=\underline{\quad}$ 的倍数，且 $126\times 2=\underline{\quad}>240$，故参赛 $126$ 人。
  2. 第 2 步（第一问）：没参加的 $240-126=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（求两种获奖人数）：优胜奖 $126\times\frac{1}{9}=\underline{\quad}$（人），鼓励奖 $126\times\frac{5}{14}=\underline{\quad}$（人）。
  4. 第 4 步（第二问）：参赛未获奖 $126-14-45=\underline{\quad}$（人）。
30. 【原题 ch12-xingqu-08】甲、乙、丙三堆棋子总共有 $100$ 多枚。先从甲堆分一些棋子给另外两堆，使得乙、丙两堆的棋子数增加 $1$ 倍；接着，从乙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、丙两堆各增加 $2$ 倍；最后，从丙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、乙两堆各增加 $3$ 倍，此时甲、乙、丙三堆棋子数的比是 $1:2:3$。请问：原来三堆棋子各有多少枚？
详细思路
是哪类问题：这是「倒推法 + 总量不变 + 按比分配」类应用题：多次搬动棋子，但棋子总数始终不变，末态给出了比。
关键切入点：三次搬动都是“从一堆分给另外两堆”，棋子既没有增加也没有减少，总数守恒。末态比 $1:2:3$ 说明总数是 $6$ 的倍数；再往回倒推时，每一步都要做除法（增加 $3$ 倍即变成 $4$ 倍，倒回去除以 $4$；增加 $2$ 倍除以 $3$；增加 $1$ 倍除以 $2$），要求每次都整除，逼得总数必须是 $144$ 的倍数，而“$100$ 多”只留下 $144$。
方法概述：由总数不变及末态比确定总数，再从最后一步逐步倒推还原。
规范步骤：
  1. 末态按比分配：$144\div 6=24$，末态三堆为 $24,48,72$（总数是 $6$ 的倍数且为 $100$ 多，只能是 $144$）
  2. 倒推第三步（甲、乙各增 $3$ 倍即变 $4$ 倍）：$24\div 4=6$，$48\div 4=12$，丙 $=144-6-12=126$（增 $n$ 倍即乘 $n+1$，倒回除以 $n+1$）
  3. 倒推第二步（甲、丙各增 $2$ 倍即变 $3$ 倍）：$6\div 3=2$，$126\div 3=42$，乙 $=144-2-42=100$（同上）
  4. 倒推第一步（乙、丙各增 $1$ 倍即变 $2$ 倍）：$100\div 2=50$，$42\div 2=21$，甲 $=144-50-21=73$（同上）
  5. 写出答案：甲 $73$、乙 $50$、丙 $21$
第一套
题目：甲、乙、丙三堆棋子总共有 $400$ 多枚。先从甲堆分一些给另外两堆，使乙、丙两堆各增加 $1$ 倍；接着从乙堆分一些给另外两堆，使甲、丙两堆各增加 $2$ 倍；最后从丙堆分一些给另外两堆，使甲、乙两堆各增加 $3$ 倍，此时甲、乙、丙三堆之比是 $1:2:3$。请问：原来三堆棋子各有多少枚？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数不变、先定总数）：三次搬动棋子总数没变。末态比 $1:2:3$，总份数 $1+2+3=\underline{\quad}$（份），且倒推时要连续除以 $4$、$3$、$2$，可算出总数必须是 $144$ 的倍数；“$400$ 多”里只有 $144\times 3=\underline{\quad}$（枚）。
  2. 第 2 步（写出末态三堆）：每份 $432\div 6=\underline{\quad}$（枚），末态为 $72$、$72\times 2=\underline{\quad}$、$72\times 3=\underline{\quad}$（枚）。
  3. 第 3 步（倒推第三步）：甲、乙各增 $3$ 倍就是变成原来的 $4$ 倍，倒回去要除以 $4$：甲 $72\div 4=\underline{\quad}$，乙 $144\div 4=\underline{\quad}$，丙用总数补齐 $432-18-36=\underline{\quad}$（枚）。
  4. 第 4 步（倒推第二步）：甲、丙各增 $2$ 倍即变 $3$ 倍，倒回除以 $3$：甲 $18\div 3=\underline{\quad}$，丙 $378\div 3=\underline{\quad}$，乙 $432-6-126=\underline{\quad}$（枚）。
  5. 第 5 步（倒推第一步）：乙、丙各增 $1$ 倍即变 $2$ 倍，倒回除以 $2$：乙 $300\div 2=\underline{\quad}$，丙 $126\div 2=\underline{\quad}$，甲 $432-150-63=\underline{\quad}$（枚）。
第二套
题目：甲、乙、丙三个书架上共有 $400$ 多本书。先从甲架取一些书放到另外两架，使乙、丙两架各增加 $1$ 倍；再从乙架取一些放到另外两架，使甲、丙两架各增加 $2$ 倍；最后从丙架取一些放到另外两架，使甲、乙两架各增加 $3$ 倍，此时甲、乙、丙三架的书之比是 $1:2:3$。请问：原来三架各有多少本书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：搬书总数不变。末态总份数 $1+2+3=\underline{\quad}$（份），总数必是 $144$ 的倍数，“$400$ 多”中只有 $144\times 3=\underline{\quad}$（本）。
  2. 第 2 步：每份 $432\div 6=\underline{\quad}$（本），末态为 $72$、$72\times 2=\underline{\quad}$、$72\times 3=\underline{\quad}$（本）。
  3. 第 3 步（倒推第三步，除以 $4$）：甲 $72\div 4=\underline{\quad}$，乙 $144\div 4=\underline{\quad}$，丙 $432-18-36=\underline{\quad}$（本）。
  4. 第 4 步（倒推第二步，除以 $3$）：甲 $18\div 3=\underline{\quad}$，丙 $378\div 3=\underline{\quad}$，乙 $432-6-126=\underline{\quad}$（本）。
  5. 第 5 步（倒推第一步，除以 $2$）：乙 $300\div 2=\underline{\quad}$，丙 $126\div 2=\underline{\quad}$，甲 $432-150-63=\underline{\quad}$（本）。
第三套
题目：甲、乙、丙三堆棋子共有 $800$ 多枚，依次进行与原题相同的三次搬动（先甲分给乙丙各增 $1$ 倍，再乙分给甲丙各增 $2$ 倍，最后丙分给甲乙各增 $3$ 倍），最后三堆之比为 $1:2:3$。请问：原来三堆各有多少枚？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总数是 $144$ 的倍数，“$800$ 多”中只有 $144\times 6=\underline{\quad}$（枚）。
  2. 第 2 步：每份 $864\div 6=\underline{\quad}$（枚），末态 $144$、$144\times 2=\underline{\quad}$、$144\times 3=\underline{\quad}$（枚）。
  3. 第 3 步（除以 $4$）：甲 $144\div 4=\underline{\quad}$，乙 $288\div 4=\underline{\quad}$，丙 $864-36-72=\underline{\quad}$（枚）。
  4. 第 4 步（除以 $3$）：甲 $36\div 3=\underline{\quad}$，丙 $756\div 3=\underline{\quad}$，乙 $864-12-252=\underline{\quad}$（枚）。
  5. 第 5 步（除以 $2$）：乙 $600\div 2=\underline{\quad}$，丙 $252\div 2=\underline{\quad}$，甲 $864-300-126=\underline{\quad}$（枚）。
第三套
题目：甲、乙、丙三堆棋子共 $400$ 多枚，依次进行与原题相同的三次搬动后三堆之比为 $1:2:3$。请问：原来甲堆比丙堆多多少枚？原来甲、乙、丙三堆的棋子数之比是多少（写成最简整数比的各项之和）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定总数并倒推）：总数是 $144$ 的倍数，“$400$ 多”只有 $144\times 3=\underline{\quad}$（枚）；按前面的方法倒推可得原来甲 $432-150-63=\underline{\quad}$、乙 $\underline{\quad}$、丙 $126\div 2=\underline{\quad}$（枚）。
  2. 第 2 步（第一问：求差）：甲比丙多 $219-63=\underline{\quad}$（枚）。
  3. 第 3 步（第二问：化简比）：$219:150:63$ 三项都能被 $3$ 整除，$219\div 3=\underline{\quad}$，$150\div 3=\underline{\quad}$，$63\div 3=\underline{\quad}$，最简比为 $73:50:21$，各项之和 $73+50+21=\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch12-xingqu-09】今年，爷爷的年龄是小明年龄的 $6$ 倍。若干年后，爷爷的年龄将是小明年龄的 $5$ 倍。再过若干年，爷爷的年龄将是小明年龄的 $4$ 倍。求爷爷今年的年龄。
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·差不变 + 公倍数」类：只给了三个倍数关系和一个粗略范围，要靠“年龄差永远不变”把它们串起来。
关键切入点：爷爷是小明的 $6$ 倍时，年龄差是小明当时年龄的 $6-1=5$ 倍；是 $5$ 倍时差是 $4$ 倍；是 $4$ 倍时差是 $3$ 倍。同一个年龄差要能被 $5$、$4$、$3$ 整除，所以它是 $60$ 的倍数；爷爷比小明大 $60$ 多岁，年龄差就是 $60$ 岁。
方法概述：利用年龄差不变，把差写成各阶段小明年龄的倍数，求其公倍数。
规范步骤：
  1. 把倍数关系翻译成差：$6-1=5$，$5-1=4$，$4-1=3$（差是小明年龄的（倍数$-1$）倍）
  2. 年龄差是 $5,4,3$ 的公倍数：$[5,4,3]=60$（差不变）
  3. 用范围定差：差为 $60$ 多岁，故差 $=60$ 岁（范围估计）
  4. 求小明与爷爷今年的年龄：$60\div 5=12$（岁），$12\times 6=72$（岁）（由差求各量）
  5. 写出答案：$72$ 岁
第一套
题目：今年，爷爷的年龄是小明年龄的 $9$ 倍。若干年后，爷爷的年龄将是小明年龄的 $7$ 倍。再过若干年，爷爷的年龄将是小明年龄的 $5$ 倍。已知爷爷比小明大 $70$ 多岁，求爷爷今年的年龄。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把倍数化成差的倍数）：爷爷是小明的 $9$ 倍时，年龄差是小明当时年龄的 $9-1=\underline{\quad}$ 倍；是 $7$ 倍时是 $7-1=\underline{\quad}$ 倍；是 $5$ 倍时是 $5-1=\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（差不变 → 公倍数）：年龄差始终不变，所以它同时是 $8$、$6$、$4$ 的倍数，最小公倍数是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用范围定差）：$24$ 的倍数中落在“$70$ 多”里的只有 $24\times 3=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（求年龄）：小明今年 $72\div 8=\underline{\quad}$（岁），爷爷今年 $9\times 9=\underline{\quad}$（岁）。
第二套
题目：今年，一棵老槐树的树龄是一棵小树苗树龄的 $9$ 倍。若干年后，老槐树的树龄将是小树苗的 $7$ 倍；再过若干年，将是小树苗的 $5$ 倍。已知老槐树比小树苗大 $70$ 多岁，求老槐树今年的树龄。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$9-1=\underline{\quad}$，$7-1=\underline{\quad}$，$5-1=\underline{\quad}$，树龄差分别是小树苗当时树龄的这些倍数。
  2. 第 2 步：树龄差不变，是 $8$、$6$、$4$ 的公倍数，最小公倍数为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：落在“$70$ 多”里的只有 $24\times 3=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步：小树苗今年 $72\div 8=\underline{\quad}$（岁），老槐树今年 $9\times 9=\underline{\quad}$（岁）。
第三套
题目：今年爷爷的年龄是小明的 $9$ 倍，若干年后是 $7$ 倍，再过若干年是 $5$ 倍，爷爷比小明大 $70$ 多岁。请问：爷爷的年龄是小明的 $7$ 倍时，小明多少岁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$9-1=\underline{\quad}$，$7-1=\underline{\quad}$，$5-1=\underline{\quad}$，年龄差是这些倍数，故差是 $8,6,4$ 的公倍数 $\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步：“$70$ 多岁”只有 $24\times 3=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步：爷爷是小明 $7$ 倍时，年龄差是小明当时年龄的 $6$ 倍，所以小明那时 $72\div 6=\underline{\quad}$（岁）。
第三套
题目：今年爷爷的年龄是小明的 $9$ 倍，若干年后是 $7$ 倍，再过若干年是 $5$ 倍，爷爷比小明大 $70$ 多岁。请问：爷爷今年多少岁？从今年起再过多少年，爷爷的年龄恰好是小明的 $5$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定年龄差）：$9-1=\underline{\quad}$，$7-1=\underline{\quad}$，$5-1=\underline{\quad}$；差是 $8,6,4$ 的公倍数，最小为 $\underline{\quad}$，落在“$70$ 多”的只有 $24\times 3=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（今年的年龄）：小明 $72\div 8=\underline{\quad}$（岁），爷爷 $9\times 9=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（$5$ 倍那年）：那时年龄差是小明年龄的 $4$ 倍，小明 $72\div 4=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（求年数）：从今年到那时，小明长了 $18-9=\underline{\quad}$（岁），所以要再过 $9$ 年。
32. 【原题 ch12-xingqu-10】龙泉乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过 $24$ 度，就按每度 $9$ 分钱收费；如果超过 $24$ 度，超出的部分按每度 $2$ 角钱收费。这个月小宇家比小达家多交了 $9$ 角 $6$ 分钱的电费（用电按整度计算）。问：小宇家和小达家各交了多少电费？
详细思路
是哪类问题：这是「分段计费 + 整数枚举」类应用题：电价分两段，只知道两家电费之差，要反推各自的用电量。
关键切入点：多交的钱是 $96$ 分。如果两家用电都不超过 $24$ 度，差额一定是 $9$ 的倍数；如果都超过 $24$ 度，差额一定是 $20$ 的倍数。$96$ 两者都不是，所以只能是一家超过、一家不足。设小宇超出 $x$ 度、小达不足 $y$ 度，则 $20x+9y=96$，只有 $x=3,y=4$ 这一组正整数解。
方法概述：按分段电价列式，利用电费差确定两家用电度数。
规范步骤：
  1. 把差换成分：$9$ 角 $6$ 分 $=96$ 分（单位统一）
  2. 排除同段的情形：$96\div 9$ 与 $96\div 20$ 都除不尽（整除性判断）
  3. 列式并枚举：$20x+9y=96\Rightarrow x=3,\ y=4$（整数枚举）
  4. 求用电度数：小宇 $24+3=27$（度），小达 $24-4=20$（度）（由 $x,y$ 还原）
  5. 求电费：小达 $20\times 9=180$（分），小宇 $180+96=276$（分）（分段计价）
  6. 写出答案：小宇 $2$ 元 $7$ 角 $6$ 分，小达 $1$ 元 $8$ 角
第一套
题目：某乡水电站按户收取电费：每月用电不超过 $30$ 度的，按每度 $11$ 分收费；超过 $30$ 度的，超出部分按每度 $25$ 分收费。这个月小宇家比小达家多交了 $1$ 元 $5$ 角 $5$ 分的电费（用电按整度计算）。问：小宇家和小达家各交了多少电费？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位）：多交的钱 $1$ 元 $5$ 角 $5$ 分 $=1\times 100+5\times 10+5=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（判断两家分别在哪一段）：若两家都不超过 $30$ 度，差额应是 $11$ 的倍数；若都超过 $30$ 度，差额应是 $25$ 的倍数。$155$ 既不是 $11$ 的倍数也不是 $25$ 的倍数，所以小宇家超过 $30$ 度、小达家不到 $30$ 度。
  3. 第 3 步（列式枚举）：设小宇比 $30$ 度多 $x$ 度、小达比 $30$ 度少 $y$ 度，则 $25x+11y=155$。试算可得 $x=\underline{\quad}$，$y=5$（因为 $25\times 4+11\times 5=\underline{\quad}$）。
  4. 第 4 步（求用电度数）：小宇 $30+4=\underline{\quad}$（度），小达 $30-5=\underline{\quad}$（度）。
  5. 第 5 步（求电费）：小达 $25\times 11=\underline{\quad}$（分）$=2$ 元 $7$ 角 $5$ 分；小宇 $275+155=\underline{\quad}$（分）$=4$ 元 $3$ 角。
第二套
题目：某小区按户收取水费：每月用水不超过 $30$ 吨的，按每吨 $11$ 分收费；超过 $30$ 吨的，超出部分按每吨 $25$ 分收费。这个月张家比李家多交了 $1$ 元 $5$ 角 $5$ 分水费（用水按整吨计算）。问：两家各交了多少水费？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$1$ 元 $5$ 角 $5$ 分 $=1\times 100+5\times 10+5=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步：$155$ 既不是 $11$ 的倍数也不是 $25$ 的倍数，所以张家超过 $30$ 吨、李家不到 $30$ 吨。
  3. 第 3 步：设张家多 $x$ 吨、李家少 $y$ 吨，$25x+11y=155$，可得 $x=\underline{\quad}$、$y=5$，因为 $25\times 4+11\times 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：张家 $30+4=\underline{\quad}$（吨），李家 $30-5=\underline{\quad}$（吨）。
  5. 第 5 步：李家 $25\times 11=\underline{\quad}$（分），张家 $275+155=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：电价规定同前：不超过 $30$ 度每度 $11$ 分，超出部分每度 $25$ 分。这个月小宇家比小达家多交了 $2$ 元零 $5$ 分电费。问：两家各用了多少度电？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$2$ 元零 $5$ 分 $=2\times 100+5=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步：$205$ 既不是 $11$ 的倍数也不是 $25$ 的倍数，故一家超过 $30$ 度、一家不到 $30$ 度。
  3. 第 3 步：$25x+11y=205$，试算得 $y=5$、$x=\underline{\quad}$，验算 $25\times 6+11\times 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：小宇 $30+6=\underline{\quad}$（度），小达 $30-5=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：电价规定：不超过 $30$ 度每度 $11$ 分，超出部分每度 $25$ 分。小宇家比小达家多交 $1$ 元 $5$ 角 $5$ 分。问：两家各交多少电费？两家一共用了多少度电、一共交了多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：差额 $1\times 100+5\times 10+5=\underline{\quad}$（分）；$155$ 既不是 $11$ 又不是 $25$ 的倍数，故一超一不足。
  2. 第 2 步：$25x+11y=155$ 得 $x=\underline{\quad}$、$y=5$；小宇 $30+4=\underline{\quad}$（度），小达 $30-5=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（各自电费）：小达 $25\times 11=\underline{\quad}$（分）；小宇 $30\times 11+4\times 25=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（合计）：共用电 $34+25=\underline{\quad}$（度），共交 $430+275=\underline{\quad}$（分），即 $7$ 元零 $5$ 分。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch12-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（选谁做基准）：菊花同时出现在两个比里，先统一菊花。菊:月 $=4:5$、菊:郁 $=3:4$，$4$ 与 $3$ 的公倍数取 $108$：菊:月 $=108:\underline{135}$（由 $4:5$ 同乘 $27$），菊:郁 $=108:\underline{144}$（由 $3:4$ 同乘 $36$）。
    2. 第 2 步（求兰花份数）：兰:郁 $=7:9$，郁金香是 $144$ 份，对应比里的 $9$，所以兰花 $=144\div 9\times 7=\underline{112}$（份）。
    3. 第 3 步（把差化成份数）：月季比兰花多 $135-112=\underline{23}$（份）。
    4. 第 4 步（用范围定每份）：$23$ 的倍数中落在“$90$ 多”里的只有 $23\times 4=\underline{92}$，所以每份 $\underline{4}$ 盆。
    5. 第 5 步（求所问）：菊花比郁金香少 $144-108=\underline{36}$（份），即 $36\times 4=\underline{144}$（盆）。
    最终答案：$144$ 盆。
  2. 1. ch12-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步：先统一甲。甲:乙 $=4:5$、甲:丁 $=3:4$，取甲 $=108$ 份：甲:乙 $=108:\underline{135}$，甲:丁 $=108:\underline{144}$。
    2. 第 2 步：丙:丁 $=7:9$，丁为 $144$ 份，故丙 $=144\div 9\times 7=\underline{112}$（份）。
    3. 第 3 步：乙比丙多 $135-112=\underline{23}$（份）。
    4. 第 4 步：$23\times 4=\underline{92}$ 是唯一落在“$90$ 多”里的倍数，每份 $\underline{4}$ 箱。
    5. 第 5 步：甲比丁少 $144-108=\underline{36}$（份），即 $36\times 4=\underline{144}$（箱）。
    最终答案：$144$ 箱。
  3. 1. ch12-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步：统一菊花为 $108$ 份，得菊:月:兰:郁 $=108:135:112:\underline{144}$（其中兰花由 $144\div 9\times 7=\underline{112}$ 得到）。
    2. 第 2 步：月季比兰花多 $135-112=\underline{23}$（份）。
    3. 第 3 步：$23$ 的倍数中落在“$130$ 多”里的只有 $23\times 6=\underline{138}$，每份 $\underline{6}$ 盆。
    4. 第 4 步：菊花比郁金香少 $(144-108)\times 6=\underline{216}$（盆）。
    最终答案：$216$ 盆。
  4. 1. ch12-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步：统一菊花为 $108$ 份，月季 $\underline{135}$ 份（$4:5$ 同乘 $27$），郁金香 $\underline{144}$ 份（$3:4$ 同乘 $36$），兰花 $144\div 9\times 7=\underline{112}$ 份。
    2. 第 2 步：月季比兰花多 $135-112=\underline{23}$（份），$23\times 4=\underline{92}$ 落在“$90$ 多”里，每份 $4$ 盆。
    3. 第 3 步（第一问）：菊花比郁金香少 $(144-108)\times 4=\underline{144}$（盆）。
    4. 第 4 步（第二问）：四种花的总份数 $108+135+112+144=\underline{499}$（份），共 $499\times 4=\underline{1996}$（盆）。
    最终答案：菊花比郁金香少 $144$ 盆；四种花共 $1996$ 盆。
  5. 2. ch12-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（作差消去乙）：$（乙+丙）-（甲+乙）$ 把乙消掉，$170-120=\underline{50}$（分），即丙比甲多这么多。
    2. 第 2 步（再作一次差消去丙）：$（乙+丙）-（丙+丁）$ 把丙消掉，$170-140=\underline{30}$（分），即乙比丁多这么多。
    3. 第 3 步（确定谁第一谁第三）：丙比甲高、乙比丁高。设丙是第一名、甲是第三名，则丙 $=2\times$ 甲，于是丙 $-$ 甲恰好等于甲，即甲 $=\underline{50}$（分），丙 $=50\times 2=\underline{100}$（分）。
    4. 第 4 步（求乙、丁）：乙 $=120-50=\underline{70}$（分），丁 $=140-100=\underline{40}$（分）。
    5. 第 5 步（验名次）：四人得分从高到低是 $100$、$70$、$50$、$40$，第一名 $100=2\times \underline{50}$，与条件相符，所以第二名是 $70$ 分。
    最终答案：$70$ 分。
  6. 2. ch12-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步：$170-120=\underline{50}$（个），即丙比甲多这么多。
    2. 第 2 步：$170-140=\underline{30}$（个），即乙比丁多这么多。
    3. 第 3 步：设丙第一、甲第三，则丙 $=2\times$ 甲，故甲 $=\underline{50}$（个），丙 $=50\times 2=\underline{100}$（个）。
    4. 第 4 步：乙 $=120-50=\underline{70}$（个），丁 $=140-100=\underline{40}$（个）。
    5. 第 5 步（验名次）：$100>70>50>40$，且 $100=2\times \underline{50}$，故第二名是 $70$ 个。
    最终答案：$70$ 个。
  7. 2. ch12-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步：$152-110=\underline{42}$（分），即丙比甲多这么多。
    2. 第 2 步：$152-125=\underline{27}$（分），即乙比丁多这么多。
    3. 第 3 步：丙第一、甲第三，丙 $=2\times$ 甲，故甲 $=\underline{42}$（分），丙 $=42\times 2=\underline{84}$（分）。
    4. 第 4 步：乙 $=110-42=\underline{68}$（分），丁 $=125-84=\underline{41}$（分）。
    5. 第 5 步（验名次）：$84>68>42>41$，且 $84=2\times \underline{42}$，第二名 $68$ 分。
    最终答案：$68$ 分。
  8. 2. ch12-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步：$170-120=\underline{50}$（丙比甲多），$170-140=\underline{30}$（乙比丁多）；由丙 $=2\times$ 甲得甲 $=\underline{50}$、丙 $=50\times 2=\underline{100}$，再得乙 $=120-50=\underline{70}$、丁 $=140-100=\underline{40}$（分）。
    2. 第 2 步（第二问）：四人总分 $50+70+100+40=\underline{260}$（分）；也可以用 $120+140=\underline{260}$（分）验算，因为“甲乙”与“丙丁”正好把四人各算一次。
    3. 第 3 步（第三问）：平均分 $260\div 4=\underline{65}$（分）。
    4. 第 4 步（第四问）：第一名比平均分高 $100-65=\underline{35}$（分）。
    最终答案：第二名 $70$ 分；四人总分 $260$ 分；平均分 $65$ 分；第一名比平均分高 $35$ 分。
  9. 3. ch12-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（发现配对规律）：四人两两合称本应有 $6$ 个数，它们可以配成三对，每对之和都等于四人体重总和。在已给的五个数里找一找：$115+162=\underline{277}$，$127+150=\underline{277}$，两者相等，说明四人总重就是这个数。
    2. 第 2 步（求缺称一对的合重）：剩下的 $145$ 要与缺称的那个数配对，所以缺称的两人合重 $277-145=\underline{132}$（千克）。
    3. 第 3 步（求这两人的差）：设四人体重从轻到重是 $a,b,c,d$，则最小的 $115=a+b$，次小的 $127=a+c$，两式相减得 $c-b=127-115=\underline{12}$（千克）。
    4. 第 4 步（和差问题）：已知这两人的和是 $132$、差是 $12$，较轻的 $(132-12)\div 2=\underline{60}$（千克），较重的 $(132+12)\div 2=\underline{72}$（千克）。
    5. 第 5 步（验算）：$60+72=\underline{132}$，与第 2 步一致。
    最终答案：$72$ 千克。
  10. 3. ch12-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步：六个两两和可配成三对，每对之和等于四袋总重。$115+162=\underline{277}$，$127+150=\underline{277}$，相等，故总重为此数。
    2. 第 2 步：缺称的一对合重 $277-145=\underline{132}$（千克）。
    3. 第 3 步：最小的 $115=a+b$、次小的 $127=a+c$，相减得 $c-b=127-115=\underline{12}$（千克）。
    4. 第 4 步：较轻 $(132-12)\div 2=\underline{60}$（千克），较重 $(132+12)\div 2=\underline{72}$（千克）。
    5. 第 5 步（验算）：$60+72=\underline{132}$（千克）。
    最终答案：$72$ 千克。
  11. 3. ch12-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步：$105+144=\underline{249}$，$113+136=\underline{249}$，两者相等，即四人总重。
    2. 第 2 步：缺称的一对合重 $249-127=\underline{122}$（千克）。
    3. 第 3 步：最小的 $105=a+b$、次小的 $113=a+c$，相减得 $113-105=\underline{8}$（千克），就是这两人的差。
    4. 第 4 步：较轻 $(122-8)\div 2=\underline{57}$（千克），较重 $(122+8)\div 2=\underline{65}$（千克）。
    5. 第 5 步（验算）：$57+65=\underline{122}$（千克）。
    最终答案：$65$ 千克。
  12. 3. ch12-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步：$115+162=\underline{277}$、$127+150=\underline{277}$，四人总重 $277$ 千克；缺称一对合重 $277-145=\underline{132}$（千克）。
    2. 第 2 步（第一问）：$127-115=\underline{12}$（千克）是两人之差，较轻 $(132-12)\div 2=\underline{60}$、较重 $(132+12)\div 2=\underline{72}$（千克）。
    3. 第 3 步（求最轻）：最小的合称 $115$ 就是最轻与次轻两人之和，最轻 $=115-60=\underline{55}$（千克）。
    4. 第 4 步（求最重）：四人总重减去其余三人，最重 $=277-55-60-72=\underline{90}$（千克）。
    5. 第 5 步（验算）：最大的合称应是最重与次重之和 $90+72=\underline{162}$，与已给的 $162$ 相符。
    最终答案：较重者 $72$ 千克；最轻 $55$ 千克，最重 $90$ 千克。
  13. 4. ch12-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（把“缺 $8$ 张”写成等式）：设每盒 $m$ 张、小朋友 $n$ 人。“每人分 $13$ 张缺 $8$ 张”说明一盒的张数是 $m=13n-\underline{8}$。
    2. 第 2 步（把“至少 $11$ 张”写成不等式）：$13n-8\ge 11n$，两边约掉 $11n$ 得 $2n\ge 8$，所以 $n\ge 8\div 2=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（用总张数的整除性）：全部卡片共 $111n+6$ 张，它等于盒数 $k$ 乘每盒张数，即 $k(13n-8)=111n+6$。$n$ 很大时 $k$ 接近 $111\div 13\approx 8.5$，而 $n=4$ 时 $k$ 约为 $450\div 44\approx 10.2$，所以 $k$ 只能取 $9$ 或 $10$。
    4. 第 4 步（逐个试 $k$）：$k=10$ 时 $130n-80=111n+6$，$19n=86$ 不是整数，舍去；$k=9$ 时 $117n-72=111n+6$，$6n=72+6=\underline{78}$，$n=78\div 6=\underline{13}$（人）。
    5. 第 5 步（验算）：每盒 $13\times 13-8=\underline{161}$（张），总张数 $111\times 13+6=\underline{1449}$（张），盒数 $1449\div 161=\underline{9}$（盒），且 $161\ge 11\times 13=\underline{143}$，各条件都满足。
    最终答案：$13$ 人。
  14. 4. ch12-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步：设每箱 $m$ 张、同学 $n$ 人，由“每人 $13$ 张缺 $8$ 张”得 $m=13n-\underline{8}$。
    2. 第 2 步：由“至少 $11$ 张”得 $13n-8\ge 11n$，即 $2n\ge 8$，$n\ge 8\div 2=\underline{4}$。
    3. 第 3 步：总张数 $111n+6=k(13n-8)$，$k$ 只能是 $9$ 或 $10$。
    4. 第 4 步：$k=10$ 时 $19n=86$ 不成立；$k=9$ 时 $6n=72+6=\underline{78}$，$n=78\div 6=\underline{13}$（人）。
    5. 第 5 步（验算）：每箱 $13\times 13-8=\underline{161}$（张），总张数 $111\times 13+6=\underline{1449}$（张），箱数 $1449\div 161=\underline{9}$（箱），且 $161\ge 11\times 13=\underline{143}$。
    最终答案：$13$ 名。
  15. 4. ch12-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步：设每盒 $m$ 张、$n$ 人，由“缺 $10$ 张”得 $m=16n-\underline{10}$。
    2. 第 2 步：由“至少 $14$ 张”得 $16n-10\ge 14n$，即 $2n\ge 10$，$n\ge 10\div 2=\underline{5}$。
    3. 第 3 步：总张数 $122n+10=k(16n-10)$；$n$ 大时 $k$ 接近 $122\div 16\approx 7.6$，$n=5$ 时约 $620\div 70\approx 8.9$，故 $k=8$。
    4. 第 4 步：$8(16n-10)=122n+10$，即 $128n-80=122n+10$，$6n=80+10=\underline{90}$，$n=90\div 6=\underline{15}$（人）。
    5. 第 5 步（验算）：每盒 $16\times 15-10=\underline{230}$（张），总张数 $122\times 15+10=\underline{1840}$（张），盒数 $1840\div 230=\underline{8}$（盒）。
    最终答案：$15$ 人。
  16. 4. ch12-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步：由“缺 $8$ 张”得 $m=13n-\underline{8}$；由“至少 $11$ 张”得 $2n\ge 8$，$n\ge \underline{4}$。
    2. 第 2 步（第一问）：$k=9$ 时 $117n-72=111n+6$，$6n=\underline{78}$，$n=78\div 6=\underline{13}$（人）。
    3. 第 3 步（第二问）：每盒 $13\times 13-8=\underline{161}$（张）。
    4. 第 4 步（第四问先算总数）：一共 $111\times 13+6=\underline{1449}$（张）。
    5. 第 5 步（第三问）：盒数 $1449\div 161=\underline{9}$（盒）。
    6. 第 6 步（验算）：$9\times 161=\underline{1449}$（张），与总张数相符；又 $161\ge 11\times 13=\underline{143}$，“只分一盒每人至少 $11$ 张”也成立。
    最终答案：$13$ 人；每盒 $161$ 张；共 $9$ 盒；一共 $1449$ 张。
  17. 8. ch12-chaoyue-08 · 第一套
    1. 第 1 步（设总数）：设总数为 $4k+3$。第一只猴子平分成 $4$ 堆每堆 $k$ 个、余 $3$ 个，给三堆各加 $1$ 后拿走剩下的一堆，拿走 $\underline{1}\times k$ 个，还剩 $3k+3$ 个。
    2. 第 2 步（算第二只）：第二只面对 $3k+3$ 个，它拿走 $\dfrac{(3k+3)-3}{4}=\dfrac{\underline{3}}{4}k$ 个，正好是第一只的 $\frac{3}{4}$。
    3. 第 3 步（找规律）：每只猴子拿走的都是前一只的 $\frac{3}{4}$，所以第五只拿走 $\left(\frac{3}{4}\right)^{\underline{4}}k$ 个（指数等于 $5-1$）。
    4. 第 4 步（定 $k$）：要让这四次除以 $4$ 都得到整数，$k$ 必须是 $4^4=\underline{256}$ 的倍数；又要求第五只至少拿 $1$ 个，取最小的 $k=256$。
    5. 第 5 步（求总数）：$4\times 256+3=\underline{1027}$（个）。
    6. 第 6 步（验算五只猴子各拿多少）：依次是 $256$、$256\times 3/4=\underline{192}$、$192\times 3/4=\underline{144}$、$144\times 3/4=\underline{108}$、$108\times 3/4=\underline{81}$（个），最后一只拿到的仍不小于 $1$。
    最终答案：$1027$ 个。
  18. 8. ch12-chaoyue-08 · 第二套
    1. 第 1 步：设总数为 $4k+3$，第一个人拿走 $\underline{1}\times k$ 颗，剩 $3k+3$ 颗。
    2. 第 2 步：第二个人拿走 $\dfrac{(3k+3)-3}{4}=\dfrac{\underline{3}}{4}k$ 颗，是前一个人的 $\frac{3}{4}$。
    3. 第 3 步：第五个人拿走 $\left(\frac{3}{4}\right)^{\underline{4}}k$ 颗。
    4. 第 4 步：$k$ 必须是 $4^4=\underline{256}$ 的倍数，取最小 $k=256$。
    5. 第 5 步：总数 $4\times 256+3=\underline{1027}$（颗）。
    6. 第 6 步（验算）：五人依次拿 $256$、$256\times 3/4=\underline{192}$、$192\times 3/4=\underline{144}$、$144\times 3/4=\underline{108}$、$108\times 3/4=\underline{81}$（颗）。
    最终答案：$1027$ 颗。
  19. 8. ch12-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步：设总数为 $5k+4$，第一只拿走 $k$ 个，剩下 $\underline{4}k+4$ 个（把四堆各加一个后合起来）。
    2. 第 2 步：第二只面对 $4k+4$ 个，拿走 $\dfrac{(4k+4)-4}{5}=\dfrac{\underline{4}}{5}k$ 个，是第一只的 $\frac{4}{5}$。
    3. 第 3 步：每只都是前一只的 $\frac{4}{5}$，第四只拿走 $\left(\frac{4}{5}\right)^{\underline{3}}k$ 个。
    4. 第 4 步：要让三次除以 $5$ 都是整数，$k$ 必须是 $5^3=\underline{125}$ 的倍数，取最小 $k=125$。
    5. 第 5 步：总数 $5\times 125+4=\underline{629}$（个）。
    6. 第 6 步（验算）：四只依次拿 $125$、$125\times 4/5=\underline{100}$、$100\times 4/5=\underline{80}$、$80\times 4/5=\underline{64}$（个）。
    最终答案：$629$ 个。
  20. 8. ch12-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（定总数）：每只拿走的是前一只的 $\frac{3}{4}$，要连续四次除以 $4$ 得整数，$k$ 必须是 $4^4=\underline{256}$ 的倍数，最小 $k=256$，总数 $4\times 256+3=\underline{1027}$（个）。
    2. 第 2 步（各猴所得）：$256$、$256\times 3/4=\underline{192}$、$192\times 3/4=\underline{144}$、$144\times 3/4=\underline{108}$、$108\times 3/4=\underline{81}$（个）。
    3. 第 3 步（求五只猴子共拿走）：$256+192+144+108+81=\underline{781}$（个）。
    4. 第 4 步（求剩余）：$1027-781=\underline{246}$（个）。
    5. 第 5 步（换个算法验算）：最后一只拿走 $81$ 个前，堆里有 $4\times 81+3=\underline{327}$ 个，它拿走 $81$ 个后剩下 $327-81=\underline{246}$（个），与上面一致。
    最终答案：至少 $1027$ 个；五只猴子依次拿走 $256$、$192$、$144$、$108$、$81$ 个；最后还剩 $246$ 个。
  21. 9. ch12-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（第一层：分出老师）：师生总份数 $4+81=\underline{85}$（份），每份 $1700\div 85=\underline{20}$（人），老师 $20\times 4=\underline{80}$（人）。
    2. 第 2 步（求学生数）：$1700-80=\underline{1620}$（人）。
    3. 第 3 步（第二层：分学生）：注意 $5:4$ 只分学生，不分总人数。学生的总份数 $5+4=\underline{9}$（份），每份 $1620\div 9=\underline{180}$（人）。
    4. 第 4 步：男生 $180\times 5=\underline{900}$（人），女生 $180\times 4=\underline{720}$（人）。
    最终答案：老师 $80$ 人，男生 $900$ 人，女生 $720$ 人。
  22. 9. ch12-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步：总份数 $4+81=\underline{85}$（份），每份 $1700\div 85=\underline{20}$（人），管理人员 $20\times 4=\underline{80}$（人）。
    2. 第 2 步：一线工人 $1700-80=\underline{1620}$（人）。
    3. 第 3 步：工人内部总份数 $5+4=\underline{9}$（份），每份 $1620\div 9=\underline{180}$（人）。
    4. 第 4 步：男工 $180\times 5=\underline{900}$（人），女工 $180\times 4=\underline{720}$（人）。
    最终答案：管理人员 $80$ 人，男工 $900$ 人，女工 $720$ 人。
  23. 9. ch12-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步：总份数 $4+81=\underline{85}$（份），每份 $1700\div 85=\underline{20}$（人），老师 $20\times 4=\underline{80}$（人），学生 $1700-80=\underline{1620}$（人）。
    2. 第 2 步：学生内部总份数 $7+5=\underline{12}$（份），每份 $1620\div 12=\underline{135}$（人）。
    3. 第 3 步：男生 $135\times 7=\underline{945}$（人），女生 $135\times 5=\underline{675}$（人）。
    最终答案：男生 $945$ 人，女生 $675$ 人。
  24. 9. ch12-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步：每份 $1700\div(4+81)=\underline{20}$（人），老师 $20\times 4=\underline{80}$（人），学生 $1700-80=\underline{1620}$（人）。
    2. 第 2 步：学生每份 $1620\div(5+4)=\underline{180}$（人），男生 $180\times 5=\underline{900}$（人）。
    3. 第 3 步（第一问）：男生比老师多 $900-80=\underline{820}$（人）。
    4. 第 4 步（第二问）：男生与总人数之比是 $900:1700$，两项同除以 $100$ 得 $900\div 100=\underline{9}$、$1700\div 100=\underline{17}$，即 $9:17$，前后项之和 $9+17=\underline{26}$。
    最终答案：男生比老师多 $820$ 人；男生与总人数的最简整数比为 $9:17$，前后项之和为 $26$。
  25. 10. ch12-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（为什么可以把重量比当块数比）：每块糖一样重，所以块数与重量成正比，块数之比就是重量之比 $6:3:5$。
    2. 第 2 步（找已知量对应的份数）：奶糖和巧克力糖合起来占 $3+5=\underline{8}$（份），正好是 $352$ 块。
    3. 第 3 步（求每份）：$352\div 8=\underline{44}$（块）。
    4. 第 4 步（求水果糖）：水果糖占 $6$ 份，$44\times 6=\underline{264}$（块）。
    最终答案：$264$ 块。
  26. 10. ch12-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：每枚钉子一样重，枚数之比等于重量之比 $6:3:5$。
    2. 第 2 步：方钉与螺丝钉共占 $3+5=\underline{8}$（份），对应 $352$ 枚。
    3. 第 3 步：每份 $352\div 8=\underline{44}$（枚）。
    4. 第 4 步：圆钉 $44\times 6=\underline{264}$（枚）。
    最终答案：$264$ 枚。
  27. 10. ch12-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：块数之比等于重量之比 $6:3:5$，总份数 $6+3+5=\underline{14}$（份）。
    2. 第 2 步：水果糖 $264$ 块占 $6$ 份，每份 $264\div 6=\underline{44}$（块）。
    3. 第 3 步：三种糖共 $44\times 14=\underline{616}$（块）。
    最终答案：$616$ 块。
  28. 10. ch12-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：块数之比 $=6:3:5$；奶糖与巧克力糖共 $3+5=\underline{8}$（份），每份 $352\div 8=\underline{44}$（块）。
    2. 第 2 步（第一问）：水果糖比巧克力糖多 $6-5=\underline{1}$（份），即 $44\times 1=\underline{44}$（块）。
    3. 第 3 步（第二问）：总份数 $6+3+5=\underline{14}$（份），共 $44\times 14=\underline{616}$（块）。
    最终答案：水果糖比巧克力糖多 $44$ 块；三种糖共 $616$ 块。
  29. 11. ch12-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（找桥梁并统一）：杨树在两个比里分别是 $5$ 和 $7$，取公共份数 $35$。柳:杨 $=4:5=\underline{28}:35$，杨:槐 $=7:3=35:\underline{15}$。
    2. 第 2 步（写连比）：柳:杨:槐 $=28:35:15$，总份数 $28+35+15=\underline{78}$（份）。
    3. 第 3 步（求每份）：$1950\div 78=\underline{25}$（棵）。
    4. 第 4 步（分配）：柳 $25\times 28=\underline{700}$，杨 $25\times 35=\underline{875}$，槐 $25\times 15=\underline{375}$（棵）。
    最终答案：柳树 $700$ 棵；杨树 $875$ 棵；槐树 $375$ 棵。
  30. 11. ch12-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：以橙汁为桥梁，苹果汁:橙汁 $=4:5=\underline{28}:35$，橙汁:葡萄汁 $=7:3=35:\underline{15}$。
    2. 第 2 步：三者之比 $=28:35:15$，总份数 $28+35+15=\underline{78}$（份）。
    3. 第 3 步：每份 $1950\div 78=\underline{25}$（瓶）。
    4. 第 4 步：苹果汁 $25\times 28=\underline{700}$，橙汁 $25\times 35=\underline{875}$，葡萄汁 $25\times 15=\underline{375}$（瓶）。
    最终答案：苹果汁 $700$ 瓶；橙汁 $875$ 瓶；葡萄汁 $375$ 瓶。
  31. 11. ch12-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步：统一得柳:杨:槐 $=\underline{28}:35:15$（由 $4:5=28:35$）和 $7:3=35:\underline{15}$。
    2. 第 2 步（差化份数）：杨树比槐树多 $35-15=\underline{20}$（份）。
    3. 第 3 步（求每份）：$20$ 份对应 $500$ 棵，每份 $500\div 20=\underline{25}$（棵）。
    4. 第 4 步（求总量）：总份数 $28+35+15=\underline{78}$（份），共 $25\times 78=\underline{1950}$（棵）。
    最终答案：$1950$ 棵。
  32. 11. ch12-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步：统一得柳:杨:槐 $=28:35:\underline{15}$（由 $7:3=35:15$），总份数 $28+35+15=\underline{78}$（份），每份 $1950\div 78=\underline{25}$（棵）。
    2. 第 2 步（先在份数上比较）：柳与槐之和 $28+15=\underline{43}$（份），比杨树多 $43-35=\underline{8}$（份）。
    3. 第 3 步（换成棵数）：$25\times 8=\underline{200}$（棵）。
    4. 第 4 步（验算）：柳 $25\times 28=\underline{700}$，槐 $25\times 15=\underline{375}$，杨 $25\times 35=875$，$700+375-875=\underline{200}$（棵），与上面一致。
    最终答案：多 $200$ 棵。
  33. 12. ch12-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（统一份数）：一月 $5$ 份、二月 $7$ 份，前两月共 $5+7=\underline{12}$（份）。
    2. 第 2 步（把三月化到同一套份数）：三月:前两月 $=5:4$，即前两月的 $12$ 份对应比里的 $4$，所以三月是 $12\div 4\times 5=\underline{15}$（份）。
    3. 第 3 步（差化份数）：三月比二月多 $15-7=\underline{8}$（份），对应 $2760$ 个。
    4. 第 4 步（求每份）：$2760\div 8=\underline{345}$（个）。
    5. 第 5 步（求总产量）：总份数 $5+7+15=\underline{27}$（份），共 $345\times 27=\underline{9315}$（个）。
    最终答案：$9315$ 个。
  34. 12. ch12-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步：一月 $5$ 份、二月 $7$ 份，前两月共 $5+7=\underline{12}$（份）。
    2. 第 2 步：三月:前两月 $=5:4$，三月为 $12\div 4\times 5=\underline{15}$（份）。
    3. 第 3 步：三月比二月多 $15-7=\underline{8}$（份），对应 $2760$ 本。
    4. 第 4 步：每份 $2760\div 8=\underline{345}$（本）。
    5. 第 5 步：总份数 $5+7+15=\underline{27}$（份），共 $345\times 27=\underline{9315}$（本）。
    最终答案：$9315$ 本。
  35. 12. ch12-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步：前两月共 $5+7=\underline{12}$（份），三月为 $12\div 4\times 5=\underline{15}$（份）。
    2. 第 2 步（这次的差是三月与一月）：$15-5=\underline{10}$（份），对应 $3450$ 个。
    3. 第 3 步：每份 $3450\div 10=\underline{345}$（个）。
    4. 第 4 步：总份数 $5+7+15=\underline{27}$（份），共 $345\times 27=\underline{9315}$（个）。
    最终答案：$9315$ 个。
  36. 12. ch12-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步：前两月 $5+7=\underline{12}$（份），三月 $12\div 4\times 5=\underline{15}$（份），三月比二月多 $15-7=\underline{8}$（份），每份 $2760\div 8=\underline{345}$（个）。
    2. 第 2 步（第一问）：总份数 $5+7+15=\underline{27}$（份），共 $345\times 27=\underline{9315}$（个）。
    3. 第 3 步（第二问·平均数）：$9315\div 3=\underline{3105}$（个）。
    4. 第 4 步（第三问）：三月产量 $345\times 15=\underline{5175}$（个），比月平均多 $5175-3105=\underline{2070}$（个）。
    最终答案：第一季度共 $9315$ 个；平均每月 $3105$ 个；三月比月平均多 $2070$ 个。
  37. 13. ch12-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（卡第一组人数）：每人拿 $5$ 或 $6$ 本，所以人数不少于 $96\div 6=\underline{16}$（人），也不多于 $96\div 5=19.2$，即最多 $19$ 人。又两种本数都要有人拿，$16$ 人时人人都是 $6$ 本、不合题意，故第一组只能是 $17$、$18$ 或 $19$ 人。
    2. 第 2 步（卡第二组人数）：每人拿 $3$ 或 $4$ 本，人数不少于 $96\div 4=\underline{24}$（人），不多于 $96\div 3=\underline{32}$（人）；两端 $24$ 人（人人 $4$ 本）和 $32$ 人（人人 $3$ 本）都不合题意，故第二组在 $25\sim 31$ 人之间。
    3. 第 3 步（用人数差配对）：第二组比第一组多 $14$ 人。$17+14=\underline{31}$ 在 $25\sim 31$ 内；$18+14=\underline{32}$、$19+14=33$ 都超出范围。所以第一组 $17$ 人、第二组 $31$ 人。
    4. 第 4 步（求总人数）：$17+31=\underline{48}$（人）。
    最终答案：$48$ 人。
  38. 13. ch12-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步：第一队人数不少于 $96\div 6=\underline{16}$（人），不多于 $19$ 人；$16$ 人时人人 $6$ 块不合题意，故为 $17\sim 19$ 人。
    2. 第 2 步：第二队人数不少于 $96\div 4=\underline{24}$（人），不多于 $96\div 3=\underline{32}$（人）；去掉两个端点，为 $25\sim 31$ 人。
    3. 第 3 步：第二队比第一队多 $14$ 人，$17+14=\underline{31}$ 合适，$18+14=\underline{32}$ 已超出 $31$。
    4. 第 4 步：共 $17+31=\underline{48}$（人）。
    最终答案：$48$ 人。
  39. 13. ch12-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步：第一组为 $17\sim 19$ 人（下界 $96\div 6=\underline{16}$，但 $16$ 人时人人 $6$ 本不合题意）。
    2. 第 2 步：第二组为 $25\sim 31$ 人（区间来自 $96\div 4=\underline{24}$ 与 $96\div 3=\underline{32}$，去掉两端点）。
    3. 第 3 步（配对）：差为 $6$ 人：$17+6=\underline{23}$、$18+6=\underline{24}$ 都小于 $25$，$19+6=\underline{25}$ 落在范围内，故第一组 $19$ 人、第二组 $25$ 人。
    4. 第 4 步：共 $19+25=\underline{44}$（人）。
    最终答案：$44$ 人。
  40. 13. ch12-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（定人数）：第一组为 $17\sim 19$ 人（下界 $96\div 6=\underline{16}$），第二组为 $25\sim 31$ 人（区间端点 $96\div 4=\underline{24}$ 与 $96\div 3=\underline{32}$ 都要去掉）；差 $14$ 人只有 $17$ 与 $31$ 合适，共 $17+31=\underline{48}$（人）。
    2. 第 2 步（用假设法求各档人数）：假设 $17$ 人都拿 $5$ 本，只需 $17\times 5=\underline{85}$（本），比实际少 $96-85=\underline{11}$（本）。
    3. 第 3 步：每把一个人从 $5$ 本换成 $6$ 本就多 $6-5=\underline{1}$（本），所以拿 $6$ 本的有 $11\div 1=\underline{11}$（人）。
    4. 第 4 步（验算）：$11\times 6+6\times 5=\underline{96}$（本），与 $96$ 本相符。
    最终答案：两组共 $48$ 人；每人拿 $6$ 本的有 $11$ 人。
  41. 15. ch12-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（总数必须是几的倍数）：$\frac{3}{8}$ 与 $\frac{4}{15}$ 都要算出整数人，所以总人数既是 $8$ 的倍数又是 $15$ 的倍数，即 $8\times 15=\underline{120}$ 的倍数。
    2. 第 2 步（用范围定总数）：$120\times 11=\underline{1320}$ 落在 $1300$ 多里，而 $120\times 12=\underline{1440}$ 已超过 $1399$，$120\times 10=1200$ 又不到 $1300$，所以总人数为 $1320$ 人。
    3. 第 3 步（求初一、初三）：初一 $1320\times\frac{3}{8}=\underline{495}$（人），初三 $1320\times\frac{4}{15}=\underline{352}$（人）。
    4. 第 4 步（求初二）：$1320-495-352=\underline{473}$（人）。
    最终答案：$473$ 人。
  42. 15. ch12-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步：总册数既是 $8$ 的倍数又是 $15$ 的倍数，即 $8\times 15=\underline{120}$ 的倍数。
    2. 第 2 步：$120\times 11=\underline{1320}$ 落在 $1300$ 多里，$120\times 12=\underline{1440}>1399$、$120\times 10=1200<1300$，故总数为 $1320$ 册。
    3. 第 3 步：文学 $1320\times\frac{3}{8}=\underline{495}$（册），艺术 $1320\times\frac{4}{15}=\underline{352}$（册）。
    4. 第 4 步：科技 $1320-495-352=\underline{473}$（册）。
    最终答案：$473$ 册。
  43. 15. ch12-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步：总人数是 $9$ 与 $14$ 的公倍数 $9\times 14=\underline{126}$ 的倍数。
    2. 第 2 步：$126\times 5=\underline{630}$ 落在 $600$ 多里，$126\times 6=\underline{756}$ 已超过 $699$，故总数 $630$ 人。
    3. 第 3 步：初一 $630\times\frac{2}{9}=\underline{140}$（人），初三 $630\times\frac{5}{14}=\underline{225}$（人）。
    4. 第 4 步：初二 $630-140-225=\underline{265}$（人）。
    最终答案：$265$ 人。
  44. 15. ch12-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（定总数）：总数是 $8\times 15=\underline{120}$ 的倍数，$1300$ 多里只有 $120\times 11=\underline{1320}$。
    2. 第 2 步（各年级）：初一 $1320\times\frac{3}{8}=\underline{495}$（人），初三 $1320\times\frac{4}{15}=\underline{352}$（人），初二 $1320-495-352=\underline{473}$（人）。
    3. 第 3 步（第二问）：初一比初三多 $495-352=\underline{143}$（人）。
    4. 第 4 步（第三问·化简比）：$473:1320$ 两项同除以 $11$ 得 $473\div 11=\underline{43}$、$1320\div 11=\underline{120}$，即 $43:120$（$43$ 是质数，已最简），前后项之和 $43+120=\underline{163}$。
    最终答案：初二 $473$ 人；初一比初三多 $143$ 人；最简比 $43:120$，前后项之和 $163$。
  45. 16. ch12-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（把不等关系写成下界）：设第三堆 $x$ 枚。“第二堆比第三堆的 $3$ 倍还多”说明第二堆至少 $3x+\underline{1}$ 枚。
    2. 第 2 步：“第一堆比第二堆的 $2$ 倍还多”说明第一堆至少 $2\times(3x+1)+1=6x+\underline{3}$ 枚。
    3. 第 3 步（列不等式）：三堆之和 $x+(3x+1)+(6x+3)=\underline{10}x+4\le 200$，所以 $10x\le 200-4=\underline{196}$。
    4. 第 4 步（取整）：$196\div 10=19.6$，$x$ 是整数，故 $x$ 最大为 $\underline{19}$。
    5. 第 5 步（验证可行）：取第三堆 $19$、第二堆 $3\times 19+1=\underline{58}$、第一堆 $200-19-58=\underline{123}$，此时 $58>3\times 19=57$、$123>2\times 58=116$，都符合要求。
    最终答案：$19$ 枚。
  46. 16. ch12-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步：设第三架 $x$ 本，第二架至少 $3x+\underline{1}$ 本。
    2. 第 2 步：第一架至少 $2\times(3x+1)+1=6x+\underline{3}$ 本。
    3. 第 3 步：$x+(3x+1)+(6x+3)=\underline{10}x+4\le 200$，即 $10x\le 200-4=\underline{196}$。
    4. 第 4 步：$x$ 最大为 $\underline{19}$。
    5. 第 5 步（验证）：第三架 $19$、第二架 $3\times 19+1=\underline{58}$、第一架 $200-19-58=\underline{123}$ 本，符合全部条件。
    最终答案：$19$ 本。
  47. 16. ch12-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步：设第三堆 $x$ 枚，第二堆至少 $3x+1$ 枚，第一堆至少 $2\times(3x+1)+1=6x+\underline{3}$ 枚。
    2. 第 2 步：$x+(3x+1)+(6x+3)=10x+4\le 300$，即 $10x\le 300-4=\underline{296}$。
    3. 第 3 步：$296\div 10=29.6$，故 $x$ 最大为 $\underline{29}$。
    4. 第 4 步（验证）：第三堆 $29$、第二堆 $3\times 29+1=\underline{88}$、第一堆 $300-29-88=\underline{183}$，满足 $88>87$、$183>176$。
    最终答案：$29$ 枚。
  48. 16. ch12-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（第一问）：设第三堆 $x$，第二堆至少 $3x+1$，第一堆至少 $6x+\underline{3}$，故 $10x+4\le 200$，$10x\le \underline{196}$，$x$ 最大为 $\underline{19}$。
    2. 第 2 步（第二问）：第三堆取 $19$ 枚时，第二堆必须大于 $3\times 19=\underline{57}$，所以第二堆最少 $57+1=\underline{58}$（枚）。
    3. 第 3 步（第三问）：此时第一堆 $200-19-58=\underline{123}$（枚）。
    4. 第 4 步（验证第一堆的条件）：$2\times 58=\underline{116}$，而 $123>116$，符合“第一堆比第二堆的 $2$ 倍还多”。
    最终答案：第三堆最多 $19$ 枚；此时第二堆最少 $58$ 枚，第一堆 $123$ 枚。
  49. 17. ch12-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（把带分数倍化成比）：$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$，所以第一队:第二队 $=5:\underline{4}$；$1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$，所以第一队:第三队 $=6:\underline{5}$。
    2. 第 2 步（统一第一队）：取 $5$ 与 $6$ 的最小公倍数 $\underline{30}$ 作第一队的份数，则第二队 $=30\div 5\times 4=\underline{24}$（份），第三队 $=30\div 6\times 5=\underline{25}$（份）。
    3. 第 3 步（求前三队份数和）：$30+24+25=\underline{79}$（份）。
    4. 第 4 步（确定每份）：若每份 $2$ 人，前三队就有 $79\times 2=\underline{158}$ 人，已超过 $150$ 人，所以每份只能是 $1$ 人，前三队共 $79$ 人。
    5. 第 5 步（求第四队）：$150-79=\underline{71}$（人）。
    最终答案：$71$ 人。
  50. 17. ch12-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步：$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$ 得一:二 $=5:\underline{4}$；$1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$ 得一:三 $=6:\underline{5}$。
    2. 第 2 步：取 $5$ 与 $6$ 的最小公倍数 $\underline{30}$，则第二片 $30\div 5\times 4=\underline{24}$（份），第三片 $30\div 6\times 5=\underline{25}$（份）。
    3. 第 3 步：前三片共 $30+24+25=\underline{79}$（份）。
    4. 第 4 步：每份若为 $2$ 则 $79\times 2=\underline{158}>150$，故每份为 $1$ 棵。
    5. 第 5 步：第四片 $150-79=\underline{71}$（棵）。
    最终答案：$71$ 棵。
  51. 17. ch12-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步：$1\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$ 得一:二 $=7:\underline{6}$；$1\frac{1}{7}=\frac{8}{7}$ 得一:三 $=8:\underline{7}$。
    2. 第 2 步：取 $7$ 与 $8$ 的最小公倍数 $\underline{56}$ 作第一队份数，第二队 $56\div 7\times 6=\underline{48}$（份），第三队 $56\div 8\times 7=\underline{49}$（份）。
    3. 第 3 步：前三队共 $56+48+49=\underline{153}$（份）；每份若为 $2$ 则 $153\times 2=\underline{306}>300$，故每份 $1$ 人。
    4. 第 4 步：第四队 $300-153=\underline{147}$（人）。
    最终答案：$147$ 人。
  52. 17. ch12-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步：一:二 $=5:\underline{4}$，一:三 $=6:\underline{5}$；统一第一队为 $5\times 6=\underline{30}$ 份，第二队 $30\div 5\times 4=\underline{24}$、第三队 $30\div 6\times 5=\underline{25}$ 份。
    2. 第 2 步：前三队共 $30+24+25=\underline{79}$（份），每份 $1$ 人，第四队 $150-79=\underline{71}$（人）。
    3. 第 3 步（第二问）：第四队比第一队多 $71-30=\underline{41}$（人）。
    4. 第 4 步（第三问）：$30$ 与 $71$ 没有大于 $1$ 的公因数，最简比就是 $30:71$，前后项之和 $30+71=\underline{101}$。
    最终答案：第四队 $71$ 人；比第一队多 $41$ 人；最简比 $30:71$，前后项之和 $101$。
  53. 18. ch12-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（作差消去乙）：两个和相减，乙被消掉，$140-100=\underline{40}$，即丙比甲多这么多本。
    2. 第 2 步（判断最多最少）：丙比甲多，所以甲是最少的、丙是最多的。
    3. 第 3 步（用倍数关系）：丙 $=2\times$ 甲，所以丙 $-$ 甲就等于甲，即甲 $=\underline{40}$（本），丙 $=40\times 2=\underline{80}$（本）。
    4. 第 4 步（求乙）：$100-40=\underline{60}$（本）。
    5. 第 5 步（验算）：$60+80=\underline{140}$，与“乙、丙共 $140$ 本”相符，且 $60$ 确实介于 $40$ 与 $80$ 之间。
    最终答案：$60$ 本。
  54. 18. ch12-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步：两和相减消去乙，$140-100=\underline{40}$（元），即丙比甲多这么多。
    2. 第 2 步：丙最多、甲最少。
    3. 第 3 步：丙 $=2\times$ 甲，故丙 $-$ 甲 $=$ 甲 $=\underline{40}$（元），丙 $=40\times 2=\underline{80}$（元）。
    4. 第 4 步：乙 $=100-40=\underline{60}$（元）。
    5. 第 5 步（验算）：$60+80=\underline{140}$（元），与已知相符。
    最终答案：$60$ 元。
  55. 18. ch12-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步：$125-90=\underline{35}$（张），即丙比甲多这么多，甲最少、丙最多。
    2. 第 2 步：丙 $=2\times$ 甲，故甲 $=\underline{35}$（张），丙 $=35\times 2=\underline{70}$（张）。
    3. 第 3 步：乙 $=90-35=\underline{55}$（张）。
    4. 第 4 步（验算）：$55+70=\underline{125}$（张），与已知相符。
    最终答案：$55$ 张。
  56. 18. ch12-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步：$140-100=\underline{40}$（本），甲最少、丙最多；丙 $=2\times$ 甲，故甲 $=\underline{40}$（本），丙 $=40\times 2=\underline{80}$（本），乙 $=100-40=\underline{60}$（本）。
    2. 第 2 步（第二问）：三人共 $40+60+80=\underline{180}$（本）。也可以用 $100+140-60=\underline{180}$（本）来验算，因为乙被算了两次要减掉一次。
    3. 第 3 步（第三问）：甲、丙共 $40+80=\underline{120}$（本），比乙多 $120-60=\underline{60}$（本）。
    最终答案：乙 $60$ 本；三人共 $180$ 本；甲、丙之和比乙多 $60$ 本。
  57. 19. ch12-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（倒推得原始之比）：从末态三人相同逐步回退（丙先除以 $\frac{3}{4}$、再退乙、再退甲），可得原来甲:乙:丙 $=20:15:13$，总份数 $20+15+13=\underline{48}$（份）。
    2. 第 2 步（把差化成份数）：最多的是甲、最少的是丙，相差 $20-13=\underline{7}$（份）。
    3. 第 3 步（用范围定每份）：$7$ 的倍数中落在“$130$ 多”里的只有 $7\times 19=\underline{133}$，所以每份 $\underline{19}$ 枚。
    4. 第 4 步（求总数）：$48\times 19=\underline{912}$（枚）。
    最终答案：$912$ 枚。
  58. 19. ch12-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步：倒推可得原来甲:乙:丙 $=20:15:13$，总份数 $20+15+13=\underline{48}$（份）。
    2. 第 2 步：最多与最少相差 $20-13=\underline{7}$（份）。
    3. 第 3 步：$7\times 19=\underline{133}$ 是唯一落在“$130$ 多”里的倍数，每份 $\underline{19}$ 颗。
    4. 第 4 步：共 $48\times 19=\underline{912}$（颗）。
    最终答案：$912$ 颗。
  59. 19. ch12-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步：原来甲:乙:丙 $=20:15:13$，总份数 $20+15+13=\underline{48}$（份），最多与最少相差 $20-13=\underline{7}$（份）。
    2. 第 2 步：$7$ 的倍数中落在“$150$ 多”里的只有 $7\times 22=\underline{154}$，故每份 $\underline{22}$ 枚。
    3. 第 3 步：共 $48\times 22=\underline{1056}$（枚）。
    最终答案：$1056$ 枚。
  60. 19. ch12-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步：原比 $20:15:13$，总份数 $20+15+13=\underline{48}$（份），差 $20-13=\underline{7}$（份）；$7\times 19=\underline{133}$ 落在“$130$ 多”里，每份 $19$ 枚。
    2. 第 2 步（第一问）：三人共 $48\times 19=\underline{912}$（枚）。
    3. 第 3 步（第二问）：原来甲 $20\times 19=\underline{380}$（枚）。
    4. 第 4 步（第三问）：分完后三人一样多，而总数不变，所以每人 $912\div 3=\underline{304}$（枚）。
    5. 第 5 步（验算）：原来乙 $15\times 19=\underline{285}$、丙 $13\times 19=\underline{247}$，三人相加 $380+285+247=\underline{912}$（枚），与总数相符。
    最终答案：三人共 $912$ 枚；原来甲 $380$ 枚；最后每人 $304$ 枚。
  61. 20. ch12-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（抓总量不变）：两次移动石头总数都没变。第一次移动后两堆是 $1:3$，共 $1+3=\underline{4}$（份），所以总数是 $4$ 的倍数。
    2. 第 2 步：第二次移动后两堆是 $5:1$，共 $5+1=\underline{6}$（份），所以总数也是 $6$ 的倍数。
    3. 第 3 步（求公倍数）：总数是 $4$ 与 $6$ 的公倍数，最小为 $\underline{12}$，所以总数是 $12$、$24$、$36$、$48$、$60$、……
    4. 第 4 步（写出第一堆）：第一次移动后第一堆是总数的 $\frac{1}{4}$，所以第一堆原有 $\frac{1}{4}$ 总数 $+30$ 块。总数 $60$ 时，第一堆 $60\div 4+30=\underline{45}$（块），第二堆 $60-45=\underline{15}$（块）。
    5. 第 5 步（验证第二次移动）：第二次移动后第一堆应为 $60\times\frac{5}{6}=\underline{50}$（块），需从第二堆移过来 $50-45=\underline{5}$（块），而第二堆只有 $15$ 块，够移；总数比 $60$ 小的 $12$、$24$、$36$、$48$ 都不能同时满足（移动块数会算成 $0$ 或负数），所以第一堆最少 $45$ 块。
    最终答案：$45$ 块。
  62. 20. ch12-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步：苹果总数不变。第一次移动后两筐是 $1:3$，共 $1+3=\underline{4}$（份），总数是 $4$ 的倍数。
    2. 第 2 步：第二次移动后两筐是 $5:1$，共 $5+1=\underline{6}$（份），总数是 $6$ 的倍数。
    3. 第 3 步：总数是 $4$ 与 $6$ 的最小公倍数 $\underline{12}$ 的倍数。
    4. 第 4 步：第一筐原有 $\frac{1}{4}$ 总数 $+30$；总数 $60$ 时为 $60\div 4+30=\underline{45}$（个），第二筐 $60-45=\underline{15}$（个）。
    5. 第 5 步：第二次移动后第一筐应为 $60\times\frac{5}{6}=\underline{50}$（个），要移 $50-45=\underline{5}$（个），第二筐够；更小的总数都不可行，故最少 $45$ 个。
    最终答案：$45$ 个。
  63. 20. ch12-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步：总数是 $1+3=\underline{4}$ 的倍数，也是 $7+1=\underline{8}$ 的倍数。
    2. 第 2 步：$4$ 与 $8$ 的最小公倍数是 $\underline{8}$，所以总数是 $8$ 的倍数。
    3. 第 3 步：第一堆原有 $\frac{1}{4}$ 总数 $+30$；总数 $56$ 时为 $56\div 4+30=\underline{44}$（块），第二堆 $56-44=\underline{12}$（块）。
    4. 第 4 步（验证）：第二次移动后第一堆应为 $56\times\frac{7}{8}=\underline{49}$（块），需移 $49-44=\underline{5}$（块），第二堆有 $12$ 块够移；更小的总数 $8,16,24,32,40,48$ 都不可行，故第一堆最少 $44$ 块。
    最终答案：$44$ 块。
  64. 20. ch12-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步：总数是 $1+3=\underline{4}$ 与 $5+1=\underline{6}$ 的公倍数，最小公倍数 $\underline{12}$。
    2. 第 2 步：第一堆 $=\frac{1}{4}$ 总数 $+30$，总数取 $60$ 时第一堆 $60\div 4+30=\underline{45}$（块）。
    3. 第 3 步（第二问、第三问）：第二堆 $60-45=\underline{15}$（块），两堆共 $45+15=\underline{60}$（块）。
    4. 第 4 步（第四问）：第二次移动后第一堆为 $60\div 6\times 5=\underline{50}$（块），需移 $50-45=\underline{5}$（块）。
    5. 第 5 步（验算）：移动后第二堆 $15-5=\underline{10}$（块），$50\div 10=\underline{5}$，正好是 $5$ 倍。
    最终答案：第一堆最少 $45$ 块；此时第二堆 $15$ 块，两堆共 $60$ 块，第二次移动 $5$ 块。
  65. 21. ch12-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（写出分段车费）：$4$ 千米以内 $12$ 元；$4$ 到 $18$ 千米每千米 $3$ 元，所以 $18$ 千米时车费 $12+3\times(18-4)=\underline{54}$（元）；超过 $18$ 千米后每千米 $4$ 元。
    2. 第 2 步（判断小明在哪一段）：小亮里程若不超过 $18$ 千米，车费是 $12$ 或 $15,18,\dots,54$ 这些 $3$ 的倍数；要让小明的里程尽量远，小明必须进入第三段，车费为 $54+4k$（$k$ 是超过 $18$ 千米的部分）。
    3. 第 3 步（配对枚举）：小明车费 $-34=$ 小亮车费。试算：小明 $58$ 元时小亮 $58-34=\underline{24}$（元，可达）；小明 $70$ 元时小亮 $70-34=\underline{36}$（元，可达）；小明 $82$ 元时小亮 $82-34=\underline{48}$（元，可达）；再往上小亮车费就超过 $54$ 元而进入第三段，差额便不可能是 $34$ 元。
    4. 第 4 步（取最远）：小明车费最大为 $82$ 元，由 $54+4\times(x-18)=82$ 得 $x-18=(82-54)\div 4=\underline{7}$，$x=18+7=\underline{25}$（千米）。
    5. 第 5 步（验算）：小亮车费 $48$ 元对应里程 $y$：$12+3(y-4)=48$，$y=4+(48-12)\div 3=\underline{16}$（千米）；$82-48=\underline{34}$（元），符合。
    最终答案：$25$ 千米。
  66. 21. ch12-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步：$18$ 千米时运费 $12+3\times(18-4)=\underline{54}$（元）；再远每千米 $4$ 元。
    2. 第 2 步：乙在 $18$ 千米内时运费是 $12$ 或 $15,18,\dots,54$；要让甲最远，甲必须超过 $18$ 千米。
    3. 第 3 步：甲 $58$ 元时乙 $58-34=\underline{24}$；甲 $70$ 元时乙 $70-34=\underline{36}$；甲 $82$ 元时乙 $82-34=\underline{48}$；再大乙就超出 $54$ 元。
    4. 第 4 步：甲运费最大 $82$ 元，$x-18=(82-54)\div 4=\underline{7}$，$x=18+7=\underline{25}$（千米）。
    5. 第 5 步（验算）：乙 $48$ 元对应 $y=4+(48-12)\div 3=\underline{16}$（千米），$82-48=\underline{34}$（元）。
    最终答案：$25$ 千米。
  67. 21. ch12-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步：$15$ 千米时车费 $10+2\times(15-3)=\underline{34}$（元）；再远每千米 $3$ 元。
    2. 第 2 步：小亮在 $15$ 千米内时车费是 $10$ 或 $12,14,\dots,34$（偶数）；小明车费 $=$ 小亮 $+29$ 是奇数，故小明必超 $15$ 千米。
    3. 第 3 步：小明车费为 $34+3k$，取最大且使小亮车费不超过 $34$：小明 $61$ 元时小亮 $61-29=\underline{32}$（元，可达）；小明 $67$ 元时小亮 $67-29=\underline{38}$（元），已超过 $34$ 元。
    4. 第 4 步：由 $34+3(x-15)=61$ 得 $x-15=(61-34)\div 3=\underline{9}$，$x=15+9=\underline{24}$（千米）。
    5. 第 5 步（验算）：小亮 $32$ 元对应 $y=3+(32-10)\div 2=\underline{14}$（千米），$61-32=\underline{29}$（元）。
    最终答案：$24$ 千米。
  68. 21. ch12-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步：$18$ 千米时车费 $12+3\times(18-4)=\underline{54}$（元）；小明最贵的可行车费是 $82$ 元，$x=18+(82-54)\div 4=\underline{25}$（千米）。
    2. 第 2 步（第二问）：小亮车费 $82-34=\underline{48}$（元），由 $12+3(y-4)=48$ 得 $y=4+(48-12)\div 3=\underline{16}$（千米）。
    3. 第 3 步（第三问·验算车费）：小明 $12+3\times 14+4\times(25-18)=\underline{82}$（元），小亮 $12+3\times(16-4)=\underline{48}$（元）。
    4. 第 4 步（第四问）：两人共 $82+48=\underline{130}$（元）。
    最终答案：小明家最远 $25$ 千米；小亮家 $16$ 千米；车费分别为 $82$ 元和 $48$ 元，共 $130$ 元。
  69. 23. ch12-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（认出份数）：比 $5:9$ 表示肉松面包 $5$ 份、豆沙面包 $9$ 份。豆沙面包 $252$ 个占 $9$ 份，每份是 $252\div 9=\underline{28}$（个）。
    2. 第 2 步（求另一量）：肉松面包占 $5$ 份，共 $28\times 5=\underline{140}$（个）。
    最终答案：$140$ 个。
  70. 23. ch12-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：玫瑰占 $9$ 份，每份 $252\div 9=\underline{28}$（棵）。
    2. 第 2 步：月季占 $5$ 份，共 $28\times 5=\underline{140}$（棵）。
    最终答案：$140$ 棵。
  71. 23. ch12-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（判断已知的是哪一份）：这次已知的是比的前项对应的量，肉松面包 $140$ 个占 $5$ 份，每份 $140\div 5=\underline{28}$（个）。
    2. 第 2 步：豆沙面包占 $9$ 份，共 $28\times 9=\underline{252}$（个）。
    最终答案：$252$ 个。
  72. 23. ch12-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（把“多多少”翻译成份数）：豆沙 $9$ 份、肉松 $5$ 份，豆沙比肉松多 $9-5=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步（求每份）：这 $4$ 份对应 $112$ 个，所以每份 $112\div 4=\underline{28}$（个）。
    3. 第 3 步（求豆沙）：豆沙占 $9$ 份，共 $28\times 9=\underline{252}$（个）。
    最终答案：$252$ 个。
  73. 24. ch12-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（求总份数）：菠萝 $8$ 份、芒果 $9$ 份，总份数 $8+9=\underline{17}$（份）。
    2. 第 2 步（求每份）：$391$ 个对应 $17$ 份，每份 $391\div 17=\underline{23}$（个）。
    3. 第 3 步（分配）：菠萝 $23\times 8=\underline{184}$（个），芒果 $23\times 9=\underline{207}$（个）。
    最终答案：菠萝 $184$ 个；芒果 $207$ 个。
  74. 24. ch12-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：总份数 $8+9=\underline{17}$（份）。
    2. 第 2 步：每份 $391\div 17=\underline{23}$（人）。
    3. 第 3 步：红队 $23\times 8=\underline{184}$（人），蓝队 $23\times 9=\underline{207}$（人）。
    最终答案：红队 $184$ 人；蓝队 $207$ 人。
  75. 24. ch12-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求总份数）：三项都要加进去，$8+5+4=\underline{17}$（份）。
    2. 第 2 步（求每份）：$391\div 17=\underline{23}$（个）。
    3. 第 3 步（分配）：甲 $23\times 8=\underline{184}$（个），乙 $23\times 5=\underline{115}$（个），丙 $23\times 4=\underline{92}$（个）。
    最终答案：甲 $184$ 个；乙 $115$ 个；丙 $92$ 个。
  76. 24. ch12-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（第一次分配）：总份数 $8+9=\underline{17}$（份），每份 $425\div 17=\underline{25}$（个），芒果 $25\times 9=\underline{225}$（个）。
    2. 第 2 步（第二次分配）：把 $225$ 个芒果按 $4:5$ 再分，新的总份数 $4+5=\underline{9}$（份），每份 $225\div 9=\underline{25}$（个）。
    3. 第 3 步（求小货架）：小货架占 $5$ 份，$25\times 5=\underline{125}$（个）。
    最终答案：$125$ 个。
  77. 25. ch12-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（原来的分配）：总份数 $8+5=\underline{13}$（份），每份 $663\div 13=\underline{51}$（人）。
    2. 第 2 步：原来男生 $51\times 8=\underline{408}$（人），原来女生 $51\times 5=\underline{255}$（人）。
    3. 第 3 步（找不变量）：只增加了女生，男生人数没变，仍是 $408$ 人。新比中男生占 $4$ 份，所以新的每份 $408\div 4=\underline{102}$（人），后来女生 $102\times 3=\underline{306}$（人）。
    4. 第 4 步（作差）：后来报名的女生 $306-255=\underline{51}$（人）。
    最终答案：$51$ 人。
  78. 25. ch12-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步：总份数 $8+5=\underline{13}$（份），每份 $663\div 13=\underline{51}$（本）。
    2. 第 2 步：原有故事书 $51\times 8=\underline{408}$（本），原有科普书 $51\times 5=\underline{255}$（本）。
    3. 第 3 步：故事书没变仍为 $408$ 本，占新比的 $4$ 份，新每份 $408\div 4=\underline{102}$（本），后来科普书 $102\times 3=\underline{306}$（本）。
    4. 第 4 步：买进 $306-255=\underline{51}$（本）。
    最终答案：$51$ 本。
  79. 25. ch12-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步：总份数 $8+5=\underline{13}$（份），每份 $663\div 13=\underline{51}$（人），原来男生 $51\times 8=\underline{408}$（人），女生 $51\times 5=\underline{255}$（人）。
    2. 第 2 步（找不变量）：这次不变的是女生 $255$ 人，它在新比里占 $5$ 份，新每份 $255\div 5=\underline{51}$（人），后来男生 $51\times 9=\underline{459}$（人）。
    3. 第 3 步：后来报名男生 $459-408=\underline{51}$（人）。
    最终答案：$51$ 人。
  80. 25. ch12-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步：总份数 $8+5=\underline{13}$（份），每份 $663\div 13=\underline{51}$（人），男生 $51\times 8=\underline{408}$（人），原女生 $51\times 5=\underline{255}$（人）。
    2. 第 2 步：男生不变，新每份 $408\div 4=\underline{102}$（人），后来女生 $102\times 3=\underline{306}$（人）。
    3. 第 3 步：新报名女生 $306-255=\underline{51}$（人）。
    4. 第 4 步（求变化后的总人数）：可以直接把现在的男生与女生相加 $408+306=\underline{714}$（人），也可以用原总数加上新报名人数 $663+51=\underline{714}$（人），两法结果应相同。
    最终答案：后来报名女生 $51$ 人；这时共 $714$ 人。
  81. 26. ch12-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（找桥梁）：两个比里都出现妈妈。爸:妈 $=9:8$，宝:妈 $=3:4$。把宝:妈的两项同乘 $2$，妈妈就变成 $8$：宝:妈 $=\underline{6}:8$。
    2. 第 2 步（写连比）：爸:妈:宝 $=9:8:\underline{6}$。
    3. 第 3 步（按比分配）：总份数 $9+8+6=\underline{23}$（份），每份 $966\div 23=\underline{42}$（颗）。
    4. 第 4 步：宝宝占 $6$ 份，$42\times 6=\underline{252}$（颗）。
    最终答案：$252$ 颗。
  82. 26. ch12-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步：乙是桥梁。甲:乙 $=9:8$，丙:乙 $=3:4$，同乘 $2$ 得丙:乙 $=\underline{6}:8$。
    2. 第 2 步：甲:乙:丙 $=9:8:\underline{6}$。
    3. 第 3 步：总份数 $9+8+6=\underline{23}$（份），每份 $966\div 23=\underline{42}$（个）。
    4. 第 4 步：丙加工 $42\times 6=\underline{252}$（个）。
    最终答案：$252$ 个。
  83. 26. ch12-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步：以妈妈为桥梁统一，宝:妈 $=3:4=\underline{6}:8$，得爸:妈:宝 $=9:8:\underline{6}$。
    2. 第 2 步：总份数 $9+8+6=\underline{23}$（份），每份 $966\div 23=\underline{42}$（颗）。
    3. 第 3 步：爸爸占 $9$ 份，$42\times 9=\underline{378}$（颗）。
    最终答案：$378$ 颗。
  84. 26. ch12-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（统一连比）：宝:妈 $=3:4=\underline{6}:8$，故爸:妈:宝 $=9:8:\underline{6}$。
    2. 第 2 步（把差化成份数）：爸爸比宝宝多 $9-6=\underline{3}$（份）。
    3. 第 3 步（求每份）：$3$ 份对应 $126$ 颗，每份 $126\div 3=\underline{42}$（颗）。
    4. 第 4 步（求总量）：总份数 $9+8+6=\underline{23}$（份），共 $42\times 23=\underline{966}$（颗）。
    最终答案：$966$ 颗。
  85. 27. ch12-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（找桥梁并统一）：第二批在两个比里分别是 $5$ 和 $4$，取公共份数 $20$。一:二 $=7:5=28:\underline{20}$，二:三 $=4:3=20:\underline{15}$。
    2. 第 2 步（写连比）：一:二:三 $=28:20:15$，总份数 $28+20+15=\underline{63}$（份）。
    3. 第 3 步（把差化成份数）：第二、三批之和比第一批多 $(20+15)-28=\underline{7}$（份）。
    4. 第 4 步（求每份）：$7$ 份对应 $133$ 人，每份 $133\div 7=\underline{19}$（人）。
    5. 第 5 步（求总数）：$19\times 63=\underline{1197}$（人）。
    最终答案：$1197$ 人。
  86. 27. ch12-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步：以乙为桥梁，甲:乙 $=7:5=28:\underline{20}$，乙:丙 $=4:3=20:\underline{15}$。
    2. 第 2 步：甲:乙:丙 $=28:20:15$，总份数 $28+20+15=\underline{63}$（份）。
    3. 第 3 步：乙丙之和比甲多 $(20+15)-28=\underline{7}$（份）。
    4. 第 4 步：每份 $133\div 7=\underline{19}$（个）。
    5. 第 5 步：总产量 $19\times 63=\underline{1197}$（个）。
    最终答案：$1197$ 个。
  87. 27. ch12-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（统一连比）：一:二 $=7:5=28:\underline{20}$，二:三 $=4:3=20:\underline{15}$，故一:二:三 $=28:20:15$。
    2. 第 2 步（把差化成份数）：这次给的差是第一批与第三批之差 $28-15=\underline{13}$（份）。
    3. 第 3 步（求每份）：$13$ 份对应 $247$ 人，每份 $247\div 13=\underline{19}$（人）。
    4. 第 4 步（求总数）：总份数 $28+20+15=\underline{63}$（份），共 $19\times 63=\underline{1197}$（人）。
    最终答案：$1197$ 人。
  88. 27. ch12-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步：统一得一:二:三 $=28:20:15$，其中 $7:5=28:\underline{20}$，$4:3=20:\underline{15}$。
    2. 第 2 步：差份数 $(20+15)-28=\underline{7}$（份），每份 $133\div 7=\underline{19}$（人）。
    3. 第 3 步：总人数 $19\times(28+20+15)=\underline{1197}$（人）。
    4. 第 4 步（再求一问）：第二批比第三批多 $20-15=\underline{5}$（份），即 $19\times 5=\underline{95}$（人）。
    最终答案：共 $1197$ 人；第二批比第三批多 $95$ 人。
  89. 28. ch12-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（总数必须是几的倍数）：比 $47:48$ 说明总数分成 $47+48=\underline{95}$（份），每份是整数颗，所以总数一定是这个数的倍数。
    2. 第 2 步（用范围定总数）：$95$ 的倍数依次是 $95$、$95\times 2=\underline{190}$、$95\times 3=285$、$95\times 4=380$。落在“$200$ 多”里的只有 $\underline{285}$。
    3. 第 3 步（按比分配）：每份 $285\div 95=\underline{3}$（颗），红球 $3\times 47=\underline{141}$（颗）。
    最终答案：$141$ 颗。
  90. 28. ch12-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步：总份数 $47+48=\underline{95}$（份），总数必是 $95$ 的倍数。
    2. 第 2 步：$95\times 2=\underline{190}$，$95\times 3=285$；落在“$200$ 多”里的只有 $\underline{285}$。
    3. 第 3 步：每份 $285\div 95=\underline{3}$（个），长螺丝 $3\times 47=\underline{141}$（个）。
    最终答案：$141$ 个。
  91. 28. ch12-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步：总份数 $47+48=\underline{95}$（份）。
    2. 第 2 步：$95$ 的倍数中落在 $400$ 到 $500$ 之间的是 $95\times 5=\underline{475}$，所以总数为 $475$ 颗。
    3. 第 3 步：每份 $475\div 95=\underline{5}$（颗），蓝球 $5\times 48=\underline{240}$（颗）。
    最终答案：$240$ 颗。
  92. 28. ch12-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（定总数）：总份数 $47+48=\underline{95}$（份），$95$ 的倍数中“$200$ 多”的只有 $95\times 3=\underline{285}$，故原有 $285$ 颗。
    2. 第 2 步（求红蓝）：每份 $285\div 95=\underline{3}$（颗），红球 $3\times 47=\underline{141}$（颗），蓝球 $3\times 48=\underline{144}$（颗）。
    3. 第 3 步（比的调整）：要让红球与蓝球相等，只需把红球补到 $144$ 颗，需放入 $144-141=\underline{3}$（颗）。
    4. 第 4 步（求新总数）：$285+3=\underline{288}$（颗）。
    最终答案：放入 $3$ 颗；这时共 $288$ 颗。
  93. 29. ch12-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（为什么要找公倍数）：优胜奖人数是参赛人数的 $\frac{1}{9}$、鼓励奖是 $\frac{5}{14}$，都必须是整数人，所以参赛人数既是 $9$ 的倍数又是 $14$ 的倍数，即 $9\times 14=\underline{126}$ 的倍数。
    2. 第 2 步（用范围定下来）：参赛人数不超过 $240$ 人，而 $126\times 2=\underline{252}$ 已超过 $240$，所以参赛人数只能是 $\underline{126}$（人）。
    3. 第 3 步（求没参赛的人数）：$240-126=\underline{114}$（人）。
    最终答案：$114$ 人。
  94. 29. ch12-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步：$\frac{1}{9}$ 与 $\frac{5}{14}$ 都要是整数人，故参加人数是 $9\times 14=\underline{126}$ 的倍数。
    2. 第 2 步：$126\times 2=\underline{252}$ 已超过 $240$，所以参加人数只能是 $\underline{126}$（人）。
    3. 第 3 步：没参加的有 $240-126=\underline{114}$（人）。
    最终答案：$114$ 人。
  95. 29. ch12-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步：参赛人数是 $11\times 13=\underline{143}$ 的倍数。
    2. 第 2 步：$143\times 2=\underline{286}$ 已超过 $250$，故参赛人数为 $\underline{143}$（人）。
    3. 第 3 步：没参加的 $250-143=\underline{107}$（人）。
    最终答案：$107$ 人。
  96. 29. ch12-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（定参赛人数）：参赛人数是 $9\times 14=\underline{126}$ 的倍数，且 $126\times 2=\underline{252}>240$，故参赛 $126$ 人。
    2. 第 2 步（第一问）：没参加的 $240-126=\underline{114}$（人）。
    3. 第 3 步（求两种获奖人数）：优胜奖 $126\times\frac{1}{9}=\underline{14}$（人），鼓励奖 $126\times\frac{5}{14}=\underline{45}$（人）。
    4. 第 4 步（第二问）：参赛未获奖 $126-14-45=\underline{67}$（人）。
    最终答案：没参加 $114$ 人；参赛未获奖 $67$ 人。
  97. 30. ch12-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（总数不变、先定总数）：三次搬动棋子总数没变。末态比 $1:2:3$，总份数 $1+2+3=\underline{6}$（份），且倒推时要连续除以 $4$、$3$、$2$，可算出总数必须是 $144$ 的倍数；“$400$ 多”里只有 $144\times 3=\underline{432}$（枚）。
    2. 第 2 步（写出末态三堆）：每份 $432\div 6=\underline{72}$（枚），末态为 $72$、$72\times 2=\underline{144}$、$72\times 3=\underline{216}$（枚）。
    3. 第 3 步（倒推第三步）：甲、乙各增 $3$ 倍就是变成原来的 $4$ 倍，倒回去要除以 $4$：甲 $72\div 4=\underline{18}$，乙 $144\div 4=\underline{36}$，丙用总数补齐 $432-18-36=\underline{378}$（枚）。
    4. 第 4 步（倒推第二步）：甲、丙各增 $2$ 倍即变 $3$ 倍，倒回除以 $3$：甲 $18\div 3=\underline{6}$，丙 $378\div 3=\underline{126}$，乙 $432-6-126=\underline{300}$（枚）。
    5. 第 5 步（倒推第一步）：乙、丙各增 $1$ 倍即变 $2$ 倍，倒回除以 $2$：乙 $300\div 2=\underline{150}$，丙 $126\div 2=\underline{63}$，甲 $432-150-63=\underline{219}$（枚）。
    最终答案：甲 $219$ 枚、乙 $150$ 枚、丙 $63$ 枚。
  98. 30. ch12-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步：搬书总数不变。末态总份数 $1+2+3=\underline{6}$（份），总数必是 $144$ 的倍数，“$400$ 多”中只有 $144\times 3=\underline{432}$（本）。
    2. 第 2 步：每份 $432\div 6=\underline{72}$（本），末态为 $72$、$72\times 2=\underline{144}$、$72\times 3=\underline{216}$（本）。
    3. 第 3 步（倒推第三步，除以 $4$）：甲 $72\div 4=\underline{18}$，乙 $144\div 4=\underline{36}$，丙 $432-18-36=\underline{378}$（本）。
    4. 第 4 步（倒推第二步，除以 $3$）：甲 $18\div 3=\underline{6}$，丙 $378\div 3=\underline{126}$，乙 $432-6-126=\underline{300}$（本）。
    5. 第 5 步（倒推第一步，除以 $2$）：乙 $300\div 2=\underline{150}$，丙 $126\div 2=\underline{63}$，甲 $432-150-63=\underline{219}$（本）。
    最终答案：甲 $219$ 本、乙 $150$ 本、丙 $63$ 本。
  99. 30. ch12-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步：总数是 $144$ 的倍数，“$800$ 多”中只有 $144\times 6=\underline{864}$（枚）。
    2. 第 2 步：每份 $864\div 6=\underline{144}$（枚），末态 $144$、$144\times 2=\underline{288}$、$144\times 3=\underline{432}$（枚）。
    3. 第 3 步（除以 $4$）：甲 $144\div 4=\underline{36}$，乙 $288\div 4=\underline{72}$，丙 $864-36-72=\underline{756}$（枚）。
    4. 第 4 步（除以 $3$）：甲 $36\div 3=\underline{12}$，丙 $756\div 3=\underline{252}$，乙 $864-12-252=\underline{600}$（枚）。
    5. 第 5 步（除以 $2$）：乙 $600\div 2=\underline{300}$，丙 $252\div 2=\underline{126}$，甲 $864-300-126=\underline{438}$（枚）。
    最终答案：甲 $438$ 枚、乙 $300$ 枚、丙 $126$ 枚。
  100. 30. ch12-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（定总数并倒推）：总数是 $144$ 的倍数，“$400$ 多”只有 $144\times 3=\underline{432}$（枚）；按前面的方法倒推可得原来甲 $432-150-63=\underline{219}$、乙 $\underline{150}$、丙 $126\div 2=\underline{63}$（枚）。
    2. 第 2 步（第一问：求差）：甲比丙多 $219-63=\underline{156}$（枚）。
    3. 第 3 步（第二问：化简比）：$219:150:63$ 三项都能被 $3$ 整除，$219\div 3=\underline{73}$，$150\div 3=\underline{50}$，$63\div 3=\underline{21}$，最简比为 $73:50:21$，各项之和 $73+50+21=\underline{144}$。
    最终答案：甲比丙多 $156$ 枚；最简比为 $73:50:21$，各项之和为 $144$。
  101. 31. ch12-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（把倍数化成差的倍数）：爷爷是小明的 $9$ 倍时，年龄差是小明当时年龄的 $9-1=\underline{8}$ 倍；是 $7$ 倍时是 $7-1=\underline{6}$ 倍；是 $5$ 倍时是 $5-1=\underline{4}$ 倍。
    2. 第 2 步（差不变 → 公倍数）：年龄差始终不变，所以它同时是 $8$、$6$、$4$ 的倍数，最小公倍数是 $\underline{24}$。
    3. 第 3 步（用范围定差）：$24$ 的倍数中落在“$70$ 多”里的只有 $24\times 3=\underline{72}$（岁）。
    4. 第 4 步（求年龄）：小明今年 $72\div 8=\underline{9}$（岁），爷爷今年 $9\times 9=\underline{81}$（岁）。
    最终答案：$81$ 岁。
  102. 31. ch12-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步：$9-1=\underline{8}$，$7-1=\underline{6}$，$5-1=\underline{4}$，树龄差分别是小树苗当时树龄的这些倍数。
    2. 第 2 步：树龄差不变，是 $8$、$6$、$4$ 的公倍数，最小公倍数为 $\underline{24}$。
    3. 第 3 步：落在“$70$ 多”里的只有 $24\times 3=\underline{72}$（岁）。
    4. 第 4 步：小树苗今年 $72\div 8=\underline{9}$（岁），老槐树今年 $9\times 9=\underline{81}$（岁）。
    最终答案：$81$ 岁。
  103. 31. ch12-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步：$9-1=\underline{8}$，$7-1=\underline{6}$，$5-1=\underline{4}$，年龄差是这些倍数，故差是 $8,6,4$ 的公倍数 $\underline{24}$ 的倍数。
    2. 第 2 步：“$70$ 多岁”只有 $24\times 3=\underline{72}$（岁）。
    3. 第 3 步：爷爷是小明 $7$ 倍时，年龄差是小明当时年龄的 $6$ 倍，所以小明那时 $72\div 6=\underline{12}$（岁）。
    最终答案：$12$ 岁。
  104. 31. ch12-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（定年龄差）：$9-1=\underline{8}$，$7-1=\underline{6}$，$5-1=\underline{4}$；差是 $8,6,4$ 的公倍数，最小为 $\underline{24}$，落在“$70$ 多”的只有 $24\times 3=\underline{72}$（岁）。
    2. 第 2 步（今年的年龄）：小明 $72\div 8=\underline{9}$（岁），爷爷 $9\times 9=\underline{81}$（岁）。
    3. 第 3 步（$5$ 倍那年）：那时年龄差是小明年龄的 $4$ 倍，小明 $72\div 4=\underline{18}$（岁）。
    4. 第 4 步（求年数）：从今年到那时，小明长了 $18-9=\underline{9}$（岁），所以要再过 $9$ 年。
    最终答案：爷爷今年 $81$ 岁；再过 $9$ 年爷爷的年龄是小明的 $5$ 倍。
  105. 32. ch12-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（统一单位）：多交的钱 $1$ 元 $5$ 角 $5$ 分 $=1\times 100+5\times 10+5=\underline{155}$（分）。
    2. 第 2 步（判断两家分别在哪一段）：若两家都不超过 $30$ 度，差额应是 $11$ 的倍数；若都超过 $30$ 度，差额应是 $25$ 的倍数。$155$ 既不是 $11$ 的倍数也不是 $25$ 的倍数，所以小宇家超过 $30$ 度、小达家不到 $30$ 度。
    3. 第 3 步（列式枚举）：设小宇比 $30$ 度多 $x$ 度、小达比 $30$ 度少 $y$ 度，则 $25x+11y=155$。试算可得 $x=\underline{4}$，$y=5$（因为 $25\times 4+11\times 5=\underline{155}$）。
    4. 第 4 步（求用电度数）：小宇 $30+4=\underline{34}$（度），小达 $30-5=\underline{25}$（度）。
    5. 第 5 步（求电费）：小达 $25\times 11=\underline{275}$（分）$=2$ 元 $7$ 角 $5$ 分；小宇 $275+155=\underline{430}$（分）$=4$ 元 $3$ 角。
    最终答案：小宇家 $4$ 元 $3$ 角；小达家 $2$ 元 $7$ 角 $5$ 分。
  106. 32. ch12-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步：$1$ 元 $5$ 角 $5$ 分 $=1\times 100+5\times 10+5=\underline{155}$（分）。
    2. 第 2 步：$155$ 既不是 $11$ 的倍数也不是 $25$ 的倍数，所以张家超过 $30$ 吨、李家不到 $30$ 吨。
    3. 第 3 步：设张家多 $x$ 吨、李家少 $y$ 吨，$25x+11y=155$，可得 $x=\underline{4}$、$y=5$，因为 $25\times 4+11\times 5=\underline{155}$。
    4. 第 4 步：张家 $30+4=\underline{34}$（吨），李家 $30-5=\underline{25}$（吨）。
    5. 第 5 步：李家 $25\times 11=\underline{275}$（分），张家 $275+155=\underline{430}$（分）。
    最终答案：张家 $4$ 元 $3$ 角；李家 $2$ 元 $7$ 角 $5$ 分。
  107. 32. ch12-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步：$2$ 元零 $5$ 分 $=2\times 100+5=\underline{205}$（分）。
    2. 第 2 步：$205$ 既不是 $11$ 的倍数也不是 $25$ 的倍数，故一家超过 $30$ 度、一家不到 $30$ 度。
    3. 第 3 步：$25x+11y=205$，试算得 $y=5$、$x=\underline{6}$，验算 $25\times 6+11\times 5=\underline{205}$。
    4. 第 4 步：小宇 $30+6=\underline{36}$（度），小达 $30-5=\underline{25}$（度）。
    最终答案：小宇家 $36$ 度；小达家 $25$ 度。
  108. 32. ch12-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步：差额 $1\times 100+5\times 10+5=\underline{155}$（分）；$155$ 既不是 $11$ 又不是 $25$ 的倍数，故一超一不足。
    2. 第 2 步：$25x+11y=155$ 得 $x=\underline{4}$、$y=5$；小宇 $30+4=\underline{34}$（度），小达 $30-5=\underline{25}$（度）。
    3. 第 3 步（各自电费）：小达 $25\times 11=\underline{275}$（分）；小宇 $30\times 11+4\times 25=\underline{430}$（分）。
    4. 第 4 步（合计）：共用电 $34+25=\underline{59}$（度），共交 $430+275=\underline{705}$（分），即 $7$ 元零 $5$ 分。
    最终答案：小宇家 $4$ 元 $3$ 角、小达家 $2$ 元 $7$ 角 $5$ 分；两家共用电 $59$ 度，共交 $7$ 元零 $5$ 分。