五年级第13讲计算综合一

1. 【原题 ch13-chaoyue-01】求所有分母为 $360$ 的最简真分数的和。

详细思路

是哪类问题：这是「互质 + 容斥原理 + 等差数列求和」类：分母为 $360$ 的最简真分数，其分子是 $1\sim359$ 中与 $360$ 互质的数，所以先求这些分子之和。

关键切入点：关键在于用容斥原理“正难则反”：与 $360=2^3\times3^2\times5$ 互质就是不含因数 $2$、$3$、$5$。先求 $1\sim360$ 的总和，再减去含 $2$、含 $3$、含 $5$ 的数之和，重复减掉的（含 $6$、含 $10$、含 $15$）要加回来，多加的（含 $30$）再减去。每一类都是等差数列，用首末平均乘个数即可。最后把分子之和除以 $360$。

方法概述：用容斥原理求与 $360$ 互质的数之和，再除以 $360$。

规范步骤：

求总和：$1+2+\cdots+360=\dfrac{(1+360)\times360}{2}=64980$（等差数列求和）
求含单个质因数的和：含 $2$：$32580$；含 $3$：$21780$；含 $5$：$13140$（各自是等差数列）
求含两个质因数的和：含 $6$：$10980$；含 $10$：$6660$；含 $15$：$4500$（被重复减去，要加回）
求含三个质因数的和：含 $30$：$2340$（要再减去）
容斥合并：$64980-(32580+21780+13140-10980-6660-4500+2340)=17280$（容斥原理）
除以分母：$17280\div360=48$（每个分子除以 $360$ 后相加）

第一套

题目：求所有分母为 $900$ 的最简真分数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$900=2^2\times3^2\times5^2$，与 $900$ 互质就是不含因数 $2$、$3$、$5$。
第 2 步（总和）：$1+2+\cdots+900=\dfrac{(1+900)\times900}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步（含单个质因数的和）：含 $2$ 的有 $450$ 个，和 $=\dfrac{(2+900)\times450}{2}=\underline{\quad}$；含 $3$ 的有 $300$ 个，和 $=\dfrac{(3+900)\times300}{2}=\underline{\quad}$；含 $5$ 的有 $180$ 个，和 $=\dfrac{(5+900)\times180}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步（重复部分加回）：含 $6$ 的和 $=\dfrac{(6+900)\times150}{2}=\underline{\quad}$；含 $10$ 的和 $=\dfrac{(10+900)\times90}{2}=\underline{\quad}$；含 $15$ 的和 $=\dfrac{(15+900)\times60}{2}=\underline{\quad}$；含 $30$ 的和 $=\dfrac{(30+900)\times30}{2}=\underline{\quad}$。
第 5 步（容斥）：与 $900$ 互质的数之和 $=405450-(202950+135450+81450-67950-40950-27450+13950)=\underline{\quad}$。
第 6 步（除以分母）：所求之和 $=108000\div900=\underline{\quad}$。

第二套

题目：把一根长 $1$ 米的绳子平均分成 $900$ 段，每段长 $\frac{1}{900}$ 米。现从中挑出所有“不能再约分”的刻度 $\frac{k}{900}$（$1\le k<900$ 且 $k$ 与 $900$ 互质），求这些刻度数值之和（单位：米）。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$900=2^2\times3^2\times5^2$，$k$ 与 $900$ 互质即 $k$ 不含因数 $2,3,5$。
第 2 步：$1+2+\cdots+900=\underline{\quad}$。
第 3 步：含 $2$ 的和 $=\underline{\quad}$，含 $3$ 的和 $=\underline{\quad}$，含 $5$ 的和 $=\underline{\quad}$。
第 4 步：含 $6$ 的和 $=\underline{\quad}$，含 $10$ 的和 $=\underline{\quad}$，含 $15$ 的和 $=\underline{\quad}$，含 $30$ 的和 $=\underline{\quad}$。
第 5 步：容斥得互质数之和 $=\underline{\quad}$。
第 6 步：所求刻度之和 $=108000\div900=\underline{\quad}$（米）。

第三套

题目：求所有分母为 $1000$ 的最简真分数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$1000=2^3\times5^3$，只含两个不同质因数，容斥只需三项。
第 2 步（总和）：$1+2+\cdots+1000=\dfrac{(1+1000)\times1000}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步（含 $2$、含 $5$）：含 $2$ 的有 $500$ 个，和 $=\dfrac{(2+1000)\times500}{2}=\underline{\quad}$；含 $5$ 的有 $200$ 个，和 $=\dfrac{(5+1000)\times200}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步（重复的含 $10$ 加回）：含 $10$ 的有 $100$ 个，和 $=\dfrac{(10+1000)\times100}{2}=\underline{\quad}$。
第 5 步（容斥）：互质数之和 $=500500-(250500+100500-50500)=\underline{\quad}$。
第 6 步（除以分母）：所求 $=200000\div1000=\underline{\quad}$。

第三套

题目：（1）求所有分母为 $360$ 的最简真分数之和；（2）这样的最简真分数共有多少个？它们的平均数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（容斥求分子之和）：$1+2+\cdots+360=\underline{\quad}$，减去含 $2$、$3$、$5$ 的和再作容斥修正，得互质数之和 $=\underline{\quad}$，所以这些分数之和 $=17280\div360=\underline{\quad}$。
第 2 步（数个数——新增的一问）：$1\sim360$ 中与 $360$ 互质的个数 $=360\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}=\underline{\quad}$。
第 3 步（求平均数）：平均数 $=48\div96=\underline{\quad}$（写成小数）。
第 4 步（解释合理性）：与 $360$ 互质的数总是成对出现（$k$ 与 $360-k$），每对分数之和为 $\underline{\quad}$，所以平均数正好是 $\frac{1}{2}$。

2. 【原题 ch13-chaoyue-02】有一种运算“$*$”，满足以下条件：① $2*3=5$；② $a*b=b*a$；③ $a*(b+c)=a*b+a*c$（这里的“$+$”是通常的加号）。请计算：$8*9$。

详细思路

是哪类问题：这是「定义新运算 + 运算律拆分」类：只知道 $2*3=5$ 以及交换律、分配律，要靠反复拆分把 $8*9$ 归结到已知的 $2*3$ 上。

关键切入点：关键在于用分配律把大数拆成若干相同的小数之和：$9=3+3+3$，由分配律 $8*9=8*3+8*3+8*3=3\times(8*3)$；再用交换律把 $8*3$ 写成 $3*8$，$8=4+4$ 拆一次、$4=2+2$ 再拆一次，得 $3*8=2\times2\times(3*2)=4\times5=20$。于是 $8*9=3\times20=60$。

方法概述：反复用交换律与分配律，把待求运算拆到已知的 $2*3=5$ 上。

规范步骤：

拆外层的 $9$：$8*9=8*(3+3+3)=3\times(8*3)$（分配律）
交换后拆 $8$：$8*3=3*8=3*(4+4)=2\times(3*4)$（交换律 + 分配律）
再拆 $4$：$3*4=3*(2+2)=2\times(3*2)$（分配律）
代入已知：$3*2=2*3=5$，故 $3*4=10$，$3*8=20$（交换律）
回代：$8*9=3\times20=60$

第一套

题目：有一种运算“$*$”满足：① $2*3=5$；② $a*b=b*a$；③ $a*(b+c)=a*b+a*c$。请计算 $12*15$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆右边的 $15$）：$15=3+3+3+3+3$，共 $15\div3=\underline{\quad}$ 个 $3$，由分配律 $12*15=5\times(12*3)$。
第 2 步（交换后拆 $12$）：$12*3=3*12$，而 $12=2+2+\cdots+2$ 共 $12\div2=\underline{\quad}$ 个 $2$，所以 $3*12=6\times(3*2)$。
第 3 步（代入已知）：$3*2=2*3=\underline{\quad}$，所以 $3*12=6\times5=\underline{\quad}$。
第 4 步（回代）：$12*15=5\times30=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某化学反应把 $a$ 克 $A$ 与 $b$ 克 $B$ 合成，放热记作 $a*b$ 焦。已知：① $2*3=5$；② $a*b=b*a$；③ $a*(b+c)=a*b+a*c$。求 $12$ 克 $A$ 与 $15$ 克 $B$ 合成时放热多少焦。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：把 $15$ 克 $B$ 分成 $15\div3=\underline{\quad}$ 份，每份 $3$ 克，由③得 $12*15=5\times(12*3)$。
第 2 步：由②交换得 $12*3=3*12$，把 $12$ 分成 $12\div2=\underline{\quad}$ 份，每份 $2$ 克，得 $3*12=6\times(3*2)$。
第 3 步：$3*2=2*3=\underline{\quad}$，所以 $3*12=\underline{\quad}$（焦）。
第 4 步：$12*15=5\times30=\underline{\quad}$（焦）。

第三套

题目：有一种运算“$*$”满足：① $3*4=6$；② $a*b=b*a$；③ $a*(b+c)=a*b+a*c$。请计算 $12*16$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把 $12$ 拆成若干个 $3$）：$12=3+3+3+3$ 共 $12\div3=\underline{\quad}$ 个，由③（配合②）得 $12*16=4\times(3*16)$。
第 2 步（把 $16$ 拆成若干个 $4$）：$16\div4=\underline{\quad}$，所以 $3*16=4\times(3*4)$。
第 3 步（代入已知）：$3*4=6$，所以 $3*16=4\times6=\underline{\quad}$。
第 4 步（回代）：$12*16=4\times24=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一种运算“$*$”满足：① $2*3=5$；② $a*b=b*a$；③ $a*(b+c)=a*b+a*c$。请计算 $(8*9)*2$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先算内层）：$9=3+3+3$，$8*9=3\times(8*3)$；又 $8*3=3*8=2\times(3*4)=2\times2\times(3*2)=4\times5=\underline{\quad}$，所以 $8*9=3\times20=\underline{\quad}$。
第 2 步（外层化为已知形式）：即求 $60*2=2*60$，把 $60$ 拆成 $60\div3=\underline{\quad}$ 个 $3$。
第 3 步（用分配律）：$2*60=20\times(2*3)=20\times5=\underline{\quad}$。

3. 【原题 ch13-chaoyue-03】下面的数列是按某种规律排列的：$1,3,4,7,11,18,29,47,\cdots$，试问：（1）其中第 $300$ 个数被 $6$ 除余几？（2）如果数列按第 $n$ 组含有 $n$ 个数的规律分组，成为：$(1),(3,4),(7,11,18),\cdots$，那么第 $300$ 组内各数之和除以 $6$ 的余数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「递推数列余数周期 + 分组求和取余」类：数列 $1,3,4,7,11,18,\cdots$ 满足“每项等于前两项之和”，项增长极快，必须只跟踪余数。

关键切入点：关键在于把模 $6$ 拆成模 $2$ 与模 $3$ 两条独立的余数链分别找周期，再合并。模 $2$ 链是 $1,1,0$ 循环（周期 $3$），$300$ 是 $3$ 的倍数，故第 $300$ 项是偶数；模 $3$ 链是 $1,0,1,1,2,0,2,2$ 循环（周期 $8$），$300\div8$ 余 $4$，对应余数 $1$。除以 $2$ 余 $0$ 且除以 $3$ 余 $1$ 的数，除以 $6$ 只能余 $4$。第 (2) 问同理：先定位第 $300$ 组的首项在原数列中的位置，再用余数链的周期求整组和的余数。

方法概述：拆成模 $2$、模 $3$ 两条余数链找周期后合并到模 $6$；分组时先定位组首项的序号。

规范步骤：

模 $2$ 链：$1,1,0,1,1,0,\cdots$ 周期 $3$；$300\div3$ 整除，故第 $300$ 项除以 $2$ 余 $0$（逐项取余）
模 $3$ 链：$1,0,1,1,2,0,2,2$ 周期 $8$；$300\div8=37\cdots\cdots4$，对应第 $4$ 位余 $1$（逐项取余）
合并到模 $6$：除以 $2$ 余 $0$、除以 $3$ 余 $1$ $\Rightarrow$ 除以 $6$ 余 $4$（在 $0\sim5$ 中只有 $4$ 满足）
第 (2) 问定位组首项：前 $299$ 组共 $\dfrac{(1+299)\times299}{2}=44850$ 项，故第 $300$ 组从第 $44851$ 项开始（等差数列求和）
组内 $300$ 项之和取余：模 $2$ 下每连续 $3$ 项之和为偶数，$300$ 是 $3$ 的倍数，故组和是偶数；模 $3$ 下组和余 $1$（周期分组）
合并：组和除以 $2$ 余 $0$、除以 $3$ 余 $1$，故除以 $6$ 余 $4$

第一套

题目：数列 $1,3,4,7,11,18,29,47,\cdots$（从第三项起每项等于前两项之和）。求第 $600$ 个数被 $6$ 除的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆模）：“除以 $6$ 的余数”由“除以 $2$ 的余数”和“除以 $3$ 的余数”共同决定。
第 2 步（模 $2$ 链）：余数依次是 $1,1,0$ 循环，周期为 $\underline{\quad}$；$600-200\times3=\underline{\quad}$，恰好整除，说明第 $600$ 项对应周期的最后一位，余数为 $0$。
第 3 步（模 $3$ 链）：余数依次是 $1,0,1,1,2,0,2,2$ 循环，周期为 $\underline{\quad}$；$600-75\times8=\underline{\quad}$，恰好整除，对应周期第 $8$ 位，余数为 $2$。
第 4 步（合并）：一个数除以 $2$ 余 $0$、除以 $3$ 余 $2$，在 $0\sim5$ 中逐个检验，只有 $\underline{\quad}$ 同时满足。

第二套

题目：某仓库第 $1$ 天存入 $1$ 箱，第 $2$ 天存入 $3$ 箱，以后每天存入的箱数都等于前两天存入箱数之和。若第 $600$ 天存入的箱子每 $6$ 箱装一车，求最后剩下几箱。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：剩下的箱数就是第 $600$ 项除以 $6$ 的余数，可拆成除以 $2$、除以 $3$ 两个条件。
第 2 步：模 $2$ 余数链 $1,1,0$ 循环，周期 $\underline{\quad}$；$600-200\times3=\underline{\quad}$，故除以 $2$ 余 $0$。
第 3 步：模 $3$ 余数链 $1,0,1,1,2,0,2,2$ 循环，周期 $\underline{\quad}$；$600-75\times8=\underline{\quad}$，故除以 $3$ 余 $2$。
第 4 步：同时满足“除以 $2$ 余 $0$、除以 $3$ 余 $2$”的余数是 $\underline{\quad}$（箱）。

第三套

题目：数列 $1,3,4,7,11,18,29,47,\cdots$（从第三项起每项等于前两项之和）。求第 $300$ 个数被 $4$ 除的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（直接对 $4$ 取余）：逐项取余得 $1,3,0,3,3,2$，接着又是 $1,3,\cdots$，所以周期为 $\underline{\quad}$。
第 2 步（定位）：$300\div6$ 恰好整除，商是 $\underline{\quad}$，余数为 $0$，说明第 $300$ 项对应周期的最后一位，即第 $6$ 位。
第 3 步（读出答案）：周期表第 $6$ 位的余数是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列 $1,3,4,7,11,18,29,47,\cdots$（从第三项起每项等于前两项之和）。求第 $300$ 个数被 $12$ 除的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆模）：$12=4\times3$ 且 $4$ 与 $3$ 互质，所以要分别求除以 $4$ 和除以 $3$ 的余数。
第 2 步（模 $4$ 链）：余数为 $1,3,0,3,3,2$ 循环，周期 $\underline{\quad}$；$300\div6$ 整除，对应第 $6$ 位，除以 $4$ 余 $\underline{\quad}$。
第 3 步（模 $3$ 链）：余数为 $1,0,1,1,2,0,2,2$ 循环，周期 $8$；$300-37\times8=\underline{\quad}$，对应第 $4$ 位，除以 $3$ 余 $\underline{\quad}$。
第 4 步（合并到模 $12$）：在 $0\sim11$ 中找除以 $4$ 余 $2$、除以 $3$ 余 $1$ 的数：$10\div4$ 余 $2$、$10\div3$ 余 $1$，所以答案是 $\underline{\quad}$。

4. 【原题 ch13-chaoyue-04】如图 13-6 所示的数阵中，从第 $2$ 行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们的和。请问：第 $999$ 行各数之和被 $7$ 除所得的余数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数阵递推 + 余数周期」类：第 $k+1$ 行由第 $k$ 行抄一遍、再在每相邻两数之间插入它们的和构成，直接写第 $999$ 行不可能，要先找行和的递推式。

关键切入点：关键在于数清每个数被算了几遍：抄下来的部分和还是 $S_k$；新插入的数中，除了最两端的数各只参与一次外，中间每个数都参与两次，所以插入部分之和是 $2S_k-2$（两端各少算一次，题中两端的数都是 $1$）。于是 $S_{k+1}=3S_k-2$。再对 $7$ 取余：$2,4,3,0,5,6$ 之后又回到 $2$，周期是 $6$，$999\div6$ 余 $3$。

方法概述：建立行和递推式 $S_{k+1}=3S_k-2$，对 $7$ 取余找周期后定位。

规范步骤：

分析插入项之和：插入部分 $=2S_k-2$（中间数各算两遍，两端各算一遍）
得递推式：$S_{k+1}=S_k+(2S_k-2)=3S_k-2$（抄写部分 $+$ 插入部分）
对 $7$ 取余逐行推：$2,4,3,0,5,6,2,4,\cdots$（先取余再递推）
找周期：周期为 $6$（第 $7$ 行余数又是 $2$）
定位：$999\div6=166\cdots\cdots3$，与第 $3$ 行同余，余数为 $3$

5. 【原题 ch13-chaoyue-05】有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上 $1$；第二次再将两个半圆周分别分成两个 $\frac{1}{4}$ 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 $\frac{1}{2}$；第三次再将四个 $\frac{1}{4}$ 圆周分别分成两个 $\frac{1}{8}$ 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 $\frac{1}{3}$；第四次再将八个 $\frac{1}{8}$ 圆周分别分成两个 $\frac{1}{16}$ 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 $\frac{1}{4}$；$\cdots\cdots$ 如此进行了 $100$ 次。请问：最后圆周上的所有数之和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「递推求和 + 连乘约分」类：每次操作都在相邻两数之间插入新数，要先找出每次操作后总和的变化规律。

关键切入点：关键在于算清第 $k+1$ 次新增部分之和。第 $k$ 次后圆周上有 $2^k$ 个数、也就是 $2^k$ 段弧，每段弧的两端各插入一个“相邻两数之和的 $\frac{1}{k+1}$”。所有弧两端数之和加起来，每个数恰好被它左右两段弧各算一次，共 $2S_k$，所以新增之和为 $\frac{2}{k+1}S_k$，得 $S_{k+1}=S_k\times\frac{k+3}{k+1}$。连乘时分子分母交错相消，只剩最后两项与最前两项。

方法概述：建立递推 $S_{k+1}=S_k\times\frac{k+3}{k+1}$，连乘后约分相消。

规范步骤：

首项：$S_1=1+1=2$（两个分点各标 $1$）
求新增部分：新增 $=\dfrac{2}{k+1}S_k$（每个数被左右两段弧各算一次）
得递推式：$S_{k+1}=S_k\left(1+\dfrac{2}{k+1}\right)=S_k\times\dfrac{k+3}{k+1}$（合并）
连乘并相消：$S_{100}=2\times\dfrac{4}{2}\times\dfrac{5}{3}\times\cdots\times\dfrac{102}{100}=2\times\dfrac{101\times102}{2\times3}$（分子分母错位相消）
算出结果：$2\times\dfrac{10302}{6}=3434$

第一套

题目：有一个圆，第一次用直径把圆周分成两段，两个分点各标 $1$；第 $k$ 次（$k\ge2$）把每段弧再平分，在新分点上标相邻两数之和的 $\frac{1}{k}$。这样进行了 $200$ 次，求最后圆周上所有数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首项）：$S_1=1+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（递推式）：新增部分之和是 $\dfrac{2}{k+1}S_k$，所以 $S_{k+1}=S_k\times\dfrac{k+1+2}{k+1}$，即乘 $\dfrac{k+3}{k+1}$。
第 3 步（连乘相消）：$S_{200}=2\times\dfrac{4}{2}\times\dfrac{5}{3}\times\cdots\times\dfrac{202}{200}$，分子只剩最后两个 $201$、$202$，分母只剩最前两个 $2$、$3$，即 $S_{200}=2\times\dfrac{201\times202}{2\times3}$。$201\times202=\underline{\quad}$。
第 4 步（算出结果）：$S_{200}=\dfrac{2\times40602}{6}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一个圆形跑道上先设两个补给点，各存 $1$ 份物资；第 $k$ 次（$k\ge2$）在每两个相邻补给点之间新设一个补给点，存放相邻两点物资之和的 $\frac{1}{k}$ 份。这样进行了 $200$ 次，求跑道上物资总份数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$S_1=1+1=\underline{\quad}$（份）。
第 2 步：每次新增 $\dfrac{2}{k+1}S_k$，故 $S_{k+1}=S_k\times\dfrac{k+3}{k+1}$。
第 3 步：连乘相消后 $S_{200}=2\times\dfrac{201\times202}{2\times3}$，其中 $201\times202=\underline{\quad}$。
第 4 步：$S_{200}=\underline{\quad}$（份）。

第三套

题目：有一个圆，第一次用直径把圆周分成两段，两个分点上都标 $2$；以后第 $k$ 次把每段弧再平分，在新分点上标相邻两数之和的 $\frac{1}{k}$。这样进行了 $100$ 次，求圆周上所有数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首项变了）：$S_1=2+2=\underline{\quad}$。
第 2 步（递推式不变）：$S_{k+1}=S_k\times\dfrac{k+3}{k+1}$，与初始标数无关。
第 3 步（连乘相消）：$S_{100}=4\times\dfrac{4}{2}\times\dfrac{5}{3}\times\cdots\times\dfrac{102}{100}=4\times\dfrac{101\times102}{2\times3}$，其中 $101\times102=\underline{\quad}$。
第 4 步（结果）：$S_{100}=\dfrac{4\times10302}{6}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一个圆，第一次用直径把圆周分成两段，两分点各标 $1$；以后第 $k$ 次在每段弧的新分点上标相邻两数之和的 $\frac{1}{k}$。进行 $100$ 次后，求圆周上所有数之和除以 $7$ 的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求总和）：$S_1=\underline{\quad}$，$S_{k+1}=S_k\times\dfrac{k+3}{k+1}$，连乘相消得 $S_{100}=2\times\dfrac{101\times102}{2\times3}$。
第 2 步（算出总和）：$101\times102=\underline{\quad}$，$S_{100}=\dfrac{2\times10302}{6}=\underline{\quad}$。
第 3 步（带余除法）：$3434\div7$ 的整数商是 $490$，余数 $=3434-490\times7=\underline{\quad}$。

6. 【原题 ch13-chaoyue-06】将非零自然数按照图 13-7 中的规律不断写出，发现有些数被写出多次，还有些数永远不会出现。请问：$99$ 在数表中共出现过几次？最后一次位于哪里？最小的永不出现的数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数表规律 + 三角形数 + 不等式求范围」类：数表每一行都是从该行首数起连续写 $99$ 个自然数，所以整行由首数决定。

关键切入点：关键在于先求出每行首数的通项 $a_n=1+\frac{n(n-1)}{2}$（三角形数加 $1$）。$99$ 出现在第 $n$ 行，当且仅当 $a_n\le99\le a_n+98$，解得 $1\le n\le14$，即出现 $14$ 次；第 $14$ 行首数为 $1+\frac{14\times13}{2}=92$，故 $99$ 是该行第 $99-92+1=8$ 个。永不出现的数落在相邻两行的“缺口”里，要求 $a_n+98+2\le a_{n+1}$，解得 $n\ge100$，缺口中最小的数是 $a_{100}+99=1+\frac{100\times99}{2}+99$ 的下一个位置，即 $5050$。

方法概述：求出每行首数通项，用不等式定出现范围与位置，再分析行间缺口。

规范步骤：

求首数通项：$a_n=1+\dfrac{n(n-1)}{2}$（每行比上一行多写一个数）
列不等式：$1+\dfrac{n(n-1)}{2}\le99\le99+\dfrac{n(n-1)}{2}$，得 $1\le n\le14$（$99$ 须落在该行范围内）
算出现次数：共出现 $14$ 次
定最后位置：第 $14$ 行首数 $=1+\dfrac{14\times13}{2}=92$，$99$ 是第 $99-92+1=8$ 个（第 $14$ 行第 $8$ 列）
求最小缺失数：由 $99+\dfrac{n(n-1)}{2}+2\le1+\dfrac{n(n+1)}{2}$ 得 $n\ge100$，最小缺失数为 $\dfrac{100\times101}{2}=5050$（行间缺口）

7. 【原题 ch13-chaoyue-07】请写出 $5$ 个不同的最简分数，分子都是 $2$，而且这 $5$ 个分数组成一个等差数列。

详细思路

是哪类问题：这是「构造题」类：要自己造出 $5$ 个分子都是 $2$ 的最简分数，并且它们成等差数列。

关键切入点：关键在于反着想：分子都是 $2$ 的分数不好直接排等差，但如果先把它们写成同分母的 $\frac{2}{n},\frac{6}{n},\frac{10}{n},\frac{14}{n},\frac{18}{n}$（公差 $\frac{4}{n}$），它们天然成等差；再要求约分后分子都变成 $2$，就需要 $6,10,14,18$ 分别约去 $3,5,7,9$，即 $n$ 必须同时是 $1,3,5,7,9$ 的倍数，取最小公倍数 $n=315$ 即可。

方法概述：先构造同分母的等差分子列，再取 $n$ 为各约分倍数的最小公倍数。

规范步骤：

设公共分母：取首项 $\dfrac{2}{n}$、公差 $\dfrac{4}{n}$，五项为 $\dfrac{2}{n},\dfrac{6}{n},\dfrac{10}{n},\dfrac{14}{n},\dfrac{18}{n}$（同分母时等差最容易构造）
分析约分要求：要让分子都化成 $2$，需分别约去 $1,3,5,7,9$（$6=2\times3$，$10=2\times5$，$\cdots$）
取最小公倍数：$n=[1,3,5,7,9]=315$（同时被 $3,5,7,9$ 整除）
写出五个分数：$\dfrac{2}{315},\dfrac{2}{105},\dfrac{2}{63},\dfrac{2}{45},\dfrac{2}{35}$（$315\div3=105$ 等）
验算等差：公差为 $\dfrac{4}{315}$

8. 【原题 ch13-chaoyue-08】规定运算“$\Omega$”对任意的 $x,y,z$ 都满足 $x\Omega x=5$，$x\Omega(y\Omega z)=(x\Omega y)+z-5$。试求 $2009\Omega 1949$。

详细思路

是哪类问题：这是「定义新运算 + 恒等式代入构造」类：只知道 $x\Omega x=5$ 和 $x\Omega(y\Omega z)=(x\Omega y)+z-5$，要求 $2009\Omega1949$。

关键切入点：关键在于制造 $y\Omega y$ 的形式：把 $1949$ 写成 $1949\Omega1949=5$ 是不行的方向，正确做法是反用第二个式子——令 $y=z=1949$，得 $2009\Omega(1949\Omega1949)=(2009\Omega1949)+1949-5$，左边 $=2009\Omega5$；再令 $y=z=2009$，得 $2009\Omega(2009\Omega2009)=2009\Omega5=(2009\Omega2009)+2009-5=2009$。两式串起来即得答案。

方法概述：反用恒等式把括号凑成 $y\Omega y$，两次代入串联求解。

规范步骤：

第一次代入 $y=z=1949$：$2009\Omega(1949\Omega1949)=(2009\Omega1949)+1949-5$（恒等式②）
化简左边：$1949\Omega1949=5$，左边 $=2009\Omega5$（恒等式①）
第二次代入 $y=z=2009$：$2009\Omega5=2009\Omega(2009\Omega2009)=(2009\Omega2009)+2009-5=5+2009-5=2009$（恒等式①②）
回代求解：$2009=(2009\Omega1949)+1949-5$（两式左边相同）
算出答案：$2009\Omega1949=2009+5-1949=65$

第一套

题目：规定运算“$\Omega$”对任意的 $x,y,z$ 都满足 $x\Omega x=5$，$x\Omega(y\Omega z)=(x\Omega y)+z-5$。求 $2025\Omega1888$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把括号凑成 $y\Omega y$）：令 $y=z=1888$，得 $2025\Omega(1888\Omega1888)=(2025\Omega1888)+1888-5$。因为 $1888\Omega1888=\underline{\quad}$，所以左边就是 $2025\Omega5$。
第 2 步（再凑一次求出 $2025\Omega5$）：令 $y=z=2025$，得 $2025\Omega(2025\Omega2025)=2025\Omega5=(2025\Omega2025)+2025-5=5+2025-5=\underline{\quad}$。
第 3 步（两式串联）：$2025=(2025\Omega1888)+1888-5$。
第 4 步（逆推）：$2025\Omega1888=2025+5-1888=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某密码系统的合成规则“$\Omega$”满足：同一密钥自合成结果恒为 $5$，即 $x\Omega x=5$；且 $x\Omega(y\Omega z)=(x\Omega y)+z-5$。求密钥 $2025$ 与 $1888$ 合成的结果 $2025\Omega1888$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：令 $y=z=1888$，因为 $1888\Omega1888=\underline{\quad}$，所以 $2025\Omega5=(2025\Omega1888)+1888-5$。
第 2 步：令 $y=z=2025$，得 $2025\Omega5=(2025\Omega2025)+2025-5=\underline{\quad}$。
第 3 步：逆推得 $2025\Omega1888=2025+5-1888=\underline{\quad}$。

第三套

题目：规定运算“$\Omega$”对任意的 $x,y,z$ 都满足 $x\Omega x=7$，$x\Omega(y\Omega z)=(x\Omega y)+z-7$。求 $2020\Omega1975$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（凑 $y\Omega y$）：令 $y=z=1975$，因 $1975\Omega1975=\underline{\quad}$，得 $2020\Omega7=(2020\Omega1975)+1975-7$。
第 2 步（求 $2020\Omega7$）：令 $y=z=2020$，得 $2020\Omega7=(2020\Omega2020)+2020-7=7+2020-7=\underline{\quad}$。
第 3 步（逆推）：$2020\Omega1975=2020+7-1975=\underline{\quad}$。

第三套

题目：规定运算“$\Omega$”对任意的 $x,y,z$ 都满足 $x\Omega x=5$，$x\Omega(y\Omega z)=(x\Omega y)+z-5$。已知 $x\Omega1949=100$，求 $x$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先找出通用规律）：按原题的两次代入法可证，对任意 $a$、$b$ 都有 $a\Omega b=a+5-b$。用它验算原题：$2009\Omega1949=2009+5-1949=\underline{\quad}$，与已知答案一致。
第 2 步（代入本题）：$x\Omega1949=x+5-1949=x-\underline{\quad}$。
第 3 步（列方程逆推）：$x-1944=100$，所以 $x=100+1944=\underline{\quad}$。
第 4 步（检验）：$2044\Omega1949=2044+5-1949=\underline{\quad}$，符合题意。

9. 【原题 ch13-tuozhan-01】如图 13-2，有一个边长为 $81$ 厘米的等边三角形，将它每条边都三等分，以中间那一份为边向外作等边三角形，得到图 13-3。由图 13-3 通过同样方法又得到图 13-4。如果再由图 13-4 通过同样方法得到一个新的图形，试问：这个新的图形的周长是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「图形变化规律 + 分数连乘」类：每操作一次，每条边被三等分，中间那份被两条等长的边替换。

关键切入点：关键在于算清一次操作后周长的变化倍数：一条长为 $s$ 的边，操作后由 $4$ 段长为 $\frac{s}{3}$ 的线段组成，长度变成 $\frac{4}{3}s$。每条边都如此，所以整个图形的周长每次都乘 $\frac{4}{3}$。做 $3$ 次就乘 $3$ 个 $\frac{4}{3}$。

方法概述：找出每次操作周长乘 $\frac{4}{3}$ 的规律，从原周长连乘三次。

规范步骤：

求原三角形周长：$81\times3=243$（厘米）（等边三角形周长）
找变化倍数：每条边由 $1$ 份变成 $4$ 份、每份是原来的 $\frac{1}{3}$，周长乘 $\frac{4}{3}$（边被三等分后中间一份换成两条边）
连乘三次：$243\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{3}=576$（分数连乘）
写出答案：$576$ 厘米

第一套

题目：有一个边长为 $243$ 厘米的等边三角形，把每条边三等分，以中间那一份为边向外作等边三角形，得到一个新图形；对新图形再作同样的操作。这样一共操作 $4$ 次，求最后所得图形的周长。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（原周长）：等边三角形周长 $=243\times3=\underline{\quad}$（厘米）。
第 2 步（找倍数）：每条边操作后由 $\underline{\quad}$ 段长为原来 $\frac{1}{3}$ 的线段组成，所以周长每次乘 $\frac{4}{3}$。
第 3 步（连乘 $4$ 次）：$729\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{3}=\underline{\quad}$（厘米）。

第二套

题目：一块边长 $243$ 米的等边三角形花坛要装饰围栏。每次改造都把每条边三等分、以中间一份为边向外扩出一个等边三角形（原中间那段拆除）。改造 $4$ 次后，围栏总长是多少米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：原围栏长 $=243\times3=\underline{\quad}$（米）。
第 2 步：每条边改造后变成 $\underline{\quad}$ 段、每段是原来的 $\frac{1}{3}$，所以围栏每次乘 $\frac{4}{3}$。
第 3 步：改造 $4$ 次后 $=729\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{3}=\underline{\quad}$（米）。

第三套

题目：有一个边长为 $81$ 厘米的正方形，把每条边三等分，以中间那一份为边向外作正方形（原中间那段去掉）。这样操作 $3$ 次，求最后图形的周长。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（原周长）：正方形周长 $=81\times4=\underline{\quad}$（厘米）。
第 2 步（重新算倍数——本题的关键）：一条边三等分后，中间一份换成向外正方形的另外 $3$ 条边，所以一条边由 $1$ 份变成 $2+3=\underline{\quad}$ 份，每份是原来的 $\frac{1}{3}$，周长每次乘 $\frac{5}{3}$。
第 3 步（连乘 $3$ 次）：$324\times\frac{5}{3}\times\frac{5}{3}\times\frac{5}{3}=\underline{\quad}$（厘米）。

第三套

题目：有一个边长为 $135$ 厘米的等边三角形，按“每条边三等分、以中间一份为边向外作等边三角形”的方法操作 $3$ 次。求最后图形的周长，以及它比原三角形的周长增加了多少厘米。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（原周长）：$135\times3=\underline{\quad}$（厘米）。
第 2 步（逐次记录）：每次乘 $\frac{4}{3}$，第 $1$ 次后 $405\times\frac{4}{3}=\underline{\quad}$，第 $2$ 次后 $540\times\frac{4}{3}=\underline{\quad}$，第 $3$ 次后 $720\times\frac{4}{3}=\underline{\quad}$（厘米）。
第 3 步（求增加量）：$960-405=\underline{\quad}$（厘米）。

10. 【原题 ch13-tuozhan-02】计算：（1）$1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7$；（2）$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^5}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{3^7}$。

详细思路

是哪类问题：这是「等比数列求和公式」类：两小题分别是公比大于 $1$ 和公比小于 $1$ 的等比数列，都可用错位相减导出的求和公式。

关键切入点：关键在于公比小于 $1$ 时公式的写法：第 (1) 题公比 $2$，$S=\frac{2^8-1}{2-1}$；第 (2) 题公比 $\frac{1}{3}$，同乘 $3$ 错位相减后得 $(3-1)S=3-\frac{1}{3^7}$，也就是 $S=\frac{1-\frac{1}{3^8}}{1-\frac{1}{3}}$，两种写法本质相同，都是“(最大项的下一项 $-$ 最小项) $\div$ (公比 $-1$)”。

方法概述：套用等比数列求和公式，注意公比小于 $1$ 时分子分母的写法。

规范步骤：

第 (1) 题公比为 $2$，共 $8$ 项：$1+2+\cdots+2^7=\dfrac{2^8-1}{2-1}=255$（等比求和公式）
第 (2) 题公比为 $\frac{1}{3}$：$S=1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^7}$，$3S=3+1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^6}$（同乘公比的倒数造错位）
错位相减：$2S=3-\dfrac{1}{3^7}=\dfrac{6560}{2187}$（中间项抵消）
求出 $S$：$S=\dfrac{3280}{2187}=1\frac{1093}{2187}$（两边除以 $2$）
写出答案：$（1）255；（2）1\frac{1093}{2187}$

第一套

题目：计算：（1）$1+2+2^2+2^3+\cdots+2^9+2^{10}$；（2）$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^8}+\frac{1}{3^9}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 题）：公比是 $2$，最大项的下一项是 $2^{11}=\underline{\quad}$，所以和 $=\dfrac{2048-1}{2-1}=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (2) 题造错位）：设 $S=1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^9}$，两边同乘 $3$ 得 $3S=3+1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^8}$。
第 3 步（错位相减）：$3S-S=3-\dfrac{1}{3^9}$，通分后分子为 $3\times19683-1=\underline{\quad}$，即 $2S=\dfrac{59048}{19683}$。
第 4 步（求 $S$）：$S=\dfrac{\underline{\quad}}{19683}$，化成带分数是 $1\frac{9841}{19683}$（因为 $29524-19683=\underline{\quad}$）。

第二套

题目：（1）一张纸对折，每折一次层数翻倍，第 $1$ 到第 $11$ 次的层数依次是 $1,2,2^2,\cdots,2^{10}$，求层数总和；（2）一根绳先取 $1$ 米，再依次取前一次的 $\frac{1}{3}$，取到 $\frac{1}{3^9}$ 米为止，求取出的总长度。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：层数和的公比是 $2$，最大项的下一项是 $\underline{\quad}$，总和 $=\dfrac{2048-1}{2-1}=\underline{\quad}$（层）。
第 2 步：设总长 $S=1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^9}$，同乘 $3$ 后错位相减得 $2S=3-\dfrac{1}{3^9}$，通分分子 $3\times19683-1=\underline{\quad}$。
第 3 步：$S=\dfrac{\underline{\quad}}{19683}$，即 $1\frac{9841}{19683}$ 米（因 $29524-19683=\underline{\quad}$）。

第三套

题目：计算：$1+5+5^2+5^3+5^4+5^5$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（辨认公比与项数）：公比是 $5$，共 $6$ 项，最大项的下一项是 $5^6=\underline{\quad}$。
第 2 步（套公式）：和 $=\dfrac{15625-1}{5-1}=\dfrac{\underline{\quad}}{4}$。
第 3 步（算出结果）：$=\underline{\quad}$。

第三套

题目：计算：$(1+2+2^2+\cdots+2^{10})-(1+3+3^2+\cdots+3^6)$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（前一个和）：公比 $2$，最大项的下一项是 $\underline{\quad}$，和 $=\dfrac{2048-1}{2-1}=\underline{\quad}$。
第 2 步（后一个和）：公比 $3$，最大项的下一项是 $3^7=\underline{\quad}$，和 $=\dfrac{2187-1}{3-1}=\underline{\quad}$。
第 3 步（作差）：$2047-1093=\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch13-tuozhan-03】某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的 $1.5$ 倍，且每天都生产整数个乒乓球。请问：第一周的总产量至少是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「等比数列求和 + 整除条件求最小值」类：公比是 $1.5=\frac{3}{2}$，要求每天产量都是整数，于是首项必须能被 $2$ 反复整除。

关键切入点：关键在于把“每天都是整数”翻译成对首项的整除要求：第 $7$ 天产量是第 $1$ 天的 $\left(\frac{3}{2}\right)^6=\frac{3^6}{2^6}$ 倍，要让它是整数，首项至少要含因数 $2^6=64$。取首项 $64$ 时总产量最小，各天依次为 $64,96,144,216,324,486,729$。

方法概述：由整除条件定出首项最小值 $2^6$，再把七天产量相加。

规范步骤：

写出倍数关系：第 $7$ 天 $=$ 第 $1$ 天 $\times\dfrac{3^6}{2^6}$（公比 $\frac{3}{2}$ 连乘 $6$ 次）
由整数条件定首项：首项最少为 $2^6=64$（$3^6$ 与 $2^6$ 互质，须由首项提供因数 $2^6$）
列出七天产量：$64,96,144,216,324,486,729$（每天乘 $\frac{3}{2}$）
求和：$64+96+144+216+324+486+729=2059$（逐项相加）
写出答案：$2059$ 个

第一套

题目：某工厂生产一种乒乓球，第一天生产若干个，以后每天的产量恰好是前一天的 $1.5$ 倍，且每天的产量都是整数个。请问：前 $8$ 天的总产量至少是多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把整数条件翻译成整除要求）：第 $8$ 天的产量是第 $1$ 天的 $\left(\frac{3}{2}\right)^7=\dfrac{3^7}{2^7}$ 倍，$3^7$ 与 $2^7$ 互质，所以第 $1$ 天的产量至少是 $2^7=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步（逐天算产量）：$128,192,288,432,648,972,1458$，最后一天 $1458\times1.5=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（求和）：$128+192+288+432+648+972+1458+2187=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：某培训班第一周招了若干名学员，以后每周的新招人数恰好是前一周的 $1.5$ 倍，且每周新招人数都是整数。请问：前 $8$ 周新招学员总数最少是多少人？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：第 $8$ 周人数是第 $1$ 周的 $\dfrac{3^7}{2^7}$ 倍，所以第 $1$ 周至少 $2^7=\underline{\quad}$（人）。
第 2 步：各周依次为 $128,192,288,432,648,972,1458$，第 $8$ 周为 $1458\times1.5=\underline{\quad}$（人）。
第 3 步：总数 $=128+192+288+432+648+972+1458+2187=\underline{\quad}$（人）。

第三套

题目：某车间第一天加工若干个零件，以后每天的产量恰好是前一天的 $\frac{4}{3}$ 倍，且每天产量都是整数。请问：前 $6$ 天的总产量至少是多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整除要求）：第 $6$ 天是第 $1$ 天的 $\left(\frac{4}{3}\right)^5=\dfrac{4^5}{3^5}$ 倍，所以第 $1$ 天的产量至少是 $3^5=\underline{\quad}$（个）。
第 2 步（逐天算）：$243\times\frac{4}{3}=\underline{\quad}$，接着是 $432,576,768$，第 $6$ 天为 $768\times\frac{4}{3}=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（求和）：$243+324+432+576+768+1024=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：某工厂生产乒乓球，第一天生产若干个，以后每天产量恰好是前一天的 $1.5$ 倍，且每天产量都是整数。求前 $8$ 天的最少总产量，并求这个总产量除以 $7$ 的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定首项）：第 $8$ 天是第 $1$ 天的 $\dfrac{3^7}{2^7}$ 倍，首项至少为 $2^7=\underline{\quad}$。
第 2 步（求总产量）：$128+192+288+432+648+972+1458+2187=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（带余除法）：$6305\div7$ 的整数商是 $900$，余数 $=6305-900\times7=\underline{\quad}$。

12. 【原题 ch13-tuozhan-04】计算：$41\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}+52\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}+63\frac{3}{5}\times\frac{5}{6}$。

详细思路

是哪类问题：这是「带分数化假分数后约分」类：三项都是“带分数 $\times$ 真分数”，直接通分很繁，化成假分数后分子分母恰好能约掉。

关键切入点：关键在于观察带分数的分母与后面所乘分数的分子是否相同：$41\frac{1}{3}=\frac{124}{3}$ 与 $\frac{3}{4}$ 相乘，分母的 $3$ 与分子的 $3$ 直接约掉，只剩 $\frac{124}{4}=31$；后两项同理，每一项都约成整数，最后只需做整数加法。

方法概述：先把带分数化成假分数，交叉约分成整数，再相加。

规范步骤：

第一项化假分数并约分：$41\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{124}{3}\times\frac{3}{4}=31$（带分数化假分数后约分）
第二项：$52\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}=\frac{105}{2}\times\frac{4}{5}=42$（同法）
第三项：$63\frac{3}{5}\times\frac{5}{6}=\frac{318}{5}\times\frac{5}{6}=53$（同法）
相加：$31+42+53=126$（整数加法）
写出答案：$126$

第一套

题目：计算：$81\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}+92\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}+105\frac{3}{5}\times\frac{5}{6}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一项）：$81\frac{1}{3}=\dfrac{\underline{\quad}}{3}$，乘 $\frac{3}{4}$ 时约去 $3$，得 $\dfrac{244}{4}=\underline{\quad}$。
第 2 步（第二项）：$92\frac{1}{2}=\dfrac{\underline{\quad}}{2}$，乘 $\frac{4}{5}$ 时约去 $2$ 和 $5$，得 $\underline{\quad}$。
第 3 步（第三项）：$105\frac{3}{5}=\dfrac{\underline{\quad}}{5}$，乘 $\frac{5}{6}$ 时约去 $5$，得 $\dfrac{528}{6}=\underline{\quad}$。
第 4 步（相加）：$61+74+88=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三块试验田的面积（公顷）分别是 $81\frac{1}{3}$、$92\frac{1}{2}$、$105\frac{3}{5}$，它们的播种率依次是 $\frac{3}{4}$、$\frac{4}{5}$、$\frac{5}{6}$。求三块地播种面积的总和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：第一块 $\dfrac{\underline{\quad}}{3}\times\frac{3}{4}=\dfrac{244}{4}=\underline{\quad}$（公顷）。
第 2 步：第二块 $\dfrac{\underline{\quad}}{2}\times\frac{4}{5}=\underline{\quad}$（公顷）。
第 3 步：第三块 $\dfrac{\underline{\quad}}{5}\times\frac{5}{6}=\dfrac{528}{6}=\underline{\quad}$（公顷）。
第 4 步：合计 $=\underline{\quad}$（公顷）。

第三套

题目：计算：$41\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}+52\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}+63\frac{3}{5}\times\frac{5}{6}+74\frac{2}{5}\times\frac{5}{6}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：前三项与经典题相同，分别约成 $31$、$42$、$\underline{\quad}$。
第 2 步（新增的第四项）：$74\frac{2}{5}=\dfrac{\underline{\quad}}{5}$，乘 $\frac{5}{6}$ 时约去 $5$，得 $\dfrac{372}{6}=\underline{\quad}$。
第 3 步（相加）：$31+42+53+62=\underline{\quad}$。

第三套

题目：已知 $41\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}+52\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}+x\times\frac{5}{6}=150$，求 $x$（结果写成带分数）。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先算已知两项）：$41\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}=\underline{\quad}$，$52\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}=\underline{\quad}$。
第 2 步（求出第三项的值）：$x\times\frac{5}{6}=150-31-42=\underline{\quad}$。
第 3 步（除以分数即乘倒数）：$x=77\div\frac{5}{6}=77\times\frac{6}{5}=\underline{\quad}$（写成小数）。
第 4 步（化成带分数）：$92.4=92\frac{\underline{\quad}}{5}$。

13. 【原题 ch13-tuozhan-05】计算：$\dfrac{1\times 2\times 3+2\times 4\times 6+\cdots+100\times 200\times 300}{2\times 3\times 4+4\times 6\times 8+\cdots+200\times 300\times 400}$。

详细思路

是哪类问题：这是「提取公因数 + 整体约分」类：分子分母都是很长的连乘之和，直接算不可能，必须先看出每一项的内在结构。

关键切入点：关键在于发现分子第 $k$ 项是 $k\times2k\times3k=1\times2\times3\times k^3$，分母第 $k$ 项是 $2k\times3k\times4k=2\times3\times4\times k^3$。于是分子 $=1\times2\times3\times(1^3+2^3+\cdots+100^3)$，分母 $=2\times3\times4\times(1^3+2^3+\cdots+100^3)$，那个巨大的立方和作为公因数被整体约掉，根本不用求它。

方法概述：分子分母各项都提出立方因子，把相同的求和括号整体约去。

规范步骤：

看分子第 $k$ 项的结构：$k\times2k\times3k=1\times2\times3\times k^3$（提取立方因子）
看分母第 $k$ 项的结构：$2k\times3k\times4k=2\times3\times4\times k^3$（提取立方因子）
整体约去相同的括号：$原式=\dfrac{1\times2\times3}{2\times3\times4}$（分子分母同除以 $(1^3+2^3+\cdots+100^3)$）
约分：$\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}$（约去公因数 $6$）
写出答案：$\dfrac{1}{4}$

第一套

题目：计算：$\dfrac{1\times3\times5+2\times6\times10+\cdots+100\times300\times500}{3\times5\times7+6\times10\times14+\cdots+300\times500\times700}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看分子的通项）：第 $k$ 项是 $k\times3k\times5k=1\times3\times5\times k^3=\underline{\quad}\times k^3$。
第 2 步（看分母的通项）：第 $k$ 项是 $3k\times5k\times7k=3\times5\times7\times k^3=\underline{\quad}\times k^3$。
第 3 步（整体约去公共括号）：原式 $=\dfrac{15\times(1^3+2^3+\cdots+100^3)}{105\times(1^3+2^3+\cdots+100^3)}=\dfrac{15}{105}$。
第 4 步（约分）：分子分母同除以 $15$，得 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。

第二套

题目：甲厂 $100$ 批货物的体积依次是 $1\times3\times5,2\times6\times10,\cdots,100\times300\times500$（立方厘米），乙厂 $100$ 批货物的体积依次是 $3\times5\times7,6\times10\times14,\cdots,300\times500\times700$（立方厘米）。求甲厂总体积与乙厂总体积的比（最简分数）。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：甲厂第 $k$ 批 $=1\times3\times5\times k^3=\underline{\quad}\times k^3$。
第 2 步：乙厂第 $k$ 批 $=3\times5\times7\times k^3=\underline{\quad}\times k^3$。
第 3 步：两个总和都含公因式 $(1^3+2^3+\cdots+100^3)$，整体约去后比为 $\dfrac{15}{105}$，再同除以 $15$ 得 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。

第三套

题目：计算：$\dfrac{1\times2+2\times4+3\times6+\cdots+100\times200}{2\times3+4\times6+6\times9+\cdots+200\times300}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看分子通项）：第 $k$ 项是 $k\times2k=1\times2\times k^2=\underline{\quad}\times k^2$。
第 2 步（看分母通项）：第 $k$ 项是 $2k\times3k=2\times3\times k^2=\underline{\quad}\times k^2$。
第 3 步（整体约去 $(1^2+2^2+\cdots+100^2)$）：原式 $=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。

第三套

题目：计算：$\dfrac{1\times2\times3+2\times4\times6+\cdots+100\times200\times300}{2\times3\times4+4\times6\times8+\cdots+200\times300\times400}+\dfrac{1\times3\times5+2\times6\times10+\cdots+100\times300\times500}{3\times5\times7+6\times10\times14+\cdots+300\times500\times700}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一个分数）：分子分母通项分别是 $1\times2\times3\times k^3$、$2\times3\times4\times k^3$，整体约分得 $\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
第 2 步（第二个分数）：通项分别是 $1\times3\times5\times k^3$、$3\times5\times7\times k^3$，整体约分得 $\dfrac{15}{105}=\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
第 3 步（通分）：$4$ 与 $7$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$，$\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{28}$，$\dfrac{1}{7}=\dfrac{4}{28}$。
第 4 步（相加）：$\dfrac{7+4}{28}=\dfrac{\underline{\quad}}{28}$。

14. 【原题 ch13-tuozhan-06】计算：$9\frac{7}{8}\div\left(9\frac{7}{8}+\dfrac{1999^2-1999+1}{1999^2-1999\times 1998+1998^2}\right)$。

详细思路

是哪类问题：这是「代数式化简 + 繁分数化简」类：外层看似复杂，实则括号里那个吓人的大分数等于 $1$，先把它化掉，整题就变成了简单的分数除法。

关键切入点：关键在于用 $1999=1998+1$ 做代换：分母 $1999^2-1999\times1998+1998^2$ 中，把其中一个 $1999$ 写成 $1998+1$，得 $1999^2-(1998+1)\times1998+1998^2=1999^2-1998^2-1998+1998^2=1999^2-1998$，与分子 $1999^2-1999+1=1999^2-1998$ 完全相同，故该分数为 $1$。

方法概述：先用相邻数代换化简复杂分式得 $1$，再化简外层的分数除法。

规范步骤：

化简分子：$1999^2-1999+1=1999^2-1998$（$-1999+1=-1998$）
化简分母：$1999^2-(1998+1)\times1998+1998^2=1999^2-1998$（把一个 $1999$ 写成 $1998+1$ 后展开相消）
得出该分数：该分数 $=1$（分子分母相同）
化简外层：$9\frac{7}{8}\div\left(9\frac{7}{8}+1\right)=\frac{79}{8}\div\frac{87}{8}=\frac{79}{87}$（分数除法：除以一个数等于乘它的倒数）
写出答案：$\dfrac{79}{87}$

第一套

题目：计算：$12\frac{5}{6}\div\left(12\frac{5}{6}+\dfrac{2011^2-2011+1}{2011^2-2011\times2010+2010^2}\right)$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化简分子）：$2011^2-2011+1=2011^2-\underline{\quad}$。
第 2 步（化简分母）：把一个 $2011$ 写成 $2010+1$，得 $2011^2-(2010+1)\times2010+2010^2=2011^2-2010^2-2010+2010^2=2011^2-\underline{\quad}$，与分子相同，所以这个大分数等于 $\underline{\quad}$。
第 3 步（带分数化假分数）：$12\frac{5}{6}=\dfrac{\underline{\quad}}{6}$，括号内 $=\dfrac{77}{6}+1=\dfrac{\underline{\quad}}{6}$。
第 4 步（分数除法）：$\dfrac{77}{6}\div\dfrac{83}{6}=\dfrac{77}{\underline{\quad}}$。

第二套

题目：一杯糖水中糖重 $12\frac{5}{6}$ 克，水重 $\dfrac{2011^2-2011+1}{2011^2-2011\times2010+2010^2}$ 克。求糖占糖水总重的几分之几。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：分子 $2011^2-2011+1=2011^2-\underline{\quad}$。
第 2 步：分母把一个 $2011$ 写成 $2010+1$ 后化简为 $2011^2-\underline{\quad}$，与分子相同，所以水重 $=\underline{\quad}$（克）。
第 3 步：$12\frac{5}{6}=\dfrac{\underline{\quad}}{6}$，糖水总重 $=\dfrac{77}{6}+1=\dfrac{\underline{\quad}}{6}$（克）。
第 4 步：糖占 $\dfrac{77}{6}\div\dfrac{83}{6}=\dfrac{77}{\underline{\quad}}$。

第三套

题目：计算：$\left(9\frac{7}{8}+\dfrac{1999^2-1999+1}{1999^2-1999\times1998+1998^2}\right)\div9\frac{7}{8}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化简大分数）：分子 $=1999^2-\underline{\quad}$；分母把一个 $1999$ 写成 $1998+1$ 后也化为 $1999^2-1998$，所以大分数 $=\underline{\quad}$。
第 2 步（算括号）：$9\frac{7}{8}=\dfrac{\underline{\quad}}{8}$，括号内 $=\dfrac{79}{8}+1=\dfrac{\underline{\quad}}{8}$。
第 3 步（这次是大除小）：$\dfrac{87}{8}\div\dfrac{79}{8}=\dfrac{87}{\underline{\quad}}$，化成带分数是 $1\frac{8}{79}$。

第三套

题目：设 $K=\dfrac{1999^2-1999+1}{1999^2-1999\times1998+1998^2}$。已知 $x\div(x+K)=\dfrac{4}{5}$，求 $x$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先化简 $K$）：分子 $=1999^2-\underline{\quad}$，分母把一个 $1999$ 写成 $1998+1$ 后同样化为 $1999^2-1998$，所以 $K=\underline{\quad}$。
第 2 步（代入化为方程）：$x\div(x+1)=\dfrac{4}{5}$，交叉相乘得 $5x=4\times(x+1)=4x+\underline{\quad}$。
第 3 步（逆推）：$5x-4x=4$，所以 $x=\underline{\quad}$。
第 4 步（检验）：$4\div(4+1)=\underline{\quad}$（写成小数），与 $\frac{4}{5}$ 相符。

15. 【原题 ch13-tuozhan-07】对于任意的两个自然数 $a$ 和 $b$，规定新运算“$\ominus$”为：$a\ominus b=a\times(a+1)\times(a+2)\times\cdots\times(a+b-1)$。如果 $(x\ominus 3)\ominus 3=15\,600$，求 $x$ 的值。

详细思路

是哪类问题：这是「定义新运算 + 逆推求解」类：$a\ominus b$ 表示从 $a$ 开始的 $b$ 个连续自然数的乘积，题目给出两层运算的结果，要一层一层往回推。

关键切入点：关键在于把 $15600$ 分解成三个连续自然数之积。因为 $24^3=13824$、$26^3=17576$，可估计中间那个数在 $25$ 附近，试得 $15600=24\times25\times26$，所以内层结果 $y=24$；再把 $24$ 分解成三个连续自然数之积 $2\times3\times4$，得 $x=2$。

方法概述：设内层结果为 $y$，把已知积分解成三个连续自然数之积，逐层逆推。

规范步骤：

记内层结果：设 $x\ominus3=y$，则 $y\ominus3=y\times(y+1)\times(y+2)=15600$（按定义展开）
分解 $15600$：$15600=24\times25\times26$，所以 $y=24$（估算立方根后试除）
再解内层：$x\ominus3=x(x+1)(x+2)=24=2\times3\times4$（同法分解）
得出答案：$x=2$

第一套

题目：规定新运算“$\ominus$”为：$a\ominus b=a\times(a+1)\times(a+2)\times\cdots\times(a+b-1)$。如果 $(x\ominus3)\ominus3=226\,920$，求 $x$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（设内层结果）：设 $x\ominus3=y$，按定义 $y\ominus3=y\times(y+1)\times(y+2)=226920$。
第 2 步（分解成三个连续自然数之积）：估算可知中间那个数在 $61$ 附近，验证 $60\times61\times62=\underline{\quad}$，所以 $y=\underline{\quad}$。
第 3 步（再解内层）：$x(x+1)(x+2)=60$，把 $60$ 分解成三个连续自然数之积 $3\times4\times\underline{\quad}=60$。
第 4 步（读出答案）：所以 $x=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某密码机规定：输入 $(a,b)$ 输出 $a\ominus b=a\times(a+1)\times\cdots\times(a+b-1)$。把某数 $x$ 与 $3$ 输入一次，再把输出结果与 $3$ 输入一次，最终显示 $226\,920$。求 $x$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：设第一次输出为 $y$，则 $y\times(y+1)\times(y+2)=226920$。
第 2 步：试算 $60\times61\times62=\underline{\quad}$，所以 $y=\underline{\quad}$。
第 3 步：由 $x(x+1)(x+2)=60$，把 $60$ 写成 $3\times4\times\underline{\quad}$。
第 4 步：所以 $x=\underline{\quad}$。

第三套

题目：规定新运算“$\ominus$”为：$a\ominus b=a\times(a+1)\times\cdots\times(a+b-1)$。如果 $(x\ominus2)\ominus2=3192$，求 $x$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看清 $b=2$ 时的含义）：$a\ominus2=a\times(a+1)$，即两个连续自然数之积。设 $x\ominus2=y$，则 $y\times(y+1)=3192$。
第 2 步（分解）：估算 $56\times57=\underline{\quad}$，所以 $y=\underline{\quad}$。
第 3 步（再解内层）：$x(x+1)=56=7\times\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。

第三套

题目：规定新运算“$\ominus$”为：$a\ominus b=a\times(a+1)\times\cdots\times(a+b-1)$。如果 $(x\ominus3)\ominus4=14\,295\,960$，求 $x$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（注意内外层项数不同）：外层 $b=4$，即四个连续自然数之积。设 $x\ominus3=y$，则 $y(y+1)(y+2)(y+3)=14295960$。
第 2 步（先分解成两两一组）：$14295960=(60\times63)\times(61\times62)=3780\times\underline{\quad}$，验证 $3780\times3782=\underline{\quad}$，所以 $y=\underline{\quad}$。
第 3 步（再解内层，$b=3$）：$x(x+1)(x+2)=60=3\times4\times\underline{\quad}$。
第 4 步（得出答案）：$x=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch13-tuozhan-08】定义新运算 $a\Omega b$ 为 $a$ 与 $b$ 之间（包含 $a$，$b$）所有与 $a$ 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：$7\Omega 14=(7+9+11+13)\div 4=10$，$18\Omega 10=(18+16+14+12+10)\div 5=14$。（1）计算：$10\Omega 19$；（2）在算式 $\square\Omega(19\Omega 99)=80$ 的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数是什么？

详细思路

是哪类问题：这是「定义新运算 + 等差数列平均数 + 奇偶讨论」类：$a\Omega b$ 是 $a$ 到 $b$ 之间与 $a$ 奇偶性相同的所有自然数的平均数。

关键切入点：关键在于看出这些数构成公差为 $2$ 的等差数列，而等差数列的平均数就等于首末两数的平均数，不必真去数有几项。第 (2) 问要反过来找方框：先算出 $19\Omega99=59$，再解 $\square\Omega59=80$；因为 $\square$ 的奇偶性未定，末项可能是 $59$（$\square$ 为奇数）也可能是 $60$（$\square$ 为偶数），必须分两种情况讨论，所以答案有两个。

方法概述：把新运算理解为“首末两数的平均”，反求时按奇偶分类讨论。

规范步骤：

第 (1) 题找首末项：从 $10$ 起与 $10$ 同奇偶且不超过 $19$ 的数是 $10,12,\cdots,18$（同奇偶即公差为 $2$）
用首末平均：$10\Omega19=\dfrac{10+18}{2}=14$（等差数列平均数 $=$ 首末平均）
第 (2) 题先算括号：$19\Omega99=\dfrac{19+99}{2}=59$（$19$ 与 $99$ 同为奇数）
分情况反求：$\square$ 为奇数：$\dfrac{\square+59}{2}=80$，$\square=101$（末项取 $59$）
另一种情况：$\square$ 为偶数：$\dfrac{\square+60}{2}=80$，$\square=100$（末项取 $60$）
写出答案：$101$ 或 $100$

第一套

题目：定义新运算 $a\Omega b$ 为 $a$ 与 $b$ 之间（包含 $a$、$b$）所有与 $a$ 奇偶性相同的自然数的平均数。（1）计算 $20\Omega37$；（2）在 $\square\Omega(29\Omega199)=150$ 中填入恰当的自然数使等式成立，求所填的数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找首末项）：与 $20$ 同奇偶且不超过 $37$ 的最大数是 $\underline{\quad}$，所以 $20\Omega37=\dfrac{20+36}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步（先算括号）：$29$ 与 $199$ 同为奇数，$29\Omega199=\dfrac{29+199}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步（奇数情形）：若 $\square$ 是奇数，从 $\square$ 往下数到不小于 $114$ 的最小奇数是 $115$，则 $\dfrac{\square+115}{2}=150$，$\square=\underline{\quad}$。
第 4 步（偶数情形）：若 $\square$ 是偶数，末项取 $114$，则 $\dfrac{\square+114}{2}=150$，$\square=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某电梯只在与起始楼层奇偶性相同的楼层停靠。记 $a\Omega b$ 为从 $a$ 层到 $b$ 层之间（含两端）所有停靠楼层号的平均数。（1）求 $20\Omega37$；（2）若 $\square\Omega(29\Omega199)=150$，求 $\square$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：与 $20$ 同奇偶且不超过 $37$ 的最大楼层是 $\underline{\quad}$ 层，故 $20\Omega37=\dfrac{20+36}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步：$29\Omega199=\dfrac{29+199}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：$\square$ 为奇数时末项是 $115$，$\dfrac{\square+115}{2}=150$，$\square=\underline{\quad}$。
第 4 步：$\square$ 为偶数时末项是 $114$，$\dfrac{\square+114}{2}=150$，$\square=\underline{\quad}$。

第三套

题目：定义 $a\Omega b$ 为 $a$ 与 $b$ 之间（含两端）所有与 $a$ 奇偶性相同的自然数的平均数。计算：（1）$15\Omega86$；（2）$88\Omega23$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 题向上数）：与 $15$ 同奇偶且不超过 $86$ 的最大数是 $\underline{\quad}$，所以 $15\Omega86=\dfrac{15+85}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (2) 题向下数）：与 $88$ 同奇偶且不小于 $23$ 的最小数是 $\underline{\quad}$，所以 $88\Omega23=\dfrac{88+24}{2}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：定义 $a\Omega b$ 为 $a$ 与 $b$ 之间（含两端）所有与 $a$ 奇偶性相同的自然数的平均数。计算：$(12\Omega99)\Omega(19\Omega99)$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（左括号，$12$ 是偶数）：与 $12$ 同奇偶且不超过 $99$ 的最大数是 $\underline{\quad}$，所以 $12\Omega99=\dfrac{12+98}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步（右括号，$19$ 是奇数）：$19\Omega99=\dfrac{19+99}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步（再算外层）：即求 $55\Omega59$，$55$ 是奇数，同奇偶的数是 $55,57,59$，平均数 $=\dfrac{55+59}{2}=\underline{\quad}$。

17. 【原题 ch13-tuozhan-09】$1$ 至 $2008$ 这 $2008$ 个自然数的所有数字之和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「按数位统计数字之和」类：一个一个加不现实，要按“个位、十位、百位、千位”分别统计每个数字出现了多少次。

关键切入点：关键在于补位凑整：把 $0\sim1999$ 都看成四位数（不足补 $0$，如 $7$ 记作 $0007$），这 $2000$ 个数中，个位上 $0\sim9$ 各出现 $200$ 次，十位、百位也一样，各贡献 $45\times200=9000$；千位只有 $0$（$1000$ 个）和 $1$（$1000$ 个），贡献 $1000$。剩下的 $2000\sim2008$ 单独补算。

方法概述：补位凑整为 $0\sim1999$，按数位统计后再补算尾段。

规范步骤：

统计个位：$(0+1+\cdots+9)\times200=45\times200=9000$（每个数字在个位出现 $200$ 次）
十位、百位同理：$9000\times3=27000$（三个数位对称）
统计千位：$(0+1)\times1000=1000$（只有 $0$ 与 $1$ 各 $1000$ 个）
小计：$27000+1000=28000$（$0\sim1999$ 的数字和）
补算尾段：$2000\sim2008$：$2\times9+(1+2+\cdots+8)=18+36=54$（千位 $9$ 个 $2$，个位 $0\sim8$）
合计：$28000+54=28054$

第一套

题目：$1$ 至 $3010$ 这 $3010$ 个自然数的所有数字之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（补位凑整）：先算 $0\sim2999$ 这 $3000$ 个数。把它们都看成四位数，个位上 $0\sim9$ 各出现 $\underline{\quad}$ 次，个位数字和 $=45\times300=\underline{\quad}$。
第 2 步（十位、百位同理）：三个数位共 $13500\times3=\underline{\quad}$。
第 3 步（千位）：千位只有 $0,1,2$ 各 $1000$ 个，数字和 $=(0+1+2)\times1000=\underline{\quad}$，所以 $0\sim2999$ 的数字和是 $40500+3000=\underline{\quad}$。
第 4 步（补算尾段）：$3000\sim3009$ 的千位共 $3\times10=30$，个位是 $0\sim9$ 共 $45$，合计 $\underline{\quad}$；再加上 $3010$ 的数字和 $3+0+1+0=\underline{\quad}$。
第 5 步（合计）：$43500+75+4=\underline{\quad}$。

第二套

题目：图书馆给编号 $1$ 到 $3010$ 的书各贴一枚标签，标签上印着该编号的所有数字。求所有标签上数字之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：先算编号 $0\sim2999$。个位上每个数字出现 $\underline{\quad}$ 次，个位和 $=45\times300=\underline{\quad}$。
第 2 步：个、十、百三位共 $13500\times3=\underline{\quad}$。
第 3 步：千位 $(0+1+2)\times1000=\underline{\quad}$，$0\sim2999$ 合计 $=\underline{\quad}$。
第 4 步：$3000\sim3009$ 贡献 $30+45=\underline{\quad}$，$3010$ 贡献 $\underline{\quad}$。
第 5 步：总计 $=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$1$ 至 $4999$ 这 $4999$ 个自然数的所有数字之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（补 $0$ 凑成整段）：算 $0\sim4999$ 共 $5000$ 个数（补 $0$ 不改变数字和）。个位上 $0\sim9$ 各出现 $\underline{\quad}$ 次，个位和 $=45\times500=\underline{\quad}$。
第 2 步（个、十、百三位）：$22500\times3=\underline{\quad}$。
第 3 步（千位）：$0,1,2,3,4$ 各出现 $1000$ 次，和 $=(0+1+2+3+4)\times1000=\underline{\quad}$。
第 4 步（合计）：$67500+10000=\underline{\quad}$。

第三套

题目：求 $1$ 至 $2008$ 这 $2008$ 个自然数的所有数字之和，并求这个和除以 $9$ 的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分位统计）：$0\sim1999$ 中个、十、百位各贡献 $45\times200=\underline{\quad}$，三位共 $\underline{\quad}$；千位贡献 $(0+1)\times1000=1000$，小计 $\underline{\quad}$。
第 2 步（补尾段）：$2000\sim2008$ 贡献 $2\times9+(1+2+\cdots+8)=\underline{\quad}$，总和 $=28000+54=\underline{\quad}$。
第 3 步（取余）：$28054\div9$ 的整数商是 $3117$，余数 $=28054-3117\times9=\underline{\quad}$。

18. 【原题 ch13-tuozhan-10】有一串数如下：$1,2,4,7,11,16,\cdots$，它的规律是：由 $1$ 开始，依次加 $1$，加 $2$，加 $3$，$\cdots$ 逐个产生这串数，直到第 $50$ 个数为止。求第 $50$ 个数除以 $3$ 的余数。

详细思路

是哪类问题：这是「数列通项公式 + 余数」类：数列由 $1$ 开始依次加 $1$、加 $2$、加 $3$、$\cdots$，第 $n$ 个数等于 $1$ 加上前 $n-1$ 个自然数之和。

关键切入点：关键在于导出通项：第 $n$ 个数 $=1+(1+2+\cdots+(n-1))=1+\frac{(n-1)n}{2}$（三角形数加 $1$）。代入 $n=50$ 得 $1+\frac{49\times50}{2}=1+49\times25$。求余数时不必算出 $1226$，只要分别看 $49$ 与 $25$ 除以 $3$ 的余数（都是 $1$），乘积的余数为 $1\times1=1$，再加 $1$ 得 $2$。

方法概述：先求通项 $\frac{(n-1)n}{2}+1$，再对各因数分别取余相乘。

规范步骤：

找规律写通项：第 $n$ 个数 $=1+\dfrac{(n-1)n}{2}$（前 $n-1$ 个自然数之和）
代入 $n=50$：$1+\dfrac{49\times50}{2}=1+49\times25$（约分后更好取余）
分别取余：$49\div3$ 余 $1$，$25\div3$ 余 $1$，故 $49\times25$ 除以 $3$ 余 $1$（积的余数等于余数之积再取余）
加上常数项：余数 $=1+1=2$
写出答案：$2$

第一套

题目：有一串数 $1,2,4,7,11,16,\cdots$，规律是由 $1$ 开始依次加 $1$、加 $2$、加 $3$、$\cdots$。求第 $100$ 个数除以 $3$ 的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写通项）：第 $n$ 个数 $=1+\dfrac{(n-1)n}{2}$，代入 $n=100$ 得 $1+\dfrac{99\times100}{2}=1+99\times\underline{\quad}$。
第 2 步（算出这个数）：$1+99\times50=\underline{\quad}$。
第 3 步（取余）：$4951\div3$ 的整数商是 $1650$，余数 $=4951-1650\times3=\underline{\quad}$。

第二套

题目：体育馆第 $1$ 排有 $1$ 个座位，第 $2$ 排比第 $1$ 排多 $1$ 个，第 $3$ 排比第 $2$ 排多 $2$ 个，第 $4$ 排比第 $3$ 排多 $3$ 个，$\cdots$。若第 $100$ 排的座位每 $3$ 个一组分发门票，求最后剩下几个座位。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：第 $n$ 排座位数 $=1+\dfrac{(n-1)n}{2}$，$n=100$ 时为 $1+99\times\underline{\quad}$。
第 2 步：算出座位数 $=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步：剩下的就是余数，$4951-1650\times3=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：有一串数 $1,2,4,7,11,16,\cdots$，规律是由 $1$ 开始依次加 $1$、加 $2$、加 $3$、$\cdots$。求第 $60$ 个数是多少。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（弄清通项来历）：从第 $1$ 个数到第 $60$ 个数一共加了 $60-1=\underline{\quad}$ 次，加的数依次是 $1,2,\cdots,59$。
第 2 步（等差求和）：$1+2+\cdots+59=\dfrac{(1+59)\times59}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步（加上首项）：第 $60$ 个数 $=1+1770=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一串数 $1,2,4,7,11,16,\cdots$，规律是由 $1$ 开始依次加 $1$、加 $2$、加 $3$、$\cdots$。求第 $100$ 个数除以 $6$ 的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求出这个数）：第 $100$ 个数 $=1+\dfrac{99\times100}{2}=1+99\times50=\underline{\quad}$。
第 2 步（先看除以 $2$）：$4951$ 是奇数，$4951-2475\times2=\underline{\quad}$。
第 3 步（再看除以 $3$）：$4951-1650\times3=\underline{\quad}$。
第 4 步（合并到模 $6$）：既除以 $2$ 余 $1$ 又除以 $3$ 余 $1$ 的数，除以 $6$ 的余数只能是 $\underline{\quad}$（在 $0\sim5$ 中逐个检验只有它满足）。
第 5 步（验算）：$4951-825\times6=\underline{\quad}$。

19. 【原题 ch13-tuozhan-11】$70$ 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 $3$ 倍都恰好等于与它相邻的两个数之和。这一行最左边的几个数是这样的：$0,1,3,8,21,\cdots$。请问：这列数中除以 $6$ 余 $1$ 的数有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「递推数列的余数周期计数」类：由“每个数的 $3$ 倍等于相邻两数之和”得递推式 $a_{n+1}=3a_n-a_{n-1}$，数很快变得极大，只能对余数做递推。

关键切入点：关键在于把“除以 $6$ 余 $1$”拆成“除以 $2$ 余 $1$ 且除以 $3$ 余 $1$”两个条件分别处理：对 $2$ 取余得 $0,1,1,0,1,1,\cdots$，周期 $3$，余 $1$ 的序号除以 $3$ 余 $0$ 或 $2$；对 $3$ 取余得 $0,1,0,2,\cdots$，周期 $4$，余 $1$ 的序号除以 $4$ 余 $2$。两个条件合起来，序号除以 $12$ 余 $2$ 或 $6$。最后在 $1\sim70$ 中数这样的序号有几个。

方法概述：拆成模 $2$、模 $3$ 两条余数链找周期，转成对序号的条件后计数。

规范步骤：

写出递推式：$a_{n+1}=3a_n-a_{n-1}$，数列为 $0,1,3,8,21,55,\cdots$（题设条件）
对 $2$ 取余：$0,1,1,0,1,1,\cdots$ 周期 $3$；余 $1$ 的序号除以 $3$ 余 $0$ 或 $2$（逐项取余）
对 $3$ 取余：$0,1,0,2,0,1,0,2,\cdots$ 周期 $4$；余 $1$ 的序号除以 $4$ 余 $2$（逐项取余）
合并条件：序号除以 $12$ 余 $2$ 或 $6$（两周期的最小公倍数是 $12$）
计数：$70\div12=5\cdots\cdots10$，共 $5\times2+2=12$ 个（整周期各 $2$ 个，零头 $1\sim10$ 中序号 $2,6$ 各 $1$ 个）
写出答案：$12$ 个

第一套

题目：$100$ 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 $3$ 倍都恰好等于与它相邻的两个数之和。最左边的几个数是 $0,1,3,8,21,\cdots$。请问：这列数中除以 $6$ 余 $1$ 的数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆条件）：“除以 $6$ 余 $1$”等价于“除以 $2$ 余 $1$ 且除以 $3$ 余 $1$”。
第 2 步（模 $2$ 链）：余数是 $0,1,1,0,1,1,\cdots$，周期为 $\underline{\quad}$，余 $1$ 的序号除以 $3$ 余 $0$ 或 $2$。
第 3 步（模 $3$ 链）：余数是 $0,1,0,2,0,1,0,2,\cdots$，周期为 $\underline{\quad}$，余 $1$ 的序号除以 $4$ 余 $2$。
第 4 步（合并）：两个周期的最小公倍数是 $\underline{\quad}$，符合条件的序号除以 $12$ 余 $2$ 或 $6$。
第 5 步（计数）：$100\div12=8\cdots\cdots\underline{\quad}$，$8$ 个整周期各有 $2$ 个；零头是序号 $97\sim100$，其中只有 $98$（除以 $12$ 余 $2$）符合，所以共 $8\times2+1=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：$100$ 盏灯排成一行，每盏灯上写着一个数，除两端外每盏灯上数的 $3$ 倍都等于左右两盏灯上数之和。从左数起依次是 $0,1,3,8,21,\cdots$。若灯上的数除以 $6$ 余 $1$ 就会闪烁，求闪烁的灯有多少盏。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：闪烁条件“除以 $6$ 余 $1$”＝“除以 $2$ 余 $1$ 且除以 $3$ 余 $1$”。
第 2 步：模 $2$ 余数链 $0,1,1$ 循环，周期 $\underline{\quad}$。
第 3 步：模 $3$ 余数链 $0,1,0,2$ 循环，周期 $\underline{\quad}$。
第 4 步：合并周期为 $\underline{\quad}$，符合的位置号除以 $12$ 余 $2$ 或 $6$。
第 5 步：$100-8\times12=\underline{\quad}$，前 $8$ 个整周期各 $2$ 盏，零头中只有第 $98$ 盏符合，共 $\underline{\quad}$ 盏。

第三套

题目：$70$ 个数排成一行，除两头外每个数的 $3$ 倍都等于相邻两数之和，最左边依次是 $0,1,3,8,21,\cdots$。请问：这列数中除以 $3$ 余 $1$ 的数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（只需一条余数链）：对 $3$ 取余得 $0,1,0,2,0,1,0,2,\cdots$，周期为 $\underline{\quad}$。
第 2 步（找符合的位置）：一个周期里只有第 $2$ 个余数是 $1$，所以符合条件的序号除以 $4$ 余 $\underline{\quad}$。
第 3 步（计数）：$70\div4=17\cdots\cdots\underline{\quad}$，$17$ 个整周期各 $1$ 个；零头是序号 $69,70$，其中 $70$ 除以 $4$ 余 $2$ 符合，共 $17+1=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：$100$ 个数排成一行，除两头外每个数的 $3$ 倍都等于相邻两数之和，最左边依次是 $0,1,3,8,21,\cdots$。请问：这列数中除以 $12$ 余 $1$ 的数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆成模 $4$ 与模 $3$）：“除以 $12$ 余 $1$”＝“除以 $4$ 余 $1$ 且除以 $3$ 余 $1$”。
第 2 步（模 $4$ 链）：余数依次为 $0,1,3,0,1,3,\cdots$，周期为 $\underline{\quad}$，余 $1$ 的序号除以 $3$ 余 $2$。
第 3 步（模 $3$ 链）：余数依次为 $0,1,0,2,\cdots$，周期为 $\underline{\quad}$，余 $1$ 的序号除以 $4$ 余 $2$。
第 4 步（合并）：两条件都要满足，序号除以 $12$ 余 $\underline{\quad}$（在 $1\sim12$ 中只有它同时满足“除以 $3$ 余 $2$”和“除以 $4$ 余 $2$”）。
第 5 步（计数）：合格序号是 $2,14,26,\cdots,98$，个数 $=(98-2)\div12+1=\underline{\quad}$。

20. 【原题 ch13-tuozhan-12】观察数列 $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{6},\frac{3}{6},\frac{5}{6},\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{1}{10},\cdots,\frac{2005}{2008},\frac{2007}{2008}$ 的规律，问：（1）数列中第 $2008$ 项是什么？（2）数列中前 $2008$ 项的和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数列分组求和」类：把数列按分母分组，分母为 $2n$ 的一组恰有 $n$ 项，分子是 $1,3,5,\cdots,(2n-1)$ 这些奇数。

关键切入点：关键在于两条：其一，前 $n$ 组一共有 $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 项，用它跟项号比较即可定位；其二，第 $n$ 组各项之和 $=\frac{1+3+\cdots+(2n-1)}{2n}=\frac{n^2}{2n}=\frac{n}{2}$，是个很简单的式子，于是前若干整组的和就是 $\frac{1+2+\cdots+n}{2}$。

方法概述：按分母分组定位项号，利用“第 $n$ 组之和为 $\frac{n}{2}$”整组求和，再补零头。

规范步骤：

定位第 $2008$ 项：$\dfrac{62\times63}{2}=1953<2008<\dfrac{63\times64}{2}=2016$，故在第 $63$ 组（与三角形数比较）
算组内序号与该项：$2008-1953=55$，分母 $63\times2=126$，分子 $55\times2-1=109$（第 $k$ 项分子为 $2k-1$）
前 $1953$ 项求和：$\dfrac{1+2+\cdots+62}{2}=\dfrac{1953}{2}$（每组和为 $\frac{n}{2}$）
零头 $55$ 项求和：$\dfrac{1+3+\cdots+109}{126}=\dfrac{55^2}{126}=\dfrac{3025}{126}$（奇数列求和为平方数）
合并：$\dfrac{1953}{2}+\dfrac{3025}{126}=1000\frac{32}{63}$（通分相加）
写出答案：$（1）\dfrac{109}{126}；（2）1000\frac{32}{63}$

第一套

题目：观察数列 $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{6},\frac{3}{6},\frac{5}{6},\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{1}{10},\cdots$（分母为 $2n$ 的一组有 $n$ 项，分子依次为 $1,3,\cdots,2n-1$）。求：（1）第 $3200$ 项；（2）前 $3200$ 项的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位组号）：前 $n$ 组共 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 项。$\dfrac{79\times80}{2}=\underline{\quad}$，$\dfrac{80\times81}{2}=3240$，因为 $3160<3200<3240$，所以第 $3200$ 项在第 $80$ 组。
第 2 步（组内序号与该项）：$3200-3160=\underline{\quad}$，分母 $=80\times2=\underline{\quad}$，分子 $=40\times2-1=\underline{\quad}$，所以第 $3200$ 项是 $\dfrac{79}{160}$。
第 3 步（整组求和）：第 $n$ 组之和为 $\dfrac{n}{2}$，前 $79$ 组之和 $=\dfrac{1+2+\cdots+79}{2}=\dfrac{3160}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步（零头求和）：剩下 $40$ 项，分子是 $1,3,\cdots,79$，其和 $=40^2=\underline{\quad}$，这部分之和 $=\dfrac{1600}{160}=\underline{\quad}$。
第 5 步（合并）：$1580+10=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某检测仪按批次输出读数：第 $n$ 批共 $n$ 个读数，分母都是 $2n$，分子依次是 $1,3,\cdots,2n-1$，即 $\frac{1}{2}$；$\frac{1}{4},\frac{3}{4}$；$\frac{1}{6},\frac{3}{6},\frac{5}{6}$；$\cdots$。求：（1）第 $3200$ 个读数；（2）前 $3200$ 个读数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：前 $n$ 批共 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 个读数，$\dfrac{79\times80}{2}=\underline{\quad}$，故第 $3200$ 个在第 $80$ 批。
第 2 步：批内序号 $=3200-3160=\underline{\quad}$，分母 $=80\times2=\underline{\quad}$，分子 $=40\times2-1=\underline{\quad}$。
第 3 步：前 $79$ 批之和 $=\dfrac{3160}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步：零头 $40$ 个读数分子之和 $=40^2=\underline{\quad}$，这部分和 $=\underline{\quad}$。
第 5 步：总和 $=\underline{\quad}$。

第三套

题目：观察数列 $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{6},\frac{3}{6},\frac{5}{6},\frac{1}{8},\cdots$，求：（1）第 $1000$ 项；（2）前 $1000$ 项的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位）：$\dfrac{44\times45}{2}=\underline{\quad}$，$\dfrac{45\times46}{2}=1035$，因为 $990<1000<1035$，第 $1000$ 项在第 $45$ 组。
第 2 步（该项）：组内序号 $=1000-990=\underline{\quad}$，分母 $=45\times2=\underline{\quad}$，分子 $=10\times2-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（整组和）：前 $44$ 组之和 $=\dfrac{1+2+\cdots+44}{2}=\dfrac{990}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步（零头）：$10$ 项分子和 $=10^2=\underline{\quad}$，该部分 $=\dfrac{100}{90}=\underline{\quad}$（写成小数），即 $1\frac{1}{9}$。
第 5 步（合并）：$495+\dfrac{10}{9}=\underline{\quad}$（写成小数）。

第三套

题目：观察数列 $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{6},\frac{3}{6},\frac{5}{6},\frac{1}{8},\cdots$。求：（1）第 $2008$ 项；（2）在前 $2008$ 项中，所有分母为 $126$ 的项之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位）：$\dfrac{62\times63}{2}=\underline{\quad}$，$\dfrac{63\times64}{2}=2016$，第 $2008$ 项在第 $63$ 组第 $2008-1953=\underline{\quad}$ 个，分母 $=63\times2=\underline{\quad}$，分子 $=55\times2-1=\underline{\quad}$。
第 2 步（弄清分母 $126$ 的项在哪里——本题难点）：分母 $126$ 即第 $63$ 组，它本应有 $63$ 项（第 $1954$ 项到第 $2016$ 项），但只取到第 $2008$ 项，所以只有 $\underline{\quad}$ 项被包含。
第 3 步（这些项的分子之和）：分子是 $1,3,\cdots,109$ 共 $55$ 个奇数，其和 $=55^2=\underline{\quad}$。
第 4 步（求和）：这些项之和 $=\dfrac{3025}{126}$，因为 $126\times24=\underline{\quad}$，所以等于 $24\frac{1}{126}$。

21. 【原题 ch13-tuozhan-13】观察下面的数阵：第 $1$ 行 $\frac{1}{1}$；第 $2$ 行 $\frac{2}{1},\frac{1}{2}$；第 $3$ 行 $\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3}$；第 $4$ 行 $\frac{4}{1},\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{4}$；第 $5$ 行 $\frac{5}{1},\frac{4}{2},\frac{3}{3},\frac{2}{4},\frac{1}{5}$；$\cdots$。根据前五行数所表达的规律，求：（1）$\frac{33}{67}$ 这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右的第几个？（2）第 $28$ 行第 $19$ 个数是什么？

详细思路

是哪类问题：这是「数阵规律定位」类：数阵第 $k$ 行有 $k$ 个分数，第 $k$ 行第 $j$ 个数是 $\frac{k+1-j}{j}$。

关键切入点：关键在于抓住不变量：每一行里每个分数的分子与分母之和都等于行号加 $1$（第 $3$ 行 $\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3}$ 的分子分母之和都是 $4$）。有了这条，给一个分数就能立刻算出它在第几行；而分母正好等于它在该行的位置序号。

方法概述：用“分子 $+$ 分母 $=$ 行号 $+1$”定行，用“分母 $=$ 列号”定列。

规范步骤：

写出不变量：第 $k$ 行每个分数的分子 $+$ 分母 $=k+1$（观察前五行）
定位 $\frac{33}{67}$ 的行：$33+67=100$，故 $k+1=100$，$k=99$（代入不变量）
定位它的列：分母就是列号，故是第 $67$ 个（第 $j$ 个数的分母为 $j$）
求第 $28$ 行第 $19$ 个：分母 $=19$，分子 $=29-19=10$（分子 $+$ 分母 $=28+1=29$）
写出答案：$（1）第 99 行第 67 个；（2）\dfrac{10}{19}$

第一套

题目：数阵第 $1$ 行为 $\frac{1}{1}$；第 $2$ 行为 $\frac{2}{1},\frac{1}{2}$；第 $3$ 行为 $\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3}$；$\cdots$。求：（1）$\frac{45}{128}$ 在第几行、是这一行的第几个？（2）第 $60$ 行第 $41$ 个数是什么？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用不变量定行）：每行分数的分子与分母之和都等于行号加 $1$。$45+128=\underline{\quad}$，所以行号 $=173-1=\underline{\quad}$。
第 2 步（定列）：分母就是列号，所以它是这一行的第 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第 (2) 问）：第 $60$ 行分子分母之和为 $60+1=\underline{\quad}$，第 $41$ 个数的分母是 $41$，分子 $=61-41=\underline{\quad}$。

第二套

题目：剧场座位按“区”排列：第 $1$ 区 $1$ 个座位标 $\frac{1}{1}$；第 $2$ 区两个座位标 $\frac{2}{1},\frac{1}{2}$；第 $3$ 区三个座位标 $\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3}$；$\cdots$。求：（1）标着 $\frac{45}{128}$ 的座位在第几区、是该区第几个？（2）第 $60$ 区第 $41$ 个座位标着什么？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：同一区内所有标签的分子与分母之和都等于区号加 $1$。$45+128=\underline{\quad}$，故区号 $=\underline{\quad}$。
第 2 步：分母就是区内序号，所以是第 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步：第 $60$ 区的和为 $\underline{\quad}$，第 $41$ 个座位分母 $41$、分子 $=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数阵第 $1$ 行为 $\frac{1}{1}$；第 $2$ 行为 $\frac{2}{1},\frac{1}{2}$；第 $3$ 行为 $\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3}$；$\cdots$。求：（1）$\frac{88}{57}$ 在第几行第几个？（2）第 $100$ 行第 $37$ 个数是什么？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（假分数同样适用）：$88+57=\underline{\quad}$，行号 $=145-1=\underline{\quad}$。
第 2 步（定列）：分母是 $57$，所以是第 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第 (2) 问）：第 $100$ 行的和为 $\underline{\quad}$，第 $37$ 个数分母 $37$、分子 $=101-37=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数阵第 $1$ 行为 $\frac{1}{1}$；第 $2$ 行为 $\frac{2}{1},\frac{1}{2}$；第 $3$ 行为 $\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3}$；$\cdots$。求：（1）第 $50$ 行所有数的分子之和；（2）第 $50$ 行所有数的分母之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写出这一行）：第 $50$ 行共有 $\underline{\quad}$ 个数，分子分母之和都是 $50+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（列出分子）：分母依次是 $1,2,\cdots,50$，所以分子依次是 $50,49,\cdots,1$。
第 3 步（分子之和，用等差求和）：$50+49+\cdots+1=\dfrac{(1+50)\times50}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步（分母之和）：分母也是 $1$ 到 $50$，所以同样是 $\underline{\quad}$。

22. 【原题 ch13-tuozhan-14】将从 $1$ 开始的自然数按照如图 13-5 所示的规律排成数阵，数 $1000$ 所在的行与列中分别有一个最小的数，求这两个数的和。

详细思路

是哪类问题：这是「蛇形数阵定位」类：数阵从左上角向右下角一层一层地扩展，第 $n$ 层结束时恰好写到 $n^2$。

关键切入点：关键在于用平方数分层：$31^2=961$、$32^2=1024$，而 $1024$ 比 $961$ 更接近 $1000$，所以从 $1024$ 往回数更省事。$1024$ 在第 $32$ 行第 $1$ 列，沿着第 $32$ 行往右依次递减，$1000$ 就在第 $32$ 行第 $25$ 列；数到第 $32$ 列是 $993$，这是第 $32$ 行里最小的数。再看第 $25$ 列：$25^2=625$ 在第 $1$ 行第 $25$ 列，沿列往下递减到第 $25$ 行第 $25$ 列是 $601$，此后转为递增，所以第 $25$ 列最小的数是 $601$。

方法概述：用平方数分层定位 $1000$ 的行列，再沿行、沿列找各自的最小数相加。

规范步骤：

分层：$31^2=961<1000<32^2=1024$（第 $n$ 层结束于 $n^2$）
沿第 $32$ 行往回数：$1024-1000=24$，故 $1000$ 在第 $32$ 行第 $25$ 列（$1024$ 在第 $32$ 行第 $1$ 列）
找该行最小数：第 $32$ 行第 $32$ 列是 $1024-31=993$（沿行递减到对角线）
找该列最小数：$25^2=625$ 在第 $1$ 行第 $25$ 列，往下递减到第 $25$ 行是 $625-24=601$（沿列递减到对角线）
求和：$993+601=1594$

23. 【原题 ch13-xingqu-01】计算：（1）$1+2+4+8+16+32+64+128+256$；（2）$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}$。

详细思路

是哪类问题：这是「等比数列求和」类计算题：一串数中每一项都是前一项的固定倍数（公比），直接硬加很繁，可用错位相减法。

关键切入点：关键在于公比是 $2$：把整个和 $S$ 乘以 $2$ 得到 $2S$，$2S$ 的每一项恰好与 $S$ 的下一项相同，两式相减后中间所有项成对抵消，只剩下首尾两项，一步得到答案。第 (2) 小题公比是 $\frac{1}{2}$，同样乘 $2$ 后错位，中间项照样相消。

方法概述：设和为 $S$，两边同乘公比，错位相减使中间项抵消。

规范步骤：

设 $S=1+2+4+\cdots+256$，两边同乘 $2$：$2S=2+4+8+\cdots+256+512$（乘以公比得到错位的式子）
两式相减，中间项全部抵消：$(2-1)S=512-1$（错位相减）
求出 $S$：$S=\dfrac{512-1}{2-1}=511$（解一元一次式）
第 (2) 题设 $T=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{256}$，同乘 $2$：$2T=2+1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{128}$（乘公比的倒数关系）
两式相减：$(2-1)T=2-\frac{1}{256}$（错位相减）
写出答案：$T=1\frac{255}{256}$（把 $2-\frac{1}{256}$ 化成带分数）

第一套

题目：计算：（1）$1+2+4+8+\cdots+512+1024$；（2）$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{512}+\frac{1}{1024}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（造错位式）：设 $S=1+2+4+\cdots+1024$，公比是 $2$，两边同乘 $2$，末项 $1024$ 变成 $\underline{\quad}$。
第 2 步（相减相消）：$2S$ 与 $S$ 相减，中间项成对抵消，只剩首尾，$(2-1)S=\underline{\quad}-1=\underline{\quad}$。
第 3 步：所以 $S=\underline{\quad}$。
第 4 步（第 (2) 题）：设 $T=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1024}$，同乘 $2$ 后相减得 $T=2-\frac{1}{1024}$，化成带分数是 $1\frac{\underline{\quad}}{1024}$。

第二套

题目：一种细菌第 $1$ 小时有 $1$ 个，以后每小时数量都变成前一小时的 $2$ 倍。（1）求第 $1$ 小时到第 $11$ 小时（依次为 $1,2,4,\cdots,1024$ 个）细菌个数的总和；（2）某绳长 $1$ 米，第一次再接上 $\frac{1}{2}$ 米，以后每次接上的长度都是上一次的一半，接到 $\frac{1}{1024}$ 米为止，求绳子总长。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：设总数 $S=1+2+4+\cdots+1024$，同乘公比 $2$，末项变为 $\underline{\quad}$。
第 2 步：错位相减，中间项抵消，$(2-1)S=\underline{\quad}-1=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步：绳长 $T=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1024}$，同乘 $2$ 相减得 $T=2-\frac{1}{1024}$，即 $1\frac{\underline{\quad}}{1024}$ 米。

第三套

题目：计算：$2+4+8+16+\cdots+512+1024$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看清首项与公比）：首项是 $2$，公比是 $2$，设 $S=2+4+\cdots+1024$，同乘 $2$ 得末项 $\underline{\quad}$。
第 2 步（错位相减）：中间项全部抵消，只剩最大项减最小项，$(2-1)S=\underline{\quad}-2=\underline{\quad}$。
第 3 步：所以原式 $=\underline{\quad}$。

第三套

题目：计算：$3+6+12+24+\cdots+1536+3072$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先提公因数）：每一项都含因数 $3$，提出后括号里是 $1+2+4+\cdots+1024$，即原式 $=3\times(1+2+4+\cdots+\underline{\quad})$。
第 2 步（括号内错位相减）：设 $S=1+2+\cdots+1024$，同乘 $2$ 后相减得 $S=\underline{\quad}-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（乘回公因数）：原式 $=3\times2047=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch13-xingqu-02】计算：$384+192+96+48+24+12+6$。

详细思路

是哪类问题：这是「等比数列求和」类：各项从大到小依次减半，是公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列，可先提取最小项作公因数，把它化成最标准的 $1+2+4+\cdots$ 求和。

关键切入点：关键在于看出 $6$ 是所有项的公因数：$384=6\times64$、$192=6\times32$、$\cdots$、$6=6\times1$。提出 $6$ 后括号里恰是 $1+2+4+\cdots+64$，这个和用错位相减一步得 $127$。

方法概述：提取公因数 $6$，把式子化为标准等比数列 $1+2+\cdots+64$ 再求和。

规范步骤：

每项都提出公因数 $6$：$原式=6\times(64+32+16+8+4+2+1)$（乘法分配律）
括号内错位相减求和：$1+2+4+\cdots+64=128-1=127$（等比数列错位相减）
乘回公因数：$6\times127=762$（分配律还原）
写出答案：$762$

第一套

题目：计算：$1536+768+384+192+96+48+24+12$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找公因数）：最小的一项是 $12$，把它作为公因数提出来，最大项 $1536$ 提出后剩 $\underline{\quad}$。
第 2 步（化为标准等比）：原式 $=12\times(1+2+4+\cdots+\underline{\quad})$。
第 3 步（括号内错位相减）：$1+2+4+\cdots+128=\underline{\quad}-1=\underline{\quad}$。
第 4 步（乘回去）：原式 $=12\times255=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某工厂 $8$ 天生产口罩，每天产量都是前一天的一半，依次为 $1536,768,384,192,96,48,24,12$ 万只。求这 $8$ 天的总产量。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：把最小的一天产量 $12$ 提作公因数，$1536\div12=\underline{\quad}$。
第 2 步：总产量 $=12\times(1+2+4+\cdots+\underline{\quad})$（万只）。
第 3 步：括号内等比求和 $=\underline{\quad}-1=\underline{\quad}$。
第 4 步：总产量 $=12\times255=\underline{\quad}$（万只）。

第三套

题目：计算：$1215+405+135+45+15+5$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（辨认公比）：每一项都是前一项的 $\frac{1}{3}$，最小项 $5$ 是公因数，$1215\div5=\underline{\quad}$。
第 2 步：原式 $=5\times(1+3+9+27+81+\underline{\quad})$。
第 3 步（括号内错位相减）：设 $S=1+3+\cdots+243$，$3S-S=729-1$，所以 $S=\dfrac{729-1}{3-1}=\underline{\quad}$。
第 4 步：原式 $=5\times364=\underline{\quad}$。

第三套

题目：计算：$(3+6+12+24+\cdots+1536+3072)-(1+2+4+8+\cdots+512+1024)$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（前一个括号提公因数）：每项含 $3$，提出后括号内为 $1+2+\cdots+\underline{\quad}$。
第 2 步（求标准等比和）：$1+2+4+\cdots+1024=\underline{\quad}-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（分别算两个和）：前一个 $=3\times2047=\underline{\quad}$，后一个 $=\underline{\quad}$。
第 4 步（作差）：$6141-2047=\underline{\quad}$。

25. 【原题 ch13-xingqu-03】计算：$3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6$。

详细思路

是哪类问题：这是「等比数列求和」类：首项 $3$、公比 $3$、共 $6$ 项，用错位相减（等价于等比求和公式）计算。

关键切入点：关键在于公比是 $3$ 而不是 $2$：乘 $3$ 以后错位相减，左边不再是 $1$ 倍而是 $(3-1)=2$ 倍的 $S$，所以最后要除以 $2$。这一步是学生最容易漏掉的。

方法概述：设 $S$ 为原式，两边乘公比 $3$ 后错位相减，再除以 $(3-1)$。

规范步骤：

设 $S=3+3^2+\cdots+3^6$，两边同乘 $3$：$3S=3^2+3^3+\cdots+3^7$（乘公比造错位）
两式相减，中间项抵消：$3S-S=3^7-3$（错位相减）
左边是 $2S$，两边除以 $2$：$S=\dfrac{2187-3}{2}=1092$（解一元一次式）
写出答案：$1092$

第一套

题目：计算：$3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（造错位式）：设 $S=3+3^2+\cdots+3^8$，两边同乘公比 $3$，末项 $3^8=6561$ 变成 $3^9=\underline{\quad}$。
第 2 步（错位相减）：中间项全部抵消，只剩最大项减最小项，$3S-S=\underline{\quad}-3=\underline{\quad}$。
第 3 步（别漏除以公比减一）：左边是 $(3-1)S$，所以 $S=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一个消息第 $1$ 天传给 $3$ 个人，以后每天新知道的人数都是前一天的 $3$ 倍，这样传了 $8$ 天（依次为 $3,3^2,\cdots,3^8$ 人）。求这 $8$ 天里新知道消息的总人数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：设总人数 $S=3+3^2+\cdots+3^8$，同乘公比 $3$，末项变成 $3^9=\underline{\quad}$。
第 2 步：错位相减，中间项抵消，$3S-S=\underline{\quad}-3=\underline{\quad}$（人）。
第 3 步：左边是 $(3-1)S$，所以 $S=\underline{\quad}$（人）。

第三套

题目：计算：$4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（辨认公比）：公比是 $4$，设 $S=4+4^2+\cdots+4^6$，同乘 $4$ 得末项 $4^7=\underline{\quad}$。
第 2 步（错位相减）：$4S-S=\underline{\quad}-4=\underline{\quad}$。
第 3 步（除以公比减一）：左边是 $(4-1)S$，故 $S=\underline{\quad}$。

第三套

题目：计算 $1+3+3^2+3^3+\cdots+3^8$ 的值，并求这个值除以 $5$ 的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（造错位式）：设 $S=1+3+\cdots+3^8$，同乘 $3$ 后末项为 $3^9=\underline{\quad}$。
第 2 步（错位相减）：$3S-S=\underline{\quad}-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（除以公比减一）：$S=\underline{\quad}$。
第 4 步（再求余数）：$9841\div5$ 的整数商是 $1968$，余数 $=9841-1968\times5=\underline{\quad}$。

26. 【原题 ch13-xingqu-04】计算：$\dfrac{1995+19951995+199519951995}{2009+20092009+200920092009}$。

详细思路

是哪类问题：这是「规律数字的分数化简」类：分子分母各项都是同一个四位数重复拼接而成，先把每一项写成“基数 $\times$ 拼接系数”，再提公因数约分。

关键切入点：关键在于识破拼接结构：$19951995=1995\times10001$、$199519951995=1995\times100010001$。于是分子 $=1995\times(1+10001+100010001)$，分母 $=2009\times(1+10001+100010001)$，括号完全相同可整体约掉，剩下 $\frac{1995}{2009}$，再用公因数 $7$ 约分。

方法概述：把重复数字拆成“基数×拼接系数”，提取公因数后整体约分。

规范步骤：

分子提取公因数 $1995$：$1995+19951995+199519951995=1995\times(1+10001+100010001)$（识别数字拼接结构）
分母提取公因数 $2009$：$2009+20092009+200920092009=2009\times(1+10001+100010001)$（同样的拼接系数）
约去相同的括号：$原式=\dfrac{1995}{2009}$（分子分母同除以相同因数）
再约公因数 $7$：$\dfrac{1995}{2009}=\dfrac{285}{287}$（$1995\div7=285$，$2009\div7=287$）
写出答案：$\dfrac{285}{287}$

第一套

题目：计算：$\dfrac{2016+20162016+201620162016}{2100+21002100+210021002100}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看穿拼接结构）：$20162016=2016\times\underline{\quad}$，$201620162016=2016\times100010001$。
第 2 步（分子分母各提公因数）：分子 $=2016\times(1+10001+100010001)$，分母 $=2100\times(1+10001+100010001)$，约去相同的括号后原式 $=\dfrac{2016}{2100}$。分子分母的最大公因数是 $84$，$2016\div84=\underline{\quad}$，$2100\div84=\underline{\quad}$。
第 3 步（写出最简结果）：原式 $=\dfrac{24}{\underline{\quad}}$。

第二套

题目：甲仓三次入库粮食 $2016$、$20162016$、$201620162016$ 千克，乙仓三次入库 $2100$、$21002100$、$210021002100$ 千克。求甲仓总量与乙仓总量的比（用最简分数表示）。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$20162016=2016\times\underline{\quad}$，$201620162016=2016\times100010001$，乙仓同理。
第 2 步：甲仓 $=2016\times(1+10001+100010001)$，乙仓 $=2100\times(1+10001+100010001)$，约去相同括号得 $\dfrac{2016}{2100}$；再同除以 $84$：$2016\div84=\underline{\quad}$，$2100\div84=\underline{\quad}$。
第 3 步：所求比为 $\dfrac{24}{\underline{\quad}}$。

第三套

题目：计算：$\dfrac{37+3737+37373737}{41+4141+41414141}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看穿拼接系数）：$3737=37\times\underline{\quad}$，$37373737=37\times1010101$。
第 2 步（提公因数）：分子 $=37\times(1+101+1010101)$，分母 $=41\times(1+101+1010101)$，两个括号完全相同，可以整体约去。
第 3 步（结果）：原式 $=\dfrac{\underline{\quad}}{41}$，$37$ 与 $41$ 都是质数，已是最简。

第三套

题目：计算：$\dfrac{1995+19951995+199519951995}{2009+20092009+200920092009}+\dfrac{2}{287}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先化简前一个分数）：分子 $=1995\times(1+10001+100010001)$，分母 $=2009\times(1+10001+100010001)$，约去相同括号得 $\dfrac{1995}{2009}$。
第 2 步（约分）：$1995\div7=\underline{\quad}$，$2009\div7=\underline{\quad}$，所以前一个分数是 $\dfrac{285}{287}$。
第 3 步（同分母相加）：分母相同，分子相加 $285+2=\underline{\quad}$。
第 4 步（约分得整数）：$\dfrac{287}{287}=\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch13-xingqu-05】计算：$1\frac{1}{2}+2\frac{1}{3}-3\frac{1}{4}+4\frac{1}{2}+5\frac{1}{3}-6\frac{1}{4}+7\frac{1}{2}+8\frac{1}{3}-9\frac{1}{4}+\cdots+100\frac{1}{2}$。

详细思路

是哪类问题：这是「周期分组求和」类：整数部分按 $(+,+,-)$ 三个一组循环，分数部分按 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4}$ 三个一组循环，把整数与分数分开、各按周期分组求和。

关键切入点：关键在于把带分数拆成“整数部分 + 分数部分”两条线分别处理。整数线 $(1+2-3),(4+5-6),\cdots,(97+98-99)$ 共 $33$ 组，各组的和恰好是 $0,3,6,\cdots,96$ 这个等差数列；分数线每组都是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$，共 $33$ 组；最后单独一项 $100\frac{1}{2}$ 不成组，要另加。

方法概述：拆成整数线与分数线，各自按 $3$ 项一周期分组，再用等差数列求和。

规范步骤：

整数部分分组：$(1+2-3)+(4+5-6)+\cdots+(97+98-99)$ 共 $33$ 组（$99\div3=33$）
各组的和构成等差数列：$0+3+6+\cdots+96=\dfrac{(0+96)\times33}{2}=1584$（等差数列求和）
分数部分每组的和：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$，$\frac{7}{12}\times33=19\frac{1}{4}$（同周期合并）
补上末项：$1584+19\frac{1}{4}+100\frac{1}{2}=1703\frac{3}{4}$（整数线 $+$ 分数线 $+$ 末项）
写出答案：$1703\frac{3}{4}$

第一套

题目：计算：$1\frac{1}{2}+2\frac{1}{3}-3\frac{1}{4}+4\frac{1}{2}+5\frac{1}{3}-6\frac{1}{4}+\cdots+118\frac{1}{2}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数清整组）：整数从 $1$ 到 $117$ 按 $(+,+,-)$ 三个一组，共 $117\div3=\underline{\quad}$ 组，末项 $118\frac{1}{2}$ 单独剩下。
第 2 步（各组的和成等差）：$(1+2-3)=0$，$(4+5-6)=\underline{\quad}$，依次是 $0,3,6,\cdots,114$，用等差求和得 $\dfrac{(0+114)\times39}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步（分数线）：每组分数和为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$，$39$ 组共 $\frac{7}{12}\times39=\underline{\quad}$。
第 4 步（合并并补末项）：$2223+22.75+118.5=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一个水库按“进水、进水、放水”的顺序循环记账（单位：万立方米）：第 $1$ 次进 $1\frac{1}{2}$，第 $2$ 次进 $2\frac{1}{3}$，第 $3$ 次放 $3\frac{1}{4}$，第 $4$ 次进 $4\frac{1}{2}$，$\cdots$，最后一次是进 $118\frac{1}{2}$。求水库水量净增加多少万立方米。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：前 $117$ 次按三次一轮，共 $117\div3=\underline{\quad}$ 轮，最后的 $118\frac{1}{2}$ 单独算。
第 2 步：各轮整数部分的净增依次为 $0,3,6,\cdots,114$，求和 $\dfrac{(0+114)\times39}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：各轮分数部分的净增都是 $\frac{7}{12}$，共 $\frac{7}{12}\times39=\underline{\quad}$。
第 4 步：合计 $2223+22.75+118.5=\underline{\quad}$（万立方米）。

第三套

题目：计算：$1\frac{1}{2}+2\frac{1}{3}-3\frac{1}{6}+4\frac{1}{2}+5\frac{1}{3}-6\frac{1}{6}+\cdots+100\frac{1}{2}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整数线照旧分组）：$1$ 到 $99$ 共 $99\div3=\underline{\quad}$ 组，各组的和是 $0,3,6,\cdots,96$，求和得 $\dfrac{(0+96)\times33}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步（分数线换了周期值）：每组分数和为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$（写成小数），$33$ 组共 $\frac{2}{3}\times33=\underline{\quad}$。
第 3 步（补末项并合并）：$1584+22+100.5=\underline{\quad}$。

第三套

题目：先计算 $1\frac{1}{2}+2\frac{1}{3}-3\frac{1}{4}+4\frac{1}{2}+5\frac{1}{3}-6\frac{1}{4}+\cdots+100\frac{1}{2}$，再求所得结果的整数部分除以 $7$ 的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整数线）：$1$ 到 $99$ 共 $\underline{\quad}$ 组，各组和为 $0,3,\cdots,96$，求和 $\dfrac{(0+96)\times33}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步（分数线）：每组 $\frac{7}{12}$，共 $\frac{7}{12}\times33=\underline{\quad}$。
第 3 步（合并并补末项）：$1584+19.25+100.5=\underline{\quad}$，其整数部分是 $1703$。
第 4 步（再取余数）：$1703\div7$ 的整数商是 $243$，余数 $=1703-243\times7=\underline{\quad}$。

28. 【原题 ch13-xingqu-06】规定新运算“$\triangledown$”为：$a\triangledown b=a\times b-a$。计算：（1）$5\triangledown 7$；（2）$3\triangledown(4\triangledown 5)$。

详细思路

是哪类问题：这是「定义新运算」类：题目临时规定一个符号的算法 $a\triangledown b=a\times b-a$，只要严格按定义把字母换成具体数字即可。

关键切入点：关键有两点：一是位置不能颠倒，定义里减的是前一个数 $a$；二是括号里的新运算要先算，把它算成一个普通的数以后，再代入外层的新运算。

方法概述：按定义对号入座代入，先算括号内的新运算，再算外层。

规范步骤：

第 (1) 题按定义代入 $a=5$、$b=7$：$5\triangledown7=5\times7-5=30$（定义 $a\triangledown b=a\times b-a$）
第 (2) 题先算括号内：$4\triangledown5=4\times5-4=16$（先算括号）
再算外层：$3\triangledown16=3\times16-3=45$（把括号结果当成普通数代入）
写出答案：$（1）30；（2）45$

第一套

题目：规定新运算“$\triangledown$”为：$a\triangledown b=a\times b-a$。计算：（1）$12\triangledown15$；（2）$7\triangledown(9\triangledown8)$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（对号入座）：第 (1) 题中 $a=12$、$b=15$，按定义 $12\triangledown15=12\times15-12=\underline{\quad}$。
第 2 步（先算括号内）：括号里 $a=9$、$b=8$，$9\triangledown8=9\times8-9=\underline{\quad}$。
第 3 步（再算外层）：把括号结果当普通数，$7\triangledown63=7\times63-7=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某快递公司规定：寄 $a$ 件货物到 $b$ 号城市的费用为 $a\triangledown b=a\times b-a$（元）。（1）寄 $12$ 件到 $15$ 号城市要多少元？（2）先算出“寄 $9$ 件到 $8$ 号城市”的费用，把这个费用当作城市编号，再求“寄 $7$ 件到该编号城市”的费用，即 $7\triangledown(9\triangledown8)$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$a=12$、$b=15$，费用 $=12\times15-12=\underline{\quad}$（元）。
第 2 步：先算括号内 $9\triangledown8=9\times8-9=\underline{\quad}$。
第 3 步：再算外层 $7\triangledown63=7\times63-7=\underline{\quad}$（元）。

第三套

题目：规定新运算“$\diamond$”为：$a\diamond b=a\times b-b$。计算：（1）$13\diamond16$；（2）$6\diamond(5\diamond9)$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看清减的是谁）：这次减的是后一个数 $b$，$13\diamond16=13\times16-16=\underline{\quad}$。
第 2 步（先算括号）：$5\diamond9=5\times9-9=\underline{\quad}$。
第 3 步（再算外层）：$6\diamond36=6\times36-36=\underline{\quad}$。

第三套

题目：规定新运算“$\triangledown$”为：$a\triangledown b=a\times b-a$。已知 $x\triangledown(3\triangledown4)=104$，求 $x$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先把括号算成一个数）：$3\triangledown4=3\times4-3=\underline{\quad}$。
第 2 步（把外层写成含 $x$ 的普通式子）：$x\triangledown9=x\times9-x$，合并同类项得 $\underline{\quad}\times x$。
第 3 步（列方程并逆推）：$8x=104$，所以 $x=\underline{\quad}$。

29. 【原题 ch13-xingqu-07】规定新运算“$*$”为：$a*b=3\times a-2\times b$。（1）计算：$\frac{4}{3}*\left(\frac{5}{4}*\frac{6}{5}\right)$；（2）已知 $\frac{4}{3}*\left(x*\frac{5}{4}\right)=\frac{6}{5}$，求 $x$。

详细思路

是哪类问题：这是「定义新运算 + 逆推求未知数」类：定义 $a*b=3\times a-2\times b$，第 (1) 问按定义从里到外算，第 (2) 问把新运算展开成普通四则式后解方程。

关键切入点：关键在于第 (2) 问：$x$ 藏在括号里，先按定义把 $x*\frac{5}{4}$ 展开成 $3x-2\times\frac{5}{4}=3x-\frac{5}{2}$，再把它当作外层的第二个数代入，整个式子就变成一个普通的一元一次方程，逐步逆推即可。

方法概述：按定义展开为普通四则式；含未知数时化成一元一次方程再解。

规范步骤：

第 (1) 题先算括号内：$\frac{5}{4}*\frac{6}{5}=3\times\frac{5}{4}-2\times\frac{6}{5}=\frac{15}{4}-\frac{12}{5}=\frac{27}{20}$（按定义代入）
再算外层：$\frac{4}{3}*\frac{27}{20}=3\times\frac{4}{3}-2\times\frac{27}{20}=4-\frac{27}{10}=1\frac{3}{10}$（按定义代入）
第 (2) 题展开括号内：$x*\frac{5}{4}=3x-2\times\frac{5}{4}=3x-\frac{5}{2}$（按定义代入）
代入外层并列方程：$3\times\frac{4}{3}-2\times\left(3x-\frac{5}{2}\right)=\frac{6}{5}$，即 $9-6x=\frac{6}{5}$（去括号）
逆推求解：$6x=9-\frac{6}{5}=\frac{39}{5}$，$x=1\frac{3}{10}$（解一元一次方程）

第一套

题目：规定新运算“$*$”为：$a*b=3\times a-2\times b$。（1）计算 $\frac{7}{2}*\left(\frac{9}{4}*\frac{11}{5}\right)$；（2）已知 $\frac{7}{2}*\left(x*\frac{9}{4}\right)=\frac{9}{2}$，求 $x$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先算括号内）：$\frac{9}{4}*\frac{11}{5}=3\times2.25-2\times2.2=\underline{\quad}$。
第 2 步（再算外层）：$\frac{7}{2}*2.35=3\times3.5-2\times2.35=\underline{\quad}$，即 $5\frac{4}{5}$。
第 3 步（第 (2) 题先展开括号）：$x*\frac{9}{4}=3x-2\times2.25=3x-\underline{\quad}$。
第 4 步（代入外层去括号）：$3\times3.5-2\times(3x-4.5)=10.5-6x+9$，合并常数得 $\underline{\quad}-6x=4.5$。
第 5 步（逆推）：$6x=19.5-4.5=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某游戏规定：用道具 $a$ 合成道具 $b$ 得到的能量为 $a*b=3\times a-2\times b$。（1）求 $\frac{7}{2}*\left(\frac{9}{4}*\frac{11}{5}\right)$ 的能量；（2）若 $\frac{7}{2}*\left(x*\frac{9}{4}\right)=\frac{9}{2}$，求道具 $x$ 的数值。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：先算括号内的合成 $\frac{9}{4}*\frac{11}{5}=3\times2.25-2\times2.2=\underline{\quad}$。
第 2 步：再算外层 $\frac{7}{2}*2.35=3\times3.5-2\times2.35=\underline{\quad}$。
第 3 步：第 (2) 问展开括号 $x*\frac{9}{4}=3x-\underline{\quad}$。
第 4 步：代入外层并去括号，$10.5-6x+9=4.5$，即 $\underline{\quad}-6x=4.5$。
第 5 步：$6x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。

第三套

题目：规定新运算“$\otimes$”为：$a\otimes b=4\times a-3\times b$。（1）计算 $\frac{5}{2}\otimes\left(\frac{3}{2}\otimes\frac{4}{3}\right)$；（2）已知 $\frac{5}{2}\otimes\left(x\otimes\frac{4}{3}\right)=4$，求 $x$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先算括号内）：$\frac{3}{2}\otimes\frac{4}{3}=4\times1.5-3\times\left(\frac{4}{3}\right)=6-\underline{\quad}=2$。
第 2 步（再算外层）：$\frac{5}{2}\otimes2=4\times2.5-3\times2=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 (2) 题展开括号）：$x\otimes\frac{4}{3}=4x-3\times\frac{4}{3}=4x-\underline{\quad}$。
第 4 步（代入外层去括号）：$10-3\times(4x-4)=10-12x+12=\underline{\quad}-12x$。
第 5 步（逆推）：$22-12x=4$，$12x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。

第三套

题目：规定新运算“$*$”为：$a*b=3\times a-2\times b$。已知 $\left(x*\frac{3}{2}\right)*2=5$，求 $x$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体代换）：把括号里的结果记作 $u$，则 $u*2=3u-2\times2=3u-\underline{\quad}$。
第 2 步（第一层逆推）：由 $3u-4=5$ 得 $3u=\underline{\quad}$，所以 $u=\underline{\quad}$。
第 3 步（展开括号）：$u=x*\frac{3}{2}=3x-2\times1.5=3x-\underline{\quad}$。
第 4 步（第二层逆推）：由 $3x-3=3$ 得 $3x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。

30. 【原题 ch13-xingqu-08】图 13-1 中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：$2.75$ 是 $2.5$ 和 $3$ 的平均数。请问：第 $100$ 行中的各数之和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数表规律 + 等差数列平均数」类：数表每一行两端的数不变，中间每个数是上一行相邻两数的平均数。

关键切入点：关键在于看出两条规律：其一，每一行都是等差数列（相邻两数之差处处相同）；其二，因为两端的数始终不变，每一行的平均数都等于首末两数的平均数 $2$，一直不变。再数出第 $100$ 行有多少个数：第 $1$ 行 $3$ 个，以后每行比上一行多 $1$ 个（每两个数之间插入一个），所以第 $100$ 行有 $102$ 个数。用“平均数 $\times$ 个数”即得该行之和。

方法概述：抓住“每行平均数恒为 $2$”与“第 $n$ 行有 $n+2$ 个数”，用平均数乘个数求和。

规范步骤：

看出每行都是等差数列，且首末两数不变：每行平均数 $=\dfrac{首+末}{2}=2$（等差数列的平均数等于首末平均）
数出第 $100$ 行的个数：$100+2=102$（每行比上一行多 $1$ 个数）
求和：$2\times102=204$（平均数 $\times$ 个数 $=$ 和）
写出答案：$204$

31. 【原题 ch13-xingqu-09】有这样一列数，前两个数分别是 $0$ 和 $1$，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots$。请问：这个数列的第 $1000$ 个数除以 $8$ 所得的余数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「递推数列的余数周期」类：数列本身增长极快，第 $1000$ 项根本写不出来，但只关心它除以 $8$ 的余数，就可以只对余数做递推。

关键切入点：关键在于“先取余再相加”：余数序列同样满足“每项等于前两项之和（再取余）”。写出 $0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1$ 之后，接下来又出现 $0,1$，说明余数以 $12$ 为周期循环。于是把 $1000$ 除以 $12$ 定位：$1000=12\times83+4$，第 $1000$ 项与第 $4$ 项同余。

方法概述：对递推数列逐项取余，找出余数周期，再用周期定位所求项。

规范步骤：

逐项对 $8$ 取余：$0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,\cdots$（先取余再相加不影响余数）
发现周期：第 $13,14$ 项的余数又是 $0,1$，周期为 $12$（余数对重复即开始循环）
定位第 $1000$ 项：$1000\div12=83\cdots\cdots4$（带余除法定位）
取周期内第 $4$ 项的余数：余数为 $2$（同一周期位置余数相同）

第一套

题目：数列 $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots$ 中，前两个数是 $0$ 和 $1$，从第三个数起每个数都是前两个数的和。求这个数列的第 $2000$ 个数除以 $8$ 的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（只跟踪余数）：逐项对 $8$ 取余得 $0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1$，再往下第 $13$、$14$ 项又是 $0,1$，所以周期长度为 $\underline{\quad}$。
第 2 步（定位）：$2000\div12$ 的整数商是 $166$，余数 $=2000-166\times12=\underline{\quad}$，所以第 $2000$ 项与周期内第 $8$ 项同余。
第 3 步（读出答案）：周期表中第 $8$ 项的余数是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：一对小兔第 $1$ 个月有 $0$ 对成年兔，第 $2$ 个月有 $1$ 对，从第 $3$ 个月起成年兔的对数都等于前两个月对数之和，得到 $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots$。若把成年兔每 $8$ 对装一笼，求第 $2000$ 个月装笼后剩下几对。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：剩下的对数就是该项除以 $8$ 的余数。逐项取余得 $0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1$，之后重复，周期为 $\underline{\quad}$。
第 2 步：$2000-166\times12=\underline{\quad}$，即与周期内第 $8$ 项相同。
第 3 步：周期内第 $8$ 项的余数是 $\underline{\quad}$（对）。

第三套

题目：数列 $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots$（从第三项起每项等于前两项之和）。求第 $1000$ 个数除以 $5$ 的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐项取余）：对 $5$ 取余得 $0,1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1$，第 $21$、$22$ 项又是 $0,1$，故周期为 $\underline{\quad}$。
第 2 步（定位）：$1000\div20$ 恰好整除，商是 $\underline{\quad}$，余数为 $0$，说明第 $1000$ 项落在一个周期的最后一项，即周期内第 $20$ 项。
第 3 步（读答案）：周期表第 $20$ 项的余数是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列 $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots$（从第三项起每项等于前两项之和）。求它的前 $1000$ 项之和除以 $8$ 的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（仍只跟踪余数）：各项对 $8$ 的余数以 $12$ 为周期循环，一个整周期的余数是 $0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1$，它们的和是 $\underline{\quad}$。
第 2 步（整周期不影响余数）：$32\div8=4$ 恰好整除，所以每个完整周期的和都是 $8$ 的倍数，$1000\div12=83\cdots\cdots\underline{\quad}$，前 $83$ 个整周期对余数没有贡献。
第 3 步（只算零头）：剩下 $4$ 项是周期开头的 $0,1,1,2$，其和为 $\underline{\quad}$。
第 4 步（求余数）：$4\div8$ 商 $0$ 余 $\underline{\quad}$。

32. 【原题 ch13-xingqu-10】观察数列 $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4},\frac{3}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4},\cdots$，求：（1）数列中第 $150$ 项；（2）数列中前 $300$ 项的和。

详细思路

是哪类问题：这是「数列分组求和」类：把数列按分母分组后，第 $n$ 组是 $\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots,\frac{n}{n},\cdots,\frac{2}{n},\frac{1}{n}$，共 $2n-1$ 项，先分组、再定位、最后求和。

关键切入点：关键有两点：一是前 $n$ 组的项数总和 $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ 恰是完全平方数，所以只要把项号跟平方数比一比就能定位；二是第 $n$ 组各数之和为 $\frac{1+2+\cdots+n+\cdots+2+1}{n}=\frac{n^2}{n}=n$，是个整数，求和特别简单。

方法概述：按分母分组，用完全平方数定位项号，每组和为组号，再补算零头。

规范步骤：

分组并数项数：第 $n$ 组有 $2n-1$ 项，前 $n$ 组共 $n^2$ 项（奇数列求和）
定位第 $150$ 项：$150=12^2+6$，落在第 $13$ 组第 $6$ 个（与平方数比较）
写出该项：第 $150$ 项为 $\dfrac{6}{13}$（第 $13$ 组前半段依次为 $\frac{1}{13},\frac{2}{13},\cdots$）
定位第 $300$ 项并分段求和：$300=17^2+11$，前 $17$ 组之和 $=1+2+\cdots+17=153$（每组和等于组号）
补算零头 $11$ 项：$\dfrac{1+2+\cdots+11}{18}=\dfrac{66}{18}=3\frac{2}{3}$（同分母分数相加）
合并：$153+3\frac{2}{3}=156\frac{2}{3}$

第一套

题目：观察数列 $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3},\cdots$，求：（1）第 $500$ 项；（2）前 $700$ 项的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用平方数定位）：前 $n$ 组共 $n^2$ 项。因为 $22^2=484<500<23^2$，所以第 $500$ 项在第 $23$ 组，是该组第 $500-484=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（判断在前半段还是后半段）：第 $23$ 组前 $23$ 项分子依次为 $1,2,\cdots,23$，因为 $16\le23$，所以第 $500$ 项的分子是 $16$，该项为 $\dfrac{\underline{\quad}}{23}$。
第 3 步（前 $700$ 项分段）：$26^2=676<700<27^2$，前 $26$ 组之和 $=1+2+\cdots+26=\dfrac{(1+26)\times26}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步（补算零头）：剩下 $700-676=\underline{\quad}$ 项，是第 $27$ 组前 $24$ 项，其和 $=\dfrac{1+2+\cdots+24}{27}=\dfrac{300}{27}=\underline{\quad}$（写成小数，即 $11\frac{1}{9}$）。
第 5 步（合并）：$351+\dfrac{100}{9}=\underline{\quad}$（写成小数）。

第二套

题目：一条流水线按批次输出零件的合格率（用分数记录）：$\frac{1}{1}$；$\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{2}$；$\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3}$；$\cdots$，第 $n$ 批共 $2n-1$ 个记录。求：（1）第 $500$ 个记录是多少；（2）前 $700$ 个记录之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：前 $n$ 批共 $n^2$ 个记录，$22^2=484<500<23^2$，所以第 $500$ 个在第 $23$ 批第 $500-484=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：$16\le23$，还在递增段，该记录是 $\dfrac{\underline{\quad}}{23}$。
第 3 步：$26^2=676<700$，前 $26$ 批之和 $=\dfrac{(1+26)\times26}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步：零头 $700-676=\underline{\quad}$ 个，其和 $=\dfrac{(1+24)\times24\div2}{27}=\underline{\quad}$。
第 5 步：合计 $=\underline{\quad}$。

第三套

题目：观察数列 $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3},\cdots$，问第 $200$ 项在第几组、是这一组的第几个、这个数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找相邻平方数）：前 $n$ 组共 $n^2$ 项，$14^2=196<200<15^2=225$，所以第 $200$ 项在第 $\underline{\quad}$ 组。
第 2 步（算组内序号）：$200-196=\underline{\quad}$，即第 $15$ 组的第 $4$ 个。
第 3 步（写出该数）：$4\le15$，仍在递增段，分子是 $4$，分母是 $15$，该数为 $\dfrac{4}{\underline{\quad}}$。

第三套

题目：观察数列 $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3},\cdots$，求：（1）第 $1000$ 项；（2）前 $1000$ 项的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位到组）：$31^2=961<1000<32^2$，第 $1000$ 项在第 $32$ 组，是该组第 $1000-961=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（判断段位——本题的难点）：第 $32$ 组共 $2\times32-1=\underline{\quad}$ 项，前 $32$ 项递增、后 $31$ 项递减。因为 $39>32$，该项落在递减段，分子 $=63-39+1=\underline{\quad}$，所以第 $1000$ 项为 $\dfrac{25}{32}$。
第 3 步（整组求和）：前 $31$ 组之和 $=1+2+\cdots+31=\dfrac{(1+31)\times31}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步（零头分两段求分子和）：递增段 $32$ 项分子和 $=\dfrac{(1+32)\times32}{2}=\underline{\quad}$；递减段 $39-32=7$ 项分子依次为 $31,30,\cdots,25$，其和 $=\dfrac{(31+25)\times7}{2}=\underline{\quad}$。
第 5 步（零头之和）：$\dfrac{528+196}{32}=\underline{\quad}$（写成小数）。
第 6 步（合并）：$496+22.625=\underline{\quad}$（写成小数）。

竞赛数学 · 五年级第13讲《计算综合一》举一反三练习卷

附录 · 答案

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