竞赛数学 · 五年级 第14讲《直线形计算二》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch14-chaoyue-01】如图 $14-25$，三角形 $ABC$ 的每边长都是 $96$ 厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，请求出 $CE$ 和 $CF$ 的长度之和。
详细思路
是哪类问题：这是「等积分割 + 等高三角形底比」类几何题：四块面积相等，说明每块都是原三角形的 $\frac{1}{4}$，再连续用「同高时面积比等于底比」，逐段定出折线上各分点的位置。
关键切入点：折线 $B\text{-}D\text{-}E\text{-}F$ 把 $\triangle ABC$ 分成 $\triangle ABD$、$\triangle BDE$、$\triangle DEF$、$\triangle EFC$ 四块，每块都是 $\frac{1}{4}$。$\triangle ABD$ 与 $\triangle ABC$ 以 $B$ 为顶点等高，$AD=\frac{1}{4}AC=24$，$CD=72$。$\triangle DEF$ 与 $\triangle EFC$ 合成 $\triangle DEC$，占整体的 $\frac{1}{2}$；把 $\triangle DEC$ 先沿 $BC$、再沿 $CA$ 两次用等高面积比拆开，可定出 $CE=64$；再由 $\triangle EFC=\frac{1}{4}$ 定出 $CF=36$，两段相加即得。
方法概述：每块 $=\frac{1}{4}$→等高面积比定 $AD$→用 $\triangle DEC=\frac{1}{2}$ 定 $CE$→用 $\triangle EFC=\frac{1}{4}$ 定 $CF$→相加。
规范步骤：
  1. 每块面积是四分之一，定 $AD$：$\triangle ABD$ 与 $\triangle ABC$ 以 $B$ 为顶点等高，$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD}{AC}=\frac14$，$AD=96\div 4=24$（厘米）（等高时面积比=底比）
  2. 求 $CD$：$CD=96-24=72$（厘米）（线段相减）
  3. 合并出 $\triangle DEC$ 占一半：$EF$ 把 $\triangle DEC$ 分成 $\triangle DEF$ 与 $\triangle EFC$ 两块，$S_{\triangle DEC}=\frac14+\frac14=\frac12$（两块等积三角形相加）
  4. 两次等高比定 $CE$：$\frac{S_{\triangle DBC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{CD}{CA}=\frac34$，$\frac{S_{\triangle DEC}}{S_{\triangle DBC}}=\frac{CE}{CB}$，由 $\frac{CE}{96}\times\frac34=\frac12$ 得 $CE=96\times\frac23=64$（厘米）（沿两条边各用一次等高面积比）
  5. 由 $\triangle EFC=\frac14$ 定 $CF$：$\frac{S_{\triangle EFC}}{S_{\triangle EAC}}=\frac{CF}{CA}$，$\frac{S_{\triangle EAC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{CE}{CB}=\frac23$，由 $\frac{CF}{96}\times\frac23=\frac14$ 得 $CF=96\times\frac38=36$（厘米）（同样两次等高面积比）
  6. 两段相加：$CE+CF=64+36=100$（厘米）
2. 【原题 ch14-chaoyue-02】如图 $14-26$，把四边形 $ABCD$ 的各边延长 $1$ 倍，得到四边形 $EFGH$。如果四边形 $ABCD$ 的面积是 $5$ 平方米，则 $EFGH$ 的面积是多少平方米？
详细思路
是哪类问题：这是「延长边的面积放大 + 对角线分割」类几何题：先连对角线把四边形拆成两个三角形，再把四周多出来的四个三角形折算成原四边形的份数。
关键切入点：设对角线 $BD$ 把四边形分成 $S_1=\triangle ABD$ 与 $S_2=\triangle CBD$，四边形 $=S_1+S_2$。各边延长 $1$ 倍后，$\triangle AEH$ 与 $\triangle CFG$ 的面积和是 $2S_1+2S_2$，即原四边形的 $2$ 倍；$\triangle BEF$ 与 $\triangle DGH$ 的面积和同样是 $2$ 倍。加上中间的原四边形 $1$ 份，共 $5$ 份。
方法概述：连对角线分块→四周三角形折算份数→合计 $2+2+1=5$ 份。
规范步骤：
  1. 连对角线设份：$S_{ABCD}=S_1+S_2$（对角线分割）
  2. 一组对角三角形：$S_{\triangle AEH}+S_{\triangle CFG}=2(S_1+S_2)$（延长 1 倍，两次放大）
  3. 另一组对角三角形：$S_{\triangle BEF}+S_{\triangle DGH}=2(S_1+S_2)$（同理）
  4. 合计份数并计算：$2+2+1=5$（份），$5\times 5=25$（平方米）
第一套
题目：把四边形 $ABCD$ 的各边延长 $1$ 倍，得到四边形 $EFGH$。如果四边形 $ABCD$ 的面积是 $13$ 平方米，则 $EFGH$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（连对角线折算份数）：设四边形 $ABCD$ 为 $1$ 份，一组对角三角形合计 $2$ 份，另一组也是 $2$ 份。
  2. 第 2 步（合计份数）：$2+2+1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求面积）：$13\times 5=\underline{\quad}$（平方米）。
第二套
题目：一块四边形的池塘 $ABCD$ 面积是 $13$ 平方米，把它的各边都向外延长 $1$ 倍，围成新的四边形场地 $EFGH$。新场地的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折算份数）：原四边形 $1$ 份，四周两组三角形各 $2$ 份，共 $2+2+1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求面积）：$13\times 5=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：把四边形 $ABCD$ 的各边延长 $1$ 倍得到四边形 $EFGH$，已知 $EFGH$ 的面积是 $65$ 平方米。四边形 $ABCD$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折算份数）：$EFGH$ 是 $ABCD$ 的 $2+2+1=\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（反求一份）：$65\div 5=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：把四边形 $ABCD$ 的各边延长 $1$ 倍得到四边形 $EFGH$，$ABCD$ 的面积是 $13$ 平方米。（1）$EFGH$ 的面积是多少？（2）四周四个三角形的面积之和是多少？（3）原四边形占新四边形的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合计份数）：$2+2+1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求 $EFGH$）：$13\times 5=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（四周部分）：$65-13=\underline{\quad}$（平方米），也等于 $13\times 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（求占比）：$13\div 65=\underline{\quad}$，即 $\frac{1}{5}$。
3. 【原题 ch14-chaoyue-03】图 $14-27$ 中 $ABCD$ 是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米）。过 $I$ 点的线段 $IM$ 将五边形 $EFGHI$ 分成面积相等的两部分。线段 $BM$ 的长度是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形内多边形面积 + 面积平分」类综合题：先用整体减四个角上的空白三角形求出五边形面积，再用「梯形面积倒推下底」求 $BM$。
关键切入点：$BM$ 藏在直角梯形 $ABMI$ 里，这个梯形的上底 $AI$ 和高 $AB$ 都已知，只要求出它的面积就能倒推下底。而 $ABMI$ 的面积 $=\triangle AEI+\triangle BEF+$ 四边形 $EFMI$，其中四边形 $EFMI$ 是五边形的一半。
方法概述：整体减角求五边形→取一半→拼出梯形面积→倒推下底 $BM$。
规范步骤：
  1. 求正方形面积：$8\times 8=64$（平方厘米）（正方形面积）
  2. 求四个角上的空白三角形：$5,\;3,\;4,\;6$（平方厘米）（直角三角形面积）
  3. 整体减空白求五边形：$64-5-3-4-6=46$（平方厘米）（整体减部分）
  4. 取一半：$46\div 2=23$（平方厘米）（面积平分）
  5. 拼出梯形 $ABMI$ 的面积：$5+3+23=31$（平方厘米）（分块求和）
  6. 倒推下底：$BM=31\times 2\div 8-5=2.75$（厘米）（梯形面积公式反用）
4. 【原题 ch14-chaoyue-04】如图 $14-28$，在钝角三角形 $ABC$ 中，$M$ 为 $AB$ 边的中点，$MD$、$EC$ 都垂直于 $BC$ 边。若三角形 $BDE$ 的面积是 $3$ 平方厘米，则三角形 $ABC$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「中位线 + 等积变形」类几何题：两条垂线平行，把面积在平行线之间「搬家」，再用中点把面积翻倍。
关键切入点：$MD$、$EC$ 都垂直于 $BC$，所以 $MD\parallel EC$；由 $M$ 是 $AB$ 中点可知 $MD$ 是与 $EC$ 平行的中位线段，利用平行线间的等积变形可得 $\triangle BCM$ 与 $\triangle BDE$ 面积相等，都是 $3$ 平方厘米。再由 $M$ 是 $AB$ 中点、$\triangle ABC$ 与 $\triangle BCM$ 以 $C$ 为顶点等高，底 $AB=2BM$，所以 $\triangle ABC$ 是 $\triangle BCM$ 的 $2$ 倍。
方法概述：平行→等积变形换出 $\triangle BCM$→中点翻倍得 $\triangle ABC$。
规范步骤：
  1. 两垂线平行：$MD\parallel EC$（同垂直于 $BC$）
  2. 等积变形：$S_{\triangle BCM}=S_{\triangle BDE}=3$（平方厘米）（平行线间等积）
  3. 中点翻倍：$S_{\triangle ABC}=2\times 3=6$（平方厘米）（$AB=2BM$）
第一套
题目：在钝角三角形 $ABC$ 中，$M$ 为 $AB$ 边的中点，$MD$、$EC$ 都垂直于 $BC$ 边。若三角形 $BDE$ 的面积是 $11$ 平方厘米，则三角形 $ABC$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找平行）：$MD$ 与 $EC$ 都垂直于 $BC$，所以 $MD\parallel EC$。
  2. 第 2 步（等积变形）：由平行关系可得 $S_{\triangle BCM}=S_{\triangle BDE}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（中点翻倍）：$M$ 是 $AB$ 中点，$AB=2BM$，$\triangle ABC$ 与 $\triangle BCM$ 以 $C$ 为顶点等高，$S_{\triangle ABC}=2\times 11=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块钝角三角形的草地 $ABC$，$M$ 是边 $AB$ 的中点，小径 $MD$ 与 $EC$ 都垂直于 $BC$。三角形地块 $BDE$ 的面积是 $11$ 平方米，整块草地 $ABC$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找平行）：两条小径都垂直于 $BC$，所以互相平行。
  2. 第 2 步（等积变形）：$S_{\triangle BCM}=S_{\triangle BDE}=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（中点翻倍）：$S_{\triangle ABC}=2\times 11=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：在钝角三角形 $ABC$ 中，$M$ 为 $AB$ 边的中点，$MD$、$EC$ 都垂直于 $BC$ 边。若三角形 $ABC$ 的面积是 $22$ 平方厘米，则三角形 $BDE$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中点取一半）：$S_{\triangle BCM}=22\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（等积变形）：$MD\parallel EC$，所以 $S_{\triangle BDE}=S_{\triangle BCM}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在钝角三角形 $ABC$ 中，$M$ 为 $AB$ 边的中点，$MD$、$EC$ 都垂直于 $BC$ 边。三角形 $BDE$ 的面积是 $11$ 平方厘米。（1）三角形 $ABC$ 的面积是多少？（2）三角形 $ACM$ 的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（等积变形）：$S_{\triangle BCM}=S_{\triangle BDE}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（中点翻倍）：$S_{\triangle ABC}=2\times 11=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（整体减部分）：$M$ 在 $AB$ 上，$\triangle ABC$ 被 $CM$ 分成 $\triangle BCM$ 与 $\triangle ACM$，$S_{\triangle ACM}=22-11=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（另法验一验）：中点把三角形分成相等的两块，$22\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米），一致。
5. 【原题 ch14-chaoyue-05】在图 $14-29$ 中，大正方形面积比小正方形面积大 $40$ 平方厘米。大正方形面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「和差问题 + 正方形面积」类综合题：两个正方形边长的和由图给出，面积差用平方差写成 $(a+b)(a-b)$，就把面积关系变成了边长的差。
关键切入点：设大、小正方形边长为 $a$、$b$，由图 $a+b=20$。面积差 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)=40$，把 $a+b=20$ 代入得 $a-b=40\div 20=2$。有了和与差，用和差公式 $a=(20+2)\div 2$ 就求出大边长。
方法概述：面积差 $\div$ 边长和 $=$ 边长差→和差问题求边长→算面积。
规范步骤：
  1. 写出边长和：$a+b=20$（由图得出）
  2. 面积差化成积的形式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=40$（平方差）
  3. 求边长差：$a-b=40\div 20=2$（除法）
  4. 和差问题求大边长：$a=(20+2)\div 2=11$（和差公式）
  5. 求大正方形面积：$11\times 11=121$（平方厘米）
第一套
题目：两个正方形并排放置，它们的边长之和是 $30$ 厘米，大正方形的面积比小正方形的面积大 $180$ 平方厘米。大正方形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把面积差写成积）：$a^2-b^2=(a+b)\times(a-b)=180$，其中 $a+b=30$。
  2. 第 2 步（求边长差）：$a-b=180\div 30=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（和差问题求大边长）：$a=(30+6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求面积）：$18\times 18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：两块正方形的地砖并排铺着，边长之和是 $30$ 分米，大砖的面积比小砖大 $180$ 平方分米。大砖的面积是多少平方分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（面积差写成积）：$(a+b)\times(a-b)=180$，$a+b=30$。
  2. 第 2 步（求边长差）：$180\div 30=\underline{\quad}$（分米）。
  3. 第 3 步（和差公式）：$a=(30+6)\div 2=\underline{\quad}$（分米）。
  4. 第 4 步（求面积）：$18\times 18=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：两个正方形的边长之和是 $30$ 厘米，大正方形的面积比小正方形大 $180$ 平方厘米。小正方形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求边长差）：$180\div 30=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（和差公式求小边长）：$b=(30-6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求面积）：$12\times 12=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：两个正方形的边长之和是 $30$ 厘米，大正方形的面积比小正方形大 $180$ 平方厘米。（1）大、小正方形的面积各是多少？（2）两个正方形的面积之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求边长差）：$180\div 30=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（求两条边长）：$a=(30+6)\div 2=\underline{\quad}$，$b=(30-6)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求两个面积）：$18\times 18=\underline{\quad}$，$12\times 12=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求面积和）：$324+144=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（验一验面积差）：$324-144=\underline{\quad}$（平方厘米），与题目相符。
6. 【原题 ch14-chaoyue-06】如图 $14-30$，直角三角形 $ABC$ 的三边长分别为 $AC=30$ 分米，$AB=18$ 分米，$BC=24$ 分米，$ED$ 垂直于 $AC$，且 $ED=95$ 厘米。问正方形 $BFEG$ 的边长是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「直角三角形面积分割 + 乘法分配律求高」类综合题：先统一单位，再用整体减部分得到两个三角形的面积和，最后用分配律把公共的高（正方形边长）解出来。
关键切入点：$ED=95$ 厘米 $=9.5$ 分米。$\triangle AEC$ 以 $AC=30$ 为底、$ED$ 为高，面积 $142.5$ 平方分米；整个直角三角形面积 $18\times 24\div 2=216$ 平方分米，于是 $\triangle ABE$ 与 $\triangle CBE$ 的面积和是 $216-142.5=73.5$ 平方分米。这两个三角形分别以 $AB$、$BC$ 为底，高都是正方形边长，用分配律得 $(18+24)\times 高\div 2=73.5$。
方法概述：统一单位→整体减部分→分配律反求高→换回厘米。
规范步骤：
  1. 统一单位：$ED=95$ 厘米 $=9.5$ 分米（单位换算）
  2. 求 $\triangle AEC$：$30\times 9.5\div 2=142.5$（平方分米）（三角形面积）
  3. 求直角三角形总面积：$18\times 24\div 2=216$（平方分米）（直角三角形面积）
  4. 整体减部分：$216-142.5=73.5$（平方分米）（两三角形面积和）
  5. 分配律反求高：$73.5\times 2\div(18+24)=3.5$（分米）（乘法分配律）
  6. 换回厘米：$3.5$ 分米 $=35$ 厘米
第一套
题目：直角三角形 $ABC$ 的三边长为 $AC=50$ 分米、$AB=30$ 分米、$BC=40$ 分米，$ED$ 垂直于 $AC$ 且 $ED=100$ 厘米（$E$ 是正方形 $BFEG$ 的一个顶点，正方形的直角顶点与 $B$ 重合）。正方形 $BFEG$ 的边长是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位）：$ED=100$ 厘米 $=100\div 10=\underline{\quad}$（分米）。
  2. 第 2 步（求 $\triangle AEC$）：以 $AC=50$ 为底、$ED$ 为高，$50\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（求直角三角形总面积）：$30\times 40\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  4. 第 4 步（整体减部分）：$\triangle ABE$ 与 $\triangle CBE$ 的面积和 $=600-250=\underline{\quad}$（平方分米）。
  5. 第 5 步（分配律反求高）：两三角形底之和 $=30+40=\underline{\quad}$，高 $=350\times 2\div 70=\underline{\quad}$（分米）。
  6. 第 6 步（换回厘米）：$10\times 10=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块直角三角形的菜地 $ABC$，三边长为 $AC=50$ 分米、$AB=30$ 分米、$BC=40$ 分米。地里有一个正方形的水池 $BFEG$（直角顶点在 $B$），$E$ 到边 $AC$ 的距离 $ED=100$ 厘米。水池的边长是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位）：$ED=100\div 10=\underline{\quad}$（分米）。
  2. 第 2 步（求 $\triangle AEC$）：$50\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（求菜地总面积）：$30\times 40\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  4. 第 4 步（整体减部分）：$600-250=\underline{\quad}$（平方分米）。
  5. 第 5 步（分配律反求边长）：$350\times 2\div(30+40)=\underline{\quad}$（分米）。
  6. 第 6 步（换回厘米）：$10\times 10=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：直角三角形 $ABC$ 中 $AC=50$ 分米、$AB=30$ 分米、$BC=40$ 分米，$ED$ 垂直于 $AC$ 且 $ED=10$ 分米。三角形 $AEC$ 的面积是多少？三角形 $ABE$ 与三角形 $CBE$ 的面积之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $\triangle AEC$）：$50\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  2. 第 2 步（求总面积）：$30\times 40\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（整体减部分）：$600-250=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：直角三角形 $ABC$ 中 $AC=50$ 分米、$AB=30$ 分米、$BC=40$ 分米，正方形 $BFEG$ 的顶点 $E$ 到 $AC$ 的距离 $ED=100$ 厘米。（1）正方形的边长是多少分米？（2）正方形的面积是多少平方分米？（3）三角形中正方形以外部分的面积是多少平方分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位）：$ED=100\div 10=\underline{\quad}$（分米）。
  2. 第 2 步（求 $\triangle AEC$ 与总面积）：$50\times 10\div 2=\underline{\quad}$，$30\times 40\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（整体减部分）：$600-250=\underline{\quad}$（平方分米）。
  4. 第 4 步（分配律反求边长）：$350\times 2\div(30+40)=\underline{\quad}$（分米）。
  5. 第 5 步（正方形面积）：$10\times 10=\underline{\quad}$（平方分米）。
  6. 第 6 步（再整体减部分）：$600-100=\underline{\quad}$（平方分米）。
7. 【原题 ch14-chaoyue-07】菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位。突然，菜鸟向大虾发出一枚飞镖。说时迟那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖砍去，只听见“噗”的一声，飞镖被劈成了两半。如图 $14-31$，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为 $5$，被大虾劈开的刀口如虚线所示（图中标注的长度分别为 $4$ 与 $2$），那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？
详细思路
是哪类问题：这是「正六角星等积分割 + 整体设为单位 1」类问题：先把六角星切成 $12$ 个全等的小三角形，把整体面积设为 $1$，各块都能用份数表示；刀口切出的三角形与大三角形共用一个顶角，用「共角三角形面积比等于两夹边乘积之比」折算。
关键切入点：六角星由中间正六边形与六个角上的小三角形组成，正好分成 $12$ 个全等的小三角形，每个是 $\frac{1}{12}$。图中粗黑的大三角形（边长 $15$，即星边长 $5$ 的 $3$ 倍）恰含 $9$ 个小三角形，占 $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$。刀口三角形与这个大三角形共用同一个顶角，两条夹边分别是大三角形两边去掉标注的 $4$ 与 $2$ 后剩下的 $15-4=11$ 与 $15-2=13$，由「共角三角形面积比等于两夹边乘积之比」得刀口三角形 $=\frac{3}{4}\times\frac{11}{15}\times\frac{13}{15}=\frac{143}{300}$。较大残片是它与两个小三角形之和，较小残片用 $1$ 减去较大残片。
方法概述：整体设 $1$→等积分割成 $12$ 份→共角折算刀口三角形→求和与相减求两块残片。
规范步骤：
  1. 等积分割：每个小三角形 $=\frac{1}{12}$（12 个全等小三角形）
  2. 粗黑大三角形：$\frac{1}{12}\times 9=\frac{3}{4}$（边长 $15$，含 $9$ 个小三角形）（整体设为 1）
  3. 共角折算刀口三角形：两条夹边为 $15-4=11$ 与 $15-2=13$，$\frac{3}{4}\times\frac{11}{15}\times\frac{13}{15}=\frac{143}{300}$（共角三角形面积比=两夹边乘积比）
  4. 较大残片：$\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{143}{300}=\frac{193}{300}$（分块求和）
  5. 较小残片：$1-\frac{193}{300}=\frac{107}{300}$（整体减部分）
8. 【原题 ch14-chaoyue-08】如图 $14-32$，将三个边长为 $1$ 的正方形组合在一起，中间的正方形两个顶点恰好是另外两个正方形的中心。请问：图中阴影部分的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「平行线等积变形 + 正方形中心对称」类问题：靠一连串「同底等高面积相等」把零碎的阴影搬成规整的图形。
关键切入点：中间正方形的两个顶点恰是另外两个正方形的中心，这保证了图中出现成对的平行线。由 $BF\parallel GA$ 得 $S_{\triangle BAF}=S_{\triangle GAF}$；由 $NB\parallel GH$ 得 $S_{\triangle GAB}=S_{\triangle HAB}$。这样一步步把上下两块阴影三角形与中间部分搬拼在一起，恰好等于一个边长为 $1$ 的正方形的一半。
方法概述：找平行→等积变形搬块→拼成正方形的一半。
规范步骤：
  1. 利用平行做第一次等积变形：$S_{\triangle BAF}=S_{\triangle GAF}$（$BF\parallel GA$）
  2. 再做一次等积变形：$S_{\triangle GAB}=S_{\triangle HAB}$（$NB\parallel GH$）
  3. 拼成正方形的一半：$1\times 1\div 2=\frac{1}{2}$（对称性）
9. 【原题 ch14-tuozhan-01】如图 $14-11$，有 $9$ 个小长方形，其中的 $5$ 个小长方形的面积分别为 $4,8,12,16,20$ 平方米。其余 $4$ 个长方形的面积分别是多少平方米？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形网格的行列比例」类问题：$9$ 个小长方形排成三行三列，同一行的高相同、同一列的宽相同，因此同行面积之比等于宽之比、同列面积之比等于高之比。
关键切入点：从已知格子最多的那一行（或那一列）入手：比如同一行里 $12$ 是 $4$ 的 $3$ 倍，说明这两列的宽是 $3$ 倍关系；把这个宽的倍数关系搬到别的行，就能顺次推出未知格子；每求出一格，就多一条可用的比例，像多米诺一样把 $4$ 个空格全部推出来。
方法概述：同行（同列）面积比 $=$ 宽（高）之比，沿行列交替推算。
规范步骤：
  1. 由同一行两格得列宽之比：$12\div 4=3$，两列宽之比为 $3:1$（同行等高，面积比=宽比）
  2. 把宽的倍数搬到其他行：$8\times 3=24$（平方米）（同列等宽）
  3. 同法推出其余格子：$10\times 3=30$（平方米）（行列交替推算）
  4. 写出四个空格：$8,\;24,\;10,\;30$（平方米）
10. 【原题 ch14-tuozhan-02】如图 $14-12$ 中三角形 $ABC$ 的面积是 $180$ 平方厘米，$D$ 是 $BC$ 的中点，$AD$ 是 $AE$ 的 $3$ 倍。三角形 $ABE$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「中点性质 + 等高三角形面积比」类几何题：中点把三角形分成面积相等的两半，再用一次面积比等于底比。
关键切入点：$D$ 是 $BC$ 中点，$\triangle ABD$ 与 $\triangle ABC$ 以 $A$ 为顶点等高、底 $BD=\frac{1}{2}BC$，所以面积是一半。再看 $\triangle ABE$ 与 $\triangle ABD$：以 $B$ 为顶点等高，底 $AE$ 是 $AD$ 的 $\frac{1}{3}$，面积也是 $\frac{1}{3}$。
方法概述：中点取一半→再按底比取 $\frac{1}{3}$。
规范步骤：
  1. 中点分一半：$S_{\triangle ABD}=180\div 2=90$（平方厘米）（中点性质）
  2. 再按底比缩小：$S_{\triangle ABE}=90\times\frac{1}{3}=30$（平方厘米）（等高时面积比=底比）
第一套
题目：三角形 $ABC$ 的面积是 $480$ 平方厘米，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 在 $AD$ 上且 $AD$ 是 $AE$ 的 $4$ 倍。三角形 $ABE$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中点分一半）：$D$ 是 $BC$ 中点，$S_{\triangle ABD}=480\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（再按底比缩）：$\triangle ABE$ 与 $\triangle ABD$ 以 $B$ 为顶点等高，底 $AE$ 是 $AD$ 的 $\frac{1}{4}$，$S_{\triangle ABE}=240\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块三角形草地 $ABC$ 面积是 $480$ 平方米，$D$ 是边 $BC$ 的中点，小路上的点 $E$ 在 $AD$ 上且 $AD$ 是 $AE$ 的 $4$ 倍。三角形地块 $ABE$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中点分一半）：$480\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（按底比缩）：$240\div 4=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 的面积是 $480$ 平方厘米，$D$ 是 $BC$ 上靠近 $B$ 的三等分点，$E$ 在 $AD$ 上且 $AD$ 是 $AE$ 的 $4$ 倍。三角形 $ABE$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按底比缩第一次）：$BD$ 是 $BC$ 的 $\frac{1}{3}$，$S_{\triangle ABD}=480\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（按底比缩第二次）：$AE$ 是 $AD$ 的 $\frac{1}{4}$，$S_{\triangle ABE}=160\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 的面积是 $480$ 平方厘米，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 在 $AD$ 上且 $AD$ 是 $AE$ 的 $4$ 倍。三角形 $EBD$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中点分一半）：$S_{\triangle ABD}=480\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求 $\triangle ABE$）：$S_{\triangle ABE}=240\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（整体减部分）：$E$ 在 $AD$ 上，$\triangle ABD$ 被分成 $\triangle ABE$ 与 $\triangle EBD$，$S_{\triangle EBD}=240-60=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（另法验算）：$ED$ 占 $AD$ 的 $\frac{3}{4}$，$240\times 3\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米），一致。
11. 【原题 ch14-tuozhan-03】如图 $14-13$，在四边形 $ABCD$ 中，已知 $CD=3DF$，$AE=3ED$，且三角形 $BFC$ 的面积为 $6$ 平方厘米，四边形 $BEDF$ 的面积为 $7$ 平方厘米。大四边形 $ABCD$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「添辅助线（连对角线）+ 共边三角形面积比」类几何题：连一条对角线把不规则四边形拆成能用面积比处理的三角形。
关键切入点：连 $BD$，四边形 $BEDF$ 就被拆成 $\triangle BDE$ 与 $\triangle BDF$。在 $\triangle BCD$ 中，$CD=3DF$ 意味着 $CF=2DF$，$\triangle BCF$ 与 $\triangle BDF$ 以 $B$ 为顶点等高，面积比 $=CF:DF=2:1$，于是 $\triangle BDF=6\div 2=3$。再由四边形面积得 $\triangle BDE=7-3=4$；由 $AE=3ED$ 得 $\triangle ABE$ 是 $\triangle BDE$ 的 $3$ 倍。最后把 $\triangle ABE$、四边形 $BEDF$、$\triangle BFC$ 三块拼起来就是大四边形。
方法概述：连对角线拆块→用底比求各块→分块求和。
规范步骤：
  1. 连 $BD$ 拆块：$S_{BEDF}=S_{\triangle BDE}+S_{\triangle BDF}$（添加辅助线）
  2. 由 $CD=3DF$ 得 $CF=2DF$：$S_{\triangle BDF}=6\div 2=3$（平方厘米）（等高时面积比=底比）
  3. 求 $\triangle BDE$：$7-3=4$（平方厘米）（整体减部分）
  4. 由 $AE=3ED$ 求 $\triangle ABE$：$4\times 3=12$（平方厘米）（面积比=底比）
  5. 分块求和：$12+7+6=25$（平方厘米）
第一套
题目：在四边形 $ABCD$ 中，$F$ 在 $CD$ 上且 $CD=4DF$，$E$ 在 $AD$ 上且 $AE=4ED$。三角形 $BFC$ 的面积为 $18$ 平方厘米，四边形 $BEDF$ 的面积为 $20$ 平方厘米。四边形 $ABCD$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（添辅助线）：连 $BD$，四边形 $BEDF$ 被拆成 $\triangle BDE$ 与 $\triangle BDF$。
  2. 第 2 步（求底比）：由 $CD=4DF$ 得 $CF=CD-DF=\underline{\quad}DF$，所以 $\triangle BFC$ 的面积是 $\triangle BDF$ 的 $3$ 倍。
  3. 第 3 步（求 $\triangle BDF$）：$18\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求 $\triangle BDE$）：$20-6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（求 $\triangle ABE$）：由 $AE=4ED$，$\triangle ABE$ 是 $\triangle BDE$ 的 $4$ 倍，$14\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（分块求和）：$56+20+18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块四边形果园 $ABCD$，$F$ 在 $CD$ 上且 $CD=4DF$，$E$ 在 $AD$ 上且 $AE=4ED$。三角形地块 $BFC$ 的面积为 $18$ 平方米，四边形地块 $BEDF$ 的面积为 $20$ 平方米。整个果园的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（连 $BD$ 拆块）：把 $BEDF$ 拆成 $\triangle BDE$ 与 $\triangle BDF$。
  2. 第 2 步（底比）：$CF=CD-DF=\underline{\quad}DF$，$\triangle BFC$ 是 $\triangle BDF$ 的 $3$ 倍。
  3. 第 3 步：$S_{\triangle BDF}=18\div 3=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步：$S_{\triangle BDE}=20-6=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步：$S_{\triangle ABE}=14\times 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  6. 第 6 步：整个果园 $=56+20+18=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：在四边形 $ABCD$ 中，$F$ 在 $CD$ 上且 $CD=4DF$。三角形 $BFC$ 的面积为 $18$ 平方厘米，四边形 $BEDF$ 的面积为 $20$ 平方厘米（$E$ 在 $AD$ 上）。三角形 $BDF$ 与三角形 $BDE$ 的面积各是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（连 $BD$）：四边形 $BEDF$ 被对角线 $BD$ 拆成两个三角形。
  2. 第 2 步（底比）：$CF=CD-DF=\underline{\quad}DF$，$\triangle BFC$ 是 $\triangle BDF$ 的 $3$ 倍。
  3. 第 3 步（求 $\triangle BDF$）：$18\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求 $\triangle BDE$）：$20-6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在四边形 $ABCD$ 中，$F$ 在 $CD$ 上且 $CD=4DF$，$E$ 在 $AD$ 上且 $AE=4ED$。三角形 $BFC$ 的面积为 $18$ 平方厘米，四边形 $BEDF$ 的面积为 $20$ 平方厘米。（1）四边形 $ABCD$ 的面积是多少？（2）三角形 $ABD$ 的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（底比）：$CF=\underline{\quad}DF$，$S_{\triangle BDF}=18\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求 $\triangle BDE$）：$20-6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求 $\triangle ABE$）：$14\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（分块求和）：$S_{ABCD}=56+20+18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（合并求 $\triangle ABD$）：$\triangle ABD$ 由 $\triangle ABE$ 与 $\triangle BDE$ 拼成，$56+14=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（换个角度验一验）：$\triangle ABD$ 也等于四边形去掉 $\triangle BDF$ 与 $\triangle BFC$，$94-6-18=\underline{\quad}$（平方厘米），一致。
12. 【原题 ch14-tuozhan-04】如图 $14-14$，把三角形 $DEF$ 的各边向外延长 $1$ 倍后得到三角形 $ABC$。三角形 $ABC$ 的面积是三角形 $DEF$ 的多少倍？
详细思路
是哪类问题：这是「延长边的面积放大」类几何题：把三角形每条边向外延长，角上多出三个三角形，用共角（等高）关系把它们都换算成原三角形的份数。
关键切入点：以 $\triangle ADE$ 为例：$AD$ 是 $ED$ 的 $1$ 倍延长，$AE$ 又比 $DE$ 长一倍，两个方向各放大一次，所以它是 $\triangle DEF$ 的 $1\times 2=2$ 倍。三个角上的三角形都是 $2$ 份，加上中间的 $1$ 份，一共 $7$ 份。
方法概述：把每个角上三角形折算成原三角形的份数，再整体求和。
规范步骤：
  1. 设原三角形为 $1$ 份：$S_{\triangle DEF}=1$（设份数）
  2. 每个角上三角形都是 $2$ 份：$1\times 2=2$（份）（两次等高放大）
  3. 三个角合计：$2\times 3=6$（份）（求和）
  4. 加上中间部分：$1+6=7$（份）
第一套
题目：把三角形 $DEF$ 的各边向外延长 $2$ 倍（即延长出的部分是原边长的 $2$ 倍）后得到三角形 $ABC$。三角形 $ABC$ 的面积是三角形 $DEF$ 的多少倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：设 $S_{\triangle DEF}=1$ 份。
  2. 第 2 步（算一个角上的三角形）：它的两条边分别是原边的 $2$ 倍和 $2+1=\underline{\quad}$ 倍，所以面积是 $2\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（三个角合计）：$6\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（加上中间）：$1+18=\underline{\quad}$（份），即 $ABC$ 是 $DEF$ 的 $19$ 倍。
第二套
题目：一块三角形绿地 $DEF$ 面积是 $5$ 平方米，现在把它的各边都向外延长 $2$ 倍，扩建成三角形绿地 $ABC$。扩建后绿地的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：设原绿地为 $1$ 份。
  2. 第 2 步（一个角上的三角形）：两条边分别是原边的 $2$ 倍和 $2+1=\underline{\quad}$ 倍，面积是 $2\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（合计份数）：$1+6\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（算面积）：$5\times 19=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：把三角形 $DEF$ 的各边向外延长 $1$ 倍后得到三角形 $ABC$，已知三角形 $ABC$ 的面积是 $126$ 平方厘米。三角形 $DEF$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折算份数）：每个角上的三角形是 $DEF$ 的 $1\times 2=\underline{\quad}$ 份，三个角共 $2\times 3=\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步（总份数）：$1+6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（反求一份）：$126\div 7=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：三角形 $DEF$ 的面积是 $5$ 平方厘米，把它的各边都向外延长 $2$ 倍得到三角形 $ABC$。（1）三角形 $ABC$ 的面积是多少？（2）三个角上的三角形面积之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一个角上的三角形折算份数）：$2\times(2+1)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（三个角合计份数）：$6\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（总份数）：$1+18=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求 $\triangle ABC$）：$5\times 19=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（求三个角上部分）：$5\times 18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（验一验）：$95-5=\underline{\quad}$（平方厘米），与上一步相符。
13. 【原题 ch14-tuozhan-05】如图 $14-15$，将一个长为 $18$ 的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形的 $5$ 倍。三角形 $ABE$ 的边长 $BE$ 是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形与三角形面积关系」类问题：一条斜线把长方形分成三角形与梯形，用份数把长方形与三角形挂钩，再用等高关系把面积比换成底比。
关键切入点：梯形是三角形的 $5$ 倍，那么长方形就是三角形的 $5+1=6$ 倍。$\triangle ABE$ 以 $BE$ 为底、$AB$ 为高，面积 $=BE\times AB\div 2$；长方形面积 $=BC\times AB$。由 $BC\times AB=6\times(BE\times AB\div 2)=3BE\times AB$ 得 $BC=3BE$，所以 $BE=18\div 3$。
方法概述：先把长方形折算成三角形的份数，再由面积公式比较底。
规范步骤：
  1. 长方形是三角形的几倍：$5+1=6$（倍）（梯形+三角形=长方形）
  2. 用面积公式比较：$BC\times AB=6\times BE\times AB\div 2$，得 $BC=3BE$（三角形面积带 $\div 2$）
  3. 求 $BE$：$BE=18\div 3=6$
第一套
题目：将一个长为 $36$ 的长方形 $ABCD$，用线段 $AE$（$E$ 在 $BC$ 上）分成三角形 $ABE$ 和一个梯形，梯形的面积是三角形的 $8$ 倍。$BE$ 的长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折算份数）：长方形 $=$ 梯形 $+$ 三角形，所以长方形是三角形的 $8+1=\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（用面积公式比较底）：$BC\times AB=9\times BE\times AB\div 2$，两边约去 $AB$，得 $BC=9\div 2\times BE$，即 $BC$ 是 $BE$ 的 $\underline{\quad}$ 倍。
  3. 第 3 步（求 $BE$）：$BE=36\div 4.5=\underline{\quad}$，也可以写成 $36\times 2\div 9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块长为 $36$ 米的长方形菜地 $ABCD$，沿 $AE$（$E$ 在 $BC$ 上）把它分成三角形 $ABE$ 和梯形两块，梯形的面积是三角形的 $8$ 倍。$BE$ 的长是多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折算份数）：长方形是三角形的 $8+1=\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（比较底）：$BC$ 是 $BE$ 的 $9\div 2=\underline{\quad}$ 倍。
  3. 第 3 步（求 $BE$）：$36\times 2\div 9=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：将一个长为 $36$ 的长方形 $ABCD$ 用线段 $AE$（$E$ 在 $BC$ 上）分成三角形 $ABE$ 和一个梯形，已知 $BE=8$。梯形的面积是三角形 $ABE$ 面积的多少倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形是三角形的几倍）：$BC\times AB\div(BE\times AB\div 2)=36\times 2\div 8=\underline{\quad}$（倍）。
  2. 第 2 步（去掉三角形自己那一份）：梯形是三角形的 $9-1=\underline{\quad}$ 倍。
第三套
题目：长方形 $ABCD$ 的长 $BC=36$、宽 $AB=15$，用线段 $AE$（$E$ 在 $BC$ 上）把它分成三角形 $ABE$ 和梯形，梯形的面积是三角形的 $8$ 倍。（1）$BE$ 是多少？（2）三角形与梯形的面积各是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$36\times 15=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（折算份数）：长方形是三角形的 $8+1=\underline{\quad}$ 倍。
  3. 第 3 步（求三角形面积）：$540\div 9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（由面积反求底）：$BE=60\times 2\div 15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求梯形面积）：$540-60=\underline{\quad}$，也等于 $60\times 8=\underline{\quad}$。
14. 【原题 ch14-tuozhan-06】如图 $14-16$，$E$ 是 $AB$ 边上靠近 $A$ 点的三等分点，梯形 $ABCD$ 的面积是三角形 $AEC$ 面积的 $5$ 倍。请问：梯形的下底长是上底长的几倍？
详细思路
是哪类问题：这是「梯形与三角形面积关系」类问题：用份数把梯形拆成两个三角形，再用同高三角形面积比等于底比，把面积份数换回底的倍数。
关键切入点：设 $\triangle AEC=1$ 份，则梯形 $=5$ 份。$E$ 是靠近 $A$ 的三等分点，$AB=3AE$，$\triangle ABC$ 与 $\triangle AEC$ 同高，所以 $\triangle ABC=3$ 份。梯形被对角线 $AC$ 分成 $\triangle ABC$（以下底 $BC$ 为底）和 $\triangle ACD$（以上底 $AD$ 为底），所以 $\triangle ACD=5-3=2$ 份。这两个三角形的高都是梯形的高，面积比就是底比。
方法概述：设份数→算 $\triangle ABC$→相减得 $\triangle ACD$→面积比即底比。
规范步骤：
  1. 设份数：$S_{\triangle AEC}=1$，$S_{梯形}=5$（设单位 1）
  2. 由三等分点求 $\triangle ABC$：$1\times 3=3$（份）（面积比=底比）
  3. 相减求 $\triangle ACD$：$5-3=2$（份）（梯形被对角线分成两块）
  4. 面积比即底比：$BC:AD=3:2=1.5$（同高）
第一套
题目：$E$ 是 $AB$ 边上靠近 $A$ 点的四等分点，梯形 $ABCD$ 的面积是三角形 $AEC$ 面积的 $6$ 倍。梯形的下底长是上底长的几倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：设 $S_{\triangle AEC}=1$ 份，则梯形是 $\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步（求 $\triangle ABC$）：$E$ 是靠近 $A$ 的四等分点，$AB=4AE$，同高，所以 $S_{\triangle ABC}=1\times 4=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（相减求 $\triangle ACD$）：$6-4=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（面积比即底比）：$BC:AD=4:2$，下底是上底的 $4\div 2=\underline{\quad}$ 倍。
第二套
题目：一块梯形菜地 $ABCD$，$E$ 是边 $AB$ 上靠近 $A$ 点的四等分点，整块菜地的面积是三角形地块 $AEC$ 面积的 $6$ 倍。菜地的下底长是上底长的几倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：设 $\triangle AEC$ 为 $1$ 份，梯形为 $\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步（求 $\triangle ABC$）：$AB=4AE$，$S_{\triangle ABC}=1\times 4=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求 $\triangle ACD$）：$6-4=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（底比）：$4\div 2=\underline{\quad}$ 倍。
第三套
题目：$E$ 是 $AB$ 边上靠近 $A$ 点的四等分点，梯形 $ABCD$ 的下底 $BC$ 是上底 $AD$ 的 $2$ 倍。梯形的面积是三角形 $AEC$ 面积的几倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：设 $S_{\triangle AEC}=1$ 份，由 $AB=4AE$ 得 $S_{\triangle ABC}=1\times 4=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（由底比得面积比）：$\triangle ACD$ 与 $\triangle ABC$ 同高，底比 $AD:BC=1:2$，所以 $S_{\triangle ACD}=4\div 2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求梯形份数）：$4+2=\underline{\quad}$（份），即梯形是 $\triangle AEC$ 的 $6$ 倍。
第三套
题目：$E$ 是 $AB$ 边上靠近 $A$ 点的四等分点，梯形 $ABCD$ 的面积是三角形 $AEC$ 面积的 $6$ 倍，且三角形 $AEC$ 的面积是 $7$ 平方厘米。（1）梯形的面积是多少？（2）三角形 $ACD$ 的面积是多少？（3）下底是上底的几倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求梯形面积）：$7\times 6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求 $\triangle ABC$）：$AB=4AE$，$7\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求 $\triangle ACD$）：$42-28=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（底比）：同高三角形面积比即底比，$28\div 14=\underline{\quad}$，下底是上底的 $2$ 倍。
15. 【原题 ch14-tuozhan-07】如图 $14-17$，一个长方形被分成 $4$ 个不同颜色的三角形。黄色三角形的面积是 $9$ 平方厘米，红色三角形的面积是 $21$ 平方厘米，绿色三角形的面积是 $10$ 平方厘米。那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形内三角形面积·底与高的对应」类问题：相对的两个三角形，底分别是长方形的两条对边，两者的高之和正好是长方形的另一边，所以它们的面积和是长方形的一半。
关键切入点：黄、绿两块的底都是长方形的长（上、下两条长边），两条高加起来正好是宽，于是 $S_{黄}+S_{绿}=长\times 宽\div 2$，是长方形的一半。同理红、蓝两块的面积和也是一半。两个「一半」相等，所以 $S_{红}+S_{蓝}=S_{黄}+S_{绿}$（题图中黄与蓝相对、红与绿相对时，等式为 $S_{黄}+S_{蓝}=S_{红}+S_{绿}$）。
方法概述：相对两块面积和 $=$ 长方形的一半，两组相等，代入求未知块。
规范步骤：
  1. 认出一半关系：$S_{黄}+S_{蓝}=S_{红}+S_{绿}=S_{长方形}\div 2$（底为对边、高之和为另一边）
  2. 代入已知：$9+S_{蓝}=21+10$（列等式）
  3. 求出蓝色：$S_{蓝}=21+10-9=22$（平方厘米）
第一套
题目：一个长方形被分成 $4$ 个不同颜色的三角形，黄色三角形与蓝色三角形相对、红色与绿色相对。已知黄色 $18$ 平方厘米、红色 $42$ 平方厘米、绿色 $25$ 平方厘米。蓝色三角形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出一半关系）：相对两块的底是长方形的一组对边、两条高之和是另一边，所以每组面积和都是长方形的一半，$S_{黄}+S_{蓝}=S_{红}+S_{绿}$。
  2. 第 2 步（先算已知的一组）：$42+25=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（相减求蓝色）：$67-18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块长方形玻璃被四条切线分成 $4$ 块三角形彩片，黄片与蓝片相对、红片与绿片相对。黄片 $18$ 平方分米、红片 $42$ 平方分米、绿片 $25$ 平方分米。蓝片的面积是多少平方分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一半关系）：相对两片的面积和都等于整块玻璃的一半，所以 $S_{黄}+S_{蓝}=S_{红}+S_{绿}$。
  2. 第 2 步（算已知一组）：$42+25=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（求蓝片）：$67-18=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：一个长方形被分成 $4$ 个三角形，其中相对的黄色、蓝色两块面积分别是 $18$ 平方厘米和 $49$ 平方厘米。这个长方形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一半关系）：相对两块的面积和是长方形的一半，$18+49=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（还原整体）：$67\times 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：一个长方形被分成 $4$ 个三角形，黄与蓝相对、红与绿相对。黄色 $18$ 平方厘米、红色 $42$ 平方厘米、绿色 $25$ 平方厘米。（1）蓝色三角形的面积是多少？（2）长方形的面积是多少？（3）红色三角形占长方形的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算已知一组）：$42+25=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求蓝色）：$67-18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求长方形）：一组之和是一半，$67\times 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（验一验）：四块相加 $18+42+25+49=\underline{\quad}$，与上一步相符。
  5. 第 5 步（求占比）：$42\div 134=\underline{\quad}$，即 $\frac{21}{67}$。
16. 【原题 ch14-tuozhan-08】如图 $14-18$，设正方形 $ABCD$ 的面积为 $1$，把每条边都 $3$ 等分，然后将这 $8$ 个等分点与正方形内的某一点 $P$ 相连接，形成 $4$ 个阴影的四边形和 $4$ 个空白的三角形。阴影部分的总面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「共顶点三角形面积·整体面积分配」类问题：无论 $P$ 点取在哪里，以 $P$ 为顶点、以正方形四条边为底的四个三角形合起来恰好铺满正方形。
关键切入点：把每条边三等分，以相邻两个分点之间的小段为底、$P$ 到该边的距离为高的小三角形，底是整条边的 $\frac{1}{3}$，所以它的面积是「以整条边为底的那个大三角形」的 $\frac{1}{3}$。四条边上的大三角形合起来是正方形的全部面积 $1$，而空白的 $4$ 个三角形正好各占所在边大三角形的 $\frac{1}{3}$，合计 $\frac{1}{3}$，于是阴影占 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
方法概述：四个共顶点三角形铺满正方形→空白占 $\frac{1}{3}$→阴影 $=1-\frac{1}{3}$。
规范步骤：
  1. 四个共顶点三角形铺满正方形：$S_1+S_2+S_3+S_4=1$（以 $P$ 为顶点、四边为底）
  2. 每个空白三角形占所在边三角形的三分之一：空白合计 $=1\times\frac{1}{3}$（底是整边的 $\frac{1}{3}$）
  3. 整体减空白：$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
17. 【原题 ch14-tuozhan-09】如图 $14-19$，在梯形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AB$ 的中点。已知梯形 $ABCD$ 的面积为 $35$ 平方厘米，三角形 $ABD$ 的面积为 $13$ 平方厘米。三角形 $BCE$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「梯形面积分割 + 中点性质」类几何题：梯形里以上底为底的 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 同底等高、面积相等，这是打开题目的钥匙。
关键切入点：$AD\parallel BC$，$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 以 $AD$ 为公共底、高都等于梯形的高，所以面积相等，$S_{\triangle ACD}=13$。于是 $S_{\triangle ABC}=35-13=22$。$E$ 是 $AB$ 中点，$\triangle BCE$ 与 $\triangle ABC$ 以 $C$ 为顶点等高、底 $BE=\frac{1}{2}AB$，所以面积是一半。
方法概述：同底等高换出 $\triangle ACD$→整体减部分得 $\triangle ABC$→中点取一半。
规范步骤：
  1. 同底等高：$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD}=13$（平方厘米）（$AD\parallel BC$）
  2. 整体减部分：$S_{\triangle ABC}=35-13=22$（平方厘米）（梯形被对角线分成两块）
  3. 中点取一半：$S_{\triangle BCE}=22\div 2=11$（平方厘米）（中点性质）
第一套
题目：在梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）中，$E$ 是 $AB$ 的中点。已知梯形的面积为 $100$ 平方厘米，三角形 $ABD$ 的面积为 $36$ 平方厘米。三角形 $BCE$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同底等高）：$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 以 $AD$ 为公共底、高都是梯形的高，所以 $S_{\triangle ACD}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（整体减部分）：对角线 $AC$ 把梯形分成 $\triangle ACD$ 与 $\triangle ABC$，$S_{\triangle ABC}=100-36=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（中点取一半）：$E$ 是 $AB$ 中点，$S_{\triangle BCE}=64\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块梯形花坛 $ABCD$（$AD\parallel BC$）面积为 $100$ 平方米，$E$ 是边 $AB$ 的中点。三角形地块 $ABD$ 的面积为 $36$ 平方米。三角形地块 $BCE$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同底等高）：$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD}=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（整体减部分）：$S_{\triangle ABC}=100-36=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（中点取一半）：$64\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：在梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）中，梯形面积为 $100$ 平方厘米，三角形 $ABD$ 的面积为 $36$ 平方厘米。三角形 $ACD$ 与三角形 $BCD$ 的面积各是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同底等高）：$\triangle ACD$ 与 $\triangle ABD$ 同底 $AD$、等高，$S_{\triangle ACD}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（整体减部分）：对角线 $BD$ 把梯形分成 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BCD$，$S_{\triangle BCD}=100-36=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）中，$E$ 是 $AB$ 的中点，梯形面积为 $100$ 平方厘米，三角形 $ABD$ 的面积为 $36$ 平方厘米。（1）三角形 $BCE$ 的面积是多少？（2）四边形 $AECD$ 的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同底等高）：$S_{\triangle ACD}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（整体减部分）：$S_{\triangle ABC}=100-36=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（中点取一半）：$S_{\triangle BCE}=64\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（再整体减部分）：四边形 $AECD$ 是梯形去掉 $\triangle BCE$，$100-32=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（另法验一验）：$S_{AECD}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ACE}=36+32=\underline{\quad}$（平方厘米），一致。
18. 【原题 ch14-tuozhan-10】在图 $14-20$ 中，正方形 $ADEB$ 和正方形 $ECFG$ 底边在一条线上，两个正方形边长分别为 $6$ 和 $4$。三角形 $ACG$ 和三角形 $BDF$ 的面积分别是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「平行线间的等积变形」类几何题：两个三角形同底，且第三个顶点在与底平行的一条直线上时，它们的面积相等。
关键切入点：两个正方形的对角线都与水平线成 $45^\circ$，所以 $AE\parallel CG$。$\triangle ACG$ 与 $\triangle ECG$ 有公共底 $CG$，顶点 $A$、$E$ 在与 $CG$ 平行的同一条直线上，高相等，面积也相等；而 $\triangle ECG$ 正好是小正方形的一半。同理 $BD\parallel EF$，$\triangle BDF$ 与 $\triangle EDF$ 等积，后者是大正方形的一半。
方法概述：找平行→把顶点「滑」到方便的位置→取正方形的一半。
规范步骤：
  1. 找出平行：$AE\parallel CG$，$BD\parallel EF$（正方形对角线方向相同）
  2. 等积变形求 $\triangle ACG$：$S_{\triangle ACG}=S_{\triangle ECG}=4\times 4\div 2=8$（同底等高）
  3. 等积变形求 $\triangle BDF$：$S_{\triangle BDF}=S_{\triangle EDF}=6\times 6\div 2=18$（同底等高）
第一套
题目：正方形 $ADEB$ 和正方形 $ECFG$ 的底边在同一条直线上，边长分别为 $10$ 和 $8$。三角形 $ACG$ 和三角形 $BDF$ 的面积分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找平行）：两个正方形的对角线方向相同，所以 $AE\parallel CG$、$BD\parallel EF$。
  2. 第 2 步（把 $A$ 滑到 $E$）：$\triangle ACG$ 与 $\triangle ECG$ 同底 $CG$、等高，$\triangle ECG$ 是小正方形的一半，$S_{\triangle ACG}=8\times 8\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（把 $B$ 滑到 $E$）：$\triangle BDF$ 与 $\triangle EDF$ 同底 $DF$、等高，$\triangle EDF$ 是大正方形的一半，$S_{\triangle BDF}=10\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两块正方形木板 $ADEB$ 和 $ECFG$ 并排放在同一条水平线上，边长分别为 $10$ 分米和 $8$ 分米。三角形 $ACG$ 和三角形 $BDF$ 的面积分别是多少平方分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找平行）：两块木板的对角线方向相同，$AE\parallel CG$、$BD\parallel EF$。
  2. 第 2 步（等积变形）：$S_{\triangle ACG}=S_{\triangle ECG}=8\times 8\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（等积变形）：$S_{\triangle BDF}=S_{\triangle EDF}=10\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：正方形 $ADEB$ 和正方形 $ECFG$ 的底边在同一条直线上，边长分别为 $10$ 和 $8$。三角形 $ACG$ 与三角形 $BDF$ 的面积之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（等积变形）：$S_{\triangle ACG}=8\times 8\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（等积变形）：$S_{\triangle BDF}=10\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求和）：$32+50=\underline{\quad}$。
第三套
题目：正方形 $ADEB$ 和正方形 $ECFG$ 的底边在同一条直线上，边长分别为 $10$ 和 $8$。（1）三角形 $ACG$、三角形 $BDF$ 的面积各是多少？（2）两个正方形的总面积中，除去这两个三角形（等积变形后分别是两正方形的一半）还剩多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（等积变形）：$S_{\triangle ACG}=8\times 8\div 2=\underline{\quad}$，$S_{\triangle BDF}=10\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（两正方形总面积）：$10\times 10+8\times 8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体减部分）：$164-50-32=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验一验）：剩下的正好是两正方形各自的另一半，$100\div 2+64\div 2=\underline{\quad}$，一致。
19. 【原题 ch14-tuozhan-11】图 $14-21$ 是由边长分别为 $10$ 厘米、$12$ 厘米、$8$ 厘米的正方形构成的，有一条与 $AB$ 边平行的直线 $EF$ 将此图形分成面积相等的两部分，那么 $BF$ 的长度为多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「组合图形面积平分」类问题：要让一条平行于 $AB$ 的直线把组合图形分成面积相等的两半，就要先算出下半部分应有的面积，再用长方形面积公式反求出宽。
关键切入点：把组合图形按面积平分后，下方那块是长方形 $CEFB$ 与左上角小长方形拼成的：小长方形面积为 $10\times 2=20$ 平方厘米，于是长方形 $CEFB$ 的面积为 $20+154=174$ 平方厘米。它的长 $EF$ 正是三个正方形边长之和 $10+12+8=30$ 厘米，所以 $BF=174\div 30$。
方法概述：算出下半块应有面积→用「面积 $\div$ 长 $=$ 宽」反求 $BF$。
规范步骤：
  1. 算左上角小长方形：$10\times 2=20$（平方厘米）（长方形面积）
  2. 算长方形 $CEFB$ 的面积：$20+154=174$（平方厘米）（面积平分）
  3. 算 $EF$ 的长：$10+12+8=30$（厘米）（三个正方形边长之和）
  4. 反求 $BF$：$174\div 30=5.8$（厘米）（面积 $\div$ 长 $=$ 宽）
20. 【原题 ch14-tuozhan-12】（1）如图 $14-22$ 中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加 $2$ 厘米和 $4$ 厘米，结果面积增加了 $50$ 平方厘米（阴影部分）。原正方形的面积是多少平方厘米？（2）如图 $14-22$ 中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别减少 $3$ 厘米和 $5$ 厘米，结果面积减少了 $65$ 平方厘米（阴影部分）。原正方形的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形增减边的面积变化」类问题：增加时把多出的部分切成两条长方形加一个角上的小长方形；减少时两条长方形有重叠，重叠的角要减掉一次。
关键切入点：（1）增加：$2a+4a+2\times 4=50$，注意角上的小长方形是「多出来的」要加上。（2）减少：$3a+5a-3\times 5=65$，注意角上的小长方形被两条重复算了，要减掉一次。一个加一个减，正是这类题最容易错的地方。
方法概述：分割阴影→列一元一次方程→解出边长→求面积。
规范步骤：
  1. （1）列方程：$2a+4a+2\times 4=50$，即 $6a+8=50$（增加：角上多加）
  2. （1）解方程：$6a=42$，$a=7$，面积 $=7\times 7=49$（平方厘米）
  3. （2）列方程：$3a+5a-3\times 5=65$，即 $8a-15=65$（减少：角上重叠减一次）
  4. （2）解方程：$8a=80$，$a=10$，面积 $=10\times 10=100$（平方厘米）
第一套
题目：（1）把一个正方形的相邻两边分别增加 $3$ 厘米和 $5$ 厘米，面积增加了 $95$ 平方厘米，原正方形面积是多少？（2）把一个正方形的相邻两边分别减少 $4$ 厘米和 $6$ 厘米，面积减少了 $166$ 平方厘米，原正方形面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第(1)问列方程）：角上小长方形 $3\times 5=\underline{\quad}$ 要加上，$(3+5)a+15=95$，即 $\underline{\quad}a+15=95$。
  2. 第 2 步（解出边长）：$8a=95-15=\underline{\quad}$，$a=80\div 8=\underline{\quad}$（厘米），面积 $=10\times 10=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（第(2)问列方程）：角上小长方形 $4\times 6=\underline{\quad}$ 被重复算了要减去，$(4+6)a-24=166$，即 $\underline{\quad}a-24=166$。
  4. 第 4 步（解出边长）：$10a=166+24=\underline{\quad}$，$a=190\div 10=\underline{\quad}$（厘米），面积 $=19\times 19=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：（1）一块正方形晒谷场相邻两边分别加宽 $3$ 米和 $5$ 米，面积增加了 $95$ 平方米，原来的面积是多少？（2）另一块正方形晒谷场相邻两边分别缩窄 $4$ 米和 $6$ 米，面积减少了 $166$ 平方米，原来的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（加宽：角上要加）：$3\times 5=\underline{\quad}$，$8a+15=95$，$8a=\underline{\quad}$，$a=80\div 8=\underline{\quad}$（米），面积 $=10\times 10=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（缩窄：角上要减）：$4\times 6=\underline{\quad}$，$10a-24=166$，$10a=\underline{\quad}$，$a=190\div 10=\underline{\quad}$（米），面积 $=19\times 19=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：（1）把一个正方形的相邻两边分别增加 $4$ 厘米和 $6$ 厘米，面积增加了 $214$ 平方厘米，原正方形面积是多少？（2）把一个正方形的相邻两边分别减少 $5$ 厘米和 $7$ 厘米，面积减少了 $205$ 平方厘米，原正方形面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第(1)问）：角上 $4\times 6=\underline{\quad}$ 要加，$10a+24=214$，$10a=\underline{\quad}$，$a=190\div 10=\underline{\quad}$，面积 $=19\times 19=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（第(2)问）：角上 $5\times 7=\underline{\quad}$ 要减，$12a-35=205$，$12a=\underline{\quad}$，$a=240\div 12=\underline{\quad}$，面积 $=20\times 20=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：把一个正方形的相邻两边分别增加 $3$ 厘米和 $5$ 厘米，面积增加了 $95$ 平方厘米。（1）原正方形的面积是多少？（2）新长方形的两条边各是多少、面积是多少？（3）新面积是原面积的几倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：$8a+3\times 5=95$，$8a=95-15=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（解出边长与原面积）：$a=80\div 8=\underline{\quad}$（厘米），原面积 $=10\times 10=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（新长方形两条边）：$10+3=\underline{\quad}$，$10+5=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（新面积）：$13\times 15=\underline{\quad}$（平方厘米），验算 $100+95=\underline{\quad}$，一致。
  5. 第 5 步（求倍数）：$195\div 100=\underline{\quad}$（倍）。
21. 【原题 ch14-tuozhan-13】如图 $14-23$，四边形 $ABCD$ 内有一点 $O$，$O$ 点到四条边的垂线段都是 $4$ 厘米。四边形的周长是 $36$ 厘米。四边形的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「添辅助线 + 乘法分配律」类几何题：把内点与四个顶点连起来，四边形就变成四个同高的三角形，用乘法分配律一次算完。
关键切入点：连 $AO$、$BO$、$CO$、$DO$ 后，四边形被分成四个三角形，它们的底分别是四条边，高都等于 $4$ 厘米。面积和 $=\frac{1}{2}\times 4\times AB+\frac{1}{2}\times 4\times BC+\cdots=\frac{1}{2}\times 4\times(AB+BC+CD+DA)$，括号里正是周长。
方法概述：连内点与各顶点→四个等高三角形→用分配律：面积 $=$ 高 $\times$ 周长 $\div 2$。
规范步骤：
  1. 添辅助线分块：$S=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle COD}+S_{\triangle DOA}$（连内点与顶点）
  2. 提取公因数（乘法分配律）：$S=4\times(AB+BC+CD+DA)\div 2$（四个三角形高都是 4）
  3. 代入周长：$S=4\times 36\div 2=72$（平方厘米）
第一套
题目：四边形 $ABCD$ 内有一点 $O$，$O$ 到四条边的垂线段都是 $7$ 厘米，四边形的周长是 $84$ 厘米。四边形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（添辅助线）：连 $AO$、$BO$、$CO$、$DO$，四边形被分成四个三角形，它们的高都是 $7$ 厘米。
  2. 第 2 步（用乘法分配律提公因数）：$S=7\times(AB+BC+CD+DA)\div 2$，括号里就是周长 $\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（代入计算）：$7\times 84\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块四边形的鱼塘 $ABCD$，塘中有一个投饵点 $O$，它到四条岸边的距离都是 $7$ 米，鱼塘的周长是 $84$ 米。鱼塘的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（连线分块）：把投饵点与四个角相连，鱼塘分成四个三角形，高都是 $7$ 米。
  2. 第 2 步（提公因数）：四条底之和就是周长 $\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（计算）：$7\times 84\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：五边形 $ABCDE$ 内有一点 $O$，$O$ 到五条边的垂线段都是 $7$ 厘米，五边形的周长是 $84$ 厘米。五边形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（连线分块）：连 $O$ 与五个顶点，五边形被分成 $5$ 个三角形，高都是 $7$ 厘米。
  2. 第 2 步（提公因数）：五条底之和就是周长 $\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（计算）：$7\times 84\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：四边形 $ABCD$ 内有一点 $O$，$O$ 到四条边的垂线段都是 $7$ 厘米，四边形的面积是 $294$ 平方厘米。（1）四边形的周长是多少？（2）如果这个四边形四条边一样长，每条边是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写出关系）：面积 $=7\times$ 周长 $\div 2$，所以 周长 $=$ 面积 $\times 2\div 7$。
  2. 第 2 步（反求周长）：$294\times 2\div 7=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求每条边）：$84\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（验一验）：$7\times 84\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米），与题目相符。
22. 【原题 ch14-tuozhan-14】如图 $14-24$，直角三角形 $ABC$ 套住了一个正方形 $CDEF$，$E$ 点恰好在斜边 $AB$ 上。直角边 $AC$ 长 $20$ 厘米，$BC$ 长 $12$ 厘米。正方形的边长为多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「内接正方形 + 乘法分配律列方程」类几何题：连一条辅助线 $CE$，把直角三角形拆成两个以正方形边长为高的三角形。
关键切入点：连 $CE$ 后，$\triangle ACE$ 以 $AC$ 为底、高是 $EF=a$；$\triangle CBE$ 以 $BC$ 为底、高是 $ED=a$。两者面积和就是 $\triangle ABC$ 的面积，用分配律写成 $(AC+BC)\times a\div 2$，于是 $a$ 就能解出来。
方法概述：连 $CE$ 分块→两三角形面积和 $=$ 原三角形→分配律列方程→解出边长。
规范步骤：
  1. 算直角三角形面积：$20\times 12\div 2=120$（平方厘米）（直角三角形面积）
  2. 连 $CE$ 分块并用分配律：$AC\times a\div 2+BC\times a\div 2=(20+12)\times a\div 2$（乘法分配律）
  3. 列方程并解：$(20+12)\times a\div 2=120$，$a=120\times 2\div 32=7.5$（厘米）
第一套
题目：直角三角形 $ABC$ 套住一个正方形 $CDEF$，$E$ 恰好在斜边 $AB$ 上。直角边 $AC$ 长 $30$ 厘米，$BC$ 长 $20$ 厘米。正方形的边长是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算三角形面积）：$30\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（连 $CE$ 分块）：$\triangle ACE$ 与 $\triangle CBE$ 的高都是正方形边长 $a$，用分配律得面积和 $=(30+20)\times a\div 2=\underline{\quad}a\div 2$。
  3. 第 3 步（列方程并解）：$50\times a\div 2=300$，$a=300\times 2\div 50=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块直角三角形的铁皮，两条直角边分别是 $30$ 厘米和 $20$ 厘米。要在上面剪出一个正方形，使正方形有一个角与直角重合、对角顶点落在斜边上。这个正方形的边长是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（铁皮面积）：$30\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（连辅助线分块）：两个小三角形的高都是正方形边长 $a$，底之和 $=30+20=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（列方程并解）：$50\times a\div 2=300$，$a=300\times 2\div 50=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：直角三角形 $ABC$ 的直角边 $AC=30$ 厘米、$BC=20$ 厘米，内接正方形 $CDEF$ 的边长是 $12$ 厘米（$E$ 在斜边上）。连结 $CE$ 后，三角形 $ACE$ 与三角形 $CBE$ 的面积各是多少？它们的和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$\triangle ACE$）：以 $AC$ 为底、高为正方形边长，$30\times 12\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（$\triangle CBE$）：以 $BC$ 为底、高也是正方形边长，$20\times 12\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求和并验证）：$180+120=\underline{\quad}$（平方厘米），正好等于 $30\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：直角三角形 $ABC$ 的直角边 $AC=30$ 厘米、$BC=20$ 厘米，内接正方形 $CDEF$ 的一个顶点 $E$ 在斜边 $AB$ 上。（1）正方形的边长是多少？（2）正方形的面积是多少？（3）三角形中正方形以外部分的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三角形面积）：$30\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（分配律列方程）：$(30+20)\times a\div 2=300$，$a=300\times 2\div 50=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（正方形面积）：$12\times 12=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（整体减部分）：$300-144=\underline{\quad}$（平方厘米）。
23. 【原题 ch14-xingqu-01】如图 $14-1$，在三角形 $ABC$ 中，$AB$ 是 $AD$ 的 $3$ 倍，三角形 $ACD$ 的面积是 $5$ 平方厘米。请问：三角形 $ABC$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「等高三角形面积比」类几何题：两个三角形的高相同时，面积之比等于底之比。
关键切入点：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ACD$ 都以 $C$ 为顶点、底边在同一条直线 $AB$ 上，所以它们的高（$C$ 到 $AB$ 的距离）完全相同。既然高相同，面积就只由底决定：$AB$ 是 $AD$ 的 $3$ 倍，面积也是 $3$ 倍。
方法概述：把线段的倍数关系直接搬成面积的倍数关系。
规范步骤：
  1. 认出等高：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ACD$ 同高（顶点 $C$ 到 $AB$ 的距离）（同顶点同底线）
  2. 底的倍数搬成面积倍数：$S_{\triangle ABC}=3\times S_{\triangle ACD}$（等高时面积比=底比）
  3. 代入计算：$5\times 3=15$（平方厘米）
第一套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$D$ 在 $AB$ 上，$AB$ 是 $AD$ 的 $7$ 倍，三角形 $ACD$ 的面积是 $12$ 平方厘米。三角形 $ABC$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认等高）：两个三角形都以 $C$ 为顶点、底边同在直线 $AB$ 上，高相同，所以面积之比等于底之比，面积倍数 $=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（搬倍数）：$S_{\triangle ABC}=12\times \underline{\quad}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块三角形菜地 $ABC$，$D$ 是边 $AB$ 上一点，$AB$ 的长是 $AD$ 的 $7$ 倍。小三角形地块 $ACD$ 的面积是 $12$ 平方米。整块菜地 $ABC$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认等高）：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ACD$ 以 $C$ 为公共顶点、底边同在 $AB$ 上，高相同，面积倍数就等于底的倍数 $=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算面积）：$12\times 7=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$D$ 在 $AB$ 上，$AB$ 是 $AD$ 的 $7$ 倍，三角形 $ABC$ 的面积是 $84$ 平方厘米。三角形 $ACD$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认等高）：两三角形同高，面积比等于底比，即 $S_{\triangle ABC}$ 是 $S_{\triangle ACD}$ 的 $\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（反过来用倍数）：已知大三角形面积求小的，要用除法，$84\div 7=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$D$ 在 $AB$ 上，$AB$ 是 $AD$ 的 $7$ 倍，三角形 $ACD$ 的面积是 $12$ 平方厘米。三角形 $BCD$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认等高、搬倍数）：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ACD$ 同高，$S_{\triangle ABC}=12\times 7=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（整体减部分）：$D$ 在 $AB$ 上，$\triangle ABC$ 被分成 $\triangle ACD$ 与 $\triangle BCD$，所以 $S_{\triangle BCD}=84-12=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（换个办法验一验）：$BD$ 是 $AD$ 的 $7-1=\underline{\quad}$ 倍，所以 $S_{\triangle BCD}=12\times 6=\underline{\quad}$（平方厘米），两法一致。
24. 【原题 ch14-xingqu-02】如图 $14-2$，四边形 $ABCD$ 是直角梯形，其中 $AD=12$（厘米），$AB=8$（厘米），$BC=15$（厘米），且三角形 $ADE$、四边形 $DEBF$、三角形 $CDF$ 的面积相等，阴影三角形 $DEF$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「面积等分与分割」类几何题：先求出整块图形的面积，再按等分条件求出每块面积，然后由每块面积倒推出边长，最后用整体减部分求阴影。
关键切入点：关键在于三块面积相等，说明每块都是梯形面积的 $\frac{1}{3}$。有了 $\triangle ADE$ 的面积和底 $AD$，就能倒推高 $AE$；有了 $\triangle CDF$ 的面积和高 $AB$，就能倒推底 $CF$。角上的 $\triangle BEF$ 是直角三角形，两条直角边 $BE$、$BF$ 一减就出来，最后 $S_{DEF}=S_{梯形}-S_{ADE}-S_{CDF}-S_{BEF}$。
方法概述：先求总面积→三等分→倒推 $AE$、$CF$→算角上小三角形→整体减部分。
规范步骤：
  1. 求梯形面积：$(12+15)\times 8\div 2=108$（平方厘米）（梯形面积公式）
  2. 三块面积相等，各占三分之一：$108\div 3=36$（平方厘米）（面积等分）
  3. 由 $\triangle ADE$ 倒推 $AE$：$AE=36\times 2\div 12=6$，$BE=8-6=2$（厘米）（三角形面积公式反用）
  4. 由 $\triangle CDF$ 倒推 $CF$：$CF=36\times 2\div 8=9$，$BF=15-9=6$（厘米）（三角形面积公式反用）
  5. 算角上直角三角形：$S_{\triangle BEF}=2\times 6\div 2=6$（平方厘米）（直角三角形面积）
  6. 整体减部分求阴影：$108-36-36-6=30$（平方厘米）
第一套
题目：直角梯形 $ABCD$ 中，$AD=20$（厘米），$AB=12$（厘米），$BC=25$（厘米）。$E$ 在 $AB$ 上、$F$ 在 $BC$ 上，且三角形 $ADE$、四边形 $DEBF$、三角形 $CDF$ 的面积相等。阴影三角形 $DEF$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求总面积）：上底 $20$、下底 $25$、高 $12$，$S_{梯形}=(20+25)\times 12\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（三等分）：三块面积相等，每块 $=270\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（倒推 $AE$）：$\triangle ADE$ 以 $AD=20$ 为底、$AE$ 为高，$AE=90\times 2\div 20=\underline{\quad}$，于是 $BE=12-9=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（倒推 $CF$）：$\triangle CDF$ 以 $CF$ 为底、高等于 $AB=12$，$CF=90\times 2\div 12=\underline{\quad}$，于是 $BF=25-15=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（角上小三角形）：$S_{\triangle BEF}=3\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（整体减部分）：$S_{\triangle DEF}=270-90-90-15=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块直角梯形草坪 $ABCD$，上底 $AD=20$ 米，高 $AB=12$ 米，下底 $BC=25$ 米。园丁在 $AB$ 上取点 $E$、在 $BC$ 上取点 $F$，使三角形 $ADE$（种月季）、四边形 $DEBF$（种草）、三角形 $CDF$（种菊花）三块面积相等。中间三角形 $DEF$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求草坪总面积）：$(20+25)\times 12\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（三块相等）：每块 $=270\div 3=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（求 $AE$、$BE$）：$AE=90\times 2\div 20=\underline{\quad}$（米），$BE=12-9=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（求 $CF$、$BF$）：$CF=90\times 2\div 12=\underline{\quad}$（米），$BF=25-15=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步（角上三角形）：$S_{\triangle BEF}=3\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  6. 第 6 步（求中间三角形）：$270-90-90-15=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：直角梯形 $ABCD$ 中，$AD=15$（厘米），$AB=10$（厘米），$BC=21$（厘米）。$E$ 在 $AB$ 上、$F$ 在 $BC$ 上，三角形 $ADE$、四边形 $DEBF$、三角形 $CDF$ 面积相等。角上的三角形 $BEF$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求总面积）：$(15+21)\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（三等分）：每块 $=180\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（倒推两条直角边）：$AE=60\times 2\div 15=\underline{\quad}$，$BE=10-8=\underline{\quad}$；$CF=60\times 2\div 10=\underline{\quad}$，$BF=21-12=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（算角上三角形）：$S_{\triangle BEF}=2\times 9\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：直角梯形 $ABCD$ 中，$AD=2$ 分米，$AB=12$ 厘米，$BC=25$ 厘米。$E$ 在 $AB$ 上、$F$ 在 $BC$ 上，且三角形 $ADE$、四边形 $DEBF$、三角形 $CDF$ 的面积相等。阴影三角形 $DEF$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先统一单位）：$1$ 分米 $=10$ 厘米，所以 $AD=2\times 10=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（求总面积）：$(20+25)\times 12\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（三等分）：每块 $=270\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（倒推 $AE$、$BE$）：$AE=90\times 2\div 20=\underline{\quad}$，$BE=12-9=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（倒推 $CF$、$BF$）：$CF=90\times 2\div 12=\underline{\quad}$，$BF=25-15=\underline{\quad}$（厘米）。
  6. 第 6 步（角上三角形）：$S_{\triangle BEF}=3\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  7. 第 7 步（整体减部分）：$270-90-90-15=\underline{\quad}$（平方厘米）。
25. 【原题 ch14-xingqu-03】一块长方形的土地被分割成 $4$ 个小长方形，其中三块的面积如图 $14-3$ 所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形分割的比例关系」类问题：一块长方形被一横一竖切成 $4$ 小块时，同一行两块的高相同、同一列两块的宽相同，因此对角两块的面积之积相等。
关键切入点：上排两块高相同，面积比 $=$ 长之比 $=30:15=2:1$；下排两块的长之比与上排完全一样，所以下排右块 $=40\times\frac{15}{30}$。等价地记成「对角相乘相等」：$30\times x=15\times 40$。
方法概述：同行（同列）面积比 $=$ 长（宽）之比，或直接用对角相乘相等。
规范步骤：
  1. 看出上排两块的长之比：$30:15=2:1$（同行等高，面积比=底比）
  2. 下排两块的长之比相同：$40:x=2:1$（同一竖直分割线）
  3. 求出剩下一块：$x=40\times 15\div 30=20$（平方米）（对角相乘相等）
第一套
题目：一块长方形土地被一横一竖分成 $4$ 个小长方形，上排左块面积 $45$ 平方米、上排右块 $27$ 平方米、下排左块 $60$ 平方米。下排右块的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找同行关系）：上排两块高相同，面积比等于长之比，$45:27$ 化简后左长是右长的 $45\div 27=\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（同列同宽）：下排两块的长之比与上排一样，所以 $60:x$ 也是这个比。
  3. 第 3 步（对角相乘相等）：$45\times x=27\times 60$，得 $x=27\times 60\div 45=\underline{\quad}$（平方米）。
第二套
题目：一面长方形墙壁被一道横缝和一道竖缝分成 $4$ 块瓷砖区，左上区 $45$ 平方分米、右上区 $27$ 平方分米、左下区 $60$ 平方分米。右下区的面积是多少平方分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同一横排等高）：左上与右上高相同，面积比 $=$ 宽之比，$45\div 27=\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（同一竖列等宽）：左下与右下的宽之比与上排相同。
  3. 第 3 步（对角相乘相等）：$45\times x=27\times 60$，$x=27\times 60\div 45=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：一块长方形土地被一横一竖分成 $4$ 个小长方形，上排左块 $45$ 平方米、下排左块 $60$ 平方米、下排右块 $36$ 平方米。上排右块的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同列等宽）：左边一列两块宽相同，面积比 $=$ 高之比，上下高之比为 $45\div 60=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（右边一列同样的高之比）：设上排右块为 $x$，则 $x\div 36$ 等于同一个比。
  3. 第 3 步（对角相乘相等）：$45\times 36=60\times x$，$x=45\times 36\div 60=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：一块长方形土地被一横一竖分成 $4$ 个小长方形，上排左块 $45$ 平方米、上排右块 $27$ 平方米、下排左块 $60$ 平方米。（1）下排右块的面积是多少？（2）整块地的面积是多少？（3）上排总面积是下排总面积的几倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对角相乘相等）：$45\times x=27\times 60$，$x=27\times 60\div 45=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（求总面积）：四块相加 $45+27+60+36=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（分排求和）：上排 $45+27=\underline{\quad}$，下排 $60+36=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（求倍数）：$72\div 96=\underline{\quad}$，即上排面积是下排的 $\frac{3}{4}$。
26. 【原题 ch14-xingqu-04】如图 $14-4$，在三角形 $ABC$ 中，$BC$ 是 $DC$ 的 $3$ 倍，$AC$ 是 $EC$ 的 $3$ 倍。三角形 $DEC$ 的面积是 $3$ 平方厘米。请问：三角形 $ABC$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「等高三角形面积比·两次放缩」类几何题：一次只放大一个方向，分两步把小三角形一层层放大回原三角形。
关键切入点：不能一步跨到底，要分层比较。第一层：$\triangle ADC$ 与 $\triangle DEC$ 以 $D$ 为公共顶点、底边 $AC$ 与 $EC$ 同在一条直线上，高相同，$AC$ 是 $EC$ 的 $3$ 倍，面积就是 $3$ 倍。第二层：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ADC$ 以 $A$ 为公共顶点、底边 $BC$ 与 $DC$ 同线，$BC$ 是 $DC$ 的 $3$ 倍，面积又是 $3$ 倍。
方法概述：分两步用「等高时面积比=底比」，逐层放大。
规范步骤：
  1. 第一层放大（沿 $AC$ 方向）：$S_{\triangle ADC}=3\times 3=9$（平方厘米）（以 $D$ 为顶点等高）
  2. 第二层放大（沿 $BC$ 方向）：$S_{\triangle ABC}=9\times 3=27$（平方厘米）（以 $A$ 为顶点等高）
  3. 写出答案：$27$ 平方厘米
第一套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上、$E$ 在 $AC$ 上，$BC$ 是 $DC$ 的 $4$ 倍，$AC$ 是 $EC$ 的 $5$ 倍，三角形 $DEC$ 的面积是 $6$ 平方厘米。三角形 $ABC$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一层：沿 $AC$ 放大）：$\triangle ADC$ 与 $\triangle DEC$ 以 $D$ 为顶点等高，底 $AC$ 是 $EC$ 的 $5$ 倍，所以 $S_{\triangle ADC}=6\times 5=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（第二层：沿 $BC$ 放大）：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ADC$ 以 $A$ 为顶点等高，底 $BC$ 是 $DC$ 的 $4$ 倍，所以 $S_{\triangle ABC}=30\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（合起来看）：两层倍数相乘，$S_{\triangle ABC}=6\times 5\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块三角形苗圃 $ABC$，$D$ 在边 $BC$ 上、$E$ 在边 $AC$ 上，$BC$ 是 $DC$ 的 $4$ 倍，$AC$ 是 $EC$ 的 $5$ 倍。角上的小块 $DEC$ 面积是 $6$ 平方米。整块苗圃 $ABC$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先沿 $AC$ 放大）：$S_{\triangle ADC}=6\times 5=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（再沿 $BC$ 放大）：$S_{\triangle ABC}=30\times 4=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上、$E$ 在 $AC$ 上，$BC$ 是 $DC$ 的 $4$ 倍，$AC$ 是 $EC$ 的 $5$ 倍，三角形 $ABC$ 的面积是 $120$ 平方厘米。三角形 $DEC$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先缩一层）：$\triangle ADC$ 是 $\triangle ABC$ 的 $\frac{1}{4}$，$S_{\triangle ADC}=120\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（再缩一层）：$\triangle DEC$ 是 $\triangle ADC$ 的 $\frac{1}{5}$，$S_{\triangle DEC}=30\div 5=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（合起来看）：两层倍数相乘再除，$120\div(4\times 5)=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上、$E$ 在 $AC$ 上，$BC$ 是 $DC$ 的 $4$ 倍，$AC$ 是 $EC$ 的 $5$ 倍，三角形 $DEC$ 的面积是 $6$ 平方厘米。四边形 $ABDE$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一层放大）：$S_{\triangle ADC}=6\times 5=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（第二层放大）：$S_{\triangle ABC}=30\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（整体减部分）：四边形 $ABDE$ 是 $\triangle ABC$ 去掉角上的 $\triangle DEC$，$120-6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
27. 【原题 ch14-xingqu-05】如图 $14-5$，$E$ 是 $BC$ 上靠近 $B$ 点的三等分点，且 $ED$ 是 $AD$ 的 $2$ 倍。三角形 $ABC$ 的面积是 $36$ 平方厘米。三角形 $BDE$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「共顶点等高三角形面积比」类几何题：连续两次用「同高时面积比等于底比」，把大三角形一步步缩到目标三角形。
关键切入点：先看 $\triangle ABE$ 与 $\triangle ABC$：公共顶点 $A$，底 $BE$、$BC$ 在同一条直线上，高相同，面积之比就等于底之比。由图 $14\text{-}5$，$E$ 把 $BC$ 三等分且 $BE$ 恰占其中的两份（即 $E$ 是靠近 $C$ 的那个三等分点），所以 $BE=\frac{2}{3}BC$，$\triangle ABE$ 的面积也是 $\triangle ABC$ 的 $\frac{2}{3}$。再看 $\triangle BDE$ 与 $\triangle ABE$：公共顶点 $B$，底 $ED$、$AE$ 同线，$ED$ 是 $AD$ 的 $2$ 倍，$AE=AD+DE=3AD$，所以 $ED=\frac{2}{3}AE$，面积也是 $\frac{2}{3}$。
方法概述：两步「同高时面积比=底比」，每步把线段比换成面积比。
规范步骤：
  1. 认出第一对等高三角形：$\triangle ABE$ 与 $\triangle ABC$ 公共顶点 $A$、底 $BE$ 与 $BC$ 同线，高相同（同顶点同底线，面积比=底比）
  2. 第一步缩（顶点 $A$）：由图 $BE$ 占 $BC$ 三份中的两份，$BE=\frac{2}{3}BC$，故 $S_{\triangle ABE}=36\times\frac{2}{3}=24$（平方厘米）（面积比=底比）
  3. 求出 $ED$ 与 $AE$ 之比：$AE=AD+ED=AD+2AD=3AD$，所以 $ED:AE=2:3$（线段和）
  4. 第二步缩（顶点 $B$）：$\triangle BDE$ 与 $\triangle ABE$ 公共顶点 $B$、底 $ED$ 与 $AE$ 同线，$S_{\triangle BDE}=24\times\frac{2}{3}=16$（平方厘米）（面积比=底比）
第一套
题目：$E$ 是 $BC$ 上靠近 $C$ 点的三等分点，$D$ 在 $AE$ 上且 $ED$ 是 $AD$ 的 $3$ 倍。三角形 $ABC$ 的面积是 $90$ 平方厘米。三角形 $BDE$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次缩，顶点 $A$）：$E$ 是靠近 $C$ 的三等分点，$BE$ 是 $BC$ 的 $\frac{2}{3}$，所以 $S_{\triangle ABE}=90\times 2\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求 $ED$ 占 $AE$ 的几分之几）：$AE=AD+ED=AD+3AD$，即 $AE$ 是 $AD$ 的 $1+3=\underline{\quad}$ 倍，所以 $ED$ 占 $AE$ 的 $\frac{3}{4}$。
  3. 第 3 步（第二次缩，顶点 $B$）：$S_{\triangle BDE}=60\times 3\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块三角形广场 $ABC$ 的面积是 $90$ 平方米。$E$ 是边 $BC$ 上靠近 $C$ 的三等分点，$D$ 在线段 $AE$ 上且 $ED$ 是 $AD$ 的 $3$ 倍。三角形花坛 $BDE$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$BE$ 是 $BC$ 的 $\frac{2}{3}$，$S_{\triangle ABE}=90\times 2\div 3=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步：$AE$ 是 $AD$ 的 $1+3=\underline{\quad}$ 倍，$ED$ 占 $AE$ 的 $\frac{3}{4}$。
  3. 第 3 步：$S_{\triangle BDE}=60\times 3\div 4=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：$E$ 是 $BC$ 上靠近 $C$ 点的四等分点，$D$ 在 $AE$ 上且 $ED$ 是 $AD$ 的 $3$ 倍。三角形 $ABC$ 的面积是 $96$ 平方厘米。三角形 $BDE$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次缩）：$E$ 是靠近 $C$ 的四等分点，$BE$ 是 $BC$ 的 $\frac{3}{4}$，$S_{\triangle ABE}=96\times 3\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求底比）：$AE$ 是 $AD$ 的 $1+3=\underline{\quad}$ 倍，$ED$ 占 $AE$ 的 $\frac{3}{4}$。
  3. 第 3 步（第二次缩）：$S_{\triangle BDE}=72\times 3\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：$E$ 是 $BC$ 上靠近 $C$ 点的三等分点，$D$ 在 $AE$ 上且 $ED$ 是 $AD$ 的 $3$ 倍。三角形 $ABC$ 的面积是 $90$ 平方厘米。三角形 $ABD$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次缩）：$S_{\triangle ABE}=90\times 2\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求底比）：$AE$ 是 $AD$ 的 $1+3=\underline{\quad}$ 倍。
  3. 第 3 步（第二次缩）：$S_{\triangle BDE}=60\times 3\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（整体减部分）：$D$ 在 $AE$ 上，$\triangle ABE$ 被分成 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BDE$，$S_{\triangle ABD}=60-45=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（另一种算法验一验）：$AD$ 占 $AE$ 的 $\frac{1}{4}$，$S_{\triangle ABD}=60\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米），一致。
28. 【原题 ch14-xingqu-06】如图 $14-6$ 所示，已知三角形 $BEC$ 的面积等于 $20$ 平方厘米，$E$ 是 $AB$ 边上靠近 $B$ 点的四等分点，三角形 $AED$ 的面积是多少平方厘米？平行四边形 $DECF$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「等高三角形面积比 + 平行四边形面积」类几何题：先用四等分点把线段比换成面积比，再用平行四边形与三角形的面积关系。
关键切入点：$E$ 是 $AB$ 上靠近 $B$ 的四等分点，说明 $AE$ 是 $EB$ 的 $3$ 倍。$\triangle AED$ 与 $\triangle BEC$ 的高相等（都等于两条平行线之间的距离），所以面积之比等于底 $AE:EB=3:1$，$\triangle AED$ 的面积是 $20\times 3=60$ 平方厘米。再把两块三角形合起来 $20+60=80$ 平方厘米，平行四边形 $DECF$ 的面积是它的 $2$ 倍。
方法概述：四等分点定底比→面积比；再用平行四边形与三角形的倍数关系。
规范步骤：
  1. 由四等分点得底比：$AE:EB=3:1$（靠近 $B$ 的四等分点）
  2. 等高三角形面积比=底比：$S_{\triangle AED}=20\times 3=60$（平方厘米）（面积比=底比）
  3. 两块三角形合并：$20+60=80$（平方厘米）（面积求和）
  4. 平行四边形面积：$80\times 2=160$（平方厘米）（与三角形的倍数关系）
29. 【原题 ch14-xingqu-07】如图 $14-7$，已知平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $36$，三角形 $AOD$ 的面积为 $8$，三角形 $BOC$ 的面积为多少？
详细思路
是哪类问题：这是「平行四边形面积分割」类几何题：过点 $O$ 作平行线添辅助线，把平行四边形分成两个小平行四边形，两个对着的三角形正好各占其中一个的一半。
关键切入点：关键是添辅助线：过 $O$ 作 $AD$ 的平行线交 $AB$、$CD$ 于 $E$、$F$。$\triangle AOD$ 与平行四边形 $ADFE$ 同底 $AD$、同高，面积是它的一半；$\triangle BOC$ 与平行四边形 $BCFE$ 也是一半。两者相加就是整个平行四边形的一半，与 $O$ 的位置无关。
方法概述：添平行辅助线→两三角形面积和 $=$ 平行四边形的一半→相减求另一个。
规范步骤：
  1. 添辅助线：过 $O$ 作 $EF\parallel AD$，交 $AB$ 于 $E$、$CD$ 于 $F$（构造两个小平行四边形）
  2. 两三角形之和是一半：$S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOC}=36\div 2=18$（同底等高的三角形是平行四边形的一半）
  3. 相减求出：$S_{\triangle BOC}=18-8=10$
第一套
题目：已知平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $96$，$O$ 是平行四边形内一点，三角形 $AOD$ 的面积为 $21$。三角形 $BOC$ 的面积为多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（添辅助线）：过 $O$ 作 $AD$ 的平行线，把平行四边形分成左右两个小平行四边形，两个三角形分别是它们的一半。
  2. 第 2 步（求两三角形之和）：$S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOC}=96\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相减）：$S_{\triangle BOC}=48-21=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块平行四边形的花圃 $ABCD$ 面积为 $96$ 平方米，园中有一个凉亭 $O$。三角形地块 $AOD$ 的面积为 $21$ 平方米，三角形地块 $BOC$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（添辅助线）：过凉亭 $O$ 作 $AD$ 的平行线，把花圃分成两个小平行四边形，两块三角形各是一半。
  2. 第 2 步（两块之和）：$96\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（相减）：$48-21=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：$O$ 是平行四边形 $ABCD$ 内一点，三角形 $AOD$ 的面积为 $15$，三角形 $BOC$ 的面积为 $33$。平行四边形 $ABCD$ 的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求两三角形之和）：$15+33=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（这个和是平行四边形的一半）：所以 $S_{ABCD}=48\times 2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $96$，$O$ 是内部一点，三角形 $AOD$ 的面积为 $21$。（1）三角形 $BOC$ 的面积是多少？（2）三角形 $AOB$ 与三角形 $COD$ 的面积之和是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两三角形之和是一半）：$96\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（相减求 $\triangle BOC$）：$48-21=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（剩下两块）：整个平行四边形被四个三角形填满，$S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COD}=96-21-27=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验一验）：剩下两块之和也应是平行四边形的一半，$96\div 2=\underline{\quad}$，与上一步相符。
30. 【原题 ch14-xingqu-08】如图 $14-8$，长方形 $ABCD$ 的面积是 $96$ 平方厘米，$E$ 是 $AD$ 边上靠近 $D$ 点的三等分点，$F$ 是 $CD$ 边上靠近 $C$ 点的四等分点。阴影部分的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形内三角形面积·整体减空白」类几何题：阴影三角形三边都是斜的，直接算不了，但周围三个直角三角形的两条直角边都能用长与宽的分数表示，先算空白再用整体减部分。
关键切入点：设长方形长 $AD$、宽 $AB$。$\triangle AEB$ 底 $AE=\frac{2}{3}AD$、高 $=AB$，占长方形的 $\frac{2}{3}\div 2=\frac{1}{3}$；$\triangle BFC$ 底 $FC=\frac{1}{4}CD$、高 $=AD$，占 $\frac{1}{4}\div 2=\frac{1}{8}$；$\triangle EDF$ 两直角边为 $\frac{1}{3}AD$ 与 $\frac{3}{4}CD$，占 $\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\div 2=\frac{1}{8}$。
方法概述：三个角上的直角三角形分别按分数算出，再用长方形面积整体减去。
规范步骤：
  1. 算 $\triangle AEB$：$96\times\frac{2}{3}\div 2=32$（平方厘米）（底为长的 $\frac{2}{3}$，高为宽）
  2. 算 $\triangle BFC$：$96\times\frac{1}{4}\div 2=12$（平方厘米）（底为宽的 $\frac{1}{4}$，高为长）
  3. 算 $\triangle EDF$：$96\times\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\div 2=12$（平方厘米）（两条直角边）
  4. 整体减空白：$96-32-12-12=40$（平方厘米）
第一套
题目：长方形 $ABCD$ 的面积是 $240$ 平方厘米，$E$ 是 $AD$ 边上靠近 $D$ 点的四等分点，$F$ 是 $CD$ 边上靠近 $C$ 点的五等分点。三角形 $BEF$（阴影部分）的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$\triangle AEB$）：$E$ 靠近 $D$ 的四等分点，$AE$ 是 $AD$ 的 $\frac{3}{4}$，高就是宽，所以 $S=240\times 3\div 4\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（$\triangle BFC$）：$F$ 靠近 $C$ 的五等分点，$FC$ 是 $CD$ 的 $\frac{1}{5}$，高就是长，所以 $S=240\div 5\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（$\triangle EDF$）：两条直角边分别是长的 $\frac{1}{4}$ 和宽的 $\frac{4}{5}$，所以 $S=240\div 4\times 4\div 5\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（整体减空白）：$240-90-24-24=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块长方形玻璃 $ABCD$ 的面积是 $240$ 平方分米，$E$ 是 $AD$ 边上靠近 $D$ 的四等分点，$F$ 是 $CD$ 边上靠近 $C$ 的五等分点。工人沿 $BE$、$EF$、$FB$ 切下三角形 $BEF$，这块玻璃的面积是多少平方分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（角上第一块）：$S_{\triangle AEB}=240\times 3\div 4\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  2. 第 2 步（角上第二块）：$S_{\triangle BFC}=240\div 5\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（角上第三块）：$S_{\triangle EDF}=240\div 4\times 4\div 5\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  4. 第 4 步（整体减空白）：$240-90-24-24=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：长方形 $ABCD$ 的面积是 $240$ 平方厘米，$E$ 是 $AD$ 的中点，$F$ 是 $CD$ 的中点。三角形 $BEF$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$\triangle AEB$）：$AE$ 是 $AD$ 的 $\frac{1}{2}$，$S=240\div 2\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（$\triangle BFC$）：$FC$ 是 $CD$ 的 $\frac{1}{2}$，$S=240\div 2\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（$\triangle EDF$）：两直角边分别是长、宽的一半，$S=240\div 2\div 2\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（整体减空白）：$240-60-60-30=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：长方形 $ABCD$ 的长 $AD=20$ 厘米、宽 $AB=12$ 厘米，$E$ 是 $AD$ 边上靠近 $D$ 的四等分点，$F$ 是 $CD$ 边上靠近 $C$ 的五等分点。（1）三角形 $BEF$ 的面积是多少？（2）它占长方形面积的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求长方形面积）：$20\times 12=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（$\triangle AEB$）：$AE=20\times 3\div 4=\underline{\quad}$（厘米），$S=15\times 12\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（$\triangle BFC$）：$FC=12\div 5=\underline{\quad}$（厘米），$S=2.4\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（$\triangle EDF$）：$ED=20\div 4=\underline{\quad}$，$DF=12\times 4\div 5=\underline{\quad}$（厘米），$S=5\times 9.6\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（整体减空白）：$240-90-24-24=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（求占比）：$102\div 240=\underline{\quad}$，即 $\frac{17}{40}$。
31. 【原题 ch14-xingqu-09】如图 $14-9$，把一个正方形的相邻两边分别增加 $3$ 和 $5$ 厘米，结果面积增加了 $71$ 平方厘米（阴影部分）。原正方形的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形增边的面积变化」类问题：把增加的部分切成两个长方形加一个小长方形，就能列出关于边长的方程。
关键切入点：增加的阴影部分由三块拼成：贴着一条边的 $3\times a$ 长方形、贴着另一条边的 $5\times a$ 长方形，以及角上的 $3\times 5$ 小长方形。于是 $3a+5a+15=71$，把常数移过去就能解出 $a$。
方法概述：分割增加部分→列方程 $8a+15=71$→解出边长→求原面积。
规范步骤：
  1. 分割增加的面积：$3a+5a+3\times 5=71$（图形分割）
  2. 合并同类项：$8a+15=71$（列方程）
  3. 解方程：$8a=71-15=56$，$a=56\div 8=7$（厘米）（解一元一次方程）
  4. 求原正方形面积：$7\times 7=49$（平方厘米）
第一套
题目：把一个正方形的相邻两边分别增加 $4$ 厘米和 $6$ 厘米，结果面积增加了 $154$ 平方厘米。原正方形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分割增加部分）：增加的面积 $=4a+6a+$ 角上小长方形 $4\times 6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列方程并合并）：$4a+6a=\underline{\quad}a$，所以 $10a+24=154$。
  3. 第 3 步（解方程）：$10a=154-24=\underline{\quad}$，$a=130\div 10=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求原面积）：$13\times 13=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块正方形苗圃扩建，相邻两边分别向外加宽 $4$ 米和 $6$ 米，扩出的面积是 $154$ 平方米。原来苗圃的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把扩出部分分成三块）：两条长边上的长方形 $4a$、$6a$，加上角上的 $4\times 6=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（列方程）：$10a+24=154$，$10a=154-24=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（解出边长）：$a=130\div 10=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（求原面积）：$13\times 13=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：把一个正方形的相邻两边分别增加 $5$ 厘米和 $7$ 厘米，结果面积增加了 $215$ 平方厘米。原正方形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分割增加部分）：角上小长方形 $5\times 7=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（列方程）：$(5+7)a+35=215$，即 $\underline{\quad}a+35=215$。
  3. 第 3 步（解方程）：$12a=215-35=\underline{\quad}$，$a=180\div 12=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求原面积）：$15\times 15=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：把一个正方形的相邻两边分别增加 $4$ 厘米和 $6$ 厘米，结果面积增加了 $154$ 平方厘米。（1）原正方形的面积是多少？（2）变成的新长方形的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：$4a+6a+4\times 6=154$，即 $10a+24=154$，$10a=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（解出边长）：$a=130\div 10=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（原面积）：$13\times 13=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（新长方形的两条边）：$13+4=\underline{\quad}$，$13+6=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（新长方形面积）：$17\times 19=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（验一验）：原面积加上增加的面积 $169+154=\underline{\quad}$，与上一步相符。
32. 【原题 ch14-xingqu-10】如图 $14-10$ 所示，把一个正方形的相邻两边分别减少 $2$ 厘米和 $4$ 厘米，结果面积减少了 $46$ 平方厘米（阴影部分）。原正方形的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形减边的面积变化」类问题：减少的部分是两个长方形的并，重叠的小长方形被算了两遍，要减掉一次。
关键切入点：沿两条边各切掉一条：$2\times a$ 与 $4\times a$，但角上 $2\times 4$ 的小块被两条重复覆盖，所以减少的面积是 $2a+4a-2\times 4$。列出 $6a-8=46$ 即可解出边长。
方法概述：分割减少部分（注意重叠只算一次）→列方程 $6a-8=46$→解边长→求原面积。
规范步骤：
  1. 分割减少的面积：$2a+4a-2\times 4=46$（容斥：重叠部分减一次）
  2. 合并：$6a-8=46$（列方程）
  3. 解方程：$6a=46+8=54$，$a=54\div 6=9$（厘米）（解一元一次方程）
  4. 求原面积：$9\times 9=81$（平方厘米）
第一套
题目：把一个正方形的相邻两边分别减少 $4$ 厘米和 $6$ 厘米，结果面积减少了 $156$ 平方厘米。原正方形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分割减少部分）：两条边上切下 $4a$ 与 $6a$，角上重叠的小长方形 $4\times 6=\underline{\quad}$ 被算了两遍，要减去一次。
  2. 第 2 步（列方程）：$4a+6a-24=156$，即 $\underline{\quad}a-24=156$。
  3. 第 3 步（解方程）：$10a=156+24=\underline{\quad}$，$a=180\div 10=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求原面积）：$18\times 18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块正方形的地毯，相邻两边分别裁掉 $4$ 分米和 $6$ 分米宽的一条，面积一共少了 $156$ 平方分米。原地毯的面积是多少平方分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（注意重叠）：角上 $4\times 6=\underline{\quad}$（平方分米）的小块被两条重复覆盖，只能算一次。
  2. 第 2 步（列方程）：$10a-24=156$，$10a=156+24=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（解出边长）：$a=180\div 10=\underline{\quad}$（分米）。
  4. 第 4 步（求原面积）：$18\times 18=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：把一个正方形的相邻两边分别减少 $5$ 厘米和 $8$ 厘米，结果面积减少了 $220$ 平方厘米。原正方形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（重叠部分）：$5\times 8=\underline{\quad}$（平方厘米），只能算一次。
  2. 第 2 步（列方程）：$(5+8)a-40=220$，即 $\underline{\quad}a-40=220$。
  3. 第 3 步（解方程）：$13a=220+40=\underline{\quad}$，$a=260\div 13=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求原面积）：$20\times 20=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：把一个正方形的相邻两边分别减少 $4$ 厘米和 $6$ 厘米，结果面积减少了 $156$ 平方厘米。（1）原正方形的面积是多少？（2）剩下的长方形面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：$4a+6a-4\times 6=156$，即 $10a-24=156$，$10a=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（解出边长）：$a=180\div 10=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（原面积）：$18\times 18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（剩下长方形的两条边）：$18-4=\underline{\quad}$，$18-6=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（剩下面积）：$14\times 12=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（验一验）：$324-156=\underline{\quad}$，与上一步相符。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 2. ch14-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（连对角线折算份数）：设四边形 $ABCD$ 为 $1$ 份，一组对角三角形合计 $2$ 份，另一组也是 $2$ 份。
    2. 第 2 步（合计份数）：$2+2+1=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步（求面积）：$13\times 5=\underline{65}$（平方米）。
    最终答案：$65$ 平方米。
  2. 2. ch14-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（折算份数）：原四边形 $1$ 份，四周两组三角形各 $2$ 份，共 $2+2+1=\underline{5}$（份）。
    2. 第 2 步（求面积）：$13\times 5=\underline{65}$（平方米）。
    最终答案：$65$ 平方米。
  3. 2. ch14-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（折算份数）：$EFGH$ 是 $ABCD$ 的 $2+2+1=\underline{5}$ 倍。
    2. 第 2 步（反求一份）：$65\div 5=\underline{13}$（平方米）。
    最终答案：$13$ 平方米。
  4. 2. ch14-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（合计份数）：$2+2+1=\underline{5}$（份）。
    2. 第 2 步（求 $EFGH$）：$13\times 5=\underline{65}$（平方米）。
    3. 第 3 步（四周部分）：$65-13=\underline{52}$（平方米），也等于 $13\times 4=\underline{52}$（平方米）。
    4. 第 4 步（求占比）：$13\div 65=\underline{0.2}$，即 $\frac{1}{5}$。
    最终答案：（1）$65$ 平方米；（2）$52$ 平方米；（3）$\frac{1}{5}$。
  5. 4. ch14-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（找平行）：$MD$ 与 $EC$ 都垂直于 $BC$，所以 $MD\parallel EC$。
    2. 第 2 步（等积变形）：由平行关系可得 $S_{\triangle BCM}=S_{\triangle BDE}=\underline{11}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（中点翻倍）：$M$ 是 $AB$ 中点，$AB=2BM$，$\triangle ABC$ 与 $\triangle BCM$ 以 $C$ 为顶点等高，$S_{\triangle ABC}=2\times 11=\underline{22}$（平方厘米）。
    最终答案：$22$ 平方厘米。
  6. 4. ch14-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（找平行）：两条小径都垂直于 $BC$，所以互相平行。
    2. 第 2 步（等积变形）：$S_{\triangle BCM}=S_{\triangle BDE}=\underline{11}$（平方米）。
    3. 第 3 步（中点翻倍）：$S_{\triangle ABC}=2\times 11=\underline{22}$（平方米）。
    最终答案：$22$ 平方米。
  7. 4. ch14-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（中点取一半）：$S_{\triangle BCM}=22\div 2=\underline{11}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（等积变形）：$MD\parallel EC$，所以 $S_{\triangle BDE}=S_{\triangle BCM}=\underline{11}$（平方厘米）。
    最终答案：$11$ 平方厘米。
  8. 4. ch14-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（等积变形）：$S_{\triangle BCM}=S_{\triangle BDE}=\underline{11}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（中点翻倍）：$S_{\triangle ABC}=2\times 11=\underline{22}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（整体减部分）：$M$ 在 $AB$ 上，$\triangle ABC$ 被 $CM$ 分成 $\triangle BCM$ 与 $\triangle ACM$，$S_{\triangle ACM}=22-11=\underline{11}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（另法验一验）：中点把三角形分成相等的两块，$22\div 2=\underline{11}$（平方厘米），一致。
    最终答案：（1）$22$ 平方厘米；（2）$11$ 平方厘米。
  9. 5. ch14-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（把面积差写成积）：$a^2-b^2=(a+b)\times(a-b)=180$，其中 $a+b=30$。
    2. 第 2 步（求边长差）：$a-b=180\div 30=\underline{6}$（厘米）。
    3. 第 3 步（和差问题求大边长）：$a=(30+6)\div 2=\underline{18}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求面积）：$18\times 18=\underline{324}$（平方厘米）。
    最终答案：$324$ 平方厘米。
  10. 5. ch14-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（面积差写成积）：$(a+b)\times(a-b)=180$，$a+b=30$。
    2. 第 2 步（求边长差）：$180\div 30=\underline{6}$（分米）。
    3. 第 3 步（和差公式）：$a=(30+6)\div 2=\underline{18}$（分米）。
    4. 第 4 步（求面积）：$18\times 18=\underline{324}$（平方分米）。
    最终答案：$324$ 平方分米。
  11. 5. ch14-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求边长差）：$180\div 30=\underline{6}$（厘米）。
    2. 第 2 步（和差公式求小边长）：$b=(30-6)\div 2=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求面积）：$12\times 12=\underline{144}$（平方厘米）。
    最终答案：$144$ 平方厘米。
  12. 5. ch14-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求边长差）：$180\div 30=\underline{6}$（厘米）。
    2. 第 2 步（求两条边长）：$a=(30+6)\div 2=\underline{18}$，$b=(30-6)\div 2=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求两个面积）：$18\times 18=\underline{324}$，$12\times 12=\underline{144}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求面积和）：$324+144=\underline{468}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（验一验面积差）：$324-144=\underline{180}$（平方厘米），与题目相符。
    最终答案：（1）$324$ 与 $144$ 平方厘米；（2）$468$ 平方厘米。
  13. 6. ch14-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（统一单位）：$ED=100$ 厘米 $=100\div 10=\underline{10}$（分米）。
    2. 第 2 步（求 $\triangle AEC$）：以 $AC=50$ 为底、$ED$ 为高，$50\times 10\div 2=\underline{250}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（求直角三角形总面积）：$30\times 40\div 2=\underline{600}$（平方分米）。
    4. 第 4 步（整体减部分）：$\triangle ABE$ 与 $\triangle CBE$ 的面积和 $=600-250=\underline{350}$（平方分米）。
    5. 第 5 步（分配律反求高）：两三角形底之和 $=30+40=\underline{70}$，高 $=350\times 2\div 70=\underline{10}$（分米）。
    6. 第 6 步（换回厘米）：$10\times 10=\underline{100}$（厘米）。
    最终答案：$100$ 厘米。
  14. 6. ch14-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（统一单位）：$ED=100\div 10=\underline{10}$（分米）。
    2. 第 2 步（求 $\triangle AEC$）：$50\times 10\div 2=\underline{250}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（求菜地总面积）：$30\times 40\div 2=\underline{600}$（平方分米）。
    4. 第 4 步（整体减部分）：$600-250=\underline{350}$（平方分米）。
    5. 第 5 步（分配律反求边长）：$350\times 2\div(30+40)=\underline{10}$（分米）。
    6. 第 6 步（换回厘米）：$10\times 10=\underline{100}$（厘米）。
    最终答案：$100$ 厘米。
  15. 6. ch14-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $\triangle AEC$）：$50\times 10\div 2=\underline{250}$（平方分米）。
    2. 第 2 步（求总面积）：$30\times 40\div 2=\underline{600}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（整体减部分）：$600-250=\underline{350}$（平方分米）。
    最终答案：$\triangle AEC=250$ 平方分米；另两块之和 $=350$ 平方分米。
  16. 6. ch14-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（统一单位）：$ED=100\div 10=\underline{10}$（分米）。
    2. 第 2 步（求 $\triangle AEC$ 与总面积）：$50\times 10\div 2=\underline{250}$，$30\times 40\div 2=\underline{600}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（整体减部分）：$600-250=\underline{350}$（平方分米）。
    4. 第 4 步（分配律反求边长）：$350\times 2\div(30+40)=\underline{10}$（分米）。
    5. 第 5 步（正方形面积）：$10\times 10=\underline{100}$（平方分米）。
    6. 第 6 步（再整体减部分）：$600-100=\underline{500}$（平方分米）。
    最终答案：（1）$10$ 分米；（2）$100$ 平方分米；（3）$500$ 平方分米。
  17. 10. ch14-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（中点分一半）：$D$ 是 $BC$ 中点，$S_{\triangle ABD}=480\div 2=\underline{240}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（再按底比缩）：$\triangle ABE$ 与 $\triangle ABD$ 以 $B$ 为顶点等高，底 $AE$ 是 $AD$ 的 $\frac{1}{4}$，$S_{\triangle ABE}=240\div 4=\underline{60}$（平方厘米）。
    最终答案：$60$ 平方厘米。
  18. 10. ch14-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（中点分一半）：$480\div 2=\underline{240}$（平方米）。
    2. 第 2 步（按底比缩）：$240\div 4=\underline{60}$（平方米）。
    最终答案：$60$ 平方米。
  19. 10. ch14-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（按底比缩第一次）：$BD$ 是 $BC$ 的 $\frac{1}{3}$，$S_{\triangle ABD}=480\div 3=\underline{160}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（按底比缩第二次）：$AE$ 是 $AD$ 的 $\frac{1}{4}$，$S_{\triangle ABE}=160\div 4=\underline{40}$（平方厘米）。
    最终答案：$40$ 平方厘米。
  20. 10. ch14-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（中点分一半）：$S_{\triangle ABD}=480\div 2=\underline{240}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求 $\triangle ABE$）：$S_{\triangle ABE}=240\div 4=\underline{60}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（整体减部分）：$E$ 在 $AD$ 上，$\triangle ABD$ 被分成 $\triangle ABE$ 与 $\triangle EBD$，$S_{\triangle EBD}=240-60=\underline{180}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（另法验算）：$ED$ 占 $AD$ 的 $\frac{3}{4}$，$240\times 3\div 4=\underline{180}$（平方厘米），一致。
    最终答案：$180$ 平方厘米。
  21. 11. ch14-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（添辅助线）：连 $BD$，四边形 $BEDF$ 被拆成 $\triangle BDE$ 与 $\triangle BDF$。
    2. 第 2 步（求底比）：由 $CD=4DF$ 得 $CF=CD-DF=\underline{3}DF$，所以 $\triangle BFC$ 的面积是 $\triangle BDF$ 的 $3$ 倍。
    3. 第 3 步（求 $\triangle BDF$）：$18\div 3=\underline{6}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求 $\triangle BDE$）：$20-6=\underline{14}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（求 $\triangle ABE$）：由 $AE=4ED$，$\triangle ABE$ 是 $\triangle BDE$ 的 $4$ 倍，$14\times 4=\underline{56}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（分块求和）：$56+20+18=\underline{94}$（平方厘米）。
    最终答案：$94$ 平方厘米。
  22. 11. ch14-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（连 $BD$ 拆块）：把 $BEDF$ 拆成 $\triangle BDE$ 与 $\triangle BDF$。
    2. 第 2 步（底比）：$CF=CD-DF=\underline{3}DF$，$\triangle BFC$ 是 $\triangle BDF$ 的 $3$ 倍。
    3. 第 3 步：$S_{\triangle BDF}=18\div 3=\underline{6}$（平方米）。
    4. 第 4 步：$S_{\triangle BDE}=20-6=\underline{14}$（平方米）。
    5. 第 5 步：$S_{\triangle ABE}=14\times 4=\underline{56}$（平方米）。
    6. 第 6 步：整个果园 $=56+20+18=\underline{94}$（平方米）。
    最终答案：$94$ 平方米。
  23. 11. ch14-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（连 $BD$）：四边形 $BEDF$ 被对角线 $BD$ 拆成两个三角形。
    2. 第 2 步（底比）：$CF=CD-DF=\underline{3}DF$，$\triangle BFC$ 是 $\triangle BDF$ 的 $3$ 倍。
    3. 第 3 步（求 $\triangle BDF$）：$18\div 3=\underline{6}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求 $\triangle BDE$）：$20-6=\underline{14}$（平方厘米）。
    最终答案：$\triangle BDF=6$ 平方厘米，$\triangle BDE=14$ 平方厘米。
  24. 11. ch14-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（底比）：$CF=\underline{3}DF$，$S_{\triangle BDF}=18\div 3=\underline{6}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求 $\triangle BDE$）：$20-6=\underline{14}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求 $\triangle ABE$）：$14\times 4=\underline{56}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（分块求和）：$S_{ABCD}=56+20+18=\underline{94}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（合并求 $\triangle ABD$）：$\triangle ABD$ 由 $\triangle ABE$ 与 $\triangle BDE$ 拼成，$56+14=\underline{70}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（换个角度验一验）：$\triangle ABD$ 也等于四边形去掉 $\triangle BDF$ 与 $\triangle BFC$，$94-6-18=\underline{70}$（平方厘米），一致。
    最终答案：（1）$94$ 平方厘米；（2）$70$ 平方厘米。
  25. 12. ch14-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：设 $S_{\triangle DEF}=1$ 份。
    2. 第 2 步（算一个角上的三角形）：它的两条边分别是原边的 $2$ 倍和 $2+1=\underline{3}$ 倍，所以面积是 $2\times 3=\underline{6}$（份）。
    3. 第 3 步（三个角合计）：$6\times 3=\underline{18}$（份）。
    4. 第 4 步（加上中间）：$1+18=\underline{19}$（份），即 $ABC$ 是 $DEF$ 的 $19$ 倍。
    最终答案：$19$ 倍。
  26. 12. ch14-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（设份数）：设原绿地为 $1$ 份。
    2. 第 2 步（一个角上的三角形）：两条边分别是原边的 $2$ 倍和 $2+1=\underline{3}$ 倍，面积是 $2\times 3=\underline{6}$（份）。
    3. 第 3 步（合计份数）：$1+6\times 3=\underline{19}$（份）。
    4. 第 4 步（算面积）：$5\times 19=\underline{95}$（平方米）。
    最终答案：$95$ 平方米。
  27. 12. ch14-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（折算份数）：每个角上的三角形是 $DEF$ 的 $1\times 2=\underline{2}$ 份，三个角共 $2\times 3=\underline{6}$ 份。
    2. 第 2 步（总份数）：$1+6=\underline{7}$（份）。
    3. 第 3 步（反求一份）：$126\div 7=\underline{18}$（平方厘米）。
    最终答案：$18$ 平方厘米。
  28. 12. ch14-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（一个角上的三角形折算份数）：$2\times(2+1)=\underline{6}$（份）。
    2. 第 2 步（三个角合计份数）：$6\times 3=\underline{18}$（份）。
    3. 第 3 步（总份数）：$1+18=\underline{19}$（份）。
    4. 第 4 步（求 $\triangle ABC$）：$5\times 19=\underline{95}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（求三个角上部分）：$5\times 18=\underline{90}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（验一验）：$95-5=\underline{90}$（平方厘米），与上一步相符。
    最终答案：（1）$95$ 平方厘米；（2）$90$ 平方厘米。
  29. 13. ch14-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（折算份数）：长方形 $=$ 梯形 $+$ 三角形，所以长方形是三角形的 $8+1=\underline{9}$ 倍。
    2. 第 2 步（用面积公式比较底）：$BC\times AB=9\times BE\times AB\div 2$，两边约去 $AB$，得 $BC=9\div 2\times BE$，即 $BC$ 是 $BE$ 的 $\underline{4.5}$ 倍。
    3. 第 3 步（求 $BE$）：$BE=36\div 4.5=\underline{8}$，也可以写成 $36\times 2\div 9=\underline{8}$。
    最终答案：$BE=8$。
  30. 13. ch14-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（折算份数）：长方形是三角形的 $8+1=\underline{9}$ 倍。
    2. 第 2 步（比较底）：$BC$ 是 $BE$ 的 $9\div 2=\underline{4.5}$ 倍。
    3. 第 3 步（求 $BE$）：$36\times 2\div 9=\underline{8}$（米）。
    最终答案：$BE=8$ 米。
  31. 13. ch14-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形是三角形的几倍）：$BC\times AB\div(BE\times AB\div 2)=36\times 2\div 8=\underline{9}$（倍）。
    2. 第 2 步（去掉三角形自己那一份）：梯形是三角形的 $9-1=\underline{8}$ 倍。
    最终答案：$8$ 倍。
  32. 13. ch14-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$36\times 15=\underline{540}$。
    2. 第 2 步（折算份数）：长方形是三角形的 $8+1=\underline{9}$ 倍。
    3. 第 3 步（求三角形面积）：$540\div 9=\underline{60}$。
    4. 第 4 步（由面积反求底）：$BE=60\times 2\div 15=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（求梯形面积）：$540-60=\underline{480}$，也等于 $60\times 8=\underline{480}$。
    最终答案：（1）$BE=8$；（2）三角形 $60$，梯形 $480$。
  33. 14. ch14-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：设 $S_{\triangle AEC}=1$ 份，则梯形是 $\underline{6}$ 份。
    2. 第 2 步（求 $\triangle ABC$）：$E$ 是靠近 $A$ 的四等分点，$AB=4AE$，同高，所以 $S_{\triangle ABC}=1\times 4=\underline{4}$（份）。
    3. 第 3 步（相减求 $\triangle ACD$）：$6-4=\underline{2}$（份）。
    4. 第 4 步（面积比即底比）：$BC:AD=4:2$，下底是上底的 $4\div 2=\underline{2}$ 倍。
    最终答案：$2$ 倍。
  34. 14. ch14-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（设份数）：设 $\triangle AEC$ 为 $1$ 份，梯形为 $\underline{6}$ 份。
    2. 第 2 步（求 $\triangle ABC$）：$AB=4AE$，$S_{\triangle ABC}=1\times 4=\underline{4}$（份）。
    3. 第 3 步（求 $\triangle ACD$）：$6-4=\underline{2}$（份）。
    4. 第 4 步（底比）：$4\div 2=\underline{2}$ 倍。
    最终答案：$2$ 倍。
  35. 14. ch14-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（设份数）：设 $S_{\triangle AEC}=1$ 份，由 $AB=4AE$ 得 $S_{\triangle ABC}=1\times 4=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步（由底比得面积比）：$\triangle ACD$ 与 $\triangle ABC$ 同高，底比 $AD:BC=1:2$，所以 $S_{\triangle ACD}=4\div 2=\underline{2}$（份）。
    3. 第 3 步（求梯形份数）：$4+2=\underline{6}$（份），即梯形是 $\triangle AEC$ 的 $6$ 倍。
    最终答案：$6$ 倍。
  36. 14. ch14-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求梯形面积）：$7\times 6=\underline{42}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求 $\triangle ABC$）：$AB=4AE$，$7\times 4=\underline{28}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求 $\triangle ACD$）：$42-28=\underline{14}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（底比）：同高三角形面积比即底比，$28\div 14=\underline{2}$，下底是上底的 $2$ 倍。
    最终答案：（1）$42$ 平方厘米；（2）$14$ 平方厘米；（3）$2$ 倍。
  37. 15. ch14-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（认出一半关系）：相对两块的底是长方形的一组对边、两条高之和是另一边，所以每组面积和都是长方形的一半，$S_{黄}+S_{蓝}=S_{红}+S_{绿}$。
    2. 第 2 步（先算已知的一组）：$42+25=\underline{67}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（相减求蓝色）：$67-18=\underline{49}$（平方厘米）。
    最终答案：$49$ 平方厘米。
  38. 15. ch14-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（一半关系）：相对两片的面积和都等于整块玻璃的一半，所以 $S_{黄}+S_{蓝}=S_{红}+S_{绿}$。
    2. 第 2 步（算已知一组）：$42+25=\underline{67}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（求蓝片）：$67-18=\underline{49}$（平方分米）。
    最终答案：$49$ 平方分米。
  39. 15. ch14-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（一半关系）：相对两块的面积和是长方形的一半，$18+49=\underline{67}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（还原整体）：$67\times 2=\underline{134}$（平方厘米）。
    最终答案：$134$ 平方厘米。
  40. 15. ch14-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（算已知一组）：$42+25=\underline{67}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求蓝色）：$67-18=\underline{49}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求长方形）：一组之和是一半，$67\times 2=\underline{134}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（验一验）：四块相加 $18+42+25+49=\underline{134}$，与上一步相符。
    5. 第 5 步（求占比）：$42\div 134=\underline{0.313432836}$，即 $\frac{21}{67}$。
    最终答案：（1）$49$ 平方厘米；（2）$134$ 平方厘米；（3）$\frac{21}{67}$。
  41. 17. ch14-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（同底等高）：$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 以 $AD$ 为公共底、高都是梯形的高，所以 $S_{\triangle ACD}=\underline{36}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（整体减部分）：对角线 $AC$ 把梯形分成 $\triangle ACD$ 与 $\triangle ABC$，$S_{\triangle ABC}=100-36=\underline{64}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（中点取一半）：$E$ 是 $AB$ 中点，$S_{\triangle BCE}=64\div 2=\underline{32}$（平方厘米）。
    最终答案：$32$ 平方厘米。
  42. 17. ch14-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（同底等高）：$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD}=\underline{36}$（平方米）。
    2. 第 2 步（整体减部分）：$S_{\triangle ABC}=100-36=\underline{64}$（平方米）。
    3. 第 3 步（中点取一半）：$64\div 2=\underline{32}$（平方米）。
    最终答案：$32$ 平方米。
  43. 17. ch14-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（同底等高）：$\triangle ACD$ 与 $\triangle ABD$ 同底 $AD$、等高，$S_{\triangle ACD}=\underline{36}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（整体减部分）：对角线 $BD$ 把梯形分成 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BCD$，$S_{\triangle BCD}=100-36=\underline{64}$（平方厘米）。
    最终答案：$\triangle ACD=36$ 平方厘米，$\triangle BCD=64$ 平方厘米。
  44. 17. ch14-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（同底等高）：$S_{\triangle ACD}=\underline{36}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（整体减部分）：$S_{\triangle ABC}=100-36=\underline{64}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（中点取一半）：$S_{\triangle BCE}=64\div 2=\underline{32}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（再整体减部分）：四边形 $AECD$ 是梯形去掉 $\triangle BCE$，$100-32=\underline{68}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（另法验一验）：$S_{AECD}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ACE}=36+32=\underline{68}$（平方厘米），一致。
    最终答案：（1）$32$ 平方厘米；（2）$68$ 平方厘米。
  45. 18. ch14-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（找平行）：两个正方形的对角线方向相同，所以 $AE\parallel CG$、$BD\parallel EF$。
    2. 第 2 步（把 $A$ 滑到 $E$）：$\triangle ACG$ 与 $\triangle ECG$ 同底 $CG$、等高，$\triangle ECG$ 是小正方形的一半，$S_{\triangle ACG}=8\times 8\div 2=\underline{32}$。
    3. 第 3 步（把 $B$ 滑到 $E$）：$\triangle BDF$ 与 $\triangle EDF$ 同底 $DF$、等高，$\triangle EDF$ 是大正方形的一半，$S_{\triangle BDF}=10\times 10\div 2=\underline{50}$。
    最终答案：$S_{\triangle ACG}=32$，$S_{\triangle BDF}=50$。
  46. 18. ch14-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（找平行）：两块木板的对角线方向相同，$AE\parallel CG$、$BD\parallel EF$。
    2. 第 2 步（等积变形）：$S_{\triangle ACG}=S_{\triangle ECG}=8\times 8\div 2=\underline{32}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（等积变形）：$S_{\triangle BDF}=S_{\triangle EDF}=10\times 10\div 2=\underline{50}$（平方分米）。
    最终答案：$32$ 平方分米和 $50$ 平方分米。
  47. 18. ch14-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（等积变形）：$S_{\triangle ACG}=8\times 8\div 2=\underline{32}$。
    2. 第 2 步（等积变形）：$S_{\triangle BDF}=10\times 10\div 2=\underline{50}$。
    3. 第 3 步（求和）：$32+50=\underline{82}$。
    最终答案：$82$。
  48. 18. ch14-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（等积变形）：$S_{\triangle ACG}=8\times 8\div 2=\underline{32}$，$S_{\triangle BDF}=10\times 10\div 2=\underline{50}$。
    2. 第 2 步（两正方形总面积）：$10\times 10+8\times 8=\underline{164}$。
    3. 第 3 步（整体减部分）：$164-50-32=\underline{82}$。
    4. 第 4 步（验一验）：剩下的正好是两正方形各自的另一半，$100\div 2+64\div 2=\underline{82}$，一致。
    最终答案：（1）$32$ 与 $50$；（2）$82$。
  49. 20. ch14-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（第(1)问列方程）：角上小长方形 $3\times 5=\underline{15}$ 要加上，$(3+5)a+15=95$，即 $\underline{8}a+15=95$。
    2. 第 2 步（解出边长）：$8a=95-15=\underline{80}$，$a=80\div 8=\underline{10}$（厘米），面积 $=10\times 10=\underline{100}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（第(2)问列方程）：角上小长方形 $4\times 6=\underline{24}$ 被重复算了要减去，$(4+6)a-24=166$，即 $\underline{10}a-24=166$。
    4. 第 4 步（解出边长）：$10a=166+24=\underline{190}$，$a=190\div 10=\underline{19}$（厘米），面积 $=19\times 19=\underline{361}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$100$ 平方厘米；（2）$361$ 平方厘米。
  50. 20. ch14-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（加宽：角上要加）：$3\times 5=\underline{15}$，$8a+15=95$，$8a=\underline{80}$，$a=80\div 8=\underline{10}$（米），面积 $=10\times 10=\underline{100}$（平方米）。
    2. 第 2 步（缩窄：角上要减）：$4\times 6=\underline{24}$，$10a-24=166$，$10a=\underline{190}$，$a=190\div 10=\underline{19}$（米），面积 $=19\times 19=\underline{361}$（平方米）。
    最终答案：（1）$100$ 平方米；（2）$361$ 平方米。
  51. 20. ch14-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（第(1)问）：角上 $4\times 6=\underline{24}$ 要加，$10a+24=214$，$10a=\underline{190}$，$a=190\div 10=\underline{19}$，面积 $=19\times 19=\underline{361}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（第(2)问）：角上 $5\times 7=\underline{35}$ 要减，$12a-35=205$，$12a=\underline{240}$，$a=240\div 12=\underline{20}$，面积 $=20\times 20=\underline{400}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$361$ 平方厘米；（2）$400$ 平方厘米。
  52. 20. ch14-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：$8a+3\times 5=95$，$8a=95-15=\underline{80}$。
    2. 第 2 步（解出边长与原面积）：$a=80\div 8=\underline{10}$（厘米），原面积 $=10\times 10=\underline{100}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（新长方形两条边）：$10+3=\underline{13}$，$10+5=\underline{15}$（厘米）。
    4. 第 4 步（新面积）：$13\times 15=\underline{195}$（平方厘米），验算 $100+95=\underline{195}$，一致。
    5. 第 5 步（求倍数）：$195\div 100=\underline{1.95}$（倍）。
    最终答案：（1）$100$ 平方厘米；（2）$13$ 厘米与 $15$ 厘米，面积 $195$ 平方厘米；（3）$1.95$ 倍。
  53. 21. ch14-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（添辅助线）：连 $AO$、$BO$、$CO$、$DO$，四边形被分成四个三角形，它们的高都是 $7$ 厘米。
    2. 第 2 步（用乘法分配律提公因数）：$S=7\times(AB+BC+CD+DA)\div 2$，括号里就是周长 $\underline{84}$（厘米）。
    3. 第 3 步（代入计算）：$7\times 84\div 2=\underline{294}$（平方厘米）。
    最终答案：$294$ 平方厘米。
  54. 21. ch14-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（连线分块）：把投饵点与四个角相连，鱼塘分成四个三角形，高都是 $7$ 米。
    2. 第 2 步（提公因数）：四条底之和就是周长 $\underline{84}$（米）。
    3. 第 3 步（计算）：$7\times 84\div 2=\underline{294}$（平方米）。
    最终答案：$294$ 平方米。
  55. 21. ch14-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（连线分块）：连 $O$ 与五个顶点，五边形被分成 $5$ 个三角形，高都是 $7$ 厘米。
    2. 第 2 步（提公因数）：五条底之和就是周长 $\underline{84}$（厘米）。
    3. 第 3 步（计算）：$7\times 84\div 2=\underline{294}$（平方厘米）。
    最终答案：$294$ 平方厘米。
  56. 21. ch14-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（写出关系）：面积 $=7\times$ 周长 $\div 2$，所以 周长 $=$ 面积 $\times 2\div 7$。
    2. 第 2 步（反求周长）：$294\times 2\div 7=\underline{84}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求每条边）：$84\div 4=\underline{21}$（厘米）。
    4. 第 4 步（验一验）：$7\times 84\div 2=\underline{294}$（平方厘米），与题目相符。
    最终答案：（1）$84$ 厘米；（2）$21$ 厘米。
  57. 22. ch14-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（算三角形面积）：$30\times 20\div 2=\underline{300}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（连 $CE$ 分块）：$\triangle ACE$ 与 $\triangle CBE$ 的高都是正方形边长 $a$，用分配律得面积和 $=(30+20)\times a\div 2=\underline{50}a\div 2$。
    3. 第 3 步（列方程并解）：$50\times a\div 2=300$，$a=300\times 2\div 50=\underline{12}$（厘米）。
    最终答案：$12$ 厘米。
  58. 22. ch14-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（铁皮面积）：$30\times 20\div 2=\underline{300}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（连辅助线分块）：两个小三角形的高都是正方形边长 $a$，底之和 $=30+20=\underline{50}$（厘米）。
    3. 第 3 步（列方程并解）：$50\times a\div 2=300$，$a=300\times 2\div 50=\underline{12}$（厘米）。
    最终答案：$12$ 厘米。
  59. 22. ch14-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（$\triangle ACE$）：以 $AC$ 为底、高为正方形边长，$30\times 12\div 2=\underline{180}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（$\triangle CBE$）：以 $BC$ 为底、高也是正方形边长，$20\times 12\div 2=\underline{120}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求和并验证）：$180+120=\underline{300}$（平方厘米），正好等于 $30\times 20\div 2=\underline{300}$（平方厘米）。
    最终答案：$180$ 与 $120$ 平方厘米，和为 $300$ 平方厘米。
  60. 22. ch14-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（三角形面积）：$30\times 20\div 2=\underline{300}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（分配律列方程）：$(30+20)\times a\div 2=300$，$a=300\times 2\div 50=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（正方形面积）：$12\times 12=\underline{144}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（整体减部分）：$300-144=\underline{156}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$12$ 厘米；（2）$144$ 平方厘米；（3）$156$ 平方厘米。
  61. 23. ch14-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（认等高）：两个三角形都以 $C$ 为顶点、底边同在直线 $AB$ 上，高相同，所以面积之比等于底之比，面积倍数 $=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（搬倍数）：$S_{\triangle ABC}=12\times \underline{7}=\underline{84}$（平方厘米）。
    最终答案：$84$ 平方厘米。
  62. 23. ch14-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（认等高）：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ACD$ 以 $C$ 为公共顶点、底边同在 $AB$ 上，高相同，面积倍数就等于底的倍数 $=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（算面积）：$12\times 7=\underline{84}$（平方米）。
    最终答案：$84$ 平方米。
  63. 23. ch14-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（认等高）：两三角形同高，面积比等于底比，即 $S_{\triangle ABC}$ 是 $S_{\triangle ACD}$ 的 $\underline{7}$ 倍。
    2. 第 2 步（反过来用倍数）：已知大三角形面积求小的，要用除法，$84\div 7=\underline{12}$（平方厘米）。
    最终答案：$12$ 平方厘米。
  64. 23. ch14-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（认等高、搬倍数）：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ACD$ 同高，$S_{\triangle ABC}=12\times 7=\underline{84}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（整体减部分）：$D$ 在 $AB$ 上，$\triangle ABC$ 被分成 $\triangle ACD$ 与 $\triangle BCD$，所以 $S_{\triangle BCD}=84-12=\underline{72}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（换个办法验一验）：$BD$ 是 $AD$ 的 $7-1=\underline{6}$ 倍，所以 $S_{\triangle BCD}=12\times 6=\underline{72}$（平方厘米），两法一致。
    最终答案：$72$ 平方厘米。
  65. 24. ch14-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（求总面积）：上底 $20$、下底 $25$、高 $12$，$S_{梯形}=(20+25)\times 12\div 2=\underline{270}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（三等分）：三块面积相等，每块 $=270\div 3=\underline{90}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（倒推 $AE$）：$\triangle ADE$ 以 $AD=20$ 为底、$AE$ 为高，$AE=90\times 2\div 20=\underline{9}$，于是 $BE=12-9=\underline{3}$（厘米）。
    4. 第 4 步（倒推 $CF$）：$\triangle CDF$ 以 $CF$ 为底、高等于 $AB=12$，$CF=90\times 2\div 12=\underline{15}$，于是 $BF=25-15=\underline{10}$（厘米）。
    5. 第 5 步（角上小三角形）：$S_{\triangle BEF}=3\times 10\div 2=\underline{15}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（整体减部分）：$S_{\triangle DEF}=270-90-90-15=\underline{75}$（平方厘米）。
    最终答案：$75$ 平方厘米。
  66. 24. ch14-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（求草坪总面积）：$(20+25)\times 12\div 2=\underline{270}$（平方米）。
    2. 第 2 步（三块相等）：每块 $=270\div 3=\underline{90}$（平方米）。
    3. 第 3 步（求 $AE$、$BE$）：$AE=90\times 2\div 20=\underline{9}$（米），$BE=12-9=\underline{3}$（米）。
    4. 第 4 步（求 $CF$、$BF$）：$CF=90\times 2\div 12=\underline{15}$（米），$BF=25-15=\underline{10}$（米）。
    5. 第 5 步（角上三角形）：$S_{\triangle BEF}=3\times 10\div 2=\underline{15}$（平方米）。
    6. 第 6 步（求中间三角形）：$270-90-90-15=\underline{75}$（平方米）。
    最终答案：$75$ 平方米。
  67. 24. ch14-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求总面积）：$(15+21)\times 10\div 2=\underline{180}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（三等分）：每块 $=180\div 3=\underline{60}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（倒推两条直角边）：$AE=60\times 2\div 15=\underline{8}$，$BE=10-8=\underline{2}$；$CF=60\times 2\div 10=\underline{12}$，$BF=21-12=\underline{9}$（厘米）。
    4. 第 4 步（算角上三角形）：$S_{\triangle BEF}=2\times 9\div 2=\underline{9}$（平方厘米）。
    最终答案：$9$ 平方厘米。
  68. 24. ch14-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（先统一单位）：$1$ 分米 $=10$ 厘米，所以 $AD=2\times 10=\underline{20}$（厘米）。
    2. 第 2 步（求总面积）：$(20+25)\times 12\div 2=\underline{270}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（三等分）：每块 $=270\div 3=\underline{90}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（倒推 $AE$、$BE$）：$AE=90\times 2\div 20=\underline{9}$，$BE=12-9=\underline{3}$（厘米）。
    5. 第 5 步（倒推 $CF$、$BF$）：$CF=90\times 2\div 12=\underline{15}$，$BF=25-15=\underline{10}$（厘米）。
    6. 第 6 步（角上三角形）：$S_{\triangle BEF}=3\times 10\div 2=\underline{15}$（平方厘米）。
    7. 第 7 步（整体减部分）：$270-90-90-15=\underline{75}$（平方厘米）。
    最终答案：$75$ 平方厘米。
  69. 25. ch14-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（找同行关系）：上排两块高相同，面积比等于长之比，$45:27$ 化简后左长是右长的 $45\div 27=\underline{1.666666667}$ 倍。
    2. 第 2 步（同列同宽）：下排两块的长之比与上排一样，所以 $60:x$ 也是这个比。
    3. 第 3 步（对角相乘相等）：$45\times x=27\times 60$，得 $x=27\times 60\div 45=\underline{36}$（平方米）。
    最终答案：$36$ 平方米。
  70. 25. ch14-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（同一横排等高）：左上与右上高相同，面积比 $=$ 宽之比，$45\div 27=\underline{1.666666667}$ 倍。
    2. 第 2 步（同一竖列等宽）：左下与右下的宽之比与上排相同。
    3. 第 3 步（对角相乘相等）：$45\times x=27\times 60$，$x=27\times 60\div 45=\underline{36}$（平方分米）。
    最终答案：$36$ 平方分米。
  71. 25. ch14-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（同列等宽）：左边一列两块宽相同，面积比 $=$ 高之比，上下高之比为 $45\div 60=\underline{0.75}$。
    2. 第 2 步（右边一列同样的高之比）：设上排右块为 $x$，则 $x\div 36$ 等于同一个比。
    3. 第 3 步（对角相乘相等）：$45\times 36=60\times x$，$x=45\times 36\div 60=\underline{27}$（平方米）。
    最终答案：$27$ 平方米。
  72. 25. ch14-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（对角相乘相等）：$45\times x=27\times 60$，$x=27\times 60\div 45=\underline{36}$（平方米）。
    2. 第 2 步（求总面积）：四块相加 $45+27+60+36=\underline{168}$（平方米）。
    3. 第 3 步（分排求和）：上排 $45+27=\underline{72}$，下排 $60+36=\underline{96}$（平方米）。
    4. 第 4 步（求倍数）：$72\div 96=\underline{0.75}$，即上排面积是下排的 $\frac{3}{4}$。
    最终答案：（1）$36$ 平方米；（2）$168$ 平方米；（3）$\frac{3}{4}$ 倍。
  73. 26. ch14-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（第一层：沿 $AC$ 放大）：$\triangle ADC$ 与 $\triangle DEC$ 以 $D$ 为顶点等高，底 $AC$ 是 $EC$ 的 $5$ 倍，所以 $S_{\triangle ADC}=6\times 5=\underline{30}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（第二层：沿 $BC$ 放大）：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ADC$ 以 $A$ 为顶点等高，底 $BC$ 是 $DC$ 的 $4$ 倍，所以 $S_{\triangle ABC}=30\times 4=\underline{120}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（合起来看）：两层倍数相乘，$S_{\triangle ABC}=6\times 5\times 4=\underline{120}$（平方厘米）。
    最终答案：$120$ 平方厘米。
  74. 26. ch14-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（先沿 $AC$ 放大）：$S_{\triangle ADC}=6\times 5=\underline{30}$（平方米）。
    2. 第 2 步（再沿 $BC$ 放大）：$S_{\triangle ABC}=30\times 4=\underline{120}$（平方米）。
    最终答案：$120$ 平方米。
  75. 26. ch14-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（先缩一层）：$\triangle ADC$ 是 $\triangle ABC$ 的 $\frac{1}{4}$，$S_{\triangle ADC}=120\div 4=\underline{30}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（再缩一层）：$\triangle DEC$ 是 $\triangle ADC$ 的 $\frac{1}{5}$，$S_{\triangle DEC}=30\div 5=\underline{6}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（合起来看）：两层倍数相乘再除，$120\div(4\times 5)=\underline{6}$（平方厘米）。
    最终答案：$6$ 平方厘米。
  76. 26. ch14-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（第一层放大）：$S_{\triangle ADC}=6\times 5=\underline{30}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（第二层放大）：$S_{\triangle ABC}=30\times 4=\underline{120}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（整体减部分）：四边形 $ABDE$ 是 $\triangle ABC$ 去掉角上的 $\triangle DEC$，$120-6=\underline{114}$（平方厘米）。
    最终答案：$114$ 平方厘米。
  77. 27. ch14-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（第一次缩，顶点 $A$）：$E$ 是靠近 $C$ 的三等分点，$BE$ 是 $BC$ 的 $\frac{2}{3}$，所以 $S_{\triangle ABE}=90\times 2\div 3=\underline{60}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求 $ED$ 占 $AE$ 的几分之几）：$AE=AD+ED=AD+3AD$，即 $AE$ 是 $AD$ 的 $1+3=\underline{4}$ 倍，所以 $ED$ 占 $AE$ 的 $\frac{3}{4}$。
    3. 第 3 步（第二次缩，顶点 $B$）：$S_{\triangle BDE}=60\times 3\div 4=\underline{45}$（平方厘米）。
    最终答案：$45$ 平方厘米。
  78. 27. ch14-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步：$BE$ 是 $BC$ 的 $\frac{2}{3}$，$S_{\triangle ABE}=90\times 2\div 3=\underline{60}$（平方米）。
    2. 第 2 步：$AE$ 是 $AD$ 的 $1+3=\underline{4}$ 倍，$ED$ 占 $AE$ 的 $\frac{3}{4}$。
    3. 第 3 步：$S_{\triangle BDE}=60\times 3\div 4=\underline{45}$（平方米）。
    最终答案：$45$ 平方米。
  79. 27. ch14-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（第一次缩）：$E$ 是靠近 $C$ 的四等分点，$BE$ 是 $BC$ 的 $\frac{3}{4}$，$S_{\triangle ABE}=96\times 3\div 4=\underline{72}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求底比）：$AE$ 是 $AD$ 的 $1+3=\underline{4}$ 倍，$ED$ 占 $AE$ 的 $\frac{3}{4}$。
    3. 第 3 步（第二次缩）：$S_{\triangle BDE}=72\times 3\div 4=\underline{54}$（平方厘米）。
    最终答案：$54$ 平方厘米。
  80. 27. ch14-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（第一次缩）：$S_{\triangle ABE}=90\times 2\div 3=\underline{60}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求底比）：$AE$ 是 $AD$ 的 $1+3=\underline{4}$ 倍。
    3. 第 3 步（第二次缩）：$S_{\triangle BDE}=60\times 3\div 4=\underline{45}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（整体减部分）：$D$ 在 $AE$ 上，$\triangle ABE$ 被分成 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BDE$，$S_{\triangle ABD}=60-45=\underline{15}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（另一种算法验一验）：$AD$ 占 $AE$ 的 $\frac{1}{4}$，$S_{\triangle ABD}=60\div 4=\underline{15}$（平方厘米），一致。
    最终答案：$15$ 平方厘米。
  81. 29. ch14-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（添辅助线）：过 $O$ 作 $AD$ 的平行线，把平行四边形分成左右两个小平行四边形，两个三角形分别是它们的一半。
    2. 第 2 步（求两三角形之和）：$S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOC}=96\div 2=\underline{48}$。
    3. 第 3 步（相减）：$S_{\triangle BOC}=48-21=\underline{27}$。
    最终答案：$27$。
  82. 29. ch14-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（添辅助线）：过凉亭 $O$ 作 $AD$ 的平行线，把花圃分成两个小平行四边形，两块三角形各是一半。
    2. 第 2 步（两块之和）：$96\div 2=\underline{48}$（平方米）。
    3. 第 3 步（相减）：$48-21=\underline{27}$（平方米）。
    最终答案：$27$ 平方米。
  83. 29. ch14-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求两三角形之和）：$15+33=\underline{48}$。
    2. 第 2 步（这个和是平行四边形的一半）：所以 $S_{ABCD}=48\times 2=\underline{96}$。
    最终答案：$96$。
  84. 29. ch14-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（两三角形之和是一半）：$96\div 2=\underline{48}$。
    2. 第 2 步（相减求 $\triangle BOC$）：$48-21=\underline{27}$。
    3. 第 3 步（剩下两块）：整个平行四边形被四个三角形填满，$S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COD}=96-21-27=\underline{48}$。
    4. 第 4 步（验一验）：剩下两块之和也应是平行四边形的一半，$96\div 2=\underline{48}$，与上一步相符。
    最终答案：（1）$27$；（2）$48$。
  85. 30. ch14-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（$\triangle AEB$）：$E$ 靠近 $D$ 的四等分点，$AE$ 是 $AD$ 的 $\frac{3}{4}$，高就是宽，所以 $S=240\times 3\div 4\div 2=\underline{90}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（$\triangle BFC$）：$F$ 靠近 $C$ 的五等分点，$FC$ 是 $CD$ 的 $\frac{1}{5}$，高就是长，所以 $S=240\div 5\div 2=\underline{24}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（$\triangle EDF$）：两条直角边分别是长的 $\frac{1}{4}$ 和宽的 $\frac{4}{5}$，所以 $S=240\div 4\times 4\div 5\div 2=\underline{24}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（整体减空白）：$240-90-24-24=\underline{102}$（平方厘米）。
    最终答案：$102$ 平方厘米。
  86. 30. ch14-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（角上第一块）：$S_{\triangle AEB}=240\times 3\div 4\div 2=\underline{90}$（平方分米）。
    2. 第 2 步（角上第二块）：$S_{\triangle BFC}=240\div 5\div 2=\underline{24}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（角上第三块）：$S_{\triangle EDF}=240\div 4\times 4\div 5\div 2=\underline{24}$（平方分米）。
    4. 第 4 步（整体减空白）：$240-90-24-24=\underline{102}$（平方分米）。
    最终答案：$102$ 平方分米。
  87. 30. ch14-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（$\triangle AEB$）：$AE$ 是 $AD$ 的 $\frac{1}{2}$，$S=240\div 2\div 2=\underline{60}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（$\triangle BFC$）：$FC$ 是 $CD$ 的 $\frac{1}{2}$，$S=240\div 2\div 2=\underline{60}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（$\triangle EDF$）：两直角边分别是长、宽的一半，$S=240\div 2\div 2\div 2=\underline{30}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（整体减空白）：$240-60-60-30=\underline{90}$（平方厘米）。
    最终答案：$90$ 平方厘米。
  88. 30. ch14-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（先求长方形面积）：$20\times 12=\underline{240}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（$\triangle AEB$）：$AE=20\times 3\div 4=\underline{15}$（厘米），$S=15\times 12\div 2=\underline{90}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（$\triangle BFC$）：$FC=12\div 5=\underline{2.4}$（厘米），$S=2.4\times 20\div 2=\underline{24}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（$\triangle EDF$）：$ED=20\div 4=\underline{5}$，$DF=12\times 4\div 5=\underline{9.6}$（厘米），$S=5\times 9.6\div 2=\underline{24}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（整体减空白）：$240-90-24-24=\underline{102}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（求占比）：$102\div 240=\underline{0.425}$，即 $\frac{17}{40}$。
    最终答案：（1）$102$ 平方厘米；（2）$\frac{17}{40}$。
  89. 31. ch14-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（分割增加部分）：增加的面积 $=4a+6a+$ 角上小长方形 $4\times 6=\underline{24}$。
    2. 第 2 步（列方程并合并）：$4a+6a=\underline{10}a$，所以 $10a+24=154$。
    3. 第 3 步（解方程）：$10a=154-24=\underline{130}$，$a=130\div 10=\underline{13}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求原面积）：$13\times 13=\underline{169}$（平方厘米）。
    最终答案：$169$ 平方厘米。
  90. 31. ch14-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（把扩出部分分成三块）：两条长边上的长方形 $4a$、$6a$，加上角上的 $4\times 6=\underline{24}$（平方米）。
    2. 第 2 步（列方程）：$10a+24=154$，$10a=154-24=\underline{130}$。
    3. 第 3 步（解出边长）：$a=130\div 10=\underline{13}$（米）。
    4. 第 4 步（求原面积）：$13\times 13=\underline{169}$（平方米）。
    最终答案：$169$ 平方米。
  91. 31. ch14-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（分割增加部分）：角上小长方形 $5\times 7=\underline{35}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（列方程）：$(5+7)a+35=215$，即 $\underline{12}a+35=215$。
    3. 第 3 步（解方程）：$12a=215-35=\underline{180}$，$a=180\div 12=\underline{15}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求原面积）：$15\times 15=\underline{225}$（平方厘米）。
    最终答案：$225$ 平方厘米。
  92. 31. ch14-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：$4a+6a+4\times 6=154$，即 $10a+24=154$，$10a=\underline{130}$。
    2. 第 2 步（解出边长）：$a=130\div 10=\underline{13}$（厘米）。
    3. 第 3 步（原面积）：$13\times 13=\underline{169}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（新长方形的两条边）：$13+4=\underline{17}$，$13+6=\underline{19}$（厘米）。
    5. 第 5 步（新长方形面积）：$17\times 19=\underline{323}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（验一验）：原面积加上增加的面积 $169+154=\underline{323}$，与上一步相符。
    最终答案：（1）$169$ 平方厘米；（2）$323$ 平方厘米。
  93. 32. ch14-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（分割减少部分）：两条边上切下 $4a$ 与 $6a$，角上重叠的小长方形 $4\times 6=\underline{24}$ 被算了两遍，要减去一次。
    2. 第 2 步（列方程）：$4a+6a-24=156$，即 $\underline{10}a-24=156$。
    3. 第 3 步（解方程）：$10a=156+24=\underline{180}$，$a=180\div 10=\underline{18}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求原面积）：$18\times 18=\underline{324}$（平方厘米）。
    最终答案：$324$ 平方厘米。
  94. 32. ch14-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（注意重叠）：角上 $4\times 6=\underline{24}$（平方分米）的小块被两条重复覆盖，只能算一次。
    2. 第 2 步（列方程）：$10a-24=156$，$10a=156+24=\underline{180}$。
    3. 第 3 步（解出边长）：$a=180\div 10=\underline{18}$（分米）。
    4. 第 4 步（求原面积）：$18\times 18=\underline{324}$（平方分米）。
    最终答案：$324$ 平方分米。
  95. 32. ch14-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（重叠部分）：$5\times 8=\underline{40}$（平方厘米），只能算一次。
    2. 第 2 步（列方程）：$(5+8)a-40=220$，即 $\underline{13}a-40=220$。
    3. 第 3 步（解方程）：$13a=220+40=\underline{260}$，$a=260\div 13=\underline{20}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求原面积）：$20\times 20=\underline{400}$（平方厘米）。
    最终答案：$400$ 平方厘米。
  96. 32. ch14-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：$4a+6a-4\times 6=156$，即 $10a-24=156$，$10a=\underline{180}$。
    2. 第 2 步（解出边长）：$a=180\div 10=\underline{18}$（厘米）。
    3. 第 3 步（原面积）：$18\times 18=\underline{324}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（剩下长方形的两条边）：$18-4=\underline{14}$，$18-6=\underline{12}$（厘米）。
    5. 第 5 步（剩下面积）：$14\times 12=\underline{168}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（验一验）：$324-156=\underline{168}$，与上一步相符。
    最终答案：（1）$324$ 平方厘米；（2）$168$ 平方厘米。