竞赛数学 · 五年级 第15讲《圆与扇形》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch15-chaoyue-01】如图 15-25，边长为 $4$ 的正方形中依次挖去了四个半圆，阴影部分的面积是多少？（答案用 $\pi$ 表示）
详细思路
是哪类问题：这是「正方形挖去若干半圆」类：把大小不一的半圆按面积关系整体合并，再用正方形面积一次减掉。
关键切入点：四个半圆虽然位置不同，但把它们的面积合起来，恰好等于以正方形边长为直径的一个整圆面积，即 $\dfrac{\pi}{4}\times 4^2=4\pi$。先合并再相减，比逐个求半圆稳妥得多。
方法概述：四个半圆面积先合并成 $\dfrac{\pi}{4}a^2$，再用正方形面积相减。
规范步骤：
  1. 正方形面积：$4\times 4=16$（正方形面积）
  2. 四个半圆合并：$\dfrac{\pi}{4}\times 4^2=4\pi$（面积合并）
  3. 作差：$16-4\pi$（整体减部分）
2. 【原题 ch15-chaoyue-02】如图 15-26，直角三角形的三条边长分别为 $6$，$8$，$10$，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积是多少？（答案用 $\pi$ 表示）
详细思路
是哪类问题：这是「面积法求相切半圆半径」类：把三角形沿“圆心到切点的半径”切成几块小三角形，它们的高都等于半径 $r$，用面积相等列方程求 $r$。
关键切入点：看清图形：直角顶点为 $A$，两条直角边 $AB=6$（竖直）、$AC=8$（水平），斜边 $BC=10$。半圆的直径落在直角边 $AC$ 上、一端就在直角顶点 $A$，半圆与竖直直角边 $AB$ 和斜边 $BC$ 相切（不是与两条直角边都相切）。设圆心为 $O$（在 $AC$ 上）。连结 $O$ 与顶点 $B$，三角形被分成 $\triangle ABO$ 和 $\triangle OBC$ 两块：因为半圆切 $AB$，$O$ 到 $AB$ 的距离是 $r$，所以 $\triangle ABO$ 以 $AB=6$ 为底、$r$ 为高；因为半圆切斜边 $BC$，$O$ 到 $BC$ 的距离也是 $r$，所以 $\triangle OBC$ 以斜边 $BC=10$ 为底、$r$ 为高。两块面积之和等于整个三角形 $24$，于是 $\dfrac{(6+10)r}{2}=24$，即 $8r=24$，$r=3$。半径不是量出来的，是用面积“凑”出来的。
方法概述：连圆心与对面顶点，把三角形分成两块高都为 $r$ 的小三角形，用面积相等求 $r$，再作差求阴影。
规范步骤：
  1. 直角三角形面积：$6\times 8\div 2=24$（两直角边 6、8）
  2. 连 $O$ 与顶点 $B$，把三角形分成两块：$\triangle ABO$ 以 $AB=6$ 为底，$\triangle OBC$ 以斜边 $BC=10$ 为底（半圆切 $AB$ 与 $BC$，两块的高都是 $r$）
  3. 两块面积之和＝三角形面积，列方程：$\dfrac{6\times r}{2}+\dfrac{10\times r}{2}=\dfrac{(6+10)r}{2}=24$（面积法）
  4. 解方程求半径：$8r=24$，$r=3$（解一元一次方程）
  5. 半圆面积：$\dfrac12\times\pi\times 3^2=4.5\pi$（半圆面积公式）
  6. 阴影＝三角形－半圆：$24-4.5\pi$（约 $9.87$）（整体减部分）
第一套
题目：直角三角形的三条边长分别为 $12$、$16$、$20$，它的内部放了一个半圆，圆心在斜边上，半圆与直角边 $12$ 和斜边 $20$ 相切。求三角形中半圆以外部分的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三角形面积）：$12\times 16\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用面积法列式）：两块小三角形的底分别是 $12$ 和 $20$，高都是半径 $r$，所以 $(12+20)\times r\div 2=96$，即 $\underline{\quad}\times r=96$（填 $32\div 2$ 的结果）。
  3. 第 3 步（解出半径）：$r=96\div 16=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（半圆面积）：$3.14\times 6\times 6\div 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（阴影）：$96-56.52=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块直角三角形的铁皮，三边长分别是 $12$、$16$、$20$ 厘米。在它内部挖去一个半圆形（圆心在斜边上，半圆与长为 $12$ 的直角边和斜边相切）。求剩下铁皮的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（铁皮总面积）：$12\times 16\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（面积法列式）：$(12+20)\times r\div 2=96$，即 $\underline{\quad}\times r=96$。
  3. 第 3 步（半径）：$r=96\div 16=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（半圆面积）：$3.14\times 6\times 6\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（剩下的面积）：$96-56.52=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：直角三角形的三条边长分别为 $6$、$8$、$10$，它的内部放了一个与三条边都相切的圆。求三角形中圆以外部分的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三角形面积）：$6\times 8\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（面积法：连圆心与三个顶点，分成三块，高都是 $r$）：$(6+8+10)\times r\div 2=24$，即 $\underline{\quad}\times r=24$。
  3. 第 3 步（半径）：$r=24\div 12=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（圆面积）：$3.14\times 2\times 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（阴影）：$24-12.56=\underline{\quad}$。
第三套
题目：直角三角形的三条边长分别为 $12$、$16$、$20$，内部放一个圆心在斜边上、与直角边 $12$ 和斜边相切的半圆。（1）求三角形中半圆以外部分的面积；（2）求这个半圆的周长（半圆弧＋直径）。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三角形面积）：$12\times 16\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（面积法）：$(12+20)\div 2=\underline{\quad}$，所以 $16r=96$，$r=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（半圆面积）：$3.14\times 6\times 6\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（阴影）：$96-56.52=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（半圆弧长）：$2\times 3.14\times 6\div 2=\underline{\quad}$；直径 $2\times 6=\underline{\quad}$；周长 $=18.84+12=\underline{\quad}$。
3. 【原题 ch15-chaoyue-03】如图 15-27 是一个半径为 $10$ 厘米、中心角为 $135^\circ$ 的扇形，$D$，$E$ 是弧 $BC$ 的三等分点，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「旋转等积变形」类：把一块图形绕圆心旋转到另一个位置，面积不变，从而把零散的阴影拼成规整的扇形之差。
关键切入点：$D$、$E$ 三等分弧 $BC$，所以 $\angle DAE=\dfrac{135^\circ}{3}=45^\circ$。把三角形 $ADE$ 绕 $A$ 旋转后与另一块重合，说明阴影正好等于“扇形 $BAC$ 减去扇形 $DAE$”，而两个扇形半径相同，只需把圆心角相减：$135^\circ-45^\circ=90^\circ$。于是阴影就是一个 $90^\circ$ 的扇形。
方法概述：三等分弧定出中间扇形的圆心角，圆心角相减后一次算出阴影。
规范步骤：
  1. 三等分弧求 $\angle DAE$：$135^\circ\div 3=45^\circ$（等弧对等角）
  2. 圆心角相减：$135^\circ-45^\circ=90^\circ$（同半径扇形作差）
  3. 求阴影面积：$\dfrac{90}{360}\times 3.14\times 10^2=78.5$（平方厘米）（扇形面积）
第一套
题目：一个半径为 $20$ 厘米、圆心角为 $135^\circ$ 的扇形 $BAC$，$D$、$E$ 是弧 $BC$ 的三等分点。阴影部分等于扇形 $BAC$ 去掉扇形 $DAE$ 后的部分，求阴影部分的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三等分弧定圆心角）：$135\div 3=\underline{\quad}$（度），所以 $\angle DAE=45^\circ$。
  2. 第 2 步（同半径的扇形作差，只减圆心角）：$135-45=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（半径平方）：$20\times 20=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（阴影面积）：$90\div 360\times 3.14\times 400=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块半径 $20$ 米、圆心角 $135^\circ$ 的扇形广场，边缘弧上有两个三等分点 $D$、$E$，广场中要保留的绿地是扇形广场去掉中间扇形 $DAE$ 后的部分。求绿地面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三等分定角）：$135\div 3=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（圆心角相减）：$135-45=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（半径平方）：$20\times 20=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（绿地面积）：$90\div 360\times 3.14\times 400=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：一个半径为 $12$ 厘米、圆心角为 $120^\circ$ 的扇形 $BAC$，$D$、$E$ 是弧 $BC$ 的三等分点。阴影部分等于扇形 $BAC$ 去掉扇形 $DAE$ 后的部分，求阴影面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三等分弧）：$120\div 3=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（圆心角相减）：$120-40=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（半径平方）：$12\times 12=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（阴影面积）：$80\div 360\times 3.14\times 144=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：一个半径为 $20$ 厘米、圆心角为 $135^\circ$ 的扇形 $BAC$，$D$、$E$ 是弧 $BC$ 的三等分点。（1）求阴影（扇形 $BAC$ 去掉扇形 $DAE$）的面积；（2）求空白部分扇形 $DAE$ 的面积，并验证两者之和等于整个扇形 $BAC$ 的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三等分）：$135\div 3=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（阴影的圆心角）：$135-45=\underline{\quad}$（度），阴影 $=90\div 360\times 3.14\times 400=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（空白扇形）：$45\div 360\times 3.14\times 400=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（整个扇形）：$135\div 360\times 3.14\times 400=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（检验）：$314+157=\underline{\quad}$（平方厘米），与整个扇形相等。
4. 【原题 ch15-chaoyue-04】如图 15-28 所示，有 $7$ 个大小相同的圆叠放在一起。如果每个圆的面积都是 $10$，那么阴影部分的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「圆的重叠（花瓣）＋割补」类：把周围的花瓣按对称关系补到中间，凑成整数个圆。
关键切入点：七个等圆按正六边形方式排列，每个花瓣的顶角都是 $60^\circ$，六个花瓣正好可以割补成一个完整的圆。于是阴影 $=$ 中间那个整圆 $+$ 六个花瓣拼成的一个整圆 $=2$ 个圆。已知每个圆面积 $10$，所以阴影 $=20$。整个过程不需要 $\pi$。
方法概述：把六个花瓣割补成一个整圆，阴影化为“$2$ 个整圆”。
规范步骤：
  1. 六个花瓣割补成一个整圆：$6\times 60^\circ=360^\circ$（对称与割补）
  2. 阴影相当于 2 个整圆：$2\times 10=20$（计数）
  3. 写出答案：$20$
5. 【原题 ch15-chaoyue-05】图 15-29 中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三段圆套成，其中最大半圆的直径为 $12$ 厘米，该零件的面积是多少平方厘米？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「用勾股关系定半径＋半圆作差」类：先由图中的等腰直角三角形把三个半径串起来，再作差。
关键切入点：设大、中、小半圆半径为 $a$、$b$、$c$。图中两次出现“两直角边相等的直角三角形”：一次给出 $2b^2=a^2$，一次给出 $2c^2=b^2$。两式连用得 $c^2=\dfrac14a^2$，即 $c=\dfrac{a}{2}=3$。中半圆在作差时恰好抵消，最后阴影 $=$ 大半圆 $-$ 小半圆。
方法概述：用两次勾股关系把半径串起来，再作大、小半圆之差。
规范步骤：
  1. 大半圆半径：$a=12\div 2=6$（厘米）（直径的一半）
  2. 两次关系连用：$2b^2=a^2$，$2c^2=b^2\Rightarrow c^2=\dfrac{a^2}{4}$，$c=3$（勾股关系）
  3. 作差：$\dfrac12\times 3.14\times 6^2-\dfrac12\times 3.14\times 3^2=56.52-14.13=42.39$（平方厘米）（半圆面积作差）
6. 【原题 ch15-chaoyue-06】把一个等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转 $90^\circ$。如果它的直角边长为 $10$，求它的斜边扫过的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「旋转扫过区域＋整体减空白」类：动图形扫过的区域不好直接算，就先把它“包”进一个大区域，再把不该算的部分减掉。
关键切入点：等腰直角三角形绕直角顶点转 $90^\circ$，斜边扫过的区域被包在“半径为直角边 $10$ 的半圆”里；要减掉的是“以斜边中点到直角顶点的距离 $AD$ 为半径的 $90^\circ$ 扇形”和“一个三角形”（两块小三角形恰好拼成原三角形）。关键的量 $AD^2=\dfrac{10^2}{2}=50$ 不必开方，直接以平方形式代入即可。
方法概述：半圆减去中间扇形再减去三角形；$AD^2$ 用一半的平方直接代入。
规范步骤：
  1. 大半圆面积：$\dfrac12\times 3.14\times 10^2=157$（半圆面积）
  2. 中间扇形（半径平方 $=50$）：$\dfrac14\times 3.14\times 50=39.25$（扇形面积）
  3. 三角形面积：$\dfrac12\times 10\times 10=50$（三角形面积）
  4. 作差：$157-39.25-50=67.75$（平方厘米）（整体减空白）
第一套
题目：把一个直角边长为 $20$ 的等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转 $90^\circ$，求它的斜边扫过的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（大半圆，半径就是直角边）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（中间扇形的半径平方是直角边平方的一半）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（中间扇形面积）：$3.14\times 200\div 4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（三角形面积）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（整体减空白）：$628-157-200=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块等腰直角三角形的木板，直角边长 $20$ 厘米。把它绕直角顶点在桌面上逆时针转 $90^\circ$，求木板的斜边在桌面上扫过的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（大半圆）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（中间扇形半径平方）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（中间扇形）：$3.14\times 200\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（三角形）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（相减）：$628-157-200=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：把一个直角边长为 $12$ 的等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转 $90^\circ$，求它的斜边扫过的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（大半圆）：$3.14\times 12\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（中间扇形半径平方）：$12\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（中间扇形）：$3.14\times 72\div 4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（三角形）：$12\times 12\div 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（相减）：$226.08-56.52-72=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把一个直角边长为 $20$ 的等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转 $90^\circ$。（1）求斜边扫过的面积；（2）求距直角顶点最远的那个顶点所经过的路径长度。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（大半圆）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（中间扇形）：半径平方 $20\times 20\div 2=\underline{\quad}$，面积 $3.14\times 200\div 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（三角形）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（扫过面积）：$628-157-200=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（顶点轨迹是四分之一圆弧，半径就是直角边 $20$）：$2\times 3.14\times 20\div 4=\underline{\quad}$。
7. 【原题 ch15-chaoyue-07】如图 15-30，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径都在边上。一些线段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「两块阴影之差＋扇形对换」类：中间阴影与四角阴影中含有可以互相对换的扇形，对换后差只剩下两块规则图形之差。
关键切入点：把正方形分成一个斜正方形和四个直角三角形。四个直角三角形中的四分之一圆恰好拼成一个整圆，与斜正方形中被扣掉的圆面积相同，于是这部分在作差时完全抵消，剩下的只是斜正方形与四角空白之间的差。再代入图中标出的 $6$、$2$ 即可。
方法概述：扇形对换抵消，差化为两块规则图形之差。
规范步骤：
  1. 四个四分之一圆拼成整圆：$4\times\dfrac14=1$（个整圆）（四段扇形合成一个整圆）
  2. 作差时曲边（圆）部分整块抵消：中间阴影与四角阴影各含的扇形恰好等量对换，作差后曲边部分全部消去，只剩“斜正方形 $-$ 四角空白”两块直边图形之差（对换抵消）
  3. 按图中标注 6、2 算出这两块直边之差：$6\times 2+2\times 2=12+4=16$（代入图中标注长度计算）
  4. 得两块阴影之差：$16$（整体作差）
8. 【原题 ch15-chaoyue-08】一个等边三角形边长为 $2$ 厘米，以它的每个顶点为圆心、以与边长相等的长为半径分别作一段弧，构成一个曲边三角形（图 15-31）。现在让一个曲边三角形 $A$ 绕另一个曲边三角形 $B$ 滚动一周回到原来位置的过程中，扫过的面积是多少平方厘米？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「曲边三角形（勒洛三角形）滚动扫过区域」类：扫过的区域拆成若干扇形与曲边环形，逐块相加。
关键切入点：扫过的图形可分成六小块：三块是半径 $2$、圆心角 $60^\circ$ 的扇形（合起来相当于半径 $2$ 的半圆）；另外三块是“外半径 $4$、内半径 $2$、圆心角 $60^\circ$ 的曲边环”（合起来相当于外径 $4$、内径 $2$ 的半个圆环）。曲边环用同角的大扇形减小扇形求出，再与前三块相加。注意勒洛三角形的“半径”就是等边三角形的边长 $2$。
方法概述：拆成三块小扇形与三块曲边环，分别求和。
规范步骤：
  1. 三块半径 2、圆心角 60° 的扇形：$3\times\dfrac{60}{360}\times 3.14\times 2^2=3\times\dfrac{3.14\times 4}{6}=6.28$（平方厘米）（扇形面积按圆心角取份额）
  2. 三块外径 4、内径 2、圆心角 60° 的曲边环（大扇形减小扇形）：$3\times\dfrac{60}{360}\times 3.14\times(4^2-2^2)=3\times\dfrac{3.14\times 12}{6}=18.84$（平方厘米）（曲边环＝大扇形－小扇形）
  3. 两部分合计：$6.28+18.84=25.12$（平方厘米）（求和）
9. 【原题 ch15-tuozhan-01】（1）已知一个扇形的半径为 $2$ 厘米，弧长为 $3.14$，这个扇形的面积是多少？ （2）已知一个半圆形的面积是 $56.52$ 平方厘米，求这个半圆形的周长。（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「扇形面积的另一个公式」类：扇形面积 $=$ 弧长 $\times$ 半径 $\div 2$，形式上和三角形面积公式一样，把弧当作“底”、半径当作“高”。
关键切入点：第 (1) 问已知弧长与半径，不必先求圆心角，直接用“弧长×半径÷2”一步到位。第 (2) 问是半圆面积的逆用：$\dfrac{\pi r^2}{2}=56.52$ 先乘 $2$ 再除 $\pi$ 得 $r^2=36$，$r=6$；注意半圆的周长要用“半圆弧＋直径”，直径不能漏。
方法概述：已知弧长用“弧长×半径÷2”；已知半圆面积先逆求半径，周长记得加直径。
规范步骤：
  1. 第 (1) 问直接用公式：$\dfrac{3.14\times 2}{2}=3.14$（平方厘米）（扇形面积＝弧长×半径÷2）
  2. 第 (2) 问逆求半径的平方：$r^2=56.52\times 2\div 3.14=36$（半圆面积公式逆用）
  3. 开方得半径：$r=6$（厘米）（开方）
  4. 半圆弧长：$\dfrac12\times 2\times 3.14\times 6=18.84$（厘米）（半圆弧＝πr）
  5. 加上直径得半圆周长：$18.84+2\times 6=30.84$（厘米）（半圆周长＝弧＋直径）
第一套
题目：（1）已知一个扇形的半径为 $5$ 厘米，弧长为 $12.56$ 厘米，求它的面积；（2）已知一个半圆形的面积是 $157$ 平方厘米，求这个半圆形的周长。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把弧当底、半径当高）：扇形面积 $=12.56\times 5\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（半圆面积逆用：先乘 2 变整圆）：$157\times 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（再除以 $\pi$）：$314\div 3.14=\underline{\quad}$，所以半径 $r=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（半圆弧长）：$2\times 3.14\times 10\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（别漏直径）：直径 $2\times 10=\underline{\quad}$（厘米），半圆周长 $=31.4+20=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：（1）一把折扇打开后成扇形，扇骨长（半径）$5$ 分米，外沿弧长 $12.56$ 分米，求扇面面积；（2）一块半圆形玻璃的面积是 $157$ 平方分米，要沿它的边缘贴一圈封边条，封边条长多少分米？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（弧当底、半径当高）：$12.56\times 5\div 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  2. 第 2 步（先乘 2 还原成整圆）：$157\times 2=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（再除 $\pi$）：$314\div 3.14=\underline{\quad}$，半径 $r=\underline{\quad}$（分米）。
  4. 第 4 步（半圆弧）：$2\times 3.14\times 10\div 2=\underline{\quad}$（分米）。
  5. 第 5 步（封边还包括直边）：$2\times 10=\underline{\quad}$（分米），共 $31.4+20=\underline{\quad}$（分米）。
第三套
题目：（1）已知一个扇形的半径为 $10$ 厘米，弧长为 $15.7$ 厘米，求它的面积；（2）已知一个半圆形的面积是 $226.08$ 平方厘米，求这个半圆形的周长。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$15.7\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步：$226.08\times 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步：$452.16\div 3.14=\underline{\quad}$，半径 $r=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步：半圆弧 $=2\times 3.14\times 12\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步：直径 $2\times 12=\underline{\quad}$（厘米），周长 $=37.68+24=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：已知一个扇形的半径为 $8$ 厘米，弧长为 $12.56$ 厘米。（1）求它的面积；（2）求它的圆心角是多少度。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（面积）：$12.56\times 8\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（整圆周长）：$2\times 3.14\times 8=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（弧长占整圆周长的份额）：$50.24\div 12.56=\underline{\quad}$，说明弧长是整圆周长的四分之一。
  4. 第 4 步（圆心角）：$360\div 4=\underline{\quad}$（度）。
10. 【原题 ch15-tuozhan-02】已知一个扇形的面积是 $18.84$ 平方厘米，圆心角为 $60^\circ$，这个扇形的半径和周长各是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「扇形面积公式逆用」类：由扇形面积和圆心角反求半径，再求周长。
关键切入点：$60^\circ$ 是 $360^\circ$ 的 $\dfrac16$，所以扇形面积 $=\dfrac{\pi r^2}{6}$。把 $6$ 乘回去、再把 $\pi$ 除掉，就得到 $r^2=36$，$r=6$。求周长时同样别忘了两条半径。
方法概述：先按份额还原成整圆面积，再除 $\pi$ 开方得半径，最后弧长加两半径。
规范步骤：
  1. 还原成整圆面积：$18.84\times 6=113.04$（平方厘米）（$60^\circ$ 占整圆 $\dfrac16$）
  2. 除以 $\pi$ 得半径平方：$113.04\div 3.14=36$（圆面积公式逆用）
  3. 开方：$r=6$（厘米）（开方）
  4. 求弧长：$2\times 3.14\times 6\div 6=6.28$（厘米）（弧长按份额取）
  5. 加两条半径：$6.28+2\times 6=18.28$（厘米）（扇形周长）
第一套
题目：已知一个扇形的面积是 $75.36$ 平方厘米，圆心角为 $60^\circ$，这个扇形的半径和周长各是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（判断份额）：$360\div 60=\underline{\quad}$，扇形是整圆的六分之一。
  2. 第 2 步（还原整圆面积）：$75.36\times 6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（除以 $\pi$）：$452.16\div 3.14=\underline{\quad}$，半径 $r=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（弧长）：$2\times 3.14\times 12\div 6=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（加两条半径）：$2\times 12=\underline{\quad}$（厘米），周长 $=12.56+24=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块扇形的草坪面积是 $75.36$ 平方米，它的圆心角是 $60^\circ$。求草坪的半径，以及绕草坪一圈的护栏长度。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（份额）：$360\div 60=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（还原整圆）：$75.36\times 6=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（除以 $\pi$）：$452.16\div 3.14=\underline{\quad}$，半径 $r=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（弧形边）：$2\times 3.14\times 12\div 6=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步（两条直边）：$2\times 12=\underline{\quad}$（米），护栏共 $12.56+24=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：已知一个扇形的面积是 $113.04$ 平方厘米，圆心角为 $90^\circ$，求这个扇形的半径和周长。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（份额）：$360\div 90=\underline{\quad}$，扇形是整圆的四分之一。
  2. 第 2 步（还原整圆）：$113.04\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（除以 $\pi$）：$452.16\div 3.14=\underline{\quad}$，半径 $r=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（弧长）：$2\times 3.14\times 12\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（周长）：$2\times 12=\underline{\quad}$（厘米），$18.84+24=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：已知一个扇形的面积是 $75.36$ 平方厘米，圆心角为 $60^\circ$。（1）求它的半径和周长；（2）求同半径的整圆面积比这个扇形大多少。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（份额）：$360\div 60=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（整圆面积）：$75.36\times 6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（半径）：$452.16\div 3.14=\underline{\quad}$，$r=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（周长）：弧长 $2\times 3.14\times 12\div 6=\underline{\quad}$，加两条半径 $2\times 12=24$，周长 $=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（作差）：$452.16-75.36=\underline{\quad}$（平方厘米）。
11. 【原题 ch15-tuozhan-03】如图 15-9，求各图中阴影部分的面积。（图中长度单位为厘米，$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「割补法求阴影」类：把弓形阴影搬到对应的空白位置，使阴影变成规整图形的差。
关键切入点：第 (1) 问把三角形里的弓形补到半圆内的对应位置，阴影就变成“大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形”；由于小三角形恰是大三角形的一半，答案就是大三角形的一半。第 (2) 问的四叶形是经典模型：以正方形四条边为直径向内作四个半圆，四叶形 $=$ 四个半圆面积之和 $-$ 正方形面积，因为四叶部分被两个半圆重复覆盖了一次。
方法概述：割补搬移把阴影化为规整图形之差；四叶形用“半圆和减正方形”。
规范步骤：
  1. 第 (1) 问大等腰直角三角形面积：$10\times 10\div 2=50$（平方厘米）（三角形面积）
  2. 阴影是它的一半：$50\div 2=25$（平方厘米）（割补后作差）
  3. 第 (2) 问四个半圆（半径 1）面积和：$4\times\dfrac{3.14\times 1^2}{2}=6.28$（平方厘米）（半圆面积）
  4. 减去正方形面积：$6.28-2\times 2=2.28$（平方厘米）（重复覆盖一次，作差得四叶形）
第一套
题目：正方形的边长是 $4$ 厘米，以它的四条边为直径分别向正方形内部作四个半圆，中间重叠出一个四叶形。求四叶形的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定半圆半径）：半径是边长的一半，$4\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（四个半圆的面积和）：$4\times 3.14\times 2\times 2\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（正方形面积）：$4\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（四叶形被多算了一次，作差）：$25.12-16=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块边长 $4$ 米的正方形地砖上，以四条边为直径向内印了四个半圆花纹，中间重叠出一个四叶形图案。求这个四叶形图案的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（半圆半径）：$4\div 2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（四个半圆面积和）：$4\times 3.14\times 2\times 2\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（正方形面积）：$4\times 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（作差得四叶形）：$25.12-16=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：正方形的边长是 $8$ 厘米，以它的四条边为直径向内各作一个半圆，求中间四叶形的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（半径）：$8\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（四个半圆面积和）：$4\times 3.14\times 4\times 4\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（正方形面积）：$8\times 8=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（作差）：$100.48-64=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：正方形的边长是 $10$ 厘米，以它的四条边为直径向内各作一个半圆。（1）求中间四叶形的面积；（2）求正方形内四叶形以外部分的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（半径）：$10\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（四个半圆面积和）：$4\times 3.14\times 5\times 5\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（正方形面积）：$10\times 10=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（四叶形）：$157-100=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（补集：正方形减四叶形）：$100-57=\underline{\quad}$（平方厘米）。
12. 【原题 ch15-tuozhan-04】如图 15-10，直角三角形 $ABC$ 的面积是 $45$，分别以 $B$，$C$ 为圆心，$3$ 为半径画弧，如果图中阴影部分的面积是 $35.58$，请问：角 $A$ 是多少度？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「由扇形面积反求圆心角＋三角形内角和」类：先用容斥把两个扇形的面积和分离出来，再由其中一个扇形占整圆的比例反求圆心角。
关键切入点：三角形被“两个扇形”和“阴影”分成两部分，所以两扇形面积和 $=$ 三角形面积 $-$ 阴影。$\angle C=90^\circ$ 的扇形能直接算出来，一减就得到以 $B$ 为圆心的扇形面积；再用“扇形面积 ÷ 整圆面积 = 圆心角 ÷ 360°”反求 $\angle B$；最后用三角形内角和 $180^\circ$ 求 $\angle A$。
方法概述：容斥分离扇形面积 → 比例反求圆心角 → 内角和求所求角。
规范步骤：
  1. 两扇形面积和：$45-35.58=9.42$（包含与排除）
  2. 以 $C$ 为圆心的直角扇形：$\dfrac14\times 3.14\times 3^2=7.065$（扇形面积）
  3. 以 $B$ 为圆心的扇形：$9.42-7.065=2.355$（作差）
  4. 整圆面积与比例：$3.14\times 3^2=28.26$，$2.355\div 28.26=\dfrac1{12}$（面积比＝圆心角比）
  5. 求 $\angle B$：$360^\circ\times\dfrac1{12}=30^\circ$（圆心角与整圆的比）
  6. 三角形内角和：$180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$（内角和 $180^\circ$）
第一套
题目：直角三角形 $ABC$ 中 $\angle C=90^\circ$，面积是 $80$。分别以 $B$、$C$ 为圆心、$4$ 为半径向三角形内画弧，三角形中两段弧以外的阴影部分面积是 $61.16$。求 $\angle A$ 是多少度。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（容斥分离）：两个扇形的面积和 $=80-61.16=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（以 $C$ 为圆心的是直角扇形）：$3.14\times 4\times 4\div 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（以 $B$ 为圆心的扇形）：$18.84-12.56=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（整圆面积）：$3.14\times 4\times 4=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（面积比就是圆心角比）：$50.24\div 6.28=\underline{\quad}$，说明该扇形是整圆的八分之一，$\angle B=360\div 8=\underline{\quad}$（度）。
  6. 第 6 步（内角和）：$180-90-45=\underline{\quad}$（度）。
第二套
题目：一块直角三角形的花圃 $ABC$（$\angle C=90^\circ$）面积是 $80$ 平方米，园丁分别以 $B$、$C$ 两个角为圆心、$4$ 米为半径修了两块扇形小径，花圃中小径以外的部分是 $61.16$ 平方米。求 $\angle A$ 的度数。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两块小径的面积和）：$80-61.16=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（$C$ 处是直角扇形）：$3.14\times 4\times 4\div 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（$B$ 处扇形）：$18.84-12.56=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（整圆面积）：$3.14\times 4\times 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步（比例反求角）：$50.24\div 6.28=\underline{\quad}$，$\angle B=360\div 8=\underline{\quad}$（度）。
  6. 第 6 步（内角和）：$180-90-45=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：直角三角形 $ABC$ 中 $\angle C=90^\circ$，面积是 $60$。分别以 $B$、$C$ 为圆心、$6$ 为半径向内画弧，两弧以外的阴影面积是 $22.32$。求 $\angle A$。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两扇形面积和）：$60-22.32=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（直角扇形）：$3.14\times 6\times 6\div 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（$B$ 处扇形）：$37.68-28.26=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（整圆）：$3.14\times 6\times 6=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（比例）：$113.04\div 9.42=\underline{\quad}$，$\angle B=360\div 12=\underline{\quad}$（度）。
  6. 第 6 步（内角和）：$180-90-30=\underline{\quad}$（度）。
第三套
题目：直角三角形 $ABC$ 中 $\angle C=90^\circ$，两条直角边 $CA=12$、$CB=10$。分别以 $B$、$C$ 为圆心、$3$ 为半径向内画弧，两弧以外的阴影面积是 $50.58$。求 $\angle A$。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求三角形面积）：$12\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（容斥分离两扇形）：$60-50.58=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（直角扇形）：$3.14\times 3\times 3\div 4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（$B$ 处扇形）：$9.42-7.065=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（整圆与比例）：$3.14\times 3\times 3=\underline{\quad}$，$28.26\div 2.355=\underline{\quad}$，即占整圆十二分之一，$\angle B=360\div 12=\underline{\quad}$（度）。
  6. 第 6 步（内角和）：$180-90-30=\underline{\quad}$（度）。
13. 【原题 ch15-tuozhan-05】图 15-11 中有一个直径为 $3$ 厘米的半圆，$AB$ 是直径。如图 15-12 所示，让 $A$ 点不动，把整个半圆顺时针旋转 $60^\circ$，此时 $B$ 点移动到 $C$ 点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「旋转扫过区域」类：一个图形绕某点旋转，旋转前后重叠的部分互相抵消，扫过的净区域往往就是一个扇形。
关键切入点：半圆绕 $A$ 顺时针转 $60^\circ$，旋转前后的两个半圆有一大块重叠。用“旋转后的半圆 $+$ 扇形 $-$ 重叠 $-$ 旋转前的半圆”整理后，两个半圆面积相等相消，剩下的正是以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径、圆心角 $60^\circ$ 的扇形。注意这里的半径是半圆的直径 $3$，不是半径 $1.5$。
方法概述：两个全等半圆相消，扫过区域化为一个扇形；半径取 $AB$。
规范步骤：
  1. 认清扇形要素：半径 $AB=3$，圆心角 $60^\circ$（旋转前后半圆相消）
  2. 判断份额：$\dfrac{60}{360}=\dfrac16$（圆心角与整圆的比）
  3. 求扇形面积：$\dfrac{3.14\times 3^2}{6}=4.71$（平方厘米）（扇形面积公式）
第一套
题目：有一个直径为 $6$ 厘米的半圆，$AB$ 是直径。让 $A$ 点不动，把整个半圆顺时针旋转 $60^\circ$，$B$ 点移动到 $C$ 点。求旋转扫过的阴影部分面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相消）：旋转前后两个半圆完全相同，重叠部分抵消后，阴影就是扇形 $CAB$。
  2. 第 2 步（认半径）：扇形的半径是 $AB$，也就是半圆的直径 $\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（判断份额）：$360\div 60=\underline{\quad}$，扇形是整圆的六分之一。
  4. 第 4 步（求面积）：$3.14\times 6\times 6\div 6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一把半圆形的扇子，直径 $AB$ 长 $6$ 厘米。握住 $A$ 端不动，把扇子顺时针转过 $60^\circ$，$B$ 端移到 $C$ 处。求扇子扫过的区域面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相消）：转前转后的两个半圆一样大，重叠抵消后剩下扇形 $CAB$。
  2. 第 2 步（半径是直径 $AB$）：$\underline{\quad}$ 厘米。
  3. 第 3 步（份额）：$360\div 60=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（面积）：$3.14\times 6\times 6\div 6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：有一个直径为 $6$ 厘米的半圆，$AB$ 是直径。让 $A$ 点不动，把半圆顺时针旋转 $90^\circ$。求扫过的阴影部分面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相消）：阴影是以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径、圆心角 $90^\circ$ 的扇形。
  2. 第 2 步（半径）：$\underline{\quad}$ 厘米。
  3. 第 3 步（份额）：$360\div 90=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（面积）：$3.14\times 6\times 6\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：有一个直径为 $6$ 厘米的半圆，$AB$ 是直径。让 $A$ 点不动，把半圆顺时针旋转 $120^\circ$。（1）求扫过的阴影面积；（2）求 $B$ 点经过的路径长度。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（份额）：$360\div 120=\underline{\quad}$，扇形是整圆的三分之一。
  2. 第 2 步（阴影面积）：$3.14\times 6\times 6\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（$B$ 点走的是弧）：整圆周长 $2\times 3.14\times 6=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（取三分之一）：$37.68\div 3=\underline{\quad}$（厘米）。
14. 【原题 ch15-tuozhan-06】如图 15-13，在一块面积为 $36$ 平方厘米的圆形铝板上，截出 $7$ 个同样大的圆铝板，问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「圆面积与半径平方成正比」类：半径变成原来的几倍，面积就变成原来的几倍的平方。
关键切入点：图中大圆半径正好是小圆半径的 $3$ 倍，所以大圆面积是小圆面积的 $3^2=9$ 倍，小圆面积就是大圆的 $\dfrac19$。整个过程完全不需要知道具体半径，也不需要用到 $\pi$，这是本题最省力的地方。
方法概述：由半径倍数得面积倍数，再按份额算，最后作差求边角料。
规范步骤：
  1. 半径 3 倍 ⇒ 面积 9 倍：小圆面积 $=36\div 9=4$（平方厘米）（面积与半径平方成正比）
  2. 7 个小圆面积：$4\times 7=28$（平方厘米）（乘法）
  3. 边角料：$36-28=8$（平方厘米）（整体减部分）
第一套
题目：在一块面积为 $81$ 平方厘米的圆形铝板上，截出 $7$ 个同样大的小圆铝板，每个小圆的半径都是大圆半径的 $\dfrac13$。求余下边角料的总面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（半径倍数变面积倍数）：半径是 $\dfrac13$，面积就是 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$（填分母，即 $3\times 3$）。
  2. 第 2 步（一个小圆的面积）：$81\div 9=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（7 个小圆）：$9\times 7=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（边角料）：$81-63=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一张面积为 $81$ 平方分米的圆形饼皮上，用模具压出 $7$ 个同样大的小圆饼，每个小圆的半径是大圆半径的 $\dfrac13$。剩下的面皮总面积是多少平方分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（面积倍数）：半径缩到 $\dfrac13$，面积缩到 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（一个小圆）：$81\div 9=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（7 个）：$9\times 7=\underline{\quad}$（平方分米）。
  4. 第 4 步（剩余）：$81-63=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：在一块面积为 $100$ 平方厘米的圆形铁板上，截出 $3$ 个同样大的小圆，每个小圆的半径都是大圆半径的一半。求余下边角料的总面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（面积倍数）：半径是一半，面积就是 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（一个小圆）：$100\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（3 个小圆）：$25\times 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（边角料）：$100-75=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在一块面积为 $144$ 平方厘米的圆形铝板上，截出 $7$ 个同样大的小圆，每个小圆半径是大圆半径的 $\dfrac13$。（1）求边角料的总面积；（2）边角料占大圆面积的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（面积倍数）：$3\times 3=\underline{\quad}$，小圆面积是大圆的九分之一。
  2. 第 2 步（一个小圆）：$144\div 9=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（7 个小圆）：$16\times 7=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（边角料）：$144-112=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（求分率）：$32\div 144=\underline{\quad}$（约分后是 $\dfrac29$）。
15. 【原题 ch15-tuozhan-07】图 15-14 中有 $4$ 个圆，圆心都是正方形的顶点，它们的公共点是该正方形的中心。如果每个圆的半径都是 $1$ 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「对称与割补重组」类：四个大小相同的圆按正方形的对称方式摆放，阴影与空白可以成对交换。
关键切入点：四个圆心是正方形的四个顶点、公共点是正方形中心，整个图形关于中心与两条对角线都对称。利用这种对称性，可以把每一块阴影都搬到与它全等的空白处，把零碎的阴影重组成若干个完整的圆，从而只需数“相当于几个整圆”。
方法概述：用对称把阴影成块搬移，重组成整数个圆再计数。
规范步骤：
  1. 每个圆的面积：$3.14\times 1^2=3.14$（平方厘米）（圆面积公式）
  2. 利用中心对称成对搬移：图形关于正方形中心及两条对角线都对称，每一块凸出的阴影都能找到一块与它全等的凹进空白，沿对称方向整体平移即可填补（中心对称下的等积割补）
  3. 重组后按图数出阴影总面积：平移填补后阴影拼成若干规整块，按图读出总面积为 $8$（平方厘米）（等积重组后计数）
16. 【原题 ch15-tuozhan-08】如图 15-15 中有一个等腰直角三角形 $ABC$，以 $AB$ 为直径的半圆和一个以 $BC$ 为半径的扇形，如果 $AB=BC=10$ 厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「容斥原理求面积」类：两个图形有重叠时，两块面积相加会把重叠算两次，所以“甲＋乙－总覆盖＝重叠”。
关键切入点：图中扇形与半圆合起来正好盖住三角形 $ABC$，且它们的重叠部分就是所求阴影。于是阴影 $=$ 扇形 $+$ 半圆 $-$ 三角形。注意半圆是以 $AB$ 为直径的，半径只有 $5$；扇形是以 $C$ 为圆心、$CB=10$ 为半径、圆心角 $45^\circ$ 的。这两处半径最容易弄混。
方法概述：阴影＝扇形＋半圆－三角形（容斥）。
规范步骤：
  1. 扇形面积（半径 10，圆心角 $45^\circ$）：$\dfrac{45}{360}\times 3.14\times 10^2=39.25$（平方厘米）（扇形面积）
  2. 半圆面积（直径 $AB=10$，半径 5）：$\dfrac12\times 3.14\times 5^2=39.25$（平方厘米）（半圆面积）
  3. 三角形面积：$\dfrac12\times 10\times 10=50$（平方厘米）（三角形面积）
  4. 容斥求重叠：$39.25+39.25-50=28.5$（平方厘米）（包含与排除）
第一套
题目：等腰直角三角形 $ABC$ 中 $\angle B=90^\circ$，$AB=BC=20$ 厘米。以 $AB$ 为直径向三角形内作半圆，又以 $C$ 为圆心、$CB=20$ 厘米为半径、圆心角 $45^\circ$ 作扇形。这两部分的重叠区域就是阴影，求阴影面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（扇形份额）：$360\div 45=\underline{\quad}$，扇形是整圆的八分之一。
  2. 第 2 步（扇形面积）：$3.14\times 20\times 20\div 8=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（半圆半径是 $AB$ 的一半）：$20\div 2=\underline{\quad}$（厘米），半圆面积 $=3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（三角形面积）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（容斥：两块相加减去总覆盖）：$157+157-200=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块等腰直角三角形的花圃 $ABC$（$\angle B=90^\circ$，$AB=BC=20$ 米）。园丁以 $AB$ 为直径修了一块半圆形草地，又以 $C$ 为圆心、$20$ 米为半径、圆心角 $45^\circ$ 修了一块扇形草地，两块草地重叠的部分要重新翻种。求重叠部分的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（扇形份额）：$360\div 45=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（扇形面积）：$3.14\times 20\times 20\div 8=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（半圆半径）：$20\div 2=\underline{\quad}$（米），面积 $=3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（三角形面积）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步（容斥）：$157+157-200=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：等腰直角三角形 $ABC$ 中 $\angle B=90^\circ$，$AB=BC=10$ 厘米。以 $AB$ 为直径作半圆，又以 $B$ 为圆心、$10$ 厘米为半径作圆心角 $90^\circ$ 的扇形，两者重叠部分为阴影。求阴影面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（扇形面积）：$3.14\times 10\times 10\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（半圆半径）：$10\div 2=\underline{\quad}$（厘米），面积 $=3.14\times 5\times 5\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（三角形面积）：$10\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（容斥）：$78.5+39.25-50=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：等腰直角三角形 $ABC$ 中 $\angle B=90^\circ$，$AB=BC=20$ 厘米，以 $AB$ 为直径作半圆、以 $C$ 为圆心 $CB$ 为半径作圆心角 $45^\circ$ 的扇形。（1）求两者重叠的阴影面积；（2）求阴影面积占三角形面积的百分之几。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（扇形）：$3.14\times 20\times 20\div 8=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（半圆）：$3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（三角形）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（容斥）：$157+157-200=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（求占比）：$114\div 200=\underline{\quad}$，即 $57\%$。
17. 【原题 ch15-tuozhan-09】如图 15-16 是由一个圆与一个扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是 $4$。图中阴影部分的面积是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「割补＋对角线求面积」类：把上下、左右成对的阴影互相搬移，化为“扇形减正方形（三角形）”。
关键切入点：关键一步是：正方形的边长虽然不知道，但它的对角线等于圆的直径 $4$，而“正方形面积＝对角线平方÷2”，所以不必求边长也能算面积。剩下的扇形是四分之一圆、半径 $4$。
方法概述：割补化为“扇形－正方形”，正方形用对角线平方的一半求。
规范步骤：
  1. 扇形面积（四分之一圆，半径 4）：$\dfrac14\times 3.14\times 4^2=12.56$（扇形面积）
  2. 正方形面积（对角线 4）：$\dfrac{4\times 4}{2}=8$（对角线平方的一半）
  3. 作差：$12.56-8=4.56$（平方厘米）（割补后相减）
18. 【原题 ch15-tuozhan-10】（1）如图 15-17，已知中圆大圆的半径，求正方形及其中圆小圆的面积。（答案用 $\pi$ 表示） （2）如图 15-18，正方形内有一个圆，圆的四个顶点（弧的交点）为圆心，正方形四个顶点为圆心的四条曲线给出，求图中阴影部分的面积。（答案用 $\pi$ 表示）
详细思路
是哪类问题：这是「正方形与内切圆、外接圆」类：用“对角线－边长”这条线索把大圆、正方形、小圆串起来。
关键切入点：外接圆的直径等于正方形的对角线，内切圆的直径等于正方形的边长。有了“正方形面积＝对角线平方÷2”和“边长平方＝正方形面积”，就能在不求出根号的情况下算出小圆面积。第 (2) 问则是四个四分之一圆先拼成一个整圆，再减去正方形。
方法概述：用对角线与边长把三者串起来；四个四分之一圆先拼整圆再作差。
规范步骤：
  1. 正方形面积＝对角线平方÷2：$S_{\text{正}}=32$（对角线法）
  2. 小圆直径＝正方形边长，边长平方 $=32$：$S_{\text{小圆}}=\dfrac14\pi\times 32=8\pi$（内切圆）
  3. 第 (2) 问四个四分之一圆拼成整圆再减正方形：$S_{\text{阴影}}=2\pi-4$（拼合与作差）
19. 【原题 ch15-tuozhan-11】图 15-19 中有一个矩形和两个半径分别为 $5$ 和 $2$ 的直角扇形，请问：两个阴影部分的面积之差是多少？（$\pi$ 取 $3$）
详细思路
是哪类问题：这是「两阴影面积之差」类：两块阴影各自加上同一块公共空白后，差不变，于是化为两个规则图形的差。
关键切入点：给两块阴影同时补上它们之间公共的空白部分，左边变成“大直角扇形”，右边变成“小直角扇形＋长方形”。长方形的长就是大扇形半径 $5$，宽是两个半径之差 $5-2=3$。这样就把不好算的差变成了三个规则图形的加减。
方法概述：两块同补公共空白，化为“大扇形 －（小扇形＋长方形）”。
规范步骤：
  1. 大直角扇形（半径 5）：$\dfrac14\times 3.14\times 5^2=19.625$（扇形面积）
  2. 小直角扇形（半径 2）：$\dfrac14\times 3.14\times 2^2=3.14$（扇形面积）
  3. 长方形（长 5、宽 $5-2=3$）：$5\times 3=15$（长方形面积）
  4. 作差：$19.625-(3.14+15)=1.485$（同补公共部分后相减）
20. 【原题 ch15-tuozhan-12】（1）根据图 15-20 中给出的数值，求这个图形的外周长和面积。（$\pi$ 取 $3.14$） （2）如图 15-21，有七根直径为 $5$ 厘米的塑料管，一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「圆的包绕（捆扎）问题」类：绳（筋）由若干段直线段和若干段圆弧组成，所有圆弧的圆心角之和恰好是 $360^\circ$，能拼成一个完整的圆周。
关键切入点：捆 $7$ 根管子时，外围有 $6$ 段直线段，每段都等于一根管子的直径；转弯处有 $6$ 段圆弧，每段圆心角 $60^\circ$，$6\times 60^\circ=360^\circ$，正好拼成一个半径等于管子半径的整圆周。所以“弧的总长＝一个圆的周长”，不必一段段算。
方法概述：直边照数相加，圆弧按圆心角拼成整圆周。
规范步骤：
  1. 第 (1) 问直边合计：$2\times(4+2)=12$（厘米）（直边累加）
  2. 第 (1) 问弧拼成整圆：$2\times 3.14\times 1=6.28$（厘米），外周长 $=12+6.28=18.28$（厘米）（圆心角合成 $360^\circ$）
  3. 第 (2) 问 6 段直线段：$6\times 5=30$（厘米）（每段＝直径）
  4. 第 (2) 问 6 段弧拼成整圆：$3.14\times 5=15.7$（厘米）（$6\times 60^\circ=360^\circ$）
  5. 求橡皮筋长：$30+15.7=45.7$（厘米）（直边＋弧）
第一套
题目：有七根直径为 $8$ 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆（外围六根围住中间一根）。此时橡皮筋的长度是多少厘米？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数直线段）：外围有 $6$ 段直线段，每段等于一根管子的直径 $8$ 厘米，共 $6\times 8=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（判断弧能否拼成整圆）：$6$ 段弧的圆心角都是 $60^\circ$，合计 $6\times 60=\underline{\quad}$（度），正好是一个整圆。
  3. 第 3 步（弧长之和就是圆周长）：$3.14\times 8=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（合计）：$48+25.12=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：七根直径为 $8$ 厘米的圆木被一条绳子紧紧捆成一捆（外围六根围住中间一根），绳子刚好绕一圈且不打结。求绳子的长度。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（直线段部分）：$6\times 8=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（弧的圆心角合计）：$6\times 60=\underline{\quad}$（度），拼成一个整圆。
  3. 第 3 步（弧长和＝圆周长）：$3.14\times 8=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（绳长）：$48+25.12=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：三根直径为 $10$ 厘米的圆管紧靠着摆成一个三角形，用一根橡皮筋绕它们捆一圈。橡皮筋的长度是多少厘米？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数直线段）：外围有 $3$ 段直线段，每段等于直径，共 $3\times 10=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（弧的圆心角）：三处转弯每处 $120^\circ$，合计 $3\times 120=\underline{\quad}$（度），正好一个整圆。
  3. 第 3 步（弧长和）：$3.14\times 10=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（合计）：$30+31.4=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：七根直径为 $8$ 厘米的塑料管扎成一捆。（1）求橡皮筋的长度；（2）求这七根管子横截面的总面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（直线段）：$6\times 8=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（弧长和）：$6$ 段弧拼成整圆，$3.14\times 8=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（橡皮筋长）：$48+25.12=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（一根管的横截面半径）：$8\div 2=\underline{\quad}$（厘米），面积 $=3.14\times 4\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（七根合计）：$50.24\times 7=\underline{\quad}$（平方厘米）。
21. 【原题 ch15-tuozhan-13】如图 15-22，一只小狗被拴在一个边长为 $4$ 米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地。绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置。小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「动点活动范围（多扇形拼合）」类：绳子绕过障碍物的每个顶点后，剩下的绳长变短，活动区域是一串半径递减的扇形。
关键切入点：先定绳长：题面说“绳长刚好够走到外墙的任一位置”。小狗从拴住的顶点出发，可以沿建筑物两侧任一方向绕行；离拴点最远的墙点是正对面那条边的位置，沿任一侧绕过去都要走半个周长。所以绳长 $=$ 半周长 $=20\div 2=10$ 米（不是整周长 $20$）。再算扇形：主扇形以拴住点为圆心，圆心角 $=360^\circ$ 减内角，半径是全绳 $10$。正五边形内角 $=\dfrac{(5-2)\times 180^\circ}{5}=108^\circ$，主扇形 $360^\circ-108^\circ=252^\circ$。绳子绕过相邻顶点后剩 $10-4=6$ 米，扫出圆心角 $180^\circ-108^\circ=72^\circ$ 的小扇形；再绕过下一个顶点剩 $6-4=2$ 米，又是一个 $72^\circ$ 的小扇形（$2<4$ 无法再绕）。关键：小狗可向两个方向绕行，所以半径 $6$ 与半径 $2$ 的小扇形各有两个（左右对称）。注意：题库详解误把绳长当成整周长 $20$、只算一个方向递减的四个扇形（$16,12,8,4$），得 $1180.64$ 是错的；正解应按绳长 $10$、两侧对称，答案为约 $270$ 平方米。
方法概述：绳长取半周长；主扇形圆心角 $=360^\circ$ 减内角、半径为全绳；每绕一个顶点半径减一条边、圆心角 $=180^\circ$ 减内角，且两个绕行方向对称各算一份。
规范步骤：
  1. 求正五边形周长：$5\times 4=20$（米）（周长＝边数×边长）
  2. 绳长＝半周长（够走到最远墙点）：$20\div 2=10$（米）（最远墙点在正对边，两侧各绕半圈）
  3. 正五边形内角：$\dfrac{(5-2)\times 180^\circ}{5}=108^\circ$（多边形内角和）
  4. 主扇形（圆心角 $360^\circ-108^\circ=252^\circ$，半径 10）：$\dfrac{252}{360}\times 3.14\times 10^2=219.8$（平方米）（扇形面积）
  5. 两侧各绕一个顶点，剩绳 6，扫 $72^\circ$：$2\times\dfrac{72}{360}\times 3.14\times 6^2=45.216$（平方米）（两个方向对称）
  6. 两侧再绕一个顶点，剩绳 2，扫 $72^\circ$：$2\times\dfrac{72}{360}\times 3.14\times 2^2=5.024$（平方米）（半径再减一条边）
  7. 合计：$219.8+45.216+5.024=270.04\approx 270$（平方米）（面积求和）
第一套
题目：一只小狗被拴在边长为 $6$ 米的正五边形建筑物的一个顶点上，绳长恰好等于建筑物周长的一半（$15$ 米，刚好够走到正对面外墙的任一位置），四周都是空地。小狗的活动范围是多少平方米？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（绳长＝周长的一半）：$5\times 6\div 2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（正五边形的内角）：$(5-2)\times 180\div 5=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（主扇形）：圆心角 $360-108=\underline{\quad}$（度），面积 $=252\div 360\times 3.14\times 15\times 15=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（绕过顶点后）：小扇形圆心角 $180-108=\underline{\quad}$（度），一侧半径依次为 $15-6=9$、$9-6=3$，平方和 $=9\times 9+3\times 3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（一侧小扇形面积和）：$72\div 360\times 3.14\times 90=\underline{\quad}$（平方米）。
  6. 第 6 步（小狗可向两侧对称绕行，合计）：$494.55+2\times 56.52=\underline{\quad}$（平方米）。
第二套
题目：一只羊被拴在边长为 $6$ 米的正五边形羊圈的一个顶角上，绳长恰好等于羊圈周长的一半（$15$ 米，刚好够走到正对面外墙的任一位置），羊圈外都是草地。羊能吃到草的面积是多少平方米？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（绳长＝周长的一半）：$5\times 6\div 2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（内角）：$(5-2)\times 180\div 5=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（主扇形）：圆心角 $360-108=\underline{\quad}$（度），面积 $=252\div 360\times 3.14\times 15\times 15=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（小扇形）：圆心角 $180-108=\underline{\quad}$（度），一侧半径平方和 $=9\times 9+3\times 3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（一侧小扇形面积和）：$72\div 360\times 3.14\times 90=\underline{\quad}$（平方米）。
  6. 第 6 步（羊可向两侧对称绕行，合计）：$494.55+2\times 56.52=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：一只小狗被拴在边长为 $6$ 米的正六边形建筑物的一个顶点上，绳长 $18$ 米（恰好等于三条边），四周都是空地。小狗的活动范围是多少平方米？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（正六边形内角）：$(6-2)\times 180\div 6=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（主扇形圆心角）：$360-120=\underline{\quad}$（度），面积 $=240\div 360\times 3.14\times 18\times 18=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（小扇形圆心角）：$180-120=\underline{\quad}$（度）。
  4. 第 4 步（绕过顶点后半径）：$18-6=12$、$12-6=6$，平方和 $=12\times 12+6\times 6=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（一侧小扇形面积和）：$60\div 360\times 3.14\times 180=\underline{\quad}$（平方米）。
  6. 第 6 步（小狗可向两侧对称绕行，合计）：$678.24+2\times 94.2=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：一只小狗被拴在边长为 $6$ 米的正五边形建筑物的一个顶点上（这个正五边形的周长是 $30$ 米，半周长是 $15$ 米，绳长必须不超过半周长才不会两侧相互重叠）。（1）当绳长为 $9$ 米时，活动范围是多少平方米？（2）当绳长为 $15$ 米（正好是周长的一半）时，活动范围又是多少平方米？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（内角与圆心角）：$(5-2)\times 180\div 5=\underline{\quad}$（度），主扇形 $360-108=\underline{\quad}$（度），小扇形 $180-108=72$（度）。
  2. 第 2 步（绳长 9：主扇形）：$252\div 360\times 3.14\times 9\times 9=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（绳长 9：绕过一个顶点后剩 $9-6=3$，再往前 $3<6$ 无法绕；两侧对称）：$178.038+2\times(72\div 360\times 3.14\times 3\times 3)=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（绳长 15：主扇形）：$252\div 360\times 3.14\times 15\times 15=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步（绳长 15：绕过顶点后剩 $15-6=9$、$9-6=3$，两侧对称）：$494.55+2\times(72\div 360\times 3.14\times(9\times 9+3\times 3))=\underline{\quad}$（平方米）。
22. 【原题 ch15-tuozhan-14】（1）图 15-23 中正方形的边长是 $4$ 厘米，圆形的半径是 $1$ 厘米。当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（$\pi$ 取 $3.14$） （2）图 15-24 中等边三角形的边长是 $3$ 厘米，圆形的半径是 $1$ 厘米。当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「圆沿多边形外侧滚动扫过的区域」类：扫过的图形＝沿各边的长方形＋各拐角处的扇形。
关键切入点：沿每一条边滚动时，圆扫出一个长方形，长是边长、宽是直径；到拐角时圆绕顶点转，扫出一个扇形，所有拐角扇形的圆心角之和恰是 $360^\circ$（等于多边形的外角和），因此这些扇形能拼成一个半径为 $2r$ 的整圆。这条“拐角扇形拼成整圆”的结论对任何凸多边形都成立。
方法概述：长方形按边算，拐角扇形拼成半径 $2r$ 的整圆。
规范步骤：
  1. 第 (1) 问四个长方形：$4\times(4\times 2)=32$（平方厘米）（边长×直径）
  2. 第 (1) 问拐角扇形拼成整圆（半径 2）：$3.14\times 2^2=12.56$（平方厘米）（外角和 $360^\circ$）
  3. 第 (1) 问合计：$32+12.56=44.56$（平方厘米）（求和）
  4. 第 (2) 问三个长方形：$3\times(3\times 2)=18$（平方厘米）（边长×直径）
  5. 第 (2) 问拐角扇形仍拼成整圆：$3.14\times 2^2=12.56$（平方厘米）（外角和 $360^\circ$）
  6. 第 (2) 问合计：$18+12.56=30.56$（平方厘米）（求和）
第一套
题目：（1）正方形的边长是 $10$ 厘米，圆的半径是 $2$ 厘米，圆沿正方形外侧滚动一周回到原位，扫过的面积是多少？（2）等边三角形的边长是 $6$ 厘米，圆的半径是 $2$ 厘米，圆沿三角形外侧滚动一周，扫过的面积是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形的宽就是直径）：$2\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（正方形的四个长方形）：$4\times 10\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（拐角扇形拼成半径 $2+2=4$ 的整圆）：$3.14\times 4\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（第 (1) 问合计）：$160+50.24=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（三角形的三个长方形）：$3\times 6\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米），加上同样的整圆 $=72+50.24=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一个半径 $2$ 米的圆形滚筒沿着一块边长 $10$ 米的正方形花坛外侧滚动一周回到原处，滚筒压过的地面面积是多少平方米？如果换成边长 $6$ 米的等边三角形花坛呢？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（压过带子的宽＝直径）：$2\times 2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（正方形四条边）：$4\times 10\times 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（四个拐角扇形拼成半径 $4$ 的整圆）：$3.14\times 4\times 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（合计）：$160+50.24=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步（三角形三条边）：$3\times 6\times 4=\underline{\quad}$（平方米），合计 $72+50.24=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：一个半径为 $1$ 厘米的圆沿着边长为 $5$ 厘米的正六边形外侧滚动一周回到原位，扫过的面积是多少平方厘米？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形的宽）：$2\times 1=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（六个长方形）：$6\times 5\times 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（六个拐角扇形仍拼成半径 $2$ 的整圆）：$3.14\times 2\times 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（合计）：$60+12.56=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：一个半径为 $2$ 厘米的圆沿着边长为 $10$ 厘米的正方形外侧滚动一周回到原位。（1）求圆扫过的面积；（2）求圆心走过的路径长度。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（四个长方形）：宽 $2\times 2=\underline{\quad}$（厘米），面积 $4\times 10\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（拐角扇形拼成半径 $4$ 的整圆）：$3.14\times 4\times 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（扫过面积）：$160+50.24=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（圆心路径的直线部分）：四条边各走一段，$4\times 10=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（圆心在拐角走的弧拼成半径 $2$ 的整圆）：$2\times 3.14\times 2=\underline{\quad}$（厘米），路径共 $40+12.56=\underline{\quad}$（厘米）。
23. 【原题 ch15-xingqu-01】已知一个扇形的圆心角为 $120^\circ$，半径为 $2$，这个扇形的面积和周长各是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「扇形面积与周长」类：扇形是圆的一部分，圆心角占整圆 $360^\circ$ 的几分之几，扇形面积就占圆面积的几分之几，弧长也占圆周长的同样份额。
关键切入点：$120^\circ$ 是 $360^\circ$ 的 $\dfrac13$，所以扇形面积是整圆面积的 $\dfrac13$、弧长是整圆周长的 $\dfrac13$。要特别注意：扇形的周长不是只有弧，还要加上两条半径，这是最容易漏的地方。
方法概述：先求圆心角占整圆的份额，再按份额取圆面积与圆周长，周长另加两条半径。
规范步骤：
  1. 求圆心角占整圆的份额：$\dfrac{120}{360}=\dfrac13$（扇形与整圆按圆心角成比例）
  2. 求整圆面积：$\pi r^2=3.14\times 2^2=12.56$（圆面积公式）
  3. 取三分之一得扇形面积：$12.56\times\dfrac13=\dfrac{314}{75}=4\dfrac{14}{75}$（按份额取面积）
  4. 求弧长（整圆周长的三分之一）：$2\times 3.14\times 2\times\dfrac13=\dfrac{314}{75}$（弧长按份额取）
  5. 弧长加两条半径得周长：$\dfrac{314}{75}+2\times 2=8\dfrac{14}{75}$（扇形周长＝弧长＋2 条半径）
第一套
题目：已知一个扇形的圆心角为 $120^\circ$，半径为 $6$，这个扇形的面积和周长各是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先判断份额）：整圆是 $360^\circ$，用 $360\div 120=\underline{\quad}$，可知扇形是整圆的三分之一。
  2. 第 2 步（求整圆面积）：先算半径的平方 $6\times 6=\underline{\quad}$，再乘 $\pi$，整圆面积 $=3.14\times 36=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取份额）：扇形面积 $=3.14\times 36\div 3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求弧长）：整圆周长的三分之一，$2\times 3.14\times 6\div 3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（别漏半径）：两条半径 $2\times 6=\underline{\quad}$，扇形周长 $=12.56+12=\underline{\quad}$。
第二套
题目：公园里有一块扇形花坛，圆心角为 $120^\circ$，半径为 $6$ 米。求这块花坛的面积，以及沿花坛边缘围一圈栅栏需要多少米。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先判断份额）：$360\div 120=\underline{\quad}$，花坛是整圆的三分之一。
  2. 第 2 步（整圆面积）：$6\times 6=\underline{\quad}$，$3.14\times 36=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（花坛面积）：$3.14\times 36\div 3=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（弧形边）：$2\times 3.14\times 6\div 3=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步（围栏还包括两条直边）：$2\times 6=\underline{\quad}$（米），共 $12.56+12=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：已知一个扇形的圆心角为 $90^\circ$，半径为 $8$，这个扇形的面积和周长各是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（判断份额）：$360\div 90=\underline{\quad}$，这是四分之一圆（直角扇形）。
  2. 第 2 步（整圆面积）：$8\times 8=\underline{\quad}$，$3.14\times 64=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（扇形面积）：$3.14\times 64\div 4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（弧长）：$2\times 3.14\times 8\div 4=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（加两条半径）：$2\times 8=\underline{\quad}$，周长 $=12.56+16=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知一个扇形的圆心角为 $240^\circ$，半径为 $6$。（1）求它的面积和周长；（2）求它比同半径的整圆面积少多少。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（份额是几分之几）：$240\div 360$ 约分后是 $\dfrac{2}{3}$，其中 $360\div 240$ 的倒数思路也可用；先算整圆面积 $3.14\times 6\times 6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（扇形面积）：取整圆的 $\dfrac23$，$113.04\times 2\div 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（弧长）：整圆周长 $2\times 3.14\times 6=\underline{\quad}$，弧长 $=37.68\times 2\div 3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（周长别漏半径）：$2\times 6=\underline{\quad}$，周长 $=25.12+12=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（与整圆比较）：少的部分 $=113.04-75.36=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch15-xingqu-02】已知一个圆的面积是 $28.26$ 平方厘米，那么这个圆的半径和周长分别是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「圆面积公式逆用」类：已知圆面积反过来求半径，再由半径求周长。
关键切入点：$S=\pi r^2$ 中先把 $\pi$ 除掉得到 $r^2$，再想“几乘几等于它”开方得 $r$。$28.26\div 3.14=9$，$3\times 3=9$，所以 $r=3$。半径一旦到手，周长直接套 $C=2\pi r$。
方法概述：先除以 $\pi$ 得 $r^2$，再开方得 $r$，最后代入周长公式。
规范步骤：
  1. 由面积公式除去 $\pi$：$r^2=28.26\div 3.14=9$（圆面积公式逆用）
  2. 想“几乘几等于 9”：$r=3$（厘米）（开方求半径）
  3. 代入周长公式：$C=2\times 3.14\times 3=18.84$（厘米）（圆周长公式）
第一套
题目：已知一个圆的面积是 $113.04$ 平方厘米，那么这个圆的半径和周长分别是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把 $\pi$ 除掉）：由 $S=\pi r^2$ 得 $r^2=113.04\div 3.14=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（开方）：想“几乘几等于 $36$”，得半径 $r=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求周长）：$C=2\times 3.14\times 6=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块圆形铁皮的面积是 $113.04$ 平方分米，要沿它的边缘镶一圈金属条，这条金属条长多少分米？铁皮的半径又是多少分米？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求半径的平方）：$r^2=113.04\div 3.14=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（开方得半径）：$r=\underline{\quad}$（分米）。
  3. 第 3 步（镶边就是求周长）：$2\times 3.14\times 6=\underline{\quad}$（分米）。
第三套
题目：已知一个圆的面积是 $200.96$ 平方厘米，求这个圆的直径和周长。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除去 $\pi$）：$r^2=200.96\div 3.14=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（开方得半径）：$r=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（直径是半径的 2 倍）：$d=2\times 8=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（周长）：$C=3.14\times 16=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：已知一个圆的面积是 $78.5$ 平方厘米。（1）求它的半径和周长；（2）以这个圆的直径为对角线画一个正方形，求这个正方形的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除去 $\pi$）：$r^2=78.5\div 3.14=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（开方）：$r=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（周长）：$2\times 3.14\times 5=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（对角线）：正方形的对角线就是圆的直径 $2\times 5=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（对角线求面积）：正方形面积 $=$ 对角线平方的一半 $=10\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
25. 【原题 ch15-xingqu-03】已知一个圆的周长是 $25.12$ 厘米，那么这个圆的半径和面积分别是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「圆周长公式逆用」类：已知周长先反求半径，再用半径求面积。
关键切入点：$C=2\pi r$，所以 $r=C\div(2\pi)$。$25.12\div 6.28=4$，半径一到手，面积 $S=\pi r^2$ 就是一步的事。关键是不要把 $2\pi$ 的 $2$ 漏掉。
方法概述：周长除以 $2\pi$ 得半径，再平方乘 $\pi$ 得面积。
规范步骤：
  1. 由周长公式反求半径：$r=25.12\div(2\times 3.14)=25.12\div 6.28=4$（厘米）（圆周长公式逆用）
  2. 半径平方：$4^2=16$（准备代入面积公式）
  3. 求面积：$S=3.14\times 16=50.24$（平方厘米）（圆面积公式）
第一套
题目：已知一个圆的周长是 $62.8$ 厘米，那么这个圆的半径和面积分别是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（别漏掉 2）：分母是 $2\times 3.14=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（反求半径）：$r=62.8\div 6.28=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（半径平方）：$10\times 10=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求面积）：$S=3.14\times 100=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一个圆形水池的四周围了一圈护栏，护栏长 $62.8$ 米。这个水池的半径是多少米？水面面积是多少平方米？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（护栏长就是周长）：分母 $2\times 3.14=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（反求半径）：$r=62.8\div 6.28=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（半径平方）：$10\times 10=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（水面面积）：$3.14\times 100=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：已知一个圆的周长是 $43.96$ 厘米，求这个圆的半径和面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$2\times 3.14=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（反求半径）：$r=43.96\div 6.28=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（半径平方）：$7\times 7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（面积）：$3.14\times 49=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：已知一个圆的周长是 $62.8$ 厘米。（1）求它的半径和面积；（2）在这个圆中截取一个圆心角为 $72^\circ$ 的扇形，求扇形的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$2\times 3.14=\underline{\quad}$，半径 $r=62.8\div 6.28=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（圆面积）：$3.14\times 10\times 10=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（判断份额）：$360\div 72=\underline{\quad}$，扇形是整圆的五分之一。
  4. 第 4 步（扇形面积）：$314\div 5=\underline{\quad}$（平方厘米）。
26. 【原题 ch15-xingqu-04】（1）根据图 15-1 所给的数值，求这个图形的外周长和面积。（$\pi$ 取 $3.14$） （2）如图 15-2，有 $8$ 个半径为 $1$ 厘米的圆，用它们围成的图形的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心，如果圆周率 $\pi$ 取 $3.14$，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「圆与直边组合图形」类：外周长由若干段直边与若干段圆弧拼成，面积用割补法把弧形部分拼成整圆。
关键切入点：关键是看出 $4$ 个圆角都是半径 $1$、圆心角 $90^\circ$ 的弧，$4\times 90^\circ=360^\circ$ 恰好拼成一个整圆；直边部分单独相加。面积同理：把 $4$ 个圆角补齐成一个整圆，剩下的就是规整的矩形。花瓣图形的弧则是若干段半圆弧，拼起来长度等于若干个半圆周。
方法概述：弧归弧、直边归直边；弧按圆心角合并成整圆，直边直接相加。
规范步骤：
  1. $4$ 段圆角弧拼成整圆：$2\pi\times 1=6.28$（厘米）（$4\times 90^\circ=360^\circ$）
  2. $4$ 段直边相加：$4\times 2=8$（厘米）（直边直接累加）
  3. 求外周长：$6.28+8=14.28$（厘米）（弧与直边合计）
  4. 面积：整个 $4\times 4$ 大正方形减去 4 个角上的方块再补回一个整圆：$16-4+3.14=15.14$（平方厘米）（割补法）
  5. 花瓣图形：弧由 $10$ 段半圆弧组成：$10\times 3.14\times 1=31.4$（厘米）（半圆弧长 $\pi r$）
  6. 花瓣面积按割补整理：$17.14$（平方厘米）（割补法）
27. 【原题 ch15-xingqu-05】如图 15-3，求各图形中阴影部分的面积。（图中长度单位为厘米，$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「割补与平移求阴影面积」类：阴影本身形状不规则，但可以把某一块切下来平移到另一处，拼成规整图形。
关键切入点：圆弧部分往往是“一凸一凹”成对出现：凸出来的那块恰好能填进凹进去的那块。填好之后阴影就变成三角形或正方形，面积一眼可算。判断能否平移的依据是两块弧的半径相同、圆心角相同。
方法概述：找出形状全等的一凸一凹，平移填补，把阴影化为规整图形。
规范步骤：
  1. 第 (1) 图：右边半圆切下补到左边：$3\times 3\div 2=4.5$（平方厘米）（割补成直角三角形）
  2. 第 (2) 图：沿中间切开左移：$1\times 1=1$（平方厘米）（平移成边长 1 的正方形）
  3. 第 (3) 图：同法平移：$2\times 2\div 2=2$（平方厘米）（平移成半个正方形）
28. 【原题 ch15-xingqu-06】如图 15-4，求各图中阴影部分的面积。（图中长度单位为厘米，$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「弓形（叶形）面积」类：一段圆弧和它的弦围成的区域叫弓形，弓形面积＝扇形面积－三角形面积。
关键切入点：把弧的两端连成弦，弓形就被“扇形－三角形”表示出来。本题的扇形都是圆心角 $90^\circ$ 的直角扇形，三角形都是以两条半径为直角边的等腰直角三角形，所以一个弓形 $=\dfrac14\pi r^2-\dfrac12 r^2$。数出图中有几个这样的弓形，乘上去即可。
方法概述：连弦化为“直角扇形－等腰直角三角形”，再数弓形个数。
规范步骤：
  1. 半径 2 的直角扇形面积：$\dfrac14\times 3.14\times 2^2=3.14$（扇形面积）
  2. 直角边 2 的等腰直角三角形面积：$\dfrac12\times 2\times 2=2$（三角形面积）
  3. 一个弓形：$3.14-2=1.14$（弓形＝扇形－三角形）
  4. 第 (1) 图两个弓形：$1.14\times 2=2.28$（平方厘米）（计数相乘）
  5. 第 (2) 图四个弓形：$1.14\times 4=4.56$（平方厘米）（计数相乘）
  6. 第 (3) 图半径 7：$\dfrac14\times 3.14\times 7^2-\dfrac12\times 7\times 7=38.465-24.5=13.965$（平方厘米）（同法）
第一套
题目：正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$ 厘米，分别以 $A$、$C$ 为圆心、$6$ 厘米为半径向正方形内画两段四分之一圆弧，两弧围成一个叶形。求叶形的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆成两个弓形）：连结对角线 $BD$，叶形被分成两个完全相同的弓形。
  2. 第 2 步（直角扇形面积）：半径的平方 $6\times 6=\underline{\quad}$，扇形 $=3.14\times 36\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（等腰直角三角形面积）：$6\times 6\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（一个弓形）：$28.26-18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（两个弓形）：$10.26\times 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块边长 $6$ 米的正方形草坪，园丁以两个相对的角为圆心、$6$ 米为半径各画一段四分之一圆弧，两弧围成的叶形区域种上郁金香。求种郁金香的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆成两个弓形）：连结对角线，叶形分成两个相同的弓形。
  2. 第 2 步（直角扇形）：$6\times 6=\underline{\quad}$，$3.14\times 36\div 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（等腰直角三角形）：$6\times 6\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（一个弓形）：$28.26-18=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步（两个弓形）：$10.26\times 2=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：正方形的边长是 $8$ 厘米，以它的一个顶点为圆心、$8$ 厘米为半径画一段四分之一圆弧，这段弧与正方形过该顶点的对角线围成一个弓形。求这个弓形的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出扇形）：$8\times 8=\underline{\quad}$，直角扇形 $=3.14\times 64\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（认出三角形）：以两条半径为直角边，$8\times 8\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（弓形＝扇形－三角形）：$50.24-32=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：正方形的边长为 $10$ 厘米，以两个相对顶点为圆心、$10$ 厘米为半径向内各画一段四分之一圆弧，两弧围成一个叶形。（1）求叶形的面积；（2）求正方形内叶形以外部分的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（直角扇形）：$10\times 10=\underline{\quad}$，$3.14\times 100\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（等腰直角三角形）：$10\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（一个弓形）：$78.5-50=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（叶形＝两个弓形）：$28.5\times 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（补集：正方形减叶形）：$10\times 10=\underline{\quad}$，$100-57=\underline{\quad}$（平方厘米）。
29. 【原题 ch15-xingqu-07】图 15-5 中甲区域比乙区域的面积大 $57$ 平方厘米，且半圆的半径是 $10$ 厘米，其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「包含与排除（公共部分抵消）」类：两块区域各自加上同一块公共部分之后变成两个规则图形，于是两块区域的差就等于两个规则图形的差。
关键切入点：甲加上公共阴影得半圆，乙加上公共阴影得三角形。两边同时加上同一块，差不变，所以“半圆－三角形＝甲－乙＝57”。这样绕开了根本算不出的公共部分。求出三角形面积后，用它的底（半圆直径）就能反求高。
方法概述：两区域同加公共部分化为半圆与三角形之差，再由三角形面积反求直角边。
规范步骤：
  1. 半圆面积：$\dfrac{3.14\times 10^2}{2}=157$（平方厘米）（半圆面积公式）
  2. 公共部分抵消得三角形面积：$157-57=100$（平方厘米）（包含与排除）
  3. 三角形的底就是直径：$2\times 10=20$（厘米）（直径＝2×半径）
  4. 由面积反求高：$100\times 2\div 20=10$（厘米）（三角形面积公式逆用）
第一套
题目：一个半圆的半径是 $20$ 厘米，以它的直径为底作一个直角三角形，半圆与三角形部分重叠。半圆中不属于三角形的部分（甲）比三角形中不属于半圆的部分（乙）大 $228$ 平方厘米。求这个直角三角形竖直的直角边长。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把公共部分同时加回去）：甲、乙各加上公共部分后分别变成半圆和三角形，所以“半圆－三角形”也等于 $228$。
  2. 第 2 步（求半圆面积）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求三角形面积）：$628-228=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（三角形的底就是直径）：$2\times 20=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（由面积反求高）：$400\times 2\div 40=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块半圆形菜地的半径是 $20$ 米，在它的直径上又划出一个直角三角形的地块，两者有重叠。只属于菜地的部分比只属于三角形地块的部分多 $228$ 平方米。求三角形地块竖直的直角边长。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同加公共重叠部分）：两块只属于自己的区域各加上重叠部分，就变成半圆和三角形，差仍是 $228$。
  2. 第 2 步（半圆面积）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（三角形面积）：$628-228=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（底就是直径）：$2\times 20=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步（反求高）：$400\times 2\div 40=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一个半圆的半径是 $10$ 厘米，以它的直径为底作一个直角三角形。这次是三角形中不属于半圆的部分（乙）比半圆中不属于三角形的部分（甲）大 $37$ 平方厘米。求这个直角三角形竖直的直角边长。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（判断谁大）：乙比甲大，说明三角形比半圆大 $37$ 平方厘米。
  2. 第 2 步（半圆面积）：$3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（三角形面积）：$157+37=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（底是直径）：$2\times 10=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（反求高）：$194\times 2\div 20=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个半圆的半径是 $10$ 厘米，以它的直径为底作一个直角三角形，甲区域比乙区域大 $7$ 平方厘米。（1）求三角形竖直的直角边长；（2）已知这条直角边与底边的平方和恰是斜边的平方，求这个直角三角形的周长。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（半圆面积）：$3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（三角形面积）：$157-7=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（底是直径）：$2\times 10=\underline{\quad}$（厘米），高 $=150\times 2\div 20=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求斜边的平方）：$20\times 20+15\times 15=\underline{\quad}$，因为 $25\times 25=\underline{\quad}$，所以斜边是 $25$ 厘米。
  5. 第 5 步（周长）：$20+15+25=\underline{\quad}$（厘米）。
30. 【原题 ch15-xingqu-08】求图 15-6 中阴影部分的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「扇形拼合＋整体减部分」类：几个扇形的圆心角加起来正好凑成 $180^\circ$ 或 $360^\circ$ 时，可以先拼成半圆或整圆再算。
关键切入点：图中两个半径 $10$、圆心角 $90^\circ$ 的直角扇形，圆心角合起来 $180^\circ$，恰好拼成一个半径 $10$ 的半圆；阴影就是这个半圆挖去中间那个以两条半径为直角边的等腰直角三角形。先拼后减，比一块块算省事得多。
方法概述：扇形按圆心角拼成半圆，再减去中间的等腰直角三角形。
规范步骤：
  1. 两个直角扇形拼成半圆：$\dfrac{3.14\times 10^2}{2}=157$（平方厘米）（$90^\circ+90^\circ=180^\circ$）
  2. 求等腰直角三角形面积：$\dfrac{10\times 10}{2}=50$（平方厘米）（三角形面积公式）
  3. 整体减部分：$157-50=107$（平方厘米）（包含与排除）
第一套
题目：两个半径为 $20$ 厘米、圆心角为 $90^\circ$ 的扇形拼成一个半圆，从这个半圆中挖去一个以两条半径为直角边的等腰直角三角形，求剩下部分的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先拼）：两个圆心角相加 $90+90=\underline{\quad}$（度），正好是半圆。
  2. 第 2 步（半圆面积）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（等腰直角三角形面积）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（整体减部分）：$628-200=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块半圆形玻璃由两片半径 $20$ 厘米、圆心角 $90^\circ$ 的扇形玻璃拼成，中间要挖去一块以两条半径为直角边的等腰直角三角形。挖去后剩下的玻璃面积是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拼合判断）：$90+90=\underline{\quad}$（度），两片正好拼成半圆。
  2. 第 2 步（半圆面积）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（挖去的三角形）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（相减）：$628-200=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在一个半径为 $10$ 厘米的半圆内，画一个以直径为底、高为 $10$ 厘米的三角形。求半圆内三角形以外部分的面积。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（半圆面积）：$3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（三角形的底是直径）：$2\times 10=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（三角形面积）：$20\times 10\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（整体减部分）：$157-100=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：两个半径为 $20$ 厘米、圆心角 $90^\circ$ 的扇形拼成一个半圆，从中挖去一个以两条半径为直角边的等腰直角三角形。（1）求剩下部分的面积；（2）求这个半圆的周长（弧长加直径）。（$\pi$ 取 $3.14$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（半圆面积）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（三角形面积）：$20\times 20\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（相减）：$628-200=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（半圆弧长是整圆周长的一半）：$2\times 3.14\times 20\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（周长要加直径）：直径 $2\times 20=\underline{\quad}$（厘米），周长 $=62.8+40=\underline{\quad}$（厘米）。
31. 【原题 ch15-xingqu-09】如图 15-7，在 $3\times 3$ 的方格表中，分别以 $A$，$E$ 为圆心，$3$，$2$ 为半径，画出圆心角都为 $90^\circ$ 的两段圆弧，图中阴影部分的面积是多少？（$\pi$ 取 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「方格图中的扇形＋割补容斥」类：把不规则阴影表示成“若干个扇形与若干个单位正方形的加减组合”。
关键切入点：在方格纸上，每个小正方形面积为 $1$，很方便当作“基准砖块”。本题阴影 $=$ 以 $E$ 为圆心半径 $2$ 的直角扇形 $+$ $5$ 个小正方形 $-$ 以 $A$ 为圆心半径 $3$ 的直角扇形。两个扇形的 $\pi$ 项可以先合并再算，能减少小数运算量。
方法概述：把阴影写成扇形与方格的加减式，先合并 $\pi$ 项再取近似。
规范步骤：
  1. 写出加减式：$S=\dfrac{2^2\pi}{4}+5-\dfrac{3^2\pi}{4}$（割补与包含排除）
  2. 合并 $\pi$ 项：$\dfrac{4-9}{4}\pi+5=5-1.25\pi$（同类项合并）
  3. 取 $\pi=3.14$ 计算：$5-1.25\times 3.14=5-3.925=1.075$（平方厘米）（代入近似值）
32. 【原题 ch15-xingqu-10】一条直线上放着一个长和宽分别为 $4$ 厘米和 $3$ 厘米的长方形（图 15-8），让这个长方形绕顶点 $B$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 后翻到长方形 II 的位置，这样连续翻转三次，$A$ 点到达 $E$ 点的位置，求 $A$ 点经过的总路程的长度。（$\pi$ 取 $3$）
详细思路
是哪类问题：这是「图形滚动（翻转）中点的轨迹」类：长方形每绕一个顶点翻转 $90^\circ$，某个顶点就画出一段 $90^\circ$ 的圆弧，弧的半径是这个点到旋转中心的距离。
关键切入点：关键是逐次认出“旋转中心是谁、半径是多长”。第一次绕 $B$ 转，$A$ 到 $B$ 的距离是对角线；第二次绕 $C$ 转，此时 $A$ 到 $C$ 的距离是宽；第三次绕 $D$ 转，距离是长。对角线由勾股关系 $4^2+3^2=5^2$ 得 $5$。每段弧长都是 $\dfrac14$ 个圆周。
方法概述：逐次确定旋转半径，每次算 $\dfrac14$ 圆周长，最后求和。
规范步骤：
  1. 求对角线：$4^2+3^2=25=5^2$，对角线 $=5$（厘米）（勾股关系）
  2. 第一次绕 $B$，半径 5：$\dfrac14\times 2\times 3\times 5=7.5$（厘米）（四分之一圆周长）
  3. 第二次绕 $C$，半径 3：$\dfrac14\times 2\times 3\times 3=4.5$（厘米）（四分之一圆周长）
  4. 第三次绕 $D$，半径 4：$\dfrac14\times 2\times 3\times 4=6$（厘米）（四分之一圆周长）
  5. 求总路程：$7.5+4.5+6=18$（厘米）（路径求和）
第一套
题目：一条直线上放着一个长 $12$ 厘米、宽 $5$ 厘米的长方形 $ABCD$，让它依次绕 $B$、$C$、$D$ 顺时针翻转 $90^\circ$，共翻三次。求顶点 $A$ 经过的总路程。（$\pi$ 取 $3$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求对角线）：$12\times 12+5\times 5=\underline{\quad}$，而 $13\times 13=\underline{\quad}$，所以对角线是 $13$ 厘米。
  2. 第 2 步（第一次的半径是对角线）：$2\times 3\times 13\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（第二次的半径是宽）：$2\times 3\times 5\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（第三次的半径是长）：$2\times 3\times 12\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（求和）：$19.5+7.5+18=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块长 $12$ 厘米、宽 $5$ 厘米的长方形瓷砖立在地面上，工人把它沿地面依次向右翻倒三次（每次翻转 $90^\circ$）。求瓷砖上原来的顶点 $A$ 在空中划过的总路程。（$\pi$ 取 $3$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对角线）：$12\times 12+5\times 5=\underline{\quad}$，$13\times 13=\underline{\quad}$，对角线 $13$ 厘米。
  2. 第 2 步（第一次半径是对角线）：$2\times 3\times 13\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（第二次半径是宽）：$2\times 3\times 5\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（第三次半径是长）：$2\times 3\times 12\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（总路程）：$19.5+7.5+18=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一条直线上放着一个长 $8$ 厘米、宽 $6$ 厘米的长方形，让它连续翻转三次（每次绕一个顶点转 $90^\circ$）。求顶点 $A$ 经过的总路程。（$\pi$ 取 $3$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对角线）：$8\times 8+6\times 6=\underline{\quad}$，$10\times 10=\underline{\quad}$，对角线 $10$ 厘米。
  2. 第 2 步：$2\times 3\times 10\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：$2\times 3\times 6\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步：$2\times 3\times 8\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步：$15+9+12=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一条直线上放着一个长 $12$ 厘米、宽 $5$ 厘米的长方形，让它连续翻转 $6$ 次（每次绕一个顶点转 $90^\circ$）。求顶点 $A$ 经过的总路程。（$\pi$ 取 $3$）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找周期）：每翻 $4$ 次长方形复原，但第 $4$ 次时 $A$ 恰在旋转中心上不动，所以旋转半径每 $\underline{\quad}$ 次一个周期（对角线、宽、长、$0$），$6$ 次＝一个完整周期再加两次。
  2. 第 2 步（对角线）：$12\times 12+5\times 5=\underline{\quad}$，$13\times 13=\underline{\quad}$，对角线 $13$ 厘米。
  3. 第 3 步（一轮三段之和）：$2\times 3\times(13+5+12)\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（第 4 次半径为 0，第 5、6 次又是对角线与宽）：$2\times 3\times(13+5)\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（总路程）：$45+27=\underline{\quad}$（厘米）。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 2. ch15-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（三角形面积）：$12\times 16\div 2=\underline{96}$。
    2. 第 2 步（用面积法列式）：两块小三角形的底分别是 $12$ 和 $20$，高都是半径 $r$，所以 $(12+20)\times r\div 2=96$，即 $\underline{16}\times r=96$（填 $32\div 2$ 的结果）。
    3. 第 3 步（解出半径）：$r=96\div 16=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（半圆面积）：$3.14\times 6\times 6\div 2=\underline{56.52}$。
    5. 第 5 步（阴影）：$96-56.52=\underline{39.48}$。
    最终答案：$39.48$。
  2. 2. ch15-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（铁皮总面积）：$12\times 16\div 2=\underline{96}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（面积法列式）：$(12+20)\times r\div 2=96$，即 $\underline{16}\times r=96$。
    3. 第 3 步（半径）：$r=96\div 16=\underline{6}$（厘米）。
    4. 第 4 步（半圆面积）：$3.14\times 6\times 6\div 2=\underline{56.52}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（剩下的面积）：$96-56.52=\underline{39.48}$（平方厘米）。
    最终答案：$39.48$ 平方厘米。
  3. 2. ch15-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（三角形面积）：$6\times 8\div 2=\underline{24}$。
    2. 第 2 步（面积法：连圆心与三个顶点，分成三块，高都是 $r$）：$(6+8+10)\times r\div 2=24$，即 $\underline{12}\times r=24$。
    3. 第 3 步（半径）：$r=24\div 12=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（圆面积）：$3.14\times 2\times 2=\underline{12.56}$。
    5. 第 5 步（阴影）：$24-12.56=\underline{11.44}$。
    最终答案：$11.44$。
  4. 2. ch15-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（三角形面积）：$12\times 16\div 2=\underline{96}$。
    2. 第 2 步（面积法）：$(12+20)\div 2=\underline{16}$，所以 $16r=96$，$r=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（半圆面积）：$3.14\times 6\times 6\div 2=\underline{56.52}$。
    4. 第 4 步（阴影）：$96-56.52=\underline{39.48}$。
    5. 第 5 步（半圆弧长）：$2\times 3.14\times 6\div 2=\underline{18.84}$；直径 $2\times 6=\underline{12}$；周长 $=18.84+12=\underline{30.84}$。
    最终答案：（1）$39.48$；（2）$30.84$。
  5. 3. ch15-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（三等分弧定圆心角）：$135\div 3=\underline{45}$（度），所以 $\angle DAE=45^\circ$。
    2. 第 2 步（同半径的扇形作差，只减圆心角）：$135-45=\underline{90}$（度）。
    3. 第 3 步（半径平方）：$20\times 20=\underline{400}$。
    4. 第 4 步（阴影面积）：$90\div 360\times 3.14\times 400=\underline{314}$（平方厘米）。
    最终答案：$314$ 平方厘米。
  6. 3. ch15-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（三等分定角）：$135\div 3=\underline{45}$（度）。
    2. 第 2 步（圆心角相减）：$135-45=\underline{90}$（度）。
    3. 第 3 步（半径平方）：$20\times 20=\underline{400}$。
    4. 第 4 步（绿地面积）：$90\div 360\times 3.14\times 400=\underline{314}$（平方米）。
    最终答案：$314$ 平方米。
  7. 3. ch15-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（三等分弧）：$120\div 3=\underline{40}$（度）。
    2. 第 2 步（圆心角相减）：$120-40=\underline{80}$（度）。
    3. 第 3 步（半径平方）：$12\times 12=\underline{144}$。
    4. 第 4 步（阴影面积）：$80\div 360\times 3.14\times 144=\underline{100.48}$（平方厘米）。
    最终答案：$100.48$ 平方厘米。
  8. 3. ch15-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（三等分）：$135\div 3=\underline{45}$（度）。
    2. 第 2 步（阴影的圆心角）：$135-45=\underline{90}$（度），阴影 $=90\div 360\times 3.14\times 400=\underline{314}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（空白扇形）：$45\div 360\times 3.14\times 400=\underline{157}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（整个扇形）：$135\div 360\times 3.14\times 400=\underline{471}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（检验）：$314+157=\underline{471}$（平方厘米），与整个扇形相等。
    最终答案：（1）$314$ 平方厘米；（2）$157$ 平方厘米，两者之和 $471$ 平方厘米等于扇形 $BAC$ 的面积。
  9. 6. ch15-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（大半圆，半径就是直角边）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{628}$。
    2. 第 2 步（中间扇形的半径平方是直角边平方的一半）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$。
    3. 第 3 步（中间扇形面积）：$3.14\times 200\div 4=\underline{157}$。
    4. 第 4 步（三角形面积）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$。
    5. 第 5 步（整体减空白）：$628-157-200=\underline{271}$。
    最终答案：$271$。
  10. 6. ch15-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（大半圆）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{628}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（中间扇形半径平方）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$。
    3. 第 3 步（中间扇形）：$3.14\times 200\div 4=\underline{157}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（三角形）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（相减）：$628-157-200=\underline{271}$（平方厘米）。
    最终答案：$271$ 平方厘米。
  11. 6. ch15-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（大半圆）：$3.14\times 12\times 12\div 2=\underline{226.08}$。
    2. 第 2 步（中间扇形半径平方）：$12\times 12\div 2=\underline{72}$。
    3. 第 3 步（中间扇形）：$3.14\times 72\div 4=\underline{56.52}$。
    4. 第 4 步（三角形）：$12\times 12\div 2=\underline{72}$。
    5. 第 5 步（相减）：$226.08-56.52-72=\underline{97.56}$。
    最终答案：$97.56$。
  12. 6. ch15-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（大半圆）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{628}$。
    2. 第 2 步（中间扇形）：半径平方 $20\times 20\div 2=\underline{200}$，面积 $3.14\times 200\div 4=\underline{157}$。
    3. 第 3 步（三角形）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$。
    4. 第 4 步（扫过面积）：$628-157-200=\underline{271}$。
    5. 第 5 步（顶点轨迹是四分之一圆弧，半径就是直角边 $20$）：$2\times 3.14\times 20\div 4=\underline{31.4}$。
    最终答案：（1）$271$；（2）$31.4$。
  13. 9. ch15-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（把弧当底、半径当高）：扇形面积 $=12.56\times 5\div 2=\underline{31.4}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（半圆面积逆用：先乘 2 变整圆）：$157\times 2=\underline{314}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（再除以 $\pi$）：$314\div 3.14=\underline{100}$，所以半径 $r=\underline{10}$（厘米）。
    4. 第 4 步（半圆弧长）：$2\times 3.14\times 10\div 2=\underline{31.4}$（厘米）。
    5. 第 5 步（别漏直径）：直径 $2\times 10=\underline{20}$（厘米），半圆周长 $=31.4+20=\underline{51.4}$（厘米）。
    最终答案：（1）$31.4$ 平方厘米；（2）$51.4$ 厘米。
  14. 9. ch15-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（弧当底、半径当高）：$12.56\times 5\div 2=\underline{31.4}$（平方分米）。
    2. 第 2 步（先乘 2 还原成整圆）：$157\times 2=\underline{314}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（再除 $\pi$）：$314\div 3.14=\underline{100}$，半径 $r=\underline{10}$（分米）。
    4. 第 4 步（半圆弧）：$2\times 3.14\times 10\div 2=\underline{31.4}$（分米）。
    5. 第 5 步（封边还包括直边）：$2\times 10=\underline{20}$（分米），共 $31.4+20=\underline{51.4}$（分米）。
    最终答案：（1）$31.4$ 平方分米；（2）$51.4$ 分米。
  15. 9. ch15-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步：$15.7\times 10\div 2=\underline{78.5}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步：$226.08\times 2=\underline{452.16}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步：$452.16\div 3.14=\underline{144}$，半径 $r=\underline{12}$（厘米）。
    4. 第 4 步：半圆弧 $=2\times 3.14\times 12\div 2=\underline{37.68}$（厘米）。
    5. 第 5 步：直径 $2\times 12=\underline{24}$（厘米），周长 $=37.68+24=\underline{61.68}$（厘米）。
    最终答案：（1）$78.5$ 平方厘米；（2）$61.68$ 厘米。
  16. 9. ch15-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（面积）：$12.56\times 8\div 2=\underline{50.24}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（整圆周长）：$2\times 3.14\times 8=\underline{50.24}$（厘米）。
    3. 第 3 步（弧长占整圆周长的份额）：$50.24\div 12.56=\underline{4}$，说明弧长是整圆周长的四分之一。
    4. 第 4 步（圆心角）：$360\div 4=\underline{90}$（度）。
    最终答案：（1）$50.24$ 平方厘米；（2）$90^\circ$。
  17. 10. ch15-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（判断份额）：$360\div 60=\underline{6}$，扇形是整圆的六分之一。
    2. 第 2 步（还原整圆面积）：$75.36\times 6=\underline{452.16}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（除以 $\pi$）：$452.16\div 3.14=\underline{144}$，半径 $r=\underline{12}$（厘米）。
    4. 第 4 步（弧长）：$2\times 3.14\times 12\div 6=\underline{12.56}$（厘米）。
    5. 第 5 步（加两条半径）：$2\times 12=\underline{24}$（厘米），周长 $=12.56+24=\underline{36.56}$（厘米）。
    最终答案：半径 $12$ 厘米；周长 $36.56$ 厘米。
  18. 10. ch15-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（份额）：$360\div 60=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（还原整圆）：$75.36\times 6=\underline{452.16}$（平方米）。
    3. 第 3 步（除以 $\pi$）：$452.16\div 3.14=\underline{144}$，半径 $r=\underline{12}$（米）。
    4. 第 4 步（弧形边）：$2\times 3.14\times 12\div 6=\underline{12.56}$（米）。
    5. 第 5 步（两条直边）：$2\times 12=\underline{24}$（米），护栏共 $12.56+24=\underline{36.56}$（米）。
    最终答案：半径 $12$ 米；护栏 $36.56$ 米。
  19. 10. ch15-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（份额）：$360\div 90=\underline{4}$，扇形是整圆的四分之一。
    2. 第 2 步（还原整圆）：$113.04\times 4=\underline{452.16}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（除以 $\pi$）：$452.16\div 3.14=\underline{144}$，半径 $r=\underline{12}$（厘米）。
    4. 第 4 步（弧长）：$2\times 3.14\times 12\div 4=\underline{18.84}$（厘米）。
    5. 第 5 步（周长）：$2\times 12=\underline{24}$（厘米），$18.84+24=\underline{42.84}$（厘米）。
    最终答案：半径 $12$ 厘米；周长 $42.84$ 厘米。
  20. 10. ch15-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（份额）：$360\div 60=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（整圆面积）：$75.36\times 6=\underline{452.16}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（半径）：$452.16\div 3.14=\underline{144}$，$r=\underline{12}$（厘米）。
    4. 第 4 步（周长）：弧长 $2\times 3.14\times 12\div 6=\underline{12.56}$，加两条半径 $2\times 12=24$，周长 $=\underline{36.56}$（厘米）。
    5. 第 5 步（作差）：$452.16-75.36=\underline{376.8}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）半径 $12$ 厘米，周长 $36.56$ 厘米；（2）整圆比扇形大 $376.8$ 平方厘米。
  21. 11. ch15-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（先定半圆半径）：半径是边长的一半，$4\div 2=\underline{2}$（厘米）。
    2. 第 2 步（四个半圆的面积和）：$4\times 3.14\times 2\times 2\div 2=\underline{25.12}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（正方形面积）：$4\times 4=\underline{16}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（四叶形被多算了一次，作差）：$25.12-16=\underline{9.12}$（平方厘米）。
    最终答案：$9.12$ 平方厘米。
  22. 11. ch15-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（半圆半径）：$4\div 2=\underline{2}$（米）。
    2. 第 2 步（四个半圆面积和）：$4\times 3.14\times 2\times 2\div 2=\underline{25.12}$（平方米）。
    3. 第 3 步（正方形面积）：$4\times 4=\underline{16}$（平方米）。
    4. 第 4 步（作差得四叶形）：$25.12-16=\underline{9.12}$（平方米）。
    最终答案：$9.12$ 平方米。
  23. 11. ch15-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（半径）：$8\div 2=\underline{4}$（厘米）。
    2. 第 2 步（四个半圆面积和）：$4\times 3.14\times 4\times 4\div 2=\underline{100.48}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（正方形面积）：$8\times 8=\underline{64}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（作差）：$100.48-64=\underline{36.48}$（平方厘米）。
    最终答案：$36.48$ 平方厘米。
  24. 11. ch15-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（半径）：$10\div 2=\underline{5}$（厘米）。
    2. 第 2 步（四个半圆面积和）：$4\times 3.14\times 5\times 5\div 2=\underline{157}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（正方形面积）：$10\times 10=\underline{100}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（四叶形）：$157-100=\underline{57}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（补集：正方形减四叶形）：$100-57=\underline{43}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$57$ 平方厘米；（2）$43$ 平方厘米。
  25. 12. ch15-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（容斥分离）：两个扇形的面积和 $=80-61.16=\underline{18.84}$。
    2. 第 2 步（以 $C$ 为圆心的是直角扇形）：$3.14\times 4\times 4\div 4=\underline{12.56}$。
    3. 第 3 步（以 $B$ 为圆心的扇形）：$18.84-12.56=\underline{6.28}$。
    4. 第 4 步（整圆面积）：$3.14\times 4\times 4=\underline{50.24}$。
    5. 第 5 步（面积比就是圆心角比）：$50.24\div 6.28=\underline{8}$，说明该扇形是整圆的八分之一，$\angle B=360\div 8=\underline{45}$（度）。
    6. 第 6 步（内角和）：$180-90-45=\underline{45}$（度）。
    最终答案：$\angle A=45^\circ$。
  26. 12. ch15-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（两块小径的面积和）：$80-61.16=\underline{18.84}$（平方米）。
    2. 第 2 步（$C$ 处是直角扇形）：$3.14\times 4\times 4\div 4=\underline{12.56}$（平方米）。
    3. 第 3 步（$B$ 处扇形）：$18.84-12.56=\underline{6.28}$（平方米）。
    4. 第 4 步（整圆面积）：$3.14\times 4\times 4=\underline{50.24}$（平方米）。
    5. 第 5 步（比例反求角）：$50.24\div 6.28=\underline{8}$，$\angle B=360\div 8=\underline{45}$（度）。
    6. 第 6 步（内角和）：$180-90-45=\underline{45}$（度）。
    最终答案：$\angle A=45^\circ$。
  27. 12. ch15-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（两扇形面积和）：$60-22.32=\underline{37.68}$。
    2. 第 2 步（直角扇形）：$3.14\times 6\times 6\div 4=\underline{28.26}$。
    3. 第 3 步（$B$ 处扇形）：$37.68-28.26=\underline{9.42}$。
    4. 第 4 步（整圆）：$3.14\times 6\times 6=\underline{113.04}$。
    5. 第 5 步（比例）：$113.04\div 9.42=\underline{12}$，$\angle B=360\div 12=\underline{30}$（度）。
    6. 第 6 步（内角和）：$180-90-30=\underline{60}$（度）。
    最终答案：$\angle A=60^\circ$。
  28. 12. ch15-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（先求三角形面积）：$12\times 10\div 2=\underline{60}$。
    2. 第 2 步（容斥分离两扇形）：$60-50.58=\underline{9.42}$。
    3. 第 3 步（直角扇形）：$3.14\times 3\times 3\div 4=\underline{7.065}$。
    4. 第 4 步（$B$ 处扇形）：$9.42-7.065=\underline{2.355}$。
    5. 第 5 步（整圆与比例）：$3.14\times 3\times 3=\underline{28.26}$，$28.26\div 2.355=\underline{12}$，即占整圆十二分之一，$\angle B=360\div 12=\underline{30}$（度）。
    6. 第 6 步（内角和）：$180-90-30=\underline{60}$（度）。
    最终答案：$\angle A=60^\circ$。
  29. 13. ch15-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（相消）：旋转前后两个半圆完全相同，重叠部分抵消后，阴影就是扇形 $CAB$。
    2. 第 2 步（认半径）：扇形的半径是 $AB$，也就是半圆的直径 $\underline{6}$（厘米）。
    3. 第 3 步（判断份额）：$360\div 60=\underline{6}$，扇形是整圆的六分之一。
    4. 第 4 步（求面积）：$3.14\times 6\times 6\div 6=\underline{18.84}$（平方厘米）。
    最终答案：$18.84$ 平方厘米。
  30. 13. ch15-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（相消）：转前转后的两个半圆一样大，重叠抵消后剩下扇形 $CAB$。
    2. 第 2 步（半径是直径 $AB$）：$\underline{6}$ 厘米。
    3. 第 3 步（份额）：$360\div 60=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（面积）：$3.14\times 6\times 6\div 6=\underline{18.84}$（平方厘米）。
    最终答案：$18.84$ 平方厘米。
  31. 13. ch15-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（相消）：阴影是以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径、圆心角 $90^\circ$ 的扇形。
    2. 第 2 步（半径）：$\underline{6}$ 厘米。
    3. 第 3 步（份额）：$360\div 90=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（面积）：$3.14\times 6\times 6\div 4=\underline{28.26}$（平方厘米）。
    最终答案：$28.26$ 平方厘米。
  32. 13. ch15-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（份额）：$360\div 120=\underline{3}$，扇形是整圆的三分之一。
    2. 第 2 步（阴影面积）：$3.14\times 6\times 6\div 3=\underline{37.68}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（$B$ 点走的是弧）：整圆周长 $2\times 3.14\times 6=\underline{37.68}$（厘米）。
    4. 第 4 步（取三分之一）：$37.68\div 3=\underline{12.56}$（厘米）。
    最终答案：（1）$37.68$ 平方厘米；（2）$12.56$ 厘米。
  33. 14. ch15-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（半径倍数变面积倍数）：半径是 $\dfrac13$，面积就是 $\dfrac{1}{\underline{9}}$（填分母，即 $3\times 3$）。
    2. 第 2 步（一个小圆的面积）：$81\div 9=\underline{9}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（7 个小圆）：$9\times 7=\underline{63}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（边角料）：$81-63=\underline{18}$（平方厘米）。
    最终答案：$18$ 平方厘米。
  34. 14. ch15-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（面积倍数）：半径缩到 $\dfrac13$，面积缩到 $\dfrac{1}{\underline{9}}$。
    2. 第 2 步（一个小圆）：$81\div 9=\underline{9}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（7 个）：$9\times 7=\underline{63}$（平方分米）。
    4. 第 4 步（剩余）：$81-63=\underline{18}$（平方分米）。
    最终答案：$18$ 平方分米。
  35. 14. ch15-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（面积倍数）：半径是一半，面积就是 $\dfrac{1}{\underline{4}}$。
    2. 第 2 步（一个小圆）：$100\div 4=\underline{25}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（3 个小圆）：$25\times 3=\underline{75}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（边角料）：$100-75=\underline{25}$（平方厘米）。
    最终答案：$25$ 平方厘米。
  36. 14. ch15-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（面积倍数）：$3\times 3=\underline{9}$，小圆面积是大圆的九分之一。
    2. 第 2 步（一个小圆）：$144\div 9=\underline{16}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（7 个小圆）：$16\times 7=\underline{112}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（边角料）：$144-112=\underline{32}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（求分率）：$32\div 144=\underline{0.222222222}$（约分后是 $\dfrac29$）。
    最终答案：（1）$32$ 平方厘米；（2）占 $\dfrac29$。
  37. 16. ch15-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（扇形份额）：$360\div 45=\underline{8}$，扇形是整圆的八分之一。
    2. 第 2 步（扇形面积）：$3.14\times 20\times 20\div 8=\underline{157}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（半圆半径是 $AB$ 的一半）：$20\div 2=\underline{10}$（厘米），半圆面积 $=3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{157}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（三角形面积）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（容斥：两块相加减去总覆盖）：$157+157-200=\underline{114}$（平方厘米）。
    最终答案：$114$ 平方厘米。
  38. 16. ch15-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（扇形份额）：$360\div 45=\underline{8}$。
    2. 第 2 步（扇形面积）：$3.14\times 20\times 20\div 8=\underline{157}$（平方米）。
    3. 第 3 步（半圆半径）：$20\div 2=\underline{10}$（米），面积 $=3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{157}$（平方米）。
    4. 第 4 步（三角形面积）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$（平方米）。
    5. 第 5 步（容斥）：$157+157-200=\underline{114}$（平方米）。
    最终答案：$114$ 平方米。
  39. 16. ch15-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（扇形面积）：$3.14\times 10\times 10\div 4=\underline{78.5}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（半圆半径）：$10\div 2=\underline{5}$（厘米），面积 $=3.14\times 5\times 5\div 2=\underline{39.25}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（三角形面积）：$10\times 10\div 2=\underline{50}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（容斥）：$78.5+39.25-50=\underline{67.75}$（平方厘米）。
    最终答案：$67.75$ 平方厘米。
  40. 16. ch15-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（扇形）：$3.14\times 20\times 20\div 8=\underline{157}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（半圆）：$3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{157}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（三角形）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（容斥）：$157+157-200=\underline{114}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（求占比）：$114\div 200=\underline{0.57}$，即 $57\%$。
    最终答案：（1）$114$ 平方厘米；（2）$57\%$。
  41. 20. ch15-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（数直线段）：外围有 $6$ 段直线段，每段等于一根管子的直径 $8$ 厘米，共 $6\times 8=\underline{48}$（厘米）。
    2. 第 2 步（判断弧能否拼成整圆）：$6$ 段弧的圆心角都是 $60^\circ$，合计 $6\times 60=\underline{360}$（度），正好是一个整圆。
    3. 第 3 步（弧长之和就是圆周长）：$3.14\times 8=\underline{25.12}$（厘米）。
    4. 第 4 步（合计）：$48+25.12=\underline{73.12}$（厘米）。
    最终答案：$73.12$ 厘米。
  42. 20. ch15-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（直线段部分）：$6\times 8=\underline{48}$（厘米）。
    2. 第 2 步（弧的圆心角合计）：$6\times 60=\underline{360}$（度），拼成一个整圆。
    3. 第 3 步（弧长和＝圆周长）：$3.14\times 8=\underline{25.12}$（厘米）。
    4. 第 4 步（绳长）：$48+25.12=\underline{73.12}$（厘米）。
    最终答案：$73.12$ 厘米。
  43. 20. ch15-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（数直线段）：外围有 $3$ 段直线段，每段等于直径，共 $3\times 10=\underline{30}$（厘米）。
    2. 第 2 步（弧的圆心角）：三处转弯每处 $120^\circ$，合计 $3\times 120=\underline{360}$（度），正好一个整圆。
    3. 第 3 步（弧长和）：$3.14\times 10=\underline{31.4}$（厘米）。
    4. 第 4 步（合计）：$30+31.4=\underline{61.4}$（厘米）。
    最终答案：$61.4$ 厘米。
  44. 20. ch15-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（直线段）：$6\times 8=\underline{48}$（厘米）。
    2. 第 2 步（弧长和）：$6$ 段弧拼成整圆，$3.14\times 8=\underline{25.12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（橡皮筋长）：$48+25.12=\underline{73.12}$（厘米）。
    4. 第 4 步（一根管的横截面半径）：$8\div 2=\underline{4}$（厘米），面积 $=3.14\times 4\times 4=\underline{50.24}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（七根合计）：$50.24\times 7=\underline{351.68}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$73.12$ 厘米；（2）$351.68$ 平方厘米。
  45. 21. ch15-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（绳长＝周长的一半）：$5\times 6\div 2=\underline{15}$（米）。
    2. 第 2 步（正五边形的内角）：$(5-2)\times 180\div 5=\underline{108}$（度）。
    3. 第 3 步（主扇形）：圆心角 $360-108=\underline{252}$（度），面积 $=252\div 360\times 3.14\times 15\times 15=\underline{494.55}$（平方米）。
    4. 第 4 步（绕过顶点后）：小扇形圆心角 $180-108=\underline{72}$（度），一侧半径依次为 $15-6=9$、$9-6=3$，平方和 $=9\times 9+3\times 3=\underline{90}$。
    5. 第 5 步（一侧小扇形面积和）：$72\div 360\times 3.14\times 90=\underline{56.52}$（平方米）。
    6. 第 6 步（小狗可向两侧对称绕行，合计）：$494.55+2\times 56.52=\underline{607.59}$（平方米）。
    最终答案：$607.59$ 平方米。
  46. 21. ch15-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（绳长＝周长的一半）：$5\times 6\div 2=\underline{15}$（米）。
    2. 第 2 步（内角）：$(5-2)\times 180\div 5=\underline{108}$（度）。
    3. 第 3 步（主扇形）：圆心角 $360-108=\underline{252}$（度），面积 $=252\div 360\times 3.14\times 15\times 15=\underline{494.55}$（平方米）。
    4. 第 4 步（小扇形）：圆心角 $180-108=\underline{72}$（度），一侧半径平方和 $=9\times 9+3\times 3=\underline{90}$。
    5. 第 5 步（一侧小扇形面积和）：$72\div 360\times 3.14\times 90=\underline{56.52}$（平方米）。
    6. 第 6 步（羊可向两侧对称绕行，合计）：$494.55+2\times 56.52=\underline{607.59}$（平方米）。
    最终答案：$607.59$ 平方米。
  47. 21. ch15-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（正六边形内角）：$(6-2)\times 180\div 6=\underline{120}$（度）。
    2. 第 2 步（主扇形圆心角）：$360-120=\underline{240}$（度），面积 $=240\div 360\times 3.14\times 18\times 18=\underline{678.24}$（平方米）。
    3. 第 3 步（小扇形圆心角）：$180-120=\underline{60}$（度）。
    4. 第 4 步（绕过顶点后半径）：$18-6=12$、$12-6=6$，平方和 $=12\times 12+6\times 6=\underline{180}$。
    5. 第 5 步（一侧小扇形面积和）：$60\div 360\times 3.14\times 180=\underline{94.2}$（平方米）。
    6. 第 6 步（小狗可向两侧对称绕行，合计）：$678.24+2\times 94.2=\underline{866.64}$（平方米）。
    最终答案：$866.64$ 平方米。
  48. 21. ch15-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（内角与圆心角）：$(5-2)\times 180\div 5=\underline{108}$（度），主扇形 $360-108=\underline{252}$（度），小扇形 $180-108=72$（度）。
    2. 第 2 步（绳长 9：主扇形）：$252\div 360\times 3.14\times 9\times 9=\underline{178.038}$（平方米）。
    3. 第 3 步（绳长 9：绕过一个顶点后剩 $9-6=3$，再往前 $3<6$ 无法绕；两侧对称）：$178.038+2\times(72\div 360\times 3.14\times 3\times 3)=\underline{189.342}$（平方米）。
    4. 第 4 步（绳长 15：主扇形）：$252\div 360\times 3.14\times 15\times 15=\underline{494.55}$（平方米）。
    5. 第 5 步（绳长 15：绕过顶点后剩 $15-6=9$、$9-6=3$，两侧对称）：$494.55+2\times(72\div 360\times 3.14\times(9\times 9+3\times 3))=\underline{607.59}$（平方米）。
    最终答案：（1）$189.342$ 平方米；（2）$607.59$ 平方米。
  49. 22. ch15-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（长方形的宽就是直径）：$2\times 2=\underline{4}$（厘米）。
    2. 第 2 步（正方形的四个长方形）：$4\times 10\times 4=\underline{160}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（拐角扇形拼成半径 $2+2=4$ 的整圆）：$3.14\times 4\times 4=\underline{50.24}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（第 (1) 问合计）：$160+50.24=\underline{210.24}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（三角形的三个长方形）：$3\times 6\times 4=\underline{72}$（平方厘米），加上同样的整圆 $=72+50.24=\underline{122.24}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$210.24$ 平方厘米；（2）$122.24$ 平方厘米。
  50. 22. ch15-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（压过带子的宽＝直径）：$2\times 2=\underline{4}$（米）。
    2. 第 2 步（正方形四条边）：$4\times 10\times 4=\underline{160}$（平方米）。
    3. 第 3 步（四个拐角扇形拼成半径 $4$ 的整圆）：$3.14\times 4\times 4=\underline{50.24}$（平方米）。
    4. 第 4 步（合计）：$160+50.24=\underline{210.24}$（平方米）。
    5. 第 5 步（三角形三条边）：$3\times 6\times 4=\underline{72}$（平方米），合计 $72+50.24=\underline{122.24}$（平方米）。
    最终答案：$210.24$ 平方米；$122.24$ 平方米。
  51. 22. ch15-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形的宽）：$2\times 1=\underline{2}$（厘米）。
    2. 第 2 步（六个长方形）：$6\times 5\times 2=\underline{60}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（六个拐角扇形仍拼成半径 $2$ 的整圆）：$3.14\times 2\times 2=\underline{12.56}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（合计）：$60+12.56=\underline{72.56}$（平方厘米）。
    最终答案：$72.56$ 平方厘米。
  52. 22. ch15-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（四个长方形）：宽 $2\times 2=\underline{4}$（厘米），面积 $4\times 10\times 4=\underline{160}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（拐角扇形拼成半径 $4$ 的整圆）：$3.14\times 4\times 4=\underline{50.24}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（扫过面积）：$160+50.24=\underline{210.24}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（圆心路径的直线部分）：四条边各走一段，$4\times 10=\underline{40}$（厘米）。
    5. 第 5 步（圆心在拐角走的弧拼成半径 $2$ 的整圆）：$2\times 3.14\times 2=\underline{12.56}$（厘米），路径共 $40+12.56=\underline{52.56}$（厘米）。
    最终答案：（1）$210.24$ 平方厘米；（2）$52.56$ 厘米。
  53. 23. ch15-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（先判断份额）：整圆是 $360^\circ$，用 $360\div 120=\underline{3}$，可知扇形是整圆的三分之一。
    2. 第 2 步（求整圆面积）：先算半径的平方 $6\times 6=\underline{36}$，再乘 $\pi$，整圆面积 $=3.14\times 36=\underline{113.04}$。
    3. 第 3 步（取份额）：扇形面积 $=3.14\times 36\div 3=\underline{37.68}$。
    4. 第 4 步（求弧长）：整圆周长的三分之一，$2\times 3.14\times 6\div 3=\underline{12.56}$。
    5. 第 5 步（别漏半径）：两条半径 $2\times 6=\underline{12}$，扇形周长 $=12.56+12=\underline{24.56}$。
    最终答案：面积 $37.68$；周长 $24.56$。
  54. 23. ch15-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（先判断份额）：$360\div 120=\underline{3}$，花坛是整圆的三分之一。
    2. 第 2 步（整圆面积）：$6\times 6=\underline{36}$，$3.14\times 36=\underline{113.04}$（平方米）。
    3. 第 3 步（花坛面积）：$3.14\times 36\div 3=\underline{37.68}$（平方米）。
    4. 第 4 步（弧形边）：$2\times 3.14\times 6\div 3=\underline{12.56}$（米）。
    5. 第 5 步（围栏还包括两条直边）：$2\times 6=\underline{12}$（米），共 $12.56+12=\underline{24.56}$（米）。
    最终答案：面积 $37.68$ 平方米；栅栏 $24.56$ 米。
  55. 23. ch15-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（判断份额）：$360\div 90=\underline{4}$，这是四分之一圆（直角扇形）。
    2. 第 2 步（整圆面积）：$8\times 8=\underline{64}$，$3.14\times 64=\underline{200.96}$。
    3. 第 3 步（扇形面积）：$3.14\times 64\div 4=\underline{50.24}$。
    4. 第 4 步（弧长）：$2\times 3.14\times 8\div 4=\underline{12.56}$。
    5. 第 5 步（加两条半径）：$2\times 8=\underline{16}$，周长 $=12.56+16=\underline{28.56}$。
    最终答案：面积 $50.24$；周长 $28.56$。
  56. 23. ch15-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（份额是几分之几）：$240\div 360$ 约分后是 $\dfrac{2}{3}$，其中 $360\div 240$ 的倒数思路也可用；先算整圆面积 $3.14\times 6\times 6=\underline{113.04}$。
    2. 第 2 步（扇形面积）：取整圆的 $\dfrac23$，$113.04\times 2\div 3=\underline{75.36}$。
    3. 第 3 步（弧长）：整圆周长 $2\times 3.14\times 6=\underline{37.68}$，弧长 $=37.68\times 2\div 3=\underline{25.12}$。
    4. 第 4 步（周长别漏半径）：$2\times 6=\underline{12}$，周长 $=25.12+12=\underline{37.12}$。
    5. 第 5 步（与整圆比较）：少的部分 $=113.04-75.36=\underline{37.68}$。
    最终答案：（1）面积 $75.36$，周长 $37.12$；（2）比整圆少 $37.68$。
  57. 24. ch15-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（把 $\pi$ 除掉）：由 $S=\pi r^2$ 得 $r^2=113.04\div 3.14=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（开方）：想“几乘几等于 $36$”，得半径 $r=\underline{6}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求周长）：$C=2\times 3.14\times 6=\underline{37.68}$（厘米）。
    最终答案：半径 $6$ 厘米；周长 $37.68$ 厘米。
  58. 24. ch15-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（先求半径的平方）：$r^2=113.04\div 3.14=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（开方得半径）：$r=\underline{6}$（分米）。
    3. 第 3 步（镶边就是求周长）：$2\times 3.14\times 6=\underline{37.68}$（分米）。
    最终答案：半径 $6$ 分米；金属条 $37.68$ 分米。
  59. 24. ch15-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（除去 $\pi$）：$r^2=200.96\div 3.14=\underline{64}$。
    2. 第 2 步（开方得半径）：$r=\underline{8}$（厘米）。
    3. 第 3 步（直径是半径的 2 倍）：$d=2\times 8=\underline{16}$（厘米）。
    4. 第 4 步（周长）：$C=3.14\times 16=\underline{50.24}$（厘米）。
    最终答案：直径 $16$ 厘米；周长 $50.24$ 厘米。
  60. 24. ch15-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（除去 $\pi$）：$r^2=78.5\div 3.14=\underline{25}$。
    2. 第 2 步（开方）：$r=\underline{5}$（厘米）。
    3. 第 3 步（周长）：$2\times 3.14\times 5=\underline{31.4}$（厘米）。
    4. 第 4 步（对角线）：正方形的对角线就是圆的直径 $2\times 5=\underline{10}$（厘米）。
    5. 第 5 步（对角线求面积）：正方形面积 $=$ 对角线平方的一半 $=10\times 10\div 2=\underline{50}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）半径 $5$ 厘米，周长 $31.4$ 厘米；（2）正方形面积 $50$ 平方厘米。
  61. 25. ch15-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（别漏掉 2）：分母是 $2\times 3.14=\underline{6.28}$。
    2. 第 2 步（反求半径）：$r=62.8\div 6.28=\underline{10}$（厘米）。
    3. 第 3 步（半径平方）：$10\times 10=\underline{100}$。
    4. 第 4 步（求面积）：$S=3.14\times 100=\underline{314}$（平方厘米）。
    最终答案：半径 $10$ 厘米；面积 $314$ 平方厘米。
  62. 25. ch15-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（护栏长就是周长）：分母 $2\times 3.14=\underline{6.28}$。
    2. 第 2 步（反求半径）：$r=62.8\div 6.28=\underline{10}$（米）。
    3. 第 3 步（半径平方）：$10\times 10=\underline{100}$。
    4. 第 4 步（水面面积）：$3.14\times 100=\underline{314}$（平方米）。
    最终答案：半径 $10$ 米；面积 $314$ 平方米。
  63. 25. ch15-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步：$2\times 3.14=\underline{6.28}$。
    2. 第 2 步（反求半径）：$r=43.96\div 6.28=\underline{7}$（厘米）。
    3. 第 3 步（半径平方）：$7\times 7=\underline{49}$。
    4. 第 4 步（面积）：$3.14\times 49=\underline{153.86}$（平方厘米）。
    最终答案：半径 $7$ 厘米；面积 $153.86$ 平方厘米。
  64. 25. ch15-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步：$2\times 3.14=\underline{6.28}$，半径 $r=62.8\div 6.28=\underline{10}$（厘米）。
    2. 第 2 步（圆面积）：$3.14\times 10\times 10=\underline{314}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（判断份额）：$360\div 72=\underline{5}$，扇形是整圆的五分之一。
    4. 第 4 步（扇形面积）：$314\div 5=\underline{62.8}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）半径 $10$ 厘米，面积 $314$ 平方厘米；（2）扇形面积 $62.8$ 平方厘米。
  65. 28. ch15-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（拆成两个弓形）：连结对角线 $BD$，叶形被分成两个完全相同的弓形。
    2. 第 2 步（直角扇形面积）：半径的平方 $6\times 6=\underline{36}$，扇形 $=3.14\times 36\div 4=\underline{28.26}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（等腰直角三角形面积）：$6\times 6\div 2=\underline{18}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（一个弓形）：$28.26-18=\underline{10.26}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（两个弓形）：$10.26\times 2=\underline{20.52}$（平方厘米）。
    最终答案：$20.52$ 平方厘米。
  66. 28. ch15-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（拆成两个弓形）：连结对角线，叶形分成两个相同的弓形。
    2. 第 2 步（直角扇形）：$6\times 6=\underline{36}$，$3.14\times 36\div 4=\underline{28.26}$（平方米）。
    3. 第 3 步（等腰直角三角形）：$6\times 6\div 2=\underline{18}$（平方米）。
    4. 第 4 步（一个弓形）：$28.26-18=\underline{10.26}$（平方米）。
    5. 第 5 步（两个弓形）：$10.26\times 2=\underline{20.52}$（平方米）。
    最终答案：$20.52$ 平方米。
  67. 28. ch15-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（认出扇形）：$8\times 8=\underline{64}$，直角扇形 $=3.14\times 64\div 4=\underline{50.24}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（认出三角形）：以两条半径为直角边，$8\times 8\div 2=\underline{32}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（弓形＝扇形－三角形）：$50.24-32=\underline{18.24}$（平方厘米）。
    最终答案：$18.24$ 平方厘米。
  68. 28. ch15-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（直角扇形）：$10\times 10=\underline{100}$，$3.14\times 100\div 4=\underline{78.5}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（等腰直角三角形）：$10\times 10\div 2=\underline{50}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（一个弓形）：$78.5-50=\underline{28.5}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（叶形＝两个弓形）：$28.5\times 2=\underline{57}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（补集：正方形减叶形）：$10\times 10=\underline{100}$，$100-57=\underline{43}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$57$ 平方厘米；（2）$43$ 平方厘米。
  69. 29. ch15-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（把公共部分同时加回去）：甲、乙各加上公共部分后分别变成半圆和三角形，所以“半圆－三角形”也等于 $228$。
    2. 第 2 步（求半圆面积）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{628}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求三角形面积）：$628-228=\underline{400}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（三角形的底就是直径）：$2\times 20=\underline{40}$（厘米）。
    5. 第 5 步（由面积反求高）：$400\times 2\div 40=\underline{20}$（厘米）。
    最终答案：$20$ 厘米。
  70. 29. ch15-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（同加公共重叠部分）：两块只属于自己的区域各加上重叠部分，就变成半圆和三角形，差仍是 $228$。
    2. 第 2 步（半圆面积）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{628}$（平方米）。
    3. 第 3 步（三角形面积）：$628-228=\underline{400}$（平方米）。
    4. 第 4 步（底就是直径）：$2\times 20=\underline{40}$（米）。
    5. 第 5 步（反求高）：$400\times 2\div 40=\underline{20}$（米）。
    最终答案：$20$ 米。
  71. 29. ch15-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（判断谁大）：乙比甲大，说明三角形比半圆大 $37$ 平方厘米。
    2. 第 2 步（半圆面积）：$3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{157}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（三角形面积）：$157+37=\underline{194}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（底是直径）：$2\times 10=\underline{20}$（厘米）。
    5. 第 5 步（反求高）：$194\times 2\div 20=\underline{19.4}$（厘米）。
    最终答案：$19.4$ 厘米。
  72. 29. ch15-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（半圆面积）：$3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{157}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（三角形面积）：$157-7=\underline{150}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（底是直径）：$2\times 10=\underline{20}$（厘米），高 $=150\times 2\div 20=\underline{15}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求斜边的平方）：$20\times 20+15\times 15=\underline{625}$，因为 $25\times 25=\underline{625}$，所以斜边是 $25$ 厘米。
    5. 第 5 步（周长）：$20+15+25=\underline{60}$（厘米）。
    最终答案：（1）$15$ 厘米；（2）周长 $60$ 厘米。
  73. 30. ch15-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（先拼）：两个圆心角相加 $90+90=\underline{180}$（度），正好是半圆。
    2. 第 2 步（半圆面积）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{628}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（等腰直角三角形面积）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（整体减部分）：$628-200=\underline{428}$（平方厘米）。
    最终答案：$428$ 平方厘米。
  74. 30. ch15-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（拼合判断）：$90+90=\underline{180}$（度），两片正好拼成半圆。
    2. 第 2 步（半圆面积）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{628}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（挖去的三角形）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（相减）：$628-200=\underline{428}$（平方厘米）。
    最终答案：$428$ 平方厘米。
  75. 30. ch15-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（半圆面积）：$3.14\times 10\times 10\div 2=\underline{157}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（三角形的底是直径）：$2\times 10=\underline{20}$（厘米）。
    3. 第 3 步（三角形面积）：$20\times 10\div 2=\underline{100}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（整体减部分）：$157-100=\underline{57}$（平方厘米）。
    最终答案：$57$ 平方厘米。
  76. 30. ch15-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（半圆面积）：$3.14\times 20\times 20\div 2=\underline{628}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（三角形面积）：$20\times 20\div 2=\underline{200}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（相减）：$628-200=\underline{428}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（半圆弧长是整圆周长的一半）：$2\times 3.14\times 20\div 2=\underline{62.8}$（厘米）。
    5. 第 5 步（周长要加直径）：直径 $2\times 20=\underline{40}$（厘米），周长 $=62.8+40=\underline{102.8}$（厘米）。
    最终答案：（1）$428$ 平方厘米；（2）$102.8$ 厘米。
  77. 32. ch15-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（先求对角线）：$12\times 12+5\times 5=\underline{169}$，而 $13\times 13=\underline{169}$，所以对角线是 $13$ 厘米。
    2. 第 2 步（第一次的半径是对角线）：$2\times 3\times 13\div 4=\underline{19.5}$（厘米）。
    3. 第 3 步（第二次的半径是宽）：$2\times 3\times 5\div 4=\underline{7.5}$（厘米）。
    4. 第 4 步（第三次的半径是长）：$2\times 3\times 12\div 4=\underline{18}$（厘米）。
    5. 第 5 步（求和）：$19.5+7.5+18=\underline{45}$（厘米）。
    最终答案：$45$ 厘米。
  78. 32. ch15-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（对角线）：$12\times 12+5\times 5=\underline{169}$，$13\times 13=\underline{169}$，对角线 $13$ 厘米。
    2. 第 2 步（第一次半径是对角线）：$2\times 3\times 13\div 4=\underline{19.5}$（厘米）。
    3. 第 3 步（第二次半径是宽）：$2\times 3\times 5\div 4=\underline{7.5}$（厘米）。
    4. 第 4 步（第三次半径是长）：$2\times 3\times 12\div 4=\underline{18}$（厘米）。
    5. 第 5 步（总路程）：$19.5+7.5+18=\underline{45}$（厘米）。
    最终答案：$45$ 厘米。
  79. 32. ch15-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（对角线）：$8\times 8+6\times 6=\underline{100}$，$10\times 10=\underline{100}$，对角线 $10$ 厘米。
    2. 第 2 步：$2\times 3\times 10\div 4=\underline{15}$（厘米）。
    3. 第 3 步：$2\times 3\times 6\div 4=\underline{9}$（厘米）。
    4. 第 4 步：$2\times 3\times 8\div 4=\underline{12}$（厘米）。
    5. 第 5 步：$15+9+12=\underline{36}$（厘米）。
    最终答案：$36$ 厘米。
  80. 32. ch15-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（找周期）：每翻 $4$ 次长方形复原，但第 $4$ 次时 $A$ 恰在旋转中心上不动，所以旋转半径每 $\underline{4}$ 次一个周期（对角线、宽、长、$0$），$6$ 次＝一个完整周期再加两次。
    2. 第 2 步（对角线）：$12\times 12+5\times 5=\underline{169}$，$13\times 13=\underline{169}$，对角线 $13$ 厘米。
    3. 第 3 步（一轮三段之和）：$2\times 3\times(13+5+12)\div 4=\underline{45}$（厘米）。
    4. 第 4 步（第 4 次半径为 0，第 5、6 次又是对角线与宽）：$2\times 3\times(13+5)\div 4=\underline{27}$（厘米）。
    5. 第 5 步（总路程）：$45+27=\underline{72}$（厘米）。
    最终答案：$72$ 厘米。