竞赛数学 · 五年级 第16讲《余数》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch16-chaoyue-01】从 $1$ 依次写到 $99$，可以组成一个多位数 $12345\cdots979899$。这个多位数除以 $11$ 的余数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「长数串除以 $11$」类：用奇偶位数字和之差的特征，但要按位统计数字。
关键切入点：$12345\cdots9899$ 中，两位数各占两位，所以每个两位数的十位、个位分别落在固定的奇偶位上；分别统计奇数位与偶数位的数字和，得 $430$ 与 $470$；奇位和小于偶位和时，先补上若干个 $11$ 再相减，余数不变。
方法概述：分别统计奇偶位数字和 → 不够减就补 $11$ 的倍数 → 求差取余。
规范步骤：
  1. 统计奇数位数字和：$(0+1+\cdots+9)\times9+(1+3+5+7+9)=405+25=430$（数字位的统计）
  2. 统计偶数位数字和：$(1+2+\cdots+9)\times10+(2+4+6+8)=450+20=470$（数字位的统计）
  3. 不够减先补 $11$ 的倍数：$430+11\times4=474$（补倍数处理负差）
  4. 求差得余数：$474-470=4$（被11整除的奇偶位差特征）
2. 【原题 ch16-chaoyue-02】算式 $7+7\times7+\cdots+\underbrace{7\times7\times\cdots\times7}_{2008\text{个}7}$ 计算结果的末两位数字是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「末两位（即除以 $100$ 的余数）周期 + 整周期分组」类。
关键切入点：$7$ 的各次方末两位按 $07,49,43,01$ 以 $4$ 为周期循环，而一周期之和 $7+49+43+1=100$ 末两位是 $00$，所以每 $4$ 项一组相加都不影响末两位；$2008$ 恰好被 $4$ 整除，全部消完。
方法概述：列末两位周期 → 一周期和为 $100$ → 按 $4$ 项分组整批消去。
规范步骤：
  1. 列末两位周期：$07,49,43,01$，周期长 $4$（末两位的周期）
  2. 一周期之和：$7+49+43+1=100$，末两位是 $00$（整周期分组求和）
  3. 分组：$2008\div4=502$ 组，无零头（整周期分组求和）
  4. 作答：$502$ 组的末两位都是 $00$，总和末两位是 $00$（余数的可加性）
第一套
题目：算式 $7+7\times7+\cdots+\underbrace{7\times7\times\cdots\times7}_{2010\text{个}7}$ 计算结果的末两位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列末两位周期）：$7,49,343,2401,\cdots$ 的末两位是 $07,49,43,01$，周期长 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（一周期之和）：$7+49+43+1=\underline{\quad}$，末两位是 $00$，可整批消去。
  3. 第 3 步（分组）：$2010-4\times502=\underline{\quad}$，即 $502$ 个整周期，还剩 $2$ 项。
  4. 第 4 步（只算零头）：剩下的是周期里的前 $2$ 个，$7+49=\underline{\quad}$，末两位是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：一种细胞第 $1$ 天有 $7$ 个，以后每天的新增数量是前一天的 $7$ 倍。到第 $2010$ 天为止，累计新增的细胞总数的末两位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列末两位周期）：每天新增数的末两位是 $07,49,43,01$ 循环，周期长 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（一周期之和）：$7+49+43+1=\underline{\quad}$，末两位为 $00$。
  3. 第 3 步（分组）：$2010-4\times502=\underline{\quad}$，有 $502$ 个整周期，剩 $2$ 天。
  4. 第 4 步（只算零头）：$7+49=\underline{\quad}$，末两位是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $7+7\times7+\cdots+\underbrace{7\times7\times\cdots\times7}_{2013\text{个}7}$ 计算结果的末两位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（周期与整周期和）：末两位按 $07,49,43,01$ 循环，一周期之和 $7+49+43+1=\underline{\quad}$，末两位为 $00$。
  2. 第 2 步（分组）：$2013-4\times503=\underline{\quad}$，即 $503$ 个整周期，还剩 $1$ 项。
  3. 第 3 步（只算零头）：剩下的是周期里的第 $1$ 个，末两位是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $7+7\times7+\cdots+\underbrace{7\times7\times\cdots\times7}_{2011\text{个}7}$ 的末两位数字是多少？这个和除以 $4$ 的余数又是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分组）：末两位周期 $07,49,43,01$，一周期和末两位为 $00$；$2011-4\times502=\underline{\quad}$，有 $502$ 个整周期，剩 $3$ 项。
  2. 第 2 步（算零头）：$7+49+43=\underline{\quad}$，所以末两位是 $99$。
  3. 第 3 步（除以 4 只看末两位）：$99-4\times24=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作答）：末两位是 $\underline{\quad}$，除以 $4$ 余 $3$。
3. 【原题 ch16-chaoyue-03】算式 $1\times3\times5\times7\times\cdots\times2007$ 计算结果的末两位数字是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「连乘积的末两位」类：末两位就是除以 $100$ 的余数，把 $100$ 拆成 $4$ 与 $25$ 分别求余再合并。
关键切入点：直接对 $100$ 求余不好算，但 $100=4\times25$：对 $4$，奇数按 $1,3$ 交替，$3$ 的连乘除以 $4$ 按 $3,1$ 循环，可得余 $1$；对 $25$，乘数中含 $5,15,25,\cdots$，积能被 $25$ 整除余 $0$；再在 $100$ 以内找同时满足的数。
方法概述：拆 $100=4\times25$ → 分别求余 → 在 $100$ 内合并。
规范步骤：
  1. 求除以 $4$ 的余数：$1\times3$ 一组共 $502$ 组，$3$ 的连乘除以 $4$ 按 $3,1$ 循环，$502$ 是偶数，余 $1$（连乘的余数周期）
  2. 求除以 $25$ 的余数：乘数中有 $5$ 和 $25$ 等，积是 $25$ 的倍数，余 $0$（整除判断）
  3. 在 $100$ 内合并：除以 $25$ 余 $0$ 的有 $0,25,50,75$，其中除以 $4$ 余 $1$ 的是 $25$（中国剩余定理（mod 4 与 mod 25））
  4. 作答：末两位是 $25$（末两位 = 除以100的余数）
第一套
题目：算式 $1\times3\times5\times7\times\cdots\times2011$ 计算结果的末两位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数一数有几个乘数）：从 $1$ 到 $2011$ 的奇数共 $(2011+1)\div2=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（求除以 4 的余数）：奇数除以 $4$ 的余数按 $1,3$ 交替，$1006$ 个乘数正好配成 $1006\div2=\underline{\quad}$ 对，每对乘积除以 $4$ 余 $3$；$3$ 的连乘除以 $4$ 按 $3,1$ 循环，$503$ 是奇数，所以余 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求除以 25 的余数）：乘数里有 $5,15,25,\cdots$，积是 $25$ 的倍数，余 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（在 100 以内合并）：除以 $25$ 余 $0$ 的数是 $0,25,50,75$，其中除以 $4$ 余 $3$ 的是 $\underline{\quad}$（$75-4\times18=\underline{\quad}$）。
第二套
题目：某密码由算式 $1\times3\times5\times\cdots\times2011$ 的末两位数字组成。这个密码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数乘数个数）：奇数共 $(2011+1)\div2=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（除以 4）：配成 $1006\div2=\underline{\quad}$ 对，每对余 $3$；$3$ 的连乘按 $3,1$ 循环，$503$ 为奇数，余 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（除以 25）：积含因数 $25$，余 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（合并）：$0,25,50,75$ 中除以 $4$ 余 $3$ 的是 $\underline{\quad}$（验算 $75-4\times18=\underline{\quad}$）。
第三套
题目：算式 $1\times3\times5\times\cdots\times3009$ 计算结果的末两位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数乘数个数）：奇数共 $(3009+1)\div2=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（除以 4）：前 $1504$ 个配成 $1504\div2=\underline{\quad}$ 对，每对余 $3$，$752$ 是偶数所以这部分余 $1$；最后一个乘数 $3009$ 除以 $4$ 余 $3009-4\times752=\underline{\quad}$，所以总积除以 $4$ 余 $1\times1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（除以 25）：积含 $25$ 这个因数，余 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（合并）：$0,25,50,75$ 中除以 $4$ 余 $1$ 的是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $1\times3\times5\times\cdots\times2011$ 的末两位数字是多少？它除以 $4$ 的余数和它的个位数字分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求除以 4 的余数）：$1006$ 个乘数配成 $503$ 对，每对余 $3$，$3$ 的连乘按 $3,1$ 循环，$503$ 为奇数，余 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求除以 25 的余数）：积含因数 $25$，余 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并求末两位）：$0,25,50,75$ 中除以 $4$ 余 $3$ 的是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（读出个位）：末两位是 $75$，所以个位数字是 $75-70=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch16-chaoyue-04】有 $5000$ 多根牙签，按以下 $6$ 种规格分成小包：如果 $10$ 根一包，最后还剩 $9$ 根；如果 $9$ 根一包，最后还剩 $8$ 根；如果依次以 $8,7,6,5$ 根为一包，最后分别剩 $7,6,5,4$ 根。原来一共有牙签多少根？
详细思路
是哪类问题：这是「余数都比除数小 $1$ → 加 $1$ 化为公倍数」类。
关键切入点：$9,8,7,6,5,4$ 分别比 $10,9,8,7,6,5$ 小 $1$，说明牙签数加 $1$ 后能同时被 $5\sim10$ 整除，即是它们最小公倍数 $2520$ 的倍数；再用「$5000$ 多」定解。
方法概述：看出「都差 $1$」→ 加 $1$ 求最小公倍数 → 用范围定解。
规范步骤：
  1. 看出都差 $1$：$10-9=1$，$9-8=1$，……，$5-4=1$（余数都比除数小 1（补 1 整除））
  2. 加 $1$ 后是公倍数：牙签数 $+1$ 能被 $5,6,7,8,9,10$ 整除（最小公倍数）
  3. 求最小公倍数：$[5,6,7,8,9,10]=2520$（最小公倍数）
  4. 用范围定解：$2520\times2-1=5039$ 是 $5000$ 多（范围确定解）
  5. 验算：$5039=10\times503+9$（带余除法）
第一套
题目：有 $7000$ 多根吸管，按以下 $6$ 种规格分包：$9$ 根一包剩 $8$ 根，$8$ 根一包剩 $7$ 根，依次以 $7,6,5,4$ 根一包时分别剩 $6,5,4,3$ 根。一共有多少根吸管？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看出都差几）：$9-8=\underline{\quad}$，$8-7=1$，……，$4-3=1$，都差 $1$。
  2. 第 2 步（加 1 化为公倍数）：吸管数 $+1$ 能同时被 $4,5,6,7,8,9$ 整除。
  3. 第 3 步（求最小公倍数）：$[4,5,6,7,8,9]=8\times9\times5\times7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列出候选）：$2520-1=2519$，$2520\times2-1=\underline{\quad}$，$2520\times3-1=\underline{\quad}$，$2520\times4-1=10079$。
  5. 第 5 步（用范围定解）：$7000$ 多的是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：合唱队有 $7000$ 多张卡片。$9$ 张一叠剩 $8$ 张，$8$ 张一叠剩 $7$ 张，依次以 $7,6,5,4$ 张一叠时分别剩 $6,5,4,3$ 张。一共有多少张卡片？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（都差几）：$9-8=\underline{\quad}$，每种规格都差 $1$。
  2. 第 2 步（加 1 化为公倍数）：卡片数 $+1$ 能被 $4\sim9$ 全部整除。
  3. 第 3 步（求最小公倍数）：$[4,5,6,7,8,9]=8\times9\times5\times7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列候选）：$2519$，$2520\times2-1=\underline{\quad}$，$2520\times3-1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（用范围定解）：$\underline{\quad}$ 张。
第三套
题目：有 $2$ 万多颗珠子，$11$ 颗一串剩 $10$ 颗，$10$ 颗一串剩 $9$ 颗，依次以 $9,8,7,6$ 颗一串时分别剩 $8,7,6,5$ 颗。一共有多少颗珠子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看出都差 1）：$11-10=\underline{\quad}$，每种都差 $1$。
  2. 第 2 步（求最小公倍数）：$[6,7,8,9,10,11]=8\times9\times5\times7\times11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（减 1 得候选）：$27720-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用范围核对）：$27719$ 正好是 $2$ 万多，下一个 $27720\times2-1=\underline{\quad}$ 已是 $5$ 万多，超出范围。
第三套
题目：某数按 $4,5,6,7,8,9$ 分组时，分别剩 $3,4,5,6,7,8$。求满足条件的最小五位数，并求它除以 $11$ 的余数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（加 1 化为公倍数）：这个数 $+1$ 是 $[4,5,6,7,8,9]=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步（列出候选）：$2519,\;5039,\;7559,\;2520\times4-1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取最小五位数）：前三个都是四位数，所以最小五位数是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求它除以 11 的余数）：$10079-11\times916=\underline{\quad}$。
5. 【原题 ch16-chaoyue-05】有三个连续的自然数，它们从小到大依次是 $5,7,9$ 的倍数。这三个连续自然数最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「连续自然数分别是几个数的倍数 → 同余条件合并」类。
关键切入点：设中间数为 $n$：$n-1$ 是 $5$ 的倍数即 $n$ 除以 $5$ 余 $1$；$n$ 是 $7$ 的倍数；$n+1$ 是 $9$ 的倍数即 $n$ 除以 $9$ 余 $8$。把三个条件逐步合并即可。
方法概述：设中间数 → 化成三个同余条件 → 逐步合并 → 取最小。
规范步骤：
  1. 设中间数并化条件：$n\div5$ 余 $1$；$7\mid n$；$n\div9$ 余 $8$（同余条件合并）
  2. 先合并「除以 $9$ 余 $8$」与「$7$ 的倍数」：$8,17,26,35$ 中 $35$ 是 $7$ 的倍数，公差变为 $63$（最小公倍数）
  3. 再筛「除以 $5$ 余 $1$」：$35,98,161$ 中 $161$ 除以 $5$ 余 $1$（逐步合并）
  4. 写出三个数：$160,161,162$（连续自然数与倍数关系）
第一套
题目：有三个连续的自然数，它们从小到大依次是 $9,11,13$ 的倍数。这三个连续自然数中最小的是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设中间数并化条件）：设中间数为 $n$，则 $n$ 是 $11$ 的倍数，$n-1$ 是 $9$ 的倍数，$n+1$ 是 $13$ 的倍数。
  2. 第 2 步（先合并前两条）：$11$ 的倍数里，第一个比 $9$ 的倍数大 $1$ 的是 $55$（$55-1=54=9\times\underline{\quad}$），此后公差是 $9\times11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列出这串数）：$55,\;55+99=\underline{\quad},\;253,\;352,\;451,\;550,\;649,\cdots$。
  4. 第 4 步（再筛第三条）：$649+1=\underline{\quad}$，$650\div13=\underline{\quad}$ 是整数，符合。
  5. 第 5 步（写出最小的数）：三个数是 $648,649,650$，最小的是 $649-1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：三筐苹果的个数是三个连续自然数，从少到多依次是 $9$、$11$、$13$ 的倍数。最少的一筐有多少个苹果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设中间筐为 $n$）：$n$ 是 $11$ 的倍数，$n-1$ 是 $9$ 的倍数，$n+1$ 是 $13$ 的倍数。
  2. 第 2 步（合并前两条）：第一个符合的是 $55$（$55-1=54=9\times\underline{\quad}$），公差 $9\times11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列数）：$55,\;55+99=\underline{\quad},\;253,\cdots,\;649$。
  4. 第 4 步（筛第三条）：$649+1=\underline{\quad}$，$650\div13=\underline{\quad}$，符合。
  5. 第 5 步（作答）：最少的一筐是 $649-1=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：有三个连续的自然数，从小到大依次是 $7,11,13$ 的倍数。这三个数中最小的是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设中间数）：$n$ 是 $11$ 的倍数，$n-1$ 是 $7$ 的倍数，$n+1$ 是 $13$ 的倍数。
  2. 第 2 步（合并前两条）：$11$ 的倍数中第一个比 $7$ 的倍数大 $1$ 的是 $99$（$99-1=98=7\times\underline{\quad}$），公差 $7\times11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列出这串数）：$99,\;99+77=\underline{\quad},\;253,\;330,\cdots,\;792$。
  4. 第 4 步（筛第三条）：$792+1=\underline{\quad}$，$793\div13=\underline{\quad}$ 是整数，符合。
  5. 第 5 步（作答）：三个数是 $791,792,793$，最小的是 $792-1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有四个连续的自然数，从小到大依次是 $5,7,9,11$ 的倍数。这四个数中最小的是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设最小数为 $m$）：$m$ 是 $5$ 的倍数，$m+1$ 是 $7$ 的倍数，$m+2$ 是 $9$ 的倍数，$m+3$ 是 $11$ 的倍数。
  2. 第 2 步（先合并前两条）：$5$ 的倍数中第一个比 $7$ 的倍数小 $1$ 的是 $20$（$20+1=21=7\times\underline{\quad}$），公差 $5\times7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再筛第三条）：$20,55,90,125,160,\cdots$ 中，$160+2=162$，$162\div9=\underline{\quad}$ 是整数，符合；此后公差变成 $5\times7\times9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（再筛第四条）：$160,\;160+315=475,\;790,\;1105,\;1420,\;160+315\times5=\underline{\quad}$，其中 $1735+3=1738$，$1738\div11=\underline{\quad}$ 是整数。
  5. 第 5 步（作答）：四个数是 $1735,1736,1737,1738$，最小的是 $\underline{\quad}$。
6. 【原题 ch16-chaoyue-06】请找出所有的三位数，使它除以 $7,11,13$ 的余数之和尽可能大。
详细思路
是哪类问题：这是「余数之和的最大值估计 + 物不知数 + 分类讨论」类。
关键切入点：余数最大只能是 $6,10,12$，和最大 $28$，此时数是 $7\times11\times13-1=1000$，不是三位数；退而求 $27$，有三种拆分方式，对每种解一次物不知数，再挑出三位数。
方法概述：估计上界 → 逐级下降 → 分类讨论 → 每类解同余 → 按三位数筛。
规范步骤：
  1. 估计上界：$6+10+12=28$，此时数是 $7\times11\times13-1=1000$，不是三位数（余数最大值的估计）
  2. 退一步取 $27$，分三类：$(5,10,12)$、$(6,9,12)$、$(6,10,11)$（分类讨论）
  3. 第一类：除以 $11$ 余 $10$、除以 $13$ 余 $12$ 的数为 $142,285,428,\cdots$，其中 $285$ 除以 $7$ 余 $5$（物不知数）
  4. 第二类：除以 $7$ 余 $6$、除以 $13$ 余 $12$ 的数为 $90,181,\cdots,636$，其中 $636$ 除以 $11$ 余 $9$（物不知数）
  5. 第三类：$76$ 符合但不是三位数，下一个 $76+1001$ 超出三位数（范围筛选）
  6. 作答：$285$ 与 $636$，余数和都是 $27$
7. 【原题 ch16-chaoyue-07】已知 $21!=\overline{AB0909421717094CD000}$，那么四位数 $\overline{ABCD}$ 是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「阶乘的末尾零个数 + 末位数字 + 被 $99$ 整除特征」的综合数字谜。
关键切入点：$21!$ 中因数 $5$ 有 $4$ 个（$5,10,15,20$）而 $2$ 足够多，故末尾恰有 $4$ 个 $0$，$D=0$；去掉 $2^4\times5^4$ 后求末位得 $C=4$；最后用 $99\mid21!$ 与两位分段和特征定出 $\overline{AB}$。
方法概述：数因数 5 定零个数 → 去掉 $10$ 的因子求末位 → 用被 $99$ 整除定前两位。
规范步骤：
  1. 末尾零的个数：$21\div5=4$，故末尾 $4$ 个 $0$，$D=0$（阶乘末尾零的个数）
  2. 求 $C$：$\dfrac{21!}{16\times5^4}$ 的末位由 $4\times4\times4\times4\times4$ 决定，末位是 $4$，故 $C=4$（末位数字（去除因子 2、5））
  3. 用被 $99$ 整除：两位分段和 $\overline{AB}+09+09+42+17+17+09+44+00=\overline{AB}+147$ 是 $99$ 的倍数（被99整除的两位分段和特征）
  4. 解出 $\overline{AB}$：$198-147=51$，故 $\overline{AB}=51$（整除条件求解）
  5. 作答：$\overline{ABCD}=5140$
8. 【原题 ch16-chaoyue-08】有一些自然数 $n$，满足：$2^n-n$ 是 $3$ 的倍数，$3^n-n$ 是 $5$ 的倍数，$5^n-n$ 是 $2$ 的倍数。请问：这样的 $n$ 中最小的是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「多个幂的余数周期与 $n$ 自身周期的公共周期合并」类。
关键切入点：$2^n$ 除以 $3$ 的余数周期为 $2$，$n$ 除以 $3$ 的余数周期为 $3$，公共周期 $6$，比较可知 $n$ 除以 $6$ 余 $4$ 或 $5$；同理 $3^n-n$ 是 $5$ 的倍数要求 $n$ 除以 $20$ 余 $7,13,14,16$；$5^n-n$ 是 $2$ 的倍数要求 $n$ 是奇数。三者合并取最小。
方法概述：各条件化成对某个模的余数集合 → 用奇偶性缩小 → 合并求最小。
规范步骤：
  1. 条件一：$2^n$ 除以 $3$ 余 $2,1$ 交替，$n$ 除以 $3$ 余 $1,2,0$；公共周期 $6$，得 $n$ 除以 $6$ 余 $4$ 或 $5$（幂的余数的周期性）
  2. 条件二：$3^n$ 除以 $5$ 周期 $4$、$n$ 除以 $5$ 周期 $5$，公共周期 $20$，得 $n$ 除以 $20$ 余 $7,13,14,16$（同余条件合并）
  3. 条件三：$5^n$ 是奇数，故 $n$ 必须是奇数（奇偶性分析）
  4. 合并：取奇数：$n$ 除以 $6$ 余 $5$，除以 $20$ 余 $7$ 或 $13$（同余条件合并）
  5. 求最小：$n=47$：$47-6\times7=5$，$47-20\times2=7$，且是奇数（求最小解）
9. 【原题 ch16-tuozhan-01】$1111$ 除以一个两位数，余数是 $66$。求这个两位数。
详细思路
是哪类问题：这是「由余数反推两位数除数」类：除数是（被除数−余数）的约数，还要同时满足两位数、且大于余数。
关键切入点：$1111-66=1045$ 必被除数整除，所以先把 $1045$ 分解质因数得到全部约数，再用「两位数」「大于余数 $66$」两道闸门筛，只剩一个。
方法概述：减余数 → 分解质因数 → 双条件筛选。
规范步骤：
  1. 减去余数：$1111-66=1045$（带余除法）
  2. 分解质因数：$1045=5\times11\times19$（约数分解）
  3. 列两位数约数：$11,19,55,95$（约数枚举）
  4. 用大于余数 $66$ 筛：只有 $95>66$（除数>余数）
  5. 验算：$1045\div95=11$，$95\times11+66=1111$（带余除法）
第一套
题目：$2222$ 除以一个两位数，余数是 $88$。求这个两位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减余数）：$2222-88=\underline{\quad}$，这个数能被除数整除。
  2. 第 2 步（分解质因数）：$2134=2\times11\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列两位数约数）：$11,22,\underline{\quad}$（$2\times11=22$，$97$ 本身是质数）。
  4. 第 4 步（用大于余数 88 筛）：$11,22$ 都不够大，只有 $\underline{\quad}$ 比 $88$ 大。
  5. 第 5 步（验算）：$2134\div97=\underline{\quad}$，$97\times22+88=\underline{\quad}$。
第二套
题目：仓库有 $2222$ 个乒乓球，装进若干个同样规格的盒子（每盒的个数是个两位数），装满后还剩 $88$ 个。每盒装多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减余数）：能整装的球是 $2222-88=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（分解质因数）：$2134=2\times11\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列两位数约数）：$11,22,\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（筛选）：剩了 $88$ 个，说明每盒要比 $88$ 多，只有 $\underline{\quad}$ 合适。
  5. 第 5 步（验算）：$2134\div97=\underline{\quad}$（盒），$97\times22+88=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：$3333$ 除以一个两位数，余数是 $77$。求这个两位数和商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减余数）：$3333-77=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分解质因数）：$3256=2\times2\times2\times11\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列两位数约数）：$11,22,37,44,74,\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用大于 77 筛）：前面几个都不够大，只有 $\underline{\quad}$ 比 $77$ 大。
  5. 第 5 步（求商并验算）：$3256\div88=\underline{\quad}$，$88\times37+77=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$4444$ 除以一个两位数，余数是 $55$，且除数比商大。求这个两位数和商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减余数）：$4444-55=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分解质因数）：$4389=3\times7\times11\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列大于 55 的两位数约数）：$3\times19=57$，$7\times11=\underline{\quad}$，两个候选都比 $55$ 大。
  4. 第 4 步（求各自的商）：$4389\div57=\underline{\quad}$，$4389\div77=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（用「除数比商大」定夺）：$57<77$ 不合，$77>57$ 合，所以除数是 $\underline{\quad}$，商是 $57$。
  6. 第 6 步（验算）：$77\times57+55=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch16-tuozhan-02】（1）$\underbrace{421421\cdots421}_{21\text{个}421}$ 除以 $4$ 和 $125$ 的余数分别为多少？（2）$\underbrace{808808\cdots808}_{21\text{个}808}$ 除以 $9$ 和 $11$ 的余数分别为多少？
详细思路
是哪类问题：这是「循环数串用整除特征求余数」类：把重复写成的大数按除数选择「看末几位」或「看数字和 / 奇偶位差」。
关键切入点：重复 $21$ 次的数虽然很长，但除以 $4$ 只看末两位、除以 $125$ 只看末三位；除以 $9$ 看全部数字之和，除以 $11$ 看奇偶位数字和之差——这两者可以按「块」整批统计。
方法概述：按除数选特征 → 末几位直接算 / 数字和按块累计。
规范步骤：
  1. 除以 $4$ 看末两位：末两位是 $21$，$21-4\times5=1$（被4整除看末两位）
  2. 除以 $125$ 看末三位：末三位是 $421$，$421-125\times3=46$（被125整除看末三位）
  3. 除以 $9$ 看数字和：$(8+0+8)\times21=336$，$336-9\times37=3$（被9整除看数字和）
  4. 除以 $11$ 看奇偶位差：奇数位和 $(8+8)\times11=176$，偶数位和 $(8+8)\times10=160$，差 $16$，$16-11=5$（被11整除看奇偶位差）
  5. 写出答案：$（1）1,\;46；（2）3,\;5$
第一套
题目：$\underbrace{637637\cdots637}_{31\text{个}637}$ 除以 $4$ 和 $125$ 的余数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除以 4 只看末两位）：末两位是 $37$，$37-4\times9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（除以 125 只看末三位）：末三位是 $637$，$637-125\times\underline{\quad}=12$。
  3. 第 3 步（写出两个余数）：除以 $4$ 余 $\underline{\quad}$，除以 $125$ 余 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：一条长长的编号带上把 $637$ 连续重复写了 $31$ 遍，组成一个大数。这个大数除以 $4$ 和 $125$ 的余数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除以 4）：只看末两位 $37$，$37-4\times9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（除以 125）：只看末三位 $637$，$637-125\times5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（作答）：除以 $4$ 余 $\underline{\quad}$，除以 $125$ 余 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：$\underbrace{606606\cdots606}_{31\text{个}606}$ 除以 $9$ 和 $11$ 的余数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除以 9 看数字和）：每块数字和是 $6+0+6=\underline{\quad}$，共 $31$ 块，总和 $12\times31=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（数字和取余）：$372-9\times41=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（除以 11 看奇偶位差，先找抵消的整块）：每 $2$ 块合成 $606606$ 共 $6$ 位，其中奇数位数字和与偶数位数字和都是 $6+6+0=\underline{\quad}$，差为 $0$，对余数没有影响；$31$ 块中有 $15$ 对，剩下 $31-30=\underline{\quad}$ 块。
  4. 第 4 步（只看剩下的一块 $606$）：它的三位分别处在奇、偶、奇位上，奇数位和 $6+6=\underline{\quad}$，偶数位和是 $0$，差 $12-0=\underline{\quad}$，再减 $11$ 得 $12-11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$\underbrace{606606\cdots606}_{31\text{个}606}$ 除以 $99$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找整除的整块）：$99=9\times11$。每 $2$ 块 $606606$ 的数字和是 $12\times2=\underline{\quad}$（是 $9$ 的倍数），且位数为 $6$（奇偶位和相等，差为 $0$，是 $11$ 的倍数），所以每 $2$ 块组成的 $606606$ 能被 $99$ 整除。
  2. 第 2 步（拆出整除部分）：$31$ 块里，前 $30$ 块正好是 $15$ 个 $606606$，都能被 $99$ 整除，$31-30=\underline{\quad}$ 块剩下。
  3. 第 3 步（只看剩下的一块）：剩下的是 $606$，$606-99\times6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作答）：所以余数是 $\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch16-tuozhan-03】一年有 $365$ 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 $1234$ 个。年终将这些零件按 $19$ 个一包的规格打包，最后一包不够 $19$ 个。请问：最后一包有多少个零件？
详细思路
是哪类问题：这是「乘积的余数」应用题：全年产量是两数之积，最后一包的个数就是积除以包装规格的余数。
关键切入点：$1234\times365$ 无需算出，按可乘性把两个因数分别对 $19$ 取余得 $18$ 与 $4$，再求 $18\times4=72$ 除以 $19$ 的余数。
方法概述：两因数各取余 → 小积再取余。
规范步骤：
  1. 日产量取余：$1234=19\times64+18$（余数的可乘性）
  2. 天数取余：$365=19\times19+4$（余数的可乘性）
  3. 算小积：$18\times4=72$（乘积的余数）
  4. 小积取余：$72-19\times3=15$（带余除法）
  5. 写出答案：$最后一包有 15 个$
第一套
题目：一年有 $366$ 天，某厂每天生产零件 $2345$ 个。年终按 $23$ 个一包打包，最后一包不够 $23$ 个。最后一包有多少个零件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（日产量取余）：$2345-23\times101=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（天数取余）：$366-23\times15=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算小积）：$22\times21=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（小积再取余）：$462-23\times20=\underline{\quad}$。
第二套
题目：养鸡场一年 $366$ 天每天收鸡蛋 $2345$ 个。年终把全部鸡蛋按 $23$ 个装一盘，最后一盘装不满。最后一盘有多少个鸡蛋？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（日产量取余）：$2345-23\times101=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（天数取余）：$366-23\times15=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算小积）：$22\times21=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（再取余）：$462-23\times20=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：某车间有 $2$ 条生产线，一年 $366$ 天每条线每天生产零件 $1357$ 个。年终按 $21$ 个一包打包，最后一包有多少个零件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各因数取余）：$1357-21\times64=\underline{\quad}$，$366-21\times17=\underline{\quad}$，$2$ 除以 $21$ 余 $2$。
  2. 第 2 步（算小积）：$13\times9\times2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（小积再取余）：$234-21\times11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一年 $366$ 天，某厂每天生产零件 $2345$ 个，年底又从库房调来 $100$ 个。全部零件按 $23$ 个一包打包，最后一包有多少个零件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乘积部分取余）：$2345$ 余 $22$，$366$ 余 $21$，$22\times21=462$，$462-23\times20=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（零头部分取余）：$100-23\times4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用可加性合并）：$2+8=\underline{\quad}$，比 $23$ 小，就是余数。
12. 【原题 ch16-tuozhan-04】自然数 $\underbrace{2\times2\times2\times\cdots\times2}_{67\text{个}2}-1$ 的个位数字是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「个位数字周期」类：一个数连乘时个位数字按固定周期循环。
关键切入点：只关心个位，所以每步只看上一步个位与 $2$ 相乘的个位：$2,4,8,6$ 之后又回到 $2$，周期是 $4$。$67$ 除以 $4$ 余 $3$，故与第 $3$ 个（个位 $8$）相同，再减 $1$。
方法概述：列个位周期 → 指数对周期长取余 → 对号入座 → 处理减 $1$。
规范步骤：
  1. 列个位周期：$2,4,8,6,2,\cdots$，周期长 $4$（个位数字的周期）
  2. 指数取余：$67=4\times16+3$（幂的末位规律）
  3. 对号入座：与第 $3$ 个相同，个位是 $8$（个位数字的周期）
  4. 再减 $1$：$8-1=7$（个位运算）
第一套
题目：自然数 $\underbrace{3\times3\times\cdots\times3}_{89\text{个}3}-1$ 的个位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列个位周期）：$3,9,27,81,243,\cdots$ 的个位是 $3,9,7,1,3,\cdots$，周期长 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（指数取余）：$89-4\times22=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对号入座）：与第 $1$ 个相同，个位是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（再减 1）：$3-1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一种细菌每小时数量变为原来的 $3$ 倍，初始为 $1$ 个，$89$ 小时后死掉 $1$ 个。此时细菌个数的个位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列个位周期）：$3$ 连乘的个位依次是 $3,9,7,1$ 循环，周期长 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（小时数取余）：$89-4\times22=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对号入座）：$89$ 小时后个数的个位是第 $1$ 个，即 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（死掉 1 个）：$3-1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：自然数 $\underbrace{7\times7\times\cdots\times7}_{102\text{个}7}+1$ 的个位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列个位周期）：$7,49,343,2401,\cdots$ 的个位是 $7,9,3,1$ 循环，周期长 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（指数取余）：$102-4\times25=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对号入座）：与第 $2$ 个相同，个位是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（再加 1，注意进位后只看个位）：$9+1=10$，个位是 $10-10=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$\underbrace{8\times8\times\cdots\times8}_{95\text{个}8}+\underbrace{3\times3\times\cdots\times3}_{89\text{个}3}$ 的个位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一个幂）：$8$ 连乘的个位是 $8,4,2,6$ 循环，周期 $4$；$95-4\times23=\underline{\quad}$，与第 $3$ 个相同，个位是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二个幂）：$3$ 连乘的个位是 $3,9,7,1$ 循环，周期 $4$；$89-4\times22=\underline{\quad}$，与第 $1$ 个相同，个位是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相加只看个位）：$2+3=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch16-tuozhan-05】算式 $1^{2007}+2^{2007}+3^{2007}+\cdots+2006^{2007}$ 计算结果的个位数字是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「个位数字周期 + 分组求和」类：求一长串幂之和的个位数字。
关键切入点：每个底数的 $2007$ 次方个位只与底数个位有关，且按周期循环；$1\sim10$ 的 $2007$ 次方个位之和是 $45$（个位 $5$），而 $1\sim2006$ 恰好是 $200$ 组 $1\sim10$ 再加 $2001\sim2006$。
方法概述：逐个底数求周期定个位 → 按每 $10$ 个分组求和 → 处理余下的 $6$ 项。
规范步骤：
  1. 求 $2\sim9$ 各自的 $2007$ 次方个位：$2\to8,\;3\to7,\;4\to4,\;7\to3,\;8\to2,\;9\to9$（$1,5,6,10$ 分别为 $1,5,6,0$）（个位数字的周期）
  2. 一组 $1\sim10$ 的个位和：$1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45$，个位为 $5$（按个位分组求和）
  3. 共有 $200$ 组：$2006=10\times200+6$（分组）
  4. 余下 $2001\sim2006$：个位为 $1,8,7,4,5,6$，和 $1+8+7+4+5+6=31$，个位 $1$（和的个位数字）
  5. 合并：$5\times200+1=1001$，个位是 $1$（和的个位数字）
14. 【原题 ch16-tuozhan-06】$8+8\times8+\cdots+\underbrace{8\times8\times\cdots\times8}_{10\text{个}8}$ 除以 $5$ 的余数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「幂之和的余数」类：先把底数换小，再利用余数的周期，把整周期整批消去。
关键切入点：$8$ 除以 $5$ 余 $3$，问题等价于求 $3+3^2+\cdots+3^{10}$ 的余数。$3$ 的幂除以 $5$ 的余数按 $3,4,2,1$ 循环，一整周期之和 $3+4+2+1=10$ 恰是 $5$ 的倍数，可整批消去，只剩不满一周期的部分。
方法概述：换小底数 → 列余数周期 → 整周期消去 → 只算零头。
规范步骤：
  1. 换小底数：$8-5=3$，原式与 $3+3^2+\cdots+3^{10}$ 同余（底数换为同余的较小数）
  2. 列余数周期：$3,4,2,1$ 循环，周期长 $4$（幂的余数的周期性）
  3. 整周期消去：$3+4+2+1=10$ 是 $5$ 的倍数；$10=4\times2+2$，两整周期消去（整周期相消）
  4. 只算零头：剩下 $3+4=7$，$7-5=2$（余数的可加性）
第一套
题目：$12+12\times12+\cdots+\underbrace{12\times12\times\cdots\times12}_{11\text{个}12}$ 除以 $5$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（换小底数）：$12-5\times2=\underline{\quad}$，原式与 $2+2^2+\cdots+2^{11}$ 除以 $5$ 同余。
  2. 第 2 步（列余数周期）：$2$ 的各次方除以 $5$ 的余数依次是 $2,4,3,1$，周期长 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整周期消去）：一个周期之和 $2+4+3+1=\underline{\quad}$，是 $5$ 的倍数可整批去掉；$11-4\times2=\underline{\quad}$，说明有 $2$ 个整周期，还剩 $3$ 项。
  4. 第 4 步（只算零头）：剩下的是周期里的前 $3$ 个，$2+4+3=\underline{\quad}$，$9-5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某游戏第 $1$ 关得 $12$ 分，以后每关得分都是上一关的 $12$ 倍，共 $11$ 关。把总分按 $5$ 分一张券兑换，最后剩多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（换小底数）：$12-5\times2=\underline{\quad}$，总分与 $2+2^2+\cdots+2^{11}$ 除以 $5$ 同余。
  2. 第 2 步（列周期）：余数依次 $2,4,3,1$ 循环，周期长 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整周期消去）：$2+4+3+1=\underline{\quad}$ 是 $5$ 的倍数；$11-4\times2=\underline{\quad}$ 项是零头。
  4. 第 4 步（算零头）：$2+4+3=\underline{\quad}$，$9-5=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：$6+6\times6+\cdots+\underbrace{6\times6\times\cdots\times6}_{11\text{个}6}$ 除以 $7$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列余数周期）：$6$ 的各次方除以 $7$ 的余数是 $6,1,6,1,\cdots$，周期长 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（整周期消去）：一个周期之和 $6+1=\underline{\quad}$ 恰是 $7$ 的倍数；$11-2\times5=\underline{\quad}$，说明有 $5$ 个整周期，还剩 $1$ 项。
  3. 第 3 步（只算零头）：剩下的是周期里的第 $1$ 个，余数是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：$12+12\times12+\cdots+\underbrace{12\times12\times\cdots\times12}_{11\text{个}12}$ 除以 $5$ 的余数是多少？这个和的个位数字又是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求除以 5 的余数）：换小底数后周期是 $2,4,3,1$，$11-4\times2=\underline{\quad}$ 项零头，$2+4+3=9$，$9-5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（改看个位周期）：$12$ 连乘的个位是 $2,4,8,6$ 循环，周期长 $4$，一个周期个位之和 $2+4+8+6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整周期部分）：$2$ 个整周期贡献 $20\times2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（零头部分）：剩下 $3$ 项的个位是 $2,4,8$，和为 $2+4+8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求总和的个位）：$40+14=\underline{\quad}$，个位数字是 $54-50=\underline{\quad}$。
15. 【原题 ch16-tuozhan-07】一个自然数除以 $49$ 余 $23$，除以 $48$ 也余 $23$，这个自然数被 $14$ 除的余数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「余数相同 → 公倍数」再「换一个除数求余」类。
关键切入点：这个数减 $23$ 后是 $49$ 与 $48$ 的公倍数，而 $49\times48$ 恰好是 $14$ 的倍数（$49\times48=14\times168$），所以加上任意个这样的公倍数都不改变除以 $14$ 的余数，只需看 $23$ 除以 $14$。
方法概述：减余数得公倍数 → 判断公倍数被新除数整除 → 余数只由 $23$ 决定。
规范步骤：
  1. 减去公共余数：这个数 $-23$ 是 $49$ 与 $48$ 的公倍数（余数相同转化为公倍数）
  2. 写出所有可能：$23,\;23+49\times48,\;23+49\times48\times2,\cdots$（最小公倍数）
  3. 判断整除关系：$49\times48=2352=14\times168$，是 $14$ 的倍数（公倍数与第三个除数的整除关系）
  4. 余数只看 $23$：$23-14=9$（余数的可加性）
第一套
题目：一个自然数除以 $81$ 余 $35$，除以 $80$ 也余 $35$，这个自然数被 $27$ 除的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减公共余数）：这个数 $-35$ 同时是 $81$ 和 $80$ 的倍数，即是 $81\times80=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步（判断整除关系）：$6480\div27=\underline{\quad}$ 是整数，说明每加一个这样的公倍数，除以 $27$ 的余数都不变。
  3. 第 3 步（余数只看 35）：$35-27=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一批螺丝，每 $81$ 个装一箱剩 $35$ 个，每 $80$ 个装一箱也剩 $35$ 个。若改为每 $27$ 个装一盒，最后剩多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减公共余数）：螺丝数 $-35$ 同时被 $81$、$80$ 整除，是 $81\times80=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步（判断整除关系）：$6480\div27=\underline{\quad}$ 是整数，所以这部分按 $27$ 个装能装完、不影响剩余。
  3. 第 3 步（只看剩下的 35）：$35-27=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：一个自然数除以 $99$ 余 $40$，除以 $98$ 也余 $40$，这个自然数被 $33$ 除的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减公共余数）：这个数 $-40$ 是 $99\times98=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步（判断整除关系）：$99\div33=\underline{\quad}$，所以 $9702$ 也是 $33$ 的倍数，加多少个都不影响余数。
  3. 第 3 步（余数只看 40）：$40-33=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个自然数除以 $81$ 余 $35$，除以 $80$ 也余 $35$。求满足条件的最小四位数，并求它被 $27$ 除的余数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求公倍数）：这个数 $-35$ 是 $81\times80=\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步（列出所有可能）：$35,\;6480+35=\underline{\quad},\;12995,\cdots$。
  3. 第 3 步（取最小四位数）：$35$ 是两位数，所以最小的四位数是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求它被 27 除的余数）：$6515-27\times241=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch16-tuozhan-08】一个自然数除以 $19$ 余 $9$，除以 $23$ 余 $7$。这个自然数最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「物不知数：两个余数条件求最小自然数」类。
关键切入点：从条件较强（除数较大）的一串数出发逐个筛：除以 $23$ 余 $7$ 的数每次加 $23$，在其中找第一个除以 $19$ 余 $9$ 的即可，避免盲目试所有数。
方法概述：列出一串同余数 → 逐个用第二个条件筛 → 得最小解。
规范步骤：
  1. 列除以 $23$ 余 $7$ 的数：$7,30,53,76,99,122,145,168,191,214,237,\cdots$（逐个枚举筛选）
  2. 逐个检验除以 $19$ 的余数：前面都不合，$237=19\times12+9$（物不知数）
  3. 验算另一条件：$237=23\times10+7$（带余除法）
  4. 写出答案：$最小是 237$
第一套
题目：一个自然数除以 $23$ 余 $11$，除以 $29$ 余 $13$。这个自然数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（从大除数出发列数）：除以 $29$ 余 $13$ 的数是 $13,42,71,100,\cdots$，每次加 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写成一般形式）：这些数是 $13+29\times n$。当 $n=15$ 时，$13+29\times15=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（检验第二个条件）：$448-23\times19=\underline{\quad}$，正好余 $11$，符合。
  4. 第 4 步（说明更小的都不行并作答）：前面 $15$ 个数都不满足，所以最小是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：一堆积木，每 $23$ 块搭一座塔最后剩 $11$ 块，每 $29$ 块搭一座桥最后剩 $13$ 块。这堆积木最少有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（从大除数出发）：每 $29$ 块剩 $13$ 块，块数是 $13,42,71,\cdots$，每次加 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写成一般形式）：块数为 $13+29\times n$，取 $n=15$ 得 $13+29\times15=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（检验另一条件）：$448-23\times19=\underline{\quad}$，正好剩 $11$ 块。
  4. 第 4 步（作答）：最少是 $\underline{\quad}$ 块。
第三套
题目：一个自然数除以 $25$ 余 $13$，除以 $31$ 余 $17$。这个自然数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（从大除数出发）：除以 $31$ 余 $17$ 的数是 $17,48,79,110,\cdots$，每次加 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写成一般形式）：$17+31\times n$，取 $n=16$ 得 $17+31\times16=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（检验第二个条件）：$513-25\times20=\underline{\quad}$，正好余 $13$。
  4. 第 4 步（作答）：最小是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个自然数除以 $23$ 余 $11$，除以 $29$ 余 $13$，除以 $7$ 余 $3$。这个自然数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先合并前两个条件）：由上题可知，满足前两条的最小数是 $448$，公差是 $23\times29=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列出这串数）：$448,\;448+667=\underline{\quad},\;1782,\;2449,\;3116,\;3783,\cdots$。
  3. 第 3 步（用第三个条件筛）：$3783-7\times540=\underline{\quad}$，正好余 $3$，前面几个都不符合。
  4. 第 4 步（作答）：最小是 $448+667\times5=\underline{\quad}$。
17. 【原题 ch16-tuozhan-09】刘叔叔养了 $400$ 多只兔子。如果每 $3$ 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 $2$ 只；如果每 $5$ 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 $4$ 只；如果每 $7$ 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 $5$ 只。请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？
详细思路
是哪类问题：这是「物不知数：三个余数条件 + 范围限制」类。
关键切入点：三个条件一次合并太难，先合并其中两个（每 $7$ 只剩 $5$、每 $5$ 只剩 $4$）得到 $19$ 与公差 $35$，再用第三个条件筛出 $89$ 与公差 $105$，最后在「$400$ 多」的范围里取值。
方法概述：两两合并 → 逐步扩大公差 → 用范围定解。
规范步骤：
  1. 列除以 $7$ 余 $5$ 的数：$5,12,19,26,\cdots$（逐步合并同余条件）
  2. 筛出除以 $5$ 余 $4$ 的：第一个是 $19$，公差变为 $[5,7]=35$（最小公倍数）
  3. 再筛除以 $3$ 余 $2$ 的：$19,54,89$ 中 $89$ 合适，公差变为 $[3,5,7]=105$（逐步合并同余条件）
  4. 用范围定解：$89,194,299,404,509,\cdots$ 中 $400$ 多的是 $404$（范围确定解）
  5. 验算：$404=3\times134+2=5\times80+4=7\times57+5$（带余除法）
第一套
题目：张叔叔养了 $400$ 多只鸽子。每 $4$ 只关一笼，最后一笼有 $3$ 只；每 $7$ 只关一笼，最后一笼有 $5$ 只；每 $9$ 只关一笼，最后一笼有 $8$ 只。一共养了多少只鸽子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先合并 4 与 9）：除以 $9$ 余 $8$ 的数是 $8,17,26,35,\cdots$，其中第一个除以 $4$ 余 $3$ 的是 $35$（$35-4\times8=\underline{\quad}$），公差变成 $[4,9]=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列出这串数）：$35,\;35+36=\underline{\quad},\;107,\;143,\;179,\;215,\cdots$。
  3. 第 3 步（再用除以 7 余 5 筛）：$215-7\times30=\underline{\quad}$，符合；此后公差变成 $[4,7,9]=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用范围定解）：$215,\;215+252=467,\;719,\cdots$ 中 $400$ 多的是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：学校有 $400$ 多本图书。每 $4$ 本捆一捆最后剩 $3$ 本；每 $7$ 本捆一捆最后剩 $5$ 本；每 $9$ 本捆一捆最后剩 $8$ 本。一共有多少本图书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先合并 4 与 9）：除以 $9$ 余 $8$ 的数里，第一个除以 $4$ 余 $3$ 的是 $35$（$35-4\times8=\underline{\quad}$），公差 $[4,9]=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列出这串数）：$35,\;35+36=\underline{\quad},\;107,\;143,\;179,\;215,\cdots$。
  3. 第 3 步（用第三个条件筛）：$215-7\times30=\underline{\quad}$，符合；公差变成 $[4,7,9]=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用范围定解）：$400$ 多的那个是 $215+252=\underline{\quad}$（本）。
第三套
题目：有 $300$ 多只鸡蛋。每 $3$ 个一盒最后剩 $1$ 个；每 $5$ 个一盒最后剩 $3$ 个；每 $7$ 个一盒最后剩 $2$ 个。一共有多少只鸡蛋？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先合并 3 与 5）：除以 $5$ 余 $3$ 的数是 $3,8,13,\cdots$，第一个除以 $3$ 余 $1$ 的是 $13$（$13-3\times4=\underline{\quad}$），公差 $[3,5]=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列出这串数）：$13,\;13+15=\underline{\quad},\;43,\;58,\cdots$。
  3. 第 3 步（再用除以 7 余 2 筛）：$58-7\times8=\underline{\quad}$，符合；公差变成 $[3,5,7]=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用范围定解）：$58,163,268,373,\cdots$ 中 $300$ 多的是 $58+105\times3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：某仓库有一千九百多个零件。每 $4$ 个一盒剩 $3$ 个；每 $7$ 个一盒剩 $5$ 个；每 $9$ 个一盒剩 $8$ 个；每 $11$ 个一盒剩 $10$ 个。一共有多少个零件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先合并前三个条件）：由前面可知满足前三条的数是 $215,\;467,\;719,\cdots$，公差 $[4,7,9]=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列出这串数）：$215,467,719,971,1223,1475,1727,\;1727+252=\underline{\quad},\cdots$。
  3. 第 3 步（用第四个条件筛）：$1979-11\times179=\underline{\quad}$，正好余 $10$，符合。
  4. 第 4 步（用范围核对）：$1979$ 正好是一千九百多，公差已变成 $[4,7,9,11]=252\times11=\underline{\quad}$，下一个是 $1979+2772$，超出范围，所以答案是 $\underline{\quad}$。
18. 【原题 ch16-tuozhan-10】$100$ 多名小朋友站成一列。从第一人开始依次按 $1,2,3,\cdots,11$ 的顺序循环报数，最后一名同学报的数是 $9$；如果按 $1,2,3,\cdots,13$ 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是 $11$。请问：一共有多少名小朋友？
详细思路
是哪类问题：这是「循环报数转同余 + 补差成整除」类：报数循环 $1\sim m$，最后一人报 $r$ 就说明总人数除以 $m$ 余 $r$。
关键切入点：人数除以 $11$ 余 $9$、除以 $13$ 余 $11$，两个余数都比除数小 $2$，所以人数加 $2$ 后同时被 $11$ 与 $13$ 整除，这比逐个枚举快得多。
方法概述：报数转余数 → 发现「都差 $2$」→ 加 $2$ 化为公倍数 → 减回并用范围定解。
规范步骤：
  1. 报数转成余数条件：人数除以 $11$ 余 $9$，除以 $13$ 余 $11$（循环报数转化为同余）
  2. 发现都差 $2$：$11-9=2$，$13-11=2$（补成整除（差相同））
  3. 加 $2$ 后是公倍数：人数 $+2$ 是 $[11,13]=143$ 的倍数（最小公倍数）
  4. 减回并用范围定解：$143-2=141$，是 $100$ 多，符合（范围确定解）
  5. 验算：$141=11\times12+9=13\times10+11$（带余除法）
第一套
题目：$200$ 多名小朋友站成一列。按 $1,2,\cdots,13$ 循环报数，最后一名报 $11$；按 $1,2,\cdots,17$ 循环报数，最后一名报 $15$。一共有多少名小朋友？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（报数转余数）：人数除以 $13$ 余 $11$，除以 $17$ 余 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（发现都差几）：$13-11=\underline{\quad}$，$17-15=\underline{\quad}$，都差 $2$。
  3. 第 3 步（加 2 化为公倍数）：人数 $+2$ 是 $[13,17]=13\times17=\underline{\quad}$ 的倍数。
  4. 第 4 步（减回并用范围定解）：$221-2=\underline{\quad}$，正好是 $200$ 多，符合。
第二套
题目：一串珠子有 $200$ 多颗。按红、橙、黄……共 $13$ 种颜色循环穿，最后一颗是第 $11$ 种颜色；按 $17$ 种颜色循环穿，最后一颗是第 $15$ 种颜色。这串珠子共有多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转成余数）：颗数除以 $13$ 余 $11$，除以 $17$ 余 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（看差多少）：$13-11=\underline{\quad}$，$17-15=\underline{\quad}$，都差 $2$。
  3. 第 3 步（加 2 化为公倍数）：颗数 $+2$ 是 $13\times17=\underline{\quad}$ 的倍数。
  4. 第 4 步（减回定解）：$221-2=\underline{\quad}$（颗）。
第三套
题目：$300$ 多名同学排成一列。按 $1\sim17$ 循环报数，最后一名报 $15$；按 $1\sim19$ 循环报数，最后一名报 $17$。一共有多少名同学？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转成余数并看差）：$17-15=\underline{\quad}$，$19-17=\underline{\quad}$，都差 $2$。
  2. 第 2 步（加 2 化为公倍数）：人数 $+2$ 是 $[17,19]=17\times19=\underline{\quad}$ 的倍数，即 $323,646,\cdots$。
  3. 第 3 步（减回）：$323-2=\underline{\quad}$，$646-2=644$。
  4. 第 4 步（用范围定解）：$300$ 多的是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：$900$ 多名小朋友。按 $1\sim11$ 循环报数最后一名报 $9$；按 $1\sim13$ 循环报数最后一名报 $11$；按 $1\sim7$ 循环报数最后一名报 $5$。一共有多少名小朋友？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（前两个条件都差 2）：人数 $+2$ 是 $[11,13]=\underline{\quad}$ 的倍数，所以人数是 $141,\;141+143=\underline{\quad},\;427,\;570,\;713,\;856,\;999,\cdots$。
  2. 第 2 步（第三个条件也差 2）：$7-5=\underline{\quad}$，说明人数 $+2$ 还要被 $7$ 整除。
  3. 第 3 步（三数合并）：人数 $+2$ 是 $[7,11,13]=7\times11\times13=\underline{\quad}$ 的倍数。
  4. 第 4 步（减回并用范围定解）：$1001-2=\underline{\quad}$，正好是 $900$ 多。
19. 【原题 ch16-tuozhan-11】$\underbrace{123123\cdots123}_{123\text{个}123}$ 除以 $99$ 的余数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「循环数串除以 $99$」类：先找出「多少块拼起来正好被 $99$ 整除」，把大部分整块消掉。
关键切入点：$99=9\times11$。$n$ 块 $123$ 的数字和是 $6n$，$3\mid n$ 时被 $9$ 整除；块数为偶数时位数为偶且奇偶位和相等，被 $11$ 整除。故 $6\mid n$ 时整块被 $99$ 整除，$123$ 块里前 $120$ 块可整批消去。
方法概述：找整除整块 → 拆成「整块 + 零头」→ 只算零头的余数。
规范步骤：
  1. 被 $99$ 整除 = 同时被 $9$、$11$ 整除：$99=9\times11$（被99整除即被9和11整除）
  2. 找整块条件：数字和 $6n$ 要被 $9$ 整除需 $3\mid n$；被 $11$ 整除需 $2\mid n$；故 $6\mid n$（构造整除的整块）
  3. 拆分：$123=120+3$，前 $120$ 块被 $99$ 整除（余数的可加性）
  4. 只算零头：$123\,123\,123\div99=1243667\cdots\cdots90$（带余除法）
第一套
题目：$\underbrace{246246\cdots246}_{125\text{个}246}$ 除以 $99$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解 99）：$99=9\times\underline{\quad}$，所以要同时考虑被 $9$ 和被 $11$ 整除。
  2. 第 2 步（找整除的整块）：$n$ 块的数字和是 $(2+4+6)\times n=\underline{\quad}\times n$，要被 $9$ 整除需 $n$ 是 $3$ 的倍数；块数为偶数时被 $11$ 整除。所以块数是 $6$ 的倍数时整块能被 $99$ 整除。
  3. 第 3 步（拆分）：$125$ 块中前 $120$ 块（是 $6$ 的倍数）可整批消去，剩下 $125-120=\underline{\quad}$ 块。
  4. 第 4 步（只算零头）：剩下的是 $246\,246\,246\,246\,246$，$246246246246246-99\times2487336830770=\underline{\quad}$。
第二套
题目：电子屏上把 $246$ 连续显示了 $125$ 遍，组成一个很大的数。这个数除以 $99$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解 99）：$99=9\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（找整除的整块）：$n$ 块的数字和是 $(2+4+6)\times n=\underline{\quad}\times n$，$n$ 是 $3$ 的倍数时被 $9$ 整除；$n$ 是偶数时被 $11$ 整除，所以 $n$ 是 $6$ 的倍数时整块被 $99$ 整除。
  3. 第 3 步（拆分）：前 $120$ 块消去，剩 $125-120=\underline{\quad}$ 块。
  4. 第 4 步（算零头）：$246246246246246-99\times2487336830770=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$\underbrace{357357\cdots357}_{127\text{个}357}$ 除以 $99$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找整除的整块）：每块数字和是 $3+5+7=\underline{\quad}$，$n$ 块的数字和是 $15n$，需 $n$ 是 $3$ 的倍数才被 $9$ 整除；$n$ 为偶数才被 $11$ 整除，所以 $n$ 是 $\underline{\quad}$ 的倍数时整块被 $99$ 整除。
  2. 第 2 步（拆分）：$127$ 块中前 $126$ 块可整批消去，剩下 $127-126=\underline{\quad}$ 块。
  3. 第 3 步（只算零头）：$357-99\times3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$\underbrace{246246\cdots246}_{125\text{个}246}$ 除以 $9$、$11$、$99$ 的余数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除以 9）：数字和 $(2+4+6)\times125=\underline{\quad}$，$1500-9\times166=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（除以 11）：前 $124$ 块（偶数块）奇偶位和相等可消去，只剩最高一块 $246$，它的三位处在奇、偶、奇位上，奇数位和 $2+6=\underline{\quad}$，偶数位和 $4$，差 $8-4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（除以 99）：前 $120$ 块消去，剩 $5$ 块，$246246246246246-99\times2487336830770=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（一致性检验）：$15-9=\underline{\quad}$ 与第 1 步一致，$15-11=\underline{\quad}$ 与第 2 步一致。
20. 【原题 ch16-tuozhan-12】把 $63$ 个苹果，$90$ 个橘子，$130$ 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 $25$ 个水果没有分出去。请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「总量减剩余能被人数整除 + 范围估计」类。
关键切入点：分出去的水果数 $283-25=258$ 一定是人数的倍数，所以人数是 $258$ 的约数；再用两头夹逼：人数必须大于 $63$（否则苹果一个都分不完就会剩 $63$ 个以上），也必须不小于 $10$（否则三种水果最多共剩 $8\times3=24<25$ 个）。
方法概述：求可分总数 → 枚举约数 → 上下界夹逼定人数 → 回算各种水果剩几个。
规范步骤：
  1. 求水果总数：$63+90+130=283$（总量）
  2. 求分出去的数：$283-25=258$，是人数的倍数（总量减剩余被人数整除）
  3. 分解约数：$258=2\times3\times43$，约数为 $1,2,3,6,43,86,129,258$（约数枚举）
  4. 范围夹逼：人数不能小于 $10$（否则每种水果最多剩 $8$ 个，三种共不足 $25$ 个），也不能大于 $63$（否则苹果一个整份都分不出、会剩 $63$ 个以上）；$258$ 的约数中处在 $10\sim63$ 之间的只有 $43$（余数范围估计）
  5. 回算各种水果剩几个：苹果剩 $63-43=20$，橘子剩 $90-86=4$，梨剩 $130-129=1$，共 $25$ 个，符合题意（带余除法）
21. 【原题 ch16-tuozhan-13】有一个大于 $1$ 的整数，用它除 $300,262,205$ 得到相同的余数，求这个数。
详细思路
是哪类问题：这是「三个数余数相同 → 两两之差的公约数」类。
关键切入点：余数相同，则任意两数之差都被这个数整除，于是它是 $300-262=38$ 与 $262-205=57$ 的公约数；$38=2\times19$、$57=3\times19$，公约数只有 $1$ 与 $19$，再用「大于 $1$」定解。
方法概述：两两作差 → 求公约数 → 用附加条件定解。
规范步骤：
  1. 两两作差：$300-262=38$，$262-205=57$（余数相同转化为整除差）
  2. 求公约数：$38=2\times19$，$57=3\times19$，公约数是 $1$ 和 $19$（最大公约数）
  3. 用「大于 $1$」筛：只能是 $19$（约数筛选）
  4. 验算：$300-19\times15=15$，$262-19\times13=15$，$205-19\times10=15$（带余除法）
第一套
题目：有一个大于 $1$ 的整数，用它除 $600,531,439$ 得到相同的余数，求这个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两两作差）：$600-531=\underline{\quad}$，$531-439=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分解）：$69=3\times\underline{\quad}$，$92=4\times23$。
  3. 第 3 步（求公约数）：两者的公约数只有 $1$ 和 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用「大于 1」定解并验算）：这个数是 $23$，$600-23\times26=\underline{\quad}$，$531-23\times23=\underline{\quad}$，$439-23\times19=\underline{\quad}$，余数都相同。
第二套
题目：用同一种规格的盒子装糖，$600$ 颗、$531$ 颗、$439$ 颗糖装完后剩下的颗数都一样多。每盒装的颗数（大于 $1$）是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两两作差）：剩的一样多，所以差能被每盒颗数整除，$600-531=\underline{\quad}$，$531-439=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分解）：$69=3\times\underline{\quad}$，$92=4\times23$。
  3. 第 3 步（求公约数）：公约数只有 $1$ 和 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（定解并验算）：每盒 $23$ 颗，$600-23\times26=\underline{\quad}$，$531-23\times23=\underline{\quad}$，$439-23\times19=\underline{\quad}$，都剩 $2$ 颗。
第三套
题目：有一个大于 $1$ 的整数，用它除 $600,531,439,416$ 得到相同的余数，求这个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相邻两两作差）：$600-531=\underline{\quad}$，$531-439=\underline{\quad}$，$439-416=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求三个差的公约数）：$69=3\times23$，$92=4\times23$，$23$ 本身是质数，所以公约数只有 $1$ 和 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（定解并验算）：这个数是 $23$，$416-23\times18=\underline{\quad}$，与 $600-23\times26=\underline{\quad}$ 相同。
第三套
题目：有一个大于 $1$ 的整数，用它除 $600,531,439$ 得到相同的余数。求这个数、这个公共余数，以及 $600$ 除以它的商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差求公约数）：$600-531=\underline{\quad}$，$531-439=\underline{\quad}$，公约数中大于 $1$ 的只有 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求公共余数）：$600-23\times26=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求商）：$(600-2)\div23=598/23=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：$23\times26+2=\underline{\quad}$。
22. 【原题 ch16-tuozhan-14】用 $61$ 和 $90$ 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的 $2$ 倍。如果这个数大于 $1$，那么这个数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「两次除法余数成倍数关系」类：把倍数关系转成一次减法的整除关系。
关键切入点：$90$ 的余数乘 $2$ 就是 $180$ 除以这个数的余数（只要没超过除数），它应与 $61$ 的余数相同，于是两数之差 $180-61=119$ 被这个数整除；再枚举 $119$ 的约数逐个验证。
方法概述：把倍数关系化成同余 → 作差得整除 → 枚举约数逐个验证。
规范步骤：
  1. 转化倍数关系：$180=2\times90$ 除以这个数的余数是 $90$ 的余数的 $2$ 倍，应与 $61$ 的余数相同（余数的可乘性）
  2. 作差得整除：这个数整除 $180-61=119$（余数关系转化为整除）
  3. 枚举约数：$119=7\times17$，大于 $1$ 的约数是 $7,17,119$（约数枚举验证）
  4. 逐个验证：$61-7\times8=5$，$90-7\times12=6$，$5\ne2\times6$，不合；$61-17\times3=10$，$90-17\times5=5$，$10=2\times5$，合；$119$ 使 $61,90$ 除不尽但 $61$ 的余数 $61\ne2\times90$，不合（约数枚举验证）
  5. 作答：这个数是 $17$
第一套
题目：用 $85$ 和 $143$ 分别除以某一个数，两次都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的 $2$ 倍。如果这个数大于 $1$，那么这个数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化倍数关系）：$2\times143=\underline{\quad}$ 除以这个数的余数，应与 $85$ 除以它的余数相同。
  2. 第 2 步（作差得整除）：这个数整除 $286-85=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举约数）：$201=3\times\underline{\quad}$，大于 $1$ 的约数是 $3,67,201$。
  4. 第 4 步（逐个验证）：$85-3\times28=\underline{\quad}$、$143-3\times47=\underline{\quad}$，$1\ne2\times2$，不合；$85-67=\underline{\quad}$、$143-67\times2=\underline{\quad}$，$18=2\times9$，符合。
  5. 第 5 步（作答）：这个数是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：把 $85$ 支铅笔和 $143$ 支钢笔分别按同样的支数打包，两次都有剩余，且铅笔剩下的支数是钢笔剩下支数的 $2$ 倍。每包的支数大于 $1$，是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化倍数关系）：$2\times143=\underline{\quad}$ 除以每包支数的余数，应与 $85$ 除以它的余数相同。
  2. 第 2 步（作差得整除）：每包支数整除 $286-85=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举约数）：$201=3\times\underline{\quad}$，大于 $1$ 的约数是 $3,67,201$。
  4. 第 4 步（逐个验证）：每包 $3$ 支时剩 $85-3\times28=\underline{\quad}$ 和 $143-3\times47=\underline{\quad}$，不满足 2 倍；每包 $67$ 支时剩 $85-67=\underline{\quad}$ 和 $143-67\times2=\underline{\quad}$，符合。
  5. 第 5 步（作答）：每包 $\underline{\quad}$ 支。
第三套
题目：用 $100$ 和 $151$ 分别除以某一个数，两次都除不尽，且前一次的余数是后一次的 $2$ 倍。这个数大于 $1$，它是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化倍数关系）：$2\times151=\underline{\quad}$ 除以这个数的余数，与 $100$ 的余数相同。
  2. 第 2 步（作差得整除）：这个数整除 $302-100=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举约数）：$202=2\times\underline{\quad}$，大于 $1$ 的约数是 $2,101,202$。
  4. 第 4 步（逐个验证）：除数是 $2$ 时 $100$ 能除尽，不合；除数是 $101$ 时 $100-101\times0=\underline{\quad}$、$151-101=\underline{\quad}$，$100=2\times50$，符合。
  5. 第 5 步（作答）：这个数是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $85$ 和 $143$ 分别除以某一个数（大于 $1$），两次都除不尽，且前一次的余数是后一次的 $2$ 倍。求这个数、两次的余数以及 $143$ 除以它的商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差得整除）：$2\times143-85=\underline{\quad}$，这个数整除 $201$。
  2. 第 2 步（枚举验证）：$201=3\times67$，逐个验证后符合的是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求两个余数）：$85-67=\underline{\quad}$，$143-67\times2=\underline{\quad}$，恰好 $18=2\times9$。
  4. 第 4 步（求商）：$(143-9)\div67=134/67=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$67\times2+9=\underline{\quad}$。
23. 【原题 ch16-xingqu-01】$72$ 除以一个数，余数是 $7$，商可能是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「带余除法·由余数反推除数」类：已知被除数与余数、求除数与商。
关键切入点：带余除法 $被除数=除数\times商+余数$，把余数减掉后 $72-7=65$ 就能被除数整除，所以除数一定是 $65$ 的约数；又因为余数必须比除数小，除数还得大于 $7$。
方法概述：先减余数化为整除，再分解约数，最后用「除数>余数」筛选。
规范步骤：
  1. 减去余数化成整除：$72-7=65$（带余除法）
  2. 分解 $65$ 的约数：$65=1\times65=5\times13$，约数为 $1,5,13,65$（约数分解）
  3. 用除数大于余数 $7$ 筛选：$13$ 或 $65$（除数>余数）
  4. 分别求商：$65\div13=5$，$65\div65=1$（带余除法）
  5. 写出答案：$商是 5 或 1$
第一套
题目：$123$ 除以一个数，余数是 $8$，商可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化成整除）：把余数减掉，剩下的部分才能被除数整除，$123-8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分解约数）：$115=5\times\underline{\quad}$，所以 $115$ 的约数是 $1,5,23,115$。
  3. 第 3 步（筛选）：除数必须大于余数 $8$，所以除数只能是 $23$ 或 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求商）：$115\div23=\underline{\quad}$，$115\div115=\underline{\quad}$。
第二套
题目：果园里有 $123$ 个苹果，平均装进若干个同样大的箱子，装满后还剩 $8$ 个装不下。每箱装的个数是几种可能？此时装满的箱数（商）分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化成整除）：剩下的 $8$ 个不参与装箱，能整装的是 $123-8=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（分解约数）：每箱个数是 $115$ 的约数，$115=5\times\underline{\quad}$，约数为 $1,5,23,115$。
  3. 第 3 步（筛选）：剩下 $8$ 个说明每箱要比 $8$ 多，所以每箱是 $23$ 个或 $\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（求箱数）：$115\div23=\underline{\quad}$（箱），$115\div115=\underline{\quad}$（箱）。
第三套
题目：$145$ 除以一个数，余数是 $9$，商可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化成整除）：$145-9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分解约数）：$136=8\times\underline{\quad}$，所以 $136$ 的约数是 $1,2,4,8,17,34,68,136$。
  3. 第 3 步（筛选）：除数要大于余数 $9$，可用的除数是 $17,34,68,\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求商）：$136\div17=\underline{\quad}$，$136\div34=\underline{\quad}$，$136\div68=\underline{\quad}$，$136\div136=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$205$ 除以一个两位数，余数是 $13$，且商也是两位数。求这个两位数除数和商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化成整除）：$205-13=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分解约数）：$192=2\times2\times2\times2\times2\times2\times\underline{\quad}$，两位数约数有 $12,16,24,32,48,64,96$。
  3. 第 3 步（用余数筛）：除数要大于余数 $13$，去掉 $12$，剩 $16,24,32,48,64,\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用商是两位数筛）：$192\div16=\underline{\quad}$ 是两位数，而 $192\div24=\underline{\quad}$ 已不足两位，其余更小，所以除数只能是 $16$。
  5. 第 5 步（验算）：$16\times12+13=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch16-xingqu-02】$97$ 和 $79$ 除以一个数的余数都是 $7$，那么这个数可能是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「同余数转化为整除」类：几个数除以同一个数余数相同，减去这个共同余数后都能被它整除。
关键切入点：$97$ 与 $79$ 除以某数都余 $7$，那么 $97-7=90$、$79-7=72$ 都是这个数的倍数，于是它是 $90$ 与 $72$ 的公约数，即 $18$ 的约数；再用「除数>余数 $7$」筛掉小的。
方法概述：各自减余数 → 求最大公约数 → 取大于余数的约数。
规范步骤：
  1. 各自减去余数：$97-7=90$，$79-7=72$（余数相同转整除）
  2. 求最大公约数：$(90,72)=18$（最大公约数）
  3. 列 $18$ 的约数：$1,2,3,6,9,18$（约数枚举）
  4. 用除数大于 $7$ 筛选：$9$ 或 $18$（除数>余数）
  5. 写出答案：$这个数是 9 或 18$
第一套
题目：$187$ 和 $143$ 除以一个数的余数都是 $11$，那么这个数可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转成整除）：各自减去共同的余数，$187-11=\underline{\quad}$，$143-11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求最大公约数）：$176=44\times4$，$132=44\times3$，所以 $(176,132)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列约数）：$44$ 的约数是 $1,2,4,11,22,\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（筛选）：除数必须大于余数 $11$，所以只能是 $22$ 或 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：图书馆有故事书 $187$ 本、科普书 $143$ 本，按同样的本数打捆，两种书打捆后都恰好剩下 $11$ 本。每捆可能是多少本？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转成整除）：去掉剩下的部分，$187-11=\underline{\quad}$（本），$143-11=\underline{\quad}$（本）都能被每捆本数整除。
  2. 第 2 步（求最大公约数）：$(176,132)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列约数）：$44$ 的约数是 $1,2,4,11,22,\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（筛选）：剩下 $11$ 本说明每捆要多于 $11$ 本，所以每捆是 $22$ 本或 $\underline{\quad}$ 本。
第三套
题目：$143$、$187$ 和 $275$ 除以同一个数的余数都是 $11$，那么这个数可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转成整除）：三个数各减 $11$，得 $132$、$176$ 和 $275-11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求三数最大公约数）：先算 $(132,176)=44$，再看 $264\div44=\underline{\quad}$ 是整数，所以三数的最大公约数是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列约数并筛选）：$44$ 的约数中大于 $11$ 的是 $22$ 和 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：$143$、$187$ 和 $275$ 除以同一个数的余数都是 $11$。求最大的除数，并求这时 $275$ 除以它所得的商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转成整除）：三个数各减 $11$，得 $132$、$176$、$\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求最大公约数）：$(132,176,264)=\underline{\quad}$，它大于余数 $11$，就是最大的除数。
  3. 第 3 步（求商）：$275=44\times\underline{\quad}+11$，即 $264\div44=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：$44\times6+11=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch16-xingqu-03】$100$ 和 $84$ 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为 $0$。这个除数可能是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「余数相同 → 差是除数倍数」类：两数除以同一数余数相同，则它们的差被这个数整除。
关键切入点：$100$ 与 $84$ 余数相同，故 $100-84=16$ 是除数的倍数，除数只能取 $16$ 的约数 $1,2,4,8,16$；又因为余数不为 $0$，凡是能整除 $100$ 的 $1,2,4$ 都要排除。
方法概述：作差 → 枚举差的约数 → 用「余数不为 0」排除。
规范步骤：
  1. 两数作差：$100-84=16$（余数相同则差是除数的倍数）
  2. 列 $16$ 的约数：$1,2,4,8,16$（约数枚举）
  3. 排除余数为 $0$ 的：$100$ 是 $1,2,4$ 的倍数，排除（余数不为0）
  4. 验证剩下的：$100\div8=12\cdots\cdots4$，$84\div8=10\cdots\cdots4$；$100\div16=6\cdots\cdots4$，$84\div16=5\cdots\cdots4$（带余除法）
  5. 写出答案：$除数是 8 或 16$
第一套
题目：$244$ 和 $212$ 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为 $0$。这个除数可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差）：余数相同，两数的差一定被除数整除，$244-212=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列约数）：$32$ 的约数是 $1,2,4,8,16,\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（排除余数为 0 的）：$244$ 是 $1,2,4$ 的倍数，除以它们余数是 $0$，要排除；剩下 $8,16,32$。
  4. 第 4 步（验证）：$244\div8$ 的余数 $244-8\times30=\underline{\quad}$；$244\div16$ 的余数 $244-16\times15=\underline{\quad}$；$244\div32$ 的余数 $244-32\times7=\underline{\quad}$。
第二套
题目：甲筐有 $244$ 个鸡蛋，乙筐有 $212$ 个鸡蛋。用同样大小的蛋托装，两筐装满整托后剩下的个数一样多，且都不是 $0$。每个蛋托可能装多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差）：剩下的个数一样多，所以两筐个数之差能被每托个数整除，$244-212=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列约数）：$32$ 的约数是 $1,2,4,8,16,\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（排除剩 0 的）：$244$ 能被 $1,2,4$ 整除，会一个不剩，排除。
  4. 第 4 步（验证）：每托 $8$ 个时剩 $244-8\times30=\underline{\quad}$（个）；每托 $16$ 个时剩 $244-16\times15=\underline{\quad}$（个）；每托 $32$ 个时剩 $244-32\times7=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：$209$ 和 $182$ 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为 $0$。这个除数可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差）：$209-182=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列约数）：$27=3\times3\times3$，约数是 $1,3,9,\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（排除）：$209$ 是 $1$ 的倍数，除以 $1$ 余 $0$，排除 $1$。
  4. 第 4 步（验证）：$209-3\times69=\underline{\quad}$，$209-9\times23=\underline{\quad}$，$209-27\times7=\underline{\quad}$，余数都不为 $0$。
第三套
题目：$244$ 和 $212$ 除以同一个数，余数相同且不为 $0$。求所有可能除数的和，以及取最大除数时的余数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（作差列约数）：$244-212=\underline{\quad}$，$32$ 的约数是 $1,2,4,8,16,32$。
  2. 第 2 步（排除余数为 0 的）：排除 $1,2,4$，可能的除数是 $8,16,\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求和）：$8+16+32=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（最大除数的余数）：最大除数是 $32$，$244-32\times7=\underline{\quad}$，$212-32\times6=\underline{\quad}$，两者相同。
26. 【原题 ch16-xingqu-04】$20\,080\,808$ 除以 $9$ 的余数是多少？除以 $8$ 和 $25$ 的余数分别是多少？除以 $11$ 的余数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「用整除特征快速求余数」类：除以 $9$ 看数字和，除以 $8$ 看末三位，除以 $25$ 看末两位，除以 $11$ 看奇偶位数字和之差。
关键切入点：大数直接做除法太繁，但余数只与「特征部分」有关：$9$ 的倍数特征来自 $10\equiv1$，故看各位数字和；$1000$ 是 $8$ 的倍数、$100$ 是 $25$ 的倍数，故只看末三位、末两位；$11$ 则看奇偶位差。
方法概述：按每个除数选对应特征，把大数化成小数再求余。
规范步骤：
  1. 除以 $9$：算数字和：$2+0+0+8+0+8+0+8=26$，$26-9\times2=8$（被9整除的特征）
  2. 除以 $8$：看末三位：$808\div8=101$，余 $0$（被8整除看末三位）
  3. 除以 $25$：看末两位：$08\div25=0\cdots\cdots8$（被25整除看末两位）
  4. 除以 $11$：奇偶位和之差：$(8+8+8)-2=22$，$22$ 是 $11$ 的倍数，余 $0$（被11整除的奇偶位差特征）
  5. 写出答案：$8,\;0,\;8,\;0$
第一套
题目：$30\,070\,707$ 除以 $9$ 的余数是多少？除以 $8$ 和 $25$ 的余数分别是多少？除以 $11$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除以 9 看数字和）：$3+0+0+7+0+7+0+7=\underline{\quad}$，$24-9\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（除以 8 看末三位）：末三位是 $707$，$707-8\times88=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（除以 25 看末两位）：末两位是 $07$，即 $7-25\times0=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（除以 11 看奇偶位差）：从个位起奇数位和 $7+7+7+0=\underline{\quad}$，偶数位和 $0+0+0+3=\underline{\quad}$，差 $21-3=\underline{\quad}$，$18-11=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某仓库一批货物的编号是 $30\,070\,707$。管理员想知道：这个编号除以 $9$、$8$、$25$、$11$ 的余数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除以 9）：各位数字和 $3+0+0+7+0+7+0+7=\underline{\quad}$，$24-9\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（除以 8）：只看末三位 $707$，$707-8\times88=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（除以 25）：只看末两位 $07$，$7-25\times0=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（除以 11）：奇数位和 $7+7+7+0=\underline{\quad}$，偶数位和 $0+0+0+3=\underline{\quad}$，差是 $\underline{\quad}$，再减 $11$ 得 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：$50\,170\,717$ 除以 $9$、$8$、$25$、$11$ 的余数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除以 9）：数字和 $5+0+1+7+0+7+1+7=\underline{\quad}$，$28-9\times3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（除以 8）：末三位 $717$，$717-8\times89=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（除以 25）：末两位 $17$，$17-25\times0=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（除以 11）：奇数位和 $7+7+7+0=\underline{\quad}$，偶数位和 $1+0+1+5=\underline{\quad}$，差 $21-7=\underline{\quad}$，$14$ 比 $11$ 大还要再减，$14-11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$30\,070\,707$ 除以 $4$、$125$ 和 $99$ 的余数分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除以 4 看末两位）：末两位是 $07$，$7-4\times1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（除以 125 看末三位）：末三位是 $707$，$707-125\times5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（除以 99 用两位分段）：从右往左每两位一段：$07,07,07,30$，各段之和 $7+7+7+30=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（判断是否再减）：$51<99$，所以余数就是 $51-99\times0=\underline{\quad}$。
27. 【原题 ch16-xingqu-05】（1）$135\times137+139$ 除以 $5$ 的余数是多少？（2）$3579\times1357+13\,579$ 除以 $9$ 的余数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「余数的可乘性、可加性」类：求一个算式的余数，可以先把每个数换成它的余数再算。
关键切入点：两数之积（和）除以 $m$ 的余数，等于它们余数之积（和）除以 $m$ 的余数。所以不必算出 $135\times137+139$ 这样的大数，只要把 $135,137,139$ 换成对 $5$ 的余数 $0,2,4$。
方法概述：先把每个因数、加数换成余数，再算小算式的余数。
规范步骤：
  1. (1) 求各数除以 $5$ 的余数：$135\div5$ 余 $0$，$137\div5$ 余 $2$，$139\div5$ 余 $4$（余数的可乘性、可加性）
  2. (1) 用余数算小算式：$0\times2+4=4$，$4<5$（余数运算）
  3. (2) 求各数除以 $9$ 的余数：$3579$ 数字和 $24$ 余 $6$；$1357$ 数字和 $16$ 余 $7$；$13579$ 数字和 $25$ 余 $7$（被9整除的特征）
  4. (2) 用余数算小算式：$6\times7+7=49$，$49-9\times5=4$（余数运算）
  5. 写出答案：$（1）4；（2）4$
第一套
题目：（1）$2468\times2470+2473$ 除以 $5$ 的余数是多少？（2）$4681\times2468+24\,681$ 除以 $9$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（(1) 换成余数）：看末位即可，$2468$ 除以 $5$ 余 $2468-5\times493=\underline{\quad}$，$2470$ 除以 $5$ 余 $0$，$2473$ 除以 $5$ 余 $2473-5\times494=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（(1) 用余数算）：$3\times0+3=\underline{\quad}$，比 $5$ 小，就是答案。
  3. 第 3 步（(2) 换成余数）：用数字和，$4+6+8+1=\underline{\quad}$，$19-9\times2=\underline{\quad}$；$2+4+6+8=\underline{\quad}$，$20-9\times2=\underline{\quad}$；$2+4+6+8+1=\underline{\quad}$，$21-9\times2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（(2) 用余数算）：$1\times2+3=\underline{\quad}$，比 $9$ 小，就是答案。
第二套
题目：车间甲有 $2468$ 排零件、每排 $2470$ 个，另有零散零件 $2473$ 个。（1）全部零件按 $5$ 个一组分，最后剩几个？（2）另一车间共有 $4681\times2468+24\,681$ 个螺丝，按 $9$ 个一盒装，最后剩几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（(1) 换成余数）：$2468$ 除以 $5$ 余 $2468-5\times493=\underline{\quad}$，$2470$ 除以 $5$ 余 $0$，$2473$ 除以 $5$ 余 $2473-5\times494=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（(1) 用余数算）：$3\times0+3=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（(2) 换成余数）：数字和 $4+6+8+1=\underline{\quad}$ 余 $19-9\times2=\underline{\quad}$；$2+4+6+8=\underline{\quad}$ 余 $20-9\times2=\underline{\quad}$；$2+4+6+8+1=\underline{\quad}$ 余 $21-9\times2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（(2) 用余数算）：$1\times2+3=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：（1）$246\times248+251$ 除以 $5$ 的余数是多少？（2）$2463\times1357+2468$ 除以 $9$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（(1) 换成余数）：$246$ 除以 $5$ 余 $246-5\times49=\underline{\quad}$，$248$ 除以 $5$ 余 $248-5\times49=\underline{\quad}$，$251$ 除以 $5$ 余 $251-5\times50=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（(1) 用余数算，超过除数要再减）：$1\times3+1=\underline{\quad}$，比 $5$ 小，答案就是它。
  3. 第 3 步（(2) 换成余数）：数字和 $2+4+6+3=\underline{\quad}$ 余 $15-9=\underline{\quad}$；$1+3+5+7=\underline{\quad}$ 余 $16-9=\underline{\quad}$；$2+4+6+8=\underline{\quad}$ 余 $20-9\times2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（(2) 用余数算并再约减）：$6\times7+2=\underline{\quad}$，$44-9\times4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$4681\times2468-2461$ 除以 $9$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（换成余数）：$4681$ 数字和 $19$，余 $19-9\times2=\underline{\quad}$；$2468$ 数字和 $20$，余 $20-9\times2=\underline{\quad}$；$2461$ 数字和 $2+4+6+1=\underline{\quad}$，余 $13-9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用余数算）：原式的余数与 $1\times2-4=\underline{\quad}$ 对 $9$ 的余数相同。
  3. 第 3 步（不够减就借一个除数）：$-2$ 是负数，加上一个 $9$，$-2+9=\underline{\quad}$。
28. 【原题 ch16-xingqu-06】$4$ 个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为 $101,126,173,193$。规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以 $3$ 所得的余数。请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？
详细思路
是哪类问题：这是「余数的可加性 + 两两组合枚举」类：先把号码换成余数，再逐对求和的余数，最后比较总盘数。
关键切入点：两个号码之和除以 $3$ 的余数，等于它们各自余数之和除以 $3$ 的余数，所以只要记住每人号码的余数 $2,0,2,1$，配对时心算即可。
方法概述：号码化余数 → 两两求和的余数 → 逐人求和比较。
规范步骤：
  1. 求各号码除以 $3$ 的余数：$101,126,173,193$ 的余数是 $2,0,2,1$（余数的可加性）
  2. $101$ 号的三场：$(2+0),(2+2),(2+1)$ 对 $3$ 的余数为 $2,1,0$，共 $2+1+0=3$ 盘（两两组合）
  3. $126$ 号的三场：$(0+2),(0+2),(0+1)$ 的余数为 $2,2,1$，共 $2+2+1=5$ 盘（两两组合）
  4. $173$ 号与 $193$ 号：$173$：$1+2+0=3$ 盘；$193$：$0+1+0=1$ 盘（两两组合）
  5. 比较取最大：$5>3>1$，最多是 $126$ 号的 $5$ 盘（枚举比较）
第一套
题目：$4$ 名运动员的号码是 $207,314,428,533$。每两人比赛的盘数是两人号码之和除以 $3$ 的余数。比赛盘数最多的运动员打了多少盘？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（号码化余数）：$207-3\times69=\underline{\quad}$，$314-3\times104=\underline{\quad}$，$428-3\times142=\underline{\quad}$，$533-3\times177=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（$207$ 号）：与另三人余数和分别是 $0+2,0+2,0+2$，对 $3$ 的余数都是 $2$，共 $2+2+2=\underline{\quad}$ 盘。
  3. 第 3 步（$314$ 号）：与三人余数和是 $2+0=2$、$2+2=4$、$2+2=4$，对应盘数 $2,1,1$，共 $2+1+1=\underline{\quad}$ 盘。
  4. 第 4 步（另两人同理各 $4$ 盘，比较）：最多是 $\underline{\quad}$ 盘。
第二套
题目：$4$ 个班的班牌号是 $207,314,428,533$。规定每两个班之间要合唱的曲目数等于两个班牌号之和除以 $3$ 的余数。合唱曲目最多的班唱了多少首？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（班牌号化余数）：$207-3\times69=\underline{\quad}$，$314-3\times104=\underline{\quad}$，$428-3\times142=\underline{\quad}$，$533-3\times177=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（$207$ 班）：与另三班的余数和都是 $0+2=2$，共 $2+2+2=\underline{\quad}$ 首。
  3. 第 3 步（$314$ 班）：余数和为 $2,4,4$，对应 $2,1,1$，共 $2+1+1=\underline{\quad}$ 首。
  4. 第 4 步（比较）：另两班同样是 $4$ 首，最多的是 $\underline{\quad}$ 首。
第三套
题目：$5$ 名运动员的号码是 $207,314,428,533,641$。每两人比赛盘数是号码之和除以 $3$ 的余数。盘数最多的运动员打了多少盘？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（号码化余数）：$207$ 余 $0$，其余四个数的余数是 $314-3\times104=\underline{\quad}$，$428-3\times142=\underline{\quad}$，$533-3\times177=\underline{\quad}$，$641-3\times213=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（$207$ 号）：与另四人余数和都是 $0+2=2$，共 $2\times4=\underline{\quad}$ 盘。
  3. 第 3 步（其余每人）：与 $207$ 打 $2$ 盘，与另外三名余数为 $2$ 的各打 $4-3=\underline{\quad}$ 盘，共 $2+1\times3=\underline{\quad}$ 盘。
  4. 第 4 步（比较）：最多的是 $\underline{\quad}$ 盘。
第三套
题目：$4$ 名运动员的号码是 $1015,2026,3037,4048$。每两人比赛盘数是号码之和除以 $4$ 的余数。盘数最多的运动员打了多少盘？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（号码化余数，看末两位除以 4）：$1015-4\times253=\underline{\quad}$，$2026-4\times506=\underline{\quad}$，$3037-4\times759=\underline{\quad}$，$4048-4\times1012=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（$1015$ 号，余数 3）：与另三人余数和 $3+2=5$、$3+1=\underline{\quad}$、$3+0=3$，对 $4$ 取余得 $1,0,3$，共 $1+0+3=\underline{\quad}$ 盘。
  3. 第 3 步（$2026$ 号，余数 2）：余数和 $2+3=5$、$2+1=3$、$2+0=2$，对 $4$ 取余得 $1,3,2$，共 $1+3+2=\underline{\quad}$ 盘。
  4. 第 4 步（$3037$、$4048$ 号同理为 $4$ 盘和 $6$ 盘，比较）：最多是 $\underline{\quad}$ 盘。
29. 【原题 ch16-xingqu-07】某工厂有 $128$ 名工人生产零件，他们每个月工作 $23$ 天，在工作期间同每人每天可以生产 $300$ 个零件。月底将这些零件按 $17$ 个一包的规格打包，发现最后一包不够 $17$ 个。请问：最后一包有多少个零件？
详细思路
是哪类问题：这是「乘积的余数（可乘性）」类：总数是几个数的连乘积，只要把每个因数换成余数再乘。
关键切入点：总零件数 $128\times23\times300$ 太大，但「最后一包有几个」就是它除以 $17$ 的余数。由可乘性，先把 $128,23,300$ 各自对 $17$ 取余得 $9,6,11$，再算 $9\times6\times11=594$ 的余数即可。
方法概述：各因数取余 → 小乘积再取余。
规范步骤：
  1. 各因数对 $17$ 取余：$128=17\times7+9$，$23=17\times1+6$，$300=17\times17+11$（余数的可乘性）
  2. 算小乘积：$9\times6\times11=594$（余数的可乘性）
  3. 小乘积再取余：$594=17\times34+16$（带余除法）
  4. 写出答案：$最后一包有 16 个$
第一套
题目：某工厂有 $256$ 名工人，每人每月工作 $29$ 天，每人每天生产零件 $450$ 个。月底按 $19$ 个一包打包，最后一包不够 $19$ 个。最后一包有多少个零件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各因数取余）：$256-19\times13=\underline{\quad}$，$29-19\times1=\underline{\quad}$，$450-19\times23=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算小乘积）：$9\times10\times13=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（小乘积再取余）：$1170-19\times61=\underline{\quad}$。
第二套
题目：果园有 $256$ 棵果树，每棵树采摘 $29$ 天，每棵树每天采 $450$ 个果子。全部果子按 $19$ 个装一袋，最后一袋装不满。最后一袋有多少个果子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各因数取余）：$256-19\times13=\underline{\quad}$，$29-19\times1=\underline{\quad}$，$450-19\times23=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算小乘积）：$9\times10\times13=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再取余）：$1170-19\times61=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：一年 $365$ 天，某厂每天生产零件 $1234$ 个，共有 $24$ 条生产线同时生产。年终按 $23$ 个一包打包，最后一包有多少个零件？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各因数取余）：$365-23\times15=\underline{\quad}$，$1234-23\times53=\underline{\quad}$，$24-23\times1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算小乘积）：$20\times15\times1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再取余）：$300-23\times13=\underline{\quad}$。
第三套
题目：某工厂有 $256$ 名工人，每人每月工作 $29$ 天，每人每天生产零件 $450$ 个，这样的生产持续了 $7$ 个月。最后按 $19$ 个一包打包，最后一包有多少个零件？还差多少个才装满一包？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各因数取余）：$256$ 余 $9$，$29$ 余 $10$，$450$ 余 $13$，$7$ 余 $7-19\times0=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算小乘积）：$9\times10\times13\times7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再取余）：$8190-19\times431=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（追问差几个）：一包 $19$ 个，还差 $19-1=\underline{\quad}$ 个。
30. 【原题 ch16-xingqu-08】（1）$2^{20}$ 除以 $7$ 的余数是多少？（2）$14^{14}$ 除以 $11$ 的余数是多少？（3）$28^{121}$ 除以 $13$ 的余数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「幂的余数周期性」类：同一个底数的各次方除以固定除数，余数会周期性重复。
关键切入点：把底数先换成它对除数的余数（更小更好算），再列出前几个幂的余数找出周期长度；指数除以周期长度的余数，决定它与第几个幂同余。
方法概述：换小底数 → 列余数找周期 → 指数对周期长取余 → 对号入座。
规范步骤：
  1. (1) $2$ 的幂除以 $7$：余数按 $2,4,1$ 循环，周期 $3$；$20=3\times6+2$，与 $2^2$ 同余，余 $4$（幂的余数周期性）
  2. (2) 换小底数：$14=11+3$，故 $14^{14}$ 与 $3^{14}$ 除以 $11$ 同余（底数换为同余的较小数）
  3. (2) 找周期：$3$ 的幂除以 $11$ 余 $3,9,5,4,1$ 循环，周期 $5$；$14=5\times2+4$，与 $3^4$ 同余，余 $4$（幂的余数周期性）
  4. (3) 换底数并找周期：$28=13\times2+2$，$2$ 的幂除以 $13$ 周期 $12$；$121=12\times10+1$，与 $2^1$ 同余，余 $2$（幂的余数周期性）
  5. 写出答案：$（1）4；（2）4；（3）2$
第一套
题目：（1）$3^{50}$ 除以 $7$ 的余数是多少？（2）$15^{20}$ 除以 $13$ 的余数是多少？（3）$47^{101}$ 除以 $19$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（(1) 找周期）：$3$ 的各次方除以 $7$ 的余数依次是 $3,2,6,4,5,1$，周期长 $6$。$50$ 除以 $6$ 的余数是 $50-6\times8=\underline{\quad}$，所以与第 $2$ 个余数相同，是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（(2) 换小底数）：$15-13=\underline{\quad}$，所以 $15^{20}$ 与 $2^{20}$ 除以 $13$ 同余。
  3. 第 3 步（(2) 找周期）：$2$ 的各次方除以 $13$ 的余数以 $12$ 为周期，$20-12=\underline{\quad}$，与 $2^8$ 同余；$2^8=256$，$256-13\times19=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（(3) 换小底数）：$47-19\times2=\underline{\quad}$，所以与 $9^{101}$ 除以 $19$ 同余。
  5. 第 5 步（(3) 找周期）：$9$ 的各次方除以 $19$ 的余数依次是 $9,5,7,6,16,11,4,17,1$，周期长 $9$。$101-9\times11=\underline{\quad}$，与第 $2$ 个余数相同，是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：一串彩灯按规律闪烁：第 $n$ 秒亮的灯号等于 $3^{n}$ 除以 $7$ 的余数。（1）第 $50$ 秒亮几号灯？（2）另一串灯第 $n$ 秒亮的灯号是 $15^{n}$ 除以 $13$ 的余数，第 $20$ 秒亮几号灯？（3）第三串灯第 $n$ 秒的灯号是 $47^{n}$ 除以 $19$ 的余数，第 $101$ 秒亮几号灯？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（(1) 找周期）：$3$ 的各次方除以 $7$ 的余数是 $3,2,6,4,5,1$ 循环，周期 $6$。$50-6\times8=\underline{\quad}$，所以看第 $2$ 个，是 $\underline{\quad}$ 号灯。
  2. 第 2 步（(2) 换小底数）：$15-13=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（(2) 找周期）：周期是 $12$，$20-12=\underline{\quad}$，$2^8=256$，$256-13\times19=\underline{\quad}$ 号灯。
  4. 第 4 步（(3) 换小底数）：$47-19\times2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（(3) 找周期）：周期 $9$，$101-9\times11=\underline{\quad}$，看第 $2$ 个余数 $\underline{\quad}$ 号灯。
第三套
题目：（1）$5^{40}$ 除以 $7$ 的余数是多少？（2）$9^{77}$ 除以 $13$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（(1) 列周期）：$5$ 的各次方除以 $7$ 的余数依次是 $5,4,6,2,3,1$，周期长 $6$。
  2. 第 2 步（(1) 对号入座）：$40-6\times6=\underline{\quad}$，看第 $4$ 个余数，是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（(2) 列周期）：$9$ 的各次方除以 $13$ 的余数是 $9,3,1$ 循环，周期长 $3$（因为 $9\times9=81$，$81-13\times6=\underline{\quad}$）。
  4. 第 4 步（(2) 对号入座）：$77-3\times25=\underline{\quad}$，看第 $2$ 个余数，是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：$2^{100}+3^{100}$ 除以 $7$ 的余数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一个幂）：$2$ 的各次方除以 $7$ 的余数按 $2,4,1$ 循环，周期 $3$。$100-3\times33=\underline{\quad}$，与 $2^1$ 同余，余 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二个幂）：$3$ 的各次方除以 $7$ 的余数按 $3,2,6,4,5,1$ 循环，周期 $6$。$100-6\times16=\underline{\quad}$，与 $3^4$ 同余，$81-7\times11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用可加性合起来）：两个余数相加 $2+4=\underline{\quad}$，比 $7$ 小，就是答案。
31. 【原题 ch16-xingqu-09】一个三位数除以 $21$ 余 $17$，除以 $20$ 也余 $17$，这个数最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「几个除法余数相同 → 减余数后是公倍数」类。
关键切入点：这个数除以 $21$ 与 $20$ 都余 $17$，说明它减去 $17$ 后同时被 $21$ 和 $20$ 整除，即是 $[21,20]=420$ 的倍数；再加回 $17$，并取最小的三位数。
方法概述：减公共余数 → 求最小公倍数 → 加回余数 → 按位数要求取最小。
规范步骤：
  1. 减去公共余数：这个数 $-17$ 同时是 $21$ 和 $20$ 的倍数（余数相同转化为公倍数）
  2. 求最小公倍数：$21$ 与 $20$ 互质，$[21,20]=21\times20=420$（最小公倍数）
  3. 写出所有可能：$17,\;420+17,\;840+17,\cdots$（公倍数加余数）
  4. 取最小三位数：$17$ 不是三位数，$420+17=437$（最小三位数）
  5. 验算：$437=21\times20+17=20\times21+17$（带余除法）
第一套
题目：一个三位数除以 $25$ 余 $23$，除以 $24$ 也余 $23$，这个数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减公共余数）：这个数减去 $23$ 后既是 $25$ 的倍数，也是 $24$ 的倍数。
  2. 第 2 步（求最小公倍数）：$25$ 与 $24$ 互质，$[25,24]=25\times24=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加回余数）：满足条件的数是 $23,\;600+23=\underline{\quad},\;1200+23,\cdots$。
  4. 第 4 步（取最小三位数）：$23$ 不是三位数，所以最小是 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$623-25\times24=\underline{\quad}$，$623-24\times25=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一箱糖果的数量是个三位数。每 $25$ 颗装一袋剩 $23$ 颗，每 $24$ 颗装一袋也剩 $23$ 颗。这箱糖最少有多少颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减公共余数）：去掉剩下的 $23$ 颗，余下的数量同时能被 $25$ 和 $24$ 整除。
  2. 第 2 步（求最小公倍数）：$[25,24]=25\times24=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（加回余数）：可能的数量是 $23,\;600+23=\underline{\quad},\;1223,\cdots$。
  4. 第 4 步（取最小三位数）：最少是 $\underline{\quad}$ 颗。
  5. 第 5 步（验算）：$623-25\times24=\underline{\quad}$，$623-24\times25=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个三位数除以 $36$ 余 $29$，除以 $30$ 也余 $29$，这个数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减公共余数）：这个数减 $29$ 后同时是 $36$ 与 $30$ 的倍数。
  2. 第 2 步（求最小公倍数，注意两数不互质）：$36=6\times6$，$30=6\times5$，$[36,30]=6\times6\times5=\underline{\quad}$（不是 $36\times30$）。
  3. 第 3 步（加回余数）：可能的数是 $29,\;180+29=\underline{\quad},\;389,\cdots$。
  4. 第 4 步（取最小三位数）：最小是 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$209-36\times5=\underline{\quad}$，$209-30\times6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个四位数除以 $25$ 余 $23$，除以 $24$ 也余 $23$。求这个最小的四位数，并求它除以 $12$ 的余数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（减公共余数求最小公倍数）：$[25,24]=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列出所有可能）：$23,\;623,\;600\times2+23=\underline{\quad},\;1823,\cdots$。
  3. 第 3 步（取最小四位数）：$623$ 只有三位，所以最小的四位数是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（再求除以 12 的余数）：$1223-12\times101=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch16-xingqu-10】有一个数，除以 $3$ 的余数是 $2$，除以 $4$ 的余数是 $1$。请问：这个数除以 $12$ 余数是几？
详细思路
是哪类问题：这是「物不知数（同余合并）」类：两个余数条件合并成一个对最小公倍数的余数条件。
关键切入点：先在 $12$ 以内找同时满足「除以 $3$ 余 $2$、除以 $4$ 余 $1$」的数，只有 $5$；再说明加上 $3$ 和 $4$ 的公倍数（即 $12$ 的倍数）后两个条件都不变，所以这些数都是 $12k+5$。
方法概述：小范围枚举找首解 → 加最小公倍数生成全部 → 读出对 $12$ 的余数。
规范步骤：
  1. 列除以 $3$ 余 $2$ 的数：$2,5,8,11,\cdots$（枚举）
  2. 在 $12$ 以内筛出除以 $4$ 余 $1$ 的：$5\div4=1\cdots\cdots1$，只有 $5$（枚举求最小解）
  3. 加 $12$ 的倍数条件不变：$5,17,29,41,\cdots$（最小公倍数12）
  4. 读出余数：这些数除以 $12$ 都余 $5$（物不知数）
第一套
题目：有一个数，除以 $5$ 的余数是 $3$，除以 $7$ 的余数是 $2$。请问：这个数除以 $35$ 的余数是几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列一串数）：除以 $5$ 余 $3$ 的数有 $3,8,13,18,23,28,33,\cdots$。
  2. 第 2 步（筛出除以 7 余 2 的）：逐个试，$23-7\times3=\underline{\quad}$，所以第一个符合的数是 $23$。
  3. 第 3 步（求两个除数的最小公倍数）：$5$ 与 $7$ 互质，$[5,7]=5\times7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（生成全部并读出余数）：所有符合的数是 $23,\;23+35=\underline{\quad},\;93,\cdots$，它们除以 $35$ 都余 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：一堆棋子，每 $5$ 颗一堆最后剩 $3$ 颗，每 $7$ 颗一堆最后剩 $2$ 颗。请问：这堆棋子按 $35$ 颗一堆分，最后剩几颗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列一串数）：每 $5$ 颗一堆剩 $3$ 颗，说明棋子数是 $3,8,13,18,23,\cdots$ 之一。
  2. 第 2 步（筛出每 7 颗剩 2 颗的）：$23-7\times3=\underline{\quad}$，所以最小是 $23$ 颗。
  3. 第 3 步（求最小公倍数）：$[5,7]=5\times7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（生成全部）：可能的颗数是 $23,\;23+35=\underline{\quad},\;93,\cdots$，按 $35$ 颗一堆都剩 $\underline{\quad}$ 颗。
第三套
题目：有一个数，除以 $4$ 的余数是 $3$，除以 $9$ 的余数是 $7$。请问：这个数除以 $36$ 的余数是几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列一串数）：除以 $9$ 余 $7$ 的数有 $7,16,25,34,\cdots$；除以 $4$ 余 $3$ 的数有 $3,7,11,\cdots$。
  2. 第 2 步（找首解）：两串里第一个共同的数是 $7$，验算 $7-4\times1=\underline{\quad}$，$7-9\times0=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求最小公倍数）：$4$ 与 $9$ 互质，$[4,9]=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（生成全部并读余数）：所有符合的数是 $7,\;7+36=\underline{\quad},\;79,\cdots$，除以 $36$ 都余 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：有一个数，除以 $3$ 余 $2$，除以 $4$ 余 $1$，除以 $5$ 余 $3$。请问：这个数除以 $60$ 的余数是几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先合并前两个条件）：除以 $3$ 余 $2$、除以 $4$ 余 $1$ 的最小数是 $5$，这样的数是 $5,17,29,41,53,\cdots$，公差是 $3\times4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（再筛第三个条件）：在这串数里找除以 $5$ 余 $3$ 的，$53-5\times10=\underline{\quad}$，所以首解是 $53$。
  3. 第 3 步（求三数的最小公倍数）：$3,4,5$ 两两互质，$[3,4,5]=3\times4\times5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（读出余数）：所有符合的数是 $53,\;53+60=\underline{\quad},\;173,\cdots$，除以 $60$ 都余 $\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 2. ch16-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（列末两位周期）：$7,49,343,2401,\cdots$ 的末两位是 $07,49,43,01$，周期长 $\underline{4}$。
    2. 第 2 步（一周期之和）：$7+49+43+1=\underline{100}$，末两位是 $00$，可整批消去。
    3. 第 3 步（分组）：$2010-4\times502=\underline{2}$，即 $502$ 个整周期，还剩 $2$ 项。
    4. 第 4 步（只算零头）：剩下的是周期里的前 $2$ 个，$7+49=\underline{56}$，末两位是 $\underline{56}$。
    最终答案：末两位数字是 $56$。
  2. 2. ch16-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（列末两位周期）：每天新增数的末两位是 $07,49,43,01$ 循环，周期长 $\underline{4}$。
    2. 第 2 步（一周期之和）：$7+49+43+1=\underline{100}$，末两位为 $00$。
    3. 第 3 步（分组）：$2010-4\times502=\underline{2}$，有 $502$ 个整周期，剩 $2$ 天。
    4. 第 4 步（只算零头）：$7+49=\underline{56}$，末两位是 $\underline{56}$。
    最终答案：末两位数字是 $56$。
  3. 2. ch16-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（周期与整周期和）：末两位按 $07,49,43,01$ 循环，一周期之和 $7+49+43+1=\underline{100}$，末两位为 $00$。
    2. 第 2 步（分组）：$2013-4\times503=\underline{1}$，即 $503$ 个整周期，还剩 $1$ 项。
    3. 第 3 步（只算零头）：剩下的是周期里的第 $1$ 个，末两位是 $\underline{7}$。
    最终答案：末两位数字是 $07$。
  4. 2. ch16-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（分组）：末两位周期 $07,49,43,01$，一周期和末两位为 $00$；$2011-4\times502=\underline{3}$，有 $502$ 个整周期，剩 $3$ 项。
    2. 第 2 步（算零头）：$7+49+43=\underline{99}$，所以末两位是 $99$。
    3. 第 3 步（除以 4 只看末两位）：$99-4\times24=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（作答）：末两位是 $\underline{99}$，除以 $4$ 余 $3$。
    最终答案：末两位数字是 $99$；这个和除以 $4$ 余 $3$。
  5. 3. ch16-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（数一数有几个乘数）：从 $1$ 到 $2011$ 的奇数共 $(2011+1)\div2=\underline{1006}$ 个。
    2. 第 2 步（求除以 4 的余数）：奇数除以 $4$ 的余数按 $1,3$ 交替，$1006$ 个乘数正好配成 $1006\div2=\underline{503}$ 对，每对乘积除以 $4$ 余 $3$；$3$ 的连乘除以 $4$ 按 $3,1$ 循环，$503$ 是奇数，所以余 $\underline{3}$。
    3. 第 3 步（求除以 25 的余数）：乘数里有 $5,15,25,\cdots$，积是 $25$ 的倍数，余 $\underline{0}$。
    4. 第 4 步（在 100 以内合并）：除以 $25$ 余 $0$ 的数是 $0,25,50,75$，其中除以 $4$ 余 $3$ 的是 $\underline{75}$（$75-4\times18=\underline{3}$）。
    最终答案：末两位数字是 $75$。
  6. 3. ch16-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（数乘数个数）：奇数共 $(2011+1)\div2=\underline{1006}$ 个。
    2. 第 2 步（除以 4）：配成 $1006\div2=\underline{503}$ 对，每对余 $3$；$3$ 的连乘按 $3,1$ 循环，$503$ 为奇数，余 $\underline{3}$。
    3. 第 3 步（除以 25）：积含因数 $25$，余 $\underline{0}$。
    4. 第 4 步（合并）：$0,25,50,75$ 中除以 $4$ 余 $3$ 的是 $\underline{75}$（验算 $75-4\times18=\underline{3}$）。
    最终答案：密码是 $75$。
  7. 3. ch16-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（数乘数个数）：奇数共 $(3009+1)\div2=\underline{1505}$ 个。
    2. 第 2 步（除以 4）：前 $1504$ 个配成 $1504\div2=\underline{752}$ 对，每对余 $3$，$752$ 是偶数所以这部分余 $1$；最后一个乘数 $3009$ 除以 $4$ 余 $3009-4\times752=\underline{1}$，所以总积除以 $4$ 余 $1\times1=\underline{1}$。
    3. 第 3 步（除以 25）：积含 $25$ 这个因数，余 $\underline{0}$。
    4. 第 4 步（合并）：$0,25,50,75$ 中除以 $4$ 余 $1$ 的是 $\underline{25}$。
    最终答案：末两位数字是 $25$。
  8. 3. ch16-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求除以 4 的余数）：$1006$ 个乘数配成 $503$ 对，每对余 $3$，$3$ 的连乘按 $3,1$ 循环，$503$ 为奇数，余 $\underline{3}$。
    2. 第 2 步（求除以 25 的余数）：积含因数 $25$，余 $\underline{0}$。
    3. 第 3 步（合并求末两位）：$0,25,50,75$ 中除以 $4$ 余 $3$ 的是 $\underline{75}$。
    4. 第 4 步（读出个位）：末两位是 $75$，所以个位数字是 $75-70=\underline{5}$。
    最终答案：末两位是 $75$；除以 $4$ 余 $3$；个位数字是 $5$。
  9. 4. ch16-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（看出都差几）：$9-8=\underline{1}$，$8-7=1$，……，$4-3=1$，都差 $1$。
    2. 第 2 步（加 1 化为公倍数）：吸管数 $+1$ 能同时被 $4,5,6,7,8,9$ 整除。
    3. 第 3 步（求最小公倍数）：$[4,5,6,7,8,9]=8\times9\times5\times7=\underline{2520}$。
    4. 第 4 步（列出候选）：$2520-1=2519$，$2520\times2-1=\underline{5039}$，$2520\times3-1=\underline{7559}$，$2520\times4-1=10079$。
    5. 第 5 步（用范围定解）：$7000$ 多的是 $\underline{7559}$。
    最终答案：一共有 $7559$ 根吸管。
  10. 4. ch16-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（都差几）：$9-8=\underline{1}$，每种规格都差 $1$。
    2. 第 2 步（加 1 化为公倍数）：卡片数 $+1$ 能被 $4\sim9$ 全部整除。
    3. 第 3 步（求最小公倍数）：$[4,5,6,7,8,9]=8\times9\times5\times7=\underline{2520}$。
    4. 第 4 步（列候选）：$2519$，$2520\times2-1=\underline{5039}$，$2520\times3-1=\underline{7559}$。
    5. 第 5 步（用范围定解）：$\underline{7559}$ 张。
    最终答案：一共有 $7559$ 张卡片。
  11. 4. ch16-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（看出都差 1）：$11-10=\underline{1}$，每种都差 $1$。
    2. 第 2 步（求最小公倍数）：$[6,7,8,9,10,11]=8\times9\times5\times7\times11=\underline{27720}$。
    3. 第 3 步（减 1 得候选）：$27720-1=\underline{27719}$。
    4. 第 4 步（用范围核对）：$27719$ 正好是 $2$ 万多，下一个 $27720\times2-1=\underline{55439}$ 已是 $5$ 万多，超出范围。
    最终答案：一共有 $27719$ 颗珠子。
  12. 4. ch16-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（加 1 化为公倍数）：这个数 $+1$ 是 $[4,5,6,7,8,9]=\underline{2520}$ 的倍数。
    2. 第 2 步（列出候选）：$2519,\;5039,\;7559,\;2520\times4-1=\underline{10079}$。
    3. 第 3 步（取最小五位数）：前三个都是四位数，所以最小五位数是 $\underline{10079}$。
    4. 第 4 步（求它除以 11 的余数）：$10079-11\times916=\underline{3}$。
    最终答案：最小的五位数是 $10079$，它除以 $11$ 余 $3$。
  13. 5. ch16-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（设中间数并化条件）：设中间数为 $n$，则 $n$ 是 $11$ 的倍数，$n-1$ 是 $9$ 的倍数，$n+1$ 是 $13$ 的倍数。
    2. 第 2 步（先合并前两条）：$11$ 的倍数里，第一个比 $9$ 的倍数大 $1$ 的是 $55$（$55-1=54=9\times\underline{6}$），此后公差是 $9\times11=\underline{99}$。
    3. 第 3 步（列出这串数）：$55,\;55+99=\underline{154},\;253,\;352,\;451,\;550,\;649,\cdots$。
    4. 第 4 步（再筛第三条）：$649+1=\underline{650}$，$650\div13=\underline{50}$ 是整数，符合。
    5. 第 5 步（写出最小的数）：三个数是 $648,649,650$，最小的是 $649-1=\underline{648}$。
    最终答案：最小的是 $648$（三数为 $648,649,650$）。
  14. 5. ch16-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（设中间筐为 $n$）：$n$ 是 $11$ 的倍数，$n-1$ 是 $9$ 的倍数，$n+1$ 是 $13$ 的倍数。
    2. 第 2 步（合并前两条）：第一个符合的是 $55$（$55-1=54=9\times\underline{6}$），公差 $9\times11=\underline{99}$。
    3. 第 3 步（列数）：$55,\;55+99=\underline{154},\;253,\cdots,\;649$。
    4. 第 4 步（筛第三条）：$649+1=\underline{650}$，$650\div13=\underline{50}$，符合。
    5. 第 5 步（作答）：最少的一筐是 $649-1=\underline{648}$ 个。
    最终答案：最少的一筐有 $648$ 个苹果。
  15. 5. ch16-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（设中间数）：$n$ 是 $11$ 的倍数，$n-1$ 是 $7$ 的倍数，$n+1$ 是 $13$ 的倍数。
    2. 第 2 步（合并前两条）：$11$ 的倍数中第一个比 $7$ 的倍数大 $1$ 的是 $99$（$99-1=98=7\times\underline{14}$），公差 $7\times11=\underline{77}$。
    3. 第 3 步（列出这串数）：$99,\;99+77=\underline{176},\;253,\;330,\cdots,\;792$。
    4. 第 4 步（筛第三条）：$792+1=\underline{793}$，$793\div13=\underline{61}$ 是整数，符合。
    5. 第 5 步（作答）：三个数是 $791,792,793$，最小的是 $792-1=\underline{791}$。
    最终答案：最小的是 $791$（三数为 $791,792,793$）。
  16. 5. ch16-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（设最小数为 $m$）：$m$ 是 $5$ 的倍数，$m+1$ 是 $7$ 的倍数，$m+2$ 是 $9$ 的倍数，$m+3$ 是 $11$ 的倍数。
    2. 第 2 步（先合并前两条）：$5$ 的倍数中第一个比 $7$ 的倍数小 $1$ 的是 $20$（$20+1=21=7\times\underline{3}$），公差 $5\times7=\underline{35}$。
    3. 第 3 步（再筛第三条）：$20,55,90,125,160,\cdots$ 中，$160+2=162$，$162\div9=\underline{18}$ 是整数，符合；此后公差变成 $5\times7\times9=\underline{315}$。
    4. 第 4 步（再筛第四条）：$160,\;160+315=475,\;790,\;1105,\;1420,\;160+315\times5=\underline{1735}$，其中 $1735+3=1738$，$1738\div11=\underline{158}$ 是整数。
    5. 第 5 步（作答）：四个数是 $1735,1736,1737,1738$，最小的是 $\underline{1735}$。
    最终答案：最小的是 $1735$（四数为 $1735,1736,1737,1738$）。
  17. 9. ch16-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（减余数）：$2222-88=\underline{2134}$，这个数能被除数整除。
    2. 第 2 步（分解质因数）：$2134=2\times11\times\underline{97}$。
    3. 第 3 步（列两位数约数）：$11,22,\underline{97}$（$2\times11=22$，$97$ 本身是质数）。
    4. 第 4 步（用大于余数 88 筛）：$11,22$ 都不够大，只有 $\underline{97}$ 比 $88$ 大。
    5. 第 5 步（验算）：$2134\div97=\underline{22}$，$97\times22+88=\underline{2222}$。
    最终答案：这个两位数是 $97$。
  18. 9. ch16-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（减余数）：能整装的球是 $2222-88=\underline{2134}$（个）。
    2. 第 2 步（分解质因数）：$2134=2\times11\times\underline{97}$。
    3. 第 3 步（列两位数约数）：$11,22,\underline{97}$。
    4. 第 4 步（筛选）：剩了 $88$ 个，说明每盒要比 $88$ 多，只有 $\underline{97}$ 合适。
    5. 第 5 步（验算）：$2134\div97=\underline{22}$（盒），$97\times22+88=\underline{2222}$（个）。
    最终答案：每盒装 $97$ 个。
  19. 9. ch16-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（减余数）：$3333-77=\underline{3256}$。
    2. 第 2 步（分解质因数）：$3256=2\times2\times2\times11\times\underline{37}$。
    3. 第 3 步（列两位数约数）：$11,22,37,44,74,\underline{88}$。
    4. 第 4 步（用大于 77 筛）：前面几个都不够大，只有 $\underline{88}$ 比 $77$ 大。
    5. 第 5 步（求商并验算）：$3256\div88=\underline{37}$，$88\times37+77=\underline{3333}$。
    最终答案：这个两位数是 $88$，商是 $37$。
  20. 9. ch16-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（减余数）：$4444-55=\underline{4389}$。
    2. 第 2 步（分解质因数）：$4389=3\times7\times11\times\underline{19}$。
    3. 第 3 步（列大于 55 的两位数约数）：$3\times19=57$，$7\times11=\underline{77}$，两个候选都比 $55$ 大。
    4. 第 4 步（求各自的商）：$4389\div57=\underline{77}$，$4389\div77=\underline{57}$。
    5. 第 5 步（用「除数比商大」定夺）：$57<77$ 不合，$77>57$ 合，所以除数是 $\underline{77}$，商是 $57$。
    6. 第 6 步（验算）：$77\times57+55=\underline{4444}$。
    最终答案：这个两位数是 $77$，商是 $57$。
  21. 10. ch16-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（除以 4 只看末两位）：末两位是 $37$，$37-4\times9=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（除以 125 只看末三位）：末三位是 $637$，$637-125\times\underline{5}=12$。
    3. 第 3 步（写出两个余数）：除以 $4$ 余 $\underline{1}$，除以 $125$ 余 $\underline{12}$。
    最终答案：除以 $4$ 余 $1$；除以 $125$ 余 $12$。
  22. 10. ch16-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（除以 4）：只看末两位 $37$，$37-4\times9=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（除以 125）：只看末三位 $637$，$637-125\times5=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（作答）：除以 $4$ 余 $\underline{1}$，除以 $125$ 余 $\underline{12}$。
    最终答案：除以 $4$ 余 $1$；除以 $125$ 余 $12$。
  23. 10. ch16-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（除以 9 看数字和）：每块数字和是 $6+0+6=\underline{12}$，共 $31$ 块，总和 $12\times31=\underline{372}$。
    2. 第 2 步（数字和取余）：$372-9\times41=\underline{3}$。
    3. 第 3 步（除以 11 看奇偶位差，先找抵消的整块）：每 $2$ 块合成 $606606$ 共 $6$ 位，其中奇数位数字和与偶数位数字和都是 $6+6+0=\underline{12}$，差为 $0$，对余数没有影响；$31$ 块中有 $15$ 对，剩下 $31-30=\underline{1}$ 块。
    4. 第 4 步（只看剩下的一块 $606$）：它的三位分别处在奇、偶、奇位上，奇数位和 $6+6=\underline{12}$，偶数位和是 $0$，差 $12-0=\underline{12}$，再减 $11$ 得 $12-11=\underline{1}$。
    最终答案：除以 $9$ 余 $3$；除以 $11$ 余 $1$。
  24. 10. ch16-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（找整除的整块）：$99=9\times11$。每 $2$ 块 $606606$ 的数字和是 $12\times2=\underline{24}$（是 $9$ 的倍数），且位数为 $6$（奇偶位和相等，差为 $0$，是 $11$ 的倍数），所以每 $2$ 块组成的 $606606$ 能被 $99$ 整除。
    2. 第 2 步（拆出整除部分）：$31$ 块里，前 $30$ 块正好是 $15$ 个 $606606$，都能被 $99$ 整除，$31-30=\underline{1}$ 块剩下。
    3. 第 3 步（只看剩下的一块）：剩下的是 $606$，$606-99\times6=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（作答）：所以余数是 $\underline{12}$。
    最终答案：余 $12$。
  25. 11. ch16-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（日产量取余）：$2345-23\times101=\underline{22}$。
    2. 第 2 步（天数取余）：$366-23\times15=\underline{21}$。
    3. 第 3 步（算小积）：$22\times21=\underline{462}$。
    4. 第 4 步（小积再取余）：$462-23\times20=\underline{2}$。
    最终答案：最后一包有 $2$ 个零件。
  26. 11. ch16-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（日产量取余）：$2345-23\times101=\underline{22}$。
    2. 第 2 步（天数取余）：$366-23\times15=\underline{21}$。
    3. 第 3 步（算小积）：$22\times21=\underline{462}$。
    4. 第 4 步（再取余）：$462-23\times20=\underline{2}$（个）。
    最终答案：最后一盘有 $2$ 个鸡蛋。
  27. 11. ch16-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（各因数取余）：$1357-21\times64=\underline{13}$，$366-21\times17=\underline{9}$，$2$ 除以 $21$ 余 $2$。
    2. 第 2 步（算小积）：$13\times9\times2=\underline{234}$。
    3. 第 3 步（小积再取余）：$234-21\times11=\underline{3}$。
    最终答案：最后一包有 $3$ 个零件。
  28. 11. ch16-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（乘积部分取余）：$2345$ 余 $22$，$366$ 余 $21$，$22\times21=462$，$462-23\times20=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（零头部分取余）：$100-23\times4=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（用可加性合并）：$2+8=\underline{10}$，比 $23$ 小，就是余数。
    最终答案：最后一包有 $10$ 个零件。
  29. 12. ch16-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（列个位周期）：$3,9,27,81,243,\cdots$ 的个位是 $3,9,7,1,3,\cdots$，周期长 $\underline{4}$。
    2. 第 2 步（指数取余）：$89-4\times22=\underline{1}$。
    3. 第 3 步（对号入座）：与第 $1$ 个相同，个位是 $\underline{3}$。
    4. 第 4 步（再减 1）：$3-1=\underline{2}$。
    最终答案：个位数字是 $2$。
  30. 12. ch16-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（列个位周期）：$3$ 连乘的个位依次是 $3,9,7,1$ 循环，周期长 $\underline{4}$。
    2. 第 2 步（小时数取余）：$89-4\times22=\underline{1}$。
    3. 第 3 步（对号入座）：$89$ 小时后个数的个位是第 $1$ 个，即 $\underline{3}$。
    4. 第 4 步（死掉 1 个）：$3-1=\underline{2}$。
    最终答案：个位数字是 $2$。
  31. 12. ch16-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（列个位周期）：$7,49,343,2401,\cdots$ 的个位是 $7,9,3,1$ 循环，周期长 $\underline{4}$。
    2. 第 2 步（指数取余）：$102-4\times25=\underline{2}$。
    3. 第 3 步（对号入座）：与第 $2$ 个相同，个位是 $\underline{9}$。
    4. 第 4 步（再加 1，注意进位后只看个位）：$9+1=10$，个位是 $10-10=\underline{0}$。
    最终答案：个位数字是 $0$。
  32. 12. ch16-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（第一个幂）：$8$ 连乘的个位是 $8,4,2,6$ 循环，周期 $4$；$95-4\times23=\underline{3}$，与第 $3$ 个相同，个位是 $\underline{2}$。
    2. 第 2 步（第二个幂）：$3$ 连乘的个位是 $3,9,7,1$ 循环，周期 $4$；$89-4\times22=\underline{1}$，与第 $1$ 个相同，个位是 $\underline{3}$。
    3. 第 3 步（相加只看个位）：$2+3=\underline{5}$。
    最终答案：个位数字是 $5$。
  33. 14. ch16-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（换小底数）：$12-5\times2=\underline{2}$，原式与 $2+2^2+\cdots+2^{11}$ 除以 $5$ 同余。
    2. 第 2 步（列余数周期）：$2$ 的各次方除以 $5$ 的余数依次是 $2,4,3,1$，周期长 $\underline{4}$。
    3. 第 3 步（整周期消去）：一个周期之和 $2+4+3+1=\underline{10}$，是 $5$ 的倍数可整批去掉；$11-4\times2=\underline{3}$，说明有 $2$ 个整周期，还剩 $3$ 项。
    4. 第 4 步（只算零头）：剩下的是周期里的前 $3$ 个，$2+4+3=\underline{9}$，$9-5=\underline{4}$。
    最终答案：余数是 $4$。
  34. 14. ch16-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（换小底数）：$12-5\times2=\underline{2}$，总分与 $2+2^2+\cdots+2^{11}$ 除以 $5$ 同余。
    2. 第 2 步（列周期）：余数依次 $2,4,3,1$ 循环，周期长 $\underline{4}$。
    3. 第 3 步（整周期消去）：$2+4+3+1=\underline{10}$ 是 $5$ 的倍数；$11-4\times2=\underline{3}$ 项是零头。
    4. 第 4 步（算零头）：$2+4+3=\underline{9}$，$9-5=\underline{4}$（分）。
    最终答案：最后剩 $4$ 分。
  35. 14. ch16-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（列余数周期）：$6$ 的各次方除以 $7$ 的余数是 $6,1,6,1,\cdots$，周期长 $\underline{2}$。
    2. 第 2 步（整周期消去）：一个周期之和 $6+1=\underline{7}$ 恰是 $7$ 的倍数；$11-2\times5=\underline{1}$，说明有 $5$ 个整周期，还剩 $1$ 项。
    3. 第 3 步（只算零头）：剩下的是周期里的第 $1$ 个，余数是 $\underline{6}$。
    最终答案：余数是 $6$。
  36. 14. ch16-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求除以 5 的余数）：换小底数后周期是 $2,4,3,1$，$11-4\times2=\underline{3}$ 项零头，$2+4+3=9$，$9-5=\underline{4}$。
    2. 第 2 步（改看个位周期）：$12$ 连乘的个位是 $2,4,8,6$ 循环，周期长 $4$，一个周期个位之和 $2+4+8+6=\underline{20}$。
    3. 第 3 步（整周期部分）：$2$ 个整周期贡献 $20\times2=\underline{40}$。
    4. 第 4 步（零头部分）：剩下 $3$ 项的个位是 $2,4,8$，和为 $2+4+8=\underline{14}$。
    5. 第 5 步（求总和的个位）：$40+14=\underline{54}$，个位数字是 $54-50=\underline{4}$。
    最终答案：除以 $5$ 余 $4$；和的个位数字是 $4$。
  37. 15. ch16-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（减公共余数）：这个数 $-35$ 同时是 $81$ 和 $80$ 的倍数，即是 $81\times80=\underline{6480}$ 的倍数。
    2. 第 2 步（判断整除关系）：$6480\div27=\underline{240}$ 是整数，说明每加一个这样的公倍数，除以 $27$ 的余数都不变。
    3. 第 3 步（余数只看 35）：$35-27=\underline{8}$。
    最终答案：被 $27$ 除的余数是 $8$。
  38. 15. ch16-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（减公共余数）：螺丝数 $-35$ 同时被 $81$、$80$ 整除，是 $81\times80=\underline{6480}$ 的倍数。
    2. 第 2 步（判断整除关系）：$6480\div27=\underline{240}$ 是整数，所以这部分按 $27$ 个装能装完、不影响剩余。
    3. 第 3 步（只看剩下的 35）：$35-27=\underline{8}$（个）。
    最终答案：最后剩 $8$ 个。
  39. 15. ch16-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（减公共余数）：这个数 $-40$ 是 $99\times98=\underline{9702}$ 的倍数。
    2. 第 2 步（判断整除关系）：$99\div33=\underline{3}$，所以 $9702$ 也是 $33$ 的倍数，加多少个都不影响余数。
    3. 第 3 步（余数只看 40）：$40-33=\underline{7}$。
    最终答案：被 $33$ 除的余数是 $7$。
  40. 15. ch16-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求公倍数）：这个数 $-35$ 是 $81\times80=\underline{6480}$ 的倍数。
    2. 第 2 步（列出所有可能）：$35,\;6480+35=\underline{6515},\;12995,\cdots$。
    3. 第 3 步（取最小四位数）：$35$ 是两位数，所以最小的四位数是 $\underline{6515}$。
    4. 第 4 步（求它被 27 除的余数）：$6515-27\times241=\underline{8}$。
    最终答案：最小的四位数是 $6515$，它被 $27$ 除余 $8$。
  41. 16. ch16-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（从大除数出发列数）：除以 $29$ 余 $13$ 的数是 $13,42,71,100,\cdots$，每次加 $\underline{29}$。
    2. 第 2 步（写成一般形式）：这些数是 $13+29\times n$。当 $n=15$ 时，$13+29\times15=\underline{448}$。
    3. 第 3 步（检验第二个条件）：$448-23\times19=\underline{11}$，正好余 $11$，符合。
    4. 第 4 步（说明更小的都不行并作答）：前面 $15$ 个数都不满足，所以最小是 $\underline{448}$。
    最终答案：这个自然数最小是 $448$。
  42. 16. ch16-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（从大除数出发）：每 $29$ 块剩 $13$ 块，块数是 $13,42,71,\cdots$，每次加 $\underline{29}$。
    2. 第 2 步（写成一般形式）：块数为 $13+29\times n$，取 $n=15$ 得 $13+29\times15=\underline{448}$。
    3. 第 3 步（检验另一条件）：$448-23\times19=\underline{11}$，正好剩 $11$ 块。
    4. 第 4 步（作答）：最少是 $\underline{448}$ 块。
    最终答案：最少有 $448$ 块。
  43. 16. ch16-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（从大除数出发）：除以 $31$ 余 $17$ 的数是 $17,48,79,110,\cdots$，每次加 $\underline{31}$。
    2. 第 2 步（写成一般形式）：$17+31\times n$，取 $n=16$ 得 $17+31\times16=\underline{513}$。
    3. 第 3 步（检验第二个条件）：$513-25\times20=\underline{13}$，正好余 $13$。
    4. 第 4 步（作答）：最小是 $\underline{513}$。
    最终答案：这个自然数最小是 $513$。
  44. 16. ch16-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（先合并前两个条件）：由上题可知，满足前两条的最小数是 $448$，公差是 $23\times29=\underline{667}$。
    2. 第 2 步（列出这串数）：$448,\;448+667=\underline{1115},\;1782,\;2449,\;3116,\;3783,\cdots$。
    3. 第 3 步（用第三个条件筛）：$3783-7\times540=\underline{3}$，正好余 $3$，前面几个都不符合。
    4. 第 4 步（作答）：最小是 $448+667\times5=\underline{3783}$。
    最终答案：这个自然数最小是 $3783$。
  45. 17. ch16-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（先合并 4 与 9）：除以 $9$ 余 $8$ 的数是 $8,17,26,35,\cdots$，其中第一个除以 $4$ 余 $3$ 的是 $35$（$35-4\times8=\underline{3}$），公差变成 $[4,9]=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（列出这串数）：$35,\;35+36=\underline{71},\;107,\;143,\;179,\;215,\cdots$。
    3. 第 3 步（再用除以 7 余 5 筛）：$215-7\times30=\underline{5}$，符合；此后公差变成 $[4,7,9]=\underline{252}$。
    4. 第 4 步（用范围定解）：$215,\;215+252=467,\;719,\cdots$ 中 $400$ 多的是 $\underline{467}$。
    最终答案：一共养了 $467$ 只鸽子。
  46. 17. ch16-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（先合并 4 与 9）：除以 $9$ 余 $8$ 的数里，第一个除以 $4$ 余 $3$ 的是 $35$（$35-4\times8=\underline{3}$），公差 $[4,9]=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（列出这串数）：$35,\;35+36=\underline{71},\;107,\;143,\;179,\;215,\cdots$。
    3. 第 3 步（用第三个条件筛）：$215-7\times30=\underline{5}$，符合；公差变成 $[4,7,9]=\underline{252}$。
    4. 第 4 步（用范围定解）：$400$ 多的那个是 $215+252=\underline{467}$（本）。
    最终答案：一共有 $467$ 本图书。
  47. 17. ch16-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（先合并 3 与 5）：除以 $5$ 余 $3$ 的数是 $3,8,13,\cdots$，第一个除以 $3$ 余 $1$ 的是 $13$（$13-3\times4=\underline{1}$），公差 $[3,5]=\underline{15}$。
    2. 第 2 步（列出这串数）：$13,\;13+15=\underline{28},\;43,\;58,\cdots$。
    3. 第 3 步（再用除以 7 余 2 筛）：$58-7\times8=\underline{2}$，符合；公差变成 $[3,5,7]=\underline{105}$。
    4. 第 4 步（用范围定解）：$58,163,268,373,\cdots$ 中 $300$ 多的是 $58+105\times3=\underline{373}$。
    最终答案：一共有 $373$ 只鸡蛋。
  48. 17. ch16-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（先合并前三个条件）：由前面可知满足前三条的数是 $215,\;467,\;719,\cdots$，公差 $[4,7,9]=\underline{252}$。
    2. 第 2 步（列出这串数）：$215,467,719,971,1223,1475,1727,\;1727+252=\underline{1979},\cdots$。
    3. 第 3 步（用第四个条件筛）：$1979-11\times179=\underline{10}$，正好余 $10$，符合。
    4. 第 4 步（用范围核对）：$1979$ 正好是一千九百多，公差已变成 $[4,7,9,11]=252\times11=\underline{2772}$，下一个是 $1979+2772$，超出范围，所以答案是 $\underline{1979}$。
    最终答案：一共有 $1979$ 个零件。
  49. 18. ch16-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（报数转余数）：人数除以 $13$ 余 $11$，除以 $17$ 余 $\underline{15}$。
    2. 第 2 步（发现都差几）：$13-11=\underline{2}$，$17-15=\underline{2}$，都差 $2$。
    3. 第 3 步（加 2 化为公倍数）：人数 $+2$ 是 $[13,17]=13\times17=\underline{221}$ 的倍数。
    4. 第 4 步（减回并用范围定解）：$221-2=\underline{219}$，正好是 $200$ 多，符合。
    最终答案：一共有 $219$ 名小朋友。
  50. 18. ch16-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（转成余数）：颗数除以 $13$ 余 $11$，除以 $17$ 余 $\underline{15}$。
    2. 第 2 步（看差多少）：$13-11=\underline{2}$，$17-15=\underline{2}$，都差 $2$。
    3. 第 3 步（加 2 化为公倍数）：颗数 $+2$ 是 $13\times17=\underline{221}$ 的倍数。
    4. 第 4 步（减回定解）：$221-2=\underline{219}$（颗）。
    最终答案：这串珠子共有 $219$ 颗。
  51. 18. ch16-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（转成余数并看差）：$17-15=\underline{2}$，$19-17=\underline{2}$，都差 $2$。
    2. 第 2 步（加 2 化为公倍数）：人数 $+2$ 是 $[17,19]=17\times19=\underline{323}$ 的倍数，即 $323,646,\cdots$。
    3. 第 3 步（减回）：$323-2=\underline{321}$，$646-2=644$。
    4. 第 4 步（用范围定解）：$300$ 多的是 $\underline{321}$。
    最终答案：一共有 $321$ 名同学。
  52. 18. ch16-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（前两个条件都差 2）：人数 $+2$ 是 $[11,13]=\underline{143}$ 的倍数，所以人数是 $141,\;141+143=\underline{284},\;427,\;570,\;713,\;856,\;999,\cdots$。
    2. 第 2 步（第三个条件也差 2）：$7-5=\underline{2}$，说明人数 $+2$ 还要被 $7$ 整除。
    3. 第 3 步（三数合并）：人数 $+2$ 是 $[7,11,13]=7\times11\times13=\underline{1001}$ 的倍数。
    4. 第 4 步（减回并用范围定解）：$1001-2=\underline{999}$，正好是 $900$ 多。
    最终答案：一共有 $999$ 名小朋友。
  53. 19. ch16-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（分解 99）：$99=9\times\underline{9}$，所以要同时考虑被 $9$ 和被 $11$ 整除。
    2. 第 2 步（找整除的整块）：$n$ 块的数字和是 $(2+4+6)\times n=\underline{12}\times n$，要被 $9$ 整除需 $n$ 是 $3$ 的倍数；块数为偶数时被 $11$ 整除。所以块数是 $6$ 的倍数时整块能被 $99$ 整除。
    3. 第 3 步（拆分）：$125$ 块中前 $120$ 块（是 $6$ 的倍数）可整批消去，剩下 $125-120=\underline{5}$ 块。
    4. 第 4 步（只算零头）：剩下的是 $246\,246\,246\,246\,246$，$246246246246246-99\times2487336830770=\underline{15}$。
    最终答案：余数是 $15$。
  54. 19. ch16-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（分解 99）：$99=9\times\underline{9}$。
    2. 第 2 步（找整除的整块）：$n$ 块的数字和是 $(2+4+6)\times n=\underline{12}\times n$，$n$ 是 $3$ 的倍数时被 $9$ 整除；$n$ 是偶数时被 $11$ 整除，所以 $n$ 是 $6$ 的倍数时整块被 $99$ 整除。
    3. 第 3 步（拆分）：前 $120$ 块消去，剩 $125-120=\underline{5}$ 块。
    4. 第 4 步（算零头）：$246246246246246-99\times2487336830770=\underline{15}$。
    最终答案：余数是 $15$。
  55. 19. ch16-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（找整除的整块）：每块数字和是 $3+5+7=\underline{15}$，$n$ 块的数字和是 $15n$，需 $n$ 是 $3$ 的倍数才被 $9$ 整除；$n$ 为偶数才被 $11$ 整除，所以 $n$ 是 $\underline{6}$ 的倍数时整块被 $99$ 整除。
    2. 第 2 步（拆分）：$127$ 块中前 $126$ 块可整批消去，剩下 $127-126=\underline{1}$ 块。
    3. 第 3 步（只算零头）：$357-99\times3=\underline{60}$。
    最终答案：余数是 $60$。
  56. 19. ch16-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（除以 9）：数字和 $(2+4+6)\times125=\underline{1500}$，$1500-9\times166=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（除以 11）：前 $124$ 块（偶数块）奇偶位和相等可消去，只剩最高一块 $246$，它的三位处在奇、偶、奇位上，奇数位和 $2+6=\underline{8}$，偶数位和 $4$，差 $8-4=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（除以 99）：前 $120$ 块消去，剩 $5$ 块，$246246246246246-99\times2487336830770=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（一致性检验）：$15-9=\underline{6}$ 与第 1 步一致，$15-11=\underline{4}$ 与第 2 步一致。
    最终答案：除以 $9$ 余 $6$；除以 $11$ 余 $4$；除以 $99$ 余 $15$。
  57. 21. ch16-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（两两作差）：$600-531=\underline{69}$，$531-439=\underline{92}$。
    2. 第 2 步（分解）：$69=3\times\underline{23}$，$92=4\times23$。
    3. 第 3 步（求公约数）：两者的公约数只有 $1$ 和 $\underline{23}$。
    4. 第 4 步（用「大于 1」定解并验算）：这个数是 $23$，$600-23\times26=\underline{2}$，$531-23\times23=\underline{2}$，$439-23\times19=\underline{2}$，余数都相同。
    最终答案：这个数是 $23$。
  58. 21. ch16-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（两两作差）：剩的一样多，所以差能被每盒颗数整除，$600-531=\underline{69}$，$531-439=\underline{92}$。
    2. 第 2 步（分解）：$69=3\times\underline{23}$，$92=4\times23$。
    3. 第 3 步（求公约数）：公约数只有 $1$ 和 $\underline{23}$。
    4. 第 4 步（定解并验算）：每盒 $23$ 颗，$600-23\times26=\underline{2}$，$531-23\times23=\underline{2}$，$439-23\times19=\underline{2}$，都剩 $2$ 颗。
    最终答案：每盒装 $23$ 颗。
  59. 21. ch16-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（相邻两两作差）：$600-531=\underline{69}$，$531-439=\underline{92}$，$439-416=\underline{23}$。
    2. 第 2 步（求三个差的公约数）：$69=3\times23$，$92=4\times23$，$23$ 本身是质数，所以公约数只有 $1$ 和 $\underline{23}$。
    3. 第 3 步（定解并验算）：这个数是 $23$，$416-23\times18=\underline{2}$，与 $600-23\times26=\underline{2}$ 相同。
    最终答案：这个数是 $23$。
  60. 21. ch16-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（作差求公约数）：$600-531=\underline{69}$，$531-439=\underline{92}$，公约数中大于 $1$ 的只有 $\underline{23}$。
    2. 第 2 步（求公共余数）：$600-23\times26=\underline{2}$。
    3. 第 3 步（求商）：$(600-2)\div23=598/23=\underline{26}$。
    4. 第 4 步（验算）：$23\times26+2=\underline{600}$。
    最终答案：这个数是 $23$，公共余数是 $2$，$600$ 除以它的商是 $26$。
  61. 22. ch16-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（转化倍数关系）：$2\times143=\underline{286}$ 除以这个数的余数，应与 $85$ 除以它的余数相同。
    2. 第 2 步（作差得整除）：这个数整除 $286-85=\underline{201}$。
    3. 第 3 步（枚举约数）：$201=3\times\underline{67}$，大于 $1$ 的约数是 $3,67,201$。
    4. 第 4 步（逐个验证）：$85-3\times28=\underline{1}$、$143-3\times47=\underline{2}$，$1\ne2\times2$，不合；$85-67=\underline{18}$、$143-67\times2=\underline{9}$，$18=2\times9$，符合。
    5. 第 5 步（作答）：这个数是 $\underline{67}$。
    最终答案：这个数是 $67$。
  62. 22. ch16-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（转化倍数关系）：$2\times143=\underline{286}$ 除以每包支数的余数，应与 $85$ 除以它的余数相同。
    2. 第 2 步（作差得整除）：每包支数整除 $286-85=\underline{201}$。
    3. 第 3 步（枚举约数）：$201=3\times\underline{67}$，大于 $1$ 的约数是 $3,67,201$。
    4. 第 4 步（逐个验证）：每包 $3$ 支时剩 $85-3\times28=\underline{1}$ 和 $143-3\times47=\underline{2}$，不满足 2 倍；每包 $67$ 支时剩 $85-67=\underline{18}$ 和 $143-67\times2=\underline{9}$，符合。
    5. 第 5 步（作答）：每包 $\underline{67}$ 支。
    最终答案：每包 $67$ 支。
  63. 22. ch16-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（转化倍数关系）：$2\times151=\underline{302}$ 除以这个数的余数，与 $100$ 的余数相同。
    2. 第 2 步（作差得整除）：这个数整除 $302-100=\underline{202}$。
    3. 第 3 步（枚举约数）：$202=2\times\underline{101}$，大于 $1$ 的约数是 $2,101,202$。
    4. 第 4 步（逐个验证）：除数是 $2$ 时 $100$ 能除尽，不合；除数是 $101$ 时 $100-101\times0=\underline{100}$、$151-101=\underline{50}$，$100=2\times50$，符合。
    5. 第 5 步（作答）：这个数是 $\underline{101}$。
    最终答案：这个数是 $101$。
  64. 22. ch16-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（作差得整除）：$2\times143-85=\underline{201}$，这个数整除 $201$。
    2. 第 2 步（枚举验证）：$201=3\times67$，逐个验证后符合的是 $\underline{67}$。
    3. 第 3 步（求两个余数）：$85-67=\underline{18}$，$143-67\times2=\underline{9}$，恰好 $18=2\times9$。
    4. 第 4 步（求商）：$(143-9)\div67=134/67=\underline{2}$。
    5. 第 5 步（验算）：$67\times2+9=\underline{143}$。
    最终答案：这个数是 $67$；$85$ 除以它余 $18$，$143$ 除以它余 $9$；$143$ 除以它的商是 $2$。
  65. 23. ch16-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（化成整除）：把余数减掉，剩下的部分才能被除数整除，$123-8=\underline{115}$。
    2. 第 2 步（分解约数）：$115=5\times\underline{23}$，所以 $115$ 的约数是 $1,5,23,115$。
    3. 第 3 步（筛选）：除数必须大于余数 $8$，所以除数只能是 $23$ 或 $\underline{115}$。
    4. 第 4 步（求商）：$115\div23=\underline{5}$，$115\div115=\underline{1}$。
    最终答案：商可能是 $5$ 或 $1$。
  66. 23. ch16-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（化成整除）：剩下的 $8$ 个不参与装箱，能整装的是 $123-8=\underline{115}$（个）。
    2. 第 2 步（分解约数）：每箱个数是 $115$ 的约数，$115=5\times\underline{23}$，约数为 $1,5,23,115$。
    3. 第 3 步（筛选）：剩下 $8$ 个说明每箱要比 $8$ 多，所以每箱是 $23$ 个或 $\underline{115}$ 个。
    4. 第 4 步（求箱数）：$115\div23=\underline{5}$（箱），$115\div115=\underline{1}$（箱）。
    最终答案：每箱 $23$ 个时装满 $5$ 箱；每箱 $115$ 个时装满 $1$ 箱。
  67. 23. ch16-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（化成整除）：$145-9=\underline{136}$。
    2. 第 2 步（分解约数）：$136=8\times\underline{17}$，所以 $136$ 的约数是 $1,2,4,8,17,34,68,136$。
    3. 第 3 步（筛选）：除数要大于余数 $9$，可用的除数是 $17,34,68,\underline{136}$。
    4. 第 4 步（求商）：$136\div17=\underline{8}$，$136\div34=\underline{4}$，$136\div68=\underline{2}$，$136\div136=\underline{1}$。
    最终答案：商可能是 $8,4,2$ 或 $1$。
  68. 23. ch16-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（化成整除）：$205-13=\underline{192}$。
    2. 第 2 步（分解约数）：$192=2\times2\times2\times2\times2\times2\times\underline{3}$，两位数约数有 $12,16,24,32,48,64,96$。
    3. 第 3 步（用余数筛）：除数要大于余数 $13$，去掉 $12$，剩 $16,24,32,48,64,\underline{96}$。
    4. 第 4 步（用商是两位数筛）：$192\div16=\underline{12}$ 是两位数，而 $192\div24=\underline{8}$ 已不足两位，其余更小，所以除数只能是 $16$。
    5. 第 5 步（验算）：$16\times12+13=\underline{205}$。
    最终答案：除数是 $16$，商是 $12$。
  69. 24. ch16-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（转成整除）：各自减去共同的余数，$187-11=\underline{176}$，$143-11=\underline{132}$。
    2. 第 2 步（求最大公约数）：$176=44\times4$，$132=44\times3$，所以 $(176,132)=\underline{44}$。
    3. 第 3 步（列约数）：$44$ 的约数是 $1,2,4,11,22,\underline{44}$。
    4. 第 4 步（筛选）：除数必须大于余数 $11$，所以只能是 $22$ 或 $\underline{44}$。
    最终答案：这个数可能是 $22$ 或 $44$。
  70. 24. ch16-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（转成整除）：去掉剩下的部分，$187-11=\underline{176}$（本），$143-11=\underline{132}$（本）都能被每捆本数整除。
    2. 第 2 步（求最大公约数）：$(176,132)=\underline{44}$。
    3. 第 3 步（列约数）：$44$ 的约数是 $1,2,4,11,22,\underline{44}$。
    4. 第 4 步（筛选）：剩下 $11$ 本说明每捆要多于 $11$ 本，所以每捆是 $22$ 本或 $\underline{44}$ 本。
    最终答案：每捆可能是 $22$ 本或 $44$ 本。
  71. 24. ch16-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（转成整除）：三个数各减 $11$，得 $132$、$176$ 和 $275-11=\underline{264}$。
    2. 第 2 步（求三数最大公约数）：先算 $(132,176)=44$，再看 $264\div44=\underline{6}$ 是整数，所以三数的最大公约数是 $\underline{44}$。
    3. 第 3 步（列约数并筛选）：$44$ 的约数中大于 $11$ 的是 $22$ 和 $\underline{44}$。
    最终答案：这个数可能是 $22$ 或 $44$。
  72. 24. ch16-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（转成整除）：三个数各减 $11$，得 $132$、$176$、$\underline{264}$。
    2. 第 2 步（求最大公约数）：$(132,176,264)=\underline{44}$，它大于余数 $11$，就是最大的除数。
    3. 第 3 步（求商）：$275=44\times\underline{6}+11$，即 $264\div44=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（验算）：$44\times6+11=\underline{275}$。
    最终答案：最大的除数是 $44$，此时 $275$ 除以它的商是 $6$。
  73. 25. ch16-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（作差）：余数相同，两数的差一定被除数整除，$244-212=\underline{32}$。
    2. 第 2 步（列约数）：$32$ 的约数是 $1,2,4,8,16,\underline{32}$。
    3. 第 3 步（排除余数为 0 的）：$244$ 是 $1,2,4$ 的倍数，除以它们余数是 $0$，要排除；剩下 $8,16,32$。
    4. 第 4 步（验证）：$244\div8$ 的余数 $244-8\times30=\underline{4}$；$244\div16$ 的余数 $244-16\times15=\underline{4}$；$244\div32$ 的余数 $244-32\times7=\underline{20}$。
    最终答案：这个除数可能是 $8$、$16$ 或 $32$。
  74. 25. ch16-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（作差）：剩下的个数一样多，所以两筐个数之差能被每托个数整除，$244-212=\underline{32}$。
    2. 第 2 步（列约数）：$32$ 的约数是 $1,2,4,8,16,\underline{32}$。
    3. 第 3 步（排除剩 0 的）：$244$ 能被 $1,2,4$ 整除，会一个不剩，排除。
    4. 第 4 步（验证）：每托 $8$ 个时剩 $244-8\times30=\underline{4}$（个）；每托 $16$ 个时剩 $244-16\times15=\underline{4}$（个）；每托 $32$ 个时剩 $244-32\times7=\underline{20}$（个）。
    最终答案：每托可能装 $8$ 个、$16$ 个或 $32$ 个。
  75. 25. ch16-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（作差）：$209-182=\underline{27}$。
    2. 第 2 步（列约数）：$27=3\times3\times3$，约数是 $1,3,9,\underline{27}$。
    3. 第 3 步（排除）：$209$ 是 $1$ 的倍数，除以 $1$ 余 $0$，排除 $1$。
    4. 第 4 步（验证）：$209-3\times69=\underline{2}$，$209-9\times23=\underline{2}$，$209-27\times7=\underline{20}$，余数都不为 $0$。
    最终答案：这个除数可能是 $3$、$9$ 或 $27$。
  76. 25. ch16-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（作差列约数）：$244-212=\underline{32}$，$32$ 的约数是 $1,2,4,8,16,32$。
    2. 第 2 步（排除余数为 0 的）：排除 $1,2,4$，可能的除数是 $8,16,\underline{32}$。
    3. 第 3 步（求和）：$8+16+32=\underline{56}$。
    4. 第 4 步（最大除数的余数）：最大除数是 $32$，$244-32\times7=\underline{20}$，$212-32\times6=\underline{20}$，两者相同。
    最终答案：所有可能除数的和是 $56$；取最大除数 $32$ 时余数是 $20$。
  77. 26. ch16-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（除以 9 看数字和）：$3+0+0+7+0+7+0+7=\underline{24}$，$24-9\times2=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（除以 8 看末三位）：末三位是 $707$，$707-8\times88=\underline{3}$。
    3. 第 3 步（除以 25 看末两位）：末两位是 $07$，即 $7-25\times0=\underline{7}$。
    4. 第 4 步（除以 11 看奇偶位差）：从个位起奇数位和 $7+7+7+0=\underline{21}$，偶数位和 $0+0+0+3=\underline{3}$，差 $21-3=\underline{18}$，$18-11=\underline{7}$。
    最终答案：除以 $9$ 余 $6$；除以 $8$ 余 $3$；除以 $25$ 余 $7$；除以 $11$ 余 $7$。
  78. 26. ch16-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（除以 9）：各位数字和 $3+0+0+7+0+7+0+7=\underline{24}$，$24-9\times2=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（除以 8）：只看末三位 $707$，$707-8\times88=\underline{3}$。
    3. 第 3 步（除以 25）：只看末两位 $07$，$7-25\times0=\underline{7}$。
    4. 第 4 步（除以 11）：奇数位和 $7+7+7+0=\underline{21}$，偶数位和 $0+0+0+3=\underline{3}$，差是 $\underline{18}$，再减 $11$ 得 $\underline{7}$。
    最终答案：除以 $9$ 余 $6$；除以 $8$ 余 $3$；除以 $25$ 余 $7$；除以 $11$ 余 $7$。
  79. 26. ch16-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（除以 9）：数字和 $5+0+1+7+0+7+1+7=\underline{28}$，$28-9\times3=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（除以 8）：末三位 $717$，$717-8\times89=\underline{5}$。
    3. 第 3 步（除以 25）：末两位 $17$，$17-25\times0=\underline{17}$。
    4. 第 4 步（除以 11）：奇数位和 $7+7+7+0=\underline{21}$，偶数位和 $1+0+1+5=\underline{7}$，差 $21-7=\underline{14}$，$14$ 比 $11$ 大还要再减，$14-11=\underline{3}$。
    最终答案：除以 $9$ 余 $1$；除以 $8$ 余 $5$；除以 $25$ 余 $17$；除以 $11$ 余 $3$。
  80. 26. ch16-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（除以 4 看末两位）：末两位是 $07$，$7-4\times1=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（除以 125 看末三位）：末三位是 $707$，$707-125\times5=\underline{82}$。
    3. 第 3 步（除以 99 用两位分段）：从右往左每两位一段：$07,07,07,30$，各段之和 $7+7+7+30=\underline{51}$。
    4. 第 4 步（判断是否再减）：$51<99$，所以余数就是 $51-99\times0=\underline{51}$。
    最终答案：除以 $4$ 余 $3$；除以 $125$ 余 $82$；除以 $99$ 余 $51$。
  81. 27. ch16-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（(1) 换成余数）：看末位即可，$2468$ 除以 $5$ 余 $2468-5\times493=\underline{3}$，$2470$ 除以 $5$ 余 $0$，$2473$ 除以 $5$ 余 $2473-5\times494=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（(1) 用余数算）：$3\times0+3=\underline{3}$，比 $5$ 小，就是答案。
    3. 第 3 步（(2) 换成余数）：用数字和，$4+6+8+1=\underline{19}$，$19-9\times2=\underline{1}$；$2+4+6+8=\underline{20}$，$20-9\times2=\underline{2}$；$2+4+6+8+1=\underline{21}$，$21-9\times2=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（(2) 用余数算）：$1\times2+3=\underline{5}$，比 $9$ 小，就是答案。
    最终答案：（1）余 $3$；（2）余 $5$。
  82. 27. ch16-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（(1) 换成余数）：$2468$ 除以 $5$ 余 $2468-5\times493=\underline{3}$，$2470$ 除以 $5$ 余 $0$，$2473$ 除以 $5$ 余 $2473-5\times494=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（(1) 用余数算）：$3\times0+3=\underline{3}$（个）。
    3. 第 3 步（(2) 换成余数）：数字和 $4+6+8+1=\underline{19}$ 余 $19-9\times2=\underline{1}$；$2+4+6+8=\underline{20}$ 余 $20-9\times2=\underline{2}$；$2+4+6+8+1=\underline{21}$ 余 $21-9\times2=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（(2) 用余数算）：$1\times2+3=\underline{5}$（个）。
    最终答案：（1）剩 $3$ 个；（2）剩 $5$ 个。
  83. 27. ch16-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（(1) 换成余数）：$246$ 除以 $5$ 余 $246-5\times49=\underline{1}$，$248$ 除以 $5$ 余 $248-5\times49=\underline{3}$，$251$ 除以 $5$ 余 $251-5\times50=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（(1) 用余数算，超过除数要再减）：$1\times3+1=\underline{4}$，比 $5$ 小，答案就是它。
    3. 第 3 步（(2) 换成余数）：数字和 $2+4+6+3=\underline{15}$ 余 $15-9=\underline{6}$；$1+3+5+7=\underline{16}$ 余 $16-9=\underline{7}$；$2+4+6+8=\underline{20}$ 余 $20-9\times2=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（(2) 用余数算并再约减）：$6\times7+2=\underline{44}$，$44-9\times4=\underline{8}$。
    最终答案：（1）余 $4$；（2）余 $8$。
  84. 27. ch16-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（换成余数）：$4681$ 数字和 $19$，余 $19-9\times2=\underline{1}$；$2468$ 数字和 $20$，余 $20-9\times2=\underline{2}$；$2461$ 数字和 $2+4+6+1=\underline{13}$，余 $13-9=\underline{4}$。
    2. 第 2 步（用余数算）：原式的余数与 $1\times2-4=\underline{-2}$ 对 $9$ 的余数相同。
    3. 第 3 步（不够减就借一个除数）：$-2$ 是负数，加上一个 $9$，$-2+9=\underline{7}$。
    最终答案：余 $7$。
  85. 28. ch16-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（号码化余数）：$207-3\times69=\underline{0}$，$314-3\times104=\underline{2}$，$428-3\times142=\underline{2}$，$533-3\times177=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（$207$ 号）：与另三人余数和分别是 $0+2,0+2,0+2$，对 $3$ 的余数都是 $2$，共 $2+2+2=\underline{6}$ 盘。
    3. 第 3 步（$314$ 号）：与三人余数和是 $2+0=2$、$2+2=4$、$2+2=4$，对应盘数 $2,1,1$，共 $2+1+1=\underline{4}$ 盘。
    4. 第 4 步（另两人同理各 $4$ 盘，比较）：最多是 $\underline{6}$ 盘。
    最终答案：最多的运动员打了 $6$ 盘。
  86. 28. ch16-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（班牌号化余数）：$207-3\times69=\underline{0}$，$314-3\times104=\underline{2}$，$428-3\times142=\underline{2}$，$533-3\times177=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（$207$ 班）：与另三班的余数和都是 $0+2=2$，共 $2+2+2=\underline{6}$ 首。
    3. 第 3 步（$314$ 班）：余数和为 $2,4,4$，对应 $2,1,1$，共 $2+1+1=\underline{4}$ 首。
    4. 第 4 步（比较）：另两班同样是 $4$ 首，最多的是 $\underline{6}$ 首。
    最终答案：最多的班唱了 $6$ 首。
  87. 28. ch16-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（号码化余数）：$207$ 余 $0$，其余四个数的余数是 $314-3\times104=\underline{2}$，$428-3\times142=\underline{2}$，$533-3\times177=\underline{2}$，$641-3\times213=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（$207$ 号）：与另四人余数和都是 $0+2=2$，共 $2\times4=\underline{8}$ 盘。
    3. 第 3 步（其余每人）：与 $207$ 打 $2$ 盘，与另外三名余数为 $2$ 的各打 $4-3=\underline{1}$ 盘，共 $2+1\times3=\underline{5}$ 盘。
    4. 第 4 步（比较）：最多的是 $\underline{8}$ 盘。
    最终答案：盘数最多的运动员打了 $8$ 盘。
  88. 28. ch16-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（号码化余数，看末两位除以 4）：$1015-4\times253=\underline{3}$，$2026-4\times506=\underline{2}$，$3037-4\times759=\underline{1}$，$4048-4\times1012=\underline{0}$。
    2. 第 2 步（$1015$ 号，余数 3）：与另三人余数和 $3+2=5$、$3+1=\underline{4}$、$3+0=3$，对 $4$ 取余得 $1,0,3$，共 $1+0+3=\underline{4}$ 盘。
    3. 第 3 步（$2026$ 号，余数 2）：余数和 $2+3=5$、$2+1=3$、$2+0=2$，对 $4$ 取余得 $1,3,2$，共 $1+3+2=\underline{6}$ 盘。
    4. 第 4 步（$3037$、$4048$ 号同理为 $4$ 盘和 $6$ 盘，比较）：最多是 $\underline{6}$ 盘。
    最终答案：盘数最多的运动员打了 $6$ 盘。
  89. 29. ch16-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（各因数取余）：$256-19\times13=\underline{9}$，$29-19\times1=\underline{10}$，$450-19\times23=\underline{13}$。
    2. 第 2 步（算小乘积）：$9\times10\times13=\underline{1170}$。
    3. 第 3 步（小乘积再取余）：$1170-19\times61=\underline{11}$。
    最终答案：最后一包有 $11$ 个零件。
  90. 29. ch16-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（各因数取余）：$256-19\times13=\underline{9}$，$29-19\times1=\underline{10}$，$450-19\times23=\underline{13}$。
    2. 第 2 步（算小乘积）：$9\times10\times13=\underline{1170}$。
    3. 第 3 步（再取余）：$1170-19\times61=\underline{11}$（个）。
    最终答案：最后一袋有 $11$ 个果子。
  91. 29. ch16-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（各因数取余）：$365-23\times15=\underline{20}$，$1234-23\times53=\underline{15}$，$24-23\times1=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（算小乘积）：$20\times15\times1=\underline{300}$。
    3. 第 3 步（再取余）：$300-23\times13=\underline{1}$。
    最终答案：最后一包有 $1$ 个零件。
  92. 29. ch16-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（各因数取余）：$256$ 余 $9$，$29$ 余 $10$，$450$ 余 $13$，$7$ 余 $7-19\times0=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（算小乘积）：$9\times10\times13\times7=\underline{8190}$。
    3. 第 3 步（再取余）：$8190-19\times431=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（追问差几个）：一包 $19$ 个，还差 $19-1=\underline{18}$ 个。
    最终答案：最后一包有 $1$ 个零件，还差 $18$ 个才装满。
  93. 30. ch16-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（(1) 找周期）：$3$ 的各次方除以 $7$ 的余数依次是 $3,2,6,4,5,1$，周期长 $6$。$50$ 除以 $6$ 的余数是 $50-6\times8=\underline{2}$，所以与第 $2$ 个余数相同，是 $\underline{2}$。
    2. 第 2 步（(2) 换小底数）：$15-13=\underline{2}$，所以 $15^{20}$ 与 $2^{20}$ 除以 $13$ 同余。
    3. 第 3 步（(2) 找周期）：$2$ 的各次方除以 $13$ 的余数以 $12$ 为周期，$20-12=\underline{8}$，与 $2^8$ 同余；$2^8=256$，$256-13\times19=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（(3) 换小底数）：$47-19\times2=\underline{9}$，所以与 $9^{101}$ 除以 $19$ 同余。
    5. 第 5 步（(3) 找周期）：$9$ 的各次方除以 $19$ 的余数依次是 $9,5,7,6,16,11,4,17,1$，周期长 $9$。$101-9\times11=\underline{2}$，与第 $2$ 个余数相同，是 $\underline{5}$。
    最终答案：（1）余 $2$；（2）余 $9$；（3）余 $5$。
  94. 30. ch16-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（(1) 找周期）：$3$ 的各次方除以 $7$ 的余数是 $3,2,6,4,5,1$ 循环，周期 $6$。$50-6\times8=\underline{2}$，所以看第 $2$ 个，是 $\underline{2}$ 号灯。
    2. 第 2 步（(2) 换小底数）：$15-13=\underline{2}$。
    3. 第 3 步（(2) 找周期）：周期是 $12$，$20-12=\underline{8}$，$2^8=256$，$256-13\times19=\underline{9}$ 号灯。
    4. 第 4 步（(3) 换小底数）：$47-19\times2=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（(3) 找周期）：周期 $9$，$101-9\times11=\underline{2}$，看第 $2$ 个余数 $\underline{5}$ 号灯。
    最终答案：（1）$2$ 号；（2）$9$ 号；（3）$5$ 号。
  95. 30. ch16-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（(1) 列周期）：$5$ 的各次方除以 $7$ 的余数依次是 $5,4,6,2,3,1$，周期长 $6$。
    2. 第 2 步（(1) 对号入座）：$40-6\times6=\underline{4}$，看第 $4$ 个余数，是 $\underline{2}$。
    3. 第 3 步（(2) 列周期）：$9$ 的各次方除以 $13$ 的余数是 $9,3,1$ 循环，周期长 $3$（因为 $9\times9=81$，$81-13\times6=\underline{3}$）。
    4. 第 4 步（(2) 对号入座）：$77-3\times25=\underline{2}$，看第 $2$ 个余数，是 $\underline{3}$。
    最终答案：（1）余 $2$；（2）余 $3$。
  96. 30. ch16-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（第一个幂）：$2$ 的各次方除以 $7$ 的余数按 $2,4,1$ 循环，周期 $3$。$100-3\times33=\underline{1}$，与 $2^1$ 同余，余 $\underline{2}$。
    2. 第 2 步（第二个幂）：$3$ 的各次方除以 $7$ 的余数按 $3,2,6,4,5,1$ 循环，周期 $6$。$100-6\times16=\underline{4}$，与 $3^4$ 同余，$81-7\times11=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（用可加性合起来）：两个余数相加 $2+4=\underline{6}$，比 $7$ 小，就是答案。
    最终答案：余 $6$。
  97. 31. ch16-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（减公共余数）：这个数减去 $23$ 后既是 $25$ 的倍数，也是 $24$ 的倍数。
    2. 第 2 步（求最小公倍数）：$25$ 与 $24$ 互质，$[25,24]=25\times24=\underline{600}$。
    3. 第 3 步（加回余数）：满足条件的数是 $23,\;600+23=\underline{623},\;1200+23,\cdots$。
    4. 第 4 步（取最小三位数）：$23$ 不是三位数，所以最小是 $\underline{623}$。
    5. 第 5 步（验算）：$623-25\times24=\underline{23}$，$623-24\times25=\underline{23}$。
    最终答案：这个数最小是 $623$。
  98. 31. ch16-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（减公共余数）：去掉剩下的 $23$ 颗，余下的数量同时能被 $25$ 和 $24$ 整除。
    2. 第 2 步（求最小公倍数）：$[25,24]=25\times24=\underline{600}$。
    3. 第 3 步（加回余数）：可能的数量是 $23,\;600+23=\underline{623},\;1223,\cdots$。
    4. 第 4 步（取最小三位数）：最少是 $\underline{623}$ 颗。
    5. 第 5 步（验算）：$623-25\times24=\underline{23}$，$623-24\times25=\underline{23}$。
    最终答案：这箱糖最少有 $623$ 颗。
  99. 31. ch16-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（减公共余数）：这个数减 $29$ 后同时是 $36$ 与 $30$ 的倍数。
    2. 第 2 步（求最小公倍数，注意两数不互质）：$36=6\times6$，$30=6\times5$，$[36,30]=6\times6\times5=\underline{180}$（不是 $36\times30$）。
    3. 第 3 步（加回余数）：可能的数是 $29,\;180+29=\underline{209},\;389,\cdots$。
    4. 第 4 步（取最小三位数）：最小是 $\underline{209}$。
    5. 第 5 步（验算）：$209-36\times5=\underline{29}$，$209-30\times6=\underline{29}$。
    最终答案：这个数最小是 $209$。
  100. 31. ch16-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（减公共余数求最小公倍数）：$[25,24]=\underline{600}$。
    2. 第 2 步（列出所有可能）：$23,\;623,\;600\times2+23=\underline{1223},\;1823,\cdots$。
    3. 第 3 步（取最小四位数）：$623$ 只有三位，所以最小的四位数是 $\underline{1223}$。
    4. 第 4 步（再求除以 12 的余数）：$1223-12\times101=\underline{11}$。
    最终答案：最小的四位数是 $1223$，它除以 $12$ 余 $11$。
  101. 32. ch16-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（列一串数）：除以 $5$ 余 $3$ 的数有 $3,8,13,18,23,28,33,\cdots$。
    2. 第 2 步（筛出除以 7 余 2 的）：逐个试，$23-7\times3=\underline{2}$，所以第一个符合的数是 $23$。
    3. 第 3 步（求两个除数的最小公倍数）：$5$ 与 $7$ 互质，$[5,7]=5\times7=\underline{35}$。
    4. 第 4 步（生成全部并读出余数）：所有符合的数是 $23,\;23+35=\underline{58},\;93,\cdots$，它们除以 $35$ 都余 $\underline{23}$。
    最终答案：这个数除以 $35$ 余 $23$。
  102. 32. ch16-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（列一串数）：每 $5$ 颗一堆剩 $3$ 颗，说明棋子数是 $3,8,13,18,23,\cdots$ 之一。
    2. 第 2 步（筛出每 7 颗剩 2 颗的）：$23-7\times3=\underline{2}$，所以最小是 $23$ 颗。
    3. 第 3 步（求最小公倍数）：$[5,7]=5\times7=\underline{35}$。
    4. 第 4 步（生成全部）：可能的颗数是 $23,\;23+35=\underline{58},\;93,\cdots$，按 $35$ 颗一堆都剩 $\underline{23}$ 颗。
    最终答案：最后剩 $23$ 颗。
  103. 32. ch16-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（列一串数）：除以 $9$ 余 $7$ 的数有 $7,16,25,34,\cdots$；除以 $4$ 余 $3$ 的数有 $3,7,11,\cdots$。
    2. 第 2 步（找首解）：两串里第一个共同的数是 $7$，验算 $7-4\times1=\underline{3}$，$7-9\times0=\underline{7}$。
    3. 第 3 步（求最小公倍数）：$4$ 与 $9$ 互质，$[4,9]=\underline{36}$。
    4. 第 4 步（生成全部并读余数）：所有符合的数是 $7,\;7+36=\underline{43},\;79,\cdots$，除以 $36$ 都余 $\underline{7}$。
    最终答案：这个数除以 $36$ 余 $7$。
  104. 32. ch16-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（先合并前两个条件）：除以 $3$ 余 $2$、除以 $4$ 余 $1$ 的最小数是 $5$，这样的数是 $5,17,29,41,53,\cdots$，公差是 $3\times4=\underline{12}$。
    2. 第 2 步（再筛第三个条件）：在这串数里找除以 $5$ 余 $3$ 的，$53-5\times10=\underline{3}$，所以首解是 $53$。
    3. 第 3 步（求三数的最小公倍数）：$3,4,5$ 两两互质，$[3,4,5]=3\times4\times5=\underline{60}$。
    4. 第 4 步（读出余数）：所有符合的数是 $53,\;53+60=\underline{113},\;173,\cdots$，除以 $60$ 都余 $\underline{53}$。
    最终答案：这个数除以 $60$ 余 $53$。