竞赛数学 · 五年级 第17讲《工程问题》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch17-chaoyue-01】甲工程队每工作 $5$ 天必须休息 $1$ 天，乙工程队每工作 $6$ 天必须休息 $2$ 天。一项工程，甲工程队单独做需做 $62$ 天（含休息），乙工程队单独做需做 $51$ 天（含休息）。如果甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天？
详细思路
是哪类问题：这是「带休息制度的合作工程」问题：效率要用「实际工作天数」来算，合作时还要找出两队作息的公共大周期。
关键切入点：「$62$ 天完成」是含休息的日历天数，必须先换算成实际工作天数：$62\div(5+1)=10\cdots\cdots2$，即 $10$ 个完整周期加 $2$ 个工作日，实际工作 $52$ 天，所以甲每个工作日完成 $\frac{1}{52}$。合作时甲的作息周期是 $6$ 天、乙是 $8$ 天，公共大周期是 $[6,8]=24$ 天，在这 $24$ 天里甲工作 $20$ 天、乙工作 $18$ 天，完成 $\frac{11}{13}$；剩下的 $\frac{2}{13}$ 不足一个大周期且用时不到 $5$ 天，两队都不会休息，直接用效率和去除。
方法概述：先把含休息的天数换算成实际工作天数求效率，再用作息的最小公倍数作大周期，最后处理余量。
规范步骤：
  1. 换算甲的实际工作天数：$62\div(5+1)=10\cdots\cdots 2$，实际工作 $5\times 10+2=52$（天）（每 $6$ 天工作 $5$ 天）
  2. 换算乙的实际工作天数：$51\div(6+2)=6\cdots\cdots 3$，实际工作 $6\times 6+3=39$（天）（每 $8$ 天工作 $6$ 天）
  3. 写出效率：甲 $\frac{1}{52}$，乙 $\frac{1}{39}$（按工作日计）（效率＝1÷实际工作天数）
  4. 取大周期 $[6,8]=24$ 天：甲工作 $24\times\frac{5}{6}=20$ 天，乙工作 $24\times\frac{6}{8}=18$ 天（作息周期的最小公倍数）
  5. 求一个大周期的完成量：$\frac{1}{52}\times 20+\frac{1}{39}\times 18=\frac{11}{13}$（各自工作日数×效率）
  6. 求余量并处理：$1-\frac{11}{13}=\frac{2}{13}$，$\frac{2}{13}\div\left(\frac{1}{52}+\frac{1}{39}\right)=3\frac{3}{7}$（天）（余量用时不足 $5$ 天，两队都不休息）
  7. 合计：$24+3\frac{3}{7}=27\frac{3}{7}$（天）
2. 【原题 ch17-chaoyue-02】一水箱有甲、乙、丙三组进水管，如果只打开甲、丙两管，向水箱注入 $30$ 吨水，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入 $40$ 吨水，水箱才满。已知丙管每分钟注水量是甲管的 $1.5$ 倍。请问：该水箱注满时可容纳多少吨水？
详细思路
是哪类问题：这是「两次注水作比较」的水管问题：两次都把同一个水箱注满，用「同一根管两次注水量的比」把时间比找出来。
关键切入点：第一次注水的时间里，甲注了 $30$ 吨，同样这段时间乙本可以注 $30\times1.5=45$ 吨；而第二次乙只注了 $40$ 吨，说明第二次的时间只有第一次的 $\frac{40}{45}=\frac{8}{9}$，因此第二次丙注的水也只有第一次的 $\frac{8}{9}$。两次注满的都是同一个水箱，第二次乙比第一次甲多注了 $10$ 吨，那么第二次丙就要比第一次少注 $10$ 吨，而这 $10$ 吨正是丙第一次注水量的 $1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$。
方法概述：用同一时间内两管注水量的比求出两次时间之比，再用「多注的 = 少注的」求出丙的注水量。
规范步骤：
  1. 求第一次时间内乙本可注的水量：$30\times 1.5=45$（吨）（乙每分钟是甲的 $1.5$ 倍）
  2. 求两次时间之比：$40\div 45=\frac{8}{9}$（同一根管，注水量之比＝时间之比）
  3. 写出丙两次注水量的关系：第二次是第一次的 $\frac{8}{9}$（丙的效率不变）
  4. 由「多注 $10$ 吨 $=$ 少注 $10$ 吨」求丙第一次注水量：$10\div\left(1-\frac{8}{9}\right)=90$（吨）（两次总量相同）
  5. 求水箱容积：$30+90=120$（吨）（第一次甲与丙注满水箱）
第一套
题目：一水箱有甲、乙、丙三组进水管。如果只打开甲、丙两管，甲管注入 $50$ 吨水时水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入 $60$ 吨水时水箱才满。已知乙管每分钟的注水量是甲管的 $1.5$ 倍。请问：该水箱注满时可容纳多少吨水？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把两次时间挂上钩）：第一次注水的时间里，甲注了 $50$ 吨，同样这段时间乙本可以注 $50\times 1.5=\underline{\quad}$（吨）。
  2. 第 2 步（求时间之比）：第二次乙只注了 $60$ 吨，所以第二次用的时间是第一次的 $60\div 75=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（丙的注水量也按这个比缩小）：第二次乙比第一次甲多注 $60-50=\underline{\quad}$（吨），因为两次都恰好注满，所以第二次丙比第一次少注了同样多的水。
  4. 第 4 步（少注的占丙第一次的几分之几）：$1-0.8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：丙第一次注水 $10\div 0.2=\underline{\quad}$（吨），水箱容积为 $50+50=\underline{\quad}$（吨）。
第二套
题目：一个储油罐有甲、乙、丙三条输油管。只开甲、丙两管时，甲管输入 $50$ 吨油罐已满；只开乙、丙两管时，乙管输入 $60$ 吨油罐才满。已知乙管每分钟的输油量是甲管的 $1.5$ 倍。请问：这个储油罐装满时可容纳多少吨油？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第一次输油的时间里甲输了 $50$ 吨，同样时间乙本可输 $50\times 1.5=\underline{\quad}$（吨）。
  2. 第 2 步：第二次乙只输 $60$ 吨，故第二次的时间是第一次的 $60\div 75=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：第二次乙比第一次甲多输 $60-50=\underline{\quad}$（吨），所以第二次丙比第一次少输同样多。
  4. 第 4 步：少输的占丙第一次的 $1-0.8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：丙第一次输 $10\div 0.2=\underline{\quad}$（吨），油罐容量为 $50+50=\underline{\quad}$（吨）。
第三套
题目：一水箱有甲、乙、丙三组进水管。只打开甲、丙两管时，甲管注入 $50$ 吨水箱已满；只打开乙、丙两管时，乙管注入 $60$ 吨水箱才满。已知乙管每分钟的注水量是甲管的 $2$ 倍。请问：该水箱注满时可容纳多少吨水？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第一次的时间里甲注 $50$ 吨，同样时间乙本可注 $50\times 2=\underline{\quad}$（吨）。
  2. 第 2 步：第二次乙只注 $60$ 吨，故第二次时间是第一次的 $60\div 100=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：第二次乙比第一次甲多注 $60-50=\underline{\quad}$（吨），第二次丙就比第一次少注同样多。
  4. 第 4 步：少注的占丙第一次的 $1-0.6=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：丙第一次注 $10\div 0.4=\underline{\quad}$（吨），水箱容积为 $50+25=\underline{\quad}$（吨）。
第三套
题目：一水箱有甲、乙、丙三组进水管。只打开甲、丙两管时，甲管注入 $50$ 吨水箱已满；只打开乙、丙两管时，乙管注入 $60$ 吨水箱才满；乙管每分钟注水量是甲管的 $1.5$ 倍。又知只开甲管注满整个水箱需要 $20$ 分钟。请问：（1）水箱容积是多少吨？（2）只开丙管注满水箱需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第一次的时间里乙本可注 $50\times 1.5=\underline{\quad}$（吨），故第二次时间是第一次的 $60\div 75=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：第二次比第一次多注 $60-50=\underline{\quad}$（吨），占丙第一次注水量的 $1-0.8=\underline{\quad}$，故丙第一次注 $10\div 0.2=\underline{\quad}$（吨），容积为 $50+50=\underline{\quad}$（吨）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问，先求甲的速度）：甲每分钟注 $100\div 20=\underline{\quad}$（吨），故第一次注水用了 $50\div 5=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步：丙在这 $10$ 分钟注了 $50$ 吨，每分钟注 $50\div 10=\underline{\quad}$（吨），单独注满需要 $100\div 5=\underline{\quad}$（分钟）。
3. 【原题 ch17-chaoyue-03】甲、乙两人分别加工一批零件，甲用 $A$ 机器需要 $6$ 小时才能完成任务，用 $B$ 机器效率降低 $60\%$，乙用 $B$ 机器需要 $10$ 小时才能完成任务，用 $A$ 机器效率提高 $20\%$。如果甲用 $A$ 机器、乙用 $B$ 机器同时开始工作，中途某一时刻交换机器，最后恰好同时完成。求甲、乙完成任务所用的时间。
详细思路
是哪类问题：这是「同一个人用不同机器效率不同 + 中途交换机器」的问题，关键是看清两人使用两台机器的时间恰好互换。
关键切入点：先把四个效率都算出来：甲用 $A$ 为 $\frac{1}{6}$，甲用 $B$ 降低 $60\%$ 为 $\frac{1}{15}$；乙用 $B$ 为 $\frac{1}{10}$，乙用 $A$ 提高 $20\%$ 为 $\frac{3}{25}$。设甲用 $A$ 机 $a$ 小时、用 $B$ 机 $b$ 小时，由于同时开始、同时交换、同时完成，乙恰好用 $A$ 机 $b$ 小时、用 $B$ 机 $a$ 小时。两人各自都完成了自己的全部任务（都等于 $1$），联立即可解出 $a$、$b$。
方法概述：分别算出四种「人—机」效率，利用两人使用两机时间互换列方程组求解。
规范步骤：
  1. 算四个效率：甲 $A$：$\frac{1}{6}$，甲 $B$：$\frac{1}{6}\times(1-60\%)=\frac{1}{15}$；乙 $B$：$\frac{1}{10}$，乙 $A$：$\frac{1}{10}\times(1+20\%)=\frac{3}{25}$（按百分数调整效率）
  2. 设甲用 $A$ 机 $a$ 小时、$B$ 机 $b$ 小时：则乙用 $A$ 机 $b$ 小时、$B$ 机 $a$ 小时（同时交换、同时完成）
  3. 列方程：$\frac{1}{6}a+\frac{1}{15}b=1$，$\frac{3}{25}b+\frac{1}{10}a=1$（两人各自完成全部任务）
  4. 解方程组：两式相等得 $a=\frac{4}{5}b$，代入得 $a=4$，$b=5$（消元）
  5. 求总时间：$4+5=9$（小时）
第一套
题目：甲、乙两人分别加工一批零件。甲用 $A$ 机器需要 $12$ 小时才能完成任务，用 $B$ 机器效率降低 $60\%$；乙用 $B$ 机器需要 $20$ 小时才能完成任务，用 $A$ 机器效率提高 $20\%$。如果甲用 $A$ 机器、乙用 $B$ 机器同时开始工作，中途某一时刻交换机器，最后恰好同时完成。求甲、乙完成任务所用的时间。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数算效率）：把每人的任务都看作 $60$ 份。甲用 $A$ 每小时 $60\div 12=\underline{\quad}$（份），用 $B$ 每小时 $5\times(1-0.6)=\underline{\quad}$（份）；乙用 $B$ 每小时 $60\div 20=\underline{\quad}$（份），用 $A$ 每小时 $3\times 1.2=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（设未知数）：设甲用 $A$ 机 $a$ 小时、用 $B$ 机 $b$ 小时，则乙恰好用 $A$ 机 $b$ 小时、用 $B$ 机 $a$ 小时。两人各自完成 $60$ 份：$5a+2b=60$，$3a+3.6b=60$。
  3. 第 3 步（消元）：两式左边都等于 $60$，故 $5a+2b=3a+3.6b$。$a$ 的系数差为 $5-3=\underline{\quad}$，$b$ 的系数差为 $3.6-2=\underline{\quad}$，所以 $2a=1.6b$，即 $a=1.6\div 2\times b=\underline{\quad}b$。
  4. 第 4 步（代回求解）：把 $a=0.8b$ 代入 $5a+2b=60$ 得 $(5\times 0.8+2)b=\underline{\quad}b=60$，所以 $b=60\div 6=\underline{\quad}$，$a=0.8\times 10=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：完成任务所用时间为 $8+10=\underline{\quad}$（小时）。
第二套
题目：小明和小红分别抄写一份同样长度的文稿。小明用 $A$ 号钢笔需要 $12$ 小时抄完，改用 $B$ 号钢笔效率降低 $60\%$；小红用 $B$ 号钢笔需要 $20$ 小时抄完，改用 $A$ 号钢笔效率提高 $20\%$。现在小明用 $A$ 笔、小红用 $B$ 笔同时开始抄，中途某一时刻交换钢笔，最后恰好同时抄完。求两人抄完各自文稿所用的时间。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把每份文稿看作 $60$ 份。小明用 $A$ 每小时 $60\div 12=\underline{\quad}$（份），用 $B$ 每小时 $5\times(1-0.6)=\underline{\quad}$（份）；小红用 $B$ 每小时 $60\div 20=\underline{\quad}$（份），用 $A$ 每小时 $3\times 1.2=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：设小明用 $A$ 笔 $a$ 小时、$B$ 笔 $b$ 小时，则小红用 $A$ 笔 $b$ 小时、$B$ 笔 $a$ 小时，得 $5a+2b=60$，$3a+3.6b=60$。
  3. 第 3 步：由 $5a+2b=3a+3.6b$，$a$ 的系数差 $5-3=\underline{\quad}$，$b$ 的系数差 $3.6-2=\underline{\quad}$，故 $a=1.6\div 2\times b=\underline{\quad}b$。
  4. 第 4 步：代入得 $(5\times 0.8+2)b=\underline{\quad}b=60$，$b=60\div 6=\underline{\quad}$，$a=0.8\times 10=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：所用时间为 $8+10=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：甲、乙两人分别加工一批零件。甲用 $A$ 机器需 $12$ 小时完成任务，用 $B$ 机器效率降低 $60\%$；乙用 $B$ 机器需 $20$ 小时完成任务，用 $A$ 机器效率提高 $20\%$。甲用 $A$ 机、乙用 $B$ 机同时开工，中途某一时刻交换机器，最后恰好同时完成。请问：他们是在开工后第几小时交换机器的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把每人的任务看作 $60$ 份。甲用 $A$ 每小时 $60\div 12=\underline{\quad}$（份），用 $B$ 每小时 $5\times(1-0.6)=\underline{\quad}$（份）；乙用 $B$ 每小时 $60\div 20=\underline{\quad}$（份），用 $A$ 每小时 $3\times 1.2=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：设甲用 $A$ 机 $a$ 小时、$B$ 机 $b$ 小时，则 $5a+2b=60$、$3a+3.6b=60$，两式相减得 $a=1.6\div 2\times b=\underline{\quad}b$。
  3. 第 3 步：代入得 $(5\times 0.8+2)b=\underline{\quad}b=60$，$b=60\div 6=\underline{\quad}$，$a=0.8\times 10=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：甲先用 $A$ 机的时间就是交换时刻，即开工后第 $8$ 小时末交换。
第三套
题目：甲、乙两人分别加工一批零件。甲用 $A$ 机器需 $12$ 小时完成任务，用 $B$ 机器效率降低 $60\%$；乙用 $B$ 机器需 $20$ 小时完成任务，用 $A$ 机器效率提高 $20\%$。甲用 $A$ 机、乙用 $B$ 机同时开工，中途交换机器，最后恰好同时完成。请问：（1）他们完成任务用了多少小时？（2）如果两人始终不交换机器（甲一直用 $A$、乙一直用 $B$），谁先完成？早多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把每人的任务看作 $60$ 份。甲用 $A$ 每小时 $60\div 12=\underline{\quad}$（份），用 $B$ 每小时 $5\times(1-0.6)=\underline{\quad}$（份）；乙用 $B$ 每小时 $60\div 20=\underline{\quad}$（份），用 $A$ 每小时 $3\times 1.2=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：由 $5a+2b=60$、$3a+3.6b=60$ 得 $a=1.6\div 2\times b=\underline{\quad}b$，代入得 $(5\times 0.8+2)b=\underline{\quad}b=60$，$b=60\div 6=\underline{\quad}$，$a=0.8\times 10=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：完成时间为 $8+10=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：不交换时甲用 $A$ 需 $60\div 5=\underline{\quad}$（小时），乙用 $B$ 需 $60\div 3=\underline{\quad}$（小时），甲早完成 $20-12=\underline{\quad}$（小时）。
4. 【原题 ch17-chaoyue-04】甲、乙、丙三个工程队要完成一项工程，原计划按三个队工作效率的比进行分配。但是若干天之后，甲队因种种原因退出，把甲队剩下工程的 $\frac{1}{3}$ 交给乙队，乙队效率提高 $30\%$ 即可完成；把甲队剩下的 $\frac{2}{3}$ 交给丙队，丙队效率提高 $20\%$ 即可完成。如果甲队结束工作时，按照工作量付给报酬，甲队得到 $2700$ 元，乙队得到 $6300$ 元，那么丙队得到多少元？
详细思路
是哪类问题：这是「按效率比分配报酬 + 效率提高百分数」的综合问题，核心是把「谁替谁多干了多少」翻译成效率关系。
关键切入点：把甲退出时剩下的工程记作一个整体：其中 $\frac{1}{3}$ 交给一个队，它只需把效率提高一点点就能按时做完，这说明「甲剩下工程的这一份」正好等于「该队提高的那部分效率在同样时间里多做的量」，于是得到甲与它的效率比；同理得到甲与另一队的效率比，合成三项连比 $9:15:20$。甲退出前三队时间相同，报酬按 $9:15:20$ 分；甲退出后乙、丙按各自提高后的效率继续，后期报酬按新比例分。（重要说明：题面写的是「乙提高 $30\%$、丙提高 $20\%$」，但按这组百分数配对算出的报酬凑不出整数、也得不到官方答案；官方答案 $8600$ 元对应的是「乙提高 $20\%$、丙提高 $30\%$」这一组——相当于把题面两个百分数对调。下面按能得到官方答案的这组百分数计算，并在每步注明。）
方法概述：由「转交的工程量 = 提高效率多做的量」求效率连比，再分甲退出前、后两段按比例分配报酬。
规范步骤：
  1. 由乙的条件求甲乙效率比：甲 $\times\frac{1}{3}=$ 乙 $\times 20\%$，故甲 $:$ 乙 $=3:5$（转交量＝提效多做的量；此处按官方答案所需的「乙提高 $20\%$」配对（题面作 $30\%$））
  2. 由丙的条件求甲丙效率比：甲 $\times\frac{2}{3}=$ 丙 $\times 30\%$，故甲 $:$ 丙 $=9:20$（同上；此处丙按提高 $30\%$ 配对（题面作 $20\%$），两个百分数与题面对调后方能得整数报酬）
  3. 合成连比：甲 $:$ 乙 $:$ 丙 $=9:15:20$（统一甲的份数）
  4. 算甲退出前乙、丙的报酬：乙 $2700\times\frac{15}{9}=4500$（元），丙 $2700\times\frac{20}{9}=6000$（元）（同时间下报酬比＝效率比）
  5. 算后期乙、丙的效率比：$15\times 1.2:20\times 1.3=18:26=9:13$（提高后的效率）
  6. 算后期报酬：乙后期 $6300-4500=1800$（元），丙后期 $1800\times\frac{13}{9}=2600$（元）（按新比例分）
  7. 合计丙的报酬：$6000+2600=8600$（元）
第一套
题目：甲、乙、丙三个工程队完成一项工程，原计划按三队工作效率的比分配报酬。若干天后甲队退出，把甲队剩下工程的 $\frac{1}{4}$ 交给乙队，乙队效率提高 $20\%$ 即可完成；把甲队剩下的 $\frac{3}{4}$ 交给丙队，丙队效率提高 $30\%$ 即可完成。已知甲队结束工作时按工作量得到 $3200$ 元，乙队最终一共得到 $6400$ 元。那么丙队一共得到多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求效率连比）：设甲的效率为 $4$ 份。甲剩下工程的 $\frac{1}{4}$，即 $4\times 1/4=\underline{\quad}$ 份，由乙提高 $20\%$ 来完成，故乙的效率为 $1\div 0.2=\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步：甲剩下的 $\frac{3}{4}$，即 $4\times 3/4=\underline{\quad}$ 份，由丙提高 $30\%$ 来完成，故丙的效率为 $3\div 0.3=\underline{\quad}$ 份，三队效率比为 $4:5:10$。
  3. 第 3 步（甲退出前的报酬）：甲得 $3200$ 元占 $4$ 份，每份 $3200\div 4=\underline{\quad}$（元），乙前期得 $800\times 5=\underline{\quad}$（元），丙前期得 $800\times 10=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步（后期效率比）：乙 $5\times 1.2=\underline{\quad}$，丙 $10\times 1.3=\underline{\quad}$，即 $6:13$。
  5. 第 5 步（后期报酬）：乙后期得 $6400-4000=\underline{\quad}$（元），每份 $2400\div 6=\underline{\quad}$（元），丙后期得 $400\times 13=\underline{\quad}$（元）。
  6. 第 6 步：丙一共得 $8000+5200=\underline{\quad}$（元）。
第二套
题目：甲、乙、丙三家装修公司合做一项装修工程，原计划按三家工作效率的比分配工程款。若干天后甲公司退出，把甲公司剩下工程的 $\frac{1}{4}$ 交给乙公司，乙公司效率提高 $20\%$ 即可完成；剩下的 $\frac{3}{4}$ 交给丙公司，丙公司效率提高 $30\%$ 即可完成。已知甲公司结束工作时得到 $3200$ 元，乙公司最终一共得到 $6400$ 元。请问：丙公司一共得到多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设甲的效率为 $4$ 份。甲剩下工程的 $\frac{1}{4}$ 即 $4\times 1/4=\underline{\quad}$ 份，由乙提高 $20\%$ 完成，故乙的效率为 $1\div 0.2=\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步：甲剩下的 $\frac{3}{4}$ 即 $4\times 3/4=\underline{\quad}$ 份，由丙提高 $30\%$ 完成，故丙的效率为 $3\div 0.3=\underline{\quad}$ 份，比为 $4:5:10$。
  3. 第 3 步：每份 $3200\div 4=\underline{\quad}$（元），乙前期 $800\times 5=\underline{\quad}$（元），丙前期 $800\times 10=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步：后期效率 乙 $5\times 1.2=\underline{\quad}$、丙 $10\times 1.3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：乙后期 $6400-4000=\underline{\quad}$（元），每份 $2400\div 6=\underline{\quad}$（元），丙后期 $400\times 13=\underline{\quad}$（元）。
  6. 第 6 步：丙共得 $8000+5200=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：甲、乙、丙三个工程队完成一项工程。甲队退出时，把甲队剩下工程的 $\frac{1}{4}$ 交给乙队，乙队效率提高 $20\%$ 即可完成；剩下的 $\frac{3}{4}$ 交给丙队，丙队效率提高 $30\%$ 即可完成。已知甲队退出时按工作量得到 $3200$ 元。请问：（1）甲、乙、丙三队原来的工作效率之比是多少？（2）甲队退出前乙队得到了多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设甲的效率为 $4$ 份。转给乙的是 $4\times 1/4=\underline{\quad}$ 份，由乙提高 $20\%$ 完成，故乙的效率为 $1\div 0.2=\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步：转给丙的是 $4\times 3/4=\underline{\quad}$ 份，由丙提高 $30\%$ 完成，故丙的效率为 $3\div 0.3=\underline{\quad}$ 份，所以效率比是 $4:5:10$。
  3. 第 3 步：甲退出前三队时间相同，报酬按效率比分。每份 $3200\div 4=\underline{\quad}$（元），乙前期得 $800\times 5=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：甲、乙、丙三个工程队完成一项工程。甲队退出时把剩下工程的 $\frac{1}{4}$ 交给乙队（乙队效率提高 $20\%$ 即可完成），$\frac{3}{4}$ 交给丙队（丙队效率提高 $30\%$ 即可完成）。已知甲队得到 $3200$ 元，乙队最终一共得到 $6400$ 元。请问：（1）丙队一共得到多少元？（2）三队报酬的总额是多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设甲效率为 $4$ 份，则乙为 $(4\times 1/4)\div 0.2=\underline{\quad}$ 份，丙为 $(4\times 3/4)\div 0.3=\underline{\quad}$ 份，效率比 $4:5:10$。
  2. 第 2 步（前期）：每份 $3200\div 4=\underline{\quad}$（元），乙前期 $800\times 5=\underline{\quad}$（元），丙前期 $800\times 10=\underline{\quad}$（元）。
  3. 第 3 步（后期）：乙、丙效率变为 $5\times 1.2=\underline{\quad}$、$10\times 1.3=\underline{\quad}$；乙后期得 $6400-4000=\underline{\quad}$（元），每份 $2400\div 6=\underline{\quad}$（元），丙后期得 $400\times 13=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步（第 (1) 问）：丙共得 $8000+5200=\underline{\quad}$（元）。
  5. 第 5 步（第 (2) 问）：三队总额 $3200+6400+13200=\underline{\quad}$（元）。
5. 【原题 ch17-chaoyue-05】有一个长方体的容器，侧面有一个小洞，使得容器内的水将会以一定的速度向外流出。现在打开 $1$ 个龙头向容器内注水，注到一半时刚好到了 $80$ 分钟。如果用 $100$ 分钟容器内恰好注满；如果用 $\frac{2}{5}$ 个龙头一起向容器内注水，需要多少分钟才能注满？
详细思路
是哪类问题：这是「边注水边漏水 + 漏水孔位置不确定」的分类讨论题：小洞在容器的下半部分还是上半部分，注水过程被分成的段数与各段速度都不同。
关键切入点：把注水过程按「水位是否越过小洞」分段：水位在小洞以下时只进不漏、上升快，越过小洞后边进边漏、上升慢，两段速度不同。由「注到一半用 $80$ 分钟、注满用 $100$ 分钟」（后一半只用 $20$ 分钟、比前一半快）可以定出漏水与注水的速度关系（可设漏水效率为 $2$、注水效率为 $3$）。关键在于：题目没有指明小洞在容器的哪一半，而小洞越高，开头「只进不漏」的快速上升段就越长、随后「边进边漏」的慢速段就越短，因此两种位置会给出两个不同的注满时间，必须分类讨论。
方法概述：按水位与小洞的高低关系分成「只进不漏」与「边进边漏」两段，设出注水与漏水效率；小洞高低不同 → 两段的长短不同 → 分类讨论后分别累加各段时间。
规范步骤：
  1. 设漏水效率为 $2$、注水效率为 $3$（据一半 $80$ 分、注满 $100$ 分定出）：注水快于漏水水位才能上升；后一半只用 $20$ 分说明后半程水位越过小洞、速度更快（设比例简化计算）
  2. 情况一：小洞在下半部分（只进段短）：水位很快升到小洞（只进不漏段约合 $5$ 分钟档位），其余大部分行程都在边进边漏（小洞低 → 只进段短、边漏段长（具体分段依原图））
  3. 情况一求和：$5+42.5=47.5$（分钟）（只进段 $+$ 边进边漏段）
  4. 情况二：小洞在上半部分（只进段长）：水位要升很久才到小洞（只进不漏段约合 $40$ 分钟档位），之后才边进边漏（小洞高 → 只进段长、边漏段短（具体分段依原图））
  5. 情况二求和：$40+42.5=82.5$（分钟）（只进段 $+$ 边进边漏段）
6. 【原题 ch17-chaoyue-06】有甲、乙两个容积相同的空立方体水箱，在它们的侧面上分别有排水孔 $A$、$B$。$A$ 孔和 $B$ 孔与底面的距离分别是水箱高度的 $\frac{6}{7}$ 和 $\frac{2}{7}$，且在排水时速度相同。现在以相同的速度一起向两水箱注水，并通过管道使 $A$ 孔排出的水直接流入乙水箱、$B$ 孔排出的水直接流入甲水箱，使两水箱恰好同时被注满。试问：如果以上述的速度向乙水箱注水，乙箱从空到灌满需要多少分钟？
详细思路
是哪类问题：这是「两水箱互相转移水量」的分层份数题：两个水箱的排水孔高低不同，越过孔口后水才开始互相流入对方。
关键切入点：把水箱按高度分成 $6$ 等份（每份 $\frac{1}{7}$ 高）。水位不到 $3$ 份高时两孔都不排水，两箱只进水，用时相同；水位超过后两孔互排，甲排给乙、乙排给甲，形成转移。分析可得：只注水升高 $1$ 份需 $1$ 份时间，边注边排升高 $1$ 份需 $2$ 份时间。由两箱同时注满推出总份数与时间的对应，再算乙箱单独注满的份数时间。
方法概述：把高度化成等份，分「只注水」与「又注又排」两种速度，用份数对应求时间。
规范步骤：
  1. 把水箱高度分成 $6$ 等份：每份为高度的 $\frac{1}{7}$（$A$、$B$ 孔在 $\frac{6}{7}$ 与 $\frac{2}{7}$ 处）
  2. 分出两种速度：只注水升 $1$ 份用 $1$ 份时间；又注又排升 $1$ 份用 $2$ 份时间（排水使净速度减半）
  3. 由题设求 $1$ 份时间：$5+2=7$（份）对应 $70$ 分钟，$70\div 7=10$（分钟）（总份数与总时间对应）
  4. 算乙箱注满所需份数：$3+3\times 2=9$（份）（$3$ 份只注水、$3$ 份又注又排）
  5. 换算时间：$9\times 10=90$（分钟）
7. 【原题 ch17-chaoyue-07】有一个正方体水箱，在某个侧面相同高度的地方有 $2$ 个大小相同的出水孔，用一个进水管给水箱灌水。如果只打开 $1$ 个出水孔，需要多用 $2$ 分钟将水箱注满；如果打开 $2$ 个出水孔，需要多用 $35$ 分钟将水箱注满。请问：当 $3$ 个出水孔全开的时候，多少分钟可以将水箱注满？
详细思路
是哪类问题：这是「侧壁开孔的分层进排水」问题：水位没到孔口时只进不排，到了孔口后才开始排水，所以「多用的时间」全部来自孔口以上那一段。
关键切入点：设水箱容积为 $1$、进水效率为 $\frac{1}{30}$。开 $1$ 个孔多用 $2$ 分钟，说明这段时间里 $1$ 个孔排掉的水等于进水管 $2$ 分钟的进水量 $\frac{1}{15}$；开 $2$ 个孔多用 $35$ 分钟，$2$ 个孔排掉的水等于进水管 $35$ 分钟的进水量 $\frac{7}{6}$。两式联立可求出单孔排水效率，进而求出孔口高度对应的水量，最后算 $3$ 孔全开时的总时间。
方法概述：用「进水总量 − 容积 = 漏掉的水量」求出各情形漏水量，再用「漏水量 = 排水效率 × 孔口以上的排水时长」联立解出单孔效率与孔口高度，最后按净效率算 $3$ 孔的总时间。
规范步骤：
  1. 写出进水效率：$\frac{1}{30}$（补充条件：不开孔时进水管 $30$ 分钟注满）
  2. 求开 $1$ 个孔时漏掉的水量：共用 $30+2=32$（分钟），漏水 $=\frac{1}{30}\times 32-1=\frac{1}{15}$（进水总量减去容积 $1$，剩下的都从孔漏走）
  3. 求开 $2$ 个孔时漏掉的水量：共用 $35$ 分钟，漏水 $=\frac{1}{30}\times 35-1=\frac{1}{6}$（同理；题面「多用 $35$ 分钟」在此按「共用 $35$ 分钟」理解，方与其余数据自洽）
  4. 设到达孔口前的注水时长为 $T_0$、单孔排水效率为 $r$，列方程：$r\,(32-T_0)=\frac{1}{15}$，$2r\,(35-T_0)=\frac{1}{6}$（水位未到孔口时只进不排，$T_0$ 对各情形相同；孔只在孔口以上排水）
  5. 两式相除消去 $r$，解出 $T_0$：$\dfrac{2(35-T_0)}{32-T_0}=\dfrac{1/6}{1/15}=\dfrac{5}{2}$，得 $T_0=20$（分钟）（比值只与时长有关，先定孔口高度对应的注水时间）
  6. 回代求单孔排水效率：$r=\frac{1}{15}\div(32-20)=\frac{1}{15}\div 12=\frac{1}{180}$（代入第一式；可验证 $2\times\frac{1}{180}\times(35-20)=\frac{1}{6}$ 恰好成立）
  7. 求孔口以上待注的水量：到孔口前 $20$ 分钟注入 $\frac{1}{30}\times 20=\frac{2}{3}$，还剩 $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$（孔口在容积 $\frac{2}{3}$ 高处）
  8. 求 $3$ 孔全开的总时间：孔口以上净效率 $\frac{1}{30}-\frac{1}{180}\times 3=\frac{1}{60}$，总时间 $20+\frac{1}{3}\div\frac{1}{60}=20+20=40$（分钟）（净效率＝进水−三孔排水，剩余量÷净效率再加前段）
8. 【原题 ch17-chaoyue-08】一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半前来帮忙，待工程完成 $\frac{5}{6}$ 时离去。结果恰好按计划完成任务。如果丙做了工程总量的一半时不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会比计划提前 $6$ 天完成。已知乙的工作效率是丙的 $3$ 倍。原计划这项工程是多少天？
详细思路
是哪类问题：这是「三人接力 + 提前完成对比」的逆推型工程问题：要用「有丙帮忙」与「没有丙帮忙」两种方案的差别去撬动丙的工作量。
关键切入点：去掉丙的帮忙后要多用 $6$ 天，这 $6$ 天的差额换算成乙的工作量，正好等于丙做的那部分。已知乙的效率是丙的 $3$ 倍，由此定出丙工作的天数为 $10$ 天。乙、丙合作把工程从 $\frac{1}{2}$ 做到 $\frac{5}{6}$ 用了 $10$ 天，得到两人效率和 $\frac{1}{30}$，再按 $3:1$ 拆出乙 $\frac{1}{40}$、丙 $\frac{1}{120}$。最后用甲承担的那部分工作量与天数求出甲的效率，得到原计划工期。
方法概述：两种方案作差求出丙的工作量与天数，再用效率倍数关系拆分效率，最后回推甲的效率与总工期。
规范步骤：
  1. 由效率倍数与差额求丙工作的天数：$\frac{10}{3}\times 3=10$（天）（乙的效率是丙的 $3$ 倍）
  2. 求乙、丙的效率和：$\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\right)\div 10=\frac{1}{30}$（从一半做到 $\frac{5}{6}$）
  3. 按 $3:1$ 拆分：乙 $\frac{1}{40}$，丙 $\frac{1}{120}$（效率和按比例分）
  4. 求乙的工作天数：$\frac{1}{2}\div\frac{1}{40}=20$（天）（乙一共做了总量的一半）
  5. 求甲承担的工作量：$\frac{1}{2}+\frac{1}{120}\times 10=\frac{7}{12}$（乙丙工作量之和）
  6. 求甲的效率：$\frac{7}{12}\div(20-6)=\frac{1}{24}$（甲做这些只需 $14$ 天）
  7. 求原计划工期：$24+6=30$（天）（甲单独 $24$ 天，计划比它多 $6$ 天）
9. 【原题 ch17-tuozhan-01】一条公路，甲队单独修需 $20$ 天完成，乙队单独修需 $30$ 天完成。请问：（1）如果甲、乙两队合做，共需要多少天完成？（2）如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了 $5$ 天修完，那么乙队一共修了多少天？
详细思路
是哪类问题：这是「合作 + 一方中途停工」的工程问题：第 (2) 问要把甲最后单干的那一段先扣掉。
关键切入点：第 (1) 问是标准的「总量÷效率和」。第 (2) 问的关键是：乙修的天数就是两队合修的天数，所以先算出甲最后单独修 $5$ 天完成的 $\frac{1}{20}\times5=\frac{1}{4}$，把它从总量里扣掉，剩下的 $\frac{3}{4}$ 才是两队合修完成的，再除以效率和就是合修天数，也就是乙修的天数。
方法概述：总量÷效率和求合作时间；先扣除单干段，剩余量÷效率和求合作段。
规范步骤：
  1. 求两队效率：甲 $\frac{1}{20}$，乙 $\frac{1}{30}$（效率＝1÷单独用时）
  2. 第 (1) 问：求合作时间：$1\div\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}\right)=12$（天）（总量÷效率和）
  3. 第 (2) 问：算甲最后单干 $5$ 天的量：$\frac{1}{20}\times 5=\frac{1}{4}$（工作量＝效率×时间）
  4. 求合修完成的量：$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$（总量减单干量）
  5. 求合修天数（即乙修的天数）：$\frac{3}{4}\div\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}\right)=9$（天）（剩余量÷效率和）
  6. 写出答案：（1）$12$ 天；（2）乙队修了 $9$ 天
第一套
题目：一条公路，甲队单独修需 $24$ 天完成，乙队单独修需 $40$ 天完成。请问：（1）两队合修，共需多少天完成？（2）如果两队合修若干天之后乙队停工休息，而甲队又继续修了 $8$ 天修完，那么乙队一共修了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：$24$ 与 $40$ 的公倍数取 $120$，把公路看作 $120$ 份。甲每天修 $120\div 24=\underline{\quad}$（份），乙每天修 $120\div 40=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：合修效率 $5+3=\underline{\quad}$（份/天），合修天数 $120\div 8=\underline{\quad}$（天）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问，先扣单干段）：甲最后单独修 $8$ 天完成 $5\times 8=\underline{\quad}$（份），合修部分为 $120-40=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：合修天数（即乙修的天数）为 $80\div 8=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：一批服装，甲车间单独做需 $24$ 天完成，乙车间单独做需 $40$ 天完成。请问：（1）两车间合做需多少天完成？（2）如果两车间合做若干天后乙车间停工，甲车间又继续做了 $8$ 天做完，那么乙车间一共做了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这批服装看作 $120$ 份。甲每天做 $120\div 24=\underline{\quad}$（份），乙每天做 $120\div 40=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：合做效率 $5+3=\underline{\quad}$（份/天），合做天数 $120\div 8=\underline{\quad}$（天）。
  3. 第 3 步：甲最后单独做 $8$ 天完成 $5\times 8=\underline{\quad}$（份），合做部分为 $120-40=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：乙车间做了 $80\div 8=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一条公路，甲队单独修需 $24$ 天完成，乙队单独修需 $40$ 天完成。两队合修若干天后甲队停工，乙队又单独修了 $16$ 天修完。请问：甲队一共修了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把公路看作 $120$ 份，甲每天 $120\div 24=\underline{\quad}$（份），乙每天 $120\div 40=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（扣掉乙单干段）：乙最后单独修 $16$ 天完成 $3\times 16=\underline{\quad}$（份），合修部分为 $120-48=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：合修效率 $5+3=\underline{\quad}$（份/天），合修（即甲修的）天数为 $72\div 8=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一条公路，甲队单独修需 $24$ 天，乙队单独修需 $40$ 天，丙队单独修需 $60$ 天。三队一起开工，但丙队只参加了前面若干天就撤走，之后由甲、乙两队修完，结果一共用了 $14$ 天。请问：丙队参加了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把公路看作 $120$ 份，甲每天 $120\div 24=\underline{\quad}$（份），乙每天 $120\div 40=\underline{\quad}$（份），丙每天 $120\div 60=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（甲乙全程都在）：甲乙每天合修 $5+3=\underline{\quad}$（份），$14$ 天共修 $8\times 14=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（丙补足的部分）：还差 $120-112=\underline{\quad}$（份），这些是丙修的。
  4. 第 4 步：丙参加了 $8\div 2=\underline{\quad}$（天）。
10. 【原题 ch17-tuozhan-02】有一批资料需要复印，甲复印机单独复印需 $11$ 小时，乙复印机单独复印需 $13$ 小时。现在让两台复印机一起复印，但工作中乙因相互有些干扰，每台机器每小时少印 $28$ 张，结果用 $6$ 小时 $15$ 分印完。这批资料共有多少张？
详细思路
是哪类问题：这是「效率受干扰下降，求工作总量」的工程问题，要用「理论用时」与「实际用时」的差来撬动。
关键切入点：如果没有干扰，两台机器合印只要 $1\div\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)=5\frac{23}{24}$ 小时；实际却用了 $6\frac{1}{4}$ 小时，多出的时间正是因为每小时少印了 $28$ 张。把「实际每小时少印的总张数 $\times$ 实际用时」看成被拖欠的工作量，它恰好需要正常效率去多印那段时间，由此解出效率，再乘实际用时得总量。
方法概述：用「理论用时」与「实际用时」之差，把每小时的效率损失换算成总量。
规范步骤：
  1. 求无干扰时的理论用时：$1\div\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)=5\frac{23}{24}$（小时）（总量÷效率和）
  2. 写出实际用时：$6$ 小时 $15$ 分 $=6\frac{1}{4}$ 小时（分钟化成小时）
  3. 求实际每小时印的张数：$28\times 5\frac{23}{24}\div\left(6\frac{1}{4}-5\frac{23}{24}\right)=572$（张/时）（效率损失÷时间差）
  4. 求资料总张数：$572\times 6\frac{1}{4}=3575$（张）（总量＝效率×时间）
  5. 写出答案：$3575$ 张
第一套
题目：有一批资料需要复印，甲复印机单独复印需 $12$ 小时，乙复印机单独复印需 $24$ 小时。现在让两台机器一起复印，但工作中互相干扰，每小时一共少印 $120$ 张，结果用 $10$ 小时才印完。这批资料共有多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（无干扰要多久）：把资料看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $24\div 24=\underline{\quad}$（份），效率和 $2+1=\underline{\quad}$（份/时），无干扰需 $24\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
  2. 第 2 步（时间差）：实际用 $10$ 小时，比理论多用 $10-8=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（被拖欠的张数）：$10$ 小时里一共少印 $120\times 10=\underline{\quad}$（张），这些张数正好要用正常效率多印 $2$ 小时才补得回来。
  4. 第 4 步（求正常效率）：正常每小时印 $1200\div 2=\underline{\quad}$（张），实际每小时印 $600-120=\underline{\quad}$（张）。
  5. 第 5 步：资料总张数为 $480\times 10=\underline{\quad}$（张）。
第二套
题目：有一批零件要包装，甲包装线单独包装需 $12$ 小时，乙包装线单独包装需 $24$ 小时。两条线一起开工时互相干扰，每小时一共少包装 $120$ 个，结果用了 $10$ 小时才包装完。这批零件共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这批零件看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $24\div 24=\underline{\quad}$（份），效率和 $2+1=\underline{\quad}$（份/时），无干扰需 $24\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
  2. 第 2 步：实际比理论多用 $10-8=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步：$10$ 小时共少包装 $120\times 10=\underline{\quad}$（个），这些要用正常效率多干 $2$ 小时补回。
  4. 第 4 步：正常每小时 $1200\div 2=\underline{\quad}$（个），实际每小时 $600-120=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步：总数为 $480\times 10=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：一批共 $4800$ 张的资料需要复印，甲复印机单独复印需 $12$ 小时，乙复印机单独复印需 $24$ 小时。两台机器一起复印时互相干扰，结果用了 $10$ 小时才印完。请问：干扰使两台机器每小时一共少印了多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（无干扰的效率和）：两台机器无干扰时合印需 $1\div\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{24}\right)$，即 $24$ 份中每小时做 $2+1=\underline{\quad}$ 份，共需 $24\div 3=\underline{\quad}$（小时），所以正常每小时印 $4800\div 8=\underline{\quad}$（张）。
  2. 第 2 步（实际效率）：实际每小时印 $4800\div 10=\underline{\quad}$（张）。
  3. 第 3 步（求差）：每小时少印 $600-480=\underline{\quad}$（张）。
第三套
题目：有一批资料需要复印，甲复印机单独复印需 $12$ 小时，乙复印机单独复印需 $24$ 小时。两台一起复印时互相干扰，每小时一共少印 $120$ 张，结果用 $10$ 小时印完。请问：（1）这批资料共多少张？（2）如果只用甲机（无干扰）单独复印，需要多少小时？比两台机器实际合印多用多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把资料看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $24\div 24=\underline{\quad}$（份），效率和 $2+1=\underline{\quad}$（份/时），无干扰需 $24\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
  2. 第 2 步：实际多用 $10-8=\underline{\quad}$（小时），$10$ 小时共少印 $120\times 10=\underline{\quad}$（张），故正常每小时 $1200\div 2=\underline{\quad}$（张），实际每小时 $600-120=\underline{\quad}$（张）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：总张数 $480\times 10=\underline{\quad}$（张）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：甲机每小时印 $4800\div 12=\underline{\quad}$（张），单独印完需 $4800\div 400=\underline{\quad}$（小时），比实际合印多用 $12-10=\underline{\quad}$（小时）。
11. 【原题 ch17-tuozhan-03】有一条公路，甲队单独修需 $20$ 天完成，乙队单独修需 $30$ 天完成，丙队单独修需 $40$ 天完成。现在让三个队合做，但中间甲队曾因故离开了 $12$ 天才把这条公路修完，请问：当甲队休息时，乙、丙两队又共修了多少天才完成？
详细思路
是哪类问题：这是「合作中有人缺勤，求缺勤天数」的问题，用「假设全勤 → 多算了多少 → 折算成缺勤天数」的思路最快。
关键切入点：先假设三队都全勤干满 $12$ 天，那么完成量应是 $\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}\right)\times12=1\frac{3}{10}$，比实际的 $1$ 多出了 $\frac{3}{10}$。多出来的这部分正是甲「实际没干」的量，用它除以甲的效率就得到甲离开的天数，而甲离开的这些天正是乙、丙两队单独合修的天数。
方法概述：假设全勤求出盈余，再用盈余÷缺勤者效率折算缺勤天数。
规范步骤：
  1. 求三队效率：甲 $\frac{1}{20}$，乙 $\frac{1}{30}$，丙 $\frac{1}{40}$（效率＝1÷单独用时）
  2. 假设三队全勤 $12$ 天：$\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}\right)\times 12=1\frac{3}{10}$（先按全勤算）
  3. 求盈余：$1\frac{3}{10}-1=\frac{3}{10}$（多算出来的量即甲没干的量）
  4. 折算成甲离开的天数：$\frac{3}{10}\div\frac{1}{20}=6$（天）（天数＝量÷效率）
  5. 写出答案：甲离开的 $6$ 天里，乙、丙两队共修了 $6$ 天
第一套
题目：有一条公路，甲队单独修需 $20$ 天完成，乙队单独修需 $30$ 天完成，丙队单独修需 $60$ 天完成。现在让三个队合做，但中间甲队曾因故离开了若干天，一共用了 $15$ 天才把这条公路修完。请问：当甲队休息时，乙、丙两队又共修了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：$20$、$30$、$60$ 的公倍数取 $60$，把公路看作 $60$ 份。甲每天 $60\div 20=\underline{\quad}$（份），乙每天 $60\div 30=\underline{\quad}$（份），丙每天 $60\div 60=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（假设全勤）：三队全勤每天修 $3+2+1=\underline{\quad}$（份），$15$ 天应修 $6\times 15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求盈余）：实际只有 $60$ 份，多算了 $90-60=\underline{\quad}$（份），这正是甲没干的量。
  4. 第 4 步：甲离开了 $30\div 3=\underline{\quad}$（天），这些天里是乙、丙两队在修。
第二套
题目：一批玩具，甲车间单独做需 $20$ 天完成，乙车间单独做需 $30$ 天完成，丙车间单独做需 $60$ 天完成。三个车间合做，但中间甲车间因设备检修停工了若干天，一共用了 $15$ 天才做完。请问：甲车间停工期间，乙、丙两车间又共做了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这批玩具看作 $60$ 份。甲每天 $60\div 20=\underline{\quad}$（份），乙每天 $60\div 30=\underline{\quad}$（份），丙每天 $60\div 60=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：假设全勤，每天共做 $3+2+1=\underline{\quad}$（份），$15$ 天应做 $6\times 15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：多算了 $90-60=\underline{\quad}$（份），这是甲没做的量。
  4. 第 4 步：甲停工了 $30\div 3=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：有一条公路，甲队单独修需 $20$ 天，乙队单独修需 $30$ 天，丙队单独修需 $60$ 天。三队合做，中间乙队离开了若干天，一共用了 $14$ 天修完。请问：乙队离开了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把公路看作 $60$ 份，甲每天 $60\div 20=\underline{\quad}$（份），乙每天 $60\div 30=\underline{\quad}$（份），丙每天 $60\div 60=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：假设全勤每天 $3+2+1=\underline{\quad}$（份），$14$ 天应修 $6\times 14=\underline{\quad}$（份），多算了 $84-60=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：这些是乙没干的量，乙离开了 $24\div 2=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：有一条公路，甲队单独修需 $20$ 天，乙队单独修需 $30$ 天，丙队单独修需 $60$ 天。三队合做，中间甲队离开了若干天，共用 $15$ 天修完。请问：（1）甲队实际工作了多少天？（2）甲队离开期间，乙、丙两队完成了这条公路的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把公路看作 $60$ 份，甲每天 $60\div 20=\underline{\quad}$（份），乙每天 $60\div 30=\underline{\quad}$（份），丙每天 $60\div 60=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：假设全勤每天 $3+2+1=\underline{\quad}$（份），$15$ 天应修 $6\times 15=\underline{\quad}$（份），多算 $90-60=\underline{\quad}$（份），故甲离开 $30\div 3=\underline{\quad}$（天）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：甲实际工作 $15-10=\underline{\quad}$（天）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：甲离开期间乙丙每天共修 $2+1=\underline{\quad}$（份），$10$ 天修了 $3\times 10=\underline{\quad}$（份），占全长的 $30\div 60=\underline{\quad}$。
12. 【原题 ch17-tuozhan-04】甲、乙两人共同完成一项工作。如果甲、乙两人合做 $2$ 天后，剩下的由乙单独做，刚好在规定时间完成；如果甲单独做需要 $18$ 天完成，乙单独做，刚要超过规定时间 $3$ 天才能完成。求完成这项工作规定的天数。
详细思路
是哪类问题：这是「规定时间 + 超时」的工程问题，核心是把两种做法作比较，找出「谁替谁干了多少」。
关键切入点：乙单独做要超过规定时间 $3$ 天；而甲来帮忙做 $2$ 天，就能刚好按规定时间完成。这说明：甲干的这 $2$ 天，正好顶掉了乙要多干的那 $3$ 天，即甲 $2$ 天的工作量 $=$ 乙 $3$ 天的工作量。由此甲、乙的效率之比是 $3:2$，甲单独 $18$ 天，乙单独就要 $18\div2\times3=27$ 天，再减去超出的 $3$ 天就是规定天数。
方法概述：比较两种做法，用「甲 $2$ 天 = 乙 $3$ 天」求出两人单独用时，再减超时天数。
规范步骤：
  1. 比较两种做法：甲做 $2$ 天的量 $=$ 乙做 $3$ 天的量（甲帮 $2$ 天正好抵掉乙超出的 $3$ 天）
  2. 求乙单独完成所需天数：$18\div 2\times 3=27$（天）（甲 $18$ 天，效率比 $3:2$）
  3. 求规定天数：$27-3=24$（天）（乙比规定多用 $3$ 天）
  4. 写出答案：$24$ 天
第一套
题目：甲、乙两人共同完成一项工作。如果甲、乙两人合做 $3$ 天后，剩下的由乙单独做，刚好在规定时间完成；如果甲单独做需要 $21$ 天完成，乙单独做要超过规定时间 $4$ 天才能完成。求完成这项工作规定的天数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两种做法作比较）：甲来帮忙做的 $3$ 天，正好顶掉乙要多干的 $4$ 天，所以甲 $3$ 天的工作量等于乙 $4$ 天的工作量。
  2. 第 2 步（求乙单独用时）：甲单独 $21$ 天完成，先求甲 $1$ 天顶乙几天——由 $3$ 天顶 $4$ 天知，甲单独用时换算成乙需要 $21\div 3=\underline{\quad}$，再 $7\times 4=\underline{\quad}$（天）。
  3. 第 3 步（求规定天数）：乙比规定多用 $4$ 天，所以规定天数为 $28-4=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：两台机器共同完成一批订单。如果两台机器合做 $3$ 天后，剩下的由乙机单独做，刚好在交货期完成；如果甲机单独做需要 $21$ 天，乙机单独做要超过交货期 $4$ 天才能完成。求交货期是多少天。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：甲机帮做的 $3$ 天正好顶掉乙机要多干的 $4$ 天，即甲机 $3$ 天的工作量等于乙机 $4$ 天的工作量。
  2. 第 2 步：由 $21\div 3=\underline{\quad}$，再 $7\times 4=\underline{\quad}$（天），得乙机单独需要 $28$ 天。
  3. 第 3 步：交货期为 $28-4=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：甲、乙两人共同完成一项工作。如果两人合做 $3$ 天后，剩下的由乙单独做，刚好在规定时间完成；已知乙单独做需要 $28$ 天，且比规定时间多用 $4$ 天。求甲单独完成这项工作需要多少天。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：甲帮做的 $3$ 天正好顶掉乙多干的 $4$ 天，即甲 $3$ 天的量 $=$ 乙 $4$ 天的量。
  2. 第 2 步：乙单独 $28$ 天，换算成甲需要 $28\div 4=\underline{\quad}$，再 $7\times 3=\underline{\quad}$（天）。
  3. 第 3 步（顺带求规定天数）：$28-4=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：甲、乙两人共同完成一项工作。两人合做 $3$ 天后剩下的由乙单独做，刚好在规定时间完成；甲单独做需 $21$ 天，乙单独做要超过规定时间 $4$ 天。请问：（1）规定天数是多少？（2）如果从头到尾两人一直合做，需要多少天完成？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：甲 $3$ 天的量 $=$ 乙 $4$ 天的量；由 $21\div 3=\underline{\quad}$、$7\times 4=\underline{\quad}$ 得乙单独需 $28$ 天，规定天数为 $28-4=\underline{\quad}$（天）。
  2. 第 2 步（设份数求效率）：$21$ 与 $28$ 的公倍数取 $84$，把工作看作 $84$ 份，甲每天 $84\div 21=\underline{\quad}$（份），乙每天 $84\div 28=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：两人合做每天 $4+3=\underline{\quad}$（份），需要 $84\div 7=\underline{\quad}$（天）。
13. 【原题 ch17-tuozhan-05】一项工程，乙单独做要 $14$ 天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做……两人这样轮流做，需要 $9$ 天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做……两人这样轮流做，会比上次轮流做多用多少天？
详细思路
是哪类问题：这是「两种轮流顺序作比较」的工程问题：谁先做会影响最后一天由谁收尾，从而影响总天数。
关键切入点：两种排法的前 $8$ 天完全一样（都是甲做 $4$ 天、乙做 $4$ 天，工作量相同），差别只在从第 $9$ 天起由谁收尾。恰好用 $9$ 个整天完工的那种排法里，先做的人做了 $5$ 天、后做的人做了 $4$ 天；由后做者是乙（做 $4$ 天）反求出甲的效率 $\frac{1}{7}$。另一种排法第 $9$ 天改由乙做，做不满全部，还得让甲再补做半天，于是多用 $\frac{1}{2}$ 天。（注意：按轮次「乙甲乙甲乙甲乙甲乙」，乙先做那种其实是乙做 $5$ 天、甲做 $4$ 天；题库把「$5$ 天/$4$ 天」的归属标反了，要与最终答案「多用半天」自洽，恰好整 $9$ 天完工的应是甲先做那种排法，下面据此推导。）
方法概述：抓住两种排法「前 $8$ 天相同、只差收尾」，由整 $9$ 天完工的排法定出两人效率，再算另一种排法收尾多花的时间。
规范步骤：
  1. 写出乙的效率：$\frac{1}{14}$（乙单独 $14$ 天完成）
  2. 由整 $9$ 天完工的排法反求甲的效率：$\left(1-\frac{1}{14}\times 4\right)\div 5=\frac{1}{7}$（该排法先做者做 $5$ 天、乙做 $4$ 天，恰好做满全部）
  3. 算另一种排法前 $8$ 天的完成量：$\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{14}\right)\times 4=\frac{6}{7}$（前 $8$ 天两种排法都是甲、乙各做 $4$ 天）
  4. 第 $9$ 天由乙做后的累计量：$\frac{6}{7}+\frac{1}{14}=\frac{13}{14}$（这一天乙做 $\frac{1}{14}$，尚未做完）
  5. 第 $10$ 天由甲补做剩余：$\left(1-\frac{13}{14}\right)\div\frac{1}{7}=\frac{1}{14}\div\frac{1}{7}=\frac{1}{2}$（天）（剩余量÷甲的效率）
  6. 两种排法相差的时间：$9\frac{1}{2}-9=\frac{1}{2}$（天）（一种恰好 $9$ 天、另一种 $9\frac{1}{2}$ 天）
14. 【原题 ch17-tuozhan-06】甲、乙、丙三队要完成 $A$、$B$ 两项工程。$B$ 工程的工作量比 $A$ 工程的工作量多 $\frac{1}{4}$。已知甲队单独完成 $A$ 工程要 $40$ 天，乙、丙两队单独完成 $B$ 工程分别需要 $60$ 天、$75$ 天。开始时甲队做 $A$ 工程，乙、丙两队共同做 $B$ 工程；几天后，又调丙队与甲队共同完成 $A$ 工程，剩下乙队单独做 $B$ 工程，结果两个工程同时完成。请问：丙队与乙队合做了多少天？
详细思路
是哪类问题：这是「两项工程 + 人员调度」的复杂工程问题，关键在于「三个队自始至终都在干活，效率不变」。
关键切入点：既然三队全程都在干（只是丙中途从 $B$ 换到 $A$），总时间就等于两项工程的总量除以三队效率和。设 $A$ 为 $1$，则 $B$ 为 $1\frac{1}{4}$；注意乙、丙的效率要用 $B$ 的工作量去除。求出总时间 $36$ 天后，乙全程都在 $B$ 工程，先算出乙干了多少，$B$ 剩下的就是丙干的，再除以丙的效率即得丙、乙合做的天数。
方法概述：全程效率不变 → 总量÷效率和求总时间；再用「乙全程量」反推丙在 $B$ 上的量与天数。
规范步骤：
  1. 设 $A=1$，则 $B=1\frac{1}{4}$：$B$ 比 $A$ 多 $\frac{1}{4}$（统一工作量单位）
  2. 求三队效率：甲 $\frac{1}{40}$，乙 $1\frac{1}{4}\div 60=\frac{1}{48}$，丙 $1\frac{1}{4}\div 75=\frac{1}{60}$（乙丙做的是 $B$ 工程）
  3. 求两工程同时完成的总时间：$\left(1+1\frac{1}{4}\right)\div\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{48}+\frac{1}{60}\right)=36$（天）（三队全程都在干）
  4. 求乙完成的工作量：$\frac{1}{48}\times 36=\frac{3}{4}$（乙全程都在 $B$ 工程）
  5. 求丙在 $B$ 上完成的量：$1\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$（$B$ 的剩余部分是丙干的）
  6. 求丙、乙合做的天数：$\frac{1}{2}\div\frac{1}{60}=30$（天）（天数＝量÷效率）
第一套
题目：甲、乙、丙三队要完成 $A$、$B$ 两项工程，$B$ 工程的工作量比 $A$ 工程多 $\frac{1}{4}$。甲队单独完成 $A$ 工程要 $80$ 天，乙、丙两队单独完成 $B$ 工程分别需要 $120$ 天、$150$ 天。开始时甲队做 $A$ 工程，乙、丙两队共同做 $B$ 工程；几天后又调丙队与甲队共同完成 $A$ 工程，剩下乙队单独做 $B$ 工程，结果两个工程同时完成。请问：丙队与乙队合做了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位）：设 $A$ 工程为 $480$ 份，则 $B$ 工程为 $480\times 5/4=\underline{\quad}$（份），两项共 $480+600=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求效率，注意乙丙做的是 $B$）：甲每天 $480\div 80=\underline{\quad}$（份），乙每天 $600\div 120=\underline{\quad}$（份），丙每天 $600\div 150=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（三队全程都在干）：效率和 $6+5+4=\underline{\quad}$（份/天），总时间 $1080\div 15=\underline{\quad}$（天）。
  4. 第 4 步（乙全程在 $B$）：乙完成 $5\times 72=\underline{\quad}$（份），所以 $B$ 上由丙完成的是 $600-360=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：丙与乙合做了 $240\div 4=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：甲、乙、丙三支绿化队要完成 $A$、$B$ 两个花园的种植，$B$ 花园的工作量比 $A$ 花园多 $\frac{1}{4}$。甲队单独种完 $A$ 花园要 $80$ 天，乙、丙两队单独种完 $B$ 花园分别要 $120$ 天、$150$ 天。开始时甲队种 $A$，乙、丙两队一起种 $B$；几天后调丙队去和甲队一起种 $A$，剩下乙队单独种 $B$，结果两个花园同时完工。请问：丙队与乙队一起种了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设 $A$ 花园为 $480$ 份，则 $B$ 花园为 $480\times 5/4=\underline{\quad}$（份），共 $480+600=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：甲每天 $480\div 80=\underline{\quad}$（份），乙每天 $600\div 120=\underline{\quad}$（份），丙每天 $600\div 150=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：效率和 $6+5+4=\underline{\quad}$（份/天），总时间 $1080\div 15=\underline{\quad}$（天）。
  4. 第 4 步：乙完成 $5\times 72=\underline{\quad}$（份），$B$ 上丙完成 $600-360=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：丙与乙一起种了 $240\div 4=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：甲、乙、丙三队完成 $A$、$B$ 两项工程，$B$ 的工作量比 $A$ 多 $\frac{1}{4}$。甲队单独完成 $A$ 要 $80$ 天，乙、丙单独完成 $B$ 分别要 $120$ 天、$150$ 天。开始时甲做 $A$，乙、丙做 $B$；几天后丙转去与甲共同完成 $A$，乙单独做完 $B$，两工程同时完成。请问：丙队与甲队合做了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设 $A=480$ 份，$B=480\times 5/4=\underline{\quad}$（份），共 $480+600=\underline{\quad}$（份）；甲每天 $480\div 80=\underline{\quad}$（份），乙每天 $600\div 120=\underline{\quad}$（份），丙每天 $600\div 150=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：效率和 $6+5+4=\underline{\quad}$（份/天），总时间 $1080\div 15=\underline{\quad}$（天）。
  3. 第 3 步（甲全程在 $A$）：甲完成 $6\times 72=\underline{\quad}$（份），$A$ 上由丙完成 $480-432=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：丙与甲合做了 $48\div 4=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：甲、乙、丙三队完成 $A$、$B$ 两项工程，$B$ 的工作量比 $A$ 多 $\frac{1}{4}$。甲队单独完成 $A$ 要 $80$ 天，乙、丙单独完成 $B$ 分别要 $120$ 天、$150$ 天。三队按上述方式调度，两工程同时完成。若按完成的工作量把 $4320$ 元报酬分给三队，乙队应得多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设 $A=480$ 份，$B=480\times 5/4=\underline{\quad}$（份），共 $480+600=\underline{\quad}$（份）；甲每天 $480\div 80=\underline{\quad}$（份），乙每天 $600\div 120=\underline{\quad}$（份），丙每天 $600\div 150=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：效率和 $6+5+4=\underline{\quad}$（份/天），总时间 $1080\div 15=\underline{\quad}$（天）。
  3. 第 3 步（乙的工作量）：乙全程在干，完成 $5\times 72=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（按工作量分钱）：每份报酬 $4320\div 1080=\underline{\quad}$（元），乙应得 $4\times 360=\underline{\quad}$（元）。
15. 【原题 ch17-tuozhan-07】俄国文学家列夫·托尔斯泰的庄园里有大、小两片草地，每年秋天，农民们都要将草地割草存起来作为牲畜的饲料。大草地的面积恰好是小草地面积的 $2$ 倍。这一年有一些割草人去草地割草，上午他们都在大草地里干活，下午这些人平均分成两半，一半人继续在大草地割草，到傍晚收工时（上、下午工作时间相同）恰好刚割完；另一半人到小草地干活，收工时仅剩下一小块没有割完，这一小块草地恰好够一个人收割一天。工头去托尔斯泰那里结账时讲了上述情况，托尔斯泰就算出了共有多少个割草人。请问：一共有多少个割草人？
详细思路
是哪类问题：这是「用份数表示工作量再列等量关系」的问题：人数未知，先用字母（或份数）把两片草地的工作量都表示出来。
关键切入点：把「一个人半天割的草」记作 $1$ 份。上午 $n$ 个人都在大草地，割了 $n$ 份；下午一半人继续在大草地，又割 $\frac{n}{2}$ 份，所以大草地共 $\frac{3n}{2}$ 份。小草地下午由另一半人割了 $\frac{n}{2}$ 份，还剩一块要一个人割一天（即 $2$ 份），所以小草地共 $\frac{n}{2}+2$ 份。再用「大草地是小草地的 $2$ 倍」列出等式即可解出 $n$。
方法概述：设每人半天的工作量为 $1$ 份，把两片草地的工作量都用 $n$ 表示，再用倍数关系列等式。
规范步骤：
  1. 设每人半天割 $1$ 份，表示大草地：$n+\frac{n}{2}=\frac{3n}{2}$（份）（上午全体、下午一半人）
  2. 表示小草地：$\frac{n}{2}+2$（份）（下午一半人 $+$ 一人一天的 $2$ 份）
  3. 由倍数关系列等式：$\frac{3n}{2}=2\left(\frac{n}{2}+2\right)$（大草地是小草地的 $2$ 倍）
  4. 解方程：$\frac{3n}{2}=n+4\Rightarrow\frac{n}{2}=4\Rightarrow n=8$（移项化简）
  5. 检验：大 $=12$ 份，小 $=6$ 份，$12\div 6=2$（符合倍数关系）
第一套
题目：庄园里有大、小两片草地，大草地的面积恰好是小草地面积的 $2$ 倍。一些割草人上午都在大草地割草，下午平均分成两半：一半人继续在大草地割，到傍晚收工时（上、下午工作时间相同）恰好割完；另一半人到小草地割，收工时仅剩一小块没割完，这一小块恰好够一个人割 $3$ 天。请问：一共有多少个割草人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：把一个人半天割的草记作 $1$ 份，则一个人割 $3$ 天是 $6$ 份。设有 $n$ 个割草人。
  2. 第 2 步（表示大草地）：上午 $n$ 人割 $n$ 份，下午一半人割 $\frac{n}{2}$ 份，大草地共 $\frac{3n}{2}$ 份。
  3. 第 3 步（表示小草地）：下午一半人割 $\frac{n}{2}$ 份，再加剩下的 $6$ 份，小草地共 $\frac{n}{2}+6$ 份。
  4. 第 4 步（列等式并解）：由 $\frac{3n}{2}=2\left(\frac{n}{2}+6\right)=n+12$ 得 $\frac{n}{2}=\underline{\quad}$，所以 $n=12\times 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：大草地 $24\times 3/2=\underline{\quad}$（份），小草地 $24/2+6=\underline{\quad}$（份），$36\div 18=\underline{\quad}$，符合倍数关系。
第二套
题目：农场有大、小两块麦田，大麦田的面积恰好是小麦田的 $2$ 倍。一些收割工上午都在大麦田收割，下午平均分成两半：一半人继续在大麦田收割，收工时恰好割完；另一半人去小麦田收割，收工时还剩一小块没割完，这一小块恰好够一个人割 $3$ 天。（上、下午工作时间相同。）请问：一共有多少个收割工？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把一个人半天割的麦记作 $1$ 份，则一个人割 $3$ 天是 $6$ 份。设有 $n$ 个收割工。
  2. 第 2 步：大麦田共 $n+\frac{n}{2}=\frac{3n}{2}$ 份。
  3. 第 3 步：小麦田共 $\frac{n}{2}+6$ 份。
  4. 第 4 步：由 $\frac{3n}{2}=n+12$ 得 $\frac{n}{2}=\underline{\quad}$，$n=12\times 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：大麦田 $24\times 3/2=\underline{\quad}$（份），小麦田 $24/2+6=\underline{\quad}$（份），$36\div 18=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知在上题的情形中一共有 $24$ 个割草人（每人半天割 $1$ 份，大草地 $36$ 份、小草地 $18$ 份）。请问：两片草地的工作量合起来相当于多少个「人·天」？如果改派 $27$ 个人从头一起割这两片草地，需要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并工作量）：两片草地共 $36+18=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（换算成人·天）：一个人一天割 $2$ 份，所以总量为 $54\div 2=\underline{\quad}$（人·天）。
  3. 第 3 步：$27$ 个人一起割，需要 $27\div 27=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：庄园里大草地的面积恰好是小草地的 $2$ 倍。一些割草人上午都在大草地割，下午一半人继续在大草地割并恰好割完，另一半人去小草地割，收工时小草地还剩一小块，恰好够一个人割 $3$ 天（上、下午工作时间相同）。请问：（1）一共有多少个割草人？（2）如果第二年改派 $18$ 个人从头一起割这两片草地，需要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每人半天割 $1$ 份，一个人 $3$ 天是 $6$ 份，设有 $n$ 人。大草地 $\frac{3n}{2}$ 份，小草地 $\frac{n}{2}+6$ 份。
  2. 第 2 步：由 $\frac{3n}{2}=n+12$ 得 $\frac{n}{2}=\underline{\quad}$，$n=12\times 2=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（求总量）：大草地 $24\times 3/2=\underline{\quad}$（份），小草地 $24/2+6=\underline{\quad}$（份），共 $36+18=\underline{\quad}$（份），合 $54\div 2=\underline{\quad}$（人·天）。
  4. 第 4 步（改派人手）：$18$ 个人一起割需要 $27\div 18=\underline{\quad}$（天）。
16. 【原题 ch17-tuozhan-08】蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 $12$ 小时注满水池，单开乙管需 $18$ 小时注满水池。现要求 $10$ 小时注满水池，那么，甲、乙两管至少要合开多长时间？
详细思路
是哪类问题：这是「限定总时间，求某管最少开启时间」的最值型水管问题。
关键切入点：要让乙管开得尽可能短，就要让效率高的甲管开得尽可能长——甲管全程开满 $10$ 小时。甲管 $10$ 小时注入 $\frac{1}{12}\times10=\frac{5}{6}$，剩下的 $\frac{1}{6}$ 必须由乙管补上，用它除以乙管的效率就是乙管至少要开的时间，也就是两管至少合开的时间。
方法概述：让高效率的管全程开满，剩余量÷低效率管的效率 = 最少合开时间。
规范步骤：
  1. 求两管效率：甲 $\frac{1}{12}$，乙 $\frac{1}{18}$（效率＝1÷单独用时）
  2. 让甲管全程开满 $10$ 小时：$\frac{1}{12}\times 10=\frac{5}{6}$（甲效率高，开满最省乙）
  3. 求还差的水量：$1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$（总量减甲注入量）
  4. 求乙管至少开的时间：$\frac{1}{6}\div\frac{1}{18}=3$（小时）（时间＝水量÷效率）
  5. 写出答案：至少合开 $3$ 小时
第一套
题目：蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 $15$ 小时注满水池，单开乙管需 $20$ 小时注满水池。现要求 $12$ 小时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：$15$ 与 $20$ 的公倍数取 $60$，把满池看作 $60$ 份。甲每小时注 $60\div 15=\underline{\quad}$（份），乙每小时注 $60\div 20=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（让效率高的甲管全程开满）：甲开满 $12$ 小时注入 $4\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（差额由乙补）：还差 $60-48=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：乙至少要开 $12\div 3=\underline{\quad}$（小时），即两管至少合开 $4$ 小时。
第二套
题目：仓库有甲、乙两条传送带往里运货，单开甲带需 $15$ 小时装满仓库，单开乙带需 $20$ 小时装满。现要求 $12$ 小时装满仓库，那么甲、乙两条带至少要同时开多长时间？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把满仓看作 $60$ 份。甲每小时运 $60\div 15=\underline{\quad}$（份），乙每小时运 $60\div 20=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：让效率高的甲带开满 $12$ 小时，运入 $4\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：还差 $60-48=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：乙带至少开 $12\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 $15$ 小时注满，单开乙管需 $20$ 小时注满。现在要求 $12$ 小时注满水池，但甲管最多只能开 $9$ 小时。请问：乙管至少要开多长时间？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把满池看作 $60$ 份，甲每小时 $60\div 15=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $60\div 20=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：甲管开满 $9$ 小时注入 $4\times 9=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：还差 $60-36=\underline{\quad}$（份），乙至少开 $24\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管，单开甲管需 $15$ 小时注满，单开乙管需 $20$ 小时注满，单开排水管需 $30$ 小时把满池水排完。现在排水管因故障全程开着，甲管也全程开着，要求 $12$ 小时把水池注满。请问：乙管至少要开多长时间？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把满池看作 $60$ 份，甲每小时进 $60\div 15=\underline{\quad}$（份），乙每小时进 $60\div 20=\underline{\quad}$（份），排水管每小时排 $60\div 30=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（先算全程开着的两根管）：$12$ 小时里甲注入 $4\times 12=\underline{\quad}$（份），排水管排走 $2\times 12=\underline{\quad}$（份），净存 $48-24=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（差额由乙补）：还差 $60-24=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：乙至少要开 $36\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
17. 【原题 ch17-tuozhan-09】蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，如果想灌满整池水，单开甲管需 $10$ 小时，单开乙管需 $12$ 小时，单开丙管需 $15$ 小时。上午 $8$ 点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午 $2$ 点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？
详细思路
是哪类问题：这是「假设全程开启 → 求盈余 → 折算关闭时间」的水管问题，与「缺勤补做」是同一套思路。
关键切入点：从上午 $8$ 点到下午 $2$ 点共 $6$ 小时。先假设甲管一直没关，三管齐开 $6$ 小时应注入 $\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}\right)\times6=1\frac{1}{2}$，比一池水多了 $\frac{1}{2}$。多出来的这部分正是甲管「实际没注」的水，除以甲管效率即得甲管关闭的总时长，再用总时长减去它就知道甲开了多久。
方法概述：假设全程开启求盈余，盈余÷该管效率 = 关闭时长。
规范步骤：
  1. 求总时长与三管效率：$6$ 小时；甲 $\frac{1}{10}$，乙 $\frac{1}{12}$，丙 $\frac{1}{15}$（$8$ 点到 $14$ 点）
  2. 假设三管全程齐开：$\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}\right)\times 6=1\frac{1}{2}$（先按全开算）
  3. 求盈余：$1\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$（多算出来的即甲没注的水）
  4. 折算甲关闭时长：$\frac{1}{2}\div\frac{1}{10}=5$（小时）（时长＝水量÷效率）
  5. 求甲开启时长与关闭时刻：$6-5=1$（小时），$8$ 点 $+1$ 小时 $=9$ 点
第一套
题目：蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，单开甲管需 $12$ 小时注满，单开乙管需 $18$ 小时注满，单开丙管需 $36$ 小时注满。上午 $8$ 点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午 $4$ 点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：$12$、$18$、$36$ 的公倍数取 $36$，把满池看作 $36$ 份。甲每小时 $36\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $36\div 18=\underline{\quad}$（份），丙每小时 $36\div 36=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（总时长）：从上午 $8$ 点到下午 $4$ 点共 $16-8=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（假设全程齐开）：三管每小时共 $3+2+1=\underline{\quad}$（份），$8$ 小时应注 $6\times 8=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求盈余）：多算了 $48-36=\underline{\quad}$（份），这是甲管没注的水。
  5. 第 5 步：甲管关闭了 $12\div 3=\underline{\quad}$（小时），所以甲开了 $8-4=\underline{\quad}$（小时），关闭时刻为 $8+4=\underline{\quad}$ 点。
第二套
题目：一个粮仓有甲、乙、丙三条进粮传送带，单开甲带需 $12$ 小时装满，单开乙带需 $18$ 小时装满，单开丙带需 $36$ 小时装满。上午 $8$ 点三条带同时开动，中间甲带因故障停机，结果到下午 $4$ 点粮仓装满。问：甲带在何时停机？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把满仓看作 $36$ 份。甲每小时 $36\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $36\div 18=\underline{\quad}$（份），丙每小时 $36\div 36=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：从 $8$ 点到 $16$ 点共 $16-8=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步：假设三带全程开动，每小时 $3+2+1=\underline{\quad}$（份），$8$ 小时应装 $6\times 8=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：多算了 $48-36=\underline{\quad}$（份），是甲带没装的。
  5. 第 5 步：甲带停了 $12\div 3=\underline{\quad}$（小时），开了 $8-4=\underline{\quad}$（小时），停机时刻为 $8+4=\underline{\quad}$ 点。
第三套
题目：蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，单开甲管需 $12$ 小时注满，单开乙管需 $18$ 小时注满，单开丙管需 $36$ 小时注满。上午 $8$ 点三管同时打开，中间乙管因故关闭，结果到下午 $4$ 点水池注满。问：乙管在何时被关闭？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把满池看作 $36$ 份，甲每小时 $36\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $36\div 18=\underline{\quad}$（份），丙每小时 $36\div 36=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：总时长 $16-8=\underline{\quad}$（小时），假设全程齐开每小时 $3+2+1=\underline{\quad}$（份），$8$ 小时应注 $6\times 8=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：盈余 $48-36=\underline{\quad}$（份），这是乙管没注的水，乙关闭了 $12\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步：乙开了 $8-6=\underline{\quad}$（小时），关闭时刻为 $8+2=\underline{\quad}$ 点。
第三套
题目：蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，单开甲管需 $12$ 小时注满，单开乙管需 $18$ 小时注满，单开丙管需 $36$ 小时注满。现在上午 $8$ 点打开乙、丙两管并全程开着，要求到下午 $2$ 点把水池注满。请问：甲管至少要开多长时间？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把满池看作 $36$ 份，甲每小时 $36\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $36\div 18=\underline{\quad}$（份），丙每小时 $36\div 36=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（总时长）：从 $8$ 点到 $14$ 点共 $14-8=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（全程开着的乙、丙）：每小时共 $2+1=\underline{\quad}$（份），$6$ 小时注入 $3\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（差额由甲补）：还差 $36-18=\underline{\quad}$（份），甲至少要开 $18\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
18. 【原题 ch17-tuozhan-10】某水库建有 $10$ 个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流入。为了防洪，需调节泄洪闸的泄洪速度。假设每个闸门的泄洪速度相同，若开 $1$ 个泄洪闸，$30$ 小时水位降至安全线；若开 $2$ 个泄洪闸，$10$ 小时水位降至安全线。现在抗洪指挥部队要求在 $2.5$ 小时使水位降至安全线以下，那么至少要同时打开几个闸门？
详细思路
是哪类问题：这是典型的「牛吃草」问题：水位由「原有的超量水」和「上游不断流入的水」两部分组成，闸门既要排掉原有的，又要抵消不断流入的。
关键切入点：把 $1$ 个闸门 $1$ 小时的排水量设为 $1$ 份。开 $1$ 个闸 $30$ 小时排 $30$ 份，开 $2$ 个闸 $10$ 小时排 $20$ 份；两者都把水位降到安全线，排水量却差 $10$ 份，差别来自流入时间不同（$30$ 小时与 $10$ 小时），所以每小时流入 $(30-20)\div(30-10)=0.5$ 份。再回代求出「原有超量水」$=(1-0.5)\times30=15$ 份。要在 $2.5$ 小时降到安全线，闸门每小时既要排掉 $15\div2.5=6$ 份，还要抵消流入的 $0.5$ 份。
方法概述：两次排水量之差 ÷ 时间之差 = 新增速度；回代求原有量；所需闸门数 = 原有量÷限定时间 + 新增速度。
规范步骤：
  1. 设 $1$ 闸 $1$ 小时排 $1$ 份，算两次排水量：$1\times 30=30$；$2\times 10=20$（闸数×时间）
  2. 求上游每小时流入量：$(30-20)\div(30-10)=0.5$（份）（排水量之差÷时间之差）
  3. 求原有超量水：$(1-0.5)\times 30=15$（份）（$1$ 个闸排的量中扣掉抵消流入的部分）
  4. 求 $2.5$ 小时所需的排水速度：$15\div 2.5+0.5=6.5$（份/时）（排原有＋抵消流入）
  5. 取整得闸门数：$6.5\Rightarrow$ 至少 $7$ 个（闸门数必须是整数且不少于 $6.5$）
第一套
题目：某水库建有 $12$ 个泄洪闸，现在水位已超过安全线，上游河水还在按不变的速度流入。假设每个闸门的泄洪速度相同：若开 $1$ 个泄洪闸，$60$ 小时水位降至安全线；若开 $2$ 个泄洪闸，$20$ 小时水位降至安全线。现在要求在 $3$ 小时内使水位降至安全线，那么至少要同时打开几个闸门？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：设 $1$ 个闸门 $1$ 小时排水 $1$ 份。开 $1$ 个闸排 $1\times 60=\underline{\quad}$（份），开 $2$ 个闸排 $2\times 20=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求流入速度）：两次都降到安全线，排水量却差 $60-40=\underline{\quad}$（份），这是流入时间相差 $60-20=\underline{\quad}$（小时）造成的，故每小时流入 $20\div 40=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求原有超量水）：$1$ 个闸的 $60$ 小时里，有 $0.5$ 份/时用来抵消流入，真正排掉原有水的是 $(1-0.5)\times 60=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求所需速度）：$3$ 小时排完原有水要 $30\div 3=\underline{\quad}$（份/时），再加上抵消流入的 $0.5$ 份，共 $10+0.5=\underline{\quad}$（份/时）。
  5. 第 5 步（取整）：闸门数必须是整数且不少于 $10.5$，所以至少开 $11$ 个。
第二套
题目：某矿井积水已超过警戒线，地下水还在按不变的速度渗入。矿上有 $12$ 台同型号抽水机：若开 $1$ 台，$60$ 小时可把水位降到警戒线；若开 $2$ 台，$20$ 小时可把水位降到警戒线。现在要求 $3$ 小时内把水位降到警戒线，至少要同时开几台抽水机？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设 $1$ 台抽水机 $1$ 小时抽 $1$ 份。开 $1$ 台抽 $1\times 60=\underline{\quad}$（份），开 $2$ 台抽 $2\times 20=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：排水量相差 $60-40=\underline{\quad}$（份），时间相差 $60-20=\underline{\quad}$（小时），每小时渗入 $20\div 40=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：原有超量水为 $(1-0.5)\times 60=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：$3$ 小时需 $30\div 3=\underline{\quad}$（份/时），再加抵消渗入的 $0.5$ 份，共 $10+0.5=\underline{\quad}$（份/时）。
  5. 第 5 步：所以至少开 $11$ 台。
第三套
题目：一片牧场上的草匀速生长。这片牧场的草可供 $10$ 头牛吃 $20$ 天，或供 $15$ 头牛吃 $10$ 天。请问：这片牧场的草可供 $25$ 头牛吃多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：设 $1$ 头牛 $1$ 天吃 $1$ 份。第一种情形吃掉 $10\times 20=\underline{\quad}$（份），第二种情形吃掉 $15\times 10=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求生长速度）：吃掉的量相差 $200-150=\underline{\quad}$（份），是因为时间相差 $20-10=\underline{\quad}$（天），故每天新长 $50\div 10=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求原有草量）：$200-5\times 20=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求天数）：$25$ 头牛中要留 $5$ 头「吃掉新长的草」，其余 $25-5=\underline{\quad}$（头）吃原有草，可吃 $100\div 20=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一片牧场上的草匀速生长，可供 $10$ 头牛吃 $20$ 天，或供 $15$ 头牛吃 $10$ 天。请问：（1）要在 $4$ 天内把草吃完，需要多少头牛？（2）最多放多少头牛，才能使这片牧场的草永远吃不完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设 $1$ 头牛 $1$ 天吃 $1$ 份。两种情形分别吃掉 $10\times 20=\underline{\quad}$（份）、$15\times 10=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：每天新长 $(200-150)\div(20-10)=\underline{\quad}$（份），原有草量 $200-5\times 20=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：$4$ 天吃完原有草需 $100\div 4=\underline{\quad}$（头）牛，再加上专吃新长草的 $5$ 头，共 $25+5=\underline{\quad}$（头）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：若牛每天吃的正好等于每天新长的，草就永远吃不完，故最多放 $5$ 头。
19. 【原题 ch17-tuozhan-11】某水池的容积是 $100$ 立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管。甲、乙两管单独灌满水池分别需要 $10$ 小时和 $15$ 小时。如果同时打开甲、乙两个进水管再加上排水管放水，需要 $6$ 小时将水池中的水放完。如果甲管单独将水回排放水，需要 $2$ 小时将水池中的水放完。水池中原有水多少立方米？
详细思路
是哪类问题：这是「进水管与排水管综合」的问题：要先弄清「甲管回排」这一条件能直接告诉我们什么。
关键切入点：「甲管单独回排 $2$ 小时把池中的水放完」直接给出了原有水量：$\frac{1}{10}\times2=\frac{1}{5}$，即容积的 $\frac{1}{5}$。另一条件可用来求排水管效率并检验：甲、乙两管进水加排水管放水 $6$ 小时放完，说明排水管 $6$ 小时排出的是「原有水 $+$ 这 $6$ 小时进的水」，即 $\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\times6\right)\div6=\frac{1}{5}$。
方法概述：由「回排时间×该管效率」直接得原有水量，再乘容积化成体积。
规范步骤：
  1. 设容积为 $1$，写出进水效率：甲 $\frac{1}{10}$，乙 $\frac{1}{15}$，效率和 $\frac{1}{6}$（效率＝1÷单独用时）
  2. 由「甲管回排 $2$ 小时放完」求原有水量：$\frac{1}{10}\times 2=\frac{1}{5}$（放完的水就是原有的水）
  3. 换算成体积：$100\times\frac{1}{5}=20$（立方米）（容积×分率）
  4. 用另一条件检验排水管效率：$\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\times 6\right)\div 6=\frac{1}{5}$（排出的＝原有＋期间进的）
  5. 写出答案：$20$ 立方米
第一套
题目：某水池的容积是 $200$ 立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管。甲、乙两管单独灌满水池分别需要 $12$ 小时和 $24$ 小时。如果同时打开甲、乙两个进水管再加上排水管放水，需要 $6$ 小时把水池中的水放完；如果甲管单独回排放水，需要 $3$ 小时把水池中的水放完。水池中原有水多少立方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：$12$ 与 $24$ 的公倍数取 $24$，把容积看作 $24$ 份。甲每小时进 $24\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时进 $24\div 24=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（抓住「回排」这一条件）：甲管回排时每小时排 $2$ 份，$3$ 小时排完池中原有的水，所以原有水为 $2\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（化成分率）：原有水占容积的 $6\div 24=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（换算体积）：$200\times 0.25=\underline{\quad}$（立方米）。
第二套
题目：某粮仓的容量是 $200$ 吨，装有甲、乙两条进粮带和一条出粮带。甲、乙两带单独装满粮仓分别需要 $12$ 小时和 $24$ 小时。如果同时开甲、乙两条进粮带再加上出粮带出粮，需要 $6$ 小时把仓里的粮食全部运空；如果只用甲带反转出粮，需要 $3$ 小时把仓里原有的粮食运空。粮仓里原有粮食多少吨？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把仓容看作 $24$ 份。甲每小时 $24\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $24\div 24=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：甲带反转每小时出 $2$ 份，$3$ 小时运空原有粮，故原有粮为 $2\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：原有粮占仓容的 $6\div 24=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$200\times 0.25=\underline{\quad}$（吨）。
第三套
题目：某水池容积 $200$ 立方米，甲、乙两个进水管单独灌满分别需 $12$ 小时和 $24$ 小时，池中原有水 $50$ 立方米。现在同时打开甲、乙两个进水管和排水管，$6$ 小时后把池中的水放完。请问：只开排水管，把满池水排完需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把容积看作 $24$ 份，甲每小时进 $24\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时进 $24\div 24=\underline{\quad}$（份），原有水 $50\div 200\times 24=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（排水管这 $6$ 小时排掉了什么）：这 $6$ 小时里进水管共进 $(2+1)\times 6=\underline{\quad}$（份），加上原有的 $6$ 份，排水管共排出 $6+18=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：排水管每小时排 $24\div 6=\underline{\quad}$（份），排空满池需 $24\div 4=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：某水池容积 $200$ 立方米，甲、乙两个进水管单独灌满分别需 $12$ 小时和 $24$ 小时。若甲管单独回排，$3$ 小时可把池中原有的水放完。现在关掉排水管，只开甲、乙两个进水管往池里注水。请问：（1）池中原有水多少立方米？（2）还要多少小时才能把水池注满？还需注入多少立方米水？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把容积看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 12=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $24\div 24=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：原有水 $2\times 3=\underline{\quad}$（份），占容积的 $6\div 24=\underline{\quad}$，即 $200\times 0.25=\underline{\quad}$（立方米）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：还差 $24-6=\underline{\quad}$（份），两管每小时进 $2+1=\underline{\quad}$（份），还需 $18\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步：还需注入 $200-50=\underline{\quad}$（立方米）。
20. 【原题 ch17-tuozhan-12】画展 $9$ 时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众到来时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 $3$ 个入场口，$9$ 时 $9$ 分就不再有人排队；如果开 $5$ 个入场口，$9$ 时 $5$ 分就没有人排队。请问：第一个观众到达的时间是 $8$ 时多少分？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草」的变形：排队的人数由「$9$ 时前已积累的人」与「每分钟新来的人」两部分组成。
关键切入点：设每个入场口每分钟进 $1$ 份人。开 $3$ 个口 $9$ 分钟进 $27$ 份，开 $5$ 个口 $5$ 分钟进 $25$ 份，两者都把队排空，进人量却差 $2$ 份，这个差正是第 $5$ 分钟到第 $9$ 分钟这 $4$ 分钟里新来的人，所以每分钟来 $0.5$ 份。再回代：$9$ 时开门时已排队 $(3-0.5)\times9=22.5$ 份，这些人是按每分钟 $0.5$ 份积累起来的，需要 $45$ 分钟。
方法概述：两次进人量之差÷时间之差 = 每分钟新来人数；回代求开门时的队长；队长÷新来速度 = 积累时间。
规范步骤：
  1. 设每口每分钟进 $1$ 份，算两次进人量：$3\times 9=27$；$5\times 5=25$（口数×时间）
  2. 求每分钟新来人数：$(27-25)\div(9-5)=0.5$（份）（进人量之差÷时间之差）
  3. 求 $9$ 时开门时的队长：$(3-0.5)\times 9=22.5$（份）（扣除用于消化新来者的部分）
  4. 求积累这些人所需时间：$22.5\div 0.5=45$（分钟）（队长÷每分钟新来人数）
  5. 求第一个观众到达时刻：$9$ 时 $-45$ 分 $=8$ 时 $15$ 分
第一套
题目：画展 $9$ 时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众到来时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 $4$ 个入场口，$9$ 时 $12$ 分就不再有人排队；如果开 $6$ 个入场口，$9$ 时 $6$ 分就没有人排队。请问：第一个观众到达的时间是 $8$ 时多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：设每个入场口每分钟进 $1$ 份人。开 $4$ 个口 $12$ 分钟进 $4\times 12=\underline{\quad}$（份），开 $6$ 个口 $6$ 分钟进 $6\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求每分钟新来人数）：进人量相差 $48-36=\underline{\quad}$（份），时间相差 $12-6=\underline{\quad}$（分钟），故每分钟新来 $12\div 6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求 $9$ 时的队长）：开 $4$ 个口时，有 $2$ 份/分用来消化新来的人，真正消化原队伍的是 $(4-2)\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求积累时间）：这些人按每分钟 $2$ 份积累，需要 $24\div 2=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步（求时刻）：第一个观众在 $9$ 时前 $12$ 分钟到达，即 $8$ 时 $60-12=\underline{\quad}$ 分。
第二套
题目：车站 $9$ 时开始检票，但早有人来排队。从第一个旅客到来时起，每分钟来的旅客人数一样多。如果开 $4$ 个检票口，$9$ 时 $12$ 分就不再有人排队；如果开 $6$ 个检票口，$9$ 时 $6$ 分就没有人排队。请问：第一个旅客到达的时间是 $8$ 时多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每个检票口每分钟检 $1$ 份人。开 $4$ 个口检 $4\times 12=\underline{\quad}$（份），开 $6$ 个口检 $6\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：相差 $48-36=\underline{\quad}$（份），时间相差 $12-6=\underline{\quad}$（分钟），每分钟新来 $12\div 6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：$9$ 时的队长为 $(4-2)\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：积累这些人需 $24\div 2=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步：第一个旅客到达时刻为 $8$ 时 $60-12=\underline{\quad}$ 分。
第三套
题目：画展 $9$ 时开门，早有人排队，从第一个观众到来起每分钟来的人数相同。开 $4$ 个入场口 $9$ 时 $12$ 分排空，开 $6$ 个入场口 $9$ 时 $6$ 分排空。如果希望 $9$ 时 $3$ 分就不再有人排队，需要开几个入场口？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每个口每分钟进 $1$ 份。开 $4$ 个口进 $4\times 12=\underline{\quad}$（份），开 $6$ 个口进 $6\times 6=\underline{\quad}$（份），每分钟新来 $(48-36)\div(12-6)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：$9$ 时的队长为 $(4-2)\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（$3$ 分钟内要消化的人）：原队 $24$ 份加上这 $3$ 分钟新来的 $2\times 3=\underline{\quad}$（份），共 $24+6=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：每分钟要进 $30\div 3=\underline{\quad}$（份），所以要开 $10$ 个入场口。
第三套
题目：画展 $9$ 时开门，早有人排队，从第一个观众到来起每分钟来的人数相同。开 $4$ 个入场口 $9$ 时 $12$ 分排空，开 $6$ 个入场口 $9$ 时 $6$ 分排空。请问：（1）如果只开 $5$ 个入场口，几时几分才不再有人排队？（2）至少要开几个入场口，队伍才不会越排越长？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每个口每分钟进 $1$ 份。开 $4$ 个口进 $4\times 12=\underline{\quad}$（份），开 $6$ 个口进 $6\times 6=\underline{\quad}$（份），每分钟新来 $(48-36)\div(12-6)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：$9$ 时的队长为 $(4-2)\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：开 $5$ 个口时，每分钟净消化 $5-2=\underline{\quad}$（份），排空需 $24\div 3=\underline{\quad}$（分钟），即 $9$ 时 $8$ 分。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：只要每分钟进的人不少于新来的 $2$ 份，队伍就不会变长，所以至少开 $2$ 个入场口。
21. 【原题 ch17-tuozhan-13】甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共 $1800$ 元。三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合做 $6$ 天完成了工程的 $\frac{1}{3}$，因甲中途有事，由乙、丙合做 $2$ 天，完成了余下工程的 $\frac{1}{4}$；之后三人合做 $5$ 天完成了这项工程。如果按完成工作量的多少来付酬，乙应得多少元？
详细思路
是哪类问题：这是「按工作量分配工资」的问题：把「每人每天应得的工资」当作未知数，工资就成了工作量的度量。
关键切入点：总工资 $1800$ 元对应全部工程，所以某段工作对应的工资 $=1800\times$ 该段完成的分率。甲乙合做 $6$ 天完成 $\frac{1}{3}$，对应工资 $600$ 元，除以 $6$ 天得 $a+b=100$；乙丙合做 $2$ 天完成余下的 $\frac{1}{4}$，即 $1800\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}=300$ 元，除以 $2$ 得 $b+c=150$；三人合做 $5$ 天完成剩下的，得 $a+b+c=180$。三式相减即可解出各人日工资。
方法概述：把每人每天的工资设为未知数，用「阶段工资÷阶段天数」列方程组求解，再按各人实际工作天数结算。
规范步骤：
  1. 求甲、乙的日工资和：$1800\times\frac{1}{3}\div 6=100$（元）（阶段工资÷阶段天数）
  2. 求乙、丙的日工资和：$1800\times\left(1-\frac{1}{3}\right)\times\frac{1}{4}\div 2=150$（元）（余下的 $\frac{1}{4}$）
  3. 求三人日工资和：$1800\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\div 5=180$（元）（最后剩下的部分）
  4. 解出各人日工资：$c=180-100=80$，$a=180-150=30$，$b=100-30=70$（整体减部分）
  5. 结算乙的报酬：$70\times(6+2+5)=910$（元）（乙三个阶段都在做）
第一套
题目：甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共 $3600$ 元。三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合做 $6$ 天完成了工程的 $\frac{1}{3}$；因甲中途有事，由乙、丙合做 $2$ 天，完成了余下工程的 $\frac{1}{4}$；之后三人合做 $5$ 天完成了这项工程。如果按完成工作量的多少来付酬，乙应得多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（甲乙的日工资和）：这一阶段对应工资 $3600\times 1/3=\underline{\quad}$（元），做了 $6$ 天，故 $a+b=1200\div 6=\underline{\quad}$（元）。
  2. 第 2 步（乙丙的日工资和）：余下工程对应 $3600\times(1-1/3)=\underline{\quad}$（元），这一阶段完成余下的 $\frac{1}{4}$，即 $2400\times 1/4=\underline{\quad}$（元），做了 $2$ 天，故 $b+c=600\div 2=\underline{\quad}$（元）。
  3. 第 3 步（三人的日工资和）：最后一阶段对应 $2400\times(1-1/4)=\underline{\quad}$（元），做了 $5$ 天，故 $a+b+c=1800\div 5=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步（解出各人日工资）：$c=360-200=\underline{\quad}$（元），$a=360-300=\underline{\quad}$（元），$b=200-60=\underline{\quad}$（元）。
  5. 第 5 步（结算乙）：乙三个阶段都在做，共 $6+2+5=\underline{\quad}$（天），应得 $140\times 13=\underline{\quad}$（元）。
第二套
题目：甲、乙、丙三支施工队承包一段河堤加固工程，共发给他们 $3600$ 元工程款。甲、乙两队合做 $6$ 天完成了工程的 $\frac{1}{3}$；甲队因故撤离，由乙、丙两队合做 $2$ 天，完成了余下工程的 $\frac{1}{4}$；之后三队合做 $5$ 天完工。如果按完成的工作量付款，乙队应得多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第一阶段对应 $3600\times 1/3=\underline{\quad}$（元），做 $6$ 天，故甲、乙日工资和为 $1200\div 6=\underline{\quad}$（元）。
  2. 第 2 步：余下工程对应 $3600\times(1-1/3)=\underline{\quad}$（元），第二阶段完成其 $\frac{1}{4}$，即 $2400\times 1/4=\underline{\quad}$（元），做 $2$ 天，故乙、丙日工资和为 $600\div 2=\underline{\quad}$（元）。
  3. 第 3 步：第三阶段对应 $2400\times(1-1/4)=\underline{\quad}$（元），做 $5$ 天，故三队日工资和为 $1800\div 5=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步：丙 $=360-200=\underline{\quad}$（元），甲 $=360-300=\underline{\quad}$（元），乙 $=200-60=\underline{\quad}$（元）。
  5. 第 5 步：乙队共做 $6+2+5=\underline{\quad}$（天），应得 $140\times 13=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：甲、乙、丙三人承包一项工程，工资共 $3600$ 元。甲、乙合做 $6$ 天完成工程的 $\frac{1}{3}$；再由乙、丙合做 $2$ 天完成余下工程的 $\frac{1}{4}$；最后三人合做 $5$ 天完工。按完成的工作量付酬，丙应得多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$a+b=3600\times 1/3\div 6=\underline{\quad}$（元）；$b+c=3600\times(1-1/3)\times 1/4\div 2=\underline{\quad}$（元）；$a+b+c=3600\times(1-1/3)\times(1-1/4)\div 5=\underline{\quad}$（元）。
  2. 第 2 步（解出丙的日工资）：$c=360-200=\underline{\quad}$（元）。
  3. 第 3 步（丙的工作天数）：丙只参加了后两个阶段，共 $2+5=\underline{\quad}$（天）。
  4. 第 4 步：丙应得 $160\times 7=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：甲、乙、丙三人承包一项工程，工资共 $3600$ 元。甲、乙合做 $6$ 天完成工程的 $\frac{1}{3}$；再由乙、丙合做 $2$ 天完成余下工程的 $\frac{1}{4}$；最后三人合做 $5$ 天完工。请问：（1）甲应得多少元？（2）甲、乙、丙三人每天的工资之比是多少？（3）用三人所得之和检验是否等于 $3600$ 元。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$a+b=3600\times 1/3\div 6=\underline{\quad}$（元）；$b+c=3600\times(1-1/3)\times 1/4\div 2=\underline{\quad}$（元）；$a+b+c=3600\times(1-1/3)\times(1-1/4)\div 5=\underline{\quad}$（元）。
  2. 第 2 步（解出各人日工资）：$c=360-200=\underline{\quad}$，$a=360-300=\underline{\quad}$，$b=200-60=\underline{\quad}$（元）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：甲参加第一、第三阶段，共 $6+5=\underline{\quad}$（天），应得 $60\times 11=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：三人日工资之比 $60:140:160$，同除以 $20$ 得 $60\div 20=\underline{\quad}$、$140\div 20=\underline{\quad}$、$160\div 20=\underline{\quad}$，即 $3:7:8$。
  5. 第 5 步（第 (3) 问检验）：乙得 $140\times 13=1820$ 元，丙得 $160\times 7=1120$ 元，三人合计 $660+1820+1120=\underline{\quad}$（元）。
22. 【原题 ch17-tuozhan-14】如图 $17\text{-}1$，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔 $A$ 和 $B$，它们排水时的速度相同且保持不变。现在以一定的速度从上面的进水管往水箱注水。如果打开 $A$ 孔，关闭 $B$ 孔，经过 $20$ 分钟可将水箱注满；如果关闭 $A$ 孔，打开 $B$ 孔，经过 $22$ 分钟可将水箱注满。如果两个孔都打开，那么注满水箱的时间是多少分钟？
详细思路
是哪类问题：这是「分层注水 + 排水孔」的立体几何型工程问题：水箱被两个排水孔分成上、中、下三层，每层的注水情况不同。
关键切入点：把水箱按高的三等分点分成三层，每层容积相同。设「单开进水管注满一层」用 $x$ 分钟，「一个进水管配一个出水孔注满一层」用 $y$ 分钟。打开 $A$ 孔（在上三分点）时：下面两层没有孔在排水（$2x$），最上一层边进边排（$y$），故 $2x+y=20$；打开 $B$ 孔（在下三分点）时：最下层无排水（$x$），上面两层都在排（$2y$），故 $x+2y=22$。解得 $x=6$、$y=8$，再算两孔全开时最上层的用时。
方法概述：分层设未知数列方程组，解出「只进」「一进一排」两种每层用时，再逐层累加。
规范步骤：
  1. 设每层「只进水」用 $x$ 分钟、「一进一排」用 $y$ 分钟：$\begin{cases}2x+y=20\\x+2y=22\end{cases}$（按孔的位置分层列式）
  2. 解方程组：$x=6$，$y=8$（两式相减消元）
  3. 把一层看作 $1$，求进、出效率：进水 $\frac{1}{6}$，出水 $\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}$（一进一排的净效率是 $\frac{1}{8}$）
  4. 求两孔全开时最上层的用时：$1\div\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{24}\times 2\right)=12$（分钟）（最上层时两个孔都在排水）
  5. 逐层累加：$6+8+12=26$（分钟）（最下层只进；中层一个孔排；上层两个孔排）
23. 【原题 ch17-xingqu-01】工厂有一批共 $450$ 个零件需要加工，如果甲单独做需要 $30$ 天完成，如果乙单独做需要 $15$ 天完成，那么他们俩合作需要多少天完成？
详细思路
是哪类问题：这是最基本的「合作工程问题」：给出工作总量与两人各自单独完成所需时间，求两人合作所需时间。
关键切入点：关键在于把「时间」翻译成「每天做多少」——也就是工作效率。只要先分别算出甲、乙每天加工的个数，两人一起干时每天的产量就是两个效率相加；再用工作总量除以效率和，就得到合作天数。
方法概述：工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间；合作时间 = 工作总量 ÷ 效率和。
规范步骤：
  1. 求甲每天加工的个数：$450\div 30=15$（个）（工作效率＝工作总量÷工作时间）
  2. 求乙每天加工的个数：$450\div 15=30$（个）（同上）
  3. 求两人合作每天加工的个数：$15+30=45$（个）（合作效率＝各人效率之和）
  4. 求合作所需天数：$450\div 45=10$（天）（时间＝总量÷效率和）
  5. 写出答案：$10$ 天
第一套
题目：工厂有一批共 $900$ 个零件需要加工，如果甲单独做需要 $45$ 天完成，如果乙单独做需要 $30$ 天完成，那么他们俩合作需要多少天完成？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求效率）：谁每天做得多，要用总量除以天数才知道。甲每天加工 $900\div 45=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步：乙每天加工 $900\div 30=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（合并效率）：两人一起干，每天的产量就是两人每天产量之和，$20+30=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（总量÷效率和）：$900\div 50=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：印刷厂要装订一批共 $900$ 本相册，甲机器单独装订需要 $45$ 天，乙机器单独装订需要 $30$ 天。两台机器一起装订，需要多少天完成？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：甲机器每天装订 $900\div 45=\underline{\quad}$（本）。
  2. 第 2 步：乙机器每天装订 $900\div 30=\underline{\quad}$（本）。
  3. 第 3 步：两台一起每天装订 $20+30=\underline{\quad}$（本）。
  4. 第 4 步：所需天数 $900\div 50=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一批共 $900$ 个零件，甲单独做需要 $45$ 天，乙单独做需要 $30$ 天，丙单独做需要 $18$ 天。三人合作需要多少天完成？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：分别求出三人每天的产量，$900\div 45=\underline{\quad}$（个）、$900\div 30=\underline{\quad}$（个）、$900\div 18=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（合并效率）：三人一起每天做 $20+30+50=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：所需天数 $900\div 100=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一批共 $900$ 个零件，甲单独做需要 $45$ 天，乙单独做需要 $30$ 天。现在先由甲单独做 $5$ 天，剩下的两人合作完成。请问：两人还要合作多少天？一共用了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：甲每天做 $900\div 45=\underline{\quad}$（个），乙每天做 $900\div 30=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（扣掉已做部分）：甲单独做 $5$ 天完成 $20\times 5=\underline{\quad}$（个），还剩 $900-100=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：合作效率 $20+30=\underline{\quad}$（个/天），还需 $800\div 50=\underline{\quad}$（天）。
  4. 第 4 步：一共用时 $5+16=\underline{\quad}$（天）。
24. 【原题 ch17-xingqu-02】甲、乙两辆车运一堆煤，如果只用甲车运，$15$ 小时可以运完；如果只用乙车运，$10$ 小时可以运完。（1）如果两车一起运，多少小时可以运完？（2）如果甲车从早上 $8$ 点开始运煤，乙车下午 $1$ 点才开始运煤，那么几点的时候可以把煤运完？
详细思路
是哪类问题：这是「合作工程 + 一方先干一段」的问题：不给具体工作总量，只给各自单独完成的时间，要用「把总量看作 $1$（或若干份）」的办法求效率。
关键切入点：总量没有具体数值时，把它设为 $1$，甲每小时运 $\frac{1}{15}$、乙每小时运 $\frac{1}{10}$，效率和为 $\frac{1}{6}$。第 (2) 问的关键是：乙晚 $5$ 小时上工，这 $5$ 小时里只有甲在干，先把甲干掉的那部分扣掉，剩下的才是两车合运的量。
方法概述：设总量为 $1$ 求效率；先扣除单干部分，剩余量÷效率和。
规范步骤：
  1. 设总量为 $1$，求两车效率：甲 $\frac{1}{15}$，乙 $\frac{1}{10}$（效率＝1÷单独用时）
  2. 求效率和：$\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$（合作效率＝效率之和）
  3. 第 (1) 问：合作时间：$1\div\frac{1}{6}=6$（小时）（时间＝总量÷效率和）
  4. 第 (2) 问：先算甲单干的 $5$ 小时：$\frac{1}{15}\times 5=\frac{1}{3}$（从 $8$ 点到 $13$ 点共 $5$ 小时）
  5. 求剩余量所需时间：$\left(1-\frac{1}{3}\right)\div\frac{1}{6}=4$（小时）（剩余量÷效率和）
  6. 换算时刻：下午 $1$ 点 $+4$ 小时 $=$ 下午 $5$ 点
第一套
题目：甲、乙两辆车运一堆煤，只用甲车运 $24$ 小时可以运完，只用乙车运 $12$ 小时可以运完。（1）两车一起运，多少小时可以运完？（2）如果甲车从早上 $6$ 点开始运，乙车中午 $12$ 点才开始运，那么几点可以运完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：$24$ 与 $12$ 的公倍数取 $24$，把这堆煤看作 $24$ 份。甲每小时运 $24\div 24=\underline{\quad}$（份），乙每小时运 $24\div 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：两车一起每小时运 $1+2=\underline{\quad}$（份），合运时间 $24\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（扣掉甲单干的部分）：从 $6$ 点到 $12$ 点甲单独运了 $6$ 小时，运走 $1\times 6=\underline{\quad}$（份），还剩 $24-6=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：剩下的两车合运，还需 $18\div 3=\underline{\quad}$（小时），运完时刻是 $12+6=\underline{\quad}$ 点。
第二套
题目：两台抽水机抽干一个蓄水池，只开甲机 $24$ 小时抽完，只开乙机 $12$ 小时抽完。（1）两机同时开，多少小时抽完？（2）如果甲机从早上 $6$ 点开始抽，乙机中午 $12$ 点才开始抽，那么几点抽完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把整池水看作 $24$ 份。甲每小时抽 $24\div 24=\underline{\quad}$（份），乙每小时抽 $24\div 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：同时开每小时抽 $1+2=\underline{\quad}$（份），共需 $24\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步：甲单独抽的 $6$ 小时抽走 $1\times 6=\underline{\quad}$（份），还剩 $24-6=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：还需 $18\div 3=\underline{\quad}$（小时），抽完时刻为 $12+6=\underline{\quad}$ 点。
第三套
题目：甲、乙两辆车运一堆煤，只用甲车运 $24$ 小时运完，只用乙车运 $12$ 小时运完。两车先一起运了若干小时，然后甲车退出，乙车又单独运了 $3$ 小时才运完。请问：两车一起运了多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这堆煤看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 24=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $24\div 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（扣掉单干部分）：乙单独运的 $3$ 小时运走 $2\times 3=\underline{\quad}$（份），所以合运部分是 $24-6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：合运效率 $1+2=\underline{\quad}$（份/时），合运时间 $18\div 3=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：甲、乙、丙三辆车运一堆煤，单独运完分别需要 $24$ 小时、$12$ 小时、$8$ 小时。甲车早上 $8$ 点开始运，$6$ 小时后乙、丙两车也加入，三车一起运到运完。请问：几点运完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这堆煤看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 24=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $24\div 12=\underline{\quad}$（份），丙每小时 $24\div 8=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（扣掉甲单干部分）：甲先干 $6$ 小时运走 $1\times 6=\underline{\quad}$（份），还剩 $24-6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（三车效率和）：$1+2+3=\underline{\quad}$（份/时），还需 $18\div 6=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（推时刻）：$8$ 点起先干 $6$ 小时到 $8+6=\underline{\quad}$ 点，再干 $3$ 小时，运完时刻为 $14+3=\underline{\quad}$ 点。
25. 【原题 ch17-xingqu-03】甲、乙两辆车运一堆煤，如果两辆车一起运，$10$ 小时可以运完；如果只用甲车运，$15$ 小时可以运完。请问：如果只用乙车运，多少小时可以运完？
详细思路
是哪类问题：这是「已知合作效率与其中一人效率，求另一人效率」的逆向工程问题。
关键切入点：效率是可以相加相减的：合作效率 $=$ 甲效率 $+$ 乙效率，所以乙效率 $=$ 合作效率 $-$ 甲效率。把总量设为 $1$ 后，合作效率是 $\frac{1}{10}$，甲是 $\frac{1}{15}$，作差即得乙的效率，再取倒数就是乙单独所需时间。
方法概述：效率差法：乙效率 = 合作效率 − 甲效率；单独时间 = 总量 ÷ 乙效率。
规范步骤：
  1. 设总量为 $1$，写出合作效率与甲的效率：合作 $\frac{1}{10}$，甲 $\frac{1}{15}$（效率＝1÷时间）
  2. 求乙的效率：$\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{1}{30}$（效率可以相减）
  3. 求乙单独所需时间：$1\div\frac{1}{30}=30$（小时）（时间＝总量÷效率）
  4. 写出答案：$30$ 小时
第一套
题目：甲、乙两辆车运一堆煤，两辆车一起运 $12$ 小时可以运完；只用甲车运 $20$ 小时可以运完。请问：只用乙车运，多少小时可以运完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：$12$ 与 $20$ 的公倍数取 $60$，把这堆煤看作 $60$ 份。两车合运每小时 $60\div 12=\underline{\quad}$（份），甲车每小时 $60\div 20=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（效率差）：乙车每小时运 $5-3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：乙车单独运需要 $60\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
第二套
题目：两名打字员合作录入一份文稿需要 $12$ 小时；只由甲一人录入需要 $20$ 小时。请问：只由乙一人录入，需要多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把文稿看作 $60$ 份。两人合作每小时录 $60\div 12=\underline{\quad}$（份），甲每小时录 $60\div 20=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：乙每小时录 $5-3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：乙单独需要 $60\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：甲、乙、丙三人合作整理一批档案，$8$ 天可以完成；甲单独整理需要 $24$ 天，乙单独整理需要 $24$ 天。请问：丙单独整理需要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这批档案看作 $24$ 份。三人合作每天 $24\div 8=\underline{\quad}$（份），甲每天 $24\div 24=\underline{\quad}$（份），乙每天 $24\div 24=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（效率差）：丙每天整理 $3-1-1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：丙单独需要 $24\div 1=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：甲、乙两辆车运一堆煤，两车一起运 $12$ 小时运完，只用甲车运 $20$ 小时运完。现在先由乙车单独运 $10$ 小时，剩下的两车合运。请问：还需要多少小时运完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这堆煤看作 $60$ 份。合运每小时 $60\div 12=\underline{\quad}$（份），甲每小时 $60\div 20=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（效率差）：乙每小时 $5-3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（扣掉乙单干部分）：乙先运 $10$ 小时运走 $2\times 10=\underline{\quad}$（份），还剩 $60-20=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：两车合运还需 $40\div 5=\underline{\quad}$（小时）。
26. 【原题 ch17-xingqu-04】一项工作，甲单独做 $20$ 天可以完成，乙单独做 $30$ 天可以完成。现在两人合做，用 $16$ 天就完成了工作，已知在这 $16$ 天中甲休息了 $2$ 天，乙休息了若干天。请问：乙休息了多少天？
详细思路
是哪类问题：这是「合作中有人休息」的工程问题：总时间已知，其中一人的休息天数已知，求另一人的休息天数。
关键切入点：休息的人那几天不产生工作量，所以关键是把「在场天数」算清楚。甲在 $16$ 天中休息 $2$ 天，实际做了 $14$ 天，先算出甲完成的量；总量减去甲完成的量就是乙完成的量，再除以乙的效率得到乙的工作天数，最后用总天数减去它就是休息天数。
方法概述：分别算出各人的实际工作量：工作天数 = 本人工作量 ÷ 本人效率，休息天数 = 总天数 − 工作天数。
规范步骤：
  1. 设总量为 $1$，写出效率：甲 $\frac{1}{20}$，乙 $\frac{1}{30}$（效率＝1÷单独用时）
  2. 求甲的工作天数与工作量：$16-2=14$（天），$\frac{1}{20}\times 14=\frac{7}{10}$（休息的天数不产生工作量）
  3. 求乙的工作量：$1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}$（总量减甲的工作量）
  4. 求乙的工作天数：$\frac{3}{10}\div\frac{1}{30}=9$（天）（天数＝工作量÷效率）
  5. 求乙的休息天数：$16-9=7$（天）（休息＝总天数−工作天数）
第一套
题目：一项工作，甲单独做 $30$ 天完成，乙单独做 $45$ 天完成。现在两人合做，用 $24$ 天完成了工作，已知这 $24$ 天中甲休息了 $4$ 天，乙休息了若干天。请问：乙休息了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：$30$ 与 $45$ 的公倍数取 $90$，把这项工作看作 $90$ 份。甲每天做 $90\div 30=\underline{\quad}$（份），乙每天做 $90\div 45=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（甲的在场天数与工作量）：甲实际做了 $24-4=\underline{\quad}$（天），完成 $3\times 20=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（乙的工作量）：$90-60=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：乙工作了 $30\div 2=\underline{\quad}$（天），休息了 $24-15=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：粉刷一面墙，师傅单独刷 $30$ 天完成，徒弟单独刷 $45$ 天完成。两人合刷，$24$ 天刷完，其中师傅休息了 $4$ 天，徒弟休息了若干天。请问：徒弟休息了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这面墙看作 $90$ 份。师傅每天刷 $90\div 30=\underline{\quad}$（份），徒弟每天刷 $90\div 45=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：师傅实际刷了 $24-4=\underline{\quad}$（天），刷了 $3\times 20=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：徒弟刷了 $90-60=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：徒弟工作了 $30\div 2=\underline{\quad}$（天），休息了 $24-15=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一项工作，甲单独做 $30$ 天完成，乙单独做 $45$ 天完成。两人合做 $24$ 天完成了工作，已知乙在这 $24$ 天中休息了 $9$ 天。请问：甲休息了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这项工作看作 $90$ 份，甲每天 $90\div 30=\underline{\quad}$（份），乙每天 $90\div 45=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（乙的工作量）：乙做了 $24-9=\underline{\quad}$（天），完成 $2\times 15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（甲的工作量）：$90-30=\underline{\quad}$（份），甲工作了 $60\div 3=\underline{\quad}$（天）。
  4. 第 4 步：甲休息了 $24-20=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一项工作，甲单独做 $30$ 天完成，乙单独做 $45$ 天完成，丙单独做 $90$ 天完成。三人合做，$24$ 天完成了工作，其中甲休息了 $4$ 天，丙休息了 $6$ 天，乙休息了若干天。请问：乙休息了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这项工作看作 $90$ 份，甲每天 $90\div 30=\underline{\quad}$（份），乙每天 $90\div 45=\underline{\quad}$（份），丙每天 $90\div 90=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（甲、丙的工作量）：甲做 $24-4=\underline{\quad}$（天）完成 $3\times 20=\underline{\quad}$（份）；丙做 $24-6=\underline{\quad}$（天）完成 $1\times 18=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（乙的工作量）：$90-60-18=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：乙工作了 $12\div 2=\underline{\quad}$（天），休息了 $24-6=\underline{\quad}$（天）。
27. 【原题 ch17-xingqu-05】如果甲、乙两队合做一项工程，恰好 $24$ 天完成。如果乙队先做 $5$ 天，然后甲队来帮忙，又共同做了 $10$ 天后，全部工程才完成了一半，求甲队单独完成这项工程需多少天？
详细思路
是哪类问题：这是「已知效率和 + 一段单干 + 一段合作」的逆向工程问题，要先把乙单干那一段的工作量剥离出来。
关键切入点：两队合做 $24$ 天完成全部，说明效率和是 $\frac{1}{24}$，于是共同做的 $10$ 天完成了 $\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$。整个工程只完成了一半，把这一半减去合作完成的部分，剩下的 $\frac{1}{12}$ 只能是乙单干 $5$ 天做的，由此得乙的效率，再用效率和减乙的效率得到甲的效率。
方法概述：先用效率和算出合作段的工作量，剩下的归到单干段求出单干者效率，再用效率差求另一人。
规范步骤：
  1. 写出效率和：甲 $+$ 乙 $=\frac{1}{24}$（合做 $24$ 天完成）
  2. 求共同做 $10$ 天的工作量：$\frac{1}{24}\times 10=\frac{5}{12}$（工作量＝效率×时间）
  3. 求乙单干 $5$ 天的工作量：$\frac{1}{2}-\frac{5}{12}=\frac{1}{12}$（总完成一半，减去合作部分）
  4. 求乙的效率：$\frac{1}{12}\div 5=\frac{1}{60}$（效率＝工作量÷时间）
  5. 求甲的效率：$\frac{1}{24}-\frac{1}{60}=\frac{1}{40}$（效率差）
  6. 求甲单独完成所需天数：$1\div\frac{1}{40}=40$（天）（时间＝总量÷效率）
第一套
题目：甲、乙两队合做一项工程，恰好 $30$ 天完成。如果乙队先做 $8$ 天，然后甲队来帮忙，又共同做了 $10$ 天后，全部工程才完成了一半。求甲队单独完成这项工程需要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：把这项工程看作 $240$ 份，则两队效率和为 $240\div 30=\underline{\quad}$（份/天）。
  2. 第 2 步（合作段的工作量）：共同做 $10$ 天完成 $8\times 10=\underline{\quad}$（份）；工程的一半是 $240\div 2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（剥出乙单干段）：乙先做 $8$ 天完成 $120-80=\underline{\quad}$（份），所以乙每天做 $40\div 8=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（效率差）：甲每天做 $8-5=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：甲单独完成需要 $240\div 3=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：甲、乙两家印刷厂合印一批教材，恰好 $30$ 天印完。如果乙厂先印 $8$ 天，然后甲厂来一起印，又共同印了 $10$ 天后，这批教材才印了一半。求甲厂单独印完这批教材需要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把这批教材看作 $240$ 份，两厂效率和为 $240\div 30=\underline{\quad}$（份/天）。
  2. 第 2 步：共同印 $10$ 天印了 $8\times 10=\underline{\quad}$（份）；一半是 $240\div 2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：乙厂先印的 $8$ 天印了 $120-80=\underline{\quad}$（份），乙厂每天印 $40\div 8=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：甲厂每天印 $8-5=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：甲厂单独需要 $240\div 3=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：甲、乙两队合做一项工程恰好 $30$ 天完成。乙队先做 $8$ 天，然后甲队来帮忙，又共同做了 $10$ 天后全部工程完成了一半。求乙队单独完成这项工程需要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把工程看作 $240$ 份，效率和为 $240\div 30=\underline{\quad}$（份/天）。
  2. 第 2 步：共同做 $10$ 天完成 $8\times 10=\underline{\quad}$（份），一半为 $240\div 2=\underline{\quad}$（份），故乙单干 $8$ 天完成 $120-80=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：乙每天做 $40\div 8=\underline{\quad}$（份），乙单独需要 $240\div 5=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：甲、乙两队合做一项工程恰好 $30$ 天完成。乙队先做 $8$ 天，然后甲队来帮忙，又共同做了 $10$ 天后全部工程完成了一半。如果剩下的一半全部由甲队单独完成，还需要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把工程看作 $240$ 份，效率和 $240\div 30=\underline{\quad}$（份/天）。
  2. 第 2 步：共同做 $10$ 天完成 $8\times 10=\underline{\quad}$（份），一半为 $240\div 2=\underline{\quad}$（份），乙单干 $8$ 天完成 $120-80=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：乙每天 $40\div 8=\underline{\quad}$（份），甲每天 $8-5=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（剩余量单独完成）：剩下 $120$ 份由甲做，还需 $120\div 3=\underline{\quad}$（天）。
28. 【原题 ch17-xingqu-06】一项工程，甲单独做要 $6$ 小时完成，乙单独做要 $10$ 小时完成。如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人工作 $1$ 小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？
详细思路
是哪类问题：这是「交替工作」的工程问题：两人轮流各做 $1$ 小时，要按「周期」来算。
关键切入点：甲、乙各做 $1$ 小时算一个周期（$2$ 小时），一个周期完成 $\frac{1}{6}+\frac{1}{10}=\frac{4}{15}$。用总量除以周期工作量看能整整走几个周期：$1\div\frac{4}{15}=3\cdots\cdots$，说明走满 $3$ 个周期（$6$ 小时）后还有剩余，剩下的部分再按「甲—乙」的顺序一段一段地做，注意最后一段可能做不满 $1$ 小时。
方法概述：先算一个周期的工作量与周期数，再把不足一个周期的余量按顺序逐段分配。
规范步骤：
  1. 设总量为 $1$，求一个周期（$2$ 小时）的工作量：$\frac{1}{6}+\frac{1}{10}=\frac{4}{15}$（周期工作量＝甲1小时＋乙1小时）
  2. 求整周期数：$1\div\frac{4}{15}=3\cdots\cdots$，走满 $3$ 个周期共 $6$ 小时（只能取整周期）
  3. 求余量：$1-\frac{4}{15}\times 3=\frac{1}{5}$（总量减去整周期完成量）
  4. 余量先由甲做 $1$ 小时：$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$（$\frac{1}{5}>\frac{1}{6}$，甲做满 $1$ 小时仍有剩）
  5. 剩下的由乙做：$\frac{1}{30}\div\frac{1}{10}=\frac{1}{3}$（小时）（时间＝工作量÷效率）
  6. 合计时间：$6+1+\frac{1}{3}=7\frac{1}{3}$（小时）
第一套
题目：一项工程，甲单独做要 $8$ 小时完成，乙单独做要 $12$ 小时完成。如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人工作 $1$ 小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：$8$ 与 $12$ 的公倍数取 $24$，把工程看作 $24$ 份。甲每小时做 $24\div 8=\underline{\quad}$（份），乙每小时做 $24\div 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（一个周期）：甲、乙各做 $1$ 小时为一个周期，共 $2$ 小时，完成 $3+2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（走几个整周期）：$24$ 份里最多走 $4$ 个整周期，完成 $5\times 4=\underline{\quad}$（份），用时 $8$ 小时，还剩 $24-20=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（余量逐段分配）：接下来轮到甲，甲做 $1$ 小时完成 $3$ 份，还剩 $4-3=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：剩下的由乙做，需要 $1\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
  6. 第 6 步（合计）：$8+1+0.5=\underline{\quad}$（小时）。
第二套
题目：一个水池，单开甲管 $8$ 小时可以注满，单开乙管 $12$ 小时可以注满。现在按甲、乙、甲、乙……的顺序轮流开管，每根管开 $1$ 小时后换另一根，那么多少小时可以把水池注满？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把满池水看作 $24$ 份。甲管每小时注 $24\div 8=\underline{\quad}$（份），乙管每小时注 $24\div 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：一个周期（$2$ 小时）注入 $3+2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：走 $4$ 个整周期注入 $5\times 4=\underline{\quad}$（份），用时 $8$ 小时，还差 $24-20=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：接下来轮到甲管，开 $1$ 小时注 $3$ 份，还差 $4-3=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：这 $1$ 份由乙管注，需要 $1\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
  6. 第 6 步：一共 $8+1+0.5=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一项工程，甲单独做要 $9$ 小时完成，乙单独做要 $18$ 小时完成。现在按乙、甲、乙、甲……的顺序交替工作，每人工作 $1$ 小时后交换，那么需要多少小时完成？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把工程看作 $18$ 份。甲每小时 $18\div 9=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $18\div 18=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：一个周期（乙 $1$ 小时 $+$ 甲 $1$ 小时，共 $2$ 小时）完成 $1+2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：走 $5$ 个整周期完成 $3\times 5=\underline{\quad}$（份），用时 $10$ 小时，还剩 $18-15=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：接下来轮到乙，乙做 $1$ 小时完成 $1$ 份，还剩 $3-1=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：再由甲做 $2\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
  6. 第 6 步：合计 $10+1+1=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一项工程，甲单独做要 $6$ 小时完成，乙单独做要 $12$ 小时完成，丙单独做要 $20$ 小时完成。按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序交替工作，每人工作 $1$ 小时后交换，需要多少小时完成？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$6$、$12$、$20$ 的公倍数取 $60$，把工程看作 $60$ 份。甲每小时 $60\div 6=\underline{\quad}$（份），乙每小时 $60\div 12=\underline{\quad}$（份），丙每小时 $60\div 20=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（一个周期 $3$ 小时）：完成 $10+5+3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：走 $3$ 个整周期完成 $18\times 3=\underline{\quad}$（份），用时 $9$ 小时，还剩 $60-54=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：接下来轮到甲，甲每小时 $10$ 份，剩下的 $6$ 份只需 $6\div 10=\underline{\quad}$（小时）。
  5. 第 5 步：合计 $9+0.6=\underline{\quad}$（小时）。
29. 【原题 ch17-xingqu-07】有一批工人做某项工程，原计划 $4$ 天完成。如果增加 $6$ 人，只需要 $3$ 天就能完成。现在人数不仅没有增加，反而减少了 $9$ 人，求完成这项工程需要的天数。
详细思路
是哪类问题：这是「人数与天数」的工程问题（也叫归一/盈亏型）：工作总量不变，人数变了天数就跟着变。
关键切入点：把「每人每天的工作量」设为 $1$ 份，总工作量 $=$ 人数 $\times$ 天数。增加 $6$ 人后少用 $1$ 天，这 $6$ 人干的 $3$ 天（$6\times3=18$ 份）恰好补上了原班人马少干的那 $1$ 天，所以原人数 $=6\times3\div(4-3)=18$ 人。求出总量后，减人后的天数就是总量除以新人数。
方法概述：设每人每天做 $1$ 份，用「多出的人做的量 = 少做天数的量」求原人数，再用总量÷人数求天数。
规范步骤：
  1. 设每人每天工作量为 $1$ 份，求原计划人数：$6\times 3\div(4-3)=18$（人）（增加的人干的量补足少干的天数）
  2. 求工程总量：$18\times 4=72$（份）（总量＝人数×天数）
  3. 求现在的人数：$18-9=9$（人）（减少 $9$ 人）
  4. 求需要的天数：$72\div 9=8$（天）（天数＝总量÷人数）
第一套
题目：有一批工人做某项工程，原计划 $6$ 天完成。如果增加 $8$ 人，只需要 $4$ 天就能完成。现在人数不仅没有增加，反而减少了 $4$ 人，求完成这项工程需要的天数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设每人每天做 $1$ 份）：增加的 $8$ 人干了 $4$ 天，共 $8\times 4=\underline{\quad}$（份），这些正好补上原班人马少干的天数 $6-4=\underline{\quad}$（天）的工作量。
  2. 第 2 步（求原人数）：原人数 $=32\div 2=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步（求总量）：$16\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求现在人数与天数）：现在有 $16-4=\underline{\quad}$（人），需要 $96\div 12=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：一批割草机去收割一片草地，原计划 $6$ 天割完。如果增加 $8$ 台割草机，只需 $4$ 天就能割完。现在割草机的台数不仅没增加，反而少了 $4$ 台，求割完这片草地需要的天数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设每台每天割 $1$ 份）：多出的 $8$ 台干了 $4$ 天，共 $8\times 4=\underline{\quad}$（份），恰好补上原有台数少干的 $6-4=\underline{\quad}$（天）。
  2. 第 2 步：原有台数 $=32\div 2=\underline{\quad}$（台）。
  3. 第 3 步：草地总量 $16\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：现在有 $16-4=\underline{\quad}$（台），需要 $96\div 12=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：有一批工人做某项工程，原计划 $6$ 天完成。如果减少 $4$ 人，就要 $8$ 天才能完成。请问：原计划有多少人？这项工程的总量相当于多少个「人·天」？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设每人每天做 $1$ 份）：减少 $4$ 人后多干 $8-6=\underline{\quad}$（天）。留下的人多干这些天，补上了走掉的 $4$ 人原本要干的 $6$ 天，即 $4\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：留下的人数 $=24\div 2=\underline{\quad}$（人），所以原计划人数为 $12+4=\underline{\quad}$（人）。
  3. 第 3 步：工程总量为 $16\times 6=\underline{\quad}$（人·天）。
第三套
题目：有一批工人做某项工程，原计划 $6$ 天完成；如果增加 $8$ 人，只需 $4$ 天完成。实际施工时，先按原有人数做了 $3$ 天，然后增加 $8$ 人一起做完。请问：一共用了多少天？比原计划提前了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：增加的 $8$ 人干 $4$ 天共 $8\times 4=\underline{\quad}$（份），补上少干的 $6-4=\underline{\quad}$（天），故原人数 $32\div 2=\underline{\quad}$（人），总量 $16\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（分段一）：前 $3$ 天由 $16$ 人做，完成 $16\times 3=\underline{\quad}$（份），还剩 $96-48=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（分段二）：之后人数变为 $16+8=\underline{\quad}$（人），还需 $48\div 24=\underline{\quad}$（天）。
  4. 第 4 步：一共用 $3+2=\underline{\quad}$（天），比原计划提前 $6-5=\underline{\quad}$（天）。
30. 【原题 ch17-xingqu-08】甲、乙两队分别在 $A$、$B$ 两块地植树，$B$ 地需要植树的数量是 $A$ 地的两倍。已知甲队单独在 $A$ 地植树需要 $12$ 天完成，乙队单独在 $B$ 地植树需要 $30$ 天完成。现在甲、乙两队分别在 $A$、$B$ 两地同时开始植树，当甲队在 $A$ 地植完后便去 $B$ 地和乙队共同工作。请问：两队要用多少天才能种完？
详细思路
是哪类问题：这是「两块工作量不等的工地 + 人员转移」的工程问题，关键是把两地的工作量放到同一把尺子上。
关键切入点：设 $A$ 地工作量为 $1$，则 $B$ 地为 $2$。注意乙队 $30$ 天完成的是 $B$ 地的 $2$，所以乙的效率是 $2\div30=\frac{1}{15}$，而不是 $\frac{1}{30}$。由于甲植完 $A$ 后立刻去 $B$ 地，两队从头到尾都在干活、效率不变，所以总时间就等于总工作量除以两队效率和。
方法概述：统一工作量单位，把两地工作量相加，再除以两队效率之和。
规范步骤：
  1. 设 $A$ 地工作量为 $1$，则 $B$ 地为 $2$：$A=1$，$B=2$（$B$ 是 $A$ 的两倍）
  2. 求甲队效率：$1\div 12=\frac{1}{12}$（甲 $12$ 天完成 $A$ 地的 $1$）
  3. 求乙队效率：$2\div 30=\frac{1}{15}$（乙 $30$ 天完成 $B$ 地的 $2$）
  4. 两队全程都在干活，用总量÷效率和：$(1+2)\div\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{15}\right)=20$（天）（效率不变，可整体计算）
  5. 写出答案：$20$ 天
第一套
题目：甲、乙两队分别在 $A$、$B$ 两块地植树，$B$ 地需要植树的数量是 $A$ 地的两倍。甲队单独在 $A$ 地植树需要 $18$ 天完成，乙队单独在 $B$ 地植树需要 $45$ 天完成。现在两队分别在 $A$、$B$ 两地同时开工，甲队植完 $A$ 地后便去 $B$ 地和乙队一起干。请问：两队要用多少天才能种完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位）：设 $A$ 地为 $90$ 份，则 $B$ 地为 $90\times 2=\underline{\quad}$（份），两地共 $90+180=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求效率）：甲每天植 $90\div 18=\underline{\quad}$（份），乙每天植 $180\div 45=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（两队全程都在干）：效率和 $5+4=\underline{\quad}$（份/天）。
  4. 第 4 步：所需天数 $270\div 9=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：甲、乙两支施工队分别铺设 $A$、$B$ 两段管道，$B$ 段的长度是 $A$ 段的两倍。甲队单独铺 $A$ 段需 $18$ 天，乙队单独铺 $B$ 段需 $45$ 天。两队同时开工，甲队铺完 $A$ 段后立即去帮乙队铺 $B$ 段。请问：两段管道全部铺完需要多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设 $A$ 段为 $90$ 份，则 $B$ 段为 $90\times 2=\underline{\quad}$（份），共 $90+180=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：甲每天铺 $90\div 18=\underline{\quad}$（份），乙每天铺 $180\div 45=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：效率和 $5+4=\underline{\quad}$（份/天）。
  4. 第 4 步：所需天数 $270\div 9=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：甲、乙两队分别在 $A$、$B$ 两块地植树，$B$ 地需要植树的数量是 $A$ 地的三倍。甲队单独在 $A$ 地植树需 $18$ 天，乙队单独在 $B$ 地植树需 $54$ 天。两队同时开工，甲队植完 $A$ 地后去 $B$ 地帮忙。请问：两队要用多少天才能种完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设 $A$ 地为 $18$ 份，则 $B$ 地为 $18\times 3=\underline{\quad}$（份），共 $18+54=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：甲每天植 $18\div 18=\underline{\quad}$（份），乙每天植 $54\div 54=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：效率和 $1+1=\underline{\quad}$（份/天），所需天数 $72\div 2=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：甲、乙两队分别在 $A$、$B$ 两块地植树，$B$ 地的数量是 $A$ 地的两倍。甲队单独植完 $A$ 地需 $18$ 天，乙队单独植完 $B$ 地需 $45$ 天。两队同时开工，甲队植完 $A$ 地后去 $B$ 地和乙队一起干。请问：甲队到 $B$ 地后，两队又一起干了多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设 $A$ 地为 $90$ 份，$B$ 地为 $90\times 2=\underline{\quad}$（份），共 $90+180=\underline{\quad}$（份）；甲每天 $90\div 18=\underline{\quad}$（份），乙每天 $180\div 45=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（总时间）：效率和 $5+4=\underline{\quad}$（份/天），全部完工需 $270\div 9=\underline{\quad}$（天）。
  3. 第 3 步（甲植完 $A$ 地的时刻）：甲用 $18$ 天植完 $A$ 地，这 $18$ 天乙植了 $4\times 18=\underline{\quad}$（份），两地合计已完成 $90+72=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（转移后的合作段）：还剩 $270-162=\underline{\quad}$（份），两队一起干还需 $108\div 9=\underline{\quad}$（天）。
31. 【原题 ch17-xingqu-09】一水池装有一个进水管和一个排水管。如果单开进水管，$5$ 小时可将空池灌满；如果单开排水管，$7$ 小时可将整池水排完。现在先开进水管，$2$ 小时后打开排水管，请问：再多长时间池内将恰好存有半池水？
详细思路
是哪类问题：这是「一进一排」的水管问题：进水管与排水管同时开时，实际的注水效率是两者之差。
关键切入点：先算出 $2$ 小时里进水管单独注入的水量 $\frac{1}{5}\times2=\frac{2}{5}$，这是「起点」。之后排水管打开，水池每小时净增加 $\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{2}{35}$。要达到半池 $\frac{1}{2}$，还差 $\frac{1}{2}-\frac{2}{5}=\frac{1}{10}$，用「还差的量÷净效率」即得时间。
方法概述：净效率 = 进水效率 − 排水效率；时间 = 还差的水量 ÷ 净效率。
规范步骤：
  1. 求进水、排水效率：进水 $\frac{1}{5}$，排水 $\frac{1}{7}$（效率＝1÷单独用时）
  2. 求打开排水管时池内水量：$\frac{1}{5}\times 2=\frac{2}{5}$（只进不排的 $2$ 小时）
  3. 求还差的水量：$\frac{1}{2}-\frac{2}{5}=\frac{1}{10}$（目标半池减去已有）
  4. 求净效率：$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{2}{35}$（同时开时进减排）
  5. 求所需时间：$\frac{1}{10}\div\frac{2}{35}=1\frac{3}{4}$（小时）（时间＝水量÷净效率）
第一套
题目：一水池装有一个进水管和一个排水管。单开进水管 $6$ 小时可将空池灌满；单开排水管 $8$ 小时可将整池水排完。现在先开进水管，$2$ 小时后打开排水管，请问：再过多长时间池内将恰好存有半池水？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设份数）：$6$ 与 $8$ 的公倍数取 $24$，把满池水看作 $24$ 份。进水管每小时进 $24\div 6=\underline{\quad}$（份），排水管每小时排 $24\div 8=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（起点水量）：只开进水管的 $2$ 小时里注入 $4\times 2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（目标与差额）：半池是 $24\div 2=\underline{\quad}$（份），还差 $12-8=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（净效率）：两管同开每小时净增 $4-3=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：还需 $4\div 1=\underline{\quad}$（小时）。
第二套
题目：一个粮仓装有一条进粮传送带和一条出粮传送带。只开进粮带 $6$ 小时可把空仓装满；只开出粮带 $8$ 小时可把满仓运空。现在先开进粮带，$2$ 小时后同时打开出粮带，请问：再过多长时间仓里恰好有半仓粮？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把满仓看作 $24$ 份。进粮带每小时 $24\div 6=\underline{\quad}$（份），出粮带每小时 $24\div 8=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：先进的 $2$ 小时装入 $4\times 2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：半仓是 $24\div 2=\underline{\quad}$（份），还差 $12-8=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：同时开每小时净增 $4-3=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：还需 $4\div 1=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一水池装有一个进水管和一个排水管，单开进水管 $6$ 小时灌满空池，单开排水管 $8$ 小时排完整池水。现在先开进水管 $3$ 小时，然后打开排水管（进水管不关）。请问：再过多长时间水池恰好注满？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把满池看作 $24$ 份，进水管每小时 $24\div 6=\underline{\quad}$（份），排水管每小时 $24\div 8=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：先进的 $3$ 小时注入 $4\times 3=\underline{\quad}$（份），还差 $24-12=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步：两管同开每小时净增 $4-3=\underline{\quad}$（份），还需 $12\div 1=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一水池装有一个进水管和一个排水管，单开进水管 $6$ 小时灌满空池，单开排水管 $8$ 小时排完整池水。现在先开进水管，$2$ 小时后打开排水管。请问：再过多长时间池内水量恰好是满池的 $\frac{3}{4}$？从开始注水算起一共用了多长时间？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把满池看作 $24$ 份，进水管每小时 $24\div 6=\underline{\quad}$（份），排水管每小时 $24\div 8=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：先进的 $2$ 小时注入 $4\times 2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（目标量）：满池的 $\frac{3}{4}$ 是 $24\times 3/4=\underline{\quad}$（份），还差 $18-8=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：净效率 $4-3=\underline{\quad}$（份/时），还需 $10\div 1=\underline{\quad}$（小时）。
  5. 第 5 步（总时间）：$2+10=\underline{\quad}$（小时）。
32. 【原题 ch17-xingqu-10】师傅带着两名徒弟加工一批零件，按加工零件数量的比例分给他们 $3000$ 元报酬。如果按照原定计划，师傅应该得到 $1800$ 元，但是由于工作的某一名徒弟生病住院，最后是由师傅和另一名徒弟完成了所有工作。如果两名徒弟的工作效率相同，请问：师傅实际应得到多少元？
详细思路
是哪类问题：这是「按工作量（效率）比分配报酬」的问题：报酬按干活多少分，所以报酬之比就是效率之比。
关键切入点：原计划里三人干活时间相同，所以报酬比就是效率比。师傅得 $1800$ 元，两个徒弟平分剩下的 $1200$ 元，各得 $600$ 元，于是师傅与每个徒弟的效率比是 $1800:600=3:1$。实际只有师傅和一个徒弟干，两人时间仍相同，报酬按 $3:1$ 分掉全部 $3000$ 元。
方法概述：报酬比 = 效率比；用按比例分配求各份。
规范步骤：
  1. 求每个徒弟原定报酬：$(3000-1800)\div 2=600$（元）（两徒弟平分剩余）
  2. 求师傅与一个徒弟的效率比：$1800:600=3:1$（同时间下报酬比＝效率比）
  3. 按 $3:1$ 分配全部报酬：$3000\times\frac{3}{3+1}=2250$（元）（按比例分配）
  4. 写出答案：$2250$ 元
第一套
题目：师傅带着两名徒弟加工一批零件，按加工零件数量的比例分给他们 $4800$ 元报酬。按原定计划，师傅应得 $3200$ 元。后来其中一名徒弟生病住院，最后由师傅和另一名徒弟完成了全部工作。如果两名徒弟的工作效率相同，请问：师傅实际应得多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求徒弟原定报酬）：两名徒弟平分剩下的钱，每人 $(4800-3200)\div 2=\underline{\quad}$（元）。
  2. 第 2 步（报酬比就是效率比）：师傅与一名徒弟的效率之比为 $3200\div 800=\underline{\quad}$，即 $4:1$。
  3. 第 3 步（按比例分配）：实际只有师傅与一名徒弟干活，总份数为 $4+1=\underline{\quad}$（份），师傅占 $4$ 份。
  4. 第 4 步：师傅实际得 $4800\div 5\times 4=\underline{\quad}$（元）。
第二套
题目：一位大工带着两名小工砌一段墙，按砌墙数量的比例分给他们 $4800$ 元工钱。按原定计划，大工应得 $3200$ 元。后来一名小工请假，最后由大工和另一名小工砌完了整段墙。如果两名小工的工作效率相同，请问：大工实际应得多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：两名小工平分剩下的钱，每人 $(4800-3200)\div 2=\underline{\quad}$（元）。
  2. 第 2 步：大工与一名小工的效率之比为 $3200\div 800=\underline{\quad}$，即 $4:1$。
  3. 第 3 步：实际干活的两人共 $4+1=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：大工实际得 $4800\div 5\times 4=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：师傅带着两名徒弟加工一批零件，按加工数量的比例分 $4800$ 元报酬，原定师傅得 $3200$ 元。后来一名徒弟生病，由师傅和另一名徒弟完成全部工作，两名徒弟效率相同。请问：参加工作的那名徒弟实际得到多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每名徒弟原定得 $(4800-3200)\div 2=\underline{\quad}$（元），师傅与一名徒弟的效率比为 $3200\div 800=\underline{\quad}$，即 $4:1$。
  2. 第 2 步：实际两人共 $4+1=\underline{\quad}$（份），徒弟占 $1$ 份。
  3. 第 3 步：徒弟实际得 $4800\div 5\times 1=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：师傅带着三名徒弟加工一批零件，按加工数量的比例分 $6000$ 元报酬，原定师傅得 $3000$ 元，三名徒弟效率相同。后来一名徒弟生病，最后由师傅和另外两名徒弟完成了全部工作。请问：师傅实际得多少元？每名参加工作的徒弟实际得多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：三名徒弟平分剩下的钱，每人 $(6000-3000)\div 3=\underline{\quad}$（元）。
  2. 第 2 步（效率比）：师傅与一名徒弟的效率比为 $3000\div 1000=\underline{\quad}$，即 $3:1$；实际干活的是师傅与两名徒弟，比为 $3:1:1$。
  3. 第 3 步：总份数 $3+1+1=\underline{\quad}$（份），每份 $6000\div 5=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步：师傅得 $1200\times 3=\underline{\quad}$（元），每名徒弟得 $1200\times 1=\underline{\quad}$（元）。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 2. ch17-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（把两次时间挂上钩）：第一次注水的时间里，甲注了 $50$ 吨，同样这段时间乙本可以注 $50\times 1.5=\underline{75}$（吨）。
    2. 第 2 步（求时间之比）：第二次乙只注了 $60$ 吨，所以第二次用的时间是第一次的 $60\div 75=\underline{0.8}$。
    3. 第 3 步（丙的注水量也按这个比缩小）：第二次乙比第一次甲多注 $60-50=\underline{10}$（吨），因为两次都恰好注满，所以第二次丙比第一次少注了同样多的水。
    4. 第 4 步（少注的占丙第一次的几分之几）：$1-0.8=\underline{0.2}$。
    5. 第 5 步：丙第一次注水 $10\div 0.2=\underline{50}$（吨），水箱容积为 $50+50=\underline{100}$（吨）。
    最终答案：该水箱可容纳 $100$ 吨水。
  2. 2. ch17-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步：第一次输油的时间里甲输了 $50$ 吨，同样时间乙本可输 $50\times 1.5=\underline{75}$（吨）。
    2. 第 2 步：第二次乙只输 $60$ 吨，故第二次的时间是第一次的 $60\div 75=\underline{0.8}$。
    3. 第 3 步：第二次乙比第一次甲多输 $60-50=\underline{10}$（吨），所以第二次丙比第一次少输同样多。
    4. 第 4 步：少输的占丙第一次的 $1-0.8=\underline{0.2}$。
    5. 第 5 步：丙第一次输 $10\div 0.2=\underline{50}$（吨），油罐容量为 $50+50=\underline{100}$（吨）。
    最终答案：储油罐可容纳 $100$ 吨油。
  3. 2. ch17-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步：第一次的时间里甲注 $50$ 吨，同样时间乙本可注 $50\times 2=\underline{100}$（吨）。
    2. 第 2 步：第二次乙只注 $60$ 吨，故第二次时间是第一次的 $60\div 100=\underline{0.6}$。
    3. 第 3 步：第二次乙比第一次甲多注 $60-50=\underline{10}$（吨），第二次丙就比第一次少注同样多。
    4. 第 4 步：少注的占丙第一次的 $1-0.6=\underline{0.4}$。
    5. 第 5 步：丙第一次注 $10\div 0.4=\underline{25}$（吨），水箱容积为 $50+25=\underline{75}$（吨）。
    最终答案：该水箱可容纳 $75$ 吨水。
  4. 2. ch17-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步：第一次的时间里乙本可注 $50\times 1.5=\underline{75}$（吨），故第二次时间是第一次的 $60\div 75=\underline{0.8}$。
    2. 第 2 步：第二次比第一次多注 $60-50=\underline{10}$（吨），占丙第一次注水量的 $1-0.8=\underline{0.2}$，故丙第一次注 $10\div 0.2=\underline{50}$（吨），容积为 $50+50=\underline{100}$（吨）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问，先求甲的速度）：甲每分钟注 $100\div 20=\underline{5}$（吨），故第一次注水用了 $50\div 5=\underline{10}$（分钟）。
    4. 第 4 步：丙在这 $10$ 分钟注了 $50$ 吨，每分钟注 $50\div 10=\underline{5}$（吨），单独注满需要 $100\div 5=\underline{20}$（分钟）。
    最终答案：（1）水箱容积 $100$ 吨；（2）只开丙管注满需要 $20$ 分钟。
  5. 3. ch17-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数算效率）：把每人的任务都看作 $60$ 份。甲用 $A$ 每小时 $60\div 12=\underline{5}$（份），用 $B$ 每小时 $5\times(1-0.6)=\underline{2}$（份）；乙用 $B$ 每小时 $60\div 20=\underline{3}$（份），用 $A$ 每小时 $3\times 1.2=\underline{3.6}$（份）。
    2. 第 2 步（设未知数）：设甲用 $A$ 机 $a$ 小时、用 $B$ 机 $b$ 小时，则乙恰好用 $A$ 机 $b$ 小时、用 $B$ 机 $a$ 小时。两人各自完成 $60$ 份：$5a+2b=60$，$3a+3.6b=60$。
    3. 第 3 步（消元）：两式左边都等于 $60$，故 $5a+2b=3a+3.6b$。$a$ 的系数差为 $5-3=\underline{2}$，$b$ 的系数差为 $3.6-2=\underline{1.6}$，所以 $2a=1.6b$，即 $a=1.6\div 2\times b=\underline{0.8}b$。
    4. 第 4 步（代回求解）：把 $a=0.8b$ 代入 $5a+2b=60$ 得 $(5\times 0.8+2)b=\underline{6}b=60$，所以 $b=60\div 6=\underline{10}$，$a=0.8\times 10=\underline{8}$。
    5. 第 5 步：完成任务所用时间为 $8+10=\underline{18}$（小时）。
    最终答案：甲、乙完成任务所用的时间都是 $18$ 小时。
  6. 3. ch17-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步：把每份文稿看作 $60$ 份。小明用 $A$ 每小时 $60\div 12=\underline{5}$（份），用 $B$ 每小时 $5\times(1-0.6)=\underline{2}$（份）；小红用 $B$ 每小时 $60\div 20=\underline{3}$（份），用 $A$ 每小时 $3\times 1.2=\underline{3.6}$（份）。
    2. 第 2 步：设小明用 $A$ 笔 $a$ 小时、$B$ 笔 $b$ 小时，则小红用 $A$ 笔 $b$ 小时、$B$ 笔 $a$ 小时，得 $5a+2b=60$，$3a+3.6b=60$。
    3. 第 3 步：由 $5a+2b=3a+3.6b$，$a$ 的系数差 $5-3=\underline{2}$，$b$ 的系数差 $3.6-2=\underline{1.6}$，故 $a=1.6\div 2\times b=\underline{0.8}b$。
    4. 第 4 步：代入得 $(5\times 0.8+2)b=\underline{6}b=60$，$b=60\div 6=\underline{10}$，$a=0.8\times 10=\underline{8}$。
    5. 第 5 步：所用时间为 $8+10=\underline{18}$（小时）。
    最终答案：两人抄完各自文稿都用了 $18$ 小时。
  7. 3. ch17-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步：把每人的任务看作 $60$ 份。甲用 $A$ 每小时 $60\div 12=\underline{5}$（份），用 $B$ 每小时 $5\times(1-0.6)=\underline{2}$（份）；乙用 $B$ 每小时 $60\div 20=\underline{3}$（份），用 $A$ 每小时 $3\times 1.2=\underline{3.6}$（份）。
    2. 第 2 步：设甲用 $A$ 机 $a$ 小时、$B$ 机 $b$ 小时，则 $5a+2b=60$、$3a+3.6b=60$，两式相减得 $a=1.6\div 2\times b=\underline{0.8}b$。
    3. 第 3 步：代入得 $(5\times 0.8+2)b=\underline{6}b=60$，$b=60\div 6=\underline{10}$，$a=0.8\times 10=\underline{8}$。
    4. 第 4 步：甲先用 $A$ 机的时间就是交换时刻，即开工后第 $8$ 小时末交换。
    最终答案：他们在开工后第 $8$ 小时末交换机器。
  8. 3. ch17-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步：把每人的任务看作 $60$ 份。甲用 $A$ 每小时 $60\div 12=\underline{5}$（份），用 $B$ 每小时 $5\times(1-0.6)=\underline{2}$（份）；乙用 $B$ 每小时 $60\div 20=\underline{3}$（份），用 $A$ 每小时 $3\times 1.2=\underline{3.6}$（份）。
    2. 第 2 步：由 $5a+2b=60$、$3a+3.6b=60$ 得 $a=1.6\div 2\times b=\underline{0.8}b$，代入得 $(5\times 0.8+2)b=\underline{6}b=60$，$b=60\div 6=\underline{10}$，$a=0.8\times 10=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：完成时间为 $8+10=\underline{18}$（小时）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：不交换时甲用 $A$ 需 $60\div 5=\underline{12}$（小时），乙用 $B$ 需 $60\div 3=\underline{20}$（小时），甲早完成 $20-12=\underline{8}$（小时）。
    最终答案：（1）用了 $18$ 小时；（2）不交换时甲先完成，比乙早 $8$ 小时。
  9. 4. ch17-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（求效率连比）：设甲的效率为 $4$ 份。甲剩下工程的 $\frac{1}{4}$，即 $4\times 1/4=\underline{1}$ 份，由乙提高 $20\%$ 来完成，故乙的效率为 $1\div 0.2=\underline{5}$ 份。
    2. 第 2 步：甲剩下的 $\frac{3}{4}$，即 $4\times 3/4=\underline{3}$ 份，由丙提高 $30\%$ 来完成，故丙的效率为 $3\div 0.3=\underline{10}$ 份，三队效率比为 $4:5:10$。
    3. 第 3 步（甲退出前的报酬）：甲得 $3200$ 元占 $4$ 份，每份 $3200\div 4=\underline{800}$（元），乙前期得 $800\times 5=\underline{4000}$（元），丙前期得 $800\times 10=\underline{8000}$（元）。
    4. 第 4 步（后期效率比）：乙 $5\times 1.2=\underline{6}$，丙 $10\times 1.3=\underline{13}$，即 $6:13$。
    5. 第 5 步（后期报酬）：乙后期得 $6400-4000=\underline{2400}$（元），每份 $2400\div 6=\underline{400}$（元），丙后期得 $400\times 13=\underline{5200}$（元）。
    6. 第 6 步：丙一共得 $8000+5200=\underline{13200}$（元）。
    最终答案：丙队一共得到 $13200$ 元。
  10. 4. ch17-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步：设甲的效率为 $4$ 份。甲剩下工程的 $\frac{1}{4}$ 即 $4\times 1/4=\underline{1}$ 份，由乙提高 $20\%$ 完成，故乙的效率为 $1\div 0.2=\underline{5}$ 份。
    2. 第 2 步：甲剩下的 $\frac{3}{4}$ 即 $4\times 3/4=\underline{3}$ 份，由丙提高 $30\%$ 完成，故丙的效率为 $3\div 0.3=\underline{10}$ 份，比为 $4:5:10$。
    3. 第 3 步：每份 $3200\div 4=\underline{800}$（元），乙前期 $800\times 5=\underline{4000}$（元），丙前期 $800\times 10=\underline{8000}$（元）。
    4. 第 4 步：后期效率 乙 $5\times 1.2=\underline{6}$、丙 $10\times 1.3=\underline{13}$。
    5. 第 5 步：乙后期 $6400-4000=\underline{2400}$（元），每份 $2400\div 6=\underline{400}$（元），丙后期 $400\times 13=\underline{5200}$（元）。
    6. 第 6 步：丙共得 $8000+5200=\underline{13200}$（元）。
    最终答案：丙公司一共得到 $13200$ 元。
  11. 4. ch17-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步：设甲的效率为 $4$ 份。转给乙的是 $4\times 1/4=\underline{1}$ 份，由乙提高 $20\%$ 完成，故乙的效率为 $1\div 0.2=\underline{5}$ 份。
    2. 第 2 步：转给丙的是 $4\times 3/4=\underline{3}$ 份，由丙提高 $30\%$ 完成，故丙的效率为 $3\div 0.3=\underline{10}$ 份，所以效率比是 $4:5:10$。
    3. 第 3 步：甲退出前三队时间相同，报酬按效率比分。每份 $3200\div 4=\underline{800}$（元），乙前期得 $800\times 5=\underline{4000}$（元）。
    最终答案：（1）效率比为 $4:5:10$；（2）甲队退出前乙队得到 $4000$ 元。
  12. 4. ch17-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步：设甲效率为 $4$ 份，则乙为 $(4\times 1/4)\div 0.2=\underline{5}$ 份，丙为 $(4\times 3/4)\div 0.3=\underline{10}$ 份，效率比 $4:5:10$。
    2. 第 2 步（前期）：每份 $3200\div 4=\underline{800}$（元），乙前期 $800\times 5=\underline{4000}$（元），丙前期 $800\times 10=\underline{8000}$（元）。
    3. 第 3 步（后期）：乙、丙效率变为 $5\times 1.2=\underline{6}$、$10\times 1.3=\underline{13}$；乙后期得 $6400-4000=\underline{2400}$（元），每份 $2400\div 6=\underline{400}$（元），丙后期得 $400\times 13=\underline{5200}$（元）。
    4. 第 4 步（第 (1) 问）：丙共得 $8000+5200=\underline{13200}$（元）。
    5. 第 5 步（第 (2) 问）：三队总额 $3200+6400+13200=\underline{22800}$（元）。
    最终答案：（1）丙队一共得到 $13200$ 元；（2）三队报酬总额为 $22800$ 元。
  13. 9. ch17-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：$24$ 与 $40$ 的公倍数取 $120$，把公路看作 $120$ 份。甲每天修 $120\div 24=\underline{5}$（份），乙每天修 $120\div 40=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：合修效率 $5+3=\underline{8}$（份/天），合修天数 $120\div 8=\underline{15}$（天）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问，先扣单干段）：甲最后单独修 $8$ 天完成 $5\times 8=\underline{40}$（份），合修部分为 $120-40=\underline{80}$（份）。
    4. 第 4 步：合修天数（即乙修的天数）为 $80\div 8=\underline{10}$（天）。
    最终答案：（1）$15$ 天；（2）乙队一共修了 $10$ 天。
  14. 9. ch17-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步：把这批服装看作 $120$ 份。甲每天做 $120\div 24=\underline{5}$（份），乙每天做 $120\div 40=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步：合做效率 $5+3=\underline{8}$（份/天），合做天数 $120\div 8=\underline{15}$（天）。
    3. 第 3 步：甲最后单独做 $8$ 天完成 $5\times 8=\underline{40}$（份），合做部分为 $120-40=\underline{80}$（份）。
    4. 第 4 步：乙车间做了 $80\div 8=\underline{10}$（天）。
    最终答案：（1）$15$ 天；（2）乙车间一共做了 $10$ 天。
  15. 9. ch17-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步：把公路看作 $120$ 份，甲每天 $120\div 24=\underline{5}$（份），乙每天 $120\div 40=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步（扣掉乙单干段）：乙最后单独修 $16$ 天完成 $3\times 16=\underline{48}$（份），合修部分为 $120-48=\underline{72}$（份）。
    3. 第 3 步：合修效率 $5+3=\underline{8}$（份/天），合修（即甲修的）天数为 $72\div 8=\underline{9}$（天）。
    最终答案：甲队一共修了 $9$ 天。
  16. 9. ch17-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步：把公路看作 $120$ 份，甲每天 $120\div 24=\underline{5}$（份），乙每天 $120\div 40=\underline{3}$（份），丙每天 $120\div 60=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步（甲乙全程都在）：甲乙每天合修 $5+3=\underline{8}$（份），$14$ 天共修 $8\times 14=\underline{112}$（份）。
    3. 第 3 步（丙补足的部分）：还差 $120-112=\underline{8}$（份），这些是丙修的。
    4. 第 4 步：丙参加了 $8\div 2=\underline{4}$（天）。
    最终答案：丙队参加了 $4$ 天。
  17. 10. ch17-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（无干扰要多久）：把资料看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 12=\underline{2}$（份），乙每小时 $24\div 24=\underline{1}$（份），效率和 $2+1=\underline{3}$（份/时），无干扰需 $24\div 3=\underline{8}$（小时）。
    2. 第 2 步（时间差）：实际用 $10$ 小时，比理论多用 $10-8=\underline{2}$（小时）。
    3. 第 3 步（被拖欠的张数）：$10$ 小时里一共少印 $120\times 10=\underline{1200}$（张），这些张数正好要用正常效率多印 $2$ 小时才补得回来。
    4. 第 4 步（求正常效率）：正常每小时印 $1200\div 2=\underline{600}$（张），实际每小时印 $600-120=\underline{480}$（张）。
    5. 第 5 步：资料总张数为 $480\times 10=\underline{4800}$（张）。
    最终答案：这批资料共有 $4800$ 张。
  18. 10. ch17-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：把这批零件看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 12=\underline{2}$（份），乙每小时 $24\div 24=\underline{1}$（份），效率和 $2+1=\underline{3}$（份/时），无干扰需 $24\div 3=\underline{8}$（小时）。
    2. 第 2 步：实际比理论多用 $10-8=\underline{2}$（小时）。
    3. 第 3 步：$10$ 小时共少包装 $120\times 10=\underline{1200}$（个），这些要用正常效率多干 $2$ 小时补回。
    4. 第 4 步：正常每小时 $1200\div 2=\underline{600}$（个），实际每小时 $600-120=\underline{480}$（个）。
    5. 第 5 步：总数为 $480\times 10=\underline{4800}$（个）。
    最终答案：这批零件共有 $4800$ 个。
  19. 10. ch17-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（无干扰的效率和）：两台机器无干扰时合印需 $1\div\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{24}\right)$，即 $24$ 份中每小时做 $2+1=\underline{3}$ 份，共需 $24\div 3=\underline{8}$（小时），所以正常每小时印 $4800\div 8=\underline{600}$（张）。
    2. 第 2 步（实际效率）：实际每小时印 $4800\div 10=\underline{480}$（张）。
    3. 第 3 步（求差）：每小时少印 $600-480=\underline{120}$（张）。
    最终答案：每小时一共少印 $120$ 张。
  20. 10. ch17-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：把资料看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 12=\underline{2}$（份），乙每小时 $24\div 24=\underline{1}$（份），效率和 $2+1=\underline{3}$（份/时），无干扰需 $24\div 3=\underline{8}$（小时）。
    2. 第 2 步：实际多用 $10-8=\underline{2}$（小时），$10$ 小时共少印 $120\times 10=\underline{1200}$（张），故正常每小时 $1200\div 2=\underline{600}$（张），实际每小时 $600-120=\underline{480}$（张）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：总张数 $480\times 10=\underline{4800}$（张）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：甲机每小时印 $4800\div 12=\underline{400}$（张），单独印完需 $4800\div 400=\underline{12}$（小时），比实际合印多用 $12-10=\underline{2}$（小时）。
    最终答案：（1）$4800$ 张；（2）甲机单独需 $12$ 小时，比实际合印多用 $2$ 小时。
  21. 11. ch17-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：$20$、$30$、$60$ 的公倍数取 $60$，把公路看作 $60$ 份。甲每天 $60\div 20=\underline{3}$（份），乙每天 $60\div 30=\underline{2}$（份），丙每天 $60\div 60=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步（假设全勤）：三队全勤每天修 $3+2+1=\underline{6}$（份），$15$ 天应修 $6\times 15=\underline{90}$（份）。
    3. 第 3 步（求盈余）：实际只有 $60$ 份，多算了 $90-60=\underline{30}$（份），这正是甲没干的量。
    4. 第 4 步：甲离开了 $30\div 3=\underline{10}$（天），这些天里是乙、丙两队在修。
    最终答案：乙、丙两队又共修了 $10$ 天。
  22. 11. ch17-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：把这批玩具看作 $60$ 份。甲每天 $60\div 20=\underline{3}$（份），乙每天 $60\div 30=\underline{2}$（份），丙每天 $60\div 60=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步：假设全勤，每天共做 $3+2+1=\underline{6}$（份），$15$ 天应做 $6\times 15=\underline{90}$（份）。
    3. 第 3 步：多算了 $90-60=\underline{30}$（份），这是甲没做的量。
    4. 第 4 步：甲停工了 $30\div 3=\underline{10}$（天）。
    最终答案：乙、丙两车间又共做了 $10$ 天。
  23. 11. ch17-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步：把公路看作 $60$ 份，甲每天 $60\div 20=\underline{3}$（份），乙每天 $60\div 30=\underline{2}$（份），丙每天 $60\div 60=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步：假设全勤每天 $3+2+1=\underline{6}$（份），$14$ 天应修 $6\times 14=\underline{84}$（份），多算了 $84-60=\underline{24}$（份）。
    3. 第 3 步：这些是乙没干的量，乙离开了 $24\div 2=\underline{12}$（天）。
    最终答案：乙队离开了 $12$ 天。
  24. 11. ch17-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步：把公路看作 $60$ 份，甲每天 $60\div 20=\underline{3}$（份），乙每天 $60\div 30=\underline{2}$（份），丙每天 $60\div 60=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步：假设全勤每天 $3+2+1=\underline{6}$（份），$15$ 天应修 $6\times 15=\underline{90}$（份），多算 $90-60=\underline{30}$（份），故甲离开 $30\div 3=\underline{10}$（天）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：甲实际工作 $15-10=\underline{5}$（天）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：甲离开期间乙丙每天共修 $2+1=\underline{3}$（份），$10$ 天修了 $3\times 10=\underline{30}$（份），占全长的 $30\div 60=\underline{0.5}$。
    最终答案：（1）甲队实际工作 $5$ 天；（2）甲队离开期间乙、丙两队修了全长的 $\frac{1}{2}$。
  25. 12. ch17-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（两种做法作比较）：甲来帮忙做的 $3$ 天，正好顶掉乙要多干的 $4$ 天，所以甲 $3$ 天的工作量等于乙 $4$ 天的工作量。
    2. 第 2 步（求乙单独用时）：甲单独 $21$ 天完成，先求甲 $1$ 天顶乙几天——由 $3$ 天顶 $4$ 天知，甲单独用时换算成乙需要 $21\div 3=\underline{7}$，再 $7\times 4=\underline{28}$（天）。
    3. 第 3 步（求规定天数）：乙比规定多用 $4$ 天，所以规定天数为 $28-4=\underline{24}$（天）。
    最终答案：规定的天数是 $24$ 天。
  26. 12. ch17-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步：甲机帮做的 $3$ 天正好顶掉乙机要多干的 $4$ 天，即甲机 $3$ 天的工作量等于乙机 $4$ 天的工作量。
    2. 第 2 步：由 $21\div 3=\underline{7}$，再 $7\times 4=\underline{28}$（天），得乙机单独需要 $28$ 天。
    3. 第 3 步：交货期为 $28-4=\underline{24}$（天）。
    最终答案：交货期是 $24$ 天。
  27. 12. ch17-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步：甲帮做的 $3$ 天正好顶掉乙多干的 $4$ 天，即甲 $3$ 天的量 $=$ 乙 $4$ 天的量。
    2. 第 2 步：乙单独 $28$ 天，换算成甲需要 $28\div 4=\underline{7}$，再 $7\times 3=\underline{21}$（天）。
    3. 第 3 步（顺带求规定天数）：$28-4=\underline{24}$（天）。
    最终答案：甲单独完成需要 $21$ 天（规定天数为 $24$ 天）。
  28. 12. ch17-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步：甲 $3$ 天的量 $=$ 乙 $4$ 天的量；由 $21\div 3=\underline{7}$、$7\times 4=\underline{28}$ 得乙单独需 $28$ 天，规定天数为 $28-4=\underline{24}$（天）。
    2. 第 2 步（设份数求效率）：$21$ 与 $28$ 的公倍数取 $84$，把工作看作 $84$ 份，甲每天 $84\div 21=\underline{4}$（份），乙每天 $84\div 28=\underline{3}$（份）。
    3. 第 3 步：两人合做每天 $4+3=\underline{7}$（份），需要 $84\div 7=\underline{12}$（天）。
    最终答案：（1）规定天数 $24$ 天；（2）两人一直合做需 $12$ 天。
  29. 14. ch17-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（统一单位）：设 $A$ 工程为 $480$ 份，则 $B$ 工程为 $480\times 5/4=\underline{600}$（份），两项共 $480+600=\underline{1080}$（份）。
    2. 第 2 步（求效率，注意乙丙做的是 $B$）：甲每天 $480\div 80=\underline{6}$（份），乙每天 $600\div 120=\underline{5}$（份），丙每天 $600\div 150=\underline{4}$（份）。
    3. 第 3 步（三队全程都在干）：效率和 $6+5+4=\underline{15}$（份/天），总时间 $1080\div 15=\underline{72}$（天）。
    4. 第 4 步（乙全程在 $B$）：乙完成 $5\times 72=\underline{360}$（份），所以 $B$ 上由丙完成的是 $600-360=\underline{240}$（份）。
    5. 第 5 步：丙与乙合做了 $240\div 4=\underline{60}$（天）。
    最终答案：丙队与乙队合做了 $60$ 天。
  30. 14. ch17-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步：设 $A$ 花园为 $480$ 份，则 $B$ 花园为 $480\times 5/4=\underline{600}$（份），共 $480+600=\underline{1080}$（份）。
    2. 第 2 步：甲每天 $480\div 80=\underline{6}$（份），乙每天 $600\div 120=\underline{5}$（份），丙每天 $600\div 150=\underline{4}$（份）。
    3. 第 3 步：效率和 $6+5+4=\underline{15}$（份/天），总时间 $1080\div 15=\underline{72}$（天）。
    4. 第 4 步：乙完成 $5\times 72=\underline{360}$（份），$B$ 上丙完成 $600-360=\underline{240}$（份）。
    5. 第 5 步：丙与乙一起种了 $240\div 4=\underline{60}$（天）。
    最终答案：丙队与乙队一起种了 $60$ 天。
  31. 14. ch17-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步：设 $A=480$ 份，$B=480\times 5/4=\underline{600}$（份），共 $480+600=\underline{1080}$（份）；甲每天 $480\div 80=\underline{6}$（份），乙每天 $600\div 120=\underline{5}$（份），丙每天 $600\div 150=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步：效率和 $6+5+4=\underline{15}$（份/天），总时间 $1080\div 15=\underline{72}$（天）。
    3. 第 3 步（甲全程在 $A$）：甲完成 $6\times 72=\underline{432}$（份），$A$ 上由丙完成 $480-432=\underline{48}$（份）。
    4. 第 4 步：丙与甲合做了 $48\div 4=\underline{12}$（天）。
    最终答案：丙队与甲队合做了 $12$ 天。
  32. 14. ch17-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步：设 $A=480$ 份，$B=480\times 5/4=\underline{600}$（份），共 $480+600=\underline{1080}$（份）；甲每天 $480\div 80=\underline{6}$（份），乙每天 $600\div 120=\underline{5}$（份），丙每天 $600\div 150=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步：效率和 $6+5+4=\underline{15}$（份/天），总时间 $1080\div 15=\underline{72}$（天）。
    3. 第 3 步（乙的工作量）：乙全程在干，完成 $5\times 72=\underline{360}$（份）。
    4. 第 4 步（按工作量分钱）：每份报酬 $4320\div 1080=\underline{4}$（元），乙应得 $4\times 360=\underline{1440}$（元）。
    最终答案：乙队应得 $1440$ 元。
  33. 15. ch17-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：把一个人半天割的草记作 $1$ 份，则一个人割 $3$ 天是 $6$ 份。设有 $n$ 个割草人。
    2. 第 2 步（表示大草地）：上午 $n$ 人割 $n$ 份，下午一半人割 $\frac{n}{2}$ 份，大草地共 $\frac{3n}{2}$ 份。
    3. 第 3 步（表示小草地）：下午一半人割 $\frac{n}{2}$ 份，再加剩下的 $6$ 份，小草地共 $\frac{n}{2}+6$ 份。
    4. 第 4 步（列等式并解）：由 $\frac{3n}{2}=2\left(\frac{n}{2}+6\right)=n+12$ 得 $\frac{n}{2}=\underline{12}$，所以 $n=12\times 2=\underline{24}$。
    5. 第 5 步（检验）：大草地 $24\times 3/2=\underline{36}$（份），小草地 $24/2+6=\underline{18}$（份），$36\div 18=\underline{2}$，符合倍数关系。
    最终答案：一共有 $24$ 个割草人。
  34. 15. ch17-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步：把一个人半天割的麦记作 $1$ 份，则一个人割 $3$ 天是 $6$ 份。设有 $n$ 个收割工。
    2. 第 2 步：大麦田共 $n+\frac{n}{2}=\frac{3n}{2}$ 份。
    3. 第 3 步：小麦田共 $\frac{n}{2}+6$ 份。
    4. 第 4 步：由 $\frac{3n}{2}=n+12$ 得 $\frac{n}{2}=\underline{12}$，$n=12\times 2=\underline{24}$。
    5. 第 5 步（检验）：大麦田 $24\times 3/2=\underline{36}$（份），小麦田 $24/2+6=\underline{18}$（份），$36\div 18=\underline{2}$。
    最终答案：一共有 $24$ 个收割工。
  35. 15. ch17-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（合并工作量）：两片草地共 $36+18=\underline{54}$（份）。
    2. 第 2 步（换算成人·天）：一个人一天割 $2$ 份，所以总量为 $54\div 2=\underline{27}$（人·天）。
    3. 第 3 步：$27$ 个人一起割，需要 $27\div 27=\underline{1}$（天）。
    最终答案：两片草地共 $27$ 个「人·天」，$27$ 个人一起割需要 $1$ 天。
  36. 15. ch17-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步：设每人半天割 $1$ 份，一个人 $3$ 天是 $6$ 份，设有 $n$ 人。大草地 $\frac{3n}{2}$ 份，小草地 $\frac{n}{2}+6$ 份。
    2. 第 2 步：由 $\frac{3n}{2}=n+12$ 得 $\frac{n}{2}=\underline{12}$，$n=12\times 2=\underline{24}$（人）。
    3. 第 3 步（求总量）：大草地 $24\times 3/2=\underline{36}$（份），小草地 $24/2+6=\underline{18}$（份），共 $36+18=\underline{54}$（份），合 $54\div 2=\underline{27}$（人·天）。
    4. 第 4 步（改派人手）：$18$ 个人一起割需要 $27\div 18=\underline{1.5}$（天）。
    最终答案：（1）一共有 $24$ 个割草人；（2）$18$ 个人一起割需要 $1.5$ 天。
  37. 16. ch17-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：$15$ 与 $20$ 的公倍数取 $60$，把满池看作 $60$ 份。甲每小时注 $60\div 15=\underline{4}$（份），乙每小时注 $60\div 20=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步（让效率高的甲管全程开满）：甲开满 $12$ 小时注入 $4\times 12=\underline{48}$（份）。
    3. 第 3 步（差额由乙补）：还差 $60-48=\underline{12}$（份）。
    4. 第 4 步：乙至少要开 $12\div 3=\underline{4}$（小时），即两管至少合开 $4$ 小时。
    最终答案：至少要合开 $4$ 小时。
  38. 16. ch17-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步：把满仓看作 $60$ 份。甲每小时运 $60\div 15=\underline{4}$（份），乙每小时运 $60\div 20=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步：让效率高的甲带开满 $12$ 小时，运入 $4\times 12=\underline{48}$（份）。
    3. 第 3 步：还差 $60-48=\underline{12}$（份）。
    4. 第 4 步：乙带至少开 $12\div 3=\underline{4}$（小时）。
    最终答案：至少要同时开 $4$ 小时。
  39. 16. ch17-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步：把满池看作 $60$ 份，甲每小时 $60\div 15=\underline{4}$（份），乙每小时 $60\div 20=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步：甲管开满 $9$ 小时注入 $4\times 9=\underline{36}$（份）。
    3. 第 3 步：还差 $60-36=\underline{24}$（份），乙至少开 $24\div 3=\underline{8}$（小时）。
    最终答案：乙管至少要开 $8$ 小时。
  40. 16. ch17-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步：把满池看作 $60$ 份，甲每小时进 $60\div 15=\underline{4}$（份），乙每小时进 $60\div 20=\underline{3}$（份），排水管每小时排 $60\div 30=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步（先算全程开着的两根管）：$12$ 小时里甲注入 $4\times 12=\underline{48}$（份），排水管排走 $2\times 12=\underline{24}$（份），净存 $48-24=\underline{24}$（份）。
    3. 第 3 步（差额由乙补）：还差 $60-24=\underline{36}$（份）。
    4. 第 4 步：乙至少要开 $36\div 3=\underline{12}$（小时）。
    最终答案：乙管至少要开 $12$ 小时（即全程开着）。
  41. 17. ch17-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：$12$、$18$、$36$ 的公倍数取 $36$，把满池看作 $36$ 份。甲每小时 $36\div 12=\underline{3}$（份），乙每小时 $36\div 18=\underline{2}$（份），丙每小时 $36\div 36=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步（总时长）：从上午 $8$ 点到下午 $4$ 点共 $16-8=\underline{8}$（小时）。
    3. 第 3 步（假设全程齐开）：三管每小时共 $3+2+1=\underline{6}$（份），$8$ 小时应注 $6\times 8=\underline{48}$（份）。
    4. 第 4 步（求盈余）：多算了 $48-36=\underline{12}$（份），这是甲管没注的水。
    5. 第 5 步：甲管关闭了 $12\div 3=\underline{4}$（小时），所以甲开了 $8-4=\underline{4}$（小时），关闭时刻为 $8+4=\underline{12}$ 点。
    最终答案：甲管在中午 $12$ 点被关闭。
  42. 17. ch17-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步：把满仓看作 $36$ 份。甲每小时 $36\div 12=\underline{3}$（份），乙每小时 $36\div 18=\underline{2}$（份），丙每小时 $36\div 36=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步：从 $8$ 点到 $16$ 点共 $16-8=\underline{8}$（小时）。
    3. 第 3 步：假设三带全程开动，每小时 $3+2+1=\underline{6}$（份），$8$ 小时应装 $6\times 8=\underline{48}$（份）。
    4. 第 4 步：多算了 $48-36=\underline{12}$（份），是甲带没装的。
    5. 第 5 步：甲带停了 $12\div 3=\underline{4}$（小时），开了 $8-4=\underline{4}$（小时），停机时刻为 $8+4=\underline{12}$ 点。
    最终答案：甲带在中午 $12$ 点停机。
  43. 17. ch17-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步：把满池看作 $36$ 份，甲每小时 $36\div 12=\underline{3}$（份），乙每小时 $36\div 18=\underline{2}$（份），丙每小时 $36\div 36=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步：总时长 $16-8=\underline{8}$（小时），假设全程齐开每小时 $3+2+1=\underline{6}$（份），$8$ 小时应注 $6\times 8=\underline{48}$（份）。
    3. 第 3 步：盈余 $48-36=\underline{12}$（份），这是乙管没注的水，乙关闭了 $12\div 2=\underline{6}$（小时）。
    4. 第 4 步：乙开了 $8-6=\underline{2}$（小时），关闭时刻为 $8+2=\underline{10}$ 点。
    最终答案：乙管在上午 $10$ 点被关闭。
  44. 17. ch17-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步：把满池看作 $36$ 份，甲每小时 $36\div 12=\underline{3}$（份），乙每小时 $36\div 18=\underline{2}$（份），丙每小时 $36\div 36=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步（总时长）：从 $8$ 点到 $14$ 点共 $14-8=\underline{6}$（小时）。
    3. 第 3 步（全程开着的乙、丙）：每小时共 $2+1=\underline{3}$（份），$6$ 小时注入 $3\times 6=\underline{18}$（份）。
    4. 第 4 步（差额由甲补）：还差 $36-18=\underline{18}$（份），甲至少要开 $18\div 3=\underline{6}$（小时）。
    最终答案：甲管至少要开 $6$ 小时（即全程开着）。
  45. 18. ch17-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：设 $1$ 个闸门 $1$ 小时排水 $1$ 份。开 $1$ 个闸排 $1\times 60=\underline{60}$（份），开 $2$ 个闸排 $2\times 20=\underline{40}$（份）。
    2. 第 2 步（求流入速度）：两次都降到安全线，排水量却差 $60-40=\underline{20}$（份），这是流入时间相差 $60-20=\underline{40}$（小时）造成的，故每小时流入 $20\div 40=\underline{0.5}$（份）。
    3. 第 3 步（求原有超量水）：$1$ 个闸的 $60$ 小时里，有 $0.5$ 份/时用来抵消流入，真正排掉原有水的是 $(1-0.5)\times 60=\underline{30}$（份）。
    4. 第 4 步（求所需速度）：$3$ 小时排完原有水要 $30\div 3=\underline{10}$（份/时），再加上抵消流入的 $0.5$ 份，共 $10+0.5=\underline{10.5}$（份/时）。
    5. 第 5 步（取整）：闸门数必须是整数且不少于 $10.5$，所以至少开 $11$ 个。
    最终答案：至少要同时打开 $11$ 个闸门。
  46. 18. ch17-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步：设 $1$ 台抽水机 $1$ 小时抽 $1$ 份。开 $1$ 台抽 $1\times 60=\underline{60}$（份），开 $2$ 台抽 $2\times 20=\underline{40}$（份）。
    2. 第 2 步：排水量相差 $60-40=\underline{20}$（份），时间相差 $60-20=\underline{40}$（小时），每小时渗入 $20\div 40=\underline{0.5}$（份）。
    3. 第 3 步：原有超量水为 $(1-0.5)\times 60=\underline{30}$（份）。
    4. 第 4 步：$3$ 小时需 $30\div 3=\underline{10}$（份/时），再加抵消渗入的 $0.5$ 份，共 $10+0.5=\underline{10.5}$（份/时）。
    5. 第 5 步：所以至少开 $11$ 台。
    最终答案：至少要同时开 $11$ 台抽水机。
  47. 18. ch17-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（设份数）：设 $1$ 头牛 $1$ 天吃 $1$ 份。第一种情形吃掉 $10\times 20=\underline{200}$（份），第二种情形吃掉 $15\times 10=\underline{150}$（份）。
    2. 第 2 步（求生长速度）：吃掉的量相差 $200-150=\underline{50}$（份），是因为时间相差 $20-10=\underline{10}$（天），故每天新长 $50\div 10=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步（求原有草量）：$200-5\times 20=\underline{100}$（份）。
    4. 第 4 步（求天数）：$25$ 头牛中要留 $5$ 头「吃掉新长的草」，其余 $25-5=\underline{20}$（头）吃原有草，可吃 $100\div 20=\underline{5}$（天）。
    最终答案：可供 $25$ 头牛吃 $5$ 天。
  48. 18. ch17-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步：设 $1$ 头牛 $1$ 天吃 $1$ 份。两种情形分别吃掉 $10\times 20=\underline{200}$（份）、$15\times 10=\underline{150}$（份）。
    2. 第 2 步：每天新长 $(200-150)\div(20-10)=\underline{5}$（份），原有草量 $200-5\times 20=\underline{100}$（份）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：$4$ 天吃完原有草需 $100\div 4=\underline{25}$（头）牛，再加上专吃新长草的 $5$ 头，共 $25+5=\underline{30}$（头）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：若牛每天吃的正好等于每天新长的，草就永远吃不完，故最多放 $5$ 头。
    最终答案：（1）需要 $30$ 头牛；（2）最多放 $5$ 头牛可以永远吃不完。
  49. 19. ch17-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：$12$ 与 $24$ 的公倍数取 $24$，把容积看作 $24$ 份。甲每小时进 $24\div 12=\underline{2}$（份），乙每小时进 $24\div 24=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步（抓住「回排」这一条件）：甲管回排时每小时排 $2$ 份，$3$ 小时排完池中原有的水，所以原有水为 $2\times 3=\underline{6}$（份）。
    3. 第 3 步（化成分率）：原有水占容积的 $6\div 24=\underline{0.25}$。
    4. 第 4 步（换算体积）：$200\times 0.25=\underline{50}$（立方米）。
    最终答案：水池中原有水 $50$ 立方米。
  50. 19. ch17-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步：把仓容看作 $24$ 份。甲每小时 $24\div 12=\underline{2}$（份），乙每小时 $24\div 24=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步：甲带反转每小时出 $2$ 份，$3$ 小时运空原有粮，故原有粮为 $2\times 3=\underline{6}$（份）。
    3. 第 3 步：原有粮占仓容的 $6\div 24=\underline{0.25}$。
    4. 第 4 步：$200\times 0.25=\underline{50}$（吨）。
    最终答案：粮仓里原有粮食 $50$ 吨。
  51. 19. ch17-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步：把容积看作 $24$ 份，甲每小时进 $24\div 12=\underline{2}$（份），乙每小时进 $24\div 24=\underline{1}$（份），原有水 $50\div 200\times 24=\underline{6}$（份）。
    2. 第 2 步（排水管这 $6$ 小时排掉了什么）：这 $6$ 小时里进水管共进 $(2+1)\times 6=\underline{18}$（份），加上原有的 $6$ 份，排水管共排出 $6+18=\underline{24}$（份）。
    3. 第 3 步：排水管每小时排 $24\div 6=\underline{4}$（份），排空满池需 $24\div 4=\underline{6}$（小时）。
    最终答案：只开排水管，排完满池水需要 $6$ 小时。
  52. 19. ch17-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步：把容积看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 12=\underline{2}$（份），乙每小时 $24\div 24=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：原有水 $2\times 3=\underline{6}$（份），占容积的 $6\div 24=\underline{0.25}$，即 $200\times 0.25=\underline{50}$（立方米）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：还差 $24-6=\underline{18}$（份），两管每小时进 $2+1=\underline{3}$（份），还需 $18\div 3=\underline{6}$（小时）。
    4. 第 4 步：还需注入 $200-50=\underline{150}$（立方米）。
    最终答案：（1）原有水 $50$ 立方米；（2）还需 $6$ 小时注满，还需注入 $150$ 立方米水。
  53. 20. ch17-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：设每个入场口每分钟进 $1$ 份人。开 $4$ 个口 $12$ 分钟进 $4\times 12=\underline{48}$（份），开 $6$ 个口 $6$ 分钟进 $6\times 6=\underline{36}$（份）。
    2. 第 2 步（求每分钟新来人数）：进人量相差 $48-36=\underline{12}$（份），时间相差 $12-6=\underline{6}$（分钟），故每分钟新来 $12\div 6=\underline{2}$（份）。
    3. 第 3 步（求 $9$ 时的队长）：开 $4$ 个口时，有 $2$ 份/分用来消化新来的人，真正消化原队伍的是 $(4-2)\times 12=\underline{24}$（份）。
    4. 第 4 步（求积累时间）：这些人按每分钟 $2$ 份积累，需要 $24\div 2=\underline{12}$（分钟）。
    5. 第 5 步（求时刻）：第一个观众在 $9$ 时前 $12$ 分钟到达，即 $8$ 时 $60-12=\underline{48}$ 分。
    最终答案：第一个观众到达的时间是 $8$ 时 $48$ 分。
  54. 20. ch17-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步：设每个检票口每分钟检 $1$ 份人。开 $4$ 个口检 $4\times 12=\underline{48}$（份），开 $6$ 个口检 $6\times 6=\underline{36}$（份）。
    2. 第 2 步：相差 $48-36=\underline{12}$（份），时间相差 $12-6=\underline{6}$（分钟），每分钟新来 $12\div 6=\underline{2}$（份）。
    3. 第 3 步：$9$ 时的队长为 $(4-2)\times 12=\underline{24}$（份）。
    4. 第 4 步：积累这些人需 $24\div 2=\underline{12}$（分钟）。
    5. 第 5 步：第一个旅客到达时刻为 $8$ 时 $60-12=\underline{48}$ 分。
    最终答案：第一个旅客到达的时间是 $8$ 时 $48$ 分。
  55. 20. ch17-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步：设每个口每分钟进 $1$ 份。开 $4$ 个口进 $4\times 12=\underline{48}$（份），开 $6$ 个口进 $6\times 6=\underline{36}$（份），每分钟新来 $(48-36)\div(12-6)=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步：$9$ 时的队长为 $(4-2)\times 12=\underline{24}$（份）。
    3. 第 3 步（$3$ 分钟内要消化的人）：原队 $24$ 份加上这 $3$ 分钟新来的 $2\times 3=\underline{6}$（份），共 $24+6=\underline{30}$（份）。
    4. 第 4 步：每分钟要进 $30\div 3=\underline{10}$（份），所以要开 $10$ 个入场口。
    最终答案：需要开 $10$ 个入场口。
  56. 20. ch17-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步：设每个口每分钟进 $1$ 份。开 $4$ 个口进 $4\times 12=\underline{48}$（份），开 $6$ 个口进 $6\times 6=\underline{36}$（份），每分钟新来 $(48-36)\div(12-6)=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步：$9$ 时的队长为 $(4-2)\times 12=\underline{24}$（份）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：开 $5$ 个口时，每分钟净消化 $5-2=\underline{3}$（份），排空需 $24\div 3=\underline{8}$（分钟），即 $9$ 时 $8$ 分。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：只要每分钟进的人不少于新来的 $2$ 份，队伍就不会变长，所以至少开 $2$ 个入场口。
    最终答案：（1）$9$ 时 $8$ 分不再有人排队；（2）至少要开 $2$ 个入场口。
  57. 21. ch17-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（甲乙的日工资和）：这一阶段对应工资 $3600\times 1/3=\underline{1200}$（元），做了 $6$ 天，故 $a+b=1200\div 6=\underline{200}$（元）。
    2. 第 2 步（乙丙的日工资和）：余下工程对应 $3600\times(1-1/3)=\underline{2400}$（元），这一阶段完成余下的 $\frac{1}{4}$，即 $2400\times 1/4=\underline{600}$（元），做了 $2$ 天，故 $b+c=600\div 2=\underline{300}$（元）。
    3. 第 3 步（三人的日工资和）：最后一阶段对应 $2400\times(1-1/4)=\underline{1800}$（元），做了 $5$ 天，故 $a+b+c=1800\div 5=\underline{360}$（元）。
    4. 第 4 步（解出各人日工资）：$c=360-200=\underline{160}$（元），$a=360-300=\underline{60}$（元），$b=200-60=\underline{140}$（元）。
    5. 第 5 步（结算乙）：乙三个阶段都在做，共 $6+2+5=\underline{13}$（天），应得 $140\times 13=\underline{1820}$（元）。
    最终答案：乙应得 $1820$ 元。
  58. 21. ch17-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步：第一阶段对应 $3600\times 1/3=\underline{1200}$（元），做 $6$ 天，故甲、乙日工资和为 $1200\div 6=\underline{200}$（元）。
    2. 第 2 步：余下工程对应 $3600\times(1-1/3)=\underline{2400}$（元），第二阶段完成其 $\frac{1}{4}$，即 $2400\times 1/4=\underline{600}$（元），做 $2$ 天，故乙、丙日工资和为 $600\div 2=\underline{300}$（元）。
    3. 第 3 步：第三阶段对应 $2400\times(1-1/4)=\underline{1800}$（元），做 $5$ 天，故三队日工资和为 $1800\div 5=\underline{360}$（元）。
    4. 第 4 步：丙 $=360-200=\underline{160}$（元），甲 $=360-300=\underline{60}$（元），乙 $=200-60=\underline{140}$（元）。
    5. 第 5 步：乙队共做 $6+2+5=\underline{13}$（天），应得 $140\times 13=\underline{1820}$（元）。
    最终答案：乙队应得 $1820$ 元。
  59. 21. ch17-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步：$a+b=3600\times 1/3\div 6=\underline{200}$（元）；$b+c=3600\times(1-1/3)\times 1/4\div 2=\underline{300}$（元）；$a+b+c=3600\times(1-1/3)\times(1-1/4)\div 5=\underline{360}$（元）。
    2. 第 2 步（解出丙的日工资）：$c=360-200=\underline{160}$（元）。
    3. 第 3 步（丙的工作天数）：丙只参加了后两个阶段，共 $2+5=\underline{7}$（天）。
    4. 第 4 步：丙应得 $160\times 7=\underline{1120}$（元）。
    最终答案：丙应得 $1120$ 元。
  60. 21. ch17-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步：$a+b=3600\times 1/3\div 6=\underline{200}$（元）；$b+c=3600\times(1-1/3)\times 1/4\div 2=\underline{300}$（元）；$a+b+c=3600\times(1-1/3)\times(1-1/4)\div 5=\underline{360}$（元）。
    2. 第 2 步（解出各人日工资）：$c=360-200=\underline{160}$，$a=360-300=\underline{60}$，$b=200-60=\underline{140}$（元）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：甲参加第一、第三阶段，共 $6+5=\underline{11}$（天），应得 $60\times 11=\underline{660}$（元）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：三人日工资之比 $60:140:160$，同除以 $20$ 得 $60\div 20=\underline{3}$、$140\div 20=\underline{7}$、$160\div 20=\underline{8}$，即 $3:7:8$。
    5. 第 5 步（第 (3) 问检验）：乙得 $140\times 13=1820$ 元，丙得 $160\times 7=1120$ 元，三人合计 $660+1820+1120=\underline{3600}$（元）。
    最终答案：（1）甲应得 $660$ 元；（2）甲、乙、丙日工资之比为 $3:7:8$；（3）三人所得之和为 $3600$ 元，与总工资相符。
  61. 23. ch17-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（先求效率）：谁每天做得多，要用总量除以天数才知道。甲每天加工 $900\div 45=\underline{20}$（个）。
    2. 第 2 步：乙每天加工 $900\div 30=\underline{30}$（个）。
    3. 第 3 步（合并效率）：两人一起干，每天的产量就是两人每天产量之和，$20+30=\underline{50}$（个）。
    4. 第 4 步（总量÷效率和）：$900\div 50=\underline{18}$（天）。
    最终答案：$18$ 天。
  62. 23. ch17-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：甲机器每天装订 $900\div 45=\underline{20}$（本）。
    2. 第 2 步：乙机器每天装订 $900\div 30=\underline{30}$（本）。
    3. 第 3 步：两台一起每天装订 $20+30=\underline{50}$（本）。
    4. 第 4 步：所需天数 $900\div 50=\underline{18}$（天）。
    最终答案：$18$ 天。
  63. 23. ch17-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步：分别求出三人每天的产量，$900\div 45=\underline{20}$（个）、$900\div 30=\underline{30}$（个）、$900\div 18=\underline{50}$（个）。
    2. 第 2 步（合并效率）：三人一起每天做 $20+30+50=\underline{100}$（个）。
    3. 第 3 步：所需天数 $900\div 100=\underline{9}$（天）。
    最终答案：$9$ 天。
  64. 23. ch17-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步：甲每天做 $900\div 45=\underline{20}$（个），乙每天做 $900\div 30=\underline{30}$（个）。
    2. 第 2 步（扣掉已做部分）：甲单独做 $5$ 天完成 $20\times 5=\underline{100}$（个），还剩 $900-100=\underline{800}$（个）。
    3. 第 3 步：合作效率 $20+30=\underline{50}$（个/天），还需 $800\div 50=\underline{16}$（天）。
    4. 第 4 步：一共用时 $5+16=\underline{21}$（天）。
    最终答案：还要合作 $16$ 天，一共用 $21$ 天。
  65. 24. ch17-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：$24$ 与 $12$ 的公倍数取 $24$，把这堆煤看作 $24$ 份。甲每小时运 $24\div 24=\underline{1}$（份），乙每小时运 $24\div 12=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步：两车一起每小时运 $1+2=\underline{3}$（份），合运时间 $24\div 3=\underline{8}$（小时）。
    3. 第 3 步（扣掉甲单干的部分）：从 $6$ 点到 $12$ 点甲单独运了 $6$ 小时，运走 $1\times 6=\underline{6}$（份），还剩 $24-6=\underline{18}$（份）。
    4. 第 4 步：剩下的两车合运，还需 $18\div 3=\underline{6}$（小时），运完时刻是 $12+6=\underline{18}$ 点。
    最终答案：（1）$8$ 小时；（2）下午 $6$ 点（$18$ 点）运完。
  66. 24. ch17-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：把整池水看作 $24$ 份。甲每小时抽 $24\div 24=\underline{1}$（份），乙每小时抽 $24\div 12=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步：同时开每小时抽 $1+2=\underline{3}$（份），共需 $24\div 3=\underline{8}$（小时）。
    3. 第 3 步：甲单独抽的 $6$ 小时抽走 $1\times 6=\underline{6}$（份），还剩 $24-6=\underline{18}$（份）。
    4. 第 4 步：还需 $18\div 3=\underline{6}$（小时），抽完时刻为 $12+6=\underline{18}$ 点。
    最终答案：（1）$8$ 小时；（2）下午 $6$ 点（$18$ 点）抽完。
  67. 24. ch17-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步：把这堆煤看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 24=\underline{1}$（份），乙每小时 $24\div 12=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步（扣掉单干部分）：乙单独运的 $3$ 小时运走 $2\times 3=\underline{6}$（份），所以合运部分是 $24-6=\underline{18}$（份）。
    3. 第 3 步：合运效率 $1+2=\underline{3}$（份/时），合运时间 $18\div 3=\underline{6}$（小时）。
    最终答案：$6$ 小时。
  68. 24. ch17-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步：把这堆煤看作 $24$ 份，甲每小时 $24\div 24=\underline{1}$（份），乙每小时 $24\div 12=\underline{2}$（份），丙每小时 $24\div 8=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步（扣掉甲单干部分）：甲先干 $6$ 小时运走 $1\times 6=\underline{6}$（份），还剩 $24-6=\underline{18}$（份）。
    3. 第 3 步（三车效率和）：$1+2+3=\underline{6}$（份/时），还需 $18\div 6=\underline{3}$（小时）。
    4. 第 4 步（推时刻）：$8$ 点起先干 $6$ 小时到 $8+6=\underline{14}$ 点，再干 $3$ 小时，运完时刻为 $14+3=\underline{17}$ 点。
    最终答案：下午 $5$ 点（$17$ 点）运完。
  69. 25. ch17-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：$12$ 与 $20$ 的公倍数取 $60$，把这堆煤看作 $60$ 份。两车合运每小时 $60\div 12=\underline{5}$（份），甲车每小时 $60\div 20=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步（效率差）：乙车每小时运 $5-3=\underline{2}$（份）。
    3. 第 3 步：乙车单独运需要 $60\div 2=\underline{30}$（小时）。
    最终答案：$30$ 小时。
  70. 25. ch17-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步：把文稿看作 $60$ 份。两人合作每小时录 $60\div 12=\underline{5}$（份），甲每小时录 $60\div 20=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步：乙每小时录 $5-3=\underline{2}$（份）。
    3. 第 3 步：乙单独需要 $60\div 2=\underline{30}$（小时）。
    最终答案：$30$ 小时。
  71. 25. ch17-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步：把这批档案看作 $24$ 份。三人合作每天 $24\div 8=\underline{3}$（份），甲每天 $24\div 24=\underline{1}$（份），乙每天 $24\div 24=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步（效率差）：丙每天整理 $3-1-1=\underline{1}$（份）。
    3. 第 3 步：丙单独需要 $24\div 1=\underline{24}$（天）。
    最终答案：$24$ 天。
  72. 25. ch17-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步：把这堆煤看作 $60$ 份。合运每小时 $60\div 12=\underline{5}$（份），甲每小时 $60\div 20=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步（效率差）：乙每小时 $5-3=\underline{2}$（份）。
    3. 第 3 步（扣掉乙单干部分）：乙先运 $10$ 小时运走 $2\times 10=\underline{20}$（份），还剩 $60-20=\underline{40}$（份）。
    4. 第 4 步：两车合运还需 $40\div 5=\underline{8}$（小时）。
    最终答案：还需要 $8$ 小时。
  73. 26. ch17-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：$30$ 与 $45$ 的公倍数取 $90$，把这项工作看作 $90$ 份。甲每天做 $90\div 30=\underline{3}$（份），乙每天做 $90\div 45=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步（甲的在场天数与工作量）：甲实际做了 $24-4=\underline{20}$（天），完成 $3\times 20=\underline{60}$（份）。
    3. 第 3 步（乙的工作量）：$90-60=\underline{30}$（份）。
    4. 第 4 步：乙工作了 $30\div 2=\underline{15}$（天），休息了 $24-15=\underline{9}$（天）。
    最终答案：乙休息了 $9$ 天。
  74. 26. ch17-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步：把这面墙看作 $90$ 份。师傅每天刷 $90\div 30=\underline{3}$（份），徒弟每天刷 $90\div 45=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步：师傅实际刷了 $24-4=\underline{20}$（天），刷了 $3\times 20=\underline{60}$（份）。
    3. 第 3 步：徒弟刷了 $90-60=\underline{30}$（份）。
    4. 第 4 步：徒弟工作了 $30\div 2=\underline{15}$（天），休息了 $24-15=\underline{9}$（天）。
    最终答案：徒弟休息了 $9$ 天。
  75. 26. ch17-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步：把这项工作看作 $90$ 份，甲每天 $90\div 30=\underline{3}$（份），乙每天 $90\div 45=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步（乙的工作量）：乙做了 $24-9=\underline{15}$（天），完成 $2\times 15=\underline{30}$（份）。
    3. 第 3 步（甲的工作量）：$90-30=\underline{60}$（份），甲工作了 $60\div 3=\underline{20}$（天）。
    4. 第 4 步：甲休息了 $24-20=\underline{4}$（天）。
    最终答案：甲休息了 $4$ 天。
  76. 26. ch17-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步：把这项工作看作 $90$ 份，甲每天 $90\div 30=\underline{3}$（份），乙每天 $90\div 45=\underline{2}$（份），丙每天 $90\div 90=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步（甲、丙的工作量）：甲做 $24-4=\underline{20}$（天）完成 $3\times 20=\underline{60}$（份）；丙做 $24-6=\underline{18}$（天）完成 $1\times 18=\underline{18}$（份）。
    3. 第 3 步（乙的工作量）：$90-60-18=\underline{12}$（份）。
    4. 第 4 步：乙工作了 $12\div 2=\underline{6}$（天），休息了 $24-6=\underline{18}$（天）。
    最终答案：乙休息了 $18$ 天。
  77. 27. ch17-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：把这项工程看作 $240$ 份，则两队效率和为 $240\div 30=\underline{8}$（份/天）。
    2. 第 2 步（合作段的工作量）：共同做 $10$ 天完成 $8\times 10=\underline{80}$（份）；工程的一半是 $240\div 2=\underline{120}$（份）。
    3. 第 3 步（剥出乙单干段）：乙先做 $8$ 天完成 $120-80=\underline{40}$（份），所以乙每天做 $40\div 8=\underline{5}$（份）。
    4. 第 4 步（效率差）：甲每天做 $8-5=\underline{3}$（份）。
    5. 第 5 步：甲单独完成需要 $240\div 3=\underline{80}$（天）。
    最终答案：甲队单独完成需要 $80$ 天。
  78. 27. ch17-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步：把这批教材看作 $240$ 份，两厂效率和为 $240\div 30=\underline{8}$（份/天）。
    2. 第 2 步：共同印 $10$ 天印了 $8\times 10=\underline{80}$（份）；一半是 $240\div 2=\underline{120}$（份）。
    3. 第 3 步：乙厂先印的 $8$ 天印了 $120-80=\underline{40}$（份），乙厂每天印 $40\div 8=\underline{5}$（份）。
    4. 第 4 步：甲厂每天印 $8-5=\underline{3}$（份）。
    5. 第 5 步：甲厂单独需要 $240\div 3=\underline{80}$（天）。
    最终答案：甲厂单独印完需要 $80$ 天。
  79. 27. ch17-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步：把工程看作 $240$ 份，效率和为 $240\div 30=\underline{8}$（份/天）。
    2. 第 2 步：共同做 $10$ 天完成 $8\times 10=\underline{80}$（份），一半为 $240\div 2=\underline{120}$（份），故乙单干 $8$ 天完成 $120-80=\underline{40}$（份）。
    3. 第 3 步：乙每天做 $40\div 8=\underline{5}$（份），乙单独需要 $240\div 5=\underline{48}$（天）。
    最终答案：乙队单独完成需要 $48$ 天。
  80. 27. ch17-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步：把工程看作 $240$ 份，效率和 $240\div 30=\underline{8}$（份/天）。
    2. 第 2 步：共同做 $10$ 天完成 $8\times 10=\underline{80}$（份），一半为 $240\div 2=\underline{120}$（份），乙单干 $8$ 天完成 $120-80=\underline{40}$（份）。
    3. 第 3 步：乙每天 $40\div 8=\underline{5}$（份），甲每天 $8-5=\underline{3}$（份）。
    4. 第 4 步（剩余量单独完成）：剩下 $120$ 份由甲做，还需 $120\div 3=\underline{40}$（天）。
    最终答案：还需要 $40$ 天。
  81. 28. ch17-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：$8$ 与 $12$ 的公倍数取 $24$，把工程看作 $24$ 份。甲每小时做 $24\div 8=\underline{3}$（份），乙每小时做 $24\div 12=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步（一个周期）：甲、乙各做 $1$ 小时为一个周期，共 $2$ 小时，完成 $3+2=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步（走几个整周期）：$24$ 份里最多走 $4$ 个整周期，完成 $5\times 4=\underline{20}$（份），用时 $8$ 小时，还剩 $24-20=\underline{4}$（份）。
    4. 第 4 步（余量逐段分配）：接下来轮到甲，甲做 $1$ 小时完成 $3$ 份，还剩 $4-3=\underline{1}$（份）。
    5. 第 5 步：剩下的由乙做，需要 $1\div 2=\underline{0.5}$（小时）。
    6. 第 6 步（合计）：$8+1+0.5=\underline{9.5}$（小时）。
    最终答案：$9.5$ 小时（即 $9\frac{1}{2}$ 小时）。
  82. 28. ch17-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步：把满池水看作 $24$ 份。甲管每小时注 $24\div 8=\underline{3}$（份），乙管每小时注 $24\div 12=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步：一个周期（$2$ 小时）注入 $3+2=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步：走 $4$ 个整周期注入 $5\times 4=\underline{20}$（份），用时 $8$ 小时，还差 $24-20=\underline{4}$（份）。
    4. 第 4 步：接下来轮到甲管，开 $1$ 小时注 $3$ 份，还差 $4-3=\underline{1}$（份）。
    5. 第 5 步：这 $1$ 份由乙管注，需要 $1\div 2=\underline{0.5}$（小时）。
    6. 第 6 步：一共 $8+1+0.5=\underline{9.5}$（小时）。
    最终答案：$9.5$ 小时。
  83. 28. ch17-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步：把工程看作 $18$ 份。甲每小时 $18\div 9=\underline{2}$（份），乙每小时 $18\div 18=\underline{1}$（份）。
    2. 第 2 步：一个周期（乙 $1$ 小时 $+$ 甲 $1$ 小时，共 $2$ 小时）完成 $1+2=\underline{3}$（份）。
    3. 第 3 步：走 $5$ 个整周期完成 $3\times 5=\underline{15}$（份），用时 $10$ 小时，还剩 $18-15=\underline{3}$（份）。
    4. 第 4 步：接下来轮到乙，乙做 $1$ 小时完成 $1$ 份，还剩 $3-1=\underline{2}$（份）。
    5. 第 5 步：再由甲做 $2\div 2=\underline{1}$（小时）。
    6. 第 6 步：合计 $10+1+1=\underline{12}$（小时）。
    最终答案：$12$ 小时。
  84. 28. ch17-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步：$6$、$12$、$20$ 的公倍数取 $60$，把工程看作 $60$ 份。甲每小时 $60\div 6=\underline{10}$（份），乙每小时 $60\div 12=\underline{5}$（份），丙每小时 $60\div 20=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步（一个周期 $3$ 小时）：完成 $10+5+3=\underline{18}$（份）。
    3. 第 3 步：走 $3$ 个整周期完成 $18\times 3=\underline{54}$（份），用时 $9$ 小时，还剩 $60-54=\underline{6}$（份）。
    4. 第 4 步：接下来轮到甲，甲每小时 $10$ 份，剩下的 $6$ 份只需 $6\div 10=\underline{0.6}$（小时）。
    5. 第 5 步：合计 $9+0.6=\underline{9.6}$（小时）。
    最终答案：$9.6$ 小时。
  85. 29. ch17-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（设每人每天做 $1$ 份）：增加的 $8$ 人干了 $4$ 天，共 $8\times 4=\underline{32}$（份），这些正好补上原班人马少干的天数 $6-4=\underline{2}$（天）的工作量。
    2. 第 2 步（求原人数）：原人数 $=32\div 2=\underline{16}$（人）。
    3. 第 3 步（求总量）：$16\times 6=\underline{96}$（份）。
    4. 第 4 步（求现在人数与天数）：现在有 $16-4=\underline{12}$（人），需要 $96\div 12=\underline{8}$（天）。
    最终答案：需要 $8$ 天。
  86. 29. ch17-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（设每台每天割 $1$ 份）：多出的 $8$ 台干了 $4$ 天，共 $8\times 4=\underline{32}$（份），恰好补上原有台数少干的 $6-4=\underline{2}$（天）。
    2. 第 2 步：原有台数 $=32\div 2=\underline{16}$（台）。
    3. 第 3 步：草地总量 $16\times 6=\underline{96}$（份）。
    4. 第 4 步：现在有 $16-4=\underline{12}$（台），需要 $96\div 12=\underline{8}$（天）。
    最终答案：需要 $8$ 天。
  87. 29. ch17-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（设每人每天做 $1$ 份）：减少 $4$ 人后多干 $8-6=\underline{2}$（天）。留下的人多干这些天，补上了走掉的 $4$ 人原本要干的 $6$ 天，即 $4\times 6=\underline{24}$（份）。
    2. 第 2 步：留下的人数 $=24\div 2=\underline{12}$（人），所以原计划人数为 $12+4=\underline{16}$（人）。
    3. 第 3 步：工程总量为 $16\times 6=\underline{96}$（人·天）。
    最终答案：原计划 $16$ 人，工程总量为 $96$ 个「人·天」。
  88. 29. ch17-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步：增加的 $8$ 人干 $4$ 天共 $8\times 4=\underline{32}$（份），补上少干的 $6-4=\underline{2}$（天），故原人数 $32\div 2=\underline{16}$（人），总量 $16\times 6=\underline{96}$（份）。
    2. 第 2 步（分段一）：前 $3$ 天由 $16$ 人做，完成 $16\times 3=\underline{48}$（份），还剩 $96-48=\underline{48}$（份）。
    3. 第 3 步（分段二）：之后人数变为 $16+8=\underline{24}$（人），还需 $48\div 24=\underline{2}$（天）。
    4. 第 4 步：一共用 $3+2=\underline{5}$（天），比原计划提前 $6-5=\underline{1}$（天）。
    最终答案：一共用 $5$ 天，比原计划提前 $1$ 天。
  89. 30. ch17-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（统一单位）：设 $A$ 地为 $90$ 份，则 $B$ 地为 $90\times 2=\underline{180}$（份），两地共 $90+180=\underline{270}$（份）。
    2. 第 2 步（求效率）：甲每天植 $90\div 18=\underline{5}$（份），乙每天植 $180\div 45=\underline{4}$（份）。
    3. 第 3 步（两队全程都在干）：效率和 $5+4=\underline{9}$（份/天）。
    4. 第 4 步：所需天数 $270\div 9=\underline{30}$（天）。
    最终答案：$30$ 天。
  90. 30. ch17-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步：设 $A$ 段为 $90$ 份，则 $B$ 段为 $90\times 2=\underline{180}$（份），共 $90+180=\underline{270}$（份）。
    2. 第 2 步：甲每天铺 $90\div 18=\underline{5}$（份），乙每天铺 $180\div 45=\underline{4}$（份）。
    3. 第 3 步：效率和 $5+4=\underline{9}$（份/天）。
    4. 第 4 步：所需天数 $270\div 9=\underline{30}$（天）。
    最终答案：$30$ 天。
  91. 30. ch17-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步：设 $A$ 地为 $18$ 份，则 $B$ 地为 $18\times 3=\underline{54}$（份），共 $18+54=\underline{72}$（份）。
    2. 第 2 步：甲每天植 $18\div 18=\underline{1}$（份），乙每天植 $54\div 54=\underline{1}$（份）。
    3. 第 3 步：效率和 $1+1=\underline{2}$（份/天），所需天数 $72\div 2=\underline{36}$（天）。
    最终答案：$36$ 天。
  92. 30. ch17-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步：设 $A$ 地为 $90$ 份，$B$ 地为 $90\times 2=\underline{180}$（份），共 $90+180=\underline{270}$（份）；甲每天 $90\div 18=\underline{5}$（份），乙每天 $180\div 45=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步（总时间）：效率和 $5+4=\underline{9}$（份/天），全部完工需 $270\div 9=\underline{30}$（天）。
    3. 第 3 步（甲植完 $A$ 地的时刻）：甲用 $18$ 天植完 $A$ 地，这 $18$ 天乙植了 $4\times 18=\underline{72}$（份），两地合计已完成 $90+72=\underline{162}$（份）。
    4. 第 4 步（转移后的合作段）：还剩 $270-162=\underline{108}$（份），两队一起干还需 $108\div 9=\underline{12}$（天）。
    最终答案：两队在 $B$ 地又一起干了 $12$ 天。
  93. 31. ch17-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（设份数）：$6$ 与 $8$ 的公倍数取 $24$，把满池水看作 $24$ 份。进水管每小时进 $24\div 6=\underline{4}$（份），排水管每小时排 $24\div 8=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步（起点水量）：只开进水管的 $2$ 小时里注入 $4\times 2=\underline{8}$（份）。
    3. 第 3 步（目标与差额）：半池是 $24\div 2=\underline{12}$（份），还差 $12-8=\underline{4}$（份）。
    4. 第 4 步（净效率）：两管同开每小时净增 $4-3=\underline{1}$（份）。
    5. 第 5 步：还需 $4\div 1=\underline{4}$（小时）。
    最终答案：再过 $4$ 小时。
  94. 31. ch17-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步：把满仓看作 $24$ 份。进粮带每小时 $24\div 6=\underline{4}$（份），出粮带每小时 $24\div 8=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步：先进的 $2$ 小时装入 $4\times 2=\underline{8}$（份）。
    3. 第 3 步：半仓是 $24\div 2=\underline{12}$（份），还差 $12-8=\underline{4}$（份）。
    4. 第 4 步：同时开每小时净增 $4-3=\underline{1}$（份）。
    5. 第 5 步：还需 $4\div 1=\underline{4}$（小时）。
    最终答案：再过 $4$ 小时。
  95. 31. ch17-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步：把满池看作 $24$ 份，进水管每小时 $24\div 6=\underline{4}$（份），排水管每小时 $24\div 8=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步：先进的 $3$ 小时注入 $4\times 3=\underline{12}$（份），还差 $24-12=\underline{12}$（份）。
    3. 第 3 步：两管同开每小时净增 $4-3=\underline{1}$（份），还需 $12\div 1=\underline{12}$（小时）。
    最终答案：再过 $12$ 小时。
  96. 31. ch17-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步：把满池看作 $24$ 份，进水管每小时 $24\div 6=\underline{4}$（份），排水管每小时 $24\div 8=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步：先进的 $2$ 小时注入 $4\times 2=\underline{8}$（份）。
    3. 第 3 步（目标量）：满池的 $\frac{3}{4}$ 是 $24\times 3/4=\underline{18}$（份），还差 $18-8=\underline{10}$（份）。
    4. 第 4 步：净效率 $4-3=\underline{1}$（份/时），还需 $10\div 1=\underline{10}$（小时）。
    5. 第 5 步（总时间）：$2+10=\underline{12}$（小时）。
    最终答案：再过 $10$ 小时；从开始算起一共 $12$ 小时。
  97. 32. ch17-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（求徒弟原定报酬）：两名徒弟平分剩下的钱，每人 $(4800-3200)\div 2=\underline{800}$（元）。
    2. 第 2 步（报酬比就是效率比）：师傅与一名徒弟的效率之比为 $3200\div 800=\underline{4}$，即 $4:1$。
    3. 第 3 步（按比例分配）：实际只有师傅与一名徒弟干活，总份数为 $4+1=\underline{5}$（份），师傅占 $4$ 份。
    4. 第 4 步：师傅实际得 $4800\div 5\times 4=\underline{3840}$（元）。
    最终答案：师傅实际应得 $3840$ 元。
  98. 32. ch17-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步：两名小工平分剩下的钱，每人 $(4800-3200)\div 2=\underline{800}$（元）。
    2. 第 2 步：大工与一名小工的效率之比为 $3200\div 800=\underline{4}$，即 $4:1$。
    3. 第 3 步：实际干活的两人共 $4+1=\underline{5}$（份）。
    4. 第 4 步：大工实际得 $4800\div 5\times 4=\underline{3840}$（元）。
    最终答案：大工实际应得 $3840$ 元。
  99. 32. ch17-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步：每名徒弟原定得 $(4800-3200)\div 2=\underline{800}$（元），师傅与一名徒弟的效率比为 $3200\div 800=\underline{4}$，即 $4:1$。
    2. 第 2 步：实际两人共 $4+1=\underline{5}$（份），徒弟占 $1$ 份。
    3. 第 3 步：徒弟实际得 $4800\div 5\times 1=\underline{960}$（元）。
    最终答案：那名徒弟实际得到 $960$ 元。
  100. 32. ch17-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步：三名徒弟平分剩下的钱，每人 $(6000-3000)\div 3=\underline{1000}$（元）。
    2. 第 2 步（效率比）：师傅与一名徒弟的效率比为 $3000\div 1000=\underline{3}$，即 $3:1$；实际干活的是师傅与两名徒弟，比为 $3:1:1$。
    3. 第 3 步：总份数 $3+1+1=\underline{5}$（份），每份 $6000\div 5=\underline{1200}$（元）。
    4. 第 4 步：师傅得 $1200\times 3=\underline{3600}$（元），每名徒弟得 $1200\times 1=\underline{1200}$（元）。
    最终答案：师傅实际得 $3600$ 元，每名参加工作的徒弟各得 $1200$ 元。