竞赛数学 · 五年级 第18讲《牛吃草问题与钟表问题》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch18-chaoyue-01】第一、二、三号牧场的面积依次为 $3$ 公顷、$5$ 公顷、$7$ 公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快。有两群牛，第一群牛 $2$ 天将一号牧场的草吃完，又用 $5$ 天将二号牧场的草吃完。在这 $7$ 天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有 $15$ 头，那么第二群牛有多少头？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」中的多块牧场型：三块面积不同的牧场，草的密度与生长速度相同，需先按面积把条件化到同一块地上。
关键切入点：第一群牛先花 $2$ 天吃完 $3$ 公顷，再花 $5$ 天吃完 $5$ 公顷——注意二号牧场在这 $7$ 天里一直在长草，所以它的 $75$ 份里含的是 $7$ 天的生长量，而按面积折算来的 $50$ 份里只含 $2$ 天的生长量。这一「天数不同」正是差量法的入口。
方法概述：按面积统一 → 差量法求 $5$ 公顷的生长量与原有量 → 再按面积折到 $7$ 公顷 → 求第二群牛数。
规范步骤：
  1. 把一号条件折到 $5$ 公顷：$15\div 3=5$（头/公顷），$5\times 5=25$（头）吃 $2$ 天，共 $25\times 2=50$（份）（面积成正比）
  2. 二号牧场的吃草量：$15\times 5=75$（份），含 $7$ 天生长量（先长了 $2$ 天再被吃 $5$ 天）
  3. 差量法求 $5$ 公顷每天生长量：$(75-50)\div(7-2)=5$（份）（生长天数之差）
  4. 求 $5$ 公顷原有草量：$50-5\times 2=40$（份）（扣掉 $2$ 天生长量）
  5. 折到 $7$ 公顷：生长 $5\div 5\times 7=7$（份/天），原有 $40\div 5\times 7=56$（份）（面积成正比）
  6. 第二群牛 $7$ 天要吃掉的草：$56+7\times 7=105$（份）（原有＋$7$ 天生长）
  7. 求牛数：$105\div 7=15$（头）（总量÷天数）
第一套
题目：第一、二、三号牧场的面积依次为 $4$ 公顷、$6$ 公顷、$12$ 公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快。有两群牛，第一群牛 $3$ 天将一号牧场的草吃完，又用 $5$ 天将二号牧场的草吃完。在这 $8$ 天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有 $20$ 头，那么第二群牛有多少头？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把一号条件折到 $6$ 公顷）：$4$ 公顷供 $20$ 头牛吃 $3$ 天，则 $6$ 公顷供 $20\times 6\div 4$ 头牛吃 $3$ 天，共 $20\times 6\div 4\times 3=\underline{\quad}$（份），其中含 $3$ 天生长量。
  2. 第 2 步（二号牧场）：$20\times 5=\underline{\quad}$（份），其中含 $8$ 天生长量（先长 $3$ 天再被吃 $5$ 天）。
  3. 第 3 步（差量法求 $6$ 公顷每天生长量）：$(100-90)\div(8-3)=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求 $6$ 公顷原有草量）：$90-2\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步（按面积折到 $12$ 公顷）：每天生长 $2\times 12\div 6=\underline{\quad}$（份），原有 $84\times 12\div 6=\underline{\quad}$（份）。
  6. 第 6 步（第二群牛 $8$ 天要吃掉的草）：$168+4\times 8=\underline{\quad}$（份）。
  7. 第 7 步（求牛数）：$200\div 8=\underline{\quad}$（头）。
第二套
题目：一、二、三号鱼塘的面积依次为 $4$ 公顷、$6$ 公顷、$12$ 公顷，三个鱼塘的水草一样密、长得一样快。有两群鱼，第一群鱼 $3$ 天把一号鱼塘的水草吃完，又用 $5$ 天把二号鱼塘的水草吃完。在这 $8$ 天里，第二群鱼刚好把三号鱼塘的水草吃完。如果第一群鱼有 $20$ 条，那么第二群鱼有多少条？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折到 $6$ 公顷）：$20\times 6\div 4\times 3=\underline{\quad}$（份），含 $3$ 天生长量。
  2. 第 2 步（二号鱼塘）：$20\times 5=\underline{\quad}$（份），含 $8$ 天生长量。
  3. 第 3 步（差量法）：$(100-90)\div(8-3)=\underline{\quad}$（份/天）。
  4. 第 4 步（原有量）：$90-2\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步（折到 $12$ 公顷）：生长 $2\times 12\div 6=\underline{\quad}$（份/天），原有 $84\times 12\div 6=\underline{\quad}$（份）。
  6. 第 6 步：$168+4\times 8=\underline{\quad}$（份）。
  7. 第 7 步：$200\div 8=\underline{\quad}$（条）。
第三套
题目：一、二号牧场的面积分别为 $4$ 公顷与 $6$ 公顷，草一样密、长得一样快。第一群牛（共 $20$ 头）$3$ 天把一号牧场吃完，又用 $5$ 天把二号牧场吃完。请问：如果一开始就在二号牧场上放 $9$ 头牛，多少天能把二号牧场的草吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折到 $6$ 公顷）：$20\times 6\div 4\times 3=\underline{\quad}$（份），含 $3$ 天生长量。
  2. 第 2 步（二号牧场）：$20\times 5=\underline{\quad}$（份），含 $8$ 天生长量。
  3. 第 3 步（差量法）：$(100-90)\div(8-3)=\underline{\quad}$（份/天）。
  4. 第 4 步（原有量）：$90-2\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步（原有量÷净消耗）：$84\div(9-2)=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一、二、三号牧场的面积依次为 $4$ 公顷、$6$ 公顷、$12$ 公顷，草一样密、长得一样快。第一群牛（$20$ 头）$3$ 天吃完一号牧场，又用 $5$ 天吃完二号牧场；这 $8$ 天里第二群牛刚好吃完三号牧场。请问：（1）在三号牧场上最多放多少头牛，草才永远吃不完？（2）第二群牛有多少头？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折到 $6$ 公顷）：$20\times 6\div 4\times 3=\underline{\quad}$（份），二号牧场 $20\times 5=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（差量法）：每天生长 $(100-90)\div(8-3)=\underline{\quad}$（份），原有 $90-2\times 3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问，折到 $12$ 公顷）：每天生长 $2\times 12\div 6=\underline{\quad}$（份），即最多放这么多头牛。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：$12$ 公顷原有 $84\times 12\div 6=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：$(168+4\times 8)\div 8=\underline{\quad}$（头）。
2. 【原题 ch18-chaoyue-02】钟面上会出现时针与分针重合的情况，也会出现时针与分针关于钟面南北（左右）对称的情况，请问：（1）距 $5$ 点最近的"时针与分针重合"的时刻是几点几分？（2）距 $5$ 点最近的"时针与分针左右对称"的时刻是几点几分？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」的综合型：一问是常规追及（重合），一问是左右对称——后者要用「虚拟针（角平分线）」或等价的位置和条件。
关键切入点：「距 $5$ 点最近」意味着 $5$ 点前后两个候选都要算再比较。左右对称是关于 $12$—$6$ 这条竖直轴对称，用位置刻画就是：分针位置＋时针位置 $=60$ 格（或 $120$ 格）。$4$ 点 $t$ 分时 $t+20+\frac{t}{12}=60$，解得 $t=36\frac{12}{13}$，它距 $5$ 点约 $23$ 分，比 $5$ 点之后的对称时刻更近。
方法概述：重合用追及；对称用「两针位置之和为 $60$ 格」；「最近」要前后各算一个再比较。
规范步骤：
  1. 第 (1) 问：$5$ 点整的差距：$5\times 5=25$（格）（分针落后时针）
  2. 追及时间：$25\div\frac{11}{12}=\frac{300}{11}=27\frac{3}{11}$（分钟）（重合）
  3. 第 (2) 问：写出对称条件：$4$ 点 $t$ 分时 $t+\left(20+\frac{t}{12}\right)=60$（关于 $12$—$6$ 轴对称）
  4. 解出 $t$：$\frac{13}{12}t=40$，$t=\frac{480}{13}=36\frac{12}{13}$（路程和÷速度和）
  5. 比较远近：该时刻距 $5$ 点 $23\frac{1}{13}$ 分，比 $5$ 点之后的对称时刻更近（两侧比较）
第一套
题目：请问：（1）距 $7$ 点最近的「时针与分针重合」的时刻是几点几分？（2）距 $7$ 点最近的「时针与分针左右对称」的时刻是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$7$ 点之前的重合，在 $6$ 点多）：$6$ 点整分针落后 $5\times 6=\underline{\quad}$（格），追及时间 $30\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），即 $6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分，它距 $7$ 点 $60-\frac{360}{11}=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（$7$ 点之后的重合）：$7$ 点整分针落后 $5\times 7=\underline{\quad}$（格），追及时间 $35\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），距 $7$ 点约 $38.2$ 分。
  3. 第 3 步（比较）：$\frac{300}{11}<\frac{420}{11}$，所以第 (1) 问答案是 $6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分。
  4. 第 4 步（第 (2) 问，写出对称条件）：设 $7$ 点 $t$ 分左右对称，分针在 $t$ 格、时针在 $35+\frac{t}{12}$ 格，两者位置之和为 $60$ 格，即 $\frac{13}{12}t=60-35=\underline{\quad}$（格）。
  5. 第 5 步（解出 $t$）：$25\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟），它距 $7$ 点只有约 $23.1$ 分，比 $7$ 点之前的对称时刻更近。
第二套
题目：小高盯着客厅的挂钟研究指针。请问：（1）距 $7$ 点最近的「两针重合」的时刻是几点几分？（2）距 $7$ 点最近的「两针关于钟面竖直方向左右对称」的时刻是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$7$ 点前的重合）：$6$ 点整分针落后 $5\times 6=\underline{\quad}$（格），$30\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），距 $7$ 点 $60-\frac{360}{11}=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（$7$ 点后的重合）：$5\times 7=\underline{\quad}$（格），$35\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（比较后取近的）：第 (1) 问答案是 $6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分。
  4. 第 4 步（对称条件）：$\frac{13}{12}t=60-35=\underline{\quad}$（格）。
  5. 第 5 步：$25\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：请问：距 $7$ 点最近的「时针与分针成一条直线」的时刻是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$7$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 7=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（目标位置）：成一条直线即相差 $180\div 6=\underline{\quad}$（格），追及路程 $35-30=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（追及时间）：$5\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），即 $7$ 点 $5\frac{5}{11}$ 分；而 $7$ 点之前最近的成直线时刻是 $6$ 点整，距 $7$ 点整整 $60$ 分，所以取前者。
第三套
题目：请问：距 $7$ 点最近的（1）「两针重合」、（2）「两针左右对称」、（3）「两针成一条直线」的时刻分别是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问，$7$ 点前的重合）：$6$ 点整分针落后 $5\times 6=\underline{\quad}$（格），$30\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），距 $7$ 点 $60-\frac{360}{11}=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（$7$ 点后的重合）：$5\times 7=\underline{\quad}$（格），$35\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），比上面远，故取 $6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分。
  3. 第 3 步（第 (2) 问，对称条件）：$\frac{13}{12}t=60-35=\underline{\quad}$（格），$25\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（第 (3) 问，成直线）：相差 $180\div 6=\underline{\quad}$（格），追及 $35-30=\underline{\quad}$（格），$5\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
3. 【原题 ch18-chaoyue-03】现在的时间在 $10$ 点到 $11$ 点之间，如果在 $6$ 分钟后表的分针的位置恰好与 $3$ 分钟前时针的位置方向相反，那么现在的时间是几点几分？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的错位条件型：条件里比较的是「几分钟后的分针」与「几分钟前的时针」，要先把它们搬到同一时刻。
关键切入点：以「$3$ 分钟前」那一刻为基准：$6$ 分钟后的分针比 $3$ 分钟前的分针多走 $6+3=9$ 格。方向相反意味着这两根针（$6$ 分后的分针与 $3$ 分前的时针）相差 $30$ 格，于是 $3$ 分钟前的分针比当时的时针超前 $30-9=21$ 格。这样条件就落到同一时刻上，可以做追及了。
方法概述：把错位的两根针搬到同一时刻 → 得到该时刻的格数差 → 用追及求出该时刻 → 再加回时差。
规范步骤：
  1. 两根分针的位置差：$6+3=9$（格）（$6$ 分钟后与 $3$ 分钟前）
  2. 转成同一时刻的格数差：$30-9=21$（格）（方向相反即相差 $30$ 格）
  3. 从 $10$ 点起的追及路程：$21-10=11$（格）（$10$ 点整时分针已「超前」时针 $10$ 格（绕圈看），要变成超前 $21$ 格）
  4. 追及时间：$11\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=12$（分钟）（得 $3$ 分钟前是 $10$ 点 $12$ 分）
  5. 回到现在：$12+3=15$，即 $10$ 点 $15$ 分（加回时差）
第一套
题目：现在的时间在 $11$ 点到 $12$ 点之间，如果在 $8$ 分钟后表的分针的位置恰好与 $6$ 分钟前时针的位置方向相反，那么现在的时间是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两根分针的位置差）：$8$ 分钟后的分针比 $6$ 分钟前的分针多走 $8+6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（搬到同一时刻）：方向相反即相差 $30$ 格，所以「$6$ 分钟前」那一刻，分针落后当时的时针 $14+30=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（$11$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 11=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（追及路程与时间）：$55-44=\underline{\quad}$（格），$11\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），即「$6$ 分钟前」是 $11$ 点 $12$ 分。
  5. 第 5 步（回到现在）：$12+6=\underline{\quad}$，即 $11$ 点 $18$ 分。
第二套
题目：墨莫在 $11$ 点到 $12$ 点之间做作业。他发现：$8$ 分钟后手表分针的位置，恰好与 $6$ 分钟前时针的位置方向相反。那么此刻是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两根分针的位置差）：$8+6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（搬到同一时刻）：$14+30=\underline{\quad}$（格），即「$6$ 分钟前」分针落后当时的时针这么多格。
  3. 第 3 步（$11$ 点整差距）：$5\times 11=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（追及）：$55-44=\underline{\quad}$（格），$11\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步（回到现在）：$12+6=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：现在的时间在 $9$ 点到 $10$ 点之间，如果在 $4$ 分钟后表的分针的位置恰好与 $8$ 分钟前时针的位置重合，那么现在的时间是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两根分针的位置差）：$4$ 分钟后的分针比 $8$ 分钟前的分针多走 $4+8=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（搬到同一时刻）：重合即相差 $0$ 格，所以「$8$ 分钟前」那一刻分针落后当时的时针恰好这 $12$ 格。
  3. 第 3 步（$9$ 点整差距）：$5\times 9=\underline{\quad}$（格），追及路程 $45-12=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（追及时间）：$33\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），即「$8$ 分钟前」是 $9$ 点 $36$ 分。
  5. 第 5 步（回到现在）：$36+8=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：现在的时间在 $11$ 点到 $12$ 点之间，$8$ 分钟后表的分针的位置恰好与 $6$ 分钟前时针的位置方向相反。请问：（1）现在是几点几分？（2）从现在起再过多少分钟，时针与分针第一次重合？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$8$ 分钟后的分针比 $6$ 分钟前的分针多走 $8+6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步：方向相反即相差 $30$ 格，「$6$ 分钟前」分针落后当时时针 $14+30=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步：$11$ 点整分针落后 $5\times 11=\underline{\quad}$（格），追及路程 $55-44=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步：$11\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），故「$6$ 分钟前」是 $11$ 点 $12$ 分，现在是 $11$ 点 $12+6=\underline{\quad}$ 分。
  5. 第 5 步（第 (2) 问）：$11$ 点后两针重合要追 $55$ 格，$55\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），即 $12$ 点整；从现在起还要 $60-18=\underline{\quad}$（分钟）。
4. 【原题 ch18-chaoyue-04】某工厂的一只不准的时钟需要 $69$ 分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。工人每天的正常工作时间是 $8$ 小时，在此期间内，每工作一小时付给工资 $4$ 元，如果超出规定时间就算加班，加班每小时付给工资 $6$ 元。如果一个工人照此钟工作 $8$ 小时，他实际上应得到工资多少元？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」与工程计费的综合型：先由「重合一次要多久」判断这只钟走得快慢，再按比例把钟面时间换成标准时间，最后分段计费。
关键切入点：准确的钟两针重合一次要 $\frac{720}{11}=65\frac{5}{11}$ 分钟；这只不准的钟却要 $69$ 分钟（标准）才重合一次，说明它走得慢：它自己走 $65\frac{5}{11}$ 分钟，实际已过去 $69$ 分钟。于是照此钟工作 $8$ 小时，实际工作了 $8\frac{13}{30}$ 小时，多出的部分算加班。
方法概述：求准钟的重合周期 → 得出钟面时间与标准时间的比 → 换算 → 分段计费。
规范步骤：
  1. 准钟的重合周期：$60\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\frac{720}{11}=65\frac{5}{11}$（分钟）（追及一整圈）
  2. 建立比例：这只钟的 $\frac{720}{11}$ 分钟 $=$ 标准 $69$ 分钟（钟走得慢）
  3. 换算 $8$ 小时：$8\div\frac{720}{11}\times 69=\frac{253}{30}=8\frac{13}{30}$（小时）（按比例放大）
  4. 加班时间：$8\frac{13}{30}-8=\frac{13}{30}$（小时）（超出 $8$ 小时的部分）
  5. 计算工资：$4\times 8+6\times\frac{13}{30}=32+2\frac35=34\frac35$（元）（分段计费）
第一套
题目：某工厂的一只不准的时钟需要 $72$ 分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。工人每天的正常工作时间是 $8$ 小时，在此期间内每工作一小时付给工资 $5$ 元，超出规定时间就算加班，加班每小时付给工资 $8$ 元。如果一个工人照此钟工作 $8$ 小时，他实际上应得到工资多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（准钟的重合周期）：分针要追上时针一整圈，$60\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（建立比例）：这只钟走 $\frac{720}{11}$ 分钟，标准时间已过 $72$ 分钟，所以照此钟工作 $8$ 小时，实际是 $8\div\frac{720}{11}\times 72=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（加班时间）：$8.8-8=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（分段计费）：正常工资 $5\times 8=\underline{\quad}$（元），加班工资 $8\times 0.8=\underline{\quad}$（元）。
  5. 第 5 步（合计）：$40+6.4=\underline{\quad}$（元）。
第二套
题目：某快递站的一只不准的挂钟需要 $72$ 分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。分拣员每天的正常工作时间是 $8$ 小时，正常时段每小时报酬 $5$ 元，超时算加班，加班每小时 $8$ 元。如果一位分拣员照这只挂钟工作了 $8$ 小时，他实际应得报酬多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（准钟重合周期）：$60\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（换算实际时间）：$8\div\frac{720}{11}\times 72=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（加班时间）：$8.8-8=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步：正常 $5\times 8=\underline{\quad}$（元），加班 $8\times 0.8=\underline{\quad}$（元）。
  5. 第 5 步：$40+6.4=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：某工厂的一只不准的时钟需要 $72$ 分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。请问：照这只钟工作 $8$ 小时，实际上是标准时间的多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（准钟的重合周期）：$60\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（按比例换算）：$8\div\frac{720}{11}\times 72=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：某工厂的一只不准的时钟需要 $72$ 分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。工人正常工作 $8$ 小时，每小时 $5$ 元；加班每小时原为 $8$ 元，现在提高到 $10$ 元。请问：（1）照此钟工作 $8$ 小时，实际是标准时间多少小时？（2）加班多少小时？（3）按新的加班费率，工人应得工资多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（准钟重合周期）：$60\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：$8\div\frac{720}{11}\times 72=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：$8.8-8=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（第 (3) 问）：正常 $5\times 8=\underline{\quad}$（元），加班 $10\times 0.8=\underline{\quad}$（元）。
  5. 第 5 步（合计）：$40+8=\underline{\quad}$（元）。
5. 【原题 ch18-chaoyue-05】有两面旧钟，分别对它们进行观测，发现一面钟的分针与时针重合一次用 $64$ 分钟，另一面钟的分针与时针重合一次用 $66$ 分钟，现在把两面钟都在标准时间 $0{:}00$ 校准。试问：当它们再次出现在钟面上同一位置，且分针与时针重合（不一定都指向 $12$ 点），是几天几小时几分钟之后？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」与最小公倍数的综合型：两面旧钟的重合周期不同，要找它们「同时重合且回到同一位置」的时刻。
关键切入点：两面钟各自的重合周期是 $64$ 与 $66$ 分钟，$[64,66]=2112$，每过 $2112$ 分钟两面钟都恰好重合。但「重合」不等于「回到同一位置」——准钟一昼夜里两针重合 $11$ 次一循环，所以还要求两面钟的重合次数之差是 $11$ 的倍数。每过 $2112$ 分钟两者重合次数相差 $33-32=1$ 次，故要经过 $11$ 个这样的周期。
方法概述：先求重合周期的最小公倍数，再用「次数差为 $11$ 的倍数」定出需要多少个周期。
规范步骤：
  1. 求最小公倍数：$[64,66]=2112$（分钟）（两面钟同时重合）
  2. 各自的重合次数：$2112\div 64=33$（次），$2112\div 66=32$（次）（周期数）
  3. 次数差与周期数：每 $2112$ 分钟相差 $33-32=1$ 次，需相差 $11$ 次（回到同一位置）
  4. 求总时间：$2112\times 11=23232$（分钟）
  5. 化成天时分：$23232=16\times 1440+3\times 60+12$，即 $16$ 天 $3$ 小时 $12$ 分
6. 【原题 ch18-chaoyue-06】王老师有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走 $30$ 秒，但闹钟却比标准时间每小时慢 $30$ 秒。在今天中午 $12$ 点王老师把手表和标准时间校准，那么明天中午 $12$ 点时，王老师的手表显示的时间是几点几分几秒？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的速度比连乘型：手表相对闹钟的快慢、闹钟相对标准的快慢，要相乘才得到手表相对标准的快慢。
关键切入点：常见错误是把 $+30$ 秒与 $-30$ 秒直接抵消，认为手表就是准的。其实两个比要相乘：$\left(1+\frac{1}{120}\right)\times\left(1-\frac{1}{120}\right)=1-\frac{1}{120^2}$，比 $1$ 略小，所以手表比标准时间慢一点点。
方法概述：把每一级快慢写成速度比，逐级相乘得总比，再乘上经过的标准时间。
规范步骤：
  1. 手表与闹钟的速度比：$\frac{3600+30}{3600}=1+\frac{1}{120}$（每小时多 $30$ 秒）
  2. 闹钟与标准的速度比：$\frac{3600-30}{3600}=1-\frac{1}{120}$（每小时慢 $30$ 秒）
  3. 手表与标准的速度比：$\left(1+\frac{1}{120}\right)\left(1-\frac{1}{120}\right)=1-\frac{1}{120^2}$（逐级相乘）
  4. 一天慢多少秒：$\frac{24\times 3600}{14400}=6$（秒）（总秒数×慢的比例）
  5. 写出显示时间：$12$ 点前 $6$ 秒，即 $11$ 点 $59$ 分 $54$ 秒
第一套
题目：王老师有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走 $60$ 秒，但闹钟却比标准时间每小时慢 $60$ 秒。在今天中午 $12$ 点王老师把手表和标准时间校准，那么明天中午 $12$ 点时，王老师的手表显示的时间是几点几分几秒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（手表与闹钟的速度比）：$\frac{3600+60}{3600}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（闹钟与标准的速度比）：$\frac{3600-60}{3600}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（逐级相乘得手表与标准的速度比）：$\frac{61}{60}\times\frac{59}{60}=\underline{\quad}$，比 $1$ 小，说明手表比标准慢。
  4. 第 4 步（一天慢多少秒）：一天共 $24\times 3600$ 秒，慢的比例是 $\frac{1}{3600}$，$24\times 3600\div 3600=\underline{\quad}$（秒）。
  5. 第 5 步（写出显示时间）：比 $12$ 点差 $24$ 秒，即 $11$ 点 $59$ 分 $60-24=\underline{\quad}$ 秒。
第二套
题目：卡莉娅有一只电子表和一个厨房定时钟。她发现定时钟每走一个小时，电子表会多走 $60$ 秒；而定时钟比标准时间每小时慢 $60$ 秒。今天中午 $12$ 点她把电子表对准标准时间，那么明天中午 $12$ 点时电子表显示几点几分几秒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（电子表与定时钟的速度比）：$\frac{3600+60}{3600}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（定时钟与标准的速度比）：$\frac{3600-60}{3600}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相乘）：$\frac{61}{60}\times\frac{59}{60}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（一天慢多少秒）：$24\times 3600\div 3600=\underline{\quad}$（秒）。
  5. 第 5 步：$11$ 点 $59$ 分 $60-24=\underline{\quad}$ 秒。
第三套
题目：某闹钟每走一小时，与它相连的手表会多走 $60$ 秒；而闹钟比标准时间每小时慢 $60$ 秒。请问：当标准时间走过 $12$ 小时后，手表比标准时间慢了多少秒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（手表与闹钟的速度比）：$\frac{3600+60}{3600}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（闹钟与标准的速度比）：$\frac{3600-60}{3600}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相乘）：$\frac{61}{60}\times\frac{59}{60}=\underline{\quad}$，说明每过 $1$ 秒手表就慢 $\frac{1}{3600}$ 秒。
  4. 第 4 步（$12$ 小时共慢多少秒）：$12\times 3600\div 3600=\underline{\quad}$（秒）。
第三套
题目：闹钟每走一小时手表多走 $60$ 秒，闹钟比标准时间每小时慢 $60$ 秒。中午 $12$ 点把手表对准标准时间。请问：（1）一天之后手表比标准时间慢多少秒？（2）此时手表显示几点几分几秒？（3）照这样下去，多少天后手表比标准时间慢满 $2$ 分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：手表与闹钟的速度比 $\frac{3600+60}{3600}=\underline{\quad}$，闹钟与标准的速度比 $\frac{3600-60}{3600}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（相乘）：$\frac{61}{60}\times\frac{59}{60}=\underline{\quad}$，即每过 $1$ 秒慢 $\frac{1}{3600}$ 秒。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：$24\times 3600\div 3600=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：$11$ 点 $59$ 分 $60-24=\underline{\quad}$ 秒。
  5. 第 5 步（第 (3) 问）：$2$ 分钟 $=120$ 秒，$60\times 2\div 24=\underline{\quad}$（天）。
7. 【原题 ch18-chaoyue-07】如图 $18\text{-}3$ 所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分。已知草一开始是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长。但如果某块地上的草被吃光，就不再生长（因为草根也被吃掉了）。老农先带着一群牛在 $1$ 号草地上吃草，两天后把 $1$ 号全部吃完（这期间其他草地的草正常生长）。之后他让一半牛在 $2$ 号草地上吃草，另一半在 $3$ 号草地上吃草，结果又过了 $6$ 天，这两个草地上的草也全部吃完。最后，老农把 $\frac{3}{5}$ 的牛放在阴影草地上吃草，而剩下的牛放在 $4$ 号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃完。如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少天？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」与图形分块的综合型：各块草地面积不同、被吃光的时间不同，需要用「一块长方形草地」作单位来统一。
关键切入点：设牛有 $n$ 头、每头每天吃 $1$ 份。$1$ 号地被吃 $2$ 天，用掉「原草量＋$2$ 天长草量」$=2n$；$2$、$3$ 号地先长了 $2$ 天再被吃 $6$ 天，用掉「原草量＋$8$ 天长草量」$=3n$。两式相减即得一块地的日生长量。阴影面积由「同时吃完」推出，最后把整块地折成长方形地的倍数。
方法概述：以一块长方形地为单位 → 差量法求日生长量与原草量 → 由同时吃完定阴影面积 → 折算整块地。
规范步骤：
  1. $1$ 号地：原草量 $+\,2$ 天长草量 $=2n$（被吃 $2$ 天）
  2. $2$、$3$ 号地：原草量 $+\,8$ 天长草量 $=\frac{n}{2}\times 6=3n$（先长 $2$ 天再被吃 $6$ 天）
  3. 日生长量：$(3n-2n)\div(8-2)=\frac{1}{6}n$（差量法）
  4. 一块地的原草量：$2n-\frac{1}{6}n\times 2=\frac{5}{3}n$（扣掉 $2$ 天生长）
  5. 阴影面积：$\frac{3}{5}\div\left(1-\frac{3}{5}\right)=\frac{3}{2}$（块）（同时吃完⟹牛数与面积成正比）
  6. 整块地折算：$1+1+1+1+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$（块）（四块加阴影）
  7. 整块地的原草量与日生长量：$\frac{5}{3}n\times\frac{11}{2}=\frac{55}{6}n$，$\frac{1}{6}n\times\frac{11}{2}=\frac{11}{12}n$（按面积成正比）
  8. 求天数：$\frac{55}{6}n\div\left(n-\frac{11}{12}n\right)=110$（天）（原草量÷净消耗）
8. 【原题 ch18-chaoyue-08】有一只表没有秒针，而且时针和分针无法辨别。在多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间，但有时也会出现两种可能，使你判断不出正确的时间。请问：从中午 $12$ 时到夜里 $12$ 时这段时间会遇到多少次无法判断的情况？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的指针互换计数型：要统计一段时间里「把时针分针互换后仍是合法时刻」的情况有多少次。
关键切入点：想象两组指针：一组是真实的时针分针，另一组是把它们互换后得到的「虚拟」指针。互换后仍合法，等价于第二组的分针（速度是正常时针的 $144$ 倍）与第一组的时针重合。从中午 $12$ 时到夜里 $12$ 时，第一组时针转 $1$ 圈、第二组分针转 $144$ 圈，共重合 $144$ 次；其中两针真正重合的 $12$ 次并不会造成歧义，要扣掉。
方法概述：把「互换后仍合法」转成两根虚拟指针的重合计数，再扣掉真正重合的情况。
规范步骤：
  1. 两组指针的转速关系：第二组分针的转速是正常时针的 $12\times 12=144$ 倍（互换后时针以 $12$ 倍速走）
  2. 半天内的重合次数：$144$ 圈对 $1$ 圈，共重合 $144$ 次（含首尾两个 $12$ 点）
  3. 扣掉真正重合的时刻：$144-12=132$（次）（两针重合时不会产生歧义）
9. 【原题 ch18-tuozhan-01】有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养 $18$ 头牛，那么 $10$ 天能把草吃完；如果放养 $24$ 头牛，$7$ 天把草吃完。请问：（1）放养 $32$ 头牛，多少天可吃完？（2）要放养多少头牛，才能恰好 $14$ 天吃完？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」的标准两问型：由两组方案求生长量与原有量，再分别求天数与牛数。
关键切入点：设一头牛一天吃 $1$ 份。$18$ 头牛 $10$ 天与 $24$ 头牛 $7$ 天吃掉的总量之差，恰是多出的 $3$ 天里长出的草；求出每天生长 $4$ 份后，回代得原有 $140$ 份。此后「求天数」用原有量÷净消耗，「求牛数」用总量÷天数。
方法概述：差量法定出生长量与原有量，再按所问方向作一次除法。
规范步骤：
  1. 两方案总吃草量：$18\times 10=180$（份），$24\times 7=168$（份）（牛数×天数）
  2. 作差求每天生长量：$(180-168)\div(10-7)=4$（份）（差量法）
  3. 求原有草量：$180-4\times 10=140$（份）（总量扣生长量）
  4. 第 (1) 问：$140\div(32-4)=5$（天）（原有量÷净消耗）
  5. 第 (2) 问：$(140+4\times 14)\div 14=14$（头）（总量÷天数）
第一套
题目：有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果放养 $26$ 头牛，$15$ 天能把草吃完；如果放养 $31$ 头牛，$12$ 天把草吃完。请问：（1）放养 $56$ 头牛，多少天可吃完？（2）要放养多少头牛，才能恰好 $20$ 天吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每头牛每天吃 $1$ 份。两方案总吃草量为 $26\times 15=\underline{\quad}$（份）与 $31\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（差量法）：$(390-372)\div(15-12)=\underline{\quad}$（份），即每天生长这么多。
  3. 第 3 步（求原有量）：$390-6\times 15=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（第 (1) 问）：$56$ 头牛每天净吃 $56-6$ 份，$300\div(56-6)=\underline{\quad}$（天）。
  5. 第 5 步（第 (2) 问）：$20$ 天共需 $300+6\times 20$ 份，$(300+6\times 20)\div 20=\underline{\quad}$（头）。
第二套
题目：一片竹林里的竹笋每天均匀长出。如果放养 $26$ 只熊猫，$15$ 天能把竹子吃完；如果放养 $31$ 只熊猫，$12$ 天吃完。请问：（1）放养 $56$ 只熊猫，多少天吃完？（2）要放养多少只熊猫，才能恰好 $20$ 天吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每只熊猫每天吃 $1$ 份。两方案总量 $26\times 15=\underline{\quad}$（份）、$31\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（差量法）：$(390-372)\div(15-12)=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（原有量）：$390-6\times 15=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（第 (1) 问）：$300\div(56-6)=\underline{\quad}$（天）。
  5. 第 5 步（第 (2) 问）：$(300+6\times 20)\div 20=\underline{\quad}$（只）。
第三套
题目：有一片牧场，草每天均匀生长。放养 $26$ 头牛 $15$ 天吃完，放养 $31$ 头牛 $12$ 天吃完。请问：（1）最多放养多少头牛，草才永远吃不完？（2）放养 $36$ 头牛，多少天吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法求每天生长量）：$(26\times 15-31\times 12)\div(15-12)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求原有量）：$26\times 15-6\times 15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：牛每天吃掉的不能超过每天长出的，最多放 \underline{\quad} 头。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：$300\div(36-6)=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：有一片牧场，草每天均匀生长。放养 $26$ 头牛 $15$ 天吃完，放养 $31$ 头牛 $12$ 天吃完。已知 $1$ 头牛每天的吃草量相当于 $4$ 只羊。请问：$20$ 头牛与多少只羊一起吃，恰好 $10$ 天吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法）：每天生长 $(26\times 15-31\times 12)\div(15-12)=\underline{\quad}$（份），原有量 $26\times 15-6\times 15=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（$10$ 天共需吃掉多少）：$300+6\times 10=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（折成每天的牛数）：$360\div 10=\underline{\quad}$（头）。
  4. 第 4 步（去掉已有的牛）：还需 $36-20=\underline{\quad}$（头牛）的食量。
  5. 第 5 步（折回羊）：$16\times 4=\underline{\quad}$（只）。
10. 【原题 ch18-tuozhan-02】一片匀速生长的草地，如果有 $15$ 头牛吃草，那么 $8$ 天可以把草全部吃完；如果起初这 $15$ 头牛在草地上吃了 $2$ 天后，又来了 $2$ 头牛，则总共 $7$ 天就可以把草吃完。如果起初这 $15$ 头牛吃了 $2$ 天后，又来了 $5$ 头牛，再过多少天可以把草吃完？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」中的中途增减牛只型：牛的数量在过程中变化，要分段计算吃掉的草。
关键切入点：两种情形吃光的都是「原有草＋若干天生长的草」。第一种共吃 $120$ 份用了 $8$ 天，第二种共吃 $115$ 份用了 $7$ 天，多吃的 $5$ 份正对应多长的 $1$ 天，于是每天生长 $5$ 份、原有 $80$ 份。之后再分段：先吃 $2$ 天，再按新的牛数算剩余。
方法概述：分段列出各段吃草量，用差量法定出生长量与原有量，再逐段结算剩余。
规范步骤：
  1. 第一种情形总吃草量：$15\times 8=120$（份）（牛数×天数）
  2. 第二种情形总吃草量：$15\times 2+(15+2)\times 5=115$（份）（分段相加）
  3. 作差求每天生长量：$(120-115)\div(8-7)=5$（份）（多吃的对应多长的天数）
  4. 求原有草量：$120-5\times 8=80$（份）（总量扣生长量）
  5. 先吃 $2$ 天后的剩余：$80-(15-5)\times 2=60$（份）（净消耗 $15-5$ 份/天）
  6. 再来 $5$ 头后的天数：$60\div(20-5)=4$（天）（剩余÷新的净消耗）
第一套
题目：一片匀速生长的草地，如果有 $20$ 头牛吃草，那么 $10$ 天可以把草全部吃完；如果起初这 $20$ 头牛吃了 $2$ 天后又来了 $4$ 头牛，则总共 $8$ 天就可以把草吃完。请问：如果起初这 $20$ 头牛吃了 $2$ 天后又来了 $12$ 头牛，再过多少天可以把草吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每头牛每天吃 $1$ 份。第一种情形共吃 $20\times 10=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（分段算第二种情形）：$20\times 2+24\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（作差）：多吃了 $200-184=\underline{\quad}$（份），对应多长的 $10-8=\underline{\quad}$（天），所以每天生长 $16\div 2=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求原有草量）：$200-8\times 10=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步（前 $2$ 天结算剩余）：$120+8\times 2-20\times 2=\underline{\quad}$（份）。
  6. 第 6 步（新的净消耗速度）：来了 $12$ 头后共 $32$ 头，$32-8=\underline{\quad}$（份/天）。
  7. 第 7 步：$96\div 24=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：一个粮仓里的存粮会因受潮每天均匀增加一些废料（相当于每天新增待处理量）。如果派 $20$ 台机器处理，$10$ 天可全部处理完；如果 $20$ 台机器先处理 $2$ 天后又调来 $4$ 台，则总共 $8$ 天处理完。请问：如果 $20$ 台机器先处理 $2$ 天后又调来 $12$ 台，再过多少天可以处理完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每台机器每天处理 $1$ 份。第一种方案共处理 $20\times 10=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（分段）：$20\times 2+24\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（作差）：$200-184=\underline{\quad}$（份）对应 $10-8=\underline{\quad}$（天），每天新增 $16\div 2=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（原有量）：$200-8\times 10=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步（前 $2$ 天后剩余）：$120+8\times 2-20\times 2=\underline{\quad}$（份）。
  6. 第 6 步（新的净处理速度）：$32-8=\underline{\quad}$（份/天）。
  7. 第 7 步：$96\div 24=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一片匀速生长的草地，$20$ 头牛 $10$ 天可以吃完；若这 $20$ 头牛先吃 $2$ 天后又来 $4$ 头牛，则总共 $8$ 天吃完。请问：如果一开始就放 $32$ 头牛，多少天可以吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：两种情形的总吃草量分别是 $20\times 10=\underline{\quad}$（份）和 $20\times 2+24\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（差量法）：$(200-184)\div(10-8)=\underline{\quad}$（份/天）。
  3. 第 3 步（求原有量）：$200-8\times 10=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（一次放足）：净消耗为 $32-8$ 份/天，$120\div(32-8)=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一片匀速生长的草地，$20$ 头牛 $10$ 天可以吃完；若这 $20$ 头牛先吃 $2$ 天后又来 $4$ 头牛，则总共 $8$ 天吃完。请问：（1）最多放养多少头牛，草才永远吃不完？（2）若 $20$ 头牛先吃 $2$ 天后又来 $12$ 头牛，再过多少天吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法求每天生长量）：$(20\times 10-(20\times 2+24\times 6))\div(10-8)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求原有草量）：$20\times 10-8\times 10=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：牛每天吃的不能超过每天长的，最多 \underline{\quad} 头。
  4. 第 4 步（第 (2) 问，前 $2$ 天结算）：剩余 $120+8\times 2-20\times 2=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：$96\div(32-8)=\underline{\quad}$（天）。
11. 【原题 ch18-tuozhan-03】进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少。现在开始在这片牧场上放羊，如果有 $38$ 只羊，把草吃完需要 $25$ 天；如果有 $30$ 只羊，把草吃完需要 $30$ 天。如果有 $20$ 只羊，这片牧场可以吃多少天？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」的反向变形：草不是生长而是均匀减少（枯萎），差量法的方向随之反过来。
关键切入点：草在减少，所以羊吃得越久，被枯萎「抢走」的草越多、羊能吃到的就越少。$38$ 只羊 $25$ 天吃到 $950$ 份，$30$ 只羊 $30$ 天只吃到 $900$ 份，少的 $50$ 份正是多出的 $5$ 天里枯萎掉的。求原有量时要把枯萎量加回去，求天数时要把枯萎量与羊的食量相加。
方法概述：差量法求每天减少量，原有量＝吃到的量＋枯萎量，天数＝原有量÷（羊食量＋减少量）。
规范步骤：
  1. 两方案吃到的总量：$38\times 25=950$（份），$30\times 30=900$（份）（羊数×天数）
  2. 作差求每天减少量：$(950-900)\div(30-25)=10$（份）（多出的天数里枯萎掉的）
  3. 求原有草量：$950+10\times 25=1200$（份）（吃到的＋枯萎掉的）
  4. 求天数：$1200\div(20+10)=40$（天）（原有量÷（吃＋枯萎））
第一套
题目：进入冬季后，牧场上的草均匀地减少。现在开始在这片牧场上放羊：如果有 $50$ 只羊，把草吃完需要 $30$ 天；如果有 $35$ 只羊，把草吃完需要 $40$ 天。请问：如果有 $20$ 只羊，这片牧场可以吃多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每只羊每天吃 $1$ 份。两方案吃到的总量为 $50\times 30=\underline{\quad}$（份）与 $35\times 40=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（作差）：少吃了 $1500-1400=\underline{\quad}$（份），对应多出的 $40-30=\underline{\quad}$（天），所以每天减少 $100\div 10=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求原有量，要把枯萎掉的加回去）：$1500+10\times 30=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（每天草地共减少多少）：羊吃 $20$ 份、枯萎 $10$ 份，$1800\div(20+10)=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：仓库里堆着一批粮食，因受潮每天均匀霉坏一部分。如果由 $50$ 个人来吃，$30$ 天正好吃完（其余霉坏）；如果由 $35$ 个人来吃，$40$ 天正好吃完。请问：如果只有 $20$ 个人，这批粮食可以吃多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每人每天吃 $1$ 份。两方案吃到 $50\times 30=\underline{\quad}$（份）与 $35\times 40=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（作差）：$1500-1400=\underline{\quad}$（份）对应 $40-30=\underline{\quad}$（天），每天霉坏 $100\div 10=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（原有量）：$1500+10\times 30=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：$1800\div(20+10)=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：进入冬季后牧场上的草均匀减少。$50$ 只羊 $30$ 天吃完，$35$ 只羊 $40$ 天吃完。请问：要恰好 $45$ 天把草吃完，应该放多少只羊？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法求每天减少量）：$(50\times 30-35\times 40)\div(40-30)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求原有草量）：$50\times 30+10\times 30=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（$45$ 天每天要消耗多少）：$1800\div 45=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（扣掉枯萎的部分）：$40-10=\underline{\quad}$（只）。
第三套
题目：进入冬季后牧场上的草均匀减少。$50$ 只羊 $30$ 天吃完，$35$ 只羊 $40$ 天吃完。已知 $1$ 头牛每天的吃草量相当于 $3$ 只羊。请问：$12$ 头牛与 $14$ 只羊一起吃，这片牧场可以吃多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法）：每天减少 $(50\times 30-35\times 40)\div(40-30)=\underline{\quad}$（份），原有草量 $50\times 30+10\times 30=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（统一成羊）：$12$ 头牛相当于 $12\times 3=\underline{\quad}$（只羊），一共 $36+14=\underline{\quad}$（只羊）。
  3. 第 3 步（每天草地共减少多少）：羊吃 $50$ 份加枯萎 $10$ 份，$1800\div(50+10)=\underline{\quad}$（天）。
12. 【原题 ch18-tuozhan-04】一个露天水池底部有若干根同样大小的进水管。这天蓄水时刚好赶上下雨，每分钟进入水池的雨水也都一样多。如果开 $24$ 根进水管，$5$ 分钟能注满；如果开 $12$ 根进水管，$8$ 分钟能注满。那么如果开 $8$ 根进水管，多少分钟能将水池注满？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」的注水模型：雨水相当于均匀「生长」的部分，进水管相当于牛，水池容量相当于原有草量——只是方向由「吃掉」变成「注满」。
关键切入点：两次注满的都是同一个池子，总量相同。$24$ 根管 $5$ 分钟提供 $120$ 份，$12$ 根管 $8$ 分钟只提供 $96$ 份，少的 $24$ 份正是多用的 $3$ 分钟里雨水补上的，于是每分钟雨水 $8$ 份。求容量时把雨水加进去，求时间时把雨水与水管相加。
方法概述：差量法求每分钟雨量，容量＝管注量＋雨量，时间＝容量÷（管＋雨）。
规范步骤：
  1. 两次的水管注水总量：$24\times 5=120$（份），$12\times 8=96$（份）（管数×分钟）
  2. 作差求每分钟雨量：$(120-96)\div(8-5)=8$（份）（少注的由雨水补上）
  3. 求水池容量：$120+8\times 5=160$（份）（管注量＋雨量）
  4. 求时间：$160\div(8+8)=10$（分钟）（容量÷（管＋雨））
第一套
题目：一个露天水池底部有若干根同样大小的进水管，蓄水时刚好赶上下雨，每分钟进入水池的雨水一样多。如果开 $30$ 根进水管，$6$ 分钟能注满；如果开 $10$ 根进水管，$12$ 分钟能注满。那么开 $6$ 根进水管，多少分钟能把水池注满？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每根管每分钟注 $1$ 份。两次水管注入 $30\times 6=\underline{\quad}$（份）与 $10\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（作差）：第二次少注了 $180-120=\underline{\quad}$（份），却多用了 $12-6=\underline{\quad}$（分钟），所以每分钟雨水 $60\div 6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求水池容量）：$180+10\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求时间）：每分钟共注入 $6+10$ 份，$240\div(6+10)=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：一个货仓要装满货，仓库里有若干条同样的传送带在往里送货，同时还有一条自动补货口每分钟均匀送进同样多的货。如果开 $30$ 条传送带，$6$ 分钟装满；如果开 $10$ 条传送带，$12$ 分钟装满。那么开 $6$ 条传送带，多少分钟能装满？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每条传送带每分钟送 $1$ 份。两次传送带送入 $30\times 6=\underline{\quad}$（份）与 $10\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（作差）：少送了 $180-120=\underline{\quad}$（份），多用了 $12-6=\underline{\quad}$（分钟），补货口每分钟送 $60\div 6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求货仓容量）：$180+10\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步：$240\div(6+10)=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：一个露天水池底部有若干根同样大小的进水管，蓄水时正在下雨。开 $30$ 根管 $6$ 分钟注满，开 $10$ 根管 $12$ 分钟注满。请问：要在 $8$ 分钟内恰好注满，需要开多少根进水管？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法求每分钟雨量）：$(30\times 6-10\times 12)\div(12-6)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求容量）：$30\times 6+10\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（$8$ 分钟里每分钟要注入多少）：$240\div 8=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（扣掉雨水）：$30-10=\underline{\quad}$（根）。
第三套
题目：一个露天水池底部有若干根同样大小的进水管，蓄水时正在下雨。开 $30$ 根管 $6$ 分钟注满，开 $10$ 根管 $12$ 分钟注满。现在先开 $6$ 根管注了 $5$ 分钟（这期间一直下雨），随后雨停了。请问：接下来要开多少根管，才能再过 $5$ 分钟恰好注满？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法）：每分钟雨量 $(30\times 6-10\times 12)\div(12-6)=\underline{\quad}$（份），水池容量 $30\times 6+10\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（前 $5$ 分钟注入多少）：管与雨一起，$(6+10)\times 5=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（还差多少）：$240-80=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（雨停后全靠水管）：$160\div 5=\underline{\quad}$（份/分钟），即需要开这么多根管。
13. 【原题 ch18-tuozhan-05】把一片匀速生长的大草场分成三块，面积分别为 $5$ 公顷、$15$ 公顷和 $24$ 公顷。如果第一块草地可以供 $10$ 头牛吃 $30$ 天，第二块草地可以供 $28$ 头牛吃 $45$ 天，那么第三块草地可以供多少头牛吃 $80$ 天？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」的按面积成比例型：不同面积的草地，其原有草量与生长速度都与面积成正比。
关键切入点：两块草地面积不同不能直接作差，所以先把 $5$ 公顷的条件按比例放大到 $15$ 公顷：$5$ 公顷供 $10$ 头牛吃 $30$ 天，则 $15$ 公顷供 $30$ 头牛吃 $30$ 天。统一面积后才能用差量法，最后再按面积比折算到 $24$ 公顷。
方法概述：先按面积把条件化到同一块地上，再差量法，最后按面积比折回去。
规范步骤：
  1. 把第一块按面积放大到 $15$ 公顷：$10\times 15\div 5=30$（头）吃 $30$ 天，共 $30\times 30=900$（份）（面积成正比）
  2. 第二块的总吃草量：$28\times 45=1260$（份）（牛数×天数）
  3. $15$ 公顷每天生长量：$(1260-900)\div(45-30)=24$（份）（差量法）
  4. $15$ 公顷原有草量：$900-24\times 30=180$（份）（总量扣生长量）
  5. $15$ 公顷供 $80$ 天的牛数：$180\div 80+24=26\frac{1}{4}$（头）（原有摊到每天＋生长量）
  6. 按面积折算到 $24$ 公顷：$26\frac{1}{4}\times\frac{24}{15}=42$（头）（面积成正比）
第一套
题目：把一片匀速生长的大草场分成三块，面积分别为 $6$ 公顷、$18$ 公顷和 $27$ 公顷。如果第一块草地可以供 $12$ 头牛吃 $25$ 天，第二块草地可以供 $30$ 头牛吃 $40$ 天，那么第三块草地可以供多少头牛吃 $50$ 天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一面积）：$6$ 公顷供 $12$ 头牛吃 $25$ 天，按面积放大到 $18$ 公顷即 $12\times 18\div 6=\underline{\quad}$（头）吃 $25$ 天。
  2. 第 2 步（两组总吃草量）：$36\times 25=\underline{\quad}$（份），$30\times 40=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（差量法求 $18$ 公顷每天生长量）：$(1200-900)\div(40-25)=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求 $18$ 公顷原有草量）：$900-20\times 25=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步（$18$ 公顷供 $50$ 天的牛数）：原有量摊到每天，再加上每天的生长量，$400\div 50+20=\underline{\quad}$（头）。
  6. 第 6 步（按面积折到 $27$ 公顷）：$28\times 27\div 18=\underline{\quad}$（头）。
第二套
题目：一片匀速生长水草的湖面被分成三个鱼塘，面积分别为 $6$ 公顷、$18$ 公顷和 $27$ 公顷。第一个鱼塘的水草可以供 $12$ 条鱼吃 $25$ 天，第二个鱼塘可以供 $30$ 条鱼吃 $40$ 天。那么第三个鱼塘可以供多少条鱼吃 $50$ 天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一面积）：$12\times 18\div 6=\underline{\quad}$（条）吃 $25$ 天。
  2. 第 2 步：$36\times 25=\underline{\quad}$（份），$30\times 40=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（差量法）：$(1200-900)\div(40-25)=\underline{\quad}$（份/天）。
  4. 第 4 步（原有量）：$900-20\times 25=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步（$18$ 公顷供 $50$ 天）：$400\div 50+20=\underline{\quad}$（条）。
  6. 第 6 步（折到 $27$ 公顷）：$28\times 27\div 18=\underline{\quad}$（条）。
第三套
题目：一片匀速生长的大草场分成三块，面积分别为 $6$ 公顷、$18$ 公顷和 $27$ 公顷。第一块可供 $12$ 头牛吃 $25$ 天，第二块可供 $30$ 头牛吃 $40$ 天。请问：第三块草地可供 $36$ 头牛吃多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法求 $18$ 公顷每天生长量）：$(30\times 40-12\times 18\div 6\times 25)\div(40-25)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求 $18$ 公顷原有草量）：$12\times 18\div 6\times 25-20\times 25=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（把 $27$ 公顷上的 $36$ 头牛折算到 $18$ 公顷）：$36\times 18\div 27=\underline{\quad}$（头）。
  4. 第 4 步（原有量÷净消耗）：$400\div(24-20)=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：一片匀速生长的大草场分成三块，面积分别为 $6$ 公顷、$18$ 公顷和 $27$ 公顷。第一块可供 $12$ 头牛吃 $25$ 天，第二块可供 $30$ 头牛吃 $40$ 天。请问：（1）在第三块草地上最多放多少头牛，草才永远吃不完？（2）第三块草地可供多少头牛吃 $50$ 天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法求 $18$ 公顷每天生长量）：$(30\times 40-12\times 18\div 6\times 25)\div(40-25)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问，按面积折到 $27$ 公顷）：$20\times 27\div 18=\underline{\quad}$（份/天），即最多放这么多头牛。
  3. 第 3 步（求 $18$ 公顷原有草量）：$12\times 18\div 6\times 25-20\times 25=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（$18$ 公顷供 $50$ 天的牛数）：$400\div 50+20=\underline{\quad}$（头）。
  5. 第 5 步（折到 $27$ 公顷）：$28\times 27\div 18=\underline{\quad}$（头）。
14. 【原题 ch18-tuozhan-06】一个时钟现在显示的时间是 $3$ 点整，请问：（1）多少分钟后，时针与分针第一次重合？（2）再经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」的两问追及型：先求整点后第一次重合，再求由重合到第一次成直线。
关键切入点：$3$ 点整分针落后时针 $15$ 格，追上就是重合；重合之后两针同处一点，要张成一条直线就得再反超半圈 $30$ 格。抓住「相差格数」这条主线，两问都是同一个追及公式。
方法概述：把每个目标状态翻译成「相差多少格」，再用路程÷速度差。
规范步骤：
  1. $3$ 点整的差距：$5\times 3=15$（格）（每小时刻度 $5$ 格）
  2. 第 (1) 问：$15\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\frac{180}{11}=16\frac{4}{11}$（分钟）（追及）
  3. 第 (2) 问：再反超半圈：$30\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\frac{360}{11}=32\frac{8}{11}$（分钟）（成直线即相差 $30$ 格）
第一套
题目：一个时钟现在显示的时间是 $4$ 点整，请问：（1）多少分钟后，时针与分针第一次重合？（2）再经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始差距）：$4$ 点整分针落后时针 $5\times 4=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：追及时间 $20\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：重合后要再反超半圈 $30$ 格，$30\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：学校礼堂的大钟此刻正指向 $4$ 点整。请问：（1）再过多少分钟，时针与分针第一次重合？（2）此后再过多少分钟，两针第一次张开成一条直线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始差距）：$5\times 4=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：$20\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：再反超 $30$ 格，$30\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：一个时钟现在显示的时间是 $4$ 点整，请问：多少分钟后，时针与分针第一次垂直？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始差距）：$4$ 点整分针落后时针 $5\times 4=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（目标位置）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{\quad}$（格），此时分针仍落后。
  3. 第 3 步（追及路程）：$20-15=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（追及时间）：$5\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：一个时钟现在显示的时间是 $4$ 点整，请问：（1）多少分钟后两针第一次垂直？（2）多少分钟后两针第二次垂直？（3）两次垂直之间相隔多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始差距与目标格数）：$4$ 点整分针落后 $5\times 4=\underline{\quad}$（格）；垂直即相差 $90\div 6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：第一次垂直时分针仍落后 $15$ 格，追及 $20-15=\underline{\quad}$（格），用时 $5\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：第二次垂直时分针已反超 $15$ 格，追及 $20+15=\underline{\quad}$（格），用时 $35\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（第 (3) 问）：$\frac{420}{11}-\frac{60}{11}=\underline{\quad}$（分钟）。
15. 【原题 ch18-tuozhan-07】在 $9$ 点 $23$ 分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次重直（垂直）？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中先求夹角、再求下一次垂直的综合型：关键是精确算出某个非整点时刻两针相差多少格。
关键切入点：$9$ 点整分针落后 $45$ 格；$23$ 分钟里分针走 $23$ 格、时针走 $\frac{23}{12}$ 格，所以此刻落后 $45-23+\frac{23}{12}=23\frac{11}{12}$ 格。把格数乘 $6$ 就是度数。再要第一次垂直，即把落后量从 $23\frac{11}{12}$ 格缩到 $15$ 格。
方法概述：先算当前格数差 → 乘 $6$ 得夹角 → 再用追及求到目标格数差的时间。
规范步骤：
  1. $9$ 点整的差距：$5\times 9=45$（格）（每小时 $5$ 格）
  2. $23$ 分钟后的格数差：$45-23+\frac{23}{12}=\frac{287}{12}=23\frac{11}{12}$（格）（分针走 $23$ 格、时针走 $\frac{23}{12}$ 格）
  3. 换算成角度：$\frac{287}{12}\times 6=143.5^\circ$（每格 $6^\circ$）
  4. 到第一次垂直的追及路程：$\frac{287}{12}-15=\frac{107}{12}=8\frac{11}{12}$（格）（垂直即相差 $15$ 格）
  5. 追及时间：$\frac{107}{12}\div\frac{11}{12}=\frac{107}{11}=9\frac{8}{11}$（分钟）（路程÷速度差）
第一套
题目：在 $10$ 点 $25$ 分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，再经过多少分钟，时针和分针第一次垂直？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$10$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 10=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（走到 $10$ 点 $25$ 分）：分针走 $25$ 格、时针走 $\frac{25}{12}$ 格，此时分针落后 $50-25+\frac{25}{12}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（换算成角度）：每格 $6^\circ$，夹角为 $\frac{325}{12}\times 6=\underline{\quad}$（度）。
  4. 第 4 步（目标格数）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{\quad}$（格），追及路程 $\frac{325}{12}-15=\underline{\quad}$（格）。
  5. 第 5 步（追及时间）：$\frac{145}{12}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：墨莫在 $10$ 点 $25$ 分抬头看了一眼教室的挂钟。请问：（1）这时时针与分针的夹角是多少度？（2）从这一刻起再过多少分钟，两针第一次垂直？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$10$ 点整分针落后 $5\times 10=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步：$25$ 分钟后分针落后 $50-25+\frac{25}{12}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：$\frac{325}{12}\times 6=\underline{\quad}$（度）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{\quad}$（格），追及 $\frac{325}{12}-15=\underline{\quad}$（格）。
  5. 第 5 步：$\frac{145}{12}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：从 $10$ 点 $25$ 分开始，再经过多少分钟，时针和分针第一次重合？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$10$ 点整差距）：$5\times 10=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（$10$ 点 $25$ 分的格数差）：$50-25+\frac{25}{12}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（重合即追平）：$\frac{325}{12}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：在 $10$ 点 $25$ 分时：（1）时针与分针的夹角是多少度？（2）从这一时刻起经过多少分钟两针第一次垂直？（3）再问第二次垂直是从这一时刻起经过多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$10$ 点整分针落后 $5\times 10=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步：$10$ 点 $25$ 分时分针落后 $50-25+\frac{25}{12}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：$\frac{325}{12}\times 6=\underline{\quad}$（度）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{\quad}$（格），$\left(\frac{325}{12}-15\right)\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步（第 (3) 问）：第二次垂直时分针已反超 $15$ 格，追及路程 $\frac{325}{12}+15=\underline{\quad}$（格），用时 $\frac{505}{12}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
16. 【原题 ch18-tuozhan-08】小高晚上去超市买东西，到的时候是 $7$ 点 $24$ 分，到了出来的时候仍然是 $7$ 点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同。请问：小高出来的时候是 $7$ 点几分？买东西一共花了多少分钟？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的「前后夹角相同」型，与兴趣篇第 8 题同源，但要先算出起始时刻的格数差。
关键切入点：$7$ 点整分针落后 $35$ 格，$24$ 分钟里分针相对时针追了 $\left(1-\frac{1}{12}\right)\times 24=22$ 格，所以此刻落后 $13$ 格。出来时夹角相同、方向相反，即分针反超 $13$ 格，整段追及路程是 $13+13=26$ 格。
方法概述：先算起始格数差，再由「落后 $d$ → 反超 $d$」得追及路程 $2d$。
规范步骤：
  1. $7$ 点 $24$ 分的格数差：$35-\left(1-\frac{1}{12}\right)\times 24=13$（格）（分针相对时针追了 $22$ 格）
  2. 追及路程：$13+13=26$（格）（由落后 $13$ 格到反超 $13$ 格）
  3. 追及时间：$26\div\frac{11}{12}=\frac{312}{11}=28\frac{4}{11}$（分钟）（路程÷速度差）
  4. 出来的时刻：$7$ 点 $24+28\frac{4}{11}=52\frac{4}{11}$ 分（起始时刻＋用时）
第一套
题目：小高晚上去超市买东西，到的时候是 $8$ 点 $30$ 分，出来的时候仍然是 $8$ 点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同。请问：小高出来的时候是 $8$ 点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$8$ 点整差距）：分针落后时针 $5\times 8=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（走到 $8$ 点 $30$ 分）：分针走 $30$ 格、时针走 $\frac{30}{12}$ 格，此时分针落后 $40-30+\frac{30}{12}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（追及路程）：出来时夹角相同但方向相反，即分针反超 $12.5$ 格，共 $12.5+12.5=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（追及时间）：$25\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步（出来的时刻）：$30+\frac{300}{11}=\underline{\quad}$（分），即 $8$ 点 $57\frac{3}{11}$ 分。
第二套
题目：卡莉娅晚上去图书馆借书，进门时是 $8$ 点 $30$ 分，出来时仍是 $8$ 点多，且手表上分针与时针的夹角与进门时相同。请问：她出来的时候是 $8$ 点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$8$ 点整分针落后 $5\times 8=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步：$8$ 点 $30$ 分时分针落后 $40-30+\frac{30}{12}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（追及路程）：由落后 $12.5$ 格到反超 $12.5$ 格，共 $12.5+12.5=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步：$25\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步：$30+\frac{300}{11}=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：小高晚上 $8$ 点 $30$ 分走进超市，出来时手表上时针与分针恰好第一次重合。请问：他出来的时候是 $8$ 点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$8$ 点整分针落后 $5\times 8=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步：$8$ 点 $30$ 分时分针落后 $40-30+\frac{30}{12}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（重合即追平）：$12.5\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（出来的时刻）：$30+\frac{150}{11}=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：小高晚上 $8$ 点 $30$ 分走进超市，出来时仍是 $8$ 点多，且分针与时针的夹角与进门时相同。请问：（1）进门时两针的夹角是多少度？（2）他出来时是 $8$ 点几分？（3）他一共花了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$8$ 点整分针落后 $5\times 8=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步：$8$ 点 $30$ 分时分针落后 $40-30+\frac{30}{12}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问，格数换角度）：每格 $6^\circ$，$12.5\times 6=\underline{\quad}$（度）。
  4. 第 4 步（第 (3) 问）：追及路程 $12.5+12.5=\underline{\quad}$（格），用时 $25\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步（第 (2) 问）：$30+\frac{300}{11}=\underline{\quad}$（分）。
17. 【原题 ch18-tuozhan-09】图 $18\text{-}1$ 中是一个特殊的钟，分针每 $80$ 分钟走一圈，分针走 $8$ 圈时针就走一圈。从分针与时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要多少分钟？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的特殊钟型：钟面转一圈所需的时间被改掉了，要用单位「$1$ 圈」重新定义两针的速度。
关键切入点：普通钟的 $60$ 格、$\frac{1}{12}$ 速度比在这里都不能用了。把一圈看作单位 $1$：分针 $80$ 分钟一圈，速度 $\frac{1}{80}$ 圈/分；时针 $80\times 8=640$ 分钟一圈，速度 $\frac{1}{640}$ 圈/分。成直角即相差 $\frac{1}{4}$ 圈，第三次成直角对应分针反超 $1\frac{1}{4}$ 圈。
方法概述：用「圈」作单位重定两针速度，把「第 $n$ 次成直角」翻译成反超多少圈，再追及。
规范步骤：
  1. 分针速度：$1\div 80=\frac{1}{80}$（圈/分）（单位「$1$ 圈」）
  2. 时针一圈用时与速度：$80\times 8=640$（分钟），速度 $\frac{1}{640}$ 圈/分（分针走 $8$ 圈时针走 $1$ 圈）
  3. 速度差：$\frac{1}{80}-\frac{1}{640}=\frac{7}{640}$（圈/分）（追及速度）
  4. 第三次成直角的追及路程：$1\frac{1}{4}$ 圈（依次为 $\frac14$、$\frac34$、$1\frac14$ 圈）
  5. 追及时间：$\frac{5}{4}\div\frac{7}{640}=\frac{800}{7}=114\frac{2}{7}$（分钟）（路程÷速度差）
第一套
题目：有一个特殊的钟，分针每 $90$ 分钟走一圈，分针走 $6$ 圈时针就走一圈。从分针与时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（时针一圈用多久）：$90\times 6=\underline{\quad}$（分钟），所以时针速度是 $\frac{1}{540}$ 圈/分。
  2. 第 2 步（速度差）：$\frac{1}{90}-\frac{1}{540}=\underline{\quad}$（圈/分）。
  3. 第 3 步（第三次成直角要反超多少圈）：依次是 $\frac14$ 圈、$\frac34$ 圈、$1+\frac14=\underline{\quad}$（圈）。
  4. 第 4 步（追及时间）：$\frac{5}{4}\div\frac{1}{108}=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：游乐场的一个圆盘上装了两根指针：长针每 $90$ 分钟绕圆盘一圈，长针绕 $6$ 圈时短针恰好绕一圈。从两针重合开始，到两针第三次成直角需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（短针一圈用多久）：$90\times 6=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（速度差）：$\frac{1}{90}-\frac{1}{540}=\underline{\quad}$（圈/分）。
  3. 第 3 步（第三次成直角的反超圈数）：$1+\frac14=\underline{\quad}$（圈）。
  4. 第 4 步：$\frac{5}{4}\div\frac{1}{108}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：有一个特殊的钟，分针每 $90$ 分钟走一圈，分针走 $6$ 圈时针就走一圈。从分针与时针重合开始，到两针第一次成直角需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（时针一圈用多久）：$90\times 6=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（速度差）：$\frac{1}{90}-\frac{1}{540}=\underline{\quad}$（圈/分）。
  3. 第 3 步（第一次成直角要反超 $\frac14$ 圈）：$\frac{1}{4}\div\frac{1}{108}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：有一个特殊的钟，分针每 $90$ 分钟走一圈，分针走 $6$ 圈时针就走一圈。请问：（1）两针相邻两次重合之间相隔多少分钟？（2）从某次重合开始，到两针第三次成直角需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（时针一圈用多久）：$90\times 6=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（速度差）：$\frac{1}{90}-\frac{1}{540}=\underline{\quad}$（圈/分）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：相邻两次重合分针要反超整整 $1$ 圈，$1\div\frac{1}{108}=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问的反超圈数）：$1+\frac14=\underline{\quad}$（圈）。
  5. 第 5 步：$\frac{5}{4}\div\frac{1}{108}=\underline{\quad}$（分钟）。
18. 【原题 ch18-tuozhan-10】小明上了一节课，时间不到 $1$ 小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好对调，请问：这一堂课上了多少分钟？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的位置对调型，本质是相遇（路程和）问题：两针位置互换，说明它们走过的路程之和恰是整圈。
关键切入点：下课时分针站到了上课时时针的位置、时针站到了上课时分针的位置，把两针合起来看，它们「补齐」了整整一圈 $60$ 格。因为一堂课不到 $1$ 小时，所以只可能是一圈而不是两圈。相遇型用速度和。
方法概述：位置对调 ⟹ 路程和为整圈；路程和 ÷ 速度和 = 时间。
规范步骤：
  1. 确定路程和：$60$ 格（整整一圈）（两针位置互换）
  2. 速度和：$1+\frac{1}{12}=\frac{13}{12}$（格/分）（相遇取速度和）
  3. 求时间：$60\div\frac{13}{12}=\frac{720}{13}=55\frac{5}{13}$（分钟）（路程和÷速度和）
第一套
题目：小明看了一场电影，时间超过 $1$ 小时但不到 $2$ 小时。他发现散场时与开场时手表上时针与分针的位置刚好对调，请问：这场电影放了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（确定路程和）：位置对调说明两针路程和为整圈；由于时间超过 $1$ 小时不到 $2$ 小时，路程和是 $2$ 圈，即 $60\times 2=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（速度和）：$1+\frac{1}{12}=\underline{\quad}$（格/分）。
  3. 第 3 步（求时间）：$120\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：卡莉娅练了一段时间的钢琴，用时不到 $1$ 小时。她发现结束时与开始时挂钟上时针与分针的位置刚好对调，请问：她练了多少分钟琴？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度和）：位置对调说明两针路程和恰为一圈 $60$ 格，速度和为 $1+\frac{1}{12}=\underline{\quad}$（格/分）。
  2. 第 2 步（求时间）：$60\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：在 $4$ 点到 $5$ 点之间有一时刻，钟面上的数字 $4$ 恰好在时针与分针的正中央。请问：这一时刻是 $4$ 点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字 $4$ 的位置）：第 $5\times 4=\underline{\quad}$（格），$4$ 点整时时针正好指着它。
  2. 第 2 步（转化为路程和）：数字 $4$ 在正中央说明时针离开它的距离等于分针离它还差的距离，路程和为 $20$ 格；速度和为 $1+\frac{1}{12}=\underline{\quad}$（格/分）。
  3. 第 3 步（求时间）：$20\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：在 $4$ 点到 $5$ 点之间有一时刻，钟面上的数字 $4$ 恰好在时针与分针的正中央。请问：（1）这一时刻是 $4$ 点几分？（2）此时两针的夹角是多少度？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（路程和）：数字 $4$ 在第 $5\times 4=\underline{\quad}$（格），从 $4$ 点起两针路程和为 $20$ 格。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：$20\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（此时时针位置）：$20+\frac{240}{13}\div 12=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（格数差）：$\frac{280}{13}-\frac{240}{13}=\underline{\quad}$（格）。
  5. 第 5 步（第 (2) 问）：每格 $6^\circ$，$\frac{40}{13}\times 6=\underline{\quad}$（度）。
19. 【原题 ch18-tuozhan-11】在早晨 $6$ 点到 $7$ 点之间有一个时刻，钟面上的数字"$5$"恰好在时针与分针的正中央，请问：这时是 $6$ 点几分？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的「某刻度恰在两针正中央」型，可用「虚拟针（角平分线）」法，也可直接用路程和列式。
关键切入点：「某点在两针正中央」等价于：两针位置的平均值就是这一点。$6$ 点整时针在第 $30$ 格、分针在第 $0$ 格；设过了 $t$ 分，分针在 $t$ 格、时针在 $30+\frac{t}{12}$ 格，要求平均值等于数字 $5$ 所在的第 $25$ 格，于是 $t+\frac{t}{12}=2\times 25-30=20$，仍是一个路程和式子。
方法概述：把「正中央」写成两针位置的平均值等于目标刻度，化成路程和 ÷ 速度和。
规范步骤：
  1. 虚拟针的速度：$\frac{1}{2}\times\left(1+\frac{1}{12}\right)=\frac{13}{24}$（格/分）（两针速度的平均值）
  2. 虚拟针要走的距离：$6$ 点整虚拟针在第 $15$ 格，要走到第 $25$ 格，距离 $10$ 格（数字 $5$ 在第 $25$ 格）
  3. 求时间：$10\div\frac{13}{24}=\frac{240}{13}=18\frac{6}{13}$（分钟）（距离÷虚拟针速度）
第一套
题目：在早晨 $6$ 点到 $7$ 点之间有一个时刻，钟面上的数字 $8$ 恰好在时针与分针的正中央，请问：这时是 $6$ 点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（目标刻度位置）：数字 $8$ 在第 $5\times 8=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（$6$ 点整时针位置）：第 $5\times 6=\underline{\quad}$（格），分针在第 $0$ 格。
  3. 第 3 步（写出正中央条件）：设过了 $t$ 分，分针在 $t$ 格、时针在 $30+\frac{t}{12}$ 格，两者平均值为 $40$，即 $t+\frac{t}{12}=2\times 40-30=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（速度和）：$1+\frac{1}{12}=\underline{\quad}$（格/分）。
  5. 第 5 步（求时间）：$50\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：早自习期间（$6$ 点到 $7$ 点之间）的某个时刻，教室挂钟上的数字 $8$ 恰好位于时针与分针的正中央。请问：这时是 $6$ 点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（目标刻度）：数字 $8$ 在第 $5\times 8=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（$6$ 点整时针位置）：第 $5\times 6=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（正中央条件）：$t+\frac{t}{12}=2\times 40-30=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（速度和）：$1+\frac{1}{12}=\underline{\quad}$（格/分）。
  5. 第 5 步：$50\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：在早晨 $7$ 点到 $8$ 点之间有一个时刻，钟面上的数字 $9$ 恰好在时针与分针的正中央，请问：这时是 $7$ 点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（目标刻度）：数字 $9$ 在第 $5\times 9=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（$7$ 点整时针位置）：第 $5\times 7=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（正中央条件）：$t+\frac{t}{12}=2\times 45-35=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（求时间）：$55\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：在早晨 $6$ 点到 $7$ 点之间有一个时刻，钟面上的数字 $8$ 恰好在时针与分针的正中央。请问：（1）这时是 $6$ 点几分？（2）此时两针的夹角是多少度？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（目标刻度与起点）：数字 $8$ 在第 $5\times 8=\underline{\quad}$（格），$6$ 点整时针在第 $5\times 6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（正中央条件）：$t+\frac{t}{12}=2\times 40-30=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：$50\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（此时时针位置）：$30+\frac{600}{13}\div 12=\underline{\quad}$（格）。
  5. 第 5 步（格数差）：$\frac{600}{13}-\frac{440}{13}=\underline{\quad}$（格）。
  6. 第 6 步（第 (2) 问）：$\frac{160}{13}\times 6=\underline{\quad}$（度）。
20. 【原题 ch18-tuozhan-12】卡莉娅的手表比家里的闹钟走得要快一些。这天中午 $12$ 点时，卡莉娅把手表和闹钟校准，但当闹钟走到下午 $1$ 点时，手表显示的时间是 $1$ 点 $5$ 分。请问：（1）当闹钟显示当天下午 $5$ 点的时候，手表显示的时间是几点几分？（2）当手表显示当天下午 $6$ 点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的走时不准型：两只钟走得快慢不同，用「同一段真实时间内两钟各走多少分钟」这个固定比例换算。
关键切入点：闹钟走 $60$ 分钟时手表走 $65$ 分钟，这个 $65:60$ 的比在任何时段都成立。要由闹钟推手表就乘 $\frac{65}{60}$，要由手表推闹钟就乘 $\frac{60}{65}$——方向千万别弄反。
方法概述：先定出两钟的分钟数之比，再按方向乘或除。
规范步骤：
  1. 定出比例：手表 $65$ 分钟 $=$ 闹钟 $60$ 分钟（$1$ 点时手表 $1$ 点 $5$ 分）
  2. 第 (1) 问：闹钟走了多少分钟：$60\times 5=300$（分）（$12$ 点到 $5$ 点共 $5$ 小时）
  3. 换成手表：$300\times\frac{65}{60}=325$（分）$=5$ 小时 $25$ 分（乘 $\frac{65}{60}$）
  4. 第 (2) 问：手表走了多少分钟：$60\times 6+30=390$（分）（$12$ 点到 $6$ 点半）
  5. 换成闹钟：$390\times\frac{60}{65}=360$（分）$=6$ 小时（乘 $\frac{60}{65}$）
第一套
题目：卡莉娅的手表比家里的闹钟走得快一些。这天中午 $12$ 点时，她把手表和闹钟校准；当闹钟走到下午 $1$ 点时，手表显示的时间是 $1$ 点 $6$ 分。请问：（1）当闹钟显示当天下午 $5$ 点时，手表显示几点几分？（2）当手表显示当天下午 $6$ 点 $36$ 分时，闹钟显示几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定出比例）：闹钟走 $60$ 分钟时手表走 $60+6=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：闹钟从 $12$ 点走到 $5$ 点共 $60\times 5=\underline{\quad}$（分），手表走 $300\times\frac{66}{60}=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（化成时刻）：$330$ 分即 $5$ 小时 $330-300=\underline{\quad}$ 分。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：手表从 $12$ 点走到 $6$ 点 $36$ 分共 $60\times 6+36=\underline{\quad}$（分），闹钟走 $396\times\frac{60}{66}=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步（化成时刻）：$360\div 60=\underline{\quad}$（小时），即 $6$ 点整。
第二套
题目：墨莫的运动手环比家里的座钟走得快一些。这天中午 $12$ 点把两者校准；当座钟走到下午 $1$ 点时，手环显示 $1$ 点 $6$ 分。请问：（1）当座钟显示下午 $5$ 点时，手环显示几点几分？（2）当手环显示下午 $6$ 点 $36$ 分时，座钟显示几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（比例）：座钟 $60$ 分钟 $=$ 手环 $60+6=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：座钟走 $60\times 5=\underline{\quad}$（分），手环走 $300\times\frac{66}{60}=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步：$330$ 分即 $5$ 小时 $330-300=\underline{\quad}$ 分。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：手环走 $60\times 6+36=\underline{\quad}$（分），座钟走 $396\times\frac{60}{66}=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步：$360\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：卡莉娅的手表与闹钟中午 $12$ 点校准，闹钟走到下午 $1$ 点时手表显示 $1$ 点 $6$ 分。请问：当闹钟显示下午 $7$ 点时，手表显示几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（比例）：闹钟 $60$ 分钟 $=$ 手表 $60+6=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（闹钟走了多久）：$60\times 7=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（换成手表）：$420\times\frac{66}{60}=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（化成时刻）：$462$ 分即 $7$ 小时 $462-420=\underline{\quad}$ 分。
第三套
题目：闹钟比标准时间每小时慢 $6$ 分钟，而手表比闹钟走得快：闹钟走 $60$ 分钟时手表走 $66$ 分钟。中午 $12$ 点把闹钟、手表都对准标准时间。请问：当标准时间是下午 $5$ 点时，手表显示几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（标准与闹钟的比例）：标准 $60$ 分钟 $=$ 闹钟 $60-6=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（标准走了多久）：$60\times 5=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（换成闹钟）：$300\times\frac{54}{60}=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（再换成手表）：$270\times\frac{66}{60}=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步（化成时刻）：$297$ 分即 $4$ 小时 $297-240=\underline{\quad}$ 分，也就是下午 $4$ 点 $57$ 分。
21. 【原题 ch18-tuozhan-13】（1）卡莉娅的闹钟比标准时间每小时快 $3$ 分钟。一天晚上 $11$ 点，卡莉娅把钟校准，并把闹铃定在第二天早上 $6$ 点。试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？（2）墨莫的手表比标准时间每小时慢 $4$ 分钟。一天早上 $8$ 点，墨莫将表校准。试问：当这只表指向下午 $3$ 点的时候，标准时间是几点几分？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中不准钟与标准时间的换算型：先写出「标准 $60$ 分钟 $=$ 该钟多少分钟」，再按方向换算。
关键切入点：闹钟每小时快 $3$ 分，就是标准 $60$ 分钟对应闹钟 $63$ 分钟。题目给的是闹钟走过的时间（从 $11$ 点到 $6$ 点是闹钟的 $420$ 分钟），所以要乘 $\frac{60}{63}$ 换回标准。第 (2) 问的手表慢 $4$ 分，标准 $60$ 对应手表 $56$，同样按方向乘。
方法概述：写出两者分钟数的比 → 判断已知的是哪一方的时间 → 乘对应的比。
规范步骤：
  1. 第 (1) 问的比例：标准 $60$ 分钟 $=$ 闹钟 $63$ 分钟（每小时快 $3$ 分）
  2. 闹钟走过的分钟数：$7\times 60=420$（分）（$11$ 点到次日 $6$ 点共 $7$ 小时）
  3. 换成标准时间：$420\times\frac{60}{63}=400$（分）$=6$ 小时 $40$ 分（乘 $\frac{60}{63}$）
  4. 第 (2) 问的比例：标准 $60$ 分钟 $=$ 手表 $56$ 分钟（每小时慢 $4$ 分）
  5. 手表走过的分钟数与换算：$7\times 60=420$（分），$420\times\frac{60}{56}=450$（分）$=7$ 小时 $30$ 分（乘 $\frac{60}{56}$）
第一套
题目：（1）卡莉娅的闹钟比标准时间每小时快 $4$ 分钟。一天晚上 $10$ 点，她把钟校准，并把闹铃定在第二天早上 $6$ 点。试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？（2）墨莫的手表比标准时间每小时慢 $6$ 分钟。一天早上 $7$ 点，他将表校准。试问：当这只表指向下午 $4$ 点的时候，标准时间是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问的比例）：标准 $60$ 分钟相当于闹钟 $60+4=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（闹钟走过的分钟数）：从晚上 $10$ 点到早上 $6$ 点是闹钟的 $8\times 60=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（换成标准时间）：$480\times\frac{60}{64}=\underline{\quad}$（分），即 $7$ 小时 $450-420=\underline{\quad}$ 分。
  4. 第 4 步（第 (2) 问的比例）：标准 $60$ 分钟相当于手表 $60-6=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步（手表走过的分钟数）：$9\times 60=\underline{\quad}$（分）。
  6. 第 6 步（换成标准时间）：$540\times\frac{60}{54}=\underline{\quad}$（分），即 $600\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
第二套
题目：（1）小高宿舍的挂钟比标准时间每小时快 $4$ 分钟。一天晚上 $10$ 点他把钟校准，并定好第二天早上 $6$ 点起床。试问：当挂钟指向 $6$ 点时，标准时间是几点几分？（2）墨莫爷爷的座钟比标准时间每小时慢 $6$ 分钟，一天早上 $7$ 点校准。试问：当座钟指向下午 $4$ 点时，标准时间是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：标准 $60$ 分钟 $=$ 挂钟 $60+4=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步：挂钟走过 $8\times 60=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步：标准走过 $480\times\frac{60}{64}=\underline{\quad}$（分），即 $7$ 小时 $450-420=\underline{\quad}$ 分。
  4. 第 4 步：标准 $60$ 分钟 $=$ 座钟 $60-6=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步：座钟走过 $9\times 60=\underline{\quad}$（分）。
  6. 第 6 步：标准走过 $540\times\frac{60}{54}=\underline{\quad}$（分），即 $600\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：卡莉娅的闹钟比标准时间每小时快 $4$ 分钟。上午 $8$ 点把闹钟校准，当标准时间走到下午 $2$ 点时，闹钟显示几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（比例）：标准 $60$ 分钟 $=$ 闹钟 $60+4=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（标准走过多久）：$6\times 60=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（换成闹钟，注意方向是乘 $\frac{64}{60}$）：$360\times\frac{64}{60}=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（化成时刻）：$384$ 分即 $6$ 小时 $384-360=\underline{\quad}$ 分。
第三套
题目：卡莉娅的闹钟比标准时间每小时快 $4$ 分钟，墨莫的手表比标准时间每小时慢 $6$ 分钟。早上 $8$ 点，两人同时把钟表对准标准时间。请问：当闹钟显示下午 $4$ 点时，手表显示几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两个比例）：标准 $60$ 分钟 $=$ 闹钟 $60+4=\underline{\quad}$（分钟）$=$ 手表 $60-6=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（闹钟走过多久）：从 $8$ 点到 $4$ 点是闹钟的 $8\times 60=\underline{\quad}$（分）。
  3. 第 3 步（先换回标准时间）：$480\times\frac{60}{64}=\underline{\quad}$（分）。
  4. 第 4 步（再换成手表）：$450\times\frac{54}{60}=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步（化成时刻）：$405$ 分即 $6$ 小时 $405-360=\underline{\quad}$ 分，也就是下午 $2$ 点 $45$ 分。
22. 【原题 ch18-tuozhan-14】如图 $18\text{-}2$ 所示，某科学家设计了一只怪钟。这只怪钟每昼夜 $10$ 小时，每小时 $100$ 分钟。当这只钟显示 $5$ 点时，实际上是中午 $12$ 点。问：当这只钟第一次显示 $6$ 点 $75$ 分时，实际上是什么时间？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的怪钟型：钟面的进制被改了（每昼夜 $10$ 小时、每小时 $100$ 分），要用「一昼夜」这个共同的锚点做换算。
关键切入点：怪钟一昼夜 $10$ 小时对应真实一昼夜 $24$ 小时，所以怪钟 $1$ 小时 $=$ 真实 $2.4$ 小时。从显示 $5$ 点到显示 $6$ 点 $75$ 分，怪钟走过 $1$ 小时 $75$ 分 $=175$ 怪分 $=1\frac34$ 怪小时，再乘换算率即可。
方法概述：把怪钟经过的时间化成怪小时，再按「怪钟 $10$ 小时 $=$ 真实 $24$ 小时」换算。
规范步骤：
  1. 怪钟经过的分钟数：$100+75=175$（怪分）（$1$ 怪小时 $=100$ 怪分）
  2. 化成怪小时：$175\div 100=1\frac34$（怪小时）
  3. 换成真实时间：$1\frac34\div 10\times 24=4\frac15$（小时）$=4$ 小时 $12$ 分（一昼夜对应一昼夜）
  4. 写出时刻：中午 $12$ 点过 $4$ 小时 $12$ 分，即下午 $4$ 点 $12$ 分
第一套
题目：某科学家设计了一只怪钟，这只怪钟每昼夜 $8$ 小时，每小时 $125$ 分钟。当这只钟显示 $4$ 点时，实际上是中午 $12$ 点。问：当这只钟第一次显示 $5$ 点 $100$ 分时，实际上是什么时间？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（怪钟经过多少怪分）：从 $4$ 点到 $5$ 点 $100$ 分是 $1$ 怪小时又 $100$ 怪分，共 $125+100=\underline{\quad}$（怪分）。
  2. 第 2 步（化成怪小时）：$225\div 125=\underline{\quad}$（怪小时）。
  3. 第 3 步（换成真实时间）：怪钟一昼夜 $8$ 小时对应真实 $24$ 小时，$1.8\div 8\times 24=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（化成时分）：$5.4$ 小时 $=5$ 小时 $0.4\times 60=\underline{\quad}$ 分。
第二套
题目：某星球上的钟每昼夜 $8$ 小时，每小时 $125$ 分钟。当这只星球钟显示 $4$ 点时，地球上正是中午 $12$ 点。问：当这只钟第一次显示 $5$ 点 $100$ 分时，地球上是什么时间？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（星球钟经过多少分）：$125+100=\underline{\quad}$（分）。
  2. 第 2 步（化成星球小时）：$225\div 125=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（换成地球时间）：$1.8\div 8\times 24=\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（化成时分）：$5$ 小时 $0.4\times 60=\underline{\quad}$ 分。
第三套
题目：某怪钟每昼夜 $8$ 小时，每小时 $125$ 分钟，显示 $4$ 点时实际是中午 $12$ 点。问：当实际时间是下午 $6$ 点时，这只怪钟显示几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（真实经过多久）：从中午 $12$ 点到下午 $6$ 点共 $6$ 小时；怪钟一昼夜 $8$ 小时对应真实 $24$ 小时，所以怪钟经过 $6\div 24\times 8=\underline{\quad}$（怪小时）。
  2. 第 2 步（写出显示）：$4$ 点再过 $2$ 怪小时，显示 $4+2=\underline{\quad}$ 点整。
第三套
题目：某怪钟每昼夜 $8$ 小时，每小时 $125$ 分钟，显示 $4$ 点时实际是中午 $12$ 点。请问：（1）这只怪钟走 $1$ 怪小时，相当于真实的多少分钟？（2）当这只钟第一次显示 $5$ 点 $100$ 分时，实际是什么时间？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：真实一昼夜是 $24\times 60$ 分钟，怪钟一昼夜是 $8$ 怪小时，所以 $1$ 怪小时 $=24\times 60\div 8=\underline{\quad}$（真实分钟）。
  2. 第 2 步（第 (2) 问，怪钟经过多少怪分）：$125+100=\underline{\quad}$（怪分）。
  3. 第 3 步（化成怪小时）：$225\div 125=\underline{\quad}$（怪小时）。
  4. 第 4 步（乘单位速率）：$1.8\times 180=\underline{\quad}$（真实分钟）。
  5. 第 5 步（化成时分）：$324$ 分即 $5$ 小时 $324-300=\underline{\quad}$ 分，也就是下午 $5$ 点 $24$ 分。
23. 【原题 ch18-xingqu-01】有一片草地上原有 $300$ 千克草，如果这片草地每天能长出 $10$ 千克草，而每头牛每天要吃 $5$ 千克草，请问：$6$ 头牛几天会把这片草地吃完？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」中最基础的一类：原有草量已知、每天生长量已知、每头牛每天吃草量已知，求几天吃完。
关键切入点：草地上的草每天一边被吃、一边在长，真正减少的是「吃掉的－长出的」这个差，叫净消耗速度。只要算出每天净减少多少，用原有草量除以它就是天数。
方法概述：先求每天总吃草量，再减去每天生长量得净消耗，最后用原有量除以净消耗。
规范步骤：
  1. 算 6 头牛每天共吃多少草：$5\times 6=30$（千克）（每头牛每天吃 $5$ 千克）
  2. 算草地每天净减少多少：$30-10=20$（千克）（吃掉的减去长出的）
  3. 用原有草量除以净消耗速度：$300\div 20=15$（天）（原有量 ÷ 每天净减少量）
  4. 写出答案：$15$ 天
第一套
题目：有一片草地上原有 $720$ 千克草，这片草地每天能长出 $18$ 千克草，而每头牛每天要吃 $6$ 千克草。请问：$15$ 头牛几天会把这片草地吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先看每天吃掉多少）：$15$ 头牛每天一共吃 $6\times 15=\underline{\quad}$（千克）。
  2. 第 2 步（再看每天净减少多少）：草每天还会长出 $18$ 千克，所以草地每天真正减少 $90-18=\underline{\quad}$（千克）。
  3. 第 3 步（原有草量按净减少速度消耗）：$720\div 72=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：一个蓄水池里原有 $720$ 吨水，池底每天还会渗进 $18$ 吨水；现在用抽水机往外抽水，每台抽水机每天抽 $6$ 吨。请问：$15$ 台抽水机几天能把池水抽干？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每天抽走多少）：$15$ 台抽水机每天共抽 $6\times 15=\underline{\quad}$（吨）。
  2. 第 2 步（每天净减少多少）：每天还渗进 $18$ 吨，所以池水每天净减少 $90-18=\underline{\quad}$（吨）。
  3. 第 3 步（原有水量按净减少速度消耗）：$720\div 72=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：有一片草地上原有 $720$ 千克草，每天能长出 $18$ 千克草，每头牛每天吃 $6$ 千克草。请问：要恰好 $12$ 天把草吃完，应该放养多少头牛？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$12$ 天里草地一共能提供多少草）：原有的加上 $12$ 天长出的，$720+18\times 12=\underline{\quad}$（千克）。
  2. 第 2 步（摊到每天要吃多少）：$936\div 12=\underline{\quad}$（千克）。
  3. 第 3 步（换成牛的头数）：每头牛每天吃 $6$ 千克，$78\div 6=\underline{\quad}$（头）。
第三套
题目：有一片草地上原有 $720$ 千克草，每天能长出 $18$ 千克草，每头牛每天吃 $6$ 千克草。请问：（1）最多放养多少头牛，才能使这片草永远吃不完？（2）如果放养 $15$ 头牛，几天会把草吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（临界条件）：草永远吃不完，就是牛每天吃掉的不超过每天长出的 $18$ 千克，所以最多放 $18\div 6=\underline{\quad}$（头）牛。
  2. 第 2 步（$15$ 头牛每天吃掉多少）：$6\times 15=\underline{\quad}$（千克），超过了生长量。
  3. 第 3 步（每天净减少多少）：$90-18=\underline{\quad}$（千克）。
  4. 第 4 步（原有草量被吃完）：$720\div 72=\underline{\quad}$（天）。
24. 【原题 ch18-xingqu-02】有一片匀速生长的草地，可以供 $10$ 头牛吃 $20$ 天，或者供 $15$ 头牛吃 $10$ 天，那么这片草地上每天生长出的草量可以供几头牛吃 $1$ 天？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」中用差量法求每天生长量的一类：给出两组「牛数×天数」的方案，求草每天长出的量。
关键切入点：把每头牛每天吃的草记作 $1$ 份，两组方案吃掉的总份数之差，正是天数之差里草多长出来的量。因为两组方案吃光的都是「原有草＋这段时间长出的草」，原有草相同，差就只剩生长量。
方法概述：两方案总吃草量相减，除以天数差，得到每天生长量。
规范步骤：
  1. 第一种方案的总吃草量：$10\times 20=200$（份）（牛数×天数）
  2. 第二种方案的总吃草量：$15\times 10=150$（份）（牛数×天数）
  3. 两者之差是多出的那 $10$ 天的生长量：$200-150=50$（份）（原有草量相同，差即生长量）
  4. 求每天生长量：$50\div(20-10)=5$（份）（生长量 ÷ 天数差）
  5. 写出答案：每天长出的草可供 $5$ 头牛吃 $1$ 天
第一套
题目：有一片匀速生长的草地，可以供 $20$ 头牛吃 $30$ 天，或者供 $32$ 头牛吃 $15$ 天，那么这片草地上每天生长出的草量可以供几头牛吃 $1$ 天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位）：设每头牛每天吃 $1$ 份草。第一种方案共吃 $20\times 30=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：第二种方案共吃 $32\times 15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（作差）：两者相差 $600-480=\underline{\quad}$（份），这正是多出的 $30-15=\underline{\quad}$（天）里长出的草。
  4. 第 4 步（求每天生长量）：$120\div 15=\underline{\quad}$（份），即每天长出的草可供 \underline{\quad} 头牛吃 $1$ 天。
第二套
题目：一个水池底部每分钟均匀渗进一些水，池中原本已有一些水。用 $20$ 台抽水机可以 $30$ 分钟抽干，用 $32$ 台抽水机可以 $15$ 分钟抽干。那么每分钟渗进的水量相当于几台抽水机 $1$ 分钟的抽水量？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位）：设每台抽水机每分钟抽 $1$ 份水。第一种方案共抽 $20\times 30=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：第二种方案共抽 $32\times 15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（作差）：相差 $600-480=\underline{\quad}$（份），是多出的 $30-15=\underline{\quad}$（分钟）里渗进的水。
  4. 第 4 步（求每分钟渗水量）：$120\div 15=\underline{\quad}$（份），相当于 \underline{\quad} 台抽水机 $1$ 分钟的抽水量。
第三套
题目：有一片匀速生长的草地，可以供 $20$ 头牛吃 $30$ 天，或者供 $32$ 头牛吃 $15$ 天。请问：这片草地原有的草量相当于多少头牛吃 $1$ 天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每头牛每天吃 $1$ 份。第一种方案共吃 $20\times 30=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步：第二种方案共吃 $32\times 15=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（差量法求每天生长量）：$(600-480)\div(30-15)=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（扣掉生长量得原有量）：第一种方案的 $600$ 份里含 $30$ 天的生长量，$600-8\times 30=\underline{\quad}$（份）。
第三套
题目：有一片匀速生长的草地，可以供 $20$ 头牛吃 $30$ 天，或者供 $32$ 头牛吃 $15$ 天。请问：这片草地供 $26$ 头牛吃，可以吃多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法求每天生长量）：$(20\times 30-32\times 15)\div(30-15)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求原有草量）：$20\times 30-8\times 30=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（净消耗速度）：$26$ 头牛每天吃 $26$ 份，草每天长 $8$ 份，净减少 $26-8=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（原有草量被净消耗完）：$360\div 18=\underline{\quad}$（天）。
25. 【原题 ch18-xingqu-03】有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养 $24$ 头牛，$6$ 天就把草吃完；如果放养 $21$ 头牛，$8$ 天把草吃完。请问：（1）要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？（2）如果放养 $36$ 头牛，多少天可以把草吃完？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」的标准两问型：先用差量法求每天生长量与原有草量，再问永远吃不完的临界牛数与指定牛数吃完的天数。
关键切入点：设一头牛一天吃 $1$ 份。两种方案吃掉的总份数之差，是天数之差里长出的草；求出每天生长量后，回代任一方案即可得原有草量。草永远吃不完，等价于牛每天吃掉的不超过每天长出的。
方法概述：差量法求生长量与原有量，再分别用「临界＝生长量」和「原有量÷净消耗」作答。
规范步骤：
  1. 两方案总吃草量：$24\times 6=144$（份），$21\times 8=168$（份）（牛数×天数）
  2. 作差得 $2$ 天生长量：$168-144=24$（份）（原有草量相同）
  3. 每天生长量：$24\div 2=12$（份）（生长量 ÷ 天数差）
  4. 原有草量：$144-12\times 6=72$（份）（总量扣掉生长量）
  5. 第 (1) 问：临界牛数：$12$ 头（每天吃掉的不超过每天长出的）
  6. 第 (2) 问：$36$ 头牛的天数：$72\div(36-12)=3$（天）（原有量 ÷ 净消耗速度）
第一套
题目：有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果放养 $40$ 头牛，$9$ 天把草吃完；如果放养 $34$ 头牛，$12$ 天把草吃完。请问：（1）要使草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？（2）如果放养 $52$ 头牛，多少天可以把草吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每头牛每天吃 $1$ 份。两方案共吃 $40\times 9=\underline{\quad}$（份）和 $34\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（作差）：$408-360=\underline{\quad}$（份），这是多出的 $12-9=\underline{\quad}$（天）的生长量，故每天生长 $48\div 3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（回代求原有草量）：$360-16\times 9=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（第 (1) 问）：草永远吃不完，牛每天吃的不能超过生长量，最多放 \underline{\quad} 头牛。
  5. 第 5 步（第 (2) 问）：$52$ 头牛每天净吃 $52-16=\underline{\quad}$（份），$216\div 36=\underline{\quad}$（天）。
第二套
题目：有一片竹林，竹笋每天都在均匀地长出。如果放养 $40$ 只熊猫，$9$ 天把竹子吃完；如果放养 $34$ 只熊猫，$12$ 天吃完。请问：（1）要使竹子永远吃不完，最多可以放养多少只熊猫？（2）如果放养 $52$ 只熊猫，多少天可以吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设每只熊猫每天吃 $1$ 份。两方案共吃 $40\times 9=\underline{\quad}$（份）和 $34\times 12=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（作差）：$408-360=\underline{\quad}$（份），是多出的 $12-9=\underline{\quad}$（天）的生长量，每天生长 $48\div 3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（求原有量）：$360-16\times 9=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（第 (1) 问）：最多放 \underline{\quad} 只熊猫。
  5. 第 5 步（第 (2) 问）：净吃 $52-16=\underline{\quad}$（份），$216\div 36=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：有一片牧场，草每天均匀生长。放养 $40$ 头牛 $9$ 天吃完，放养 $34$ 头牛 $12$ 天吃完。请问：要恰好 $18$ 天把草吃完，应放养多少头牛？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法求每天生长量）：$(34\times 12-40\times 9)\div(12-9)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求原有草量）：$40\times 9-16\times 9=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（$18$ 天里草地一共提供的草）：$216+16\times 18=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（摊到每天，换成牛数）：$504\div 18=\underline{\quad}$（头）。
第三套
题目：有一片牧场，草每天均匀生长。放养 $40$ 头牛 $9$ 天吃完，放养 $34$ 头牛 $12$ 天吃完。现在先放养 $28$ 头牛吃 $6$ 天，然后再增加若干头牛，使得再过 $4$ 天恰好把草吃完。请问：增加了多少头牛？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法）：每天生长 $(34\times 12-40\times 9)\div(12-9)=\underline{\quad}$（份），原有草量 $40\times 9-16\times 9=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（前 $6$ 天分段结算）：吃掉 $28\times 6=\underline{\quad}$（份），同时长出 $16\times 6=\underline{\quad}$（份），此时草还剩 $216+96-168=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（后 $4$ 天要吃掉的草）：剩下的加上这 $4$ 天新长的，$144+16\times 4=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（换成牛数）：$208\div 4=\underline{\quad}$（头），所以增加了 $52-28=\underline{\quad}$（头）。
26. 【原题 ch18-xingqu-04】有一片匀速生长的草地，可以供 $18$ 头牛吃 $40$ 天，或者供 $12$ 头牛与 $36$ 只羊吃 $25$ 天，如果 $1$ 头牛每天的吃草量相当于 $3$ 只羊每天的吃草量，请问：这片草地让 $17$ 头牛与多少只羊一起吃，刚好 $16$ 天吃完？
详细思路
是哪类问题：这是「牛吃草问题」中的牛羊换算型：两种牲畜吃草量不同，先按倍数关系统一成同一种牲畜，再用差量法。
关键切入点：$1$ 头牛每天吃草量等于 $3$ 只羊，所以 $36$ 只羊可换成 $36\div 3=12$ 头牛，第二个方案就变成了 $24$ 头牛吃 $25$ 天，与第一个方案单位统一，才能作差。
方法概述：先把羊折算成牛，再差量法求生长量与原有量，最后逆求牛数并折回羊数。
规范步骤：
  1. 把羊折算成牛：$36\div 3=12$（头牛），第二方案为 $12+12=24$ 头牛吃 $25$ 天（$1$ 牛 $=3$ 羊）
  2. 两方案总吃草量：$18\times 40=720$（份），$24\times 25=600$（份）（牛数×天数）
  3. 作差求每天生长量：$(720-600)\div(40-25)=8$（份）（差量法）
  4. 求原有草量：$720-8\times 40=400$（份）（总量扣生长量）
  5. $16$ 天需要吃掉的草：$400+8\times 16=528$（份）（原有＋$16$ 天生长）
  6. 折成牛数：$528\div 16=33$（头）（总量 ÷ 天数）
  7. 多出的牛折回羊：$(33-17)\times 3=48$（只）（$1$ 牛 $=3$ 羊）
第一套
题目：有一片匀速生长的草地，可以供 $24$ 头牛吃 $50$ 天，或者供 $16$ 头牛与 $48$ 只羊吃 $30$ 天。已知 $1$ 头牛每天的吃草量相当于 $3$ 只羊每天的吃草量，请问：这片草地让 $25$ 头牛与多少只羊一起吃，刚好 $20$ 天吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一牲畜）：$48$ 只羊相当于 $48\div 3=\underline{\quad}$（头牛），第二方案即 $16+16=\underline{\quad}$（头牛）吃 $30$ 天。
  2. 第 2 步（两方案总吃草量）：$24\times 50=\underline{\quad}$（份），$32\times 30=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（作差求生长量）：$1200-960=\underline{\quad}$（份）是多出的 $50-30=\underline{\quad}$（天）的生长量，每天生长 $240\div 20=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求原有草量）：$1200-12\times 50=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步（$20$ 天需吃掉的草）：$600+12\times 20=\underline{\quad}$（份），折成牛数 $840\div 20=\underline{\quad}$（头）。
  6. 第 6 步（多出的牛折回羊）：$(42-25)\times 3=\underline{\quad}$（只）。
第二套
题目：一个池塘里的水草匀速生长，可以供 $24$ 条大鱼吃 $50$ 天，或者供 $16$ 条大鱼与 $48$ 条小鱼吃 $30$ 天。已知 $1$ 条大鱼每天的吃草量相当于 $3$ 条小鱼，请问：这些水草让 $25$ 条大鱼与多少条小鱼一起吃，刚好 $20$ 天吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一鱼种）：$48$ 条小鱼相当于 $48\div 3=\underline{\quad}$（条大鱼），第二方案即 $16+16=\underline{\quad}$（条大鱼）吃 $30$ 天。
  2. 第 2 步：$24\times 50=\underline{\quad}$（份），$32\times 30=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（作差）：$1200-960=\underline{\quad}$（份）对应 $50-30=\underline{\quad}$（天），每天生长 $240\div 20=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（原有量）：$1200-12\times 50=\underline{\quad}$（份）。
  5. 第 5 步：$600+12\times 20=\underline{\quad}$（份），$840\div 20=\underline{\quad}$（条大鱼）。
  6. 第 6 步（折回小鱼）：$(42-25)\times 3=\underline{\quad}$（条）。
第三套
题目：有一片匀速生长的草地，可以供 $24$ 头牛吃 $50$ 天，或者供 $16$ 头牛与 $48$ 只羊吃 $30$ 天（$1$ 头牛 $=3$ 只羊）。请问：这片草地供 $30$ 头牛与 $18$ 只羊一起吃，可以吃多少天？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法求每天生长量）：$(24\times 50-32\times 30)\div(50-30)=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求原有草量）：$24\times 50-12\times 50=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（把羊折成牛）：$18\div 3=\underline{\quad}$（头），一共相当于 $30+6=\underline{\quad}$（头牛）。
  4. 第 4 步（净消耗速度）：$36-12=\underline{\quad}$（份/天）。
  5. 第 5 步（原有量÷净消耗）：$600\div 24=\underline{\quad}$（天）。
第三套
题目：有一片匀速生长的草地，可以供 $24$ 头牛吃 $50$ 天，或者供 $16$ 头牛与 $48$ 只羊吃 $30$ 天（$1$ 头牛 $=3$ 只羊）。请问：（1）最多放养多少只羊，才能使草永远吃不完？（2）让 $25$ 头牛与多少只羊一起吃，刚好 $20$ 天吃完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（差量法）：每天生长 $(24\times 50-32\times 30)\div(50-30)=\underline{\quad}$（份），原有草量 $24\times 50-12\times 50=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问，临界条件）：每天生长量相当于 $12$ 头牛的食量，折成羊是 $12\times 3=\underline{\quad}$（只）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：$20$ 天要吃掉 $600+12\times 20=\underline{\quad}$（份），折成牛数 $840\div 20=\underline{\quad}$（头）。
  4. 第 4 步（多出的牛折回羊）：$(42-25)\times 3=\underline{\quad}$（只）。
27. 【原题 ch18-xingqu-05】有一座时钟现在显示上午 $10$ 点整，问：（1）多少分钟后，分针与时针第一次重合？（2）再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的指针重合型，本质是环形跑道上的追及问题：分针快、时针慢，分针追时针。
关键切入点：把钟面分成 $60$ 格，分针每分钟走 $1$ 格，时针每分钟走 $\frac{1}{12}$ 格，速度差是 $1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$ 格/分。$10$ 点整分针落后时针 $50$ 格，第一次重合就是追上这 $50$ 格；此后每追上一整圈 $60$ 格就再重合一次。
方法概述：追及路程 ÷ 速度差 = 追及时间。
规范步骤：
  1. 确定起始差距：$10$ 点整分针落后时针 $5\times 10=50$（格）（每小时刻度 $5$ 格）
  2. 速度差：$1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$（格/分）（分针 $1$ 格/分，时针 $\frac{1}{12}$ 格/分）
  3. 第 (1) 问追及时间：$50\div\frac{11}{12}=\frac{600}{11}=54\frac{6}{11}$（分钟）（路程÷速度差）
  4. 第 (2) 问：再追一整圈 $60$ 格：$60\div\frac{11}{12}=\frac{720}{11}=65\frac{5}{11}$（分钟）（两次重合间隔一圈）
第一套
题目：有一座时钟现在显示上午 $11$ 点整，问：（1）多少分钟后，分针与时针第一次重合？（2）再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始差距）：每一大格是 $5$ 小格，$11$ 点整分针落后时针 $5\times 11=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（速度差）：分针 $1$ 格/分、时针 $\frac{1}{12}$ 格/分，速度差为 $1-\frac{1}{12}=\underline{\quad}$（格/分）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：追及时间 $55\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：两次重合之间分针要多走一整圈 $60$ 格，$60\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：火车站的大挂钟此刻正指向 $11$ 点整。请问：（1）再过多少分钟，分针与时针第一次重合？（2）此后再过多少分钟，两针第二次重合？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始差距）：$11$ 点整分针落后时针 $5\times 11=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（速度差）：$1-\frac{1}{12}=\underline{\quad}$（格/分）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：$55\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：再多走一整圈 $60$ 格，$60\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：有一座时钟现在显示上午 $10$ 点整，请问：多少分钟后，分针与时针第一次成一条直线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始差距）：$10$ 点整分针落后时针 $5\times 10=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（判断目标位置）：两针成一条直线就是相差半圈，此时分针仍落后时针 $30$ 格，所以只要追上 $50-30=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（追及时间）：$20\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：有一座时钟现在显示上午 $10$ 点整，请问：（1）多少分钟后，分针与时针第一次垂直？（2）多少分钟后，两针第二次垂直？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（角度换算成格数）：整个钟面 $360^\circ$ 共 $60$ 格，每格 $6^\circ$，所以 $90^\circ$ 相当于 $90\div 6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（第一次垂直的位置）：$10$ 点整分针落后时针 $50$ 格，第一次垂直时分针仍落后 $15$ 格，追及路程 $50-15=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步：追及时间 $35\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（第二次垂直的位置）：这时分针已反超时针 $15$ 格，追及路程 $50+15=\underline{\quad}$（格）。
  5. 第 5 步：追及时间 $65\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
28. 【原题 ch18-xingqu-06】卡莉娅早上 $6$ 点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么卡莉娅到达学校的这段时间是几点几分？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的指针成直线型：两针成一条直线即相差半圈（$30$ 格），仍用追及思路处理。
关键切入点：关键是统一口径：全程都盯住『分针比时针多走了多少格』。$7$ 点整时分针在 $0$ 格、时针在 $35$ 格，分针只要再往前走 $25$ 格就追到时针，所以此刻记作『分针比时针多走 $25$ 格』——它和『分针落后时针 $35$ 格』说的是同一个位置，只差整整一圈（$25+35=60$），并不矛盾。两针成一条直线且分针在前方时，正是『分针比时针多走 $30$ 格』；两个量口径相同，追及路程就是 $30-25=5$ 格。
方法概述：统一口径为『分针比时针多走的格数』，把「成一条直线」翻译成多走 $30$ 格，再用追及路程 ÷ 速度差。
规范步骤：
  1. 定基准时刻两针位置：$7$ 点整：分针指向 $12$（$0$ 格），时针指向 $7$（$5\times 7=35$ 格）（整点时时针停在对应大格）
  2. 统一口径，算 $7$ 点整分针的领先量：分针比时针多走的记账值为 $60-35=25$（格）——『落后 $35$ 格』与『多走 $25$ 格』是同一位置；要真正重合，分针需相对再多走使记账值达 $60$（即再多走 $35$ 格）才追上，重合时相对差恰为整圈（『多走 $25$ 格』与『落后 $35$ 格』是同一位置，相差整一圈（$25+35=60$））
  3. 把目标也用同一口径翻译成格数：成一条直线（分针在前）即相差 $180^\circ\div 6^\circ=30$（格），也就是『分针比时针多走 $30$ 格』（每格 $6^\circ$，口径与第 2 步一致）
  4. 算从 $7$ 点起的追及路程：$30-25=5$（格）（两个领先量口径相同，直接相减）
  5. 速度差：$1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$（格/分）（分针 $1$ 格/分、时针 $\frac{1}{12}$ 格/分）
  6. 追及时间：$5\div\frac{11}{12}=\frac{60}{11}=5\frac{5}{11}$（分钟）（追及路程÷速度差）
  7. 写出到校时刻：$7$ 点 $5\frac{5}{11}$ 分（此刻分针恰好领先 $30$ 格，第一次成直线）
第一套
题目：卡莉娅早上 $8$ 点 $20$ 分出门，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么卡莉娅到达学校的时刻是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$8$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 8=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（走到 $8$ 点 $20$ 分）：这 $20$ 分钟里分针走 $20$ 格、时针走 $20\div 12=\underline{\quad}$（格），此时分针落后时针 $40-20+\frac{5}{3}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（把目标翻译成格数）：成一条直线即相差半圈 $30$ 格，此时分针要反超时针 $30$ 格，追及路程 $\frac{65}{3}+30=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（追及时间）：$\frac{155}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步（换算成时刻）：从 $8$ 点起共 $20+\frac{620}{11}=\underline{\quad}$（分），超过 $60$ 分，所以是 $9$ 点 \underline{\quad} 分。
第二套
题目：墨莫早上 $8$ 点 $20$ 分从家出发去少年宫，到达时他看了眼手表，时针和分针恰好第一次张开成一条直线。那么墨莫到达少年宫的时刻是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$8$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 8=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（走到 $8$ 点 $20$ 分）：分针走 $20$ 格、时针走 $20\div 12=\underline{\quad}$（格），分针落后 $40-20+\frac{5}{3}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（目标格数）：成直线即分针反超时针 $30$ 格，追及路程 $\frac{65}{3}+30=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（追及时间）：$\frac{155}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步（换算时刻）：$20+\frac{620}{11}=\underline{\quad}$（分），即 $9$ 点 \underline{\quad} 分。
第三套
题目：卡莉娅早上 $8$ 点 $20$ 分出门，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次重合。那么她到达学校的时刻是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$8$ 点 $20$ 分的差距）：$8$ 点整分针落后 $40$ 格，$20$ 分钟后落后 $40-20+\frac{20}{12}=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（重合即追平）：追及路程就是这 $\frac{65}{3}$ 格，追及时间 $\frac{65}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（换算时刻）：从 $8$ 点起共 $20+\frac{260}{11}=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：卡莉娅早上 $8$ 点 $20$ 分出门。请问：（1）此刻手表上时针与分针的夹角是多少度？（2）从此刻起再过多少分钟，两针第一次垂直？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求格数差）：$8$ 点整分针落后 $40$ 格，$20$ 分钟后落后 $40-20+\frac{20}{12}=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问，格数换角度）：每格 $6^\circ$，夹角为 $\frac{65}{3}\times 6=\underline{\quad}$（度）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问，目标格数）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（追及路程）：分针要把落后量从 $\frac{65}{3}$ 格缩小到 $15$ 格，$\frac{65}{3}-15=\underline{\quad}$（格）。
  5. 第 5 步（追及时间）：$\frac{20}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
29. 【原题 ch18-xingqu-07】小高在 $9$ 点与 $10$ 点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线，当小高解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合。请问：小高解完这道题用了多少分钟？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中两针相对位置变化型：起点是「成一条直线」，终点是「重合」，求中间经过的时间。
关键切入点：不必求出具体是几点几分——只要知道起点时两针相差 $30$ 格（成直线），终点时相差 $0$ 格（重合），追及路程就是 $30$ 格，与具体时刻无关。这正是钟表追及题最省力的地方。
方法概述：起终点位置差之差 = 追及路程，再除以速度差。
规范步骤：
  1. 起点位置关系：成一条直线时分针落后时针 $180\div 6=30$（格）（每格 $6^\circ$）
  2. 终点位置关系：重合时相差 $0$ 格，故追及路程为 $30$ 格（追平）
  3. 追及时间：$30\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\frac{360}{11}=32\frac{8}{11}$（分钟）（路程÷速度差）
第一套
题目：小高在 $8$ 点与 $9$ 点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线；当他解完这道题时，时针和分针刚好第二次重合。请问：小高解完这道题用了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起点位置）：成一条直线时分针落后时针 $180\div 6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（追及路程）：追上这 $30$ 格是第一次重合，再多走一整圈 $60$ 格才是第二次重合，共 $30+60=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（追及时间）：$90\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：墨莫在下午的某段时间里读一篇课文，开始读时挂钟的时针和分针正好成一条直线，读完时两针刚好第一次重合。请问：墨莫读这篇课文用了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起点位置）：成一条直线时两针相差 $180\div 6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（追及时间）：重合即追平这 $30$ 格，$30\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：小高开始解一道数学题时，手表的时针和分针正好第一次垂直（分针落后时针）；解完时两针刚好重合。请问：他解这道题用了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起点位置）：两针垂直即相差 $90\div 6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（追及时间）：重合即追平这 $15$ 格，$15\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：小高在 $9$ 点与 $10$ 点之间开始解一道数学题，当时时针与分针恰好成一条直线。请问：（1）他开始解题时是 $9$ 点几分？（2）从这一刻起再过多少分钟，两针第一次垂直？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$9$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 9=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（成直线的目标位置）：相差 $180\div 6=\underline{\quad}$（格），追及路程 $45-30=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问）：$15\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），即 $9$ 点 $16\frac{4}{11}$ 分。
  4. 第 4 步（第 (2) 问的目标位置）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{\quad}$（格），追及路程 $30-15=\underline{\quad}$（格）。
  5. 第 5 步：$15\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
30. 【原题 ch18-xingqu-08】下午 $6$ 点多时墨莫吃完晚饭后开始看动画片，动画片开始时他看了眼手表，发现时针和分针的夹角为 $110^\circ$。在新闻联播宣布动画片放完了，墨莫又看了眼手表，发现时针和分针的夹角仍是 $110^\circ$。那么动画片一共放了多少分钟？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的「前后夹角相同」型：开始与结束时两针夹角相同，求经过的时间。
关键切入点：关键是想明白这两个 $110^\circ$ 一个是分针落后、一个是分针反超。所以整段时间里分针相对时针走的路程是 $\frac{55}{3}+\frac{55}{3}=\frac{110}{3}$ 格，而不是 $0$。先用「每格 $6^\circ$」把角度化成格数，问题就变成一次追及。
方法概述：角度化格数，追及路程 = 落后量 + 反超量，再除以速度差。
规范步骤：
  1. 角度换算成格数：$360^\circ\div 60=6^\circ$ 每格，$110^\circ=110\div 6=\frac{55}{3}$（格）（每格 $6^\circ$）
  2. 确定追及路程：$\frac{55}{3}+\frac{55}{3}=\frac{110}{3}$（格）（由落后 $\frac{55}{3}$ 到反超 $\frac{55}{3}$）
  3. 追及时间：$\frac{110}{3}\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=40$（分钟）（路程÷速度差）
第一套
题目：下午 $6$ 点多时墨莫开始看动画片，此时手表上时针和分针的夹角为 $120^\circ$；动画片放完时，他发现两针夹角仍是 $120^\circ$。那么动画片一共放了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每格多少度）：$360\div 60=\underline{\quad}$（度）。
  2. 第 2 步（角度化格数）：$120^\circ$ 相当于 $120\div 6=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（追及路程）：开始时分针落后 $20$ 格，结束时分针反超 $20$ 格，共 $20+20=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（追及时间）：$40\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：下午 $6$ 点多时卡莉娅开始练琴，此时客厅挂钟的时针与分针夹角为 $110^\circ$；练完琴时她再看挂钟，两针夹角仍是 $110^\circ$。那么她一共练了多少分钟琴？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（角度化格数）：每格 $6^\circ$，$110^\circ$ 相当于 $110\div 6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（追及路程）：由落后 $\frac{55}{3}$ 格到反超 $\frac{55}{3}$ 格，共 $\frac{55}{3}+\frac{55}{3}=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（追及时间）：$\frac{110}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：下午 $6$ 点多时，时针与分针第一次成 $110^\circ$ 的夹角。请问：这是 $6$ 点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$6$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（角度化格数）：$110^\circ$ 相当于 $110\div 6=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（追及路程）：分针要把落后量从 $30$ 格缩小到 $\frac{55}{3}$ 格，$30-\frac{55}{3}=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（追及时间）：$\frac{35}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：下午 $6$ 点多时，时针与分针的夹角为 $110^\circ$；过了一段时间后，两针夹角仍为 $110^\circ$，且仍在 $6$ 点多。请问：（1）第一次是 $6$ 点几分？（2）第二次是 $6$ 点几分？（3）中间经过了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（$6$ 点整差距）：分针落后时针 $5\times 6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（角度化格数）：$110^\circ=110\div 6=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（第 (1) 问追及路程）：$30-\frac{55}{3}=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步：$\frac{35}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟），即 $6$ 点 $12\frac{8}{11}$ 分。
  5. 第 5 步（第 (3) 问）：由落后 $\frac{55}{3}$ 格到反超 $\frac{55}{3}$ 格，追及路程 $\frac{55}{3}+\frac{55}{3}=\underline{\quad}$（格），用时 $\frac{110}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  6. 第 6 步（第 (2) 问）：$\frac{140}{11}+40=\underline{\quad}$（分）。
31. 【原题 ch18-xingqu-09】在早晨 $6$ 点到 $7$ 点之间有一时刻，钟面上的数字"$6$"恰好在时针与分针的正中央，请问：这一时刻是 $6$ 点多少分？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的「某数字恰在两针正中央」型，本质是相遇（路程和）问题而非追及。
关键切入点：$6$ 点整时时针正好指着数字 $6$（第 $30$ 格），分针在 $0$ 格。此后时针继续往前、分针从后面赶来，数字 $6$ 要在两针正中央，就要求时针离开 $6$ 的距离等于分针离 $6$ 还差的距离，两段加起来正好是 $30$ 格——这就是路程和。
方法概述：把「某点在两针正中央」转化为路程和，路程和 ÷ 速度和 = 时间。
规范步骤：
  1. 确定路程和：从 $6$ 点起时针走过的距离与分针走过的距离之和为 $5\times 6=30$（格）（数字 $6$ 在第 $30$ 格）
  2. 速度和：$1+\frac{1}{12}=\frac{13}{12}$（格/分）（相向而行取速度和）
  3. 求时间：$30\div\frac{13}{12}=\frac{360}{13}=27\frac{9}{13}$（分钟）（路程和÷速度和）
第一套
题目：在早晨 $7$ 点到 $8$ 点之间有一时刻，钟面上的数字 $7$ 恰好在时针与分针的正中央，请问：这一时刻是 $7$ 点多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字 $7$ 的位置）：$7$ 点整时针正指数字 $7$，在第 $5\times 7=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（转化成路程和）：数字 $7$ 在正中央，说明时针离开它的距离等于分针离它还差的距离，两段之和恰为 $35$ 格。速度和为 $1+\frac{1}{12}=\underline{\quad}$（格/分）。
  3. 第 3 步（求时间）：$35\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：教室的挂钟在早晨 $7$ 点到 $8$ 点之间的某一时刻，钟面上的数字 $7$ 恰好位于时针与分针的正中央。请问：这一时刻是 $7$ 点多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字 $7$ 的位置）：在第 $5\times 7=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（速度和）：$1+\frac{1}{12}=\underline{\quad}$（格/分）。
  3. 第 3 步（路程和÷速度和）：$35\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：在早晨 $6$ 点到 $7$ 点之间有一时刻，钟面上的数字 $7$ 恰好在时针与分针的正中央，请问：这一时刻是 $6$ 点多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字 $7$ 的位置）：第 $5\times 7=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（$6$ 点整时针位置）：第 $5\times 6=\underline{\quad}$（格）。
  3. 第 3 步（列出正中央条件）：设经过 $t$ 分，分针在 $t$ 格、时针在 $30+\frac{t}{12}$ 格，正中央即两者之和等于 $2\times 35$，于是 $t+\frac{t}{12}=70-30=\underline{\quad}$（格）。
  4. 第 4 步（路程和÷速度和）：$40\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：在早晨 $6$ 点到 $7$ 点之间有一时刻，钟面上的数字 $6$ 恰好在时针与分针的正中央。请问：（1）这一时刻是 $6$ 点多少分？（2）此时时针与分针的夹角是多少度？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（路程和）：从 $6$ 点起两针走过的路程和为 $5\times 6=\underline{\quad}$（格）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：$30\div\frac{13}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（此时时针位置）：$30+\frac{360}{13}\div 12=\underline{\quad}$（格），分针在 $\frac{360}{13}$ 格。
  4. 第 4 步（格数差）：$\frac{420}{13}-\frac{360}{13}=\underline{\quad}$（格）。
  5. 第 5 步（换成角度）：每格 $6^\circ$，$\frac{60}{13}\times 6=\underline{\quad}$（度）。
32. 【原题 ch18-xingqu-10】一个快钟每小时比标准时间快 $1$ 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 $3$ 分钟。在将两个钟同时调到标准时间后，结果在 $24$ 小时内，快钟显示 $9$ 点整时，慢钟恰好显示 $8$ 点整。请问：这时候的标准时间是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「钟表问题」中的快慢钟型：两只走时不准的钟，用「每小时相差多少」这一速度差来求经过的时间。
关键切入点：快钟每小时比标准多 $1$ 分、慢钟每小时比标准少 $3$ 分，所以两钟每小时拉开 $1+3=4$ 分钟。题目说快钟显示 $9$ 点、慢钟显示 $8$ 点，两者相差整整 $60$ 分钟，由此可反推经过的标准时间。
方法概述：两钟每小时的差 → 由累计差求经过的标准时间 → 再由快钟与标准的差修正出标准时刻。
规范步骤：
  1. 两钟每小时拉开的差：$1+3=4$（分钟）（一快一慢，差相加）
  2. 由累计差 $60$ 分求经过时间：$60\div 4=15$（小时）（累计差÷每小时差）
  3. 快钟比标准多走的量：$1\times 15=15$（分钟）（每小时快 $1$ 分）
  4. 由快钟显示反推标准时刻：$9$ 点整往前推 $15$ 分，即 $8$ 点 $45$ 分（标准＝快钟－多走量）
第一套
题目：一个快钟每小时比标准时间快 $2$ 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 $4$ 分钟。在将两个钟同时调到标准时间后，结果在 $24$ 小时内，快钟显示 $9$ 点整时，慢钟恰好显示 $8$ 点整。请问：这时候的标准时间是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两钟每小时拉开多少）：一快一慢，$2+4=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（由累计差求经过的标准时间）：快钟比慢钟多走 $60$ 分钟，$60\div 6=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（快钟比标准多走多少）：$2\times 10=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（反推标准时刻）：快钟显示 $9$ 点整，标准时间要往前推 $20$ 分钟，即 $8$ 点 $60-20=\underline{\quad}$ 分。
第二套
题目：客厅的挂钟每小时比标准时间快 $2$ 分钟，卧室的闹钟每小时比标准时间慢 $4$ 分钟。某天把两个钟同时对准标准时间，一天之内，当挂钟显示 $9$ 点整时，闹钟恰好显示 $8$ 点整。请问：这时候的标准时间是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每小时拉开多少）：$2+4=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（求经过的标准时间）：$60\div 6=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（挂钟比标准多走多少）：$2\times 10=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（反推标准时刻）：$8$ 点 $60-20=\underline{\quad}$ 分。
第三套
题目：一个快钟每小时比标准时间快 $2$ 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 $4$ 分钟，同时调到标准时间后开始走。请问：经过多少标准小时，两个钟显示的时间恰好相差 $1$ 小时 $30$ 分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每小时拉开多少）：$2+4=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（把目标差化成分钟）：$1$ 小时 $30$ 分 $=60+30=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（累计差÷每小时差）：$90\div 6=\underline{\quad}$（小时）。
第三套
题目：一个快钟每小时比标准时间快 $2$ 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 $4$ 分钟。同时调到标准时间后，一天之内快钟显示 $9$ 点整时慢钟恰好显示 $8$ 点整。请问：（1）从校准到此刻经过了多少标准小时？（2）此刻的标准时间是多少？（3）此刻慢钟比标准时间慢了多少分钟？请用它验算慢钟的显示。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每小时拉开多少）：$2+4=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：$60\div 6=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：快钟多走 $2\times 10=\underline{\quad}$（分钟），标准时间是 $8$ 点 $60-20=\underline{\quad}$ 分。
  4. 第 4 步（第 (3) 问）：慢钟慢了 $4\times 10=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步（验算）：标准 $8$ 点 $40$ 分再减 $40$ 分钟，慢钟应显示 $8$ 点 $40-40=\underline{\quad}$ 分，与题目一致。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch18-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（把一号条件折到 $6$ 公顷）：$4$ 公顷供 $20$ 头牛吃 $3$ 天，则 $6$ 公顷供 $20\times 6\div 4$ 头牛吃 $3$ 天，共 $20\times 6\div 4\times 3=\underline{90}$（份），其中含 $3$ 天生长量。
    2. 第 2 步（二号牧场）：$20\times 5=\underline{100}$（份），其中含 $8$ 天生长量（先长 $3$ 天再被吃 $5$ 天）。
    3. 第 3 步（差量法求 $6$ 公顷每天生长量）：$(100-90)\div(8-3)=\underline{2}$（份）。
    4. 第 4 步（求 $6$ 公顷原有草量）：$90-2\times 3=\underline{84}$（份）。
    5. 第 5 步（按面积折到 $12$ 公顷）：每天生长 $2\times 12\div 6=\underline{4}$（份），原有 $84\times 12\div 6=\underline{168}$（份）。
    6. 第 6 步（第二群牛 $8$ 天要吃掉的草）：$168+4\times 8=\underline{200}$（份）。
    7. 第 7 步（求牛数）：$200\div 8=\underline{25}$（头）。
    最终答案：$25$ 头。
  2. 1. ch18-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（折到 $6$ 公顷）：$20\times 6\div 4\times 3=\underline{90}$（份），含 $3$ 天生长量。
    2. 第 2 步（二号鱼塘）：$20\times 5=\underline{100}$（份），含 $8$ 天生长量。
    3. 第 3 步（差量法）：$(100-90)\div(8-3)=\underline{2}$（份/天）。
    4. 第 4 步（原有量）：$90-2\times 3=\underline{84}$（份）。
    5. 第 5 步（折到 $12$ 公顷）：生长 $2\times 12\div 6=\underline{4}$（份/天），原有 $84\times 12\div 6=\underline{168}$（份）。
    6. 第 6 步：$168+4\times 8=\underline{200}$（份）。
    7. 第 7 步：$200\div 8=\underline{25}$（条）。
    最终答案：$25$ 条。
  3. 1. ch18-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（折到 $6$ 公顷）：$20\times 6\div 4\times 3=\underline{90}$（份），含 $3$ 天生长量。
    2. 第 2 步（二号牧场）：$20\times 5=\underline{100}$（份），含 $8$ 天生长量。
    3. 第 3 步（差量法）：$(100-90)\div(8-3)=\underline{2}$（份/天）。
    4. 第 4 步（原有量）：$90-2\times 3=\underline{84}$（份）。
    5. 第 5 步（原有量÷净消耗）：$84\div(9-2)=\underline{12}$（天）。
    最终答案：$12$ 天。
  4. 1. ch18-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（折到 $6$ 公顷）：$20\times 6\div 4\times 3=\underline{90}$（份），二号牧场 $20\times 5=\underline{100}$（份）。
    2. 第 2 步（差量法）：每天生长 $(100-90)\div(8-3)=\underline{2}$（份），原有 $90-2\times 3=\underline{84}$（份）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问，折到 $12$ 公顷）：每天生长 $2\times 12\div 6=\underline{4}$（份），即最多放这么多头牛。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：$12$ 公顷原有 $84\times 12\div 6=\underline{168}$（份）。
    5. 第 5 步：$(168+4\times 8)\div 8=\underline{25}$（头）。
    最终答案：（1）$4$ 头；（2）$25$ 头。
  5. 2. ch18-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（$7$ 点之前的重合，在 $6$ 点多）：$6$ 点整分针落后 $5\times 6=\underline{30}$（格），追及时间 $30\div\frac{11}{12}=\underline{360/11}$（分钟），即 $6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分，它距 $7$ 点 $60-\frac{360}{11}=\underline{300/11}$（分）。
    2. 第 2 步（$7$ 点之后的重合）：$7$ 点整分针落后 $5\times 7=\underline{35}$（格），追及时间 $35\div\frac{11}{12}=\underline{420/11}$（分钟），距 $7$ 点约 $38.2$ 分。
    3. 第 3 步（比较）：$\frac{300}{11}<\frac{420}{11}$，所以第 (1) 问答案是 $6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分。
    4. 第 4 步（第 (2) 问，写出对称条件）：设 $7$ 点 $t$ 分左右对称，分针在 $t$ 格、时针在 $35+\frac{t}{12}$ 格，两者位置之和为 $60$ 格，即 $\frac{13}{12}t=60-35=\underline{25}$（格）。
    5. 第 5 步（解出 $t$）：$25\div\frac{13}{12}=\underline{300/13}$（分钟），它距 $7$ 点只有约 $23.1$ 分，比 $7$ 点之前的对称时刻更近。
    最终答案：（1）$6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分；（2）$7$ 点 $23\frac{1}{13}$ 分。
  6. 2. ch18-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（$7$ 点前的重合）：$6$ 点整分针落后 $5\times 6=\underline{30}$（格），$30\div\frac{11}{12}=\underline{360/11}$（分钟），距 $7$ 点 $60-\frac{360}{11}=\underline{300/11}$（分）。
    2. 第 2 步（$7$ 点后的重合）：$5\times 7=\underline{35}$（格），$35\div\frac{11}{12}=\underline{420/11}$（分钟）。
    3. 第 3 步（比较后取近的）：第 (1) 问答案是 $6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分。
    4. 第 4 步（对称条件）：$\frac{13}{12}t=60-35=\underline{25}$（格）。
    5. 第 5 步：$25\div\frac{13}{12}=\underline{300/13}$（分钟）。
    最终答案：（1）$6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分；（2）$7$ 点 $23\frac{1}{13}$ 分。
  7. 2. ch18-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（$7$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 7=\underline{35}$（格）。
    2. 第 2 步（目标位置）：成一条直线即相差 $180\div 6=\underline{30}$（格），追及路程 $35-30=\underline{5}$（格）。
    3. 第 3 步（追及时间）：$5\div\frac{11}{12}=\underline{60/11}$（分钟），即 $7$ 点 $5\frac{5}{11}$ 分；而 $7$ 点之前最近的成直线时刻是 $6$ 点整，距 $7$ 点整整 $60$ 分，所以取前者。
    最终答案：$7$ 点 $5\frac{5}{11}$ 分。
  8. 2. ch18-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 问，$7$ 点前的重合）：$6$ 点整分针落后 $5\times 6=\underline{30}$（格），$30\div\frac{11}{12}=\underline{360/11}$（分钟），距 $7$ 点 $60-\frac{360}{11}=\underline{300/11}$（分）。
    2. 第 2 步（$7$ 点后的重合）：$5\times 7=\underline{35}$（格），$35\div\frac{11}{12}=\underline{420/11}$（分钟），比上面远，故取 $6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分。
    3. 第 3 步（第 (2) 问，对称条件）：$\frac{13}{12}t=60-35=\underline{25}$（格），$25\div\frac{13}{12}=\underline{300/13}$（分钟）。
    4. 第 4 步（第 (3) 问，成直线）：相差 $180\div 6=\underline{30}$（格），追及 $35-30=\underline{5}$（格），$5\div\frac{11}{12}=\underline{60/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$6$ 点 $32\frac{8}{11}$ 分；（2）$7$ 点 $23\frac{1}{13}$ 分；（3）$7$ 点 $5\frac{5}{11}$ 分。
  9. 3. ch18-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（两根分针的位置差）：$8$ 分钟后的分针比 $6$ 分钟前的分针多走 $8+6=\underline{14}$（格）。
    2. 第 2 步（搬到同一时刻）：方向相反即相差 $30$ 格，所以「$6$ 分钟前」那一刻，分针落后当时的时针 $14+30=\underline{44}$（格）。
    3. 第 3 步（$11$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 11=\underline{55}$（格）。
    4. 第 4 步（追及路程与时间）：$55-44=\underline{11}$（格），$11\div\frac{11}{12}=\underline{12}$（分钟），即「$6$ 分钟前」是 $11$ 点 $12$ 分。
    5. 第 5 步（回到现在）：$12+6=\underline{18}$，即 $11$ 点 $18$ 分。
    最终答案：$11$ 点 $18$ 分。
  10. 3. ch18-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（两根分针的位置差）：$8+6=\underline{14}$（格）。
    2. 第 2 步（搬到同一时刻）：$14+30=\underline{44}$（格），即「$6$ 分钟前」分针落后当时的时针这么多格。
    3. 第 3 步（$11$ 点整差距）：$5\times 11=\underline{55}$（格）。
    4. 第 4 步（追及）：$55-44=\underline{11}$（格），$11\div\frac{11}{12}=\underline{12}$（分钟）。
    5. 第 5 步（回到现在）：$12+6=\underline{18}$（分）。
    最终答案：$11$ 点 $18$ 分。
  11. 3. ch18-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（两根分针的位置差）：$4$ 分钟后的分针比 $8$ 分钟前的分针多走 $4+8=\underline{12}$（格）。
    2. 第 2 步（搬到同一时刻）：重合即相差 $0$ 格，所以「$8$ 分钟前」那一刻分针落后当时的时针恰好这 $12$ 格。
    3. 第 3 步（$9$ 点整差距）：$5\times 9=\underline{45}$（格），追及路程 $45-12=\underline{33}$（格）。
    4. 第 4 步（追及时间）：$33\div\frac{11}{12}=\underline{36}$（分钟），即「$8$ 分钟前」是 $9$ 点 $36$ 分。
    5. 第 5 步（回到现在）：$36+8=\underline{44}$（分）。
    最终答案：$9$ 点 $44$ 分。
  12. 3. ch18-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步：$8$ 分钟后的分针比 $6$ 分钟前的分针多走 $8+6=\underline{14}$（格）。
    2. 第 2 步：方向相反即相差 $30$ 格，「$6$ 分钟前」分针落后当时时针 $14+30=\underline{44}$（格）。
    3. 第 3 步：$11$ 点整分针落后 $5\times 11=\underline{55}$（格），追及路程 $55-44=\underline{11}$（格）。
    4. 第 4 步：$11\div\frac{11}{12}=\underline{12}$（分钟），故「$6$ 分钟前」是 $11$ 点 $12$ 分，现在是 $11$ 点 $12+6=\underline{18}$ 分。
    5. 第 5 步（第 (2) 问）：$11$ 点后两针重合要追 $55$ 格，$55\div\frac{11}{12}=\underline{60}$（分钟），即 $12$ 点整；从现在起还要 $60-18=\underline{42}$（分钟）。
    最终答案：（1）$11$ 点 $18$ 分；（2）$42$ 分钟。
  13. 4. ch18-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（准钟的重合周期）：分针要追上时针一整圈，$60\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\underline{720/11}$（分钟）。
    2. 第 2 步（建立比例）：这只钟走 $\frac{720}{11}$ 分钟，标准时间已过 $72$ 分钟，所以照此钟工作 $8$ 小时，实际是 $8\div\frac{720}{11}\times 72=\underline{8.8}$（小时）。
    3. 第 3 步（加班时间）：$8.8-8=\underline{0.8}$（小时）。
    4. 第 4 步（分段计费）：正常工资 $5\times 8=\underline{40}$（元），加班工资 $8\times 0.8=\underline{6.4}$（元）。
    5. 第 5 步（合计）：$40+6.4=\underline{46.4}$（元）。
    最终答案：$46.4$ 元。
  14. 4. ch18-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（准钟重合周期）：$60\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\underline{720/11}$（分钟）。
    2. 第 2 步（换算实际时间）：$8\div\frac{720}{11}\times 72=\underline{8.8}$（小时）。
    3. 第 3 步（加班时间）：$8.8-8=\underline{0.8}$（小时）。
    4. 第 4 步：正常 $5\times 8=\underline{40}$（元），加班 $8\times 0.8=\underline{6.4}$（元）。
    5. 第 5 步：$40+6.4=\underline{46.4}$（元）。
    最终答案：$46.4$ 元。
  15. 4. ch18-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（准钟的重合周期）：$60\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\underline{720/11}$（分钟）。
    2. 第 2 步（按比例换算）：$8\div\frac{720}{11}\times 72=\underline{8.8}$（小时）。
    最终答案：$8.8$ 小时，即 $8$ 小时 $48$ 分。
  16. 4. ch18-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（准钟重合周期）：$60\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=\underline{720/11}$（分钟）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：$8\div\frac{720}{11}\times 72=\underline{8.8}$（小时）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：$8.8-8=\underline{0.8}$（小时）。
    4. 第 4 步（第 (3) 问）：正常 $5\times 8=\underline{40}$（元），加班 $10\times 0.8=\underline{8}$（元）。
    5. 第 5 步（合计）：$40+8=\underline{48}$（元）。
    最终答案：（1）$8.8$ 小时；（2）$0.8$ 小时；（3）$48$ 元。
  17. 6. ch18-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（手表与闹钟的速度比）：$\frac{3600+60}{3600}=\underline{61/60}$。
    2. 第 2 步（闹钟与标准的速度比）：$\frac{3600-60}{3600}=\underline{59/60}$。
    3. 第 3 步（逐级相乘得手表与标准的速度比）：$\frac{61}{60}\times\frac{59}{60}=\underline{3599/3600}$，比 $1$ 小，说明手表比标准慢。
    4. 第 4 步（一天慢多少秒）：一天共 $24\times 3600$ 秒，慢的比例是 $\frac{1}{3600}$，$24\times 3600\div 3600=\underline{24}$（秒）。
    5. 第 5 步（写出显示时间）：比 $12$ 点差 $24$ 秒，即 $11$ 点 $59$ 分 $60-24=\underline{36}$ 秒。
    最终答案：$11$ 点 $59$ 分 $36$ 秒。
  18. 6. ch18-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（电子表与定时钟的速度比）：$\frac{3600+60}{3600}=\underline{61/60}$。
    2. 第 2 步（定时钟与标准的速度比）：$\frac{3600-60}{3600}=\underline{59/60}$。
    3. 第 3 步（相乘）：$\frac{61}{60}\times\frac{59}{60}=\underline{3599/3600}$。
    4. 第 4 步（一天慢多少秒）：$24\times 3600\div 3600=\underline{24}$（秒）。
    5. 第 5 步：$11$ 点 $59$ 分 $60-24=\underline{36}$ 秒。
    最终答案：$11$ 点 $59$ 分 $36$ 秒。
  19. 6. ch18-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（手表与闹钟的速度比）：$\frac{3600+60}{3600}=\underline{61/60}$。
    2. 第 2 步（闹钟与标准的速度比）：$\frac{3600-60}{3600}=\underline{59/60}$。
    3. 第 3 步（相乘）：$\frac{61}{60}\times\frac{59}{60}=\underline{3599/3600}$，说明每过 $1$ 秒手表就慢 $\frac{1}{3600}$ 秒。
    4. 第 4 步（$12$ 小时共慢多少秒）：$12\times 3600\div 3600=\underline{12}$（秒）。
    最终答案：$12$ 秒。
  20. 6. ch18-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步：手表与闹钟的速度比 $\frac{3600+60}{3600}=\underline{61/60}$，闹钟与标准的速度比 $\frac{3600-60}{3600}=\underline{59/60}$。
    2. 第 2 步（相乘）：$\frac{61}{60}\times\frac{59}{60}=\underline{3599/3600}$，即每过 $1$ 秒慢 $\frac{1}{3600}$ 秒。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：$24\times 3600\div 3600=\underline{24}$（秒）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：$11$ 点 $59$ 分 $60-24=\underline{36}$ 秒。
    5. 第 5 步（第 (3) 问）：$2$ 分钟 $=120$ 秒，$60\times 2\div 24=\underline{5}$（天）。
    最终答案：（1）$24$ 秒；（2）$11$ 点 $59$ 分 $36$ 秒；（3）$5$ 天。
  21. 9. ch18-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步：设每头牛每天吃 $1$ 份。两方案总吃草量为 $26\times 15=\underline{390}$（份）与 $31\times 12=\underline{372}$（份）。
    2. 第 2 步（差量法）：$(390-372)\div(15-12)=\underline{6}$（份），即每天生长这么多。
    3. 第 3 步（求原有量）：$390-6\times 15=\underline{300}$（份）。
    4. 第 4 步（第 (1) 问）：$56$ 头牛每天净吃 $56-6$ 份，$300\div(56-6)=\underline{6}$（天）。
    5. 第 5 步（第 (2) 问）：$20$ 天共需 $300+6\times 20$ 份，$(300+6\times 20)\div 20=\underline{21}$（头）。
    最终答案：（1）$6$ 天；（2）$21$ 头。
  22. 9. ch18-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步：设每只熊猫每天吃 $1$ 份。两方案总量 $26\times 15=\underline{390}$（份）、$31\times 12=\underline{372}$（份）。
    2. 第 2 步（差量法）：$(390-372)\div(15-12)=\underline{6}$（份）。
    3. 第 3 步（原有量）：$390-6\times 15=\underline{300}$（份）。
    4. 第 4 步（第 (1) 问）：$300\div(56-6)=\underline{6}$（天）。
    5. 第 5 步（第 (2) 问）：$(300+6\times 20)\div 20=\underline{21}$（只）。
    最终答案：（1）$6$ 天；（2）$21$ 只。
  23. 9. ch18-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法求每天生长量）：$(26\times 15-31\times 12)\div(15-12)=\underline{6}$（份）。
    2. 第 2 步（求原有量）：$26\times 15-6\times 15=\underline{300}$（份）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：牛每天吃掉的不能超过每天长出的，最多放 \underline{6} 头。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：$300\div(36-6)=\underline{10}$（天）。
    最终答案：（1）$6$ 头；（2）$10$ 天。
  24. 9. ch18-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法）：每天生长 $(26\times 15-31\times 12)\div(15-12)=\underline{6}$（份），原有量 $26\times 15-6\times 15=\underline{300}$（份）。
    2. 第 2 步（$10$ 天共需吃掉多少）：$300+6\times 10=\underline{360}$（份）。
    3. 第 3 步（折成每天的牛数）：$360\div 10=\underline{36}$（头）。
    4. 第 4 步（去掉已有的牛）：还需 $36-20=\underline{16}$（头牛）的食量。
    5. 第 5 步（折回羊）：$16\times 4=\underline{64}$（只）。
    最终答案：$64$ 只羊。
  25. 10. ch18-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步：设每头牛每天吃 $1$ 份。第一种情形共吃 $20\times 10=\underline{200}$（份）。
    2. 第 2 步（分段算第二种情形）：$20\times 2+24\times 6=\underline{184}$（份）。
    3. 第 3 步（作差）：多吃了 $200-184=\underline{16}$（份），对应多长的 $10-8=\underline{2}$（天），所以每天生长 $16\div 2=\underline{8}$（份）。
    4. 第 4 步（求原有草量）：$200-8\times 10=\underline{120}$（份）。
    5. 第 5 步（前 $2$ 天结算剩余）：$120+8\times 2-20\times 2=\underline{96}$（份）。
    6. 第 6 步（新的净消耗速度）：来了 $12$ 头后共 $32$ 头，$32-8=\underline{24}$（份/天）。
    7. 第 7 步：$96\div 24=\underline{4}$（天）。
    最终答案：$4$ 天。
  26. 10. ch18-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：设每台机器每天处理 $1$ 份。第一种方案共处理 $20\times 10=\underline{200}$（份）。
    2. 第 2 步（分段）：$20\times 2+24\times 6=\underline{184}$（份）。
    3. 第 3 步（作差）：$200-184=\underline{16}$（份）对应 $10-8=\underline{2}$（天），每天新增 $16\div 2=\underline{8}$（份）。
    4. 第 4 步（原有量）：$200-8\times 10=\underline{120}$（份）。
    5. 第 5 步（前 $2$ 天后剩余）：$120+8\times 2-20\times 2=\underline{96}$（份）。
    6. 第 6 步（新的净处理速度）：$32-8=\underline{24}$（份/天）。
    7. 第 7 步：$96\div 24=\underline{4}$（天）。
    最终答案：$4$ 天。
  27. 10. ch18-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：两种情形的总吃草量分别是 $20\times 10=\underline{200}$（份）和 $20\times 2+24\times 6=\underline{184}$（份）。
    2. 第 2 步（差量法）：$(200-184)\div(10-8)=\underline{8}$（份/天）。
    3. 第 3 步（求原有量）：$200-8\times 10=\underline{120}$（份）。
    4. 第 4 步（一次放足）：净消耗为 $32-8$ 份/天，$120\div(32-8)=\underline{5}$（天）。
    最终答案：$5$ 天。
  28. 10. ch18-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法求每天生长量）：$(20\times 10-(20\times 2+24\times 6))\div(10-8)=\underline{8}$（份）。
    2. 第 2 步（求原有草量）：$20\times 10-8\times 10=\underline{120}$（份）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：牛每天吃的不能超过每天长的，最多 \underline{8} 头。
    4. 第 4 步（第 (2) 问，前 $2$ 天结算）：剩余 $120+8\times 2-20\times 2=\underline{96}$（份）。
    5. 第 5 步：$96\div(32-8)=\underline{4}$（天）。
    最终答案：（1）$8$ 头；（2）$4$ 天。
  29. 11. ch18-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步：设每只羊每天吃 $1$ 份。两方案吃到的总量为 $50\times 30=\underline{1500}$（份）与 $35\times 40=\underline{1400}$（份）。
    2. 第 2 步（作差）：少吃了 $1500-1400=\underline{100}$（份），对应多出的 $40-30=\underline{10}$（天），所以每天减少 $100\div 10=\underline{10}$（份）。
    3. 第 3 步（求原有量，要把枯萎掉的加回去）：$1500+10\times 30=\underline{1800}$（份）。
    4. 第 4 步（每天草地共减少多少）：羊吃 $20$ 份、枯萎 $10$ 份，$1800\div(20+10)=\underline{60}$（天）。
    最终答案：$60$ 天。
  30. 11. ch18-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：设每人每天吃 $1$ 份。两方案吃到 $50\times 30=\underline{1500}$（份）与 $35\times 40=\underline{1400}$（份）。
    2. 第 2 步（作差）：$1500-1400=\underline{100}$（份）对应 $40-30=\underline{10}$（天），每天霉坏 $100\div 10=\underline{10}$（份）。
    3. 第 3 步（原有量）：$1500+10\times 30=\underline{1800}$（份）。
    4. 第 4 步：$1800\div(20+10)=\underline{60}$（天）。
    最终答案：$60$ 天。
  31. 11. ch18-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法求每天减少量）：$(50\times 30-35\times 40)\div(40-30)=\underline{10}$（份）。
    2. 第 2 步（求原有草量）：$50\times 30+10\times 30=\underline{1800}$（份）。
    3. 第 3 步（$45$ 天每天要消耗多少）：$1800\div 45=\underline{40}$（份）。
    4. 第 4 步（扣掉枯萎的部分）：$40-10=\underline{30}$（只）。
    最终答案：$30$ 只。
  32. 11. ch18-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法）：每天减少 $(50\times 30-35\times 40)\div(40-30)=\underline{10}$（份），原有草量 $50\times 30+10\times 30=\underline{1800}$（份）。
    2. 第 2 步（统一成羊）：$12$ 头牛相当于 $12\times 3=\underline{36}$（只羊），一共 $36+14=\underline{50}$（只羊）。
    3. 第 3 步（每天草地共减少多少）：羊吃 $50$ 份加枯萎 $10$ 份，$1800\div(50+10)=\underline{30}$（天）。
    最终答案：$30$ 天。
  33. 12. ch18-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步：设每根管每分钟注 $1$ 份。两次水管注入 $30\times 6=\underline{180}$（份）与 $10\times 12=\underline{120}$（份）。
    2. 第 2 步（作差）：第二次少注了 $180-120=\underline{60}$（份），却多用了 $12-6=\underline{6}$（分钟），所以每分钟雨水 $60\div 6=\underline{10}$（份）。
    3. 第 3 步（求水池容量）：$180+10\times 6=\underline{240}$（份）。
    4. 第 4 步（求时间）：每分钟共注入 $6+10$ 份，$240\div(6+10)=\underline{15}$（分钟）。
    最终答案：$15$ 分钟。
  34. 12. ch18-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步：设每条传送带每分钟送 $1$ 份。两次传送带送入 $30\times 6=\underline{180}$（份）与 $10\times 12=\underline{120}$（份）。
    2. 第 2 步（作差）：少送了 $180-120=\underline{60}$（份），多用了 $12-6=\underline{6}$（分钟），补货口每分钟送 $60\div 6=\underline{10}$（份）。
    3. 第 3 步（求货仓容量）：$180+10\times 6=\underline{240}$（份）。
    4. 第 4 步：$240\div(6+10)=\underline{15}$（分钟）。
    最终答案：$15$ 分钟。
  35. 12. ch18-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法求每分钟雨量）：$(30\times 6-10\times 12)\div(12-6)=\underline{10}$（份）。
    2. 第 2 步（求容量）：$30\times 6+10\times 6=\underline{240}$（份）。
    3. 第 3 步（$8$ 分钟里每分钟要注入多少）：$240\div 8=\underline{30}$（份）。
    4. 第 4 步（扣掉雨水）：$30-10=\underline{20}$（根）。
    最终答案：$20$ 根。
  36. 12. ch18-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法）：每分钟雨量 $(30\times 6-10\times 12)\div(12-6)=\underline{10}$（份），水池容量 $30\times 6+10\times 6=\underline{240}$（份）。
    2. 第 2 步（前 $5$ 分钟注入多少）：管与雨一起，$(6+10)\times 5=\underline{80}$（份）。
    3. 第 3 步（还差多少）：$240-80=\underline{160}$（份）。
    4. 第 4 步（雨停后全靠水管）：$160\div 5=\underline{32}$（份/分钟），即需要开这么多根管。
    最终答案：$32$ 根。
  37. 13. ch18-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（统一面积）：$6$ 公顷供 $12$ 头牛吃 $25$ 天，按面积放大到 $18$ 公顷即 $12\times 18\div 6=\underline{36}$（头）吃 $25$ 天。
    2. 第 2 步（两组总吃草量）：$36\times 25=\underline{900}$（份），$30\times 40=\underline{1200}$（份）。
    3. 第 3 步（差量法求 $18$ 公顷每天生长量）：$(1200-900)\div(40-25)=\underline{20}$（份）。
    4. 第 4 步（求 $18$ 公顷原有草量）：$900-20\times 25=\underline{400}$（份）。
    5. 第 5 步（$18$ 公顷供 $50$ 天的牛数）：原有量摊到每天，再加上每天的生长量，$400\div 50+20=\underline{28}$（头）。
    6. 第 6 步（按面积折到 $27$ 公顷）：$28\times 27\div 18=\underline{42}$（头）。
    最终答案：$42$ 头。
  38. 13. ch18-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（统一面积）：$12\times 18\div 6=\underline{36}$（条）吃 $25$ 天。
    2. 第 2 步：$36\times 25=\underline{900}$（份），$30\times 40=\underline{1200}$（份）。
    3. 第 3 步（差量法）：$(1200-900)\div(40-25)=\underline{20}$（份/天）。
    4. 第 4 步（原有量）：$900-20\times 25=\underline{400}$（份）。
    5. 第 5 步（$18$ 公顷供 $50$ 天）：$400\div 50+20=\underline{28}$（条）。
    6. 第 6 步（折到 $27$ 公顷）：$28\times 27\div 18=\underline{42}$（条）。
    最终答案：$42$ 条。
  39. 13. ch18-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法求 $18$ 公顷每天生长量）：$(30\times 40-12\times 18\div 6\times 25)\div(40-25)=\underline{20}$（份）。
    2. 第 2 步（求 $18$ 公顷原有草量）：$12\times 18\div 6\times 25-20\times 25=\underline{400}$（份）。
    3. 第 3 步（把 $27$ 公顷上的 $36$ 头牛折算到 $18$ 公顷）：$36\times 18\div 27=\underline{24}$（头）。
    4. 第 4 步（原有量÷净消耗）：$400\div(24-20)=\underline{100}$（天）。
    最终答案：$100$ 天。
  40. 13. ch18-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法求 $18$ 公顷每天生长量）：$(30\times 40-12\times 18\div 6\times 25)\div(40-25)=\underline{20}$（份）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问，按面积折到 $27$ 公顷）：$20\times 27\div 18=\underline{30}$（份/天），即最多放这么多头牛。
    3. 第 3 步（求 $18$ 公顷原有草量）：$12\times 18\div 6\times 25-20\times 25=\underline{400}$（份）。
    4. 第 4 步（$18$ 公顷供 $50$ 天的牛数）：$400\div 50+20=\underline{28}$（头）。
    5. 第 5 步（折到 $27$ 公顷）：$28\times 27\div 18=\underline{42}$（头）。
    最终答案：（1）$30$ 头；（2）$42$ 头。
  41. 14. ch18-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（起始差距）：$4$ 点整分针落后时针 $5\times 4=\underline{20}$（格）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：追及时间 $20\div\frac{11}{12}=\underline{240/11}$（分钟）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：重合后要再反超半圈 $30$ 格，$30\div\frac{11}{12}=\underline{360/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$21\frac{9}{11}$ 分钟；（2）$32\frac{8}{11}$ 分钟。
  42. 14. ch18-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（起始差距）：$5\times 4=\underline{20}$（格）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：$20\div\frac{11}{12}=\underline{240/11}$（分钟）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：再反超 $30$ 格，$30\div\frac{11}{12}=\underline{360/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$21\frac{9}{11}$ 分钟；（2）$32\frac{8}{11}$ 分钟。
  43. 14. ch18-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（起始差距）：$4$ 点整分针落后时针 $5\times 4=\underline{20}$（格）。
    2. 第 2 步（目标位置）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{15}$（格），此时分针仍落后。
    3. 第 3 步（追及路程）：$20-15=\underline{5}$（格）。
    4. 第 4 步（追及时间）：$5\div\frac{11}{12}=\underline{60/11}$（分钟）。
    最终答案：$5\frac{5}{11}$ 分钟。
  44. 14. ch18-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（起始差距与目标格数）：$4$ 点整分针落后 $5\times 4=\underline{20}$（格）；垂直即相差 $90\div 6=\underline{15}$（格）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：第一次垂直时分针仍落后 $15$ 格，追及 $20-15=\underline{5}$（格），用时 $5\div\frac{11}{12}=\underline{60/11}$（分钟）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：第二次垂直时分针已反超 $15$ 格，追及 $20+15=\underline{35}$（格），用时 $35\div\frac{11}{12}=\underline{420/11}$（分钟）。
    4. 第 4 步（第 (3) 问）：$\frac{420}{11}-\frac{60}{11}=\underline{360/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$5\frac{5}{11}$ 分钟；（2）$38\frac{2}{11}$ 分钟；（3）$32\frac{8}{11}$ 分钟。
  45. 15. ch18-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（$10$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 10=\underline{50}$（格）。
    2. 第 2 步（走到 $10$ 点 $25$ 分）：分针走 $25$ 格、时针走 $\frac{25}{12}$ 格，此时分针落后 $50-25+\frac{25}{12}=\underline{325/12}$（格）。
    3. 第 3 步（换算成角度）：每格 $6^\circ$，夹角为 $\frac{325}{12}\times 6=\underline{162.5}$（度）。
    4. 第 4 步（目标格数）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{15}$（格），追及路程 $\frac{325}{12}-15=\underline{145/12}$（格）。
    5. 第 5 步（追及时间）：$\frac{145}{12}\div\frac{11}{12}=\underline{145/11}$（分钟）。
    最终答案：夹角 $162.5^\circ$；再过 $13\frac{2}{11}$ 分钟第一次垂直。
  46. 15. ch18-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步：$10$ 点整分针落后 $5\times 10=\underline{50}$（格）。
    2. 第 2 步：$25$ 分钟后分针落后 $50-25+\frac{25}{12}=\underline{325/12}$（格）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：$\frac{325}{12}\times 6=\underline{162.5}$（度）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{15}$（格），追及 $\frac{325}{12}-15=\underline{145/12}$（格）。
    5. 第 5 步：$\frac{145}{12}\div\frac{11}{12}=\underline{145/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$162.5^\circ$；（2）$13\frac{2}{11}$ 分钟。
  47. 15. ch18-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（$10$ 点整差距）：$5\times 10=\underline{50}$（格）。
    2. 第 2 步（$10$ 点 $25$ 分的格数差）：$50-25+\frac{25}{12}=\underline{325/12}$（格）。
    3. 第 3 步（重合即追平）：$\frac{325}{12}\div\frac{11}{12}=\underline{325/11}$（分钟）。
    最终答案：$29\frac{6}{11}$ 分钟。
  48. 15. ch18-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步：$10$ 点整分针落后 $5\times 10=\underline{50}$（格）。
    2. 第 2 步：$10$ 点 $25$ 分时分针落后 $50-25+\frac{25}{12}=\underline{325/12}$（格）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：$\frac{325}{12}\times 6=\underline{162.5}$（度）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{15}$（格），$\left(\frac{325}{12}-15\right)\div\frac{11}{12}=\underline{145/11}$（分钟）。
    5. 第 5 步（第 (3) 问）：第二次垂直时分针已反超 $15$ 格，追及路程 $\frac{325}{12}+15=\underline{505/12}$（格），用时 $\frac{505}{12}\div\frac{11}{12}=\underline{505/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$162.5^\circ$；（2）$13\frac{2}{11}$ 分钟；（3）$45\frac{10}{11}$ 分钟。
  49. 16. ch18-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（$8$ 点整差距）：分针落后时针 $5\times 8=\underline{40}$（格）。
    2. 第 2 步（走到 $8$ 点 $30$ 分）：分针走 $30$ 格、时针走 $\frac{30}{12}$ 格，此时分针落后 $40-30+\frac{30}{12}=\underline{12.5}$（格）。
    3. 第 3 步（追及路程）：出来时夹角相同但方向相反，即分针反超 $12.5$ 格，共 $12.5+12.5=\underline{25}$（格）。
    4. 第 4 步（追及时间）：$25\div\frac{11}{12}=\underline{300/11}$（分钟）。
    5. 第 5 步（出来的时刻）：$30+\frac{300}{11}=\underline{630/11}$（分），即 $8$ 点 $57\frac{3}{11}$ 分。
    最终答案：$8$ 点 $57\frac{3}{11}$ 分，共花了 $27\frac{3}{11}$ 分钟。
  50. 16. ch18-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步：$8$ 点整分针落后 $5\times 8=\underline{40}$（格）。
    2. 第 2 步：$8$ 点 $30$ 分时分针落后 $40-30+\frac{30}{12}=\underline{12.5}$（格）。
    3. 第 3 步（追及路程）：由落后 $12.5$ 格到反超 $12.5$ 格，共 $12.5+12.5=\underline{25}$（格）。
    4. 第 4 步：$25\div\frac{11}{12}=\underline{300/11}$（分钟）。
    5. 第 5 步：$30+\frac{300}{11}=\underline{630/11}$（分）。
    最终答案：$8$ 点 $57\frac{3}{11}$ 分，共花了 $27\frac{3}{11}$ 分钟。
  51. 16. ch18-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步：$8$ 点整分针落后 $5\times 8=\underline{40}$（格）。
    2. 第 2 步：$8$ 点 $30$ 分时分针落后 $40-30+\frac{30}{12}=\underline{12.5}$（格）。
    3. 第 3 步（重合即追平）：$12.5\div\frac{11}{12}=\underline{150/11}$（分钟）。
    4. 第 4 步（出来的时刻）：$30+\frac{150}{11}=\underline{480/11}$（分）。
    最终答案：$8$ 点 $43\frac{7}{11}$ 分。
  52. 16. ch18-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步：$8$ 点整分针落后 $5\times 8=\underline{40}$（格）。
    2. 第 2 步：$8$ 点 $30$ 分时分针落后 $40-30+\frac{30}{12}=\underline{12.5}$（格）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问，格数换角度）：每格 $6^\circ$，$12.5\times 6=\underline{75}$（度）。
    4. 第 4 步（第 (3) 问）：追及路程 $12.5+12.5=\underline{25}$（格），用时 $25\div\frac{11}{12}=\underline{300/11}$（分钟）。
    5. 第 5 步（第 (2) 问）：$30+\frac{300}{11}=\underline{630/11}$（分）。
    最终答案：（1）$75^\circ$；（2）$8$ 点 $57\frac{3}{11}$ 分；（3）$27\frac{3}{11}$ 分钟。
  53. 17. ch18-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（时针一圈用多久）：$90\times 6=\underline{540}$（分钟），所以时针速度是 $\frac{1}{540}$ 圈/分。
    2. 第 2 步（速度差）：$\frac{1}{90}-\frac{1}{540}=\underline{1/108}$（圈/分）。
    3. 第 3 步（第三次成直角要反超多少圈）：依次是 $\frac14$ 圈、$\frac34$ 圈、$1+\frac14=\underline{5/4}$（圈）。
    4. 第 4 步（追及时间）：$\frac{5}{4}\div\frac{1}{108}=\underline{135}$（分钟）。
    最终答案：$135$ 分钟。
  54. 17. ch18-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（短针一圈用多久）：$90\times 6=\underline{540}$（分钟）。
    2. 第 2 步（速度差）：$\frac{1}{90}-\frac{1}{540}=\underline{1/108}$（圈/分）。
    3. 第 3 步（第三次成直角的反超圈数）：$1+\frac14=\underline{5/4}$（圈）。
    4. 第 4 步：$\frac{5}{4}\div\frac{1}{108}=\underline{135}$（分钟）。
    最终答案：$135$ 分钟。
  55. 17. ch18-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（时针一圈用多久）：$90\times 6=\underline{540}$（分钟）。
    2. 第 2 步（速度差）：$\frac{1}{90}-\frac{1}{540}=\underline{1/108}$（圈/分）。
    3. 第 3 步（第一次成直角要反超 $\frac14$ 圈）：$\frac{1}{4}\div\frac{1}{108}=\underline{27}$（分钟）。
    最终答案：$27$ 分钟。
  56. 17. ch18-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（时针一圈用多久）：$90\times 6=\underline{540}$（分钟）。
    2. 第 2 步（速度差）：$\frac{1}{90}-\frac{1}{540}=\underline{1/108}$（圈/分）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：相邻两次重合分针要反超整整 $1$ 圈，$1\div\frac{1}{108}=\underline{108}$（分钟）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问的反超圈数）：$1+\frac14=\underline{5/4}$（圈）。
    5. 第 5 步：$\frac{5}{4}\div\frac{1}{108}=\underline{135}$（分钟）。
    最终答案：（1）$108$ 分钟；（2）$135$ 分钟。
  57. 18. ch18-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（确定路程和）：位置对调说明两针路程和为整圈；由于时间超过 $1$ 小时不到 $2$ 小时，路程和是 $2$ 圈，即 $60\times 2=\underline{120}$（格）。
    2. 第 2 步（速度和）：$1+\frac{1}{12}=\underline{13/12}$（格/分）。
    3. 第 3 步（求时间）：$120\div\frac{13}{12}=\underline{1440/13}$（分钟）。
    最终答案：$110\frac{10}{13}$ 分钟。
  58. 18. ch18-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（速度和）：位置对调说明两针路程和恰为一圈 $60$ 格，速度和为 $1+\frac{1}{12}=\underline{13/12}$（格/分）。
    2. 第 2 步（求时间）：$60\div\frac{13}{12}=\underline{720/13}$（分钟）。
    最终答案：$55\frac{5}{13}$ 分钟。
  59. 18. ch18-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（数字 $4$ 的位置）：第 $5\times 4=\underline{20}$（格），$4$ 点整时时针正好指着它。
    2. 第 2 步（转化为路程和）：数字 $4$ 在正中央说明时针离开它的距离等于分针离它还差的距离，路程和为 $20$ 格；速度和为 $1+\frac{1}{12}=\underline{13/12}$（格/分）。
    3. 第 3 步（求时间）：$20\div\frac{13}{12}=\underline{240/13}$（分钟）。
    最终答案：$4$ 点 $18\frac{6}{13}$ 分。
  60. 18. ch18-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（路程和）：数字 $4$ 在第 $5\times 4=\underline{20}$（格），从 $4$ 点起两针路程和为 $20$ 格。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：$20\div\frac{13}{12}=\underline{240/13}$（分钟）。
    3. 第 3 步（此时时针位置）：$20+\frac{240}{13}\div 12=\underline{280/13}$（格）。
    4. 第 4 步（格数差）：$\frac{280}{13}-\frac{240}{13}=\underline{40/13}$（格）。
    5. 第 5 步（第 (2) 问）：每格 $6^\circ$，$\frac{40}{13}\times 6=\underline{240/13}$（度）。
    最终答案：（1）$4$ 点 $18\frac{6}{13}$ 分；（2）$\frac{240}{13}=18\frac{6}{13}$ 度。
  61. 19. ch18-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（目标刻度位置）：数字 $8$ 在第 $5\times 8=\underline{40}$（格）。
    2. 第 2 步（$6$ 点整时针位置）：第 $5\times 6=\underline{30}$（格），分针在第 $0$ 格。
    3. 第 3 步（写出正中央条件）：设过了 $t$ 分，分针在 $t$ 格、时针在 $30+\frac{t}{12}$ 格，两者平均值为 $40$，即 $t+\frac{t}{12}=2\times 40-30=\underline{50}$（格）。
    4. 第 4 步（速度和）：$1+\frac{1}{12}=\underline{13/12}$（格/分）。
    5. 第 5 步（求时间）：$50\div\frac{13}{12}=\underline{600/13}$（分钟）。
    最终答案：$6$ 点 $46\frac{2}{13}$ 分。
  62. 19. ch18-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（目标刻度）：数字 $8$ 在第 $5\times 8=\underline{40}$（格）。
    2. 第 2 步（$6$ 点整时针位置）：第 $5\times 6=\underline{30}$（格）。
    3. 第 3 步（正中央条件）：$t+\frac{t}{12}=2\times 40-30=\underline{50}$（格）。
    4. 第 4 步（速度和）：$1+\frac{1}{12}=\underline{13/12}$（格/分）。
    5. 第 5 步：$50\div\frac{13}{12}=\underline{600/13}$（分钟）。
    最终答案：$6$ 点 $46\frac{2}{13}$ 分。
  63. 19. ch18-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（目标刻度）：数字 $9$ 在第 $5\times 9=\underline{45}$（格）。
    2. 第 2 步（$7$ 点整时针位置）：第 $5\times 7=\underline{35}$（格）。
    3. 第 3 步（正中央条件）：$t+\frac{t}{12}=2\times 45-35=\underline{55}$（格）。
    4. 第 4 步（求时间）：$55\div\frac{13}{12}=\underline{660/13}$（分钟）。
    最终答案：$7$ 点 $50\frac{10}{13}$ 分。
  64. 19. ch18-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（目标刻度与起点）：数字 $8$ 在第 $5\times 8=\underline{40}$（格），$6$ 点整时针在第 $5\times 6=\underline{30}$（格）。
    2. 第 2 步（正中央条件）：$t+\frac{t}{12}=2\times 40-30=\underline{50}$（格）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：$50\div\frac{13}{12}=\underline{600/13}$（分钟）。
    4. 第 4 步（此时时针位置）：$30+\frac{600}{13}\div 12=\underline{440/13}$（格）。
    5. 第 5 步（格数差）：$\frac{600}{13}-\frac{440}{13}=\underline{160/13}$（格）。
    6. 第 6 步（第 (2) 问）：$\frac{160}{13}\times 6=\underline{960/13}$（度）。
    最终答案：（1）$6$ 点 $46\frac{2}{13}$ 分；（2）$\frac{960}{13}=73\frac{11}{13}$ 度。
  65. 20. ch18-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（定出比例）：闹钟走 $60$ 分钟时手表走 $60+6=\underline{66}$（分钟）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：闹钟从 $12$ 点走到 $5$ 点共 $60\times 5=\underline{300}$（分），手表走 $300\times\frac{66}{60}=\underline{330}$（分）。
    3. 第 3 步（化成时刻）：$330$ 分即 $5$ 小时 $330-300=\underline{30}$ 分。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：手表从 $12$ 点走到 $6$ 点 $36$ 分共 $60\times 6+36=\underline{396}$（分），闹钟走 $396\times\frac{60}{66}=\underline{360}$（分）。
    5. 第 5 步（化成时刻）：$360\div 60=\underline{6}$（小时），即 $6$ 点整。
    最终答案：（1）$5$ 点 $30$ 分；（2）$6$ 点整。
  66. 20. ch18-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（比例）：座钟 $60$ 分钟 $=$ 手环 $60+6=\underline{66}$（分钟）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：座钟走 $60\times 5=\underline{300}$（分），手环走 $300\times\frac{66}{60}=\underline{330}$（分）。
    3. 第 3 步：$330$ 分即 $5$ 小时 $330-300=\underline{30}$ 分。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：手环走 $60\times 6+36=\underline{396}$（分），座钟走 $396\times\frac{60}{66}=\underline{360}$（分）。
    5. 第 5 步：$360\div 60=\underline{6}$（小时）。
    最终答案：（1）$5$ 点 $30$ 分；（2）$6$ 点整。
  67. 20. ch18-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（比例）：闹钟 $60$ 分钟 $=$ 手表 $60+6=\underline{66}$（分钟）。
    2. 第 2 步（闹钟走了多久）：$60\times 7=\underline{420}$（分）。
    3. 第 3 步（换成手表）：$420\times\frac{66}{60}=\underline{462}$（分）。
    4. 第 4 步（化成时刻）：$462$ 分即 $7$ 小时 $462-420=\underline{42}$ 分。
    最终答案：$7$ 点 $42$ 分。
  68. 20. ch18-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（标准与闹钟的比例）：标准 $60$ 分钟 $=$ 闹钟 $60-6=\underline{54}$（分钟）。
    2. 第 2 步（标准走了多久）：$60\times 5=\underline{300}$（分）。
    3. 第 3 步（换成闹钟）：$300\times\frac{54}{60}=\underline{270}$（分）。
    4. 第 4 步（再换成手表）：$270\times\frac{66}{60}=\underline{297}$（分）。
    5. 第 5 步（化成时刻）：$297$ 分即 $4$ 小时 $297-240=\underline{57}$ 分，也就是下午 $4$ 点 $57$ 分。
    最终答案：下午 $4$ 点 $57$ 分。
  69. 21. ch18-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 问的比例）：标准 $60$ 分钟相当于闹钟 $60+4=\underline{64}$（分钟）。
    2. 第 2 步（闹钟走过的分钟数）：从晚上 $10$ 点到早上 $6$ 点是闹钟的 $8\times 60=\underline{480}$（分）。
    3. 第 3 步（换成标准时间）：$480\times\frac{60}{64}=\underline{450}$（分），即 $7$ 小时 $450-420=\underline{30}$ 分。
    4. 第 4 步（第 (2) 问的比例）：标准 $60$ 分钟相当于手表 $60-6=\underline{54}$（分钟）。
    5. 第 5 步（手表走过的分钟数）：$9\times 60=\underline{540}$（分）。
    6. 第 6 步（换成标准时间）：$540\times\frac{60}{54}=\underline{600}$（分），即 $600\div 60=\underline{10}$（小时）。
    最终答案：（1）早晨 $5$ 点 $30$ 分；（2）下午 $5$ 点整。
  70. 21. ch18-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步：标准 $60$ 分钟 $=$ 挂钟 $60+4=\underline{64}$（分钟）。
    2. 第 2 步：挂钟走过 $8\times 60=\underline{480}$（分）。
    3. 第 3 步：标准走过 $480\times\frac{60}{64}=\underline{450}$（分），即 $7$ 小时 $450-420=\underline{30}$ 分。
    4. 第 4 步：标准 $60$ 分钟 $=$ 座钟 $60-6=\underline{54}$（分钟）。
    5. 第 5 步：座钟走过 $9\times 60=\underline{540}$（分）。
    6. 第 6 步：标准走过 $540\times\frac{60}{54}=\underline{600}$（分），即 $600\div 60=\underline{10}$（小时）。
    最终答案：（1）早晨 $5$ 点 $30$ 分；（2）下午 $5$ 点整。
  71. 21. ch18-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（比例）：标准 $60$ 分钟 $=$ 闹钟 $60+4=\underline{64}$（分钟）。
    2. 第 2 步（标准走过多久）：$6\times 60=\underline{360}$（分）。
    3. 第 3 步（换成闹钟，注意方向是乘 $\frac{64}{60}$）：$360\times\frac{64}{60}=\underline{384}$（分）。
    4. 第 4 步（化成时刻）：$384$ 分即 $6$ 小时 $384-360=\underline{24}$ 分。
    最终答案：下午 $2$ 点 $24$ 分。
  72. 21. ch18-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（两个比例）：标准 $60$ 分钟 $=$ 闹钟 $60+4=\underline{64}$（分钟）$=$ 手表 $60-6=\underline{54}$（分钟）。
    2. 第 2 步（闹钟走过多久）：从 $8$ 点到 $4$ 点是闹钟的 $8\times 60=\underline{480}$（分）。
    3. 第 3 步（先换回标准时间）：$480\times\frac{60}{64}=\underline{450}$（分）。
    4. 第 4 步（再换成手表）：$450\times\frac{54}{60}=\underline{405}$（分）。
    5. 第 5 步（化成时刻）：$405$ 分即 $6$ 小时 $405-360=\underline{45}$ 分，也就是下午 $2$ 点 $45$ 分。
    最终答案：下午 $2$ 点 $45$ 分。
  73. 22. ch18-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（怪钟经过多少怪分）：从 $4$ 点到 $5$ 点 $100$ 分是 $1$ 怪小时又 $100$ 怪分，共 $125+100=\underline{225}$（怪分）。
    2. 第 2 步（化成怪小时）：$225\div 125=\underline{1.8}$（怪小时）。
    3. 第 3 步（换成真实时间）：怪钟一昼夜 $8$ 小时对应真实 $24$ 小时，$1.8\div 8\times 24=\underline{5.4}$（小时）。
    4. 第 4 步（化成时分）：$5.4$ 小时 $=5$ 小时 $0.4\times 60=\underline{24}$ 分。
    最终答案：下午 $5$ 点 $24$ 分。
  74. 22. ch18-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（星球钟经过多少分）：$125+100=\underline{225}$（分）。
    2. 第 2 步（化成星球小时）：$225\div 125=\underline{1.8}$（小时）。
    3. 第 3 步（换成地球时间）：$1.8\div 8\times 24=\underline{5.4}$（小时）。
    4. 第 4 步（化成时分）：$5$ 小时 $0.4\times 60=\underline{24}$ 分。
    最终答案：下午 $5$ 点 $24$ 分。
  75. 22. ch18-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（真实经过多久）：从中午 $12$ 点到下午 $6$ 点共 $6$ 小时；怪钟一昼夜 $8$ 小时对应真实 $24$ 小时，所以怪钟经过 $6\div 24\times 8=\underline{2}$（怪小时）。
    2. 第 2 步（写出显示）：$4$ 点再过 $2$ 怪小时，显示 $4+2=\underline{6}$ 点整。
    最终答案：怪钟显示 $6$ 点整。
  76. 22. ch18-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：真实一昼夜是 $24\times 60$ 分钟，怪钟一昼夜是 $8$ 怪小时，所以 $1$ 怪小时 $=24\times 60\div 8=\underline{180}$（真实分钟）。
    2. 第 2 步（第 (2) 问，怪钟经过多少怪分）：$125+100=\underline{225}$（怪分）。
    3. 第 3 步（化成怪小时）：$225\div 125=\underline{1.8}$（怪小时）。
    4. 第 4 步（乘单位速率）：$1.8\times 180=\underline{324}$（真实分钟）。
    5. 第 5 步（化成时分）：$324$ 分即 $5$ 小时 $324-300=\underline{24}$ 分，也就是下午 $5$ 点 $24$ 分。
    最终答案：（1）$180$ 分钟；（2）下午 $5$ 点 $24$ 分。
  77. 23. ch18-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（先看每天吃掉多少）：$15$ 头牛每天一共吃 $6\times 15=\underline{90}$（千克）。
    2. 第 2 步（再看每天净减少多少）：草每天还会长出 $18$ 千克，所以草地每天真正减少 $90-18=\underline{72}$（千克）。
    3. 第 3 步（原有草量按净减少速度消耗）：$720\div 72=\underline{10}$（天）。
    最终答案：$10$ 天。
  78. 23. ch18-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（每天抽走多少）：$15$ 台抽水机每天共抽 $6\times 15=\underline{90}$（吨）。
    2. 第 2 步（每天净减少多少）：每天还渗进 $18$ 吨，所以池水每天净减少 $90-18=\underline{72}$（吨）。
    3. 第 3 步（原有水量按净减少速度消耗）：$720\div 72=\underline{10}$（天）。
    最终答案：$10$ 天。
  79. 23. ch18-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（$12$ 天里草地一共能提供多少草）：原有的加上 $12$ 天长出的，$720+18\times 12=\underline{936}$（千克）。
    2. 第 2 步（摊到每天要吃多少）：$936\div 12=\underline{78}$（千克）。
    3. 第 3 步（换成牛的头数）：每头牛每天吃 $6$ 千克，$78\div 6=\underline{13}$（头）。
    最终答案：$13$ 头。
  80. 23. ch18-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（临界条件）：草永远吃不完，就是牛每天吃掉的不超过每天长出的 $18$ 千克，所以最多放 $18\div 6=\underline{3}$（头）牛。
    2. 第 2 步（$15$ 头牛每天吃掉多少）：$6\times 15=\underline{90}$（千克），超过了生长量。
    3. 第 3 步（每天净减少多少）：$90-18=\underline{72}$（千克）。
    4. 第 4 步（原有草量被吃完）：$720\div 72=\underline{10}$（天）。
    最终答案：（1）$3$ 头；（2）$10$ 天。
  81. 24. ch18-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（统一单位）：设每头牛每天吃 $1$ 份草。第一种方案共吃 $20\times 30=\underline{600}$（份）。
    2. 第 2 步：第二种方案共吃 $32\times 15=\underline{480}$（份）。
    3. 第 3 步（作差）：两者相差 $600-480=\underline{120}$（份），这正是多出的 $30-15=\underline{15}$（天）里长出的草。
    4. 第 4 步（求每天生长量）：$120\div 15=\underline{8}$（份），即每天长出的草可供 \underline{8} 头牛吃 $1$ 天。
    最终答案：$8$ 头。
  82. 24. ch18-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（统一单位）：设每台抽水机每分钟抽 $1$ 份水。第一种方案共抽 $20\times 30=\underline{600}$（份）。
    2. 第 2 步：第二种方案共抽 $32\times 15=\underline{480}$（份）。
    3. 第 3 步（作差）：相差 $600-480=\underline{120}$（份），是多出的 $30-15=\underline{15}$（分钟）里渗进的水。
    4. 第 4 步（求每分钟渗水量）：$120\div 15=\underline{8}$（份），相当于 \underline{8} 台抽水机 $1$ 分钟的抽水量。
    最终答案：$8$ 台。
  83. 24. ch18-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步：设每头牛每天吃 $1$ 份。第一种方案共吃 $20\times 30=\underline{600}$（份）。
    2. 第 2 步：第二种方案共吃 $32\times 15=\underline{480}$（份）。
    3. 第 3 步（差量法求每天生长量）：$(600-480)\div(30-15)=\underline{8}$（份）。
    4. 第 4 步（扣掉生长量得原有量）：第一种方案的 $600$ 份里含 $30$ 天的生长量，$600-8\times 30=\underline{360}$（份）。
    最终答案：$360$ 份，即相当于 $360$ 头牛吃 $1$ 天。
  84. 24. ch18-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法求每天生长量）：$(20\times 30-32\times 15)\div(30-15)=\underline{8}$（份）。
    2. 第 2 步（求原有草量）：$20\times 30-8\times 30=\underline{360}$（份）。
    3. 第 3 步（净消耗速度）：$26$ 头牛每天吃 $26$ 份，草每天长 $8$ 份，净减少 $26-8=\underline{18}$（份）。
    4. 第 4 步（原有草量被净消耗完）：$360\div 18=\underline{20}$（天）。
    最终答案：$20$ 天。
  85. 25. ch18-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步：设每头牛每天吃 $1$ 份。两方案共吃 $40\times 9=\underline{360}$（份）和 $34\times 12=\underline{408}$（份）。
    2. 第 2 步（作差）：$408-360=\underline{48}$（份），这是多出的 $12-9=\underline{3}$（天）的生长量，故每天生长 $48\div 3=\underline{16}$（份）。
    3. 第 3 步（回代求原有草量）：$360-16\times 9=\underline{216}$（份）。
    4. 第 4 步（第 (1) 问）：草永远吃不完，牛每天吃的不能超过生长量，最多放 \underline{16} 头牛。
    5. 第 5 步（第 (2) 问）：$52$ 头牛每天净吃 $52-16=\underline{36}$（份），$216\div 36=\underline{6}$（天）。
    最终答案：（1）$16$ 头；（2）$6$ 天。
  86. 25. ch18-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步：设每只熊猫每天吃 $1$ 份。两方案共吃 $40\times 9=\underline{360}$（份）和 $34\times 12=\underline{408}$（份）。
    2. 第 2 步（作差）：$408-360=\underline{48}$（份），是多出的 $12-9=\underline{3}$（天）的生长量，每天生长 $48\div 3=\underline{16}$（份）。
    3. 第 3 步（求原有量）：$360-16\times 9=\underline{216}$（份）。
    4. 第 4 步（第 (1) 问）：最多放 \underline{16} 只熊猫。
    5. 第 5 步（第 (2) 问）：净吃 $52-16=\underline{36}$（份），$216\div 36=\underline{6}$（天）。
    最终答案：（1）$16$ 只；（2）$6$ 天。
  87. 25. ch18-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法求每天生长量）：$(34\times 12-40\times 9)\div(12-9)=\underline{16}$（份）。
    2. 第 2 步（求原有草量）：$40\times 9-16\times 9=\underline{216}$（份）。
    3. 第 3 步（$18$ 天里草地一共提供的草）：$216+16\times 18=\underline{504}$（份）。
    4. 第 4 步（摊到每天，换成牛数）：$504\div 18=\underline{28}$（头）。
    最终答案：$28$ 头。
  88. 25. ch18-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法）：每天生长 $(34\times 12-40\times 9)\div(12-9)=\underline{16}$（份），原有草量 $40\times 9-16\times 9=\underline{216}$（份）。
    2. 第 2 步（前 $6$ 天分段结算）：吃掉 $28\times 6=\underline{168}$（份），同时长出 $16\times 6=\underline{96}$（份），此时草还剩 $216+96-168=\underline{144}$（份）。
    3. 第 3 步（后 $4$ 天要吃掉的草）：剩下的加上这 $4$ 天新长的，$144+16\times 4=\underline{208}$（份）。
    4. 第 4 步（换成牛数）：$208\div 4=\underline{52}$（头），所以增加了 $52-28=\underline{24}$（头）。
    最终答案：$24$ 头。
  89. 26. ch18-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（统一牲畜）：$48$ 只羊相当于 $48\div 3=\underline{16}$（头牛），第二方案即 $16+16=\underline{32}$（头牛）吃 $30$ 天。
    2. 第 2 步（两方案总吃草量）：$24\times 50=\underline{1200}$（份），$32\times 30=\underline{960}$（份）。
    3. 第 3 步（作差求生长量）：$1200-960=\underline{240}$（份）是多出的 $50-30=\underline{20}$（天）的生长量，每天生长 $240\div 20=\underline{12}$（份）。
    4. 第 4 步（求原有草量）：$1200-12\times 50=\underline{600}$（份）。
    5. 第 5 步（$20$ 天需吃掉的草）：$600+12\times 20=\underline{840}$（份），折成牛数 $840\div 20=\underline{42}$（头）。
    6. 第 6 步（多出的牛折回羊）：$(42-25)\times 3=\underline{51}$（只）。
    最终答案：$51$ 只羊。
  90. 26. ch18-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（统一鱼种）：$48$ 条小鱼相当于 $48\div 3=\underline{16}$（条大鱼），第二方案即 $16+16=\underline{32}$（条大鱼）吃 $30$ 天。
    2. 第 2 步：$24\times 50=\underline{1200}$（份），$32\times 30=\underline{960}$（份）。
    3. 第 3 步（作差）：$1200-960=\underline{240}$（份）对应 $50-30=\underline{20}$（天），每天生长 $240\div 20=\underline{12}$（份）。
    4. 第 4 步（原有量）：$1200-12\times 50=\underline{600}$（份）。
    5. 第 5 步：$600+12\times 20=\underline{840}$（份），$840\div 20=\underline{42}$（条大鱼）。
    6. 第 6 步（折回小鱼）：$(42-25)\times 3=\underline{51}$（条）。
    最终答案：$51$ 条小鱼。
  91. 26. ch18-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法求每天生长量）：$(24\times 50-32\times 30)\div(50-30)=\underline{12}$（份）。
    2. 第 2 步（求原有草量）：$24\times 50-12\times 50=\underline{600}$（份）。
    3. 第 3 步（把羊折成牛）：$18\div 3=\underline{6}$（头），一共相当于 $30+6=\underline{36}$（头牛）。
    4. 第 4 步（净消耗速度）：$36-12=\underline{24}$（份/天）。
    5. 第 5 步（原有量÷净消耗）：$600\div 24=\underline{25}$（天）。
    最终答案：$25$ 天。
  92. 26. ch18-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（差量法）：每天生长 $(24\times 50-32\times 30)\div(50-30)=\underline{12}$（份），原有草量 $24\times 50-12\times 50=\underline{600}$（份）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问，临界条件）：每天生长量相当于 $12$ 头牛的食量，折成羊是 $12\times 3=\underline{36}$（只）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：$20$ 天要吃掉 $600+12\times 20=\underline{840}$（份），折成牛数 $840\div 20=\underline{42}$（头）。
    4. 第 4 步（多出的牛折回羊）：$(42-25)\times 3=\underline{51}$（只）。
    最终答案：（1）$36$ 只；（2）$51$ 只。
  93. 27. ch18-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（起始差距）：每一大格是 $5$ 小格，$11$ 点整分针落后时针 $5\times 11=\underline{55}$（格）。
    2. 第 2 步（速度差）：分针 $1$ 格/分、时针 $\frac{1}{12}$ 格/分，速度差为 $1-\frac{1}{12}=\underline{11/12}$（格/分）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：追及时间 $55\div\frac{11}{12}=\underline{60}$（分钟）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：两次重合之间分针要多走一整圈 $60$ 格，$60\div\frac{11}{12}=\underline{720/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$60$ 分钟；（2）$65\frac{5}{11}$ 分钟。
  94. 27. ch18-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（起始差距）：$11$ 点整分针落后时针 $5\times 11=\underline{55}$（格）。
    2. 第 2 步（速度差）：$1-\frac{1}{12}=\underline{11/12}$（格/分）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：$55\div\frac{11}{12}=\underline{60}$（分钟）。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：再多走一整圈 $60$ 格，$60\div\frac{11}{12}=\underline{720/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$60$ 分钟；（2）$65\frac{5}{11}$ 分钟。
  95. 27. ch18-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（起始差距）：$10$ 点整分针落后时针 $5\times 10=\underline{50}$（格）。
    2. 第 2 步（判断目标位置）：两针成一条直线就是相差半圈，此时分针仍落后时针 $30$ 格，所以只要追上 $50-30=\underline{20}$（格）。
    3. 第 3 步（追及时间）：$20\div\frac{11}{12}=\underline{240/11}$（分钟）。
    最终答案：$21\frac{9}{11}$ 分钟。
  96. 27. ch18-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（角度换算成格数）：整个钟面 $360^\circ$ 共 $60$ 格，每格 $6^\circ$，所以 $90^\circ$ 相当于 $90\div 6=\underline{15}$（格）。
    2. 第 2 步（第一次垂直的位置）：$10$ 点整分针落后时针 $50$ 格，第一次垂直时分针仍落后 $15$ 格，追及路程 $50-15=\underline{35}$（格）。
    3. 第 3 步：追及时间 $35\div\frac{11}{12}=\underline{420/11}$（分钟）。
    4. 第 4 步（第二次垂直的位置）：这时分针已反超时针 $15$ 格，追及路程 $50+15=\underline{65}$（格）。
    5. 第 5 步：追及时间 $65\div\frac{11}{12}=\underline{780/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$38\frac{2}{11}$ 分钟；（2）$70\frac{10}{11}$ 分钟。
  97. 28. ch18-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（$8$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 8=\underline{40}$（格）。
    2. 第 2 步（走到 $8$ 点 $20$ 分）：这 $20$ 分钟里分针走 $20$ 格、时针走 $20\div 12=\underline{5/3}$（格），此时分针落后时针 $40-20+\frac{5}{3}=\underline{65/3}$（格）。
    3. 第 3 步（把目标翻译成格数）：成一条直线即相差半圈 $30$ 格，此时分针要反超时针 $30$ 格，追及路程 $\frac{65}{3}+30=\underline{155/3}$（格）。
    4. 第 4 步（追及时间）：$\frac{155}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{620/11}$（分钟）。
    5. 第 5 步（换算成时刻）：从 $8$ 点起共 $20+\frac{620}{11}=\underline{840/11}$（分），超过 $60$ 分，所以是 $9$ 点 \underline{180/11} 分。
    最终答案：$9$ 点 $16\frac{4}{11}$ 分。
  98. 28. ch18-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（$8$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 8=\underline{40}$（格）。
    2. 第 2 步（走到 $8$ 点 $20$ 分）：分针走 $20$ 格、时针走 $20\div 12=\underline{5/3}$（格），分针落后 $40-20+\frac{5}{3}=\underline{65/3}$（格）。
    3. 第 3 步（目标格数）：成直线即分针反超时针 $30$ 格，追及路程 $\frac{65}{3}+30=\underline{155/3}$（格）。
    4. 第 4 步（追及时间）：$\frac{155}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{620/11}$（分钟）。
    5. 第 5 步（换算时刻）：$20+\frac{620}{11}=\underline{840/11}$（分），即 $9$ 点 \underline{180/11} 分。
    最终答案：$9$ 点 $16\frac{4}{11}$ 分。
  99. 28. ch18-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（$8$ 点 $20$ 分的差距）：$8$ 点整分针落后 $40$ 格，$20$ 分钟后落后 $40-20+\frac{20}{12}=\underline{65/3}$（格）。
    2. 第 2 步（重合即追平）：追及路程就是这 $\frac{65}{3}$ 格，追及时间 $\frac{65}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{260/11}$（分钟）。
    3. 第 3 步（换算时刻）：从 $8$ 点起共 $20+\frac{260}{11}=\underline{480/11}$（分）。
    最终答案：$8$ 点 $43\frac{7}{11}$ 分。
  100. 28. ch18-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（先求格数差）：$8$ 点整分针落后 $40$ 格，$20$ 分钟后落后 $40-20+\frac{20}{12}=\underline{65/3}$（格）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问，格数换角度）：每格 $6^\circ$，夹角为 $\frac{65}{3}\times 6=\underline{130}$（度）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问，目标格数）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{15}$（格）。
    4. 第 4 步（追及路程）：分针要把落后量从 $\frac{65}{3}$ 格缩小到 $15$ 格，$\frac{65}{3}-15=\underline{20/3}$（格）。
    5. 第 5 步（追及时间）：$\frac{20}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{80/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$130^\circ$；（2）$7\frac{3}{11}$ 分钟。
  101. 29. ch18-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（起点位置）：成一条直线时分针落后时针 $180\div 6=\underline{30}$（格）。
    2. 第 2 步（追及路程）：追上这 $30$ 格是第一次重合，再多走一整圈 $60$ 格才是第二次重合，共 $30+60=\underline{90}$（格）。
    3. 第 3 步（追及时间）：$90\div\frac{11}{12}=\underline{1080/11}$（分钟）。
    最终答案：$98\frac{2}{11}$ 分钟。
  102. 29. ch18-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（起点位置）：成一条直线时两针相差 $180\div 6=\underline{30}$（格）。
    2. 第 2 步（追及时间）：重合即追平这 $30$ 格，$30\div\frac{11}{12}=\underline{360/11}$（分钟）。
    最终答案：$32\frac{8}{11}$ 分钟。
  103. 29. ch18-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（起点位置）：两针垂直即相差 $90\div 6=\underline{15}$（格）。
    2. 第 2 步（追及时间）：重合即追平这 $15$ 格，$15\div\frac{11}{12}=\underline{180/11}$（分钟）。
    最终答案：$16\frac{4}{11}$ 分钟。
  104. 29. ch18-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（$9$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 9=\underline{45}$（格）。
    2. 第 2 步（成直线的目标位置）：相差 $180\div 6=\underline{30}$（格），追及路程 $45-30=\underline{15}$（格）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问）：$15\div\frac{11}{12}=\underline{180/11}$（分钟），即 $9$ 点 $16\frac{4}{11}$ 分。
    4. 第 4 步（第 (2) 问的目标位置）：垂直即相差 $90\div 6=\underline{15}$（格），追及路程 $30-15=\underline{15}$（格）。
    5. 第 5 步：$15\div\frac{11}{12}=\underline{180/11}$（分钟）。
    最终答案：（1）$9$ 点 $16\frac{4}{11}$ 分；（2）$16\frac{4}{11}$ 分钟。
  105. 30. ch18-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（每格多少度）：$360\div 60=\underline{6}$（度）。
    2. 第 2 步（角度化格数）：$120^\circ$ 相当于 $120\div 6=\underline{20}$（格）。
    3. 第 3 步（追及路程）：开始时分针落后 $20$ 格，结束时分针反超 $20$ 格，共 $20+20=\underline{40}$（格）。
    4. 第 4 步（追及时间）：$40\div\frac{11}{12}=\underline{480/11}$（分钟）。
    最终答案：$43\frac{7}{11}$ 分钟。
  106. 30. ch18-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（角度化格数）：每格 $6^\circ$，$110^\circ$ 相当于 $110\div 6=\underline{55/3}$（格）。
    2. 第 2 步（追及路程）：由落后 $\frac{55}{3}$ 格到反超 $\frac{55}{3}$ 格，共 $\frac{55}{3}+\frac{55}{3}=\underline{110/3}$（格）。
    3. 第 3 步（追及时间）：$\frac{110}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{40}$（分钟）。
    最终答案：$40$ 分钟。
  107. 30. ch18-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（$6$ 点整的差距）：分针落后时针 $5\times 6=\underline{30}$（格）。
    2. 第 2 步（角度化格数）：$110^\circ$ 相当于 $110\div 6=\underline{55/3}$（格）。
    3. 第 3 步（追及路程）：分针要把落后量从 $30$ 格缩小到 $\frac{55}{3}$ 格，$30-\frac{55}{3}=\underline{35/3}$（格）。
    4. 第 4 步（追及时间）：$\frac{35}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{140/11}$（分钟）。
    最终答案：$6$ 点 $12\frac{8}{11}$ 分。
  108. 30. ch18-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（$6$ 点整差距）：分针落后时针 $5\times 6=\underline{30}$（格）。
    2. 第 2 步（角度化格数）：$110^\circ=110\div 6=\underline{55/3}$（格）。
    3. 第 3 步（第 (1) 问追及路程）：$30-\frac{55}{3}=\underline{35/3}$（格）。
    4. 第 4 步：$\frac{35}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{140/11}$（分钟），即 $6$ 点 $12\frac{8}{11}$ 分。
    5. 第 5 步（第 (3) 问）：由落后 $\frac{55}{3}$ 格到反超 $\frac{55}{3}$ 格，追及路程 $\frac{55}{3}+\frac{55}{3}=\underline{110/3}$（格），用时 $\frac{110}{3}\div\frac{11}{12}=\underline{40}$（分钟）。
    6. 第 6 步（第 (2) 问）：$\frac{140}{11}+40=\underline{580/11}$（分）。
    最终答案：（1）$6$ 点 $12\frac{8}{11}$ 分；（2）$6$ 点 $52\frac{8}{11}$ 分；（3）$40$ 分钟。
  109. 31. ch18-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（数字 $7$ 的位置）：$7$ 点整时针正指数字 $7$，在第 $5\times 7=\underline{35}$（格）。
    2. 第 2 步（转化成路程和）：数字 $7$ 在正中央，说明时针离开它的距离等于分针离它还差的距离，两段之和恰为 $35$ 格。速度和为 $1+\frac{1}{12}=\underline{13/12}$（格/分）。
    3. 第 3 步（求时间）：$35\div\frac{13}{12}=\underline{420/13}$（分钟）。
    最终答案：$7$ 点 $32\frac{4}{13}$ 分。
  110. 31. ch18-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（数字 $7$ 的位置）：在第 $5\times 7=\underline{35}$（格）。
    2. 第 2 步（速度和）：$1+\frac{1}{12}=\underline{13/12}$（格/分）。
    3. 第 3 步（路程和÷速度和）：$35\div\frac{13}{12}=\underline{420/13}$（分钟）。
    最终答案：$7$ 点 $32\frac{4}{13}$ 分。
  111. 31. ch18-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（数字 $7$ 的位置）：第 $5\times 7=\underline{35}$（格）。
    2. 第 2 步（$6$ 点整时针位置）：第 $5\times 6=\underline{30}$（格）。
    3. 第 3 步（列出正中央条件）：设经过 $t$ 分，分针在 $t$ 格、时针在 $30+\frac{t}{12}$ 格，正中央即两者之和等于 $2\times 35$，于是 $t+\frac{t}{12}=70-30=\underline{40}$（格）。
    4. 第 4 步（路程和÷速度和）：$40\div\frac{13}{12}=\underline{480/13}$（分钟）。
    最终答案：$6$ 点 $36\frac{12}{13}$ 分。
  112. 31. ch18-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（路程和）：从 $6$ 点起两针走过的路程和为 $5\times 6=\underline{30}$（格）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：$30\div\frac{13}{12}=\underline{360/13}$（分钟）。
    3. 第 3 步（此时时针位置）：$30+\frac{360}{13}\div 12=\underline{420/13}$（格），分针在 $\frac{360}{13}$ 格。
    4. 第 4 步（格数差）：$\frac{420}{13}-\frac{360}{13}=\underline{60/13}$（格）。
    5. 第 5 步（换成角度）：每格 $6^\circ$，$\frac{60}{13}\times 6=\underline{360/13}$（度）。
    最终答案：（1）$6$ 点 $27\frac{9}{13}$ 分；（2）$\frac{360}{13}=27\frac{9}{13}$ 度。
  113. 32. ch18-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（两钟每小时拉开多少）：一快一慢，$2+4=\underline{6}$（分钟）。
    2. 第 2 步（由累计差求经过的标准时间）：快钟比慢钟多走 $60$ 分钟，$60\div 6=\underline{10}$（小时）。
    3. 第 3 步（快钟比标准多走多少）：$2\times 10=\underline{20}$（分钟）。
    4. 第 4 步（反推标准时刻）：快钟显示 $9$ 点整，标准时间要往前推 $20$ 分钟，即 $8$ 点 $60-20=\underline{40}$ 分。
    最终答案：$8$ 点 $40$ 分。
  114. 32. ch18-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（每小时拉开多少）：$2+4=\underline{6}$（分钟）。
    2. 第 2 步（求经过的标准时间）：$60\div 6=\underline{10}$（小时）。
    3. 第 3 步（挂钟比标准多走多少）：$2\times 10=\underline{20}$（分钟）。
    4. 第 4 步（反推标准时刻）：$8$ 点 $60-20=\underline{40}$ 分。
    最终答案：$8$ 点 $40$ 分。
  115. 32. ch18-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（每小时拉开多少）：$2+4=\underline{6}$（分钟）。
    2. 第 2 步（把目标差化成分钟）：$1$ 小时 $30$ 分 $=60+30=\underline{90}$（分钟）。
    3. 第 3 步（累计差÷每小时差）：$90\div 6=\underline{15}$（小时）。
    最终答案：$15$ 小时。
  116. 32. ch18-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（每小时拉开多少）：$2+4=\underline{6}$（分钟）。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：$60\div 6=\underline{10}$（小时）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：快钟多走 $2\times 10=\underline{20}$（分钟），标准时间是 $8$ 点 $60-20=\underline{40}$ 分。
    4. 第 4 步（第 (3) 问）：慢钟慢了 $4\times 10=\underline{40}$（分钟）。
    5. 第 5 步（验算）：标准 $8$ 点 $40$ 分再减 $40$ 分钟，慢钟应显示 $8$ 点 $40-40=\underline{0}$ 分，与题目一致。
    最终答案：（1）$10$ 小时；（2）$8$ 点 $40$ 分；（3）慢 $40$ 分钟，慢钟显示 $8$ 点整，验算相符。