竞赛数学 · 五年级 第19讲《直线形计算三》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch19-chaoyue-01】在图 19-28 中，$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}=S_{\triangle CDE}=S_{\triangle DEF}=1$，请问：$S_{\triangle CDF}$ 是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「同高三角形面积比 = 底之比 + 递推累加」类：一串面积相等的三角形沿折线排开，要求其中一个新三角形的面积。
关键切入点：$\triangle ODE$ 与 $\triangle DEF$ 以 $OD$、$DF$ 为底、同高，所以 $OD:DF=S_{\triangle ODE}:S_{\triangle DEF}$。而 $S_{\triangle ODE}$ 可以由前面几块累加得到：$S_{\triangle OBC}=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle ABC}=2$，$S_{\triangle OCD}=S_{\triangle OBC}+S_{\triangle BCD}=3$，$S_{\triangle ODE}=S_{\triangle OCD}+S_{\triangle CDE}=4$。最后 $\triangle CDF$ 与 $\triangle OCD$ 同高，面积按 $DF:OD$ 分配。
方法概述：逐级累加求出大三角形 → 由面积比定线段比 → 再按线段比取面积。
规范步骤：
  1. 逐级累加：$S_{\triangle OBC}=1+1=2$，$S_{\triangle OCD}=2+1=3$，$S_{\triangle ODE}=3+1=4$（面积相加）
  2. 定线段比：$OD:DF=S_{\triangle ODE}:S_{\triangle DEF}=4:1$（同高三角形）
  3. 按比取面积：$S_{\triangle CDF}=\frac{1}{4}S_{\triangle OCD}=\frac{3}{4}$（同高三角形）
  4. 写出答案：$\frac{3}{4}$
第一套
题目：在图 19-28 中，$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}=S_{\triangle CDE}=S_{\triangle DEF}=2$，求 $S_{\triangle CDF}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（逐级累加）：$S_{\triangle OBC}=2+2=\underline{\quad}$，$S_{\triangle OCD}=4+2=\underline{\quad}$，$S_{\triangle ODE}=6+2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（定线段比）：$\frac{OD}{DF}=\frac{S_{\triangle ODE}}{S_{\triangle DEF}}=\frac{8}{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比取面积）：$S_{\triangle CDF}=6\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一条折线状的滩地被划成若干三角形（位置与图 19-28 相同），$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}=S_{\triangle CDE}=S_{\triangle DEF}=2$ 公顷。求三角形地块 $CDF$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（累加）：$S_{\triangle OBC}=2+2=\underline{\quad}$，$S_{\triangle OCD}=4+2=\underline{\quad}$，$S_{\triangle ODE}=6+2=\underline{\quad}$（公顷）。
  2. 第 2 步（定比）：$\frac{OD}{DF}=\frac{8}{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取面积）：$6\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$（公顷）。
第三套
题目：在图 19-28 中，$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}=S_{\triangle CDE}=S_{\triangle DEF}=2$。求 $S_{\triangle ODE}$ 与 $OD:DF$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（逐级累加）：$S_{\triangle OBC}=2+2=\underline{\quad}$，$S_{\triangle OCD}=4+2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（再加一块）：$S_{\triangle ODE}=6+2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（定线段比）：$\frac{OD}{DF}=\frac{8}{2}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在图 19-28 中，$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}=S_{\triangle CDE}=S_{\triangle DEF}=2$。求 $S_{\triangle CDF}$ 与 $S_{\triangle OCF}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（累加）：$S_{\triangle OCD}=2+2+2=\underline{\quad}$，$S_{\triangle ODE}=6+2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（定比取面积）：$\frac{DF}{OD}=\frac{2}{8}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle CDF}=6\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（拼接求 $\triangle OCF$）：$S_{\triangle OCF}=S_{\triangle OCD}+S_{\triangle CDF}=6+1.5=\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch19-chaoyue-02】如图 19-29，$ABCDEF$ 为正六边形。$G$、$H$、$I$、$J$、$K$、$L$ 分别为 $AB$、$BC$、$CD$、$DE$、$EF$、$FA$ 边上的三等分点，形成了正六边形 $GHIJKL$。请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？
详细思路
是哪类问题：这是「正六边形分割 + 鸟头模型 + 补集相减」类：在正六边形各边取三等分点连成小正六边形，求面积占比。
关键切入点：把大正六边形的中心与各顶点相连可知 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{6}S$。角 $B$ 处切掉的小三角形 $BGH$ 与 $\triangle ABC$ 共角 $B$，由鸟头模型 $\frac{S_{\triangle BGH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{BG}{BA}\times\frac{BH}{BC}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$。六个角完全一样，用 $S$ 减去六个即可。
方法概述：鸟头模型求一个角上的小三角形 → 乘 6 → 用整体减去。
规范步骤：
  1. 定基准三角形：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{6}S$（正六边形性质）
  2. 鸟头模型：$\frac{S_{\triangle BGH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$（共角 $B$）
  3. 求一个小三角形：$S_{\triangle BGH}=\frac{2}{9}\times\frac{1}{6}S=\frac{S}{27}$（两比相乘）
  4. 补集相减：$S-6\times\frac{S}{27}=\frac{7}{9}S$（六个角完全相同）
  5. 写出答案：$\frac{7}{9}$
第一套
题目：$ABCDEF$ 为正六边形，$G$、$H$、$I$、$J$、$K$、$L$ 分别是 $AB$、$BC$、$CD$、$DE$、$EF$、$FA$ 边上靠近后一个端点的四等分点（即 $BG=\frac{3}{4}BA$，$BH=\frac{1}{4}BC$），形成小正六边形 $GHIJKL$。小正六边形占大正六边形面积的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定基准）：$S_{\triangle ABC}=\underline{\quad}S$（写成分数）。
  2. 第 2 步（鸟头模型）：$\frac{S_{\triangle BGH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求一个小三角形）：$S_{\triangle BGH}=\frac{3}{16}\times\frac{1}{6}S=\underline{\quad}S$。
  4. 第 4 步（减去六个）：$1-6\times\frac{1}{32}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一个正六边形广场，每条边上取靠近后一个端点的四等分点，把这些点依次连起来铺成一块小正六边形草坪。草坪面积占广场面积的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定基准）：$S_{\triangle ABC}=\underline{\quad}S$。
  2. 第 2 步（鸟头模型）：$\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（一个小三角形）：$\frac{3}{16}\times\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（减六个）：$1-6\times\frac{1}{32}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$ABCDEF$ 为正六边形，各边上取靠近后一个端点的五等分点（即 $BG=\frac{4}{5}BA$，$BH=\frac{1}{5}BC$），连成小正六边形。小正六边形占大正六边形的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（鸟头模型）：$\frac{S_{\triangle BGH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{4}{5}\times\frac{1}{5}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（一个小三角形占大六边形）：$\frac{4}{25}\times\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（减去六个）：$1-6\times\frac{2}{75}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个正六边形的面积是 $96$ 平方厘米，各边上取靠近后一个端点的四等分点连成小正六边形。求小正六边形的面积，以及被切掉的六个小三角形的面积之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（鸟头模型）：$\frac{S_{\triangle BGH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（一个小三角形占比）：$\frac{3}{16}\times\frac{1}{6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（小正六边形占比）：$1-6\times\frac{1}{32}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求两个面积）：$96\times\frac{13}{16}=\underline{\quad}$，切掉的共 $96-78=\underline{\quad}$（平方厘米）。
3. 【原题 ch19-chaoyue-03】如图 19-30，等腰直角三角形 $ABC$ 的面积是 8，$AE=CF$，四边形 $BEOF$ 的面积比三角形 $AOC$ 的面积大 4，求 $AE$ 的长。
详细思路
是哪类问题：这是「共部分相消 + 和差问题」类：等腰直角三角形内两条线交出四块，已知两块面积之差求边长。
关键切入点：$\triangle ABF$ 与 $\triangle AEC$ 都含公共部分 $\triangle AOF$ 以外的部分，去掉公共的 $\triangle AOC$ 与四边形后可得 $S_{\triangle ABF}-S_{\triangle AEC}=S_{BEOF}-S_{\triangle AOC}=4$。又因为 $AE=CF$、$AB=BC$，$\triangle AEC$ 与 $\triangle AFC$ 面积相等，所以 $S_{\triangle ABF}+S_{\triangle AEC}=S_{\triangle ABC}=8$。有和有差，就能求出 $S_{\triangle AEC}$，再倒推 $AE$。
方法概述：共部分相消得差 → 等积变形得和 → 和差问题求出一块 → 由面积倒推边长。
规范步骤：
  1. 求直角边：$AB=BC=4$（$\frac{AB\times BC}{2}=8$ 且 $AB=BC$）
  2. 共部分相消得差：$S_{\triangle ABF}-S_{\triangle AEC}=4$（去掉同一公共部分）
  3. 等积变形得和：$S_{\triangle ABF}+S_{\triangle AEC}=S_{\triangle ABF}+S_{\triangle AFC}=8$（$AE=CF$ 且 $AB=BC$）
  4. 和差问题：$S_{\triangle AEC}=\frac{8-4}{2}=2$（（和 − 差）÷ 2）
  5. 倒推边长：$AE=\frac{2\times 2}{4}=1$（三角形面积公式）
  6. 写出答案：$AE=1$
第一套
题目：等腰直角三角形 $ABC$ 的面积是 $18$，$E$ 在 $AB$ 上、$F$ 在 $BC$ 上且 $AE=CF$，$AF$ 与 $CE$ 交于 $O$。若四边形 $BEOF$ 的面积比三角形 $AOC$ 的面积大 $6$，求 $AE$ 的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求直角边）：设直角边为 $a$，$\frac{a\times a}{2}=18$，所以 $a=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（共部分相消得差）：$S_{\triangle ABF}-S_{\triangle AEC}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（等积变形得和）：$S_{\triangle ABF}+S_{\triangle AEC}=S_{\triangle ABC}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（和差问题）：$S_{\triangle AEC}=\frac{18-6}{2}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（倒推边长）：$AE=\frac{2\times 6}{6}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块等腰直角三角形菜地 $ABC$ 面积是 $18$ 平方米，$E$、$F$ 分别在两条直角边上且 $AE=CF$，$AF$ 与 $CE$ 交于 $O$。四边形地块 $BEOF$ 比三角形地块 $AOC$ 大 $6$ 平方米，求 $AE$ 的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求直角边）：$\frac{a\times a}{2}=18$，$a=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（相消得差）：$S_{\triangle ABF}-S_{\triangle AEC}=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（等积得和）：$S_{\triangle ABF}+S_{\triangle AEC}=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（和差）：$S_{\triangle AEC}=\frac{18-6}{2}=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步（倒推）：$AE=\frac{2\times 6}{6}=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：等腰直角三角形 $ABC$ 的面积是 $18$，$AE=CF=2$，$AF$ 与 $CE$ 交于 $O$。求四边形 $BEOF$ 的面积比三角形 $AOC$ 的面积大多少。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求直角边）：$a=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $S_{\triangle AEC}$）：$\frac{2\times 6}{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求 $S_{\triangle ABF}$）：$18-6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（共部分相消求差）：$12-6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：等腰直角三角形 $ABC$ 的面积是 $18$，$AE=CF$，四边形 $BEOF$ 比三角形 $AOC$ 大 $6$。求 $AE$、三角形 $ABF$ 的面积与 $BE$ 的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求直角边）：$\frac{a\times a}{2}=18$，$a=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（和差问题）：$S_{\triangle AEC}=\frac{18-6}{2}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle ABF}=\frac{18+6}{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（倒推 $AE$）：$AE=\frac{2\times 6}{6}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求 $BE$）：$BE=6-2=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch19-chaoyue-04】如图 19-31，$ABCD$ 是正方形，$AE=DF=4$，已知三角形 $AEG$ 与三角形 $DEF$ 的面积比为 $2:3$，求三角形 $EFG$ 的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「鸟头模型 + 面积比例方程」类：正方形中由面积比反求分点位置，再求中间三角形。
关键切入点：以 $S=S_{\triangle ACD}$ 为基准。$\triangle AEG$ 与 $\triangle ACD$ 共角 $A$，$\triangle DEF$ 与 $\triangle ACD$ 共角 $D$，都能用鸟头模型写成 $S$ 的倍数。由 $AE=DF$、$AD=DC$ 知 $\frac{AE}{AD}=\frac{DF}{DC}$，两式相除时这一对因子约掉，得 $\frac{AG}{AC}:\frac{DE}{AD}=2:3$，而 $\frac{AG}{AC}=\frac{1}{2}$（对角线交点），于是 $\frac{DE}{AD}=\frac{3}{4}$。另外 $S_{\triangle AEG}+S_{\triangle CGF}=S_{\triangle DGC}=\frac{1}{2}S$，所以中间三角形 $=S-\frac{1}{2}S-S_{\triangle DEF}$。
方法概述：鸟头模型列比例 → 解出分点比 → 求边长与基准面积 → 整体减去两部分。
规范步骤：
  1. 由比例解出分点：$\frac{1}{2}:\frac{DE}{AD}=2:3\Rightarrow\frac{DE}{AD}=\frac{3}{4}$（鸟头模型比值相除）
  2. 求边长：$\frac{AE}{AD}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，$AE=4$，故 $AD=16$（部分与整体）
  3. 求基准面积：$S=S_{\triangle ACD}=\frac{16\times 16}{2}=128$（正方形一半）
  4. 求 $S_{\triangle DEF}$：$S_{\triangle DEF}=\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}\times 128=24$（鸟头模型）
  5. 整体减两部分：$S_{\triangle EFG}=128-\frac{1}{2}\times 128-24=40$（$S_{\triangle AEG}+S_{\triangle CGF}=\frac{1}{2}S$）
  6. 写出答案：$40$
第一套
题目：$ABCD$ 是正方形，$E$ 在 $AD$ 上、$F$ 在 $DC$ 上，$AE=DF=6$，两条对角线 $AC$、$BD$ 交于中心 $G$。已知三角形 $AEG$ 与三角形 $DEF$ 的面积比为 $4:7$，求三角形 $EFG$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列比例解分点）：$\frac{AG}{AC}=\frac{1}{2}$，由 $\frac{1}{2}:\frac{DE}{AD}=4:7$ 得 $\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}\times\frac{7}{4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $AD$）：$\frac{AE}{AD}=1-\frac{7}{8}=\underline{\quad}$，又 $AE=6$，所以 $AD=6\times 8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求基准面积）：$S=S_{\triangle ACD}=\frac{48\times 48}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（鸟头模型求 $S_{\triangle DEF}$）：$\frac{7}{8}\times\frac{1}{8}\times 1152=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（整体减两部分）：$1152-\frac{1152}{2}-126=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块正方形玻璃 $ABCD$，在边 $AD$、$DC$ 上分别取点 $E$、$F$，$AE=DF=6$ 厘米，两条对角线 $AC$、$BD$ 交于中心 $G$。已知三角形 $AEG$ 与三角形 $DEF$ 的面积比是 $4:7$，求三角形 $EFG$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（解分点）：$\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}\times\frac{7}{4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求边长）：$\frac{AE}{AD}=1-\frac{7}{8}=\underline{\quad}$，$AD=6\times 8=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（基准面积）：$\frac{48\times 48}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求 $S_{\triangle DEF}$）：$\frac{7}{8}\times\frac{1}{8}\times 1152=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（相减）：$1152-576-126=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：$ABCD$ 是正方形，$AE=DF=6$，两条对角线 $AC$、$BD$ 交于中心 $G$，三角形 $AEG$ 与三角形 $DEF$ 的面积比为 $2:3$，求三角形 $EFG$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（解分点）：$\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求边长）：$\frac{AE}{AD}=1-\frac{3}{4}=\underline{\quad}$，$AD=6\times 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（基准面积）：$\frac{24\times 24}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求 $S_{\triangle DEF}$）：$\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}\times 288=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（相减）：$288-144-54=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$ABCD$ 是正方形，$AE=DF=6$，两条对角线 $AC$、$BD$ 交于中心 $G$，三角形 $AEG$ 与三角形 $DEF$ 的面积比为 $4:7$。求三角形 $EFG$ 的面积，以及它占正方形 $ABCD$ 面积的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（解分点与边长）：$\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}\times\frac{7}{4}=\underline{\quad}$，$AD=6\div\left(1-\frac{7}{8}\right)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（基准面积与 $S_{\triangle DEF}$）：$S=\frac{48\times 48}{2}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle DEF}=\frac{7}{8}\times\frac{1}{8}\times 1152=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求 $S_{\triangle EFG}$）：$1152-576-126=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（正方形面积与占比）：$48\times 48=\underline{\quad}$，$\frac{450}{2304}=\underline{\quad}$。
5. 【原题 ch19-chaoyue-05】如图 19-32，正方形 $ABCD$ 的面积为 1，$BF=2FC$，求阴影四边形 $FHJG$ 的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「沙漏模型 + 面积相减求四边形」类：正方形内三条线交出一个小四边形，直接算不好算，就用“大三角形减小三角形”。
关键切入点：阴影四边形 $FHJG$ 可以看成 $\triangle DGF$ 去掉 $\triangle DHJ$。先算公共的大三角形 $\triangle DBF$：由 $BF=\frac{2}{3}BC$ 得 $S_{\triangle DBF}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$。再用沙漏定出三个交点在各线段上的位置：$AD:BF=3:2\Rightarrow DG=\frac{3}{5}DB$；$AD:FC=3:1\Rightarrow DH=\frac{3}{4}DF$；$J$ 是对角线交点，$DJ=\frac{1}{2}DB$。
方法概述：找一个包含阴影的大三角形 → 沙漏定三个分点比 → 两个三角形面积相减。
规范步骤：
  1. 求大三角形：$S_{\triangle DBF}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$（$BF=\frac{2}{3}BC$，$\triangle DBC$ 是正方形一半）
  2. 沙漏定 $G$：$\frac{DG}{DB}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$，$S_{\triangle DGF}=\frac{3}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{5}$（$AD\parallel BF$）
  3. 沙漏定 $H$、$J$：$\frac{DH}{DF}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$，$\frac{DJ}{DB}=\frac{1}{2}$（$AD\parallel FC$；对角线互相平分）
  4. 求小三角形：$S_{\triangle DHJ}=\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{8}$（鸟头模型）
  5. 相减：$S_{FHJG}=\frac{1}{5}-\frac{1}{8}=\frac{3}{40}$（面积相减）
  6. 写出答案：$\frac{3}{40}$
第一套
题目：正方形 $ABCD$ 的面积为 $120$，$F$ 在 $BC$ 上且 $BF=2FC$，$AF$ 与 $BD$ 交于 $G$，$DF$ 与 $AC$ 交于 $H$，$AC$ 与 $BD$ 交于 $J$。求阴影四边形 $FHJG$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求大三角形）：$BF=\frac{2}{3}BC$，$S_{\triangle DBC}=120\div 2=\underline{\quad}$，$S_{\triangle DBF}=60\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（沙漏定 $G$）：$\frac{DG}{DB}=\frac{AD}{AD+BF}=\frac{3}{3+2}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle DGF}=40\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（沙漏定 $H$、$J$）：$\frac{DH}{DF}=\frac{3}{3+1}=\underline{\quad}$，$\frac{DJ}{DB}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求小三角形）：$S_{\triangle DHJ}=40\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（相减）：$24-15=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块正方形苗圃 $ABCD$ 面积 $120$ 平方米，$F$ 在 $BC$ 上且 $BF=2FC$。小路 $AF$ 与 $BD$ 交于 $G$，$DF$ 与 $AC$ 交于 $H$，$AC$ 与 $BD$ 交于 $J$。求四边形地块 $FHJG$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（大三角形）：$120\div 2=\underline{\quad}$，$S_{\triangle DBF}=60\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（定 $G$）：$\frac{DG}{DB}=\frac{3}{5}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle DGF}=40\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（定 $H$、$J$）：$\frac{DH}{DF}=\underline{\quad}$，$\frac{DJ}{DB}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（小三角形）：$40\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步（相减）：$24-15=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：正方形 $ABCD$ 的面积为 $280$，$F$ 在 $BC$ 上且 $BF=3FC$，$AF$ 与 $BD$ 交于 $G$，$DF$ 与 $AC$ 交于 $H$，$AC$ 与 $BD$ 交于 $J$。求四边形 $FHJG$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（大三角形）：$BF=\frac{3}{4}BC$，$S_{\triangle DBF}=\frac{280}{2}\times\frac{3}{4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（沙漏定 $G$）：$\frac{DG}{DB}=\frac{4}{4+3}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle DGF}=105\times\frac{4}{7}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（沙漏定 $H$）：$\frac{DH}{DF}=\frac{4}{4+1}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle DHJ}=105\times\frac{4}{5}\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相减）：$60-42=\underline{\quad}$。
第三套
题目：正方形 $ABCD$ 的面积为 $120$，$F$ 在 $BC$ 上且 $BF=2FC$，$AF$ 与 $BD$ 交于 $G$，$DF$ 与 $AC$ 交于 $H$，$AC$ 与 $BD$ 交于 $J$。求四边形 $FHJG$ 的面积，以及它占正方形面积的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（大三角形）：$S_{\triangle DBF}=\frac{120}{2}\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（两个三角形）：$S_{\triangle DGF}=40\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle DHJ}=40\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相减）：$24-15=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求占比）：$\frac{9}{120}=\underline{\quad}$。
6. 【原题 ch19-chaoyue-06】如图 19-33，四边形 $BCDE$ 是正方形，三角形 $ABC$ 是直角三角形。若 $AB$ 长 3 厘米，$AC$ 长 4 厘米，试求三角形 $ABE$ 的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「旋转构造全等 + 三角形面积」类：正方形与直角三角形拼在一起，求斜着的那个三角形面积。
关键切入点：过 $E$ 作 $AB$ 所在直线的垂线 $EF$。因为 $BCDE$ 是正方形，$BE=BC$，且 $\angle EBF$ 与 $\angle CBA$ 互余关系使 $\triangle FEB$ 与 $\triangle ABC$ 全等（相当于把 $\triangle ABC$ 绕 $B$ 旋转 $90^\circ$）。于是 $EF=AB=3$，这条 $EF$ 正是 $\triangle ABE$ 以 $AB$ 为底时的高。妙处在于：答案只与 $AB$ 有关。
方法概述：旋转全等把高搬过来 → 底 × 高 ÷ 2。
规范步骤：
  1. 构造全等：$\triangle FEB\cong\triangle ABC$（旋转 $90^\circ$，$BE=BC$）
  2. 得到高：$EF=AB=3$（厘米）（全等对应边）
  3. 求面积：$S_{\triangle ABE}=\frac{3\times 3}{2}=4.5$（平方厘米）（三角形面积）
  4. 写出答案：$4.5$ 平方厘米
第一套
题目：四边形 $BCDE$ 是正方形，三角形 $ABC$ 是直角三角形（直角顶点为 $A$）。若 $AB$ 长 $5$ 厘米，$AC$ 长 $12$ 厘米，求三角形 $ABE$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（旋转构造全等）：过 $E$ 作 $AB$ 所在直线的垂线 $EF$，则 $\triangle FEB\cong\triangle ABC$，所以 $EF=AB=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（认清底和高）：$\triangle ABE$ 以 $AB$ 为底时，高就是 $EF=5$ 厘米。
  3. 第 3 步（求面积）：$\frac{5\times 5}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块正方形铁板 $BCDE$ 和一块直角三角形铁板 $ABC$（直角顶点 $A$）焊在一起，$AB$ 长 $5$ 分米，$AC$ 长 $12$ 分米。求三角形区域 $ABE$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（旋转全等）：$EF=AB=\underline{\quad}$（分米）。
  2. 第 2 步（求面积）：$\frac{5\times 5}{2}=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：四边形 $BCDE$ 是正方形，三角形 $ABC$ 是直角三角形（直角顶点 $A$），$AB=6$ 厘米，$AC=8$ 厘米。求三角形 $ABE$ 的面积与正方形 $BCDE$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（旋转全等求高）：$EF=AB=\underline{\quad}$（厘米），$S_{\triangle ABE}=\frac{6\times 6}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（勾股求正方形边长的平方）：$BC^2=6^2+8^2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（正方形面积）：正方形面积就是 $BC^2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：四边形 $BCDE$ 是正方形，三角形 $ABC$ 是直角三角形（直角顶点 $A$），$AB=5$ 厘米，$AC=12$ 厘米。求由正方形 $BCDE$、三角形 $ABC$ 与三角形 $ABE$ 拼成的整个图形的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（正方形面积）：$BC^2=5^2+12^2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（直角三角形面积）：$\frac{5\times 12}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（旋转全等求 $S_{\triangle ABE}$）：$EF=AB=5$，$\frac{5\times 5}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求和）：$169+30+12.5=\underline{\quad}$（平方厘米）。
7. 【原题 ch19-chaoyue-07】如图 19-34，一个长方形被分为面积比为 $5:6:7:8:9$ 的 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五块，其中 $A$ 和 $B$ 是长方形，且 $A$ 的长等于 $B$ 的周长的一半。请问：$A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 的周长比为多少？
详细思路
是哪类问题：这是「矩形分割 + 面积比与边长比 + 周长比较」类的结构型综合题：一个长方形被切成 5 块（右侧竖条 $A$、顶部横条 $B$ 都是矩形，中间大正方形再被切成三块 $C$、$D$、$E$），已知五块面积之比 $5:6:7:8:9$ 与“$A$ 的长 $=B$ 的周长一半”这个附加条件，求各块周长之比。
关键切入点：把主体正方形的四角记作 $L$（左上）、$M$（右上）、$H$（左下）、$Q$（右下）。切分方式是：从左上角 $L$ 向底边上一点 $P$ 连一条斜线，斜线上取一点 $O$ 再连 $OM$，于是 $D=\triangle LMO$（顶上）、$E=\triangle LHP$（左边）、$C=$ 四边形 $OMQP$（右边）。解法有三步骨架：① 面积比先定出 $B$ 与正方形的高之比（同宽两块，面积比就是高之比）；② 用“$A$ 的长 $=B$ 周长一半”把正方形的宽也钉死，从而所有外框长度可用一个单位表示；③ 正方形内部再用三块的面积比定出 $O$、$P$ 的位置，靠对称性与勾股关系（都是 $3$-$4$-$5$）算出每条斜边，最后各块的边相加即得周长比。
方法概述：面积比定高之比 → 附加条件定正方形宽与统一单位 → 内部面积比定 $O$、$P$ → 勾股求各斜边 → 逐块求周长化简。
规范步骤：
  1. 面积比→高之比：$B$ 与正方形上下同宽叠放，$MN:MQ=S_B:S_{C+D+E}=6:(7+8+9)=6:24=1:4$。令 $B$ 高 $=a$，正方形高 $=4a$（同宽两块，面积比 = 高之比）
  2. 附加条件定正方形宽：$A$ 的高 $=$ 全高 $=5a$（即 $A$ 的长边）；$B$ 周长 $=2(w+a)$。由“$A$ 的长 $=B$ 周长一半”得 $5a=\tfrac{1}{2}\cdot 2(w+a)=w+a$，故 $w=4a$——主体是 $4a\times 4a$ 的正方形（翻译附加长度条件）
  3. 定单位与各外框长：由 $S_B:S_A=6:5$、$S_B=w\cdot a=4a^2$ 得 $A$ 的宽 $NJ=\frac{2}{3}a$。取 $NJ=1$ 为单位，则 $a=1.5$，正方形边长 $4a=6$，$A$ 为 $1\times 7.5$，$B$ 为 $6\times 1.5$（面积比定 A 的宽，选定长度单位）
  4. 两个矩形的周长：$C_B=2(6+1.5)=15$，$C_A=2(1+7.5)=17$（矩形周长公式）
  5. 内部面积比定 $O$（顶块 $D$）：$D=\triangle LMO$ 占正方形 $\frac{8}{24}=\frac13$，$S_D=\frac{6\times 6}{3}=12$；以顶边 $LM=6$ 为底，高 $=\frac{2\times 12}{6}=4$，故 $O$ 距顶边 $4$、距底边 $2$。由对称性 $O$ 在竖直中线上，距两侧各 $3$（面积定高 + 图形对称）
  6. 勾股求 $D$ 的两斜边与周长：$LO=OM=\sqrt{3^2+4^2}=5$（$3$-$4$-$5$）。$C_D=LM+LO+OM=6+5+5=16$（勾股定理 + 三边相加）
  7. 面积比定 $P$（左块 $E$）：$E=\triangle LHP$ 占正方形 $\frac{9}{24}$，$S_E=\frac{6\times 6\times 9}{24}=13.5=\frac{LH\times HP}{2}=\frac{6\times HP}{2}$，解得 $HP=4.5$；斜边 $LP=\sqrt{4.5^2+6^2}=7.5$，$C_E=LH+HP+PL=6+4.5+7.5=18$（面积定底 + 勾股）
  8. 求右块 $C$ 的周长：$O$ 把斜线 $LP$ 分成 $LO=5$、$OP=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5$；底边余下 $PQ=6-4.5=1.5$。四边形 $OMQP$：$C_C=OM+MQ+QP+PO=5+6+1.5+2.5=15$（沿斜线分段 + 勾股 + 四边相加）
  9. 汇总周长比：$A:B:C:D:E=17:15:15:16:18$（五块周长依次排列）
8. 【原题 ch19-chaoyue-08】如图 19-35，三角形 $ABC$ 为等腰直角三角形，$C$ 为直角顶点，$P$、$Q$ 为 $AB$ 边上的两点。又已知 $AP$ 长度为 3，$BQ$ 长度为 4，$\angle PCQ=45^\circ$，那么 $PQ$ 的长度是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「半角模型：旋转构造全等 + 勾股定理」类：等腰直角三角形斜边上两点对直角顶点张成 $45^\circ$，求两点间距离。
关键切入点：把 $\triangle APC$ 绕 $C$ 旋转 $90^\circ$ 使 $CA$ 与 $CB$ 重合，$P$ 落到 $P'$，于是 $BP'=AP=3$、$CP'=CP$。由 $\angle ABC=\angle P'BC=45^\circ$ 得 $\angle P'BQ=90^\circ$，$\triangle P'BQ$ 是直角三角形。再由 $\angle PCQ=45^\circ$ 恰是直角的一半，可证 $\triangle PCQ\cong\triangle P'CQ$，所以 $PQ=P'Q$。
方法概述：旋转 $90^\circ$ 把两条边拼成直角三角形 → 勾股求斜边 → 由半角全等把长度搬回 $PQ$。
规范步骤：
  1. 旋转构造：$BP'=AP=3$，$CP'=CP$（绕 $C$ 旋转 $90^\circ$）
  2. 证直角：$\angle P'BQ=45^\circ+45^\circ=90^\circ$（角度相加）
  3. 勾股求 $P'Q$：$P'Q=\sqrt{3^2+4^2}=5$（勾股定理）
  4. 半角全等：$\triangle PCQ\cong\triangle P'CQ\Rightarrow PQ=P'Q=5$（$\angle PCQ=45^\circ$）
  5. 写出答案：$PQ=5$
第一套
题目：三角形 $ABC$ 是等腰直角三角形，$C$ 为直角顶点，$P$、$Q$ 是斜边 $AB$ 上的两点，$AP=6$，$BQ=8$，$\angle PCQ=45^\circ$。求 $PQ$ 的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（旋转构造）：把 $\triangle APC$ 绕 $C$ 旋转 $90^\circ$，$P$ 落到 $P'$，则 $BP'=AP=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（证直角）：$\angle P'BQ=45^\circ+45^\circ=\underline{\quad}^\circ$，$\triangle P'BQ$ 是直角三角形。
  3. 第 3 步（勾股）：$6^2+8^2=\underline{\quad}$，所以 $P'Q=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（半角全等搬回）：$\triangle PCQ\cong\triangle P'CQ$，所以 $PQ=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块等腰直角三角形木板 $ABC$（$C$ 为直角顶点），在斜边 $AB$ 上钉了两颗钉子 $P$、$Q$，量得 $AP=6$ 厘米、$BQ=8$ 厘米，且 $\angle PCQ=45^\circ$。两颗钉子相距多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（旋转构造）：$BP'=AP=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（证直角）：$\angle P'BQ=45^\circ+45^\circ=\underline{\quad}^\circ$。
  3. 第 3 步（勾股）：$6^2+8^2=\underline{\quad}$，$P'Q=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（搬回）：$PQ=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 是等腰直角三角形，$C$ 为直角顶点，$P$、$Q$ 在斜边 $AB$ 上，$AP=5$，$BQ=12$，$\angle PCQ=45^\circ$。求 $PQ$ 的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（旋转构造）：$BP'=AP=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（证直角）：$\angle P'BQ=\underline{\quad}^\circ$。
  3. 第 3 步（勾股）：$5^2+12^2=\underline{\quad}$，$P'Q=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（搬回）：$PQ=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 是等腰直角三角形，$C$ 为直角顶点，$P$、$Q$ 在斜边 $AB$ 上，$AP=6$，$BQ=8$，$\angle PCQ=45^\circ$。求 $PQ$、斜边 $AB$ 的长与三角形 $ABC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（旋转 + 勾股求 $PQ$）：$6^2+8^2=\underline{\quad}$，$PQ=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求斜边）：$AB=AP+PQ+QB=6+10+8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（等腰直角三角形面积 = 斜边平方 ÷ 4）：斜边上的高是斜边的一半 $24\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求面积）：$\frac{24\times 12}{2}=\underline{\quad}$。
9. 【原题 ch19-tuozhan-01】如图 19-11，$AC$ 的长度是 $AD$ 的 $\frac{4}{5}$，且三角形 $AED$ 的面积是三角形 $ABC$ 面积的一半。请问：$AE$ 是 $AB$ 的几分之几？
详细思路
是哪类问题：这是「同高三角形面积比 = 底之比 + 比例传递」类：由边长比推面积比，再由面积比反推另一个边长比。
关键切入点：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 以 $AC$、$AD$ 为底、共用从 $B$ 出发的同一条高，所以 $S_{\triangle ABC}:S_{\triangle ABD}=AC:AD=\frac{4}{5}$。把已知的 $S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}$ 与它相乘，就把中间量 $S_{\triangle ABC}$ 消掉，得到 $S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABD}$；而 $\triangle ADE$ 与 $\triangle ABD$ 又同高，这个比就是 $AE:AB$。
方法概述：两次“同高三角形面积比 = 底之比”，中间用比例传递串起来。
规范步骤：
  1. 由底之比得面积比：$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{AC}{AD}=\frac{4}{5}$（同高三角形）
  2. 比例传递：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{4}{5}\times\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$（两比相乘消去中间量）
  3. 再由面积比得底之比：$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$（同高三角形）
  4. 写出答案：$\frac{2}{5}$
第一套
题目：$AC$ 的长度是 $AD$ 的 $\frac{3}{7}$，且三角形 $AED$ 的面积是三角形 $ABC$ 面积的 $\frac{1}{3}$。请问：$AE$ 是 $AB$ 的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由底之比得面积比）：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 同高，$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{AC}{AD}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（比例传递）：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{3}{7}\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再由面积比得底之比）：$\triangle ADE$ 与 $\triangle ABD$ 同高，所以 $\frac{AE}{AB}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块三角形苗圃里，$AC$ 的长度是 $AD$ 的 $\frac{3}{7}$，三角形地块 $AED$ 的面积是三角形地块 $ABC$ 面积的 $\frac{1}{3}$。求 $AE$ 是 $AB$ 的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（面积比 = 底之比）：$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（传递）：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{3}{7}\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（转回底之比）：$\frac{AE}{AB}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $AC$ 的长度是 $AD$ 的 $\frac{3}{7}$，$AE$ 是 $AB$ 的 $\frac{1}{7}$。求三角形 $AED$ 的面积是三角形 $ABC$ 面积的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同高得面积比）：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{AE}{AB}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（另一组同高）：$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD}{AC}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（两比相乘）：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{7}\times\frac{7}{3}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $AC$ 的长度是 $AD$ 的 $\frac{3}{7}$，三角形 $ABC$ 的面积是 $63$ 平方厘米，三角形 $AED$ 的面积是 $21$ 平方厘米。求 $AE$ 是 $AB$ 的几分之几，并求三角形 $ABD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由面积算比）：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{21}{63}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（比例传递）：$\frac{AE}{AB}=\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{3}{7}\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求 $S_{\triangle ABD}$）：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 同高，$S_{\triangle ABD}=63\times\frac{7}{3}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
10. 【原题 ch19-tuozhan-02】如图 19-12，已知 $AE=\frac{1}{3}AC$，$CD=\frac{1}{4}BC$，$BF=\frac{1}{5}AB$，试求 $\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}}$。
详细思路
是哪类问题：这是「鸟头模型 + 补集相减」类：三角形三个角上各切下一个小三角形，中间剩下的三角形占比用 $1$ 减去三个角上的占比。
关键切入点：三个角上的小三角形分别与 $\triangle ABC$ 共用 $A$、$B$、$C$ 角，都可以用鸟头模型算占比；注意每个角要用“从该顶点出发”的两条边的比（如 $\triangle AEF$ 用 $\frac{AE}{AC}$ 与 $\frac{AF}{AB}$，而 $\frac{AF}{AB}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$）。
方法概述：三个角各用一次鸟头模型求占比，再用 $1$ 减去三者之和。
规范步骤：
  1. 角 $A$：$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{15}$（鸟头模型）
  2. 角 $B$：$\frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{20}$（鸟头模型）
  3. 角 $C$：$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$（鸟头模型）
  4. 补集相减：$1-\frac{4}{15}-\frac{3}{20}-\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$（中间部分 = 整体减三个角）
  5. 写出答案：$\frac{5}{12}$
第一套
题目：已知 $AE=\frac{1}{4}AC$，$CD=\frac{1}{5}BC$，$BF=\frac{1}{6}AB$，试求 $\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（角 $A$，先补出 $AF$）：$\frac{AF}{AB}=1-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$，鸟头模型 $\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{5}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（角 $B$，先补出 $BD$）：$\frac{BD}{BC}=1-\frac{1}{5}=\underline{\quad}$，$\frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{6}\times\frac{4}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（角 $C$，先补出 $CE$）：$\frac{CE}{CA}=1-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$，$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（补集相减）：$1-\frac{5}{24}-\frac{2}{15}-\frac{3}{20}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块三角形空地 $ABC$，在三条边上各取一点：$E$ 在 $AC$ 上且 $AE=\frac{1}{4}AC$，$D$ 在 $BC$ 上且 $CD=\frac{1}{5}BC$，$F$ 在 $AB$ 上且 $BF=\frac{1}{6}AB$。中间三角形花坛 $DEF$ 占整块空地的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（角 $A$）：$\frac{AF}{AB}=1-\frac{1}{6}=\underline{\quad}$，$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{5}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（角 $B$）：$\frac{BD}{BC}=1-\frac{1}{5}=\underline{\quad}$，$\frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{6}\times\frac{4}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（角 $C$）：$\frac{CE}{CA}=1-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$，$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相减）：$1-\frac{5}{24}-\frac{2}{15}-\frac{3}{20}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 的面积是 $120$ 平方厘米，$AE=\frac{1}{4}AC$，$CD=\frac{1}{5}BC$，$BF=\frac{1}{6}AB$。求三角形 $DEF$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三个角的占比）：$\frac{S_{\triangle AEF}}{S}=\frac{1}{4}\times\frac{5}{6}=\underline{\quad}$，$\frac{S_{\triangle BDF}}{S}=\frac{1}{6}\times\frac{4}{5}=\underline{\quad}$，$\frac{S_{\triangle CDE}}{S}=\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（中间部分占比）：$1-\frac{5}{24}-\frac{2}{15}-\frac{3}{20}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（乘总面积）：$120\times\frac{61}{120}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 的面积是 $120$ 平方厘米，$AE=\frac{1}{4}AC$，$CD=\frac{1}{5}BC$，$BF=\frac{1}{6}AB$。求三角形 $DEF$ 与三角形 $AEF$ 的面积之比。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（角 $A$ 的面积）：$S_{\triangle AEF}=120\times\frac{1}{4}\times\frac{5}{6}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（中间部分面积）：三个角的占比之和是 $\frac{5}{24}+\frac{2}{15}+\frac{3}{20}=\underline{\quad}$，所以 $S_{\triangle DEF}=120\times\left(1-\frac{59}{120}\right)=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（写成比并化简）：$61:25$，即 $\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle AEF}}=\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch19-tuozhan-03】如图 19-13，深 20 厘米的长方形水箱装满水放在平台上。（1）如图 19-14，当水箱这样倾斜，水箱中水流出 $\frac{1}{5}$，这时 $AB$ 长多少厘米？（2）如图 19-15，当水箱这样倾斜到 $AB$ 的长度为 8 厘米后，再把水箱放平，如图 19-16，这时水箱中水的深度是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「面积（体积）守恒 + 三角形面积比」类：长方体水箱侧面看成长方形，倾斜后水面是斜线，空白（无水）部分是三角形，面积就代表水量。
关键切入点：整块长方形代表满水；倾斜后空白三角形 $MAC$ 与三角形 $MBC$ 同高，面积之比等于 $AC:BC$。而 $\triangle MBC$ 恰是长方形的一半，所以空白占长方形的比例 $=\frac{1}{2}\times\frac{AC}{BC}$。放平后水量不变，空白部分的高度按比例分摊到整个底面。
方法概述：空白三角形占比 → 求 $AC$ → 求 $AB$；放平时用同一守恒式反推水深。
规范步骤：
  1. 空白占三角形 $MBC$ 的比例：$\frac{1}{5}\div\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$（$\triangle MBC$ 是长方形的一半）
  2. 求 $AC$：$AC=\frac{2}{5}\times 20=8$（厘米）（同高三角形面积比 = 底之比）
  3. 求 $AB$：$AB=20-8=12$（厘米）（线段相减）
  4. 第 (2) 问求 $AC$：$AC=20-8=12$（厘米）（$AB=8$）
  5. 空白占长方形的比例：$\frac{1}{2}\times\frac{12}{20}=\frac{3}{10}$（面积守恒）
  6. 放平后求水深：$20-20\times\frac{3}{10}=14$（厘米）（空白高度 = 总高 × 空白占比）
  7. 写出答案：（1）$12$ 厘米；（2）$14$ 厘米
第一套
题目：深 $30$ 厘米的长方体水箱装满水。（1）倾斜后水流出 $\frac{1}{4}$，这时 $AB$ 长多少厘米？（2）若倾斜到 $AB$ 的长度为 $12$ 厘米后再把水箱放平，这时水的深度是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（空白占三角形 $MBC$ 的比例）：$\frac{1}{4}\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $AC$、$AB$）：$AC=\frac{1}{2}\times 30=\underline{\quad}$（厘米），$AB=30-15=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问先求 $AC$）：$AC=30-12=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（空白占长方形的比例）：$\frac{1}{2}\times\frac{18}{30}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（放平求水深）：$30-30\times\frac{3}{10}=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一个深 $30$ 厘米的长方体鱼缸装满水。（1）把它倾斜，水洒出 $\frac{1}{4}$，此时侧面水面线与缸壁的交点使 $AB$ 长多少厘米？（2）若倾斜到 $AB=12$ 厘米后再放平，水深多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（空白占 $\triangle MBC$）：$\frac{1}{4}\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $AC$、$AB$）：$AC=\frac{1}{2}\times 30=\underline{\quad}$（厘米），$AB=30-15=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：$AC=30-12=\underline{\quad}$（厘米），空白占比 $\frac{1}{2}\times\frac{18}{30}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（放平）：$30-30\times\frac{3}{10}=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：深 $30$ 厘米的长方体水箱装满水，倾斜后 $AB$ 的长度变为 $18$ 厘米。这时水流出了几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $AC$）：$AC=30-18=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（空白占 $\triangle MBC$ 的比例）：$\frac{12}{30}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（空白占长方形的比例，即流出比例）：$\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：深 $30$ 厘米的长方体水箱装满水，倾斜后水流出 $\frac{1}{4}$。（1）求此时 $AB$ 的长；（2）保持水量不变把水箱放平，水深是多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（空白占 $\triangle MBC$）：$\frac{1}{4}\div\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $AC$、$AB$）：$AC=\frac{1}{2}\times 30=\underline{\quad}$（厘米），$AB=30-15=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（水量守恒）：放平后水量仍是满水的 $1-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求水深）：$30\times\frac{3}{4}=\underline{\quad}$（厘米）。
12. 【原题 ch19-tuozhan-04】如图 19-17，已知长方形 $ADEF$ 的面积是 16，三角形 $ADB$ 的面积是 2，三角形 $ACF$ 的面积是 4。请问：三角形 $ABC$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形对角线分半 + 鸟头模型 + 补集相减」类：在长方形的两条边上各取一点，求中间三角形的面积。
关键切入点：长方形 $ADEF$ 的对角线把它分成两个面积相等的三角形，$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle AFE}=S_{\triangle DFE}=8$。用“同高三角形面积比 = 底之比”把 $S_{\triangle ADB}$、$S_{\triangle AFC}$ 翻译成 $\frac{DB}{DE}$、$\frac{FC}{EF}$，取补得 $\frac{EB}{DE}$、$\frac{EC}{EF}$，再用鸟头模型求 $S_{\triangle BEC}$，最后用长方形减去三块。
方法概述：面积比 → 边长比 → 鸟头模型求角上三角形 → 整体减三块。
规范步骤：
  1. 对角线分半：$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle AFE}=S_{\triangle DFE}=\frac{16}{2}=8$（长方形对角线平分面积）
  2. 由面积比得边长比：$\frac{DB}{DE}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，$\frac{EB}{DE}=\frac{3}{4}$（同高三角形）
  3. 另一组：$\frac{FC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{EC}{EF}=\frac{1}{2}$（同高三角形）
  4. 鸟头模型：$S_{\triangle BEC}=8\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=3$（共角 $E$）
  5. 整体减三块：$S_{\triangle ABC}=16-2-4-3=7$（补集相减）
  6. 写出答案：$7$
第一套
题目：长方形 $ADEF$ 的面积是 $40$，三角形 $ADB$ 的面积是 $5$，三角形 $ACF$ 的面积是 $8$。求三角形 $ABC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对角线分半）：$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle AFE}=S_{\triangle DFE}=40\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（面积比→边长比）：$\frac{DB}{DE}=\frac{5}{20}=\underline{\quad}$，取补得 $\frac{EB}{DE}=1-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（另一组）：$\frac{FC}{EF}=\frac{8}{20}=\underline{\quad}$，取补得 $\frac{EC}{EF}=1-\frac{2}{5}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（鸟头模型）：$S_{\triangle BEC}=20\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（整体减三块）：$40-5-8-9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块长方形花田 $ADEF$ 的面积是 $40$ 平方米，三角形地块 $ADB$ 的面积是 $5$ 平方米，三角形地块 $ACF$ 的面积是 $8$ 平方米。求三角形地块 $ABC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对角线分半）：$40\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（面积比→边长比）：$\frac{DB}{DE}=\frac{5}{20}=\underline{\quad}$，$\frac{EB}{DE}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（另一组）：$\frac{FC}{EF}=\frac{8}{20}=\underline{\quad}$，$\frac{EC}{EF}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（鸟头模型）：$20\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步（相减）：$40-5-8-9=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：长方形 $ADEF$ 的面积是 $60$，三角形 $ADB$ 的面积是 $6$，三角形 $ACF$ 的面积是 $10$。求三角形 $ABC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对角线分半）：$60\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（边长比）：$\frac{DB}{DE}=\frac{6}{30}=\underline{\quad}$，$\frac{EB}{DE}=1-\frac{1}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（另一组）：$\frac{FC}{EF}=\frac{10}{30}=\underline{\quad}$，$\frac{EC}{EF}=1-\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（鸟头模型）：$30\times\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（相减）：$60-6-10-16=\underline{\quad}$。
第三套
题目：长方形 $ADEF$ 的面积是 $40$，三角形 $ADB$ 的面积是 $5$，三角形 $ACF$ 的面积是 $8$。求三角形 $ABC$ 的面积，以及它占长方形面积的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对角线分半）：$40\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（边长比）：$\frac{EB}{DE}=1-\frac{5}{20}=\underline{\quad}$，$\frac{EC}{EF}=1-\frac{8}{20}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（鸟头模型）：$S_{\triangle BEC}=20\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相减）：$S_{\triangle ABC}=40-5-8-9=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求占比）：$\frac{18}{40}=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch19-tuozhan-05】如图 19-18，3 个相同的正方形拼在一起，每个正方形的边长为 6，求三角形 $ABC$ 的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「组合正方形 + 相似（沙漏）求分点 + 同高三角形面积比」类：三个相同正方形并排，斜线相交，求其中一个三角形的面积。
关键切入点：先算出容易的 $S_{\triangle ACD}=\frac{6\times 6}{2}=18$（正方形的一半）。再由 $CD\parallel AE$ 且 $CD:AE=1:2$ 得沙漏比 $DB:AB=1:2$，于是 $\frac{AB}{AD}=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}$。$\triangle ABC$ 与 $\triangle ACD$ 同高，面积按 $AB:AD$ 分配。
方法概述：先求整块三角形 → 用沙漏定分点比 → 同高三角形按底之比取面积。
规范步骤：
  1. 求 $S_{\triangle ACD}$：$S_{\triangle ACD}=\frac{6\times 6}{2}=18$（正方形的一半）
  2. 沙漏定比：$DB:AB=CD:AE=1:2$，故 $\frac{AB}{AD}=\frac{2}{3}$（平行线分线段成比例）
  3. 按比取面积：$S_{\triangle ABC}=\frac{2}{3}\times 18=12$（同高三角形面积比 = 底之比）
  4. 写出答案：$12$
第一套
题目：如图 19-18 的位置关系不变，只把每个正方形的边长改为 $9$：$3$ 个相同的正方形并排拼在一起，求三角形 $ABC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求整块三角形）：$S_{\triangle ACD}=\frac{9\times 9}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（沙漏定比）：$DB:AB=CD:AE=1:2$，所以 $\frac{AB}{AD}=\frac{2}{1+2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比取面积）：$S_{\triangle ABC}=40.5\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：三块相同的正方形地砖并排铺在一起（位置关系与图 19-18 相同），每块边长 $9$ 分米。求三角形区域 $ABC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整块三角形）：$\frac{9\times 9}{2}=\underline{\quad}$（平方分米）。
  2. 第 2 步（沙漏定比）：$\frac{AB}{AD}=\frac{2}{1+2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比取面积）：$40.5\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：位置关系与图 19-18 相同，每个正方形的边长为 $9$。求三角形 $BCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整块三角形）：$S_{\triangle ACD}=\frac{9\times 9}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分点比）：$\frac{DB}{AD}=\frac{1}{1+2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比取面积）：$S_{\triangle BCD}=40.5\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：位置关系与图 19-18 相同，每个正方形的边长为 $9$。求三角形 $ABC$ 的面积，以及它占三个正方形总面积的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整块三角形）：$\frac{9\times 9}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（沙漏定比与面积）：$\frac{AB}{AD}=\frac{2}{3}$，$S_{\triangle ABC}=40.5\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（三个正方形总面积）：$3\times 9\times 9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求占比）：$\frac{27}{243}=\underline{\quad}$。
14. 【原题 ch19-tuozhan-06】图 19-19 中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「蝴蝶模型 + 按比例分配」类：四边形被两条对角线分成四块，已知总面积和相邻的两块，求最大的一块。
关键切入点：未知的两块之和 = 总面积减去已知的两块 = $52-6-7=39$。这两块的面积之比等于已知两块的面积之比 $6:7$（因为它们同高、底之比都等于对角线被交点分成的两段之比）。有了和与比，按比例分配即可。
方法概述：求两块之和 → 由蝴蝶模型定两块之比 → 按比例分配 → 取较大的一块。
规范步骤：
  1. 求两块之和：$52-6-7=39$（公顷）（总面积减已知）
  2. 定比：两块之比 $=6:7$（蝴蝶模型：对角线分段比）
  3. 按比例分配：$39\times\frac{7}{6+7}=21$（公顷）（按比例分配）
  4. 写出答案：$21$ 公顷
第一套
题目：一块四边形土地的总面积是 $100$ 公顷，两条对角线把它分成四个小三角形，其中相邻的两个面积分别是 $8$ 公顷和 $12$ 公顷。求四个三角形中最大的一个的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求未知两块之和）：$100-8-12=\underline{\quad}$（公顷）。
  2. 第 2 步（定比）：由蝴蝶模型，未知两块之比等于已知两块之比 $8:12$，约分为 $2:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比例分配求较大的）：$80\times\frac{3}{2+3}=\underline{\quad}$（公顷）。
第二套
题目：一个四边形鱼塘总面积 $100$ 亩，两条堤（对角线）把它分成四块，相邻两块的面积分别是 $8$ 亩和 $12$ 亩。最大的一块有多少亩？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两块之和）：$100-8-12=\underline{\quad}$（亩）。
  2. 第 2 步（定比）：$8:12=2:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分配）：$80\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$（亩）。
第三套
题目：一块四边形土地的总面积是 $100$ 公顷，两条对角线分出的四块中，相邻两块的面积是 $8$ 公顷和 $12$ 公顷。求另外两块的面积各是多少。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两块之和）：$100-8-12=\underline{\quad}$（公顷）。
  2. 第 2 步（定比）：两块之比 $=8:12=2:3$，总份数 $2+3=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（分配）：较小的一块 $80\times\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（公顷），较大的一块 $80-32=\underline{\quad}$（公顷）。
第三套
题目：一块四边形土地的总面积是 $100$ 公顷，两条对角线分出的四块中相邻两块是 $8$ 公顷和 $12$ 公顷。求最大的一块的面积，以及它占整块土地的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两块之和）：$100-8-12=\underline{\quad}$（公顷）。
  2. 第 2 步（按比例分配）：$80\times\frac{3}{2+3}=\underline{\quad}$（公顷）。
  3. 第 3 步（求占比）：$\frac{48}{100}=\underline{\quad}$。
15. 【原题 ch19-tuozhan-07】图 19-20 中四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于点 $O$，如果三角形 $ABD$ 的面积是 30 平方厘米，三角形 $ABC$ 的面积是 48 平方厘米，三角形 $BCD$ 的面积是 50 平方厘米。请问：三角形 $BOC$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「同底三角形面积比 = 对应高之比 → 对角线交点分比」类：由两个以 $BD$ 为公共底的三角形面积比，得到 $O$ 分 $AC$ 的比。
关键切入点：$\triangle ABD$ 与 $\triangle BCD$ 以 $BD$ 为公共底，面积比等于 $A$、$C$ 到 $BD$ 的距离之比，也就是 $AO:CO$。所以 $\frac{CO}{AO}=\frac{50}{30}=\frac{5}{3}$，从而 $\frac{CO}{CA}=\frac{5}{8}$。$\triangle BOC$ 与 $\triangle ABC$ 同高，面积按 $CO:CA$ 分配。
方法概述：公共底定分点比 → 同高三角形按底之比取面积。
规范步骤：
  1. 由面积比定分点比：$\frac{CO}{AO}=\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{50}{30}=\frac{5}{3}$（同底三角形）
  2. 化成占整条的比：$\frac{CO}{CA}=\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}$（部分占整体）
  3. 按比取面积：$S_{\triangle BOC}=\frac{5}{8}\times 48=30$（平方厘米）（同高三角形）
  4. 写出答案：$30$ 平方厘米
第一套
题目：四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于点 $O$。已知三角形 $ABD$ 的面积是 $40$ 平方厘米，三角形 $ABC$ 的面积是 $80$ 平方厘米，三角形 $BCD$ 的面积是 $60$ 平方厘米。求三角形 $BOC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（公共底定比）：$\triangle ABD$ 与 $\triangle BCD$ 以 $BD$ 为公共底，$\frac{CO}{AO}=\frac{60}{40}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（化成占整条的比）：$\frac{CO}{CA}=\frac{3}{3+2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比取面积）：$S_{\triangle BOC}=80\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块四边形草坪 $ABCD$ 的两条小路 $AC$、$BD$ 交于 $O$。三角形区域 $ABD$、$ABC$、$BCD$ 的面积分别是 $40$、$80$、$60$ 平方米。求三角形区域 $BOC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（公共底定比）：$\frac{CO}{AO}=\frac{60}{40}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（占整条的比）：$\frac{CO}{CA}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取面积）：$80\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：四边形 $ABCD$ 的对角线交于 $O$，$S_{\triangle ABD}=40$、$S_{\triangle ABC}=80$、$S_{\triangle BCD}=60$ 平方厘米。求三角形 $AOB$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定分点比）：$\frac{AO}{CA}=\frac{40}{40+60}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（按比取面积）：$S_{\triangle AOB}=80\times\frac{2}{5}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（验算）：$S_{\triangle BOC}=80-32=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：四边形 $ABCD$ 的对角线交于 $O$，$S_{\triangle ABD}=40$、$S_{\triangle ABC}=80$、$S_{\triangle BCD}=60$ 平方厘米。求四个小三角形 $AOB$、$BOC$、$COD$、$AOD$ 的面积，并检验蝴蝶模型 $S_{AOB}\times S_{COD}=S_{BOC}\times S_{AOD}$ 是否成立。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定分点比并求两块）：$\frac{CO}{CA}=\frac{60}{40+60}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle BOC}=80\times\frac{3}{5}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle AOB}=80-48=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（用 $\triangle ABD$ 求 $AOD$）：$S_{\triangle AOD}=40-32=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（用 $\triangle BCD$ 求 $COD$）：$S_{\triangle COD}=60-48=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（检验蝴蝶模型）：$32\times 12=\underline{\quad}$，$48\times 8=\underline{\quad}$，两者相等。
16. 【原题 ch19-tuozhan-08】如图 19-21，梯形 $ABCD$ 中，三角形 $ABE$ 的面积是 60 平方米，$AC$ 的长是 $AE$ 的 4 倍，梯形 $ABCD$ 的面积是多少平方米？
详细思路
是哪类问题：这是「梯形蝴蝶模型」类：已知对角线被交点分成的两段之比，定出四块面积的份数比，再由一块的面积求整个梯形。
关键切入点：$AC=4AE$ 说明 $AE:EC=1:3$，而在梯形中这个比就等于上下底之比，于是四块面积之比是 $1:3:3:9$。$\triangle ABE$ 是腰上的一块，占 $3$ 份 $=60$，一份是 $20$，总份数 $1+3+3+9=16$ 份。
方法概述：由分段比定份数 → 求一份 → 乘总份数。
规范步骤：
  1. 求分段比：$AE:EC=1:3$（$AC=4AE$，故 $CE=3AE$）
  2. 定份数：$S_{AED}:S_{ABE}:S_{DEC}:S_{BEC}=1:3:3:9$（梯形蝴蝶模型）
  3. 求一份：$60\div 3=20$（平方米）（$\triangle ABE$ 占 3 份）
  4. 求总面积：$20\times(1+3+3+9)=320$（平方米）（总份数 16 份）
  5. 写出答案：$320$ 平方米
第一套
题目：梯形 $ABCD$ 中，对角线交于 $E$，三角形 $ABE$ 的面积是 $80$ 平方米，$AC$ 的长是 $AE$ 的 $5$ 倍。梯形 $ABCD$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求分段比）：$AC=5AE$，所以 $CE=AC-AE=4AE$，$AE:EC=1:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（定份数）：梯形蝴蝶模型给出四块面积比 $1:4:4:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求一份）：$\triangle ABE$ 占 $4$ 份，一份是 $80\div 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（求总面积）：总份数 $1+4+4+16=\underline{\quad}$（份），面积 $20\times 25=\underline{\quad}$（平方米）。
第二套
题目：一块梯形苗圃 $ABCD$ 被两条对角小路分成四块，交点为 $E$。三角形地块 $ABE$ 的面积是 $80$ 平方米，$AC$ 的长是 $AE$ 的 $5$ 倍。整块苗圃的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分段比）：$AE:EC=1:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（定份数）：$1:4:4:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（一份）：$80\div 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（总面积）：$20\times(1+4+4+16)=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：梯形 $ABCD$ 的对角线交于 $E$，$AC$ 的长是 $AE$ 的 $5$ 倍，靠上底的三角形 $ADE$ 的面积是 $20$ 平方米。求梯形的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：$AE:EC=1:4$，四块面积比 $1:4:4:\underline{\quad}$，$\triangle ADE$ 占 $1$ 份。
  2. 第 2 步（总份数）：$1+4+4+16=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（总面积）：$20\times 25=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：梯形 $ABCD$ 的对角线交于 $E$，$AC$ 的长是 $AE$ 的 $5$ 倍，梯形面积是 $500$ 平方米。求三角形 $BCE$ 与三角形 $ABE$ 的面积，并求前者是后者的几倍。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：四块面积比 $1:4:4:16$，总份数 $\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步（求 $\triangle BCE$）：占 $16$ 份，$500\times\frac{16}{25}=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（求 $\triangle ABE$）：占 $4$ 份，$500\times\frac{4}{25}=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（求倍数）：$320\div 80=\underline{\quad}$（倍）。
17. 【原题 ch19-tuozhan-09】如图 19-22 所示，梯形 $ABCD$ 的面积是 36，下底长是上底长的 2 倍，阴影三角形的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「梯形蝴蝶模型 + 按比例分配」类：已知梯形总面积与上下底之比，求其中一块三角形的面积。
关键切入点：下底是上底的 $2$ 倍，即上下底之比 $1:2$，四块面积之比就是 $1:2:2:4$，共 $9$ 份。阴影是下底所在的那块，占 $4$ 份。
方法概述：定份数比 → 阴影占的份数 ÷ 总份数 × 总面积。
规范步骤：
  1. 定份数：$1:2:2:4$（梯形蝴蝶模型，上下底比 $1:2$）
  2. 总份数：$1+2+2+4=9$（份）（求和）
  3. 按比例分配：$36\times\frac{4}{9}=16$（阴影占 4 份）
  4. 写出答案：$16$
第一套
题目：梯形 $ABCD$ 的面积是 $144$，下底长是上底长的 $3$ 倍，下底所在的阴影三角形的面积是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：上下底之比 $1:3$，四块面积比 $1:3:3:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（总份数）：$1+3+3+9=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（按比例分配）：$144\times\frac{9}{16}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块梯形菜地面积是 $144$ 平方米，下边的长是上边的 $3$ 倍，两条对角线把它分成四块。求靠下边那一块三角形菜地的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：$1:3:3:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（总份数）：$1+3+3+9=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（分配）：$144\times\frac{9}{16}=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：梯形 $ABCD$ 的面积是 $144$，下底长是上底长的 $3$ 倍。求上底所在的那块三角形的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：四块面积比 $1:3:3:9$，总份数 $\underline{\quad}$ 份，上底那块占 $1$ 份。
  2. 第 2 步（分配）：$144\times\frac{1}{16}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：梯形 $ABCD$ 的面积是 $144$，下底长是上底长的 $3$ 倍。求下底所在的阴影三角形面积，以及它与两个腰上三角形面积之和的比。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：四块比 $1:3:3:9$，总份数 $\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步（阴影面积）：$144\times\frac{9}{16}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（两腰之和）：每块 $144\times\frac{3}{16}=\underline{\quad}$，两块共 $27+27=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求比并化简）：$81:54=\underline{\quad}$（写成分数）。
18. 【原题 ch19-tuozhan-10】如图 19-23，边长为 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「沙漏模型 + 三角形面积比」类：两个正方形并排放置，一条斜线与大正方形的对角线相交，求其中一块三角形的面积。
关键切入点：先算容易的整块 $S_{\triangle GEF}=\frac{12\times 12}{2}=72$。$BE$ 与 $GF$ 平行，$\triangle EOB$ 与 $\triangle GOF$ 构成沙漏，$\frac{EO}{GO}=\frac{BE}{GF}=\frac{8+12}{12}=\frac{5}{3}$，于是 $\frac{EO}{EG}=\frac{5}{8}$。阴影 $\triangle EOF$ 与 $\triangle GEF$ 同高，面积按 $EO:EG$ 分配。
方法概述：求整块三角形 → 沙漏定分点比 → 按底之比取面积。
规范步骤：
  1. 求整块：$S_{\triangle GEF}=\frac{12\times 12}{2}=72$（平方厘米）（直角三角形面积）
  2. 沙漏定比：$\frac{EO}{GO}=\frac{BE}{GF}=\frac{8+12}{12}=\frac{5}{3}$（平行线分线段成比例）
  3. 化成占整条的比：$\frac{EO}{EG}=\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}$（部分占整体）
  4. 按比取面积：$S_{\triangle EOF}=\frac{5}{8}\times 72=45$（平方厘米）（同高三角形）
  5. 写出答案：$45$ 平方厘米
第一套
题目：边长为 $16$ 厘米和 $24$ 厘米的两个正方形并排放在一起（位置与图 19-23 相同），求图中阴影三角形 $EOF$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求整块）：$S_{\triangle GEF}=\frac{24\times 24}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（沙漏定比）：$\frac{EO}{GO}=\frac{BE}{GF}=\frac{16+24}{24}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占整条的比）：$\frac{EO}{EG}=\frac{5}{5+3}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（按比取面积）：$288\times\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：两块正方形花坛并排摆放（位置与图 19-23 相同），边长分别是 $16$ 米和 $24$ 米。求图中阴影三角形 $EOF$ 区域的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整块）：$\frac{24\times 24}{2}=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（沙漏定比）：$\frac{EO}{GO}=\frac{16+24}{24}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（占整条）：$\frac{EO}{EG}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取面积）：$288\times\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：边长为 $16$ 厘米和 $24$ 厘米的两个正方形并排放置（位置与图 19-23 相同），求三角形 $GOF$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整块）：$S_{\triangle GEF}=\frac{24\times 24}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（占整条的比）：$\frac{GO}{EG}=\frac{3}{5+3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比取面积）：$288\times\frac{3}{8}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：边长为 $16$ 厘米和 $24$ 厘米的两个正方形并排放置（位置与图 19-23 相同）。求阴影三角形 $EOF$ 的面积，以及它占大正方形面积的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整块）：$\frac{24\times 24}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（沙漏定比并取面积）：$\frac{EO}{EG}=\frac{5}{8}$，$S_{\triangle EOF}=288\times\frac{5}{8}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（大正方形面积）：$24\times 24=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求占比）：$\frac{180}{576}=\underline{\quad}$。
19. 【原题 ch19-tuozhan-11】如图 19-24，在正方形 $ABCD$ 中，$E$、$F$ 分别是 $BC$、$CD$ 的中点，已知正方形 $ABCD$ 的面积为 60 平方厘米，求阴影部分的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「沙漏模型 + 中线（对角线）分面积」类：正方形中连接顶点与两边中点的两条线，与对角线交出两点，求中间三角形的面积。
关键切入点：设 $AE$、$AF$ 与对角线 $BD$ 交于 $M$、$N$。$BE\parallel AD$，沙漏给出 $\frac{BM}{DM}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$，所以 $BM=\frac{1}{3}BD$；同理 $DN=\frac{1}{3}BD$，中间剩下 $MN=\frac{1}{3}BD$。$\triangle AMN$ 与 $\triangle ABD$ 同高，面积按 $MN:BD$ 分配，而 $\triangle ABD$ 是正方形的一半。
方法概述：沙漏定两个分点 → 中间段占比 → 乘“正方形一半”的面积。
规范步骤：
  1. 沙漏定第一个分点：$\frac{BM}{DM}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$，故 $BM=\frac{1}{3}BD$（$BE\parallel AD$）
  2. 同理定第二个分点：$DN=\frac{1}{3}BD$（对称）
  3. 求中间段：$MN=BD-\frac{1}{3}BD-\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}BD$（线段相减）
  4. 求面积：$S_{\triangle AMN}=\frac{1}{3}\times\frac{60}{2}=10$（平方厘米）（同高三角形 + 对角线分半）
  5. 写出答案：$10$ 平方厘米
第一套
题目：正方形 $ABCD$ 的面积为 $96$ 平方厘米，$E$ 在 $BC$ 上且 $BE=\frac{1}{3}BC$，$F$ 在 $CD$ 上且 $DF=\frac{1}{3}CD$，$AE$、$AF$ 与对角线 $BD$ 分别交于 $M$、$N$。求三角形 $AMN$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沙漏定第一个分点）：$\frac{BM}{DM}=\frac{BE}{AD}=\underline{\quad}$，所以 $\frac{BM}{BD}=\frac{1}{1+3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（同理定第二个分点）：$\frac{DN}{BD}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（中间段占比）：$\frac{MN}{BD}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（对角线分半）：$S_{\triangle ABD}=96\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（按比取面积）：$48\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块正方形草坪 $ABCD$ 面积 $96$ 平方米，$E$ 在 $BC$ 上且 $BE=\frac{1}{3}BC$，$F$ 在 $CD$ 上且 $DF=\frac{1}{3}CD$，小路 $AE$、$AF$ 与对角线小路 $BD$ 交于 $M$、$N$。求三角形地块 $AMN$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沙漏）：$\frac{BM}{DM}=\underline{\quad}$，$\frac{BM}{BD}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对称）：$\frac{DN}{BD}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（中间段）：$1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（对角线分半）：$96\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步（取面积）：$48\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：正方形 $ABCD$ 的面积为 $96$ 平方厘米，$E$、$F$ 分别是 $BC$、$CD$ 的中点，$AE$、$AF$ 与对角线 $BD$ 交于 $M$、$N$。求三角形 $AMN$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沙漏）：$\frac{BM}{DM}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$，所以 $\frac{BM}{BD}=\frac{1}{1+2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（中间段）：$\frac{MN}{BD}=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对角线分半）：$96\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（取面积）：$48\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：正方形 $ABCD$ 的面积为 $96$ 平方厘米，$BE=\frac{1}{3}BC$，$DF=\frac{1}{3}CD$，$AE$、$AF$ 与 $BD$ 交于 $M$、$N$。求三角形 $AMN$ 的面积以及它占正方形面积的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沙漏定分点）：$\frac{BM}{BD}=\frac{DN}{BD}=\frac{1}{1+3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（中间段占比）：$1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求面积）：$S_{\triangle AMN}=\frac{96}{2}\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求占比）：$\frac{24}{96}=\underline{\quad}$。
20. 【原题 ch19-tuozhan-12】如图 19-25 所示，平行四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 长 10 厘米，直角三角形 $BCE$ 的直角边 $EC$ 长 8 厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形 $EFG$ 的面积大 10 平方厘米，求 $CF$ 的长。
详细思路
是哪类问题：这是「共部分相消」类：平行四边形与直角三角形有公共部分，两块阴影与 $\triangle EFG$ 的面积差等于两个大图形的面积差。
关键切入点：把平行四边形和 $\triangle BCE$ 都去掉它们的公共部分，剩下的分别是“两块阴影”和 $\triangle EFG$，所以 $S_{ABCD}-S_{\triangle BCE}=10$。先算 $S_{\triangle BCE}$，就能求出平行四边形的面积，再用面积除以底 $BC$ 得到高 $CF$。
方法概述：共部分相消求平行四边形面积 → 面积 ÷ 底 = 高。
规范步骤：
  1. 共部分相消：$S_{ABCD}-S_{\triangle BCE}=S_{\text{阴影}}-S_{\triangle EFG}=10$（平方厘米）（去掉同一公共部分）
  2. 求直角三角形面积：$S_{\triangle BCE}=\frac{10\times 8}{2}=40$（平方厘米）（直角三角形面积）
  3. 求平行四边形面积：$S_{ABCD}=40+10=50$（平方厘米）（由差求和）
  4. 求高：$CF=\frac{50}{10}=5$（厘米）（平行四边形面积 = 底 × 高）
  5. 写出答案：$CF=5$ 厘米
第一套
题目：平行四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 长 $15$ 厘米，直角三角形 $BCE$ 的直角边 $EC$ 长 $12$ 厘米，两块阴影部分的面积和比三角形 $EFG$ 的面积大 $30$ 平方厘米，求 $CF$ 的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（共部分相消）：$S_{ABCD}-S_{\triangle BCE}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求三角形面积）：$S_{\triangle BCE}=\frac{15\times 12}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求平行四边形面积）：$90+30=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（面积 ÷ 底 = 高）：$CF=\frac{120}{15}=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块平行四边形木板 $ABCD$ 的边 $BC$ 长 $15$ 分米，直角三角形木板 $BCE$ 的直角边 $EC$ 长 $12$ 分米，两块阴影区域的面积和比三角形区域 $EFG$ 大 $30$ 平方分米，求 $CF$ 的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（共部分相消）：$S_{ABCD}-S_{\triangle BCE}=\underline{\quad}$（平方分米）。
  2. 第 2 步（三角形面积）：$\frac{15\times 12}{2}=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（平行四边形面积）：$90+30=\underline{\quad}$（平方分米）。
  4. 第 4 步（求高）：$\frac{120}{15}=\underline{\quad}$（分米）。
第三套
题目：平行四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 长 $15$ 厘米，$CF=8$ 厘米，直角三角形 $BCE$ 的直角边 $EC$ 长 $12$ 厘米。求两块阴影部分的面积和比三角形 $EFG$ 大多少平方厘米。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（平行四边形面积）：$15\times 8=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（直角三角形面积）：$\frac{15\times 12}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（共部分相消求差）：$120-90=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：平行四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 长 $15$ 厘米，直角三角形 $BCE$ 的直角边 $EC$ 长 $12$ 厘米，两块阴影的面积和比三角形 $EFG$ 大 $30$ 平方厘米。求 $CF$ 的长，并求平行四边形与直角三角形的面积之比。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三角形面积）：$\frac{15\times 12}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（平行四边形面积）：$90+30=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求高）：$CF=\frac{120}{15}=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求比并化简）：$120:90=\underline{\quad}$（写成分数）。
21. 【原题 ch19-tuozhan-13】如图 19-26，已知 $D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 是 $AC$ 的中点。三角形 $ABC$ 由①至⑤这 5 部分组成，其中①的面积比④多 6 平方厘米。请问：三角形 $ABC$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「中位线 + 梯形蝴蝶模型 + 中线分面积」类：三角形被两条线分成 5 块，已知两块面积之差求总面积。
关键切入点：$D$、$E$ 分别是 $BC$、$AC$ 的中点，$DE$ 是中位线，$DE\parallel AB$ 且 $AB=2DE$，所以 $ABDE$ 是上下底比为 $1:2$ 的梯形，四块面积之比是 ①:②:③:④$=4:2:2:1$。①比④多 $4-1=3$ 份，正好对应 $6$ 平方厘米，一份是 $2$。再由中线 $AD$ 把 $\triangle ABC$ 平分，从 $S_{\triangle ABD}$ 翻倍得总面积。
方法概述：中位线定梯形 → 蝴蝶模型定份数 → 由差求一份 → 中线分半反推总面积。
规范步骤：
  1. 中位线：$DE\parallel AB$ 且 $AB=2DE$（三角形中位线）
  2. 定份数：①:②:③:④$=4:2:2:1$（梯形蝴蝶模型，上下底比 $1:2$）
  3. 由差求一份：$6\div(4-1)=2$（平方厘米）（①比④多 3 份）
  4. 求 $S_{\triangle ABD}$：$(4+2)\times 2=12$（平方厘米）（①+③）
  5. 中线分半：$S_{\triangle ABC}=2\times 12=24$（平方厘米）（$D$ 是 $BC$ 中点）
  6. 写出答案：$24$ 平方厘米
第一套
题目：$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 是 $AC$ 的中点，三角形 $ABC$ 由①至⑤这 5 部分组成，其中①的面积比④多 $15$ 平方厘米。求三角形 $ABC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：$DE$ 是中位线，$ABDE$ 是上下底比 $1:2$ 的梯形，①:②:③:④$=4:2:2:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（由差求一份）：①比④多 $4-1=\underline{\quad}$（份），一份是 $15\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求 $S_{\triangle ABD}$）：①+③共 $4+2=6$ 份，$6\times 5=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（中线分半）：$S_{\triangle ABC}=2\times 30=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块三角形空地 $ABC$，$D$、$E$ 分别是 $BC$、$AC$ 的中点，两条小路把空地分成①至⑤共 5 块，其中①比④多 $15$ 平方米。求整块空地的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：①:②:③:④$=4:2:2:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（一份）：$15\div(4-1)=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（$S_{\triangle ABD}$）：$(4+2)\times 5=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（中线分半）：$2\times 30=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：$D$、$E$ 分别是 $BC$、$AC$ 的中点，①的面积比④多 $15$ 平方厘米。求梯形 $ABDE$（即①+②+③+④）的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：①:②:③:④$=4:2:2:1$，总份数 $4+2+2+1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（一份）：$15\div(4-1)=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求梯形）：$9\times 5=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：$D$、$E$ 分别是 $BC$、$AC$ 的中点，①的面积比④多 $15$ 平方厘米。求三角形 $ABC$ 的面积与第⑤部分（三角形 $CDE$）的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一份）：$15\div(4-1)=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（梯形 $ABDE$）：$(4+2+2+1)\times 5=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（总面积）：$S_{\triangle ABD}=(4+2)\times 5=30$，$S_{\triangle ABC}=2\times 30=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求⑤）：$60-45=\underline{\quad}$（平方厘米）。
22. 【原题 ch19-tuozhan-14】根据图 19-27 中所给的条件，求梯形 $ABCD$ 的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「作高构造直角三角形 + 勾股定理 + 梯形面积」类：梯形两腰倾斜，作两条高把梯形切成“两个直角三角形 + 一个长方形”。
关键切入点：作 $BM\perp CD$、$AN\perp CD$（$M$、$N$ 为垂足），$BM=AN=12$ 就是梯形的高，中间 $MN$ 与上底 $AB$ 相等。由勾股定理 $CM=\sqrt{15^2-12^2}=9$、$DN=\sqrt{13^2-12^2}=5$，再由图中 $MD=10$ 得 $AB=MN=10-5=5$，$CD=CM+MD=9+10=19$。
方法概述：作两条高 → 勾股求水平投影 → 拼出上下底 → 梯形面积公式。
规范步骤：
  1. 勾股求 $CM$：$CM=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$（直角三角形）
  2. 勾股求 $DN$：$DN=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$（直角三角形）
  3. 求上下底：$CD=9+10=19$，$AB=MN=10-5=5$（线段加减）
  4. 梯形面积：$\frac{(5+19)\times 12}{2}=144$（梯形面积公式）
  5. 写出答案：$144$
第一套
题目：梯形 $ABCD$ 中 $AB\parallel CD$，过 $B$、$A$ 分别作 $CD$ 的垂线，垂足为 $M$、$N$，高 $BM=AN=15$。已知腰 $BC=17$、腰 $AD=25$，且 $MD=25$。求梯形 $ABCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（勾股求 $CM$）：$17^2-15^2=\underline{\quad}$，所以 $CM=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（勾股求 $DN$）：$25^2-15^2=\underline{\quad}$，所以 $DN=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求上底）：$AB=MN=MD-DN=25-20=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求下底）：$CD=CM+MD=8+25=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（梯形面积）：$\frac{(5+33)\times 15}{2}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块梯形铁皮 $ABCD$（$AB\parallel CD$），高是 $15$ 厘米，两腰 $BC=17$ 厘米、$AD=25$ 厘米；两条高的垂足是 $M$、$N$，且 $MD=25$ 厘米。求这块铁皮的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（勾股求 $CM$）：$17^2-15^2=\underline{\quad}$，$CM=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（勾股求 $DN$）：$25^2-15^2=\underline{\quad}$，$DN=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（上底）：$AB=25-20=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（下底）：$CD=8+25=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（面积）：$\frac{(5+33)\times 15}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：梯形 $ABCD$（$AB\parallel CD$）的高是 $20$，两腰 $BC=25$、$AD=29$，两条高的垂足 $M$、$N$ 满足 $MD=30$。求梯形的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（勾股求 $CM$）：$25^2-20^2=\underline{\quad}$，$CM=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（勾股求 $DN$）：$29^2-20^2=\underline{\quad}$，$DN=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（上底、下底）：$AB=30-21=\underline{\quad}$，$CD=15+30=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（面积）：$\frac{(9+45)\times 20}{2}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：梯形 $ABCD$（$AB\parallel CD$）的高是 $15$，两腰 $BC=17$、$AD=25$，垂足 $M$、$N$ 满足 $MD=25$。求梯形的面积与周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（勾股）：$CM=\sqrt{17^2-15^2}=\underline{\quad}$，$DN=\sqrt{25^2-15^2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（上下底）：$AB=25-20=\underline{\quad}$，$CD=8+25=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（面积）：$\frac{(5+33)\times 15}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（周长）：$5+17+33+25=\underline{\quad}$。
23. 【原题 ch19-xingqu-01】如图 19-1，在三角形 $ABC$ 中，$AD$ 的长度是 $AB$ 的 $\frac{3}{4}$，$AE$ 的长度是 $AC$ 的 $\frac{2}{3}$。请问：三角形 $AED$ 的面积是三角形 $ABC$ 面积的几分之几？
详细思路
是哪类问题：这是「鸟头模型（共角三角形）」类面积比问题：两个三角形共用一个角（$\angle A$），面积之比等于夹这个角的两组边长之比的乘积。
关键切入点：$\triangle AED$ 与 $\triangle ABC$ 共用顶角 $A$，夹角两边分别是 $AD$ 与 $AB$、$AE$ 与 $AC$。只要把两个边长比相乘就得到面积比，不必知道具体边长。
方法概述：鸟头模型：$S_{\triangle AED}:S_{\triangle ABC}=\frac{AD}{AB}\times\frac{AE}{AC}$。
规范步骤：
  1. 写出两组边长比：$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$（题目已知）
  2. 鸟头模型：两比相乘：$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$（共角三角形面积比）
  3. 写出答案：$\frac{1}{2}$
第一套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$AD$ 的长度是 $AB$ 的 $\frac{5}{6}$，$AE$ 的长度是 $AC$ 的 $\frac{4}{7}$。三角形 $AED$ 的面积是三角形 $ABC$ 面积的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认模型）：$\triangle AED$ 与 $\triangle ABC$ 共用顶角 $A$，属于鸟头模型，面积比 = 两组夹边比相乘。
  2. 第 2 步（读出两个比）：$\frac{AD}{AB}=\underline{\quad}$，$\frac{AE}{AC}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相乘）：$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块三角形菜地 $ABC$，沿 $AB$ 边量出 $AD$ 占 $AB$ 的 $\frac{5}{6}$，沿 $AC$ 边量出 $AE$ 占 $AC$ 的 $\frac{4}{7}$。三角形地块 $AED$ 的面积是整块菜地的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认模型）：两个三角形共用顶角 $A$，是鸟头模型。
  2. 第 2 步（读比）：$\frac{AD}{AB}=\underline{\quad}$，$\frac{AE}{AC}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相乘得面积比）：$\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$AD=\frac{5}{6}AB$，$AE=\frac{4}{7}AC$，且三角形 $ABC$ 的面积是 $84$ 平方厘米。求三角形 $AED$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求面积比）：鸟头模型，$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（比 × 总面积）：$S_{\triangle AED}=84\times\frac{10}{21}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$AD=\frac{5}{6}AB$，$AE=\frac{4}{7}AC$，三角形 $ABC$ 的面积是 $84$ 平方厘米。求四边形 $BDEC$ 的面积，以及它占三角形 $ABC$ 的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（鸟头模型）：$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（补集思想）：四边形 $BDEC$ 是 $\triangle ABC$ 去掉 $\triangle AED$ 剩下的部分，占比 $1-\frac{10}{21}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求两块面积）：$S_{\triangle AED}=84\times\frac{10}{21}=\underline{\quad}$，$S_{BDEC}=84-40=\underline{\quad}$（平方厘米）。
24. 【原题 ch19-xingqu-02】如图 19-2，在三角形 $ABC$ 中，$BC=3CD$，$AC=3AE$，那么三角形 $ABC$ 的面积是三角形 $CDE$ 的多少倍？
详细思路
是哪类问题：这是「鸟头模型」的倍数形式：条件给成 $BC=3CD$、$AC=3AE$，先化成同一个顶点出发的边长比，再相乘。
关键切入点：$\triangle CDE$ 与 $\triangle ABC$ 共用顶角 $C$。由 $BC=3CD$ 得 $\frac{CD}{CB}=\frac{1}{3}$；由 $AC=3AE$ 得 $AE=\frac{1}{3}AC$，所以 $CE=\frac{2}{3}AC$。两比相乘就是面积比。
方法概述：先把倍数关系翻译成以公共角顶点为起点的边长比，再用鸟头模型相乘。
规范步骤：
  1. 化边长比：$\frac{CD}{CB}=\frac{1}{3}$，$\frac{CE}{CA}=\frac{2}{3}$（由倍数关系翻译）
  2. 鸟头模型：$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$（共角三角形面积比）
  3. 取倒数得倍数：$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{9}{2}=4.5$（比的倒数）
  4. 写出答案：$4.5$ 倍
第一套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$BC=4CD$，$AC=5AE$，那么三角形 $ABC$ 的面积是三角形 $CDE$ 的多少倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译倍数为比）：由 $BC=4CD$ 得 $\frac{CD}{CB}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（注意换端点）：由 $AC=5AE$ 得 $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{5}$，所以 $\frac{CE}{CA}=1-\frac{1}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（鸟头模型相乘）：$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取倒数）：$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CDE}}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块三角形草坪 $ABC$ 上修了两个观测点 $D$、$E$：$D$ 在 $BC$ 上且 $BC=4CD$，$E$ 在 $AC$ 上且 $AC=5AE$。整块草坪的面积是三角形区域 $CDE$ 的多少倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译）：$\frac{CD}{CB}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（换端点）：$\frac{CE}{CA}=1-\frac{1}{5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（鸟头相乘）：$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$ 倍。
第三套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$BC=4CD$，$AC=5AE$，已知三角形 $CDE$ 的面积是 $12$ 平方厘米，求三角形 $ABC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求面积比）：$\frac{CD}{CB}=\frac{1}{4}$，$\frac{CE}{CA}=\underline{\quad}$，鸟头模型得 $\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（由部分求整体）：$S_{\triangle ABC}=12\div\frac{1}{5}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在三角形 $ABC$ 中，$BC=4CD$，$AC=5AE$，已知三角形 $ABC$ 的面积是 $60$ 平方厘米，求四边形 $ABDE$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（鸟头模型）：$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\underline{\quad}=\frac{1}{5}$。
  2. 第 2 步（求小三角形）：$S_{\triangle CDE}=60\times\frac{1}{5}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（补集相减）：四边形 $ABDE$ 是大三角形去掉 $\triangle CDE$，$S_{ABDE}=60-12=\underline{\quad}$（平方厘米）。
25. 【原题 ch19-xingqu-03】如图 19-3，某公园的外轮廓是四边形 $ABCD$，被对角线 $AC$、$BD$ 分成 4 个部分。三角形 $AOB$ 的面积是 3 平方千米，三角形 $BOC$ 的面积是 2 平方千米，三角形 $COD$ 的面积是 1 平方千米。如果公园由大小为 6.9 平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？
详细思路
是哪类问题：这是「蝴蝶模型（任意四边形对角线分成 4 块）」类：对角线把四边形分成四个三角形，对顶的两块面积之积相等。
关键切入点：$O$ 是对角线交点，$S_{\triangle AOB}\times S_{\triangle COD}=S_{\triangle BOC}\times S_{\triangle AOD}$。已知三块就能求第四块，进而求出四边形总面积；再用总面积减去陆地面积即得人工湖面积。
方法概述：蝴蝶模型求出第四块 → 求总面积 → 总面积减陆地。
规范步骤：
  1. 蝴蝶模型求第四块：$S_{\triangle AOD}=\frac{3\times 1}{2}=1.5$（平方千米）（对顶两块面积之积相等）
  2. 求公园总面积：$3+2+1+1.5=7.5$（平方千米）（四块相加）
  3. 总面积减陆地：$7.5-6.9=0.6$（平方千米）（面积相减）
  4. 写出答案：$0.6$ 平方千米
第一套
题目：四边形 $ABCD$ 被对角线 $AC$、$BD$ 分成 4 个部分，$S_{\triangle AOB}=8$、$S_{\triangle BOC}=4$、$S_{\triangle COD}=3$ 平方千米。若这块地由 $19.4$ 平方千米的陆地和一块人工湖组成，人工湖面积是多少平方千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认模型）：对角线分出的四块构成蝴蝶模型，对顶两块面积之积相等：$S_{AOB}\times S_{COD}=S_{BOC}\times S_{AOD}$。
  2. 第 2 步（求第四块）：$S_{\triangle AOD}=\frac{8\times 3}{4}=\underline{\quad}$（平方千米）。
  3. 第 3 步（求总面积）：$8+4+3+6=\underline{\quad}$（平方千米）。
  4. 第 4 步（减陆地）：$21-19.4=\underline{\quad}$（平方千米）。
第二套
题目：一个四边形农场被两条田埂（对角线）分成 4 块，三块的面积分别是 $8$、$4$、$3$ 公顷（依次为 $\triangle AOB$、$\triangle BOC$、$\triangle COD$）。若农场中可耕地共 $19.4$ 公顷，其余是水塘，水塘面积是多少公顷？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（蝴蝶模型）：对顶两块面积之积相等。
  2. 第 2 步（求第四块）：$S_{\triangle AOD}=\frac{8\times 3}{4}=\underline{\quad}$（公顷）。
  3. 第 3 步（总面积）：$8+4+3+6=\underline{\quad}$（公顷）。
  4. 第 4 步（求水塘）：$21-19.4=\underline{\quad}$（公顷）。
第三套
题目：四边形 $ABCD$ 的对角线交于 $O$，已知 $S_{\triangle AOB}=8$、$S_{\triangle BOC}=4$、$S_{\triangle AOD}=6$ 平方千米，求 $S_{\triangle COD}$ 与四边形的总面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写等式）：蝴蝶模型 $S_{AOB}\times S_{COD}=S_{BOC}\times S_{AOD}$，即 $8\times S_{COD}=4\times 6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（解出）：$S_{\triangle COD}=24\div 8=\underline{\quad}$（平方千米）。
  3. 第 3 步（求总面积）：$8+4+6+3=\underline{\quad}$（平方千米）。
第三套
题目：四边形 $ABCD$ 的对角线交于 $O$，总面积是 $21$ 平方千米，已知 $S_{\triangle AOB}=8$、$S_{\triangle BOC}=4$ 平方千米，求 $S_{\triangle AOD}$ 与 $S_{\triangle COD}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求两块之和）：$S_{AOD}+S_{COD}=21-8-4=\underline{\quad}$（平方千米）。
  2. 第 2 步（求两块之比）：$\triangle AOD$ 与 $\triangle COD$ 同高，$\frac{S_{AOD}}{S_{COD}}=\frac{AO}{OC}=\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比分配）：$S_{\triangle AOD}=9\times\frac{2}{2+1}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle COD}=9-6=\underline{\quad}$（平方千米）。
26. 【原题 ch19-xingqu-04】如图 19-4，在梯形 $ABCD$ 中，$AD$ 长 9 厘米，$BC$ 长 15 厘米，$BD$ 长 12 厘米，那么 $OD$ 长多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「沙漏模型（梯形对角线交点分线段）」类：梯形上下底平行，两条对角线交于 $O$，交点把对角线分成的两段之比等于上下底之比。
关键切入点：$AD\parallel BC$，$\triangle AOD$ 与 $\triangle COB$ 构成沙漏（相似），所以 $DO:BO=AD:BC=9:15=3:5$。$DO$ 与 $BO$ 合起来是 $BD=12$，按 $3:5$ 分配即可。
方法概述：沙漏模型定比 → 按比分配已知的整段长。
规范步骤：
  1. 沙漏模型定比：$DO:BO=AD:BC=9:15=3:5$（上下底平行，对应线段成比例）
  2. 两段之和已知：$DO+BO=BD=12$（厘米）（线段和）
  3. 按比分配：$DO=12\times\frac{3}{3+5}=4.5$（厘米）（按比例分配）
  4. 写出答案：$4.5$ 厘米
第一套
题目：在梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）中，$AD$ 长 $14$ 厘米，$BC$ 长 $21$ 厘米，对角线 $BD$ 长 $20$ 厘米，那么 $OD$ 长多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认模型）：$AD\parallel BC$，$\triangle AOD$ 与 $\triangle COB$ 构成沙漏，$DO:BO=AD:BC$。
  2. 第 2 步（化简比）：$14:21$ 约分为 $2:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比分配）：$DO=20\times\frac{2}{2+3}=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块梯形菜畦 $ABCD$（$AD\parallel BC$），上边 $AD$ 长 $14$ 米，下边 $BC$ 长 $21$ 米，拉一条对角线绳 $BD$ 长 $20$ 米，它与另一条对角线绳交于 $O$。$OD$ 长多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沙漏模型）：$DO:BO=AD:BC=14:21$。
  2. 第 2 步（化简）：约分得 $2:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分配）：$DO=20\times\frac{2}{2+3}=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：在梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）中，$AD=14$ 厘米，$BC=21$ 厘米，$BD=20$ 厘米。求 $OB$ 的长，并求 $OB$ 比 $OD$ 长多少厘米。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沙漏定比）：$DO:BO=14:21=2:3$。
  2. 第 2 步（求 $OB$）：$OB=20\times\frac{3}{2+3}=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求差）：$OD=20-12=\underline{\quad}$，相差 $12-8=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：在梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）中，$AD=14$ 厘米，$BC=21$ 厘米。已知三角形 $AOD$ 的面积是 $32$ 平方厘米，求三角形 $BOC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相似比）：沙漏模型中 $\triangle AOD\sim\triangle COB$，相似比 $=AD:BC=14:21=\underline{\quad}$（写成分数）。
  2. 第 2 步（面积比 = 相似比的平方）：$\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求面积）：$S_{\triangle BOC}=32\div\frac{4}{9}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
27. 【原题 ch19-xingqu-05】如图 19-5，在梯形 $ABCD$ 中，三角形 $ABO$ 的面积是 6 平方厘米，且 $BC$ 的长是 $AD$ 的 2 倍。请问：梯形 $ABCD$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「梯形蝴蝶模型」类：梯形被两条对角线分成四块，若上下底之比是 $1:n$，则四块面积之比是 $1:n:n:n^2$。
关键切入点：$BC=2AD$，即上下底比为 $1:2$，故 $S_{\triangle AOD}:S_{\triangle AOB}:S_{\triangle DOC}:S_{\triangle BOC}=1:2:2:4$。$\triangle ABO$ 占 $2$ 份 $=6$，一份是 $3$，总份数 $1+2+2+4=9$ 份。
方法概述：梯形蝴蝶模型定份数 → 求一份 → 乘总份数。
规范步骤：
  1. 写份数比：$S_{AOD}:S_{AOB}:S_{DOC}:S_{BOC}=1:2:2:4$（梯形蝴蝶模型，上下底比 $1:2$）
  2. 求一份：$6\div 2=3$（平方厘米）（$\triangle ABO$ 占 2 份）
  3. 求总面积：$3\times(1+2+2+4)=27$（平方厘米）（总份数 9 份）
  4. 写出答案：$27$ 平方厘米
第一套
题目：在梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）中，三角形 $ABO$ 的面积是 $15$ 平方厘米，且 $BC$ 的长是 $AD$ 的 $3$ 倍。梯形 $ABCD$ 的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：上下底之比为 $1:3$，梯形蝴蝶模型给出四块面积比 $1:3:3:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求一份）：$\triangle ABO$ 占 $3$ 份，一份是 $15\div 3=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求总份数）：$1+3+3+9=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（求总面积）：$5\times 16=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块梯形花圃 $ABCD$（$AD\parallel BC$）用两条小径（对角线）分成四块，其中三角形 $ABO$ 那块的面积是 $15$ 平方米，下边 $BC$ 的长是上边 $AD$ 的 $3$ 倍。整块花圃的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：面积比 $1:3:3:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（一份）：$15\div 3=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（总份数）：$1+3+3+9=\underline{\quad}$（份）。
  4. 第 4 步（总面积）：$5\times 16=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：在梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）中，$BC=3AD$，靠上底的三角形 $AOD$ 的面积是 $15$ 平方厘米。求梯形 $ABCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：四块面积比 $1:3:3:\underline{\quad}$，$\triangle AOD$ 占 $1$ 份。
  2. 第 2 步（一份）：一份就是 $15$ 平方厘米，总份数 $1+3+3+9=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（总面积）：$15\times 16=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）中，$BC=3AD$，梯形面积是 $80$ 平方厘米。求三角形 $BOC$ 与三角形 $ABO$ 的面积，并求它们相差多少。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定份数）：四块面积比 $1:3:3:9$，总份数 $\underline{\quad}$ 份。
  2. 第 2 步（求 $\triangle BOC$）：它占 $9$ 份，$S_{\triangle BOC}=80\times\frac{9}{16}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求 $\triangle ABO$）：它占 $3$ 份，$S_{\triangle ABO}=80\times\frac{3}{16}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求差）：$45-15=\underline{\quad}$（平方厘米）。
28. 【原题 ch19-xingqu-06】如图 19-6，已知平行四边形 $ABCD$ 的面积为 72，$E$ 点是 $BC$ 上靠近 $B$ 点的三等分点，求图中阴影部分的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「沙漏模型 + 一半模型」的组合题：平行四边形中一条对角线与一条斜线相交，求其中一小块三角形的面积。
关键切入点：$AD\parallel BC$，所以 $\triangle AOD$ 与 $\triangle EOC$ 构成沙漏，$EO:DO=EC:AD=2:3$，于是 $EO:ED=2:5$。又 $\triangle ADE$ 与平行四边形同底 $AD$、等高，面积是平行四边形的一半（一半模型）。$\triangle AEO$ 与 $\triangle ADE$ 同高，面积按 $EO:ED$ 分配。
方法概述：一半模型求 $S_{\triangle ADE}$ → 沙漏模型定 $EO:ED$ → 按比取面积。
规范步骤：
  1. 沙漏定比：$EO:DO=EC:AD=2:3$，故 $\frac{EO}{ED}=\frac{2}{5}$（$AD\parallel EC$）
  2. 一半模型：$S_{\triangle ADE}=\frac{72}{2}=36$（同底等高，三角形是平行四边形的一半）
  3. 按比取面积：$S_{\triangle AEO}=36\times\frac{2}{5}=14.4$（同高三角形面积比等于底之比）
  4. 写出答案：$14.4$
第一套
题目：平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $140$，$E$ 是 $BC$ 上靠近 $B$ 的四等分点（即 $BE=\frac{1}{4}BC$），$AC$ 与 $DE$ 交于 $O$。求三角形 $AEO$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $EC$ 占比）：$BE=\frac{1}{4}BC$，所以 $EC=1-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$（占 $BC$，也就是占 $AD$）。
  2. 第 2 步（沙漏定比）：$EO:DO=EC:AD=3:\underline{\quad}$，故 $\frac{EO}{ED}=\frac{3}{7}$。
  3. 第 3 步（一半模型）：$S_{\triangle ADE}=140\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（按比取面积）：$S_{\triangle AEO}=70\times\frac{3}{7}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块平行四边形草地 $ABCD$ 面积为 $140$ 平方米，$E$ 是边 $BC$ 上靠近 $B$ 的四等分点，两条小路 $AC$ 与 $DE$ 交于 $O$。三角形地块 $AEO$ 的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $EC$ 占比）：$EC=1-\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（沙漏定比）：$\frac{EO}{ED}=\frac{3}{3+4}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（一半模型）：$S_{\triangle ADE}=140\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步（按比取面积）：$70\times\frac{3}{7}=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $140$，$E$ 是 $BC$ 上靠近 $B$ 的四等分点，$AC$ 与 $DE$ 交于 $O$。求三角形 $ADO$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沙漏定比）：$EO:DO=EC:AD=3:4$，所以 $\frac{DO}{ED}=\frac{4}{3+4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（一半模型）：$S_{\triangle ADE}=140\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（按比取面积）：$S_{\triangle ADO}=70\times\frac{4}{7}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $140$，$E$ 是 $BC$ 上靠近 $B$ 的四等分点，$AC$ 与 $DE$ 交于 $O$。已知三角形 $ADO$ 的面积是 $40$，求三角形 $EOC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认相似）：$AD\parallel EC$，$\triangle ADO$ 与 $\triangle CEO$ 相似，相似比 $=AD:EC=4:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（面积比 = 相似比的平方）：$\frac{S_{\triangle EOC}}{S_{\triangle ADO}}=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求面积）：$S_{\triangle EOC}=40\times\frac{9}{16}=\underline{\quad}$。
29. 【原题 ch19-xingqu-07】图 19-7 中的两个正方形的边长分别为 6 分米和 8 分米，求阴影部分的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「组合正方形 + 相似三角形」类：两个正方形并排放在同一水平线上，连接小正方形左下角与大正方形右上角，求斜线在小正方形内截出的三角形面积。
关键切入点：斜线水平走 $6+8=14$ 分米时共升高 $8$ 分米。走到两正方形的公共边（水平 $6$ 分米处）时，升高按比例只有 $8\times\frac{6}{6+8}=\frac{24}{7}$ 分米，这就是阴影直角三角形的另一条直角边。
方法概述：用相似（成比例）求出斜线在公共边处的高，再用直角三角形面积公式。
规范步骤：
  1. 一条直角边：$6$ 分米（小正方形的边）
  2. 按比例求另一条直角边：$8\times\frac{6}{6+8}=\frac{24}{7}$（分米）（相似三角形对应边成比例）
  3. 求面积：$\frac{6\times\frac{24}{7}}{2}=\frac{72}{7}=10\frac{2}{7}$（平方分米）（直角三角形面积）
  4. 写出答案：$10\frac{2}{7}$ 平方分米
第一套
题目：两个正方形并排放在同一水平线上，左边正方形边长 $10$ 分米，右边正方形边长 $15$ 分米。连接左边正方形的左下角与右边正方形的右上角，这条斜线交两正方形的公共边于点 $P$。求斜线、水平底边与公共边围成的直角三角形的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看斜线的“坡度”）：斜线水平走 $10+15=\underline{\quad}$（分米）时，一共升高 $15$ 分米。
  2. 第 2 步（求交点高度）：走到公共边时水平只走了 $10$ 分米，升高 $15\times\frac{10}{25}=\underline{\quad}$（分米）。
  3. 第 3 步（求面积）：两条直角边是 $10$ 和 $6$，$S=\frac{10\times 6}{2}=\underline{\quad}$（平方分米）。
第二套
题目：两块正方形广告牌并排立在同一水平地面上，左边一块边长 $10$ 米，右边一块边长 $15$ 米。从左边广告牌的左下角拉一根钢索到右边广告牌的右上角，钢索经过两块广告牌交界线上的点 $P$。求钢索、地面与交界线围成的直角三角形区域的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总水平距离）：$10+15=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（交界处高度）：$15\times\frac{10}{25}=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（面积）：$\frac{10\times 6}{2}=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：两个正方形并排放在同一水平线上，左边边长 $10$ 分米，右边边长 $15$ 分米，斜线从左边正方形的左下角连到右边正方形的右上角。求这条斜线在右边（大）正方形内下方部分（一个梯形）的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求梯形的两条平行边）：左边一条是斜线在公共边上的高 $15\times\frac{10}{25}=\underline{\quad}$（分米），右边一条是大正方形的边 $15$ 分米。
  2. 第 2 步（梯形的高就是大正方形边长）：高 $=\underline{\quad}$ 分米。
  3. 第 3 步（梯形面积）：$\frac{(6+15)\times 15}{2}=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：两个正方形并排放在同一水平线上，边长分别是 $10$ 分米和 $15$ 分米，斜线从左边正方形的左下角连到右边正方形的右上角。求斜线上方部分的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两个正方形的总面积）：$10\times 10+15\times 15=\underline{\quad}$（平方分米）。
  2. 第 2 步（斜线下方·小正方形部分）：直角三角形 $\frac{10\times 6}{2}=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（斜线下方·大正方形部分）：梯形 $\frac{(6+15)\times 15}{2}=\underline{\quad}$（平方分米）。
  4. 第 4 步（相减求上方）：$325-(30+157.5)=\underline{\quad}$（平方分米）。
30. 【原题 ch19-xingqu-08】如图 19-8，梯形 $ABCD$ 的对角线相互垂直。三角形 $AOB$ 的面积是 12，$OD$ 的长是 4，求 $OC$ 的长。
详细思路
是哪类问题：这是「梯形蝴蝶模型 + 直角三角形面积」类：梯形的两条对角线互相垂直，已知一块三角形面积和一条分段长，求另一条分段长。
关键切入点：梯形蝴蝶模型中两腰上的两块面积相等：$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=12$。又因为对角线垂直，$\triangle COD$ 中 $OD$ 是底、$OC$ 是高，由面积倒推出 $OC$。
方法概述：先用梯形蝴蝶模型搬运面积，再用直角三角形面积公式倒推边长。
规范步骤：
  1. 梯形蝴蝶模型：$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=12$（梯形两腰上的两块面积相等）
  2. 对角线垂直，用面积倒推：$OC=\frac{2\times 12}{4}=6$（直角三角形面积 = 两直角边之积的一半）
  3. 写出答案：$OC=6$
第一套
题目：梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）的对角线互相垂直，三角形 $AOB$ 的面积是 $27$，$OD$ 的长是 $6$，求 $OC$ 的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（搬运面积）：梯形蝴蝶模型中两腰上的两块相等，$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用垂直）：对角线垂直，$\triangle COD$ 中 $OD$ 为底、$OC$ 为高，$\frac{OD\times OC}{2}=27$。
  3. 第 3 步（倒推）：$OC=\frac{2\times 27}{6}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块梯形玻璃 $ABCD$（$AD\parallel BC$）上刻了两条互相垂直的对角线，交点为 $O$。三角形 $AOB$ 那块的面积是 $27$ 平方分米，$OD$ 长 $6$ 分米，求 $OC$ 的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（搬运面积）：$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=\underline{\quad}$（平方分米）。
  2. 第 2 步（倒推长度）：$OC=\frac{2\times 27}{6}=\underline{\quad}$（分米）。
第三套
题目：梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）的对角线互相垂直，三角形 $AOB$ 的面积是 $27$，$OC$ 的长是 $9$，求 $OD$ 的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（搬运面积）：$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倒推另一条直角边）：$OD=\frac{2\times 27}{9}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：梯形 $ABCD$（$AD\parallel BC$）的对角线互相垂直，三角形 $AOB$ 的面积是 $27$，$OD=6$，$OA=12$。求梯形 $ABCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（搬运面积并求 $OC$）：$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=\underline{\quad}$，由 $\frac{OD\times OC}{2}=27$ 得 $OC=\frac{2\times 27}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $OB$）：$\triangle AOB$ 中 $OA$、$OB$ 是两条直角边，$OB=\frac{2\times 27}{12}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求另两块）：$S_{\triangle AOD}=\frac{12\times 6}{2}=\underline{\quad}$，$S_{\triangle BOC}=\frac{4.5\times 9}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（四块相加）：$27+27+36+20.25=\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch19-xingqu-09】在图 19-9 中，正方形 $ABCD$ 的边长为 5 厘米，且三角形 $CEF$ 的面积比三角形 $ADF$ 的面积大 5 平方厘米，求 $CE$ 的长。
详细思路
是哪类问题：这是「共部分相消（等积变形）」类：两个图形有公共部分，各自去掉公共部分后剩下的两块面积之差，等于原来两个图形的面积之差。
关键切入点：$\triangle ABE$ 与正方形 $ABCD$ 的公共部分是四边形 $ABCF$。去掉公共部分后，一边剩 $\triangle CEF$，另一边剩 $\triangle ADF$，所以 $S_{\triangle ABE}-S_{ABCD}=S_{\triangle CEF}-S_{\triangle ADF}=5$，这样就绕开了 $F$ 点的位置。
方法概述：共部分相消 → 求 $S_{\triangle ABE}$ → 由面积倒推 $BE$ → 减去边长得 $CE$。
规范步骤：
  1. 共部分相消：$S_{\triangle ABE}-S_{ABCD}=S_{\triangle CEF}-S_{\triangle ADF}=5$（平方厘米）（两图形去掉同一公共部分）
  2. 求 $S_{\triangle ABE}$：$S_{\triangle ABE}=25+5=30$（平方厘米）（正方形面积 $5\times 5=25$）
  3. 倒推 $BE$：$BE=\frac{2\times 30}{5}=12$（厘米）（三角形面积公式）
  4. 求 $CE$：$CE=12-5=7$（厘米）（$BE=BC+CE$）
  5. 写出答案：$CE=7$ 厘米
第一套
题目：正方形 $ABCD$ 的边长为 $8$ 厘米，$E$ 在 $BC$ 的延长线上，$AE$ 交 $CD$ 于 $F$。已知三角形 $CEF$ 的面积比三角形 $ADF$ 的面积大 $16$ 平方厘米，求 $CE$ 的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（共部分相消）：$\triangle ABE$ 与正方形有公共部分 $ABCF$，所以 $S_{\triangle ABE}-S_{ABCD}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（正方形面积）：$8\times 8=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求 $S_{\triangle ABE}$）：$64+16=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（倒推 $BE$）：$BE=\frac{2\times 80}{8}=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（求 $CE$）：$CE=20-8=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块正方形地砖 $ABCD$ 边长 $8$ 分米，在 $BC$ 的延长线上取点 $E$，连 $AE$ 交 $CD$ 于 $F$。若三角形区域 $CEF$ 比三角形区域 $ADF$ 大 $16$ 平方分米，求 $CE$ 的长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（共部分相消）：$S_{\triangle ABE}-S_{ABCD}=\underline{\quad}$（平方分米）。
  2. 第 2 步（正方形面积）：$8\times 8=\underline{\quad}$（平方分米）。
  3. 第 3 步（求 $S_{\triangle ABE}$）：$64+16=\underline{\quad}$（平方分米）。
  4. 第 4 步（倒推 $BE$ 并求 $CE$）：$\frac{2\times 80}{8}=\underline{\quad}$（分米），$CE=20-8=\underline{\quad}$（分米）。
第三套
题目：正方形 $ABCD$ 的边长为 $8$ 厘米，$E$ 在 $BC$ 的延长线上且 $CE=12$ 厘米，$AE$ 交 $CD$ 于 $F$。三角形 $CEF$ 的面积比三角形 $ADF$ 的面积大多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $BE$）：$BE=8+12=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（求 $S_{\triangle ABE}$）：$\frac{8\times 20}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（共部分相消求差）：$80-8\times 8=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：正方形 $ABCD$ 的边长为 $8$ 厘米，$E$ 在 $BC$ 的延长线上，$AE$ 交 $CD$ 于 $F$，且三角形 $CEF$ 的面积比三角形 $ADF$ 的面积大 $16$ 平方厘米。求 $CF$ 的长与三角形 $CEF$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（共部分相消求 $BE$、$CE$）：$S_{\triangle ABE}=8\times 8+16=\underline{\quad}$，$BE=\frac{2\times 80}{8}=\underline{\quad}$（厘米），$CE=20-8=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（相似求 $CF$）：$FC\parallel AB$，$\frac{CF}{AB}=\frac{CE}{BE}$，所以 $CF=8\times\frac{12}{20}=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求面积）：$S_{\triangle CEF}=\frac{12\times 4.8}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
32. 【原题 ch19-xingqu-10】如图 19-10，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（长度单位：厘米）。
详细思路
是哪类问题：这是「勾股定理 + 等面积法求高 + 梯形面积」的综合题：先由直角三角形两直角边求出斜边和斜边上的高，这个高就是梯形的高。
关键切入点：直角三角形的面积既可以用两条直角边算，也可以用斜边乘斜边上的高算，两种算法相等就能求出高。斜边同时是梯形的上底，这个高同时是梯形的高。
方法概述：两直角边求面积 → 勾股求斜边 → 等面积法求斜边上的高 → 梯形面积公式。
规范步骤：
  1. 求直角三角形面积：$\frac{6\times 8}{2}=24$（平方厘米）（直角三角形面积）
  2. 勾股求斜边：$\sqrt{6^2+8^2}=10$（厘米）（勾股定理）
  3. 等面积法求高：$\frac{24\times 2}{10}=4.8$（厘米）（面积的两种算法相等）
  4. 梯形面积：$\frac{(10+15)\times 4.8}{2}=60$（平方厘米）（梯形面积公式）
  5. 写出答案：$60$ 平方厘米
第一套
题目：一个直角三角形的两条直角边分别是 $9$ 厘米和 $12$ 厘米，它的斜边是大梯形的上底，斜边上的高是梯形的高，梯形的下底是 $20$ 厘米。求大梯形的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求直角三角形面积）：$\frac{9\times 12}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（勾股求斜边）：$9^2+12^2=\underline{\quad}$，所以斜边 $=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（等面积求高）：$\frac{54\times 2}{15}=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（梯形面积）：$\frac{(15+20)\times 7.2}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块直角三角形铁皮的两条直角边分别是 $9$ 分米和 $12$ 分米，把它斜边朝上焊在一块梯形板上：斜边就是梯形的上底，斜边上的高就是梯形的高，梯形的下底是 $20$ 分米。求梯形板的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（铁皮面积）：$\frac{9\times 12}{2}=\underline{\quad}$（平方分米）。
  2. 第 2 步（勾股求斜边）：$9^2+12^2=\underline{\quad}$，斜边 $=\underline{\quad}$（分米）。
  3. 第 3 步（等面积求高）：$\frac{54\times 2}{15}=\underline{\quad}$（分米）。
  4. 第 4 步（梯形面积）：$\frac{(15+20)\times 7.2}{2}=\underline{\quad}$（平方分米）。
第三套
题目：一个梯形的上底是 $15$ 厘米、下底是 $20$ 厘米，面积是 $126$ 平方厘米。求这个梯形的高。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写公式）：$\frac{(15+20)\times h}{2}=126$，先算上下底之和 $15+20=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（逆推高）：$h=\frac{126\times 2}{35}=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个直角三角形的两条直角边是 $9$ 厘米和 $12$ 厘米，它的斜边是梯形的上底、斜边上的高是梯形的高，梯形下底 $20$ 厘米。求梯形中除去这个直角三角形后剩下部分的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（直角三角形面积）：$\frac{9\times 12}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（勾股求斜边）：$9^2+12^2=225$，斜边 $=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（等面积求高）：$\frac{54\times 2}{15}=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（梯形面积）：$\frac{(15+20)\times 7.2}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（相减求剩余）：$126-54=\underline{\quad}$（平方厘米）。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch19-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（逐级累加）：$S_{\triangle OBC}=2+2=\underline{4}$，$S_{\triangle OCD}=4+2=\underline{6}$，$S_{\triangle ODE}=6+2=\underline{8}$。
    2. 第 2 步（定线段比）：$\frac{OD}{DF}=\frac{S_{\triangle ODE}}{S_{\triangle DEF}}=\frac{8}{2}=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（按比取面积）：$S_{\triangle CDF}=6\times\frac{1}{4}=\underline{1.5}$。
    最终答案：$S_{\triangle CDF}=1.5$。
  2. 1. ch19-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（累加）：$S_{\triangle OBC}=2+2=\underline{4}$，$S_{\triangle OCD}=4+2=\underline{6}$，$S_{\triangle ODE}=6+2=\underline{8}$（公顷）。
    2. 第 2 步（定比）：$\frac{OD}{DF}=\frac{8}{2}=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（取面积）：$6\times\frac{1}{4}=\underline{1.5}$（公顷）。
    最终答案：$1.5$ 公顷。
  3. 1. ch19-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（逐级累加）：$S_{\triangle OBC}=2+2=\underline{4}$，$S_{\triangle OCD}=4+2=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（再加一块）：$S_{\triangle ODE}=6+2=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（定线段比）：$\frac{OD}{DF}=\frac{8}{2}=\underline{4}$。
    最终答案：$S_{\triangle ODE}=8$，$OD:DF=4:1$。
  4. 1. ch19-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（累加）：$S_{\triangle OCD}=2+2+2=\underline{6}$，$S_{\triangle ODE}=6+2=\underline{8}$。
    2. 第 2 步（定比取面积）：$\frac{DF}{OD}=\frac{2}{8}=\underline{0.25}$，$S_{\triangle CDF}=6\times\frac{1}{4}=\underline{1.5}$。
    3. 第 3 步（拼接求 $\triangle OCF$）：$S_{\triangle OCF}=S_{\triangle OCD}+S_{\triangle CDF}=6+1.5=\underline{7.5}$。
    最终答案：$S_{\triangle CDF}=1.5$，$S_{\triangle OCF}=7.5$。
  5. 2. ch19-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（定基准）：$S_{\triangle ABC}=\underline{0.166666667}S$（写成分数）。
    2. 第 2 步（鸟头模型）：$\frac{S_{\triangle BGH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\underline{0.1875}$。
    3. 第 3 步（求一个小三角形）：$S_{\triangle BGH}=\frac{3}{16}\times\frac{1}{6}S=\underline{0.03125}S$。
    4. 第 4 步（减去六个）：$1-6\times\frac{1}{32}=\underline{0.8125}$。
    最终答案：$\frac{13}{16}$。
  6. 2. ch19-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（定基准）：$S_{\triangle ABC}=\underline{0.166666667}S$。
    2. 第 2 步（鸟头模型）：$\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\underline{0.1875}$。
    3. 第 3 步（一个小三角形）：$\frac{3}{16}\times\frac{1}{6}=\underline{0.03125}$。
    4. 第 4 步（减六个）：$1-6\times\frac{1}{32}=\underline{0.8125}$。
    最终答案：$\frac{13}{16}$。
  7. 2. ch19-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（鸟头模型）：$\frac{S_{\triangle BGH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{4}{5}\times\frac{1}{5}=\underline{0.16}$。
    2. 第 2 步（一个小三角形占大六边形）：$\frac{4}{25}\times\frac{1}{6}=\underline{0.026666667}$。
    3. 第 3 步（减去六个）：$1-6\times\frac{2}{75}=\underline{0.84}$。
    最终答案：$\frac{21}{25}$。
  8. 2. ch19-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（鸟头模型）：$\frac{S_{\triangle BGH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\underline{0.1875}$。
    2. 第 2 步（一个小三角形占比）：$\frac{3}{16}\times\frac{1}{6}=\underline{0.03125}$。
    3. 第 3 步（小正六边形占比）：$1-6\times\frac{1}{32}=\underline{0.8125}$。
    4. 第 4 步（求两个面积）：$96\times\frac{13}{16}=\underline{78}$，切掉的共 $96-78=\underline{18}$（平方厘米）。
    最终答案：小正六边形面积 $78$ 平方厘米，六个小三角形共 $18$ 平方厘米。
  9. 3. ch19-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（求直角边）：设直角边为 $a$，$\frac{a\times a}{2}=18$，所以 $a=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（共部分相消得差）：$S_{\triangle ABF}-S_{\triangle AEC}=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（等积变形得和）：$S_{\triangle ABF}+S_{\triangle AEC}=S_{\triangle ABC}=\underline{18}$。
    4. 第 4 步（和差问题）：$S_{\triangle AEC}=\frac{18-6}{2}=\underline{6}$。
    5. 第 5 步（倒推边长）：$AE=\frac{2\times 6}{6}=\underline{2}$。
    最终答案：$AE=2$。
  10. 3. ch19-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（求直角边）：$\frac{a\times a}{2}=18$，$a=\underline{6}$（米）。
    2. 第 2 步（相消得差）：$S_{\triangle ABF}-S_{\triangle AEC}=\underline{6}$（平方米）。
    3. 第 3 步（等积得和）：$S_{\triangle ABF}+S_{\triangle AEC}=\underline{18}$（平方米）。
    4. 第 4 步（和差）：$S_{\triangle AEC}=\frac{18-6}{2}=\underline{6}$（平方米）。
    5. 第 5 步（倒推）：$AE=\frac{2\times 6}{6}=\underline{2}$（米）。
    最终答案：$AE=2$ 米。
  11. 3. ch19-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求直角边）：$a=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（求 $S_{\triangle AEC}$）：$\frac{2\times 6}{2}=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（求 $S_{\triangle ABF}$）：$18-6=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（共部分相消求差）：$12-6=\underline{6}$。
    最终答案：大 $6$。
  12. 3. ch19-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求直角边）：$\frac{a\times a}{2}=18$，$a=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（和差问题）：$S_{\triangle AEC}=\frac{18-6}{2}=\underline{6}$，$S_{\triangle ABF}=\frac{18+6}{2}=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（倒推 $AE$）：$AE=\frac{2\times 6}{6}=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（求 $BE$）：$BE=6-2=\underline{4}$。
    最终答案：$AE=2$，$S_{\triangle ABF}=12$，$BE=4$。
  13. 4. ch19-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（列比例解分点）：$\frac{AG}{AC}=\frac{1}{2}$，由 $\frac{1}{2}:\frac{DE}{AD}=4:7$ 得 $\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}\times\frac{7}{4}=\underline{0.875}$。
    2. 第 2 步（求 $AD$）：$\frac{AE}{AD}=1-\frac{7}{8}=\underline{0.125}$，又 $AE=6$，所以 $AD=6\times 8=\underline{48}$。
    3. 第 3 步（求基准面积）：$S=S_{\triangle ACD}=\frac{48\times 48}{2}=\underline{1152}$。
    4. 第 4 步（鸟头模型求 $S_{\triangle DEF}$）：$\frac{7}{8}\times\frac{1}{8}\times 1152=\underline{126}$。
    5. 第 5 步（整体减两部分）：$1152-\frac{1152}{2}-126=\underline{450}$。
    最终答案：$450$。
  14. 4. ch19-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（解分点）：$\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}\times\frac{7}{4}=\underline{0.875}$。
    2. 第 2 步（求边长）：$\frac{AE}{AD}=1-\frac{7}{8}=\underline{0.125}$，$AD=6\times 8=\underline{48}$（厘米）。
    3. 第 3 步（基准面积）：$\frac{48\times 48}{2}=\underline{1152}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求 $S_{\triangle DEF}$）：$\frac{7}{8}\times\frac{1}{8}\times 1152=\underline{126}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（相减）：$1152-576-126=\underline{450}$（平方厘米）。
    最终答案：$450$ 平方厘米。
  15. 4. ch19-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（解分点）：$\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\underline{0.75}$。
    2. 第 2 步（求边长）：$\frac{AE}{AD}=1-\frac{3}{4}=\underline{0.25}$，$AD=6\times 4=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（基准面积）：$\frac{24\times 24}{2}=\underline{288}$。
    4. 第 4 步（求 $S_{\triangle DEF}$）：$\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}\times 288=\underline{54}$。
    5. 第 5 步（相减）：$288-144-54=\underline{90}$。
    最终答案：$90$。
  16. 4. ch19-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（解分点与边长）：$\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}\times\frac{7}{4}=\underline{0.875}$，$AD=6\div\left(1-\frac{7}{8}\right)=\underline{48}$。
    2. 第 2 步（基准面积与 $S_{\triangle DEF}$）：$S=\frac{48\times 48}{2}=\underline{1152}$，$S_{\triangle DEF}=\frac{7}{8}\times\frac{1}{8}\times 1152=\underline{126}$。
    3. 第 3 步（求 $S_{\triangle EFG}$）：$1152-576-126=\underline{450}$。
    4. 第 4 步（正方形面积与占比）：$48\times 48=\underline{2304}$，$\frac{450}{2304}=\underline{0.1953125}$。
    最终答案：$S_{\triangle EFG}=450$，占正方形的 $\frac{25}{128}$。
  17. 5. ch19-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（求大三角形）：$BF=\frac{2}{3}BC$，$S_{\triangle DBC}=120\div 2=\underline{60}$，$S_{\triangle DBF}=60\times\frac{2}{3}=\underline{40}$。
    2. 第 2 步（沙漏定 $G$）：$\frac{DG}{DB}=\frac{AD}{AD+BF}=\frac{3}{3+2}=\underline{0.6}$，$S_{\triangle DGF}=40\times\frac{3}{5}=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（沙漏定 $H$、$J$）：$\frac{DH}{DF}=\frac{3}{3+1}=\underline{0.75}$，$\frac{DJ}{DB}=\underline{0.5}$。
    4. 第 4 步（求小三角形）：$S_{\triangle DHJ}=40\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\underline{15}$。
    5. 第 5 步（相减）：$24-15=\underline{9}$。
    最终答案：$9$。
  18. 5. ch19-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（大三角形）：$120\div 2=\underline{60}$，$S_{\triangle DBF}=60\times\frac{2}{3}=\underline{40}$（平方米）。
    2. 第 2 步（定 $G$）：$\frac{DG}{DB}=\frac{3}{5}=\underline{0.6}$，$S_{\triangle DGF}=40\times\frac{3}{5}=\underline{24}$（平方米）。
    3. 第 3 步（定 $H$、$J$）：$\frac{DH}{DF}=\underline{0.75}$，$\frac{DJ}{DB}=\underline{0.5}$。
    4. 第 4 步（小三角形）：$40\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\underline{15}$（平方米）。
    5. 第 5 步（相减）：$24-15=\underline{9}$（平方米）。
    最终答案：$9$ 平方米。
  19. 5. ch19-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（大三角形）：$BF=\frac{3}{4}BC$，$S_{\triangle DBF}=\frac{280}{2}\times\frac{3}{4}=\underline{105}$。
    2. 第 2 步（沙漏定 $G$）：$\frac{DG}{DB}=\frac{4}{4+3}=\underline{0.571428571}$，$S_{\triangle DGF}=105\times\frac{4}{7}=\underline{60}$。
    3. 第 3 步（沙漏定 $H$）：$\frac{DH}{DF}=\frac{4}{4+1}=\underline{0.8}$，$S_{\triangle DHJ}=105\times\frac{4}{5}\times\frac{1}{2}=\underline{42}$。
    4. 第 4 步（相减）：$60-42=\underline{18}$。
    最终答案：$18$。
  20. 5. ch19-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（大三角形）：$S_{\triangle DBF}=\frac{120}{2}\times\frac{2}{3}=\underline{40}$。
    2. 第 2 步（两个三角形）：$S_{\triangle DGF}=40\times\frac{3}{5}=\underline{24}$，$S_{\triangle DHJ}=40\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（相减）：$24-15=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（求占比）：$\frac{9}{120}=\underline{0.075}$。
    最终答案：面积是 $9$，占正方形的 $\frac{3}{40}$。
  21. 6. ch19-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（旋转构造全等）：过 $E$ 作 $AB$ 所在直线的垂线 $EF$，则 $\triangle FEB\cong\triangle ABC$，所以 $EF=AB=\underline{5}$（厘米）。
    2. 第 2 步（认清底和高）：$\triangle ABE$ 以 $AB$ 为底时，高就是 $EF=5$ 厘米。
    3. 第 3 步（求面积）：$\frac{5\times 5}{2}=\underline{12.5}$（平方厘米）。
    最终答案：$12.5$ 平方厘米。
  22. 6. ch19-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（旋转全等）：$EF=AB=\underline{5}$（分米）。
    2. 第 2 步（求面积）：$\frac{5\times 5}{2}=\underline{12.5}$（平方分米）。
    最终答案：$12.5$ 平方分米。
  23. 6. ch19-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（旋转全等求高）：$EF=AB=\underline{6}$（厘米），$S_{\triangle ABE}=\frac{6\times 6}{2}=\underline{18}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（勾股求正方形边长的平方）：$BC^2=6^2+8^2=\underline{100}$。
    3. 第 3 步（正方形面积）：正方形面积就是 $BC^2=\underline{100}$（平方厘米）。
    最终答案：$S_{\triangle ABE}=18$ 平方厘米，正方形面积 $100$ 平方厘米。
  24. 6. ch19-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（正方形面积）：$BC^2=5^2+12^2=\underline{169}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（直角三角形面积）：$\frac{5\times 12}{2}=\underline{30}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（旋转全等求 $S_{\triangle ABE}$）：$EF=AB=5$，$\frac{5\times 5}{2}=\underline{12.5}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求和）：$169+30+12.5=\underline{211.5}$（平方厘米）。
    最终答案：$211.5$ 平方厘米。
  25. 8. ch19-chaoyue-08 · 第一套
    1. 第 1 步（旋转构造）：把 $\triangle APC$ 绕 $C$ 旋转 $90^\circ$，$P$ 落到 $P'$，则 $BP'=AP=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（证直角）：$\angle P'BQ=45^\circ+45^\circ=\underline{90}^\circ$，$\triangle P'BQ$ 是直角三角形。
    3. 第 3 步（勾股）：$6^2+8^2=\underline{100}$，所以 $P'Q=\underline{10}$。
    4. 第 4 步（半角全等搬回）：$\triangle PCQ\cong\triangle P'CQ$，所以 $PQ=\underline{10}$。
    最终答案：$PQ=10$。
  26. 8. ch19-chaoyue-08 · 第二套
    1. 第 1 步（旋转构造）：$BP'=AP=\underline{6}$（厘米）。
    2. 第 2 步（证直角）：$\angle P'BQ=45^\circ+45^\circ=\underline{90}^\circ$。
    3. 第 3 步（勾股）：$6^2+8^2=\underline{100}$，$P'Q=\underline{10}$（厘米）。
    4. 第 4 步（搬回）：$PQ=\underline{10}$（厘米）。
    最终答案：两钉相距 $10$ 厘米。
  27. 8. ch19-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（旋转构造）：$BP'=AP=\underline{5}$。
    2. 第 2 步（证直角）：$\angle P'BQ=\underline{90}^\circ$。
    3. 第 3 步（勾股）：$5^2+12^2=\underline{169}$，$P'Q=\underline{13}$。
    4. 第 4 步（搬回）：$PQ=\underline{13}$。
    最终答案：$PQ=13$。
  28. 8. ch19-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（旋转 + 勾股求 $PQ$）：$6^2+8^2=\underline{100}$，$PQ=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（求斜边）：$AB=AP+PQ+QB=6+10+8=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（等腰直角三角形面积 = 斜边平方 ÷ 4）：斜边上的高是斜边的一半 $24\div 2=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（求面积）：$\frac{24\times 12}{2}=\underline{144}$。
    最终答案：$PQ=10$，$AB=24$，$S_{\triangle ABC}=144$。
  29. 9. ch19-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（由底之比得面积比）：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 同高，$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{AC}{AD}=\underline{0.428571429}$。
    2. 第 2 步（比例传递）：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{3}{7}\times\frac{1}{3}=\underline{0.142857143}$。
    3. 第 3 步（再由面积比得底之比）：$\triangle ADE$ 与 $\triangle ABD$ 同高，所以 $\frac{AE}{AB}=\underline{0.142857143}$。
    最终答案：$AE$ 是 $AB$ 的 $\frac{1}{7}$。
  30. 9. ch19-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（面积比 = 底之比）：$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}=\underline{0.428571429}$。
    2. 第 2 步（传递）：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{3}{7}\times\frac{1}{3}=\underline{0.142857143}$。
    3. 第 3 步（转回底之比）：$\frac{AE}{AB}=\underline{0.142857143}$。
    最终答案：$\frac{1}{7}$。
  31. 9. ch19-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（同高得面积比）：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{AE}{AB}=\underline{0.142857143}$。
    2. 第 2 步（另一组同高）：$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD}{AC}=\underline{2.333333333}$。
    3. 第 3 步（两比相乘）：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{7}\times\frac{7}{3}=\underline{0.333333333}$。
    最终答案：$\frac{1}{3}$。
  32. 9. ch19-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（由面积算比）：$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{21}{63}=\underline{0.333333333}$。
    2. 第 2 步（比例传递）：$\frac{AE}{AB}=\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{3}{7}\times\frac{1}{3}=\underline{0.142857143}$。
    3. 第 3 步（求 $S_{\triangle ABD}$）：$\triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 同高，$S_{\triangle ABD}=63\times\frac{7}{3}=\underline{147}$（平方厘米）。
    最终答案：$AE$ 是 $AB$ 的 $\frac{1}{7}$；三角形 $ABD$ 的面积是 $147$ 平方厘米。
  33. 10. ch19-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（角 $A$，先补出 $AF$）：$\frac{AF}{AB}=1-\frac{1}{6}=\underline{0.833333333}$，鸟头模型 $\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{5}{6}=\underline{0.208333333}$。
    2. 第 2 步（角 $B$，先补出 $BD$）：$\frac{BD}{BC}=1-\frac{1}{5}=\underline{0.8}$，$\frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{6}\times\frac{4}{5}=\underline{0.133333333}$。
    3. 第 3 步（角 $C$，先补出 $CE$）：$\frac{CE}{CA}=1-\frac{1}{4}=\underline{0.75}$，$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}=\underline{0.15}$。
    4. 第 4 步（补集相减）：$1-\frac{5}{24}-\frac{2}{15}-\frac{3}{20}=\underline{0.508333333}$。
    最终答案：$\frac{61}{120}$。
  34. 10. ch19-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（角 $A$）：$\frac{AF}{AB}=1-\frac{1}{6}=\underline{0.833333333}$，$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{5}{6}=\underline{0.208333333}$。
    2. 第 2 步（角 $B$）：$\frac{BD}{BC}=1-\frac{1}{5}=\underline{0.8}$，$\frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{6}\times\frac{4}{5}=\underline{0.133333333}$。
    3. 第 3 步（角 $C$）：$\frac{CE}{CA}=1-\frac{1}{4}=\underline{0.75}$，$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}=\underline{0.15}$。
    4. 第 4 步（相减）：$1-\frac{5}{24}-\frac{2}{15}-\frac{3}{20}=\underline{0.508333333}$。
    最终答案：$\frac{61}{120}$。
  35. 10. ch19-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（三个角的占比）：$\frac{S_{\triangle AEF}}{S}=\frac{1}{4}\times\frac{5}{6}=\underline{0.208333333}$，$\frac{S_{\triangle BDF}}{S}=\frac{1}{6}\times\frac{4}{5}=\underline{0.133333333}$，$\frac{S_{\triangle CDE}}{S}=\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}=\underline{0.15}$。
    2. 第 2 步（中间部分占比）：$1-\frac{5}{24}-\frac{2}{15}-\frac{3}{20}=\underline{0.508333333}$。
    3. 第 3 步（乘总面积）：$120\times\frac{61}{120}=\underline{61}$（平方厘米）。
    最终答案：$61$ 平方厘米。
  36. 10. ch19-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（角 $A$ 的面积）：$S_{\triangle AEF}=120\times\frac{1}{4}\times\frac{5}{6}=\underline{25}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（中间部分面积）：三个角的占比之和是 $\frac{5}{24}+\frac{2}{15}+\frac{3}{20}=\underline{0.491666667}$，所以 $S_{\triangle DEF}=120\times\left(1-\frac{59}{120}\right)=\underline{61}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（写成比并化简）：$61:25$，即 $\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle AEF}}=\underline{2.44}$。
    最终答案：$S_{\triangle DEF}:S_{\triangle AEF}=61:25$。
  37. 11. ch19-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（空白占三角形 $MBC$ 的比例）：$\frac{1}{4}\div\frac{1}{2}=\underline{0.5}$。
    2. 第 2 步（求 $AC$、$AB$）：$AC=\frac{1}{2}\times 30=\underline{15}$（厘米），$AB=30-15=\underline{15}$（厘米）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问先求 $AC$）：$AC=30-12=\underline{18}$（厘米）。
    4. 第 4 步（空白占长方形的比例）：$\frac{1}{2}\times\frac{18}{30}=\underline{0.3}$。
    5. 第 5 步（放平求水深）：$30-30\times\frac{3}{10}=\underline{21}$（厘米）。
    最终答案：（1）$AB$ 长 $15$ 厘米；（2）水深 $21$ 厘米。
  38. 11. ch19-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（空白占 $\triangle MBC$）：$\frac{1}{4}\div\frac{1}{2}=\underline{0.5}$。
    2. 第 2 步（求 $AC$、$AB$）：$AC=\frac{1}{2}\times 30=\underline{15}$（厘米），$AB=30-15=\underline{15}$（厘米）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：$AC=30-12=\underline{18}$（厘米），空白占比 $\frac{1}{2}\times\frac{18}{30}=\underline{0.3}$。
    4. 第 4 步（放平）：$30-30\times\frac{3}{10}=\underline{21}$（厘米）。
    最终答案：（1）$15$ 厘米；（2）$21$ 厘米。
  39. 11. ch19-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $AC$）：$AC=30-18=\underline{12}$（厘米）。
    2. 第 2 步（空白占 $\triangle MBC$ 的比例）：$\frac{12}{30}=\underline{0.4}$。
    3. 第 3 步（空白占长方形的比例，即流出比例）：$\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}=\underline{0.2}$。
    最终答案：流出了 $\frac{1}{5}$。
  40. 11. ch19-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（空白占 $\triangle MBC$）：$\frac{1}{4}\div\frac{1}{2}=\underline{0.5}$。
    2. 第 2 步（求 $AC$、$AB$）：$AC=\frac{1}{2}\times 30=\underline{15}$（厘米），$AB=30-15=\underline{15}$（厘米）。
    3. 第 3 步（水量守恒）：放平后水量仍是满水的 $1-\frac{1}{4}=\underline{0.75}$。
    4. 第 4 步（求水深）：$30\times\frac{3}{4}=\underline{22.5}$（厘米）。
    最终答案：（1）$AB=15$ 厘米；（2）水深 $22.5$ 厘米。
  41. 12. ch19-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（对角线分半）：$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle AFE}=S_{\triangle DFE}=40\div 2=\underline{20}$。
    2. 第 2 步（面积比→边长比）：$\frac{DB}{DE}=\frac{5}{20}=\underline{0.25}$，取补得 $\frac{EB}{DE}=1-\frac{1}{4}=\underline{0.75}$。
    3. 第 3 步（另一组）：$\frac{FC}{EF}=\frac{8}{20}=\underline{0.4}$，取补得 $\frac{EC}{EF}=1-\frac{2}{5}=\underline{0.6}$。
    4. 第 4 步（鸟头模型）：$S_{\triangle BEC}=20\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（整体减三块）：$40-5-8-9=\underline{18}$。
    最终答案：$18$。
  42. 12. ch19-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（对角线分半）：$40\div 2=\underline{20}$（平方米）。
    2. 第 2 步（面积比→边长比）：$\frac{DB}{DE}=\frac{5}{20}=\underline{0.25}$，$\frac{EB}{DE}=\underline{0.75}$。
    3. 第 3 步（另一组）：$\frac{FC}{EF}=\frac{8}{20}=\underline{0.4}$，$\frac{EC}{EF}=\underline{0.6}$。
    4. 第 4 步（鸟头模型）：$20\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}=\underline{9}$（平方米）。
    5. 第 5 步（相减）：$40-5-8-9=\underline{18}$（平方米）。
    最终答案：$18$ 平方米。
  43. 12. ch19-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（对角线分半）：$60\div 2=\underline{30}$。
    2. 第 2 步（边长比）：$\frac{DB}{DE}=\frac{6}{30}=\underline{0.2}$，$\frac{EB}{DE}=1-\frac{1}{5}=\underline{0.8}$。
    3. 第 3 步（另一组）：$\frac{FC}{EF}=\frac{10}{30}=\underline{0.333333333}$，$\frac{EC}{EF}=1-\frac{1}{3}=\underline{0.666666667}$。
    4. 第 4 步（鸟头模型）：$30\times\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}=\underline{16}$。
    5. 第 5 步（相减）：$60-6-10-16=\underline{28}$。
    最终答案：$28$。
  44. 12. ch19-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（对角线分半）：$40\div 2=\underline{20}$。
    2. 第 2 步（边长比）：$\frac{EB}{DE}=1-\frac{5}{20}=\underline{0.75}$，$\frac{EC}{EF}=1-\frac{8}{20}=\underline{0.6}$。
    3. 第 3 步（鸟头模型）：$S_{\triangle BEC}=20\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（相减）：$S_{\triangle ABC}=40-5-8-9=\underline{18}$。
    5. 第 5 步（求占比）：$\frac{18}{40}=\underline{0.45}$。
    最终答案：三角形 $ABC$ 的面积是 $18$，占长方形的 $\frac{9}{20}$。
  45. 13. ch19-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（求整块三角形）：$S_{\triangle ACD}=\frac{9\times 9}{2}=\underline{40.5}$。
    2. 第 2 步（沙漏定比）：$DB:AB=CD:AE=1:2$，所以 $\frac{AB}{AD}=\frac{2}{1+2}=\underline{0.666666667}$。
    3. 第 3 步（按比取面积）：$S_{\triangle ABC}=40.5\times\frac{2}{3}=\underline{27}$。
    最终答案：$27$。
  46. 13. ch19-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（整块三角形）：$\frac{9\times 9}{2}=\underline{40.5}$（平方分米）。
    2. 第 2 步（沙漏定比）：$\frac{AB}{AD}=\frac{2}{1+2}=\underline{0.666666667}$。
    3. 第 3 步（按比取面积）：$40.5\times\frac{2}{3}=\underline{27}$（平方分米）。
    最终答案：$27$ 平方分米。
  47. 13. ch19-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（整块三角形）：$S_{\triangle ACD}=\frac{9\times 9}{2}=\underline{40.5}$。
    2. 第 2 步（分点比）：$\frac{DB}{AD}=\frac{1}{1+2}=\underline{0.333333333}$。
    3. 第 3 步（按比取面积）：$S_{\triangle BCD}=40.5\times\frac{1}{3}=\underline{13.5}$。
    最终答案：$13.5$。
  48. 13. ch19-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（整块三角形）：$\frac{9\times 9}{2}=\underline{40.5}$。
    2. 第 2 步（沙漏定比与面积）：$\frac{AB}{AD}=\frac{2}{3}$，$S_{\triangle ABC}=40.5\times\frac{2}{3}=\underline{27}$。
    3. 第 3 步（三个正方形总面积）：$3\times 9\times 9=\underline{243}$。
    4. 第 4 步（求占比）：$\frac{27}{243}=\underline{0.111111111}$。
    最终答案：三角形 $ABC$ 的面积是 $27$，占三个正方形总面积的 $\frac{1}{9}$。
  49. 14. ch19-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（求未知两块之和）：$100-8-12=\underline{80}$（公顷）。
    2. 第 2 步（定比）：由蝴蝶模型，未知两块之比等于已知两块之比 $8:12$，约分为 $2:\underline{3}$。
    3. 第 3 步（按比例分配求较大的）：$80\times\frac{3}{2+3}=\underline{48}$（公顷）。
    最终答案：最大的一块面积是 $48$ 公顷。
  50. 14. ch19-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（两块之和）：$100-8-12=\underline{80}$（亩）。
    2. 第 2 步（定比）：$8:12=2:\underline{3}$。
    3. 第 3 步（分配）：$80\times\frac{3}{5}=\underline{48}$（亩）。
    最终答案：最大的一块是 $48$ 亩。
  51. 14. ch19-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（两块之和）：$100-8-12=\underline{80}$（公顷）。
    2. 第 2 步（定比）：两块之比 $=8:12=2:3$，总份数 $2+3=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步（分配）：较小的一块 $80\times\frac{2}{5}=\underline{32}$（公顷），较大的一块 $80-32=\underline{48}$（公顷）。
    最终答案：另外两块分别是 $32$ 公顷和 $48$ 公顷。
  52. 14. ch19-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（两块之和）：$100-8-12=\underline{80}$（公顷）。
    2. 第 2 步（按比例分配）：$80\times\frac{3}{2+3}=\underline{48}$（公顷）。
    3. 第 3 步（求占比）：$\frac{48}{100}=\underline{0.48}$。
    最终答案：最大的一块是 $48$ 公顷，占整块土地的 $\frac{12}{25}$。
  53. 15. ch19-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（公共底定比）：$\triangle ABD$ 与 $\triangle BCD$ 以 $BD$ 为公共底，$\frac{CO}{AO}=\frac{60}{40}=\underline{1.5}$。
    2. 第 2 步（化成占整条的比）：$\frac{CO}{CA}=\frac{3}{3+2}=\underline{0.6}$。
    3. 第 3 步（按比取面积）：$S_{\triangle BOC}=80\times\frac{3}{5}=\underline{48}$（平方厘米）。
    最终答案：$48$ 平方厘米。
  54. 15. ch19-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（公共底定比）：$\frac{CO}{AO}=\frac{60}{40}=\underline{1.5}$。
    2. 第 2 步（占整条的比）：$\frac{CO}{CA}=\underline{0.6}$。
    3. 第 3 步（取面积）：$80\times\frac{3}{5}=\underline{48}$（平方米）。
    最终答案：$48$ 平方米。
  55. 15. ch19-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（定分点比）：$\frac{AO}{CA}=\frac{40}{40+60}=\underline{0.4}$。
    2. 第 2 步（按比取面积）：$S_{\triangle AOB}=80\times\frac{2}{5}=\underline{32}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（验算）：$S_{\triangle BOC}=80-32=\underline{48}$（平方厘米）。
    最终答案：$32$ 平方厘米。
  56. 15. ch19-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（定分点比并求两块）：$\frac{CO}{CA}=\frac{60}{40+60}=\underline{0.6}$，$S_{\triangle BOC}=80\times\frac{3}{5}=\underline{48}$，$S_{\triangle AOB}=80-48=\underline{32}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（用 $\triangle ABD$ 求 $AOD$）：$S_{\triangle AOD}=40-32=\underline{8}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（用 $\triangle BCD$ 求 $COD$）：$S_{\triangle COD}=60-48=\underline{12}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（检验蝴蝶模型）：$32\times 12=\underline{384}$，$48\times 8=\underline{384}$，两者相等。
    最终答案：$S_{AOB}=32$、$S_{BOC}=48$、$S_{COD}=12$、$S_{AOD}=8$（平方厘米），且 $32\times 12=48\times 8=384$，蝴蝶模型成立。
  57. 16. ch19-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（求分段比）：$AC=5AE$，所以 $CE=AC-AE=4AE$，$AE:EC=1:\underline{4}$。
    2. 第 2 步（定份数）：梯形蝴蝶模型给出四块面积比 $1:4:4:\underline{16}$。
    3. 第 3 步（求一份）：$\triangle ABE$ 占 $4$ 份，一份是 $80\div 4=\underline{20}$（平方米）。
    4. 第 4 步（求总面积）：总份数 $1+4+4+16=\underline{25}$（份），面积 $20\times 25=\underline{500}$（平方米）。
    最终答案：$500$ 平方米。
  58. 16. ch19-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（分段比）：$AE:EC=1:\underline{4}$。
    2. 第 2 步（定份数）：$1:4:4:\underline{16}$。
    3. 第 3 步（一份）：$80\div 4=\underline{20}$（平方米）。
    4. 第 4 步（总面积）：$20\times(1+4+4+16)=\underline{500}$（平方米）。
    最终答案：$500$ 平方米。
  59. 16. ch19-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（定份数）：$AE:EC=1:4$，四块面积比 $1:4:4:\underline{16}$，$\triangle ADE$ 占 $1$ 份。
    2. 第 2 步（总份数）：$1+4+4+16=\underline{25}$（份）。
    3. 第 3 步（总面积）：$20\times 25=\underline{500}$（平方米）。
    最终答案：$500$ 平方米。
  60. 16. ch19-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（定份数）：四块面积比 $1:4:4:16$，总份数 $\underline{25}$ 份。
    2. 第 2 步（求 $\triangle BCE$）：占 $16$ 份，$500\times\frac{16}{25}=\underline{320}$（平方米）。
    3. 第 3 步（求 $\triangle ABE$）：占 $4$ 份，$500\times\frac{4}{25}=\underline{80}$（平方米）。
    4. 第 4 步（求倍数）：$320\div 80=\underline{4}$（倍）。
    最终答案：$S_{\triangle BCE}=320$ 平方米，$S_{\triangle ABE}=80$ 平方米，前者是后者的 $4$ 倍。
  61. 17. ch19-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（定份数）：上下底之比 $1:3$，四块面积比 $1:3:3:\underline{9}$。
    2. 第 2 步（总份数）：$1+3+3+9=\underline{16}$（份）。
    3. 第 3 步（按比例分配）：$144\times\frac{9}{16}=\underline{81}$。
    最终答案：$81$。
  62. 17. ch19-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（定份数）：$1:3:3:\underline{9}$。
    2. 第 2 步（总份数）：$1+3+3+9=\underline{16}$（份）。
    3. 第 3 步（分配）：$144\times\frac{9}{16}=\underline{81}$（平方米）。
    最终答案：$81$ 平方米。
  63. 17. ch19-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（定份数）：四块面积比 $1:3:3:9$，总份数 $\underline{16}$ 份，上底那块占 $1$ 份。
    2. 第 2 步（分配）：$144\times\frac{1}{16}=\underline{9}$。
    最终答案：$9$。
  64. 17. ch19-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（定份数）：四块比 $1:3:3:9$，总份数 $\underline{16}$ 份。
    2. 第 2 步（阴影面积）：$144\times\frac{9}{16}=\underline{81}$。
    3. 第 3 步（两腰之和）：每块 $144\times\frac{3}{16}=\underline{27}$，两块共 $27+27=\underline{54}$。
    4. 第 4 步（求比并化简）：$81:54=\underline{1.5}$（写成分数）。
    最终答案：阴影面积是 $81$，它与两腰三角形面积之和的比是 $3:2$。
  65. 18. ch19-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（求整块）：$S_{\triangle GEF}=\frac{24\times 24}{2}=\underline{288}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（沙漏定比）：$\frac{EO}{GO}=\frac{BE}{GF}=\frac{16+24}{24}=\underline{1.666666667}$。
    3. 第 3 步（占整条的比）：$\frac{EO}{EG}=\frac{5}{5+3}=\underline{0.625}$。
    4. 第 4 步（按比取面积）：$288\times\frac{5}{8}=\underline{180}$（平方厘米）。
    最终答案：$180$ 平方厘米。
  66. 18. ch19-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（整块）：$\frac{24\times 24}{2}=\underline{288}$（平方米）。
    2. 第 2 步（沙漏定比）：$\frac{EO}{GO}=\frac{16+24}{24}=\underline{1.666666667}$。
    3. 第 3 步（占整条）：$\frac{EO}{EG}=\underline{0.625}$。
    4. 第 4 步（取面积）：$288\times\frac{5}{8}=\underline{180}$（平方米）。
    最终答案：$180$ 平方米。
  67. 18. ch19-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（整块）：$S_{\triangle GEF}=\frac{24\times 24}{2}=\underline{288}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（占整条的比）：$\frac{GO}{EG}=\frac{3}{5+3}=\underline{0.375}$。
    3. 第 3 步（按比取面积）：$288\times\frac{3}{8}=\underline{108}$（平方厘米）。
    最终答案：$108$ 平方厘米。
  68. 18. ch19-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（整块）：$\frac{24\times 24}{2}=\underline{288}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（沙漏定比并取面积）：$\frac{EO}{EG}=\frac{5}{8}$，$S_{\triangle EOF}=288\times\frac{5}{8}=\underline{180}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（大正方形面积）：$24\times 24=\underline{576}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求占比）：$\frac{180}{576}=\underline{0.3125}$。
    最终答案：阴影面积 $180$ 平方厘米，占大正方形的 $\frac{5}{16}$。
  69. 19. ch19-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（沙漏定第一个分点）：$\frac{BM}{DM}=\frac{BE}{AD}=\underline{0.333333333}$，所以 $\frac{BM}{BD}=\frac{1}{1+3}=\underline{0.25}$。
    2. 第 2 步（同理定第二个分点）：$\frac{DN}{BD}=\underline{0.25}$。
    3. 第 3 步（中间段占比）：$\frac{MN}{BD}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\underline{0.5}$。
    4. 第 4 步（对角线分半）：$S_{\triangle ABD}=96\div 2=\underline{48}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（按比取面积）：$48\times\frac{1}{2}=\underline{24}$（平方厘米）。
    最终答案：$24$ 平方厘米。
  70. 19. ch19-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（沙漏）：$\frac{BM}{DM}=\underline{0.333333333}$，$\frac{BM}{BD}=\underline{0.25}$。
    2. 第 2 步（对称）：$\frac{DN}{BD}=\underline{0.25}$。
    3. 第 3 步（中间段）：$1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\underline{0.5}$。
    4. 第 4 步（对角线分半）：$96\div 2=\underline{48}$（平方米）。
    5. 第 5 步（取面积）：$48\times\frac{1}{2}=\underline{24}$（平方米）。
    最终答案：$24$ 平方米。
  71. 19. ch19-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（沙漏）：$\frac{BM}{DM}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$，所以 $\frac{BM}{BD}=\frac{1}{1+2}=\underline{0.333333333}$。
    2. 第 2 步（中间段）：$\frac{MN}{BD}=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\underline{0.333333333}$。
    3. 第 3 步（对角线分半）：$96\div 2=\underline{48}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（取面积）：$48\times\frac{1}{3}=\underline{16}$（平方厘米）。
    最终答案：$16$ 平方厘米。
  72. 19. ch19-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（沙漏定分点）：$\frac{BM}{BD}=\frac{DN}{BD}=\frac{1}{1+3}=\underline{0.25}$。
    2. 第 2 步（中间段占比）：$1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\underline{0.5}$。
    3. 第 3 步（求面积）：$S_{\triangle AMN}=\frac{96}{2}\times\frac{1}{2}=\underline{24}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求占比）：$\frac{24}{96}=\underline{0.25}$。
    最终答案：面积是 $24$ 平方厘米，占正方形的 $\frac{1}{4}$。
  73. 20. ch19-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（共部分相消）：$S_{ABCD}-S_{\triangle BCE}=\underline{30}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求三角形面积）：$S_{\triangle BCE}=\frac{15\times 12}{2}=\underline{90}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求平行四边形面积）：$90+30=\underline{120}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（面积 ÷ 底 = 高）：$CF=\frac{120}{15}=\underline{8}$（厘米）。
    最终答案：$CF=8$ 厘米。
  74. 20. ch19-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（共部分相消）：$S_{ABCD}-S_{\triangle BCE}=\underline{30}$（平方分米）。
    2. 第 2 步（三角形面积）：$\frac{15\times 12}{2}=\underline{90}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（平行四边形面积）：$90+30=\underline{120}$（平方分米）。
    4. 第 4 步（求高）：$\frac{120}{15}=\underline{8}$（分米）。
    最终答案：$CF=8$ 分米。
  75. 20. ch19-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（平行四边形面积）：$15\times 8=\underline{120}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（直角三角形面积）：$\frac{15\times 12}{2}=\underline{90}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（共部分相消求差）：$120-90=\underline{30}$（平方厘米）。
    最终答案：大 $30$ 平方厘米。
  76. 20. ch19-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（三角形面积）：$\frac{15\times 12}{2}=\underline{90}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（平行四边形面积）：$90+30=\underline{120}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求高）：$CF=\frac{120}{15}=\underline{8}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求比并化简）：$120:90=\underline{1.333333333}$（写成分数）。
    最终答案：$CF=8$ 厘米；平行四边形与直角三角形的面积之比是 $4:3$。
  77. 21. ch19-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（定份数）：$DE$ 是中位线，$ABDE$ 是上下底比 $1:2$ 的梯形，①:②:③:④$=4:2:2:\underline{1}$。
    2. 第 2 步（由差求一份）：①比④多 $4-1=\underline{3}$（份），一份是 $15\div 3=\underline{5}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求 $S_{\triangle ABD}$）：①+③共 $4+2=6$ 份，$6\times 5=\underline{30}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（中线分半）：$S_{\triangle ABC}=2\times 30=\underline{60}$（平方厘米）。
    最终答案：$60$ 平方厘米。
  78. 21. ch19-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（定份数）：①:②:③:④$=4:2:2:\underline{1}$。
    2. 第 2 步（一份）：$15\div(4-1)=\underline{5}$（平方米）。
    3. 第 3 步（$S_{\triangle ABD}$）：$(4+2)\times 5=\underline{30}$（平方米）。
    4. 第 4 步（中线分半）：$2\times 30=\underline{60}$（平方米）。
    最终答案：$60$ 平方米。
  79. 21. ch19-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（定份数）：①:②:③:④$=4:2:2:1$，总份数 $4+2+2+1=\underline{9}$（份）。
    2. 第 2 步（一份）：$15\div(4-1)=\underline{5}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求梯形）：$9\times 5=\underline{45}$（平方厘米）。
    最终答案：$45$ 平方厘米。
  80. 21. ch19-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（一份）：$15\div(4-1)=\underline{5}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（梯形 $ABDE$）：$(4+2+2+1)\times 5=\underline{45}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（总面积）：$S_{\triangle ABD}=(4+2)\times 5=30$，$S_{\triangle ABC}=2\times 30=\underline{60}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求⑤）：$60-45=\underline{15}$（平方厘米）。
    最终答案：$S_{\triangle ABC}=60$ 平方厘米，第⑤部分是 $15$ 平方厘米。
  81. 22. ch19-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（勾股求 $CM$）：$17^2-15^2=\underline{64}$，所以 $CM=\underline{8}$。
    2. 第 2 步（勾股求 $DN$）：$25^2-15^2=\underline{400}$，所以 $DN=\underline{20}$。
    3. 第 3 步（求上底）：$AB=MN=MD-DN=25-20=\underline{5}$。
    4. 第 4 步（求下底）：$CD=CM+MD=8+25=\underline{33}$。
    5. 第 5 步（梯形面积）：$\frac{(5+33)\times 15}{2}=\underline{285}$。
    最终答案：$285$。
  82. 22. ch19-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（勾股求 $CM$）：$17^2-15^2=\underline{64}$，$CM=\underline{8}$（厘米）。
    2. 第 2 步（勾股求 $DN$）：$25^2-15^2=\underline{400}$，$DN=\underline{20}$（厘米）。
    3. 第 3 步（上底）：$AB=25-20=\underline{5}$（厘米）。
    4. 第 4 步（下底）：$CD=8+25=\underline{33}$（厘米）。
    5. 第 5 步（面积）：$\frac{(5+33)\times 15}{2}=\underline{285}$（平方厘米）。
    最终答案：$285$ 平方厘米。
  83. 22. ch19-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（勾股求 $CM$）：$25^2-20^2=\underline{225}$，$CM=\underline{15}$。
    2. 第 2 步（勾股求 $DN$）：$29^2-20^2=\underline{441}$，$DN=\underline{21}$。
    3. 第 3 步（上底、下底）：$AB=30-21=\underline{9}$，$CD=15+30=\underline{45}$。
    4. 第 4 步（面积）：$\frac{(9+45)\times 20}{2}=\underline{540}$。
    最终答案：$540$。
  84. 22. ch19-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（勾股）：$CM=\sqrt{17^2-15^2}=\underline{8}$，$DN=\sqrt{25^2-15^2}=\underline{20}$。
    2. 第 2 步（上下底）：$AB=25-20=\underline{5}$，$CD=8+25=\underline{33}$。
    3. 第 3 步（面积）：$\frac{(5+33)\times 15}{2}=\underline{285}$。
    4. 第 4 步（周长）：$5+17+33+25=\underline{80}$。
    最终答案：面积是 $285$，周长是 $80$。
  85. 23. ch19-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（认模型）：$\triangle AED$ 与 $\triangle ABC$ 共用顶角 $A$，属于鸟头模型，面积比 = 两组夹边比相乘。
    2. 第 2 步（读出两个比）：$\frac{AD}{AB}=\underline{0.833333333}$，$\frac{AE}{AC}=\underline{0.571428571}$。
    3. 第 3 步（相乘）：$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\underline{0.476190476}$。
    最终答案：$\frac{10}{21}$。
  86. 23. ch19-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（认模型）：两个三角形共用顶角 $A$，是鸟头模型。
    2. 第 2 步（读比）：$\frac{AD}{AB}=\underline{0.833333333}$，$\frac{AE}{AC}=\underline{0.571428571}$。
    3. 第 3 步（相乘得面积比）：$\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\underline{0.476190476}$。
    最终答案：$\frac{10}{21}$。
  87. 23. ch19-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（求面积比）：鸟头模型，$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\underline{0.476190476}$。
    2. 第 2 步（比 × 总面积）：$S_{\triangle AED}=84\times\frac{10}{21}=\underline{40}$（平方厘米）。
    最终答案：$40$ 平方厘米。
  88. 23. ch19-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（鸟头模型）：$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\underline{0.476190476}$。
    2. 第 2 步（补集思想）：四边形 $BDEC$ 是 $\triangle ABC$ 去掉 $\triangle AED$ 剩下的部分，占比 $1-\frac{10}{21}=\underline{0.523809524}$。
    3. 第 3 步（求两块面积）：$S_{\triangle AED}=84\times\frac{10}{21}=\underline{40}$，$S_{BDEC}=84-40=\underline{44}$（平方厘米）。
    最终答案：四边形 $BDEC$ 的面积是 $44$ 平方厘米，占三角形 $ABC$ 的 $\frac{11}{21}$。
  89. 24. ch19-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（翻译倍数为比）：由 $BC=4CD$ 得 $\frac{CD}{CB}=\underline{0.25}$。
    2. 第 2 步（注意换端点）：由 $AC=5AE$ 得 $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{5}$，所以 $\frac{CE}{CA}=1-\frac{1}{5}=\underline{0.8}$。
    3. 第 3 步（鸟头模型相乘）：$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\underline{0.2}$。
    4. 第 4 步（取倒数）：$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CDE}}=\underline{5}$。
    最终答案：$5$ 倍。
  90. 24. ch19-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（翻译）：$\frac{CD}{CB}=\underline{0.25}$。
    2. 第 2 步（换端点）：$\frac{CE}{CA}=1-\frac{1}{5}=\underline{0.8}$。
    3. 第 3 步（鸟头相乘）：$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\underline{0.2}$，取倒数得 $\underline{5}$ 倍。
    最终答案：$5$ 倍。
  91. 24. ch19-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求面积比）：$\frac{CD}{CB}=\frac{1}{4}$，$\frac{CE}{CA}=\underline{0.8}$，鸟头模型得 $\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\underline{0.2}$。
    2. 第 2 步（由部分求整体）：$S_{\triangle ABC}=12\div\frac{1}{5}=\underline{60}$（平方厘米）。
    最终答案：$60$ 平方厘米。
  92. 24. ch19-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（鸟头模型）：$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\times\underline{4/5}=\frac{1}{5}$。
    2. 第 2 步（求小三角形）：$S_{\triangle CDE}=60\times\frac{1}{5}=\underline{12}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（补集相减）：四边形 $ABDE$ 是大三角形去掉 $\triangle CDE$，$S_{ABDE}=60-12=\underline{48}$（平方厘米）。
    最终答案：$48$ 平方厘米。
  93. 25. ch19-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（认模型）：对角线分出的四块构成蝴蝶模型，对顶两块面积之积相等：$S_{AOB}\times S_{COD}=S_{BOC}\times S_{AOD}$。
    2. 第 2 步（求第四块）：$S_{\triangle AOD}=\frac{8\times 3}{4}=\underline{6}$（平方千米）。
    3. 第 3 步（求总面积）：$8+4+3+6=\underline{21}$（平方千米）。
    4. 第 4 步（减陆地）：$21-19.4=\underline{1.6}$（平方千米）。
    最终答案：人工湖的面积是 $1.6$ 平方千米。
  94. 25. ch19-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（蝴蝶模型）：对顶两块面积之积相等。
    2. 第 2 步（求第四块）：$S_{\triangle AOD}=\frac{8\times 3}{4}=\underline{6}$（公顷）。
    3. 第 3 步（总面积）：$8+4+3+6=\underline{21}$（公顷）。
    4. 第 4 步（求水塘）：$21-19.4=\underline{1.6}$（公顷）。
    最终答案：水塘面积是 $1.6$ 公顷。
  95. 25. ch19-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（写等式）：蝴蝶模型 $S_{AOB}\times S_{COD}=S_{BOC}\times S_{AOD}$，即 $8\times S_{COD}=4\times 6=\underline{24}$。
    2. 第 2 步（解出）：$S_{\triangle COD}=24\div 8=\underline{3}$（平方千米）。
    3. 第 3 步（求总面积）：$8+4+6+3=\underline{21}$（平方千米）。
    最终答案：$S_{\triangle COD}=3$ 平方千米，四边形总面积 $21$ 平方千米。
  96. 25. ch19-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求两块之和）：$S_{AOD}+S_{COD}=21-8-4=\underline{9}$（平方千米）。
    2. 第 2 步（求两块之比）：$\triangle AOD$ 与 $\triangle COD$ 同高，$\frac{S_{AOD}}{S_{COD}}=\frac{AO}{OC}=\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\underline{2}$。
    3. 第 3 步（按比分配）：$S_{\triangle AOD}=9\times\frac{2}{2+1}=\underline{6}$，$S_{\triangle COD}=9-6=\underline{3}$（平方千米）。
    最终答案：$S_{\triangle AOD}=6$ 平方千米，$S_{\triangle COD}=3$ 平方千米。
  97. 26. ch19-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（认模型）：$AD\parallel BC$，$\triangle AOD$ 与 $\triangle COB$ 构成沙漏，$DO:BO=AD:BC$。
    2. 第 2 步（化简比）：$14:21$ 约分为 $2:\underline{3}$。
    3. 第 3 步（按比分配）：$DO=20\times\frac{2}{2+3}=\underline{8}$（厘米）。
    最终答案：$OD$ 长 $8$ 厘米。
  98. 26. ch19-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（沙漏模型）：$DO:BO=AD:BC=14:21$。
    2. 第 2 步（化简）：约分得 $2:\underline{3}$。
    3. 第 3 步（分配）：$DO=20\times\frac{2}{2+3}=\underline{8}$（米）。
    最终答案：$OD$ 长 $8$ 米。
  99. 26. ch19-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（沙漏定比）：$DO:BO=14:21=2:3$。
    2. 第 2 步（求 $OB$）：$OB=20\times\frac{3}{2+3}=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求差）：$OD=20-12=\underline{8}$，相差 $12-8=\underline{4}$（厘米）。
    最终答案：$OB=12$ 厘米，比 $OD$ 长 $4$ 厘米。
  100. 26. ch19-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（相似比）：沙漏模型中 $\triangle AOD\sim\triangle COB$，相似比 $=AD:BC=14:21=\underline{0.666666667}$（写成分数）。
    2. 第 2 步（面积比 = 相似比的平方）：$\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\underline{0.444444444}$。
    3. 第 3 步（求面积）：$S_{\triangle BOC}=32\div\frac{4}{9}=\underline{72}$（平方厘米）。
    最终答案：$72$ 平方厘米。
  101. 27. ch19-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（定份数）：上下底之比为 $1:3$，梯形蝴蝶模型给出四块面积比 $1:3:3:\underline{9}$。
    2. 第 2 步（求一份）：$\triangle ABO$ 占 $3$ 份，一份是 $15\div 3=\underline{5}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求总份数）：$1+3+3+9=\underline{16}$（份）。
    4. 第 4 步（求总面积）：$5\times 16=\underline{80}$（平方厘米）。
    最终答案：$80$ 平方厘米。
  102. 27. ch19-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（定份数）：面积比 $1:3:3:\underline{9}$。
    2. 第 2 步（一份）：$15\div 3=\underline{5}$（平方米）。
    3. 第 3 步（总份数）：$1+3+3+9=\underline{16}$（份）。
    4. 第 4 步（总面积）：$5\times 16=\underline{80}$（平方米）。
    最终答案：$80$ 平方米。
  103. 27. ch19-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（定份数）：四块面积比 $1:3:3:\underline{9}$，$\triangle AOD$ 占 $1$ 份。
    2. 第 2 步（一份）：一份就是 $15$ 平方厘米，总份数 $1+3+3+9=\underline{16}$（份）。
    3. 第 3 步（总面积）：$15\times 16=\underline{240}$（平方厘米）。
    最终答案：$240$ 平方厘米。
  104. 27. ch19-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（定份数）：四块面积比 $1:3:3:9$，总份数 $\underline{16}$ 份。
    2. 第 2 步（求 $\triangle BOC$）：它占 $9$ 份，$S_{\triangle BOC}=80\times\frac{9}{16}=\underline{45}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求 $\triangle ABO$）：它占 $3$ 份，$S_{\triangle ABO}=80\times\frac{3}{16}=\underline{15}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求差）：$45-15=\underline{30}$（平方厘米）。
    最终答案：$S_{\triangle BOC}=45$ 平方厘米，$S_{\triangle ABO}=15$ 平方厘米，相差 $30$ 平方厘米。
  105. 28. ch19-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（求 $EC$ 占比）：$BE=\frac{1}{4}BC$，所以 $EC=1-\frac{1}{4}=\underline{0.75}$（占 $BC$，也就是占 $AD$）。
    2. 第 2 步（沙漏定比）：$EO:DO=EC:AD=3:\underline{4}$，故 $\frac{EO}{ED}=\frac{3}{7}$。
    3. 第 3 步（一半模型）：$S_{\triangle ADE}=140\div 2=\underline{70}$。
    4. 第 4 步（按比取面积）：$S_{\triangle AEO}=70\times\frac{3}{7}=\underline{30}$。
    最终答案：$30$。
  106. 28. ch19-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（求 $EC$ 占比）：$EC=1-\frac{1}{4}=\underline{0.75}$。
    2. 第 2 步（沙漏定比）：$\frac{EO}{ED}=\frac{3}{3+4}=\underline{0.428571429}$。
    3. 第 3 步（一半模型）：$S_{\triangle ADE}=140\div 2=\underline{70}$（平方米）。
    4. 第 4 步（按比取面积）：$70\times\frac{3}{7}=\underline{30}$（平方米）。
    最终答案：$30$ 平方米。
  107. 28. ch19-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（沙漏定比）：$EO:DO=EC:AD=3:4$，所以 $\frac{DO}{ED}=\frac{4}{3+4}=\underline{0.571428571}$。
    2. 第 2 步（一半模型）：$S_{\triangle ADE}=140\div 2=\underline{70}$。
    3. 第 3 步（按比取面积）：$S_{\triangle ADO}=70\times\frac{4}{7}=\underline{40}$。
    最终答案：$40$。
  108. 28. ch19-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（认相似）：$AD\parallel EC$，$\triangle ADO$ 与 $\triangle CEO$ 相似，相似比 $=AD:EC=4:\underline{3}$。
    2. 第 2 步（面积比 = 相似比的平方）：$\frac{S_{\triangle EOC}}{S_{\triangle ADO}}=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\underline{0.5625}$。
    3. 第 3 步（求面积）：$S_{\triangle EOC}=40\times\frac{9}{16}=\underline{22.5}$。
    最终答案：$22.5$。
  109. 29. ch19-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（看斜线的“坡度”）：斜线水平走 $10+15=\underline{25}$（分米）时，一共升高 $15$ 分米。
    2. 第 2 步（求交点高度）：走到公共边时水平只走了 $10$ 分米，升高 $15\times\frac{10}{25}=\underline{6}$（分米）。
    3. 第 3 步（求面积）：两条直角边是 $10$ 和 $6$，$S=\frac{10\times 6}{2}=\underline{30}$（平方分米）。
    最终答案：$30$ 平方分米。
  110. 29. ch19-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（总水平距离）：$10+15=\underline{25}$（米）。
    2. 第 2 步（交界处高度）：$15\times\frac{10}{25}=\underline{6}$（米）。
    3. 第 3 步（面积）：$\frac{10\times 6}{2}=\underline{30}$（平方米）。
    最终答案：$30$ 平方米。
  111. 29. ch19-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求梯形的两条平行边）：左边一条是斜线在公共边上的高 $15\times\frac{10}{25}=\underline{6}$（分米），右边一条是大正方形的边 $15$ 分米。
    2. 第 2 步（梯形的高就是大正方形边长）：高 $=\underline{15}$ 分米。
    3. 第 3 步（梯形面积）：$\frac{(6+15)\times 15}{2}=\underline{157.5}$（平方分米）。
    最终答案：$157.5$ 平方分米。
  112. 29. ch19-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（两个正方形的总面积）：$10\times 10+15\times 15=\underline{325}$（平方分米）。
    2. 第 2 步（斜线下方·小正方形部分）：直角三角形 $\frac{10\times 6}{2}=\underline{30}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（斜线下方·大正方形部分）：梯形 $\frac{(6+15)\times 15}{2}=\underline{157.5}$（平方分米）。
    4. 第 4 步（相减求上方）：$325-(30+157.5)=\underline{137.5}$（平方分米）。
    最终答案：$137.5$ 平方分米。
  113. 30. ch19-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（搬运面积）：梯形蝴蝶模型中两腰上的两块相等，$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=\underline{27}$。
    2. 第 2 步（用垂直）：对角线垂直，$\triangle COD$ 中 $OD$ 为底、$OC$ 为高，$\frac{OD\times OC}{2}=27$。
    3. 第 3 步（倒推）：$OC=\frac{2\times 27}{6}=\underline{9}$。
    最终答案：$OC=9$。
  114. 30. ch19-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（搬运面积）：$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=\underline{27}$（平方分米）。
    2. 第 2 步（倒推长度）：$OC=\frac{2\times 27}{6}=\underline{9}$（分米）。
    最终答案：$OC=9$ 分米。
  115. 30. ch19-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（搬运面积）：$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=\underline{27}$。
    2. 第 2 步（倒推另一条直角边）：$OD=\frac{2\times 27}{9}=\underline{6}$。
    最终答案：$OD=6$。
  116. 30. ch19-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（搬运面积并求 $OC$）：$S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=\underline{27}$，由 $\frac{OD\times OC}{2}=27$ 得 $OC=\frac{2\times 27}{6}=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（求 $OB$）：$\triangle AOB$ 中 $OA$、$OB$ 是两条直角边，$OB=\frac{2\times 27}{12}=\underline{4.5}$。
    3. 第 3 步（求另两块）：$S_{\triangle AOD}=\frac{12\times 6}{2}=\underline{36}$，$S_{\triangle BOC}=\frac{4.5\times 9}{2}=\underline{20.25}$。
    4. 第 4 步（四块相加）：$27+27+36+20.25=\underline{110.25}$。
    最终答案：梯形 $ABCD$ 的面积是 $110.25$。
  117. 31. ch19-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（共部分相消）：$\triangle ABE$ 与正方形有公共部分 $ABCF$，所以 $S_{\triangle ABE}-S_{ABCD}=\underline{16}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（正方形面积）：$8\times 8=\underline{64}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求 $S_{\triangle ABE}$）：$64+16=\underline{80}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（倒推 $BE$）：$BE=\frac{2\times 80}{8}=\underline{20}$（厘米）。
    5. 第 5 步（求 $CE$）：$CE=20-8=\underline{12}$（厘米）。
    最终答案：$CE=12$ 厘米。
  118. 31. ch19-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（共部分相消）：$S_{\triangle ABE}-S_{ABCD}=\underline{16}$（平方分米）。
    2. 第 2 步（正方形面积）：$8\times 8=\underline{64}$（平方分米）。
    3. 第 3 步（求 $S_{\triangle ABE}$）：$64+16=\underline{80}$（平方分米）。
    4. 第 4 步（倒推 $BE$ 并求 $CE$）：$\frac{2\times 80}{8}=\underline{20}$（分米），$CE=20-8=\underline{12}$（分米）。
    最终答案：$CE=12$ 分米。
  119. 31. ch19-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $BE$）：$BE=8+12=\underline{20}$（厘米）。
    2. 第 2 步（求 $S_{\triangle ABE}$）：$\frac{8\times 20}{2}=\underline{80}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（共部分相消求差）：$80-8\times 8=\underline{16}$（平方厘米）。
    最终答案：大 $16$ 平方厘米。
  120. 31. ch19-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（共部分相消求 $BE$、$CE$）：$S_{\triangle ABE}=8\times 8+16=\underline{80}$，$BE=\frac{2\times 80}{8}=\underline{20}$（厘米），$CE=20-8=\underline{12}$（厘米）。
    2. 第 2 步（相似求 $CF$）：$FC\parallel AB$，$\frac{CF}{AB}=\frac{CE}{BE}$，所以 $CF=8\times\frac{12}{20}=\underline{4.8}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求面积）：$S_{\triangle CEF}=\frac{12\times 4.8}{2}=\underline{28.8}$（平方厘米）。
    最终答案：$CF=4.8$ 厘米，$S_{\triangle CEF}=28.8$ 平方厘米。
  121. 32. ch19-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（求直角三角形面积）：$\frac{9\times 12}{2}=\underline{54}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（勾股求斜边）：$9^2+12^2=\underline{225}$，所以斜边 $=\underline{15}$（厘米）。
    3. 第 3 步（等面积求高）：$\frac{54\times 2}{15}=\underline{7.2}$（厘米）。
    4. 第 4 步（梯形面积）：$\frac{(15+20)\times 7.2}{2}=\underline{126}$（平方厘米）。
    最终答案：$126$ 平方厘米。
  122. 32. ch19-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（铁皮面积）：$\frac{9\times 12}{2}=\underline{54}$（平方分米）。
    2. 第 2 步（勾股求斜边）：$9^2+12^2=\underline{225}$，斜边 $=\underline{15}$（分米）。
    3. 第 3 步（等面积求高）：$\frac{54\times 2}{15}=\underline{7.2}$（分米）。
    4. 第 4 步（梯形面积）：$\frac{(15+20)\times 7.2}{2}=\underline{126}$（平方分米）。
    最终答案：$126$ 平方分米。
  123. 32. ch19-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（写公式）：$\frac{(15+20)\times h}{2}=126$，先算上下底之和 $15+20=\underline{35}$（厘米）。
    2. 第 2 步（逆推高）：$h=\frac{126\times 2}{35}=\underline{7.2}$（厘米）。
    最终答案：高是 $7.2$ 厘米。
  124. 32. ch19-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（直角三角形面积）：$\frac{9\times 12}{2}=\underline{54}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（勾股求斜边）：$9^2+12^2=225$，斜边 $=\underline{15}$（厘米）。
    3. 第 3 步（等面积求高）：$\frac{54\times 2}{15}=\underline{7.2}$（厘米）。
    4. 第 4 步（梯形面积）：$\frac{(15+20)\times 7.2}{2}=\underline{126}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（相减求剩余）：$126-54=\underline{72}$（平方厘米）。
    最终答案：$72$ 平方厘米。