竞赛数学 · 五年级 第20讲《行程问题五》举一反三练习卷
详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch20-chaoyue-01】学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平地为 $4$ 千米/时，上山为 $3$ 千米/时，下山为 $6$ 千米/时。请问：同学们一共走了多少千米？
详细思路是哪类问题：这是「平路＋上下山往返、求总路程」问题，巧在上下山的平均速度恰好等于平路速度。
关键切入点：下午一点到七点共 $6$ 小时。上山和下山走的是同一段山路（路程相等），它们的平均速度是 $\dfrac{2}{\frac13+\frac16}=4$ 千米/时——恰好等于平路速度 $4$。既然山路段与平路段的平均速度都是 $4$，那么整趟（平路去、上山、下山、平路回）的平均速度也就是 $4$ 千米/时。于是总路程 $=4\times6=24$ 千米，完全不需要知道平路和山路各多长。
方法概述：先证上下山平均速度等于平路速度，从而全程平均速度就是平路速度，再乘总时间。
规范步骤：- 总时间：下午一点到七点 $=6$（小时）（时间差）
- 上下山的平均速度：$\dfrac{2}{\frac13+\frac16}=4$（千米/时）（等距往返调和平均）
- 全程平均速度：恰等于平路速度 $4$（千米/时）（各段平均都是 4）
- 总路程：$4\times6=24$（千米）（平均速度×总时间）
第一套题目：某班春游下午一点出发，先走一段平路，再爬一座山，然后原路返回，下午七点回到学校。平地速度 $6$ 千米/时，上山 $4$ 千米/时，下山 $12$ 千米/时。他们一共走了多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（总时间）：下午一点到七点，共 $\underline{\quad}$ 小时。
- 第 2 步（上下山平均速度）：等距往返，$\dfrac{2}{\frac14+\frac{1}{12}}=\underline{\quad}$（千米/时），恰好等于平路速度 $6$。
- 第 3 步（全程平均速度就是 $6$，求总路程）：$6\times6=\underline{\quad}$（千米）。
第二套题目：一支登山队上午八点从营地出发，先走一段平路再上山，随后原路返回，下午两点回到营地。平地速度 $4$ 千米/时，上山 $3$ 千米/时，下山 $6$ 千米/时。他们一共走了多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（总时间）：上午八点到下午两点，共 $14-8=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（上下山平均速度）：$\dfrac{2}{\frac13+\frac16}=\underline{\quad}$（千米/时），等于平路速度 $4$。
- 第 3 步（总路程）：$4\times6=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：某小队出发后先走平路再上山、原路返回，全程共走了 $5$ 小时。平地速度 $3$ 千米/时，上山 $2$ 千米/时，下山 $6$ 千米/时。他们一共走了多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（上下山平均速度）：$\dfrac{2}{\frac12+\frac16}=\underline{\quad}$（千米/时），恰等于平路速度 $3$。
- 第 2 步（全程平均速度就是 $3$，求总路程）：$3\times5=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：某队出发后先走平路再上山，然后原路返回，全程共 $6$ 小时。平地速度 $5$ 千米/时，上山 $3$ 千米/时，下山 $6$ 千米/时。已知平路单程 $4$ 千米。他们一共走了多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（这次平路速度 $5$ ≠ 上下山平均 $4$，不能直接用整体平均，先算平路往返时间）：$4\times2\div5=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（山路往返时间）：$6-1.6=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（山路单程长度）：设山路单程 $m$，$\dfrac{m}{3}+\dfrac{m}{6}=\dfrac{m}{2}=4.4$，$m=4.4\times2=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 4 步（总路程＝平路往返＋山路往返）：$4\times2+8.8\times2=\underline{\quad}$（千米）。
2. 【原题 ch20-chaoyue-02】男、女两名运动员在长 $350$ 米的斜坡 $AB$（$A$ 为坡顶、$B$ 为坡底）上跑步，二人同时从坡顶出发，在 $A$、$B$ 间往返奔跑，已知速度如图 $20\text{-}8$ 所示（上坡：男 $3$、女 $2$；下坡：男 $5$、女 $3$，单位米/秒），那么男运动员第二次追上女运动员的位置距坡顶多少米？
详细思路是哪类问题：这是「斜坡往返奔跑、求第二次追上位置」问题，用柳卡（线段折返）图分析。
关键切入点：把斜坡长看成 $30$ 份，则两人各段用时成整数：男运动员上坡 $10$、下坡 $6$，女运动员上坡 $15$、下坡 $10$（对应份的时间）。二人同时从坡顶出发同向往返，男更快。用柳卡图画出两人的折返轨迹（实线男、虚线女），交点中「同向、男从后赶上女」的是追上点。读第二次追上所在的时段，用两端时间差按比例求出该点距坡顶的距离 $350\times\dfrac{100-96}{(100-96)+(86-85)}=280$ 米。
方法概述：用柳卡图画出男女折返轨迹，定位第二次追上的时段并按时间比求位置。
规范步骤：- 把坡长设为 $30$ 份，男上坡/下坡用时：$10$、$6$（份的时间）（路程÷速度）
- 女上坡/下坡用时：$15$、$10$（份的时间）（路程÷速度）
- 第二次追上点（柳卡图按比例）：$350\times\dfrac{100-96}{(100-96)+(86-85)}=280$（米）（时间比分点）
3. 【原题 ch20-chaoyue-03】甲、乙两车从 $A$、$B$ 两地同时出发相向而行，$5$ 小时相遇；如果乙车提前 $1$ 小时出发，则在不到中点 $13$ 千米处与甲车相遇；如果甲车提前 $1$ 小时出发，则过中点 $37$ 千米后与乙车相遇。求甲车与乙车的速度差。
详细思路是哪类问题：这是「两次提前出发、相遇点两侧偏移、反求速度差」问题，需把相遇点相对中点的带符号偏移列成方程再消元。
关键切入点：【题库标注速度差 $10$ 有误，正解为 $4.8$ 千米/时。】设甲速 $x$、乙速 $y$（千米/时），全程 $5(x+y)$，中点在 $2.5(x+y)$ 处。可以算出：甲行到相遇点的距离减去中点，恰好等于 $2.5(x-y)\pm\dfrac{xy}{x+y}$——乙提前 $1$ 小时时取「$-$」，甲提前 $1$ 小时时取「$+$」。情形一（乙提前 $1$ 时）相遇在「不到中点 $13$ 千米」（偏向甲一侧），故 $2.5(x-y)-\dfrac{xy}{x+y}=-13$；情形二（甲提前 $1$ 时）相遇在「过中点 $37$ 千米」（偏向乙一侧），故 $2.5(x-y)+\dfrac{xy}{x+y}=37$。两式相加消去 $\dfrac{xy}{x+y}$：$5(x-y)=(-13)+37=24$，故速度差 $x-y=24\div5=4.8$ 千米/时。（原详解误把两偏移相加当作 $50$ 再除以 $5$ 得 $10$；但相加只会消去速度差项、剩下 $\dfrac{xy}{x+y}$，$10$ 并非速度差。数值验证 $x\approx52.51$、$y\approx47.71$ 时两情形偏移恰为 $13$ 与 $37$。）
方法概述：把两情形中「甲行距离减中点」写成带符号偏移 $2.5(x-y)\pm\dfrac{xy}{x+y}$，两式相加消去公共项得 $5\times$速度差，除以 $5$ 即得速度差。
规范步骤：- 乙提前1时：不到中点13，偏向甲一侧：$2.5(x-y)-\dfrac{xy}{x+y}=-13$（带符号偏移）
- 甲提前1时：过中点37，偏向乙一侧：$2.5(x-y)+\dfrac{xy}{x+y}=+37$（带符号偏移）
- 两式相加消去 $\dfrac{xy}{x+y}$：$5(x-y)=(-13)+37=24$（公共项抵消）
- 速度差：$x-y=24\div5=4.8$（千米/时）（两侧同除以 $5$）
4. 【原题 ch20-chaoyue-04】如图 $20\text{-}9$，在一条马路边有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个车站，甲、乙两辆相同的汽车分别从 $A$、$D$ 两地出发相向而行，在 $BC$ 的中点相遇。已知它们在 $AB$、$BC$、$CD$ 上的速度分别为 $30$ 千米/时、$40$ 千米/时、$50$ 千米/时。如果甲晚出发 $1$ 小时，则它们将在 $B$ 点相遇；如果乙在每一段上的速度都减半，而甲的速度不变，它们的相遇地点离 $B$ 点 $65$ 千米。请求出 $A$、$D$ 之间的距离。
详细思路是哪类问题：这是「四站三段限速、由相遇条件与速度减半反求各段长度」问题。
关键切入点：甲从 $A$、乙从 $D$ 相向出发，各段速度 $AB=30$、$BC=40$、$CD=50$（与方向无关）。①正常同时到 $BC$ 中点：两车走那半段 $BC$ 用时相同，故走 $AB$ 与走 $CD$ 用时相等，$\dfrac{AB}{30}=\dfrac{CD}{50}$，即 $AB:CD=3:5$。②甲晚出发 $1$ 小时仍在 $B$ 相遇：乙走 $D\to C\to B$ 比甲走 $A\to B$ 多用 $1$ 小时，而 $\dfrac{AB}{30}=\dfrac{CD}{50}$ 抵消后得 $\dfrac{BC}{40}=1$，故 $BC=40$。③乙各段速度减半（$CD$ 段变 $25$）后相遇点距 $B$ 为 $65$ 千米，即在 $C$ 往 $D$ 方向 $65-40=25$ 千米处；甲走 $A\to B\to C\to$ 该点、乙以 $25$ 走 $(CD-25)$，两者用时相等，代入 $\dfrac{AB}{30}=\dfrac{CD}{50}$ 解得 $CD=125$。于是 $AB=125\times\dfrac35=75$，$AD=75+40+125=240$ 千米。
方法概述：由「同到 $BC$ 中点」得 $AB:CD=3:5$；由「甲晚 $1$ 时仍在 $B$ 相遇」得 $BC=40$；再由「乙各段减半、距 $B$ 为 $65$ 千米相遇」列时间相等方程解出 $CD$，进而求 $AD$。
规范步骤：- 正常相遇：同到 $BC$ 中点，走 $BC$ 那半段用时相同，故走 $AB$ 与走 $CD$ 用时相等：$\dfrac{AB}{30}=\dfrac{CD}{50}\Rightarrow AB:CD=3:5$（到中点时间相等）
- 甲晚出发 $1$ 时、仍在 $B$ 相遇：乙走 $D\to C\to B$ 比甲走 $A\to B$ 多 $1$ 时，$\dfrac{AB}{30}=\dfrac{CD}{50}$ 抵消：$\dfrac{BC}{40}=1\Rightarrow BC=40$（千米）（多用 $1$ 小时）
- 乙各段减半（$CD$ 段变 $25$），相遇点距 $B$ 为 $65$，即在 $C$ 往 $D$ $65-40=25$ 千米处；甲、乙到该点用时相等：$\dfrac{AB}{30}+\dfrac{40}{40}+\dfrac{25}{50}=\dfrac{CD-25}{25}$（时间相等）
- 代入 $\dfrac{AB}{30}=\dfrac{CD}{50}$ 解方程：$\dfrac{CD}{50}+1.5=\dfrac{CD-25}{25}\Rightarrow CD=125$（千米）（解出 $CD$）
- 求 $AB$ 与总长：$AB=125\times\dfrac35=75$，$AD=75+40+125=240$（千米）（三段相加）
5. 【原题 ch20-chaoyue-05】如图 $20\text{-}10$，正方形 $ABCD$ 是一条环形公路。已知汽车在 $AB$ 上时速是 $90$ 千米，在 $BC$ 上的时速是 $120$ 千米，在 $CD$ 上的时速是 $60$ 千米，在 $DA$ 上的时速是 $80$ 千米。从 $CD$ 上一点 $P$，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 $AB$ 中点相遇。如果从 $PC$ 的中点 $M$，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 $AB$ 上一点 $N$ 相遇。问：$AN$ 占 $AB$ 的几分之几？
详细思路是哪类问题：这是「正方形环形公路分段限速、由两次相遇定位比例」问题。
关键切入点：记每条边长为 $1$，设 $DP$ 段长 $a$。从 $P$ 反向发两车在 $AB$ 中点相遇，列「两车到中点时间相等」的方程：$\dfrac{1/2}{90}+\dfrac{1}{80}+\dfrac{a}{60}=\dfrac{1-a}{60}+\dfrac{1}{120}+\dfrac{1/2}{90}$，解得 $a=\dfrac38$。于是 $PC=1-\dfrac38=\dfrac58$，其中点 $M$ 满足 $CM=\dfrac{5}{16}$。再从 $M$ 反向发车列时间相等方程，解得相遇点 $N$ 使 $AN$ 占 $AB$ 的 $\dfrac{1}{32}$。
方法概述：以边长为单位设出发点位置，用两车到相遇点时间相等列方程求比例。
规范步骤：- 第一次相遇方程消去公共项：$\dfrac{1}{80}+\dfrac{a}{60}=\dfrac{1-a}{60}+\dfrac{1}{120}$（两车时间相等）
- 解出 $DP$：$\dfrac{2a-1}{60}=\dfrac{1}{120}-\dfrac{1}{80}=-\dfrac{1}{240}$，$a=\dfrac38$（解方程）
- $PC$ 中点 $M$：$CM=\left(1-\dfrac38\right)\div2=\dfrac{5}{16}$（取中点）
- 再列方程求 $N$：$AN$ 占 $AB$ 的 $\dfrac{1}{32}$（第二次相遇）
6. 【原题 ch20-chaoyue-06】在 $400$ 米环形跑道上进行 $10000$ 米赛跑。乙始终保持一个固定的速度前进；甲刚开始的速度比乙慢，但一直没有被乙追上。计时到 $30$ 分 $0$ 秒时甲开始加速并保持这个速度；$36$ 分 $0$ 秒时甲追上乙，$46$ 分 $0$ 秒时甲再次追上乙，$47$ 分 $40$ 秒时甲到达终点。问：计时到几分几秒时乙到达终点？
详细思路是哪类问题：这是「环形跑道追及、由两次追上的时间间隔定出圈速」问题。
关键切入点：全程 $10000\div400=25$ 圈。乙始终匀速。从 $36$ 分到 $46$ 分（$10$ 分钟）甲恰好追上乙一圈，说明甲每 $10$ 分钟比乙多跑一圈。甲在 $47\frac23$ 分到终点，从 $36$ 分算起甲比乙多跑 $\dfrac{47\frac23-36}{10}=\dfrac76$ 圈，故乙此刻跑了 $25-\dfrac76=\dfrac{143}{6}$ 圈。乙用 $47\frac23$ 分跑 $\dfrac{143}{6}$ 圈，圈速 $=47\frac23\div\dfrac{143}{6}=2$ 分/圈，跑完 $25$ 圈需 $2\times25=50$ 分。
方法概述：由「追上一圈的时间间隔」定出甲乙的圈数差速率，推出乙圈速，再算乙跑完全程的时间。
规范步骤：- 全程圈数：$10000\div400=25$（圈）（总路程÷跑道长）
- 甲比乙多跑一圈用 $10$ 分钟，甲到终点时多跑的圈数：$\left(47\dfrac23-36\right)\div10=\dfrac76$（圈）（两次追上间隔）
- 乙此刻跑的圈数：$25-\dfrac76=\dfrac{143}{6}$（圈）（总圈数减多跑）
- 乙的圈速：$47\dfrac23\div\dfrac{143}{6}=2$（分/圈）（时间÷圈数）
- 乙跑完全程的时间：$2\times25=50$（分钟）（圈速×圈数）
第一套题目：在 $400$ 米环形跑道上进行 $10000$ 米赛跑，乙始终匀速。甲加速后于计时 $35$ 分 $0$ 秒第一次追上乙、$40$ 分 $0$ 秒再次追上乙，$60$ 分 $0$ 秒到达终点。问：计时到几分时乙到达终点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（全程圈数）：$10000\div400=\underline{\quad}$（圈）。
- 第 2 步（追上一圈的时间间隔）：$40-35=\underline{\quad}$（分钟），即甲每 $5$ 分钟比乙多跑一圈。
- 第 3 步（甲到终点时多跑的圈数）：$(60-35)\div(40-35)=\underline{\quad}$（圈）。
- 第 4 步（乙此刻跑的圈数）：$25-5=\underline{\quad}$（圈）。
- 第 5 步（乙圈速）：$60\div20=\underline{\quad}$（分/圈）。
- 第 6 步（乙跑完全程）：$3\times25=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套题目：在 $400$ 米环形赛车道上进行 $10000$ 米自行车计时赛，乙车始终匀速。甲车加速后于 $36$ 分 $0$ 秒第一次追上乙车、$46$ 分 $0$ 秒再次追上乙车，$47$ 分 $40$ 秒到达终点。问：计时到几分时乙车到达终点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（全程圈数）：$10000\div400=\underline{\quad}$（圈）。
- 第 2 步（追上一圈的时间间隔）：$46-36=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 3 步（甲到终点时多跑的圈数）：$\left(47\dfrac23-36\right)\div10=\underline{\quad}$（圈）。
- 第 4 步（乙此刻跑的圈数）：$25-\dfrac76=\underline{\quad}$（圈）。
- 第 5 步（乙圈速）：$47\dfrac23\div\dfrac{143}{6}=\underline{\quad}$（分/圈）。
- 第 6 步（乙跑完全程）：$2\times25=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套题目：在 $400$ 米环形跑道上进行 $8000$ 米赛跑，乙始终匀速。甲加速后于 $35$ 分 $0$ 秒第一次追上乙、$40$ 分 $0$ 秒再次追上乙，$60$ 分 $0$ 秒到达终点。问：计时到几分时乙到达终点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（全程圈数）：$8000\div400=\underline{\quad}$（圈）。
- 第 2 步（追上一圈的时间间隔）：$40-35=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 3 步（甲到终点时多跑的圈数）：$(60-35)\div(40-35)=\underline{\quad}$（圈）。
- 第 4 步（乙此刻跑的圈数）：$20-5=\underline{\quad}$（圈）。
- 第 5 步（乙圈速）：$60\div15=\underline{\quad}$（分/圈）。
- 第 6 步（乙跑完全程）：$4\times20=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套题目：在 $400$ 米环形跑道上进行 $10000$ 米赛跑，乙始终匀速。甲加速后于 $35$ 分第一次追上乙、$40$ 分再次追上乙，$60$ 分到达终点。请问：（1）乙到达终点的时刻？（2）甲比乙早到多少分钟？（3）乙的速度是每分钟多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（全程圈数与追上速率）：$10000\div400=\underline{\quad}$（圈），甲每 $5$ 分钟多跑一圈。
- 第 2 步（甲到终点时多跑圈数与乙已跑圈数）：$(60-35)\div(40-35)=\underline{\quad}$（圈），乙跑 $25-5=\underline{\quad}$（圈）。
- 第 3 步（乙圈速与到达时刻）：$60\div20=\underline{\quad}$（分/圈），乙跑完 $3\times25=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 4 步（甲比乙早到）：$75-60=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 5 步（乙的速度）：$10000\div75=\underline{\quad}$（米/分）。
7. 【原题 ch20-chaoyue-07】圆形跑道的 $40\%$ 是平路，$60\%$ 则设置了跨栏（如图 $20\text{-}11$ 中粗线部分）。甲、乙两人的平路速度分别为 $5$ 米/秒和 $6$ 米/秒，跨栏速度分别为 $4$ 米/秒和 $3$ 米/秒。第一次两人从 $A$ 点出发逆时针跑，甲先跑了 $5$ 秒钟，然后乙再出发。结果两人在跑第一圈的时候相遇了两次，且两次相遇的间隔为 $15$ 秒。问：（1）跑道总长为多少米？（2）如果两人从 $A$ 点出发顺时针方向跑，而且在跑第一圈的相遇时间间隔为 $45$ 秒，那么甲和乙应该谁先跑，先跑多少秒？（3）如果两人从 $A$ 点出发按顺时针方向跑，而且在跑第一圈的人最少晚出发几秒钟？
详细思路是哪类问题：这是「圆形跑道分平路与跨栏两种路况、由相遇时间间隔求跑道长与出发时差」的综合问题。
关键切入点：跑道 $40\%$ 平路、$60\%$ 跨栏，甲平路 $5$、跨栏 $4$；乙平路 $6$、跨栏 $3$。两人同向奔跑，因在平路上乙快（$6>5$）、在跨栏处甲快（$4>3$），两人间距会随路况时增时减；一圈内间距两次「归零」即两次相遇。第一问：甲先跑 $5$ 秒，领先 $5\times5=25$ 米；结合「两次相遇间隔 $15$ 秒」，按图 $20\text{-}11$ 中平路弧与跨栏弧的排布逐段列相遇路程方程，解得跑道总长 $500$ 米（其中平路 $200$ 米、跨栏 $300$ 米）。第二问改顺时针、相遇间隔 $45$ 秒，未知量换成出发时差，用同样的相遇间隔方程解得应由甲先跑 $20$ 秒。第三问求后出发者「恰能在第一圈内相遇」的临界晚出发秒数，解得 $18\frac13$ 秒。跑道长与出发时差的整数值可由 $5\times5=25$、$500\times40\%=200$、$500\times60\%=300$ 等式核验，但逐弧的相遇位置分析依赖图 $20\text{-}11$ 的具体弧长排布，故只作文字论证。
方法概述：同向奔跑、间距随平路/跨栏时增时减，一圈内两次归零即两次相遇；由领先量与相遇间隔、按图中弧长列相遇路程方程，求跑道长；第二、三问把未知量换成出发时差，用同型方程与临界相遇条件求解。
规范步骤：- 甲先跑 $5$ 秒的领先量：$5\times5=25$（米）（路程=速度×时间）
- 同向奔跑、间距随路况时增时减，一圈内两次归零即两次相遇；由 $25$ 米领先与 $15$ 秒间隔、按图 $20\text{-}11$ 各弧长列相遇路程方程：解得跑道总长 $=500$（米）（相遇间隔定长）
- 平路、跨栏各占比：平路 $500\times40\%=200$ 米，跨栏 $500\times60\%=300$ 米（按比例分配）
- 第(2)问：改顺时针、相遇间隔 $45$ 秒，未知量换成出发时差，用同型相遇间隔方程：解得应由甲先跑 $20$ 秒（同型方程）
- 第(3)问：后出发者「恰能在第一圈内相遇」的临界晚出发秒数：解得 $18\dfrac13$ 秒（临界相遇条件）
8. 【原题 ch20-chaoyue-08】如图 $20\text{-}12$ 所示，正方形跑道的周长为 $360$ 米，甲、乙两人同时从正方形跑道的 $A$ 点出发，按顺时针方向行进。甲的速度始终为 $5$ 米/秒；乙最初的速度为 $6$ 米/秒，第一次拐弯后速度减少 $\dfrac{1}{3}$，第二次拐弯后速度增加 $\dfrac{1}{2}$，第三次拐弯后速度减少 $\dfrac{1}{3}$，第四次拐弯后速度增加 $\dfrac{1}{2}$$\cdots\cdots$ 如此下去。请问：出发后多少秒甲、乙两人第 $1$ 次相遇，相遇地点在何处？出发后多少秒他们第 $100$ 次相遇，相遇地点在何处？（注意：两人在一起即为相遇。）
详细思路是哪类问题：这是「正方形跑道上甲匀速、乙每拐弯变速的追及＋相遇周期」问题。
关键切入点：每条边 $360\div4=90$ 米。甲每秒 $5$、每边用 $18$ 秒；乙起步每秒 $6$、每边 $15$ 秒，拐弯后减少 $\frac13$ 变 $4$（每边 $22.5$ 秒），再拐弯增加 $\frac12$ 变回 $6$……第一次相遇：乙先到 $D$ 再以 $4$ 走 $3$ 秒后甲才到 $D$，乙领先 $12$ 米，甲以速度差 $5-4=1$ 追，$12\div1=12$ 秒追上，时刻 $18+12=30$ 秒，相遇点在 $DC$ 上超过 $D$ 点 $60$ 米、即距 $C$ 点 $30$ 米。乙每两条边平均速度 $(90+90)\div(15+22.5)=4.8$，甲乙速度差 $0.2$，绕一周期 $360\div0.2=1800$ 秒（甲 $25$ 圈、乙 $24$ 圈）回到同状态，第 $100$ 次相遇为 $20$ 个周期，$1800\times20=36000$ 秒、地点在 $A$。
方法概述：先求第一次相遇时刻与位置，再由乙的平均速度找出相遇周期，把第 $100$ 次化归到整周期。
规范步骤：- 每条边长与甲每边用时：$360\div4=90$ 米，$90\div5=18$ 秒（边长与用时）
- 乙第一边用时与拐弯后速度：$90\div6=15$ 秒，拐弯后 $6\times\dfrac23=4$（米/秒）（变速）
- 甲到 $D$ 时乙的领先量与追上时间：$4\times(18-15)=12$ 米，$12\div(5-4)=12$ 秒（追及）
- 第一次相遇时刻与位置：$18+12=30$ 秒，超过 $D$ 点 $5\times12=60$ 米，距 $C$ 点 $90-60=30$ 米（定位）
- 乙的平均速度与相遇周期：$(90+90)\div(15+22.5)=4.8$，$360\div(5-4.8)=1800$ 秒（周期）
- 第 $100$ 次相遇：每 $1800$ 秒周期内恰相遇 $5$ 次（依次在 $30$、$45$、$60$、$90$、$1800$ 秒，第 $5$ 次落在周期末、同回 $A$ 点），故第 $100$ 次即第 $20$ 个周期末：$100\div5=20$，$1800\times20=36000$ 秒，地点在 $A$ 点（周期化归）
9. 【原题 ch20-tuozhan-01】如图 $20\text{-}3$ 所示，一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，在三条边上它每分钟分别爬行 $50$ 厘米、$20$ 厘米、$40$ 厘米。蚂蚁由 $A$ 点出发，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少？
详细思路是哪类问题：这是「多段变速求平均速度」问题：蚂蚁在三角形三条边上速度各不相同，求绕行的平均速度。
关键切入点：平均速度只能回到定义算：总路程÷总时间，绝不能对三个速度取平均。把每条边的边长看成 $1$ 份，则每条边的用时就是「$1\div$该边速度」。绕一周走三条边，总时间是三个用时相加；绕一周半时第一条边走了两次、第二条边走了一次半、第三条边走了一次，用时要按走过的次数加权。算出总路程与总时间后一除即可，答案是带分数很正常。
方法概述：把边长设为 $1$ 份，逐边求「路程÷速度」的时间，再用总路程÷总时间。
规范步骤：- 设每条边长为 $1$ 份，绕一周总路程：$3$（份）（三条边）
- 一周总时间（三边用时相加）：$\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{40}=\dfrac{19}{200}$（时间=路程÷速度）
- 一周平均速度：$3\div\dfrac{19}{200}=\dfrac{600}{19}=31\dfrac{11}{19}$（厘米/分）（总路程÷总时间）
- 一周半：第一边走 $2$ 次、第二边 $1.5$ 次、第三边 $1$ 次，总时间：$\dfrac{2}{50}+\dfrac{1.5}{20}+\dfrac{1}{40}=\dfrac{7}{50}$（按走过次数加权）
- 一周半平均速度：$4.5\div\dfrac{7}{50}=\dfrac{225}{7}=32\dfrac{1}{7}$（厘米/分）（总路程÷总时间）
第一套题目：一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，边长 $240$ 厘米，在三条边上每分钟分别爬行 $60$ 厘米、$40$ 厘米、$30$ 厘米。蚂蚁由 $A$ 点出发顺时针爬行：（1）爬一周的平均速度是多少？（2）爬一周半的平均速度是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（逐边求时间）：三条边各长 $240$ 厘米，用时分别是 $240\div 60=\underline{\quad}$、$240\div 40=\underline{\quad}$、$240\div 30=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 2 步（一周：总时间与平均速度）：一周总时间 $=4+6+8=\underline{\quad}$（分钟），总路程 $720$ 厘米，平均速度 $=720\div 18=\underline{\quad}$（厘米/分）。
- 第 3 步（一周半：按次数加权求时间）：第一条边走 $2$ 次 $2\times 4=\underline{\quad}$、第二条边走 $1.5$ 次 $1.5\times 6=\underline{\quad}$、第三条边走 $1$ 次 $8$（分钟）。
- 第 4 步（一周半：总时间与平均速度）：一周半总时间 $=8+9+8=\underline{\quad}$（分钟），总路程 $720\times 1.5=\underline{\quad}$ 厘米，平均速度 $=1080\div 25=\underline{\quad}$（厘米/分）。
第二套题目：一只蜗牛沿边长 $200$ 厘米的等边三角形花坛爬行，在三条边上每分钟分别爬 $50$ 厘米、$20$ 厘米、$40$ 厘米。从 $A$ 点出发顺时针爬：（1）爬一周的平均速度？（2）爬一周半的平均速度？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（逐边求时间）：三条边各 $200$ 厘米，用时 $200\div 50=\underline{\quad}$、$200\div 20=\underline{\quad}$、$200\div 40=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 2 步（一周）：总时间 $=4+10+5=\underline{\quad}$（分钟），总路程 $200\times 3=\underline{\quad}$ 厘米，平均速度 $=600\div 19=31\frac{11}{19}$（厘米/分）。
- 第 3 步（一周半：加权用时）：第一边 $2$ 次 $2\times 4=\underline{\quad}$、第二边 $1.5$ 次 $1.5\times 10=\underline{\quad}$、第三边 $1$ 次 $5$（分钟）。
- 第 4 步（一周半）：总时间 $=8+15+5=\underline{\quad}$（分钟），总路程 $600\times 1.5=\underline{\quad}$ 厘米，平均速度 $=900\div 28=32\frac{1}{7}$（厘米/分）。
第三套题目：一只瓢虫沿边长 $120$ 厘米的正方形爬行，四条边上每分钟分别爬 $40$、$60$、$30$、$20$ 厘米。从 $A$ 点出发顺时针爬一周，平均速度是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（逐边求时间）：四条边各 $120$ 厘米，用时 $120\div 40=\underline{\quad}$、$120\div 60=\underline{\quad}$、$120\div 30=\underline{\quad}$、$120\div 20=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 2 步（合并）：一周总时间 $=3+2+4+6=\underline{\quad}$（分钟），总路程 $120\times 4=\underline{\quad}$（厘米）。
- 第 3 步（用定义）：平均速度 $=480\div 15=\underline{\quad}$（厘米/分）。
第三套题目：一只蚂蚁沿边长 $240$ 厘米的等边三角形爬行，三条边每分钟分别爬 $60$、$40$、$30$ 厘米。从 $A$ 点出发顺时针爬一周，每到一个顶点（含终点 $A$）都要休息 $2$ 分钟。求这一周（含休息）的平均速度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（行进时间）：三边用时 $240\div 60=\underline{\quad}$、$240\div 40=\underline{\quad}$、$240\div 30=\underline{\quad}$（分钟），行进共 $4+6+8=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 2 步（休息时间）：途中经过 $B$、$C$ 再回到 $A$ 共休息 $3$ 次，$3\times 2=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 3 步（含休息的平均速度）：总时间 $=18+6=\underline{\quad}$（分钟），总路程 $720$ 厘米，平均速度 $=720\div 24=\underline{\quad}$（厘米/分）。
10. 【原题 ch20-tuozhan-02】甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以 $4$ 千米/时的速度走了路程的一半，又以 $6$ 千米/时的速度走完了另一半；乙班在比赛过程中，一半时间以 $4$ 千米/时的速度行进，另一半时间以 $6$ 千米/时的速度行进。问：甲、乙两班哪个班将获胜？
详细思路是哪类问题：这是「路程等分 vs 时间等分」的平均速度比较问题。
关键切入点：两班用的是同样的两个速度 $4$ 和 $6$，差别只在「怎么分」。甲班按路程对半分：慢速走一半路、快速走一半路——但慢速那半路要花更长时间，于是慢速占的时间份额更大，平均速度被拉低。乙班按时间对半分：快慢各占一半时间，平均速度就是两速的算术平均。分别用定义算出两个平均速度再比较即可：甲 $\dfrac{2}{\frac14+\frac16}=4.8$，乙 $\dfrac{4+6}{2}=5$，乙更快。
方法概述：分别求两班的平均速度（路程等分用调和、时间等分用算术），再比较大小。
规范步骤：- 甲班：路程对半分，平均速度：$\dfrac{2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=4.8$（千米/时）（总路程÷总时间）
- 乙班：时间对半分，平均速度：$\dfrac{4+6}{2}=5$（千米/时）（时间等分取算术平均）
- 比较：$4.8<5$，乙班平均速度更大（平均速度大者用时少）
- 结论：乙班获胜（同样路程，快者先到）
第一套题目：甲、乙两班越野行军。甲班以 $6$ 千米/时走了路程的一半，又以 $12$ 千米/时走完另一半；乙班一半时间以 $6$ 千米/时、另一半时间以 $12$ 千米/时行进。哪个班获胜？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（甲班·路程对半，设全程 $24$ 千米）：前一半 $12$ 千米用 $12\div 6=\underline{\quad}$（小时），后一半用 $12\div 12=\underline{\quad}$（小时），平均速度 $=24\div 3=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 2 步（乙班·时间对半）：平均速度 $=(6+12)\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 3 步（比较）：$8<9$，乙班平均速度更大，乙班获胜。
第二套题目：甲、乙两支骑行队完成同一段赛道。甲队以 $4$ 千米/时骑完前一半路程、以 $6$ 千米/时骑完后一半路程；乙队一半时间以 $4$ 千米/时、另一半时间以 $6$ 千米/时骑行。哪支队伍先到终点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（甲队·路程对半，设全程 $24$ 千米）：前半 $12\div 4=\underline{\quad}$（小时），后半 $12\div 6=\underline{\quad}$（小时），总时间 $=3+2=\underline{\quad}$（小时），平均速度 $=24\div 5=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 2 步（乙队·时间对半）：平均速度 $=(4+6)\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 3 步（比较）：$4.8<5$，乙队更快。
第三套题目：甲以 $3$ 千米/时走一半路程、$5$ 千米/时走另一半路程；乙一半时间 $3$ 千米/时、一半时间 $5$ 千米/时。谁的平均速度大？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（甲·路程对半，设全程 $30$ 千米）：前半 $15\div 3=\underline{\quad}$（小时），后半 $15\div 5=\underline{\quad}$（小时），总时间 $=5+3=\underline{\quad}$（小时），平均 $=30\div 8=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 2 步（乙·时间对半）：平均 $=(3+5)\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 3 步（比较）：$3.75<4$，乙的平均速度大。
第三套题目：甲、乙两班行同一段 $24$ 千米的路。甲班以 $4$ 千米/时走一半路程、$6$ 千米/时走另一半路程；乙班一半时间 $4$ 千米/时、一半时间 $6$ 千米/时。请问：两班各用多长时间？乙班比甲班快几分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（甲班用时）：前半 $12\div 4=\underline{\quad}$（小时），后半 $12\div 6=\underline{\quad}$（小时），甲班共 $3+2=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（乙班用时）：乙班平均速度 $=(4+6)\div 2=\underline{\quad}$（千米/时），用时 $=24\div 5=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（时间差，化成分钟）：$5-4.8=\underline{\quad}$（小时），$0.2\times 60=\underline{\quad}$（分钟）。
11. 【原题 ch20-tuozhan-03】甲、乙两地相距 $100$ 千米，小张先骑摩托车从甲地出发，$1$ 小时后小李驾驶汽车从甲地出发，两人同时到达乙地。摩托车开始速度是每小时 $50$ 千米，中途减速后为每小时 $40$ 千米。汽车速度是每小时 $80$ 千米，汽车曾在途中停驶 $10$ 分钟。请问：小张驾驶的摩托车是在他出发多少小时后减速的？
详细思路是哪类问题：这是「一段路先快后慢、已知总路程与总时间，求快段用时」问题，用鸡兔同笼思想分配时间。
关键切入点：先把摩托车行驶的总时间算清楚：摩托比汽车早出发 $1$ 小时，两人同时到，所以摩托总时间 = 汽车行驶时间 + 汽车停驶时间 + $1$ 小时。摩托这段总时间里有一部分以 $50$、一部分以 $40$ 行驶，合起来走了 $100$ 千米——这正是鸡兔同笼：假设全程都以慢的 $40$ 走，会少走一些，缺口除以快慢速度差就得到以 $50$ 行驶的时间。
方法概述：先求摩托车总时间，再用鸡兔同笼把总时间拆成 $50$ 段与 $40$ 段。
规范步骤：- 汽车行驶时间：$100\div 80=1.25$（小时）（路程÷速度）
- 摩托车总时间（汽车行驶＋停驶＋早出发 $1$ 时）：$1.25+\dfrac{10}{60}+1=\dfrac{29}{12}$（小时）（同时到达）
- 鸡兔同笼：若全程按 $40$ 走的路程：$40\times\dfrac{29}{12}=96\dfrac{2}{3}$（千米）（假设全慢）
- 缺口÷速度差＝以 $50$ 行驶的时间：$\left(100-96\dfrac{2}{3}\right)\div(50-40)=\dfrac{1}{3}$（小时）（鸡兔同笼）
第一套题目：甲、乙两地相距 $120$ 千米。小张先骑摩托车从甲地出发，$1$ 小时后小李驾驶汽车从甲地出发，两人同时到达乙地。摩托车开始每小时 $50$ 千米，中途减速为每小时 $30$ 千米；汽车每小时 $60$ 千米，途中停驶 $15$ 分钟。小张出发多少小时后减速？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（汽车行驶时间）：$120\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（汽车停驶换成小时）：$15$ 分钟 $=15\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（摩托车总时间＝汽车行驶＋停驶＋早出发 $1$ 时）：$2+0.25+1=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步（鸡兔同笼·假设全按 $30$ 走）：$30\times 3.25=\underline{\quad}$（千米），比 $120$ 少 $120-97.5=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 5 步（缺口÷速度差）：以 $50$ 行驶的时间 $=22.5\div(50-30)=\underline{\quad}$（小时）。
第二套题目：甲、乙两地相距 $100$ 千米。一名快递员先骑电动车从甲地出发，$1$ 小时后一辆货车也从甲地出发，两者同时到达乙地。电动车开始每小时 $50$ 千米，中途减速为每小时 $40$ 千米；货车每小时 $80$ 千米，途中卸货停了 $10$ 分钟。电动车出发多少小时后减速？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（货车行驶时间）：$100\div 80=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（电动车总时间＝货车行驶＋停驶 $\frac{1}{6}$ 时＋早出发 $1$ 时）：合计 $\dfrac{29}{12}$ 小时。
- 第 3 步（鸡兔同笼求 $50$ 段时间）：$\left(100-40\times\dfrac{29}{12}\right)\div(50-40)=\underline{\quad}$（小时）。
第三套题目：一段 $90$ 千米的路，某车先以 $45$ 千米/时、后以 $30$ 千米/时行驶，全程恰好用了 $2.5$ 小时。它以 $45$ 千米/时行驶了多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（鸡兔同笼·假设全按 $30$ 走）：$30\times 2.5=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步（缺口）：$90-75=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 3 步（速度差）：$45-30=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 4 步（以 $45$ 行驶的时间）：$15\div 15=\underline{\quad}$（小时）。
第三套题目：一段 $150$ 千米的路，一辆车先以 $60$ 千米/时、后以 $40$ 千米/时行驶，其间还停车 $12$ 分钟，从出发到到达共用 $3.7$ 小时。请问：（1）实际行驶了多长时间？（2）以 $60$ 千米/时行驶了多少小时？（3）以 $60$ 千米/时走了多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（扣掉停车）：$12$ 分钟 $=0.2$ 小时，实际行驶 $3.7-\dfrac{12}{60}=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（鸡兔同笼·假设全按 $40$ 走）：$40\times 3.5=\underline{\quad}$（千米），缺口 $150-140=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 3 步（快段时间）：$10\div(60-40)=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步（快段路程）：$60\times 0.5=\underline{\quad}$（千米）。
12. 【原题 ch20-tuozhan-04】男、女两名田径运动员在长 $120$ 米的斜坡上练习跑步（如图 $20\text{-}4$ 所示，坡顶为 $A$，坡底为 $B$）。两人同时从 $A$ 点出发，在 $A$、$B$ 之间不停地往返奔跑。已知男运动员上坡速度是每秒 $3$ 米，下坡速度是每秒 $5$ 米，女运动员上坡速度是每秒 $2$ 米，下坡速度是每秒 $3$ 米。请问：两人第一次迎面相遇的地点离 $A$ 点多少米？第二次迎面相遇的地点离 $A$ 点多少米？
详细思路是哪类问题：这是「斜坡上两人往返奔跑、求迎面相遇位置」问题，需要用柳卡（线段折返）图分析。
关键切入点：上下坡速度不同，所以每个人各段用时不同：男运动员 $A\to B$（下坡 $5$）用 $24$ 秒、$B\to A$（上坡 $3$）用 $40$ 秒；女运动员 $A\to B$（下坡 $3$）用 $40$ 秒、$B\to A$（上坡 $2$）用 $60$ 秒。把两人的位置随时间画成折返的柳卡图，交点即迎面相遇。读图可知第一次相遇发生在男已折返上坡、女仍在下坡的一段，用「相遇时两人到该时段两端的时间比」按比例求出离 $A$ 点的位置。
方法概述：画柳卡图定位迎面相遇的时段，再用时间比按比例求相遇点到 $A$ 的距离。
规范步骤：- 男：$A\to B$ 下坡用时：$120\div 5=24$（秒）（路程÷速度）
- 男：$B\to A$ 上坡用时：$120\div 3=40$（秒）（路程÷速度）
- 女：$A\to B$ 下坡、$B\to A$ 上坡用时：$120\div 3=40$，$120\div 2=60$（秒）（路程÷速度）
- 第一次迎面相遇位置（柳卡图按比例）：$120\times\dfrac{64}{64+(40-24)}=96$（米）（时间比分点）
- 第二次迎面相遇位置：$120\times\dfrac{100-64}{(100-64)+(88-40)}=51\dfrac{3}{7}$（米）（时间比分点）
13. 【原题 ch20-tuozhan-05】小明和小强从 $400$ 米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第 $1$ 次相遇时，小明转身往回跑；再次相遇时，小强转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小强两人交替调转方向。两人的速度在运动过程中始终保持不变，小明每秒跑 $3$ 米，小强每秒跑 $5$ 米。试问：当他们第 $99$ 次相遇时，相遇点距离出发点多少米？
详细思路是哪类问题：这是「环形跑道背向出发、每次相遇交替调头」的周期性相遇问题。
关键切入点：两人在环上背向跑，速度 $3$ 与 $5$，每相遇一次就由其中一人调头，下次换另一人调头。把每次相遇时两人的位置与朝向画成柳卡图，会发现相遇 $4$ 次之后两人的运动状态与最初完全相同——于是相遇状态以「每 $4$ 次相遇」为一个周期。要求第 $99$ 次相遇，只需把 $99$ 对 $4$ 取余：$99=4\times 24+3$，故第 $99$ 次相遇的位置与第 $3$ 次相同，距出发点 $200$ 米。
方法概述：找出相遇状态以 $4$ 次为周期，把第 $99$ 次用余数化归到第 $3$ 次。
规范步骤：- 相遇状态的周期：每 $4$ 次相遇后回到初始状态（柳卡图观察）
- 把 $99$ 对周期取余：$99=4\times 24+3$，余 $3$（周期化归）
- 第 $99$ 次 = 第 $3$ 次的位置：距出发点 $200$ 米（半圈处）（同状态同位置）
14. 【原题 ch20-tuozhan-06】在一条南北走向的公路上有 $A$、$B$ 两镇，$A$ 镇在 $B$ 镇北面 $4.8$ 千米处。甲、乙两人分别同时从 $A$ 镇、$B$ 镇出发向南行走，甲的速度是每小时 $9$ 千米，乙的速度是每小时 $6$ 千米。甲在运动过程中始终不改变方向，而乙向南走 $3$ 分钟后，便转身往回走 $2$ 分钟，接着按照先向南走 $3$ 分钟、再向北走 $2$ 分钟的方式循环运动。请问：两人相遇的地点距 $B$ 镇多少千米？
详细思路是哪类问题：这是「一人匀速直行、另一人按固定节奏折返」的循环相遇问题。
关键切入点：把速度都化成米/分：甲 $150$、乙 $100$。乙按「南 $3$ 分、北 $2$ 分」循环，一个 $5$ 分钟周期里乙净向南 $100\times3-100\times2=100$ 米，而甲向南走 $150\times5=750$ 米，两人距离每周期缩短 $650$ 米。用 $4800\div650$ 定位到还差 $250$ 米时已过 $7$ 个周期；再在下一周期内分段逼近：先两人同向南 $3$ 分钟距离再减 $150$ 米变 $100$ 米，随后乙转北、甲仍南，$100\div(150+100)$ 分钟后相遇。最后用甲的总行程减去 $AB$ 距离得相遇点到 $B$ 的距离。
方法概述：按乙的 $5$ 分钟折返周期算每周期缩短量，取余后在周期内分段逼近相遇。
规范步骤：- 统一单位后每周期缩短的距离：$150\times5-(100\times3-100\times2)=750-100=650$（米）（周期净接近）
- 整周期数与余量：$4800\div650=7\cdots\cdots250$（带余除法）
- 余下先同向 $3$ 分钟：距离再减 $(150-100)\times3=150$，变 $250-150=100$（米）（同向追及）
- 乙转北、甲仍南相遇：$100\div(150+100)=0.4$（分钟）（相向相遇）
- 相遇点到 $B$：甲共走 $150\times(35+3+0.4)=5760$ 米，$5760-4800=960$ 米（总行程减 $AB$）
15. 【原题 ch20-tuozhan-07】龟兔赛跑，全程 $1.04$ 千米。兔子每小时跑 $4$ 千米，乌龟每小时爬 $0.6$ 千米。乌龟不停地爬，但兔子却边跑边玩，兔子先跑了 $1$ 分钟然后玩 $15$ 分钟，又跑 $2$ 分钟然后玩 $15$ 分钟，再跑 $3$ 分钟然后玩 $15$ 分钟$\cdots\cdots$ 请问：先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？
详细思路是哪类问题：这是「一方不停、另一方边跑边停」的行程比较问题，停玩次数由等差数列累加定位。
关键切入点：先算兔子纯跑步需要的时间：$1.04\div4\times60=15.6$ 分。兔子跑 $1$ 分玩 $15$ 分、跑 $2$ 分玩 $15$ 分……用累加的跑步分钟 $1,1+2,1+2+3,\cdots$ 卡住 $15.6$ 落在哪两段之间：$1+2+3+4+5=15<15.6<1+2+3+4+5+6=21$，说明到终点前兔子玩了 $5$ 次。于是兔子到终点用 $15.6+15\times5=90.6$ 分；乌龟不停，用 $1.04\div0.6\times60=104$ 分。相减即得快多少分钟。
方法概述：用累加跑步分钟定位停玩次数，分别求两者到终点的时间再相减。
规范步骤：- 兔子纯跑步时间：$1.04\div4\times60=15.6$（分）（路程÷速度）
- 用等差累加定位停玩次数：$1+2+3+4+5=15<15.6<21$，停 $5$ 次（三角形数卡位）
- 兔子到终点时间：$15.6+15\times5=90.6$（分）（跑步＋玩耍）
- 乌龟到终点时间：$1.04\div0.6\times60=104$（分）（不停爬）
- 相差：$104-90.6=13.4$（分）（兔子先到）
第一套题目：龟兔赛跑，全程 $2.1$ 千米。兔子每小时跑 $5$ 千米，乌龟每小时爬 $0.7$ 千米。乌龟不停地爬；兔子先跑 $1$ 分钟然后玩 $12$ 分钟，又跑 $2$ 分钟玩 $12$ 分钟，再跑 $3$ 分钟玩 $12$ 分钟……先到终点的比后到的快多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（兔子纯跑步时间）：$2.1\div5\times60=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 2 步（等差累加定位停玩次数）：$1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}<25.2<1+2+3+4+5+6+7=\underline{\quad}$，所以到终点前兔子玩了 $6$ 次。
- 第 3 步（兔子到终点时间）：$25.2+12\times6=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 4 步（乌龟到终点时间）：$2.1\div0.7\times60=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 5 步（相差）：$180-97.2=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套题目：松鼠和蜗牛比赛，全程 $1.04$ 千米。松鼠每小时跑 $4$ 千米、乌龟……不，蜗牛每小时爬 $0.6$ 千米。蜗牛不停地爬；松鼠先跑 $1$ 分钟然后玩 $15$ 分钟，又跑 $2$ 分钟玩 $15$ 分钟，再跑 $3$ 分钟玩 $15$ 分钟……先到终点的比后到的快多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（松鼠纯跑步时间）：$1.04\div4\times60=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 2 步（累加定位停玩次数）：$1+2+3+4+5=\underline{\quad}<15.6<1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}$，玩 $5$ 次。
- 第 3 步（松鼠到终点）：$15.6+15\times5=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 4 步（蜗牛到终点）：$1.04\div0.6\times60=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 5 步（相差）：$104-90.6=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套题目：兔子跑全程 $1.6$ 千米，每小时跑 $4$ 千米。它先跑 $1$ 分钟玩 $10$ 分钟，又跑 $2$ 分钟玩 $10$ 分钟，再跑 $3$ 分钟玩 $10$ 分钟……请问：兔子到达终点一共用了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（纯跑步时间）：$1.6\div4\times60=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 2 步（累加定位停玩次数）：$1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}<24<1+2+3+4+5+6+7=\underline{\quad}$，玩 $6$ 次。
- 第 3 步（到达时刻）：$24+10\times6=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套题目：龟兔赛跑全程 $1.04$ 千米，兔子每小时跑 $4$ 千米（先跑 $1$、$2$、$3\cdots$ 分钟，每次跑后玩 $15$ 分钟），乌龟每小时爬 $0.6$ 千米不停。请问：当兔子到达终点时，乌龟距终点还有多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（兔子到达时刻）：纯跑 $1.04\div4\times60=\underline{\quad}$ 分，玩 $5$ 次（$1+2+3+4+5=\underline{\quad}<15.6$），到达时刻 $15.6+15\times5=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 2 步（此刻乌龟走的路程）：$0.6\times90.6\div60=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 3 步（乌龟距终点）：$1.04-0.906=\underline{\quad}$（千米）$=0.134\times1000=\underline{\quad}$（米）。
16. 【原题 ch20-tuozhan-08】如图 $20\text{-}5$ 所示，甲、乙两人绕着一个正方形的房子玩捉迷藏。正方形 $ABCD$ 的边长为 $24$ 米，甲、乙都从 $A$ 点出发逆时针行进。甲出发时，乙要靠在 $A$ 点的墙壁上，$10$ 秒后再出发。已知甲每秒跑 $4$ 米，乙每秒跑 $6$ 米，且两人每到达一个顶点都需要休息 $3$ 秒钟。请问：乙出发几秒后第一次追上甲？
详细思路是哪类问题：这是「正方形路径上带休息的追及」问题，追上恰好发生在休息时刻，属结构判断。
关键切入点：两人都逆时针跑，每到顶点休息 $3$ 秒。甲每秒 $4$ 米、乙每秒 $6$ 米，走一条边（$24$ 米）甲要 $6$ 秒、乙要 $4$ 秒，甲每条边比乙多花 $2$ 秒。甲早出发 $10$ 秒，相当于领先 $5$ 条边的时间差（$10\div2=5$）……更准确地说，乙每走一条边就追回 $2$ 秒，甲刚走完第 $4$ 条边到顶点休息时正好被乙追上。此时乙用的时间 = 走 $4$ 条边 $+$ 在 $3$ 个顶点休息 $=4\times4+3\times3=25$ 秒。
方法概述：比较甲乙走每条边的用时差与休息节奏，确定追上发生在顶点休息时刻。
规范步骤：- 甲、乙走一条边的时间：$24\div4=6$ 秒、$24\div6=4$ 秒（路程÷速度）
- 甲每条边比乙多花的时间：$6-4=2$（秒）（用时差）
- 乙追上甲发生在乙走完第 $4$ 条边时：乙走 $4$ 条边、休息 $3$ 次（结构判断）
- 乙用的时间：$4\times4+3\times3=25$（秒）（行进＋休息）
17. 【原题 ch20-tuozhan-09】如图 $20\text{-}6$ 所示，正方形边长是 $100$ 米，甲、乙两人同时从 $A$、$B$ 沿图中所示的方向出发，甲每分钟走 $75$ 米，乙每分钟走 $65$ 米，且两人每到达一个顶点都需要休息 $2$ 分钟。求甲从出发到第一次看见乙所用的时间。
详细思路是哪类问题：这是「正方形路径带休息＋视线遮挡」问题，需要列不等式并取整。
关键切入点：甲第一次看到乙，一定发生在甲走到某个顶点、而乙还没离开它前方的顶点时。设甲走过 $a$ 条边，甲跑完这条边要 $\dfrac{100a}{75}+2(a-1)$ 分钟；此时乙才走 $a-1$ 条边，乙离开这条边（前方顶点）要 $\dfrac{100(a-1)}{65}+2(a-1)$ 分钟。要「看见」需前者不超过后者，解不等式得 $a\ge7.5$，取最小整数 $a=8$，代回甲的用时即可。
方法概述：设甲到第 $a$ 个顶点看见乙，列不等式求最小的 $a$ 再代入求时间。
规范步骤：- 甲跑完第 $a$ 条边的时间：$\dfrac{100a}{75}+2(a-1)$（分）（行进＋休息）
- 乙离开第 $a-1$ 条边的时间：$\dfrac{100(a-1)}{65}+2(a-1)$（分）（行进＋休息）
- 列不等式解得：$a\ge7.5$，取 $a=8$（看见的条件）
- 代入求时间：$\dfrac{100\times8}{75}+2\times7=24\dfrac{2}{3}$（分）（第 $8$ 条边）
18. 【原题 ch20-tuozhan-10】甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两地同时出发相向而行，$20$ 分钟后在某处相遇。如果甲每分钟多走 $15$ 米，而乙比甲提前 $2$ 分钟出发，则相遇时仍在此处。如果甲比乙晚 $4$ 分钟出发，乙每分钟少走 $25$ 米，也能在此处相遇。那么 $A$、$B$ 两地之间相距多少千米？
详细思路是哪类问题：这是「相遇点保持不变、由速度变化与出发时差反推原速度」问题。
关键切入点：抓住「相遇点不变」这个铁律。第一种情况甲改速、乙不变：乙照旧要用 $20$ 分钟到该点，但乙提前 $2$ 分钟出发，所以甲改速后只用 $20-2=18$ 分钟就到该点；甲每分钟多走 $15$，$18$ 分钟就多走 $15\times18$，而这份「多走」正好补偿了少用的 $2$ 分钟原速路程，于是甲原速 $=15\times18\div2=135$。同理乙改速时甲不变、甲晚 $4$ 分钟，乙要用 $20+4=24$ 分钟，乙原速 $=25\times24\div4=150$。两地距离 $=(135+150)\times20$。
方法概述：对每次变速，用「不变者仍走 $20$ 分」定出变速者的新用时，再反推其原速度。
规范步骤：- 甲改速后到相遇点的时间：$20-2=18$（分）（乙不变仍 $20$ 分、乙提前 $2$ 分）
- 甲原速度：$15\times18\div2=135$（米/分）（多走补偿少用时间）
- 乙改速后到相遇点的时间：$20+4=24$（分）（甲不变仍 $20$ 分、甲晚 $4$ 分）
- 乙原速度：$25\times24\div4=150$（米/分）（少走对应多用时间）
- 两地距离：$(135+150)\times20=5700$（米）$=5.7$（千米）（速度和×时间）
第一套题目：甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两地同时出发相向而行，$20$ 分钟后在某处相遇。若甲每分钟多走 $18$ 米、乙提前 $2$ 分钟出发，则仍在此处相遇；若甲比乙晚 $5$ 分钟出发、乙每分钟少走 $30$ 米，也在此处相遇。$A$、$B$ 两地相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（甲改速后的用时）：乙不变仍 $20$ 分、乙提前 $2$ 分出发，甲改速后用 $20-2=\underline{\quad}$（分）。
- 第 2 步（甲原速）：$18\times18\div2=\underline{\quad}$（米/分）。
- 第 3 步（乙改速后的用时）：甲不变仍 $20$ 分、甲晚 $5$ 分出发，乙改速后用 $20+5=\underline{\quad}$（分）。
- 第 4 步（乙原速）：$30\times25\div5=\underline{\quad}$（米/分）。
- 第 5 步（两地距离）：$(162+150)\times20=\underline{\quad}$（米）$=6240\div1000=\underline{\quad}$（千米）。
第二套题目：两列火车分别从甲站、乙站同时相向开出，$20$ 分钟后在某处会车。若甲车每分钟多行 $15$ 米、乙车提前 $2$ 分钟发车，仍在此处会车；若甲车比乙车晚 $4$ 分钟发车、乙车每分钟少行 $25$ 米，也在此处会车。甲、乙两站相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（甲改速后用时）：$20-2=\underline{\quad}$（分）。
- 第 2 步（甲原速）：$15\times18\div2=\underline{\quad}$（米/分）。
- 第 3 步（乙改速后用时）：$20+4=\underline{\quad}$（分）。
- 第 4 步（乙原速）：$25\times24\div4=\underline{\quad}$（米/分）。
- 第 5 步（两站距离）：$(135+150)\times20=\underline{\quad}$（米）$=5700\div1000=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：甲、乙两人相向而行，$20$ 分钟后在某处相遇。若甲每分钟多走 $15$ 米、乙提前 $2$ 分钟出发，则仍在此处相遇。已知乙的速度是每分钟 $100$ 米，求两地距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（甲改速后用时）：乙不变仍 $20$ 分、乙提前 $2$ 分，甲改速后用 $20-2=\underline{\quad}$（分）。
- 第 2 步（甲原速）：$15\times18\div2=\underline{\quad}$（米/分）。
- 第 3 步（两地距离）：$(135+100)\times20=\underline{\quad}$（米）$=4700\div1000=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 同时相向出发，$20$ 分钟后在 $C$ 处相遇。若甲每分钟多走 $15$ 米、乙提前 $2$ 分钟出发，仍在 $C$ 相遇；若甲晚 $4$ 分钟出发、乙每分钟少走 $25$ 米，也在 $C$ 相遇。请问：（1）甲、乙原速度各是多少？（2）两地相距多少千米？（3）相遇点 $C$ 距 $A$ 地多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（甲原速）：甲改速后用 $20-2=\underline{\quad}$ 分，甲原速 $=15\times18\div2=\underline{\quad}$（米/分）。
- 第 2 步（乙原速）：乙改速后用 $20+4=\underline{\quad}$ 分，乙原速 $=25\times24\div4=\underline{\quad}$（米/分）。
- 第 3 步（两地距离）：$(135+150)\times20=\underline{\quad}$（米）$=5700\div1000=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 4 步（相遇点距 $A$）：甲原速 $20$ 分走 $135\times20=\underline{\quad}$（米）$=2700\div1000=\underline{\quad}$（千米）。
19. 【原题 ch20-tuozhan-11】小明准时从家出发，以 $3.6$ 千米/时的速度从家步行去学校，恰好提前 $5$ 分钟到校。某天，当他走了 $1.2$ 千米，发现手表慢了 $10$ 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早 $15$ 分钟到学校。那么他家离学校多少千米？小明跑步的速度是每小时多少千米？
详细思路是哪类问题：这是「同一段路步行与跑步的时间差」问题，用「省时与路程成正比」的比例关系求解。
关键切入点：两个「省时」是关键：跑后段比走后段快 $10-5=5$ 分钟（表慢 $10$ 分却仍准时，本来提前 $5$ 分，多挤出的 $5$ 分就是跑后段省的）；若前段也跑，全程比全走早 $15$ 分，减去后段省的 $5$ 分，前段跑比走省 $10$ 分。同样的两种速度下，省的时间与路程成正比，所以后段∶前段 $=5\!:\!10$，后段 $=1.2\times\dfrac{5}{10}=0.6$ 千米，全程 $1.8$ 千米。再由前段步行 $20$ 分、跑步省 $10$ 分即用 $10$ 分，求出跑速。
方法概述：用两个「省时」之比等于路程之比求后段路程，再由前段用时求跑速。
规范步骤：- 跑后段比走后段省的时间：$10-5=5$（分）（表慢 10 分仍准时）
- 跑前段比走前段省的时间：$15-5=10$（分）（全程差减后段差）
- 后段路程（省时∝路程）：$1.2\times\dfrac{5}{10}=0.6$（千米）（比例关系）
- 全程路程：$1.2+0.6=1.8$（千米）（两段相加）
- 前段步行用时与跑速：$1.2\div3.6\times60=20$ 分，跑 $10$ 分，$1.2\div\dfrac{10}{60}=7.2$（路程÷时间）
第一套题目：小刚准时从家出发，以 $4.5$ 千米/时步行去学校，恰好提前 $6$ 分钟到校。某天他走了 $1.5$ 千米后发现手表慢了 $12$ 分钟，于是立即跑步前进，到校恰好准时；若他从家就跑步，可比一直步行早 $18$ 分钟到校。他家离学校多少千米？跑步速度是每小时多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（跑后段省的时间）：表慢 $12$ 分仍准时，跑后段比走后段省 $12-6=\underline{\quad}$（分）。
- 第 2 步（跑前段省的时间）：全程跑比全程走早 $18$ 分，减去后段省的，前段跑比走省 $18-6=\underline{\quad}$（分）。
- 第 3 步（后段路程，省时∝路程）：后段 $=1.5\times\dfrac{6}{12}=\underline{\quad}$（千米），全程 $=1.5+0.75=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 4 步（跑速）：前段步行 $1.5\div4.5\times60=\underline{\quad}$ 分，跑步省 $12$ 分即用 $8$ 分，跑速 $=1.5\div\dfrac{8}{60}=\underline{\quad}$（千米/时）。
第二套题目：小敏准时出发，以 $3.6$ 千米/时步行去少年宫，恰好提前 $5$ 分钟到。某天她走了 $1.2$ 千米后发现手表慢了 $10$ 分钟，于是立即跑步，到少年宫恰好准时；若从家就跑步，可比一直步行早 $15$ 分钟。她家离少年宫多少千米？跑步速度是每小时多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（跑后段省时）：$10-5=\underline{\quad}$（分）。
- 第 2 步（跑前段省时）：$15-5=\underline{\quad}$（分）。
- 第 3 步（后段路程与全程）：后段 $=1.2\times\dfrac{5}{10}=\underline{\quad}$（千米），全程 $=1.2+0.6=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 4 步（跑速）：前段步行 $1.2\div3.6\times60=\underline{\quad}$ 分，跑 $10$ 分，跑速 $=1.2\div\dfrac{10}{60}=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套题目：小刚步行上学恰好提前 $6$ 分钟到。某天走了 $1.6$ 千米后发现表慢 $12$ 分钟，改跑步后恰好准时；若从家就跑步，可比一直步行早 $18$ 分钟。他家离学校多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（跑后段省时）：$12-6=\underline{\quad}$（分）。
- 第 2 步（跑前段省时）：$18-6=\underline{\quad}$（分）。
- 第 3 步（后段路程，省时∝路程）：后段 $=1.6\times\dfrac{6}{12}=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 4 步（全程）：$1.6+0.8=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：小明步行上学恰好提前 $5$ 分钟到。某天走了 $1.2$ 千米后发现表慢 $10$ 分钟，改跑步后准时；若从家就跑，可比一直步行早 $15$ 分钟。步行 $3.6$ 千米/时。请问：（1）家到学校多少千米？（2）跑步速度多少？（3）全程步行、全程跑步各用多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（后段路程与全程）：后段 $=1.2\times\dfrac{5}{10}=\underline{\quad}$（千米），全程 $=1.2+0.6=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步（跑速）：前段步行 $1.2\div3.6\times60=\underline{\quad}$ 分，跑 $10$ 分，跑速 $=1.2\div\dfrac{10}{60}=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 3 步（全程步行用时）：$1.8\div3.6\times60=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 4 步（全程跑步用时）：$1.8\div7.2\times60=\underline{\quad}$（分钟）。
20. 【原题 ch20-tuozhan-12】甲、乙两车分别从 $A$、$B$ 两地同时出发相向而行，$6$ 小时后相遇在 $C$ 点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行 $5$ 千米，则相遇地点距 $C$ 点 $12$ 千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行 $5$ 千米，则相遇地点距 $C$ 点 $16$ 千米。请问：$A$、$B$ 两地间的距离是多少千米？
详细思路是哪类问题：这是「速度变化引起相遇点偏移、反推总距离」问题。
关键切入点：两种情况都是「一方提速 $5$ 千米/时」，且相遇时间彼此相同。两个相遇点分别偏向两边，它们之间的距离 $=12+16=28$ 千米；而造成这段差距的，正是甲车在两种情况下 $5$ 千米/时的速度差，用了相同的相遇时间，于是相遇时间 $=28\div5=5.6$ 小时。原来 $6$ 小时相遇，提速 $5$ 后变成 $5.6$ 小时相遇，说明「原速度和×$6$ = （原速度和$+5$）×$5.6$」，由此解出原速度和 $=5\times5.6\div(6-5.6)=70$，再乘 $6$ 得总距离。
方法概述：两相遇点距离÷速度增量得相遇时间，再由相遇时间变化解出原速度和。
规范步骤：- 两相遇点之间的距离：$12+16=28$（千米）（分居两侧）
- 相遇时间：$28\div5=5.6$（小时）（距离÷速度增量）
- 原速度和：$5\times5.6\div(6-5.6)=70$（千米/时）（相遇时间变化列式）
- 两地距离：$70\times6=420$（千米）（速度和×相遇时间）
第一套题目：甲、乙两车从 $A$、$B$ 两地同时相向出发，$11$ 小时后相遇在 $C$ 点。若甲车速度不变、乙车每小时多行 $5$ 千米，则相遇点距 $C$ 点 $20$ 千米；若乙车速度不变、甲车每小时多行 $5$ 千米，则相遇点距 $C$ 点 $30$ 千米。$A$、$B$ 两地相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（两相遇点之间的距离）：$20+30=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步（相遇时间）：$50\div5=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（原速度和）：$5\times10\div(11-10)=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 4 步（两地距离）：$50\times11=\underline{\quad}$（千米）。
第二套题目：两艘轮船从 $A$、$B$ 两港同时相向开出，$6$ 小时后相遇在 $C$ 处。若甲船速度不变、乙船每小时快 $5$ 千米，相遇点距 $C$ 处 $12$ 千米；若乙船速度不变、甲船每小时快 $5$ 千米，相遇点距 $C$ 处 $16$ 千米。$A$、$B$ 两港相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（两相遇点之间的距离）：$12+16=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步（相遇时间）：$28\div5=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（原速度和）：$5\times5.6\div(6-5.6)=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 4 步（两港距离）：$70\times6=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：甲、乙两车从 $A$、$B$ 同时相向出发，$8$ 小时后相遇在 $C$。若乙每小时多行 $5$ 千米，相遇点距 $C$ 点 $18$ 千米；若甲每小时多行 $5$ 千米，相遇点距 $C$ 点 $12$ 千米。$A$、$B$ 两地相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（两相遇点之间的距离）：$18+12=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步（相遇时间）：$30\div5=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（原速度和）：$5\times6\div(8-6)=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 4 步（两地距离）：$15\times8=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：甲、乙两车从 $A$、$B$ 同时相向出发，$6$ 小时相遇在 $C$。乙每小时多行 $5$ 则相遇点距 $C$ 点 $12$ 千米；甲每小时多行 $5$ 则相遇点距 $C$ 点 $16$ 千米。又知甲比乙每小时快 $10$ 千米。请问：（1）原速度和是多少？（2）甲、乙原速度各是多少？（3）相遇点 $C$ 距 $A$ 地多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（相遇时间与原速度和）：两相遇点相距 $12+16=\underline{\quad}$（千米），相遇时间 $28\div5=\underline{\quad}$（小时），原速度和 $=5\times5.6\div(6-5.6)=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 2 步（和差问题求个体速度）：甲 $=(70+10)\div2=\underline{\quad}$、乙 $=(70-10)\div2=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 3 步（相遇点距 $A$）：甲 $6$ 小时走 $40\times6=\underline{\quad}$（千米）。
21. 【原题 ch20-tuozhan-13】李刚骑自行车从甲地到乙地，要先骑一段上坡路，再骑一段平坦路，他到乙地后，立即返回甲地，来回共用了 $3$ 小时。李刚在平坦路上比上坡路每小时多骑 $6$ 千米，下坡路比平坦路每小时多骑 $3$ 千米。还知道他在第 $1$ 小时比第 $2$ 小时少骑 $5$ 千米，第 $2$ 小时比第 $3$ 小时少骑 $3$ 千米。其中，第 $2$ 小时骑了一段上坡路，又骑了一段平坦路。请问：（1）李刚骑上坡路所用的时间是多少分钟？（2）李刚骑下坡路所用的时间是多少分钟？（3）甲、乙两地之间的距离是多少千米？
详细思路是哪类问题：这是「上坡—平路—下坡往返、由每小时路程差反推各段时间与速度」的多元结构问题。
关键切入点：设上坡速度 $v$，则平坦 $v+6$、下坡 $v+9$；行程顺序为上坡→平坦→（到乙地折返）平坦→下坡，速度一路不降，故每小时路程递增。第 $1$ 小时全在上坡，走 $v$ 千米。设上坡共 $T_上$ 小时，第 $2$ 小时里有 $(2-T_上)$ 小时是平坦路、比上坡每小时快 $6$ 千米，故第 $2$ 小时比第 $1$ 小时多骑 $6(2-T_上)$ 千米，令其 $=5$ 得 $T_上=\dfrac76$ 小时（$70$ 分）。同理第 $2$ 小时路程 $=v+5$、第 $3$ 小时的平坦基准 $=v+6$，其中有 $T_下$ 小时下坡、比平坦每小时快 $3$ 千米，故第 $3$ 小时比第 $2$ 小时多骑 $1+3T_下$ 千米，令其 $=3$ 得 $T_下=\dfrac23$ 小时（$40$ 分）。往返走的是同一段坡，上坡路程 $=$ 下坡路程：$v\cdot\dfrac76=(v+9)\cdot\dfrac23$，解得 $v=12$，上坡路程 $12\times\dfrac76=14$。平路往返共用时 $3-\dfrac76-\dfrac23=\dfrac76$ 小时，单程 $\dfrac{7}{12}$ 小时、平路速度 $18$，单程平路 $18\times\dfrac{7}{12}=10.5$，两地距离 $14+10.5=24.5$ 千米。
方法概述：第 $1$ 小时全上坡；用第 $1$、$2$ 小时路程差定出上坡时间、第 $2$、$3$ 小时路程差定出下坡时间；再用「上坡路程 $=$ 下坡路程」解出上坡速度，进而求各段路程与两地距离。
规范步骤：- 第 $1$ 小时全上坡走 $v$；设上坡共 $T_上$ 时，第 $2$ 小时有 $(2-T_上)$ 时是平坦、比上坡每时快 $6$，故第 $2$ 比第 $1$ 小时多骑 $6(2-T_上)$：$6(2-T_上)=5\Rightarrow T_上=\dfrac76$ 时 $=70$ 分（每小时路程差）
- 第 $2$ 小时路程 $=v+5$、第 $3$ 小时平坦基准 $=v+6$，其中 $T_下$ 时下坡比平坦每时快 $3$，故第 $3$ 比第 $2$ 小时多骑 $1+3T_下$：$1+3T_下=3\Rightarrow T_下=\dfrac23$ 时 $=40$ 分（每小时路程差）
- 往返同一段坡，上坡路程 $=$ 下坡路程：$\dfrac76 v=\dfrac23(v+9)\Rightarrow 7v=4v+36\Rightarrow v=12$（千米/时）（路程相等）
- 上坡路程：$12\times\dfrac76=14$（千米）（速度×时间）
- 平路：往返共 $3-\dfrac76-\dfrac23=\dfrac76$ 时，单程 $\dfrac{7}{12}$ 时，速度 $12+6=18$：$18\times\dfrac{7}{12}=10.5$（千米）（单程平路）
- 两地距离：$14+10.5=24.5$（千米）（上坡＋平路）
22. 【原题 ch20-tuozhan-14】如图 $20\text{-}7$ 所示，有 $4$ 个村镇 $A$、$B$、$C$、$D$，在连接它们的 $3$ 段等长的公路 $AB$、$BC$、$CD$ 上，汽车行驶的最高时速限制分别是 $60$ 千米/时、$20$ 千米/时和 $30$ 千米/时。一辆客车从 $A$ 镇出发驶向 $D$ 镇，到达 $D$ 镇后立即返回；一辆货车同时从 $D$ 镇出发，驶向 $B$ 镇。两车相遇在 $C$ 镇，而当货车到达 $B$ 镇时，客车又回到了 $C$ 镇。已知客车和货车在各段公路上均以其所能达到且被允许的最大速度行驶，货车在与客车相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了 $\dfrac{1}{8}$，求客车的最高时速。
详细思路是哪类问题：这是「三段等长限速公路上的往返相遇」问题，需按客车在各段的可能速度分类讨论。
关键切入点：三段 $AB$、$BC$、$CD$ 限速 $60$、$20$、$30$，客车 $A\to D$ 到达后返回，货车 $D\to B$，两车相遇在 $C$，且货车到 $B$ 时客车又回到 $C$。以每段长为 $1$，货车相遇后最高时速比相遇前提高 $\frac18$。按客车在 $A\to B$ 段的实际速度 $v$（受最高时速与限速 $60$ 双重约束）分区间讨论，列「两车到相遇时间相等」的方程。$20<v\le30$ 时解得 $v=25$；$v>30$ 时另设客车 $A\to B$ 速度解得 $40$。两种情形都成立，故客车最高时速为 $25$ 或 $40$。
方法概述：以每段为单位，按客车各段可能速度分类，列两车到相遇时间相等的方程求解。
规范步骤：- 情形一 $20<v\le30$，相遇时间相等：$\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{\frac{4}{9}v}$（货车相遇前速度 $\frac49 v$）
- 解情形一：$\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{9}{100}$，得 $v=25$（符合）（验证区间）
- 情形二 $v>30$，客车 $C\to D\to C$ 限速 $30$：$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{\frac{40}{3}}$（货车相遇前 $\frac{40}{3}$）
- 解情形二：$\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{3}{40}$，得 $x=40$（符合）（验证区间）
23. 【原题 ch20-xingqu-01】邮递员早晨 $7$ 点出发送一份邮件到对面的村里，从邮局开始先走 $12$ 千米的上坡路，再走 $6$ 千米的下坡路。上坡的速度是 $3$ 千米/时，下坡的速度是 $6$ 千米/时。请问：（1）邮递员去村里的平均速度是多少？（2）邮递员返回时的平均速度是多少？（3）邮递员往返的平均速度是多少？
详细思路是哪类问题：这是「变速行程求平均速度」问题：整段路被分成上坡、下坡两段，两段速度不同，要求整段的平均速度。
关键切入点：平均速度绝不是两个速度的平均数。因为在慢的那一段上花的时间更长，慢速度的「权重」更大，直接取平均一定偏大。唯一可靠的做法是回到定义：分别求出每段的时间，加起来得总时间，再用总路程除以总时间。往返时上坡段与下坡段身份互换（去时的上坡回来变成下坡），所以去、回的平均速度并不相同。
方法概述：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间：先分段求时间，再合并。
规范步骤：- 去时总路程：$12+6=18$（千米）（两段路程相加）
- 去时总时间：上坡 $12\div 3$，下坡 $6\div 6$：$12\div 3+6\div 6=4+1=5$（小时）（分段求时间）
- 去时平均速度：$18\div 5=3.6$（千米/时）（总路程÷总时间）
- 返回时上下坡互换，总时间：$12\div 6+6\div 3=2+2=4$（小时）（去时的上坡变成下坡）
- 返回时平均速度：$18\div 4=4.5$（千米/时）（总路程÷总时间）
- 往返总路程与总时间：$18\times 2=36$（千米），$5+4=9$（小时）（去回合并）
- 往返平均速度：$36\div 9=4$（千米/时）（总路程÷总时间）
第一套题目：邮递员送信，从邮局出发先走 $24$ 千米上坡路，再走 $12$ 千米下坡路。上坡速度 $3$ 千米/时，下坡速度 $6$ 千米/时。请问：（1）去时的平均速度是多少？（2）返回时的平均速度是多少？（3）往返的平均速度是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（先算总路程）：去时的总路程是 $24+12=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步（分段求时间）：上坡花 $24\div 3=\underline{\quad}$（小时），下坡花 $12\div 6=\underline{\quad}$（小时），去时总时间是 $\underline{\quad}$ 小时。
- 第 3 步（回到定义求平均速度）：去时平均速度 $=36\div 10=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 4 步（返回时上下坡互换）：返回时原来的上坡段变成下坡走，总时间是 $24\div 6+12\div 3=\underline{\quad}$（小时），平均速度 $=36\div 8=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 5 步（往返合并）：往返总路程 $36\times 2=\underline{\quad}$（千米），总时间 $10+8=\underline{\quad}$（小时），往返平均速度 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
第二套题目：一辆送货三轮车从仓库出发，先爬 $24$ 千米的上坡山路，再走 $12$ 千米的下坡路到达工地。上坡每小时行 $3$ 千米，下坡每小时行 $6$ 千米。请问：（1）去工地的平均速度是多少？（2）空车返回仓库的平均速度是多少？（3）往返一趟的平均速度是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（总路程）：去工地共 $24+12=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步（分段求时间）：上坡 $24\div 3=\underline{\quad}$（小时），下坡 $12\div 6=\underline{\quad}$（小时），合计 $\underline{\quad}$ 小时。
- 第 3 步：去时平均速度 $=36\div 10=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 4 步（返程坡向对调）：返程总时间 $24\div 6+12\div 3=\underline{\quad}$（小时），平均速度 $=36\div 8=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 5 步（往返）：总路程 $\underline{\quad}$ 千米，总时间 $\underline{\quad}$ 小时，往返平均速度 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套题目：小明沿山路上山到山顶再原路下山，山路长 $15$ 千米。上山速度 $3$ 千米/时，下山速度 $6$ 千米/时。求他上下山全程的平均速度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（认清往返路程相等）：上山、下山各 $15$ 千米，来回总路程是 $15\times 2=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步（分段求时间）：上山用 $15\div 3=\underline{\quad}$（小时），下山用 $15\div 6=\underline{\quad}$（小时），总时间 $=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（用定义，不能直接平均两个速度）：平均速度 $=30\div 7.5=\underline{\quad}$（千米/时）；它比 $(3+6)\div 2=\underline{\quad}$ 要小，正说明「取平均数」是错的。
第三套题目：邮递员从邮局出发先走 $24$ 千米上坡路，再走 $12$ 千米下坡路到村里，上坡速度 $3$ 千米/时，下坡速度 $6$ 千米/时。他希望这趟往返的平均速度恰好达到 $4$ 千米/时，那么返回要用多少小时？返回时的平均速度是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（去时用时）：$24\div 3+12\div 6=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（往返总路程）：$(24+12)\times 2=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 3 步（由平均速度反推总时间）：往返平均速度是 $4$，所以往返总时间 $=72\div 4=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步（减去去时用的时间）：返回可用 $18-10=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 5 步（返程平均速度）：返程路程 $36$ 千米，平均速度 $=36\div 8=\underline{\quad}$（千米/时）。
24. 【原题 ch20-xingqu-02】王老师开车去学校，前一半时间车速为每小时 $40$ 千米，后一半时间车速变为每小时 $60$ 千米，那么他的平均速度是每小时多少千米？
详细思路是哪类问题：这是「时间被等分的变速行程」问题：前一半时间与后一半时间速度不同，求平均速度。
关键切入点：关键在于分清「时间等分」和「路程等分」。这里是时间等分，两个速度作用的时间一样长，所以两者的权重相等，平均速度恰好就是两速度的算术平均数。为了不靠记忆、能算得踏实，把一半时间设为 $1$ 份，用总路程÷总时间做一遍即可。
方法概述：设一半时间为 $1$ 份，分别算出两段路程，再用总路程÷总时间。
规范步骤：- 设一半时间为 $1$ 小时，前段路程：$40\times 1=40$（千米）（路程=速度×时间）
- 后段路程：$60\times 1=60$（千米）（路程=速度×时间）
- 总路程与总时间：$40+60=100$（千米），$1+1=2$（小时）（合并）
- 平均速度：$100\div 2=50$（千米/时）（总路程÷总时间）
第一套题目：王老师开车去学校，前一半时间车速为每小时 $60$ 千米，后一半时间车速变为每小时 $90$ 千米，那么他的平均速度是每小时多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（把一半时间设成 $1$ 份）：设前、后各行 $1$ 小时，前段走了 $60\times 1=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步：后段走了 $90\times 1=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 3 步（合并）：总路程 $=60+90=\underline{\quad}$（千米），总时间 $=1+1=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步（用定义）：平均速度 $=150\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
第二套题目：一艘游轮航行，前一半时间的航速是每小时 $60$ 千米，后一半时间航速变为每小时 $90$ 千米。那么这段航程的平均速度是每小时多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（设一半时间为 $1$ 份）：前一半时间航行 $60\times 1=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步：后一半时间航行 $90\times 1=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 3 步：总航程 $=\underline{\quad}$（千米），总时间 $=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步：平均速度 $=150\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套题目：一辆汽车行驶全程，把总时间平均分成三段：第一段车速每小时 $40$ 千米，第二段每小时 $60$ 千米，第三段每小时 $80$ 千米。求全程的平均速度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（把每一段时间设成 $1$ 份）：三段各行 $1$ 小时，路程分别是 $40\times 1=\underline{\quad}$、$60\times 1=\underline{\quad}$、$80\times 1=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 2 步（合并）：总路程 $=40+60+80=\underline{\quad}$（千米），总时间 $=1+1+1=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步：平均速度 $=180\div 3=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套题目：甲车前一半**时间**每小时行 $40$ 千米、后一半时间每小时行 $60$ 千米；乙车前一半**路程**每小时行 $40$ 千米、后一半路程每小时行 $60$ 千米。请问：甲车的平均速度比乙车快多少千米/时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（甲车：时间等分）：设一半时间为 $1$ 小时，总路程 $=40+60=\underline{\quad}$（千米），总时间 $=\underline{\quad}$（小时），平均速度 $=100\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 2 步（乙车：路程等分，权重变了）：设一半路程为 $120$ 千米，前段用 $120\div 40=\underline{\quad}$（小时），后段用 $120\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步：乙车总路程 $120\times 2=\underline{\quad}$（千米），总时间 $3+2=\underline{\quad}$（小时），平均速度 $=240\div 5=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 4 步（比较）：甲比乙快 $50-48=\underline{\quad}$（千米/时）——路程等分时，慢速段占的时间更长，所以平均速度更小。
25. 【原题 ch20-xingqu-03】王老师开车回家，原计划按照 $40$ 千米/时的速度行驶，行驶到路程的一半发现之前的速度只有 $30$ 千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少才能准时到家？
详细思路是哪类问题：这是「变速行程中的路程时间逆推」问题：前一半路程慢了，问后一半路程要多快才能准时。
关键切入点：题目没给具体路程，说明答案与路程无关，可以把总路程设成方便的份数。关键是抓住「准时」二字：总时间是由原计划锁死的。先用原计划速度算出总时间，再减去前一半实际已经花掉的时间，剩下的就是后一半路程可用的时间，最后用「路程÷时间」求速度。
方法概述：设总路程为 $2$ 份：总时间由原计划确定，减去已用时间得剩余时间，再求速度。
规范步骤：- 设总路程为 $2$ 份，按原计划的总时间：$2\div 40=\dfrac{1}{20}$（时间=路程÷速度）
- 前一半路程实际用时：$1\div 30=\dfrac{1}{30}$（实际速度只有 $30$）
- 后一半路程只剩的时间：$\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{60}$（总时间锁死，作差）
- 后一半路程需要的速度：$1\div\dfrac{1}{60}=60$（千米/时）（速度=路程÷时间）
第一套题目：王老师开车回家，原计划按照 $60$ 千米/时的速度行驶，行驶到路程的一半时发现之前的速度只有 $40$ 千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少才能准时到家？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（设总路程为 $2$ 份）：按原计划走完全程的总时间是 $2\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（算已经花掉的时间）：前一半路程（$1$ 份）实际用了 $1\div 40=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（准时意味着总时间不变，作差得剩余时间）：后一半路程只剩 $2/60-1/40=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步（速度＝路程÷时间）：后一半路程 $1$ 份，需要的速度是 $1\div(2/60-1/40)=\underline{\quad}$（千米/时）。
第二套题目：一艘快艇按原计划以 $60$ 千米/时的航速驶向码头，开到全程一半时发现前半段的实际航速只有 $40$ 千米/时。那么后半段航速要达到多少，才能按原定时间靠岸？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（设全程为 $2$ 份）：按原计划的总时间是 $2\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步：前半段实际用时 $1\div 40=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（总时间锁死，作差）：后半段只剩 $2/60-1/40=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步：后半段需要的航速是 $1\div(2/60-1/40)=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套题目：全程 $120$ 千米，司机原计划以 $60$ 千米/时行驶。他走完前 $60$ 千米时发现实际速度只有 $40$ 千米/时。要准时到达，后 $60$ 千米的速度必须达到多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（原计划总时间）：$120\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（前段实际用时）：$60\div 40=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（剩余时间）：$2-1.5=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步（后段速度）：$60\div 0.5=\underline{\quad}$（千米/时）。
第三套题目：全程 $120$ 千米，司机原计划以 $60$ 千米/时行驶。他走完前 $60$ 千米时发现实际速度只有 $40$ 千米/时，而且还在路边停车加油花了 $6$ 分钟。要准时到达，后 $60$ 千米的速度必须达到多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（原计划总时间）：$120\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（前段实际用时）：$60\div 40=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（停留时间换成小时）：$6$ 分钟 $=6\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步（把停留也从总时间里扣掉）：后段可用时间 $=2-1.5-0.1=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 5 步（后段速度）：$60\div 0.4=\underline{\quad}$（千米/时）。
26. 【原题 ch20-xingqu-04】一辆汽车原计划 $6$ 小时从 $A$ 城到 $B$ 城，汽车行驶了一半路程，因故在途中停留了 $30$ 分钟，如果按照原定的时间到达 $B$ 城，汽车在后一半路程的速度就应该提高 $12$ 千米/时。那么 $A$、$B$ 两城相距多少千米？
详细思路是哪类问题：这是「途中停留、后段提速仍准时」的变速行程问题，本质是列方程求原速度。
关键切入点：抓住两个不变量：一是后一半路程的长度不变，二是全程总时间不变（要准时）。设原速度为 $v$，前一半路程用去 $6\div 2=3$ 小时，走了 $3v$ 千米；后一半路程原本也有 $3$ 小时，被停留吃掉 $30$ 分钟后只剩 $2.5$ 小时，而路程还是 $3v$，于是得到方程 $(v+12)\times 2.5=3v$。
方法概述：用「后一半路程」这一不变量列方程：提速后的速度×实际时间 = 原速度×原时间。
规范步骤：- 前、后各一半路程原计划的时间：$6\div 2=3$（小时）（路程对半，时间也对半）
- 设原速度为 $v$，后一半路程长：$3v$（千米）（路程=速度×时间）
- 停留 $30$ 分钟后，后段实际可用时间：$3-0.5=2.5$（小时）（总时间不变，扣掉停留）
- 列方程：$(v+12)\times 2.5=3v$（后段路程不变）
- 解方程：$2.5v+30=3v\Rightarrow 0.5v=30\Rightarrow v=60$（移项）
- 求两城距离：$60\times 6=360$（千米）（距离=原速度×原计划总时间）
第一套题目：一辆汽车原计划 $8$ 小时从 $A$ 城到 $B$ 城，汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了 $45$ 分钟。如果仍要按原定时间到达 $B$ 城，汽车在后一半路程的速度就应该提高 $15$ 千米/时。那么 $A$、$B$ 两城相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（一半路程原计划的时间）：$8\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（停留时间换成小时）：$45$ 分钟 $=45\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（后段实际可用时间）：$4-0.75=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步（抓住「后段路程不变」列方程）：设原速度为 $v$，则 $(v+15)\times 3.25=4v$。去括号后左边的常数项是 $15\times 3.25=\underline{\quad}$。
- 第 5 步（解出原速度）：移项得 $4v-3.25v=48.75$，即 $0.75v=48.75$，$v=48.75\div 0.75=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 6 步（求距离）：$65\times 8=\underline{\quad}$（千米）。
第二套题目：一列货运列车原计划 $8$ 小时从甲站开到乙站。列车行完一半路程后，因让车在中途站停了 $45$ 分钟。要想仍按原定时刻到站，后一半路程的车速必须提高 $15$ 千米/时。那么甲、乙两站相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步：一半路程原计划用 $8\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步：停车 $45$ 分钟 $=45\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步：后一半路程实际只剩 $4-0.75=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步（后段路程不变）：设原车速为 $v$，$(v+15)\times 3.25=4v$，其中 $15\times 3.25=\underline{\quad}$。
- 第 5 步：$4v-3.25v=0.75v$，所以 $v=48.75\div 0.75=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 6 步：两站距离 $=65\times 8=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：一辆汽车原计划 $10$ 小时从 $A$ 城到 $B$ 城，行驶了一半路程后在途中停留了 $1$ 小时。若仍按原定时间到达，后一半路程的速度需提高 $10$ 千米/时。那么 $A$、$B$ 两城相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步：一半路程原计划用 $10\div 2=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步：停留 $1$ 小时后，后段只剩 $5-1=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（后段路程不变列方程）：设原速度为 $v$，$(v+10)\times 4=5v$，去括号后左边的常数项是 $10\times 4=\underline{\quad}$。
- 第 4 步（解方程）：$5v-4v=v=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 5 步：两城距离 $=40\times 10=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：一辆汽车原计划 $6$ 小时从 $A$ 城到 $B$ 城。汽车行驶了全程的 $\dfrac{1}{3}$ 后，因故在途中停留了 $30$ 分钟。如果仍按原定时间到达，那么剩下 $\dfrac{2}{3}$ 路程的速度就应该提高 $12$ 千米/时。求 $A$、$B$ 两城相距多少千米，以及提速后的速度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（按比例分配原计划时间）：前 $\dfrac{1}{3}$ 路程原计划用 $6\div 3=\underline{\quad}$（小时），后 $\dfrac{2}{3}$ 路程原计划用 $6-2=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 2 步（扣掉停留）：$30$ 分钟 $=30\div 60=\underline{\quad}$（小时），后段实际只剩 $4-0.5=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（后段路程不变列方程）：设原速度 $v$，$(v+12)\times 3.5=4v$，常数项 $12\times 3.5=\underline{\quad}$。
- 第 4 步（解方程）：$4v-3.5v=0.5v=42$，所以 $v=42\div 0.5=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 5 步（两城距离）：$84\times 6=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 6 步（提速后的速度）：$84+12=\underline{\quad}$（千米/时）。
27. 【原题 ch20-xingqu-05】甲、乙两人在 $400$ 米圆形跑道上进行 $10000$ 米比赛。两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为 $8$ 米/秒，乙的速度为 $6$ 米/秒。当甲每次从后面追上乙后即减速 $1$ 米/秒，而乙的速度增加 $0.5$ 米/秒，直到乙比甲快。请问：领先者到达终点时，另一人距终点多少米？
详细思路是哪类问题：这是「环形跑道多次追及＋每次追上后双方变速」的复合行程问题。
关键切入点：环形追及的核心是：甲每追上乙一次，甲就比乙恰好多跑一圈。而在速度不变的一段里，相同时间内路程比 = 速度比，于是「甲多跑一圈」可以直接由速度比读出两人各跑了几圈。$8:6=4:3$，相差 $1$ 份对应 $1$ 圈，故甲跑 $4$ 圈、乙跑 $3$ 圈；变速后 $7:6.5=14:13$，相差 $1$ 份仍对应 $1$ 圈，故甲再跑 $14$ 圈、乙再跑 $13$ 圈。此后乙比甲快，不再有追及，只需比较各自跑完剩余圈数的时间。
方法概述：用速度比读圈数，逐段推进，直到乙比甲快，再比较剩余路程的用时。
规范步骤：- 全程圈数：$10000\div 400=25$（圈）（总路程÷跑道长）
- 第一段速度比 $8:6=4:3$，差 $1$ 份为 $1$ 圈：甲跑 $4$ 圈，乙跑 $3$ 圈（追上即多跑一圈）
- 变速后 $7:6.5=14:13$，差 $1$ 份为 $1$ 圈：甲再跑 $14$ 圈，乙再跑 $13$ 圈（第二次追上）
- 再变速后甲 $6$、乙 $7$，乙更快，不再追及；各自剩余圈数：甲剩 $25-4-14=7$ 圈，乙剩 $25-3-13=9$ 圈（总圈数减已跑）
- 比较剩余时间（以圈为单位）：$\dfrac{7\times 400}{6}<\dfrac{9\times 400}{7}$，甲先到（时间=路程÷速度）
- 甲到终点用时：$7\times 400\div 6=\dfrac{1400}{3}$（秒）（甲剩 $7$ 圈）
- 此时乙已跑的圈数：$7\times\dfrac{7}{6}=\dfrac{49}{6}$（圈）（乙速 $7$ 米/秒）
- 乙还剩的圈数与米数：$9-\dfrac{49}{6}=\dfrac{5}{6}$（圈），$400\times\dfrac{5}{6}=333\dfrac{1}{3}$（米）（化成米）
28. 【原题 ch20-xingqu-06】一个圆的周长为 $1.26$ 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒钟分别爬行 $5.5$ 厘米和 $3.5$ 厘米，在运动过程中它们不断地调头。如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔依次是 $1$ 秒、$3$ 秒、$5$ 秒、$\cdots$，即一个由连续奇数组成的数列。问：两只蚂蚁爬行了多长时间才能第一次相遇？
详细思路是哪类问题：这是「相向爬行＋不断调头」的行程问题，关键是把反复折返化归为「等价的净位移时间」。
关键切入点：直接跟踪每次调头太繁。注意到调头间隔依次是 $1,3,5,7,\cdots$ 秒且方向交替，可以累计「净的爬行时间」：第 $1$ 次调头后净爬 $1$ 秒；第 $2$ 次后净爬 $3-1=2$ 秒（反向）；第 $3$ 次后净爬 $5-2=3$ 秒；……于是第 $n$ 次调头时，恰好相当于朝某个方向净爬了 $n$ 秒。两蚂蚁初始相距半个圆周，只要净爬时间达到「相遇所需时间」即可。相遇所需时间 $=$ 半周长 $\div$ 速度和 $=63\div 9=7$ 秒，故在第 $7$ 次调头时相遇，总时间是前 $7$ 个奇数之和。
方法概述：把交替折返化归为「第 $n$ 次调头 = 净爬 $n$ 秒」，求出所需净秒数 $n$，再求前 $n$ 个奇数之和。
规范步骤：- 周长化成厘米：$1.26$ 米 $=126$ 厘米（统一单位）
- 两蚂蚁初始相距半个圆周：$126\div 2=63$（厘米）（位于同一直径两端）
- 净爬多少秒才相遇（速度和）：$63\div(5.5+3.5)=63\div 9=7$（秒）（相遇时间=路程÷速度和）
- 折返化归：第 $n$ 次调头相当于净爬 $n$ 秒：$n=7$，即第 $7$ 次调头时相遇（奇数列作差抵消）
- 总时间是前 $7$ 个奇数之和：$1+3+5+7+9+11+13=49$（秒）（$7^2=49$）
第一套题目：一个圆的周长为 $2.42$ 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，速度分别是每秒 $6.5$ 厘米和 $4.5$ 厘米。运动中它们不断调头，把出发算作第零次调头，相邻两次调头的时间间隔依次是 $1$ 秒、$3$ 秒、$5$ 秒、$\cdots$。问：两只蚂蚁爬行多长时间才第一次相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（统一单位）：周长 $2.42$ 米 $=2.42\times 100=\underline{\quad}$（厘米）。
- 第 2 步（初始距离是半个圆周）：两蚂蚁在直径两端，相距 $242\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
- 第 3 步（折返化归）：调头间隔 $1,3,5,\cdots$ 方向交替，第 $1$ 次调头净爬 $1$ 秒，第 $2$ 次净爬 $3-1=\underline{\quad}$ 秒，第 $3$ 次净爬 $5-2=\underline{\quad}$ 秒，可见第 $n$ 次调头相当于净爬 $n$ 秒。
- 第 4 步（求所需的净爬秒数）：相遇需要净爬 $121\div(6.5+4.5)=\underline{\quad}$（秒），即在第 $11$ 次调头时相遇。
- 第 5 步（总时间＝前 $11$ 个奇数之和）：$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=\underline{\quad}$（秒）。
第二套题目：一条环形跑道全长 $2.42$ 米（模型跑道），两只遥控小车从一条直径的两端同时出发相向行驶，速度分别是每秒 $6.5$ 厘米和 $4.5$ 厘米。行驶中它们不断掉头，把出发算作第零次掉头，相邻两次掉头的时间间隔依次是 $1$ 秒、$3$ 秒、$5$ 秒、$\cdots$。问：两车行驶多长时间才第一次相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（统一单位）：$2.42$ 米 $=\underline{\quad}$ 厘米。
- 第 2 步（初始相距半圈）：$242\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
- 第 3 步（掉头化归）：第 $2$ 次掉头相当于净行 $3-1=\underline{\quad}$ 秒，第 $3$ 次相当于净行 $5-2=\underline{\quad}$ 秒，故第 $n$ 次掉头相当于净行 $n$ 秒。
- 第 4 步（求 $n$）：$121\div(6.5+4.5)=\underline{\quad}$（秒）。
- 第 5 步（求总时间）：前 $11$ 个奇数之和 $=\underline{\quad}$（秒）。
第三套题目：一个圆的周长为 $3.6$ 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，速度分别是每秒 $7$ 厘米和 $5$ 厘米。运动中不断调头，把出发算作第零次调头，相邻两次调头的间隔依次是 $1$ 秒、$3$ 秒、$5$ 秒、$\cdots$。问：爬行多久才第一次相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（统一单位）：$3.6$ 米 $=\underline{\quad}$ 厘米。
- 第 2 步（半个圆周）：$360\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
- 第 3 步（净爬秒数）：$180\div(7+5)=\underline{\quad}$（秒），即第 $15$ 次调头时相遇。
- 第 4 步（前 $15$ 个奇数之和）：利用「前 $n$ 个奇数之和 $=n\times n$」，总时间 $=15\times 15=\underline{\quad}$（秒）。
第三套题目：一个圆的周长为 $2.42$ 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，速度分别是每秒 $6.5$ 厘米和 $4.5$ 厘米。运动中不断调头，出发算作第零次调头，相邻两次调头的间隔依次是 $1$ 秒、$3$ 秒、$5$ 秒、$\cdots$。问：（1）两只蚂蚁多久第一次相遇？（2）到相遇时，快的那只蚂蚁一共实际爬行了多少厘米？它相当于绕了几圈？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（统一单位与初始距离）：$2.42$ 米 $=\underline{\quad}$ 厘米，半个圆周为 $\underline{\quad}$ 厘米。
- 第 2 步（净爬秒数）：$121\div(6.5+4.5)=\underline{\quad}$（秒），即第 $11$ 次调头时相遇。
- 第 3 步（总时间）：前 $11$ 个奇数之和 $=11\times 11=\underline{\quad}$（秒）。
- 第 4 步（实际爬行路程：不管调头，路程按总时间算）：快蚂蚁爬了 $6.5\times 121=\underline{\quad}$（厘米）。
- 第 5 步（换算成圈数）：$786.5\div 242=\underline{\quad}$（圈）。
29. 【原题 ch20-xingqu-07】如图 $20\text{-}1$ 所示，甲、乙两人绕着一个正方形的房子玩捉迷藏。正方形 $ABCD$ 的边长为 $24$ 米，甲、乙两人都从 $A$ 点出发逆时针行进。甲出发时，乙要靠在 $A$ 点的墙壁上，$10$ 秒后再出发。已知甲每秒跑 $4$ 米，乙每秒跑 $6$ 米，且两人每到达一个顶点都需要休息 $3$ 秒钟。请问：乙出发几秒后第一次看到甲？
详细思路是哪类问题：这是「正方形路径上的追及＋视线遮挡判断」问题，属几何位置判断类。
关键切入点：房子挡住视线，所以两人不是「距离近就看得见」，而是要求两人之间沿路径的距离不超过一条边长（此时两人至多隔一个拐角，能看见）。因此把「第一次看到」翻译成「两人路径距离第一次缩短到等于边长 $24$ 米」。乙出发时落后甲 $4\times 10=40$ 米，之后乙每秒追近 $6-4=2$ 米，追到只差 $24$ 米需要 $(40-24)\div 2=8$ 秒。还要验证这一时刻两人恰在顶点附近、视线不被别的墙面挡住：此时乙走了 $48$ 米恰到 $C$，甲在 $B$，正好互相看见。
方法概述：把「看到」翻译成「路径距离 ≤ 边长」，用追及公式求时间，再验证位置。
规范步骤：- 乙出发时甲已领先：$4\times 10=40$（米）（路程=速度×时间）
- 看得见的条件：两人路径距离不超过一条边：距离 $\le 24$ 米（房子遮挡视线）
- 乙每秒追近的距离：$6-4=2$（米/秒）（追及速度差）
- 距离由 $40$ 米缩到 $24$ 米所需时间：$(40-24)\div 2=8$（秒）（追及时间=路程差÷速度差）
- 验证位置：此时乙走过：$6\times 8=48=24\times 2$（米），乙恰在 $C$ 点（两条边）
- 同时甲走过：$40+4\times 8=72=24\times 3$（米），甲恰在 $B$ 点（从 $A$ 起第三个顶点）（位置吻合，恰好看见）
30. 【原题 ch20-xingqu-08】刘老师从家到单位时，前 $\dfrac{1}{3}$ 的路程骑车，后面的路程乘车；从单位回家时，前 $\dfrac{5}{8}$ 的路程乘车，后面的路程骑车。结果去单位的时间比回家的时间少 $2$ 分钟。已知刘老师骑车每小时行 $8$ 千米，乘车每小时行 $16$ 千米。请问：刘老师家到单位的距离是多少千米？
详细思路是哪类问题：这是「同一段路两次用不同比例分段、不同工具」的行程问题，用未知数表示距离后列时间差方程。
关键切入点：两趟走的是同一段路，唯一的差别是骑车段与乘车段的比例不同。设距离为 $x$ 千米，把去、回的时间都写成 $x$ 的式子，再让它们的差等于 $2$ 分钟。注意单位：速度用千米/时，$2$ 分钟要化成 $\dfrac{1}{30}$ 小时。
方法概述：设距离为 $x$，分别写出两趟的总时间，令时间差等于 $2$ 分钟解方程。
规范步骤：- 去时的时间（前 $\frac13$ 骑车、后 $\frac23$ 乘车）：$\dfrac{x/3}{8}+\dfrac{2x/3}{16}=\dfrac{x}{24}+\dfrac{x}{24}=\dfrac{x}{12}$（时间=路程÷速度）
- 回时的时间（前 $\frac58$ 乘车、后 $\frac38$ 骑车）：$\dfrac{5x/8}{16}+\dfrac{3x/8}{8}=\dfrac{x}{25.6}+\dfrac{3x}{64}=\dfrac{11x}{128}$（时间=路程÷速度）
- 回比去多用的时间：$\dfrac{11x}{128}-\dfrac{x}{12}=\dfrac{33x-32x}{384}=\dfrac{x}{384}$（通分作差）
- $2$ 分钟化成小时：$2\div 60=\dfrac{1}{30}$（小时）（统一单位）
- 列方程并求解：$\dfrac{x}{384}=\dfrac{1}{30}\Rightarrow x=\dfrac{384}{30}=12.8$（解方程）
第一套题目：刘老师从家到单位时，前 $\dfrac{1}{4}$ 的路程骑车，后面的路程乘车；从单位回家时，前 $\dfrac{5}{8}$ 的路程乘车，后面的路程骑车。结果去单位的时间比回家的时间少 $6$ 分钟。已知骑车每小时行 $10$ 千米，乘车每小时行 $20$ 千米。请问：刘老师家到单位的距离是多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（设距离为 $x$，写去时的时间）：骑车段占 $\dfrac14$、乘车段占 $\dfrac34$，去时用时占 $x$ 的 $(1/4)/10+(3/4)/20=\underline{\quad}$（倍）。
- 第 2 步（写回时的时间）：乘车段占 $\dfrac58$、骑车段占 $\dfrac38$，回时用时占 $x$ 的 $(5/8)/20+(3/8)/10=\underline{\quad}$（倍）。
- 第 3 步（作差得时间差的系数）：$0.06875-0.0625=\underline{\quad}$。
- 第 4 步（统一单位）：$6$ 分钟 $=6\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 5 步（列方程求 $x$）：$x\times 0.00625=0.1$，所以 $x=0.1\div 0.00625=\underline{\quad}$（千米）。
第二套题目：小丽从家去图书馆，前 $\dfrac{1}{4}$ 的路程步行，后面的路程坐公交；从图书馆回家时，前 $\dfrac{5}{8}$ 的路程坐公交，后面的路程步行。结果去图书馆的时间比回家的时间少 $6$ 分钟。已知步行每小时行 $10$ 千米，公交每小时行 $20$ 千米。请问：小丽家到图书馆多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（设距离为 $x$）：去时用时是 $x$ 的 $(1/4)/10+(3/4)/20=\underline{\quad}$ 倍。
- 第 2 步：回时用时是 $x$ 的 $(5/8)/20+(3/8)/10=\underline{\quad}$ 倍。
- 第 3 步（作差）：$0.06875-0.0625=\underline{\quad}$。
- 第 4 步（统一单位）：$6$ 分钟 $=\underline{\quad}$ 小时。
- 第 5 步（解方程）：$x=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：从家到单位，前 $\dfrac12$ 的路程骑车、后 $\dfrac12$ 的路程乘车；从单位回家，前 $\dfrac14$ 的路程骑车、后 $\dfrac34$ 的路程乘车。结果去的时间比回来的时间多 $15$ 分钟。已知骑车每小时行 $9$ 千米，乘车每小时行 $18$ 千米。求家到单位的距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（设距离为 $x$）：去时用时是 $x$ 的 $(1/2)/9+(1/2)/18=\underline{\quad}$ 倍。
- 第 2 步：回时用时是 $x$ 的 $(1/4)/9+(3/4)/18=\underline{\quad}$ 倍。
- 第 3 步（去比回多，所以用去减回）：$(1/2)/9+(1/2)/18-((1/4)/9+(3/4)/18)=\underline{\quad}$。
- 第 4 步（统一单位）：$15$ 分钟 $=15\div 60=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 5 步（解方程）：$x=0.25\div\dfrac{1}{72}=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：刘老师从家到单位，前 $\dfrac{1}{4}$ 的路程骑车、后面乘车；从单位回家，前 $\dfrac{5}{8}$ 的路程乘车、后面骑车。去的时间比回来少 $6$ 分钟。骑车每小时行 $10$ 千米，乘车每小时行 $20$ 千米。请问：（1）家到单位多少千米？（2）往返一共用了多少分钟？（3）往返的平均速度是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（设距离 $x$，两趟用时系数）：去 $(1/4)/10+(3/4)/20=\underline{\quad}$，回 $(5/8)/20+(3/8)/10=\underline{\quad}$。
- 第 2 步（作差并统一单位）：系数差 $=\underline{\quad}$，$6$ 分钟 $=\underline{\quad}$ 小时，故 $x=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 3 步（求两趟时间）：去时 $16\times 0.0625=\underline{\quad}$（小时），回时 $16\times 0.06875=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 4 步（往返总时间，化成分钟）：$(1+1.1)\times 60=\underline{\quad}$（分钟）。
- 第 5 步（往返平均速度＝总路程÷总时间）：总路程 $16\times 2=\underline{\quad}$（千米），平均速度 $=32\div 2.1=\underline{\quad}$（千米/时）。
31. 【原题 ch20-xingqu-09】甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两地同时出发，$6$ 小时后在中点相遇；若甲每小时多走 $4$ 千米，乙提前 $1$ 小时出发，则仍在中点相遇。那么两地相距多少千米？
详细思路是哪类问题：这是「相遇问题＋提速与提前出发的时间分析」：两次都在中点相遇，说明每人走的都是半程。
关键切入点：同时出发且在中点相遇，说明两人走半程用的时间相同，即两人速度相等。第二次仍在中点相遇，甲走的仍是半程；因为乙提前 $1$ 小时出发，乙走半程要 $6$ 小时不变，所以两人相遇的时刻比甲出发晚 $6-1=5$ 小时，即甲提速后只用 $5$ 小时走完半程。半程长度不变，于是 $6v=5(v+4)$，解得 $v=20$。
方法概述：用「半程长度不变」列方程：原速×原时间 = 提速后速度×缩短后的时间。
规范步骤：- 同时出发在中点相遇 ⇒ 两人速度相同：$v_甲=v_乙=v$（半程用时相同）
- 乙提前 $1$ 小时出发，乙走半程仍需 $6$ 小时，故甲只有：$6-1=5$（小时）（相遇时刻由乙决定）
- 半程长度不变，列方程：$6v=5(v+4)$（路程不变）
- 解方程：$6v=5v+20\Rightarrow v=20$（千米/时）（移项）
- 求两地距离：$20\times 6\times 2=240$（千米）（半程×2）
第一套题目：甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两地同时出发，$8$ 小时后在中点相遇；若甲每小时多走 $6$ 千米，乙提前 $2$ 小时出发，则仍在中点相遇。那么两地相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（同时出发在中点相遇说明什么）：两人走半程都用 $8$ 小时，所以两人速度相同，设为 $v$。
- 第 2 步（第二次相遇甲能用多久）：乙走半程仍要 $8$ 小时，但乙提前 $2$ 小时出发，所以甲只用了 $8-2=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（半程长度不变，列方程）：$8v=6(v+6)$，去括号得右边常数 $6\times 6=\underline{\quad}$。
- 第 4 步（解方程）：$8v-6v=2v=36$，所以 $v=36\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 5 步（求全程）：半程 $=18\times 8=\underline{\quad}$（千米），两地相距 $144\times 2=\underline{\quad}$（千米）。
第二套题目：两艘货船分别从上游港 $A$ 和下游港 $B$ 同时开出，$8$ 小时后在航道中点相遇；若 $A$ 船每小时多行 $6$ 千米，而 $B$ 船提前 $2$ 小时开出，则两船仍在中点相遇。那么两港相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步：同时出发在中点相遇，说明两船速度相同，设为 $v$。
- 第 2 步：$B$ 船走半程仍要 $8$ 小时，它提前 $2$ 小时开出，所以 $A$ 船只用了 $8-2=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（半程不变列方程）：$8v=6(v+6)$，其中 $6\times 6=\underline{\quad}$。
- 第 4 步：$2v=36$，$v=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 5 步：半程 $=\underline{\quad}$（千米），两港相距 $=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两地同时出发，$10$ 小时后在中点相遇；若甲每小时多走 $3$ 千米，乙提前 $1$ 小时出发，则仍在中点相遇。那么两地相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步：同时出发中点相遇 ⇒ 两人速度相同，设为 $v$，走半程都要 $10$ 小时。
- 第 2 步：乙提前 $1$ 小时出发，甲走半程只用 $10-1=\underline{\quad}$（小时）。
- 第 3 步（半程不变）：$10v=9(v+3)$，右边常数 $9\times 3=\underline{\quad}$。
- 第 4 步：$10v-9v=v=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 5 步：两地相距 $27\times 10\times 2=\underline{\quad}$（千米）。
第三套题目：甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两地同时出发相向而行，$6$ 小时后相遇（不一定在中点）；若甲每小时多走 $4$ 千米，则两人 $5$ 小时就能相遇。又已知甲的速度是乙的 $1.5$ 倍。请问：（1）两地相距多少千米？（2）甲、乙原来的速度各是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（相遇问题的核心是速度和）：设原速度和为 $s$，则全程 $=6s$；提速后速度和是 $s+4$，全程 $=5(s+4)$。
- 第 2 步（全程不变列方程）：$6s=5(s+4)$，右边常数 $5\times 4=\underline{\quad}$，所以 $6s-5s=s=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 3 步（求全程）：$20\times 6=\underline{\quad}$（千米）。
- 第 4 步（按速度比分配速度和）：甲∶乙 $=1.5:1=3:2$，共 $3+2=\underline{\quad}$（份），每份 $20\div 5=\underline{\quad}$（千米/时）。
- 第 5 步：甲速 $=4\times 3=\underline{\quad}$（千米/时），乙速 $=4\times 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
32. 【原题 ch20-xingqu-10】如图 $20\text{-}2$ 所示，$A$ 与 $B$、$B$ 与 $C$ 之间的公路长度都相等，且每段公路上都有限速标志（单位：千米/时）。甲货车从 $A$ 出发，乙货车从 $C$ 出发，并且两车在 $A$、$C$ 之间往返行驶。结果当甲车到达 $C$ 后再返回到 $B$ 时，乙车刚好第一次到达 $B$。已知甲、乙两车在各段公路上均以所能达到的最快速度行驶（不会超过车子本身的最高时速，也不能超过公路上的最高限速），且甲车的最高时速是乙车的 $4$ 倍，那么甲车的最高时速是多少？
详细思路是哪类问题：这是「限速分段行驶＋往返」的分类讨论题：每辆车在每段路上的实际速度是「车本身最高时速」与「该段限速」中的较小者。
关键切入点：难点在于「实际速度取两者较小值」会随着未知的车速大小而切换，所以必须按乙车最高时速 $a$ 的取值区间分类讨论。把 $AB=BC$ 设为单位 $1$，甲车走 $A\to C\to B$ 共 $3$ 段单位路程、乙车走 $C\to B$ 共 $1$ 段单位路程，两者用时相等即可列方程；每种分类解出后必须回代检验是否落在该区间内，不落在区间内的解要舍去。
方法概述：设乙车最高时速为 $a$、甲车为 $4a$，按 $a$ 的区间分类，用「甲走 3 段 = 乙走 1 段所用时间相等」列方程并检验。
规范步骤：- 设乙车最高时速 $a$，甲车 $4a$，以 $AB=BC$ 为单位 $1$：甲走 $3$ 个单位，乙走 $1$ 个单位，用时相等（题设条件）
- 情形一：$a\le 10$（甲车 $4a\le 40$，两段都不受限）：$\dfrac{1}{4a}+\dfrac{2}{4a}=\dfrac{1}{a}$，即 $\dfrac{3}{4a}=\dfrac{1}{a}$，不可能（方程无解，舍去）
- 情形二：$10<a\le\dfrac{35}{2}$（甲车在限速 $40$ 的路段受限）：$\dfrac{1}{4a}+\dfrac{2}{40}=\dfrac{1}{a}\Rightarrow \dfrac{3}{4a}=\dfrac{1}{20}\Rightarrow a=15$（落在区间内，成立）
- 情形三：$\dfrac{35}{2}<a\le 40$：$\dfrac{1}{70}+\dfrac{2}{40}=\dfrac{1}{a}\Rightarrow a=\dfrac{140}{3}$，超出区间（矛盾，舍去）
- 情形四：$a>40$：$\dfrac{1}{70}+\dfrac{2}{40}=\dfrac{1}{40}$ 不成立（舍去）
- 综上得乙车最高时速与甲车最高时速：$a=15$，甲车 $=4\times 15=60$（千米/时）（唯一解）