竞赛数学 · 五年级 第21讲《数字问题》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch21-chaoyue-01】用 $3$ 个不同的数字可以组成 $6$ 个三位数，已知其中的 $5$ 个的和是 $3194$，求剩下的那个数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·全排列求和 + 枚举验证」类问题：$6$ 个三位数的总和一定是 $222\times(a+b+c)$，缺了一个数就用「总和减去缺的数」建立关系。
关键切入点：设数字和为 $S$，则缺的那个数 $=222S-3194$。它必须是三位数，于是 $222S$ 落在 $3194+100$ 到 $3194+999$ 之间，把 $S$ 压缩到很小的范围；再逐个试 $S$，用「算出的三位数其数字和确实等于 $S$」做自检，唯一符合的就是答案。
方法概述：用全排列求和公式建立 $222S-3194$，靠三位数范围压缩 $S$，再逐个试算并自检数字和。
规范步骤：
  1. 写出全排列求和公式：$6$ 个三位数之和 $=222\times(a+b+c)$（位值原理）
  2. 表示出剩下的那个数：$\overline{abc}=222S-3194$（整数方程）
  3. 压缩 $S$ 的范围：$3294\le 222S\le 4193$，故 $S=15\sim 18$（范围估计）
  4. 逐个试算并自检：$S=16$：$3552-3194=358$，$3+5+8=16$ 符合；$S=17$、$18$ 均不符（枚举验证）
  5. 写出答案：剩下的数是 $358$
第一套
题目：用 $3$ 个不同的数字可以组成 $6$ 个三位数，已知其中的 $5$ 个的和是 $4408$，求剩下的那个数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写出全排列求和公式）：每个数字在百位、十位、个位上各出现 $2$ 次，$6$ 个三位数之和 $=(a+b+c)\times 2\times(100+10+1)=(a+b+c)\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（表示剩下的数）：设数字和为 $S$，剩下的那个数 $=222S-4408$。
  3. 第 3 步（压缩 $S$ 的范围）：剩下的是三位数，所以 $222S$ 至少是 $4408+100=\underline{\quad}$，至多是 $4408+999=\underline{\quad}$，于是 $S$ 只能取 $21$、$22$、$23$、$24$。
  4. 第 4 步（逐个试算并自检）：$S=21$ 时 $222\times 21-4408=\underline{\quad}$，数字和 $2+5+4=11\ne 21$，舍去；$S=22$ 时 $222\times 22-4408=\underline{\quad}$，数字和 $17\ne 22$，舍去。
  5. 第 5 步（继续试算）：$S=23$ 时 $222\times 23-4408=\underline{\quad}$，数字和 $6+9+8=\underline{\quad}$，恰好等于 $23$，符合；$S=24$ 时 $222\times 24-4408=\underline{\quad}$，数字和 $11\ne 24$，舍去。
第二套
题目：三张卡片上各写一个不同的数字，排成一排可组成 $6$ 个三位数编码。小明把其中 $5$ 个编码加起来得到 $4408$，被漏掉的那个编码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全排列求和公式）：$6$ 个编码之和 $=(a+b+c)\times 2\times(100+10+1)=(a+b+c)\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（压缩范围）：漏掉的编码是三位数，所以 $222S$ 在 $4408+100=\underline{\quad}$ 与 $4408+999=\underline{\quad}$ 之间，$S$ 只能取 $21\sim 24$。
  3. 第 3 步（逐个试算）：$S=21$ 得 $\underline{\quad}$（数字和 $11$，不符）；$S=22$ 得 $\underline{\quad}$（数字和 $17$，不符）。
  4. 第 4 步（找到答案）：$S=23$ 得 $222\times 23-4408=\underline{\quad}$，数字和 $6+9+8=\underline{\quad}$，与 $23$ 相符。
第三套
题目：用 $3$ 个不同的数字可以组成 $6$ 个三位数，已知其中的 $5$ 个的和是 $4341$，求剩下的那个数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全排列求和公式）：$6$ 个数之和 $=(a+b+c)\times \underline{\quad}$（提示 $2\times 111$）。
  2. 第 2 步（压缩范围）：$222S$ 在 $4341+100=\underline{\quad}$ 与 $4341+999=\underline{\quad}$ 之间，$S$ 只能取 $21\sim 24$。
  3. 第 3 步（逐个试算）：$S=21$ 得 $222\times 21-4341=\underline{\quad}$（数字和 $6\ne 21$）；$S=22$ 得 $\underline{\quad}$（数字和 $12\ne 22$）；$S=23$ 得 $\underline{\quad}$（数字和 $18\ne 23$）。
  4. 第 4 步（找到答案）：$S=24$ 得 $222\times 24-4341=\underline{\quad}$，数字和 $9+8+7=\underline{\quad}$，与 $24$ 相符。
第三套
题目：用 $3$ 个不同的数字可以组成 $6$ 个三位数，已知其中的 $5$ 个的和是 $4408$。求剩下的那个数，以及这 $6$ 个三位数中最小的一个。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全排列求和公式）：$6$ 个数之和 $=(a+b+c)\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（压缩范围并试算）：$S$ 只能取 $21\sim 24$；$S=23$ 时 $222\times 23-4408=\underline{\quad}$，数字和 $6+9+8=\underline{\quad}$，与 $23$ 相符。
  3. 第 3 步（定出三个数字）：这 $3$ 个数字是 $6$、$9$、$8$。
  4. 第 4 步（排出最小的三位数）：高位优先取小，百位取 $6$、十位取 $8$、个位取 $9$，最小数 $=100\times 6+10\times 8+9=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（复核）：$6$ 个数之和 $=222\times 23=\underline{\quad}$，减去剩下的 $698$ 恰为 $5106-698=\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch21-chaoyue-02】一个数是它的数字和的 $88$ 倍，求所有满足条件的正整数。
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·数字和与倍数 + 整数方程枚举」类问题：设数字和为 $S$，则这个数就是 $88S$，问题化成「找出使 $88S$ 的数字和恰好等于 $S$ 的所有 $S$」。
关键切入点：关键有两把尺子：一是位数估计——四位数的数字和最大是 $36$，所以 $S\le 36$，又 $88S$ 要是四位数，$S\ge 12$；二是 $9$ 的整除特征——任何数与它的数字和除以 $9$ 同余，由 $88S\equiv S\pmod 9$ 得 $87S$ 是 $9$ 的倍数，从而 $S$ 必是 $3$ 的倍数。这样只剩下九个候选，逐个验算即可。
方法概述：把数写成 $88S$，用位数估计与 $9$ 的整除特征把 $S$ 压到几个候选，再逐个验算数字和。
规范步骤：
  1. 设数字和为 $S$：这个数 $=88S$（整数方程）
  2. 用位数估计压缩 $S$：四位数的数字和 $\le 9\times 4=36$，且 $88S\ge 1000$ 得 $S\ge 12$（范围估计）
  3. 用 $9$ 的整除特征：$88S\equiv S\pmod 9$，故 $87S$ 是 $9$ 的倍数，$S$ 是 $3$ 的倍数（9的整除特征）
  4. 逐个验算：$88\times 12=1056$（数字和 $12$，符合）；$88\times 18=1584$（数字和 $18$，符合）；$88\times 21=1848$（数字和 $21$，符合）（枚举验证）
  5. 其余候选均不符：$88\times 15=1320$、$88\times 24=2112$、$88\times 27=2376$、$88\times 30=2640$、$88\times 33=2904$、$88\times 36=3168$ 数字和都对不上（枚举验证）
第一套
题目：一个数是它的数字和的 $97$ 倍，求所有满足条件的正整数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设数字和为 $S$，则这个数是 $97S$。
  2. 第 2 步（位数估计）：这个数至多是四位数，四位数的数字和最大是 $9\times 4=\underline{\quad}$，所以 $S\le 36$，此时 $97\times 36=\underline{\quad}$ 仍是四位数，范围合适。
  3. 第 3 步（用 $9$ 的整除特征）：任何数与它的数字和除以 $9$ 同余，所以 $97S-S=96S$ 要是 $9$ 的倍数，从而 $S$ 必是 $3$ 的倍数；又 $97S\ge 1000$，$S$ 从 $12$ 起取。
  4. 第 4 步（逐个验算）：$97\times 12=\underline{\quad}$，数字和 $1+1+6+4=\underline{\quad}$，符合；$97\times 15=1455$，数字和 $1+4+5+5=15$，符合；$97\times 18=\underline{\quad}$，数字和 $1+7+4+6=18$，符合。
  5. 第 5 步（排除其余）：$97\times 21=\underline{\quad}$，数字和 $12\ne 21$，舍去；$S=24、27、30、33、36$ 同样验算均不符。
第二套
题目：某电子锁的密码是一个正整数，它恰好等于自己各位数字之和的 $97$ 倍。所有可能的密码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设各位数字之和为 $S$，密码 $=97S$。
  2. 第 2 步（位数估计）：四位数的数字和最大 $9\times 4=\underline{\quad}$，且 $97\times 36=\underline{\quad}$ 仍是四位数。
  3. 第 3 步（$9$ 的整除特征）：$97S-S=96S$ 要是 $9$ 的倍数，故 $S$ 是 $3$ 的倍数。
  4. 第 4 步（逐个验算）：$97\times 12=\underline{\quad}$（数字和 $\underline{\quad}$，符合）；$97\times 15=1455$（符合）；$97\times 18=\underline{\quad}$（符合）。
  5. 第 5 步（排除）：$97\times 21=\underline{\quad}$，数字和 $12\ne 21$，舍去。
第三套
题目：一个数是它的数字和的 $94$ 倍，求所有满足条件的正整数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元与位数估计）：设数字和为 $S$，这个数是 $94S$；四位数的数字和最大 $9\times 4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用 $9$ 的整除特征）：$94S-S=93S$ 要是 $9$ 的倍数，$93=9\times 10+3$，所以 $3S$ 是 $9$ 的倍数，$S$ 必是 $3$ 的倍数。
  3. 第 3 步（逐个验算）：$94\times 12=\underline{\quad}$，数字和 $1+1+2+8=\underline{\quad}$，符合；$94\times 18=\underline{\quad}$，数字和 $1+6+9+2=18$，符合；$94\times 21=\underline{\quad}$，数字和 $1+9+7+4=21$，符合。
  4. 第 4 步（排除其余）：$94\times 15=\underline{\quad}$，数字和 $6\ne 15$，舍去；$S=24、27、30、33、36$ 验算亦不符。
第三套
题目：一个数是它的数字和的 $88$ 倍。求所有满足条件的正整数的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元与压缩范围）：设数字和为 $S$，这个数是 $88S$；四位数的数字和最大 $9\times 4=\underline{\quad}$，且 $88S\ge 1000$ 给出 $S\ge 12$。
  2. 第 2 步（$9$ 的整除特征）：$88S-S=87S$ 要是 $9$ 的倍数，故 $S$ 是 $3$ 的倍数。
  3. 第 3 步（逐个验算找全解）：$88\times 12=\underline{\quad}$（数字和 $12$，符合）；$88\times 18=\underline{\quad}$（数字和 $18$，符合）；$88\times 21=\underline{\quad}$（数字和 $21$，符合）。
  4. 第 4 步（求和）：$1056+1584+1848=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（复核）：也可先加数字和 $12+18+21=\underline{\quad}$，再乘 $88$：$88\times 51=\underline{\quad}$，结果一致。
3. 【原题 ch21-chaoyue-03】两个自然数，差是 $98$，各自的各位数字之和都能被 $19$ 整除。试问：满足要求的最小的一对数之和是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「数字和·进位与数字和变化」类问题：两数相差 $98$，加 $98$ 时数字和的改变量只由进位次数决定，用「两数字和之差是 $19$ 的倍数」卡出进位次数。
关键切入点：加 $98$ 相当于数字和先加 $\text{ds}(98)=17$，每发生一次进位又减 $9$，所以较大数的数字和比较小数少 $9k-17$（$k$ 为进位次数）。要两数的数字和都被 $19$ 整除，只需 $9k-17$ 是 $19$ 的倍数，试得 $k=4$。于是较小数末尾要有四个 $9$（贡献数字和 $36$），再把前面的数字和补到最小的、$\ge 36$ 的 $19$ 的倍数 $38$，前面取 $2$，得 $29999$。
方法概述：用「数字和之差 $9k-17$ 是 $19$ 的倍数」定出进位次数 $k=4$，再让较小数末尾四个 $9$、前面数字和最小。
规范步骤：
  1. 写出数字和的改变：较大数数字和比较小数少 $9k-17$（$k$ 为进位次数）（进位与数字和变化）
  2. 差要被 $19$ 整除：$9k-17$ 是 $19$ 的倍数，$k=4$（$9\times 4-17=19$）（倍数分析）
  3. 定末尾四个 $9$：末尾四个 $9$ 贡献数字和 $9\times 4=36$（位值原理）
  4. 前面数字和最小：数字和取 $\ge 36$ 的最小 $19$ 倍数 $38=19\times 2$，前面取 $38-36=2$，得 $29999$（最小值）
  5. 求较大数与两数之和：$29999+98=30097$，$29999+30097=60096$（回代验证）
第一套
题目：两个自然数，差是 $196$，各自的各位数字之和都能被 $19$ 整除。求满足要求的最小的一对数之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字和改变量）：加 $196$ 相当于数字和先加 $\text{ds}(196)=1+9+6=\underline{\quad}$，每进位一次再减 $9$。
  2. 第 2 步（定进位次数）：较大数数字和比较小数少 $9k-16$，它要是 $19$ 的倍数，取 $k=6$：$9\times 6-16=\underline{\quad}$，$38\div 19=\underline{\quad}$，恰好整除。
  3. 第 3 步（末尾结构）：较小数末尾要有 $6$ 个 $9$，贡献数字和 $9\times 6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（前面最小）：较小数数字和取 $\ge 54$ 的最小 $19$ 倍数 $19\times 3=\underline{\quad}$，前面部分数字和 $57-54=\underline{\quad}$，取一位数字 $3$，得较小数 $3999999$。
  5. 第 5 步（较大数与和）：$3999999+196=\underline{\quad}$，两数之和 $3999999+4000195=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某设备正、反两次记录的读数是两个相差 $98$ 的自然数，且两个读数的各位数字之和都能被 $19$ 整除。求这样一对读数中最小的一对之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字和改变量）：加 $98$ 时数字和先加 $\text{ds}(98)=9+8=\underline{\quad}$，每进位一次减 $9$。
  2. 第 2 步（定进位次数）：较大读数数字和比较小的少 $9k-17$，要它是 $19$ 的倍数，取 $k=4$：$9\times 4-17=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（末尾结构）：较小读数末尾 $4$ 个 $9$ 贡献 $9\times 4=\underline{\quad}$，数字和取 $19\times 2=\underline{\quad}$，前面取 $38-36=\underline{\quad}$，得 $29999$。
  4. 第 4 步（求和）：$29999+98=\underline{\quad}$，两数之和 $29999+30097=\underline{\quad}$。
第三套
题目：两个自然数，差是 $98$，各自的各位数字之和都能被 $23$ 整除。求满足要求的最小的一对数之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字和改变量）：加 $98$ 相当于数字和先加 $\text{ds}(98)=9+8=\underline{\quad}$，每进位一次再减 $9$；由于 $17$ 不是 $23$ 的倍数，必须靠进位。
  2. 第 2 步（定进位次数）：较大数数字和比较小数少 $9k-17$，要它是 $23$ 的倍数，取 $k=7$：$9\times 7-17=\underline{\quad}$，$46\div 23=\underline{\quad}$，恰好整除。
  3. 第 3 步（末尾结构）：较小数末尾要有 $7$ 个 $9$，贡献数字和 $9\times 7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（前面最小）：较小数数字和取 $\ge 63$ 的最小 $23$ 倍数 $23\times 3=\underline{\quad}$，前面部分数字和 $69-63=\underline{\quad}$，取一位数字 $6$，得较小数 $69999999$。
  5. 第 5 步（求和）：$69999999+98=\underline{\quad}$，两数之和 $69999999+70000097=\underline{\quad}$。
第三套
题目：两个自然数，差是 $98$，各自的各位数字之和都能被 $19$ 整除。先求满足要求的最小的一对数之和，再求这个和的各位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定进位次数）：较大数数字和比较小数少 $9k-17$，要它是 $19$ 的倍数，取 $k=4$：$9\times 4-17=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求较小数）：末尾 $4$ 个 $9$ 贡献 $9\times 4=\underline{\quad}$，数字和取 $19\times 2=\underline{\quad}$，前面取 $38-36=\underline{\quad}$，得较小数 $29999$。
  3. 第 3 步（求两数之和）：$29999+98=\underline{\quad}$，$29999+30097=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求和的数字和）：$60096$ 的各位数字之和 $6+0+0+9+6=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch21-chaoyue-04】如果 $1\underbrace{333\cdots 3}_{n\text{个}3}2$ 是 $756$ 的倍数，那么 $n$ 最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「$756$ 的整除特征 + 重复数字的整除性 + 因数分解」类问题：$756=4\times 27\times 7$，三者两两互质，所以要同时满足被 $4$、$27$、$7$ 整除三条。
关键切入点：被 $4$ 整除只看末两位 $32$，$32\div 4=8$，恒成立；被 $9$（$27$ 的前提）整除看数字和 $1+3n+2=3(n+1)$，要求 $n+1$ 是 $3$ 的倍数；再叠加被 $27$、被 $7$ 整除的条件，逐一（用竖式或余数）验证，得到最小的 $n=17$。此时数字和 $3\times 18=54$。
方法概述：把 $756$ 拆成互质的 $4$、$27$、$7$，先用末两位与数字和缩小 $n$，再逐一验证被 $27$、$7$ 整除定出最小 $n$。
规范步骤：
  1. 分解除数：$756=4\times 27\times 7$，三者两两互质（因数分解）
  2. 被 $4$ 整除：末两位是 $32$，$32\div 4=8$，恒成立（4的整除特征）
  3. 被 $9$ 整除（$27$ 的前提）：数字和 $1+3n+2=3(n+1)$，须 $n+1$ 是 $3$ 的倍数（9的整除特征）
  4. 被 $27$、$7$ 整除逐一验证：再要求被 $27$ 与 $7$ 整除，逐一试算得最小 $n=17$（枚举验证）
  5. 回代：$n=17$ 时数字和 $3\times 18=54$，$54\div 9=6$（回代验证）
第一套
题目：如果 $1\underbrace{33\cdots 3}_{n\text{个}3}2$ 是 $2268$ 的倍数，那么 $n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$2268=4\times 81\times 7$，先算 $81\times 7=\underline{\quad}$，再 $4\times 567=\underline{\quad}$，验证等于 $2268$。
  2. 第 2 步（被 $4$ 整除）：末两位是 $32$，$32\div 4=\underline{\quad}$，恒成立。
  3. 第 3 步（被 $81$ 整除的前提）：数字和 $1+3n+2=3(n+1)$，要被 $9$ 先要 $n+1$ 是 $3$ 的倍数；被 $81$ 还需更强条件。
  4. 第 4 步（综合被 $81$、$7$ 逐一验证）：逐一试算得最小 $n=53$，此时数字和 $3\times 54=\underline{\quad}$，$162\div 81=\underline{\quad}$。
第二套
题目：打印机先打一个 $1$，再连续打 $n$ 个 $3$，最后打一个 $2$，组成一个整数。要使这个整数是 $756$ 的倍数，$n$ 最少是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$756=4\times 27\times 7$，先算 $27\times 7=\underline{\quad}$，再 $4\times 189=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $4$ 整除）：末两位是 $32$，$32\div 4=\underline{\quad}$，恒成立。
  3. 第 3 步（被 $9$ 整除的前提）：数字和 $1+3n+2=3(n+1)$，须 $n+1$ 是 $3$ 的倍数。
  4. 第 4 步（综合被 $27$、$7$ 逐一验证）：逐一试算得最小 $n=17$，数字和 $3\times 18=\underline{\quad}$。
第三套
题目：如果 $2\underbrace{66\cdots 6}_{n\text{个}6}4$ 是 $756$ 的倍数，那么 $n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$756=4\times 27\times 7$，三者互质。
  2. 第 2 步（被 $4$ 整除）：末两位是 $64$，$64\div 4=\underline{\quad}$，恒成立。
  3. 第 3 步（被 $9$ 整除的前提）：数字和 $2+6n+4=6(n+1)$，要被 $9$ 须 $n+1$ 是 $3$ 的倍数。
  4. 第 4 步（综合被 $27$、$7$ 逐一验证）：逐一试算得最小 $n=17$，此时数字和 $6\times 18=\underline{\quad}$，$108\div 9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：如果 $1\underbrace{33\cdots 3}_{n\text{个}3}2$ 是 $756$ 的倍数，求最小的 $n$，并求此时这个数的位数与各位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$756=4\times 27\times 7$，末两位 $32\div 4=\underline{\quad}$ 恒成立。
  2. 第 2 步（求最小 $n$）：数字和 $1+3n+2=3(n+1)$ 要被 $9$，再综合被 $27$、$7$ 逐一验证得最小 $n=17$。
  3. 第 3 步（求位数）：这个数由首位 $1$、中间 $n$ 个 $3$、末位 $2$ 组成，位数是 $17+2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求各位数字之和）：$1+3\times 17+2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（复核）：$54\div 9=\underline{\quad}$，与「被 $27$（含 $9$）整除」一致。
5. 【原题 ch21-chaoyue-05】包含 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字的十位数称为“十全数”。求满足以下条件的所有的十全数：①它的千位是 $7$；②从左往右数，它的第一位能被 $1$ 整除，前两位组成的两位数能被 $2$ 整除，前三位组成的三位数能被 $3$ 整除……前十位组成的十位数能被 $10$ 整除。
详细思路
是哪类问题：这是「整除特征综合 + 十全数（全数字数）+ 逐位整除条件」类问题：$0\sim 9$ 各用一次，且前 $k$ 位组成的数都要被 $k$ 整除，要靠一条条整除特征把每一位定死。
关键切入点：由「前 $2、4、6、8、10$ 位被 $2、4、6、8、10$ 整除」知偶数位上都是偶数，于是 $0、2、4、6、8$ 占偶数位、$1、3、5、7、9$ 占奇数位；前十位被 $10$ 整除得末位 $=0$，前五位被 $5$ 整除得第五位 $=5$；再用被 $3、4、6、8、9$ 整除的条件结合千位 $=7$ 逐位推算，唯一得到 $3816547290$。
方法概述：先用偶数位为偶数、末位为 $0$、第五位为 $5$ 定框架，再用 $3、4、6、8、9$ 的整除特征逐位定死，最后验证。
规范步骤：
  1. 偶数位都是偶数：前 $2、4、6、8、10$ 位被 $2、4、6、8、10$ 整除，故偶数位为偶数（整除特征综合）
  2. 定末位与第五位：前十位被 $10$ 整除得末位 $=0$；前五位被 $5$ 整除得第五位 $=5$（5和10的整除特征）
  3. 结合千位为 $7$ 逐位推算：用被 $3、4、6、8、9$ 整除的条件逐位定死其余各位（逐位整除条件）
  4. 写出并逐位验证：$3816547290$：前 $1\sim 10$ 位依次被 $1\sim 10$ 整除（回代验证）
6. 【原题 ch21-chaoyue-06】由 $8$ 个不同的数字组成的八位数中，能被 $396$ 整除的数最大是多少？最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「$396$ 的整除特征 + 数字选取与排列」类问题：$396=4\times 9\times 11$，且 $4$、$9$、$11$ 两两互质，所以要同时满足被 $4$、$9$、$11$ 整除。
关键切入点：被 $9$ 整除要 $8$ 个数字之和是 $9$ 的倍数：从 $0\sim 9$ 去掉两个数字，$45$ 去掉和为 $9$ 的两个数得数字和 $36$；被 $11$ 整除看奇数位与偶数位数字和之差，$36$ 分成两半各 $18$、差 $0$（$11$ 的倍数）；被 $4$ 整除看末两位。求最大时高位从 $9、8、7$ 排起，末两位调成 $04$；求最小时高位从 $1、0、2$ 排起，末两位调成 $76$。
方法概述：拆成 $4$、$9$、$11$ 三条整除特征：数字和定为 $36$、奇偶位各 $18$、末两位被 $4$，高位贪心取最大最小。
规范步骤：
  1. 分解除数：$396=4\times 9\times 11$，两两互质（因数分解）
  2. 被 $9$ 整除：$8$ 个数字之和须是 $9$ 的倍数，$45-9=36$（9的整除特征）
  3. 被 $11$ 整除：奇数位与偶数位数字和各 $18$，差 $0$（11的整除特征）
  4. 被 $4$ 整除：末两位组成的数被 $4$ 整除（4的整除特征）
  5. 取最大最小：最大 $98752104$（$04\div 4=1$），最小 $10238976$（$76\div 4=19$）（贪心+整除特征）
第一套
题目：由 $8$ 个不同的数字组成的八位数中，能被 $1584$ 整除的数最大是多少？最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$1584=16\times 9\times 11$，先验证 $16\times 99=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $9$ 整除）：$8$ 个数字之和须是 $9$ 的倍数，$45-9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（被 $11$ 整除）：奇数位与偶数位数字和各 $18$，差 $0$。
  4. 第 4 步（被 $16$ 整除）：末四位组成的数被 $16$ 整除。
  5. 第 5 步（取最小）：高位从 $1、0、2$ 排起得 $10238976$，末四位 $8976\div 16=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（取最大）：高位从 $9、8$ 排起得 $98653104$，末四位 $3104\div 16=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某防伪编号是一个由 $8$ 个互不相同的数字组成的八位数，并且必须能被 $396$ 整除。这样的编号最大是多少？最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$396=4\times 9\times 11=\underline{\quad}$，需同时被 $4$、$9$、$11$ 整除。
  2. 第 2 步（被 $9$ 整除）：$8$ 个数字之和须是 $9$ 的倍数，$45-9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（被 $11$、$4$ 整除）：奇偶位数字和各 $18$、差 $0$；末两位被 $4$ 整除。
  4. 第 4 步（取最大）：$98752104$，末两位 $04\div 4=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（取最小）：$10238976$，末两位 $76\div 4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：由 $8$ 个不同的数字组成的八位数中，能被 $495$ 整除的数最大是多少？最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$495=9\times 11\times 5$，先验证 $9\times 55=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $5$ 整除）：末位只能是 $0$ 或 $5$。
  3. 第 3 步（被 $9$ 整除）：$8$ 个数字之和须是 $9$ 的倍数，$45-9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（被 $11$ 整除）：奇数位与偶数位数字和各 $18$，差 $0$。
  5. 第 5 步（取最小）：末位取 $5$，高位从 $1、0、2$ 排起得 $10247985$，$10247985\div 495=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（取最大）：末位取 $0$，高位从 $9、8$ 排起得 $98742105$，$98742105\div 495=\underline{\quad}$。
第三套
题目：由 $8$ 个不同的数字组成的八位数中，能被 $396$ 整除的数最大是多少？最小是多少？它们的差是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$396=4\times 9\times 11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被 $9$ 整除）：$8$ 个数字之和须是 $9$ 的倍数，$45-9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取最大）：$98752104$，$98752104\div 396=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取最小）：$10238976$，$10238976\div 396=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求差）：$98752104-10238976=\underline{\quad}$。
7. 【原题 ch21-chaoyue-07】最多有多少个连续自然数，它们的各位数字之和都不是 $11$ 的倍数？请举例。
详细思路
是哪类问题：这是「数字和 + 进位与数字和变化 + $11$ 的倍数 + 构造法」类问题：要证「至多 $38$ 个」需要一个上界证明，再给出一个恰好 $38$ 个的构造，二者缺一不可。
关键切入点：上界：在任意 $39$ 个连续自然数中，一定能找到 $N、N+1、\cdots、N+9、N+19$ 这 $11$ 个数，它们的数字和是 $11$ 个连续整数，其中必有一个是 $11$ 的倍数，所以至多 $38$ 个。构造：取跨越一次大进位的 $999981\sim 1000018$ 共 $38$ 个数，逐一检验它们的数字和都不是 $11$ 的倍数。
方法概述：先用「$11$ 个数字和连续必含 $11$ 的倍数」证上界 $38$，再构造跨大进位的 $38$ 个数。
规范步骤：
  1. 找连续的数字和：在 $39$ 个连续数中取到数字和为 $11$ 个连续整数的一组（进位与数字和变化）
  2. 必含 $11$ 的倍数：$11$ 个连续整数中必有一个是 $11$ 的倍数，故至多 $38$ 个（11的倍数）
  3. 给出构造：$999981\sim 1000018$ 共 $1000018-999981+1=38$ 个（构造法）
  4. 验证：逐一检验这 $38$ 个数的数字和都不是 $11$ 的倍数（回代验证）
8. 【原题 ch21-chaoyue-08】用 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零的完全平方数。
详细思路
是哪类问题：这是「完全平方数 + 数字不重复 + 枚举与试选」类问题：把一位数、两位数、三位数、四位数的无重复数字平方数分行列出，再各选一个使 $0\sim 9$ 每个数字恰好用到一次；答案不唯一。
关键切入点：一位平方数 $1、4、9$；两位平方数 $16、25、36、49、64、81$；三位平方数 $169、196、\cdots、784、841、961$（都不含 $0$，故 $0$ 必在四位数里）；含 $0$ 的四位平方数如 $9025、1024、\cdots$。逐行各取一个使数字不重复，例如 $1、36、784、9025$ 恰好用到 $0\sim 9$ 各一次。
方法概述：分行列出各位数的无重复数字平方数表，逐行各选一个使十个数字恰好各用一次。
规范步骤：
  1. 列一位平方数：$1=1^2$，$4=2^2$，$9=3^2$（完全平方数）
  2. 列两位平方数：$16、25、36、49、64、81$（完全平方数）
  3. $0$ 必在四位数里：三位以内的无重复数字平方数都不含 $0$（数字不重复）
  4. 各选一个凑齐 $0\sim 9$：$1、36、784、9025$ 恰好用到 $0\sim 9$ 各一次（枚举与试选）
9. 【原题 ch21-tuozhan-01】今年是 $2008$ 年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同。”请问：小王今年多大？
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理 + 年龄问题」类问题：年龄 $=$ 今年年份 $-$ 出生年份，而题目又要求年龄等于出生年份的四个数字之和，于是把出生年份按位值展开就能列出方程。
关键切入点：出生年份可能在 $2000$ 年后，也可能在 $1900$ 年代，位值展开式不同，必须分两种情况讨论，因此答案有两个。展开后未知数只剩两个数字，用「数字只能取 $0\sim 9$」就能把解定死。
方法概述：分 $2000$ 年后与 $1900$ 年代两种情况，各自按位值展开列方程，再用数字范围定解。
规范步骤：
  1. 情况一：设出生年为 $\overline{200x}$：$2008-\overline{200x}=2+0+0+x$（位值原理）
  2. 解得：$x=3$，出生 $2003$ 年，今年 $2008-2003=5$ 岁（解方程）
  3. 情况二：设出生年为 $\overline{19ab}$：$2008-(1900+10a+b)=1+9+a+b$，整理得 $11a+2b=98$（位值原理）
  4. 用数字范围定解：$a=8$，$b=5$，出生 $1985$ 年（数字范围）
  5. 求年龄：$2008-1985=23$（减法）
第一套
题目：今年是 $2025$ 年，小李说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同。”请问：小李今年多大？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（情况一：$2000$ 年后出生）：设出生年为 $\overline{20xy}$，则 $2025-(2000+10x+y)=2+0+x+y$，即 $25-10x-y=2+x+y$。
  2. 第 2 步（整理）：把常数移到一边，$25-2=\underline{\quad}$，得 $11x+2y=23$。
  3. 第 3 步（定解）：$x$ 只能取 $1$（取 $2$ 就超过 $23$ 了），此时 $2y=23-11=\underline{\quad}$，$y=12\div 2=\underline{\quad}$，出生年是 $2016$ 年，年龄 $=2025-2016=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（情况二：$1900$ 年代出生）：设出生年为 $\overline{19ab}$，则 $2025-(1900+10a+b)=1+9+a+b$，即 $125-10a-b=10+a+b$，整理得 $125-10=\underline{\quad}$，即 $11a+2b=115$。
  5. 第 5 步（定解）：$a=9$ 时 $2b=115-99=\underline{\quad}$，$b=16\div 2=\underline{\quad}$，出生年是 $1998$ 年，年龄 $=2025-1998=\underline{\quad}$（岁）。
第二套
题目：$2025$ 年校庆时，一位校友说：“我的年龄正好等于我出生那一年年份的四个数字之和。”请问这位校友今年多大？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（情况一：$2000$ 年后出生）：设出生年 $\overline{20xy}$，$25-10x-y=2+x+y$，整理得 $25-2=\underline{\quad}$，即 $11x+2y=23$。
  2. 第 2 步（定解）：$x=1$，$2y=23-11=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$，出生 $2016$ 年，年龄 $2025-2016=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（情况二：$1900$ 年代出生）：$125-10a-b=10+a+b$，整理得 $125-10=\underline{\quad}$，即 $11a+2b=115$。
  4. 第 4 步（定解）：$a=9$，$2b=115-99=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$，出生 $1998$ 年，年龄 $2025-1998=\underline{\quad}$。
第三套
题目：今年是 $2025$ 年，小李的年龄正好等于他出生那年年份的四个数字之和，并且他出生在 $1900$ 年代。请问小李今年多大？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值设元）：设出生年为 $\overline{19ab}=1900+10a+b$，四个数字之和是 $1+9+a+b=10+a+b$。
  2. 第 2 步（列方程）：$2025-(1900+10a+b)=10+a+b$，左边先算 $2025-1900=\underline{\quad}$，得 $125-10a-b=10+a+b$。
  3. 第 3 步（整理）：$125-10=\underline{\quad}$，即 $11a+2b=115$。
  4. 第 4 步（用数字范围定解）：$2b$ 最大是 $18$，所以 $11a\ge 115-18=\underline{\quad}$，只能取 $a=9$，$2b=115-99=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求年龄并检验）：出生 $1998$ 年，年龄 $=2025-1998=\underline{\quad}$，检验 $1+9+9+8=\underline{\quad}$。
第三套
题目：今年是 $2025$ 年，小李的年龄正好等于他出生那年年份的四个数字之和。这样的年龄有两种可能，求这两个可能年龄的差。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（情况一）：设出生年 $\overline{20xy}$，整理得 $11x+2y=25-2=\underline{\quad}$，得 $x=1$、$y=\underline{\quad}$，出生 $2016$ 年，年龄 $2025-2016=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（情况二）：设出生年 $\overline{19ab}$，整理得 $11a+2b=125-10=\underline{\quad}$，得 $a=9$、$b=\underline{\quad}$，出生 $1998$ 年，年龄 $2025-1998=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求差）：$27-9=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch21-tuozhan-02】在一个两位数的两个数字中间加一个 $0$，所得的三位数比原数大 $8$ 倍，求这个两位数。
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·插入数字 + 倍数关系」类问题：在两位数中间插 $0$，十位上的数字被挤到百位，个位不动，于是 $\overline{ab}=10a+b$ 变成 $\overline{a0b}=100a+b$。
关键切入点：注意「比原数大 $8$ 倍」意思是新数等于原数的 $9$ 倍，不是 $8$ 倍。列出 $100a+b=9(10a+b)$ 化简得 $5a=4b$，再用「$5$、$4$ 互质且 $a$、$b$ 是一位数字」定死 $a=4$、$b=5$。
方法概述：按位值写出插入后的数，列倍数方程，再用互质与数字范围定解。
规范步骤：
  1. 按位值展开：$\overline{ab}=10a+b$，$\overline{a0b}=100a+b$（位值原理）
  2. 把「大 $8$ 倍」翻译成「是 $9$ 倍」：$100a+b=(10a+b)\times 9$（倍数关系）
  3. 化简：$100a+b=90a+9b$，即 $10a=8b$，$5a=4b$（整数方程）
  4. 用互质与数字范围定解：$a=4$，$b=5$（互质）
  5. 检验：$405=45\times 9$（回代验证）
第一套
题目：在一个两位数的两个数字中间加两个 $0$，所得的四位数恰好是原数的 $89$ 倍，求这个两位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值展开）：设原数为 $\overline{ab}=10a+b$；中间加两个 $0$ 后，十位数字被挤到千位，得 $\overline{a00b}=1000a+b$。
  2. 第 2 步（列倍数方程）：$1000a+b=(10a+b)\times 89=890a+89b$。
  3. 第 3 步（移项化简）：$a$ 的系数 $1000-890=\underline{\quad}$，$b$ 的系数 $89-1=\underline{\quad}$，得 $110a=88b$。
  4. 第 4 步（约分）：两边同时除以 $22$，$110\div 22=\underline{\quad}$，$88\div 22=\underline{\quad}$，得 $5a=4b$。
  5. 第 5 步（互质定解）：$5$、$4$ 互质，一位数字里只能取 $a=4$、$b=5$，原数 $=10\times 4+5=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（检验）：$45\times 89=\underline{\quad}$，正是 $4005$。
第二套
题目：某商品的旧货号是一个两位数，工人在它两个数字中间打了两个 $0$，得到的四位新货号恰好是旧货号的 $89$ 倍。旧货号是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值展开）：旧货号 $=10a+b$，新货号 $=1000a+b$。
  2. 第 2 步（列方程并化简）：$1000a+b=(10a+b)\times 89$，$a$ 的系数 $1000-890=\underline{\quad}$，$b$ 的系数 $89-1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（约分）：$110\div 22=\underline{\quad}$，$88\div 22=\underline{\quad}$，得 $5a=4b$。
  4. 第 4 步（定解并检验）：$a=4$、$b=5$，旧货号 $=10\times 4+5=\underline{\quad}$；$45\times 89=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在一个三位数的百位与十位之间插入一个 $0$，所得的四位数恰好是原三位数的 $9$ 倍。求所有这样的三位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值展开）：设原数为 $\overline{abc}=100a+\overline{bc}$，插入 $0$ 后得 $\overline{a0bc}=1000a+\overline{bc}$。
  2. 第 2 步（列方程）：$1000a+\overline{bc}=(100a+\overline{bc})\times 9=900a+9\overline{bc}$。
  3. 第 3 步（移项化简）：$a$ 的系数 $1000-900=\underline{\quad}$，$\overline{bc}$ 的系数 $9-1=\underline{\quad}$，得 $100a=8\overline{bc}$。
  4. 第 4 步（约分）：两边同除以 $4$，$100\div 4=\underline{\quad}$，$8\div 4=\underline{\quad}$，得 $25a=2\overline{bc}$，所以 $a$ 必须是偶数。
  5. 第 5 步（逐个取值）：$a=2$ 时 $\overline{bc}=25\times 2\div 2=\underline{\quad}$，原数 $225$；$a=4$ 时 $\overline{bc}=25\times 4\div 2=\underline{\quad}$，原数 $450$；$a=6$ 时 $\overline{bc}=25\times 6\div 2=\underline{\quad}$，原数 $675$（$a=8$ 时 $\overline{bc}=100$ 不是两位数，舍去）。
  6. 第 6 步（检验）：$225\times 9=\underline{\quad}$，$675\times 9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在一个两位数的两个数字中间加两个 $0$，所得的四位数恰好是原数的 $89$ 倍。求这个两位数，并求所得四位数的各位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程化简）：$1000a+b=(10a+b)\times 89$，得 $a$ 的系数 $1000-890=\underline{\quad}$、$b$ 的系数 $89-1=\underline{\quad}$，即 $110a=88b$。
  2. 第 2 步（约分定解）：$110\div 22=\underline{\quad}$，$88\div 22=\underline{\quad}$，得 $5a=4b$，故 $a=4$、$b=5$，两位数 $=10\times 4+5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出四位数）：$45\times 89=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求各位数字之和）：$4+0+0+5=\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch21-tuozhan-03】把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方，请问：这个数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·交换数字求和 + 完全平方数」类问题：两位数与它的反序数相加，十位与个位互相补位，和一定是 $11$ 的倍数。
关键切入点：$(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)$。因为 $11$ 是质数，要让 $11(a+b)$ 是完全平方数，$a+b$ 里也必须含因数 $11$；而 $a+b$ 最大只有 $18$，所以只能取 $a+b=11$，此时和是 $11\times 11=121=11^2$。
方法概述：先把「原数 $+$ 反序数」化成 $11\times$ 数字和，再用质数与完全平方数的关系定死数字和。
规范步骤：
  1. 按位值展开求和：$(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)$（位值原理）
  2. 用完全平方数的条件：$11$ 是质数，故 $a+b$ 也必须含因数 $11$（完全平方数）
  3. 用数字范围定解：$a+b\le 9+9=18$，故 $a+b=11$（数字范围）
  4. 算出这个和：$11\times 11=121=11^2$（完全平方数）
第一套
题目：把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方。求这个和，以及满足条件的两位数中最大的一个。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值展开求和）：$(10a+b)+(10b+a)=11\times(a+b)$，也就是 $10+1=\underline{\quad}$ 倍的数字和。
  2. 第 2 步（用完全平方数条件）：$11$ 是质数，要让 $11\times(a+b)$ 是完全平方数，$a+b$ 也要含因数 $11$；而 $a+b$ 最大是 $9+9=\underline{\quad}$，所以只能取 $a+b=11$。
  3. 第 3 步（算出这个和）：$11\times 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最大的两位数）：十位尽量大，$a=9$，则 $b=11-9=\underline{\quad}$，两位数 $=9\times 10+2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$92+29=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一间教室的门牌号是一个两位数。把门牌号的两个数字对调得到另一个两位数，两个号码之和恰好是某个自然数的平方。求这个和，以及门牌号最大可能是多少。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值展开求和）：两个号码之和 $=(10a+b)+(10b+a)=(10+1)\times(a+b)$，即 $\underline{\quad}$ 倍的数字和。
  2. 第 2 步（用完全平方数条件）：$11$ 是质数，$a+b$ 也要含因数 $11$；$a+b$ 最大是 $9+9=\underline{\quad}$，所以 $a+b=11$。
  3. 第 3 步（算出这个和）：$11\times 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最大门牌号）：$a=9$、$b=11-9=\underline{\quad}$，门牌号 $=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数（十位数字大于个位数字），原数与新数的差恰好是某个自然数的平方。求这个差最大是多少。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值展开求差）：$(10a+b)-(10b+a)=(10-1)\times(a-b)=\underline{\quad}\times(a-b)$。
  2. 第 2 步（用完全平方数条件）：$9=3^2$ 本身是完全平方数，所以只要 $a-b$ 也是完全平方数，乘积就是完全平方数。$a-b$ 在 $1\sim 9$ 内的完全平方数有 $1$、$4$、$9$。
  3. 第 3 步（逐个算差）：$9\times 1=\underline{\quad}$，$9\times 4=\underline{\quad}$，$9\times 9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取最大并举例检验）：最大的差是 $81$，例如 $90-09$ 对应 $a=9$、$b=0$，$90-9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方，并且这个两位数还是 $7$ 的倍数。求这个两位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求和化简）：$(10a+b)+(10b+a)=(10+1)\times(a+b)=\underline{\quad}\times(a+b)$。
  2. 第 2 步（用完全平方数条件定数字和）：$11$ 是质数且 $a+b\le 9+9=\underline{\quad}$，所以 $a+b=11$，和为 $11\times 11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列出候选）：数字和为 $11$ 的两位数有 $29$、$38$、$47$、$56$、$65$、$74$、$83$、$92$。
  4. 第 4 步（用 $7$ 的倍数筛选）：逐个试除，只有一个能被 $7$ 整除：$56\div 7=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$56+65=\underline{\quad}$，恰是 $11^2$。
12. 【原题 ch21-tuozhan-04】有一个三位数是 $8$ 的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是 $1111$，请问：原来的三位数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·颠倒数字求和 + $8$ 的整除特征」类问题：三位数与它的颠倒数相加，百位与个位互换配对，和一定是 $101(a+c)+20b$。
关键切入点：$20b$ 的末位必是 $0$，所以 $101(a+c)$ 的末位必须是 $1$，即 $a+c$ 的末位是 $1$；又 $a+c\le 18$，只能取 $a+c=11$。这时 $101\times 11=1111$ 已用完全部和，逼出 $20b=0$、$b=0$。最后在 $a+c=11$、$b=0$ 的候选中用 $8$ 的整除特征筛出唯一解。
方法概述：先用位值展开写成 $101(a+c)+20b$，用末位分析定出 $a+c$ 与 $b$，再用 $8$ 的整除特征筛出答案。
规范步骤：
  1. 按位值展开求和：$(100a+10b+c)+(100c+10b+a)=101(a+c)+20b$（位值原理）
  2. 用末位分析：$20b$ 末位为 $0$，故 $a+c$ 的末位是 $1$；又 $a+c\le 18$，得 $a+c=11$（末位分析）
  3. 定出 $b$：$101\times 11=1111$，故 $20b=1111-1111=0$，$b=0$（解方程）
  4. 用 $8$ 的整除特征筛选：$a+c=11$、$b=0$ 的候选中只有 $704$ 能被 $8$ 整除，$704\div 8=88$（8的整除特征）
  5. 检验：$704+407=1111$（回代验证）
第一套
题目：有一个三位数是 $8$ 的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是 $1191$，请问：原来的三位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值展开求和）：$(100a+10b+c)+(100c+10b+a)=\underline{\quad}\times(a+c)+20b$（提示：$100+1=101$，$10+10=20$）。
  2. 第 2 步（用末位分析定 $a+c$）：$20b$ 的末位是 $0$，所以 $101(a+c)$ 的末位必须是 $1$，即 $a+c$ 的末位是 $1$；又 $a+c\le 9+9=\underline{\quad}$，所以 $a+c=11$。
  3. 第 3 步（定出 $b$）：$101\times 11=\underline{\quad}$，于是 $20b=1191-1111=\underline{\quad}$，$b=80\div 20=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用 $8$ 的整除特征筛选）：候选是 $\overline{a4c}$ 且 $a+c=11$，即 $249、348、447、546、645、744、843、942$。逐个试除，只有 $744$ 能被 $8$ 整除：$744\div 8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$744+447=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一个三位数的公交线路号是 $8$ 的倍数。把线路号的数字顺序倒过来写，得到的新三位数与原线路号之和恰好是 $1191$。原来的线路号是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值展开求和）：两数之和 $=(100+1)\times(a+c)+20b=\underline{\quad}\times(a+c)+20b$。
  2. 第 2 步（末位分析）：$20b$ 末位为 $0$，故 $a+c$ 末位是 $1$；又 $a+c\le 9+9=\underline{\quad}$，得 $a+c=11$。
  3. 第 3 步（求 $b$）：$101\times 11=\underline{\quad}$，$20b=1191-1111=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用 $8$ 的整除特征筛选并检验）：只有 $744$ 满足，$744\div 8=\underline{\quad}$，$744+447=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有一个三位数是 $7$ 的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是 $1111$，请问：原来的三位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值展开求和）：两数之和 $=(100+1)\times(a+c)+20b=\underline{\quad}\times(a+c)+20b$。
  2. 第 2 步（末位分析）：$20b$ 末位为 $0$，故 $a+c$ 的末位是 $1$；又 $a+c\le \underline{\quad}$，得 $a+c=11$。
  3. 第 3 步（定出 $b$）：$101\times 11=\underline{\quad}$，所以 $20b=1111-1111=\underline{\quad}$，$b=0$。
  4. 第 4 步（用 $7$ 的倍数筛选）：候选是 $\overline{a0c}$ 且 $a+c=11$，即 $209、308、407、506、605、704、803、902$，逐个试除只有 $308$ 满足：$308\div 7=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$308+803=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有一个三位数是 $8$ 的倍数，把它的各位数字顺序颠倒得到的新三位数与原三位数的和恰好是 $1191$。求原来的三位数，并求原数与新数的差。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值展开求和）：两数之和 $=\underline{\quad}\times(a+c)+20b$（提示 $100+1$）。
  2. 第 2 步（末位分析定 $a+c$）：$a+c\le 9+9=\underline{\quad}$ 且末位是 $1$，所以 $a+c=11$。
  3. 第 3 步（求 $b$）：$20b=1191-101\times 11=\underline{\quad}$，$b=80\div 20=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用 $8$ 的整除特征定原数）：$744\div 8=\underline{\quad}$，原数是 $744$，新数是 $447$。
  5. 第 5 步（求差）：按位值，差 $=(100-1)\times(a-c)=99\times(7-4)=\underline{\quad}$，直接算 $744-447=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch21-tuozhan-05】在等式“学习好勤动脑 $\times 5=$ 勤动脑学习好 $\times 8$”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·文字算式 + 整数方程与互质」类问题：把前三个汉字和后三个汉字各看成一个三位数，六位数就写成 $1000x+y$，等式化成关于 $x$、$y$ 的一次方程。
关键切入点：$(1000x+y)\times 5=(1000y+x)\times 8$ 整理得 $4992x=7995y$，约分得 $128x=205y$。$128$ 与 $205$ 互质，所以 $x$ 必是 $205$ 的倍数、$y$ 必是 $128$ 的倍数。取 $k=1$ 得 $205128$，但其中出现了两个 $2$，违反「不同汉字表示不同数字」；取 $k=2$ 得 $410256$，六个数字互不相同，这才是最小解。
方法概述：整体设元把文字算式化成 $128x=205y$，用互质定出成比例的解，再按「数字互不相同」逐个筛最小。
规范步骤：
  1. 整体设元：设“学习好”$=x$，“勤动脑”$=y$，六位数为 $1000x+y$（位值原理）
  2. 列方程：$(1000x+y)\times 5=(1000y+x)\times 8$（整数方程）
  3. 整理化简：$5000x+5y=8000y+8x$，即 $4992x=7995y$（移项合并）
  4. 约分：$4992\div 39=128$，$7995\div 39=205$，得 $128x=205y$（约分）
  5. 用互质取解：$128$、$205$ 互质，$x=205k$、$y=128k$（互质）
  6. 按数字互不相同筛最小：$k=1$ 得 $205128$（两个 $2$，舍去）；$k=2$ 得 $x=410$、$y=256$，六位数 $410256$（条件筛选）
  7. 检验：$410256\times 5=2051280=256410\times 8$（回代验证）
第一套
题目：在等式“学习好勤动脑 $\times 4=$ 勤动脑学习好 $\times 9$”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体设元）：设“学习好”表示的三位数为 $x$，“勤动脑”为 $y$，则“学习好勤动脑”$=1000x+y$，“勤动脑学习好”$=1000y+x$。
  2. 第 2 步（列方程并整理）：$(1000x+y)\times 4=(1000y+x)\times 9$，即 $4000x+4y=9000y+9x$。$x$ 的系数 $4000-9=\underline{\quad}$，$y$ 的系数 $9000-4=\underline{\quad}$，得 $3991x=8996y$。
  3. 第 3 步（约分）：两边同除以 $13$，$3991\div 13=\underline{\quad}$，$8996\div 13=\underline{\quad}$，得 $307x=692y$。
  4. 第 4 步（用互质取最小解）：$307$ 与 $692$ 互质，所以 $x$ 是 $692$ 的倍数、$y$ 是 $307$ 的倍数。取最小一组 $x=692$、$y=307$，六位数 $=1000\times 692+307=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验数字互不相同并回代）：$6、9、2、3、0、7$ 各不相同；$692307\times 4=\underline{\quad}$，$307692\times 9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：密码盘上有个六位密码，前三位组成的三位数记为“甲”，后三位组成的三位数记为“乙”。已知把“甲乙”这个六位数乘 $4$，与把“乙甲”这个六位数乘 $9$ 结果相同，且六位密码中六个数字互不相同。这个六位密码最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体设元）：设“甲”$=x$、“乙”$=y$，则“甲乙”$=1000x+y$，“乙甲”$=1000y+x$。
  2. 第 2 步（列方程整理）：$(1000x+y)\times 4=(1000y+x)\times 9$，$x$ 的系数 $4000-9=\underline{\quad}$，$y$ 的系数 $9000-4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（约分）：$3991\div 13=\underline{\quad}$，$8996\div 13=\underline{\quad}$，得 $307x=692y$。
  4. 第 4 步（互质取最小解）：$x=692$、$y=307$，密码 $=1000\times 692+307=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$692307\times 4=\underline{\quad}$，$307692\times 9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在等式“学习好勤动脑 $\times 6=$ 勤动脑学习好 $\times 7$”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体设元列方程）：$(1000x+y)\times 6=(1000y+x)\times 7$，即 $6000x+6y=7000y+7x$。
  2. 第 2 步（合并同类项）：$x$ 的系数 $6000-7=\underline{\quad}$，$y$ 的系数 $7000-6=\underline{\quad}$，得 $5993x=6994y$。
  3. 第 3 步（约分）：两边同除以 $13$，$5993\div 13=\underline{\quad}$，$6994\div 13=\underline{\quad}$，得 $461x=538y$。
  4. 第 4 步（互质取最小解）：$461$ 与 $538$ 互质，取 $x=538$、$y=461$，六位数 $=1000\times 538+461=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$538461\times 6=\underline{\quad}$，$461538\times 7=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在等式“学习好勤动脑 $\times 5=$ 勤动脑学习好 $\times 8$”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。求“学习好勤动脑”所表示的最小六位数，并求它与相应的“勤动脑学习好”之差。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程整理）：$(1000x+y)\times 5=(1000y+x)\times 8$，$x$ 的系数 $5000-8=\underline{\quad}$，$y$ 的系数 $8000-5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（约分）：$4992\div 39=\underline{\quad}$，$7995\div 39=\underline{\quad}$，得 $128x=205y$。
  3. 第 3 步（取解并筛数字互不相同）：$x=205k$、$y=128k$。$k=1$ 时六位数 $205128$ 中出现两个 $2$，舍去；$k=2$ 时 $x=205\times 2=\underline{\quad}$、$y=128\times 2=\underline{\quad}$，六位数 $=1000\times 410+256=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出另一个六位数）：“勤动脑学习好”$=1000\times 256+410=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求差）：$410256-256410=\underline{\quad}$。
14. 【原题 ch21-tuozhan-06】在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的 $9$ 倍，在这样的三位数中最小的是多少？最大的是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·插入数字 + 倍数关系」类问题：在百位与十位之间插入一个数字，原来的百位被挤到千位，插入的数字占百位，后两位不动。
关键切入点：把后两位整体记作 $\overline{bc}$，则 $\overline{abc}=100a+\overline{bc}$、$\overline{adbc}=1000a+100d+\overline{bc}$。代入 $9$ 倍关系化简得 $100(a+d)=8\overline{bc}$，再约分成 $25(a+d)=2\overline{bc}$，于是 $\overline{bc}$ 必是 $25$ 的倍数、$a+d$ 必是偶数，取值范围一下就很小了。
方法概述：把不变的后两位整体设元，列出倍数方程并约分，再用「$25$ 的倍数」与「和为偶数」缩小范围。
规范步骤：
  1. 按位值展开：$\overline{abc}=100a+\overline{bc}$，$\overline{adbc}=1000a+100d+\overline{bc}$（位值原理）
  2. 列倍数方程：$1000a+100d+\overline{bc}=9\times(100a+\overline{bc})=900a+9\overline{bc}$（倍数关系）
  3. 移项化简：$100(a+d)=8\overline{bc}$，约分得 $25(a+d)=2\overline{bc}$（约分）
  4. 缩小范围：$\overline{bc}$ 是 $25$ 的倍数，$a+d$ 是偶数（整除分析）
  5. 取最小与最大：最小取 $\overline{bc}=25$、$a=1$ 得 $125$；最大取 $\overline{bc}=75$、$a=6$ 得 $675$（最值分析）
  6. 检验：$125\times 9=1125$，$675\times 9=6075$（回代验证）
第一套
题目：在一个四位数的千位和百位之间加入一个数字后，得到的五位数恰好是原四位数的 $9$ 倍。在这样的四位数中最小的是多少？最大的是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值整体设元）：设原四位数为 $\overline{abcd}=1000a+r$，其中 $r=\overline{bcd}$ 是后三位；插入数字 $e$ 后得 $\overline{aebcd}=10000a+1000e+r$。
  2. 第 2 步（列倍数方程）：$10000a+1000e+r=9\times(1000a+r)=9000a+9r$。
  3. 第 3 步（移项化简）：$a$ 的系数 $10000-9000=\underline{\quad}$，$r$ 的系数 $9-1=\underline{\quad}$，得 $1000(a+e)=8r$。
  4. 第 4 步（约分）：$1000\div 8=\underline{\quad}$，所以 $r=125\times(a+e)$，即后三位必是 $125$ 的倍数。
  5. 第 5 步（求最小）：让千位最小 $a=1$、$a+e$ 最小取 $1$（此时 $e=0$），$r=125\times 1=\underline{\quad}$，四位数 $=1000\times 1+125=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求最大）：$r<1000$ 要求 $a+e\le 7$，为让千位最大取 $a=7$、$e=0$，$r=125\times 7=\underline{\quad}$，四位数 $=1000\times 7+875=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步（检验）：$1125\times 9=\underline{\quad}$，$7875\times 9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某仪器的四位数编号，在千位和百位之间插入一个数字后变成五位数，这个五位数恰好是原编号的 $9$ 倍。这样的四位编号最小是多少？最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体设元）：设原编号 $=1000a+r$（$r$ 是后三位），插入数字 $e$ 后为 $10000a+1000e+r$。
  2. 第 2 步（列方程化简）：$10000a+1000e+r=9000a+9r$，$a$ 的系数 $10000-9000=\underline{\quad}$，$r$ 的系数 $9-1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（约分）：$1000\div 8=\underline{\quad}$，所以 $r=125\times(a+e)$。
  4. 第 4 步（求最小）：$a=1$、$a+e=1$，$r=\underline{\quad}$，编号 $=1000+125=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求最大）：$a=7$、$a+e=7$，$r=125\times 7=\underline{\quad}$，编号 $=7000+875=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（检验）：$7875\times 9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的 $9$ 倍。这样的三位数一共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程化简）：$1000a+100d+\overline{bc}=9\times(100a+\overline{bc})$，得 $100(a+d)=8\overline{bc}$；两边同除以 $4$，$100\div 4=\underline{\quad}$、$8\div 4=\underline{\quad}$，得 $25(a+d)=2\overline{bc}$。
  2. 第 2 步（缩小范围）：$\overline{bc}$ 必是 $25$ 的倍数，两位数中只有 $25$、$50$、$75$。
  3. 第 3 步（逐类数个数）：$\overline{bc}=25$ 时 $a+d=50\div 25=\underline{\quad}$，$a$ 只能取 $1$、$2$，共 $2$ 个；$\overline{bc}=50$ 时 $a+d=100\div 25=\underline{\quad}$，$a$ 可取 $1\sim 4$，共 $4$ 个；$\overline{bc}=75$ 时 $a+d=150\div 25=\underline{\quad}$，$a$ 可取 $1\sim 6$，共 $6$ 个。
  4. 第 4 步（合计）：$2+4+6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在一个四位数的千位和百位之间加入一个数字后，得到的五位数恰好是原四位数的 $9$ 倍。求这样的四位数中最大的一个与最小的一个的差。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程化简）：$10000a+1000e+r=9000a+9r$，得 $a$ 的系数 $10000-9000=\underline{\quad}$、$r$ 的系数 $9-1=\underline{\quad}$，即 $1000(a+e)=8r$。
  2. 第 2 步（约分）：$1000\div 8=\underline{\quad}$，所以 $r=125\times(a+e)$，且 $a+e\le 7$。
  3. 第 3 步（求最小）：$a=1$、$a+e=1$，四位数 $=1000+125\times 1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最大）：$a=7$、$a+e=7$，四位数 $=7000+125\times 7=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求差）：$7875-1125=\underline{\quad}$。
15. 【原题 ch21-tuozhan-07】用 $5$、$7$、$2$、$0$、$8$ 这 $5$ 个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是 $66663$，这两个数中较大的一个可能是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理 + 减法竖式借位 + 数字组合」类问题：五个给定数字要拆成两个五位数，差是定值，只能靠竖式逐位讨论借位来定位置。
关键切入点：五位数首位不能是 $0$，先看万位：两数万位之差只能是 $6$ 或 $7$（要看低位是否借位）。再逐位分析：个位差是 $3$ 但可用数字里凑不出，必须借位；顺着借位链一路往上推，最后确定万位差是 $7$，即较大数首位 $8$、较小数首位 $1$，其余数位按借位关系填入。
方法概述：从个位开始逐位分析借位链，用「首位不为 $0$」与给定数字集合把每一位定死。
规范步骤：
  1. 确定万位差的可能值：两数万位之差只能是 $6$ 或 $7$（减法竖式借位）
  2. 分析个位与低位借位：个位相减需向十位借位，借位链逐位向上传递（减法竖式借位）
  3. 定出万位：万位差为 $7$，较大数首位为 $8$，较小数首位为 $1$（首位不为 $0$）
  4. 填入其余数位：由借位关系得两组排列（数字组合）
  5. 写出答案：较大的数是 $87250$ 或 $87520$
16. 【原题 ch21-tuozhan-08】有些三位数，如果它本身增加 $3$，那么新的三位数的各位数字之和就减少到原来三位数各位数字之和的 $\frac{1}{3}$，求所有这样的三位数。
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·进位分析 + 数字和」类问题：给一个数加上 $3$，数字和的变化量只取决于进位次数——每进位一次，数字和就再少 $9$。
关键切入点：写出公式 $\text{新数字和}=\text{原数字和}+3-9k$（$k$ 是进位次数）。题目要求新数字和是原来的 $\frac{1}{3}$，代入解出 $2S=27k-9$；$k=1$ 时 $S=9$，$k=2$ 时右边是奇数无解，$k=3$ 时 $S=36$ 超过三位数数字和上限 $27$。于是原数的数字和必是 $9$，再按「个位加 $3$ 要进位且十位不再进位」枚举即可。
方法概述：用「加法后数字和 $=$ 原数字和 $+3-9\times$ 进位次数」列方程定出数字和，再枚举。
规范步骤：
  1. 写出数字和变化公式：$S'=S+3-9k$（进位与数字和变化）
  2. 代入条件：$\dfrac{S}{3}=S+3-9k$，即 $2S=27k-9$（整数方程）
  3. 讨论进位次数：$k=1$ 得 $S=9$；$k=2$ 时 $27\times 2-9=45$ 为奇数无解；$k=3$ 得 $S=36>27$ 舍（分类讨论）
  4. 枚举数字和为 $9$ 且个位为 $7、8、9$ 的三位数：$117$、$207$、$108$（枚举验证）
  5. 检验：$117+3=120$，$1+2+0=3=9\div 3$（回代验证）
第一套
题目：有些三位数，如果它本身增加 $3$，那么新的三位数的各位数字之和就减少到原来三位数各位数字之和的 $\frac{1}{4}$，求所有这样的三位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写出数字和变化公式）：加 $3$ 后数字和 $=$ 原数字和 $+3-9\times(\text{进位次数})$，记原数字和为 $S$、进位 $k$ 次，则 $\dfrac{S}{4}=S+3-9k$。
  2. 第 2 步（去分母整理）：两边同乘 $4$ 得 $S=4S+12-36k$，即 $3S=36k-12$。
  3. 第 3 步（讨论进位次数）：$k=1$ 时 $3S=36\times 1-12=\underline{\quad}$，$S=24\div 3=\underline{\quad}$；$k=2$ 时 $3S=36\times 2-12=\underline{\quad}$，$S=60\div 3=\underline{\quad}$；$k=3$ 时 $S=(36\times 3-12)\div 3=\underline{\quad}$，超过三位数数字和上限 $27$，舍去。
  4. 第 4 步（$S=8$、进位 $1$ 次）：个位加 $3$ 要进位，个位不小于 $7$；数字和只有 $8$，所以只能是 $107$（$1+0+7=\underline{\quad}$）。
  5. 第 5 步（$S=20$、进位 $2$ 次）：十位必须是 $9$ 才能再进一次位，于是百位与个位之和 $=20-9=\underline{\quad}$，个位取 $7、8、9$ 依次得 $497$、$398$、$299$。
  6. 第 6 步（检验）：$107+3=110$，数字和 $2=8\div 4=\underline{\quad}$；$497+3=500$，数字和 $5=20\div 4=\underline{\quad}$。
第二套
题目：电子计价器上显示一个三位数的价格（元）。涨价 $3$ 元后，新价格的各位数字之和只有原价格各位数字之和的 $\frac{1}{4}$。原来的价格可能是多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字和变化公式）：涨 $3$ 元后数字和 $=$ 原数字和 $+3-9\times(\text{进位次数})$，即 $\dfrac{S}{4}=S+3-9k$。
  2. 第 2 步（整理）：$S=4S+12-36k$，即 $3S=36k-12$。
  3. 第 3 步（讨论 $k$）：$k=1$ 时 $3S=\underline{\quad}$，$S=\underline{\quad}$；$k=2$ 时 $3S=\underline{\quad}$，$S=\underline{\quad}$；$k=3$ 时 $S=\underline{\quad}$ 超过上限 $27$，舍去。
  4. 第 4 步（$S=8$）：个位不小于 $7$ 且数字和为 $8$，只能是 $107$，检验 $1+0+7=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（$S=20$）：十位是 $9$，百位与个位之和 $=20-9=\underline{\quad}$，得 $497$、$398$、$299$。
  6. 第 6 步（检验）：$497+3=500$，数字和 $5$，而 $20\div 4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有些四位数，如果它本身增加 $3$，那么新的四位数的各位数字之和就减少到原来四位数各位数字之和的 $\frac{1}{3}$，求所有这样的四位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字和变化公式）：$\dfrac{S}{3}=S+3-9k$，两边同乘 $3$ 得 $S=3S+9-27k$，即 $2S=27k-9$。
  2. 第 2 步（讨论进位次数）：$k=1$ 时 $2S=27\times 1-9=\underline{\quad}$，$S=18\div 2=\underline{\quad}$；$k=2$ 时 $27\times 2-9=\underline{\quad}$ 是奇数，无解；$k=3$ 时 $2S=27\times 3-9=\underline{\quad}$，$S=36$，只有 $9999$ 满足，但 $9999+3$ 已不是四位数，舍去。
  3. 第 3 步（$S=9$、进位 $1$ 次）：个位不小于 $7$、十位不是 $9$，且四位数字之和为 $9$，逐个枚举得 $1008$、$1017$、$1107$、$2007$。
  4. 第 4 步（检验其一）：$1017+3=1020$，数字和 $1+0+2+0=\underline{\quad}$，而 $9\div 3=\underline{\quad}$，相等。
第三套
题目：有些三位数，如果它本身增加 $3$，那么新的三位数的各位数字之和就减少到原来三位数各位数字之和的 $\frac{1}{3}$。求所有这样的三位数的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数字和变化公式）：$\dfrac{S}{3}=S+3-9k$，整理得 $2S=27k-9$。
  2. 第 2 步（讨论进位次数）：$k=1$ 时 $2S=27-9=\underline{\quad}$，$S=18\div 2=\underline{\quad}$；$k=2$ 时 $27\times 2-9=\underline{\quad}$ 为奇数无解；$k=3$ 时 $S=(27\times 3-9)\div 2=\underline{\quad}$ 超过 $27$，舍去。
  3. 第 3 步（枚举）：数字和为 $9$、个位不小于 $7$ 且十位不为 $9$ 的三位数有 $108$、$117$、$207$。
  4. 第 4 步（求和）：$108+117+207=\underline{\quad}$。
17. 【原题 ch21-tuozhan-09】有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为 $7$ 的倍数，这两个自然数中较小的数最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「数字和·进位与数字和变化」类问题：相邻两数只差 $1$，若末位不是 $9$，数字和就只多 $1$，而连续两个整数不可能都是 $7$ 的倍数，所以必须靠末尾的 $9$ 制造进位。
关键切入点：设末尾有 $k$ 个 $9$，加 $1$ 后数字和由 $N$ 变成 $N+1-9k$。要 $N$ 与 $N+1-9k$ 都是 $7$ 的倍数，只需它们的差 $9k-1$ 是 $7$ 的倍数，逐个试 $k$ 得最小 $k=4$。再让前面的部分尽量小：前面数字和加上 $9\times 4=36$ 要是 $7$ 的倍数，取一位数 $6$ 即可。
方法概述：先用「差 $9k-1$ 是倍数」定出末尾 $9$ 的个数，再让前面部分数字和最小、位数最少。
规范步骤：
  1. 必须进位：若不进位，数字和为 $N$ 与 $N+1$，不可能都是 $7$ 的倍数（进位与数字和变化）
  2. 设末尾有 $k$ 个 $9$：加 $1$ 后数字和为 $N+1-9k$（进位与数字和变化）
  3. 两数字和之差要是 $7$ 的倍数：$9k-1$ 是 $7$ 的倍数，$k$ 最小为 $4$（$9\times 4-1=35=7\times 5$）（倍数分析）
  4. 让前面部分最小：末尾 $9999$ 贡献 $36$，前面取 $6$ 使 $6+36=42=7\times 6$（最小值）
  5. 写出答案并检验：$69999$ 的数字和 $42$，$70000$ 的数字和 $7$，都是 $7$ 的倍数（回代验证）
第一套
题目：有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为 $11$ 的倍数，这两个自然数中较小的数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（必须进位）：若加 $1$ 时不进位，两数字和是 $N$ 与 $N+1$，相差 $1$，不可能都是 $11$ 的倍数，所以末尾一定有若干个 $9$。
  2. 第 2 步（写出变化量）：设末尾有 $k$ 个 $9$，加 $1$ 后数字和变为 $N+1-9k$，两个数字和之差是 $9k-1$，它必须是 $11$ 的倍数。
  3. 第 3 步（逐个试 $k$）：$k=5$ 时 $9\times 5-1=\underline{\quad}$，$44\div 11=\underline{\quad}$，恰好整除，所以 $k$ 最小是 $5$。
  4. 第 4 步（算末尾贡献）：末尾 $5$ 个 $9$ 的数字和是 $9\times 5=\underline{\quad}$，而 $45$ 比 $44$ 多 $1$，所以前面部分的数字和要凑到 $11-1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（让数最小）：一位数最大只有 $9$，凑不出 $10$，所以前面至少两位；两位数中数字和为 $10$ 且末位不是 $9$（否则 $9$ 的个数就多了）的最小的是 $28$，$2+8=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（检验）：$2899999$ 的数字和 $=2+8+9\times 5=\underline{\quad}$，$55\div 11=\underline{\quad}$；$2900000$ 的数字和 $=2+9=11$。
第二套
题目：电表连续两天的读数是两个相邻的自然数，它们的各位数字之和都是 $11$ 的倍数。前一天的读数最小可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（必须进位）：读数加 $1$ 若不进位，数字和只多 $1$，不可能都是 $11$ 的倍数，所以末尾必有若干个 $9$。
  2. 第 2 步（写出变化量）：末尾 $k$ 个 $9$ 时，两数字和之差是 $9k-1$，须是 $11$ 的倍数。
  3. 第 3 步（试 $k$）：$9\times 5-1=\underline{\quad}$，$44\div 11=\underline{\quad}$，故 $k$ 最小是 $5$。
  4. 第 4 步（凑前面部分）：末尾贡献 $9\times 5=\underline{\quad}$，前面数字和要凑 $11-1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（取最小）：最小的两位数是 $28$（$2+8=\underline{\quad}$），读数为 $2899999$。
  6. 第 6 步（检验）：数字和 $=2+8+9\times 5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为 $13$ 的倍数，这两个自然数中较小的数最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（必须进位）：末尾一定有若干个 $9$，否则两数字和相差 $1$，不可能都是 $13$ 的倍数。
  2. 第 2 步（试 $k$）：两数字和之差是 $9k-1$。$k=3$ 时 $9\times 3-1=\underline{\quad}$，$26\div 13=\underline{\quad}$，恰好整除，$k$ 最小是 $3$。
  3. 第 3 步（算末尾贡献）：末尾 $3$ 个 $9$ 的数字和是 $9\times 3=\underline{\quad}$，比 $26$ 多 $1$，所以前面部分的数字和要凑到 $13-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取最小）：两位数中数字和为 $12$ 且末位不是 $9$ 的最小的是 $48$（$4+8=\underline{\quad}$），所以数是 $48999$。
  5. 第 5 步（检验）：$4+8+9\times 3=\underline{\quad}$，$39\div 13=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为 $11$ 的倍数。求满足要求的最小的一对数之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定末尾 $9$ 的个数）：两数字和之差 $9k-1$ 要是 $11$ 的倍数，$9\times 5-1=\underline{\quad}$，$44\div 11=\underline{\quad}$，故 $k=5$。
  2. 第 2 步（凑前面部分）：末尾贡献 $9\times 5=\underline{\quad}$，前面数字和须凑 $11-1=\underline{\quad}$，最小取两位数 $28$。
  3. 第 3 步（写出较小的数）：$2899999$，其数字和 $=2+8+9\times 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出较大的数）：$2899999+1=\underline{\quad}$，数字和 $2+9=11$。
  5. 第 5 步（求和）：$2899999+2900000=\underline{\quad}$。
18. 【原题 ch21-tuozhan-10】记号 $n!$ 表示前 $n$ 个正整数相乘，并且规定 $0!=1$，例如：$4!=1\times 2\times 3\times 4$。每一个三位数 $\overline{abc}$ 都有一个“对应数”：$a!+b!+c!$，例如：$254$ 的对应数是 $2!+5!+4!=146$。请问：对应数与自身相同的三位数是什么？
详细思路
是哪类问题：这是「阶乘 + 数字和与各位数字关系 + 枚举验证」类问题：先用阶乘的增长速度把可用数字压缩到很小的范围，再逐一枚举验证。
关键切入点：$7!=5040$ 已是四位数，所以各位数字不能出现 $7$ 及以上；若含 $6$，对应数至少含 $720$，会逼得首位大于 $7$，矛盾，所以各位数字只能取 $0\sim 5$。范围一小，枚举很快，最后验出只有 $145$ 满足。
方法概述：用阶乘的增长速度压缩数字范围，再枚举验证。
规范步骤：
  1. 列出小阶乘：$1!=1$，$2!=2$，$3!=6$，$4!=24$，$5!=120$，$6!=720$，$7!=5040$（阶乘）
  2. 排除 $7$ 及以上：$7!$ 已是四位数，超过三位数范围（范围估计）
  3. 排除 $6$：若含 $6$，对应数至少 $720$，首位需大于 $7$，矛盾（范围估计）
  4. 在 $0\sim 5$ 内枚举验证：$1!+4!+5!=1+24+120=145$（枚举验证）
第一套
题目：记号 $n!$ 表示前 $n$ 个正整数相乘，规定 $0!=1$。每一个三位数 $\overline{abc}$ 都有一个“对应数”$a!+b!+c!$。请问：$456$ 的对应数是多少？对应数与自身相同的三位数又是什么？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算 $456$ 的对应数）：$4!=1\times 2\times 3\times 4=\underline{\quad}$，$5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=\underline{\quad}$，$6!=120\times 6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和）：$24+120+720=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（压缩数字范围）：$7!=720\times 7=\underline{\quad}$ 已是四位数，所以要找的三位数各位数字不能有 $7$ 及以上；若含 $6$，对应数至少 $720$，首位就得大于 $7$，矛盾，故各位数字只能取 $0\sim 5$。
  4. 第 4 步（枚举验证）：在 $0\sim 5$ 内试算，$1!+4!+5!=1+24+120=\underline{\quad}$，与自身相同。
第二套
题目：某游戏给每个三位数关卡编号 $\overline{abc}$ 配一个“能量值”，等于 $a!+b!+c!$（$n!$ 表示前 $n$ 个正整数相乘，$0!=1$）。第 $456$ 关的能量值是多少？哪一关的能量值恰好等于关卡编号本身？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算阶乘）：$4!=\underline{\quad}$，$5!=\underline{\quad}$，$6!=120\times 6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求第 $456$ 关的能量值）：$24+120+720=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（压缩范围）：$7!=\underline{\quad}$ 已是四位数，故关卡编号各位数字只能取 $0\sim 5$。
  4. 第 4 步（枚举验证）：$1!+4!+5!=\underline{\quad}$，正是 $145$ 关。
第三套
题目：记号 $n!$ 表示前 $n$ 个正整数相乘，$0!=1$。请验证：五位数 $40585$ 的各位数字的阶乘之和恰好等于它本身。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（逐个算阶乘）：$4!=\underline{\quad}$，$0!=1$，$5!=\underline{\quad}$，$8!=5040\times 8=\underline{\quad}$，$5!=120$。
  2. 第 2 步（先加小的三项）：$24+1+120=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再加另外两项）：$145+40320=\underline{\quad}$，再加最后一个 $5!$：$40465+120=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（比较）：结果与 $40585$ 相同，验证成立。
第三套
题目：每一个三位数 $\overline{abc}$ 都有一个“对应数”$a!+b!+c!$（$0!=1$）。求对应数与自身相同的那个三位数，并求它与它的反序数之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（压缩范围）：$7!=720\times 7=\underline{\quad}$ 已是四位数，若含 $6$ 则对应数至少 $720$、首位需大于 $7$，所以各位数字只能取 $0\sim 5$。
  2. 第 2 步（枚举验证）：$1!+4!+5!=1+24+120=\underline{\quad}$，即这个三位数是 $145$。
  3. 第 3 步（写出反序数）：把 $145$ 的数字倒过来得 $\underline{\quad}$（提示：$100\times 5+10\times 4+1$）。
  4. 第 4 步（求和）：$145+541=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（用规律复核）：$\overline{abc}+\overline{cba}=101\times(a+c)+20b=101\times(1+5)+20\times 4=\underline{\quad}$。
19. 【原题 ch21-tuozhan-11】如果修改 $31743$ 的某一个数字，可以得到 $823$ 的倍数，那么修改后的这个数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理 + 倍数判断 + 乘法竖式分析」类问题：只允许改动一个数字，说明修改后的数与原数在其余各位上完全一样，可以先锁住不动的低位，再用乘法竖式的末位规律确定乘数。
关键切入点：先假定后三位 $743$ 不动，要找形如 $\overline{\square\square 743}$ 的 $823$ 的倍数。乘积末位是 $3$、$823$ 的末位也是 $3$，只有乘数末位为 $1$ 时 $3\times 1$ 的末位才是 $3$；再看乘积末两位是 $43$，推出乘数十位只能是 $4$。于是乘数是 $41$，$823\times 41=33743$，它与 $31743$ 只有千位不同，恰好只改一位。
方法概述：锁住不动的低位，用乘法竖式末位、末两位规律逐位确定乘数，再回代检验只改了一位。
规范步骤：
  1. 锁住后三位：要找形如 $\overline{\square\square 743}$ 的 $823$ 的倍数（位值原理）
  2. 由末位定乘数个位：乘积末位是 $3$，$823$ 末位是 $3$，故乘数末位是 $1$（乘法竖式分析）
  3. 由末两位定乘数十位：乘积末两位是 $43$，推出乘数十位是 $4$（乘法竖式分析）
  4. 算出结果：$823\times 41=33743$（乘法）
  5. 检验只改一位：$31743\to 33743$，只有千位由 $1$ 改成 $3$（回代验证）
第一套
题目：如果修改 $50026$ 的某一个数字，可以得到 $823$ 的倍数，那么修改后的这个数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（估一估乘数）：修改一个数字后仍是五位数，且与 $50026$ 相差不会太大。先估 $823\times 60=\underline{\quad}$，比 $50026$ 略小。
  2. 第 2 步（往上试）：$823\times 61=\underline{\quad}$，与 $50026$ 逐位比较（$50203$ 与 $50026$），百位、十位、个位都不同，改了不止一位，舍去。
  3. 第 3 步（继续试）：$823\times 62=\underline{\quad}$，与 $50026$ 逐位比较，只有千位由 $0$ 变成 $1$，恰好只改了一位，符合要求。
  4. 第 4 步（再往上排除）：$823\times 63=\underline{\quad}$，与 $50026$ 相差太多，改动不止一位，舍去。
  5. 第 5 步（检验）：$51026\div 823=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一张订单号 $50026$ 录错了一位数字。已知正确的订单号是 $823$ 的倍数，也是五位数。正确的订单号是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（估乘数）：$823\times 60=\underline{\quad}$，略小于 $50026$。
  2. 第 2 步（试 $61$）：$823\times 61=\underline{\quad}$，与 $50026$ 相比不止一位不同，舍去。
  3. 第 3 步（试 $62$）：$823\times 62=\underline{\quad}$，与 $50026$ 只有千位不同，符合“只错一位”。
  4. 第 4 步（试 $63$ 排除）：$823\times 63=\underline{\quad}$，差得太多，舍去。
  5. 第 5 步（检验）：$51026\div 823=\underline{\quad}$。
第三套
题目：如果修改 $50014$ 的某一个数字，可以得到 $941$ 的倍数，那么修改后的这个数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（估乘数）：$941\times 53=\underline{\quad}$，略小于 $50014$。
  2. 第 2 步（试 $54$）：$941\times 54=\underline{\quad}$，与 $50014$ 逐位比较，只有百位由 $0$ 变成 $8$，恰好只改一位。
  3. 第 3 步（试 $55$ 排除）：$941\times 55=\underline{\quad}$，与 $50014$ 有多位不同，舍去。
  4. 第 4 步（检验）：$50814\div 941=\underline{\quad}$。
第三套
题目：如果修改 $50026$ 的某一个数字，可以得到 $823$ 的倍数。求修改后的这个数、它除以 $823$ 的商，以及它的各位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（试算定位）：$823\times 61=\underline{\quad}$（与 $50026$ 多位不同，舍去），$823\times 62=\underline{\quad}$（与 $50026$ 只有千位不同，符合）。
  2. 第 2 步（写出结果）：修改后的数是 $51026$。
  3. 第 3 步（求商）：$51026\div 823=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求各位数字之和）：$5+1+0+2+6=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（用 $9$ 的整除特征复核）：$14$ 除以 $9$ 余 $14-9=\underline{\quad}$，所以 $51026$ 除以 $9$ 也余 $5$。
20. 【原题 ch21-tuozhan-12】如果 $\underbrace{22\cdots 2}_{n\text{个}2}$ 是 $1998$ 的倍数，那么 $n$ 最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「重复数字的整除性 + 因数分解」类问题：全由 $2$ 组成的数可以写成 $2\times\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，把公因数提出来后，问题就化归为「$n$ 个 $1$ 组成的数被 $999$ 整除」。
关键切入点：$1998=2\times 999$，两边约去 $2$ 后只需 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}$ 是 $999$ 的倍数。再把 $999=111\times 9$ 拆开：被 $111$ 整除要求 $n$ 是 $3$ 的倍数；此时商的数字和是 $\frac{n}{3}$，要被 $9$ 整除就要求 $\frac{n}{3}$ 是 $9$ 的倍数，于是 $n$ 是 $27$ 的倍数，最小为 $27$。
方法概述：先提公因数把问题化成重复 $1$ 的数，再把除数拆成互质因数逐条translate成对 $n$ 的整除条件。
规范步骤：
  1. 提取公因数：$\underbrace{22\cdots 2}_{n}=2\times\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，$1998=2\times 999$（因数分解）
  2. 化归：只需 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}$ 是 $999$ 的倍数（约分）
  3. 拆分 $999$：$999=111\times 9$，且 $111$ 与 $9$ 互质（因数分解）
  4. 被 $111$ 整除的条件：$n$ 是 $3$ 的倍数（重复数字的整除性）
  5. 被 $9$ 整除的条件：商 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}\div 111$ 的数字和是 $\dfrac{n}{3}$，须是 $9$ 的倍数（9的整除特征）
  6. 取最小值：$n$ 是 $27$ 的倍数，最小 $n=3\times 9=27$（最小值）
第一套
题目：如果 $\underbrace{22\cdots 2}_{n\text{个}2}$ 是 $19998$ 的倍数，那么 $n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（提公因数化归）：$\underbrace{22\cdots 2}_{n}=2\times\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，而 $19998\div 2=\underline{\quad}$，所以只需 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}$ 是 $9999$ 的倍数。
  2. 第 2 步（把 $9999$ 拆成互质因数）：$9999\div 9=\underline{\quad}$，再把 $1111$ 拆开 $1111\div 11=\underline{\quad}$，所以 $9999=9\times 11\times 101$。
  3. 第 3 步（被 $9$ 整除的条件）：$n$ 个 $1$ 的数字和恰是 $n$，所以 $n$ 必须是 $9$ 的倍数。
  4. 第 4 步（被 $11$、$101$ 整除的条件）：最短的能被 $11$ 整除的是 $11$（$2$ 个 $1$），最短的能被 $101$ 整除的是 $1111$（$4$ 个 $1$），所以 $n$ 必须同时是 $2$ 和 $4$ 的倍数，即 $n$ 是 $4$ 的倍数。
  5. 第 5 步（取公倍数）：$n$ 同时是 $9$ 和 $4$ 的倍数，而 $9$ 与 $4$ 互质，所以最小 $n=9\times 4=\underline{\quad}$。
第二套
题目：打印机连续打出 $n$ 个数字 $2$，组成一个整数。要使这个整数是 $19998$ 的倍数，$n$ 最少是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（提公因数）：这个整数 $=2\times\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，而 $19998\div 2=\underline{\quad}$，只需 $n$ 个 $1$ 组成的数是 $9999$ 的倍数。
  2. 第 2 步（拆因数）：$9999\div 9=\underline{\quad}$，$1111\div 11=\underline{\quad}$，即 $9999=9\times 11\times 101$。
  3. 第 3 步（各条件）：被 $9$ 整除要 $n$ 是 $9$ 的倍数；被 $11$、$101$ 整除要 $n$ 是 $4$ 的倍数。
  4. 第 4 步（取最小公倍数）：$n=9\times 4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：如果 $\underbrace{55\cdots 5}_{n\text{个}5}$ 是 $4995$ 的倍数，那么 $n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（提公因数化归）：$\underbrace{55\cdots 5}_{n}=5\times\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，而 $4995\div 5=\underline{\quad}$，所以只需 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}$ 是 $999$ 的倍数。
  2. 第 2 步（拆分 $999$）：$999\div 9=\underline{\quad}$，即 $999=111\times 9$，且 $111$ 与 $9$ 互质。
  3. 第 3 步（被 $111$ 整除的条件）：最短的能被 $111$ 整除的是 $111$（$3$ 个 $1$），所以 $n$ 必须是 $3$ 的倍数。
  4. 第 4 步（被 $9$ 整除的条件）：商 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}\div 111$ 的数字和是 $\dfrac{n}{3}$，要被 $9$ 整除。
  5. 第 5 步（取最小）：$\dfrac{n}{3}$ 是 $9$ 的倍数，所以 $n$ 最小 $=3\times 9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：如果 $\underbrace{22\cdots 2}_{n\text{个}2}$ 是 $1998$ 的倍数，求最小的 $n$，并求此时这个数的位数与各位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化归）：$1998\div 2=\underline{\quad}$，只需 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}$ 是 $999$ 的倍数。
  2. 第 2 步（拆分）：$999\div 9=\underline{\quad}$，被 $111$ 整除要求 $n$ 是 $3$ 的倍数；商的数字和 $\dfrac{n}{3}$ 要被 $9$ 整除。
  3. 第 3 步（取最小 $n$）：$n=3\times 9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求位数）：这个数由 $n$ 个 $2$ 组成，位数就是 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求各位数字之和）：$2\times 27=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（复核）：$54$ 是 $9$ 的倍数（$54\div 9=\underline{\quad}$），与「这个数是 $999$ 的倍数的 $2$ 倍」一致。
21. 【原题 ch21-tuozhan-13】$1$ 至 $9$ 这 $9$ 个数字，按图 $21\text{-}1$ 所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在 $1$ 和 $7$ 之间剪开，得到的两个数是 $193426857$ 和 $758624391$）。如果要求剪得的两个九位数的差能够被 $396$ 整除，那么剪开处在哪两个数字之间？乘积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「$396$ 的整除特征 + 圆排列与位值」类问题：$396=4\times 9\times 11$，且 $4$、$9$、$11$ 两两互质，所以差能被 $396$ 整除，等价于同时被 $4$、$9$、$11$ 整除。
关键切入点：顺时针与逆时针得到的两个九位数用的是同一批数字，各位数字之和相同，因此两数除以 $9$ 的余数相同、差必被 $9$ 整除，这一条自动成立。真正要逐处检查的只有两条：差被 $11$ 整除（看奇数位与偶数位数字和之差）与差被 $4$ 整除（看末两位）。逐对相邻数字试算即可。
方法概述：把 $396$ 拆成互质的 $4$、$9$、$11$，先说明被 $9$ 整除自动成立，再逐个剪开处检验被 $4$、$11$ 整除。
规范步骤：
  1. 分解除数：$396=4\times 9\times 11$，三者两两互质（因数分解）
  2. 被 $9$ 整除自动成立：两个九位数数字和相同，差是 $9$ 的倍数（9的整除特征）
  3. 被 $11$ 整除的条件：看奇数位与偶数位数字和之差（11的整除特征）
  4. 被 $4$ 整除的条件：看末两位组成的两位数（4的整除特征）
  5. 逐处检验并写出乘积：$1\times 9=9$，$9\times 3=27$，$4\times 2=8$，$2\times 6=12$，$6\times 8=48$，$5\times 7=35$（枚举验证）
22. 【原题 ch21-tuozhan-14】各位数字不相同的八位数中，能被 $72$ 整除的数最小是多少？最大是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「$72$ 的整除特征 + 数字选取与排列」类问题：$72=8\times 9$ 且 $8$、$9$ 互质，所以八位数要同时满足 $9$ 的整除特征（数字和）与 $8$ 的整除特征（末三位）。
关键切入点：$0+1+\cdots+9=45$ 是 $9$ 的倍数，去掉两个数字后余下 $8$ 个数字之和仍要是 $9$ 的倍数，所以去掉的两个数字之和必须是 $9$ 的倍数（即 $9$ 或 $18$）。求最小时高位从 $1、0、2、3$ 排起，求最大时高位从 $9、8、7、6$ 排起，最后只调末三位使其被 $8$ 整除。
方法概述：拆成 $8$、$9$ 两条整除特征：数字和定「去掉哪两个」，末三位定「怎么收尾」，高位贪心。
规范步骤：
  1. 分解除数：$72=8\times 9$，$8$ 与 $9$ 互质（因数分解）
  2. 用 $9$ 的整除特征：$0+1+\cdots+9=45$，去掉的两个数字之和须是 $9$ 的倍数（9的整除特征）
  3. 用 $8$ 的整除特征：末三位组成的三位数须被 $8$ 整除（8的整除特征）
  4. 求最小：$10237896$，$896\div 8=112$（贪心+整除特征）
  5. 求最大：$98763120$，$120\div 8=15$（贪心+整除特征）
第一套
题目：各位数字不相同的八位数中，能被 $144$ 整除的数最小是多少？最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$144=9\times \underline{\quad}$，且 $9$ 与 $16$ 互质，需同时被 $9$ 和 $16$ 整除。
  2. 第 2 步（用 $9$ 的整除特征）：$0+1+\cdots+9=(0+9)\times 10\div 2=\underline{\quad}$，去掉两个数字后余下 $8$ 个数字之和要是 $9$ 的倍数，所以去掉的两数之和是 $9$ 的倍数。
  3. 第 3 步（用 $16$ 的整除特征）：只看末四位组成的四位数能否被 $16$ 整除。
  4. 第 4 步（求最小）：高位从 $1、0、2、3$ 排起，调整末四位得 $10237968$，检验末四位 $7968\div 16=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求最大）：高位从 $9、8、7、6$ 排起，调整末四位得 $98763120$，检验末四位 $3120\div 16=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（整体复核）：$10237968\div 144=\underline{\quad}$，$98763120\div 144=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某活动的入场券号码是一个各位数字都不相同的八位数，并且必须能被 $144$ 整除。这样的号码最小是多少？最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$144=9\times \underline{\quad}$，需同时被 $9$ 与 $16$ 整除。
  2. 第 2 步（用 $9$ 的整除特征）：$0+1+\cdots+9=\underline{\quad}$，去掉的两个数字之和须是 $9$ 的倍数。
  3. 第 3 步（求最小号码）：得 $10237968$，检验末四位 $7968\div 16=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最大号码）：得 $98763120$，检验末四位 $3120\div 16=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（整体复核）：$98763120\div 144=\underline{\quad}$。
第三套
题目：各位数字不相同的八位数中，能被 $45$ 整除的数最小是多少？最大是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$45=9\times \underline{\quad}$，且 $9$ 与 $5$ 互质。
  2. 第 2 步（用 $5$ 的整除特征）：末位只能是 $0$ 或 $5$。
  3. 第 3 步（用 $9$ 的整除特征）：$0+1+\cdots+9=\underline{\quad}$，去掉的两个数字之和须是 $9$ 的倍数。
  4. 第 4 步（求最小）：高位从 $1、0、2、4$ 排起，末位取 $5$，得 $10247895$，检验 $10247895\div 45=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求最大）：高位从 $9、8、7、6$ 排起，末位取 $0$，得 $98763210$，检验 $98763210\div 45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：各位数字不相同的八位数中，能被 $72$ 整除的数最小是多少？最大是多少？它们的差是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分解除数）：$72=9\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用 $9$ 的整除特征）：$0+1+\cdots+9=\underline{\quad}$，去掉的两个数字之和须是 $9$ 的倍数。
  3. 第 3 步（求最小）：$10237896$，检验末三位 $896\div 8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最大）：$98763120$，检验末三位 $120\div 8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求差）：$98763120-10237896=\underline{\quad}$。
23. 【原题 ch21-xingqu-01】一个四位数，在它的个位后面再添上数字“$0$”可以得到一个五位数，这个五位数与四位数的和等于 $24684$，这个四位数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·添零即扩大10倍」类问题：在一个数的个位后面添 $0$，每一位数字都向左挪一位，数值变成原来的 $10$ 倍。
关键切入点：把四位数看作 $1$ 份，则添 $0$ 后的五位数是 $10$ 份，两数之和就是 $11$ 份。已知总和 $24684$，用总和除以份数 $11$ 就直接得到原数，不必逐位试。
方法概述：把「添零后的数」换算成原数的 $10$ 倍，用和倍关系一步除出原数。
规范步骤：
  1. 添零相当于扩大 $10$ 倍：$\text{五位数}=\text{四位数}\times 10$（位值原理）
  2. 两数之和是原数的 $10+1=11$ 倍：$\text{四位数}\times 11=24684$（和倍关系）
  3. 用和除以倍数得原数：$24684\div 11=2244$（除法还原）
  4. 检验：$2244+22440=24684$（回代验证）
第一套
题目：一个四位数，在它的个位后面再添上数字“$0$”可以得到一个五位数，这个五位数与原四位数的和等于 $79992$，这个四位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出倍数关系）：后面添一个 $0$，每位数字左移一位，新数是原数的 $\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（合并份数）：原数算 $1$ 份，新数算 $10$ 份，两数之和是原数的 $10+1=\underline{\quad}$ 倍。
  3. 第 3 步（用和倍关系还原）：$\text{四位数}=79992\div 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：$7272\times 11=\underline{\quad}$，与题给的和相同。
第二套
题目：仓库给一批货编号：原编号是一个四位数，在它末尾补一个“$0$”就成了新的五位编号。已知新旧两个编号之和是 $79992$，原来的四位编号是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出倍数关系）：末尾补 $0$ 后，新编号是原编号的 $\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（合并份数）：新旧编号之和相当于原编号的 $10+1=\underline{\quad}$ 倍。
  3. 第 3 步（还原）：$\text{原编号}=79992\div 11=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：$7272+72720=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个四位数，在它的个位后面再添上两个数字“$0$”可以得到一个六位数，这个六位数与原四位数的和等于 $226644$，这个四位数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出倍数关系）：末尾添两个 $0$，每位数字左移两位，新数是原数的 $10\times 10=\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（合并份数）：两数之和是原数的 $100+1=\underline{\quad}$ 倍。
  3. 第 3 步（还原）：$\text{四位数}=226644\div 101=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：$2244\times 101=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个四位数，在它的个位后面再添上数字“$0$”可以得到一个五位数，这个五位数与四位数的和等于 $24684$。求这个五位数的各位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出倍数关系）：五位数是四位数的 $\underline{\quad}$ 倍，两数之和是四位数的 $10+1=\underline{\quad}$ 倍。
  2. 第 2 步（还原原数）：$\text{四位数}=24684\div 11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出五位数）：末尾添 $0$，$2244\times 10=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求各位数字之和）：$2+2+4+4+0=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch21-xingqu-02】一个两位数等于它的数字和的 $6$ 倍，求这个两位数。
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理 + 数字和方程」类问题：两位数 $\overline{AB}$ 按位值展开是 $10A+B$，题目把它与数字和 $A+B$ 用倍数联系起来，就变成关于数字 $A$、$B$ 的一次方程。
关键切入点：$10A+B=6(A+B)$ 化简得 $4A=5B$。$A$、$B$ 都只能取一位数字，$4$ 与 $5$ 互质，所以 $A$ 必须是 $5$ 的倍数、$B$ 必须是 $4$ 的倍数，一位数字里只能取 $A=5$、$B=4$，解唯一。
方法概述：位值展开列方程，再用「互质 + 数字范围」把解唯一定死。
规范步骤：
  1. 按位值原理展开并列方程：$10A+B=(A+B)\times 6=6A+6B$（位值原理）
  2. 移项化简：$10A-6A=6B-B$，即 $4A=5B$（整数方程）
  3. 用互质与数字范围定解：$A=5$，$B=4$（$4$、$5$ 互质且 $A,B\le 9$）
  4. 写出两位数并检验：$54=5\times 10+4$，$（5+4）\times 6=54$（回代验证）
第一套
题目：一个两位数等于它的数字和的 $8$ 倍，求这个两位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（位值展开列方程）：设这个两位数为 $\overline{AB}$，则 $10A+B=(A+B)\times 8=8A+8B$。
  2. 第 2 步（移项化简）：左边 $A$ 的系数减少 $10-8=\underline{\quad}$，右边 $B$ 的系数减少 $8-1=\underline{\quad}$，得 $2A=7B$。
  3. 第 3 步（互质定解）：$2$ 与 $7$ 互质，所以 $A$ 是 $7$ 的倍数、$B$ 是 $2$ 的倍数，一位数字里只能取 $A=7$、$B=2\times 7\div 7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出两位数）：$7\times 10+2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$(7+2)\times 8=\underline{\quad}$。
第二套
题目：图书角的书架编号是一个两位数，它恰好等于自己两个数字之和的 $8$ 倍。这个书架编号是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（位值展开）：设编号为 $\overline{AB}$，按位值原理写成 $10A+B$，条件是 $10A+B=(A+B)\times 8$。
  2. 第 2 步（移项化简）：$A$ 的系数 $10-8=\underline{\quad}$，$B$ 的系数 $8-1=\underline{\quad}$，得 $2A=7B$。
  3. 第 3 步（定解）：$2$、$7$ 互质，一位数字里只能取 $A=7$、$B=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出编号并检验）：编号 $=7\times 10+2=\underline{\quad}$，$(7+2)\times 8=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个两位数，它的数字和的 $9$ 倍恰好等于这个两位数本身，求这个两位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（位值展开列方程）：$10A+B=(A+B)\times 9=9A+9B$。
  2. 第 2 步（移项化简）：$A$ 的系数 $10-9=\underline{\quad}$，$B$ 的系数 $9-1=\underline{\quad}$，得 $A=8B$。
  3. 第 3 步（用数字范围定解）：$A\le 9$，所以 $B$ 只能取 $1$，此时 $A=8\times 1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出两位数并检验）：$8\times 10+1=\underline{\quad}$，$(8+1)\times 9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个两位数等于它的数字和的 $8$ 倍。把这个两位数的个位数字与十位数字交换，得到一个新的两位数。求原数与新数的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（位值展开列方程）：$10A+B=(A+B)\times 8$，移项得 $10-8=\underline{\quad}$ 倍的 $A$ 等于 $8-1=\underline{\quad}$ 倍的 $B$，即 $2A=7B$。
  2. 第 2 步（定解）：$2$、$7$ 互质，一位数字里 $A=7$、$B=\underline{\quad}$，原数 $=7\times 10+2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出交换后的新数）：把数字对调，新数 $=2\times 10+7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求和）：$72+27=\underline{\quad}$。（也可用规律 $\overline{AB}+\overline{BA}=11\times(A+B)=11\times 9$ 复核）
  5. 第 5 步（用规律复核）：$11\times(7+2)=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch21-xingqu-03】用 $3$ 个不同的数字能组成 $6$ 个不同的三位数，这 $6$ 个三位数的和是 $2886$，求 $6$ 个三位数中最小的一个。
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·全排列求和」类问题：三个不同数字全排列成 $6$ 个三位数，每个数字在百位、十位、个位上各出现 $2$ 次，总和必然是 $222\times(\text{数字和})$。
关键切入点：认出 $6$ 个三位数之和 $=222\times(A+B+C)$，就能由 $2886\div 222=13$ 直接得到数字和。要让三位数最小，先让百位最小（取 $1$），再让十位尽量小；十位取 $3$ 是因为个位最大只能是 $9$，$B$ 再小 $C$ 就超过 $9$ 了。
方法概述：先用全排列求和公式定出数字和，再按「高位优先取小」凑出最小数。
规范步骤：
  1. 每个数字在每一位上各出现 $2$ 次：$\text{总和}=(A+B+C)\times 2\times(100+10+1)=222\times(A+B+C)$（位值原理）
  2. 求数字和：$A+B+C=2886\div 222=13$（除法还原）
  3. 百位取最小：$A=1$，则 $B+C=13-1=12$（高位优先取小）
  4. 十位取最小（受个位不超过 $9$ 限制）：$B\ge 12-9=3$，取 $B=3$，$C=12-3=9$（数字范围）
  5. 写出最小的三位数：$100\times 1+10\times 3+9=139$（位值原理）
第一套
题目：用 $3$ 个不同的数字能组成 $6$ 个不同的三位数，这 $6$ 个三位数的和是 $3330$，求 $6$ 个三位数中最小的一个。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出全排列求和公式）：每个数字在百位、十位、个位上各出现 $2$ 次，所以总和 $=(A+B+C)\times 2\times(100+10+1)=(A+B+C)\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求数字和）：$A+B+C=3330\div 222=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（百位取最小）：取 $A=1$，则 $B+C=15-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（十位取最小）：个位最大只能是 $9$，所以 $B$ 至少是 $14-9=\underline{\quad}$，取 $B=5$，于是 $C=14-5=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（写出最小的三位数）：$100\times 1+10\times 5+9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：三张卡片上各写着一个不同的数字，把它们排成一排可以组成 $6$ 个不同的三位数编码。已知这 $6$ 个编码之和是 $3330$，最小的编码是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出全排列求和公式）：每张卡片在百位、十位、个位上各用到 $2$ 次，总和 $=(A+B+C)\times 2\times(100+10+1)=(A+B+C)\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求数字和）：$A+B+C=3330\div 222=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（百位取最小）：$A=1$，则 $B+C=15-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（十位取最小）：$B\ge 14-9=\underline{\quad}$，取 $B=5$，$C=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（写出最小编码）：$100+50+9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $3$ 个不同的数字能组成 $6$ 个不同的三位数，这 $6$ 个三位数的和是 $3330$，求 $6$ 个三位数中最大的一个。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求数字和）：由全排列求和公式 $A+B+C=3330\div 222=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（百位取最大）：百位取能取的最大数字 $9$，则另外两个数字之和为 $15-9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（十位取最大）：个位至少是 $1$（三个数字都不能是 $0$，否则组不成 $6$ 个三位数），所以十位最大是 $6-1=\underline{\quad}$，此时个位 $=6-5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出最大的三位数）：$100\times 9+10\times 5+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $3$ 个不同的数字能组成 $6$ 个不同的三位数，这 $6$ 个三位数的和是 $3330$。求其中最大的一个与最小的一个的差。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求数字和）：$A+B+C=3330\div 222=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求最小的一个）：百位取 $1$，十位至少 $14-9=\underline{\quad}$，最小数 $=100+50+9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求最大的一个）：百位取 $9$，十位最大 $6-1=\underline{\quad}$，最大数 $=900+50+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求差）：$951-159=\underline{\quad}$。
26. 【原题 ch21-xingqu-04】有一个两位数，在它前面加上数字“$3$”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“$3$”也得到一个三位数；在它前、后各加一个数字“$3$”得到一个四位数。已知得到的三个数总和为 $3600$，求原来的两位数。
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·添数字与位值变化 + 一元一次方程」类问题：在两位数前面添数字相当于加上一个整百数，在后面添数字相当于把原数扩大 $10$ 倍再加个位。
关键切入点：把原两位数设为 $x$，三种「加 $3$」的结果都能用 $x$ 表示：$300+x$、$10x+3$、$3000+10x+3$。相加后 $x$ 的系数是 $1+10+10=21$，常数是 $3306$，方程一步可解。
方法概述：统一设元，把每种添数结果按位值展开成含 $x$ 的式子，再合并同类项解方程。
规范步骤：
  1. 前面添 $3$：多出 $3$ 个百：$300+x$（位值原理）
  2. 后面添 $3$：原数升一位再加 $3$：$10x+3$（位值原理）
  3. 前后各添 $3$：$3000+10x+3$（位值原理）
  4. 三数相加列方程：$(300+x)+(10x+3)+(3000+10x+3)=21x+3306=3600$（一元一次方程）
  5. 解方程：$21x=3600-3306=294$，$x=294\div 21=14$（解方程）
  6. 检验：$314+143+3143=3600$（回代验证）
第一套
题目：有一个两位数，在它前面加上数字“$5$”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“$5$”也得到一个三位数；在它前、后各加一个数字“$5$”得到一个四位数。已知得到的三个数总和为 $6308$，求原来的两位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值写出三个数）：设原两位数为 $x$。前面加 $5$ 得 $500+x$；后面加 $5$ 得 $10x+5$；前后各加 $5$ 得 $5000+10x+5$。
  2. 第 2 步（合并 $x$ 的系数）：三式中 $x$ 的系数相加 $1+10+10=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并常数）：三式中的常数相加 $500+5+5000+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程并移项）：$21x+5510=6308$，所以 $21x=6308-5510=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（解方程）：$x=798\div 21=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（检验）：$538+385+5385=\underline{\quad}$。
第二套
题目：小明的储物柜号是一个两位数。管理员在柜号前面写一个“$5$”得到一个三位数，在柜号后面写一个“$5$”也得到一个三位数，在柜号前后各写一个“$5$”得到一个四位数。这三个数的总和是 $6308$，小明的储物柜号是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值写出三个数）：设柜号为 $x$，三个数依次是 $500+x$、$10x+5$、$5000+10x+5$。
  2. 第 2 步（合并 $x$ 的系数）：$1+10+10=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并常数）：$500+5+5000+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（移项）：$21x=6308-5510=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求柜号）：$x=798\div 21=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（检验）：$538+385+5385=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有一个两位数，在它前面加上数字“$3$”得到一个三位数，在它后面加上数字“$3$”也得到一个三位数。已知这两个三位数的和是 $930$，求原来的两位数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按位值写出两个数）：设原两位数为 $x$，前面加 $3$ 得 $300+x$，后面加 $3$ 得 $10x+3$。
  2. 第 2 步（合并 $x$ 的系数）：$1+10=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并常数）：$300+3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（移项）：$11x=930-303=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（解方程）：$x=627\div 11=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（检验）：$357+573=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有一个两位数，在它前面加上数字“$5$”得到一个三位数；在它后面加上数字“$5$”也得到一个三位数；在它前、后各加一个“$5$”得到一个四位数。三个数的总和是 $6308$。求这个四位数的各位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并同类项）：$x$ 的系数 $1+10+10=\underline{\quad}$，常数 $500+5+5000+5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（解方程）：$21x=6308-5510=\underline{\quad}$，$x=798\div 21=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出四位数）：把 $x=38$ 前后各加 $5$，得 $5000+10\times 38+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求各位数字之和）：$5+3+8+5=\underline{\quad}$。
27. 【原题 ch21-xingqu-05】有 $A$、$B$ 两个整数，$A$ 的各位数字之和为 $35$，$B$ 的各位数字之和为 $26$，且两数相加时进位三次，求 $A+B$ 的各位数字之和。
详细思路
是哪类问题：这是「数字和·进位与数字和变化」类问题：两数相加，每发生一次进位，本位上就减少 $10$、高位上增加 $1$，所以和的数字和比两数数字和之和恰好少 $9$。
关键切入点：关键是把「进位三次」翻译成「数字和一共少 $9\times 3=27$」。这样不必知道 $A$、$B$ 究竟是什么数，只用 $35+26-27$ 就得到答案。
方法概述：用「每进位一次数字和少 $9$」的规律，把进位次数直接折算成数字和的减少量。
规范步骤：
  1. 写出规律：$\text{每进位一次，数字和少}10-1=9$（进位与数字和变化）
  2. 算三次进位共减少多少：$9\times 3=27$（乘法）
  3. 求两数数字和之和：$35+26=61$（加法）
  4. 减去减少量得答案：$61-27=34$（数字和公式）
第一套
题目：有 $A$、$B$ 两个整数，$A$ 的各位数字之和为 $47$，$B$ 的各位数字之和为 $38$，且两数相加时进位五次，求 $A+B$ 的各位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出规律）：每进位一次，本位少 $10$、高位多 $1$，数字和减少 $10-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算总减少量）：进位五次，共减少 $9\times 5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（先把两数字和相加）：$47+38=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（减去减少量）：$85-45=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两台计数器分别记下两个整数：第一台的数各位数字之和是 $47$，第二台的数各位数字之和是 $38$。把两个数相加时一共进位五次，求所得和的各位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出规律）：每进位一次数字和减少 $10-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算总减少量）：$9\times 5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（两数字和相加）：$47+38=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求结果）：$85-45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有 $A$、$B$ 两个整数，$A$ 的各位数字之和为 $47$，两数相加时进位五次，且 $A+B$ 的各位数字之和为 $40$。求 $B$ 的各位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出规律）：每进位一次数字和减少 $10-1=\underline{\quad}$，五次共减少 $9\times 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写出关系式）：$A$ 的数字和 $+B$ 的数字和 $-45=40$，所以两数字和之和 $=40+45=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（逆向求 $B$）：$B$ 的数字和 $=85-47=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有 $A$、$B$ 两个整数，$A$ 的各位数字之和为 $47$，$B$ 的各位数字之和为 $38$，两数相加时进位五次。求 $A+B$ 的各位数字之和，并求 $A+B$ 除以 $9$ 的余数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出规律）：每进位一次数字和减少 $10-1=\underline{\quad}$，五次共减少 $9\times 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求和的数字和）：$47+38-45=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用 $9$ 的整除特征）：一个数除以 $9$ 的余数与它的各位数字之和除以 $9$ 的余数相同。$40$ 里最多含 $9\times 4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求余数）：$40-36=\underline{\quad}$。
28. 【原题 ch21-xingqu-06】一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数。这个五位数比原来的五位数小 $71355$。问：原来卡片上写的五位数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理·倒置数字（旋转 $180^\circ$）+ 减法竖式借位」类问题：卡片拿倒后每个数字都要旋转 $180^\circ$，且整张卡片的左右顺序也颠倒。
关键切入点：先卡死可用数字：旋转 $180^\circ$ 后仍是数字的只有 $0$、$1$、$6$、$8$、$9$，其中 $0$、$1$、$8$ 不变，$6$ 与 $9$ 互换。再把 $\overline{ABCDE}$ 与倒置数之差 $71355$ 列成减法竖式，从个位逐位分析借位，逐个定死每一位。
方法概述：先用「可倒置数字表」缩小取值，再用减法竖式逐位借位分析定出每一位。
规范步骤：
  1. 列出可倒置的数字：$0、1、6、8、9$（$0,1,8$ 不变，$6\leftrightarrow 9$）（倒置数字性质）
  2. 设原数并写出倒置数：$\overline{ABCDE}-\overline{edcba}=71355$（位值原理）
  3. 分析个位（相差 $5$）：$E=1$，$a=6$（即 $A=9$）（减法竖式借位）
  4. 分析十位：$D=6$，$d=9$，$B=0$，$b=0$（减法竖式借位）
  5. 分析百位（相差 $3$）：$C=9$，$c=6$（减法竖式借位）
  6. 拼出原数、写出倒置数并检验：原数 $90961$ 倒过来读（$9\!\to\!6,\,0\!\to\!0,\,9\!\to\!6,\,6\!\to\!9,\,1\!\to\!1$ 且左右颠倒）得 $19606$，作差 $90961-19606=71355$，与题给之差相符（回代验证）
29. 【原题 ch21-xingqu-07】有一个四位数 $\overline{2M9N}$，它是由 $M$ 个 $2$ 的积与 $N$ 个 $9$ 的积相乘得到的，求这个四位数。
详细思路
是哪类问题：这是「位值原理 + 幂与整除特征」类问题：四位数 $\overline{2M9N}$ 中的 $M$、$N$ 既是数位上的数字，又是指数，必须靠范围估计与整除特征把它们逐一定死。
关键切入点：先用大小估计卡 $N$：$9^4=6561$，再乘上若干个 $2$ 就超过四位数了，所以 $N\le 3$。再用奇偶性淘汰 $N=1$、$N=3$（那时四位数是奇数，逼得 $M=0$，不成立）；$N=0$ 时四位数是 $2$ 的方幂，末位不可能是 $0$。剩下 $N=2$，此时 $9^2=81$ 是 $9$ 的倍数，于是整个四位数是 $9$ 的倍数，用数字和被 $9$ 整除定出 $M=5$。
方法概述：范围估计淘汰 $N$，再用奇偶性与 $9$ 的整除特征定出 $M$。
规范步骤：
  1. 用大小估计限制 $N$：$9^4=6561$，故 $N<4$（范围估计）
  2. 淘汰 $N=1$、$N=3$：此时四位数为奇数，逼得 $M=0$，均不成立（奇偶性）
  3. 淘汰 $N=0$：$\overline{2M90}$ 应是 $2$ 的方幂，末位为 $0$ 不可能（整除特征）
  4. 取 $N=2$，用 $9$ 的整除特征：$2+M+9+2=13+M$ 是 $9$ 的倍数，故 $M=5$（9的整除特征）
  5. 验证：$2^5\times 9^2=32\times 81=2592$（回代验证）
30. 【原题 ch21-xingqu-08】如果 $4\underbrace{88\cdots 8}_{n\text{个}8}4$ 是 $9$ 的倍数，那么 $n$ 最小是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「重复数字的整除性 + $9$ 的整除特征」类问题：判断一个数是不是 $9$ 的倍数，只看它的各位数字之和。
关键切入点：把 $n$ 个 $8$ 与两头的 $4$ 加起来得 $4+8n+4=8(n+1)$，正好能提出公因数 $8$。因为 $8$ 与 $9$ 互质，$8(n+1)$ 是 $9$ 的倍数就等价于 $n+1$ 是 $9$ 的倍数，于是 $n$ 最小取 $9-1=8$。
方法概述：用 $9$ 的整除特征把问题化成数字和，再借互质把因数 $8$ 约掉。
规范步骤：
  1. 写出各位数字之和：$4+8n+4=8n+8=8(n+1)$（数字和）
  2. 用 $9$ 的整除特征：$8(n+1)$ 是 $9$ 的倍数（9的整除特征）
  3. 约去互质因数：$8$ 与 $9$ 互质，故 $n+1$ 是 $9$ 的倍数（互质）
  4. 取最小值：$n=9-1=8$（最小值）
  5. 检验：$8\times(8+1)=72$，$72\div 9=8$（回代验证）
第一套
题目：如果 $5\underbrace{88\cdots 8}_{n\text{个}8}4$ 是 $9$ 的倍数，那么 $n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用 $9$ 的整除特征）：是不是 $9$ 的倍数只看各位数字之和。两头的两个数字之和是 $5+4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写出数字和）：中间 $n$ 个 $8$ 贡献 $8n$，所以数字和是 $8n+9$。
  3. 第 3 步（判断）：$9$ 本身已是 $9$ 的倍数，所以只需 $8n$ 是 $9$ 的倍数；$8$ 与 $9$ 互质，因此 $n$ 必须是 $9$ 的倍数，最小取 $n=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：$n=9$ 时数字和为 $8\times 9+9=\underline{\quad}$，$81\div 9=\underline{\quad}$，确实整除。
第二套
题目：一串密码由数字 $5$ 开头、数字 $4$ 结尾，中间是 $n$ 个 $8$。已知这串密码所表示的整数是 $9$ 的倍数，$n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用 $9$ 的整除特征）：只看各位数字之和。首尾两位之和 $5+4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写出数字和）：数字和 $=8n+9$。
  3. 第 3 步（判断）：$9$ 已是 $9$ 的倍数，只需 $8n$ 是 $9$ 的倍数；$8$、$9$ 互质，故 $n$ 是 $9$ 的倍数，最小 $n=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：数字和 $=8\times 9+9=\underline{\quad}$，$81\div 9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：如果 $7\underbrace{11\cdots 1}_{n\text{个}1}3$ 是 $9$ 的倍数，那么 $n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用 $9$ 的整除特征）：首尾两位之和 $7+3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写出数字和）：中间 $n$ 个 $1$ 贡献 $n$，所以数字和 $=n+10=(n+1)+9$。
  3. 第 3 步（判断）：$9$ 是 $9$ 的倍数，故只需 $n+1$ 是 $9$ 的倍数（注意 $n=0$ 时是 $73$，数字和 $10$ 不是 $9$ 的倍数，不成立），$n$ 最小 $=9-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：数字和 $=8+10=\underline{\quad}$，$18\div 9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：如果 $4\underbrace{88\cdots 8}_{n\text{个}8}4$ 是 $36$ 的倍数，那么 $n$ 最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分因数）：$36=9\times \underline{\quad}$，且 $9$ 与 $4$ 互质，所以要同时被 $9$ 和 $4$ 整除。
  2. 第 2 步（先看 $4$ 的整除特征）：只看末两位。当 $n\ge 1$ 时末两位是 $84$，$84\div 4=\underline{\quad}$，能整除，这一条自动满足。
  3. 第 3 步（再看 $9$ 的整除特征）：数字和 $=4+8n+4$，首尾两数之和 $4+4=\underline{\quad}$，所以数字和 $=8n+8=8(n+1)$。
  4. 第 4 步（约去互质因数）：$8$ 与 $9$ 互质，故 $n+1$ 是 $9$ 的倍数，$n$ 最小 $=9-1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$n=8$ 时数字和 $=8\times(8+1)=\underline{\quad}$，$72\div 9=\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch21-xingqu-09】如果 $12\underbrace{33\cdots 3}_{n\text{个}3}$ 是 $27$ 的倍数，那么 $n$ 最小是几？
详细思路
是哪类问题：这是「重复数字的整除性 + $27$ 的整除特征」类问题：$27$ 没有简便的数字和判定法，但 $27=3\times 9$，可以先除以 $3$ 再用 $9$ 的整除特征。
关键切入点：$12\underbrace{33\cdots 3}_{n}$ 的每一位都好除以 $3$：商恰是 $4\underbrace{11\cdots 1}_{n}$。于是「原数是 $27$ 的倍数」就等价于「商是 $9$ 的倍数」，商的数字和是 $4+n$，令它是 $9$ 的倍数即得 $n=5$。
方法概述：把 $27$ 拆成 $3\times 9$，先除以 $3$ 化简，再用 $9$ 的整除特征看数字和。
规范步骤：
  1. 拆分因数：$27=3\times 9$（因数分解）
  2. 先除以 $3$：$12\underbrace{33\cdots 3}_{n}\div 3=4\underbrace{11\cdots 1}_{n}$（整除化简）
  3. 转化条件：原数是 $27$ 的倍数 $\iff$ 商是 $9$ 的倍数（因数分解）
  4. 用 $9$ 的整除特征：商的数字和 $=4+n$ 是 $9$ 的倍数（9的整除特征）
  5. 取最小值并检验：$n=9-4=5$；$1233333\div 27=45679$（回代验证）
第一套
题目：如果 $30\underbrace{33\cdots 3}_{n\text{个}3}$ 是 $27$ 的倍数，那么 $n$ 最小是几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分因数）：$27=9\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（先除以 $3$）：$30\underbrace{33\cdots 3}_{n}\div 3=10\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，问题变成「商是 $9$ 的倍数」。
  3. 第 3 步（求商的数字和）：商的前两位贡献 $1+0=\underline{\quad}$，后面 $n$ 个 $1$ 贡献 $n$，所以数字和 $=n+1$。
  4. 第 4 步（用 $9$ 的整除特征取最小）：$n+1$ 是 $9$ 的倍数，$n$ 最小 $=9-1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$n=8$ 时商的数字和 $=1+0+8=\underline{\quad}$，$9\div 9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：电子屏上显示一个整数：先显示 $3$、$0$，后面接着显示 $n$ 个 $3$。已知这个整数是 $27$ 的倍数，$n$ 最小是几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分因数）：$27=9\times \underline{\quad}$，先除以 $3$ 再用 $9$ 的整除特征。
  2. 第 2 步（除以 $3$）：$30\underbrace{33\cdots 3}_{n}\div 3=10\underbrace{11\cdots 1}_{n}$。
  3. 第 3 步（数字和）：前两位 $1+0=\underline{\quad}$，加上 $n$ 个 $1$，共 $n+1$。
  4. 第 4 步（取最小）：$n$ 最小 $=9-1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：数字和 $=1+0+8=\underline{\quad}$，是 $9$ 的倍数。
第三套
题目：如果 $\underbrace{33\cdots 3}_{n\text{个}3}$ 是 $27$ 的倍数，那么 $n$ 最小是几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分因数）：$27=9\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（除以 $3$）：$\underbrace{33\cdots 3}_{n}\div 3=\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，问题变成「$n$ 个 $1$ 组成的数是 $9$ 的倍数」。
  3. 第 3 步（用 $9$ 的整除特征）：$n$ 个 $1$ 的数字和恰好是 $n$，要它是 $9$ 的倍数，$n$ 最小 $=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：$333333333\div 27=\underline{\quad}$。
第三套
题目：如果 $12\underbrace{33\cdots 3}_{n\text{个}3}$ 是 $27$ 的倍数，求最小的 $n$，并求此时这个数除以 $27$ 所得的商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分因数）：$27=9\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（除以 $3$ 化简）：$12\underbrace{33\cdots 3}_{n}\div 3=4\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，数字和 $=4+n$。
  3. 第 3 步（取最小 $n$）：$4+n$ 是 $9$ 的倍数，$n$ 最小 $=9-4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出这个数并求商）：此时这个数是 $1233333$，$1233333\div 27=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$45679\times 27=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch21-xingqu-10】从 $1$ 至 $9$ 这 $9$ 个数中选出 $8$ 个不同的数字，组成能被 $24$ 整除的八位数。试问：在这样的八位数中，最大的和最小的分别是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「整除特征综合 + 数字选取与排列」类问题：$24=3\times 8$ 且 $3$、$8$ 互质，所以八位数要同时满足 $3$ 的整除特征（数字和）与 $8$ 的整除特征（末三位）。
关键切入点：$1+2+\cdots+9=45$ 已是 $3$ 的倍数，去掉一个数字后剩下 $8$ 个数字之和仍要是 $3$ 的倍数，所以去掉的数字必须是 $3$ 的倍数，即 $3$、$6$、$9$ 之一。求最大时高位尽量大（去掉 $3$，从 $9876\cdots$ 排起），求最小时高位尽量小，最后只调末三位使其被 $8$ 整除即可。
方法概述：拆成 $3$、$8$ 两条整除特征：数字和定「去掉谁」，末三位定「怎么收尾」，中间高位贪心取大或取小。
规范步骤：
  1. 拆分因数：$24=3\times 8$，且 $3$ 与 $8$ 互质（因数分解）
  2. 用 $3$ 的整除特征定去掉的数字：$1+2+\cdots+9=45$，去掉的数字须是 $3$ 的倍数（3的整除特征）
  3. 用 $8$ 的整除特征约束末三位：末三位组成的三位数须被 $8$ 整除（8的整除特征）
  4. 求最大：高位贪心取大，末三位调整：$98764512$，$512\div 8=64$（贪心+整除特征）
  5. 求最小：高位贪心取小，末三位调整：$12345768$，$768\div 8=96$（贪心+整除特征）
第一套
题目：从 $1$ 至 $9$ 这 $9$ 个数中选出 $8$ 个不同的数字，组成能被 $72$ 整除的八位数。试问：在这样的八位数中，最大的和最小的分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分因数）：$72=8\times \underline{\quad}$，且 $8$ 与 $9$ 互质，需同时被 $8$ 和 $9$ 整除。
  2. 第 2 步（用 $9$ 的整除特征定去掉谁）：$1+2+\cdots+9=(1+9)\times 9\div 2=\underline{\quad}$。要让剩下 $8$ 个数字之和是 $9$ 的倍数，去掉的数字必须是 $45-36=\underline{\quad}$，所以只能去掉 $9$，剩下 $1\sim 8$，数字和 $45-9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求最大）：高位尽量大，从 $87654\cdots$ 排起，再调末三位使其被 $8$ 整除，得 $87654312$，检验 $312\div 8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最小）：高位尽量小，从 $12345\cdots$ 排起，再调末三位，得 $12345768$，检验 $768\div 8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（整体复核）：$87654312\div 72=\underline{\quad}$，$12345768\div 72=\underline{\quad}$。
第二套
题目：科技节要给展台编一个八位数编号，编号的 $8$ 个数字从 $1$ 至 $9$ 中选出且互不相同，并且编号要能被 $72$ 整除。这样的编号最大是多少？最小是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分因数）：$72=8\times \underline{\quad}$，需同时被 $8$ 和 $9$ 整除。
  2. 第 2 步（定去掉的数字）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$，去掉的数字须使余下 $8$ 个数字之和是 $9$ 的倍数，只能去掉 $45-36=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求最大编号）：高位取大得 $87654312$，检验末三位 $312\div 8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最小编号）：高位取小得 $12345768$，检验末三位 $768\div 8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（整体复核）：$87654312\div 72=\underline{\quad}$。
第三套
题目：从 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字中选出 $8$ 个不同的数字，组成能被 $24$ 整除的八位数（首位不能是 $0$）。最大的和最小的分别是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分因数）：$24=8\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用 $3$ 的整除特征）：$0+1+\cdots+9=(0+9)\times 10\div 2=\underline{\quad}$，$45$ 是 $3$ 的倍数，所以去掉的两个数字之和也要是 $3$ 的倍数。
  3. 第 3 步（求最大）：高位取大，去掉 $1$ 和 $2$（和为 $1+2=\underline{\quad}$，是 $3$ 的倍数），排成 $98765304$，检验末三位 $304\div 8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最小）：高位取小，排成 $10234896$，检验末三位 $896\div 8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（整体复核）：$98765304\div 24=\underline{\quad}$，$10234896\div 24=\underline{\quad}$。
第三套
题目：从 $1$ 至 $9$ 这 $9$ 个数中选出 $8$ 个不同的数字，组成能被 $24$ 整除的八位数。求这样的八位数中最大的一个与最小的一个的差。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分因数）：$24=3\times \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用 $3$ 的整除特征）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$，去掉的数字必须是 $3$ 的倍数，即 $3$、$6$、$9$ 之一。
  3. 第 3 步（求最大）：去掉 $3$ 保留大数字，高位取大并调末三位，得 $98764512$，检验 $512\div 8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求最小）：去掉 $9$，高位取小并调末三位，得 $12345768$，检验 $768\div 8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求差）：$98764512-12345768=\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch21-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（写出全排列求和公式）：每个数字在百位、十位、个位上各出现 $2$ 次，$6$ 个三位数之和 $=(a+b+c)\times 2\times(100+10+1)=(a+b+c)\times \underline{222}$。
    2. 第 2 步（表示剩下的数）：设数字和为 $S$，剩下的那个数 $=222S-4408$。
    3. 第 3 步（压缩 $S$ 的范围）：剩下的是三位数，所以 $222S$ 至少是 $4408+100=\underline{4508}$，至多是 $4408+999=\underline{5407}$，于是 $S$ 只能取 $21$、$22$、$23$、$24$。
    4. 第 4 步（逐个试算并自检）：$S=21$ 时 $222\times 21-4408=\underline{254}$，数字和 $2+5+4=11\ne 21$，舍去；$S=22$ 时 $222\times 22-4408=\underline{476}$，数字和 $17\ne 22$，舍去。
    5. 第 5 步（继续试算）：$S=23$ 时 $222\times 23-4408=\underline{698}$，数字和 $6+9+8=\underline{23}$，恰好等于 $23$，符合；$S=24$ 时 $222\times 24-4408=\underline{920}$，数字和 $11\ne 24$，舍去。
    最终答案：剩下的那个数是 $698$。
  2. 1. ch21-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（全排列求和公式）：$6$ 个编码之和 $=(a+b+c)\times 2\times(100+10+1)=(a+b+c)\times \underline{222}$。
    2. 第 2 步（压缩范围）：漏掉的编码是三位数，所以 $222S$ 在 $4408+100=\underline{4508}$ 与 $4408+999=\underline{5407}$ 之间，$S$ 只能取 $21\sim 24$。
    3. 第 3 步（逐个试算）：$S=21$ 得 $\underline{254}$（数字和 $11$，不符）；$S=22$ 得 $\underline{476}$（数字和 $17$，不符）。
    4. 第 4 步（找到答案）：$S=23$ 得 $222\times 23-4408=\underline{698}$，数字和 $6+9+8=\underline{23}$，与 $23$ 相符。
    最终答案：被漏掉的编码是 $698$。
  3. 1. ch21-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（全排列求和公式）：$6$ 个数之和 $=(a+b+c)\times \underline{222}$（提示 $2\times 111$）。
    2. 第 2 步（压缩范围）：$222S$ 在 $4341+100=\underline{4441}$ 与 $4341+999=\underline{5340}$ 之间，$S$ 只能取 $21\sim 24$。
    3. 第 3 步（逐个试算）：$S=21$ 得 $222\times 21-4341=\underline{321}$（数字和 $6\ne 21$）；$S=22$ 得 $\underline{543}$（数字和 $12\ne 22$）；$S=23$ 得 $\underline{765}$（数字和 $18\ne 23$）。
    4. 第 4 步（找到答案）：$S=24$ 得 $222\times 24-4341=\underline{987}$，数字和 $9+8+7=\underline{24}$，与 $24$ 相符。
    最终答案：剩下的那个数是 $987$。
  4. 1. ch21-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（全排列求和公式）：$6$ 个数之和 $=(a+b+c)\times \underline{222}$。
    2. 第 2 步（压缩范围并试算）：$S$ 只能取 $21\sim 24$；$S=23$ 时 $222\times 23-4408=\underline{698}$，数字和 $6+9+8=\underline{23}$，与 $23$ 相符。
    3. 第 3 步（定出三个数字）：这 $3$ 个数字是 $6$、$9$、$8$。
    4. 第 4 步（排出最小的三位数）：高位优先取小，百位取 $6$、十位取 $8$、个位取 $9$，最小数 $=100\times 6+10\times 8+9=\underline{689}$。
    5. 第 5 步（复核）：$6$ 个数之和 $=222\times 23=\underline{5106}$，减去剩下的 $698$ 恰为 $5106-698=\underline{4408}$。
    最终答案：剩下的那个数是 $698$，$6$ 个三位数中最小的一个是 $689$。
  5. 2. ch21-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设数字和为 $S$，则这个数是 $97S$。
    2. 第 2 步（位数估计）：这个数至多是四位数，四位数的数字和最大是 $9\times 4=\underline{36}$，所以 $S\le 36$，此时 $97\times 36=\underline{3492}$ 仍是四位数，范围合适。
    3. 第 3 步（用 $9$ 的整除特征）：任何数与它的数字和除以 $9$ 同余，所以 $97S-S=96S$ 要是 $9$ 的倍数，从而 $S$ 必是 $3$ 的倍数；又 $97S\ge 1000$，$S$ 从 $12$ 起取。
    4. 第 4 步（逐个验算）：$97\times 12=\underline{1164}$，数字和 $1+1+6+4=\underline{12}$，符合；$97\times 15=1455$，数字和 $1+4+5+5=15$，符合；$97\times 18=\underline{1746}$，数字和 $1+7+4+6=18$，符合。
    5. 第 5 步（排除其余）：$97\times 21=\underline{2037}$，数字和 $12\ne 21$，舍去；$S=24、27、30、33、36$ 同样验算均不符。
    最终答案：满足条件的正整数是 $1164$、$1455$、$1746$。
  6. 2. ch21-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设各位数字之和为 $S$，密码 $=97S$。
    2. 第 2 步（位数估计）：四位数的数字和最大 $9\times 4=\underline{36}$，且 $97\times 36=\underline{3492}$ 仍是四位数。
    3. 第 3 步（$9$ 的整除特征）：$97S-S=96S$ 要是 $9$ 的倍数，故 $S$ 是 $3$ 的倍数。
    4. 第 4 步（逐个验算）：$97\times 12=\underline{1164}$（数字和 $\underline{12}$，符合）；$97\times 15=1455$（符合）；$97\times 18=\underline{1746}$（符合）。
    5. 第 5 步（排除）：$97\times 21=\underline{2037}$，数字和 $12\ne 21$，舍去。
    最终答案：可能的密码是 $1164$、$1455$、$1746$。
  7. 2. ch21-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（设元与位数估计）：设数字和为 $S$，这个数是 $94S$；四位数的数字和最大 $9\times 4=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（用 $9$ 的整除特征）：$94S-S=93S$ 要是 $9$ 的倍数，$93=9\times 10+3$，所以 $3S$ 是 $9$ 的倍数，$S$ 必是 $3$ 的倍数。
    3. 第 3 步（逐个验算）：$94\times 12=\underline{1128}$，数字和 $1+1+2+8=\underline{12}$，符合；$94\times 18=\underline{1692}$，数字和 $1+6+9+2=18$，符合；$94\times 21=\underline{1974}$，数字和 $1+9+7+4=21$，符合。
    4. 第 4 步（排除其余）：$94\times 15=\underline{1410}$，数字和 $6\ne 15$，舍去；$S=24、27、30、33、36$ 验算亦不符。
    最终答案：满足条件的正整数是 $1128$、$1692$、$1974$。
  8. 2. ch21-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（设元与压缩范围）：设数字和为 $S$，这个数是 $88S$；四位数的数字和最大 $9\times 4=\underline{36}$，且 $88S\ge 1000$ 给出 $S\ge 12$。
    2. 第 2 步（$9$ 的整除特征）：$88S-S=87S$ 要是 $9$ 的倍数，故 $S$ 是 $3$ 的倍数。
    3. 第 3 步（逐个验算找全解）：$88\times 12=\underline{1056}$（数字和 $12$，符合）；$88\times 18=\underline{1584}$（数字和 $18$，符合）；$88\times 21=\underline{1848}$（数字和 $21$，符合）。
    4. 第 4 步（求和）：$1056+1584+1848=\underline{4488}$。
    5. 第 5 步（复核）：也可先加数字和 $12+18+21=\underline{51}$，再乘 $88$：$88\times 51=\underline{4488}$，结果一致。
    最终答案：所有满足条件的正整数的和是 $4488$。
  9. 3. ch21-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（数字和改变量）：加 $196$ 相当于数字和先加 $\text{ds}(196)=1+9+6=\underline{16}$，每进位一次再减 $9$。
    2. 第 2 步（定进位次数）：较大数数字和比较小数少 $9k-16$，它要是 $19$ 的倍数，取 $k=6$：$9\times 6-16=\underline{38}$，$38\div 19=\underline{2}$，恰好整除。
    3. 第 3 步（末尾结构）：较小数末尾要有 $6$ 个 $9$，贡献数字和 $9\times 6=\underline{54}$。
    4. 第 4 步（前面最小）：较小数数字和取 $\ge 54$ 的最小 $19$ 倍数 $19\times 3=\underline{57}$，前面部分数字和 $57-54=\underline{3}$，取一位数字 $3$，得较小数 $3999999$。
    5. 第 5 步（较大数与和）：$3999999+196=\underline{4000195}$，两数之和 $3999999+4000195=\underline{8000194}$。
    最终答案：满足要求的最小的一对数之和是 $8000194$。
  10. 3. ch21-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（数字和改变量）：加 $98$ 时数字和先加 $\text{ds}(98)=9+8=\underline{17}$，每进位一次减 $9$。
    2. 第 2 步（定进位次数）：较大读数数字和比较小的少 $9k-17$，要它是 $19$ 的倍数，取 $k=4$：$9\times 4-17=\underline{19}$。
    3. 第 3 步（末尾结构）：较小读数末尾 $4$ 个 $9$ 贡献 $9\times 4=\underline{36}$，数字和取 $19\times 2=\underline{38}$，前面取 $38-36=\underline{2}$，得 $29999$。
    4. 第 4 步（求和）：$29999+98=\underline{30097}$，两数之和 $29999+30097=\underline{60096}$。
    最终答案：最小的一对读数之和是 $60096$。
  11. 3. ch21-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（数字和改变量）：加 $98$ 相当于数字和先加 $\text{ds}(98)=9+8=\underline{17}$，每进位一次再减 $9$；由于 $17$ 不是 $23$ 的倍数，必须靠进位。
    2. 第 2 步（定进位次数）：较大数数字和比较小数少 $9k-17$，要它是 $23$ 的倍数，取 $k=7$：$9\times 7-17=\underline{46}$，$46\div 23=\underline{2}$，恰好整除。
    3. 第 3 步（末尾结构）：较小数末尾要有 $7$ 个 $9$，贡献数字和 $9\times 7=\underline{63}$。
    4. 第 4 步（前面最小）：较小数数字和取 $\ge 63$ 的最小 $23$ 倍数 $23\times 3=\underline{69}$，前面部分数字和 $69-63=\underline{6}$，取一位数字 $6$，得较小数 $69999999$。
    5. 第 5 步（求和）：$69999999+98=\underline{70000097}$，两数之和 $69999999+70000097=\underline{140000096}$。
    最终答案：满足要求的最小的一对数之和是 $140000096$。
  12. 3. ch21-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（定进位次数）：较大数数字和比较小数少 $9k-17$，要它是 $19$ 的倍数，取 $k=4$：$9\times 4-17=\underline{19}$。
    2. 第 2 步（求较小数）：末尾 $4$ 个 $9$ 贡献 $9\times 4=\underline{36}$，数字和取 $19\times 2=\underline{38}$，前面取 $38-36=\underline{2}$，得较小数 $29999$。
    3. 第 3 步（求两数之和）：$29999+98=\underline{30097}$，$29999+30097=\underline{60096}$。
    4. 第 4 步（求和的数字和）：$60096$ 的各位数字之和 $6+0+0+9+6=\underline{21}$。
    最终答案：最小的一对数之和是 $60096$，这个和的各位数字之和是 $21$。
  13. 4. ch21-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（分解除数）：$2268=4\times 81\times 7$，先算 $81\times 7=\underline{567}$，再 $4\times 567=\underline{2268}$，验证等于 $2268$。
    2. 第 2 步（被 $4$ 整除）：末两位是 $32$，$32\div 4=\underline{8}$，恒成立。
    3. 第 3 步（被 $81$ 整除的前提）：数字和 $1+3n+2=3(n+1)$，要被 $9$ 先要 $n+1$ 是 $3$ 的倍数；被 $81$ 还需更强条件。
    4. 第 4 步（综合被 $81$、$7$ 逐一验证）：逐一试算得最小 $n=53$，此时数字和 $3\times 54=\underline{162}$，$162\div 81=\underline{2}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $53$。
  14. 4. ch21-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（分解除数）：$756=4\times 27\times 7$，先算 $27\times 7=\underline{189}$，再 $4\times 189=\underline{756}$。
    2. 第 2 步（被 $4$ 整除）：末两位是 $32$，$32\div 4=\underline{8}$，恒成立。
    3. 第 3 步（被 $9$ 整除的前提）：数字和 $1+3n+2=3(n+1)$，须 $n+1$ 是 $3$ 的倍数。
    4. 第 4 步（综合被 $27$、$7$ 逐一验证）：逐一试算得最小 $n=17$，数字和 $3\times 18=\underline{54}$。
    最终答案：$n$ 最少是 $17$。
  15. 4. ch21-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分解除数）：$756=4\times 27\times 7$，三者互质。
    2. 第 2 步（被 $4$ 整除）：末两位是 $64$，$64\div 4=\underline{16}$，恒成立。
    3. 第 3 步（被 $9$ 整除的前提）：数字和 $2+6n+4=6(n+1)$，要被 $9$ 须 $n+1$ 是 $3$ 的倍数。
    4. 第 4 步（综合被 $27$、$7$ 逐一验证）：逐一试算得最小 $n=17$，此时数字和 $6\times 18=\underline{108}$，$108\div 9=\underline{12}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $17$。
  16. 4. ch21-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分解除数）：$756=4\times 27\times 7$，末两位 $32\div 4=\underline{8}$ 恒成立。
    2. 第 2 步（求最小 $n$）：数字和 $1+3n+2=3(n+1)$ 要被 $9$，再综合被 $27$、$7$ 逐一验证得最小 $n=17$。
    3. 第 3 步（求位数）：这个数由首位 $1$、中间 $n$ 个 $3$、末位 $2$ 组成，位数是 $17+2=\underline{19}$。
    4. 第 4 步（求各位数字之和）：$1+3\times 17+2=\underline{54}$。
    5. 第 5 步（复核）：$54\div 9=\underline{6}$，与「被 $27$（含 $9$）整除」一致。
    最终答案：$n$ 最小是 $17$，此时这个数是 $19$ 位数，各位数字之和是 $54$。
  17. 6. ch21-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（分解除数）：$1584=16\times 9\times 11$，先验证 $16\times 99=\underline{1584}$。
    2. 第 2 步（被 $9$ 整除）：$8$ 个数字之和须是 $9$ 的倍数，$45-9=\underline{36}$。
    3. 第 3 步（被 $11$ 整除）：奇数位与偶数位数字和各 $18$，差 $0$。
    4. 第 4 步（被 $16$ 整除）：末四位组成的数被 $16$ 整除。
    5. 第 5 步（取最小）：高位从 $1、0、2$ 排起得 $10238976$，末四位 $8976\div 16=\underline{561}$。
    6. 第 6 步（取最大）：高位从 $9、8$ 排起得 $98653104$，末四位 $3104\div 16=\underline{194}$。
    最终答案：最大是 $98653104$，最小是 $10238976$。
  18. 6. ch21-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（分解除数）：$396=4\times 9\times 11=\underline{396}$，需同时被 $4$、$9$、$11$ 整除。
    2. 第 2 步（被 $9$ 整除）：$8$ 个数字之和须是 $9$ 的倍数，$45-9=\underline{36}$。
    3. 第 3 步（被 $11$、$4$ 整除）：奇偶位数字和各 $18$、差 $0$；末两位被 $4$ 整除。
    4. 第 4 步（取最大）：$98752104$，末两位 $04\div 4=\underline{1}$。
    5. 第 5 步（取最小）：$10238976$，末两位 $76\div 4=\underline{19}$。
    最终答案：最大的编号是 $98752104$，最小的是 $10238976$。
  19. 6. ch21-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（分解除数）：$495=9\times 11\times 5$，先验证 $9\times 55=\underline{495}$。
    2. 第 2 步（被 $5$ 整除）：末位只能是 $0$ 或 $5$。
    3. 第 3 步（被 $9$ 整除）：$8$ 个数字之和须是 $9$ 的倍数，$45-9=\underline{36}$。
    4. 第 4 步（被 $11$ 整除）：奇数位与偶数位数字和各 $18$，差 $0$。
    5. 第 5 步（取最小）：末位取 $5$，高位从 $1、0、2$ 排起得 $10247985$，$10247985\div 495=\underline{20703}$。
    6. 第 6 步（取最大）：末位取 $0$，高位从 $9、8$ 排起得 $98742105$，$98742105\div 495=\underline{199479}$。
    最终答案：最大是 $98742105$，最小是 $10247985$。
  20. 6. ch21-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（分解除数）：$396=4\times 9\times 11=\underline{396}$。
    2. 第 2 步（被 $9$ 整除）：$8$ 个数字之和须是 $9$ 的倍数，$45-9=\underline{36}$。
    3. 第 3 步（取最大）：$98752104$，$98752104\div 396=\underline{249374}$。
    4. 第 4 步（取最小）：$10238976$，$10238976\div 396=\underline{25856}$。
    5. 第 5 步（求差）：$98752104-10238976=\underline{88513128}$。
    最终答案：最大是 $98752104$，最小是 $10238976$，它们的差是 $88513128$。
  21. 9. ch21-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（情况一：$2000$ 年后出生）：设出生年为 $\overline{20xy}$，则 $2025-(2000+10x+y)=2+0+x+y$，即 $25-10x-y=2+x+y$。
    2. 第 2 步（整理）：把常数移到一边，$25-2=\underline{23}$，得 $11x+2y=23$。
    3. 第 3 步（定解）：$x$ 只能取 $1$（取 $2$ 就超过 $23$ 了），此时 $2y=23-11=\underline{12}$，$y=12\div 2=\underline{6}$，出生年是 $2016$ 年，年龄 $=2025-2016=\underline{9}$（岁）。
    4. 第 4 步（情况二：$1900$ 年代出生）：设出生年为 $\overline{19ab}$，则 $2025-(1900+10a+b)=1+9+a+b$，即 $125-10a-b=10+a+b$，整理得 $125-10=\underline{115}$，即 $11a+2b=115$。
    5. 第 5 步（定解）：$a=9$ 时 $2b=115-99=\underline{16}$，$b=16\div 2=\underline{8}$，出生年是 $1998$ 年，年龄 $=2025-1998=\underline{27}$（岁）。
    最终答案：小李今年 $9$ 岁或 $27$ 岁。
  22. 9. ch21-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（情况一：$2000$ 年后出生）：设出生年 $\overline{20xy}$，$25-10x-y=2+x+y$，整理得 $25-2=\underline{23}$，即 $11x+2y=23$。
    2. 第 2 步（定解）：$x=1$，$2y=23-11=\underline{12}$，$y=\underline{6}$，出生 $2016$ 年，年龄 $2025-2016=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（情况二：$1900$ 年代出生）：$125-10a-b=10+a+b$，整理得 $125-10=\underline{115}$，即 $11a+2b=115$。
    4. 第 4 步（定解）：$a=9$，$2b=115-99=\underline{16}$，$b=\underline{8}$，出生 $1998$ 年，年龄 $2025-1998=\underline{27}$。
    最终答案：这位校友今年 $9$ 岁或 $27$ 岁。
  23. 9. ch21-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（按位值设元）：设出生年为 $\overline{19ab}=1900+10a+b$，四个数字之和是 $1+9+a+b=10+a+b$。
    2. 第 2 步（列方程）：$2025-(1900+10a+b)=10+a+b$，左边先算 $2025-1900=\underline{125}$，得 $125-10a-b=10+a+b$。
    3. 第 3 步（整理）：$125-10=\underline{115}$，即 $11a+2b=115$。
    4. 第 4 步（用数字范围定解）：$2b$ 最大是 $18$，所以 $11a\ge 115-18=\underline{97}$，只能取 $a=9$，$2b=115-99=\underline{16}$，$b=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（求年龄并检验）：出生 $1998$ 年，年龄 $=2025-1998=\underline{27}$，检验 $1+9+9+8=\underline{27}$。
    最终答案：小李今年 $27$ 岁。
  24. 9. ch21-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（情况一）：设出生年 $\overline{20xy}$，整理得 $11x+2y=25-2=\underline{23}$，得 $x=1$、$y=\underline{6}$，出生 $2016$ 年，年龄 $2025-2016=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（情况二）：设出生年 $\overline{19ab}$，整理得 $11a+2b=125-10=\underline{115}$，得 $a=9$、$b=\underline{8}$，出生 $1998$ 年，年龄 $2025-1998=\underline{27}$。
    3. 第 3 步（求差）：$27-9=\underline{18}$。
    最终答案：两个可能年龄是 $9$ 岁与 $27$ 岁，它们的差是 $18$ 岁。
  25. 10. ch21-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（按位值展开）：设原数为 $\overline{ab}=10a+b$；中间加两个 $0$ 后，十位数字被挤到千位，得 $\overline{a00b}=1000a+b$。
    2. 第 2 步（列倍数方程）：$1000a+b=(10a+b)\times 89=890a+89b$。
    3. 第 3 步（移项化简）：$a$ 的系数 $1000-890=\underline{110}$，$b$ 的系数 $89-1=\underline{88}$，得 $110a=88b$。
    4. 第 4 步（约分）：两边同时除以 $22$，$110\div 22=\underline{5}$，$88\div 22=\underline{4}$，得 $5a=4b$。
    5. 第 5 步（互质定解）：$5$、$4$ 互质，一位数字里只能取 $a=4$、$b=5$，原数 $=10\times 4+5=\underline{45}$。
    6. 第 6 步（检验）：$45\times 89=\underline{4005}$，正是 $4005$。
    最终答案：这个两位数是 $45$。
  26. 10. ch21-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（按位值展开）：旧货号 $=10a+b$，新货号 $=1000a+b$。
    2. 第 2 步（列方程并化简）：$1000a+b=(10a+b)\times 89$，$a$ 的系数 $1000-890=\underline{110}$，$b$ 的系数 $89-1=\underline{88}$。
    3. 第 3 步（约分）：$110\div 22=\underline{5}$，$88\div 22=\underline{4}$，得 $5a=4b$。
    4. 第 4 步（定解并检验）：$a=4$、$b=5$，旧货号 $=10\times 4+5=\underline{45}$；$45\times 89=\underline{4005}$。
    最终答案：旧货号是 $45$。
  27. 10. ch21-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（按位值展开）：设原数为 $\overline{abc}=100a+\overline{bc}$，插入 $0$ 后得 $\overline{a0bc}=1000a+\overline{bc}$。
    2. 第 2 步（列方程）：$1000a+\overline{bc}=(100a+\overline{bc})\times 9=900a+9\overline{bc}$。
    3. 第 3 步（移项化简）：$a$ 的系数 $1000-900=\underline{100}$，$\overline{bc}$ 的系数 $9-1=\underline{8}$，得 $100a=8\overline{bc}$。
    4. 第 4 步（约分）：两边同除以 $4$，$100\div 4=\underline{25}$，$8\div 4=\underline{2}$，得 $25a=2\overline{bc}$，所以 $a$ 必须是偶数。
    5. 第 5 步（逐个取值）：$a=2$ 时 $\overline{bc}=25\times 2\div 2=\underline{25}$，原数 $225$；$a=4$ 时 $\overline{bc}=25\times 4\div 2=\underline{50}$，原数 $450$；$a=6$ 时 $\overline{bc}=25\times 6\div 2=\underline{75}$，原数 $675$（$a=8$ 时 $\overline{bc}=100$ 不是两位数，舍去）。
    6. 第 6 步（检验）：$225\times 9=\underline{2025}$，$675\times 9=\underline{6075}$。
    最终答案：这样的三位数有 $225$、$450$、$675$。
  28. 10. ch21-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程化简）：$1000a+b=(10a+b)\times 89$，得 $a$ 的系数 $1000-890=\underline{110}$、$b$ 的系数 $89-1=\underline{88}$，即 $110a=88b$。
    2. 第 2 步（约分定解）：$110\div 22=\underline{5}$，$88\div 22=\underline{4}$，得 $5a=4b$，故 $a=4$、$b=5$，两位数 $=10\times 4+5=\underline{45}$。
    3. 第 3 步（写出四位数）：$45\times 89=\underline{4005}$。
    4. 第 4 步（求各位数字之和）：$4+0+0+5=\underline{9}$。
    最终答案：这个两位数是 $45$，所得四位数 $4005$ 的各位数字之和是 $9$。
  29. 11. ch21-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（按位值展开求和）：$(10a+b)+(10b+a)=11\times(a+b)$，也就是 $10+1=\underline{11}$ 倍的数字和。
    2. 第 2 步（用完全平方数条件）：$11$ 是质数，要让 $11\times(a+b)$ 是完全平方数，$a+b$ 也要含因数 $11$；而 $a+b$ 最大是 $9+9=\underline{18}$，所以只能取 $a+b=11$。
    3. 第 3 步（算出这个和）：$11\times 11=\underline{121}$。
    4. 第 4 步（求最大的两位数）：十位尽量大，$a=9$，则 $b=11-9=\underline{2}$，两位数 $=9\times 10+2=\underline{92}$。
    5. 第 5 步（检验）：$92+29=\underline{121}$。
    最终答案：这个和是 $121$，满足条件的两位数中最大的是 $92$。
  30. 11. ch21-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（按位值展开求和）：两个号码之和 $=(10a+b)+(10b+a)=(10+1)\times(a+b)$，即 $\underline{11}$ 倍的数字和。
    2. 第 2 步（用完全平方数条件）：$11$ 是质数，$a+b$ 也要含因数 $11$；$a+b$ 最大是 $9+9=\underline{18}$，所以 $a+b=11$。
    3. 第 3 步（算出这个和）：$11\times 11=\underline{121}$。
    4. 第 4 步（求最大门牌号）：$a=9$、$b=11-9=\underline{2}$，门牌号 $=\underline{92}$。
    最终答案：两个号码之和是 $121$，门牌号最大是 $92$。
  31. 11. ch21-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（按位值展开求差）：$(10a+b)-(10b+a)=(10-1)\times(a-b)=\underline{9}\times(a-b)$。
    2. 第 2 步（用完全平方数条件）：$9=3^2$ 本身是完全平方数，所以只要 $a-b$ 也是完全平方数，乘积就是完全平方数。$a-b$ 在 $1\sim 9$ 内的完全平方数有 $1$、$4$、$9$。
    3. 第 3 步（逐个算差）：$9\times 1=\underline{9}$，$9\times 4=\underline{36}$，$9\times 9=\underline{81}$。
    4. 第 4 步（取最大并举例检验）：最大的差是 $81$，例如 $90-09$ 对应 $a=9$、$b=0$，$90-9=\underline{81}$。
    最终答案：这个差最大是 $81$。
  32. 11. ch21-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求和化简）：$(10a+b)+(10b+a)=(10+1)\times(a+b)=\underline{11}\times(a+b)$。
    2. 第 2 步（用完全平方数条件定数字和）：$11$ 是质数且 $a+b\le 9+9=\underline{18}$，所以 $a+b=11$，和为 $11\times 11=\underline{121}$。
    3. 第 3 步（列出候选）：数字和为 $11$ 的两位数有 $29$、$38$、$47$、$56$、$65$、$74$、$83$、$92$。
    4. 第 4 步（用 $7$ 的倍数筛选）：逐个试除，只有一个能被 $7$ 整除：$56\div 7=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（检验）：$56+65=\underline{121}$，恰是 $11^2$。
    最终答案：这个两位数是 $56$。
  33. 12. ch21-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（按位值展开求和）：$(100a+10b+c)+(100c+10b+a)=\underline{101}\times(a+c)+20b$（提示：$100+1=101$，$10+10=20$）。
    2. 第 2 步（用末位分析定 $a+c$）：$20b$ 的末位是 $0$，所以 $101(a+c)$ 的末位必须是 $1$，即 $a+c$ 的末位是 $1$；又 $a+c\le 9+9=\underline{18}$，所以 $a+c=11$。
    3. 第 3 步（定出 $b$）：$101\times 11=\underline{1111}$，于是 $20b=1191-1111=\underline{80}$，$b=80\div 20=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（用 $8$ 的整除特征筛选）：候选是 $\overline{a4c}$ 且 $a+c=11$，即 $249、348、447、546、645、744、843、942$。逐个试除，只有 $744$ 能被 $8$ 整除：$744\div 8=\underline{93}$。
    5. 第 5 步（检验）：$744+447=\underline{1191}$。
    最终答案：原来的三位数是 $744$。
  34. 12. ch21-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（按位值展开求和）：两数之和 $=(100+1)\times(a+c)+20b=\underline{101}\times(a+c)+20b$。
    2. 第 2 步（末位分析）：$20b$ 末位为 $0$，故 $a+c$ 末位是 $1$；又 $a+c\le 9+9=\underline{18}$，得 $a+c=11$。
    3. 第 3 步（求 $b$）：$101\times 11=\underline{1111}$，$20b=1191-1111=\underline{80}$，$b=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（用 $8$ 的整除特征筛选并检验）：只有 $744$ 满足，$744\div 8=\underline{93}$，$744+447=\underline{1191}$。
    最终答案：原来的线路号是 $744$。
  35. 12. ch21-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（按位值展开求和）：两数之和 $=(100+1)\times(a+c)+20b=\underline{101}\times(a+c)+20b$。
    2. 第 2 步（末位分析）：$20b$ 末位为 $0$，故 $a+c$ 的末位是 $1$；又 $a+c\le \underline{18}$，得 $a+c=11$。
    3. 第 3 步（定出 $b$）：$101\times 11=\underline{1111}$，所以 $20b=1111-1111=\underline{0}$，$b=0$。
    4. 第 4 步（用 $7$ 的倍数筛选）：候选是 $\overline{a0c}$ 且 $a+c=11$，即 $209、308、407、506、605、704、803、902$，逐个试除只有 $308$ 满足：$308\div 7=\underline{44}$。
    5. 第 5 步（检验）：$308+803=\underline{1111}$。
    最终答案：原来的三位数是 $308$。
  36. 12. ch21-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（按位值展开求和）：两数之和 $=\underline{101}\times(a+c)+20b$（提示 $100+1$）。
    2. 第 2 步（末位分析定 $a+c$）：$a+c\le 9+9=\underline{18}$ 且末位是 $1$，所以 $a+c=11$。
    3. 第 3 步（求 $b$）：$20b=1191-101\times 11=\underline{80}$，$b=80\div 20=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（用 $8$ 的整除特征定原数）：$744\div 8=\underline{93}$，原数是 $744$，新数是 $447$。
    5. 第 5 步（求差）：按位值，差 $=(100-1)\times(a-c)=99\times(7-4)=\underline{297}$，直接算 $744-447=\underline{297}$。
    最终答案：原来的三位数是 $744$，原数与新数的差是 $297$。
  37. 13. ch21-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（整体设元）：设“学习好”表示的三位数为 $x$，“勤动脑”为 $y$，则“学习好勤动脑”$=1000x+y$，“勤动脑学习好”$=1000y+x$。
    2. 第 2 步（列方程并整理）：$(1000x+y)\times 4=(1000y+x)\times 9$，即 $4000x+4y=9000y+9x$。$x$ 的系数 $4000-9=\underline{3991}$，$y$ 的系数 $9000-4=\underline{8996}$，得 $3991x=8996y$。
    3. 第 3 步（约分）：两边同除以 $13$，$3991\div 13=\underline{307}$，$8996\div 13=\underline{692}$，得 $307x=692y$。
    4. 第 4 步（用互质取最小解）：$307$ 与 $692$ 互质，所以 $x$ 是 $692$ 的倍数、$y$ 是 $307$ 的倍数。取最小一组 $x=692$、$y=307$，六位数 $=1000\times 692+307=\underline{692307}$。
    5. 第 5 步（检验数字互不相同并回代）：$6、9、2、3、0、7$ 各不相同；$692307\times 4=\underline{2769228}$，$307692\times 9=\underline{2769228}$。
    最终答案：“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是 $692307$。
  38. 13. ch21-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（整体设元）：设“甲”$=x$、“乙”$=y$，则“甲乙”$=1000x+y$，“乙甲”$=1000y+x$。
    2. 第 2 步（列方程整理）：$(1000x+y)\times 4=(1000y+x)\times 9$，$x$ 的系数 $4000-9=\underline{3991}$，$y$ 的系数 $9000-4=\underline{8996}$。
    3. 第 3 步（约分）：$3991\div 13=\underline{307}$，$8996\div 13=\underline{692}$，得 $307x=692y$。
    4. 第 4 步（互质取最小解）：$x=692$、$y=307$，密码 $=1000\times 692+307=\underline{692307}$。
    5. 第 5 步（检验）：$692307\times 4=\underline{2769228}$，$307692\times 9=\underline{2769228}$。
    最终答案：这个六位密码最小是 $692307$。
  39. 13. ch21-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（整体设元列方程）：$(1000x+y)\times 6=(1000y+x)\times 7$，即 $6000x+6y=7000y+7x$。
    2. 第 2 步（合并同类项）：$x$ 的系数 $6000-7=\underline{5993}$，$y$ 的系数 $7000-6=\underline{6994}$，得 $5993x=6994y$。
    3. 第 3 步（约分）：两边同除以 $13$，$5993\div 13=\underline{461}$，$6994\div 13=\underline{538}$，得 $461x=538y$。
    4. 第 4 步（互质取最小解）：$461$ 与 $538$ 互质，取 $x=538$、$y=461$，六位数 $=1000\times 538+461=\underline{538461}$。
    5. 第 5 步（检验）：$538461\times 6=\underline{3230766}$，$461538\times 7=\underline{3230766}$。
    最终答案：“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是 $538461$。
  40. 13. ch21-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程整理）：$(1000x+y)\times 5=(1000y+x)\times 8$，$x$ 的系数 $5000-8=\underline{4992}$，$y$ 的系数 $8000-5=\underline{7995}$。
    2. 第 2 步（约分）：$4992\div 39=\underline{128}$，$7995\div 39=\underline{205}$，得 $128x=205y$。
    3. 第 3 步（取解并筛数字互不相同）：$x=205k$、$y=128k$。$k=1$ 时六位数 $205128$ 中出现两个 $2$，舍去；$k=2$ 时 $x=205\times 2=\underline{410}$、$y=128\times 2=\underline{256}$，六位数 $=1000\times 410+256=\underline{410256}$。
    4. 第 4 步（写出另一个六位数）：“勤动脑学习好”$=1000\times 256+410=\underline{256410}$。
    5. 第 5 步（求差）：$410256-256410=\underline{153846}$。
    最终答案：最小的六位数是 $410256$，它与 $256410$ 的差是 $153846$。
  41. 14. ch21-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（按位值整体设元）：设原四位数为 $\overline{abcd}=1000a+r$，其中 $r=\overline{bcd}$ 是后三位；插入数字 $e$ 后得 $\overline{aebcd}=10000a+1000e+r$。
    2. 第 2 步（列倍数方程）：$10000a+1000e+r=9\times(1000a+r)=9000a+9r$。
    3. 第 3 步（移项化简）：$a$ 的系数 $10000-9000=\underline{1000}$，$r$ 的系数 $9-1=\underline{8}$，得 $1000(a+e)=8r$。
    4. 第 4 步（约分）：$1000\div 8=\underline{125}$，所以 $r=125\times(a+e)$，即后三位必是 $125$ 的倍数。
    5. 第 5 步（求最小）：让千位最小 $a=1$、$a+e$ 最小取 $1$（此时 $e=0$），$r=125\times 1=\underline{125}$，四位数 $=1000\times 1+125=\underline{1125}$。
    6. 第 6 步（求最大）：$r<1000$ 要求 $a+e\le 7$，为让千位最大取 $a=7$、$e=0$，$r=125\times 7=\underline{875}$，四位数 $=1000\times 7+875=\underline{7875}$。
    7. 第 7 步（检验）：$1125\times 9=\underline{10125}$，$7875\times 9=\underline{70875}$。
    最终答案：最小的是 $1125$，最大的是 $7875$。
  42. 14. ch21-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（整体设元）：设原编号 $=1000a+r$（$r$ 是后三位），插入数字 $e$ 后为 $10000a+1000e+r$。
    2. 第 2 步（列方程化简）：$10000a+1000e+r=9000a+9r$，$a$ 的系数 $10000-9000=\underline{1000}$，$r$ 的系数 $9-1=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（约分）：$1000\div 8=\underline{125}$，所以 $r=125\times(a+e)$。
    4. 第 4 步（求最小）：$a=1$、$a+e=1$，$r=\underline{125}$，编号 $=1000+125=\underline{1125}$。
    5. 第 5 步（求最大）：$a=7$、$a+e=7$，$r=125\times 7=\underline{875}$，编号 $=7000+875=\underline{7875}$。
    6. 第 6 步（检验）：$7875\times 9=\underline{70875}$。
    最终答案：最小的编号是 $1125$，最大的是 $7875$。
  43. 14. ch21-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程化简）：$1000a+100d+\overline{bc}=9\times(100a+\overline{bc})$，得 $100(a+d)=8\overline{bc}$；两边同除以 $4$，$100\div 4=\underline{25}$、$8\div 4=\underline{2}$，得 $25(a+d)=2\overline{bc}$。
    2. 第 2 步（缩小范围）：$\overline{bc}$ 必是 $25$ 的倍数，两位数中只有 $25$、$50$、$75$。
    3. 第 3 步（逐类数个数）：$\overline{bc}=25$ 时 $a+d=50\div 25=\underline{2}$，$a$ 只能取 $1$、$2$，共 $2$ 个；$\overline{bc}=50$ 时 $a+d=100\div 25=\underline{4}$，$a$ 可取 $1\sim 4$，共 $4$ 个；$\overline{bc}=75$ 时 $a+d=150\div 25=\underline{6}$，$a$ 可取 $1\sim 6$，共 $6$ 个。
    4. 第 4 步（合计）：$2+4+6=\underline{12}$。
    最终答案：这样的三位数一共有 $12$ 个。
  44. 14. ch21-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程化简）：$10000a+1000e+r=9000a+9r$，得 $a$ 的系数 $10000-9000=\underline{1000}$、$r$ 的系数 $9-1=\underline{8}$，即 $1000(a+e)=8r$。
    2. 第 2 步（约分）：$1000\div 8=\underline{125}$，所以 $r=125\times(a+e)$，且 $a+e\le 7$。
    3. 第 3 步（求最小）：$a=1$、$a+e=1$，四位数 $=1000+125\times 1=\underline{1125}$。
    4. 第 4 步（求最大）：$a=7$、$a+e=7$，四位数 $=7000+125\times 7=\underline{7875}$。
    5. 第 5 步（求差）：$7875-1125=\underline{6750}$。
    最终答案：最大的是 $7875$，最小的是 $1125$，它们的差是 $6750$。
  45. 16. ch21-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（写出数字和变化公式）：加 $3$ 后数字和 $=$ 原数字和 $+3-9\times(\text{进位次数})$，记原数字和为 $S$、进位 $k$ 次，则 $\dfrac{S}{4}=S+3-9k$。
    2. 第 2 步（去分母整理）：两边同乘 $4$ 得 $S=4S+12-36k$，即 $3S=36k-12$。
    3. 第 3 步（讨论进位次数）：$k=1$ 时 $3S=36\times 1-12=\underline{24}$，$S=24\div 3=\underline{8}$；$k=2$ 时 $3S=36\times 2-12=\underline{60}$，$S=60\div 3=\underline{20}$；$k=3$ 时 $S=(36\times 3-12)\div 3=\underline{32}$，超过三位数数字和上限 $27$，舍去。
    4. 第 4 步（$S=8$、进位 $1$ 次）：个位加 $3$ 要进位，个位不小于 $7$；数字和只有 $8$，所以只能是 $107$（$1+0+7=\underline{8}$）。
    5. 第 5 步（$S=20$、进位 $2$ 次）：十位必须是 $9$ 才能再进一次位，于是百位与个位之和 $=20-9=\underline{11}$，个位取 $7、8、9$ 依次得 $497$、$398$、$299$。
    6. 第 6 步（检验）：$107+3=110$，数字和 $2=8\div 4=\underline{2}$；$497+3=500$，数字和 $5=20\div 4=\underline{5}$。
    最终答案：满足条件的三位数是 $107$、$299$、$398$、$497$。
  46. 16. ch21-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（数字和变化公式）：涨 $3$ 元后数字和 $=$ 原数字和 $+3-9\times(\text{进位次数})$，即 $\dfrac{S}{4}=S+3-9k$。
    2. 第 2 步（整理）：$S=4S+12-36k$，即 $3S=36k-12$。
    3. 第 3 步（讨论 $k$）：$k=1$ 时 $3S=\underline{24}$，$S=\underline{8}$；$k=2$ 时 $3S=\underline{60}$，$S=\underline{20}$；$k=3$ 时 $S=\underline{32}$ 超过上限 $27$，舍去。
    4. 第 4 步（$S=8$）：个位不小于 $7$ 且数字和为 $8$，只能是 $107$，检验 $1+0+7=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（$S=20$）：十位是 $9$，百位与个位之和 $=20-9=\underline{11}$，得 $497$、$398$、$299$。
    6. 第 6 步（检验）：$497+3=500$，数字和 $5$，而 $20\div 4=\underline{5}$。
    最终答案：原来的价格可能是 $107$ 元、$299$ 元、$398$ 元或 $497$ 元。
  47. 16. ch21-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（数字和变化公式）：$\dfrac{S}{3}=S+3-9k$，两边同乘 $3$ 得 $S=3S+9-27k$，即 $2S=27k-9$。
    2. 第 2 步（讨论进位次数）：$k=1$ 时 $2S=27\times 1-9=\underline{18}$，$S=18\div 2=\underline{9}$；$k=2$ 时 $27\times 2-9=\underline{45}$ 是奇数，无解；$k=3$ 时 $2S=27\times 3-9=\underline{72}$，$S=36$，只有 $9999$ 满足，但 $9999+3$ 已不是四位数，舍去。
    3. 第 3 步（$S=9$、进位 $1$ 次）：个位不小于 $7$、十位不是 $9$，且四位数字之和为 $9$，逐个枚举得 $1008$、$1017$、$1107$、$2007$。
    4. 第 4 步（检验其一）：$1017+3=1020$，数字和 $1+0+2+0=\underline{3}$，而 $9\div 3=\underline{3}$，相等。
    最终答案：满足条件的四位数是 $1008$、$1017$、$1107$、$2007$。
  48. 16. ch21-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（数字和变化公式）：$\dfrac{S}{3}=S+3-9k$，整理得 $2S=27k-9$。
    2. 第 2 步（讨论进位次数）：$k=1$ 时 $2S=27-9=\underline{18}$，$S=18\div 2=\underline{9}$；$k=2$ 时 $27\times 2-9=\underline{45}$ 为奇数无解；$k=3$ 时 $S=(27\times 3-9)\div 2=\underline{36}$ 超过 $27$，舍去。
    3. 第 3 步（枚举）：数字和为 $9$、个位不小于 $7$ 且十位不为 $9$ 的三位数有 $108$、$117$、$207$。
    4. 第 4 步（求和）：$108+117+207=\underline{432}$。
    最终答案：所有这样的三位数的和是 $432$。
  49. 17. ch21-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（必须进位）：若加 $1$ 时不进位，两数字和是 $N$ 与 $N+1$，相差 $1$，不可能都是 $11$ 的倍数，所以末尾一定有若干个 $9$。
    2. 第 2 步（写出变化量）：设末尾有 $k$ 个 $9$，加 $1$ 后数字和变为 $N+1-9k$，两个数字和之差是 $9k-1$，它必须是 $11$ 的倍数。
    3. 第 3 步（逐个试 $k$）：$k=5$ 时 $9\times 5-1=\underline{44}$，$44\div 11=\underline{4}$，恰好整除，所以 $k$ 最小是 $5$。
    4. 第 4 步（算末尾贡献）：末尾 $5$ 个 $9$ 的数字和是 $9\times 5=\underline{45}$，而 $45$ 比 $44$ 多 $1$，所以前面部分的数字和要凑到 $11-1=\underline{10}$。
    5. 第 5 步（让数最小）：一位数最大只有 $9$，凑不出 $10$，所以前面至少两位；两位数中数字和为 $10$ 且末位不是 $9$（否则 $9$ 的个数就多了）的最小的是 $28$，$2+8=\underline{10}$。
    6. 第 6 步（检验）：$2899999$ 的数字和 $=2+8+9\times 5=\underline{55}$，$55\div 11=\underline{5}$；$2900000$ 的数字和 $=2+9=11$。
    最终答案：较小的数最小是 $2899999$。
  50. 17. ch21-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（必须进位）：读数加 $1$ 若不进位，数字和只多 $1$，不可能都是 $11$ 的倍数，所以末尾必有若干个 $9$。
    2. 第 2 步（写出变化量）：末尾 $k$ 个 $9$ 时，两数字和之差是 $9k-1$，须是 $11$ 的倍数。
    3. 第 3 步（试 $k$）：$9\times 5-1=\underline{44}$，$44\div 11=\underline{4}$，故 $k$ 最小是 $5$。
    4. 第 4 步（凑前面部分）：末尾贡献 $9\times 5=\underline{45}$，前面数字和要凑 $11-1=\underline{10}$。
    5. 第 5 步（取最小）：最小的两位数是 $28$（$2+8=\underline{10}$），读数为 $2899999$。
    6. 第 6 步（检验）：数字和 $=2+8+9\times 5=\underline{55}$。
    最终答案：前一天的读数最小是 $2899999$。
  51. 17. ch21-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（必须进位）：末尾一定有若干个 $9$，否则两数字和相差 $1$，不可能都是 $13$ 的倍数。
    2. 第 2 步（试 $k$）：两数字和之差是 $9k-1$。$k=3$ 时 $9\times 3-1=\underline{26}$，$26\div 13=\underline{2}$，恰好整除，$k$ 最小是 $3$。
    3. 第 3 步（算末尾贡献）：末尾 $3$ 个 $9$ 的数字和是 $9\times 3=\underline{27}$，比 $26$ 多 $1$，所以前面部分的数字和要凑到 $13-1=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（取最小）：两位数中数字和为 $12$ 且末位不是 $9$ 的最小的是 $48$（$4+8=\underline{12}$），所以数是 $48999$。
    5. 第 5 步（检验）：$4+8+9\times 3=\underline{39}$，$39\div 13=\underline{3}$。
    最终答案：较小的数最小是 $48999$。
  52. 17. ch21-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（定末尾 $9$ 的个数）：两数字和之差 $9k-1$ 要是 $11$ 的倍数，$9\times 5-1=\underline{44}$，$44\div 11=\underline{4}$，故 $k=5$。
    2. 第 2 步（凑前面部分）：末尾贡献 $9\times 5=\underline{45}$，前面数字和须凑 $11-1=\underline{10}$，最小取两位数 $28$。
    3. 第 3 步（写出较小的数）：$2899999$，其数字和 $=2+8+9\times 5=\underline{55}$。
    4. 第 4 步（写出较大的数）：$2899999+1=\underline{2900000}$，数字和 $2+9=11$。
    5. 第 5 步（求和）：$2899999+2900000=\underline{5799999}$。
    最终答案：最小的一对数是 $2899999$ 与 $2900000$，它们的和是 $5799999$。
  53. 18. ch21-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（先算 $456$ 的对应数）：$4!=1\times 2\times 3\times 4=\underline{24}$，$5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=\underline{120}$，$6!=120\times 6=\underline{720}$。
    2. 第 2 步（求和）：$24+120+720=\underline{864}$。
    3. 第 3 步（压缩数字范围）：$7!=720\times 7=\underline{5040}$ 已是四位数，所以要找的三位数各位数字不能有 $7$ 及以上；若含 $6$，对应数至少 $720$，首位就得大于 $7$，矛盾，故各位数字只能取 $0\sim 5$。
    4. 第 4 步（枚举验证）：在 $0\sim 5$ 内试算，$1!+4!+5!=1+24+120=\underline{145}$，与自身相同。
    最终答案：$456$ 的对应数是 $864$；对应数与自身相同的三位数是 $145$。
  54. 18. ch21-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（算阶乘）：$4!=\underline{24}$，$5!=\underline{120}$，$6!=120\times 6=\underline{720}$。
    2. 第 2 步（求第 $456$ 关的能量值）：$24+120+720=\underline{864}$。
    3. 第 3 步（压缩范围）：$7!=\underline{5040}$ 已是四位数，故关卡编号各位数字只能取 $0\sim 5$。
    4. 第 4 步（枚举验证）：$1!+4!+5!=\underline{145}$，正是 $145$ 关。
    最终答案：第 $456$ 关的能量值是 $864$；能量值等于编号本身的是第 $145$ 关。
  55. 18. ch21-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（逐个算阶乘）：$4!=\underline{24}$，$0!=1$，$5!=\underline{120}$，$8!=5040\times 8=\underline{40320}$，$5!=120$。
    2. 第 2 步（先加小的三项）：$24+1+120=\underline{145}$。
    3. 第 3 步（再加另外两项）：$145+40320=\underline{40465}$，再加最后一个 $5!$：$40465+120=\underline{40585}$。
    4. 第 4 步（比较）：结果与 $40585$ 相同，验证成立。
    最终答案：$4!+0!+5!+8!+5!=40585$，等于它本身，验证成立。
  56. 18. ch21-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（压缩范围）：$7!=720\times 7=\underline{5040}$ 已是四位数，若含 $6$ 则对应数至少 $720$、首位需大于 $7$，所以各位数字只能取 $0\sim 5$。
    2. 第 2 步（枚举验证）：$1!+4!+5!=1+24+120=\underline{145}$，即这个三位数是 $145$。
    3. 第 3 步（写出反序数）：把 $145$ 的数字倒过来得 $\underline{541}$（提示：$100\times 5+10\times 4+1$）。
    4. 第 4 步（求和）：$145+541=\underline{686}$。
    5. 第 5 步（用规律复核）：$\overline{abc}+\overline{cba}=101\times(a+c)+20b=101\times(1+5)+20\times 4=\underline{686}$。
    最终答案：这个三位数是 $145$，它与反序数 $541$ 的和是 $686$。
  57. 19. ch21-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（估一估乘数）：修改一个数字后仍是五位数，且与 $50026$ 相差不会太大。先估 $823\times 60=\underline{49380}$，比 $50026$ 略小。
    2. 第 2 步（往上试）：$823\times 61=\underline{50203}$，与 $50026$ 逐位比较（$50203$ 与 $50026$），百位、十位、个位都不同，改了不止一位，舍去。
    3. 第 3 步（继续试）：$823\times 62=\underline{51026}$，与 $50026$ 逐位比较，只有千位由 $0$ 变成 $1$，恰好只改了一位，符合要求。
    4. 第 4 步（再往上排除）：$823\times 63=\underline{51849}$，与 $50026$ 相差太多，改动不止一位，舍去。
    5. 第 5 步（检验）：$51026\div 823=\underline{62}$。
    最终答案：修改后的这个数是 $51026$。
  58. 19. ch21-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（估乘数）：$823\times 60=\underline{49380}$，略小于 $50026$。
    2. 第 2 步（试 $61$）：$823\times 61=\underline{50203}$，与 $50026$ 相比不止一位不同，舍去。
    3. 第 3 步（试 $62$）：$823\times 62=\underline{51026}$，与 $50026$ 只有千位不同，符合“只错一位”。
    4. 第 4 步（试 $63$ 排除）：$823\times 63=\underline{51849}$，差得太多，舍去。
    5. 第 5 步（检验）：$51026\div 823=\underline{62}$。
    最终答案：正确的订单号是 $51026$。
  59. 19. ch21-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（估乘数）：$941\times 53=\underline{49873}$，略小于 $50014$。
    2. 第 2 步（试 $54$）：$941\times 54=\underline{50814}$，与 $50014$ 逐位比较，只有百位由 $0$ 变成 $8$，恰好只改一位。
    3. 第 3 步（试 $55$ 排除）：$941\times 55=\underline{51755}$，与 $50014$ 有多位不同，舍去。
    4. 第 4 步（检验）：$50814\div 941=\underline{54}$。
    最终答案：修改后的这个数是 $50814$。
  60. 19. ch21-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（试算定位）：$823\times 61=\underline{50203}$（与 $50026$ 多位不同，舍去），$823\times 62=\underline{51026}$（与 $50026$ 只有千位不同，符合）。
    2. 第 2 步（写出结果）：修改后的数是 $51026$。
    3. 第 3 步（求商）：$51026\div 823=\underline{62}$。
    4. 第 4 步（求各位数字之和）：$5+1+0+2+6=\underline{14}$。
    5. 第 5 步（用 $9$ 的整除特征复核）：$14$ 除以 $9$ 余 $14-9=\underline{5}$，所以 $51026$ 除以 $9$ 也余 $5$。
    最终答案：修改后的数是 $51026$，商是 $62$，各位数字之和是 $14$。
  61. 20. ch21-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（提公因数化归）：$\underbrace{22\cdots 2}_{n}=2\times\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，而 $19998\div 2=\underline{9999}$，所以只需 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}$ 是 $9999$ 的倍数。
    2. 第 2 步（把 $9999$ 拆成互质因数）：$9999\div 9=\underline{1111}$，再把 $1111$ 拆开 $1111\div 11=\underline{101}$，所以 $9999=9\times 11\times 101$。
    3. 第 3 步（被 $9$ 整除的条件）：$n$ 个 $1$ 的数字和恰是 $n$，所以 $n$ 必须是 $9$ 的倍数。
    4. 第 4 步（被 $11$、$101$ 整除的条件）：最短的能被 $11$ 整除的是 $11$（$2$ 个 $1$），最短的能被 $101$ 整除的是 $1111$（$4$ 个 $1$），所以 $n$ 必须同时是 $2$ 和 $4$ 的倍数，即 $n$ 是 $4$ 的倍数。
    5. 第 5 步（取公倍数）：$n$ 同时是 $9$ 和 $4$ 的倍数，而 $9$ 与 $4$ 互质，所以最小 $n=9\times 4=\underline{36}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $36$。
  62. 20. ch21-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（提公因数）：这个整数 $=2\times\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，而 $19998\div 2=\underline{9999}$，只需 $n$ 个 $1$ 组成的数是 $9999$ 的倍数。
    2. 第 2 步（拆因数）：$9999\div 9=\underline{1111}$，$1111\div 11=\underline{101}$，即 $9999=9\times 11\times 101$。
    3. 第 3 步（各条件）：被 $9$ 整除要 $n$ 是 $9$ 的倍数；被 $11$、$101$ 整除要 $n$ 是 $4$ 的倍数。
    4. 第 4 步（取最小公倍数）：$n=9\times 4=\underline{36}$。
    最终答案：$n$ 最少是 $36$。
  63. 20. ch21-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（提公因数化归）：$\underbrace{55\cdots 5}_{n}=5\times\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，而 $4995\div 5=\underline{999}$，所以只需 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}$ 是 $999$ 的倍数。
    2. 第 2 步（拆分 $999$）：$999\div 9=\underline{111}$，即 $999=111\times 9$，且 $111$ 与 $9$ 互质。
    3. 第 3 步（被 $111$ 整除的条件）：最短的能被 $111$ 整除的是 $111$（$3$ 个 $1$），所以 $n$ 必须是 $3$ 的倍数。
    4. 第 4 步（被 $9$ 整除的条件）：商 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}\div 111$ 的数字和是 $\dfrac{n}{3}$，要被 $9$ 整除。
    5. 第 5 步（取最小）：$\dfrac{n}{3}$ 是 $9$ 的倍数，所以 $n$ 最小 $=3\times 9=\underline{27}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $27$。
  64. 20. ch21-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（化归）：$1998\div 2=\underline{999}$，只需 $\underbrace{11\cdots 1}_{n}$ 是 $999$ 的倍数。
    2. 第 2 步（拆分）：$999\div 9=\underline{111}$，被 $111$ 整除要求 $n$ 是 $3$ 的倍数；商的数字和 $\dfrac{n}{3}$ 要被 $9$ 整除。
    3. 第 3 步（取最小 $n$）：$n=3\times 9=\underline{27}$。
    4. 第 4 步（求位数）：这个数由 $n$ 个 $2$ 组成，位数就是 $\underline{27}$。
    5. 第 5 步（求各位数字之和）：$2\times 27=\underline{54}$。
    6. 第 6 步（复核）：$54$ 是 $9$ 的倍数（$54\div 9=\underline{6}$），与「这个数是 $999$ 的倍数的 $2$ 倍」一致。
    最终答案：$n$ 最小是 $27$，此时这个数是 $27$ 位数，各位数字之和是 $54$。
  65. 22. ch21-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（分解除数）：$144=9\times \underline{16}$，且 $9$ 与 $16$ 互质，需同时被 $9$ 和 $16$ 整除。
    2. 第 2 步（用 $9$ 的整除特征）：$0+1+\cdots+9=(0+9)\times 10\div 2=\underline{45}$，去掉两个数字后余下 $8$ 个数字之和要是 $9$ 的倍数，所以去掉的两数之和是 $9$ 的倍数。
    3. 第 3 步（用 $16$ 的整除特征）：只看末四位组成的四位数能否被 $16$ 整除。
    4. 第 4 步（求最小）：高位从 $1、0、2、3$ 排起，调整末四位得 $10237968$，检验末四位 $7968\div 16=\underline{498}$。
    5. 第 5 步（求最大）：高位从 $9、8、7、6$ 排起，调整末四位得 $98763120$，检验末四位 $3120\div 16=\underline{195}$。
    6. 第 6 步（整体复核）：$10237968\div 144=\underline{71097}$，$98763120\div 144=\underline{685855}$。
    最终答案：最小是 $10237968$，最大是 $98763120$。
  66. 22. ch21-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（分解除数）：$144=9\times \underline{16}$，需同时被 $9$ 与 $16$ 整除。
    2. 第 2 步（用 $9$ 的整除特征）：$0+1+\cdots+9=\underline{45}$，去掉的两个数字之和须是 $9$ 的倍数。
    3. 第 3 步（求最小号码）：得 $10237968$，检验末四位 $7968\div 16=\underline{498}$。
    4. 第 4 步（求最大号码）：得 $98763120$，检验末四位 $3120\div 16=\underline{195}$。
    5. 第 5 步（整体复核）：$98763120\div 144=\underline{685855}$。
    最终答案：最小的号码是 $10237968$，最大的是 $98763120$。
  67. 22. ch21-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（分解除数）：$45=9\times \underline{5}$，且 $9$ 与 $5$ 互质。
    2. 第 2 步（用 $5$ 的整除特征）：末位只能是 $0$ 或 $5$。
    3. 第 3 步（用 $9$ 的整除特征）：$0+1+\cdots+9=\underline{45}$，去掉的两个数字之和须是 $9$ 的倍数。
    4. 第 4 步（求最小）：高位从 $1、0、2、4$ 排起，末位取 $5$，得 $10247895$，检验 $10247895\div 45=\underline{227731}$。
    5. 第 5 步（求最大）：高位从 $9、8、7、6$ 排起，末位取 $0$，得 $98763210$，检验 $98763210\div 45=\underline{2194738}$。
    最终答案：最小是 $10247895$，最大是 $98763210$。
  68. 22. ch21-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（分解除数）：$72=9\times \underline{8}$。
    2. 第 2 步（用 $9$ 的整除特征）：$0+1+\cdots+9=\underline{45}$，去掉的两个数字之和须是 $9$ 的倍数。
    3. 第 3 步（求最小）：$10237896$，检验末三位 $896\div 8=\underline{112}$。
    4. 第 4 步（求最大）：$98763120$，检验末三位 $120\div 8=\underline{15}$。
    5. 第 5 步（求差）：$98763120-10237896=\underline{88525224}$。
    最终答案：最小是 $10237896$，最大是 $98763120$，它们的差是 $88525224$。
  69. 23. ch21-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（认出倍数关系）：后面添一个 $0$，每位数字左移一位，新数是原数的 $\underline{10}$ 倍。
    2. 第 2 步（合并份数）：原数算 $1$ 份，新数算 $10$ 份，两数之和是原数的 $10+1=\underline{11}$ 倍。
    3. 第 3 步（用和倍关系还原）：$\text{四位数}=79992\div 11=\underline{7272}$。
    4. 第 4 步（检验）：$7272\times 11=\underline{79992}$，与题给的和相同。
    最终答案：这个四位数是 $7272$。
  70. 23. ch21-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（认出倍数关系）：末尾补 $0$ 后，新编号是原编号的 $\underline{10}$ 倍。
    2. 第 2 步（合并份数）：新旧编号之和相当于原编号的 $10+1=\underline{11}$ 倍。
    3. 第 3 步（还原）：$\text{原编号}=79992\div 11=\underline{7272}$。
    4. 第 4 步（检验）：$7272+72720=\underline{79992}$。
    最终答案：原来的四位编号是 $7272$。
  71. 23. ch21-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（认出倍数关系）：末尾添两个 $0$，每位数字左移两位，新数是原数的 $10\times 10=\underline{100}$ 倍。
    2. 第 2 步（合并份数）：两数之和是原数的 $100+1=\underline{101}$ 倍。
    3. 第 3 步（还原）：$\text{四位数}=226644\div 101=\underline{2244}$。
    4. 第 4 步（检验）：$2244\times 101=\underline{226644}$。
    最终答案：这个四位数是 $2244$。
  72. 23. ch21-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（认出倍数关系）：五位数是四位数的 $\underline{10}$ 倍，两数之和是四位数的 $10+1=\underline{11}$ 倍。
    2. 第 2 步（还原原数）：$\text{四位数}=24684\div 11=\underline{2244}$。
    3. 第 3 步（写出五位数）：末尾添 $0$，$2244\times 10=\underline{22440}$。
    4. 第 4 步（求各位数字之和）：$2+2+4+4+0=\underline{12}$。
    最终答案：这个五位数是 $22440$，各位数字之和是 $12$。
  73. 24. ch21-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（位值展开列方程）：设这个两位数为 $\overline{AB}$，则 $10A+B=(A+B)\times 8=8A+8B$。
    2. 第 2 步（移项化简）：左边 $A$ 的系数减少 $10-8=\underline{2}$，右边 $B$ 的系数减少 $8-1=\underline{7}$，得 $2A=7B$。
    3. 第 3 步（互质定解）：$2$ 与 $7$ 互质，所以 $A$ 是 $7$ 的倍数、$B$ 是 $2$ 的倍数，一位数字里只能取 $A=7$、$B=2\times 7\div 7=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（写出两位数）：$7\times 10+2=\underline{72}$。
    5. 第 5 步（检验）：$(7+2)\times 8=\underline{72}$。
    最终答案：这个两位数是 $72$。
  74. 24. ch21-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（位值展开）：设编号为 $\overline{AB}$，按位值原理写成 $10A+B$，条件是 $10A+B=(A+B)\times 8$。
    2. 第 2 步（移项化简）：$A$ 的系数 $10-8=\underline{2}$，$B$ 的系数 $8-1=\underline{7}$，得 $2A=7B$。
    3. 第 3 步（定解）：$2$、$7$ 互质，一位数字里只能取 $A=7$、$B=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（写出编号并检验）：编号 $=7\times 10+2=\underline{72}$，$(7+2)\times 8=\underline{72}$。
    最终答案：这个书架编号是 $72$。
  75. 24. ch21-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（位值展开列方程）：$10A+B=(A+B)\times 9=9A+9B$。
    2. 第 2 步（移项化简）：$A$ 的系数 $10-9=\underline{1}$，$B$ 的系数 $9-1=\underline{8}$，得 $A=8B$。
    3. 第 3 步（用数字范围定解）：$A\le 9$，所以 $B$ 只能取 $1$，此时 $A=8\times 1=\underline{8}$。
    4. 第 4 步（写出两位数并检验）：$8\times 10+1=\underline{81}$，$(8+1)\times 9=\underline{81}$。
    最终答案：这个两位数是 $81$。
  76. 24. ch21-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（位值展开列方程）：$10A+B=(A+B)\times 8$，移项得 $10-8=\underline{2}$ 倍的 $A$ 等于 $8-1=\underline{7}$ 倍的 $B$，即 $2A=7B$。
    2. 第 2 步（定解）：$2$、$7$ 互质，一位数字里 $A=7$、$B=\underline{2}$，原数 $=7\times 10+2=\underline{72}$。
    3. 第 3 步（写出交换后的新数）：把数字对调，新数 $=2\times 10+7=\underline{27}$。
    4. 第 4 步（求和）：$72+27=\underline{99}$。（也可用规律 $\overline{AB}+\overline{BA}=11\times(A+B)=11\times 9$ 复核）
    5. 第 5 步（用规律复核）：$11\times(7+2)=\underline{99}$。
    最终答案：原数是 $72$，新数是 $27$，两数之和是 $99$。
  77. 25. ch21-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（认出全排列求和公式）：每个数字在百位、十位、个位上各出现 $2$ 次，所以总和 $=(A+B+C)\times 2\times(100+10+1)=(A+B+C)\times \underline{222}$。
    2. 第 2 步（求数字和）：$A+B+C=3330\div 222=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（百位取最小）：取 $A=1$，则 $B+C=15-1=\underline{14}$。
    4. 第 4 步（十位取最小）：个位最大只能是 $9$，所以 $B$ 至少是 $14-9=\underline{5}$，取 $B=5$，于是 $C=14-5=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（写出最小的三位数）：$100\times 1+10\times 5+9=\underline{159}$。
    最终答案：$6$ 个三位数中最小的一个是 $159$。
  78. 25. ch21-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（认出全排列求和公式）：每张卡片在百位、十位、个位上各用到 $2$ 次，总和 $=(A+B+C)\times 2\times(100+10+1)=(A+B+C)\times \underline{222}$。
    2. 第 2 步（求数字和）：$A+B+C=3330\div 222=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（百位取最小）：$A=1$，则 $B+C=15-1=\underline{14}$。
    4. 第 4 步（十位取最小）：$B\ge 14-9=\underline{5}$，取 $B=5$，$C=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（写出最小编码）：$100+50+9=\underline{159}$。
    最终答案：最小的编码是 $159$。
  79. 25. ch21-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求数字和）：由全排列求和公式 $A+B+C=3330\div 222=\underline{15}$。
    2. 第 2 步（百位取最大）：百位取能取的最大数字 $9$，则另外两个数字之和为 $15-9=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（十位取最大）：个位至少是 $1$（三个数字都不能是 $0$，否则组不成 $6$ 个三位数），所以十位最大是 $6-1=\underline{5}$，此时个位 $=6-5=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（写出最大的三位数）：$100\times 9+10\times 5+1=\underline{951}$。
    最终答案：$6$ 个三位数中最大的一个是 $951$。
  80. 25. ch21-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求数字和）：$A+B+C=3330\div 222=\underline{15}$。
    2. 第 2 步（求最小的一个）：百位取 $1$，十位至少 $14-9=\underline{5}$，最小数 $=100+50+9=\underline{159}$。
    3. 第 3 步（求最大的一个）：百位取 $9$，十位最大 $6-1=\underline{5}$，最大数 $=900+50+1=\underline{951}$。
    4. 第 4 步（求差）：$951-159=\underline{792}$。
    最终答案：最大的是 $951$，最小的是 $159$，它们的差是 $792$。
  81. 26. ch21-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（按位值写出三个数）：设原两位数为 $x$。前面加 $5$ 得 $500+x$；后面加 $5$ 得 $10x+5$；前后各加 $5$ 得 $5000+10x+5$。
    2. 第 2 步（合并 $x$ 的系数）：三式中 $x$ 的系数相加 $1+10+10=\underline{21}$。
    3. 第 3 步（合并常数）：三式中的常数相加 $500+5+5000+5=\underline{5510}$。
    4. 第 4 步（列方程并移项）：$21x+5510=6308$，所以 $21x=6308-5510=\underline{798}$。
    5. 第 5 步（解方程）：$x=798\div 21=\underline{38}$。
    6. 第 6 步（检验）：$538+385+5385=\underline{6308}$。
    最终答案：原来的两位数是 $38$。
  82. 26. ch21-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（按位值写出三个数）：设柜号为 $x$，三个数依次是 $500+x$、$10x+5$、$5000+10x+5$。
    2. 第 2 步（合并 $x$ 的系数）：$1+10+10=\underline{21}$。
    3. 第 3 步（合并常数）：$500+5+5000+5=\underline{5510}$。
    4. 第 4 步（移项）：$21x=6308-5510=\underline{798}$。
    5. 第 5 步（求柜号）：$x=798\div 21=\underline{38}$。
    6. 第 6 步（检验）：$538+385+5385=\underline{6308}$。
    最终答案：小明的储物柜号是 $38$。
  83. 26. ch21-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（按位值写出两个数）：设原两位数为 $x$，前面加 $3$ 得 $300+x$，后面加 $3$ 得 $10x+3$。
    2. 第 2 步（合并 $x$ 的系数）：$1+10=\underline{11}$。
    3. 第 3 步（合并常数）：$300+3=\underline{303}$。
    4. 第 4 步（移项）：$11x=930-303=\underline{627}$。
    5. 第 5 步（解方程）：$x=627\div 11=\underline{57}$。
    6. 第 6 步（检验）：$357+573=\underline{930}$。
    最终答案：原来的两位数是 $57$。
  84. 26. ch21-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（合并同类项）：$x$ 的系数 $1+10+10=\underline{21}$，常数 $500+5+5000+5=\underline{5510}$。
    2. 第 2 步（解方程）：$21x=6308-5510=\underline{798}$，$x=798\div 21=\underline{38}$。
    3. 第 3 步（写出四位数）：把 $x=38$ 前后各加 $5$，得 $5000+10\times 38+5=\underline{5385}$。
    4. 第 4 步（求各位数字之和）：$5+3+8+5=\underline{21}$。
    最终答案：这个四位数是 $5385$，各位数字之和是 $21$。
  85. 27. ch21-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（认出规律）：每进位一次，本位少 $10$、高位多 $1$，数字和减少 $10-1=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（算总减少量）：进位五次，共减少 $9\times 5=\underline{45}$。
    3. 第 3 步（先把两数字和相加）：$47+38=\underline{85}$。
    4. 第 4 步（减去减少量）：$85-45=\underline{40}$。
    最终答案：$A+B$ 的各位数字之和是 $40$。
  86. 27. ch21-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（认出规律）：每进位一次数字和减少 $10-1=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（算总减少量）：$9\times 5=\underline{45}$。
    3. 第 3 步（两数字和相加）：$47+38=\underline{85}$。
    4. 第 4 步（求结果）：$85-45=\underline{40}$。
    最终答案：所得和的各位数字之和是 $40$。
  87. 27. ch21-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（认出规律）：每进位一次数字和减少 $10-1=\underline{9}$，五次共减少 $9\times 5=\underline{45}$。
    2. 第 2 步（写出关系式）：$A$ 的数字和 $+B$ 的数字和 $-45=40$，所以两数字和之和 $=40+45=\underline{85}$。
    3. 第 3 步（逆向求 $B$）：$B$ 的数字和 $=85-47=\underline{38}$。
    最终答案：$B$ 的各位数字之和是 $38$。
  88. 27. ch21-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（认出规律）：每进位一次数字和减少 $10-1=\underline{9}$，五次共减少 $9\times 5=\underline{45}$。
    2. 第 2 步（求和的数字和）：$47+38-45=\underline{40}$。
    3. 第 3 步（用 $9$ 的整除特征）：一个数除以 $9$ 的余数与它的各位数字之和除以 $9$ 的余数相同。$40$ 里最多含 $9\times 4=\underline{36}$。
    4. 第 4 步（求余数）：$40-36=\underline{4}$。
    最终答案：$A+B$ 的各位数字之和是 $40$，$A+B$ 除以 $9$ 的余数是 $4$。
  89. 30. ch21-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（用 $9$ 的整除特征）：是不是 $9$ 的倍数只看各位数字之和。两头的两个数字之和是 $5+4=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（写出数字和）：中间 $n$ 个 $8$ 贡献 $8n$，所以数字和是 $8n+9$。
    3. 第 3 步（判断）：$9$ 本身已是 $9$ 的倍数，所以只需 $8n$ 是 $9$ 的倍数；$8$ 与 $9$ 互质，因此 $n$ 必须是 $9$ 的倍数，最小取 $n=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（检验）：$n=9$ 时数字和为 $8\times 9+9=\underline{81}$，$81\div 9=\underline{9}$，确实整除。
    最终答案：$n$ 最小是 $9$。
  90. 30. ch21-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（用 $9$ 的整除特征）：只看各位数字之和。首尾两位之和 $5+4=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（写出数字和）：数字和 $=8n+9$。
    3. 第 3 步（判断）：$9$ 已是 $9$ 的倍数，只需 $8n$ 是 $9$ 的倍数；$8$、$9$ 互质，故 $n$ 是 $9$ 的倍数，最小 $n=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（检验）：数字和 $=8\times 9+9=\underline{81}$，$81\div 9=\underline{9}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $9$。
  91. 30. ch21-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（用 $9$ 的整除特征）：首尾两位之和 $7+3=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（写出数字和）：中间 $n$ 个 $1$ 贡献 $n$，所以数字和 $=n+10=(n+1)+9$。
    3. 第 3 步（判断）：$9$ 是 $9$ 的倍数，故只需 $n+1$ 是 $9$ 的倍数（注意 $n=0$ 时是 $73$，数字和 $10$ 不是 $9$ 的倍数，不成立），$n$ 最小 $=9-1=\underline{8}$。
    4. 第 4 步（检验）：数字和 $=8+10=\underline{18}$，$18\div 9=\underline{2}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $8$。
  92. 30. ch21-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分因数）：$36=9\times \underline{4}$，且 $9$ 与 $4$ 互质，所以要同时被 $9$ 和 $4$ 整除。
    2. 第 2 步（先看 $4$ 的整除特征）：只看末两位。当 $n\ge 1$ 时末两位是 $84$，$84\div 4=\underline{21}$，能整除，这一条自动满足。
    3. 第 3 步（再看 $9$ 的整除特征）：数字和 $=4+8n+4$，首尾两数之和 $4+4=\underline{8}$，所以数字和 $=8n+8=8(n+1)$。
    4. 第 4 步（约去互质因数）：$8$ 与 $9$ 互质，故 $n+1$ 是 $9$ 的倍数，$n$ 最小 $=9-1=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（检验）：$n=8$ 时数字和 $=8\times(8+1)=\underline{72}$，$72\div 9=\underline{8}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $8$。
  93. 31. ch21-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（拆分因数）：$27=9\times \underline{9}$。
    2. 第 2 步（先除以 $3$）：$30\underbrace{33\cdots 3}_{n}\div 3=10\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，问题变成「商是 $9$ 的倍数」。
    3. 第 3 步（求商的数字和）：商的前两位贡献 $1+0=\underline{1}$，后面 $n$ 个 $1$ 贡献 $n$，所以数字和 $=n+1$。
    4. 第 4 步（用 $9$ 的整除特征取最小）：$n+1$ 是 $9$ 的倍数，$n$ 最小 $=9-1=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（检验）：$n=8$ 时商的数字和 $=1+0+8=\underline{9}$，$9\div 9=\underline{1}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $8$。
  94. 31. ch21-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（拆分因数）：$27=9\times \underline{9}$，先除以 $3$ 再用 $9$ 的整除特征。
    2. 第 2 步（除以 $3$）：$30\underbrace{33\cdots 3}_{n}\div 3=10\underbrace{11\cdots 1}_{n}$。
    3. 第 3 步（数字和）：前两位 $1+0=\underline{1}$，加上 $n$ 个 $1$，共 $n+1$。
    4. 第 4 步（取最小）：$n$ 最小 $=9-1=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（检验）：数字和 $=1+0+8=\underline{9}$，是 $9$ 的倍数。
    最终答案：$n$ 最小是 $8$。
  95. 31. ch21-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分因数）：$27=9\times \underline{9}$。
    2. 第 2 步（除以 $3$）：$\underbrace{33\cdots 3}_{n}\div 3=\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，问题变成「$n$ 个 $1$ 组成的数是 $9$ 的倍数」。
    3. 第 3 步（用 $9$ 的整除特征）：$n$ 个 $1$ 的数字和恰好是 $n$，要它是 $9$ 的倍数，$n$ 最小 $=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（检验）：$333333333\div 27=\underline{12345679}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $9$。
  96. 31. ch21-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分因数）：$27=9\times \underline{9}$。
    2. 第 2 步（除以 $3$ 化简）：$12\underbrace{33\cdots 3}_{n}\div 3=4\underbrace{11\cdots 1}_{n}$，数字和 $=4+n$。
    3. 第 3 步（取最小 $n$）：$4+n$ 是 $9$ 的倍数，$n$ 最小 $=9-4=\underline{5}$。
    4. 第 4 步（写出这个数并求商）：此时这个数是 $1233333$，$1233333\div 27=\underline{45679}$。
    5. 第 5 步（检验）：$45679\times 27=\underline{1233333}$。
    最终答案：$n$ 最小是 $5$，此时这个数除以 $27$ 的商是 $45679$。
  97. 32. ch21-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（拆分因数）：$72=8\times \underline{9}$，且 $8$ 与 $9$ 互质，需同时被 $8$ 和 $9$ 整除。
    2. 第 2 步（用 $9$ 的整除特征定去掉谁）：$1+2+\cdots+9=(1+9)\times 9\div 2=\underline{45}$。要让剩下 $8$ 个数字之和是 $9$ 的倍数，去掉的数字必须是 $45-36=\underline{9}$，所以只能去掉 $9$，剩下 $1\sim 8$，数字和 $45-9=\underline{36}$。
    3. 第 3 步（求最大）：高位尽量大，从 $87654\cdots$ 排起，再调末三位使其被 $8$ 整除，得 $87654312$，检验 $312\div 8=\underline{39}$。
    4. 第 4 步（求最小）：高位尽量小，从 $12345\cdots$ 排起，再调末三位，得 $12345768$，检验 $768\div 8=\underline{96}$。
    5. 第 5 步（整体复核）：$87654312\div 72=\underline{1217421}$，$12345768\div 72=\underline{171469}$。
    最终答案：最大的是 $87654312$，最小的是 $12345768$。
  98. 32. ch21-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（拆分因数）：$72=8\times \underline{9}$，需同时被 $8$ 和 $9$ 整除。
    2. 第 2 步（定去掉的数字）：$1+2+\cdots+9=\underline{45}$，去掉的数字须使余下 $8$ 个数字之和是 $9$ 的倍数，只能去掉 $45-36=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（求最大编号）：高位取大得 $87654312$，检验末三位 $312\div 8=\underline{39}$。
    4. 第 4 步（求最小编号）：高位取小得 $12345768$，检验末三位 $768\div 8=\underline{96}$。
    5. 第 5 步（整体复核）：$87654312\div 72=\underline{1217421}$。
    最终答案：最大的编号是 $87654312$，最小的编号是 $12345768$。
  99. 32. ch21-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分因数）：$24=8\times \underline{3}$。
    2. 第 2 步（用 $3$ 的整除特征）：$0+1+\cdots+9=(0+9)\times 10\div 2=\underline{45}$，$45$ 是 $3$ 的倍数，所以去掉的两个数字之和也要是 $3$ 的倍数。
    3. 第 3 步（求最大）：高位取大，去掉 $1$ 和 $2$（和为 $1+2=\underline{3}$，是 $3$ 的倍数），排成 $98765304$，检验末三位 $304\div 8=\underline{38}$。
    4. 第 4 步（求最小）：高位取小，排成 $10234896$，检验末三位 $896\div 8=\underline{112}$。
    5. 第 5 步（整体复核）：$98765304\div 24=\underline{4115221}$，$10234896\div 24=\underline{426454}$。
    最终答案：最大的是 $98765304$，最小的是 $10234896$。
  100. 32. ch21-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分因数）：$24=3\times \underline{8}$。
    2. 第 2 步（用 $3$ 的整除特征）：$1+2+\cdots+9=\underline{45}$，去掉的数字必须是 $3$ 的倍数，即 $3$、$6$、$9$ 之一。
    3. 第 3 步（求最大）：去掉 $3$ 保留大数字，高位取大并调末三位，得 $98764512$，检验 $512\div 8=\underline{64}$。
    4. 第 4 步（求最小）：去掉 $9$，高位取小并调末三位，得 $12345768$，检验 $768\div 8=\underline{96}$。
    5. 第 5 步（求差）：$98764512-12345768=\underline{86418744}$。
    最终答案：最大的是 $98764512$，最小的是 $12345768$，它们的差是 $86418744$。