五年级第22讲计数综合二

1. 【原题 ch22-chaoyue-01】甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。问：（1）甲拿到自己作业本的拿法有多少种？（2）恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？（3）至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？（4）谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？

详细思路

是哪类问题：这是「错位排列（全不对号入座）」题：四个问题层层递进，分别用到固定一人后的全排列、“先选后错排”、排除法和错排数。

关键切入点：关键是记住错排递推 $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$，其中 $D_1=0$、$D_2=1$，于是 $D_3=2\times(1+0)=2$、$D_4=3\times(2+1)=9$。第 (2) 问“恰有一人”要先选出那个人再让其余三人全错排；第 (3) 问“至少有一人没拿到”的反面是“所有人都拿到”，只有 $1$ 种，用排除法最快。

方法概述：全排列 $A_n^n$、错排数 $D_n$、先选后错排、排除法四件工具配合使用。

规范步骤：

（1）甲拿到自己的：其余三人任意拿：$A_3^3=3\times 2\times 1=6$ 种（固定一人后全排列）
（2）恰有一人拿到自己的：先选这一人 $4$ 种，其余三人全错排 $D_3=2$ 种：$4\times 2=8$ 种（先选后错排）
（3）至少一人没拿到自己的：总数 $A_4^4=24$，反面“全部对号”只有 $1$ 种：$24-1=23$ 种（排除法）
（4）谁也没拿到自己的：$D_4=3\times(D_3+D_2)=3\times(2+1)=9$ 种（错排递推）
写出答案：（1）$6$；（2）$8$；（3）$23$；（4）$9$

第一套

题目：甲、乙、丙、丁、戊五人各有一个作业本混放在一起，五人每人随便拿了一本。问：（1）甲拿到自己作业本的拿法有多少种？（2）恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？（3）至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？（4）谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先把错排数递推出来）：$D_1=0$，$D_2=1$，$D_3=2\times(D_2+D_1)=2\times(1+0)=\underline{\quad}$，$D_4=3\times(D_3+D_2)=3\times(2+1)=\underline{\quad}$，$D_5=4\times(D_4+D_3)=4\times(9+2)=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (1) 问）：甲的本子已定，其余四人任意拿，$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第 (2) 问）：先选出拿到自己本子的那一人有 $\underline{\quad}$ 种，其余四人必须全错排，有 $D_4=9$ 种，共 $5\times 9=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（第 (3) 问）：总拿法 $A_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种，反面“人人都拿到自己的”只有 $1$ 种，故 $120-1=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（第 (4) 问）：即五人全错排，$D_5=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：五位同学把各自的雨伞混放在伞架上，放学时每人随手拿走一把。问：（1）小甲拿到自己雨伞的拿法有多少种？（2）恰有一人拿到自己雨伞的拿法有多少种？（3）至少有一人没拿到自己雨伞的拿法有多少种？（4）谁也没拿到自己雨伞的拿法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（递推错排数）：$D_3=2\times(1+0)=\underline{\quad}$，$D_4=3\times(2+1)=\underline{\quad}$，$D_5=4\times(9+2)=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (1) 问）：其余四人任意拿，$A_4^4=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第 (2) 问）：选人 $\underline{\quad}$ 种，其余四人全错排 $9$ 种，共 $5\times 9=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（第 (3) 问）：$A_5^5=\underline{\quad}$ 种，减去全部对号的 $1$ 种，$120-1=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（第 (4) 问）：$D_5=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：甲、乙、丙、丁、戊五人各有一个作业本混放在一起，每人随便拿一本。（1）恰有两人拿到自己作业本的拿法有多少种？（2）恰有三人拿到自己作业本的拿法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚“恰有”的结构）：先从五人中选出拿对的人，剩下的人必须全错排，两步用乘法原理。
第 2 步（第 (1) 问·选人）：从 $5$ 人中选 $2$ 人拿对，$C_5^2=\dfrac{5\times 4}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第 (1) 问·其余全错排）：剩下 $3$ 人全错排 $D_3=\underline{\quad}$ 种，故共 $10\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（第 (2) 问·选人）：$C_5^3=\dfrac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（第 (2) 问·其余全错排）：剩下 $2$ 人全错排 $D_2=\underline{\quad}$ 种，故共 $10\times 1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：六人各有一个作业本混放在一起，每人随便拿一本。（1）谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？（2）恰有两人拿到自己作业本的拿法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把错排数一路递推到 $D_6$）：$D_1=0$，$D_2=1$，$D_3=2\times(1+0)=\underline{\quad}$，$D_4=3\times(2+1)=\underline{\quad}$，$D_5=4\times(9+2)=\underline{\quad}$，$D_6=5\times(D_5+D_4)=5\times(44+9)=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 (1) 问）：六人全错排，即 $D_6=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第 (2) 问·选人）：从 $6$ 人中选 $2$ 人拿对，$C_6^2=\dfrac{6\times 5}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（第 (2) 问·其余四人全错排）：$D_4=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（乘法原理）：$15\times 9=\underline{\quad}$ 种。

2. 【原题 ch22-chaoyue-02】一种电子表在 $6$ 时 $24$ 分 $30$ 秒时的显示为 $6:24:30$，那么从 $5$ 时到 $7$ 时这段时间里，此表的 $5$ 个数字都不相同的时刻一共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「电子表数字互不相同」的计数题：把 $5$ 个显示位看成 $5$ 个受不同范围限制的位置，按小时位分类后逐位相乘。

关键切入点：从 $5$ 时到 $7$ 时，小时位 $A$ 只能是 $5$ 或 $6$。分位的十位 $B$、秒位的十位 $D$ 只能取 $0\sim 5$，分位个位 $C$、秒位个位 $E$ 可取 $0\sim 9$，且 $5$ 位互不相同。当 $A=5$ 时，$B,D$ 只能在 $\{0,1,2,3,4\}$ 中取两个不同的，有 $5\times 4=20$ 种，$C,E$ 从剩下的 $7$ 个数字中取两个不同的，有 $7\times 6=42$ 种，共 $840$；当 $A=6$ 时，$B,D$ 可在 $\{0,\cdots,5\}$ 中取，$6\times 5=30$ 种，$C,E$ 仍 $42$ 种，共 $1260$。

方法概述：按小时位取 $5$ 还是 $6$ 分类，先排受限较紧的十位，再排个位。

规范步骤：

$A=5$：排 $B,D$：只能取 $0\sim 4$ 中两个不同的：$5\times 4=20$ 种（$5$ 已被占用）
$A=5$：排 $C,E$：从剩下 $7$ 个数字中取两个不同的：$7\times 6=42$ 种（乘法原理）
$A=5$ 小计：$20\times 42=840$（乘法原理）
$A=6$：排 $B,D$：可取 $0\sim 5$ 中两个不同的：$6\times 5=30$ 种（$6$ 不在 $0\sim5$ 的限制里）
$A=6$ 小计：$30\times 42=1260$（乘法原理）
相加：$840+1260=2100$（加法原理）
写出答案：$2100$ 个

3. 【原题 ch22-chaoyue-03】各位数字均不大于 $5$，且能被 $99$ 整除的六位数共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「被 $99$ 整除的特征」题：把六位数从右往左每两位切成一段，三段之和被 $99$ 整除就等价于原数被 $99$ 整除。

关键切入点：$\overline{ABCDEF}=\overline{AB}\times 10000+\overline{CD}\times 100+\overline{EF}=\overline{AB}\times 9999+\overline{CD}\times 99+(\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF})$，而 $9999$、$99$ 都是 $99$ 的倍数，所以只需三段之和被 $99$ 整除。各位数字都不大于 $5$，每段至多 $55$，三段之和至多 $165$，又不能为 $0$，所以只能等于 $99$。再把 $99$ 按十位、个位拆开：$10(A+C+E)+(B+D+F)=99$，由 $B+D+F\le 15$ 逼出 $A+C+E=9$ 且 $B+D+F=9$。

方法概述：分段化归为“三段和 $=99$”，再拆成奇数位和、偶数位和各为 $9$，分别用容斥数解的个数。

规范步骤：

分段变形：$\overline{ABCDEF}=\overline{AB}\times 9999+\overline{CD}\times 99+(\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF})$（$10000=9999+1$，$100=99+1$）
化归条件：只需 $\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF}$ 被 $99$ 整除（$9999$、$99$ 都是 $99$ 的倍数）
定出三段之和：每段 $\le 55$，三段和 $\le 165$，故只能等于 $99$（范围夹逼）
拆成两组：$10(A+C+E)+(B+D+F)=99$，而 $B+D+F\le 15$，故 $A+C+E=9$、$B+D+F=9$（按数位拆分）
数 $B+D+F=9$ 的解：$0\le B,D,F\le 5$：$C_{11}^2-3\times C_5^2=55-30=25$ 组（容斥（挡板法减去超界））
数 $A+C+E=9$ 且 $A\ge 1$ 的解：$25$ 减去 $A=0$ 的 $2$ 组（$C+E=9$ 只有 $4+5,5+4$），得 $23$ 组（首位非零）
乘法原理：$23\times 25=575$（两组互不影响）
写出答案：$575$ 个

第一套

题目：各位数字均不大于 $6$，且能被 $99$ 整除的六位数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分段化归）：$\overline{ABCDEF}=\overline{AB}\times 9999+\overline{CD}\times 99+(\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF})$，所以只需三段之和被 $99$ 整除。
第 2 步（定三段之和的可能值）：各位数字不大于 $6$，每段至多是 $66$，三段之和至多 $3\times 66=\underline{\quad}$，又不能为 $0$，所以三段之和是 $99$ 或 $\underline{\quad}$，比原题多出一支。
第 3 步（第一支：三段和为 $99$）：$10(A+C+E)+(B+D+F)=99$，两组各自至多 $3\times 6=\underline{\quad}$，故只能 $A+C+E=9$、$B+D+F=\underline{\quad}$。
第 4 步（数 $B+D+F=9$ 且每个不超过 $6$ 的解）：先不管上界有 $C_{11}^2=\dfrac{11\times 10}{2}=\underline{\quad}$ 组，减去某一个超过 $6$（即 $\ge 7$）的情形 $3\times C_4^2=3\times\dfrac{4\times 3}{2}=\underline{\quad}$ 组，得 $55-18=\underline{\quad}$ 组。
第 5 步（数 $A+C+E=9$ 且 $A\ge 1$ 的解）：$37$ 组中 $A=0$ 的要求 $C+E=9$ 且都不超过 $6$，有 $(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$ 共 $\underline{\quad}$ 组，故 $37-4=\underline{\quad}$ 组。第一支共 $33\times 37=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（第二支：三段和为 $198$）：需 $10(A+C+E)+(B+D+F)=198$，而两组都至多 $18$，只能 $A+C+E=B+D+F=18$，即六个数字全是 $6$，只有 $666666$ 这 $\underline{\quad}$ 个。
第 7 步（相加）：$1221+1=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：某型号保险箱的密码是六位数，规定每一位数字都不大于 $5$。若密码恰好能被 $99$ 整除，这样的密码共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分段化归）：把密码从右往左两位一段，$\overline{ABCDEF}=\overline{AB}\times 9999+\overline{CD}\times 99+(\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF})$，只需三段之和被 $99$ 整除。
第 2 步（定三段之和）：每位不大于 $5$，每段至多 $55$，三段和至多 $3\times 55=\underline{\quad}$，又不为 $0$，故只能是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（拆成两组）：$10(A+C+E)+(B+D+F)=99$，而两组都至多 $3\times 5=\underline{\quad}$，故 $A+C+E=9$ 且 $B+D+F=\underline{\quad}$。
第 4 步（数 $B+D+F=9$ 的解）：$C_{11}^2=\underline{\quad}$ 组，减去有一个超过 $5$（即 $\ge 6$）的 $3\times C_5^2=\underline{\quad}$ 组，得 $55-30=\underline{\quad}$ 组。
第 5 步（数 $A+C+E=9$ 且 $A\ne 0$ 的解）：$A=0$ 时 $C+E=9$ 只有 $(4,5),(5,4)$ 共 $\underline{\quad}$ 组，故 $25-2=\underline{\quad}$ 组。
第 6 步（乘法原理）：$23\times 25=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：各位数字均不大于 $5$、能被 $99$ 整除的六位数中，首位是 $5$ 的共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（沿用结论）：这类六位数必满足 $A+C+E=9$ 且 $B+D+F=\underline{\quad}$（推导同原题）。
第 2 步（把首位固定）：$A=5$ 时，条件变为 $C+E=9-5=\underline{\quad}$，其中 $0\le C,E\le 5$。
第 3 步（数 $C+E=4$ 的解）：$(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$ 共 $\underline{\quad}$ 组（都没超过 $5$）。
第 4 步（偶数位仍不受影响）：$B+D+F=9$ 的解仍是 $55-30=\underline{\quad}$ 组。
第 5 步（乘法原理）：$5\times 25=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：各位数字均不大于 $5$、能被 $99$ 整除的六位数中，是偶数的共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（沿用结论）：这类六位数满足 $A+C+E=9$（且 $A\ge1$）与 $B+D+F=\underline{\quad}$。奇数位那一组的解共 $25-2=\underline{\quad}$ 组，不受偶数条件影响。
第 2 步（把“偶数”落到数位上）：六位数的末位是 $F$，要求 $F$ 是偶数，即 $F\in\{0,2,4\}$，共 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（按 $F$ 分类数 $B+D$）：$F=0$ 时 $B+D=9$，$B,D\le 5$ 只有 $(4,5),(5,4)$ 共 $\underline{\quad}$ 组。
第 4 步（$F=2$）：$B+D=9-2=7$，解有 $(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)$ 共 $\underline{\quad}$ 组。
第 5 步（$F=4$）：$B+D=9-4=5$，解有 $(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)$ 共 $\underline{\quad}$ 组。
第 6 步（偶数位一组合计）：$2+4+6=\underline{\quad}$ 组。
第 7 步（乘法原理）：$23\times 12=\underline{\quad}$ 个。

4. 【原题 ch22-chaoyue-04】从 $1,2,3,\cdots,9$ 中选取若干个互不相同的数字（至少一个），使得其和是 $3$ 的倍数，共有多少种选法？

详细思路

是哪类问题：这是「按余数分类的子集计数」题：选出的是“若干个”而不是固定个数，所以要对每一类用“选或不选”的 $2^n$ 思路。

关键切入点：$1\sim 9$ 按除以 $3$ 的余数分成三类，各 $3$ 个。余 $0$ 的三个数对总和的余数毫无影响，可以随便选，共 $2^3=8$ 种。设余 $1$ 的选 $b$ 个、余 $2$ 的选 $c$ 个，总和的余数是 $b+2c$，要被 $3$ 整除就要求 $b\equiv c\pmod 3$。把 $C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3=1,3,3,1$ 按下标除以 $3$ 的余数归堆：余 $0$ 堆（$b=0,3$）合计 $2$，余 $1$ 堆合计 $3$，余 $2$ 堆合计 $3$，于是合法搭配数为 $2\times 2+3\times 3+3\times 3=22$。最后别忘了扣掉“一个都不选”的空集。

方法概述：余 $0$ 类自由选（$2^3$）；余 $1$、余 $2$ 类按“选的个数模 $3$ 相等”配对求和；最后减去空集。

规范步骤：

按余数分类：余 $0$：$3,6,9$；余 $1$：$1,4,7$；余 $2$：$2,5,8$，各 $3$ 个（同余分类）
余 $0$ 类自由：每个可选可不选：$2^3=8$ 种（乘法原理）
写出余数条件：设余 $1$ 选 $b$ 个、余 $2$ 选 $c$ 个，总和 $\equiv b+2c\equiv b-c\pmod 3$，故需 $b\equiv c\pmod 3$（模运算）
归堆求搭配数：$C_3^0+C_3^3=1+1=2$，$C_3^1=3$，$C_3^2=3$，搭配数 $2\times 2+3\times 3+3\times 3=22$（按下标余数归堆）
相乘并扣空集：$8\times 22-1=175$（至少选一个）
写出答案：$175$ 种

第一套

题目：从 $1,2,3,\cdots,12$ 中选取若干个互不相同的数字（至少一个），使得其和是 $3$ 的倍数，共有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按余数分类）：余 $0$ 的是 $3,6,9,12$，余 $1$ 的是 $1,4,7,10$，余 $2$ 的是 $2,5,8,11$，每类 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（余 $0$ 类自由选）：这 $4$ 个数选不选都不影响总和的余数，共 $2^4=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（写出余数条件）：设余 $1$ 类选 $b$ 个、余 $2$ 类选 $c$ 个，总和除以 $3$ 的余数与 $b-c$ 相同，所以要求 $b$ 与 $c$ 除以 $3$ 的余数相等。
第 4 步（把组合数按下标余数归堆）：$C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4=1,4,6,4,1$。下标余 $0$ 的（$b=0,3$）合计 $1+4=\underline{\quad}$；下标余 $1$ 的（$b=1,4$）合计 $4+1=\underline{\quad}$；下标余 $2$ 的（$b=2$）是 $\underline{\quad}$。
第 5 步（数合法搭配）：$5\times 5+5\times 5+6\times 6=\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（相乘并扣掉空集）：$16\times 86-1=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：抽屉里有写着 $1$ 到 $12$ 的 $12$ 张标签，任取若干张（至少一张），使标签上的数之和是 $3$ 的倍数。这样的取法共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按余数分类）：余 $0$：$3,6,9,12$；余 $1$：$1,4,7,10$；余 $2$：$2,5,8,11$，每类 $\underline{\quad}$ 张。
第 2 步（余 $0$ 类自由）：$2^4=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（余数条件）：设余 $1$ 类取 $b$ 张、余 $2$ 类取 $c$ 张，需 $b$ 与 $c$ 除以 $3$ 的余数相等。
第 4 步（归堆）：$C_4^0+C_4^3=1+4=\underline{\quad}$；$C_4^1+C_4^4=4+1=\underline{\quad}$；$C_4^2=\underline{\quad}$。
第 5 步（合法搭配）：$5\times 5+5\times 5+6\times 6=\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（相乘并扣空集）：$16\times 86-1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：从 $1,2,3,\cdots,9$ 中选取若干个互不相同的数字（至少一个），使得其和是偶数，共有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（改按奇偶分类）：奇数有 $1,3,5,7,9$ 共 $\underline{\quad}$ 个，偶数有 $2,4,6,8$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（偶数自由选）：偶数选多少个都不改变总和的奇偶，共 $2^4=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（奇数必须选偶数个）：$C_5^0+C_5^2+C_5^4=1+\underline{\quad}+\underline{\quad}=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（相乘并扣掉空集）：$16\times 16-1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：从 $1,2,3,\cdots,10$ 中选取若干个互不相同的数字（至少一个），使得其和是 $3$ 的倍数，共有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按余数分类，注意三类不再一样多）：余 $0$：$3,6,9$ 共 $\underline{\quad}$ 个；余 $1$：$1,4,7,10$ 共 $\underline{\quad}$ 个；余 $2$：$2,5,8$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（余 $0$ 类自由选）：$2^3=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（余数条件）：设余 $1$ 类选 $b$ 个、余 $2$ 类选 $c$ 个，需 $b$ 与 $c$ 除以 $3$ 的余数相等。
第 4 步（余 $1$ 类归堆）：$C_4^0,\cdots,C_4^4=1,4,6,4,1$，下标余 $0$ 合计 $1+4=\underline{\quad}$，余 $1$ 合计 $4+1=\underline{\quad}$，余 $2$ 是 $\underline{\quad}$。
第 5 步（余 $2$ 类归堆）：$C_3^0,\cdots,C_3^3=1,3,3,1$，下标余 $0$ 合计 $1+1=\underline{\quad}$，余 $1$ 是 $\underline{\quad}$，余 $2$ 是 $\underline{\quad}$。
第 6 步（对应相乘再相加）：$5\times 2+5\times 3+6\times 3=\underline{\quad}$ 种。
第 7 步（相乘并扣掉空集）：$8\times 43-1=\underline{\quad}$ 种。

5. 【原题 ch22-chaoyue-05】从 $0$ 至 $9$ 这 $10$ 个数字中选出 $7$ 个填入图 $22\text{-}8$ 的方框中，使竖式成立，一共有多少种不同的填法？（竖式为一个四位数加一个三位数等于 $2008$）

详细思路

是哪类问题：这是「竖式数字谜 + 互不相同约束」题：四位数加三位数等于 $2008$，从最高位入手锁定千位，再逐位分析进位。

关键切入点：设竖式为 $\overline{ABCD}+\overline{EFG}=2008$。千位 $A$ 只可能是 $1$ 或 $2$：若 $A=2$，则 $\overline{BCD}+\overline{EFG}=8$，三位数不可能这么小，故 $A=1$，且百位必须向千位进位。接着逐位分析 $B+E$、$C+F$、$D+G$ 与进位的搭配，并保证选出的 $7$ 个数字互不相同，逐类计数得 $44$ 种。

方法概述：从最高位锁定 $A=1$，再自低位向高位讨论进位，配合“$7$ 个数字互不相同”逐类计数。

规范步骤：

锁定千位：若 $A=2$，则 $\overline{BCD}+\overline{EFG}=8$，而 $\overline{EFG}\ge100$，不可能；故 $A=1$，百位需向千位进 $1$（首位分析）
逐列定和：个位 $D+G=8$（不进位）；十位 $C+F=10$（末位 $0$、进 $1$）；百位 $B+E+1=10$ 即 $B+E=9$（进 $1$）；千位 $1+1=2$ 与 $2008$ 吻合（逐位进位）
列出各和的数字对（都不含已用的 $1$）：和 $8$：$\{0,8\},\{2,6\},\{3,5\}$；和 $10$：$\{2,8\},\{3,7\},\{4,6\}$；和 $9$：$\{0,9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\}$（分解为数字对）
选三对互不重叠的数字：从三类里各取一对且 $6$ 个数字互不相同，合法的“对组”恰有 $7$ 种（互不相同约束）
每个对组内部定顺序：$D,G$ 有 $2$ 种、$C,F$ 有 $2$ 种、$B,E$ 有 $2$ 种但 $E\ne0$（$\overline{EFG}$ 首位）；用 $\{0,9\}$ 作 $B\!+\!E$ 的对组只有 $1$ 种（排列 $+$ 首位非零）
逐组求和：七个对组分别给出 $8,8,4,8,4,4,8$ 种，合计 $8+8+4+8+4+4+8=44$（加法原理）
写出答案：$44$ 种

6. 【原题 ch22-chaoyue-06】从 $1$ 到 $9$ 这 $9$ 个数字中选出 $6$ 个不同的数填入图 $22\text{-}9$ 的 $6$ 个圆圈中，使得任意相邻两个圆圈内的数字之和都是质数。请问：共能找出多少种不同的选法？（所填的 $6$ 个数字相同，但排列次序不同，都算同一种选法。）

详细思路

是哪类问题：这是「环形排列 + 质数和」的构造计数题：相邻两数之和是质数，先用奇偶性把结构锁死。

关键切入点：除 $2$ 以外的质数都是奇数，而“奇 $+$ 偶 $=$ 奇”，所以环上必须奇偶相间；$6$ 个圆圈相间排列就要求选出的 $6$ 个数恰好 $3$ 奇 $3$ 偶。$1\sim 9$ 中奇数有 $1,3,5,7,9$（$5$ 个）、偶数有 $2,4,6,8$（$4$ 个），先枚举 $C_5^3\times C_4^3=10\times 4=40$ 组候选，再逐组检验能否排成“每对相邻之和都是质数”的环，最终有 $17$ 组可行。

方法概述：用奇偶相间锁死 $3$ 奇 $3$ 偶，枚举候选数组后逐组检验能否成环。

规范步骤：

用奇偶性定结构：相邻两数之和是质数、且 $>2$，必为奇数；奇 $=$ 奇 $+$ 偶，故环上必奇偶相间（奇偶分析）
定奇偶个数：$6$ 个圆圈奇偶相间，须 $3$ 个奇数、$3$ 个偶数（环形相间）
枚举候选组：奇数 $C_5^3=\dfrac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10$ 种、偶数 $C_4^3=4$ 种，共 $10\times 4=40$ 组候选（组合数）
逐组判定能否成环：奇偶相间时只剩“奇-偶相邻”，把和为质数的奇、偶数之间连线，看能否连成六元交替环。按偶数组分类清点：偶 $\{2,4,6\}$ 有 $7$ 组、$\{2,4,8\}$ 有 $4$ 组、$\{2,6,8\}$ 有 $2$ 组、$\{4,6,8\}$ 有 $4$ 组（构造检验）
求和：$7+4+2+4=17$（加法原理）
写出答案：$17$ 种

7. 【原题 ch22-chaoyue-07】在 $3\times 3$ 方格表内填入数字 $1$ 至 $9$，使得左边的数比右边的大，上面的数比下面的大，一共有多少种不同的填法？

详细思路

是哪类问题：这是「二维偏序填数（标准杨表）」题：每行从左到右递减、每列从上到下递减，最大的必在左上角、最小的必在右下角。

关键切入点：把 $1\sim 9$ 填入 $3\times 3$ 方格并要求行、列都单调，等价于标准杨表的计数。可以用钩长公式：$3\times 3$ 方格各位置的钩长依次是 $5,4,3;\ 4,3,2;\ 3,2,1$，填法数为 $\dfrac{9!}{5\times 4\times 3\times 4\times 3\times 2\times 3\times 2\times 1}=\dfrac{362880}{8640}=42$。

方法概述：识别为标准杨表计数，用钩长公式（或按位置逐层分类枚举）得出 $42$。

规范步骤：

定端点：最大的 $9$ 必在左上角，最小的 $1$ 必在右下角（行列都单调）
写出钩长：$3\times 3$ 方格的钩长为 $5,4,3;\ 4,3,2;\ 3,2,1$，乘积为 $8640$（钩长公式）
代入公式：$\dfrac{9!}{8640}=\dfrac{362880}{8640}=42$（标准杨表计数）
写出答案：$42$ 种

8. 【原题 ch22-chaoyue-08】含有数字 $3$，且能被 $3$ 整除的五位数共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「正难则反」的计数题：直接数“含 $3$ 且被 $3$ 整除”很乱，改数“被 $3$ 整除但不含 $3$”再相减。

关键切入点：五位数中被 $3$ 整除的恰占三分之一，共 $30000$ 个。数“被 $3$ 整除且不含数字 $3$”时有个漂亮性质：去掉 $3$ 以后，剩下的 $9$ 个数字 $0,1,2,4,5,6,7,8,9$ 按除以 $3$ 的余数恰好各 $3$ 个，所以无论前四位怎么取，能把总和补成 $3$ 的倍数的末位都恰有 $3$ 种。于是这类数有 $8\times 9\times 9\times 9\times 3$ 个。

方法概述：总数（被 $3$ 整除）减去“被 $3$ 整除但不含 $3$”，后者用“前四位任取、末位恰 $3$ 种”的均匀分布性质。

规范步骤：

数被 $3$ 整除的五位数：$90000\div 3=30000$ 个（每连续 $3$ 个数恰有 $1$ 个）
看去掉 $3$ 后的数字余数分布：$0,9,6$ 余 $0$；$1,4,7$ 余 $1$；$2,5,8$ 余 $2$，各 $3$ 个（均匀分布是关键）
数不含 $3$ 且被 $3$ 整除的：首位 $8$ 种，中间三位各 $9$ 种，末位恰 $3$ 种：$8\times 9\times 9\times 9\times 3=17496$ 个（乘法原理）
相减：$30000-17496=12504$（正难则反）
写出答案：$12504$ 个

第一套

题目：含有数字 $3$，且能被 $3$ 整除的六位数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数被 $3$ 整除的六位数）：六位数共 $999999-99999=900000$ 个，被 $3$ 整除的恰占三分之一，$900000\div 3=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（转向反面）：直接数“含 $3$”很乱，改数“被 $3$ 整除但不含数字 $3$”。去掉 $3$ 后可用数字是 $0,1,2,4,5,6,7,8,9$ 共 $\underline{\quad}$ 个，按除以 $3$ 的余数恰好每类 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（逐位数）：首位不能为 $0$ 也不能为 $3$，有 $\underline{\quad}$ 种；中间四位各有 $9$ 种；末位为了把数字和补成 $3$ 的倍数，恰有 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（相乘）：$8\times 9\times 9\times 9\times 9\times 3=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（相减）：$300000-157464=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：某活动给参与者发六位数的编号（首位不为 $0$）。若编号里含有数字 $3$ 且编号能被 $3$ 整除，就可以参加抽奖。可以参加抽奖的编号共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数被 $3$ 整除的编号）：六位编号共 $900000$ 个，被 $3$ 整除的有 $900000\div 3=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（正难则反）：改数“被 $3$ 整除但不含数字 $3$”的编号。可用数字共 $\underline{\quad}$ 个，按除以 $3$ 的余数每类恰 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（逐位数）：首位有 $\underline{\quad}$ 种，中间四位各 $9$ 种，末位恰有 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（相乘）：$8\times 9\times 9\times 9\times 9\times 3=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（相减）：$300000-157464=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：含有数字 $6$，且能被 $3$ 整除的五位数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数被 $3$ 整除的五位数）：$90000\div 3=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（检查能不能照搬原方法）：去掉 $6$ 以后剩下 $0,1,2,3,4,5,7,8,9$，按除以 $3$ 的余数分别是 $\{0,3,9\},\{1,4,7\},\{2,5,8\}$，每类恰 $\underline{\quad}$ 个——和去掉 $3$ 时一样均匀，所以方法可以照搬。（这是因为 $6$ 和 $3$ 一样都是 $3$ 的倍数。）
第 3 步（数不含 $6$ 且被 $3$ 整除的）：首位不能为 $0$ 也不能为 $6$，有 $\underline{\quad}$ 种；中间三位各 $9$ 种；末位恰 $3$ 种，共 $8\times 9\times 9\times 9\times 3=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相减）：$30000-17496=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：五位数中，含有数字 $3$ 或者能被 $3$ 整除的共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数被 $3$ 整除的）：$90000\div 3=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（数含数字 $3$ 的）：用排除法，不含 $3$ 的五位数首位有 $8$ 种、其余四位各 $9$ 种，共 $8\times 9\times 9\times 9\times 9=\underline{\quad}$ 个；故含 $3$ 的有 $90000-52488=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（数两者都满足的）：即“含 $3$ 且被 $3$ 整除”，由原题结论是 $30000-8\times 9\times 9\times 9\times 3=30000-17496=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（容斥合成）：$30000+37512-12504=\underline{\quad}$ 个。

9. 【原题 ch22-tuozhan-01】同时能被 $6,7,8,9$ 整除的四位数共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「区间内公倍数计数」题，与兴趣篇第 $1$ 题同型，只是数字更大。

关键切入点：同时被 $6,7,8,9$ 整除即被 $[6,7,8,9]=504$ 整除（$8=2^3$、$9=3^2$、$7$，最高次幂相乘 $8\times 9\times 7=504$）。四位数中的倍数个数 $=\lfloor 9999\div 504\rfloor-\lfloor 999\div 504\rfloor=19-1=18$。

方法概述：先求最小公倍数，再用“大区间减小区间”数倍数。

规范步骤：

求最小公倍数：$[6,7,8,9]=2^3\times 3^2\times 7=504$（取各质因数最高次幂）
数 $1\sim9999$ 中的倍数：$9999\div504=19\cdots303$，共 $19$ 个（整除取整）
数 $1\sim999$ 中的倍数：$999\div504=1\cdots495$，共 $1$ 个（剔除不足四位的）
相减：$19-1=18$（区间计数）
写出答案：$18$ 个

第一套

题目：同时能被 $8,9,10,12$ 整除的五位数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最小公倍数）：$8=2^3$，$9=3^2$，$10=2\times5$，$12=2^2\times3$，取各质因数最高次幂得 $[8,9,10,12]=2^3\times 3^2\times 5=\underline{\quad}$。
第 2 步（数上界内的倍数）：$99999\div360=277\cdots279$，$1\sim99999$ 中 $360$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（剔除不足五位的）：$9999\div360=27\cdots279$，$1\sim9999$ 中有 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相减）：$277-27=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：一家工厂给产品编五位数流水号。质检规定：流水号能同时被 $8,9,10,12$ 整除的产品要送抽检。需要送抽检的流水号共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译条件）：同时被 $8,9,10,12$ 整除即被最小公倍数整除，$[8,9,10,12]=2^3\times 3^2\times 5=\underline{\quad}$。
第 2 步（数上界）：$99999\div360=277\cdots279$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（剔除不足五位的）：$9999\div360=27\cdots279$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相减）：$277-27=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：同时能被 $6,10,15$ 整除的四位数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最小公倍数）：$6=2\times3$，$10=2\times5$，$15=3\times5$，三者两两不互质，取各质因数最高次幂得 $[6,10,15]=2\times3\times5=\underline{\quad}$。
第 2 步（数上界内的倍数）：$9999\div30=333\cdots9$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（剔除不足四位的）：$999\div30=33\cdots9$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相减）：$333-33=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：四位数中，能同时被 $6,7,8,9$ 整除但不能被 $5$ 整除的共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先数满足前一半条件的）：$[6,7,8,9]=\underline{\quad}$，四位数中它的倍数有 $19-1=\underline{\quad}$ 个（即 $504\times 2$ 到 $504\times 19$）。
第 2 步（把要排除的挑出来）：$504$ 与 $5$ 互质，所以 $504k$ 能被 $5$ 整除当且仅当 $k$ 能被 $5$ 整除。
第 3 步（数这样的 $k$）：$k$ 在 $2\sim 19$ 中且是 $5$ 的倍数，即 $k=5,10,15$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相减）：$18-3=\underline{\quad}$ 个。

10. 【原题 ch22-tuozhan-02】分子小于 $8$，分母小于 $20$ 的最简真分数共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「双重范围下的最简真分数计数」题：分子、分母都在变，必须按分子逐一分类清点。

关键切入点：分子只能取 $1\sim 7$。固定分子 $n$ 后，分母要满足 $n<d<20$ 且与 $n$ 互质，于是逐个分子数一遍即可：$n=1$ 时 $d$ 取 $2\sim 19$ 全都行（$18$ 个）；$n=2$ 时 $d$ 取 $3\sim 19$ 中的奇数（$9$ 个）；$n=3$ 时 $d$ 取 $4\sim 19$ 中非 $3$ 的倍数（$16-5=11$ 个）；$n=4$ 时 $d$ 取 $5\sim 19$ 中的奇数（$8$ 个）；$n=5$ 时 $d$ 取 $6\sim 19$ 中非 $5$ 的倍数（$14-2=12$ 个）；$n=6$ 时 $d$ 取 $7\sim 19$ 中与 $6$ 互质的 $7,11,13,17,19$（$5$ 个）；$n=7$ 时 $d$ 取 $8\sim 19$ 中非 $7$ 的倍数（$12-1=11$ 个）。

方法概述：按分子从 $1$ 到 $7$ 分类，每类数出与分子互质且落在 $(n,20)$ 内的分母个数，再求和。

规范步骤：

分子为 $1$：$d=2\sim 19$，共 $18$ 个（$1$ 与任何数互质）
分子为 $2$：$d$ 取 $3\sim 19$ 中的奇数，共 $9$ 个（与 $2$ 互质即为奇数）
分子为 $3$：$d$ 取 $4\sim 19$（$16$ 个）中非 $3$ 的倍数，去掉 $6,9,12,15,18$：$16-5=11$ 个（剔除 $3$ 的倍数）
分子为 $4$：$d$ 取 $5\sim 19$ 中的奇数，共 $8$ 个（与 $4$ 互质即为奇数）
分子为 $5$：$d$ 取 $6\sim 19$（$14$ 个）中非 $5$ 的倍数，去掉 $10,15$：$14-2=12$ 个（剔除 $5$ 的倍数）
分子为 $6$：$d$ 取 $7,11,13,17,19$，共 $5$ 个（与 $6$ 互质即不含 $2,3$）
分子为 $7$：$d$ 取 $8\sim 19$（$12$ 个）中非 $7$ 的倍数，去掉 $14$：$12-1=11$ 个（剔除 $7$ 的倍数）
求和：$18+9+11+8+12+5+11=74$（加法原理）
写出答案：逐项清点得 $74$ 个（题库所给 $58$ 与逐项清点不符，已提请复核）

11. 【原题 ch22-tuozhan-03】从 $1,2,3,4,5,6,7$ 这 $7$ 个数中选出 $3$ 个数，请问：（1）要使这 $3$ 个数的乘积能被 $3$ 整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这 $3$ 个数的和能被 $3$ 整除，一共有多少种不同的选法？

详细思路

是哪类问题：这是「按余数分类的三数选取」题：乘积用排除法，和用余数搭配的分类讨论。

关键切入点：乘积被 $3$ 整除等价于“至少有一个 $3$ 的倍数”，反面“一个 $3$ 的倍数都没有”更好数，故用总数减。和被 $3$ 整除则要看三个余数之和：$1\sim7$ 中余 $0$ 的只有 $3,6$（$2$ 个）、余 $1$ 的有 $1,4,7$（$3$ 个）、余 $2$ 的有 $2,5$（$2$ 个），因此“三数同余”只有余 $1$ 那一类凑得齐 $3$ 个。

方法概述：积用排除法（总数减去全不含 $3$ 的倍数），和用余数分类（全同 / 各取一个）。

规范步骤：

（1）总选法：$C_7^3=\dfrac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$ 种（组合数）
（1）扣掉不含 $3$ 的倍数的：从 $1,2,4,5,7$ 中选 $3$ 个：$C_5^3=\dfrac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$ 种（排除法）
（1）相减：$35-10=25$ 种（排除法）
（2）按余数分类：余 $0$：$3,6$（$2$ 个）；余 $1$：$1,4,7$（$3$ 个）；余 $2$：$2,5$（$2$ 个）（同余分类）
（2）三数同余：只有余 $1$ 一类够 $3$ 个：$C_3^3=1$ 种（组合数）
（2）三类各取一个：$2\times 3\times 2=12$ 种（乘法原理）
（2）相加：$1+12=13$ 种（加法原理）
写出答案：（1）$25$ 种；（2）$13$ 种

第一套

题目：从 $1,2,3,\cdots,10$ 这 $10$ 个数中选出 $3$ 个数，请问：（1）要使这 $3$ 个数的乘积能被 $3$ 整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这 $3$ 个数的和能被 $3$ 整除，一共有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 (1) 问·总数）：$C_{10}^3=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（第 (1) 问·排除）：不是 $3$ 的倍数的数是 $1,2,4,5,7,8,10$，共 $\underline{\quad}$ 个；从中选 $3$ 个有 $C_7^3=\dfrac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第 (1) 问·相减）：$120-35=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（第 (2) 问·按余数分类）：余 $0$ 的是 $3,6,9$ 共 $\underline{\quad}$ 个；余 $1$ 的是 $1,4,7,10$ 共 $\underline{\quad}$ 个；余 $2$ 的是 $2,5,8$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（第 (2) 问·三数同余）：$C_3^3+C_4^3+C_3^3=1+\underline{\quad}+1=\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（第 (2) 问·三类各取一个）：$3\times 4\times 3=\underline{\quad}$ 种。
第 7 步（第 (2) 问·相加）：$6+36=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：盒子里有 $10$ 个乒乓球，分别标着 $1$ 到 $10$。一次摸出 $3$ 个球：（1）使三球标号之积能被 $3$ 整除，有多少种摸法？（2）使三球标号之和能被 $3$ 整除，有多少种摸法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（积·总摸法）：$C_{10}^3=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（积·排除）：标号不是 $3$ 的倍数的球有 $\underline{\quad}$ 个，全从中摸有 $C_7^3=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（积·相减）：$120-35=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（和·按余数分类）：余 $0$：$3,6,9$ 共 $\underline{\quad}$ 个；余 $1$：$1,4,7,10$ 共 $\underline{\quad}$ 个；余 $2$：$2,5,8$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（和·三球同余）：$1+\underline{\quad}+1=\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（和·三类各取一个）：$3\times 4\times 3=\underline{\quad}$ 种。
第 7 步（和·相加）：$6+36=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：从 $1,2,3,\cdots,7$ 这 $7$ 个数中选出 $3$ 个数，要使这 $3$ 个数的和是偶数，一共有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（改按奇偶分类）：奇数是 $1,3,5,7$ 共 $\underline{\quad}$ 个，偶数是 $2,4,6$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（判断可行搭配）：三数之和是偶数，奇数的个数必须是偶数个，所以只能“$0$ 个奇数 $+3$ 个偶数”或“$2$ 个奇数 $+1$ 个偶数”。
第 3 步（第一类：三个偶数）：$C_3^3=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（第二类：两奇一偶）：$C_4^2\times 3=\dfrac{4\times 3}{2}\times 3=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（加法原理）：$1+18=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：从 $1,2,3,\cdots,9$ 这 $9$ 个数中选出 $3$ 个数，要使这 $3$ 个数的和能被 $3$ 整除，且这 $3$ 个数的乘积是偶数，一共有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先只管“和被 $3$ 整除”）：$1\sim9$ 按余数分成三类，每类 $3$ 个。三数同余有 $3\times C_3^3=3\times 1=\underline{\quad}$ 种；三类各取一个有 $3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种；合计 $3+27=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（把“乘积是偶数”转成反面）：乘积是奇数当且仅当三个数全是奇数，所以先数“和被 $3$ 整除且三数全奇”的选法，再从上一步结果中减去。
第 3 步（在奇数中重新分类）：奇数是 $1,3,5,7,9$，其中余 $0$ 的是 $3,9$ 共 $\underline{\quad}$ 个，余 $1$ 的是 $1,7$ 共 $\underline{\quad}$ 个，余 $2$ 的只有 $5$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（数全奇且和被 $3$ 整除的）：任何一类都不足 $3$ 个，“三数同余”是 $\underline{\quad}$ 种；三类各取一个有 $2\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（相减）：$30-4=\underline{\quad}$ 种。

12. 【原题 ch22-tuozhan-04】小明的衣服口袋中有 $10$ 张卡片，分别写着 $1,2,3,\cdots,10$。现从中拿出两张卡片，使卡片上两个数的乘积能被 $6$ 整除，这样的选法共有多少种？（注：$9$ 不能颠倒当作 $6$ 来使用，$6$ 也不能颠倒当作 $9$ 来使用。）

详细思路

是哪类问题：这是「乘积整除条件的分类计数」题：把除数作质因数分解，看两个数各自要提供哪些质因数。

关键切入点：$6=2\times 3$，所以两数之积被 $6$ 整除，只要“$2$ 这个因数”和“$3$ 这个因数”都能凑齐。$1\sim10$ 中被 $6$ 整除的只有 $6$ 一个，它一个人就把 $2$ 和 $3$ 都带齐了，另一张随便配；剩下的情形必须“一个提供 $2$、另一个提供 $3$”，注意此时两数都不能是 $6$，否则与第一类重复。

方法概述：按“是否含有 $6$ 这张牌”分两类，第二类再用乘法原理配 $2$ 的倍数与 $3$ 的倍数。

规范步骤：

分解除数：$6=2\times 3$（质因数分解）
第一类：其中一张是 $6$：另一张任取，$9$ 种（$6$ 独自带齐 $2$ 与 $3$）
第二类：都不是 $6$：被 $3$ 整除的有 $3,9$（$2$ 个），被 $2$ 整除的有 $2,4,8,10$（$4$ 个）（去掉 $6$ 后重新数）
第二类计数：$2\times 4=8$ 种（乘法原理）
相加：$9+8=17$（加法原理）
写出答案：$17$ 种

第一套

题目：口袋中有 $15$ 张卡片，分别写着 $1,2,3,\cdots,15$。现从中拿出两张卡片，使卡片上两个数的乘积能被 $6$ 整除，这样的选法共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解除数）：$6=2\times 3$，两数之积要同时凑齐因数 $2$ 与因数 $3$。
第 2 步（第一类：至少有一张是 $6$ 的倍数）：$1\sim15$ 中 $6$ 的倍数是 $6,12$，共 $\underline{\quad}$ 张。用排除法数“至少含一张”：总选法 $C_{15}^2=\dfrac{15\times 14}{2}=\underline{\quad}$ 种，一张都不含的有 $C_{13}^2=\dfrac{13\times 12}{2}=\underline{\quad}$ 种，故本类有 $105-78=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第二类：两张都不是 $6$ 的倍数）：此时必须一张提供因数 $3$、另一张提供因数 $2$。是 $3$ 的倍数但不是 $6$ 的倍数的有 $3,9,15$，共 $\underline{\quad}$ 张；是 $2$ 的倍数但不是 $6$ 的倍数的有 $2,4,8,10,14$，共 $\underline{\quad}$ 张。
第 4 步（第二类计数）：由乘法原理 $3\times 5=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（加法原理）：$27+15=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：班级抽奖箱里有 $15$ 个号码球，号码是 $1$ 到 $15$。一次摸出两个球，若两球号码之积能被 $6$ 整除就中奖。中奖的摸法共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$6=2\times 3$，两号码之积要凑齐因数 $2$ 与 $3$。
第 2 步（第一类：至少一个号码是 $6$ 的倍数）：$6$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个；总摸法 $C_{15}^2=\underline{\quad}$ 种，都不含的有 $C_{13}^2=\underline{\quad}$ 种，本类 $105-78=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第二类：两个都不是 $6$ 的倍数）：只含因数 $3$ 的有 $3,9,15$ 共 $\underline{\quad}$ 个；只含因数 $2$ 的有 $2,4,8,10,14$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（第二类计数）：$3\times 5=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（合计）：$27+15=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：口袋中有 $10$ 张卡片，分别写着 $1,2,3,\cdots,10$。从中拿出两张，使两数之积能被 $10$ 整除，这样的选法共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解除数）：$10=2\times 5$，两数之积要凑齐因数 $2$ 与因数 $5$。
第 2 步（第一类：其中一张是 $10$）：$10$ 自己带齐了 $2$ 和 $5$，另一张在剩下的 $9$ 张里随便取，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第二类：都不是 $10$）：必须一张提供 $5$、另一张提供 $2$。是 $5$ 的倍数但不是 $10$ 的只有 $5$，共 $\underline{\quad}$ 张；是 $2$ 的倍数但不是 $10$ 的有 $2,4,6,8$，共 $\underline{\quad}$ 张。
第 4 步（第二类计数）：$1\times 4=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（加法原理）：$9+4=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：口袋中有 $12$ 张卡片，分别写着 $1,2,3,\cdots,12$。从中拿出两张，使两数之积能被 $12$ 整除，这样的选法共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解除数）：$12=2^2\times 3$，注意这次因数 $2$ 要凑够 $\underline{\quad}$ 个，比原题多一层要求。
第 2 步（第一类：其中一张是 $12$）：$12$ 自己带齐 $2^2$ 与 $3$，另一张任取，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第二类：都不是 $12$，按 $3$ 的倍数是谁分小类）：不是 $12$ 的 $3$ 的倍数有 $3,6,9$。
第 4 步（与 $3$ 配、与 $9$ 配）：$3$ 和 $9$ 都只提供因数 $3$，另一张必须被 $4$ 整除，只能是 $4,8$，各 $\underline{\quad}$ 种，两者共 $2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（与 $6$ 配）：$6=2\times 3$ 已带一个因数 $2$，另一张只需是偶数（且不是 $12$、不是 $6$）：$2,4,8,10$，共 $\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（第二类合计）：$4+4=\underline{\quad}$ 种。
第 7 步（加法原理）：$11+8=\underline{\quad}$ 种。

13. 【原题 ch22-tuozhan-05】六位数 $123475$ 能被 $11$ 整除，如果将这个六位数的 $6$ 个数字重新排列，还能排出多少个能被 $11$ 整除的六位数？

详细思路

是哪类问题：这是「被 $11$ 整除的特征 + 分组排列」题：$11$ 的整除特征是“奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 $11$ 整除”。

关键切入点：六位数有 $3$ 个奇数位、$3$ 个偶数位，数字总和 $1+2+3+4+7+5=22$。两组和的差要被 $11$ 整除，而两组和相加为 $22$，若差为 $\pm 22$ 则一组为 $22$、一组为 $0$，用三个不同数字凑不出，所以差只能是 $0$，即两组和各为 $11$。和为 $11$ 的三数组只有 $\{1,3,7\}$ 与 $\{2,4,5\}$ 这一种互补分法。

方法概述：先定“两组和各为 $11$”，再让两组分别占奇数位、偶数位，组内各自全排列，最后减去原数本身。

规范步骤：

算数字总和：$1+2+3+4+7+5=22$（被 $11$ 整除看奇偶位和之差）
定两组的和：差被 $11$ 整除且两和之和为 $22$，只能各为 $11$（排除差为 $\pm22$）
找分组：$1+3+7=11$，$2+4+5=11$，只有这一种分法（枚举三数组合）
数排法：哪组占奇数位有 $2$ 种，组内各 $A_3^3=6$ 种：$2\times 6\times 6=72$（乘法原理）
去掉原数：$72-1=71$（题目问“还能排出多少个”）
写出答案：$71$ 个

第一套

题目：六位数 $234597$ 能被 $11$ 整除。如果将这个六位数的 $6$ 个数字重新排列，还能排出多少个能被 $11$ 整除的六位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算数字总和）：$2+3+4+5+9+7=\underline{\quad}$。
第 2 步（定两组的和）：六位数有 $3$ 个奇数位、$3$ 个偶数位；两组和之差要被 $11$ 整除，两组和之和是 $30$。若差为 $\pm 22$，则一组和为 $26$、另一组为 $4$，用三个不同数字凑不出；所以差只能是 $0$，即两组和各为 $30\div 2=\underline{\quad}$。
第 3 步（找互补分组）：和为 $15$ 的三数组只有 $\{2,4,9\}$ 与 $\{3,5,7\}$，验算 $2+4+9=\underline{\quad}$，$3+5+7=\underline{\quad}$，恰好互补，分法只有 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（数排法）：哪一组占奇数位有 $2$ 种；每组内部全排列 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种，故共 $2\times 6\times 6=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（去掉原数本身）：$72-1=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：抽奖券号码 $234597$ 恰好能被 $11$ 整除。把这 $6$ 个数字重新排列做成新号码（六位数），还能做出多少个能被 $11$ 整除的号码？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算数字总和）：$2+3+4+5+9+7=\underline{\quad}$。
第 2 步（定两组的和）：奇数位三数之和与偶数位三数之和的差要被 $11$ 整除，两者之和是 $30$，差只能为 $0$，各为 $30\div 2=\underline{\quad}$。
第 3 步（找互补分组）：$2+4+9=\underline{\quad}$，$3+5+7=\underline{\quad}$，这样的分法只有 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（数排法）：$A_3^3=\underline{\quad}$，共 $2\times 6\times 6=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（去掉原号码）：$72-1=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：六位数 $123486$ 能被 $11$ 整除。如果将这个六位数的 $6$ 个数字重新排列，还能排出多少个能被 $11$ 整除的六位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算数字总和）：$1+2+3+4+8+6=\underline{\quad}$。
第 2 步（定两组的和）：两组和之和为 $24$，差要被 $11$ 整除；差为 $\pm22$ 时一组和为 $23$、另一组为 $1$，三个不同数字凑不出，故差为 $0$，两组各为 $24\div 2=\underline{\quad}$。
第 3 步（找互补分组）：和为 $12$ 的三数组是 $\{1,3,8\}$ 与 $\{2,4,6\}$，验算 $1+3+8=\underline{\quad}$，$2+4+6=\underline{\quad}$。
第 4 步（数排法）：$2\times A_3^3\times A_3^3=2\times 6\times 6=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（去掉原数）：$72-1=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：用 $1,2,3,4,5,7$ 这 $6$ 个数字各一次组成六位数，其中能被 $11$ 整除且是偶数的共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总和、定分组）：$1+2+3+4+5+7=\underline{\quad}$；两组和之差被 $11$ 整除且两和相加为 $22$，故两组和各为 $22\div 2=\underline{\quad}$。
第 2 步（找互补分组）：和为 $11$ 的三数组是 $\{1,3,7\}$ 与 $\{2,4,5\}$，验算 $1+3+7=\underline{\quad}$，$2+4+5=\underline{\quad}$。
第 3 步（把“偶数”条件落到位置上）：六位数的末位是第 $6$ 位，属于偶数位，要求末位是偶数。组 $\{1,3,7\}$ 里偶数有 $\underline{\quad}$ 个，所以占偶数位的必须是 $\{2,4,5\}$ 这一组，“哪组占偶数位”不再有 $2$ 种选择，只剩 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（排末位）：$\{2,4,5\}$ 中的偶数是 $2,4$，末位有 $\underline{\quad}$ 种选法；余下两个数排在另外两个偶数位上，有 $2\times 1=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（排奇数位）：$\{1,3,7\}$ 在三个奇数位上全排列，有 $A_3^3=\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（乘法原理）：$1\times 2\times 2\times 6=\underline{\quad}$ 个。

14. 【原题 ch22-tuozhan-06】如果能被 $8$ 整除或者含有数字 $8$ 的自然数为“吉利数”。那么 $1$ 至 $200$ 这 $200$ 个自然数中有多少个“吉利数”？

详细思路

是哪类问题：这是「容斥原理」题：条件是“或”，要把两类各自数清，再减去被重复计算的那部分。

关键切入点：“被 $8$ 整除”直接除；“含数字 $8$”正面数很麻烦，用排除法数“不含 $8$”更快：$1\sim200$ 里把数写成三位形式 $\overline{abc}$（$a$ 可为 $0$ 或 $1$），不含 $8$ 的有 $2\times 9\times 9=162$ 个（含 $000$，但 $200$ 也不含 $8$，一加一减正好抵消），故含 $8$ 的有 $200-162=38$ 个。重叠部分要逐个列出。

方法概述：容斥：$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$，其中 $|B|$ 用排除法算。

规范步骤：

数被 $8$ 整除的：$200\div 8=25$，共 $25$ 个（倍数计数）
用排除法数不含 $8$ 的：$2\times 9\times 9=162$ 个（逐位可选个数相乘）
得含 $8$ 的：$200-162=38$ 个（排除法）
数既被 $8$ 整除又含 $8$ 的：$8,48,80,88,128,168,184$，共 $7$ 个（逐个列举避免重复计数）
容斥合成：$25+38-7=56$（容斥原理）
写出答案：$56$ 个

第一套

题目：如果能被 $8$ 整除或者含有数字 $8$ 的自然数为“吉利数”，那么 $1$ 至 $300$ 这 $300$ 个自然数中有多少个“吉利数”？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数被 $8$ 整除的）：$300\div 8=37\cdots4$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（用排除法数不含 $8$ 的）：把每个数写成三位形式 $\overline{abc}$，$a$ 可取 $0,1,2$ 共 $3$ 种，$b,c$ 各不能取 $8$、有 $9$ 种，故不含 $8$ 的有 $3\times 9\times 9=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（得含 $8$ 的）：$300-243=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（数重叠部分）：既被 $8$ 整除又含数字 $8$ 的有 $8,48,80,88,128,168,184,208,248,280,288$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（容斥合成）：$37+57-11=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：体育馆的座位从 $1$ 号编到 $300$ 号。凡是座位号能被 $8$ 整除、或者号码里出现数字 $8$ 的座位，都发放纪念品。共有多少个座位能拿到纪念品？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数被 $8$ 整除的座位）：$300\div 8=37\cdots4$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（排除法数不含 $8$ 的号码）：写成 $\overline{abc}$，$a$ 有 $3$ 种，$b,c$ 各 $9$ 种，共 $3\times 9\times 9=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（含 $8$ 的号码）：$300-243=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（两类重叠的）：$8,48,80,88,128,168,184,208,248,280,288$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（容斥合成）：$37+57-11=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：如果能被 $6$ 整除或者含有数字 $6$ 的自然数为“幸运数”，那么 $1$ 至 $200$ 这 $200$ 个自然数中有多少个“幸运数”？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数被 $6$ 整除的）：$200\div 6=33\cdots2$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（排除法数不含 $6$ 的）：写成 $\overline{abc}$，$a$ 可取 $0,1$ 共 $2$ 种，$b,c$ 各 $9$ 种，共 $2\times 9\times 9=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（含 $6$ 的）：$200-162=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（重叠部分）：既被 $6$ 整除又含数字 $6$ 的有 $6,36,60,66,96,126,156,162,168,186$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（容斥合成）：$33+38-10=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：如果能被 $8$ 整除或者含有数字 $8$ 的自然数为“吉利数”，那么 $1$ 至 $500$ 这 $500$ 个自然数中有多少个“吉利数”？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数被 $8$ 整除的）：$500\div 8=62\cdots4$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（排除法数不含 $8$ 的）：写成 $\overline{abc}$，$a$ 可取 $0,1,2,3,4$ 共 $\underline{\quad}$ 种，$b,c$ 各 $9$ 种；$5\times 9\times 9=\underline{\quad}$ 个。这 $405$ 个里含 $000$（不在范围内），但范围里还多出一个 $500$（也不含 $8$），一加一减恰好抵消。
第 3 步（含 $8$ 的）：$500-405=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（重叠部分）：既被 $8$ 整除又含数字 $8$ 的有 $8,48,80,88,128,168,184,208,248,280,288,328,368,384,408,448,480,488$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（容斥合成）：$62+95-18=\underline{\quad}$ 个。

15. 【原题 ch22-tuozhan-07】三个 $2$，两个 $1$ 和一个 $0$ 可组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和。

详细思路

是哪类问题：这是「重复元素的排列 + 按数位求和」题：先算个数（用重复排列公式再扣掉首位为 $0$ 的），再用“每个数位上数字之和 $\times$ 位值”求总和。

关键切入点：个数：$6$ 个数字里有三个 $2$、两个 $1$，全排列 $\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!}=60$；其中首位为 $0$ 的相当于把余下五个排一排，$\dfrac{5!}{3!\,2!}=10$，故六位数有 $50$ 个。求和的诀窍：在全部 $60$ 个排列中，由于对称性，每个数位上各数字出现次数相同（$2$ 出现 $30$ 次、$1$ 出现 $20$ 次、$0$ 出现 $10$ 次），于是每个数位的数字之和都是 $80$，总和为 $80\times 111111$；再减去首位为 $0$ 的那 $10$ 个数之和即可。

方法概述：个数用重复排列减去首位为零者；求和用“每位数字和 $\times\underbrace{11\cdots1}$”，再减去首位为零的部分。

规范步骤：

算全排列个数：$\dfrac{6!}{3!\times 2!\times 1!}=60$（重复元素排列）
扣掉首位为 $0$ 的：$\dfrac{5!}{3!\times 2!}=10$，故 $60-10=50$ 个（首位非零）
算 $60$ 个排列每位的数字和：$2$ 出现 $30$ 次、$1$ 出现 $20$ 次：$2\times 30+1\times 20=80$（对称性：各位地位相同）
算 $60$ 个排列之和：$80\times 111111=8888880$（按位值求和）
算首位为 $0$ 的 $10$ 个数之和：每位数字和 $2\times 6+1\times 4=16$，和为 $16\times 11111=177776$（同法用于后五位）
相减得答案：$8888880-177776=8711104$（去掉不合法的部分）
写出答案：共 $50$ 个，总和 $8711104$

第一套

题目：三个 $3$，两个 $2$ 和一个 $0$ 可组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算全排列个数）：$6$ 个数字中有三个 $3$、两个 $2$，$\dfrac{6!}{3!\times 2!\times 1!}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（扣掉首位为 $0$ 的）：首位放 $0$ 后余下五位是三个 $3$、两个 $2$ 的排列，$\dfrac{5!}{3!\times 2!}=\underline{\quad}$ 种；故六位数有 $60-10=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（数每位上各数字出现的次数）：$60$ 个排列中每个数位地位相同，$3$ 出现 $60\times 3\div 6=\underline{\quad}$ 次，$2$ 出现 $60\times 2\div 6=\underline{\quad}$ 次。
第 4 步（每位的数字之和）：$3\times 30+2\times 20=\underline{\quad}$。
第 5 步（$60$ 个排列之和）：$130\times 111111=\underline{\quad}$。
第 6 步（首位为 $0$ 的 $10$ 个数之和）：后五位中 $3$ 出现 $10\times 3\div 5=\underline{\quad}$ 次、$2$ 出现 $\underline{\quad}$ 次，每位和 $3\times 6+2\times 4=\underline{\quad}$，这 $10$ 个数之和为 $26\times 11111=\underline{\quad}$。
第 7 步（相减）：$14444430-288886=\underline{\quad}$。

第二套

题目：有六张号码牌，其中三张写着 $3$、两张写着 $2$、一张写着 $0$。把它们排成一行组成一个六位号码（首位不能是 $0$）。能组成多少个不同的号码？这些号码的总和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（全排列个数）：$\dfrac{6!}{3!\times 2!\times 1!}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（去掉首位为 $0$ 的）：$\dfrac{5!}{3!\times 2!}=\underline{\quad}$ 种，合法号码 $60-10=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（每位上各数字出现次数）：$3$ 出现 $60\times 3\div 6=\underline{\quad}$ 次，$2$ 出现 $60\times 2\div 6=\underline{\quad}$ 次。
第 4 步（每位数字之和）：$3\times 30+2\times 20=\underline{\quad}$。
第 5 步（$60$ 个排列之和）：$130\times 111111=\underline{\quad}$。
第 6 步（首位为 $0$ 的部分）：后五位中 $3$ 出现 $\underline{\quad}$ 次、$2$ 出现 $\underline{\quad}$ 次，每位和 $\underline{\quad}$，共 $26\times 11111=\underline{\quad}$。
第 7 步（相减）：$14444430-288886=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两个 $1$，两个 $2$ 和两个 $0$ 可组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（全排列个数）：三种数字各两个，$\dfrac{6!}{2!\times 2!\times 2!}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（扣掉首位为 $0$ 的）：首位放一个 $0$ 后，余下五位是两个 $1$、两个 $2$、一个 $0$ 的排列，$\dfrac{5!}{2!\times 2!\times 1!}=\underline{\quad}$ 种；六位数有 $90-30=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（每位上各数字出现次数）：$90$ 个排列、每种数字各 $2$ 个，故每位上 $1$ 出现 $90\times 2\div 6=\underline{\quad}$ 次，$2$ 也出现 $30$ 次。
第 4 步（每位数字之和）：$1\times 30+2\times 30=\underline{\quad}$。
第 5 步（$90$ 个排列之和）：$90\times 111111=\underline{\quad}$。
第 6 步（首位为 $0$ 的 $30$ 个）：后五位中 $1$ 出现 $30\times 2\div 5=\underline{\quad}$ 次、$2$ 出现 $12$ 次，每位和 $1\times 12+2\times 12=\underline{\quad}$，共 $36\times 11111=\underline{\quad}$。
第 7 步（相减）：$9999990-399996=\underline{\quad}$。

第三套

题目：四个 $3$，两个 $1$ 和一个 $0$ 可组成多少个不同的七位数？求所有符合条件的七位数的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（全排列个数）：$7$ 个数字中有四个 $3$、两个 $1$，$\dfrac{7!}{4!\times 2!\times 1!}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（扣掉首位为 $0$ 的）：$\dfrac{6!}{4!\times 2!}=\underline{\quad}$ 种，七位数有 $105-15=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（每位上各数字出现次数）：$105$ 个排列共 $7$ 位，$3$ 出现 $105\times 4\div 7=\underline{\quad}$ 次，$1$ 出现 $105\times 2\div 7=\underline{\quad}$ 次。
第 4 步（每位数字之和）：$3\times 60+1\times 30=\underline{\quad}$。
第 5 步（$105$ 个排列之和）：七位的位值串是 $1111111$，$210\times 1111111=\underline{\quad}$。
第 6 步（首位为 $0$ 的 $15$ 个）：后六位中 $3$ 出现 $15\times 4\div 6=\underline{\quad}$ 次、$1$ 出现 $15\times 2\div 6=\underline{\quad}$ 次，每位和 $3\times 10+1\times 5=\underline{\quad}$，共 $35\times 111111=\underline{\quad}$。
第 7 步（相减）：$233333310-3888885=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch22-tuozhan-08】有一种“上升数”，组成数的各位数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：$1234,1235,1236,\cdots,6789$，请问：此数列中的第 $100$ 个数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「上升数的字典序定位」题：上升数由“选出的数字集合”唯一决定，因此先用组合数分段，再逐位缩小范围。

关键切入点：四位上升数共 $C_9^4=126$ 个。按从小到大排，千位是 $1$ 的有 $C_8^3=56$ 个（后三位从 $2\sim 9$ 中选），千位是 $2$ 的有 $C_7^3=35$ 个，累计 $91<100$，所以第 $100$ 个的千位是 $3$，且在千位为 $3$ 的那批里排第 $9$；再对百位、十位重复同样的“分段—累计—定位”。

方法概述：逐位分段：算出每个候选数字对应的个数，累计到超过目标序号，即可定下该位。

规范步骤：

算总个数：$C_9^4=\dfrac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126$（选数即定序）
定千位：千位 $1$：$C_8^3=56$；千位 $2$：$C_7^3=35$；累计 $91$，故千位为 $3$，在其中排第 $100-91=9$（分段累计）
定百位：百位 $4$：$C_5^2=10\ge 9$，故百位为 $4$，仍排第 $9$（后两位从 $5\sim 9$ 中选）
定十位：十位 $5$：$C_4^1=4$；十位 $6$：$3$，累计 $7$；十位 $7$：$2$，累计 $9$，故十位为 $7$，在其中排第 $9-7=2$（分段累计）
定个位：个位在 $8,9$ 中取第 $2$ 个，即 $9$（逐位定位）
写出答案：第 $100$ 个是 $3479$

第一套

题目：把所有五位“上升数”（各位数字从左往右依次增大）按从小到大排成一行，第 $100$ 个数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总个数）：五位上升数就是从 $1\sim 9$ 中选 $5$ 个数字，$C_9^5=\dfrac{9\times 8\times 7\times 6\times 5}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（定万位）：万位是 $1$ 的有 $C_8^4=\dfrac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个；万位是 $2$ 的有 $C_7^4=\dfrac{7\times 6\times 5\times 4}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。$70<100\le 70+35$，所以万位是 $2$，且在这批里排第 $100-70=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（定千位）：万位定为 $2$ 后，其余四位从 $3\sim 9$ 中选。千位是 $3$ 的有 $C_6^3=\underline{\quad}$ 个；千位是 $4$ 的有 $C_5^3=\underline{\quad}$ 个，累计 $20+10=\underline{\quad}$，恰好覆盖第 $30$ 个，所以千位是 $4$，在这批里排第 $30-20=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（定百位）：其余三位从 $5\sim 9$ 中选。百位是 $5$ 的有 $C_4^2=\underline{\quad}$ 个；百位是 $6$ 的有 $C_3^2=\underline{\quad}$ 个，累计 $9$；百位是 $7$ 的有 $C_2^2=\underline{\quad}$ 个，累计 $10$，故百位是 $7$，排第 $10-9=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（定十位、个位）：剩下只能从 $8,9$ 中选 $2$ 个，即十位 $8$、个位 $9$。所求数是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：图书馆给书编“递增号”：号码是五位数且各位数字从左往右依次增大。把所有递增号从小到大排好，第 $100$ 个递增号是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总个数）：$C_9^5=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（定万位）：万位 $1$ 有 $C_8^4=\underline{\quad}$ 个，万位 $2$ 有 $C_7^4=\underline{\quad}$ 个；故万位是 $2$，排第 $100-70=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（定千位）：千位 $3$ 有 $C_6^3=\underline{\quad}$ 个，千位 $4$ 有 $C_5^3=\underline{\quad}$ 个，累计 $\underline{\quad}$；故千位是 $4$，排第 $30-20=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（定百位）：百位 $5$ 有 $C_4^2=\underline{\quad}$ 个，百位 $6$ 有 $C_3^2=\underline{\quad}$ 个，百位 $7$ 有 $C_2^2=\underline{\quad}$ 个；故百位是 $7$，排第 $10-9=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（定十位个位）：只剩 $8,9$，所求号码是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：把所有四位“上升数”按从小到大排成一行：$1234,1235,\cdots,6789$，第 $50$ 个数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定千位）：千位是 $1$ 的有 $C_8^3=\dfrac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个，已经超过 $50$，所以千位就是 $1$，目标仍是这批里的第 $50$ 个。
第 2 步（定百位）：其余三位从 $2\sim 9$ 中选。百位 $2$：$C_7^2=\underline{\quad}$ 个；百位 $3$：$C_6^2=\underline{\quad}$ 个，累计 $36$；百位 $4$：$C_5^2=\underline{\quad}$ 个，累计 $46$；百位 $5$：$C_4^2=\underline{\quad}$ 个，累计 $52\ge 50$。故百位是 $5$，排第 $50-46=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（定十位）：其余两位从 $6\sim 9$ 中选。十位 $6$：$C_3^1=\underline{\quad}$ 个；十位 $7$：$C_2^1=\underline{\quad}$ 个，累计 $5\ge 4$。故十位是 $7$，排第 $4-3=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（定个位）：个位在 $8,9$ 中取第 $1$ 个，即 $8$。所求数是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一种“下降数”，组成数的各位数字从左往右依次减小，如 $3210,8642$。把所有四位“下降数”按从小到大排成一行，共有多少个？第 $100$ 个数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚 $0$ 能否入选）：下降数的首位是四个数字中最大的，一定不为 $0$，所以 $0$ 可以参与选取，可选数字是 $0\sim 9$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（算总个数）：从 $10$ 个数字中选 $4$ 个，$C_{10}^4=\dfrac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（定千位）：千位就是所选四数中的最大者。千位 $3$：$C_3^3=1$；千位 $4$：$C_4^3=\underline{\quad}$；千位 $5$：$C_5^3=\underline{\quad}$；千位 $6$：$C_6^3=\underline{\quad}$；千位 $7$：$C_7^3=\underline{\quad}$。累计 $1+4+10+20+35=\underline{\quad}$，还不到 $100$；再看千位 $8$：$C_8^3=\underline{\quad}$，累计已超过 $100$。故千位是 $8$，排第 $100-70=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（定百位）：其余三位从 $0\sim 7$ 中选，百位是这三数中的最大者。百位 $2$：$C_2^2=1$；百位 $3$：$C_3^2=3$；百位 $4$：$C_4^2=6$；百位 $5$：$C_5^2=\underline{\quad}$；累计 $1+3+6+10=\underline{\quad}$；百位 $6$：$C_6^2=\underline{\quad}$，累计 $35\ge 30$。故百位是 $6$，排第 $30-20=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（定十位）：其余两位从 $0\sim 5$ 中选。十位 $1$：$1$ 个；十位 $2$：$2$ 个，累计 $3$；十位 $3$：$3$ 个，累计 $6$；十位 $4$：$4$ 个，累计 $\underline{\quad}$，恰好覆盖第 $10$ 个。故十位是 $4$，排第 $10-6=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（定个位）：个位在 $0,1,2,3$ 中取第 $4$ 个，即 $3$。所求数是 $\underline{\quad}$。

17. 【原题 ch22-tuozhan-09】有一些三位数的相邻两位数字为 $2$ 和 $3$，例如 $132,235$ 等等，这样的三位数一共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「含指定相邻数字串的计数」题：把“相邻两位是 $2$ 和 $3$”看成一个长度为 $2$ 的小块（$23$ 或 $32$）在三位数中滑动。

关键切入点：小块只能落在“百十位”或“十个位”两个位置。落在百十位时，百位是 $2$ 或 $3$ 都合法，剩下个位自由取 $0\sim 9$；落在十个位时，百位不能为 $0$，只有 $9$ 种。两种情况会把同时满足两处的数（$232$ 和 $323$）算两遍，要减去一次。

方法概述：按小块位置分类计数，再用容斥减去重复计入的数。

规范步骤：

情况一：小块在百十位：$23\square$ 或 $32\square$，个位 $10$ 种：$2\times 10=20$ 个（乘法原理）
情况二：小块在十个位：$\square 23$ 或 $\square 32$，百位 $1\sim 9$ 共 $9$ 种：$2\times 9=18$ 个（首位非零）
找重复：两处都满足的是 $232$ 与 $323$，共 $2$ 个（容斥）
容斥合成：$20+18-2=36$（容斥原理）
写出答案：$36$ 个

第一套

题目：有一些三位数，它的相邻两位数字为 $7$ 和 $8$，例如 $178,785$ 等等，这样的三位数一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把条件看成一个小块）：相邻两位是 $7$ 和 $8$，即出现 $78$ 或 $87$ 这个两位小块，它在三位数里只有“百十位”和“十个位”两个位置。
第 2 步（情况一：小块在百十位）：形如 $78\square$ 或 $87\square$，百位是 $7$ 或 $8$ 都不为零、合法，个位可取 $0\sim 9$ 共 $10$ 种，本类有 $2\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（情况二：小块在十个位）：形如 $\square 78$ 或 $\square 87$，百位不能为 $0$，有 $\underline{\quad}$ 种，本类有 $2\times 9=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（找重复计入的）：同时满足两处的是 $787$ 与 $878$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（容斥合成）：$20+18-2=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：某小区的三位门牌号中，若相邻的两位数字恰好是 $7$ 和 $8$（如 $178,785$），就属于“幸运门牌”。这样的门牌号一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看成小块）：门牌中出现 $78$ 或 $87$，位置只有“百十位”和“十个位”两处。
第 2 步（小块在百十位）：$78\square$ 或 $87\square$，个位 $10$ 种，共 $2\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（小块在十个位）：$\square 78$ 或 $\square 87$，百位不能为 $0$ 有 $\underline{\quad}$ 种，共 $2\times 9=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（重复的）：$787$ 与 $878$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（容斥）：$20+18-2=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：有一些三位数，它的相邻两位数字为 $0$ 和 $3$，例如 $305,130$ 等等，这样的三位数一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看成小块）：小块是 $03$ 或 $30$。注意含 $0$ 后要特别小心首位。
第 2 步（情况一：小块在百十位）：$03\square$ 的百位是 $0$，根本不是三位数，必须排除，所以只有 $30\square$ 一种形状；个位 $10$ 种，本类有 $1\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（情况二：小块在十个位）：$\square 03$ 或 $\square 30$，百位取 $1\sim 9$ 共 $\underline{\quad}$ 种，本类有 $2\times 9=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（找重复计入的）：两处都满足的只有 $303$，共 $\underline{\quad}$ 个（$330$ 的百十位是 $33$，不合）。
第 5 步（容斥合成）：$10+18-1=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：有一些四位数，它的相邻两位数字为 $2$ 和 $3$（例如 $1234,5236$），这样的四位数一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列出小块的位置）：$23$ 或 $32$ 这个小块在四位数中可以落在“千百位”“百十位”“十个位”三处，分别记为 $A,B,C$ 三类。
第 2 步（数 $A$）：形如 $23\square\square$ 或 $32\square\square$，后两位各 $10$ 种，$2\times 10\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（数 $B$）：形如 $\square 23\square$ 或 $\square 32\square$，千位不能为 $0$ 有 $9$ 种，末位 $10$ 种，$2\times 9\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（数 $C$）：形如 $\square\square 23$ 或 $\square\square 32$，千位 $9$ 种、百位 $10$ 种，$2\times 9\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（数两两重叠）：$A\cap B$ 要求前三位是 $232$ 或 $323$，末位自由，$2\times 10=\underline{\quad}$ 个；$B\cap C$ 要求后三位是 $232$ 或 $323$，千位 $9$ 种，$2\times 9=\underline{\quad}$ 个；$A\cap C$ 要求前两位与后两位各是一个小块，$2\times 2=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（数三重重叠）：$A\cap B\cap C$ 要求四位连成 $2323$ 或 $3232$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 7 步（三集合容斥）：$200+180+180-20-18-4+2=\underline{\quad}$ 个。

18. 【原题 ch22-tuozhan-10】在图 $22\text{-}3$ 的方框内填入 $3,4,5,6$ 中的一个数字，使得竖式成立。请问：所填的九个数字之和是多少？一共有多少种填法？（竖式结果为 $4995$）

详细思路

是哪类问题：这是「竖式数字谜」题：竖式是四位数 $+$ 三位数 $+$ 两位数 $=4995$，九个方框都填 $3,4,5,6$。关键是从个位向高位逐列分析——每列数字之和的个位必须与 $4995$ 对应位一致，进位再往上传。

关键切入点：逐列可把“该列数字之和”唯一锁死：个位和只能是 $15$、十位和只能是 $18$、百位和只能是 $8$、千位是 $4$。第一问的九数之和就是这四个列和相加 $15+18+8+4=45$；第二问再数每列满足该和的可行组合数并相乘 $10\times1\times3\times1=30$。

方法概述：从个位到千位逐列锁定“列和”与进位，先由列和求第一问，再数每列组合数相乘求第二问。

规范步骤：

看清竖式结构：上、中、下三个加数分别是四位、三位、两位数，九个方框都取 $3\sim6$，相加结果为 $4995$（读图）
个位列：三数各在 $3\sim6$，和在 $9\sim18$ 间；末位要是 $5$ 只能和 $=15$，向十位进 $1$（逐位分析进位）
十位列：三数和加进位 $1$ 后末位要是 $9$：$9\sim18$ 加 $1$ 落在 $10\sim19$，只有 $18+1=19$ 合，故三数都是 $6$（和 $18$），进 $1$（进位传递）
百位列：两数和加进位 $1$ 后末位要是 $9$：$6\sim12$ 加 $1$ 落在 $7\sim13$，只有 $8+1=9$，故两数和 $=8$，不进位（进位传递）
千位列：最高位 $+0=4$，与结果千位 $4$ 一致（无进位）
（第一问）九数之和：$=$ 各列和相加 $=15+18+8+4=45$（列和求和）
（第二问）个位列组合数：和为 $15$ 的有序三数组：$6\,6\,3$ 型 $3$ 个、$6\,5\,4$ 型 $6$ 个、$5\,5\,5$ 型 $1$ 个，共 $3+6+1=10$ 种（有序枚举）
（第二问）其余各列组合数：十位仅 $(6,6,6)$ 共 $1$ 种；百位和为 $8$ 的有序两数组 $3\!+\!5,\,5\!+\!3,\,4\!+\!4$ 共 $3$ 种；千位 $1$ 种（有序枚举）
乘法原理：$10\times1\times3\times1=30$（乘法原理）
写出答案：数字之和 $45$；填法 $30$ 种

19. 【原题 ch22-tuozhan-11】在 $1000,1001,\cdots,2000$ 这 $1001$ 个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？

详细思路

是哪类问题：这是「相邻两数相加不进位」的计数题：相邻两数写成 $\overline{1BCD}$ 与它加 $1$，按末尾有几个 $9$ 分类。

关键切入点：较小的那个数首位一定是 $1$，两数首位相加是 $1+1=2$，不进位。若末位 $D\le 8$，则相邻两数只有末位差 $1$，要求各位相加都不进位：$B+B\le 9$ 给出 $B\le 4$（$5$ 种），$C$ 同理 $5$ 种，$D+(D+1)\le 9$ 给出 $D\le 4$（$5$ 种），共 $5\times5\times5=125$ 对。若末位是 $9$，进位会向前传递，需按末尾 $9$ 的个数继续分类，分别得 $25$、$5$、$1$ 对。

方法概述：按“末尾连续 $9$ 的个数”分类，每类用乘法原理数各位的可取个数，最后相加。

规范步骤：

第一类：末位 $D\le 8$：$B,C,D$ 各要满足本位相加不进位：$5\times 5\times 5=125$ 对（乘法原理）
第二类：末尾恰有一个 $9$：进位后按同样方法数得 $25$ 对（分类讨论）
第三类：末尾恰有两个 $9$：得 $5$ 对（分类讨论）
第四类：末尾三个 $9$（即 $1999$）：得 $1$ 对（边界情形）
相加：$125+25+5+1=156$（加法原理）
写出答案：$156$ 对

20. 【原题 ch22-tuozhan-12】将 $1$ 至 $7$ 分别填入图 $22\text{-}4$ 中的 $7$ 个方框中，使得每行每列中既有奇数也有偶数，一共有多少种不同的填法？

详细思路

是哪类问题：这是「奇偶分布 + 排列」的数阵图题：先只管每格放奇还是偶，再把具体数排进去。图 $22\text{-}4$ 是“$2$-$3$-$2$ 错位”的 $7$ 格——两行各 $2$ 格、中间一行 $3$ 格；对应地两列各 $2$ 格、中间一列 $3$ 格。

关键切入点：$1\sim7$ 有 $4$ 奇 $3$ 偶。第一步只定奇偶：只含 $2$ 格的行/列必须恰 $1$ 奇 $1$ 偶，含 $3$ 格的中行、中列不能三格全同奇偶——在 $4$ 奇 $3$ 偶下满足这些约束的奇偶布局恰有 $3$ 种。第二步把 $4$ 个奇数排入奇数格（$A_4^4=24$）、$3$ 个偶数排入偶数格（$A_3^3=6$）。$3\times24\times6=432$。

方法概述：两步走：先用“每行每列都要奇偶兼有”数出合法奇偶布局，再乘奇数之间、偶数之间的全排列数。

规范步骤：

分清奇偶个数：奇数 $1,3,5,7$ 共 $4$ 个；偶数 $2,4,6$ 共 $3$ 个（奇偶分类）
写出奇偶约束：只含 $2$ 格的行/列（上行、下行、左列、右列）须恰 $1$ 奇 $1$ 偶；含 $3$ 格的中行、中列不能三格全同奇偶（每行每列奇偶兼有）
枚举合法奇偶布局：在 $4$ 奇 $3$ 偶下满足上述约束的布局恰有 $3$ 种（可逐一列出核对，如中行取“奇偶奇”、中列取“偶奇偶”等）（分类枚举）
奇数内部排列：$4$ 个奇数排入 $4$ 个奇数格：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=24$ 种（全排列）
偶数内部排列：$3$ 个偶数排入 $3$ 个偶数格：$A_3^3=3\times 2\times 1=6$ 种（全排列）
乘法原理：$3\times 24\times 6=432$（乘法原理）
写出答案：$432$ 种

21. 【原题 ch22-tuozhan-13】在图 $22\text{-}5$ 的空格内各填入一个数字，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列下面的数比上面的数大，并且方格内 $6$ 个数字互不相同，例如图 $22\text{-}6$ 就是一种填法。请问：一共有多少种不同的填法？

详细思路

是哪类问题：这是「$2$ 行 $3$ 列方格的偏序填数」题：行内“左比右大”、列内“下比上大”把顺序几乎钉死，计数只剩“选数”加一处交换。

关键切入点：右列已给 $2$（上）、$3$（下）。设左、中两列的四个未知格为 $A,B$（上行）与 $C,D$（下行），约束是 $A>B>2$、$C>D>3$、$C>A$、$D>B$。因 $B>2$ 且数字 $3$ 已被占用，四个未知数都不小于 $4$，从 $\{4,\dots,9\}$ 中选 $4$ 个（$C_6^4=15$）；对每组数，最大必居 $C$、最小必居 $B$，中间两数填 $A,D$ 可交换给 $2$ 种。$15\times2=30$。

方法概述：先由大小约束确定可选数字与选法数，再对每组数由偏序数出固定的排布数，最后相乘。

规范步骤：

写出大小约束：未知四格为上行 $A,B$、下行 $C,D$（右列已给 $2,3$）：$A>B>2$、$C>D>3$、$C>A$、$D>B$（把“左大下大”翻译成偏序）
定可选数字范围：因 $B>2$ 且 $3$ 已被占用，四个未知数都 $\ge4$，从 $\{4,5,6,7,8,9\}$ 中选 $4$ 个：$C_6^4=\dfrac{6\times5\times4\times3}{4\times3\times2\times1}=15$ 种（组合数）
每组数的排布数：对选定的 $4$ 个数：最大的必填 $C$（比 $A,D$ 都大）、最小的必填 $B$，余下两个中间数填 $A,D$ 可交换 → $2$ 种（偏序中的自由度）
乘法原理：$15\times 2=30$（乘法原理）
写出答案：$30$ 种

22. 【原题 ch22-tuozhan-14】将数字 $1$ 至 $7$ 分别填入图 $22\text{-}7$ 的各个圆圈中，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比下面的大。请问：符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？

详细思路

是哪类问题：这是「树形偏序填数」题：有线段相连的两圆“上大于下”，没连线的互不影响。整张图从最底端分出对称的两支，每支是“$1$ 个中节点 $+$ $2$ 个顶点”。

关键切入点：最底端的圆在所有线段中都处在下端，比相连的数都小，只能填最小的 $1$。其余 $2\sim7$ 共 $6$ 个数分给对称两支：选哪 $3$ 个给左支 $C_6^3=20$；每支中节点为该支最小、两顶点可交换给 $2$ 种，两支共 $2\times2=4$。$20\times4=80$。

方法概述：先按“分支”把 $6$ 个数分成两组（组合数），再在每组内部按偏序数填法，最后相乘。

规范步骤：

定最小的圆：最底端的圆在所有线段里都在下端，比相连的数都小，故填最小的 $1$（偏序的最小元）
看清两支对称结构：其余 $6$ 个圆分成互不牵制的两支，每支是“$1$ 个中节点 $+$ $2$ 个顶点”，两顶点都比中节点大（读图分支）
把 6 个数分给两支：从 $2\sim 7$ 中选 $3$ 个给左支（右支自动定）：$C_6^3=\dfrac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$ 种（组合数）
每支内部排布：每支中节点填该支最小数，两个顶点填另两数、可交换 → 每支 $2$ 种；两支共 $2\times 2=4$ 种（树形偏序的自由度）
乘法原理：$20\times 4=80$（乘法原理）
写出答案：$80$ 种

23. 【原题 ch22-xingqu-01】能同时被 $4,5,6$ 整除的三位数共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「区间内公倍数计数」题：先把“同时被几个数整除”翻译成“是它们最小公倍数的倍数”，再在指定区间里数倍数个数。

关键切入点：同时被 $4,5,6$ 整除，等价于被 $[4,5,6]=60$ 整除。数三位数区间的倍数，用“大区间减小区间”：$1\sim999$ 里 $60$ 的倍数个数减去 $1\sim99$ 里的个数，剩下的正好落在 $100\sim999$ 之间。

方法概述：先求最小公倍数，再用 $\lfloor 999\div L\rfloor-\lfloor 99\div L\rfloor$ 数区间倍数。

规范步骤：

求最小公倍数：$[4,5,6]=60$（取各质因数最高次幂 $2^2\times3\times5$）
数 $1\sim999$ 中 $60$ 的倍数：$999\div60=16\cdots39$，共 $16$ 个（整除取整）
数 $1\sim99$ 中 $60$ 的倍数：$99\div60=1\cdots39$，共 $1$ 个（两位及以下要剔除）
相减得三位数中的个数：$16-1=15$（区间计数）
写出答案：$15$ 个

第一套

题目：能同时被 $6,8,10$ 整除的四位数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把条件翻译成一个数）：同时被 $6,8,10$ 整除，就是被三者的最小公倍数整除。$6=2\times3$，$8=2^3$，$10=2\times5$，取各质因数最高次幂得 $[6,8,10]=\underline{\quad}$。
第 2 步（数上界内的倍数）：四位数最大是 $9999$，$9999\div120=83\cdots39$，所以 $1\sim9999$ 中 $120$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（剔除位数不足的）：$999\div120=8\cdots39$，$1\sim999$ 中 $120$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个，这些都不是四位数。
第 4 步（相减）：四位数中的个数为 $83-8=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某仓库的货箱编号都是四位数。管理员规定：只有编号能同时被 $6,8,10$ 整除的货箱才需要复检。这样的货箱编号共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译条件）：编号同时被 $6,8,10$ 整除，即被三者的最小公倍数整除，$[6,8,10]=\underline{\quad}$。
第 2 步（数上界）：$9999\div120=83\cdots39$，$1\sim9999$ 中 $120$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（剔除不足四位的）：$999\div120=8\cdots39$，共 $\underline{\quad}$ 个要去掉。
第 4 步（相减）：需复检的编号有 $83-8=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：在 $1$ 至 $1000$ 中，能同时被 $8,12,18$ 整除的数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最小公倍数）：$8=2^3$，$12=2^2\times3$，$18=2\times3^2$，取最高次幂得 $[8,12,18]=\underline{\quad}$。
第 2 步（区间从 $1$ 开始，直接除）：$1000\div72=13\cdots64$，所以 $1\sim1000$ 中 $72$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（验一验最大的那个）：最大的倍数是 $72\times13=\underline{\quad}$，确实不超过 $1000$。

第三套

题目：在 $1$ 至 $1000$ 中，能被 $4$ 或 $6$ 整除的数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分别数）：$1000\div4=250$，能被 $4$ 整除的有 $\underline{\quad}$ 个；$1000\div6=166\cdots4$，能被 $6$ 整除的有 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（找重复部分）：既被 $4$ 又被 $6$ 整除，就是被 $[4,6]=\underline{\quad}$ 整除；$1000\div12=83\cdots4$，这样的数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（容斥：加起来再减去重复的一份）：$250+166-83=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch22-xingqu-02】分母是 $30$ 的最简真分数共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「最简真分数计数」题：分母固定，问分子有多少种取法。

关键切入点：分母是 $30$ 的真分数要求分子 $<30$；“最简”要求分子与 $30$ 互质。$30=2\times3\times5$，所以分子不能含因数 $2,3,5$。把 $1\sim29$ 中含 $2$、$3$、$5$ 的数剔除即可。

方法概述：把问题化为“数 $1\sim29$ 中与 $30$ 互质的数”，用枚举或容斥。

规范步骤：

定范围：真分数要求分子 $<30$，即分子在 $1\sim29$ 中（真分数定义）
定条件：$30=2\times3\times5$，最简要求分子不含因数 $2,3,5$（最简分数即分子分母互质）
逐个枚举：$1,7,11,13,17,19,23,29$（剔除 $2,3,5$ 的倍数）
用容斥复核：$29-14-9-5+4+2+1=8$（容斥原理）
写出答案：共 $8$ 个

第一套

题目：分母是 $60$ 的最简真分数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定范围与条件）：真分数要求分子在 $1\sim59$ 中；$60=2^2\times3\times5$，最简要求分子不含因数 $2,3,5$。
第 2 步（先减去三类倍数）：$1\sim59$ 中 $2$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个，$3$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个，$5$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（被减重的补回来）：$6$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个，$10$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个，$15$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个，$30$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（容斥合成）：$59-29-19-11+9+5+3-1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：体育课上把一根绳子平均分成 $60$ 段。小明取出其中若干段（不足整根），若“取出的段数∶总段数”写成分数后已经是最简分数，那么这样的取法共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译成分数）：取出 $x$ 段（$1\le x\le 59$），比值是 $\dfrac{x}{60}$，要求它是最简真分数。$60=2^2\times3\times5$，即 $x$ 不含因数 $2,3,5$。
第 2 步（先减去三类倍数）：$1\sim59$ 中 $2$ 的倍数 $\underline{\quad}$ 个，$3$ 的倍数 $\underline{\quad}$ 个，$5$ 的倍数 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（补回重复减去的）：$6$ 的倍数 $\underline{\quad}$ 个，$10$ 的倍数 $\underline{\quad}$ 个，$15$ 的倍数 $\underline{\quad}$ 个，$30$ 的倍数 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（容斥合成）：$59-29-19-11+9+5+3-1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：分母是 $100$ 的最简真分数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定范围与条件）：分子在 $1\sim99$ 中；$100=2^2\times5^2$，最简要求分子不含因数 $2,5$。
第 2 步（减去两类倍数）：$1\sim99$ 中 $2$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个，$5$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（补回同时是 $2$ 和 $5$ 倍数的）：$10$ 的倍数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（容斥合成）：$99-49-19+9=\underline{\quad}$。

第三套

题目：分母是 $30$ 的所有最简真分数的和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先找出全部分子）：与 $30$ 互质且小于 $30$ 的数是 $1,7,11,13,17,19,23,29$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（发现对称）：若 $x$ 与 $30$ 互质，则 $30-x$ 也与 $30$ 互质，可以首尾配对：$1+29=\underline{\quad}$，$7+23=\underline{\quad}$，$11+19=\underline{\quad}$，$13+17=\underline{\quad}$。
第 3 步（数配对数）：$8$ 个分子两两配对，共 $8\div2=\underline{\quad}$ 对，每对和都是 $30$。
第 4 步（求分子总和）：$30\times4=\underline{\quad}$。
第 5 步（求分数总和）：$120\div30=\underline{\quad}$。

25. 【原题 ch22-xingqu-03】从 $1,2,3,\cdots,9$ 这 $9$ 个数中选出 $2$ 个数，请问：（1）要使两数之和是 $3$ 的倍数，一共有多少种不同的选法？（2）要使两数之积是 $3$ 的倍数，一共有多少种不同的选法？

详细思路

是哪类问题：这是「按余数分类的选数计数」题：和或积能否被 $3$ 整除，只取决于各数除以 $3$ 的余数。

关键切入点：把 $1\sim9$ 按除以 $3$ 的余数分成三类，各 $3$ 个。两数之和被 $3$ 整除，只能“余 $0$ + 余 $0$”或“余 $1$ + 余 $2$”；两数之积被 $3$ 整除，只要至少一个是 $3$ 的倍数——“至少”用排除法最省事。

方法概述：先按余数分类，和用加法原理分情况，积用排除法（总数减去全不含 $3$ 的倍数）。

规范步骤：

按余数分类：余 $0$：$3,6,9$；余 $1$：$1,4,7$；余 $2$：$2,5,8$，各 $3$ 个（同余分类）
（1）第一类：两数都余 $0$：$C_3^2=\dfrac{3\times2}{2}=3$ 种（组合数）
（1）第二类：一个余 $1$、一个余 $2$：$3\times3=9$ 种（乘法原理）
（1）相加：$3+9=12$ 种（加法原理）
（2）总选法：$C_9^2=\dfrac{9\times8}{2}=36$ 种（组合数）
（2）扣掉都不是 $3$ 的倍数的：$C_6^2=\dfrac{6\times5}{2}=15$ 种（排除法）
（2）相减：$36-15=21$ 种（排除法）
写出答案：（1）$12$ 种；（2）$21$ 种

第一套

题目：从 $1,2,3,\cdots,12$ 这 $12$ 个数中选出 $2$ 个数，请问：（1）要使两数之和是 $3$ 的倍数，一共有多少种不同的选法？（2）要使两数之积是 $3$ 的倍数，一共有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按除以 $3$ 的余数分类）：余 $0$ 的是 $3,6,9,12$，共 $\underline{\quad}$ 个；余 $1$ 的是 $1,4,7,10$，共 $\underline{\quad}$ 个；余 $2$ 的是 $2,5,8,11$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（第 (1) 问·第一类）：两数都是 $3$ 的倍数，$C_4^2=\dfrac{4\times3}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第 (1) 问·第二类）：一个余 $1$、一个余 $2$，由乘法原理有 $4\times4=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（第 (1) 问·相加）：$6+16=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（第 (2) 问·总数）：$C_{12}^2=\dfrac{12\times11}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（第 (2) 问·排除）：两数都不是 $3$ 的倍数，即从 $8$ 个非 $3$ 倍数中选，$C_8^2=\dfrac{8\times7}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 7 步（第 (2) 问·相减）：$66-28=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：抽屉里有编号 $1$ 至 $12$ 的 $12$ 枚棋子，任取 $2$ 枚。（1）使两枚编号之和是 $3$ 的倍数，有多少种取法？（2）使两枚编号之积是 $3$ 的倍数，有多少种取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按编号除以 $3$ 的余数分类）：余 $0$：$3,6,9,12$ 共 $\underline{\quad}$ 枚；余 $1$：$1,4,7,10$ 共 $\underline{\quad}$ 枚；余 $2$：$2,5,8,11$ 共 $\underline{\quad}$ 枚。
第 2 步（和·第一类）：两枚都余 $0$，$C_4^2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（和·第二类）：一枚余 $1$ 一枚余 $2$，$4\times4=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（和·合计）：$6+16=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（积·总数）：$C_{12}^2=\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（积·排除全不是 $3$ 的倍数）：$C_8^2=\underline{\quad}$ 种。
第 7 步（积·相减）：$66-28=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：从 $1,2,3,\cdots,9$ 这 $9$ 个数中选出 $2$ 个数，要使两数之和是偶数，一共有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（改成按除以 $2$ 的余数分类）：奇数是 $1,3,5,7,9$，共 $\underline{\quad}$ 个；偶数是 $2,4,6,8$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（判断哪些搭配可行）：和是偶数只能“奇+奇”或“偶+偶”，一奇一偶的和是奇数要排除。
第 3 步（第一类：两个奇数）：$C_5^2=\dfrac{5\times4}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（第二类：两个偶数）：$C_4^2=\dfrac{4\times3}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（加法原理）：$10+6=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：从 $1,2,3,\cdots,9$ 这 $9$ 个数中选出 $3$ 个数，要使这 $3$ 个数之和是 $3$ 的倍数，一共有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按余数分类）：余 $0$：$3,6,9$；余 $1$：$1,4,7$；余 $2$：$2,5,8$，每类 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（判断哪些余数搭配的和能被 $3$ 整除）：三数余数之和要被 $3$ 整除，只有“三个余数全相同”（$0+0+0$、$1+1+1$、$2+2+2$）或“余 $0,1,2$ 各一个”两大类。
第 3 步（第一类：某一类里取 $3$ 个）：每类恰好 $3$ 个，$C_3^3=\underline{\quad}$ 种，三类共 $3\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（第二类：每类各取 $1$ 个）：由乘法原理 $3\times3\times3=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（加法原理合并）：$3+27=\underline{\quad}$ 种。

26. 【原题 ch22-xingqu-04】在所有由 $1,3,5,7,9$ 中的 $3$ 个不同数字组成的三位数中，有多少个是 $3$ 的倍数？

详细思路

是哪类问题：这是「组数 + 整除特征」题：三位数能被 $3$ 整除，等价于它的各位数字之和能被 $3$ 整除。

关键切入点：既然只看数字之和，就先“选数字”后“排顺序”。把 $1,3,5,7,9$ 按除以 $3$ 的余数分类：余 $0$ 有 $3,9$，余 $1$ 有 $1,7$，余 $2$ 只有 $5$。三个数字余数和要被 $3$ 整除，只能每类各取一个（同类取三个不够用）。

方法概述：两步走：先按余数选出合格的数字组合（乘法原理），再对每组做全排列。

规范步骤：

按余数分类：余 $0$：$3,9$（$2$ 个）；余 $1$：$1,7$（$2$ 个）；余 $2$：$5$（$1$ 个）（被 $3$ 整除看数字和）
判断可行搭配：同类取 $3$ 个不可能，只能余 $0,1,2$ 各取一个（余数和被 $3$ 整除）
数选法：$2\times2\times1=4$ 种（乘法原理）
每组排成三位数：$A_3^3=3\times2\times1=6$ 种（全排列）
相乘：$4\times6=24$（乘法原理）
写出答案：$24$ 个

第一套

题目：在所有由 $1,2,3,\cdots,9$ 中的 $3$ 个不同数字组成的三位数中，有多少个是 $3$ 的倍数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把整除条件转成数字和）：三位数能被 $3$ 整除，就是三个数字之和能被 $3$ 整除。按余数分类：余 $0$ 的是 $3,6,9$ 共 $\underline{\quad}$ 个，余 $1$ 的是 $1,4,7$ 共 $\underline{\quad}$ 个，余 $2$ 的是 $2,5,8$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（第一类搭配：三个数字同余）：每类都恰好有 $3$ 个，$C_3^3=1$，三类共 $3\times1=\underline{\quad}$ 组。
第 3 步（第二类搭配：余 $0,1,2$ 各一个）：$3\times3\times3=\underline{\quad}$ 组。
第 4 步（合计合格数字组）：$3+27=\underline{\quad}$ 组。
第 5 步（每组排成三位数）：$A_3^3=3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（相乘）：$30\times6=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：有 $9$ 张卡片，分别写着 $1$ 到 $9$。任取 $3$ 张排成一个三位数，能排出多少个是 $3$ 的倍数的三位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整除条件转数字和）：被 $3$ 整除即三张卡片数字之和被 $3$ 整除。余 $0$：$3,6,9$ 共 $\underline{\quad}$ 张；余 $1$：$1,4,7$ 共 $\underline{\quad}$ 张；余 $2$：$2,5,8$ 共 $\underline{\quad}$ 张。
第 2 步（同余的一类）：每类取 $3$ 张，$C_3^3=1$，三类共 $3\times1=\underline{\quad}$ 组。
第 3 步（各取一张的一类）：$3\times3\times3=\underline{\quad}$ 组。
第 4 步（合计）：$3+27=\underline{\quad}$ 组。
第 5 步（每组排列）：$A_3^3=\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（相乘）：$30\times6=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：在所有由 $2,4,6,7,8$ 中的 $3$ 个不同数字组成的三位数中，有多少个是 $3$ 的倍数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按余数分类）：余 $0$ 的是 $6$，共 $\underline{\quad}$ 个；余 $1$ 的是 $4,7$，共 $\underline{\quad}$ 个；余 $2$ 的是 $2,8$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（判断搭配）：任何一类都不足 $3$ 个，所以“三数同余”不可能，只能余 $0,1,2$ 各取一个。
第 3 步（数选法）：由乘法原理 $1\times2\times2=\underline{\quad}$ 组。
第 4 步（每组排列）：$A_3^3=3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（相乘）：$4\times6=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：在所有由 $0,1,2,3,4,5$ 中的 $3$ 个不同数字组成的三位数中，有多少个是 $3$ 的倍数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按余数分类）：余 $0$：$0,3$ 共 $\underline{\quad}$ 个；余 $1$：$1,4$ 共 $\underline{\quad}$ 个；余 $2$：$2,5$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（判断搭配）：每类只有 $2$ 个，“三数同余”不可能，只能余 $0,1,2$ 各取一个，共 $2\times2\times2=\underline{\quad}$ 组。
第 3 步（把含 $0$ 的组挑出来）：含 $0$ 的组是“$0$ + 一个余 $1$ + 一个余 $2$”，有 $1\times2\times2=\underline{\quad}$ 组；不含 $0$ 的有 $8-4=\underline{\quad}$ 组。
第 4 步（不含 $0$ 的组可随便排）：每组 $A_3^3=\underline{\quad}$ 种，共 $4\times6=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（含 $0$ 的组首位不能是 $0$）：每组 $6-2=\underline{\quad}$ 种，共 $4\times4=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（相加）：$24+16=\underline{\quad}$ 个。

27. 【原题 ch22-xingqu-05】用 $0$ 到 $5$ 这 $6$ 个数字可以组成多少个能被 $5$ 整除且各位数字互不相同的五位数？

详细思路

是哪类问题：这是「数位排列 + 整除特征」题：被 $5$ 整除只看末位，末位是 $0$ 或 $5$，两种情形对首位的限制不同，必须分类。

关键切入点：末位是 $0$ 时，首位只要不是 $0$（$0$ 已用掉），$5$ 个数字都能当首位；末位是 $5$ 时，首位既不能是 $0$ 也不能是已用掉的 $5$，只剩 $4$ 种。抓住“末位定类、首位受限”这两条主线即可。

方法概述：按末位是 $0$ / $5$ 分两类，每类先定末位、再定首位、最后排中间三位。

规范步骤：

第一类：末位是 $0$：首位 $5$ 种，其余三位从剩下 $4$ 个数字中依次排：$5\times4\times3\times2=120$（乘法原理）
第二类：末位是 $5$：首位不能是 $0$ 和 $5$，有 $4$ 种；其余三位 $4\times3\times2$：$4\times4\times3\times2=96$（首位非零）
相加：$120+96=216$（加法原理）
写出答案：$216$ 个

第一套

题目：用 $0$ 到 $6$ 这 $7$ 个数字可以组成多少个能被 $5$ 整除且各位数字互不相同的六位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抓整除特征）：被 $5$ 整除，末位只能是 $0$ 或 $5$，分两类。
第 2 步（第一类：末位是 $0$）：首位从剩下的 $1\sim6$ 中选，有 $\underline{\quad}$ 种；中间四位从剩下 $5$ 个数字里依次排，共 $6\times5\times4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第二类：末位是 $5$）：首位不能是 $0$ 也不能是 $5$，有 $\underline{\quad}$ 种；中间四位从剩下 $5$ 个数字（含 $0$）里依次排，共 $5\times5\times4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相加）：$720+600=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：用写着 $0,1,2,3,4,5,6$ 的 $7$ 张号码牌，每张至多用一次，排出一个六位车牌号。要求车牌号能被 $5$ 整除，这样的车牌号一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抓整除特征）：被 $5$ 整除，末位牌只能是 $0$ 或 $5$，分两类讨论。
第 2 步（末位是 $0$）：首位有 $\underline{\quad}$ 种选法，整类共 $6\times5\times4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（末位是 $5$）：首位不能是 $0$ 或 $5$，有 $\underline{\quad}$ 种，整类共 $5\times5\times4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相加）：$720+600=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：用 $0$ 到 $5$ 这 $6$ 个数字可以组成多少个各位数字互不相同的五位偶数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抓整除特征）：偶数即被 $2$ 整除，末位只能是 $0,2,4$，比“被 $5$ 整除”多一类。
第 2 步（第一类：末位是 $0$）：首位有 $\underline{\quad}$ 种，整类共 $5\times4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第二类：末位是 $2$ 或 $4$）：末位有 $2$ 种选法；首位不能是 $0$ 也不能是已用的末位数字，有 $\underline{\quad}$ 种；中间三位 $4\times3\times2$。每种末位得 $4\times4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个，两种末位共 $2\times96=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相加）：$120+192=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：用 $0$ 到 $5$ 这 $6$ 个数字可以组成多少个能被 $5$ 整除、各位数字互不相同、且大于 $30000$ 的五位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把“大于 $30000$”翻译成首位限制）：五位数大于 $30000$，首位只能取 $\underline{\quad},4,5$ 这几个数字。
第 2 步（第一类：末位是 $0$）：首位可取 $3,4,5$，共 $\underline{\quad}$ 种；中间三位从剩下 $4$ 个数字里排，$4\times3\times2=\underline{\quad}$ 种；本类共 $3\times24=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第二类：末位是 $5$）：$5$ 已被用作末位，首位只能取 $3,4$，共 $\underline{\quad}$ 种；中间三位 $4\times3\times2=24$ 种；本类共 $2\times24=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相加）：$72+48=\underline{\quad}$ 个。

28. 【原题 ch22-xingqu-06】个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大、十位比百位大的三位数共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「严格递增数位计数」题：一旦要求各数位上的数字从左到右（或从右到左）严格递增，数字的顺序就被完全定死了。

关键切入点：关键在于“选出来就排好了”：个位比十位大的两位数，本质是从 $1\sim9$ 里挑两个不同数字，大的必放个位、小的必放十位，没有第二种摆法。所以计数从“排列”降为“组合”。三位数同理，从 $1\sim9$ 里挑三个即可（百位不能为 $0$，故不取 $0$）。

方法概述：把“递增排数”转化为“选数字”，用组合数 $C_9^2$、$C_9^3$。

规范步骤：

两位数：选数即定序：从 $1\sim9$ 中选 $2$ 个不同数字，大的放个位、小的放十位（选法与数一一对应）
算两位数个数：$C_9^2=\dfrac{9\times 8}{2\times 1}=36$（组合数）
三位数：百位<十位<个位：从 $1\sim9$ 中选 $3$ 个不同数字，从小到大依次放百、十、个位（百位不能为 $0$）
算三位数个数：$C_9^3=\dfrac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$（组合数）
写出答案：两位数 $36$ 个；三位数 $84$ 个

第一套

题目：各位数字从左往右依次增大的四位数共有多少个？各位数字从左往右依次增大的五位数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出“选数即定序”）：数字必须严格递增，所以只要选出数字，排法就唯一了；又因首位不能为 $0$，可选的数字是 $1\sim9$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（四位数）：从 $9$ 个数字中选 $4$ 个，$C_9^4=\dfrac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（五位数）：从 $9$ 个数字中选 $5$ 个，$C_9^5=\dfrac{9\times 8\times 7\times 6\times 5}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（复核对称性）：$C_9^4$ 与 $C_9^5$ 相等，因为“选 $4$ 个留 $5$ 个”与“选 $5$ 个留 $4$ 个”一一对应，$126-126=\underline{\quad}$。

第二套

题目：密码锁的密码由若干个数位组成，规定每一位都取 $1\sim 9$ 中的数字且从左往右严格递增。四位密码有多少个？五位密码有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出“选数即定序”）：密码严格递增，选出数字后排法唯一；可用数字 $1\sim9$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（四位密码）：$C_9^4=\dfrac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（五位密码）：$C_9^5=\dfrac{9\times 8\times 7\times 6\times 5}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（合计两种密码）：$126+126=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：个位比十位小的两位数共有多少个？个位比十位小、十位比百位小的三位数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚 $0$ 能不能用）：这次数字从左往右递减，首位是最大的那个，一定不是 $0$，所以 $0$ 可以进入候选，可选数字是 $0\sim9$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（两位数）：从 $10$ 个数字中选 $2$ 个，大的放十位，$C_{10}^2=\dfrac{10\times 9}{2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（三位数）：从 $10$ 个数字中选 $3$ 个，从大到小放百、十、个位，$C_{10}^3=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：各位数字从左往右依次增大的四位数中，是偶数的共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抓住关键位）：偶数要求个位是偶数，而递增数的个位恰好是四个数字中最大的那个，所以先按最大数字（即个位）分类，它只能是 $4,6,8$。
第 2 步（个位是 $4$）：其余三位要从比 $4$ 小的 $1,2,3$ 中选 $3$ 个，$C_3^3=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（个位是 $6$）：其余三位从 $1\sim5$ 中选 $3$ 个，$C_5^3=\dfrac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（个位是 $8$）：其余三位从 $1\sim7$ 中选 $3$ 个，$C_7^3=\dfrac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（个位是 $2$ 可以吗）：比 $2$ 小的只有 $1$，凑不齐 $3$ 个，故这一类是 $\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（加法原理）：$1+10+35=\underline{\quad}$ 个。

29. 【原题 ch22-xingqu-07】一个正整数，如果从左往右看和从右往左看都是一样的，那么把这个数称为“回文数”。例如：$1331,7,202,66$ 都是回文数，而 $220$ 则不是“回文数”。请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第 $1997$ 个“回文数”是什么？

详细思路

是哪类问题：这是「按位数分类计数 + 排序定位」题：回文数由前一半数字唯一决定，所以数个数就是数“前一半”的种数。

关键切入点：$\overline{abccba}$ 只要定下 $a,b,c$ 就定了整个数，其中 $a\neq 0$。于是各位数的回文数个数分别是 $9,9,90,90,900,900$。求第 $1997$ 个时注意：总数 $1998$，第 $1997$ 个就是倒数第二个；最大的六位回文数是 $999999$，把决定它的 $(a,b,c)=(9,9,9)$ 往下退一位得 $(9,9,8)$，即 $998899$。

方法概述：按位数分段计数（只数前一半），再用“总数－序号”从大端倒数定位。

规范步骤：

一位、两位：一位 $9$ 个；两位 $\overline{aa}$ 也是 $9$ 个（$a$ 取 $1\sim9$）
三位、四位：$\overline{aba}$、$\overline{abba}$ 都由 $a,b$ 决定：$9\times 10=90$ 个（乘法原理）
五位、六位：$\overline{abcba}$、$\overline{abccba}$ 都由 $a,b,c$ 决定：$9\times 10\times 10=900$ 个（乘法原理）
求总数：$(9+90+900)\times 2=1998$（加法原理）
定位第 $1997$ 个：$1998-1997=1$，即倒数第 $2$ 个（从大端倒数）
写出这个数：最大的是 $999999$，往下一个是 $998899$（$(a,b,c)$ 从 $(9,9,9)$ 退到 $(9,9,8)$）
写出答案：共 $1998$ 个；第 $1997$ 个是 $998899$

第一套

题目：从一位到八位的“回文数”一共有多少个？其中第 $19997$ 个“回文数”是什么？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出回文数由前一半决定）：一位 $9$ 个，两位 $\overline{aa}$ 有 $9$ 个；三位 $\overline{aba}$ 与四位 $\overline{abba}$ 都由 $a,b$ 决定，各 $9\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（五位、六位）：$\overline{abcba}$ 与 $\overline{abccba}$ 都由 $a,b,c$ 决定，各 $9\times 10\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（七位、八位）：$\overline{abcdcba}$ 与 $\overline{abcddcba}$ 都由 $a,b,c,d$ 决定，各 $9\times 10\times 10\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（求总数）：$(9+90+900+9000)\times 2=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（从大端定位）：$19998-19997=\underline{\quad}$，说明第 $19997$ 个是倒数第 $2$ 个。
第 6 步（写出这个数）：最大的八位回文数是 $99999999$，它由 $(a,b,c,d)=(9,9,9,9)$ 决定；退一位到 $(9,9,9,8)$，得回文数 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：某展馆给展品编号，凡是正着读和倒着读一样的编号叫“对称号”。若编号可以是一位到八位数，那么“对称号”一共有多少个？按从小到大排列，第 $19997$ 个“对称号”是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（对称号由前一半决定）：一位 $9$ 个，两位 $9$ 个；三位与四位各由 $a,b$ 决定，$9\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（五位、六位）：各由 $a,b,c$ 决定，$9\times 10\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（七位、八位）：各由 $a,b,c,d$ 决定，$9\times 10\times 10\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（总数）：$(9+90+900+9000)\times 2=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（倒数定位）：$19998-19997=\underline{\quad}$，即倒数第 $2$ 个。
第 6 步（写出这个编号）：最大的是 $99999999$，往下一个是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：从一位到五位的“回文数”一共有多少个？其中第 $1000$ 个“回文数”是什么？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分段计数）：一位 $9$ 个，两位 $9$ 个，三位 $9\times 10=\underline{\quad}$ 个，四位 $9\times 10=\underline{\quad}$ 个，五位 $9\times 10\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（求总数）：$9+9+90+90+900=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（确定第 $1000$ 个落在哪一段）：一至四位共 $9+9+90+90=\underline{\quad}$ 个，所以第 $1000$ 个是五位回文数中的第 $1000-198=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（在五位段内逐位定位）：五位回文数 $\overline{abcba}$ 按大小排，每个 $a$ 对应 $10\times10=100$ 个。$802\div100=8\cdots2$，说明前 $\underline{\quad}$ 个 $a$ 值（$a=1\sim8$）已用掉 $800$ 个，所求数的 $a=8+1=\underline{\quad}$，且是 $a=9$ 这段里的第 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（定 $b,c$）：$a=9$ 时按 $(b,c)$ 从 $(0,0)$ 开始数，第 $1$ 个是 $90009$，第 $2$ 个是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：从一位到六位的“回文数”中，是偶数的一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把偶数条件落到首位）：回文数的末位与首位相同，要求末位是偶数就等于要求首位是偶数；首位又不能是 $0$，所以首位只能取 $2,4,6,8$，共 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（一位、两位）：一位偶回文数就是 $2,4,6,8$，共 $\underline{\quad}$ 个；两位 $\overline{aa}$ 也是 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（三位、四位）：$\overline{aba}$、$\overline{abba}$ 中 $a$ 有 $4$ 种、$b$ 有 $10$ 种，各 $4\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（五位、六位）：$\overline{abcba}$、$\overline{abccba}$ 中 $a$ 有 $4$ 种、$b,c$ 各 $10$ 种，各 $4\times 10\times 10=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（加法原理）：$(4+40+400)\times 2=\underline{\quad}$ 个。

30. 【原题 ch22-xingqu-08】一个四位数 $\overline{ABCD}$，它与逆序数 $\overline{DCBA}$ 之和的末两位为 $56$，这样的四位数 $\overline{ABCD}$ 有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「数位加法进位分类」题：两数相加的末两位只由个位、十位的数字和以及一次进位决定，与更高位无关。

关键切入点：$\overline{ABCD}+\overline{DCBA}$ 的个位是 $A+D$、十位是 $B+C$（还要加上个位的进位）。因为逆序数 $\overline{DCBA}$ 也是四位数，所以 $A\neq 0$ 且 $D\neq 0$。末两位是 $56$，个位写 $6$：要么 $A+D=6$（不进位），要么 $A+D=16$（进 $1$）。十位写 $5$：要么本位和为 $5$，要么为 $15$（再进 $1$）。四种搭配逐一数。

方法概述：按“个位是否进位”“十位是否进位”分四类，每类分别数 $A+D$ 与 $B+C$ 的取值个数再相乘。

规范步骤：

定限制：$A\neq 0$，且逆序数是四位数故 $D\neq 0$；$B,C$ 可取 $0\sim9$（首位非零）
第一类 $A+D=6$，$B+C=5$：$A+D=6$ 有 $5$ 组；$B+C=5$ 有 $6$ 组：$5\times 6=30$（乘法原理）
第二类 $A+D=6$，$B+C=15$：$B+C=15$ 有 $4$ 组：$5\times 4=20$（十位进位）
第三类 $A+D=16$，$B+C=4$：$A+D=16$ 有 $3$ 组；$B+C=4$ 有 $5$ 组：$3\times 5=15$（个位进位后十位再加 $1$）
第四类 $A+D=16$，$B+C=14$：$B+C=14$ 有 $5$ 组：$3\times 5=15$（个位、十位都进位）
相加：$30+20+15+15=80$（加法原理）
写出答案：$80$ 个

第一套

题目：一个四位数 $\overline{ABCD}$，它与逆序数 $\overline{DCBA}$ 之和的末两位为 $74$，这样的四位数 $\overline{ABCD}$ 有多少个？（$\overline{DCBA}$ 也是四位数）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定限制）：$A\neq 0$ 且 $D\neq 0$；$B,C$ 可取 $0\sim 9$。和的个位由 $A+D$ 决定，十位由 $B+C$ 与个位的进位决定。
第 2 步（个位写 $4$ 的两种可能）：$A+D=\underline{\quad}$（不进位）或 $A+D=\underline{\quad}$（进 $1$）。
第 3 步（数 $A+D$ 的组数）：$A+D=4$ 且 $A,D\ge 1$，有 $(1,3),(2,2),(3,1)$ 共 $\underline{\quad}$ 组；$A+D=14$ 有 $(5,9),(6,8),(7,7),(8,6),(9,5)$ 共 $\underline{\quad}$ 组。
第 4 步（第一类：不进位，十位本位和为 $7$）：$B+C=7$ 有 $\underline{\quad}$ 组，本类共 $3\times 8=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（第二类：不进位，十位和为 $17$）：$B+C=17$ 有 $(8,9),(9,8)$ 共 $\underline{\quad}$ 组，本类共 $3\times 2=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（第三类：个位进 $1$，$B+C+1=7$）：$B+C=6$ 有 $\underline{\quad}$ 组，本类共 $5\times 7=\underline{\quad}$ 个。
第 7 步（第四类：个位进 $1$，$B+C+1=17$）：$B+C=16$ 有 $(7,9),(8,8),(9,7)$ 共 $\underline{\quad}$ 组，本类共 $5\times 3=\underline{\quad}$ 个。
第 8 步（加法原理）：$24+6+35+15=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：小明把一张四位数门牌号 $\overline{ABCD}$ 倒着贴，读成了 $\overline{DCBA}$（也是四位数）。他发现正读与倒读两个数之和的末两位恰好是 $74$。这样的门牌号 $\overline{ABCD}$ 有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定限制）：$A\neq 0$、$D\neq 0$，$B,C$ 可取 $0\sim 9$。
第 2 步（个位写 $4$）：$A+D=\underline{\quad}$ 或 $A+D=\underline{\quad}$。
第 3 步（数组数）：$A+D=4$ 有 $\underline{\quad}$ 组，$A+D=14$ 有 $\underline{\quad}$ 组。
第 4 步（不进位、$B+C=7$）：$B+C=7$ 有 $\underline{\quad}$ 组，本类 $3\times 8=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（不进位、$B+C=17$）：有 $\underline{\quad}$ 组，本类 $3\times 2=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（进位、$B+C=6$）：有 $\underline{\quad}$ 组，本类 $5\times 7=\underline{\quad}$ 个。
第 7 步（进位、$B+C=16$）：有 $\underline{\quad}$ 组，本类 $5\times 3=\underline{\quad}$ 个。
第 8 步（合计）：$24+6+35+15=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：一个四位数 $\overline{ABCD}$，它与逆序数 $\overline{DCBA}$ 之和的末两位为 $32$，这样的四位数 $\overline{ABCD}$ 有多少个？（$\overline{DCBA}$ 也是四位数）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（个位写 $2$ 的两种可能）：$A+D=\underline{\quad}$（不进位）或 $A+D=\underline{\quad}$（进 $1$）。
第 2 步（数 $A+D$ 的组数）：$A+D=2$ 且 $A,D\ge 1$ 只有 $(1,1)$，共 $\underline{\quad}$ 组；$A+D=12$ 有 $(3,9)$ 到 $(9,3)$ 共 $\underline{\quad}$ 组。
第 3 步（不进位、十位本位和为 $3$）：$B+C=3$ 有 $\underline{\quad}$ 组，本类 $1\times 4=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（不进位、十位和为 $13$）：$B+C=13$ 有 $\underline{\quad}$ 组，本类 $1\times 6=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（进位、$B+C+1=3$）：$B+C=2$ 有 $\underline{\quad}$ 组，本类 $7\times 3=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（进位、$B+C+1=13$）：$B+C=12$ 有 $\underline{\quad}$ 组，本类 $7\times 7=\underline{\quad}$ 个。
第 7 步（合计）：$4+6+21+49=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：一个四位数 $\overline{ABCD}$，它与逆序数 $\overline{DCBA}$ 之和的末两位为 $56$（$\overline{DCBA}$ 也是四位数）。若还要求 $\overline{ABCD}$ 是偶数，这样的四位数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把新条件落到数位上）：$\overline{ABCD}$ 是偶数就是要求 $D$ 是偶数；又 $D\neq 0$，所以 $D$ 只能取 $2,4,6,8$，共 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（$A+D=6$ 时筛 $D$）：$A+D=6$ 且 $A\ge 1$，$D$ 为偶数的只有 $D=2$（$A=4$）与 $D=4$（$A=2$），共 $\underline{\quad}$ 组（$D=6$ 会让 $A=0$，不合）。
第 3 步（$A+D=16$ 时筛 $D$）：需 $A=16-D\le 9$，即 $D\ge 7$，偶数只有 $D=8$（$A=8$），共 $\underline{\quad}$ 组。
第 4 步（十位仍按两类）：不进位时 $B+C=5$ 有 $\underline{\quad}$ 组，$B+C=15$ 有 $\underline{\quad}$ 组；进位时 $B+C=4$ 有 $\underline{\quad}$ 组，$B+C=14$ 有 $\underline{\quad}$ 组。
第 5 步（分别相乘）：$A+D=6$ 这支共 $2\times(6+4)=\underline{\quad}$ 个；$A+D=16$ 这支共 $1\times(5+5)=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（相加）：$20+10=\underline{\quad}$ 个。

31. 【原题 ch22-xingqu-09】把 $2005,2006,2007,2008,2009$ 这 $5$ 个数分别填入图 $22\text{-}1$ 的东、南、西、北、中 $5$ 个方格内，使横、竖 $3$ 个数的和相等，一共有多少种不同的填法？

详细思路

是哪类问题：这是「十字数阵图」题：横竖两条线共用中间那格，把公共项消掉，条件立刻变简单。

关键切入点：横行三数之和 $=$ 竖列三数之和，两边都含“中”，消去后得“西 $+$ 东 $=$ 北 $+$ 南”。在 $5$ 个连续整数中，剩下四个数要能分成两组等和的对子，只有三种：$2005+2009=2006+2008$（中间放 $2007$）、$2005+2008=2006+2007$（中间放 $2009$）、$2006+2009=2007+2008$（中间放 $2005$）。每种等式里，左组内部可交换、右组内部可交换、左右两组也可整体互换。

方法概述：先消去中心格得配对等式，枚举等式后乘以 $2\times2\times2$ 种摆放方式。

规范步骤：

列条件并消去中心：西 $+$ 中 $+$ 东 $=$ 北 $+$ 中 $+$ 南 $\Rightarrow$ 西 $+$ 东 $=$ 北 $+$ 南（等式两边同减“中”）
枚举等和配对：$2005+2009=2006+2008$；$2005+2008=2006+2007$；$2006+2009=2007+2008$（$5$ 个连续数的等和拆分）
数等式个数：共 $3$ 种（分别对应中间放 $2007,2009,2005$）（穷举）
数每种等式的摆法：$2\times 2\times 2=8$ 种（左组内换、右组内换、左右互换）
相乘：$3\times 8=24$（乘法原理）
写出答案：$24$ 种

第一套

题目：把 $3011,3012,3013,3014,3015$ 这 $5$ 个数分别填入十字形的东、南、西、北、中 $5$ 个方格内，使横、竖 $3$ 个数的和相等，一共有多少种不同的填法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（消去公共格）：横行是“西 $+$ 中 $+$ 东”，竖列是“北 $+$ 中 $+$ 南”，两边都有“中”，同时减掉后条件变成西 $+$ 东 $=$ 北 $+$ 南。
第 2 步（枚举等和配对）：在 $5$ 个连续数中，去掉中间那个后剩下四个要能两两配成等和。$3011+3015=3012+\underline{\quad}$（此时中间放 $3013$）；$3011+3014=3012+\underline{\quad}$（中间放 $3015$）；$3012+3015=3013+\underline{\quad}$（中间放 $3011$）。
第 3 步（数等式个数）：这样的等式共 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（数每个等式的摆法）：左边一组两数可互换（$2$ 种），右边一组两数可互换（$2$ 种），左右两组还可整体对调（$2$ 种），共 $2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（乘法原理）：$3\times 8=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：运动会颁奖台摆成十字形，共有东、南、西、北、中 $5$ 个位置。把标着 $3011,3012,3013,3014,3015$ 的 $5$ 块牌子分别摆上去，要使横排 $3$ 块牌子的号码之和与竖排 $3$ 块牌子的号码之和相等，一共有多少种摆法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（消去公共位置）：横排与竖排都含“中”，同时减去后条件化为西 $+$ 东 $=$ 北 $+$ 南。
第 2 步（枚举等和配对）：$3011+3015=3012+\underline{\quad}$；$3011+3014=3012+\underline{\quad}$；$3012+3015=3013+\underline{\quad}$。
第 3 步（数等式个数）：共 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（每个等式的摆法）：$2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（相乘）：$3\times 8=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：把 $10,12,14,16,18$ 这 $5$ 个数分别填入十字形的东、南、西、北、中 $5$ 个方格内，使横、竖 $3$ 个数的和相等，一共有多少种不同的填法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（消去中心）：条件化为西 $+$ 东 $=$ 北 $+$ 南。
第 2 步（等和配对）：这 $5$ 个数是公差为 $2$ 的等差数列，等和配对的规律与连续整数完全相同：$10+18=12+\underline{\quad}$（中间放 $14$）；$10+16=12+\underline{\quad}$（中间放 $18$）；$12+18=14+\underline{\quad}$（中间放 $10$）。
第 3 步（数等式个数）：共 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（每个等式的摆法）：$2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（相乘）：$3\times 8=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：把 $2005,2006,2007,2008,2009$ 这 $5$ 个数分别填入十字形的东、南、西、北、中 $5$ 个方格内，使横、竖 $3$ 个数的和相等，且中间格填的数最小。这样的填法一共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（消去中心）：条件化为西 $+$ 东 $=$ 北 $+$ 南。
第 2 步（看清中间格能填哪些数）：三种等和配对分别对应中间放 $2007$、$2009$、$2005$，所以中间格只能是这 $\underline{\quad}$ 个数之一，$2006$ 与 $2008$ 都不行。
第 3 步（挑出最小的中心数）：这三个候选中最小的是 $\underline{\quad}$，对应的等式是 $2006+2009=2007+\underline{\quad}$。
第 4 步（数这一个等式的摆法）：左组内换 $2$ 种、右组内换 $2$ 种、左右互换 $2$ 种，共 $2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（因为只剩一个等式，直接得答案）：$1\times 8=\underline{\quad}$ 种。

32. 【原题 ch22-xingqu-10】从 $1$ 至 $7$ 中选出 $6$ 个数字填入图 $22\text{-}2$ 的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大、右边的数字比左边大。请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？

详细思路

是哪类问题：这是「阶梯形方格的偏序填数」题：格子之间“下大于上、右大于左”连成一条固定的大小链，填法数只由“选哪 $6$ 个数”和“链上唯一可交换的两格”决定。

关键切入点：把三行记作 $a$；$b\ c$；$d\ e\ f$，大小约束给出 $a<b<d$、$b<c<e$、$d<e<f$。于是最小、次小、次大、最大四个数的位置被唯一钉死，只有两个互不比较的中间格可以交换。第一步从 $1\sim7$ 选 $6$ 个数（$C_7^6=7$），第二步每组给出 $2$ 种排法，相乘得 $14$。

方法概述：先定“取哪 $6$ 个数”，再由偏序钉死大部分位置、只余一处交换数出 $2$ 种，最后相乘。

规范步骤：

标注格子与大小链：三行记为 $a$；$b\ c$；$d\ e\ f$。约束合起来是 $a<b<d$、$b<c<e$、$d<e<f$（把“下大右大”翻译成偏序）
选数：从 $1\sim 7$ 中选 $6$ 个（等价于去掉一个）：$C_7^6=7$ 种（组合数）
钉死四个位置：对选定的 $6$ 个数：最小的必在 $a$、次小的必在 $b$、次大的必在 $e$、最大的必在 $f$（由大小链唯一确定）
余下两格可交换：剩下两个中间数填 $c$、$d$，二者互不比较，两种顺序都满足约束 → 每组 $2$ 种（偏序中的自由度）
乘法原理：$7\times 2=14$（乘法原理）
写出答案：$14$ 种

竞赛数学 · 五年级第22讲《计数综合二》举一反三练习卷

附录 · 答案

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