竞赛数学 · 五年级 第23讲《构造论证一》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch23-chaoyue-01】桌上放有5枚硬币。第一次翻动其中1枚，第二次翻动其中2枚，第三次翻动其中3枚，第四次翻动其中4枚，第五次翻动其中5枚。能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？如果桌上放有6枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？
详细思路
是哪类问题：这是「构造法 + 奇偶性分析（不变量）」类题：能翻成功就给方案，不能就用「总翻动枚次的奇偶」说明。
关键切入点：关键有两条：（1）$5$ 枚时注意到 $1+4=5$、$2+3=5$，第一次翻 $1$ 枚与第四次翻 $4$ 枚合起来恰好把 $5$ 枚各翻一遍，第二次与第三次又各翻一遍，两遍等于没翻；再用第五次翻全部 $5$ 枚，每枚共被翻 $2+2+1=5$ 次（奇数），全部翻过来。（2）$6$ 枚时，总翻动枚次是 $1+2+\cdots+6=21$，是奇数；而若每枚都翻过来，每枚都要被翻奇数次，$6$ 个奇数之和是偶数，与 $21$ 是奇数矛盾。
方法概述：（1）用配对 1+4=2+3=5 让前四次相互抵消，再用第五次翻全部；（2）用总翻动枚次的奇偶性说明不可能。
规范步骤：
  1. 5 枚·找配对：$1+4=5,\ 2+3=5$（两次合起来恰好把 5 枚各翻一遍）
  2. 抵消：前四次让每枚各被翻 $2$ 次，等于没翻（翻偶数次复原）
  3. 收尾：第五次翻全部 $5$ 枚，每枚共翻 $2+2+1=5$ 次，是奇数（构造完成）
  4. 6 枚·算总枚次：$1+2+3+4+5+6=21$（求和）
  5. 看每枚的要求：每枚都要翻奇数次，$6$ 个奇数之和是偶数（奇偶分析）
  6. 指出矛盾：$21$ 是奇数，不可能等于偶数（奇偶矛盾）
  7. 写出结论：5 枚能，6 枚不能
第一套
题目：桌上放有 $9$ 枚硬币，第 $1$ 次翻动其中 $1$ 枚，第 $2$ 次翻 $2$ 枚，……，第 $9$ 次翻 $9$ 枚。（1）能否使最后所有硬币都翻过来？（2）如果桌上放 $10$ 枚硬币、按同样方式翻 $10$ 次呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·找配对）：$1+8=\underline{\quad}$，$2+7=\underline{\quad}$，$3+6=\underline{\quad}$，$4+5=\underline{\quad}$，每一对的两次合起来恰好把 $9$ 枚各翻一遍。
  2. 第 2 步（数抵消次数）：前 $8$ 次共 $4$ 对，每枚硬币被翻 \underline{\quad} 次，是偶数，等于没翻。
  3. 第 3 步（收尾）：第 $9$ 次翻全部 $9$ 枚，每枚共被翻 $4+1=\underline{\quad}$ 次，是奇数，全部翻过来，所以**能**。
  4. 第 4 步（第 2 问·算总枚次）：$1+2+\cdots+10=(1+10)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（奇偶分析）：若 $10$ 枚都翻过来，每枚都要被翻奇数次，$10$ 个奇数之和是偶数；而 $55$ 是奇数（$55-54=\underline{\quad}$），矛盾，所以**不能**。
第二套
题目：桌上有 $9$ 张卡片全部正面朝上，第 $1$ 次翻动其中 $1$ 张，第 $2$ 次翻 $2$ 张，……，第 $9$ 次翻 $9$ 张。（1）能否使所有卡片都变成反面朝上？（2）若有 $10$ 张卡片、翻 $10$ 次呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：配对 $1+8=\underline{\quad}$，$2+7=\underline{\quad}$，$3+6=\underline{\quad}$，$4+5=\underline{\quad}$，每对合起来把 $9$ 张各翻一遍。
  2. 第 2 步：前 $8$ 次让每张被翻 \underline{\quad} 次（偶数），等于没翻。
  3. 第 3 步：第 $9$ 次翻全部，每张共翻 $4+1=\underline{\quad}$ 次（奇数），全部翻过来，所以**能**。
  4. 第 4 步：$10$ 张时总翻动张次 $(1+10)\times 10\div 2=\underline{\quad}$，是奇数（$55-54=\underline{\quad}$），而 $10$ 个奇数之和为偶数，矛盾，**不能**。
第三套
题目：（1）桌上放 $7$ 枚硬币，第 $k$ 次翻动 $k$ 枚（$k=1,2,\cdots,7$），能否使所有硬币都翻过来？（2）若放 $13$ 枚硬币、翻 $13$ 次呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·算总枚次）：$1+2+\cdots+7=(1+7)\times 7\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（奇偶分析）：若 $7$ 枚都翻过来，每枚要翻奇数次，$7$ 个奇数之和是奇数；而总枚次 $28$ 是偶数（$28\div 2=\underline{\quad}$），矛盾，**不能**。
  3. 第 3 步（第 2 问·算总枚次）：$1+2+\cdots+13=(1+13)\times 13\div 2=\underline{\quad}$，是奇数，与 $13$ 个奇数之和为奇数一致，没有矛盾。
  4. 第 4 步（构造）：配对 $1+12=\underline{\quad}$，$2+11=13$，……，$6+7=13$，共 $6$ 对，每对把 $13$ 枚各翻一遍，前 $12$ 次让每枚被翻 \underline{\quad} 次（偶数）。
  5. 第 5 步（收尾）：第 $13$ 次翻全部，每枚共被翻 $6+1=\underline{\quad}$ 次（奇数），全部翻过来，所以**能**。
第三套
题目：桌上放有 $5$ 枚硬币，五次翻动的枚数依次改为 $1,2,3,4,4$ 枚（即最后一次只翻 $4$ 枚）。能否使最后所有硬币都翻过来？请说明理由。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总翻动枚次）：$1+2+3+4+4=\underline{\quad}$（枚次）。
  2. 第 2 步（看每枚的要求）：要让每枚硬币都翻过来，每枚都必须被翻奇数次。
  3. 第 3 步（$5$ 个奇数之和）：$5$ 个奇数相加是奇数（奇数个奇数之和为奇数），最小的情形是 $1\times 5=\underline{\quad}$，无论多大都保持奇数。
  4. 第 4 步（判奇偶）：总枚次 $14$ 是偶数（$14\div 2=\underline{\quad}$），与「必为奇数」矛盾。
  5. 第 5 步（对照原题）：原来五次是 $1,2,3,4,5$，总枚次 $1+2+3+4+5=\underline{\quad}$，是奇数，才可行；现在改成 $4$ 就破坏了这个奇偶条件。
  6. 第 6 步（结论）：所以**不能**。
2. 【原题 ch23-chaoyue-02】甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息。他们之间通过电话传递消息：当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话4次，就可以使每个人都知道其他所有人的信息。
详细思路
是哪类问题：这是「构造法（设计方案）」类题：要设计一个通话顺序，使信息在规定次数内传遍所有人。
关键切入点：关键在于两段式：先「汇集」再「扩散」。前两次让甲乙、丙丁各自成对交换，此时甲乙都知道 $2$ 条信息、丙丁也都知道 $2$ 条；接下来跨组通话，甲与丙一通电话就各自凑齐 $2+2=4$ 条，乙与丁再通一次也凑齐 $4$ 条。总共 $2+2=4$ 次。
方法概述：先两两配对汇集，再跨组交叉，把信息传遍全部 4 人。
规范步骤：
  1. 第一次：甲—乙通话，两人各知 $2$ 条（配对汇集）
  2. 第二次：丙—丁通话，两人各知 $2$ 条（配对汇集）
  3. 第三次：甲—丙通话，两人各知 $2+2=4$ 条（跨组交叉）
  4. 第四次：乙—丁通话，两人也各知 $4$ 条（跨组交叉）
  5. 计次：共 $2+2=4$ 次（合计）
  6. 写出方案：甲乙 / 丙丁 / 甲丙 / 乙丁
第一套
题目：$6$ 个人每人各有一条消息，两人通话时会把各自知道的全部信息互相告知。请设计一种方案，使得只需打 $8$ 次电话就能让每个人都知道全部消息。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分成核心与外围）：选 $4$ 人（记为 $A,B,C,D$）作核心，另外 $6-4=\underline{\quad}$ 人（记为 $E,F$）作外围。
  2. 第 2 步（外围先上交）：$E$ 打给 $A$、$F$ 打给 $B$，用 \underline{\quad} 次电话，把外围的消息交到核心手里。
  3. 第 3 步（核心内部传遍）：核心 $4$ 人用原题的四次方案 $A\!-\!B$、$C\!-\!D$、$A\!-\!C$、$B\!-\!D$，用 \underline{\quad} 次，此时核心 $4$ 人都知道全部 $6$ 条消息。
  4. 第 4 步（再发回外围）：$A$ 打给 $E$、$B$ 打给 $F$，又用 \underline{\quad} 次。
  5. 第 5 步（合计）：$2+4+2=\underline{\quad}$（次），正好 $8$ 次。
第二套
题目：某公司有 $6$ 个分部，每个分部各掌握一条独家情报。两个分部视频连线一次，就会把各自已知的全部情报互相通报。请设计一种方案，使得只需连线 $8$ 次，所有分部都掌握全部情报。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：选 $4$ 个分部作核心，其余 $6-4=\underline{\quad}$ 个作外围。
  2. 第 2 步：两个外围分部各向一个核心分部连线一次，共 \underline{\quad} 次，情报全部汇入核心。
  3. 第 3 步：核心 $4$ 个分部按「$A\!-\!B$、$C\!-\!D$、$A\!-\!C$、$B\!-\!D$」连线 \underline{\quad} 次，核心全部掌握 $6$ 条情报。
  4. 第 4 步：核心再各向一个外围分部连线，共 \underline{\quad} 次。
  5. 第 5 步：合计 $2+4+2=\underline{\quad}$（次）。
第三套
题目：$8$ 个人每人各有一条消息，两人通话互相告知全部已知信息。请设计一种方案，使得只需打 $12$ 次电话，每个人都知道全部消息。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分组）：取 $4$ 人作核心，另 $8-4=\underline{\quad}$ 人作外围。
  2. 第 2 步（上交）：$4$ 个外围各打给一个核心，用 \underline{\quad} 次。
  3. 第 3 步（核心传遍）：核心内部用 \underline{\quad} 次（$A\!-\!B$、$C\!-\!D$、$A\!-\!C$、$B\!-\!D$），此时核心 $4$ 人都知道全部 $8$ 条。
  4. 第 4 步（发回）：$4$ 个核心各打回一个外围，又用 \underline{\quad} 次。
  5. 第 5 步（合计）：$4+4+4=\underline{\quad}$（次）。
第三套
题目：$n$ 个人每人各有一条消息，两人通话互相告知全部已知信息。（1）$10$ 个人最少需要打几次电话才能让每人都知道全部消息？请给出方案。（2）请写出对 $n\geqslant 4$ 时所需次数的一般公式。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沿用三段法）：取 $4$ 人作核心，外围 $10-4=\underline{\quad}$ 人。
  2. 第 2 步（上交）：$6$ 个外围各打给一个核心（可以重复打给同一个核心），用 \underline{\quad} 次。
  3. 第 3 步（核心传遍）：核心 $4$ 人内部用 \underline{\quad} 次。
  4. 第 4 步（发回）：核心再打回 $6$ 个外围，用 \underline{\quad} 次。
  5. 第 5 步（合计）：$6+4+6=\underline{\quad}$（次）。
  6. 第 6 步（找规律写公式）：外围 $n-4$ 人要上交与发回各一次，共 $2(n-4)$ 次，加上核心的 $4$ 次，总次数为 $2(n-4)+4=2n-4$；用 $n=10$ 检验：$2\times 10-4=\underline{\quad}$，与第 5 步一致。
  7. 第 7 步（再用 n=4、n=6 检验）：$2\times 4-4=\underline{\quad}$，$2\times 6-4=\underline{\quad}$，都与前面的结果相符。
3. 【原题 ch23-chaoyue-03】天平称物体的原理是：在天平的左右两个托盘中放入物体和砝码，当天平平衡时，可以根据砝码的重量来知道物体的重量。（1）在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，砝码只能放在天平右边的托盘中，至少需要准备多少个砝码，才能保证一次称出1至20克之间的任意整数克的物品？（2）在某一类天平中，砝码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，那么至少需要准备多少个砝码，才能保证一次称出1至32克之间的任意整数克的物品？
详细思路
是哪类问题：这是「进制思想 + 计数估计 + 构造」类题：每个砝码的「状态数」决定了 $n$ 个砝码最多能表示多少种重量。
关键切入点：关键在数状态：（1）砝码只能放右盘，每个砝码只有「放 / 不放」$2$ 种状态，$n$ 个砝码共 $2^n$ 种组合，去掉全不放的那种，能称出的重量最多 $2^n-1$ 种；要覆盖 $1\sim 20$ 需 $2^n-1\geqslant 20$，$2^4-1=15<20$、$2^5-1=31\geqslant 20$，故 $5$ 个，取 $1,2,4,8,16$。（2）砝码可放两边，每个砝码有「放右 / 放左 / 不放」$3$ 种状态，共 $3^n$ 种，其中一半是与之对称的负重量、还有一种是 $0$，有效重量 $\frac{3^n-1}{2}$ 种；要覆盖 $1\sim 32$ 需 $\frac{3^n-1}{2}\geqslant 32$，$\frac{3^3-1}{2}=13<32$、$\frac{3^4-1}{2}=40\geqslant 32$，故 $4$ 个，取 $1,3,9,27$。
方法概述：用每个砝码的状态数（2 种或 3 种）估出能称重量的种数上限，再取 2 的幂或 3 的幂作砝码构造。
规范步骤：
  1. 单边·数状态：每个砝码放或不放，$n$ 个共 $2^n$ 种，去掉全不放，有效 $2^n-1$ 种（二进制思想）
  2. 单边·试 n：$2^4-1=15<20$，$2^5-1=31\geqslant 20$（计数估计）
  3. 单边·构造：取 $1,2,4,8,16$，其和为 $31\geqslant 20$，可表示 $1\sim 31$ 的每个整数（二进制表示）
  4. 双边·数状态：每个砝码放右、放左、不放共 $3$ 种，$n$ 个共 $3^n$ 种，有效重量 $\frac{3^n-1}{2}$ 种（平衡三进制）
  5. 双边·试 n：$\frac{3^3-1}{2}=13<32$，$\frac{3^4-1}{2}=40\geqslant 32$（计数估计）
  6. 双边·构造：取 $1,3,9,27$，其和为 $40\geqslant 32$（三进制表示）
  7. 写出答案：（1）$5$ 个；（2）$4$ 个
第一套
题目：（1）物品只能放左盘、砝码只能放右盘时，至少要准备多少个砝码，才能一次称出 $1$ 至 $60$ 克之间任意整数克的物品？（2）若砝码与物品都可以放在两边，至少要准备多少个砝码，才能一次称出 $1$ 至 $100$ 克之间任意整数克的物品？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（单边·数状态）：每个砝码只有「放」「不放」\underline{\quad} 种状态，$n$ 个砝码共 $2^n$ 种组合，去掉全不放的一种，有效重量最多 $2^n-1$ 种。
  2. 第 2 步（试 n）：$2^5-1=\underline{\quad}$，比 $60$ 小，不够；$2^6-1=\underline{\quad}$，$63\geqslant 60$，够了，所以要 \underline{\quad} 个。
  3. 第 3 步（构造）：取 $1,2,4,8,16,32$，其和 $1+2+4+8+16+32=\underline{\quad}$，可表示 $1\sim 63$ 的每个整数。
  4. 第 4 步（双边·数状态）：每个砝码有「放右」「放左」「不放」\underline{\quad} 种状态，$n$ 个砝码有效重量最多 $\frac{3^n-1}{2}$ 种。
  5. 第 5 步（试 n）：$\frac{3^4-1}{2}=\underline{\quad}$，比 $100$ 小；$\frac{3^5-1}{2}=\underline{\quad}$，$121\geqslant 100$，所以要 \underline{\quad} 个。
  6. 第 6 步（构造）：取 $1,3,9,27,81$，其和 $1+3+9+27+81=\underline{\quad}$。
第二套
题目：药房配药要称量 $1$ 至 $60$ 克的任意整数克药品。（1）若药品只能放左盘、砝码只能放右盘，至少要准备几个砝码？（2）若砝码与药品都可放两边，要称 $1$ 至 $100$ 克，至少要准备几个砝码？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：单边时每个砝码有 \underline{\quad} 种状态，$n$ 个砝码能称的重量最多 $2^n-1$ 种。
  2. 第 2 步：$2^5-1=\underline{\quad}$ 不够 $60$，$2^6-1=\underline{\quad}$ 够，所以 \underline{\quad} 个。
  3. 第 3 步：取 $1,2,4,8,16,32$，和为 $1+2+4+8+16+32=\underline{\quad}$（克）。
  4. 第 4 步：双边时每个砝码有 \underline{\quad} 种状态，能称的重量最多 $\frac{3^n-1}{2}$ 种。
  5. 第 5 步：$\frac{3^4-1}{2}=\underline{\quad}$ 不够 $100$，$\frac{3^5-1}{2}=\underline{\quad}$ 够，所以 \underline{\quad} 个，取 $1,3,9,27,81$，和为 $1+3+9+27+81=\underline{\quad}$（克）。
第三套
题目：（1）砝码只能放右盘时，至少要几个砝码才能一次称出 $1$ 至 $100$ 克的任意整数克？（2）砝码可放两边时，至少要几个砝码才能一次称出 $1$ 至 $40$ 克的任意整数克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（单边）：$2^6-1=\underline{\quad}$，比 $100$ 小，不够；$2^7-1=\underline{\quad}$，$127\geqslant 100$，所以要 \underline{\quad} 个。
  2. 第 2 步（构造）：取 $1,2,4,8,16,32,64$，和为 $1+2+4+8+16+32+64=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（双边）：$\frac{3^3-1}{2}=\underline{\quad}$，不够 $40$；$\frac{3^4-1}{2}=\underline{\quad}$，恰好等于 $40$，所以要 \underline{\quad} 个。
  4. 第 4 步（构造）：取 $1,3,9,27$，和为 $1+3+9+27=\underline{\quad}$，恰好 $40$，一个不多一个不少。
第三套
题目：砝码与物品都可以放在天平两端。（1）准备 $5$ 个砝码，最多能保证一次称出 $1$ 至多少克的任意整数克？（2）请写出这 $5$ 个砝码，并说明 $5$ 克与 $37$ 克分别怎样称出。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·数状态）：每个砝码有放右、放左、不放共 \underline{\quad} 种状态，$5$ 个砝码共 $3^5=\underline{\quad}$ 种组合。
  2. 第 2 步（去掉对称与零）：其中 $1$ 种是全不放（重量 $0$），其余对半分成正、负两批，有效重量有 $\frac{3^5-1}{2}=\underline{\quad}$ 种，所以最多能称 $1$ 至 \underline{\quad} 克。
  3. 第 3 步（第 2 问·给出砝码）：取 $1,3,9,27,81$，它们的和为 $1+3+9+27+81=\underline{\quad}$，与上界一致。
  4. 第 4 步（称 5 克）：把 $9$ 克砝码与物品分放两边，另一边再添 $1$ 克、$3$ 克，即 $9-3-1=\underline{\quad}$（克）。
  5. 第 5 步（称 37 克）：$27+9+1=\underline{\quad}$（克），三个砝码同放一边即可。
4. 【原题 ch23-chaoyue-04】如图23-9所示，18个孩子站在24个方格中，每格最多站1人。要使得每行每列站的孩子数都是偶数，请在图中标出这些孩子的站法（只需给出一种站法即可）。
详细思路
是哪类问题：这是「构造法 + 奇偶性分析」类题：直接安排 $18$ 个人不好下手，改看「空格」就一下子简单了。
关键切入点：关键在于补集转换：每行共 $6$ 格，站的人数与空格数相加是 $6$（偶数），所以「站的人数是偶数」等价于「空格数是偶数」；每列共 $4$ 格，也是偶数，同理。总空格只有 $24-18=6$ 个，比 $18$ 个人少得多，安排 $6$ 个空格使每行每列都占偶数个即可，例如让它们集中在 $3$ 行 $3$ 列中、每行每列各 $2$ 个。
方法概述：把「每行每列人数为偶」转成「每行每列空格数为偶」，只需安排 6 个空格。
规范步骤：
  1. 算空格数：$24-18=6$（个）（补集）
  2. 补集转换·行：每行 $6$ 格，人数 $+$ 空格数 $=6$ 是偶数，故人数为偶 $\Leftrightarrow$ 空格数为偶（同奇偶）
  3. 补集转换·列：每列 $4$ 格，人数 $+$ 空格数 $=4$ 是偶数，同理（同奇偶）
  4. 安排空格：把 $6$ 个空格放在第 $1,2,3$ 行与第 $1,2,3$ 列内，使每行每列恰好 $2$ 个（构造）
  5. 验算：每行空格数为 $2,2,2,0$，每列为 $2,2,2,0,0,0$，全是偶数（复核）
第一套
题目：$24$ 个孩子站在 $5$ 行 $6$ 列共 $30$ 个方格中，每格最多站 $1$ 人。要使每行每列站的孩子数都是偶数，请给出一种站法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先数空格）：$5\times 6=\underline{\quad}$ 个格子，站 $24$ 人，空格有 $30-24=\underline{\quad}$ 个，比人少得多，从空格入手更省事。
  2. 第 2 步（补集转换·行）：每行 $6$ 格，人数 $+$ 空格数 $=\underline{\quad}$，是偶数，所以「每行人数为偶」等价于「每行空格数为**偶**数」。
  3. 第 3 步（补集转换·列）：每列只有 $5$ 格，人数 $+$ 空格数 $=\underline{\quad}$，是奇数，所以「每列人数为偶」等价于「每列空格数为**奇**数」——这一点与行不同，是本题的关键。
  4. 第 4 步（安排空格）：$6$ 个空格要摊到 $6$ 列、每列奇数个，最省的办法是每列恰好 $1$ 个；再让它们挤在前 $3$ 行、每行 $2$ 个（偶数），取 $(1,1),(1,2),(2,3),(2,4),(3,5),(3,6)$。
  5. 第 5 步（验算行）：第 $1,2,3$ 行各空 $2$ 格，人数 $6-2=\underline{\quad}$；第 $4,5$ 行不空，人数 \underline{\quad}，都是偶数。
  6. 第 6 步（验算列）：每列恰空 $1$ 格，人数 $5-1=\underline{\quad}$，也是偶数；总人数 $4\times 6=\underline{\quad}$，与题目相符。
第二套
题目：停车场有 $4$ 行 $6$ 列共 $24$ 个车位，现在停了 $18$ 辆车，每个车位最多停 $1$ 辆。要使每行每列停的车数都是偶数，请给出一种停法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数空位）：$24-18=\underline{\quad}$（个空位）。
  2. 第 2 步（补集转换·行）：每行 $6$ 个车位，车数 $+$ 空位数 $=\underline{\quad}$，是偶数，所以「每行车数为偶」等价于「每行空位数为偶」。
  3. 第 3 步（补集转换·列）：每列 $4$ 个车位，车数 $+$ 空位数 $=\underline{\quad}$，也是偶数，同理。
  4. 第 4 步（安排空位）：把 $6$ 个空位放在第 $1$ 行第 $1,2$ 列、第 $2$ 行第 $1,3$ 列、第 $3$ 行第 $2,3$ 列，则第 $1,2,3$ 行各空 $2$ 个、第 $1,2,3$ 列各空 $2$ 个。
  5. 第 5 步（验算）：每行车数为 $6-2=\underline{\quad}$ 或 $6-0=\underline{\quad}$，每列车数为 $4-2=\underline{\quad}$ 或 $4-0=\underline{\quad}$，全是偶数。
第三套
题目：$20$ 个孩子站在 $4$ 行 $6$ 列共 $24$ 个方格中，每格最多站 $1$ 人。要使每行每列站的孩子数都是偶数，请给出一种站法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数空格）：$24-20=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（补集转换）：每行 $6$ 格、每列 $4$ 格都是偶数，所以「人数为偶」等价于「空格数为偶」。
  3. 第 3 步（安排空格）：$4$ 个空格摆成一个「长方形」的四个角，取第 $1,2$ 行与第 $1,2$ 列的交叉处，即 $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$。
  4. 第 4 步（验算行）：第 $1,2$ 行各空 $2$ 格，人数 $6-2=\underline{\quad}$；第 $3,4$ 行不空，人数 \underline{\quad}，都是偶数。
  5. 第 5 步（验算列）：第 $1,2$ 列各空 $2$ 格，人数 $4-2=\underline{\quad}$；其余列人数 \underline{\quad}，都是偶数。
第三套
题目：在 $4$ 行 $6$ 列共 $24$ 个方格中站人，每格最多站 $1$ 人，要使每行每列站的人数都是**奇数**。（1）总人数的奇偶性必须是什么？（2）请给出一种恰好站 $12$ 人的站法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·按行数）：$4$ 行的人数都是奇数，总人数是 $4$ 个奇数之和，$4$ 是偶数，所以总人数一定是**偶数**（最小的情形是 $1\times 4=\underline{\quad}$）。
  2. 第 2 步（按列复核）：$6$ 列的人数也都是奇数，总人数是 $6$ 个奇数之和，$6$ 也是偶数，结论一致。
  3. 第 3 步（第 2 问·定分布）：$12$ 人分到 $4$ 行，行人数都是奇数且和为 $12$，可取 $5,3,3,1$，因为 $5+3+3+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（定列分布）：$12$ 人分到 $6$ 列，列人数都是奇数且和为 $12$，可取 $3,3,3,1,1,1$，因为 $3+3+3+1+1+1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（拼出站法）：第 $1$ 行站第 $1\sim 5$ 列，第 $2$ 行站第 $1,2,3$ 列，第 $3$ 行站第 $1,2,3$ 列，第 $4$ 行站第 $6$ 列。
  6. 第 6 步（验算列）：第 $1$ 列 $3$ 人、第 $2$ 列 $3$ 人、第 $3$ 列 $3$ 人、第 $4$ 列 $1$ 人、第 $5$ 列 $1$ 人、第 $6$ 列 $1$ 人，合计 $3\times 3+1\times 3=\underline{\quad}$ 人，全是奇数。
5. 【原题 ch23-chaoyue-05】如图23-10所示，有3个 $3\times 3$ 的方格表，每个都已经填入了9个整数。如果将表中同一行或同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作，问：（1）下列三个方格表中，是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？若有请指出是哪个或哪些表格，若没有则说明理由。（2）是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪些表格，若没有则说明理由。
详细思路
是哪类问题：这是「不变量 + 构造论证」类题：判断一堆操作能否达到目标，标准办法是找一个操作下不变的量。
关键切入点：关键在于发现「田字格不变量」：在表中任取一个 $2\times 2$ 的田字格，四数为 $a,b,c,d$（左上、右上、左下、右下），量 $(a+d)-(b+c)$ 在任何一次操作下都不变——因为给某一行（或某一列）的 $3$ 个数同加一个整数时，这个田字格里要么两个数都被加、要么一个都没被加，加在 $a,b$ 上或 $a,c$ 上时会在 $(a+d)$ 与 $(b+c)$ 中各加一次而抵消。有了不变量：(1) 若能变成 $9$ 个数全相同，则每个田字格的这个量都必须是 $0$；(2) 若两表能变得完全一样，则对应田字格的这个量必须相等。
方法概述：找出田字格不变量 (a+d)-(b+c)，用它判定能否变成同数表、能否互相变成一样。
规范步骤：
  1. 取田字格：任取 $2\times 2$ 的四数 $a,b,c,d$（选取局部）
  2. 看一次操作的影响：给一行或一列同加 $m$，$(a+d)$ 与 $(b+c)$ 要么都加 $m$、要么都不加（抵消）
  3. 得出不变量：$(a+d)-(b+c)$ 在操作下始终不变（不变量）
  4. 判第 1 问：$9$ 个数全相同时该量为 $0$；题中三个表都不满足，故都做不到（必要条件）
  5. 判第 2 问：两表能变一样则对应田字格的该量应相等；题中三表互不相等，故做不到（必要条件）
  6. 写出结论：（1）没有；（2）没有
6. 【原题 ch23-chaoyue-06】（1）能否将 $1,2,3,4,5$ 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3？（2）能否将 $1,2,3,4,5,6,7$ 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3？
详细思路
是哪类问题：这是「构造法 + 穷举/分类讨论」类题：一问要构造出排法，一问要穷举说明排不出来。
关键切入点：关键都在于「先固定 $1$，再看它的邻居被逼成什么」：（1）$1\sim 5$ 时与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3,4$，于是 $1$ 的两侧只能是 $3$ 和 $4$；$3$ 的另一侧只能是 $5$，顺着排下去得到 $1,3,5,2,4$，验算相邻差依次为 $2,2,3,2,3$，成功。（2）$1\sim 7$ 时同样先固定 $1$，邻居仍只能是 $3,4$；沿着 $3$ 往下只能接 $5$ 或 $6$，逐种情况往下延伸，得到的链条都在用完全部 $7$ 个数之前就断掉或提前闭合，所以排不成圆圈。
方法概述：固定 1 后按「相邻差只能是 2 或 3」逐步延伸；5 个数能成环，7 个数穷举后全部断链。
规范步骤：
  1. 锁定 1 的邻居：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3,4$（约束最紧处入手）
  2. 5 个数·延伸：$1,3,5,2,4$ 首尾相接（构造）
  3. 5 个数·验算：$|1-3|=2,\ |3-5|=2,\ |5-2|=3,\ |2-4|=2,\ |4-1|=3$（全为 2 或 3）
  4. 7 个数·同法入手：$1$ 的两侧仍只能是 $3,4$；$3$ 的另一侧只能是 $5$ 或 $6$（分类讨论）
  5. 7 个数·逐链穷举：各条链都无法用全 $7$ 个数并首尾闭合（穷举）
  6. 写出结论：（1）能；（2）不能
第一套
题目：（1）能否将 $1,2,3,4,5,6$ 围成一个圆圈，使相邻两数之差都是 $2$ 或 $3$？（2）能否将 $1,2,3,4,5,6$ 围成一个圆圈，使相邻两数之差都是 $2$、$3$ 或 $4$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·锁定 1 的邻居）：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3,4$，所以 $1$ 的两侧只能是 $3,4$；同理 $6$ 的两侧只能是 $3,4$（$6-3=\underline{\quad}$，$6-4=\underline{\quad}$）。
  2. 第 2 步（数一数邻位）：$1$ 与 $6$ 都要占用 $3$、$4$ 作邻居，可 $3$ 和 $4$ 一共只能提供 $2\times 2=\underline{\quad}$ 个邻位，而 $1$、$2$、$6$ 三个数都只能从 $\{3,4,5\}$ 里找邻居，需求超过供给，配不出来，所以第 1 问**不能**。
  3. 第 3 步（第 2 问·放宽后构造）：允许差为 $4$ 之后试排 $1,3,5,2,6,4$。
  4. 第 4 步（逐对验算）：$3-1=\underline{\quad}$，$5-3=\underline{\quad}$，$5-2=\underline{\quad}$，$6-2=\underline{\quad}$，$6-4=\underline{\quad}$，$4-1=\underline{\quad}$，全在 $\{2,3,4\}$ 中，所以**能**。
第二套
题目：$6$ 个编号为 $1$ 到 $6$ 的转盘格子要围成一圈。（1）能否使相邻两格编号之差都是 $2$ 或 $3$？（2）能否使相邻两格编号之差都是 $2$、$3$ 或 $4$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3,4$；与 $6$ 相差 $2$ 或 $3$ 的也只有 $3,4$（$6-3=\underline{\quad}$，$6-4=\underline{\quad}$）。
  2. 第 2 步：$3$ 与 $4$ 一共只有 $2\times 2=\underline{\quad}$ 个邻位，却要同时满足 $1$、$2$、$6$ 的邻居需求，配不出来，所以第 1 问**不能**。
  3. 第 3 步：放宽到差为 $2,3,4$ 后，试排 $1,3,5,2,6,4$，逐对验算 $3-1=\underline{\quad}$，$5-3=\underline{\quad}$，$5-2=\underline{\quad}$，$6-2=\underline{\quad}$，$6-4=\underline{\quad}$，$4-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：全部合格，所以第 2 问**能**。
第三套
题目：（1）能否将 $1$ 到 $8$ 围成一个圆圈，使相邻两数之差都是 $2$ 或 $3$？（2）能否将 $1$ 到 $8$ 围成一个圆圈，使相邻两数之差都是 $2$、$3$ 或 $4$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问）：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3,4$；与 $8$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $5,6$（$8-5=\underline{\quad}$，$8-6=\underline{\quad}$）。从 $1$ 出发按约束逐条延伸，各条链都无法用全 $8$ 个数并闭合，所以**不能**。
  2. 第 2 步（第 2 问·构造）：允许差为 $4$ 后试排 $1,3,7,4,2,6,8,5$。
  3. 第 3 步（逐对验算）：$3-1=\underline{\quad}$，$7-3=\underline{\quad}$，$7-4=\underline{\quad}$，$4-2=\underline{\quad}$，$6-2=\underline{\quad}$，$8-6=\underline{\quad}$，$8-5=\underline{\quad}$，$5-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$8$ 个差全在 $\{2,3,4\}$ 中，所以**能**。
第三套
题目：（1）能否将 $1$ 到 $9$ 围成一个圆圈，使相邻两数之差都是 $2$ 或 $3$？（2）改为差是 $2$、$3$ 或 $4$ 呢？（3）由 $n=5,6,7,8,9$ 的结果，你能看出「差只能是 $2$ 或 $3$」时哪些 $n$ 可行？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问）：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3,4$，与 $9$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $6,7$（$9-6=\underline{\quad}$，$9-7=\underline{\quad}$）。两端的数邻居都被卡死，从 $1$ 出发逐链延伸后都无法用全 $9$ 个数并闭合，所以**不能**。
  2. 第 2 步（第 2 问·构造）：放宽到 $\{2,3,4\}$ 后试排 $1,3,7,9,5,2,6,8,4$。
  3. 第 3 步（逐对验算）：$3-1=\underline{\quad}$，$7-3=\underline{\quad}$，$9-7=\underline{\quad}$，$9-5=\underline{\quad}$，$5-2=\underline{\quad}$，$6-2=\underline{\quad}$，$8-6=\underline{\quad}$，$8-4=\underline{\quad}$，$4-1=\underline{\quad}$，全在 $\{2,3,4\}$ 中，所以**能**。
  4. 第 4 步（第 3 问·汇总规律）：$n=5$ 能，$n=6,7,8,9$ 都不能。可见「差只能是 $2$ 或 $3$」时，除了 $n=\underline{\quad}$ 这一个特例，其余 $n$（$6$ 到 $9$）都排不出来——因为 $n$ 一大，两端的 $1$ 与 $n$ 各只有 $2$ 个候选邻居，可供分配的邻位共 $2\times 2=\underline{\quad}$ 个，无法同时照顾中间被卡住的那些数。
7. 【原题 ch23-chaoyue-07】旅店现在有9个单人间，10名旅客可能入住。这10名旅客每次有9个人同时入住，管理员想事先给每人配一些钥匙，使得无论是哪9个人入住，总能正好入住这9个房间，而且不用找别人借钥匙。请问：最少要配多少把钥匙？
详细思路
是哪类问题：这是「构造法 + 极端/最坏情况 + 计数估计」类题：先用最坏情况证明每个房间至少要几把钥匙（下界），再造一个恰好达到下界的配法。
关键切入点：关键在于最坏情况的反证：假设某个房间只配了 $1$ 把钥匙、握在某甲手里，那么当「除甲以外的另外 $9$ 人」入住时，这 $9$ 人里没有人有这个房间的钥匙，而他们恰好要住满 $9$ 个房间，做不到。所以每个房间至少 $2$ 把，总数至少 $9\times 2=18$ 把。再构造：让甲一人拿齐 $9$ 个房间各 $1$ 把（共 $9$ 把），另外 $9$ 人各拿一个不同房间的钥匙（共 $9$ 把），合计 $18$ 把；入住时先让除甲外的人各进自己那间，甲最后进剩下的那间。
方法概述：用最坏情况证明每房至少 2 把得下界 18，再构造「1 人配齐 + 9 人各 1 把」的方案。
规范步骤：
  1. 反设某房只有 1 把钥匙：设这把钥匙在甲手里（极端情况）
  2. 找出最坏的入住组合：让除甲以外的 $9$ 人入住，他们无人能开这间房（反证）
  3. 得出下界：每个房间至少 $2$ 把，总数至少 $9\times 2=18$（把）（计数估计）
  4. 构造方案：甲配齐 $9$ 把；另外 $9$ 人各配 $1$ 把不同房间的钥匙，共 $9+9=18$ 把（构造）
  5. 验证方案可行：任意 $9$ 人入住时，非甲的人先进自己那间，甲最后进剩下那间（复核）
  6. 写出答案：最少 $18$ 把
第一套
题目：旅店有 $12$ 个单人间，$13$ 名旅客可能入住，每次恰有 $12$ 人同时入住。管理员想事先给每人配一些钥匙，使得无论哪 $12$ 人入住都能正好住满这 $12$ 个房间且不用借钥匙。最少要配多少把钥匙？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（反设）：若某个房间只配了 $1$ 把钥匙且在某甲手里，那么让除甲以外的另外 $13-1=\underline{\quad}$ 人入住，他们中无人能开这间房，却要住满 $12$ 间，做不到。
  2. 第 2 步（得下界）：所以每个房间至少要配 \underline{\quad} 把钥匙，总数至少 $12\times 2=\underline{\quad}$ 把。
  3. 第 3 步（构造）：让甲一人配齐 $12$ 个房间各 $1$ 把，共 \underline{\quad} 把；另外 $12$ 人每人配一个不同房间的钥匙，又 \underline{\quad} 把。
  4. 第 4 步（合计）：$12+12=\underline{\quad}$（把），恰好达到下界。
  5. 第 5 步（验证）：任意 $12$ 人入住时，非甲的人先进自己那间，甲最后进剩下的那间。
第二套
题目：实验室有 $12$ 个储物柜，$13$ 名研究员中每次恰有 $12$ 人来使用，要求无论来的是哪 $12$ 人，都能正好各用一个柜子且不用向别人借钥匙。最少要配多少把钥匙？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：若某个柜子只配 $1$ 把钥匙且在某甲手里，让除甲外的 $13-1=\underline{\quad}$ 人来用，无人能开这个柜子，不合要求。
  2. 第 2 步：所以每个柜子至少 \underline{\quad} 把，总数至少 $12\times 2=\underline{\quad}$ 把。
  3. 第 3 步：构造——甲配齐 \underline{\quad} 把，其余 $12$ 人各配 $1$ 把不同柜子的钥匙共 \underline{\quad} 把。
  4. 第 4 步：合计 $12+12=\underline{\quad}$（把）。
第三套
题目：旅店有 $20$ 个单人间，$21$ 名旅客中每次恰有 $20$ 人入住。最少要配多少把钥匙？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（下界）：若某房只有 $1$ 把钥匙且在某甲手里，让除甲外的 $21-1=\underline{\quad}$ 人入住就开不了这间房，所以每房至少 \underline{\quad} 把。
  2. 第 2 步（算总数下界）：$20\times 2=\underline{\quad}$（把）。
  3. 第 3 步（构造）：甲配齐 $20$ 把，其余 $20$ 人各配 $1$ 把不同房间的钥匙，合计 $20+20=\underline{\quad}$（把）。
  4. 第 4 步（结论）：下界与构造都是 \underline{\quad} 把。
第三套
题目：旅店有 $9$ 个单人间，可能入住的旅客有 $11$ 名，每次恰有 $9$ 人同时入住。要求无论哪 $9$ 人入住都能正好住满这 $9$ 间、且不用借钥匙。最少要配多少把钥匙？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（反设）：若某个房间只配了 $2$ 把钥匙，设在甲、乙手里；让除甲、乙以外的 $11-2=\underline{\quad}$ 人入住，他们恰好要住满 $9$ 间，却无人能开这间房，做不到。
  2. 第 2 步（得下界）：所以每个房间至少要 \underline{\quad} 把钥匙（比原题多 $1$ 把），总数至少 $9\times 3=\underline{\quad}$ 把。
  3. 第 3 步（构造）：让甲、乙两人各配齐 $9$ 个房间的钥匙，共 $9\times 2=\underline{\quad}$ 把；另外 $11-2=9$ 人每人配一个不同房间的钥匙，共 \underline{\quad} 把。
  4. 第 4 步（合计）：$18+9=\underline{\quad}$（把），恰好达到下界。
  5. 第 5 步（验证）：入住的 $9$ 人里，凡是「只有一把钥匙」的人先各进自己那间；甲、乙有全部钥匙，最后进剩下的房间即可。
8. 【原题 ch23-chaoyue-08】如图23-11，在五角星图案中共有10个节点（用黑色实心圆点表示），以这些节点为顶点的三角形共有10个。现在将自然数1到10分别填在10个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标数的和称为这个三角形的“特征值”。请问：（1）是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数？（2）是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值都能被3整除？能则举出例子，不能请说明理由。
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶性分析 + 整除性分析（模 3）+ 重复计数」类题：两问都要先把所有三角形的特征值加起来，用「每个点被重复算了几次」把总和算出来。
关键切入点：关键在重复计数：五角星的 $10$ 个三角形中，每个节点恰好被 $3$ 个三角形用到，所以全部特征值之和 $=(1+2+\cdots+10)\times 3=55\times 3=165$。（1）若每个特征值都是偶数，它们的和也该是偶数，但 $165$ 是奇数，矛盾。（2）若每个特征值都是 $3$ 的倍数，把过五角星某个「角」的几个三角形特征值相加，会得到 $2A+(A+B+\cdots+J)=2A+55$ 是 $3$ 的倍数，推出 $A$ 除以 $3$ 余 $1$；五个角点都如此，可是 $1\sim 10$ 中除以 $3$ 余 $1$ 的只有 $1,4,7,10$ 这 $4$ 个（去掉不能用的还不够 $5$ 个角点），矛盾。
方法概述：用「每点被算 3 次」求特征值总和 165，第 1 问用其奇偶性、第 2 问用模 3 分析角点余数。
规范步骤：
  1. 数重复次数：每个节点恰被 $3$ 个三角形用到（重复计数）
  2. 算特征值总和：$(1+2+\cdots+10)\times 3=55\times 3=165$（总和）
  3. 第 1 问·判奇偶：$10$ 个偶数之和应为偶数，而 $165$ 是奇数（奇偶矛盾）
  4. 第 1 问·结论：不存在使特征值全为偶数的填法
  5. 第 2 问·模 3 分析：把过角点 $A$ 的三角形特征值相加得 $2A+55$，须是 $3$ 的倍数，故 $A$ 除以 $3$ 余 $1$（整除性分析）
  6. 第 2 问·数余 1 的数：$1\sim 10$ 中除以 $3$ 余 $1$ 的只有 $1,4,7,10$ 共 $4$ 个，不够 $5$ 个角点（计数矛盾）
  7. 写出结论：两问都不存在
第一套
题目：在五角星的 $10$ 个节点上分别填入 $11$ 到 $20$ 这 $10$ 个自然数，每个三角形三顶点数之和称为它的「特征值」（共 $10$ 个三角形，每个节点恰被 $3$ 个三角形用到）。是否存在一种填法，使得每个三角形的特征值都是偶数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求所填数之和）：$11+12+\cdots+20=(11+20)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用重复计数求特征值总和）：每个节点恰被 $3$ 个三角形用到，所以 $10$ 个特征值之和为 $155\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（若全为偶数）：$10$ 个偶数相加还是偶数。
  4. 第 4 步（判奇偶）：$465$ 是奇数（$465-464=\underline{\quad}$），与「偶数」矛盾。
  5. 第 5 步（结论）：所以**不存在**这样的填法。
第二套
题目：某展馆有 $10$ 个展位排成五角星形，$10$ 个展位分别摆放编号 $11$ 到 $20$ 的展品。图中共有 $10$ 个三角形，每个展位恰好属于 $3$ 个三角形。把每个三角形三个展位的编号之和称为它的「三角和」。能否安排展品，使得所有三角和都是偶数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：所有展品编号之和 $11+12+\cdots+20=(11+20)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：每个展位被 $3$ 个三角形用到，所以 $10$ 个三角和之总和为 $155\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：若三角和全是偶数，$10$ 个偶数之和是偶数；而 $465$ 是奇数（$465-464=\underline{\quad}$）。
  4. 第 4 步：矛盾，所以**不能**。
第三套
题目：在五角星的 $10$ 个节点上分别填入 $1$ 到 $10$（每个三角形三顶点数之和为特征值，共 $10$ 个三角形，每个节点恰被 $3$ 个三角形用到）。是否存在一种填法，使得每个三角形的特征值都是**奇数**？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求特征值总和）：$1+2+\cdots+10=\underline{\quad}$，每点被算 $3$ 次，总和为 $55\times 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（若全为奇数）：$10$ 个奇数相加，因为 $10$ 是偶数个，结果一定是**偶数**。
  3. 第 3 步（判奇偶）：而实际总和 $165$ 是奇数（$165-164=\underline{\quad}$），矛盾。
  4. 第 4 步（结论）：所以**不存在**使特征值全为奇数的填法。
第三套
题目：在五角星的 $10$ 个节点上分别填入 $2$ 到 $11$ 这 $10$ 个自然数（共 $10$ 个三角形，每个节点恰被 $3$ 个三角形用到）。（1）能否使每个三角形的特征值都是偶数？（2）能否使每个三角形的特征值都是奇数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求所填数之和）：$2+3+\cdots+11=(2+11)\times 10\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求特征值总和）：每点被算 $3$ 次，总和为 $65\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 1 问）：若 $10$ 个特征值全是偶数，其和为偶数；而 $195$ 是奇数（$195-194=\underline{\quad}$），矛盾，**不能**。
  4. 第 4 步（第 2 问）：若 $10$ 个特征值全是奇数，因为 $10$ 是偶数个，其和仍是偶数；$195$ 还是奇数，同样矛盾，也**不能**。
  5. 第 5 步（归纳原因）：只要特征值总和是奇数，「全偶」与「全奇」（偶数个）就都做不到；这里总和 $=(2+3+\cdots+11)\times 3=65\times 3=\underline{\quad}$，是奇数。
9. 【原题 ch23-tuozhan-01】图23-6中的左图为21枚硬币组成的三角形，如果仅移动7枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法。
详细思路
是哪类问题：这是「构造法（给出方案）」类题：与 15 枚硬币那题同型，只是规模从 $15$ 枚升到 $21$ 枚、移动数从 $5$ 枚升到 $7$ 枚。
关键切入点：关键仍是叠图对照：硬币总数不变，目标图中「空着但该有硬币」的位置个数，必然等于原图中「有硬币但目标图不要」的位置个数。数出缺口恰好 $7$ 个，把外缘多余的 $7$ 枚搬过去即可，且不多不少正好 $7$ 枚。
方法概述：叠图对照数出 7 个缺口与 7 枚多余硬币，一一搬运。
规范步骤：
  1. 确认总数：原图与目标图都是 $21$ 枚（只移动、不增减）
  2. 叠图数缺口：目标图比原图多出的位置共 $7$ 处（对照两图）
  3. 数出多余：原图外缘多余的硬币也是 $21-14=7$ 枚（总数相同则两者相等）
  4. 一一搬运：把这 $7$ 枚分别移到 $7$ 个缺口上（构造方案）
  5. 写出答案：恰好移动 $7$ 枚（方案不唯一）
10. 【原题 ch23-tuozhan-02】小明买来一个1500克的圆形生日蛋糕，他把蛋糕切成了7块，使得无论是3个人还是5个人平分，都不必再分割蛋糕。这7块蛋糕的重量应该是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「构造法 + 公倍数/分割」类题：要一次切好，使得两种人数下都能不再切地平分，必须把两套切法叠在一起。
关键切入点：关键在于把「$3$ 人平分」的切线（每份 $1500\div 3=500$ 克）与「$5$ 人平分」的切线（每份 $1500\div 5=300$ 克）画在同一个圆上：两套切线共 $3+5=8$ 条半径，但其中有 $1$ 条重合（都在起点处），实际只有 $8-1=7$ 条切线，把圆分成 $7$ 块。相邻切线之间的重量就是 $7$ 块的重量。
方法概述：把 3 等分与 5 等分两套切线叠加、去掉 1 条重合线，得到 7 块并逐段算重量。
规范步骤：
  1. 算 3 等分每份：$1500\div 3=500$（克）（平均分）
  2. 算 5 等分每份：$1500\div 5=300$（克）（平均分）
  3. 叠加切线：$3+5-1=7$（条切线，即 7 块）（有 1 条重合）
  4. 逐段算重量：依次为 $300,200,100,300,300,100,200$（相邻切线之间的差）
  5. 验算总重：$300\times 3+200\times 2+100\times 2=1500$（总和还原）
  6. 写出答案：$300,300,300,200,200,100,100$（克）
第一套
题目：小明买来一个 $2100$ 克的圆形生日蛋糕，把它切成若干块，使得无论是 $3$ 个人还是 $7$ 个人平分，都不必再分割蛋糕。请问最少切成几块？每块多重？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（3 等分每份）：$2100\div 3=\underline{\quad}$（克）。
  2. 第 2 步（7 等分每份）：$2100\div 7=\underline{\quad}$（克）。
  3. 第 3 步（叠加切线数块数）：两套切线共 $3+7=10$ 条，其中起点处有 $1$ 条重合，实际 $3+7-1=\underline{\quad}$ 条，即 \underline{\quad} 块。
  4. 第 4 步（逐段算重量）：相邻切线之间依次是 $300,300,100,200,200,100,300,300,300$ 克，其中 $300$ 克有 $5$ 块、$200$ 克有 $2$ 块、$100$ 克有 $2$ 块。
  5. 第 5 步（验算总重）：$300\times 5+200\times 2+100\times 2=\underline{\quad}$（克），与总重相符。
第二套
题目：一张 $2100$ 克的圆形披萨，要一次切好，使得来 $3$ 个人或来 $7$ 个人时都能不再切地平分。最少切成几块？每块多重？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$3$ 人平分每人 $2100\div 3=\underline{\quad}$（克）。
  2. 第 2 步：$7$ 人平分每人 $2100\div 7=\underline{\quad}$（克）。
  3. 第 3 步：两套切线叠加，去掉 $1$ 条重合的，共 $3+7-1=\underline{\quad}$ 条，切成 \underline{\quad} 块。
  4. 第 4 步：验算 $300\times 5+200\times 2+100\times 2=\underline{\quad}$（克）。
第三套
题目：一个 $2800$ 克的圆形蛋糕，要一次切好，使得 $4$ 个人或 $7$ 个人来都能不再切地平分。最少切成几块？每块多重？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$4$ 等分每份 $2800\div 4=\underline{\quad}$（克）。
  2. 第 2 步：$7$ 等分每份 $2800\div 7=\underline{\quad}$（克）。
  3. 第 3 步：切线共 $4+7-1=\underline{\quad}$ 条，即 \underline{\quad} 块。
  4. 第 4 步：逐段量出重量为 $400$ 克 $4$ 块、$300$ 克 $2$ 块、$200$ 克 $2$ 块、$100$ 克 $2$ 块，验算 $400\times 4+300\times 2+200\times 2+100\times 2=\underline{\quad}$（克）。
第三套
题目：一个 $3000$ 克的圆形蛋糕，要一次切好，使得 $5$ 个人或 $6$ 个人来都能不再切地平分。（1）最少切成几块？（2）每块多重？（3）这些块中最重的一块是最轻的一块的几倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$5$ 等分每份 $3000\div 5=\underline{\quad}$（克）；$6$ 等分每份 $3000\div 6=\underline{\quad}$（克）。
  2. 第 2 步（数块数）：$5$ 与 $6$ 的切线共 $5+6=11$ 条，起点处重合 $1$ 条，实际 $5+6-1=\underline{\quad}$ 条，即 \underline{\quad} 块。
  3. 第 3 步（逐段算重量）：把两套刻度按 $0,500,600,1000,1200,1500,1800,2000,2400,2500,3000$ 依次排好，相邻之差依次为 $500,100,400,200,300,300,200,400,100,500$ 克。
  4. 第 4 步（归类验算）：$500\times 2+400\times 2+300\times 2+200\times 2+100\times 2=\underline{\quad}$（克），与总重相符。
  5. 第 5 步（第 3 问）：最重 $500$ 克、最轻 $100$ 克，$500\div 100=\underline{\quad}$（倍）。
11. 【原题 ch23-tuozhan-03】有4颗外形完全相同的珍珠，其中3颗是真的，另1颗是假的，已知假珍珠比真的要轻。请问，用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是9颗珍珠里有1颗假的呢？请设计出方案。
详细思路
是哪类问题：这是「构造法（设计方案）+ 分组比较 + 最坏情况」类题：求最少称量次数，同样要「下界 + 方案」两半。
关键切入点：关键在于天平一次称量只有「左轻、右轻、平衡」$3$ 种结果，所以称 $k$ 次最多能区分 $3^k$ 种情况。$4$ 颗珍珠有 $4$ 种可能，$3^1=3<4$，$1$ 次不够；把珍珠两两分组，$2$ 次一定能找出。$9$ 颗时 $3^1=3<9$，同样 $1$ 次不够，但分成 $3$ 堆各 $3$ 颗，一次定堆、一次定珠，$2$ 次即可。
方法概述：用「一次称量最多区分 3 种情况」估下界，再用三分法设计方案。
规范步骤：
  1. 看一次称量的信息量：结果只有左轻、右轻、平衡 $3$ 种（天平的三态）
  2. 4 颗时判断 1 次够不够：$3^1=3<4$，$1$ 次不够（下界估计）
  3. 设计 4 颗的方案：先称 1 号与 2 号；若平衡再称 3 号与 4 号（分组比较）
  4. 9 颗时的下界：$3^1=3<9$，$1$ 次不够；$3^2=9\geqslant 9$，$2$ 次有希望（三分法上限）
  5. 设计 9 颗的方案：分成 $9\div 3=3$ 堆各 $3$ 颗，一次定堆；堆内再取 $2$ 颗称一次（三分法）
  6. 写出答案：都是最少 $2$ 次
第一套
题目：有 $27$ 颗外形完全相同的珍珠，其中 $1$ 颗是假的且比真的轻。用一架没有砝码的天平，最少称几次能找出假珍珠？请设计方案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一次称量的信息量）：天平的结果只有 \underline{\quad} 种（左轻、右轻、平衡）。
  2. 第 2 步（估下界）：称 $2$ 次最多区分 $3\times 3=\underline{\quad}$ 种情况，比 $27$ 少，所以 $2$ 次不够。
  3. 第 3 步（再估一次）：称 $3$ 次最多区分 $3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种，正好够 $27$ 颗。
  4. 第 4 步（设计方案·第一次）：分成 $3$ 堆，每堆 $27\div 3=\underline{\quad}$ 颗，取两堆上天平，即可定出假珠所在的那一堆。
  5. 第 5 步（第二次）：把这堆再分 $3$ 小堆，每堆 $9\div 3=\underline{\quad}$ 颗，同法定出小堆。
  6. 第 6 步（第三次）：小堆 $3$ 颗中任取 $2$ 颗上天平，即可找出假珠。所以最少 \underline{\quad} 次。
第二套
题目：有 $27$ 个外形一样的乒乓球，其中 $1$ 个内部有裂纹因而比别的轻。用一架没有砝码的天平，最少称几次能找出它？请设计方案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：天平一次称量有 \underline{\quad} 种结果。
  2. 第 2 步：$2$ 次最多区分 $3\times 3=\underline{\quad}$ 种，不够 $27$ 种。
  3. 第 3 步：$3$ 次最多区分 $3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种，够用。
  4. 第 4 步：方案是每次三等分：$27\div 3=\underline{\quad}$，再 $9\div 3=\underline{\quad}$，最后 $3$ 个中称 $1$ 次。共 \underline{\quad} 次。
第三套
题目：有 $12$ 颗珍珠，其中 $1$ 颗是假的且比真的轻。用一架没有砝码的天平，最少称几次能找出假珍珠？请设计方案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（下界）：$2$ 次最多区分 $3\times 3=\underline{\quad}$ 种情况，而这里有 $12$ 种可能，$9<12$，所以 $2$ 次**不够**。
  2. 第 2 步（上界）：$3$ 次最多区分 $3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种，$27\geqslant 12$，$3$ 次有希望。
  3. 第 3 步（第一次）：分成 $3$ 堆，每堆 $12\div 3=\underline{\quad}$ 颗，取两堆比较，定出假珠所在的 $4$ 颗一堆。
  4. 第 4 步（第二次）：把 $4$ 颗分成 $2$ 颗、$2$ 颗称一次，定出 $4\div 2=\underline{\quad}$ 颗一组。
  5. 第 5 步（第三次）：这 $2$ 颗上天平，轻的就是假珠。所以最少 \underline{\quad} 次。
第三套
题目：有一批外形相同的珍珠，其中恰有 $1$ 颗假的且比真的轻，用没有砝码的天平称量。（1）$81$ 颗珍珠最少称几次？（2）称 $4$ 次最多能从多少颗珍珠中保证找出这颗假珠？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·下界）：$3$ 次最多区分 $3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种，$27<81$，$3$ 次不够。
  2. 第 2 步：$4$ 次最多区分 $3\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种，恰好等于 $81$。
  3. 第 3 步（方案）：每次三等分，$81\div 3=\underline{\quad}$，$27\div 3=\underline{\quad}$，$9\div 3=\underline{\quad}$，最后 $3$ 颗称 $1$ 次，共 $4$ 次。
  4. 第 4 步（第 2 问·反过来问）：$4$ 次能区分的情况上限就是 $3^4=\underline{\quad}$ 种，所以最多能从 \underline{\quad} 颗中保证找出假珠。
12. 【原题 ch23-tuozhan-04】图23-7中，左边是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线（在1厘米、4厘米处，即把直尺分成1厘米、3厘米、2厘米三段），用它可以一次量出从1至6厘米中任意整数厘米的长度。右图为一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度。
详细思路
是哪类问题：这是「构造法 + 差量表示」类题：尺子上任意两个点（含两端）之间的距离都能一次量出，所以问题变成「选几个刻度，使得所有点对之差覆盖 $1$ 到 $9$」。
关键切入点：关键在于先用「必需的长度」逼出刻度位置：要量出 $8$ 厘米，必须有一点到某端恰好差 $8$，即在距一端 $1$ 厘米处画一条线；要量出 $7$ 厘米也同样逼出新的限制。加上两端共 $5$ 个点，点对有 $5\times 4\div 2=10$ 对，恰好够覆盖 $1\sim 9$ 这 $9$ 个长度（允许一次重复），余地极小，试算后得到刻度在 $1,2,6$ 厘米处。
方法概述：把「能量出的长度」翻译成「点对之差」，先用 8、7 厘米逼出刻度，再逐一验证 1~9 全覆盖。
规范步骤：
  1. 把问题翻译成差：能一次量出的长度 $=$ 尺上任意两点之差（差量表示）
  2. 数一数点对个数：两端加 $3$ 条刻度共 $5$ 个点，点对 $5\times 4\div 2=10$ 对（组合计数）
  3. 先逼出一条刻度：要量 $8$，须有点距一端 $1$ 厘米，取刻度在 $1$（必需长度）
  4. 试出其余刻度：取刻度在 $1,2,6$，$5$ 个点是 $0,1,2,6,9$（构造）
  5. 逐一验证：$1=2-1,\ 2=2-0,\ 3=9-6,\ 4=6-2,\ 5=6-1,\ 6=6-0,\ 7=9-2,\ 8=9-1,\ 9=9-0$（全覆盖 1~9）
  6. 写出答案：刻度画在 $1,2,6$ 厘米处（另有 $1,4,7$ 等画法）
第一套
题目：一把长 $12$ 厘米的直尺，请在上面只标出 $4$ 条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出 $1$ 至 $12$ 厘米中任意整数厘米的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译）：能一次量出的长度就是尺上两点之差；两端加 $4$ 条刻度共 $6$ 个点，点对有 $6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 对，够覆盖 $1\sim 12$ 这 \underline{\quad} 个长度。
  2. 第 2 步（先逼出一条）：要量出 $11$ 厘米，必须有点距一端 $12-11=\underline{\quad}$ 厘米，所以在 $1$ 厘米处画一条。
  3. 第 3 步（试出全部）：取刻度在 $1,2,3,8$ 厘米处，$6$ 个点是 $0,1,2,3,8,12$。
  4. 第 4 步（逐一验证）：$4=12-8=\underline{\quad}$，$5=8-3=\underline{\quad}$，$6=8-2=\underline{\quad}$，$7=8-1=\underline{\quad}$，$9=12-3=\underline{\quad}$，$10=12-2=\underline{\quad}$，其余 $1,2,3,8,11,12$ 直接由 $0$ 或端点作差得到。
第二套
题目：一根 $12$ 米长的绳子，要在上面只打 $4$ 个记号结，使得用这根绳子一次就能量出 $1$ 至 $12$ 米中任意整数米的长度。记号应打在哪里？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：能量出的长度就是两个点（含两端）之间的距离；两端加 $4$ 个结共 $6$ 个点，点对 $6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 对。
  2. 第 2 步：要量 $11$ 米，必须有结距一端 $12-11=\underline{\quad}$ 米。
  3. 第 3 步：取结打在 $1,2,3,8$ 米处，验算 $12-8=\underline{\quad}$，$8-3=\underline{\quad}$，$8-2=\underline{\quad}$，$8-1=\underline{\quad}$，$12-3=\underline{\quad}$，$12-2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$1$ 至 $12$ 米全部能量出。
第三套
题目：一把长 $13$ 厘米的直尺，请在上面只标出 $4$ 条刻度线，使得一次可以量出 $1$ 至 $13$ 厘米中任意整数厘米的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数点对）：$6$ 个点共 $6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 对，要覆盖 $1\sim 13$ 这 \underline{\quad} 个长度，只允许 $2$ 对重复，余地很小。
  2. 第 2 步（逼出第一条）：要量 $12$，须有点距一端 $13-12=\underline{\quad}$ 厘米。
  3. 第 3 步（给出刻度）：取 $1,2,6,10$，$6$ 个点是 $0,1,2,6,10,13$。
  4. 第 4 步（逐一验证）：$3=13-10=\underline{\quad}$，$4=10-6=\underline{\quad}$，$5=6-1=\underline{\quad}$，$7=13-6=\underline{\quad}$，$8=10-2=\underline{\quad}$，$9=10-1=\underline{\quad}$，$11=13-2=\underline{\quad}$，其余由端点直接读出。
第三套
题目：一把长 $15$ 厘米的直尺。（1）若要一次量出 $1$ 至 $15$ 厘米中任意整数厘米的长度，至少要标几条刻度线？（2）请给出一种标法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·估下界）：设标 $k$ 条刻度线，连两端共 $k+2$ 个点，能一次量出的长度不超过点对数 $(k+2)\times(k+1)\div 2$，这个数不到 $15$ 就绝不可能覆盖 $1\sim 15$。
  2. 第 2 步（试 $k=3$）：$5$ 个点只有 $5\times 4\div 2=\underline{\quad}$ 对，比要覆盖的 $15$ 个长度还少，所以 $3$ 条**一定不够**。
  3. 第 3 步（试 $k=4$）：$6$ 个点有 $6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 对，与要覆盖的 $15$ 个长度恰好相等——这就要求 $6$ 个点的两两之差不重不漏地正好凑成 $1,2,\cdots,15$（即一把「完美尺」）。可逐一试排（或枚举）验证：长 $15$ 的尺无论 $4$ 条刻度标在哪，总会漏掉某个长度，所以 $4$ 条**也做不到**。
  4. 第 4 步（试 $k=5$）：$7$ 个点有 $7\times 6\div 2=\underline{\quad}$ 对，$21\geqslant 15$，$5$ 条才有希望，故第 1 问答案是至少 $5$ 条。
  5. 第 5 步（第 2 问·构造）：取刻度在 $1,2,3,8,11$，$7$ 个点是 $0,1,2,3,8,11,15$。
  6. 第 6 步（逐一验证）：$4=15-11=\underline{\quad}$，$5=8-3=\underline{\quad}$，$6=8-2=\underline{\quad}$，$7=8-1=\underline{\quad}$，$9=11-2=\underline{\quad}$，$10=11-1=\underline{\quad}$，$12=15-3=\underline{\quad}$，$13=15-2=\underline{\quad}$，$14=15-1=\underline{\quad}$，其余 $1,2,3,8,11,15$ 直接得到。
13. 【原题 ch23-tuozhan-05】请将8个1，8个0填入图23-8的16个空格中，使得每行、每列的4个数之和都是奇数。
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶性分析 + 构造」类题：先用每行（列）之和为奇数把「每行有几个 1」的可能情形锁死，再拼出具体填法。
关键切入点：关键在于：每行是 $4$ 个 $0$ 或 $1$，行和就是这一行中 $1$ 的个数，要它是奇数，只能是 $1$ 个或 $3$ 个。$4$ 行的 $1$ 加起来必须是 $8$，而 $8$ 只能拆成 $3+3+1+1$，所以必有两行各 $3$ 个 $1$、另两行各 $1$ 个 $1$；列的情形完全相同。按这个分布拼一张表即可。
方法概述：先由「行和为奇数」定出每行含 1 的个数只能是 1 或 3，再由总数 8 定出分布 3+3+1+1，最后构造。
规范步骤：
  1. 看一行的可能：$4$ 个数取自 $\{0,1\}$，和为奇数只能是 $1$ 个或 $3$ 个 $1$（奇偶分析）
  2. 用总数定分布：$3+3+1+1=8$，是把 $8$ 拆成 4 个奇数的唯一方式（不计顺序）（拆分唯一）
  3. 列的情形同理：两列各 $3$ 个 $1$、两列各 $1$ 个 $1$（行列对称）
  4. 写出一种填法：$\begin{matrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&1&1\\1&0&1&1\end{matrix}$（构造）
  5. 验算：行和 $1,1,3,3$；列和 $1,1,3,3$，都是奇数，$1$ 的总数 $1+1+3+3=8$（复核）
第一套
题目：请将 $18$ 个 $1$、$18$ 个 $0$ 填入 $6\times 6$ 的方格表中，使得每行、每列的 $6$ 个数之和都是奇数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看一行）：$6$ 个数取自 $\{0,1\}$，和为奇数说明这一行含 $1$ 的个数是奇数，只能是 $1,3,5$ 个。
  2. 第 2 步（用总数定分布）：$6$ 行的 $1$ 共 $18$ 个，若每行都是 $3$ 个，则 $3\times 6=\underline{\quad}$，正好，所以可以让每行恰好 $3$ 个 $1$。
  3. 第 3 步（列也要奇数）：每列同样要奇数个 $1$，总数 $18$ 均分到 $6$ 列，每列 $18\div 6=\underline{\quad}$ 个，$3$ 是奇数，合格。
  4. 第 4 步（构造）：让第 $i$ 行的 $1$ 放在第 $i,i+1,i+2$ 列（列号超过 $6$ 就绕回来），这样每行 $3$ 个 $1$、每列也恰好 $3$ 个 $1$。
  5. 第 5 步（验算 0 的个数）：$36-18=\underline{\quad}$ 个 $0$，与题目相符。
第二套
题目：$6\times 6$ 的灯板上有 $36$ 盏灯，要点亮其中 $18$ 盏、熄灭 $18$ 盏，使得每行、每列亮着的灯数都是奇数。请给出一种方案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每行亮灯数要是奇数，$6$ 盏中只能亮 $1,3,5$ 盏。
  2. 第 2 步：$6$ 行共亮 $18$ 盏，若每行亮 $3$ 盏则 $3\times 6=\underline{\quad}$，正好。
  3. 第 3 步：每列亮 $18\div 6=\underline{\quad}$ 盏，也是奇数，合格。
  4. 第 4 步：第 $i$ 行点亮第 $i,i+1,i+2$ 列的灯（超过 $6$ 绕回），熄灭的灯共 $36-18=\underline{\quad}$ 盏。
第三套
题目：请将 $15$ 个 $1$、$10$ 个 $0$ 填入 $5\times 5$ 的方格表中，使得每行、每列的 $5$ 个数之和都是奇数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每行 $5$ 个数，和为奇数说明含 $1$ 的个数是 $1,3$ 或 $5$。
  2. 第 2 步：$5$ 行共 $15$ 个 $1$，每行 $15\div 5=\underline{\quad}$ 个正好，且 $3$ 是奇数。
  3. 第 3 步：每列也要 $15\div 5=\underline{\quad}$ 个，同样合格。
  4. 第 4 步（构造）：第 $i$ 行把 $1$ 填在第 $i,i+1,i+2$ 列（超过 $5$ 绕回）。
  5. 第 5 步（验算 0 的个数）：$5\times 5-15=\underline{\quad}$ 个 $0$，与题目相符。
第三套
题目：请将若干个 $1$ 和 $0$ 填入 $6\times 6$ 的方格表，使得每行、每列的 $6$ 个数之和都是**偶数**，且 $1$ 的个数恰好是 $24$。请给出一种填法，并说明每行每列各有几个 $1$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看一行）：$6$ 个数中 $1$ 的个数要是偶数，只能是 $0,2,4,6$ 个。
  2. 第 2 步（定分布）：$6$ 行共 $24$ 个 $1$，若每行相同，则每行 $24\div 6=\underline{\quad}$ 个，$4$ 是偶数，合格；每列同样是 \underline{\quad} 个。
  3. 第 3 步（构造）：第 $1,2$ 行的 $1$ 填在第 $1,2,3,4$ 列；第 $3,4$ 行填在第 $1,2,5,6$ 列；第 $5,6$ 行填在第 $3,4,5,6$ 列。
  4. 第 4 步（验算列）：第 $1$ 列被第 $1,2,3,4$ 行各填了一个 $1$，共 $4$ 个；每一列都是这样，$6$ 列共 $6\times 4=\underline{\quad}$ 个 $1$，与要求相符。
  5. 第 5 步（验算 0）：$36-24=\underline{\quad}$ 个 $0$。
14. 【原题 ch23-tuozhan-06】有一列自然数，其中任意3个相连的数之和都不小于6，而任意4个相连的数之和都小于8。这个数列最多能有几项？
详细思路
是哪类问题：这是「不等式分析 + 极端情况 + 构造」类题：求数列最多能有几项，同样是「上界反证 + 构造实例」。
关键切入点：关键在于把两个条件对同一段连用：取相连的四个数 $a,b,c,d$，由 $a+b+c\geqslant 6$ 与 $a+b+c+d<8$ 相减得 $d<8-6=2$，即任意相连四数中最后一个不超过 $1$；对称地第一个也不超过 $1$。若数列有 $6$ 项，把这个结论反复套在不同的四连段上，会推出中间某三个相连的数之和小于 $6$，与条件矛盾。所以最多 $5$ 项，而 $1,1,4,1,1$ 恰好满足全部要求。
方法概述：用四数和减三数和推出两端项 ≤1，反证项数不能到 6，再构造 5 项实例。
规范步骤：
  1. 设四个相连的数：$a,b,c,d$，有 $a+b+c\geqslant 6$ 且 $a+b+c+d<8$（题设）
  2. 两式相减：$d<8-6=2$，即 $d\leqslant 1$（不等式相减）
  3. 对称地看：任意四个相连的数，两端的数都不超过 $1$（把四连段反过来读）
  4. 反证 6 项不行：$6$ 项时把上述结论套在各个四连段上，会推出某三个相连数之和 $<6$，矛盾（极端情况反证）
  5. 构造 5 项实例：$1,1,4,1,1$：$1+1+4=6\geqslant 6$，$1+4+1=6\geqslant 6$，$4+1+1=6\geqslant 6$；$1+1+4+1=7<8$，$1+4+1+1=7<8$（验证全部条件）
  6. 写出答案：最多 $5$ 项
15. 【原题 ch23-tuozhan-07】用7个相同的数字并且适当地使用加号、减号，可以计算出1000，例如 $1111-111=1000$。试用8个相同的数字（并且适当地使用加号、减号）来计算1000。
详细思路
是哪类问题：这是「构造法 + 分类讨论 + 位数估计」类题：用位数与首位把可能的算式范围一步步缩小，最后凑出唯一的算式。
关键切入点：关键在于位数估计：这 $8$ 个数字不能是 $0$（否则组不出 $1000$）；算式中不能出现五位数（最小的五位数是 $11111$，与其它数加减也无法恰好落回 $1000$）；$8$ 个一位数相加最大是 $9\times 8=72$，远不够 $1000$，所以必须出现三位数或四位数。含四位数时最小的 $1111$ 已超 $1000$，要减回来会用掉太多数字。于是只能是「一个三位数 + 若干两位数与一位数」，首位数字 $d$ 满足 $ddd$ 接近 $1000$，试得 $d=8$：$888+88+8+8+8=1000$。
方法概述：先用位数与个数估计排除 0、五位数、纯一位数与四位数，再定首位为 8 并凑出算式。
规范步骤：
  1. 排除 0：全用 $0$ 组不出 $1000$（显然）
  2. 排除纯一位数相加：$9\times 8=72<1000$（上限估计）
  3. 排除五位数：最小的五位数 $11111$ 已远大于 $1000$，剩下 $3$ 个数字调不回来（位数估计）
  4. 定出主体是三位数：含四位数时最小为 $1111>1000$，需要减去 $111$，那是 $7$ 个数字的解 $1111-111=1000$，$8$ 个数字凑不成（分类讨论）
  5. 试首位：取 $d=8$：$888+88+8+8+8$，数字个数 $3+2+1+1+1=8$（构造）
  6. 验算：$888+88+8+8+8=1000$（复核）
第一套
题目：用 $9$ 个相同的数字并且适当地使用加号、减号，计算出 $2000$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（排除纯一位数）：$9$ 个一位数相加最多 $9\times 9=\underline{\quad}$，远小于 $2000$，所以必须组出多位数。
  2. 第 2 步（估位数）：$2000$ 是四位数，可以先摆一个四位数。若用数字 $2$，四位数是 $2222$，比 $2000$ 多 $2222-2000=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（把多出来的减掉）：多出来的 $222$ 恰好可以用 $3$ 个数字组成 $222$ 减掉，$2222-222=\underline{\quad}$，此时已用掉 $4+3=\underline{\quad}$ 个数字。
  4. 第 4 步（补足数字个数）：还差 $9-7=\underline{\quad}$ 个数字，用 $+2-2$ 补上，值不变。
  5. 第 5 步（写出算式并验算）：$2222-222+2-2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：小高有 $9$ 张写着同一个数字的卡片，可以把若干张并排组成多位数，再用加号、减号连接。他要算出 $2000$，应该怎么摆？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$9$ 张卡片单独相加最多 $9\times 9=\underline{\quad}$，够不到 $2000$，必须并排成多位数。
  2. 第 2 步：选数字 $2$，把 $4$ 张并成 $2222$，它比 $2000$ 多 $2222-2000=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再用 $3$ 张并成 $222$ 减掉，$2222-222=\underline{\quad}$，已用掉 $4+3=\underline{\quad}$ 张。
  4. 第 4 步：剩下 $9-7=\underline{\quad}$ 张用 $+2-2$ 抵消。最终 $2222-222+2-2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $10$ 个相同的数字并且适当地使用加号、减号，计算出 $1000$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（估位数）：$10$ 个一位数相加最多 $9\times 10=\underline{\quad}$，不够，必须组多位数。
  2. 第 2 步（试三位数）：用两个三位数相加，取数字 $5$，$555+555=\underline{\quad}$，比 $1000$ 多 $1110-1000=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（减回去）：多出的 $110$ 用两个两位数减掉，$55+55=\underline{\quad}$，正好。
  4. 第 4 步（数一数数字个数）：$3+3+2+2=\underline{\quad}$ 个，正好 $10$ 个。
  5. 第 5 步（写出算式验算）：$555+555-55-55=\underline{\quad}$。
第三套
题目：（1）能否用 $8$ 个相同的数字（适当使用加号、减号，每个数不超过四位）计算出 $2000$？（2）用 $9$ 个相同的数字计算出 $2000$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·先估范围）：$8$ 个一位数相加最多 $9\times 8=\underline{\quad}$，不够；所以要用多位数。
  2. 第 2 步（试四位数）：只有数字 $2$ 的四位数 $2222$ 与 $2000$ 最接近，差 $2222-2000=\underline{\quad}$，剩下 $8-4=\underline{\quad}$ 个数字要凑出 $222$，但 $4$ 个 $2$ 能组出的最大数是 $2222$、最接近 $222$ 的组合是 $222+2=224$ 或 $22+22=44$ 等，都不等于 $222$。
  3. 第 3 步（试三位数为主）：数字 $d$ 时 $ddd+ddd$ 要接近 $2000$，只有 $d=9$ 时 $999+999=\underline{\quad}$，还差 $2000-1998=\underline{\quad}$，而剩下 $8-6=\underline{\quad}$ 个 $9$ 无论怎样加减都得不到 $2$。逐一试遍全部情形都不成，所以**不能**。
  4. 第 4 步（第 2 问·构造）：$9$ 个数字时取 $2$：$2222-222+2-2=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch23-tuozhan-08】有12根小木棍，长度分别为 $1,2,3,4,\cdots,12$。（1）能否用这12根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都用上且不能折断或弯曲？（2）能否用这12根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都用上且不能折断或弯曲？
详细思路
是哪类问题：这是「构造法 + 整除性分析 + 配对凑数」类题：能拼就给方案，不能拼就用整除性说明。
关键切入点：关键在两处：（1）首尾配对 $1+12=2+11=\cdots=6+7=13$，把 $12$ 根变成 $6$ 根等长的「大木棍」，再按 $6=2+2+1+1$ 分给长方形的四条边（两条长边各 $2$ 根、两条短边各 $1$ 根）；（2）正方形要求四边等长，总长 $1+2+\cdots+12=78$ 必须被 $4$ 整除，而 $78\div 4=19.5$ 不是整数，木棍又不能折断，所以拼不成。
方法概述：（1）首尾配对成 6 根等长木棍再按 2+2+1+1 分边；（2）用总长不能被 4 整除说明正方形拼不出。
规范步骤：
  1. 首尾配对：$1+12=13,\ 2+11=13,\ \cdots,\ 6+7=13$（配对凑等长）
  2. 数出大木棍：$12\div 2=6$（根），每根 $13$ 厘米（两两一组）
  3. 分给长方形四条边：$6=2+2+1+1$，长边 $2\times 13=26$、短边 $13$（构造方案）
  4. 算总长：$1+2+\cdots+12=78$（厘米）（等差求和）
  5. 验正方形边长：$78\div 4=19.5$，不是整数（整除性分析）
  6. 写出结论：（1）能拼长方形；（2）不能拼正方形
第一套
题目：有 $20$ 根小木棍，长度分别为 $1,2,3,\cdots,20$ 厘米。（1）能否用这 $20$ 根拼成一个长方形（都用上、不折断不弯曲）？（2）能否拼成一个正方形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首尾配对）：$1+20=\underline{\quad}$，$2+19=\underline{\quad}$，……，$10+11=\underline{\quad}$，每对都一样长。
  2. 第 2 步（数大木棍）：一共配成 $20\div 2=\underline{\quad}$ 根等长的大木棍。
  3. 第 3 步（分边）：$10=3+3+2+2$，长边各用 $3$ 根即 $3\times 21=\underline{\quad}$ 厘米，短边各用 $2$ 根即 $2\times 21=\underline{\quad}$ 厘米，能拼成长方形。
  4. 第 4 步（第 2 问·算总长）：$1+2+\cdots+20=(1+20)\times 20\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（整除性）：正方形边长应是 $210\div 4=\underline{\quad}$，不是整数，木棍又不能折断，所以**不能**拼成正方形。
第二套
题目：手工课上有 $20$ 段铁丝，长度分别为 $1,2,3,\cdots,20$ 厘米。（1）能否把它们全部用上（不剪断不弯折）围成一个长方形？（2）能否围成一个正方形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：首尾配对，$1+20=\underline{\quad}$，$2+19=\underline{\quad}$，……，$10+11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：共得 $20\div 2=\underline{\quad}$ 根等长的长铁丝。
  3. 第 3 步：按 $10=3+3+2+2$ 分边，长边 $3\times 21=\underline{\quad}$ 厘米、宽边 $2\times 21=\underline{\quad}$ 厘米。
  4. 第 4 步：总长 $(1+20)\times 20\div 2=\underline{\quad}$（厘米），正方形边长要 $210\div 4=\underline{\quad}$，不是整数，围不成。
第三套
题目：有 $16$ 根小木棍，长度分别为 $1,2,3,\cdots,16$ 厘米。能否用它们拼成一个正方形（都用上、不折断不弯曲）？如果能，请给出一种拼法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总长）：$1+2+\cdots+16=(1+16)\times 16\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（试整除）：正方形边长应是 $136\div 4=\underline{\quad}$（厘米），这次是整数，有希望。
  3. 第 3 步（凑出四条边）：$16+15+2+1=\underline{\quad}$，$14+13+4+3=\underline{\quad}$，$12+11+6+5=\underline{\quad}$，$10+9+8+7=\underline{\quad}$，四组的和都等于边长。
  4. 第 4 步（结论）：把这四组分别作为四条边即可，所以**能**拼成正方形。
第三套
题目：有 $24$ 根小木棍，长度分别为 $1,2,3,\cdots,24$ 厘米。（1）能否拼成一个正方形？若能，边长是多少？（2）请给出一种拼法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总长）：$1+2+\cdots+24=(1+24)\times 24\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（边长）：$300\div 4=\underline{\quad}$（厘米），是整数，有希望。
  3. 第 3 步（首尾配对）：$1+24=\underline{\quad}$，$2+23=\underline{\quad}$，……，$12+13=\underline{\quad}$，得到 $24\div 2=\underline{\quad}$ 根等长的大木棍。
  4. 第 4 步（分边）：$12$ 根平均分给四条边，每边 $12\div 4=\underline{\quad}$ 根，每边长 $3\times 25=\underline{\quad}$ 厘米，正是所求边长。
  5. 第 5 步（结论）：所以能拼成边长 $75$ 厘米的正方形。
17. 【原题 ch23-tuozhan-09】（1）请在 $1,2,3,\cdots,19,20$ 的相邻两个数之间填入“$+$”或者“$-$”（不能改变数的顺序），使得结果是0。（2）能否在 $1,2,3,\cdots,20,21$ 的相邻两个数之间填入“$+$”或者“$-$”（不能改变数的顺序），使得结果是0？
详细思路
是哪类问题：这是「构造法 + 奇偶性分析 + 配对求和」类题：能不能凑出 $0$ 由总和的奇偶性决定，怎么凑出 $0$ 靠首尾配对。
关键切入点：关键在于：（1）$1\sim 20$ 首尾配对成 $10$ 对，每对和都是 $21$，只要让 $5$ 对取「$+$」、$5$ 对取「$-$」，两边各是 $21\times 5=105$，相减为 $0$；（2）$1\sim 21$ 的总和是 $231$，为奇数，而把某个数由加改成减只会使结果减少这个数的 $2$ 倍（偶数），因此结果的奇偶性始终与总和相同、只能是奇数，永远不会是 $0$。
方法概述：（1）首尾配对后把 10 对平分成正负两组；（2）用总和为奇数、添号不改变奇偶性说明不可能。
规范步骤：
  1. 首尾配对：$1+20=21,\ 2+19=21,\ \cdots,\ 10+11=21$，共 $10$ 对（配对求和）
  2. 把 10 对平分：取正的 $5$ 对之和 $21\times 5=105$，取负的 $5$ 对之和也是 $105$（平分）
  3. 写出算式：$1+2+3+4+5-6-7-\cdots-15+16+17+18+19+20=105-105=0$（构造）
  4. 第 2 问算总和：$1+2+\cdots+21=(1+21)\times 21\div 2=231$（等差求和）
  5. 看奇偶：$231$ 是奇数；改一个符号结果变化 $2$ 倍某数，是偶数，奇偶性不变（奇偶不变量）
  6. 写出结论：（2）不可能为 $0$
第一套
题目：（1）请在 $1,2,3,\cdots,23,24$ 的相邻两个数之间填入「$+$」或「$-$」（不改变顺序），使结果为 $0$。（2）能否在 $1,2,3,\cdots,24,25$ 之间这样填，使结果为 $0$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首尾配对）：$1+24=\underline{\quad}$，$2+23=\underline{\quad}$，……，$12+13=\underline{\quad}$，一共配成 $24\div 2=\underline{\quad}$ 对。
  2. 第 2 步（平分两组）：$12$ 对平分成 $12\div 2=\underline{\quad}$ 对取正、$6$ 对取负，每边之和都是 $25\times 6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出算式）：让 $1\sim 6$ 与 $19\sim 24$ 取「$+$」、$7\sim 18$ 取「$-$」，结果 $150-150=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 2 问·算总和）：$1+2+\cdots+25=(1+25)\times 25\div 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（奇偶判定）：$325$ 是奇数，把某个数由加改减只会减少它的 $2$ 倍（偶数），结果的奇偶性不变，永远是奇数，所以**不能**为 $0$。
第二套
题目：小高沿数轴散步，第 $k$ 步向左或向右走 $k$ 米（$k=1,2,\cdots,24$）。（1）他能否恰好回到出发点？请给出一种走法。（2）如果一共走 $25$ 步（第 $k$ 步走 $k$ 米），还能恰好回到出发点吗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（首尾配对）：$1+24=\underline{\quad}$，$2+23=\underline{\quad}$，……，$12+13=\underline{\quad}$，共 $24\div 2=\underline{\quad}$ 对。
  2. 第 2 步（左右平分）：$12$ 对平分成 $12\div 2=\underline{\quad}$ 对向右、$6$ 对向左，两边各 $25\times 6=\underline{\quad}$ 米。
  3. 第 3 步（写出走法）：第 $1\sim 6$ 步与第 $19\sim 24$ 步向右，第 $7\sim 18$ 步向左，净位移 $150-150=\underline{\quad}$ 米，回到原点。
  4. 第 4 步（第 2 问）：$25$ 步的总路程 $(1+25)\times 25\div 2=\underline{\quad}$ 米，是奇数；改变某一步的方向只会使净位移变化偶数，所以净位移始终是奇数，**不能**回到出发点。
第三套
题目：请在 $1,2,3,\cdots,15,16$ 的相邻两个数之间填入「$+$」或「$-$」（不改变顺序），使得结果为 $0$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配对）：$1+16=\underline{\quad}$，$2+15=\underline{\quad}$，……，$8+9=\underline{\quad}$，共 $16\div 2=\underline{\quad}$ 对。
  2. 第 2 步（平分）：$8$ 对分成 $8\div 2=\underline{\quad}$ 对取正、$4$ 对取负，两边各 $17\times 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写算式）：让 $1\sim 4$ 与 $13\sim 16$ 取「$+$」、$5\sim 12$ 取「$-$」，结果 $68-68=\underline{\quad}$。
第三套
题目：请在 $1,2,3,\cdots,19,20$ 的相邻两个数之间填入「$+$」或「$-$」（不改变顺序）。（1）能否使结果为 $11$？（2）请构造出结果为 $10$ 的一种填法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总和）：$1+2+\cdots+20=(1+20)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 1 问·奇偶判定）：把某个数由加改减，结果减少它的 $2$ 倍（偶数），所以结果与总和 $210$ 同奇偶、只能是偶数；$11$ 是奇数，**不能**。
  3. 第 3 步（第 2 问·和差问题）：取「$+$」的一组之和 $x=(210+10)\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：取「$-$」的一组之和 $y=(210-10)\div 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（挑数）：$20+19+18+17+16+10=\underline{\quad}$，恰为 $y$，把这 $6$ 个数前面填「$-$」。
  6. 第 6 步（验算）：$210-2\times 100=\underline{\quad}$。
18. 【原题 ch23-tuozhan-10】有四个算式：$\square+\square=\square$，$\square-\square=\square$，$\square\times\square=\square$，$\square\div\square=\square$。如果每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最多有多少个偶数？最少有多少个偶数？
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶性分析 + 四则运算奇偶规律」类题：逐个算式讨论其中偶数最少（最多）能有几个，再把四个算式加起来。
关键切入点：关键在于分清四种运算的奇偶规律：加法 $\square+\square=\square$ 中三个数不可能只有一个奇数（奇+偶=奇，恰含 $1$ 个偶数；奇+奇=偶、偶+偶=偶都不满足「至少 1 奇」），故有限制时恰有 $1$ 个偶数；减法可改写成「减数+差=被减数」，与加法同型，也是 $1$ 个；乘法若积为奇则两乘数全奇、不含偶数，违反限制，所以积必为偶且至少一个乘数为偶，共 $2$ 个偶数；除法改写成「除数×商=被除数」，与乘法同型，也是 $2$ 个。合计 $1+1+2+2=6$。没有限制时，加、减最少 $1$ 个偶数、最多 $3$ 个，乘、除可以一个偶数都没有（全奇）也可以全是偶数。
方法概述：逐个算式用四则运算的奇偶规律数出偶数的最少与最多个数，再求和。
规范步骤：
  1. 加法：有限制时 $\square+\square=\square$ 恰含 $1$ 个偶数（奇+偶=奇）
  2. 减法：改写成「减数+差=被减数」，与加法同型，$1$ 个偶数（减法转加法）
  3. 乘法：积为奇则两乘数全奇、无偶数，违反限制；故积为偶且至少一个乘数为偶，$2$ 个偶数（奇×奇=奇）
  4. 除法：改写成「除数×商=被除数」，与乘法同型，$2$ 个偶数（除法转乘法）
  5. 求和（有限制）：$1+1+2+2=6$（个）（合计）
  6. 无限制时最少：加、减各至少 $1$ 个，乘、除可以 $0$ 个：$1+1+0+0=2$（个）（取下限）
  7. 无限制时最多：四个算式都可以三个数全是偶数：$3\times 4=12$（个）（取上限）
第一套
题目：有三个算式：$\square+\square=\square$，$\square-\square=\square$，$\square\times\square=\square$。如果每个算式中都至少有 $1$ 个偶数和 $1$ 个奇数，那么这 $9$ 个数中一共有多少个偶数？如果没有这个限制，这 $9$ 个数中最多有多少个偶数？最少有多少个偶数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（加法）：有限制时 $\square+\square=\square$ 中恰有 \underline{\quad} 个偶数（奇 $+$ 偶 $=$ 奇）。
  2. 第 2 步（减法）：改写成「减数 $+$ 差 $=$ 被减数」，与加法同型，也有 \underline{\quad} 个偶数。
  3. 第 3 步（乘法）：若积是奇数则两个乘数全是奇数、没有偶数，违反限制；所以积为偶且至少一个乘数为偶，共 \underline{\quad} 个偶数。
  4. 第 4 步（有限制时合计）：$1+1+2=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步（无限制·最少）：加、减各至少 $1$ 个，乘法可以全奇即 $0$ 个，$1+1+0=\underline{\quad}$（个）。
  6. 第 6 步（无限制·最多）：三个算式都可以三个数全为偶数，$3\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：老师在黑板上写了三张卡片式子：$\square+\square=\square$，$\square-\square=\square$，$\square\times\square=\square$，每个方框里填一个自然数。若要求每个式子里都至少有 $1$ 个偶数和 $1$ 个奇数，黑板上的 $9$ 个数中共有多少个偶数？若没有这个要求，最多、最少各有多少个偶数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：加法式中恰有 \underline{\quad} 个偶数。
  2. 第 2 步：减法式改写成加法后同理，也是 \underline{\quad} 个。
  3. 第 3 步：乘法式中若积为奇则全奇、不合要求，所以有 \underline{\quad} 个偶数。
  4. 第 4 步：合计 $1+1+2=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步：没有要求时最少 $1+1+0=\underline{\quad}$（个），最多 $3\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：有五个算式：$\square+\square=\square$，$\square-\square=\square$，$\square\times\square=\square$，$\square\div\square=\square$，$\square+\square=\square$。如果每个算式中都至少有 $1$ 个偶数和 $1$ 个奇数，那么这 $15$ 个数中一共有多少个偶数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两个加法）：每个恰有 $1$ 个偶数，共 $1\times 2=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（减法）：与加法同型，$1$ 个偶数。
  3. 第 3 步（乘法与除法）：每个都有 $2$ 个偶数，共 $2\times 2=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（合计）：$2+1+4=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步（顺带看奇数）：$15-7=\underline{\quad}$ 个奇数。
第三套
题目：有四个算式：$\square+\square=\square$，$\square-\square=\square$，$\square\times\square=\square$，$\square\div\square=\square$，每个算式中都至少有 $1$ 个偶数和 $1$ 个奇数。（1）$12$ 个数中有多少个偶数？（2）有多少个奇数？（3）奇数比偶数多多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（逐式数偶数）：加法 $1$ 个、减法 $1$ 个、乘法 $2$ 个、除法 $2$ 个，合计 $1+1+2+2=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（第 2 问·用补集）：一共 $12$ 个数，奇数有 $12-6=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（第 3 问）：奇数比偶数多 $6-6=\underline{\quad}$（个），也就是一样多。
  4. 第 4 步（复核）：$6+6=\underline{\quad}$，与总数 $12$ 相符。
19. 【原题 ch23-tuozhan-11】有5个亮着的灯泡，每一个灯泡由一个开关控制。每次操作可以拉动其中的2个开关以改变相应灯泡的亮暗状态。能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗？
详细思路
是哪类问题：这是「不变量（奇偶性）」类论证题：判断能不能达到目标状态，靠找一个每次操作都不改变的量。
关键切入点：关键在于盯住「亮着的灯的个数」的奇偶性：一次拉动 $2$ 个开关，要么把 $2$ 盏亮的关掉（亮灯数 $-2$），要么把 $2$ 盏暗的打开（$+2$），要么一开一关（$\pm 0$）。三种情况亮灯数的变化都是偶数，所以亮灯数的奇偶性是不变量。开始是 $5$ 盏（奇数），永远保持奇数，而目标 $0$ 盏是偶数，所以做不到。
方法概述：找出「亮灯个数的奇偶性」这个不变量，说明奇数永远变不成偶数 0。
规范步骤：
  1. 列出一次操作的三种情形：$-2$（关掉两盏亮的）、$+2$（打开两盏暗的）、$0$（一开一关）（分类）
  2. 看变化量：三种变化都是偶数（奇偶不变量）
  3. 得出不变量：亮灯个数的奇偶性永远不变（不变量）
  4. 比较起点与目标：起点 $5$ 是奇数，目标 $0$ 是偶数（奇偶矛盾）
  5. 写出结论：不能使 5 个灯泡都变暗
第一套
题目：有 $9$ 个亮着的灯泡，每个灯泡由一个开关控制。每次操作可以拉动其中 $2$ 个开关以改变相应灯泡的亮暗状态。能否经过若干次操作使得 $9$ 个灯泡都变暗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列三种情形）：一次拉 $2$ 个开关，亮灯数或者减少 $2$（如 $9-2=\underline{\quad}$），或者增加 $2$（如 $9+2=\underline{\quad}$），或者不变（一开一关）。
  2. 第 2 步（看变化量）：三种变化 $-2,+2,0$ 都是偶数。
  3. 第 3 步（找不变量）：所以亮灯个数的**奇偶性**永远不变。
  4. 第 4 步（比较起点与目标）：起点 $9$ 是奇数（$9-8=\underline{\quad}$），目标 $0$ 是偶数。
  5. 第 5 步（结论）：奇数永远变不成偶数，所以**不能**全部变暗。
第二套
题目：桌上有 $9$ 枚硬币，全部正面朝上。每次必须同时翻转其中 $2$ 枚。能否经过若干次翻转使得 $9$ 枚硬币全部反面朝上？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：一次翻 $2$ 枚，正面朝上的枚数或减少 $2$（$9-2=\underline{\quad}$），或增加 $2$（$9+2=\underline{\quad}$），或不变。
  2. 第 2 步：变化量都是偶数，所以正面朝上的枚数的奇偶性不变。
  3. 第 3 步：起点 $9$ 是奇数（$9-8=\underline{\quad}$），目标是 $0$ 枚正面朝上，是偶数。
  4. 第 4 步：所以**不能**。
第三套
题目：有 $7$ 个亮着的灯泡，每次操作可以拉动其中 $4$ 个开关。能否经过若干次操作使 $7$ 个灯泡都变暗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列情形）：一次拉 $4$ 个开关，设其中原来亮着的有 $k$ 个（$k=0,1,2,3,4$），亮灯数变化为 $(4-k)-k=4-2k$。
  2. 第 2 步（看变化量）：$k=0$ 时变化 $4-0=\underline{\quad}$，$k=1$ 时 $4-2=\underline{\quad}$，$k=2$ 时 $4-4=\underline{\quad}$，$k=3$ 时 $4-6=\underline{\quad}$，$k=4$ 时 $4-8=\underline{\quad}$，全是偶数。
  3. 第 3 步（不变量）：亮灯个数的奇偶性永远不变。
  4. 第 4 步（结论）：起点 $7$ 是奇数（$7-6=\underline{\quad}$），目标 $0$ 是偶数，所以**不能**。
第三套
题目：有 $7$ 个亮着的灯泡，每次操作必须拉动其中 $3$ 个开关。（1）能否使 $7$ 个灯泡都变暗？（2）若能，最少要操作几次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看变化量）：一次拉 $3$ 个开关，设其中亮着的有 $k$ 个，亮灯数变化为 $3-2k$：$k=0$ 时 $3-0=\underline{\quad}$，$k=1$ 时 $3-2=\underline{\quad}$，都是**奇数**，所以这次奇偶性**每次都会改变**，原来的阻碍消失了。
  2. 第 2 步（次数的奇偶）：要从 $7$ 盏（奇数）变到 $0$ 盏（偶数），奇偶必须改变，所以操作次数必须是奇数次。
  3. 第 3 步（数总拉动次数）：每盏灯都要从亮变暗，必须被拉奇数次；$7$ 盏灯被拉的次数都是奇数，其总和是 $7$ 个奇数之和，是奇数。若操作 $n$ 次，总拉动次数为 $3n$，所以 $3n$ 必须是奇数，$n$ 是奇数，与第 2 步一致。
  4. 第 4 步（试 n=1、n=3）：$n=1$ 时只能关掉 $3$ 盏，剩 $7-3=\underline{\quad}$ 盏亮着，不行；$n=3$ 时总拉动 $3\times 3=\underline{\quad}$ 次，恰好可以让某一盏被拉 $3$ 次、其余 $6$ 盏各被拉 $1$ 次，因为 $3+1\times 6=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（给出方案）：设 $7$ 盏灯为 $A\sim G$，三次操作取 $\{A,B,C\}$、$\{A,D,E\}$、$\{A,F,G\}$，则 $A$ 被拉 $3$ 次、其余各 $1$ 次，全是奇数次，全部变暗。最少 \underline{\quad} 次。
20. 【原题 ch23-tuozhan-12】桌上放有5张卡片，卡莉娅先在卡片的正面分别写上 $1,2,3,4,5$，然后小高在背面也分别写上 $1,2,3,4,5$，写完后计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘。问：小高能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶性分析」类论证题：要让一堆数的乘积是奇数，等价于要让每个数都是奇数，于是转而看这些数的总和。
关键切入点：关键在于：乘积为奇 $\Leftrightarrow$ 每个和都是奇数 $\Rightarrow$ $5$ 个奇数相加是奇数。可是这 $5$ 个和加起来，恰好是正面 $5$ 个数与背面 $5$ 个数的总和，即 $(1+2+3+4+5)\times 2=30$，是偶数。奇数与偶数矛盾，所以做不到。
方法概述：用「5 个和的总和必为偶数」推翻「5 个和全为奇数」，从而乘积必为偶数。
规范步骤：
  1. 翻译目标：乘积为奇数 $\Leftrightarrow$ $5$ 个和都是奇数（奇数×奇数=奇数）
  2. 推出总和的奇偶：$5$ 个奇数之和是奇数（奇数个奇数之和为奇数）
  3. 另算这个总和：$(1+2+3+4+5)\times 2=30$（正反面所有数的总和）
  4. 指出矛盾：$30$ 是偶数，不可能是奇数（奇偶矛盾）
  5. 写出结论：乘积一定是偶数，小高找不到这样的写法
第一套
题目：桌上放有 $7$ 张卡片，卡莉娅先在正面分别写上 $1,2,3,4,5,6,7$，小高在背面也分别写上 $1,2,3,4,5,6,7$。算出每张卡片上两数之和，再把 $7$ 个和相乘。小高能否使乘积是奇数？为什么？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译目标）：乘积是奇数，就要求这 $7$ 个和**全都是奇数**。
  2. 第 2 步（推总和奇偶）：$7$ 个奇数相加，是奇数个奇数之和，结果一定是奇数。
  3. 第 3 步（另算总和）：这 $7$ 个和加起来，正好是正面 $7$ 个数与背面 $7$ 个数的总和，$1+2+\cdots+7=\underline{\quad}$，所以总和是 $28\times 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（判奇偶）：$56$ 是偶数（$56\div 2=\underline{\quad}$），与第 2 步的「奇数」矛盾。
  5. 第 5 步（结论）：所以**不能**，乘积一定是偶数。
第二套
题目：有 $7$ 个信封，正面分别印着 $1$ 到 $7$，工作人员要在背面也分别写上 $1$ 到 $7$（每个数各用一次）。把每个信封正反两数之和算出来再全部相乘，这个积能是奇数吗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：积为奇数要求 $7$ 个和全是奇数。
  2. 第 2 步：$7$ 个奇数相加得奇数。
  3. 第 3 步：而这 $7$ 个和的总和就是正反两面所有数之和，$1+2+\cdots+7=\underline{\quad}$，总和为 $28\times 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$56$ 是偶数（$56\div 2=\underline{\quad}$），矛盾，所以**不能**。
第三套
题目：桌上有 $9$ 张卡片，正面分别写 $1$ 到 $9$，背面也分别写 $1$ 到 $9$。把每张卡片两面之和算出后全部相乘，积能是奇数吗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：积为奇数要求 $9$ 个和全为奇数，而 $9$ 个奇数之和是奇数。
  2. 第 2 步：另一方面，这 $9$ 个和的总和 $=(1+2+\cdots+9)\times 2$，先算 $1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：所以总和为 $45\times 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$90$ 是偶数（$90\div 2=\underline{\quad}$），与「奇数」矛盾，所以**不能**。
第三套
题目：桌上放有 $6$ 张卡片，正面分别写上 $1,2,3,4,5,6$，背面也分别写上 $1,2,3,4,5,6$（每个数各用一次）。（1）$6$ 个和的乘积能否是奇数？（2）若能，请给出一种写法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算总和）：$6$ 个和的总和为 $(1+2+\cdots+6)\times 2$，先算 $1+2+\cdots+6=\underline{\quad}$，总和为 $21\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（关键差别）：这次是 \underline{\quad} 个和，是偶数个；偶数个奇数之和本来就是偶数，与总和 $42$ 是偶数**不矛盾**，原来的反证失效，有希望。
  3. 第 3 步（构造）：要每张卡片正反两数一奇一偶。背面按 $2,1,4,3,6,5$ 的顺序写（即与正面奇偶互换）。
  4. 第 4 步（逐张验算）：$1+2=\underline{\quad}$，$2+1=\underline{\quad}$，$3+4=\underline{\quad}$，$4+3=\underline{\quad}$，$5+6=\underline{\quad}$，$6+5=\underline{\quad}$，全是奇数。
  5. 第 5 步（结论）：$6$ 个奇数相乘的积是奇数，所以**能**。
21. 【原题 ch23-tuozhan-13】有14个孩子，依次给他们编号为 $1,2,3,\cdots,14$。能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其他孩子的编号之和？
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶性分析 + 整除性分析」类论证题：把「组内某人编号 $=$ 其余人编号之和」翻译成「该组编号总和是偶数」。
关键切入点：关键在于：若某人编号 $m$ 等于同组其余人编号之和，则这一组的编号总和是 $m+m=2m$，必为偶数。三组都这样，三组总和（也就是全部编号之和）也应是偶数。而 $1+2+\cdots+14=105$ 是奇数，矛盾。
方法概述：把每组条件翻译成「组内总和 = 某编号的 2 倍」为偶数，再用总和 105 为奇数导出矛盾。
规范步骤：
  1. 翻译组内条件：若 $m$ 等于同组其余人之和，则该组总和 $=m+m=2m$（两倍）
  2. 得出每组的奇偶：$2m$ 是偶数，所以每组编号之和都是偶数（偶数）
  3. 推出总和的奇偶：三个偶数相加还是偶数（偶+偶+偶=偶）
  4. 算实际总和：$1+2+\cdots+14=(1+14)\times 14\div 2=105$（等差求和）
  5. 指出矛盾：$105$ 是奇数，不是偶数（奇偶矛盾）
  6. 写出结论：不可能分成这样的三组
第一套
题目：有 $18$ 个孩子，编号为 $1,2,3,\cdots,18$。能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其他孩子编号之和？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（翻译组内条件）：若某人编号 $m$ 等于同组其余人之和，则该组总和为 $m+m=2m$，是**偶数**。
  2. 第 2 步（推总和）：三组都是偶数，三组相加仍是偶数，所以全部编号之和必须是偶数。
  3. 第 3 步（算实际总和）：$1+2+\cdots+18=(1+18)\times 18\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（判奇偶）：$171$ 是奇数（$171-170=\underline{\quad}$），与「必为偶数」矛盾。
  5. 第 5 步（结论）：所以**不能**。
第二套
题目：$18$ 张卡片上分别写着 $1$ 到 $18$。能否把它们分成三堆，使得每堆里都有一张卡片上的数恰好等于该堆其余卡片上数之和？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：若某堆里 $m$ 等于其余之和，则该堆数字总和为 $2m$，是偶数。
  2. 第 2 步：三堆总和也应是偶数。
  3. 第 3 步：而 $1+2+\cdots+18=(1+18)\times 18\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$171$ 是奇数（$171-170=\underline{\quad}$），矛盾，所以**不能**。
第三套
题目：有 $22$ 个孩子，编号为 $1,2,3,\cdots,22$。能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其他孩子编号之和？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每组总和 $=2m$，是偶数；三组总和也必是偶数。
  2. 第 2 步：算实际总和 $1+2+\cdots+22=(1+22)\times 22\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$253$ 是奇数（$253-252=\underline{\quad}$），矛盾。
  4. 第 4 步：所以**不能**。
第三套
题目：有 $15$ 个孩子，编号为 $1,2,3,\cdots,15$。能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其他孩子编号之和？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先看奇偶）：总和 $1+2+\cdots+15=(1+15)\times 15\div 2=\underline{\quad}$，是偶数，奇偶性上**没有矛盾**，要另找办法。
  2. 第 2 步（设三个「和数」）：设三组中充当「其余之和」的三个孩子编号为 $x,y,z$，则三组总和分别是 $2x,2y,2z$，相加得 $2(x+y+z)=120$。
  3. 第 3 步（求它们的和）：$x+y+z=120\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（估上界）：$x,y,z$ 是三个互不相同的编号，最大也不过 $15,14,13$，其和最多 $15+14+13=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（比较）：$42<60$（$60-42=\underline{\quad}$），三个编号之和根本达不到 $60$，矛盾。
  6. 第 6 步（结论）：所以**不能**。
22. 【原题 ch23-tuozhan-14】将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数，请问：这个新的三位数和原来的三位数之和能不能等于999？如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由。
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶性分析 + 位值与进位分析」类论证题：先用「和的每一位都是 9」判断出加法过程中没有进位，再看数字和。
关键切入点：关键在于：个位相加末位是 $9$（奇数），若有进位则个位和为 $19$，但两个一位数之和最大 $9+9=18<19$，所以个位没有进位；同理十位、百位也没有进位。既然全程无进位，两数的数字和相加就等于 $9+9+9=27$。可另一方面，新数与原数用的是同样三个数字，数字和相同，两数数字和之和 $=2\times$（原数数字和），必为偶数，而 $27$ 是奇数，矛盾。
方法概述：先用位值与进位分析推出两数数字和为 27，再用「重排后数字和相同」推出它必为偶数，导出矛盾。
规范步骤：
  1. 看个位：末位是 $9$；若进位则个位和为 $19$，但最大只有 $9+9=18$，故无进位（位值与进位分析）
  2. 同理其余各位：十位、百位相加也都没有进位（逐位）
  3. 算两数数字和之和：无进位时，两数各位数字之和 $=9+9+9=27$（无进位则数字和可加）
  4. 用重排的性质：新数与原数数字相同，数字和相等，两数数字和之和 $=2\times$（原数字和）（重排不改变数字和）
  5. 指出矛盾：$2\times$（整数）是偶数，而 $27$ 是奇数（奇偶矛盾）
  6. 写出结论：不能等于 $999$
第一套
题目：将一个五位数改变五个数字的顺序之后可以得到一个新的五位数，请问：这个新的五位数和原来的五位数之和能不能等于 $99999$？如果能请举例，不能请说明理由。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看个位）：和的末位是 $9$；若个位有进位，个位两数之和应为 $19$，但两个一位数之和最大只有 $9+9=\underline{\quad}$，达不到，所以个位没有进位。
  2. 第 2 步（其余各位同理）：十位、百位、千位、万位相加也都没有进位。
  3. 第 3 步（算两数数字和之和）：既然全程无进位，两数各位数字之和就等于 $9\times 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用重排的性质）：新数与原数用的是同样五个数字，数字和相等，所以两数数字和之和是原数数字和的 $2$ 倍，必为**偶数**。
  5. 第 5 步（判奇偶）：$45$ 是奇数（$45-44=\underline{\quad}$），与「必为偶数」矛盾。
  6. 第 6 步（结论）：所以**不能**等于 $99999$。
第二套
题目：小高把一个三位数的门牌号打乱数字顺序，得到另一个三位数。他说这两个门牌号之和恰好是 $999$。请判断他说的对不对，并说明理由。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：个位相加末位是 $9$，若进位则个位和为 $19$，但两个一位数之和最大 $9+9=\underline{\quad}$，达不到，所以个位无进位；十位、百位同理。
  2. 第 2 步：全程无进位时，两数各位数字之和为 $9+9+9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：两个门牌号数字完全相同，数字和相等，所以两数数字和之和是原数字和的 $2$ 倍，必为偶数。
  4. 第 4 步：$27$ 是奇数（$27-26=\underline{\quad}$），矛盾，所以小高说得**不对**。
第三套
题目：将一个七位数改变七个数字的顺序之后得到一个新的七位数，这两个数之和能不能等于 $9999999$？请说明理由。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看个位）：末位是 $9$，若进位则个位和为 $19$，而两个一位数之和最大 $9+9=\underline{\quad}$，不够，所以无进位；其余各位同理。
  2. 第 2 步（算数字和之和）：七位都是 $9$，两数各位数字之和为 $9\times 7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用重排性质）：两数数字相同、数字和相等，所以数字和之和是原数字和的 $2$ 倍，必为偶数。
  4. 第 4 步（判奇偶）：$63$ 是奇数（$63-62=\underline{\quad}$），矛盾。
  5. 第 5 步：所以**不能**等于 $9999999$。
第三套
题目：将一个四位数改变四个数字的顺序之后可以得到一个新的四位数。（1）这两个数之和能不能等于 $9999$？能则举出一例。（2）能不能等于 $9998$？能则举出一例。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·先算数字和）：末位是 $9$，若进位则个位和为 $19>9+9=\underline{\quad}$，不可能，所以各位都不进位；两数各位数字之和为 $9\times 4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（判奇偶）：$36$ 是**偶数**，可以等于原数字和的 $2$ 倍，原数字和为 $36\div 2=\underline{\quad}$，**没有矛盾**，有希望。
  3. 第 3 步（构造）：只要每一位上的两个数字配成 $9$。取原数 $1827$，重排为 $8172$（数字完全相同），验算 $1827+8172=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 2 问·末位变了）：$9998$ 的末位是 $8$。若个位不进位，个位两数之和是 $8$；若个位进位，个位两数之和是 $8+10=\underline{\quad}$，此时十位要多加 $1$。
  5. 第 5 步（顺着进位找）：取原数 $1849$，重排为 $8149$。个位 $9+9=\underline{\quad}$，写 $8$ 进 $1$；十位 $4+4+1=\underline{\quad}$；百位 $8+1=\underline{\quad}$；千位 $1+8=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（验算）：$1849+8149=\underline{\quad}$，所以第 2 问也**能**。
23. 【原题 ch23-xingqu-01】如图23-1，用 $1\times 2$ 和 $1\times 3$ 两种规格的小长方形地板砖铺满的地面（即图23-1所示的 $5\times 8$ 区域），至少需要地板砖多少块？
详细思路
是哪类问题：这是「覆盖与计数估计」类构造论证题：要求铺满一块区域所需地砖的最少块数，答案由「下界估计」与「构造实例」两半合起来才算完整。
关键切入点：关键在于抓住『每块砖最多盖住 3 个单位小方格』这个上限：块数 $\times 3$ 必须不小于总格数，否则一定盖不满。$5\times 8$ 区域共 $40$ 格，$13$ 块最多盖 $39$ 格，不够；再给出 $14$ 块的铺法说明 $14$ 可以达到，下界与实例吻合，$14$ 就是答案。
方法概述：先用『每块最多覆盖面积 × 块数 ≥ 总面积』求下界，再构造一种恰好达到下界的铺法。
规范步骤：
  1. 算出区域的总格数：$5\times 8=40$（个单位小正方形）（长方形面积）
  2. 看清每块砖最多能盖多少格：$1\times 3$ 的砖盖 $3$ 格，$1\times 2$ 的砖盖 $2$ 格，最多 $3$ 格（两种规格取大者）
  3. 反证 13 块不够：$13\times 3=39<40$（块数×每块上限 < 总面积则盖不满）
  4. 说明 14 块可以做到：$14\times 3=42\geqslant 40$，且能给出一种铺法（构造实例达到下界）
  5. 写出答案：至少需要 $14$ 块
第一套
题目：用 $1\times 2$ 和 $1\times 3$ 两种规格的小长方形地板砖铺满一块 $7\times 9$ 的地面，至少需要地板砖多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算总面积）：区域一共有 $7\times 9=\underline{\quad}$ 个单位小正方形。
  2. 第 2 步（估下界）：$1\times 3$ 的砖盖 $3$ 格、$1\times 2$ 的砖盖 $2$ 格，取大者，每块最多盖 $3$ 格，所以块数至少要 $63\div 3=\underline{\quad}$ 块。
  3. 第 3 步（验证更少不行）：若只用 $20$ 块，最多盖住 $20\times 3=\underline{\quad}$ 个格子，比总格数少，所以 $20$ 块不够。
  4. 第 4 步（构造达到下界）：每行长 $9=3+3+3$，全用 $1\times 3$ 的砖横着铺，每行 $3$ 块、共 $7$ 行，用砖 $3\times 7=\underline{\quad}$ 块，恰好铺满。
  5. 第 5 步：下界与实例吻合，答案就是这个块数。
第二套
题目：一块 $8\times 9$ 的长方形巧克力板，要用 $1\times 2$ 和 $1\times 3$ 两种规格的糖纸片不重叠地贴满，至少需要糖纸片多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：巧克力板一共有 $8\times 9=\underline{\quad}$ 个单位小格。
  2. 第 2 步：一张纸片最多盖 $3$ 个小格，所以张数至少要 $72\div 3=\underline{\quad}$ 张。
  3. 第 3 步：若只用 $23$ 张，最多盖住 $23\times 3=\underline{\quad}$ 个小格，不够，所以 $23$ 张不行。
  4. 第 4 步：每行 $9=3+3+3$，全用 $1\times 3$ 的纸片，每行 $3$ 张、共 $8$ 行，$3\times 8=\underline{\quad}$ 张恰好贴满。
  5. 第 5 步：下界与实例吻合，答案就是这个张数。
第三套
题目：用 $1\times 2$ 和 $1\times 3$ 两种规格的地板砖铺满一块 $6\times 10$ 的地面，至少需要多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总格数 $6\times 10=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：一块砖最多盖 $3$ 格，所以块数至少要 $60\div 3=\underline{\quad}$ 块。
  3. 第 3 步（构造）：这次横着不好凑（$10$ 不是 $3$ 的倍数），改成竖着铺：每列长 $6=3+3$，每列用 $6\div 3=\underline{\quad}$ 块 $1\times 3$，共 $10$ 列，用砖 $2\times 10=\underline{\quad}$ 块。
  4. 第 4 步：下界与实例吻合，所以答案就是它。
第三套
题目：用 $1\times 2$ 和 $1\times 3$ 两种规格的地板砖铺满一块 $5\times 9$ 的地面。（1）至少需要多少块？（2）如果恰好用了 $17$ 块砖铺满，那么两种砖各用了多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：总格数 $5\times 9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：每块最多盖 $3$ 格，所以块数至少 $45\div 3=\underline{\quad}$ 块；每行 $9=3+3+3$ 全用 $1\times 3$ 恰好铺满，下界能达到。
  3. 第 3 步（第 2 问）：设 $1\times 3$ 用了 $a$ 块、$1\times 2$ 用了 $b$ 块，则块数 $a+b=17$，面积 $3a+2b=45$。
  4. 第 4 步（消元）：把面积式减去 $2$ 倍的块数式，得 $a=45-2\times 17=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：再回代求另一种，$b=17-11=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch23-xingqu-02】国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线。图23-2中一个皇后（图中五角星）就把整个 $3\times 3$ 的棋盘控制了。为了控制一个 $4\times 4$ 的棋盘，至少要放几个皇后？
详细思路
是哪类问题：这是「覆盖与计数估计」类构造论证题：求控制整个棋盘所需棋子的最少个数，同样要「下界 + 实例」两半。
关键切入点：关键是数清一个皇后最多能控制多少格：在 $4\times 4$ 棋盘上，横线、竖线、两条斜线各只有 $4$ 格，每条线上除自己外最多再控制 $3$ 格，$4$ 条线共 $4\times 3=12$ 格，加上自己所在的 $1$ 格，最多 $13$ 格，小于棋盘的 $16$ 格，所以 $1$ 个不够；再摆出 $2$ 个皇后的实例即可。
方法概述：先用「一个皇后最多控制的格数 < 棋盘总格数」排除 1 个，再构造 2 个皇后的摆法。
规范步骤：
  1. 算棋盘总格数：$4\times 4=16$（格）（正方形棋盘）
  2. 算一个皇后最多控制的格数：$4\times 3+1=13$（格）（4 条线各最多再控 3 格，加自身 1 格）
  3. 比较得出 1 个不够：$13<16$（控制不到全盘）
  4. 构造 2 个皇后的摆法：可以摆出两个皇后控制全盘的方案（构造实例）
  5. 写出答案：至少需要 $2$ 个皇后
25. 【原题 ch23-xingqu-03】图23-3中的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法。
详细思路
是哪类问题：这是「构造法（给出方案）」类题：目标图形与原图形只差若干个位置，要找出移动最少枚硬币的具体方案。
关键切入点：关键在于把两幅图叠在一起对照：目标图里有而原图里没有的位置就是「缺口」，原图里有而目标图里没有的位置就是「多余」。缺口与多余的个数必然相等，都恰好是 $5$，把 $5$ 枚多余的硬币逐一搬到 $5$ 个缺口上即可。
方法概述：叠图对照，数出缺口与多余各 5 处，一一对应地搬运。
规范步骤：
  1. 确认硬币总数不变：原图与目标图都是 $15$ 枚硬币（只移动、不增减）
  2. 叠图找差异：目标图有而原图无的位置共 $5$ 处（缺口）（对照两图）
  3. 找出对应的多余硬币：原图有而目标图无的位置也恰好是 $15-10=5$ 处（总数相同则多余数=缺口数）
  4. 一一搬运：把顶部与两侧的 $5$ 枚硬币分别移到 $5$ 个缺口上（构造方案）
  5. 写出答案：恰好移动 $5$ 枚即可（方案不唯一）
26. 【原题 ch23-xingqu-04】把100个橘子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6，应该如何装？
详细思路
是哪类问题：这是「整除性/位值分析 + 构造」类题：给定总数与份数，每份都要含某个指定数字，需要先用位值与末位和把可能情形逼出来，再给出一种分法。
关键切入点：关键在盯住个位：若 $6$ 个数的个位都是 $6$，则个位和为 $6\times 6=36$，总和个位是 $6$，不可能是 $100$；所以必有一个数个位不是 $6$，那它就得靠十位含 $6$，且不超过 $100$，只能是 $60$。剩下 $5$ 个数个位都是 $6$，个位和 $5\times 6=30$，而它们的总和是 $100-60=40$，末位为 $0$ 与 $30$ 的末位一致，逐一试得 $6,6,6,6,16$。
方法概述：先用个位数字之和卡住总和的末位，定出必有一个数是 60，再把剩下的和拆成末位为 6 的 5 个数。
规范步骤：
  1. 写出限制：$6$ 个数都含数字 $6$，和为 $100$（题意）
  2. 排除个位全是 6：$6\times 6=36$，总和个位应为 $6\ne 0$（个位和决定总和个位）
  3. 定出个位不是 6 的那个数：它必须十位含 $6$ 且不超过 $100$，只能是 $60$（位值分析）
  4. 求剩下 5 个数的和：$100-60=40$（总和减去已定数）
  5. 拆成 5 个末位为 6 的数：$6+6+6+6+16=40$（凑数构造）
  6. 写出答案：$60,16,6,6,6,6$
第一套
题目：把 $200$ 个橘子分装在 $6$ 个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 $6$，应该如何装？（写出一种装法）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先看个位）：若 $6$ 个数的个位都是 $6$，个位之和为 $6\times 6=\underline{\quad}$，总和的个位就是 $6$，而 $200$ 的个位是 $0$，矛盾，所以必有数的个位不是 $6$。
  2. 第 2 步（这个数靠十位含 6）：先取最大的一个数为 $160$（十位是 $6$），剩下 $5$ 个篮子共装 $200-160=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（拆剩下的和）：剩下 $5$ 个数末位都是 $6$，$6+6+6+6=\underline{\quad}$，还差 $40-24=\underline{\quad}$，恰好取 $16$（含数字 $6$）。
  4. 第 4 步（验算总数）：$160+16+6\times 4=200$，符合要求。
第二套
题目：把 $200$ 颗糖分装到 $6$ 个礼盒中，使得每个礼盒里装的糖数都含有数字 $6$，应该怎样装？（写出一种装法）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：若 $6$ 个数个位都是 $6$，个位和 $6\times 6=\underline{\quad}$，总数个位应是 $6$，与 $200$ 的个位 $0$ 矛盾。
  2. 第 2 步：取一个十位含 $6$ 的大数 $160$，其余 $5$ 盒共 $200-160=\underline{\quad}$ 颗。
  3. 第 3 步：$4$ 盒各 $6$ 颗共 $6\times 4=\underline{\quad}$ 颗，剩下一盒 $40-24=\underline{\quad}$ 颗，$16$ 含数字 $6$，合格。
  4. 第 4 步：验算 $160+16+24=200$（颗），符合要求。
第三套
题目：把 $300$ 个橘子分装在 $8$ 个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 $6$，应该如何装？（写出一种装法）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位分析）：若 $8$ 个数个位都是 $6$，个位之和 $8\times 6=\underline{\quad}$，总和个位是 $8$，与 $300$ 的个位 $0$ 矛盾，所以要用十位或百位含 $6$ 的数。
  2. 第 2 步（先放两个大数）：取 $196$ 与 $68$（都含数字 $6$），它们的和是 $196+68=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（其余 6 个篮子）：还剩 $300-264=\underline{\quad}$ 个，平均分给余下的 $6$ 个篮子，每篮 $36\div 6=\underline{\quad}$ 个，恰好含数字 $6$。
  4. 第 4 步：验算 $196+68+36=300$，符合要求。
第三套
题目：把 $200$ 个橘子分装在 $6$ 个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 $6$，并且 $6$ 个篮子里的橘子数互不相同。应该如何装？（写出一种装法）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位分析）：个位都是 $6$ 时个位和为 $6\times 6=\underline{\quad}$，总和个位为 $6$，与 $200$ 矛盾，所以至少有一个数靠十位含 $6$。
  2. 第 2 步（先排出个位是 6 的一串互不相同的数）：最省的取法是 $6,16,26,36$，它们的和为 $6+16+26+36=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（补足剩下两个）：还差 $200-84=\underline{\quad}$，要用两个含数字 $6$ 且与前面都不同的数凑出来；取其中一个为 $60$，另一个就是 $116-60=\underline{\quad}$，它含数字 $6$，合格。
  4. 第 4 步（验算）：$6+16+26+36+56+60=200$，且 $6$ 个数互不相同、都含数字 $6$。
27. 【原题 ch23-xingqu-05】如图23-4，把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少有一条棱是白色的。请问：最少有多少条棱是白色的？
详细思路
是哪类问题：这是「覆盖与计数估计」类构造论证题：每条棱能「照顾」到的面数有限，用它来估计最少需要几条白棱，再构造实例。
关键切入点：关键在于：正方体每条棱恰好属于 $2$ 个面，也就是一条白棱最多能让 $2$ 个面达标。要让 $6$ 个面全达标，白棱条数至少是 $6\div 2=3$；再指出确实存在 $3$ 条棱（例如同一个顶点引出的三条棱）能覆盖全部 $6$ 个面，下界即可达到。
方法概述：用「每条棱最多覆盖 2 个面」求下界 6÷2=3，再构造 3 条棱的染法。
规范步骤：
  1. 数清面数：正方体共有 $6$ 个面（立体图形性质）
  2. 看一条棱能覆盖几个面：每条棱恰好在 $2$ 个面上（棱是两个面的公共边）
  3. 求下界：$6\div 2=3$（条）（总需求 ÷ 单个上限）
  4. 构造实例：取 $3$ 条两两错开（不共顶点、方向各不相同）的棱，每条管 $2$ 个面，恰好覆盖全部 $6$ 个面（构造达到下界）
  5. 写出答案：最少 $3$ 条白棱
第一套
题目：把正方体的所有棱染成白色或红色，要求每个面上至少有 $2$ 条棱是白色的。请问：最少有多少条棱是白色的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算总需求）：$6$ 个面每个面都要 $2$ 条白棱，一共需要 $6\times 2=\underline{\quad}$ 个「面·棱」达标次数。
  2. 第 2 步（看单条棱的上限）：每条棱只在 \underline{\quad} 个面上，所以一条白棱最多提供这么多次达标。
  3. 第 3 步（求下界）：白棱条数至少 $12\div 2=\underline{\quad}$ 条。
  4. 第 4 步（构造）：取某个顶点引出的 $3$ 条棱，再取它对顶点引出的 $3$ 条棱，一共 $3+3=\underline{\quad}$ 条。每个面都恰好含这两个顶点中的一个，于是恰好含其中 $2$ 条棱，达到下界。
  5. 第 5 步：答案是 \underline{\quad} 条。
第二套
题目：一个正方体铁丝框架的 $12$ 条棱要涂防锈漆或普通漆，要求正方体的每个面上至少有一条棱涂了防锈漆。请问：最少要涂多少条防锈漆的棱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：正方体共有 \underline{\quad} 个面需要照顾。
  2. 第 2 步：每条棱恰好在 \underline{\quad} 个面上，一条棱最多让这么多个面达标。
  3. 第 3 步：所以至少需要 $6\div 2=\underline{\quad}$ 条。
  4. 第 4 步：取 $3$ 条两两错开、方向各不相同的棱，它们所在的面互不重复，共覆盖 $3\times 2=\underline{\quad}$ 个面，恰好是全部 $6$ 个面，下界达到。
第三套
题目：把一个三棱柱（$2$ 个三角形面、$3$ 个长方形面，共 $9$ 条棱）的所有棱染成白色或红色，要求每个面上至少有一条棱是白色的。请问：最少有多少条棱是白色的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数面）：三棱柱共有 $2+3=\underline{\quad}$ 个面。
  2. 第 2 步（单棱上限）：每条棱仍恰好在 \underline{\quad} 个面上。
  3. 第 3 步（求下界）：$5\div 2=2.5$，白棱条数是整数，所以至少要 \underline{\quad} 条（不足 $3$ 条时最多只能覆盖 $2\times 2=4<5$ 个面）。
  4. 第 4 步（构造）：取上底的一条棱（覆盖上三角形与一个长方形面）、下底的一条棱（覆盖下三角形与另一个长方形面）、以及一条竖棱（覆盖余下的长方形面），共 \underline{\quad} 条即可。
第三套
题目：把正方体的所有 $12$ 条棱染成白色或红色，要求每个面上至少有一条棱是白色的。请问：（1）最少有多少条棱是白色的？（2）这时红色的棱最多有多少条？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（下界）：每条棱在 \underline{\quad} 个面上，$6$ 个面至少需要 $6\div 2=\underline{\quad}$ 条白棱。
  2. 第 2 步（构造）：取 $3$ 条两两错开、方向各不相同的棱，它们所在的面互不重复，恰好覆盖全部 $6$ 个面，所以白棱可以只有 $3$ 条。
  3. 第 3 步（第 2 问·补集思想）：白棱越少，红棱就越多；白棱最少 $3$ 条时红棱最多，为 $12-3=\underline{\quad}$ 条。
  4. 第 4 步（检验）：白棱 $3$ 条 + 红棱 $9$ 条 $=3+9=\underline{\quad}$ 条，与总棱数相符。
28. 【原题 ch23-xingqu-06】请在 $9,8,\cdots,3,2,1$ 的相邻两个数之间填入“$+$”或者“$-$”（不能改变数的顺序），使得结果是1。能否使得结果为0呢？
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶性分析 + 和差问题 + 构造」类题：在一串数之间填 $+$、$-$，要求结果为指定值；能不能做到用奇偶性判定，怎么做到用和差问题算出「取正的一组」与「取负的一组」各是多少。
关键切入点：关键是把添号问题翻译成：设取 $+$ 的数之和为 $x$、取 $-$ 的数之和为 $y$，则 $x+y=1+2+\cdots+9=45$（和），$x-y=1$（差）。由和差问题得 $x=(45+1)\div 2=23$，$y=(45-1)\div 2=22$。只要在和为 $22$ 的那些数前面填 $-$ 即可。要结果为 $0$，则 $x=y=45\div 2$ 不是整数，所以不可能——本质上是「总和 $45$ 是奇数，添号不改变奇偶性」。
方法概述：把添号转化为和差问题求出取正、取负两组的和，再挑数构造；用总和的奇偶性判断结果 0 是否可能。
规范步骤：
  1. 求全部数的总和：$1+2+\cdots+9=45$（等差数列求和）
  2. 设取正的和为 x、取负的和为 y：$x+y=45,\ x-y=1$（添号即分成两组作差）
  3. 用和差问题求 x：$x=(45+1)\div 2=23$（大数=(和+差)÷2）
  4. 求 y：$y=(45-1)\div 2=22$（小数=(和-差)÷2）
  5. 挑出和为 22 的数填减号：$1+2+3+4+5+7=22$（构造实例）
  6. 写出算式：$9+8-7+6-5-4-3-2-1=1$（验算）
  7. 判断结果 0：$45\div 2$ 不是整数（$45$ 是奇数），故不可能为 $0$（奇偶性分析）
第一套
题目：请在 $12,11,10,\cdots,2,1$ 的相邻两个数之间填入「$+$」或「$-$」（不能改变数的顺序），使得结果是 $2$。能否使得结果为 $1$ 呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求总和）：$1+2+\cdots+12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（转成和差问题）：设取「$+$」的数之和为 $x$、取「$-$」的数之和为 $y$，则 $x+y=78$，$x-y=2$。
  3. 第 3 步（求取正的一组）：$x=(78+2)\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求取负的一组）：$y=(78-2)\div 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（挑数构造）：从 $11$ 往下挑，$11+10+9+8=\underline{\quad}$，恰好等于 $y$，就把这 $4$ 个数前面填「$-$」。
  6. 第 6 步（写算式验算）：$12-11-10-9-8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步（判断结果 1）：总和 $78$ 是偶数，添号后结果的奇偶性与 $78$ 相同，只能是偶数，而 $1$ 是奇数，所以**不能**；也可从 $(78+1)\div 2$ 不是整数看出，$78+1=\underline{\quad}$ 是奇数。
第二套
题目：电梯从 $12$ 楼出发，依次按 $12,11,10,\cdots,2,1$ 的顺序把每个数当作一次「上升」或「下降」的层数（第一个数 $12$ 记为上升），要求最后净上升 $2$ 层。请给出一种上升、下降的安排。还能不能让净上升恰好 $1$ 层？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：所有层数之和 $1+2+\cdots+12=\underline{\quad}$（层）。
  2. 第 2 步：设上升的层数之和为 $x$、下降的为 $y$，则 $x+y=78$，$x-y=2$。
  3. 第 3 步：$x=(78+2)\div 2=\underline{\quad}$（层）。
  4. 第 4 步：$y=(78-2)\div 2=\underline{\quad}$（层）。
  5. 第 5 步：挑出和为 $y$ 的层数 $11+10+9+8=\underline{\quad}$，让这四次都下降。
  6. 第 6 步：验算净升 $12-11-10-9-8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$（层）。
  7. 第 7 步：净升 $1$ 层做不到，因为总和 $78$ 是偶数，净升只能是偶数，$78+1=\underline{\quad}$ 是奇数，$(78+1)\div 2$ 不是整数。
第三套
题目：请在 $10,9,8,\cdots,2,1$ 的相邻两个数之间填入「$+$」或「$-$」（不能改变数的顺序），使得结果是 $5$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+10=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（和差问题）：取正的一组之和 $x=(55+5)\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：取负的一组之和 $y=(55-5)\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（挑数）：$9+8+7+1=\underline{\quad}$，恰为 $y$，把这 $4$ 个数前填「$-$」。
  5. 第 5 步（验算）：$10-9-8-7+6+5+4+3+2-1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：请在 $16,15,14,\cdots,2,1$ 的相邻两个数之间填入「$+$」或「$-$」（不能改变数的顺序）。（1）能否使结果为 $3$？（2）请构造出结果为 $4$ 的一种填法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+16=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 1 问·奇偶判定）：把某个数由「$+$」改成「$-$」，结果减少这个数的 $2$ 倍，是偶数，所以结果与总和 $136$ 同奇偶，只能是偶数；$3$ 是奇数，**不能**。也可看 $(136+3)\div 2$：$136+3=\underline{\quad}$ 是奇数，除不尽。
  3. 第 3 步（第 2 问·和差问题）：取正的一组之和 $x=(136+4)\div 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：取负的一组之和 $y=(136-4)\div 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（挑数）：$15+14+13+12+11+1=\underline{\quad}$，恰为 $y$。
  6. 第 6 步（验算）：$16-15-14-13-12-11+10+9+8+7+6+5+4+3+2-1=\underline{\quad}$。
29. 【原题 ch23-xingqu-07】如图23-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边上的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由。
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶性分析（抽屉原理思想）」类论证题：判断能不能填出满足条件的数，靠的是奇偶性的抽屉，而不是试算。
关键切入点：关键在于：自然数只有奇、偶两类（两个抽屉），三角形有 $3$ 个顶点，$3>2$，必有两个顶点上的数奇偶性相同，它们所连的那条边上两数之和就是偶数，不可能都为奇数。换个说法：沿三角形的三条边走一圈，奇偶必须一次次交替，但三角形是奇数长的圈，绕回起点时会自相矛盾。
方法概述：用「3 个数必有 2 个同奇偶（抽屉原理）」说明存在一条边的两数同奇偶，其和为偶数，故不可能。
规范步骤：
  1. 分类：自然数按奇偶只有 $2$ 类（两个抽屉）
  2. 用抽屉原理：$3$ 个顶点放进 $2$ 类，必有 $2$ 个顶点同类（3>2）
  3. 看这条边：同奇偶两数之和为偶数，如 $1+3=4$ 或 $2+4=6$（奇+奇=偶，偶+偶=偶）
  4. 得出矛盾：这条边的和是偶数，不满足「都是奇数」（反证）
  5. 写出结论：不可能
第一套
题目：能否在五边形的五个顶点上各填一个自然数，使得每条边上的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看一条边的要求）：两数之和是奇数，必须一奇一偶，例如 $1+2=\underline{\quad}$ 是奇数。
  2. 第 2 步（沿边走一圈）：于是相邻顶点必须「奇、偶、奇、偶……」交替，从第 $1$ 个顶点是奇数出发，第 $2$ 个偶、第 $3$ 个奇、第 $4$ 个偶、第 $5$ 个奇。
  3. 第 3 步（回到起点）：第 $5$ 个顶点与第 $1$ 个顶点相邻，可它们都是奇数，其和为偶数，例如 $1+1=\underline{\quad}$，不是奇数。
  4. 第 4 步（找出根源）：交替一圈要能回到起点，圈上的顶点数必须是偶数，而五边形有 \underline{\quad} 个顶点，是奇数，所以**不能**。
第二套
题目：三名同学围成一圈，每人手里各拿一张写着自然数的卡片。能否使得任意相邻两人手中卡片上的数之和都是奇数？如果能请举例，如果不能请说明理由。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：相邻两数之和为奇数，必须一奇一偶，例如 $1+2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$3$ 个数按奇偶只有 $2$ 类，必有两人手中的数同奇偶（抽屉原理），这两人若相邻，其和就是偶数，如 $1+3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：三人围成一圈时每两人都相邻，所以一定出现和为偶数的一对，**不能**做到。
第三套
题目：能否在四边形的四个顶点上各填一个自然数，使得每条边上的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（要求）：每条边两端必须一奇一偶。
  2. 第 2 步（交替填）：四边形是 $4$ 边的圈，$4$ 是偶数，奇偶可以交替一圈回到起点。按顺序填 $1,2,3,4$。
  3. 第 3 步（逐边验算）：$1+2=\underline{\quad}$，$2+3=\underline{\quad}$，$3+4=\underline{\quad}$，$4+1=\underline{\quad}$，全是奇数。
第三套
题目：在五边形的五个顶点上各填一个自然数。（1）能否使每条边上两个顶点的数之和都是奇数？（2）能否使每条边上两个顶点的数之和都是偶数？能则举例，不能请说明理由。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问）：和为奇数要求相邻一奇一偶，沿五边形交替一圈，第 $5$ 个顶点与第 $1$ 个顶点同奇偶，其和为偶数，如 $1+1=\underline{\quad}$，矛盾，所以**不能**。
  2. 第 2 步（找根源）：奇偶交替能绕回起点的圈长必须是偶数，而 $5$ 是奇数。
  3. 第 3 步（第 2 问）：和为偶数只要相邻两数同奇偶，全部填奇数即可，例如都填 $1$：每边的和 $1+1=\underline{\quad}$，是偶数。
  4. 第 4 步（另一种）：全部填偶数也行，例如都填 $2$，每边的和 $2+2=\underline{\quad}$。
30. 【原题 ch23-xingqu-08】能否将 $1,2,3,4,5$ 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3？
详细思路
是哪类问题：这是「构造法（给出方案）」类题：只要找出一个满足全部相邻约束的圆排列即可，答案是一种排法。
关键切入点：关键在于从一个数出发按约束一步步延伸：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3$ 和 $4$，所以 $1$ 的两个邻居只能是 $3,4$；再从 $3$ 往外接，只能接 $5$（$3$ 的另一个邻居）；这样链条被逼得几乎唯一，最后得到 $1,4,2,5,3$ 成环。
方法概述：从受限最紧的数 1 出发，按「相邻差只能是 2 或 3」逐步延伸成环。
规范步骤：
  1. 锁定 1 的邻居：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的数只有 $3,4$（|1-3|=2, |1-4|=3）
  2. 接着延伸：排成 $1,4,2,5,3$ 首尾相接的圆圈（逐步延伸）
  3. 逐对验算：$|1-4|=3,\ |4-2|=2,\ |2-5|=3,\ |5-3|=2,\ |3-1|=2$（全部为 2 或 3）
  4. 写出答案：能，$1,4,2,5,3$ 即可
第一套
题目：能否将 $1,2,3,4,5,6$ 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 $2$、$3$ 或 $4$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先看约束最紧的数）：与 $1$ 相差 $2,3,4$ 的数只有 $3,4,5$，所以 $1$ 的两个邻居要从中挑。
  2. 第 2 步（延伸成环）：试着排成 $1,3,5,2,6,4$ 首尾相接。
  3. 第 3 步（逐对验算）：$3-1=\underline{\quad}$，$5-3=\underline{\quad}$，$5-2=\underline{\quad}$，$6-2=\underline{\quad}$，$6-4=\underline{\quad}$，$4-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$6$ 个差全都落在 $\{2,3,4\}$ 里，所以**能**。
第二套
题目：$6$ 名同学的学号分别是 $1$ 到 $6$，他们要围成一圈做游戏，要求相邻两人学号之差都是 $2$、$3$ 或 $4$。能否排出这样的圈？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：学号 $1$ 的邻居只能从 $3,4,5$ 中选（差要落在 $\{2,3,4\}$）。
  2. 第 2 步：按 $1,3,5,2,6,4$ 的顺序围圈试试。
  3. 第 3 步：逐对算差 $3-1=\underline{\quad}$，$5-3=\underline{\quad}$，$5-2=\underline{\quad}$，$6-2=\underline{\quad}$，$6-4=\underline{\quad}$，$4-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：全部合格，所以**能**排出。
第三套
题目：能否将 $1,2,3,4,5,6,7$ 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 $2$、$3$ 或 $4$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（从 1 出发）：与 $1$ 相差 $2,3,4$ 的只有 $3,4,5$。
  2. 第 2 步（逐步延伸）：试排 $1,3,6,2,4,7,5$ 首尾相接。
  3. 第 3 步（逐对验算）：$3-1=\underline{\quad}$，$6-3=\underline{\quad}$，$6-2=\underline{\quad}$，$4-2=\underline{\quad}$，$7-4=\underline{\quad}$，$7-5=\underline{\quad}$，$5-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$7$ 个差都在 $\{2,3,4\}$ 中，所以**能**。
第三套
题目：（1）能否将 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 围成一个圆圈，使得相邻两数之差都是 $2$、$3$ 或 $4$？（2）能否将 $1,2,3,4,5,6,7$ 围成一个圆圈，使得相邻两数之差都是 $2$ 或 $3$？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·构造）：试排 $1,3,7,4,2,6,8,5$ 首尾相接，逐对算差：$3-1=\underline{\quad}$，$7-3=\underline{\quad}$，$7-4=\underline{\quad}$，$4-2=\underline{\quad}$，$6-2=\underline{\quad}$，$8-6=\underline{\quad}$，$8-5=\underline{\quad}$，$5-1=\underline{\quad}$，全在 $\{2,3,4\}$ 中，**能**。
  2. 第 2 步（第 2 问·先锁死链条）：差只能是 $2$ 或 $3$ 时，$1$ 的邻居只能是 $3,4$；$2$ 的邻居只能是 $4,5$；$7$ 的邻居只能是 $4,5$。
  3. 第 3 步（数一数）：$4$ 要同时当 $1$、$2$、$7$ 三者中至少两个的邻居，但圆圈上每个数只有 \underline{\quad} 个邻居，把 $2$ 与 $7$ 的邻居需求算下来，$4$ 与 $5$ 一共只能提供 $2\times 2=\underline{\quad}$ 个邻位，却要照顾 $1,2,7$ 三个数的 $3\times 2=\underline{\quad}$ 个邻位需求中的绝大部分，无法配平。
  4. 第 4 步：逐一试完所有链条都无法把 $7$ 个数连成圈，所以第 2 问**不能**。
31. 【原题 ch23-xingqu-09】四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场。这四位同学回答分别比了 $1,2,3,3$ 场。老师说：“你们肯定有人记错了。”请问：老师是怎么知道的呢？
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶性分析（握手定理思想）」类论证题：判断一组「各人比赛场数」的数据是否自洽，靠总和的奇偶性。
关键切入点：关键在于一场比赛会同时被两名选手各记 $1$ 场，所以每多打一场，所有人场数的总和就增加 $2$；总和从 $0$ 出发一直加 $2$，必然是偶数。而 $1+2+3+3=9$ 是奇数，与「总和必为偶数」矛盾，所以数据一定有误。
方法概述：用「每场比赛使总场数增加 2，故总和必为偶数」判断数据的奇偶矛盾。
规范步骤：
  1. 看一场比赛的贡献：一场比赛使两人的场数各加 $1$，总和加 $2$（握手定理思想）
  2. 得出总和的性质：总场数之和 $=$ 比赛场次 $\times 2$，必为偶数（偶数倍）
  3. 算出题中的总和：$1+2+3+3=9$（求和）
  4. 指出矛盾：$9$ 是奇数，不可能等于偶数（奇偶矛盾）
  5. 写出结论：一定有人记错了
第一套
题目：六位同学进行乒乓球单打比赛，赛后他们分别说自己比了 $1,2,3,4,5,4$ 场。请说明这些数据中一定有人记错了。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一场比赛的贡献）：一场比赛使两人各加 $1$ 场，所有人场数之和增加 \underline{\quad} 场。
  2. 第 2 步（总和的性质）：总和 $=$ 比赛场次 $\times 2$，一定是偶数。
  3. 第 3 步（算总和）：$1+2+3+4+5+4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（判断奇偶）：$19$ 除以 $2$ 余 \underline{\quad}，是奇数，与「必为偶数」矛盾。
  5. 第 5 步：所以一定有人记错了。
第二套
题目：六位棋手进行象棋对局，赛后统计每人的对局数分别是 $1,2,3,4,5,4$ 局。裁判说：「统计一定出错了。」请说明理由。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：一局棋使两名棋手的局数各加 $1$，总和增加 \underline{\quad} 局。
  2. 第 2 步：所以所有人局数之和 $=$ 总对局数 $\times 2$，必为偶数。
  3. 第 3 步：题中总和为 $1+2+3+4+5+4=\underline{\quad}$（局）。
  4. 第 4 步：$19$ 是奇数（$19-18=\underline{\quad}$），与结论矛盾，故统计出错。
第三套
题目：五位同学进行羽毛球单打比赛，他们说自己分别比了 $1,2,2,3,3$ 场。请判断这些数据是否可能，并说明理由。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每场比赛使总场数之和增加 \underline{\quad}，故总和必为偶数。
  2. 第 2 步：算总和 $1+2+2+3+3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$11$ 是奇数（$11-10=\underline{\quad}$），与必为偶数矛盾。
  4. 第 4 步：所以这组数据不可能，一定有人记错。
第三套
题目：六位同学进行乒乓球单打比赛，赛后统计每人的场数为 $2,2,3,3,4,4$。（1）这组数据是否可能？若可能，一共进行了多少场比赛？（2）如果有人说自己比了 $6$ 场，可能吗？为什么？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 1 问·先验奇偶）：总和 $2+2+3+3+4+4=\underline{\quad}$，是偶数，没有奇偶矛盾。
  2. 第 2 步（算场次）：总场数 $=$ 总和 $\div 2=18\div 2=\underline{\quad}$（场）。
  3. 第 3 步（第 2 问·上界分析）：一共 $6$ 人，每人最多能和其他 $6-1=\underline{\quad}$ 人各比一场（同一对最多算一场），所以每人的场数最多是 \underline{\quad} 场。
  4. 第 4 步（判断）：$6>5$，所以说自己比了 $6$ 场是不可能的。
32. 【原题 ch23-xingqu-10】$a_1,a_2,\cdots,a_{2011}$ 是1到2011的一个排列，请问 $(a_1-1)(a_2-2)\cdots(a_{2011}-2011)$ 是偶数还是奇数？并说明理由。
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶性分析 + 排列求和」类论证题：判断一个大乘积的奇偶，不必算出乘积，只要证明其中至少有一个因数是偶数。
关键切入点：关键在于把所有因数加起来：$(a_1-1)+(a_2-2)+\cdots+(a_{2011}-2011)$ 中，$a_1,\dots,a_{2011}$ 恰好是 $1$ 到 $2011$ 的重排，两个和相等，作差为 $0$，是偶数。若这 $2011$ 个因数全是奇数，则「奇数个奇数之和」是奇数，与 $0$ 是偶数矛盾。所以至少有一个因数是偶数，乘积必为偶数。
方法概述：先证各因数之和为 0（偶数），再用「奇数个奇数之和为奇数」反证必有偶因数。
规范步骤：
  1. 把所有因数相加：$(a_1-1)+\cdots+(a_{2011}-2011)=(a_1+\cdots+a_{2011})-(1+\cdots+2011)$（拆开重组）
  2. 利用排列的性质：两个括号里都是 $1$ 到 $2011$ 的和，差为 $0$（重排不改变总和）
  3. 判定这个和的奇偶：$0$ 是偶数（奇偶判定）
  4. 反证：若 $2011$ 个因数全为奇数，则和为奇数个奇数之和 $=$ 奇数，与 $0$ 为偶数矛盾（奇偶反证）
  5. 得出结论：必有某个因数是偶数，故乘积是偶数
第一套
题目：$a_1,a_2,\cdots,a_{2025}$ 是 $1$ 到 $2025$ 的一个排列，请问 $(a_1-1)(a_2-2)\cdots(a_{2025}-2025)$ 是偶数还是奇数？并说明理由。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把所有因数相加）：$(a_1-1)+\cdots+(a_{2025}-2025)=(a_1+\cdots+a_{2025})-(1+\cdots+2025)$。
  2. 第 2 步（用排列性质）：重排不改变总和，两部分相等，差为 $2025-2025=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（判奇偶）：因数的个数是 $2025$，它除以 $2$ 余 \underline{\quad}，是奇数。
  4. 第 4 步（反证）：若这 $2025$ 个因数全是奇数，则「奇数个奇数之和」是奇数，但它们的和是 $0$（偶数），矛盾。
  5. 第 5 步：所以至少有一个因数是偶数，乘积是**偶数**。
第二套
题目：$2025$ 名同学原来的座位号是 $1$ 到 $2025$，换座后每人的新座位号 $a_1,a_2,\cdots,a_{2025}$ 恰好又是 $1$ 到 $2025$ 的一个排列。把每人的「新号减旧号」全部乘起来，得到的积是奇数还是偶数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把所有差相加，$(a_1-1)+\cdots+(a_{2025}-2025)$ 中新号总和与旧号总和相等，差为 $2025-2025=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：差的个数是 $2025$ 个，$2025$ 除以 $2$ 余 \underline{\quad}，是奇数个。
  3. 第 3 步：若这些差全是奇数，奇数个奇数之和应是奇数，与和为 $0$（偶数）矛盾。
  4. 第 4 步：所以至少有一位同学的「新号减旧号」是偶数，乘积是**偶数**。
第三套
题目：$a_1,a_2,\cdots,a_{99}$ 是 $1$ 到 $99$ 的一个排列，请问 $(a_1-1)(a_2-2)\cdots(a_{99}-99)$ 是偶数还是奇数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：所有因数之和 $=(a_1+\cdots+a_{99})-(1+\cdots+99)$。由等差数列求和，$1+2+\cdots+99=(1+99)\times 99\div 2=\underline{\quad}$，两部分都是它，差为 \underline{\quad}。
  2. 第 2 步：因数共 $99$ 个，是奇数个（$99-98=\underline{\quad}$）。
  3. 第 3 步：若全为奇数，和应为奇数，与 $0$ 为偶数矛盾。
  4. 第 4 步：所以乘积是**偶数**。
第三套
题目：$a_1,a_2,\cdots,a_{2024}$ 是 $1$ 到 $2024$ 的一个排列，$(a_1-1)(a_2-2)\cdots(a_{2024}-2024)$ 一定是偶数吗？如果不一定，请举出使它为奇数的一种排列。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先看和）：所有因数之和仍为 $2024-2024=\underline{\quad}$，是偶数。
  2. 第 2 步（关键差别）：这次因数有 $2024$ 个，是**偶数**个，$2024$ 除以 $2$ 余 \underline{\quad}；偶数个奇数之和本来就是偶数，与 $0$ **不矛盾**，原来的反证失效。
  3. 第 3 步（构造反例）：把相邻两数两两交换，即取排列 $2,1,4,3,6,5,\cdots,2024,2023$。这时每个因数是 $2-1=\underline{\quad}$ 或 $1-2=\underline{\quad}$，全是奇数。
  4. 第 4 步（数一数）：这样的交换共 $2024\div 2=\underline{\quad}$ 对，每对贡献两个奇因数，乘积是奇数。
  5. 第 5 步：所以**不一定**是偶数。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch23-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（第 1 问·找配对）：$1+8=\underline{9}$，$2+7=\underline{9}$，$3+6=\underline{9}$，$4+5=\underline{9}$，每一对的两次合起来恰好把 $9$ 枚各翻一遍。
    2. 第 2 步（数抵消次数）：前 $8$ 次共 $4$ 对，每枚硬币被翻 \underline{4} 次，是偶数，等于没翻。
    3. 第 3 步（收尾）：第 $9$ 次翻全部 $9$ 枚，每枚共被翻 $4+1=\underline{5}$ 次，是奇数，全部翻过来，所以**能**。
    4. 第 4 步（第 2 问·算总枚次）：$1+2+\cdots+10=(1+10)\times 10\div 2=\underline{55}$。
    5. 第 5 步（奇偶分析）：若 $10$ 枚都翻过来，每枚都要被翻奇数次，$10$ 个奇数之和是偶数；而 $55$ 是奇数（$55-54=\underline{1}$），矛盾，所以**不能**。
    最终答案：（1）能；（2）不能，总翻动枚次 $55$ 是奇数，而 $10$ 个奇数之和必为偶数。
  2. 1. ch23-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步：配对 $1+8=\underline{9}$，$2+7=\underline{9}$，$3+6=\underline{9}$，$4+5=\underline{9}$，每对合起来把 $9$ 张各翻一遍。
    2. 第 2 步：前 $8$ 次让每张被翻 \underline{4} 次（偶数），等于没翻。
    3. 第 3 步：第 $9$ 次翻全部，每张共翻 $4+1=\underline{5}$ 次（奇数），全部翻过来，所以**能**。
    4. 第 4 步：$10$ 张时总翻动张次 $(1+10)\times 10\div 2=\underline{55}$，是奇数（$55-54=\underline{1}$），而 $10$ 个奇数之和为偶数，矛盾，**不能**。
    最终答案：（1）能；（2）不能。
  3. 1. ch23-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问·算总枚次）：$1+2+\cdots+7=(1+7)\times 7\div 2=\underline{28}$。
    2. 第 2 步（奇偶分析）：若 $7$ 枚都翻过来，每枚要翻奇数次，$7$ 个奇数之和是奇数；而总枚次 $28$ 是偶数（$28\div 2=\underline{14}$），矛盾，**不能**。
    3. 第 3 步（第 2 问·算总枚次）：$1+2+\cdots+13=(1+13)\times 13\div 2=\underline{91}$，是奇数，与 $13$ 个奇数之和为奇数一致，没有矛盾。
    4. 第 4 步（构造）：配对 $1+12=\underline{13}$，$2+11=13$，……，$6+7=13$，共 $6$ 对，每对把 $13$ 枚各翻一遍，前 $12$ 次让每枚被翻 \underline{6} 次（偶数）。
    5. 第 5 步（收尾）：第 $13$ 次翻全部，每枚共被翻 $6+1=\underline{7}$ 次（奇数），全部翻过来，所以**能**。
    最终答案：（1）不能；（2）能。
  4. 1. ch23-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（算总翻动枚次）：$1+2+3+4+4=\underline{14}$（枚次）。
    2. 第 2 步（看每枚的要求）：要让每枚硬币都翻过来，每枚都必须被翻奇数次。
    3. 第 3 步（$5$ 个奇数之和）：$5$ 个奇数相加是奇数（奇数个奇数之和为奇数），最小的情形是 $1\times 5=\underline{5}$，无论多大都保持奇数。
    4. 第 4 步（判奇偶）：总枚次 $14$ 是偶数（$14\div 2=\underline{7}$），与「必为奇数」矛盾。
    5. 第 5 步（对照原题）：原来五次是 $1,2,3,4,5$，总枚次 $1+2+3+4+5=\underline{15}$，是奇数，才可行；现在改成 $4$ 就破坏了这个奇偶条件。
    6. 第 6 步（结论）：所以**不能**。
    最终答案：不能。总翻动枚次为 $14$（偶数），而 $5$ 枚各翻奇数次的总和必为奇数，矛盾。
  5. 2. ch23-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（分成核心与外围）：选 $4$ 人（记为 $A,B,C,D$）作核心，另外 $6-4=\underline{2}$ 人（记为 $E,F$）作外围。
    2. 第 2 步（外围先上交）：$E$ 打给 $A$、$F$ 打给 $B$，用 \underline{2} 次电话，把外围的消息交到核心手里。
    3. 第 3 步（核心内部传遍）：核心 $4$ 人用原题的四次方案 $A\!-\!B$、$C\!-\!D$、$A\!-\!C$、$B\!-\!D$，用 \underline{4} 次，此时核心 $4$ 人都知道全部 $6$ 条消息。
    4. 第 4 步（再发回外围）：$A$ 打给 $E$、$B$ 打给 $F$，又用 \underline{2} 次。
    5. 第 5 步（合计）：$2+4+2=\underline{8}$（次），正好 $8$ 次。
    最终答案：方案：$E\!-\!A$、$F\!-\!B$、$A\!-\!B$、$C\!-\!D$、$A\!-\!C$、$B\!-\!D$、$A\!-\!E$、$B\!-\!F$，共 $8$ 次。
  6. 2. ch23-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步：选 $4$ 个分部作核心，其余 $6-4=\underline{2}$ 个作外围。
    2. 第 2 步：两个外围分部各向一个核心分部连线一次，共 \underline{2} 次，情报全部汇入核心。
    3. 第 3 步：核心 $4$ 个分部按「$A\!-\!B$、$C\!-\!D$、$A\!-\!C$、$B\!-\!D$」连线 \underline{4} 次，核心全部掌握 $6$ 条情报。
    4. 第 4 步：核心再各向一个外围分部连线，共 \underline{2} 次。
    5. 第 5 步：合计 $2+4+2=\underline{8}$（次）。
    最终答案：共 $8$ 次连线即可。
  7. 2. ch23-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（分组）：取 $4$ 人作核心，另 $8-4=\underline{4}$ 人作外围。
    2. 第 2 步（上交）：$4$ 个外围各打给一个核心，用 \underline{4} 次。
    3. 第 3 步（核心传遍）：核心内部用 \underline{4} 次（$A\!-\!B$、$C\!-\!D$、$A\!-\!C$、$B\!-\!D$），此时核心 $4$ 人都知道全部 $8$ 条。
    4. 第 4 步（发回）：$4$ 个核心各打回一个外围，又用 \underline{4} 次。
    5. 第 5 步（合计）：$4+4+4=\underline{12}$（次）。
    最终答案：共 $12$ 次：$4$ 次上交、$4$ 次核心内部传遍、$4$ 次发回。
  8. 2. ch23-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（沿用三段法）：取 $4$ 人作核心，外围 $10-4=\underline{6}$ 人。
    2. 第 2 步（上交）：$6$ 个外围各打给一个核心（可以重复打给同一个核心），用 \underline{6} 次。
    3. 第 3 步（核心传遍）：核心 $4$ 人内部用 \underline{4} 次。
    4. 第 4 步（发回）：核心再打回 $6$ 个外围，用 \underline{6} 次。
    5. 第 5 步（合计）：$6+4+6=\underline{16}$（次）。
    6. 第 6 步（找规律写公式）：外围 $n-4$ 人要上交与发回各一次，共 $2(n-4)$ 次，加上核心的 $4$ 次，总次数为 $2(n-4)+4=2n-4$；用 $n=10$ 检验：$2\times 10-4=\underline{16}$，与第 5 步一致。
    7. 第 7 步（再用 n=4、n=6 检验）：$2\times 4-4=\underline{4}$，$2\times 6-4=\underline{8}$，都与前面的结果相符。
    最终答案：（1）$16$ 次；（2）$n\geqslant 4$ 时需要 $2n-4$ 次。
  9. 3. ch23-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（单边·数状态）：每个砝码只有「放」「不放」\underline{2} 种状态，$n$ 个砝码共 $2^n$ 种组合，去掉全不放的一种，有效重量最多 $2^n-1$ 种。
    2. 第 2 步（试 n）：$2^5-1=\underline{31}$，比 $60$ 小，不够；$2^6-1=\underline{63}$，$63\geqslant 60$，够了，所以要 \underline{6} 个。
    3. 第 3 步（构造）：取 $1,2,4,8,16,32$，其和 $1+2+4+8+16+32=\underline{63}$，可表示 $1\sim 63$ 的每个整数。
    4. 第 4 步（双边·数状态）：每个砝码有「放右」「放左」「不放」\underline{3} 种状态，$n$ 个砝码有效重量最多 $\frac{3^n-1}{2}$ 种。
    5. 第 5 步（试 n）：$\frac{3^4-1}{2}=\underline{40}$，比 $100$ 小；$\frac{3^5-1}{2}=\underline{121}$，$121\geqslant 100$，所以要 \underline{5} 个。
    6. 第 6 步（构造）：取 $1,3,9,27,81$，其和 $1+3+9+27+81=\underline{121}$。
    最终答案：（1）至少 $6$ 个（如 $1,2,4,8,16,32$）；（2）至少 $5$ 个（如 $1,3,9,27,81$）。
  10. 3. ch23-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步：单边时每个砝码有 \underline{2} 种状态，$n$ 个砝码能称的重量最多 $2^n-1$ 种。
    2. 第 2 步：$2^5-1=\underline{31}$ 不够 $60$，$2^6-1=\underline{63}$ 够，所以 \underline{6} 个。
    3. 第 3 步：取 $1,2,4,8,16,32$，和为 $1+2+4+8+16+32=\underline{63}$（克）。
    4. 第 4 步：双边时每个砝码有 \underline{3} 种状态，能称的重量最多 $\frac{3^n-1}{2}$ 种。
    5. 第 5 步：$\frac{3^4-1}{2}=\underline{40}$ 不够 $100$，$\frac{3^5-1}{2}=\underline{121}$ 够，所以 \underline{5} 个，取 $1,3,9,27,81$，和为 $1+3+9+27+81=\underline{121}$（克）。
    最终答案：（1）至少 $6$ 个；（2）至少 $5$ 个。
  11. 3. ch23-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（单边）：$2^6-1=\underline{63}$，比 $100$ 小，不够；$2^7-1=\underline{127}$，$127\geqslant 100$，所以要 \underline{7} 个。
    2. 第 2 步（构造）：取 $1,2,4,8,16,32,64$，和为 $1+2+4+8+16+32+64=\underline{127}$。
    3. 第 3 步（双边）：$\frac{3^3-1}{2}=\underline{13}$，不够 $40$；$\frac{3^4-1}{2}=\underline{40}$，恰好等于 $40$，所以要 \underline{4} 个。
    4. 第 4 步（构造）：取 $1,3,9,27$，和为 $1+3+9+27=\underline{40}$，恰好 $40$，一个不多一个不少。
    最终答案：（1）至少 $7$ 个（如 $1,2,4,8,16,32,64$）；（2）至少 $4$ 个（$1,3,9,27$，恰好用尽）。
  12. 3. ch23-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问·数状态）：每个砝码有放右、放左、不放共 \underline{3} 种状态，$5$ 个砝码共 $3^5=\underline{243}$ 种组合。
    2. 第 2 步（去掉对称与零）：其中 $1$ 种是全不放（重量 $0$），其余对半分成正、负两批，有效重量有 $\frac{3^5-1}{2}=\underline{121}$ 种，所以最多能称 $1$ 至 \underline{121} 克。
    3. 第 3 步（第 2 问·给出砝码）：取 $1,3,9,27,81$，它们的和为 $1+3+9+27+81=\underline{121}$，与上界一致。
    4. 第 4 步（称 5 克）：把 $9$ 克砝码与物品分放两边，另一边再添 $1$ 克、$3$ 克，即 $9-3-1=\underline{5}$（克）。
    5. 第 5 步（称 37 克）：$27+9+1=\underline{37}$（克），三个砝码同放一边即可。
    最终答案：（1）最多能称 $1$ 至 $121$ 克；（2）砝码取 $1,3,9,27,81$；$5=9-3-1$，$37=27+9+1$。
  13. 4. ch23-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（先数空格）：$5\times 6=\underline{30}$ 个格子，站 $24$ 人，空格有 $30-24=\underline{6}$ 个，比人少得多，从空格入手更省事。
    2. 第 2 步（补集转换·行）：每行 $6$ 格，人数 $+$ 空格数 $=\underline{6}$，是偶数，所以「每行人数为偶」等价于「每行空格数为**偶**数」。
    3. 第 3 步（补集转换·列）：每列只有 $5$ 格，人数 $+$ 空格数 $=\underline{5}$，是奇数，所以「每列人数为偶」等价于「每列空格数为**奇**数」——这一点与行不同，是本题的关键。
    4. 第 4 步（安排空格）：$6$ 个空格要摊到 $6$ 列、每列奇数个，最省的办法是每列恰好 $1$ 个；再让它们挤在前 $3$ 行、每行 $2$ 个（偶数），取 $(1,1),(1,2),(2,3),(2,4),(3,5),(3,6)$。
    5. 第 5 步（验算行）：第 $1,2,3$ 行各空 $2$ 格，人数 $6-2=\underline{4}$；第 $4,5$ 行不空，人数 \underline{6}，都是偶数。
    6. 第 6 步（验算列）：每列恰空 $1$ 格，人数 $5-1=\underline{4}$，也是偶数；总人数 $4\times 6=\underline{24}$，与题目相符。
    最终答案：一种站法：空格取第 $1$ 行第 $1,2$ 列、第 $2$ 行第 $3,4$ 列、第 $3$ 行第 $5,6$ 列，其余 $24$ 格各站 $1$ 人；每行站 $4$ 或 $6$ 人、每列站 $4$ 人，都是偶数。
  14. 4. ch23-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（数空位）：$24-18=\underline{6}$（个空位）。
    2. 第 2 步（补集转换·行）：每行 $6$ 个车位，车数 $+$ 空位数 $=\underline{6}$，是偶数，所以「每行车数为偶」等价于「每行空位数为偶」。
    3. 第 3 步（补集转换·列）：每列 $4$ 个车位，车数 $+$ 空位数 $=\underline{4}$，也是偶数，同理。
    4. 第 4 步（安排空位）：把 $6$ 个空位放在第 $1$ 行第 $1,2$ 列、第 $2$ 行第 $1,3$ 列、第 $3$ 行第 $2,3$ 列，则第 $1,2,3$ 行各空 $2$ 个、第 $1,2,3$ 列各空 $2$ 个。
    5. 第 5 步（验算）：每行车数为 $6-2=\underline{4}$ 或 $6-0=\underline{6}$，每列车数为 $4-2=\underline{2}$ 或 $4-0=\underline{4}$，全是偶数。
    最终答案：一种停法：空位取 $(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)$，其余 $18$ 个车位各停 $1$ 辆。
  15. 4. ch23-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（数空格）：$24-20=\underline{4}$（个）。
    2. 第 2 步（补集转换）：每行 $6$ 格、每列 $4$ 格都是偶数，所以「人数为偶」等价于「空格数为偶」。
    3. 第 3 步（安排空格）：$4$ 个空格摆成一个「长方形」的四个角，取第 $1,2$ 行与第 $1,2$ 列的交叉处，即 $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$。
    4. 第 4 步（验算行）：第 $1,2$ 行各空 $2$ 格，人数 $6-2=\underline{4}$；第 $3,4$ 行不空，人数 \underline{6}，都是偶数。
    5. 第 5 步（验算列）：第 $1,2$ 列各空 $2$ 格，人数 $4-2=\underline{2}$；其余列人数 \underline{4}，都是偶数。
    最终答案：一种站法：空格取 $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$，其余 $20$ 格各站 $1$ 人。
  16. 4. ch23-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问·按行数）：$4$ 行的人数都是奇数，总人数是 $4$ 个奇数之和，$4$ 是偶数，所以总人数一定是**偶数**（最小的情形是 $1\times 4=\underline{4}$）。
    2. 第 2 步（按列复核）：$6$ 列的人数也都是奇数，总人数是 $6$ 个奇数之和，$6$ 也是偶数，结论一致。
    3. 第 3 步（第 2 问·定分布）：$12$ 人分到 $4$ 行，行人数都是奇数且和为 $12$，可取 $5,3,3,1$，因为 $5+3+3+1=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（定列分布）：$12$ 人分到 $6$ 列，列人数都是奇数且和为 $12$，可取 $3,3,3,1,1,1$，因为 $3+3+3+1+1+1=\underline{12}$。
    5. 第 5 步（拼出站法）：第 $1$ 行站第 $1\sim 5$ 列，第 $2$ 行站第 $1,2,3$ 列，第 $3$ 行站第 $1,2,3$ 列，第 $4$ 行站第 $6$ 列。
    6. 第 6 步（验算列）：第 $1$ 列 $3$ 人、第 $2$ 列 $3$ 人、第 $3$ 列 $3$ 人、第 $4$ 列 $1$ 人、第 $5$ 列 $1$ 人、第 $6$ 列 $1$ 人，合计 $3\times 3+1\times 3=\underline{12}$ 人，全是奇数。
    最终答案：（1）总人数必须是偶数；（2）例如第 $1$ 行站第 $1\sim 5$ 列、第 $2,3$ 行各站第 $1,2,3$ 列、第 $4$ 行站第 $6$ 列，共 $12$ 人，行人数 $5,3,3,1$、列人数 $3,3,3,1,1,1$，全是奇数。
  17. 6. ch23-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（第 1 问·锁定 1 的邻居）：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3,4$，所以 $1$ 的两侧只能是 $3,4$；同理 $6$ 的两侧只能是 $3,4$（$6-3=\underline{3}$，$6-4=\underline{2}$）。
    2. 第 2 步（数一数邻位）：$1$ 与 $6$ 都要占用 $3$、$4$ 作邻居，可 $3$ 和 $4$ 一共只能提供 $2\times 2=\underline{4}$ 个邻位，而 $1$、$2$、$6$ 三个数都只能从 $\{3,4,5\}$ 里找邻居，需求超过供给，配不出来，所以第 1 问**不能**。
    3. 第 3 步（第 2 问·放宽后构造）：允许差为 $4$ 之后试排 $1,3,5,2,6,4$。
    4. 第 4 步（逐对验算）：$3-1=\underline{2}$，$5-3=\underline{2}$，$5-2=\underline{3}$，$6-2=\underline{4}$，$6-4=\underline{2}$，$4-1=\underline{3}$，全在 $\{2,3,4\}$ 中，所以**能**。
    最终答案：（1）不能；（2）能，例如 $1,3,5,2,6,4$。
  18. 6. ch23-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3,4$；与 $6$ 相差 $2$ 或 $3$ 的也只有 $3,4$（$6-3=\underline{3}$，$6-4=\underline{2}$）。
    2. 第 2 步：$3$ 与 $4$ 一共只有 $2\times 2=\underline{4}$ 个邻位，却要同时满足 $1$、$2$、$6$ 的邻居需求，配不出来，所以第 1 问**不能**。
    3. 第 3 步：放宽到差为 $2,3,4$ 后，试排 $1,3,5,2,6,4$，逐对验算 $3-1=\underline{2}$，$5-3=\underline{2}$，$5-2=\underline{3}$，$6-2=\underline{4}$，$6-4=\underline{2}$，$4-1=\underline{3}$。
    4. 第 4 步：全部合格，所以第 2 问**能**。
    最终答案：（1）不能；（2）能，例如 $1,3,5,2,6,4$。
  19. 6. ch23-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问）：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3,4$；与 $8$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $5,6$（$8-5=\underline{3}$，$8-6=\underline{2}$）。从 $1$ 出发按约束逐条延伸，各条链都无法用全 $8$ 个数并闭合，所以**不能**。
    2. 第 2 步（第 2 问·构造）：允许差为 $4$ 后试排 $1,3,7,4,2,6,8,5$。
    3. 第 3 步（逐对验算）：$3-1=\underline{2}$，$7-3=\underline{4}$，$7-4=\underline{3}$，$4-2=\underline{2}$，$6-2=\underline{4}$，$8-6=\underline{2}$，$8-5=\underline{3}$，$5-1=\underline{4}$。
    4. 第 4 步：$8$ 个差全在 $\{2,3,4\}$ 中，所以**能**。
    最终答案：（1）不能；（2）能，例如 $1,3,7,4,2,6,8,5$。
  20. 6. ch23-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问）：与 $1$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $3,4$，与 $9$ 相差 $2$ 或 $3$ 的只有 $6,7$（$9-6=\underline{3}$，$9-7=\underline{2}$）。两端的数邻居都被卡死，从 $1$ 出发逐链延伸后都无法用全 $9$ 个数并闭合，所以**不能**。
    2. 第 2 步（第 2 问·构造）：放宽到 $\{2,3,4\}$ 后试排 $1,3,7,9,5,2,6,8,4$。
    3. 第 3 步（逐对验算）：$3-1=\underline{2}$，$7-3=\underline{4}$，$9-7=\underline{2}$，$9-5=\underline{4}$，$5-2=\underline{3}$，$6-2=\underline{4}$，$8-6=\underline{2}$，$8-4=\underline{4}$，$4-1=\underline{3}$，全在 $\{2,3,4\}$ 中，所以**能**。
    4. 第 4 步（第 3 问·汇总规律）：$n=5$ 能，$n=6,7,8,9$ 都不能。可见「差只能是 $2$ 或 $3$」时，除了 $n=\underline{5}$ 这一个特例，其余 $n$（$6$ 到 $9$）都排不出来——因为 $n$ 一大，两端的 $1$ 与 $n$ 各只有 $2$ 个候选邻居，可供分配的邻位共 $2\times 2=\underline{4}$ 个，无法同时照顾中间被卡住的那些数。
    最终答案：（1）不能；（2）能，例如 $1,3,7,9,5,2,6,8,4$；（3）差只能是 $2$ 或 $3$ 时，$5\sim 9$ 中只有 $n=5$ 可行。
  21. 7. ch23-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（反设）：若某个房间只配了 $1$ 把钥匙且在某甲手里，那么让除甲以外的另外 $13-1=\underline{12}$ 人入住，他们中无人能开这间房，却要住满 $12$ 间，做不到。
    2. 第 2 步（得下界）：所以每个房间至少要配 \underline{2} 把钥匙，总数至少 $12\times 2=\underline{24}$ 把。
    3. 第 3 步（构造）：让甲一人配齐 $12$ 个房间各 $1$ 把，共 \underline{12} 把；另外 $12$ 人每人配一个不同房间的钥匙，又 \underline{12} 把。
    4. 第 4 步（合计）：$12+12=\underline{24}$（把），恰好达到下界。
    5. 第 5 步（验证）：任意 $12$ 人入住时，非甲的人先进自己那间，甲最后进剩下的那间。
    最终答案：最少要配 $24$ 把钥匙。
  22. 7. ch23-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步：若某个柜子只配 $1$ 把钥匙且在某甲手里，让除甲外的 $13-1=\underline{12}$ 人来用，无人能开这个柜子，不合要求。
    2. 第 2 步：所以每个柜子至少 \underline{2} 把，总数至少 $12\times 2=\underline{24}$ 把。
    3. 第 3 步：构造——甲配齐 \underline{12} 把，其余 $12$ 人各配 $1$ 把不同柜子的钥匙共 \underline{12} 把。
    4. 第 4 步：合计 $12+12=\underline{24}$（把）。
    最终答案：最少要配 $24$ 把钥匙。
  23. 7. ch23-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（下界）：若某房只有 $1$ 把钥匙且在某甲手里，让除甲外的 $21-1=\underline{20}$ 人入住就开不了这间房，所以每房至少 \underline{2} 把。
    2. 第 2 步（算总数下界）：$20\times 2=\underline{40}$（把）。
    3. 第 3 步（构造）：甲配齐 $20$ 把，其余 $20$ 人各配 $1$ 把不同房间的钥匙，合计 $20+20=\underline{40}$（把）。
    4. 第 4 步（结论）：下界与构造都是 \underline{40} 把。
    最终答案：最少要配 $40$ 把钥匙。
  24. 7. ch23-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（反设）：若某个房间只配了 $2$ 把钥匙，设在甲、乙手里；让除甲、乙以外的 $11-2=\underline{9}$ 人入住，他们恰好要住满 $9$ 间，却无人能开这间房，做不到。
    2. 第 2 步（得下界）：所以每个房间至少要 \underline{3} 把钥匙（比原题多 $1$ 把），总数至少 $9\times 3=\underline{27}$ 把。
    3. 第 3 步（构造）：让甲、乙两人各配齐 $9$ 个房间的钥匙，共 $9\times 2=\underline{18}$ 把；另外 $11-2=9$ 人每人配一个不同房间的钥匙，共 \underline{9} 把。
    4. 第 4 步（合计）：$18+9=\underline{27}$（把），恰好达到下界。
    5. 第 5 步（验证）：入住的 $9$ 人里，凡是「只有一把钥匙」的人先各进自己那间；甲、乙有全部钥匙，最后进剩下的房间即可。
    最终答案：最少要配 $27$ 把钥匙。
  25. 8. ch23-chaoyue-08 · 第一套
    1. 第 1 步（先求所填数之和）：$11+12+\cdots+20=(11+20)\times 10\div 2=\underline{155}$。
    2. 第 2 步（用重复计数求特征值总和）：每个节点恰被 $3$ 个三角形用到，所以 $10$ 个特征值之和为 $155\times 3=\underline{465}$。
    3. 第 3 步（若全为偶数）：$10$ 个偶数相加还是偶数。
    4. 第 4 步（判奇偶）：$465$ 是奇数（$465-464=\underline{1}$），与「偶数」矛盾。
    5. 第 5 步（结论）：所以**不存在**这样的填法。
    最终答案：不存在。特征值总和为 $465$（奇数），而 $10$ 个偶数之和应为偶数。
  26. 8. ch23-chaoyue-08 · 第二套
    1. 第 1 步：所有展品编号之和 $11+12+\cdots+20=(11+20)\times 10\div 2=\underline{155}$。
    2. 第 2 步：每个展位被 $3$ 个三角形用到，所以 $10$ 个三角和之总和为 $155\times 3=\underline{465}$。
    3. 第 3 步：若三角和全是偶数，$10$ 个偶数之和是偶数；而 $465$ 是奇数（$465-464=\underline{1}$）。
    4. 第 4 步：矛盾，所以**不能**。
    最终答案：不能。三角和的总和为 $465$（奇数），与「全为偶数」矛盾。
  27. 8. ch23-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（求特征值总和）：$1+2+\cdots+10=\underline{55}$，每点被算 $3$ 次，总和为 $55\times 3=\underline{165}$。
    2. 第 2 步（若全为奇数）：$10$ 个奇数相加，因为 $10$ 是偶数个，结果一定是**偶数**。
    3. 第 3 步（判奇偶）：而实际总和 $165$ 是奇数（$165-164=\underline{1}$），矛盾。
    4. 第 4 步（结论）：所以**不存在**使特征值全为奇数的填法。
    最终答案：不存在。$10$ 个奇数之和应为偶数，而特征值总和 $165$ 是奇数。
  28. 8. ch23-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（求所填数之和）：$2+3+\cdots+11=(2+11)\times 10\div 2=\underline{65}$。
    2. 第 2 步（求特征值总和）：每点被算 $3$ 次，总和为 $65\times 3=\underline{195}$。
    3. 第 3 步（第 1 问）：若 $10$ 个特征值全是偶数，其和为偶数；而 $195$ 是奇数（$195-194=\underline{1}$），矛盾，**不能**。
    4. 第 4 步（第 2 问）：若 $10$ 个特征值全是奇数，因为 $10$ 是偶数个，其和仍是偶数；$195$ 还是奇数，同样矛盾，也**不能**。
    5. 第 5 步（归纳原因）：只要特征值总和是奇数，「全偶」与「全奇」（偶数个）就都做不到；这里总和 $=(2+3+\cdots+11)\times 3=65\times 3=\underline{195}$，是奇数。
    最终答案：（1）不能；（2）也不能。因为特征值总和 $195$ 是奇数，而「$10$ 个全偶」与「$10$ 个全奇」的和都必须是偶数。
  29. 10. ch23-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（3 等分每份）：$2100\div 3=\underline{700}$（克）。
    2. 第 2 步（7 等分每份）：$2100\div 7=\underline{300}$（克）。
    3. 第 3 步（叠加切线数块数）：两套切线共 $3+7=10$ 条，其中起点处有 $1$ 条重合，实际 $3+7-1=\underline{9}$ 条，即 \underline{9} 块。
    4. 第 4 步（逐段算重量）：相邻切线之间依次是 $300,300,100,200,200,100,300,300,300$ 克，其中 $300$ 克有 $5$ 块、$200$ 克有 $2$ 块、$100$ 克有 $2$ 块。
    5. 第 5 步（验算总重）：$300\times 5+200\times 2+100\times 2=\underline{2100}$（克），与总重相符。
    最终答案：最少切成 $9$ 块：$300$ 克 $5$ 块、$200$ 克 $2$ 块、$100$ 克 $2$ 块。
  30. 10. ch23-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：$3$ 人平分每人 $2100\div 3=\underline{700}$（克）。
    2. 第 2 步：$7$ 人平分每人 $2100\div 7=\underline{300}$（克）。
    3. 第 3 步：两套切线叠加，去掉 $1$ 条重合的，共 $3+7-1=\underline{9}$ 条，切成 \underline{9} 块。
    4. 第 4 步：验算 $300\times 5+200\times 2+100\times 2=\underline{2100}$（克）。
    最终答案：切成 $9$ 块：$300$ 克 $5$ 块、$200$ 克 $2$ 块、$100$ 克 $2$ 块。
  31. 10. ch23-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：$4$ 等分每份 $2800\div 4=\underline{700}$（克）。
    2. 第 2 步：$7$ 等分每份 $2800\div 7=\underline{400}$（克）。
    3. 第 3 步：切线共 $4+7-1=\underline{10}$ 条，即 \underline{10} 块。
    4. 第 4 步：逐段量出重量为 $400$ 克 $4$ 块、$300$ 克 $2$ 块、$200$ 克 $2$ 块、$100$ 克 $2$ 块，验算 $400\times 4+300\times 2+200\times 2+100\times 2=\underline{2800}$（克）。
    最终答案：切成 $10$ 块：$400$ 克 $4$ 块、$300$ 克 $2$ 块、$200$ 克 $2$ 块、$100$ 克 $2$ 块。
  32. 10. ch23-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：$5$ 等分每份 $3000\div 5=\underline{600}$（克）；$6$ 等分每份 $3000\div 6=\underline{500}$（克）。
    2. 第 2 步（数块数）：$5$ 与 $6$ 的切线共 $5+6=11$ 条，起点处重合 $1$ 条，实际 $5+6-1=\underline{10}$ 条，即 \underline{10} 块。
    3. 第 3 步（逐段算重量）：把两套刻度按 $0,500,600,1000,1200,1500,1800,2000,2400,2500,3000$ 依次排好，相邻之差依次为 $500,100,400,200,300,300,200,400,100,500$ 克。
    4. 第 4 步（归类验算）：$500\times 2+400\times 2+300\times 2+200\times 2+100\times 2=\underline{3000}$（克），与总重相符。
    5. 第 5 步（第 3 问）：最重 $500$ 克、最轻 $100$ 克，$500\div 100=\underline{5}$（倍）。
    最终答案：（1）$10$ 块；（2）$500,500,400,400,300,300,200,200,100,100$ 克；（3）最重是最轻的 $5$ 倍。
  33. 11. ch23-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（一次称量的信息量）：天平的结果只有 \underline{3} 种（左轻、右轻、平衡）。
    2. 第 2 步（估下界）：称 $2$ 次最多区分 $3\times 3=\underline{9}$ 种情况，比 $27$ 少，所以 $2$ 次不够。
    3. 第 3 步（再估一次）：称 $3$ 次最多区分 $3\times 3\times 3=\underline{27}$ 种，正好够 $27$ 颗。
    4. 第 4 步（设计方案·第一次）：分成 $3$ 堆，每堆 $27\div 3=\underline{9}$ 颗，取两堆上天平，即可定出假珠所在的那一堆。
    5. 第 5 步（第二次）：把这堆再分 $3$ 小堆，每堆 $9\div 3=\underline{3}$ 颗，同法定出小堆。
    6. 第 6 步（第三次）：小堆 $3$ 颗中任取 $2$ 颗上天平，即可找出假珠。所以最少 \underline{3} 次。
    最终答案：最少称 $3$ 次：每次三等分，$27\to 9\to 3\to 1$。
  34. 11. ch23-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：天平一次称量有 \underline{3} 种结果。
    2. 第 2 步：$2$ 次最多区分 $3\times 3=\underline{9}$ 种，不够 $27$ 种。
    3. 第 3 步：$3$ 次最多区分 $3\times 3\times 3=\underline{27}$ 种，够用。
    4. 第 4 步：方案是每次三等分：$27\div 3=\underline{9}$，再 $9\div 3=\underline{3}$，最后 $3$ 个中称 $1$ 次。共 \underline{3} 次。
    最终答案：最少称 $3$ 次。
  35. 11. ch23-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（下界）：$2$ 次最多区分 $3\times 3=\underline{9}$ 种情况，而这里有 $12$ 种可能，$9<12$，所以 $2$ 次**不够**。
    2. 第 2 步（上界）：$3$ 次最多区分 $3\times 3\times 3=\underline{27}$ 种，$27\geqslant 12$，$3$ 次有希望。
    3. 第 3 步（第一次）：分成 $3$ 堆，每堆 $12\div 3=\underline{4}$ 颗，取两堆比较，定出假珠所在的 $4$ 颗一堆。
    4. 第 4 步（第二次）：把 $4$ 颗分成 $2$ 颗、$2$ 颗称一次，定出 $4\div 2=\underline{2}$ 颗一组。
    5. 第 5 步（第三次）：这 $2$ 颗上天平，轻的就是假珠。所以最少 \underline{3} 次。
    最终答案：最少称 $3$ 次。
  36. 11. ch23-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问·下界）：$3$ 次最多区分 $3\times 3\times 3=\underline{27}$ 种，$27<81$，$3$ 次不够。
    2. 第 2 步：$4$ 次最多区分 $3\times 3\times 3\times 3=\underline{81}$ 种，恰好等于 $81$。
    3. 第 3 步（方案）：每次三等分，$81\div 3=\underline{27}$，$27\div 3=\underline{9}$，$9\div 3=\underline{3}$，最后 $3$ 颗称 $1$ 次，共 $4$ 次。
    4. 第 4 步（第 2 问·反过来问）：$4$ 次能区分的情况上限就是 $3^4=\underline{81}$ 种，所以最多能从 \underline{81} 颗中保证找出假珠。
    最终答案：（1）$81$ 颗最少称 $4$ 次；（2）称 $4$ 次最多能从 $81$ 颗中保证找出假珠。
  37. 12. ch23-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（翻译）：能一次量出的长度就是尺上两点之差；两端加 $4$ 条刻度共 $6$ 个点，点对有 $6\times 5\div 2=\underline{15}$ 对，够覆盖 $1\sim 12$ 这 \underline{12} 个长度。
    2. 第 2 步（先逼出一条）：要量出 $11$ 厘米，必须有点距一端 $12-11=\underline{1}$ 厘米，所以在 $1$ 厘米处画一条。
    3. 第 3 步（试出全部）：取刻度在 $1,2,3,8$ 厘米处，$6$ 个点是 $0,1,2,3,8,12$。
    4. 第 4 步（逐一验证）：$4=12-8=\underline{4}$，$5=8-3=\underline{5}$，$6=8-2=\underline{6}$，$7=8-1=\underline{7}$，$9=12-3=\underline{9}$，$10=12-2=\underline{10}$，其余 $1,2,3,8,11,12$ 直接由 $0$ 或端点作差得到。
    最终答案：刻度画在 $1$、$2$、$3$、$8$ 厘米处（即分成 $1,1,1,5,4$ 五段）。
  38. 12. ch23-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步：能量出的长度就是两个点（含两端）之间的距离；两端加 $4$ 个结共 $6$ 个点，点对 $6\times 5\div 2=\underline{15}$ 对。
    2. 第 2 步：要量 $11$ 米，必须有结距一端 $12-11=\underline{1}$ 米。
    3. 第 3 步：取结打在 $1,2,3,8$ 米处，验算 $12-8=\underline{4}$，$8-3=\underline{5}$，$8-2=\underline{6}$，$8-1=\underline{7}$，$12-3=\underline{9}$，$12-2=\underline{10}$。
    4. 第 4 步：$1$ 至 $12$ 米全部能量出。
    最终答案：记号打在 $1$、$2$、$3$、$8$ 米处。
  39. 12. ch23-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（数点对）：$6$ 个点共 $6\times 5\div 2=\underline{15}$ 对，要覆盖 $1\sim 13$ 这 \underline{13} 个长度，只允许 $2$ 对重复，余地很小。
    2. 第 2 步（逼出第一条）：要量 $12$，须有点距一端 $13-12=\underline{1}$ 厘米。
    3. 第 3 步（给出刻度）：取 $1,2,6,10$，$6$ 个点是 $0,1,2,6,10,13$。
    4. 第 4 步（逐一验证）：$3=13-10=\underline{3}$，$4=10-6=\underline{4}$，$5=6-1=\underline{5}$，$7=13-6=\underline{7}$，$8=10-2=\underline{8}$，$9=10-1=\underline{9}$，$11=13-2=\underline{11}$，其余由端点直接读出。
    最终答案：刻度画在 $1$、$2$、$6$、$10$ 厘米处。
  40. 12. ch23-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问·估下界）：设标 $k$ 条刻度线，连两端共 $k+2$ 个点，能一次量出的长度不超过点对数 $(k+2)\times(k+1)\div 2$，这个数不到 $15$ 就绝不可能覆盖 $1\sim 15$。
    2. 第 2 步（试 $k=3$）：$5$ 个点只有 $5\times 4\div 2=\underline{10}$ 对，比要覆盖的 $15$ 个长度还少，所以 $3$ 条**一定不够**。
    3. 第 3 步（试 $k=4$）：$6$ 个点有 $6\times 5\div 2=\underline{15}$ 对，与要覆盖的 $15$ 个长度恰好相等——这就要求 $6$ 个点的两两之差不重不漏地正好凑成 $1,2,\cdots,15$（即一把「完美尺」）。可逐一试排（或枚举）验证：长 $15$ 的尺无论 $4$ 条刻度标在哪，总会漏掉某个长度，所以 $4$ 条**也做不到**。
    4. 第 4 步（试 $k=5$）：$7$ 个点有 $7\times 6\div 2=\underline{21}$ 对，$21\geqslant 15$，$5$ 条才有希望，故第 1 问答案是至少 $5$ 条。
    5. 第 5 步（第 2 问·构造）：取刻度在 $1,2,3,8,11$，$7$ 个点是 $0,1,2,3,8,11,15$。
    6. 第 6 步（逐一验证）：$4=15-11=\underline{4}$，$5=8-3=\underline{5}$，$6=8-2=\underline{6}$，$7=8-1=\underline{7}$，$9=11-2=\underline{9}$，$10=11-1=\underline{10}$，$12=15-3=\underline{12}$，$13=15-2=\underline{13}$，$14=15-1=\underline{14}$，其余 $1,2,3,8,11,15$ 直接得到。
    最终答案：（1）至少 $5$ 条；（2）例如标在 $1,2,3,8,11$ 厘米处。
  41. 13. ch23-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（看一行）：$6$ 个数取自 $\{0,1\}$，和为奇数说明这一行含 $1$ 的个数是奇数，只能是 $1,3,5$ 个。
    2. 第 2 步（用总数定分布）：$6$ 行的 $1$ 共 $18$ 个，若每行都是 $3$ 个，则 $3\times 6=\underline{18}$，正好，所以可以让每行恰好 $3$ 个 $1$。
    3. 第 3 步（列也要奇数）：每列同样要奇数个 $1$，总数 $18$ 均分到 $6$ 列，每列 $18\div 6=\underline{3}$ 个，$3$ 是奇数，合格。
    4. 第 4 步（构造）：让第 $i$ 行的 $1$ 放在第 $i,i+1,i+2$ 列（列号超过 $6$ 就绕回来），这样每行 $3$ 个 $1$、每列也恰好 $3$ 个 $1$。
    5. 第 5 步（验算 0 的个数）：$36-18=\underline{18}$ 个 $0$，与题目相符。
    最终答案：一种填法：第 $i$ 行把 $1$ 填在第 $i,i+1,i+2$ 列（列号超过 $6$ 绕回），每行每列都恰好 $3$ 个 $1$。
  42. 13. ch23-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步：每行亮灯数要是奇数，$6$ 盏中只能亮 $1,3,5$ 盏。
    2. 第 2 步：$6$ 行共亮 $18$ 盏，若每行亮 $3$ 盏则 $3\times 6=\underline{18}$，正好。
    3. 第 3 步：每列亮 $18\div 6=\underline{3}$ 盏，也是奇数，合格。
    4. 第 4 步：第 $i$ 行点亮第 $i,i+1,i+2$ 列的灯（超过 $6$ 绕回），熄灭的灯共 $36-18=\underline{18}$ 盏。
    最终答案：一种方案：第 $i$ 行点亮第 $i,i+1,i+2$ 列的灯（列号超过 $6$ 绕回）。
  43. 13. ch23-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步：每行 $5$ 个数，和为奇数说明含 $1$ 的个数是 $1,3$ 或 $5$。
    2. 第 2 步：$5$ 行共 $15$ 个 $1$，每行 $15\div 5=\underline{3}$ 个正好，且 $3$ 是奇数。
    3. 第 3 步：每列也要 $15\div 5=\underline{3}$ 个，同样合格。
    4. 第 4 步（构造）：第 $i$ 行把 $1$ 填在第 $i,i+1,i+2$ 列（超过 $5$ 绕回）。
    5. 第 5 步（验算 0 的个数）：$5\times 5-15=\underline{10}$ 个 $0$，与题目相符。
    最终答案：一种填法：第 $i$ 行把 $1$ 填在第 $i,i+1,i+2$ 列（列号超过 $5$ 绕回）。
  44. 13. ch23-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（看一行）：$6$ 个数中 $1$ 的个数要是偶数，只能是 $0,2,4,6$ 个。
    2. 第 2 步（定分布）：$6$ 行共 $24$ 个 $1$，若每行相同，则每行 $24\div 6=\underline{4}$ 个，$4$ 是偶数，合格；每列同样是 \underline{4} 个。
    3. 第 3 步（构造）：第 $1,2$ 行的 $1$ 填在第 $1,2,3,4$ 列；第 $3,4$ 行填在第 $1,2,5,6$ 列；第 $5,6$ 行填在第 $3,4,5,6$ 列。
    4. 第 4 步（验算列）：第 $1$ 列被第 $1,2,3,4$ 行各填了一个 $1$，共 $4$ 个；每一列都是这样，$6$ 列共 $6\times 4=\underline{24}$ 个 $1$，与要求相符。
    5. 第 5 步（验算 0）：$36-24=\underline{12}$ 个 $0$。
    最终答案：一种填法：第 $1,2$ 行填第 $1\sim 4$ 列，第 $3,4$ 行填第 $1,2,5,6$ 列，第 $5,6$ 行填第 $3,4,5,6$ 列；每行每列各有 $4$ 个 $1$。
  45. 15. ch23-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（排除纯一位数）：$9$ 个一位数相加最多 $9\times 9=\underline{81}$，远小于 $2000$，所以必须组出多位数。
    2. 第 2 步（估位数）：$2000$ 是四位数，可以先摆一个四位数。若用数字 $2$，四位数是 $2222$，比 $2000$ 多 $2222-2000=\underline{222}$。
    3. 第 3 步（把多出来的减掉）：多出来的 $222$ 恰好可以用 $3$ 个数字组成 $222$ 减掉，$2222-222=\underline{2000}$，此时已用掉 $4+3=\underline{7}$ 个数字。
    4. 第 4 步（补足数字个数）：还差 $9-7=\underline{2}$ 个数字，用 $+2-2$ 补上，值不变。
    5. 第 5 步（写出算式并验算）：$2222-222+2-2=\underline{2000}$。
    最终答案：$2222-222+2-2=2000$。
  46. 15. ch23-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步：$9$ 张卡片单独相加最多 $9\times 9=\underline{81}$，够不到 $2000$，必须并排成多位数。
    2. 第 2 步：选数字 $2$，把 $4$ 张并成 $2222$，它比 $2000$ 多 $2222-2000=\underline{222}$。
    3. 第 3 步：再用 $3$ 张并成 $222$ 减掉，$2222-222=\underline{2000}$，已用掉 $4+3=\underline{7}$ 张。
    4. 第 4 步：剩下 $9-7=\underline{2}$ 张用 $+2-2$ 抵消。最终 $2222-222+2-2=\underline{2000}$。
    最终答案：$2222-222+2-2=2000$（用 $9$ 张写着 $2$ 的卡片）。
  47. 15. ch23-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（估位数）：$10$ 个一位数相加最多 $9\times 10=\underline{90}$，不够，必须组多位数。
    2. 第 2 步（试三位数）：用两个三位数相加，取数字 $5$，$555+555=\underline{1110}$，比 $1000$ 多 $1110-1000=\underline{110}$。
    3. 第 3 步（减回去）：多出的 $110$ 用两个两位数减掉，$55+55=\underline{110}$，正好。
    4. 第 4 步（数一数数字个数）：$3+3+2+2=\underline{10}$ 个，正好 $10$ 个。
    5. 第 5 步（写出算式验算）：$555+555-55-55=\underline{1000}$。
    最终答案：$555+555-55-55=1000$。
  48. 15. ch23-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问·先估范围）：$8$ 个一位数相加最多 $9\times 8=\underline{72}$，不够；所以要用多位数。
    2. 第 2 步（试四位数）：只有数字 $2$ 的四位数 $2222$ 与 $2000$ 最接近，差 $2222-2000=\underline{222}$，剩下 $8-4=\underline{4}$ 个数字要凑出 $222$，但 $4$ 个 $2$ 能组出的最大数是 $2222$、最接近 $222$ 的组合是 $222+2=224$ 或 $22+22=44$ 等，都不等于 $222$。
    3. 第 3 步（试三位数为主）：数字 $d$ 时 $ddd+ddd$ 要接近 $2000$，只有 $d=9$ 时 $999+999=\underline{1998}$，还差 $2000-1998=\underline{2}$，而剩下 $8-6=\underline{2}$ 个 $9$ 无论怎样加减都得不到 $2$。逐一试遍全部情形都不成，所以**不能**。
    4. 第 4 步（第 2 问·构造）：$9$ 个数字时取 $2$：$2222-222+2-2=\underline{2000}$。
    最终答案：（1）不能；（2）$2222-222+2-2=2000$。
  49. 16. ch23-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（首尾配对）：$1+20=\underline{21}$，$2+19=\underline{21}$，……，$10+11=\underline{21}$，每对都一样长。
    2. 第 2 步（数大木棍）：一共配成 $20\div 2=\underline{10}$ 根等长的大木棍。
    3. 第 3 步（分边）：$10=3+3+2+2$，长边各用 $3$ 根即 $3\times 21=\underline{63}$ 厘米，短边各用 $2$ 根即 $2\times 21=\underline{42}$ 厘米，能拼成长方形。
    4. 第 4 步（第 2 问·算总长）：$1+2+\cdots+20=(1+20)\times 20\div 2=\underline{210}$（厘米）。
    5. 第 5 步（整除性）：正方形边长应是 $210\div 4=\underline{52.5}$，不是整数，木棍又不能折断，所以**不能**拼成正方形。
    最终答案：（1）能，配成 $10$ 根 $21$ 厘米的大木棍，按 $3+3+2+2$ 拼成 $63\times 42$ 的长方形；（2）不能，$210\div 4=52.5$ 不是整数。
  50. 16. ch23-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步：首尾配对，$1+20=\underline{21}$，$2+19=\underline{21}$，……，$10+11=\underline{21}$。
    2. 第 2 步：共得 $20\div 2=\underline{10}$ 根等长的长铁丝。
    3. 第 3 步：按 $10=3+3+2+2$ 分边，长边 $3\times 21=\underline{63}$ 厘米、宽边 $2\times 21=\underline{42}$ 厘米。
    4. 第 4 步：总长 $(1+20)\times 20\div 2=\underline{210}$（厘米），正方形边长要 $210\div 4=\underline{52.5}$，不是整数，围不成。
    最终答案：（1）能，围成 $63\times 42$ 的长方形；（2）不能。
  51. 16. ch23-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（算总长）：$1+2+\cdots+16=(1+16)\times 16\div 2=\underline{136}$（厘米）。
    2. 第 2 步（试整除）：正方形边长应是 $136\div 4=\underline{34}$（厘米），这次是整数，有希望。
    3. 第 3 步（凑出四条边）：$16+15+2+1=\underline{34}$，$14+13+4+3=\underline{34}$，$12+11+6+5=\underline{34}$，$10+9+8+7=\underline{34}$，四组的和都等于边长。
    4. 第 4 步（结论）：把这四组分别作为四条边即可，所以**能**拼成正方形。
    最终答案：能。边长 $34$ 厘米，四条边分别用 $\{16,15,2,1\}$、$\{14,13,4,3\}$、$\{12,11,6,5\}$、$\{10,9,8,7\}$。
  52. 16. ch23-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（总长）：$1+2+\cdots+24=(1+24)\times 24\div 2=\underline{300}$（厘米）。
    2. 第 2 步（边长）：$300\div 4=\underline{75}$（厘米），是整数，有希望。
    3. 第 3 步（首尾配对）：$1+24=\underline{25}$，$2+23=\underline{25}$，……，$12+13=\underline{25}$，得到 $24\div 2=\underline{12}$ 根等长的大木棍。
    4. 第 4 步（分边）：$12$ 根平均分给四条边，每边 $12\div 4=\underline{3}$ 根，每边长 $3\times 25=\underline{75}$ 厘米，正是所求边长。
    5. 第 5 步（结论）：所以能拼成边长 $75$ 厘米的正方形。
    最终答案：（1）能，边长 $75$ 厘米；（2）首尾配对成 $12$ 根 $25$ 厘米的大木棍，每条边用 $3$ 根。
  53. 17. ch23-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（首尾配对）：$1+24=\underline{25}$，$2+23=\underline{25}$，……，$12+13=\underline{25}$，一共配成 $24\div 2=\underline{12}$ 对。
    2. 第 2 步（平分两组）：$12$ 对平分成 $12\div 2=\underline{6}$ 对取正、$6$ 对取负，每边之和都是 $25\times 6=\underline{150}$。
    3. 第 3 步（写出算式）：让 $1\sim 6$ 与 $19\sim 24$ 取「$+$」、$7\sim 18$ 取「$-$」，结果 $150-150=\underline{0}$。
    4. 第 4 步（第 2 问·算总和）：$1+2+\cdots+25=(1+25)\times 25\div 2=\underline{325}$。
    5. 第 5 步（奇偶判定）：$325$ 是奇数，把某个数由加改减只会减少它的 $2$ 倍（偶数），结果的奇偶性不变，永远是奇数，所以**不能**为 $0$。
    最终答案：（1）例如 $1+\cdots+6-7-\cdots-18+19+\cdots+24=0$；（2）不能，$1+\cdots+25=325$ 是奇数。
  54. 17. ch23-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（首尾配对）：$1+24=\underline{25}$，$2+23=\underline{25}$，……，$12+13=\underline{25}$，共 $24\div 2=\underline{12}$ 对。
    2. 第 2 步（左右平分）：$12$ 对平分成 $12\div 2=\underline{6}$ 对向右、$6$ 对向左，两边各 $25\times 6=\underline{150}$ 米。
    3. 第 3 步（写出走法）：第 $1\sim 6$ 步与第 $19\sim 24$ 步向右，第 $7\sim 18$ 步向左，净位移 $150-150=\underline{0}$ 米，回到原点。
    4. 第 4 步（第 2 问）：$25$ 步的总路程 $(1+25)\times 25\div 2=\underline{325}$ 米，是奇数；改变某一步的方向只会使净位移变化偶数，所以净位移始终是奇数，**不能**回到出发点。
    最终答案：（1）能，如第 $1\sim 6$、$19\sim 24$ 步向右，第 $7\sim 18$ 步向左；（2）不能。
  55. 17. ch23-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（配对）：$1+16=\underline{17}$，$2+15=\underline{17}$，……，$8+9=\underline{17}$，共 $16\div 2=\underline{8}$ 对。
    2. 第 2 步（平分）：$8$ 对分成 $8\div 2=\underline{4}$ 对取正、$4$ 对取负，两边各 $17\times 4=\underline{68}$。
    3. 第 3 步（写算式）：让 $1\sim 4$ 与 $13\sim 16$ 取「$+$」、$5\sim 12$ 取「$-$」，结果 $68-68=\underline{0}$。
    最终答案：例如 $1+2+3+4-5-6-\cdots-12+13+14+15+16=0$。
  56. 17. ch23-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（算总和）：$1+2+\cdots+20=(1+20)\times 20\div 2=\underline{210}$。
    2. 第 2 步（第 1 问·奇偶判定）：把某个数由加改减，结果减少它的 $2$ 倍（偶数），所以结果与总和 $210$ 同奇偶、只能是偶数；$11$ 是奇数，**不能**。
    3. 第 3 步（第 2 问·和差问题）：取「$+$」的一组之和 $x=(210+10)\div 2=\underline{110}$。
    4. 第 4 步：取「$-$」的一组之和 $y=(210-10)\div 2=\underline{100}$。
    5. 第 5 步（挑数）：$20+19+18+17+16+10=\underline{100}$，恰为 $y$，把这 $6$ 个数前面填「$-$」。
    6. 第 6 步（验算）：$210-2\times 100=\underline{10}$。
    最终答案：（1）不能；（2）把 $10,16,17,18,19,20$ 前填「$-$」、其余填「$+$」，结果为 $10$。
  57. 18. ch23-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（加法）：有限制时 $\square+\square=\square$ 中恰有 \underline{1} 个偶数（奇 $+$ 偶 $=$ 奇）。
    2. 第 2 步（减法）：改写成「减数 $+$ 差 $=$ 被减数」，与加法同型，也有 \underline{1} 个偶数。
    3. 第 3 步（乘法）：若积是奇数则两个乘数全是奇数、没有偶数，违反限制；所以积为偶且至少一个乘数为偶，共 \underline{2} 个偶数。
    4. 第 4 步（有限制时合计）：$1+1+2=\underline{4}$（个）。
    5. 第 5 步（无限制·最少）：加、减各至少 $1$ 个，乘法可以全奇即 $0$ 个，$1+1+0=\underline{2}$（个）。
    6. 第 6 步（无限制·最多）：三个算式都可以三个数全为偶数，$3\times 3=\underline{9}$（个）。
    最终答案：有限制时 $4$ 个；无限制时最少 $2$ 个、最多 $9$ 个。
  58. 18. ch23-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步：加法式中恰有 \underline{1} 个偶数。
    2. 第 2 步：减法式改写成加法后同理，也是 \underline{1} 个。
    3. 第 3 步：乘法式中若积为奇则全奇、不合要求，所以有 \underline{2} 个偶数。
    4. 第 4 步：合计 $1+1+2=\underline{4}$（个）。
    5. 第 5 步：没有要求时最少 $1+1+0=\underline{2}$（个），最多 $3\times 3=\underline{9}$（个）。
    最终答案：有要求时 $4$ 个；无要求时最少 $2$ 个、最多 $9$ 个。
  59. 18. ch23-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（两个加法）：每个恰有 $1$ 个偶数，共 $1\times 2=\underline{2}$ 个。
    2. 第 2 步（减法）：与加法同型，$1$ 个偶数。
    3. 第 3 步（乘法与除法）：每个都有 $2$ 个偶数，共 $2\times 2=\underline{4}$ 个。
    4. 第 4 步（合计）：$2+1+4=\underline{7}$（个）。
    5. 第 5 步（顺带看奇数）：$15-7=\underline{8}$ 个奇数。
    最终答案：共有 $7$ 个偶数（其余 $8$ 个是奇数）。
  60. 18. ch23-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（逐式数偶数）：加法 $1$ 个、减法 $1$ 个、乘法 $2$ 个、除法 $2$ 个，合计 $1+1+2+2=\underline{6}$（个）。
    2. 第 2 步（第 2 问·用补集）：一共 $12$ 个数，奇数有 $12-6=\underline{6}$（个）。
    3. 第 3 步（第 3 问）：奇数比偶数多 $6-6=\underline{0}$（个），也就是一样多。
    4. 第 4 步（复核）：$6+6=\underline{12}$，与总数 $12$ 相符。
    最终答案：（1）$6$ 个偶数；（2）$6$ 个奇数；（3）一样多，相差 $0$ 个。
  61. 19. ch23-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（列三种情形）：一次拉 $2$ 个开关，亮灯数或者减少 $2$（如 $9-2=\underline{7}$），或者增加 $2$（如 $9+2=\underline{11}$），或者不变（一开一关）。
    2. 第 2 步（看变化量）：三种变化 $-2,+2,0$ 都是偶数。
    3. 第 3 步（找不变量）：所以亮灯个数的**奇偶性**永远不变。
    4. 第 4 步（比较起点与目标）：起点 $9$ 是奇数（$9-8=\underline{1}$），目标 $0$ 是偶数。
    5. 第 5 步（结论）：奇数永远变不成偶数，所以**不能**全部变暗。
    最终答案：不能。亮灯个数的奇偶性是不变量，起点 $9$ 是奇数，永远变不成 $0$。
  62. 19. ch23-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步：一次翻 $2$ 枚，正面朝上的枚数或减少 $2$（$9-2=\underline{7}$），或增加 $2$（$9+2=\underline{11}$），或不变。
    2. 第 2 步：变化量都是偶数，所以正面朝上的枚数的奇偶性不变。
    3. 第 3 步：起点 $9$ 是奇数（$9-8=\underline{1}$），目标是 $0$ 枚正面朝上，是偶数。
    4. 第 4 步：所以**不能**。
    最终答案：不能。正面朝上的枚数的奇偶性是不变量，$9$ 是奇数，变不成 $0$。
  63. 19. ch23-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（列情形）：一次拉 $4$ 个开关，设其中原来亮着的有 $k$ 个（$k=0,1,2,3,4$），亮灯数变化为 $(4-k)-k=4-2k$。
    2. 第 2 步（看变化量）：$k=0$ 时变化 $4-0=\underline{4}$，$k=1$ 时 $4-2=\underline{2}$，$k=2$ 时 $4-4=\underline{0}$，$k=3$ 时 $4-6=\underline{-2}$，$k=4$ 时 $4-8=\underline{-4}$，全是偶数。
    3. 第 3 步（不变量）：亮灯个数的奇偶性永远不变。
    4. 第 4 步（结论）：起点 $7$ 是奇数（$7-6=\underline{1}$），目标 $0$ 是偶数，所以**不能**。
    最终答案：不能。每次拉 $4$ 个开关时亮灯数的变化 $4-2k$ 总是偶数，奇偶性不变，$7$ 变不成 $0$。
  64. 19. ch23-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（看变化量）：一次拉 $3$ 个开关，设其中亮着的有 $k$ 个，亮灯数变化为 $3-2k$：$k=0$ 时 $3-0=\underline{3}$，$k=1$ 时 $3-2=\underline{1}$，都是**奇数**，所以这次奇偶性**每次都会改变**，原来的阻碍消失了。
    2. 第 2 步（次数的奇偶）：要从 $7$ 盏（奇数）变到 $0$ 盏（偶数），奇偶必须改变，所以操作次数必须是奇数次。
    3. 第 3 步（数总拉动次数）：每盏灯都要从亮变暗，必须被拉奇数次；$7$ 盏灯被拉的次数都是奇数，其总和是 $7$ 个奇数之和，是奇数。若操作 $n$ 次，总拉动次数为 $3n$，所以 $3n$ 必须是奇数，$n$ 是奇数，与第 2 步一致。
    4. 第 4 步（试 n=1、n=3）：$n=1$ 时只能关掉 $3$ 盏，剩 $7-3=\underline{4}$ 盏亮着，不行；$n=3$ 时总拉动 $3\times 3=\underline{9}$ 次，恰好可以让某一盏被拉 $3$ 次、其余 $6$ 盏各被拉 $1$ 次，因为 $3+1\times 6=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（给出方案）：设 $7$ 盏灯为 $A\sim G$，三次操作取 $\{A,B,C\}$、$\{A,D,E\}$、$\{A,F,G\}$，则 $A$ 被拉 $3$ 次、其余各 $1$ 次，全是奇数次，全部变暗。最少 \underline{3} 次。
    最终答案：（1）能；（2）最少 $3$ 次，例如依次拉 $\{A,B,C\}$、$\{A,D,E\}$、$\{A,F,G\}$。
  65. 20. ch23-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（翻译目标）：乘积是奇数，就要求这 $7$ 个和**全都是奇数**。
    2. 第 2 步（推总和奇偶）：$7$ 个奇数相加，是奇数个奇数之和，结果一定是奇数。
    3. 第 3 步（另算总和）：这 $7$ 个和加起来，正好是正面 $7$ 个数与背面 $7$ 个数的总和，$1+2+\cdots+7=\underline{28}$，所以总和是 $28\times 2=\underline{56}$。
    4. 第 4 步（判奇偶）：$56$ 是偶数（$56\div 2=\underline{28}$），与第 2 步的「奇数」矛盾。
    5. 第 5 步（结论）：所以**不能**，乘积一定是偶数。
    最终答案：不能。$7$ 个和的总和为 $56$（偶数），而 $7$ 个奇数之和应为奇数，矛盾。
  66. 20. ch23-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步：积为奇数要求 $7$ 个和全是奇数。
    2. 第 2 步：$7$ 个奇数相加得奇数。
    3. 第 3 步：而这 $7$ 个和的总和就是正反两面所有数之和，$1+2+\cdots+7=\underline{28}$，总和为 $28\times 2=\underline{56}$。
    4. 第 4 步：$56$ 是偶数（$56\div 2=\underline{28}$），矛盾，所以**不能**。
    最终答案：不能，积一定是偶数。
  67. 20. ch23-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步：积为奇数要求 $9$ 个和全为奇数，而 $9$ 个奇数之和是奇数。
    2. 第 2 步：另一方面，这 $9$ 个和的总和 $=(1+2+\cdots+9)\times 2$，先算 $1+2+\cdots+9=\underline{45}$。
    3. 第 3 步：所以总和为 $45\times 2=\underline{90}$。
    4. 第 4 步：$90$ 是偶数（$90\div 2=\underline{45}$），与「奇数」矛盾，所以**不能**。
    最终答案：不能，积一定是偶数。
  68. 20. ch23-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（先算总和）：$6$ 个和的总和为 $(1+2+\cdots+6)\times 2$，先算 $1+2+\cdots+6=\underline{21}$，总和为 $21\times 2=\underline{42}$。
    2. 第 2 步（关键差别）：这次是 \underline{6} 个和，是偶数个；偶数个奇数之和本来就是偶数，与总和 $42$ 是偶数**不矛盾**，原来的反证失效，有希望。
    3. 第 3 步（构造）：要每张卡片正反两数一奇一偶。背面按 $2,1,4,3,6,5$ 的顺序写（即与正面奇偶互换）。
    4. 第 4 步（逐张验算）：$1+2=\underline{3}$，$2+1=\underline{3}$，$3+4=\underline{7}$，$4+3=\underline{7}$，$5+6=\underline{11}$，$6+5=\underline{11}$，全是奇数。
    5. 第 5 步（结论）：$6$ 个奇数相乘的积是奇数，所以**能**。
    最终答案：（1）能；（2）背面按 $2,1,4,3,6,5$ 写，六个和为 $3,3,7,7,11,11$，乘积是奇数。
  69. 21. ch23-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（翻译组内条件）：若某人编号 $m$ 等于同组其余人之和，则该组总和为 $m+m=2m$，是**偶数**。
    2. 第 2 步（推总和）：三组都是偶数，三组相加仍是偶数，所以全部编号之和必须是偶数。
    3. 第 3 步（算实际总和）：$1+2+\cdots+18=(1+18)\times 18\div 2=\underline{171}$。
    4. 第 4 步（判奇偶）：$171$ 是奇数（$171-170=\underline{1}$），与「必为偶数」矛盾。
    5. 第 5 步（结论）：所以**不能**。
    最终答案：不能。总和 $171$ 是奇数，而三组总和必为偶数。
  70. 21. ch23-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步：若某堆里 $m$ 等于其余之和，则该堆数字总和为 $2m$，是偶数。
    2. 第 2 步：三堆总和也应是偶数。
    3. 第 3 步：而 $1+2+\cdots+18=(1+18)\times 18\div 2=\underline{171}$。
    4. 第 4 步：$171$ 是奇数（$171-170=\underline{1}$），矛盾，所以**不能**。
    最终答案：不能。
  71. 21. ch23-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步：每组总和 $=2m$，是偶数；三组总和也必是偶数。
    2. 第 2 步：算实际总和 $1+2+\cdots+22=(1+22)\times 22\div 2=\underline{253}$。
    3. 第 3 步：$253$ 是奇数（$253-252=\underline{1}$），矛盾。
    4. 第 4 步：所以**不能**。
    最终答案：不能。总和 $253$ 是奇数。
  72. 21. ch23-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（先看奇偶）：总和 $1+2+\cdots+15=(1+15)\times 15\div 2=\underline{120}$，是偶数，奇偶性上**没有矛盾**，要另找办法。
    2. 第 2 步（设三个「和数」）：设三组中充当「其余之和」的三个孩子编号为 $x,y,z$，则三组总和分别是 $2x,2y,2z$，相加得 $2(x+y+z)=120$。
    3. 第 3 步（求它们的和）：$x+y+z=120\div 2=\underline{60}$。
    4. 第 4 步（估上界）：$x,y,z$ 是三个互不相同的编号，最大也不过 $15,14,13$，其和最多 $15+14+13=\underline{42}$。
    5. 第 5 步（比较）：$42<60$（$60-42=\underline{18}$），三个编号之和根本达不到 $60$，矛盾。
    6. 第 6 步（结论）：所以**不能**。
    最终答案：不能。三个「和数」之和须为 $60$，但三个不同编号最大只有 $15+14+13=42<60$。
  73. 22. ch23-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（看个位）：和的末位是 $9$；若个位有进位，个位两数之和应为 $19$，但两个一位数之和最大只有 $9+9=\underline{18}$，达不到，所以个位没有进位。
    2. 第 2 步（其余各位同理）：十位、百位、千位、万位相加也都没有进位。
    3. 第 3 步（算两数数字和之和）：既然全程无进位，两数各位数字之和就等于 $9\times 5=\underline{45}$。
    4. 第 4 步（用重排的性质）：新数与原数用的是同样五个数字，数字和相等，所以两数数字和之和是原数数字和的 $2$ 倍，必为**偶数**。
    5. 第 5 步（判奇偶）：$45$ 是奇数（$45-44=\underline{1}$），与「必为偶数」矛盾。
    6. 第 6 步（结论）：所以**不能**等于 $99999$。
    最终答案：不能。无进位可推出两数数字和之和为 $45$（奇数），但它又必须是原数数字和的 $2$ 倍（偶数），矛盾。
  74. 22. ch23-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步：个位相加末位是 $9$，若进位则个位和为 $19$，但两个一位数之和最大 $9+9=\underline{18}$，达不到，所以个位无进位；十位、百位同理。
    2. 第 2 步：全程无进位时，两数各位数字之和为 $9+9+9=\underline{27}$。
    3. 第 3 步：两个门牌号数字完全相同，数字和相等，所以两数数字和之和是原数字和的 $2$ 倍，必为偶数。
    4. 第 4 步：$27$ 是奇数（$27-26=\underline{1}$），矛盾，所以小高说得**不对**。
    最终答案：不对。两数数字和之和须为偶数，却推出等于 $27$（奇数），矛盾。
  75. 22. ch23-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（看个位）：末位是 $9$，若进位则个位和为 $19$，而两个一位数之和最大 $9+9=\underline{18}$，不够，所以无进位；其余各位同理。
    2. 第 2 步（算数字和之和）：七位都是 $9$，两数各位数字之和为 $9\times 7=\underline{63}$。
    3. 第 3 步（用重排性质）：两数数字相同、数字和相等，所以数字和之和是原数字和的 $2$ 倍，必为偶数。
    4. 第 4 步（判奇偶）：$63$ 是奇数（$63-62=\underline{1}$），矛盾。
    5. 第 5 步：所以**不能**等于 $9999999$。
    最终答案：不能。数字和之和为 $63$（奇数），却又必须是偶数，矛盾。
  76. 22. ch23-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问·先算数字和）：末位是 $9$，若进位则个位和为 $19>9+9=\underline{18}$，不可能，所以各位都不进位；两数各位数字之和为 $9\times 4=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（判奇偶）：$36$ 是**偶数**，可以等于原数字和的 $2$ 倍，原数字和为 $36\div 2=\underline{18}$，**没有矛盾**，有希望。
    3. 第 3 步（构造）：只要每一位上的两个数字配成 $9$。取原数 $1827$，重排为 $8172$（数字完全相同），验算 $1827+8172=\underline{9999}$。
    4. 第 4 步（第 2 问·末位变了）：$9998$ 的末位是 $8$。若个位不进位，个位两数之和是 $8$；若个位进位，个位两数之和是 $8+10=\underline{18}$，此时十位要多加 $1$。
    5. 第 5 步（顺着进位找）：取原数 $1849$，重排为 $8149$。个位 $9+9=\underline{18}$，写 $8$ 进 $1$；十位 $4+4+1=\underline{9}$；百位 $8+1=\underline{9}$；千位 $1+8=\underline{9}$。
    6. 第 6 步（验算）：$1849+8149=\underline{9998}$，所以第 2 问也**能**。
    最终答案：（1）能，例如 $1827+8172=9999$；（2）能，例如 $1849+8149=9998$。
  77. 23. ch23-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（先算总面积）：区域一共有 $7\times 9=\underline{63}$ 个单位小正方形。
    2. 第 2 步（估下界）：$1\times 3$ 的砖盖 $3$ 格、$1\times 2$ 的砖盖 $2$ 格，取大者，每块最多盖 $3$ 格，所以块数至少要 $63\div 3=\underline{21}$ 块。
    3. 第 3 步（验证更少不行）：若只用 $20$ 块，最多盖住 $20\times 3=\underline{60}$ 个格子，比总格数少，所以 $20$ 块不够。
    4. 第 4 步（构造达到下界）：每行长 $9=3+3+3$，全用 $1\times 3$ 的砖横着铺，每行 $3$ 块、共 $7$ 行，用砖 $3\times 7=\underline{21}$ 块，恰好铺满。
    5. 第 5 步：下界与实例吻合，答案就是这个块数。
    最终答案：至少需要 $21$ 块。
  78. 23. ch23-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：巧克力板一共有 $8\times 9=\underline{72}$ 个单位小格。
    2. 第 2 步：一张纸片最多盖 $3$ 个小格，所以张数至少要 $72\div 3=\underline{24}$ 张。
    3. 第 3 步：若只用 $23$ 张，最多盖住 $23\times 3=\underline{69}$ 个小格，不够，所以 $23$ 张不行。
    4. 第 4 步：每行 $9=3+3+3$，全用 $1\times 3$ 的纸片，每行 $3$ 张、共 $8$ 行，$3\times 8=\underline{24}$ 张恰好贴满。
    5. 第 5 步：下界与实例吻合，答案就是这个张数。
    最终答案：至少需要 $24$ 张。
  79. 23. ch23-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步：总格数 $6\times 10=\underline{60}$。
    2. 第 2 步：一块砖最多盖 $3$ 格，所以块数至少要 $60\div 3=\underline{20}$ 块。
    3. 第 3 步（构造）：这次横着不好凑（$10$ 不是 $3$ 的倍数），改成竖着铺：每列长 $6=3+3$，每列用 $6\div 3=\underline{2}$ 块 $1\times 3$，共 $10$ 列，用砖 $2\times 10=\underline{20}$ 块。
    4. 第 4 步：下界与实例吻合，所以答案就是它。
    最终答案：至少需要 $20$ 块。
  80. 23. ch23-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步：总格数 $5\times 9=\underline{45}$。
    2. 第 2 步：每块最多盖 $3$ 格，所以块数至少 $45\div 3=\underline{15}$ 块；每行 $9=3+3+3$ 全用 $1\times 3$ 恰好铺满，下界能达到。
    3. 第 3 步（第 2 问）：设 $1\times 3$ 用了 $a$ 块、$1\times 2$ 用了 $b$ 块，则块数 $a+b=17$，面积 $3a+2b=45$。
    4. 第 4 步（消元）：把面积式减去 $2$ 倍的块数式，得 $a=45-2\times 17=\underline{11}$。
    5. 第 5 步：再回代求另一种，$b=17-11=\underline{6}$。
    最终答案：（1）至少 $15$ 块；（2）$1\times 3$ 用 $11$ 块，$1\times 2$ 用 $6$ 块。
  81. 26. ch23-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（先看个位）：若 $6$ 个数的个位都是 $6$，个位之和为 $6\times 6=\underline{36}$，总和的个位就是 $6$，而 $200$ 的个位是 $0$，矛盾，所以必有数的个位不是 $6$。
    2. 第 2 步（这个数靠十位含 6）：先取最大的一个数为 $160$（十位是 $6$），剩下 $5$ 个篮子共装 $200-160=\underline{40}$ 个。
    3. 第 3 步（拆剩下的和）：剩下 $5$ 个数末位都是 $6$，$6+6+6+6=\underline{24}$，还差 $40-24=\underline{16}$，恰好取 $16$（含数字 $6$）。
    4. 第 4 步（验算总数）：$160+16+6\times 4=200$，符合要求。
    最终答案：一种装法：$160,16,6,6,6,6$。
  82. 26. ch23-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步：若 $6$ 个数个位都是 $6$，个位和 $6\times 6=\underline{36}$，总数个位应是 $6$，与 $200$ 的个位 $0$ 矛盾。
    2. 第 2 步：取一个十位含 $6$ 的大数 $160$，其余 $5$ 盒共 $200-160=\underline{40}$ 颗。
    3. 第 3 步：$4$ 盒各 $6$ 颗共 $6\times 4=\underline{24}$ 颗，剩下一盒 $40-24=\underline{16}$ 颗，$16$ 含数字 $6$，合格。
    4. 第 4 步：验算 $160+16+24=200$（颗），符合要求。
    最终答案：一种装法：$160,16,6,6,6,6$（颗）。
  83. 26. ch23-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（个位分析）：若 $8$ 个数个位都是 $6$，个位之和 $8\times 6=\underline{48}$，总和个位是 $8$，与 $300$ 的个位 $0$ 矛盾，所以要用十位或百位含 $6$ 的数。
    2. 第 2 步（先放两个大数）：取 $196$ 与 $68$（都含数字 $6$），它们的和是 $196+68=\underline{264}$。
    3. 第 3 步（其余 6 个篮子）：还剩 $300-264=\underline{36}$ 个，平均分给余下的 $6$ 个篮子，每篮 $36\div 6=\underline{6}$ 个，恰好含数字 $6$。
    4. 第 4 步：验算 $196+68+36=300$，符合要求。
    最终答案：一种装法：$196,68,6,6,6,6,6,6$。
  84. 26. ch23-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（个位分析）：个位都是 $6$ 时个位和为 $6\times 6=\underline{36}$，总和个位为 $6$，与 $200$ 矛盾，所以至少有一个数靠十位含 $6$。
    2. 第 2 步（先排出个位是 6 的一串互不相同的数）：最省的取法是 $6,16,26,36$，它们的和为 $6+16+26+36=\underline{84}$。
    3. 第 3 步（补足剩下两个）：还差 $200-84=\underline{116}$，要用两个含数字 $6$ 且与前面都不同的数凑出来；取其中一个为 $60$，另一个就是 $116-60=\underline{56}$，它含数字 $6$，合格。
    4. 第 4 步（验算）：$6+16+26+36+56+60=200$，且 $6$ 个数互不相同、都含数字 $6$。
    最终答案：一种装法：$6,16,26,36,56,60$。
  85. 27. ch23-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（算总需求）：$6$ 个面每个面都要 $2$ 条白棱，一共需要 $6\times 2=\underline{12}$ 个「面·棱」达标次数。
    2. 第 2 步（看单条棱的上限）：每条棱只在 \underline{2} 个面上，所以一条白棱最多提供这么多次达标。
    3. 第 3 步（求下界）：白棱条数至少 $12\div 2=\underline{6}$ 条。
    4. 第 4 步（构造）：取某个顶点引出的 $3$ 条棱，再取它对顶点引出的 $3$ 条棱，一共 $3+3=\underline{6}$ 条。每个面都恰好含这两个顶点中的一个，于是恰好含其中 $2$ 条棱，达到下界。
    5. 第 5 步：答案是 \underline{6} 条。
    最终答案：最少 $6$ 条棱是白色的。
  86. 27. ch23-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步：正方体共有 \underline{6} 个面需要照顾。
    2. 第 2 步：每条棱恰好在 \underline{2} 个面上，一条棱最多让这么多个面达标。
    3. 第 3 步：所以至少需要 $6\div 2=\underline{3}$ 条。
    4. 第 4 步：取 $3$ 条两两错开、方向各不相同的棱，它们所在的面互不重复，共覆盖 $3\times 2=\underline{6}$ 个面，恰好是全部 $6$ 个面，下界达到。
    最终答案：最少涂 $3$ 条棱（取 $3$ 条两两错开的棱即可）。
  87. 27. ch23-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（数面）：三棱柱共有 $2+3=\underline{5}$ 个面。
    2. 第 2 步（单棱上限）：每条棱仍恰好在 \underline{2} 个面上。
    3. 第 3 步（求下界）：$5\div 2=2.5$，白棱条数是整数，所以至少要 \underline{3} 条（不足 $3$ 条时最多只能覆盖 $2\times 2=4<5$ 个面）。
    4. 第 4 步（构造）：取上底的一条棱（覆盖上三角形与一个长方形面）、下底的一条棱（覆盖下三角形与另一个长方形面）、以及一条竖棱（覆盖余下的长方形面），共 \underline{3} 条即可。
    最终答案：最少 $3$ 条棱是白色的。
  88. 27. ch23-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（下界）：每条棱在 \underline{2} 个面上，$6$ 个面至少需要 $6\div 2=\underline{3}$ 条白棱。
    2. 第 2 步（构造）：取 $3$ 条两两错开、方向各不相同的棱，它们所在的面互不重复，恰好覆盖全部 $6$ 个面，所以白棱可以只有 $3$ 条。
    3. 第 3 步（第 2 问·补集思想）：白棱越少，红棱就越多；白棱最少 $3$ 条时红棱最多，为 $12-3=\underline{9}$ 条。
    4. 第 4 步（检验）：白棱 $3$ 条 + 红棱 $9$ 条 $=3+9=\underline{12}$ 条，与总棱数相符。
    最终答案：（1）最少 $3$ 条白棱；（2）红棱最多 $9$ 条。
  89. 28. ch23-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（求总和）：$1+2+\cdots+12=\underline{78}$。
    2. 第 2 步（转成和差问题）：设取「$+$」的数之和为 $x$、取「$-$」的数之和为 $y$，则 $x+y=78$，$x-y=2$。
    3. 第 3 步（求取正的一组）：$x=(78+2)\div 2=\underline{40}$。
    4. 第 4 步（求取负的一组）：$y=(78-2)\div 2=\underline{38}$。
    5. 第 5 步（挑数构造）：从 $11$ 往下挑，$11+10+9+8=\underline{38}$，恰好等于 $y$，就把这 $4$ 个数前面填「$-$」。
    6. 第 6 步（写算式验算）：$12-11-10-9-8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{2}$。
    7. 第 7 步（判断结果 1）：总和 $78$ 是偶数，添号后结果的奇偶性与 $78$ 相同，只能是偶数，而 $1$ 是奇数，所以**不能**；也可从 $(78+1)\div 2$ 不是整数看出，$78+1=\underline{79}$ 是奇数。
    最终答案：例如 $12-11-10-9-8+7+6+5+4+3+2+1=2$；结果不可能为 $1$。
  90. 28. ch23-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步：所有层数之和 $1+2+\cdots+12=\underline{78}$（层）。
    2. 第 2 步：设上升的层数之和为 $x$、下降的为 $y$，则 $x+y=78$，$x-y=2$。
    3. 第 3 步：$x=(78+2)\div 2=\underline{40}$（层）。
    4. 第 4 步：$y=(78-2)\div 2=\underline{38}$（层）。
    5. 第 5 步：挑出和为 $y$ 的层数 $11+10+9+8=\underline{38}$，让这四次都下降。
    6. 第 6 步：验算净升 $12-11-10-9-8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{2}$（层）。
    7. 第 7 步：净升 $1$ 层做不到，因为总和 $78$ 是偶数，净升只能是偶数，$78+1=\underline{79}$ 是奇数，$(78+1)\div 2$ 不是整数。
    最终答案：例如上升 $12,7,6,5,4,3,2,1$、下降 $11,10,9,8$，净上升 $2$ 层；净上升 $1$ 层不可能。
  91. 28. ch23-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+10=\underline{55}$。
    2. 第 2 步（和差问题）：取正的一组之和 $x=(55+5)\div 2=\underline{30}$。
    3. 第 3 步：取负的一组之和 $y=(55-5)\div 2=\underline{25}$。
    4. 第 4 步（挑数）：$9+8+7+1=\underline{25}$，恰为 $y$，把这 $4$ 个数前填「$-$」。
    5. 第 5 步（验算）：$10-9-8-7+6+5+4+3+2-1=\underline{5}$。
    最终答案：例如 $10-9-8-7+6+5+4+3+2-1=5$。
  92. 28. ch23-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+16=\underline{136}$。
    2. 第 2 步（第 1 问·奇偶判定）：把某个数由「$+$」改成「$-$」，结果减少这个数的 $2$ 倍，是偶数，所以结果与总和 $136$ 同奇偶，只能是偶数；$3$ 是奇数，**不能**。也可看 $(136+3)\div 2$：$136+3=\underline{139}$ 是奇数，除不尽。
    3. 第 3 步（第 2 问·和差问题）：取正的一组之和 $x=(136+4)\div 2=\underline{70}$。
    4. 第 4 步：取负的一组之和 $y=(136-4)\div 2=\underline{66}$。
    5. 第 5 步（挑数）：$15+14+13+12+11+1=\underline{66}$，恰为 $y$。
    6. 第 6 步（验算）：$16-15-14-13-12-11+10+9+8+7+6+5+4+3+2-1=\underline{4}$。
    最终答案：（1）不能；（2）例如 $16-15-14-13-12-11+10+9+8+7+6+5+4+3+2-1=4$。
  93. 29. ch23-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（看一条边的要求）：两数之和是奇数，必须一奇一偶，例如 $1+2=\underline{3}$ 是奇数。
    2. 第 2 步（沿边走一圈）：于是相邻顶点必须「奇、偶、奇、偶……」交替，从第 $1$ 个顶点是奇数出发，第 $2$ 个偶、第 $3$ 个奇、第 $4$ 个偶、第 $5$ 个奇。
    3. 第 3 步（回到起点）：第 $5$ 个顶点与第 $1$ 个顶点相邻，可它们都是奇数，其和为偶数，例如 $1+1=\underline{2}$，不是奇数。
    4. 第 4 步（找出根源）：交替一圈要能回到起点，圈上的顶点数必须是偶数，而五边形有 \underline{5} 个顶点，是奇数，所以**不能**。
    最终答案：不能。五边形是奇数长的圈，奇偶交替绕一圈后必有一条边两端同奇偶，其和为偶数。
  94. 29. ch23-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步：相邻两数之和为奇数，必须一奇一偶，例如 $1+2=\underline{3}$。
    2. 第 2 步：$3$ 个数按奇偶只有 $2$ 类，必有两人手中的数同奇偶（抽屉原理），这两人若相邻，其和就是偶数，如 $1+3=\underline{4}$。
    3. 第 3 步：三人围成一圈时每两人都相邻，所以一定出现和为偶数的一对，**不能**做到。
    最终答案：不能。三人中必有两人卡片同奇偶，他们相邻，和为偶数。
  95. 29. ch23-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（要求）：每条边两端必须一奇一偶。
    2. 第 2 步（交替填）：四边形是 $4$ 边的圈，$4$ 是偶数，奇偶可以交替一圈回到起点。按顺序填 $1,2,3,4$。
    3. 第 3 步（逐边验算）：$1+2=\underline{3}$，$2+3=\underline{5}$，$3+4=\underline{7}$，$4+1=\underline{5}$，全是奇数。
    最终答案：能。例如按顺序填 $1,2,3,4$，四条边的和依次为 $3,5,7,5$，都是奇数。
  96. 29. ch23-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问）：和为奇数要求相邻一奇一偶，沿五边形交替一圈，第 $5$ 个顶点与第 $1$ 个顶点同奇偶，其和为偶数，如 $1+1=\underline{2}$，矛盾，所以**不能**。
    2. 第 2 步（找根源）：奇偶交替能绕回起点的圈长必须是偶数，而 $5$ 是奇数。
    3. 第 3 步（第 2 问）：和为偶数只要相邻两数同奇偶，全部填奇数即可，例如都填 $1$：每边的和 $1+1=\underline{2}$，是偶数。
    4. 第 4 步（另一种）：全部填偶数也行，例如都填 $2$，每边的和 $2+2=\underline{4}$。
    最终答案：（1）不能；（2）能，例如五个顶点都填 $1$（或都填 $2$），每条边的和都是偶数。
  97. 30. ch23-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（先看约束最紧的数）：与 $1$ 相差 $2,3,4$ 的数只有 $3,4,5$，所以 $1$ 的两个邻居要从中挑。
    2. 第 2 步（延伸成环）：试着排成 $1,3,5,2,6,4$ 首尾相接。
    3. 第 3 步（逐对验算）：$3-1=\underline{2}$，$5-3=\underline{2}$，$5-2=\underline{3}$，$6-2=\underline{4}$，$6-4=\underline{2}$，$4-1=\underline{3}$。
    4. 第 4 步：$6$ 个差全都落在 $\{2,3,4\}$ 里，所以**能**。
    最终答案：能。例如 $1,3,5,2,6,4$ 围成圆圈，相邻差依次为 $2,2,3,4,2,3$。
  98. 30. ch23-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步：学号 $1$ 的邻居只能从 $3,4,5$ 中选（差要落在 $\{2,3,4\}$）。
    2. 第 2 步：按 $1,3,5,2,6,4$ 的顺序围圈试试。
    3. 第 3 步：逐对算差 $3-1=\underline{2}$，$5-3=\underline{2}$，$5-2=\underline{3}$，$6-2=\underline{4}$，$6-4=\underline{2}$，$4-1=\underline{3}$。
    4. 第 4 步：全部合格，所以**能**排出。
    最终答案：能。例如按 $1,3,5,2,6,4$ 围成一圈。
  99. 30. ch23-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（从 1 出发）：与 $1$ 相差 $2,3,4$ 的只有 $3,4,5$。
    2. 第 2 步（逐步延伸）：试排 $1,3,6,2,4,7,5$ 首尾相接。
    3. 第 3 步（逐对验算）：$3-1=\underline{2}$，$6-3=\underline{3}$，$6-2=\underline{4}$，$4-2=\underline{2}$，$7-4=\underline{3}$，$7-5=\underline{2}$，$5-1=\underline{4}$。
    4. 第 4 步：$7$ 个差都在 $\{2,3,4\}$ 中，所以**能**。
    最终答案：能。例如 $1,3,6,2,4,7,5$ 围成圆圈。
  100. 30. ch23-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问·构造）：试排 $1,3,7,4,2,6,8,5$ 首尾相接，逐对算差：$3-1=\underline{2}$，$7-3=\underline{4}$，$7-4=\underline{3}$，$4-2=\underline{2}$，$6-2=\underline{4}$，$8-6=\underline{2}$，$8-5=\underline{3}$，$5-1=\underline{4}$，全在 $\{2,3,4\}$ 中，**能**。
    2. 第 2 步（第 2 问·先锁死链条）：差只能是 $2$ 或 $3$ 时，$1$ 的邻居只能是 $3,4$；$2$ 的邻居只能是 $4,5$；$7$ 的邻居只能是 $4,5$。
    3. 第 3 步（数一数）：$4$ 要同时当 $1$、$2$、$7$ 三者中至少两个的邻居，但圆圈上每个数只有 \underline{2} 个邻居，把 $2$ 与 $7$ 的邻居需求算下来，$4$ 与 $5$ 一共只能提供 $2\times 2=\underline{4}$ 个邻位，却要照顾 $1,2,7$ 三个数的 $3\times 2=\underline{6}$ 个邻位需求中的绝大部分，无法配平。
    4. 第 4 步：逐一试完所有链条都无法把 $7$ 个数连成圈，所以第 2 问**不能**。
    最终答案：（1）能，例如 $1,3,7,4,2,6,8,5$；（2）不能。
  101. 31. ch23-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（一场比赛的贡献）：一场比赛使两人各加 $1$ 场，所有人场数之和增加 \underline{2} 场。
    2. 第 2 步（总和的性质）：总和 $=$ 比赛场次 $\times 2$，一定是偶数。
    3. 第 3 步（算总和）：$1+2+3+4+5+4=\underline{19}$。
    4. 第 4 步（判断奇偶）：$19$ 除以 $2$ 余 \underline{1}，是奇数，与「必为偶数」矛盾。
    5. 第 5 步：所以一定有人记错了。
    最终答案：总和 $1+2+3+4+5+4=19$ 是奇数，而所有人场数之和必为偶数，矛盾，所以有人记错。
  102. 31. ch23-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步：一局棋使两名棋手的局数各加 $1$，总和增加 \underline{2} 局。
    2. 第 2 步：所以所有人局数之和 $=$ 总对局数 $\times 2$，必为偶数。
    3. 第 3 步：题中总和为 $1+2+3+4+5+4=\underline{19}$（局）。
    4. 第 4 步：$19$ 是奇数（$19-18=\underline{1}$），与结论矛盾，故统计出错。
    最终答案：总和 $19$ 是奇数，而必为偶数，矛盾，统计一定出错。
  103. 31. ch23-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步：每场比赛使总场数之和增加 \underline{2}，故总和必为偶数。
    2. 第 2 步：算总和 $1+2+2+3+3=\underline{11}$。
    3. 第 3 步：$11$ 是奇数（$11-10=\underline{1}$），与必为偶数矛盾。
    4. 第 4 步：所以这组数据不可能，一定有人记错。
    最终答案：不可能。总和 $11$ 是奇数，而所有人场数之和必为偶数。
  104. 31. ch23-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（第 1 问·先验奇偶）：总和 $2+2+3+3+4+4=\underline{18}$，是偶数，没有奇偶矛盾。
    2. 第 2 步（算场次）：总场数 $=$ 总和 $\div 2=18\div 2=\underline{9}$（场）。
    3. 第 3 步（第 2 问·上界分析）：一共 $6$ 人，每人最多能和其他 $6-1=\underline{5}$ 人各比一场（同一对最多算一场），所以每人的场数最多是 \underline{5} 场。
    4. 第 4 步（判断）：$6>5$，所以说自己比了 $6$ 场是不可能的。
    最终答案：（1）可能，一共比了 $9$ 场；（2）不可能，$6$ 人中每人最多比 $5$ 场。
  105. 32. ch23-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（把所有因数相加）：$(a_1-1)+\cdots+(a_{2025}-2025)=(a_1+\cdots+a_{2025})-(1+\cdots+2025)$。
    2. 第 2 步（用排列性质）：重排不改变总和，两部分相等，差为 $2025-2025=\underline{0}$。
    3. 第 3 步（判奇偶）：因数的个数是 $2025$，它除以 $2$ 余 \underline{1}，是奇数。
    4. 第 4 步（反证）：若这 $2025$ 个因数全是奇数，则「奇数个奇数之和」是奇数，但它们的和是 $0$（偶数），矛盾。
    5. 第 5 步：所以至少有一个因数是偶数，乘积是**偶数**。
    最终答案：是偶数。
  106. 32. ch23-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步：把所有差相加，$(a_1-1)+\cdots+(a_{2025}-2025)$ 中新号总和与旧号总和相等，差为 $2025-2025=\underline{0}$。
    2. 第 2 步：差的个数是 $2025$ 个，$2025$ 除以 $2$ 余 \underline{1}，是奇数个。
    3. 第 3 步：若这些差全是奇数，奇数个奇数之和应是奇数，与和为 $0$（偶数）矛盾。
    4. 第 4 步：所以至少有一位同学的「新号减旧号」是偶数，乘积是**偶数**。
    最终答案：是偶数。
  107. 32. ch23-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步：所有因数之和 $=(a_1+\cdots+a_{99})-(1+\cdots+99)$。由等差数列求和，$1+2+\cdots+99=(1+99)\times 99\div 2=\underline{4950}$，两部分都是它，差为 \underline{0}。
    2. 第 2 步：因数共 $99$ 个，是奇数个（$99-98=\underline{1}$）。
    3. 第 3 步：若全为奇数，和应为奇数，与 $0$ 为偶数矛盾。
    4. 第 4 步：所以乘积是**偶数**。
    最终答案：是偶数。
  108. 32. ch23-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（先看和）：所有因数之和仍为 $2024-2024=\underline{0}$，是偶数。
    2. 第 2 步（关键差别）：这次因数有 $2024$ 个，是**偶数**个，$2024$ 除以 $2$ 余 \underline{0}；偶数个奇数之和本来就是偶数，与 $0$ **不矛盾**，原来的反证失效。
    3. 第 3 步（构造反例）：把相邻两数两两交换，即取排列 $2,1,4,3,6,5,\cdots,2024,2023$。这时每个因数是 $2-1=\underline{1}$ 或 $1-2=\underline{-1}$，全是奇数。
    4. 第 4 步（数一数）：这样的交换共 $2024\div 2=\underline{1012}$ 对，每对贡献两个奇因数，乘积是奇数。
    5. 第 5 步：所以**不一定**是偶数。
    最终答案：不一定。例如取排列 $2,1,4,3,\cdots,2024,2023$，每个因数都是 $\pm 1$，乘积为奇数。