1. 【原题 ch01-tuozhan-02】计算：$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\frac{1}{5\times 6}+\cdots+\frac{1}{2007\times 2008}$。
详细思路是哪类问题：这是「长链 $\frac{1}{n(n+1)}$ 型裂项相消」题：项数多达 2007 项，硬加不可能，必须裂项。
关键切入点：项数再多也不怕：每项拆成 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 后，除了最前面的 $1$ 和最后面的 $\frac{1}{2008}$，中间每个分数都出现一正一负各一次，全部抵消。
方法概述：整体裂项，只留首尾两项。
规范步骤：- 确定公差：$d=2-1=1$（相邻分母因数之差）
- 逐项裂项：$\frac{1}{a\times(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$（分子等于公差，可直接拆）
- 中间项相消：$\text{原式}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2008}$（首尾以外全部抵消）
- 算出结果：$\text{原式}=\frac{2007}{2008}$
第一套题目：计算：$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\cdots+\frac{1}{2999\times 3000}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,2,3,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{1\times 2}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{2\times 3}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{3000}=\underline{\quad}$。
第二套题目：某程序运行 2999 步，第 $n$ 步完成任务量的 $\frac{1}{n(n+1)}$。这些步骤共完成任务量的几分之几？即求 $\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\cdots+\frac{1}{2999\times 3000}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,2,3,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{1\times 2}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{2\times 3}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{3000}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{6\times 7}+\frac{1}{7\times 8}+\frac{1}{8\times 9}+\frac{1}{9\times 10}+\cdots+\frac{1}{2999\times 3000}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $6,7,8,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{6\times 7}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{7\times 8}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{6}-\frac{1}{3000}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{7\times 9}+\cdots+\frac{1}{2005\times 2007}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,3,5,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 3}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{3\times 5}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2007}\right)=\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch01-tuozhan-03】计算：$\frac{3}{2\times 5}+\frac{3}{5\times 8}+\frac{3}{8\times 11}+\frac{3}{11\times 14}+\cdots+\frac{3}{98\times 101}$。
详细思路是哪类问题：这是「公差为 3 的裂项相消」题：分母两因数相差 $3$，分子恰好是 $3$。
关键切入点：$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+3}=\frac{3}{a(a+3)}$，分子 $3$ 与公差相等，可直接拆；拆开后中间项两两抵消，只剩 $\frac{1}{2}-\frac{1}{101}$。
方法概述：分子等于公差 3，直接裂项相消。
规范步骤：- 确定公差：$d=5-2=3$（相邻分母因数之差）
- 逐项裂项：$\frac{3}{a\times(a+3)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+3}$（分子等于公差，可直接拆）
- 中间项相消：$\text{原式}=\frac{1}{2}-\frac{1}{101}$（首尾以外全部抵消）
- 算出结果：$\text{原式}=\frac{99}{202}$
第一套题目：计算：$\frac{3}{2\times 5}+\frac{3}{5\times 8}+\frac{3}{8\times 11}+\frac{3}{11\times 14}+\cdots+\frac{3}{197\times 200}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $2,5,8,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $3$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{3}{2\times 5}=\underline{\quad}$，$\frac{3}{5\times 8}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{2}-\frac{1}{200}=\underline{\quad}$。
第二套题目：一列货车共 66 节车厢，第 $k$ 节装载的货物占总量的 $\frac{3}{(3k-1)(3k+2)}$。这些车厢共装总量的几分之几？即求 $\frac{3}{2\times 5}+\frac{3}{5\times 8}+\frac{3}{8\times 11}+\frac{3}{11\times 14}+\cdots+\frac{3}{197\times 200}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $2,5,8,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $3$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{3}{2\times 5}=\underline{\quad}$，$\frac{3}{5\times 8}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{2}-\frac{1}{200}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{4}{1\times 5}+\frac{4}{5\times 9}+\frac{4}{9\times 13}+\frac{4}{13\times 17}+\cdots+\frac{4}{97\times 101}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,5,9,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $4$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{4}{1\times 5}=\underline{\quad}$，$\frac{4}{5\times 9}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{101}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{2\times 5}+\frac{1}{5\times 8}+\frac{1}{8\times 11}+\frac{1}{11\times 14}+\cdots+\frac{1}{98\times 101}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $2,5,8,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $3$ 小，先把 $\frac{1}{3}$ 提到括号外面：$\frac{1}{2\times 5}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{5\times 8}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{3}$）：$\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{101}\right)=\underline{\quad}$。
3. 【原题 ch01-tuozhan-05】计算：$\frac{1}{4}+\frac{1}{28}+\frac{1}{70}+\frac{1}{130}+\cdots+\frac{1}{9700}$。
详细思路是哪类问题：这是「分母先分解 + 公差为 3 提公因数」的综合裂项题：题面分母 $4,28,70,130,\cdots,9700$ 都是整数。
关键切入点：把分母分解：$4=1\times 4$、$28=4\times 7$、$70=7\times 10$……两因数相差 $3$；而分子只有 $1$，所以要先提 $\frac{1}{3}$ 再裂项相消。
方法概述：分解分母 → 提 $\frac{1}{3}$ → 裂项相消。
规范步骤：- 把每个分母分解成两数之积：$4=1\times 4,\ 28=4\times 7,\cdots$（还原出 $a(a+d)$ 型分母）
- 确定公差：$d=4-1=3$（相邻分母因数之差）
- 提取公因数后裂项：$\frac{1}{a\times(a+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+3}\right)$（分子比公差小，先提 $\frac{1}{d}$）
- 中间项相消：$\text{原式}=\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{100}\right)$（首尾以外全部抵消）
- 算出结果：$\text{原式}=\frac{33}{100}$
第一套题目：计算：$\frac{1}{4}+\frac{1}{28}+\frac{1}{70}+\frac{1}{130}+\cdots+\frac{1}{22348}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$4=1\times 4$，第二个分母 $28=\underline{\quad}\times \underline{\quad}$，可见因数依次是 $1,4,7,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{\quad}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $3$ 小，先把 $\frac{1}{3}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 4}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{4\times 7}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{3}$）：$\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{151}\right)=\underline{\quad}$。
第二套题目：一批零件分若干次加工，各次完成的比例依次是 $\frac{1}{4}+\frac{1}{28}+\frac{1}{70}+\frac{1}{130}+\cdots+\frac{1}{22348}$。这些次数一共完成了这批零件的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$4=1\times 4$，第二个分母 $28=\underline{\quad}\times \underline{\quad}$，可见因数依次是 $1,4,7,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{\quad}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $3$ 小，先把 $\frac{1}{3}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 4}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{4\times 7}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{3}$）：$\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{151}\right)=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{5}+\frac{1}{45}+\frac{1}{117}+\frac{1}{221}+\cdots+\frac{1}{9797}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$5=1\times 5$，第二个分母 $45=\underline{\quad}\times \underline{\quad}$，可见因数依次是 $1,5,9,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{\quad}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $4$ 小，先把 $\frac{1}{4}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 5}=\frac{1}{4}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{5\times 9}=\frac{1}{4}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{4}$）：$\frac{1}{4}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{101}\right)=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{6}+\frac{1}{66}+\frac{1}{176}+\frac{1}{336}+\cdots+\frac{1}{39396}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$6=1\times 6$，第二个分母 $66=\underline{\quad}\times \underline{\quad}$，可见因数依次是 $1,6,11,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{\quad}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $5$ 小，先把 $\frac{1}{5}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 6}=\frac{1}{5}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{6\times 11}=\frac{1}{5}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{5}$）：$\frac{1}{5}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{201}\right)=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch01-xingqu-01】计算下列各个算式，并想一想计算结果的分子、分母各有什么规律。（1）$\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$；（2）$\frac{1}{11}-\frac{1}{13}$；（3）$\frac{1}{97}-\frac{1}{103}$。
详细思路是哪类问题：这是「分数减法找规律」题：两个分子都是 $1$ 的分数相减，要通过通分观察结果的分子、分母各自来自哪里。
关键切入点：通分时公分母取两个分母的乘积，分子变成 $b-a$。所以 $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$：结果的分子是原来两个分母的差，分母是原来两个分母的积。这条规律反过来用就是本讲的“裂项”。
方法概述：统一通分成 $\frac{b-a}{ab}$，再看分子分母的来源。
规范步骤：- 第 (1) 题通分相减：$\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=\frac{10-9}{9\times 10}=\frac{1}{90}$（分子取差、分母取积）
- 第 (2) 题同理：$\frac{1}{11}-\frac{1}{13}=\frac{13-11}{11\times 13}=\frac{2}{143}$（同一规律）
- 第 (3) 题同理：$\frac{1}{97}-\frac{1}{103}=\frac{103-97}{97\times 103}=\frac{6}{9991}$（同一规律）
- 归纳规律：$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$（分子为分母之差，分母为分母之积）
第一套题目：计算：（1）$\frac{1}{19}-\frac{1}{20}$；（2）$\frac{1}{21}-\frac{1}{24}$；（3）$\frac{1}{197}-\frac{1}{203}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步：通分后分子是两个分母的差 $20-19=\underline{\quad}$，分母是两个分母的积 $19\times 20=\underline{\quad}$，所以 $\frac{1}{19}-\frac{1}{20}=\underline{\quad}$。
- 第 2 步：通分后分子是两个分母的差 $24-21=\underline{\quad}$，分母是两个分母的积 $21\times 24=\underline{\quad}$，所以 $\frac{1}{21}-\frac{1}{24}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步：通分后分子是两个分母的差 $203-197=\underline{\quad}$，分母是两个分母的积 $197\times 203=\underline{\quad}$，所以 $\frac{1}{197}-\frac{1}{203}=\underline{\quad}$。
第二套题目：（1）甲、乙两个工程队修同一条路。三组数据中，甲每天修全路的 $\frac{1}{19}$，乙每天修全路的 $\frac{1}{20}$，问甲每天比乙多修全路的几分之几？；（2）甲、乙两个工程队修同一条路。三组数据中，甲每天修全路的 $\frac{1}{21}$，乙每天修全路的 $\frac{1}{24}$，问甲每天比乙多修全路的几分之几？；（3）甲、乙两个工程队修同一条路。三组数据中，甲每天修全路的 $\frac{1}{197}$，乙每天修全路的 $\frac{1}{203}$，问甲每天比乙多修全路的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步：通分后分子是两个分母的差 $20-19=\underline{\quad}$，分母是两个分母的积 $19\times 20=\underline{\quad}$，所以 $\frac{1}{19}-\frac{1}{20}=\underline{\quad}$。
- 第 2 步：通分后分子是两个分母的差 $24-21=\underline{\quad}$，分母是两个分母的积 $21\times 24=\underline{\quad}$，所以 $\frac{1}{21}-\frac{1}{24}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步：通分后分子是两个分母的差 $203-197=\underline{\quad}$，分母是两个分母的积 $197\times 203=\underline{\quad}$，所以 $\frac{1}{197}-\frac{1}{203}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：（1）$\frac{1}{25}-\frac{1}{30}$；（2）$\frac{1}{33}-\frac{1}{44}$；（3）$\frac{1}{91}-\frac{1}{105}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步：通分后分子是两个分母的差 $30-25=\underline{\quad}$，分母是两个分母的积 $25\times 30=\underline{\quad}$，所以 $\frac{1}{25}-\frac{1}{30}=\underline{\quad}$。
- 第 2 步：通分后分子是两个分母的差 $44-33=\underline{\quad}$，分母是两个分母的积 $33\times 44=\underline{\quad}$，所以 $\frac{1}{33}-\frac{1}{44}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步：通分后分子是两个分母的差 $105-91=\underline{\quad}$，分母是两个分母的积 $91\times 105=\underline{\quad}$，所以 $\frac{1}{91}-\frac{1}{105}=\underline{\quad}$。
第三套题目：先用 $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$ 把每一项还原成两个分数之差，再计算：$\frac{1}{90}+\frac{1}{110}+\frac{1}{132}+\frac{1}{156}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（逆用规律）：分子是 $1$，说明两个分母之差是 $1$，即分母能写成相邻两数之积。$90=9\times \underline{\quad}$，$110=10\times \underline{\quad}$，$132=11\times 12$，$156=12\times 13$。
- 第 2 步（还原成差）：$\frac{1}{90}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{110}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：四项都拆开后，中间的 $\frac{1}{10},\frac{1}{11},\frac{1}{12}$ 一正一负全部抵消，只剩 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{9}-\frac{1}{13}=\underline{\quad}$。
5. 【原题 ch01-xingqu-02】计算：$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\frac{1}{5\times 6}+\frac{1}{6\times 7}+\frac{1}{7\times 8}+\frac{1}{8\times 9}+\frac{1}{9\times 10}$。
详细思路是哪类问题：这是最基本的「$\frac{1}{n(n+1)}$ 型裂项相消」求和题：每一项的分母都是相邻两个整数之积。
关键切入点：分母 $n(n+1)$ 的两个因数相差 $1$，而 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$，正好等于这一项。于是每项都能拆成两个分数之差，前一项的“尾”与后一项的“头”大小相同符号相反，逐个抵消，最后只剩首尾。
方法概述：每项拆成 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，中间相消。
规范步骤：- 确定公差：$d=2-1=1$（相邻分母因数之差）
- 逐项裂项：$\frac{1}{a\times(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$（分子等于公差，可直接拆）
- 中间项相消：$\text{原式}=\frac{1}{1}-\frac{1}{10}$（首尾以外全部抵消）
- 算出结果：$\text{原式}=\frac{9}{10}$
第一套题目：计算：$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\cdots+\frac{1}{29\times 30}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,2,3,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{1\times 2}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{2\times 3}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{30}=\underline{\quad}$。
第二套题目：一条流水线上有 29 道工序，第 $n$ 道工序耗时占全天的 $\frac{1}{n(n+1)}$。这些工序一共占全天的几分之几？即求 $\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\cdots+\frac{1}{29\times 30}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,2,3,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{1\times 2}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{2\times 3}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{30}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{5\times 6}+\frac{1}{6\times 7}+\frac{1}{7\times 8}+\frac{1}{8\times 9}+\cdots+\frac{1}{19\times 20}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $5,6,7,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{5\times 6}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{6\times 7}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{5}-\frac{1}{20}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\cdots+\frac{1}{380}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$30=5\times 6$，第二个分母 $42=\underline{\quad}\times \underline{\quad}$，可见因数依次是 $5,6,7,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{\quad}$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{5\times 6}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{6\times 7}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{5}-\frac{1}{20}=\underline{\quad}$。
6. 【原题 ch01-xingqu-03】计算：$\frac{2}{1\times 3}+\frac{2}{3\times 5}+\frac{2}{5\times 7}+\cdots+\frac{2}{97\times 99}$。
详细思路是哪类问题：这是「公差为 2 的裂项相消」题：分母是两个相差 $2$ 的奇数之积，分子恰好是 $2$。
关键切入点：$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}=\frac{2}{a(a+2)}$，分子 $2$ 正好等于两个分母因数的差，所以每项都能不打折扣地直接拆开；拆开后相邻项首尾抵消，只剩 $1-\frac{1}{99}$。
方法概述：分子等于公差时直接裂项，再相消。
规范步骤：- 确定公差：$d=3-1=2$（相邻分母因数之差）
- 逐项裂项：$\frac{2}{a\times(a+2)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}$（分子等于公差，可直接拆）
- 中间项相消：$\text{原式}=\frac{1}{1}-\frac{1}{99}$（首尾以外全部抵消）
- 算出结果：$\text{原式}=\frac{98}{99}$
第一套题目：计算：$\frac{2}{1\times 3}+\frac{2}{3\times 5}+\frac{2}{5\times 7}+\frac{2}{7\times 9}+\cdots+\frac{2}{197\times 199}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,3,5,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $2$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{2}{1\times 3}=\underline{\quad}$，$\frac{2}{3\times 5}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{199}=\underline{\quad}$。
第二套题目：一根长绳按奇数刻度分段，第 $k$ 段占全长的 $\frac{2}{(2k-1)(2k+1)}$，共 99 段。这些段一共占全长的几分之几？即求 $\frac{2}{1\times 3}+\frac{2}{3\times 5}+\frac{2}{5\times 7}+\frac{2}{7\times 9}+\cdots+\frac{2}{197\times 199}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,3,5,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $2$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{2}{1\times 3}=\underline{\quad}$，$\frac{2}{3\times 5}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{199}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{2}{3\times 5}+\frac{2}{5\times 7}+\frac{2}{7\times 9}+\frac{2}{9\times 11}+\cdots+\frac{2}{99\times 101}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $3,5,7,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $2$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{2}{3\times 5}=\underline{\quad}$，$\frac{2}{5\times 7}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{3}-\frac{1}{101}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{7\times 9}+\frac{1}{9\times 11}+\cdots+\frac{1}{99\times 101}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $3,5,7,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{3\times 5}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{5\times 7}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{101}\right)=\underline{\quad}$。
7. 【原题 ch01-xingqu-04】计算：$\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{4\times 6}+\frac{1}{6\times 8}+\cdots+\frac{1}{98\times 100}$。
详细思路是哪类问题：这是「分子小于公差的裂项」题：分母是相差 $2$ 的两个偶数之积，而分子只有 $1$。
关键切入点：$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}=\frac{2}{a(a+2)}$ 得到的分子是 $2$，比题目的 $1$ 大一倍，所以要先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面，括号内才是标准的裂项相消；最后别忘了乘回 $\frac{1}{2}$。
方法概述：先提 $\frac{1}{2}$，括号内裂项相消，最后乘回去。
规范步骤：- 确定公差：$d=4-2=2$（相邻分母因数之差）
- 提取公因数后裂项：$\frac{1}{a\times(a+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}\right)$（分子比公差小，先提 $\frac{1}{d}$）
- 中间项相消：$\text{原式}=\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\right)$（首尾以外全部抵消）
- 算出结果：$\text{原式}=\frac{49}{200}$
第一套题目：计算：$\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{4\times 6}+\frac{1}{6\times 8}+\frac{1}{8\times 10}+\cdots+\frac{1}{198\times 200}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $2,4,6,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{2\times 4}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{4\times 6}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{200}\right)=\underline{\quad}$。
第二套题目：某仓库分 99 批入库，第 $k$ 批占总量的 $\frac{1}{(2k)(2k+2)}$。这 99 批一共占总量的几分之几？即求 $\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{4\times 6}+\frac{1}{6\times 8}+\frac{1}{8\times 10}+\cdots+\frac{1}{198\times 200}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $2,4,6,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{2\times 4}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{4\times 6}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{200}\right)=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{1\times 4}+\frac{1}{4\times 7}+\frac{1}{7\times 10}+\frac{1}{10\times 13}+\cdots+\frac{1}{97\times 100}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,4,7,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{\quad}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $3$ 小，先把 $\frac{1}{3}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 4}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{4\times 7}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{3}$）：$\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{100}\right)=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{8}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{80}+\cdots+\frac{1}{9800}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$8=2\times 4$，第二个分母 $24=\underline{\quad}\times \underline{\quad}$，可见因数依次是 $2,4,6,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{\quad}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{2\times 4}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{4\times 6}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\right)=\underline{\quad}$。
8. 【原题 ch01-xingqu-05】计算：$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}$。
详细思路是哪类问题：这是「分母需先分解的 $\frac{1}{n(n+1)}$ 型裂项」题：题面只给出 $6,12,20,\cdots$ 这些整数分母。
关键切入点：$6=2\times 3$、$12=3\times 4$、$20=4\times 5$……每个分母都是相邻两个整数之积，认出这一点后就回到标准裂项：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再相消。
方法概述：先把分母分解成相邻两数之积，再裂项相消。
规范步骤：- 把每个分母分解成两数之积：$6=2\times 3,\ 12=3\times 4,\cdots$（还原出 $a(a+d)$ 型分母）
- 确定公差：$d=3-2=1$（相邻分母因数之差）
- 逐项裂项：$\frac{1}{a\times(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$（分子等于公差，可直接拆）
- 中间项相消：$\text{原式}=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}$（首尾以外全部抵消）
- 算出结果：$\text{原式}=\frac{2}{5}$
第一套题目：计算：$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\cdots+\frac{1}{380}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$6=2\times 3$，第二个分母 $12=\underline{\quad}\times \underline{\quad}$，可见因数依次是 $2,3,4,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{\quad}$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{2\times 3}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{3\times 4}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\underline{\quad}$。
第二套题目：一个水池由若干水管注水，各管一小时的注水量分别占水池的下列分数：$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\cdots+\frac{1}{380}$（把它们加起来）。这些水管一小时共注满水池的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$6=2\times 3$，第二个分母 $12=\underline{\quad}\times \underline{\quad}$，可见因数依次是 $2,3,4,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{\quad}$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{2\times 3}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{3\times 4}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\cdots+\frac{1}{210}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$12=3\times 4$，第二个分母 $20=\underline{\quad}\times \underline{\quad}$，可见因数依次是 $3,4,5,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{\quad}$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{3\times 4}=\underline{\quad}$，$\frac{1}{4\times 5}=\underline{\quad}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{3}-\frac{1}{15}=\underline{\quad}$。
第三套题目：计算：$\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\cdots+\frac{1}{399}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$3=1\times 3$，第二个分母 $15=\underline{\quad}\times \underline{\quad}$，可见因数依次是 $1,3,5,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{\quad}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 3}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$，$\frac{1}{3\times 5}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{\quad}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{\quad}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{21}\right)=\underline{\quad}$。
附录 · 答案
（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
- 1. ch01-tuozhan-02 · 第一套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,2,3,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{1}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{1\times 2}=\underline{1/1-1/2}$，$\frac{1}{2\times 3}=\underline{1/2-1/3}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/3000}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{3000}=\underline{2999/3000}$。
最终答案：$\frac{2999}{3000}$。 - 1. ch01-tuozhan-02 · 第二套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,2,3,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{1}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{1\times 2}=\underline{1/1-1/2}$，$\frac{1}{2\times 3}=\underline{1/2-1/3}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/3000}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{3000}=\underline{2999/3000}$。
最终答案：$\frac{2999}{3000}$。 - 1. ch01-tuozhan-02 · 第三套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $6,7,8,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{1}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{6\times 7}=\underline{1/6-1/7}$，$\frac{1}{7\times 8}=\underline{1/7-1/8}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/6-1/3000}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{6}-\frac{1}{3000}=\underline{499/3000}$。
最终答案：$\frac{499}{3000}$。 - 1. ch01-tuozhan-02 · 第三套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,3,5,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{2}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 3}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/1-1/3}\right)$，$\frac{1}{3\times 5}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/3-1/5}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/2007}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2007}\right)=\underline{1003/2007}$。
最终答案：$\frac{1003}{2007}$。 - 2. ch01-tuozhan-03 · 第一套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $2,5,8,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{3}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $3$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{3}{2\times 5}=\underline{1/2-1/5}$，$\frac{3}{5\times 8}=\underline{1/5-1/8}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/2-1/200}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{2}-\frac{1}{200}=\underline{99/200}$。
最终答案：$\frac{99}{200}$。 - 2. ch01-tuozhan-03 · 第二套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $2,5,8,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{3}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $3$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{3}{2\times 5}=\underline{1/2-1/5}$，$\frac{3}{5\times 8}=\underline{1/5-1/8}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/2-1/200}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{2}-\frac{1}{200}=\underline{99/200}$。
最终答案：$\frac{99}{200}$。 - 2. ch01-tuozhan-03 · 第三套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,5,9,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{4}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $4$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{4}{1\times 5}=\underline{1/1-1/5}$，$\frac{4}{5\times 9}=\underline{1/5-1/9}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/101}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{101}=\underline{100/101}$。
最终答案：$\frac{100}{101}$。 - 2. ch01-tuozhan-03 · 第三套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $2,5,8,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{3}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $3$ 小，先把 $\frac{1}{3}$ 提到括号外面：$\frac{1}{2\times 5}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{1/2-1/5}\right)$，$\frac{1}{5\times 8}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{1/5-1/8}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/2-1/101}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{3}$）：$\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{101}\right)=\underline{33/202}$。
最终答案：$\frac{33}{202}$。 - 3. ch01-tuozhan-05 · 第一套
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$4=1\times 4$，第二个分母 $28=\underline{4}\times \underline{7}$，可见因数依次是 $1,4,7,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{3}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $3$ 小，先把 $\frac{1}{3}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 4}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{1/1-1/4}\right)$，$\frac{1}{4\times 7}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{1/4-1/7}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/151}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{3}$）：$\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{151}\right)=\underline{50/151}$。
最终答案：$\frac{50}{151}$。 - 3. ch01-tuozhan-05 · 第二套
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$4=1\times 4$，第二个分母 $28=\underline{4}\times \underline{7}$，可见因数依次是 $1,4,7,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{3}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $3$ 小，先把 $\frac{1}{3}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 4}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{1/1-1/4}\right)$，$\frac{1}{4\times 7}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{1/4-1/7}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/151}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{3}$）：$\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{151}\right)=\underline{50/151}$。
最终答案：$\frac{50}{151}$。 - 3. ch01-tuozhan-05 · 第三套
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$5=1\times 5$，第二个分母 $45=\underline{5}\times \underline{9}$，可见因数依次是 $1,5,9,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{4}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $4$ 小，先把 $\frac{1}{4}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 5}=\frac{1}{4}\times\left(\underline{1/1-1/5}\right)$，$\frac{1}{5\times 9}=\frac{1}{4}\times\left(\underline{1/5-1/9}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/101}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{4}$）：$\frac{1}{4}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{101}\right)=\underline{25/101}$。
最终答案：$\frac{25}{101}$。 - 3. ch01-tuozhan-05 · 第三套
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$6=1\times 6$，第二个分母 $66=\underline{6}\times \underline{11}$，可见因数依次是 $1,6,11,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{5}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $5$ 小，先把 $\frac{1}{5}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 6}=\frac{1}{5}\times\left(\underline{1/1-1/6}\right)$，$\frac{1}{6\times 11}=\frac{1}{5}\times\left(\underline{1/6-1/11}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/201}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{5}$）：$\frac{1}{5}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{201}\right)=\underline{40/201}$。
最终答案：$\frac{40}{201}$。 - 4. ch01-xingqu-01 · 第一套
- 第 1 步：通分后分子是两个分母的差 $20-19=\underline{1}$，分母是两个分母的积 $19\times 20=\underline{380}$，所以 $\frac{1}{19}-\frac{1}{20}=\underline{1/380}$。
- 第 2 步：通分后分子是两个分母的差 $24-21=\underline{3}$，分母是两个分母的积 $21\times 24=\underline{504}$，所以 $\frac{1}{21}-\frac{1}{24}=\underline{1/168}$。
- 第 3 步：通分后分子是两个分母的差 $203-197=\underline{6}$，分母是两个分母的积 $197\times 203=\underline{39991}$，所以 $\frac{1}{197}-\frac{1}{203}=\underline{6/39991}$。
最终答案：（1）$\frac{1}{380}$；（2）$\frac{1}{168}$；（3）$\frac{6}{39991}$。 - 4. ch01-xingqu-01 · 第二套
- 第 1 步：通分后分子是两个分母的差 $20-19=\underline{1}$，分母是两个分母的积 $19\times 20=\underline{380}$，所以 $\frac{1}{19}-\frac{1}{20}=\underline{1/380}$。
- 第 2 步：通分后分子是两个分母的差 $24-21=\underline{3}$，分母是两个分母的积 $21\times 24=\underline{504}$，所以 $\frac{1}{21}-\frac{1}{24}=\underline{1/168}$。
- 第 3 步：通分后分子是两个分母的差 $203-197=\underline{6}$，分母是两个分母的积 $197\times 203=\underline{39991}$，所以 $\frac{1}{197}-\frac{1}{203}=\underline{6/39991}$。
最终答案：（1）$\frac{1}{380}$；（2）$\frac{1}{168}$；（3）$\frac{6}{39991}$。 - 4. ch01-xingqu-01 · 第三套
- 第 1 步：通分后分子是两个分母的差 $30-25=\underline{5}$，分母是两个分母的积 $25\times 30=\underline{750}$，所以 $\frac{1}{25}-\frac{1}{30}=\underline{1/150}$。
- 第 2 步：通分后分子是两个分母的差 $44-33=\underline{11}$，分母是两个分母的积 $33\times 44=\underline{1452}$，所以 $\frac{1}{33}-\frac{1}{44}=\underline{1/132}$。
- 第 3 步：通分后分子是两个分母的差 $105-91=\underline{14}$，分母是两个分母的积 $91\times 105=\underline{9555}$，所以 $\frac{1}{91}-\frac{1}{105}=\underline{2/1365}$。
最终答案：（1）$\frac{1}{150}$；（2）$\frac{1}{132}$；（3）$\frac{2}{1365}$。 - 4. ch01-xingqu-01 · 第三套
- 第 1 步（逆用规律）：分子是 $1$，说明两个分母之差是 $1$，即分母能写成相邻两数之积。$90=9\times \underline{10}$，$110=10\times \underline{11}$，$132=11\times 12$，$156=12\times 13$。
- 第 2 步（还原成差）：$\frac{1}{90}=\underline{1/9-1/10}$，$\frac{1}{110}=\underline{1/10-1/11}$。
- 第 3 步（相消）：四项都拆开后，中间的 $\frac{1}{10},\frac{1}{11},\frac{1}{12}$ 一正一负全部抵消，只剩 $\underline{1/9-1/13}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{9}-\frac{1}{13}=\underline{4/117}$。
最终答案：$\frac{4}{117}$。 - 5. ch01-xingqu-02 · 第一套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,2,3,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{1}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{1\times 2}=\underline{1/1-1/2}$，$\frac{1}{2\times 3}=\underline{1/2-1/3}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/30}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{30}=\underline{29/30}$。
最终答案：$\frac{29}{30}$。 - 5. ch01-xingqu-02 · 第二套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,2,3,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{1}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{1\times 2}=\underline{1/1-1/2}$，$\frac{1}{2\times 3}=\underline{1/2-1/3}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/30}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{30}=\underline{29/30}$。
最终答案：$\frac{29}{30}$。 - 5. ch01-xingqu-02 · 第三套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $5,6,7,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{1}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{5\times 6}=\underline{1/5-1/6}$，$\frac{1}{6\times 7}=\underline{1/6-1/7}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/5-1/20}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{5}-\frac{1}{20}=\underline{3/20}$。
最终答案：$\frac{3}{20}$。 - 5. ch01-xingqu-02 · 第三套
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$30=5\times 6$，第二个分母 $42=\underline{6}\times \underline{7}$，可见因数依次是 $5,6,7,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{1}$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{5\times 6}=\underline{1/5-1/6}$，$\frac{1}{6\times 7}=\underline{1/6-1/7}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/5-1/20}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{5}-\frac{1}{20}=\underline{3/20}$。
最终答案：$\frac{3}{20}$。 - 6. ch01-xingqu-03 · 第一套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,3,5,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{2}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $2$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{2}{1\times 3}=\underline{1/1-1/3}$，$\frac{2}{3\times 5}=\underline{1/3-1/5}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/199}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{199}=\underline{198/199}$。
最终答案：$\frac{198}{199}$。 - 6. ch01-xingqu-03 · 第二套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,3,5,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{2}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $2$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{2}{1\times 3}=\underline{1/1-1/3}$，$\frac{2}{3\times 5}=\underline{1/3-1/5}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/199}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{1}-\frac{1}{199}=\underline{198/199}$。
最终答案：$\frac{198}{199}$。 - 6. ch01-xingqu-03 · 第三套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $3,5,7,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{2}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $2$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{2}{3\times 5}=\underline{1/3-1/5}$，$\frac{2}{5\times 7}=\underline{1/5-1/7}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/3-1/101}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{3}-\frac{1}{101}=\underline{98/303}$。
最终答案：$\frac{98}{303}$。 - 6. ch01-xingqu-03 · 第三套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $3,5,7,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{2}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{3\times 5}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/3-1/5}\right)$，$\frac{1}{5\times 7}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/5-1/7}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/3-1/101}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{101}\right)=\underline{49/303}$。
最终答案：$\frac{49}{303}$。 - 7. ch01-xingqu-04 · 第一套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $2,4,6,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{2}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{2\times 4}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/2-1/4}\right)$，$\frac{1}{4\times 6}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/4-1/6}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/2-1/200}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{200}\right)=\underline{99/400}$。
最终答案：$\frac{99}{400}$。 - 7. ch01-xingqu-04 · 第二套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $2,4,6,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{2}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{2\times 4}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/2-1/4}\right)$，$\frac{1}{4\times 6}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/4-1/6}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/2-1/200}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{200}\right)=\underline{99/400}$。
最终答案：$\frac{99}{400}$。 - 7. ch01-xingqu-04 · 第三套
- 第 1 步（找公差）：分母中的因数依次是 $1,4,7,\cdots$，后一个比前一个大 $\underline{3}$，即公差为 $d$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $3$ 小，先把 $\frac{1}{3}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 4}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{1/1-1/4}\right)$，$\frac{1}{4\times 7}=\frac{1}{3}\times\left(\underline{1/4-1/7}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/100}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{3}$）：$\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{100}\right)=\underline{33/100}$。
最终答案：$\frac{33}{100}$。 - 7. ch01-xingqu-04 · 第三套
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$8=2\times 4$，第二个分母 $24=\underline{4}\times \underline{6}$，可见因数依次是 $2,4,6,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{2}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{2\times 4}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/2-1/4}\right)$，$\frac{1}{4\times 6}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/4-1/6}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/2-1/100}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\right)=\underline{49/200}$。
最终答案：$\frac{49}{200}$。 - 8. ch01-xingqu-05 · 第一套
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$6=2\times 3$，第二个分母 $12=\underline{3}\times \underline{4}$，可见因数依次是 $2,3,4,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{1}$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{2\times 3}=\underline{1/2-1/3}$，$\frac{1}{3\times 4}=\underline{1/3-1/4}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/2-1/20}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\underline{9/20}$。
最终答案：$\frac{9}{20}$。 - 8. ch01-xingqu-05 · 第二套
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$6=2\times 3$，第二个分母 $12=\underline{3}\times \underline{4}$，可见因数依次是 $2,3,4,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{1}$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{2\times 3}=\underline{1/2-1/3}$，$\frac{1}{3\times 4}=\underline{1/3-1/4}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/2-1/20}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\underline{9/20}$。
最终答案：$\frac{9}{20}$。 - 8. ch01-xingqu-05 · 第三套
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$12=3\times 4$，第二个分母 $20=\underline{4}\times \underline{5}$，可见因数依次是 $3,4,5,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{1}$。
- 第 2 步（直接裂项）：因为 $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}=\frac{d}{a(a+d)}$，本题分子 $1$ 恰好等于公差，所以每项都能直接拆开：$\frac{1}{3\times 4}=\underline{1/3-1/4}$，$\frac{1}{4\times 5}=\underline{1/4-1/5}$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/3-1/15}$。
- 第 4 步（求值）：$\frac{1}{3}-\frac{1}{15}=\underline{4/15}$。
最终答案：$\frac{4}{15}$。 - 8. ch01-xingqu-05 · 第三套
- 第 1 步（还原分母）：分母不是乘积形式，先把每个分母分解成两数之积。$3=1\times 3$，第二个分母 $15=\underline{3}\times \underline{5}$，可见因数依次是 $1,3,5,\cdots$，相邻因数的公差是 $\underline{2}$。
- 第 2 步（提取公因数）：分子 $1$ 比公差 $2$ 小，先把 $\frac{1}{2}$ 提到括号外面：$\frac{1}{1\times 3}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/1-1/3}\right)$，$\frac{1}{3\times 5}=\frac{1}{2}\times\left(\underline{1/3-1/5}\right)$。
- 第 3 步（相消）：把每一项都拆开后，中间的项一正一负两两抵消，只剩下最前和最后两项，括号里剩下 $\underline{1/1-1/21}$。
- 第 4 步（乘回 $\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{21}\right)=\underline{10/21}$。
最终答案：$\frac{10}{21}$。