竞赛数学 · 六年级 第2讲《计算综合二》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch02-chaoyue-01】计算：$1\frac{4}{17}\times\left(2\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right)-\dfrac{6\frac{6}{7}-3\frac{9}{13}}{3\frac{3}{7}-2\frac{2}{11}}\times\frac{13}{33}+\dfrac{17+\frac{11}{12}}{1-\frac{4}{21}}$。
详细思路
是哪类问题：这是「分块化简 + 提取公因数」类：长式子分成三块，先各自化简，再看它们之间有没有共同的因数可以合并。
关键切入点：第一块 $\frac{21}{17}\times\frac{23}{12}=\frac{7\times23}{68}$，第三块 $\frac{215/12}{17/21}=\frac{7\times215}{68}$，两块都含 $\frac7{68}$；中间那块化简后恰好等于 $1$。提出 $\frac7{68}$ 后括号内 $23+215=238$，而 $238=68\times3.5$，正好约分。
方法概述：三块分别化简，提取公因数 $\frac7{68}$ 后凑整。
规范步骤：
  1. 第一块：$1\frac4{17}\times\left(2\frac23-\frac34\right)=\frac{21}{17}\times\frac{23}{12}=\frac{7\times23}{68}$（带分数化假分数后约分）
  2. 中间块：$\frac{288}{91}\times\frac{77}{96}\times\frac{13}{33}=1$（逐步约分）
  3. 第三块：$\dfrac{\frac{215}{12}}{\frac{17}{21}}=\frac{215}{12}\times\frac{21}{17}=\frac{7\times215}{68}$（繁分数化除法）
  4. 提公因数：$\frac{7\times(23+215)}{68}-1=\frac{7\times238}{68}-1$（逆用分配律）
  5. 约分得结果：$\frac{49}2-1=\frac{47}2$（约分）
第一套
题目：计算：$2\frac{3}{14}\times\left(2\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\right)-\dfrac{5\frac{5}{6}-2\frac{1}{3}}{2\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}\times\frac{3}{7}+\dfrac{2\frac{11}{14}}{1-\frac{4}{9}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一块）：$2\frac3{14}=\underline{\quad}$，括号内 $2\frac35-\frac45=\underline{\quad}$，相乘得 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（中间块）：分子 $5\frac56-2\frac13=\underline{\quad}$，分母 $2\frac14-\frac34=\underline{\quad}$，相除得 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再乘 $\frac37$：$\frac73\times\frac37=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第三块）：分母 $1-\frac49=\underline{\quad}$，$2\frac{11}{14}\div\frac59=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（提公因数）：两端都含 $\frac9{70}$，$\frac{279}{70}+\frac{351}{70}=\frac{279+351}{70}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$9-1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一道竞赛速算题分三块记分：第一块得分 $2\frac{3}{14}\times\left(2\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\right)$，第二块扣分 $\dfrac{5\frac{5}{6}-2\frac{1}{3}}{2\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}\times\frac{3}{7}$，第三块得分 $\dfrac{2\frac{11}{14}}{1-\frac{4}{9}}$。总分是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第一块 $=\underline{\quad}\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：第二块的大分数 $=\dfrac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}=\underline{\quad}$，再乘 $\frac37$ 得扣分 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：第三块分母 $1-\frac49=\underline{\quad}$，第三块 $=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：两块得分都含 $\frac9{70}$，合并得 $\frac{279+351}{70}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：总分 $=9-1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$1\frac{4}{17}\times\left(2\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right)+\dfrac{17+\frac{11}{12}}{1-\frac{4}{21}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一块）：$1\frac4{17}=\underline{\quad}$，$2\frac23-\frac34=\underline{\quad}$，相乘得 $\frac{7\times 23}{68}$。
  2. 第 2 步（第二块）：分子 $17+\frac{11}{12}=\underline{\quad}$，分母 $1-\frac4{21}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：相除 $\frac{215}{12}\times\frac{21}{17}=\frac{7\times 215}{68}$，其值为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（提公因数 $\frac7{68}$）：$\frac{7\times(23+215)}{68}$，其中 $23+215=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（约分）：$\frac{7\times 238}{68}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\left[2\frac{3}{14}\times\left(2\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\right)-\dfrac{5\frac{5}{6}-2\frac{1}{3}}{2\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}\times\frac{3}{7}+\dfrac{2\frac{11}{14}}{1-\frac{4}{9}}\right]\div\cfrac{1}{1+\frac{1}{3}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中括号内）：第一块 $=\underline{\quad}$，中间块 $=\underline{\quad}$，第三块 $=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：提公因数合并 $\frac{279+351}{70}=\underline{\quad}$，中括号内 $=9-1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算连分数）：$1+\frac13=\underline{\quad}$，所以 $\cfrac{1}{1+\frac13}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（除以它就是乘它的倒数）：$8\times\frac43=\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch02-chaoyue-02】真分数 $\frac{a}{27}$ 化为小数后，如果小数点后连续 2004 个数字之和是 8684，那么 $a$ 可能等于多少？
详细思路
是哪类问题：这是「循环小数 + 数字和同余」类：先确定循环节长度，把总数字和折算成一个循环节的数字和，再用同余筛出所有可能的 $a$。
关键切入点：$\frac{a}{27}=\frac{37a}{999}$，所以最简时是三位循环小数，循环节长 $3$；$2004$ 恰是 $3$ 的倍数，共 $668$ 个循环节，每节数字和 $8684\div668=13$。再用“一个数与它的数字和除以 9 同余”得 $a\equiv37a\equiv13\equiv4\pmod 9$，在真分数范围内筛出 $a=4,13,22$。
方法概述：定循环节长→求单节数字和→用模 9 同余筛解。
规范步骤：
  1. 定循环节长：$\frac{a}{27}=\frac{37a}{999}$，循环节长 $3$（分母 999 型）
  2. 数循环节个数：$2004\div3=668$（整除）
  3. 求单节数字和：$8684\div668=13$（平均）
  4. 用同余筛解：$37a\equiv a\equiv13\equiv4\pmod9$（数字和与原数同余）
  5. 在真分数范围内取值：$a=4,13,22$（枚举）
3. 【原题 ch02-chaoyue-03】定义运算“$\Omega$”满足：① $a\Omega 1=a$，② $a\Omega n=2\times[a\Omega(n-1)]+a$。已知 $m\Omega 4=30$。请问：（1）$m$ 等于多少？（2）$m\Omega 8$ 等于多少？
详细思路
是哪类问题：这是「递推数列」类：新运算由“下一项 = 2 倍上一项 + a”给出，逐项算几步就能看出系数规律。
关键切入点：$m\Omega1=m$，$m\Omega2=3m$，$m\Omega3=7m$，$m\Omega4=15m$——系数正是 $2^n-1$。由 $15m=30$ 得 $m=2$，再往下推到 $m\Omega8=255m$。
方法概述：逐项递推找出系数 $2^n-1$，先求 $m$ 再求所需项。
规范步骤：
  1. 逐项递推：$m\Omega1=m,\ m\Omega2=3m,\ m\Omega3=7m,\ m\Omega4=15m$（按递推式代入）
  2. 求 $m$：$15m=30\Rightarrow m=2$（解方程）
  3. 继续递推：$m\Omega5=31m,\ m\Omega6=63m,\ m\Omega7=127m,\ m\Omega8=255m$（同一递推式）
  4. 代入：$255\times2=510$（乘法）
第一套
题目：定义运算“$\Omega$”满足：① $a\Omega 1=a$；② $a\Omega n=3\times[a\Omega(n-1)]+a$。已知 $m\Omega 4=120$。（1）$m$ 等于多少？（2）$m\Omega 7$ 等于多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（逐项递推）：$m\Omega1=m$，$m\Omega2=3m+m=\underline{\quad}m$。
  2. 第 2 步：$m\Omega3=3\times 4m+m=\underline{\quad}m$，$m\Omega4=3\times 13m+m=\underline{\quad}m$。
  3. 第 3 步（求 $m$）：$40m=120$，所以 $m=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续递推）：$m\Omega5=3\times 40m+m=\underline{\quad}m$，$m\Omega6=3\times 121m+m=\underline{\quad}m$。
  5. 第 5 步：$m\Omega7=3\times 364m+m=\underline{\quad}m$。
  6. 第 6 步：代入 $m=3$，$m\Omega7=1093\times 3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某细菌培养规则为：第 1 天数量为 $m$ 个；以后每天的数量都是前一天的 3 倍再加 $m$ 个。已知第 4 天有 $120$ 个。（1）$m$ 是多少？（2）第 7 天有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第 2 天 $=3m+m=\underline{\quad}m$（个）。
  2. 第 2 步：第 3 天 $=3\times4m+m=\underline{\quad}m$，第 4 天 $=3\times13m+m=\underline{\quad}m$。
  3. 第 3 步：$40m=120$，$m=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步：第 5 天 $=\underline{\quad}m$，第 6 天 $=\underline{\quad}m$，第 7 天 $=\underline{\quad}m$。
  5. 第 5 步：第 7 天 $=1093\times3=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：定义运算“$\Omega$”满足：① $a\Omega 1=a$；② $a\Omega n=2\times[a\Omega(n-1)]+1$。已知 $m\Omega 5=47$。（1）$m$ 等于多少？（2）$m\Omega 7$ 等于多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（逐项递推）：$m\Omega1=m$，$m\Omega2=2m+1$，$m\Omega3=2(2m+1)+1=4m+\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$m\Omega4=8m+\underline{\quad}$，$m\Omega5=16m+\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求 $m$）：$16m+15=47$，$16m=\underline{\quad}$，$m=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$m\Omega6=32m+31=32\times2+31=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$m\Omega7=64m+63=64\times2+63=\underline{\quad}$。
第三套
题目：定义运算“$\Omega$”满足：① $a\Omega 1=a$；② $a\Omega n=3\times[a\Omega(n-1)]+a$。已知 $m\Omega 4=120$。（1）写出 $m\Omega n$ 的系数规律；（2）求 $m\Omega 10$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列出前几项系数）：$1,\ 4,\ 13,\ 40,\ \cdots$，其中 $4=\frac{3\times3-1}{2}$，$13=\frac{3\times3\times3-1}{2}$，可见第 $n$ 项系数为 $\frac{3^n-1}{2}$；验证 $n=4$：$\frac{81-1}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $m$）：$40m=120$，$m=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求第 10 项系数）：$3^{10}=59049$，系数 $=\frac{59049-1}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$m\Omega10=29524\times 3=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch02-chaoyue-04】已知 $A=\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}\times\cdots\times\frac{97}{98}\times\frac{99}{100}$，$B=\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{7}\times\cdots\times\frac{96}{97}\times\frac{98}{99}$，$C=\frac{1}{10}$。请比较 $A$、$B$、$C$ 三个数的大小。
详细思路
是哪类问题：这是「连乘积比较」类：$A$、$B$ 都是无法直接算出的长连乘，只能靠它们之间的关系间接比较。
关键切入点：关键有两点：一是 $A\times B=\frac12\times\frac23\times\frac34\times\cdots\times\frac{99}{100}=\frac1{100}$（相邻分子分母全部相消）；二是逐项比较 $\frac12<\frac23$、$\frac34<\frac45$、……可得 $A<B$。于是 $A^2<AB=\frac1{100}<B^2$，开方即得 $A<\frac1{10}<B$。
方法概述：用乘积恒等式与逐项比较夹出 $A<C<B$。
规范步骤：
  1. 求乘积：$A\times B=\frac12\times\frac23\times\cdots\times\frac{99}{100}=\frac1{100}$（连乘相消）
  2. 逐项比较：$\frac12<\frac23,\ \frac34<\frac45,\cdots\Rightarrow A<B$（逐项比较）
  3. 夹逼：$A^2<AB=\frac1{100}\Rightarrow A<\frac1{10}$；$B^2>AB\Rightarrow B>\frac1{10}$（平方比较）
  4. 结论：$A<C<B$（综合）
5. 【原题 ch02-chaoyue-05】求下列两个算式结果的整数部分：（1）$\dfrac{11\times 66+12\times 67+13\times 68+14\times 69+15\times 70}{11\times 65+12\times 66+13\times 67+14\times 68+15\times 69}\times 100$；（2）$\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{10^2}+\frac{1}{11^2}+\cdots+\frac{1}{29^2}}$。
详细思路
是哪类问题：这是「整数部分估算」类：算不出精确值，就把它夹在两个能算的数之间，只要两端整数部分相同就定下来了。
关键切入点：(1) 分子比分母恰好多 $11+12+13+14+15=65$，所以原式 $=100+\frac{65}{A}\times100$；再把 $A$ 夹在 $65\times65$ 与 $65\times69$ 之间，得后一项在 $\frac{100}{69}$ 与 $\frac{100}{65}$ 之间，都在 $1$ 与 $2$ 之间。(2) 用 $\frac1{n(n+1)}<\frac1{n^2}<\frac1{(n-1)n}$ 对分母上下放缩，两端裂项相消后即可夹逼。
方法概述：拆出公共部分再夹逼；平方倒数用相邻积裂项上下夹。
规范步骤：
  1. (1) 拆分子：分子 $=A+(11+12+13+14+15)=A+65$（整体观察）
  2. (1) 改写：$\text{原式}=100+\frac{65}{A}\times100$（分数拆分）
  3. (1) 夹逼 $A$：$65\times65<A<65\times69\Rightarrow\frac{100}{69}<\frac{65}{A}\times100<\frac{100}{65}$（放缩）
  4. (1) 定整数部分：$100+\frac{100}{69}<\text{原式}<100+\frac{100}{65}$，整数部分为 $101$（夹逼）
  5. (2) 放缩分母：$\frac1{10}-\frac1{30}<\text{分母}<\frac19-\frac1{29}$，即 $\frac1{15}<\text{分母}<\frac{20}{261}$（裂项放缩）
  6. (2) 定整数部分：$\frac{\frac13}{\frac{20}{261}}<\text{原式}<\frac{\frac13}{\frac1{15}}$，即 $4\frac{21}{60}<\text{原式}<5$，整数部分为 $4$（夹逼）
第一套
题目：求下列两个算式结果的整数部分：（1）$\dfrac{21\times 76+22\times 77+23\times 78+24\times 79+25\times 80}{21\times 75+22\times 76+23\times 77+24\times 78+25\times 79}\times 100$；（2）$\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{20^2}+\frac{1}{21^2}+\cdots+\frac{1}{59^2}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问拆分子）：设分母为 $A$，则分子比 $A$ 恰好多 $21+22+23+24+25=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（改写）：原式 $=100+\frac{115}{A}\times 100$。
  3. 第 3 步（夹住 $A$）：把每个乘数都换成最小的 $75$ 得下界 $115\times 75=\underline{\quad}$，都换成最大的 $79$ 得上界 $115\times 79=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（夹住第二项）：$\frac{11500}{9085}=\underline{\quad}$（保留四位小数），$\frac{11500}{8625}=\underline{\quad}$，都在 $1$ 与 $2$ 之间，所以整数部分是 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 (2) 问放缩分母）：用 $\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1)n}$，分母下界 $=\frac1{20}-\frac1{60}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：分母上界 $=\frac1{19}-\frac1{59}=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步（夹住原式）：$\frac13\div\frac{40}{1121}=\underline{\quad}$（保留四位小数），$\frac13\div\frac1{30}=\underline{\quad}$，所以整数部分是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：两个测量指标分别按下式计算，只要求出它们的整数部分：指标甲 $=\dfrac{21\times 76+22\times 77+23\times 78+24\times 79+25\times 80}{21\times 75+22\times 76+23\times 77+24\times 78+25\times 79}\times 100$；指标乙 $=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{20^2}+\frac{1}{21^2}+\cdots+\frac{1}{59^2}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设指标甲的分母为 $A$，分子比 $A$ 多 $21+22+23+24+25=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：指标甲 $=100+\frac{115}{A}\times100$；把乘数都取最小得 $115\times75=\underline{\quad}$，都取最大得 $115\times79=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$\frac{11500}{9085}=\underline{\quad}$，$\frac{11500}{8625}=\underline{\quad}$，都在 1 与 2 之间，指标甲整数部分为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：指标乙的分母下界 $=\frac1{20}-\frac1{60}=\underline{\quad}$，上界 $=\frac1{19}-\frac1{59}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$\frac13\div\frac{40}{1121}=\underline{\quad}$，$\frac13\div\frac1{30}=\underline{\quad}$，指标乙整数部分为 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：求 $\dfrac{31\times 86+32\times 87+33\times 88}{31\times 85+32\times 86+33\times 87}\times 100$ 的整数部分。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分子）：设分母为 $A$，分子比 $A$ 多 $31+32+33=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（改写）：原式 $=100+\frac{96}{A}\times 100$。
  3. 第 3 步（夹住 $A$）：下界 $96\times 85=\underline{\quad}$，上界 $96\times 88=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（夹住第二项）：$\frac{9600}{8448}=\underline{\quad}$（保留四位小数），$\frac{9600}{8160}=\underline{\quad}$，都在 $1$ 与 $2$ 之间。
  5. 第 5 步：所以整数部分是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：设 $M$ 是 $\dfrac{11\times 66+12\times 67+13\times 68+14\times 69+15\times 70}{11\times 65+12\times 66+13\times 67+14\times 68+15\times 69}\times 100$ 的整数部分，$N$ 是 $\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{20^2}+\frac{1}{21^2}+\cdots+\frac{1}{59^2}}$ 的整数部分。求 $M-N$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $M$）：分子比分母多 $11+12+13+14+15=\underline{\quad}$，原式 $=100+\frac{65}{A}\times100$；由 $65\times 65<A<65\times 69$ 得该项在 $\frac{100}{69}$ 与 $\frac{100}{65}$ 之间，$\frac{100}{69}=\underline{\quad}$（保留四位小数），$\frac{100}{65}=\underline{\quad}$，故 $M=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $N$ 的分母下界）：$\frac1{20}-\frac1{60}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（上界）：$\frac1{19}-\frac1{59}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（夹住）：$\frac13\div\frac{40}{1121}=\underline{\quad}$，$\frac13\div\frac{1}{30}=\underline{\quad}$，故 $N=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$M-N=101-9=\underline{\quad}$。
6. 【原题 ch02-chaoyue-06】定义运算：$a\oplus b=a+b-\dfrac{a\times b}{2008}$。请问：（1）定义的运算是否满足交换律？（2）请根据定义计算下面两个算式：① $2009\oplus(2009\times 2008)$；② $\underbrace{2009\oplus\cdots\oplus 2009}_{2009\text{个}2009}\oplus 2008\oplus\underbrace{(2009\times 2008)\oplus\cdots\oplus(2009\times 2008)}_{2008\text{个}2009\times 2008}$。（3）计算 $\underbrace{2009\oplus\cdots\oplus 2009}_{2009\text{个}2009}\oplus(2\times 2008)\oplus\underbrace{(2009\times 2008)\oplus\cdots\oplus(2009\times 2008)}_{2008\text{个}2009\times 2008}$ 的大小。
详细思路
是哪类问题：这是「定义新运算 + 运算律」类：先验证交换律、结合律，才有资格随意调换顺序、成对消去。
关键切入点：$a\oplus b=a+b-\frac{ab}{2008}$ 中 $a$、$b$ 地位对称，故满足交换律；展开三个数的运算发现两种括号方式结果相同，故也满足结合律。核心发现是 $2009\oplus(2009\times2008)=2009(1+2008-2009)=0$，可把一大堆项成对消成 $0$；再注意 $0\oplus a=a$。
方法概述：先验证运算律，再用“凑零对”成对消去，最后算剩余项。
规范步骤：
  1. 验证交换律：$a\oplus b=a+b-\frac{ab}{2008}=b\oplus a$（式子对称）
  2. 关键的凑零对：$2009\oplus(2009\times2008)=2009+2009\times2008-2009^2=0$（提公因数）
  3. (2)② 成对消去：$2008$ 对消成 $0$，剩 $0\oplus2009\oplus2008$（结合律）
  4. 算剩余：$2009\oplus2008=2009+2008-2009=2008$（按定义）
  5. (3) 同理：$2009\oplus(2\times2008)=2009+4016-4018=2007$（按定义）
第一套
题目：定义运算：$a\oplus b=a+b-\dfrac{a\times b}{2010}$。（1）该运算是否满足交换律？（2）计算 ① $2011\oplus(2011\times 2010)$；② $\underbrace{2011\oplus\cdots\oplus 2011}_{2011\text{个}}\oplus 2010\oplus\underbrace{(2011\times 2010)\oplus\cdots}_{2010\text{个}}$。（3）计算 $\underbrace{2011\oplus\cdots\oplus 2011}_{2011\text{个}}\oplus(2\times 2010)\oplus\underbrace{(2011\times 2010)\oplus\cdots}_{2010\text{个}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（交换律）：定义式中 $a$、$b$ 完全对称，所以满足交换律；答“满足”。
  2. 第 2 步（第 (2) ① 问）：按定义 $2011\oplus(2011\times2010)=2011+2011\times2010-\frac{2011\times2011\times2010}{2010}$，其中最后一项 $=2011\times 2011=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：提出公因数 $2011$，括号内 $1+2010-2011=\underline{\quad}$，所以结果是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 (2) ② 问成对消去）：$2010$ 个 $2011$ 与 $2010$ 个 $(2011\times2010)$ 两两配成 $0$，还剩 $1$ 个 $2011$ 和 $2010$，即算 $2011\oplus 2010=2011+2010-\frac{2011\times2010}{2010}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 (3) 问）：同样消去后只剩 $2011\oplus(2\times2010)=2011+4020-\frac{2011\times 4020}{2010}$，其中 $\frac{4020}{2010}=\underline{\quad}$，故减去的是 $2011\times 2=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$2011+4020-4022=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某闯关游戏的合分规则为：两次得分 $a$、$b$ 合并后为 $a\oplus b=a+b-\dfrac{a\times b}{2010}$。（1）先后顺序会影响合分结果吗？（2）求 ① $2011\oplus(2011\times 2010)$；② $2011$ 个 $2011$ 分、$1$ 个 $2010$ 分、$2010$ 个 $(2011\times 2010)$ 分全部合并的结果。（3）把②中的 $2010$ 分换成 $2\times 2010$ 分，结果是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：定义式中 $a$、$b$ 对称，所以顺序不影响结果（满足交换律）。
  2. 第 2 步：$2011\oplus(2011\times2010)$ 中减去的一项是 $\frac{2011\times2011\times2010}{2010}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：提出 $2011$，括号内 $1+2010-2011=\underline{\quad}$，故结果为 $\underline{\quad}$ 分。
  4. 第 4 步：$2010$ 对得分两两合成 $0$，只剩 $2011\oplus2010=\underline{\quad}$（分）。
  5. 第 5 步：第 (3) 问剩下 $2011\oplus 4020$，其中 $\frac{4020}{2010}=\underline{\quad}$，减去 $2011\times2=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$2011+4020-4022=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：定义运算：$a\oplus b=a+b-\dfrac{a\times b}{12}$。（1）该运算满足交换律吗？（2）计算 $13\oplus(13\times 12)$；（3）计算 $13\oplus(2\times 12)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：定义式对称，满足交换律。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：$13\times12=\underline{\quad}$，减去的一项是 $\frac{13\times 156}{12}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$13+156-169=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 (3) 问）：$2\times12=\underline{\quad}$，减去的一项是 $\frac{13\times 24}{12}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$13+24-26=\underline{\quad}$。
第三套
题目：定义运算：$a\oplus b=a+b-\dfrac{a\times b}{2010}$。求出所有使 $x\oplus 2011=0$ 成立的 $x$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按定义列方程）：$x+2011-\frac{2011x}{2010}=0$。
  2. 第 2 步（合并含 $x$ 的项）：$x\times\left(1-\frac{2011}{2010}\right)=-2011$，其中 $1-\frac{2011}{2010}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（解方程）：$x=(-2011)\div\left(-\frac{1}{2010}\right)=2011\times\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$2011\times 2010=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$4042110+2011-\frac{4042110\times 2011}{2010}=\underline{\quad}$。
7. 【原题 ch02-chaoyue-07】计算：$24\times\left(\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{4\times 5}+\cdots+\frac{1}{24\times 25}\right)-\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2+2^2}+\frac{1}{1^2+2^2+3^2}+\cdots+\frac{1}{1^2+2^2+\cdots+12^2}\right)$。
详细思路
是哪类问题：这是「平方和公式 + 裂项相消」类：两组看似无关的和，用平方和公式一转化就能逐项对齐相减。
关键切入点：$\frac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}=\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}=\frac{24}{2n(2n+1)(2n+2)}$，分母恰好是 $2\times3\times4,\ 4\times5\times6,\cdots$，与第一组的 $\frac1{2\times3},\frac1{4\times5},\cdots$ 一一对应；相减后 $\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k(k+2)}$，再一次裂项相消。
方法概述：用平方和公式统一形式，逐项相减后两次裂项相消。
规范步骤：
  1. 转化第二组：$\frac{1}{1^2+\cdots+n^2}=\frac{24}{(2n)(2n+1)(2n+2)}$（平方和公式）
  2. 逐项相减：$\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k(k+2)}$（通分化简）
  3. 提出系数：$24\times\left(\frac1{2\times4}+\frac1{4\times6}+\cdots+\frac1{24\times26}\right)=6\times\left(\frac1{1\times2}+\cdots+\frac1{12\times13}\right)$（约分）
  4. 裂项相消：$6\times\left(1-\frac1{13}\right)=\frac{72}{13}$（裂项相消）
第一套
题目：计算：$24\times\left(\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{4\times 5}+\cdots+\frac{1}{40\times 41}\right)-\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2+2^2}+\cdots+\frac{1}{1^2+2^2+\cdots+20^2}\right)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（平方和公式）：$1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，所以 $\frac{1}{1^2+\cdots+n^2}=\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}=\frac{24}{(2n)(2n+1)(2n+2)}$，即第二组的分母依次是 $2\times3\times4,\ 4\times5\times6,\cdots,40\times41\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（逐项相减）：$\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{(k+2)-1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k(k+2)}$，例如 $k=2$ 时得 $\frac{1}{2\times\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（提系数）：原式 $=24\times\left(\frac1{2\times4}+\frac1{4\times6}+\cdots+\frac1{40\times42}\right)=\underline{\quad}\times\left(\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\cdots+\frac1{20\times21}\right)$。
  4. 第 4 步（裂项相消）：$\frac1{1\times2}+\cdots+\frac1{20\times21}=1-\frac1{21}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$6\times\frac{20}{21}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某统计量的计算式为：$24\times\left(\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{4\times 5}+\cdots+\frac{1}{40\times 41}\right)$ 减去 $\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2+2^2}+\cdots+\frac{1}{1^2+2^2+\cdots+20^2}\right)$。求这个统计量。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：由平方和公式，第二组第 $n$ 项 $=\frac{24}{(2n)(2n+1)(2n+2)}$，末项分母是 $40\times41\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：与第一组逐项相减得 $\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k(k+2)}$，如 $k=2$ 时为 $\frac{1}{2\times\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步：提出系数 $24\div 4=\underline{\quad}$，原式 $=6\times\left(\frac1{1\times2}+\cdots+\frac1{20\times21}\right)$。
  4. 第 4 步：裂项相消 $1-\frac{1}{21}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$6\times\frac{20}{21}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\frac{1}{1\times 2\times 3}+\frac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots+\frac{1}{18\times 19\times 20}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（裂项公式）：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac12\left[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$。
  2. 第 2 步（相消）：相加后只剩首尾，$\frac12\left[\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{19\times\underline{\quad}}\right]$。
  3. 第 3 步：$\frac12-\frac{1}{380}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：再乘 $\frac12$ 得 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\left[24\times\left(\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{4\times 5}+\cdots+\frac{1}{40\times 41}\right)-\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2+2^2}+\cdots+\frac{1}{1^2+2^2+\cdots+20^2}\right)\right]\div\frac{20}{21}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中括号内）：按平方和公式转化并逐项相减，得 $\underline{\quad}\times\left(\frac1{1\times2}+\cdots+\frac1{20\times21}\right)$。
  2. 第 2 步：裂项相消 $1-\frac1{21}=\underline{\quad}$，故中括号内 $=6\times\frac{20}{21}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（除以分数化乘倒数）：$\div\frac{20}{21}=\times\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$\frac{40}{7}\times\frac{21}{20}=\underline{\quad}$。
8. 【原题 ch02-chaoyue-08】计算：$\left(\frac{1}{2008}\right)^2+\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2007}\right)^2+\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2007}+\frac{1}{2006}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2007}+\cdots+\frac{1}{2}+1\right)^2+\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2007}+\cdots+\frac{1}{2}+1\right)$。
详细思路
是哪类问题：这是「找规律」类：式子长得无法硬算，最好的办法是先做几个最小的情形，找出结果与“最大分母”的关系。
关键切入点：最大分母为 $1$ 时结果 $1^2+1=2$；为 $2$ 时结果 $4$；为 $3$ 时结果 $6$——正好是最大分母的 $2$ 倍。所以最大分母为 $2008$ 时，结果是 $2\times2008$。
方法概述：从小规模情形归纳出“结果 = 2×最大分母”。
规范步骤：
  1. 最小情形：$1^2+1=2$（直接计算）
  2. 第二个情形：$\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12+1\right)^2+\frac12+1=4$（直接计算）
  3. 第三个情形：$\left(\frac13\right)^2+\left(\frac13+\frac12\right)^2+\left(\frac13+\frac12+1\right)^2+\frac13+\frac12+1=6$（直接计算）
  4. 归纳：最大分母为 $n$ 时结果为 $2n$（找规律）
  5. 代入：$2\times2008=4016$（代入）
第一套
题目：计算：$\left(\frac{1}{3000}\right)^2+\left(\frac{1}{3000}+\frac{1}{2999}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{3000}+\frac{1}{2999}+\cdots+\frac{1}{2}+1\right)^2+\left(\frac{1}{3000}+\frac{1}{2999}+\cdots+\frac{1}{2}+1\right)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（做最小情形）：最大分母为 $1$ 时，式子是 $1^2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（做第二个情形）：最大分母为 $2$ 时，$\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12+1\right)^2+\frac12+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（做第三个情形）：最大分母为 $3$ 时结果是 $6$；对照 $2,4,6$ 可见结果是最大分母的 $\underline{\quad}$ 倍。
  4. 第 4 步（代入）：本题最大分母是 $3000$，结果为 $2\times 3000=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某程序按下面的方式累加：先把 $\frac{1}{3000}$、$\frac{1}{3000}+\frac{1}{2999}$、……、$\frac{1}{3000}+\cdots+1$ 这些部分和各自平方后相加，最后再加上最大的那个部分和。程序输出是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：先试最小规模——最大分母为 $1$ 时输出 $1^2+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：最大分母为 $2$ 时输出 $\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12+1\right)^2+\frac12+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：最大分母为 $3$ 时输出 $6$，可见输出是最大分母的 $\underline{\quad}$ 倍。
  4. 第 4 步：本题最大分母 $3000$，输出 $=\underline{\quad}$。
第三套
题目：（1）请直接算出最大分母为 $4$ 时的值：$\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1\right)^2+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1\right)$；（2）据此求最大分母为 $2010$ 时的值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算各个部分和）：$\frac14+\frac13=\underline{\quad}$，$\frac14+\frac13+\frac12=\underline{\quad}$，$\frac14+\frac13+\frac12+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（平方后相加）：$\left(\frac14\right)^2+\left(\frac7{12}\right)^2+\left(\frac{13}{12}\right)^2+\left(\frac{25}{12}\right)^2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再加最大部分和）：$\frac{71}{12}+\frac{25}{12}=\underline{\quad}$，正好是 $2\times 4$。
  4. 第 4 步（推广）：最大分母为 $n$ 时值为 $2n$，所以最大分母为 $2010$ 时值为 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：记 $S(n)$ 表示最大分母为 $n$ 时该式子的值（例如 $S(1)=1^2+1=2$）。求 $\dfrac{S(2008)}{S(502)}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找规律）：$S(1)=\underline{\quad}$，$S(2)=\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12+1\right)^2+\frac12+1=\underline{\quad}$，$S(3)=6$，可见 $S(n)=\underline{\quad}n$。
  2. 第 2 步：$S(2008)=2\times 2008=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$S(502)=2\times 502=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（作商）：$\frac{4016}{1004}=\underline{\quad}$。
9. 【原题 ch02-tuozhan-01】计算：$\left(3.85\div\frac{5}{18}+12.3\times 1\frac{4}{5}\right)\div 3\frac{1}{4}$。
详细思路
是哪类问题：这是「分数小数混合运算 + 提公因数」类：括号里两项看似不同，其实能整理出同一个因数。
关键切入点：$3.85\div\frac5{18}=3.85\times\frac{18}{5}=7.7\times\frac95$，而 $12.3\times1\frac45=12.3\times\frac95$，两项都含 $\frac95$；提出后括号内 $7.7+12.3=20$ 恰好凑整。
方法概述：除法化乘法，逆用分配律提公因数 $\frac95$ 后凑整。
规范步骤：
  1. 除法化乘法并整理成同一因数：$3.85\div\frac5{18}=3.85\times\frac{18}{5}=7.7\times\frac95$（除以分数化乘倒数）
  2. 提公因数：$\left(7.7+12.3\right)\times\frac95=20\times\frac95=36$（逆用乘法分配律）
  3. 再除以带分数：$36\div3\frac14=36\times\frac4{13}=\frac{144}{13}$（除以分数化乘倒数）
第一套
题目：计算：$\left(15.4\div\frac{5}{18}+19.2\times 1\frac{4}{5}\right)\div 4\frac{1}{2}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除法化乘法）：$15.4\div\frac5{18}=15.4\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（整理成同一因数）：$15.4\times\frac{18}{5}=30.8\times\frac95$，而 $19.2\times1\frac45=19.2\times\underline{\quad}$，公因数是 $\frac95$。
  3. 第 3 步（提公因数）：括号内 $=(30.8+19.2)\times\frac95=\underline{\quad}\times\frac95$。
  4. 第 4 步：$50\times\frac95=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（再化除为乘）：$\div 4\frac12=\times\underline{\quad}$，得 $90\times\frac29=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两台机器一天的产量分别是 $15.4\div\frac{5}{18}$ 千克和 $19.2\times 1\frac{4}{5}$ 千克，把总产量平均装入 $4\frac{1}{2}$ 个标准箱，每箱多少千克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$15.4\div\frac5{18}=15.4\times\underline{\quad}$（千克）。
  2. 第 2 步：整理成同一因数 $\frac95$：第一台 $=30.8\times\frac95$，第二台 $=19.2\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（提公因数）：总产量 $=(30.8+19.2)\times\frac95=\underline{\quad}\times\frac95=\underline{\quad}$（千克）。
  4. 第 4 步：每箱 $=90\div 4\frac12=90\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$（千克）。
第三套
题目：计算：$\left(2.7\times 3\frac{1}{3}+7.3\div\frac{3}{10}\right)\div 5$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除法化乘法）：$7.3\div\frac3{10}=7.3\times\underline{\quad}$，与前一项的 $3\frac13$ 是同一个数。
  2. 第 2 步（提公因数）：括号内 $=(2.7+7.3)\times\frac{10}{3}=\underline{\quad}\times\frac{10}{3}$。
  3. 第 3 步：$10\times\frac{10}{3}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$\frac{100}{3}\div 5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\dfrac{15.4\div\frac{5}{18}+19.2\times 1\frac{4}{5}}{4\frac{1}{2}}-\dfrac{2\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}}{2.5}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（前一个繁分数的分子）：提公因数得 $(30.8+19.2)\times\frac95=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$90\div 4\frac12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（后一个繁分数的分子）：$2\frac12\times\frac45=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$2\div 2.5=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：相减 $20-0.8=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch02-tuozhan-02】计算：$\dfrac{\frac{7}{18}\times 4\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}{13\frac{1}{3}-3\frac{3}{4}\div\frac{5}{16}}\div 2\frac{7}{8}$。
详细思路
是哪类问题：这是「繁分数化简」类：大分数的分子、分母各自是一串带分数四则运算，必须分别算清后再相除。
关键切入点：分子 $\frac7{18}\times\frac92+\frac16=\frac74+\frac16=\frac{23}{12}$；分母 $\frac{40}3-\frac{15}4\times\frac{16}5=\frac{40}3-12=\frac43$。相除时 $\frac{23}{12}\times\frac34=\frac{23}{16}$，正好与后面的 $\frac8{23}$ 约去 $23$。
方法概述：分子分母各自化简，再统一化成乘法约分。
规范步骤：
  1. 分子：$\frac7{18}\times\frac92+\frac16=\frac74+\frac16=\frac{23}{12}$（约分后通分）
  2. 分母：$\frac{40}3-\frac{15}4\times\frac{16}5=\frac{40}3-12=\frac43$（先乘除后加减）
  3. 相除：$\frac{23}{12}\div\frac43=\frac{23}{12}\times\frac34=\frac{23}{16}$（除以分数化乘倒数）
  4. 再除以带分数：$\frac{23}{16}\times\frac8{23}=\frac12$（约分）
第一套
题目：计算：$\dfrac{\frac{5}{12}\times 3\frac{3}{5}+\frac{1}{4}}{21\frac{7}{8}-4\frac{3}{8}\div\frac{5}{24}}\div 2\frac{1}{2}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分子先乘）：$\frac5{12}\times 3\frac35=\frac5{12}\times\frac{18}{5}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分子相加）：$\frac32+\frac14=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分母先算除法）：$4\frac38\div\frac5{24}=\frac{35}{8}\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（分母相减）：$21\frac78-21=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（相除）：$\frac74\div\frac78=\frac74\times\frac87=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（再除以带分数）：$2\div 2\frac12=\underline{\quad}$。
第二套
题目：称重记录：上盘读数为 $\frac{5}{12}\times 3\frac{3}{5}+\frac{1}{4}$ 千克，下盘读数为 $21\frac{7}{8}-4\frac{3}{8}\div\frac{5}{24}$ 千克。用上盘读数除以下盘读数，再除以 $2\frac{1}{2}$，结果是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：上盘 $\frac5{12}\times 3\frac35=\underline{\quad}$，加上 $\frac14$ 得 $\underline{\quad}$（千克）。
  2. 第 2 步：下盘先算除法 $4\frac38\div\frac5{24}=\frac{35}{8}\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：下盘 $=21\frac78-21=\underline{\quad}$（千克）。
  4. 第 4 步：相除 $\frac74\div\frac78=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：再除以 $2\frac12$，得 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\dfrac{\frac{3}{10}\times 2\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{5\frac{1}{6}-2\frac{1}{2}\div\frac{3}{4}}\div 1\frac{1}{2}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分子）：$\frac3{10}\times\frac52=\underline{\quad}$，加 $\frac14$ 得 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分母先算除法）：$2\frac12\div\frac34=\frac52\times\frac43=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分母相减）：$\frac{31}{6}-\frac{10}{3}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相除）：$1\div\frac{11}{6}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：再除以 $1\frac12$，即 $\frac6{11}\times\frac23=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\dfrac{\frac{5}{12}\times 3\frac{3}{5}+\frac{1}{4}}{21\frac{7}{8}-4\frac{3}{8}\div\frac{5}{24}}\div 2\frac{1}{2}-\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\frac{1}{4}}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（前半部分）：分子 $=\frac32+\frac14=\underline{\quad}$，分母 $=21\frac78-21=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$\frac74\div\frac78\div 2\frac12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（连分数最里层）：$1+\frac14=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$2+\frac45=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：相减 $0.8-\frac5{14}=\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch02-tuozhan-03】计算：$\dfrac{19\frac{5}{9}+3\frac{9}{10}-5.22}{19\frac{5}{9}-6\frac{27}{50}+5.22}\div\left(\dfrac{1993\times 0.4}{1995\times 0.5}+\dfrac{1.6}{1995}\right)$。
详细思路
是哪类问题：这是「整体观察」类：式子长得吓人，但只要把带分数与小数互化，就会发现大分数的分子分母完全相同。
关键切入点：$3\frac9{10}=3.9$，$3.9-5.22=-1.32$；$6\frac{27}{50}=6.54$，$-6.54+5.22=-1.32$——分子分母都是 $19\frac59-1.32$，比值为 $1$。除数那里 $\frac{0.4}{0.5}=0.8$，两项都能提出 $0.8$，括号内 $\frac{1993+2}{1995}=1$。
方法概述：先判断分子分母是否相等（比值为 1），再对除数提取公因数。
规范步骤：
  1. 分数化小数：$3\frac9{10}=3.9$，$6\frac{27}{50}=6.54$（分数小数互化）
  2. 比较分子分母：$3.9-5.22=-1.32$，$-6.54+5.22=-1.32$，故分子=分母，比值为 $1$（整体观察）
  3. 化简除数：$\frac{1993\times0.8}{1995}+\frac{2\times0.8}{1995}=\frac{1993+2}{1995}\times0.8=0.8$（提公因数）
  4. 相除：$1\div0.8=1.25$（除法）
第一套
题目：计算：$\dfrac{29\frac{7}{9}+4\frac{7}{10}-6.32}{29\frac{7}{9}-7\frac{47}{50}+6.32}\div\left(\dfrac{2003\times 0.6}{2005\times 0.8}+\dfrac{1.5}{2005}\right)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化小数）：$4\frac7{10}=\underline{\quad}$，$7\frac{47}{50}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（看分子）：$4.7-6.32=\underline{\quad}$，所以分子 $=29\frac79-1.62$。
  3. 第 3 步（看分母）：$-7.94+6.32=\underline{\quad}$，所以分母也是 $29\frac79-1.62$，大分数的值为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（化简除数）：$\frac{0.6}{0.8}=\underline{\quad}$，所以第一项 $=\frac{2003\times 0.75}{2005}$；又 $1.5=2\times\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（提公因数）：除数 $=\frac{2003+2}{2005}\times 0.75=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$1\div 0.75=\underline{\quad}$。
第二套
题目：甲组测得两次读数之比为 $\dfrac{29\frac{7}{9}+4\frac{7}{10}-6.32}{29\frac{7}{9}-7\frac{47}{50}+6.32}$，乙组测得的修正系数为 $\dfrac{2003\times 0.6}{2005\times 0.8}+\dfrac{1.5}{2005}$。求甲组读数之比除以乙组修正系数的结果。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$4\frac7{10}=\underline{\quad}$，$7\frac{47}{50}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：分子多出 $4.7-6.32=\underline{\quad}$，分母多出 $-7.94+6.32=\underline{\quad}$，两者相同，所以读数之比为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$\frac{0.6}{0.8}=\underline{\quad}$，$1.5=2\times\underline{\quad}$，修正系数 $=\frac{2003+2}{2005}\times 0.75=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$1\div 0.75=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\dfrac{1.25+3\frac{3}{4}-2\frac{1}{2}}{2.5}\div\left(\dfrac{1997\times 0.9}{1999\times 1.5}+\dfrac{1.2}{1999}\right)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分子）：$1.25+3.75-2.5=\underline{\quad}$，与分母相同，所以大分数为 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（除数化简）：$\frac{0.9}{1.5}=\underline{\quad}$，故第一项 $=\frac{1997\times 0.6}{1999}$；又 $1.2=2\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（提公因数）：除数 $=\frac{1997+2}{1999}\times 0.6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$1\div 0.6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\dfrac{29\frac{7}{9}+4\frac{7}{10}-6.32}{29\frac{7}{9}-7\frac{47}{50}+6.32}\div\left(\dfrac{2003\times 0.6}{2005\times 0.8}+\dfrac{1.5}{2005}\right)-\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\frac{1}{3}}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（前半部分）：分子分母都等于 $29\frac79-1.62$，大分数为 $\underline{\quad}$；除数 $=\frac{2003+2}{2005}\times 0.75=\underline{\quad}$，故前半部分 $=1\div 0.75=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（连分数最里层）：$2+\frac13=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$1+\frac37=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：相减 $\frac43-0.7=\underline{\quad}$。
12. 【原题 ch02-tuozhan-04】我们规定：符号“$\bigcirc$”表示选择两数中较大数的运算，例如 $3.5\bigcirc 2.9=2.9\bigcirc 3.5=3.5$；符号“$\triangle$”表示选择两数中较小数的运算，例如 $3.5\triangle 2.9=2.9\triangle 3.5=2.9$。请计算 $\dfrac{\left(0.625\triangle\frac{23}{33}\right)\times\left(\frac{155}{384}\bigcirc 0.4\right)}{\left(\frac{1}{3}\bigcirc 0.3\right)+\left(\frac{235}{104}\triangle 2.25\right)}$。
详细思路
是哪类问题：这是「定义新运算 + 分数大小比较」类：新符号只是“取较大”“取较小”，真正的工夫在比较分数与小数的大小。
关键切入点：把每个分数化成小数（或把小数化成分数）逐个比较：$0.625<\frac{23}{33}\approx0.697$ 取小得 $\frac58$；$\frac{155}{384}\approx0.404>0.4$ 取大；$\frac13>0.3$ 取大；$\frac{235}{104}\approx2.26>2.25$ 取小得 $2.25$。代入后分母 $\frac13+2.25=\frac{31}{12}$ 与分子里的 $155=5\times31$ 正好约去。
方法概述：先按定义比较取值，再代入分式约分。
规范步骤：
  1. 四个括号逐个取值：$\frac58,\ \frac{155}{384},\ \frac13,\ 2.25$（分数与小数比较）
  2. 算分母：$\frac13+2.25=\frac{31}{12}$（通分）
  3. 化除为乘：$\frac58\times\frac{155}{384}\times\frac{12}{31}$（除以分数化乘倒数）
  4. 约分：$=\frac{25}{256}$（约去 31 与 12）
第一套
题目：规定“$\bigcirc$”取两数中较大者，“$\triangle$”取两数中较小者。计算：$\dfrac{\left(0.875\triangle\frac{31}{35}\right)\times\left(\frac{53}{640}\bigcirc 0.08\right)}{\left(\frac{2}{5}\bigcirc 0.39\right)+\left(\frac{173}{76}\triangle 2.25\right)}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一个括号比大小）：$\frac{31}{35}\approx 0.8857$，比 $0.875$ 大，取小得 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二个括号）：$\frac{53}{640}=\underline{\quad}$，比 $0.08$ 大，取大得 $\frac{53}{640}$。
  3. 第 3 步（第三个括号）：$\frac25=\underline{\quad}$，比 $0.39$ 大，取大得 $\frac25$。
  4. 第 4 步（第四个括号）：$\frac{173}{76}\approx 2.276$，比 $2.25$ 大，取小得 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（算分母）：$0.4+2.25=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（化除为乘）：$\frac78\times\frac{53}{640}\div 2.65=\frac78\times\frac{53}{640}\times\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步（约分）：结果为 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：两个仓库各报一个数，规定“$\bigcirc$”表示取报数较多的那个，“$\triangle$”表示取报数较少的那个。求 $\dfrac{\left(0.875\triangle\frac{31}{35}\right)\times\left(\frac{53}{640}\bigcirc 0.08\right)}{\left(\frac{2}{5}\bigcirc 0.39\right)+\left(\frac{173}{76}\triangle 2.25\right)}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$\frac{31}{35}\approx 0.8857>0.875$，取少者 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$\frac{53}{640}=\underline{\quad}>0.08$，取多者 $\frac{53}{640}$。
  3. 第 3 步：$\frac25=\underline{\quad}>0.39$，取多者 $\frac25$。
  4. 第 4 步：$\frac{173}{76}\approx 2.276>2.25$，取少者 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：分母 $=0.4+2.25=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$\frac78\times\frac{53}{640}\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：规定“$\bigcirc$”取较大者，“$\triangle$”取较小者。计算：$\left(\frac{7}{12}\bigcirc 0.58\right)\times\left(\frac{16}{21}\triangle 0.77\right)+\left(\frac{3}{8}\triangle 0.38\right)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$\frac7{12}\approx\underline{\quad}$（保留四位小数），比 $0.58$ 大，取大得 $\frac7{12}$。
  2. 第 2 步：$\frac{16}{21}\approx 0.7619<0.77$，取小得 $\underline{\quad}$（用分数表示）。
  3. 第 3 步：$\frac38=\underline{\quad}<0.38$，取小得 $\frac38$。
  4. 第 4 步（先乘）：$\frac7{12}\times\frac{16}{21}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（再加）：$\frac49+\frac38=\underline{\quad}$。
第三套
题目：规定“$\bigcirc$”取较大者，“$\triangle$”取较小者。计算：$\dfrac{\left(0.875\triangle\frac{31}{35}\right)\times\left(\frac{53}{640}\bigcirc 0.08\right)}{\left(\frac{2}{5}\bigcirc 0.39\right)+\left(\frac{173}{76}\triangle 2.25\right)}\div\cfrac{1}{2+\frac{1}{4}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（四个括号取值）：依次为 $\underline{\quad}$、$\frac{53}{640}$、$\frac25$、$\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算主分式）：分母 $=0.4+2.25=\underline{\quad}$，主分式 $=\frac78\times\frac{53}{640}\times\frac{20}{53}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算繁分数）：$2+\frac14=\underline{\quad}$，所以 $\cfrac{1}{2+\frac14}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（除以它就是乘它的倒数）：$\frac7{256}\times\frac94=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch02-tuozhan-05】如图 2-1，每一条线段的长度规定为它的端点上两数之和，图中 6 条线段的长度总和是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「重复计数」类：不必逐条线段去加，先想清楚每个端点上的数一共被算了几次。
关键切入点：$4$ 个点两两相连共 $6$ 条线段，每个点都与另外 $3$ 个点相连，所以每个端点上的数在总和里被加了 $3$ 次；总和 $=3\times$（四个数之和）。
方法概述：用重复计数：总和 = 每点被用次数 × 各端点数之和。
规范步骤：
  1. 数线段与重复次数：$4$ 点两两相连有 $6$ 条，每点连出 $3$ 条（完全图计数）
  2. 求四数之和：$\frac13+\frac14+0.6+0.875=\frac{247}{120}$（通分相加）
  3. 乘以重复次数：$3\times\frac{247}{120}=\frac{247}{40}$（重复计数原理）
第一套
题目：平面上 4 个点两两相连共 6 条线段，规定每条线段的长度等于它两个端点上数的和。若 4 个点上的数依次是 $\frac{2}{3}$、$0.375$、$\frac{1}{6}$、$0.8$，求 6 条线段的长度总和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数重复次数）：每个点都与另外 $\underline{\quad}$ 个点相连，所以每个端点上的数被加了 3 次。
  2. 第 2 步（先求四数之和）：$\frac23+\frac16=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$0.375+0.8=\underline{\quad}$，四数之和为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（乘重复次数）：$3\times 2.008\overline{3}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：四个村庄两两之间各修一条路，共 6 条。每条路的造价（万元）等于它两端村庄编号数之和。四个村庄的编号数是 $\frac{2}{3}$、$0.375$、$\frac{1}{6}$、$0.8$。总造价是多少万元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每个村庄与另外 $\underline{\quad}$ 个村庄通路，所以每个编号数被算 3 次。
  2. 第 2 步：$\frac23+\frac16=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$0.375+0.8=\underline{\quad}$，四数之和 $=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：总造价 $=3\times$ 四数之和 $=\underline{\quad}$（万元）。
第三套
题目：平面上 5 个点两两相连，每条线段长度等于两端点上数之和。5 个点上的数是 $\frac{1}{2}$、$0.25$、$\frac{1}{5}$、$0.4$、$\frac{3}{4}$。求所有线段的长度总和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数线段）：5 个点两两相连共 $\frac{5\times 4}{2}=\underline{\quad}$ 条。
  2. 第 2 步（数重复次数）：每个点与另外 $\underline{\quad}$ 个点相连，所以每个数被加 4 次。
  3. 第 3 步（五数之和）：$\frac12+0.25+\frac15+0.4+\frac34=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：总和 $=4\times 2.1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：平面上 6 个点两两相连，每条线段长度等于两端点上数之和。6 个点上的数是 $\frac{1}{3}$、$0.6$、$\frac{1}{4}$、$0.875$、$\frac{2}{5}$、$1\frac{1}{6}$。求：（1）一共有多少条线段；（2）所有线段的长度总和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（组合计数）：线段条数 $=\frac{6\times 5}{2}=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步（每点被用几次）：每个点与另外 $\underline{\quad}$ 个点相连。
  3. 第 3 步（先凑整）：$\frac13+1\frac16=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$0.6+0.25+0.875+0.4=\underline{\quad}$，六数之和为 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：总和 $=5\times 3.625=\underline{\quad}$。
14. 【原题 ch02-tuozhan-06】计算：$\left(\frac{531}{135}+\frac{579}{357}+\frac{753}{975}\right)\times\left(\frac{579}{357}+\frac{753}{975}+\frac{135}{531}\right)-\left(\frac{531}{135}+\frac{579}{357}+\frac{753}{975}+\frac{135}{531}\right)\times\left(\frac{579}{357}+\frac{753}{975}\right)$。
详细思路
是哪类问题：这是「整体换元」类：式子里反复出现同几坨相同的东西，把它们整体设成字母，展开后大量项会自动抵消。
关键切入点：设 $a=\frac{531}{135}+\frac{579}{357}+\frac{753}{975}$，$b=\frac{579}{357}+\frac{753}{975}$，$c=\frac{135}{531}$，原式就是 $a(b+c)-(a+c)b=ac-bc=c(a-b)$，而 $a-b=\frac{531}{135}$，与 $c=\frac{135}{531}$ 互为倒数。
方法概述：整体换元，展开抵消 $ab$，化为 $c(a-b)$。
规范步骤：
  1. 设元：$a=\frac{531}{135}+\frac{579}{357}+\frac{753}{975}$，$b=\frac{579}{357}+\frac{753}{975}$，$c=\frac{135}{531}$（整体换元）
  2. 改写原式：$a(b+c)-(a+c)b$（整体代入）
  3. 展开抵消：$=ab+ac-ab-bc=c(a-b)$（乘法分配律）
  4. 代回：$a-b=\frac{531}{135}$，故原式 $=\frac{135}{531}\times\frac{531}{135}=1$（互为倒数）
第一套
题目：计算：$\left(\frac{864}{246}+\frac{357}{579}+\frac{975}{753}\right)\times\left(\frac{357}{579}+\frac{975}{753}+\frac{246}{864}\right)-\left(\frac{864}{246}+\frac{357}{579}+\frac{975}{753}+\frac{246}{864}\right)\times\left(\frac{357}{579}+\frac{975}{753}\right)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体换元）：设 $a=\frac{864}{246}+\frac{357}{579}+\frac{975}{753}$，$b=\frac{357}{579}+\frac{975}{753}$，$c=\frac{246}{864}$，原式就是 $a\times(b+c)-(a+c)\times b$。
  2. 第 2 步（展开）：$ab+ac-ab-bc$，其中 $ab$ 正好抵消，剩下 $c\times(a-b)$。
  3. 第 3 步（求 $a-b$）：$a$ 比 $b$ 多的那一项是 $\underline{\quad}$（用 $\frac{864}{246}$ 约分后的最简分数表示）。
  4. 第 4 步（相乘）：$c$ 与 $a-b$ 互为倒数，$\frac{246}{864}\times\frac{864}{246}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：速算比赛题：甲同学要算 $\left(2.5+\frac{7}{9}+1\frac{1}{3}\right)\times\left(\frac{7}{9}+1\frac{1}{3}+0.4\right)$，乙同学要算 $\left(2.5+\frac{7}{9}+1\frac{1}{3}+0.4\right)\times\left(\frac{7}{9}+1\frac{1}{3}\right)$。甲的结果比乙的结果大多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体换元）：设 $a=2.5+\frac79+1\frac13$，$b=\frac79+1\frac13$，$c=0.4$，则要求的是 $a(b+c)-(a+c)b$。
  2. 第 2 步（展开抵消）：$=ab+ac-ab-bc=c\times(a-b)$。
  3. 第 3 步（求 $a-b$）：$a$ 比 $b$ 多的一项是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$0.4\times 2.5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\left(\frac{5}{6}+\frac{7}{8}\right)\times\left(\frac{7}{8}+\frac{3}{4}\right)-\left(\frac{5}{6}+\frac{7}{8}+\frac{3}{4}\right)\times\frac{7}{8}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（换元）：设 $a=\frac56+\frac78$，$b=\frac78$，$c=\frac34$，原式 $=a(b+c)-(a+c)b$。
  2. 第 2 步（展开抵消）：$=c\times(a-b)$。
  3. 第 3 步（求 $a-b$）：$a-b=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$\frac34\times\frac56=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\left[\left(\frac{5}{6}+\frac{7}{8}\right)\times\left(\frac{7}{8}+\frac{3}{4}\right)-\left(\frac{5}{6}+\frac{7}{8}+\frac{3}{4}\right)\times\frac{7}{8}\right]\div\left(1-\frac{3}{8}\right)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（换元展开）：中括号内 $=c\times(a-b)$，其中 $c=\frac34$，$a-b=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：中括号内 $=\frac34\times\frac56=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算除数）：$1-\frac38=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（除以分数化乘倒数）：$\frac58\div\frac58=\underline{\quad}$。
15. 【原题 ch02-tuozhan-07】算式 $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}\right)\times 2004$ 计算结果的小数点后第 2004 位数字是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「循环小数定位」类：先把乘法分配到每一项，凡是乘出整数或很短小数的项都可以扔掉。
关键切入点：$\frac12,\frac13,\frac14,\frac16,\frac1{12}$ 乘 $2004$ 都是整数；$\frac15,\frac18,\frac1{10}$ 乘 $2004$ 只有一位小数，影响不到第 $2004$ 位。剩下 $\frac{2}7+\frac69+\frac2{11}+\frac2{13}$ 的小数部分是 $1.\overline{288045}$，循环节长 $6$，$2004$ 是 $6$ 的倍数，取循环节最后一位。
方法概述：拆项筛除，只留循环部分，再用周期定位。
规范步骤：
  1. 乘法分配：$\frac12\times2004+\cdots+\frac1{13}\times2004$（乘法分配律）
  2. 筛除整数项与短小数项：只剩 $\frac{2004}7+\frac{2004}9+\frac{2004}{11}+\frac{2004}{13}$ 的小数部分（有限小数不影响靠后位）
  3. 通分：$\frac27+\frac69+\frac2{11}+\frac2{13}=1\frac{288045}{999999}=1.\overline{288045}$（通分化循环小数）
  4. 定位：$2004\div6=334$ 整除，取循环节最后一位 $5$（按周期取位）
第一套
题目：算式 $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{13}\right)\times 4008$ 计算结果的小数点后第 $3005$ 位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先筛整数项）：$4008$ 能被 $2,3,4,6,8,12$ 整除，例如 $4008\div 12=\underline{\quad}$，这些项都是整数，不占小数位。
  2. 第 2 步（再筛短小数项）：$4008\div 5=\underline{\quad}$、$4008\div 10=400.8$ 都只有 1 位小数，影响不到第 3005 位。
  3. 第 3 步（只剩四项）：$\frac{4008}{7}$ 的小数部分是 $\frac{4008-7\times 572}{7}=\frac{\underline{\quad}}{7}$，同理另外三项的小数部分是 $\frac39$、$\frac4{11}$、$\frac4{13}$。
  4. 第 4 步（通分）：$\frac47+\frac4{11}+\frac4{13}=\underline{\quad}$，它等于 $1+\frac{243}{1001}$。
  5. 第 5 步（加上 $\frac39=\frac13$）：小数部分为 $\frac{243}{1001}+\frac13=\underline{\quad}$，化成循环小数是 $0.\overline{576090}$，循环节长 $\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（定位）：$3005-6\times 500=\underline{\quad}$，即循环节第 5 位，数字是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：打印机把 $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{13}\right)\times 4008$ 的结果一位一位打在长纸带上，小数点后第 $3005$ 个数字是几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$4008\div 12=\underline{\quad}$ 等都是整数，整数部分不占小数位。
  2. 第 2 步：$4008\div 5=\underline{\quad}$、$4008\div 10=400.8$ 只有 1 位小数，可以不管。
  3. 第 3 步：$\frac{4008}{7}$ 的小数部分是 $\frac{\underline{\quad}}{7}$，另外三项分别是 $\frac39,\frac4{11},\frac4{13}$。
  4. 第 4 步：$\frac47+\frac4{11}+\frac4{13}=\underline{\quad}$，故小数部分为 $\frac{243}{1001}+\frac13=\underline{\quad}=0.\overline{576090}$，循环节长 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$3005-6\times 500=\underline{\quad}$，循环节第 5 位是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)\times 6$ 计算结果的小数点后第 $100$ 位数字是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（通分）：公分母 $7\times 11\times 13=\underline{\quad}$，$\frac67+\frac6{11}+\frac6{13}=\frac{6\times(143+91+77)}{1001}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分出整数）：$\frac{1866}{1001}=1+\frac{\underline{\quad}}{1001}$。
  3. 第 3 步（化循环小数）：$\frac{865}{1001}=\frac{865\times 999}{999999}=\frac{\underline{\quad}}{999999}=0.\overline{864135}$，循环节长 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（定位）：$100-6\times 16=\underline{\quad}$，循环节第 4 位是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $x=\frac{243}{1001}+\frac{1}{3}$。（1）把 $x$ 化成循环小数并求出循环节各位数字之和；（2）求 $x$ 小数点后前 $60$ 位数字之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（通分）：公分母取 $3003$，$\frac{243}{1001}=\frac{\underline{\quad}}{3003}$，$\frac13=\frac{\underline{\quad}}{3003}$。
  2. 第 2 步（相加）：$x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（化循环小数）：$\frac{1730}{3003}=\frac{1730\times 333}{999999}=\frac{\underline{\quad}}{999999}=0.\overline{576090}$。
  4. 第 4 步（循环节数字和）：$5+7+6+0+9+0=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（前 60 位）：$60\div 6=\underline{\quad}$ 个完整循环节，数字和为 $10\times 27=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch02-tuozhan-08】古埃及人计算圆形面积的方法是：将直径减去直径的 $\frac{1}{9}$，然后再平方。由此看来，古埃及人认为圆周率 $\pi$ 等于多少？（结果精确到小数点后两位数字）
详细思路
是哪类问题：这是「公式还原」类：把古人的做法翻译成含半径 $r$ 的式子，再与真正的圆面积公式 $\pi r^2$ 对照。
关键切入点：设半径为 $r$，直径 $2r$；减去直径的 $\frac19$ 后是 $\frac89\times2r$，平方得 $\frac{256}{81}r^2$。把它当作 $\pi r^2$，两边同时约去 $r^2$，就得到古埃及人用的 $\pi=\frac{256}{81}$。
方法概述：设半径列式，与 $\pi r^2$ 比较约去 $r^2$。
规范步骤：
  1. 写出直径：$2r$（直径=2×半径）
  2. 减去直径的 $\frac19$：$2r-\frac19\times2r=\frac89\times2r=\frac{16}{9}r$（求一个数的几分之几）
  3. 平方：$\left(\frac{16}9r\right)^2=\frac{256}{81}r^2$（平方）
  4. 与 $\pi r^2$ 比较：$\pi=\frac{256}{81}\approx3.16$（约去 $r^2$）
第一套
题目：若把古埃及人的算法改成：将直径减去直径的 $\frac{1}{10}$，然后再平方。按这种算法，圆周率 $\pi$ 等于多少？（结果精确到小数点后两位）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设半径）：设半径为 $r$，则直径为 $\underline{\quad}r$。
  2. 第 2 步（减去 $\frac1{10}$）：剩下的是直径的 $1-\frac1{10}=\underline{\quad}$，即 $\frac9{10}\times 2r=\underline{\quad}r$。
  3. 第 3 步（平方）：$(1.8r)^2=1.8\times 1.8\times r^2=\underline{\quad}r^2$。
  4. 第 4 步（与 $\pi r^2$ 比较）：约去 $r^2$ 得 $\pi=\underline{\quad}$。
第二套
题目：古代工匠量圆形谷仓的底面积时，先把底面直径减去直径的 $\frac{1}{10}$，再把所得结果平方作为底面积。按这种做法，他心里用的圆周率是多少？（精确到小数点后两位）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设半径 $r$，直径为 $\underline{\quad}r$。
  2. 第 2 步：减去 $\frac1{10}$ 后剩 $1-\frac1{10}=\underline{\quad}$，即 $\underline{\quad}r$。
  3. 第 3 步：平方得 $1.8\times 1.8=\underline{\quad}$，即面积为 $3.24r^2$。
  4. 第 4 步：与 $\pi r^2$ 比较，$\pi=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个圆的直径是 $18$ 厘米。（1）用古埃及方法（直径减去直径的 $\frac{1}{9}$ 再平方）求它的面积；（2）用 $\pi=3.14$ 求它的面积；（3）两个结果相差多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（古埃及法）：$18$ 减去 $18\times\frac19=\underline{\quad}$，得 $\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：平方得 $16\times 16=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（标准公式）：半径 $=18\div 2=\underline{\quad}$（厘米），面积 $=3.14\times 9\times 9=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求差）：$256-254.34=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：一个圆的直径是 $27$ 厘米。分别用古埃及方法（直径减去直径的 $\frac{1}{9}$ 再平方）和 $\pi=3.14$ 计算它的面积，并求古埃及方法比标准算法多算了多少平方厘米（结果精确到 $0.01$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（古埃及法）：$27\times\frac19=\underline{\quad}$，$27-3=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：平方得 $24\times 24=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（标准算法）：半径 $=27\div 2=\underline{\quad}$（厘米），$13.5\times 13.5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：面积 $=3.14\times 182.25=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（求差）：$576-572.265=\underline{\quad}$，精确到 $0.01$ 是 $3.74$。
17. 【原题 ch02-tuozhan-09】（1）将下面这个繁分数化为最简真分数：$\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{3+\frac{1}{2}}}}$；（2）若下面的等式成立，$x$ 应该等于多少？$\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{x+\frac{1}{4}}}}=\frac{8}{11}$。
详细思路
是哪类问题：这是「连分数」类：(1) 是化简，(2) 是解方程，方法都是“从最内层通分、取倒数”。
关键切入点：(1) 从 $3+\frac12=\frac72$ 开始，每化一层就取一次倒数，一直做到最外层；(2) 方程里未知数埋在最里层，只能反过来做：等式两边同时取倒数，就能把最外面那一层剥掉，如此反复。
方法概述：连分数从内往外化简；解方程时反复取倒数逐层剥离。
规范步骤：
  1. (1) 最内层：$3+\frac12=\frac72\Rightarrow\frac27$（通分取倒数）
  2. (1) 往外一层：$4+\frac27=\frac{30}7\Rightarrow\frac7{30}$（逐层化简）
  3. (1) 最外层：$5+\frac7{30}=\frac{157}{30}\Rightarrow\frac{30}{157}$（逐层化简）
  4. (2) 取倒数剥层：$1+\cfrac{1}{2+\frac{1}{x+\frac14}}=\frac{11}8\Rightarrow\cfrac{1}{2+\frac{1}{x+\frac14}}=\frac38$（两边取倒数）
  5. (2) 再剥：$2+\frac{1}{x+\frac14}=\frac83\Rightarrow\frac{1}{x+\frac14}=\frac23$（两边取倒数）
  6. (2) 求 $x$：$x+\frac14=\frac32$，$x=\frac54$（逆运算）
第一套
题目：（1）把繁分数 $\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{4+\frac{1}{3}}}}$ 化为最简真分数；（2）若 $\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{x+\frac{1}{5}}}}=\frac{4}{5}$，求 $x$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题最内层）：$4+\frac13=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$5+\frac3{13}=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$6+\frac{13}{68}=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 (2) 题两边取倒数）：$1+\cfrac{1}{3+\frac{1}{x+\frac15}}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（剥去 1）：$\cfrac{1}{3+\frac{1}{x+\frac15}}=\frac54-1=\underline{\quad}$，再取倒数得 $3+\frac{1}{x+\frac15}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（剥去 3）：$\frac{1}{x+\frac15}=4-3=\underline{\quad}$，取倒数得 $x+\frac15=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步：$x=1-\frac15=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一套齿轮组的总传动比按繁分数计算。（1）求传动比 $\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{4+\frac{1}{3}}}}$；（2）若另一套齿轮组的传动比 $\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{x+\frac{1}{5}}}}=\frac{4}{5}$，求其中的参数 $x$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：最内层 $4+\frac13=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$5+\frac3{13}=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$6+\frac{13}{68}=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$，即第 (1) 问答案。
  4. 第 4 步（第 (2) 问）：两边取倒数得 $1+\cfrac{1}{3+\frac{1}{x+\frac15}}=\underline{\quad}$，剥去 1 得 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：取倒数得 $3+\frac{1}{x+\frac15}=\underline{\quad}$，剥去 3 得 $\frac{1}{x+\frac15}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：取倒数得 $x+\frac15=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把繁分数 $\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{5+\frac{1}{6}}}}}$ 化为最简真分数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：最内层 $5+\frac16=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$4+\frac6{31}=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$3+\frac{31}{130}=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$2+\frac{130}{421}=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：若 $\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x+\frac{1}{4}}}}=\frac{2}{5}$，求 $x$，并把结果写成小数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两边取倒数）：$2+\cfrac{1}{1+\frac{1}{x+\frac14}}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（剥去 2）：$\cfrac{1}{1+\frac{1}{x+\frac14}}=\frac52-2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取倒数）：$1+\frac{1}{x+\frac14}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（剥去 1）：$\frac{1}{x+\frac14}=2-1=\underline{\quad}$，取倒数得 $x+\frac14=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$x=1-\frac14=\underline{\quad}$，化成小数是 $\underline{\quad}$。
18. 【原题 ch02-tuozhan-10】已知符号“$*$”表示一种运算，它的含义是：$a*b=\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+1)(b+A)}$，已知 $2*3=\frac{1}{4}$，那么：（1）$A$ 等于多少？（2）计算：$(1*2)+(3*4)+(5*6)+\cdots+(99*100)$。
详细思路
是哪类问题：这是「定义新运算 + 裂项相消」类：先由一个已知等式定出定义里的参数，再看清新运算其实是两个相邻分数之和。
关键切入点：(1) 把 $2*3$ 按定义写开解方程得 $A=1$；(2) 定出 $A$ 后，$(2k-1)*(2k)=\frac{1}{(2k-1)2k}+\frac{1}{2k(2k+1)}$，把所有括号拆开正好拼成 $\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\cdots+\frac1{100\times101}$ 这一整串，用 $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ 相消。
方法概述：先定参数，再还原成相邻分数整体裂项相消。
规范步骤：
  1. (1) 代入已知：$\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3(3+A)}=\frac14$（按定义翻译）
  2. (1) 解方程：$\frac{1}{3(3+A)}=\frac14-\frac16=\frac1{12}$，$3+A=4$，$A=1$（逆运算）
  3. (2) 还原成相邻分数：$(2k-1)*(2k)=\frac{1}{(2k-1)2k}+\frac{1}{2k(2k+1)}$（代入 $A=1$）
  4. (2) 拼成完整一串：$\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\cdots+\frac1{100\times101}$（整体观察）
  5. (2) 裂项相消：$1-\frac1{101}=\frac{100}{101}$（裂项相消）
第一套
题目：符号“$*$”表示运算：$a*b=\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+1)(b+A)}$，已知 $3*4=\frac{2}{15}$。（1）$A$ 等于多少？（2）计算：$(1*2)+(3*4)+(5*6)+\cdots+(199*200)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按定义写开）：$3*4=\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times(4+A)}$，其中 $\frac{1}{3\times4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（解方程）：$\frac{1}{4(4+A)}=\frac{2}{15}-\frac1{12}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：所以 $4(4+A)=\underline{\quad}$，$4+A=5$，$A=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（还原相邻分数）：$(2k-1)*(2k)=\frac{1}{(2k-1)2k}+\frac{1}{2k(2k+1)}$，全部拆开恰好拼成 $\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\cdots+\frac{1}{200\times\underline{\quad}}$。
  5. 第 5 步（裂项相消）：$1-\frac{1}{201}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某程序里定义了一个运算：$a*b=\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+1)(b+A)}$，测试时发现 $3*4=\frac{2}{15}$。（1）参数 $A$ 是多少？（2）程序要输出 $(1*2)+(3*4)+\cdots+(199*200)$，结果是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$\frac{1}{3\times4}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$\frac{1}{4(4+A)}=\frac2{15}-\frac1{12}=\underline{\quad}$，故 $4(4+A)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$4+A=5$，所以 $A=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：每个括号拆成两个相邻分数后正好连成一整串，末项是 $\frac{1}{200\times\underline{\quad}}$。
  5. 第 5 步：裂项相消得 $1-\frac1{201}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{49\times 50}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写出裂项公式）：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac{1}{n+1}$。
  2. 第 2 步（相消）：相加后中间全部抵消，只剩首项 $1$ 与末项 $\frac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步：$1-\frac1{50}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n\times(n+1)}=\frac{2015}{2016}$，求 $n$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（裂项相消）：左边 $=1-\frac{1}{n+1}$。
  2. 第 2 步（列方程）：$1-\frac{1}{n+1}=\frac{2015}{2016}$，所以 $\frac{1}{n+1}=1-\frac{2015}{2016}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（取倒数）：$n+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$n=2016-1=\underline{\quad}$。
19. 【原题 ch02-tuozhan-11】已知 $A=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\cdots+\frac{1}{1999\times 2000}$，$B=\frac{1}{1000}+\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+\cdots+\frac{1}{1999}$，比较 $A$ 和 $B$ 的大小，并计算出它们的差。
详细思路
是哪类问题：这是「裂项 + 错位比较」类：$A$ 看起来是一串乘积的倒数，裂项后变成交错的加减，再整理成一段连续分数和，就能和 $B$ 逐项对齐比较。
关键切入点：$A$ 裂项后是 $1-\frac12+\frac13-\cdots-\frac1{2000}$，利用“偶数项的两倍等于前 1000 项调和和”可把它整理成 $\frac1{1001}+\frac1{1002}+\cdots+\frac1{2000}$；它与 $B=\frac1{1000}+\cdots+\frac1{1999}$ 中间 999 项完全相同，只差首尾两项。
方法概述：裂项化交错和，再整理成连续段与 $B$ 错位相减。
规范步骤：
  1. 裂项：$A=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac1{1999}-\frac1{2000}$（分数裂项）
  2. 整理成连续段：$A=\frac1{1001}+\frac1{1002}+\cdots+\frac1{2000}$（交错和转化）
  3. 与 $B$ 对齐：$B=\frac1{1000}+\frac1{1001}+\cdots+\frac1{1999}$，中间项相同（错位比较）
  4. 作差：$B-A=\frac1{1000}-\frac1{2000}=\frac1{2000}$（同分母相减）
第一套
题目：已知 $A=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{2999\times 3000}$，$B=\frac{1}{1500}+\frac{1}{1501}+\cdots+\frac{1}{2999}$。比较 $A$、$B$ 的大小并求它们的差。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（裂项）：$\frac{1}{(2k-1)2k}=\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}$，所以 $A=1-\frac12+\frac13-\cdots+\frac{1}{2999}-\frac{1}{3000}$。
  2. 第 2 步（整理成连续段）：这样的交错和等于后一半的连续和，即 $A=\frac{1}{1501}+\frac{1}{1502}+\cdots+\frac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（与 $B$ 对齐）：$B$ 从 $\frac{1}{1500}$ 到 $\frac{1}{2999}$，与 $A$ 相比多了首项 $\frac{1}{\underline{\quad}}$、少了末项 $\frac{1}{3000}$。
  4. 第 4 步（作差）：$B-A=\frac{1}{1500}-\frac{1}{3000}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：甲同学算的是 $A=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{2999\times 3000}$，乙同学算的是 $B=\frac{1}{1500}+\frac{1}{1501}+\cdots+\frac{1}{2999}$。谁算出的数大？大多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$A$ 中每项裂项得 $\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}$，于是 $A=1-\frac12+\frac13-\cdots-\frac{1}{3000}$。
  2. 第 2 步：这个交错和等于 $A=\frac{1}{1501}+\cdots+\frac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步：与乙的 $B$ 相比，$B$ 多了首项 $\frac{1}{\underline{\quad}}$，少了末项 $\frac{1}{3000}$。
  4. 第 4 步：$B-A=\frac{1}{1500}-\frac{1}{3000}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $A=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\frac{1}{7\times 8}$，$B=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$。比较大小并求差。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（裂项）：$A=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac17-\frac18\right)$。
  2. 第 2 步（整理成连续段）：交错和等于后一半连续和，$A=\frac15+\frac16+\frac17+\frac1\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（直接验算）：$A=\underline{\quad}$（保留六位小数）。
  4. 第 4 步（与 $B$ 对齐）：$B$ 比 $A$ 多首项 $\frac14$、少末项 $\frac18$，$B-A=\frac14-\frac18=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $A=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{99\times 100}$，$B=\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+\cdots+\frac{1}{99}$，$C=\frac{1}{2}$。把 $A$、$B$、$C$ 从小到大排列，并求 $B-A$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（裂项整理）：$A=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\cdots+\frac{1}{\underline{\quad}}$，一共 $100-50=\underline{\quad}$ 项。
  2. 第 2 步（放缩比较 $A$ 与 $C$）：这 50 项中最小的一项是 $\frac{1}{100}$，其余都比它大，所以 $A>50\times\frac{1}{100}=\underline{\quad}$，即 $A>C$。
  3. 第 3 步（比较 $A$ 与 $B$）：$B$ 比 $A$ 多首项 $\frac1{50}$、少末项 $\frac1{100}$，$B-A=\frac1{50}-\frac1{100}=\underline{\quad}$，所以 $B>A$。
  4. 第 4 步（排序）：从小到大是 $C<A<B$。
20. 【原题 ch02-tuozhan-12】计算：$1\times 3+3\times 5+5\times 7+\cdots+29\times 31$。
详细思路
是哪类问题：这是「整数裂项」类：相邻奇数之积求和，可用三项连乘之差来裂项，使中间项首尾相消。
关键切入点：对 $a\times b$（$b=a+2$）有 $a\times b=\frac16[a\times b\times(b+2)-(a-2)\times a\times b]$；从 $1\times3$ 开始累加时，除了首项要单独保留外，其余全部相消，只剩 $\frac16(29\times31\times33-1\times3\times5)$。
方法概述：用三连乘之差裂项，首尾相消。
规范步骤：
  1. 写出裂项公式：$a\times b=\frac16[a b(b+2)-(a-2)a b]$（整数裂项）
  2. 相消：$\text{原式}=1\times3+\frac16(29\times31\times33-1\times3\times5)$（首尾相消）
  3. 算括号：$29667-15=29652$（乘法与减法）
  4. 算出结果：$3+\frac{29652}6=3+4942=4945$（除法）
第一套
题目：计算：$1\times 3+3\times 5+5\times 7+\cdots+39\times 41$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（裂项公式）：$a\times b=\frac16[a b(b+2)-(a-2)a b]$，其中 $b=a+2$。
  2. 第 2 步（相消）：原式 $=1\times 3+\frac16(39\times 41\times \underline{\quad}-1\times 3\times 5)$。
  3. 第 3 步：$39\times 41\times 43=\underline{\quad}$，$1\times3\times5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$68757-15=\underline{\quad}$，除以 6 得 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：加上首项 $3$，得 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：礼堂第 1 排放 $1\times 3$ 把椅子，第 2 排放 $3\times 5$ 把，第 3 排放 $5\times 7$ 把……最后一排放 $39\times 41$ 把。礼堂一共放了多少把椅子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每排把数都是 $a\times(a+2)$ 型，可裂项为 $\frac16[a b(b+2)-(a-2)a b]$。
  2. 第 2 步：求和相消后 $=1\times3+\frac16(39\times41\times\underline{\quad}-1\times3\times5)$。
  3. 第 3 步：$39\times41\times43=\underline{\quad}$，$1\times3\times5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$68757-15=\underline{\quad}$，$68742\div 6=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：总数 $=3+11457=\underline{\quad}$（把）。
第三套
题目：计算：$2\times 4+4\times 6+6\times 8+\cdots+30\times 32$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同样的裂项公式）：$a\times b=\frac16[a b(b+2)-(a-2)a b]$，这里 $a$ 取偶数。
  2. 第 2 步（相消）：原式 $=2\times 4+\frac16(30\times 32\times \underline{\quad}-2\times 4\times 6)$。
  3. 第 3 步：$30\times 32\times 34=\underline{\quad}$，$2\times4\times6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$32640-48=\underline{\quad}$，除以 6 得 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：加上首项 $2\times4=8$，得 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：（1）$1\times 3+3\times 5+\cdots+29\times 31$；（2）$\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\cdots+\frac{1}{29\times 31}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：$29\times31\times33=\underline{\quad}$，原式 $=3+\frac{29667-15}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 问的裂项公式）：$\frac{1}{a(a+2)}=\frac12\left(\frac1a-\frac{1}{a+2}\right)$。
  3. 第 3 步（相消）：只剩首尾，$\frac12\left(1-\frac{1}{\underline{\quad}}\right)$。
  4. 第 4 步：$1-\frac1{31}=\underline{\quad}$，再乘 $\frac12$ 得 $\underline{\quad}$。
21. 【原题 ch02-tuozhan-13】根据图 2-2 中 5 个图形的变化规律，求第 99 个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数。
详细思路
是哪类问题：这是「图形规律 + 求和」类：先从图里数出每一层的圆圈数，归纳出层数与圈数的关系，再把各层加起来。
关键切入点：观察到第 $n$ 个图形共有 $n$ 层，第 $k$ 层有 $1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}2$ 个圈（即三角形数）。于是第 99 个图形的总数是前 99 个三角形数之和，用整数裂项 $k(k+1)$ 求和即可。
方法概述：归纳出每层为三角形数，再用整数裂项对各层求和。
规范步骤：
  1. 归纳每层圈数：第 $k$ 层有 $\frac{k(k+1)}2$ 个圈（图形规律）
  2. 写出总和：$\frac{1\times2}2+\frac{2\times3}2+\cdots+\frac{99\times100}2$（逐层相加）
  3. 提出 $\frac12$ 后整数裂项：$\frac12\times\frac13\times99\times100\times101$（整数裂项）
  4. 算出：$=166650$（约分）
22. 【原题 ch02-tuozhan-14】定义：$a_n=\dfrac{\frac{1}{n}}{\left(1+\frac{1}{1}\right)\times\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\left(1+\frac{1}{3}\right)\times\cdots\times\left(1+\frac{1}{n}\right)}$。（1）求出 $a_1$、$a_2$、$a_{100}$、$a_{200}$ 的大小；（2）计算：$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\frac{4}{a_4}+\cdots+\frac{100}{a_{100}}$。
详细思路
是哪类问题：这是「连乘裂项 + 求和公式」类：分母上那一长串连乘看着吓人，写成分数后上下相消只剩一个数。
关键切入点：$\left(1+\frac11\right)\left(1+\frac12\right)\cdots\left(1+\frac1n\right)=\frac21\times\frac32\times\cdots\times\frac{n+1}n=n+1$，于是 $a_n=\frac{\frac1n}{n+1}=\frac1{n(n+1)}$；再由 $\frac{n}{a_n}=n\cdot n(n+1)=n^3+n^2$，用立方和、平方和公式求和。
方法概述：连乘裂项约分得通项，再用立方和与平方和公式求和。
规范步骤：
  1. 连乘约分：$\frac21\times\frac32\times\cdots\times\frac{n+1}n=n+1$（逐项相消）
  2. 得通项：$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$（繁分数化简）
  3. 代入求值：$a_1=\frac12,\ a_2=\frac16,\ a_{100}=\frac1{10100},\ a_{200}=\frac1{40200}$（代入）
  4. 改写求和项：$\frac{n}{a_n}=n^3+n^2$（整体代入）
  5. 用公式求和：$\frac{100^2\times101^2}{4}+\frac{100\times101\times201}{6}=25502500+338350$（立方和与平方和公式）
  6. 相加：$=25840850$（加法）
第一套
题目：定义：$a_n=\dfrac{\frac{1}{n}}{\left(1+\frac{1}{1}\right)\times\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\cdots\times\left(1+\frac{1}{n}\right)}$。（1）求 $a_3$、$a_5$、$a_{150}$、$a_{300}$；（2）计算：$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\cdots+\frac{200}{a_{200}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（连乘裂项）：$\frac21\times\frac32\times\frac43\times\cdots\times\frac{n+1}{n}$ 上下相消，结果是 $n+1$，所以 $a_n=\underline{\quad}$（用含 $n$ 的分数式的值在 $n=3$ 时验证：$a_3=\frac{1}{3\times 4}$）。
  2. 第 2 步（代入）：$a_3=\frac1{12}$，$a_5=\frac{1}{5\times 6}=\frac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步：$a_{150}=\frac{1}{150\times 151}=\frac{1}{\underline{\quad}}$，$a_{300}=\frac{1}{300\times 301}=\frac{1}{\underline{\quad}}$。
  4. 第 4 步（改写求和项）：$\frac{n}{a_n}=n\times n\times(n+1)=n^3+n^2$。
  5. 第 5 步（立方和）：$1^3+2^3+\cdots+200^3=\frac{200\times 200\times 201\times 201}{4}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（平方和）：$1^2+2^2+\cdots+200^2=\frac{200\times 201\times 401}{6}=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步（相加）：$404010000+2686700=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某程序第 $n$ 步输出 $a_n=\dfrac{\frac{1}{n}}{\left(1+\frac{1}{1}\right)\times\cdots\times\left(1+\frac{1}{n}\right)}$。（1）求第 3、5、150、300 步的输出；（2）求 $\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\cdots+\frac{200}{a_{200}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：连乘部分上下相消等于 $n+1$，所以 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，例如 $a_3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$a_5=\frac{1}{\underline{\quad}}$，$a_{150}=\frac{1}{\underline{\quad}}$，$a_{300}=\frac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步：$\frac{n}{a_n}=n^3+n^2$。
  4. 第 4 步：立方和 $=\frac{200\times200\times201\times201}{4}=\underline{\quad}$，平方和 $=\frac{200\times201\times401}{6}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$404010000+2686700=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $b_n=\dfrac{1}{n\times(n+1)}$，计算：$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\cdots+\frac{1}{b_{50}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求倒数）：$\frac{1}{b_n}=n\times(n+1)$，所以原式 $=1\times2+2\times3+\cdots+50\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（整数裂项）：连续两数乘积求和 $=\frac13\times 50\times 51\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$50\times51\times52=\underline{\quad}$，除以 3 得 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：定义同原题：$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$。计算：$\dfrac{\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\cdots+\frac{100}{a_{100}}}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{100}}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分子）：$\frac{n}{a_n}=n^3+n^2$，立方和 $=\frac{100\times100\times101\times101}{4}=\underline{\quad}$，平方和 $=\frac{100\times101\times201}{6}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：分子 $=25502500+338350=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分母）：$\frac{1}{a_n}=n(n+1)$，用整数裂项得 $\frac13\times 100\times 101\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相除）：$25840850\div 343400=\underline{\quad}$。
23. 【原题 ch02-xingqu-01】计算：$\frac{1}{3}\times\left(4.3\times 3\frac{3}{5}-3.6+6.7\div\frac{5}{18}\right)-\left(1.23\div 13\frac{2}{3}-5-0.09\right)$。
详细思路
是哪类问题：这是「分数小数混合运算」类：式子里既有小数又有带分数，还有除以分数，关键是先统一形式，再逆用乘法分配律提公因数。
关键切入点：把 $3\frac35$ 与 $\div\frac{5}{18}$ 都化成 $\frac{18}{5}$，括号里三项就都带同一个因数 $\frac{18}{5}$（中间的 $3.6$ 正是 $\frac{18}{5}\times1$），提出后括号内 $4.3-1+6.7=10$ 恰好凑整；后一括号里 $1.23\times\frac{3}{41}=0.09$ 与 $-0.09$ 正好抵消。
方法概述：除以分数化乘倒数，逆用分配律提公因数后凑整。
规范步骤：
  1. 除法化乘法、带分数化假分数：$3\frac35=\frac{18}{5}$，$6.7\div\frac{5}{18}=6.7\times\frac{18}{5}$（除以一个数等于乘它的倒数）
  2. 括号内提公因数 $\frac{18}{5}$：$\frac{18}{5}\times(4.3-1+6.7)=\frac{18}{5}\times10=36$（逆用乘法分配律）
  3. 乘 $\frac13$：$\frac13\times36=12$（约分）
  4. 后一括号：$1.23\div13\frac23=1.23\times\frac{3}{41}=0.09$：$0.09-5-0.09=-5$（首尾相消）
  5. 两部分相减：$12-(-5)=17$（减去负数等于加）
第一套
题目：计算：$\frac{1}{3}\times\left(7.4\times 3\frac{3}{5}-3.6+8.6\div\frac{5}{18}\right)-\left(2.46\div 13\frac{2}{3}-8-0.18\right)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一形式）：带分数化假分数 $3\frac35=\underline{\quad}$；除以分数化乘倒数 $8.6\div\frac{5}{18}=8.6\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（后一项也先化）：$2.46\div 13\frac23=2.46\times\frac{3}{41}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（提公因数）：中间的 $3.6$ 相当于 $3.6\times\underline{\quad}$，于是括号内 $=3.6\times(7.4-1+8.6)$。
  4. 第 4 步：括号内先凑整 $7.4-1+8.6=\underline{\quad}$，再乘 $3.6\times 15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：乘 $\frac13$ 得 $54\div 3=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（后一括号首尾相消）：$0.18-8-0.18=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步：两部分相减 $18-(-8)=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某车间按统一折算系数结算：甲组记录量为 $\frac{1}{3}\times\left(7.4\times 3\frac{3}{5}-3.6+8.6\div\frac{5}{18}\right)$ 吨，乙组记录量为 $\left(2.46\div 13\frac{2}{3}-8-0.18\right)$ 吨。甲组比乙组多多少吨？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：折算系数 $3\frac35=\underline{\quad}$，$8.6\div\frac{5}{18}=8.6\times\underline{\quad}$（吨）。
  2. 第 2 步：乙组里 $2.46\div 13\frac23=2.46\times\frac{3}{41}=\underline{\quad}$（吨）。
  3. 第 3 步：甲组括号内提出公因数 $3.6$，括号内和为 $7.4-1+8.6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：甲组 $=\frac13\times 3.6\times 15=\underline{\quad}$（吨）。
  5. 第 5 步：乙组 $=0.18-8-0.18=\underline{\quad}$（吨）。
  6. 第 6 步：多出 $18-(-8)=\underline{\quad}$（吨）。
第三套
题目：计算：$\left(4.8\times 2\frac{1}{4}+5.2\div\frac{4}{9}\right)\div 2\frac{1}{4}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（除法化乘法）：$5.2\div\frac49=5.2\times\underline{\quad}$，它正好等于 $5.2\times 2\frac14$。
  2. 第 2 步（提公因数）：括号内 $=2.25\times(4.8+5.2)=2.25\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：算出括号内 $2.25\times 10=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（再化除为乘）：$\div 2\frac14=\times\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$22.5\times\frac{4}{9}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\left(4.8\times 2\frac{1}{4}+5.2\div\frac{4}{9}\right)\div 2\frac{1}{4}-\dfrac{2\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}}{3.5}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（前半部分）：$5.2\div\frac49=5.2\times\underline{\quad}$，括号内提公因数得 $2.25\times(4.8+5.2)=2.25\times\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$2.25\times 10=\underline{\quad}$，再 $\div 2\frac14=\times\frac49$，得 $22.5\times\frac49=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（繁分数）：先算分子 $2\frac12\times\frac35=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：繁分数就是分子除以分母，$1.5\div 3.5=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：相减 $10-\frac37=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch02-xingqu-02】要使等式 $15.6\div\left[2\frac{2}{3}\times(1.625+\square)-1\frac{1}{10}\right]-\frac{4}{15}\div\frac{2}{3}=3\frac{3}{5}$ 成立，方格内应该填入多少？
详细思路
是哪类问题：这是「逆运算求未知数」类：未知数藏在多层括号最里面，只能从最外层开始一层层倒着剥。
关键切入点：先把与方框无关的 $\frac{4}{15}\div\frac23=\frac25$ 算出来，等式右边变成 $3\frac35+\frac25=4$；再用“被除数÷商=除数”“和-加数=另一加数”“积÷因数=另一因数”逐层倒推。
方法概述：把方框看作未知数，按运算顺序从外往里逐层逆推。
规范步骤：
  1. 先算可算的项：$\frac{4}{15}\div\frac23=\frac{4}{15}\times\frac32=\frac25$（除以分数化乘倒数）
  2. 移项：$15.6\div[\ \cdot\ ]=3\frac35+\frac25=4$（加法逆运算）
  3. 求中括号：$[\ \cdot\ ]=15.6\div4=3.9$（被除数÷商=除数）
  4. 剥去减 $1\frac1{10}$：$2\frac23\times(1.625+\square)=3.9+1.1=5$（减法逆运算）
  5. 剥去乘 $2\frac23$：$1.625+\square=5\div\frac83=1.875$（积÷因数=另一因数）
  6. 求方框：$\square=1.875-1.625=0.25=\frac14$（加法逆运算）
第一套
题目：要使等式 $31.2\div\left[3\frac{1}{3}\times(2.375+\square)-6\frac{1}{10}\right]-\frac{8}{15}\div\frac{4}{5}=7\frac{1}{3}$ 成立，方格内应该填入多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算与方框无关的项）：除以分数化乘倒数，$\frac{8}{15}\div\frac45=\frac{8}{15}\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（移项）：$31.2\div[\ \cdot\ ]=7\frac13+\frac23=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求中括号）：被除数除以商得除数，$[\ \cdot\ ]=31.2\div 8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（剥去 $-6\frac1{10}$）：$3\frac13\times(2.375+\square)=3.9+6.1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（剥去 $\times 3\frac13$）：$2.375+\square=10\div\frac{10}{3}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求方框）：$\square=3-2.375=\underline{\quad}$。
第二套
题目：配料表规定：$31.2$ 千克原料平均分给若干份，份数由 $3\frac{1}{3}\times(2.375+\square)-6\frac{1}{10}$ 算出；已知每份质量减去 $\frac{8}{15}\div\frac{4}{5}$ 千克后恰好是 $7\frac{1}{3}$ 千克。方框应填多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：先算 $\frac{8}{15}\div\frac45=\frac{8}{15}\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$（千克）。
  2. 第 2 步：每份质量 $=7\frac13+\frac23=\underline{\quad}$（千克）。
  3. 第 3 步：份数 $=31.2\div 8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$3\frac13\times(2.375+\square)=3.9+6.1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$2.375+\square=10\div\frac{10}{3}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$\square=3-2.375=\underline{\quad}$。
第三套
题目：要使等式 $\left(\square-\frac{3}{8}\right)\times 2\frac{2}{3}\div 1.25+2\frac{1}{5}=5\frac{2}{5}$ 成立，方框应填多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（剥去加 $2\frac15$）：$\left(\square-\frac38\right)\times 2\frac23\div 1.25=5\frac25-2\frac15=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（剥去除以 $1.25$）：$\left(\square-\frac38\right)\times 2\frac23=3.2\times 1.25=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（剥去乘 $2\frac23$）：$\square-\frac38=4\div\frac83=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$\square=1.5+0.375=\underline{\quad}$。
第三套
题目：若 $\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\frac{1}{\square}}}=\frac{4}{11}$，方框应填多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两边取倒数）：$2+\cfrac{1}{1+\frac{1}{\square}}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（剥去 $2$）：$\cfrac{1}{1+\frac{1}{\square}}=\frac{11}{4}-2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再取倒数）：$1+\frac{1}{\square}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（剥去 $1$）：$\frac{1}{\square}=\frac43-1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（最后取倒数）：$\square=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch02-xingqu-03】计算：$\dfrac{\frac{7}{8}-\frac{1}{4}}{\frac{3}{5}\times\frac{1}{20}+5\frac{3}{5}\times\frac{1}{80}}\div 2\frac{1}{2}$。
详细思路
是哪类问题：这是「繁分数化简」类：一个大分数的分子分母各自是一串分数运算，还要再除以一个带分数。
关键切入点：分子 $\frac78-\frac14=\frac58$ 直接约；分母两项 $\frac35\times\frac1{20}$ 与 $\frac{28}{5}\times\frac1{80}$ 看似不同，但 $\frac{28}{5}\times\frac1{80}=\frac75\times\frac1{20}$，于是可以逆用分配律提出 $\frac1{20}$，括号内 $\frac35+\frac75=2$ 恰好凑整。
方法概述：分子先约分，分母统一因数后逆用分配律凑整，再除以带分数化乘倒数。
规范步骤：
  1. 分子通分相减：$\frac78-\frac14=\frac58$（同分母相减）
  2. 分母第二项换成同一因数：$5\frac35\times\frac1{80}=\frac{28}{5}\times\frac1{80}=\frac75\times\frac1{20}$（约分变形）
  3. 分母提公因数：$\frac1{20}\times\left(\frac35+\frac75\right)=\frac1{20}\times2=\frac1{10}$（逆用乘法分配律）
  4. 繁分数即分子除以分母：$\frac58\div\frac1{10}=\frac58\times10=\frac{25}{4}$（除以分数化乘倒数）
  5. 再除以带分数：$\frac{25}{4}\times\frac25=\frac52=2\frac12$（约分）
第一套
题目：计算：$\dfrac{\frac{11}{12}-\frac{1}{3}}{\frac{4}{7}\times\frac{1}{30}+5\frac{5}{7}\times\frac{1}{120}}\div 3\frac{1}{2}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分子）：通分相减 $\frac{11}{12}-\frac13=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分母第二项化成同一因数）：$5\frac57=\underline{\quad}$，而 $\frac{1}{120}=\frac{1}{30}\div 4$，所以 $5\frac57\times\frac{1}{120}=\underline{\quad}\times\frac{1}{30}$。
  3. 第 3 步（提公因数）：分母 $=\frac{1}{30}\times\left(\frac47+\frac{10}{7}\right)=\frac{1}{30}\times\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：算出分母 $\frac{1}{30}\times 2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（繁分数化除法）：$\frac{7}{12}\div\frac{1}{15}=\frac{7}{12}\times 15=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（再除以带分数）：$\div 3\frac12=\times\frac27$，得 $8.75\times\frac27=\underline{\quad}$。
第二套
题目：实验记录：上层读数为 $\frac{11}{12}-\frac{1}{3}$，下层读数为 $\frac{4}{7}\times\frac{1}{30}+5\frac{5}{7}\times\frac{1}{120}$，用上层读数除以下层读数后再除以 $3\frac{1}{2}$，结果是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：上层读数 $\frac{11}{12}-\frac13=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$5\frac57=\underline{\quad}$，且 $\frac{1}{120}=\frac{1}{30}\div 4$，所以第二项 $=\underline{\quad}\times\frac{1}{30}$。
  3. 第 3 步：下层读数 $=\frac{1}{30}\times\left(\frac47+\frac{10}{7}\right)=\frac{1}{30}\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：相除 $\frac{7}{12}\div\frac{1}{15}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：再除以 $3\frac12$，得 $8.75\times\frac27=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\dfrac{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}}{\frac{2}{9}\times\frac{1}{15}+3\frac{1}{3}\times\frac{1}{45}}\div 1\frac{1}{4}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分子）：$\frac56-\frac13=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（统一因数）：$3\frac13=\underline{\quad}$，$\frac{1}{45}=\frac{1}{15}\div 3$，故第二项 $=\underline{\quad}\times\frac{1}{15}$。
  3. 第 3 步（提公因数）：分母 $=\frac{1}{15}\times\left(\frac29+\frac{10}{9}\right)=\frac{1}{15}\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$\frac12\div\frac{4}{45}=\frac12\times\frac{45}{4}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$\div 1\frac14=\times\frac45$，得 $5.625\times\frac45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\dfrac{\frac{11}{12}-\frac{1}{3}}{\frac{4}{7}\times\frac{1}{30}+5\frac{5}{7}\times\frac{1}{120}}\div 3\frac{1}{2}-\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\frac{1}{2}}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（前半部分）：分子 $\frac{11}{12}-\frac13=\underline{\quad}$，分母 $=\frac{1}{30}\times\left(\frac47+\frac{10}{7}\right)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$\frac{7}{12}\div\frac{1}{15}\times\frac27=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（连分数从内往外）：最里层 $1+\frac12=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$1+\frac23=\underline{\quad}$，再取倒数得 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：相减 $2.5-0.6=\underline{\quad}$。
26. 【原题 ch02-xingqu-04】计算：$\dfrac{1950+\frac{1}{2002}}{2002+\frac{1}{1950}}-\dfrac{2\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}}{3.5}$。
详细思路
是哪类问题：这是「繁分数约分」类：分子分母都是“整数+一个单位分数”，通分后会出现完全相同的因式。
关键切入点：$1950+\frac1{2002}=\frac{1950\times2002+1}{2002}$，$2002+\frac1{1950}=\frac{2002\times1950+1}{1950}$，两个分子一模一样，相除时约掉，只剩 $\frac{1950}{2002}$；后一项是普通繁分数，直接算成 $\frac37$。
方法概述：分子分母各自通分，约去相同的乘积和，再作差。
规范步骤：
  1. 分子分母各自通分：$\frac{\frac{1950\times2002+1}{2002}}{\frac{2002\times1950+1}{1950}}$（整数化成同分母）
  2. 约去相同因式：$=\frac{1950}{2002}=\frac{75}{77}$（相同因数约分）
  3. 算后一项：$\dfrac{\frac52\times\frac35}{\frac72}=\frac32\div\frac72=\frac37$（繁分数化除法）
  4. 通分相减：$\frac{75}{77}-\frac{33}{77}=\frac{42}{77}=\frac{6}{11}$（同分母相减）
第一套
题目：计算：$\dfrac{2100+\frac{1}{2310}}{2310+\frac{1}{2100}}-\dfrac{3\frac{1}{3}\times\frac{9}{10}}{4.5}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分子通分）：$2100+\frac{1}{2310}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分母通分）：$2310+\frac{1}{2100}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（约去相同的乘积和）：两式分子都是 $2100\times2310+1$，相除只剩 $\underline{\quad}$，约分后为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（后一项分子）：$3\frac13\times\frac{9}{10}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$3\div 4.5=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（通分相减）：$\frac{10}{11}-\frac23=\frac{30-22}{33}=\frac{\underline{\quad}}{33}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：甲厂两天的效率比记作 $\dfrac{2100+\frac{1}{2310}}{2310+\frac{1}{2100}}$，乙厂的效率比记作 $\dfrac{3\frac{1}{3}\times\frac{9}{10}}{4.5}$。甲厂比乙厂大多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：甲厂分子通分 $2100+\frac{1}{2310}=\underline{\quad}$，分母通分 $2310+\frac{1}{2100}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：两式分子相同，约去后甲厂 $=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：乙厂分子 $3\frac13\times\frac{9}{10}=\underline{\quad}$，故乙厂 $=3\div 4.5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：相减 $\frac{10}{11}-\frac23=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\dfrac{\frac{1}{2100}+\frac{1}{2310}}{\frac{1}{2100}-\frac{1}{2310}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分子通分）：公分母取 $2100\times 2310$，分子 $=\frac{2310+2100}{2100\times2310}$，其中 $2310+2100=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分母通分）：分母 $=\frac{2310-2100}{2100\times2310}$，其中 $2310-2100=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（约去公分母）：原式 $=\frac{4410}{210}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$\left(\dfrac{2100+\frac{1}{2310}}{2310+\frac{1}{2100}}-\dfrac{3\frac{1}{3}\times\frac{9}{10}}{4.5}\right)\div\frac{8}{11}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：约去相同的 $2100\times2310+1$，第一项 $=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：第二项 $=\left(3\frac13\times\frac{9}{10}\right)\div 4.5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：括号内 $\frac{10}{11}-\frac23=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（除以分数化乘倒数）：$\div\frac{8}{11}=\times\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$\frac{8}{33}\times\frac{11}{8}=\underline{\quad}$。
27. 【原题 ch02-xingqu-05】计算下列繁分数：（1）$1+\cfrac{1}{2+\frac{1}{3}}$；（2）$1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\frac{1}{4}}}$；（3）$1-\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1-\frac{1}{1987}}}$。
详细思路
是哪类问题：这是「连分数（繁分数）化简」类：分母里还套着分母，必须从最里层往外一层层算。
关键切入点：每一层的处理都一样：先把“整数+分数”通分成一个假分数，再取倒数（因为它在分母上），然后继续往外加。第 (3) 题里 $1-\frac1{1987}=\frac{1986}{1987}$，取倒数得 $\frac{1987}{1986}$，与 $1$ 相加得 $\frac{3973}{1986}$。
方法概述：从最内层往外逐层通分、取倒数。
规范步骤：
  1. (1) 内层：$2+\frac13=\frac73$，取倒数 $\frac37$（通分后取倒数）
  2. (1) 结果：$1+\frac37=\frac{10}{7}=1\frac37$（整数加分数）
  3. (2) 逐层：$3+\frac14=\frac{13}{4}\Rightarrow\frac4{13}$；$2+\frac4{13}=\frac{30}{13}\Rightarrow\frac{13}{30}$；$1+\frac{13}{30}=1\frac{13}{30}$（逐层化简）
  4. (3) 逐层：$1-\frac1{1987}=\frac{1986}{1987}\Rightarrow\frac{1987}{1986}$；$1+\frac{1987}{1986}=\frac{3973}{1986}\Rightarrow\frac{1986}{3973}$（逐层化简）
  5. (3) 结果：$1-\frac{1986}{3973}=\frac{1987}{3973}$（同分母相减）
第一套
题目：计算：（1）$1+\cfrac{1}{3+\frac{1}{4}}$；（2）$1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\frac{1}{5}}}$；（3）$1-\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1-\frac{1}{2011}}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题）：内层通分 $3+\frac14=\underline{\quad}$，它在分母上要取倒数，得 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$1+\frac{4}{13}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (2) 题最里层）：$4+\frac15=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$3+\frac{5}{21}=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$1+\frac{21}{68}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（第 (3) 题最里层）：$1-\frac{1}{2011}=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步：$1+\frac{2011}{2010}=\underline{\quad}$，取倒数得 $\underline{\quad}$。
  8. 第 8 步：$1-\frac{2010}{4021}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一台机器的三级传动比分别按下式计算：（1）$1+\cfrac{1}{3+\frac{1}{4}}$；（2）$1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\frac{1}{5}}}$；（3）$1-\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1-\frac{1}{2011}}}$。分别求出这三个传动比。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第 (1) 级内层 $3+\frac14=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$，故传动比 $=1+\frac{4}{13}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：第 (2) 级最里层 $4+\frac15=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$3+\frac{5}{21}=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$，故传动比 $=1+\frac{21}{68}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：第 (3) 级最里层 $1-\frac{1}{2011}=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$1+\frac{2011}{2010}=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$，故传动比 $=1-\frac{2010}{4021}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\frac{1}{5}}}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：最里层 $4+\frac15=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$3+\frac{5}{21}=\underline{\quad}$，取倒数 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$2+\frac{21}{68}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：若 $\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\frac{1}{x}}}=\frac{3}{7}$，求 $x$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两边取倒数）：$2+\cfrac{1}{1+\frac1x}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（剥去 $2$）：$\cfrac{1}{1+\frac1x}=\frac73-2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再取倒数）：$1+\frac1x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$\frac1x=3-1=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
28. 【原题 ch02-xingqu-06】算式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}$ 的计算结果，小数点后第 2008 位是数字几？
详细思路
是哪类问题：这是「循环小数定位」类：先把一长串分数的和拆开，扔掉对很靠后的小数位没有影响的部分，只留下真正产生无限循环的那一段。
关键切入点：$\frac12+\frac13+\frac16=1$ 是整数，$\frac14,\frac15,\frac18,\frac1{10}$ 都是位数很少的有限小数，它们都影响不到第 $2008$ 位；只有 $\frac17+\frac19=\frac{16}{63}=0.\dot25396\dot8$ 是无限循环小数，循环节长 $6$，用 $2008\div6$ 的余数去循环节里数即可。
方法概述：去掉整数与有限小数，只算循环部分，再用余数定位。
规范步骤：
  1. 凑整数部分：$\frac12+\frac13+\frac16=1$（通分相加）
  2. 识别有限小数：$\frac14,\frac15,\frac18,\frac1{10}$ 位数很少，不影响第 2008 位（有限小数只占前几位）
  3. 只算循环部分：$\frac17+\frac19=\frac{16}{63}=0.\dot25396\dot8$（通分化循环小数）
  4. 定位：$2008\div6=334\cdots\cdots4$（带余除法）
  5. 读循环节第 4 位：$2,5,3,9,6,8$ 的第 4 位是 $9$（按余数取位）
第一套
题目：算式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}$ 的计算结果，小数点后第 $4022$ 位是数字几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先扔整数）：$\frac12+\frac13+\frac16=\underline{\quad}$，是整数，对小数位没有影响。
  2. 第 2 步（再扔有限小数）：$\frac14=0.25$、$\frac15=0.2$、$\frac18=0.125$、$\frac1{10}=0.1$ 都只有很少几位，影响不到这么靠后的位。
  3. 第 3 步（只剩循环部分）：$\frac17+\frac19=\underline{\quad}$，化成循环小数是 $0.\dot25396\dot8$，循环节长 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（定位）：$4022\div 6$ 的余数是 $4022-6\times 670=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：数循环节 $2,5,3,9,6,8$ 的第 2 位，得数字 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：计算器把 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{10}$ 的结果打印成一条长长的小数纸带，请问纸带上小数点后第 $4022$ 个数字是几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$\frac12+\frac13+\frac16=\underline{\quad}$，整数不占小数位。
  2. 第 2 步：$\frac14,\frac15,\frac18,\frac1{10}$ 都是很短的有限小数，只影响最前面几位。
  3. 第 3 步：真正无限循环的是 $\frac17+\frac19=\underline{\quad}=0.\dot25396\dot8$，循环节长 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$4022-6\times 670=\underline{\quad}$，即落在循环节第 2 位。
  5. 第 5 步：循环节 $2,5,3,9,6,8$ 的第 2 位是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $\frac{1}{7}+\frac{1}{11}$ 的计算结果，小数点后第 $2020$ 位是数字几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（通分）：$\frac17+\frac1{11}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（化循环小数）：$\frac{18}{77}=0.\dot23376\dot6$，循环节是 $2,3,3,7,6,6$，长度为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（定位）：$2020-6\times 336=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：循环节第 4 位是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：算式 $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\right)\times 360$ 的计算结果，小数点后第 $2016$ 位是数字几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乘进去）：$\frac12\times360,\ \frac13\times360,\ \frac14\times360,\ \frac16\times360,\ \frac18\times360,\ \frac19\times360$ 都是整数，不占小数位。
  2. 第 2 步：$\frac15\times360=\underline{\quad}$，也是整数。
  3. 第 3 步（只剩一项有小数）：$\frac17\times360=\frac{360}{7}$，其小数部分等于 $\frac{360-7\times 51}{7}=\frac{\underline{\quad}}{7}$。
  4. 第 4 步（化循环小数）：$\frac37=0.\dot42857\dot1$，循环节长 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（定位）：$2016-6\times 336=\underline{\quad}$，余数为 $0$ 说明落在循环节最后一位。
  6. 第 6 步：循环节 $4,2,8,5,7,1$ 的最后一位是 $\underline{\quad}$。
29. 【原题 ch02-xingqu-07】定义运算符号“$\triangle$”满足：$a\triangle b=\dfrac{a+b}{a\times b}$。计算下列各式：（1）$100\triangle 102$；（2）$(3\triangle 4)\triangle 5$；（3）$\dfrac{(1\triangle 2)\triangle 3}{1\triangle(2\triangle 3)}$。
详细思路
是哪类问题：这是「定义新运算」类：题目临时规定一个符号的算法，做题时只需严格按定义把符号翻译成普通分数式。
关键切入点：$a\triangle b=\frac{a+b}{a\times b}$，关键是遇到括号先算括号，且括号算出的结果（往往是分数）要整体当作新运算的一个数再代入定义。
方法概述：按定义翻译成分数式，注意运算顺序逐层代入。
规范步骤：
  1. (1) 直接代入：$100\triangle102=\frac{202}{10200}=\frac{101}{5100}$（按定义翻译）
  2. (2) 先算括号：$3\triangle4=\frac{7}{12}$（按定义）
  3. (2) 再代入：$\frac7{12}\triangle5=\dfrac{\frac7{12}+5}{\frac7{12}\times5}=\frac{67}{12}\times\frac{12}{35}=\frac{67}{35}$（繁分数化除法）
  4. (3) 分子：$(1\triangle2)\triangle3=\frac32\triangle3=\dfrac{\frac92}{\frac92}=1$（按定义）
  5. (3) 分母：$1\triangle(2\triangle3)=1\triangle\frac56=\dfrac{\frac{11}6}{\frac56}=\frac{11}5$（按定义）
  6. (3) 相除：$1\div\frac{11}5=\frac5{11}$（除以分数化乘倒数）
第一套
题目：定义运算符号“$\triangle$”满足：$a\triangle b=\dfrac{a+b}{a\times b}$。计算下列各式：（1）$200\triangle 204$；（2）$(5\triangle 6)\triangle 7$；（3）$\dfrac{(2\triangle 4)\triangle 6}{2\triangle(4\triangle 6)}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题按定义翻译）：分子 $200+204=\underline{\quad}$，分母 $200\times204=\underline{\quad}$，约分后得 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 题先算括号）：$5\triangle6=\frac{5+6}{5\times6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：把 $\frac{11}{30}$ 整体当作一个数代入，$\frac{11}{30}\triangle7=\dfrac{\frac{11}{30}+7}{\frac{11}{30}\times7}=\dfrac{\underline{\quad}}{\frac{77}{30}}$。
  4. 第 4 步：约去 $\frac1{30}$，得 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 (3) 题分子）：$2\triangle4=\underline{\quad}$，再 $\frac34\triangle6=\dfrac{\frac34+6}{\frac34\times6}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（第 (3) 题分母）：$4\triangle6=\underline{\quad}$，再 $2\triangle\frac5{12}=\dfrac{2+\frac5{12}}{2\times\frac5{12}}=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步（相除）：$\frac32\div\frac{29}{10}=\frac32\times\frac{10}{29}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两根水管注满同一水池分别要 $a$ 小时、$b$ 小时，规定“$a\triangle b$”表示两管齐开时每小时能注满水池的几分之几，即 $a\triangle b=\dfrac{a+b}{a\times b}$。求：（1）$200\triangle 204$；（2）$(5\triangle 6)\triangle 7$；（3）$\dfrac{(2\triangle 4)\triangle 6}{2\triangle(4\triangle 6)}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$200\triangle204=\frac{200+204}{200\times204}=\frac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$5\triangle6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$\frac{11}{30}\triangle7=\dfrac{\underline{\quad}}{\frac{77}{30}}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$2\triangle4=\underline{\quad}$，$\frac34\triangle6=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$4\triangle6=\underline{\quad}$，$2\triangle\frac5{12}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$\frac32\div\frac{29}{10}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：规定 $a\otimes b=\dfrac{a\times b}{a+b}$。计算：（1）$6\otimes 3$；（2）$(2\otimes 3)\otimes 6$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题按定义）：分子 $6\times3=\underline{\quad}$，分母 $6+3=\underline{\quad}$，所以 $6\otimes3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (2) 题先算括号）：$2\otimes3=\frac{2\times3}{2+3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$\frac65\otimes6=\dfrac{\frac65\times6}{\frac65+6}=\dfrac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：定义 $a\triangle b=\dfrac{a+b}{a\times b}$。计算：$\dfrac{1}{1\triangle 1}+\dfrac{1}{2\triangle 2}+\dfrac{1}{3\triangle 3}+\cdots+\dfrac{1}{20\triangle 20}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先找通项）：按定义 $n\triangle n=\frac{n+n}{n\times n}=\frac{2}{n}$，所以 $\frac{1}{n\triangle n}=\underline{\quad}\times n$。
  2. 第 2 步（写成一串）：原式 $=\frac12+\frac22+\frac32+\cdots+\frac{20}{2}=\frac{1}{2}\times(1+2+\cdots+20)$。
  3. 第 3 步（等差数列求和）：$1+2+\cdots+20=\frac{(1+20)\times 20}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$\frac12\times 210=\underline{\quad}$。
30. 【原题 ch02-xingqu-08】已知 $333\frac{111}{112}:\square=37:\dfrac{54+55+56+57+58}{4+5+6+7+8}$，那么方框所代表的数是什么？
详细思路
是哪类问题：这是「比例的基本性质」类：比例中有一项未知，先把复杂的比化简，再用“内项积等于外项积”求解。
关键切入点：右边的比里 $\frac{54+55+56+57+58}{4+5+6+7+8}=\frac{280}{30}=\frac{28}{3}$；左边 $333\frac{111}{112}=37\times9\frac{3}{112}$，与右边的 $37$ 正好可以约去，问题就化成 $9\frac3{112}:\square=1:\frac{28}{3}$。
方法概述：先化简比值并约去公因数 37，再用比例基本性质求未知项。
规范步骤：
  1. 化简右边的比：$\frac{54+55+56+57+58}{4+5+6+7+8}=\frac{280}{30}=\frac{28}{3}$（先算和再约分）
  2. 左边提出 37：$333\frac{111}{112}=\frac{37407}{112}=37\times\frac{1011}{112}$（分解因数）
  3. 约去 37：$\frac{1011}{112}:\square=1:\frac{28}{3}$（比的基本性质）
  4. 求未知项：$\square=\frac{1011}{112}\times\frac{28}{3}=\frac{1011}{12}=\frac{337}{4}$（内项积等于外项积）
第一套
题目：已知 $952\frac{3}{4}:\square=37:\dfrac{94+95+96+97+98}{4+5+6+7+8}$，那么方框所代表的数是什么？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化简右边的比）：分子 $94+95+96+97+98=\underline{\quad}$，分母 $4+5+6+7+8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$\frac{480}{30}=\underline{\quad}$，所以右边的比是 $37:16$。
  3. 第 3 步（左边化假分数）：$952\frac34=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（提出 37）：$\frac{3811}{4}=37\times\underline{\quad}$，约去 37 后比例成为 $\frac{103}{4}:\square=1:16$。
  5. 第 5 步（内项积等于外项积）：$\square=\frac{103}{4}\times 16=\underline{\quad}$。
第二套
题目：配料要求甲、乙两种原料的质量比为 $37:\dfrac{94+95+96+97+98}{4+5+6+7+8}$。若甲原料用了 $952\frac{3}{4}$ 克，乙原料应用多少克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$94+95+96+97+98=\underline{\quad}$，$4+5+6+7+8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$\frac{480}{30}=\underline{\quad}$，故质量比为 $37:16$。
  3. 第 3 步：$952\frac34=\underline{\quad}$（克）。
  4. 第 4 步：提出 37 得 $\frac{3811}{4}=37\times\underline{\quad}$，比例化为 $\frac{103}{4}:\square=1:16$。
  5. 第 5 步：$\square=\frac{103}{4}\times 16=\underline{\quad}$（克）。
第三套
题目：已知 $\square:2\frac{2}{5}=1\frac{7}{8}:\frac{9}{16}$，求方框所代表的数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化假分数）：$2\frac25=\underline{\quad}$，$1\frac78=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（先算右边的比值）：$\frac{15}{8}\div\frac{9}{16}=\frac{15}{8}\times\frac{16}{9}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（未知项在前项）：$\square=2\frac25\times\frac{10}{3}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $a:b=3:4$，$b:c=6:5$，且 $a+b+c=6\frac{1}{5}\times 25$。求 $c$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一 $b$）：$a:b=3:4$ 各项乘 3 得 $9:12$；$b:c=6:5$ 各项乘 2 得 $12:10$，所以 $a:b:c=9:12:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（份数总和）：$9+12+10=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（总量）：$6\frac15\times 25=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（每份）：$155\div 31=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$c=5\times 10=\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch02-xingqu-09】计算：$1\times 2+2\times 3+\cdots+19\times 20$。
详细思路
是哪类问题：这是「整数裂项」类：把连续两数的乘积拆成两个三连乘之差，求和时中间大量项首尾相消。
关键切入点：利用 $n(n+1)=\frac13[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$，从 $n=1$ 加到 $n=19$ 时，除首尾外全部抵消，只剩 $\frac13\times19\times20\times21$。
方法概述：用三连乘之差裂项，相消后只剩末项。
规范步骤：
  1. 写出裂项公式：$n(n+1)=\frac13[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$（整数裂项）
  2. 逐项相消：$\text{原式}=\frac13\times19\times20\times21$（首尾相消）
  3. 算出结果：$\frac13\times7980=2660$（约分）
第一套
题目：计算：$1\times 2+2\times 3+\cdots+29\times 30$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（裂项）：每一项都可写成 $n(n+1)=\frac13[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$。
  2. 第 2 步（相消）：相加时中间各项首尾抵消，只剩最后一项，即 $\frac13\times 29\times 30\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：先算三连乘 $29\times 30\times 31=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：再除以 3，$26970\div 3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：仓库按行码放货箱：第 1 行 $1\times 2$ 箱，第 2 行 $2\times 3$ 箱，……，第 29 行 $29\times 30$ 箱。一共码放了多少箱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每行箱数都是 $n(n+1)$，可裂项为 $\frac13[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$。
  2. 第 2 步：求和时首尾相消，总数 $=\frac13\times 29\times 30\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$29\times 30\times 31=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$26970\div 3=\underline{\quad}$（箱）。
第三套
题目：计算：$2\times 3+3\times 4+\cdots+20\times 21$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补全）：这串数比 $1\times2+2\times3+\cdots+20\times21$ 少了第一项 $1\times 2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（先求完整和）：$\frac13\times 20\times 21\times 22=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（减去补上的项）：$3080-2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：（1）$1\times 2+2\times 3+\cdots+19\times 20$；（2）$1^2+2^2+3^2+\cdots+19^2$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问裂项相消）：$\frac13\times 19\times 20\times 21=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（找联系）：因为 $n^2=n(n+1)-n$，所以 $1^2+\cdots+19^2$ 等于第 (1) 问的和再减去 $1+2+\cdots+19$。
  3. 第 3 步（等差求和）：$1+2+\cdots+19=\frac{(1+19)\times 19}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$2660-190=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（用平方和公式复核）：$\frac{19\times 20\times 39}{6}=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch02-xingqu-10】我们规定：$\triangle n=n\times(n+1)$，比如：$\triangle 1=1\times 2$，$\triangle 2=2\times 3$，$\triangle 3=3\times 4$。请问：（1）如果要使等式 $\frac{1}{\triangle 1}+\frac{1}{\triangle 2}+\frac{1}{\triangle 3}+\cdots+\frac{1}{\triangle 99}=\frac{\square}{\triangle 100}$ 成立，那么方框内应填入什么数？（2）计算：$\triangle 1+\triangle 2+\triangle 3+\cdots+\triangle 100$。
详细思路
是哪类问题：这是「定义新运算 + 裂项相消」类：新符号 $\triangle n=n(n+1)$ 把两类经典裂项打包在一起。
关键切入点：(1) 倒数 $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ 相加相消得 $1-\frac1{100}=\frac{99}{100}$，再把它写成分母是 $\triangle100=100\times101$ 的分数；(2) 正着的 $\triangle n$ 求和用整数裂项。
方法概述：倒数用分数裂项，本身用整数裂项。
规范步骤：
  1. (1) 分数裂项：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$，相消得 $1-\frac1{100}=\frac{99}{100}$（裂项相消）
  2. (1) 化成指定分母：$\frac{99}{100}=\frac{99\times101}{100\times101}=\frac{9999}{\triangle100}$（分数基本性质）
  3. (2) 整数裂项：$\triangle1+\cdots+\triangle100=\frac13\times100\times101\times102$（整数裂项）
  4. (2) 算出：$=343400$（约分）
第一套
题目：规定：$\triangle n=n\times(n+1)$。（1）若 $\frac{1}{\triangle 1}+\frac{1}{\triangle 2}+\cdots+\frac{1}{\triangle 199}=\frac{\square}{\triangle 200}$，方框内应填什么数？（2）计算：$\triangle 1+\triangle 2+\cdots+\triangle 200$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问裂项）：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$，相加后中间全部相消，只剩 $1-\frac{1}{200}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（凑成指定分母）：$\triangle 200=200\times 201=\underline{\quad}$，所以要把 $\frac{199}{200}$ 的分子分母同乘 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$199\times 201=\underline{\quad}$，即方框内填这个数。
  4. 第 4 步（第 (2) 问整数裂项）：$\triangle1+\cdots+\triangle200=\frac13\times 200\times 201\times\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$200\times 201\times 202=\underline{\quad}$，再除以 3 得 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：某活动第 $n$ 天安排 $\triangle n=n\times(n+1)$ 个名额。（1）若前 199 天名额倒数之和可写成 $\frac{\square}{\triangle 200}$，方框内是多少？（2）前 200 天一共安排了多少个名额？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$，相消得 $1-\frac{1}{200}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$\triangle 200=200\times 201=\underline{\quad}$，分子分母同乘 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$199\times 201=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：前 200 天名额总数 $=\frac13\times 200\times 201\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：规定：$\triangle n=n\times(n+1)$。计算：$\frac{1}{\triangle 2}+\frac{1}{\triangle 3}+\cdots+\frac{1}{\triangle 100}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（裂项）：$\frac{1}{\triangle n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$。
  2. 第 2 步（相消）：这次是从 $n=2$ 开始，所以首项变成 $\frac12$，相消后 $=\frac12-\frac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步：通分相减 $\frac12-\frac{1}{101}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：规定：$\triangle n=n\times(n+1)$。计算：$\left(\frac{1}{\triangle 1}+\frac{1}{\triangle 2}+\cdots+\frac{1}{\triangle 99}\right)\times\left(\triangle 1+\triangle 2+\cdots+\triangle 99\right)$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分数裂项）：$\frac{1}{\triangle1}+\cdots+\frac{1}{\triangle99}=1-\frac{1}{100}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（整数裂项）：$\triangle1+\cdots+\triangle99=\frac13\times 99\times 100\times\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$99\times 100\times 101=\underline{\quad}$，除以 3 得 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相乘）：$\frac{99}{100}\times 333300=\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch02-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（第一块）：$2\frac3{14}=\underline{31/14}$，括号内 $2\frac35-\frac45=\underline{9/5}$，相乘得 $\underline{279/70}$。
    2. 第 2 步（中间块）：分子 $5\frac56-2\frac13=\underline{7/2}$，分母 $2\frac14-\frac34=\underline{3/2}$，相除得 $\underline{7/3}$。
    3. 第 3 步：再乘 $\frac37$：$\frac73\times\frac37=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（第三块）：分母 $1-\frac49=\underline{5/9}$，$2\frac{11}{14}\div\frac59=\underline{351/70}$。
    5. 第 5 步（提公因数）：两端都含 $\frac9{70}$，$\frac{279}{70}+\frac{351}{70}=\frac{279+351}{70}=\underline{9}$。
    6. 第 6 步：$9-1=\underline{8}$。
    最终答案：$8$。
  2. 1. ch02-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步：第一块 $=\underline{31/14}\times\underline{9/5}=\underline{279/70}$。
    2. 第 2 步：第二块的大分数 $=\dfrac{\underline{7/2}}{\underline{3/2}}=\underline{7/3}$，再乘 $\frac37$ 得扣分 $\underline{1}$。
    3. 第 3 步：第三块分母 $1-\frac49=\underline{5/9}$，第三块 $=\underline{351/70}$。
    4. 第 4 步：两块得分都含 $\frac9{70}$，合并得 $\frac{279+351}{70}=\underline{9}$。
    5. 第 5 步：总分 $=9-1=\underline{8}$。
    最终答案：总分 $8$。
  3. 1. ch02-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（第一块）：$1\frac4{17}=\underline{21/17}$，$2\frac23-\frac34=\underline{23/12}$，相乘得 $\frac{7\times 23}{68}$。
    2. 第 2 步（第二块）：分子 $17+\frac{11}{12}=\underline{215/12}$，分母 $1-\frac4{21}=\underline{17/21}$。
    3. 第 3 步：相除 $\frac{215}{12}\times\frac{21}{17}=\frac{7\times 215}{68}$，其值为 $\underline{7*215/68}$。
    4. 第 4 步（提公因数 $\frac7{68}$）：$\frac{7\times(23+215)}{68}$，其中 $23+215=\underline{238}$。
    5. 第 5 步（约分）：$\frac{7\times 238}{68}=\underline{24.5}$。
    最终答案：$\frac{49}2=24\frac12$。
  4. 1. ch02-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（中括号内）：第一块 $=\underline{279/70}$，中间块 $=\underline{1}$，第三块 $=\underline{351/70}$。
    2. 第 2 步：提公因数合并 $\frac{279+351}{70}=\underline{9}$，中括号内 $=9-1=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（算连分数）：$1+\frac13=\underline{4/3}$，所以 $\cfrac{1}{1+\frac13}=\underline{3/4}$。
    4. 第 4 步（除以它就是乘它的倒数）：$8\times\frac43=\underline{32/3}$。
    最终答案：$\frac{32}3=10\frac23$。
  5. 3. ch02-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（逐项递推）：$m\Omega1=m$，$m\Omega2=3m+m=\underline{4}m$。
    2. 第 2 步：$m\Omega3=3\times 4m+m=\underline{13}m$，$m\Omega4=3\times 13m+m=\underline{40}m$。
    3. 第 3 步（求 $m$）：$40m=120$，所以 $m=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（继续递推）：$m\Omega5=3\times 40m+m=\underline{121}m$，$m\Omega6=3\times 121m+m=\underline{364}m$。
    5. 第 5 步：$m\Omega7=3\times 364m+m=\underline{1093}m$。
    6. 第 6 步：代入 $m=3$，$m\Omega7=1093\times 3=\underline{3279}$。
    最终答案：（1）$m=3$；（2）$m\Omega7=3279$。
  6. 3. ch02-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步：第 2 天 $=3m+m=\underline{4}m$（个）。
    2. 第 2 步：第 3 天 $=3\times4m+m=\underline{13}m$，第 4 天 $=3\times13m+m=\underline{40}m$。
    3. 第 3 步：$40m=120$，$m=\underline{3}$（个）。
    4. 第 4 步：第 5 天 $=\underline{121}m$，第 6 天 $=\underline{364}m$，第 7 天 $=\underline{1093}m$。
    5. 第 5 步：第 7 天 $=1093\times3=\underline{3279}$（个）。
    最终答案：（1）$m=3$ 个；（2）第 7 天 $3279$ 个。
  7. 3. ch02-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（逐项递推）：$m\Omega1=m$，$m\Omega2=2m+1$，$m\Omega3=2(2m+1)+1=4m+\underline{3}$。
    2. 第 2 步：$m\Omega4=8m+\underline{7}$，$m\Omega5=16m+\underline{15}$。
    3. 第 3 步（求 $m$）：$16m+15=47$，$16m=\underline{32}$，$m=\underline{2}$。
    4. 第 4 步：$m\Omega6=32m+31=32\times2+31=\underline{95}$。
    5. 第 5 步：$m\Omega7=64m+63=64\times2+63=\underline{191}$。
    最终答案：（1）$m=2$；（2）$m\Omega7=191$。
  8. 3. ch02-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（列出前几项系数）：$1,\ 4,\ 13,\ 40,\ \cdots$，其中 $4=\frac{3\times3-1}{2}$，$13=\frac{3\times3\times3-1}{2}$，可见第 $n$ 项系数为 $\frac{3^n-1}{2}$；验证 $n=4$：$\frac{81-1}{2}=\underline{40}$。
    2. 第 2 步（求 $m$）：$40m=120$，$m=\underline{3}$。
    3. 第 3 步（求第 10 项系数）：$3^{10}=59049$，系数 $=\frac{59049-1}{2}=\underline{29524}$。
    4. 第 4 步：$m\Omega10=29524\times 3=\underline{88572}$。
    最终答案：（1）系数为 $\frac{3^n-1}{2}$；（2）$m\Omega10=88572$。
  9. 5. ch02-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 问拆分子）：设分母为 $A$，则分子比 $A$ 恰好多 $21+22+23+24+25=\underline{115}$。
    2. 第 2 步（改写）：原式 $=100+\frac{115}{A}\times 100$。
    3. 第 3 步（夹住 $A$）：把每个乘数都换成最小的 $75$ 得下界 $115\times 75=\underline{8625}$，都换成最大的 $79$ 得上界 $115\times 79=\underline{9085}$。
    4. 第 4 步（夹住第二项）：$\frac{11500}{9085}=\underline{1.2658}$（保留四位小数），$\frac{11500}{8625}=\underline{1.3333}$，都在 $1$ 与 $2$ 之间，所以整数部分是 $\underline{101}$。
    5. 第 5 步（第 (2) 问放缩分母）：用 $\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1)n}$，分母下界 $=\frac1{20}-\frac1{60}=\underline{1/30}$。
    6. 第 6 步：分母上界 $=\frac1{19}-\frac1{59}=\underline{40/1121}$。
    7. 第 7 步（夹住原式）：$\frac13\div\frac{40}{1121}=\underline{9.3417}$（保留四位小数），$\frac13\div\frac1{30}=\underline{10}$，所以整数部分是 $\underline{9}$。
    最终答案：（1）整数部分是 $101$；（2）整数部分是 $9$。
  10. 5. ch02-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步：设指标甲的分母为 $A$，分子比 $A$ 多 $21+22+23+24+25=\underline{115}$。
    2. 第 2 步：指标甲 $=100+\frac{115}{A}\times100$；把乘数都取最小得 $115\times75=\underline{8625}$，都取最大得 $115\times79=\underline{9085}$。
    3. 第 3 步：$\frac{11500}{9085}=\underline{1.2658}$，$\frac{11500}{8625}=\underline{1.3333}$，都在 1 与 2 之间，指标甲整数部分为 $\underline{101}$。
    4. 第 4 步：指标乙的分母下界 $=\frac1{20}-\frac1{60}=\underline{1/30}$，上界 $=\frac1{19}-\frac1{59}=\underline{40/1121}$。
    5. 第 5 步：$\frac13\div\frac{40}{1121}=\underline{9.3417}$，$\frac13\div\frac1{30}=\underline{10}$，指标乙整数部分为 $\underline{9}$。
    最终答案：指标甲整数部分 $101$；指标乙整数部分 $9$。
  11. 5. ch02-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分子）：设分母为 $A$，分子比 $A$ 多 $31+32+33=\underline{96}$。
    2. 第 2 步（改写）：原式 $=100+\frac{96}{A}\times 100$。
    3. 第 3 步（夹住 $A$）：下界 $96\times 85=\underline{8160}$，上界 $96\times 88=\underline{8448}$。
    4. 第 4 步（夹住第二项）：$\frac{9600}{8448}=\underline{1.1364}$（保留四位小数），$\frac{9600}{8160}=\underline{1.1765}$，都在 $1$ 与 $2$ 之间。
    5. 第 5 步：所以整数部分是 $\underline{101}$。
    最终答案：整数部分是 $101$。
  12. 5. ch02-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $M$）：分子比分母多 $11+12+13+14+15=\underline{65}$，原式 $=100+\frac{65}{A}\times100$；由 $65\times 65<A<65\times 69$ 得该项在 $\frac{100}{69}$ 与 $\frac{100}{65}$ 之间，$\frac{100}{69}=\underline{1.4493}$（保留四位小数），$\frac{100}{65}=\underline{1.5385}$，故 $M=\underline{101}$。
    2. 第 2 步（求 $N$ 的分母下界）：$\frac1{20}-\frac1{60}=\underline{1/30}$。
    3. 第 3 步（上界）：$\frac1{19}-\frac1{59}=\underline{40/1121}$。
    4. 第 4 步（夹住）：$\frac13\div\frac{40}{1121}=\underline{9.3417}$，$\frac13\div\frac{1}{30}=\underline{10}$，故 $N=\underline{9}$。
    5. 第 5 步：$M-N=101-9=\underline{92}$。
    最终答案：$M-N=92$。
  13. 6. ch02-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（交换律）：定义式中 $a$、$b$ 完全对称，所以满足交换律；答“满足”。
    2. 第 2 步（第 (2) ① 问）：按定义 $2011\oplus(2011\times2010)=2011+2011\times2010-\frac{2011\times2011\times2010}{2010}$，其中最后一项 $=2011\times 2011=\underline{4044121}$。
    3. 第 3 步：提出公因数 $2011$，括号内 $1+2010-2011=\underline{0}$，所以结果是 $\underline{0}$。
    4. 第 4 步（第 (2) ② 问成对消去）：$2010$ 个 $2011$ 与 $2010$ 个 $(2011\times2010)$ 两两配成 $0$，还剩 $1$ 个 $2011$ 和 $2010$，即算 $2011\oplus 2010=2011+2010-\frac{2011\times2010}{2010}=\underline{2010}$。
    5. 第 5 步（第 (3) 问）：同样消去后只剩 $2011\oplus(2\times2010)=2011+4020-\frac{2011\times 4020}{2010}$，其中 $\frac{4020}{2010}=\underline{2}$，故减去的是 $2011\times 2=\underline{4022}$。
    6. 第 6 步：$2011+4020-4022=\underline{2009}$。
    最终答案：（1）满足交换律；（2）① $0$，② $2010$；（3）$2009$。
  14. 6. ch02-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步：定义式中 $a$、$b$ 对称，所以顺序不影响结果（满足交换律）。
    2. 第 2 步：$2011\oplus(2011\times2010)$ 中减去的一项是 $\frac{2011\times2011\times2010}{2010}=\underline{4044121}$。
    3. 第 3 步：提出 $2011$，括号内 $1+2010-2011=\underline{0}$，故结果为 $\underline{0}$ 分。
    4. 第 4 步：$2010$ 对得分两两合成 $0$，只剩 $2011\oplus2010=\underline{2010}$（分）。
    5. 第 5 步：第 (3) 问剩下 $2011\oplus 4020$，其中 $\frac{4020}{2010}=\underline{2}$，减去 $2011\times2=\underline{4022}$。
    6. 第 6 步：$2011+4020-4022=\underline{2009}$（分）。
    最终答案：（1）不影响（满足交换律）；（2）① $0$ 分，② $2010$ 分；（3）$2009$ 分。
  15. 6. ch02-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步：定义式对称，满足交换律。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：$13\times12=\underline{156}$，减去的一项是 $\frac{13\times 156}{12}=\underline{169}$。
    3. 第 3 步：$13+156-169=\underline{0}$。
    4. 第 4 步（第 (3) 问）：$2\times12=\underline{24}$，减去的一项是 $\frac{13\times 24}{12}=\underline{26}$。
    5. 第 5 步：$13+24-26=\underline{11}$。
    最终答案：（1）满足；（2）$0$；（3）$11$。
  16. 6. ch02-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（按定义列方程）：$x+2011-\frac{2011x}{2010}=0$。
    2. 第 2 步（合并含 $x$ 的项）：$x\times\left(1-\frac{2011}{2010}\right)=-2011$，其中 $1-\frac{2011}{2010}=\underline{-1/2010}$。
    3. 第 3 步（解方程）：$x=(-2011)\div\left(-\frac{1}{2010}\right)=2011\times\underline{2010}$。
    4. 第 4 步：$2011\times 2010=\underline{4042110}$。
    5. 第 5 步（验算）：$4042110+2011-\frac{4042110\times 2011}{2010}=\underline{0}$。
    最终答案：$x=2011\times 2010=4042110$。
  17. 7. ch02-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（平方和公式）：$1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，所以 $\frac{1}{1^2+\cdots+n^2}=\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}=\frac{24}{(2n)(2n+1)(2n+2)}$，即第二组的分母依次是 $2\times3\times4,\ 4\times5\times6,\cdots,40\times41\times\underline{42}$。
    2. 第 2 步（逐项相减）：$\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{(k+2)-1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k(k+2)}$，例如 $k=2$ 时得 $\frac{1}{2\times\underline{4}}$。
    3. 第 3 步（提系数）：原式 $=24\times\left(\frac1{2\times4}+\frac1{4\times6}+\cdots+\frac1{40\times42}\right)=\underline{6}\times\left(\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\cdots+\frac1{20\times21}\right)$。
    4. 第 4 步（裂项相消）：$\frac1{1\times2}+\cdots+\frac1{20\times21}=1-\frac1{21}=\underline{20/21}$。
    5. 第 5 步：$6\times\frac{20}{21}=\underline{40/7}$。
    最终答案：$\frac{40}{7}$。
  18. 7. ch02-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步：由平方和公式，第二组第 $n$ 项 $=\frac{24}{(2n)(2n+1)(2n+2)}$，末项分母是 $40\times41\times\underline{42}$。
    2. 第 2 步：与第一组逐项相减得 $\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k(k+2)}$，如 $k=2$ 时为 $\frac{1}{2\times\underline{4}}$。
    3. 第 3 步：提出系数 $24\div 4=\underline{6}$，原式 $=6\times\left(\frac1{1\times2}+\cdots+\frac1{20\times21}\right)$。
    4. 第 4 步：裂项相消 $1-\frac{1}{21}=\underline{20/21}$。
    5. 第 5 步：$6\times\frac{20}{21}=\underline{40/7}$。
    最终答案：$\frac{40}{7}$。
  19. 7. ch02-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（裂项公式）：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac12\left[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$。
    2. 第 2 步（相消）：相加后只剩首尾，$\frac12\left[\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{19\times\underline{20}}\right]$。
    3. 第 3 步：$\frac12-\frac{1}{380}=\underline{189/380}$。
    4. 第 4 步：再乘 $\frac12$ 得 $\underline{189/760}$。
    最终答案：$\frac{189}{760}$。
  20. 7. ch02-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（中括号内）：按平方和公式转化并逐项相减，得 $\underline{6}\times\left(\frac1{1\times2}+\cdots+\frac1{20\times21}\right)$。
    2. 第 2 步：裂项相消 $1-\frac1{21}=\underline{20/21}$，故中括号内 $=6\times\frac{20}{21}=\underline{40/7}$。
    3. 第 3 步（除以分数化乘倒数）：$\div\frac{20}{21}=\times\underline{21/20}$。
    4. 第 4 步：$\frac{40}{7}\times\frac{21}{20}=\underline{6}$。
    最终答案：$6$。
  21. 8. ch02-chaoyue-08 · 第一套
    1. 第 1 步（做最小情形）：最大分母为 $1$ 时，式子是 $1^2+1=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（做第二个情形）：最大分母为 $2$ 时，$\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12+1\right)^2+\frac12+1=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（做第三个情形）：最大分母为 $3$ 时结果是 $6$；对照 $2,4,6$ 可见结果是最大分母的 $\underline{2}$ 倍。
    4. 第 4 步（代入）：本题最大分母是 $3000$，结果为 $2\times 3000=\underline{6000}$。
    最终答案：$6000$。
  22. 8. ch02-chaoyue-08 · 第二套
    1. 第 1 步：先试最小规模——最大分母为 $1$ 时输出 $1^2+1=\underline{2}$。
    2. 第 2 步：最大分母为 $2$ 时输出 $\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12+1\right)^2+\frac12+1=\underline{4}$。
    3. 第 3 步：最大分母为 $3$ 时输出 $6$，可见输出是最大分母的 $\underline{2}$ 倍。
    4. 第 4 步：本题最大分母 $3000$，输出 $=\underline{6000}$。
    最终答案：$6000$。
  23. 8. ch02-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（先算各个部分和）：$\frac14+\frac13=\underline{7/12}$，$\frac14+\frac13+\frac12=\underline{13/12}$，$\frac14+\frac13+\frac12+1=\underline{25/12}$。
    2. 第 2 步（平方后相加）：$\left(\frac14\right)^2+\left(\frac7{12}\right)^2+\left(\frac{13}{12}\right)^2+\left(\frac{25}{12}\right)^2=\underline{71/12}$。
    3. 第 3 步（再加最大部分和）：$\frac{71}{12}+\frac{25}{12}=\underline{8}$，正好是 $2\times 4$。
    4. 第 4 步（推广）：最大分母为 $n$ 时值为 $2n$，所以最大分母为 $2010$ 时值为 $\underline{4020}$。
    最终答案：（1）$8$；（2）$4020$。
  24. 8. ch02-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（找规律）：$S(1)=\underline{2}$，$S(2)=\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12+1\right)^2+\frac12+1=\underline{4}$，$S(3)=6$，可见 $S(n)=\underline{2}n$。
    2. 第 2 步：$S(2008)=2\times 2008=\underline{4016}$。
    3. 第 3 步：$S(502)=2\times 502=\underline{1004}$。
    4. 第 4 步（作商）：$\frac{4016}{1004}=\underline{4}$。
    最终答案：$4$。
  25. 9. ch02-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（除法化乘法）：$15.4\div\frac5{18}=15.4\times\underline{18/5}$。
    2. 第 2 步（整理成同一因数）：$15.4\times\frac{18}{5}=30.8\times\frac95$，而 $19.2\times1\frac45=19.2\times\underline{9/5}$，公因数是 $\frac95$。
    3. 第 3 步（提公因数）：括号内 $=(30.8+19.2)\times\frac95=\underline{50}\times\frac95$。
    4. 第 4 步：$50\times\frac95=\underline{90}$。
    5. 第 5 步（再化除为乘）：$\div 4\frac12=\times\underline{2/9}$，得 $90\times\frac29=\underline{20}$。
    最终答案：$20$。
  26. 9. ch02-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步：$15.4\div\frac5{18}=15.4\times\underline{18/5}$（千克）。
    2. 第 2 步：整理成同一因数 $\frac95$：第一台 $=30.8\times\frac95$，第二台 $=19.2\times\underline{9/5}$。
    3. 第 3 步（提公因数）：总产量 $=(30.8+19.2)\times\frac95=\underline{50}\times\frac95=\underline{90}$（千克）。
    4. 第 4 步：每箱 $=90\div 4\frac12=90\times\underline{2/9}=\underline{20}$（千克）。
    最终答案：每箱 $20$ 千克。
  27. 9. ch02-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（除法化乘法）：$7.3\div\frac3{10}=7.3\times\underline{10/3}$，与前一项的 $3\frac13$ 是同一个数。
    2. 第 2 步（提公因数）：括号内 $=(2.7+7.3)\times\frac{10}{3}=\underline{10}\times\frac{10}{3}$。
    3. 第 3 步：$10\times\frac{10}{3}=\underline{100/3}$。
    4. 第 4 步：$\frac{100}{3}\div 5=\underline{20/3}$。
    最终答案：$\frac{20}{3}=6\frac23$。
  28. 9. ch02-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（前一个繁分数的分子）：提公因数得 $(30.8+19.2)\times\frac95=\underline{90}$。
    2. 第 2 步：$90\div 4\frac12=\underline{20}$。
    3. 第 3 步（后一个繁分数的分子）：$2\frac12\times\frac45=\underline{2}$。
    4. 第 4 步：$2\div 2.5=\underline{0.8}$。
    5. 第 5 步：相减 $20-0.8=\underline{19.2}$。
    最终答案：$19.2=19\frac15$。
  29. 10. ch02-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（分子先乘）：$\frac5{12}\times 3\frac35=\frac5{12}\times\frac{18}{5}=\underline{3/2}$。
    2. 第 2 步（分子相加）：$\frac32+\frac14=\underline{7/4}$。
    3. 第 3 步（分母先算除法）：$4\frac38\div\frac5{24}=\frac{35}{8}\times\underline{24/5}=\underline{21}$。
    4. 第 4 步（分母相减）：$21\frac78-21=\underline{7/8}$。
    5. 第 5 步（相除）：$\frac74\div\frac78=\frac74\times\frac87=\underline{2}$。
    6. 第 6 步（再除以带分数）：$2\div 2\frac12=\underline{0.8}$。
    最终答案：$0.8=\frac45$。
  30. 10. ch02-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：上盘 $\frac5{12}\times 3\frac35=\underline{3/2}$，加上 $\frac14$ 得 $\underline{7/4}$（千克）。
    2. 第 2 步：下盘先算除法 $4\frac38\div\frac5{24}=\frac{35}{8}\times\underline{24/5}=\underline{21}$。
    3. 第 3 步：下盘 $=21\frac78-21=\underline{7/8}$（千克）。
    4. 第 4 步：相除 $\frac74\div\frac78=\underline{2}$。
    5. 第 5 步：再除以 $2\frac12$，得 $\underline{0.8}$。
    最终答案：$0.8=\frac45$。
  31. 10. ch02-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（分子）：$\frac3{10}\times\frac52=\underline{3/4}$，加 $\frac14$ 得 $\underline{1}$。
    2. 第 2 步（分母先算除法）：$2\frac12\div\frac34=\frac52\times\frac43=\underline{10/3}$。
    3. 第 3 步（分母相减）：$\frac{31}{6}-\frac{10}{3}=\underline{11/6}$。
    4. 第 4 步（相除）：$1\div\frac{11}{6}=\underline{6/11}$。
    5. 第 5 步：再除以 $1\frac12$，即 $\frac6{11}\times\frac23=\underline{4/11}$。
    最终答案：$\frac4{11}$。
  32. 10. ch02-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（前半部分）：分子 $=\frac32+\frac14=\underline{7/4}$，分母 $=21\frac78-21=\underline{7/8}$。
    2. 第 2 步：$\frac74\div\frac78\div 2\frac12=\underline{0.8}$。
    3. 第 3 步（连分数最里层）：$1+\frac14=\underline{5/4}$，取倒数得 $\underline{4/5}$。
    4. 第 4 步：$2+\frac45=\underline{14/5}$，取倒数得 $\underline{5/14}$。
    5. 第 5 步：相减 $0.8-\frac5{14}=\underline{31/70}$。
    最终答案：$\frac{31}{70}$。
  33. 11. ch02-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（化小数）：$4\frac7{10}=\underline{4.7}$，$7\frac{47}{50}=\underline{7.94}$。
    2. 第 2 步（看分子）：$4.7-6.32=\underline{-1.62}$，所以分子 $=29\frac79-1.62$。
    3. 第 3 步（看分母）：$-7.94+6.32=\underline{-1.62}$，所以分母也是 $29\frac79-1.62$，大分数的值为 $\underline{1}$。
    4. 第 4 步（化简除数）：$\frac{0.6}{0.8}=\underline{0.75}$，所以第一项 $=\frac{2003\times 0.75}{2005}$；又 $1.5=2\times\underline{0.75}$。
    5. 第 5 步（提公因数）：除数 $=\frac{2003+2}{2005}\times 0.75=\underline{0.75}$。
    6. 第 6 步：$1\div 0.75=\underline{4/3}$。
    最终答案：$\frac43=1\frac13$。
  34. 11. ch02-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：$4\frac7{10}=\underline{4.7}$，$7\frac{47}{50}=\underline{7.94}$。
    2. 第 2 步：分子多出 $4.7-6.32=\underline{-1.62}$，分母多出 $-7.94+6.32=\underline{-1.62}$，两者相同，所以读数之比为 $\underline{1}$。
    3. 第 3 步：$\frac{0.6}{0.8}=\underline{0.75}$，$1.5=2\times\underline{0.75}$，修正系数 $=\frac{2003+2}{2005}\times 0.75=\underline{0.75}$。
    4. 第 4 步：$1\div 0.75=\underline{4/3}$。
    最终答案：$1\frac13$。
  35. 11. ch02-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（分子）：$1.25+3.75-2.5=\underline{2.5}$，与分母相同，所以大分数为 $\underline{1}$。
    2. 第 2 步（除数化简）：$\frac{0.9}{1.5}=\underline{0.6}$，故第一项 $=\frac{1997\times 0.6}{1999}$；又 $1.2=2\times\underline{0.6}$。
    3. 第 3 步（提公因数）：除数 $=\frac{1997+2}{1999}\times 0.6=\underline{0.6}$。
    4. 第 4 步：$1\div 0.6=\underline{5/3}$。
    最终答案：$\frac53=1\frac23$。
  36. 11. ch02-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（前半部分）：分子分母都等于 $29\frac79-1.62$，大分数为 $\underline{1}$；除数 $=\frac{2003+2}{2005}\times 0.75=\underline{0.75}$，故前半部分 $=1\div 0.75=\underline{4/3}$。
    2. 第 2 步（连分数最里层）：$2+\frac13=\underline{7/3}$，取倒数得 $\underline{3/7}$。
    3. 第 3 步：$1+\frac37=\underline{10/7}$，取倒数得 $\underline{7/10}$。
    4. 第 4 步：相减 $\frac43-0.7=\underline{19/30}$。
    最终答案：$\frac{19}{30}$。
  37. 12. ch02-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（第一个括号比大小）：$\frac{31}{35}\approx 0.8857$，比 $0.875$ 大，取小得 $\underline{7/8}$。
    2. 第 2 步（第二个括号）：$\frac{53}{640}=\underline{0.0828125}$，比 $0.08$ 大，取大得 $\frac{53}{640}$。
    3. 第 3 步（第三个括号）：$\frac25=\underline{0.4}$，比 $0.39$ 大，取大得 $\frac25$。
    4. 第 4 步（第四个括号）：$\frac{173}{76}\approx 2.276$，比 $2.25$ 大，取小得 $\underline{2.25}$。
    5. 第 5 步（算分母）：$0.4+2.25=\underline{2.65}$。
    6. 第 6 步（化除为乘）：$\frac78\times\frac{53}{640}\div 2.65=\frac78\times\frac{53}{640}\times\underline{20/53}$。
    7. 第 7 步（约分）：结果为 $\underline{7/256}$。
    最终答案：$\frac{7}{256}$。
  38. 12. ch02-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步：$\frac{31}{35}\approx 0.8857>0.875$，取少者 $\underline{7/8}$。
    2. 第 2 步：$\frac{53}{640}=\underline{0.0828125}>0.08$，取多者 $\frac{53}{640}$。
    3. 第 3 步：$\frac25=\underline{0.4}>0.39$，取多者 $\frac25$。
    4. 第 4 步：$\frac{173}{76}\approx 2.276>2.25$，取少者 $\underline{2.25}$。
    5. 第 5 步：分母 $=0.4+2.25=\underline{2.65}$。
    6. 第 6 步：$\frac78\times\frac{53}{640}\times\underline{20/53}=\underline{7/256}$。
    最终答案：$\frac{7}{256}$。
  39. 12. ch02-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步：$\frac7{12}\approx\underline{0.5833}$（保留四位小数），比 $0.58$ 大，取大得 $\frac7{12}$。
    2. 第 2 步：$\frac{16}{21}\approx 0.7619<0.77$，取小得 $\underline{16/21}$（用分数表示）。
    3. 第 3 步：$\frac38=\underline{0.375}<0.38$，取小得 $\frac38$。
    4. 第 4 步（先乘）：$\frac7{12}\times\frac{16}{21}=\underline{4/9}$。
    5. 第 5 步（再加）：$\frac49+\frac38=\underline{59/72}$。
    最终答案：$\frac{59}{72}$。
  40. 12. ch02-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（四个括号取值）：依次为 $\underline{7/8}$、$\frac{53}{640}$、$\frac25$、$\underline{2.25}$。
    2. 第 2 步（算主分式）：分母 $=0.4+2.25=\underline{2.65}$，主分式 $=\frac78\times\frac{53}{640}\times\frac{20}{53}=\underline{7/256}$。
    3. 第 3 步（算繁分数）：$2+\frac14=\underline{9/4}$，所以 $\cfrac{1}{2+\frac14}=\underline{4/9}$。
    4. 第 4 步（除以它就是乘它的倒数）：$\frac7{256}\times\frac94=\underline{63/1024}$。
    最终答案：$\frac{63}{1024}$。
  41. 13. ch02-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（数重复次数）：每个点都与另外 $\underline{3}$ 个点相连，所以每个端点上的数被加了 3 次。
    2. 第 2 步（先求四数之和）：$\frac23+\frac16=\underline{5/6}$。
    3. 第 3 步：$0.375+0.8=\underline{1.175}$，四数之和为 $\underline{241/120}$。
    4. 第 4 步（乘重复次数）：$3\times 2.008\overline{3}=\underline{241/40}$。
    最终答案：$\frac{241}{40}=6.025$。
  42. 13. ch02-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步：每个村庄与另外 $\underline{3}$ 个村庄通路，所以每个编号数被算 3 次。
    2. 第 2 步：$\frac23+\frac16=\underline{5/6}$。
    3. 第 3 步：$0.375+0.8=\underline{1.175}$，四数之和 $=\underline{241/120}$。
    4. 第 4 步：总造价 $=3\times$ 四数之和 $=\underline{241/40}$（万元）。
    最终答案：总造价 $\frac{241}{40}=6.025$ 万元。
  43. 13. ch02-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（数线段）：5 个点两两相连共 $\frac{5\times 4}{2}=\underline{10}$ 条。
    2. 第 2 步（数重复次数）：每个点与另外 $\underline{4}$ 个点相连，所以每个数被加 4 次。
    3. 第 3 步（五数之和）：$\frac12+0.25+\frac15+0.4+\frac34=\underline{2.1}$。
    4. 第 4 步：总和 $=4\times 2.1=\underline{8.4}$。
    最终答案：$8.4=\frac{42}5$。
  44. 13. ch02-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（组合计数）：线段条数 $=\frac{6\times 5}{2}=\underline{15}$（条）。
    2. 第 2 步（每点被用几次）：每个点与另外 $\underline{5}$ 个点相连。
    3. 第 3 步（先凑整）：$\frac13+1\frac16=\underline{3/2}$。
    4. 第 4 步：$0.6+0.25+0.875+0.4=\underline{2.125}$，六数之和为 $\underline{3.625}$。
    5. 第 5 步：总和 $=5\times 3.625=\underline{18.125}$。
    最终答案：（1）$15$ 条；（2）$18.125=\frac{145}8$。
  45. 14. ch02-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（整体换元）：设 $a=\frac{864}{246}+\frac{357}{579}+\frac{975}{753}$，$b=\frac{357}{579}+\frac{975}{753}$，$c=\frac{246}{864}$，原式就是 $a\times(b+c)-(a+c)\times b$。
    2. 第 2 步（展开）：$ab+ac-ab-bc$，其中 $ab$ 正好抵消，剩下 $c\times(a-b)$。
    3. 第 3 步（求 $a-b$）：$a$ 比 $b$ 多的那一项是 $\underline{144/41}$（用 $\frac{864}{246}$ 约分后的最简分数表示）。
    4. 第 4 步（相乘）：$c$ 与 $a-b$ 互为倒数，$\frac{246}{864}\times\frac{864}{246}=\underline{1}$。
    最终答案：$1$。
  46. 14. ch02-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（整体换元）：设 $a=2.5+\frac79+1\frac13$，$b=\frac79+1\frac13$，$c=0.4$，则要求的是 $a(b+c)-(a+c)b$。
    2. 第 2 步（展开抵消）：$=ab+ac-ab-bc=c\times(a-b)$。
    3. 第 3 步（求 $a-b$）：$a$ 比 $b$ 多的一项是 $\underline{2.5}$。
    4. 第 4 步：$0.4\times 2.5=\underline{1}$。
    最终答案：甲比乙大 $1$。
  47. 14. ch02-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（换元）：设 $a=\frac56+\frac78$，$b=\frac78$，$c=\frac34$，原式 $=a(b+c)-(a+c)b$。
    2. 第 2 步（展开抵消）：$=c\times(a-b)$。
    3. 第 3 步（求 $a-b$）：$a-b=\underline{5/6}$。
    4. 第 4 步：$\frac34\times\frac56=\underline{0.625}$。
    最终答案：$\frac58$。
  48. 14. ch02-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（换元展开）：中括号内 $=c\times(a-b)$，其中 $c=\frac34$，$a-b=\underline{5/6}$。
    2. 第 2 步：中括号内 $=\frac34\times\frac56=\underline{0.625}$。
    3. 第 3 步（算除数）：$1-\frac38=\underline{5/8}$。
    4. 第 4 步（除以分数化乘倒数）：$\frac58\div\frac58=\underline{1}$。
    最终答案：$1$。
  49. 15. ch02-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（先筛整数项）：$4008$ 能被 $2,3,4,6,8,12$ 整除，例如 $4008\div 12=\underline{334}$，这些项都是整数，不占小数位。
    2. 第 2 步（再筛短小数项）：$4008\div 5=\underline{801.6}$、$4008\div 10=400.8$ 都只有 1 位小数，影响不到第 3005 位。
    3. 第 3 步（只剩四项）：$\frac{4008}{7}$ 的小数部分是 $\frac{4008-7\times 572}{7}=\frac{\underline{4}}{7}$，同理另外三项的小数部分是 $\frac39$、$\frac4{11}$、$\frac4{13}$。
    4. 第 4 步（通分）：$\frac47+\frac4{11}+\frac4{13}=\underline{1244/1001}$，它等于 $1+\frac{243}{1001}$。
    5. 第 5 步（加上 $\frac39=\frac13$）：小数部分为 $\frac{243}{1001}+\frac13=\underline{1730/3003}$，化成循环小数是 $0.\overline{576090}$，循环节长 $\underline{6}$。
    6. 第 6 步（定位）：$3005-6\times 500=\underline{5}$，即循环节第 5 位，数字是 $\underline{9}$。
    最终答案：第 $3005$ 位是数字 $9$。
  50. 15. ch02-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步：$4008\div 12=\underline{334}$ 等都是整数，整数部分不占小数位。
    2. 第 2 步：$4008\div 5=\underline{801.6}$、$4008\div 10=400.8$ 只有 1 位小数，可以不管。
    3. 第 3 步：$\frac{4008}{7}$ 的小数部分是 $\frac{\underline{4}}{7}$，另外三项分别是 $\frac39,\frac4{11},\frac4{13}$。
    4. 第 4 步：$\frac47+\frac4{11}+\frac4{13}=\underline{1244/1001}$，故小数部分为 $\frac{243}{1001}+\frac13=\underline{1730/3003}=0.\overline{576090}$，循环节长 $\underline{6}$。
    5. 第 5 步：$3005-6\times 500=\underline{5}$，循环节第 5 位是 $\underline{9}$。
    最终答案：第 $3005$ 个数字是 $9$。
  51. 15. ch02-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（通分）：公分母 $7\times 11\times 13=\underline{1001}$，$\frac67+\frac6{11}+\frac6{13}=\frac{6\times(143+91+77)}{1001}=\underline{1866/1001}$。
    2. 第 2 步（分出整数）：$\frac{1866}{1001}=1+\frac{\underline{865}}{1001}$。
    3. 第 3 步（化循环小数）：$\frac{865}{1001}=\frac{865\times 999}{999999}=\frac{\underline{864135}}{999999}=0.\overline{864135}$，循环节长 $\underline{6}$。
    4. 第 4 步（定位）：$100-6\times 16=\underline{4}$，循环节第 4 位是 $\underline{1}$。
    最终答案：第 $100$ 位是数字 $1$。
  52. 15. ch02-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（通分）：公分母取 $3003$，$\frac{243}{1001}=\frac{\underline{729}}{3003}$，$\frac13=\frac{\underline{1001}}{3003}$。
    2. 第 2 步（相加）：$x=\underline{1730/3003}$。
    3. 第 3 步（化循环小数）：$\frac{1730}{3003}=\frac{1730\times 333}{999999}=\frac{\underline{576090}}{999999}=0.\overline{576090}$。
    4. 第 4 步（循环节数字和）：$5+7+6+0+9+0=\underline{27}$。
    5. 第 5 步（前 60 位）：$60\div 6=\underline{10}$ 个完整循环节，数字和为 $10\times 27=\underline{270}$。
    最终答案：（1）循环节 $576090$，数字和为 $27$；（2）前 $60$ 位数字之和为 $270$。
  53. 16. ch02-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（设半径）：设半径为 $r$，则直径为 $\underline{2}r$。
    2. 第 2 步（减去 $\frac1{10}$）：剩下的是直径的 $1-\frac1{10}=\underline{0.9}$，即 $\frac9{10}\times 2r=\underline{1.8}r$。
    3. 第 3 步（平方）：$(1.8r)^2=1.8\times 1.8\times r^2=\underline{3.24}r^2$。
    4. 第 4 步（与 $\pi r^2$ 比较）：约去 $r^2$ 得 $\pi=\underline{3.24}$。
    最终答案：$\pi=\frac{81}{25}=3.24$。
  54. 16. ch02-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步：设半径 $r$，直径为 $\underline{2}r$。
    2. 第 2 步：减去 $\frac1{10}$ 后剩 $1-\frac1{10}=\underline{0.9}$，即 $\underline{1.8}r$。
    3. 第 3 步：平方得 $1.8\times 1.8=\underline{3.24}$，即面积为 $3.24r^2$。
    4. 第 4 步：与 $\pi r^2$ 比较，$\pi=\underline{3.24}$。
    最终答案：他用的圆周率是 $3.24$。
  55. 16. ch02-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（古埃及法）：$18$ 减去 $18\times\frac19=\underline{2}$，得 $\underline{16}$（厘米）。
    2. 第 2 步：平方得 $16\times 16=\underline{256}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（标准公式）：半径 $=18\div 2=\underline{9}$（厘米），面积 $=3.14\times 9\times 9=\underline{254.34}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求差）：$256-254.34=\underline{1.66}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$256$ 平方厘米；（2）$254.34$ 平方厘米；（3）相差 $1.66$ 平方厘米。
  56. 16. ch02-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（古埃及法）：$27\times\frac19=\underline{3}$，$27-3=\underline{24}$（厘米）。
    2. 第 2 步：平方得 $24\times 24=\underline{576}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（标准算法）：半径 $=27\div 2=\underline{13.5}$（厘米），$13.5\times 13.5=\underline{182.25}$。
    4. 第 4 步：面积 $=3.14\times 182.25=\underline{572.265}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（求差）：$576-572.265=\underline{3.735}$，精确到 $0.01$ 是 $3.74$。
    最终答案：古埃及方法算得 $576$ 平方厘米，标准算法算得 $572.265$ 平方厘米，多算约 $3.74$ 平方厘米。
  57. 17. ch02-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题最内层）：$4+\frac13=\underline{13/3}$，取倒数得 $\underline{3/13}$。
    2. 第 2 步：$5+\frac3{13}=\underline{68/13}$，取倒数得 $\underline{13/68}$。
    3. 第 3 步：$6+\frac{13}{68}=\underline{421/68}$，取倒数得 $\underline{68/421}$。
    4. 第 4 步（第 (2) 题两边取倒数）：$1+\cfrac{1}{3+\frac{1}{x+\frac15}}=\underline{5/4}$。
    5. 第 5 步（剥去 1）：$\cfrac{1}{3+\frac{1}{x+\frac15}}=\frac54-1=\underline{1/4}$，再取倒数得 $3+\frac{1}{x+\frac15}=\underline{4}$。
    6. 第 6 步（剥去 3）：$\frac{1}{x+\frac15}=4-3=\underline{1}$，取倒数得 $x+\frac15=\underline{1}$。
    7. 第 7 步：$x=1-\frac15=\underline{4/5}$。
    最终答案：（1）$\frac{68}{421}$；（2）$x=\frac45$。
  58. 17. ch02-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步：最内层 $4+\frac13=\underline{13/3}$，取倒数 $\underline{3/13}$。
    2. 第 2 步：$5+\frac3{13}=\underline{68/13}$，取倒数 $\underline{13/68}$。
    3. 第 3 步：$6+\frac{13}{68}=\underline{421/68}$，取倒数 $\underline{68/421}$，即第 (1) 问答案。
    4. 第 4 步（第 (2) 问）：两边取倒数得 $1+\cfrac{1}{3+\frac{1}{x+\frac15}}=\underline{5/4}$，剥去 1 得 $\underline{1/4}$。
    5. 第 5 步：取倒数得 $3+\frac{1}{x+\frac15}=\underline{4}$，剥去 3 得 $\frac{1}{x+\frac15}=\underline{1}$。
    6. 第 6 步：取倒数得 $x+\frac15=\underline{1}$，所以 $x=\underline{4/5}$。
    最终答案：（1）$\frac{68}{421}$；（2）$x=\frac45$。
  59. 17. ch02-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步：最内层 $5+\frac16=\underline{31/6}$，取倒数 $\underline{6/31}$。
    2. 第 2 步：$4+\frac6{31}=\underline{130/31}$，取倒数 $\underline{31/130}$。
    3. 第 3 步：$3+\frac{31}{130}=\underline{421/130}$，取倒数 $\underline{130/421}$。
    4. 第 4 步：$2+\frac{130}{421}=\underline{972/421}$，取倒数 $\underline{421/972}$。
    最终答案：$\frac{421}{972}$。
  60. 17. ch02-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（两边取倒数）：$2+\cfrac{1}{1+\frac{1}{x+\frac14}}=\underline{5/2}$。
    2. 第 2 步（剥去 2）：$\cfrac{1}{1+\frac{1}{x+\frac14}}=\frac52-2=\underline{1/2}$。
    3. 第 3 步（取倒数）：$1+\frac{1}{x+\frac14}=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（剥去 1）：$\frac{1}{x+\frac14}=2-1=\underline{1}$，取倒数得 $x+\frac14=\underline{1}$。
    5. 第 5 步：$x=1-\frac14=\underline{3/4}$，化成小数是 $\underline{0.75}$。
    最终答案：$x=\frac34=0.75$。
  61. 18. ch02-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（按定义写开）：$3*4=\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times(4+A)}$，其中 $\frac{1}{3\times4}=\underline{1/12}$。
    2. 第 2 步（解方程）：$\frac{1}{4(4+A)}=\frac{2}{15}-\frac1{12}=\underline{1/20}$。
    3. 第 3 步：所以 $4(4+A)=\underline{20}$，$4+A=5$，$A=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（还原相邻分数）：$(2k-1)*(2k)=\frac{1}{(2k-1)2k}+\frac{1}{2k(2k+1)}$，全部拆开恰好拼成 $\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\cdots+\frac{1}{200\times\underline{201}}$。
    5. 第 5 步（裂项相消）：$1-\frac{1}{201}=\underline{200/201}$。
    最终答案：（1）$A=1$；（2）$\frac{200}{201}$。
  62. 18. ch02-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步：$\frac{1}{3\times4}=\underline{1/12}$。
    2. 第 2 步：$\frac{1}{4(4+A)}=\frac2{15}-\frac1{12}=\underline{1/20}$，故 $4(4+A)=\underline{20}$。
    3. 第 3 步：$4+A=5$，所以 $A=\underline{1}$。
    4. 第 4 步：每个括号拆成两个相邻分数后正好连成一整串，末项是 $\frac{1}{200\times\underline{201}}$。
    5. 第 5 步：裂项相消得 $1-\frac1{201}=\underline{200/201}$。
    最终答案：（1）$A=1$；（2）$\frac{200}{201}$。
  63. 18. ch02-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（写出裂项公式）：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac{1}{n+1}$。
    2. 第 2 步（相消）：相加后中间全部抵消，只剩首项 $1$ 与末项 $\frac{1}{\underline{50}}$。
    3. 第 3 步：$1-\frac1{50}=\underline{49/50}$。
    最终答案：$\frac{49}{50}$。
  64. 18. ch02-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（裂项相消）：左边 $=1-\frac{1}{n+1}$。
    2. 第 2 步（列方程）：$1-\frac{1}{n+1}=\frac{2015}{2016}$，所以 $\frac{1}{n+1}=1-\frac{2015}{2016}=\underline{1/2016}$。
    3. 第 3 步（取倒数）：$n+1=\underline{2016}$。
    4. 第 4 步：$n=2016-1=\underline{2015}$。
    最终答案：$n=2015$。
  65. 19. ch02-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（裂项）：$\frac{1}{(2k-1)2k}=\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}$，所以 $A=1-\frac12+\frac13-\cdots+\frac{1}{2999}-\frac{1}{3000}$。
    2. 第 2 步（整理成连续段）：这样的交错和等于后一半的连续和，即 $A=\frac{1}{1501}+\frac{1}{1502}+\cdots+\frac{1}{\underline{3000}}$。
    3. 第 3 步（与 $B$ 对齐）：$B$ 从 $\frac{1}{1500}$ 到 $\frac{1}{2999}$，与 $A$ 相比多了首项 $\frac{1}{\underline{1500}}$、少了末项 $\frac{1}{3000}$。
    4. 第 4 步（作差）：$B-A=\frac{1}{1500}-\frac{1}{3000}=\underline{1/3000}$。
    最终答案：$B>A$，且 $B-A=\frac1{3000}$。
  66. 19. ch02-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步：$A$ 中每项裂项得 $\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}$，于是 $A=1-\frac12+\frac13-\cdots-\frac{1}{3000}$。
    2. 第 2 步：这个交错和等于 $A=\frac{1}{1501}+\cdots+\frac{1}{\underline{3000}}$。
    3. 第 3 步：与乙的 $B$ 相比，$B$ 多了首项 $\frac{1}{\underline{1500}}$，少了末项 $\frac{1}{3000}$。
    4. 第 4 步：$B-A=\frac{1}{1500}-\frac{1}{3000}=\underline{1/3000}$。
    最终答案：乙（$B$）大，大 $\frac1{3000}$。
  67. 19. ch02-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（裂项）：$A=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac17-\frac18\right)$。
    2. 第 2 步（整理成连续段）：交错和等于后一半连续和，$A=\frac15+\frac16+\frac17+\frac1\underline{8}$。
    3. 第 3 步（直接验算）：$A=\underline{0.634524}$（保留六位小数）。
    4. 第 4 步（与 $B$ 对齐）：$B$ 比 $A$ 多首项 $\frac14$、少末项 $\frac18$，$B-A=\frac14-\frac18=\underline{1/8}$。
    最终答案：$B>A$，且 $B-A=\frac18$。
  68. 19. ch02-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（裂项整理）：$A=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\cdots+\frac{1}{\underline{100}}$，一共 $100-50=\underline{50}$ 项。
    2. 第 2 步（放缩比较 $A$ 与 $C$）：这 50 项中最小的一项是 $\frac{1}{100}$，其余都比它大，所以 $A>50\times\frac{1}{100}=\underline{0.5}$，即 $A>C$。
    3. 第 3 步（比较 $A$ 与 $B$）：$B$ 比 $A$ 多首项 $\frac1{50}$、少末项 $\frac1{100}$，$B-A=\frac1{50}-\frac1{100}=\underline{1/100}$，所以 $B>A$。
    4. 第 4 步（排序）：从小到大是 $C<A<B$。
    最终答案：$C<A<B$，且 $B-A=\frac1{100}$。
  69. 20. ch02-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（裂项公式）：$a\times b=\frac16[a b(b+2)-(a-2)a b]$，其中 $b=a+2$。
    2. 第 2 步（相消）：原式 $=1\times 3+\frac16(39\times 41\times \underline{43}-1\times 3\times 5)$。
    3. 第 3 步：$39\times 41\times 43=\underline{68757}$，$1\times3\times5=\underline{15}$。
    4. 第 4 步：$68757-15=\underline{68742}$，除以 6 得 $\underline{11457}$。
    5. 第 5 步：加上首项 $3$，得 $\underline{11460}$。
    最终答案：$11460$。
  70. 20. ch02-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步：每排把数都是 $a\times(a+2)$ 型，可裂项为 $\frac16[a b(b+2)-(a-2)a b]$。
    2. 第 2 步：求和相消后 $=1\times3+\frac16(39\times41\times\underline{43}-1\times3\times5)$。
    3. 第 3 步：$39\times41\times43=\underline{68757}$，$1\times3\times5=\underline{15}$。
    4. 第 4 步：$68757-15=\underline{68742}$，$68742\div 6=\underline{11457}$。
    5. 第 5 步：总数 $=3+11457=\underline{11460}$（把）。
    最终答案：一共 $11460$ 把椅子。
  71. 20. ch02-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（同样的裂项公式）：$a\times b=\frac16[a b(b+2)-(a-2)a b]$，这里 $a$ 取偶数。
    2. 第 2 步（相消）：原式 $=2\times 4+\frac16(30\times 32\times \underline{34}-2\times 4\times 6)$。
    3. 第 3 步：$30\times 32\times 34=\underline{32640}$，$2\times4\times6=\underline{48}$。
    4. 第 4 步：$32640-48=\underline{32592}$，除以 6 得 $\underline{5432}$。
    5. 第 5 步：加上首项 $2\times4=8$，得 $\underline{5440}$。
    最终答案：$5440$。
  72. 20. ch02-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：$29\times31\times33=\underline{29667}$，原式 $=3+\frac{29667-15}{6}=\underline{4945}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 问的裂项公式）：$\frac{1}{a(a+2)}=\frac12\left(\frac1a-\frac{1}{a+2}\right)$。
    3. 第 3 步（相消）：只剩首尾，$\frac12\left(1-\frac{1}{\underline{31}}\right)$。
    4. 第 4 步：$1-\frac1{31}=\underline{30/31}$，再乘 $\frac12$ 得 $\underline{15/31}$。
    最终答案：（1）$4945$；（2）$\frac{15}{31}$。
  73. 22. ch02-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（连乘裂项）：$\frac21\times\frac32\times\frac43\times\cdots\times\frac{n+1}{n}$ 上下相消，结果是 $n+1$，所以 $a_n=\underline{1/12}$（用含 $n$ 的分数式的值在 $n=3$ 时验证：$a_3=\frac{1}{3\times 4}$）。
    2. 第 2 步（代入）：$a_3=\frac1{12}$，$a_5=\frac{1}{5\times 6}=\frac{1}{\underline{30}}$。
    3. 第 3 步：$a_{150}=\frac{1}{150\times 151}=\frac{1}{\underline{22650}}$，$a_{300}=\frac{1}{300\times 301}=\frac{1}{\underline{90300}}$。
    4. 第 4 步（改写求和项）：$\frac{n}{a_n}=n\times n\times(n+1)=n^3+n^2$。
    5. 第 5 步（立方和）：$1^3+2^3+\cdots+200^3=\frac{200\times 200\times 201\times 201}{4}=\underline{404010000}$。
    6. 第 6 步（平方和）：$1^2+2^2+\cdots+200^2=\frac{200\times 201\times 401}{6}=\underline{2686700}$。
    7. 第 7 步（相加）：$404010000+2686700=\underline{406696700}$。
    最终答案：（1）$a_3=\frac1{12}$，$a_5=\frac1{30}$，$a_{150}=\frac1{22650}$，$a_{300}=\frac1{90300}$；（2）$406696700$。
  74. 22. ch02-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步：连乘部分上下相消等于 $n+1$，所以 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，例如 $a_3=\underline{1/12}$。
    2. 第 2 步：$a_5=\frac{1}{\underline{30}}$，$a_{150}=\frac{1}{\underline{22650}}$，$a_{300}=\frac{1}{\underline{90300}}$。
    3. 第 3 步：$\frac{n}{a_n}=n^3+n^2$。
    4. 第 4 步：立方和 $=\frac{200\times200\times201\times201}{4}=\underline{404010000}$，平方和 $=\frac{200\times201\times401}{6}=\underline{2686700}$。
    5. 第 5 步：$404010000+2686700=\underline{406696700}$。
    最终答案：（1）$\frac1{12}$、$\frac1{30}$、$\frac1{22650}$、$\frac1{90300}$；（2）$406696700$。
  75. 22. ch02-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（求倒数）：$\frac{1}{b_n}=n\times(n+1)$，所以原式 $=1\times2+2\times3+\cdots+50\times\underline{51}$。
    2. 第 2 步（整数裂项）：连续两数乘积求和 $=\frac13\times 50\times 51\times\underline{52}$。
    3. 第 3 步：$50\times51\times52=\underline{132600}$，除以 3 得 $\underline{44200}$。
    最终答案：$44200$。
  76. 22. ch02-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（分子）：$\frac{n}{a_n}=n^3+n^2$，立方和 $=\frac{100\times100\times101\times101}{4}=\underline{25502500}$，平方和 $=\frac{100\times101\times201}{6}=\underline{338350}$。
    2. 第 2 步：分子 $=25502500+338350=\underline{25840850}$。
    3. 第 3 步（分母）：$\frac{1}{a_n}=n(n+1)$，用整数裂项得 $\frac13\times 100\times 101\times\underline{102}=\underline{343400}$。
    4. 第 4 步（相除）：$25840850\div 343400=\underline{75.25}$。
    最终答案：$75.25=75\frac14$。
  77. 23. ch02-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（统一形式）：带分数化假分数 $3\frac35=\underline{3.6}$；除以分数化乘倒数 $8.6\div\frac{5}{18}=8.6\times\underline{3.6}$。
    2. 第 2 步（后一项也先化）：$2.46\div 13\frac23=2.46\times\frac{3}{41}=\underline{0.18}$。
    3. 第 3 步（提公因数）：中间的 $3.6$ 相当于 $3.6\times\underline{1}$，于是括号内 $=3.6\times(7.4-1+8.6)$。
    4. 第 4 步：括号内先凑整 $7.4-1+8.6=\underline{15}$，再乘 $3.6\times 15=\underline{54}$。
    5. 第 5 步：乘 $\frac13$ 得 $54\div 3=\underline{18}$。
    6. 第 6 步（后一括号首尾相消）：$0.18-8-0.18=\underline{-8}$。
    7. 第 7 步：两部分相减 $18-(-8)=\underline{26}$。
    最终答案：$26$。
  78. 23. ch02-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：折算系数 $3\frac35=\underline{3.6}$，$8.6\div\frac{5}{18}=8.6\times\underline{3.6}$（吨）。
    2. 第 2 步：乙组里 $2.46\div 13\frac23=2.46\times\frac{3}{41}=\underline{0.18}$（吨）。
    3. 第 3 步：甲组括号内提出公因数 $3.6$，括号内和为 $7.4-1+8.6=\underline{15}$。
    4. 第 4 步：甲组 $=\frac13\times 3.6\times 15=\underline{18}$（吨）。
    5. 第 5 步：乙组 $=0.18-8-0.18=\underline{-8}$（吨）。
    6. 第 6 步：多出 $18-(-8)=\underline{26}$（吨）。
    最终答案：甲组比乙组多 $26$ 吨。
  79. 23. ch02-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（除法化乘法）：$5.2\div\frac49=5.2\times\underline{9/4}$，它正好等于 $5.2\times 2\frac14$。
    2. 第 2 步（提公因数）：括号内 $=2.25\times(4.8+5.2)=2.25\times\underline{10}$。
    3. 第 3 步：算出括号内 $2.25\times 10=\underline{22.5}$。
    4. 第 4 步（再化除为乘）：$\div 2\frac14=\times\underline{4/9}$。
    5. 第 5 步：$22.5\times\frac{4}{9}=\underline{10}$。
    最终答案：$10$。
  80. 23. ch02-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（前半部分）：$5.2\div\frac49=5.2\times\underline{9/4}$，括号内提公因数得 $2.25\times(4.8+5.2)=2.25\times\underline{10}$。
    2. 第 2 步：$2.25\times 10=\underline{22.5}$，再 $\div 2\frac14=\times\frac49$，得 $22.5\times\frac49=\underline{10}$。
    3. 第 3 步（繁分数）：先算分子 $2\frac12\times\frac35=\underline{1.5}$。
    4. 第 4 步：繁分数就是分子除以分母，$1.5\div 3.5=\underline{3/7}$。
    5. 第 5 步：相减 $10-\frac37=\underline{67/7}$。
    最终答案：$\frac{67}{7}=9\frac{4}{7}$。
  81. 24. ch02-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（先算与方框无关的项）：除以分数化乘倒数，$\frac{8}{15}\div\frac45=\frac{8}{15}\times\underline{5/4}=\underline{2/3}$。
    2. 第 2 步（移项）：$31.2\div[\ \cdot\ ]=7\frac13+\frac23=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（求中括号）：被除数除以商得除数，$[\ \cdot\ ]=31.2\div 8=\underline{3.9}$。
    4. 第 4 步（剥去 $-6\frac1{10}$）：$3\frac13\times(2.375+\square)=3.9+6.1=\underline{10}$。
    5. 第 5 步（剥去 $\times 3\frac13$）：$2.375+\square=10\div\frac{10}{3}=\underline{3}$。
    6. 第 6 步（求方框）：$\square=3-2.375=\underline{0.625}$。
    最终答案：$\square=0.625=\frac58$。
  82. 24. ch02-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：先算 $\frac{8}{15}\div\frac45=\frac{8}{15}\times\underline{5/4}=\underline{2/3}$（千克）。
    2. 第 2 步：每份质量 $=7\frac13+\frac23=\underline{8}$（千克）。
    3. 第 3 步：份数 $=31.2\div 8=\underline{3.9}$。
    4. 第 4 步：$3\frac13\times(2.375+\square)=3.9+6.1=\underline{10}$。
    5. 第 5 步：$2.375+\square=10\div\frac{10}{3}=\underline{3}$。
    6. 第 6 步：$\square=3-2.375=\underline{0.625}$。
    最终答案：$\square=0.625=\frac58$。
  83. 24. ch02-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（剥去加 $2\frac15$）：$\left(\square-\frac38\right)\times 2\frac23\div 1.25=5\frac25-2\frac15=\underline{3.2}$。
    2. 第 2 步（剥去除以 $1.25$）：$\left(\square-\frac38\right)\times 2\frac23=3.2\times 1.25=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（剥去乘 $2\frac23$）：$\square-\frac38=4\div\frac83=\underline{1.5}$。
    4. 第 4 步：$\square=1.5+0.375=\underline{1.875}$。
    最终答案：$\square=1.875=1\frac78$。
  84. 24. ch02-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（两边取倒数）：$2+\cfrac{1}{1+\frac{1}{\square}}=\underline{11/4}$。
    2. 第 2 步（剥去 $2$）：$\cfrac{1}{1+\frac{1}{\square}}=\frac{11}{4}-2=\underline{3/4}$。
    3. 第 3 步（再取倒数）：$1+\frac{1}{\square}=\underline{4/3}$。
    4. 第 4 步（剥去 $1$）：$\frac{1}{\square}=\frac43-1=\underline{1/3}$。
    5. 第 5 步（最后取倒数）：$\square=\underline{3}$。
    最终答案：$\square=3$。
  85. 25. ch02-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（分子）：通分相减 $\frac{11}{12}-\frac13=\underline{7/12}$。
    2. 第 2 步（分母第二项化成同一因数）：$5\frac57=\underline{40/7}$，而 $\frac{1}{120}=\frac{1}{30}\div 4$，所以 $5\frac57\times\frac{1}{120}=\underline{10/7}\times\frac{1}{30}$。
    3. 第 3 步（提公因数）：分母 $=\frac{1}{30}\times\left(\frac47+\frac{10}{7}\right)=\frac{1}{30}\times\underline{2}$。
    4. 第 4 步：算出分母 $\frac{1}{30}\times 2=\underline{1/15}$。
    5. 第 5 步（繁分数化除法）：$\frac{7}{12}\div\frac{1}{15}=\frac{7}{12}\times 15=\underline{8.75}$。
    6. 第 6 步（再除以带分数）：$\div 3\frac12=\times\frac27$，得 $8.75\times\frac27=\underline{2.5}$。
    最终答案：$2\frac12$。
  86. 25. ch02-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步：上层读数 $\frac{11}{12}-\frac13=\underline{7/12}$。
    2. 第 2 步：$5\frac57=\underline{40/7}$，且 $\frac{1}{120}=\frac{1}{30}\div 4$，所以第二项 $=\underline{10/7}\times\frac{1}{30}$。
    3. 第 3 步：下层读数 $=\frac{1}{30}\times\left(\frac47+\frac{10}{7}\right)=\frac{1}{30}\times\underline{2}=\underline{1/15}$。
    4. 第 4 步：相除 $\frac{7}{12}\div\frac{1}{15}=\underline{8.75}$。
    5. 第 5 步：再除以 $3\frac12$，得 $8.75\times\frac27=\underline{2.5}$。
    最终答案：$2\frac12$。
  87. 25. ch02-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（分子）：$\frac56-\frac13=\underline{1/2}$。
    2. 第 2 步（统一因数）：$3\frac13=\underline{10/3}$，$\frac{1}{45}=\frac{1}{15}\div 3$，故第二项 $=\underline{10/9}\times\frac{1}{15}$。
    3. 第 3 步（提公因数）：分母 $=\frac{1}{15}\times\left(\frac29+\frac{10}{9}\right)=\frac{1}{15}\times\underline{4/3}=\underline{4/45}$。
    4. 第 4 步：$\frac12\div\frac{4}{45}=\frac12\times\frac{45}{4}=\underline{5.625}$。
    5. 第 5 步：$\div 1\frac14=\times\frac45$，得 $5.625\times\frac45=\underline{4.5}$。
    最终答案：$4\frac12$。
  88. 25. ch02-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（前半部分）：分子 $\frac{11}{12}-\frac13=\underline{7/12}$，分母 $=\frac{1}{30}\times\left(\frac47+\frac{10}{7}\right)=\underline{1/15}$。
    2. 第 2 步：$\frac{7}{12}\div\frac{1}{15}\times\frac27=\underline{2.5}$。
    3. 第 3 步（连分数从内往外）：最里层 $1+\frac12=\underline{3/2}$，取倒数得 $\underline{2/3}$。
    4. 第 4 步：$1+\frac23=\underline{5/3}$，再取倒数得 $\underline{3/5}$。
    5. 第 5 步：相减 $2.5-0.6=\underline{1.9}$。
    最终答案：$1.9=1\frac9{10}$。
  89. 26. ch02-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（分子通分）：$2100+\frac{1}{2310}=\underline{(2100*2310+1)/2310}$。
    2. 第 2 步（分母通分）：$2310+\frac{1}{2100}=\underline{(2310*2100+1)/2100}$。
    3. 第 3 步（约去相同的乘积和）：两式分子都是 $2100\times2310+1$，相除只剩 $\underline{2100/2310}$，约分后为 $\underline{10/11}$。
    4. 第 4 步（后一项分子）：$3\frac13\times\frac{9}{10}=\underline{3}$。
    5. 第 5 步：$3\div 4.5=\underline{2/3}$。
    6. 第 6 步（通分相减）：$\frac{10}{11}-\frac23=\frac{30-22}{33}=\frac{\underline{8}}{33}=\underline{8/33}$。
    最终答案：$\frac{8}{33}$。
  90. 26. ch02-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步：甲厂分子通分 $2100+\frac{1}{2310}=\underline{(2100*2310+1)/2310}$，分母通分 $2310+\frac{1}{2100}=\underline{(2310*2100+1)/2100}$。
    2. 第 2 步：两式分子相同，约去后甲厂 $=\underline{10/11}$。
    3. 第 3 步：乙厂分子 $3\frac13\times\frac{9}{10}=\underline{3}$，故乙厂 $=3\div 4.5=\underline{2/3}$。
    4. 第 4 步：相减 $\frac{10}{11}-\frac23=\underline{8/33}$。
    最终答案：甲厂比乙厂大 $\frac{8}{33}$。
  91. 26. ch02-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（分子通分）：公分母取 $2100\times 2310$，分子 $=\frac{2310+2100}{2100\times2310}$，其中 $2310+2100=\underline{4410}$。
    2. 第 2 步（分母通分）：分母 $=\frac{2310-2100}{2100\times2310}$，其中 $2310-2100=\underline{210}$。
    3. 第 3 步（约去公分母）：原式 $=\frac{4410}{210}=\underline{21}$。
    最终答案：$21$。
  92. 26. ch02-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步：约去相同的 $2100\times2310+1$，第一项 $=\underline{10/11}$。
    2. 第 2 步：第二项 $=\left(3\frac13\times\frac{9}{10}\right)\div 4.5=\underline{2/3}$。
    3. 第 3 步：括号内 $\frac{10}{11}-\frac23=\underline{8/33}$。
    4. 第 4 步（除以分数化乘倒数）：$\div\frac{8}{11}=\times\underline{11/8}$。
    5. 第 5 步：$\frac{8}{33}\times\frac{11}{8}=\underline{1/3}$。
    最终答案：$\frac13$。
  93. 27. ch02-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题）：内层通分 $3+\frac14=\underline{13/4}$，它在分母上要取倒数，得 $\underline{4/13}$。
    2. 第 2 步：$1+\frac{4}{13}=\underline{17/13}$。
    3. 第 3 步（第 (2) 题最里层）：$4+\frac15=\underline{21/5}$，取倒数得 $\underline{5/21}$。
    4. 第 4 步：$3+\frac{5}{21}=\underline{68/21}$，取倒数得 $\underline{21/68}$。
    5. 第 5 步：$1+\frac{21}{68}=\underline{89/68}$。
    6. 第 6 步（第 (3) 题最里层）：$1-\frac{1}{2011}=\underline{2010/2011}$，取倒数得 $\underline{2011/2010}$。
    7. 第 7 步：$1+\frac{2011}{2010}=\underline{4021/2010}$，取倒数得 $\underline{2010/4021}$。
    8. 第 8 步：$1-\frac{2010}{4021}=\underline{2011/4021}$。
    最终答案：（1）$\frac{17}{13}=1\frac4{13}$；（2）$\frac{89}{68}=1\frac{21}{68}$；（3）$\frac{2011}{4021}$。
  94. 27. ch02-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步：第 (1) 级内层 $3+\frac14=\underline{13/4}$，取倒数 $\underline{4/13}$，故传动比 $=1+\frac{4}{13}=\underline{17/13}$。
    2. 第 2 步：第 (2) 级最里层 $4+\frac15=\underline{21/5}$，取倒数 $\underline{5/21}$。
    3. 第 3 步：$3+\frac{5}{21}=\underline{68/21}$，取倒数 $\underline{21/68}$，故传动比 $=1+\frac{21}{68}=\underline{89/68}$。
    4. 第 4 步：第 (3) 级最里层 $1-\frac{1}{2011}=\underline{2010/2011}$，取倒数 $\underline{2011/2010}$。
    5. 第 5 步：$1+\frac{2011}{2010}=\underline{4021/2010}$，取倒数 $\underline{2010/4021}$，故传动比 $=1-\frac{2010}{4021}=\underline{2011/4021}$。
    最终答案：（1）$1\frac4{13}$；（2）$1\frac{21}{68}$；（3）$\frac{2011}{4021}$。
  95. 27. ch02-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步：最里层 $4+\frac15=\underline{21/5}$，取倒数 $\underline{5/21}$。
    2. 第 2 步：$3+\frac{5}{21}=\underline{68/21}$，取倒数 $\underline{21/68}$。
    3. 第 3 步：$2+\frac{21}{68}=\underline{157/68}$。
    最终答案：$\frac{157}{68}=2\frac{21}{68}$。
  96. 27. ch02-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（两边取倒数）：$2+\cfrac{1}{1+\frac1x}=\underline{7/3}$。
    2. 第 2 步（剥去 $2$）：$\cfrac{1}{1+\frac1x}=\frac73-2=\underline{1/3}$。
    3. 第 3 步（再取倒数）：$1+\frac1x=\underline{3}$。
    4. 第 4 步：$\frac1x=3-1=\underline{2}$，所以 $x=\underline{1/2}$。
    最终答案：$x=\frac12$。
  97. 28. ch02-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（先扔整数）：$\frac12+\frac13+\frac16=\underline{1}$，是整数，对小数位没有影响。
    2. 第 2 步（再扔有限小数）：$\frac14=0.25$、$\frac15=0.2$、$\frac18=0.125$、$\frac1{10}=0.1$ 都只有很少几位，影响不到这么靠后的位。
    3. 第 3 步（只剩循环部分）：$\frac17+\frac19=\underline{16/63}$，化成循环小数是 $0.\dot25396\dot8$，循环节长 $\underline{6}$。
    4. 第 4 步（定位）：$4022\div 6$ 的余数是 $4022-6\times 670=\underline{2}$。
    5. 第 5 步：数循环节 $2,5,3,9,6,8$ 的第 2 位，得数字 $\underline{5}$。
    最终答案：第 $4022$ 位是数字 $5$。
  98. 28. ch02-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步：$\frac12+\frac13+\frac16=\underline{1}$，整数不占小数位。
    2. 第 2 步：$\frac14,\frac15,\frac18,\frac1{10}$ 都是很短的有限小数，只影响最前面几位。
    3. 第 3 步：真正无限循环的是 $\frac17+\frac19=\underline{16/63}=0.\dot25396\dot8$，循环节长 $\underline{6}$。
    4. 第 4 步：$4022-6\times 670=\underline{2}$，即落在循环节第 2 位。
    5. 第 5 步：循环节 $2,5,3,9,6,8$ 的第 2 位是 $\underline{5}$。
    最终答案：第 $4022$ 个数字是 $5$。
  99. 28. ch02-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（通分）：$\frac17+\frac1{11}=\underline{18/77}$。
    2. 第 2 步（化循环小数）：$\frac{18}{77}=0.\dot23376\dot6$，循环节是 $2,3,3,7,6,6$，长度为 $\underline{6}$。
    3. 第 3 步（定位）：$2020-6\times 336=\underline{4}$。
    4. 第 4 步：循环节第 4 位是 $\underline{7}$。
    最终答案：第 $2020$ 位是数字 $7$。
  100. 28. ch02-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（乘进去）：$\frac12\times360,\ \frac13\times360,\ \frac14\times360,\ \frac16\times360,\ \frac18\times360,\ \frac19\times360$ 都是整数，不占小数位。
    2. 第 2 步：$\frac15\times360=\underline{72}$，也是整数。
    3. 第 3 步（只剩一项有小数）：$\frac17\times360=\frac{360}{7}$，其小数部分等于 $\frac{360-7\times 51}{7}=\frac{\underline{3}}{7}$。
    4. 第 4 步（化循环小数）：$\frac37=0.\dot42857\dot1$，循环节长 $\underline{6}$。
    5. 第 5 步（定位）：$2016-6\times 336=\underline{0}$，余数为 $0$ 说明落在循环节最后一位。
    6. 第 6 步：循环节 $4,2,8,5,7,1$ 的最后一位是 $\underline{1}$。
    最终答案：第 $2016$ 位是数字 $1$。
  101. 29. ch02-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题按定义翻译）：分子 $200+204=\underline{404}$，分母 $200\times204=\underline{40800}$，约分后得 $\underline{101/10200}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 题先算括号）：$5\triangle6=\frac{5+6}{5\times6}=\underline{11/30}$。
    3. 第 3 步：把 $\frac{11}{30}$ 整体当作一个数代入，$\frac{11}{30}\triangle7=\dfrac{\frac{11}{30}+7}{\frac{11}{30}\times7}=\dfrac{\underline{221/30}}{\frac{77}{30}}$。
    4. 第 4 步：约去 $\frac1{30}$，得 $\underline{221/77}$。
    5. 第 5 步（第 (3) 题分子）：$2\triangle4=\underline{3/4}$，再 $\frac34\triangle6=\dfrac{\frac34+6}{\frac34\times6}=\underline{3/2}$。
    6. 第 6 步（第 (3) 题分母）：$4\triangle6=\underline{5/12}$，再 $2\triangle\frac5{12}=\dfrac{2+\frac5{12}}{2\times\frac5{12}}=\underline{29/10}$。
    7. 第 7 步（相除）：$\frac32\div\frac{29}{10}=\frac32\times\frac{10}{29}=\underline{15/29}$。
    最终答案：（1）$\frac{101}{10200}$；（2）$\frac{221}{77}=2\frac{67}{77}$；（3）$\frac{15}{29}$。
  102. 29. ch02-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步：$200\triangle204=\frac{200+204}{200\times204}=\frac{\underline{404}}{\underline{40800}}=\underline{101/10200}$。
    2. 第 2 步：$5\triangle6=\underline{11/30}$。
    3. 第 3 步：$\frac{11}{30}\triangle7=\dfrac{\underline{221/30}}{\frac{77}{30}}=\underline{221/77}$。
    4. 第 4 步：$2\triangle4=\underline{3/4}$，$\frac34\triangle6=\underline{3/2}$。
    5. 第 5 步：$4\triangle6=\underline{5/12}$，$2\triangle\frac5{12}=\underline{29/10}$。
    6. 第 6 步：$\frac32\div\frac{29}{10}=\underline{15/29}$。
    最终答案：（1）$\frac{101}{10200}$；（2）$2\frac{67}{77}$；（3）$\frac{15}{29}$。
  103. 29. ch02-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 题按定义）：分子 $6\times3=\underline{18}$，分母 $6+3=\underline{9}$，所以 $6\otimes3=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（第 (2) 题先算括号）：$2\otimes3=\frac{2\times3}{2+3}=\underline{6/5}$。
    3. 第 3 步：$\frac65\otimes6=\dfrac{\frac65\times6}{\frac65+6}=\dfrac{\underline{36/5}}{\underline{36/5}}=\underline{1}$。
    最终答案：（1）$2$；（2）$1$。
  104. 29. ch02-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（先找通项）：按定义 $n\triangle n=\frac{n+n}{n\times n}=\frac{2}{n}$，所以 $\frac{1}{n\triangle n}=\underline{1/2}\times n$。
    2. 第 2 步（写成一串）：原式 $=\frac12+\frac22+\frac32+\cdots+\frac{20}{2}=\frac{1}{2}\times(1+2+\cdots+20)$。
    3. 第 3 步（等差数列求和）：$1+2+\cdots+20=\frac{(1+20)\times 20}{2}=\underline{210}$。
    4. 第 4 步：$\frac12\times 210=\underline{105}$。
    最终答案：$105$。
  105. 30. ch02-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（化简右边的比）：分子 $94+95+96+97+98=\underline{480}$，分母 $4+5+6+7+8=\underline{30}$。
    2. 第 2 步：$\frac{480}{30}=\underline{16}$，所以右边的比是 $37:16$。
    3. 第 3 步（左边化假分数）：$952\frac34=\underline{3811/4}$。
    4. 第 4 步（提出 37）：$\frac{3811}{4}=37\times\underline{103/4}$，约去 37 后比例成为 $\frac{103}{4}:\square=1:16$。
    5. 第 5 步（内项积等于外项积）：$\square=\frac{103}{4}\times 16=\underline{412}$。
    最终答案：$\square=412$。
  106. 30. ch02-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步：$94+95+96+97+98=\underline{480}$，$4+5+6+7+8=\underline{30}$。
    2. 第 2 步：$\frac{480}{30}=\underline{16}$，故质量比为 $37:16$。
    3. 第 3 步：$952\frac34=\underline{3811/4}$（克）。
    4. 第 4 步：提出 37 得 $\frac{3811}{4}=37\times\underline{103/4}$，比例化为 $\frac{103}{4}:\square=1:16$。
    5. 第 5 步：$\square=\frac{103}{4}\times 16=\underline{412}$（克）。
    最终答案：乙原料应用 $412$ 克。
  107. 30. ch02-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（化假分数）：$2\frac25=\underline{12/5}$，$1\frac78=\underline{15/8}$。
    2. 第 2 步（先算右边的比值）：$\frac{15}{8}\div\frac{9}{16}=\frac{15}{8}\times\frac{16}{9}=\underline{10/3}$。
    3. 第 3 步（未知项在前项）：$\square=2\frac25\times\frac{10}{3}=\underline{8}$。
    最终答案：$\square=8$。
  108. 30. ch02-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（统一 $b$）：$a:b=3:4$ 各项乘 3 得 $9:12$；$b:c=6:5$ 各项乘 2 得 $12:10$，所以 $a:b:c=9:12:\underline{10}$。
    2. 第 2 步（份数总和）：$9+12+10=\underline{31}$（份）。
    3. 第 3 步（总量）：$6\frac15\times 25=\underline{155}$。
    4. 第 4 步（每份）：$155\div 31=\underline{5}$。
    5. 第 5 步：$c=5\times 10=\underline{50}$。
    最终答案：$c=50$。
  109. 31. ch02-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（裂项）：每一项都可写成 $n(n+1)=\frac13[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$。
    2. 第 2 步（相消）：相加时中间各项首尾抵消，只剩最后一项，即 $\frac13\times 29\times 30\times\underline{31}$。
    3. 第 3 步：先算三连乘 $29\times 30\times 31=\underline{26970}$。
    4. 第 4 步：再除以 3，$26970\div 3=\underline{8990}$。
    最终答案：$8990$。
  110. 31. ch02-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步：每行箱数都是 $n(n+1)$，可裂项为 $\frac13[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$。
    2. 第 2 步：求和时首尾相消，总数 $=\frac13\times 29\times 30\times\underline{31}$。
    3. 第 3 步：$29\times 30\times 31=\underline{26970}$。
    4. 第 4 步：$26970\div 3=\underline{8990}$（箱）。
    最终答案：一共 $8990$ 箱。
  111. 31. ch02-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（补全）：这串数比 $1\times2+2\times3+\cdots+20\times21$ 少了第一项 $1\times 2=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（先求完整和）：$\frac13\times 20\times 21\times 22=\underline{3080}$。
    3. 第 3 步（减去补上的项）：$3080-2=\underline{3078}$。
    最终答案：$3078$。
  112. 31. ch02-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 问裂项相消）：$\frac13\times 19\times 20\times 21=\underline{2660}$。
    2. 第 2 步（找联系）：因为 $n^2=n(n+1)-n$，所以 $1^2+\cdots+19^2$ 等于第 (1) 问的和再减去 $1+2+\cdots+19$。
    3. 第 3 步（等差求和）：$1+2+\cdots+19=\frac{(1+19)\times 19}{2}=\underline{190}$。
    4. 第 4 步：$2660-190=\underline{2470}$。
    5. 第 5 步（用平方和公式复核）：$\frac{19\times 20\times 39}{6}=\underline{2470}$。
    最终答案：（1）$2660$；（2）$2470$。
  113. 32. ch02-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 问裂项）：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$，相加后中间全部相消，只剩 $1-\frac{1}{200}=\underline{199/200}$。
    2. 第 2 步（凑成指定分母）：$\triangle 200=200\times 201=\underline{40200}$，所以要把 $\frac{199}{200}$ 的分子分母同乘 $\underline{201}$。
    3. 第 3 步：$199\times 201=\underline{39999}$，即方框内填这个数。
    4. 第 4 步（第 (2) 问整数裂项）：$\triangle1+\cdots+\triangle200=\frac13\times 200\times 201\times\underline{202}$。
    5. 第 5 步：$200\times 201\times 202=\underline{8120400}$，再除以 3 得 $\underline{2706800}$。
    最终答案：（1）$39999$；（2）$2706800$。
  114. 32. ch02-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$，相消得 $1-\frac{1}{200}=\underline{199/200}$。
    2. 第 2 步：$\triangle 200=200\times 201=\underline{40200}$，分子分母同乘 $\underline{201}$。
    3. 第 3 步：$199\times 201=\underline{39999}$。
    4. 第 4 步：前 200 天名额总数 $=\frac13\times 200\times 201\times\underline{202}=\underline{2706800}$（个）。
    最终答案：（1）$39999$；（2）$2706800$ 个。
  115. 32. ch02-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（裂项）：$\frac{1}{\triangle n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$。
    2. 第 2 步（相消）：这次是从 $n=2$ 开始，所以首项变成 $\frac12$，相消后 $=\frac12-\frac{1}{\underline{101}}$。
    3. 第 3 步：通分相减 $\frac12-\frac{1}{101}=\underline{99/202}$。
    最终答案：$\frac{99}{202}$。
  116. 32. ch02-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（分数裂项）：$\frac{1}{\triangle1}+\cdots+\frac{1}{\triangle99}=1-\frac{1}{100}=\underline{99/100}$。
    2. 第 2 步（整数裂项）：$\triangle1+\cdots+\triangle99=\frac13\times 99\times 100\times\underline{101}$。
    3. 第 3 步：$99\times 100\times 101=\underline{999900}$，除以 3 得 $\underline{333300}$。
    4. 第 4 步（相乘）：$\frac{99}{100}\times 333300=\underline{329967}$。
    最终答案：$329967$。