竞赛数学 · 六年级 第4讲《方程解应用题》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch04-chaoyue-01】丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：$\begin{cases}\square x+\square y=2536,\\\square x+\square y=704.\end{cases}$ 其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了。甲计算得出方程的解是 $x=7$，$y=3$；而乙误把 $2536$ 看作 $1536$，得到的解是 $x=4$，$y=4$。试问：方程组四个被遮住的系数中最小的是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「待定系数还原」题：未知的是方程组的四个系数，而“解”反倒是已知的。
关键切入点：把思路倒过来：解代入方程一定成立。甲的解 $x=7,y=3$ 满足原来的两个方程；乙虽然把第一个常数看错了，但他的解 $x=4,y=4$ 满足“$2536$ 换成 $1536$”后的第一式，以及原封不动的第二式。于是关于 $a,b$ 得到一组方程、关于 $c,d$ 得到另一组，各自都是普通的二元一次方程组。关键是分清哪一个方程被改动过。
方法概述：把两人的解分别代回，按未知系数重新分组成两个二元一次方程组求解。
规范步骤：
  1. 设四个系数为 $a,b,c,d$：$\begin{cases}ax+by=2536\\cx+dy=704\end{cases}$（设元）
  2. 甲的解代入：$7a+3b=2536$，$7c+3d=704$（解满足原方程）
  3. 乙的解代入（第一式常数被看作 1536）：$4a+4b=1536$，$4c+4d=704$（只有第一式被改动）
  4. 解关于 $a,b$ 的组：由 $a+b=384$ 得 $b=384-a$，代入 $7a+3(384-a)=2536$，$4a=1384$，$a=346$，$b=38$（代入消元）
  5. 解关于 $c,d$ 的组：由 $c+d=176$ 得 $7c+3(176-c)=704$，$4c=176$，$c=44$，$d=132$（代入消元）
  6. 比较四个系数：$346,38,44,132$ 中最小的是 $38$（比较）
第一套
题目：甲、乙两人解方程组 $\begin{cases}\square x+\square y=3820,\\ \square x+\square y=700,\end{cases}$ 其中四个系数被遮住了。甲算得的解是 $x=5$，$y=4$；乙误把 $3820$ 看作 $2820$，算得的解是 $x=6$，$y=2$。问：四个被遮住的系数中最小的是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设四个系数依次为 $a$、$b$、$c$、$d$。
  2. 第 2 步（甲的解代入）：$5a+4b=3820$，$5c+4d=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（乙的解代入）：乙只看错了第一个常数，所以 $6a+2b=2820$，$6c+2d=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（解 $a$、$b$）：把 $6a+2b=2820$ 两边乘 $2$ 得 $12a+4b=\underline{\quad}$，与 $5a+4b=3820$ 相减得 $7a=\underline{\quad}$，所以 $a=\underline{\quad}$，$b=\frac{3820-1300}{4}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（解 $c$、$d$）：$6c+2d=700$ 乘 $2$ 得 $12c+4d=\underline{\quad}$，与 $5c+4d=700$ 相减得 $7c=\underline{\quad}$，所以 $c=\underline{\quad}$，$d=\frac{700-500}{4}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（比较）：$260$、$630$、$100$、$50$ 中最小的是 $\underline{\quad}$。
第二套
题目：墨迹弄污了课本上的一个方程组 $\begin{cases}\square x+\square y=3820,\\ \square x+\square y=700,\end{cases}$ 四个系数看不清了。小高解得 $x=5$，$y=4$；小萱把 $3820$ 误抄成 $2820$，解得 $x=6$，$y=2$。问：四个被污损的系数中最小的是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元代入）：设系数为 $a,b,c,d$。由小高的解得 $5a+4b=3820$、$5c+4d=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（小萱的解）：她只抄错第一个常数，故 $6a+2b=2820$、$6c+2d=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求 $a,b$）：$12a+4b=\underline{\quad}$，相减得 $7a=\underline{\quad}$，$a=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求 $c,d$）：$12c+4d=\underline{\quad}$，相减得 $7c=\underline{\quad}$，$c=\underline{\quad}$，$d=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（比较）：最小的系数是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：方程组 $\begin{cases}\square x+\square y=1200,\\ \square x+\square y=2760\end{cases}$ 的四个系数被遮住。甲算得 $x=3$，$y=6$；乙误把 $2760$ 看作 $3960$，算得 $x=5$，$y=5$。问：四个系数中最小的是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分清哪一式被改动）：这次乙看错的是第二个常数，所以第一式对两人都成立：$3a+6b=1200$，$5a+5b=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $a,b$）：两式分别除以 $3$ 和 $5$，得 $a+2b=\underline{\quad}$ 与 $a+b=\underline{\quad}$，相减得 $b=\underline{\quad}$，$a=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第二式）：甲用真常数：$3c+6d=2760$，即 $c+2d=\underline{\quad}$；乙用错常数：$5c+5d=3960$，即 $c+d=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求 $c,d$）：相减得 $d=920-792=\underline{\quad}$，$c=792-128=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（比较）：$80$、$160$、$664$、$128$ 中最小的是 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：方程组 $\begin{cases}\square x+\square y=3820,\\ \square x+\square y=700\end{cases}$ 的四个系数被遮住。甲解得 $x=5$，$y=4$；乙误把 $3820$ 看作 $2820$，解得 $x=6$，$y=2$。问：（1）四个系数分别是多少？（2）它们的和是多少？最大的与最小的相差多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $a,b$）：$12a+4b=5640$ 与 $5a+4b=3820$ 相减得 $7a=\underline{\quad}$，$a=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $c,d$）：$12c+4d=1400$ 与 $5c+4d=700$ 相减得 $7c=\underline{\quad}$，$c=\underline{\quad}$，$d=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求和）：$260+630+100+50=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求极差）：最大 $630$、最小 $50$，相差 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$5\times260+4\times630=1300+2520=\underline{\quad}$，与 $3820$ 相符。
2. 【原题 ch04-chaoyue-02】幼儿园有三个班，甲班比乙班多 $4$ 人，乙班比丙班多 $4$ 人。老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分 $3$ 个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 $5$ 个枣。结果甲班比乙班总共多分 $3$ 个枣，乙班比丙班总共多分 $5$ 个枣。问：三个班总共分了多少个枣？
详细思路
是哪类问题：这是「分配差量」型二元一次方程组：人数与每人份数都在变，用两班总数之差列方程。
关键切入点：设乙班 $x$ 人、乙班每人 $y$ 个枣，则甲班 $(x+4)$ 人、每人 $(y-3)$ 个，丙班 $(x-4)$ 人、每人 $(y+5)$ 个。两个条件写成 $(x+4)(y-3)-xy=3$ 与 $xy-(x-4)(y+5)=5$。展开时 $xy$ 会自动抵消，二次式立刻降为一次——这是这类题能用一次方程组解决的根本原因。
方法概述：把各班人数与每人份数都用两个未知数表示，按总数之差列方程，展开后 $xy$ 抵消。
规范步骤：
  1. 设乙班 $x$ 人、每人 $y$ 个：甲班 $(x+4)$ 人、每人 $(y-3)$ 个；丙班 $(x-4)$ 人、每人 $(y+5)$ 个（设元）
  2. 甲比乙多分 3 个：$(x+4)(y-3)-xy=4y-3x-12=3$，即 $4y-3x=15$（展开消去 xy）
  3. 乙比丙多分 5 个：$xy-(x-4)(y+5)=4y-5x+20=5$，即 $5x-4y=15$（展开消去 xy）
  4. 两式相加：$2x=30$，$x=15$（加减消元）
  5. 回代：$4y=15+45=60$，$y=15$（回代）
  6. 求总数：$19\times12+15\times15+11\times20=228+225+220=673$（求和）
第一套
题目：幼儿园三个班，甲班比乙班多 $5$ 人，乙班比丙班多 $5$ 人。分枣时甲班每个小孩比乙班每个小孩少分 $4$ 个，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 $6$ 个；结果甲班比乙班总共多分 $4$ 个，乙班比丙班总共多分 $6$ 个。问：三个班一共分了多少个枣？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设乙班 $x$ 人、每人 $y$ 个，则甲班 $(x+5)$ 人、每人 $(y-4)$ 个，丙班 $(x-5)$ 人、每人 $(y+6)$ 个。
  2. 第 2 步（甲比乙多 4）：$(x+5)(y-4)-xy=5y-4x-20=4$，$xy$ 抵消，得 $5y-4x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（乙比丙多 6）：$xy-(x-5)(y+6)=5y-6x+30=6$，得 $5y-6x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相减消元）：两式相减，$y$ 抵消，得 $2x=24-(-24)=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$ 人。
  5. 第 5 步（回代）：$5y=24+4\times24=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（求各班）：甲班 $29$ 人每人 $\underline{\quad}$ 个，丙班 $19$ 人每人 $\underline{\quad}$ 个。
  7. 第 7 步（求总数）：$29\times20+24\times24+19\times30=580+576+570=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：三个小组分糖：甲组比乙组多 $5$ 人，乙组比丙组多 $5$ 人；甲组每人比乙组每人少分 $4$ 块，乙组每人比丙组每人少分 $6$ 块；结果甲组比乙组总共多分 $4$ 块，乙组比丙组总共多分 $6$ 块。问：三个组一共分了多少块糖？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设乙组 $x$ 人、每人 $y$ 块，甲组 $(x+5)$ 人、每人 $(y-4)$ 块，丙组 $(x-5)$ 人、每人 $(y+6)$ 块。
  2. 第 2 步（列两式）：$5y-4x=\underline{\quad}$，$5y-6x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相减）：$2x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 人。
  4. 第 4 步（回代）：$5y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$ 块。
  5. 第 5 步（求总数）：$29\times20+24\times24+19\times30=\underline{\quad}$ 块。
第三套
题目：三个班分苹果：甲班比乙班多 $3$ 人，乙班比丙班多 $3$ 人；甲班每人比乙班每人少分 $2$ 个，乙班每人比丙班每人少分 $4$ 个；结果甲班比乙班总共多分 $2$ 个，乙班比丙班总共多分 $4$ 个。问：三个班共分了多少个苹果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设乙班 $x$ 人、每人 $y$ 个，甲班 $(x+3)$ 人、每人 $(y-2)$ 个，丙班 $(x-3)$ 人、每人 $(y+4)$ 个。
  2. 第 2 步（甲比乙多 2）：$3y-2x-6=2$，得 $3y-2x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（乙比丙多 4）：$3y-4x+12=4$，得 $3y-4x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相减）：$2x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 人。
  5. 第 5 步（回代）：$3y=8+2\times8=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（求总数）：$11\times6+8\times8+5\times12=66+64+60=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：甲班比乙班多 $5$ 人，乙班比丙班多 $5$ 人；甲班每人比乙班少分 $4$ 个，乙班每人比丙班少分 $6$ 个；甲班比乙班总共多分 $4$ 个，乙班比丙班总共多分 $6$ 个。问：（1）三个班共分多少个枣？（2）三个班一共多少人？（3）甲班比丙班总共多分多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列式消元）：$5y-4x=\underline{\quad}$ 与 $5y-6x=\underline{\quad}$ 相减得 $2x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 人。
  2. 第 2 步（求每人份数）：$5y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（求各班总数）：甲 $29\times20=\underline{\quad}$，乙 $24\times24=\underline{\quad}$，丙 $19\times30=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（求总枣数与总人数）：$580+576+570=\underline{\quad}$ 个；$29+24+19=\underline{\quad}$ 人。
  5. 第 5 步（甲与丙比较）：$580-570=\underline{\quad}$ 个。
3. 【原题 ch04-chaoyue-03】下表显示了一次钓鱼比赛的结果： | $n$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ | $13$ | $14$ | $15$ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 钓了 $n$ 条鱼的人数 | $9$ | $5$ | $7$ | $23$ | $\cdots$ | $5$ | $2$ | $1$ | 已知：①冠军钓得 $15$ 条；②钓鱼 $3$ 条以上（含 $3$ 条）的选手平均每人钓得了 $6$ 条鱼；③钓鱼 $12$ 条或 $12$ 条以下的选手平均每人钓得了 $5$ 条鱼。请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓了多少条鱼？
详细思路
是哪类问题：这是「统计表 + 平均数」型二元一次方程组：先把统计表首尾已知的两组算清楚，再用两个平均数条件建立关于“中间人数”与“总鱼数”的方程组。
关键切入点：统计表首尾两组是已知的具体人数，先把它们的人数与鱼数算死：钓 $0\sim2$ 条的有 $9+5+7=21$ 人、共 $0\times9+1\times5+2\times7=19$ 条；钓 $13\sim15$ 条的有 $5+2+1=8$ 人、共 $13\times5+14\times2+15\times1=108$ 条。再设钓 $3\sim12$ 条的有 $M$ 人、全体共钓 $F$ 条。条件②（钓 $3$ 条及以上平均 $6$）针对的 $(M+8)$ 人钓了 $(F-19)$ 条，得 $F-19=6(M+8)$；条件③（钓 $12$ 条及以下平均 $5$）针对的 $(21+M)$ 人钓了 $(F-108)$ 条，得 $F-108=5(21+M)$。两式相减消去 $F$ 即可求 $M$——注意求答案只需 $M$ 与 $F$，并不需要表中被省略号略去的 $n=4\sim12$ 各列的细分。（题库原解沿用的 $6x=y+108$、$5(x+21)=y+816$ 与自称解 $x=146,y=816$ 代入并不自洽，这里改用可自洽的分组列式。）
方法概述：先把首尾两组的人数与鱼数算实，再设中间人数 $M$、总鱼数 $F$，按两个平均数条件列方程组，相减消元求解，最后回代得总人数与总鱼数。
规范步骤：
  1. 算首组（钓 0~2 条）：人数 $9+5+7=21$，鱼数 $0\times9+1\times5+2\times7=19$（统计表已知列）
  2. 算尾组（钓 13~15 条）：人数 $5+2+1=8$，鱼数 $13\times5+14\times2+15\times1=108$（统计表已知列）
  3. 设中间人数 $M$、总鱼数 $F$，列条件②：钓 3 条及以上共 $(M+8)$ 人、$(F-19)$ 条，平均 6：$F-19=6(M+8)$（平均数×人数=总量）
  4. 列条件③：钓 12 条及以下共 $(21+M)$ 人、$(F-108)$ 条，平均 5：$F-108=5(21+M)$（平均数×人数=总量）
  5. 两式相减消去 $F$：$(F-19)-(F-108)=6(M+8)-5(21+M)$，即 $89=M-57$，$M=146$（加减消元）
  6. 回代求总鱼数与总人数：$F=19+6(146+8)=943$；总人数 $=21+146+8=175$（回代）
  7. 检验条件③：$943-108=835=5\times(21+146)$，成立（回代验算）
4. 【原题 ch04-chaoyue-04】$A$、$B$ 两地相距 $2400$ 米。甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 两地同时相向出发，在途中某处相遇；甲继续行进 $18$ 分钟到达 $B$ 地，乙继续行进 $50$ 分钟到达 $A$ 地。请问：甲、乙两人每分钟各走多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「相遇后所余时间」型行程问题：两人相遇后各自走完对方走过的那段路。
关键切入点：设从出发到相遇用了 $x$ 分钟。相遇后甲要走的正是乙在相遇前走的那段，所以 $\frac{甲速}{乙速}=\frac{乙相遇前走的路}{甲相遇后走的路}$ 换算下来得到 $\frac{x}{18}=\frac{50}{x}$，交叉相乘得 $x^{2}=18\times50=900$，$x=30$——相遇用时正是相遇后两人所余时间的“几何平均”。求出 $x$ 后，甲走完全程用 $x+18$ 分钟，速度就是 $2400\div48$。
方法概述：用相遇前后路程比相等得 $x^{2}=t_1t_2$ 求相遇用时，再用全程除以各自总时间求速度。
规范步骤：
  1. 设相遇用时 $x$ 分钟：$\frac{x}{18}=\frac{50}{x}$（相遇前后路程比）
  2. 交叉相乘：$x^{2}=18\times50=900$，$x=30$（几何平均）
  3. 求甲的速度：甲走完全程用 $30+18=48$ 分钟，$2400\div48=50$ 米/分（路程÷时间）
  4. 求乙的速度：乙走完全程用 $30+50=80$ 分钟，$2400\div80=30$ 米/分（路程÷时间）
  5. 检验：相遇时两人共走 $(50+30)\times30=2400$ 米（验算）
第一套
题目：$A$、$B$ 两地相距 $4200$ 米。甲、乙两人分别从 $A$、$B$ 同时相向出发，途中相遇；相遇后甲再走 $45$ 分钟到达 $B$ 地，乙再走 $80$ 分钟到达 $A$ 地。求甲、乙两人每分钟各走多少米。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元列比例）：设相遇用了 $x$ 分钟，则 $\frac{x}{45}=\frac{80}{x}$。
  2. 第 2 步（交叉相乘）：$x^{2}=45\times80=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步（求甲的总时间）：甲走完全程用 $60+45=\underline{\quad}$ 分钟。
  4. 第 4 步（求甲速）：$4200\div105=\underline{\quad}$ 米/分。
  5. 第 5 步（求乙的总时间与速度）：乙用 $60+80=\underline{\quad}$ 分钟，速度为 $4200\div140=\underline{\quad}$ 米/分。
  6. 第 6 步（检验）：相遇时两人共走 $(40+30)\times60=\underline{\quad}$ 米，正好是全程。
第二套
题目：两个车站相距 $4200$ 米。两名骑车人分别从两站同时相向出发，中途相遇；相遇后第一人再骑 $45$ 分钟到达对面车站，第二人再骑 $80$ 分钟到达对面车站。求两人每分钟各骑多少米。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列比例）：设相遇用了 $x$ 分钟，$\frac{x}{45}=\frac{80}{x}$。
  2. 第 2 步（求相遇时间）：$x^{2}=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步（求两人总时间）：第一人 $\underline{\quad}$ 分钟，第二人 $\underline{\quad}$ 分钟。
  4. 第 4 步（求速度）：$4200\div105=\underline{\quad}$ 米/分，$4200\div140=\underline{\quad}$ 米/分。
  5. 第 5 步（检验）：$(40+30)\times60=\underline{\quad}$ 米。
第三套
题目：$A$、$B$ 两地相距 $3000$ 米。甲、乙同时从两地相向出发，相遇后甲再走 $8$ 分钟到 $B$，乙再走 $18$ 分钟到 $A$。求两人的速度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列比例）：设相遇用 $x$ 分钟，$\frac{x}{8}=\frac{18}{x}$。
  2. 第 2 步（交叉相乘）：$x^{2}=8\times18=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步（求总时间）：甲共用 $12+8=\underline{\quad}$ 分钟，乙共用 $12+18=\underline{\quad}$ 分钟。
  4. 第 4 步（求速度）：甲 $3000\div20=\underline{\quad}$ 米/分，乙 $3000\div30=\underline{\quad}$ 米/分。
  5. 第 5 步（检验）：$(150+100)\times12=\underline{\quad}$ 米。
第三套
题目：$A$、$B$ 相距 $4200$ 米，甲、乙同时从两地相向出发，相遇后甲再走 $45$ 分钟到 $B$，乙再走 $80$ 分钟到 $A$。问：（1）两人速度各是多少？（2）相遇点距 $A$ 地多少米？（3）甲走完全程共用多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求相遇用时）：$x^{2}=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 分钟。
  2. 第 2 步（求速度）：甲 $4200\div\underline{\quad}=40$ 米/分，乙 $4200\div140=\underline{\quad}$ 米/分。
  3. 第 3 步（求相遇点位置）：相遇点距 $A$ 地 $40\times60=\underline{\quad}$ 米。
  4. 第 4 步（另一种算法检验）：也可用乙相遇后走的路程 $30\times80=\underline{\quad}$ 米，两者一致。
  5. 第 5 步（求甲的全程时间）：$60+45=\underline{\quad}$ 分钟，或 $4200\div40=\underline{\quad}$ 分钟。
5. 【原题 ch04-chaoyue-05】甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运 $5$ 次；如果一起运，各运 $6$ 次刚好运完。问：甲车单独运要几次运完？
详细思路
是哪类问题：这是「工程合作次数」型分式方程：把总货物量看作 $1$，用“每次运的份额”相加等于 $1$ 列方程。
关键切入点：甲单独 $x$ 次运完，说明甲每次运 $\frac{1}{x}$；乙单独 $(x+5)$ 次运完，每次运 $\frac{1}{x+5}$。“各运 $6$ 次刚好运完”意思是 $\frac{6}{x}+\frac{6}{x+5}=1$。去分母后 $x^{2}$ 出现，但可以整理成 $x^{2}=7x+30$，试算 $x=10$ 时 $100=70+30$ 成立（另一根为负，舍去）。
方法概述：把总量看作 1，用每次的工作量列分式方程，去分母后整理求解。
规范步骤：
  1. 设甲单独运 $x$ 次运完：乙单独运 $(x+5)$ 次，甲每次 $\frac{1}{x}$、乙每次 $\frac{1}{x+5}$（效率与次数互为倒数）
  2. 列方程：$\frac{6}{x}+\frac{6}{x+5}=1$（合作总量为 1）
  3. 去分母：$6(x+5)+6x=x(x+5)$，即 $12x+30=x^{2}+5x$（两边乘 $x(x+5)$）
  4. 整理：$x^{2}=7x+30$（移项）
  5. 求解：$x=10$（$100=70+30$ 成立；负根舍去）（试解并验根）
  6. 检验：$\frac{6}{10}+\frac{6}{15}=0.6+0.4=1$（回代）
第一套
题目：甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运 $10$ 次；如果一起运，各运 $12$ 次刚好运完。问：甲车单独运要几次运完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设甲单独运 $x$ 次运完，则乙单独运 $(x+10)$ 次，甲每次运 $\frac{1}{x}$、乙每次运 $\frac{1}{x+10}$。
  2. 第 2 步（列方程）：$\frac{12}{x}+\frac{12}{x+10}=1$。
  3. 第 3 步（去分母）：两边同乘 $x(x+10)$，得 $12(x+10)+12x=x(x+10)$，左边为 $\underline{\quad}x+120$。
  4. 第 4 步（整理）：$x^{2}+10x=24x+120$，即 $x^{2}=\underline{\quad}x+120$。
  5. 第 5 步（试解验根）：取 $x=20$，左边 $400$，右边 $14\times20+120=\underline{\quad}$，相等，所以 $x=\underline{\quad}$ 次。
  6. 第 6 步（检验）：$\frac{12}{20}+\frac{12}{30}=0.6+\underline{\quad}=1$。
第二套
题目：两台抽水机抽干一池水，甲机单独抽比乙机单独抽要少抽 $10$ 轮；若两机一起抽，各抽 $12$ 轮刚好抽完。问：甲机单独抽要几轮抽完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设甲单独抽 $x$ 轮抽完，乙单独抽 $(x+10)$ 轮，每轮分别抽 $\frac{1}{x}$、$\frac{1}{x+10}$。
  2. 第 2 步（列方程去分母）：$\frac{12}{x}+\frac{12}{x+10}=1$，同乘 $x(x+10)$ 得 $\underline{\quad}x+120=x^{2}+10x$。
  3. 第 3 步（整理）：$x^{2}=\underline{\quad}x+120$。
  4. 第 4 步（试解）：$x=20$ 时左边 $400$、右边 $\underline{\quad}$，成立，所以 $x=\underline{\quad}$ 轮。
  5. 第 5 步（检验）：$\frac{12}{20}+\frac{12}{30}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲、乙两人搬一堆砖，甲单独搬比乙单独搬要少搬 $15$ 次；若一起搬，各搬 $10$ 次刚好搬完。问：甲单独搬要几次搬完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设甲单独搬 $x$ 次，乙单独搬 $(x+15)$ 次。
  2. 第 2 步（列方程）：$\frac{10}{x}+\frac{10}{x+15}=1$，去分母得 $10(x+15)+10x=x(x+15)$，左边为 $\underline{\quad}x+150$。
  3. 第 3 步（整理）：$x^{2}+15x=20x+150$，即 $x^{2}=\underline{\quad}x+150$。
  4. 第 4 步（试解验根）：$x=15$ 时左边 $225$、右边 $5\times15+150=\underline{\quad}$，成立，故 $x=\underline{\quad}$ 次。
  5. 第 5 步（检验）：$\frac{10}{15}+\frac{10}{30}=\frac{2}{3}+\underline{\quad}=1$。
第三套
题目：甲车单独运比乙车单独运少运 $10$ 次；一起运时各运 $12$ 次刚好运完。问：（1）甲车单独运几次运完？（2）若先由甲车单独运 $8$ 次，剩下的货物由乙车单独运，还要运几次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程求甲）：$\frac{12}{x}+\frac{12}{x+10}=1$，整理得 $x^{2}=\underline{\quad}x+120$，试得 $x=\underline{\quad}$ 次。
  2. 第 2 步（求两车每次的量）：甲每次 $\frac{1}{20}=\underline{\quad}$，乙每次 $\frac{1}{30}$。
  3. 第 3 步（算甲运的部分）：$8\times0.05=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算剩余）：$1-0.4=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（换算成乙的次数）：$0.6\div\frac{1}{30}=\underline{\quad}$ 次。
6. 【原题 ch04-chaoyue-06】一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以 $2$，末项乘以 $2$，这些数的平均数将增加 $2$；如果把首项乘以 $2$，末项除以 $2$，平均数将少 $2$。已知这个等差数列中所有项的和等于 $245$，求这个数列的末项。
详细思路
是哪类问题：这是「等差数列求和 + 多元方程组」题：端项变化引起平均数变化，用总和的改变量列方程。但需先指出——源题给出的两个端项变化条件彼此矛盾，标准答案只与其中之一相符。
关键切入点：把首项记作 $a$、末项记作 $b$、项数记作 $n$。改动端项时其余各项不变，所以“平均数的变化 $\times n$ ＝ 总和的变化”。第一条件（首项除以 $2$、末项乘 $2$，平均数增加 $2$）给 $b-\frac{a}{2}=2n$；第二条件（首项乘 $2$、末项除以 $2$，平均数减少 $2$）给 $a-\frac{b}{2}=-2n$。若两条件同时成立，两式相加得 $\left(b-\frac{a}{2}\right)+\left(a-\frac{b}{2}\right)=\frac{a+b}{2}=2n+(-2n)=0$，即 $a+b=0$——这与求和式 $\frac{(a+b)n}{2}=245$（要求 $a+b>0$）直接矛盾，说明源题两个变化条件的数据自相矛盾（见 textbook_errata）。标准答案 $a=14,b=56,n=7$ 满足求和式与第二条件（$a-\frac{b}{2}=14-28=-14=-2\times7$），但第一条件下平均数实际增加 $\frac{b-a/2}{n}=\frac{56-7}{7}=7$ 而非 $2$，故第一条件与答案不符。这里如实呈现矛盾，依教材答案给出末项。
方法概述：写出两个端项变化方程；因两条件相加得 $a+b=0$ 与求和式矛盾，源题数据自相矛盾，按 textbook_errata 依教材答案（满足求和式与第二条件）给出末项。
规范步骤：
  1. 设首项 $a$、末项 $b$、项数 $n$：$\frac{(a+b)n}{2}=245$（等差数列求和）
  2. 写出第一条件：首项÷2、末项×2 后总和改变 $b-\frac{a}{2}$，平均数增 2，故 $b-\frac{a}{2}=2n$（改变量与平均数）
  3. 写出第二条件：首项×2、末项÷2 后总和改变 $a-\frac{b}{2}$，平均数少 2，故 $a-\frac{b}{2}=-2n$（改变量与平均数）
  4. 两条件相加暴露矛盾：$\left(b-\frac{a}{2}\right)+\left(a-\frac{b}{2}\right)=\frac{a+b}{2}=2n-2n=0$，得 $a+b=0$，与 $\frac{(a+b)n}{2}=245$ 矛盾（见 textbook_errata）（自相矛盾）
  5. 依教材答案取值并检验：$a=14,b=56,n=7$：求和 $\frac{(14+56)\times7}{2}=245$、第二条件 $14-28=-14=-2\times7$ 均成立；第一条件下平均实际增 $\frac{56-7}{7}=7\ne2$，故仅第二条件相符（回代）
  6. 得出末项：$b=56$（结论）
7. 【原题 ch04-chaoyue-07】一个水池，顶部有一个进水管，底部有一个出水管。如果只打开进水管，$50$ 分钟可以把水池灌满；如果只打开出水管，$60$ 分钟可以放完一池水。现在水池在中间的某个位置出现了一条与池底平行的裂缝，如果只打开进水管，需要 $80$ 分钟才能灌满一池水，而只打开出水管只需 $46.5$ 分钟即可放完一池水。请问：裂缝出现在离池底几分之几高度的地方？
详细思路
是哪类问题：这是「进出水 + 分段流量」问题：裂缝把水池分成上下两段，只有水面在裂缝以上时才漏水。
关键切入点：关键是分段：水面在裂缝以下时，进水速度就是 $\frac{1}{50}$、出水速度就是 $\frac{1}{60}$，与裂缝无关；水面到了裂缝以上，进水要扣掉漏水（净速 $\frac{1}{50}-y$），放水反而更快（$\frac{1}{60}+y$）。设裂缝在离池底 $x$（占满池高度的比例）处、漏水速度为 $y$，把灌满与放空的总时间各拆成“下段 ＋ 上段”即可列出方程组。
方法概述：按裂缝把过程分成两段分别计时，列出含裂缝位置与漏水速度的方程组并消元。
规范步骤：
  1. 设裂缝在离池底 $x$ 处、漏水速度 $y$：下段灌水用 $50x$ 分钟，出水放下段用 $60x$ 分钟（分段）
  2. 写出灌满的方程：$50x+\frac{1-x}{\frac{1}{50}-y}=80$（进水分段）
  3. 写出放空的方程：$\frac{1-x}{\frac{1}{60}+y}+60x=46.5$（出水分段）
  4. 代入 $x=\frac{2}{5}$ 检验：下段灌水 $0.4\times50=20$ 分钟，上段用 $60$ 分钟，故净速 $\frac{0.6}{60}=0.01$，$y=\frac{1}{50}-0.01=0.01$（求漏速）
  5. 验放空：上段 $\frac{0.6}{\frac{1}{60}+0.01}=22.5$ 分钟，下段 $0.4\times60=24$ 分钟，共 $46.5$ 分钟（验算）
  6. 结论：$x=\frac{2}{5}$（回答）
第一套
题目：一个水池顶部有进水管、底部有出水管。只开进水管 $60$ 分钟可灌满，只开出水管 $75$ 分钟可放完。现在池壁中间出现一条与池底平行的裂缝，只开进水管需要 $84$ 分钟才能灌满，而只开出水管只需 $60$ 分钟就能放完。请问：裂缝在离池底几分之几高度的地方？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分段设元）：设裂缝在离池底 $x$（占满池高度的比例）处，漏水速度为 $y$（每分钟漏掉满池的几分之几）。
  2. 第 2 步（灌水分两段）：下段不漏水，用 $60x$ 分钟；上段用 $(84-60x)$ 分钟灌进 $(1-x)$，所以净速 $\frac{1-x}{84-60x}=\frac{1}{60}-y$。
  3. 第 3 步（放水分两段）：上段用 $(60-75x)$ 分钟放掉 $(1-x)$，速度 $\frac{1-x}{60-75x}=\frac{1}{75}+y$；下段用 $75x$ 分钟。
  4. 第 4 步（相加消去 $y$）：$\frac{1-x}{84-60x}+\frac{1-x}{60-75x}=\frac{1}{60}+\frac{1}{75}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（换元整理）：记 $u=1-x$，则 $84-60x=\underline{\quad}+60u$，$60-75x=75u\underline{\quad}$；去分母后 $u^{2}$ 项恰好抵消，得 $1800u=1080$，所以 $u=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求裂缝位置）：$x=1-0.6=\underline{\quad}$，即 $\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步（检验）：上段灌水 $\frac{0.6}{84-24}=\underline{\quad}$，上段放水 $\frac{0.6}{60-30}=\underline{\quad}$，两者相加 $\underline{\quad}$，与第 4 步相符。
第二套
题目：一座水塔顶部有注水管、底部有放水管。只开注水管 $60$ 分钟可注满，只开放水管 $75$ 分钟可放完。塔壁中间出现一条与塔底平行的裂缝后，只开注水管需 $84$ 分钟才能注满，只开放水管只需 $60$ 分钟就放完。求裂缝在离塔底几分之几高度处。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分段设元）：设裂缝在离塔底 $x$ 处、漏水速度为 $y$。
  2. 第 2 步（注水）：下段用 $60x$ 分钟，上段净速 $\frac{1-x}{84-60x}=\frac{1}{60}-y$。
  3. 第 3 步（放水）：上段速度 $\frac{1-x}{60-75x}=\frac{1}{75}+y$，下段用 $75x$ 分钟。
  4. 第 4 步（相加消 $y$）：两式相加得 $\frac{1-x}{84-60x}+\frac{1-x}{60-75x}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（换元求解）：记 $u=1-x$，整理得 $1800u=1080$，$u=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$，即 $\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（检验）：$\frac{0.6}{60}+\frac{0.6}{30}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：某水池只开进水管 $40$ 分钟可灌满，只开出水管 $50$ 分钟可放完。出现一条与池底平行的裂缝后，只开进水管需 $44$ 分钟才灌满，只开出水管 $46$ 分钟即可放完。求裂缝在离池底几分之几高度处。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分段）：设裂缝在离池底 $x$ 处、漏速 $y$。下段灌水 $40x$ 分钟，下段放水 $50x$ 分钟。
  2. 第 2 步（两段速度）：$\frac{1-x}{44-40x}=\frac{1}{40}-y$，$\frac{1-x}{46-50x}=\frac{1}{50}+y$。
  3. 第 3 步（相加消 $y$）：$\frac{1-x}{44-40x}+\frac{1-x}{46-50x}=\frac{1}{40}+\frac{1}{50}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（代入 $x=0.6$ 检验）：$\frac{0.4}{44-24}=\underline{\quad}$，$\frac{0.4}{46-30}=\underline{\quad}$，两者相加 $=\underline{\quad}$，与上式相等，所以 $x=\underline{\quad}$，即 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：某水池只开进水管 $60$ 分钟灌满、只开出水管 $75$ 分钟放完；出现裂缝后只开进水管需 $84$ 分钟灌满、只开出水管 $60$ 分钟放完。问：（1）裂缝在离池底几分之几高度处？（2）裂缝每分钟漏掉满池的几分之几？漏光一池水要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（消 $y$ 求裂缝）：$\frac{1-x}{84-60x}+\frac{1-x}{60-75x}=\underline{\quad}$，整理得 $u=1-x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算上段灌水时间）：下段用 $60\times0.4=\underline{\quad}$ 分钟，上段用 $84-24=\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步（求上段净进水速度）：$0.6\div60=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求漏水速度）：$y=\frac{1}{60}-0.01=\underline{\quad}$，即每分钟漏掉满池的 $\frac{1}{150}$。
  5. 第 5 步（求漏光时间）：$1\div\frac{1}{150}=\underline{\quad}$ 分钟。
8. 【原题 ch04-chaoyue-08】“太平洋号”和“北冰洋号”两艘潜艇在海下沿直线同向潜航，“北冰洋号”在前，“太平洋号”在后。在某一时刻，“太平洋号”发出声波，间隔 $2$ 秒后，反射声波回到“太平洋号”；“北冰洋号”会反射声波，在“太平洋号”收到第一次回波后又发出声波，第二次反射声波回到“太平洋号”的时间比第一次又多了 $\frac{79}{40}$ 秒，已知“太平洋号”的速度为每小时 $54$ 千米，第一次和第二次探测到“北冰洋号”的回波的时间间隔是 $2.01$ 秒，声速度为每秒 $1185$ 米。请问：“北冰洋号”的速度是每小时多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「声波往返 + 相对运动」问题：声波追上前船再返回，往返时间由“相对速度”决定。
关键切入点：先统一单位：“太平洋号”每小时 $54$ 千米即每秒 $54000\div3600=15$ 米。设“北冰洋号”每秒 $x$ 米、两船初始相距 $y$ 米。声波去时是“声速 $-$ 前船速度”在追赶（用时 $\frac{y}{1185-x}$ 的形式），回时是“声速 $+$ 后船速度”在接近。两次探测之间两船的间距按相对速度 $(x-15)$ 变化，把两次往返时间之差写成方程即可解出 $x$。最后把每秒米数换回每小时千米数：$\times3600\div1000$。
方法概述：统一单位后用相对速度写出两次声波往返的时间，作差列方程解出前船速度再换算单位。
规范步骤：
  1. 换算后船速度：$54\times1000\div3600=15$ 米/秒（单位换算）
  2. 设前船每秒 $x$ 米、初始间距 $y$ 米：往返时间用 $\frac{y}{1185-x}$ 一类的式子表示（相对速度）
  3. 按两次往返时间之差列方程并消去 $y$：解得 $x=\frac{395}{22}$ 米/秒（消元）
  4. 换算单位：$\frac{395}{22}\times3600\div1000=64\frac{7}{11}$ 千米/小时（单位换算）
9. 【原题 ch04-tuozhan-01】解下列方程：（1）$x+\frac{x+3}{4}+\frac{x-1}{6}=\frac{7x}{12}+1$；（2）$\frac{3}{2}\times\left[\frac{2}{3}\times\left(\frac{1}{4}x+1\right)+2\right]-\frac{7}{2}=\frac{2}{3}x$；（3）$\frac{3x+5}{4x+1}=\frac{5}{2}$；（4）$(x+1)(x+7)=(x+2)^{2}+5$。
详细思路
是哪类问题：这是「一元一次方程综合求解」：分别考查去分母、多层括号、比例交叉相乘、整式展开消去二次项四种化简手法。
关键切入点：(1) 公分母 $12$ 一次去干净；(2) 有中括号套小括号，从最里层往外逐层展开，或整体乘开也可；(3) 比例式交叉相乘；(4) 两边都有 $x^{2}$，展开后 $x^{2}$ 自动抵消，方程降为一次——这是“看似二次实为一次”的常见陷阱。
方法概述：先判断属于哪种化简形态，再统一化成 $ax=b$。
规范步骤：
  1. (1) 两边同乘 $12$：$12x+3(x+3)+2(x-1)=7x+12$（去分母）
  2. (1) 去括号合并：$17x+7=7x+12$，即 $10x=5$，$x=\frac{1}{2}$（合并同类项）
  3. (2) 逐层去括号：$\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}x+1\right)=\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}$，加 $2$ 后乘 $\frac{3}{2}$ 得 $\frac{1}{4}x+4$（分配律）
  4. (2) 移项求解：$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}x$，即 $\frac{5}{12}x=\frac{1}{2}$，$x=\frac{6}{5}$（合并同类项）
  5. (3) 交叉相乘：$2(3x+5)=5(4x+1)$，即 $6x+10=20x+5$，$14x=5$，$x=\frac{5}{14}$（比例交叉相乘）
  6. (4) 展开消去 $x^{2}$：$x^{2}+8x+7=x^{2}+4x+9$，即 $4x=2$，$x=\frac{1}{2}$（整式展开）
  7. 说明：按题面计算，(2) 应为 $x=\frac{6}{5}$、(3) 应为 $x=\frac{5}{14}$（题库印作 $-\frac{6}{5}$、$\frac{3}{14}$）（复核）
第一套
题目：解下列方程：（1）$x+\frac{x+5}{6}+\frac{x-2}{9}=\frac{11x}{18}+2$；（2）$\frac{2}{3}\times\left[\frac{3}{4}\times\left(\frac{1}{5}x+2\right)+3\right]-\frac{5}{2}=\frac{3}{4}x$；（3）$\frac{4x+7}{3x+2}=\frac{5}{3}$；（4）$(x+2)(x+9)=(x+4)^{2}+6$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：(1) 分母 $6$、$9$、$18$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$，两边同乘它得 $18x+3(x+5)+2(x-2)=11x+36$。
  2. 第 2 步：左边合并后 $x$ 的系数是 $18+3+2=\underline{\quad}$、常数是 $15-4=\underline{\quad}$；移项得 $\underline{\quad}x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：(2) 从最里层去括号，$\frac{3}{4}\left(\frac{1}{5}x+2\right)=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$，加 $3$ 再乘 $\frac{2}{3}$ 得 $\frac{1}{10}x+3$，减 $\frac{5}{2}$ 得 $\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}$。
  4. 第 4 步：(2) 移项，$x$ 的系数为 $\frac{3}{4}-\frac{1}{10}=\underline{\quad}$，所以 $x=\frac{1}{2}\div\frac{13}{20}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：(3) 交叉相乘得 $3(4x+7)=5(3x+2)$，即 $12x+21=15x+10$，移项得 $\underline{\quad}x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：(4) 展开得 $x^{2}+11x+18=x^{2}+8x+22$，两边的 $x^{2}$ 抵消，$3x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
第二套
题目：数学闯关赛设四道关卡，依次是：第一关 $x+\frac{x+5}{6}+\frac{x-2}{9}=\frac{11x}{18}+2$；第二关 $\frac{2}{3}\times\left[\frac{3}{4}\times\left(\frac{1}{5}x+2\right)+3\right]-\frac{5}{2}=\frac{3}{4}x$；第三关 $\frac{4x+7}{3x+2}=\frac{5}{3}$；第四关 $(x+2)(x+9)=(x+4)^{2}+6$。请依次求出四关的答案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 关：公分母是 $\underline{\quad}$，去分母整理后 $\underline{\quad}x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 关：逐层去括号后得 $\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}x$，$x$ 的系数差为 $\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 关：交叉相乘得 $12x+21=15x+10$，$\underline{\quad}x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 关：展开消去 $x^{2}$ 后 $3x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
第三套
题目：解方程：$\frac{2x+1}{5}-\frac{x-3}{4}=\frac{x+2}{2}-1$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找公分母）：分母 $5$、$4$、$2$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（去分母）：两边同乘它得 $4(2x+1)-5(x-3)=10(x+2)-20$，注意 $-\frac{x-3}{4}$ 去分母后整个括号前带负号。
  3. 第 3 步（去括号）：左边 $8x+4-5x+15$，$x$ 的系数为 $\underline{\quad}$、常数为 $\underline{\quad}$；右边 $10x+20-20=10x$。
  4. 第 4 步（移项求解）：$\underline{\quad}x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
第三套
题目：解方程：$\frac{(x+2)(x+3)-(x+7)(x+8)}{5}=x-16$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分别展开）：$(x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6$，$(x+7)(x+8)=x^{2}+15x+56$。
  2. 第 2 步（相减）：$x^{2}$ 抵消，$x$ 的系数为 $5-15=\underline{\quad}$，常数为 $6-56=\underline{\quad}$，分子为 $-10x-50$。
  3. 第 3 步（去分母）：$\frac{-10x-50}{5}=-2x-10$，方程变为 $-2x-10=x-16$。
  4. 第 4 步（移项求解）：$\underline{\quad}x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：左边 $\frac{4\times5-9\times10}{5}=\frac{20-90}{5}=\underline{\quad}$，右边 $2-16=-14$，相符。
10. 【原题 ch04-tuozhan-02】一个分数，分子与分母的和是 $122$。如果分子、分母都减去 $19$，得到的分数约分后是 $\frac{1}{5}$，那么原来的分数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「分子分母同时变化」型分数问题：和已知，同加同减后化成给定的比。
关键切入点：分子与分母的和是 $122$，所以设分子 $x$、分母就是 $(122-x)$，只用一个未知数。同时减 $19$ 后，分子变 $(x-19)$、分母变 $(122-x-19)=(103-x)$，约分后等于 $\frac{1}{5}$ 意味着两者之比是 $1:5$，用交叉相乘去掉分式即可。
方法概述：用“和为定值”设一元，按变化后的比交叉相乘列方程。
规范步骤：
  1. 设分子为 $x$：分母 $=122-x$（和为定值设元）
  2. 写出同减 $19$ 后的分子分母：$\frac{x-19}{103-x}=\frac{1}{5}$（同减 19）
  3. 交叉相乘：$5(x-19)=103-x$，即 $5x-95=103-x$（比例的交叉相乘）
  4. 求解：$6x=198$，$x=33$（移项合并）
  5. 求分母并检验：$122-33=89$，$\frac{33-19}{89-19}=\frac{14}{70}=\frac{1}{5}$（回代）
第一套
题目：一个分数，分子与分母的和是 $210$。如果分子、分母都减去 $30$，得到的分数约分后是 $\frac{1}{9}$，那么原来的分数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设分子为 $x$，则分母为 $210-x$。
  2. 第 2 步（写出变化后的分数）：同减 $30$ 后分子为 $x-30$，分母为 $210-x-30=\underline{\quad}-x$。
  3. 第 3 步（列方程）：$\frac{x-30}{180-x}=\frac{1}{9}$，交叉相乘得 $9(x-30)=180-x$，即 $9x-270=180-x$。
  4. 第 4 步（移项求解）：$x$ 的系数为 $9+1=\underline{\quad}$，右边为 $180+270=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求分母并检验）：分母 $=210-45=\underline{\quad}$，检验 $\frac{45-30}{165-30}=\frac{15}{135}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：仓库里男工与女工共 $210$ 人。如果男工、女工各调走 $30$ 人，那么剩下的男工人数与女工人数之比是 $1:9$。原来男工、女工各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设男工 $x$ 人，则女工 $210-x$ 人。
  2. 第 2 步（调走后）：男工剩 $x-30$ 人，女工剩 $\underline{\quad}-x$ 人。
  3. 第 3 步（列方程）：$\frac{x-30}{180-x}=\frac{1}{9}$，交叉相乘得 $9x-270=180-x$，合并后 $x$ 的系数为 $\underline{\quad}$、右边为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$x=\underline{\quad}$ 人，女工 $=\underline{\quad}$ 人。
  5. 第 5 步（检验）：$\frac{15}{135}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个分数，分子与分母的和是 $96$。如果分子、分母都加上 $12$，得到的分数约分后是 $\frac{3}{5}$，那么原来的分数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设分子为 $x$，则分母为 $96-x$。
  2. 第 2 步（同加 12）：分子变为 $x+12$，分母变为 $96-x+12=\underline{\quad}-x$。
  3. 第 3 步（列方程）：$\frac{x+12}{108-x}=\frac{3}{5}$，交叉相乘得 $5(x+12)=3(108-x)$，即 $5x+60=324-3x$。
  4. 第 4 步（移项）：$x$ 的系数为 $5+3=\underline{\quad}$，右边为 $324-60=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：分母 $=96-33=\underline{\quad}$，$\frac{33+12}{63+12}=\frac{45}{75}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个分数，分子与分母的和是 $210$，分子、分母都减去 $30$ 后约分得 $\frac{1}{9}$。问：（1）原来的分数是多少？（2）把原来的分数约成最简分数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元列方程）：设分子 $x$，$\frac{x-30}{180-x}=\frac{1}{9}$，交叉相乘得 $9x-270=180-x$。
  2. 第 2 步（求解）：$x$ 的系数 $\underline{\quad}$、右边 $\underline{\quad}$，所以分子 $x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求分母）：$210-45=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（约分）：$45$ 与 $165$ 的最大公因数是 $15$，$45\div15=\underline{\quad}$，$165\div15=\underline{\quad}$，所以最简分数是 $\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch04-tuozhan-03】把 $130$ 克含盐 $5\%$ 的盐水，与若干含盐 $9\%$ 的盐水混合，配成含盐 $6.4\%$ 的盐水，请问：最后配成的盐水有多少克？
详细思路
是哪类问题：这是「浓度混合问题」：两种不同浓度的盐水混合，用“盐的总量不变”列方程。
关键切入点：混合时水会变多、盐水总量会变，但盐的总克数只是简单相加，这就是唯一可靠的等量关系。设新加入的 $9\%$ 盐水为 $x$ 克，则混合后总量 $(130+x)$ 克、盐 $(130\times5\%+9\%x)$ 克，二者必须满足浓度 $6.4\%$。注意最后问的是“配成的盐水”，要再加回 $130$ 克。
方法概述：以“混合前后盐的总量相等”列方程，解出加入量后再求总量。
规范步骤：
  1. 设加入 $9\%$ 盐水 $x$ 克：混合后总量 $130+x$ 克（设元）
  2. 按盐量守恒列方程：$130\times5\%+9\%x=6.4\%\times(130+x)$（盐量不变）
  3. 去百分号整理：$6.5+0.09x=8.32+0.064x$（计算）
  4. 移项求解：$0.026x=1.82$，$x=70$（系数化 1）
  5. 求配成的盐水：$130+70=200$ 克（回答所问）
第一套
题目：把 $240$ 克含盐 $4\%$ 的盐水，与若干含盐 $12\%$ 的盐水混合，配成含盐 $9\%$ 的盐水。请问：最后配成的盐水有多少克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设加入含盐 $12\%$ 的盐水 $x$ 克，混合后总量为 $(240+x)$ 克。
  2. 第 2 步（算原有的盐）：$240\times4\%=\underline{\quad}$ 克。
  3. 第 3 步（列方程）：$9.6+0.12x=0.09(240+x)$，右边为 $\underline{\quad}+0.09x$。
  4. 第 4 步（移项）：$x$ 的系数为 $0.12-0.09=\underline{\quad}$，右边为 $21.6-9.6=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求解）：$x=12\div0.03=\underline{\quad}$ 克。
  6. 第 6 步（求配成的盐水）：$240+400=\underline{\quad}$ 克，检验含盐 $9.6+48=\underline{\quad}$ 克，恰是 $640\times9\%$。
第二套
题目：把 $240$ 克含果汁 $4\%$ 的饮料，与若干含果汁 $12\%$ 的饮料混合，配成含果汁 $9\%$ 的饮料。请问：最后配成的饮料有多少克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设加入 $12\%$ 的饮料 $x$ 克，混合后总量 $(240+x)$ 克。
  2. 第 2 步（算原有果汁）：$240\times4\%=\underline{\quad}$ 克。
  3. 第 3 步（按果汁量守恒列方程）：$9.6+0.12x=0.09(240+x)$，即 $0.12x-0.09x=\underline{\quad}-9.6$。
  4. 第 4 步（求解）：$x$ 的系数为 $\underline{\quad}$，右边为 $\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 克。
  5. 第 5 步（求总量）：$240+400=\underline{\quad}$ 克。
第三套
题目：把 $300$ 克含糖 $10\%$ 的糖水，与若干含糖 $25\%$ 的糖水混合，配成含糖 $20\%$ 的糖水。请问：最后配成的糖水有多少克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设加入 $25\%$ 的糖水 $x$ 克，总量为 $(300+x)$ 克。
  2. 第 2 步（算原有的糖）：$300\times10\%=\underline{\quad}$ 克。
  3. 第 3 步（列方程）：$30+0.25x=0.2(300+x)$，右边常数为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（移项）：$x$ 的系数为 $0.25-0.2=\underline{\quad}$，右边为 $60-30=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求解）：$x=\underline{\quad}$ 克，配成的糖水共 $300+600=\underline{\quad}$ 克。
第三套
题目：把 $240$ 克含盐 $4\%$ 的盐水与若干含盐 $12\%$ 的盐水混合，配成含盐 $9\%$ 的盐水。问：（1）配成的盐水有多少克？（2）要把这些盐水稀释成含盐 $6\%$，还要加入多少克水？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程求加入量）：$240\times4\%+0.12x=0.09(240+x)$，$x$ 的系数为 $\underline{\quad}$、右边为 $\underline{\quad}$，得 $x=\underline{\quad}$ 克。
  2. 第 2 步（求配成的盐水）：$240+400=\underline{\quad}$ 克。
  3. 第 3 步（求盐的克数）：加水稀释时盐不变，盐为 $640\times9\%=\underline{\quad}$ 克。
  4. 第 4 步（求稀释后的总量）：含盐 $6\%$ 时总量为 $57.6\div0.06=\underline{\quad}$ 克。
  5. 第 5 步（求加水量）：$960-640=\underline{\quad}$ 克。
12. 【原题 ch04-tuozhan-04】如图 $4\text{-}2$ 中的短除式所示，一个自然数被 $8$ 除余 $1$，所得的商被 $8$ 除也余 $1$，再把第二次所得的商被 $8$ 除后余 $7$，最后得到的商是 $a$。图 $4\text{-}3$ 中的短除式表明：这个自然数被 $17$ 除余 $4$，所得的商被 $17$ 除余 $15$，最后得到的商是 $a$ 的 $2$ 倍。求这个自然数。
详细思路
是哪类问题：这是「带余除法逆推」题：同一个自然数用两套短除式表示，令两式相等求参数。
关键切入点：带余除法可以“倒着写回去”：若某数被 $8$ 除商 $q$ 余 $r$，则该数 $=8q+r$。由图 $4\text{-}2$ 从最后一步往回推：第二次的商 $=8a+7$，第一次的商 $=8(8a+7)+1$，原数 $=8[8(8a+7)+1]+1=512a+457$；由图 $4\text{-}3$ 同理原数 $=17(34a+15)+4=578a+259$。同一个数的两种写法必须相等，方程就出来了。
方法概述：把两套短除式分别还原成含 $a$ 的一次式，令二者相等解出 $a$，再回代求原数。
规范步骤：
  1. 由图 4-2 逐层还原：$8[8(8a+7)+1]+1=512a+457$（带余除法还原）
  2. 由图 4-3 逐层还原：$17(17\times2a+15)+4=578a+259$（带余除法还原）
  3. 两式相等列方程：$512a+457=578a+259$（同一个自然数）
  4. 求 $a$：$66a=198$，$a=3$（移项合并）
  5. 回代求原数：$512\times3+457=1993$（回代）
第一套
题目：一个自然数被 $8$ 除余 $5$，所得的商被 $8$ 除余 $3$，再把第二次所得的商被 $8$ 除后余 $6$，最后得到的商是 $a$；这个自然数被 $17$ 除余 $13$，所得的商被 $17$ 除余 $8$，最后得到的商是 $a$ 的 $2$ 倍。求这个自然数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一套还原）：第二次的商是 $8a+6$，第一次的商是 $8(8a+6)+3$，原数 $=8[8(8a+6)+3]+5$。
  2. 第 2 步（展开）：$a$ 的系数是 $8\times8\times8=\underline{\quad}$，常数是 $64\times6+8\times3+5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第二套还原）：原数 $=17(17\times2a+8)+13$，$a$ 的系数是 $17\times17\times2=\underline{\quad}$，常数是 $17\times8+13=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程）：$512a+413=578a+149$，移项得 $\underline{\quad}a=\underline{\quad}$，所以 $a=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：原数 $=512\times4+413=\underline{\quad}$，用第二套检验 $578\times4+149=\underline{\quad}$，一致。
第二套
题目：藏宝箱的密码是一个自然数：把它按 $8$ 个一堆分，余 $5$ 个；所得堆数再按 $8$ 个一堆分，余 $3$ 堆；再分一次余 $6$ 堆，最后剩 $a$ 堆。若改成按 $17$ 个一堆分，余 $13$ 个；所得堆数再按 $17$ 个一堆分余 $8$ 堆，最后剩 $2a$ 堆。求这个密码。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按 8 还原）：密码 $=8[8(8a+6)+3]+5$，展开后 $a$ 的系数为 $\underline{\quad}$、常数为 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（按 17 还原）：密码 $=17(34a+8)+13$，$a$ 的系数为 $\underline{\quad}$、常数为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列方程求 $a$）：$66a=\underline{\quad}$，$a=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：密码 $=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个自然数被 $7$ 除余 $1$，所得的商被 $7$ 除余 $1$，再被 $7$ 除余 $6$，最后得到的商是 $a$；这个自然数被 $12$ 除余 $11$，所得的商被 $12$ 除余 $2$，最后得到的商是 $a$ 的 $3$ 倍。求这个自然数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按 7 还原）：原数 $=7[7(7a+6)+1]+1$，$a$ 的系数为 $7\times7\times7=\underline{\quad}$，常数为 $49\times6+7\times1+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（按 12 还原）：原数 $=12(12\times3a+2)+11$，$a$ 的系数为 $12\times12\times3=\underline{\quad}$，常数为 $12\times2+11=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列方程）：$343a+302=432a+35$，移项得 $\underline{\quad}a=\underline{\quad}$，$a=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代检验）：原数 $=343\times3+302=\underline{\quad}$，也等于 $432\times3+35=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个自然数被 $8$ 除余 $5$，商被 $8$ 除余 $3$，再被 $8$ 除余 $6$，最后商为 $a$；它被 $17$ 除余 $13$，商被 $17$ 除余 $8$，最后商为 $2a$。问：（1）这个自然数是多少？（2）它除以 $9$ 的余数是多少（用各位数字之和判断）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两套还原）：$512a+\underline{\quad}=578a+\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $a$）：$66a=\underline{\quad}$，$a=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求原数）：$512\times4+413=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（弃九法）：各位数字之和 $2+4+6+1=\underline{\quad}$，再求 $1+3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：$2461-4=2457$，而 $2457\div9=\underline{\quad}$ 是整数，所以余数确为 $4$。
13. 【原题 ch04-tuozhan-05】数学老师从一个装有若干红色和蓝色小球的口袋中取出 $1$ 个红色小球后，袋中剩下的小球有 $\frac{1}{7}$ 是红色小球；如果一开始从口袋中取出 $2$ 个蓝色小球，袋中剩下的小球就有 $\frac{1}{5}$ 是红色小球。那么原来这个口袋中有多少个小球？
详细思路
是哪类问题：这是「不变量分析 + 分数比例」题：两种取法下红球数与总数的关系不同，但红球的原有个数是同一个。
关键切入点：第一种取法取走 $1$ 个红球，红球减少 $1$，剩下的球是 $(x-1)$ 个，此时红球 $=\frac{1}{7}(x-1)$，所以原有红球 $=\frac{1}{7}(x-1)+1$；第二种取法只取蓝球，红球没变，原有红球 $=\frac{1}{5}(x-2)$。抓住“原有红球数不变”，两个表达式相等就是方程。
方法概述：以“红球原有个数不变”为等量关系，用总数 $x$ 把两种情形下的红球数写出来并令其相等。
规范步骤：
  1. 设原有 $x$ 个球：取 1 红后剩 $x-1$ 个，红球 $\frac{1}{7}(x-1)$（分数比例）
  2. 由此写出原有红球数：$\frac{1}{7}(x-1)+1$（红球减少了 1）
  3. 第二种取法：取 2 蓝后剩 $x-2$ 个，红球 $\frac{1}{5}(x-2)$，红球没变（不变量）
  4. 令两式相等：$\frac{1}{7}(x-1)+1=\frac{1}{5}(x-2)$，两边乘 $35$ 得 $5(x-1)+35=7(x-2)$（去分母）
  5. 求解：$5x+30=7x-14$，$2x=44$，$x=22$（移项合并）
  6. 检验：红球 $=\frac{22-2}{5}=4$，取 1 红后 $\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$（回代）
第一套
题目：从一个装有红、蓝两色小球的口袋中取出 $2$ 个红球后，袋中剩下的小球有 $\frac{1}{9}$ 是红球；如果一开始取出 $8$ 个蓝球，袋中剩下的小球就有 $\frac{1}{6}$ 是红球。那么原来口袋中有多少个小球？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设原有 $x$ 个球。取出 $2$ 个红球后剩 $(x-2)$ 个，其中红球 $\frac{1}{9}(x-2)$ 个。
  2. 第 2 步（表示原有红球）：红球被取走 $2$ 个，所以原有红球 $=\frac{1}{9}(x-2)+2$ 个。
  3. 第 3 步（另一种取法）：取出 $8$ 个蓝球后剩 $(x-8)$ 个，红球没变，为 $\frac{1}{6}(x-8)$ 个。
  4. 第 4 步（列方程去分母）：$\frac{1}{9}(x-2)+2=\frac{1}{6}(x-8)$，两边同乘 $\underline{\quad}$ 得 $2(x-2)+36=3(x-8)$。
  5. 第 5 步（去括号合并）：左边 $2x-4+36=2x+\underline{\quad}$，右边 $3x-\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求解）：$x=32+24=\underline{\quad}$ 个。
  7. 第 7 步（检验）：红球 $=\frac{56-8}{6}=\underline{\quad}$ 个，取 $2$ 个红球后 $\frac{6}{54}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：停车场里停着轿车和摩托车。开走 $2$ 辆轿车后，场内剩下的车有 $\frac{1}{9}$ 是轿车；如果一开始开走 $8$ 辆摩托车，场内剩下的车就有 $\frac{1}{6}$ 是轿车。原来停车场共有多少辆车？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设原有 $x$ 辆车，开走 $2$ 辆轿车后剩 $(x-2)$ 辆，轿车 $\frac{1}{9}(x-2)$ 辆。
  2. 第 2 步（表示原有轿车）：原有轿车 $=\frac{1}{9}(x-2)+2$ 辆。
  3. 第 3 步（另一种情形）：开走 $8$ 辆摩托车后轿车数不变，为 $\frac{1}{6}(x-8)$ 辆。
  4. 第 4 步（列方程）：两式相等，两边同乘 $\underline{\quad}$ 得 $2(x-2)+36=3(x-8)$，即 $2x+\underline{\quad}=3x-\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求解）：$x=\underline{\quad}$ 辆，其中轿车 $\underline{\quad}$ 辆。
第三套
题目：口袋里装有红球和蓝球。取出 $1$ 个红球后，剩下的球有 $\frac{1}{8}$ 是红球；如果一开始取出 $5$ 个蓝球，剩下的球有 $\frac{1}{5}$ 是红球。原来口袋中有多少个球？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设原有 $x$ 个球，取 $1$ 红后红球为 $\frac{1}{8}(x-1)$ 个，故原有红球 $=\frac{1}{8}(x-1)+1$ 个。
  2. 第 2 步（另一情形）：取 $5$ 个蓝球后红球不变，为 $\frac{1}{5}(x-5)$ 个。
  3. 第 3 步（去分母）：两边同乘 $\underline{\quad}$ 得 $5(x-1)+40=8(x-5)$。
  4. 第 4 步（去括号合并）：左边 $5x+\underline{\quad}$，右边 $8x-\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求解）：$3x=35+40=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（检验）：红球 $=\frac{25-5}{5}=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：取出 $2$ 个红球后剩下的球有 $\frac{1}{9}$ 是红球；若一开始取出 $8$ 个蓝球，剩下的球有 $\frac{1}{6}$ 是红球。问：（1）原来共有多少个球？（2）原来蓝球比红球多多少个？（3）原来红球占总数的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：$\frac{1}{9}(x-2)+2=\frac{1}{6}(x-8)$，两边同乘 $18$ 得 $2x+\underline{\quad}=3x-\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求总数）：$x=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（求红球）：红球 $=\frac{56-8}{6}=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（求蓝球）：蓝球 $=56-8=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（求差与占比）：蓝球比红球多 $48-8=\underline{\quad}$ 个；红球占 $\frac{8}{56}=\underline{\quad}$。
14. 【原题 ch04-tuozhan-06】给六年级五班的同学分苹果，第一组每人 $3$ 个，第二组每人 $4$ 个，第三组每人 $5$ 个，第四组每人 $6$ 个，第二组比第三组各多 $22$ 人，第一组人数是第二组的 $2$ 倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去 $230$ 个苹果。问：该班一共有多少名学生？
详细思路
是哪类问题：这是「分配求人数」型一元一次方程：各组人数彼此有倍比或和差关系，用分出的物品总数列方程。
关键切入点：题面“第二组比第三组各多 $22$ 人”系排印讹误，由标准答案（第二组 $12$ 人、总人数 $56$ 人）可知实际条件是“第二组与第三组人数之和为 $22$”，即第三组、第四组各 $(22-x)$ 人。设第二组 $x$ 人后，四组人数依次为 $2x$、$x$、$22-x$、$22-x$，苹果总数 $2x\times3+x\times4+(22-x)\times5+(22-x)\times6=242-x$，令其等于 $230$ 即可。
方法概述：设关系最集中的那一组为未知数，把四组人数都用它表示，按苹果总数列方程。
规范步骤：
  1. 设第二组 $x$ 人：第一组 $2x$ 人，第三、四组各 $22-x$ 人（倍比与和的关系）
  2. 按每人个数算苹果总数：$2x\times3+x\times4+(22-x)\times5+(22-x)\times6$（分配总量）
  3. 合并同类项：$6x+4x+11(22-x)=10x+242-11x=242-x$（合并）
  4. 列方程求解：$242-x=230$，$x=12$（总数等量关系）
  5. 求全班人数：$2x+x+2(22-x)=x+44=56$（回代）
  6. 检验：$24\times3+12\times4+10\times5+10\times6=230$（回代验算）
第一套
题目：给同学分苹果：第一组每人 $3$ 个，第二组每人 $4$ 个，第三组每人 $5$ 个，第四组每人 $6$ 个。已知第一组人数是第二组的 $2$ 倍，第三组与第四组人数相等，第二组与第三组人数之和是 $30$，四个组一共分掉 $315$ 个苹果。问：这四个组一共有多少名学生？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设第二组 $x$ 人，则第一组 $2x$ 人，第三、四组各 $(30-x)$ 人。
  2. 第 2 步（表示苹果总数）：第一组分 $2x\times3=\underline{\quad}x$ 个，第二组分 $4x$ 个，第三、四组共分 $(30-x)\times(5+6)=\underline{\quad}(30-x)$ 个。
  3. 第 3 步（合并）：总数 $=10x+11\times30-11x=\underline{\quad}-x$。
  4. 第 4 步（列方程求解）：$330-x=315$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求各组人数）：第一组 $\underline{\quad}$ 人，第三、四组各 $\underline{\quad}$ 人。
  6. 第 6 步（求总人数）：$30+15+15+15=\underline{\quad}$ 人。
  7. 第 7 步（检验）：$30\times3+15\times4+15\times5+15\times6=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：给四个兴趣小组发练习本：第一组每人 $3$ 本，第二组每人 $4$ 本，第三组每人 $5$ 本，第四组每人 $6$ 本。第一组人数是第二组的 $2$ 倍，第三、四组人数相等，第二组与第三组人数之和是 $30$，一共发出 $315$ 本。问：四个组共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设第二组 $x$ 人，第一组 $2x$ 人，第三、四组各 $(30-x)$ 人。
  2. 第 2 步（表示本数）：第一组 $\underline{\quad}x$ 本，第三、四组合起来每人相当于 $\underline{\quad}$ 本。
  3. 第 3 步（列方程）：$10x+11(30-x)=\underline{\quad}-x=315$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求人数）：第一组 $\underline{\quad}$ 人，第三、四组各 $\underline{\quad}$ 人，合计 $\underline{\quad}$ 人。
第三套
题目：分糖果：第一组每人 $2$ 块，第二组每人 $4$ 块，第三组每人 $5$ 块，第四组每人 $6$ 块。第一组人数是第二组的 $3$ 倍，第三、四组人数相等，第二组与第三组人数之和是 $25$，一共分掉 $262$ 块。问：四个组共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设第二组 $x$ 人，第一组 $3x$ 人，第三、四组各 $(25-x)$ 人。
  2. 第 2 步（表示糖块）：第一组 $3x\times2=\underline{\quad}x$ 块，加上第二组的 $4x$ 块共 $\underline{\quad}x$ 块；第三、四组共 $(25-x)\times11$ 块。
  3. 第 3 步（合并）：总数 $=10x+11\times25-11x=\underline{\quad}-x$。
  4. 第 4 步（求解）：$275-x=262$，$x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求人数）：第一组 $\underline{\quad}$ 人，第三、四组各 $\underline{\quad}$ 人，合计 $39+13+12+12=\underline{\quad}$ 人。
第三套
题目：第一组每人 $3$ 个、第二组每人 $4$ 个、第三组每人 $5$ 个、第四组每人 $6$ 个苹果，第一组人数是第二组的 $2$ 倍，第三、四组人数相等，第二组与第三组人数之和是 $30$，共分掉 $315$ 个。问：（1）共有多少人？（2）平均每人分到多少个？（3）第一组比第三组多分多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程求第二组）：$10x+11(30-x)=315$，即 $330-x=315$，$x=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求各组人数）：第一组 $\underline{\quad}$ 人，第三、四组各 $\underline{\quad}$ 人，总人数 $\underline{\quad}$ 人。
  3. 第 3 步（求平均数）：$315\div75=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（求两组分到的苹果）：第一组 $30\times3=\underline{\quad}$ 个，第三组 $15\times5=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（求差）：$90-75=\underline{\quad}$ 个。
15. 【原题 ch04-tuozhan-07】甲、乙两车同时从 $A$、$B$ 两地出发，相向而行，在 $A$、$B$ 之间不断往返行驶。甲车到达 $B$ 地后，在 $B$ 地停留了 $2$ 个小时，然后返回 $A$ 地；乙车到达 $A$ 地后，马上返回 $B$ 地，两车在返回的途中又相遇了。相遇的地点距离 $B$ 地 $288$ 千米。已知甲车的速度是每小时 $60$ 千米，乙车的速度是每小时 $40$ 千米。请问：$A$、$B$ 两地相距多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「往返相遇行程问题」：两车在 $A$、$B$ 间往返，中途甲还停留过，用“两车所用时间的关系”列方程。
关键切入点：先把两车到再次相遇时各自走了多远数清楚：乙从 $B$ 到 $A$ 走了 $x$，再折返走到相遇点（距 $B$ 地 $288$）又走了 $(x-288)$，共 $(2x-288)$ 千米；甲从 $A$ 到 $B$ 走 $x$，折返走 $288$，共 $(x+288)$ 千米。两车同时出发、同时相遇，但甲中途停了 $2$ 小时，所以“甲的行驶时间 $=$ 乙的行驶时间 $-2$”，这就是等量关系。
方法概述：分别数清两车的总路程，用“行驶时间差等于停留时间”列方程。
规范步骤：
  1. 设 $A$、$B$ 相距 $x$ 千米：乙走 $2x-288$ 千米，甲走 $x+288$ 千米（数清往返路程）
  2. 写出时间关系：$\left(\frac{2x-288}{40}-2\right)\times60=x+288$（甲行驶时间＝乙时间－停留 2 小时）
  3. 去括号：$1.5(2x-288)-120=x+288$，即 $3x-432-120=x+288$（分配律）
  4. 移项求解：$2x=840$，$x=420$（合并同类项）
  5. 检验：乙走 $552$ 千米用 $13.8$ 小时，甲走 $708$ 千米用 $11.8$ 小时，相差 2 小时（回代）
第一套
题目：甲、乙两车同时从 $A$、$B$ 两地出发相向而行，并在两地间往返行驶。甲车到 $B$ 地后停留 $3$ 小时再返回 $A$ 地；乙车到 $A$ 地后立即返回 $B$ 地，两车在返回途中又相遇，相遇点距 $B$ 地 $384$ 千米。已知甲车每小时 $60$ 千米，乙车每小时 $40$ 千米。求 $A$、$B$ 两地相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数路程）：设两地相距 $x$ 千米。乙先走 $x$ 到 $A$，再折返走到相遇点又走 $(x-384)$，共 $\underline{\quad}x-384$ 千米；甲先走 $x$ 到 $B$，再折返走 $384$，共 $(x+384)$ 千米。
  2. 第 2 步（时间关系）：甲的行驶时间比乙少 $3$ 小时，即 $\left(\frac{2x-384}{40}-3\right)\times60=x+384$。
  3. 第 3 步（去括号）：$60\div40=1.5$，左边为 $1.5(2x-384)-180=3x-\underline{\quad}-\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（移项）：$3x-756=x+384$，$2x=756+384=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$ 千米。
  5. 第 5 步（检验）：乙共行 $2\times570-384=\underline{\quad}$ 千米，用 $756\div40=\underline{\quad}$ 小时；甲共行 $954$ 千米，用 $954\div60=\underline{\quad}$ 小时，相差正好 $3$ 小时。
第二套
题目：两艘船同时从上游码头 $A$ 和下游码头 $B$ 出发相向而行，并在两码头间不断往返。甲船到 $B$ 后停靠 $3$ 小时再返回；乙船到 $A$ 后立即返回，两船在返回途中又相遇，相遇处距 $B$ 码头 $384$ 千米。甲船每小时 $60$ 千米，乙船每小时 $40$ 千米。求两码头相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数路程）：设相距 $x$ 千米，乙船共行 $\underline{\quad}x-384$ 千米，甲船共行 $(x+384)$ 千米。
  2. 第 2 步（列方程）：$\left(\frac{2x-384}{40}-3\right)\times60=x+384$，左边展开为 $3x-\underline{\quad}-\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求解）：$2x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 千米。
  4. 第 4 步（检验）：乙船共行 $\underline{\quad}$ 千米、用 $\underline{\quad}$ 小时，甲船用 $\underline{\quad}$ 小时，相差 $3$ 小时。
第三套
题目：甲、乙两车同时从 $A$、$B$ 出发相向而行并往返。甲车到 $B$ 后停留 $3$ 小时再返回，乙车到 $A$ 后立即返回，两车在返回途中相遇，相遇点距 $B$ 地 $340$ 千米。甲车每小时 $90$ 千米，乙车每小时 $60$ 千米。求 $A$、$B$ 两地的距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（数路程）：设相距 $x$ 千米，乙共行 $(2x-340)$ 千米，甲共行 $(x+340)$ 千米。
  2. 第 2 步（速度比）：$90\div60=\underline{\quad}$，所以甲的路程 $=1.5\times$（乙的行驶时间对应的路程）$-90\times3$。
  3. 第 3 步（列方程）：$1.5(2x-340)-\underline{\quad}=x+340$，即 $3x-510-270=x+340$。
  4. 第 4 步（移项求解）：$2x=780+340=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 千米。
  5. 第 5 步（检验）：乙行 $\underline{\quad}$ 千米用 $\underline{\quad}$ 小时，甲行 $900$ 千米用 $\underline{\quad}$ 小时，相差 $3$ 小时。
第三套
题目：甲车每小时 $60$ 千米、乙车每小时 $40$ 千米，同时从 $A$、$B$ 出发相向而行并往返；甲到 $B$ 后停留 $3$ 小时再返回，乙到 $A$ 后立即返回，两车在返回途中相遇，相遇点距 $B$ 地 $384$ 千米。问：（1）$A$、$B$ 相距多少千米？（2）从出发到再次相遇，乙车共行了多少千米、用了多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：$\left(\frac{2x-384}{40}-3\right)\times60=x+384$，展开得 $3x-576-\underline{\quad}=x+384$。
  2. 第 2 步（求全程）：$2x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 千米。
  3. 第 3 步（求乙的路程）：$2\times570-384=\underline{\quad}$ 千米。
  4. 第 4 步（求乙的时间）：$756\div40=\underline{\quad}$ 小时。
  5. 第 5 步（检验甲）：甲行 $570+384=\underline{\quad}$ 千米，行驶 $954\div60=\underline{\quad}$ 小时，加上停留 $3$ 小时正好是 $\underline{\quad}$ 小时。
16. 【原题 ch04-tuozhan-08】解下面的方程组：（1）$\begin{cases}11x+9y=49,\\13x-3y=17;\end{cases}$ （2）$\begin{cases}2y-x=1,\\13x-8y=59;\end{cases}$ （3）$\begin{cases}18x+29y=307,\\16x+28y=284.\end{cases}$
详细思路
是哪类问题：这是「二元一次方程组求解」题：三小题分别适合“系数成倍数加减消元”“系数为 1 代入消元”“系数相近相减消元”。
关键切入点：解方程组前先观察系数：(1) $y$ 的系数 $9$ 与 $-3$ 成倍数，第二式乘 $3$ 后与第一式相加即可消 $y$；(2) 第一式中 $x$ 的系数是 $1$，直接写成 $x=2y-1$ 代入最省事；(3) 两式对应系数只差 $1$ 与 $2$，相减后系数立刻变小（得 $2x+y=23$），这是“相近系数先作差”的典型技巧。
方法概述：先看系数特点，选加减消元或代入消元，尽量把系数化小。
规范步骤：
  1. (1) 第二式乘 3：$39x-9y=51$，与 $11x+9y=49$ 相加得 $50x=100$（加减消元）
  2. (1) 求解回代：$x=2$，$9y=49-22=27$，$y=3$（回代）
  3. (2) 由第一式表示 $x$：$x=2y-1$（系数为 1）
  4. (2) 代入第二式：$13(2y-1)-8y=59$，即 $18y=72$，$y=4$，$x=7$（代入消元）
  5. (3) 两式相减：$2x+y=23$，即 $y=23-2x$（相近系数作差）
  6. (3) 代入求解：$16x+28(23-2x)=284$，$-40x=-360$，$x=9$，$y=5$（代入消元）
第一套
题目：解下面的方程组：（1）$\begin{cases}13x+8y=118,\\15x-4y=70;\end{cases}$ （2）$\begin{cases}3y-x=2,\\17x-9y=344;\end{cases}$ （3）$\begin{cases}23x+37y=512,\\21x+36y=483.\end{cases}$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：(1) $y$ 的系数 $8$ 与 $-4$ 成倍数，第二式两边乘 $2$ 得 $30x-8y=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：与第一式相加，$y$ 抵消，得 $\underline{\quad}x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$，回代得 $y=\frac{118-78}{8}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：(2) 第一式中 $x$ 的系数是 $1$，写成 $x=3y-2$ 代入第二式得 $17(3y-2)-9y=344$，即 $\underline{\quad}y-34=344$。
  4. 第 4 步：合并求解，$42y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$，回代 $x=3\times9-2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：(3) 两式对应系数相近，相减得 $2x+y=\underline{\quad}$，即 $y=29-2x$。
  6. 第 6 步：代入 $21x+36(29-2x)=483$，$x$ 的系数为 $21-72=\underline{\quad}$，右边为 $483-1044=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
第二套
题目：数学社团设三道挑战题，各要解一个方程组：第一题 $\begin{cases}13x+8y=118,\\15x-4y=70;\end{cases}$ 第二题 $\begin{cases}3y-x=2,\\17x-9y=344;\end{cases}$ 第三题 $\begin{cases}23x+37y=512,\\21x+36y=483.\end{cases}$ 求三题的解。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 题：第二式乘 $2$ 得 $30x-8y=\underline{\quad}$，与第一式相加得 $43x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 题：由 $x=3y-2$ 代入得 $42y-34=344$，$42y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 题：两式相减得 $2x+y=\underline{\quad}$，代入后 $x$ 的系数为 $\underline{\quad}$，右边为 $\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
第三套
题目：解方程组：$\begin{cases}5x+12y=127,\\15x-4y=141.\end{cases}$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（观察系数）：$y$ 的系数 $12$ 与 $-4$ 成 $3$ 倍关系，把第二式两边乘 $3$，得 $45x-12y=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（相加消元）：与第一式相加，$y$ 抵消，得 $\underline{\quad}x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求解）：$x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$12y=127-5\times11=\underline{\quad}$，所以 $y=\underline{\quad}$。
第三套
题目：已知 $\begin{cases}7x+5y=97,\\2y-3x=4.\end{cases}$ 求：（1）$x$、$y$ 的值；（2）$(x+y)^{2}$ 与 $xy$ 的值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（代入准备）：由第二式得 $y=\frac{4+3x}{2}$。
  2. 第 2 步（代入并去分母）：$7x+5\times\frac{4+3x}{2}=97$，两边乘 $2$ 得 $14x+20+15x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并求解）：$x$ 的系数为 $14+15=\underline{\quad}$，右边为 $194-20=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$y=\frac{4+18}{2}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（代数式求值）：$x+y=\underline{\quad}$，$(x+y)^{2}=\underline{\quad}$；$xy=\underline{\quad}$。
17. 【原题 ch04-tuozhan-09】商店里有大盒、中盒、小盒共 $27$ 盒筷子，其中大盒中装有 $18$ 双筷子，中盒中装有 $12$ 双筷子，小盒中装有 $8$ 双筷子，一共装有 $330$ 双筷子。已知大盒数是中盒数的 $2$ 倍，三种包装的筷子各有多少盒？
详细思路
是哪类问题：这是「盒数分配问题」：三种盒子的盒数之和、每盒双数已知，用筷子总双数列方程。
关键切入点：题面“大盒数是中盒数的 $2$ 倍”与标准答案（中盒 $6$、小盒 $12$、大盒 $9$）不符，按答案实为“小盒数是中盒数的 $2$ 倍”。于是设中盒 $x$ 盒，小盒 $2x$ 盒，大盒 $(27-3x)$ 盒——用总盒数把第三个量表示出来，就只剩一个未知数。再按“大盒 $18$ 双、中盒 $12$ 双、小盒 $8$ 双”算总双数列方程。
方法概述：以倍比中的 $1$ 倍量设元，用总盒数表示第三种盒子，按筷子总双数列方程。
规范步骤：
  1. 设中盒 $x$ 盒：小盒 $2x$ 盒，大盒 $27-3x$ 盒（倍比 + 总盒数）
  2. 按每盒双数列方程：$18(27-3x)+12x+8\times2x=330$（总双数等量关系）
  3. 去括号合并：$486-54x+12x+16x=486-26x=330$（合并同类项）
  4. 求解：$26x=156$，$x=6$（系数化 1）
  5. 回代：小盒 $12$ 盒，大盒 $27-18=9$ 盒（回代）
  6. 检验：$9\times18+6\times12+12\times8=162+72+96=330$（验算）
第一套
题目：商店里有大盒、中盒、小盒共 $40$ 盒铅笔，大盒装 $20$ 支，中盒装 $15$ 支，小盒装 $9$ 支，一共装有 $610$ 支。已知小盒数是中盒数的 $3$ 倍，三种包装各有多少盒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设中盒 $x$ 盒，则小盒 $3x$ 盒，大盒 $(40-4x)$ 盒。
  2. 第 2 步（列方程）：$20(40-4x)+15x+9\times3x=610$，其中 $20\times40=\underline{\quad}$，$9\times3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（去括号合并）：$800-80x+15x+27x=800-\underline{\quad}x$。
  4. 第 4 步（求解）：$38x=800-610=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：小盒 $\underline{\quad}$ 盒，大盒 $40-20=\underline{\quad}$ 盒。
  6. 第 6 步（检验）：$20\times20+15\times5+9\times15=400+75+135=\underline{\quad}$ 支。
第二套
题目：仓库里有大箱、中箱、小箱共 $40$ 箱零件，大箱装 $20$ 个，中箱装 $15$ 个，小箱装 $9$ 个，一共 $610$ 个。已知小箱数是中箱数的 $3$ 倍，三种箱子各有多少箱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设中箱 $x$ 箱，小箱 $3x$ 箱，大箱 $(40-4x)$ 箱。
  2. 第 2 步（列方程）：$20(40-4x)+15x+27x=610$，常数项 $20\times40=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并）：$x$ 的系数为 $-(80-15-27)$，即 $-\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$38x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 箱。
  5. 第 5 步（回代检验）：小箱 $\underline{\quad}$ 箱、大箱 $\underline{\quad}$ 箱，共装 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：共有大盒、中盒、小盒 $30$ 盒糖，大盒装 $24$ 块，中盒装 $16$ 块，小盒装 $10$ 块，共 $470$ 块。已知大盒数是中盒数的 $2$ 倍，三种盒子各有多少盒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设中盒 $x$ 盒，则大盒 $2x$ 盒，小盒 $(30-3x)$ 盒。
  2. 第 2 步（列方程）：$24\times2x+16x+10(30-3x)=470$，其中 $24\times2=\underline{\quad}$，$10\times30=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并）：$48x+16x-30x=\underline{\quad}x$，方程变为 $34x+300=470$。
  4. 第 4 步（求解）：$34x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代检验）：大盒 $\underline{\quad}$ 盒、小盒 $\underline{\quad}$ 盒，共 $240+80+150=\underline{\quad}$ 块。
第三套
题目：大盒、中盒、小盒共 $40$ 盒铅笔，分别装 $20$、$15$、$9$ 支，共 $610$ 支，小盒数是中盒数的 $3$ 倍。问：（1）三种盒子各多少盒？（2）大盒装的铅笔比小盒装的多多少支？（3）平均每盒装多少支？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程求中盒）：$800-38x=610$，$38x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 盒。
  2. 第 2 步（求另两种）：小盒 $\underline{\quad}$ 盒，大盒 $\underline{\quad}$ 盒。
  3. 第 3 步（分别求支数）：大盒共 $20\times20=\underline{\quad}$ 支，小盒共 $9\times15=\underline{\quad}$ 支。
  4. 第 4 步（求差）：$400-135=\underline{\quad}$ 支。
  5. 第 5 步（求平均）：$610\div40=\underline{\quad}$ 支。
18. 【原题 ch04-tuozhan-10】甲、乙两人从相距 $36$ 千米的两地相向而行，如果甲比乙先出发 $2$ 小时，那么他们在乙出发 $2.5$ 小时后相遇；如果乙比甲先出发 $2$ 小时，那么他们在甲出发 $3$ 小时后相遇。问：甲、乙两人每小时各走多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「相遇行程 + 二元一次方程组」：两种先后出发的情形，各给出一个“路程和等于全程”的方程。
关键切入点：不管谁先出发，相遇时两人走的路程之和都等于 $36$ 千米，这就是列方程的依据。第一种情形：甲走了 $2+2.5=4.5$ 小时、乙走 $2.5$ 小时；第二种情形：乙走 $2+3=5$ 小时、甲走 $3$ 小时。把它们写成方程组，两式相减即可消去一个未知数。
方法概述：对每种情形写“各自路程之和 $=$ 全程”，得二元一次方程组后消元。
规范步骤：
  1. 设甲每小时 $x$ 千米、乙 $y$ 千米：第一种：$4.5x+2.5y=36$（路程和为全程）
  2. 第二种情形：$3x+5y=36$（路程和为全程）
  3. 化为整系数：$9x+5y=72$ 与 $3x+5y=36$（两边乘 2）
  4. 相减消元：$6x=36$，$x=6$（加减消元）
  5. 回代：$5y=36-18=18$，$y=3.6$（回代）
  6. 检验：$4.5\times6+2.5\times3.6=27+9=36$（验算）
第一套
题目：甲、乙两人从相距 $72$ 千米的两地相向而行。如果甲比乙先出发 $3$ 小时，那么他们在乙出发 $3$ 小时后相遇；如果乙比甲先出发 $2$ 小时，那么他们在甲出发 $4$ 小时后相遇。问：甲、乙每小时各走多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一种情形）：甲共走 $3+3=\underline{\quad}$ 小时，乙走 $3$ 小时，路程和为全程：$6x+3y=72$。
  2. 第 2 步（化简）：两边同除以 $3$，得 $2x+y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第二种情形）：乙共走 $2+4=\underline{\quad}$ 小时，甲走 $4$ 小时，得 $4x+6y=72$，两边同除以 $2$ 得 $2x+3y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相减消元）：两式相减，$x$ 抵消，得 $2y=36-24=\underline{\quad}$，所以 $y=\underline{\quad}$ 千米/时。
  5. 第 5 步（回代）：$2x=24-6=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 千米/时。
  6. 第 6 步（检验）：$6\times9+3\times6=54+18=\underline{\quad}$ 千米。
第二套
题目：两艘小船从相距 $72$ 千米的两个渡口相向而行。若甲船比乙船先出发 $3$ 小时，则在乙船出发 $3$ 小时后相遇；若乙船比甲船先出发 $2$ 小时，则在甲船出发 $4$ 小时后相遇。求两船每小时各行多少千米。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一种情形）：甲共行 $\underline{\quad}$ 小时、乙行 $3$ 小时，$6x+3y=72$，化简得 $2x+y=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二种情形）：乙共行 $\underline{\quad}$ 小时、甲行 $4$ 小时，$4x+6y=72$，化简得 $2x+3y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相减）：$2y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$ 千米/时。
  4. 第 4 步（回代）：$2x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 千米/时。
  5. 第 5 步（检验）：$\underline{\quad}$ 千米，正好是全程。
第三套
题目：甲、乙两人从相距 $116$ 千米的两地相向而行。若甲比乙先出发 $3$ 小时，则乙出发 $4$ 小时后相遇；若乙比甲先出发 $2$ 小时，则甲出发 $5$ 小时后相遇。求两人每小时各走多少千米。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一种情形）：甲走 $3+4=\underline{\quad}$ 小时、乙走 $4$ 小时，得 $7x+4y=116$。
  2. 第 2 步（第二种情形）：乙走 $2+5=\underline{\quad}$ 小时、甲走 $5$ 小时，得 $5x+7y=116$。
  3. 第 3 步（消元）：第一式乘 $7$ 得 $49x+28y=\underline{\quad}$，第二式乘 $4$ 得 $20x+28y=\underline{\quad}$，相减得 $29x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$x=\underline{\quad}$ 千米/时。
  5. 第 5 步（回代）：$4y=116-7\times12=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$ 千米/时。
第三套
题目：甲、乙两人从相距 $72$ 千米的两地相向而行。甲比乙先出发 $3$ 小时，乙出发 $3$ 小时后相遇；乙比甲先出发 $2$ 小时，甲出发 $4$ 小时后相遇。问：（1）两人的速度各是多少？（2）在第一种情形中，相遇点距甲的出发地多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$2x+y=\underline{\quad}$ 与 $2x+3y=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（相减求乙）：$2y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$ 千米/时。
  3. 第 3 步（回代求甲）：$x=\underline{\quad}$ 千米/时。
  4. 第 4 步（算甲走的时间）：第一种情形中甲共走 $3+3=\underline{\quad}$ 小时。
  5. 第 5 步（求相遇点）：$9\times6=\underline{\quad}$ 千米，检验乙走 $3\times6=\underline{\quad}$ 千米，两者相加正好 $72$ 千米。
19. 【原题 ch04-tuozhan-11】一台天平，右盘里有若干重量相等的白球，左盘里有若干重量相等的黑球，这时两边平衡。如果从右盘里取走一个白球放到左盘上，再把左盘的两个黑球移到右盘上，同时给左盘加 $20$ 克砝码，这时两盘也恰好平衡；又如果从右盘里取出一个白球放到左盘上，再从左盘里拿出 $50$ 克砝码放到右盘上，这时也才能平衡。问：白球、黑球每个各重多少克？
详细思路
是哪类问题：这是「天平平衡」型二元一次方程组：每一次调整前后天平都平衡，说明两盘的“净变化量”相等——只比较变化量即可，无需知道原来各有几个球。
关键切入点：天平原本平衡、调整后仍平衡，所以左盘增加的重量必须等于右盘增加的重量。第一次调整：右盘拿走 $1$ 个白球、放上 $2$ 个黑球，净变 $(2y-x)$；左盘放上 $1$ 个白球、拿走 $2$ 个黑球、再加 $20$ 克砝码，净变 $(x-2y+20)$。令两者相等得 $x+20-2y=2y-x$，化简为 $x+10=2y$（第一式，可靠）。第二次调整按字面：右盘拿走 $1$ 个白球、加 $50$ 克砝码，净变 $(50-x)$；左盘放上 $1$ 个白球、拿走 $50$ 克砝码，净变 $(x-50)$，令相等得 $50-x=x-50$，本应解出 $x=50$——却与教材答案 $x=20,y=15$（只满足第一式）冲突：源题第二个条件的数据与标准答案不自洽（见 textbook_errata），故这里不硬凑，以第一式配教材答案给出结论。
方法概述：把每次调整两盘的净变化量写出来并令其相等；第一式可靠，第二个条件因源题数据与答案不符，按 textbook_errata 依教材答案取值。
规范步骤：
  1. 设白球 $x$ 克、黑球 $y$ 克：原来两盘平衡（初始个数未知，只需比较每次调整的净变化量）（设元）
  2. 写出第一次调整的两盘净变化：左盘 $x-2y+20$（加 1 白、去 2 黑、加 20 克），右盘 $2y-x$（去 1 白、加 2 黑）（变化量分析）
  3. 令净变化相等，化简得第一式：$x+20-2y=2y-x$，即 $2x+20=4y$，$x+10=2y$（可靠）（平衡条件）
  4. 第二次调整按字面列式：右盘净变 $50-x$、左盘净变 $x-50$，令相等得 $50-x=x-50$，本应 $x=50$；但这与教材答案 $x=20,y=15$ 矛盾——源题此条件与答案不自洽（见 textbook_errata）（数据勘误）
  5. 依教材答案取值并回代检验第一式：$x=20,y=15$：$x+10=30=2y$；第一次调整两盘净变化各为 $20+20-2\times15=10$、$2\times15-20=10$，相等（回代）
第一套
题目：天平右盘放 $5$ 个同样的白球，左盘放 $4$ 个同样的黑球，恰好平衡。如果把右盘的 $1$ 个白球移到左盘，同时在右盘加上 $40$ 克砝码，天平仍然平衡。求每个白球、每个黑球各重多少克。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设白球每个 $x$ 克、黑球每个 $y$ 克。由原来平衡得 $5x=\underline{\quad}y$。
  2. 第 2 步（写调整后的两盘）：左盘变成 $4y+x$ 克，右盘变成 $4x+\underline{\quad}$ 克。
  3. 第 3 步（列第二个方程）：$4y+x=4x+40$，移项得 $4y=\underline{\quad}x+40$。
  4. 第 4 步（代换消元）：由第一式 $4y=5x$，代入得 $5x=3x+40$，所以 $2x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 克。
  5. 第 5 步（求黑球）：$y=\frac{5\times20}{4}=\underline{\quad}$ 克。
  6. 第 6 步（检验）：左盘 $4\times25+20=\underline{\quad}$ 克，右盘 $4\times20+40=\underline{\quad}$ 克，相等。
第二套
题目：天平右盘放 $5$ 枚同样的硬币，左盘放 $4$ 个同样的螺母，恰好平衡。把右盘的 $1$ 枚硬币移到左盘，同时在右盘加 $40$ 克砝码，天平仍然平衡。求每枚硬币、每个螺母各重多少克。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设硬币 $x$ 克、螺母 $y$ 克，由原来平衡得 $5x=\underline{\quad}y$。
  2. 第 2 步（调整后）：左盘 $4y+x$ 克，右盘 $4x+\underline{\quad}$ 克，二者相等。
  3. 第 3 步（消元）：$4y=3x+40$，又 $4y=\underline{\quad}x$，所以 $2x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 克。
  4. 第 4 步（求螺母）：$y=\underline{\quad}$ 克。
  5. 第 5 步（检验）：两盘各重 $\underline{\quad}$ 克。
第三套
题目：天平右盘放 $4$ 个白球，左盘放 $3$ 个黑球，恰好平衡。若把左盘的 $1$ 个黑球移到右盘，同时在左盘加 $40$ 克砝码，天平仍然平衡。求白球、黑球每个各重多少克。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设白球 $x$ 克、黑球 $y$ 克，由原来平衡得 $4x=\underline{\quad}y$。
  2. 第 2 步（调整后）：左盘变成 $2y+40$ 克，右盘变成 $4x+\underline{\quad}$ 克。
  3. 第 3 步（列方程）：$2y+40=4x+y$，即 $y+40=4x$。
  4. 第 4 步（代换）：由第一式 $4x=3y$，代入得 $y+40=3y$，所以 $2y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$ 克。
  5. 第 5 步（求白球）：$x=\frac{3\times20}{4}=\underline{\quad}$ 克。
  6. 第 6 步（检验）：左盘 $2\times20+40=\underline{\quad}$ 克，右盘 $4\times15+20=\underline{\quad}$ 克，相等。
第三套
题目：右盘 $5$ 个白球与左盘 $4$ 个黑球平衡；把右盘 $1$ 个白球移到左盘并在右盘加 $40$ 克砝码，仍平衡。问：（1）白球、黑球各重多少克？（2）若左盘放 $8$ 个黑球，右盘要放几个白球才能平衡？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：$5x=4y$ 与 $4y+x=4x+40$。
  2. 第 2 步（消元求白球）：代入得 $5x=3x+40$，$2x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 克。
  3. 第 3 步（求黑球）：$y=\underline{\quad}$ 克。
  4. 第 4 步（算左盘重量）：$8$ 个黑球重 $8\times25=\underline{\quad}$ 克。
  5. 第 5 步（换算成白球个数）：$200\div20=\underline{\quad}$ 个。
20. 【原题 ch04-tuozhan-12】奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种。墨墨买了一个大号、三个中号和两个小号，共花了 $360$ 元；小高买了两个大号、一个中号和一个小号，共花了 $270$ 元；卡super买了一个大号、两个中号和两个小号，共花了 $300$ 元。请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少元？
详细思路
是哪类问题：这是「三元一次方程组购物问题」：三笔消费给出三个方程，求三种单价。
关键切入点：三元方程组不要盲目乱消，先找“差一项就相同”的两个式子：①$x+3y+2z=360$ 与 ③$x+2y+2z=300$ 只差一个 $y$，相减立刻得 $y=60$！这是三元组里最省力的一步。剩下两式代入 $y$ 后就变成二元组，再消一次即可。
方法概述：先用两式相减直接消去两个未知数，得到一个未知数的值，再降为二元求解。
规范步骤：
  1. 设大、中、小号单价为 $x,y,z$：$\begin{cases}x+3y+2z=360\\2x+y+z=270\\x+2y+2z=300\end{cases}$（按三笔消费列式）
  2. ①式减③式：$y=360-300=60$（只差一个 y）
  3. 代入③：$x+2z=300-120=180$（降为二元）
  4. 代入②：$2x+z=270-60=210$（降为二元）
  5. 消元：由 $x=180-2z$ 代入得 $360-3z=210$，$z=50$，$x=80$（代入消元）
  6. 检验：$80+180+100=360$（回代）
第一套
题目：商店里的礼盒有大、中、小三号。墨墨买了 $1$ 个大号、$3$ 个中号和 $2$ 个小号，共花 $530$ 元；小高买了 $2$ 个大号、$1$ 个中号和 $1$ 个小号，共花 $400$ 元；卡莉买了 $1$ 个大号、$2$ 个中号和 $2$ 个小号，共花 $440$ 元。求三种礼盒的单价。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元列式）：设大、中、小号单价分别为 $x$、$y$、$z$ 元，得 ①$x+3y+2z=530$，②$2x+y+z=400$，③$x+2y+2z=440$。
  2. 第 2 步（找差一项的两式）：①与③只差一个 $y$，相减得 $y=530-440=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（代入③降元）：$x+2z=440-2\times90=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（代入②降元）：$2x+z=400-90=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（消元）：由 $x=260-2z$ 代入得 $2(260-2z)+z=310$，即 $520-3z=310$，$3z=\underline{\quad}$，$z=\underline{\quad}$ 元。
  6. 第 6 步（求大号）：$x=260-2\times70=\underline{\quad}$ 元。
  7. 第 7 步（检验）：$120+3\times90+2\times70=\underline{\quad}$ 元。
第二套
题目：花店里的花束有大、中、小三种。第一位顾客买 $1$ 束大、$3$ 束中、$2$ 束小共花 $530$ 元；第二位买 $2$ 束大、$1$ 束中、$1$ 束小共花 $400$ 元；第三位买 $1$ 束大、$2$ 束中、$2$ 束小共花 $440$ 元。求三种花束的单价。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设三种单价为 $x$、$y$、$z$ 元，列出 ①$x+3y+2z=530$，②$2x+y+z=400$，③$x+2y+2z=440$。
  2. 第 2 步（①减③）：$y=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（降元）：$x+2z=\underline{\quad}$，$2x+z=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（消元求小号）：$520-3z=310$，$z=\underline{\quad}$ 元。
  5. 第 5 步（求大号并检验）：$x=\underline{\quad}$ 元，$120+270+140=\underline{\quad}$ 元。
第三套
题目：解三元一次方程组：$\begin{cases}2x+3y+z=300,\\x+y+2z=165,\\3x+2y+z=285.\end{cases}$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（③减①）：$x$ 与 $y$ 的系数分别相差 $1$ 和 $-1$，相减得 $x-y=285-300=\underline{\quad}$，即 $y=x+15$。
  2. 第 2 步（①减 2×②）：$2x+3y+z-2(x+y+2z)=y-3z$，右边为 $300-2\times165=\underline{\quad}$，所以 $y=3z-30$。
  3. 第 3 步（都用 $y$ 表示）：$x=y-15$，$z=\frac{y+30}{3}$，代入②得 $(y-15)+y+\frac{2(y+30)}{3}=165$。
  4. 第 4 步（去分母）：两边乘 $3$ 得 $3y-45+3y+2y+60=\underline{\quad}$，即 $8y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求另两个）：$x=\underline{\quad}$，$z=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（检验）：$2\times45+3\times60+30=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$1$ 大 $+3$ 中 $+2$ 小 $=530$ 元，$2$ 大 $+1$ 中 $+1$ 小 $=400$ 元，$1$ 大 $+2$ 中 $+2$ 小 $=440$ 元。问：（1）三种礼盒的单价各是多少？（2）买 $2$ 个大号、$3$ 个中号和 $4$ 个小号要多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（①减③求中号）：$y=\underline{\quad}$ 元。
  2. 第 2 步（降元）：$x+2z=\underline{\quad}$，$2x+z=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求小号、大号）：$z=\underline{\quad}$ 元，$x=\underline{\quad}$ 元。
  4. 第 4 步（算新组合）：$2\times120=\underline{\quad}$ 元，$3\times90=\underline{\quad}$ 元，$4\times70=\underline{\quad}$ 元。
  5. 第 5 步（求总价）：$240+270+280=\underline{\quad}$ 元。
21. 【原题 ch04-tuozhan-13】如图 $4\text{-}4$，墙边竖着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向右滑了一段距离。现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能算出这块木板的长度吗？
详细思路
是哪类问题：这是「几何与方程结合」题：木板下滑前后长度不变，用勾股定理的两个表达式相等列方程。
关键切入点：木板、墙、地面构成直角三角形，木板是斜边。下滑前底端离墙 $70$ 厘米、顶端高 $(x+90)$ 厘米；下滑后底端离墙 $70+130=200$ 厘米、顶端高 $x$ 厘米。木板长度没变，所以两次的“两直角边平方和”相等——这就把几何问题变成了一元一次方程（$x^{2}$ 会自动抵消）。
方法概述：用“斜边长度不变”把两次的勾股式相等，$x^{2}$ 抵消后化为一次方程。
规范步骤：
  1. 设下滑后高度为 $x$ 厘米：下滑前高度为 $x+90$ 厘米（设元）
  2. 写出两次的勾股关系：$70^{2}+(x+90)^{2}=200^{2}+x^{2}$（斜边不变）
  3. 展开消去 $x^{2}$：$4900+x^{2}+180x+8100=40000+x^{2}$（完全平方展开）
  4. 求解：$180x=27000$，$x=150$（移项）
  5. 求木板长：$200^{2}+150^{2}=62500=250^{2}$，长 $250$ 厘米（勾股定理）
第一套
题目：一块木板斜靠在墙上，下端离墙 $140$ 厘米。木板下滑后，下端又向外移动了 $260$ 厘米，上端沿墙下降了 $180$ 厘米。求这块木板的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设下滑后木板上端离地 $x$ 厘米，则下滑前上端离地 $(x+180)$ 厘米。
  2. 第 2 步（算下滑后的底端距离）：$140+260=\underline{\quad}$ 厘米。
  3. 第 3 步（列方程）：木板长度不变，$140^{2}+(x+180)^{2}=400^{2}+x^{2}$。
  4. 第 4 步（展开消去 $x^{2}$）：左边常数 $140^{2}=\underline{\quad}$，$180^{2}=\underline{\quad}$，$x$ 的一次项系数为 $2\times180=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求解）：$360x=160000-19600-32400=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$ 厘米。
  6. 第 6 步（求木板长）：$400^{2}+300^{2}=\underline{\quad}$，开平方得 $\underline{\quad}$ 厘米。
第二套
题目：一架梯子斜靠在墙上，下端离墙 $140$ 厘米。梯子下滑后，下端又向外滑了 $260$ 厘米，上端沿墙下降了 $180$ 厘米。求这架梯子有多长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设下滑后梯子上端离地 $x$ 厘米，下滑前为 $(x+180)$ 厘米。
  2. 第 2 步（算滑后底端距离）：$140+260=\underline{\quad}$ 厘米。
  3. 第 3 步（列方程展开）：$140^{2}+(x+180)^{2}=400^{2}+x^{2}$，一次项系数为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$360x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 厘米。
  5. 第 5 步（求梯长）：$400^{2}+300^{2}=\underline{\quad}$，梯长 $\underline{\quad}$ 厘米。
第三套
题目：一块木板斜靠在墙上，下端离墙 $250$ 厘米。木板下滑后，下端又向外移了 $140$ 厘米，上端沿墙下降了 $80$ 厘米。求这块木板的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设下滑后上端离地 $x$ 厘米，下滑前为 $(x+80)$ 厘米。
  2. 第 2 步（滑后底端距离）：$250+140=\underline{\quad}$ 厘米。
  3. 第 3 步（列方程）：$250^{2}+(x+80)^{2}=390^{2}+x^{2}$，展开后 $x$ 的一次项系数为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$160x=152100-62500-6400=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 厘米。
  5. 第 5 步（求木板长）：$390^{2}+520^{2}=\underline{\quad}$，开平方得 $\underline{\quad}$ 厘米。
第三套
题目：木板斜靠墙上，下端离墙 $140$ 厘米；下滑后下端又外移 $260$ 厘米，上端下降 $180$ 厘米。问：（1）木板长多少厘米？（2）木板、墙、地面围成的直角三角形面积增加了多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程求高）：$140^{2}+(x+180)^{2}=400^{2}+x^{2}$，即 $360x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 厘米。
  2. 第 2 步（求木板长）：$400^{2}+300^{2}=\underline{\quad}$，长为 $\underline{\quad}$ 厘米。
  3. 第 3 步（求原来的高）：$300+180=\underline{\quad}$ 厘米。
  4. 第 4 步（算两次面积）：原来 $\frac{1}{2}\times140\times480=\underline{\quad}$ 平方厘米，现在 $\frac{1}{2}\times400\times300=\underline{\quad}$ 平方厘米。
  5. 第 5 步（求增加量）：$60000-33600=\underline{\quad}$ 平方厘米。
22. 【原题 ch04-tuozhan-14】甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 $29$、$23$、$21$ 和 $17$ 岁。问：这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少岁？
详细思路
是哪类问题：这是「多元一次方程组 + 整体求和」题：四个方程形式对称，用“整体相加”一次求出总和。
关键切入点：每个条件都是“其余三人的平均 ＋ 自己”。把第一式两边乘 $3$ 得 $b+c+d+3a=87$，即 $S+2a=87$（$S$ 为四人年龄和）。四式都这样处理后相加：$4S+2S=6S=3(29+23+21+17)=270$，所以 $S=45$。有了总和，每个人的年龄就能单独解出：$a=\frac{87-45}{2}=21$，其余同理。这种“先求整体、再回头求个体”的手法是多元对称方程组的通用套路。
方法概述：把每式化成 $S+2x_i=3m_i$，整体相加求出 $S$，再逐个回代求年龄。
规范步骤：
  1. 设四人年龄为 $a,b,c,d$，和为 $S$：$\frac{S-a}{3}+a=29\Rightarrow S+2a=87$（去分母整理）
  2. 同理写出另外三式：$S+2b=69$，$S+2c=63$，$S+2d=51$（对称处理）
  3. 四式相加：$4S+2S=87+69+63+51=270$，$S=45$（整体求和）
  4. 回代求各人年龄：$a=21$，$b=12$，$c=9$，$d=3$（逐个求解）
  5. 求极差：$21-3=18$（最大减最小）
  6. 检验：$21+12+9+3=45$（验算）
第一套
题目：甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄，分别为 $35$、$29$、$25$ 和 $21$ 岁。问：这四人中最大年龄与最小年龄相差多少岁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整理第一式）：$\frac{b+c+d}{3}+a=35$，两边乘 $3$ 得 $b+c+d+3a=105$，即 $S+2a=\underline{\quad}$（$S$ 为四人年龄和）。
  2. 第 2 步（同理写出四式的右边）：$S+2b=\underline{\quad}$，$S+2c=\underline{\quad}$，$S+2d=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体相加）：左边为 $4S+2S=6S$，右边为 $105+87+75+63=\underline{\quad}$，所以 $S=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代求最大与最小）：$a=\frac{105-55}{2}=\underline{\quad}$ 岁，$d=\frac{63-55}{2}=\underline{\quad}$ 岁。
  5. 第 5 步（求极差）：$25-4=\underline{\quad}$ 岁。
  6. 第 6 步（检验）：$b=\underline{\quad}$、$c=\underline{\quad}$，四人之和 $25+16+10+4=\underline{\quad}$，与 $S$ 相符。
第二套
题目：四家分店，每三家的平均月营业额加上余下一家的月营业额，分别是 $35$、$29$、$25$、$21$ 万元。问：营业额最高的一家比最低的一家多多少万元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整理）：设四家营业额为 $a,b,c,d$，总和为 $S$，由第一式得 $S+2a=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（写出其余三式）：$S+2b=\underline{\quad}$，$S+2c=\underline{\quad}$，$S+2d=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体相加求 $S$）：$6S=\underline{\quad}$，$S=\underline{\quad}$ 万元。
  4. 第 4 步（求最高与最低）：$a=\underline{\quad}$ 万元，$d=\underline{\quad}$ 万元。
  5. 第 5 步（求差）：$\underline{\quad}$ 万元。
第三套
题目：甲、乙、丙、丁四人，每三人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是 $40$、$34$、$28$、$22$ 岁。求这四人的年龄各是多少岁。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整理）：设四人年龄和为 $S$，则 $S+2a=\underline{\quad}$，$S+2b=\underline{\quad}$，$S+2c=\underline{\quad}$，$S+2d=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（整体相加）：$6S=120+102+84+66=\underline{\quad}$，所以 $S=\underline{\quad}$ 岁。
  3. 第 3 步（逐个求解）：$a=\frac{120-62}{2}=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$，$c=\underline{\quad}$，$d=\underline{\quad}$ 岁。
  4. 第 4 步（检验）：$29+20+11+2=\underline{\quad}$，与 $S$ 相符。
第三套
题目：甲、乙、丙、丁四人，每三人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是 $35$、$29$、$25$、$21$ 岁。问：（1）最大与最小年龄相差多少岁？（2）再过多少年，最大者的年龄恰好是最小者的 $2$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体相加求和）：$6S=105+87+75+63=\underline{\quad}$，$S=\underline{\quad}$ 岁。
  2. 第 2 步（求最大最小）：$a=\underline{\quad}$ 岁，$d=\underline{\quad}$ 岁。
  3. 第 3 步（求极差）：$\underline{\quad}$ 岁。
  4. 第 4 步（设年数列方程）：设再过 $n$ 年，$25+n=2(4+n)$，去括号得 $25+n=8+2n$，所以 $n=\underline{\quad}$ 年。
  5. 第 5 步（检验）：$17$ 年后两人分别 $25+17=\underline{\quad}$ 岁和 $4+17=\underline{\quad}$ 岁，正好是 $2$ 倍。
23. 【原题 ch04-xingqu-01】解下列方程：（1）$x-\frac{x-1}{2}=2-\frac{x+2}{5}$；（2）$\frac{1}{3}\times\left(1-\frac{2}{5}x\right)=\frac{5}{6}x$；（3）$\frac{x-11}{x+23}=\frac{1}{3}$。
详细思路
是哪类问题：这是「一元一次方程求解」题：三个方程分别带分母、带括号、带比例式，需要先化成 $ax=b$ 的标准形。
关键切入点：带分母的方程，关键是找到各分母的最小公倍数，两边同乘它把分母一次去干净；带比例式 $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ 的，用交叉相乘 $AD=BC$ 直接化掉分式。去分母时分子是多项式必须整体加括号，否则符号会错。
方法概述：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化 1。
规范步骤：
  1. (1) 分母 $2$、$5$ 的最小公倍数是 $10$，两边同乘 $10$：$10x-5(x-1)=20-2(x+2)$（去分母，分子加括号）
  2. (1) 去括号并合并：$10x-5x+5=20-2x-4$，即 $5x+5=16-2x$（去括号法则）
  3. (1) 移项合并，系数化 1：$7x=11$，$x=\frac{11}{7}$（移项变号）
  4. (2) 两边同乘 $3$ 去掉外层的 $\frac{1}{3}$：$1-\frac{2}{5}x=\frac{5}{2}x$（等式性质）
  5. (2) 把含 $x$ 的项移到一边：$\frac{5}{2}x+\frac{2}{5}x=\frac{29}{10}x=1$，$x=\frac{10}{29}$（通分合并同类项）
  6. (3) 比例式交叉相乘：$3(x-11)=x+23$，即 $3x-33=x+23$（比例的交叉相乘）
  7. (3) 移项求解：$2x=56$，$x=28$（系数化 1）
第一套
题目：解下列方程：（1）$x-\frac{x-2}{3}=3-\frac{x+1}{4}$；（2）$\frac{1}{4}\times\left(1-\frac{3}{7}x\right)=\frac{5}{6}x$；（3）$\frac{x-20}{x+25}=\frac{1}{4}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（去分母）：(1) 中分母是 $3$ 和 $4$，它们的最小公倍数是 $\underline{\quad}$，两边同乘它，注意分子是多项式要加括号，得 $12x-4(x-2)=36-3(x+1)$。
  2. 第 2 步（去括号合并）：左边 $12x-4x+8$，$x$ 的系数是 $\underline{\quad}$；右边 $36-3x-3$，常数是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（移项）：把含 $x$ 的移到左、常数移到右，$x$ 的系数变成 $\underline{\quad}$，右边常数变成 $\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：(2) 两边同乘 $4$ 得 $1-\frac{3}{7}x=\frac{10}{3}x$，把含 $x$ 的合并，系数为 $\frac{10}{3}+\frac{3}{7}=\underline{\quad}$，故 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：(3) 交叉相乘得 $4(x-20)=x+25$，即 $4x-80=x+25$，移项得 $3x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
第二套
题目：数学社团“闯关赛”共三关，每关要解出一个方程才能通过：第一关 $x-\frac{x-2}{3}=3-\frac{x+1}{4}$；第二关 $\frac{1}{4}\times\left(1-\frac{3}{7}x\right)=\frac{5}{6}x$；第三关 $\frac{x-20}{x+25}=\frac{1}{4}$。求三关的答案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 关：分母 $3$、$4$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$，同乘后得 $12x-4(x-2)=36-3(x+1)$。
  2. 第 1 关（整理）：移项合并后 $x$ 的系数是 $\underline{\quad}$，常数是 $\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  3. 第 2 关：两边同乘 $4$，得 $1-\frac{3}{7}x=\frac{10}{3}x$，$x$ 的系数合并为 $\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 3 关：交叉相乘 $4(x-20)=x+25$，移项得 $3x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
第三套
题目：解方程：$\frac{3x-2}{4}+\frac{x+1}{3}=\frac{5x+7}{6}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找公分母）：分母 $4$、$3$、$6$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（去分母）：两边同乘它，各分子都要加括号，得 $3(3x-2)+4(x+1)=2(5x+7)$。
  3. 第 3 步（去括号）：左边 $9x-6+4x+4$，$x$ 的系数是 $\underline{\quad}$、常数是 $\underline{\quad}$；右边是 $10x+14$。
  4. 第 4 步（移项合并）：$x$ 的系数变为 $\underline{\quad}$，右边常数变为 $\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
第三套
题目：解方程：$\frac{(x+3)(x+5)-(x+4)^{2}}{2}=x-1$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（展开分子）：$(x+3)(x+5)=x^{2}+8x+15$，$(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$，两者相减后 $x^{2}$ 与 $8x$ 全部消去，只剩常数 $15-16=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（去分母）：原方程变为 $\frac{-1}{2}=x-1$，两边同乘 $2$ 得 $-1=2x-2$。
  3. 第 3 步（移项求解）：$2x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch04-xingqu-02】在一次选举中，有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的 $2$ 倍还多 $5$ 张，丙的选票比甲的一半还少 $4$ 张。如果甲、乙、丙三人的选票一共有 $36$ 张，请问：甲得了多少张选票？
详细思路
是哪类问题：这是「和倍差倍列一元一次方程」题：几个量都能用同一个量表示，再用总和列方程。
关键切入点：乙、丙都是拿甲来比的（乙是甲的 $2$ 倍多 $5$，丙是甲的一半少 $4$），所以设甲为 $x$ 最省事：乙 $=2x+5$，丙 $=\frac{1}{2}x-4$。等量关系就是“三人票数之和 $=36$”。
方法概述：设被比较的那个量为未知数，其余量用它表示，再按总和列方程。
规范步骤：
  1. 设甲得 $x$ 张：$乙=2x+5$，$丙=\frac{1}{2}x-4$（按倍数与多少关系表示）
  2. 按总数列方程：$x+(2x+5)+\left(\frac{1}{2}x-4\right)=36$（总和等量关系）
  3. 合并同类项：$\frac{7}{2}x+1=36$，即 $\frac{7}{2}x=35$（合并）
  4. 系数化 1：$x=35\div\frac{7}{2}=10$（求解）
  5. 写出答案：$甲=10$ 张
第一套
题目：选举中有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的 $3$ 倍还多 $8$ 张，丙的选票比甲的一半还少 $6$ 张。三人的选票一共 $65$ 张。求甲得了多少张选票。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设甲得 $x$ 张，则乙 $=3x+8$，丙 $=\frac{1}{2}x-6$。
  2. 第 2 步（列方程）：三人之和为 $65$，即 $x+(3x+8)+\left(\frac{1}{2}x-6\right)=65$。
  3. 第 3 步（合并同类项）：$x$ 的系数是 $1+3+\frac{1}{2}=\underline{\quad}$，常数是 $8-6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（移项求解）：$\frac{9}{2}x=65-2=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代检验）：乙 $=3\times14+8=\underline{\quad}$，丙 $=14\div2-6=\underline{\quad}$，三者相加 $14+50+1=\underline{\quad}$，与 $65$ 相符。
第二套
题目：三个班比赛收集易拉罐：二班收集的比一班的 $3$ 倍还多 $8$ 个，三班收集的比一班的一半还少 $6$ 个，三个班一共收集了 $65$ 个。求一班收集了多少个。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设一班收集 $x$ 个，则二班 $=3x+8$，三班 $=\frac{1}{2}x-6$。
  2. 第 2 步（列方程合并）：$x+(3x+8)+\left(\frac{1}{2}x-6\right)=65$，$x$ 的系数为 $\underline{\quad}$，常数为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求解）：$\frac{9}{2}x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：二班 $=\underline{\quad}$ 个，三班 $=\underline{\quad}$ 个，合计 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：甲、乙、丙三人捐书：乙捐的比甲的 $2$ 倍还多 $6$ 本，丙捐的比乙的一半还少 $5$ 本，三人共捐 $68$ 本。求甲捐了多少本。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设甲捐 $x$ 本，则乙 $=2x+6$ 本。
  2. 第 2 步（把丙也用 $x$ 表示）：丙 $=\frac{1}{2}(2x+6)-5=x+3-5$，即比 $x$ 少 $\underline{\quad}$ 本。
  3. 第 3 步（列方程）：$x+(2x+6)+(x-2)=68$，$x$ 的系数为 $1+2+1=\underline{\quad}$，常数为 $6-2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$4x=68-4=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：乙 $=\underline{\quad}$ 本，丙 $=\underline{\quad}$ 本，合计 $16+38+14=\underline{\quad}$ 本。
第三套
题目：选举中乙的选票比甲的 $3$ 倍还多 $8$ 张，丙的选票比甲的一半还少 $6$ 张，三人共 $65$ 张。求：（1）甲得多少张？（2）乙的选票占三人总票数的几分之几（结果化成最简分数）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元列方程）：设甲得 $x$ 张，$x+(3x+8)+\left(\frac{1}{2}x-6\right)=65$，合并得 $\frac{9}{2}x+2=65$。
  2. 第 2 步（求甲）：$\frac{9}{2}x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求乙）：乙 $=3\times14+8=\underline{\quad}$ 张。
  4. 第 4 步（求占比）：乙占总数 $\frac{50}{65}$，分子分母同时除以最大公因数 $5$，得 $\frac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}$，即 $\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch04-xingqu-03】有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了 $26$ 个。问：有多少名学生上体育课？
详细思路
是哪类问题：这是「合用问题」列一元一次方程：每几人合用一个，球的个数就是人数的几分之一。
关键切入点：每两人一个排球，说明排球有 $\frac{x}{2}$ 个；同理足球 $\frac{x}{3}$ 个、篮球 $\frac{x}{4}$ 个。三种球的总数 $26$ 就是等量关系。又因 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}$，人数一定是 $12$ 的倍数。
方法概述：设人数为未知数，用分数表示各种球的个数，按总数列方程。
规范步骤：
  1. 设有 $x$ 名学生：排球 $\frac{x}{2}$ 个，足球 $\frac{x}{3}$ 个，篮球 $\frac{x}{4}$ 个（每几人合用一个）
  2. 按球的总数列方程：$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=26$（总数等量关系）
  3. 通分合并：$\frac{6+4+3}{12}x=\frac{13}{12}x=26$（通分）
  4. 系数化 1：$x=26\times\frac{12}{13}=24$（求解）
  5. 检验：$12+8+6=26$（回代）
第一套
题目：上体育课时，每 $2$ 人合用一个排球，每 $3$ 人合用一个足球，每 $5$ 人合用一个篮球，三种球一共用了 $62$ 个。问：有多少名学生上体育课？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设有 $x$ 名学生，则排球 $\frac{x}{2}$ 个、足球 $\frac{x}{3}$ 个、篮球 $\frac{x}{5}$ 个。
  2. 第 2 步（列方程）：$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=62$。
  3. 第 3 步（通分）：$2$、$3$、$5$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$，三个分数合并后 $x$ 的系数是 $\frac{15+10+6}{30}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$x=62\div\frac{31}{30}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（检验）：排球 $\underline{\quad}$ 个、足球 $\underline{\quad}$ 个、篮球 $\underline{\quad}$ 个，合计 $30+20+12=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：某班同学去野营，每 $2$ 人合用一顶帐篷，每 $3$ 人合用一口锅，每 $5$ 人合用一张折叠桌，帐篷、锅、桌子一共 $62$ 件。问：一共有多少名同学？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设有 $x$ 名同学，则帐篷 $\frac{x}{2}$ 顶、锅 $\frac{x}{3}$ 口、桌子 $\frac{x}{5}$ 张。
  2. 第 2 步（列方程通分）：$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=62$，公分母取 $\underline{\quad}$，系数合并为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求解）：$x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：三种物品分别是 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$ 件，合计 $\underline{\quad}$ 件。
第三套
题目：每 $3$ 人合用一台电脑，每 $4$ 人合用一张画板，每 $6$ 人合用一套工具箱，三种物品共 $45$ 件。问：有多少名学生？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设有 $x$ 名学生，三种物品分别是 $\frac{x}{3}$、$\frac{x}{4}$、$\frac{x}{6}$ 件。
  2. 第 2 步（通分）：$3$、$4$、$6$ 的最小公倍数是 $\underline{\quad}$，系数合并为 $\frac{4+3+2}{12}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求解）：$\frac{3}{4}x=45$，$x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：$\underline{\quad}+\underline{\quad}+\underline{\quad}=45$ 件。
第三套
题目：每 $2$ 人合用一个排球，每 $3$ 人合用一个足球，每 $5$ 人合用一个篮球，三种球共 $62$ 个。问：（1）有多少名学生？（2）排球比篮球多多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元列方程）：设有 $x$ 名学生，$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=62$。
  2. 第 2 步（通分）：公分母 $\underline{\quad}$，系数为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求人数）：$x=\underline{\quad}$ 名。
  4. 第 4 步（求各种球）：排球 $\underline{\quad}$ 个，篮球 $\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（求差）：排球比篮球多 $30-12=\underline{\quad}$ 个。
26. 【原题 ch04-xingqu-04】唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发 $17$ 张画片，小班每人发 $13$ 张画片。已知大班人数是小班的 $\frac{3}{5}$，小班比大班总共多发 $126$ 张画片，求小班的人数。
详细思路
是哪类问题：这是「倍比 + 差量」型一元一次方程：两个班人数成倍比，两班发出的总张数相差已知。
关键切入点：大班人数是小班的 $\frac{3}{5}$，所以设小班 $x$ 人最方便（大班就写成 $\frac{3}{5}x$，不会出现分母里含未知数）。等量关系是“小班发的 $-$ 大班发的 $=126$”。
方法概述：以倍比中的“$1$ 倍量”设元，用发放总数之差列方程。
规范步骤：
  1. 设小班 $x$ 人：大班 $=\frac{3}{5}x$ 人（倍比关系）
  2. 算两班发出的张数：小班 $=13x$，大班 $=17\times\frac{3}{5}x=\frac{51}{5}x$（每人张数×人数）
  3. 按差列方程：$13x-\frac{51}{5}x=126$（差量等量关系）
  4. 合并求解：$\frac{14}{5}x=126$，$x=126\times\frac{5}{14}=45$（系数化 1）
  5. 检验：$13\times45=585$，$17\times27=459$，$585-459=126$（回代）
第一套
题目：老师给大班每人发 $19$ 张画片，小班每人发 $14$ 张画片。已知大班人数是小班的 $\frac{2}{3}$，小班比大班总共多发 $180$ 张画片，求小班的人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设小班 $x$ 人，则大班 $\frac{2}{3}x$ 人。
  2. 第 2 步（表示张数）：小班共发 $14x$ 张，大班共发 $19\times\frac{2}{3}x$，即 $x$ 的系数为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列方程）：按“小班比大班多发 $180$ 张”得 $14x-\frac{38}{3}x=180$，$x$ 的系数合并为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$x=180\div\frac{4}{3}=\underline{\quad}$ 人。
  5. 第 5 步（检验）：大班 $135\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$ 人，小班发 $14\times135=\underline{\quad}$ 张，大班发 $19\times90=\underline{\quad}$ 张，相差 $1890-1710=\underline{\quad}$ 张。
第二套
题目：工厂给一车间每人发 $19$ 个零件，二车间每人发 $14$ 个零件。已知一车间人数是二车间的 $\frac{2}{3}$，二车间比一车间总共多发 $180$ 个零件，求二车间的人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设二车间 $x$ 人，则一车间 $\frac{2}{3}x$ 人。
  2. 第 2 步（表示总数）：二车间 $14x$ 个，一车间 $x$ 的系数为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列方程合并）：$14x-\frac{38}{3}x=180$，系数为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$x=\underline{\quad}$ 人。
  5. 第 5 步（检验）：一车间 $\underline{\quad}$ 人，两边零件数 $\underline{\quad}$ 与 $\underline{\quad}$，相差 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：甲组每人发 $15$ 本练习本，乙组每人发 $12$ 本练习本，甲组与乙组的人数之比是 $3:4$，乙组比甲组总共多发 $90$ 本。求乙组人数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把比化成倍比）：甲组 $:$ 乙组 $=3:4$，设乙组 $x$ 人，则甲组 $\frac{3}{4}x$ 人。
  2. 第 2 步（表示总数）：乙组 $12x$ 本，甲组 $15\times\frac{3}{4}x$ 中 $x$ 的系数为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（列方程）：$12x-\frac{45}{4}x=90$，系数合并为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$x=90\div\frac{3}{4}=\underline{\quad}$ 人。
  5. 第 5 步（检验）：甲组 $\underline{\quad}$ 人，两组本数 $\underline{\quad}$ 与 $\underline{\quad}$，相差 $\underline{\quad}$ 本。
第三套
题目：大班每人发 $19$ 张画片，小班每人发 $14$ 张画片，大班人数是小班的 $\frac{2}{3}$，小班比大班总共多发 $180$ 张。问：（1）小班多少人？（2）两班一共发了多少张画片？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元列方程）：设小班 $x$ 人，$14x-19\times\frac{2}{3}x=180$。
  2. 第 2 步（合并求解）：系数为 $\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$ 人。
  3. 第 3 步（求大班人数）：$135\times\frac{2}{3}=\underline{\quad}$ 人。
  4. 第 4 步（分别求张数）：小班 $\underline{\quad}$ 张，大班 $\underline{\quad}$ 张。
  5. 第 5 步（求总和）：$1890+1710=\underline{\quad}$ 张。
27. 【原题 ch04-xingqu-05】阿呆和阿瓜两人收藏了 $127$ 张游戏光盘，已知阿呆光盘的 $\frac{1}{2}$ 和阿瓜光盘的 $\frac{4}{5}$ 合在一起是 $83$ 张，那么阿呆、阿瓜各收藏了多少张游戏光盘？
详细思路
是哪类问题：这是「和为定值设元」型一元一次方程：两个量的和已知，另有一个由它们的部分量组成的条件。
关键切入点：总数 $127$ 已知，所以只需设一个未知数：阿呆 $x$ 张，阿瓜就是 $(127-x)$ 张，避免用二元方程组。等量关系是“阿呆的 $\frac{1}{2}$ ＋ 阿瓜的 $\frac{4}{5}$ $=83$”。
方法概述：用总数设元把二元变一元，再按部分量之和列方程。
规范步骤：
  1. 设阿呆 $x$ 张：阿瓜 $=127-x$ 张（和为定值）
  2. 列方程：$\frac{1}{2}x+\frac{4}{5}(127-x)=83$（部分量之和）
  3. 去括号：$\frac{1}{2}x+\frac{508}{5}-\frac{4}{5}x=83$（分配律）
  4. 合并同类项：$-\frac{3}{10}x=83-\frac{508}{5}=-\frac{93}{5}$（移项）
  5. 求解并回代：$x=62$，阿瓜 $=127-62=65$（系数化 1）
第一套
题目：阿呆和阿瓜两人共收藏了 $260$ 张游戏光盘，已知阿呆光盘的 $\frac{1}{3}$ 和阿瓜光盘的 $\frac{3}{4}$ 合在一起是 $155$ 张，那么阿呆、阿瓜各收藏了多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设阿呆 $x$ 张，则阿瓜 $=260-x$ 张。
  2. 第 2 步（列方程）：$\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}(260-x)=155$。
  3. 第 3 步（去括号）：$\frac{3}{4}\times260=\underline{\quad}$，方程变为 $\frac{1}{3}x+195-\frac{3}{4}x=155$。
  4. 第 4 步（合并同类项）：$x$ 的系数为 $\frac{1}{3}-\frac{3}{4}=\underline{\quad}$，右边常数为 $155-195=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求解）：$x=(-40)\div\left(-\frac{5}{12}\right)=\underline{\quad}$ 张，阿瓜 $=260-96=\underline{\quad}$ 张。
  6. 第 6 步（检验）：$96\div3+164\times\frac{3}{4}=32+123=\underline{\quad}$ 张。
第二套
题目：上下两层书架一共放了 $260$ 本书，上层书本数的 $\frac{1}{3}$ 与下层书本数的 $\frac{3}{4}$ 合起来是 $155$ 本。求上、下两层各放了多少本书？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设上层 $x$ 本，则下层 $=260-x$ 本。
  2. 第 2 步（列方程去括号）：$\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}(260-x)=155$，其中 $\frac{3}{4}\times260=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并）：$x$ 的系数为 $\underline{\quad}$，右边为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：上层 $x=\underline{\quad}$ 本，下层 $=\underline{\quad}$ 本。
  5. 第 5 步（检验）：$96\div3+164\times\frac{3}{4}=\underline{\quad}$ 本，与 $155$ 相符。
第三套
题目：甲、乙两人共有邮票 $180$ 张，甲邮票的 $\frac{2}{3}$ 与乙邮票的 $\frac{1}{2}$ 合起来是 $100$ 张。求甲、乙各有多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设甲 $x$ 张，则乙 $=180-x$ 张。
  2. 第 2 步（列方程）：$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}(180-x)=100$，其中 $\frac{1}{2}\times180=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并同类项）：$x$ 的系数为 $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\underline{\quad}$，右边为 $100-90=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$x=10\div\frac{1}{6}=\underline{\quad}$ 张，乙 $=\underline{\quad}$ 张。
  5. 第 5 步（检验）：$60\times\frac{2}{3}+120\times\frac{1}{2}=40+60=\underline{\quad}$ 张。
第三套
题目：阿呆和阿瓜共收藏 $260$ 张光盘，阿呆的 $\frac{1}{3}$ 与阿瓜的 $\frac{3}{4}$ 合起来是 $155$ 张。问：（1）两人各多少张？（2）阿瓜比阿呆多多少张？（3）阿呆的光盘占总数的几分之几（最简分数）？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元求解）：设阿呆 $x$ 张，$\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}(260-x)=155$，合并得系数 $\underline{\quad}$、右边 $\underline{\quad}$，故 $x=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求阿瓜）：$260-96=\underline{\quad}$ 张。
  3. 第 3 步（求差）：$164-96=\underline{\quad}$ 张。
  4. 第 4 步（求占比）：$\frac{96}{260}$ 分子分母同除以最大公因数 $4$，得 $\frac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}$，即 $\underline{\quad}$。
28. 【原题 ch04-xingqu-06】朝阳小学六年级一班男生的人数占全班总人数的 $70\%$，六年级二班的男生比一班男生少 $2$ 名，而女生人数是一班女生人数的 $2$ 倍。若把两班合在一起，则男生所占的比例为 $60\%$。请问：六年级二班有多少名女生？
详细思路
是哪类问题：这是「百分数（浓度型）人数问题」：两个班按比例合并，用合并后男生所占比例列方程。
关键切入点：全部人数都能用一班人数 $x$ 表示：一班男 $70\%x$、女 $30\%x$；二班男 $(70\%x-2)$、女 $2\times30\%x=60\%x$。合并后“男生数 $=60\%\times$ 总人数”就是唯一的等量关系。这类题的要害是先把所有量统一写成 $x$ 的式子（列表格最清楚），再一次列方程。
方法概述：设基准班人数为未知数，把四个格子的人数都用它表示，按合并后的百分比列方程。
规范步骤：
  1. 设一班 $x$ 人：一班男 $0.7x$、女 $0.3x$（百分数表示）
  2. 表示二班：二班男 $0.7x-2$、女 $2\times0.3x=0.6x$（题给的比较关系）
  3. 写出合并后的男生数与总人数：男 $=1.4x-2$，总 $=2.3x-2$（求和）
  4. 按 $60\%$ 列方程：$1.4x-2=0.6(2.3x-2)$，即 $1.4x-2=1.38x-1.2$（百分比等量关系）
  5. 求解：$0.02x=0.8$，$x=40$（移项合并）
  6. 回代求二班女生：$0.6\times40=24$（代入）
第一套
题目：一班男生占全班人数的 $75\%$，二班男生比一班男生少 $10$ 名，二班女生人数是一班女生的 $2$ 倍。若把两班合在一起，男生所占比例为 $64\%$。请问：二班有多少名女生？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元列表）：设一班 $x$ 人，则一班男 $0.75x$、女 $0.25x$；二班男 $0.75x-10$、女 $2\times0.25x=0.5x$。
  2. 第 2 步（求合并后的男生数）：$0.75x+(0.75x-10)$ 中 $x$ 的系数是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求合并后的总人数）：一班 $x$ ＋ 二班 $(0.75x-10)+0.5x$，$x$ 的系数是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程去括号）：$1.5x-10=0.64(2.25x-10)$，右边展开为 $\underline{\quad}x-\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（移项合并）：$x$ 的系数为 $1.5-1.44=\underline{\quad}$，常数为 $10-6.4=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（回代）：二班女生 $=0.5\times60=\underline{\quad}$ 名。
第二套
题目：甲合唱队男队员占全队人数的 $75\%$，乙合唱队男队员比甲队男队员少 $10$ 名，乙队女队员人数是甲队女队员的 $2$ 倍。两队合并后男队员占 $64\%$。请问：乙队有多少名女队员？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元列表）：设甲队 $x$ 人，甲队男 $0.75x$、女 $0.25x$；乙队男 $0.75x-10$、女 $0.5x$。
  2. 第 2 步（合并后男队员）：$x$ 的系数为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并后总人数）：$x$ 的系数为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程求解）：$1.5x-10=0.64(2.25x-10)$，移项后 $x$ 的系数为 $\underline{\quad}$、常数为 $\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：乙队女队员 $=\underline{\quad}$ 名。
第三套
题目：一班男生占全班人数的 $60\%$，二班男生比一班男生少 $8$ 名，二班女生人数是一班女生的 $3$ 倍。两班合并后男生占 $40\%$。请问：二班有多少名女生？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元列表）：设一班 $x$ 人，一班男 $0.6x$、女 $0.4x$；二班男 $0.6x-8$、女 $3\times0.4x=\underline{\quad}x$。
  2. 第 2 步（合并后男生数）：$x$ 的系数为 $0.6+0.6=\underline{\quad}$，常数为 $-8$。
  3. 第 3 步（合并后总人数）：$x+(0.6x-8)+1.2x$，$x$ 的系数为 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程）：$1.2x-8=0.4(2.8x-8)$，右边为 $\underline{\quad}x-\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求解）：$x$ 的系数 $1.2-1.12=\underline{\quad}$，常数 $8-3.2=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（回代）：二班女生 $=1.2\times60=\underline{\quad}$ 名。
第三套
题目：一班男生占全班的 $75\%$，二班男生比一班男生少 $10$ 名，二班女生是一班女生的 $2$ 倍，合并后男生占 $64\%$。问：（1）二班有多少人？（2）合并后女生占百分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元求一班人数）：设一班 $x$ 人，$1.5x-10=0.64(2.25x-10)$，移项得 $\underline{\quad}x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求二班男女）：二班男 $=0.75\times60-10=\underline{\quad}$ 名，二班女 $=0.5\times60=\underline{\quad}$ 名。
  3. 第 3 步（求二班人数）：$35+30=\underline{\quad}$ 人。
  4. 第 4 步（求合并总人数）：$60+65=\underline{\quad}$ 人。
  5. 第 5 步（求女生占比）：女生共 $15+30=\underline{\quad}$ 名，占 $45\div125=\underline{\quad}$，即 $36\%$。
29. 【原题 ch04-xingqu-07】解下面的方程组：（1）$\begin{cases}4x+2y=22,\\17x+7y=80;\end{cases}$ （2）$\begin{cases}4x+7y=144,\\12y-8x=24.\end{cases}$
详细思路
是哪类问题：这是「二元一次方程组求解」题：两个方程两个未知数，先消去一个未知数变成一元方程。
关键切入点：先看系数有没有公因数：$4x+2y=22$ 全体除以 $2$ 得 $2x+y=11$，$y$ 的系数变成 $1$，用代入法最省力；$12y-8x=24$ 全体除以 $4$ 得 $3y-2x=6$，再与另一式配合消元。化简系数是这类题的第一步，能大幅减少计算量。
方法概述：先约简系数，再用代入消元或加减消元。
规范步骤：
  1. (1) 第一式两边同除以 $2$：$2x+y=11$，即 $y=11-2x$（约简系数）
  2. (1) 代入第二式：$17x+7(11-2x)=80$，即 $3x+77=80$（代入消元）
  3. (1) 求解并回代：$x=1$，$y=11-2=9$（回代）
  4. (2) 第二式两边同除以 $4$：$3y-2x=6$（约简系数）
  5. (2) 与 $4x+7y=144$ 联立消元：$4x+7y=144$ 与 $-4x+6y=12$ 相加得 $13y=156$（加减消元）
  6. (2) 求解并回代：$y=12$，$4x=144-84=60$，$x=15$（回代）
第一套
题目：解下面的方程组：（1）$\begin{cases}6x+4y=68,\\19x+11y=202;\end{cases}$ （2）$\begin{cases}6x+9y=237,\\15y-10x=55.\end{cases}$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（约简）：(1) 第一式两边同除以 $2$，得 $3x+2y=\underline{\quad}$，于是 $y=\frac{34-3x}{2}$。
  2. 第 2 步（代入）：把它代入 $19x+11y=202$ 并两边同乘 $2$，得 $\underline{\quad}x+11\times34-33x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（合并求解）：$x$ 的系数为 $38-33=\underline{\quad}$，右边为 $404-374=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（约简）：(2) 第一式同除以 $3$ 得 $2x+3y=\underline{\quad}$；第二式同除以 $5$ 得 $3y-2x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（加减消元）：两式相加，$x$ 恰好抵消，得 $6y=\underline{\quad}$，所以 $y=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（回代）：$2x=79-3\times15$，所以 $x=\underline{\quad}$。
第二套
题目：数学接力赛有两站，每站需解出一个方程组：第一站 $\begin{cases}6x+4y=68,\\19x+11y=202;\end{cases}$ 第二站 $\begin{cases}6x+9y=237,\\15y-10x=55.\end{cases}$ 求两站的解。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 站（约简）：第一式同除以 $2$ 得 $3x+2y=\underline{\quad}$，故 $y=\frac{34-3x}{2}$。
  2. 第 1 站（代入求解）：代入第二式并同乘 $2$，合并后 $x$ 的系数为 $\underline{\quad}$，右边为 $\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
  3. 第 2 站（约简）：两式分别同除以 $3$ 和 $5$，得 $2x+3y=\underline{\quad}$ 与 $3y-2x=\underline{\quad}$。
  4. 第 2 站（相加消元）：$6y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$，回代得 $x=\underline{\quad}$。
第三套
题目：解方程组：$\begin{cases}4x+y=53,\\7x+3y=104.\end{cases}$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（选法）：第一式中 $y$ 的系数是 $1$，最适合代入消元，由它得 $y=53-4x$。
  2. 第 2 步（代入）：$7x+3(53-4x)=104$，去括号得 $7x+\underline{\quad}-12x=104$。
  3. 第 3 步（合并）：$x$ 的系数为 $7-12=\underline{\quad}$，右边为 $104-159=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$x=\underline{\quad}$，回代得 $y=53-4\times11=\underline{\quad}$。
第三套
题目：解方程组：$\begin{cases}\dfrac{x+y}{3}+\dfrac{x-y}{5}=8,\\x-y=10.\end{cases}$
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体代换）：把 $x-y=10$ 整体代入第一式，$\frac{x-y}{5}=\frac{10}{5}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $x+y$）：于是 $\frac{x+y}{3}=8-2=\underline{\quad}$，所以 $x+y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（和差解法）：$x=\frac{18+10}{2}=\underline{\quad}$，$y=\frac{18-10}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：$\frac{14+4}{3}+\frac{14-4}{5}=6+2=\underline{\quad}$，与 $8$ 相符。
30. 【原题 ch04-xingqu-08】小高与萱萱一起在水果店买水果，小高买了 $3$ 千克苹果和 $2$ 千克梨，共花了 $18.8$ 元。萱萱买了 $2$ 千克苹果和 $3$ 千克梨，共花了 $18.2$ 元。你能算出 $1$ 千克苹果多少元、$1$ 千克梨多少元吗？
详细思路
是哪类问题：这是「购物单价问题」：两笔消费给出两个方程，求两种单价。
关键切入点：两个方程的系数正好对称（$3,2$ 与 $2,3$），这时把两式相加得到 $5(x+y)$、相减得到 $x-y$，比硬套消元法快得多——这是对称型方程组的通用技巧。
方法概述：设两种单价为未知数列方程组，利用系数对称用“相加求和、相减求差”解出。
规范步骤：
  1. 设苹果 $x$ 元/千克、梨 $y$ 元/千克：$\begin{cases}3x+2y=18.8\\2x+3y=18.2\end{cases}$（按两笔消费列式）
  2. 两式相加：$5x+5y=37$，即 $x+y=7.4$（系数对称）
  3. 两式相减：$x-y=18.8-18.2=0.6$（对称相减）
  4. 和差解法：$x=\frac{7.4+0.6}{2}=4$，$y=\frac{7.4-0.6}{2}=3.4$（和差问题）
  5. 检验：$3\times4+2\times3.4=18.8$（回代）
第一套
题目：小高买了 $5$ 千克苹果和 $3$ 千克梨，共花了 $54.6$ 元；萱萱买了 $3$ 千克苹果和 $5$ 千克梨，共花了 $55.8$ 元。求 $1$ 千克苹果、$1$ 千克梨各多少元。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元列方程组）：设苹果 $x$ 元、梨 $y$ 元，则 $5x+3y=54.6$，$3x+5y=55.8$。
  2. 第 2 步（相加）：两式相加得 $8x+8y=\underline{\quad}$，所以 $x+y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相减）：两式相减得 $2x-2y=54.6-55.8=\underline{\quad}$，所以 $x-y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（和差解法）：$x=\frac{13.8+(-0.6)}{2}=\underline{\quad}$ 元，$y=\frac{13.8-(-0.6)}{2}=\underline{\quad}$ 元。
  5. 第 5 步（检验）：$5\times6.6+3\times7.2=33+21.6=\underline{\quad}$ 元。
第二套
题目：文具店里买 $5$ 支钢笔和 $3$ 本笔记本共花 $54.6$ 元，买 $3$ 支钢笔和 $5$ 本笔记本共花 $55.8$ 元。求 $1$ 支钢笔、$1$ 本笔记本各多少元。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设钢笔 $x$ 元、笔记本 $y$ 元，$5x+3y=54.6$，$3x+5y=55.8$。
  2. 第 2 步（相加求和）：$8(x+y)=\underline{\quad}$，$x+y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相减求差）：$2(x-y)=\underline{\quad}$，$x-y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（和差解法）：$x=\underline{\quad}$ 元，$y=\underline{\quad}$ 元。
  5. 第 5 步（检验）：$5\times6.6+3\times7.2=\underline{\quad}$ 元。
第三套
题目：买 $4$ 个笔袋和 $3$ 个订书机共 $61$ 元，买 $3$ 个笔袋和 $4$ 个订书机共 $58$ 元。求笔袋和订书机的单价。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设笔袋 $x$ 元、订书机 $y$ 元，$4x+3y=61$，$3x+4y=58$。
  2. 第 2 步（相加）：$7(x+y)=\underline{\quad}$，所以 $x+y=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（相减）：$x-y=61-58=\underline{\quad}$ 元。
  4. 第 4 步（和差解法）：$x=\underline{\quad}$ 元，$y=\underline{\quad}$ 元。
  5. 第 5 步（检验）：$4\times10+3\times7=\underline{\quad}$ 元。
第三套
题目：买 $5$ 千克苹果和 $3$ 千克梨共 $54.6$ 元，买 $3$ 千克苹果和 $5$ 千克梨共 $55.8$ 元。问：（1）两种水果的单价各是多少？（2）买 $4$ 千克苹果和 $6$ 千克梨要多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相加相减）：$x+y=\underline{\quad}$ 元，$x-y=\underline{\quad}$ 元。
  2. 第 2 步（求单价）：苹果 $x=\underline{\quad}$ 元，梨 $y=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（求新组合）：$4$ 千克苹果 $=4\times6.6=\underline{\quad}$ 元，$6$ 千克梨 $=6\times7.2=\underline{\quad}$ 元。
  4. 第 4 步（求总价）：$26.4+43.2=\underline{\quad}$ 元。
31. 【原题 ch04-xingqu-09】$2$ 个蟹将和 $4$ 个虾兵能打扫龙宫的 $\frac{3}{10}$，$8$ 个蟹将和 $10$ 个虾兵就能把龙宫全部打扫完。如果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「工程合作问题」的二元一次方程组：把“一个人（只）单位时间完成的工作量”设为未知数。
关键切入点：把整个龙宫的工作量看作 $1$。设一个蟹将的工作量为 $x$、一个虾兵的为 $y$，两句话就变成两个方程。求出 $x=\frac{1}{12}$ 说明 $12$ 个蟹将正好干完 $1$ 份活，所以“只用蟹将”需要 $1\div x$ 个——这就是效率与个数互为倒数的道理。
方法概述：设单个工作量为未知数列方程组，解出后用 $1\div$ 效率求所需个数。
规范步骤：
  1. 设一个蟹将工作量 $x$、一个虾兵 $y$：$\begin{cases}2x+4y=\frac{3}{10}\\8x+10y=1\end{cases}$（把总工作量看作 1）
  2. 第一式乘 $4$ 与第二式相减消 $x$：$8x+16y=1.2$，减去 $8x+10y=1$ 得 $6y=0.2$（加减消元）
  3. 求 $y$：$y=\frac{1}{30}$（系数化 1）
  4. 回代求 $x$：$2x=0.3-4\times\frac{1}{30}=\frac{1}{6}$，$x=\frac{1}{12}$（回代）
  5. 求个数：$1\div\frac{1}{12}=12$ 个蟹将，$1\div\frac{1}{30}=30$ 个虾兵（效率与个数互为倒数）
第一套
题目：$3$ 个蟹将和 $4$ 个虾兵能打扫龙宫的 $\frac{3}{10}$，$9$ 个蟹将和 $16$ 个虾兵就能把龙宫全部打扫完。如果只让蟹将打扫，需要多少个？只让虾兵打扫，需要多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设一个蟹将的工作量为 $x$、一个虾兵为 $y$，得 $3x+4y=0.3$，$9x+16y=1$。
  2. 第 2 步（消元）：把第一式两边同乘 $3$ 得 $9x+12y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相减）：与 $9x+16y=1$ 相减，$x$ 抵消，得 $4y=\underline{\quad}$，所以 $y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$3x=0.3-4\times0.025=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求个数）：只用蟹将需 $1\div\frac{1}{15}=\underline{\quad}$ 个，只用虾兵需 $1\div\frac{1}{40}=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：$3$ 台大机器人和 $4$ 台小机器人能清扫仓库的 $\frac{3}{10}$，$9$ 台大机器人和 $16$ 台小机器人恰好能把仓库全部清扫完。若只用大机器人需要多少台？只用小机器人需要多少台？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设一台大机器人的工作量为 $x$、小机器人为 $y$，$3x+4y=0.3$，$9x+16y=1$。
  2. 第 2 步（消元）：第一式乘 $3$ 得 $9x+12y=\underline{\quad}$，与第二式相减得 $4y=\underline{\quad}$，故 $y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（回代）：$3x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求台数）：只用大机器人 $\underline{\quad}$ 台，只用小机器人 $\underline{\quad}$ 台。
第三套
题目：$2$ 名师傅和 $5$ 名徒弟一天能完成工程的 $\frac{1}{5}$，$12$ 名师傅和 $20$ 名徒弟一天恰好能完成整个工程。若只派师傅，需要多少名？只派徒弟，需要多少名？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设元）：设一名师傅一天的工作量为 $x$、徒弟为 $y$，$2x+5y=0.2$，$12x+20y=1$。
  2. 第 2 步（消元）：第一式乘 $4$ 得 $8x+20y=\underline{\quad}$，与第二式相减得 $4x=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（回代）：$5y=0.2-2\times0.05=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求人数）：只派师傅 $\underline{\quad}$ 名，只派徒弟 $\underline{\quad}$ 名。
第三套
题目：$3$ 个蟹将和 $4$ 个虾兵能打扫龙宫的 $\frac{3}{10}$，$9$ 个蟹将和 $16$ 个虾兵恰好能全部打扫完。问：（1）单个蟹将、虾兵各能打扫龙宫的几分之几？（2）若先派 $6$ 个蟹将和 $16$ 个虾兵打扫一轮，剩下的部分还要再派多少个虾兵才能扫完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（消元求 $y$）：第一式乘 $3$ 得 $9x+12y=\underline{\quad}$，与第二式相减得 $4y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $x$）：$3x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算已完成部分）：$6$ 个蟹将做 $6\times\frac{1}{15}=\underline{\quad}$，$16$ 个虾兵做 $16\times\frac{1}{40}=\underline{\quad}$，合计 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算剩余）：$1-0.8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（换算成虾兵个数）：$0.2\div\frac{1}{40}=\underline{\quad}$ 个。
32. 【原题 ch04-xingqu-10】如图 $4\text{-}1$，小玲有两种不同形状的纸盒，一种是正方形的，一种是长方形的。正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是 $1:2$，她用这些纸板做成一些竖式纸盒和一些横式纸盒，这些纸盒都用同种纸板做成。求她所做的竖式纸盒的总数与横式纸盒之比是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「立体图形展开计数 + 列方程求比」题：要先从图中数出每种纸盒各用几块正方形、几块长方形纸板。
关键切入点：由图 $4\text{-}1$：一个竖式纸盒用 $1$ 块正方形、$4$ 块长方形；一个横式纸盒用 $2$ 块正方形、$3$ 块长方形。设竖式 $x$ 个、横式 $y$ 个，两种纸板的总块数就是 $(x+2y)$ 与 $(4x+3y)$，题给它们的比是 $1:2$，用交叉相乘化掉比即可。注意：所求的是 $x:y$，不必分别求出 $x$、$y$。
方法概述：数出单个纸盒的用料，列出两种纸板总数之比的方程，交叉相乘后化简得比。
规范步骤：
  1. 设竖式 $x$ 个、横式 $y$ 个：正方形 $x+2y$ 块，长方形 $4x+3y$ 块（按图计数）
  2. 按比列方程：$\frac{x+2y}{4x+3y}=\frac{1}{2}$（纸板之比）
  3. 交叉相乘：$2(x+2y)=4x+3y$，即 $2x+4y=4x+3y$（比例的交叉相乘）
  4. 移项化简：$y=2x$，即 $x:y=1:2$（整理成比）

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch04-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设四个系数依次为 $a$、$b$、$c$、$d$。
    2. 第 2 步（甲的解代入）：$5a+4b=3820$，$5c+4d=\underline{700}$。
    3. 第 3 步（乙的解代入）：乙只看错了第一个常数，所以 $6a+2b=2820$，$6c+2d=\underline{700}$。
    4. 第 4 步（解 $a$、$b$）：把 $6a+2b=2820$ 两边乘 $2$ 得 $12a+4b=\underline{5640}$，与 $5a+4b=3820$ 相减得 $7a=\underline{1820}$，所以 $a=\underline{260}$，$b=\frac{3820-1300}{4}=\underline{630}$。
    5. 第 5 步（解 $c$、$d$）：$6c+2d=700$ 乘 $2$ 得 $12c+4d=\underline{1400}$，与 $5c+4d=700$ 相减得 $7c=\underline{700}$，所以 $c=\underline{100}$，$d=\frac{700-500}{4}=\underline{50}$。
    6. 第 6 步（比较）：$260$、$630$、$100$、$50$ 中最小的是 $\underline{50}$。
    最终答案：四个系数中最小的是 $50$。
  2. 1. ch04-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（设元代入）：设系数为 $a,b,c,d$。由小高的解得 $5a+4b=3820$、$5c+4d=\underline{700}$。
    2. 第 2 步（小萱的解）：她只抄错第一个常数，故 $6a+2b=2820$、$6c+2d=\underline{700}$。
    3. 第 3 步（求 $a,b$）：$12a+4b=\underline{5640}$，相减得 $7a=\underline{1820}$，$a=\underline{260}$，$b=\underline{630}$。
    4. 第 4 步（求 $c,d$）：$12c+4d=\underline{1400}$，相减得 $7c=\underline{700}$，$c=\underline{100}$，$d=\underline{50}$。
    5. 第 5 步（比较）：最小的系数是 $\underline{50}$。
    最终答案：最小的系数是 $50$。
  3. 1. ch04-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（分清哪一式被改动）：这次乙看错的是第二个常数，所以第一式对两人都成立：$3a+6b=1200$，$5a+5b=\underline{1200}$。
    2. 第 2 步（求 $a,b$）：两式分别除以 $3$ 和 $5$，得 $a+2b=\underline{400}$ 与 $a+b=\underline{240}$，相减得 $b=\underline{160}$，$a=\underline{80}$。
    3. 第 3 步（第二式）：甲用真常数：$3c+6d=2760$，即 $c+2d=\underline{920}$；乙用错常数：$5c+5d=3960$，即 $c+d=\underline{792}$。
    4. 第 4 步（求 $c,d$）：相减得 $d=920-792=\underline{128}$，$c=792-128=\underline{664}$。
    5. 第 5 步（比较）：$80$、$160$、$664$、$128$ 中最小的是 $\underline{80}$。
    最终答案：四个系数中最小的是 $80$。
  4. 1. ch04-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $a,b$）：$12a+4b=5640$ 与 $5a+4b=3820$ 相减得 $7a=\underline{1820}$，$a=\underline{260}$，$b=\underline{630}$。
    2. 第 2 步（求 $c,d$）：$12c+4d=1400$ 与 $5c+4d=700$ 相减得 $7c=\underline{700}$，$c=\underline{100}$，$d=\underline{50}$。
    3. 第 3 步（求和）：$260+630+100+50=\underline{1040}$。
    4. 第 4 步（求极差）：最大 $630$、最小 $50$，相差 $\underline{580}$。
    5. 第 5 步（检验）：$5\times260+4\times630=1300+2520=\underline{3820}$，与 $3820$ 相符。
    最终答案：（1）四个系数是 $260$、$630$、$100$、$50$；（2）和为 $1040$，最大与最小相差 $580$。
  5. 2. ch04-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设乙班 $x$ 人、每人 $y$ 个，则甲班 $(x+5)$ 人、每人 $(y-4)$ 个，丙班 $(x-5)$ 人、每人 $(y+6)$ 个。
    2. 第 2 步（甲比乙多 4）：$(x+5)(y-4)-xy=5y-4x-20=4$，$xy$ 抵消，得 $5y-4x=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（乙比丙多 6）：$xy-(x-5)(y+6)=5y-6x+30=6$，得 $5y-6x=\underline{-24}$。
    4. 第 4 步（相减消元）：两式相减，$y$ 抵消，得 $2x=24-(-24)=\underline{48}$，所以 $x=\underline{24}$ 人。
    5. 第 5 步（回代）：$5y=24+4\times24=\underline{120}$，$y=\underline{24}$ 个。
    6. 第 6 步（求各班）：甲班 $29$ 人每人 $\underline{20}$ 个，丙班 $19$ 人每人 $\underline{30}$ 个。
    7. 第 7 步（求总数）：$29\times20+24\times24+19\times30=580+576+570=\underline{1726}$ 个。
    最终答案：三个班一共分了 $1726$ 个枣。
  6. 2. ch04-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设乙组 $x$ 人、每人 $y$ 块，甲组 $(x+5)$ 人、每人 $(y-4)$ 块，丙组 $(x-5)$ 人、每人 $(y+6)$ 块。
    2. 第 2 步（列两式）：$5y-4x=\underline{24}$，$5y-6x=\underline{-24}$。
    3. 第 3 步（相减）：$2x=\underline{48}$，$x=\underline{24}$ 人。
    4. 第 4 步（回代）：$5y=\underline{120}$，$y=\underline{24}$ 块。
    5. 第 5 步（求总数）：$29\times20+24\times24+19\times30=\underline{1726}$ 块。
    最终答案：三个组一共分了 $1726$ 块糖。
  7. 2. ch04-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设乙班 $x$ 人、每人 $y$ 个，甲班 $(x+3)$ 人、每人 $(y-2)$ 个，丙班 $(x-3)$ 人、每人 $(y+4)$ 个。
    2. 第 2 步（甲比乙多 2）：$3y-2x-6=2$，得 $3y-2x=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（乙比丙多 4）：$3y-4x+12=4$，得 $3y-4x=\underline{-8}$。
    4. 第 4 步（相减）：$2x=\underline{16}$，$x=\underline{8}$ 人。
    5. 第 5 步（回代）：$3y=8+2\times8=\underline{24}$，$y=\underline{8}$ 个。
    6. 第 6 步（求总数）：$11\times6+8\times8+5\times12=66+64+60=\underline{190}$ 个。
    最终答案：三个班共分了 $190$ 个苹果。
  8. 2. ch04-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（列式消元）：$5y-4x=\underline{24}$ 与 $5y-6x=\underline{-24}$ 相减得 $2x=\underline{48}$，$x=\underline{24}$ 人。
    2. 第 2 步（求每人份数）：$5y=\underline{120}$，$y=\underline{24}$ 个。
    3. 第 3 步（求各班总数）：甲 $29\times20=\underline{580}$，乙 $24\times24=\underline{576}$，丙 $19\times30=\underline{570}$ 个。
    4. 第 4 步（求总枣数与总人数）：$580+576+570=\underline{1726}$ 个；$29+24+19=\underline{72}$ 人。
    5. 第 5 步（甲与丙比较）：$580-570=\underline{10}$ 个。
    最终答案：（1）共 $1726$ 个；（2）共 $72$ 人；（3）甲班比丙班多分 $10$ 个。
  9. 4. ch04-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（设元列比例）：设相遇用了 $x$ 分钟，则 $\frac{x}{45}=\frac{80}{x}$。
    2. 第 2 步（交叉相乘）：$x^{2}=45\times80=\underline{3600}$，所以 $x=\underline{60}$ 分钟。
    3. 第 3 步（求甲的总时间）：甲走完全程用 $60+45=\underline{105}$ 分钟。
    4. 第 4 步（求甲速）：$4200\div105=\underline{40}$ 米/分。
    5. 第 5 步（求乙的总时间与速度）：乙用 $60+80=\underline{140}$ 分钟，速度为 $4200\div140=\underline{30}$ 米/分。
    6. 第 6 步（检验）：相遇时两人共走 $(40+30)\times60=\underline{4200}$ 米，正好是全程。
    最终答案：甲每分钟走 $40$ 米，乙每分钟走 $30$ 米。
  10. 4. ch04-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（列比例）：设相遇用了 $x$ 分钟，$\frac{x}{45}=\frac{80}{x}$。
    2. 第 2 步（求相遇时间）：$x^{2}=\underline{3600}$，$x=\underline{60}$ 分钟。
    3. 第 3 步（求两人总时间）：第一人 $\underline{105}$ 分钟，第二人 $\underline{140}$ 分钟。
    4. 第 4 步（求速度）：$4200\div105=\underline{40}$ 米/分，$4200\div140=\underline{30}$ 米/分。
    5. 第 5 步（检验）：$(40+30)\times60=\underline{4200}$ 米。
    最终答案：第一人每分钟骑 $40$ 米，第二人每分钟骑 $30$ 米。
  11. 4. ch04-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（列比例）：设相遇用 $x$ 分钟，$\frac{x}{8}=\frac{18}{x}$。
    2. 第 2 步（交叉相乘）：$x^{2}=8\times18=\underline{144}$，$x=\underline{12}$ 分钟。
    3. 第 3 步（求总时间）：甲共用 $12+8=\underline{20}$ 分钟，乙共用 $12+18=\underline{30}$ 分钟。
    4. 第 4 步（求速度）：甲 $3000\div20=\underline{150}$ 米/分，乙 $3000\div30=\underline{100}$ 米/分。
    5. 第 5 步（检验）：$(150+100)\times12=\underline{3000}$ 米。
    最终答案：甲每分钟走 $150$ 米，乙每分钟走 $100$ 米。
  12. 4. ch04-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求相遇用时）：$x^{2}=\underline{3600}$，$x=\underline{60}$ 分钟。
    2. 第 2 步（求速度）：甲 $4200\div\underline{105}=40$ 米/分，乙 $4200\div140=\underline{30}$ 米/分。
    3. 第 3 步（求相遇点位置）：相遇点距 $A$ 地 $40\times60=\underline{2400}$ 米。
    4. 第 4 步（另一种算法检验）：也可用乙相遇后走的路程 $30\times80=\underline{2400}$ 米，两者一致。
    5. 第 5 步（求甲的全程时间）：$60+45=\underline{105}$ 分钟，或 $4200\div40=\underline{105}$ 分钟。
    最终答案：（1）甲 $40$ 米/分、乙 $30$ 米/分；（2）相遇点距 $A$ 地 $2400$ 米；（3）甲走完全程用 $105$ 分钟。
  13. 5. ch04-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设甲单独运 $x$ 次运完，则乙单独运 $(x+10)$ 次，甲每次运 $\frac{1}{x}$、乙每次运 $\frac{1}{x+10}$。
    2. 第 2 步（列方程）：$\frac{12}{x}+\frac{12}{x+10}=1$。
    3. 第 3 步（去分母）：两边同乘 $x(x+10)$，得 $12(x+10)+12x=x(x+10)$，左边为 $\underline{24}x+120$。
    4. 第 4 步（整理）：$x^{2}+10x=24x+120$，即 $x^{2}=\underline{14}x+120$。
    5. 第 5 步（试解验根）：取 $x=20$，左边 $400$，右边 $14\times20+120=\underline{400}$，相等，所以 $x=\underline{20}$ 次。
    6. 第 6 步（检验）：$\frac{12}{20}+\frac{12}{30}=0.6+\underline{0.4}=1$。
    最终答案：甲车单独运 $20$ 次运完。
  14. 5. ch04-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设甲单独抽 $x$ 轮抽完，乙单独抽 $(x+10)$ 轮，每轮分别抽 $\frac{1}{x}$、$\frac{1}{x+10}$。
    2. 第 2 步（列方程去分母）：$\frac{12}{x}+\frac{12}{x+10}=1$，同乘 $x(x+10)$ 得 $\underline{24}x+120=x^{2}+10x$。
    3. 第 3 步（整理）：$x^{2}=\underline{14}x+120$。
    4. 第 4 步（试解）：$x=20$ 时左边 $400$、右边 $\underline{400}$，成立，所以 $x=\underline{20}$ 轮。
    5. 第 5 步（检验）：$\frac{12}{20}+\frac{12}{30}=\underline{1}$。
    最终答案：甲机单独抽 $20$ 轮抽完。
  15. 5. ch04-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设甲单独搬 $x$ 次，乙单独搬 $(x+15)$ 次。
    2. 第 2 步（列方程）：$\frac{10}{x}+\frac{10}{x+15}=1$，去分母得 $10(x+15)+10x=x(x+15)$，左边为 $\underline{20}x+150$。
    3. 第 3 步（整理）：$x^{2}+15x=20x+150$，即 $x^{2}=\underline{5}x+150$。
    4. 第 4 步（试解验根）：$x=15$ 时左边 $225$、右边 $5\times15+150=\underline{225}$，成立，故 $x=\underline{15}$ 次。
    5. 第 5 步（检验）：$\frac{10}{15}+\frac{10}{30}=\frac{2}{3}+\underline{1/3}=1$。
    最终答案：甲单独搬 $15$ 次搬完。
  16. 5. ch04-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程求甲）：$\frac{12}{x}+\frac{12}{x+10}=1$，整理得 $x^{2}=\underline{14}x+120$，试得 $x=\underline{20}$ 次。
    2. 第 2 步（求两车每次的量）：甲每次 $\frac{1}{20}=\underline{0.05}$，乙每次 $\frac{1}{30}$。
    3. 第 3 步（算甲运的部分）：$8\times0.05=\underline{0.4}$。
    4. 第 4 步（算剩余）：$1-0.4=\underline{0.6}$。
    5. 第 5 步（换算成乙的次数）：$0.6\div\frac{1}{30}=\underline{18}$ 次。
    最终答案：（1）甲车单独运 $20$ 次；（2）乙车还要运 $18$ 次。
  17. 7. ch04-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（分段设元）：设裂缝在离池底 $x$（占满池高度的比例）处，漏水速度为 $y$（每分钟漏掉满池的几分之几）。
    2. 第 2 步（灌水分两段）：下段不漏水，用 $60x$ 分钟；上段用 $(84-60x)$ 分钟灌进 $(1-x)$，所以净速 $\frac{1-x}{84-60x}=\frac{1}{60}-y$。
    3. 第 3 步（放水分两段）：上段用 $(60-75x)$ 分钟放掉 $(1-x)$，速度 $\frac{1-x}{60-75x}=\frac{1}{75}+y$；下段用 $75x$ 分钟。
    4. 第 4 步（相加消去 $y$）：$\frac{1-x}{84-60x}+\frac{1-x}{60-75x}=\frac{1}{60}+\frac{1}{75}=\underline{0.03}$。
    5. 第 5 步（换元整理）：记 $u=1-x$，则 $84-60x=\underline{24}+60u$，$60-75x=75u\underline{-15}$；去分母后 $u^{2}$ 项恰好抵消，得 $1800u=1080$，所以 $u=\underline{0.6}$。
    6. 第 6 步（求裂缝位置）：$x=1-0.6=\underline{0.4}$，即 $\underline{2/5}$。
    7. 第 7 步（检验）：上段灌水 $\frac{0.6}{84-24}=\underline{0.01}$，上段放水 $\frac{0.6}{60-30}=\underline{0.02}$，两者相加 $\underline{0.03}$，与第 4 步相符。
    最终答案：裂缝在离池底 $\frac{2}{5}$ 高度的地方。
  18. 7. ch04-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步（分段设元）：设裂缝在离塔底 $x$ 处、漏水速度为 $y$。
    2. 第 2 步（注水）：下段用 $60x$ 分钟，上段净速 $\frac{1-x}{84-60x}=\frac{1}{60}-y$。
    3. 第 3 步（放水）：上段速度 $\frac{1-x}{60-75x}=\frac{1}{75}+y$，下段用 $75x$ 分钟。
    4. 第 4 步（相加消 $y$）：两式相加得 $\frac{1-x}{84-60x}+\frac{1-x}{60-75x}=\underline{0.03}$。
    5. 第 5 步（换元求解）：记 $u=1-x$，整理得 $1800u=1080$，$u=\underline{0.6}$，所以 $x=\underline{0.4}$，即 $\underline{2/5}$。
    6. 第 6 步（检验）：$\frac{0.6}{60}+\frac{0.6}{30}=\underline{0.03}$。
    最终答案：裂缝在离塔底 $\frac{2}{5}$ 高度的地方。
  19. 7. ch04-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（分段）：设裂缝在离池底 $x$ 处、漏速 $y$。下段灌水 $40x$ 分钟，下段放水 $50x$ 分钟。
    2. 第 2 步（两段速度）：$\frac{1-x}{44-40x}=\frac{1}{40}-y$，$\frac{1-x}{46-50x}=\frac{1}{50}+y$。
    3. 第 3 步（相加消 $y$）：$\frac{1-x}{44-40x}+\frac{1-x}{46-50x}=\frac{1}{40}+\frac{1}{50}=\underline{0.045}$。
    4. 第 4 步（代入 $x=0.6$ 检验）：$\frac{0.4}{44-24}=\underline{0.02}$，$\frac{0.4}{46-30}=\underline{0.025}$，两者相加 $=\underline{0.045}$，与上式相等，所以 $x=\underline{0.6}$，即 $\underline{3/5}$。
    最终答案：裂缝在离池底 $\frac{3}{5}$ 高度的地方。
  20. 7. ch04-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（消 $y$ 求裂缝）：$\frac{1-x}{84-60x}+\frac{1-x}{60-75x}=\underline{0.03}$，整理得 $u=1-x=\underline{0.6}$，所以 $x=\underline{0.4}$。
    2. 第 2 步（算上段灌水时间）：下段用 $60\times0.4=\underline{24}$ 分钟，上段用 $84-24=\underline{60}$ 分钟。
    3. 第 3 步（求上段净进水速度）：$0.6\div60=\underline{0.01}$。
    4. 第 4 步（求漏水速度）：$y=\frac{1}{60}-0.01=\underline{1/150}$，即每分钟漏掉满池的 $\frac{1}{150}$。
    5. 第 5 步（求漏光时间）：$1\div\frac{1}{150}=\underline{150}$ 分钟。
    最终答案：（1）裂缝在离池底 $\frac{2}{5}$ 高度处；（2）每分钟漏掉满池的 $\frac{1}{150}$，漏光一池水要 $150$ 分钟。
  21. 9. ch04-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步：(1) 分母 $6$、$9$、$18$ 的最小公倍数是 $\underline{18}$，两边同乘它得 $18x+3(x+5)+2(x-2)=11x+36$。
    2. 第 2 步：左边合并后 $x$ 的系数是 $18+3+2=\underline{23}$、常数是 $15-4=\underline{11}$；移项得 $\underline{12}x=\underline{25}$，所以 $x=\underline{25/12}$。
    3. 第 3 步：(2) 从最里层去括号，$\frac{3}{4}\left(\frac{1}{5}x+2\right)=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$，加 $3$ 再乘 $\frac{2}{3}$ 得 $\frac{1}{10}x+3$，减 $\frac{5}{2}$ 得 $\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}$。
    4. 第 4 步：(2) 移项，$x$ 的系数为 $\frac{3}{4}-\frac{1}{10}=\underline{0.65}$，所以 $x=\frac{1}{2}\div\frac{13}{20}=\underline{10/13}$。
    5. 第 5 步：(3) 交叉相乘得 $3(4x+7)=5(3x+2)$，即 $12x+21=15x+10$，移项得 $\underline{3}x=\underline{11}$，$x=\underline{11/3}$。
    6. 第 6 步：(4) 展开得 $x^{2}+11x+18=x^{2}+8x+22$，两边的 $x^{2}$ 抵消，$3x=\underline{4}$，$x=\underline{4/3}$。
    最终答案：（1）$x=\frac{25}{12}$；（2）$x=\frac{10}{13}$；（3）$x=\frac{11}{3}$；（4）$x=\frac{4}{3}$。
  22. 9. ch04-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 关：公分母是 $\underline{18}$，去分母整理后 $\underline{12}x=\underline{25}$，所以 $x=\underline{25/12}$。
    2. 第 2 关：逐层去括号后得 $\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}x$，$x$ 的系数差为 $\underline{0.65}$，所以 $x=\underline{10/13}$。
    3. 第 3 关：交叉相乘得 $12x+21=15x+10$，$\underline{3}x=\underline{11}$，$x=\underline{11/3}$。
    4. 第 4 关：展开消去 $x^{2}$ 后 $3x=\underline{4}$，$x=\underline{4/3}$。
    最终答案：第一关 $x=\frac{25}{12}$；第二关 $x=\frac{10}{13}$；第三关 $x=\frac{11}{3}$；第四关 $x=\frac{4}{3}$。
  23. 9. ch04-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（找公分母）：分母 $5$、$4$、$2$ 的最小公倍数是 $\underline{20}$。
    2. 第 2 步（去分母）：两边同乘它得 $4(2x+1)-5(x-3)=10(x+2)-20$，注意 $-\frac{x-3}{4}$ 去分母后整个括号前带负号。
    3. 第 3 步（去括号）：左边 $8x+4-5x+15$，$x$ 的系数为 $\underline{3}$、常数为 $\underline{19}$；右边 $10x+20-20=10x$。
    4. 第 4 步（移项求解）：$\underline{7}x=\underline{19}$，所以 $x=\underline{19/7}$。
    最终答案：$x=\frac{19}{7}$。
  24. 9. ch04-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（分别展开）：$(x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6$，$(x+7)(x+8)=x^{2}+15x+56$。
    2. 第 2 步（相减）：$x^{2}$ 抵消，$x$ 的系数为 $5-15=\underline{-10}$，常数为 $6-56=\underline{-50}$，分子为 $-10x-50$。
    3. 第 3 步（去分母）：$\frac{-10x-50}{5}=-2x-10$，方程变为 $-2x-10=x-16$。
    4. 第 4 步（移项求解）：$\underline{3}x=\underline{6}$，所以 $x=\underline{2}$。
    5. 第 5 步（检验）：左边 $\frac{4\times5-9\times10}{5}=\frac{20-90}{5}=\underline{-14}$，右边 $2-16=-14$，相符。
    最终答案：$x=2$。
  25. 10. ch04-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设分子为 $x$，则分母为 $210-x$。
    2. 第 2 步（写出变化后的分数）：同减 $30$ 后分子为 $x-30$，分母为 $210-x-30=\underline{180}-x$。
    3. 第 3 步（列方程）：$\frac{x-30}{180-x}=\frac{1}{9}$，交叉相乘得 $9(x-30)=180-x$，即 $9x-270=180-x$。
    4. 第 4 步（移项求解）：$x$ 的系数为 $9+1=\underline{10}$，右边为 $180+270=\underline{450}$，所以 $x=\underline{45}$。
    5. 第 5 步（求分母并检验）：分母 $=210-45=\underline{165}$，检验 $\frac{45-30}{165-30}=\frac{15}{135}=\underline{1/9}$。
    最终答案：原来的分数是 $\frac{45}{165}$。
  26. 10. ch04-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设男工 $x$ 人，则女工 $210-x$ 人。
    2. 第 2 步（调走后）：男工剩 $x-30$ 人，女工剩 $\underline{180}-x$ 人。
    3. 第 3 步（列方程）：$\frac{x-30}{180-x}=\frac{1}{9}$，交叉相乘得 $9x-270=180-x$，合并后 $x$ 的系数为 $\underline{10}$、右边为 $\underline{450}$。
    4. 第 4 步（求解）：$x=\underline{45}$ 人，女工 $=\underline{165}$ 人。
    5. 第 5 步（检验）：$\frac{15}{135}=\underline{1/9}$。
    最终答案：原来男工 $45$ 人，女工 $165$ 人。
  27. 10. ch04-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设分子为 $x$，则分母为 $96-x$。
    2. 第 2 步（同加 12）：分子变为 $x+12$，分母变为 $96-x+12=\underline{108}-x$。
    3. 第 3 步（列方程）：$\frac{x+12}{108-x}=\frac{3}{5}$，交叉相乘得 $5(x+12)=3(108-x)$，即 $5x+60=324-3x$。
    4. 第 4 步（移项）：$x$ 的系数为 $5+3=\underline{8}$，右边为 $324-60=\underline{264}$，所以 $x=\underline{33}$。
    5. 第 5 步（检验）：分母 $=96-33=\underline{63}$，$\frac{33+12}{63+12}=\frac{45}{75}=\underline{3/5}$。
    最终答案：原来的分数是 $\frac{33}{63}$。
  28. 10. ch04-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（设元列方程）：设分子 $x$，$\frac{x-30}{180-x}=\frac{1}{9}$，交叉相乘得 $9x-270=180-x$。
    2. 第 2 步（求解）：$x$ 的系数 $\underline{10}$、右边 $\underline{450}$，所以分子 $x=\underline{45}$。
    3. 第 3 步（求分母）：$210-45=\underline{165}$。
    4. 第 4 步（约分）：$45$ 与 $165$ 的最大公因数是 $15$，$45\div15=\underline{3}$，$165\div15=\underline{11}$，所以最简分数是 $\underline{3/11}$。
    最终答案：（1）原分数是 $\frac{45}{165}$；（2）约成最简分数是 $\frac{3}{11}$。
  29. 11. ch04-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设加入含盐 $12\%$ 的盐水 $x$ 克，混合后总量为 $(240+x)$ 克。
    2. 第 2 步（算原有的盐）：$240\times4\%=\underline{9.6}$ 克。
    3. 第 3 步（列方程）：$9.6+0.12x=0.09(240+x)$，右边为 $\underline{21.6}+0.09x$。
    4. 第 4 步（移项）：$x$ 的系数为 $0.12-0.09=\underline{0.03}$，右边为 $21.6-9.6=\underline{12}$。
    5. 第 5 步（求解）：$x=12\div0.03=\underline{400}$ 克。
    6. 第 6 步（求配成的盐水）：$240+400=\underline{640}$ 克，检验含盐 $9.6+48=\underline{57.6}$ 克，恰是 $640\times9\%$。
    最终答案：$640$ 克。
  30. 11. ch04-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设加入 $12\%$ 的饮料 $x$ 克，混合后总量 $(240+x)$ 克。
    2. 第 2 步（算原有果汁）：$240\times4\%=\underline{9.6}$ 克。
    3. 第 3 步（按果汁量守恒列方程）：$9.6+0.12x=0.09(240+x)$，即 $0.12x-0.09x=\underline{21.6}-9.6$。
    4. 第 4 步（求解）：$x$ 的系数为 $\underline{0.03}$，右边为 $\underline{12}$，$x=\underline{400}$ 克。
    5. 第 5 步（求总量）：$240+400=\underline{640}$ 克。
    最终答案：$640$ 克。
  31. 11. ch04-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设加入 $25\%$ 的糖水 $x$ 克，总量为 $(300+x)$ 克。
    2. 第 2 步（算原有的糖）：$300\times10\%=\underline{30}$ 克。
    3. 第 3 步（列方程）：$30+0.25x=0.2(300+x)$，右边常数为 $\underline{60}$。
    4. 第 4 步（移项）：$x$ 的系数为 $0.25-0.2=\underline{0.05}$，右边为 $60-30=\underline{30}$。
    5. 第 5 步（求解）：$x=\underline{600}$ 克，配成的糖水共 $300+600=\underline{900}$ 克。
    最终答案：$900$ 克。
  32. 11. ch04-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程求加入量）：$240\times4\%+0.12x=0.09(240+x)$，$x$ 的系数为 $\underline{0.03}$、右边为 $\underline{12}$，得 $x=\underline{400}$ 克。
    2. 第 2 步（求配成的盐水）：$240+400=\underline{640}$ 克。
    3. 第 3 步（求盐的克数）：加水稀释时盐不变，盐为 $640\times9\%=\underline{57.6}$ 克。
    4. 第 4 步（求稀释后的总量）：含盐 $6\%$ 时总量为 $57.6\div0.06=\underline{960}$ 克。
    5. 第 5 步（求加水量）：$960-640=\underline{320}$ 克。
    最终答案：（1）配成 $640$ 克；（2）还要加入 $320$ 克水。
  33. 12. ch04-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（第一套还原）：第二次的商是 $8a+6$，第一次的商是 $8(8a+6)+3$，原数 $=8[8(8a+6)+3]+5$。
    2. 第 2 步（展开）：$a$ 的系数是 $8\times8\times8=\underline{512}$，常数是 $64\times6+8\times3+5=\underline{413}$。
    3. 第 3 步（第二套还原）：原数 $=17(17\times2a+8)+13$，$a$ 的系数是 $17\times17\times2=\underline{578}$，常数是 $17\times8+13=\underline{149}$。
    4. 第 4 步（列方程）：$512a+413=578a+149$，移项得 $\underline{66}a=\underline{264}$，所以 $a=\underline{4}$。
    5. 第 5 步（回代）：原数 $=512\times4+413=\underline{2461}$，用第二套检验 $578\times4+149=\underline{2461}$，一致。
    最终答案：这个自然数是 $2461$。
  34. 12. ch04-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（按 8 还原）：密码 $=8[8(8a+6)+3]+5$，展开后 $a$ 的系数为 $\underline{512}$、常数为 $\underline{413}$。
    2. 第 2 步（按 17 还原）：密码 $=17(34a+8)+13$，$a$ 的系数为 $\underline{578}$、常数为 $\underline{149}$。
    3. 第 3 步（列方程求 $a$）：$66a=\underline{264}$，$a=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（回代）：密码 $=\underline{2461}$。
    最终答案：密码是 $2461$。
  35. 12. ch04-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（按 7 还原）：原数 $=7[7(7a+6)+1]+1$，$a$ 的系数为 $7\times7\times7=\underline{343}$，常数为 $49\times6+7\times1+1=\underline{302}$。
    2. 第 2 步（按 12 还原）：原数 $=12(12\times3a+2)+11$，$a$ 的系数为 $12\times12\times3=\underline{432}$，常数为 $12\times2+11=\underline{35}$。
    3. 第 3 步（列方程）：$343a+302=432a+35$，移项得 $\underline{89}a=\underline{267}$，$a=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（回代检验）：原数 $=343\times3+302=\underline{1331}$，也等于 $432\times3+35=\underline{1331}$。
    最终答案：这个自然数是 $1331$。
  36. 12. ch04-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（两套还原）：$512a+\underline{413}=578a+\underline{149}$。
    2. 第 2 步（求 $a$）：$66a=\underline{264}$，$a=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（求原数）：$512\times4+413=\underline{2461}$。
    4. 第 4 步（弃九法）：各位数字之和 $2+4+6+1=\underline{13}$，再求 $1+3=\underline{4}$。
    5. 第 5 步（检验）：$2461-4=2457$，而 $2457\div9=\underline{273}$ 是整数，所以余数确为 $4$。
    最终答案：（1）这个自然数是 $2461$；（2）它除以 $9$ 余 $4$。
  37. 13. ch04-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设原有 $x$ 个球。取出 $2$ 个红球后剩 $(x-2)$ 个，其中红球 $\frac{1}{9}(x-2)$ 个。
    2. 第 2 步（表示原有红球）：红球被取走 $2$ 个，所以原有红球 $=\frac{1}{9}(x-2)+2$ 个。
    3. 第 3 步（另一种取法）：取出 $8$ 个蓝球后剩 $(x-8)$ 个，红球没变，为 $\frac{1}{6}(x-8)$ 个。
    4. 第 4 步（列方程去分母）：$\frac{1}{9}(x-2)+2=\frac{1}{6}(x-8)$，两边同乘 $\underline{18}$ 得 $2(x-2)+36=3(x-8)$。
    5. 第 5 步（去括号合并）：左边 $2x-4+36=2x+\underline{32}$，右边 $3x-\underline{24}$。
    6. 第 6 步（求解）：$x=32+24=\underline{56}$ 个。
    7. 第 7 步（检验）：红球 $=\frac{56-8}{6}=\underline{8}$ 个，取 $2$ 个红球后 $\frac{6}{54}=\underline{1/9}$。
    最终答案：原来口袋中有 $56$ 个小球。
  38. 13. ch04-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设原有 $x$ 辆车，开走 $2$ 辆轿车后剩 $(x-2)$ 辆，轿车 $\frac{1}{9}(x-2)$ 辆。
    2. 第 2 步（表示原有轿车）：原有轿车 $=\frac{1}{9}(x-2)+2$ 辆。
    3. 第 3 步（另一种情形）：开走 $8$ 辆摩托车后轿车数不变，为 $\frac{1}{6}(x-8)$ 辆。
    4. 第 4 步（列方程）：两式相等，两边同乘 $\underline{18}$ 得 $2(x-2)+36=3(x-8)$，即 $2x+\underline{32}=3x-\underline{24}$。
    5. 第 5 步（求解）：$x=\underline{56}$ 辆，其中轿车 $\underline{8}$ 辆。
    最终答案：原来停车场共有 $56$ 辆车。
  39. 13. ch04-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设原有 $x$ 个球，取 $1$ 红后红球为 $\frac{1}{8}(x-1)$ 个，故原有红球 $=\frac{1}{8}(x-1)+1$ 个。
    2. 第 2 步（另一情形）：取 $5$ 个蓝球后红球不变，为 $\frac{1}{5}(x-5)$ 个。
    3. 第 3 步（去分母）：两边同乘 $\underline{40}$ 得 $5(x-1)+40=8(x-5)$。
    4. 第 4 步（去括号合并）：左边 $5x+\underline{35}$，右边 $8x-\underline{40}$。
    5. 第 5 步（求解）：$3x=35+40=\underline{75}$，$x=\underline{25}$ 个。
    6. 第 6 步（检验）：红球 $=\frac{25-5}{5}=\underline{4}$ 个。
    最终答案：原来口袋中有 $25$ 个球。
  40. 13. ch04-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：$\frac{1}{9}(x-2)+2=\frac{1}{6}(x-8)$，两边同乘 $18$ 得 $2x+\underline{32}=3x-\underline{24}$。
    2. 第 2 步（求总数）：$x=\underline{56}$ 个。
    3. 第 3 步（求红球）：红球 $=\frac{56-8}{6}=\underline{8}$ 个。
    4. 第 4 步（求蓝球）：蓝球 $=56-8=\underline{48}$ 个。
    5. 第 5 步（求差与占比）：蓝球比红球多 $48-8=\underline{40}$ 个；红球占 $\frac{8}{56}=\underline{1/7}$。
    最终答案：（1）共 $56$ 个；（2）蓝球比红球多 $40$ 个；（3）红球占 $\frac{1}{7}$。
  41. 14. ch04-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设第二组 $x$ 人，则第一组 $2x$ 人，第三、四组各 $(30-x)$ 人。
    2. 第 2 步（表示苹果总数）：第一组分 $2x\times3=\underline{6}x$ 个，第二组分 $4x$ 个，第三、四组共分 $(30-x)\times(5+6)=\underline{11}(30-x)$ 个。
    3. 第 3 步（合并）：总数 $=10x+11\times30-11x=\underline{330}-x$。
    4. 第 4 步（列方程求解）：$330-x=315$，所以 $x=\underline{15}$。
    5. 第 5 步（求各组人数）：第一组 $\underline{30}$ 人，第三、四组各 $\underline{15}$ 人。
    6. 第 6 步（求总人数）：$30+15+15+15=\underline{75}$ 人。
    7. 第 7 步（检验）：$30\times3+15\times4+15\times5+15\times6=\underline{315}$ 个。
    最终答案：四个组一共有 $75$ 名学生。
  42. 14. ch04-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设第二组 $x$ 人，第一组 $2x$ 人，第三、四组各 $(30-x)$ 人。
    2. 第 2 步（表示本数）：第一组 $\underline{6}x$ 本，第三、四组合起来每人相当于 $\underline{11}$ 本。
    3. 第 3 步（列方程）：$10x+11(30-x)=\underline{330}-x=315$，所以 $x=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（求人数）：第一组 $\underline{30}$ 人，第三、四组各 $\underline{15}$ 人，合计 $\underline{75}$ 人。
    最终答案：四个组共有 $75$ 人。
  43. 14. ch04-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设第二组 $x$ 人，第一组 $3x$ 人，第三、四组各 $(25-x)$ 人。
    2. 第 2 步（表示糖块）：第一组 $3x\times2=\underline{6}x$ 块，加上第二组的 $4x$ 块共 $\underline{10}x$ 块；第三、四组共 $(25-x)\times11$ 块。
    3. 第 3 步（合并）：总数 $=10x+11\times25-11x=\underline{275}-x$。
    4. 第 4 步（求解）：$275-x=262$，$x=\underline{13}$。
    5. 第 5 步（求人数）：第一组 $\underline{39}$ 人，第三、四组各 $\underline{12}$ 人，合计 $39+13+12+12=\underline{76}$ 人。
    最终答案：四个组共有 $76$ 人。
  44. 14. ch04-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程求第二组）：$10x+11(30-x)=315$，即 $330-x=315$，$x=\underline{15}$。
    2. 第 2 步（求各组人数）：第一组 $\underline{30}$ 人，第三、四组各 $\underline{15}$ 人，总人数 $\underline{75}$ 人。
    3. 第 3 步（求平均数）：$315\div75=\underline{4.2}$ 个。
    4. 第 4 步（求两组分到的苹果）：第一组 $30\times3=\underline{90}$ 个，第三组 $15\times5=\underline{75}$ 个。
    5. 第 5 步（求差）：$90-75=\underline{15}$ 个。
    最终答案：（1）$75$ 人；（2）平均每人 $4.2$ 个；（3）第一组比第三组多分 $15$ 个。
  45. 15. ch04-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（数路程）：设两地相距 $x$ 千米。乙先走 $x$ 到 $A$，再折返走到相遇点又走 $(x-384)$，共 $\underline{2}x-384$ 千米；甲先走 $x$ 到 $B$，再折返走 $384$，共 $(x+384)$ 千米。
    2. 第 2 步（时间关系）：甲的行驶时间比乙少 $3$ 小时，即 $\left(\frac{2x-384}{40}-3\right)\times60=x+384$。
    3. 第 3 步（去括号）：$60\div40=1.5$，左边为 $1.5(2x-384)-180=3x-\underline{576}-\underline{180}$。
    4. 第 4 步（移项）：$3x-756=x+384$，$2x=756+384=\underline{1140}$，所以 $x=\underline{570}$ 千米。
    5. 第 5 步（检验）：乙共行 $2\times570-384=\underline{756}$ 千米，用 $756\div40=\underline{18.9}$ 小时；甲共行 $954$ 千米，用 $954\div60=\underline{15.9}$ 小时，相差正好 $3$ 小时。
    最终答案：$A$、$B$ 两地相距 $570$ 千米。
  46. 15. ch04-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（数路程）：设相距 $x$ 千米，乙船共行 $\underline{2}x-384$ 千米，甲船共行 $(x+384)$ 千米。
    2. 第 2 步（列方程）：$\left(\frac{2x-384}{40}-3\right)\times60=x+384$，左边展开为 $3x-\underline{576}-\underline{180}$。
    3. 第 3 步（求解）：$2x=\underline{1140}$，$x=\underline{570}$ 千米。
    4. 第 4 步（检验）：乙船共行 $\underline{756}$ 千米、用 $\underline{18.9}$ 小时，甲船用 $\underline{15.9}$ 小时，相差 $3$ 小时。
    最终答案：两码头相距 $570$ 千米。
  47. 15. ch04-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（数路程）：设相距 $x$ 千米，乙共行 $(2x-340)$ 千米，甲共行 $(x+340)$ 千米。
    2. 第 2 步（速度比）：$90\div60=\underline{1.5}$，所以甲的路程 $=1.5\times$（乙的行驶时间对应的路程）$-90\times3$。
    3. 第 3 步（列方程）：$1.5(2x-340)-\underline{270}=x+340$，即 $3x-510-270=x+340$。
    4. 第 4 步（移项求解）：$2x=780+340=\underline{1120}$，$x=\underline{560}$ 千米。
    5. 第 5 步（检验）：乙行 $\underline{780}$ 千米用 $\underline{13}$ 小时，甲行 $900$ 千米用 $\underline{10}$ 小时，相差 $3$ 小时。
    最终答案：$A$、$B$ 两地相距 $560$ 千米。
  48. 15. ch04-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：$\left(\frac{2x-384}{40}-3\right)\times60=x+384$，展开得 $3x-576-\underline{180}=x+384$。
    2. 第 2 步（求全程）：$2x=\underline{1140}$，$x=\underline{570}$ 千米。
    3. 第 3 步（求乙的路程）：$2\times570-384=\underline{756}$ 千米。
    4. 第 4 步（求乙的时间）：$756\div40=\underline{18.9}$ 小时。
    5. 第 5 步（检验甲）：甲行 $570+384=\underline{954}$ 千米，行驶 $954\div60=\underline{15.9}$ 小时，加上停留 $3$ 小时正好是 $\underline{18.9}$ 小时。
    最终答案：（1）相距 $570$ 千米；（2）乙车共行 $756$ 千米，用了 $18.9$ 小时。
  49. 16. ch04-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步：(1) $y$ 的系数 $8$ 与 $-4$ 成倍数，第二式两边乘 $2$ 得 $30x-8y=\underline{140}$。
    2. 第 2 步：与第一式相加，$y$ 抵消，得 $\underline{43}x=\underline{258}$，所以 $x=\underline{6}$，回代得 $y=\frac{118-78}{8}=\underline{5}$。
    3. 第 3 步：(2) 第一式中 $x$ 的系数是 $1$，写成 $x=3y-2$ 代入第二式得 $17(3y-2)-9y=344$，即 $\underline{42}y-34=344$。
    4. 第 4 步：合并求解，$42y=\underline{378}$，$y=\underline{9}$，回代 $x=3\times9-2=\underline{25}$。
    5. 第 5 步：(3) 两式对应系数相近，相减得 $2x+y=\underline{29}$，即 $y=29-2x$。
    6. 第 6 步：代入 $21x+36(29-2x)=483$，$x$ 的系数为 $21-72=\underline{-51}$，右边为 $483-1044=\underline{-561}$，所以 $x=\underline{11}$，$y=\underline{7}$。
    最终答案：（1）$x=6,\ y=5$；（2）$x=25,\ y=9$；（3）$x=11,\ y=7$。
  50. 16. ch04-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 题：第二式乘 $2$ 得 $30x-8y=\underline{140}$，与第一式相加得 $43x=\underline{258}$，$x=\underline{6}$，$y=\underline{5}$。
    2. 第 2 题：由 $x=3y-2$ 代入得 $42y-34=344$，$42y=\underline{378}$，$y=\underline{9}$，$x=\underline{25}$。
    3. 第 3 题：两式相减得 $2x+y=\underline{29}$，代入后 $x$ 的系数为 $\underline{-51}$，右边为 $\underline{-561}$，所以 $x=\underline{11}$，$y=\underline{7}$。
    最终答案：第一题 $x=6,\ y=5$；第二题 $x=25,\ y=9$；第三题 $x=11,\ y=7$。
  51. 16. ch04-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（观察系数）：$y$ 的系数 $12$ 与 $-4$ 成 $3$ 倍关系，把第二式两边乘 $3$，得 $45x-12y=\underline{423}$。
    2. 第 2 步（相加消元）：与第一式相加，$y$ 抵消，得 $\underline{50}x=\underline{550}$。
    3. 第 3 步（求解）：$x=\underline{11}$。
    4. 第 4 步（回代）：$12y=127-5\times11=\underline{72}$，所以 $y=\underline{6}$。
    最终答案：$x=11,\ y=6$。
  52. 16. ch04-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（代入准备）：由第二式得 $y=\frac{4+3x}{2}$。
    2. 第 2 步（代入并去分母）：$7x+5\times\frac{4+3x}{2}=97$，两边乘 $2$ 得 $14x+20+15x=\underline{194}$。
    3. 第 3 步（合并求解）：$x$ 的系数为 $14+15=\underline{29}$，右边为 $194-20=\underline{174}$，所以 $x=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（回代）：$y=\frac{4+18}{2}=\underline{11}$。
    5. 第 5 步（代数式求值）：$x+y=\underline{17}$，$(x+y)^{2}=\underline{289}$；$xy=\underline{66}$。
    最终答案：（1）$x=6,\ y=11$；（2）$(x+y)^{2}=289$，$xy=66$。
  53. 17. ch04-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设中盒 $x$ 盒，则小盒 $3x$ 盒，大盒 $(40-4x)$ 盒。
    2. 第 2 步（列方程）：$20(40-4x)+15x+9\times3x=610$，其中 $20\times40=\underline{800}$，$9\times3=\underline{27}$。
    3. 第 3 步（去括号合并）：$800-80x+15x+27x=800-\underline{38}x$。
    4. 第 4 步（求解）：$38x=800-610=\underline{190}$，所以 $x=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（回代）：小盒 $\underline{15}$ 盒，大盒 $40-20=\underline{20}$ 盒。
    6. 第 6 步（检验）：$20\times20+15\times5+9\times15=400+75+135=\underline{610}$ 支。
    最终答案：中盒 $5$ 盒，小盒 $15$ 盒，大盒 $20$ 盒。
  54. 17. ch04-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设中箱 $x$ 箱，小箱 $3x$ 箱，大箱 $(40-4x)$ 箱。
    2. 第 2 步（列方程）：$20(40-4x)+15x+27x=610$，常数项 $20\times40=\underline{800}$。
    3. 第 3 步（合并）：$x$ 的系数为 $-(80-15-27)$，即 $-\underline{38}$。
    4. 第 4 步（求解）：$38x=\underline{190}$，$x=\underline{5}$ 箱。
    5. 第 5 步（回代检验）：小箱 $\underline{15}$ 箱、大箱 $\underline{20}$ 箱，共装 $\underline{610}$ 个。
    最终答案：中箱 $5$ 箱，小箱 $15$ 箱，大箱 $20$ 箱。
  55. 17. ch04-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设中盒 $x$ 盒，则大盒 $2x$ 盒，小盒 $(30-3x)$ 盒。
    2. 第 2 步（列方程）：$24\times2x+16x+10(30-3x)=470$，其中 $24\times2=\underline{48}$，$10\times30=\underline{300}$。
    3. 第 3 步（合并）：$48x+16x-30x=\underline{34}x$，方程变为 $34x+300=470$。
    4. 第 4 步（求解）：$34x=\underline{170}$，$x=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（回代检验）：大盒 $\underline{10}$ 盒、小盒 $\underline{15}$ 盒，共 $240+80+150=\underline{470}$ 块。
    最终答案：中盒 $5$ 盒，大盒 $10$ 盒，小盒 $15$ 盒。
  56. 17. ch04-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程求中盒）：$800-38x=610$，$38x=\underline{190}$，$x=\underline{5}$ 盒。
    2. 第 2 步（求另两种）：小盒 $\underline{15}$ 盒，大盒 $\underline{20}$ 盒。
    3. 第 3 步（分别求支数）：大盒共 $20\times20=\underline{400}$ 支，小盒共 $9\times15=\underline{135}$ 支。
    4. 第 4 步（求差）：$400-135=\underline{265}$ 支。
    5. 第 5 步（求平均）：$610\div40=\underline{15.25}$ 支。
    最终答案：（1）中盒 $5$ 盒、小盒 $15$ 盒、大盒 $20$ 盒；（2）多 $265$ 支；（3）平均每盒 $15.25$ 支。
  57. 18. ch04-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（第一种情形）：甲共走 $3+3=\underline{6}$ 小时，乙走 $3$ 小时，路程和为全程：$6x+3y=72$。
    2. 第 2 步（化简）：两边同除以 $3$，得 $2x+y=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（第二种情形）：乙共走 $2+4=\underline{6}$ 小时，甲走 $4$ 小时，得 $4x+6y=72$，两边同除以 $2$ 得 $2x+3y=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（相减消元）：两式相减，$x$ 抵消，得 $2y=36-24=\underline{12}$，所以 $y=\underline{6}$ 千米/时。
    5. 第 5 步（回代）：$2x=24-6=\underline{18}$，$x=\underline{9}$ 千米/时。
    6. 第 6 步（检验）：$6\times9+3\times6=54+18=\underline{72}$ 千米。
    最终答案：甲每小时走 $9$ 千米，乙每小时走 $6$ 千米。
  58. 18. ch04-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（第一种情形）：甲共行 $\underline{6}$ 小时、乙行 $3$ 小时，$6x+3y=72$，化简得 $2x+y=\underline{24}$。
    2. 第 2 步（第二种情形）：乙共行 $\underline{6}$ 小时、甲行 $4$ 小时，$4x+6y=72$，化简得 $2x+3y=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（相减）：$2y=\underline{12}$，$y=\underline{6}$ 千米/时。
    4. 第 4 步（回代）：$2x=\underline{18}$，$x=\underline{9}$ 千米/时。
    5. 第 5 步（检验）：$\underline{72}$ 千米，正好是全程。
    最终答案：甲船每小时 $9$ 千米，乙船每小时 $6$ 千米。
  59. 18. ch04-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（第一种情形）：甲走 $3+4=\underline{7}$ 小时、乙走 $4$ 小时，得 $7x+4y=116$。
    2. 第 2 步（第二种情形）：乙走 $2+5=\underline{7}$ 小时、甲走 $5$ 小时，得 $5x+7y=116$。
    3. 第 3 步（消元）：第一式乘 $7$ 得 $49x+28y=\underline{812}$，第二式乘 $4$ 得 $20x+28y=\underline{464}$，相减得 $29x=\underline{348}$。
    4. 第 4 步（求解）：$x=\underline{12}$ 千米/时。
    5. 第 5 步（回代）：$4y=116-7\times12=\underline{32}$，$y=\underline{8}$ 千米/时。
    最终答案：甲每小时走 $12$ 千米，乙每小时走 $8$ 千米。
  60. 18. ch04-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程组）：$2x+y=\underline{24}$ 与 $2x+3y=\underline{12}$。
    2. 第 2 步（相减求乙）：$2y=\underline{12}$，$y=\underline{6}$ 千米/时。
    3. 第 3 步（回代求甲）：$x=\underline{9}$ 千米/时。
    4. 第 4 步（算甲走的时间）：第一种情形中甲共走 $3+3=\underline{6}$ 小时。
    5. 第 5 步（求相遇点）：$9\times6=\underline{54}$ 千米，检验乙走 $3\times6=\underline{18}$ 千米，两者相加正好 $72$ 千米。
    最终答案：（1）甲 $9$ 千米/时、乙 $6$ 千米/时；（2）相遇点距甲的出发地 $54$ 千米。
  61. 19. ch04-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设白球每个 $x$ 克、黑球每个 $y$ 克。由原来平衡得 $5x=\underline{4}y$。
    2. 第 2 步（写调整后的两盘）：左盘变成 $4y+x$ 克，右盘变成 $4x+\underline{40}$ 克。
    3. 第 3 步（列第二个方程）：$4y+x=4x+40$，移项得 $4y=\underline{3}x+40$。
    4. 第 4 步（代换消元）：由第一式 $4y=5x$，代入得 $5x=3x+40$，所以 $2x=\underline{40}$，$x=\underline{20}$ 克。
    5. 第 5 步（求黑球）：$y=\frac{5\times20}{4}=\underline{25}$ 克。
    6. 第 6 步（检验）：左盘 $4\times25+20=\underline{120}$ 克，右盘 $4\times20+40=\underline{120}$ 克，相等。
    最终答案：每个白球重 $20$ 克，每个黑球重 $25$ 克。
  62. 19. ch04-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设硬币 $x$ 克、螺母 $y$ 克，由原来平衡得 $5x=\underline{4}y$。
    2. 第 2 步（调整后）：左盘 $4y+x$ 克，右盘 $4x+\underline{40}$ 克，二者相等。
    3. 第 3 步（消元）：$4y=3x+40$，又 $4y=\underline{5}x$，所以 $2x=\underline{40}$，$x=\underline{20}$ 克。
    4. 第 4 步（求螺母）：$y=\underline{25}$ 克。
    5. 第 5 步（检验）：两盘各重 $\underline{120}$ 克。
    最终答案：每枚硬币重 $20$ 克，每个螺母重 $25$ 克。
  63. 19. ch04-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设白球 $x$ 克、黑球 $y$ 克，由原来平衡得 $4x=\underline{3}y$。
    2. 第 2 步（调整后）：左盘变成 $2y+40$ 克，右盘变成 $4x+\underline{20}$ 克。
    3. 第 3 步（列方程）：$2y+40=4x+y$，即 $y+40=4x$。
    4. 第 4 步（代换）：由第一式 $4x=3y$，代入得 $y+40=3y$，所以 $2y=\underline{40}$，$y=\underline{20}$ 克。
    5. 第 5 步（求白球）：$x=\frac{3\times20}{4}=\underline{15}$ 克。
    6. 第 6 步（检验）：左盘 $2\times20+40=\underline{80}$ 克，右盘 $4\times15+20=\underline{80}$ 克，相等。
    最终答案：每个白球重 $15$ 克，每个黑球重 $20$ 克。
  64. 19. ch04-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：$5x=4y$ 与 $4y+x=4x+40$。
    2. 第 2 步（消元求白球）：代入得 $5x=3x+40$，$2x=\underline{40}$，$x=\underline{20}$ 克。
    3. 第 3 步（求黑球）：$y=\underline{25}$ 克。
    4. 第 4 步（算左盘重量）：$8$ 个黑球重 $8\times25=\underline{200}$ 克。
    5. 第 5 步（换算成白球个数）：$200\div20=\underline{10}$ 个。
    最终答案：（1）白球 $20$ 克、黑球 $25$ 克；（2）右盘要放 $10$ 个白球。
  65. 20. ch04-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（设元列式）：设大、中、小号单价分别为 $x$、$y$、$z$ 元，得 ①$x+3y+2z=530$，②$2x+y+z=400$，③$x+2y+2z=440$。
    2. 第 2 步（找差一项的两式）：①与③只差一个 $y$，相减得 $y=530-440=\underline{90}$ 元。
    3. 第 3 步（代入③降元）：$x+2z=440-2\times90=\underline{260}$。
    4. 第 4 步（代入②降元）：$2x+z=400-90=\underline{310}$。
    5. 第 5 步（消元）：由 $x=260-2z$ 代入得 $2(260-2z)+z=310$，即 $520-3z=310$，$3z=\underline{210}$，$z=\underline{70}$ 元。
    6. 第 6 步（求大号）：$x=260-2\times70=\underline{120}$ 元。
    7. 第 7 步（检验）：$120+3\times90+2\times70=\underline{530}$ 元。
    最终答案：大号 $120$ 元，中号 $90$ 元，小号 $70$ 元。
  66. 20. ch04-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设三种单价为 $x$、$y$、$z$ 元，列出 ①$x+3y+2z=530$，②$2x+y+z=400$，③$x+2y+2z=440$。
    2. 第 2 步（①减③）：$y=\underline{90}$ 元。
    3. 第 3 步（降元）：$x+2z=\underline{260}$，$2x+z=\underline{310}$。
    4. 第 4 步（消元求小号）：$520-3z=310$，$z=\underline{70}$ 元。
    5. 第 5 步（求大号并检验）：$x=\underline{120}$ 元，$120+270+140=\underline{530}$ 元。
    最终答案：大束 $120$ 元，中束 $90$ 元，小束 $70$ 元。
  67. 20. ch04-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（③减①）：$x$ 与 $y$ 的系数分别相差 $1$ 和 $-1$，相减得 $x-y=285-300=\underline{-15}$，即 $y=x+15$。
    2. 第 2 步（①减 2×②）：$2x+3y+z-2(x+y+2z)=y-3z$，右边为 $300-2\times165=\underline{-30}$，所以 $y=3z-30$。
    3. 第 3 步（都用 $y$ 表示）：$x=y-15$，$z=\frac{y+30}{3}$，代入②得 $(y-15)+y+\frac{2(y+30)}{3}=165$。
    4. 第 4 步（去分母）：两边乘 $3$ 得 $3y-45+3y+2y+60=\underline{495}$，即 $8y=\underline{480}$，$y=\underline{60}$。
    5. 第 5 步（求另两个）：$x=\underline{45}$，$z=\underline{30}$。
    6. 第 6 步（检验）：$2\times45+3\times60+30=\underline{300}$。
    最终答案：$x=45,\ y=60,\ z=30$。
  68. 20. ch04-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（①减③求中号）：$y=\underline{90}$ 元。
    2. 第 2 步（降元）：$x+2z=\underline{260}$，$2x+z=\underline{310}$。
    3. 第 3 步（求小号、大号）：$z=\underline{70}$ 元，$x=\underline{120}$ 元。
    4. 第 4 步（算新组合）：$2\times120=\underline{240}$ 元，$3\times90=\underline{270}$ 元，$4\times70=\underline{280}$ 元。
    5. 第 5 步（求总价）：$240+270+280=\underline{790}$ 元。
    最终答案：（1）大号 $120$ 元、中号 $90$ 元、小号 $70$ 元；（2）共 $790$ 元。
  69. 21. ch04-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设下滑后木板上端离地 $x$ 厘米，则下滑前上端离地 $(x+180)$ 厘米。
    2. 第 2 步（算下滑后的底端距离）：$140+260=\underline{400}$ 厘米。
    3. 第 3 步（列方程）：木板长度不变，$140^{2}+(x+180)^{2}=400^{2}+x^{2}$。
    4. 第 4 步（展开消去 $x^{2}$）：左边常数 $140^{2}=\underline{19600}$，$180^{2}=\underline{32400}$，$x$ 的一次项系数为 $2\times180=\underline{360}$。
    5. 第 5 步（求解）：$360x=160000-19600-32400=\underline{108000}$，所以 $x=\underline{300}$ 厘米。
    6. 第 6 步（求木板长）：$400^{2}+300^{2}=\underline{250000}$，开平方得 $\underline{500}$ 厘米。
    最终答案：木板的长度是 $500$ 厘米。
  70. 21. ch04-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设下滑后梯子上端离地 $x$ 厘米，下滑前为 $(x+180)$ 厘米。
    2. 第 2 步（算滑后底端距离）：$140+260=\underline{400}$ 厘米。
    3. 第 3 步（列方程展开）：$140^{2}+(x+180)^{2}=400^{2}+x^{2}$，一次项系数为 $\underline{360}$。
    4. 第 4 步（求解）：$360x=\underline{108000}$，$x=\underline{300}$ 厘米。
    5. 第 5 步（求梯长）：$400^{2}+300^{2}=\underline{250000}$，梯长 $\underline{500}$ 厘米。
    最终答案：梯子长 $500$ 厘米。
  71. 21. ch04-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设下滑后上端离地 $x$ 厘米，下滑前为 $(x+80)$ 厘米。
    2. 第 2 步（滑后底端距离）：$250+140=\underline{390}$ 厘米。
    3. 第 3 步（列方程）：$250^{2}+(x+80)^{2}=390^{2}+x^{2}$，展开后 $x$ 的一次项系数为 $\underline{160}$。
    4. 第 4 步（求解）：$160x=152100-62500-6400=\underline{83200}$，$x=\underline{520}$ 厘米。
    5. 第 5 步（求木板长）：$390^{2}+520^{2}=\underline{422500}$，开平方得 $\underline{650}$ 厘米。
    最终答案：木板的长度是 $650$ 厘米。
  72. 21. ch04-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程求高）：$140^{2}+(x+180)^{2}=400^{2}+x^{2}$，即 $360x=\underline{108000}$，$x=\underline{300}$ 厘米。
    2. 第 2 步（求木板长）：$400^{2}+300^{2}=\underline{250000}$，长为 $\underline{500}$ 厘米。
    3. 第 3 步（求原来的高）：$300+180=\underline{480}$ 厘米。
    4. 第 4 步（算两次面积）：原来 $\frac{1}{2}\times140\times480=\underline{33600}$ 平方厘米，现在 $\frac{1}{2}\times400\times300=\underline{60000}$ 平方厘米。
    5. 第 5 步（求增加量）：$60000-33600=\underline{26400}$ 平方厘米。
    最终答案：（1）木板长 $500$ 厘米；（2）三角形面积增加了 $26400$ 平方厘米。
  73. 22. ch04-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（整理第一式）：$\frac{b+c+d}{3}+a=35$，两边乘 $3$ 得 $b+c+d+3a=105$，即 $S+2a=\underline{105}$（$S$ 为四人年龄和）。
    2. 第 2 步（同理写出四式的右边）：$S+2b=\underline{87}$，$S+2c=\underline{75}$，$S+2d=\underline{63}$。
    3. 第 3 步（整体相加）：左边为 $4S+2S=6S$，右边为 $105+87+75+63=\underline{330}$，所以 $S=\underline{55}$。
    4. 第 4 步（回代求最大与最小）：$a=\frac{105-55}{2}=\underline{25}$ 岁，$d=\frac{63-55}{2}=\underline{4}$ 岁。
    5. 第 5 步（求极差）：$25-4=\underline{21}$ 岁。
    6. 第 6 步（检验）：$b=\underline{16}$、$c=\underline{10}$，四人之和 $25+16+10+4=\underline{55}$，与 $S$ 相符。
    最终答案：最大年龄与最小年龄相差 $21$ 岁。
  74. 22. ch04-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（整理）：设四家营业额为 $a,b,c,d$，总和为 $S$，由第一式得 $S+2a=\underline{105}$。
    2. 第 2 步（写出其余三式）：$S+2b=\underline{87}$，$S+2c=\underline{75}$，$S+2d=\underline{63}$。
    3. 第 3 步（整体相加求 $S$）：$6S=\underline{330}$，$S=\underline{55}$ 万元。
    4. 第 4 步（求最高与最低）：$a=\underline{25}$ 万元，$d=\underline{4}$ 万元。
    5. 第 5 步（求差）：$\underline{21}$ 万元。
    最终答案：最高的比最低的多 $21$ 万元。
  75. 22. ch04-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（整理）：设四人年龄和为 $S$，则 $S+2a=\underline{120}$，$S+2b=\underline{102}$，$S+2c=\underline{84}$，$S+2d=\underline{66}$。
    2. 第 2 步（整体相加）：$6S=120+102+84+66=\underline{372}$，所以 $S=\underline{62}$ 岁。
    3. 第 3 步（逐个求解）：$a=\frac{120-62}{2}=\underline{29}$，$b=\underline{20}$，$c=\underline{11}$，$d=\underline{2}$ 岁。
    4. 第 4 步（检验）：$29+20+11+2=\underline{62}$，与 $S$ 相符。
    最终答案：四人年龄分别是 $29$、$20$、$11$、$2$ 岁。
  76. 22. ch04-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（整体相加求和）：$6S=105+87+75+63=\underline{330}$，$S=\underline{55}$ 岁。
    2. 第 2 步（求最大最小）：$a=\underline{25}$ 岁，$d=\underline{4}$ 岁。
    3. 第 3 步（求极差）：$\underline{21}$ 岁。
    4. 第 4 步（设年数列方程）：设再过 $n$ 年，$25+n=2(4+n)$，去括号得 $25+n=8+2n$，所以 $n=\underline{17}$ 年。
    5. 第 5 步（检验）：$17$ 年后两人分别 $25+17=\underline{42}$ 岁和 $4+17=\underline{21}$ 岁，正好是 $2$ 倍。
    最终答案：（1）相差 $21$ 岁；（2）再过 $17$ 年最大者的年龄是最小者的 $2$ 倍。
  77. 23. ch04-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（去分母）：(1) 中分母是 $3$ 和 $4$，它们的最小公倍数是 $\underline{12}$，两边同乘它，注意分子是多项式要加括号，得 $12x-4(x-2)=36-3(x+1)$。
    2. 第 2 步（去括号合并）：左边 $12x-4x+8$，$x$ 的系数是 $\underline{8}$；右边 $36-3x-3$，常数是 $\underline{33}$。
    3. 第 3 步（移项）：把含 $x$ 的移到左、常数移到右，$x$ 的系数变成 $\underline{11}$，右边常数变成 $\underline{25}$，所以 $x=\underline{25/11}$。
    4. 第 4 步：(2) 两边同乘 $4$ 得 $1-\frac{3}{7}x=\frac{10}{3}x$，把含 $x$ 的合并，系数为 $\frac{10}{3}+\frac{3}{7}=\underline{79/21}$，故 $x=\underline{21/79}$。
    5. 第 5 步：(3) 交叉相乘得 $4(x-20)=x+25$，即 $4x-80=x+25$，移项得 $3x=\underline{105}$，所以 $x=\underline{35}$。
    最终答案：（1）$x=\frac{25}{11}$；（2）$x=\frac{21}{79}$；（3）$x=35$。
  78. 23. ch04-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 关：分母 $3$、$4$ 的最小公倍数是 $\underline{12}$，同乘后得 $12x-4(x-2)=36-3(x+1)$。
    2. 第 1 关（整理）：移项合并后 $x$ 的系数是 $\underline{11}$，常数是 $\underline{25}$，所以 $x=\underline{25/11}$。
    3. 第 2 关：两边同乘 $4$，得 $1-\frac{3}{7}x=\frac{10}{3}x$，$x$ 的系数合并为 $\underline{79/21}$，所以 $x=\underline{21/79}$。
    4. 第 3 关：交叉相乘 $4(x-20)=x+25$，移项得 $3x=\underline{105}$，所以 $x=\underline{35}$。
    最终答案：第一关 $x=\frac{25}{11}$；第二关 $x=\frac{21}{79}$；第三关 $x=35$。
  79. 23. ch04-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（找公分母）：分母 $4$、$3$、$6$ 的最小公倍数是 $\underline{12}$。
    2. 第 2 步（去分母）：两边同乘它，各分子都要加括号，得 $3(3x-2)+4(x+1)=2(5x+7)$。
    3. 第 3 步（去括号）：左边 $9x-6+4x+4$，$x$ 的系数是 $\underline{13}$、常数是 $\underline{-2}$；右边是 $10x+14$。
    4. 第 4 步（移项合并）：$x$ 的系数变为 $\underline{3}$，右边常数变为 $\underline{16}$，所以 $x=\underline{16/3}$。
    最终答案：$x=\frac{16}{3}$。
  80. 23. ch04-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（展开分子）：$(x+3)(x+5)=x^{2}+8x+15$，$(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$，两者相减后 $x^{2}$ 与 $8x$ 全部消去，只剩常数 $15-16=\underline{-1}$。
    2. 第 2 步（去分母）：原方程变为 $\frac{-1}{2}=x-1$，两边同乘 $2$ 得 $-1=2x-2$。
    3. 第 3 步（移项求解）：$2x=\underline{1}$，所以 $x=\underline{1/2}$。
    最终答案：$x=\frac{1}{2}$。
  81. 24. ch04-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设甲得 $x$ 张，则乙 $=3x+8$，丙 $=\frac{1}{2}x-6$。
    2. 第 2 步（列方程）：三人之和为 $65$，即 $x+(3x+8)+\left(\frac{1}{2}x-6\right)=65$。
    3. 第 3 步（合并同类项）：$x$ 的系数是 $1+3+\frac{1}{2}=\underline{4.5}$，常数是 $8-6=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（移项求解）：$\frac{9}{2}x=65-2=\underline{63}$，所以 $x=\underline{14}$。
    5. 第 5 步（回代检验）：乙 $=3\times14+8=\underline{50}$，丙 $=14\div2-6=\underline{1}$，三者相加 $14+50+1=\underline{65}$，与 $65$ 相符。
    最终答案：甲得了 $14$ 张选票。
  82. 24. ch04-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设一班收集 $x$ 个，则二班 $=3x+8$，三班 $=\frac{1}{2}x-6$。
    2. 第 2 步（列方程合并）：$x+(3x+8)+\left(\frac{1}{2}x-6\right)=65$，$x$ 的系数为 $\underline{4.5}$，常数为 $\underline{2}$。
    3. 第 3 步（求解）：$\frac{9}{2}x=\underline{63}$，$x=\underline{14}$。
    4. 第 4 步（检验）：二班 $=\underline{50}$ 个，三班 $=\underline{1}$ 个，合计 $\underline{65}$ 个。
    最终答案：一班收集了 $14$ 个。
  83. 24. ch04-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设甲捐 $x$ 本，则乙 $=2x+6$ 本。
    2. 第 2 步（把丙也用 $x$ 表示）：丙 $=\frac{1}{2}(2x+6)-5=x+3-5$，即比 $x$ 少 $\underline{2}$ 本。
    3. 第 3 步（列方程）：$x+(2x+6)+(x-2)=68$，$x$ 的系数为 $1+2+1=\underline{4}$，常数为 $6-2=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（求解）：$4x=68-4=\underline{64}$，所以 $x=\underline{16}$。
    5. 第 5 步（检验）：乙 $=\underline{38}$ 本，丙 $=\underline{14}$ 本，合计 $16+38+14=\underline{68}$ 本。
    最终答案：甲捐了 $16$ 本。
  84. 24. ch04-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（设元列方程）：设甲得 $x$ 张，$x+(3x+8)+\left(\frac{1}{2}x-6\right)=65$，合并得 $\frac{9}{2}x+2=65$。
    2. 第 2 步（求甲）：$\frac{9}{2}x=\underline{63}$，$x=\underline{14}$。
    3. 第 3 步（求乙）：乙 $=3\times14+8=\underline{50}$ 张。
    4. 第 4 步（求占比）：乙占总数 $\frac{50}{65}$，分子分母同时除以最大公因数 $5$，得 $\frac{\underline{10}}{\underline{13}}$，即 $\underline{10/13}$。
    最终答案：（1）甲得 $14$ 张；（2）乙占总票数的 $\frac{10}{13}$。
  85. 25. ch04-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设有 $x$ 名学生，则排球 $\frac{x}{2}$ 个、足球 $\frac{x}{3}$ 个、篮球 $\frac{x}{5}$ 个。
    2. 第 2 步（列方程）：$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=62$。
    3. 第 3 步（通分）：$2$、$3$、$5$ 的最小公倍数是 $\underline{30}$，三个分数合并后 $x$ 的系数是 $\frac{15+10+6}{30}=\underline{31/30}$。
    4. 第 4 步（求解）：$x=62\div\frac{31}{30}=\underline{60}$。
    5. 第 5 步（检验）：排球 $\underline{30}$ 个、足球 $\underline{20}$ 个、篮球 $\underline{12}$ 个，合计 $30+20+12=\underline{62}$ 个。
    最终答案：$60$ 名。
  86. 25. ch04-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设有 $x$ 名同学，则帐篷 $\frac{x}{2}$ 顶、锅 $\frac{x}{3}$ 口、桌子 $\frac{x}{5}$ 张。
    2. 第 2 步（列方程通分）：$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=62$，公分母取 $\underline{30}$，系数合并为 $\underline{31/30}$。
    3. 第 3 步（求解）：$x=\underline{60}$。
    4. 第 4 步（检验）：三种物品分别是 $\underline{30}$、$\underline{20}$、$\underline{12}$ 件，合计 $\underline{62}$ 件。
    最终答案：$60$ 名。
  87. 25. ch04-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设有 $x$ 名学生，三种物品分别是 $\frac{x}{3}$、$\frac{x}{4}$、$\frac{x}{6}$ 件。
    2. 第 2 步（通分）：$3$、$4$、$6$ 的最小公倍数是 $\underline{12}$，系数合并为 $\frac{4+3+2}{12}=\underline{0.75}$。
    3. 第 3 步（求解）：$\frac{3}{4}x=45$，$x=\underline{60}$。
    4. 第 4 步（检验）：$\underline{20}+\underline{15}+\underline{10}=45$ 件。
    最终答案：$60$ 名。
  88. 25. ch04-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（设元列方程）：设有 $x$ 名学生，$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=62$。
    2. 第 2 步（通分）：公分母 $\underline{30}$，系数为 $\underline{31/30}$。
    3. 第 3 步（求人数）：$x=\underline{60}$ 名。
    4. 第 4 步（求各种球）：排球 $\underline{30}$ 个，篮球 $\underline{12}$ 个。
    5. 第 5 步（求差）：排球比篮球多 $30-12=\underline{18}$ 个。
    最终答案：（1）$60$ 名；（2）排球比篮球多 $18$ 个。
  89. 26. ch04-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设小班 $x$ 人，则大班 $\frac{2}{3}x$ 人。
    2. 第 2 步（表示张数）：小班共发 $14x$ 张，大班共发 $19\times\frac{2}{3}x$，即 $x$ 的系数为 $\underline{38/3}$。
    3. 第 3 步（列方程）：按“小班比大班多发 $180$ 张”得 $14x-\frac{38}{3}x=180$，$x$ 的系数合并为 $\underline{4/3}$。
    4. 第 4 步（求解）：$x=180\div\frac{4}{3}=\underline{135}$ 人。
    5. 第 5 步（检验）：大班 $135\times\frac{2}{3}=\underline{90}$ 人，小班发 $14\times135=\underline{1890}$ 张，大班发 $19\times90=\underline{1710}$ 张，相差 $1890-1710=\underline{180}$ 张。
    最终答案：小班 $135$ 人。
  90. 26. ch04-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设二车间 $x$ 人，则一车间 $\frac{2}{3}x$ 人。
    2. 第 2 步（表示总数）：二车间 $14x$ 个，一车间 $x$ 的系数为 $\underline{38/3}$。
    3. 第 3 步（列方程合并）：$14x-\frac{38}{3}x=180$，系数为 $\underline{4/3}$。
    4. 第 4 步（求解）：$x=\underline{135}$ 人。
    5. 第 5 步（检验）：一车间 $\underline{90}$ 人，两边零件数 $\underline{1890}$ 与 $\underline{1710}$，相差 $\underline{180}$ 个。
    最终答案：二车间 $135$ 人。
  91. 26. ch04-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（把比化成倍比）：甲组 $:$ 乙组 $=3:4$，设乙组 $x$ 人，则甲组 $\frac{3}{4}x$ 人。
    2. 第 2 步（表示总数）：乙组 $12x$ 本，甲组 $15\times\frac{3}{4}x$ 中 $x$ 的系数为 $\underline{11.25}$。
    3. 第 3 步（列方程）：$12x-\frac{45}{4}x=90$，系数合并为 $\underline{0.75}$。
    4. 第 4 步（求解）：$x=90\div\frac{3}{4}=\underline{120}$ 人。
    5. 第 5 步（检验）：甲组 $\underline{90}$ 人，两组本数 $\underline{1440}$ 与 $\underline{1350}$，相差 $\underline{90}$ 本。
    最终答案：乙组 $120$ 人。
  92. 26. ch04-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（设元列方程）：设小班 $x$ 人，$14x-19\times\frac{2}{3}x=180$。
    2. 第 2 步（合并求解）：系数为 $\underline{4/3}$，$x=\underline{135}$ 人。
    3. 第 3 步（求大班人数）：$135\times\frac{2}{3}=\underline{90}$ 人。
    4. 第 4 步（分别求张数）：小班 $\underline{1890}$ 张，大班 $\underline{1710}$ 张。
    5. 第 5 步（求总和）：$1890+1710=\underline{3600}$ 张。
    最终答案：（1）小班 $135$ 人；（2）两班共发 $3600$ 张。
  93. 27. ch04-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设阿呆 $x$ 张，则阿瓜 $=260-x$ 张。
    2. 第 2 步（列方程）：$\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}(260-x)=155$。
    3. 第 3 步（去括号）：$\frac{3}{4}\times260=\underline{195}$，方程变为 $\frac{1}{3}x+195-\frac{3}{4}x=155$。
    4. 第 4 步（合并同类项）：$x$ 的系数为 $\frac{1}{3}-\frac{3}{4}=\underline{-5/12}$，右边常数为 $155-195=\underline{-40}$。
    5. 第 5 步（求解）：$x=(-40)\div\left(-\frac{5}{12}\right)=\underline{96}$ 张，阿瓜 $=260-96=\underline{164}$ 张。
    6. 第 6 步（检验）：$96\div3+164\times\frac{3}{4}=32+123=\underline{155}$ 张。
    最终答案：阿呆 $96$ 张，阿瓜 $164$ 张。
  94. 27. ch04-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设上层 $x$ 本，则下层 $=260-x$ 本。
    2. 第 2 步（列方程去括号）：$\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}(260-x)=155$，其中 $\frac{3}{4}\times260=\underline{195}$。
    3. 第 3 步（合并）：$x$ 的系数为 $\underline{-5/12}$，右边为 $\underline{-40}$。
    4. 第 4 步（求解）：上层 $x=\underline{96}$ 本，下层 $=\underline{164}$ 本。
    5. 第 5 步（检验）：$96\div3+164\times\frac{3}{4}=\underline{155}$ 本，与 $155$ 相符。
    最终答案：上层 $96$ 本，下层 $164$ 本。
  95. 27. ch04-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设甲 $x$ 张，则乙 $=180-x$ 张。
    2. 第 2 步（列方程）：$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}(180-x)=100$，其中 $\frac{1}{2}\times180=\underline{90}$。
    3. 第 3 步（合并同类项）：$x$ 的系数为 $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\underline{1/6}$，右边为 $100-90=\underline{10}$。
    4. 第 4 步（求解）：$x=10\div\frac{1}{6}=\underline{60}$ 张，乙 $=\underline{120}$ 张。
    5. 第 5 步（检验）：$60\times\frac{2}{3}+120\times\frac{1}{2}=40+60=\underline{100}$ 张。
    最终答案：甲 $60$ 张，乙 $120$ 张。
  96. 27. ch04-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（设元求解）：设阿呆 $x$ 张，$\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}(260-x)=155$，合并得系数 $\underline{-5/12}$、右边 $\underline{-40}$，故 $x=\underline{96}$。
    2. 第 2 步（求阿瓜）：$260-96=\underline{164}$ 张。
    3. 第 3 步（求差）：$164-96=\underline{68}$ 张。
    4. 第 4 步（求占比）：$\frac{96}{260}$ 分子分母同除以最大公因数 $4$，得 $\frac{\underline{24}}{\underline{65}}$，即 $\underline{24/65}$。
    最终答案：（1）阿呆 $96$ 张、阿瓜 $164$ 张；（2）多 $68$ 张；（3）阿呆占 $\frac{24}{65}$。
  97. 28. ch04-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（设元列表）：设一班 $x$ 人，则一班男 $0.75x$、女 $0.25x$；二班男 $0.75x-10$、女 $2\times0.25x=0.5x$。
    2. 第 2 步（求合并后的男生数）：$0.75x+(0.75x-10)$ 中 $x$ 的系数是 $\underline{1.5}$。
    3. 第 3 步（求合并后的总人数）：一班 $x$ ＋ 二班 $(0.75x-10)+0.5x$，$x$ 的系数是 $\underline{2.25}$。
    4. 第 4 步（列方程去括号）：$1.5x-10=0.64(2.25x-10)$，右边展开为 $\underline{1.44}x-\underline{6.4}$。
    5. 第 5 步（移项合并）：$x$ 的系数为 $1.5-1.44=\underline{0.06}$，常数为 $10-6.4=\underline{3.6}$，所以 $x=\underline{60}$。
    6. 第 6 步（回代）：二班女生 $=0.5\times60=\underline{30}$ 名。
    最终答案：二班有 $30$ 名女生。
  98. 28. ch04-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（设元列表）：设甲队 $x$ 人，甲队男 $0.75x$、女 $0.25x$；乙队男 $0.75x-10$、女 $0.5x$。
    2. 第 2 步（合并后男队员）：$x$ 的系数为 $\underline{1.5}$。
    3. 第 3 步（合并后总人数）：$x$ 的系数为 $\underline{2.25}$。
    4. 第 4 步（列方程求解）：$1.5x-10=0.64(2.25x-10)$，移项后 $x$ 的系数为 $\underline{0.06}$、常数为 $\underline{3.6}$，$x=\underline{60}$。
    5. 第 5 步（回代）：乙队女队员 $=\underline{30}$ 名。
    最终答案：乙队有 $30$ 名女队员。
  99. 28. ch04-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（设元列表）：设一班 $x$ 人，一班男 $0.6x$、女 $0.4x$；二班男 $0.6x-8$、女 $3\times0.4x=\underline{1.2}x$。
    2. 第 2 步（合并后男生数）：$x$ 的系数为 $0.6+0.6=\underline{1.2}$，常数为 $-8$。
    3. 第 3 步（合并后总人数）：$x+(0.6x-8)+1.2x$，$x$ 的系数为 $\underline{2.8}$。
    4. 第 4 步（列方程）：$1.2x-8=0.4(2.8x-8)$，右边为 $\underline{1.12}x-\underline{3.2}$。
    5. 第 5 步（求解）：$x$ 的系数 $1.2-1.12=\underline{0.08}$，常数 $8-3.2=\underline{4.8}$，$x=\underline{60}$。
    6. 第 6 步（回代）：二班女生 $=1.2\times60=\underline{72}$ 名。
    最终答案：二班有 $72$ 名女生。
  100. 28. ch04-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（设元求一班人数）：设一班 $x$ 人，$1.5x-10=0.64(2.25x-10)$，移项得 $\underline{0.06}x=\underline{3.6}$，$x=\underline{60}$。
    2. 第 2 步（求二班男女）：二班男 $=0.75\times60-10=\underline{35}$ 名，二班女 $=0.5\times60=\underline{30}$ 名。
    3. 第 3 步（求二班人数）：$35+30=\underline{65}$ 人。
    4. 第 4 步（求合并总人数）：$60+65=\underline{125}$ 人。
    5. 第 5 步（求女生占比）：女生共 $15+30=\underline{45}$ 名，占 $45\div125=\underline{0.36}$，即 $36\%$。
    最终答案：（1）二班 $65$ 人；（2）合并后女生占 $36\%$。
  101. 29. ch04-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（约简）：(1) 第一式两边同除以 $2$，得 $3x+2y=\underline{34}$，于是 $y=\frac{34-3x}{2}$。
    2. 第 2 步（代入）：把它代入 $19x+11y=202$ 并两边同乘 $2$，得 $\underline{38}x+11\times34-33x=\underline{404}$。
    3. 第 3 步（合并求解）：$x$ 的系数为 $38-33=\underline{5}$，右边为 $404-374=\underline{30}$，所以 $x=\underline{6}$，$y=\underline{8}$。
    4. 第 4 步（约简）：(2) 第一式同除以 $3$ 得 $2x+3y=\underline{79}$；第二式同除以 $5$ 得 $3y-2x=\underline{11}$。
    5. 第 5 步（加减消元）：两式相加，$x$ 恰好抵消，得 $6y=\underline{90}$，所以 $y=\underline{15}$。
    6. 第 6 步（回代）：$2x=79-3\times15$，所以 $x=\underline{17}$。
    最终答案：（1）$x=6,\ y=8$；（2）$x=17,\ y=15$。
  102. 29. ch04-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 站（约简）：第一式同除以 $2$ 得 $3x+2y=\underline{34}$，故 $y=\frac{34-3x}{2}$。
    2. 第 1 站（代入求解）：代入第二式并同乘 $2$，合并后 $x$ 的系数为 $\underline{5}$，右边为 $\underline{30}$，所以 $x=\underline{6}$，$y=\underline{8}$。
    3. 第 2 站（约简）：两式分别同除以 $3$ 和 $5$，得 $2x+3y=\underline{79}$ 与 $3y-2x=\underline{11}$。
    4. 第 2 站（相加消元）：$6y=\underline{90}$，$y=\underline{15}$，回代得 $x=\underline{17}$。
    最终答案：第一站 $x=6,\ y=8$；第二站 $x=17,\ y=15$。
  103. 29. ch04-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（选法）：第一式中 $y$ 的系数是 $1$，最适合代入消元，由它得 $y=53-4x$。
    2. 第 2 步（代入）：$7x+3(53-4x)=104$，去括号得 $7x+\underline{159}-12x=104$。
    3. 第 3 步（合并）：$x$ 的系数为 $7-12=\underline{-5}$，右边为 $104-159=\underline{-55}$。
    4. 第 4 步（求解）：$x=\underline{11}$，回代得 $y=53-4\times11=\underline{9}$。
    最终答案：$x=11,\ y=9$。
  104. 29. ch04-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（整体代换）：把 $x-y=10$ 整体代入第一式，$\frac{x-y}{5}=\frac{10}{5}=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（求 $x+y$）：于是 $\frac{x+y}{3}=8-2=\underline{6}$，所以 $x+y=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（和差解法）：$x=\frac{18+10}{2}=\underline{14}$，$y=\frac{18-10}{2}=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（检验）：$\frac{14+4}{3}+\frac{14-4}{5}=6+2=\underline{8}$，与 $8$ 相符。
    最终答案：$x=14,\ y=4$。
  105. 30. ch04-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（设元列方程组）：设苹果 $x$ 元、梨 $y$ 元，则 $5x+3y=54.6$，$3x+5y=55.8$。
    2. 第 2 步（相加）：两式相加得 $8x+8y=\underline{110.4}$，所以 $x+y=\underline{13.8}$。
    3. 第 3 步（相减）：两式相减得 $2x-2y=54.6-55.8=\underline{-1.2}$，所以 $x-y=\underline{-0.6}$。
    4. 第 4 步（和差解法）：$x=\frac{13.8+(-0.6)}{2}=\underline{6.6}$ 元，$y=\frac{13.8-(-0.6)}{2}=\underline{7.2}$ 元。
    5. 第 5 步（检验）：$5\times6.6+3\times7.2=33+21.6=\underline{54.6}$ 元。
    最终答案：$1$ 千克苹果 $6.6$ 元，$1$ 千克梨 $7.2$ 元。
  106. 30. ch04-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设钢笔 $x$ 元、笔记本 $y$ 元，$5x+3y=54.6$，$3x+5y=55.8$。
    2. 第 2 步（相加求和）：$8(x+y)=\underline{110.4}$，$x+y=\underline{13.8}$。
    3. 第 3 步（相减求差）：$2(x-y)=\underline{-1.2}$，$x-y=\underline{-0.6}$。
    4. 第 4 步（和差解法）：$x=\underline{6.6}$ 元，$y=\underline{7.2}$ 元。
    5. 第 5 步（检验）：$5\times6.6+3\times7.2=\underline{54.6}$ 元。
    最终答案：$1$ 支钢笔 $6.6$ 元，$1$ 本笔记本 $7.2$ 元。
  107. 30. ch04-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设笔袋 $x$ 元、订书机 $y$ 元，$4x+3y=61$，$3x+4y=58$。
    2. 第 2 步（相加）：$7(x+y)=\underline{119}$，所以 $x+y=\underline{17}$ 元。
    3. 第 3 步（相减）：$x-y=61-58=\underline{3}$ 元。
    4. 第 4 步（和差解法）：$x=\underline{10}$ 元，$y=\underline{7}$ 元。
    5. 第 5 步（检验）：$4\times10+3\times7=\underline{61}$ 元。
    最终答案：笔袋 $10$ 元，订书机 $7$ 元。
  108. 30. ch04-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（相加相减）：$x+y=\underline{13.8}$ 元，$x-y=\underline{-0.6}$ 元。
    2. 第 2 步（求单价）：苹果 $x=\underline{6.6}$ 元，梨 $y=\underline{7.2}$ 元。
    3. 第 3 步（求新组合）：$4$ 千克苹果 $=4\times6.6=\underline{26.4}$ 元，$6$ 千克梨 $=6\times7.2=\underline{43.2}$ 元。
    4. 第 4 步（求总价）：$26.4+43.2=\underline{69.6}$ 元。
    最终答案：（1）苹果 $6.6$ 元/千克、梨 $7.2$ 元/千克；（2）共 $69.6$ 元。
  109. 31. ch04-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（设元）：设一个蟹将的工作量为 $x$、一个虾兵为 $y$，得 $3x+4y=0.3$，$9x+16y=1$。
    2. 第 2 步（消元）：把第一式两边同乘 $3$ 得 $9x+12y=\underline{0.9}$。
    3. 第 3 步（相减）：与 $9x+16y=1$ 相减，$x$ 抵消，得 $4y=\underline{0.1}$，所以 $y=\underline{0.025}$。
    4. 第 4 步（回代）：$3x=0.3-4\times0.025=\underline{0.2}$，所以 $x=\underline{1/15}$。
    5. 第 5 步（求个数）：只用蟹将需 $1\div\frac{1}{15}=\underline{15}$ 个，只用虾兵需 $1\div\frac{1}{40}=\underline{40}$ 个。
    最终答案：只用蟹将需要 $15$ 个，只用虾兵需要 $40$ 个。
  110. 31. ch04-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（设元）：设一台大机器人的工作量为 $x$、小机器人为 $y$，$3x+4y=0.3$，$9x+16y=1$。
    2. 第 2 步（消元）：第一式乘 $3$ 得 $9x+12y=\underline{0.9}$，与第二式相减得 $4y=\underline{0.1}$，故 $y=\underline{0.025}$。
    3. 第 3 步（回代）：$3x=\underline{0.2}$，$x=\underline{1/15}$。
    4. 第 4 步（求台数）：只用大机器人 $\underline{15}$ 台，只用小机器人 $\underline{40}$ 台。
    最终答案：只用大机器人需要 $15$ 台，只用小机器人需要 $40$ 台。
  111. 31. ch04-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（设元）：设一名师傅一天的工作量为 $x$、徒弟为 $y$，$2x+5y=0.2$，$12x+20y=1$。
    2. 第 2 步（消元）：第一式乘 $4$ 得 $8x+20y=\underline{0.8}$，与第二式相减得 $4x=\underline{0.2}$，所以 $x=\underline{0.05}$。
    3. 第 3 步（回代）：$5y=0.2-2\times0.05=\underline{0.1}$，$y=\underline{0.02}$。
    4. 第 4 步（求人数）：只派师傅 $\underline{20}$ 名，只派徒弟 $\underline{50}$ 名。
    最终答案：只派师傅需要 $20$ 名，只派徒弟需要 $50$ 名。
  112. 31. ch04-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（消元求 $y$）：第一式乘 $3$ 得 $9x+12y=\underline{0.9}$，与第二式相减得 $4y=\underline{0.1}$，$y=\underline{0.025}$。
    2. 第 2 步（求 $x$）：$3x=\underline{0.2}$，$x=\underline{1/15}$。
    3. 第 3 步（算已完成部分）：$6$ 个蟹将做 $6\times\frac{1}{15}=\underline{0.4}$，$16$ 个虾兵做 $16\times\frac{1}{40}=\underline{0.4}$，合计 $\underline{0.8}$。
    4. 第 4 步（算剩余）：$1-0.8=\underline{0.2}$。
    5. 第 5 步（换算成虾兵个数）：$0.2\div\frac{1}{40}=\underline{8}$ 个。
    最终答案：（1）蟹将 $\frac{1}{15}$、虾兵 $\frac{1}{40}$；（2）还要再派 $8$ 个虾兵。