六年级第6讲逻辑推理二

1. 【原题 ch06-chaoyue-01】在一次射击练习中，甲、乙、丙 $3$ 位战士各打了 $4$ 发子弹，全部中靶。其命中情况如下：①每人 $4$ 发子弹所命中的环数各不相同；②每人 $4$ 发子弹所命中的总环数均为 $17$ 环；③乙有 $2$ 发命中的环数分别与甲其中的 $2$ 发一样，乙另 $2$ 发命中的环数与丙其中的 $2$ 发一样；④甲与丙只有 $1$ 发环数相同；⑤每人每发子弹的最好成绩不超过 $7$ 环。问：甲与丙命中的相同环数是几？

详细思路

是哪类问题：这是「和一定的拆分枚举 + 唯一公共元素」类问题：每人 $4$ 发环数互不相同、总和 $17$、每发不超过 $7$ 环，由三人之间的重合关系求甲与丙相同的那一发。

关键切入点：关键在于先把所有可能的「四发组合」枚举干净：四个互不相同、每个不超过 $7$、和为 $17$ 的正整数组只有 $\{7,6,3,1\}$、$\{7,5,4,1\}$、$\{7,5,3,2\}$、$\{6,5,4,2\}$ 四种。再用条件④「甲与丙只有 $1$ 发相同」去筛：中间两组与任何一组都至少有两个公共数，所以甲、丙只能取第 $1$ 组与第 $4$ 组，而这两组的公共数只有 $6$。

方法概述：先枚举所有和为 $17$ 的四元组，再用「只有一个公共元素」筛选。

规范步骤：

四发互不相同、每发 $\leq 7$、和为 $17$，枚举得四组：$\{7,6,3,1\},\{7,5,4,1\},\{7,5,3,2\},\{6,5,4,2\}$（分类枚举）
验算各组之和：$7+6+3+1=17,\ 7+5+4+1=17,\ 7+5+3+2=17,\ 6+5+4+2=17$（和一定）
第 (2) 组与其他各组的公共数都不止一个，排除：$\{7,5,4,1\}\cap\{7,6,3,1\}=\{7,1\}$（条件④）
第 (3) 组同理排除：$\{7,5,3,2\}\cap\{7,6,3,1\}=\{7,3\}$（条件④）
故甲、丙只能是第 (1) 组与第 (4) 组，公共数只有 $6$：$\{7,6,3,1\}\cap\{6,5,4,2\}=\{6\}$（唯一公共元素）
写出答案：$甲与丙相同的环数是\ 6$

2. 【原题 ch06-chaoyue-02】一次象棋比赛共有 $10$ 位选手参加，他们分别来自甲、乙、丙 $3$ 个队。每人都与其余 $9$ 人比赛一盘，每盘胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $0.5$ 分。结果乙队平均得分为 $3.6$ 分，丙队平均得分为 $9$ 分，那么甲队平均得多少分？

详细思路

是哪类问题：这是「总分守恒 + 整除约束 + 极端分析」类问题：$10$ 人单循环、胜 $1$ 平 $0.5$，由乙队与丙队的平均分反推各队人数，再求甲队平均分。

关键切入点：关键在于三次「卡死」：第一次用整除卡乙队人数——任何人的得分都是 $0.5$ 的倍数，乙队总分 $3.6\times k$ 必须是 $0.5$ 的倍数，故 $k$ 是 $5$ 的倍数，只能是 $5$；第二次用极端分析卡丙队人数——每人最多赛 $9$ 场即最多 $9$ 分，丙队平均 $9$ 分说明人人满分，而满分的人至多一个，故丙队 $1$ 人；剩下甲队 $4$ 人，再用总分守恒 $45$ 分相减求出甲队总分。

方法概述：先用「得分是 $0.5$ 的倍数」定人数，再用满分唯一性定人数，最后总分相减。

规范步骤：

算总场数与总分：$10\times 9\div 2=45$，每场双方共 $1$ 分，总分 $=45$（每场 $1$ 分）
乙队总分是 $0.5$ 的倍数，故人数是 $5$ 的倍数：$3.6\times 5=18$（整除约束，人数 $<10$ 只能取 $5$）
每人至多赛 $9$ 场，至多 $9$ 分；丙队平均 $9$ 分说明人人满分：$10-1=9$（极端分析）
满分意味着战胜所有人，这样的人至多 $1$ 个：$丙队\ 1\ 人，得\ 9\ 分$（唯一性）
甲队人数：$10-5-1=4$（总人数相减）
甲队总分：$45-18-9=18$（总分守恒）
甲队平均分：$18\div 4=4.5$（总分除以人数）
写出答案：$甲队平均得\ 4.5\ 分$

第一套

题目：一次象棋比赛共有 $12$ 位选手参加，他们分别来自甲、乙、丙 $3$ 个队。每人都与其余 $11$ 人比赛一盘，每盘胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $0.5$ 分。结果乙队平均得分为 $4.4$ 分，丙队平均得分为 $11$ 分。那么甲队平均得多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总分）：$12$ 人单循环共 $12\times 11\div 2=\underline{\quad}$ 盘，每盘两人共得 $1$ 分，所以全体总分是 $66\times 1=\underline{\quad}$ 分。
第 2 步（用整除卡乙队人数）：每个人的得分都是 $0.5$ 的倍数，乙队总分 $=4.4\times$ 人数也必须是 $0.5$ 的倍数，所以人数必须是 $5$ 的倍数；人数又小于 $12$，只能是 $\underline{\quad}$ 人，乙队总分 $=4.4\times 5=\underline{\quad}$ 分。
第 3 步（用极端分析卡丙队人数）：每人最多赛 $12-1=\underline{\quad}$ 盘，最多得 $11$ 分。丙队平均 $11$ 分说明丙队人人满分；而满分意味着战胜所有人，这样的人至多 $\underline{\quad}$ 个，所以丙队 $1$ 人、得 $11$ 分。
第 4 步（求甲队人数与总分）：甲队有 $12-5-1=\underline{\quad}$ 人，总分 $=66-22-11=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（求平均分）：甲队平均 $33\div 6=\underline{\quad}$ 分。

第二套

题目：某围棋联赛共有 $12$ 位棋手参加，他们分别来自红、黄、蓝 $3$ 家俱乐部。每人都与其余 $11$ 人下一局，胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分，和棋各得 $0.5$ 分。结果黄队平均得分为 $4.4$ 分，蓝队平均得分为 $11$ 分。那么红队平均得多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总分）：$12$ 人单循环共 $12\times 11\div 2=\underline{\quad}$ 局，每局两人共得 $1$ 分，全体总分 $=66\times 1=\underline{\quad}$ 分。
第 2 步（用整除卡黄队人数）：每人得分都是 $0.5$ 的倍数，黄队总分 $=4.4\times$ 人数也必须是 $0.5$ 的倍数，人数须是 $5$ 的倍数，又小于 $12$，只能是 $\underline{\quad}$ 人，总分 $=4.4\times 5=\underline{\quad}$ 分。
第 3 步（用极端分析卡蓝队人数）：每人最多下 $12-1=\underline{\quad}$ 局、最多 $11$ 分；蓝队平均 $11$ 分说明人人满分，而满分的人至多 $\underline{\quad}$ 个，故蓝队 $1$ 人得 $11$ 分。
第 4 步（求红队人数与总分）：红队 $12-5-1=\underline{\quad}$ 人，总分 $=66-22-11=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（求平均分）：红队平均 $33\div 6=\underline{\quad}$ 分。

第三套

题目：一次国际象棋比赛共有 $14$ 位选手参加，分别来自甲、乙、丙 $3$ 个队。每人都与其余 $13$ 人赛一盘，胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $0.5$ 分。结果乙队平均得分为 $3.6$ 分，丙队平均得分为 $13$ 分。那么甲队平均得多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总分）：共 $14\times 13\div 2=\underline{\quad}$ 盘，每盘两人共 $1$ 分，总分 $=91\times 1=\underline{\quad}$ 分。
第 2 步（用整除卡乙队人数）：乙队总分 $=3.6\times$ 人数须是 $0.5$ 的倍数，故人数是 $5$ 的倍数，又小于 $14$，只能是 $5$ 或 $10$；但若为 $10$ 人，光是乙队内部两两对赛的 $C_{10}^2=45$ 盘就产生 $45$ 分且全归乙队，使乙队总分不少于 $45$ 分，而 $3.6\times 10=36<45$ 矛盾，所以乙队只能是 $\underline{\quad}$ 人，总分 $=3.6\times 5=\underline{\quad}$ 分。
第 3 步（用极端分析卡丙队人数）：每人最多赛 $14-1=\underline{\quad}$ 盘、最多 $13$ 分；丙队平均 $13$ 分说明人人满分，而满分的人至多 $\underline{\quad}$ 个，故丙队 $1$ 人得 $13$ 分。
第 4 步（求甲队人数与总分）：甲队 $14-5-1=\underline{\quad}$ 人，总分 $=91-18-13=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（求平均分）：甲队平均 $60\div 8=\underline{\quad}$ 分。

第三套

题目：一次象棋比赛共有 $12$ 位选手参加，分别来自甲、乙、丙 $3$ 个队。每人都与其余 $11$ 人赛一盘，胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $0.5$ 分。乙队平均得分为 $4.4$ 分，丙队平均得分为 $11$ 分。请问：（1）甲队有几人？平均得多少分？（2）如果甲队中成绩最好的一位得了 $10$ 分，那么甲队其余队员平均得多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总分）：共 $12\times 11\div 2=\underline{\quad}$ 盘，每盘两人共 $1$ 分，总分 $=66\times 1=\underline{\quad}$ 分。
第 2 步（用整除卡乙队人数）：乙队总分 $=4.4\times$ 人数须是 $0.5$ 的倍数，人数是 $5$ 的倍数且小于 $12$，只能是 $\underline{\quad}$ 人，总分 $=4.4\times 5=\underline{\quad}$ 分。
第 3 步（用极端分析卡丙队人数）：每人最多得 $12-1=\underline{\quad}$ 分；丙队平均 $11$ 分说明人人满分，满分的人至多 $\underline{\quad}$ 个，故丙队 $1$ 人得 $11$ 分。
第 4 步（回答第 (1) 问）：甲队 $12-5-1=\underline{\quad}$ 人，总分 $=66-22-11=\underline{\quad}$ 分，平均 $33\div 6=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（回答第 (2) 问）：去掉那位得 $10$ 分的队员后，其余 $6-1=\underline{\quad}$ 人共得 $33-10=\underline{\quad}$ 分，平均 $23\div 5=\underline{\quad}$ 分。

3. 【原题 ch06-chaoyue-03】$A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 这 $5$ 支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场。每场比赛胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，打平则双方各得 $1$ 分。最后 $5$ 支球队的积分各不相同，从高到低依次为 $D$、$A$、$E$、$B$、$C$。又已知 $5$ 支球队当中只有 $A$ 没输过，只有 $C$ 没赢过，而且 $B$ 战胜了 $E$。请问：战胜过 $C$ 的球队有哪些？

详细思路

是哪类问题：这是「积分排序 + 胜负平还原」类推理题：$5$ 队单循环、胜 $3$ 平 $1$，已知积分排序与三条定性条件，求战胜过 $C$ 的球队。

关键切入点：关键在于把「只有 $A$ 没输过」「只有 $C$ 没赢过」翻译成很强的结构约束：除 $A$ 外每队都至少输过一场，除 $C$ 外每队都至少赢过一场。$A$ 不败却只排第二，说明 $A$ 的平局很多；$B$ 赢了 $E$ 却排在 $E$ 之后，说明 $B$ 输的场次更多。把 $10$ 场逐一定下胜负平后可以发现，$C$ 的四场里只有对 $D$ 的一场是输球，其余为平局。

方法概述：把定性条件翻译成每队的胜负下界，再逐场还原。

规范步骤：

五队单循环共 $10$ 场：$5\times 4\div 2=10$（单循环场数）
只有 $A$ 没输过：$B$、$C$、$D$、$E$ 都至少输一场：$至少\ 4\ 场败绩$（条件翻译）
只有 $C$ 没赢过：$A$、$B$、$D$、$E$ 都至少赢一场：$至少\ 4\ 场胜绩$（条件翻译）
$A$ 不败却屈居第二，说明 $A$ 多平；$D$ 积分最高必多胜：$D\ 胜场最多$（积分排序）
$B$ 胜 $E$ 却排在 $E$ 之后，$B$ 另有败绩；逐场还原后 $C$ 只输给 $D$：$C\ 负\ D，其余场次为平$（逐场分析）
写出答案：$战胜过\ C\ 的只有\ D\ 队$

4. 【原题 ch06-chaoyue-04】$10$ 名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次。已知胜一场得 $2$ 分，平一场得 $1$ 分，负一场不得分。比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多 $20$ 分，第四名得分与后四名所得总分相等。问：前六名的分数各为多少？

详细思路

是哪类问题：这是「总分守恒 + 分数互不相同 + 极端排序」类问题：$10$ 人单循环、胜 $2$ 平 $1$，由三条约束求前六名分数。

关键切入点：关键在于层层取上界并检验取等：前两名都没输过，所以第一名最好是 $8$ 胜 $1$ 平得 $17$ 分，第二名至多 $16$ 分；由「前两名比第三名多 $20$ 分」得第三名至多 $17+16-20=13$ 分。总分恒为 $45\times 2=90$ 分。再用「第四名得分等于后四名总分」把中段拆开：$90-17-16-13=44$ 由第四至第十名分掉，其中第四名 $=$ 后四名之和 $=12$，于是第五、六名共 $44-12-12=20$ 分，互不相同且小于 $12$、大于 $12$ 后四名的最大值，只能是 $11$ 与 $9$。

方法概述：层层取上界并验证取等，再用总分守恒拆分中段。

规范步骤：

算总场数与总分：$10\times 9\div 2=45,\ 45\times 2=90$（每场双方共 $2$ 分）
第一名没输过，最好 $8$ 胜 $1$ 平：$8\times 2+1=17$（不败上限）
第二名至多：$16$（分）（分数互不相同）
由「前两名比第三名多 $20$ 分」：$17+16-20=13$（题设）
第四名与后四名总分相等，把 $90$ 拆开：$90-17-16-13=44$（总分守恒）
第四名 $=$ 后四名之和 $=12$，故第五、六名共：$44-12-12=20$（拆分中段）
第五、六名互不相同且介于 $9$ 与 $12$ 之间：$20=11+9$（唯一拆分）
写出答案：$17,16,13,12,11,9$

5. 【原题 ch06-chaoyue-05】现有 $A$、$B$、$C$ 共 $3$ 支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场。比赛积分的规定是胜一场积 $2$ 分，平一场积 $1$ 分，负一场积 $0$ 分。表 $6-4$ 是一张记有比赛详细情况的表格。但是，经过核对，发现表中恰好有 $4$ 个数字是错误的，请你把正确的结果填入表 $6-5$ 中。（表 $6-4$，列为场数、胜、负、平、进球、失球、积分：$A$：$2,2,0,1,0,2,3$；$B$：$2,1,1,0,3,6,2$；$C$：$1,0,1,2,0,1,1$）

详细思路

是哪类问题：这是「表格自洽性检查」类问题：三队单循环的统计表中恰有 $4$ 个数字错误，要把正确结果还原出来。

关键切入点：关键在于先列出所有必须成立的自洽关系：每队场数 $=$ 胜 $+$ 负 $+$ 平；三队共赛 $3\times 2\div 2=3$ 场，每队恰赛 $2$ 场；积分 $=2\times$ 胜 $+$ 平；三队的进球总数必须等于失球总数；三队积分之和 $=3\times 2=6$。逐条核对就能定位矛盾格，再结合「恰好 $4$ 个错误」这一计数约束确定唯一的修正方案。

方法概述：列出所有自洽等式逐条核对，用「错误恰好 $4$ 个」定位修正。

规范步骤：

三队单循环共赛 $3$ 场，每队赛 $2$ 场：$3\times 2\div 2=3$（单循环场数）
自洽关系一：场数 $=$ 胜 $+$ 负 $+$ 平：$2=胜+负+平$（统计口径）
自洽关系二：积分 $=2\times$ 胜 $+$ 平，三队积分和：$3\times 2=6$（每场共 $2$ 分）
自洽关系三：三队进球总数 $=$ 失球总数：$6+0+3=2+6+1$？需修正（进失球守恒）
逐条核对定位 $4$ 处错误，还原三场比分：$A:B=6:2,\ A:C=0:0,\ B:C=1:0$（唯一修正）
写出正确表格：$A:2,1,0,1,6,2,3；B:2,1,1,0,3,6,2；C:2,0,1,1,0,1,1$

6. 【原题 ch06-chaoyue-06】$9$ 个小朋友从前到后站成一列。现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这九个小朋友的头上。每个小朋友只能看到站在他前面小朋友帽子的颜色。后来统计一下，发现他们看到的红颜色帽子的总次数等于他们看到的黄颜色帽子的总次数，也等于他们看到的蓝颜色帽子的总次数。已知从前往数第三个小朋友戴着红帽子，第六个小朋友戴着黄帽子。请问：最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？

详细思路

是哪类问题：这是「被看到次数统计 + 排除法」类问题：$9$ 人排成一列，每人只能看到前面所有人的帽子，由三色被看到的总次数相等推出最后一人的帽色。

关键切入点：关键在于把「被看到次数」量化：从前往数第 $k$ 个人的帽子会被他后面的 $9-k$ 个人看到，所以第 $1$ 至第 $9$ 位的帽子分别被看到 $8,7,6,\cdots,1,0$ 次，总次数 $8+7+\cdots+1+0=36$，三色相等就各是 $36\div 3=12$ 次。第 $9$ 位被看到 $0$ 次，与他同色的另外两人被看到次数之和必须是 $12$；第 $3$ 位（红）被看到 $6$ 次、第 $6$ 位（黄）被看到 $3$ 次，逐一检验可知红、黄都配不出 $12$，所以第 $9$ 位戴蓝帽。

方法概述：把「被看到次数」算成位置的函数，再按颜色配平 $12$ 次。

规范步骤：

第 $k$ 位的帽子被后面 $9-k$ 人看到：$8,7,6,5,4,3,2,1,0$（只能看到前面的人）
总次数：$8+7+6+5+4+3+2+1+0=36$（等差数列求和）
三色相等，各色应被看到：$36\div 3=12$（次）（题设）
第 $9$ 位被看到 $0$ 次，同色另两人次数和须为：$12-0=12$（配平）
若第 $9$ 位戴红帽：第 $3$ 位红帽被看 $6$ 次，另一红帽须被看 $12-6=6$ 次，但 $6$ 次只对应第 $3$ 位，重复，矛盾：$排除红色$（反证）
若第 $9$ 位戴黄帽：第 $6$ 位黄帽被看 $3$ 次，另一黄帽须被看 $12-3=9$ 次，而最大只有 $8$ 次，矛盾：$排除黄色$（反证）
写出答案：$第\ 9\ 位戴蓝帽$（只剩蓝色）

7. 【原题 ch06-chaoyue-07】有 $A$、$B$、$C$ 三支球队进行比赛。每一轮比赛三个队之间各赛一场。每队胜一场得 $2$ 分，平一场得 $1$ 分，负一场不得分。如果三支球队共比赛了 $7$ 轮，最后 $A$ 胜的场数最多，$B$ 输的场数最少，$C$ 的得分最高（这些都没有并列）。请问：$A$ 得了多少分？

详细思路

是哪类问题：这是「多轮赛积分枚举 + 约束筛选」类问题：三队每轮各赛一场，共 $7$ 轮，由三条「最多/最少/最高且无并列」的条件求 $A$ 的得分。

关键切入点：关键在于先把总量算清楚：每轮三场，$7$ 轮共 $21$ 场，每场涉及两队，故三队出场总次数是 $21\times 2=42$ 次，即每队各赛 $14$ 场。每队总分 $=2\times$ 胜 $+$ 平。于是问题化为：给每队分配（胜，平，负）使胜平负之和为 $14$、三队胜场总数与负场总数相等、平局成对出现，再用「$A$ 胜场最多、$B$ 负场最少、$C$ 得分最高且无并列」筛选。枚举后只剩两种情形，$A$ 得 $13$ 分或 $14$ 分。

方法概述：先算清每队场数，再枚举（胜，平，负）分配并用三条约束筛选。

规范步骤：

总场数：$3\times 7=21$（每轮三场）
三队出场总次数与每队场数：$21\times 2=42,\ 42\div 3=14$（每场两队）
每队得分公式：$得分=2\times 胜+平$（计分规则）
枚举满足「$A$ 胜最多、$B$ 负最少、$C$ 分最高」且无并列的分配：$情况一：A(5,3,6),B(2,10,2),C(4,7,3)$（约束筛选）
情况一中 $A$ 的得分：$2\times 5+3=13$（代入公式）
情况二：$A(5,4,5),B(1,11,2),C(4,7,3)，得分\ 2\times 5+4=14$（另一组解）
写出答案：$A\ 得\ 13\ 分或\ 14\ 分$

8. 【原题 ch06-chaoyue-08】墨莫和 $8$ 个好朋友去李老师家玩。李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数，这 $9$ 个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数。李老师在纸上写了一个自然数 $A$，问这 $9$ 位同学：“你们知道自己帽子上的数能被 $A$ 整除吗？”结果有 $4$ 人举手。李老师又问：“现在你们知道自己帽子上的数能被 $24$ 整除吗？知道的请举手。”结果有 $6$ 人举手。已知墨莫两次都举手了，并且这 $9$ 位同学都足够聪明且从不说谎。请问：除了墨莫之外 $8$ 个人帽子上 $8$ 个两位数的总和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「知道／不知道型信息推断 + 整除枚举」类问题：$9$ 个互不相同的两位数写在帽子上，由两轮举手人数反推这 $9$ 个数之和。

关键切入点：关键在于把「举手＝我能确定答案」翻译成「看到的倍数个数把可能性逼成唯一」。对除数 $d$，一个人看不到自己的数，只有当他看到了全部两位数中 $d$ 的倍数时，才能断定自己不是 $d$ 的倍数。由此：第一轮 $4$ 人举手 $\Rightarrow$ $A$ 恰有 $5$ 个两位数倍数（$9-5=4$），满足者只有 $17,18,19$；再用第二轮的 $24$ 锁定 $A=18$——唯有 $18$ 与 $24$ 在两位数内恰有一个公倍数 $72$。第一轮后「$5$ 个未举手者恰持有 $18$ 的全部倍数 $\{18,36,54,72,90\}$」成为公开信息，各人便能反推自己的确切号码；第二轮里这 $5$ 人全举手，再加上唯一没拿到 $24$ 倍数的那名第一轮举手者（墨莫）也能断定自己不被 $24$ 整除，恰好 $6$ 人。于是除墨莫外 $8$ 人号码被完全确定，其和为 $438$。

方法概述：把两轮「举手」翻译成「看到的倍数个数」，先由 $9-M=4$ 定出 $A=18$，再用公开信息锁死 $8$ 个确切号码求和。

规范步骤：

先定出两位数中 $24$ 的倍数：$24,48,72,96$（$24\times 4=96\leq 99$，恰 $4$ 个）
破译「举手」：看不到自己的数，对除数 $d$，只有看到了全部两位数的 $d$ 的倍数，才能断定自己不是 $d$ 的倍数：$举手=看到的倍数把自己逼成唯一$（信息推断）
由第一轮 $4$ 人举手反推 $A$：设 $A$ 有 $M$ 个两位数倍数且都在场，则不持倍数的 $9-M$ 人各看到全部 $M$ 个倍数而举手，持倍数者只看到 $M-1$ 个无法确定：$9-M=4\Rightarrow M=5$（举手人数 $=9-$ 倍数持有人数）
恰有 $5$ 个两位数倍数的 $A$ 只有 $17,18,19$；再用第二轮的 $24$ 锁定：只有 $18$ 与 $24$ 在两位数内恰有一个公倍数 $72$，$17$、$19$ 与 $24$ 无两位数公倍数：$A=18,\ 倍数\{18,36,54,72,90\}$（用第二轮信息定 $A$）
第一轮结束后成为公开信息：$5$ 个未举手者恰持有 $18$ 的全部倍数，每人看到其中 $4$ 个即可反推自己的确切号码：$18\times 5=90$（最大倍数仍是两位数）（举手情况公开可见）
第二轮里这 $5$ 人都已知自己的确切号码，故都能判断能否被 $24$ 整除（持 $72$ 者能，其余四人不能）而全部举手：$5\ 人举手$（已知确切号码）
$24$ 的倍数除 $72$ 外还剩 $24,48,96$，落在 $4$ 名第一轮举手者中；唯一没拿到 $24$ 倍数的那名举手者（墨莫）看到 $24,48,96$ 与 $72$ 全在别人处，断定自己不被 $24$ 整除而举手，凑成第 $6$ 人：$5+1=6$（持 $24,48,96$ 者各只看到另两个,无法确定）
于是除墨莫外 $8$ 人的号码被完全确定，求和：$18+36+54+72+90+24+48+96=438$（八个确定值相加）
写出答案：$438$

9. 【原题 ch06-tuozhan-01】编号为 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$ 的同学进行围棋比赛，每 $2$ 个人都要赛 $1$ 盘。现在编号为 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等。请问：编号为 $6$ 的同学赛了几盘？

详细思路

是哪类问题：这是「握手（单循环已赛盘数）」类问题的经典形态：$6$ 人两两交手，$1\sim 5$ 号已赛盘数恰等于自己的编号，求 $6$ 号赛了几盘。

关键切入点：关键还是从极端入手并两两剥离：$5$ 号赛满 $5$ 盘，与所有人都赛过；$1$ 号只赛 $1$ 盘，只能是与 $5$ 号赛的。把 $(5,1)$ 剥掉后，$4$ 号与 $2$ 号又构成新的「最多与最少」，再剥；剥到最后 $3$ 号居中。每剥掉一对，$6$ 号都恰与其中赛得多的那位赛过一盘，加上与 $3$ 号的一盘，就得到 $6$ 号的盘数。

方法概述：把盘数最多者与最少者配对逐层剥离，剥几层就赛几盘。

规范步骤：

$6$ 人单循环，每人最多赛 $5$ 盘：$6-1=5$（至多与其余 $n-1$ 人各赛一盘）
$5$ 号赛满，与所有人赛过；$1$ 号那一盘只能对 $5$ 号：$1\ 号与其余\ 5-1=4\ 人未赛$（极端分析）
剥掉 $(5,1)$ 后，$4$ 号与 $2$ 号成为新的最多与最少：$4\ 号\to 5、6、3、2\ 号$（同法再剥）
盘数配对 $(5,1)$、$(4,2)$，每对之和都是 $6$，共 $2$ 对，居中的是 $3$ 号：$5+1=6,\ 4+2=6$（配对结构）
$6$ 号与每对中赛得多的（$5$ 号、$4$ 号）各赛一盘，再加与 $3$ 号一盘：$6\div 2=3$（剥离层数 + 居中者）
写出答案：$6\ 号赛了\ 3\ 盘$

第一套

题目：编号为 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$、$8$ 的同学进行围棋比赛，每 $2$ 个人都要赛 $1$ 盘。现在编号为 $1\sim 7$ 的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等。请问：编号为 $8$ 的同学赛了几盘？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先定上限）：$8$ 人单循环，每人最多与其余的人各赛一盘，最多赛 $8-1=\underline{\quad}$ 盘，可见编号最大的那位同学已经赛满。
第 2 步（从极端入手）：$7$ 号与所有人（含 $8$ 号）都赛过；$1$ 号只赛 $1$ 盘，这盘只能是与 $7$ 号赛的，于是 $1$ 号与其余 $7-1=\underline{\quad}$ 人都没赛过。
第 3 步（配对剥离）：把盘数最多与最少的配对，得 $(7,1)$、$(6,2)$、$(5,3)$，每对之和都是 $7+1=\underline{\quad}$，共 $(8-2)\div 2=\underline{\quad}$ 对，剥完后居中的是 $4$ 号。
第 4 步（数 $8$ 号的盘数）：每剥一对，$8$ 号都与这对中赛得多的那位赛过一盘（共 $3$ 盘），再加上与居中的 $4$ 号的 $1$ 盘，$8$ 号共赛 $8\div 2=\underline{\quad}$ 盘。

第二套

题目：$1$ 号到 $8$ 号共 $8$ 个班级举行拔河循环赛，每两个班都要比一场。现在 $1$ 号到 $7$ 号班级已经比过的场数恰好等于自己的班号。请问：$8$ 号班级比了几场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先定上限）：$8$ 个班单循环，每班最多比 $8-1=\underline{\quad}$ 场，可见班号最大的那个班已经比满。
第 2 步（从极端入手）：$7$ 号班与所有班（含 $8$ 号班）都比过；$1$ 号班只比 $1$ 场，这场只能是与 $7$ 号班比的，于是 $1$ 号班与其余 $7-1=\underline{\quad}$ 个班都没比过。
第 3 步（配对剥离）：把场数最多与最少的配对，得 $(7,1)$、$(6,2)$、$(5,3)$，每对之和都是 $7+1=\underline{\quad}$，共 $(8-2)\div 2=\underline{\quad}$ 对，居中的是 $4$ 号班。
第 4 步（数 $8$ 号班的场数）：每剥一对，$8$ 号班都与其中比得多的那个班比过一场，再加上与 $4$ 号班的一场，共 $8\div 2=\underline{\quad}$ 场。

第三套

题目：编号为 $1\sim 10$ 的同学进行乒乓球比赛，每 $2$ 个人都要赛 $1$ 场。现在编号为 $1\sim 9$ 的同学已经赛过的场数和他们的编号数相等。请问：编号为 $10$ 的同学赛了几场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先定上限）：$10$ 人单循环，每人最多赛 $10-1=\underline{\quad}$ 场，可见编号最大的那位同学已经赛满。
第 2 步（从极端入手）：$9$ 号与所有人都赛过；$1$ 号那一场只能对 $9$ 号，于是 $1$ 号与其余 $9-1=\underline{\quad}$ 人都没赛过。
第 3 步（配对剥离）：配成 $(9,1)$、$(8,2)$、$(7,3)$、$(6,4)$，每对之和都是 $9+1=\underline{\quad}$，共 $(10-2)\div 2=\underline{\quad}$ 对，居中的是 $5$ 号。
第 4 步（数 $10$ 号的场数）：每剥一对多一场（共 $4$ 场），再加与 $5$ 号的一场，$10$ 号共赛 $10\div 2=\underline{\quad}$ 场。

第三套

题目：编号为 $1\sim 10$ 的同学进行乒乓球比赛，每 $2$ 个人都要赛 $1$ 场。现在编号为 $1\sim 9$ 的同学已经赛过的场数和他们的编号数相等。请问：（1）$10$ 号同学赛了几场？（2）全部赛完共需多少场？（3）现在已经赛了多少场？还剩多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（配对剥离求 $10$ 号）：配成 $(9,1)$、$(8,2)$、$(7,3)$、$(6,4)$，每对之和 $9+1=\underline{\quad}$，共 $(10-2)\div 2=\underline{\quad}$ 对，居中的是 $5$ 号，所以 $10$ 号赛了 $10\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（算总场数）：$10$ 人每人与其余 $9$ 人各赛一场，每场被数两次，总场数 $=10\times 9\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 3 步（算已赛场数）：把 $10$ 个人的已赛场数相加，每场同样被数两次，已赛场数 $=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+5)\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 4 步（求剩余）：还没赛的场数 $=45-25=\underline{\quad}$ 场。

10. 【原题 ch06-tuozhan-02】五行（火水木金土）相生相克，其中每一个元素都生一个，克一个，被一个生和被一个克。水克火是我们熟悉的。有一个俗语叫做“兵来将挡，水来土掩”，是说土能克水。另外，水能生木，火能生土。请把五行的相生相克关系画出来。

详细思路

是哪类问题：这是「循环关系图」类构造题：五个元素构成一个「每个都生一个、克一个、被一个生、被一个克」的双循环结构，由几条已知关系补全整张图。

关键切入点：关键在于认出结构：相生关系让五个元素排成一个五元环，相克关系则是在这个环上「隔一位」连出的另一个五元环。已知水生木、火生土，就能定出相生环的走向为「木→火→土→金→水→木」；再把这个环上隔位相连（每个元素克它后面第二个），并用「水克火、土克水」校验方向，相克环即为「木→土→水→火→金→木」。

方法概述：先用已知的相生关系定出五元环，再隔位连出相克环。

规范步骤：

已知相生：水生木、火生土：$水\to 木,\ 火\to 土$（题设）
五元素各生一个、被一个生，故相生构成一个五元环：$木\to 火\to 土\to 金\to 水\to 木$（每点出度入度均为 $1$）
相克也是五元环，且与相生环错开一位（克「隔一位」的元素）：$木\to 土,\ 土\to 水,\ 水\to 火,\ 火\to 金,\ 金\to 木$（用已知的水克火、土克水校验）
作图：实线箭头表示相生，虚线箭头表示相克，画成五边形：$五边形\ +\ 五角星$（相生沿边、相克沿对角）
写出答案：$相生：木火土金水循环；相克：木土水火金循环$

11. 【原题 ch06-tuozhan-03】$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$ 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在 $3$ 个场地各进行一场比赛，已知第一天 $B$ 对 $D$，第二天 $C$ 对 $E$，第三天 $D$ 对 $F$，第四天 $B$ 对 $C$。请问：第五天与 $A$ 队比赛的是哪支队伍？

详细思路

是哪类问题：这是「单循环赛程编排」类问题：$6$ 队每天同时进行 $3$ 场，恰好 $5$ 天赛完，由前四天的部分对阵推出第五天与 $A$ 队交手的球队。

关键切入点：关键在于先算清楚结构：共 $6\times 5\div 2=15$ 场，每天 $3$ 场，恰好 $15\div 3=5$ 天，所以每支球队每天都必须上场一次、五天正好与其余五队各赛一次。这就把问题变成一张 $6$ 行 $5$ 列的表格填数：每队每天只出现一次、每队与每个对手只配对一次，再用已知的四组对阵逐格排除。

方法概述：先证「每队每天必上场」，再用表格法逐日排除。

规范步骤：

算总场数与天数：$6\times 5\div 2=15,\ 15\div 3=5$（单循环场数与每天 $3$ 场）
每队五天共赛 $5$ 场，故每天恰好上场一次：$5\ 场 \div 5\ 天=1$（抽屉原理/计数）
填表：第一天 $B$–$D$，第二天 $C$–$E$，第三天 $D$–$F$，第四天 $B$–$C$：$已知四格$（题设）
逐日把每队的对手排除掉重复项，可唯一填满整张表：$第五天：A–B,\ C–D,\ E–F$（表格法 + 排除法）
写出答案：$第五天与\ A\ 队比赛的是\ B\ 队$

12. 【原题 ch06-tuozhan-04】$A$、$B$、$C$ 三支篮球队进行比赛，规定每天比赛一场，每场比赛结束后，第二天由胜队与另一队进行比赛，败队则休息一天，如此继续下去。最后结果是 $A$ 队胜 $10$ 场，$B$ 队胜 $12$ 场，$C$ 队胜 $14$ 场，请问：$A$ 队共打了几场比赛？

详细思路

是哪类问题：这是「三队轮换赛制」类问题：每天一场、败者休息一天，由三队的胜场数求某队的总出场数。

关键切入点：关键在于把「每天一场、败者次日休息」翻译成计数关系。$36$ 场比赛占 $36$ 天，每天恰一队休息，且某队在某天休息当且仅当它前一天告负。于是 $A$ 的出场天数 $=36-A$ 的休息天数；而 $A$ 的休息天数约等于它的负场数（首日轮空、末场告负各带来 $\pm 1$ 的边界修正）。又 $A$ 的出场数 $=$ 胜 $+$ 负 $=10+$ 负场。两式联立得 $2\times 负场=26+$ 边界项，由左边为偶数逼出边界项恰为 $0$，从而 $A$ 恰负 $13$ 场，出场 $10+13=23$。

方法概述：用「总场数=总天数、败者次日休息」把出场数拆成 $36-$ 休息数，联立胜负关系并用奇偶性定负场。

规范步骤：

总场数等于总天数：每场恰一个胜者，也恰一天赛一场：$10+12+14=36$（三队胜场之和）
休息规则：每天恰一队休息，且某队在某天休息当且仅当它前一天告负：$败者次日休息一天$（赛制规则）
$A$ 的出场天数 $=$ 总天数 $-$ $A$ 的休息天数：$A\ 出场=36-R_A$（不上场就休息）
数 $A$ 的休息天数：$A$ 每负一场次日休息一次（末场告负则无次日），若 $A$ 是第 $1$ 天轮空者再加 $1$：$R_A=L_A-f+a$（$f,a\in\{0,1\}$：末场是否 $A$ 负、首日是否 $A$ 空）
另一方面 $A$ 的出场数 $=$ 胜场 $+$ 负场：$A\ 出场=10+L_A$（出场即胜或负）
两式联立消去出场数：$10+L_A=36-(L_A-f+a)\Rightarrow 2L_A=26+f-a$（代入 $A$ 出场的两种算法）
用奇偶性定负场：$2L_A$ 与 $26$ 都是偶数，故 $f-a$ 必为偶，只能 $f=a$，代入得：$2L_A=26\Rightarrow L_A=13$（奇偶性夹死边界项 $f-a=0$）
$A$ 的出场数：$10+13=23$（胜场加负场）
写出答案：$A\ 队共打了\ 23\ 场$

13. 【原题 ch06-tuozhan-05】甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得 $2$ 分，平局各得 $1$ 分，输者得 $0$ 分。请问：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁是最后一名，那么乙得了多少分？

详细思路

是哪类问题：这是「单循环场数 + 总分守恒 + 名次约束」类问题：先算场数与总分，再用「总分固定 + 名次顺序」夹出并列第二名的分数。

关键切入点：关键在于抓住「无论胜负还是平局，一场比赛双方得分之和都是 $2$ 分」这个守恒量：四人总分恒为 $6\times 2=12$ 分。第 (3) 问用两次反证夹逼：若乙丙各得 $4$ 分，则甲多于 $4$ 分，三人已超 $12$ 分，矛盾，故乙丙至多 $3$ 分；若乙丙各得 $2$ 分，丁至多 $1$ 分，甲至少 $12-2-2-1=7$ 分，但连胜 $3$ 场也只有 $6$ 分，矛盾，故乙丙至少 $3$ 分。两头夹住，乙丙恰好各得 $3$ 分。

方法概述：用「每场 $2$ 分」的守恒量算总分，再上下夹逼定分数。

规范步骤：

算总场数：$4\times 3\div 2=6$（单循环场数 $C_4^2$）
每场双方得分之和都是 $2$ 分：$2+0=2,\ 1+1=2$（计分规则）
四人总分：$6\times 2=12$（守恒量）
上界：若乙丙各 $4$ 分，甲 $>4$ 分，三人已超 $12$ 分：$4+4+5=13>12$（反证）
下界：若乙丙各 $2$ 分、丁至多 $1$ 分，则甲至少：$12-2-2-1=7>6$（全胜也只有 $3\times 2=6$ 分，反证）
两头夹住：$乙=丙=3\ 分$（夹逼）
写出答案：$（1）6\ 场；（2）12\ 分；（3）乙得\ 3\ 分$

第一套

题目：$6$ 名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得 $2$ 分，平局各得 $1$ 分，输者得 $0$ 分。请问：（1）一共有多少场比赛？（2）六个人最后得分的总和是多少？（3）如果甲战胜了其余所有人，甲得了多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算场数）：每人与其余 $5$ 人各赛一场，每场被数两次，场数 $=6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（找守恒量）：一场若分胜负，双方共得 $2+0=2$ 分；若打平，双方共得 $1+1=2$ 分。可见每场双方得分之和恒为 $2$ 分。
第 3 步（算总分）：总分 $=15\times 2=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（算甲的分）：甲要与其余 $6-1=\underline{\quad}$ 人各赛一场并全部取胜，每胜一场得 $2$ 分，所以甲得 $\underline{\quad}$ 分。

第二套

题目：某围棋社 $6$ 位棋手进行循环赛，每两人下一局，胜者得 $2$ 分，和棋各得 $1$ 分，负者得 $0$ 分。请问：（1）一共要下多少局？（2）六位棋手最后得分的总和是多少？（3）如果社长战胜了其余所有人，社长得了多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算局数）：每人与其余 $5$ 人各下一局，每局被数两次，局数 $=6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 局。
第 2 步（找守恒量）：分胜负时双方共得 $2+0=2$ 分，和棋时共得 $1+1=2$ 分，每局双方得分之和恒为 $2$ 分。
第 3 步（算总分）：总分 $=15\times 2=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（算社长的分）：社长与其余 $6-1=\underline{\quad}$ 人各下一局并全胜，每胜一局得 $2$ 分，所以社长得 $\underline{\quad}$ 分。

第三套

题目：$8$ 名同学进行跳棋比赛，每两人都比赛一场，胜者得 $2$ 分，平局各得 $1$ 分，输者得 $0$ 分。请问：（1）一共有多少场比赛？（2）八个人得分的总和是多少？（3）平均每人得多少分？（4）如果甲全胜，甲得多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算场数）：每人与其余 $7$ 人各赛一场，每场被数两次，场数 $=8\times 7\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（找守恒量）：每场双方得分之和恒为 $2$ 分（$2+0=2$ 或 $1+1=2$）。
第 3 步（算总分）：总分 $=28\times 2=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（算平均分）：$8$ 人分这些分，平均每人 $56\div 8=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（算甲的分）：甲与其余 $8-1=\underline{\quad}$ 人各赛一场并全胜，每胜一场得 $2$ 分，所以甲得 $\underline{\quad}$ 分。

第三套

题目：$6$ 名同学进行象棋比赛，每两人赛一场。若改用「胜者得 $3$ 分、平局各得 $1$ 分、负者得 $0$ 分」的计分办法，请问：（1）一共有多少场比赛？（2）六人总分最多是多少？最少是多少？（3）如果其中有 $4$ 场平局，六人总分是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算场数）：每人与其余 $5$ 人各赛一场，每场被数两次，场数 $=6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（分类看一场的总分）：分出胜负时双方共得 $3+0=\underline{\quad}$ 分；打平时双方共得 $1+1=\underline{\quad}$ 分。这里两类场的总分不再相等，所以总分不再是定值。
第 3 步（求最大与最小）：全部分胜负时总分最大 $=3\times 15=\underline{\quad}$ 分；全部打平时总分最小 $=2\times 15=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（有 $4$ 场平局时）：分出胜负的场数 $=15-4=\underline{\quad}$ 场；再把两类场分别计分相加，总分 $=\underline{\quad}$ 分。

14. 【原题 ch06-tuozhan-06】五支足球队进行循环赛，即每两个队之间都要赛一场。每场比赛胜者得 $2$ 分，输者得 $0$ 分，平局两队各得 $1$ 分。比赛结果各队得分互不相同。已知：①第一名的队没有平过；②第二名的队没有输过；③第四名的队没有胜过。问：第一名至第五名各得多少分？全部比赛共打平过几场？

详细思路

是哪类问题：这是「积分排序反推胜负平」类问题：$5$ 队单循环、胜 $2$ 平 $1$ 负 $0$，由三条附加条件定出五队得分并数出平局数。

关键切入点：关键在于先算总分：共 $10$ 场，每场双方共得 $2$ 分，总分恒为 $20$ 分。再用条件①②卡上限：第一名没平过、第二名没输过，两队交手时第一名不会平，只能输，所以第一名至多胜 $3$ 场得 $6$ 分；于是五队得分至多为 $6,5,4,3,2$，而 $6+5+4+3+2=20$ 恰好等于总分，上界被取满，五队得分被唯一确定。最后依次还原每场胜负即可数出平局数。

方法概述：先用总分守恒定总量，再用「上界之和恰等于总分」逼出唯一得分表。

规范步骤：

算总场数与总分：$5\times 4\div 2=10,\ 10\times 2=20$（每场双方共 $2$ 分）
由①②，第一名与第二名交手时只能是第一名输：$第一名至多胜\ 3\ 场$（第一名没平过、第二名没输过）
第一名得分上限：$3\times 2=6$（胜一场 $2$ 分）
五队得分互不相同，上限依次为 $6,5,4,3,2$，其和恰为总分：$6+5+4+3+2=20$（上界取等，得分唯一）
还原各场：第一名胜三、四、五名而输给第二名；其余场次按得分补齐：$平局\ 5\ 场$（逐对分析）
写出答案：$6,5,4,3,2\ 分；平局\ 5\ 场$

15. 【原题 ch06-tuozhan-07】金、木、水、火、土 $5$ 支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得 $2$ 分，负者得 $0$ 分，平局则双方各得 $1$ 分。比赛发现，金队和木队特别地强，这两队都取得很高的分数。现在有报道如下：“金队与木队所向披靡，两队总得分是水、火、土 $3$ 队总得分的 $3$ 倍”，你说这报道真实吗？如果真实，请举出一种可能的比赛情况；如果不真实，请说明理由。

详细思路

是哪类问题：这是「总分守恒 + 局部场数下界」类的判断说理题：判断「两强队总分是另外三队总分的 $3$ 倍」这一报道是否可能。

关键切入点：关键在于给弱队一个逃不掉的下界：水、火、土三队彼此之间还要互赛 $3\times 2\div 2=3$ 场，光这三场就一定给它们带来 $3\times 2=6$ 分，所以三队总分至少 $6$ 分。全部总分恒为 $10\times 2=20$ 分，于是两强队至多得 $20-6=14$ 分，而 $14$ 分连 $6$ 分的 $3$ 倍（$18$ 分）都不到，报道不可能真实。

方法概述：用「弱队内部互赛」给出下界，再与总分守恒对撞。

规范步骤：

算总场数与总分：$5\times 4\div 2=10,\ 10\times 2=20$（每场双方共 $2$ 分）
水、火、土三队之间互赛的场数：$3\times 2\div 2=3$（三队内部单循环）
仅这三场就给三队带来的分数（下界）：$3\times 2=6$（每场双方共 $2$ 分）
金、木两队至多得：$20-6=14$（总分守恒）
若报道属实，两强队应达到：$6\times 3=18>14$（$3$ 倍要求）
写出答案：$报道不真实$（上界小于要求值）

第一套

题目：金、木、水、火、土、日、月 $7$ 支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得 $2$ 分，负者得 $0$ 分，平局则双方各得 $1$ 分。有报道称：「金队与木队所向披靡，两队总得分是水、火、土、日、月这 $5$ 队总得分的 $3$ 倍」。你说这报道真实吗？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数与总分）：$7$ 队单循环共 $7\times 6\div 2=\underline{\quad}$ 场；每场无论胜负还是平局双方共得 $2$ 分，所以全部总分是 $\underline{\quad}$ 分。
第 2 步（给弱队找下界）：水、火、土、日、月这 $5$ 队彼此之间还要互赛 $5\times 4\div 2=\underline{\quad}$ 场，光这些场次就一定给这 $5$ 队带来 $\underline{\quad}$ 分，这就是它们总分的下界。
第 3 步（给强队定上界）：金、木两队至多得 $42-20=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（对撞判断）：若报道属实，两强队得分应达到 $20\times 3=\underline{\quad}$ 分，而上界只有 $22$ 分，差得很远，所以报道不真实。

第二套

题目：某市 $7$ 所中学进行辩论循环赛，每两校辩一场，胜方得 $2$ 分，负方得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。有报道称：「一中与二中实力超群，两校总得分是其余 $5$ 所学校总得分的 $3$ 倍」。你说这报道真实吗？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数与总分）：$7$ 校单循环共 $7\times 6\div 2=\underline{\quad}$ 场；每场双方共得 $2$ 分，全部总分是 $\underline{\quad}$ 分。
第 2 步（给其余学校找下界）：其余 $5$ 所学校之间还要互辩 $5\times 4\div 2=\underline{\quad}$ 场，光这些场就给它们带来 $\underline{\quad}$ 分，这就是它们总分的下界。
第 3 步（给两强定上界）：一中与二中至多得 $42-20=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（对撞判断）：报道要求两强达到 $20\times 3=\underline{\quad}$ 分，远超上界 $22$ 分，所以报道不真实。

第三套

题目：金、木、水、火、土、天 $6$ 支球队进行单循环比赛，胜者得 $2$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。有人说：「金、木两队总得分是其余 $4$ 队总得分的 $3$ 倍」。这话可能成立吗？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数与总分）：$6$ 队单循环共 $6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 场，每场双方共 $2$ 分，全部总分 $=\underline{\quad}$ 分。
第 2 步（给其余四队找下界）：其余 $4$ 队之间互赛 $4\times 3\div 2=\underline{\quad}$ 场，每场双方共 $2$ 分，至少带来 $\underline{\quad}$ 分。
第 3 步（给两强定上界）：金、木两队至多 $30-12=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（对撞判断）：$3$ 倍要求两强至少 $12\times 3=\underline{\quad}$ 分，超过上界 $18$ 分，所以这话不可能成立。

第三套

题目：金、木、水、火、土、日、月 $7$ 支球队进行单循环比赛，胜者得 $2$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。请问：（1）全部比赛的总分是多少？（2）金、木两队的总分最多是多少？（3）金、木两队的总分最多能是其余 $5$ 队总分的多少倍？（4）「$3$ 倍」的报道真实吗？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数与总分）：共 $7\times 6\div 2=\underline{\quad}$ 场，每场双方共 $2$ 分，总分 $=21\times 2=\underline{\quad}$ 分。
第 2 步（给其余五队找下界）：这 $5$ 队之间互赛 $5\times 4\div 2=\underline{\quad}$ 场，至少给它们带来 $10\times 2=\underline{\quad}$ 分。
第 3 步（给两强定上界）：金、木两队至多 $42-20=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（算最大倍数）：分子取最大 $22$、分母取最小 $20$ 时倍数最大，$22\div 20=\underline{\quad}$ 倍。
第 5 步（判断报道）：最大倍数只有 $1.1$ 倍，远小于 $3$ 倍，报道不真实。

16. 【原题 ch06-tuozhan-08】天、地、玄、黄 $4$ 支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，平局则双方各得 $1$ 分。已知比赛结果是：天队得 $7$ 分，地队得 $5$ 分，玄队得 $2$ 分，黄队得 $1$ 分。请问：比赛中有多少场平局？

详细思路

是哪类问题：这是「由总积分反推平局场数」类问题：胜 $3$ 平 $1$ 负 $0$ 制下，每场平局比每场分胜负少产生 $1$ 分，用总分的差额直接数出平局数。

关键切入点：关键在于抓住「每场总分」的两种取值：分胜负 $3+0=3$ 分，打平 $1+1=2$ 分，两者只差 $1$ 分。$4$ 队单循环共 $6$ 场，若全部分出胜负总分应是 $3\times 6=18$ 分；实际总分是 $7+5+2+1=15$ 分，比假设少 $3$ 分，每出现一场平局就少 $1$ 分，所以平局恰有 $3$ 场。这正是假设法（盈亏问题）的典型用法。

方法概述：先假设全部分胜负，再用总分差额除以每场差数得平局数。

规范步骤：

算总场数：$4\times 3\div 2=6$（单循环场数 $C_4^2$）
假设 $6$ 场全部分出胜负，总分应为：$3\times 6=18$（每场 $3$ 分）
实际总分：$7+5+2+1=15$（四队得分相加）
每把一场胜负改成平局，总分少：$3-2=1$（分）（两类场每场总分之差）
平局场数：$(18-15)\div 1=3$（假设法/盈亏）
验算：$3$ 场平局、$3$ 场分胜负：$3\times 3+3\times 2=15$（与实际总分吻合）
写出答案：$共有\ 3\ 场平局$

第一套

题目：天、地、玄、黄、宇、宙 $6$ 支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，平局则双方各得 $1$ 分。已知比赛结果是：天队 $10$ 分，地队 $9$ 分，玄队 $7$ 分，黄队 $6$ 分，宇队 $5$ 分，宙队 $3$ 分。请问：比赛中有多少场平局？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：$6$ 队单循环，每队与其余 $5$ 队各赛一场，每场被数两次，场数 $=6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（先假设全部分出胜负）：那样每场产生 $3$ 分，总分应是 $3\times 15=\underline{\quad}$ 分。
第 3 步（算实际总分）：把六队得分相加，$10+9+7+6+5+3=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（看每场差多少）：把一场胜负改成平局，这场总分由 $3$ 分变成 $2$ 分，正好少 $3-2=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（求平局数）：实际总分比假设少 $45-40=\underline{\quad}$ 分，所以平局有 $5$ 场，分出胜负的有 $15-5=\underline{\quad}$ 场。

第二套

题目：某高校 $6$ 个学院举行足球单循环赛，每场胜者积 $3$ 分，负者积 $0$ 分，平局双方各积 $1$ 分。最终积分为：文学院 $10$ 分，理学院 $9$ 分，工学院 $7$ 分，医学院 $6$ 分，法学院 $5$ 分，商学院 $3$ 分。请问：全部比赛中有多少场平局？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：$6$ 个学院单循环，场数 $=6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（先假设全部分出胜负）：每场产生 $3$ 分，总积分应是 $3\times 15=\underline{\quad}$ 分。
第 3 步（算实际总分）：$10+9+7+6+5+3=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（看每场差多少）：一场平局比一场胜负少 $3-2=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（求平局数）：少了 $45-40=\underline{\quad}$ 分，所以平局 $5$ 场，分出胜负 $15-5=\underline{\quad}$ 场。

第三套

题目：$5$ 支排球队进行单循环比赛，胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。已知五队最终得分分别是 $9$、$7$、$6$、$4$、$2$ 分。请问：比赛中有多少场平局？有多少场分出了胜负？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：$5$ 队单循环，场数 $=5\times 4\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（先假设全部分出胜负）：总分应是 $3\times 10=\underline{\quad}$ 分。
第 3 步（算实际总分）：$9+7+6+4+2=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（看每场差多少）：一场平局比一场胜负少 $3-2=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（求平局数与胜负场数）：少了 $30-28=\underline{\quad}$ 分，所以平局 $2$ 场，分出胜负 $10-2=\underline{\quad}$ 场。

第三套

题目：天、地、玄、黄、宇、宙 $6$ 支球队进行单循环比赛，胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。最终得分为 $10$、$9$、$7$、$6$、$5$、$3$ 分。请问：（1）共赛了多少场？（2）有多少场平局？（3）六队「打平的场次」加起来共有多少队次？（4）六队胜场总数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：场数 $=6\times 5\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（用假设法求平局数）：若全部分胜负总分为 $3\times 15=\underline{\quad}$ 分，实际总分 $10+9+7+6+5+3=\underline{\quad}$ 分，每场平局少 $1$ 分，所以平局 $45-40=\underline{\quad}$ 场。
第 3 步（算平场队次）：一场平局涉及两支球队，所以六队打平的场次共 $5\times 2=\underline{\quad}$ 队次。
第 4 步（算胜场总数）：分出胜负的场数 $=15-5=\underline{\quad}$ 场，每场恰产生一个胜场，所以胜场总数是 $10$ 场。
第 5 步（验算）：总分 $=10\times 3+10\times 1=\underline{\quad}$ 分，与实际的 $40$ 分吻合。

17. 【原题 ch06-tuozhan-09】四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场。每场比赛胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。比赛结束后，各队的总得分恰好是 $4$ 个连续的自然数。问：输给第一名的队的总分是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「总分范围估计 + 连续自然数」类问题：$4$ 队单循环、胜 $3$ 平 $1$，各队总分恰是四个连续自然数，求输给冠军的那队的总分。

关键切入点：关键在于用总分区间卡住连续自然数的首项，再用「无平局则得分必为 $3$ 的倍数」排除伪解。共 $6$ 场，每场分胜负得 $3$ 分、平局得 $2$ 分，设平局 $d$ 场则总分 $=18-d$，介于 $12$ 与 $18$ 之间。四个连续自然数之和为 $4n+6$，令它落在 $[12,18]$ 得 $n=2$ 或 $3$。$n=3$ 对应总分 $18$ 即 $d=0$（全无平局），此时每队得分都是其胜场数的 $3$ 倍、必为 $3$ 的倍数，而 $3,4,5,6$ 中 $4$、$5$ 不是 $3$ 的倍数，矛盾，故排除；只能 $n=2$，得分为 $2,3,4,5$（含 $4$ 场平局）。构造赛果知第一名 $5$ 分，唯一被它击败的队恰得 $4$ 分。

方法概述：用总分区间卡连续自然数首项，再用「无平局则得分为 $3$ 的倍数」排除伪解并构造检验。

规范步骤：

算总场数：每两队赛一场：$4\times 3\div 2=6$（单循环场数 $C_4^2$）
看每场总分并定范围：分胜负共 $3$ 分、平局共 $2$ 分，设平局 $d$ 场则总分 $=18-d$，故 $12\leq 总分\leq 18$：$2\times 6=12,\ 3\times 6=18$（$d$ 从 $0$ 到 $6$）
设最小分为 $n$，四个连续自然数之和：$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6$（连续自然数求和）
由 $12\leq 4n+6\leq 18$ 解得 $n=2$ 或 $3$：$4\times 2+6=14,\ 4\times 3+6=18$（两个候选组）
排除 $n=3$：得分 $3,4,5,6$ 之和 $18$，对应平局 $d=18-18=0$，全部分胜负；此时每队得分都是其胜场数的 $3$ 倍、必为 $3$ 的倍数，但 $4$、$5$ 不是：$18-18=0$（无平局则得分必为 $3$ 的倍数,矛盾）
故只能 $n=2$：得分为 $2,3,4,5$，之和 $14$，对应平局 $d=18-14=4$ 场：$18-14=4$（唯一可行的连续自然数组）
构造赛果核对：第一名 $5$ 分（$1$ 胜 $2$ 平），它唯一战胜的那支队恰是 $4$ 分（$1$ 胜 $1$ 平 $1$ 负）：$5\ 分队击败的是\ 4\ 分队$（还原赛果验证可排出）
写出答案：$输给第一名的队总分是\ 4\ 分$

18. 【原题 ch06-tuozhan-10】甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如表 $6-2$ 所示，已知：①每门功课五个人的分数恰巧分别为 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$；②五个人的总分互不相同，且从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊；③丙有四门功课的分数相同。请你把表 $6-2$ 补充完整。（表中已知：甲总分 $24$；丁数学 $4$；戊语文 $3$、英语 $5$。科目顺序为语文、数学、英语、音乐、美术、总分）

详细思路

是哪类问题：这是「表格填数推理」类问题：五人五科，每科分数恰是 $1\sim 5$ 的一个排列，由总分排序与「丙有四门相同」等条件补全整张成绩表。

关键切入点：关键在于先把总量算死：每科五人分数之和是 $1+2+3+4+5=15$，五科合计 $5\times 15=75$ 分。甲已知 $24$ 分且最高，剩下四人共 $75-24=51$ 分且总分互不相同、依次递减。再用条件③「丙有四门相同」把丙锁死为四个 $3$ 加一个 $1$（$13$ 分），最后用已知格（丁数学 $4$、戊语文 $3$、戊英语 $5$）逐格排除填满。

方法概述：先用「每科 $1\sim 5$」算出总量，再由特殊条件锁死一行，逐格排除。

规范步骤：

每科五人分数之和：$1+2+3+4+5=15$（每科分数恰为 $1\sim 5$）
五科总分：$5\times 15=75$（五科相加）
其余四人总分之和：$75-24=51$（减去甲的 $24$ 分）
由③丙四门相同，只能是四个 $3$ 加一个 $1$：$3\times 4+1=13$（结合去掉甲后各科的剩余分）
用丁数学 $4$、戊语文 $3$、戊英语 $5$ 逐格排除填表：$乙=15,\ 丁=12,\ 戊=11$（总分递减且互不相同）
验算总分：$24+15+13+12+11=75$（与总量吻合）
写出答案：$甲\ 5,5,4,5,5；乙\ 4,2,1,4,4；丙\ 1,3,3,3,3；丁\ 2,4,2,2,2；戊\ 3,1,5,1,1$

19. 【原题 ch06-tuozhan-11】一次足球赛，有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个队参加，每两队都赛一场。按规则，胜一场得 $2$ 分，平一场得 $1$ 分，负一场得 $0$ 分。比赛结束后，$B$ 队得 $5$ 分，$A$ 队得 $1$ 分。所有场次共进了 $9$ 个球，$B$ 队进球最多，共进了 $4$ 个球，$C$ 队共失了 $3$ 个球，$D$ 队 $1$ 个球也未进，$A$ 队与 $C$ 队的比赛比分是 $2:3$。问：$A$ 队与 $B$ 队的比赛比分是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「积分反推胜负 + 进失球还原比分」类问题：由 $B$ 得 $5$ 分、$A$ 得 $1$ 分与全部进球数、各队进失球等信息，倒推 $A$ 与 $B$ 的比分。

关键切入点：关键在于先把积分翻译成唯一的胜负平组合：胜 $2$ 平 $1$ 负 $0$、每队赛 $3$ 场时，$5$ 分只能是 $2$ 胜 $1$ 平，$1$ 分只能是 $3$ 平或 $1$ 平 $2$ 负；而已知 $A$ 对 $C$ 是 $2:3$（$A$ 输了），排除三平，故 $A$ 是 $1$ 平 $2$ 负。接着用进球总数 $9$、$B$ 进 $4$、$D$ 进 $0$、$C$ 失 $3$ 逐场对账，把每场比分填满。

方法概述：先由积分定唯一的胜负平组合，再用进失球逐场对账。

规范步骤：

四队单循环共 $6$ 场，每队赛 $3$ 场：$4\times 3\div 2=6$（单循环场数）
$B$ 得 $5$ 分只能是：$2\times 2+1=5$，即 $2$ 胜 $1$ 平（胜 $2$ 平 $1$）
$A$ 得 $1$ 分且已输给 $C$，故是 $1$ 平 $2$ 负：$1\times 1+0\times 2=1$（排除三平）
用进球总数与各队进失球逐场对账：$总进球\ 9,\ B\ 进\ 4,\ D\ 进\ 0,\ C\ 失\ 3$（进失球守恒）
推出 $A$ 对 $B$ 一球未进、失 $3$ 球：$A:B=0:3$（对账结果）
写出答案：$A\ 与\ B\ 的比分是\ 0:3$

20. 【原题 ch06-tuozhan-12】$A$、$B$、$C$、$D$ 四个足球队进行循环比赛。赛了若干场后，$A$、$B$、$C$ 三队的比赛情况如表 $6-3$ 所示。问：$D$ 赛了几场？$D$ 赛的几场的比分各是多少？（表 $6-3$：$A$ 场数 $3$、胜 $2$、平 $1$、负 $0$、进球 $2$、失球 $0$；$B$ 场数 $2$、胜 $1$、平 $1$、负 $0$、进球 $4$、失球 $3$；$C$ 场数 $2$、胜 $0$、平 $0$、负 $2$、进球 $3$、失球 $6$；$D$ 待求）

详细思路

是哪类问题：这是「表格信息分析 + 比分还原」类问题：由 $A$、$B$、$C$ 三队的场数、胜平负与进失球，推出 $D$ 赛了几场以及每场比分。

关键切入点：关键在于先把已知三队的每一场都定死：$A$ 赛 $3$ 场、$2$ 胜 $1$ 平、进 $2$ 失 $0$，说明两场胜局都是 $1:0$、平局是 $0:0$；$B$ 赛 $2$ 场、$1$ 胜 $1$ 平、进 $4$ 失 $3$，与 $A$ 的平局是 $0:0$，故它赢的那场是 $4:3$；$C$ 赛 $2$ 场全负、进 $3$ 失 $6$，输给 $A$ 是 $0:1$，另一场是 $3:5$。$B$ 赢的 $4:3$ 与 $C$ 输的 $3:5$ 比分对不上，说明 $B$ 与 $C$ 没交手，两场的对手都是 $D$。

方法概述：先把已知队的每场比分定死，再用「比分对不上」判断谁与谁交手。

规范步骤：

$A$ 进 $2$ 失 $0$、$2$ 胜 $1$ 平，故两胜均为 $1:0$、平局为 $0:0$：$A:1:0,\ 1:0,\ 0:0$（失球为 $0$ 限制很强）
$B$ 与 $A$ 的平局是 $0:0$，故 $B$ 赢的那场是：$4:3$（$B$ 进 $4$ 失 $3$ 全在这一场）
$C$ 输给 $A$ 是 $0:1$，另一场是：$3:5$（$C$ 进 $3$ 失 $6$ 减去 $0:1$）
$4:3$ 与 $3:5$ 对不上，说明 $B$、$C$ 未交手，两场对手都是 $D$：$B\ 4:3\ D,\ C\ 3:5\ D$（排除法）
$D$ 的场数：$1+1+1=3$（对 $A$、$B$、$C$ 各一场）
写出答案：$D\ 赛\ 3\ 场：0:1\ 负\ A，3:4\ 负\ B，5:3\ 胜\ C$

21. 【原题 ch06-tuozhan-13】九个外表完全相同的小球，重量分别是 $1$、$2$、$\cdots$、$9$。为了加以区分，它们都被贴上了数字标签。可是有一天，不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通。我们用天平做了两次称量，得到如下结果：（1）①②$>$③④⑤⑥⑦；（2）③⑧$=$⑦。请问：⑨号小球的重量是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「重量和的范围估计 + 排除法」类问题：$1\sim 9$ 号球被打乱标签，由两次称量结果推出⑨号球的重量。

关键切入点：关键在于用总量把①②的和卡在很窄的范围里：九球总重 $1+2+\cdots+9=45$。由 ①②$>$③④⑤⑥⑦ 且七个球的重量互不相同，①②最大只能是 $8+9=17$，而③④⑤⑥⑦ 五个球至少 $1+2+3+4+5=15$，所以 ①②的和只能是 $16$ 或 $17$。再用条件（2）③⑧$=$⑦（说明⑧比⑦轻）去排除 $16$ 的情形，剩下 $17$，逐步定出各球重量，最后⑨号只剩 $7$。

方法概述：用总重与最小和把候选压到两种，再用第二次称量排除。

规范步骤：

九球总重：$1+2+\cdots+9=45$（等差数列求和）
①②最大可能：$8+9=17$（两个最重的球）
③④⑤⑥⑦最小可能：$1+2+3+4+5=15$（五个最轻的球）
由 ①②$>$③④⑤⑥⑦ 得①②的和只能是 $16$ 或 $17$：$16\ 或\ 17$（范围估计）
若①②$=16$，则③④⑤⑥⑦$=15$ 即 $1\sim 5$，⑧必大于 $5$；但 ③$+$⑧$=$⑦ 说明⑧$<$⑦$\leq 5$，矛盾：$排除\ 16$（反证）
故①②$=17$（即 $8$ 与 $9$），③④⑤⑥⑦$=45-17-⑧-⑨$，只能是 $1,2,3,4,6$（和 $16$）：$③④⑤⑥⑦=16$（排除法）
由 ③$+$⑧$=$⑦ 得 $1+5=6$，故⑧$=5$，剩下⑨$=$：$45-17-16-5=7$（总量相减）
写出答案：$⑨号小球的重量是\ 7$

22. 【原题 ch06-tuozhan-14】$A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五位同学分别从不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那位同学的情况：$A$ 打听到的：姓李，是女同学，$13$ 岁，东城区；$B$ 打听到的：姓张，是男同学，$11$ 岁，海淀区；$C$ 打听到的：姓陈，是女同学，$13$ 岁，东城区；$D$ 打听到的：姓黄，是男同学，$11$ 岁，西城区；$E$ 打听到的：姓张，是男同学，$12$ 岁，东城区。实际上第一名同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？

详细思路

是哪类问题：这是「每条消息恰一项正确」类逻辑推理题：五条消息各含姓、性别、年龄、区四项，每条恰有一项正确，求第一名的区与年龄。

关键切入点：关键在于按「项」而不是按「人」统计：五条消息一共有 $5$ 项正确，而姓名、性别、年龄、城区四类中每一类恰好正确一次（若某类正确两次，就会有人有两项正确）。于是对每一类做计数：性别里「女」出现 $2$ 次、「男」出现 $3$ 次，若答案是男就会有 $3$ 项正确，故为女；年龄里 $13$ 岁 $2$ 次、$11$ 岁 $2$ 次、$12$ 岁 $1$ 次，只能是 $12$ 岁；城区里东城 $3$ 次，只能是海淀或西城；最后用「每人恰一项」交叉核对定出姓黄、海淀。

方法概述：按项分类计数，用「正确次数必须为 $1$」逐项排除。

规范步骤：

五条消息共 $5$ 项正确，四类各恰一次（其中一类对应两条？不，恰一次）：$姓、性别、年龄、城区各正确\ 1\ 次$（每人恰一项正确）
性别：说「女」的有 $2$ 条，说「男」的有 $3$ 条：$若为男则\ 3\ 项正确，矛盾$（计数排除）
年龄：$13$ 岁 $2$ 条、$11$ 岁 $2$ 条、$12$ 岁 $1$ 条：$年龄=12\ 岁$（只有出现 $1$ 次的才可能）
城区：东城 $3$ 条、海淀 $1$ 条、西城 $1$ 条：$海淀\ 或\ 西城$（计数排除）
$E$ 条已因「$12$ 岁」正确，其余三项皆错，故不姓张、不是东城：$排除张、东城$（每条恰一项正确）
$B$ 条「男」「$11$ 岁」「张」皆错，故海淀正确：$城区=海淀$（每条恰一项正确）
$D$ 条「男」「$11$ 岁」「西城」皆错，故姓黄正确：$姓=黄$（每条恰一项正确）
写出答案：$姓黄，女，12\ 岁，海淀区$

23. 【原题 ch06-xingqu-01】甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙。按照以往的比赛成绩看，张能胜钱，钱能胜李，李能胜孙，但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对手。请问：第一轮比赛中分别是谁对谁？

详细思路

是哪类问题：这是「对抗赛配对」类逻辑推理题：两队各 3 人一一配对，已知若干组「不可能相遇」的信息，要还原第一轮的三组对阵。

关键切入点：关键在于把「张能胜钱、钱能胜李、李能胜孙」翻译成「这三对没有相遇」。谁被排除的次数最多，谁就先定下来：钱被排除了张和李两个对手，甲队只有三人，剩下的只能是王，于是钱的对手唯一确定；确定一组后，其余人的可选对手随之减少，用排除法即可依次锁死。

方法概述：先找可选对手最少的人定下唯一配对，再逐步排除。

规范步骤：

翻译条件：已知的三组强弱关系恰是三组「没有交手」的配对：$张\nmid 钱,\ 钱\nmid 李,\ 李\nmid 孙$（题设第一轮他们都没成为对手）
看乙队的钱：不能对张、不能对李，甲队只剩王：$钱\to 王$（排除法，可选对手唯一）
看甲队的李：不能对钱（钱已被王占），不能对孙，只剩赵：$李\to 赵$（排除法）
剩下张与孙自动配成一组：$张\to 孙$（一一对应，余下唯一）
写出答案：$张对孙,\ 王对钱,\ 李对赵$

24. 【原题 ch06-xingqu-02】甲、乙、丙、丁与小强这 $5$ 位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘。到目前为止，甲赛了 $4$ 盘，乙赛了 $3$ 盘，丙赛了 $2$ 盘，丁赛了 $1$ 盘，问：小强已经赛了几盘？

详细思路

是哪类问题：这是「握手（单循环已赛盘数）」类问题：$n$ 个人两两交手，已知其中 $n-1$ 个人各自已赛的盘数，求剩下那个人赛了几盘。

关键切入点：关键在于从极端入手：赛得最多的人（$4$ 盘）必定和所有人都赛过；赛得最少的人（$1$ 盘）那一盘必然就是与他赛的。这一对「最多与最少」可以整体剥掉，剥掉后剩下的人又出现新的「最多与最少」，如此层层剥离。每剥掉一对，小强都恰好增加一盘（与其中赛得多的那位赛过），所以小强的盘数就等于剥离的对数。

方法概述：从盘数最多者与最少者配对入手，逐层剥离。

规范步骤：

$5$ 人中每人最多与其余 $4$ 人各赛一盘：$5-1=4$（单循环每人至多 $n-1$ 盘）
甲赛满 $4$ 盘，说明甲与包括小强在内的所有人都赛过：$甲\to 乙、丙、丁、小强$（极端分析）
丁只赛 $1$ 盘，这盘必是与甲赛的，丁与其余人都没赛：$4-1=3$（丁未赛的人数）（最少者只能对最多者）
剥掉（甲，丁）这一对，乙赛 $3$ 盘中除甲外还有 $2$ 盘，丙赛 $2$ 盘中除甲外还有 $1$ 盘；乙与丙、小强都赛过，丙只剩与乙这一盘：$乙\to 丙、小强$（同法再剥一层）
盘数配对：$(4,1)$ 与 $(3,2)$ 每对之和都是 $5$，共 $2$ 对，小强与每对中赛得多的那位各赛一盘：$4\div 2=2$（每剥一对，小强加一盘）
写出答案：$小强赛了\ 2\ 盘$

第一套

题目：甲、乙、丙、丁、戊、己与小强这 $7$ 位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘。到目前为止，甲赛了 $6$ 盘，乙赛了 $5$ 盘，丙赛了 $4$ 盘，丁赛了 $3$ 盘，戊赛了 $2$ 盘，己赛了 $1$ 盘。请问：小强已经赛了几盘？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先定上限）：$7$ 人两两交手，每人最多与其余的人各赛一盘，最多能赛 $7-1=\underline{\quad}$ 盘。
第 2 步（从极端入手）：甲赛满 $6$ 盘，说明甲与所有人（含小强）都赛过；己只赛 $1$ 盘，这一盘只能是与甲赛的，于是己与其余 $6-1=\underline{\quad}$ 人都没有赛过。
第 3 步（配对剥离）：把盘数最多与最少的配成一对，得到 $(6,1)$、$(5,2)$、$(4,3)$ 三对，每一对的盘数之和都是 $6+1=\underline{\quad}$。
第 4 步（数小强的盘数）：每剥掉一对，小强都恰好与这一对中赛得多的那位赛过一盘，所以小强的盘数就等于对数 $6\div 2=\underline{\quad}$ 盘。

第二套

题目：某公司 $7$ 个部门举行乒乓球友谊赛，每两个部门都要打一场。到目前为止，研发部打了 $6$ 场，销售部打了 $5$ 场，财务部打了 $4$ 场，人事部打了 $3$ 场，后勤部打了 $2$ 场，法务部打了 $1$ 场。请问：市场部已经打了几场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先定上限）：$7$ 个部门两两交手，每个部门最多打 $7-1=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（从极端入手）：研发部打满 $6$ 场，说明它与所有部门（含市场部）都打过；法务部只打 $1$ 场，这场只能是与研发部打的，于是法务部与其余 $6-1=\underline{\quad}$ 个部门都没打过。
第 3 步（配对剥离）：把场数最多与最少的配成一对，得 $(6,1)$、$(5,2)$、$(4,3)$ 三对，每对之和都是 $6+1=\underline{\quad}$。
第 4 步（数市场部的场数）：每剥掉一对，市场部恰好与这对中打得多的那个部门打过一场，所以市场部的场数就等于对数 $6\div 2=\underline{\quad}$ 场。

第三套

题目：$9$ 位棋手参加单循环象棋赛，每两人赛一盘。已知其中 $8$ 位棋手已赛的盘数恰好是 $8$、$7$、$6$、$5$、$4$、$3$、$2$、$1$，互不相同。请问：剩下那位棋手赛了几盘？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先定上限）：$9$ 人单循环，每人最多赛 $9-1=\underline{\quad}$ 盘，所以盘数 $8$ 已是满额。
第 2 步（从极端入手）：赛 $8$ 盘的人与所有人都赛过；赛 $1$ 盘的人那一盘只能是与他赛的，于是这位只赛 $1$ 盘的人与其余 $8-1=\underline{\quad}$ 人都没赛过。
第 3 步（配对剥离）：把盘数最多与最少的两两配对，$(8,1)$、$(7,2)$、$(6,3)$、$(5,4)$ 共四对，每对之和都是 $8+1=\underline{\quad}$。
第 4 步（数剩下那位）：每剥掉一对，他都恰好与这对中赛得多的那位赛过一盘，所以他的盘数就等于对数 $8\div 2=\underline{\quad}$ 盘。

第三套

题目：$9$ 位棋手参加单循环象棋赛，每两人赛一盘。已知其中 $8$ 位棋手已赛的盘数恰好是 $8$、$7$、$6$、$5$、$4$、$3$、$2$、$1$。请问：（1）剩下那位棋手赛了几盘？（2）全部赛完共需多少盘？现在还剩多少盘没赛？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（配对剥离求第 9 人）：把盘数最多与最少配对，$(8,1)$、$(7,2)$、$(6,3)$、$(5,4)$ 共四对，每对之和 $8+1=\underline{\quad}$；每剥一对第 $9$ 位就多赛一盘，所以他赛的盘数就等于对数 $8\div 2=\underline{\quad}$ 盘。
第 2 步（算总场数）：$9$ 人两两配对，每人与其余 $8$ 人各赛一盘，这样每盘被数了两次，总盘数 $=9\times 8\div 2=\underline{\quad}$ 盘。
第 3 步（算已赛盘数）：把 $9$ 人的已赛盘数相加，每盘同样被数了两次，已赛盘数 $=(8+7+6+5+4+3+2+1+4)\div 2=\underline{\quad}$ 盘。
第 4 步（求剩余）：还没赛的盘数 $=36-20=\underline{\quad}$ 盘。

25. 【原题 ch06-xingqu-03】甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛。起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发生了 $7$ 次变化。请问：比赛结束时甲是第几名？（注：整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形）

详细思路

是哪类问题：这是「状态奇偶性」类问题：三人赛跑，甲的名次每变化一次就在相邻名次间移动一格，已知变化次数求最终名次。

关键切入点：关键在于把名次按奇偶分类：第 $1$、$3$ 名是奇数名次，第 $2$ 名是偶数名次。三人不并列时，甲的名次每变化一次必然在奇数名次与偶数名次之间切换一次（$1\leftrightarrow 2$ 或 $2\leftrightarrow 3$，不可能从 $1$ 直接跳到 $3$）。于是「变化次数的奇偶性」就决定了最终名次的奇偶性，不必追踪具体过程。

方法概述：把名次按奇偶分类，用变化次数的奇偶性定最终名次。

规范步骤：

起跑时甲是第 $1$ 名，属于奇数名次：$起始：奇数名次$（题设）
每变化一次，甲只能移动到相邻名次，奇偶性翻转一次：$1\leftrightarrow 2,\ 2\leftrightarrow 3$（三人不并列，名次只能相邻交换）
把 $7$ 次变化两两配对，配成 $3$ 对还余 $1$ 次：$7-2\times 3=1$（成对的两次变化互相抵消奇偶性）
余下的 $1$ 次使甲落在偶数名次上：$偶数名次$（奇偶性翻转奇数次）
三人中偶数名次只有第 $2$ 名：$第\ 2\ 名$（名次只能是 $1,2,3$）
写出答案：$比赛结束时甲是第\ 2\ 名$

第一套

题目：甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛。起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发生了 $15$ 次变化。请问：比赛结束时甲是第几名？（比赛中没有出现两人及以上并列的情形）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把名次按奇偶分类）：三人赛跑，名次只能是 $1$、$2$、$3$，其中第 $1$、$3$ 名是奇数名次，第 $2$ 名是偶数名次。甲起跑时是第 $1$ 名，属于奇数名次。
第 2 步（看一次变化的效果）：每变化一次，甲只能与相邻名次的人交换，即 $1\leftrightarrow 2$ 或 $2\leftrightarrow 3$，所以每变化一次奇偶性就翻转一次。
第 3 步（把变化次数两两配对）：$15$ 次变化可以配成 $(15-1)\div 2=\underline{\quad}$ 对，配完对后还余下 $\underline{\quad}$ 次；成对的两次变化把奇偶性翻回原样。
第 4 步（定最终名次）：余下的奇数次翻转使甲落在偶数名次上，而三人中偶数名次只有第 $\underline{\quad}$ 名。

第二套

题目：小明、小红、小刚三人玩「排队接力」游戏，一开始小明排在队首（第 $1$ 位）。游戏过程中小明的位置共发生了 $15$ 次变化（每次只与相邻的一位交换位置，任何时刻三人位置互不相同）。请问：游戏结束时小明排在第几位？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把位置按奇偶分类）：三人排队，位置只能是 $1$、$2$、$3$，第 $1$、$3$ 位是奇数位，第 $2$ 位是偶数位。小明起初在第 $1$ 位，属于奇数位。
第 2 步（看一次变化的效果）：每次只与相邻位置交换，即 $1\leftrightarrow 2$ 或 $2\leftrightarrow 3$，所以每变化一次奇偶性翻转一次。
第 3 步（把变化次数两两配对）：$15$ 次变化可配成 $(15-1)\div 2=\underline{\quad}$ 对，配完对后还余 $\underline{\quad}$ 次，成对的两次把奇偶性翻回原样。
第 4 步（定最终位置）：余下奇数次翻转使小明落在偶数位上，三人中偶数位只有第 $\underline{\quad}$ 位。

第三套

题目：甲、乙、丙三名选手参加长跑比赛。起跑后甲处在第一的位置，整个比赛过程中甲的位置共发生了 $100$ 次变化（任何时刻三人位置互不相同）。请问：比赛结束时甲可能是第几名？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把名次按奇偶分类）：三人比赛名次只能是 $1$、$2$、$3$，第 $1$、$3$ 名是奇数名次，第 $2$ 名是偶数名次。甲起跑时是奇数名次。
第 2 步（看一次变化的效果）：每变化一次只能与相邻名次交换，奇偶性翻转一次。
第 3 步（把变化次数两两配对）：$100$ 次变化可配成 $100\div 2=\underline{\quad}$ 对，配完对后还余 $\underline{\quad}$ 次。
第 4 步（定最终名次）：没有余下的翻转，甲仍在奇数名次上，所以甲是第 $\underline{\quad}$ 名或第 $\underline{\quad}$ 名。

第三套

题目：甲、乙、丙、丁四名选手参加马拉松比赛。起跑后甲处在第一的位置，整个比赛过程中甲的位置共发生了 $15$ 次变化（每次只与相邻名次的一位交换，任何时刻四人名次互不相同）。请问：（1）比赛结束时甲可能是第几名？（2）四人最终名次之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（把名次按奇偶分类）：四人比赛名次只能是 $1$、$2$、$3$、$4$，其中第 $1$、$3$ 名是奇数名次，第 $2$、$4$ 名是偶数名次。甲起跑时是第 $1$ 名，属于奇数名次。
第 2 步（看一次变化的效果）：每变化一次甲只能与相邻名次交换，奇偶性翻转一次。
第 3 步（把变化次数两两配对）：$15$ 次变化配成 $(15-1)\div 2=\underline{\quad}$ 对，配完对后还余 $\underline{\quad}$ 次。
第 4 步（定甲的名次）：奇数次翻转使甲落在偶数名次上，四人中偶数名次有第 $\underline{\quad}$ 名和第 $\underline{\quad}$ 名。
第 5 步（算名次之和）：四人名次互不相同，恰是 $1$、$2$、$3$、$4$，名次之和 $=1+2+3+4=\underline{\quad}$。

26. 【原题 ch06-xingqu-04】有 $10$ 名选手参加乒乓球单打比赛，每名选手都要和其他选手各赛一场，而且每场比赛都分出胜负，请问：（1）总共有多少场比赛？（2）这 $10$ 名选手胜的场数能否全部相同？（3）这 $10$ 名选手胜的场数能否两两不同？

详细思路

是哪类问题：这是「单循环场数 + 胜场总和守恒」类问题：先用组合数算总场数，再用「胜场总和 = 总场数」这一守恒量判断某种胜场分布能不能实现。

关键切入点：关键在于抓住守恒量：每场比赛恰好产生 $1$ 个胜场，所以无论怎么打，$10$ 人的胜场总和永远等于总场数 $45$。要判断「能否全相同」，只需看 $45$ 能否被 $10$ 整除；要判断「能否两两不同」，注意胜场只能取 $0\sim 9$ 这 $10$ 个值，两两不同就必须恰好取遍 $0,1,\cdots,9$，其和正好是 $45$，与守恒量相符，再补一个具体构造即可确认可行。

方法概述：先算总场数，再用胜场总和守恒作整除判断与构造。

规范步骤：

每人与其余 $9$ 人各赛一场，每场被数两次：$10\times 9\div 2=45$（单循环场数 $C_{10}^2$）
每场恰产生一个胜场，故胜场总和恒等于场数：$胜场总和=45$（守恒量）
若 $10$ 人胜场全相同，则 $45$ 应被 $10$ 整除：$45\div 10=4\cdots 5$，余数 $45-10\times 4=5\neq 0$（整除判断）
得出第 (2) 问结论：$不可能全部相同$（余数不为 $0$）
若两两不同，胜场只能取遍 $0\sim 9$，其和为：$(0+9)\times 10\div 2=45$（等差数列求和，与守恒量相符）
给出构造：编号大的战胜编号小的，$k$ 号胜 $k-1$ 场：$10 号胜 9 场,\ 9 号胜 8 场,\ \cdots,\ 1 号胜 0 场$（构造法确认可行）
写出答案：$（1）45\ 场；（2）不能；（3）能$

第一套

题目：有 $14$ 名选手参加乒乓球单打比赛，每名选手都要和其他选手各赛一场，而且每场比赛都分出胜负。请问：（1）总共有多少场比赛？（2）这 $14$ 名选手胜的场数能否全部相同？（3）这 $14$ 名选手胜的场数能否两两不同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：每名选手与其余 $13$ 人各赛一场，这样每场被数了两次，所以场数 $=14\times 13\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（找守恒量）：每场比赛恰好产生一个胜场，所以 $14$ 人胜场的总和永远等于场数 $91$。
第 3 步（整除判断）：若 $14$ 人胜场全相同，则 $91$ 必须能被 $14$ 整除。而 $91\div 14=6$ 余 $91-14\times 6=\underline{\quad}$，余数不为 $0$，所以不可能全部相同。
第 4 步（两两不同的判断）：每人胜场只能取 $0\sim 13$ 共 $14$ 个值，两两不同就必须恰好取遍 $0,1,\cdots,13$，其和 $=13\times 14\div 2=\underline{\quad}$，恰与总场数相等，说明不矛盾。
第 5 步（给构造）：让编号大的选手战胜编号小的选手，则 $14$ 号胜 $13$ 场、$13$ 号胜 $12$ 场……$1$ 号胜 $0$ 场，胜场两两不同，可行。

第二套

题目：某电竞社有 $14$ 名成员举行单打循环赛，每两名成员都要打一局，每局都分出胜负。请问：（1）总共要打多少局？（2）这 $14$ 名成员赢的局数能否全部相同？（3）这 $14$ 名成员赢的局数能否两两不同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总局数）：每名成员与其余 $13$ 人各打一局，每局被数了两次，局数 $=14\times 13\div 2=\underline{\quad}$ 局。
第 2 步（找守恒量）：每局恰好产生一个胜者，所以 $14$ 人赢的局数总和永远等于总局数 $91$。
第 3 步（整除判断）：若赢的局数全相同，$91$ 须被 $14$ 整除，而 $91\div 14=6$ 余 $91-14\times 6=\underline{\quad}$，余数不为 $0$，故不可能。
第 4 步（两两不同的判断）：赢的局数只能取 $0\sim 13$，两两不同就必须取遍 $0,1,\cdots,13$，其和 $=13\times 14\div 2=\underline{\quad}$，与总局数相等，不矛盾。
第 5 步（给构造）：让编号大的成员赢编号小的成员，即得一种两两不同的方案。

第三套

题目：有 $15$ 名选手参加围棋单打比赛，每两名选手赛一场，每场都分出胜负。请问：（1）总共有多少场比赛？（2）这 $15$ 名选手胜的场数能否全部相同？（3）这 $15$ 名选手胜的场数能否两两不同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：每人与其余 $14$ 人各赛一场，每场被数两次，场数 $=15\times 14\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（找守恒量）：每场产生一个胜场，$15$ 人胜场总和恒等于场数 $105$。
第 3 步（整除判断）：若胜场全相同，每人应胜 $105\div 15=\underline{\quad}$ 场，恰好整除，所以这次是有可能的（例如把 $15$ 人围成一圈，每人胜顺时针方向紧随其后的那一半人）。
第 4 步（两两不同的判断）：胜场只能取 $0\sim 14$ 共 $15$ 个值，两两不同必须取遍，其和 $=14\times 15\div 2=\underline{\quad}$，与总场数相等，用「编号大的胜编号小的」即可构造。

第三套

题目：有 $16$ 名选手参加乒乓球单打比赛，每两名选手赛一场，每场都分出胜负。请问：（1）总共有多少场比赛？（2）这 $16$ 名选手胜的场数能否全部相同？（3）若这 $16$ 名选手胜的场数两两不同，胜得最多的人比胜得最少的人多胜几场？此时前 $8$ 名（胜场较多的一半）共胜多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：每人与其余 $15$ 人各赛一场，每场被数两次，场数 $=16\times 15\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（整除判断）：胜场总和恒等于场数 $120$。若 $16$ 人胜场全相同，$120$ 须被 $16$ 整除，而 $120\div 16=7$ 余 $120-16\times 7=\underline{\quad}$，余数不为 $0$，所以不可能全部相同。
第 3 步（定出两两不同时的取值）：胜场只能取 $0\sim 15$ 共 $16$ 个值，两两不同就必须恰好取遍 $0,1,\cdots,15$，其和 $=15\times 16\div 2=\underline{\quad}$，与总场数相符。
第 4 步（算极差）：胜得最多的胜 $15$ 场、最少的胜 $0$ 场，相差 $15-0=15$ 场。
第 5 步（算前 $8$ 名胜场和）：胜场较多的一半是 $8,9,10,\cdots,15$，共 $8$ 个数，把首尾配对每对之和都是 $8+15=\underline{\quad}$，用等差数列求和得 $(8+15)\times 8\div 2=\underline{\quad}$ 场。

27. 【原题 ch06-xingqu-05】$6$ 支足球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场。每场比赛胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。请问：（1）各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？（2）如果在比赛中出现了 $6$ 场平局，那么各队总分之和是多少分？

详细思路

是哪类问题：这是「单循环总积分」类问题：胜负制与平局制下每场产生的总分不同，用「场数 × 每场总分」求各队总分之和的最大值、最小值与给定平局数时的值。

关键切入点：关键在于逐场看总分：一场若分出胜负，两队共得 $3+0=3$ 分；一场若打平，两队共得 $1+1=2$ 分。所以总分只由「分出胜负的场数」和「平局场数」决定，与谁胜谁负无关。要总分最大就让每场都分胜负，要最小就让每场都打平；给定平局数时按两类场分别乘再相加。

方法概述：把总分拆成「每场总分 × 场数」，按胜负场与平局场分类相加。

规范步骤：

算总场数：每队与其余 $5$ 队各赛一场，每场数两次：$6\times 5\div 2=15$（单循环场数 $C_6^2$）
分类看一场的总分：$分胜负：3+0=3；打平：1+1=2$（计分规则）
总分最多：每场都分出胜负：$3\times 15=45$（每场取最大总分）
总分最少：每场都打平：$2\times 15=30$（每场取最小总分）
有 $6$ 场平局时，分出胜负的场数：$15-6=9$（两类场互补）
按两类场分别计分再相加：$9\times 3+6\times 2=39$（分类计数）
写出答案：$（1）最多\ 45\ 分，最少\ 30\ 分；（2）39\ 分$

第一套

题目：$9$ 支足球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场。每场比赛胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。请问：（1）各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？（2）如果比赛中出现了 $10$ 场平局，那么各队总分之和是多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：每队与其余 $8$ 队各赛一场，每场被数两次，场数 $=9\times 8\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（看一场的总分）：一场若分出胜负，两队共得 $3+0=3$ 分；若打平，两队共得 $1+1=2$ 分。可见总分只由两类场的场数决定。
第 3 步（求最大）：要总分尽量大，就让每场都分出胜负，总分 $=3\times 36=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（求最小）：要总分尽量小，就让每场都打平，总分 $=2\times 36=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（有 $10$ 场平局时）：分出胜负的场数 $=36-10=\underline{\quad}$ 场；再把两类场分别计分相加，总分 $=\underline{\quad}$ 分。

第二套

题目：某社区象棋联赛有 $9$ 个代表队进行单循环比赛，每两队赛一场。每场胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。请问：（1）各队总分之和最多、最少各是多少分？（2）若赛中出现了 $10$ 场和棋（平局），各队总分之和是多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：每队与其余 $8$ 队各赛一场，每场被数两次，场数 $=9\times 8\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（看一场的总分）：分出胜负时两队共得 $3+0=3$ 分，和棋时两队共得 $1+1=2$ 分。
第 3 步（求最大）：每场都分胜负时总分最大，$3\times 36=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（求最小）：每场都和棋时总分最小，$2\times 36=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（有 $10$ 场和棋时）：分胜负的场数 $=36-10=\underline{\quad}$ 场；再把两类场分别计分相加，总分 $=\underline{\quad}$ 分。

第三套

题目：$8$ 支排球队进行单循环比赛，每两队赛一场。每场比赛胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。请问：（1）各队总分之和最多、最少各是多少分？（2）如果比赛中出现了 $12$ 场平局，各队总分之和是多少分？（3）此时平均每支球队得多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：每队与其余 $7$ 队各赛一场，每场被数两次，场数 $=8\times 7\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（看一场的总分）：分胜负时共 $3$ 分，打平时共 $2$ 分。
第 3 步（求最大与最小）：全部分胜负时 $3\times 28=\underline{\quad}$ 分；全部打平时 $2\times 28=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（有 $12$ 场平局时）：分胜负的场数 $=28-12=\underline{\quad}$ 场；再把两类场分别计分相加，总分 $=\underline{\quad}$ 分。
第 5 步（求平均分）：$8$ 支球队平分这些分数，平均每队 $72\div 8=\underline{\quad}$ 分。

第三套

题目：$9$ 支足球队进行单循环比赛，每两队赛一场，胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $1$ 分。比赛结束后统计发现各队总分之和是 $100$ 分。请问：（1）共赛了多少场？（2）比赛中出现了多少场平局？多少场分出了胜负？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总场数）：每队与其余 $8$ 队各赛一场，每场被数两次，场数 $=9\times 8\div 2=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步（先假设全部分出胜负）：若 $36$ 场都分出胜负，总分应是 $3\times 36=\underline{\quad}$ 分。
第 3 步（看差额从哪来）：把一场胜负改成平局，这场的总分由 $3$ 分变成 $2$ 分，总分正好少 $3-2=\underline{\quad}$ 分。
第 4 步（用差额求平局数）：实际总分比假设少了 $108-100=\underline{\quad}$ 分，每出现一场平局就少 $1$ 分，所以平局场数就等于这个差额。
第 5 步（求分胜负场数）：分出胜负的场数 $=36-8=\underline{\quad}$ 场。

28. 【原题 ch06-xingqu-06】红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出 $3$ 名队员参赛。比赛规则如下：参赛的 $9$ 名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名顺序计分：第一名 $9$ 分，第二名 $8$ 分，……，第九名得 $1$ 分；除产生个人名次外，每队还会计算各自队员的得分，按照队员总分的高低评出团体名次。最后比赛结果没有并列名次。其中个人评比：第一名是一位黄队队员，第二名是一位蓝队队员，相邻名次的队员都不在同一个队。团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分 $16$ 分；第二名是红队，第三名是蓝队。请问：红队队员分别得了多少分？

详细思路

是哪类问题：这是「名次—得分对应 + 团体总分约束」类推理题：$9$ 名队员的个人分恰是 $1\sim 9$，已知团体分与若干名次归属，反推某队三名队员的得分。

关键切入点：关键在于两条守恒与两条约束：个人分总和恒为 $1+2+\cdots+9=45$；黄队 $16$ 分已知，故红、蓝两队共 $45-16=29$ 分，且红队分高于蓝队、三者互不相同，于是红队总分只能是 $15$。再用「相邻名次不同队」与「第一名黄队、第二名蓝队」推出第三名（$7$ 分）属红队，剩下两人得分和为 $15-7=8$；又因相邻名次不同队，第四、五名不能都是红队，只能取 $3$ 分与 $5$ 分。

方法概述：先用总分守恒定各队总分，再用「相邻名次不同队」逐位排除。

规范步骤：

个人得分总和：$1+2+\cdots+9=45$（等差数列求和）
红、蓝两队总分之和：$45-16=29$（总分守恒）
红队分高于蓝队且互不相同、均小于 $16$：$红队\ 15\ 分，蓝队\ 14\ 分$（$29=15+14$ 是唯一满足的拆分）
第一名是黄队、第二名是蓝队，相邻名次不同队，故第三名（$7$ 分）是红队：$红队含\ 7\ 分$（排除法）
红队另两名得分之和：$15-7=8$（总分约束）
第四、五名不能都是红队，和为 $8$ 的两个剩余分只能是 $3$ 与 $5$：$8=3+5$（相邻名次不同队）
写出答案：$红队队员得\ 3\ 分、5\ 分、7\ 分$

29. 【原题 ch06-xingqu-07】$5$ 支球队进行单循环比赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得 $3$ 分，负者得 $0$ 分，打平则双方各得 $1$ 分。最后 $5$ 支球队的积分各不相同，第三名得了 $7$ 分，并且和第一名打平。请问：这 $5$ 支球队的得分从高到低依次是多少分？

详细思路

是哪类问题：这是「积分制排名反推」类推理题：$5$ 队单循环、胜 $3$ 平 $1$ 负 $0$，已知积分互不相同、第三名 $7$ 分且与第一名打平，求五队得分。

关键切入点：关键在于用「一场平局」卡住第一名的上限：第一名与第三名打平，说明第一名至少有 $1$ 场平局，它最多只能胜其余 $3$ 场，得分上限是 $3\times 3+1=10$ 分。再由「积分互不相同、第二名夹在 $10$ 与 $7$ 之间」定出第二名 $9$ 分。最后用总分与互不相同定出第四、五名。

方法概述：先用平局卡住冠军上限，再由互不相同逐名夹逼。

规范步骤：

算总场数：$5\times 4\div 2=10$（单循环场数 $C_5^2$）
第一名与第三名打平，故第一名最多 $3$ 胜 $1$ 平：$3\times 3+1=10$（平局占用一场）
第二名得分在 $7$ 与 $10$ 之间且互不相同：$第二名=9\ 分$（$9=3\times 3$，与已知平局分布相容）
第三名已知：$第三名=7\ 分$（题设）
第四、五名得分小于 $7$ 且互不相同，结合各队胜负关系：$第四名=3\ 分，第五名=0\ 分$（逐场分配）
写出答案：$10,\ 9,\ 7,\ 3,\ 0$

30. 【原题 ch06-xingqu-08】有 $A$、$B$、$C$ 三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：$A$：两胜，共失 $2$ 球；$B$：进 $4$ 球，失 $5$ 球；$C$：有一场踢平，进 $2$ 球，失 $8$ 球。请问：$A$ 与 $B$ 两队间的比分是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「胜负关系 + 进失球统计 → 比分还原」类问题：三队各赛两场，由胜负与进失球总数倒推某一场的具体比分。

关键切入点：关键在于先把胜负格局定死：$A$ 两胜说明 $A$ 胜 $B$、$A$ 胜 $C$；$C$ 有一场踢平，而 $A$ 全胜不可能有平局，所以这场平局只能是 $B$ 对 $C$。格局定死后，进失球就能逐场对账：把 $C$ 的进 $2$ 失 $8$、$B$ 的进 $4$ 失 $5$、$A$ 的失 $2$ 拆到各场上，即可解出 $A$ 与 $B$ 的比分。

方法概述：先定胜负格局，再用进失球总数逐场对账。

规范步骤：

$A$ 两胜，说明它战胜了另外两队：$A\ 胜\ B,\ A\ 胜\ C$（两场全胜）
$C$ 有一场平局，而 $A$ 全胜无平局：$平局是\ B\ 对\ C$（排除法）
$A$ 共失 $2$ 球，分摊在对 $B$、对 $C$ 两场中：$A\ 失球总数\ =2$（题设）
由 $B$ 进 $4$ 失 $5$、$C$ 进 $2$ 失 $8$ 逐场对账：$A:B=3:2$（进失球守恒）
写出答案：$A\ 与\ B\ 的比分是\ 3:2$

31. 【原题 ch06-xingqu-09】一次考试共有 $10$ 道判断题，正确的画“$\checkmark$”，错误的画“$\times$”，每道题答对得 $10$ 分，答错得 $0$ 分，满分为 $100$ 分。甲、乙、丙、丁四名同学的解答及甲、乙、丙三名同学的得分如表 $6-1$ 所示。请问：丁应该得多少分？（甲：$\times\times\checkmark\checkmark\times\times\checkmark\times\checkmark\checkmark$，$70$ 分；乙：$\times\checkmark\times\checkmark\checkmark\times\times\checkmark\checkmark\times$，$70$ 分；丙：$\checkmark\times\times\times\checkmark\checkmark\checkmark\times\times\times$，$60$ 分；丁：$\checkmark\checkmark\checkmark\times\times\checkmark\times\checkmark\times\checkmark$，待求）

详细思路

是哪类问题：这是「由总分反推标准答案」类问题：三人的答卷与得分已知，先推出「每题恰好两人对、一人错」，再逐题定出标准答案，最后给第四人判分。

关键切入点：关键在于用一次「上界恰好取到」的极端分析：三人答案不全相同，所以每题最多两人做对，$10$ 题最多做对 $2\times 10=20$ 题、对应 $200$ 分；而三人实得恰是 $70+70+60=200$ 分，上界被取满，说明每题「恰好」两人对一人错。有了这条，逐题看三人答案：哪个符号出现两次，哪个就是标准答案。

方法概述：用「最多得分」与实际得分相等，逼出每题恰两人对。

规范步骤：

三人总分：$70+70+60=200$（已知）
每题至多两人对，$10$ 题至多对 $2\times 10=20$ 题：$20\times 10=200$（分）（极端分析上界）
上界恰好取到，故每题恰有两人对、一人错：$每题对\ 2\ 人$（上界取等）
逐题取三人中出现两次的符号为标准答案：$\times\times\times\checkmark\checkmark\times\checkmark\times\checkmark\times$（少数服从多数）
把丁的答案与标准答案逐题比对，$10$ 题全错：$0\times 10=0$（判分）
写出答案：$丁得\ 0\ 分$

32. 【原题 ch06-xingqu-10】赵、钱、孙、李、周 $5$ 户人家，每户至少订了 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 这 $5$ 种报纸中的一种。已知赵、钱、孙、李分别订了其中的 $2$、$2$、$4$、$3$ 种报纸，而 $A$、$B$、$C$、$D$ 这 $4$ 种报纸在这 $5$ 户人家中分别有 $1$、$2$、$2$、$2$ 家订户。请问：周姓订户订有这 $5$ 种报纸中的几种？报纸 $E$ 在这 $5$ 户人家中有几家订户？

详细思路

是哪类问题：这是「总量守恒 + 两头夹逼」类问题：从「人 → 报纸份数」和「报纸 → 订户数」两个方向数同一批订阅关系，用上下界把总份数卡死。

关键切入点：关键在于同一个总量数两遍：一遍按住户数（赵钱孙李共 $11$ 份，加上周家至少 $1$ 份，总份数 $\geq 12$），一遍按报纸数（$A\sim D$ 共 $7$ 份，$E$ 最多被 $5$ 户订，总份数 $\leq 12$）。上下界都等于 $12$，总份数就被夹死为 $12$，两个问题随即迎刃而解。

方法概述：同一总量两头数，用上界与下界夹逼。

规范步骤：

按住户数：赵、钱、孙、李共订：$2+2+4+3=11$（份）（已知四户相加）
周家至少订 $1$ 种，得下界：$11+1=12$（每户至少订一种）
按报纸数：$A$、$B$、$C$、$D$ 共有订户：$1+2+2+2=7$（份）（已知四种报纸相加）
$E$ 最多被 $5$ 户订，得上界：$7+5=12$（只有 $5$ 户人家）
上下界相等，总份数被夹死：$总份数=12$（夹逼）
周家订的种数：$12-11=1$（总量减去前四户）
$E$ 的订户数：$12-7=5$（总量减去 $A\sim D$）
写出答案：$周家订\ 1\ 种，E\ 有\ 5\ 家订户$

第一套

题目：赵、钱、孙、李、周、吴、郑 $7$ 户人家，每户至少订了 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$G$ 这 $7$ 种报纸中的一种。已知赵、钱、孙、李、周、吴分别订了其中的 $3$、$3$、$2$、$4$、$3$、$3$ 种报纸，而 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$ 这 $6$ 种报纸在这 $7$ 户人家中分别有 $1$、$2$、$2$、$2$、$3$、$2$ 家订户。请问：郑姓订户订了这 $7$ 种报纸中的几种？报纸 $G$ 在这 $7$ 户人家中有几家订户？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按住户数一遍）：赵、钱、孙、李、周、吴六户一共订了 $3+3+2+4+3+3=\underline{\quad}$ 份报纸。
第 2 步（得下界）：郑家至少订 $1$ 种，所以七户订报的总份数至少是 $18+1=\underline{\quad}$ 份。
第 3 步（按报纸数再数一遍）：$A\sim F$ 这 $6$ 种报纸的订户数之和是 $1+2+2+2+3+2=\underline{\quad}$ 份。
第 4 步（得上界）：只有 $7$ 户人家，所以 $G$ 最多有 $7$ 家订户，总份数至多是 $12+7=\underline{\quad}$ 份。
第 5 步（夹逼定总量）：下界与上界都是 $19$，所以总份数恰好是 $19$ 份。
第 6 步（回答两问）：郑家订了 $19-18=\underline{\quad}$ 种；报纸 $G$ 的订户数 $=19-12=\underline{\quad}$ 家。

第二套

题目：某社团有 $7$ 名同学，每人至少参加了甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这 $7$ 个兴趣小组中的一个。已知前 $6$ 名同学分别参加了其中的 $3$、$3$、$2$、$4$、$3$、$3$ 个小组，而甲、乙、丙、丁、戊、己这 $6$ 个小组的人数分别是 $1$、$2$、$2$、$2$、$3$、$2$ 人。请问：第 $7$ 名同学参加了几个小组？庚组有几人？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按人数一遍）：前 $6$ 名同学一共参加了 $3+3+2+4+3+3=\underline{\quad}$ 人次。
第 2 步（得下界）：第 $7$ 名同学至少参加 $1$ 个小组，所以总人次至少是 $18+1=\underline{\quad}$。
第 3 步（按小组数再数一遍）：甲$\sim$己这 $6$ 个小组的人数之和是 $1+2+2+2+3+2=\underline{\quad}$ 人次。
第 4 步（得上界）：社团只有 $7$ 人，所以庚组最多 $7$ 人，总人次至多 $12+7=\underline{\quad}$。
第 5 步（夹逼定总量）：上下界都是 $19$，总人次恰为 $19$。
第 6 步（回答两问）：第 $7$ 名同学参加了 $19-18=\underline{\quad}$ 个小组；庚组有 $19-12=\underline{\quad}$ 人。

第三套

题目：甲、乙、丙、丁、戊、己 $6$ 户人家，每户至少订了 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$ 这 $6$ 种杂志中的一种。已知甲、乙、丙、丁、戊分别订了 $2$、$3$、$4$、$2$、$3$ 种，而 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 这 $5$ 种杂志分别有 $1$、$2$、$2$、$2$、$2$ 家订户。请问：己家订了几种杂志？杂志 $F$ 有几家订户？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按住户数一遍）：甲、乙、丙、丁、戊五户共订 $2+3+4+2+3=\underline{\quad}$ 份。
第 2 步（得下界）：己家至少订 $1$ 种，总份数至少 $14+1=\underline{\quad}$ 份。
第 3 步（按杂志数再数一遍）：$A\sim E$ 五种杂志订户之和是 $1+2+2+2+2=\underline{\quad}$ 份。
第 4 步（得上界）：只有 $6$ 户，$F$ 最多 $6$ 家订，总份数至多 $9+6=\underline{\quad}$ 份。
第 5 步（夹逼定总量）：上下界都是 $15$，总份数恰为 $15$ 份。
第 6 步（回答两问）：己家订 $15-14=\underline{\quad}$ 种；$F$ 有 $15-9=\underline{\quad}$ 家订户。

第三套

题目：赵、钱、孙、李、周、吴、郑 $7$ 户人家，每户至少订了 $A\sim G$ 这 $7$ 种报纸中的一种。已知前六户分别订了 $3$、$3$、$2$、$4$、$3$、$3$ 种，$A\sim F$ 这 $6$ 种报纸分别有 $1$、$2$、$2$、$2$、$3$、$2$ 家订户。请问：（1）郑家订了几种？$G$ 有几家订户？（2）订报最多的一户比最少的一户多订几种？（3）平均每种报纸有多少家订户？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按住户数一遍）：前六户共订 $3+3+2+4+3+3=\underline{\quad}$ 份，加上郑家至少 $1$ 份，总份数至少 $18+1=\underline{\quad}$ 份。
第 2 步（按报纸数再数一遍）：$A\sim F$ 共 $1+2+2+2+3+2=\underline{\quad}$ 份，$G$ 最多 $7$ 家订，总份数至多 $12+7=\underline{\quad}$ 份。
第 3 步（夹逼定总量并回答第 (1) 问）：总份数恰为 $19$ 份，郑家订 $19-18=\underline{\quad}$ 种，$G$ 有 $19-12=\underline{\quad}$ 家订户。
第 4 步（算极差）：七户订的种数是 $3,3,2,4,3,3,1$，最多的订 $4$ 种、最少的订 $1$ 种，相差 $4-1=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（算平均）：$7$ 种报纸共 $19$ 家次订户，平均每种 $19\div 7=\underline{\quad}$ 家。

竞赛数学 · 六年级第6讲《逻辑推理二》举一反三练习卷

附录 · 答案

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