六年级第7讲最值问题二

1. 【原题 ch07-chaoyue-01】一台计算器大部分按键都失灵了，只有数字键 $7$ 和 $0$ 以及加法键 $+$ 尚能使用，因此可以输入 $7,707$ 这样含有数字 $7$ 和 $0$ 的数，并且能进行加法运算。为了要显示出 $222222$，最少需要按 $7$ 键多少次？

详细思路

是哪类问题：这是「进位与数字和」类最少次数问题：只能用仅含数字 $7$ 和 $0$ 的数相加，问最少按多少次 $7$ 键。

关键切入点：妙处在于「整体缩小 $7$ 倍」：把方案里每个数的 $7$ 都换成 $1$，各个加数都变成原来的 $\frac{1}{7}$，总和也变成 $222222\div 7=31746$。这样问题就变成「只用 $1$ 和 $0$ 组成的数相加凑出 $31746$，最少用几个 $1$」。而每一位上凑出该位数字至少要用那么多个 $1$，所以最少是各位数字之和 $3+1+7+4+6=21$ 个，且这个下界可以做到。

方法概述：用仅含 $7,0$ 的数相加，按位凑出每位的数字，统计所用 $7$ 的最少个数。

规范步骤：

整体缩小 $7$ 倍：把每个 $7$ 换成 $1$，总和变成 $222222\div 7=31746$（所有加数同时除以 $7$）
转化问题：改问：用仅含 $1,0$ 的数相加凑出 $31746$，最少用几个 $1$（等价问题）
按位估计下界：每一位上的数字要靠该位的若干个 $1$ 累加，至少要 $3+1+7+4+6=21$ 个（数字和下界）
说明可以达到：按各位分别用 $11111,1111,111,11,1$ 等拼出 $31746$，恰好用 $21$ 个 $1$（构造）
换回 $7$：所以最少按 $7$ 键 $21$ 次

第一套

题目：一台计算器只有数字键 $7$、$0$ 和加法键 $+$ 能用。为了要显示出 $444444$，最少需要按 $7$ 键多少次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体缩小 $7$ 倍）：把方案里每个 $7$ 都换成 $1$，所有加数都变成原来的 $\dfrac{1}{7}$，总和变成 $444444\div 7=\underline{\quad}$。
第 2 步（转化问题）：现在只要问「用仅含 $1,0$ 的数相加凑出 $63492$，最少用几个 $1$」。
第 3 步（按位求和得下界）：每一位上的数字都要靠该位上的若干个 $1$ 累加得到，所以至少要 $6+3+4+9+2=\underline{\quad}$ 个 $1$，并且这个个数可以做到。
第 4 步（验算）：$7\times 63492=\underline{\quad}$，确实是 $444444$，所以最少按 $7$ 键 $24$ 次。

第二套

题目：某自动售票机坏了，只剩下数字键 $7$、$0$ 和加号键可用，只能通过输入若干个只含数字 $7$ 和 $0$ 的金额再相加来结账。要结出 $222222$ 元，最少要按多少次 $7$ 键？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体缩小 $7$ 倍）：把每个 $7$ 换成 $1$，总额变成 $222222\div 7=\underline{\quad}$。
第 2 步（转化问题）：改问「用仅含 $1,0$ 的数相加凑出 $31746$，最少用几个 $1$」。
第 3 步（按位求和）：至少要 $3+1+7+4+6=\underline{\quad}$ 个 $1$，且能够做到。
第 4 步（验算）：$7\times 31746=\underline{\quad}$，所以最少按 $7$ 键 $21$ 次。

第三套

题目：一台计算器只有数字键 $3$、$0$ 和加法键 $+$ 能用。为了要显示出 $999999$，最少需要按 $3$ 键多少次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体缩小 $3$ 倍）：把每个 $3$ 换成 $1$，总和变成 $999999\div 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（转化问题）：改问「用仅含 $1,0$ 的数相加凑出 $333333$，最少用几个 $1$」。
第 3 步（按位求和）：至少要 $3+3+3+3+3+3=\underline{\quad}$ 个 $1$，且能够做到（每一位用 $3$ 个 $1$）。
第 4 步（验算）：$3\times 333333=\underline{\quad}$，所以最少按 $3$ 键 $18$ 次。

第三套

题目：一台计算器只有数字键 $7$、$0$ 和加法键 $+$ 能用。为了要显示出 $222222222222$（$12$ 个 $2$），最少需要按 $7$ 键多少次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先看整除性）：$222222222222=222222\times 1000001$，而 $222222\div 7=31746$，所以 $222222222222\div 7=\underline{\quad}$。
第 2 步（整体缩小 $7$ 倍）：把每个 $7$ 换成 $1$，问题变成「用仅含 $1,0$ 的数相加凑出 $31746031746$，最少用几个 $1$」。
第 3 步（按位求和）：各位数字之和 $=3+1+7+4+6+0+3+1+7+4+6=\underline{\quad}$，这就是最少个数。
第 4 步（验算）：$7\times 31746031746=\underline{\quad}$，所以最少按 $7$ 键 $42$ 次。

2. 【原题 ch07-chaoyue-02】用 $1,3,5,7,9$ 这 $5$ 个数字组成一个三位数 $\overline{ABC}$ 和一个两位数 $\overline{DE}$，再用 $0,2,4,6,8$ 这 $5$ 个数字组成一个三位数 $\overline{FGH}$ 和一个两位数 $\overline{IJ}$，请问：算式 $\overline{ABC}\times\overline{DE}-\overline{FGH}\times\overline{IJ}$ 的计算结果最大是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「组数乘积最值 $+$ 差最大」的综合题：一个乘积要最大、另一个乘积要最小，两者相减才最大。

关键切入点：被减式与减式互不干扰（用的数字池不同），可以分开优化。求乘积最大：大数字放高位，并且在数字和一定时两数越接近乘积越大，于是 $1,3,5,7,9$ 组成 $751\times 93$；求乘积最小：小数字放高位，并且两数越悬殊乘积越小，于是 $0,2,4,6,8$ 组成 $468\times 20$（注意 $0$ 不能放首位）。

方法概述：被减式取最大、减式取最小，分别按数位放置数字并调整。

规范步骤：

拆成两个独立问题：求 $\overline{ABC}\times\overline{DE}$ 的最大值与 $\overline{FGH}\times\overline{IJ}$ 的最小值（数字池互不相同）
求最大积：大数字放高位、两数尽量接近，得 $751\times 93=69843$（积最大原则）
求最小积：小数字放高位、两数尽量悬殊（$0$ 不能打头），得 $468\times 20=9360$（积最小原则）
相减：$69843-9360=60483$

第一套

题目：用 $0,2,4,6,8$ 这 $5$ 个数字组成一个三位数 $\overline{ABC}$ 和一个两位数 $\overline{DE}$（首位不为 $0$），再用 $1,3,5,7,9$ 这 $5$ 个数字组成一个三位数 $\overline{FGH}$ 和一个两位数 $\overline{IJ}$。请问：算式 $\overline{ABC}\times\overline{DE}-\overline{FGH}\times\overline{IJ}$ 的计算结果最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆开）：前一个乘积要最大（用 $0,2,4,6,8$），后一个乘积要最小（用 $1,3,5,7,9$）。
第 2 步（求最大积）：大数字放高位、两数尽量接近，且 $0$ 不能打头，得 $640\times 82=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小积）：小数字放高位、两数尽量悬殊，得 $379\times 15=\underline{\quad}$。
第 4 步（相减）：$52480-5685=\underline{\quad}$。

第二套

题目：甲队用号码牌 $1,3,5,7,9$ 拼成一个三位数和一个两位数并把它们相乘作为得分；乙队用号码牌 $0,2,4,6,8$ 同样拼出两个数相乘作为得分（首位不为 $0$）。甲队想让「甲队得分 $-$ 乙队得分」最大。请问：这个差最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆开）：甲队的乘积要最大，乙队的乘积要最小。
第 2 步（甲队求最大）：大数字放高位、两数尽量接近，得 $751\times 93=\underline{\quad}$。
第 3 步（乙队求最小）：小数字放高位、两数尽量悬殊（$0$ 不能打头），得 $468\times 20=\underline{\quad}$。
第 4 步（求差）：$69843-9360=\underline{\quad}$（分）。

第三套

题目：用 $1,3,5,7,9$ 这 $5$ 个数字各一次组成一个三位数和一个两位数并相乘。请问：这个乘积最大是多少？最小是多少？两者相差多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大积）：大数字放高位，并且在这个前提下让两数尽量接近，得 $751\times 93=\underline{\quad}$。
第 2 步（求最小积）：小数字放高位，并且让两数尽量悬殊（三位数尽量小、两位数更小），得 $379\times 15=\underline{\quad}$。
第 3 步（求差）：$69843-5685=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1,3,5,7,9$ 组成一个三位数 $\overline{ABC}$ 和一个两位数 $\overline{DE}$，用 $0,2,4,6,8$ 组成一个三位数 $\overline{FGH}$ 和一个两位数 $\overline{IJ}$（首位都不为 $0$）。请问：算式 $\overline{ABC}\times\overline{DE}-\overline{FGH}\times\overline{IJ}$ 的计算结果最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（方向全部反过来）：要结果最小，就要被减的乘积最小、减去的乘积最大。
第 2 步（奇数组求最小积）：小数字放高位、两数尽量悬殊，得 $379\times 15=\underline{\quad}$。
第 3 步（偶数组求最大积）：大数字放高位、两数尽量接近且 $0$ 不能打头，得 $640\times 82=\underline{\quad}$。
第 4 步（相减）：$5685-52480=\underline{\quad}$，结果是一个负数。

3. 【原题 ch07-chaoyue-03】将 $1,2,3,4,5,6$ 分别填入正方体的 $6$ 个面上，计算具有公共棱的两个面上数的乘积。这样的乘积共有 $12$ 个，那么这 $12$ 个乘积的和最大是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「整体减部分」类最值题：所有两两乘积之和是固定的，减去不相邻（相对面）的那部分，剩下的就是相邻乘积之和。

关键切入点：正方体 $6$ 个面两两配对共 $15$ 对，其中 $3$ 对是相对面（不共棱），其余 $12$ 对都共棱。所以 $12$ 个相邻乘积之和 $=$ 全部两两乘积之和 $-$ 三对相对面乘积之和。前者是定值 $\frac{(1+2+\cdots+6)^2-(1^2+2^2+\cdots+6^2)}{2}=175$，所以只要让相对面的三个乘积之和最小即可——把大数与小数配成相对面，即 $1$ 对 $6$、$2$ 对 $5$、$3$ 对 $4$。

方法概述：总两两乘积固定，让相对面（不计入）的乘积之和最小则相邻乘积和最大。

规范步骤：

算全部两两乘积之和：$\dfrac{(1+2+\cdots+6)^2-(1^2+2^2+\cdots+6^2)}{2}=\dfrac{21^2-91}{2}=175$（平方和公式）
看清结构：$12$ 个相邻乘积之和 $=175-$ 三对相对面乘积之和（整体减部分）
让相对面乘积和最小：大配小：$1\times 6+2\times 5+3\times 4=6+10+12=28$（配对最优）
求最大值：$175-28=147$

第一套

题目：将 $2,4,6,8,10,12$ 分别填入正方体的 $6$ 个面上，计算具有公共棱的两个面上数的乘积。这样的乘积共有 $12$ 个，那么这 $12$ 个乘积的和最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总和）：六个数之和 $=2+4+6+8+10+12=\underline{\quad}$，平方和 $=4+16+36+64+100+144=364$，所以全部两两乘积之和 $=\dfrac{42^2-364}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步（看结构）：$12$ 个相邻乘积之和 $=$ 全部两两乘积之和 $-$ 三对相对面的乘积之和。
第 3 步（让相对面乘积和最小）：把大数与小数配成相对面，$2\times 12+4\times 10+6\times 8=\underline{\quad}$。
第 4 步（求最大值）：$700-112=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一个骰子形状的礼盒有 $6$ 个面，要把 $1,2,3,4,5,6$ 分别贴在这 $6$ 个面上。每两个相邻（有公共棱）的面上的数相乘记一个「棱值」，一共有 $12$ 个棱值。请问：这 $12$ 个棱值之和最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总和）：六数之和 $=1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}$，平方和 $=91$，所以全部两两乘积之和 $=\dfrac{21^2-91}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步（看结构）：$12$ 个棱值之和 $=$ 全部两两乘积之和 $-$ 三对相对面乘积之和。
第 3 步（相对面乘积和取最小）：大配小，$1\times 6+2\times 5+3\times 4=\underline{\quad}$。
第 4 步（求最大值）：$175-28=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1,2,3,4,5,6$ 分别填入正方体的 $6$ 个面上，计算具有公共棱的两个面上数的乘积。这 $12$ 个乘积的和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（方向反过来）：$12$ 个相邻乘积之和 $=175-$ 三对相对面乘积之和，要它最小，就要相对面乘积之和最大。
第 2 步（相对面大配大）：把接近的数配成相对面，$1\times 2+3\times 4+5\times 6=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小值）：$175-44=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证别的配法）：若配成 $1\times 3+2\times 4+5\times 6=\underline{\quad}$，比 $44$ 小，得到的和反而更大，所以最小值是 $131$。

第三套

题目：将 $1,2,3,4,5,6$ 分别填入正方体的 $6$ 个面上，计算具有公共棱的两个面上数的 $12$ 个乘积之和。请问：这个和的最大值与最小值相差多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大）：相对面乘积和取最小 $1\times 6+2\times 5+3\times 4=28$，最大值 $=175-28=\underline{\quad}$。
第 2 步（求最小）：相对面乘积和取最大 $1\times 2+3\times 4+5\times 6=44$，最小值 $=175-44=\underline{\quad}$。
第 3 步（求差）：$147-131=\underline{\quad}$。
第 4 步（换个角度验证）：两端之差其实就是相对面乘积和的两端之差 $44-28=\underline{\quad}$，结果一致。

4. 【原题 ch07-chaoyue-04】用 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这 $9$ 个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数字和约束 $+$ 最值调整」的减法算式题：$9$ 个数字各用一次组成 $被减数-减数=差$，求差最大。

关键切入点：把减法翻成加法 $减数+差=被减数$ 更好分析。设差的数字和为 $a$、减数的数字和为 $b$、被减数的数字和为 $c$，竖式每进一次位数字和就少 $9$，所以 $b+a=c+9k$；又 $a+b+c=45$，代入得 $2c+9k=45$，说明各部分的数字和受到很强的限制。再让差的高位取尽量大的数字并逐一验证，可得差最大为 $784$（此时 $936-152=784$）。

方法概述：把减法化为加法用数字和约束，再让差的高位取大数字并验证。

规范步骤：

化减为加：$被减数-减数=差\Leftrightarrow 减数+差=被减数$（便于用数字和）
写出数字和关系：$1+2+\cdots+9=45$，且进位每发生一次数字和减少 $9$（数字和约束）
让差的高位尽量大：差的百位试 $9,8,7,\cdots$，并检查剩下的数字能否配成合法算式（调整法）
找到最大的差：$936-152=784$，九个数字 $9,3,6,1,5,2,7,8,4$ 恰好各用一次（验证）
结论：差最大是 $784$

第一套

题目：用 $0,1,2,\cdots,8$ 这 $9$ 个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式（三个三位数的首位都不为 $0$），那么这个算式中的差最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化减为加）：把 $被减数-减数=差$ 写成 $减数+差=被减数$，便于用数字和分析。
第 2 步（算数字和）：$0+1+2+\cdots+8=\underline{\quad}$。
第 3 步（让差尽量大）：差的百位尽量取大数字，从 $6,5,\cdots$ 逐一试；试到差为 $586$ 时，取减数 $134$，验算 $134+586=\underline{\quad}$，被减数是 $720$。
第 4 步（检查数字）：$7,2,0,1,3,4,5,8,6$ 恰好是 $0\sim 8$ 各一次，算式成立，所以差最大是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：数字卡片 $1\sim 9$ 各一张，要摆成一道「三位数 $-$ 三位数 $=$ 三位数」的正确竖式。请问：等号右边的结果最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化减为加）：把竖式看成 $减数+差=被减数$。
第 2 步（算数字和）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$。
第 3 步（让差尽量大）：差的百位尽量取大数字并逐一检验；试到差为 $784$ 时取减数 $152$，验算 $152+784=\underline{\quad}$。
第 4 步（检查卡片）：$9,3,6,1,5,2,7,8,4$ 恰好用完 $1\sim 9$，所以结果最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这 $9$ 个数字各一次，组成一个「三位数 $+$ 三位数 $=$ 三位数」的正确加法算式。那么这个算式中的和最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看清结构）：三个三位数用完 $1\sim 9$，和的百位不能超过 $9$，所以和最大只能在 $9\square\square$ 里找。
第 2 步（算数字和）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$；每进一位数字和减少 $9$，所以两个加数与和的数字和必须匹配。
第 3 步（逐一试）：试到 $235+746=\underline{\quad}$，九个数字 $2,3,5,7,4,6,9,8,1$ 恰好各一次。
第 4 步（结论）：更大的 $98\square$ 型的和都配不出合法算式，所以和最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这 $9$ 个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确减法算式。在差取到最大值的所有算式中，被减数最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先求差的最大值）：按原题的方法可得差最大为 $\underline{\quad}$（在这一步先把 $936-152$ 试出来）。
第 2 步（再看被减数）：差取 $784$ 时，剩下的数字是 $1,2,3,5,6,9$，要拼成 $减数+784=被减数$ 且都用完。
第 3 步（唯一确定）：只有减数取 $152$ 时才成立，此时被减数 $=152+784=\underline{\quad}$。
第 4 步（结论）：差最大时被减数只能是 $\underline{\quad}$，所以被减数最大也是它。

5. 【原题 ch07-chaoyue-05】有的偶数可以写成两个奇合数的和，例如 $24=9+15$，$100=25+75$，请问：在所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「表示与反例」类问题的奇合数版本：要说明大于 $38$ 的偶数都能写成两个奇合数之和，再验证 $38$ 不能。

关键切入点：覆盖的诀窍是按末位配「万能配件」：奇合数里 $9,15,25,35$ 的末位分别是 $9,5,5,5$，用它们去凑不同末位的偶数。例如末位是 $0$ 的偶数减 $15$ 得末位为 $5$ 的数（大于 $15$ 时必是奇合数，因为是 $5$ 的倍数）；末位是 $4$ 的偶数减 $9$ 得末位为 $5$ 的数，也是 $5$ 的倍数。这样大于 $38$ 的偶数就全被覆盖了，最后逐个验证 $38$ 减去每个奇合数后都得质数。

方法概述：用 $9,15,25,35$ 等奇合数配末位，证明大于 $38$ 的偶数都可表示，$38$ 不能。

规范步骤：

列出奇合数：$9,15,21,25,27,33,35,39,\cdots$（最小的是 $9$）
定起点：两个奇合数之和最小是 $9+9=18$
按末位覆盖：$40=15+25$，$42=9+33$，$44=9+35$，$46=21+25$，以后每个偶数都能照此配出（末位配对）
验证 $38$ 不能：$38-9=29$、$38-15=23$、$38-21=17$、$38-25=13$、$38-27=11$、$38-33=5$、$38-35=3$ 全是质数（反例）
结论：最大的是 $38$

第一套

题目：有的奇数可以写成三个奇合数的和，例如 $27=9+9+9$。请问：在所有不能表示为三个奇合数之和的奇数中，最大的一个是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找起点）：最小的奇合数是 $9$，三个奇合数之和最小是 $9+9+9=\underline{\quad}$。
第 2 步（覆盖大数）：只要拿两个小奇合数打头，剩下的部分是奇合数即可。例如 $49=9+15+\underline{\quad}$，$51=9+9+\underline{\quad}$，$53=9+9+\underline{\quad}$，往上每个奇数都能照此配出。
第 3 步（验证 $47$ 不能）：$47$ 的各种拆法（如 $9+9+29$、$9+15+23$、$9+25+13$、$15+15+17$、$9+33+5$）中第三个数总是质数，所以 $47$ 不能表示。
第 4 步（结论）：最大的是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：某种拼装积木只有奇合数块数的包装（$9$ 块、$15$ 块、$21$ 块、$25$ 块……）。小明想买两包，恰好凑出某个偶数块数。请问：不能用两包凑出的偶数块数中，最大的是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找起点）：最小的包装是 $9$ 块，两包最少 $9+9=\underline{\quad}$ 块。
第 2 步（覆盖大数）：按末位去配，$40=15+\underline{\quad}$，$42=9+\underline{\quad}$，$44=9+\underline{\quad}$，$46=21+\underline{\quad}$，再往上每个偶数都能照此配出。
第 3 步（验证反例）：$38-9=29$、$38-15=23$、$38-21=17$、$38-25=13$、$38-27=11$、$38-33=5$、$38-35=3$ 全是质数，所以 $38$ 凑不出来。
第 4 步（结论）：答案是 $\underline{\quad}$ 块。

第三套

题目：不能表示为两个奇合数之和的正偶数一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定下界）：最小的奇合数是 $9$，所以两个奇合数之和最小是 $9+9=\underline{\quad}$。凡是小于这个下界的正偶数都无法表示。
第 2 步（数小于下界的）：小于 $18$ 的正偶数是 $2,4,6,8,10,12,14,16$，它们全都不能表示，个数 $=(16-2)\div 2+1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（检验 $\geqslant 18$ 的）：$18=9+9$、$24=9+15$、$30=9+21$、$34=9+25$、$36=9+27$ 都能表示；逐个检验后，$\geqslant 18$ 却仍不能表示的只有 $20,22,26,28,32,38$ 共 $6$ 个（例如 $32-9=23$、$32-15=17$、$32-21=11$、$32-25=7$、$32-27=5$ 全是质数）。
第 4 步（大于 $38$ 的都能表示）：按末位配 $9,15,25,35$ 即可，无需再数。
第 5 步（合计）：一共 $8+6=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：在所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个与第二大的一个的和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列全）：不能表示的正偶数是 $2,4,6,8,10,12,14,16,20,22,26,28,32,38$。
第 2 步（找最大）：最大的一个是 $\underline{\quad}$（$38-9=29$、$38-15=23$、$38-25=13$、$38-35=3$ 都是质数）。
第 3 步（找第二大）：第二大的是 $\underline{\quad}$（$32-9=23$、$32-15=17$、$32-21=11$、$32-25=7$、$32-27=5$ 也都是质数）。
第 4 步（求和）：$38+32=\underline{\quad}$。

6. 【原题 ch07-chaoyue-06】如图 $7\text{-}7$，有一个圆锥形冰激凌的底面直径 $BC$ 为 $2$ 厘米，每根母线 $AC$ 的长度为 $6$ 厘米。请问：（1）如果一只蚂蚁从 $B$ 点去 $C$ 点，沿圆锥侧面爬行，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥侧面爬行）；（2）如果一只蚂蚁需要从 $B$ 点出发到母线 $AC$ 上（可到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？

详细思路

是哪类问题：这是「曲面展开求最短路径」类问题：把圆锥侧面沿母线剪开展成扇形，侧面上的最短路线在展开图上就是直线段（或垂线段）。

关键切入点：先要算出展开后扇形的圆心角，才能画准展开图：底面圆周长 $=\pi\times BC=2\pi$，而以母线 $AC=6$ 为半径的整圆周长是 $2\pi\times 6=12\pi$，所以扇形圆心角占整圆的 $\frac{2\pi}{12\pi}=\frac{1}{6}$，即 $360^\circ\times\frac{1}{6}=60^\circ$。展开后，(1) 是「两点之间线段最短」，(2) 是「点到直线垂线段最短」。

方法概述：将圆锥侧面沿母线展成扇形，化曲面路径为平面直线或垂线段。

规范步骤：

算底面周长：$\pi\times BC=\pi\times 2=2\pi$（厘米）（底面直径 $2$）
算展开扇形圆心角：$\dfrac{2\pi}{2\pi\times 6}\times 360^\circ=\dfrac{1}{6}\times 360^\circ=60^\circ$（弧长比 $=$ 角度比）
第 (1) 问：展开后连接 $B,C$，这条线段就是最短路线（两点之间线段最短）
第 (2) 问：展开后过 $B$ 向母线 $AC$ 作垂线段，沿它走最短（点到直线垂线段最短）

7. 【原题 ch07-chaoyue-07】如图 $7\text{-}8$，把一个边长为 $10$ 的正方形四个角都剪去一个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖的长方体。那么所得的长方体容积最大是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「和定积最大」在三个因数上的应用：把容积配成三个因数之积，并让它们的和成为定值。

关键切入点：设剪去的小正方形边长为 $x$，则底面是边长 $10-2x$ 的正方形、高为 $x$，容积 $V=x(10-2x)^2$。直接看 $x+(10-2x)+(10-2x)$ 并不是定值，所以要先配一下：$V=4x(5-x)^2=2\cdot(2x)(5-x)(5-x)$，此时 $2x+(5-x)+(5-x)=10$ 才是定值。三个因数相等时积最大，即 $2x=5-x$，$x=\frac{5}{3}$。

方法概述：设剪去边长为 $x$，把容积配成三个和为定值的因数，三数相等时积最大。

规范步骤：

设未知数并写容积：$V=x(10-2x)^2$（底面边长 $10-2x$，高 $x$）
配成三因数：$V=4x(5-x)^2=2\times(2x)\times(5-x)\times(5-x)$（凑出定值和）
验证和是定值：$2x+(5-x)+(5-x)=10$（和一定）
三数相等时积最大：$2x=5-x\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\dfrac{5}{3}$，每个因数都是 $\dfrac{10}{3}$（和定积最大）
算容积：$V=2\times\dfrac{10}{3}\times\dfrac{10}{3}\times\dfrac{10}{3}=\dfrac{2000}{27}=74\dfrac{2}{27}$

第一套

题目：把一个边长为 $18$ 的正方形四个角都剪去一个相同的小正方形，剩下部分折成一个无盖的长方体。那么所得的长方体容积最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（设未知数）：设剪去的小正方形边长为 $x$，底面边长为 $18-2x$，高为 $x$，容积 $V=x(18-2x)^2$。
第 2 步（配成三因数）：$V=4x(9-x)^2=2\times(2x)\times(9-x)\times(9-x)$，三个因数之和 $=2x+(9-x)+(9-x)=\underline{\quad}$，是定值。
第 3 步（三数相等时积最大）：由 $2x=9-x$ 得 $3x=9$，$x=9\div 3=\underline{\quad}$。
第 4 步（算容积）：底面边长 $=18-2\times 3=\underline{\quad}$，容积 $=3\times 12\times 12=\underline{\quad}$。

第二套

题目：手工课上，小明把一张边长为 $10$ 分米的正方形纸板四角各剪去一个相同的小正方形，再把四边折起做成一个无盖纸盒。请问：这个纸盒的容积最大是多少立方分米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（设未知数）：设剪去的小正方形边长为 $x$，则盒底边长 $10-2x$、盒高 $x$，容积 $V=x(10-2x)^2$。
第 2 步（配成三因数）：$V=4x(5-x)^2=2\times(2x)\times(5-x)\times(5-x)$，三因数之和 $=2x+(5-x)+(5-x)=\underline{\quad}$，是定值。
第 3 步（三数相等时积最大）：由 $2x=5-x$ 得 $3x=\underline{\quad}$，即 $x=\dfrac{5}{3}$，每个因数都等于 $\dfrac{10}{3}$。
第 4 步（算容积）：$V=2\times\dfrac{10}{3}\times\dfrac{10}{3}\times\dfrac{10}{3}$，分子为 $2\times 10\times 10\times 10=\underline{\quad}$，所以 $V=\dfrac{2000}{27}$。
第 5 步（化带分数）：$27\times 74=\underline{\quad}$，$2000-1998=\underline{\quad}$，所以 $V=74\dfrac{2}{27}$（立方分米）。

第三套

题目：三个正数的和是 $18$，它们的乘积最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（识别模型）：这就是原题里用到的核心结论——三个数的和一定时，三数相等乘积最大。
第 2 步（取相等）：三数都取 $18\div 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（算乘积）：$6\times 6\times 6=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证）：若取 $7,6,5$，乘积 $=7\times 6\times 5=\underline{\quad}$，确实比 $216$ 小。

第三套

题目：把一个边长为 $18$ 的正方形四个角都剪去一个相同的小正方形，剩下部分折成一个无盖长方体。当容积最大时，这个无盖长方体的表面积是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先求最优的 $x$）：$V=2\times(2x)\times(9-x)\times(9-x)$，三因数之和 $=\underline{\quad}$ 为定值，三数相等时积最大，$x=9\div 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（求最大容积）：底面边长 $18-2\times 3=12$，$V=3\times 12\times 12=\underline{\quad}$。
第 3 步（算底面积）：无盖，只有一个底面，$S_{\text{底}}=12\times 12=\underline{\quad}$。
第 4 步（算侧面积）：$4$ 个侧面都是长 $12$、宽（高）$3$ 的长方形，$S_{\text{侧}}=4\times 3\times 12=\underline{\quad}$。
第 5 步（求表面积）：$144+144=\underline{\quad}$。

8. 【原题 ch07-chaoyue-08】在一个 $5\times 5$ 的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列。已知 $n$ 个方格内的数，只要知道了这些方格内的数，就可以把方格表填完整。那么 $n$ 的最小值是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「信息确定性（最少已知量）」类问题：问最少知道几个格子里的数，就能把整张表唯一地填完。（注：题库原答案标注为 $10$，忽略了「列也是等差」这一约束能把其余各行免费推出，实为有误；正解为 $4$，下界已由线性代数复核。）

关键切入点：关键是弄清「每行、每列都是等差数列」的表到底有多少自由度。对每一行是等差＝这一行关于列号是一次函数，对每一列是等差＝这一列关于行号是一次函数；同时满足两者的表恰好都能写成 $a_{ij}=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij$（双线性型），只含 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ 这 $4$ 个自由参数，故全体合法表构成一个 $4$ 维空间。既然只有 $4$ 个自由度，最少需要 $4$ 个已知数（少于 $4$ 个必留自由度，可造出两张不同的合法表）；而恰当选 $4$ 个位置又确实够用，所以最小值是 $4$。题库「每行需 $2$ 个、$5$ 行共 $10$ 个」的估法漏掉了列的等差约束——列约束会把其余各行免费推出，因而大大高估。

方法概述：先定出「合法表」的自由度（$4$ 维），最小已知量即等于该自由度。

规范步骤：

刻画所有合法表：每行等差$\Rightarrow$表对列号一次；每列等差$\Rightarrow$对行号一次；两者兼备的表恰为 $a_{ij}=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij$（双线性型）
数自由度：这样的表只由 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ 共 $4$ 个参数决定，全体合法表构成 $4$ 维空间（自由度＝4）
充分性：$4$ 个够用：取四个角 $(1,1),(1,5),(5,1),(5,5)$：由第 $1$ 行两端定出整个第 $1$ 行、第 $5$ 行两端定出整个第 $5$ 行，再由每列的首末两数定出该列全部，整表唯一确定（四角即可填满）
必要性：$3$ 个不够：少于 $4$ 个已知数相当于在 $4$ 维空间上只做了不到 $4$ 个线性测量，必留有自由度，可造出两张不同的合法表都符合，无法唯一确定（两点定线也压不掉列的自由度）
结论：$n$ 的最小值是 $4$（题库标注 $10$ 有误，正解为 $4$）

9. 【原题 ch07-tuozhan-01】如图 $7\text{-}4$，用一根长 $80$ 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，请问：这个长方体的体积最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「和定积最大」在立体图形上的应用：棱长和把长、宽、高之和锁成定值，再让三边尽量接近使体积最大。

关键切入点：长方体有 $12$ 条棱，长、宽、高各 $4$ 条，所以 $80\div 4=20$ 就是长 $+$ 宽 $+$ 高。三个数的和一定时，它们越接近乘积越大；由于要求整数厘米，$20\div 3$ 除不尽，只能取最接近的 $7,7,6$。

方法概述：由棱长和定出三边之和为 $20$，三边取最接近的整数时体积最大。

规范步骤：

由棱长和求三边之和：$80\div 4=20$（厘米）（长宽高各 $4$ 条棱）
定优化方向：和一定时三数越接近，乘积越大（和定积最大）
取最接近的整数：$20=7+7+6$（$20\div 3$ 除不尽）
算体积：$V=7\times 7\times 6=294$（立方厘米）
验证别的分法更小：$8\times 6\times 6=288<294$（调整法验证）

第一套

题目：用一根长 $100$ 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，请问：这个长方体的体积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求三边之和）：长方体 $12$ 条棱中长、宽、高各 $4$ 条，所以长 $+$ 宽 $+$ 高 $=100\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
第 2 步（定方向）：和一定时三数越接近乘积越大。$25\div 3$ 除不尽，取最接近的整数 $9,8,8$，验算和 $=9+8+8=\underline{\quad}$。
第 3 步（算体积）：$V=9\times 8\times 8=\underline{\quad}$（立方厘米）。
第 4 步（验证）：若取 $9,9,7$，$V=9\times 9\times 7=\underline{\quad}$，确实比 $576$ 小。

第二套

题目：手工课上用一根 $80$ 厘米长的细木条做一个长方体礼盒的框架（棱长都是整数厘米，木条恰好用完）。请问：这个礼盒的容积最大是多少立方厘米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：礼盒框架有 $12$ 条棱，长、宽、高各 $4$ 条，所以三边之和 $=80\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
第 2 步：三边之和一定，三边越接近容积越大。取 $7,7,6$，验算 $7+7+6=\underline{\quad}$。
第 3 步：容积 $=7\times 7\times 6=\underline{\quad}$（立方厘米）。
第 4 步（验证）：若取 $8,6,6$，容积 $=8\times 6\times 6=\underline{\quad}$，比 $294$ 小。

第三套

题目：用一根长 $80$ 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，请问：这个长方体的表面积最大可能是多少平方厘米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求三边之和）：长 $+$ 宽 $+$ 高 $=80\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
第 2 步（表面积公式）：$S=2\times(\text{长}\times\text{宽}+\text{宽}\times\text{高}+\text{长}\times\text{高})$，三边越接近，两两乘积之和越大。
第 3 步（取最接近的整数）：取 $7,7,6$，$S=2\times(7\times 7+7\times 6+7\times 6)=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第 4 步（验证）：若取 $8,6,6$，$S=2\times(8\times 6+8\times 6+6\times 6)=\underline{\quad}$，确实更小。

第三套

题目：用一根长 $100$ 厘米的铁丝焊接成一个长方体框架，要求长、宽、高都是整数厘米且互不相同。请问：这个长方体的体积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求三边之和）：长 $+$ 宽 $+$ 高 $=100\div 4=\underline{\quad}$（厘米）。
第 2 步（原来的最优解不合要求）：最接近的取法是 $9,8,8$，但其中有两个相同，不满足「互不相同」。
第 3 步（退一步取次接近的）：改取互不相同又尽量接近的 $10,8,7$，验算和 $=10+8+7=\underline{\quad}$，体积 $=10\times 8\times 7=\underline{\quad}$（立方厘米）。
第 4 步（验证）：再试 $10,9,6$，体积 $=10\times 9\times 6=\underline{\quad}$，比 $560$ 小，所以最大是 $560$。

10. 【原题 ch07-tuozhan-02】把 $14$ 表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大。问：这个乘积最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「整数分拆乘积最大」类问题：把一个数拆成若干自然数之和，使乘积最大。

关键切入点：拆数时有三条道理：$1$ 只会白白浪费（$1\times a=a$），所以不用；大于等于 $4$ 的数可以再拆（$4=2+2$ 乘积不变，$5=2+3$ 乘积 $6>5$），所以只用 $2$ 和 $3$；同样的和用 $3$ 比用 $2$ 划算（$6=3+3$ 得 $9$，$6=2+2+2$ 得 $8$），所以尽量多用 $3$。$14=3\times 4+2$，正好是 $4$ 个 $3$ 加 $1$ 个 $2$。

方法概述：拆数尽量取 $3$，余 $2$ 单独留，余 $1$ 与一个 $3$ 合成 $2+2$。

规范步骤：

排除 $1$：$1\times a=a$，用 $1$ 不增大乘积（不用 $1$）
排除 $\geqslant 4$ 的数：$4=2+2$ 且 $2\times 2=4$；$5=2+3$ 且 $2\times 3=6>5$（只用 $2,3$）
优先用 $3$：$3+3=6$ 得 $9$，$2+2+2=6$ 只得 $8$（$3$ 比 $2$ 划算）
分拆 $14$：$14=3+3+3+3+2$（$14\div 3=4$ 余 $2$）
算乘积：$3\times 3\times 3\times 3\times 2=81\times 2=162$

第一套

题目：把 $25$ 表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大。问：这个乘积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（回忆原则）：不用 $1$，只用 $2$ 和 $3$，并且尽量多用 $3$。
第 2 步（看余数）：$25\div 3=8$ 余 $1$。余 $1$ 时不能留下 $1$（白白浪费），要把一个 $3$ 和这个 $1$ 合起来拆成 $2+2$。
第 3 步（写出分拆）：于是留下 $2+2$，其余全用 $3$，$3$ 的个数为 $(25-4)\div 3=\underline{\quad}$，即 $25=3+3+3+3+3+3+3+2+2$。
第 4 步（算乘积）：$3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$，再乘 $2\times 2=4$，得 $2187\times 4=\underline{\quad}$。

第二套

题目：老师把 $14$ 名同学分成若干个小组（每组人数是自然数，可以有人数相同的组），全班的「合作分」等于各组人数的乘积。请问：合作分最高是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（原则）：不设 $1$ 人组（不增大乘积），$4$ 人及以上的组都可以再拆得更好，所以只用 $2$ 人组和 $3$ 人组，且尽量多用 $3$ 人组。
第 2 步（看余数）：$14\div 3=4$ 余 $2$，余 $2$ 正好单独成一个 $2$ 人组，$3$ 人组的个数为 $(14-2)\div 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（写出分组）：$14=3+3+3+3+2$。
第 4 步（算合作分）：$3\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$，再乘 $2$ 得 $81\times 2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $14$ 表示成几个互不相同的自然数的和，并使这些数的乘积尽可能大。请问：这个乘积最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（新的限制）：各数必须互不相同，所以不能再重复用 $3$；仍然不能用 $1$。
第 2 步（从最小的数连着取）：要个数尽量多，从 $2$ 开始连续取，$2+3+4=\underline{\quad}$，再加上 $5$ 得 $2+3+4+5=\underline{\quad}$，恰好等于 $14$。
第 3 步（算乘积）：$2\times 3\times 4\times 5=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证别的分法）：如 $3+4+7=14$，乘积 $=3\times 4\times 7=\underline{\quad}$，比 $120$ 小。

第三套

题目：把 $25$ 表示成几个互不相同的自然数的和，并使这些数的乘积尽可能大。请问：这个乘积最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先连着取）：从 $2$ 开始连续取，$2+3+4+5+6=\underline{\quad}$，再加 $7$ 就是 $\underline{\quad}$，超过了 $25$，多出 $27-25=\underline{\quad}$。
第 2 步（调整）：多出 $2$，就把最小的那个数 $2$ 去掉，剩下 $3+4+5+6+7=\underline{\quad}$，恰好是 $25$。
第 3 步（算乘积）：$3\times 4\times 5\times 6\times 7=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证别的分法）：如 $2+3+4+5+11=25$，乘积 $=2\times 3\times 4\times 5\times 11=\underline{\quad}$，比 $2520$ 小。

11. 【原题 ch07-tuozhan-03】三个自然数的乘积是 $100$，这三个自然数的和最大是多少？最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「积一定，求和的最值」类问题：乘积被锁死，要让三个因数的和最大或最小。

关键切入点：$100=2^2\times 5^2$。和最大与和最小的方向恰好相反：把因数拆得越「悬殊」，和越大——极端是塞进两个 $1$，把 $100$ 全堆在一个数上；把因数取得越接近，和越小——$100$ 最接近的三因数分解是 $4\times 5\times 5$。

方法概述：和最大让因数含尽量多的 $1$；和最小让三因数尽量接近。

规范步骤：

分解质因数：$100=2^2\times 5^2$（看清可用的因数）
求和最大：取 $1\times 1\times 100=100$，和 $=1+1+100=102$（极端原理：最悬殊）
求和最小：取 $4\times 5\times 5=100$，和 $=4+5+5=14$（三因数最接近）
验证：如 $2\times 10\times 5=100$，和 $=17>14$（调整法验证）

第一套

题目：三个自然数的乘积是 $1000$，这三个自然数的和最大是多少？最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$1000=2^3\times 5^3$。
第 2 步（求和最大）：让因数尽量悬殊，取两个 $1$，即 $1\times 1\times 1000$，和 $=1+1+1000=\underline{\quad}$。
第 3 步（求和最小）：让三因数尽量接近，$1000=10\times 10\times 10=\underline{\quad}$，和 $=10+10+10=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证）：若取 $8\times 5\times 25=1000$，和 $=8+5+25=\underline{\quad}$，确实比 $30$ 大。

第二套

题目：一个长方体木箱的长、宽、高都是整数分米，体积是 $100$ 立方分米。请问：长、宽、高之和最大是多少？最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$100=2^2\times 5^2$，长宽高是 $100$ 的三个因数且乘积为 $100$。
第 2 步（求和最大）：让三边尽量悬殊，取 $1\times 1\times 100$，和 $=1+1+100=\underline{\quad}$（分米）。
第 3 步（求和最小）：让三边尽量接近，$4\times 5\times 5=\underline{\quad}$，和 $=4+5+5=\underline{\quad}$（分米）。
第 4 步（验证）：若取 $2,10,5$，和 $=2+10+5=\underline{\quad}$，比 $14$ 大。

第三套

题目：三个自然数的和是 $100$，这三个自然数的乘积最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（识别模型）：这次是「和一定求积最大」，三数越接近乘积越大。
第 2 步（分配）：$100\div 3=33$ 余 $\underline{\quad}$，所以取 $34,33,33$，验算和 $=34+33+33=\underline{\quad}$。
第 3 步（算乘积）：$34\times 33\times 33=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证）：若取 $34,34,32$，乘积 $=34\times 34\times 32=\underline{\quad}$，比 $37026$ 小。

第三套

题目：三个互不相同的自然数的乘积是 $1000$，这三个数的和最小是多少？最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求和最小）：三数要尽量接近，但 $10\times 10\times 10$ 中三数相同，不合要求。
第 2 步（调整）：改取 $5,10,20$，验算乘积 $=5\times 10\times 20=\underline{\quad}$，和 $=5+10+20=\underline{\quad}$。
第 3 步（再试一组）：$5\times 8\times 25=1000$，和 $=5+8+25=\underline{\quad}$，比 $35$ 大，所以最小和是 $35$。
第 4 步（求和最大）：让因数尽量悬殊，但不能有两个 $1$（要互不相同），取 $1,2,500$，乘积 $=1\times 2\times 500=\underline{\quad}$，和 $=1+2+500=\underline{\quad}$。

12. 【原题 ch07-tuozhan-04】由 $1,2,3,4,8,9$ 组成两个三位数，这两个三位数的差最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「组数求差最小」类问题：用给定数字组成两个数，让它们的差尽量小，也就是让两数尽量靠近。

关键切入点：差最小 $=$ 两数最接近。百位起决定作用：两个百位数字必须相邻（相差 $1$），否则差至少 $100$ 左右。$1,2,3,4,8,9$ 中相邻的一对可取 $3,4$（也可取 $8,9$ 等）。定下百位后，被减数的后两位要尽量小、减数的后两位要尽量大，这样两数才最靠近。

方法概述：让两数百位相差 $1$，并使被减数尾部尽量小、减数尾部尽量大。

规范步骤：

定方向：差最小 $\Leftrightarrow$ 两数最接近（组数最值）
定百位：百位取相邻的两个数字，如被减数百位 $4$、减数百位 $3$（否则差太大）
定尾部：剩下 $1,2,8,9$：被减数尾部取最小的 $1,2$ 得 $412$；减数尾部取最大的 $9,8$ 得 $398$（让两数最靠近）
算差：$412-398=14$
验证：换成 $413-298$ 等差都更大，所以最小差是 $14$（调整法验证）

第一套

题目：由 $1,2,3,7,8,9$ 组成两个三位数，这两个三位数的差最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定方向）：差最小就是让两个三位数尽量接近。
第 2 步（定百位）：百位必须取相邻的两个数字，取被减数百位 $3$、减数百位 $2$。
第 3 步（定尾部）：剩下 $1,7,8,9$，被减数尾部取最小的两个 $1,7$，得被减数 $=300+17=\underline{\quad}$；减数尾部取最大的两个 $9,8$，得减数 $=200+98=\underline{\quad}$。
第 4 步（算差）：$317-298=\underline{\quad}$。

第二套

题目：运动会上要用号码牌 $1,2,3,4,8,9$（每张用一次）拼成两个三位数当作两个班的总分。请问：两班总分的差最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：差最小就是让两个三位数尽量接近。
第 2 步（定百位）：百位取相邻的两个数字，取 $4$ 和 $3$。
第 3 步（定尾部）：剩下 $1,2,8,9$，高分那个数尾部取最小的 $1,2$ 得 $400+12=\underline{\quad}$；低分那个数尾部取最大的 $9,8$ 得 $300+98=\underline{\quad}$。
第 4 步（算差）：$412-398=\underline{\quad}$（分）。

第三套

题目：由 $1,2,3,4,8,9$ 组成两个三位数，这两个三位数的差最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（方向相反）：差最大就是让被减数尽量大、减数尽量小。
第 2 步（被减数取最大）：把大数字放高位，$9,8,4$ 依次排下来得 $900+84=\underline{\quad}$。
第 3 步（减数取最小）：剩下 $1,2,3$，小数字放高位得 $100+23=\underline{\quad}$。
第 4 步（算差）：$984-123=\underline{\quad}$。

第三套

题目：由 $1,2,3,4,8,9$ 组成两个三位数，这两个三位数的乘积最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（新的目标）：乘积最小要同时考虑两点——两数的高位都要小，而且两数要尽量「悬殊」（和一定时差越大积越小）。
第 2 步（定百位）：把最小的两个数字 $1,2$ 放在两个百位上。
第 3 步（分配剩下的数字）：剩下 $3,4,8,9$，让百位小的那个数配大尾数、百位大的那个数配小尾数，得 $138$ 与 $249$，验算 $138+249=\underline{\quad}$。
第 4 步（算乘积）：$138\times 249=\underline{\quad}$。
第 5 步（验证）：若改成 $139\times 248=\underline{\quad}$，比 $34362$ 大，所以最小乘积是 $34362$。

13. 【原题 ch07-tuozhan-05】从 $1,2,\cdots,9$ 中选出 $8$ 个数填入下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果。算式为 $\square\div\square\times(\square+\square)-(\square\times\square+\square-\square)$。

详细思路

是哪类问题：这是「填数算式最值」类问题：把数字填进带括号的算式，使结果最大。

关键切入点：先把算式分成两块：前面 $\square\div\square\times(\square+\square)$ 是「加上去的」，要尽量大；后面 $(\square\times\square+\square-\square)$ 前面是减号，是「扣掉的」，要尽量小。前一块里除数最能拖后腿，所以除数取 $1$，被除数取最大的 $9$，括号里放剩下最大的两个；后一块里乘积最占分量，所以用最小的两个数相乘，再加一个小数、减一个尽量大的数。

方法概述：让加乘部分取大、被减部分取小，逐步试填调整。

规范步骤：

拆成两块：结果 $=$ 前一项 $-$ 后一项（一块求大、一块求小）
前一项取最大：$9\div 1\times(8+7)=9\times 15=135$（除数取 $1$、其余取大数）
后一项取最小：$2\times 3+4-6=4$（积最小、减去的数最大）
求结果：$135-4=131$

第一套

题目：从 $1,2,\cdots,10$ 中选出 $8$ 个数填入算式 $\square\div\square\times(\square+\square)-(\square\times\square+\square-\square)$ 的方框中，使结果尽可能大。这个结果是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆两块）：前一项 $\square\div\square\times(\square+\square)$ 要最大，后一项 $(\square\times\square+\square-\square)$ 要最小。
第 2 步（前一项）：除数取 $1$，被除数取最大的 $10$，括号里放剩下最大的两个 $8,9$，得 $10\div 1\times(8+9)=\underline{\quad}$。
第 3 步（后一项）：乘积取最小的 $2\times 3$，再加最小的剩余数 $4$，减去尽量大的剩余数 $7$，得 $2\times 3+4-7=\underline{\quad}$。
第 4 步（求结果）：$170-3=\underline{\quad}$。

第二套

题目：数学游园会有一道闯关题：把 $1\sim 9$ 中的 $8$ 个数字填进闯关卡上的算式 $\square\div\square\times(\square+\square)-(\square\times\square+\square-\square)$，得分就是算式的结果。请问：最高能得多少分？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆两块）：减号前面的部分要尽量大，减号后面括号里的部分要尽量小。
第 2 步（前一项）：除数填 $1$、被除数填 $9$、括号里填剩下最大的 $8,7$，$9\div 1\times(8+7)=\underline{\quad}$。
第 3 步（后一项）：乘法填最小的 $2\times 3$，加 $4$，减去尽量大的 $6$，$2\times 3+4-6=\underline{\quad}$。
第 4 步（得分）：$135-4=\underline{\quad}$（分）。

第三套

题目：从 $1,2,\cdots,9$ 中选出 $8$ 个数填入算式 $\square\div\square\times(\square+\square)+(\square\times\square-\square-\square)$ 的方框中，使结果尽可能大。这个结果是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（结构变了）：现在括号前是加号，括号里的部分也要尽量大——但括号里是「积减去两个数」，所以要积大、减掉的数小。
第 2 步（前一项）：除数取 $1$、被除数取 $9$、括号里取 $7,8$，得 $9\div 1\times(7+8)=\underline{\quad}$。
第 3 步（后一项）：剩下 $2,3,4,5,6$ 中选 $4$ 个，让积最大、减去的数最小，取 $5\times 6-2-3=\underline{\quad}$。
第 4 步（求结果）：$135+25=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1,2,\cdots,9$ 这 $9$ 个数字各用一次填入算式 $\square\div\square\times(\square+\square+\square)-(\square\times\square+\square-\square)$ 的方框中，使结果尽可能大。这个结果是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆两块）：前一项要最大，后一项要最小；这次 $9$ 个数字必须全部用上，不能挑挑拣拣。
第 2 步（前一项）：除数取 $1$、被除数取 $9$，括号里放剩下最大的三个 $6,7,8$，得 $9\div 1\times(6+7+8)=\underline{\quad}$。
第 3 步（后一项）：只剩 $2,3,4,5$，让积最小取 $2\times 3$，再加 $4$、减 $5$，得 $2\times 3+4-5=\underline{\quad}$。
第 4 步（求结果）：$189-5=\underline{\quad}$。

14. 【原题 ch07-tuozhan-06】有 $13$ 个不同的自然数，它们的和是 $100$。其中偶数最多有多少个？最少有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「奇偶分析 $+$ 最小和估计 $+$ 构造」的综合最值题：先用奇偶性卡住个数的奇偶，再用「最小和」定上界，最后造例子。

关键切入点：第一层：$13$ 个数之和 $100$ 是偶数，而奇数的个数必须是偶数个（奇数个奇数相加得奇数），所以偶数的个数是奇数。第二层：$k$ 个互不相同的偶数最小和是 $0+2+\cdots+2(k-1)=k(k-1)$，$m$ 个互不相同的奇数最小和是 $1+3+\cdots+(2m-1)=m^2$，只要这两个最小和加起来超过 $100$ 就不可能。第三层：造出符合的一组数说明能取到。

方法概述：由和的奇偶性限定偶数个数为奇数，再用最小和估计上下界并构造。

规范步骤：

定奇偶：$100$ 是偶数 $\Rightarrow$ 奇数有偶数个 $\Rightarrow$ 偶数有奇数个（奇偶分析）
写出最小和公式：$k$ 个不同偶数最小和 $=k(k-1)$；$m$ 个不同奇数最小和 $=m^2$（等差数列求和）
求偶数最多：$k=11$ 时 $11\times 10=110>100$，不行；$k=9$ 时 $72+4^2=88\leqslant 100$，可以（最小和估计）
构造 $9$ 个偶数的例子：$0+2+4+\cdots+16+1+3+5+19=100$（上界可达）
求偶数最少：$k=3$ 时 $6+10^2=106>100$，不行；$k=5$ 时 $20+8^2=84\leqslant 100$，可以（另一端估计）
构造 $5$ 个偶数的例子：取 $8$ 个不同奇数 $1,3,5,7,9,11,13,15$（和 $=64$）与 $5$ 个不同偶数 $2,4,6,8,16$（和 $=36$），合计 $13$ 个互不相同的数，$64+36=100$，恰好 $5$ 个偶数（下界可达（$5$ 偶能取到））

第一套

题目：有 $15$ 个不同的自然数，它们的和是 $150$。其中偶数最多有多少个？最少有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（奇偶分析）：$150$ 是偶数，所以奇数必须有偶数个，从而偶数有奇数个（$15$ 减去偶数得奇数）。
第 2 步（记住两个最小和）：$k$ 个不同偶数最小和 $=0+2+\cdots+2(k-1)=k(k-1)$；$m$ 个不同奇数最小和 $=1+3+\cdots+(2m-1)=m^2$。
第 3 步（求偶数最多）：$k=13$ 时最小和 $=13\times 12=\underline{\quad}$，已超过 $150$，不行；$k=11$ 时偶数最小和 $=11\times 10=\underline{\quad}$，另 $4$ 个奇数最小和 $=4\times 4=\underline{\quad}$，合计 $110+16=\underline{\quad}\leqslant 150$，所以偶数最多 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（求偶数最少）：$k=1$ 时另 $14$ 个奇数最小和 $=0+196=\underline{\quad}$，超过 $150$，不行；$k=3$ 时合计 $=6+144=\underline{\quad}$，恰好等于 $150$，可以，所以偶数最少 $\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：图书角有 $13$ 个书架，每个书架上的书本数互不相同，一共 $100$ 本。请问：书本数为偶数的书架最多有多少个？最少有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（奇偶分析）：总数 $100$ 是偶数，所以「书本数是奇数」的书架必须有偶数个，从而「书本数是偶数」的书架有奇数个。
第 2 步（两个最小和）：$k$ 个不同偶数最小和 $=k(k-1)$；$m$ 个不同奇数最小和 $=m^2$。
第 3 步（求最多）：$k=11$ 时最小和 $=11\times 10=\underline{\quad}$，超过 $100$；$k=9$ 时 $9\times 8=\underline{\quad}$，另 $4$ 个奇数最小和 $=4\times 4=\underline{\quad}$，合计 $72+16=\underline{\quad}\leqslant 100$，所以最多 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（求最少）：$k=3$ 时合计 $=6+100=\underline{\quad}$，超过 $100$；$k=5$ 时合计 $=20+64=\underline{\quad}\leqslant 100$，可以，所以最少 $\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：有 $13$ 个不同的自然数，它们的和是 $100$。其中奇数最多有多少个？最少有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（奇偶分析）：和是偶数，所以奇数的个数必须是偶数。
第 2 步（求奇数最多）：$m=10$ 时奇数最小和 $=10\times 10=\underline{\quad}$，再加上另 $3$ 个不同偶数的最小和 $0+2+4=6$，合计 $100+6=\underline{\quad}>100$，不行。
第 3 步（退一档）：$m=8$ 时奇数最小和 $=8\times 8=\underline{\quad}$，另 $5$ 个偶数最小和 $=5\times 4=20$，合计 $64+20=\underline{\quad}\leqslant 100$，所以奇数最多 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（求奇数最少）：$m=4$ 时奇数最小和 $=4\times 4=\underline{\quad}$，另 $9$ 个偶数最小和 $=9\times 8=72$，合计 $16+72=\underline{\quad}\leqslant 100$；而 $m=2$ 时另 $11$ 个偶数最小和 $=110$，合计已超过 $100$。所以奇数最少 $\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：有 $13$ 个互不相同的正整数（都大于 $0$），它们的和是 $100$。其中偶数最多有多少个？最少有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（限制变了）：不能再用 $0$，所以 $k$ 个不同正偶数的最小和变成 $2+4+\cdots+2k=k(k+1)$；$m$ 个不同正奇数的最小和仍是 $m^2$。
第 2 步（奇偶分析）：和 $100$ 是偶数，奇数有偶数个，偶数有奇数个。
第 3 步（求最多）：$k=9$ 时偶数最小和 $=9\times 10=\underline{\quad}$，合计 $90+16=\underline{\quad}>100$，不行；$k=7$ 时 $7\times 8=\underline{\quad}$，另 $6$ 个奇数最小和 $36$，合计 $56+36=\underline{\quad}\leqslant 100$，所以最多 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（求最少）：$k=3$ 时另 $10$ 个奇数最小和 $=10\times 10=100$，合计 $12+100=\underline{\quad}>100$，不行；$k=5$ 时合计 $=30+64=\underline{\quad}\leqslant 100$，所以最少 $\underline{\quad}$ 个。

15. 【原题 ch07-tuozhan-07】将 $6,7,8,9,10$ 这 $5$ 个数按某种次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的 $5$ 个乘积相加。请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「环形排列最值」类问题：圆周上每相邻两数相乘再求和，问这个和的最值。

关键切入点：$5$ 个数排成一圈，每个数都恰好和左右两个邻居各乘一次。要总和大，就要让大数彼此挨着（大数之间的乘积贡献最大）；要总和小，就要把大数用小数隔开，让每个大数都去乘小数。按这个方向排出具体次序，再逐个算出 $5$ 个乘积相加即可。

方法概述：求和时大数相邻使和大、大数被小数隔开使和小，逐步调整排列。

规范步骤：

看清结构：圆周上 $5$ 个数产生 $5$ 个相邻乘积，每个数各被用两次（环形相邻）
求最小：大数隔开：排成 $6,9,8,7,10$，乘积和 $=6\times 9+9\times 8+8\times 7+7\times 10+10\times 6$（让大数去乘小数）
算最小值：$54+72+56+70+60=312$
求最大：大数相邻：排成 $6,7,9,10,8$，乘积和 $=6\times 7+7\times 9+9\times 10+10\times 8+8\times 6$（让 $9,10$ 挨着）
算最大值：$42+63+90+80+48=323$

第一套

题目：将 $7,8,9,10,11$ 这 $5$ 个数按某种次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的 $5$ 个乘积相加。请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看结构）：圆周上 $5$ 个数产生 $5$ 个相邻乘积，每个数都被用两次。
第 2 步（求最小：大数隔开）：把最大的 $10,11$ 用小数隔开，排成 $7,10,9,8,11$，和 $=7\times 10+10\times 9+9\times 8+8\times 11+11\times 7=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最大：大数相邻）：把 $9,10,11$ 排在一起，排成 $7,8,10,11,9$，和 $=7\times 8+8\times 10+10\times 11+11\times 9+9\times 7=\underline{\quad}$。
第 4 步（比一比）：最大值比最小值多 $408-397=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$5$ 个同学围成一圈做游戏，他们手里的卡片数分别是 $6,7,8,9,10$。每相邻两人把手里的卡片数相乘记一个「配合分」，$5$ 个配合分之和就是本轮总分。请问：总分最少是多少？最多是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看结构）：围成一圈的 $5$ 个人产生 $5$ 个配合分，每人都与左右各配合一次。
第 2 步（求最少：大数隔开）：把 $9,10$ 用小数隔开，排成 $6,9,8,7,10$，总分 $=6\times 9+9\times 8+8\times 7+7\times 10+10\times 6=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最多：大数相邻）：把 $9,10$ 排在一起，排成 $6,7,9,10,8$，总分 $=6\times 7+7\times 9+9\times 10+10\times 8+8\times 6=\underline{\quad}$。
第 4 步（比一比）：相差 $323-312=\underline{\quad}$（分）。

第三套

题目：将 $6,7,8,9,10$ 这 $5$ 个数按某种次序排成一行（不围成圈），把每相邻两数相乘，再把所得的 $4$ 个乘积相加。请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（结构变了）：排成一行只有 $4$ 个相邻乘积，而且两端的数只被用一次——所以两端的位置很关键。
第 2 步（求最小）：把最大的数放到只被用一次的两端，排成 $9,7,8,6,10$，和 $=9\times 7+7\times 8+8\times 6+6\times 10=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最大）：把最大的数放中间让它被用两次，排成 $6,8,10,9,7$，和 $=6\times 8+8\times 10+10\times 9+9\times 7=\underline{\quad}$。
第 4 步（比一比）：相差 $281-227=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $5,6,7,8,9,10$ 这 $6$ 个数按某种次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的 $6$ 个乘积相加。请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（看结构）：$6$ 个数围成一圈产生 $6$ 个相邻乘积，每个数仍被用两次。
第 2 步（求最小：大数两两隔开）：排成 $5,9,7,8,6,10$，和 $=5\times 9+9\times 7+7\times 8+8\times 6+6\times 10+10\times 5=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最大：大数抱团）：排成 $5,6,8,10,9,7$，和 $=5\times 6+6\times 8+8\times 10+10\times 9+9\times 7+7\times 5=\underline{\quad}$。
第 4 步（比一比）：相差 $346-322=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch07-tuozhan-08】有 $5$ 袋糖块，其中任意 $3$ 袋的总块数都超过 $60$，请问这 $5$ 袋糖块总共最少有多少块？

详细思路

是哪类问题：这是「约束下求总量最小」类问题：用「最小的几袋」这个极端情形把约束写成不等式，再推出总数的下界并构造。

关键切入点：「任意 $3$ 袋总数都超过 $60$」中最紧的一条，就是最少的那 $3$ 袋——它们满足了，其余任意 $3$ 袋自然满足。设从小到大为 $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_5$，则 $a_1+a_2+a_3\geqslant 61$。又因为 $a_3$ 是这三袋中最大的，有 $3a_3\geqslant 61$，即 $a_3\geqslant 21$；而 $a_4,a_5$ 都不小于 $a_3$，所以总数 $\geqslant 61+21\times 2=103$。最后造一组恰好 $103$ 的例子说明能取到。

方法概述：用最小三袋之和大于 $60$ 作约束，让其余两袋尽量小求总和下界，再构造。

规范步骤：

抓最紧的约束：最少的 $3$ 袋之和 $\geqslant 60+1=61$（极端原理）
估计 $a_3$：$3a_3\geqslant a_1+a_2+a_3\geqslant 61$，故 $a_3\geqslant 21$（取整）
估计总数：总数 $=（a_1+a_2+a_3)+a_4+a_5\geqslant 61+21\times 2=103$（$a_4,a_5\geqslant a_3$）
构造：取 $19,21,21,21,21$，总数 $=103$，最少三袋 $19+21+21=61>60$（下界可达）

第一套

题目：有 $6$ 袋糖块，其中任意 $3$ 袋的总块数都超过 $90$，请问这 $6$ 袋糖块总共最少有多少块？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抓最紧的约束）：只要最少的 $3$ 袋满足条件，其余任意 $3$ 袋都满足，所以最少三袋之和 $\geqslant 90+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（估计第三小的一袋）：设从小到大为 $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_6$，由 $3a_3\geqslant 91$ 得 $a_3\geqslant\underline{\quad}$（取整数）。
第 3 步（估计总数）：后面三袋都不小于 $a_3$，所以总数 $\geqslant 91+31\times 3=\underline{\quad}$。
第 4 步（构造验证）：取 $29,31,31,31,31,31$，总数 $=29+31\times 5=\underline{\quad}$，最少三袋之和 $=29+31+31=\underline{\quad}>90$，符合要求。

第二套

题目：仓库里有 $5$ 箱零件，其中任意 $3$ 箱的零件总数都超过 $60$ 个。请问：这 $5$ 箱零件总共最少有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抓最紧的约束）：最少的 $3$ 箱之和 $\geqslant 60+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（估计第三小的一箱）：设从小到大为 $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_5$，由 $3a_3\geqslant 61$ 得 $a_3\geqslant\underline{\quad}$（取整数）。
第 3 步（估计总数）：后两箱都不小于 $a_3$，总数 $\geqslant 61+21\times 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（构造验证）：取 $19,21,21,21,21$，总数 $=19+21\times 4=\underline{\quad}$，最少三箱 $=19+21+21=\underline{\quad}>60$，符合。

第三套

题目：有 $5$ 袋糖块，其中任意 $2$ 袋的总块数都超过 $40$，请问这 $5$ 袋糖块总共最少有多少块？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抓最紧的约束）：最少的 $2$ 袋之和 $\geqslant 40+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（估计第二小的一袋）：由 $2a_2\geqslant 41$ 得 $a_2\geqslant\underline{\quad}$（取整数）。
第 3 步（估计总数）：后三袋都不小于 $a_2$，总数 $\geqslant 41+21\times 3=\underline{\quad}$。
第 4 步（构造验证）：取 $20,21,21,21,21$，总数 $=20+21\times 4=\underline{\quad}$，最少两袋 $=20+21=\underline{\quad}>40$，符合。

第三套

题目：有 $5$ 袋糖块，每袋的块数互不相同，且任意 $3$ 袋的总块数都超过 $60$。请问这 $5$ 袋糖块总共最少有多少块？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抓最紧的约束）：最少的 $3$ 袋之和 $\geqslant 60+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（互不相同带来更强的估计）：设 $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，则 $a_1\leqslant a_3-2$、$a_2\leqslant a_3-1$，于是 $3a_3-3\geqslant 61$，得 $a_3\geqslant\underline{\quad}$（取整数）。
第 3 步（估计总数）：因为互不相同，$a_4\geqslant 23$、$a_5\geqslant 24$，所以总数 $\geqslant 61+23+24=\underline{\quad}$。
第 4 步（构造验证）：取 $18,21,22,23,24$，总数 $=18+21+22+23+24=\underline{\quad}$，最少三袋 $=18+21+22=\underline{\quad}>60$，符合。

17. 【原题 ch07-tuozhan-09】已知算式 $9984-8-8-\cdots-8$ 的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「枚举搜索求最值」类问题：从一个数出发不断减去固定的数，找出第一个满足条件的结果。

关键切入点：减的次数越少，结果越大，所以要从 $9984$ 开始由大到小逐个检验。注意 $9984$ 是 $8$ 的倍数，所有结果都形如 $9984-8k$。前面的数 $9984,9976,\cdots$ 都含重复数字（千位、百位都是 $9$ 时必重复），一直减到 $9872$ 才第一次出现四个互不相同的数字。

方法概述：从大到小逐次减 $8$，找第一个各位数字互不相同的数。

规范步骤：

定方向：减的次数越少结果越大，所以从 $9984$ 往下逐个检验（求最大）
逐个排除：$9984,9976,9968,9960,9952,9944,9936,9928,9920,9912,9904$ 都有重复数字（都含两个 $9$）（检验各位是否互不相同）
继续：$9896,9888,9880$ 也都有重复数字
找到答案：$9872$ 的四个数字 $9,8,7,2$ 互不相同（第一个满足的）
算减了几次：$(9984-9872)\div 8=14$ 次

第一套

题目：已知算式 $99999-7-7-\cdots-7$ 的结果是一个各位数字互不相同的五位数，这个结果最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定方向）：要结果最大，减去 $7$ 的次数就要最少，所以从 $99999$ 开始由大到小逐个检验。
第 2 步（逐个排除）：$99999,99992,99985,\cdots$ 这些数的前几位都还是 $9$，必然出现重复数字，一直往下检验。
第 3 步（找到答案）：第一个各位互不相同的是 $98760$（数字为 $9,8,7,6,0$）。
第 4 步（算减的次数）：$(99999-98760)\div 7=\underline{\quad}$ 次，验算 $99999-7\times 177=\underline{\quad}$。

第二套

题目：游戏中初始分数是 $9984$ 分，每犯规一次扣 $8$ 分。要求最终分数是一个各位数字互不相同的四位数。请问：最终分数最高是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定方向）：扣分次数越少分数越高，所以从 $9984$ 开始逐个检验。
第 2 步（逐个排除）：$9984,9976,\cdots,9904$ 都含两个 $9$；$9896,9888,9880$ 也都有重复数字。
第 3 步（找到答案）：$9872$ 的四个数字 $9,8,7,2$ 互不相同，是第一个满足要求的。
第 4 步（算扣分次数）：$(9984-9872)\div 8=\underline{\quad}$ 次，验算 $9984-8\times 14=\underline{\quad}$（分）。

第三套

题目：已知算式 $9984-8-8-\cdots-8$ 的结果是一个各位数字互不相同的四位数，这个结果最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（方向反过来）：要结果最小，就要减的次数尽量多，但结果必须仍是四位数，所以从 $1000$ 往上找。
第 2 步（先看整除性）：$9984$ 是 $8$ 的倍数，所以所有可能的结果都是 $8$ 的倍数。
第 3 步（从 $1000$ 往上逐个检验）：$1000$（有三个 $0$）、$1008$（有两个 $0$）、$1016$（有两个 $1$）都不行，再往上是 $1000+8\times 3=\underline{\quad}$，它的数字 $1,0,2,4$ 互不相同，符合要求。
第 4 步（算减的次数）：$(9984-1024)\div 8=\underline{\quad}$ 次。

第三套

题目：已知算式 $9984-8-8-\cdots-8$ 的结果是一个各位数字互不相同、并且是 $3$ 的倍数的四位数，这个结果最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（多了一个条件）：结果既要各位互不相同，又要是 $3$ 的倍数（各位数字之和是 $3$ 的倍数）。
第 2 步（先找互不相同的）：从 $9984$ 往下第一个各位互不相同的是 $9872$，但 $9+8+7+2=26$ 不是 $3$ 的倍数，不行。
第 3 步（继续往下找）：再往下检验，$9864$ 的数字 $9,8,6,4$ 互不相同，且 $9+8+6+4=\underline{\quad}$ 是 $3$ 的倍数，符合要求。
第 4 步（算减的次数并验算）：$(9984-9864)\div 8=\underline{\quad}$ 次，$9984-8\times 15=\underline{\quad}$。

18. 【原题 ch07-tuozhan-10】用 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 各一次组成 $3$ 个三位数，使得它们都是 $9$ 的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式。

详细思路

是哪类问题：这是「整除判定 $+$ 乘积最大」的综合题：先用数字和判定 $9$ 的倍数把数字分组，再让三数尽量大、尽量接近。

关键切入点：$9$ 的倍数判定：各位数字之和是 $9$ 的倍数。$1+2+\cdots+9=45$，要分成三组且每组和都是 $9$ 的倍数，只能是 $9,18,18$ 这样的搭配。分好组后，组内把大数字放高位使每个三位数尽量大；同时三个数越接近乘积越大，据此在几种分组里调整比较。

方法概述：保证每个三位数数字和是 $9$ 的倍数，再让三数尽量接近且高位放大数字。

规范步骤：

写出判定：三位数是 $9$ 的倍数 $\Leftrightarrow$ 各位数字之和是 $9$ 的倍数（整除判定）
算总和：$1+2+\cdots+9=45$（三组数字和相加为 $45$）
定分组：每组数字和都是 $9$ 的倍数，取 $\{9,5,4\},\{8,7,3\},\{6,2,1\}$，和分别为 $18,18,9$（分组）
组内排位：大数字放高位，得 $954,873,621$（使各数尽量大）
写出算式：$954\times 873\times 621$

第一套

题目：用 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 各一次组成 $3$ 个三位数，使得它们都是 $3$ 的倍数，并且乘积最大。请写出这个乘积。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（判定条件）：三位数是 $3$ 的倍数 $\Leftrightarrow$ 各位数字之和是 $3$ 的倍数。
第 2 步（算总和）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$，若三组数字和相等则每组 $45\div 3=\underline{\quad}$，正好都是 $3$ 的倍数。
第 3 步（分组并排位）：让三个数尽量接近且高位放大数字，取 $\{9,5,1\},\{8,4,3\},\{7,6,2\}$，验算第一组数字和 $9+5+1=\underline{\quad}$，组成 $951,843,762$。
第 4 步（算乘积）：$951\times 843\times 762=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三个班级的编号要用 $1\sim 9$ 这 $9$ 个数字各一次组成三个三位数，规定每个编号都必须是 $9$ 的倍数。要使三个编号的乘积最大，这三个编号分别是多少？乘积是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（判定条件）：是 $9$ 的倍数 $\Leftrightarrow$ 各位数字之和是 $9$ 的倍数。
第 2 步（算总和）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$，三组的数字和只能取 $18,18,9$。
第 3 步（分组）：取 $\{9,5,4\},\{8,7,3\},\{6,2,1\}$，验算 $9+5+4=\underline{\quad}$、$8+7+3=\underline{\quad}$、$6+2+1=\underline{\quad}$。
第 4 步（组内排位并求积）：大数字放高位得 $954,873,621$，乘积 $=954\times 873\times 621=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 各一次组成 $3$ 个三位数，使得它们都是 $9$ 的倍数，并且乘积最小。请写出这个乘积。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（方向反过来）：乘积最小要让三个数尽量小——小数字放高位；同时三数越悬殊乘积越小。
第 2 步（仍要满足判定）：每组数字和必须是 $9$ 的倍数，取 $\{4,6,8\},\{2,7,9\},\{1,3,5\}$，验算 $4+6+8=\underline{\quad}$、$2+7+9=\underline{\quad}$、$1+3+5=\underline{\quad}$。
第 3 步（组内排位）：小数字放高位，得 $468,279,135$。
第 4 步（算乘积）：$468\times 279\times 135=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 各一次组成 $3$ 个三位数，使得它们都是 $9$ 的倍数。请问：这三个数乘积的最大值与最小值相差多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大）：让三数尽量大且接近，取 $954,873,621$，乘积 $=954\times 873\times 621=\underline{\quad}$。
第 2 步（求最小）：让三数尽量小且悬殊，取 $468,279,135$，乘积 $=468\times 279\times 135=\underline{\quad}$。
第 3 步（求差）：$517194882-17627220=\underline{\quad}$。

19. 【原题 ch07-tuozhan-11】所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「表示与反例」类问题：要证明「$11$ 是最大的」，必须做两件事——说明比 $11$ 大的数都能表示，再验证 $11$ 本身不能。

关键切入点：关键是找一个「万能配件」：偶数配 $4$，因为大于 $6$ 的偶数减 $4$ 还是大于 $2$ 的偶数，一定是合数；奇数配 $9$，因为大于 $11$ 的奇数减 $9$ 还是大于 $2$ 的偶数，也一定是合数。这样大于 $11$ 的数就全被覆盖了。最后逐一验证 $11$ 减去每个不超过它的合数后都得质数。

方法概述：证明大于 $11$ 的数都能拆成两合数之和，再验证 $11$ 不能。

规范步骤：

找最小合数：最小的合数是 $4$，两个合数之和最小是 $4+4=8$（起点）
覆盖偶数：大于 $6$ 的偶数 $n$：$n-4$ 是大于 $2$ 的偶数，必是合数，故 $n=4+(n-4)$ 可表示（偶数配 $4$）
覆盖奇数：大于 $11$ 的奇数 $n$：$n-9$ 是大于 $2$ 的偶数，必是合数，故 $n=9+(n-9)$ 可表示（奇数配 $9$）
验证 $11$ 不能：$11-4=7$、$11-6=5$、$11-8=3$、$11-9=2$ 都是质数（反例）
结论：最大的是 $11$

第一套

题目：所有不能表示为三个合数之和的自然数中，最大的是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找起点）：最小的合数是 $4$，三个合数之和最小是 $4+4+4=\underline{\quad}$。
第 2 步（覆盖大数）：只要能把 $n$ 写成 $4+4+(n-8)$ 或 $4+6+(n-10)$ 且括号里是合数即可。例如 $16=4+4+\underline{\quad}$，$17=4+4+\underline{\quad}$，$18=4+4+\underline{\quad}$，$19=4+6+9$；再往上每个数都能照此配出来。
第 3 步（验证 $15$ 不能）：$15$ 的拆法只有 $4+4+7$、$4+6+5$、$4+8+3$、$6+6+3$，其中 $7,5,3,3$ 都是质数，所以 $15$ 不能表示。
第 4 步（结论）：最大的是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：商店只有两种包装的糖果，每包里的糖块数都是合数（即不是 $1$、也不是质数）。顾客想恰好买两包凑出某个数量。请问：不能用两包凑出来的数量中，最大的是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找起点）：最小的合数是 $4$，两包最少共 $4+4=\underline{\quad}$ 块。
第 2 步（覆盖偶数）：大于 $6$ 的偶数 $n$，$n-4$ 仍是大于 $2$ 的偶数，一定是合数。例如 $12-4=\underline{\quad}$、$20-4=\underline{\quad}$，都能凑出。
第 3 步（覆盖奇数）：大于 $11$ 的奇数 $n$，$n-9$ 是大于 $2$ 的偶数，一定是合数。例如 $13-9=\underline{\quad}$、$21-9=\underline{\quad}$，也都能凑出。
第 4 步（验证反例）：$11-4=7$、$11-6=5$、$11-8=3$、$11-9=2$ 全是质数，所以 $11$ 凑不出来，答案是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：不能表示为两个合数之和的自然数一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（小于最小和的都算）：两个合数之和最小是 $8$，所以 $0,1,2,3,4,5,6,7$ 这 $\underline{\quad}$ 个数全都不能表示。
第 2 步（检验 $8$ 到 $11$）：$8=4+4$、$10=4+6$ 都能表示；而 $9$（$9-4=5$，$9-6=3$ 都是质数）和 $11$ 都不能，又添了 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（大于 $11$ 的都能表示）：偶数配 $4$、奇数配 $9$，都可以表示。
第 4 步（合计）：一共 $8+2=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：在所有不能表示为两个合数之和的自然数中，质数一共有多少个？它们的和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先列全）：不能表示的自然数是 $0,1,2,3,4,5,6,7,9,11$，共 $8+2=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（挑出质数）：其中 $0,1$ 不是质数，$4,6,9$ 是合数，剩下的质数是 $2,3,5,7,11$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（求和）：$2+3+5+7+11=\underline{\quad}$。

20. 【原题 ch07-tuozhan-12】把 $1$ 至 $99$ 依次写成一排，形成一个多位数 $1234\cdots 9899$。从中划去 $99$ 个数字，剩下的数字组成一个首位不为 $0$ 的多位数，请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「贪心删数求多位数最值」类问题：从一长串数字中划去若干个，剩下的按原顺序组成一个数，求它的最大（最小）值。

关键切入点：先数清位数：$1\sim 9$ 是 $9$ 个数字，$10\sim 99$ 是 $90$ 个两位数共 $180$ 个数字，一共 $189$ 位；划去 $99$ 位后还剩 $90$ 位。求最大时用「从左到右贪心」：高位越大整个数越大，所以在允许的范围里尽量把 $9$ 提到前面；求最小时反过来，首位必须非 $0$ 所以留 $1$，然后尽量把 $0$ 提到前面。

方法概述：从左到右贪心删数：求最大让前位尽量大，求最小让前位尽量小（首位非零）。

规范步骤：

数位数：$9+90\times 2=189$（位）（$1\sim9$ 一位，$10\sim99$ 两位）
算剩余位数：$189-99=90$（位）（划去 $99$ 个数字）
求最大：贪心地把 $9,19,29,39,49$ 中的 $9$ 依次提到前面，得 $9999975859606162\cdots 979899$（高位尽量大）
求最小：首位留 $1$，再把 $10,20,30,40,50$ 中的 $0$ 提到前面，得 $100000123450616263\cdots 979899$（首位非零，其后尽量小）

21. 【原题 ch07-tuozhan-13】邮递员送信件的街道如图 $7\text{-}5$ 所示，每一小段街道长 $1$ 千米。如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？

详细思路

是哪类问题：这是「一笔画（欧拉回路）」类问题：要走遍所有街道并回到出发点，关键看图中有几个奇点。

关键切入点：一个连通图能一笔画成回路，当且仅当每个点的度数都是偶数。若有奇点，就必须把奇点两两配对，在每一对之间重复走一段路（把它们的度数补成偶数）。所以最少路程 $=$ 街道总长 $+$ 配对后重复路的最短总长，配对时要让重复的那段路尽量短。

方法概述：统计街道总长，再让奇点配对所需重复走的路最短，二者相加。

规范步骤：

判断能否一笔画：图中 $A,B$ 两点各引出 $3$ 条街道，是奇点（度数为奇）
奇点必须配对：奇点处要重复走一些路，把奇点两两配对（欧拉回路条件）
让重复路最短：选择使重复走的街道总长最小的配对方式（最短重复路）
求总路程：街道总长 $+$ 重复路长 $=26$（千米）（题库给定答案）

22. 【原题 ch07-tuozhan-14】如图 $7\text{-}6$，有一个长方体形状的柜子。一只蚂蚁要从左下角的 $A$ 点出发，沿柜子表面爬到右上角的 $B$ 点去找食物。蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路径？请在图中画出来。（长方体的长、宽、高分别为 $3,3,1$。）

详细思路

是哪类问题：这是「立体表面最短路径」类问题：把长方体沿棱剪开展成平面，曲面上的最短路线就变成平面上的直线段。

关键切入点：$A$ 到 $B$ 要经过两个相邻的面，不同的展开方式会得到不同的直角三角形。长、宽、高是 $3,3,1$，两条边拼起来当直角边：可以拼成 $3+3=6$ 与 $1$，也可以拼成 $3+1=4$ 与 $3$。比较两个斜边：$\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$ 与 $\sqrt{4^2+3^2}=5$，后者更短。由对称性，这种 $4$ 与 $3$ 的拼法共有 $4$ 种展开方向，故最短路线有 $4$ 条。

方法概述：把长方体表面展开成平面，化曲面路径为直线，比较各种展开求最短。

规范步骤：

展开：沿棱把两个相邻面展成一个大长方形（化曲为直）
第一种拼法：直角边为 $3+3=6$ 与 $1$，斜边 $^2=6^2+1^2=37$（较长）
第二种拼法：直角边为 $3+1=4$ 与 $3$，斜边 $^2=4^2+3^2=25$，斜边 $=5$（$3,4,5$ 勾股数）
比较取最短：$25<37$，所以最短路线长为 $5$
数路线条数：由对称性，这样的展开方向共有 $4$ 个，故最短路线有 $4$ 条（题库给定答案）

23. 【原题 ch07-xingqu-01】用 $0,1,2,\cdots,9$ 这 $10$ 个数字各一次组成 $5$ 个两位数 $a,b,c,d,e$。请问：$a-b+c-d+e$ 最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「组数最值」类问题：把给定的数字分配到若干个数里，使一个带正负号的算式取最大（小）值。

关键切入点：式子 $a-b+c-d+e$ 中，$a,c,e$ 前面是加号，$b,d$ 前面是减号。要让整个式子最大，就要让加的三个数尽量大、减的两个数尽量小。两位数里十位的权重是个位的 $10$ 倍，所以先把最大的数字给 $a,c,e$ 的十位、最小的数字给 $b,d$ 的十位，剩下的数字再按同样原则分配到个位。

方法概述：带正号的数取大、带负号的数取小，并且先满足权重大的十位。

规范步骤：

把最大的三个数字 $9,8,7$ 放在 $a,c,e$ 的十位：$a,c,e$ 的十位和 $=9+8+7=24$（十位权重最大）
剩下数字中最大的 $6,5,4$ 放在 $a,c,e$ 的个位：$a+c+e=24\times 10+(6+5+4)=255$（个位再取大）
把最小的数字给 $b,d$：十位取 $2,1$，个位取 $3,0$：$b+d=23+10=33$（减数要最小）
求出最大值：$a-b+c-d+e=255-33=222$

第一套

题目：用 $1,2,\cdots,9$ 这 $9$ 个数字各一次组成 $3$ 个三位数 $a,b,c$。请问：$a-b+c$ 最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分清加减）：$a,c$ 带正号要尽量大，$b$ 带负号要尽量小。
第 2 步（先安排权重最大的百位）：把最大的两个数字 $9,8$ 给 $a,c$ 的百位，百位和为 $9+8=\underline{\quad}$；再把次大的 $7,6$ 给十位，十位和为 $7+6=\underline{\quad}$；剩下给个位的是 $5,4$，个位和为 $5+4=\underline{\quad}$。
第 3 步（算出 $a+c$）：$a+c=17\times 100+13\times 10+9=\underline{\quad}$。
第 4 步（减数取最小）：剩下的数字是 $1,2,3$，把小的放高位得 $b=\underline{\quad}$。
第 5 步（求最大值）：$a-b+c=1839-123=\underline{\quad}$。

第二套

题目：游戏里有 $10$ 张数字卡片 $0,1,2,\cdots,9$，每张用一次，两张拼成一个两位数。要拼出 $3$ 个「加分数」和 $2$ 个「扣分数」，最后得分 $=$ 三个加分数之和 $-$ 两个扣分数之和。请问：得分最高是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分清加减）：加分数要尽量大，扣分数要尽量小。
第 2 步（先排十位）：三个加分数的十位取最大的 $9,8,7$，十位和 $=9+8+7=\underline{\quad}$；个位取剩下最大的 $6,5,4$，个位和 $=6+5+4=\underline{\quad}$。
第 3 步：三个加分数之和 $=24\times 10+15=\underline{\quad}$。
第 4 步（扣分数取最小）：十位取 $2,1$，个位取 $3,0$，得 $23$ 和 $10$，两数之和 $=23+10=\underline{\quad}$。
第 5 步（求得分）：$255-33=\underline{\quad}$（分）。

第三套

题目：用 $0,1,2,\cdots,9$ 这 $10$ 个数字各一次组成 $5$ 个两位数 $a,b,c,d,e$（两位数的十位不能是 $0$）。请问：$a-b+c-d+e$ 最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（反过来想）：现在要式子最小，就要让带正号的 $a,c,e$ 尽量小、带负号的 $b,d$ 尽量大。
第 2 步（正号三数取小）：十位只能取非零的最小三个 $1,2,3$，十位和 $=1+2+3=\underline{\quad}$；个位取剩下最小的 $0,4,5$，个位和 $=0+4+5=\underline{\quad}$。于是 $a+c+e=6\times 10+9=\underline{\quad}$。
第 3 步（负号两数取大）：十位取 $9,8$，个位取 $7,6$，得 $97$ 和 $86$，$b+d=97+86=\underline{\quad}$。
第 4 步（求最小值）：$69-183=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $0,1,2,\cdots,9$ 这 $10$ 个数字各一次组成 $5$ 个两位数 $a,b,c,d,e$（十位不能是 $0$）。请问：$a-b+c-d+e$ 的最大值与最小值相差多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大值）：正号三数十位取 $9,8,7$、个位取 $6,5,4$，$a+c+e=96+85+74=\underline{\quad}$；负号两数取 $23,10$，$b+d=23+10=\underline{\quad}$；最大值 $=255-33=\underline{\quad}$。
第 2 步（求最小值）：正号三数改取 $10,24,35$，$a+c+e=10+24+35=\underline{\quad}$；负号两数改取 $97,86$，$b+d=97+86=\underline{\quad}$；最小值 $=69-183=\underline{\quad}$。
第 3 步（求差）：最大值减最小值 $=222-(-114)=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch07-xingqu-02】将 $135$ 个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？

详细思路

是哪类问题：这是「整数分拆求最多份数」类问题：把总量拆成互不相同的正整数，问最多能拆几份。

关键切入点：组数越多，每组人数就得越少；而互不相同的正整数中，最省人的取法就是 $1,2,3,\cdots$。所以先用等差数列求和 $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 去逼近 $135$，找出最大的 $n$，剩下的人再补进各组（补的时候只要保证各组人数仍互不相同即可）。

方法概述：用 $1+2+\cdots+n$ 逼近总数定出组数，再讨论余数怎么补。

规范步骤：

写出最省人的分法：$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$（等差数列求和）
逼近 $135$：$\dfrac{15\times 16}{2}=120\leqslant 135<\dfrac{16\times 17}{2}=136$（确定组数上界）
定组数：最多分成 $15$ 组（再多一组人就不够）
处理余下的人：$135-120=15$（余数要补进各组）
讨论补法：把 $15$ 人全加到最大的一组，最少的一组是 $1$ 人；给每组各加 $1$ 人得 $2,3,\cdots,16$，最少的一组是 $2$ 人（两种补法都合法）

第一套

题目：将 $230$ 个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚方向）：要组数最多，每组人就要尽量少，最省人的分法是 $1,2,3,\cdots$ 人。
第 2 步（用等差数列逼近）：$1+2+\cdots+20=\dfrac{20\times 21}{2}=\underline{\quad}$，$1+2+\cdots+21=\dfrac{21\times 22}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步（定组数）：因为 $210\leqslant 230<231$，所以最多能分成 $\underline{\quad}$ 组。
第 4 步（算余数）：还剩 $230-210=\underline{\quad}$ 人要补进去。
第 5 步（讨论补法）：把这些人全补给最大的一组，各组人数仍互不相同，最少的一组是 $\underline{\quad}$ 人；若给每组各加 $1$ 人得到 $2,3,\cdots,21$，最少的一组是 $\underline{\quad}$ 人。

第二套

题目：把 $135$ 块糖装进若干个盒子，要求任意两个盒子里的糖块数都不同，最多能装多少个盒子？这时装得最少的那个盒子里有多少块糖？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：盒子要最多，每盒糖就要尽量少，最省的装法是 $1,2,3,\cdots$ 块。
第 2 步：$1+2+\cdots+15=\dfrac{15\times 16}{2}=\underline{\quad}$，$1+2+\cdots+16=\dfrac{16\times 17}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：因为 $120\leqslant 135<136$，最多装 $\underline{\quad}$ 个盒子。
第 4 步：还剩 $135-120=\underline{\quad}$ 块糖要分掉。
第 5 步：全放进最多的那盒，最少的一盒是 $\underline{\quad}$ 块；每盒各加 $1$ 块得 $2,3,\cdots,16$，最少的一盒是 $\underline{\quad}$ 块。

第三套

题目：若干个互不相同的正整数，它们的和是 $100$。请问：这样的正整数最多有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：个数要最多，每个数就要尽量小，最省的取法是 $1,2,3,\cdots$。
第 2 步：$1+2+\cdots+13=\dfrac{13\times 14}{2}=\underline{\quad}$，$1+2+\cdots+14=\dfrac{14\times 15}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：因为 $91\leqslant 100<105$，所以最多有 $\underline{\quad}$ 个数。
第 4 步：还差 $100-91=\underline{\quad}$，把它加到最大的数 $13$ 上变成 $22$，各数仍互不相同，构造成立。

第三套

题目：将 $200$ 个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，且每组至少有 $2$ 个人。最多可以分成多少组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（下限改变了）：每组至少 $2$ 人且互不相同，最省人的分法变成 $2,3,4,\cdots$。
第 2 步（求和公式要改）：$2+3+\cdots+(k+1)=\dfrac{k(k+3)}{2}$。取 $k=18$：$\dfrac{18\times 21}{2}=\underline{\quad}$；取 $k=19$：$\dfrac{19\times 22}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步（定组数）：因为 $189\leqslant 200<209$，所以最多分成 $\underline{\quad}$ 组。
第 4 步（余数）：还剩 $200-189=\underline{\quad}$ 人，把他们全加到人数最多的那组即可，各组人数仍互不相同。

25. 【原题 ch07-xingqu-03】有 $11$ 个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？

详细思路

是哪类问题：这是「单循环赛场数最值」类问题：$n$ 人单循环要赛 $\frac{n(n-1)}{2}$ 场，分组后求总场数的最小值。

关键切入点：场数关于人数是二次的：把 $11$ 人分成 $a$ 与 $b=11-a$ 两组，总场数 $\frac{a(a-1)}{2}+\frac{b(b-1)}{2}$。人数越集中在一组，那一组内部要打的场次增长得越快，所以两组人数越接近，总场数越少。$11$ 只能分成最接近的 $5$ 和 $6$。

方法概述：两组人数尽量接近，再用 $\frac{n(n-1)}{2}$ 分别算场数相加。

规范步骤：

写出单循环场数公式：$n$ 人单循环共 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 场（每两人赛一场）
两组人数取最接近：$11=5+6$（二次式，越接近总和越小）
分别计算：$\dfrac{5\times 4}{2}=10$，$\dfrac{6\times 5}{2}=15$（代入公式）
求总场数：$10+15=25$

第一套

题目：有 $21$ 个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（公式）：$n$ 个人单循环共赛 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 场。
第 2 步（分组原则）：场数关于人数是二次的，两组人数越接近总场数越少，所以把 $21$ 分成 $10$ 和 $\underline{\quad}$。
第 3 步（分别算）：$\dfrac{10\times 9}{2}=\underline{\quad}$ 场，$\dfrac{11\times 10}{2}=\underline{\quad}$ 场。
第 4 步（求和）：$45+55=\underline{\quad}$ 场。

第二套

题目：某社团 $11$ 名成员举办乒乓球联赛，先分成两个小组，每个小组内部进行单循环（组内每两人赛一场）。请问：一共最少要打多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$n$ 人单循环共打 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 场。
第 2 步：两组人数越接近，总场数越少，把 $11$ 分成 $5$ 和 $\underline{\quad}$。
第 3 步：$\dfrac{5\times 4}{2}=\underline{\quad}$ 场，$\dfrac{6\times 5}{2}=\underline{\quad}$ 场。
第 4 步：合计 $10+15=\underline{\quad}$ 场。

第三套

题目：有 $11$ 个同学分成两组（每组至少 $1$ 人），每组进行单循环比赛。请问：他们最多需要比赛多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（反向思考）：现在要总场数最多，就要让两组人数尽量悬殊。
第 2 步（取极端）：一组只放 $1$ 人，另一组放 $11-1=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（分别算）：$1$ 人组 $\dfrac{1\times 0}{2}=\underline{\quad}$ 场，$10$ 人组 $\dfrac{10\times 9}{2}=\underline{\quad}$ 场。
第 4 步（求和）：$0+45=\underline{\quad}$ 场。

第三套

题目：有 $21$ 个同学要分成三个小组，每组进行单循环比赛。请问：他们最少需要比赛多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（推广原则）：分成三组时，同样是三组人数越接近，总场数越少。
第 2 步（分组）：$21\div 3=\underline{\quad}$，所以三组各 $7$ 人。
第 3 步（每组场数）：$\dfrac{7\times 6}{2}=\underline{\quad}$ 场。
第 4 步（总场数）：三组共 $21\times 3=\underline{\quad}$ 场。
第 5 步（验证更差的分法）：若分成 $6,7,8$ 人，场数为 $15+21+28=\underline{\quad}$ 场，确实更多。

26. 【原题 ch07-xingqu-04】我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如 $8=3+5$。有的数有几种不同的表示方法，例如 $100=3+97=11+89=17+83$。请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「质数分拆计数」类问题：从小到大枚举自然数，数一数它能写成两个不同质数之和的方法有几种，找出方法数恰为 $2$ 的最小数。

关键切入点：关键是「恰好两种」——既不能少于两种，也不能多于两种，所以必须从小往大逐个检验，第一个满足的就是答案。检验时只要让较小的质数从 $2$ 开始取，看差是不是质数、并且与它不相等即可。

方法概述：从小到大枚举，逐个统计写成两个不同质数之和的方法数。

规范步骤：

先看更小的数：$7=2+5$、$9=2+7$、$12=5+7$ 等都只有 $1$ 种（方法数不足）
检验 $16$：$16=3+13$，$16=5+11$（两个加数都是质数且互不相同）
确认没有第三种：$16-2=14$、$16-7=9$ 都不是质数（方法数恰为 $2$）
得出答案：最小的数是 $16$

第一套

题目：很多自然数可以表示成两个不同质数的和。请问：恰好有三种不同表示方法的最小数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（明确目标）：要「恰好三种」，必须从小到大逐个检验，第一个满足的就是答案。
第 2 步（排除较小的数）：$16$ 只有 $3+13$、$5+11$ 两种，$18$、$20$、$22$ 经检验也都只有两种，都不够。
第 3 步（检验 $24$）：$24=5+\underline{\quad}$，$24=7+\underline{\quad}$，$24=11+\underline{\quad}$，一共 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（确认没有第四种）：$24-2=22$、$24-3=21$ 都不是质数。
第 5 步（写出答案）：最小的数是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：小明收集邮票，他发现有些面值可以用两张面值互不相同、且面值都是质数的邮票拼出来，例如 $8=3+5$。请问：恰好有两种拼法的最小面值是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：从小到大逐个面值检验，找第一个恰好有两种拼法的。
第 2 步：$7=2+5$、$12=5+7$ 等都只有一种拼法，不合要求。
第 3 步（检验 $16$）：$16=3+\underline{\quad}$，$16=5+\underline{\quad}$，共 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（确认没有第三种）：$16-2=14$、$16-7=9$ 都不是质数。
第 5 步：最小面值是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：在不超过 $100$ 的自然数中，哪个数写成两个不同质数之和的方法最多？一共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找方向）：偶数才可能有很多种拆法（奇数只能是 $2+$ 质数，至多一种），且要让 $100$ 以内的小质数尽量多地配上另一个质数。
第 2 步（检验 $90$）：$90=7+\underline{\quad}=11+\underline{\quad}=17+\underline{\quad}=19+\underline{\quad}=23+\underline{\quad}=29+\underline{\quad}=31+\underline{\quad}=37+\underline{\quad}=43+\underline{\quad}$。
第 3 步（数一数）：一共有 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（比较）：其余不超过 $100$ 的数经逐一检验方法数都少于 $9$ 种，所以答案是 $90$。

第三套

题目：有些自然数可以表示成三个互不相同的质数之和，例如 $10=2+3+5$。请问：恰好有两种这样表示方法的最小数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找起点）：三个互不相同的质数之和最小是 $2+3+5=\underline{\quad}$，所以从 $10$ 开始检验。
第 2 步（逐个排除）：$10,12,13,\cdots,17$ 经检验都至多只有一种表示方法。
第 3 步（检验 $18$）：$18=2+3+\underline{\quad}$，$18=2+5+\underline{\quad}$，恰好 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（确认没有第三种）：$18=3+5+10$、$18=2+7+9$ 中的 $10,9$ 都不是质数。
第 5 步：答案是 $\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch07-xingqu-05】一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「比值最值」类问题：把商看成「数值 $\div$ 数字和」，像浓度一样，分子相对越大商越大、分母相对越大商越小。

关键切入点：$\frac{\overline{abc}}{a+b+c}=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}$。百位数字 $a$ 在分子里算 $100$、在分母里只算 $1$，「性价比」最高；个位数字 $c$ 在分子分母里都算 $1$，最「拖后腿」。所以要商最大就只留百位（取 $100$）；要商最小就让十位、个位尽量大（取 $199$）。

方法概述：把商看成数值与数字和之比，分别让高位数字独占或让低位数字塞满。

规范步骤：

写出商的表达式：$\dfrac{\overline{abc}}{a+b+c}=\dfrac{100a+10b+c}{a+b+c}$（建立比值模型）
求最大：让分母最小：取 $\overline{abc}=100$，商 $=\dfrac{100}{1}=100$（$b=c=0$ 时分母只剩 $a$）
求最小：让分母相对最大：取 $\overline{abc}=199$，数字和 $=1+9+9=19$（十位个位都取 $9$）
算出最小商：$\dfrac{199}{19}=10\dfrac{9}{19}$（$19\times 10=190$，余 $9$）

第一套

题目：一个四位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（建模）：商 $=\dfrac{1000a+100b+10c+d}{a+b+c+d}$，千位「性价比」最高，个位最拖后腿。
第 2 步（求最大）：让后三位都取 $0$，取 $1000$，数字和 $=1+0+0+0=\underline{\quad}$，商 $=\dfrac{1000}{1}=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小）：让低位尽量大、千位尽量小，取 $1099$，数字和 $=1+0+9+9=\underline{\quad}$。
第 4 步（化成带分数）：$19\times 57=\underline{\quad}$，$1099-1083=\underline{\quad}$，所以商 $=\dfrac{1099}{19}=57\dfrac{16}{19}$。

第二套

题目：某储物柜的密码是一个三位数，管理员规定「安全值」等于这个三位数除以它各位数字之和所得的商。请问：安全值最大是多少？最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：安全值 $=\dfrac{100a+10b+c}{a+b+c}$，百位数字在分子上算 $100$、在分母上只算 $1$。
第 2 步（求最大）：让十位、个位都取 $0$，密码取 $100$，数字和 $=1+0+0=\underline{\quad}$，安全值 $=\dfrac{100}{1}=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小）：让十位、个位都取 $9$，密码取 $199$，数字和 $=1+9+9=\underline{\quad}$。
第 4 步：$19\times 10=\underline{\quad}$，$199-190=\underline{\quad}$，所以最小安全值 $=\dfrac{199}{19}=10\dfrac{9}{19}$。

第三套

题目：一个三位数除以它的各位数字之积（各位数字都不为 $0$），商最大是多少？商最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（建模）：商 $=\dfrac{100a+10b+c}{a\times b\times c}$。分母是乘积，低位数字取大时分母涨得特别快，所以要商小就让三个数字都取 $9$。
第 2 步（求最大）：让分母最小，三个数字都取 $1$，$1\times 1\times 1=\underline{\quad}$，此时三位数是 $111$，商 $=\dfrac{111}{1}=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小）：取 $999$，数字积 $=9\times 9\times 9=\underline{\quad}$，商 $=\dfrac{999}{729}$。
第 4 步（约分）：分子分母同除以 $27$，$999\div 27=\underline{\quad}$，$729\div 27=\underline{\quad}$，所以最小商 $=\dfrac{37}{27}$。

第三套

题目：一个三位数除以它的各位数字之和，所得的商最大与最小相差多少？（结果用带分数表示）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大商）：取 $100$，商 $=\dfrac{100}{1}=\underline{\quad}$。
第 2 步（求最小商）：取 $199$，数字和 $=1+9+9=\underline{\quad}$，商 $=\dfrac{199}{19}$。
第 3 步（通分相减）：把 $100$ 写成 $\dfrac{100\times 19}{19}=\dfrac{\underline{\quad}}{19}$，于是差 $=\dfrac{1900-199}{19}=\dfrac{\underline{\quad}}{19}$。
第 4 步（化带分数）：$19\times 89=\underline{\quad}$，$1701-1691=\underline{\quad}$，所以差 $=89\dfrac{10}{19}$。

28. 【原题 ch07-xingqu-06】（1）在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？（2）从 $1$ 至 $9$ 中选取四个不同的数字填入算式 $\dfrac{\square}{\square}+\dfrac{\square}{\square}$ 中，使算式的结果小于 $1$。这个结果最大是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「分数逼近与最值」类问题：先求分母受限时两个最简真分数的最小差，再用这个最小差去卡「和小于 $1$ 且最大」。

关键切入点：两个分数 $\frac{m}{a}-\frac{n}{b}=\frac{mb-na}{ab}$，分子是整数且不为 $0$，所以差至少是 $\frac{1}{ab}$。分母都是一位数时 $ab\leqslant 9\times 8=72$（同分母时差至少 $\frac{1}{9}$，更大），故最小差是 $\frac{1}{72}$。第 (2) 问中和与 $1$ 的差也是这种形式，同样至少 $\frac{1}{72}$，所以最大只能是 $1-\frac{1}{72}=\frac{71}{72}$，再构造出取到它的例子。

方法概述：用「差的分子至少为 $1$」得到下界 $\frac{1}{ab}$，再构造实例说明下界可以取到。

规范步骤：

同分母情形：差为 $\dfrac{1}{a}\geqslant\dfrac{1}{9}$（分母是一位数）
异分母情形：差 $=\dfrac{mb-na}{ab}\geqslant\dfrac{1}{ab}\geqslant\dfrac{1}{9\times 8}=\dfrac{1}{72}$（分子至少为 $1$）
构造取到最小差：$\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{9-8}{72}=\dfrac{1}{72}$（两个都是最简真分数）
第 (2) 问的上界：和与 $1$ 的差至少 $\dfrac{1}{72}$，故和至多 $1-\dfrac{1}{72}=\dfrac{71}{72}$（同一个下界）
构造取到最大和：$\dfrac{7}{8}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{63+8}{72}=\dfrac{71}{72}<1$（四个数字 $7,8,1,9$ 互不相同）

第一套

题目：（1）在分母不超过 $12$ 的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？（2）从 $1$ 至 $12$ 中选取四个不同的数填入算式 $\dfrac{\square}{\square}+\dfrac{\square}{\square}$ 中，使算式的结果小于 $1$。这个结果最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（差的下界）：$\dfrac{m}{a}-\dfrac{n}{b}=\dfrac{mb-na}{ab}$，分子是不为 $0$ 的整数，所以差至少是 $\dfrac{1}{ab}$。
第 2 步（把分母取到最大）：分母不超过 $12$，取最大的两个分母 $11$ 和 $12$，$11\times 12=\underline{\quad}$，所以最小差是 $\dfrac{1}{132}$（如 $\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{12}$）。
第 3 步（第 (2) 问的上界）：和与 $1$ 的差同样至少 $\dfrac{1}{132}$，所以和最大是 $1-\dfrac{1}{132}=\dfrac{\underline{\quad}}{132}$。
第 4 步（构造验证）：取 $\dfrac{10}{11}+\dfrac{1}{12}$，通分后分子为 $10\times 12+1\times 11=\underline{\quad}$，正好是 $\dfrac{131}{132}$。

第二套

题目：做手工时要把一根绳子按分数比例分段，段长比例只能写成分母是一位数的最简真分数。（1）两个不相等的比例最少相差多少？（2）从 $1$ 至 $9$ 中选四个不同的数字组成 $\dfrac{\square}{\square}+\dfrac{\square}{\square}$，要求两段合起来不足整根绳子。这个和最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（差的下界）：两个分数之差 $=\dfrac{mb-na}{ab}$，分子至少为 $1$，所以差至少 $\dfrac{1}{ab}$。
第 2 步（取最大的两个分母）：分母是一位数，取 $8$ 和 $9$，$8\times 9=\underline{\quad}$，最小差是 $\dfrac{1}{72}$。
第 3 步（第 (2) 问上界）：和与 $1$ 的差也至少 $\dfrac{1}{72}$，所以和最大是 $1-\dfrac{1}{72}=\dfrac{\underline{\quad}}{72}$。
第 4 步（构造验证）：取 $\dfrac{7}{8}+\dfrac{1}{9}$，通分后分子 $=7\times 9+1\times 8=\underline{\quad}$，即 $\dfrac{71}{72}$。

第三套

题目：从 $1$ 至 $9$ 中选取四个不同的数填入算式 $\dfrac{\square}{\square}+\dfrac{\square}{\square}$ 中，使算式的结果最小。这个最小值是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（方向反过来）：要和最小，分子要取最小的两个数 $1,2$，分母要取最大的两个数 $8,9$。
第 2 步（只剩两种搭配）：$\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{9}$ 与 $\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{8}$，公分母都是 $72$。
第 3 步（分别通分）：$\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{9+16}{72}=\dfrac{\underline{\quad}}{72}$；$\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{8}=\dfrac{8+18}{72}=\dfrac{\underline{\quad}}{72}$。
第 4 步（比较）：$\dfrac{25}{72}<\dfrac{26}{72}$，所以最小值是 $\dfrac{\underline{\quad}}{72}$。

第三套

题目：从 $1$ 至 $9$ 中选取六个不同的数填入算式 $\dfrac{\square}{\square}+\dfrac{\square}{\square}+\dfrac{\square}{\square}$ 中，使算式的结果小于 $1$。这个结果最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找公分母）：三个分数的和要尽量接近 $1$，分母取最大的三个数 $7,8,9$，公分母 $=7\times 8\times 9=\underline{\quad}$。
第 2 步（定上界）：和与 $1$ 的差写成分母为 $504$ 的分数时分子至少为 $1$，所以和最大是 $1-\dfrac{1}{504}=\dfrac{\underline{\quad}}{504}$。
第 3 步（构造验证）：取 $\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{7}+\dfrac{4}{9}$，通分后分子 $=1\times 63+3\times 72+4\times 56=\underline{\quad}$，恰好等于 $\dfrac{503}{504}$，且六个数字 $1,8,3,7,4,9$ 互不相同。

29. 【原题 ch07-xingqu-07】如图 $7\text{-}1$，等腰直角三角形 $ABC$ 中，$CA=CB=4$ 厘米，在其中作一个矩形 $CDEF$，矩形 $CDEF$ 的面积最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「和定积最大」类几何最值题：矩形两条边的和被三角形锁成了定值，于是两边相等时面积最大。

关键切入点：等腰直角三角形 $ABC$ 中 $\angle B=45^\circ$，所以斜边上截出的小三角形 $BDE$ 也是等腰直角三角形，$DE=BD$。设 $CD=x$，则 $BD=4-x$，于是矩形的另一边 $CF=DE=BD=4-x$。这样矩形两边之和 $x+(4-x)=4$ 恒为定值，属于「和一定，两数越接近积越大」。

方法概述：用等腰直角三角形把矩形两边之和锁成定值 $4$，再用和定积最大。

规范步骤：

设未知边：设 $CD=x$（$0<x<4$）（引入变量）
用等腰直角三角形定另一边：$CF=DE=BD=4-x$（$\angle B=45^\circ$）
写出面积：$S=x(4-x)$，且 $x+(4-x)=4$ 为定值（和一定）
用和定积最大：当 $x=4-x$ 即 $x=2$ 时 $S$ 最大（两数相等时积最大）
算出最大面积：$S=2\times 2=4$（平方厘米）

第一套

题目：等腰直角三角形 $ABC$ 中，$CA=CB=10$ 厘米，在其中作一个矩形 $CDEF$（$D$ 在 $CB$ 上，$F$ 在 $CA$ 上，$E$ 在斜边 $AB$ 上）。矩形 $CDEF$ 的面积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找定值）：设 $CD=x$，因为 $\angle B=45^\circ$，小三角形 $BDE$ 也是等腰直角三角形，所以 $CF=DE=BD=10-x$。
第 2 步（写出和）：矩形两边之和 $=x+(10-x)=\underline{\quad}$，是一个定值。
第 3 步（和定积最大）：两边相等时面积最大，$x=10\div 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（算面积）：$S=5\times 5=\underline{\quad}$（平方厘米）。

第二套

题目：木工师傅有一块等腰直角三角形木板，两条直角边都是 $4$ 分米。他要在木板上锯出一个长方形，长方形的一个角与木板的直角重合，对角落在斜边上。请问：这个长方形的面积最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找定值）：设长方形贴着一条直角边的边长为 $x$ 分米，由等腰直角三角形可知另一边长为 $4-x$ 分米。
第 2 步（写出和）：两边之和 $=x+(4-x)=\underline{\quad}$（分米），是定值。
第 3 步（和定积最大）：两边相等时面积最大，$x=4\div 2=\underline{\quad}$（分米）。
第 4 步（算面积）：$S=2\times 2=\underline{\quad}$（平方分米）。

第三套

题目：一个长方形的长与宽的和是 $20$ 厘米，它的面积最大是多少平方厘米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（识别模型）：两个数的和是定值 $20$，求它们的积最大——这就是「和定积最大」。
第 2 步（取相等）：两数相等时积最大，长 $=$ 宽 $=20\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第 3 步（算面积）：$S=10\times 10=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第 4 步（验证）：若长宽取 $12$ 和 $8$，面积 $=12\times 8=\underline{\quad}$，确实比 $100$ 小。

第三套

题目：等腰直角三角形 $ABC$ 中，$CA=CB=12$ 厘米，在其中作一个矩形 $CDEF$。请问：矩形面积最大是多少？此时三角形的面积是矩形面积的几倍？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找定值）：设 $CD=x$，则 $CF=DE=BD=12-x$，两边之和 $=x+(12-x)=\underline{\quad}$（定值）。
第 2 步（和定积最大）：$x=12\div 2=\underline{\quad}$（厘米），最大面积 $S=6\times 6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第 3 步（算三角形面积）：$S_{\triangle}=\dfrac{12\times 12}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第 4 步（求倍数）：$72\div 36=\underline{\quad}$，即三角形面积是矩形的 $2$ 倍（矩形恰好占三角形的一半）。

30. 【原题 ch07-xingqu-08】如图 $7\text{-}2$，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形，这个八边形的边长恰好为 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 这 $8$ 个数，那么这个八边形的面积最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「图形割补 + 最值」类问题：八边形 $=$ 大长方形 $-$ 挖去的两个小长方形，要在边长拼接约束下让剩下的面积最大。

关键切入点：八条边长必须两两配合成大长方形的长和宽（挖角处的两段横边合起来等于大长方形的长，两段竖边合起来等于宽），所以 $1\sim 8$ 要按这种配对关系分配。要面积最大，就让大长方形本身尽量大（长与宽尽量接近），同时让挖去的两个小长方形尽量小。

方法概述：大长方形面积取大、挖去部分取小，按边长拼接约束分配 $1\sim 8$。

规范步骤：

写出面积关系：$S_{\text{八边形}}=S_{\text{大长方形}}-S_{\text{小长方形1}}-S_{\text{小长方形2}}$（整体减部分）
看边长约束：$1+2+\cdots+8=36$，八条边要按拼接关系配成大长方形的长与宽（边长拼接）
定优化方向：大长方形长宽尽量接近使其面积大，挖去的两个小长方形边长尽量小（两头同时优化）
按图给出的分配得出结果：$S_{\text{八边形}}$ 最大为 $70$（题库给定答案）

31. 【原题 ch07-xingqu-09】在 $4\times 4$ 的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点。请问：最多可以将多少个方格染成黑色？

详细思路

是哪类问题：这是「上界估计 + 构造」类问题：先证明「最多不超过某个数」，再造出一个恰好达到的例子。

关键切入点：两个黑格「没有公共顶点」意味着它们不能在同一个 $2\times 2$ 的小方块里（同一小方块内任意两格要么共边要么共顶点）。把 $4\times 4$ 恰好切成 $4$ 个 $2\times 2$ 的小方块，每块至多一个黑格，就得到上界 $4$；再给出一个真正染到 $4$ 个的例子，说明 $4$ 能取到。

方法概述：分块给上界，再构造实例达到上界。

规范步骤：

分块：把 $4\times 4$ 分成 $4$ 个 $2\times 2$ 小方块（$\dfrac{4}{2}\times\dfrac{4}{2}=4$ 块）
每块至多一个黑格：同一 $2\times 2$ 内任意两格都有公共顶点（给出上界）
得上界：黑格数 $\leqslant 1\times 4=4$
构造：取第 $1,3$ 行的第 $1,3$ 列共 $4$ 格染黑，两两既不共边也不共顶点（上界可达）
结论：最多染 $4$ 个

第一套

题目：在 $6\times 6$ 的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点。请问：最多可以将多少个方格染成黑色？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数总格数）：$6\times 6=\underline{\quad}$ 格。
第 2 步（分块给上界）：把方格表切成 $2\times 2$ 的小方块，一共 $(6\div 2)\times(6\div 2)=\underline{\quad}$ 块；同一小方块里任意两格都有公共顶点，所以每块至多 $1$ 个黑格。
第 3 步（得上界）：黑格数不超过 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（构造）：取第 $1,3,5$ 行与第 $1,3,5$ 列的交叉处共 $9$ 格染黑，两两既不共边也不共顶点，上界可以达到。

第二套

题目：集邮册每页有 $4\times 4$ 个方格贴位。小明要在其中贴邮票，要求任意两张邮票所占的方格都没有公共顶点。请问：一页最多能贴多少张邮票？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数总格数）：$4\times 4=\underline{\quad}$ 格。
第 2 步（分块给上界）：切成 $2\times 2$ 的小方块共 $(4\div 2)\times(4\div 2)=\underline{\quad}$ 块，每块至多贴 $1$ 张。
第 3 步（得上界）：至多 $\underline{\quad}$ 张。
第 4 步（构造）：在第 $1,3$ 行的第 $1,3$ 列各贴一张，共 $4$ 张，互相都不共顶点，上界可以达到。

第三套

题目：在 $4\times 4$ 的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共边（可以有公共顶点）。请问：最多可以将多少个方格染成黑色？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（限制放松了）：现在只禁止共边，斜着相邻是允许的，所以能染的格子会更多。
第 2 步（黑白相间染色给上界）：把方格表按国际象棋盘黑白相间地涂色，$4\times 4=\underline{\quad}$ 格中同色格各有 $16\div 2=\underline{\quad}$ 格；任意两个同色格都不共边。
第 3 步（说明不能更多）：任取一行的 $4$ 格，其中相邻两格不能同时染黑，每行至多染 $2$ 格，$4$ 行至多 $\underline{\quad}$ 格。
第 4 步（构造）：把所有同色的 $8$ 格全染黑即可达到。

第三套

题目：在 $8\times 8$ 的国际象棋棋盘上将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点。请问：最多能染多少个方格？这些黑格占全部方格的几分之几？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数总格数）：$8\times 8=\underline{\quad}$ 格。
第 2 步（分块给上界）：切成 $2\times 2$ 小方块共 $(8\div 2)\times(8\div 2)=\underline{\quad}$ 块，每块至多 $1$ 个黑格。
第 3 步（得上界并构造）：至多 $\underline{\quad}$ 个；取第 $1,3,5,7$ 行与第 $1,3,5,7$ 列的交叉处即可达到。
第 4 步（求占比）：$64\div 16=\underline{\quad}$，所以黑格占全部方格的 $\dfrac{1}{4}$。

32. 【原题 ch07-xingqu-10】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦，他精通数学、物理，聪慧过人。有一天，一位将军向他请教一个问题：如图 $7\text{-}3$，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？

详细思路

是哪类问题：这是「对称化直」类最短路径问题：折线路程通过轴对称变换化成一条直线段，再用「两点之间线段最短」。

关键切入点：难点在于总路程是「甲$\to C$ 加 $C\to$ 乙」这样的折线，无法直接比较。作乙关于河边的对称点 $乙'$ 后，对河边上任意一点 $C$ 都有 $C乙=C乙'$，于是总路程等于「甲$\to C\to 乙'$」，这是从甲到 $乙'$ 的一条折线，当 $C$ 落在线段甲$乙'$ 上时最短。

方法概述：把一点关于河边作对称，化折线为直线，取连线与河边的交点。

规范步骤：

作对称点：作乙地关于河边所在直线的对称点 $乙'$（轴对称）
转化路程：对河边上任意点 $C$，有 $C乙=C乙'$，故甲$C+C乙=$ 甲$C+C乙'$（对称保距）
用线段最短：甲$C+C乙'\geqslant$ 甲$乙'$，等号当且仅当 $C$ 在线段甲$乙'$ 上（两点之间线段最短）
定出饮水点：连接甲与 $乙'$，它与河边的交点即为最佳饮水点 $C$

竞赛数学 · 六年级第7讲《最值问题二》举一反三练习卷

附录 · 答案

竞赛数学 · 六年级 第7讲《最值问题二》举一反三练习卷

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