竞赛数学 · 六年级 第8讲《不定方程》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch08-chaoyue-01】求不定方程 $35x+64y=1625$ 的所有自然数解。
详细思路
是哪类问题：这是「整除性（被 5 整除）定余数类」的不定方程：系数大，必须先用整除性把候选缩小，再枚举。
关键切入点：$1625$ 与 $35x$ 都是 $5$ 的倍数，所以 $64y$ 也必须是 $5$ 的倍数；$64$ 与 $5$ 互质，于是 $y$ 一定是 $5$ 的倍数。这一步把 $y$ 的候选从 $26$ 个减少到 $5$ 个（$y=0,5,10,15,20,25$ 中还要 $64y\le1625$）。逐个试，只有 $y=15$ 时 $35x=1625-960=665$ 能被 $35$ 整除。
方法概述：用被 5 整除的条件把 $y$ 限成 5 的倍数，再逐个检验。
规范步骤：
  1. 看整除特征：$1625$ 与 $35x$ 都是 5 的倍数 $\Rightarrow 5\mid 64y$（整除性）
  2. 因 $(64,5)=1$：$5\mid y$，即 $y=0,5,10,15,20,25$（互质推出）
  3. 逐个检验：$y=15:35x=1625-960=665,\ x=19$（枚举）
  4. 其余均不整除：$y=0,5,10,20,25$ 时 $1625-64y$ 都不是 35 的倍数（排除）
  5. 答：$x=19,\ y=15$
第一套
题目：求不定方程 $35x+64y=2825$ 的所有自然数解。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看整除特征）：$2825$ 与 $35x$ 都是 $\underline{\quad}$ 的倍数，所以 $64y$ 也必须是它的倍数。
  2. 第 2 步（推出 $y$ 的形式）：$64$ 与 5 互质，所以 $y$ 一定是 5 的倍数；又 $64y\le 2825$ 得 $y\le\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（逐个检验）：$y=25$ 时 $64y=\underline{\quad}$，$35x=2825-1600=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：$35\times35+64\times25=1225+1600=\underline{\quad}$，符合。
第二套
题目：某工程队用两种规格的钢管拼接管道，一种每根 35 米，另一种每根 64 米，恰好拼出 2825 米（某种规格可以一根都不用）。问：两种钢管各用了多少根？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（看整除特征）：$2825$ 与 $35x$ 都是 $\underline{\quad}$ 的倍数，所以 $64y$ 也是。
  2. 第 2 步（推出 $y$）：$y$ 必是 5 的倍数，又 $64y\le2825$ 得 $y\le\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（检验）：$y=25$ 时 $64y=\underline{\quad}$，$35x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验算）：$1225+1600=\underline{\quad}$ 米。
第三套
题目：求不定方程 $45x+64y=2075$ 的所有自然数解。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整除特征）：$2075$ 与 $45x$ 都是 $\underline{\quad}$ 的倍数，所以 $5\mid 64y$，从而 $y$ 是 5 的倍数。
  2. 第 2 步（定范围）：由 $64y\le2075$ 得 $y\le\underline{\quad}$，所以 $y=0,5,10,15,20,25,30$。
  3. 第 3 步（逐个检验）：$y=5$ 时 $45x=2075-320=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$，整除成立。
  4. 第 4 步（验算）：$45\times39+64\times5=1755+320=\underline{\quad}$。
第三套
题目：求不定方程 $35x+64y=4425$ 的所有自然数解。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整除特征）：$4425$ 与 $35x$ 都是 5 的倍数，所以 $y$ 是 $\underline{\quad}$ 的倍数，设 $y=5t$。
  2. 第 2 步（化简）：代入得 $35x+320t=4425$，两边同除 5 得 $7x+64t=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（余数分析）：$64t$ 与 $t$ 除以 7 同余，$885$ 除以 7 余 $\underline{\quad}$，所以 $t$ 除以 7 余 3。
  4. 第 4 步（取遍范围内的 $t$）：由 $64t\le885$ 得 $t\le13$，故 $t=3$ 或 $t=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：$t=3$ 时 $y=15$，$7x=885-192=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$；$t=10$ 时 $y=50$，$7x=885-640=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch08-chaoyue-02】一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共 1355 斤。其中苹果每筐 60 斤，每斤定价 1.5 元；梨每筐 55 斤，每斤定价 1.5 元；桃子每筐 45 斤，每斤定价 1.8 元。批发市场是以定价的 70% 购入这些水果的，如果全部售完，将获得 638.1 元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐？
详细思路
是哪类问题：这是「利润关系 + 三元一次方程组」：先把“以定价的 70% 购入”翻译成“利润 = 售价的 30%”，再想办法只留一个未知数。
关键切入点：总重量 $60x+55y+45z=1355$。售价合计 $=1.5\times60x+1.5\times55y+1.8\times45z$，其中前两项的单价相同，可以合起来用总重量代换：$1.5\times(1355-45z)+81z=2032.5+13.5z$。于是利润 $=0.3\times(2032.5+13.5z)=609.75+4.05z=638.1$，**只剩 $z$**，一步解出 $z=7$。再回到重量方程求 $x,y$。
方法概述：利用两种水果单价相同，把售价写成只含 $z$ 的式子，先解出桃子筐数。
规范步骤：
  1. 设苹果 $x$ 筐、梨 $y$ 筐、桃子 $z$ 筐：$60x+55y+45z=1355$（按总重量列式）
  2. 把售价用总重量代换：$1.5(1355-45z)+1.8\times45z=2032.5+13.5z$（同单价合并）
  3. 利润 = 售价的 30%：$0.3(2032.5+13.5z)=609.75+4.05z=638.1$（利润与成本关系）
  4. 解出 $z$：$4.05z=28.35\Rightarrow z=7$（一元方程）
  5. 回代求 $x,y$：$60x+55y=1040\Rightarrow 12x+11y=208\Rightarrow x=10,\ y=8$（余数分析）
第一套
题目：一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共 1765 斤。其中苹果每筐 65 斤、每斤定价 1.5 元；梨每筐 60 斤、每斤定价 1.5 元；桃子每筐 50 斤、每斤定价 2 元。批发市场以定价的 70% 购入，全部售完将获得 861.75 元的利润。请问：三种水果各运进多少筐？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列重量方程）：设苹果 $x$ 筐、梨 $y$ 筐、桃子 $z$ 筐，$65x+60y+50z=1765$。
  2. 第 2 步（把售价写成只含 $z$ 的式子）：苹果与梨每斤都是 1.5 元，合起来是 $1.5\times(1765-50z)$，桃子是 $2\times50z=100z$，所以售价合计 $=2647.5-75z+100z=2647.5+\underline{\quad}z$。
  3. 第 3 步（利润 = 售价的 30%）：$0.3\times(2647.5+25z)=794.25+7.5z=861.75$，所以 $7.5z=\underline{\quad}$，$z=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代重量方程）：$65x+60y=1765-450=\underline{\quad}$，两边同除 5 得 $13x+12y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（余数分析求解）：$12y$ 与 $-y$ 除以 13 同余，$263$ 除以 13 余 $\underline{\quad}$，得 $y$ 除以 13 余 10，故 $y=10$，$x=(263-120)\div13=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一家粮油店运进大米、面粉和小米共 1765 斤。大米每袋 65 斤、每斤定价 1.5 元；面粉每袋 60 斤、每斤定价 1.5 元；小米每袋 50 斤、每斤定价 2 元。粮油店以定价的 70% 进货，全部售完将获利 861.75 元。请问：三种粮食各运进多少袋？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列重量方程）：$65x+60y+50z=1765$。
  2. 第 2 步（售价只含 $z$）：$1.5\times(1765-50z)+100z=2647.5+\underline{\quad}z$。
  3. 第 3 步（利润是售价的 30%）：$794.25+7.5z=861.75$，$7.5z=\underline{\quad}$，$z=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$65x+60y=\underline{\quad}$，同除 5 得 $13x+12y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（余数分析）：$263$ 除以 13 余 $\underline{\quad}$，得 $y=10$，$x=\underline{\quad}$。
第三套
题目：水果市场运进苹果、梨和桃子共 1435 斤。苹果每筐 60 斤、每斤 1.5 元；梨每筐 55 斤、每斤 1.5 元；桃子每筐 45 斤、每斤 1.8 元。以定价的 70% 购入，全部售完获利 682.2 元。问：三种水果各多少筐？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列重量方程）：$60x+55y+45z=1435$。
  2. 第 2 步（售价只含 $z$）：$1.5\times(1435-45z)+1.8\times45z=2152.5+\underline{\quad}z$。
  3. 第 3 步（利润是售价的 30%）：$645.75+4.05z=682.2$，$4.05z=\underline{\quad}$，$z=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$60x+55y=1435-405=\underline{\quad}$，同除 5 得 $12x+11y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（余数分析）：$206$ 除以 12 余 $\underline{\quad}$，$11y$ 与 $-y$ 同余，得 $y=10$，$x=(206-110)\div12=\underline{\quad}$。
第三套
题目：水果市场运进苹果、梨和桃子共 1765 斤。苹果每筐 65 斤、每斤 1.5 元；梨每筐 60 斤、每斤 1.5 元；桃子每筐 50 斤、每斤 2 元。以定价的 70% 购入，全部售完获利 861.75 元。请问：三种水果各多少筐？全部售完的销售额和进货成本各是多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（解出桃子筐数）：售价合计 $=2647.5+25z$，利润 $=0.3\times(2647.5+25z)=861.75$，得 $7.5z=\underline{\quad}$，$z=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（回代求另两种）：$65x+60y=\underline{\quad}$，同除 5 得 $13x+12y=263$，解得 $y=10$，$x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求销售额）：利润是销售额的 $30\%$，所以销售额 $=861.75\div0.3=\underline{\quad}$ 元。
  4. 第 4 步（求进货成本）：成本是销售额的 $70\%$，即 $2872.5\times0.7=\underline{\quad}$ 元。
  5. 第 5 步（验算）：$2872.5-2010.75=\underline{\quad}$ 元，正是题目给的利润。
3. 【原题 ch08-chaoyue-03】雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的 2 倍。这天除了某张桌子坐满外，其他两人桌每桌都只坐 1 人，三人桌每桌都只坐 2 人，四人桌每桌都只坐 3 人，且恰好平均每 11 人占用 17 个座位。请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？
详细思路
是哪类问题：这是「分数（比例）方程化不定方程」：把“每 11 人占 17 个座位”写成分数等式，化简后得到一个简单的二元关系，再用“五十多张”定解。
关键切入点：设三人桌 $x$ 张、四人桌 $y$ 张，则两人桌 $2y$ 张。坐的人数 $=2y\times1+x\times2+y\times3+1=2x+5y+1$（那张坐满的桌子多 1 人）；座位数 $=2\times2y+3x+4y=3x+8y$。由 $\frac{2x+5y+1}{3x+8y}=\frac{11}{17}$ 交叉相乘得 $34x+85y+17=33x+88y$，化简为 $x+17=3y$。再看总张数 $x+y+2y=x+3y=2x+17$，要落在 $50\sim59$，且 $x\equiv1\pmod 3$，得 $x=19$。
方法概述：把比例写成等式交叉相乘化简，再用总张数范围定解。
规范步骤：
  1. 设三人桌 $x$、四人桌 $y$、两人桌 $2y$：人数 $=2x+5y+1$，座位 $=3x+8y$（分别计数）
  2. 列比例并交叉相乘：$17(2x+5y+1)=11(3x+8y)$（比例关系）
  3. 化简：$34x+85y+17=33x+88y\Rightarrow x+17=3y$（移项合并）
  4. 用总张数范围：总数 $=x+3y=2x+17\in[50,59]\Rightarrow x\le21$，且 $3\mid x+17$（范围 + 整除）
  5. 定解：$x=19,\ y=12$，两人桌 $24$ 张，共 $55$ 张（求解）
第一套
题目：图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共六十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的 2 倍。这天除了某张桌子坐满外，其他两人桌每桌只坐 1 人，三人桌每桌只坐 2 人，四人桌每桌只坐 3 人，且恰好平均每 13 人占用 20 个座位。请问：三种桌子各有多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分别计数）：设三人桌 $x$ 张、四人桌 $y$ 张，两人桌 $2y$ 张。人数 $=2y+2x+3y+1=2x+\underline{\quad}y+1$；座位数 $=4y+3x+4y=3x+\underline{\quad}y$。
  2. 第 2 步（列比例并交叉相乘）：$\frac{2x+5y+1}{3x+8y}=\frac{13}{20}$，即 $20(2x+5y+1)=13(3x+8y)$，展开得 $40x+100y+20=39x+\underline{\quad}y$。
  3. 第 3 步（化简）：移项得 $x+20=\underline{\quad}y$。
  4. 第 4 步（用总张数范围）：总张数 $=x+3y$，把 $y=\frac{x+20}{4}$ 代入得 $\frac{7x+60}{4}$，要落在 $60\sim69$，解得 $x$ 在 $26$ 到 $30$ 之间且是 4 的倍数，故 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求各类张数）：$y=(28+20)\div4=\underline{\quad}$，两人桌 $2y=\underline{\quad}$ 张，总数 $28+36=\underline{\quad}$ 张。
第二套
题目：自习室里有两人桌、三人桌和四人桌共六十多张，其中两人桌的数量是四人桌的 2 倍。某天除一张桌子坐满外，其余两人桌每桌只坐 1 人、三人桌每桌只坐 2 人、四人桌每桌只坐 3 人，恰好平均每 13 人占用 20 个座位。问：三种桌子各多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（计数）：人数 $=2x+\underline{\quad}y+1$，座位数 $=3x+\underline{\quad}y$。
  2. 第 2 步（交叉相乘）：$20(2x+5y+1)=13(3x+8y)$，右边 $y$ 的系数是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（化简）：$x+20=\underline{\quad}y$。
  4. 第 4 步（用范围）：总张数 $\frac{7x+60}{4}$ 落在六十多，得 $x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求解）：$y=\underline{\quad}$，两人桌 $\underline{\quad}$ 张，共 $\underline{\quad}$ 张。
第三套
题目：阅览室有两人桌、三人桌和四人桌共七十多张，其中两人桌的数量是四人桌的 3 倍。这天除某张桌子坐满外，其余两人桌每桌只坐 1 人、三人桌每桌只坐 2 人、四人桌每桌只坐 3 人，恰好平均每 11 人占用 17 个座位。问：三种桌子各多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（计数）：设三人桌 $x$ 张、四人桌 $y$ 张，两人桌 $3y$ 张。人数 $=3y+2x+3y+1=2x+\underline{\quad}y+1$；座位数 $=6y+3x+4y=3x+\underline{\quad}y$。
  2. 第 2 步（交叉相乘）：$17(2x+6y+1)=11(3x+10y)$，展开得 $34x+102y+17=33x+\underline{\quad}y$。
  3. 第 3 步（化简）：$x+17=\underline{\quad}y$。
  4. 第 4 步（用范围）：总张数 $=x+4y=12y-17$，要落在七十多，得 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求解）：$x=8\times8-17=\underline{\quad}$，两人桌 $3y=\underline{\quad}$ 张，共 $47+24+8=\underline{\quad}$ 张。
第三套
题目：图书馆有两人桌、三人桌和四人桌共六十多张，两人桌数量是四人桌的 2 倍。某天除一张桌子坐满外，其余两人桌每桌坐 1 人、三人桌每桌坐 2 人、四人桌每桌坐 3 人，恰好平均每 13 人占用 20 个座位。问：三种桌子各多少张？这天有多少人？共有多少个座位？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化简比例）：由 $20(2x+5y+1)=13(3x+8y)$ 得 $x+20=\underline{\quad}y$。
  2. 第 2 步（用范围定解）：总张数 $\frac{7x+60}{4}$ 落在六十多，得 $x=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$，两人桌 $\underline{\quad}$ 张。
  3. 第 3 步（求人数）：$2x+5y+1=56+60+1=\underline{\quad}$ 人。
  4. 第 4 步（求座位数）：$3x+8y=84+96=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（验算比例）：$117\times20=\underline{\quad}$，$180\times13=\underline{\quad}$，两者相等，比例正确。
4. 【原题 ch08-chaoyue-04】采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价 590 元的 A 种商品和若干个单价 670 元的 B 种商品，其中 B 种商品多于 A 种商品，最后找回了几张 100 元钞票和不到 10 张 10 元钞票。如果把 A、B 两种商品的数量调换，找回的 100 元和 10 元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「对称（调换）关系 + 多元方程组」：两个方程结构对称，相减后系数差会带来很强的整除限制。
关键切入点：设 A 买 $x$ 个、B 买 $y$ 个，找回 $100$ 元 $z$ 张、$10$ 元 $w$ 张（$0\le w<10$）。原式 $590x+670y+100z+10w=10000$；调换后 $670x+590y+100w+10z=10000$。两式相减：$-80x+80y+90z-90w=0$，即 $8(y-x)=9(w-z)$。因 $8$ 与 $9$ 互质，$y-x$ 必是 $9$ 的倍数、$w-z$ 必是 $8$ 的倍数；又 $0\le w<10$，所以 $w-z=8$、$y-x=9$。代回原式：$w=9,z=1$ 时 $590x+670(x+9)=9810$，得 $126x=378$，$x=3$。
方法概述：两式相减得到 $8(y-x)=9(w-z)$，用互质与 $w<10$ 定出差值，再代回求解。
规范步骤：
  1. 设 A 买 $x$ 个、B 买 $y$ 个，找回 100 元 $z$ 张、10 元 $w$ 张：$590x+670y+100z+10w=10000$（按付款列式）
  2. 写出调换后的方程：$670x+590y+100w+10z=10000$（对称条件）
  3. 两式相减：$80(y-x)=90(w-z)\Rightarrow 8(y-x)=9(w-z)$（消去常数）
  4. 用互质与 $w<10$ 定差：$w-z=8,\ y-x=9$，即 $(z,w)=(1,9)$（整除性 + 范围）
  5. 代回求解：$590x+670(x+9)+190=10000\Rightarrow 126x=378,\ x=3,\ y=12$（代入求解）
5. 【原题 ch08-chaoyue-05】有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲 1 件、乙 5 件、丙 1 件、丁 3 件共需 195 元；若购买甲 2 件、乙 1 件、丙 4 件、丁 2 件共需 183 元；若购买甲 2 件、乙 6 件、丙 6 件、丁 5 件共需 375 元。现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？
详细思路
是哪类问题：这是「整体求值」问题：4 个未知数只有 3 个方程，单价求不出来，但 $x+y+z+w$ 可以整体求出。
关键切入点：要点是找一组倍数，使三式相加减后四个未知数的系数**都相等**。观察 $3\times①+4\times②-2\times③$：$x$ 的系数 $3+8-4=7$，$y$ 的系数 $15+4-12=7$，$z$ 的系数 $3+16-12=7$，$w$ 的系数 $9+8-10=7$，恰好都是 $7$。右边 $3\times195+4\times183-2\times375=567$，所以 $7(x+y+z+w)=567$。
方法概述：配一组倍数使四个系数相等，整体求出 $x+y+z+w$。
规范步骤：
  1. 设四种货物单价 $x,y,z,w$ 元：$\begin{cases}x+5y+z+3w=195\ ①\\ 2x+y+4z+2w=183\ ②\\ 2x+6y+6z+5w=375\ ③\end{cases}$（按三次购买列式）
  2. 配倍数使系数相等：$3①+4②-2③$ 中各系数均为 $3+8-4=7$（线性组合）
  3. 算右边：$3\times195+4\times183-2\times375=585+732-750=567$（代入计算）
  4. 整体求值：$7(x+y+z+w)=567\Rightarrow x+y+z+w=81$（整体求值）
  5. 答：$81$ 元
第一套
题目：有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲 1 件、乙 5 件、丙 1 件、丁 3 件共需 121 元；若购买甲 2 件、乙 1 件、丙 4 件、丁 2 件共需 88 元；若购买甲 2 件、乙 6 件、丙 6 件、丁 5 件共需 207 元。现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（确认组合可行）：用 $3\times①+4\times②-2\times③$，$x$ 的系数为 $3\times1+4\times2-2\times2=\underline{\quad}$，$y$ 的系数为 $3\times5+4\times1-2\times6=\underline{\quad}$，$z$ 与 $w$ 的系数同样是 7。
  2. 第 2 步（算右边）：$3\times121+4\times88-2\times207=363+352-\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体求值）：$7(x+y+z+w)=301$，所以 $x+y+z+w=\underline{\quad}$。
第二套
题目：文具店里有 A、B、C、D 四种文具。买 A 1 件、B 5 件、C 1 件、D 3 件要 121 元；买 A 2 件、B 1 件、C 4 件、D 2 件要 88 元；买 A 2 件、B 6 件、C 6 件、D 5 件要 207 元。那么 A、B、C、D 各买一件要多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（确认组合）：$3①+4②-2③$ 中 $x$ 的系数为 $\underline{\quad}$，$y$ 的系数为 $\underline{\quad}$，四个系数都是 7。
  2. 第 2 步（算右边）：$363+352-\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体求值）：$x+y+z+w=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：有甲、乙、丙、丁四种货物：买甲 1 件、乙 5 件、丙 1 件、丁 3 件共需 84 元；买甲 2 件、乙 1 件、丙 4 件、丁 2 件共需 64 元；买甲 2 件、乙 6 件、丙 6 件、丁 5 件共需 149 元。现在四种各买一件共需多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配组合）：仍用 $3①+4②-2③$，四个未知数的系数都变成 $3+8-4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（算右边）：$3\times84=252$，$4\times64=\underline{\quad}$，$2\times149=\underline{\quad}$，所以右边为 $252+256-298=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体求值）：$x+y+z+w=210\div7=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：四种货物：买甲 1 件、乙 5 件、丙 1 件、丁 3 件共 121 元；买甲 2 件、乙 1 件、丙 4 件、丁 2 件共 88 元；买甲 2 件、乙 6 件、丙 6 件、丁 5 件共 207 元。请问：（1）四种各买一件共多少元？（2）已知甲每件 9 元，那么乙、丙、丁各买一件共多少元？（3）四种各买 5 件共多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配组合并求整体值）：$3①+4②-2③$ 使四个系数都为 $\underline{\quad}$，右边 $=3\times121+4\times88-2\times207=\underline{\quad}$，所以 $x+y+z+w=\underline{\quad}$ 元。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：把甲的单价减掉，$43-9=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（第 (3) 问）：各买 5 件就是整体值的 5 倍，$43\times5=\underline{\quad}$ 元。
  4. 第 4 步（检查）：各买 5 件比各买 1 件多花 $215-43=\underline{\quad}$ 元，正好是 4 倍，合理。
6. 【原题 ch08-chaoyue-06】国庆节，公司发给唐师傅一张 1000 元的礼券，但只允许购买 A、B、C、D、E 五种商品，并且必须正好把礼券用完。已知这五种商品每盒的价格和重量如下表。如果唐师傅最多只能带走 20 千克商品，且一定要购买 D 商品，共有多少种不同的买法？
详细思路
是哪类问题：这是「带约束的多元不定方程枚举」：钱数是等式、重量是不等式，还有“必须买 D”这一条件。
关键切入点：先看 D：它每盒 $10$ 千克，买 $2$ 盒就是 $20$ 千克，而总重不能超过 $20$ 千克，那样别的商品一盒也买不了，可 $1000-580=420$ 元又必须花完，矛盾。所以 D 只能买 $1$ 盒，随后问题变成“用 $710$ 元、$10$ 千克买 A、B、C、E”。再按 E 的盒数从多到少枚举即可。
方法概述：先用重量上限定死 D 的盒数，再在剩下的钱与重量里枚举。
规范步骤：
  1. 先定 D 的盒数：买 2 盒 D 即 $20$ 千克且花 $580$ 元，余下 $420$ 元无法再买，故 D 只买 1 盒（约束分析）
  2. 写出剩余条件：$70a+110b+190c+310e=710$，$1.5a+2b+c+3e\le 10$（剩 710 元、10 千克）
  3. 枚举方案一：$b=3,c=2$：$330+380=710$，重 $6+2=8$ 千克（枚举）
  4. 枚举方案二、三：$a=2,c=3$：$140+570=710$，重 $3+3=6$；$a=3,c=1,e=1$：$210+190+310=710$，重 $4.5+1+3=8.5$（枚举）
  5. 统计：共 3 种买法（计数）
第一套
题目：公司发给唐师傅一张 1140 元的礼券，只能购买 A、B、C、D、E 五种商品，并且必须正好把礼券用完。（单价与每盒重量：A 70 元 / 1.5 千克，B 110 元 / 2 千克，C 190 元 / 1 千克，D 290 元 / 10 千克，E 310 元 / 3 千克）如果唐师傅最多只能带走 22 千克商品，且一定要购买 D 商品，共有多少种不同的买法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定 D 的盒数）：D 每盒 10 千克，买 2 盒就是 20 千克、花 580 元，剩下 $1140-580=\underline{\quad}$ 元还必须花完，但只剩 2 千克，凑不出，所以 D 只能买 $1$ 盒。
  2. 第 2 步（写出剩余条件）：还剩 $1140-290=\underline{\quad}$ 元、$22-10=\underline{\quad}$ 千克，要买 A、B、C、E。
  3. 第 3 步（按 E 的盒数枚举）：$e=1$ 时剩 $850-310=\underline{\quad}$ 元，可用 $C\times1+A\times5$：$190+350=540$，重 $1+7.5+3=11.5\le12$，可行。
  4. 第 4 步（$e=0$ 的情形）：$850=190\times3+70\times4$（重 $3+6=9$）或 $850=190\times2+110\times3+70\times2$（重 $2+6+3=\underline{\quad}$），都不超过 12 千克，可行。
  5. 第 5 步（统计）：一共 $\underline{\quad}$ 种买法。
第二套
题目：社区发给张阿姨一张 1140 元的购物券，只能购买 A、B、C、D、E 五种年货，且必须正好用完。（单价与每盒重量：A 70 元 / 1.5 千克，B 110 元 / 2 千克，C 190 元 / 1 千克，D 290 元 / 10 千克，E 310 元 / 3 千克）张阿姨最多只能拎走 22 千克，且一定要买 D 年货。问：共有多少种不同的买法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定 D）：买 2 盒 D 要 20 千克、580 元，剩 $\underline{\quad}$ 元只剩 2 千克，凑不出，所以 D 只买 1 盒。
  2. 第 2 步（剩余条件）：还剩 $\underline{\quad}$ 元、$\underline{\quad}$ 千克。
  3. 第 3 步（$e=1$）：剩 $\underline{\quad}$ 元，用 $190+70\times5=540$，重 $11.5$ 千克，可行。
  4. 第 4 步（$e=0$）：$190\times3+70\times4$（重 9 千克）与 $190\times2+110\times3+70\times2$（重 $\underline{\quad}$ 千克）都可行。
  5. 第 5 步（统计）：共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：礼券 1080 元，只能购买 A、B、C、D、E 五种商品且必须正好用完。（单价与每盒重量：A 70 元 / 1.5 千克，B 110 元 / 2 千克，C 190 元 / 1 千克，D 290 元 / 10 千克，E 310 元 / 3 千克）最多只能带走 20 千克，且一定要购买 D 商品。问：共有多少种不同的买法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定 D）：买 2 盒 D 已是 20 千克，剩 $1080-580=\underline{\quad}$ 元无法再花，所以 D 只买 1 盒。
  2. 第 2 步（剩余条件）：剩 $1080-290=\underline{\quad}$ 元、$\underline{\quad}$ 千克买 A、B、C、E。
  3. 第 3 步（$e=0$）：$790=110\times2+190\times3$，重 $4+3=\underline{\quad}$ 千克，可行。
  4. 第 4 步（$e=1$）：剩 $790-310=\underline{\quad}$ 元，$480=70+110\times2+190$，重 $1.5+4+1+3=9.5$ 千克，可行。
  5. 第 5 步（统计）：共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：礼券 1360 元，只能购买 A、B、C、D、E 五种商品且必须正好用完。（单价与每盒重量：A 70 元 / 1.5 千克，B 110 元 / 2 千克，C 190 元 / 1 千克，D 290 元 / 10 千克，E 310 元 / 3 千克）最多只能带走 24 千克，且一定要购买 D 商品。问：共有多少种买法？其中最轻的一种买法总重多少千克？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定 D）：买 2 盒 D 要 20 千克、580 元，剩 $1360-580=\underline{\quad}$ 元只剩 4 千克，最便宜的 A 也要 1.5 千克 70 元，凑不出，所以 D 只买 1 盒。
  2. 第 2 步（剩余条件）：剩 $1360-290=\underline{\quad}$ 元、$24-10=\underline{\quad}$ 千克。
  3. 第 3 步（按 E 的盒数枚举）：$e=1$ 时剩 $1070-310=\underline{\quad}$ 元，$760=190\times4$，重 $4+3=7$ 千克；$e=2$ 时剩 $1070-620=\underline{\quad}$ 元，$450=190\times2+70$，重 $2+1.5+6=9.5$ 千克；$e=3$ 时剩 $140=70\times2$，重 $3+9=12$ 千克；$e=0$ 时 $1070=190\times3+110\times2+70\times4$，重 $3+4+6=13$ 千克。
  4. 第 4 步（统计方案数）：共 $\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步（找最轻）：把 D 的 10 千克加回去，四种方案分别重 $7+10=\underline{\quad}$、$9.5+10=19.5$、$12+10=22$、$13+10=23$ 千克，最轻是 $\underline{\quad}$ 千克。
7. 【原题 ch08-chaoyue-07】现有一架天平和很多个 13 克和 17 克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的同一边）
详细思路
是哪类问题：这是「不可表示数的最大值」问题：$13$ 与 $17$ 互质，用它们的自然数倍相加，最大凑不出的数就是 $ab-a-b$。
关键切入点：本题就是求使 $13x+17y=c$ 没有自然数解的最大 $c$。互质的 $a,b$ 有结论：$c>ab-a-b$ 时一定能凑出；$c=ab-a-b$ 时恰好凑不出。所以最大值就是 $13\times17-13-17=221-30=191$。也可以写成 $(13-1)\times(17-1)-1=191$，两种写法结果一致。
方法概述：直接用互质两数的不可表示数最大值公式 $ab-a-b$。
规范步骤：
  1. 转化为不定方程：求使 $13x+17y=c$ 无自然数解的最大 $c$（建模）
  2. 检验互质：$(13,17)=1$，可用公式（互质条件）
  3. 套用公式：$ab-a-b=13\times17-13-17$（不可表示数最大值）
  4. 计算：$221-30=191$（求值）
  5. 另一种写法：$(13-1)\times(17-1)-1=192-1=191$（验证）
第一套
题目：现有一架天平和很多个 17 克和 19 克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的同一边）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（建模）：设用 $x$ 个 17 克、$y$ 个 19 克的砝码，就是求使 $17x+19y=c$ 无自然数解的最大 $c$。
  2. 第 2 步（检验互质）：$17$ 与 $19$ 都是质数，最大公约数是 $\underline{\quad}$，可用公式。
  3. 第 3 步（套公式）：最大不可表示数为 $ab-a-b=17\times19-17-19=323-\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（换一种写法验证）：$(17-1)\times(19-1)-1=288-1=\underline{\quad}$，结果一致。
第二套
题目：某快递公司只有 17 元和 19 元两种面额的运费券（可任意多张，但只能叠加使用）。请问：不能恰好支付的最大整数元运费是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（建模）：即求使 $17x+19y=c$ 无自然数解的最大 $c$。
  2. 第 2 步（互质）：$(17,19)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（套公式）：$17\times19-17-19=323-\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$(17-1)\times(19-1)-1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用很多个 11 克和 13 克的砝码（只放在天平同一边），不能称出的最大整数克重量是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（建模与互质）：求使 $11x+13y=c$ 无自然数解的最大 $c$，$(11,13)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（套公式）：$11\times13-11-13=143-\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（验证写法）：$(11-1)\times(13-1)-1=120-1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用很多个 13 克和 17 克的砝码（只放在天平同一边）。请问：不能称出的最大整数克重量是多少？不能称出的整数克重量一共有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求最大值）：$(13,17)=1$，最大不可称出的重量为 $13\times17-13-17=221-\underline{\quad}=\underline{\quad}$ 克。
  2. 第 2 步（配对思想）：在 $0$ 到 $191$ 这 $192$ 个整数中，把 $c$ 与 $191-c$ 配成一对，可以证明每一对里恰好有一个能称出、另一个不能称出。
  3. 第 3 步（数对数）：这样的数对共有 $192\div2=\underline{\quad}$ 对。
  4. 第 4 步（下结论）：每对贡献 1 个不能称出的重量，所以共有 $\underline{\quad}$ 种；也可写成 $(13-1)\times(17-1)\div2=\underline{\quad}$。
8. 【原题 ch08-chaoyue-08】现有 1.7 升和 4 升的两个空桶和一个大桶里的 100 升汽油，用这两个空桶要倒出 1 升汽油，至少需要倒多少次？
详细思路
是哪类问题：这是「倒水（量取）问题建模」：把每一次“装满 1.7 升桶”“倒进 4 升桶”“倒空 4 升桶”记账，最后剩下的量恰好是 $1.7x-4y$ 或 $4y-1.7x$。
关键切入点：要量出 $1$ 升，就是让 $1.7x-4y=1$ 或 $4y-1.7x=1$ 有自然数解，其中 $x$ 是装满 1.7 升桶的次数、$y$ 是倒空 4 升桶的次数。$1.7x-4y=1$ 的最小解是 $x=10,\ y=4$；$4y-1.7x=1$ 的最小解是 $x=30,\ y=13$，明显前者小得多。按 $x=10,\ y=4$ 去执行（装满 10 次、往 4 升桶里倒 10 次、把 4 升桶倒空 4 次，最后再取出所需的 1 升，共 2 次收尾动作），总操作次数最少为 $26$ 次。
方法概述：把倒水过程写成 $1.7x-4y=\pm1$，求最小自然数解并统计操作次数。
规范步骤：
  1. 建模：$1.7x-4y=1$ 或 $4y-1.7x=1$（把倒水记账成方程）
  2. 化整（两边乘 10）：$17x-40y=10$ 或 $40y-17x=10$（去小数）
  3. 求最小解：$1.7x-4y=1$：$x=10,\ y=4$；$4y-1.7x=1$：$x=30,\ y=13$（枚举最小解）
  4. 选更小的一组：取 $x=10,\ y=4$（比较）
  5. 统计操作次数：$10+10+4+2=26$（计数）
9. 【原题 ch08-tuozhan-01】甲级铅笔每支 7 角一支，乙级铅笔每支 3 角一支，张明用 5 元钱买这两种铅笔，钱恰好花完。请问：张明共买了多少支铅笔？
详细思路
是哪类问题：这是「同余分析求全部解」的不定方程问题：$7x+3y=50$（单位：角），要把所有正整数解都找出来。
关键切入点：$3y$ 一定是 $3$ 的倍数，所以 $7x$ 与 $50$ 除以 $3$ 的余数必须相同。$7x$ 除以 $3$ 与 $x$ 同余，$50$ 除以 $3$ 余 $2$，于是 $x$ 除以 $3$ 余 $2$。再由 $7x\le 50$ 得 $x\le 7$，候选只剩 $x=2,5$——两组都要保留，答案是“或”。
方法概述：用被 3 除的余数把 $x$ 的候选缩成一列，再在范围内取遍。
规范步骤：
  1. 设甲级 $x$ 支、乙级 $y$ 支（钱以角计）：$7x+3y=50$（按总钱数列方程）
  2. 同余分析：$7x\equiv x\equiv 50\equiv 2\pmod 3$（两边同除 3 取余数）
  3. 定范围并取遍：$7x\le50\Rightarrow x\le7$，故 $x=2$ 或 $5$（范围限制）
  4. 回代：$x=2\Rightarrow y=(50-14)\div3=12;\ x=5\Rightarrow y=(50-35)\div3=5$（代入求解）
  5. 求总支数：$2+12=14$ 或 $5+5=10$（求和）
第一套
题目：甲级铅笔每支 9 角，乙级铅笔每支 4 角，张明用 8 元 3 角买这两种铅笔，钱恰好花完。请问：张明共买了多少支铅笔？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：设甲级 $x$ 支、乙级 $y$ 支，钱以角计，共 $8$ 元 $3$ 角 $=\underline{\quad}$ 角，得 $9x+4y=83$。
  2. 第 2 步（同余分析）：$4y$ 是 4 的倍数，所以 $9x$ 与 $83$ 除以 4 的余数相同。$9x$ 与 $x$ 除以 4 同余，$83$ 除以 4 余 $\underline{\quad}$，所以 $x$ 除以 4 余 3。
  3. 第 3 步（定范围取遍）：由 $9x\le83$ 得 $x\le 9$，故 $x=3$ 或 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$x=3$ 时 $y=\underline{\quad}$；$x=7$ 时 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求总支数）：$3+14=\underline{\quad}$ 或 $7+5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：手工社买两种彩纸，厚彩纸每张 9 角，薄彩纸每张 4 角，小明用 8 元 3 角恰好买完两种彩纸。请问：他共买了多少张彩纸？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：钱以角计共 $\underline{\quad}$ 角，$9x+4y=83$。
  2. 第 2 步（同余分析）：$9x$ 与 $x$ 除以 4 同余，$83$ 除以 4 余 $\underline{\quad}$，所以 $x$ 除以 4 余 3。
  3. 第 3 步（取遍）：$x\le9$，故 $x=3$ 或 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$y=\underline{\quad}$ 或 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（总张数）：$3+14=\underline{\quad}$ 或 $7+5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：两种贺卡分别是 1 元 1 角和 4 角一张，小华用 9 元 7 角恰好买完两种贺卡。请问：他共买了多少张贺卡？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：钱以角计共 $\underline{\quad}$ 角，设 11 角的 $x$ 张、4 角的 $y$ 张，$11x+4y=97$。
  2. 第 2 步（同余分析）：$11x$ 与 $3x$ 除以 4 同余，$97$ 除以 4 余 $\underline{\quad}$，所以 $3x$ 除以 4 余 1，得 $x$ 除以 4 余 3。
  3. 第 3 步（取遍）：由 $11x\le97$ 得 $x\le8$，故 $x=3$ 或 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$y=\underline{\quad}$ 或 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（总张数）：$3+16=\underline{\quad}$ 或 $7+5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲级铅笔每支 9 角，乙级铅笔每支 4 角，张明用 13 元 1 角买这两种铅笔且钱恰好花完。请问：他最多可能买多少支？最少可能买多少支？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：钱以角计共 $\underline{\quad}$ 角，$9x+4y=131$。
  2. 第 2 步（同余分析）：$9x$ 与 $x$ 除以 4 同余，$131$ 除以 4 余 $\underline{\quad}$，所以 $x$ 除以 4 余 3。
  3. 第 3 步（取遍全部解）：由 $9x\le131-4$ 得 $x\le14$，故 $x=3,\ 7,\ 11$，对应 $y=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算总支数）：$3+26=\underline{\quad}$、$7+17=\underline{\quad}$、$11+8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（取两端）：最多 $\underline{\quad}$ 支，最少 $\underline{\quad}$ 支。
10. 【原题 ch08-tuozhan-02】采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有 23 个鸡蛋，每个小盒里有 16 个鸡蛋（盒子不能拆开），采购员要恰好买 500 个鸡蛋，请问：他一共要买多少盒？
详细思路
是哪类问题：这是「同余分析判唯一解」的问题：$23x+16y=500$，要说明解只有一组。
关键切入点：对 $16$ 取余：$16y$ 是 $16$ 的倍数，所以 $23x$ 与 $500$ 除以 $16$ 的余数相同。$23x$ 与 $7x$ 除以 $16$ 同余，$500=16\times31+4$ 余 $4$，于是要 $7x$ 除以 $16$ 余 $4$。$x$ 每增加 $16$ 余数才重复，而 $23x\le500$ 给出 $x\le21$，所以候选只有一个 $x=12$，解唯一。
方法概述：对小系数取余数，把 $x$ 卡在一个余数类里，再用范围说明唯一。
规范步骤：
  1. 设大盒 $x$ 盒、小盒 $y$ 盒：$23x+16y=500$（按鸡蛋总数列方程）
  2. 同余分析：$7x\equiv 500\equiv 4\pmod{16}$（对 16 取余）
  3. 枚举余数类：$x=12$ 时 $7\times12=84=16\times5+4$，符合（整除性筛选）
  4. 范围说明唯一：$23x\le500\Rightarrow x\le21<12+16$，故只此一解（范围限制）
  5. 回代求总盒数：$y=(500-276)\div16=14,\ 12+14=26$（代入求和）
第一套
题目：采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有 29 个鸡蛋，每个小盒里有 19 个鸡蛋（盒子不能拆开），采购员要恰好买 750 个鸡蛋。请问：他一共要买多少盒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：设大盒 $x$ 盒、小盒 $y$ 盒，$29x+19y=750$。
  2. 第 2 步（同余分析）：$19y$ 是 19 的倍数，所以 $29x$ 与 $750$ 除以 19 的余数相同。$29x$ 与 $10x$ 除以 19 同余，$750$ 除以 19 余 $\underline{\quad}$，所以要 $10x$ 除以 19 余 9。
  3. 第 3 步（找出 $x$）：$x=18$ 时 $10x=180=19\times9+9$，符合；由 $29x\le750$ 得 $x\le\underline{\quad}$，不足 $18+19$，所以解唯一。
  4. 第 4 步（回代）：$19y=750-29\times18=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求总盒数）：$18+12=\underline{\quad}$ 盒。
第二套
题目：仓库用两种整箱包装装矿泉水，大箱每箱 29 瓶，小箱每箱 19 瓶（箱子不能拆），要恰好装出 750 瓶。请问：一共要用多少个箱子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：$29x+19y=750$。
  2. 第 2 步（同余分析）：$29x$ 与 $10x$ 除以 19 同余，$750$ 除以 19 余 $\underline{\quad}$，故要 $10x$ 除以 19 余 9。
  3. 第 3 步（定 $x$）：$x=18$ 符合；又 $x\le\underline{\quad}$ 不足 $18+19$，故唯一。
  4. 第 4 步（回代）：$19y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（总箱数）：$\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：食堂买米，大袋每袋 29 千克，小袋每袋 19 千克（袋子不能拆），要恰好买 900 千克。请问：一共要买多少袋？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：$29x+19y=900$。
  2. 第 2 步（同余分析）：$29x$ 与 $10x$ 除以 19 同余，$900$ 除以 19 余 $\underline{\quad}$，所以要 $10x$ 除以 19 余 7。
  3. 第 3 步（找 $x$）：$x=14$ 时 $10x=140$，$140$ 除以 19 余 $\underline{\quad}$，符合；又由 $29x\le900$ 得 $x\le31$，不足 $14+19=33$，所以解唯一。
  4. 第 4 步（回代）：$19y=900-29\times14=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（总袋数）：$14+26=\underline{\quad}$ 袋。
第三套
题目：采购员买鸡蛋，大盒每盒 23 个，小盒每盒 16 个（盒子不能拆开），他要恰好买 560 个鸡蛋，并且两种盒子都要买到。请问：他一共要买多少盒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同余分析）：$23x$ 与 $7x$ 除以 16 同余，$560$ 除以 16 余 $\underline{\quad}$，所以要 $7x$ 除以 16 余 0，即 $x$ 是 16 的倍数。
  2. 第 2 步（取遍范围内的 $x$）：由 $23x\le560$ 得 $x\le24$，所以 $x=0$ 或 $x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（回代）：$x=0$ 时 $y=\underline{\quad}$；$x=16$ 时 $y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用“两种都要买”筛选）：$x=0$ 不合题意，故取 $x=16,\ y=12$。
  5. 第 5 步（总盒数）：$16+12=\underline{\quad}$ 盒。
11. 【原题 ch08-tuozhan-03】在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有 9000 人，每个航空兵师有 8000 人。在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有 27.1 万人。如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？
详细思路
是哪类问题：这是「约简系数 + 隐含条件」的不定方程：先把万人化成“千人”约掉 $1000$，再用“两个集团军抽调的师数相同”这一隐含条件筛选。
关键切入点：$9000x+8000y=271000$ 两边同除 $1000$ 得 $9x+8y=271$，系数立刻变小。它有三组正整数解，但题目说“从两个集团军抽调了**相同数量**的师”，即总师数 $x+y$ 必须是偶数，$33,\ 32,\ 31$ 中只有 $32$ 是偶数，于是唯一。
方法概述：先约去公因数化简系数，求全部解后用“总数为偶数”筛选。
规范步骤：
  1. 设步兵师 $x$ 个、航空兵师 $y$ 个：$9000x+8000y=271000$（按总人数列方程）
  2. 两边同除 1000：$9x+8y=271$（约简系数）
  3. 同余分析：$9x\equiv x\equiv 271\equiv 7\pmod 8$，故 $x=7,15,23$（对 8 取余）
  4. 回代：$y=26,\ 17,\ 8$，总数 $33,\ 32,\ 31$（代入求解）
  5. 用“两军各抽调相同数量”筛选：总数为偶数，只有 $32$，即 $x=15,\ y=17$（隐含条件）
第一套
题目：每个步兵师有 11000 人，每个航空兵师有 8000 人。司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有 33.3 万人。如果这两个集团军都由步兵师和航空兵师组成，那么参与战斗的有多少个步兵师、多少个航空兵师？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（约简系数）：$11000x+8000y=333000$ 两边同除 $1000$，得 $\underline{\quad}x+8y=333$。
  2. 第 2 步（同余分析）：$8y$ 是 8 的倍数，所以 $11x$ 与 $333$ 除以 8 同余；$11x$ 与 $3x$ 同余，$333$ 除以 8 余 $\underline{\quad}$，所以 $3x$ 除以 8 余 5，得 $x$ 除以 8 余 7。
  3. 第 3 步（取遍）：由 $11x\le333-8$ 得 $x\le29$，故 $x=7,\ 15,\ 23$，对应 $y=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用“两军抽调数量相同”筛选）：总数分别是 $7+32=\underline{\quad}$、$15+21=\underline{\quad}$、$23+10=\underline{\quad}$，其中偶数只有 $36$。
  5. 第 5 步（定答案）：$x=15,\ y=21$。
第二套
题目：某物流公司有两种货车，大货车每辆装 11000 千克，小货车每辆装 8000 千克。公司从两个车队调来了相同数量的车，一次共运 333000 千克货物，且两个车队都由大、小货车组成。问：调来大货车、小货车各多少辆？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（约简）：$11000x+8000y=333000$ 同除 $1000$ 得 $\underline{\quad}x+8y=333$。
  2. 第 2 步（同余分析）：$11x$ 与 $3x$ 除以 8 同余，$333$ 除以 8 余 $\underline{\quad}$，得 $x$ 除以 8 余 7。
  3. 第 3 步（取遍）：$x=7,15,23$ 对应 $y=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（筛选）：总数 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$ 中偶数只有 36。
  5. 第 5 步：大货车 15 辆、小货车 21 辆。
第三套
题目：每个步兵师 11000 人、每个航空兵师 8000 人，从两个集团军抽调了相同数量的师，共 30.1 万人。问：步兵师、航空兵师各多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（约简）：同除 $1000$ 得 $11x+8y=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（同余分析）：$11x$ 与 $3x$ 除以 8 同余，$301$ 除以 8 余 $\underline{\quad}$，所以 $3x$ 除以 8 余 5，得 $x$ 除以 8 余 7。
  3. 第 3 步（取遍）：$x=7,\ 15,\ 23$，对应 $y=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（筛选偶数总数）：$7+28=\underline{\quad}$、$15+17=\underline{\quad}$、$23+6=\underline{\quad}$，偶数只有 $32$。
第三套
题目：每个步兵师 11000 人、每个航空兵师 8000 人，从两个集团军抽调了相同数量的师，共 33.3 万人。问：步兵师、航空兵师各多少个？每个集团军抽调了多少个师？平均每个师多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（约简与同余）：$11x+8y=333$，$333$ 除以 8 余 $\underline{\quad}$，得 $x$ 除以 8 余 7，$x=7,15,23$，对应 $y=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（筛选）：总数 $39,\ 36,\ 31$ 中偶数只有 $\underline{\quad}$，故 $x=15,\ y=21$。
  3. 第 3 步（每个集团军的师数）：$36\div2=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（平均每师人数）：$333000\div36=\underline{\quad}$ 人。
12. 【原题 ch08-tuozhan-04】甲、乙两个小队的同学去植树。甲小队有一人植树 12 棵，其余每人都植树 13 棵；乙小队有一人植树 8 棵，其余每人都植树 10 棵。已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵。问：甲、乙两小队共有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「通解结构（加同数）+ 范围限制」的不定方程：先求出最小的一组解，再按“同时增加固定量”平移到题目要求的范围。
关键切入点：甲队植树 $13x-1$ 棵（有一人少种 $1$ 棵），乙队植树 $10y-2$ 棵。两队相等给出 $13x-1=10y-2$，即 $10y-13x=1$。先试出最小解 $x=3,\ y=4$，此时植树 $38$ 棵。关键结论：$x$ 每加 $10$、$y$ 每加 $13$，等式仍成立，植树数增加 $13\times10=130$ 棵。从 $38$ 出发加 $3$ 次 $130$ 就落进“四百多”。
方法概述：求最小解后按 $x+10,\ y+13$ 平移，用范围确定平移次数。
规范步骤：
  1. 设甲 $x$ 人、乙 $y$ 人：$13x-1=10y-2\Rightarrow 10y-13x=1$（两队棵数相等）
  2. 求最小正整数解：$x=3,\ y=4$，此时植树 $13\times3-1=38$ 棵（枚举最小解）
  3. 写出平移规律：$x\to x+10,\ y\to y+13$，棵数增加 $130$（通解结构）
  4. 用范围定次数：$38+130\times3=428$ 是四百多，故平移 3 次（范围限制）
  5. 求人数：$x=3+30=33,\ y=4+39=43,\ 33+43=76$（求和）
第一套
题目：甲、乙两个小队去植树。甲小队有一人植树 13 棵，其余每人都植树 14 棵；乙小队有一人植树 9 棵，其余每人都植树 11 棵。已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是五百多棵。问：甲、乙两小队共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：甲队植树 $14x-1$ 棵，乙队植树 $11y-2$ 棵，相等得 $14x-1=11y-2$，即 $11y-14x=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求最小解）：让 $14x+1$ 能被 11 整除，试得 $x=7$ 时 $14\times7+1=\underline{\quad}$，$y=99\div11=\underline{\quad}$，此时植树 $14\times7-1=\underline{\quad}$ 棵。
  3. 第 3 步（写平移规律）：$x$ 每增加 11、$y$ 每增加 14，等式仍成立，植树数每次增加 $14\times11=\underline{\quad}$ 棵。
  4. 第 4 步（用范围定次数）：要落在五百多，$97+154\times3=\underline{\quad}$ 符合，故平移 3 次。
  5. 第 5 步（求人数）：$x=7+33=\underline{\quad}$，$y=9+42=\underline{\quad}$，两队共 $40+51=\underline{\quad}$ 人。
第二套
题目：甲、乙两个车间糊纸盒。甲车间有一人糊 13 个，其余每人都糊 14 个；乙车间有一人糊 9 个，其余每人都糊 11 个。两个车间糊的纸盒数相等，且都是五百多个。问：两个车间共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：$14x-1=11y-2$，即 $11y-14x=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求最小解）：$x=7$ 时 $14x+1=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$，此时糊 $\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（平移规律）：$x$ 加 11、$y$ 加 14，个数增加 $\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（定次数）：$97+154\times3=\underline{\quad}$ 落在五百多。
  5. 第 5 步（求人数）：$x=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$，共 $\underline{\quad}$ 人。
第三套
题目：甲、乙两个小组做手工花。甲组有一人做 11 朵，其余每人都做 12 朵；乙组有一人做 5 朵，其余每人都做 7 朵。两组做的朵数相等，且都是三百多朵。问：两组共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：甲组做 $12x-1$ 朵，乙组做 $7y-2$ 朵，相等得 $7y-12x=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求最小解）：让 $12x+1$ 被 7 整除，$x=4$ 时 $12\times4+1=\underline{\quad}$，$y=49\div7=\underline{\quad}$，此时做 $12\times4-1=\underline{\quad}$ 朵。
  3. 第 3 步（平移规律）：$x$ 加 7、$y$ 加 12，朵数每次增加 $12\times7=\underline{\quad}$ 朵。
  4. 第 4 步（定次数）：$47+84\times4=\underline{\quad}$ 是三百多，平移 4 次。
  5. 第 5 步（求人数）：$x=4+28=\underline{\quad}$，$y=7+48=\underline{\quad}$，共 $\underline{\quad}$ 人。
第三套
题目：甲小队有一人植树 12 棵，其余每人都植树 13 棵；乙小队有一人植树 8 棵，其余每人都植树 10 棵。两队植树棵数相等，且都是六百多棵。问：两队各有多少人？每队植树多少棵？两队一共植树多少棵？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程与最小解）：$13x-1=10y-2$，即 $10y-13x=1$，最小解 $x=3,\ y=4$，此时植树 $13\times3-1=\underline{\quad}$ 棵。
  2. 第 2 步（平移规律）：$x$ 加 10、$y$ 加 13，棵数每次增加 $\underline{\quad}$ 棵。
  3. 第 3 步（用范围定次数）：$38+130\times5=\underline{\quad}$ 落在六百多，所以平移 5 次。
  4. 第 4 步（求人数）：$x=3+50=\underline{\quad}$，$y=4+65=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求总数）：两队共 $53+69=\underline{\quad}$ 人，两队一共植树 $688\times2=\underline{\quad}$ 棵。
13. 【原题 ch08-tuozhan-05】将一根长为 380 厘米的合金铝管截成若干根长为 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「最大公约数与可表示性」问题：$36x+24y$ 只能取 $12$ 的倍数，因此先判断 $380$ 能否取到，再退到最近的可取值。
关键切入点：$(36,24)=12$，所以不管怎么截，截出的总长一定是 $12$ 的倍数。$380\div12=31\cdots\cdots8$，不是 $12$ 的倍数，说明不可能刚好用尽。小于 $380$ 的最大 $12$ 的倍数是 $372$，还要检验 $36x+24y=372$ 真的有自然数解（如 $x=1,\ y=14$），确认可达后剩余最少就是 $380-372=8$。
方法概述：先用最大公约数判断可取值只能是 12 的倍数，再取不超过总长的最大倍数并验证可达。
规范步骤：
  1. 求最大公约数：$(36,24)=12$（两种长度的公约数）
  2. 判断可取值：$36x+24y$ 一定是 12 的倍数（整除性）
  3. 判断 380 是否可取：$380=12\times31+8$，不是 12 的倍数，不能用尽（余数判断）
  4. 退到最近的可取值并验证：$372=12\times31$，且 $36\times1+24\times14=372$（存在性检验）
  5. 求剩余：$380-372=8$（作差）
第一套
题目：将一根长为 500 厘米的合金铝管截成若干根长为 45 厘米和 30 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计。问：剩余部分的管子最少多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求最大公约数）：$(45,30)=\underline{\quad}$，所以截出的总长一定是它的倍数。
  2. 第 2 步（判断能否用尽）：$500\div15=33\cdots\cdots\underline{\quad}$，不是 15 的倍数，所以不可能恰好截完。
  3. 第 3 步（退到最近的可取值）：小于 500 的最大的 15 的倍数是 $15\times33=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证可达）：$45\times1+30\times15=\underline{\quad}$，确实截得出来。
  5. 第 5 步（求剩余）：$500-495=\underline{\quad}$ 厘米。
第二套
题目：裁缝把一条长 500 厘米的布带剪成若干段长 45 厘米和 30 厘米的布条，剪裁损耗忽略不计。问：剩下的布带最少多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求最大公约数）：$(45,30)=\underline{\quad}$，剪出的总长一定是它的倍数。
  2. 第 2 步（判断能否用尽）：$500\div15$ 余 $\underline{\quad}$，不是 15 的倍数。
  3. 第 3 步（退到最近可取值）：$15\times33=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证可达）：$45\times1+30\times15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求剩余）：$\underline{\quad}$ 厘米。
第三套
题目：把一根长 500 厘米的水管截成若干根 28 厘米和 42 厘米的短管，损耗不计。问：剩余部分最少多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求最大公约数）：$(28,42)=\underline{\quad}$，截出的总长一定是它的倍数。
  2. 第 2 步（判断能否用尽）：$500\div14=35\cdots\cdots\underline{\quad}$，不能恰好截完。
  3. 第 3 步（退到最近可取值）：$14\times35=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证可达）：$28\times16+42\times1=\underline{\quad}$，可以截出。
  5. 第 5 步（求剩余）：$500-490=\underline{\quad}$ 厘米。
第三套
题目：将一根长 500 厘米的铝管截成若干根 45 厘米和 30 厘米的短管，损耗不计。问：剩余部分最少多少厘米？在剩余最少的前提下，最多能截出多少根短管？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（判剩余）：$(45,30)=15$，$500$ 除以 15 余 $\underline{\quad}$，最多截出 $15\times33=\underline{\quad}$ 厘米，剩余最少 $\underline{\quad}$ 厘米。
  2. 第 2 步（列出截法方程）：$45x+30y=495$，两边同除 15 得 $3x+2y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分析根数）：总根数 $x+y$；由 $2y=33-3x$ 知 $x$ 必须是奇数，且 $y=\frac{33-3x}{2}$。
  4. 第 4 步（要根数最多就要短管多）：$x$ 取最小的奇数 $1$，此时 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求最多根数）：$1+15=\underline{\quad}$ 根。
14. 【原题 ch08-tuozhan-06】某次数学比赛，用两种不同的方式判分。一种是答对 1 题给 5 分，不答给 2 分，答错不给分；另一种是先给 40 分，答对 1 题给 3 分，不答不给分，答错扣 1 分。某考生两种判分方法均得 71 分。请问：这次比赛共考了多少道题？
详细思路
是哪类问题：这是「三元一次方程组求全部自然数解」：两种判分方式各给一个方程，消元后枚举。
关键切入点：设答对 $x$、没答 $y$、答错 $z$。第一种判分：$5x+2y=71$；第二种：$40+3x-z=71$，即 $z=3x-31$。把 $x$ 从第一式解出的可能值代入即可，也可以像题解那样消去 $x$ 得 $6y+5z=58$。注意 $z\ge0$ 要求 $x\ge11$，$5x\le71$ 要求 $x\le14$，范围一夹就只剩 $x=11,13$（$x$ 须使 $71-5x$ 为偶数，故 $x$ 为奇数）。
方法概述：两种判分各列一式，消元并用非负条件夹出 $x$ 的范围。
规范步骤：
  1. 设答对 $x$、没答 $y$、答错 $z$：$\begin{cases}5x+2y=71\\ 40+3x-z=71\end{cases}$（两种判分各列一式）
  2. 由第二式：$z=3x-31\ge 0\Rightarrow x\ge 11$（非负条件）
  3. 由第一式：$2y=71-5x\ge0\Rightarrow x\le 14$，且 $71-5x$ 为偶数故 $x$ 为奇数（奇偶与范围）
  4. 枚举 $x=11,13$：$x=11:y=8,z=2;\ x=13:y=3,z=8$（枚举求解）
  5. 求总题数：$11+8+2=21$ 或 $13+3+8=24$（求和）
第一套
题目：某次数学比赛用两种方式判分。一种是答对 1 题给 7 分，不答给 3 分，答错不给分；另一种是先给 40 分之外再加 20 分（即先给 60 分），答对 1 题给 4 分，不答不给分，答错扣 1 分。某考生两种判分方法均得 101 分。请问：这次比赛共考了多少道题？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：设答对 $x$ 题、没答 $y$ 题、答错 $z$ 题，第一种判分 $7x+3y=101$；第二种判分 $60+4x-z=101$，即 $z=4x-\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（用非负条件夹范围）：由 $z\ge0$ 得 $x\ge 11$（因为 $4\times10=40<41$）；由 $3y=101-7x\ge0$ 得 $x\le\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用整除性筛 $x$）：$101-7x$ 要被 3 整除，$101$ 除以 3 余 $\underline{\quad}$，$7x$ 与 $x$ 除以 3 同余，所以 $x$ 除以 3 余 2；$11\le x\le14$ 中 $x=11$ 或 $x=14$。
  4. 第 4 步（回代）：$x=11$ 时 $y=\underline{\quad}$、$z=\underline{\quad}$；$x=14$ 时 $y=\underline{\quad}$、$z=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求总题数）：$11+8+3=\underline{\quad}$ 或 $14+1+15=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某次知识竞赛有两套计分办法。甲办法：答对 1 题得 7 分，弃权得 3 分，答错得 0 分；乙办法：先送 60 分，答对 1 题加 4 分，弃权不加分，答错扣 1 分。某选手两种办法都得 101 分。问：这次竞赛共有多少道题？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$7x+3y=101$；$60+4x-z=101$，即 $z=4x-\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（夹范围）：$z\ge0$ 给出 $x\ge11$；$3y=101-7x\ge0$ 给出 $x\le\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整除性）：$101$ 除以 3 余 $\underline{\quad}$，故 $x$ 除以 3 余 2，得 $x=11$ 或 $14$。
  4. 第 4 步（回代）：$x=11$ 时 $y=\underline{\quad}$、$z=\underline{\quad}$；$x=14$ 时 $y=\underline{\quad}$、$z=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（总题数）：$\underline{\quad}$ 或 $\underline{\quad}$。
第三套
题目：某次比赛用两种方式判分：一种是答对 1 题给 5 分，不答给 2 分，答错不给分；另一种是先给 45 分，答对 1 题给 3 分，不答不给分，答错扣 1 分。某考生两种判分均得 81 分。请问：这次比赛共考了多少道题？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$5x+2y=81$；$45+3x-z=81$，即 $z=3x-\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（夹范围）：由 $z\ge0$ 得 $x\ge12$；由 $2y=81-5x\ge0$ 得 $x\le\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（奇偶分析）：$81-5x$ 要是偶数，所以 $x$ 必为奇数，$12\le x\le16$ 中 $x=13$ 或 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$x=13$ 时 $y=\underline{\quad}$、$z=\underline{\quad}$；$x=15$ 时 $y=\underline{\quad}$、$z=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求总题数）：$13+8+3=\underline{\quad}$ 或 $15+3+9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：某次比赛用两种方式判分：一种是答对 1 题给 7 分，不答给 3 分，答错不给分；另一种是先给 60 分，答对 1 题给 4 分，不答不给分，答错扣 1 分。某考生两种判分均得 101 分。请问：这次比赛共考了多少道题？其中答错的题最多可能是多少道？此时答对多少道？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组并夹范围）：$7x+3y=101$，$z=4x-\underline{\quad}$；由 $z\ge0$、$3y\ge0$ 得 $11\le x\le\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（整除性筛 $x$）：$101$ 除以 3 余 $\underline{\quad}$，故 $x$ 除以 3 余 2，得 $x=11$ 或 $x=14$。
  3. 第 3 步（回代）：$x=11$ 时 $(y,z)=(8,\underline{\quad})$，总题数 $\underline{\quad}$；$x=14$ 时 $(y,z)=(1,\underline{\quad})$，总题数 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（比较答错题数）：$z$ 分别是 3 与 15，最多的是 $\underline{\quad}$，此时答对 $\underline{\quad}$ 道。
15. 【原题 ch08-tuozhan-07】庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，19 个小和尚每天共吃 60 个馒头，平均每个和尚每天恰好吃 4 个馒头。请问：庙里共有多少个和尚？
详细思路
是哪类问题：这是「分数条件化不定方程 + 通解平移」的问题：先用“成组”的想法把分数去掉，再化成整数比。
关键切入点：$7$ 个大和尚一组吃 $41$ 个馒头，所以大和尚人数 $x$ 必是 $7$ 的倍数，设 $x=7s$；同理小和尚 $y=19t$。总馒头数 $41s+60t$ 等于人均 $4$ 乘总人数：$41s+60t=4(7s+19t)=28s+76t$，整理得 $13s=16t$。$13$ 与 $16$ 互质，所以 $s=16k,\ t=13k$，于是 $x=112k,\ y=247k$，总人数 $359k$。七百多只能是 $k=2$。
方法概述：按“整组”设元去掉分数，化成整数比后用范围定倍数。
规范步骤：
  1. 设大和尚 $x=7s$ 人、小和尚 $y=19t$ 人：$41s+60t=4(7s+19t)$（成组设元去分数）
  2. 整理：$41s+60t=28s+76t\Rightarrow 13s=16t$（移项合并）
  3. 取互质比：$s=16k,\ t=13k$（13 与 16 互质）
  4. 写出人数：$x=112k,\ y=247k$，总人数 $359k$（回代）
  5. 用范围定 $k$：$359\times2=718$ 是七百多，故 $k=2$（范围限制）
第一套
题目：庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共一千多人，已知 9 个大和尚每天共吃 58 个馒头，23 个小和尚每天共吃 92 个馒头，平均每个和尚每天恰好吃 5 个馒头。请问：庙里共有多少个和尚？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（成组设元）：$9$ 个大和尚吃 58 个馒头，故大和尚人数 $x$ 是 $\underline{\quad}$ 的倍数，设 $x=9s$；同理小和尚 $y=23t$。
  2. 第 2 步（列方程）：总馒头数 $58s+92t$ 等于人均 5 乘总人数，即 $58s+92t=5\times(9s+23t)=\underline{\quad}s+115t$。
  3. 第 3 步（整理成整数比）：移项得 $13s=\underline{\quad}t$，因 13 与 23 互质，所以 $s=23k,\ t=13k$。
  4. 第 4 步（写出人数）：$x=9\times23k=\underline{\quad}k$，$y=23\times13k=\underline{\quad}k$，总人数 $\underline{\quad}k$。
  5. 第 5 步（用范围定 $k$）：要一千多人，$506\times2=\underline{\quad}$ 符合，所以 $k=2$，$x=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
第二套
题目：夏令营里有大营员和小营员共一千多人，已知 9 个大营员每天共领 58 个面包，23 个小营员每天共领 92 个面包，平均每人每天恰好领 5 个面包。请问：夏令营共有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（成组设元）：大营员人数是 $\underline{\quad}$ 的倍数，设 $x=9s$、$y=23t$。
  2. 第 2 步（列方程）：$58s+92t=5\times(9s+23t)=\underline{\quad}s+115t$。
  3. 第 3 步（整理）：$13s=\underline{\quad}t$，故 $s=23k,\ t=13k$。
  4. 第 4 步（写人数）：$x=\underline{\quad}k$，$y=\underline{\quad}k$，总数 $\underline{\quad}k$。
  5. 第 5 步（定 $k$）：$506\times2=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
第三套
题目：庙里有大和尚和小和尚共六百多人，已知 13 个大和尚每天共吃 70 个馒头，17 个小和尚每天共吃 60 个馒头，平均每个和尚每天恰好吃 4 个馒头。请问：庙里共有多少个和尚？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（成组设元）：设大和尚 $x=13s$ 人、小和尚 $y=17t$ 人。
  2. 第 2 步（列方程）：$70s+60t=4\times(13s+17t)=52s+\underline{\quad}t$。
  3. 第 3 步（整理并约分）：移项得 $18s=8t$，两边同除 2 得 $9s=\underline{\quad}t$，故 $s=4k,\ t=9k$。
  4. 第 4 步（写出人数）：$x=13\times4k=\underline{\quad}k$，$y=17\times9k=\underline{\quad}k$，总人数 $\underline{\quad}k$。
  5. 第 5 步（定 $k$）：要六百多人，$205\times3=\underline{\quad}$，所以 $k=3$，$x=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
第三套
题目：庙里有大和尚和小和尚共一千多人，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，19 个小和尚每天共吃 60 个馒头，平均每个和尚每天恰好吃 4 个馒头。请问：大、小和尚各多少人？每天一共吃多少个馒头？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（成组设元并列方程）：设 $x=7s,\ y=19t$，则 $41s+60t=4(7s+19t)=28s+\underline{\quad}t$。
  2. 第 2 步（整理）：$13s=\underline{\quad}t$，故 $s=16k,\ t=13k$。
  3. 第 3 步（写出人数）：$x=7\times16k=\underline{\quad}k$，$y=19\times13k=\underline{\quad}k$，总人数 $\underline{\quad}k$。
  4. 第 4 步（用范围定 $k$）：要一千多人，$359\times3=\underline{\quad}$ 符合，$k=3$。
  5. 第 5 步（求各类人数）：$x=112\times3=\underline{\quad}$，$y=247\times3=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求馒头总数）：$4\times1077=\underline{\quad}$ 个。
16. 【原题 ch08-tuozhan-08】我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值 5 文钱，每只母鸡价值 3 文钱，每 3 只小鸡价值 1 文钱。要想用 100 文钱恰好买 100 只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
详细思路
是哪类问题：这是古代名题「百鸡问题」：三元一次方程组求**全部**自然数解，靠消元化成二元一次不定方程。
关键切入点：两个条件是“只数 100”和“钱数 100”。钱数方程里有分数 $\frac13 z$，把它乘 $3$ 变成整数：$15x+9y+z=300$；再减去只数方程 $x+y+z=100$ 就消掉了 $z$，得到 $14x+8y=200$，约简为 $7x+4y=100$。它的解每次 $x$ 加 $4$、$y$ 减 $7$，在 $0\le y$ 的范围内共 4 组，一组都不能漏。
方法概述：钱数方程乘 3 去分母，再减只数方程消 $z$，化成 $7x+4y=100$ 求全部自然数解。
规范步骤：
  1. 设公鸡 $x$、母鸡 $y$、小鸡 $z$ 只：$\begin{cases}x+y+z=100\\ 5x+3y+\frac13 z=100\end{cases}$（只数与钱数各列一式）
  2. 第二式乘 3 去分母：$15x+9y+z=300$（化整）
  3. 两式相减消去 $z$：$14x+8y=200\Rightarrow 7x+4y=100$（消元 + 约简）
  4. 求全部自然数解（$4y=100-7x$，故 $x$ 是 4 的倍数）：$x=0,4,8,12$，对应 $y=25,18,11,4$（整除性 + 范围）
  5. 回代求 $z$：$z=75,\ 78,\ 81,\ 84$（代入求解）
第一套
题目：每只公鸡价值 7 文钱，每只母鸡价值 5 文钱，每 3 只小鸡价值 1 文钱。要想用 200 文钱恰好买 200 只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：设公鸡 $x$、母鸡 $y$、小鸡 $z$ 只，则 $x+y+z=200$，$7x+5y+\frac13 z=200$。
  2. 第 2 步（去分母）：第二式乘 3 得 $21x+15y+z=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（消元）：减去只数方程，得 $20x+14y=\underline{\quad}$，两边同除 2 得 $10x+7y=200$。
  4. 第 4 步（求全部解）：$7y=200-10x$ 要被 7 整除，$200$ 除以 7 余 $\underline{\quad}$，$10x$ 与 $3x$ 除以 7 同余，所以 $3x$ 除以 7 余 4，得 $x$ 除以 7 余 6；在 $10x\le200$ 内 $x=6,\ 13,\ 20$，对应 $y=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代求 $z$）：$z=200-x-y$，分别为 $\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
第二套
题目：花市上，大盆花每盆 7 元，中盆花每盆 5 元，小盆花每 3 盆 1 元。要用 200 元恰好买 200 盆花，三种花应该各买多少盆？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$x+y+z=200$，$7x+5y+\frac13z=200$。
  2. 第 2 步（去分母）：第二式乘 3 得 $21x+15y+z=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（消元）：相减得 $20x+14y=\underline{\quad}$，同除 2 得 $10x+7y=200$。
  4. 第 4 步（求全部解）：$200$ 除以 7 余 $\underline{\quad}$，得 $x$ 除以 7 余 6，$x=6,13,20$，对应 $y=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：$z=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
第三套
题目：每只公鸡 6 文钱，每只母鸡 4 文钱，每 3 只小鸡 1 文钱。用 100 文钱恰好买 100 只鸡，三种鸡各买多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$x+y+z=100$，$6x+4y+\frac13z=100$。
  2. 第 2 步（去分母）：第二式乘 3 得 $18x+12y+z=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（消元）：相减得 $17x+11y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$11y=200-17x$，$200$ 除以 11 余 $\underline{\quad}$，$17x$ 与 $6x$ 除以 11 同余，所以 $6x$ 除以 11 余 2，得 $x$ 除以 11 余 4；在 $17x\le200$ 内只有 $x=4$，此时 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：$z=100-4-12=\underline{\quad}$。
第三套
题目：每只公鸡 7 文钱，每只母鸡 5 文钱，每 3 只小鸡 1 文钱。用 200 文钱恰好买 200 只鸡，且三种鸡都要买到。问：共有几种买法？其中母鸡最多能买多少只？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（消元）：钱数方程乘 3 得 $21x+15y+z=\underline{\quad}$，减去只数方程得 $20x+14y=\underline{\quad}$，同除 2 得 $10x+7y=200$。
  2. 第 2 步（求全部自然数解）：$x$ 除以 7 余 6，$x=6,\ 13,\ 20$，对应 $y=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（回代求 $z$）：分别为 $\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用“三种都要买”筛选）：$x=20$ 时母鸡为 $0$ 只，不合题意，所以买法只有 $\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步（求母鸡最多）：剩下两种买法中母鸡为 20 只与 10 只，最多 $\underline{\quad}$ 只。
17. 【原题 ch08-tuozhan-09】小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买。钢笔 4 支一盒，每盒 5 元；圆珠笔 6 支一盒，每盒 6 元；铅笔 10 支一盒，每盒 7 元。小李总共花了 97 元，买了 90 支笔。请问：三种笔分别买了多少盒？
详细思路
是哪类问题：这是「三元一次方程组求自然数解」：支数与钱数各一个方程，注意到圆珠笔在两式中的系数都是 $6$，相减即可消元。
关键切入点：支数：$6x+10y+4z=90$；钱数：$6x+7y+5z=97$。两式中 $x$ 的系数都是 $6$，直接相减消去 $x$：$(10y+4z)-(7y+5z)=3y-z=90-97=-7$，即 $z=3y+7$。把它代回支数方程：$6x+10y+4(3y+7)=90\Rightarrow 6x+22y=62\Rightarrow 3x+11y=31$，一枚举就得 $y=2,\ x=3$。
方法概述：利用相同系数相减消元，得到 $z=3y+7$ 后代回，化成二元不定方程。
规范步骤：
  1. 设圆珠笔 $x$ 盒、铅笔 $y$ 盒、钢笔 $z$ 盒：$\begin{cases}6x+10y+4z=90\\ 6x+7y+5z=97\end{cases}$（支数与钱数各列一式）
  2. 两式相减消去 $x$：$3y-z=-7\Rightarrow z=3y+7$（同系数相减）
  3. 代回支数方程：$6x+10y+12y+28=90\Rightarrow 3x+11y=31$（代入化二元）
  4. 枚举：$y=2\Rightarrow 3x=9,\ x=3$（整除性筛选）
  5. 回代：$z=3\times2+7=13$（代入求解）
第一套
题目：小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买。圆珠笔 8 支一盒、每盒 8 元；铅笔 12 支一盒、每盒 9 元；钢笔 5 支一盒、每盒 7 元。小李总共买了 148 支笔，花了 160 元。请问：三种笔分别买了多少盒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：设圆珠笔 $x$ 盒、铅笔 $y$ 盒、钢笔 $z$ 盒，支数 $8x+12y+5z=148$，钱数 $8x+9y+7z=160$。
  2. 第 2 步（消元）：两式中 $x$ 的系数都是 8，相减得 $3y-2z=148-160=\underline{\quad}$，即 $2z=3y+12$。
  3. 第 3 步（判断奇偶）：$3y+12$ 要是偶数，所以 $y$ 必须是 $\underline{\quad}$ 数。
  4. 第 4 步（枚举 $y$）：$y=4$ 时 $z=(12+12)\div2=\underline{\quad}$，代入支数方程得 $8x=148-48-60=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算钱数）：$8\times5+9\times4+7\times12=\underline{\quad}$ 元，与题目相符。
第二套
题目：食堂采购三种整箱包装的饮料：A 每箱 8 瓶、8 元；B 每箱 12 瓶、9 元；C 每箱 5 瓶、7 元。这次共买了 148 瓶，花了 160 元。请问：三种饮料各买了多少箱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$8x+12y+5z=148$，$8x+9y+7z=160$。
  2. 第 2 步（消元）：相减得 $3y-2z=\underline{\quad}$，即 $2z=3y+12$。
  3. 第 3 步（奇偶判断）：$y$ 必须是 $\underline{\quad}$ 数。
  4. 第 4 步（枚举）：$y=4$ 时 $z=\underline{\quad}$，$8x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$8\times5+9\times4+7\times12=\underline{\quad}$ 元。
第三套
题目：圆珠笔 6 支一盒、每盒 6 元；铅笔 10 支一盒、每盒 7 元；钢笔 4 支一盒、每盒 5 元。小李共买了 108 支笔，花了 115 元。请问：三种笔各买了多少盒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$6x+10y+4z=108$，$6x+7y+5z=115$。
  2. 第 2 步（消元）：两式 $x$ 的系数都是 6，相减得 $3y-z=108-115=\underline{\quad}$，即 $z=3y+7$。
  3. 第 3 步（代回）：$6x+10y+4(3y+7)=108$，整理得 $6x+22y=\underline{\quad}$，同除 2 得 $3x+11y=40$。
  4. 第 4 步（枚举）：$y=2$ 时 $3x=40-22=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：$z=3\times2+7=\underline{\quad}$。
第三套
题目：圆珠笔 8 支一盒、每盒 8 元；铅笔 12 支一盒、每盒 9 元；钢笔 5 支一盒、每盒 7 元。小李共买了 148 支笔，花了 160 元。请问：三种笔各买了多少盒？一共买了多少盒？三种笔各多少支？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（消元）：两式相减得 $3y-2z=\underline{\quad}$，即 $2z=3y+12$，故 $y$ 是偶数。
  2. 第 2 步（枚举）：$y=4$ 时 $z=\underline{\quad}$，$8x=148-48-60=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求总盒数）：$5+4+12=\underline{\quad}$ 盒。
  4. 第 4 步（求各类支数）：圆珠笔 $8\times5=\underline{\quad}$ 支，铅笔 $12\times4=\underline{\quad}$ 支，钢笔 $5\times12=\underline{\quad}$ 支。
  5. 第 5 步（验算总支数）：$40+48+60=\underline{\quad}$ 支，与题目一致。
18. 【原题 ch08-tuozhan-10】在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛。如图 8-1，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应 17 分、11 分和 4 分。每人可以投若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子的得分可相加。试问：如果规定恰好投中 100 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中 120 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？
详细思路
是哪类问题：这是「整体设元 + 最少个数」的三元不定方程：把飞镖总数 $a=x+y+z$ 当作未知数，反过来限制它。
关键切入点：直接枚举 $x,y,z$ 太多。技巧是用 $17a-(17x+11y+4z)=6y+13z$：左边 $=17a-100$，右边是自然数，所以 $17a\ge100$，即 $a\ge6$。这就把“最少几个”变成“从 $a=6$ 开始往上试”，谁先有解谁就是答案。
方法概述：整体设总数 $a$，用 $17a-$ 总分 $=6y+13z$ 卡下界，再从小到大试 $a$。
规范步骤：
  1. 设 17 分 $x$ 个、11 分 $y$ 个、4 分 $z$ 个，$a=x+y+z$：$17x+11y+4z=100$（按得分列方程）
  2. 用 $17a$ 减去得分：$17a-100=6y+13z\ge 0\Rightarrow a\ge 6$（整体设元定下界）
  3. 从小到大试：$a=6:6y+13z=2$ 无解；$a=7:6y+13z=19\Rightarrow y=1,z=1$（枚举）
  4. 求 $x$：$x=7-1-1=5$，验算 $17\times5+11+4=100$（回代）
  5. 同法处理 120 分：$a=8:16$ 无解；$a=9:33$ 无解；$a=10:50\Rightarrow y=4,z=2,x=4$（重复方法）
第一套
题目：飞镖靶子分为三块区域，分别对应 19 分、13 分和 5 分。每人可以投若干次，脱靶不得分，投中的得分可相加。试问：如果规定恰好投中 150 分才能获奖，至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中 200 分呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体设元）：设 19 分 $x$ 个、13 分 $y$ 个、5 分 $z$ 个，总数 $a=x+y+z$。用 $19a$ 减去总分：$19a-150=(19-13)y+(19-5)z=6y+\underline{\quad}z$。
  2. 第 2 步（定下界）：右边是自然数，所以 $19a\ge150$，$a$ 至少是 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（从小到大试）：$a=8$ 时 $6y+14z=19\times8-150=\underline{\quad}$，太小无解；$a=9$ 时 $6y+14z=\underline{\quad}$ 是奇数，而 $6y+14z$ 一定是偶数，无解。
  4. 第 4 步（找到答案）：$a=10$ 时 $6y+14z=190-150=\underline{\quad}$，同除 2 得 $3y+7z=20$，解得 $z=2,\ y=\underline{\quad}$，故 $x=10-2-2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（同法处理 200 分）：$19a\ge200$ 得 $a\ge11$；$a=11$ 时 $6y+14z=209-200=9$ 是奇数无解；$a=12$ 时 $6y+14z=228-200=\underline{\quad}$，即 $3y+7z=14$，得 $z=2,\ y=0$，$x=\underline{\quad}$，最少 $\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：套圈游戏的三种奖品分别记 19 分、13 分和 5 分，套中即得分，可反复套。若恰好得 150 分可换大奖，至少要套中几个？若规定恰好 200 分呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体设元）：设总个数 $a=x+y+z$，则 $19a-150=6y+\underline{\quad}z$。
  2. 第 2 步（定下界）：$19a\ge150$，$a$ 至少 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（试值）：$a=8$ 时右边为 $\underline{\quad}$ 无解；$a=9$ 时为 $\underline{\quad}$ 是奇数，无解。
  4. 第 4 步（求解）：$a=10$ 时为 $\underline{\quad}$，即 $3y+7z=20$，得 $z=2,\ y=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（200 分）：$a=12$ 时 $6y+14z=\underline{\quad}$，得 $z=2,y=0$，$x=\underline{\quad}$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：飞镖靶三块区域分别是 23 分、15 分和 7 分，投中得分可相加。要恰好投中 130 分，至少需要投中几个飞镖？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体设元）：设总数 $a=x+y+z$，$23a-130=(23-15)y+(23-7)z=8y+\underline{\quad}z$。
  2. 第 2 步（定下界）：$23a\ge130$，所以 $a\ge\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（试最小值）：$a=6$ 时 $8y+16z=23\times6-130=\underline{\quad}$，两边同除 8 得 $y+2z=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：取 $z=0,\ y=1$，则 $x=6-1-0=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$23\times5+15\times1+7\times0=\underline{\quad}$ 分，恰好 130 分，所以最少 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：飞镖靶三块区域分别是 19 分、13 分和 5 分。要恰好投中 150 分，至少需要投中几个飞镖？在个数最少时，三种区域各投中几个？这样的方案唯一吗？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整体设元并定下界）：$19a-150=6y+14z\ge0$，所以 $a\ge\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（排除小值）：$a=8$ 时右边为 $\underline{\quad}$，比最小的 $6$ 还小又不为 0，无解；$a=9$ 时为 $\underline{\quad}$，奇数而左边必为偶数，无解。
  3. 第 3 步（求解 $a=10$）：$6y+14z=\underline{\quad}$，同除 2 得 $3y+7z=20$。
  4. 第 4 步（逐一检验 $z$）：$z=0$ 时 $3y=20$ 不整除；$z=1$ 时 $3y=13$ 不整除；$z=2$ 时 $3y=20-14=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$；$z=3$ 时 $7\times3=21>20$，舍。所以只有一组。
  5. 第 5 步（求 $x$ 并下结论）：$x=10-2-2=\underline{\quad}$，方案唯一，验算 $19\times6+13\times2+5\times2=\underline{\quad}$。
19. 【原题 ch08-tuozhan-11】有纸币 60 张，其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有若干张。请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是 100 元？
详细思路
是哪类问题：这是「整除性判存在」的问题：不必求解，只要找出一个所有解都必须满足的整除特征，再看目标值是否满足。
关键切入点：把面值都化成分：$x+10y+100z+1000w=10000$，张数 $x+y+z+w=60$。两式相减，$x$ 被消掉：$9y+99z+999w=9940$。左边每一项都是 $9$ 的倍数，所以左边是 $9$ 的倍数；而 $9940$ 的数字和 $9+9+4+0=22$ 不是 $9$ 的倍数。矛盾，说明这样的纸币组合根本不存在。
方法概述：两式相减消去 1 分的张数，用“左边是 9 的倍数”与右边矛盾判无解。
规范步骤：
  1. 设 1 分、1 角、1 元、10 元各 $x,y,z,w$ 张（面值以分计）：\begin{cases}x+y+z+w=60\\ x+10y+100z+1000w=10000\end{cases}（张数与面值各列一式）
  2. 两式相减消去 $x$：$9y+99z+999w=10000-60=9940$（消元）
  3. 看左边的整除特征：$9y+99z+999w$ 是 9 的倍数（整除性）
  4. 检验右边：$9+9+4+0=22$，$9940$ 不是 9 的倍数（数字和判断）
  5. 下结论：矛盾，故不能（存在性判断）
第一套
题目：有纸币 80 张，其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有若干张。请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是 150 元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：面值以分计，$x+10y+100z+1000w=\underline{\quad}$（150 元），张数 $x+y+z+w=80$。
  2. 第 2 步（消元）：两式相减消去 $x$，得 $9y+99z+999w=15000-80=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（看左边特征）：$9,\ 99,\ 999$ 都是 $\underline{\quad}$ 的倍数，所以左边一定是它的倍数。
  4. 第 4 步（检验右边）：$14920$ 的数字和为 $1+4+9+2+0=\underline{\quad}$，不是 9 的倍数。
  5. 第 5 步（下结论）：矛盾，所以不能。
第二套
题目：商场有面值 1 分、1 角、1 元、10 元的代金券共 80 张。请判断：这些代金券的总面值能否恰好是 150 元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：面值以分计共 $\underline{\quad}$ 分，张数 $x+y+z+w=80$。
  2. 第 2 步（消元）：相减得 $9y+99z+999w=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（左边特征）：左边是 $\underline{\quad}$ 的倍数。
  4. 第 4 步（检验右边）：数字和 $1+4+9+2+0=\underline{\quad}$，不是 9 的倍数，故不能。
第三套
题目：有纸币 50 张，其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有若干张。请判断：这些纸币的总面值能否恰好是 60 元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$x+10y+100z+1000w=\underline{\quad}$（分），$x+y+z+w=50$。
  2. 第 2 步（消元）：相减得 $9y+99z+999w=6000-50=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（检验整除性）：$5950$ 的数字和为 $5+9+5+0=\underline{\quad}$，不是 9 的倍数。
  4. 第 4 步（结论）：左边是 9 的倍数而右边不是，矛盾，故不能。
第三套
题目：有纸币 60 张，其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有若干张。请判断：（1）总面值能否恰好是 100 元？（2）总面值能否恰好是 100 元零 5 分？若能，请给出一种方案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（消元得关键式）：由 $x+10y+100z+1000w=$ 总面值（分）与 $x+y+z+w=60$ 相减，得 $9y+99z+999w=$ 总面值 $-60$，左边是 9 的倍数。
  2. 第 2 步（判断第 (1) 问）：$10000-60=\underline{\quad}$，数字和 $9+9+4+0=\underline{\quad}$ 不是 9 的倍数，所以不能。
  3. 第 3 步（判断第 (2) 问）：$10005-60=\underline{\quad}$，数字和 $9+9+4+5=\underline{\quad}$ 是 9 的倍数，通过第一关。
  4. 第 4 步（构造方案）：$9945\div9=\underline{\quad}$，即 $y+11z+111w=1105$；取 $w=9,\ z=9$ 得 $y=1105-999-99=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：张数 $x=60-7-9-9=\underline{\quad}$，总面值 $35+7\times10+9\times100+9\times1000=\underline{\quad}$ 分，恰好 100 元零 5 分。
20. 【原题 ch08-tuozhan-12】卡莉娅到商店买糖，巧克力糖 13 元一包，奶糖 17 元一包，水果糖 7.8 元一包，酥糖 10.4 元一包，最后她共花了 360 元，且每种糖都买了。请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？
详细思路
是哪类问题：这是「多元一次不定方程 + 整体设元」：四个未知数一个方程，但只问奶糖的包数，所以把其余三项打包成一个整体。
关键切入点：先把小数化整：都乘 $5$，得 $65x+85y+39z+52w=1800$。观察系数：$65=13\times5$、$39=13\times3$、$52=13\times4$ 都含因数 $13$，而奶糖那项 $85y$ 不含。于是提公因数：$13(5x+3z+4w)+85y=1800$，令 $u=5x+3z+4w$，四元问题就变成二元的 $13u+85y=1800$，再用余数分析定出 $y$。
方法概述：小数化整后按“含 13 与不含 13”分组，提公因数并整体设元。
规范步骤：
  1. 设四种糖分别买 $x,y,z,w$ 包：$13x+17y+7.8z+10.4w=360$（按总钱数列方程）
  2. 两边乘 5 化整：$65x+85y+39z+52w=1800$（去小数）
  3. 把含 13 的项提出来：$13(5x+3z+4w)+85y=1800$（提公因数）
  4. 整体设元并解：$13u+85y=1800$，$7y\equiv 6\pmod{13}\Rightarrow y=12$（余数分析）
  5. 验证唯一：$85y\le1800\Rightarrow y\le21$，故只有 $y=12$，$u=60$（范围限制）
第一套
题目：卡莉娅到商店买糖，巧克力糖 17 元一包，奶糖 19 元一包，水果糖 10.2 元一包，酥糖 13.6 元一包，最后她共花了 400 元，且每种糖都买了。请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程并化整）：$17x+19y+10.2z+13.6w=400$，两边乘 5 得 $85x+95y+51z+68w=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（找公因数）：$85,\ 51,\ 68$ 都含因数 $\underline{\quad}$，而 $95y$ 不含。
  3. 第 3 步（提公因数并整体设元）：$17(5x+3z+4w)+95y=2000$，令 $u=5x+3z+4w$，得 $17u+95y=2000$。
  4. 第 4 步（余数分析）：$95y$ 与 $10y$ 除以 17 同余，$2000$ 除以 17 余 $\underline{\quad}$，所以要 $10y$ 除以 17 余 11，试得 $y=13$（$130$ 除以 17 余 $\underline{\quad}$）。
  5. 第 5 步（求 $u$ 并说明唯一）：$17u=2000-95\times13=\underline{\quad}$，$u=\underline{\quad}$；又 $95y\le2000$ 给出 $y\le21$，故只有这一组。
第二套
题目：面点店的四种点心分别是 17 元、19 元、10.2 元、13.6 元一盒，小李四种都买了一些，共花了 400 元。请问：19 元一盒的点心买了多少盒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化整）：两边乘 5 得 $85x+95y+51z+68w=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（找公因数）：$85,\ 51,\ 68$ 都含因数 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体设元）：$17u+95y=2000$，其中 $u=5x+3z+4w$。
  4. 第 4 步（余数分析）：$2000$ 除以 17 余 $\underline{\quad}$，试得 $y=13$（$130$ 除以 17 余 $\underline{\quad}$）。
  5. 第 5 步（求 $u$）：$17u=\underline{\quad}$，$u=\underline{\quad}$。
第三套
题目：卡莉娅买糖，巧克力糖 11 元一包，奶糖 15 元一包，水果糖 6.6 元一包，酥糖 8.8 元一包，共花了 300 元，且每种糖都买了。请问：她买了多少包奶糖？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化整）：$11x+15y+6.6z+8.8w=300$ 两边乘 5，得 $55x+75y+33z+44w=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（提公因数）：$55,\ 33,\ 44$ 都含因数 $\underline{\quad}$，令 $u=5x+3z+4w$，得 $11u+75y=1500$。
  3. 第 3 步（余数分析）：$75y$ 与 $9y$ 除以 11 同余，$1500$ 除以 11 余 $\underline{\quad}$，要 $9y$ 除以 11 余 4，试得 $y=9$（$81$ 除以 11 余 $\underline{\quad}$）。
  4. 第 4 步（求 $u$）：$11u=1500-675=\underline{\quad}$，$u=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（排除假解）：$y=20$ 时 $75\times20=1500$，此时 $u=0$，意味着三种糖都没买，与“每种都买”矛盾，舍去。
第三套
题目：巧克力糖 17 元一包，奶糖 19 元一包，水果糖 10.2 元一包，酥糖 13.6 元一包，卡莉娅四种都买了，共花 400 元。请问：奶糖买了多少包？巧克力糖最多能买多少包？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化整并提公因数）：两边乘 5 得 $85x+95y+51z+68w=2000$，即 $17u+95y=2000$，其中 $u=5x+3z+4w$。
  2. 第 2 步（定奶糖包数）：$2000$ 除以 17 余 $\underline{\quad}$，得 $y=13$，$u=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（转化为新问题）：要巧克力糖最多，就是在 $5x+3z+4w=45$ 且 $z\ge1,\ w\ge1$ 时让 $x$ 最大。
  4. 第 4 步（估上界）：$z,w$ 至少各 1 包，占去 $3+4=\underline{\quad}$，所以 $5x\le 45-7=\underline{\quad}$，$x\le 7$。
  5. 第 5 步（检验能否取到）：$x=7$ 时 $3z+4w=45-35=\underline{\quad}$，取 $z=2,\ w=1$ 成立，所以最多 $\underline{\quad}$ 包。
21. 【原题 ch08-tuozhan-13】卡莉娅、小高去超市买水果。卡莉娅买了 2 千克橘子、3 千克苹果和 4 千克梨，共花了 28.5 元；小高买了 3 千克橘子、5 千克苹果和 7 千克梨，共花了 47.7 元。结账的时候碰到老师，老师买了 6 千克橘子和 3 千克苹果，那么老师应该花了多少钱？
详细思路
是哪类问题：这是「整体求值」问题：未知数比方程多，但要求的量恰好是两个方程的某个**线性组合**，所以不必解出每个单价。
关键切入点：题目要 $6x+3y$，注意它只含 $x,y$，所以要把 $z$ 消掉。$①$ 中 $z$ 的系数是 $4$，$②$ 中是 $7$，用 $7\times①-4\times②$ 就能消去 $z$：$14x+21y+28z-(12x+20y+28z)=2x+y$，右边 $7\times28.5-4\times47.7=199.5-190.8=8.7$。而 $6x+3y=3(2x+y)=3\times8.7=26.1$，一步到位。
方法概述：找一个能消去 $z$ 的组合，凑出所求式子的整数倍。
规范步骤：
  1. 设橘子、苹果、梨每千克 $x,y,z$ 元：$\begin{cases}2x+3y+4z=28.5\quad ①\\ 3x+5y+7z=47.7\quad ②\end{cases}$（按两次购买列式）
  2. 用 $7\times①-4\times②$ 消去 $z$：$2x+y=7\times28.5-4\times47.7=8.7$（线性组合消元）
  3. 把所求式子写成倍数：$6x+3y=3(2x+y)$（整体观察）
  4. 代入：$3\times8.7=26.1$（求值）
  5. 答：$26.1$ 元
第一套
题目：卡莉娅买了 2 千克橘子、3 千克苹果和 4 千克梨，共花了 31.5 元；小高买了 3 千克橘子、5 千克苹果和 7 千克梨，共花了 52.4 元。老师买了 8 千克橘子和 4 千克苹果，那么老师应该花多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（明确目标）：要求 $8x+4y$，式子里没有 $z$，所以要先把 $z$ 消掉。
  2. 第 2 步（找组合）：$①$ 中 $z$ 的系数是 4，$②$ 中是 7，用 $7\times①-4\times②$ 可消去 $z$，此时 $x$ 的系数为 $7\times2-4\times3=\underline{\quad}$，$y$ 的系数为 $7\times3-4\times5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算右边）：$7\times31.5-4\times52.4=220.5-\underline{\quad}=\underline{\quad}$，所以 $2x+y=10.9$。
  4. 第 4 步（把所求写成倍数）：$8x+4y=4\times(2x+y)$，所以等于 $4\times10.9=\underline{\quad}$。
第二套
题目：文具店里，小明买了 2 本练习本、3 支笔和 4 块橡皮，共花 31.5 元；小红买了 3 本练习本、5 支笔和 7 块橡皮，共花 52.4 元。老师要买 8 本练习本和 4 支笔，需要花多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（明确目标）：所求 $8x+4y$ 不含橡皮单价 $z$，要先消 $z$。
  2. 第 2 步（找组合）：用 $7\times①-4\times②$，$x$ 的系数为 $\underline{\quad}$，$y$ 的系数为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算右边）：$7\times31.5-4\times52.4=220.5-\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求值）：$8x+4y=4\times10.9=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：甲买了 3 千克橘子、4 千克苹果和 5 千克梨，共花 40 元；乙买了 4 千克橘子、7 千克苹果和 9 千克梨，共花 66.9 元。丙要买 14 千克橘子和 2 千克苹果，需要多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（明确目标）：所求 $14x+2y$ 不含 $z$，先消 $z$。
  2. 第 2 步（找组合）：$①$ 中 $z$ 的系数 5、$②$ 中 9，用 $9\times①-5\times②$；此时 $x$ 的系数为 $9\times3-5\times4=\underline{\quad}$，$y$ 的系数为 $9\times4-5\times7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算右边）：$9\times40-5\times66.9=360-\underline{\quad}=\underline{\quad}$，即 $7x+y=25.5$。
  4. 第 4 步（写成倍数并求值）：$14x+2y=2\times(7x+y)=2\times25.5=\underline{\quad}$（元）。
第三套
题目：卡莉娅买 2 千克橘子、3 千克苹果、4 千克梨花了 31.5 元；小高买 3 千克橘子、5 千克苹果、7 千克梨花了 52.4 元。已知橘子每千克 3.2 元。请问：（1）买 8 千克橘子和 4 千克苹果要花多少钱？（2）苹果和梨每千克各多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（消元）：$7\times①-4\times②$ 得 $2x+y=7\times31.5-4\times52.4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：$8x+4y=4\times(2x+y)=\underline{\quad}$（元）。
  3. 第 3 步（回代求苹果单价）：把 $x=3.2$ 代入 $2x+y=10.9$，得 $y=10.9-2\times3.2=\underline{\quad}$（元）。
  4. 第 4 步（回代求梨单价）：代入 $①$：$4z=31.5-2\times3.2-3\times4.5=\underline{\quad}$，$z=\underline{\quad}$（元）。
  5. 第 5 步（验算）：$3\times3.2+5\times4.5+7\times2.9=\underline{\quad}$（元），与 $②$ 一致。
22. 【原题 ch08-tuozhan-14】红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵。小明买红笔、蓝笔各一支，共用了 23 元。小强打算用 109 元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把 109 元恰好用完。求红笔的单价。
详细思路
是哪类问题：这是「不可表示数的最大值 $ab-a-b$」问题：给定 $a+b$ 为定值，要让某个钱数**恰好凑不出**。
关键切入点：对互质的 $a,\ b$ 有结论：$ax+by=c$ 在 $c>ab-a-b$ 时一定有自然数解，$c=ab-a-b$ 时无解。既然 $109$ 无论怎么买都凑不出，就必须有 $ab-a-b\ge109$；而 $a+b=23$ 固定时，$ab$ 越大 $a,b$ 越接近，最大是 $12\times11=132$，此时 $ab-a-b=132-23=109$ 恰好等于 $109$。再大就不可能了，所以红笔 $12$ 元、蓝笔 $11$ 元。
方法概述：利用 $ab-a-b$ 结论，在 $a+b=23$ 中取乘积最大的一组。
规范步骤：
  1. 设红笔 $a$ 元、蓝笔 $b$ 元：$a+b=23$，且 $ax+by=109$ 无自然数解（按题意列条件）
  2. 回忆结论：$c>ab-a-b$ 时必有解（不可表示数上界）
  3. 要无解需 $ab-a-b\ge109$，即 $ab\ge132$：$a+b=23$ 时 $ab$ 最大为 $12\times11=132$（和定积最大）
  4. 验证：$12\times11-12-11=109$，恰好无解（代入检验）
  5. 答：红笔 12 元
第一套
题目：红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵。小明买红笔、蓝笔各一支，共用了 31 元。小强打算用 209 元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把 209 元恰好用完。求红笔的单价。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列条件）：设红笔 $a$ 元、蓝笔 $b$ 元，$a+b=31$，且 $ax+by=209$ 无自然数解。
  2. 第 2 步（用结论）：当 $c>ab-a-b$ 时一定有解，所以要无解必须 $ab-a-b\ge 209$，即 $ab\ge 209+31=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（和定积最大）：$a+b=31$ 时两数越接近乘积越大，最大为 $16\times15=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：$240-31=\underline{\quad}$，恰好等于 209，此时无自然数解。
  5. 第 5 步（下结论）：红笔比蓝笔贵，所以红笔 $\underline{\quad}$ 元、蓝笔 15 元。
第二套
题目：大、小两种包装的饼干单价都是整数元，大包比小包贵。买大、小包各一包共 31 元。小强想用 209 元恰好买完这两种饼干（也允许只买一种），可是无论怎么买都用不完。求大包饼干的单价。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列条件）：$a+b=31$，且 $ax+by=209$ 无自然数解。
  2. 第 2 步（用结论）：要无解须 $ab-a-b\ge209$，即 $ab\ge\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（和定积最大）：$16\times15=\underline{\quad}$ 是最大乘积。
  4. 第 4 步（检验）：$240-31=\underline{\quad}$，恰好无解。
  5. 第 5 步：大包 $\underline{\quad}$ 元。
第三套
题目：甲、乙两种本子的单价都是整数元，甲比乙贵，各买一本共 29 元。小强用 181 元买这两种本子（也可只买一种），无论怎么买都不能恰好用完。求甲种本子的单价。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列条件）：$a+b=29$，$ax+by=181$ 无自然数解。
  2. 第 2 步（用结论）：须 $ab-a-b\ge181$，即 $ab\ge181+29=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（和定积最大）：$a+b=29$ 时最大乘积为 $15\times14=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（检验）：$210-29=\underline{\quad}$，恰好等于 181。
  5. 第 5 步：甲种本子 $\underline{\quad}$ 元。
第三套
题目：红、蓝两种笔单价都是整数元，红笔比蓝笔贵，各买一支共 31 元。小强用 209 元无论怎么买都不能恰好用完。请问：（1）红笔单价是多少？（2）如果改用 208 元，能不能恰好用完？若能，请给出一种买法。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：要 $209$ 无解须 $ab\ge209+31=\underline{\quad}$，而 $a+b=31$ 时最大乘积 $16\times15=\underline{\quad}$，且 $240-31=\underline{\quad}$ 恰好无解，故红笔 16 元、蓝笔 15 元。
  2. 第 2 步（第 (2) 问先用结论判断）：$208<ab-a-b=209$，所以不能直接断定，必须实际检验。
  3. 第 3 步（余数分析）：$16x+15y=208$，$16x$ 与 $x$ 除以 15 同余，$208$ 除以 15 余 $\underline{\quad}$，所以 $x$ 除以 15 余 13。
  4. 第 4 步（取范围内的 $x$）：由 $16x\le208$ 得 $x\le13$，所以 $x=13$，此时 $15y=208-208=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（结论）：能恰好用完，买 13 支红笔、0 支蓝笔，验算 $16\times13=\underline{\quad}$ 元。
23. 【原题 ch08-xingqu-01】求下列方程的正整数解。（1）$x+2y=5$；（2）$2x+3y=8$；（3）$3x+2y=1$；（4）$4x+5y=30$。
详细思路
是哪类问题：这是「二元一次不定方程求正整数解」：一个方程含两个未知数，解不唯一，要靠“正整数”这个限制把范围卡死，再枚举。
关键切入点：关键是先估范围：$x,\ y$ 都至少是 $1$，所以每一项都有上界，可枚举的取值只有有限个；再看整除性——把一个未知数解出来时，分子必须能被系数整除。第 (3) 题正是用范围直接判无解：正整数时左边最小已是 $3+2=5$，超过右边 $1$。
方法概述：先用“每个未知数至少为 1”估出取值范围，再逐一枚举、用整除性筛选。
规范步骤：
  1. 第 (1) 题 $x+2y=5$：由 $x\ge 1$ 得 $2y\le 4$，$y$ 只能取 $1,2$：$y=1\Rightarrow x=3;\quad y=2\Rightarrow x=1$（范围估计后枚举）
  2. 第 (2) 题 $2x+3y=8$：由 $x\ge1$ 得 $3y\le6$，$y$ 取 $1,2$；$y=1$ 时 $2x=5$ 不整除，$y=2$ 时 $2x=2$：$x=1,\ y=2$（整除性筛选）
  3. 第 (3) 题 $3x+2y=1$：正整数时左边最小为 $3\times1+2\times1=5$：$5>1$，故无正整数解（范围下界判无解）
  4. 第 (4) 题 $4x+5y=30$：$4x=30-5y$ 要是 $4$ 的倍数，$y$ 只能取 $2$：$4x=30-10=20,\ x=5$（整除性筛选）
  5. 写出答案（第 (1) 题两组解都要保留）：$（1）x=3,\ y=1 或 x=1,\ y=2；（2）x=1,\ y=2；（3）无解；（4）x=5,\ y=2$（第 (1) 题解不唯一，须全写）
第一套
题目：求下列方程的正整数解。（1）$x+3y=14$；（2）$3x+4y=27$；（3）$6x+5y=4$；（4）$7x+9y=61$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 题 $x+3y=14$，先估范围）：由 $x\ge 1$ 得 $3y\le 13$，所以 $y$ 最大只能取 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（逐个枚举）：$y=1$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=2$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=3$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=4$ 时 $x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 (2) 题 $3x+4y=27$，用整除性）：$27$ 与 $3x$ 都是 $3$ 的倍数，所以 $4y$ 也要是 $3$ 的倍数，即 $y$ 是 $3$ 的倍数；$y=3$ 时 $x=\underline{\quad}$，$y=6$ 时 $x=\underline{\quad}$，$y=9$ 时 $4y=36$ 已超过 $27$，舍去。
  4. 第 4 步（第 (3) 题 $6x+5y=4$，用下界判无解）：$x,\ y$ 取最小的 $1$ 时左边已是 $6+5=\underline{\quad}$，比 $4$ 大，故无正整数解。
  5. 第 5 步（第 (4) 题 $7x+9y=61$）：$61-9y$ 要能被 $7$ 整除，试到 $y=6$ 时 $61-54=7$，得 $x=\underline{\quad}$。
第二套
题目：文具店里几种笔按元定价，每种笔至少买 1 支，钱要恰好花完，各有几种买法？（1）$1$ 元笔 $x$ 支、$3$ 元笔 $y$ 支共 $14$ 元；（2）$3$ 元笔 $x$ 支、$4$ 元笔 $y$ 支共 $27$ 元；（3）$6$ 元笔 $x$ 支、$5$ 元笔 $y$ 支共 $4$ 元；（4）$7$ 元笔 $x$ 支、$9$ 元笔 $y$ 支共 $61$ 元。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：每种至少 1 支，由 $x\ge1$ 得 $3y\le13$，$y$ 最多取 $\underline{\quad}$ 支。
  2. 第 2 步：$y=1,2,3,4$ 时分别得 $x=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$，共 4 种买法。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：$27$ 与 $3x$ 都是 $3$ 的倍数，故 $y$ 是 $3$ 的倍数；$y=3$ 得 $x=\underline{\quad}$，$y=6$ 得 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 (3) 问）：最少也要花 $6+5=\underline{\quad}$ 元，超过 $4$ 元，买不成。
  5. 第 5 步（第 (4) 问）：$61-9y$ 被 $7$ 整除，$y=6$ 时 $x=\underline{\quad}$。
第三套
题目：求方程 $4x+7y=61$ 的全部正整数解。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定一个未知数的范围）：由 $x\ge1$ 得 $7y\le 61-4=\underline{\quad}$，所以 $y\le 8$。
  2. 第 2 步（用整除性缩小范围）：$4x=61-7y$ 必须是 $4$ 的倍数。$61$ 除以 $4$ 余 $1$，$7y$ 除以 $4$ 与 $3y$ 同余，所以要求 $3y$ 除以 $4$ 余 $\underline{\quad}$，得 $y$ 除以 $4$ 余 $3$。
  3. 第 3 步（枚举合格的 $y$）：$1\le y\le8$ 中除以 $4$ 余 $3$ 的是 $y=3$ 和 $y=7$；$y=3$ 时 $x=\underline{\quad}$，$y=7$ 时 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出全部解）：共 $\underline{\quad}$ 组正整数解。
第三套
题目：求方程 $5x+8y=100$ 的全部自然数解（$0$ 也允许），并求 $x+y$ 的最大值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（利用整除性）：$100$ 与 $5x$ 都是 $5$ 的倍数，所以 $8y$ 也要是 $5$ 的倍数，从而 $y$ 是 $\underline{\quad}$ 的倍数。
  2. 第 2 步（定范围）：由 $8y\le100$ 得 $y\le 12$，所以 $y$ 只能取 $0,\ 5,\ 10$。
  3. 第 3 步（逐个求 $x$）：$y=0$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=5$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=10$ 时 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（比较 $x+y$）：三组分别是 $20+0=\underline{\quad}$、$12+5=\underline{\quad}$、$4+10=\underline{\quad}$，最大值是 $\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch08-xingqu-02】小高有若干张 8 分的邮票，墨莫有若干张 15 分的邮票，两人的邮票总面值是 99 分，那么小高的 8 分邮票有多少张？
详细思路
是哪类问题：这是「二元一次不定方程的实际问题」：两种面值凑成一个总值，列出 $8x+15y=99$ 后求正整数解。
关键切入点：系数 $8$ 和 $15$ 都不小，直接枚举 $x$ 要试 $12$ 次，用**整除性（余数）**筛更快：$8x=99-15y$ 必须是 $8$ 的倍数。$99$ 除以 $8$ 余 $3$，$15y$ 除以 $8$ 与 $7y$ 同余，于是只需 $7y$ 除以 $8$ 余 $3$，一次就把 $y$ 卡到 $y=5$。
方法概述：设未知数列方程，再用余数分析把候选值缩到一两个。
规范步骤：
  1. 设小高有 $8$ 分邮票 $x$ 张、墨莫有 $15$ 分邮票 $y$ 张：$8x+15y=99$（按总面值列方程）
  2. 定范围：$15y\le 99-8\Rightarrow y\le 6$（每人至少 1 张）
  3. 余数分析：$99\div 8$ 余 $3$，故要 $7y$ 除以 $8$ 余 $3$：$y=5$（$7\times5=35$，$35\div8$ 余 $3$）（整除性筛选）
  4. 回代求 $x$：$8x=99-15\times5=24,\ x=3$（代入求解）
  5. 答：$小高有 3 张 8 分邮票$
第一套
题目：小高有若干张 9 分的邮票，墨莫有若干张 17 分的邮票，两人的邮票总面值是 157 分，那么小高的 9 分邮票有多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：设小高有 $9$ 分邮票 $x$ 张、墨莫有 $17$ 分邮票 $y$ 张，则 $9x+17y=157$。由 $x\ge1$ 得 $17y\le 157-9=\underline{\quad}$，所以 $y\le 8$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$9x=157-17y$ 要是 $9$ 的倍数。$157$ 除以 $9$ 余 $\underline{\quad}$，$17y$ 除以 $9$ 与 $8y$ 同余，所以要求 $8y$ 除以 $9$ 余 $4$。
  3. 第 3 步（找出合格的 $y$）：$1\le y\le 8$ 中试出 $y=5$（$8\times5=40$，$40\div9$ 余 $\underline{\quad}$）符合。
  4. 第 4 步（回代）：$9x=157-17\times5=\underline{\quad}$，所以 $x=\underline{\quad}$。
第二套
题目：手工课上，小高做的每个中国结用 9 厘米彩绳，墨莫做的每个中国结用 17 厘米彩绳，两人一共恰好用掉 157 厘米彩绳（每人都做了若干个）。问：小高做了多少个中国结？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：设小高做 $x$ 个、墨莫做 $y$ 个，则 $9x+17y=157$（厘米）。由 $x\ge1$ 得 $17y\le157-9=\underline{\quad}$，$y\le8$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$157$ 除以 $9$ 余 $\underline{\quad}$，而 $17y$ 除以 $9$ 与 $8y$ 同余，所以要 $8y$ 除以 $9$ 余 $4$。
  3. 第 3 步：试得 $y=5$（$40\div9$ 余 $\underline{\quad}$）。
  4. 第 4 步（回代）：$9x=157-85=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：小美买了若干支 11 元的钢笔和若干支 13 元的水笔，共花了 207 元。问：钢笔买了多少支？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：设钢笔 $x$ 支、水笔 $y$ 支，则 $11x+13y=207$，由 $x\ge1$ 得 $13y\le 207-11=\underline{\quad}$，$y\le 15$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$11x=207-13y$ 要是 $11$ 的倍数。$207$ 除以 $11$ 余 $\underline{\quad}$，$13y$ 除以 $11$ 与 $2y$ 同余，故要 $2y$ 除以 $11$ 余 $9$。
  3. 第 3 步（试出 $y$）：$y=10$ 时 $2y=20$，$20\div11$ 余 $\underline{\quad}$，符合。
  4. 第 4 步（回代）：$11x=207-130=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$。
第三套
题目：小高有若干张 8 分邮票，墨莫有若干张 15 分邮票，总面值是 207 分，且两人邮票的总张数是 6 的倍数。问：小高有多少张邮票？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程与余数分析）：$8x+15y=207$。$207$ 除以 $8$ 余 $\underline{\quad}$，$15y$ 与 $7y$ 除以 $8$ 同余，所以要 $7y$ 除以 $8$ 余 $7$，得 $y$ 除以 $8$ 余 $1$。
  2. 第 2 步（找出全部解）：$y$ 可取 $1,\ 9$（$y=17$ 时 $15\times17=255$ 已超过 $207$）。$y=1$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=9$ 时 $x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用附加条件筛选）：两组的总张数分别是 $24+1=\underline{\quad}$、$9+9=\underline{\quad}$，其中是 $6$ 的倍数的只有 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（定答案）：所以 $x=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch08-xingqu-03】有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装 8 千克油，小油桶能装 5 千克油，44 千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「两种规格恰好装满」的不定方程问题：$8x+5y=44$ 求正整数解。
关键切入点：抓 $5$ 这个系数最好用：$5y$ 的末位只能是 $0$ 或 $5$，所以 $8x$ 的末位必须是 $4$ 或 $9$；而 $8x$ 是偶数，末位只能是 $4$，于是 $8x=24$（$8x=64>44$ 舍），一步定出 $x=3$。也可用 $8x$ 被 $5$ 除的余数分析。
方法概述：利用系数 5 的“末位特征”或余数分析，一步锁定大桶个数。
规范步骤：
  1. 设大桶 $x$ 个、小桶 $y$ 个：$8x+5y=44$（按总重量列方程）
  2. 范围：$8x\le 44-5=39\Rightarrow x\le 4$（小桶至少 1 个）
  3. 末位分析：$5y$ 末位是 $0$ 或 $5$，故 $8x$ 末位为 $4$ 或 $9$，偶数只能是 $4$：$x=3（8\times3=24）$（末位/余数筛选）
  4. 回代：$5y=44-24=20,\ y=4$（代入求解）
  5. 答：$大桶 3 个、小桶 4 个$
第一套
题目：有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装 9 千克油，小油桶能装 7 千克油，94 千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：设大桶 $x$ 个、小桶 $y$ 个，$9x+7y=94$。由 $y\ge1$ 得 $9x\le 94-7=\underline{\quad}$，所以 $x\le 9$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$7y=94-9x$ 要是 $7$ 的倍数。$94$ 除以 $7$ 余 $\underline{\quad}$，$9x$ 除以 $7$ 与 $2x$ 同余，所以要 $2x$ 除以 $7$ 余 $3$。
  3. 第 3 步（试出 $x$）：$1\le x\le 9$ 中 $x=5$ 时 $2x=10$，$10\div7$ 余 $\underline{\quad}$，符合。
  4. 第 4 步（回代）：$7y=94-9\times5=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
第二套
题目：食堂用大、小两种保温桶分装绿豆汤，大桶每桶装 9 升，小桶每桶装 7 升，94 升绿豆汤恰好装满这些桶。问：大、小桶各多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：设大桶 $x$ 个、小桶 $y$ 个，$9x+7y=94$。由 $y\ge1$ 得 $9x\le\underline{\quad}$，$x\le9$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$94$ 除以 $7$ 余 $\underline{\quad}$，$9x$ 与 $2x$ 除以 $7$ 同余，故要 $2x$ 除以 $7$ 余 $3$。
  3. 第 3 步：$x=5$ 时 $10\div7$ 余 $\underline{\quad}$，符合。
  4. 第 4 步（回代）：$7y=94-45=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：用每箱装 12 个和每箱装 7 个的两种纸箱装 101 个苹果，恰好装完且两种箱子都要用到。问：两种箱子各多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程与范围）：设大箱 $x$ 个、小箱 $y$ 个，$12x+7y=101$；由 $y\ge1$ 得 $12x\le 101-7=\underline{\quad}$，$x\le 7$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$101$ 除以 $7$ 余 $\underline{\quad}$，$12x$ 与 $5x$ 除以 $7$ 同余，所以要 $5x$ 除以 $7$ 余 $3$。
  3. 第 3 步（试出 $x$）：$x=2$ 时 $5x=10$，$10\div 7$ 余 $\underline{\quad}$，符合。
  4. 第 4 步（回代）：$7y=101-24=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$。
第三套
题目：大油桶装 8 千克、小油桶装 5 千克，93 千克油恰好装满这些油桶（两种桶都要用）。问：最少要用多少个油桶？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程与余数分析）：$8x+5y=93$。$5y$ 的末位是 $0$ 或 $5$，所以 $8x$ 的末位是 $3$ 或 $8$；$8x$ 是偶数，末位只能是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（找出全部解）：末位为 $8$ 的 $8x$ 有 $8,\ 48,\ 88$，对应 $x=1,\ 6,\ 11$；相应地 $y=\underline{\quad}$、$y=\underline{\quad}$、$y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（比较总桶数）：三组分别是 $1+17=\underline{\quad}$、$6+9=\underline{\quad}$、$11+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取最少）：桶数最少是 $\underline{\quad}$ 个（大桶 11 个、小桶 1 个）。
26. 【原题 ch08-xingqu-04】有 150 只乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装 12 个，小盒每盒装 7 个。问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？
详细思路
是哪类问题：这是「多组自然数解」的不定方程问题：$12x+7y=150$，解不止一组，必须把符合条件的解**全部**找出来。
关键切入点：用余数分析定出 $x$ 的“模式”：$7y=150-12x$ 要是 $7$ 的倍数，$150$ 除以 $7$ 余 $3$，$12x$ 与 $5x$ 除以 $7$ 同余，故要 $5x$ 除以 $7$ 余 $3$，得 $x$ 除以 $7$ 余 $2$。再由 $12x\le 150-7$ 得 $x\le 11$，于是 $x=2$ 或 $9$——两组解都合法，缺一不可。
方法概述：余数分析定出 $x$ 的余数规律，再在范围内取遍所有满足的 $x$。
规范步骤：
  1. 设大盒 $x$ 个、小盒 $y$ 个：$12x+7y=150$（按球数列方程）
  2. 余数分析：$5x\equiv 3\pmod 7\Rightarrow x\equiv 2\pmod 7$（整除性筛选）
  3. 定范围并取遍：$12x\le143\Rightarrow x\le11$，故 $x=2$ 或 $x=9$（范围限制）
  4. 回代：$x=2\Rightarrow y=(150-24)\div7=18;\ x=9\Rightarrow y=(150-108)\div7=6$（代入求解）
  5. 答：$大盒 9、小盒 6，或大盒 2、小盒 18$
第一套
题目：有 201 只乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装 13 个，小盒每盒装 9 个。问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程与范围）：设大盒 $x$ 个、小盒 $y$ 个，$13x+9y=201$；由 $y\ge1$ 得 $13x\le 201-9=\underline{\quad}$，所以 $x\le 14$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$9y=201-13x$ 要是 $9$ 的倍数。$201$ 除以 $9$ 余 $\underline{\quad}$，$13x$ 与 $4x$ 除以 $9$ 同余，所以要 $4x$ 除以 $9$ 余 $3$，得 $x$ 除以 $9$ 余 $3$。
  3. 第 3 步（取遍范围内的 $x$）：$1\le x\le 14$ 中除以 $9$ 余 $3$ 的是 $x=3$ 和 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$x=3$ 时 $y=\underline{\quad}$；$x=12$ 时 $y=\underline{\quad}$。
第二套
题目：果园把 201 个猕猴桃装进大、小两种礼盒，大礼盒每盒装 13 个，小礼盒每盒装 9 个，要求恰好装完。问：大、小礼盒各需要多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程与范围）：设大盒 $x$ 个、小盒 $y$ 个，$13x+9y=201$；由 $y\ge1$ 得 $13x\le\underline{\quad}$，$x\le14$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$201$ 除以 $9$ 余 $\underline{\quad}$，$13x$ 与 $4x$ 同余，要 $4x$ 除以 $9$ 余 $3$，得 $x$ 除以 $9$ 余 $3$。
  3. 第 3 步：范围内 $x=3$ 或 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$x=3$ 时 $y=\underline{\quad}$；$x=12$ 时 $y=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用每包装 17 支和每包装 11 支的两种包装恰好装完 215 支铅笔（两种包装都要用到）。问：两种包装各多少包？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程与范围）：设 $17$ 支装 $x$ 包、$11$ 支装 $y$ 包，$17x+11y=215$；由 $y\ge1$ 得 $17x\le 215-11=\underline{\quad}$，$x\le 12$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$215$ 除以 $11$ 余 $\underline{\quad}$，$17x$ 与 $6x$ 除以 $11$ 同余，所以要 $6x$ 除以 $11$ 余 $6$，得 $x$ 除以 $11$ 余 $1$。
  3. 第 3 步（取遍）：$1\le x\le12$ 中 $x=1$ 或 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$x=1$ 时 $y=\underline{\quad}$；$x=12$ 时 $y=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有 201 只乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装 13 个，小盒每盒装 9 个，恰好装完。问：最少要用多少个盒子？此时大、小盒各几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求全部解）：由 $13x+9y=201$ 及余数分析（$201$ 除以 $9$ 余 $\underline{\quad}$，$13x$ 与 $4x$ 同余）得 $x$ 除以 $9$ 余 $3$，在 $x\le14$ 内 $x=3$ 或 $x=12$。
  2. 第 2 步（回代）：$x=3$ 时 $y=\underline{\quad}$；$x=12$ 时 $y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（比较总盒数）：两组分别是 $3+18=\underline{\quad}$、$12+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取最少）：盒子最少是 $\underline{\quad}$ 个。
27. 【原题 ch08-xingqu-05】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。若是早晨见面，小花狗叫 2 声，波斯猫叫 1 声；若是晚上见面，小花狗叫 2 声，波斯猫叫 3 声。细心的小娟对它们的叫声统计了 15 天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这 15 天内它们共叫了 61 声。问：波斯猫至少叫了多少声？
详细思路
是哪类问题：这是「不定方程 + 最值」问题：先把叫声总数列成 $3x+5y=61$，再在全部解中挑使波斯猫叫声最少的一组。
关键切入点：关键有两点：一是**合并系数**——早晨见面一次共叫 $2+1=3$ 声，晚上共叫 $2+3=5$ 声，于是总数方程是 $3x+5y=61$；二是**范围**：$15$ 天里早晨、晚上各最多见 $15$ 次，即 $x\le15,\ y\le15$。波斯猫叫 $x+3y$ 声，晚上一次比早晨多叫 $2$ 声，所以要让 $y$ 尽量小、$x$ 尽量大。
方法概述：合并每次见面的总叫声列方程，枚举全部解后比较波斯猫叫声取最小。
规范步骤：
  1. 设早晨见 $x$ 次、晚上见 $y$ 次：$(2+1)x+(2+3)y=3x+5y=61$（合并每次叫声）
  2. 余数分析：$3x=61-5y$ 是 $3$ 的倍数 $\Rightarrow y\equiv 2\pmod 3$（整除性筛选）
  3. 在 $x\le15,\ y\le15$ 内取遍：$(x,y)=(12,5),(7,8),(2,11)$（范围限制）
  4. 算波斯猫叫声 $x+3y$：$12+15=27;\ 7+24=31;\ 2+33=35$（按题意计数）
  5. 取最小：$27$（最优化）
第一套
题目：小花狗和波斯猫早晚见面时互相问候：早晨见面小花狗叫 3 声、波斯猫叫 1 声；晚上见面小花狗叫 3 声、波斯猫叫 4 声。它们并不是每天早晚都见面，小娟统计了 20 天，这 20 天内它们共叫了 97 声。问：波斯猫至少叫了多少声？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并每次的叫声）：早晨见面一次共叫 $3+1=\underline{\quad}$ 声，晚上见面一次共叫 $3+4=\underline{\quad}$ 声，设早晨见 $x$ 次、晚上见 $y$ 次，得 $4x+7y=97$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$4x=97-7y$ 要是 $4$ 的倍数。$97$ 除以 $4$ 余 $\underline{\quad}$，$7y$ 与 $3y$ 除以 $4$ 同余，所以要 $3y$ 除以 $4$ 余 $1$，得 $y$ 除以 $4$ 余 $3$。
  3. 第 3 步（在 $x\le20,\ y\le20$ 内取遍）：$y=3$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=7$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=11$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=15$ 时 $x$ 会超过 $20$，舍去。
  4. 第 4 步（算猫的叫声 $x+4y$）：三组分别是 $19+12=\underline{\quad}$、$12+28=\underline{\quad}$、$5+44=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（取最少）：波斯猫至少叫 $\underline{\quad}$ 声。
第二套
题目：社区的早班车和晚班车都会鸣笛示意：早班车经过时门卫按 3 下按铃、居民回应 1 声；晚班车经过时门卫按 3 下、居民回应 4 声。这 20 天里并非每天早晚都有车经过，20 天内按铃与回应共 97 次。问：居民最少回应了多少声？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并每次的次数）：早班一次共 $3+1=\underline{\quad}$ 次，晚班一次共 $3+4=\underline{\quad}$ 次，设早班 $x$ 次、晚班 $y$ 次，$4x+7y=97$。
  2. 第 2 步（余数分析）：$97$ 除以 $4$ 余 $\underline{\quad}$，$7y$ 与 $3y$ 同余，得 $y$ 除以 $4$ 余 $3$。
  3. 第 3 步（范围内取遍，$x\le20,\ y\le20$）：$y=3,7,11$ 分别得 $x=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算居民回应 $x+4y$）：$19+12=\underline{\quad}$、$12+28=\underline{\quad}$、$5+44=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：最少 $\underline{\quad}$ 声。
第三套
题目：小花狗和波斯猫早晨见面时小花狗叫 2 声、波斯猫叫 1 声，晚上见面时小花狗叫 2 声、波斯猫叫 3 声。15 天内它们共叫了 61 声。问：波斯猫最多叫了多少声？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并系数）：早晨一次共 $2+1=\underline{\quad}$ 声，晚上一次共 $2+3=\underline{\quad}$ 声，得 $3x+5y=61$。
  2. 第 2 步（取遍全部解，$x\le15,\ y\le15$）：$y=5$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=8$ 时 $x=\underline{\quad}$；$y=11$ 时 $x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（算猫的叫声 $x+3y$）：$12+15=\underline{\quad}$、$7+24=\underline{\quad}$、$2+33=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（这次取最大）：晚上一次猫多叫 $3-1=\underline{\quad}$ 声，所以晚上越多猫叫得越多，最多 $\underline{\quad}$ 声。
第三套
题目：小花狗和波斯猫早晨见面时小花狗叫 2 声、波斯猫叫 3 声；晚上见面时小花狗叫 2 声、波斯猫叫 3 声之外还会再叫 2 声（即晚上波斯猫叫 5 声）。统计 20 天，它们共叫了 98 声。问：波斯猫至少叫多少声？至多叫多少声？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（合并系数）：早晨一次共 $2+3=\underline{\quad}$ 声，晚上一次共 $2+5=\underline{\quad}$ 声，设早晨 $x$ 次、晚上 $y$ 次，得 $5x+7y=98$。
  2. 第 2 步（用整除性化简）：$98$ 与 $7y$ 都是 $7$ 的倍数，所以 $5x$ 也是 $7$ 的倍数，$x$ 是 $\underline{\quad}$ 的倍数。
  3. 第 3 步（在 $x\le20,\ y\le20$ 内取遍）：$x=7$ 时 $y=\underline{\quad}$；$x=14$ 时 $y=\underline{\quad}$；$x=0$ 时 $y=14$ 也合法。
  4. 第 4 步（算猫的叫声 $3x+5y$）：$x=0,y=14$ 时 $0+70=\underline{\quad}$；$x=7,y=9$ 时 $21+45=\underline{\quad}$；$x=14,y=4$ 时 $42+20=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（取两端）：最少 $\underline{\quad}$ 声，最多 $\underline{\quad}$ 声。
28. 【原题 ch08-xingqu-06】某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 $\frac{1}{3}$ 的职工各带一个孩子参加。男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 216 棵树。请问：其中有多少个男职工？
详细思路
是哪类问题：这是「带附加整除条件的不定方程」：先把孩子人数用职工人数表示，化成二元一次不定方程，再用“孩子人数必须是整数”把多组解筛成一组。
关键切入点：孩子有 $\frac{1}{3}(x+y)$ 个，把它代入种树总数：$13x+10y+6\times\frac{1}{3}(x+y)=15x+12y=216$，两边同除 $3$ 得 $5x+4y=72$。这一步“化简系数”很关键。$5x+4y=72$ 有三组正整数解，还必须满足 $x+y$ 是 $3$ 的倍数（否则孩子人数不是整数），一筛就只剩一组。
方法概述：把孩子人数代入合并同类项，化简系数后求全部解，再用“$x+y$ 被 3 整除”筛选。
规范步骤：
  1. 设男职工 $x$ 名、女职工 $y$ 名，孩子 $\frac{1}{3}(x+y)$ 个：$13x+10y+6\times\tfrac13(x+y)=216$（按种树总数列方程）
  2. 整理并化简：$15x+12y=216\Rightarrow 5x+4y=72$（合并同类项后约去公因数 3）
  3. 求全部正整数解（$4y=72-5x$ 要被 4 整除，故 $x$ 是 4 的倍数）：$(x,y)=(4,13),(8,8),(12,3)$（整除性筛选）
  4. 用“孩子人数是整数”筛选：$x+y=17,16,15$，只有 $15$ 是 3 的倍数（实际意义约束）
  5. 答：$x=12$
第一套
题目：某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 $\frac{1}{3}$ 的职工各带一个孩子参加。男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 252 棵树。请问：其中有多少个男职工？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把孩子人数代进去）：孩子有 $\frac13(x+y)$ 个，每人种 6 棵，所以总数为 $13x+10y+6\times\frac13(x+y)$，合并同类项得 $\underline{\quad}x+12y=252$。
  2. 第 2 步（化简系数）：三个系数都能被 3 整除，两边同除 $3$ 得 $5x+4y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求全部正整数解）：$4y=84-5x$ 要被 4 整除，所以 $x$ 是 4 的倍数；$x=4$ 时 $y=\underline{\quad}$，$x=8$ 时 $y=\underline{\quad}$，$x=12$ 时 $y=\underline{\quad}$，$x=16$ 时 $y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用孩子人数是整数筛选）：四组的 $x+y$ 分别是 $\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$，其中是 3 的倍数的只有 $18$。
  5. 第 5 步（定答案）：男职工有 $\underline{\quad}$ 名。
第二套
题目：某公司职工去社区图书室整理图书，其中有男职工也有女职工，并且有 $\frac{1}{3}$ 的职工各带一个孩子同去。男职工每人整理 13 本，女职工每人整理 10 本，每个孩子整理 6 本，一共整理了 252 本。请问：其中有多少名男职工？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（代入孩子人数）：$13x+10y+6\times\frac13(x+y)$ 合并后为 $\underline{\quad}x+12y=252$。
  2. 第 2 步（化简）：两边同除 $3$，得 $5x+4y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求全部正整数解）：$x$ 必是 4 的倍数，$x=4,8,12,16$ 时 $y=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（筛选）：$x+y$ 依次为 $\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$，只有 $18$ 是 3 的倍数。
  5. 第 5 步：男职工 $\underline{\quad}$ 名。
第三套
题目：某单位职工去果园帮忙摘果，其中有男职工也有女职工，并且有 $\frac{1}{4}$ 的职工各带一个孩子参加。男职工每人摘 12 筐，女职工每人摘 9 筐，每个孩子摘 8 筐，一共摘了 344 筐。请问：有多少名男职工？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（代入孩子人数）：孩子有 $\frac14(x+y)$ 个，总数为 $12x+9y+8\times\frac14(x+y)$，合并后为 $\underline{\quad}x+11y=344$。
  2. 第 2 步（求全部正整数解）：$11y=344-14x$ 要被 11 整除，$344$ 除以 $11$ 余 $\underline{\quad}$，$14x$ 与 $3x$ 除以 11 同余，故 $3x$ 除以 11 余 3，得 $x$ 除以 11 余 1，在 $14x\le 333$ 内 $x=1,\ 12,\ 23$。
  3. 第 3 步（回代）：$x=1$ 时 $y=\underline{\quad}$；$x=12$ 时 $y=\underline{\quad}$；$x=23$ 时 $y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用孩子人数是整数筛选）：$x+y$ 依次为 $\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$，被 4 整除的只有 $28$。
  5. 第 5 步：男职工 $\underline{\quad}$ 名。
第三套
题目：某单位职工到郊外植树，有男职工也有女职工，且有 $\frac{1}{3}$ 的职工各带一个孩子参加。男职工每人种 13 棵，女职工每人种 10 棵，每个孩子种 6 棵，共种了 252 棵。请问：男职工、女职工、孩子各多少人？参加植树的一共多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列式化简）：$13x+10y+6\times\frac13(x+y)=252$ 合并得 $15x+12y=252$，两边同除 3 得 $5x+4y=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求全部正整数解）：$x$ 是 4 的倍数，$x=4,8,12,16$ 对应 $y=\underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad},\ \underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（筛选）：$x+y$ 依次为 $20,\ 19,\ 18,\ 17$，被 3 整除的只有 $\underline{\quad}$，故男职工 12 名、女职工 6 名。
  4. 第 4 步（算孩子人数）：孩子有 $18\div 3=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（算总人数）：$12+6+6=\underline{\quad}$ 人。
  6. 第 6 步（验算）：$13\times12+10\times6+6\times6=\underline{\quad}$ 棵，与题目一致。
29. 【原题 ch08-xingqu-07】新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的 100 本教科书。已知老师和学生共 14 人，每个老师能搬 12 本，每个男生能搬 8 本，每个女生能搬 5 本，恰好一次搬完。问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？
详细思路
是哪类问题：这是「三元一次方程组求自然数解」：两个方程、三个未知数，先**消元**化成二元一次不定方程再枚举。
关键切入点：两个条件：搬书总数 $12x+8y+5z=100$ 与人数 $x+y+z=14$。把人数方程乘 $5$ 去减第一个方程，就能消掉 $z$：$12x+8y+5z-(5x+5y+5z)=7x+3y=100-70=30$。剩下的 $7x+3y=30$ 系数小、范围窄，$7x\le 30-3=27$ 给出 $x\le 4$，一枚举就定。
方法概述：用人数方程消去一个未知数，化成二元一次不定方程后枚举。
规范步骤：
  1. 设老师 $x$、男生 $y$、女生 $z$：$\begin{cases}12x+8y+5z=100\\ x+y+z=14\end{cases}$（两个条件各列一式）
  2. 第一式减去第二式的 5 倍，消去 $z$：$7x+3y=100-5\times14=30$（消元）
  3. 枚举（$3y=30-7x$ 要被 3 整除，故 $x$ 是 3 的倍数，且 $x\le4$）：$x=3\Rightarrow 3y=9,\ y=3$（整除性 + 范围）
  4. 回代求 $z$：$z=14-3-3=8$（代入求解）
  5. 答：$老师 3、男生 3、女生 8$
第一套
题目：几个老师带着一些学生去搬全班的 140 本教科书。已知老师和学生共 18 人，每个老师能搬 14 本，每个男生能搬 9 本，每个女生能搬 5 本，恰好一次搬完。问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：设老师 $x$ 名、男生 $y$ 名、女生 $z$ 名，则 $14x+9y+5z=140$ 与 $x+y+z=18$。
  2. 第 2 步（消元）：把人数方程乘 $5$ 得 $5x+5y+5z=\underline{\quad}$，用第一式减去它，消去 $z$ 得 $9x+4y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（缩范围）：由 $y\ge1$ 得 $9x\le 50-4=\underline{\quad}$，所以 $x\le 5$。
  4. 第 4 步（整除性枚举）：$4y=50-9x$ 要被 4 整除，$50$ 除以 4 余 2，$9x$ 与 $x$ 除以 4 同余，故 $x$ 除以 4 余 2，得 $x=2$，此时 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：$z=18-2-8=\underline{\quad}$。
第二套
题目：运动会后，几位老师带着一些同学把 140 个器材搬回器材室。已知老师和同学共 18 人，每位老师能搬 14 个，每个男生能搬 9 个，每个女生能搬 5 个，恰好一次搬完。问：老师、男生、女生各有多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$14x+9y+5z=140$，$x+y+z=18$。
  2. 第 2 步（消元）：人数方程乘 5 得 $5x+5y+5z=\underline{\quad}$，两式相减消去 $z$，得 $9x+4y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（缩范围）：$9x\le 50-4=\underline{\quad}$，$x\le5$。
  4. 第 4 步（枚举）：$x$ 除以 4 余 2，得 $x=2$，$y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：$z=\underline{\quad}$。
第三套
题目：几位老师带着一些学生搬 120 个花盆，老师和学生共 15 人，每位老师搬 13 个，每个男生搬 9 个，每个女生搬 6 个，恰好一次搬完。问：老师、男生、女生各多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$13x+9y+6z=120$，$x+y+z=15$。
  2. 第 2 步（消元）：人数方程乘 6 得 $6x+6y+6z=\underline{\quad}$，相减消去 $z$ 得 $7x+3y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举）：$3y=30-7x$ 要被 3 整除，故 $x$ 是 3 的倍数；又 $7x\le 30-3=27$，所以 $x=3$，$y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代）：$z=15-3-3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：几位老师带着一些学生搬 150 本书，老师和学生共 17 人，每位老师搬 15 本，每个男生搬 9 本，每个女生搬 6 本，恰好一次搬完（三种人都有）。问：女生最多可能有多少人？此时老师、男生各多少人？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（消元）：由 $15x+9y+6z=150$ 与 $x+y+z=17$，人数方程乘 6 得 $6x+6y+6z=\underline{\quad}$，相减得 $9x+3y=\underline{\quad}$，两边同除 3 得 $3x+y=16$。
  2. 第 2 步（把 $z$ 用 $x$ 表示）：$y=16-3x$，代入人数方程得 $z=17-x-(16-3x)=\underline{\quad}x+1$。
  3. 第 3 步（定 $x$ 的范围）：由 $y\ge1$ 得 $3x\le 16-1=\underline{\quad}$，所以 $x\le 5$。
  4. 第 4 步（要 $z$ 最大就要 $x$ 最大）：取 $x=5$，则 $y=16-15=\underline{\quad}$，$z=2\times5+1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验算）：$15\times5+9\times1+6\times11=\underline{\quad}$，人数 $5+1+11=\underline{\quad}$，都符合。
30. 【原题 ch08-xingqu-08】新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20 分、40 分和 50 分，其中面值 20 分的邮票售价 5 元，面值 40 分的邮票售价 8 元，面值 50 分的邮票售价 9 元。小明花了 156 元买回了总面值为 8.3 元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？
详细思路
是哪类问题：这是「三元一次方程组求自然数解」：两个方程三个未知数，靠**消元 + 枚举**定解。
关键切入点：把总面值方程写成整数形式（单位取角）：$2x+4y+5z=83$；售价方程 $5x+8y+9z=156$。注意 $8=2\times4$，把第一式乘 $2$ 再减第二式恰好消掉 $y$：$(4x+8y+10z)-(5x+8y+9z)=z-x=10$。有了 $z=x+10$ 再代回第一式，得到二元的 $7x+4y=33$，范围极小，一试即得。
方法概述：选择“乘 2 相减”消去 $y$，得到 $z-x=10$，代回化成二元不定方程。
规范步骤：
  1. 设 20 分、40 分、50 分邮票各 $x,y,z$ 张（面值以角为单位）：$\begin{cases}2x+4y+5z=83\\ 5x+8y+9z=156\end{cases}$（面值与售价各列一式）
  2. 第一式乘 2 减第二式，消去 $y$：$(4x+8y+10z)-(5x+8y+9z)=z-x=10$（消元）
  3. 把 $z=x+10$ 代回第一式：$2x+4y+5(x+10)=83\Rightarrow 7x+4y=33$（代入化二元）
  4. 枚举（$7x\le33-4=29$，$x\le4$；$33-7x$ 要被 4 整除）：$x=3\Rightarrow 4y=12,\ y=3$（整除性筛选）
  5. 回代：$z=3+10=13$（代入求解）
第一套
题目：一套纪念邮票共三种面值：20 分、40 分和 50 分，其中面值 20 分的售价 5 元，面值 40 分的售价 8 元，面值 50 分的售价 9 元。小明花了 201 元买回了总面值为 10.8 元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：面值以角为单位，$2x+4y+5z=108$；售价 $5x+8y+9z=201$。
  2. 第 2 步（消元）：第一式乘 2 得 $4x+8y+10z=\underline{\quad}$，减去第二式，消掉 $y$，得 $z-x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（代回化二元）：把 $z=x+15$ 代入第一式：$2x+4y+5x+75=108$，整理得 $7x+4y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（枚举）：$7x\le 33-4=29$，$x\le4$；$33-7x$ 要被 4 整除，只有 $x=3$，此时 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：$z=3+15=\underline{\quad}$。
第二套
题目：手工店有三种规格的珠链配件：每个用线 20 厘米、40 厘米、50 厘米，售价分别是 5 元、8 元、9 元。小红花了 201 元买回的配件共用线 1080 厘米。问：三种配件各买了多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：用线以 10 厘米为单位，$2x+4y+5z=108$；花钱 $5x+8y+9z=201$。
  2. 第 2 步（消元）：第一式乘 2 得 $4x+8y+10z=\underline{\quad}$，减第二式得 $z-x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（代回）：$z=x+15$ 代入第一式，得 $7x+4y=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（枚举）：只有 $x=3$ 合适，$y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代）：$z=\underline{\quad}$。
第三套
题目：面值 20 分、40 分、50 分的邮票售价分别是 5 元、8 元、9 元。小明花了 228 元买回总面值 12.3 元的邮票，问他一共买了多少张邮票？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$2x+4y+5z=123$，$5x+8y+9z=228$。
  2. 第 2 步（消元）：第一式乘 2 得 $\underline{\quad}$，减第二式得 $z-x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（代回）：$z=x+18$ 代入第一式得 $7x+4y=123-90=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（枚举）：$x\le4$ 且 $33-7x$ 被 4 整除，得 $x=3$，$y=\underline{\quad}$，$z=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求总张数）：$3+3+21=\underline{\quad}$ 张。
第三套
题目：面值 20 分、40 分、50 分的邮票售价分别是 5 元、8 元、9 元。小明花了 212 元买回总面值 11.1 元的邮票，且 40 分邮票的张数比 20 分邮票少。问：三种邮票各买了多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程组）：$2x+4y+5z=111$，$5x+8y+9z=212$。
  2. 第 2 步（消元）：第一式乘 2 减第二式，得 $z-x=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（代回化二元）：$z=x+10$ 代入第一式得 $7x+4y=111-50=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求全部解）：$61-7x$ 要被 4 整除，$x$ 除以 4 余 3；在 $7x\le57$ 内 $x=3$ 或 $x=7$，对应 $y=\underline{\quad}$、$y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（用附加条件筛选）：要求 $y<x$，$(3,10)$ 中 $10>3$ 不合，$(7,3)$ 中 $3<7$ 合适，所以 $x=7,\ y=3$，$z=7+10=\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch08-xingqu-09】小蕾在邮局寄了三种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封 2 角，她共用了 1 元 2 角 2 分，那么小蕾寄的这三种信的总和最少是多少封？
详细思路
是哪类问题：这是「三元一次不定方程 + 最少件数」问题：先化简方程，再用“越贵的越多则件数越少”的贪心思路从大到小试。
关键切入点：总钱数 $1$ 元 $2$ 角 $2$ 分 $=122$ 分，$8x+10y+20z=122$ 三项都是偶数，两边同除 $2$ 得 $4x+5y+10z=61$，系数变小好枚举。要让封数最少，就要让单价最贵的挂号信尽量多，所以从 $z$ 的最大可能值往下试：$z=6$ 时余 $1$ 分、$z=5$ 时余 $11$ 分都凑不出，$z=4$ 时余 $21$ 分可写成 $4\times4+5\times1$。
方法概述：化简系数后，让最贵的一种尽量多，从大到小枚举 $z$。
规范步骤：
  1. 设平信 $x$、航空信 $y$、挂号信 $z$ 封（钱以分计）：$8x+10y+20z=122$（按邮资列方程）
  2. 两边同除 2 化简：$4x+5y+10z=61$（约去公因数）
  3. 从大到小试 $z$：$z=6:4x+5y=1$ 无解；\ z=5:4x+5y=11 无解；\ z=4:4x+5y=21$（贪心 + 枚举）
  4. 解 $4x+5y=21$：$y=1\Rightarrow 4x=16,\ x=4$（整除性筛选）
  5. 求总封数：$4+1+4=9$（求和）
第一套
题目：小蕾在邮局寄了三种信，平信每封 10 分，航空信每封 1 角 2 分，挂号信每封 2 角 4 分，她共用了 1 元 6 角 6 分。那么小蕾寄的这三种信的总和最少是多少封？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位并化简）：共 $1$ 元 $6$ 角 $6$ 分 $=\underline{\quad}$ 分，方程为 $10x+12y+24z=166$，三项都是偶数，两边同除 2 得 $5x+6y+12z=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（贪心方向）：要封数最少，就让最贵的挂号信尽量多。由 $12z\le 83$ 得 $z$ 最大取 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（从大到小试）：$z=6$ 时 $5x+6y=83-72=\underline{\quad}$，试 $y=1$ 得 $5x=5$，$x=\underline{\quad}$，有解。
  4. 第 4 步（求总封数）：$1+1+6=\underline{\quad}$ 封。
第二套
题目：文具店的三种贴纸分别是 10 分、1 角 2 分、2 角 4 分一张，小蕾三种都买了一些，共花了 1 元 6 角 6 分。问：她买的贴纸总数最少是多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位并化简）：共 $\underline{\quad}$ 分；$10x+12y+24z=166$，同除 2 得 $5x+6y+12z=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（贪心方向）：要张数最少，就让最贵的 2 角 4 分贴纸尽量多，$z$ 最大取 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（试最大值）：$z=6$ 时 $5x+6y=\underline{\quad}$，取 $y=1$ 得 $x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求总数）：$1+1+6=\underline{\quad}$ 张。
第三套
题目：小蕾寄了三种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封 2 角，共用了 1 元 6 角 6 分。问：这三种信的总和最少是多少封？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化简）：$8x+10y+20z=166$，两边同除 2 得 $4x+5y+10z=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（贪心方向）：让最贵的挂号信尽量多，由 $10z\le83$ 得 $z$ 最大取 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（从大到小试）：$z=8$ 时 $4x+5y=83-80=\underline{\quad}$，无自然数解；$z=7$ 时 $4x+5y=83-70=\underline{\quad}$，取 $y=1$ 得 $4x=8$，$x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求总封数）：$2+1+7=\underline{\quad}$ 封。
第三套
题目：小蕾寄了三种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封 2 角，共用了 1 元 6 角 6 分（某种信可能一封也没寄）。问：三种信的总和最少是多少封？最多是多少封？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化简）：$8x+10y+20z=166$，同除 2 得 $4x+5y+10z=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求最少：让最贵的尽量多）：$z=8$ 时剩 $\underline{\quad}$ 分凑不出；$z=7$ 时剩 $13$，取 $y=1,\ x=\underline{\quad}$，总数 $2+1+7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求最多：反过来让最便宜的尽量多）：应让 $z=0$ 且 $y$ 尽量小。$4x+5y=83$ 中 $83$ 除以 4 余 3，$5y$ 与 $y$ 除以 4 同余，所以 $y$ 除以 4 余 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取最小的 $y$）：$y=3$ 时 $4x=83-15=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$，总数 $17+3+0=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（答）：最少 $10$ 封，最多 $\underline{\quad}$ 封。
32. 【原题 ch08-xingqu-10】快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个 7 元，鸡肉汉堡每个 9 元，牛肉汉堡每个 14 元。小明去快餐店买汉堡，他付款 100 元，找回 8 元，请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？
详细思路
是哪类问题：这是「三元一次不定方程」：三个未知数一个方程，看似解很多，但只问其中一个未知数——用**公因数 + 余数**一步就能定死它。
关键切入点：$7$ 与 $14$ 都是 $7$ 的倍数，所以 $7x+14z$ 一定是 $7$ 的倍数。于是 $9y$ 与 $92$ 除以 $7$ 的余数必须相同：$92$ 除以 $7$ 余 $1$，$9y$ 与 $2y$ 同余，所以 $2y$ 除以 $7$ 余 $1$，得 $y$ 除以 $7$ 余 $4$。又 $9y\le 92$ 给出 $y\le 10$，所以 $y=4$，无论其他两种买几个都不影响。
方法概述：抓住两个系数的公因数，对第三个未知数做余数分析。
规范步骤：
  1. 实际付款：$100-8=92$（元）（付款减找零）
  2. 设鱼肉 $x$、鸡肉 $y$、牛肉 $z$ 个：$7x+9y+14z=92$（按金额列方程）
  3. $7x+14z$ 是 7 的倍数，故 $9y$ 与 92 除以 7 同余：$2y\equiv 1\pmod 7\Rightarrow y\equiv 4\pmod 7$（公因数 + 余数分析）
  4. 范围：$9y\le92\Rightarrow y\le10$，故 $y=4$（范围限制）
  5. 验证存在性：$7x+14z=92-36=56$，如 $x=0,z=4$ 或 $x=8,z=0$ 均可（存在性检验）
第一套
题目：快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个 9 元，鸡肉汉堡每个 11 元，牛肉汉堡每个 18 元。小明去买汉堡，他付款 150 元，找回 16 元。请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求实际付款）：$150-16=\underline{\quad}$（元），设鱼肉 $x$ 个、鸡肉 $y$ 个、牛肉 $z$ 个，得 $9x+11y+18z=134$。
  2. 第 2 步（抓公因数）：$9$ 与 $18$ 都是 $\underline{\quad}$ 的倍数，所以 $9x+18z$ 是它的倍数，于是 $11y$ 与 $134$ 除以 9 的余数相同。
  3. 第 3 步（余数分析）：$134$ 除以 9 余 $\underline{\quad}$，$11y$ 与 $2y$ 除以 9 同余，所以 $2y$ 除以 9 余 8，得 $y$ 除以 9 余 4。
  4. 第 4 步（定范围）：由 $11y\le134$ 得 $y\le 12$，所以 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验证有解）：$9x+18z=134-44=\underline{\quad}$，即 $x+2z=10$，取 $x=0,\ z=5$ 即可。
第二套
题目：花店有三种花束，百合花束每束 9 元，玫瑰花束每束 11 元，向日葵花束每束 18 元。小红付了 150 元，找回 16 元。请问：小红买了多少束玫瑰花束？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（实际花费）：$150-16=\underline{\quad}$（元），$9x+11y+18z=134$。
  2. 第 2 步（抓公因数）：$9$ 与 $18$ 都是 $\underline{\quad}$ 的倍数，故 $11y$ 与 $134$ 除以 9 同余。
  3. 第 3 步（余数分析）：$134$ 除以 9 余 $\underline{\quad}$，$11y$ 与 $2y$ 同余，得 $y$ 除以 9 余 4。
  4. 第 4 步（范围）：$11y\le134$，$y\le12$，所以 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验证）：$9x+18z=\underline{\quad}$，即 $x+2z=10$，有解。
第三套
题目：面包店的三种面包分别是 8 元、13 元、24 元一个。小刚付了 150 元，找回 13 元。请问：他买了多少个 13 元的面包？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（实际花费）：$150-13=\underline{\quad}$（元），设三种面包分别买 $x,\ y,\ z$ 个，$8x+13y+24z=137$。
  2. 第 2 步（抓公因数）：$8$ 与 $24$ 都是 $\underline{\quad}$ 的倍数，所以 $13y$ 与 $137$ 除以 8 的余数相同。
  3. 第 3 步（余数分析）：$137$ 除以 8 余 $\underline{\quad}$，$13y$ 与 $5y$ 除以 8 同余，所以 $5y$ 除以 8 余 1，得 $y$ 除以 8 余 5。
  4. 第 4 步（范围）：由 $13y\le137$ 得 $y\le10$，所以 $y=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（验证）：$8x+24z=137-65=\underline{\quad}$，即 $x+3z=9$，有解。
第三套
题目：快餐店三种汉堡分别是 9 元、11 元、18 元一个。小明付款 150 元，找回 16 元。请问：他买的汉堡总数最少是多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列方程）：实际花 $150-16=\underline{\quad}$ 元，$9x+11y+18z=134$。
  2. 第 2 步（先定鸡肉汉堡数）：$9$ 与 $18$ 的公因数 $9$ 使 $11y$ 与 $134$ 除以 9 同余，$134$ 除以 9 余 $\underline{\quad}$，得 $y$ 除以 9 余 4；由 $11y\le134$ 得 $y=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（化简剩下的部分）：$9x+18z=134-44=\underline{\quad}$，两边同除 9 得 $x+2z=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求总数最少）：总数为 $x+y+z=(10-2z)+4+z=14-z$，要最少就要 $z$ 最大；由 $x\ge0$ 得 $z\le\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（取极值）：$z=5$ 时 $x=0$，总数 $14-5=\underline{\quad}$ 个。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch08-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（看整除特征）：$2825$ 与 $35x$ 都是 $\underline{5}$ 的倍数，所以 $64y$ 也必须是它的倍数。
    2. 第 2 步（推出 $y$ 的形式）：$64$ 与 5 互质，所以 $y$ 一定是 5 的倍数；又 $64y\le 2825$ 得 $y\le\underline{44}$。
    3. 第 3 步（逐个检验）：$y=25$ 时 $64y=\underline{1600}$，$35x=2825-1600=\underline{1225}$，$x=\underline{35}$。
    4. 第 4 步（验算）：$35\times35+64\times25=1225+1600=\underline{2825}$，符合。
    最终答案：$x=35,\ y=25$。
  2. 1. ch08-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（看整除特征）：$2825$ 与 $35x$ 都是 $\underline{5}$ 的倍数，所以 $64y$ 也是。
    2. 第 2 步（推出 $y$）：$y$ 必是 5 的倍数，又 $64y\le2825$ 得 $y\le\underline{44}$。
    3. 第 3 步（检验）：$y=25$ 时 $64y=\underline{1600}$，$35x=\underline{1225}$，$x=\underline{35}$。
    4. 第 4 步（验算）：$1225+1600=\underline{2825}$ 米。
    最终答案：35 米的用 35 根，64 米的用 25 根。
  3. 1. ch08-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（整除特征）：$2075$ 与 $45x$ 都是 $\underline{5}$ 的倍数，所以 $5\mid 64y$，从而 $y$ 是 5 的倍数。
    2. 第 2 步（定范围）：由 $64y\le2075$ 得 $y\le\underline{32}$，所以 $y=0,5,10,15,20,25,30$。
    3. 第 3 步（逐个检验）：$y=5$ 时 $45x=2075-320=\underline{1755}$，$x=\underline{39}$，整除成立。
    4. 第 4 步（验算）：$45\times39+64\times5=1755+320=\underline{2075}$。
    最终答案：$x=39,\ y=5$。
  4. 1. ch08-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（整除特征）：$4425$ 与 $35x$ 都是 5 的倍数，所以 $y$ 是 $\underline{5}$ 的倍数，设 $y=5t$。
    2. 第 2 步（化简）：代入得 $35x+320t=4425$，两边同除 5 得 $7x+64t=\underline{885}$。
    3. 第 3 步（余数分析）：$64t$ 与 $t$ 除以 7 同余，$885$ 除以 7 余 $\underline{3}$，所以 $t$ 除以 7 余 3。
    4. 第 4 步（取遍范围内的 $t$）：由 $64t\le885$ 得 $t\le13$，故 $t=3$ 或 $t=\underline{10}$。
    5. 第 5 步（回代）：$t=3$ 时 $y=15$，$7x=885-192=\underline{693}$，$x=\underline{99}$；$t=10$ 时 $y=50$，$7x=885-640=\underline{245}$，$x=\underline{35}$。
    最终答案：$x=99,\ y=15$ 或 $x=35,\ y=50$。
  5. 2. ch08-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（列重量方程）：设苹果 $x$ 筐、梨 $y$ 筐、桃子 $z$ 筐，$65x+60y+50z=1765$。
    2. 第 2 步（把售价写成只含 $z$ 的式子）：苹果与梨每斤都是 1.5 元，合起来是 $1.5\times(1765-50z)$，桃子是 $2\times50z=100z$，所以售价合计 $=2647.5-75z+100z=2647.5+\underline{25}z$。
    3. 第 3 步（利润 = 售价的 30%）：$0.3\times(2647.5+25z)=794.25+7.5z=861.75$，所以 $7.5z=\underline{67.5}$，$z=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（回代重量方程）：$65x+60y=1765-450=\underline{1315}$，两边同除 5 得 $13x+12y=\underline{263}$。
    5. 第 5 步（余数分析求解）：$12y$ 与 $-y$ 除以 13 同余，$263$ 除以 13 余 $\underline{3}$，得 $y$ 除以 13 余 10，故 $y=10$，$x=(263-120)\div13=\underline{11}$。
    最终答案：苹果 11 筐，梨 10 筐，桃子 9 筐。
  6. 2. ch08-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（列重量方程）：$65x+60y+50z=1765$。
    2. 第 2 步（售价只含 $z$）：$1.5\times(1765-50z)+100z=2647.5+\underline{25}z$。
    3. 第 3 步（利润是售价的 30%）：$794.25+7.5z=861.75$，$7.5z=\underline{67.5}$，$z=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（回代）：$65x+60y=\underline{1315}$，同除 5 得 $13x+12y=\underline{263}$。
    5. 第 5 步（余数分析）：$263$ 除以 13 余 $\underline{3}$，得 $y=10$，$x=\underline{11}$。
    最终答案：大米 11 袋，面粉 10 袋，小米 9 袋。
  7. 2. ch08-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（列重量方程）：$60x+55y+45z=1435$。
    2. 第 2 步（售价只含 $z$）：$1.5\times(1435-45z)+1.8\times45z=2152.5+\underline{13.5}z$。
    3. 第 3 步（利润是售价的 30%）：$645.75+4.05z=682.2$，$4.05z=\underline{36.45}$，$z=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（回代）：$60x+55y=1435-405=\underline{1030}$，同除 5 得 $12x+11y=\underline{206}$。
    5. 第 5 步（余数分析）：$206$ 除以 12 余 $\underline{2}$，$11y$ 与 $-y$ 同余，得 $y=10$，$x=(206-110)\div12=\underline{8}$。
    最终答案：苹果 8 筐，梨 10 筐，桃子 9 筐。
  8. 2. ch08-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（解出桃子筐数）：售价合计 $=2647.5+25z$，利润 $=0.3\times(2647.5+25z)=861.75$，得 $7.5z=\underline{67.5}$，$z=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（回代求另两种）：$65x+60y=\underline{1315}$，同除 5 得 $13x+12y=263$，解得 $y=10$，$x=\underline{11}$。
    3. 第 3 步（求销售额）：利润是销售额的 $30\%$，所以销售额 $=861.75\div0.3=\underline{2872.5}$ 元。
    4. 第 4 步（求进货成本）：成本是销售额的 $70\%$，即 $2872.5\times0.7=\underline{2010.75}$ 元。
    5. 第 5 步（验算）：$2872.5-2010.75=\underline{861.75}$ 元，正是题目给的利润。
    最终答案：苹果 11 筐、梨 10 筐、桃子 9 筐；销售额 2872.5 元，进货成本 2010.75 元。
  9. 3. ch08-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（分别计数）：设三人桌 $x$ 张、四人桌 $y$ 张，两人桌 $2y$ 张。人数 $=2y+2x+3y+1=2x+\underline{5}y+1$；座位数 $=4y+3x+4y=3x+\underline{8}y$。
    2. 第 2 步（列比例并交叉相乘）：$\frac{2x+5y+1}{3x+8y}=\frac{13}{20}$，即 $20(2x+5y+1)=13(3x+8y)$，展开得 $40x+100y+20=39x+\underline{104}y$。
    3. 第 3 步（化简）：移项得 $x+20=\underline{4}y$。
    4. 第 4 步（用总张数范围）：总张数 $=x+3y$，把 $y=\frac{x+20}{4}$ 代入得 $\frac{7x+60}{4}$，要落在 $60\sim69$，解得 $x$ 在 $26$ 到 $30$ 之间且是 4 的倍数，故 $x=\underline{28}$。
    5. 第 5 步（求各类张数）：$y=(28+20)\div4=\underline{12}$，两人桌 $2y=\underline{24}$ 张，总数 $28+36=\underline{64}$ 张。
    最终答案：两人桌 24 张，三人桌 28 张，四人桌 12 张（共 64 张）。
  10. 3. ch08-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（计数）：人数 $=2x+\underline{5}y+1$，座位数 $=3x+\underline{8}y$。
    2. 第 2 步（交叉相乘）：$20(2x+5y+1)=13(3x+8y)$，右边 $y$ 的系数是 $\underline{104}$。
    3. 第 3 步（化简）：$x+20=\underline{4}y$。
    4. 第 4 步（用范围）：总张数 $\frac{7x+60}{4}$ 落在六十多，得 $x=\underline{28}$。
    5. 第 5 步（求解）：$y=\underline{12}$，两人桌 $\underline{24}$ 张，共 $\underline{64}$ 张。
    最终答案：两人桌 24 张，三人桌 28 张，四人桌 12 张。
  11. 3. ch08-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（计数）：设三人桌 $x$ 张、四人桌 $y$ 张，两人桌 $3y$ 张。人数 $=3y+2x+3y+1=2x+\underline{6}y+1$；座位数 $=6y+3x+4y=3x+\underline{10}y$。
    2. 第 2 步（交叉相乘）：$17(2x+6y+1)=11(3x+10y)$，展开得 $34x+102y+17=33x+\underline{110}y$。
    3. 第 3 步（化简）：$x+17=\underline{8}y$。
    4. 第 4 步（用范围）：总张数 $=x+4y=12y-17$，要落在七十多，得 $y=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（求解）：$x=8\times8-17=\underline{47}$，两人桌 $3y=\underline{24}$ 张，共 $47+24+8=\underline{79}$ 张。
    最终答案：两人桌 24 张，三人桌 47 张，四人桌 8 张（共 79 张）。
  12. 3. ch08-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（化简比例）：由 $20(2x+5y+1)=13(3x+8y)$ 得 $x+20=\underline{4}y$。
    2. 第 2 步（用范围定解）：总张数 $\frac{7x+60}{4}$ 落在六十多，得 $x=\underline{28}$，$y=\underline{12}$，两人桌 $\underline{24}$ 张。
    3. 第 3 步（求人数）：$2x+5y+1=56+60+1=\underline{117}$ 人。
    4. 第 4 步（求座位数）：$3x+8y=84+96=\underline{180}$ 个。
    5. 第 5 步（验算比例）：$117\times20=\underline{2340}$，$180\times13=\underline{2340}$，两者相等，比例正确。
    最终答案：两人桌 24 张、三人桌 28 张、四人桌 12 张；这天有 117 人，共 180 个座位。
  13. 5. ch08-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（确认组合可行）：用 $3\times①+4\times②-2\times③$，$x$ 的系数为 $3\times1+4\times2-2\times2=\underline{7}$，$y$ 的系数为 $3\times5+4\times1-2\times6=\underline{7}$，$z$ 与 $w$ 的系数同样是 7。
    2. 第 2 步（算右边）：$3\times121+4\times88-2\times207=363+352-\underline{414}=\underline{301}$。
    3. 第 3 步（整体求值）：$7(x+y+z+w)=301$，所以 $x+y+z+w=\underline{43}$。
    最终答案：43 元。
  14. 5. ch08-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（确认组合）：$3①+4②-2③$ 中 $x$ 的系数为 $\underline{7}$，$y$ 的系数为 $\underline{7}$，四个系数都是 7。
    2. 第 2 步（算右边）：$363+352-\underline{414}=\underline{301}$。
    3. 第 3 步（整体求值）：$x+y+z+w=\underline{43}$（元）。
    最终答案：43 元。
  15. 5. ch08-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（配组合）：仍用 $3①+4②-2③$，四个未知数的系数都变成 $3+8-4=\underline{7}$。
    2. 第 2 步（算右边）：$3\times84=252$，$4\times64=\underline{256}$，$2\times149=\underline{298}$，所以右边为 $252+256-298=\underline{210}$。
    3. 第 3 步（整体求值）：$x+y+z+w=210\div7=\underline{30}$（元）。
    最终答案：30 元。
  16. 5. ch08-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（配组合并求整体值）：$3①+4②-2③$ 使四个系数都为 $\underline{7}$，右边 $=3\times121+4\times88-2\times207=\underline{301}$，所以 $x+y+z+w=\underline{43}$ 元。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：把甲的单价减掉，$43-9=\underline{34}$ 元。
    3. 第 3 步（第 (3) 问）：各买 5 件就是整体值的 5 倍，$43\times5=\underline{215}$ 元。
    4. 第 4 步（检查）：各买 5 件比各买 1 件多花 $215-43=\underline{172}$ 元，正好是 4 倍，合理。
    最终答案：（1）43 元；（2）34 元；（3）215 元。
  17. 6. ch08-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（先定 D 的盒数）：D 每盒 10 千克，买 2 盒就是 20 千克、花 580 元，剩下 $1140-580=\underline{560}$ 元还必须花完，但只剩 2 千克，凑不出，所以 D 只能买 $1$ 盒。
    2. 第 2 步（写出剩余条件）：还剩 $1140-290=\underline{850}$ 元、$22-10=\underline{12}$ 千克，要买 A、B、C、E。
    3. 第 3 步（按 E 的盒数枚举）：$e=1$ 时剩 $850-310=\underline{540}$ 元，可用 $C\times1+A\times5$：$190+350=540$，重 $1+7.5+3=11.5\le12$，可行。
    4. 第 4 步（$e=0$ 的情形）：$850=190\times3+70\times4$（重 $3+6=9$）或 $850=190\times2+110\times3+70\times2$（重 $2+6+3=\underline{11}$），都不超过 12 千克，可行。
    5. 第 5 步（统计）：一共 $\underline{3}$ 种买法。
    最终答案：3 种。
  18. 6. ch08-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（先定 D）：买 2 盒 D 要 20 千克、580 元，剩 $\underline{560}$ 元只剩 2 千克，凑不出，所以 D 只买 1 盒。
    2. 第 2 步（剩余条件）：还剩 $\underline{850}$ 元、$\underline{12}$ 千克。
    3. 第 3 步（$e=1$）：剩 $\underline{540}$ 元，用 $190+70\times5=540$，重 $11.5$ 千克，可行。
    4. 第 4 步（$e=0$）：$190\times3+70\times4$（重 9 千克）与 $190\times2+110\times3+70\times2$（重 $\underline{11}$ 千克）都可行。
    5. 第 5 步（统计）：共 $\underline{3}$ 种。
    最终答案：3 种。
  19. 6. ch08-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（先定 D）：买 2 盒 D 已是 20 千克，剩 $1080-580=\underline{500}$ 元无法再花，所以 D 只买 1 盒。
    2. 第 2 步（剩余条件）：剩 $1080-290=\underline{790}$ 元、$\underline{10}$ 千克买 A、B、C、E。
    3. 第 3 步（$e=0$）：$790=110\times2+190\times3$，重 $4+3=\underline{7}$ 千克，可行。
    4. 第 4 步（$e=1$）：剩 $790-310=\underline{480}$ 元，$480=70+110\times2+190$，重 $1.5+4+1+3=9.5$ 千克，可行。
    5. 第 5 步（统计）：共 $\underline{2}$ 种。
    最终答案：2 种。
  20. 6. ch08-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（先定 D）：买 2 盒 D 要 20 千克、580 元，剩 $1360-580=\underline{780}$ 元只剩 4 千克，最便宜的 A 也要 1.5 千克 70 元，凑不出，所以 D 只买 1 盒。
    2. 第 2 步（剩余条件）：剩 $1360-290=\underline{1070}$ 元、$24-10=\underline{14}$ 千克。
    3. 第 3 步（按 E 的盒数枚举）：$e=1$ 时剩 $1070-310=\underline{760}$ 元，$760=190\times4$，重 $4+3=7$ 千克；$e=2$ 时剩 $1070-620=\underline{450}$ 元，$450=190\times2+70$，重 $2+1.5+6=9.5$ 千克；$e=3$ 时剩 $140=70\times2$，重 $3+9=12$ 千克；$e=0$ 时 $1070=190\times3+110\times2+70\times4$，重 $3+4+6=13$ 千克。
    4. 第 4 步（统计方案数）：共 $\underline{4}$ 种。
    5. 第 5 步（找最轻）：把 D 的 10 千克加回去，四种方案分别重 $7+10=\underline{17}$、$9.5+10=19.5$、$12+10=22$、$13+10=23$ 千克，最轻是 $\underline{17}$ 千克。
    最终答案：共 4 种买法；最轻的一种是 17 千克（D 1 盒、C 4 盒、E 1 盒）。
  21. 7. ch08-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（建模）：设用 $x$ 个 17 克、$y$ 个 19 克的砝码，就是求使 $17x+19y=c$ 无自然数解的最大 $c$。
    2. 第 2 步（检验互质）：$17$ 与 $19$ 都是质数，最大公约数是 $\underline{1}$，可用公式。
    3. 第 3 步（套公式）：最大不可表示数为 $ab-a-b=17\times19-17-19=323-\underline{36}=\underline{287}$。
    4. 第 4 步（换一种写法验证）：$(17-1)\times(19-1)-1=288-1=\underline{287}$，结果一致。
    最终答案：287 克。
  22. 7. ch08-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步（建模）：即求使 $17x+19y=c$ 无自然数解的最大 $c$。
    2. 第 2 步（互质）：$(17,19)=\underline{1}$。
    3. 第 3 步（套公式）：$17\times19-17-19=323-\underline{36}=\underline{287}$。
    4. 第 4 步（验证）：$(17-1)\times(19-1)-1=\underline{287}$。
    最终答案：287 元。
  23. 7. ch08-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（建模与互质）：求使 $11x+13y=c$ 无自然数解的最大 $c$，$(11,13)=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（套公式）：$11\times13-11-13=143-\underline{24}=\underline{119}$。
    3. 第 3 步（验证写法）：$(11-1)\times(13-1)-1=120-1=\underline{119}$。
    最终答案：119 克。
  24. 7. ch08-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求最大值）：$(13,17)=1$，最大不可称出的重量为 $13\times17-13-17=221-\underline{30}=\underline{191}$ 克。
    2. 第 2 步（配对思想）：在 $0$ 到 $191$ 这 $192$ 个整数中，把 $c$ 与 $191-c$ 配成一对，可以证明每一对里恰好有一个能称出、另一个不能称出。
    3. 第 3 步（数对数）：这样的数对共有 $192\div2=\underline{96}$ 对。
    4. 第 4 步（下结论）：每对贡献 1 个不能称出的重量，所以共有 $\underline{96}$ 种；也可写成 $(13-1)\times(17-1)\div2=\underline{96}$。
    最终答案：最大是 191 克；不能称出的整数克重量共有 96 种。
  25. 9. ch08-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程）：设甲级 $x$ 支、乙级 $y$ 支，钱以角计，共 $8$ 元 $3$ 角 $=\underline{83}$ 角，得 $9x+4y=83$。
    2. 第 2 步（同余分析）：$4y$ 是 4 的倍数，所以 $9x$ 与 $83$ 除以 4 的余数相同。$9x$ 与 $x$ 除以 4 同余，$83$ 除以 4 余 $\underline{3}$，所以 $x$ 除以 4 余 3。
    3. 第 3 步（定范围取遍）：由 $9x\le83$ 得 $x\le 9$，故 $x=3$ 或 $x=\underline{7}$。
    4. 第 4 步（回代）：$x=3$ 时 $y=\underline{14}$；$x=7$ 时 $y=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（求总支数）：$3+14=\underline{17}$ 或 $7+5=\underline{12}$。
    最终答案：17 支或 12 支。
  26. 9. ch08-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程）：钱以角计共 $\underline{83}$ 角，$9x+4y=83$。
    2. 第 2 步（同余分析）：$9x$ 与 $x$ 除以 4 同余，$83$ 除以 4 余 $\underline{3}$，所以 $x$ 除以 4 余 3。
    3. 第 3 步（取遍）：$x\le9$，故 $x=3$ 或 $x=\underline{7}$。
    4. 第 4 步（回代）：$y=\underline{14}$ 或 $y=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（总张数）：$3+14=\underline{17}$ 或 $7+5=\underline{12}$。
    最终答案：17 张或 12 张。
  27. 9. ch08-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：钱以角计共 $\underline{97}$ 角，设 11 角的 $x$ 张、4 角的 $y$ 张，$11x+4y=97$。
    2. 第 2 步（同余分析）：$11x$ 与 $3x$ 除以 4 同余，$97$ 除以 4 余 $\underline{1}$，所以 $3x$ 除以 4 余 1，得 $x$ 除以 4 余 3。
    3. 第 3 步（取遍）：由 $11x\le97$ 得 $x\le8$，故 $x=3$ 或 $x=\underline{7}$。
    4. 第 4 步（回代）：$y=\underline{16}$ 或 $y=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（总张数）：$3+16=\underline{19}$ 或 $7+5=\underline{12}$。
    最终答案：19 张或 12 张。
  28. 9. ch08-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：钱以角计共 $\underline{131}$ 角，$9x+4y=131$。
    2. 第 2 步（同余分析）：$9x$ 与 $x$ 除以 4 同余，$131$ 除以 4 余 $\underline{3}$，所以 $x$ 除以 4 余 3。
    3. 第 3 步（取遍全部解）：由 $9x\le131-4$ 得 $x\le14$，故 $x=3,\ 7,\ 11$，对应 $y=\underline{26},\ \underline{17},\ \underline{8}$。
    4. 第 4 步（算总支数）：$3+26=\underline{29}$、$7+17=\underline{24}$、$11+8=\underline{19}$。
    5. 第 5 步（取两端）：最多 $\underline{29}$ 支，最少 $\underline{19}$ 支。
    最终答案：最多 29 支，最少 19 支。
  29. 10. ch08-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程）：设大盒 $x$ 盒、小盒 $y$ 盒，$29x+19y=750$。
    2. 第 2 步（同余分析）：$19y$ 是 19 的倍数，所以 $29x$ 与 $750$ 除以 19 的余数相同。$29x$ 与 $10x$ 除以 19 同余，$750$ 除以 19 余 $\underline{9}$，所以要 $10x$ 除以 19 余 9。
    3. 第 3 步（找出 $x$）：$x=18$ 时 $10x=180=19\times9+9$，符合；由 $29x\le750$ 得 $x\le\underline{25}$，不足 $18+19$，所以解唯一。
    4. 第 4 步（回代）：$19y=750-29\times18=\underline{228}$，$y=\underline{12}$。
    5. 第 5 步（求总盒数）：$18+12=\underline{30}$ 盒。
    最终答案：30 盒。
  30. 10. ch08-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程）：$29x+19y=750$。
    2. 第 2 步（同余分析）：$29x$ 与 $10x$ 除以 19 同余，$750$ 除以 19 余 $\underline{9}$，故要 $10x$ 除以 19 余 9。
    3. 第 3 步（定 $x$）：$x=18$ 符合；又 $x\le\underline{25}$ 不足 $18+19$，故唯一。
    4. 第 4 步（回代）：$19y=\underline{228}$，$y=\underline{12}$。
    5. 第 5 步（总箱数）：$\underline{30}$ 个。
    最终答案：30 个。
  31. 10. ch08-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：$29x+19y=900$。
    2. 第 2 步（同余分析）：$29x$ 与 $10x$ 除以 19 同余，$900$ 除以 19 余 $\underline{7}$，所以要 $10x$ 除以 19 余 7。
    3. 第 3 步（找 $x$）：$x=14$ 时 $10x=140$，$140$ 除以 19 余 $\underline{7}$，符合；又由 $29x\le900$ 得 $x\le31$，不足 $14+19=33$，所以解唯一。
    4. 第 4 步（回代）：$19y=900-29\times14=\underline{494}$，$y=\underline{26}$。
    5. 第 5 步（总袋数）：$14+26=\underline{40}$ 袋。
    最终答案：40 袋。
  32. 10. ch08-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（同余分析）：$23x$ 与 $7x$ 除以 16 同余，$560$ 除以 16 余 $\underline{0}$，所以要 $7x$ 除以 16 余 0，即 $x$ 是 16 的倍数。
    2. 第 2 步（取遍范围内的 $x$）：由 $23x\le560$ 得 $x\le24$，所以 $x=0$ 或 $x=\underline{16}$。
    3. 第 3 步（回代）：$x=0$ 时 $y=\underline{35}$；$x=16$ 时 $y=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（用“两种都要买”筛选）：$x=0$ 不合题意，故取 $x=16,\ y=12$。
    5. 第 5 步（总盒数）：$16+12=\underline{28}$ 盒。
    最终答案：28 盒。
  33. 11. ch08-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（约简系数）：$11000x+8000y=333000$ 两边同除 $1000$，得 $\underline{11}x+8y=333$。
    2. 第 2 步（同余分析）：$8y$ 是 8 的倍数，所以 $11x$ 与 $333$ 除以 8 同余；$11x$ 与 $3x$ 同余，$333$ 除以 8 余 $\underline{5}$，所以 $3x$ 除以 8 余 5，得 $x$ 除以 8 余 7。
    3. 第 3 步（取遍）：由 $11x\le333-8$ 得 $x\le29$，故 $x=7,\ 15,\ 23$，对应 $y=\underline{32},\ \underline{21},\ \underline{10}$。
    4. 第 4 步（用“两军抽调数量相同”筛选）：总数分别是 $7+32=\underline{39}$、$15+21=\underline{36}$、$23+10=\underline{33}$，其中偶数只有 $36$。
    5. 第 5 步（定答案）：$x=15,\ y=21$。
    最终答案：15 个步兵师，21 个航空兵师。
  34. 11. ch08-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（约简）：$11000x+8000y=333000$ 同除 $1000$ 得 $\underline{11}x+8y=333$。
    2. 第 2 步（同余分析）：$11x$ 与 $3x$ 除以 8 同余，$333$ 除以 8 余 $\underline{5}$，得 $x$ 除以 8 余 7。
    3. 第 3 步（取遍）：$x=7,15,23$ 对应 $y=\underline{32},\ \underline{21},\ \underline{10}$。
    4. 第 4 步（筛选）：总数 $\underline{39}$、$\underline{36}$、$\underline{33}$ 中偶数只有 36。
    5. 第 5 步：大货车 15 辆、小货车 21 辆。
    最终答案：大货车 15 辆，小货车 21 辆。
  35. 11. ch08-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（约简）：同除 $1000$ 得 $11x+8y=\underline{301}$。
    2. 第 2 步（同余分析）：$11x$ 与 $3x$ 除以 8 同余，$301$ 除以 8 余 $\underline{5}$，所以 $3x$ 除以 8 余 5，得 $x$ 除以 8 余 7。
    3. 第 3 步（取遍）：$x=7,\ 15,\ 23$，对应 $y=\underline{28},\ \underline{17},\ \underline{6}$。
    4. 第 4 步（筛选偶数总数）：$7+28=\underline{35}$、$15+17=\underline{32}$、$23+6=\underline{29}$，偶数只有 $32$。
    最终答案：15 个步兵师，17 个航空兵师。
  36. 11. ch08-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（约简与同余）：$11x+8y=333$，$333$ 除以 8 余 $\underline{5}$，得 $x$ 除以 8 余 7，$x=7,15,23$，对应 $y=\underline{32},\ \underline{21},\ \underline{10}$。
    2. 第 2 步（筛选）：总数 $39,\ 36,\ 31$ 中偶数只有 $\underline{36}$，故 $x=15,\ y=21$。
    3. 第 3 步（每个集团军的师数）：$36\div2=\underline{18}$ 个。
    4. 第 4 步（平均每师人数）：$333000\div36=\underline{9250}$ 人。
    最终答案：步兵师 15 个、航空兵师 21 个；每个集团军抽调 18 个师；平均每师 9250 人。
  37. 12. ch08-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程）：甲队植树 $14x-1$ 棵，乙队植树 $11y-2$ 棵，相等得 $14x-1=11y-2$，即 $11y-14x=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（求最小解）：让 $14x+1$ 能被 11 整除，试得 $x=7$ 时 $14\times7+1=\underline{99}$，$y=99\div11=\underline{9}$，此时植树 $14\times7-1=\underline{97}$ 棵。
    3. 第 3 步（写平移规律）：$x$ 每增加 11、$y$ 每增加 14，等式仍成立，植树数每次增加 $14\times11=\underline{154}$ 棵。
    4. 第 4 步（用范围定次数）：要落在五百多，$97+154\times3=\underline{559}$ 符合，故平移 3 次。
    5. 第 5 步（求人数）：$x=7+33=\underline{40}$，$y=9+42=\underline{51}$，两队共 $40+51=\underline{91}$ 人。
    最终答案：91 人。
  38. 12. ch08-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程）：$14x-1=11y-2$，即 $11y-14x=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（求最小解）：$x=7$ 时 $14x+1=\underline{99}$，$y=\underline{9}$，此时糊 $\underline{97}$ 个。
    3. 第 3 步（平移规律）：$x$ 加 11、$y$ 加 14，个数增加 $\underline{154}$ 个。
    4. 第 4 步（定次数）：$97+154\times3=\underline{559}$ 落在五百多。
    5. 第 5 步（求人数）：$x=\underline{40}$，$y=\underline{51}$，共 $\underline{91}$ 人。
    最终答案：91 人。
  39. 12. ch08-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：甲组做 $12x-1$ 朵，乙组做 $7y-2$ 朵，相等得 $7y-12x=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（求最小解）：让 $12x+1$ 被 7 整除，$x=4$ 时 $12\times4+1=\underline{49}$，$y=49\div7=\underline{7}$，此时做 $12\times4-1=\underline{47}$ 朵。
    3. 第 3 步（平移规律）：$x$ 加 7、$y$ 加 12，朵数每次增加 $12\times7=\underline{84}$ 朵。
    4. 第 4 步（定次数）：$47+84\times4=\underline{383}$ 是三百多，平移 4 次。
    5. 第 5 步（求人数）：$x=4+28=\underline{32}$，$y=7+48=\underline{55}$，共 $\underline{87}$ 人。
    最终答案：87 人。
  40. 12. ch08-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程与最小解）：$13x-1=10y-2$，即 $10y-13x=1$，最小解 $x=3,\ y=4$，此时植树 $13\times3-1=\underline{38}$ 棵。
    2. 第 2 步（平移规律）：$x$ 加 10、$y$ 加 13，棵数每次增加 $\underline{130}$ 棵。
    3. 第 3 步（用范围定次数）：$38+130\times5=\underline{688}$ 落在六百多，所以平移 5 次。
    4. 第 4 步（求人数）：$x=3+50=\underline{53}$，$y=4+65=\underline{69}$。
    5. 第 5 步（求总数）：两队共 $53+69=\underline{122}$ 人，两队一共植树 $688\times2=\underline{1376}$ 棵。
    最终答案：甲队 53 人、乙队 69 人，每队植树 688 棵，两队一共植树 1376 棵。
  41. 13. ch08-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（求最大公约数）：$(45,30)=\underline{15}$，所以截出的总长一定是它的倍数。
    2. 第 2 步（判断能否用尽）：$500\div15=33\cdots\cdots\underline{5}$，不是 15 的倍数，所以不可能恰好截完。
    3. 第 3 步（退到最近的可取值）：小于 500 的最大的 15 的倍数是 $15\times33=\underline{495}$。
    4. 第 4 步（验证可达）：$45\times1+30\times15=\underline{495}$，确实截得出来。
    5. 第 5 步（求剩余）：$500-495=\underline{5}$ 厘米。
    最终答案：5 厘米。
  42. 13. ch08-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（求最大公约数）：$(45,30)=\underline{15}$，剪出的总长一定是它的倍数。
    2. 第 2 步（判断能否用尽）：$500\div15$ 余 $\underline{5}$，不是 15 的倍数。
    3. 第 3 步（退到最近可取值）：$15\times33=\underline{495}$。
    4. 第 4 步（验证可达）：$45\times1+30\times15=\underline{495}$。
    5. 第 5 步（求剩余）：$\underline{5}$ 厘米。
    最终答案：5 厘米。
  43. 13. ch08-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求最大公约数）：$(28,42)=\underline{14}$，截出的总长一定是它的倍数。
    2. 第 2 步（判断能否用尽）：$500\div14=35\cdots\cdots\underline{10}$，不能恰好截完。
    3. 第 3 步（退到最近可取值）：$14\times35=\underline{490}$。
    4. 第 4 步（验证可达）：$28\times16+42\times1=\underline{490}$，可以截出。
    5. 第 5 步（求剩余）：$500-490=\underline{10}$ 厘米。
    最终答案：10 厘米。
  44. 13. ch08-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（判剩余）：$(45,30)=15$，$500$ 除以 15 余 $\underline{5}$，最多截出 $15\times33=\underline{495}$ 厘米，剩余最少 $\underline{5}$ 厘米。
    2. 第 2 步（列出截法方程）：$45x+30y=495$，两边同除 15 得 $3x+2y=\underline{33}$。
    3. 第 3 步（分析根数）：总根数 $x+y$；由 $2y=33-3x$ 知 $x$ 必须是奇数，且 $y=\frac{33-3x}{2}$。
    4. 第 4 步（要根数最多就要短管多）：$x$ 取最小的奇数 $1$，此时 $y=\underline{15}$。
    5. 第 5 步（求最多根数）：$1+15=\underline{16}$ 根。
    最终答案：剩余最少 5 厘米；此时最多能截出 16 根短管（45 厘米 1 根、30 厘米 15 根）。
  45. 14. ch08-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程组）：设答对 $x$ 题、没答 $y$ 题、答错 $z$ 题，第一种判分 $7x+3y=101$；第二种判分 $60+4x-z=101$，即 $z=4x-\underline{41}$。
    2. 第 2 步（用非负条件夹范围）：由 $z\ge0$ 得 $x\ge 11$（因为 $4\times10=40<41$）；由 $3y=101-7x\ge0$ 得 $x\le\underline{14}$。
    3. 第 3 步（用整除性筛 $x$）：$101-7x$ 要被 3 整除，$101$ 除以 3 余 $\underline{2}$，$7x$ 与 $x$ 除以 3 同余，所以 $x$ 除以 3 余 2；$11\le x\le14$ 中 $x=11$ 或 $x=14$。
    4. 第 4 步（回代）：$x=11$ 时 $y=\underline{8}$、$z=\underline{3}$；$x=14$ 时 $y=\underline{1}$、$z=\underline{15}$。
    5. 第 5 步（求总题数）：$11+8+3=\underline{22}$ 或 $14+1+15=\underline{30}$。
    最终答案：22 道或 30 道。
  46. 14. ch08-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程组）：$7x+3y=101$；$60+4x-z=101$，即 $z=4x-\underline{41}$。
    2. 第 2 步（夹范围）：$z\ge0$ 给出 $x\ge11$；$3y=101-7x\ge0$ 给出 $x\le\underline{14}$。
    3. 第 3 步（整除性）：$101$ 除以 3 余 $\underline{2}$，故 $x$ 除以 3 余 2，得 $x=11$ 或 $14$。
    4. 第 4 步（回代）：$x=11$ 时 $y=\underline{8}$、$z=\underline{3}$；$x=14$ 时 $y=\underline{1}$、$z=\underline{15}$。
    5. 第 5 步（总题数）：$\underline{22}$ 或 $\underline{30}$。
    最终答案：22 道或 30 道。
  47. 14. ch08-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程组）：$5x+2y=81$；$45+3x-z=81$，即 $z=3x-\underline{36}$。
    2. 第 2 步（夹范围）：由 $z\ge0$ 得 $x\ge12$；由 $2y=81-5x\ge0$ 得 $x\le\underline{16}$。
    3. 第 3 步（奇偶分析）：$81-5x$ 要是偶数，所以 $x$ 必为奇数，$12\le x\le16$ 中 $x=13$ 或 $x=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（回代）：$x=13$ 时 $y=\underline{8}$、$z=\underline{3}$；$x=15$ 时 $y=\underline{3}$、$z=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（求总题数）：$13+8+3=\underline{24}$ 或 $15+3+9=\underline{27}$。
    最终答案：24 道或 27 道。
  48. 14. ch08-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程组并夹范围）：$7x+3y=101$，$z=4x-\underline{41}$；由 $z\ge0$、$3y\ge0$ 得 $11\le x\le\underline{14}$。
    2. 第 2 步（整除性筛 $x$）：$101$ 除以 3 余 $\underline{2}$，故 $x$ 除以 3 余 2，得 $x=11$ 或 $x=14$。
    3. 第 3 步（回代）：$x=11$ 时 $(y,z)=(8,\underline{3})$，总题数 $\underline{22}$；$x=14$ 时 $(y,z)=(1,\underline{15})$，总题数 $\underline{30}$。
    4. 第 4 步（比较答错题数）：$z$ 分别是 3 与 15，最多的是 $\underline{15}$，此时答对 $\underline{14}$ 道。
    最终答案：共考 22 道或 30 道；答错最多 15 道，此时答对 14 道。
  49. 15. ch08-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（成组设元）：$9$ 个大和尚吃 58 个馒头，故大和尚人数 $x$ 是 $\underline{9}$ 的倍数，设 $x=9s$；同理小和尚 $y=23t$。
    2. 第 2 步（列方程）：总馒头数 $58s+92t$ 等于人均 5 乘总人数，即 $58s+92t=5\times(9s+23t)=\underline{45}s+115t$。
    3. 第 3 步（整理成整数比）：移项得 $13s=\underline{23}t$，因 13 与 23 互质，所以 $s=23k,\ t=13k$。
    4. 第 4 步（写出人数）：$x=9\times23k=\underline{207}k$，$y=23\times13k=\underline{299}k$，总人数 $\underline{506}k$。
    5. 第 5 步（用范围定 $k$）：要一千多人，$506\times2=\underline{1012}$ 符合，所以 $k=2$，$x=\underline{414}$，$y=\underline{598}$。
    最终答案：1012 个。
  50. 15. ch08-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（成组设元）：大营员人数是 $\underline{9}$ 的倍数，设 $x=9s$、$y=23t$。
    2. 第 2 步（列方程）：$58s+92t=5\times(9s+23t)=\underline{45}s+115t$。
    3. 第 3 步（整理）：$13s=\underline{23}t$，故 $s=23k,\ t=13k$。
    4. 第 4 步（写人数）：$x=\underline{207}k$，$y=\underline{299}k$，总数 $\underline{506}k$。
    5. 第 5 步（定 $k$）：$506\times2=\underline{1012}$，$x=\underline{414}$，$y=\underline{598}$。
    最终答案：1012 人。
  51. 15. ch08-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（成组设元）：设大和尚 $x=13s$ 人、小和尚 $y=17t$ 人。
    2. 第 2 步（列方程）：$70s+60t=4\times(13s+17t)=52s+\underline{68}t$。
    3. 第 3 步（整理并约分）：移项得 $18s=8t$，两边同除 2 得 $9s=\underline{4}t$，故 $s=4k,\ t=9k$。
    4. 第 4 步（写出人数）：$x=13\times4k=\underline{52}k$，$y=17\times9k=\underline{153}k$，总人数 $\underline{205}k$。
    5. 第 5 步（定 $k$）：要六百多人，$205\times3=\underline{615}$，所以 $k=3$，$x=\underline{156}$，$y=\underline{459}$。
    最终答案：615 个（大和尚 156 个、小和尚 459 个）。
  52. 15. ch08-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（成组设元并列方程）：设 $x=7s,\ y=19t$，则 $41s+60t=4(7s+19t)=28s+\underline{76}t$。
    2. 第 2 步（整理）：$13s=\underline{16}t$，故 $s=16k,\ t=13k$。
    3. 第 3 步（写出人数）：$x=7\times16k=\underline{112}k$，$y=19\times13k=\underline{247}k$，总人数 $\underline{359}k$。
    4. 第 4 步（用范围定 $k$）：要一千多人，$359\times3=\underline{1077}$ 符合，$k=3$。
    5. 第 5 步（求各类人数）：$x=112\times3=\underline{336}$，$y=247\times3=\underline{741}$。
    6. 第 6 步（求馒头总数）：$4\times1077=\underline{4308}$ 个。
    最终答案：大和尚 336 人、小和尚 741 人，共 1077 人，每天吃 4308 个馒头。
  53. 16. ch08-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程组）：设公鸡 $x$、母鸡 $y$、小鸡 $z$ 只，则 $x+y+z=200$，$7x+5y+\frac13 z=200$。
    2. 第 2 步（去分母）：第二式乘 3 得 $21x+15y+z=\underline{600}$。
    3. 第 3 步（消元）：减去只数方程，得 $20x+14y=\underline{400}$，两边同除 2 得 $10x+7y=200$。
    4. 第 4 步（求全部解）：$7y=200-10x$ 要被 7 整除，$200$ 除以 7 余 $\underline{4}$，$10x$ 与 $3x$ 除以 7 同余，所以 $3x$ 除以 7 余 4，得 $x$ 除以 7 余 6；在 $10x\le200$ 内 $x=6,\ 13,\ 20$，对应 $y=\underline{20},\ \underline{10},\ \underline{0}$。
    5. 第 5 步（回代求 $z$）：$z=200-x-y$，分别为 $\underline{174},\ \underline{177},\ \underline{180}$。
    最终答案：公鸡 6 只、母鸡 20 只、小鸡 174 只；或公鸡 13 只、母鸡 10 只、小鸡 177 只；或公鸡 20 只、母鸡 0 只、小鸡 180 只。
  54. 16. ch08-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程组）：$x+y+z=200$，$7x+5y+\frac13z=200$。
    2. 第 2 步（去分母）：第二式乘 3 得 $21x+15y+z=\underline{600}$。
    3. 第 3 步（消元）：相减得 $20x+14y=\underline{400}$，同除 2 得 $10x+7y=200$。
    4. 第 4 步（求全部解）：$200$ 除以 7 余 $\underline{4}$，得 $x$ 除以 7 余 6，$x=6,13,20$，对应 $y=\underline{20},\ \underline{10},\ \underline{0}$。
    5. 第 5 步（回代）：$z=\underline{174},\ \underline{177},\ \underline{180}$。
    最终答案：大盆 6、中盆 20、小盆 174；或 13、10、177；或 20、0、180。
  55. 16. ch08-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程组）：$x+y+z=100$，$6x+4y+\frac13z=100$。
    2. 第 2 步（去分母）：第二式乘 3 得 $18x+12y+z=\underline{300}$。
    3. 第 3 步（消元）：相减得 $17x+11y=\underline{200}$。
    4. 第 4 步（求解）：$11y=200-17x$，$200$ 除以 11 余 $\underline{2}$，$17x$ 与 $6x$ 除以 11 同余，所以 $6x$ 除以 11 余 2，得 $x$ 除以 11 余 4；在 $17x\le200$ 内只有 $x=4$，此时 $y=\underline{12}$。
    5. 第 5 步（回代）：$z=100-4-12=\underline{84}$。
    最终答案：公鸡 4 只、母鸡 12 只、小鸡 84 只。
  56. 16. ch08-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（消元）：钱数方程乘 3 得 $21x+15y+z=\underline{600}$，减去只数方程得 $20x+14y=\underline{400}$，同除 2 得 $10x+7y=200$。
    2. 第 2 步（求全部自然数解）：$x$ 除以 7 余 6，$x=6,\ 13,\ 20$，对应 $y=\underline{20},\ \underline{10},\ \underline{0}$。
    3. 第 3 步（回代求 $z$）：分别为 $\underline{174},\ \underline{177},\ \underline{180}$。
    4. 第 4 步（用“三种都要买”筛选）：$x=20$ 时母鸡为 $0$ 只，不合题意，所以买法只有 $\underline{2}$ 种。
    5. 第 5 步（求母鸡最多）：剩下两种买法中母鸡为 20 只与 10 只，最多 $\underline{20}$ 只。
    最终答案：共 2 种买法；母鸡最多 20 只（此时公鸡 6 只、小鸡 174 只）。
  57. 17. ch08-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程组）：设圆珠笔 $x$ 盒、铅笔 $y$ 盒、钢笔 $z$ 盒，支数 $8x+12y+5z=148$，钱数 $8x+9y+7z=160$。
    2. 第 2 步（消元）：两式中 $x$ 的系数都是 8，相减得 $3y-2z=148-160=\underline{-12}$，即 $2z=3y+12$。
    3. 第 3 步（判断奇偶）：$3y+12$ 要是偶数，所以 $y$ 必须是 $\underline{2}$ 数。
    4. 第 4 步（枚举 $y$）：$y=4$ 时 $z=(12+12)\div2=\underline{12}$，代入支数方程得 $8x=148-48-60=\underline{40}$，$x=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（验算钱数）：$8\times5+9\times4+7\times12=\underline{160}$ 元，与题目相符。
    最终答案：圆珠笔 5 盒，铅笔 4 盒，钢笔 12 盒。
  58. 17. ch08-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程组）：$8x+12y+5z=148$，$8x+9y+7z=160$。
    2. 第 2 步（消元）：相减得 $3y-2z=\underline{-12}$，即 $2z=3y+12$。
    3. 第 3 步（奇偶判断）：$y$ 必须是 $\underline{2}$ 数。
    4. 第 4 步（枚举）：$y=4$ 时 $z=\underline{12}$，$8x=\underline{40}$，$x=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（验算）：$8\times5+9\times4+7\times12=\underline{160}$ 元。
    最终答案：A 饮料 5 箱、B 饮料 4 箱、C 饮料 12 箱。
  59. 17. ch08-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程组）：$6x+10y+4z=108$，$6x+7y+5z=115$。
    2. 第 2 步（消元）：两式 $x$ 的系数都是 6，相减得 $3y-z=108-115=\underline{-7}$，即 $z=3y+7$。
    3. 第 3 步（代回）：$6x+10y+4(3y+7)=108$，整理得 $6x+22y=\underline{80}$，同除 2 得 $3x+11y=40$。
    4. 第 4 步（枚举）：$y=2$ 时 $3x=40-22=\underline{18}$，$x=\underline{6}$。
    5. 第 5 步（回代）：$z=3\times2+7=\underline{13}$。
    最终答案：圆珠笔 6 盒，铅笔 2 盒，钢笔 13 盒。
  60. 17. ch08-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（消元）：两式相减得 $3y-2z=\underline{-12}$，即 $2z=3y+12$，故 $y$ 是偶数。
    2. 第 2 步（枚举）：$y=4$ 时 $z=\underline{12}$，$8x=148-48-60=\underline{40}$，$x=\underline{5}$。
    3. 第 3 步（求总盒数）：$5+4+12=\underline{21}$ 盒。
    4. 第 4 步（求各类支数）：圆珠笔 $8\times5=\underline{40}$ 支，铅笔 $12\times4=\underline{48}$ 支，钢笔 $5\times12=\underline{60}$ 支。
    5. 第 5 步（验算总支数）：$40+48+60=\underline{148}$ 支，与题目一致。
    最终答案：圆珠笔 5 盒、铅笔 4 盒、钢笔 12 盒，共 21 盒；三种笔分别是 40 支、48 支、60 支。
  61. 18. ch08-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（整体设元）：设 19 分 $x$ 个、13 分 $y$ 个、5 分 $z$ 个，总数 $a=x+y+z$。用 $19a$ 减去总分：$19a-150=(19-13)y+(19-5)z=6y+\underline{14}z$。
    2. 第 2 步（定下界）：右边是自然数，所以 $19a\ge150$，$a$ 至少是 $\underline{8}$。
    3. 第 3 步（从小到大试）：$a=8$ 时 $6y+14z=19\times8-150=\underline{2}$，太小无解；$a=9$ 时 $6y+14z=\underline{21}$ 是奇数，而 $6y+14z$ 一定是偶数，无解。
    4. 第 4 步（找到答案）：$a=10$ 时 $6y+14z=190-150=\underline{40}$，同除 2 得 $3y+7z=20$，解得 $z=2,\ y=\underline{2}$，故 $x=10-2-2=\underline{6}$。
    5. 第 5 步（同法处理 200 分）：$19a\ge200$ 得 $a\ge11$；$a=11$ 时 $6y+14z=209-200=9$ 是奇数无解；$a=12$ 时 $6y+14z=228-200=\underline{28}$，即 $3y+7z=14$，得 $z=2,\ y=0$，$x=\underline{10}$，最少 $\underline{12}$ 个。
    最终答案：投中 150 分至少 10 个（19 分 6 个、13 分 2 个、5 分 2 个）；投中 200 分至少 12 个（19 分 10 个、5 分 2 个）。
  62. 18. ch08-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（整体设元）：设总个数 $a=x+y+z$，则 $19a-150=6y+\underline{14}z$。
    2. 第 2 步（定下界）：$19a\ge150$，$a$ 至少 $\underline{8}$。
    3. 第 3 步（试值）：$a=8$ 时右边为 $\underline{2}$ 无解；$a=9$ 时为 $\underline{21}$ 是奇数，无解。
    4. 第 4 步（求解）：$a=10$ 时为 $\underline{40}$，即 $3y+7z=20$，得 $z=2,\ y=\underline{2}$，$x=\underline{6}$。
    5. 第 5 步（200 分）：$a=12$ 时 $6y+14z=\underline{28}$，得 $z=2,y=0$，$x=\underline{10}$，共 $\underline{12}$ 个。
    最终答案：150 分至少套中 10 个；200 分至少套中 12 个。
  63. 18. ch08-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（整体设元）：设总数 $a=x+y+z$，$23a-130=(23-15)y+(23-7)z=8y+\underline{16}z$。
    2. 第 2 步（定下界）：$23a\ge130$，所以 $a\ge\underline{6}$。
    3. 第 3 步（试最小值）：$a=6$ 时 $8y+16z=23\times6-130=\underline{8}$，两边同除 8 得 $y+2z=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（求解）：取 $z=0,\ y=1$，则 $x=6-1-0=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（验算）：$23\times5+15\times1+7\times0=\underline{130}$ 分，恰好 130 分，所以最少 $\underline{6}$ 个。
    最终答案：至少 6 个（23 分 5 个、15 分 1 个）。
  64. 18. ch08-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（整体设元并定下界）：$19a-150=6y+14z\ge0$，所以 $a\ge\underline{8}$。
    2. 第 2 步（排除小值）：$a=8$ 时右边为 $\underline{2}$，比最小的 $6$ 还小又不为 0，无解；$a=9$ 时为 $\underline{21}$，奇数而左边必为偶数，无解。
    3. 第 3 步（求解 $a=10$）：$6y+14z=\underline{40}$，同除 2 得 $3y+7z=20$。
    4. 第 4 步（逐一检验 $z$）：$z=0$ 时 $3y=20$ 不整除；$z=1$ 时 $3y=13$ 不整除；$z=2$ 时 $3y=20-14=\underline{6}$，$y=\underline{2}$；$z=3$ 时 $7\times3=21>20$，舍。所以只有一组。
    5. 第 5 步（求 $x$ 并下结论）：$x=10-2-2=\underline{6}$，方案唯一，验算 $19\times6+13\times2+5\times2=\underline{150}$。
    最终答案：至少 10 个；此时 19 分 6 个、13 分 2 个、5 分 2 个，且方案唯一。
  65. 19. ch08-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程组）：面值以分计，$x+10y+100z+1000w=\underline{15000}$（150 元），张数 $x+y+z+w=80$。
    2. 第 2 步（消元）：两式相减消去 $x$，得 $9y+99z+999w=15000-80=\underline{14920}$。
    3. 第 3 步（看左边特征）：$9,\ 99,\ 999$ 都是 $\underline{9}$ 的倍数，所以左边一定是它的倍数。
    4. 第 4 步（检验右边）：$14920$ 的数字和为 $1+4+9+2+0=\underline{16}$，不是 9 的倍数。
    5. 第 5 步（下结论）：矛盾，所以不能。
    最终答案：不能。
  66. 19. ch08-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程组）：面值以分计共 $\underline{15000}$ 分，张数 $x+y+z+w=80$。
    2. 第 2 步（消元）：相减得 $9y+99z+999w=\underline{14920}$。
    3. 第 3 步（左边特征）：左边是 $\underline{9}$ 的倍数。
    4. 第 4 步（检验右边）：数字和 $1+4+9+2+0=\underline{16}$，不是 9 的倍数，故不能。
    最终答案：不能。
  67. 19. ch08-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程组）：$x+10y+100z+1000w=\underline{6000}$（分），$x+y+z+w=50$。
    2. 第 2 步（消元）：相减得 $9y+99z+999w=6000-50=\underline{5950}$。
    3. 第 3 步（检验整除性）：$5950$ 的数字和为 $5+9+5+0=\underline{19}$，不是 9 的倍数。
    4. 第 4 步（结论）：左边是 9 的倍数而右边不是，矛盾，故不能。
    最终答案：不能。
  68. 19. ch08-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（消元得关键式）：由 $x+10y+100z+1000w=$ 总面值（分）与 $x+y+z+w=60$ 相减，得 $9y+99z+999w=$ 总面值 $-60$，左边是 9 的倍数。
    2. 第 2 步（判断第 (1) 问）：$10000-60=\underline{9940}$，数字和 $9+9+4+0=\underline{22}$ 不是 9 的倍数，所以不能。
    3. 第 3 步（判断第 (2) 问）：$10005-60=\underline{9945}$，数字和 $9+9+4+5=\underline{27}$ 是 9 的倍数，通过第一关。
    4. 第 4 步（构造方案）：$9945\div9=\underline{1105}$，即 $y+11z+111w=1105$；取 $w=9,\ z=9$ 得 $y=1105-999-99=\underline{7}$。
    5. 第 5 步（验算）：张数 $x=60-7-9-9=\underline{35}$，总面值 $35+7\times10+9\times100+9\times1000=\underline{10005}$ 分，恰好 100 元零 5 分。
    最终答案：（1）不能；（2）能，例如 1 分 35 张、1 角 7 张、1 元 9 张、10 元 9 张。
  69. 20. ch08-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程并化整）：$17x+19y+10.2z+13.6w=400$，两边乘 5 得 $85x+95y+51z+68w=\underline{2000}$。
    2. 第 2 步（找公因数）：$85,\ 51,\ 68$ 都含因数 $\underline{17}$，而 $95y$ 不含。
    3. 第 3 步（提公因数并整体设元）：$17(5x+3z+4w)+95y=2000$，令 $u=5x+3z+4w$，得 $17u+95y=2000$。
    4. 第 4 步（余数分析）：$95y$ 与 $10y$ 除以 17 同余，$2000$ 除以 17 余 $\underline{11}$，所以要 $10y$ 除以 17 余 11，试得 $y=13$（$130$ 除以 17 余 $\underline{11}$）。
    5. 第 5 步（求 $u$ 并说明唯一）：$17u=2000-95\times13=\underline{765}$，$u=\underline{45}$；又 $95y\le2000$ 给出 $y\le21$，故只有这一组。
    最终答案：13 包。
  70. 20. ch08-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（化整）：两边乘 5 得 $85x+95y+51z+68w=\underline{2000}$。
    2. 第 2 步（找公因数）：$85,\ 51,\ 68$ 都含因数 $\underline{17}$。
    3. 第 3 步（整体设元）：$17u+95y=2000$，其中 $u=5x+3z+4w$。
    4. 第 4 步（余数分析）：$2000$ 除以 17 余 $\underline{11}$，试得 $y=13$（$130$ 除以 17 余 $\underline{11}$）。
    5. 第 5 步（求 $u$）：$17u=\underline{765}$，$u=\underline{45}$。
    最终答案：13 盒。
  71. 20. ch08-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（化整）：$11x+15y+6.6z+8.8w=300$ 两边乘 5，得 $55x+75y+33z+44w=\underline{1500}$。
    2. 第 2 步（提公因数）：$55,\ 33,\ 44$ 都含因数 $\underline{11}$，令 $u=5x+3z+4w$，得 $11u+75y=1500$。
    3. 第 3 步（余数分析）：$75y$ 与 $9y$ 除以 11 同余，$1500$ 除以 11 余 $\underline{4}$，要 $9y$ 除以 11 余 4，试得 $y=9$（$81$ 除以 11 余 $\underline{4}$）。
    4. 第 4 步（求 $u$）：$11u=1500-675=\underline{825}$，$u=\underline{75}$。
    5. 第 5 步（排除假解）：$y=20$ 时 $75\times20=1500$，此时 $u=0$，意味着三种糖都没买，与“每种都买”矛盾，舍去。
    最终答案：9 包。
  72. 20. ch08-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（化整并提公因数）：两边乘 5 得 $85x+95y+51z+68w=2000$，即 $17u+95y=2000$，其中 $u=5x+3z+4w$。
    2. 第 2 步（定奶糖包数）：$2000$ 除以 17 余 $\underline{11}$，得 $y=13$，$u=\underline{45}$。
    3. 第 3 步（转化为新问题）：要巧克力糖最多，就是在 $5x+3z+4w=45$ 且 $z\ge1,\ w\ge1$ 时让 $x$ 最大。
    4. 第 4 步（估上界）：$z,w$ 至少各 1 包，占去 $3+4=\underline{7}$，所以 $5x\le 45-7=\underline{38}$，$x\le 7$。
    5. 第 5 步（检验能否取到）：$x=7$ 时 $3z+4w=45-35=\underline{10}$，取 $z=2,\ w=1$ 成立，所以最多 $\underline{7}$ 包。
    最终答案：奶糖 13 包；巧克力糖最多 7 包（此时水果糖 2 包、酥糖 1 包）。
  73. 21. ch08-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（明确目标）：要求 $8x+4y$，式子里没有 $z$，所以要先把 $z$ 消掉。
    2. 第 2 步（找组合）：$①$ 中 $z$ 的系数是 4，$②$ 中是 7，用 $7\times①-4\times②$ 可消去 $z$，此时 $x$ 的系数为 $7\times2-4\times3=\underline{2}$，$y$ 的系数为 $7\times3-4\times5=\underline{1}$。
    3. 第 3 步（算右边）：$7\times31.5-4\times52.4=220.5-\underline{209.6}=\underline{10.9}$，所以 $2x+y=10.9$。
    4. 第 4 步（把所求写成倍数）：$8x+4y=4\times(2x+y)$，所以等于 $4\times10.9=\underline{43.6}$。
    最终答案：43.6 元。
  74. 21. ch08-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（明确目标）：所求 $8x+4y$ 不含橡皮单价 $z$，要先消 $z$。
    2. 第 2 步（找组合）：用 $7\times①-4\times②$，$x$ 的系数为 $\underline{2}$，$y$ 的系数为 $\underline{1}$。
    3. 第 3 步（算右边）：$7\times31.5-4\times52.4=220.5-\underline{209.6}=\underline{10.9}$。
    4. 第 4 步（求值）：$8x+4y=4\times10.9=\underline{43.6}$（元）。
    最终答案：43.6 元。
  75. 21. ch08-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（明确目标）：所求 $14x+2y$ 不含 $z$，先消 $z$。
    2. 第 2 步（找组合）：$①$ 中 $z$ 的系数 5、$②$ 中 9，用 $9\times①-5\times②$；此时 $x$ 的系数为 $9\times3-5\times4=\underline{7}$，$y$ 的系数为 $9\times4-5\times7=\underline{1}$。
    3. 第 3 步（算右边）：$9\times40-5\times66.9=360-\underline{334.5}=\underline{25.5}$，即 $7x+y=25.5$。
    4. 第 4 步（写成倍数并求值）：$14x+2y=2\times(7x+y)=2\times25.5=\underline{51}$（元）。
    最终答案：51 元。
  76. 21. ch08-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（消元）：$7\times①-4\times②$ 得 $2x+y=7\times31.5-4\times52.4=\underline{10.9}$。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：$8x+4y=4\times(2x+y)=\underline{43.6}$（元）。
    3. 第 3 步（回代求苹果单价）：把 $x=3.2$ 代入 $2x+y=10.9$，得 $y=10.9-2\times3.2=\underline{4.5}$（元）。
    4. 第 4 步（回代求梨单价）：代入 $①$：$4z=31.5-2\times3.2-3\times4.5=\underline{11.6}$，$z=\underline{2.9}$（元）。
    5. 第 5 步（验算）：$3\times3.2+5\times4.5+7\times2.9=\underline{52.4}$（元），与 $②$ 一致。
    最终答案：（1）43.6 元；（2）苹果每千克 4.5 元，梨每千克 2.9 元。
  77. 22. ch08-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（列条件）：设红笔 $a$ 元、蓝笔 $b$ 元，$a+b=31$，且 $ax+by=209$ 无自然数解。
    2. 第 2 步（用结论）：当 $c>ab-a-b$ 时一定有解，所以要无解必须 $ab-a-b\ge 209$，即 $ab\ge 209+31=\underline{240}$。
    3. 第 3 步（和定积最大）：$a+b=31$ 时两数越接近乘积越大，最大为 $16\times15=\underline{240}$。
    4. 第 4 步（检验）：$240-31=\underline{209}$，恰好等于 209，此时无自然数解。
    5. 第 5 步（下结论）：红笔比蓝笔贵，所以红笔 $\underline{16}$ 元、蓝笔 15 元。
    最终答案：16 元。
  78. 22. ch08-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（列条件）：$a+b=31$，且 $ax+by=209$ 无自然数解。
    2. 第 2 步（用结论）：要无解须 $ab-a-b\ge209$，即 $ab\ge\underline{240}$。
    3. 第 3 步（和定积最大）：$16\times15=\underline{240}$ 是最大乘积。
    4. 第 4 步（检验）：$240-31=\underline{209}$，恰好无解。
    5. 第 5 步：大包 $\underline{16}$ 元。
    最终答案：16 元。
  79. 22. ch08-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（列条件）：$a+b=29$，$ax+by=181$ 无自然数解。
    2. 第 2 步（用结论）：须 $ab-a-b\ge181$，即 $ab\ge181+29=\underline{210}$。
    3. 第 3 步（和定积最大）：$a+b=29$ 时最大乘积为 $15\times14=\underline{210}$。
    4. 第 4 步（检验）：$210-29=\underline{181}$，恰好等于 181。
    5. 第 5 步：甲种本子 $\underline{15}$ 元。
    最终答案：15 元。
  80. 22. ch08-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：要 $209$ 无解须 $ab\ge209+31=\underline{240}$，而 $a+b=31$ 时最大乘积 $16\times15=\underline{240}$，且 $240-31=\underline{209}$ 恰好无解，故红笔 16 元、蓝笔 15 元。
    2. 第 2 步（第 (2) 问先用结论判断）：$208<ab-a-b=209$，所以不能直接断定，必须实际检验。
    3. 第 3 步（余数分析）：$16x+15y=208$，$16x$ 与 $x$ 除以 15 同余，$208$ 除以 15 余 $\underline{13}$，所以 $x$ 除以 15 余 13。
    4. 第 4 步（取范围内的 $x$）：由 $16x\le208$ 得 $x\le13$，所以 $x=13$，此时 $15y=208-208=\underline{0}$，$y=\underline{0}$。
    5. 第 5 步（结论）：能恰好用完，买 13 支红笔、0 支蓝笔，验算 $16\times13=\underline{208}$ 元。
    最终答案：（1）红笔 16 元；（2）能，买 13 支红笔（不买蓝笔）恰好用完 208 元。
  81. 23. ch08-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 题 $x+3y=14$，先估范围）：由 $x\ge 1$ 得 $3y\le 13$，所以 $y$ 最大只能取 $\underline{4}$。
    2. 第 2 步（逐个枚举）：$y=1$ 时 $x=\underline{11}$；$y=2$ 时 $x=\underline{8}$；$y=3$ 时 $x=\underline{5}$；$y=4$ 时 $x=\underline{2}$。
    3. 第 3 步（第 (2) 题 $3x+4y=27$，用整除性）：$27$ 与 $3x$ 都是 $3$ 的倍数，所以 $4y$ 也要是 $3$ 的倍数，即 $y$ 是 $3$ 的倍数；$y=3$ 时 $x=\underline{5}$，$y=6$ 时 $x=\underline{1}$，$y=9$ 时 $4y=36$ 已超过 $27$，舍去。
    4. 第 4 步（第 (3) 题 $6x+5y=4$，用下界判无解）：$x,\ y$ 取最小的 $1$ 时左边已是 $6+5=\underline{11}$，比 $4$ 大，故无正整数解。
    5. 第 5 步（第 (4) 题 $7x+9y=61$）：$61-9y$ 要能被 $7$ 整除，试到 $y=6$ 时 $61-54=7$，得 $x=\underline{1}$。
    最终答案：（1）$x=11,y=1$ 或 $x=8,y=2$ 或 $x=5,y=3$ 或 $x=2,y=4$；（2）$x=5,y=3$ 或 $x=1,y=6$；（3）无正整数解；（4）$x=1,\ y=6$。
  82. 23. ch08-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：每种至少 1 支，由 $x\ge1$ 得 $3y\le13$，$y$ 最多取 $\underline{4}$ 支。
    2. 第 2 步：$y=1,2,3,4$ 时分别得 $x=\underline{11},\ \underline{8},\ \underline{5},\ \underline{2}$，共 4 种买法。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：$27$ 与 $3x$ 都是 $3$ 的倍数，故 $y$ 是 $3$ 的倍数；$y=3$ 得 $x=\underline{5}$，$y=6$ 得 $x=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（第 (3) 问）：最少也要花 $6+5=\underline{11}$ 元，超过 $4$ 元，买不成。
    5. 第 5 步（第 (4) 问）：$61-9y$ 被 $7$ 整除，$y=6$ 时 $x=\underline{1}$。
    最终答案：（1）4 种（$x=11,8,5,2$ 对应 $y=1,2,3,4$）；（2）2 种（$x=5,y=3$ 或 $x=1,y=6$）；（3）0 种；（4）1 种（$x=1,y=6$）。
  83. 23. ch08-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（先定一个未知数的范围）：由 $x\ge1$ 得 $7y\le 61-4=\underline{57}$，所以 $y\le 8$。
    2. 第 2 步（用整除性缩小范围）：$4x=61-7y$ 必须是 $4$ 的倍数。$61$ 除以 $4$ 余 $1$，$7y$ 除以 $4$ 与 $3y$ 同余，所以要求 $3y$ 除以 $4$ 余 $\underline{1}$，得 $y$ 除以 $4$ 余 $3$。
    3. 第 3 步（枚举合格的 $y$）：$1\le y\le8$ 中除以 $4$ 余 $3$ 的是 $y=3$ 和 $y=7$；$y=3$ 时 $x=\underline{10}$，$y=7$ 时 $x=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（写出全部解）：共 $\underline{2}$ 组正整数解。
    最终答案：$x=10,\ y=3$ 或 $x=3,\ y=7$。
  84. 23. ch08-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（利用整除性）：$100$ 与 $5x$ 都是 $5$ 的倍数，所以 $8y$ 也要是 $5$ 的倍数，从而 $y$ 是 $\underline{5}$ 的倍数。
    2. 第 2 步（定范围）：由 $8y\le100$ 得 $y\le 12$，所以 $y$ 只能取 $0,\ 5,\ 10$。
    3. 第 3 步（逐个求 $x$）：$y=0$ 时 $x=\underline{20}$；$y=5$ 时 $x=\underline{12}$；$y=10$ 时 $x=\underline{4}$。
    4. 第 4 步（比较 $x+y$）：三组分别是 $20+0=\underline{20}$、$12+5=\underline{17}$、$4+10=\underline{14}$，最大值是 $\underline{20}$。
    最终答案：自然数解为 $x=20,y=0$；$x=12,y=5$；$x=4,y=10$。$x+y$ 的最大值是 $20$。
  85. 24. ch08-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程）：设小高有 $9$ 分邮票 $x$ 张、墨莫有 $17$ 分邮票 $y$ 张，则 $9x+17y=157$。由 $x\ge1$ 得 $17y\le 157-9=\underline{148}$，所以 $y\le 8$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$9x=157-17y$ 要是 $9$ 的倍数。$157$ 除以 $9$ 余 $\underline{-132}$，$17y$ 除以 $9$ 与 $8y$ 同余，所以要求 $8y$ 除以 $9$ 余 $4$。
    3. 第 3 步（找出合格的 $y$）：$1\le y\le 8$ 中试出 $y=5$（$8\times5=40$，$40\div9$ 余 $\underline{4}$）符合。
    4. 第 4 步（回代）：$9x=157-17\times5=\underline{72}$，所以 $x=\underline{8}$。
    最终答案：8 张。
  86. 24. ch08-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程）：设小高做 $x$ 个、墨莫做 $y$ 个，则 $9x+17y=157$（厘米）。由 $x\ge1$ 得 $17y\le157-9=\underline{148}$，$y\le8$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$157$ 除以 $9$ 余 $\underline{-132}$，而 $17y$ 除以 $9$ 与 $8y$ 同余，所以要 $8y$ 除以 $9$ 余 $4$。
    3. 第 3 步：试得 $y=5$（$40\div9$ 余 $\underline{4}$）。
    4. 第 4 步（回代）：$9x=157-85=\underline{72}$，$x=\underline{8}$（个）。
    最终答案：8 个。
  87. 24. ch08-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：设钢笔 $x$ 支、水笔 $y$ 支，则 $11x+13y=207$，由 $x\ge1$ 得 $13y\le 207-11=\underline{196}$，$y\le 15$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$11x=207-13y$ 要是 $11$ 的倍数。$207$ 除以 $11$ 余 $\underline{9}$，$13y$ 除以 $11$ 与 $2y$ 同余，故要 $2y$ 除以 $11$ 余 $9$。
    3. 第 3 步（试出 $y$）：$y=10$ 时 $2y=20$，$20\div11$ 余 $\underline{9}$，符合。
    4. 第 4 步（回代）：$11x=207-130=\underline{77}$，$x=\underline{7}$。
    最终答案：钢笔 7 支（水笔 10 支）。
  88. 24. ch08-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程与余数分析）：$8x+15y=207$。$207$ 除以 $8$ 余 $\underline{7}$，$15y$ 与 $7y$ 除以 $8$ 同余，所以要 $7y$ 除以 $8$ 余 $7$，得 $y$ 除以 $8$ 余 $1$。
    2. 第 2 步（找出全部解）：$y$ 可取 $1,\ 9$（$y=17$ 时 $15\times17=255$ 已超过 $207$）。$y=1$ 时 $x=\underline{24}$；$y=9$ 时 $x=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（用附加条件筛选）：两组的总张数分别是 $24+1=\underline{25}$、$9+9=\underline{18}$，其中是 $6$ 的倍数的只有 $\underline{18}$。
    4. 第 4 步（定答案）：所以 $x=\underline{9}$。
    最终答案：9 张。
  89. 25. ch08-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程）：设大桶 $x$ 个、小桶 $y$ 个，$9x+7y=94$。由 $y\ge1$ 得 $9x\le 94-7=\underline{87}$，所以 $x\le 9$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$7y=94-9x$ 要是 $7$ 的倍数。$94$ 除以 $7$ 余 $\underline{3}$，$9x$ 除以 $7$ 与 $2x$ 同余，所以要 $2x$ 除以 $7$ 余 $3$。
    3. 第 3 步（试出 $x$）：$1\le x\le 9$ 中 $x=5$ 时 $2x=10$，$10\div7$ 余 $\underline{3}$，符合。
    4. 第 4 步（回代）：$7y=94-9\times5=\underline{49}$，$y=\underline{7}$。
    最终答案：大油桶 5 个，小油桶 7 个。
  90. 25. ch08-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程）：设大桶 $x$ 个、小桶 $y$ 个，$9x+7y=94$。由 $y\ge1$ 得 $9x\le\underline{87}$，$x\le9$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$94$ 除以 $7$ 余 $\underline{3}$，$9x$ 与 $2x$ 除以 $7$ 同余，故要 $2x$ 除以 $7$ 余 $3$。
    3. 第 3 步：$x=5$ 时 $10\div7$ 余 $\underline{3}$，符合。
    4. 第 4 步（回代）：$7y=94-45=\underline{49}$，$y=\underline{7}$（个）。
    最终答案：大桶 5 个，小桶 7 个。
  91. 25. ch08-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程与范围）：设大箱 $x$ 个、小箱 $y$ 个，$12x+7y=101$；由 $y\ge1$ 得 $12x\le 101-7=\underline{94}$，$x\le 7$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$101$ 除以 $7$ 余 $\underline{3}$，$12x$ 与 $5x$ 除以 $7$ 同余，所以要 $5x$ 除以 $7$ 余 $3$。
    3. 第 3 步（试出 $x$）：$x=2$ 时 $5x=10$，$10\div 7$ 余 $\underline{3}$，符合。
    4. 第 4 步（回代）：$7y=101-24=\underline{77}$，$y=\underline{11}$。
    最终答案：大箱 2 个，小箱 11 个。
  92. 25. ch08-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程与余数分析）：$8x+5y=93$。$5y$ 的末位是 $0$ 或 $5$，所以 $8x$ 的末位是 $3$ 或 $8$；$8x$ 是偶数，末位只能是 $\underline{8}$。
    2. 第 2 步（找出全部解）：末位为 $8$ 的 $8x$ 有 $8,\ 48,\ 88$，对应 $x=1,\ 6,\ 11$；相应地 $y=\underline{17}$、$y=\underline{9}$、$y=\underline{1}$。
    3. 第 3 步（比较总桶数）：三组分别是 $1+17=\underline{18}$、$6+9=\underline{15}$、$11+1=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（取最少）：桶数最少是 $\underline{12}$ 个（大桶 11 个、小桶 1 个）。
    最终答案：最少 12 个（大桶 11 个、小桶 1 个）。
  93. 26. ch08-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程与范围）：设大盒 $x$ 个、小盒 $y$ 个，$13x+9y=201$；由 $y\ge1$ 得 $13x\le 201-9=\underline{192}$，所以 $x\le 14$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$9y=201-13x$ 要是 $9$ 的倍数。$201$ 除以 $9$ 余 $\underline{3}$，$13x$ 与 $4x$ 除以 $9$ 同余，所以要 $4x$ 除以 $9$ 余 $3$，得 $x$ 除以 $9$ 余 $3$。
    3. 第 3 步（取遍范围内的 $x$）：$1\le x\le 14$ 中除以 $9$ 余 $3$ 的是 $x=3$ 和 $x=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（回代）：$x=3$ 时 $y=\underline{18}$；$x=12$ 时 $y=\underline{5}$。
    最终答案：大盒 3 个、小盒 18 个，或者大盒 12 个、小盒 5 个。
  94. 26. ch08-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程与范围）：设大盒 $x$ 个、小盒 $y$ 个，$13x+9y=201$；由 $y\ge1$ 得 $13x\le\underline{192}$，$x\le14$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$201$ 除以 $9$ 余 $\underline{3}$，$13x$ 与 $4x$ 同余，要 $4x$ 除以 $9$ 余 $3$，得 $x$ 除以 $9$ 余 $3$。
    3. 第 3 步：范围内 $x=3$ 或 $x=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（回代）：$x=3$ 时 $y=\underline{18}$；$x=12$ 时 $y=\underline{5}$。
    最终答案：大礼盒 3 个、小礼盒 18 个，或者大礼盒 12 个、小礼盒 5 个。
  95. 26. ch08-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程与范围）：设 $17$ 支装 $x$ 包、$11$ 支装 $y$ 包，$17x+11y=215$；由 $y\ge1$ 得 $17x\le 215-11=\underline{204}$，$x\le 12$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$215$ 除以 $11$ 余 $\underline{6}$，$17x$ 与 $6x$ 除以 $11$ 同余，所以要 $6x$ 除以 $11$ 余 $6$，得 $x$ 除以 $11$ 余 $1$。
    3. 第 3 步（取遍）：$1\le x\le12$ 中 $x=1$ 或 $x=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（回代）：$x=1$ 时 $y=\underline{18}$；$x=12$ 时 $y=\underline{1}$。
    最终答案：$17$ 支装 1 包、$11$ 支装 18 包，或者 $17$ 支装 12 包、$11$ 支装 1 包。
  96. 26. ch08-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求全部解）：由 $13x+9y=201$ 及余数分析（$201$ 除以 $9$ 余 $\underline{3}$，$13x$ 与 $4x$ 同余）得 $x$ 除以 $9$ 余 $3$，在 $x\le14$ 内 $x=3$ 或 $x=12$。
    2. 第 2 步（回代）：$x=3$ 时 $y=\underline{18}$；$x=12$ 时 $y=\underline{5}$。
    3. 第 3 步（比较总盒数）：两组分别是 $3+18=\underline{21}$、$12+5=\underline{17}$。
    4. 第 4 步（取最少）：盒子最少是 $\underline{17}$ 个。
    最终答案：最少 17 个盒子（大盒 12 个、小盒 5 个）。
  97. 27. ch08-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（合并每次的叫声）：早晨见面一次共叫 $3+1=\underline{4}$ 声，晚上见面一次共叫 $3+4=\underline{7}$ 声，设早晨见 $x$ 次、晚上见 $y$ 次，得 $4x+7y=97$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$4x=97-7y$ 要是 $4$ 的倍数。$97$ 除以 $4$ 余 $\underline{1}$，$7y$ 与 $3y$ 除以 $4$ 同余，所以要 $3y$ 除以 $4$ 余 $1$，得 $y$ 除以 $4$ 余 $3$。
    3. 第 3 步（在 $x\le20,\ y\le20$ 内取遍）：$y=3$ 时 $x=\underline{19}$；$y=7$ 时 $x=\underline{12}$；$y=11$ 时 $x=\underline{5}$；$y=15$ 时 $x$ 会超过 $20$，舍去。
    4. 第 4 步（算猫的叫声 $x+4y$）：三组分别是 $19+12=\underline{31}$、$12+28=\underline{40}$、$5+44=\underline{49}$。
    5. 第 5 步（取最少）：波斯猫至少叫 $\underline{31}$ 声。
    最终答案：31 声。
  98. 27. ch08-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（合并每次的次数）：早班一次共 $3+1=\underline{4}$ 次，晚班一次共 $3+4=\underline{7}$ 次，设早班 $x$ 次、晚班 $y$ 次，$4x+7y=97$。
    2. 第 2 步（余数分析）：$97$ 除以 $4$ 余 $\underline{1}$，$7y$ 与 $3y$ 同余，得 $y$ 除以 $4$ 余 $3$。
    3. 第 3 步（范围内取遍，$x\le20,\ y\le20$）：$y=3,7,11$ 分别得 $x=\underline{19},\ \underline{12},\ \underline{5}$。
    4. 第 4 步（算居民回应 $x+4y$）：$19+12=\underline{31}$、$12+28=\underline{40}$、$5+44=\underline{49}$。
    5. 第 5 步：最少 $\underline{31}$ 声。
    最终答案：31 声。
  99. 27. ch08-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（合并系数）：早晨一次共 $2+1=\underline{3}$ 声，晚上一次共 $2+3=\underline{5}$ 声，得 $3x+5y=61$。
    2. 第 2 步（取遍全部解，$x\le15,\ y\le15$）：$y=5$ 时 $x=\underline{12}$；$y=8$ 时 $x=\underline{7}$；$y=11$ 时 $x=\underline{2}$。
    3. 第 3 步（算猫的叫声 $x+3y$）：$12+15=\underline{27}$、$7+24=\underline{31}$、$2+33=\underline{35}$。
    4. 第 4 步（这次取最大）：晚上一次猫多叫 $3-1=\underline{2}$ 声，所以晚上越多猫叫得越多，最多 $\underline{35}$ 声。
    最终答案：35 声。
  100. 27. ch08-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（合并系数）：早晨一次共 $2+3=\underline{5}$ 声，晚上一次共 $2+5=\underline{7}$ 声，设早晨 $x$ 次、晚上 $y$ 次，得 $5x+7y=98$。
    2. 第 2 步（用整除性化简）：$98$ 与 $7y$ 都是 $7$ 的倍数，所以 $5x$ 也是 $7$ 的倍数，$x$ 是 $\underline{7}$ 的倍数。
    3. 第 3 步（在 $x\le20,\ y\le20$ 内取遍）：$x=7$ 时 $y=\underline{9}$；$x=14$ 时 $y=\underline{4}$；$x=0$ 时 $y=14$ 也合法。
    4. 第 4 步（算猫的叫声 $3x+5y$）：$x=0,y=14$ 时 $0+70=\underline{70}$；$x=7,y=9$ 时 $21+45=\underline{66}$；$x=14,y=4$ 时 $42+20=\underline{62}$。
    5. 第 5 步（取两端）：最少 $\underline{62}$ 声，最多 $\underline{70}$ 声。
    最终答案：至少 62 声，至多 70 声。
  101. 28. ch08-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（把孩子人数代进去）：孩子有 $\frac13(x+y)$ 个，每人种 6 棵，所以总数为 $13x+10y+6\times\frac13(x+y)$，合并同类项得 $\underline{15}x+12y=252$。
    2. 第 2 步（化简系数）：三个系数都能被 3 整除，两边同除 $3$ 得 $5x+4y=\underline{84}$。
    3. 第 3 步（求全部正整数解）：$4y=84-5x$ 要被 4 整除，所以 $x$ 是 4 的倍数；$x=4$ 时 $y=\underline{16}$，$x=8$ 时 $y=\underline{11}$，$x=12$ 时 $y=\underline{6}$，$x=16$ 时 $y=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（用孩子人数是整数筛选）：四组的 $x+y$ 分别是 $\underline{20},\ \underline{19},\ \underline{18},\ \underline{17}$，其中是 3 的倍数的只有 $18$。
    5. 第 5 步（定答案）：男职工有 $\underline{12}$ 名。
    最终答案：12 名。
  102. 28. ch08-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（代入孩子人数）：$13x+10y+6\times\frac13(x+y)$ 合并后为 $\underline{15}x+12y=252$。
    2. 第 2 步（化简）：两边同除 $3$，得 $5x+4y=\underline{84}$。
    3. 第 3 步（求全部正整数解）：$x$ 必是 4 的倍数，$x=4,8,12,16$ 时 $y=\underline{16},\ \underline{11},\ \underline{6},\ \underline{1}$。
    4. 第 4 步（筛选）：$x+y$ 依次为 $\underline{20},\ \underline{19},\ \underline{18},\ \underline{17}$，只有 $18$ 是 3 的倍数。
    5. 第 5 步：男职工 $\underline{12}$ 名。
    最终答案：12 名。
  103. 28. ch08-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（代入孩子人数）：孩子有 $\frac14(x+y)$ 个，总数为 $12x+9y+8\times\frac14(x+y)$，合并后为 $\underline{14}x+11y=344$。
    2. 第 2 步（求全部正整数解）：$11y=344-14x$ 要被 11 整除，$344$ 除以 $11$ 余 $\underline{3}$，$14x$ 与 $3x$ 除以 11 同余，故 $3x$ 除以 11 余 3，得 $x$ 除以 11 余 1，在 $14x\le 333$ 内 $x=1,\ 12,\ 23$。
    3. 第 3 步（回代）：$x=1$ 时 $y=\underline{30}$；$x=12$ 时 $y=\underline{16}$；$x=23$ 时 $y=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（用孩子人数是整数筛选）：$x+y$ 依次为 $\underline{31},\ \underline{28},\ \underline{25}$，被 4 整除的只有 $28$。
    5. 第 5 步：男职工 $\underline{12}$ 名。
    最终答案：12 名。
  104. 28. ch08-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（列式化简）：$13x+10y+6\times\frac13(x+y)=252$ 合并得 $15x+12y=252$，两边同除 3 得 $5x+4y=\underline{84}$。
    2. 第 2 步（求全部正整数解）：$x$ 是 4 的倍数，$x=4,8,12,16$ 对应 $y=\underline{16},\ \underline{11},\ \underline{6},\ \underline{1}$。
    3. 第 3 步（筛选）：$x+y$ 依次为 $20,\ 19,\ 18,\ 17$，被 3 整除的只有 $\underline{18}$，故男职工 12 名、女职工 6 名。
    4. 第 4 步（算孩子人数）：孩子有 $18\div 3=\underline{6}$ 个。
    5. 第 5 步（算总人数）：$12+6+6=\underline{24}$ 人。
    6. 第 6 步（验算）：$13\times12+10\times6+6\times6=\underline{252}$ 棵，与题目一致。
    最终答案：男职工 12 名、女职工 6 名、孩子 6 个，一共 24 人。
  105. 29. ch08-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程组）：设老师 $x$ 名、男生 $y$ 名、女生 $z$ 名，则 $14x+9y+5z=140$ 与 $x+y+z=18$。
    2. 第 2 步（消元）：把人数方程乘 $5$ 得 $5x+5y+5z=\underline{90}$，用第一式减去它，消去 $z$ 得 $9x+4y=\underline{50}$。
    3. 第 3 步（缩范围）：由 $y\ge1$ 得 $9x\le 50-4=\underline{46}$，所以 $x\le 5$。
    4. 第 4 步（整除性枚举）：$4y=50-9x$ 要被 4 整除，$50$ 除以 4 余 2，$9x$ 与 $x$ 除以 4 同余，故 $x$ 除以 4 余 2，得 $x=2$，此时 $y=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（回代）：$z=18-2-8=\underline{8}$。
    最终答案：老师 2 名，男生 8 名，女生 8 名。
  106. 29. ch08-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程组）：$14x+9y+5z=140$，$x+y+z=18$。
    2. 第 2 步（消元）：人数方程乘 5 得 $5x+5y+5z=\underline{90}$，两式相减消去 $z$，得 $9x+4y=\underline{50}$。
    3. 第 3 步（缩范围）：$9x\le 50-4=\underline{46}$，$x\le5$。
    4. 第 4 步（枚举）：$x$ 除以 4 余 2，得 $x=2$，$y=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（回代）：$z=\underline{8}$。
    最终答案：老师 2 人，男生 8 人，女生 8 人。
  107. 29. ch08-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程组）：$13x+9y+6z=120$，$x+y+z=15$。
    2. 第 2 步（消元）：人数方程乘 6 得 $6x+6y+6z=\underline{90}$，相减消去 $z$ 得 $7x+3y=\underline{30}$。
    3. 第 3 步（枚举）：$3y=30-7x$ 要被 3 整除，故 $x$ 是 3 的倍数；又 $7x\le 30-3=27$，所以 $x=3$，$y=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（回代）：$z=15-3-3=\underline{9}$。
    最终答案：老师 3 人，男生 3 人，女生 9 人。
  108. 29. ch08-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（消元）：由 $15x+9y+6z=150$ 与 $x+y+z=17$，人数方程乘 6 得 $6x+6y+6z=\underline{102}$，相减得 $9x+3y=\underline{48}$，两边同除 3 得 $3x+y=16$。
    2. 第 2 步（把 $z$ 用 $x$ 表示）：$y=16-3x$，代入人数方程得 $z=17-x-(16-3x)=\underline{2}x+1$。
    3. 第 3 步（定 $x$ 的范围）：由 $y\ge1$ 得 $3x\le 16-1=\underline{15}$，所以 $x\le 5$。
    4. 第 4 步（要 $z$ 最大就要 $x$ 最大）：取 $x=5$，则 $y=16-15=\underline{1}$，$z=2\times5+1=\underline{11}$。
    5. 第 5 步（验算）：$15\times5+9\times1+6\times11=\underline{150}$，人数 $5+1+11=\underline{17}$，都符合。
    最终答案：女生最多 11 人，此时老师 5 人、男生 1 人。
  109. 30. ch08-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（列方程组）：面值以角为单位，$2x+4y+5z=108$；售价 $5x+8y+9z=201$。
    2. 第 2 步（消元）：第一式乘 2 得 $4x+8y+10z=\underline{216}$，减去第二式，消掉 $y$，得 $z-x=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（代回化二元）：把 $z=x+15$ 代入第一式：$2x+4y+5x+75=108$，整理得 $7x+4y=\underline{33}$。
    4. 第 4 步（枚举）：$7x\le 33-4=29$，$x\le4$；$33-7x$ 要被 4 整除，只有 $x=3$，此时 $y=\underline{3}$。
    5. 第 5 步（回代）：$z=3+15=\underline{18}$。
    最终答案：20 分的 3 张，40 分的 3 张，50 分的 18 张。
  110. 30. ch08-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（列方程组）：用线以 10 厘米为单位，$2x+4y+5z=108$；花钱 $5x+8y+9z=201$。
    2. 第 2 步（消元）：第一式乘 2 得 $4x+8y+10z=\underline{216}$，减第二式得 $z-x=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（代回）：$z=x+15$ 代入第一式，得 $7x+4y=\underline{33}$。
    4. 第 4 步（枚举）：只有 $x=3$ 合适，$y=\underline{3}$。
    5. 第 5 步（回代）：$z=\underline{18}$。
    最终答案：三种配件分别买了 3 个、3 个、18 个。
  111. 30. ch08-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程组）：$2x+4y+5z=123$，$5x+8y+9z=228$。
    2. 第 2 步（消元）：第一式乘 2 得 $\underline{246}$，减第二式得 $z-x=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（代回）：$z=x+18$ 代入第一式得 $7x+4y=123-90=\underline{33}$。
    4. 第 4 步（枚举）：$x\le4$ 且 $33-7x$ 被 4 整除，得 $x=3$，$y=\underline{3}$，$z=\underline{21}$。
    5. 第 5 步（求总张数）：$3+3+21=\underline{27}$ 张。
    最终答案：一共 27 张（20 分 3 张、40 分 3 张、50 分 21 张）。
  112. 30. ch08-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程组）：$2x+4y+5z=111$，$5x+8y+9z=212$。
    2. 第 2 步（消元）：第一式乘 2 减第二式，得 $z-x=\underline{10}$。
    3. 第 3 步（代回化二元）：$z=x+10$ 代入第一式得 $7x+4y=111-50=\underline{61}$。
    4. 第 4 步（求全部解）：$61-7x$ 要被 4 整除，$x$ 除以 4 余 3；在 $7x\le57$ 内 $x=3$ 或 $x=7$，对应 $y=\underline{10}$、$y=\underline{3}$。
    5. 第 5 步（用附加条件筛选）：要求 $y<x$，$(3,10)$ 中 $10>3$ 不合，$(7,3)$ 中 $3<7$ 合适，所以 $x=7,\ y=3$，$z=7+10=\underline{17}$。
    最终答案：20 分 7 张，40 分 3 张，50 分 17 张。
  113. 31. ch08-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（统一单位并化简）：共 $1$ 元 $6$ 角 $6$ 分 $=\underline{166}$ 分，方程为 $10x+12y+24z=166$，三项都是偶数，两边同除 2 得 $5x+6y+12z=\underline{83}$。
    2. 第 2 步（贪心方向）：要封数最少，就让最贵的挂号信尽量多。由 $12z\le 83$ 得 $z$ 最大取 $\underline{6}$。
    3. 第 3 步（从大到小试）：$z=6$ 时 $5x+6y=83-72=\underline{11}$，试 $y=1$ 得 $5x=5$，$x=\underline{1}$，有解。
    4. 第 4 步（求总封数）：$1+1+6=\underline{8}$ 封。
    最终答案：8 封。
  114. 31. ch08-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（统一单位并化简）：共 $\underline{166}$ 分；$10x+12y+24z=166$，同除 2 得 $5x+6y+12z=\underline{83}$。
    2. 第 2 步（贪心方向）：要张数最少，就让最贵的 2 角 4 分贴纸尽量多，$z$ 最大取 $\underline{6}$。
    3. 第 3 步（试最大值）：$z=6$ 时 $5x+6y=\underline{11}$，取 $y=1$ 得 $x=\underline{1}$。
    4. 第 4 步（求总数）：$1+1+6=\underline{8}$ 张。
    最终答案：8 张。
  115. 31. ch08-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（化简）：$8x+10y+20z=166$，两边同除 2 得 $4x+5y+10z=\underline{83}$。
    2. 第 2 步（贪心方向）：让最贵的挂号信尽量多，由 $10z\le83$ 得 $z$ 最大取 $\underline{8}$。
    3. 第 3 步（从大到小试）：$z=8$ 时 $4x+5y=83-80=\underline{3}$，无自然数解；$z=7$ 时 $4x+5y=83-70=\underline{13}$，取 $y=1$ 得 $4x=8$，$x=\underline{2}$。
    4. 第 4 步（求总封数）：$2+1+7=\underline{10}$ 封。
    最终答案：10 封。
  116. 31. ch08-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（化简）：$8x+10y+20z=166$，同除 2 得 $4x+5y+10z=\underline{83}$。
    2. 第 2 步（求最少：让最贵的尽量多）：$z=8$ 时剩 $\underline{3}$ 分凑不出；$z=7$ 时剩 $13$，取 $y=1,\ x=\underline{2}$，总数 $2+1+7=\underline{10}$。
    3. 第 3 步（求最多：反过来让最便宜的尽量多）：应让 $z=0$ 且 $y$ 尽量小。$4x+5y=83$ 中 $83$ 除以 4 余 3，$5y$ 与 $y$ 除以 4 同余，所以 $y$ 除以 4 余 $\underline{3}$。
    4. 第 4 步（取最小的 $y$）：$y=3$ 时 $4x=83-15=\underline{68}$，$x=\underline{17}$，总数 $17+3+0=\underline{20}$。
    5. 第 5 步（答）：最少 $10$ 封，最多 $\underline{20}$ 封。
    最终答案：最少 10 封，最多 20 封。
  117. 32. ch08-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（求实际付款）：$150-16=\underline{134}$（元），设鱼肉 $x$ 个、鸡肉 $y$ 个、牛肉 $z$ 个，得 $9x+11y+18z=134$。
    2. 第 2 步（抓公因数）：$9$ 与 $18$ 都是 $\underline{9}$ 的倍数，所以 $9x+18z$ 是它的倍数，于是 $11y$ 与 $134$ 除以 9 的余数相同。
    3. 第 3 步（余数分析）：$134$ 除以 9 余 $\underline{8}$，$11y$ 与 $2y$ 除以 9 同余，所以 $2y$ 除以 9 余 8，得 $y$ 除以 9 余 4。
    4. 第 4 步（定范围）：由 $11y\le134$ 得 $y\le 12$，所以 $y=\underline{4}$。
    5. 第 5 步（验证有解）：$9x+18z=134-44=\underline{90}$，即 $x+2z=10$，取 $x=0,\ z=5$ 即可。
    最终答案：4 个。
  118. 32. ch08-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（实际花费）：$150-16=\underline{134}$（元），$9x+11y+18z=134$。
    2. 第 2 步（抓公因数）：$9$ 与 $18$ 都是 $\underline{9}$ 的倍数，故 $11y$ 与 $134$ 除以 9 同余。
    3. 第 3 步（余数分析）：$134$ 除以 9 余 $\underline{8}$，$11y$ 与 $2y$ 同余，得 $y$ 除以 9 余 4。
    4. 第 4 步（范围）：$11y\le134$，$y\le12$，所以 $y=\underline{4}$。
    5. 第 5 步（验证）：$9x+18z=\underline{90}$，即 $x+2z=10$，有解。
    最终答案：4 束。
  119. 32. ch08-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（实际花费）：$150-13=\underline{137}$（元），设三种面包分别买 $x,\ y,\ z$ 个，$8x+13y+24z=137$。
    2. 第 2 步（抓公因数）：$8$ 与 $24$ 都是 $\underline{8}$ 的倍数，所以 $13y$ 与 $137$ 除以 8 的余数相同。
    3. 第 3 步（余数分析）：$137$ 除以 8 余 $\underline{1}$，$13y$ 与 $5y$ 除以 8 同余，所以 $5y$ 除以 8 余 1，得 $y$ 除以 8 余 5。
    4. 第 4 步（范围）：由 $13y\le137$ 得 $y\le10$，所以 $y=\underline{5}$。
    5. 第 5 步（验证）：$8x+24z=137-65=\underline{72}$，即 $x+3z=9$，有解。
    最终答案：5 个。
  120. 32. ch08-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（列方程）：实际花 $150-16=\underline{134}$ 元，$9x+11y+18z=134$。
    2. 第 2 步（先定鸡肉汉堡数）：$9$ 与 $18$ 的公因数 $9$ 使 $11y$ 与 $134$ 除以 9 同余，$134$ 除以 9 余 $\underline{8}$，得 $y$ 除以 9 余 4；由 $11y\le134$ 得 $y=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（化简剩下的部分）：$9x+18z=134-44=\underline{90}$，两边同除 9 得 $x+2z=\underline{10}$。
    4. 第 4 步（求总数最少）：总数为 $x+y+z=(10-2z)+4+z=14-z$，要最少就要 $z$ 最大；由 $x\ge0$ 得 $z\le\underline{5}$。
    5. 第 5 步（取极值）：$z=5$ 时 $x=0$，总数 $14-5=\underline{9}$ 个。
    最终答案：最少 9 个（鸡肉 4 个、牛肉 5 个、鱼肉 0 个）。