六年级第9讲立体几何

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）

1. ch09-chaoyue-01 · 第一套
1. 第 1 步（上面四个的水平重叠）：一条棱长 $30$，两端各伸进 $18$，重叠 $18+18-30=\underline{6}$。
2. 第 2 步（下面四个的水平重叠）：$20+20-30=\underline{10}$。
3. 第 3 步（水平方向要同时满足）：取两者中较小的 $\underline{6}$。
4. 第 4 步（竖直方向的重叠）：上面高 $18$、下面高 $20$，重叠 $18+20-30=\underline{8}$。
5. 第 5 步（公共部分是长方体）：体积 $=6\times 6\times 8=\underline{288}$。
最终答案：公共部分的体积是 $288$。
1. ch09-chaoyue-01 · 第二套
1. 第 1 步：上面四堆在水平方向的重叠 $=18+18-30=\underline{6}$（分米）。
2. 第 2 步：下面四堆在水平方向的重叠 $=20+20-30=\underline{10}$（分米）。
3. 第 3 步：八堆同时占据的部分，水平方向只能取较小的 $\underline{6}$ 分米。
4. 第 4 步：竖直方向的重叠 $=18+20-30=\underline{8}$（分米）。
5. 第 5 步：公共空间的体积 $=6\times 6\times 8=\underline{288}$（立方分米）。
最终答案：公共空间的体积是 $288$ 立方分米。
1. ch09-chaoyue-01 · 第三套
1. 第 1 步：上面四个的水平重叠 $=25+25-40=\underline{10}$。
2. 第 2 步：下面四个的水平重叠 $=24+24-40=\underline{8}$。
3. 第 3 步：水平方向取较小的 $\underline{8}$（这次较小的来自下面四个）。
4. 第 4 步：竖直方向重叠 $=25+24-40=\underline{9}$。
5. 第 5 步：体积 $=8\times 8\times 9=\underline{576}$。
最终答案：公共部分的体积是 $576$。
1. ch09-chaoyue-01 · 第三套
1. 第 1 步：水平重叠分别是 $18+18-30=\underline{6}$ 和 $20+20-30=\underline{10}$，取较小的 $6$。
2. 第 2 步：竖直重叠 $=18+20-30=\underline{8}$，所以公共部分是底面 $6\times 6$、高 $8$ 的长方体，体积 $=6\times 6\times 8=\underline{288}$。
3. 第 3 步（表面积）：$(6\times 6+6\times 8+6\times 8)\times 2=\underline{264}$。
4. 第 4 步（大立方体体积）：$30\times 30\times 30=\underline{27000}$。
5. 第 5 步（占比）：$288\div 27000\times 100=\underline{1.066666667}$，约为 $1.07\%$。
最终答案：（1）体积 $288$；（2）表面积 $264$；（3）约占 $1.07\%$。
3. ch09-chaoyue-03 · 第一套
1. 第 1 步（第 (1) 问）：半径 $=16\div 2=\underline{8}$（厘米），体积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 8\times 8\times 6=\underline{128}\pi$（立方厘米）。
2. 第 2 步（求母线）：$l^2=8\times 8+6\times 6=\underline{100}$，所以母线 $l=10$ 厘米。
3. 第 3 步（表面积 $=$ 底面圆 $+$ 侧面）：$\pi\times 8\times 8+\pi\times 8\times 10=\underline{144}\pi$（平方厘米）。
4. 第 4 步（第 (2) 问的关键转换）：扇形半径变成母线、扇形弧长变成底面周长。$288\degree$ 时弧长 $=2\pi\times 25\times\frac{288}{360}=\underline{40}\pi$，底面半径 $=40\pi\div(2\pi)=\underline{20}$（厘米）。
5. 第 5 步（勾股求高）：$h^2=25\times 25-20\times 20=\underline{225}$，所以 $h=15$ 厘米，体积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 20\times 20\times 15=\underline{2000}\pi$（立方厘米）。
6. 第 6 步（$100.8\degree$ 同法）：弧长 $=2\pi\times 25\times\frac{100.8}{360}=\underline{14}\pi$，底面半径 $=7$ 厘米；$h^2=25\times 25-7\times 7=\underline{576}$，$h=24$ 厘米，体积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 7\times 7\times 24=\underline{392}\pi$（立方厘米）。
最终答案：（1）体积 $128\pi$ 立方厘米，表面积 $144\pi$ 平方厘米；（2）$2000\pi$ 立方厘米；$392\pi$ 立方厘米。
3. ch09-chaoyue-03 · 第二套
1. 第 1 步：帐篷底面半径 $=16\div 2=\underline{8}$（米），容积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 8\times 8\times 6=\underline{128}\pi$（立方米）。
2. 第 2 步：篷布的斜边（母线）满足 $l^2=8\times 8+6\times 6=\underline{100}$，$l=10$ 米。
3. 第 3 步：用布 $=\pi\times 8\times 8+\pi\times 8\times 10=\underline{144}\pi$（平方米）。
4. 第 4 步：卷筒时扇形半径成母线、弧长成底面周长。$288\degree$ 时弧长 $=2\pi\times 25\times\frac{288}{360}=\underline{40}\pi$，底面半径 $=40\pi\div(2\pi)=\underline{20}$（分米）。
5. 第 5 步：$h^2=25\times 25-20\times 20=\underline{225}$，$h=15$ 分米，容积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 20\times 20\times 15=\underline{2000}\pi$（立方分米）。
6. 第 6 步：$100.8\degree$ 时弧长 $=2\pi\times 25\times\frac{100.8}{360}=\underline{14}\pi$，半径 $7$ 分米；$h^2=25\times 25-7\times 7=\underline{576}$，$h=24$ 分米，容积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 7\times 7\times 24=\underline{392}\pi$（立方分米）。
最终答案：（1）空间 $128\pi$ 立方米，用布 $144\pi$ 平方米；（2）$2000\pi$ 立方分米；$392\pi$ 立方分米。
3. ch09-chaoyue-03 · 第三套
1. 第 1 步：底面半径 $=10\div 2=\underline{5}$（厘米），体积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 5\times 5\times 12=\underline{100}\pi$（立方厘米）。
2. 第 2 步：$l^2=5\times 5+12\times 12=\underline{169}$，母线 $l=13$ 厘米，表面积 $=\pi\times 5\times 5+\pi\times 5\times 13=\underline{90}\pi$（平方厘米）。
3. 第 3 步：$216\degree$ 时弧长 $=2\pi\times 10\times\frac{216}{360}=\underline{12}\pi$，底面半径 $=12\pi\div(2\pi)=\underline{6}$（厘米）。
4. 第 4 步：$h^2=10\times 10-6\times 6=\underline{64}$，$h=8$ 厘米，体积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 6\times 6\times 8=\underline{96}\pi$（立方厘米）。
5. 第 5 步：$288\degree$ 时弧长 $=2\pi\times 10\times\frac{288}{360}=\underline{16}\pi$，底面半径 $8$ 厘米；$h^2=10\times 10-8\times 8=\underline{36}$，$h=6$ 厘米，体积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 8\times 8\times 6=\underline{128}\pi$（立方厘米）。
最终答案：（1）体积 $100\pi$ 立方厘米，表面积 $90\pi$ 平方厘米；（2）$96\pi$ 立方厘米；$128\pi$ 立方厘米。
3. ch09-chaoyue-03 · 第三套
1. 第 1 步：底面半径 $=16\div 2=\underline{8}$（厘米），体积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 8\times 8\times 6=\underline{128}\pi$（立方厘米）。
2. 第 2 步：$l^2=8\times 8+6\times 6=\underline{100}$，母线 $l=10$ 厘米。
3. 第 3 步：表面积 $=\pi\times 8\times 8+\pi\times 8\times 10=\underline{144}\pi$（平方厘米）。
4. 第 4 步（反向使用「弧长 $=$ 底面周长」）：展开后扇形半径就是母线 $10$，弧长就是底面周长 $2\pi\times 8=\underline{16}\pi$（厘米）。
5. 第 5 步（求圆心角）：整圆周长是 $2\pi\times 10=20\pi$，所以圆心角 $=16\pi\div 20\pi\times 360=\underline{288}$ 度。
最终答案：（1）$128\pi$ 立方厘米；（2）$144\pi$ 平方厘米；（3）圆心角为 $288\degree$。
4. ch09-chaoyue-04 · 第一套
1. 第 1 步（由底面积求对角线）：正方形面积等于对角线平方的一半，所以对角线的平方 $=50\times 2=\underline{100}$，对角线 $=10$ 厘米。
2. 第 2 步（中心到顶点）：$10\div 2=\underline{5}$（厘米）。
3. 第 3 步（勾股求高）：侧棱 $13$、$OB=5$，高的平方 $=13\times 13-5\times 5=\underline{144}$，所以高 $=12$ 厘米。
4. 第 4 步（四棱锥体积 $=\frac{1}{3}Sh$）：$\frac{1}{3}\times 50\times 12=\underline{200}$（立方厘米）。
5. 第 5 步（三棱柱底面积）：$\frac{1}{2}\times 6\times 8=\underline{24}$（平方厘米）。
6. 第 6 步（棱柱体积 $=Sh$，没有 $\frac{1}{3}$）：$24\times 15=\underline{360}$（立方厘米）。
最终答案：四棱锥的体积是 $200$ 立方厘米；三棱柱的体积是 $360$ 立方厘米。
4. ch09-chaoyue-04 · 第二套
1. 第 1 步：底面正方形面积是对角线平方的一半，对角线的平方 $=50\times 2=\underline{100}$，对角线 $10$ 厘米。
2. 第 2 步：底面中心到一个顶点 $=10\div 2=\underline{5}$（厘米）。
3. 第 3 步：金字塔的高的平方 $=13\times 13-5\times 5=\underline{144}$，高 $=12$ 厘米。
4. 第 4 步：金字塔容积 $=\frac{1}{3}\times 50\times 12=\underline{200}$（立方厘米）。
5. 第 5 步：小屋顶的底面积 $=\frac{1}{2}\times 6\times 8=\underline{24}$（平方厘米）。
6. 第 6 步：小屋顶容积 $=24\times 15=\underline{360}$（立方厘米）。
最终答案：金字塔 $200$ 立方厘米；小屋顶 $360$ 立方厘米。
4. ch09-chaoyue-04 · 第三套
1. 第 1 步：对角线的平方 $=32\times 2=\underline{64}$，对角线 $=8$ 厘米。
2. 第 2 步：底面中心到顶点 $=8\div 2=\underline{4}$（厘米）。
3. 第 3 步：高的平方 $=5\times 5-4\times 4=\underline{9}$，高 $=3$ 厘米。
4. 第 4 步：四棱锥体积 $=\frac{1}{3}\times 32\times 3=\underline{32}$（立方厘米）。
5. 第 5 步：三棱柱底面积 $=\frac{1}{2}\times 5\times 12=\underline{30}$（平方厘米），体积 $=30\times 10=\underline{300}$（立方厘米）。
最终答案：四棱锥 $32$ 立方厘米；三棱柱 $300$ 立方厘米。
4. ch09-chaoyue-04 · 第三套
1. 第 1 步：对角线的平方 $=50\times 2=\underline{100}$，对角线 $10$ 厘米，中心到顶点 $=\underline{5}$（厘米）。
2. 第 2 步：棱锥的高的平方 $=13\times 13-5\times 5=\underline{144}$，高 $=12$ 厘米，体积 $=\frac{1}{3}\times 50\times 12=\underline{200}$（立方厘米）。
3. 第 3 步：棱柱底面积 $=\frac{1}{2}\times 6\times 8=\underline{24}$（平方厘米），体积 $=24\times 15=\underline{360}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（体积之和）：$200+360=\underline{560}$（立方厘米）。
5. 第 5 步（化最简比）：$200:360$ 同时除以 $40$，得 $\underline{5}:\underline{9}$。
最终答案：（1）四棱锥 $200$、三棱柱 $360$ 立方厘米；（2）合计 $560$ 立方厘米；（3）体积比为 $5:9$。
5. ch09-chaoyue-05 · 第一套
1. 第 1 步（抓不变量）：不管怎么放，空出来（没水）的部分体积不变。正放时空的是「整个圆锥 $+$ 一段圆柱」，倒放时空的是「一段圆柱」。
2. 第 2 步（两者高度之差）：$14-6=\underline{8}$（厘米）。这 $8$ 厘米正是圆锥「折算成同底圆柱后少掉的那部分」，即圆锥高的 $\frac{2}{3}$。
3. 第 3 步（求圆锥高）：$8\div\frac{2}{3}=8\times 3\div 2=\underline{12}$（厘米）。
4. 第 4 步（求半径）：$18\div 2=\underline{9}$（厘米）。
5. 第 5 步（圆锥体积）：$\frac{1}{3}\times\pi\times 9\times 9\times 12=\underline{324}\pi$（立方厘米）。
6. 第 6 步（圆柱体积与合计）：$\pi\times 9\times 9\times 18=\underline{1458}\pi$，容积 $=(324+1458)\times 3.14=\underline{5595.48}$（立方厘米）。
最终答案：容器的容积是 $5595.48$ 立方厘米。
5. ch09-chaoyue-05 · 第二套
1. 第 1 步：正放与倒放时，杯里空着的部分体积是一样的。
2. 第 2 步：两个空高之差 $=14-6=\underline{8}$（厘米），它相当于圆锥高的 $\frac{2}{3}$。
3. 第 3 步：圆锥的高 $=8\times 3\div 2=\underline{12}$（厘米）。
4. 第 4 步：底面半径 $=18\div 2=\underline{9}$（厘米）。
5. 第 5 步：圆锥部分 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 9\times 9\times 12=\underline{324}\pi$（立方厘米）。
6. 第 6 步：圆柱部分 $=\pi\times 9\times 9\times 18=\underline{1458}\pi$，容积 $=(324+1458)\times 3.14=\underline{5595.48}$（立方厘米）。
最终答案：量杯的容积是 $5595.48$ 立方厘米。
5. ch09-chaoyue-05 · 第三套
1. 第 1 步：两次空高之差 $=13-5=\underline{8}$（厘米），它是圆锥高的 $\frac{2}{3}$。
2. 第 2 步：圆锥高 $=8\times 3\div 2=\underline{12}$（厘米）。
3. 第 3 步：半径 $=12\div 2=\underline{6}$（厘米）。
4. 第 4 步：圆锥体积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 6\times 6\times 12=\underline{144}\pi$（立方厘米）。
5. 第 5 步：圆柱体积 $=\pi\times 6\times 6\times 12=\underline{432}\pi$，容积 $=(144+432)\times 3.14=\underline{1808.64}$（立方厘米）。
最终答案：容器的容积是 $1808.64$ 立方厘米。
5. ch09-chaoyue-05 · 第三套
1. 第 1 步：空高之差 $=14-6=\underline{8}$（厘米），圆锥高 $=8\times 3\div 2=\underline{12}$（厘米），半径 $=18\div 2=\underline{9}$（厘米）。
2. 第 2 步（容积）：圆锥 $\frac{1}{3}\times\pi\times 9\times 9\times 12=\underline{324}\pi$，圆柱 $\pi\times 9\times 9\times 18=\underline{1458}\pi$，共 $1782\pi=\underline{5595.48}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（空气体积最好用倒放的情形算，因为那是一段规整的圆柱）：$\pi\times 9\times 9\times 6=\underline{486}\pi$（立方厘米）。
4. 第 4 步（水的体积）：$(1782-486)\times 3.14=\underline{4069.44}$（立方厘米）。
5. 第 5 步（占比，$\pi$ 可直接约掉）：$1296\div 1782\times 100=\underline{72.727272727}$，约为 $72.73\%$。
最终答案：（1）容积 $5595.48$ 立方厘米；（2）水 $4069.44$ 立方厘米；（3）约占 $72.73\%$。
6. ch09-chaoyue-06 · 第一套
1. 第 1 步（木桩让出的体积）：提起的那段原来占着水下的空间，$20\times 20\times 30=\underline{12000}$（立方厘米）。
2. 第 2 步（水面所在的横截面）：水面下有木桩挡着，面积是 $80\times 80-20\times 20=\underline{6000}$（平方厘米）。
3. 第 3 步（水面下降的高度）：水正好落下去填补空缺，$12000\div 6000=\underline{2}$（厘米）。
4. 第 4 步（浸湿的长度）：$30+2=\underline{32}$（厘米）。
5. 第 5 步（浸湿面积，木桩有四个侧面）：$32\times 20\times 4=\underline{2560}$（平方厘米）。
最终答案：浸湿部分的面积是 $2560$ 平方厘米。
6. ch09-chaoyue-06 · 第二套
1. 第 1 步：木杆提起后让出的体积 $=20\times 20\times 30=\underline{12000}$（立方厘米）。
2. 第 2 步：液面处的横截面面积 $=80\times 80-20\times 20=\underline{6000}$（平方厘米）。
3. 第 3 步：液面下降 $=12000\div 6000=\underline{2}$（厘米）。
4. 第 4 步：被染湿的长度 $=30+2=\underline{32}$（厘米）。
5. 第 5 步：染湿面积 $=32\times 20\times 4=\underline{2560}$（平方厘米）。
最终答案：被染湿部分的面积是 $2560$ 平方厘米。
6. ch09-chaoyue-06 · 第三套
1. 第 1 步：木桩让出的体积 $=10\times 10\times 24=\underline{2400}$（立方厘米）。
2. 第 2 步：水面处的环形面积 $=50\times 50-10\times 10=\underline{2400}$（平方厘米）。
3. 第 3 步：水面下降 $=2400\div 2400=\underline{1}$（厘米）。
4. 第 4 步：浸湿长度 $=24+1=\underline{25}$（厘米）。
5. 第 5 步：浸湿面积 $=25\times 10\times 4=\underline{1000}$（平方厘米）。
最终答案：浸湿部分面积是 $1000$ 平方厘米。
6. ch09-chaoyue-06 · 第三套
1. 第 1 步：木桩让出的体积 $=20\times 20\times 30=\underline{12000}$（立方厘米）。
2. 第 2 步：水面处的横截面 $=80\times 80-20\times 20=\underline{6000}$（平方厘米），下降 $=12000\div 6000=\underline{2}$（厘米）。
3. 第 3 步：浸湿的长度 $=30+2=\underline{32}$（厘米）。
4. 第 4 步：四个侧面的浸湿面积 $=32\times 20\times 4=\underline{2560}$（平方厘米）。
5. 第 5 步（别忘了下底面也一直泡在水里）：$20\times 20=\underline{400}$（平方厘米）。
6. 第 6 步：总浸湿面积 $=2560+400=\underline{2960}$（平方厘米）。
最终答案：（1）水面下降 $2$ 厘米；（2）浸湿总面积 $2960$ 平方厘米。
8. ch09-chaoyue-08 · 第一套
1. 第 1 步（避开根号，全程用平方）：面对角线的平方 $=8\times 8+8\times 8=\underline{128}$，这就是等边三角形边长的平方。
2. 第 2 步：体对角线的平方 $=128+8\times 8=\underline{192}$，这就是三棱柱高的平方。
3. 第 3 步（等边三角形的高）：底边一半的平方 $=128\div 4=\underline{32}$，高的平方 $=128-32=\underline{96}$。
4. 第 4 步（面积的平方）：$(\frac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高})^2=\frac{1}{4}\times 96\times 128=\underline{3072}$。
5. 第 5 步（体积的平方）：$3072\times 192=\underline{589824}$。
6. 第 6 步（凑完全平方数开出体积）：$768\times 768=\underline{589824}$，所以体积是 $768$。
最终答案：三棱柱的体积为 $768$ 立方厘米。
8. ch09-chaoyue-08 · 第二套
1. 第 1 步：面对角线的平方 $=8\times 8+8\times 8=\underline{128}$（等边三角形边长的平方）。
2. 第 2 步：体对角线的平方 $=128+8\times 8=\underline{192}$（棒长的平方）。
3. 第 3 步：底边一半的平方 $=128\div 4=\underline{32}$，三角形高的平方 $=128-32=\underline{96}$。
4. 第 4 步：底面积的平方 $=\frac{1}{4}\times 96\times 128=\underline{3072}$。
5. 第 5 步：体积的平方 $=3072\times 192=\underline{589824}$。
6. 第 6 步：$768\times 768=\underline{589824}$，所以体积是 $768$ 立方厘米。
最终答案：水晶棒的体积是 $768$ 立方厘米。
8. ch09-chaoyue-08 · 第三套
1. 第 1 步：面对角线的平方 $=10\times 10+10\times 10=\underline{200}$。
2. 第 2 步：体对角线的平方 $=200+10\times 10=\underline{300}$。
3. 第 3 步：底边一半的平方 $=200\div 4=\underline{50}$，三角形高的平方 $=200-50=\underline{150}$。
4. 第 4 步：底面积的平方 $=\frac{1}{4}\times 150\times 200=\underline{7500}$。
5. 第 5 步：体积的平方 $=7500\times 300=\underline{2250000}$，而 $1500\times 1500=\underline{2250000}$，所以体积是 $1500$。
最终答案：三棱柱的体积是 $1500$ 立方厘米。
8. ch09-chaoyue-08 · 第三套
1. 第 1 步：面对角线的平方 $=8\times 8+8\times 8=\underline{128}$，体对角线的平方 $=128+8\times 8=\underline{192}$。
2. 第 2 步：三角形高的平方 $=128-128\div 4=\underline{96}$，底面积的平方 $=\frac{1}{4}\times 96\times 128=\underline{3072}$。
3. 第 3 步：体积的平方 $=3072\times 192=\underline{589824}$，而 $768\times 768=589824$，所以三棱柱体积是 $768$。
4. 第 4 步（正方体体积）：$8\times 8\times 8=\underline{512}$。
5. 第 5 步（化最简比）：$768:512$ 同时除以 $256$，得 $\underline{3}:\underline{2}$。
最终答案：（1）三棱柱体积 $768$；（2）正方体体积 $512$；（3）体积比为 $3:2$。
9. ch09-tuozhan-01 · 第一套
1. 第 1 步（表面积 $\div 6$ 得一个面）：$150\div 6=\underline{25}$，所以第一块棱长是 $5$ 厘米。
2. 第 2 步：$216\div 6=\underline{36}$，第二块棱长是 $6$ 厘米。
3. 第 3 步：$294\div 6=\underline{49}$，第三块棱长是 $7$ 厘米。
4. 第 4 步（分别求体积）：$5\times 5\times 5=\underline{125}$，$6\times 6\times 6=\underline{216}$，$7\times 7\times 7=\underline{343}$（立方厘米）。
5. 第 5 步（熔铸前后体积不变）：$125+216+343=\underline{684}$（立方厘米）。
最终答案：大正方体的体积是 $684$ 立方厘米。
9. ch09-tuozhan-01 · 第二套
1. 第 1 步：$150\div 6=\underline{25}$，第一块棱长 $5$ 厘米。
2. 第 2 步：$216\div 6=\underline{36}$，第二块棱长 $6$ 厘米。
3. 第 3 步：$294\div 6=\underline{49}$，第三块棱长 $7$ 厘米。
4. 第 4 步：三块体积 $5\times 5\times 5=\underline{125}$，$6\times 6\times 6=\underline{216}$，$7\times 7\times 7=\underline{343}$（立方厘米）。
5. 第 5 步：熔化前后体积不变，$125+216+343=\underline{684}$（立方厘米）。
最终答案：大蜡砖的体积是 $684$ 立方厘米。
9. ch09-tuozhan-01 · 第三套
1. 第 1 步：$96\div 6=\underline{16}$，棱长 $4$ 厘米。
2. 第 2 步：$150\div 6=\underline{25}$，棱长 $5$ 厘米。
3. 第 3 步：$216\div 6=\underline{36}$，棱长 $6$ 厘米。
4. 第 4 步：体积分别是 $4\times 4\times 4=\underline{64}$，$5\times 5\times 5=\underline{125}$，$6\times 6\times 6=\underline{216}$（立方厘米）。
5. 第 5 步：$64+125+216=\underline{405}$（立方厘米）。
最终答案：$405$ 立方厘米。
9. ch09-tuozhan-01 · 第三套
1. 第 1 步：$216\div 6=\underline{36}$、$384\div 6=\underline{64}$、$600\div 6=\underline{100}$，三块棱长依次为 $6,8,10$ 厘米。
2. 第 2 步（体积守恒）：$6\times 6\times 6+8\times 8\times 8+10\times 10\times 10=\underline{1728}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（由体积反推棱长）：要找一个数自乘三次得 $1728$，$12\times 12\times 12=\underline{1728}$，所以棱长是 $12$ 厘米。
4. 第 4 步（新表面积）：$12\times 12\times 6=\underline{864}$（平方厘米）。
5. 第 5 步（比较）：原来三块表面积之和 $216+384+600=\underline{1200}$，比新表面积多 $1200-864=\underline{336}$（平方厘米）。
最终答案：（1）体积 $1728$ 立方厘米；（2）棱长 $12$ 厘米、表面积 $864$ 平方厘米；（3）少 $336$ 平方厘米。
10. ch09-tuozhan-02 · 第一套
1. 第 1 步（长增加时多出的是一块薄片）：这块薄片的厚是 $3$，底面是「宽 $\times$ 高」，所以宽 $\times$ 高 $=90\div 3=\underline{30}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（宽增加）：长 $\times$ 高 $=96\div 4=\underline{24}$（平方厘米）。
3. 第 3 步（高增加）：长 $\times$ 宽 $=200\div 5=\underline{40}$（平方厘米）。
4. 第 4 步（三组面各两个）：表面积 $=(30+24+40)\times 2=\underline{188}$（平方厘米）。
最终答案：这个长方体的表面积是 $188$ 平方厘米。
10. ch09-tuozhan-02 · 第二套
1. 第 1 步：加长时多出的水体是厚 $3$ 米的薄片，其底面是「宽 $\times$ 深」，所以宽 $\times$ 深 $=90\div 3=\underline{30}$（平方米）。
2. 第 2 步：加宽时，长 $\times$ 深 $=96\div 4=\underline{24}$（平方米）。
3. 第 3 步：加深时，长 $\times$ 宽 $=200\div 5=\underline{40}$（平方米）。
4. 第 4 步：表面积 $=(30+24+40)\times 2=\underline{188}$（平方米）。
最终答案：这个鱼池的表面积是 $188$ 平方米。
10. ch09-tuozhan-02 · 第三套
1. 第 1 步：宽 $\times$ 高 $=48\div 2=\underline{24}$（平方厘米）。
2. 第 2 步：长 $\times$ 高 $=120\div 3=\underline{40}$（平方厘米）。
3. 第 3 步：长 $\times$ 宽 $=140\div 4=\underline{35}$（平方厘米）。
4. 第 4 步：表面积 $=(24+40+35)\times 2=\underline{198}$（平方厘米）。
最终答案：表面积是 $198$ 平方厘米。
10. ch09-tuozhan-02 · 第三套
1. 第 1 步：宽 $\times$ 高 $=40\div 2=\underline{20}$，长 $\times$ 高 $=135\div 3=\underline{45}$，长 $\times$ 宽 $=144\div 4=\underline{36}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（表面积）：$(20+45+36)\times 2=\underline{202}$（平方厘米）。
3. 第 3 步（求长）：把「长 $\times$ 高」与「长 $\times$ 宽」相乘再除以「宽 $\times$ 高」，得到长的平方 $=45\times 36\div 20=\underline{81}$，所以长 $=9$ 厘米。
4. 第 4 步（求宽、高）：宽 $=36\div 9=\underline{4}$（厘米），高 $=45\div 9=\underline{5}$（厘米）。
5. 第 5 步（体积）：$9\times 4\times 5=\underline{180}$（立方厘米）。
最终答案：（1）表面积 $202$ 平方厘米；（2）长 $9$ 厘米、宽 $4$ 厘米、高 $5$ 厘米；（3）体积 $180$ 立方厘米。
12. ch09-tuozhan-04 · 第一套
1. 第 1 步（只切 $A$ 角）：凹进去的三个新面与被切走的三个面面积相等，六个方向看到的还是 $12\times 12$ 的正方形，表面积 $=12\times 12\times 6=\underline{864}$。
2. 第 2 步（判断有没有重叠）：$5+9=\underline{14}$，比棱长 $12$ 大，说明两个切口在棱上重叠了。
3. 第 3 步（消失的面积）：重叠使左、右两个方向的视图各被啃掉一块**边长等于较小切块棱长 $5$** 的正方形（消失方块边长恒为较小切块的棱长，不是 $5+9-12$），且无任何补偿，$5\times 5\times 2=\underline{50}$。
4. 第 4 步：最终表面积 $=864-50=\underline{814}$。
最终答案：只切 $A$ 角时表面积为 $864$；再切 $B$ 角后为 $814$。
12. ch09-tuozhan-04 · 第二套
1. 第 1 步：切角不改变六个方向的投影，表面积 $=12\times 12\times 6=\underline{864}$（平方分米）。
2. 第 2 步：$5+9=\underline{14}$ 超过棱长 $12$，两切口在棱上重叠。
3. 第 3 步：重叠使左右两个方向各被啃掉一块**边长为较小切块棱长 $5$ 分米**的正方形（不是 $5+9-12$），共少 $5\times 5\times 2=\underline{50}$（平方分米）。
4. 第 4 步：$864-50=\underline{814}$（平方分米）。
最终答案：先为 $864$ 平方分米，后为 $814$ 平方分米。
12. ch09-tuozhan-04 · 第三套
1. 第 1 步：只切角不改变投影，原表面积 $=20\times 20\times 6=\underline{2400}$。
2. 第 2 步：$8+15=\underline{23}$ 大于棱长 $20$，两切口在棱上重叠。
3. 第 3 步：左右两方向各消失一块**边长为较小切块棱长 $8$** 的正方形（不是 $8+15-20$），共消失 $8\times 8\times 2=\underline{128}$。
4. 第 4 步：表面积 $=2400-128=\underline{2272}$。
最终答案：$2272$。
12. ch09-tuozhan-04 · 第三套
1. 第 1 步（表面积）：切角时凹面与被切走的面一一相等，$12\times 12\times 6=\underline{864}$。
2. 第 2 步（原体积）：$12\times 12\times 12=\underline{1728}$。
3. 第 3 步（切掉的体积）：$5\times 5\times 5=\underline{125}$。
4. 第 4 步（剩余体积）：$1728-125=\underline{1603}$。
5. 第 5 步（占比）：$125\div 1728\times 100=\underline{7.233796296}$，约为 $7.23\%$。
最终答案：（1）表面积 $864$；（2）剩余体积 $1603$；（3）切掉的体积约占 $7.23\%$。
13. ch09-tuozhan-05 · 第一套
1. 第 1 步（数刀数）：三个方向分别要切成 $3,3,4$ 份，各需 $2,2,3$ 刀，共 $2+2+3=\underline{7}$（刀）。
2. 第 2 步（数面数）：原来 $6$ 个面，每刀新增 $2$ 个面，共 $6+7\times 2=\underline{20}$（个面）。
3. 第 3 步（一个面的面积）：$320\div 20=\underline{16}$（平方厘米）。
4. 第 4 步（求棱长）：$4\times 4=16$，所以棱长 $=\underline{4}$（厘米）。
5. 第 5 步（求体积）：$4\times 4\times 4=\underline{64}$（立方厘米）。
最终答案：原正方体的体积是 $64$ 立方厘米。
13. ch09-tuozhan-05 · 第二套
1. 第 1 步：三个方向分别切成 $3,3,4$ 份，需 $2+2+3=\underline{7}$（刀）。
2. 第 2 步：每刀多 $2$ 个面，总共 $6+7\times 2=\underline{20}$（个面）。
3. 第 3 步：一个面的面积 $=320\div 20=\underline{16}$（平方厘米）。
4. 第 4 步：棱长 $=16\div 4=\underline{4}$（厘米）。
5. 第 5 步：体积 $=4\times 4\times 4=\underline{64}$（立方厘米）。
最终答案：原来这块年糕的体积是 $64$ 立方厘米。
13. ch09-tuozhan-05 · 第三套
1. 第 1 步：$8=2\times 2\times 2$，三个方向各切 $1$ 刀，共 $1+1+1=\underline{3}$（刀）。
2. 第 2 步：面数 $=6+3\times 2=\underline{12}$（个）。
3. 第 3 步：一个面的面积 $=432\div 12=\underline{36}$（平方厘米）。
4. 第 4 步：$6\times 6=36$，棱长 $=\underline{6}$（厘米）。
5. 第 5 步：体积 $=6\times 6\times 6=\underline{216}$（立方厘米）。
最终答案：原正方体的体积是 $216$ 立方厘米。
13. ch09-tuozhan-05 · 第三套
1. 第 1 步：刀数 $=2+2+3=\underline{7}$（刀），面数 $=6+7\times 2=\underline{20}$（个）。
2. 第 2 步：一个面的面积 $=500\div 20=\underline{25}$（平方厘米），所以棱长 $=\underline{5}$（厘米）。
3. 第 3 步：体积 $=5\times 5\times 5=\underline{125}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（原表面积）：$5\times 5\times 6=\underline{150}$（平方厘米）。
5. 第 5 步（增加量）：$500-150=\underline{350}$（平方厘米）。
6. 第 6 步（增加的百分数）：$350\div 150\times 100=\underline{233.333333333}$，约为 $233.33\%$。
最终答案：（1）棱长 $5$ 厘米、体积 $125$ 立方厘米；（2）原表面积 $150$ 平方厘米；（3）增加约 $233.33\%$。
14. ch09-tuozhan-06 · 第一套
1. 第 1 步（原表面积）：$6\times 6\times 6=\underline{216}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（每洞净增）：洞口没了但洞底补上，净增的是 $4$ 个洞壁，$2\times 2\times 4=\underline{16}$（平方厘米）。
3. 第 3 步（六个洞）：$16\times 6=\underline{96}$，表面积 $=216+96=\underline{312}$（平方厘米）。
4. 第 4 步（打穿后换投影法）：朝上的面有两部分——外表面挖去洞口后剩 $6\times 6-2\times 2=\underline{32}$，另有两条内壁长条各去掉洞口 $(6\times 2-2\times 2)\times 2=\underline{16}$（平方厘米）。
5. 第 5 步：一个方向合计 $32+16=\underline{48}$，六个方向 $48\times 6=\underline{288}$（平方厘米）。
最终答案：玩具的表面积是 $312$ 平方厘米；打穿后是 $288$ 平方厘米。
14. ch09-tuozhan-06 · 第二套
1. 第 1 步：原石料表面积 $=6\times 6\times 6=\underline{216}$（平方分米）。
2. 第 2 步：每凿一个不通的洞净增 $4$ 个洞壁，$2\times 2\times 4=\underline{16}$（平方分米）。
3. 第 3 步：六个洞共增 $16\times 6=\underline{96}$，抛光面积 $=216+96=\underline{312}$（平方分米）。
4. 第 4 步（凿通后用投影法）：朝上方向的外表面剩 $6\times 6-2\times 2=\underline{32}$，内壁两条长条 $(6\times 2-2\times 2)\times 2=\underline{16}$（平方分米）。
5. 第 5 步：一个方向 $32+16=\underline{48}$，六个方向共 $48\times 6=\underline{288}$（平方分米）。
最终答案：抛光面积 $312$ 平方分米；凿通后 $288$ 平方分米。
14. ch09-tuozhan-06 · 第三套
1. 第 1 步：原表面积 $=8\times 8\times 6=\underline{384}$（平方厘米）。
2. 第 2 步：每洞净增 $2\times 2\times 4=\underline{16}$，六个洞共 $16\times 6=\underline{96}$，表面积 $=384+96=\underline{480}$（平方厘米）。
3. 第 3 步（打穿后）：一个方向的外表面剩 $8\times 8-2\times 2=\underline{60}$，内壁两条长条 $(8\times 2-2\times 2)\times 2=\underline{24}$（平方厘米）。
4. 第 4 步：一个方向合计 $60+24=\underline{84}$，六个方向 $84\times 6=\underline{504}$（平方厘米）。
最终答案：挖洞后 $480$ 平方厘米；打穿后 $504$ 平方厘米。
14. ch09-tuozhan-06 · 第三套
1. 第 1 步（表面积用投影法）：一个方向的面积 $=(6\times 6-2\times 2)+(6\times 2-2\times 2)\times 2=\underline{48}$，六个方向共 $48\times 6=\underline{288}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（原体积）：$6\times 6\times 6=\underline{216}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（三条通道各自的体积）：每条是 $2\times 2\times 6$，三条共 $2\times 2\times 6\times 3=\underline{72}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（重复算了的部分）：任意两条通道都在中心的 $2\times 2\times 2$ 小正方体处相交，三对相交共重复 $2\times 2\times 2\times 3=\underline{24}$（立方厘米），而三条共有的那块被减多了一次，要加回 $2\times 2\times 2=\underline{8}$（立方厘米）。
5. 第 5 步（挖去的体积）：$72-24+8=\underline{56}$（立方厘米）。
6. 第 6 步（剩余体积）：$216-56=\underline{160}$（立方厘米）。
最终答案：（1）表面积 $288$ 平方厘米；（2）体积 $160$ 立方厘米。
15. ch09-tuozhan-07 · 第一套
1. 第 1 步（底板）：铺满盒底，$12\times 10=\underline{120}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（左右两块）：它们压在底板上，高只有 $6-1=\underline{5}$（厘米），面积 $10\times 5\times 2=\underline{100}$（平方厘米）。
3. 第 3 步（前后两块）：长要扣掉左右两块板的厚度，$12-1-1=\underline{10}$（厘米），面积 $10\times 5\times 2=\underline{100}$（平方厘米）。
4. 第 4 步（无盖只有 $5$ 块板）：$120+100+100=\underline{320}$（平方厘米）。
5. 第 5 步（容积按内空算）：$(12-2)\times(10-2)\times(6-1)=\underline{400}$（立方厘米）。
最终答案：需木板 $320$ 平方厘米；容积 $400$ 立方厘米。
15. ch09-tuozhan-07 · 第二套
1. 第 1 步（底板）：$12\times 10=\underline{120}$（平方分米）。
2. 第 2 步（左右两块）：高为 $6-1=\underline{5}$（分米），面积 $10\times 5\times 2=\underline{100}$（平方分米）。
3. 第 3 步（前后两块）：长为 $12-1-1=\underline{10}$（分米），面积 $10\times 5\times 2=\underline{100}$（平方分米）。
4. 第 4 步：共用铁板 $120+100+100=\underline{320}$（平方分米）。
5. 第 5 步（容积）：$(12-2)\times(10-2)\times(6-1)=\underline{400}$（立方分米）。
最终答案：需铁板 $320$ 平方分米；能装水 $400$ 立方分米。
15. ch09-tuozhan-07 · 第三套
1. 第 1 步（底板）：$20\times 15=\underline{300}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（左右两块）：高 $8-1=\underline{7}$（厘米），面积 $15\times 7\times 2=\underline{210}$（平方厘米）。
3. 第 3 步（前后两块）：长 $20-1-1=\underline{18}$（厘米），面积 $18\times 7\times 2=\underline{252}$（平方厘米）。
4. 第 4 步：共 $300+210+252=\underline{762}$（平方厘米）。
5. 第 5 步（容积）：$(20-2)\times(15-2)\times(8-1)=\underline{1638}$（立方厘米）。
最终答案：需木板 $762$ 平方厘米；容积 $1638$ 立方厘米。
15. ch09-tuozhan-07 · 第三套
1. 第 1 步（底板）：$12\times 10=\underline{120}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（左右两块）：高 $6-2=\underline{4}$（厘米），面积 $10\times 4\times 2=\underline{80}$（平方厘米）。
3. 第 3 步（前后两块）：长要扣两个板厚 $12-2-2=\underline{8}$（厘米），面积 $8\times 4\times 2=\underline{64}$（平方厘米）。
4. 第 4 步：共 $120+80+64=\underline{264}$（平方厘米）。
5. 第 5 步（容积）：长宽各扣两个板厚、高扣一个板厚，$(12-4)\times(10-4)\times(6-2)=\underline{192}$（立方厘米）。
6. 第 6 步（比较）：$(400-192)\div 400\times 100=\underline{52}$，即减少了 $52\%$。
最终答案：（1）需木板 $264$ 平方厘米；（2）容积 $192$ 立方厘米；（3）容积减少了 $52\%$。
16. ch09-tuozhan-08 · 第一套
1. 第 1 步（底面最大是内切圆）：底面圆的直径就是棱长 $6$，所以半径 $=6\div 2=\underline{3}$。
2. 第 2 步（高）：圆柱可以一直顶到对面，高 $=6$。
3. 第 3 步（求体积）：$3.14\times 3\times 3\times 6=\underline{169.56}$（立方单位）。
最终答案：圆柱的体积是 $169.56$。
16. ch09-tuozhan-08 · 第二套
1. 第 1 步：圆柱底面最大是正方形的内切圆，半径 $=6\div 2=\underline{3}$（分米）。
2. 第 2 步：高就是木料的棱长 $6$ 分米。
3. 第 3 步：体积 $=3.14\times 3\times 3\times 6=\underline{169.56}$（立方分米）。
最终答案：木柱的体积是 $169.56$ 立方分米。
16. ch09-tuozhan-08 · 第三套
1. 第 1 步：底面半径 $=10\div 2=\underline{5}$（厘米），高 $=10$ 厘米。
2. 第 2 步（体积）：$3.14\times 5\times 5\times 10=\underline{785}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（侧面积 $=$ 底面周长 $\times$ 高）：$3.14\times 10\times 10=\underline{314}$（平方厘米）。
最终答案：（1）体积 $785$ 立方厘米；（2）侧面积 $314$ 平方厘米。
16. ch09-tuozhan-08 · 第三套
1. 第 1 步：底面半径 $=6\div 2=\underline{3}$（厘米），高 $=6$ 厘米。
2. 第 2 步（圆柱体积）：$3.14\times 3\times 3\times 6=\underline{169.56}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（木料体积）：$6\times 6\times 6=\underline{216}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（余料）：$216-169.56=\underline{46.44}$（立方厘米）。
5. 第 5 步（占比）：$169.56\div 216\times 100=\underline{78.5}$，约为 $78.50\%$。
最终答案：（1）$169.56$ 立方厘米；（2）余料 $46.44$ 立方厘米；（3）约占 $78.5\%$。
17. ch09-tuozhan-09 · 第一套
1. 第 1 步（直径化半径）：$10\div 2=\underline{5}$（米）。
2. 第 2 步（圆柱体积，先留 $\pi$）：$\pi\times 5\times 5\times 10=\underline{250}\pi$（立方米）。
3. 第 3 步（圆锥体积，别漏 $\frac{1}{3}$）：$\frac{1}{3}\times\pi\times 5\times 5\times 12=\underline{100}\pi$（立方米）。
4. 第 4 步（合并）：$250\pi+100\pi=\underline{350}\pi$（立方米）。
5. 第 5 步（代入 $\pi=3.14$）：$350\times 3.14=\underline{1099}$（立方米）。
最终答案：这个立体图形的体积是 $1099$ 立方米。
17. ch09-tuozhan-09 · 第二套
1. 第 1 步：底面半径 $=10\div 2=\underline{5}$（米）。
2. 第 2 步：圆柱部分 $=\pi\times 5\times 5\times 10=\underline{250}\pi$（立方米）。
3. 第 3 步：圆锥仓顶 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 5\times 5\times 12=\underline{100}\pi$（立方米）。
4. 第 4 步：合计 $250\pi+100\pi=\underline{350}\pi$（立方米）。
5. 第 5 步：$350\times 3.14=\underline{1099}$（立方米）。
最终答案：粮仓的容积是 $1099$ 立方米。
17. ch09-tuozhan-09 · 第三套
1. 第 1 步：半径 $=8\div 2=\underline{4}$（米）。
2. 第 2 步：圆柱 $=\pi\times 4\times 4\times 10=\underline{160}\pi$（立方米）。
3. 第 3 步：圆锥 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 4\times 4\times 9=\underline{48}\pi$（立方米）。
4. 第 4 步：合计 $160\pi+48\pi=\underline{208}\pi$，代入 $\pi=3.14$ 得 $208\times 3.14=\underline{653.12}$（立方米）。
最终答案：组合体的体积是 $653.12$ 立方米。
17. ch09-tuozhan-09 · 第三套
1. 第 1 步：半径 $=12\div 2=\underline{6}$（米）。
2. 第 2 步：圆柱 $=\pi\times 6\times 6\times 12=\underline{432}\pi$（立方米）。
3. 第 3 步：圆锥 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 6\times 6\times 12=\underline{144}\pi$（立方米）。
4. 第 4 步：总体积 $=432\pi+144\pi=\underline{576}\pi=576\times 3.14=\underline{1808.64}$（立方米）。
5. 第 5 步（占比，$\pi$ 可以直接约掉）：$144\div 576\times 100=\underline{25}$，即 $25\%$。
最终答案：（1）体积 $1808.64$ 立方米；（2）圆锥部分占 $25\%$。
18. ch09-tuozhan-10 · 第一套
1. 第 1 步（孔与圆钢同底，底面积只需算一次）：半径 $=8\div 2=\underline{4}$（厘米），底面积 $=3.14\times 4\times 4=\underline{50.24}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（整根圆钢体积）：$50.24\times 30=\underline{1507.2}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（一个锥孔）：$\frac{1}{3}\times 50.24\times 6=\underline{100.48}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（两端各一个孔）：$1507.2-100.48\times 2=\underline{1306.24}$（立方厘米）。
最终答案：这个零件的体积是 $1306.24$ 立方厘米。
18. ch09-tuozhan-10 · 第二套
1. 第 1 步：半径 $=8\div 2=\underline{4}$（厘米），底面积 $=3.14\times 4\times 4=\underline{50.24}$（平方厘米）。
2. 第 2 步：铝棒原体积 $=50.24\times 30=\underline{1507.2}$（立方厘米）。
3. 第 3 步：一个圆锥凹坑 $=\frac{1}{3}\times 50.24\times 6=\underline{100.48}$（立方厘米）。
4. 第 4 步：零件体积 $=1507.2-100.48\times 2=\underline{1306.24}$（立方厘米）。
最终答案：零件的体积是 $1306.24$ 立方厘米。
18. ch09-tuozhan-10 · 第三套
1. 第 1 步：半径 $=10\div 2=\underline{5}$（厘米），底面积 $=3.14\times 5\times 5=\underline{78.5}$（平方厘米）。
2. 第 2 步：圆柱体积 $=78.5\times 25=\underline{1962.5}$（立方厘米）。
3. 第 3 步：一个锥孔 $=\frac{1}{3}\times 78.5\times 6=\underline{157}$（立方厘米）。
4. 第 4 步：零件体积 $=1962.5-157\times 2=\underline{1648.5}$（立方厘米）。
最终答案：零件的体积是 $1648.5$ 立方厘米。
18. ch09-tuozhan-10 · 第三套
1. 第 1 步：底面积 $=3.14\times 4\times 4=\underline{50.24}$（平方厘米），原圆钢体积 $=50.24\times 30=\underline{1507.2}$（立方厘米）。
2. 第 2 步：一个锥孔 $=\frac{1}{3}\times 50.24\times 9=\underline{150.72}$（立方厘米），两个孔共 $150.72\times 2=\underline{301.44}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（零件体积）：$1507.2-301.44=\underline{1205.76}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（占比）：$301.44\div 1507.2\times 100=\underline{20}$，即 $20\%$。
最终答案：（1）零件体积 $1205.76$ 立方厘米；（2）钻掉部分占 $20\%$。
19. ch09-tuozhan-11 · 第一套
1. 第 1 步（底面在上下面，面是 $12\times 10$）：圆最大只能到短边，直径 $=10$，半径 $=\underline{5}$，高就是 $8$，体积 $=3\times 5\times 5\times 8=\underline{600}$（立方厘米）。
2. 第 2 步（底面在左右面，面是 $10\times 8$）：直径 $=8$，半径 $=\underline{4}$，高是长 $12$，体积 $=3\times 4\times 4\times 12=\underline{576}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（底面在前后面，面是 $12\times 8$）：直径 $=8$，半径 $=4$，高是宽 $10$，体积 $=3\times 4\times 4\times 10=\underline{480}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（比较）：三者中最大的是 $\underline{600}$ 立方厘米。
最终答案：最大的圆柱体木块的体积是 $600$ 立方厘米。
19. ch09-tuozhan-11 · 第二套
1. 第 1 步（底面压在上下面 $12\times 10$ 上）：直径最大取短边 $10$，半径 $=\underline{5}$，高 $8$，体积 $=3\times 5\times 5\times 8=\underline{600}$（立方厘米）。
2. 第 2 步（底面压在左右面 $10\times 8$ 上）：直径 $=8$，半径 $=\underline{4}$，高 $12$，体积 $=3\times 4\times 4\times 12=\underline{576}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（底面压在前后面 $12\times 8$ 上）：直径 $=8$，高 $10$，体积 $=3\times 4\times 4\times 10=\underline{480}$（立方厘米）。
4. 第 4 步：三种摆法中最大的是 $\underline{600}$ 立方厘米。
最终答案：糕坯的体积是 $600$ 立方厘米。
19. ch09-tuozhan-11 · 第三套
1. 第 1 步（底面在上下面 $20\times 12$）：直径 $=12$，半径 $=\underline{6}$，高 $10$，体积 $=3\times 6\times 6\times 10=\underline{1080}$（立方厘米）。
2. 第 2 步（底面在左右面 $12\times 10$）：直径 $=10$，半径 $=\underline{5}$，高是长 $20$，体积 $=3\times 5\times 5\times 20=\underline{1500}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（底面在前后面 $20\times 10$）：直径 $=10$，高是宽 $12$，体积 $=3\times 5\times 5\times 12=\underline{900}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（比较）：这次最大的不是第一种，而是第二种，为 $\underline{1500}$ 立方厘米。
最终答案：最大圆柱的体积是 $1500$ 立方厘米。
19. ch09-tuozhan-11 · 第三套
1. 第 1 步（三种摆法）：$3\times 5\times 5\times 8=\underline{600}$、$3\times 4\times 4\times 12=\underline{576}$、$3\times 4\times 4\times 10=\underline{480}$（立方厘米）。
2. 第 2 步（取最大）：最大的圆柱体积是 $\underline{600}$ 立方厘米。
3. 第 3 步（木块体积）：$12\times 10\times 8=\underline{960}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（余料）：$960-600=\underline{360}$（立方厘米）。
5. 第 5 步（利用率）：$600\div 960\times 100=\underline{62.5}$，即 $62.5\%$。
最终答案：（1）圆柱体积 $600$ 立方厘米；（2）余料 $360$ 立方厘米；（3）利用率 $62.5\%$。
20. ch09-tuozhan-12 · 第一套
1. 第 1 步（找规律）：设当周长的边是 $c$、另一条边是高 $h$，则 $2\pi r=c$，$V=\pi r^2h=\frac{c^2h}{4\pi}$，所以只要比较 $c^2h$。
2. 第 2 步（去年两种围法）：长当周长 $4\times 4\times 2=\underline{32}$；宽当周长 $2\times 2\times 4=\underline{16}$，取较大的 $32$。
3. 第 3 步（今年两种围法）：长当周长 $8\times 8\times 5=\underline{320}$；宽当周长 $5\times 5\times 8=\underline{200}$，取较大的 $320$。
4. 第 4 步（求倍数，$\pi$ 约掉）：$320\div 32=\underline{10}$（倍）。
最终答案：今年粮囤的容积是去年的 $10$ 倍。
20. ch09-tuozhan-12 · 第二套
1. 第 1 步：设当周长的边为 $c$、另一边为高 $h$，则 $V=\frac{c^2h}{4\pi}$，比较 $c^2h$ 即可。
2. 第 2 步：前一块布，长当周长 $4\times 4\times 2=\underline{32}$；宽当周长 $2\times 2\times 4=\underline{16}$，取 $32$。
3. 第 3 步：后一块布，长当周长 $8\times 8\times 5=\underline{320}$；宽当周长 $5\times 5\times 8=\underline{200}$，取 $320$。
4. 第 4 步：$320\div 32=\underline{10}$（倍）。
最终答案：后一个围栏的容积是前一个的 $10$ 倍。
20. ch09-tuozhan-12 · 第三套
1. 第 1 步：$V=\frac{c^2h}{4\pi}$，只比较 $c^2h$。
2. 第 2 步：$3\times 1$ 的席子，长当周长 $3\times 3\times 1=\underline{9}$；宽当周长 $1\times 1\times 3=\underline{3}$，取 $9$。
3. 第 3 步：$6\times 3$ 的席子，长当周长 $6\times 6\times 3=\underline{108}$；宽当周长 $3\times 3\times 6=\underline{54}$，取 $108$。
4. 第 4 步：$108\div 9=\underline{12}$（倍）。
最终答案：后者的容积是前者的 $12$ 倍。
20. ch09-tuozhan-12 · 第三套
1. 第 1 步（长边当周长）：$2\times 3.14\times r=12.56$，所以底面半径 $r=12.56\div 6.28=\underline{2}$（米），高就是 $5$ 米。
2. 第 2 步：容积 $=3.14\times 2\times 2\times 5=\underline{62.8}$（立方米）。
3. 第 3 步（宽边当周长）：用 $V=\frac{c^2h}{4\pi}$ 更快，$5\times 5\times 12.56\div(4\times 3.14)=\underline{25}$（立方米）。
4. 第 4 步（求倍数）：$62.8\div 25=\underline{2.512}$（倍）。
最终答案：（1）$62.8$ 立方米；（2）$25$ 立方米；（3）前者是后者的 $2.512$ 倍。
21. ch09-tuozhan-13 · 第一套
1. 第 1 步（左边转出圆柱）：半径 $=6\div 2=\underline{3}$，高就是边长 $6$，体积 $=\pi\times 3\times 3\times 6=\underline{54}\pi$。
2. 第 2 步（右边转出两个底面重合的圆锥）：半径与每个圆锥的高都是对角线的一半，$10\div 2=\underline{5}$。
3. 第 3 步：双圆锥体积 $=2\times\frac{1}{3}\times\pi\times 5\times 5\times 5=\underline{83.333333333}\pi$。
4. 第 4 步（化整数比）：把 $54:\frac{250}{3}$ 同乘 $3$，得 $\underline{162}:\underline{250}$。
5. 第 5 步（约分）：两数同除以 $2$，最简比为 $\underline{81}:\underline{125}$。
最终答案：两个旋转体的体积之比是 $81:125$。
21. ch09-tuozhan-13 · 第二套
1. 第 1 步：小华扫出的是圆柱，半径 $=6\div 2=\underline{3}$（厘米），高 $6$ 厘米，体积 $=\pi\times 3\times 3\times 6=\underline{54}\pi$。
2. 第 2 步：小丽扫出的是两个底面重合的圆锥，半径与每个圆锥的高都是 $10\div 2=\underline{5}$（厘米）。
3. 第 3 步：体积 $=2\times\frac{1}{3}\times\pi\times 5\times 5\times 5=\underline{83.333333333}\pi$。
4. 第 4 步：同乘 $3$ 化为整数比 $\underline{162}:\underline{250}$。
5. 第 5 步：约分得 $\underline{81}:\underline{125}$。
最终答案：两个立体的体积之比是 $81:125$。
21. ch09-tuozhan-13 · 第三套
1. 第 1 步：甲是圆柱，半径 $=8\div 2=\underline{4}$，高 $8$，体积 $=\pi\times 4\times 4\times 8=\underline{128}\pi$。
2. 第 2 步：乙是双圆锥，半径与每个锥高均为 $10\div 2=\underline{5}$，体积 $=2\times\frac{1}{3}\times\pi\times 5\times 5\times 5=\underline{83.333333333}\pi$。
3. 第 3 步：同乘 $3$ 得 $\underline{384}:\underline{250}$。
4. 第 4 步：同除以 $2$ 得最简比 $\underline{192}:\underline{125}$。
最终答案：甲与乙的体积之比是 $192:125$。
21. ch09-tuozhan-13 · 第三套
1. 第 1 步（甲是圆柱）：半径 $=6\div 2=\underline{3}$，高 $6$，体积 $=3.14\times 3\times 3\times 6=\underline{169.56}$。
2. 第 2 步（乙是双圆锥）：半径与每个锥高都是 $6\div 2=\underline{3}$，体积 $=2\times\frac{1}{3}\times 3.14\times 3\times 3\times 3=\underline{56.52}$。
3. 第 3 步（求差）：$169.56-56.52=\underline{113.04}$。
4. 第 4 步（顺便看比）：$169.56:56.52=\underline{3}:1$，即甲是乙的 $3$ 倍。
最终答案：（1）甲 $169.56$，乙 $56.52$；（2）甲比乙大 $113.04$。
22. ch09-tuozhan-14 · 第一套
1. 第 1 步（水的体积）：池的容积 $=25\times 20\times 20=\underline{10000}$（立方分米），水 $=10000\times\frac{3}{5}=\underline{6000}$（立方分米）。
2. 第 2 步（圆柱底面积）：$1600\div 16=\underline{100}$（平方分米）；池底面积 $=25\times 20=\underline{500}$（平方分米）。
3. 第 3 步（第 (1) 问先检验）：若水能淹没圆柱，则「水 $+$ 圆柱」至少要有 $500\times 16=\underline{8000}$ 立方分米，而实际只有 $6000+1600=\underline{7600}$ 立方分米，不够，所以**没被淹没**。
4. 第 4 步：水只占环形底面，水高 $=6000\div(500-100)=\underline{15}$（分米）。
5. 第 5 步（第 (2) 问）：$6000+1600\times 2=\underline{9200}$，已经超过 $8000$，圆柱被淹没，水高 $=9200\div 500=\underline{18.4}$（分米），没有超过池高 $20$。
6. 第 6 步（第 (3) 问）：$6000+1600\times 3=\underline{10800}$，超过池容积 $10000$，水会溢出，水面就是池高 $\underline{20}$ 分米。
最终答案：（1）$15$ 分米；（2）$18.4$ 分米；（3）$20$ 分米（水已溢出）。
22. ch09-tuozhan-14 · 第二套
1. 第 1 步：缸的容积 $=25\times 20\times 20=\underline{10000}$（立方分米），染液 $=10000\times\frac{3}{5}=\underline{6000}$（立方分米）。
2. 第 2 步：石墩底面积 $=1600\div 16=\underline{100}$（平方分米），缸底面积 $=25\times 20=\underline{500}$（平方分米）。
3. 第 3 步：若石墩被淹没，则「液 $+$ 墩」需要 $500\times 16=\underline{8000}$ 立方分米，实际只有 $6000+1600=\underline{7600}$，不够，石墩露在液面上。
4. 第 4 步：液面高 $=6000\div(500-100)=\underline{15}$（分米）。
5. 第 5 步：放两个时 $6000+1600\times 2=\underline{9200}$，超过 $8000$，石墩被淹没，液面高 $=9200\div 500=\underline{18.4}$（分米）。
6. 第 6 步：放三个时 $6000+1600\times 3=\underline{10800}$ 超过缸容积 $10000$，染液溢出，液面即缸高 $\underline{20}$ 分米。
最终答案：（1）$15$ 分米；（2）$18.4$ 分米；（3）$20$ 分米（染液溢出）。
22. ch09-tuozhan-14 · 第三套
1. 第 1 步：池容积 $=30\times 10\times 12=\underline{3600}$（立方分米），水 $=3600\times\frac{3}{4}=\underline{2700}$（立方分米）。
2. 第 2 步：圆柱底面积 $=720\div 12=\underline{60}$（平方分米），池底面积 $=30\times 10=\underline{300}$（平方分米）。
3. 第 3 步（检验）：若淹没需 $300\times 12=\underline{3600}$，而 $2700+720=\underline{3420}$ 不够，所以未淹没。
4. 第 4 步：水高 $=2700\div(300-60)=\underline{11.25}$（分米）。
5. 第 5 步（放第二个）：$2700+720\times 2=\underline{4140}$，已超过池容积 $3600$，水溢出，水面就是池高 $\underline{12}$ 分米。
最终答案：（1）$11.25$ 分米；（2）$12$ 分米（水已溢出）。
22. ch09-tuozhan-14 · 第三套
1. 第 1 步：池容积 $=25\times 20\times 20=\underline{10000}$（立方分米），原有水 $=10000\times\frac{3}{5}=\underline{6000}$（立方分米）。
2. 第 2 步：水与三个圆柱的体积和 $=6000+1600\times 3=\underline{10800}$（立方分米），大于池容积 $10000$，所以水一定溢出，水面就是池高 $\underline{20}$ 分米。
3. 第 3 步（池中还能留下多少水）：三个圆柱本身占去 $1600\times 3=\underline{4800}$ 立方分米，池里留下的水 $=10000-4800=\underline{5200}$（立方分米）。
4. 第 4 步（溢出的水）：$6000-5200=\underline{800}$（立方分米）。
5. 第 5 步（占比）：$800\div 6000\times 100=\underline{13.333333333}$，约为 $13.33\%$。
最终答案：（1）水面高 $20$ 分米；（2）溢出 $800$ 立方分米；（3）约占 $13.33\%$。
23. ch09-xingqu-01 · 第一套
1. 第 1 步（架桥）：长方体每种棱各有 $4$ 条，棱长总和 $=(6+5+4)\times 4=\underline{60}$（厘米）。
2. 第 2 步（求正方体棱长）：正方体 $12$ 条棱一样长，棱长 $=60\div 12=\underline{5}$（厘米）。
3. 第 3 步（长方体表面积）：三组面各两个，$(6\times 5+6\times 4+5\times 4)\times 2=\underline{148}$（平方厘米）。
4. 第 4 步（正方体表面积）：$5\times 5\times 6=\underline{150}$（平方厘米）。
5. 第 5 步（化最简比）：$148:150$ 同时除以 $2$，得 $\underline{74}:\underline{75}$。
6. 第 6 步（比体积）：$6\times 5\times 4=\underline{120}$，$5\times 5\times 5=\underline{125}$，相差 $\underline{5}$（立方厘米）。
最终答案：表面积之比为 $74:75$；长方体体积比正方体体积少 $5$ 立方厘米。
23. ch09-xingqu-01 · 第二套
1. 第 1 步（铁丝总长就是棱长总和）：$(6+5+4)\times 4=\underline{60}$（分米）。
2. 第 2 步（正方体棱长）：铁丝一样长，$60\div 12=\underline{5}$（分米）。
3. 第 3 步（长方体用布）：$(6\times 5+6\times 4+5\times 4)\times 2=\underline{148}$（平方分米）。
4. 第 4 步（正方体用布）：$5\times 5\times 6=\underline{150}$（平方分米）。
5. 第 5 步（化最简比）：$148:150=\underline{74}:\underline{75}$。
6. 第 6 步（比空间大小）：$6\times 5\times 4=\underline{120}$，$5\times 5\times 5=\underline{125}$，少 $\underline{5}$（立方分米）。
最终答案：用布面积之比为 $74:75$；长方体所围空间比正方体少 $5$ 立方分米。
23. ch09-xingqu-01 · 第三套
1. 第 1 步：长方体棱长总和 $=(8+6+4)\times 4=\underline{72}$（厘米）。
2. 第 2 步：正方体棱长 $=72\div 12=\underline{6}$（厘米）。
3. 第 3 步：长方体表面积 $=(8\times 6+8\times 4+6\times 4)\times 2=\underline{208}$（平方厘米）。
4. 第 4 步：正方体表面积 $=6\times 6\times 6=\underline{216}$（平方厘米），表面积之差 $=\underline{8}$（平方厘米）。
5. 第 5 步：两者体积 $8\times 6\times 4=\underline{192}$，$6\times 6\times 6=\underline{216}$，体积之差 $=\underline{24}$（立方厘米）。
最终答案：正方体棱长 $6$ 厘米；表面积相差 $8$ 平方厘米；体积相差 $24$ 立方厘米。
23. ch09-xingqu-01 · 第三套
1. 第 1 步：棱长总和 $=(6+5+4)\times 4=\underline{60}$（厘米），正方体棱长 $=60\div 12=\underline{5}$（厘米）。
2. 第 2 步：两者体积 $6\times 5\times 4=\underline{120}$（立方厘米），$5\times 5\times 5=\underline{125}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（求差）：少的部分是 $125-120=\underline{5}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（叠加百分数）：「比正方体少百分之几」要拿差去除以正方体体积，$5\div 125\times 100=\underline{4}$，即少 $4\%$。
最终答案：长方体体积比正方体体积少 $4\%$。
24. ch09-xingqu-02 · 第一套
1. 第 1 步（认清高）：折起来的高就是剪角的边长，第一种情况高 $=3$ 厘米。
2. 第 2 步（长方向剪掉两个角）：底面长 $=20-2\times 3=\underline{14}$（厘米）。
3. 第 3 步（宽方向也剪掉两个角）：底面宽 $=14-2\times 3=\underline{8}$（厘米）。
4. 第 4 步：体积 $=14\times 8\times 3=\underline{336}$（立方厘米）。
5. 第 5 步（换成剪 $4$ 厘米）：长 $=20-2\times 4=\underline{12}$，宽 $=14-2\times 4=\underline{6}$（厘米）。
6. 第 6 步：体积 $=12\times 6\times 4=\underline{288}$（立方厘米）。
最终答案：剪 $3$ 厘米时体积 $336$ 立方厘米；剪 $4$ 厘米时体积 $288$ 立方厘米。
24. ch09-xingqu-02 · 第二套
1. 第 1 步：折起的高就是剪角边长 $3$ 分米。
2. 第 2 步：槽底的长 $=20-2\times 3=\underline{14}$（分米）。
3. 第 3 步：槽底的宽 $=14-2\times 3=\underline{8}$（分米）。
4. 第 4 步：容积 $=14\times 8\times 3=\underline{336}$（立方分米）。
5. 第 5 步：改剪 $4$ 分米时，长 $=20-2\times 4=\underline{12}$，宽 $=14-2\times 4=\underline{6}$（分米）。
6. 第 6 步：容积 $=12\times 6\times 4=\underline{288}$（立方分米）。
最终答案：剪 $3$ 分米时能盛 $336$ 立方分米；剪 $4$ 分米时能盛 $288$ 立方分米。
24. ch09-xingqu-02 · 第三套
1. 第 1 步（剪 $2$ 厘米）：长 $=18-2\times 2=\underline{14}$，宽 $=12-2\times 2=\underline{8}$（厘米）。
2. 第 2 步：容积 $=14\times 8\times 2=\underline{224}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（剪 $4$ 厘米）：长 $=18-2\times 4=\underline{10}$，宽 $=12-2\times 4=\underline{4}$（厘米）。
4. 第 4 步：容积 $=10\times 4\times 4=\underline{160}$（立方厘米）。
5. 第 5 步（比较）：$224-160=\underline{64}$（立方厘米），剪 $2$ 厘米的盒子大。
最终答案：剪 $2$ 厘米的盒子容积大，大 $224-160=64$ 立方厘米。
24. ch09-xingqu-02 · 第三套
1. 第 1 步：高 $=4$ 厘米，底面长 $=20-2\times 4=\underline{12}$，底面宽 $=14-2\times 4=\underline{6}$（厘米）。
2. 第 2 步（容积）：$12\times 6\times 4=\underline{288}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（底面）：$12\times 6=\underline{72}$（平方厘米）。
4. 第 4 步（两个长侧面）：$12\times 4\times 2=\underline{96}$（平方厘米）。
5. 第 5 步（两个宽侧面）：$6\times 4\times 2=\underline{48}$（平方厘米）。
6. 第 6 步（无盖，只加五个面）：$72+96+48=\underline{216}$（平方厘米）。
最终答案：（1）容积 $288$ 立方厘米；（2）内壁面积 $216$ 平方厘米。
26. ch09-xingqu-04 · 第一套
1. 第 1 步（判断第 (1) 问）：切在角上时，凹下去的三个新面与被切走的三个面面积相等，从六个方向看到的都还是 $10\times 10$ 的正方形，所以表面积 $=10\times 10\times 6=\underline{600}$。
2. 第 2 步（第 (2) 问先求原表面积）：$10\times 10\times 6=\underline{600}$。
3. 第 3 步（贯通凹槽新增两片长侧壁）：凹槽前后穿通，内侧多出两片 $10\times 4$ 的长墙（与前后视线平行，投影时被外侧面挡住，最易漏算），$2\times(10\times 4)=\underline{80}$。
4. 第 4 步（两端在前、后面各挖掉切口）：$2\times(6\times 4)=\underline{48}$。
5. 第 5 步（净变化）：顶面开口 $10\times 6$ 与槽底相抵，净变化 $=80-48=\underline{32}$，表面积由 $600$ 增到 $600+32=\underline{632}$。可见表面积不减反增，约增加 $5.3\%$。
最终答案：（1）$600$；（2）表面积不减反增：投影法会漏算贯通凹槽的两片长侧壁，实际表面积由 $600$ 增加到 $632$，增加了 $32$（约 $5.3\%$）。
26. ch09-xingqu-04 · 第二套
1. 第 1 步：凿角时凹面与失去的面一一相等，六个方向仍看到 $10\times 10$ 的正方形，表面积 $=10\times 10\times 6=\underline{600}$（平方分米）。
2. 第 2 步：开槽前的表面积 $=10\times 10\times 6=\underline{600}$（平方分米）。
3. 第 3 步（贯通槽新增两片长侧壁）：$2\times(10\times 4)=\underline{80}$（平方分米），这两片墙与前后视线平行，最易漏算。
4. 第 4 步（两端在前、后面各挖掉切口）：$2\times(6\times 4)=\underline{48}$（平方分米）。
5. 第 5 步（净变化）：顶面开口与槽底相抵，净变化 $=80-48=\underline{32}$，表面积由 $600$ 增到 $600+32=\underline{632}$（平方分米），不减反增。
最终答案：（1）$600$ 平方分米；（2）表面积不减反增：漏算了贯通凹槽的两片长侧壁，实际由 $600$ 增加到 $632$ 平方分米，增加了 $32$ 平方分米（约 $5.3\%$）。
26. ch09-xingqu-04 · 第三套
1. 第 1 步：角上切割，六个方向的投影都还是 $12\times 12$ 的正方形，表面积 $=12\times 12\times 6=\underline{864}$。
2. 第 2 步：第 (2) 问原表面积 $=10\times 10\times 6=\underline{600}$。
3. 第 3 步（贯通槽新增两片长侧壁）：$2\times(10\times 3)=\underline{60}$，投影法会漏算这两片与前后视线平行的墙。
4. 第 4 步（两端在前、后面各挖掉切口）：$2\times(5\times 3)=\underline{30}$。
5. 第 5 步（净变化与百分数）：顶面开口与槽底相抵，净变化 $=60-30=\underline{30}$（$600\to 630$），$30\div 600\times 100=\underline{5}$，即增加 $5\%$。
最终答案：（1）$864$；（2）表面积不减反增：投影法漏算了两片长侧壁，实际由 $600$ 增到 $630$，增加了 $30$，即增加 $5\%$。
26. ch09-xingqu-04 · 第三套
1. 第 1 步（表面积）：角上切，六个方向投影不变，表面积 $=10\times 10\times 6=\underline{600}$。
2. 第 2 步（原体积）：$10\times 10\times 10=\underline{1000}$。
3. 第 3 步（切走的体积）：$7\times 5\times 6=\underline{210}$。
4. 第 4 步（剩余体积）：$1000-210=\underline{790}$。
5. 第 5 步（体积减少的百分数）：$210\div 1000\times 100=\underline{21}$，即减少 $21\%$。
最终答案：（1）表面积 $600$；（2）剩余体积 $790$；（3）体积减少了 $21\%$。
27. ch09-xingqu-05 · 第一套
1. 第 1 步（原表面积）：$4\times 4\times 6=\underline{96}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（看清抵消关系）：挖洞时洞口失去的正方形恰好被洞底补回，净增的只是洞的 $4$ 个侧面。第一个洞净增 $2\times 2\times 4=\underline{16}$（平方厘米）。
3. 第 3 步：第二个洞净增 $1\times 1\times 4=\underline{4}$（平方厘米）。
4. 第 4 步：第三个洞净增 $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times 4=\underline{1}$（平方厘米）。
5. 第 5 步（求和）：$96+16+4+1=\underline{117}$（平方厘米）。
最终答案：$117$ 平方厘米。
27. ch09-xingqu-05 · 第二套
1. 第 1 步：原木块表面积 $=4\times 4\times 6=\underline{96}$（平方分米）。
2. 第 2 步：凿第一个坑，坑口没了但坑底补上，净增的是 $4$ 个坑壁，$2\times 2\times 4=\underline{16}$（平方分米）。
3. 第 3 步：第二个坑净增 $1\times 1\times 4=\underline{4}$（平方分米）。
4. 第 4 步：第三个坑净增 $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times 4=\underline{1}$（平方分米）。
5. 第 5 步：需刷漆 $96+16+4+1=\underline{117}$（平方分米）。
最终答案：$117$ 平方分米。
27. ch09-xingqu-05 · 第三套
1. 第 1 步：原表面积 $=8\times 8\times 6=\underline{384}$（平方厘米）。
2. 第 2 步：第一个洞净增 $4\times 4\times 4=\underline{64}$（平方厘米）。
3. 第 3 步：第二个洞净增 $2\times 2\times 4=\underline{16}$（平方厘米）。
4. 第 4 步：第三个洞净增 $1\times 1\times 4=\underline{4}$（平方厘米）。
5. 第 5 步：合计 $384+64+16+4=\underline{468}$（平方厘米）。
最终答案：$468$ 平方厘米。
27. ch09-xingqu-05 · 第三套
1. 第 1 步（表面积）：原表面积 $4\times 4\times 6=\underline{96}$，三个洞各净增 $4$ 个侧面：$2\times 2\times 4=\underline{16}$、$1\times 1\times 4=\underline{4}$、$\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times 4=\underline{1}$，合计 $=\underline{117}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（原体积）：$4\times 4\times 4=\underline{64}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（挖去的体积）：三个洞是三个小正方体，$2\times 2\times 2+1\times 1\times 1+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\underline{9.125}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（剩余体积）：$64-9.125=\underline{54.875}$（立方厘米）。
最终答案：（1）表面积 $117$ 平方厘米；（2）体积 $54.875$ 立方厘米。
28. ch09-xingqu-06 · 第一套
1. 第 1 步（数拼的次数）：$6$ 块排成一排，相邻两块之间拼一次，共拼 $6-1=\underline{5}$（次）。
2. 第 2 步（每拼一次藏起两个面）：减少的面积 $=5\times 2=\underline{10}$。
3. 第 3 步（第 (2) 问原表面积）：$1\times 1\times 6=\underline{6}$。
4. 第 4 步（数刀数）：$27=3\times 3\times 3$，三个方向各要切 $2$ 刀，共 $2+2+2=\underline{6}$（刀）。
5. 第 5 步（每刀多两个面）：表面积总和 $=6+6\times 2=\underline{18}$。
最终答案：（1）减少了 $10$；（2）表面积总和是 $18$。
28. ch09-xingqu-06 · 第二套
1. 第 1 步：$6$ 块排一排要粘 $6-1=\underline{5}$（次）。
2. 第 2 步：每粘一次藏起 $2$ 个面，共少 $5\times 2=\underline{10}$（平方分米）。
3. 第 3 步：整块豆腐的表面积 $=1\times 1\times 6=\underline{6}$（平方分米）。
4. 第 4 步：切成 $27=3\times 3\times 3$ 块要切 $2+2+2=\underline{6}$（刀）。
5. 第 5 步：每刀多 $2$ 个面，总和 $=6+6\times 2=\underline{18}$（平方分米）。
最终答案：（1）少 $10$ 平方分米；（2）总和 $18$ 平方分米。
28. ch09-xingqu-06 · 第三套
1. 第 1 步：$8$ 块排一排拼 $8-1=\underline{7}$（次），减少 $7\times 2=\underline{14}$。
2. 第 2 步：原表面积 $=1\times 1\times 6=\underline{6}$。
3. 第 3 步（数刀数）：三个方向要切成 $2,3,4$ 份，各需 $1,2,3$ 刀，共 $1+2+3=\underline{6}$（刀）。
4. 第 4 步：表面积总和 $=6+6\times 2=\underline{18}$。
最终答案：（1）减少了 $14$；（2）表面积总和是 $18$。
28. ch09-xingqu-06 · 第三套
1. 第 1 步（每个面多大）：棱长不再是 $1$，先算一个面的面积 $2\times 2=\underline{4}$（平方厘米）。
2. 第 2 步（数藏起的面数）：$4$ 块排一排拼 $4-1=\underline{3}$（次），共藏起 $3\times 2=\underline{6}$（个面）。
3. 第 3 步（减少的面积）：$6\times 4=\underline{24}$（平方厘米）。
4. 第 4 步（原来 $4$ 块的表面积之和）：$2\times 2\times 6\times 4=\underline{96}$（平方厘米）。
5. 第 5 步（拼后表面积）：$96-24=\underline{72}$（平方厘米）。
6. 第 6 步（用长方体公式验证）：拼成的长方体是 $8\times 2\times 2$，表面积 $=(8\times 2+8\times 2+2\times 2)\times 2=\underline{72}$（平方厘米），与上一步一致。
最终答案：（1）减少 $24$ 平方厘米；（2）拼成的长方体表面积为 $72$ 平方厘米。
29. ch09-xingqu-07 · 第一套
1. 第 1 步（直径化半径）：圆柱半径 $=12\div 2=\underline{6}$，圆锥半径 $=6\div 2=\underline{3}$（厘米）。
2. 第 2 步（圆柱体积，$\pi$ 先留着）：$\pi\times 6\times 6\times 10=\underline{360}\pi$。
3. 第 3 步（圆锥体积，别忘记 $\frac{1}{3}$）：$\frac{1}{3}\times\pi\times 3\times 3\times 8=\underline{24}\pi$。
4. 第 4 步（约掉 $\pi$ 再化最简比）：$24\pi:360\pi=24:360=1:\underline{15}$。
最终答案：圆锥体积与圆柱体积的比是 $1:15$。
29. ch09-xingqu-07 · 第二套
1. 第 1 步：水桶半径 $=12\div 2=\underline{6}$，沙堆半径 $=6\div 2=\underline{3}$（分米）。
2. 第 2 步：水桶容积 $=\pi\times 6\times 6\times 10=\underline{360}\pi$（立方分米）。
3. 第 3 步：沙堆体积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 3\times 3\times 8=\underline{24}\pi$（立方分米）。
4. 第 4 步：$24\pi:360\pi=1:\underline{15}$。
最终答案：沙堆体积与水桶容积的比是 $1:15$。
29. ch09-xingqu-07 · 第三套
1. 第 1 步：底面半径 $=10\div 2=\underline{5}$（厘米），两者相同。
2. 第 2 步：圆柱体积 $=\pi\times 5\times 5\times 12=\underline{300}\pi$。
3. 第 3 步：圆锥体积 $=\frac{1}{3}\times\pi\times 5\times 5\times 9=\underline{75}\pi$。
4. 第 4 步：$75\pi:300\pi=1:\underline{4}$。（注意：只有等底**等高**时才是 $1:3$，本题高不同，所以不是 $1:3$。）
最终答案：圆锥体积与圆柱体积的比是 $1:4$。
29. ch09-xingqu-07 · 第三套
1. 第 1 步：半径分别为 $12\div 2=\underline{6}$、$6\div 2=\underline{3}$（厘米）。
2. 第 2 步：圆柱体积 $=3.14\times 6\times 6\times 10=\underline{1130.4}$（立方厘米）。
3. 第 3 步：圆锥体积 $=3.14\times 3\times 3\times 8\div 3=\underline{75.36}$（立方厘米）。
4. 第 4 步：相差 $1130.4-75.36=\underline{1055.04}$（立方厘米）。
最终答案：（1）圆柱 $1130.4$ 立方厘米，圆锥 $75.36$ 立方厘米；（2）多 $1055.04$ 立方厘米。
30. ch09-xingqu-08 · 第一套
1. 第 1 步（朝上朝下）：小圆柱压住的环面并没消失，朝上的各环合起来就是最大的整圆，所以上下合计 $2\times 3.14\times 2\times 2=\underline{25.12}$（平方分米）。
2. 第 2 步（侧面积 $=\pi\times$ 直径 $\times$ 高）：三层直径分别为 $4,3,2$，侧面积和 $=3.14\times(4+3+2)\times 2=\underline{56.52}$（平方分米）。
3. 第 3 步（表面积）：$25.12+56.52=\underline{81.64}$（平方分米）。
4. 第 4 步（一个切面）：切面是三个长方形，宽为各层直径、长为高，$（4+3+2）\times 2=\underline{18}$（平方分米）。
5. 第 5 步（切开后新增两个切面）：$81.64+2\times 18=\underline{117.64}$（平方分米）。
最终答案：（1）$81.64$ 平方分米；（2）$117.64$ 平方分米。
30. ch09-xingqu-08 · 第二套
1. 第 1 步：朝上的环面拼起来就是最大的整圆，上下合计 $2\times 3.14\times 2\times 2=\underline{25.12}$（平方米）。
2. 第 2 步：三层侧面积之和 $=3.14\times(4+3+2)\times 2=\underline{56.52}$（平方米）。
3. 第 3 步：表面积 $=25.12+56.52=\underline{81.64}$（平方米）。
4. 第 4 步：一个剖面由三个长方形组成，$(4+3+2)\times 2=\underline{18}$（平方米）。
5. 第 5 步：剖开后 $=81.64+2\times 18=\underline{117.64}$（平方米）。
最终答案：（1）$81.64$ 平方米；（2）$117.64$ 平方米。
30. ch09-xingqu-08 · 第三套
1. 第 1 步：上下合计 $=2\times 3.14\times 3\times 3=\underline{56.52}$（平方米）。
2. 第 2 步：三层直径为 $6,4,2$，侧面积和 $=3.14\times(6+4+2)\times 1=\underline{37.68}$（平方米）。
3. 第 3 步：表面积 $=56.52+37.68=\underline{94.2}$（平方米）。
4. 第 4 步：一个切面 $=(6+4+2)\times 1=\underline{12}$（平方米）。
5. 第 5 步：切开后 $=94.2+2\times 12=\underline{118.2}$（平方米）。
最终答案：（1）$94.2$ 平方米；（2）$118.2$ 平方米。
30. ch09-xingqu-08 · 第三套
1. 第 1 步（表面积）：上下合计 $2\times 3.14\times 2\times 2=\underline{25.12}$，三层侧面积和 $3.14\times(4+3+2)\times 2=\underline{56.52}$，共 $=\underline{81.64}$（平方分米）。
2. 第 2 步（体积要逐层相加）：第一层 $3.14\times 2\times 2\times 2=\underline{25.12}$（立方分米）。
3. 第 3 步：第二层 $3.14\times 1.5\times 1.5\times 2=\underline{14.13}$（立方分米）。
4. 第 4 步：第三层 $3.14\times 1\times 1\times 2=\underline{6.28}$（立方分米）。
5. 第 5 步：总体积 $=25.12+14.13+6.28=\underline{45.53}$（立方分米）。
最终答案：（1）表面积 $81.64$ 平方分米；（2）体积 $45.53$ 立方分米。
31. ch09-xingqu-09 · 第一套
1. 第 1 步（统一单位）：中池边长 $4$ 米 $=\underline{400}$ 厘米，小池边长 $3$ 米 $=\underline{300}$ 厘米，大池边长 $8$ 米 $=\underline{800}$ 厘米。
2. 第 2 步（排水法求中池碎石体积）：$400\times 400\times 7=\underline{1120000}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（小池碎石体积）：$300\times 300\times 5=\underline{450000}$（立方厘米）。
4. 第 4 步（两堆合计）：$1120000+450000=\underline{1570000}$（立方厘米）。
5. 第 5 步（升高 $=$ 体积 $\div$ 底面积）：$1570000\div(800\times 800)=\underline{2.453125}$，约为 $2.45$ 厘米。
最终答案：大水池的水面约升高 $2.45$ 厘米。
31. ch09-xingqu-09 · 第二套
1. 第 1 步：$4$ 米 $=\underline{400}$ 厘米，$3$ 米 $=\underline{300}$ 厘米，$8$ 米 $=\underline{800}$ 厘米。
2. 第 2 步：中槽这筐石头体积 $=400\times 400\times 7=\underline{1120000}$（立方厘米）。
3. 第 3 步：小槽这筐石头体积 $=300\times 300\times 5=\underline{450000}$（立方厘米）。
4. 第 4 步：合计 $=1120000+450000=\underline{1570000}$（立方厘米）。
5. 第 5 步：$1570000\div(800\times 800)=\underline{2.453125}$，约 $2.45$ 厘米。
最终答案：大槽水面约升高 $2.45$ 厘米。
31. ch09-xingqu-09 · 第三套
1. 第 1 步：$3$ 米 $=\underline{300}$ 厘米，$2$ 米 $=\underline{200}$ 厘米，$6$ 米 $=\underline{600}$ 厘米。
2. 第 2 步：中池碎石体积 $=300\times 300\times 8=\underline{720000}$（立方厘米）。
3. 第 3 步：小池碎石体积 $=200\times 200\times 9=\underline{360000}$（立方厘米）。
4. 第 4 步：合计 $=720000+360000=\underline{1080000}$（立方厘米）。
5. 第 5 步：$1080000\div(600\times 600)=\underline{3}$（厘米）。
最终答案：大池水面升高 $3$ 厘米。
31. ch09-xingqu-09 · 第三套
1. 第 1 步：$4$ 米 $=\underline{400}$ 厘米，$3$ 米 $=\underline{300}$ 厘米。
2. 第 2 步：两堆碎石体积 $=400\times 400\times 7+300\times 300\times 5=\underline{1570000}$（立方厘米）。
3. 第 3 步（体积单位换算）：$1$ 立方米 $=100\times 100\times 100=\underline{1000000}$ 立方厘米，所以碎石体积 $=1570000\div 1000000=\underline{1.57}$（立方米）。
4. 第 4 步：大池底面积 $=800\times 800=\underline{640000}$（平方厘米）。
5. 第 5 步：升高 $=1570000\div 640000=\underline{2.453125}$，约 $2.45$ 厘米。
最终答案：（1）$1.57$ 立方米；（2）水面约升高 $2.45$ 厘米。
32. ch09-xingqu-10 · 第一套
1. 第 1 步（原水高）：装了一半，$30\div 2=\underline{15}$（厘米）。
2. 第 2 步（水的体积，$\pi$ 先留着）：$\pi\times 12\times 12\times 15=\underline{2160}\pi$（立方厘米）。
3. 第 3 步（水的新底面是环形）：$\pi\times 12\times 12-\pi\times 3\times 3=\underline{135}\pi$（平方厘米）。
4. 第 4 步（新水高，$\pi$ 约掉）：$2160\pi\div 135\pi=\underline{16}$（厘米）。
5. 第 5 步（升高）：$16-15=\underline{1}$（厘米）。
最终答案：水面升高了 $1$ 厘米。
32. ch09-xingqu-10 · 第二套
1. 第 1 步：原来水高 $=30\div 2=\underline{15}$（厘米）。
2. 第 2 步：水的体积 $=\pi\times 12\times 12\times 15=\underline{2160}\pi$（立方厘米）。
3. 第 3 步：放入石柱后水占的是环形底面，$\pi\times 12\times 12-\pi\times 3\times 3=\underline{135}\pi$（平方厘米）。
4. 第 4 步：新水高 $=2160\pi\div 135\pi=\underline{16}$（厘米）。
5. 第 5 步：升高 $=16-15=\underline{1}$（厘米）。
最终答案：水面升高了 $1$ 厘米。
32. ch09-xingqu-10 · 第三套
1. 第 1 步：原水高 $=36\div 2=\underline{18}$（厘米）。
2. 第 2 步：水的体积 $=\pi\times 10\times 10\times 18=\underline{1800}\pi$（立方厘米）。
3. 第 3 步：环形底面积 $=\pi\times 10\times 10-\pi\times 2\times 2=\underline{96}\pi$（平方厘米）。
4. 第 4 步：新水高 $=1800\pi\div 96\pi=\underline{18.75}$（厘米）。
5. 第 5 步：升高 $=18.75-18=\underline{0.75}$（厘米）。
最终答案：水面升高了 $0.75$ 厘米。
32. ch09-xingqu-10 · 第三套
1. 第 1 步：原水高 $=30\div 2=\underline{15}$（厘米），水的体积 $=\pi\times 12\times 12\times 15=\underline{2160}\pi$（立方厘米）。
2. 第 2 步：环形底面积 $=\pi\times 12\times 12-\pi\times 3\times 3=\underline{135}\pi$（平方厘米），新水高 $=2160\pi\div 135\pi=\underline{16}$（厘米）。
3. 第 3 步（先判断）：木棒长 $40$ 厘米，新水高只有 $16$ 厘米，木棒确实露出水面，所以上面的算法成立；升高 $=16-15=\underline{1}$（厘米）。
4. 第 4 步（露出部分）：$40-16=\underline{24}$（厘米）。
5. 第 5 步（浸入部分体积）：$3.14\times 3\times 3\times 16=\underline{452.16}$（立方厘米）。
最终答案：（1）升高 $1$ 厘米；（2）露出 $24$ 厘米；（3）浸入部分体积 $452.16$ 立方厘米。

竞赛数学 · 六年级 第9讲《立体几何》举一反三练习卷

附录 · 答案

竞赛数学 · 六年级第9讲《立体几何》举一反三练习卷