竞赛数学 · 六年级 第10讲《几何综合一》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch10-chaoyue-01】如图 10-24，长方形的面积是 $60$ 平方厘米，其内 $3$ 条长度相等且两两夹角为 $120^{\circ}$ 的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形。请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「对称分割求部分面积」类：三条等长且两两成 $120^{\circ}$ 的线段从长方形内一点射出，把长方形分成两个梯形和一个三角形。
关键切入点：由 $120^{\circ}$ 的对称性，一条线段竖直向上，另两条对称地斜向下，因此两个梯形完全相同（全等）。只要求出下方那个三角形的面积，剩下的部分平分给两个梯形即可。
方法概述：利用对称性判定两梯形全等 → 求三角形 → 「总面积减三角形再平分」。
规范步骤：
  1. 用对称性：两个梯形关于竖直线段对称，面积相等（$120^{\circ}$ 的对称配置）
  2. 求三角形面积：下方三角形面积为 $10$（平方厘米）（由分点位置计算）
  3. 剩下部分平分：$(60-10)\div 2=25$（平方厘米）（两梯形全等）
2. 【原题 ch10-chaoyue-02】如图 10-25，$P$ 是三角形 $ABC$ 内一点，$DE$ 平行于 $AB$，$FG$ 平行于 $BC$，$HI$ 平行于 $CA$，四边形 $AIPD$ 的面积是 $12$，四边形 $PGCH$ 的面积是 $15$，四边形 $BEPF$ 的面积是 $20$，请问：三角形 $ABC$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「过三角形内一点作三组平行线」的经典结构：三角形被分成 $3$ 个都与 $\triangle ABC$ 相似的小三角形和 $3$ 个平行四边形，每个平行四边形面积是相邻两小三角形面积的「几何平均」的 $2$ 倍。
关键切入点：设三个相似小三角形面积为 $t_1,t_2,t_3$，夹在第 $i$、$j$ 块之间的平行四边形面积 $=2\sqrt{t_it_j}$。由 $12,15,20$ 得 $t_1t_2=(12/2)^2=36$、$t_2t_3=(15/2)^2=56.25$、$t_1t_3=(20/2)^2=100$，三式相乘再开方解得 $t_1=8,t_2=4.5,t_3=12.5$。总面积就是六块相加。
方法概述：用平行四边形 = 2·几何平均反解三小三角形，再把六块相加。
规范步骤：
  1. 识别结构：$\triangle ABC$ 被分成 $3$ 个相似小三角形（$t_1,t_2,t_3$）$+$ $3$ 个平行四边形（三组平行线）
  2. 列几何平均关系：平行四边形 $=2\sqrt{t_it_j}$，故 $t_1t_2=\left(\dfrac{12}{2}\right)^2=36$，$t_2t_3=\left(\dfrac{15}{2}\right)^2=56.25$，$t_1t_3=\left(\dfrac{20}{2}\right)^2=100$（平行四边形夹在两相似三角形之间）
  3. 反解三小三角形：$t_1=\sqrt{\dfrac{36\times100}{56.25}}=8$，$t_2=\sqrt{\dfrac{36\times56.25}{100}}=4.5$，$t_3=\sqrt{\dfrac{56.25\times100}{36}}=12.5$（三式相乘再开方）
  4. 六块求和：$S=8+4.5+12.5+12+15+20=72$（面积可加性）
3. 【原题 ch10-chaoyue-03】如图 10-26 所示，正方形 $ABCD$ 的面积为 $1$，$E$、$F$ 分别是 $BC$ 和 $DC$ 的中点，$DE$ 与 $BF$ 交于 $M$ 点，$DE$ 与 $AF$ 交于 $N$ 点，那么阴影三角形 $MFN$ 的面积为多少？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形 + 中点 + 沙漏模型」类：几条连线互相交出两个点，要先定出这两个点在同一条线段上的位置，再求它们夹出的三角形面积。
关键切入点：$M$、$N$ 都在线段 $DE$ 上，所以 $\triangle MFN$ 与 $\triangle DFE$ 同高（顶点都是 $F$），面积比就等于 $MN:DE$。分别用两个沙漏定出 $DN=\frac25DE$、$ME=\frac13DE$，作差得 $MN=\left(1-\frac25-\frac13\right)DE=\frac4{15}DE$。
方法概述：两次沙漏定点位置 → 作差求 $MN$ 占比 → 乘以 $\triangle DFE$ 的面积。
规范步骤：
  1. 求 $DN$：沙漏给出 $DN:NE=2:3$，$DN=\dfrac25DE$（沙漏模型）
  2. 求 $ME$：另一沙漏给出 $DM:ME=2:1$，$ME=\dfrac13DE$（沙漏模型）
  3. 作差求 $MN$：$MN=\left(1-\dfrac25-\dfrac13\right)DE=\dfrac4{15}DE$（线段的差）
  4. 求面积：$S_{\triangle MFN}=\dfrac4{15}\times\dfrac12\times\dfrac14=\dfrac1{30}$（同高三角形面积比等于底之比）
4. 【原题 ch10-chaoyue-04】如图 10-27，三角形 $ABC$ 的面积为 $1$，$D$、$E$、$F$ 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积。
详细思路
是哪类问题：这是著名的「七分之一面积」模型：三角形三边上各取一个三等分点，与对顶点连线，中间围出的小三角形面积恰是原三角形的 $\frac17$。
关键切入点：三条连线 $AD$、$BE$、$CF$ 中的每一条都把三角形切出一块面积为 $\frac13$ 的三角形（$\triangle ABE$、$\triangle BCF$、$\triangle CAD$ 各占 $\frac13$）。这三块合起来正好把整个三角形盖住一遍，但中间的小三角形被盖了两遍、三个角上的小三角形各多算了一次——用容斥（并结合燕尾定理求各块）整理后，中间小三角形恰好占 $\frac17$。
方法概述：三块各占 $\frac13$ + 容斥 + 燕尾定理，得中间三角形占 $\frac17$。
规范步骤：
  1. 作三条连线：连 $AD$、$BE$、$CF$，中间围出小三角形（三等分点）
  2. 每块占 $\frac13$：$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BCF}=S_{\triangle CAD}=\dfrac13$（同高三角形面积比等于底之比）
  3. 容斥 + 燕尾：整理重叠部分后，中间小三角形占 $\dfrac17$（容斥原理与燕尾定理）
  4. 写出答案：$S=1\times\dfrac17=\dfrac17$
第一套
题目：三角形 $ABC$ 的面积为 $42$，$D$、$E$、$F$ 分别是 $BC$、$CA$、$AB$ 上的三等分点，连接 $AD$、$BE$、$CF$，三条线在中间围成一个小三角形。求这个小三角形的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每条连线切出的大块）：$D$ 是 $BC$ 的三等分点，所以 $\triangle ABD$ 占整体的 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$，同理另外两条也各切出 $\dfrac13$。
  2. 第 2 步（用「七分之一」模型）：三条连线围成的中间小三角形恰好占整个三角形的 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（求面积）：$42\times\dfrac17=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块三角形苗圃 $ABC$ 的面积是 $42$ 平方米。园艺师在三条边上各取一个三等分点 $D$、$E$、$F$，并从对面的顶点各拉一条直线过去（即 $AD$、$BE$、$CF$）。三条直线在中间围出一小块地。求这一小块地的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每条线切出的大块）：三等分点使 $\triangle ABD$ 占整体的 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（用模型结论）：中间围出的小三角形占整体的 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（求面积）：$42\times\dfrac17=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 的面积为 $42$，$D$、$E$、$F$ 分别是三条边上的三等分点，连接 $AD$、$BE$、$CF$。求中间小三角形**以外**部分的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求中间那块）：由「七分之一」模型，中间小三角形 $=42\times\dfrac17=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（整体减部分）：以外部分 $=42-6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用占比验算）：以外部分占整体的 $1-\dfrac17=\dfrac{6}{7}$，$42\times\dfrac67=\underline{\quad}$，一致。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 的面积为 $42$，$D$、$E$、$F$ 分别是三条边上的三等分点（$E$ 在 $CA$ 上且 $AE:EC=1:2$），连接 $AD$、$BE$、$CF$，中间围出小三角形。求：（1）中间小三角形的面积；（2）三角形 $ABE$ 的面积；（3）三角形 $ABE$ 比中间小三角形大多少。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求第 (1) 问）：由「七分之一」模型，中间小三角形 $=42\times\dfrac17=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求第 (2) 问，用同高三角形面积比）：$\triangle ABE$ 与 $\triangle ABC$ 同高，底之比 $AE:AC=1:3$，所以 $S_{\triangle ABE}=42\times\dfrac13=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求第 (3) 问）：$14-6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（换个说法验算）：$\triangle ABE$ 是中间小三角形的 $14\div 6=\underline{\quad}$ 倍（写成分数即 $\dfrac73$）。
5. 【原题 ch10-chaoyue-05】如图 10-28，小高测出家里瓷砖的长为 $24$ 厘米，宽为 $10$ 厘米，而且还测出了边上的中间线段均为 $4$ 厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形内割补求菱形面积」类：菱形的两条对角线不能直接量，要用平行线间的比例把两端多出的小段算出来，再从长、宽中减去。
关键切入点：两个抓手：$BC\parallel FG$ 给出 $\frac{BC}{FG}=\frac{AC}{AG}=\frac{2}{14}=\frac17$，于是 $BC=1$；$DE\parallel AG$ 给出 $\frac{DE}{AG}=\frac{FE}{FG}=\frac27$，于是 $DE=4$。菱形对角线 = 瓷砖的长（宽）减去两端各一段。最后用「对角线乘积的一半」求菱形面积。
方法概述：用两组平行线比例求出两端小段 → 长宽各减两段得对角线 → 对角线乘积折半。
规范步骤：
  1. 求 $BC$：$BC=\dfrac{1}{7}\times FG=\dfrac17\times 7=1$（$BC\parallel FG$，对应线段成比例）
  2. 求 $DE$：$DE=\dfrac{2}{7}\times AG=\dfrac27\times 14=4$（$DE\parallel AG$，对应线段成比例）
  3. 求两条对角线：$24-4\times 2=16$，$10-1\times 2=8$（厘米）（长宽各减去两端小段）
  4. 求菱形面积：$16\times 8\div 2=64$（平方厘米）（菱形面积 = 对角线乘积的一半）
6. 【原题 ch10-chaoyue-06】如图 10-29，$ED$ 垂直于等腰梯形 $ABCD$ 的上底 $AD$，并交 $BC$ 于 $G$，$AE$ 平行于 $BD$，$\angle DCB=45^{\circ}$，且三角形 $ABD$ 和三角形 $EDC$ 的面积分别为 $75$、$45$，那么三角形 $AED$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「等腰梯形 + 平行线等积转化」类：$AE\parallel BD$ 与 $\angle DCB=45^{\circ}$、$ED\perp AD$ 把三条边长锁成一组比例，从而 $\triangle AED=\triangle ABD-\triangle EDC$。
关键切入点：记 $AD=a$、$ED=e$、梯形高 $h$。由 $\angle DCB=45^{\circ}$ 且 $ED\perp AD$，$C$ 到竖线 $EDG$ 的水平距离恰为 $h$，$A$ 到该竖线的水平距离恰为 $AD=a$。于是 $\triangle ABD=\tfrac12ah=75$、$\triangle EDC=\tfrac12eh=45$、$\triangle AED=\tfrac12ea$。$AE\parallel BD$ 给出 $e=\tfrac{ah}{a+h}$，即 $ea+eh=ah$，也就是 $\tfrac12ea=\tfrac12ah-\tfrac12eh$，故 $\triangle AED=75-45=30$（可解得 $a=10,h=15,e=6$）。
方法概述：用 45°与垂直定水平距离，用 AE∥BD 定边长关系，得三块面积相减。
规范步骤：
  1. 定水平距离：$\angle DCB=45^{\circ}$ 且 $ED\perp AD\Rightarrow C$ 到竖线 $EDG$ 的水平距离 $=h$，$A$ 到该竖线的水平距离 $=AD=a$（$45^{\circ}$ 使水平距离等于高）
  2. 写三块面积：$\triangle ABD=\dfrac12ah=75$，$\triangle EDC=\dfrac12eh=45$，$\triangle AED=\dfrac12ea$（三角形面积 = 底×高÷2）
  3. 用平行定边长关系：$AE\parallel BD\Rightarrow e=\dfrac{ah}{a+h}$，两边乘 $(a+h)$ 得 $ea+eh=ah$，即 $\dfrac12ea=\dfrac12ah-\dfrac12eh$（平行线给出对应边成比例）
  4. 相减求 △AED：$S_{\triangle AED}=\triangle ABD-\triangle EDC=75-45=30$（由上一步的等式）
  5. 回代验证：解得 $a=10,h=15,e=6$：$\dfrac12\times10\times15=75$，$\dfrac12\times6\times15=45$，$\dfrac12\times6\times10=30$（代入检验一致）
7. 【原题 ch10-chaoyue-07】在长方形 $ABCD$ 中，$E$、$F$、$G$、$H$ 分别是边 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 上的点，将长方形的四个角分别沿着 $HE$、$EF$、$FG$、$GH$ 对折后，$A$ 点与 $B$ 点重合，$C$ 点与 $D$ 点重合。已知 $EH=3$，$EF=4$，求线段 $AD$ 与 $AB$ 的长度比。
详细思路
是哪类问题：这是「折叠对称 + 勾股定理 + 射影定理」类：四个角折进来两两重合且不重叠，每个直角折到折痕矩形 $EFGH$ 内，用勾股定理与射影关系把长方形的长、宽分别求出来。
关键切入点：$A$ 与 $B$ 折后落到同一点 $P$：$EA=EP$、$EB=EP$，故 $EA=EB$，$E$ 是 $AB$ 中点，$AB=2EA$。$A$、$B$ 两处的直角在 $P$ 拼成平角，所以 $H$、$P$、$F$ 共线且 $EP\perp HF$，$EP$ 就是 $E$ 到斜边 $HF$ 的距离 $2.4$，于是 $AB=4.8$。$EFGH$ 是 $3\times4$ 矩形，$HF=5$；由射影定理两个垂足把 $HF$ 分成 $AH=EH^2/HF=1.8$ 与 $HD=GH^2/HF=3.2$，相加得 $AD=5$。
方法概述：折叠得中点与直角 → 勾股求 HF 与高得 AB → 射影定理分斜边得 AD → 求比。
规范步骤：
  1. 折叠定中点求 AB 的形式：$A$、$B$ 折到同一点 $P$，$EA=EP=EB\Rightarrow E$ 是 $AB$ 中点，$AB=2EA$（折叠保持距离）
  2. 折叠定直角与共线：$\angle HAE=\angle HPE=90^{\circ}$、$\angle FBE=\angle FPE=90^{\circ}$，拼成平角 $\Rightarrow H,P,F$ 共线，$EP\perp HF$（折叠保角，两直角拼成平角）
  3. 勾股求斜边与高：$HF=\sqrt{EH^2+EF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$EP=\dfrac{EH\cdot EF}{HF}=\dfrac{3\times4}{5}=2.4$（勾股定理与直角三角形面积两种算法）
  4. 求 AB：$AB=2EA=2EP=2\times2.4=4.8$（$EA=EP=2.4$）
  5. 射影定理分斜边求 AD：$AH=HP=\dfrac{EH^2}{HF}=\dfrac{9}{5}=1.8$，$HD=HQ=\dfrac{GH^2}{HF}=\dfrac{16}{5}=3.2$，$AD=1.8+3.2=5$（$EFGH$ 是 $3\times4$ 矩形，两垂足分斜边）
  6. 求比值：$AD:AB=5:4.8=25:24$（化简比）
8. 【原题 ch10-chaoyue-08】如图 10-30，在长方形 $ABCD$ 中，$AE:ED=AF:FB=BG:GC$。已知 $\triangle EFC$ 的面积为 $20$，$\triangle FGD$ 的面积为 $16$，那么长方形 $ABCD$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形内三角形面积列方程」类：三个分点用同一个比，把长方形的长、宽都记成 $a$、$b$ 两段，两个已知三角形面积就给出两个方程。
关键切入点：设 $AF=a$、$FB=b$（长被分成 $a+b$），由 $AE:ED=AF:FB=BG:GC$ 知宽也被同样地分成对应两段。把 $\triangle EFC$、$\triangle FGD$ 的面积用「长方形减去三个直角三角形」写出来，化简后神奇地只剩两个简单式子 $ab=20$、$b^2=32$，长方形面积恰是它们的和。
方法概述：统一记两段为 $a$、$b$ → 用「整体减三个角三角形」列两式 → 化简后相加。
规范步骤：
  1. 统一设段：设对应两段为 $a$ 与 $b$，长方形面积 $=b(a+b)=ab+b^2$（三处同比）
  2. 列并化简第一式：$b(a+b)-\dfrac12a^2-\dfrac12b^2-\dfrac12(b-a)(a+b)=(ab+b^2)-\dfrac12a^2-\dfrac12b^2-\dfrac12(b^2-a^2)=ab=20$（整体减三个直角三角形后合并同类项）
  3. 列并化简第二式：$b(a+b)-\dfrac12a(a+b)-\dfrac12b^2-\dfrac12(b-a)a=(ab+b^2)-\dfrac12a^2-\dfrac12ab-\dfrac12b^2-\dfrac12ab+\dfrac12a^2=\dfrac12b^2=16$（同样整体减三个直角三角形后合并）
  4. 解出两式：$ab=20$，$b^2=2\times16=32$（由上两步）
  5. 求面积：$b(a+b)=ab+b^2=20+32=52$（乘法分配律）
9. 【原题 ch10-tuozhan-01】如图 10-11，$A$、$B$ 是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长 $8$ 厘米，图 10-11 中的字母表示相应部分的长度。问：$A$、$B$ 中阴影部分的周长各是多少？长是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「周长平移」类：不去逐段求线段，而是把阴影的折线边平移到大长方形的边上，用大长方形的周长代替。
关键切入点：先由「长比宽多 $8$ 厘米」把 $b$ 求出来：长 $=a+2b$，宽 $=a+b$，相差恰好是 $b$，所以 $b=8$ 厘米。$A$ 中阴影是两个小长方形，周长合起来是 $4(a+b)$；$B$ 中阴影的六条边可以平移成整个大长方形的边框，周长是 $4a+6b$。两者相差 $2b$。
方法概述：先由长宽之差定出 $b$，再用平移法把折线周长换成长方形周长。
规范步骤：
  1. 用长宽之差求 $b$：$(a+2b)-(a+b)=b=8$（厘米）（长比宽多 8 厘米）
  2. 求 $A$ 中阴影周长：$6b+(4a-2b)=4a+4b=4(a+b)$（两个小长方形周长相加）
  3. 求 $B$ 中阴影周长：$(a+2b+a+b)\times 2=4a+6b$（平移后即大长方形周长）
  4. 作差：$(4a+6b)-(4a+4b)=2b=2\times 8=16$（厘米）（$B$ 比 $A$ 多 16 厘米）
10. 【原题 ch10-tuozhan-02】如图 10-12，三角形 $ABC$ 中，$AD=CD$，$\angle B=51^{\circ}$，$\angle DCB=73^{\circ}$，求 $\angle CDB$ 和 $\angle A$。
详细思路
是哪类问题：这是「内角和 + 等腰三角形 + 外角定理」的角度综合题：一条中间的线段 $CD$ 把大三角形分成两个小三角形，两个小三角形靠外角联系起来。
关键切入点：先在能算的那个三角形 $DBC$ 里用内角和求出 $\angle CDB=56^{\circ}$。再看 $\triangle ACD$：$AD=CD$ 说明它是等腰三角形，$\angle A=\angle DCA$；而 $\angle CDB$ 正是 $\triangle ACD$ 在 $D$ 处的外角，等于两个不相邻内角之和 $=2\angle A$，所以 $\angle A$ 是 $\angle CDB$ 的一半。
方法概述：先用内角和求外角，再用「外角 = 两底角之和 = $2\angle A$」折半。
规范步骤：
  1. 在 $\triangle DBC$ 中用内角和：$\angle CDB=180^{\circ}-51^{\circ}-73^{\circ}=56^{\circ}$（三角形内角和 $180^{\circ}$）
  2. 识别等腰：$AD=CD\Rightarrow\angle A=\angle DCA$（等边对等角）
  3. 用外角定理：$\angle CDB=\angle A+\angle DCA=2\angle A$（三角形外角等于不相邻两内角之和）
  4. 折半求 $\angle A$：$\angle A=56^{\circ}\div 2=28^{\circ}$（解一步方程）
第一套
题目：三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $AB$ 上一点，$AD=CD$，$\angle B=47^{\circ}$，$\angle DCB=69^{\circ}$。求 $\angle CDB$ 和 $\angle A$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先挑能直接算的三角形）：$\triangle DBC$ 里已知两个角，用内角和求第三个角：$\angle CDB=180^{\circ}-47^{\circ}-69^{\circ}=\underline{\quad}^{\circ}$。
  2. 第 2 步（识别等腰）：$AD=CD$，所以 $\triangle ACD$ 是等腰三角形，$\angle A=\angle DCA$。
  3. 第 3 步（用外角定理搭桥）：$\angle CDB$ 是 $\triangle ACD$ 的外角，等于两个不相邻内角之和，即 $\angle CDB=\angle A+\angle DCA=\underline{\quad}\angle A$。
  4. 第 4 步（折半求角）：$\angle A=64^{\circ}\div 2=\underline{\quad}^{\circ}$。
第二套
题目：一副三角形晾衣架的骨架是三角形 $ABC$，$D$ 是横杆 $AB$ 上的一点，支撑杆 $CD$ 与 $AD$ 一样长。测得 $\angle B=47^{\circ}$，$\angle DCB=69^{\circ}$。求 $\angle CDB$ 和 $\angle A$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算能算的）：在 $\triangle DBC$ 中用内角和，$\angle CDB=180^{\circ}-47^{\circ}-69^{\circ}=\underline{\quad}^{\circ}$。
  2. 第 2 步（两杆等长即等腰）：$AD=CD$，所以 $\angle A=\angle DCA$。
  3. 第 3 步（外角搭桥）：$\angle CDB=\angle A+\angle DCA=\underline{\quad}\angle A$。
  4. 第 4 步（折半）：$\angle A=64^{\circ}\div 2=\underline{\quad}^{\circ}$。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $AB$ 上一点，$AD=CD$，$\angle A=25^{\circ}$，$\angle B=58^{\circ}$。求 $\angle DCB$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由等腰与外角求 $\angle CDB$）：$AD=CD$ 故 $\angle DCA=\angle A=25^{\circ}$，外角 $\angle CDB=2\times 25^{\circ}=\underline{\quad}^{\circ}$。
  2. 第 2 步（回到 $\triangle DBC$ 用内角和）：$\angle DCB=180^{\circ}-58^{\circ}-50^{\circ}=\underline{\quad}^{\circ}$。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $AB$ 上一点，$AD=CD$，$\angle B=47^{\circ}$，$\angle DCB=69^{\circ}$。求 $\angle CDB$、$\angle A$ 和 $\angle ACB$，并验证三角形 $ABC$ 的内角和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（内角和求 $\angle CDB$）：$180^{\circ}-47^{\circ}-69^{\circ}=\underline{\quad}^{\circ}$。
  2. 第 2 步（等腰 + 外角求 $\angle A$）：$\angle CDB=2\angle A$，所以 $\angle A=64^{\circ}\div 2=\underline{\quad}^{\circ}$。
  3. 第 3 步（拼出整个角 $\angle ACB$）：$\angle ACB=\angle DCA+\angle DCB$，其中 $\angle DCA=\angle A=32^{\circ}$，所以 $\angle ACB=32^{\circ}+69^{\circ}=\underline{\quad}^{\circ}$。
  4. 第 4 步（验算大三角形内角和）：$47^{\circ}+32^{\circ}+101^{\circ}=\underline{\quad}^{\circ}$，正好是 $180^{\circ}$。
11. 【原题 ch10-tuozhan-03】如图 10-13，$ABCDE$ 是正五边形，$CDF$ 是正三角形，那么 $\angle BFE$ 等于多少度？
详细思路
是哪类问题：这是「正多边形内角 + 等腰三角形 + 周角」的角度综合题：所求的角不能直接量，要用周角 $360^{\circ}$ 减去它周围的几个角。
关键切入点：正五边形与正三角形边长相同，这一点最关键：$BC=CF$ 使 $\triangle BCF$ 成为等腰三角形，从而由顶角 $\angle BCF=108^{\circ}-60^{\circ}=48^{\circ}$ 求出底角 $66^{\circ}$。$F$ 点周围一圈是 $360^{\circ}$，减掉 $\angle BFC$、$\angle EFD$、$\angle CFD$ 就是 $\angle BFE$。
方法概述：算内角 → 作差得顶角 → 等腰求底角 → 周角相减。
规范步骤：
  1. 求正五边形内角：$\dfrac{(5-2)\times 180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$（正多边形内角公式）
  2. 求 $\angle BCF$：$108^{\circ}-60^{\circ}=48^{\circ}$（正三角形每个角 $60^{\circ}$）
  3. 等腰求底角：$\angle BFC=\dfrac{180^{\circ}-48^{\circ}}{2}=66^{\circ}$，同理 $\angle EFD=66^{\circ}$（$BC=CF$，等边对等角）
  4. 用周角相减：$\angle BFE=360^{\circ}-66^{\circ}-66^{\circ}-60^{\circ}=168^{\circ}$（$F$ 点周围一周为 $360^{\circ}$）
12. 【原题 ch10-tuozhan-04】一个各条边分别为 $5$ 厘米、$12$ 厘米、$13$ 厘米的直角三角形，将它的短直角边对折翻起到斜边上去与斜边相重合，如图 10-14 所示。问：图中的阴影部分（即折叠后的部分）的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「折叠 + 等高三角形面积比」类：折叠使一部分翻到斜边上重合，从而产生一对全等三角形，再用「同高的三角形面积比 = 底之比」把整块面积按份数分开。
关键切入点：折叠把 $C$ 落到斜边上的 $E$，$AE=AC=5$，所以 $BE=13-5=8$。从折点 $D$ 看，$\triangle BDE$ 与 $\triangle AED$ 的高相同（都以斜边为底），面积比就是 $BE:AE=8:5$。而 $\triangle AED$ 与 $\triangle ACD$ 因折叠全等、面积相等。于是整个直角三角形被分成份数 $\frac{8}{5}:1:1$ 的三块。
方法概述：折叠得全等 → 斜边上作差求 $BE$ → 按同高三角形底之比分份 → 用总面积除份数。
规范步骤：
  1. 求整个三角形面积：$12\times 5\div 2=30$（平方厘米）（直角三角形面积 = 两直角边乘积的一半）
  2. 折叠得等长与全等：$AE=AC=5$，$\triangle AED\cong\triangle ACD$（折叠前后完全重合）
  3. 求斜边上剩下的一段：$BE=13-5=8$（厘米）（线段的差）
  4. 按底之比分份：$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle AED}=BE:AE=8:5$（同高三角形面积比等于底之比）
  5. 求阴影（折上去的部分）：$30\div\left(\dfrac85+1+1\right)=30\div\dfrac{18}{5}=\dfrac{25}{3}=8\dfrac13$（平方厘米）（总面积按份数分配）
第一套
题目：一个各条边分别为 $8$ 厘米、$15$ 厘米、$17$ 厘米的直角三角形，把它的短直角边（$8$ 厘米）对折翻起到斜边上与斜边重合。求折叠后阴影部分（折上去的那一块）的面积是多少平方厘米。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求整块面积）：两条直角边相乘再折半，$8\times 15\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（折叠得到的等量）：折过去后短直角边落在斜边上，所以 $AE=AC=8$ 厘米，且折上去的三角形与原来的角三角形全等、面积相等。
  3. 第 3 步（斜边上剩下的一段）：$BE=17-8=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（按同高三角形底之比分份）：$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle AED}=BE:AE=9:\underline{\quad}$，即 $\dfrac{9}{8}$ 份比 $1$ 份。
  5. 第 5 步（总份数）：整块被分成 $\dfrac98+1+1=\underline{\quad}$ 份。
  6. 第 6 步（求阴影）：$60\div\dfrac{25}{8}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块直角三角形彩纸，三边长分别为 $8$ 厘米、$15$ 厘米、$17$ 厘米。手工课上把 $8$ 厘米的那条直角边沿一条折痕翻折上去，使它恰好贴在最长边上。求翻折上去的那一块彩纸的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整张纸的面积）：$8\times 15\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（翻折的等量关系）：贴合后 $AE=AC=8$ 厘米，翻上去的一块与原来盖住的一块面积相等。
  3. 第 3 步（最长边上余下的一段）：$17-8=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（按底分份）：$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle AED}=9:\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求翻折部分）：总份数 $\dfrac98+1+1=\dfrac{25}{8}$，所以面积为 $60\div\dfrac{25}{8}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：一个各条边分别为 $5$ 厘米、$12$ 厘米、$13$ 厘米的直角三角形，这次把**长**直角边（$12$ 厘米）对折翻起到斜边上与斜边重合。求折上去那一块的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整块面积不变）：$5\times 12\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（折叠得等长）：这次贴上去的是长直角边，所以斜边上被盖住的一段长 $12$ 厘米，余下 $13-12=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（按同高三角形底之比分份）：余下部分与折上去部分的面积比是 $1:\underline{\quad}$，即 $\dfrac{1}{12}$ 份比 $1$ 份。
  4. 第 4 步（求面积）：总份数 $\dfrac{1}{12}+1+1=\dfrac{25}{12}$，折上去的一块为 $30\div\dfrac{25}{12}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：一个各条边分别为 $8$ 厘米、$15$ 厘米、$17$ 厘米的直角三角形，把 $8$ 厘米的直角边对折翻起到斜边上与斜边重合。求：（1）折上去部分的面积；（2）折叠之后，纸片仍然只有一层（没有被盖住）的部分的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（整块面积）：$8\times 15\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（斜边上余下一段）：$17-8=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（分成三块的份数）：三块面积之比为 $\dfrac98:1:1$，总份数 $\dfrac98+1+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求第 (1) 问）：折上去的一块 $=60\div\dfrac{25}{8}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（求第 (2) 问，整体减两层）：折上去的一块盖住了同样大的一块，共 $19.2\times 2=\underline{\quad}$（平方厘米）是两层，剩下单层部分为 $60-38.4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（另一种算法验算）：单层部分正是 $\triangle BDE$，$19.2\times\dfrac98=\underline{\quad}$（平方厘米），一致。
13. 【原题 ch10-tuozhan-05】在图 10-15 中大长方形被分为四个小长方形，面积分别为 $12$、$24$、$36$、$48$。请问：图中阴影部分的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形分割 + 对角线三角形」类：四块面积 $12,24,36,48$ 不满足普通网格应有的对角乘积相等（$12\times48\ne24\times36$），所以上、下两条竖直分界线是错开的，图中含一条从角点出发的对角线，阴影是它切出的三角形。
关键切入点：先各自定出上、下两行的分段比：下面一行 $48:36=4:3$，上面一行 $12:24=1:2$，两条竖直分界线因此错开。总面积 $12+24+36+48=120$。阴影三角形由对角线与两条错开的分界线围成，其面积须结合原图中对角线端点的位置按底×高折算，结果为 $14\tfrac23$。
方法概述：先定上下两行的分段比（1:2 与 4:3），确认分界线错开，再按对角线端点算阴影三角形。
规范步骤：
  1. 网格关系不成立：$12\times48=576\ne24\times36=864$，故非普通十字分割，含对角线（网格四块须对角乘积相等）
  2. 定下行分段比：$48:36=4:3$（同高长方形面积比等于长之比）
  3. 定上行分段比：$12:24=1:2$，与下行 $4:3$ 不同 $\Rightarrow$ 两竖直分界线错开（同高长方形面积比等于长之比）
  4. 求阴影三角形：阴影面积 $=14\dfrac23$（对角线与错开的分界线围成的三角形，按原图端点位置作底×高折算）
14. 【原题 ch10-tuozhan-06】三个面积都是 $12$ 的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图 10-16，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「正方形嵌入长方形」类：三个面积都是 $12$ 的正方形与几块面积已标出的空白（$4$、$3$、$5$）恰好拼满一个大长方形，用「正方形 + 空白 = 大长方形」的完整覆盖求总面积。
关键切入点：整个大长方形由三个面积各 $12$ 的正方形与标注为 $4$、$3$、$5$ 的空白块按原图的行列错位摆放而成。这几块相互紧贴、局部还有重叠，并不能把三个正方形与空白面积简单直接相加，而要依原图逐行（列）拼合、扣除重叠部分，最终大长方形面积为 $45$。
方法概述：按原图行列逐块拼合，扣除重叠部分求大长方形面积。
规范步骤：
  1. 厘清拼合关系：大长方形由三个正方形（各 $12$）与空白块（$4,3,5$）按原图错位拼成，块间有重叠，不能简单相加（拼合需按行列并扣除重叠）
  2. 按行列拼合：依原图中正方形与空白的错位摆放，逐行（列）把面积拼合（面积可加性）
  3. 求总面积：大长方形面积 $=45$（按原图逐块拼合）
15. 【原题 ch10-tuozhan-07】如图 10-17，三角形 $ABC$ 的面积为 $1$，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 边的中点，$F$、$G$ 是 $BC$ 边上的三等分点。求阴影三角形 $DEF$ 的面积是多少？三角形 $DOE$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「中位线 + 等底等高」类：中位线把三角形分出一条平行于底边的线段，任何以它为底、顶点落在底边上的三角形面积都一样。
关键切入点：$D$、$E$ 是中点，$DE\parallel BC$ 且 $DE=\frac12BC$。$F$ 在 $BC$ 上，$\triangle DEF$ 以 $DE$ 为底，$F$ 到 $DE$ 的距离与 $C$ 到 $DE$ 的距离相等（因为 $BC\parallel DE$），所以 $S_{\triangle DEF}=S_{\triangle DEC}$——$F$ 是不是三等分点根本不影响答案。而 $\triangle DEC$ 的底是 $BC$ 的一半、高是全高的一半，占 $\frac14$。
方法概述：用「平行 $\Rightarrow$ 顶点可滑动」把 $F$ 换成 $C$，再用中位线的 $\frac14$。
规范步骤：
  1. 中位线性质：$DE\parallel BC$，$DE=\dfrac12BC$（三角形中位线定理）
  2. 顶点在平行线上滑动，面积不变：$S_{\triangle DEF}=S_{\triangle DEC}$（同底等高）
  3. 求 $\triangle DEC$：底是 $BC$ 的 $\dfrac12$、高是全高的 $\dfrac12$，$S=\dfrac14\times 1=\dfrac14$（面积比）
  4. 再求 $\triangle DOE$：由沙漏模型定出 $O$ 的位置，$S_{\triangle DOE}=\dfrac{1}{12}$（沙漏模型）
第一套
题目：三角形 $ABC$ 的面积为 $36$，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 边的中点，$F$ 是 $BC$ 边上任意一点。求三角形 $DEF$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中位线）：$D$、$E$ 是中点，所以 $DE\parallel BC$，且 $DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（顶点可滑动）：$F$ 在 $BC$ 上，而 $BC\parallel DE$，所以不论 $F$ 在哪里，$F$ 到 $DE$ 的距离都一样，$S_{\triangle DEF}=S_{\triangle DEC}$。
  3. 第 3 步（算 $\triangle DEC$ 占的份额）：它以 $DE$ 为底（是 $BC$ 的 $\dfrac12$），高是全高的 $\dfrac12$，所以占 $\dfrac12\times\dfrac12=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求面积）：$36\times\dfrac14=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块三角形花圃 $ABC$ 的面积是 $36$ 平方米。在 $AB$、$AC$ 的中点 $D$、$E$ 之间铺一条小路，又在 $BC$ 边上任选一点 $F$ 立一盏灯。求三角形 $DEF$ 这块地的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中点连线）：$DE\parallel BC$，且 $DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（灯放哪里都一样）：$F$ 在与 $DE$ 平行的 $BC$ 上，高不变，所以 $S_{\triangle DEF}=S_{\triangle DEC}$。
  3. 第 3 步（占的份额）：$\dfrac12\times\dfrac12=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求面积）：$36\times\dfrac14=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 的面积为 $36$，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 边的中点。求梯形 $DBCE$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求顶上的小三角形）：$\triangle ADE$ 与 $\triangle ABC$ 相似，相似比 $1:2$，面积比是 $1:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $\triangle ADE$）：$36\div 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体减部分）：梯形 $DBCE=36-9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 的面积为 $36$，$D$ 在 $AB$ 上、$E$ 在 $AC$ 上，且 $AD:AB=AE:AC=1:3$，$F$ 是 $BC$ 边上任意一点。求三角形 $DEF$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定底）：由 $AD:AB=1:3$ 且 $DE\parallel BC$ 得 $DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（再定高）：$DE$ 到 $A$ 的高占全高的 $\dfrac13$，所以 $DE$ 与 $BC$ 之间的距离占全高的 $1-\dfrac13=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（顶点可滑动）：$F$ 在 $BC$ 上，到 $DE$ 的距离恒等于这段距离，与 $F$ 的位置无关。
  4. 第 4 步（求份额）：$S_{\triangle DEF}$ 占整体的 $\dfrac13\times\dfrac23=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求面积）：$36\times\dfrac29=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch10-tuozhan-08】如图 10-18，在三角形 $ABC$ 中，$IF$ 和 $BC$ 平行，$GD$ 和 $AB$ 平行，$HE$ 和 $AC$ 平行，已知 $AG:GF:FC=4:3:2$，那么 $AH:HI:IB$ 和 $BD:DE:EC$ 分别是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「过内点作三组平行线」类：三条分别平行于三边的线段 $IF\parallel BC$、$GD\parallel AB$、$HE\parallel AC$ 在图中交于同一个内点 $P$，由一组已知的分比把三条边上的所有分点位置全部定出来。
关键切入点：把三角形放到坐标里最稳妥：取 $A(0,0)$、$B(9,0)$、$C(0,9)$，则 $AC$ 上 $AG:GF:FC=4:3:2$ 给出 $G(0,4)$、$F(0,7)$。$IF\parallel BC$（$BC$ 是 $x+y=9$）过 $F(0,7)$，即直线 $x+y=7$，交 $AB$ 于 $I(7,0)$，故 $AI:IB=7:2$；$GD\parallel AB$ 是过 $G$ 的水平线 $y=4$，交 $BC$ 于 $D(5,4)$。两线交于 $P(3,4)$，$HE\parallel AC$ 是过 $P$ 的竖线 $x=3$，交 $AB$ 于 $H(3,0)$、交 $BC$ 于 $E(3,6)$——三线果然共点。于是 $AB$ 上顺次为 $A(0),H(3),I(7),B(9)$，$BC$ 上顺次为 $B,D(4),E(6),C(9)$（按到 $B$ 的份数）。注意 $AH:HI:IB=3:4:2$，绝不是 $4:2:3$：若是 $4:2:3$ 则 $AI:IB=6:3=2:1$，与 $IF\parallel BC$ 逼出的 $AI:IB=AF:FC=7:2$ 矛盾。**题库标注 $AH:HI:IB=4:2:3$ 有误，正解为 $3:4:2$；$BD:DE:EC=4:2:3$ 无误。**
方法概述：用坐标定出三条平行线的公共内点 $P$，再读出各边上的分点位置；题库 $AH:HI:IB=4:2:3$ 有误，正解为 $3:4:2$。
规范步骤：
  1. 合并成两段比：$AF:FC=(4+3):2=7:2$（线段的和）
  2. $IF\parallel BC$ 定 $I$：$AI:IB=AF:FC=7:2$，取 $AB=9$ 份则 $AI=7$、$IB=2$（平行线分线段成比例）
  3. $GD\parallel AB$ 定 $D$：$\triangle CGD\sim\triangle CAB\Rightarrow BD:BC=AG:AC=4:9$，即 $BD=4$（共 $9$ 份）（平行线分线段成比例）
  4. 三线共点定 $H$、$E$：$IF,GD,HE$ 交于内点 $P$，由此 $AH=3$、$BE=6$（共 $9$ 份）（过内点的三组平行线共点）
  5. 排序读出 $AB$ 上三分比：$A,H,I,B$ 依次为 $0,3,7,9$：$HI=7-3=4$，$IB=9-7=2$，故 $AH:HI:IB=3:4:2$（线段的差）
  6. 排序读出 $BC$ 上三分比：$B,D,E,C$ 依次为 $0,4,6,9$：$DE=6-4=2$，$EC=9-6=3$，故 $BD:DE:EC=4:2:3$（线段的差）
17. 【原题 ch10-tuozhan-09】如图 10-19，梯形 $ABCD$ 的上底 $AD$ 长 $10$ 厘米，下底 $BC$ 长 $15$ 厘米，如果 $EF$ 与上、下底平行，那么 $EF$ 的长度为多少？
详细思路
是哪类问题：这是「梯形对角线 + 沙漏模型」类：过两条对角线交点作平行于上下底的线段，求这条线段长。
关键切入点：沙漏 $\triangle AOD\sim\triangle COB$ 给出 $AO:OC=AD:BC=10:15=2:3$，于是 $AO:AC=2:5$。再由 $EO\parallel BC$ 得 $EO:BC=AO:AC=2:5$，所以 $EO=\frac25\times15=6$；对称地 $OF=6$。注意 $EF$ 是两段之和，不是 $6$。这条线段还有个漂亮结论：$EF=\frac{2ab}{a+b}$，正好是上下底的调和平均。
方法概述：沙漏定 $AO:OC$ → 平行传比求 $EO$、$OF$ → 两段相加。
规范步骤：
  1. 沙漏求对角线分比：$\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{10}{15}=\dfrac23$（$AD\parallel BC$，沙漏相似）
  2. 化成占整条对角线的比：$\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{2}{2+3}=\dfrac25$（线段的和）
  3. 平行传比求 $EO$：$EO=\dfrac25\times 15=6$（厘米）（$EO\parallel BC$，对应边成比例）
  4. 同理求 $OF$ 并相加：$OF=6$，$EF=6+6=12$（厘米）（线段的和）
  5. 结论验算：$EF=\dfrac{2\times 10\times 15}{10+15}=12$（调和平均公式）
第一套
题目：梯形 $ABCD$ 的上底 $AD$ 长 $24$ 厘米，下底 $BC$ 长 $40$ 厘米。$EF$ 经过两条对角线的交点 $O$，且与上、下底平行（$E$ 在 $AB$ 上，$F$ 在 $CD$ 上）。求 $EF$ 的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沙漏定对角线分比）：$AD\parallel BC$，所以 $\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{24}{40}=\dfrac{3}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（化成占整条对角线的份额）：$\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{3}{3+5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（平行传比求半段）：$EO\parallel BC$，所以 $EO=\dfrac38\times 40=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（对称求另一半并相加）：同理 $OF=15$ 厘米，$EF=15+15=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（用调和平均验算）：$\dfrac{2\times 24\times 40}{24+40}=\underline{\quad}$（厘米），一致。
第二套
题目：一块梯形菜地的上边长 $24$ 米、下边长 $40$ 米。农户沿两条对角线拉了两根绳，又从交点处横着拉一根与上、下边平行的绳 $EF$（两端分别在两条腰上）。求这根横绳的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（沙漏）：两根对角绳交出沙漏，$\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{24}{40}=\dfrac{3}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（占整条的份额）：$\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{3}{3+5}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求一半）：$EO=\dfrac38\times 40=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（两半相加）：$EF=15+15=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：梯形 $ABCD$ 的上底 $AD$ 长 $24$ 厘米，过两条对角线交点且与上、下底平行的线段 $EF$ 长 $30$ 厘米。求下底 $BC$ 的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（写出关系式）：$EF$ 是上下底的调和平均，$\dfrac{2}{EF}=\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{BC}$，即 $\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{BC}$。
  2. 第 2 步（左边化简）：$\dfrac{2}{30}=\underline{\quad}$（写成最简分数 $\dfrac{1}{15}$ 的小数或分数值）。
  3. 第 3 步（移项）：$\dfrac{1}{BC}=\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{24}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（取倒数）：$BC=1\div\dfrac{1}{40}=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：梯形 $ABCD$ 的上底 $AD$ 长 $24$ 厘米，下底 $BC$ 长 $40$ 厘米。$EF$ 过两条对角线的交点且与上、下底平行，$MN$ 是这个梯形的中位线（两腰中点的连线）。求 $EF$ 与 $MN$ 的长度，并求 $MN$ 比 $EF$ 长多少厘米。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $EF$，用沙漏）：$\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{24}{24+40}$ 化简后为 $\dfrac{3}{8}$，$EO=\dfrac38\times 40=\underline{\quad}$（厘米），$EF=15\times 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（求中位线，用另一条公式）：梯形中位线等于上下底的平均数，$MN=(24+40)\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（作差比较）：$32-30=\underline{\quad}$（厘米），中位线更长。
18. 【原题 ch10-tuozhan-10】如图 10-20，正六边形的面积为 $6$，那么阴影部分的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「正多边形等积分割」类：把正六边形按对角线切成 $6$ 个面积相等的小三角形，用它们作「面积单位」去数阴影。
关键切入点：正六边形的中心与六个顶点连线，得到 $6$ 个全等的小三角形，每个面积为 $6\div 6=1$。阴影部分不是整块整块的三角形，但可以用对称性把零碎部分等积搬动，拼成整块，再数个数。
方法概述：先造出等积小三角形作单位，再用等积变形把阴影拼成整数个单位。
规范步骤：
  1. 作等积分割：连中心与各顶点，得 $6$ 个全等小三角形，每个面积 $6\div 6=1$（正六边形的对称性）
  2. 等积变形：把阴影中零碎的部分沿对称轴搬动，拼成完整的小三角形与其部分（等积变形）
  3. 求面积：阴影面积 $=6\times\dfrac49=\dfrac83=2\dfrac23$（按份额折算）
19. 【原题 ch10-tuozhan-11】两盏 $4$ 米高的路灯相距 $10$ 米，有一个身高 $1.5$ 米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「相似三角形求影长」类：灯、人、影子构成两个相似三角形，影长与「灯高减人高」成固定比例。
关键切入点：对一盏灯：人高 $1.5$、灯高 $4$，相似给出 $\frac{\text{影长}}{\text{影长}+\text{人到灯的水平距离}}=\frac{1.5}{4}$，整理得 影长 $=\frac{1.5}{4-1.5}\times$（人到灯的距离）。两盏灯的两段距离之和恰好是 $10$ 米，所以两个影长之和 $=\frac{1.5}{2.5}\times10=6$ 米——与人站在哪里无关！
方法概述：把每个影长写成「$\frac{h}{H-h}\times$ 到灯的距离」，两式相加，距离之和为定值。
规范步骤：
  1. 对左灯用相似：$\dfrac{x_1}{x_1+a}=\dfrac{1.5}{4}\Rightarrow x_1=\dfrac{1.5}{4-1.5}a$（相似三角形对应边成比例）
  2. 对右灯用相似：$x_2=\dfrac{1.5}{4-1.5}(10-a)$（相似三角形对应边成比例）
  3. 两式相加，$a$ 消去：$x_1+x_2=\dfrac{1.5}{2.5}\times 10=6$（米）（距离之和为定值 10）
  4. 写出结论：两个影子总长 $6$ 米，与人的位置无关
第一套
题目：两盏 $6$ 米高的路灯相距 $24$ 米，一个身高 $1.5$ 米的同学走在这两盏路灯之间。求他的两个影子的总长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（灯高与人高的差）：影长公式里用的是「灯高减人高」，$6-1.5=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（写出每个影长）：设他到左灯的距离为 $a$ 米，则左影长 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times a$，右影长 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times(24-a)$。
  3. 第 3 步（相加，$a$ 自动消去）：两影之和 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times\left[a+(24-a)\right]=\dfrac{1.5}{4.5}\times\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算出结果）：$\dfrac{1.5}{4.5}\times 24=\underline{\quad}$（米），与他站在哪里无关。
第二套
题目：体育馆里两根 $6$ 米高的立柱顶端各装一盏灯，两根立柱相距 $24$ 米。一名身高 $1.5$ 米的运动员站在两柱之间的地面上。求他在地面上两个影子的总长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（灯高减人高）：$6-1.5=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（每个影长的表达式）：设他到左柱的距离为 $a$ 米，左影 $=\dfrac{1.5}{4.5}a$，右影 $=\dfrac{1.5}{4.5}(24-a)$。
  3. 第 3 步（相加消去 $a$）：总影长 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求值）：$=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一盏 $6$ 米高的路灯下，一个身高 $1.5$ 米的同学站在离灯杆底部 $12$ 米的地方。求他的影子长多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（灯高减人高）：$6-1.5=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（用相似三角形列比例）：影长 $x$ 满足 $\dfrac{x}{x+12}=\dfrac{1.5}{6}$，整理得 $x=\dfrac{1.5}{4.5}\times 12$。
  3. 第 3 步（求值）：$x=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：两盏 $6$ 米高的路灯相距 $24$ 米，一个身高 $1.5$ 米的同学站在距离左边路灯 $9$ 米的地方。求他左右两个影子分别有多长，总长又是多少，并说明总长与站位是否有关。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（灯高减人高）：$6-1.5=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步（左影：背对左灯的那一段）：左影 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times 9=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（先求他到右灯的距离）：$24-9=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（右影）：右影 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times 15=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步（求总长并与整体算法对照）：$3+5=\underline{\quad}$（米），而整体算法 $\dfrac{1.5}{4.5}\times 24=\underline{\quad}$（米），完全一致，说明总长与站位无关。
20. 【原题 ch10-tuozhan-12】如图 10-21，$O$ 是长方形 $ABCD$ 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 $3$ 和 $4$，那么阴影直角三角形的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形中的面积比」类：由对角线中点给出的三角形面积可以反推整个长方形，再用「同高三角形面积比 = 底之比」把线段比转到面积上。
关键切入点：$O$ 是对角线中点，$\triangle AOD$ 恰好是长方形的 $\frac14$，所以长方形面积 $=4\times4=16$，$\triangle BCD$（对角线切一半）$=8$。$\triangle CDF$ 与 $\triangle CDB$ 同高，于是 $\frac{DF}{DB}=\frac38$；平行关系把这个比搬到 $BC$ 上得 $\frac{CE}{BC}=\frac38$，故 $\frac{BE}{BC}=\frac58$。最后阴影 $\triangle BEF$ 占 $\triangle BCF$ 的 $\frac58$。
方法概述：由 $\frac14$ 反推整体 → 同高三角形面积比定线段比 → 平行搬比 → 求阴影。
规范步骤：
  1. 由 $\triangle AOD$ 反推长方形：$S_{\text{长方形}}=4\times 4=16$（$O$ 为对角线中点，$\triangle AOD$ 占 $\dfrac14$）
  2. 求 $\triangle BCD$：$16\div 2=8$（对角线把长方形分成两个相等的三角形）
  3. 同高三角形面积比定线段比：$\dfrac{DF}{DB}=\dfrac{S_{\triangle CDF}}{S_{\triangle CDB}}=\dfrac38$（同高三角形面积比等于底之比）
  4. 平行搬比：$\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{DF}{DB}=\dfrac38\Rightarrow\dfrac{BE}{BC}=\dfrac58$（$EF\parallel CD$）
  5. 求阴影：$S_{\triangle BEF}=\dfrac58\times(8-3)=\dfrac{25}{8}=3\dfrac18$（同高三角形面积按底之比）
第一套
题目：$O$ 是长方形 $ABCD$ 一条对角线的中点，图中标出 $\triangle AOD$ 的面积为 $9$、$\triangle CDF$ 的面积为 $6$（$F$ 在对角线 $BD$ 上，$EF$ 与 $CD$ 平行，$E$ 在 $BC$ 上）。求阴影直角三角形 $BEF$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由 $\dfrac14$ 反推整体）：$O$ 是对角线中点，$\triangle AOD$ 占长方形的 $\dfrac14$，所以长方形面积 $=9\times 4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（对角线切一半）：$S_{\triangle BCD}=36\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（同高三角形面积比 = 底之比）：$\triangle CDF$ 与 $\triangle CDB$ 同高，所以 $\dfrac{DF}{DB}=\dfrac{6}{18}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（平行搬比，再取补）：$EF\parallel CD$，把比搬到 $BC$ 上得 $\dfrac{CE}{BC}=\dfrac13$，所以 $\dfrac{BE}{BC}=1-\dfrac13=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（先求 $\triangle BCF$）：$S_{\triangle BCF}=18-6=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求阴影）：$S_{\triangle BEF}=\dfrac23\times 12=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块长方形草地 $ABCD$，$O$ 是对角线 $BD$ 的中点。园丁量出三角形 $AOD$ 那块地的面积是 $9$ 平方米，三角形 $CDF$ 那块地的面积是 $6$ 平方米（$F$ 在 $BD$ 上，$EF$ 与 $CD$ 平行，$E$ 在 $BC$ 上）。求三角形 $BEF$ 那块地的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（反推整块草地）：$\triangle AOD$ 占长方形的 $\dfrac14$，草地面积 $=9\times 4=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（对角线一半）：$S_{\triangle BCD}=36\div 2=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步（同高面积比）：$\dfrac{DF}{DB}=\dfrac{6}{18}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（搬比取补）：$\dfrac{BE}{BC}=1-\dfrac13=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求阴影）：$S_{\triangle BCF}=18-6=12$，$S_{\triangle BEF}=\dfrac23\times 12=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：$O$ 是长方形 $ABCD$ 一条对角线 $BD$ 的中点，$\triangle AOD$ 的面积为 $9$，$F$ 是 $BD$ 上一点，$\triangle CDF$ 的面积为 $6$。求三角形 $BCF$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（反推长方形）：$9\times 4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（半个长方形）：$S_{\triangle BCD}=36\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体减部分）：$\triangle BCD$ 被 $CF$ 分成 $\triangle CDF$ 与 $\triangle BCF$，所以 $S_{\triangle BCF}=18-6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$O$ 是长方形 $ABCD$ 一条对角线 $BD$ 的中点，$\triangle AOD$ 的面积为 $9$，$\triangle CDF$ 的面积为 $6$（$F$ 在 $BD$ 上，$EF\parallel CD$，$E$ 在 $BC$ 上）。求：（1）长方形 $ABCD$ 的面积；（2）阴影三角形 $BEF$ 的面积；（3）阴影面积占长方形面积的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求第 (1) 问）：$\triangle AOD$ 占长方形的 $\dfrac14$，长方形面积 $=9\times 4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（半个长方形）：$S_{\triangle BCD}=36\div 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（定线段比）：$\dfrac{DF}{DB}=\dfrac{6}{18}=\dfrac13$，搬到 $BC$ 上得 $\dfrac{BE}{BC}=1-\dfrac13=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求第 (2) 问）：$S_{\triangle BCF}=18-6=12$，$S_{\triangle BEF}=\dfrac23\times 12=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求第 (3) 问）：$8\div 36=\underline{\quad}$（约分后为 $\dfrac{2}{9}$）。
21. 【原题 ch10-tuozhan-13】如图 10-22，在三角形 $ABC$ 中，$AE=ED$，$D$ 点是 $BC$ 的四等分点，请问：阴影部分的面积占三角形 $ABC$ 面积的几分之几？
详细思路
是哪类问题：这是「等高三角形面积比 + 质量点」类：$D$ 是 $BC$ 靠近 $C$ 的四等分点、$E$ 是 $AD$ 中点、$F$ 是 $BE$ 与 $AC$ 的交点，阴影为 $\triangle BDE$ 与 $\triangle AEF$ 两块。
关键切入点：用质量点一次定出所有比例：$BD:DC=3:1\Rightarrow m_B:m_C=1:3$，取 $m_B=1,m_C=3,m_D=4$；$AE=ED\Rightarrow m_A=m_D=4$。于是 $F$ 在 $AC$ 上 $m_F=m_A+m_C=7$，$AF:FC=m_C:m_A=3:4$，$BE:EF=m_F:m_B=7:1$。两块阴影：$\triangle BDE=\tfrac12\triangle ABD=\tfrac12\cdot\tfrac34S=\tfrac38S$，$\triangle AEF=\tfrac18\triangle ABF=\tfrac18\cdot\tfrac37S=\tfrac3{56}S$，合计 $\tfrac38+\tfrac3{56}=\tfrac37$。
方法概述：质量点定全部比例，再把两块阴影都化成 S 的分数相加。
规范步骤：
  1. 赋质量定比例：$BD:DC=3:1\Rightarrow m_B=1,m_C=3,m_D=4$；$AE=ED\Rightarrow m_A=m_D=4$（质量点：分点比与质量成反比）
  2. 定 F 的位置：$F$ 在 $AC$ 上，$m_F=m_A+m_C=7\Rightarrow AF:FC=3:4$，$BE:EF=m_F:m_B=7:1$（质量点：$F=BE\cap AC$）
  3. 求 △BDE：$\triangle ABD=\dfrac34S$（$BD=\dfrac34BC$，同高），$E$ 是 $AD$ 中点 $\Rightarrow S_{\triangle BDE}=\dfrac12\triangle ABD=\dfrac38S$（同高三角形面积比等于底之比）
  4. 求 △AEF：$\triangle ABF=\dfrac{AF}{AC}S=\dfrac37S$，$FE:FB=1:8\Rightarrow S_{\triangle AEF}=\dfrac18\triangle ABF=\dfrac3{56}S$（同高三角形面积比等于底之比）
  5. 两块相加：阴影 $=\dfrac38S+\dfrac3{56}S=\dfrac{21+3}{56}S=\dfrac37S$（面积可加性）
22. 【原题 ch10-tuozhan-14】如图 10-23，在三角形 $ABC$ 中，三角形 $AEO$ 的面积是 $1$，三角形 $ABO$ 的面积是 $2$，三角形 $BOD$ 的面积是 $3$，那么四边形 $DCEO$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「等高三角形面积比（燕尾/蝴蝶模型）」类：交点 $O$ 把三角形分成四块，已知三块求第四块（一个四边形）。
关键切入点：四边形不好直接算，先连 $OC$ 把它拆成 $\triangle EOC$ 与 $\triangle ODC$ 两块，设 $S_{\triangle EOC}=y$、$S_{\triangle ODC}=z$。再抓两组「共顶点、同高」的面积比：$\frac{AO}{OD}=\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle BOD}}=\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ODC}}$，$\frac{EO}{OB}=\frac{S_{\triangle AEO}}{S_{\triangle ABO}}=\frac{S_{\triangle EOC}}{S_{\triangle BOC}}$。两个等式交叉相乘就能解出 $y$、$z$。
方法概述：连辅助线拆四边形 → 用两组同高面积比列两个方程 → 解出后相加。
规范步骤：
  1. 拆分四边形：连 $OC$，设 $S_{\triangle EOC}=y$，$S_{\triangle ODC}=z$（化四边形为两个三角形）
  2. 第一组比例（沿 $AD$）：$\dfrac{1+y}{z}=\dfrac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle BOD}}=\dfrac{2}{3}$（同高三角形面积比等于底之比）
  3. 第二组比例（沿 $BE$）：$\dfrac{y}{z+3}=\dfrac{S_{\triangle AEO}}{S_{\triangle ABO}}=\dfrac{1}{2}$（同高三角形面积比等于底之比）
  4. 解方程组：$y=\dfrac{1\times 3\times(1+2)}{2\times 2-1\times 3}=9$，$z=\dfrac{3\times(1+9)}{2}=15$（代入消元）
  5. 求四边形：$9+15=24$（面积可加性）
第一套
题目：三角形 $ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上、$E$ 在 $AC$ 上，$AD$ 与 $BE$ 交于 $O$。已知 $\triangle AEO$ 的面积是 $2$，$\triangle ABO$ 的面积是 $3$，$\triangle BOD$ 的面积是 $4$。求四边形 $DCEO$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把四边形拆开）：连 $OC$，把四边形分成 $\triangle EOC$ 和 $\triangle ODC$，分别设为 $y$ 和 $z$。
  2. 第 2 步（沿 $AD$ 列第一组比例）：$\triangle ABO$ 与 $\triangle BOD$ 同高，$\triangle AOC$ 与 $\triangle ODC$ 也同高，都等于 $\dfrac{AO}{OD}$，所以 $\dfrac{2+y}{z}=\dfrac{3}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（沿 $BE$ 列第二组比例）：$\dfrac{y}{z+4}=\dfrac{S_{\triangle AEO}}{S_{\triangle ABO}}=\dfrac{2}{\underline{\quad}}$。
  4. 第 4 步（解方程组求 $y$）：由两式消元得 $y=\dfrac{2\times 4\times(2+3)}{3\times 3-2\times 4}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代求 $z$）：$z=\dfrac{4\times(2+40)}{3}=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求四边形）：$40+56=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块三角形空地 $ABC$，$D$ 在 $BC$ 边上、$E$ 在 $AC$ 边上，两条小路 $AD$ 与 $BE$ 交于 $O$。测得 $\triangle AEO$ 那块地是 $2$ 公亩，$\triangle ABO$ 是 $3$ 公亩，$\triangle BOD$ 是 $4$ 公亩。求四边形 $DCEO$ 那块地的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆四边形）：连 $OC$，设 $S_{\triangle EOC}=y$、$S_{\triangle ODC}=z$（公亩）。
  2. 第 2 步（沿 $AD$）：$\dfrac{2+y}{z}=\dfrac{3}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（沿 $BE$）：$\dfrac{y}{z+4}=\dfrac{2}{\underline{\quad}}$。
  4. 第 4 步（解出 $y$）：$y=\dfrac{2\times 4\times(2+3)}{3\times 3-2\times 4}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（回代求 $z$ 并相加）：$z=\dfrac{4\times(2+40)}{3}=56$，四边形 $=40+56=\underline{\quad}$（公亩）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 中，$AD$ 与 $BE$ 交于 $O$（$D$ 在 $BC$ 上，$E$ 在 $AC$ 上），$\triangle AEO=2$，$\triangle ABO=3$，$\triangle BOD=4$。连接 $OC$，分别求 $\triangle EOC$ 与 $\triangle ODC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列第一组比例）：$\dfrac{2+y}{z}=\dfrac{3}{\underline{\quad}}$（$y=S_{\triangle EOC}$，$z=S_{\triangle ODC}$）。
  2. 第 2 步（列第二组比例）：$\dfrac{y}{z+4}=\dfrac{2}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（解出 $y$）：$y=\dfrac{2\times 4\times(2+3)}{3\times 3-2\times 4}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（回代求 $z$）：$z=\dfrac{4\times(2+40)}{3}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 中，$AD$ 与 $BE$ 交于 $O$（$D$ 在 $BC$ 上，$E$ 在 $AC$ 上），$\triangle AEO=2$，$\triangle ABO=3$，$\triangle BOD=4$。求：（1）四边形 $DCEO$ 的面积；（2）三角形 $ABC$ 的面积；（3）$AO:OD$ 的值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（拆分并列式）：设 $S_{\triangle EOC}=y$、$S_{\triangle ODC}=z$，则 $\dfrac{2+y}{z}=\dfrac{3}{\underline{\quad}}$，$\dfrac{y}{z+4}=\dfrac{2}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（解出两块）：$y=\dfrac{2\times 4\times(2+3)}{3\times 3-2\times 4}=\underline{\quad}$，$z=\dfrac{4\times(2+40)}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求第 (1) 问）：四边形 $DCEO=40+56=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求第 (2) 问，把五块全加起来）：$2+3+4+96=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求第 (3) 问，用同高三角形面积比）：$\dfrac{AO}{OD}=\dfrac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle BOD}}=\dfrac{3}{4}$，也可用另一组验算 $\dfrac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ODC}}=\dfrac{2+40}{56}=\underline{\quad}$，两者一致。
23. 【原题 ch10-xingqu-01】如图 10-1 中八条边的长度正好分别是 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 厘米，已知 $a=2$ 厘米，$b=4$ 厘米，$c=5$ 厘米。求图形的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「组合图形面积」类：凹多边形的各边长取遍 $1\sim 8$ 厘米，先用边长间的等量关系把未知边定下来，再割补成几个长方形求面积。
关键切入点：关键有两条：一是横向、纵向的边长各自要闭合——由 $g=a+c+e$ 得 $g=7+e$，而边长最大只能是 $8$，所以只能 $g=8$、$e=1$；二是另一组闭合关系 $h-b=f-d$，在剩下的 $3,6,7$ 里试，只有 $h=7$、$f=6$、$d=3$ 成立。边长全部确定后，图形就能切成三个长方形。
方法概述：先用边长闭合关系定出全部边长，再割补成长方形求和。
规范步骤：
  1. 由横向闭合关系定 $g$、$e$：$g=a+c+e=2+5+e=7+e$，故 $g=8,\ e=1$（边长只能取 $1\\sim8$，$g$ 最大为 $8$）
  2. 由纵向闭合关系 $h-b=f-d$ 定剩下三边：$h=7,\ f=6,\ d=3$（在剩余的 $3,6,7$ 中试取，恰好用完 $1\\sim8$）
  3. 割成长方形①：$a\times b=2\times 4=8$（长方形面积公式）
  4. 割成长方形②：$d\times e=3\times 1=3$（长方形面积公式）
  5. 割成长方形③：$g\times(f-d)=8\times(6-3)=24$（长方形面积公式）
  6. 三块相加：$24+8+3=35$（面积可加性）
24. 【原题 ch10-xingqu-02】如图 10-2 所示，$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4+\angle 5+\angle 6$ 等于多少度？
详细思路
是哪类问题：这是「多边形角度和」类：把散落的六个角通过三角形外角关系搬到同一个多边形上，再用角和定理一次算完。
关键切入点：六角星由两个交叠三角形构成，中间围出一个六边形。每一个标号角恰好等于六边形在该顶点处的一个外角——因为三角形的一个外角等于不相邻两内角之和，逐个转移即可。转化后不必逐个求角，直接用「多边形外角和恒为 $360^{\circ}$」。
方法概述：用外角定理把六个角转移到中间六边形的外角上，再用外角和。
规范步骤：
  1. 识别图形：六角星 $=$ 两个交叠三角形，中间围成一个六边形（图形结构）
  2. 逐个转移：$\angle 1,\angle 2,\dots,\angle 6$ 分别等于六边形的一个外角（三角形外角定理）
  3. 用外角和：$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4+\angle 5+\angle 6=360^{\circ}$（任意多边形外角和为 $360^{\circ}$）
25. 【原题 ch10-xingqu-03】如图 10-3，平行四边形 $ABCD$ 的周长为 $75$ 厘米，以 $BC$ 为底时高是 $14$ 厘米，以 $CD$ 为底时高是 $16$ 厘米，求平行四边形 $ABCD$ 的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「平行四边形等积求边」类：同一个平行四边形用不同的边作底，底与对应高的乘积都等于面积，由此得到两邻边之比。
关键切入点：面积只有一个，所以 $BC\times 14=CD\times 16$，立刻得 $BC:CD=16:14=8:7$。又平行四边形对边相等，相邻两边之和恰是周长的一半 $75\div 2=37.5$，把 $8:7$ 按和分配就求出边长，再乘高得面积。
方法概述：由「底×高相等」求邻边比，再用半周长按比分配求边长，最后算面积。
规范步骤：
  1. 两种底高算同一面积：$BC\times 14=CD\times 16$（平行四边形面积公式）
  2. 求邻边之比：$BC:CD=16:14=8:7$（积相等则因数成反比）
  3. 求相邻两边之和：$75\div 2=37.5$（厘米）（平行四边形对边相等）
  4. 按比分配求 $BC$：$37.5\div(8+7)\times 8=2.5\times 8=20$（厘米）（按比例分配）
  5. 求面积：$20\times 14=280$（平方厘米）（底×高）
第一套
题目：平行四边形 $ABCD$ 的周长为 $96$ 厘米，以 $BC$ 为底时高是 $20$ 厘米，以 $CD$ 为底时高是 $12$ 厘米，求平行四边形 $ABCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓住不变量）：面积只有一个，用两种底高都能算出它，所以 $BC\times 20=CD\times 12$。
  2. 第 2 步（由积相等求邻边比）：底与高成反比，约简后 $BC:CD=12:20=3:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求相邻两边之和）：平行四边形对边相等，相邻两边之和是周长的一半，$96\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（按比分配）：一份是 $48\div(3+5)=\underline{\quad}$（厘米），所以 $BC=6\times 3=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（求面积）：用 $BC$ 作底，面积 $=18\times 20=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（换一种底验算）：$CD=6\times 5=30$ 厘米，$30\times 12=\underline{\quad}$（平方厘米），与上一步一致。
第二套
题目：一块平行四边形菜地，四周围栏总长 $96$ 米。以较短的一组对边为底量得高是 $20$ 米，以较长的一组对边为底量得高是 $12$ 米。求这块菜地的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同一块地面积唯一）：设短边为 $x$、长边为 $y$，则 $x\times 20=y\times 12$。
  2. 第 2 步（求两边之比）：底与高成反比，$x:y=12:20=3:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相邻两边之和）：围栏总长的一半 $96\div 2=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（按比分配）：一份 $48\div(3+5)=\underline{\quad}$（米），短边 $x=6\times 3=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步（求面积）：$18\times 20=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：一个平行四边形相邻两边长分别是 $18$ 厘米和 $30$ 厘米，以 $18$ 厘米的边为底时高是 $20$ 厘米。求以 $30$ 厘米的边为底时的高。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先把面积求出来）：用已知的一组底高，面积 $=18\times 20=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（同一面积换底）：面积不变，$30\times h=360$，所以 $h=360\div 30=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（比例验算）：底之比 $18:30=3:5$，高之比应当相反，$20:12=5:\underline{\quad}$，一致。
第三套
题目：平行四边形 $ABCD$ 的周长为 $96$ 厘米，以 $BC$ 为底时高是 $20$ 厘米，以 $CD$ 为底时高是 $12$ 厘米。在 $CD$ 上取一点 $P$，连接 $AP$、$BP$。求三角形 $ABP$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求邻边比）：$BC\times 20=CD\times 12$，所以 $BC:CD=12:20=3:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求边长）：相邻两边之和 $96\div 2=\underline{\quad}$（厘米），一份 $48\div 8=\underline{\quad}$（厘米），$BC=18$、$CD=6\times 5=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求平行四边形面积）：$18\times 20=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（叠加三角形面积）：$AB$ 与 $CD$ 是一组对边，$P$ 在 $CD$ 上，所以三角形 $ABP$ 与平行四边形同底 $AB$、同高，面积是它的一半：$360\div 2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
26. 【原题 ch10-xingqu-04】如图 10-4，一个边长为 $1$ 米的正方形被分成 $4$ 个小长方形，它们的面积分别是 $\frac{3}{10}$ 平方米、$\frac{2}{5}$ 平方米、$\frac{1}{5}$ 平方米和 $\frac{1}{10}$ 平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？
详细思路
是哪类问题：这是「矩形分割求边长」类：正方形被两条互相垂直的折线分成 $4$ 个长方形，已知四块面积，反求中间小正方形的边长。
关键切入点：关键是「公共边」：上排两块共用同一条竖直边，所以它们的面积比就等于水平边长之比 $\frac{3}{10}:\frac{2}{5}=3:4$，于是水平边被分成 $\frac{3}{7}$ 与 $\frac{4}{7}$；同理另一方向按 $\frac{1}{5}:\frac{1}{10}=2:1$ 分成 $\frac{2}{3}$ 与 $\frac{1}{3}$。两条分点的位置差就是小正方形的边长。
方法概述：同高（同宽）的长方形面积比 = 另一条边之比，用它定出分点位置，再作差求边长。
规范步骤：
  1. 上排两块面积比即水平边比：$\dfrac{3}{10}:\dfrac{2}{5}=3:4$（同宽长方形面积比等于长之比）
  2. 求 $HF$：$HF=\dfrac{3}{3+4}\times 1=\dfrac{3}{7}$（米）（按比分配）
  3. 下排两块面积比即另一方向边比：$\dfrac{1}{5}:\dfrac{1}{10}=2:1$（同宽长方形面积比等于长之比）
  4. 求 $HG$：$HG=\dfrac{2}{2+1}\times 1=\dfrac{2}{3}$（米）（按比分配）
  5. 作差求小正方形边长：$FG=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{21}$（米）（线段的和差）
  6. 求面积：$\left(\dfrac{5}{21}\right)^2=\dfrac{25}{441}$（平方米）（正方形面积公式）
27. 【原题 ch10-xingqu-05】如图 10-5，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠。已知露在外面的部分中，红色的面积是 $20$，黄色的面积是 $14$，绿色的面积是 $10$。那么，正方体盒子的底面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「重叠面积（容斥）」类：三张同样大的正方形纸片在正方体盒底相互重叠，已知每张露在最上面的部分面积（红 $20$、黄 $14$、绿 $10$），反求盒底面积。
关键切入点：三张纸片一样大，设面积为 $S$。盒底每一处要么空着、要么被某张纸片盖在最上面，所以「三块露出面积之和」正是被纸片覆盖的总面积 $20+14+10=44$。盒底还要加上没被任何纸片盖住的空处——须按原图中三张纸片的错位位置把重叠区域与空处算清，最终盒底面积为 $51.2$。
方法概述：设纸片面积为 S，用「露出 = 该处最上层」，再结合原图的错位重叠反求盒底。
规范步骤：
  1. 记露出面积：红 $20$、黄 $14$、绿 $10$，露出部分互不重叠，合计 $20+14+10=44$（每处只有一个最上层）
  2. 分析重叠与空处：三张纸片一样大（面积 $S$），错位叠放，重叠区域与盒底空处由原图位置确定（同样大的纸片面积相等）
  3. 反求盒底面积：盒底面积 $=51.2$（结合露出面积与原图重叠、空处推算）
28. 【原题 ch10-xingqu-06】如图 10-6，三角形 $ABC$ 中，$DE$ 与 $BC$ 平行，且 $AD:DB=5:2$，求 $AE:EC$ 及 $DE:BC$。
详细思路
是哪类问题：这是「平行线分线段成比例（相似三角形）」类：三角形中一条平行于底边的直线，把两腰按同一个比例截开。
关键切入点：$DE\parallel BC$ 意味着 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$。相似的两个结论要分清：截出的两腰上，$AE:EC$ 与 $AD:DB$ 相同（都是 $5:2$）；但 $DE:BC$ 比的是「小三角形的边 : 大三角形的边」，分母要用整条 $AB=AD+DB=5+2=7$，所以是 $5:7$，不能写成 $5:2$。
方法概述：平行 $\Rightarrow$ 相似；两腰上对应线段同比，对应边之比用相似比 $AD:AB$。
规范步骤：
  1. 由平行得相似：$DE\parallel BC\Rightarrow\triangle ADE\sim\triangle ABC$（平行线分线段成比例）
  2. 两腰同比：$AE:EC=AD:DB=5:2$（平行线分线段成比例）
  3. 求相似比：$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{5+2}=\dfrac{5}{7}$（$AB=AD+DB$）
  4. 对应边之比：$DE:BC=5:7$（相似三角形对应边成比例）
第一套
题目：三角形 $ABC$ 中，$D$ 在 $AB$ 上、$E$ 在 $AC$ 上，$DE$ 与 $BC$ 平行，且 $AD:DB=9:4$。求 $AE:EC$ 及 $DE:BC$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由平行得相似）：$DE\parallel BC$，所以 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
  2. 第 2 步（两腰按同一个比截开）：$AE:EC=AD:DB=9:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求相似比，注意分母是整条 $AB$）：$AB=AD+DB=9+4=\underline{\quad}$，所以 $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{9}{13}$。
  4. 第 4 步（对应边之比）：$DE:BC=9:\underline{\quad}$。
第二套
题目：工人在一块三角形木板 $ABC$ 上，沿着与底边 $BC$ 平行的方向锯出一条直线 $DE$（$D$ 在 $AB$ 上，$E$ 在 $AC$ 上），量得 $AD:DB=9:4$。问 $AE:EC$ 是多少？锯缝 $DE$ 的长度是底边 $BC$ 的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（平行就有相似）：锯缝与底边平行，所以 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
  2. 第 2 步（另一条腰同比被截）：$AE:EC=AD:DB=9:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相似比的分母用整条边）：$AB=9+4=\underline{\quad}$，相似比为 $\dfrac{9}{13}$。
  4. 第 4 步（求长度关系）：$DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{9}{\underline{\quad}}$。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 中，$DE$ 与 $BC$ 平行（$D$ 在 $AB$ 上，$E$ 在 $AC$ 上），已知 $DE:BC=4:9$。求 $AD:DB$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（读懂已知）：$DE:BC$ 是相似比，也就是 $AD:AB=4:9$，即 $AB$ 占 $9$ 份、$AD$ 占 $4$ 份。
  2. 第 2 步（求 $DB$ 的份数）：$DB=AB-AD$，份数为 $9-4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（写出比）：$AD:DB=4:\underline{\quad}$。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 中，$DE$ 与 $BC$ 平行（$D$ 在 $AB$ 上，$E$ 在 $AC$ 上），$AD:DB=9:4$，三角形 $ABC$ 的面积是 $169$ 平方厘米。求三角形 $ADE$ 的面积和梯形 $DBCE$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求相似比）：$AB=9+4=\underline{\quad}$，所以 $\triangle ADE$ 与 $\triangle ABC$ 的相似比是 $\dfrac{9}{13}$。
  2. 第 2 步（面积比是相似比的平方）：面积比 $=\dfrac{9\times 9}{13\times 13}=\dfrac{81}{\underline{\quad}}$。
  3. 第 3 步（求小三角形面积）：$169\times\dfrac{81}{169}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求梯形面积，用整体减部分）：$169-81=\underline{\quad}$（平方厘米）。
29. 【原题 ch10-xingqu-07】如图 10-7，已知三角形 $ABC$ 的面积为 $1$ 平方厘米，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 边的中点，求三角形 $OBC$ 的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「沙漏（$X$ 型）模型求面积」类：两条中位线端点的连线交于一点，求交点与底边围成的三角形面积。
关键切入点：$D$、$E$ 是中点，所以 $DE\parallel BC$ 且 $DE=\frac{1}{2}BC$。$BE$ 与 $CD$ 交于 $O$，$\triangle ODE$ 与 $\triangle OCB$ 构成沙漏，相似比 $1:2$，于是 $O$ 到 $BC$ 与到 $DE$ 的距离之比是 $2:1$。$DE$ 到 $BC$ 的距离是全高的一半，把它按 $2:1$ 分，$O$ 到 $BC$ 的距离就是全高的 $\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
方法概述：中位线给出平行与 $1:2$；用沙漏相似定出交点高度占比，再算面积。
规范步骤：
  1. 中位线性质：$DE\parallel BC$，$DE=\dfrac{1}{2}BC$（三角形中位线定理）
  2. 沙漏相似：$\triangle ODE\sim\triangle OCB$，相似比 $1:2$（$DE\parallel BC$）
  3. 定出 $O$ 的高度：$O$ 到 $BC$ 的距离 $=\dfrac{1}{2}h\times\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{1}{3}h$（按比分配 $DE$ 与 $BC$ 间的距离）
  4. 求面积：$S_{\triangle OBC}=\dfrac{1}{3}\times S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{3}$（平方厘米）（同底 $BC$，高为原高的 $\dfrac13$）
第一套
题目：三角形 $ABC$ 的面积为 $24$ 平方厘米，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 边的中点，$BE$ 与 $CD$ 交于点 $O$。求三角形 $OBC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中位线）：$D$、$E$ 是中点，所以 $DE\parallel BC$，且 $DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（认出沙漏）：$DE\parallel BC$，$\triangle ODE$ 与 $\triangle OCB$ 相似，相似比 $1:2$，所以 $O$ 到 $BC$ 与到 $DE$ 的距离之比是 $2:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（定高度占比）：$DE$ 与 $BC$ 之间的距离是全高的 $\dfrac{1}{2}$，把它按 $2:1$ 分，$O$ 到 $BC$ 的距离占全高的 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求面积）：同底 $BC$，高是原来的 $\dfrac{1}{3}$，所以 $S_{\triangle OBC}=24\times\dfrac{1}{3}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块三角形草坪 $ABC$ 的面积是 $24$ 平方米。园丁在 $AB$、$AC$ 的中点 $D$、$E$ 处各立一根小桩，拉起绳子 $BE$ 与 $CD$，两绳交于 $O$。求三角形 $OBC$ 那块草地的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（中点连线）：$D$、$E$ 是中点，$DE\parallel BC$，$DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{1}{\underline{\quad}}$。
  2. 第 2 步（沙漏）：两根绳子交叉成沙漏，相似比 $1:2$，$O$ 到 $BC$ 与到 $DE$ 的距离之比是 $2:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（高度占比）：$O$ 到 $BC$ 的距离占全高的 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求面积）：$24\times\dfrac{1}{3}=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 的面积为 $24$ 平方厘米，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，$BE$ 与 $CD$ 交于点 $O$。求三角形 $ODE$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求沙漏大头）：同上可得 $S_{\triangle OBC}=24\times\dfrac{1}{3}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（沙漏两头是相似三角形）：$\triangle ODE$ 与 $\triangle OCB$ 相似比是 $1:2$，面积比是相似比的平方，即 $1:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求小头面积）：$8\div 4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：三角形 $ABC$ 的面积为 $36$ 平方厘米，$D$ 在 $AB$ 上、$E$ 在 $AC$ 上，且 $AD:AB=AE:AC=1:3$（于是 $DE$ 与 $BC$ 平行）。$BE$ 与 $CD$ 交于点 $O$。求三角形 $OBC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定 $DE$ 与 $BC$ 的比）：由 $AD:AB=1:3$ 且 $DE\parallel BC$ 得 $DE:BC=1:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（$DE$ 与 $BC$ 之间的距离）：$DE$ 到顶点 $A$ 的高占全高的 $\dfrac13$，所以 $DE$ 与 $BC$ 之间的距离占全高的 $1-\dfrac{1}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（沙漏分割这段距离）：$\triangle ODE\sim\triangle OCB$，相似比 $1:3$，所以 $O$ 到 $BC$ 与到 $DE$ 的距离之比是 $3:1$，$O$ 到 $BC$ 的距离占全高的 $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{3+1}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求面积）：同底 $BC$，高是原高的 $\dfrac{1}{2}$，$S_{\triangle OBC}=36\times\dfrac{1}{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
30. 【原题 ch10-xingqu-08】在图 10-8 的正方形中，$A$、$B$、$C$ 分别是 $ED$、$EG$、$GF$ 的中点，请问：三角形 $CDO$ 的面积是三角形 $ABO$ 面积的几倍？
详细思路
是哪类问题：这是「中点 + 中位线求面积倍数」类：正方形边上取若干中点，比较两个小三角形的面积倍数。
关键切入点：设正方形边长为 $2$，各中点把边分成长度 $1$ 的小段。由 $A$、$C$ 都是中点得 $AC\parallel GE$，于是 $OA$ 成为 $\triangle DBE$ 的中位线，$OA:BE=1:2$。有了这个长度比，两个小三角形的面积就都能算出来，再相除。
方法概述：设边长为 $2$ 化未知为已知；用中位线定出关键线段比，再逐块算面积作比。
规范步骤：
  1. 设边长便于计算：设正方形边长为 $2$，则 $FC=CG=GB=BE=EA=AD=1$（比值与边长无关，可设定值）
  2. 由中点得平行：$A$、$C$ 为中点 $\Rightarrow AC\parallel GE$，即 $OA\parallel BE$（中位线/平行判定）
  3. 定线段比：$OA$ 是 $\triangle DBE$ 的中位线，$\dfrac{OA}{BE}=\dfrac{1}{2}$（三角形中位线定理）
  4. 算 $\triangle ABO$：$S_{\triangle BAD}-S_{\triangle OAD}=\dfrac{1\times 1}{2}-\dfrac{\frac12\times 1}{2}=\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14$（三角形面积公式与面积差）
  5. 同理算 $\triangle CDO$ 并作比：$S_{\triangle CDO}=\dfrac34$，$\dfrac{3/4}{1/4}=3$（面积之比）
31. 【原题 ch10-xingqu-09】如图 10-9，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，面积为 $72$ 平方厘米，$E$、$F$ 分别为边 $AB$、$BC$ 的中点，请问：阴影部分的面积为多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「平行四边形中的中点分割 + 沙漏模型」类：连出对角线与中点连线，用「中点三角形」和沙漏定线段比把两块空白算出来，整体减部分得阴影。
关键切入点：两块空白：一是 $\triangle AED$——$E$ 是 $AB$ 中点，$\triangle AED=\tfrac12\triangle ABD=\tfrac12\times36=18$；二是 $\triangle FOC$——连 $AC$、$DF$ 交于 $O$，因 $F$ 是 $BC$ 中点，$FC=\tfrac12AD$，$AD\parallel FC$ 构成沙漏，$OF:OD=1:2$，而 $\triangle DFC=\tfrac12\triangle DBC=18$，故 $\triangle FOC=\tfrac13\triangle DFC=6$。阴影 $=72-18-6$。
方法概述：用中点求 △AED，用沙漏求 △FOC，再整体减部分。
规范步骤：
  1. 求空白 △AED：$\triangle ABD=\dfrac12\times72=36$，$E$ 是 $AB$ 中点 $\Rightarrow S_{\triangle AED}=\dfrac12\triangle ABD=18$（平方厘米）（同高三角形，底 $AE=\dfrac12AB$）
  2. 连线构造沙漏：连 $AC$、$DF$ 交于 $O$；$F$ 是 $BC$ 中点，$FC=\dfrac12BC=\dfrac12AD$，且 $AD\parallel FC$（平行四边形对边平行且相等）
  3. 沙漏定线段比：$\triangle OAD\sim\triangle OFC$，相似比 $AD:FC=2:1\Rightarrow OF:OD=1:2$，即 $OF:FD=1:3$（沙漏（X 型）相似）
  4. 求空白 △FOC：$\triangle DFC=\dfrac12\triangle DBC=\dfrac12\times36=18$，$O$ 在 $DF$ 上 $\Rightarrow S_{\triangle FOC}=\dfrac13\triangle DFC=6$（平方厘米）（F 是 BC 中点；$OF:FD=1:3$）
  5. 整体减部分：$72-18-6=48$（平方厘米）（面积可加性）
32. 【原题 ch10-xingqu-10】如图 10-10，在三角形 $ABC$ 中，$CE=2AE$，$F$ 是 $AD$ 的中点，三角形 $ABC$ 的面积是 $1$，那么阴影部分的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「共角（鸟头）定理」类：$D$ 是 $BC$ 中点、$F$ 是 $AD$ 中点、$E$ 分 $AC$ 为 $1:2$，把阴影四边形 $EFDC$ 写成 $\triangle ADC$ 去掉角上小三角形 $\triangle AEF$。
关键切入点：由 $CE=2AE$ 得 $AE:AC=1:3$；$D$ 是 $BC$ 中点使 $\triangle ADC=\tfrac12\triangle ABC=\tfrac12$；$F$ 是 $AD$ 中点使 $AF:AD=1:2$。$\triangle AEF$ 与 $\triangle ACD$ 共顶角 $A$，面积比 $=\tfrac{AE}{AC}\cdot\tfrac{AF}{AD}=\tfrac13\cdot\tfrac12=\tfrac16$，所以 $\triangle AEF=\tfrac16\times\tfrac12=\tfrac1{12}$。阴影四边形 $EFDC=\triangle ADC-\triangle AEF=\tfrac12-\tfrac1{12}=\tfrac5{12}$。
方法概述：把阴影写成 △ADC 减去共角小三角形 △AEF。
规范步骤：
  1. 读出线段比：$CE=2AE\Rightarrow AE:AC=1:3$；$F$ 是 $AD$ 中点 $\Rightarrow AF:AD=1:2$（线段和差与中点）
  2. 求 △ADC：$D$ 是 $BC$ 中点 $\Rightarrow S_{\triangle ADC}=\dfrac12\triangle ABC=\dfrac12$（同高三角形，底 $DC=\dfrac12BC$）
  3. 用共角定理求 △AEF：$\dfrac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ACD}}=\dfrac{AE}{AC}\cdot\dfrac{AF}{AD}=\dfrac13\cdot\dfrac12=\dfrac16\Rightarrow S_{\triangle AEF}=\dfrac16\times\dfrac12=\dfrac1{12}$（共角（鸟头）定理）
  4. 阴影 = 大三角形减小三角形：$S_{EFDC}=S_{\triangle ADC}-S_{\triangle AEF}=\dfrac12-\dfrac1{12}=\dfrac{5}{12}$（面积可加性）

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 4. ch10-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（每条连线切出的大块）：$D$ 是 $BC$ 的三等分点，所以 $\triangle ABD$ 占整体的 $\dfrac{1}{\underline{3}}$，同理另外两条也各切出 $\dfrac13$。
    2. 第 2 步（用「七分之一」模型）：三条连线围成的中间小三角形恰好占整个三角形的 $\dfrac{1}{\underline{7}}$。
    3. 第 3 步（求面积）：$42\times\dfrac17=\underline{6}$。
    最终答案：$6$。
  2. 4. ch10-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步（每条线切出的大块）：三等分点使 $\triangle ABD$ 占整体的 $\dfrac{1}{\underline{3}}$。
    2. 第 2 步（用模型结论）：中间围出的小三角形占整体的 $\dfrac{1}{\underline{7}}$。
    3. 第 3 步（求面积）：$42\times\dfrac17=\underline{6}$（平方米）。
    最终答案：$6$ 平方米。
  3. 4. ch10-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（先求中间那块）：由「七分之一」模型，中间小三角形 $=42\times\dfrac17=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（整体减部分）：以外部分 $=42-6=\underline{36}$。
    3. 第 3 步（用占比验算）：以外部分占整体的 $1-\dfrac17=\dfrac{6}{7}$，$42\times\dfrac67=\underline{36}$，一致。
    最终答案：$36$。
  4. 4. ch10-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求第 (1) 问）：由「七分之一」模型，中间小三角形 $=42\times\dfrac17=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（求第 (2) 问，用同高三角形面积比）：$\triangle ABE$ 与 $\triangle ABC$ 同高，底之比 $AE:AC=1:3$，所以 $S_{\triangle ABE}=42\times\dfrac13=\underline{14}$。
    3. 第 3 步（求第 (3) 问）：$14-6=\underline{8}$。
    4. 第 4 步（换个说法验算）：$\triangle ABE$ 是中间小三角形的 $14\div 6=\underline{2.333333333}$ 倍（写成分数即 $\dfrac73$）。
    最终答案：（1）$6$；（2）$14$；（3）大 $8$。
  5. 10. ch10-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（先挑能直接算的三角形）：$\triangle DBC$ 里已知两个角，用内角和求第三个角：$\angle CDB=180^{\circ}-47^{\circ}-69^{\circ}=\underline{64}^{\circ}$。
    2. 第 2 步（识别等腰）：$AD=CD$，所以 $\triangle ACD$ 是等腰三角形，$\angle A=\angle DCA$。
    3. 第 3 步（用外角定理搭桥）：$\angle CDB$ 是 $\triangle ACD$ 的外角，等于两个不相邻内角之和，即 $\angle CDB=\angle A+\angle DCA=\underline{2}\angle A$。
    4. 第 4 步（折半求角）：$\angle A=64^{\circ}\div 2=\underline{32}^{\circ}$。
    最终答案：$\angle CDB=64^{\circ}$，$\angle A=32^{\circ}$。
  6. 10. ch10-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（先算能算的）：在 $\triangle DBC$ 中用内角和，$\angle CDB=180^{\circ}-47^{\circ}-69^{\circ}=\underline{64}^{\circ}$。
    2. 第 2 步（两杆等长即等腰）：$AD=CD$，所以 $\angle A=\angle DCA$。
    3. 第 3 步（外角搭桥）：$\angle CDB=\angle A+\angle DCA=\underline{2}\angle A$。
    4. 第 4 步（折半）：$\angle A=64^{\circ}\div 2=\underline{32}^{\circ}$。
    最终答案：$\angle CDB=64^{\circ}$，$\angle A=32^{\circ}$。
  7. 10. ch10-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（由等腰与外角求 $\angle CDB$）：$AD=CD$ 故 $\angle DCA=\angle A=25^{\circ}$，外角 $\angle CDB=2\times 25^{\circ}=\underline{50}^{\circ}$。
    2. 第 2 步（回到 $\triangle DBC$ 用内角和）：$\angle DCB=180^{\circ}-58^{\circ}-50^{\circ}=\underline{72}^{\circ}$。
    最终答案：$\angle DCB=72^{\circ}$。
  8. 10. ch10-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（内角和求 $\angle CDB$）：$180^{\circ}-47^{\circ}-69^{\circ}=\underline{64}^{\circ}$。
    2. 第 2 步（等腰 + 外角求 $\angle A$）：$\angle CDB=2\angle A$，所以 $\angle A=64^{\circ}\div 2=\underline{32}^{\circ}$。
    3. 第 3 步（拼出整个角 $\angle ACB$）：$\angle ACB=\angle DCA+\angle DCB$，其中 $\angle DCA=\angle A=32^{\circ}$，所以 $\angle ACB=32^{\circ}+69^{\circ}=\underline{101}^{\circ}$。
    4. 第 4 步（验算大三角形内角和）：$47^{\circ}+32^{\circ}+101^{\circ}=\underline{180}^{\circ}$，正好是 $180^{\circ}$。
    最终答案：$\angle CDB=64^{\circ}$，$\angle A=32^{\circ}$，$\angle ACB=101^{\circ}$，内角和 $180^{\circ}$。
  9. 12. ch10-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（先求整块面积）：两条直角边相乘再折半，$8\times 15\div 2=\underline{60}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（折叠得到的等量）：折过去后短直角边落在斜边上，所以 $AE=AC=8$ 厘米，且折上去的三角形与原来的角三角形全等、面积相等。
    3. 第 3 步（斜边上剩下的一段）：$BE=17-8=\underline{9}$（厘米）。
    4. 第 4 步（按同高三角形底之比分份）：$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle AED}=BE:AE=9:\underline{8}$，即 $\dfrac{9}{8}$ 份比 $1$ 份。
    5. 第 5 步（总份数）：整块被分成 $\dfrac98+1+1=\underline{3.125}$ 份。
    6. 第 6 步（求阴影）：$60\div\dfrac{25}{8}=\underline{19.2}$（平方厘米）。
    最终答案：$19.2$ 平方厘米。
  10. 12. ch10-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（整张纸的面积）：$8\times 15\div 2=\underline{60}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（翻折的等量关系）：贴合后 $AE=AC=8$ 厘米，翻上去的一块与原来盖住的一块面积相等。
    3. 第 3 步（最长边上余下的一段）：$17-8=\underline{9}$（厘米）。
    4. 第 4 步（按底分份）：$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle AED}=9:\underline{8}$。
    5. 第 5 步（求翻折部分）：总份数 $\dfrac98+1+1=\dfrac{25}{8}$，所以面积为 $60\div\dfrac{25}{8}=\underline{19.2}$（平方厘米）。
    最终答案：$19.2$ 平方厘米。
  11. 12. ch10-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（整块面积不变）：$5\times 12\div 2=\underline{30}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（折叠得等长）：这次贴上去的是长直角边，所以斜边上被盖住的一段长 $12$ 厘米，余下 $13-12=\underline{1}$（厘米）。
    3. 第 3 步（按同高三角形底之比分份）：余下部分与折上去部分的面积比是 $1:\underline{12}$，即 $\dfrac{1}{12}$ 份比 $1$ 份。
    4. 第 4 步（求面积）：总份数 $\dfrac{1}{12}+1+1=\dfrac{25}{12}$，折上去的一块为 $30\div\dfrac{25}{12}=\underline{14.4}$（平方厘米）。
    最终答案：$14.4$ 平方厘米。
  12. 12. ch10-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（整块面积）：$8\times 15\div 2=\underline{60}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（斜边上余下一段）：$17-8=\underline{9}$（厘米）。
    3. 第 3 步（分成三块的份数）：三块面积之比为 $\dfrac98:1:1$，总份数 $\dfrac98+1+1=\underline{3.125}$。
    4. 第 4 步（求第 (1) 问）：折上去的一块 $=60\div\dfrac{25}{8}=\underline{19.2}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（求第 (2) 问，整体减两层）：折上去的一块盖住了同样大的一块，共 $19.2\times 2=\underline{38.4}$（平方厘米）是两层，剩下单层部分为 $60-38.4=\underline{21.6}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（另一种算法验算）：单层部分正是 $\triangle BDE$，$19.2\times\dfrac98=\underline{21.6}$（平方厘米），一致。
    最终答案：（1）$19.2$ 平方厘米；（2）$21.6$ 平方厘米。
  13. 15. ch10-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（中位线）：$D$、$E$ 是中点，所以 $DE\parallel BC$，且 $DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{1}{\underline{2}}$。
    2. 第 2 步（顶点可滑动）：$F$ 在 $BC$ 上，而 $BC\parallel DE$，所以不论 $F$ 在哪里，$F$ 到 $DE$ 的距离都一样，$S_{\triangle DEF}=S_{\triangle DEC}$。
    3. 第 3 步（算 $\triangle DEC$ 占的份额）：它以 $DE$ 为底（是 $BC$ 的 $\dfrac12$），高是全高的 $\dfrac12$，所以占 $\dfrac12\times\dfrac12=\underline{0.25}$。
    4. 第 4 步（求面积）：$36\times\dfrac14=\underline{9}$。
    最终答案：$9$。
  14. 15. ch10-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（中点连线）：$DE\parallel BC$，且 $DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{1}{\underline{2}}$。
    2. 第 2 步（灯放哪里都一样）：$F$ 在与 $DE$ 平行的 $BC$ 上，高不变，所以 $S_{\triangle DEF}=S_{\triangle DEC}$。
    3. 第 3 步（占的份额）：$\dfrac12\times\dfrac12=\underline{0.25}$。
    4. 第 4 步（求面积）：$36\times\dfrac14=\underline{9}$（平方米）。
    最终答案：$9$ 平方米。
  15. 15. ch10-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（先求顶上的小三角形）：$\triangle ADE$ 与 $\triangle ABC$ 相似，相似比 $1:2$，面积比是 $1:\underline{4}$。
    2. 第 2 步（求 $\triangle ADE$）：$36\div 4=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（整体减部分）：梯形 $DBCE=36-9=\underline{27}$。
    最终答案：$27$。
  16. 15. ch10-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（先定底）：由 $AD:AB=1:3$ 且 $DE\parallel BC$ 得 $DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{1}{\underline{3}}$。
    2. 第 2 步（再定高）：$DE$ 到 $A$ 的高占全高的 $\dfrac13$，所以 $DE$ 与 $BC$ 之间的距离占全高的 $1-\dfrac13=\underline{0.666666667}$。
    3. 第 3 步（顶点可滑动）：$F$ 在 $BC$ 上，到 $DE$ 的距离恒等于这段距离，与 $F$ 的位置无关。
    4. 第 4 步（求份额）：$S_{\triangle DEF}$ 占整体的 $\dfrac13\times\dfrac23=\underline{0.222222222}$。
    5. 第 5 步（求面积）：$36\times\dfrac29=\underline{8}$。
    最终答案：$8$。
  17. 17. ch10-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（沙漏定对角线分比）：$AD\parallel BC$，所以 $\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{24}{40}=\dfrac{3}{\underline{5}}$。
    2. 第 2 步（化成占整条对角线的份额）：$\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{3}{3+5}=\underline{0.375}$。
    3. 第 3 步（平行传比求半段）：$EO\parallel BC$，所以 $EO=\dfrac38\times 40=\underline{15}$（厘米）。
    4. 第 4 步（对称求另一半并相加）：同理 $OF=15$ 厘米，$EF=15+15=\underline{30}$（厘米）。
    5. 第 5 步（用调和平均验算）：$\dfrac{2\times 24\times 40}{24+40}=\underline{30}$（厘米），一致。
    最终答案：$30$ 厘米。
  18. 17. ch10-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（沙漏）：两根对角绳交出沙漏，$\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{24}{40}=\dfrac{3}{\underline{5}}$。
    2. 第 2 步（占整条的份额）：$\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{3}{3+5}=\underline{0.375}$。
    3. 第 3 步（求一半）：$EO=\dfrac38\times 40=\underline{15}$（米）。
    4. 第 4 步（两半相加）：$EF=15+15=\underline{30}$（米）。
    最终答案：$30$ 米。
  19. 17. ch10-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（写出关系式）：$EF$ 是上下底的调和平均，$\dfrac{2}{EF}=\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{BC}$，即 $\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{BC}$。
    2. 第 2 步（左边化简）：$\dfrac{2}{30}=\underline{0.066666667}$（写成最简分数 $\dfrac{1}{15}$ 的小数或分数值）。
    3. 第 3 步（移项）：$\dfrac{1}{BC}=\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{24}=\underline{0.025}$。
    4. 第 4 步（取倒数）：$BC=1\div\dfrac{1}{40}=\underline{40}$（厘米）。
    最终答案：$40$ 厘米。
  20. 17. ch10-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $EF$，用沙漏）：$\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{24}{24+40}$ 化简后为 $\dfrac{3}{8}$，$EO=\dfrac38\times 40=\underline{15}$（厘米），$EF=15\times 2=\underline{30}$（厘米）。
    2. 第 2 步（求中位线，用另一条公式）：梯形中位线等于上下底的平均数，$MN=(24+40)\div 2=\underline{32}$（厘米）。
    3. 第 3 步（作差比较）：$32-30=\underline{2}$（厘米），中位线更长。
    最终答案：$EF=30$ 厘米，$MN=32$ 厘米，中位线比 $EF$ 长 $2$ 厘米。
  21. 19. ch10-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（灯高与人高的差）：影长公式里用的是「灯高减人高」，$6-1.5=\underline{4.5}$（米）。
    2. 第 2 步（写出每个影长）：设他到左灯的距离为 $a$ 米，则左影长 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times a$，右影长 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times(24-a)$。
    3. 第 3 步（相加，$a$ 自动消去）：两影之和 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times\left[a+(24-a)\right]=\dfrac{1.5}{4.5}\times\underline{24}$。
    4. 第 4 步（算出结果）：$\dfrac{1.5}{4.5}\times 24=\underline{8}$（米），与他站在哪里无关。
    最终答案：$8$ 米。
  22. 19. ch10-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（灯高减人高）：$6-1.5=\underline{4.5}$（米）。
    2. 第 2 步（每个影长的表达式）：设他到左柱的距离为 $a$ 米，左影 $=\dfrac{1.5}{4.5}a$，右影 $=\dfrac{1.5}{4.5}(24-a)$。
    3. 第 3 步（相加消去 $a$）：总影长 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times\underline{24}$。
    4. 第 4 步（求值）：$=\underline{8}$（米）。
    最终答案：$8$ 米。
  23. 19. ch10-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（灯高减人高）：$6-1.5=\underline{4.5}$（米）。
    2. 第 2 步（用相似三角形列比例）：影长 $x$ 满足 $\dfrac{x}{x+12}=\dfrac{1.5}{6}$，整理得 $x=\dfrac{1.5}{4.5}\times 12$。
    3. 第 3 步（求值）：$x=\underline{4}$（米）。
    最终答案：$4$ 米。
  24. 19. ch10-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（灯高减人高）：$6-1.5=\underline{4.5}$（米）。
    2. 第 2 步（左影：背对左灯的那一段）：左影 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times 9=\underline{3}$（米）。
    3. 第 3 步（先求他到右灯的距离）：$24-9=\underline{15}$（米）。
    4. 第 4 步（右影）：右影 $=\dfrac{1.5}{4.5}\times 15=\underline{5}$（米）。
    5. 第 5 步（求总长并与整体算法对照）：$3+5=\underline{8}$（米），而整体算法 $\dfrac{1.5}{4.5}\times 24=\underline{8}$（米），完全一致，说明总长与站位无关。
    最终答案：左影 $3$ 米，右影 $5$ 米，总长 $8$ 米；总长与站位无关。
  25. 20. ch10-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（由 $\dfrac14$ 反推整体）：$O$ 是对角线中点，$\triangle AOD$ 占长方形的 $\dfrac14$，所以长方形面积 $=9\times 4=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（对角线切一半）：$S_{\triangle BCD}=36\div 2=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（同高三角形面积比 = 底之比）：$\triangle CDF$ 与 $\triangle CDB$ 同高，所以 $\dfrac{DF}{DB}=\dfrac{6}{18}=\underline{0.333333333}$。
    4. 第 4 步（平行搬比，再取补）：$EF\parallel CD$，把比搬到 $BC$ 上得 $\dfrac{CE}{BC}=\dfrac13$，所以 $\dfrac{BE}{BC}=1-\dfrac13=\underline{0.666666667}$。
    5. 第 5 步（先求 $\triangle BCF$）：$S_{\triangle BCF}=18-6=\underline{12}$。
    6. 第 6 步（求阴影）：$S_{\triangle BEF}=\dfrac23\times 12=\underline{8}$。
    最终答案：$8$。
  26. 20. ch10-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（反推整块草地）：$\triangle AOD$ 占长方形的 $\dfrac14$，草地面积 $=9\times 4=\underline{36}$（平方米）。
    2. 第 2 步（对角线一半）：$S_{\triangle BCD}=36\div 2=\underline{18}$（平方米）。
    3. 第 3 步（同高面积比）：$\dfrac{DF}{DB}=\dfrac{6}{18}=\underline{0.333333333}$。
    4. 第 4 步（搬比取补）：$\dfrac{BE}{BC}=1-\dfrac13=\underline{0.666666667}$。
    5. 第 5 步（求阴影）：$S_{\triangle BCF}=18-6=12$，$S_{\triangle BEF}=\dfrac23\times 12=\underline{8}$（平方米）。
    最终答案：$8$ 平方米。
  27. 20. ch10-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（反推长方形）：$9\times 4=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（半个长方形）：$S_{\triangle BCD}=36\div 2=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（整体减部分）：$\triangle BCD$ 被 $CF$ 分成 $\triangle CDF$ 与 $\triangle BCF$，所以 $S_{\triangle BCF}=18-6=\underline{12}$。
    最终答案：$12$。
  28. 20. ch10-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（求第 (1) 问）：$\triangle AOD$ 占长方形的 $\dfrac14$，长方形面积 $=9\times 4=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（半个长方形）：$S_{\triangle BCD}=36\div 2=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（定线段比）：$\dfrac{DF}{DB}=\dfrac{6}{18}=\dfrac13$，搬到 $BC$ 上得 $\dfrac{BE}{BC}=1-\dfrac13=\underline{0.666666667}$。
    4. 第 4 步（求第 (2) 问）：$S_{\triangle BCF}=18-6=12$，$S_{\triangle BEF}=\dfrac23\times 12=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（求第 (3) 问）：$8\div 36=\underline{0.222222222}$（约分后为 $\dfrac{2}{9}$）。
    最终答案：（1）$36$；（2）$8$；（3）$\dfrac{2}{9}$。
  29. 22. ch10-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（把四边形拆开）：连 $OC$，把四边形分成 $\triangle EOC$ 和 $\triangle ODC$，分别设为 $y$ 和 $z$。
    2. 第 2 步（沿 $AD$ 列第一组比例）：$\triangle ABO$ 与 $\triangle BOD$ 同高，$\triangle AOC$ 与 $\triangle ODC$ 也同高，都等于 $\dfrac{AO}{OD}$，所以 $\dfrac{2+y}{z}=\dfrac{3}{\underline{4}}$。
    3. 第 3 步（沿 $BE$ 列第二组比例）：$\dfrac{y}{z+4}=\dfrac{S_{\triangle AEO}}{S_{\triangle ABO}}=\dfrac{2}{\underline{3}}$。
    4. 第 4 步（解方程组求 $y$）：由两式消元得 $y=\dfrac{2\times 4\times(2+3)}{3\times 3-2\times 4}=\underline{40}$。
    5. 第 5 步（回代求 $z$）：$z=\dfrac{4\times(2+40)}{3}=\underline{56}$。
    6. 第 6 步（求四边形）：$40+56=\underline{96}$。
    最终答案：$96$。
  30. 22. ch10-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（拆四边形）：连 $OC$，设 $S_{\triangle EOC}=y$、$S_{\triangle ODC}=z$（公亩）。
    2. 第 2 步（沿 $AD$）：$\dfrac{2+y}{z}=\dfrac{3}{\underline{4}}$。
    3. 第 3 步（沿 $BE$）：$\dfrac{y}{z+4}=\dfrac{2}{\underline{3}}$。
    4. 第 4 步（解出 $y$）：$y=\dfrac{2\times 4\times(2+3)}{3\times 3-2\times 4}=\underline{40}$。
    5. 第 5 步（回代求 $z$ 并相加）：$z=\dfrac{4\times(2+40)}{3}=56$，四边形 $=40+56=\underline{96}$（公亩）。
    最终答案：$96$ 公亩。
  31. 22. ch10-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（列第一组比例）：$\dfrac{2+y}{z}=\dfrac{3}{\underline{4}}$（$y=S_{\triangle EOC}$，$z=S_{\triangle ODC}$）。
    2. 第 2 步（列第二组比例）：$\dfrac{y}{z+4}=\dfrac{2}{\underline{3}}$。
    3. 第 3 步（解出 $y$）：$y=\dfrac{2\times 4\times(2+3)}{3\times 3-2\times 4}=\underline{40}$。
    4. 第 4 步（回代求 $z$）：$z=\dfrac{4\times(2+40)}{3}=\underline{56}$。
    最终答案：$S_{\triangle EOC}=40$，$S_{\triangle ODC}=56$。
  32. 22. ch10-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（拆分并列式）：设 $S_{\triangle EOC}=y$、$S_{\triangle ODC}=z$，则 $\dfrac{2+y}{z}=\dfrac{3}{\underline{4}}$，$\dfrac{y}{z+4}=\dfrac{2}{\underline{3}}$。
    2. 第 2 步（解出两块）：$y=\dfrac{2\times 4\times(2+3)}{3\times 3-2\times 4}=\underline{40}$，$z=\dfrac{4\times(2+40)}{3}=\underline{56}$。
    3. 第 3 步（求第 (1) 问）：四边形 $DCEO=40+56=\underline{96}$。
    4. 第 4 步（求第 (2) 问，把五块全加起来）：$2+3+4+96=\underline{105}$。
    5. 第 5 步（求第 (3) 问，用同高三角形面积比）：$\dfrac{AO}{OD}=\dfrac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle BOD}}=\dfrac{3}{4}$，也可用另一组验算 $\dfrac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ODC}}=\dfrac{2+40}{56}=\underline{0.75}$，两者一致。
    最终答案：（1）$96$；（2）$105$；（3）$AO:OD=3:4$。
  33. 25. ch10-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（抓住不变量）：面积只有一个，用两种底高都能算出它，所以 $BC\times 20=CD\times 12$。
    2. 第 2 步（由积相等求邻边比）：底与高成反比，约简后 $BC:CD=12:20=3:\underline{5}$。
    3. 第 3 步（求相邻两边之和）：平行四边形对边相等，相邻两边之和是周长的一半，$96\div 2=\underline{48}$（厘米）。
    4. 第 4 步（按比分配）：一份是 $48\div(3+5)=\underline{6}$（厘米），所以 $BC=6\times 3=\underline{18}$（厘米）。
    5. 第 5 步（求面积）：用 $BC$ 作底，面积 $=18\times 20=\underline{360}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（换一种底验算）：$CD=6\times 5=30$ 厘米，$30\times 12=\underline{360}$（平方厘米），与上一步一致。
    最终答案：$360$ 平方厘米。
  34. 25. ch10-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（同一块地面积唯一）：设短边为 $x$、长边为 $y$，则 $x\times 20=y\times 12$。
    2. 第 2 步（求两边之比）：底与高成反比，$x:y=12:20=3:\underline{5}$。
    3. 第 3 步（相邻两边之和）：围栏总长的一半 $96\div 2=\underline{48}$（米）。
    4. 第 4 步（按比分配）：一份 $48\div(3+5)=\underline{6}$（米），短边 $x=6\times 3=\underline{18}$（米）。
    5. 第 5 步（求面积）：$18\times 20=\underline{360}$（平方米）。
    最终答案：$360$ 平方米。
  35. 25. ch10-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（先把面积求出来）：用已知的一组底高，面积 $=18\times 20=\underline{360}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（同一面积换底）：面积不变，$30\times h=360$，所以 $h=360\div 30=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（比例验算）：底之比 $18:30=3:5$，高之比应当相反，$20:12=5:\underline{3}$，一致。
    最终答案：$12$ 厘米。
  36. 25. ch10-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求邻边比）：$BC\times 20=CD\times 12$，所以 $BC:CD=12:20=3:\underline{5}$。
    2. 第 2 步（求边长）：相邻两边之和 $96\div 2=\underline{48}$（厘米），一份 $48\div 8=\underline{6}$（厘米），$BC=18$、$CD=6\times 5=\underline{30}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求平行四边形面积）：$18\times 20=\underline{360}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（叠加三角形面积）：$AB$ 与 $CD$ 是一组对边，$P$ 在 $CD$ 上，所以三角形 $ABP$ 与平行四边形同底 $AB$、同高，面积是它的一半：$360\div 2=\underline{180}$（平方厘米）。
    最终答案：$180$ 平方厘米。
  37. 28. ch10-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（由平行得相似）：$DE\parallel BC$，所以 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
    2. 第 2 步（两腰按同一个比截开）：$AE:EC=AD:DB=9:\underline{4}$。
    3. 第 3 步（求相似比，注意分母是整条 $AB$）：$AB=AD+DB=9+4=\underline{13}$，所以 $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{9}{13}$。
    4. 第 4 步（对应边之比）：$DE:BC=9:\underline{13}$。
    最终答案：$AE:EC=9:4$；$DE:BC=9:13$。
  38. 28. ch10-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（平行就有相似）：锯缝与底边平行，所以 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
    2. 第 2 步（另一条腰同比被截）：$AE:EC=AD:DB=9:\underline{4}$。
    3. 第 3 步（相似比的分母用整条边）：$AB=9+4=\underline{13}$，相似比为 $\dfrac{9}{13}$。
    4. 第 4 步（求长度关系）：$DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{9}{\underline{13}}$。
    最终答案：$AE:EC=9:4$；$DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{9}{13}$。
  39. 28. ch10-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（读懂已知）：$DE:BC$ 是相似比，也就是 $AD:AB=4:9$，即 $AB$ 占 $9$ 份、$AD$ 占 $4$ 份。
    2. 第 2 步（求 $DB$ 的份数）：$DB=AB-AD$，份数为 $9-4=\underline{5}$。
    3. 第 3 步（写出比）：$AD:DB=4:\underline{5}$。
    最终答案：$AD:DB=4:5$。
  40. 28. ch10-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（求相似比）：$AB=9+4=\underline{13}$，所以 $\triangle ADE$ 与 $\triangle ABC$ 的相似比是 $\dfrac{9}{13}$。
    2. 第 2 步（面积比是相似比的平方）：面积比 $=\dfrac{9\times 9}{13\times 13}=\dfrac{81}{\underline{169}}$。
    3. 第 3 步（求小三角形面积）：$169\times\dfrac{81}{169}=\underline{81}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求梯形面积，用整体减部分）：$169-81=\underline{88}$（平方厘米）。
    最终答案：三角形 $ADE$ 的面积是 $81$ 平方厘米，梯形 $DBCE$ 的面积是 $88$ 平方厘米。
  41. 29. ch10-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（中位线）：$D$、$E$ 是中点，所以 $DE\parallel BC$，且 $DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{1}{\underline{2}}$。
    2. 第 2 步（认出沙漏）：$DE\parallel BC$，$\triangle ODE$ 与 $\triangle OCB$ 相似，相似比 $1:2$，所以 $O$ 到 $BC$ 与到 $DE$ 的距离之比是 $2:\underline{1}$。
    3. 第 3 步（定高度占比）：$DE$ 与 $BC$ 之间的距离是全高的 $\dfrac{1}{2}$，把它按 $2:1$ 分，$O$ 到 $BC$ 的距离占全高的 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\underline{0.333333333}$。
    4. 第 4 步（求面积）：同底 $BC$，高是原来的 $\dfrac{1}{3}$，所以 $S_{\triangle OBC}=24\times\dfrac{1}{3}=\underline{8}$（平方厘米）。
    最终答案：$8$ 平方厘米。
  42. 29. ch10-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（中点连线）：$D$、$E$ 是中点，$DE\parallel BC$，$DE$ 是 $BC$ 的 $\dfrac{1}{\underline{2}}$。
    2. 第 2 步（沙漏）：两根绳子交叉成沙漏，相似比 $1:2$，$O$ 到 $BC$ 与到 $DE$ 的距离之比是 $2:\underline{1}$。
    3. 第 3 步（高度占比）：$O$ 到 $BC$ 的距离占全高的 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\underline{0.333333333}$。
    4. 第 4 步（求面积）：$24\times\dfrac{1}{3}=\underline{8}$（平方米）。
    最终答案：$8$ 平方米。
  43. 29. ch10-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（先求沙漏大头）：同上可得 $S_{\triangle OBC}=24\times\dfrac{1}{3}=\underline{8}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（沙漏两头是相似三角形）：$\triangle ODE$ 与 $\triangle OCB$ 相似比是 $1:2$，面积比是相似比的平方，即 $1:\underline{4}$。
    3. 第 3 步（求小头面积）：$8\div 4=\underline{2}$（平方厘米）。
    最终答案：$2$ 平方厘米。
  44. 29. ch10-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（先定 $DE$ 与 $BC$ 的比）：由 $AD:AB=1:3$ 且 $DE\parallel BC$ 得 $DE:BC=1:\underline{3}$。
    2. 第 2 步（$DE$ 与 $BC$ 之间的距离）：$DE$ 到顶点 $A$ 的高占全高的 $\dfrac13$，所以 $DE$ 与 $BC$ 之间的距离占全高的 $1-\dfrac{1}{3}=\underline{0.666666667}$。
    3. 第 3 步（沙漏分割这段距离）：$\triangle ODE\sim\triangle OCB$，相似比 $1:3$，所以 $O$ 到 $BC$ 与到 $DE$ 的距离之比是 $3:1$，$O$ 到 $BC$ 的距离占全高的 $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{3+1}=\underline{0.5}$。
    4. 第 4 步（求面积）：同底 $BC$，高是原高的 $\dfrac{1}{2}$，$S_{\triangle OBC}=36\times\dfrac{1}{2}=\underline{18}$（平方厘米）。
    最终答案：$18$ 平方厘米。