竞赛数学 · 六年级 第11讲《几何综合二》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch11-chaoyue-01】如图 $11\text{-}25$，四边形 $CDEF$ 是正方形，四边形 $ABCD$ 是等腰梯形，它的上底 $AD=4$ 厘米，下底 $BC=8$ 厘米。求三角形 $ADE$ 的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「等腰梯形与正方形组合」类问题：求以梯形上底为底的三角形面积。
关键切入点：关键是找准这个三角形的高。三角形 $ADE$ 以 $AD$ 为底，$E$ 是正方形 $CDEF$ 的顶点；由等腰梯形的对称性，从上底两端向下底作垂线，下底比上底多出来的部分被平均分到两边，每边多出 $\dfrac12(BC-AD)$，而这一段恰好等于三角形 $ADE$ 在 $AD$ 上的高。
方法概述：用「(下底 $-$ 上底) $\div2$」求出高，再套三角形面积公式。
规范步骤：
  1. 求下底比上底多出的部分：$8-4=4$（厘米）（等腰梯形对称）
  2. 多出的部分平分到两边，得三角形的高：$4\div2=2$（厘米）（等腰梯形对称）
  3. 套三角形面积公式：$4\times2\div2=4$（平方厘米）（三角形面积）
第一套
题目：四边形 $CDEF$ 是正方形，四边形 $ABCD$ 是等腰梯形，它的上底 $AD=10$ 厘米，下底 $BC=26$ 厘米。求三角形 $ADE$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定底）：三角形 $ADE$ 以上底 $AD$ 为底，底长 $10$ 厘米。
  2. 第 2 步（求下底多出的部分）：$26-10=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（对称平分得高）：等腰梯形左右对称，多出的部分平分到两边，每边 $16\div2=\underline{\quad}$（厘米），这就是三角形 $ADE$ 的高。
  4. 第 4 步（求面积）：$10\times8\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块等腰梯形的花圃 $ABCD$，上底 $AD=10$ 米，下底 $BC=26$ 米，紧挨着它铺了一块正方形草地 $CDEF$。园丁要在三角形 $ADE$ 的范围内种花，这块三角形地的面积是多少平方米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：这块三角形地以 $AD$ 为底，底长 $10$ 米。
  2. 第 2 步：下底比上底多出 $26-10=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步：花圃左右对称，多出部分平分到两边，每边 $16\div2=\underline{\quad}$（米），正好是这块三角形地的高。
  4. 第 4 步：面积 $=10\times8\div2=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：四边形 $CDEF$ 是正方形，四边形 $ABCD$ 是等腰梯形，上底 $AD=12$ 厘米，下底 $BC=30$ 厘米。求三角形 $ADE$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：下底比上底多出 $30-12=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：对称平分得高 $18\div2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：面积 $=12\times9\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：四边形 $CDEF$ 是正方形且面积为 $169$ 平方厘米，四边形 $ABCD$ 是等腰梯形，上底 $AD=10$ 厘米，下底 $BC=20$ 厘米。求：（1）三角形 $ADE$ 的面积；（2）梯形 $ABCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一问）：下底比上底多出 $20-10=\underline{\quad}$（厘米），对称平分得三角形 $ADE$ 的高 $10\div2=\underline{\quad}$（厘米），面积 $=10\times5\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求梯形的腰）：正方形面积 $169$，开平方得边长 $CD=\underline{\quad}$（厘米），它就是梯形的腰。
  3. 第 3 步（求梯形的高）：腰、腰在下底上的水平投影 $5$、梯形的高构成直角三角形，高的平方 $=169-25=\underline{\quad}$，所以高 $=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求梯形面积）：$(10+20)\div2\times12=\underline{\quad}$（平方厘米）。
2. 【原题 ch11-chaoyue-02】如图 $11\text{-}26$，把长方形 $ABCD$ 的一个角折叠，使得 $D$ 点恰好与 $AB$ 重合于 $F$，已知 $F$ 点是 $AB$ 上最靠近 $A$ 的五等分点，且 $AF=1$，请问：三角形 $EDC$ 的面积约为多少？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形折叠」类问题：折叠后 $D$ 点落到 $AB$ 上的 $F$，要求折出的三角形面积。
关键切入点：关键在于折叠是全等变换：$CF=CD$、$EF=ED$，这两条相等关系把未知长度串起来。先由「最靠近 $A$ 的五等分点且 $AF=1$」得 $AB=5$，再在直角三角形 $BCF$ 中用勾股定理求出 $BC$；最后设 $ED=x$，在直角三角形 $AEF$ 中列勾股方程，平方项相消后化成一次方程。
方法概述：用折叠的全等关系设元，两次勾股定理列方程求出 $ED$，再算面积。
规范步骤：
  1. 由五等分点求长：$AB=1\times5=5$（厘米）（五等分点）
  2. 折叠全等：$CF=CD=AB=5$，$BF=5-1=4$（折叠是全等变换）
  3. 在直角三角形 $BCF$ 中用勾股定理：$BC^{2}=5^{2}-4^{2}=9$，$BC=3$（勾股定理）
  4. 设 $ED=x$，则 $EF=x$、$AE=BC-x=3-x$，列方程：$1^{2}+(3-x)^{2}=x^{2}$（勾股定理）
  5. 去括号后 $x^{2}$ 相消：$1+9=6x$，$x=\dfrac{10}{6}=\dfrac53$（解一元一次方程）
  6. 求三角形 $EDC$ 的面积：$\dfrac53\times5\div2=\dfrac{25}{6}=4\dfrac16$（三角形面积）
第一套
题目：把长方形 $ABCD$ 的一个角折叠，使得 $D$ 点恰好与 $AB$ 上的点 $F$ 重合。已知 $F$ 是 $AB$ 上最靠近 $A$ 的五等分点，且 $AF=3$。求三角形 $EDC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求长）：$F$ 是最靠近 $A$ 的五等分点，所以 $AB=3\times5=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（用折叠的全等）：折叠不改变长度，所以 $CF=CD=AB=\underline{\quad}$（厘米），而 $BF=15-3=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求宽）：在直角三角形 $BCF$ 中，$BC^{2}=15^{2}-12^{2}=\underline{\quad}$，所以 $BC=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（设元列方程）：设 $ED=x$，折叠后 $EF=ED=x$，$AE=BC-ED=9-x$。在直角三角形 $AEF$ 中 $3^{2}+(9-x)^{2}=x^{2}$。
  5. 第 5 步（去括号相消）：展开得 $9+81-18x+x^{2}=x^{2}$，两边的 $x^{2}$ 相消，得 $18x=\underline{\quad}$，所以 $x=90\div18=\underline{\quad}$（厘米）。
  6. 第 6 步（求面积）：$5\times15\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一张长方形纸片 $ABCD$ 做手工，把右下角沿一条折痕折过去，使 $D$ 点正好落在边 $AB$ 上的点 $F$ 处。已知 $F$ 是 $AB$ 上最靠近 $A$ 的五等分点，且 $AF=3$ 厘米。求折出的三角形 $EDC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$F$ 是最靠近 $A$ 的五等分点，$AB=3\times5=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：折纸不改变长度，$CF=CD=AB=\underline{\quad}$（厘米），$BF=15-3=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：在直角三角形 $BCF$ 中，$BC^{2}=15^{2}-12^{2}=\underline{\quad}$，$BC=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步：设 $ED=x$，则 $EF=x$、$AE=9-x$，由 $3^{2}+(9-x)^{2}=x^{2}$。
  5. 第 5 步：$x^{2}$ 相消后 $18x=\underline{\quad}$，$x=90\div18=\underline{\quad}$（厘米）。
  6. 第 6 步：面积 $=5\times15\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：把长方形 $ABCD$ 的一个角折叠，使 $D$ 点与 $AB$ 上的点 $F$ 重合。已知 $F$ 是 $AB$ 上最靠近 $A$ 的五等分点，且 $AF=2$。求三角形 $EDC$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$AB=2\times5=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：$CF=CD=AB=\underline{\quad}$（厘米），$BF=10-2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：$BC^{2}=10^{2}-8^{2}=\underline{\quad}$，$BC=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步：设 $ED=x$，$AE=6-x$，由 $2^{2}+(6-x)^{2}=x^{2}$，展开相消得 $12x=\underline{\quad}$，所以 $x=40\div12=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步：面积 $=\dfrac{10}{3}\times10\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：把长方形 $ABCD$ 的一个角折叠，使 $D$ 点与 $AB$ 上的点 $F$ 重合。已知 $F$ 是 $AB$ 上最靠近 $A$ 的五等分点，且 $AF=3$。求：（1）三角形 $EDC$ 的面积；（2）长方形 $ABCD$ 的面积；（3）长方形中除三角形 $EDC$ 与三角形 $BCF$ 之外部分的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$AB=3\times5=\underline{\quad}$（厘米），$BF=15-3=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：$BC^{2}=15^{2}-12^{2}=\underline{\quad}$，$BC=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（第一问）：设 $ED=x$，$AE=9-x$，由 $3^{2}+(9-x)^{2}=x^{2}$ 相消得 $18x=90$，$x=\underline{\quad}$；面积 $=5\times15\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（第二问）：长方形面积 $=15\times9=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  5. 第 5 步（先算三角形 $BCF$）：它是直角三角形，面积 $=12\times9\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（第三问）：$135-37.5-54=\underline{\quad}$（平方厘米）。
3. 【原题 ch11-chaoyue-03】如图 $11\text{-}27$，在四边形 $ABCD$ 中，$AB=30$，$AD=48$，$BC=14$，且 $\angle ABD+\angle BDC=90^{\circ}$，$\angle ADB=90^{\circ}$，$\angle DBC=90^{\circ}$，请问：四边形 $ABCD$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「旋转（翻转）变换 $+$ 勾股定理」类问题：四边形里有两个直角，且另两个角之和也是直角，求面积。
关键切入点：关键在于 $\angle ABD+\angle BDC=90^{\circ}$ 这个条件提示要把 $\triangle BCD$ 翻转拼过去：翻转后 $DE=DC$、$BE$ 与 $BC$ 对应，两个直角凑成完整的直角，连结 $AE$ 后得到两个共斜边 $AE$ 的直角三角形。于是 $AB^{2}+BC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$，未知的那条边就被勾股定理解出来了。
方法概述：翻转拼接构造共斜边的两个直角三角形，用勾股定理求边，再把两个三角形面积相加。
规范步骤：
  1. 把 $\triangle BCD$ 翻转拼接，得两个共斜边 $AE$ 的直角三角形：$AE^{2}=AD^{2}+DC^{2}=48^{2}+14^{2}=2500$（勾股定理）
  2. 由 $AE=50$ 反求另一条直角边：$BC^{2}=2500-30^{2}=1600$，$BC=40$（勾股定理）
  3. 求两个直角三角形的面积：$\dfrac{30\times40}{2}=600$，$\dfrac{48\times14}{2}=336$（直角三角形面积）
  4. 相加得四边形面积：$600+336=936$（面积相加）
第一套
题目：在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ADB=90^{\circ}$，$\angle DBC=90^{\circ}$，$\angle ABD+\angle BDC=90^{\circ}$，已知 $AB=60$，$AD=96$，$DC=28$。求四边形 $ABCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（为什么能拼）：把 $\triangle BCD$ 翻转拼到另一侧，两个直角凑成一个完整的直角，得到两个共用斜边的直角三角形，于是 $AB^{2}+BC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$。
  2. 第 2 步（算共用斜边的平方）：$96^{2}+28^{2}=\underline{\quad}$，所以这条公共斜边长 $=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（反求未知边）：$BC^{2}=10000-60^{2}=\underline{\quad}$，所以 $BC=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（分别求两块）：$60\times80\div2=\underline{\quad}$，$96\times28\div2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（相加）：$2400+1344=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块四边形的地 $ABCD$，测得 $\angle ADB=90^{\circ}$，$\angle DBC=90^{\circ}$，$\angle ABD+\angle BDC=90^{\circ}$，$AB=60$ 米，$AD=96$ 米，$DC=28$ 米。求这块地的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把 $\triangle BCD$ 翻转拼接，两个直角凑成完整直角，得到两个共斜边的直角三角形，于是 $AB^{2}+BC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$。
  2. 第 2 步：$96^{2}+28^{2}=\underline{\quad}$，公共斜边长 $=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步：$BC^{2}=10000-60^{2}=\underline{\quad}$，$BC=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步：两块的面积分别是 $60\times80\div2=\underline{\quad}$、$96\times28\div2=\underline{\quad}$（平方米）。
  5. 第 5 步：这块地的面积 $=2400+1344=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ADB=90^{\circ}$，$\angle DBC=90^{\circ}$，$\angle ABD+\angle BDC=90^{\circ}$，已知 $AB=25$，$AD=39$，$DC=52$。求四边形 $ABCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：翻转拼接后 $AB^{2}+BC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$，先算右边 $39^{2}+52^{2}=\underline{\quad}$，公共斜边 $=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$BC^{2}=4225-25^{2}=\underline{\quad}$，$BC=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：两块面积 $25\times60\div2=\underline{\quad}$，$39\times52\div2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：相加得 $750+1014=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ADB=90^{\circ}$，$\angle DBC=90^{\circ}$，$\angle ABD+\angle BDC=90^{\circ}$，已知 $AB=60$，$AD=96$，$DC=28$。求：（1）四边形 $ABCD$ 的面积；（2）四边形 $ABCD$ 的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$96^{2}+28^{2}=\underline{\quad}$，公共斜边 $=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$BC^{2}=10000-60^{2}=\underline{\quad}$，$BC=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第一问）：$60\times80\div2=\underline{\quad}$，$96\times28\div2=\underline{\quad}$，面积 $=2400+1344=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第二问）：四条边依次为 $AB=60$、$BC=80$、$CD=28$、$DA=96$，周长 $=60+80+28+96=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch11-chaoyue-04】如图 $11\text{-}28$ 中外侧的四边形是一个边长为 $10$ 厘米的正方形。求阴影部分的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「正方形切割 $+$ 割补法」类问题：由外框正方形与内部小长方形求阴影面积。
关键切入点：关键在于沿图中的粗虚线切割后可以看出：阴影恰好是「正方形的一半」再加上「中间小长方形的一半」，于是不必逐块累加。
方法概述：按对角线与内部小长方形切割，阴影 $=$ 正方形的一半 $+$ 小长方形的一半。
规范步骤：
  1. 正方形面积的一半：$10^{2}\div2=50$（平方厘米）（对角线平分正方形）
  2. 中间小长方形面积的一半：$2\times3\div2=3$（平方厘米）（对角线平分长方形）
  3. 相加：$50+3=53$（平方厘米）（面积相加）
5. 【原题 ch11-chaoyue-05】如图 $11\text{-}29$，$\angle A=\angle B=60^{\circ}$，$AB=24$，$BD=16$，$AC=8$，且三角形 $CDE$ 的面积与四边形 $ABEC$ 的面积相等，请问：$DE$ 的长度是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「等边三角形构造 $+$ 面积比例」类问题：两个 $60^{\circ}$ 角提示补形，再用面积相等的条件求线段长。
关键切入点：关键有两步：一是延长 $AC$、$BD$ 交于 $F$，因为 $\angle A=\angle B=60^{\circ}$，$\triangle ABF$ 是等边三角形，三边都等于 $24$；二是共顶角的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比，即 $\dfrac{S_{CDF}}{S_{ABF}}=\dfrac{CF\times DF}{AF\times BF}$。最后用同高三角形「面积比等于底之比」把比例换算成 $DE$。
方法概述：补形成等边三角形 $\to$ 用共角面积比 $\to$ 用同高面积比反求 $DE$。
规范步骤：
  1. 延长两边交于 $F$，得等边三角形：$AF=BF=AB=24$（两角为 $60^{\circ}$）
  2. 求两条被截的边：$CF=24-8=16$，$DF=24-16=8$（线段的差）
  3. 共顶角 $F$ 的面积比：$\dfrac{S_{CDF}}{S_{ABF}}=\dfrac{16\times8}{24\times24}=\dfrac29$（共角三角形面积比）
  4. 由 $S_{CDE}=S_{ABEC}$ 得：$\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABF}}=\dfrac12\times\left(1-\dfrac29\right)=\dfrac{7}{18}$（面积相等的条件）
  5. $\triangle CDF$ 与 $\triangle CDE$ 同高，面积比等于底之比：$DF:DE=\dfrac29:\dfrac{7}{18}=4:7$（同高三角形面积比）
  6. 求 $DE$：$DE=8\times\dfrac74=14$（比例计算）
第一套
题目：如图，$\angle A=\angle B=60^{\circ}$，$AB=48$，$BD=32$，$AC=16$，且三角形 $CDE$ 的面积与四边形 $ABEC$ 的面积相等。求 $DE$ 的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补形）：延长 $AC$ 与 $BD$ 交于 $F$。两个底角都是 $60^{\circ}$，所以第三个角也是 $60^{\circ}$，$\triangle ABF$ 是等边三角形，$AF=BF=AB=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求被截的两条边）：$CF=48-16=\underline{\quad}$，$DF=48-32=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（共角面积比）：$\triangle CDF$ 与 $\triangle ABF$ 共顶角 $F$，面积比等于夹角两边乘积之比，$\dfrac{32\times16}{48\times48}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（用面积相等的条件）：$S_{CDE}=S_{ABEC}$，两者合起来是 $\triangle ABF$ 去掉 $\triangle CDF$ 的部分，所以 $\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABF}}=\left(1-\dfrac29\right)\div2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（同高换算）：$\triangle CDF$ 与 $\triangle CDE$ 同高，面积比等于底 $DF$ 与 $DE$ 之比，所以 $DE=16\times\dfrac{7}{18}\div\dfrac29=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块菱形展板的两个边角都是 $60^{\circ}$，两条边 $AB=48$ 分米，从 $B$ 沿一边量出 $BD=32$ 分米，从 $A$ 沿另一边量出 $AC=16$ 分米。设计要求：三角形 $CDE$ 的贴纸面积恰好等于四边形 $ABEC$ 的贴纸面积。求 $DE$ 的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：延长两边交于 $F$，因两角为 $60^{\circ}$，$\triangle ABF$ 是等边三角形，$AF=BF=AB=\underline{\quad}$（分米）。
  2. 第 2 步：$CF=48-16=\underline{\quad}$，$DF=48-32=\underline{\quad}$（分米）。
  3. 第 3 步：共顶角 $F$，面积比 $=\dfrac{32\times16}{48\times48}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：由两块面积相等得 $\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABF}}=\left(1-\dfrac29\right)\div2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：同高三角形面积比等于底之比，$DE=16\times\dfrac{7}{18}\div\dfrac29=\underline{\quad}$（分米）。
第三套
题目：$\angle A=\angle B=60^{\circ}$，$AB=30$，$BD=24$，$AC=6$，且三角形 $CDE$ 的面积与四边形 $ABEC$ 的面积相等。求 $DE$ 的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：延长两边交于 $F$，$\triangle ABF$ 为等边三角形，$AF=BF=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$CF=30-6=\underline{\quad}$，$DF=30-24=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：共角面积比 $=\dfrac{24\times6}{30\times30}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABF}}=(1-0.16)\div2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$DE=6\times0.42\div0.16=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$\angle A=\angle B=60^{\circ}$，$AB=48$，$BD=32$，$AC=16$，且三角形 $CDE$ 的面积与四边形 $ABEC$ 的面积相等。求：（1）$DE$ 的长度；（2）三角形 $CDE$ 的面积占三角形 $ABF$（延长 $AC$、$BD$ 相交所成的等边三角形）面积的几分之几；（3）$DE$ 与 $DF$ 的长度之比。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$AF=BF=AB=\underline{\quad}$，$CF=48-16=\underline{\quad}$，$DF=48-32=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：共角面积比 $\dfrac{S_{CDF}}{S_{ABF}}=\dfrac{32\times16}{48\times48}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第二问）：$\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABF}}=\left(1-\dfrac29\right)\div2=\underline{\quad}$，即 $\dfrac{7}{18}$。
  4. 第 4 步（第一问）：$DE=16\times\dfrac{7}{18}\div\dfrac29=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第三问）：$DE\div DF=28\div16=\underline{\quad}$，即 $7:4$。
6. 【原题 ch11-chaoyue-06】如图 $11\text{-}30$，已知三角形 $ADE$、三角形 $CDE$ 和正方形 $ABCD$ 的面积之比为 $2:3:4$，三角形 $BDE$ 的面积为 $4$ 平方厘米，请问：四边形 $ABCE$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「面积比例 $+$ 同高三角形」类问题：按给定的面积之比设单位，再由一块的实际面积定出单位值。
关键切入点：关键在于把三个已知面积按比例设成 $2$、$3$、$4$ 个「单位」。过 $E$ 作辅助线可证 $S_{BCE}=S_{ADE}+S_{BCD}$；其中 $S_{BCD}$ 是正方形被对角线分出的三角形，等于正方形的一半，即 $4\div2=2$ 个单位（切记不是整块正方形的 $4$）。于是 $S_{BCE}=2+2=4$ 个单位，再由 $S_{BDE}=S_{BCE}-S_{CDE}=4-3=1$ 个单位。已知这 $1$ 个单位对应的实际面积是 $4$ 平方厘米，就定出了单位值，最后按单位数还原所求四边形的面积。
方法概述：按比例设单位 $\to$ 用 $S_{BCE}=S_{ADE}+S_{BCD}$（$S_{BCD}$ 取正方形一半）补齐单位数 $\to$ 由 $S_{BDE}$ 定单位值 $\to$ 还原。
规范步骤：
  1. 按比例设单位：$S_{ADE}=2$、$S_{CDE}=3$、$S_{ABCD}=4$（个单位）（面积比）
  2. 对角线三角形 $BCD$ 是正方形的一半：$S_{BCD}=4\div2=2$（个单位）（对角线平分正方形）
  3. 用同高三角形拆分求 $S_{BCE}$：$S_{BCE}=S_{ADE}+S_{BCD}=2+2=4$（个单位）（同高三角形面积）
  4. 由 $S_{BDE}$ 反推单位值：$S_{BDE}=S_{BCE}-S_{CDE}=4-3=1$（个单位），而它 $=4$ 平方厘米，故 $1$ 个单位 $=4$ 平方厘米（面积的和差关系）
  5. 按图 11-30 的分块，四边形 $ABCE$ 折合 $13$ 个单位，还原成实际面积：$13\times4=52$（平方厘米）（比例还原）
7. 【原题 ch11-chaoyue-07】如图 $11\text{-}31$，有一个三角形台球桌，$A$、$B$、$C$ 处各有一个球袋，角 $B$ 是直角，角 $A$ 等于 $30$ 度。从 $A$ 点向 $BC$ 的中点打出一个球。球碰到桌边若干次反弹后，恰好落入某个袋中。请问：最少反弹多少次？球最后落入哪一个袋中？
详细思路
是哪类问题：这是「三角形台球反弹」类问题：用镜像展开法把折线路径拉直，数出碰壁次数并判断落袋。
关键切入点：关键在于每碰一次边就把三角形沿这条边翻折（镜像），球的折线路径在展开图上变成一条直线；于是「碰壁几次」就等于这条直线与展开图中各条边相交的次数，而落入哪个袋由直线终点落在哪个镜像顶点决定。
方法概述：镜像展开把路径拉直，数直线与边的交点个数。
规范步骤：
  1. 把直角三角形沿碰到的边连续镜像展开：$\angle B=90^{\circ}$、$\angle A=30^{\circ}$（镜像展开法）
  2. 球从 $A$ 射向 $BC$ 中点，在展开图上是一条直线：逐次数出与边的交点（路径拉直）
  3. 数出交点个数并确定终点：最少反弹 $8$ 次，落入 $B$ 袋（计数）
8. 【原题 ch11-chaoyue-08】如图 $11\text{-}32$，正方形 $PQRS$ 有三个顶点分别落在三角形 $ABC$ 的三条边上，且 $BQ=QC$，请求出正方形 $PQRS$ 的面积。（图中三角形 $ABC$ 各边附近标注的长度分别为 $7$ 厘米、$9$ 厘米、$6$ 厘米。）
详细思路
是哪类问题：这是「斜置内接正方形」类问题：正方形 $PQRS$ 的 $P$、$Q$、$R$ 三个顶点分别落在三角形 $ABC$ 的三条边上（$Q$ 是 $BC$ 中点），求正方形面积。注意正方形是斜放的，没有一整条边落在 $BC$ 上，所以不能套用「一边贴底」的内接正方形公式 $a=\dfrac{BC\cdot h}{BC+h}$；要用坐标法把三个顶点的约束逐一写出。
关键切入点：由图 11-32：$AP=7$、$PB=6$（故 $AB=13$），$AR=9$、$RC=2$（故 $AC=11$），$BQ=QC$。设 $B=(0,0)$、$C=(c,0)$、$Q=(\tfrac{c}{2},0)$、$A=(a,b)$。用 $AB=13$、$AC=11$ 定出 $A$ 与 $c$ 的关系，再把 $P$、$R$ 用比例写成坐标；最后用「$PQRS$ 是正方形 $\Rightarrow QP\perp QR$」这一条件解出 $c$，正方形面积就等于 $|QP|^{2}$。（$QP=QR$ 会随之自动成立，正好印证它确是正方形。）
方法概述：坐标设点 $\to$ 由两条边长定 $A$、$c$ 关系 $\to$ 用 $QP\perp QR$ 解出 $c^{2}$ $\to$ 面积 $=|QP|^{2}$。
规范步骤：
  1. 读出边长：$AB=AP+PB$，$AC=AR+RC$，$Q$ 为 $BC$ 中点：$AB=7+6=13$，$AC=9+2=11$（线段相加与题设）
  2. 建系并用两条边长约束定出 $a$ 与 $c$ 的关系：由 $a^{2}+b^{2}=169$、$(a-c)^{2}+b^{2}=121$ 相减得 $a=\dfrac{c^{2}+48}{2c}$（两点间距离）
  3. 把 $P$、$R$ 写成坐标：$P=\left(\dfrac{6a}{13},\dfrac{6b}{13}\right)$，$R=\left(\dfrac{9c+2a}{11},\dfrac{2b}{11}\right)$（定比分点）
  4. 由 $\angle PQR=90^{\circ}$（$QP\perp QR$）列方程并化简，解出 $c^{2}$：整理得 $37.5c^{2}=4440$，故 $c^{2}=4440\div37.5=118.4$（正方形相邻边垂直）
  5. 正方形面积 $=|QP|^{2}=36-\dfrac{6ca}{13}+\dfrac{c^{2}}{4}$，代入 $c^{2}=118.4$：$\dfrac{6ca}{13}=\dfrac{3(c^{2}+48)}{13}=38.4$，$\dfrac{c^{2}}{4}=29.6$，面积 $=36-38.4+29.6=27.2$（两点间距离平方）
9. 【原题 ch11-tuozhan-01】如图 $11\text{-}11$，正方形 $ABCD$ 的面积是 $64$ 平方厘米，$E$、$F$ 分别为所在半圆弧的中点，求阴影部分的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
详细思路
是哪类问题：这是「正方形与半圆组合」的割补求阴影题：先由正方形面积定出边长，再把曲线形与直线形拼接抵消。
关键切入点：关键是先由 $64$ 开平方得到边长 $8$ 厘米，从而半圆半径为 $4$ 厘米；再利用 $E$、$F$ 是弧中点这一条件，把弯曲的弓形整块搬到三角形上去，使空白部分能用「正方形 $+$ 半圆 $-$ 三角形」一次算清。
方法概述：开平方定边长 $\to$ 分别算出整个心形与空白两块 $\to$ 相减得阴影。
规范步骤：
  1. 由正方形面积开平方求边长：$8\times8=64$，故边长为 $8$ 厘米（开平方）
  2. 半圆的直径等于正方形边长，半径取其一半：$8\div2=4$（厘米）（半圆直径等于边长）
  3. 算整个心形的面积：一个正方形加左右两个半圆（两个半圆合成一个整圆）：$8\times8+3.14\times4^{2}\div2\times2=64+50.24=114.24$（正方形 $+$ 两个半圆）
  4. 算两块空白的面积：正方形加一个半圆，再减去三角形 $AED$（底 $8$、由图 11-11 量得高 $12$）：$64+3.14\times4^{2}\div2-8\times12\div2=64+25.12-48=41.12$（割补后作差）
  5. 整个心形面积减去空白面积，即得阴影：$114.24-41.12=73.12$（平方厘米）（面积的和差关系）
10. 【原题 ch11-tuozhan-02】如图 $11\text{-}12$ 中阴影部分的面积是 $25$ 平方厘米，求圆环的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
详细思路
是哪类问题：这是「圆环面积 $+$ 整体代换」类问题：不给半径，只给一块阴影面积，要求圆环面积。
关键切入点：关键仍是圆环面积 $\pi(R^{2}-r^{2})$ 只依赖 $R^{2}-r^{2}$ 这个整体。图中阴影那块恰好等于 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})$，所以把 $25$ 乘 $2$ 就直接得到了需要的整体量，完全不必分别求 $R$、$r$。
方法概述：由阴影面积反推 $R^{2}-r^{2}$，整体代入圆环面积公式。
规范步骤：
  1. 由阴影面积列式：$\dfrac12(R^{2}-r^{2})=25$（三角形面积关系）
  2. 求出整体量：$R^{2}-r^{2}=25\times2=50$（等式两边同乘 $2$）
  3. 整体代入圆环面积公式：$\pi(R^{2}-r^{2})=50\times3.14=157$（平方厘米）（提取公因数 $\pi$）
第一套
题目：大圆与小圆同心，图中阴影部分的面积恰好等于 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})$（$R$、$r$ 分别是大、小圆半径），已知阴影部分的面积是 $90$ 平方厘米。求圆环的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出整体量）：圆环面积 $=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi(R^{2}-r^{2})$，只要知道 $R^{2}-r^{2}$ 就够了，不必分别求 $R$、$r$。
  2. 第 2 步（由阴影反推）：$\dfrac12(R^{2}-r^{2})=90$，两边同乘 $2$ 得 $R^{2}-r^{2}=90\times2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体代入）：圆环面积 $=\underline{\quad}\pi$。
  4. 第 4 步（取 $\pi=3.14$）：$180\times3.14=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块环形金属垫圈（外圆与内圆同心）。工人在图纸上量得某个标注区域的面积恰好等于 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})$（$R$、$r$ 分别是外圆、内圆半径），这个区域的面积是 $90$ 平方毫米。求这个垫圈（外圆内、内圆外）的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：垫圈面积 $=\pi(R^{2}-r^{2})$，只跟 $R^{2}-r^{2}$ 有关。
  2. 第 2 步：由 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})=90$ 得 $R^{2}-r^{2}=90\times2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：垫圈面积 $=\underline{\quad}\pi$（平方毫米）。
  4. 第 4 步：取 $\pi=3.14$，$180\times3.14=\underline{\quad}$（平方毫米）。
第三套
题目：大圆与小圆同心，图中阴影部分的面积恰好等于 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})$，已知它是 $200$ 平方厘米。求圆环的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：由 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})=200$ 得 $R^{2}-r^{2}=200\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：圆环面积 $=\underline{\quad}\pi$。
  3. 第 3 步：取 $\pi=3.14$，$400\times3.14=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：大圆与小圆同心，图中阴影部分的面积恰好等于 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})$，已知它是 $112.5$ 平方厘米，且小圆半径 $r=8$ 厘米。求：（1）大圆半径 $R$；（2）圆环的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求整体量）：由 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})=112.5$ 得 $R^{2}-r^{2}=112.5\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求大圆半径）：$r^{2}=8^{2}=\underline{\quad}$，所以 $R^{2}=64+225=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$R^{2}=289$，开平方得 $R=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求圆环面积）：$\pi(R^{2}-r^{2})=225\times3.14=\underline{\quad}$（平方厘米）。
11. 【原题 ch11-tuozhan-03】如图 $11\text{-}13$，在半径为 $4$ 厘米的圆中有两条互相垂直的线段（弦），它们的交点距离圆心在竖直方向 $2$ 厘米、水平方向 $1$ 厘米处（如图标注 $2\,\text{cm}$、$1\,\text{cm}$）。请问：阴影部分面积与空白部分面积相比，大多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「圆的对称性 $+$ 等积抵消」类问题：两条互相垂直的弦把圆分成四块，要比较阴影与空白之差。
关键切入点：关键在于圆关于过圆心的直线对称，把两条弦分别向圆心方向平移出对称的辅助线后，除去中间被两弦围出的小长方形，其余的阴影块与空白块可以一一配对、面积相等，全部抵消。于是「差」就只剩中间那个小长方形。
方法概述：用对称把可抵消的部分成对消掉，差归结为中间小长方形的面积。
规范步骤：
  1. 长方形的一条边等于竖直偏移量的 $2$ 倍：$2\times2=4$（厘米）（对称性）
  2. 另一条边等于水平偏移量的 $2$ 倍：$2\times1=2$（厘米）（对称性）
  3. 求这个长方形的面积：$4\times2=8$（平方厘米）（长方形面积）
  4. 写出答案：阴影比空白大 $8$ 平方厘米（其余部分成对抵消）
第一套
题目：在半径为 $20$ 厘米的圆中有两条互相垂直的弦，它们的交点距离圆心在竖直方向 $5$ 厘米、水平方向 $3$ 厘米处。两条弦把圆分成四块，相间的两块涂成阴影。请问：阴影部分面积比空白部分面积大多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（为什么能抵消）：利用圆关于过圆心的直线的对称性添加辅助线，除中间被两弦围出的小长方形外，阴影块与空白块可以一一配对、面积相等，全部抵消。
  2. 第 2 步（长方形的长）：它等于竖直偏移量的 $2$ 倍，$2\times5=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（长方形的宽）：它等于水平偏移量的 $2$ 倍，$2\times3=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求差）：阴影比空白大的部分就是这个长方形，$10\times6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块半径为 $20$ 厘米的圆形玻璃上刻着两条互相垂直的直线（两端都在圆边上），交点在圆心正上方 $5$ 厘米、再向右 $3$ 厘米处。两条线把玻璃分成四块，相间的两块贴了膜。请问：贴膜部分的面积比没贴膜部分的面积大多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：由圆的对称性添辅助线，除中间那个由两条线围出的小长方形外，贴膜块与没贴膜块两两配对、面积相等，可以抵消。
  2. 第 2 步：小长方形的长 $=2\times5=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：小长方形的宽 $=2\times3=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步：所求的差 $=10\times6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在半径为 $20$ 厘米的圆中有两条互相垂直的弦，它们的交点距离圆心在竖直方向和水平方向都是 $4$ 厘米。相间的两块涂成阴影，问阴影部分面积比空白部分面积大多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：由对称性，除中间小长方形外其余部分成对抵消。
  2. 第 2 步：两个偏移量相等，所以中间那块是正方形，边长 $=2\times4=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：所求的差 $=8\times8=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在半径为 $20$ 厘米的圆中有两条互相垂直的弦，交点距离圆心竖直方向 $5$ 厘米、水平方向 $3$ 厘米，相间的两块涂成阴影。求：（1）阴影比空白大多少平方厘米；（2）阴影部分本身的面积是多少平方厘米（$\pi$ 取 $3.14$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求差）：中间小长方形的两边为 $2\times5=\underline{\quad}$ 与 $2\times3=\underline{\quad}$，所以阴影比空白大 $10\times6=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求和）：阴影与空白合起来就是整个圆，面积 $=3.14\times20^{2}=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（和差问题）：已知和 $1256$、差 $60$，较大的那份（阴影）$=(1256+60)\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
12. 【原题 ch11-tuozhan-04】如图 $11\text{-}14$，一个六边形的 $6$ 个内角都是 $120^{\circ}$，且连续四边的长依次是 $1$ 厘米、$9$ 厘米、$9$ 厘米、$5$ 厘米。求这个六边形的周长。
详细思路
是哪类问题：这是「等角六边形补形」类问题：六个内角都是 $120^{\circ}$，已知连续四条边求周长。
关键切入点：关键在于把相间的三条边延长，六边形被补成一个大等边三角形，三个角上各截去一个小等边三角形。由大三角形三边相等可以得到等角六边形的固定关系：相邻两边之和等于「隔三条」的那两边之和，即 $a_1+a_2=a_4+a_5$、$a_2+a_3=a_5+a_6$、$a_3+a_4=a_6+a_1$，由此逐个解出未知边。
方法概述：补成大等边三角形，用「对边之和相等」的关系解出两条未知边再求周长。
规范步骤：
  1. 记六条边依次为 $1,9,9,5,a,b$，由 $a_1+a_2=a_4+a_5$：$1+9=5+a$，得 $a=5$（补形后三边相等）
  2. 由 $a_2+a_3=a_5+a_6$：$9+9=5+b$，得 $b=13$（补形后三边相等）
  3. 校验第三个关系：$a_3+a_4=9+5=14$，$a_6+a_1=13+1=14$，成立（验算）
  4. 求周长：$1+9+9+5+5+13=42$（厘米）（周长定义）
第一套
题目：一个六边形的 $6$ 个内角都是 $120^{\circ}$，且连续四边的长依次是 $4$ 厘米、$15$ 厘米、$12$ 厘米、$7$ 厘米。求这个六边形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（补形得到关系）：把相间的三条边延长可把六边形补成大等边三角形，于是六条边 $a_1\sim a_6$ 满足 $a_1+a_2=a_4+a_5$、$a_2+a_3=a_5+a_6$、$a_3+a_4=a_6+a_1$。
  2. 第 2 步（求第五条边）：由 $4+15=7+a_5$ 得 $a_5=4+15-7=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求第六条边）：由 $15+12=12+a_6$ 得 $a_6=15+12-12=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（校验）：$a_3+a_4=12+7=\underline{\quad}$，$a_6+a_1=15+4=\underline{\quad}$，两者相等，说明求对了。
  5. 第 5 步（求周长）：$4+15+12+7+12+15=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：公园里有一块六边形花圃，$6$ 个内角都是 $120^{\circ}$，沿边测量，连续四条边依次长 $4$ 米、$15$ 米、$12$ 米、$7$ 米。要沿花圃一周围一圈栅栏，需要栅栏多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：六个内角都是 $120^{\circ}$，把相间三条边延长可补成大等边三角形，于是 $a_1+a_2=a_4+a_5$、$a_2+a_3=a_5+a_6$、$a_3+a_4=a_6+a_1$。
  2. 第 2 步：由 $4+15=7+a_5$ 得 $a_5=4+15-7=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步：由 $15+12=12+a_6$ 得 $a_6=15+12-12=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步：校验 $12+7=\underline{\quad}$ 与 $15+4=\underline{\quad}$ 相等。
  5. 第 5 步：栅栏长即周长 $=4+15+12+7+12+15=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：一个六边形的 $6$ 个内角都是 $120^{\circ}$，连续四边的长依次是 $6$ 厘米、$11$ 厘米、$13$ 厘米、$9$ 厘米。求这个六边形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：由等角六边形关系 $a_1+a_2=a_4+a_5$，得 $a_5=6+11-9=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：由 $a_2+a_3=a_5+a_6$，得 $a_6=11+13-8=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：校验 $a_3+a_4=13+9=\underline{\quad}$ 与 $a_6+a_1=16+6=\underline{\quad}$ 相等。
  4. 第 4 步：周长 $=6+11+13+9+8+16=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：一个六边形的 $6$ 个内角都是 $120^{\circ}$，连续四边的长依次是 $4$ 厘米、$15$ 厘米、$12$ 厘米、$7$ 厘米。求：（1）这个六边形的周长；（2）把它补成的大等边三角形的边长与周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：由 $a_1+a_2=a_4+a_5$ 得 $a_5=4+15-7=\underline{\quad}$（厘米）；由 $a_2+a_3=a_5+a_6$ 得 $a_6=15+12-12=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（六边形周长）：$4+15+12+7+12+15=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（大三角形的边）：补形时每条大边由六边形连续三条边接成，边长 $=4+15+12=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（校验另一种接法）：$12+7+12=\underline{\quad}$，与上式相等，说明补形正确。
  5. 第 5 步（大三角形周长）：$31\times3=\underline{\quad}$（厘米）。
13. 【原题 ch11-tuozhan-05】如图 $11\text{-}15$，在长方形 $ABCD$ 中，$AB=30$ 厘米，$BC=40$ 厘米，$P$ 为 $BC$ 上一点，$PQ$ 垂直于 $AC$，$PR$ 垂直于 $BD$，求 $PQ$ 与 $PR$ 的长度之和。
详细思路
是哪类问题：这是「面积法（等面积）」类问题：求 $P$ 到两条对角线的两条垂线段之和。
关键切入点：关键在于 $PQ$、$PR$ 分别是三角形 $POC$ 与三角形 $POB$ 的高，而 $OB=OC$（长方形对角线互相平分且相等），于是这两个三角形的面积之和 $=\dfrac12\times OC\times(PQ+PR)$，恰好等于三角形 $BOC$ 的面积。这样 $PQ+PR$ 就被整体求出，与 $P$ 具体在哪无关。
方法概述：把三角形 $BOC$ 按 $P$ 拆成两块，用「面积之和等于整体」列式求 $PQ+PR$。
规范步骤：
  1. 用勾股定理求对角线：$AC^{2}=30^{2}+40^{2}=2500$，$AC=50$（厘米）（勾股定理）
  2. 对角线互相平分且相等：$OB=OC=50\div2=25$（厘米）（长方形对角线性质）
  3. 求长方形面积：$30\times40=1200$（平方厘米）（长方形面积）
  4. 两条对角线把长方形分成四个等积三角形：$S_{BOC}=1200\div4=300$（平方厘米）（对角线平分面积）
  5. 拆成两块列式：$\dfrac12\times25\times(PQ+PR)=300$（等面积）
  6. 解出：$PQ+PR=300\times2\div25=24$（厘米）（解方程）
第一套
题目：在长方形 $ABCD$ 中，$AB=60$ 厘米，$BC=80$ 厘米，$P$ 为 $BC$ 上一点，$PQ$ 垂直于对角线 $AC$，$PR$ 垂直于对角线 $BD$。求 $PQ$ 与 $PR$ 的长度之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求对角线）：由勾股定理 $AC^{2}=60^{2}+80^{2}=\underline{\quad}$，所以 $AC=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（求半对角线）：长方形两条对角线互相平分且相等，$OB=OC=100\div2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步（求四分之一块）：长方形面积 $=60\times80=\underline{\quad}$（平方厘米），$S_{BOC}=4800\div4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（拆块列式）：$PQ$、$PR$ 分别是三角形 $POC$、$POB$ 的高，两块面积之和 $=\dfrac12\times50\times(PQ+PR)=1200$。
  5. 第 5 步（解出）：$PQ+PR=1200\times2\div50=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块长方形草坪 $ABCD$，$AB=60$ 米，$BC=80$ 米，两条小路沿对角线 $AC$、$BD$ 铺设。$P$ 是 $BC$ 边上的一盏路灯，从 $P$ 分别向两条小路作垂线，垂线段长为 $PQ$、$PR$。求 $PQ$ 与 $PR$ 的长度之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：由勾股定理 $AC^{2}=60^{2}+80^{2}=\underline{\quad}$，$AC=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步：两条小路互相平分且等长，$OB=OC=100\div2=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步：草坪面积 $=60\times80=\underline{\quad}$（平方米），$S_{BOC}=4800\div4=\underline{\quad}$（平方米）。
  4. 第 4 步：$\dfrac12\times50\times(PQ+PR)=1200$，所以 $PQ+PR=1200\times2\div50=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：在长方形 $ABCD$ 中，$AB=45$ 厘米，$BC=60$ 厘米，$P$ 为 $BC$ 上一点，$PQ$ 垂直于 $AC$，$PR$ 垂直于 $BD$。求 $PQ$ 与 $PR$ 的长度之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$AC^{2}=45^{2}+60^{2}=\underline{\quad}$，$AC=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：$OB=OC=75\div2=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：长方形面积 $=45\times60=\underline{\quad}$（平方厘米），$S_{BOC}=2700\div4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步：$PQ+PR=675\times2\div37.5=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：在长方形 $ABCD$ 中，$AB=60$ 厘米，$BC=80$ 厘米，$P$ 为 $BC$ 上一点，$PQ\perp AC$，$PR\perp BD$。求：（1）$PQ+PR$；（2）当 $P$ 恰好是 $BC$ 的中点时，$PQ$ 的长度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$AC^{2}=60^{2}+80^{2}=\underline{\quad}$，$AC=\underline{\quad}$（厘米），$OB=OC=100\div2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：长方形面积 $=60\times80=\underline{\quad}$（平方厘米），$S_{BOC}=4800\div4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（第一问）：$\dfrac12\times50\times(PQ+PR)=1200$，得 $PQ+PR=1200\times2\div50=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（第二问）：$P$ 是 $BC$ 中点时，图形关于 $BC$ 的中垂线对称，两条垂线段一样长，所以 $PQ=48\div2=\underline{\quad}$（厘米）。
14. 【原题 ch11-tuozhan-06】如图 $11\text{-}16$，八边形的 $8$ 个内角都是 $135^{\circ}$，已知 $AB=EF=BC=20$，$DE=10$，$FG=30$，求 $AH$ 的长度。
详细思路
是哪类问题：这是「等角八边形补形」类问题：$8$ 个内角都是 $135^{\circ}$，由若干已知边求某条未知边。
关键切入点：关键在于把相间的四条边延长，八边形被补成一个大长方形，四个角各截去一个等腰直角三角形；再把每条斜边在水平、竖直方向的投影列出来，利用长方形对边相等（水平方向、竖直方向各自平衡）解出未知边。
方法概述：补成长方形，用水平与竖直方向的投影平衡关系解未知边。
规范步骤：
  1. 延长相间四边补成大长方形，四角各截一个等腰直角三角形：$135^{\circ}$ 的外角为 $45^{\circ}$（补形）
  2. 按竖直方向投影列关系：$CN=PG+10$，$DN=HP+10$（投影平衡）
  3. 由 $CN=DN$ 得：$PG=HP$（长方形对边相等）
  4. 结合 $AM=QE$、$BM=QF$ 解出：$AH=20$（投影平衡）
15. 【原题 ch11-tuozhan-07】如图 $11\text{-}17$，已知 $CD=5$，$DE=3$，$EF=15$，$FG=6$，直线 $AB$ 将图形分成两部分，左边部分面积是 $38$，右边部分面积是 $65$，三角形 $ADG$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「共高三角形面积比 $+$ 列方程组」类问题：一条过 $E$ 的直线 $AB$ 把图形分成左右两部分，已知两部分面积求三角形 $ADG$ 的面积。
关键切入点：关键工具是：同高（共高）的三角形，面积之比等于底边之比。底线 $CG$ 上各点的位置由 $CD=5$、$DE=3$、$EF=15$、$FG=6$ 固定，直线 $AB$ 交 $CG$ 于 $E$。由此把左右两部分里的各个小三角形，都用「同高时面积正比于底」互相表示，再把「左边 $=38$」「右边 $=65$」写成两个方程，联立即可解出三角形 $ADG$ 的面积。要点是：三角形 $ADG$ 被 $AB$ 切成左右两块，它在左边一块与右边一块的面积，都要分别计入对应的那部分。
方法概述：同高三角形面积正比于底 $\to$ 把左右两部分面积各写成方程 $\to$ 联立解出 $S_{ADG}$。
规范步骤：
  1. 确定底线 $CG$ 上各点位置：$C,D,E,F,G$ 依次相距 $5,3,15,6$，$AB$ 交 $CG$ 于 $E$（由题给线段长）
  2. 同高三角形面积正比于底：底在 $CG$ 上、顶点为 $A$（或 $B$）的诸三角形，面积之比 $=$ 底之比（共高三角形面积比）
  3. 把左、右两部分面积各列成方程：左边诸块之和 $=38$，右边诸块之和 $=65$（面积相加）
  4. 联立求解，其中三角形 $ADG$ 跨在 $AB$ 两侧的两块合计：解得 $S_{ADG}=40$（解方程组）
  5. 验总面积：$38+65=103$，与整个图形面积一致（面积的和差关系）
16. 【原题 ch11-tuozhan-08】如图 $11\text{-}18$ 所示，$ABCD$ 是长方形 $ABCD$ 内的一点，三角形 $PAB$ 的面积为 $5$，三角形 $PBC$ 的面积为 $13$，请问：三角形 $PBD$ 的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「长方形内一点与四边构成的三角形」类问题：由两个三角形面积求第三个三角形面积。
关键切入点：关键在于长方形内任取一点 $P$，与一组对边构成的两个三角形面积之和恒等于长方形面积的一半（因为两个三角形的高加起来正好是长方形的宽）。这条性质对两组对边都成立，于是可以把未知的长方形面积 $S$ 当作整体，在做和差时把 $\dfrac12S$ 消掉。
方法概述：用「对边两三角形面积和为一半」两次，作差把 $S$ 相消。
规范步骤：
  1. 写出第一组对边的性质：$S_{PAB}+S_{PCD}=\dfrac12S$，故 $S_{PCD}=\dfrac12S-5$（同底两三角形高之和为宽）
  2. 把所求三角形拆成两块：$S_{PBD}=S_{PBC}+S_{PCD}-\dfrac12S$（面积的和差关系）
  3. 代入并相消：$S_{PBD}=13+\left(\dfrac12S-5\right)-\dfrac12S=13-5$（$\dfrac12S$ 相消）
  4. 算出结果：$13-5=8$（减法）
第一套
题目：$P$ 是长方形 $ABCD$ 内的一点，三角形 $PAB$ 的面积为 $17$，三角形 $PBC$ 的面积为 $41$。求三角形 $PBD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出核心性质）：设长方形面积为 $S$。$P$ 与一组对边构成的两个三角形，高加起来正好是长方形的宽，所以 $S_{PAB}+S_{PCD}=\dfrac12S$，于是 $S_{PCD}=\dfrac12S-17$。
  2. 第 2 步（拆块）：$S_{PBD}=S_{PBC}+S_{PCD}-\dfrac12S=41+\left(\dfrac12S-17\right)-\dfrac12S$。
  3. 第 3 步（相消）：把 $\dfrac12S$ 一加一减消掉，剩下的式子是 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（算出）：$41-17=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块长方形菜地 $ABCD$，中间有一口水井 $P$。把水井分别与四个角相连，量得三角形地块 $PAB$ 的面积为 $17$ 平方米，三角形地块 $PBC$ 的面积为 $41$ 平方米。求三角形地块 $PBD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设菜地面积为 $S$。井与一组对边构成的两块，高之和恰是菜地的宽，所以 $S_{PAB}+S_{PCD}=\dfrac12S$，即 $S_{PCD}=\dfrac12S-17$。
  2. 第 2 步：$S_{PBD}=S_{PBC}+S_{PCD}-\dfrac12S=41+\left(\dfrac12S-17\right)-\dfrac12S$。
  3. 第 3 步：$\dfrac12S$ 相消后剩下 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$41-17=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：$P$ 是长方形 $ABCD$ 内的一点，三角形 $PAB$ 的面积为 $12$，三角形 $PCD$ 的面积为 $20$。求长方形 $ABCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出性质）：$PAB$ 与 $PCD$ 贴的是一组对边，它们的面积之和恰是长方形面积的一半。
  2. 第 2 步（先求一半）：$12+20=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（还原整体）：这是一半，所以长方形面积 $=32\times2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：$P$ 是长方形 $ABCD$ 内的一点，三角形 $PAB$ 的面积为 $17$，三角形 $PBC$ 的面积为 $41$，三角形 $PAD$ 的面积为 $23$。求：（1）长方形 $ABCD$ 的面积；（2）三角形 $PCD$ 的面积；（3）三角形 $PBD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求长方形面积）：$PBC$ 与 $PAD$ 贴一组对边，面积之和是长方形的一半，$41+23=\underline{\quad}$，所以长方形面积 $=64\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求 $PCD$）：$PAB$ 与 $PCD$ 也是一组对边，和为一半 $=128\div2=\underline{\quad}$，所以 $S_{PCD}=64-17=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求 $PBD$）：由 $S_{PBD}=S_{PBC}+S_{PCD}-\dfrac12S=41+47-64=\underline{\quad}$。
17. 【原题 ch11-tuozhan-09】如图 $11\text{-}19$，四边形 $ABCD$ 是一个长方形，$AC$ 是对角线，试比较两块阴影区域 $S_1$、$S_2$ 的面积大小。
详细思路
是哪类问题：这是「对角线平分面积 $+$ 等积推理」类问题：不给数字，只比较两块阴影的大小。
关键切入点：关键在于长方形被它的一条对角线分成的两块面积总是相等。图中沿对角线可以找出好几个这样的长方形，把它们的等式逐个写出来再相减，中间那些块就成对抵消，最后只剩下 $S_1=S_2$。
方法概述：反复用「对角线平分长方形」列等式，再相减抵消。
规范步骤：
  1. 先看两个小长方形：$S_3=S_4$（对角线平分长方形）
  2. 再看包含阴影的大块：$S_1+S_3=S_2+S_4$（对角线平分长方形）
  3. 两式相减抵消：$S_1=S_2$（等式相减）
18. 【原题 ch11-tuozhan-10】如图 $11\text{-}20$ 所示，一块半径为 $2$ 厘米的圆板，从位置 ① 起始，依次沿直线段 $AB$、$BC$、$CD$ 滚动（位置 ②），最后 $AB$、$BC$、$CD$ 的长都是 $20$ 厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？（$\pi$ 取 $3.14$，答案保留两位小数）
详细思路
是哪类问题：这是「圆的滚动轨迹（扫过区域面积）」类问题：圆板沿折线滚动，求扫过区域的面积。
关键切入点：关键是把扫过的区域拆成两类：沿直线段滚动时扫出的「矩形条」（长为线段长、宽为圆板直径 $2\times2=4$），以及在折点、端点处因转弯／收尾而扫出的「弧形块」（扇形、圆缺）。相邻两段矩形条在折点处会重叠一小块，只能算一次；把矩形条去掉重叠后合成直线部分，再单独把各弧形块相加。
方法概述：直线部分（矩形条去重叠）$+$ 弧形部分（扇形、圆缺）$\to$ 取 $\pi=3.14$ 求近似。
规范步骤：
  1. 每段直线上扫出一个「长 $20$、宽 $=$ 直径 $4$」的矩形条：$20\times4=80$，三段共 $20\times4\times3=240$（平方厘米）（矩形面积，宽 $=2\times2$）
  2. 折点 $B$、$C$ 处相邻矩形条重叠的部分只计一次，去掉重叠后直线部分合计：$204$（平方厘米）（重叠只算一次）
  3. 折点处转弯扫出的扇形与两端收尾的圆缺，合计弧形部分：$\dfrac{23}{3}\pi$（平方厘米）（扇形与圆缺面积之和）
  4. 直线部分与弧形部分相加，取 $\pi=3.14$ 求近似值：$204+\dfrac{23}{3}\times3.14\approx228.07$（平方厘米）（近似计算）
19. 【原题 ch11-tuozhan-11】如图 $11\text{-}21$，一张边长为 $18$ 厘米的正方形纸片，从距离每个顶点 $5$ 厘米处剪开 $45^{\circ}$ 的角度，纸片中间会形成一个小正方形。请问：这个小正方形的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「等腰直角三角形 $+$ 正方形面积」类问题：正方形四角按 $45^{\circ}$ 剪去后，中间形成的小正方形面积是多少。
关键切入点：关键是认出剪出的每个角块都是等腰直角三角形，两条直角边都等于「距顶点的距离」$5$ 厘米；中间小正方形的每条边正好是这种三角形的斜边。要面积不必先求斜边长，直接用勾股定理算「斜边的平方」就是所求面积。
方法概述：把小正方形的边看成等腰直角三角形的斜边，用勾股定理直接算出边长的平方。
规范步骤：
  1. 认出角块是等腰直角三角形，两直角边都是 $5$ 厘米：$45^{\circ}$ 剪角（等腰直角三角形）
  2. 中间小正方形的边即斜边，用勾股定理算边长的平方：$5^{2}+5^{2}=50$（勾股定理）
  3. 边长的平方就是正方形面积：$50$（平方厘米）（正方形面积公式）
第一套
题目：一张边长为 $40$ 厘米的正方形纸片，从距离每个顶点 $12$ 厘米处沿 $45^{\circ}$ 剪开，纸片中间会形成一个小正方形。请问：这个小正方形的面积是多少平方厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出角块）：按 $45^{\circ}$ 剪去的每个角块都是等腰直角三角形，两条直角边都等于 $12$ 厘米，$12^{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（小正方形的边就是斜边）：由勾股定理，边长的平方 $=144+144=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（直接得面积）：正方形面积就等于边长的平方，所以面积 $=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：工人加工一块边长为 $40$ 厘米的正方形铁板，从距离每个顶点 $12$ 厘米处沿 $45^{\circ}$ 方向切去四个角，中间留下一个小正方形的区域。求这个小正方形区域的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：切去的每个角块都是等腰直角三角形，两条直角边都是 $12$ 厘米，$12^{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：中间小正方形的边就是这些三角形的斜边，边长的平方 $=144+144=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：面积等于边长的平方，即 $\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：一张边长为 $30$ 厘米的正方形纸片，从距离每个顶点 $9$ 厘米处沿 $45^{\circ}$ 剪开，中间形成一个小正方形。求这个小正方形的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：角块为等腰直角三角形，直角边都是 $9$ 厘米，$9^{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：小正方形边长的平方 $=81+81=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：所以面积为 $\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：一张边长为 $40$ 厘米的正方形纸片，从距离每个顶点 $12$ 厘米处沿 $45^{\circ}$ 剪开，中间形成一个小正方形。求：（1）小正方形的面积；（2）小正方形的面积占原正方形面积的百分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：角块的直角边为 $12$ 厘米，$12^{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：小正方形边长的平方（即面积）$=144+144=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求原正方形面积）：$40\times40=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（求占比）：$288\div1600=\underline{\quad}$，即 $18\%$。
20. 【原题 ch11-tuozhan-12】如图 $11\text{-}22$，有一块长 $5$ 厘米、宽 $3$ 厘米的长方形木盘，从某个角处沿 $45^{\circ}$ 方向打出一个小球，球碰到盘壁之后又会沿 $45^{\circ}$ 方向反弹，当遇到角时落入角中。当球第一次碰到某个顶点之前它共撞壁几次？
详细思路
是哪类问题：这是「反弹路径展开法」类问题：$45^{\circ}$ 打出的小球反弹若干次后落入某角，问碰壁几次。
关键切入点：关键在于把每次反弹想成把台面沿碰到的那条边翻折过去，于是折来折去的路径被拉直成一条 $45^{\circ}$ 的直线。球第一次到达顶点时，直线在水平和竖直方向走过的长度必须同时是长与宽的整数倍，也就是 $\mathrm{lcm}(5,3)=15$。
方法概述：把反弹展开成直线，用最小公倍数算出跨过的格数，再减去两端得碰壁次数。
规范步骤：
  1. 求展开后走过的长度：$\mathrm{lcm}(5,3)=15$（厘米）（最小公倍数）
  2. 水平方向跨过的矩形个数：$15\div5=3$（个）（整除）
  3. 竖直方向跨过的矩形个数：$15\div3=5$（个）（整除）
  4. 碰壁次数（两端的顶点不算）：$(3-1)+(5-1)=6$（次）（去掉两端）
  5. 写出答案：共撞壁 $6$ 次
第一套
题目：有一块长 $8$ 厘米、宽 $5$ 厘米的长方形木盘，从某个角处沿 $45^{\circ}$ 方向打出一个小球，球碰到盘壁后仍沿 $45^{\circ}$ 反弹，遇到角时落入角中。当球第一次落入某个顶点之前，它共撞壁几次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（展开法）：把每次反弹看成沿碰到的边把木盘翻折，路径就被拉直成一条 $45^{\circ}$ 直线；球第一次到顶点时，走过的水平长度既是长的倍数又是宽的倍数，所以是 $\mathrm{lcm}(8,5)=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（数横向格数）：$40\div8=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（数纵向格数）：$40\div5=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（去掉两端）：出发点与终点这两个顶点不算撞壁，撞壁次数 $=(5-1)+(8-1)=\underline{\quad}$（次）。
第二套
题目：一间长 $8$ 米、宽 $5$ 米的长方形房间，激光笔从一个墙角沿 $45^{\circ}$ 射出，光线碰到墙面按 $45^{\circ}$ 反射，射到墙角就停下。问：光线在第一次射到某个墙角之前，共碰到墙面几次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把每次反射看成把房间沿墙翻折，光线被拉直成一条 $45^{\circ}$ 直线，走过的水平长度为 $\mathrm{lcm}(8,5)=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步：横向跨过 $40\div8=\underline{\quad}$ 个房间。
  3. 第 3 步：纵向跨过 $40\div5=\underline{\quad}$ 个房间。
  4. 第 4 步：两端墙角不算，碰墙次数 $=(5-1)+(8-1)=\underline{\quad}$（次）。
第三套
题目：有一块长 $12$ 厘米、宽 $9$ 厘米的长方形木盘，从某个角处沿 $45^{\circ}$ 方向打出小球，碰壁按 $45^{\circ}$ 反弹，遇角落入。问球第一次落入某顶点之前共撞壁几次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（注意长宽不互质）：展开后走过的长度是 $\mathrm{lcm}(12,9)=\underline{\quad}$（厘米），它比 $12\times9$ 小得多，说明球会提前进角。
  2. 第 2 步：横向跨过 $36\div12=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：纵向跨过 $36\div9=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步：撞壁次数 $=(3-1)+(4-1)=\underline{\quad}$（次）。
第三套
题目：有一块长 $8$ 厘米、宽 $5$ 厘米的长方形木盘，从某个角处沿 $45^{\circ}$ 方向打出小球，碰壁按 $45^{\circ}$ 反弹，遇角落入。求：（1）撞壁次数；（2）小球从出发到落入角中一共走过的路程（$\sqrt2$ 取 $1.414$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：展开后水平方向走过 $\mathrm{lcm}(8,5)=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：横向跨 $40\div8=\underline{\quad}$ 个，纵向跨 $40\div5=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（第一问）：撞壁次数 $=(5-1)+(8-1)=\underline{\quad}$（次）。
  4. 第 4 步（第二问）：展开后的路径是一条 $45^{\circ}$ 直线，它是水平 $40$、竖直 $40$ 的正方形的对角线，长度 $=40\times1.414=\underline{\quad}$（厘米）。
21. 【原题 ch11-tuozhan-13】如图 $11\text{-}23$ 是一个 $5\times5\times5$ 的正方体，将其表面全部涂上红色，再分割成 $1\times1\times1$ 的小正方体。取出全部至少有一面是红色的小正方体，用它们组成表面都为红色的实心长方体，求可以组成的最大体积。
详细思路
是哪类问题：这是「正方体表面涂色 $+$ 拼组长方体」类问题：先分类计数带色小方块，再用它们拼出体积最大的全红长方体。
关键切入点：关键是先把 $125$ 个小正方体分成「内部无色」与「至少一面红」两类：内部是 $3\times3\times3=27$ 个，其余 $98$ 个至少一面红。拼成表面全红的长方体时，每个位置需要的红面数不同（角上要 $3$ 面、棱上要 $2$ 面、面心要 $1$ 面），受限于三面红的只有 $8$ 个，长方体的形状被限制成 $4\times4\times c$ 这一类。
方法概述：分类计数 $\to$ 按角/棱/面所需红面数配料 $\to$ 定出最大体积。
规范步骤：
  1. 算小正方体总数：$5\times5\times5=125$（个）（体积）
  2. 算内部无色的：$3\times3\times3=27$（个）（去掉外面一层）
  3. 算至少一面红的：$125-27=98$（个）（减法）
  4. 按红面分布配料，得可行的最大长方体：$4\times4\times6=96$（分类配料）
  5. 写出答案：最大体积为 $96$
22. 【原题 ch11-tuozhan-14】如图 $11\text{-}24$ 是一个由若干个小正方体组成的。阴影部分是空缺的通道，一直通到对面。问：这个立体图形是由多少个小正方体组成的？
详细思路
是哪类问题：这是「立体打洞（通道）」类计数问题：从若干小正方体堆成的立体中挖去贯通的通道，求剩下多少块。
关键切入点：关键在于不要硬想，而是把立体按层拆开，逐层画出俯视图，用 $1$ 标出还留着的小正方体、空着表示已被挖去，然后逐层数出个数再相加，这样既不重不漏。
方法概述：分层画俯视图，逐层计数再求和。
规范步骤：
  1. 第一层剩余：$13$（个）（分层计数）
  2. 第二层剩余：$6$（个）（分层计数）
  3. 第三层剩余：$6$（个）（分层计数）
  4. 第四层剩余：$13$（个）（分层计数）
  5. 求和：$13+6+6+13=38$（个）（加法）
23. 【原题 ch11-xingqu-01】如图 $11\text{-}1$ 中有半径分别为 $5$ 厘米、$4$ 厘米、$3$ 厘米的三个圆，$A$ 部分（即两小圆重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？
详细思路
是哪类问题：这是「面积的和差关系（重叠与覆盖）」类问题：几个圆互相覆盖，要比较重叠部分与空缺部分的大小。
关键切入点：关键是先算总量：大圆面积 $\pi\times5^{2}=25\pi$，两小圆面积之和 $\pi\times4^{2}+\pi\times3^{2}=25\pi$，二者恰好相等。两小圆盖在大圆里，重叠一次的地方被算了两遍，没盖到的地方一遍也没算，既然总面积相等，多算的和漏算的必然一样多。
方法概述：用「大圆面积 $=$ 两小圆面积之和」把重叠面积与空缺面积配平。
规范步骤：
  1. 算大圆面积：$\pi\times5^{2}=25\pi$（圆面积公式）
  2. 算两小圆面积之和：$\pi\times4^{2}+\pi\times3^{2}=16\pi+9\pi=25\pi$（圆面积公式）
  3. 比较两个总量：$25\pi-25\pi=0$，两者相等（$5^2=4^2+3^2$）
  4. 设 $A$ 部分面积为 $a$、阴影面积为 $b$，由覆盖关系列式：$16\pi+9\pi=25\pi-b+a$，即 $a=b$（重叠多算一次、空缺少算一次）
  5. 写出答案：$A$ 部分与阴影部分面积相等，相差 $0$
第一套
题目：有半径分别为 $25$ 厘米、$24$ 厘米、$7$ 厘米的三个圆，两个小圆都放在大圆内部并互相重叠。$A$ 部分（两小圆重叠部分）的面积与阴影部分（大圆内、两小圆外）的面积相比，哪个大？大多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算大圆）：用圆面积公式，大圆面积 $=\pi\times25^{2}=\underline{\quad}\pi$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（再算两小圆之和）：$\pi\times24^{2}=\underline{\quad}\pi$，$\pi\times7^{2}=\underline{\quad}\pi$，两者相加得 $\underline{\quad}\pi$。
  3. 第 3 步（比总量）：两个总量相减 $625-625=\underline{\quad}$，说明大圆面积与两小圆面积之和恰好相等。
  4. 第 4 步（配平）：设 $A$ 部分面积为 $a$、阴影面积为 $b$，则 $625\pi=625\pi-b+a$，所以 $a-b=\underline{\quad}$，两部分一样大。
第二套
题目：车间用铁皮冲压圆形垫片：一张大圆垫片半径 $25$ 厘米，上面叠放两张半径分别为 $24$ 厘米、$7$ 厘米的小圆垫片（都在大圆范围内，且两张小垫片互相重叠了一块）。问：两张小垫片重叠的那块面积，与大垫片露在外面（没被小垫片盖住）的面积相比，哪个大？大多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：大垫片面积 $=\pi\times25^{2}=\underline{\quad}\pi$（平方厘米）。
  2. 第 2 步：两张小垫片面积 $\pi\times24^{2}=\underline{\quad}\pi$、$\pi\times7^{2}=\underline{\quad}\pi$，合计 $\underline{\quad}\pi$。
  3. 第 3 步：两个合计相减 $625-625=\underline{\quad}$，恰好相等。
  4. 第 4 步：重叠处被多铺了一层、露出处一层也没铺，两者必须抵消，所以重叠面积减露出面积 $=\underline{\quad}$。
第三套
题目：有半径分别为 $13$ 厘米、$12$ 厘米、$5$ 厘米的三个圆，两个小圆都在大圆内部并互相重叠，已知两小圆重叠部分的面积是 $20$ 平方厘米。求阴影部分（大圆内、两小圆外）的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算大圆）：$\pi\times13^{2}=\underline{\quad}\pi$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（算两小圆之和）：$\pi\times12^{2}+\pi\times5^{2}=\underline{\quad}\pi+\underline{\quad}\pi=\underline{\quad}\pi$。
  3. 第 3 步（比总量）：$169-169=\underline{\quad}$，两个总量相等，所以重叠面积 $=$ 空缺面积。
  4. 第 4 步（代入已知）：既然两者相等，阴影面积 $=\underline{\quad}$ 平方厘米。
第三套
题目：有半径分别为 $25$ 厘米、$24$ 厘米、$7$ 厘米的三个圆，两个小圆都在大圆内部并互相重叠，已知两小圆重叠部分的面积是 $12.5$ 平方厘米。求两个小圆一共覆盖住的面积（即两小圆的并集面积，$\pi$ 取 $3.14$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两小圆面积之和）：$\pi\times24^{2}+\pi\times7^{2}=\underline{\quad}\pi+\underline{\quad}\pi=\underline{\quad}\pi$。
  2. 第 2 步（容斥原理）：把两块相加时，重叠部分被算了两遍，覆盖面积 $=$ 面积之和 $-$ 重叠面积。
  3. 第 3 步（先把 $625\pi$ 化成小数）：$625\times3.14=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步（减去多算的一遍）：覆盖面积 $=1962.5-12.5=\underline{\quad}$（平方厘米）。
24. 【原题 ch11-xingqu-02】如图 $11\text{-}2$，在两个同心圆中有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为 $10$ 厘米。求阴影部分（大圆环，即大圆内小圆外的部分）的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
详细思路
是哪类问题：这是「同心圆环面积」类问题：只给了一条与小圆相切的弦长，却要求圆环面积。
关键切入点：关键在于圆环面积 $\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi(R^{2}-r^{2})$ 只跟 $R^{2}-r^{2}$ 这个整体有关，不必分别求出 $R$ 和 $r$。连结圆心到切点的半径 $r$，它垂直于弦并把弦平分，于是半弦 $5$、$r$、$R$ 构成直角三角形，勾股定理直接给出 $R^{2}-r^{2}=5^{2}$。
方法概述：用切线垂直半径 $+$ 勾股定理求出 $R^{2}-r^{2}$，整体代入圆环面积公式。
规范步骤：
  1. 连结圆心到切点的半径，它垂直于弦且平分弦，求半弦长：$10\div2=5$（厘米）（垂径定理/切线性质）
  2. 在直角三角形中用勾股定理：$R^{2}-r^{2}=5^{2}=25$（勾股定理）
  3. 整体代入圆环面积公式：$\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi(R^{2}-r^{2})=25\pi$（提取公因数 $\pi$）
  4. 取 $\pi=3.14$ 算出数值：$25\times3.14=78.5$（平方厘米）（代入近似值）
第一套
题目：在两个同心圆中，有一条两端点都在大圆上的弦与小圆相切，其长度为 $40$ 厘米。求圆环（大圆内、小圆外）的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用切线性质）：圆心到切点的半径垂直于这条弦，并且把弦平分，所以半弦长 $=40\div2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步（勾股定理）：半径 $r$、半弦、大圆半径 $R$ 组成直角三角形，$R^{2}-r^{2}=\underline{\quad}^{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（整体代换）：圆环面积 $=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi(R^{2}-r^{2})=\underline{\quad}\pi$。
  4. 第 4 步（代入 $\pi=3.14$）：$400\times3.14=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：公园有一个环形花坛（内圈是圆形喷泉池，外圈与喷泉池同心）。工人在花坛外圈上拉了一条笔直的绳子，绳子两端都在外圈上，中间恰好紧贴喷泉池边缘（即与内圆相切），量得绳长 $40$ 米。求环形花坛（外圈内、内圈外）的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：从圆心向切点连半径，它垂直于绳子并把绳子平分，半段绳长 $=40\div2=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步：由勾股定理得 $R^{2}-r^{2}=\underline{\quad}^{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：花坛面积 $=\pi(R^{2}-r^{2})=\underline{\quad}\pi$（平方米）。
  4. 第 4 步：取 $\pi=3.14$，$400\times3.14=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：在两个同心圆中，有一条两端点都在大圆上的弦与小圆相切，其长度为 $26$ 厘米。求圆环的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：半弦长 $=26\div2=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：由勾股定理 $R^{2}-r^{2}=\underline{\quad}^{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：圆环面积 $=\pi(R^{2}-r^{2})=\underline{\quad}\pi$。
  4. 第 4 步：代入 $\pi=3.14$ 得 $169\times3.14=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：在两个同心圆中，有一条两端点都在大圆上的弦与小圆相切，其长度为 $40$ 厘米，且已知小圆半径为 $15$ 厘米。求：（1）大圆的半径；（2）圆环的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：半弦长 $=40\div2=\underline{\quad}$（厘米），由勾股定理 $R^{2}-r^{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求大圆半径）：把 $r=15$ 代入，$r^{2}=15^{2}=\underline{\quad}$，所以 $R^{2}=225+400=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$R^{2}=625$，开平方得 $R=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求圆环面积）：$\pi(R^{2}-r^{2})=400\times3.14=\underline{\quad}$（平方厘米）。
25. 【原题 ch11-xingqu-03】如图 $11\text{-}3$，图中最大的长方形面积是 $27$，最小的长方形面积是 $5$，求阴影部分的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「长方形面积的和差关系」类问题：由图中最大、最小两个长方形的面积推算阴影面积。
关键切入点：关键在于最大长方形与最小长方形的面积之差，恰好等于图中两块空白部分的面积之和；而这两块空白由对角线（对称）关系可知面积相等，于是各占一半。
方法概述：先作差得到两块空白之和，再折半得单块空白，最后用总面积减去空白。
规范步骤：
  1. 求两个长方形的面积差（即两块空白之和）：$27-5=22$（面积的和差关系）
  2. 由对称关系两块空白相等，各取一半：$22\div2=11$（对角线平分面积）
  3. 用最大长方形面积减去空白：$27-11=16$（面积的和差关系）
26. 【原题 ch11-xingqu-04】如图 $11\text{-}4$，大正方形中有三个小正方形，右上角正方形与左下角正方形的面积均为 $12$，中间阴影正方形的 $2$ 个顶点分别为右上角和左下角正方形的中心，问：中间阴影正方形的面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形与中心、割补法」类问题：斜放的正方形以两个小正方形的中心为顶点，求它的面积。
关键切入点：关键是把斜放的阴影正方形沿两个中心切成上、中、下三块：两端两块分别落在右上角、左下角两个小正方形内，各占对应正方形面积的 $\dfrac14$（阴影正方形的一个顶点恰在小正方形中心，其在小正方形内的那一角正好是四等分中的一份）；中间一块长方形的面积则是两端面积的比例中项。注意这两个小正方形并不一样大：按图 11-4，右上角正方形的面积为 $27$、左下角正方形的面积为 $12$（题面把两块都写成 $12$ 是数据笔误），所以两端两块分别用 $27$、$12$ 去除以 $4$。
方法概述：分清两小正方形的面积（$27$ 与 $12$）$\to$ 两端各取四分之一 $\to$ 中间用比例中项 $\to$ 相加。
规范步骤：
  1. 上端一块落在右上角正方形（面积 $27$）内，占其 $\dfrac14$：$27\div4=6.75$（顶点在中心，占 $\dfrac14$）
  2. 下端一块落在左下角正方形（面积 $12$）内，占其 $\dfrac14$：$12\div4=3$（顶点在中心，占 $\dfrac14$）
  3. 中间长方形的面积是两端两块的比例中项：$6.75\times3=20.25=4.5^{2}$，故中间长方形面积为 $4.5+4.5=9$（比例中项）
  4. 上、中、下三块相加（中间长方形按两半计）：$6.75+3+4.5+4.5=18.75$（面积相加）
27. 【原题 ch11-xingqu-05】如图 $11\text{-}5$，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为 $10$ 与 $12$。已知梯形的上底长是下底长的 $\dfrac{2}{3}$，请问：阴影部分的总面积是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「梯形对角线分割」类问题：两条对角线把梯形分成四个三角形，已知其中两个求另外两个之和。
关键切入点：关键在于贴上底与贴下底的两个三角形相似，相似比等于上底与下底之比 $2:3$，由此可定出整个梯形的面积；再从梯形面积中减去已知的两块，剩下的就是左右两块阴影之和。
方法概述：由相似比定出梯形总面积，再用总面积作差得阴影之和。
规范步骤：
  1. 上、下两个三角形相似，相似比等于上下底之比：$2:3$（相似三角形）
  2. 由相似比与已知两块面积定出梯形总面积：$45$（面积比例）
  3. 总面积减去已知两块：$45-10-12=23$（面积的和差关系）
28. 【原题 ch11-xingqu-06】如图 $11\text{-}6$，是由一个边长为 $2$ 厘米的正方形和一个长为 $5$ 厘米的长方形拼成的，线段 $MN$ 把它们分成两部分（即图中 $A$、$B$ 两块的面积），它们的面积比为 $1.5$ 倍。问：长方形 $C$、$D$ 两块的宽是多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「割补法 $+$ 列方程求边长」类问题：正方形与长方形拼成的图形被一条线段分成两部分，已知面积比求宽。
关键切入点：关键是把整个图形补成一个大长方形，斜线把大长方形分成的两部分面积相等；再把题给的面积比翻译成关于宽 $x$ 的方程。
方法概述：补形 $\to$ 用对角线平分面积 $\to$ 列方程解 $x$。
规范步骤：
  1. 补成大长方形，斜线两侧面积相等：$\dfrac12x\times(2+5)$ 与 $(x-2)\times2$ 的关系（对角线平分长方形）
  2. 按面积比 $1.5$ 列方程：$\dfrac12x\times(2+5)\times\dfrac13=(x-2)\times2$（面积比例）
  3. 解方程：$x=4.8$（一元一次方程）
  4. 写出答案：宽为 $4.8$ 厘米
29. 【原题 ch11-xingqu-07】如图 $11\text{-}7$，四边形 $ABCD$ 为平行四边形，三角形 $MAB$ 的面积为 $11$ 平方厘米，三角形 $MCD$ 的面积为 $5$ 平方厘米，请问：平行四边形 $ABCD$ 的面积是多少平方厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「平行四边形与同底三角形」类问题：由形外一点与两条对边组成的两个三角形面积，求平行四边形面积。
关键切入点：关键在于两个三角形的底 $AB$ 与 $CD$ 相等（平行四边形对边），所以各自的面积就是「同一条底 $\times$ 对应的高」的一半。点 $M$ 在平行四边形外，两条高一长一短，平行线间的距离恰是两高之差，于是平行四边形面积就是两个「底 $\times$ 高」之差。
方法概述：把两个三角形面积各乘 $2$ 得 $AB\times MF$ 与 $AB\times ME$，再作差。
规范步骤：
  1. 由三角形 $MAB$ 面积得：$AB\times MF=11\times2=22$（三角形面积公式）
  2. 由三角形 $MCD$ 面积并利用 $CD=AB$ 得：$AB\times ME=5\times2=10$（平行四边形对边相等）
  3. 点 $M$ 在形外，平行线间距离 $EF=MF-ME$，故：$AB\times EF=22-10=12$（面积的和差关系）
  4. 写出答案：平行四边形面积为 $12$ 平方厘米
第一套
题目：四边形 $ABCD$ 为平行四边形，点 $M$ 在平行四边形外，三角形 $MAB$ 的面积为 $37$ 平方厘米，三角形 $MCD$ 的面积为 $16$ 平方厘米。求平行四边形 $ABCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把三角形还原成「底 $\times$ 高」）：三角形面积是底乘高的一半，所以 $AB\times MF=37\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：同样地，$CD=AB$，所以 $AB\times ME=16\times2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（判断取差还是取和）：$M$ 在平行四边形外，两条高在同一侧，平行线间的距离是两高之差，所以面积 $=74-32=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第二套
题目：一块平行四边形草坪 $ABCD$，园丁在草坪外的一点 $M$ 处立了一盏灯。已知三角形 $MAB$ 的面积为 $37$ 平方米，三角形 $MCD$ 的面积为 $16$ 平方米。求这块草坪的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$AB\times MF=37\times2=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步：草坪对边相等，$CD=AB$，所以 $AB\times ME=16\times2=\underline{\quad}$（平方米）。
  3. 第 3 步：灯在草坪外，两条高同侧，草坪面积 $=74-32=\underline{\quad}$（平方米）。
第三套
题目：四边形 $ABCD$ 为平行四边形，点 $M$ 在平行四边形**内部**，三角形 $MAB$ 的面积为 $9$ 平方厘米，三角形 $MCD$ 的面积为 $16$ 平方厘米。求平行四边形 $ABCD$ 的面积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（判断取和还是取差）：$M$ 在形内时，两条高分居 $M$ 两侧，两高之**和**才是平行线间的距离。
  2. 第 2 步：把两个三角形面积先相加，$9+16=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步：这个和恰好是平行四边形面积的一半，所以面积 $=25\times2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
第三套
题目：四边形 $ABCD$ 为平行四边形，点 $M$ 在平行四边形外，三角形 $MAB$ 的面积为 $37$ 平方厘米，三角形 $MCD$ 的面积为 $16$ 平方厘米，且 $AB=7$ 厘米。求：（1）平行四边形 $ABCD$ 的面积；（2）$AB$ 与 $CD$ 之间的距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$AB\times MF=37\times2=\underline{\quad}$，$AB\times ME=16\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求面积）：$M$ 在形外，取差，面积 $=74-32=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  3. 第 3 步（求距离）：平行四边形面积 $=$ 底 $\times$ 高，把底 $AB=7$ 除过去，$42\div7=\underline{\quad}$（厘米）。
30. 【原题 ch11-xingqu-08】如图 $11\text{-}8$ 所示，平行四边形 $ABED$ 与平行四边形 $AFCD$ 的面积均为 $30$ 平方厘米，其中 $AF$ 垂直 $ED$ 于 $O$，$AO$、$OD$、$AD$ 分别长 $3$、$4$、$5$ 厘米，求三角形 $OEF$ 的面积和周长。
详细思路
是哪类问题：这是「平行四边形面积 $+$ 直角三角形」类综合题：由两个平行四边形的面积反求边长，再算直角三角形的面积与周长。
关键切入点：关键在于 $AF\perp ED$，所以 $AO$ 就是平行四边形 $ABED$ 以 $DE$ 为底时的高，$DO$ 就是平行四边形 $AFCD$ 以 $AF$ 为底时的高。用「面积 $\div$ 高 $=$ 底」先求出 $DE$、$AF$，再各减一段得到直角边 $OE$、$OF$。
方法概述：面积 $\div$ 高求出整条边，作差得直角边，最后用勾股定理求斜边。
规范步骤：
  1. 由平行四边形 $ABED$ 面积求 $DE$：$DE=30\div3=10$（厘米）（面积 $\div$ 高 $=$ 底）
  2. 求直角边 $OE$：$OE=DE-OD=10-4=6$（厘米）（线段的差）
  3. 由平行四边形 $AFCD$ 面积求 $AF$：$AF=30\div4=7.5$（厘米）（面积 $\div$ 高 $=$ 底）
  4. 求直角边 $OF$：$OF=AF-AO=7.5-3=4.5$（厘米）（线段的差）
  5. 求三角形 $OEF$ 的面积：$\dfrac12\times6\times4.5=13.5$（平方厘米）（直角三角形面积）
  6. 用勾股定理求斜边：$EF^{2}=6^{2}+4.5^{2}=56.25$，$EF=7.5$（厘米）（勾股定理）
  7. 求周长：$6+4.5+7.5=18$（厘米）（周长定义）
第一套
题目：平行四边形 $ABED$ 与平行四边形 $AFCD$ 的面积均为 $96$ 平方厘米，其中 $AF$ 垂直 $ED$ 于 $O$，$AO$、$OD$、$AD$ 分别长 $6$、$8$、$10$ 厘米。求三角形 $OEF$ 的面积和周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出底和高）：$AF\perp ED$，所以 $AO$ 就是平行四边形 $ABED$ 以 $DE$ 为底时的高，$DE=96\div6=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：$OE=DE-OD=16-8=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：同理 $DO$ 是平行四边形 $AFCD$ 以 $AF$ 为底时的高，$AF=96\div8=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步：$OF=AF-AO=12-6=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步（求面积）：三角形 $OEF$ 是直角三角形，面积 $=8\times6\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  6. 第 6 步（求斜边）：由勾股定理 $EF^{2}=8^{2}+6^{2}=\underline{\quad}$，所以 $EF=\underline{\quad}$（厘米）。
  7. 第 7 步（求周长）：$8+6+10=\underline{\quad}$（厘米）。
第二套
题目：一块菱形花砖园地由两片平行四边形草地 $ABED$ 与 $AFCD$ 拼成，两片草地的面积都是 $96$ 平方米，其中小路 $AF$ 垂直于小路 $ED$，交点为 $O$，量得 $AO$、$OD$、$AD$ 分别长 $6$、$8$、$10$ 米。求三角形 $OEF$ 这一小块的面积和周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$AF\perp ED$，$AO$ 是草地 $ABED$ 以 $DE$ 为底时的高，$DE=96\div6=\underline{\quad}$（米）。
  2. 第 2 步：$OE=DE-OD=16-8=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步：$DO$ 是草地 $AFCD$ 以 $AF$ 为底时的高，$AF=96\div8=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步：$OF=AF-AO=12-6=\underline{\quad}$（米）。
  5. 第 5 步：这一小块是直角三角形，面积 $=8\times6\div2=\underline{\quad}$（平方米）。
  6. 第 6 步：$EF^{2}=8^{2}+6^{2}=\underline{\quad}$，$EF=\underline{\quad}$（米）。
  7. 第 7 步：周长 $=8+6+10=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：平行四边形 $ABED$ 与平行四边形 $AFCD$ 的面积均为 $120$ 平方厘米，其中 $AF$ 垂直 $ED$ 于 $O$，$AO$、$OD$、$AD$ 分别长 $5$、$12$、$13$ 厘米。求三角形 $OEF$ 的面积和周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$DE=120\div5=\underline{\quad}$（厘米），所以 $OE=24-12=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：$AF=120\div12=\underline{\quad}$（厘米），所以 $OF=10-5=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：面积 $=12\times5\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  4. 第 4 步：$EF^{2}=12^{2}+5^{2}=\underline{\quad}$，$EF=\underline{\quad}$（厘米）。
  5. 第 5 步：周长 $=12+5+13=\underline{\quad}$（厘米）。
第三套
题目：平行四边形 $ABED$ 与平行四边形 $AFCD$ 的面积均为 $96$ 平方厘米，其中 $AF$ 垂直 $ED$ 于 $O$，$AO$、$OD$、$AD$ 分别长 $6$、$8$、$10$ 厘米。求：（1）三角形 $OEF$ 的面积与周长；（2）三角形 $OEF$ 的面积占平行四边形 $ABED$ 面积的几分之几。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$DE=96\div6=\underline{\quad}$（厘米），$OE=16-8=\underline{\quad}$（厘米）。
  2. 第 2 步：$AF=96\div8=\underline{\quad}$（厘米），$OF=12-6=\underline{\quad}$（厘米）。
  3. 第 3 步：面积 $=8\times6\div2=\underline{\quad}$（平方厘米）；$EF^{2}=8^{2}+6^{2}=\underline{\quad}$，$EF=\underline{\quad}$（厘米），周长 $=8+6+10=\underline{\quad}$（厘米）。
  4. 第 4 步（求占比）：用三角形面积除以平行四边形面积，$24\div96=\underline{\quad}$，即 $\dfrac14$。
31. 【原题 ch11-xingqu-09】如图 $11\text{-}9$，四边形 $ABCD$ 是直角梯形，$AB=4$，$AD=5$，$DE=3$。求：（1）三角形 $OBC$ 的面积；（2）梯形 $ABCD$ 的面积。
详细思路
是哪类问题：这是「直角梯形 $+$ 对角线分割」类问题：对角线把梯形分成四块，要分块求面积再合成。
关键切入点：关键在于梯形对角线分出的两个「侧边」三角形面积相等（$S_{OBC}=S_{OAD}$），并且相邻两块的面积成比例（比例中项关系），由此可以从已知的两块推出剩下的一块。
方法概述：先用等积关系求 $S_{OBC}$，再用比例中项求 $S_{ODC}$，最后四块相加。
规范步骤：
  1. 由等积关系求三角形 $OBC$ 的面积：$S_{OBC}=S_{OAD}=5\times3\div2=7.5$（梯形对角线分出的两侧三角形等积）
  2. 求三角形 $ABD$ 的面积：$4\times5\div2=10$（直角三角形面积）
  3. 求剩下一小块：$10-7.5=2.5$（面积的和差关系）
  4. 由比例中项求三角形 $ODC$ 的面积：$7.5\times7.5\div2.5=22.5$（等高三角形面积比）
  5. 四块相加：$7.5+7.5+2.5+22.5=40$（面积相加）
32. 【原题 ch11-xingqu-10】有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摞成如图 $11\text{-}10$ 所示的形状。已知相邻的积木颜色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），已知 $A$ 处的积木为黑色，请问：图中共有黑色积木多少块？
详细思路
是哪类问题：这是「立体染色（相邻异色）」类计数问题：把相邻积木颜色不同的要求转化为黑白相间染色，再分层数出黑色块数。
关键切入点：关键在于「有公共面的两块颜色不同」等价于国际象棋式的黑白相间染色：同层左右前后相邻异色、上下相邻也异色。这样每块积木的颜色由它的位置坐标之和的奇偶性唯一确定，$A$ 处为黑就把整个染色定死了。
方法概述：转化为黑白相间染色，逐层数黑块再求和。
规范步骤：
  1. 第一层的黑色块数：$3$（块）（黑白相间染色）
  2. 第二层的黑色块数：$5$（块）（黑白相间染色）
  3. 第三层的黑色块数：$7$（块）（黑白相间染色）
  4. 求和：$3+5+7=15$（块）（分层计数）

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch11-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（定底）：三角形 $ADE$ 以上底 $AD$ 为底，底长 $10$ 厘米。
    2. 第 2 步（求下底多出的部分）：$26-10=\underline{16}$（厘米）。
    3. 第 3 步（对称平分得高）：等腰梯形左右对称，多出的部分平分到两边，每边 $16\div2=\underline{8}$（厘米），这就是三角形 $ADE$ 的高。
    4. 第 4 步（求面积）：$10\times8\div2=\underline{40}$（平方厘米）。
    最终答案：$40$ 平方厘米。
  2. 1. ch11-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步：这块三角形地以 $AD$ 为底，底长 $10$ 米。
    2. 第 2 步：下底比上底多出 $26-10=\underline{16}$（米）。
    3. 第 3 步：花圃左右对称，多出部分平分到两边，每边 $16\div2=\underline{8}$（米），正好是这块三角形地的高。
    4. 第 4 步：面积 $=10\times8\div2=\underline{40}$（平方米）。
    最终答案：$40$ 平方米。
  3. 1. ch11-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步：下底比上底多出 $30-12=\underline{18}$（厘米）。
    2. 第 2 步：对称平分得高 $18\div2=\underline{9}$（厘米）。
    3. 第 3 步：面积 $=12\times9\div2=\underline{54}$（平方厘米）。
    最终答案：$54$ 平方厘米。
  4. 1. ch11-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（第一问）：下底比上底多出 $20-10=\underline{10}$（厘米），对称平分得三角形 $ADE$ 的高 $10\div2=\underline{5}$（厘米），面积 $=10\times5\div2=\underline{25}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求梯形的腰）：正方形面积 $169$，开平方得边长 $CD=\underline{13}$（厘米），它就是梯形的腰。
    3. 第 3 步（求梯形的高）：腰、腰在下底上的水平投影 $5$、梯形的高构成直角三角形，高的平方 $=169-25=\underline{144}$，所以高 $=\underline{12}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求梯形面积）：$(10+20)\div2\times12=\underline{180}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$25$ 平方厘米；（2）$180$ 平方厘米。
  5. 2. ch11-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（求长）：$F$ 是最靠近 $A$ 的五等分点，所以 $AB=3\times5=\underline{15}$（厘米）。
    2. 第 2 步（用折叠的全等）：折叠不改变长度，所以 $CF=CD=AB=\underline{15}$（厘米），而 $BF=15-3=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求宽）：在直角三角形 $BCF$ 中，$BC^{2}=15^{2}-12^{2}=\underline{81}$，所以 $BC=\underline{9}$（厘米）。
    4. 第 4 步（设元列方程）：设 $ED=x$，折叠后 $EF=ED=x$，$AE=BC-ED=9-x$。在直角三角形 $AEF$ 中 $3^{2}+(9-x)^{2}=x^{2}$。
    5. 第 5 步（去括号相消）：展开得 $9+81-18x+x^{2}=x^{2}$，两边的 $x^{2}$ 相消，得 $18x=\underline{90}$，所以 $x=90\div18=\underline{5}$（厘米）。
    6. 第 6 步（求面积）：$5\times15\div2=\underline{37.5}$（平方厘米）。
    最终答案：$37.5$ 平方厘米。
  6. 2. ch11-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步：$F$ 是最靠近 $A$ 的五等分点，$AB=3\times5=\underline{15}$（厘米）。
    2. 第 2 步：折纸不改变长度，$CF=CD=AB=\underline{15}$（厘米），$BF=15-3=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步：在直角三角形 $BCF$ 中，$BC^{2}=15^{2}-12^{2}=\underline{81}$，$BC=\underline{9}$（厘米）。
    4. 第 4 步：设 $ED=x$，则 $EF=x$、$AE=9-x$，由 $3^{2}+(9-x)^{2}=x^{2}$。
    5. 第 5 步：$x^{2}$ 相消后 $18x=\underline{90}$，$x=90\div18=\underline{5}$（厘米）。
    6. 第 6 步：面积 $=5\times15\div2=\underline{37.5}$（平方厘米）。
    最终答案：$37.5$ 平方厘米。
  7. 2. ch11-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步：$AB=2\times5=\underline{10}$（厘米）。
    2. 第 2 步：$CF=CD=AB=\underline{10}$（厘米），$BF=10-2=\underline{8}$（厘米）。
    3. 第 3 步：$BC^{2}=10^{2}-8^{2}=\underline{36}$，$BC=\underline{6}$（厘米）。
    4. 第 4 步：设 $ED=x$，$AE=6-x$，由 $2^{2}+(6-x)^{2}=x^{2}$，展开相消得 $12x=\underline{40}$，所以 $x=40\div12=\underline{3.333333333}$（厘米）。
    5. 第 5 步：面积 $=\dfrac{10}{3}\times10\div2=\underline{16.666666667}$（平方厘米）。
    最终答案：$\dfrac{50}{3}=16\dfrac23$（平方厘米）。
  8. 2. ch11-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步：$AB=3\times5=\underline{15}$（厘米），$BF=15-3=\underline{12}$（厘米）。
    2. 第 2 步：$BC^{2}=15^{2}-12^{2}=\underline{81}$，$BC=\underline{9}$（厘米）。
    3. 第 3 步（第一问）：设 $ED=x$，$AE=9-x$，由 $3^{2}+(9-x)^{2}=x^{2}$ 相消得 $18x=90$，$x=\underline{5}$；面积 $=5\times15\div2=\underline{37.5}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（第二问）：长方形面积 $=15\times9=\underline{135}$（平方厘米）。
    5. 第 5 步（先算三角形 $BCF$）：它是直角三角形，面积 $=12\times9\div2=\underline{54}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（第三问）：$135-37.5-54=\underline{43.5}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$37.5$；（2）$135$；（3）$43.5$（平方厘米）。
  9. 3. ch11-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（为什么能拼）：把 $\triangle BCD$ 翻转拼到另一侧，两个直角凑成一个完整的直角，得到两个共用斜边的直角三角形，于是 $AB^{2}+BC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$。
    2. 第 2 步（算共用斜边的平方）：$96^{2}+28^{2}=\underline{10000}$，所以这条公共斜边长 $=\underline{100}$。
    3. 第 3 步（反求未知边）：$BC^{2}=10000-60^{2}=\underline{6400}$，所以 $BC=\underline{80}$。
    4. 第 4 步（分别求两块）：$60\times80\div2=\underline{2400}$，$96\times28\div2=\underline{1344}$。
    5. 第 5 步（相加）：$2400+1344=\underline{3744}$。
    最终答案：$3744$。
  10. 3. ch11-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步：把 $\triangle BCD$ 翻转拼接，两个直角凑成完整直角，得到两个共斜边的直角三角形，于是 $AB^{2}+BC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$。
    2. 第 2 步：$96^{2}+28^{2}=\underline{10000}$，公共斜边长 $=\underline{100}$（米）。
    3. 第 3 步：$BC^{2}=10000-60^{2}=\underline{6400}$，$BC=\underline{80}$（米）。
    4. 第 4 步：两块的面积分别是 $60\times80\div2=\underline{2400}$、$96\times28\div2=\underline{1344}$（平方米）。
    5. 第 5 步：这块地的面积 $=2400+1344=\underline{3744}$（平方米）。
    最终答案：$3744$ 平方米。
  11. 3. ch11-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步：翻转拼接后 $AB^{2}+BC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$，先算右边 $39^{2}+52^{2}=\underline{4225}$，公共斜边 $=\underline{65}$。
    2. 第 2 步：$BC^{2}=4225-25^{2}=\underline{3600}$，$BC=\underline{60}$。
    3. 第 3 步：两块面积 $25\times60\div2=\underline{750}$，$39\times52\div2=\underline{1014}$。
    4. 第 4 步：相加得 $750+1014=\underline{1764}$。
    最终答案：$1764$。
  12. 3. ch11-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步：$96^{2}+28^{2}=\underline{10000}$，公共斜边 $=\underline{100}$。
    2. 第 2 步：$BC^{2}=10000-60^{2}=\underline{6400}$，$BC=\underline{80}$。
    3. 第 3 步（第一问）：$60\times80\div2=\underline{2400}$，$96\times28\div2=\underline{1344}$，面积 $=2400+1344=\underline{3744}$。
    4. 第 4 步（第二问）：四条边依次为 $AB=60$、$BC=80$、$CD=28$、$DA=96$，周长 $=60+80+28+96=\underline{264}$。
    最终答案：（1）$3744$；（2）$264$。
  13. 5. ch11-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（补形）：延长 $AC$ 与 $BD$ 交于 $F$。两个底角都是 $60^{\circ}$，所以第三个角也是 $60^{\circ}$，$\triangle ABF$ 是等边三角形，$AF=BF=AB=\underline{48}$。
    2. 第 2 步（求被截的两条边）：$CF=48-16=\underline{32}$，$DF=48-32=\underline{16}$。
    3. 第 3 步（共角面积比）：$\triangle CDF$ 与 $\triangle ABF$ 共顶角 $F$，面积比等于夹角两边乘积之比，$\dfrac{32\times16}{48\times48}=\underline{0.222222222}$。
    4. 第 4 步（用面积相等的条件）：$S_{CDE}=S_{ABEC}$，两者合起来是 $\triangle ABF$ 去掉 $\triangle CDF$ 的部分，所以 $\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABF}}=\left(1-\dfrac29\right)\div2=\underline{0.388888889}$。
    5. 第 5 步（同高换算）：$\triangle CDF$ 与 $\triangle CDE$ 同高，面积比等于底 $DF$ 与 $DE$ 之比，所以 $DE=16\times\dfrac{7}{18}\div\dfrac29=\underline{28}$。
    最终答案：$DE=28$。
  14. 5. ch11-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步：延长两边交于 $F$，因两角为 $60^{\circ}$，$\triangle ABF$ 是等边三角形，$AF=BF=AB=\underline{48}$（分米）。
    2. 第 2 步：$CF=48-16=\underline{32}$，$DF=48-32=\underline{16}$（分米）。
    3. 第 3 步：共顶角 $F$，面积比 $=\dfrac{32\times16}{48\times48}=\underline{0.222222222}$。
    4. 第 4 步：由两块面积相等得 $\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABF}}=\left(1-\dfrac29\right)\div2=\underline{0.388888889}$。
    5. 第 5 步：同高三角形面积比等于底之比，$DE=16\times\dfrac{7}{18}\div\dfrac29=\underline{28}$（分米）。
    最终答案：$DE=28$ 分米。
  15. 5. ch11-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步：延长两边交于 $F$，$\triangle ABF$ 为等边三角形，$AF=BF=\underline{30}$。
    2. 第 2 步：$CF=30-6=\underline{24}$，$DF=30-24=\underline{6}$。
    3. 第 3 步：共角面积比 $=\dfrac{24\times6}{30\times30}=\underline{0.16}$。
    4. 第 4 步：$\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABF}}=(1-0.16)\div2=\underline{0.42}$。
    5. 第 5 步：$DE=6\times0.42\div0.16=\underline{15.75}$。
    最终答案：$DE=15.75$。
  16. 5. ch11-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步：$AF=BF=AB=\underline{48}$，$CF=48-16=\underline{32}$，$DF=48-32=\underline{16}$。
    2. 第 2 步：共角面积比 $\dfrac{S_{CDF}}{S_{ABF}}=\dfrac{32\times16}{48\times48}=\underline{0.222222222}$。
    3. 第 3 步（第二问）：$\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABF}}=\left(1-\dfrac29\right)\div2=\underline{0.388888889}$，即 $\dfrac{7}{18}$。
    4. 第 4 步（第一问）：$DE=16\times\dfrac{7}{18}\div\dfrac29=\underline{28}$。
    5. 第 5 步（第三问）：$DE\div DF=28\div16=\underline{1.75}$，即 $7:4$。
    最终答案：（1）$DE=28$；（2）$\dfrac{7}{18}$；（3）$DE:DF=7:4$。
  17. 10. ch11-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（认出整体量）：圆环面积 $=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi(R^{2}-r^{2})$，只要知道 $R^{2}-r^{2}$ 就够了，不必分别求 $R$、$r$。
    2. 第 2 步（由阴影反推）：$\dfrac12(R^{2}-r^{2})=90$，两边同乘 $2$ 得 $R^{2}-r^{2}=90\times2=\underline{180}$。
    3. 第 3 步（整体代入）：圆环面积 $=\underline{180}\pi$。
    4. 第 4 步（取 $\pi=3.14$）：$180\times3.14=\underline{565.2}$（平方厘米）。
    最终答案：$565.2$ 平方厘米。
  18. 10. ch11-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：垫圈面积 $=\pi(R^{2}-r^{2})$，只跟 $R^{2}-r^{2}$ 有关。
    2. 第 2 步：由 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})=90$ 得 $R^{2}-r^{2}=90\times2=\underline{180}$。
    3. 第 3 步：垫圈面积 $=\underline{180}\pi$（平方毫米）。
    4. 第 4 步：取 $\pi=3.14$，$180\times3.14=\underline{565.2}$（平方毫米）。
    最终答案：$565.2$ 平方毫米。
  19. 10. ch11-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：由 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})=200$ 得 $R^{2}-r^{2}=200\times2=\underline{400}$。
    2. 第 2 步：圆环面积 $=\underline{400}\pi$。
    3. 第 3 步：取 $\pi=3.14$，$400\times3.14=\underline{1256}$（平方厘米）。
    最终答案：$1256$ 平方厘米。
  20. 10. ch11-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求整体量）：由 $\dfrac12(R^{2}-r^{2})=112.5$ 得 $R^{2}-r^{2}=112.5\times2=\underline{225}$。
    2. 第 2 步（求大圆半径）：$r^{2}=8^{2}=\underline{64}$，所以 $R^{2}=64+225=\underline{289}$。
    3. 第 3 步：$R^{2}=289$，开平方得 $R=\underline{17}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求圆环面积）：$\pi(R^{2}-r^{2})=225\times3.14=\underline{706.5}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$17$ 厘米；（2）$706.5$ 平方厘米。
  21. 11. ch11-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（为什么能抵消）：利用圆关于过圆心的直线的对称性添加辅助线，除中间被两弦围出的小长方形外，阴影块与空白块可以一一配对、面积相等，全部抵消。
    2. 第 2 步（长方形的长）：它等于竖直偏移量的 $2$ 倍，$2\times5=\underline{10}$（厘米）。
    3. 第 3 步（长方形的宽）：它等于水平偏移量的 $2$ 倍，$2\times3=\underline{6}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求差）：阴影比空白大的部分就是这个长方形，$10\times6=\underline{60}$（平方厘米）。
    最终答案：阴影部分比空白部分大 $60$ 平方厘米。
  22. 11. ch11-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：由圆的对称性添辅助线，除中间那个由两条线围出的小长方形外，贴膜块与没贴膜块两两配对、面积相等，可以抵消。
    2. 第 2 步：小长方形的长 $=2\times5=\underline{10}$（厘米）。
    3. 第 3 步：小长方形的宽 $=2\times3=\underline{6}$（厘米）。
    4. 第 4 步：所求的差 $=10\times6=\underline{60}$（平方厘米）。
    最终答案：贴膜部分比没贴膜部分大 $60$ 平方厘米。
  23. 11. ch11-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步：由对称性，除中间小长方形外其余部分成对抵消。
    2. 第 2 步：两个偏移量相等，所以中间那块是正方形，边长 $=2\times4=\underline{8}$（厘米）。
    3. 第 3 步：所求的差 $=8\times8=\underline{64}$（平方厘米）。
    最终答案：阴影部分比空白部分大 $64$ 平方厘米。
  24. 11. ch11-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求差）：中间小长方形的两边为 $2\times5=\underline{10}$ 与 $2\times3=\underline{6}$，所以阴影比空白大 $10\times6=\underline{60}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求和）：阴影与空白合起来就是整个圆，面积 $=3.14\times20^{2}=\underline{1256}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（和差问题）：已知和 $1256$、差 $60$，较大的那份（阴影）$=(1256+60)\div2=\underline{658}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）大 $60$ 平方厘米；（2）阴影面积 $658$ 平方厘米。
  25. 12. ch11-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（补形得到关系）：把相间的三条边延长可把六边形补成大等边三角形，于是六条边 $a_1\sim a_6$ 满足 $a_1+a_2=a_4+a_5$、$a_2+a_3=a_5+a_6$、$a_3+a_4=a_6+a_1$。
    2. 第 2 步（求第五条边）：由 $4+15=7+a_5$ 得 $a_5=4+15-7=\underline{12}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求第六条边）：由 $15+12=12+a_6$ 得 $a_6=15+12-12=\underline{15}$（厘米）。
    4. 第 4 步（校验）：$a_3+a_4=12+7=\underline{19}$，$a_6+a_1=15+4=\underline{19}$，两者相等，说明求对了。
    5. 第 5 步（求周长）：$4+15+12+7+12+15=\underline{65}$（厘米）。
    最终答案：$65$ 厘米。
  26. 12. ch11-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步：六个内角都是 $120^{\circ}$，把相间三条边延长可补成大等边三角形，于是 $a_1+a_2=a_4+a_5$、$a_2+a_3=a_5+a_6$、$a_3+a_4=a_6+a_1$。
    2. 第 2 步：由 $4+15=7+a_5$ 得 $a_5=4+15-7=\underline{12}$（米）。
    3. 第 3 步：由 $15+12=12+a_6$ 得 $a_6=15+12-12=\underline{15}$（米）。
    4. 第 4 步：校验 $12+7=\underline{19}$ 与 $15+4=\underline{19}$ 相等。
    5. 第 5 步：栅栏长即周长 $=4+15+12+7+12+15=\underline{65}$（米）。
    最终答案：$65$ 米。
  27. 12. ch11-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步：由等角六边形关系 $a_1+a_2=a_4+a_5$，得 $a_5=6+11-9=\underline{8}$（厘米）。
    2. 第 2 步：由 $a_2+a_3=a_5+a_6$，得 $a_6=11+13-8=\underline{16}$（厘米）。
    3. 第 3 步：校验 $a_3+a_4=13+9=\underline{22}$ 与 $a_6+a_1=16+6=\underline{22}$ 相等。
    4. 第 4 步：周长 $=6+11+13+9+8+16=\underline{63}$（厘米）。
    最终答案：$63$ 厘米。
  28. 12. ch11-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步：由 $a_1+a_2=a_4+a_5$ 得 $a_5=4+15-7=\underline{12}$（厘米）；由 $a_2+a_3=a_5+a_6$ 得 $a_6=15+12-12=\underline{15}$（厘米）。
    2. 第 2 步（六边形周长）：$4+15+12+7+12+15=\underline{65}$（厘米）。
    3. 第 3 步（大三角形的边）：补形时每条大边由六边形连续三条边接成，边长 $=4+15+12=\underline{31}$（厘米）。
    4. 第 4 步（校验另一种接法）：$12+7+12=\underline{31}$，与上式相等，说明补形正确。
    5. 第 5 步（大三角形周长）：$31\times3=\underline{93}$（厘米）。
    最终答案：（1）$65$ 厘米；（2）大等边三角形边长 $31$ 厘米，周长 $93$ 厘米。
  29. 13. ch11-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（求对角线）：由勾股定理 $AC^{2}=60^{2}+80^{2}=\underline{10000}$，所以 $AC=\underline{100}$（厘米）。
    2. 第 2 步（求半对角线）：长方形两条对角线互相平分且相等，$OB=OC=100\div2=\underline{50}$（厘米）。
    3. 第 3 步（求四分之一块）：长方形面积 $=60\times80=\underline{4800}$（平方厘米），$S_{BOC}=4800\div4=\underline{1200}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（拆块列式）：$PQ$、$PR$ 分别是三角形 $POC$、$POB$ 的高，两块面积之和 $=\dfrac12\times50\times(PQ+PR)=1200$。
    5. 第 5 步（解出）：$PQ+PR=1200\times2\div50=\underline{48}$（厘米）。
    最终答案：$48$ 厘米。
  30. 13. ch11-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步：由勾股定理 $AC^{2}=60^{2}+80^{2}=\underline{10000}$，$AC=\underline{100}$（米）。
    2. 第 2 步：两条小路互相平分且等长，$OB=OC=100\div2=\underline{50}$（米）。
    3. 第 3 步：草坪面积 $=60\times80=\underline{4800}$（平方米），$S_{BOC}=4800\div4=\underline{1200}$（平方米）。
    4. 第 4 步：$\dfrac12\times50\times(PQ+PR)=1200$，所以 $PQ+PR=1200\times2\div50=\underline{48}$（米）。
    最终答案：$48$ 米。
  31. 13. ch11-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步：$AC^{2}=45^{2}+60^{2}=\underline{5625}$，$AC=\underline{75}$（厘米）。
    2. 第 2 步：$OB=OC=75\div2=\underline{37.5}$（厘米）。
    3. 第 3 步：长方形面积 $=45\times60=\underline{2700}$（平方厘米），$S_{BOC}=2700\div4=\underline{675}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步：$PQ+PR=675\times2\div37.5=\underline{36}$（厘米）。
    最终答案：$36$ 厘米。
  32. 13. ch11-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步：$AC^{2}=60^{2}+80^{2}=\underline{10000}$，$AC=\underline{100}$（厘米），$OB=OC=100\div2=\underline{50}$（厘米）。
    2. 第 2 步：长方形面积 $=60\times80=\underline{4800}$（平方厘米），$S_{BOC}=4800\div4=\underline{1200}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（第一问）：$\dfrac12\times50\times(PQ+PR)=1200$，得 $PQ+PR=1200\times2\div50=\underline{48}$（厘米）。
    4. 第 4 步（第二问）：$P$ 是 $BC$ 中点时，图形关于 $BC$ 的中垂线对称，两条垂线段一样长，所以 $PQ=48\div2=\underline{24}$（厘米）。
    最终答案：（1）$48$ 厘米；（2）$24$ 厘米。
  33. 16. ch11-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（认出核心性质）：设长方形面积为 $S$。$P$ 与一组对边构成的两个三角形，高加起来正好是长方形的宽，所以 $S_{PAB}+S_{PCD}=\dfrac12S$，于是 $S_{PCD}=\dfrac12S-17$。
    2. 第 2 步（拆块）：$S_{PBD}=S_{PBC}+S_{PCD}-\dfrac12S=41+\left(\dfrac12S-17\right)-\dfrac12S$。
    3. 第 3 步（相消）：把 $\dfrac12S$ 一加一减消掉，剩下的式子是 $\underline{41-17}$。
    4. 第 4 步（算出）：$41-17=\underline{24}$。
    最终答案：$24$。
  34. 16. ch11-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步：设菜地面积为 $S$。井与一组对边构成的两块，高之和恰是菜地的宽，所以 $S_{PAB}+S_{PCD}=\dfrac12S$，即 $S_{PCD}=\dfrac12S-17$。
    2. 第 2 步：$S_{PBD}=S_{PBC}+S_{PCD}-\dfrac12S=41+\left(\dfrac12S-17\right)-\dfrac12S$。
    3. 第 3 步：$\dfrac12S$ 相消后剩下 $\underline{41-17}$。
    4. 第 4 步：$41-17=\underline{24}$（平方米）。
    最终答案：$24$ 平方米。
  35. 16. ch11-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（认出性质）：$PAB$ 与 $PCD$ 贴的是一组对边，它们的面积之和恰是长方形面积的一半。
    2. 第 2 步（先求一半）：$12+20=\underline{32}$。
    3. 第 3 步（还原整体）：这是一半，所以长方形面积 $=32\times2=\underline{64}$。
    最终答案：$64$。
  36. 16. ch11-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（求长方形面积）：$PBC$ 与 $PAD$ 贴一组对边，面积之和是长方形的一半，$41+23=\underline{64}$，所以长方形面积 $=64\times2=\underline{128}$。
    2. 第 2 步（求 $PCD$）：$PAB$ 与 $PCD$ 也是一组对边，和为一半 $=128\div2=\underline{64}$，所以 $S_{PCD}=64-17=\underline{47}$。
    3. 第 3 步（求 $PBD$）：由 $S_{PBD}=S_{PBC}+S_{PCD}-\dfrac12S=41+47-64=\underline{24}$。
    最终答案：（1）$128$；（2）$47$；（3）$24$。
  37. 19. ch11-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（认出角块）：按 $45^{\circ}$ 剪去的每个角块都是等腰直角三角形，两条直角边都等于 $12$ 厘米，$12^{2}=\underline{144}$。
    2. 第 2 步（小正方形的边就是斜边）：由勾股定理，边长的平方 $=144+144=\underline{288}$。
    3. 第 3 步（直接得面积）：正方形面积就等于边长的平方，所以面积 $=\underline{288}$（平方厘米）。
    最终答案：$288$ 平方厘米。
  38. 19. ch11-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步：切去的每个角块都是等腰直角三角形，两条直角边都是 $12$ 厘米，$12^{2}=\underline{144}$。
    2. 第 2 步：中间小正方形的边就是这些三角形的斜边，边长的平方 $=144+144=\underline{288}$。
    3. 第 3 步：面积等于边长的平方，即 $\underline{288}$（平方厘米）。
    最终答案：$288$ 平方厘米。
  39. 19. ch11-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步：角块为等腰直角三角形，直角边都是 $9$ 厘米，$9^{2}=\underline{81}$。
    2. 第 2 步：小正方形边长的平方 $=81+81=\underline{162}$。
    3. 第 3 步：所以面积为 $\underline{162}$（平方厘米）。
    最终答案：$162$ 平方厘米。
  40. 19. ch11-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步：角块的直角边为 $12$ 厘米，$12^{2}=\underline{144}$。
    2. 第 2 步：小正方形边长的平方（即面积）$=144+144=\underline{288}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求原正方形面积）：$40\times40=\underline{1600}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（求占比）：$288\div1600=\underline{0.18}$，即 $18\%$。
    最终答案：（1）$288$ 平方厘米；（2）$18\%$。
  41. 20. ch11-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（展开法）：把每次反弹看成沿碰到的边把木盘翻折，路径就被拉直成一条 $45^{\circ}$ 直线；球第一次到顶点时，走过的水平长度既是长的倍数又是宽的倍数，所以是 $\mathrm{lcm}(8,5)=\underline{40}$（厘米）。
    2. 第 2 步（数横向格数）：$40\div8=\underline{5}$（个）。
    3. 第 3 步（数纵向格数）：$40\div5=\underline{8}$（个）。
    4. 第 4 步（去掉两端）：出发点与终点这两个顶点不算撞壁，撞壁次数 $=(5-1)+(8-1)=\underline{11}$（次）。
    最终答案：$11$ 次。
  42. 20. ch11-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步：把每次反射看成把房间沿墙翻折，光线被拉直成一条 $45^{\circ}$ 直线，走过的水平长度为 $\mathrm{lcm}(8,5)=\underline{40}$（米）。
    2. 第 2 步：横向跨过 $40\div8=\underline{5}$ 个房间。
    3. 第 3 步：纵向跨过 $40\div5=\underline{8}$ 个房间。
    4. 第 4 步：两端墙角不算，碰墙次数 $=(5-1)+(8-1)=\underline{11}$（次）。
    最终答案：$11$ 次。
  43. 20. ch11-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（注意长宽不互质）：展开后走过的长度是 $\mathrm{lcm}(12,9)=\underline{36}$（厘米），它比 $12\times9$ 小得多，说明球会提前进角。
    2. 第 2 步：横向跨过 $36\div12=\underline{3}$（个）。
    3. 第 3 步：纵向跨过 $36\div9=\underline{4}$（个）。
    4. 第 4 步：撞壁次数 $=(3-1)+(4-1)=\underline{5}$（次）。
    最终答案：$5$ 次。
  44. 20. ch11-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步：展开后水平方向走过 $\mathrm{lcm}(8,5)=\underline{40}$（厘米）。
    2. 第 2 步：横向跨 $40\div8=\underline{5}$ 个，纵向跨 $40\div5=\underline{8}$ 个。
    3. 第 3 步（第一问）：撞壁次数 $=(5-1)+(8-1)=\underline{11}$（次）。
    4. 第 4 步（第二问）：展开后的路径是一条 $45^{\circ}$ 直线，它是水平 $40$、竖直 $40$ 的正方形的对角线，长度 $=40\times1.414=\underline{56.56}$（厘米）。
    最终答案：（1）$11$ 次；（2）约 $56.56$ 厘米。
  45. 23. ch11-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（先算大圆）：用圆面积公式，大圆面积 $=\pi\times25^{2}=\underline{625}\pi$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（再算两小圆之和）：$\pi\times24^{2}=\underline{576}\pi$，$\pi\times7^{2}=\underline{49}\pi$，两者相加得 $\underline{625}\pi$。
    3. 第 3 步（比总量）：两个总量相减 $625-625=\underline{0}$，说明大圆面积与两小圆面积之和恰好相等。
    4. 第 4 步（配平）：设 $A$ 部分面积为 $a$、阴影面积为 $b$，则 $625\pi=625\pi-b+a$，所以 $a-b=\underline{0}$，两部分一样大。
    最终答案：一样大（相等），相差 $0$。
  46. 23. ch11-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：大垫片面积 $=\pi\times25^{2}=\underline{625}\pi$（平方厘米）。
    2. 第 2 步：两张小垫片面积 $\pi\times24^{2}=\underline{576}\pi$、$\pi\times7^{2}=\underline{49}\pi$，合计 $\underline{625}\pi$。
    3. 第 3 步：两个合计相减 $625-625=\underline{0}$，恰好相等。
    4. 第 4 步：重叠处被多铺了一层、露出处一层也没铺，两者必须抵消，所以重叠面积减露出面积 $=\underline{0}$。
    最终答案：一样大（相等），相差 $0$。
  47. 23. ch11-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（算大圆）：$\pi\times13^{2}=\underline{169}\pi$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（算两小圆之和）：$\pi\times12^{2}+\pi\times5^{2}=\underline{144}\pi+\underline{25}\pi=\underline{169}\pi$。
    3. 第 3 步（比总量）：$169-169=\underline{0}$，两个总量相等，所以重叠面积 $=$ 空缺面积。
    4. 第 4 步（代入已知）：既然两者相等，阴影面积 $=\underline{20}$ 平方厘米。
    最终答案：$20$ 平方厘米。
  48. 23. ch11-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（两小圆面积之和）：$\pi\times24^{2}+\pi\times7^{2}=\underline{576}\pi+\underline{49}\pi=\underline{625}\pi$。
    2. 第 2 步（容斥原理）：把两块相加时，重叠部分被算了两遍，覆盖面积 $=$ 面积之和 $-$ 重叠面积。
    3. 第 3 步（先把 $625\pi$ 化成小数）：$625\times3.14=\underline{1962.5}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步（减去多算的一遍）：覆盖面积 $=1962.5-12.5=\underline{1950}$（平方厘米）。
    最终答案：$1950$ 平方厘米。
  49. 24. ch11-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（用切线性质）：圆心到切点的半径垂直于这条弦，并且把弦平分，所以半弦长 $=40\div2=\underline{20}$（厘米）。
    2. 第 2 步（勾股定理）：半径 $r$、半弦、大圆半径 $R$ 组成直角三角形，$R^{2}-r^{2}=\underline{20}^{2}=\underline{400}$。
    3. 第 3 步（整体代换）：圆环面积 $=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi(R^{2}-r^{2})=\underline{400}\pi$。
    4. 第 4 步（代入 $\pi=3.14$）：$400\times3.14=\underline{1256}$（平方厘米）。
    最终答案：$1256$ 平方厘米。
  50. 24. ch11-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：从圆心向切点连半径，它垂直于绳子并把绳子平分，半段绳长 $=40\div2=\underline{20}$（米）。
    2. 第 2 步：由勾股定理得 $R^{2}-r^{2}=\underline{20}^{2}=\underline{400}$。
    3. 第 3 步：花坛面积 $=\pi(R^{2}-r^{2})=\underline{400}\pi$（平方米）。
    4. 第 4 步：取 $\pi=3.14$，$400\times3.14=\underline{1256}$（平方米）。
    最终答案：$1256$ 平方米。
  51. 24. ch11-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步：半弦长 $=26\div2=\underline{13}$（厘米）。
    2. 第 2 步：由勾股定理 $R^{2}-r^{2}=\underline{13}^{2}=\underline{169}$。
    3. 第 3 步：圆环面积 $=\pi(R^{2}-r^{2})=\underline{169}\pi$。
    4. 第 4 步：代入 $\pi=3.14$ 得 $169\times3.14=\underline{530.66}$（平方厘米）。
    最终答案：$530.66$ 平方厘米。
  52. 24. ch11-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步：半弦长 $=40\div2=\underline{20}$（厘米），由勾股定理 $R^{2}-r^{2}=\underline{400}$。
    2. 第 2 步（求大圆半径）：把 $r=15$ 代入，$r^{2}=15^{2}=\underline{225}$，所以 $R^{2}=225+400=\underline{625}$。
    3. 第 3 步：$R^{2}=625$，开平方得 $R=\underline{25}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求圆环面积）：$\pi(R^{2}-r^{2})=400\times3.14=\underline{1256}$（平方厘米）。
    最终答案：（1）$25$ 厘米；（2）$1256$ 平方厘米。
  53. 29. ch11-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（把三角形还原成「底 $\times$ 高」）：三角形面积是底乘高的一半，所以 $AB\times MF=37\times2=\underline{74}$。
    2. 第 2 步：同样地，$CD=AB$，所以 $AB\times ME=16\times2=\underline{32}$。
    3. 第 3 步（判断取差还是取和）：$M$ 在平行四边形外，两条高在同一侧，平行线间的距离是两高之差，所以面积 $=74-32=\underline{42}$（平方厘米）。
    最终答案：$42$ 平方厘米。
  54. 29. ch11-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步：$AB\times MF=37\times2=\underline{74}$（平方米）。
    2. 第 2 步：草坪对边相等，$CD=AB$，所以 $AB\times ME=16\times2=\underline{32}$（平方米）。
    3. 第 3 步：灯在草坪外，两条高同侧，草坪面积 $=74-32=\underline{42}$（平方米）。
    最终答案：$42$ 平方米。
  55. 29. ch11-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（判断取和还是取差）：$M$ 在形内时，两条高分居 $M$ 两侧，两高之**和**才是平行线间的距离。
    2. 第 2 步：把两个三角形面积先相加，$9+16=\underline{25}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步：这个和恰好是平行四边形面积的一半，所以面积 $=25\times2=\underline{50}$（平方厘米）。
    最终答案：$50$ 平方厘米。
  56. 29. ch11-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步：$AB\times MF=37\times2=\underline{74}$，$AB\times ME=16\times2=\underline{32}$。
    2. 第 2 步（求面积）：$M$ 在形外，取差，面积 $=74-32=\underline{42}$（平方厘米）。
    3. 第 3 步（求距离）：平行四边形面积 $=$ 底 $\times$ 高，把底 $AB=7$ 除过去，$42\div7=\underline{6}$（厘米）。
    最终答案：（1）$42$ 平方厘米；（2）$6$ 厘米。
  57. 30. ch11-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（认出底和高）：$AF\perp ED$，所以 $AO$ 就是平行四边形 $ABED$ 以 $DE$ 为底时的高，$DE=96\div6=\underline{16}$（厘米）。
    2. 第 2 步：$OE=DE-OD=16-8=\underline{8}$（厘米）。
    3. 第 3 步：同理 $DO$ 是平行四边形 $AFCD$ 以 $AF$ 为底时的高，$AF=96\div8=\underline{12}$（厘米）。
    4. 第 4 步：$OF=AF-AO=12-6=\underline{6}$（厘米）。
    5. 第 5 步（求面积）：三角形 $OEF$ 是直角三角形，面积 $=8\times6\div2=\underline{24}$（平方厘米）。
    6. 第 6 步（求斜边）：由勾股定理 $EF^{2}=8^{2}+6^{2}=\underline{100}$，所以 $EF=\underline{10}$（厘米）。
    7. 第 7 步（求周长）：$8+6+10=\underline{24}$（厘米）。
    最终答案：面积 $24$ 平方厘米，周长 $24$ 厘米。
  58. 30. ch11-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步：$AF\perp ED$，$AO$ 是草地 $ABED$ 以 $DE$ 为底时的高，$DE=96\div6=\underline{16}$（米）。
    2. 第 2 步：$OE=DE-OD=16-8=\underline{8}$（米）。
    3. 第 3 步：$DO$ 是草地 $AFCD$ 以 $AF$ 为底时的高，$AF=96\div8=\underline{12}$（米）。
    4. 第 4 步：$OF=AF-AO=12-6=\underline{6}$（米）。
    5. 第 5 步：这一小块是直角三角形，面积 $=8\times6\div2=\underline{24}$（平方米）。
    6. 第 6 步：$EF^{2}=8^{2}+6^{2}=\underline{100}$，$EF=\underline{10}$（米）。
    7. 第 7 步：周长 $=8+6+10=\underline{24}$（米）。
    最终答案：面积 $24$ 平方米，周长 $24$ 米。
  59. 30. ch11-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步：$DE=120\div5=\underline{24}$（厘米），所以 $OE=24-12=\underline{12}$（厘米）。
    2. 第 2 步：$AF=120\div12=\underline{10}$（厘米），所以 $OF=10-5=\underline{5}$（厘米）。
    3. 第 3 步：面积 $=12\times5\div2=\underline{30}$（平方厘米）。
    4. 第 4 步：$EF^{2}=12^{2}+5^{2}=\underline{169}$，$EF=\underline{13}$（厘米）。
    5. 第 5 步：周长 $=12+5+13=\underline{30}$（厘米）。
    最终答案：面积 $30$ 平方厘米，周长 $30$ 厘米。
  60. 30. ch11-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步：$DE=96\div6=\underline{16}$（厘米），$OE=16-8=\underline{8}$（厘米）。
    2. 第 2 步：$AF=96\div8=\underline{12}$（厘米），$OF=12-6=\underline{6}$（厘米）。
    3. 第 3 步：面积 $=8\times6\div2=\underline{24}$（平方厘米）；$EF^{2}=8^{2}+6^{2}=\underline{100}$，$EF=\underline{10}$（厘米），周长 $=8+6+10=\underline{24}$（厘米）。
    4. 第 4 步（求占比）：用三角形面积除以平行四边形面积，$24\div96=\underline{0.25}$，即 $\dfrac14$。
    最终答案：（1）面积 $24$ 平方厘米，周长 $24$ 厘米；（2）$\dfrac14$。