竞赛数学 · 六年级 第12讲《计数综合三》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch12-chaoyue-01】一个九位数，它只由数字 $1$、$2$ 和 $3$ 组成，而且它的任意连续两位数不等于 $12$、$21$、$22$ 或 $31$，这样的自然数有多少个？如果还要求数字 $1$、$2$ 和 $3$ 每个数字都至少出现一次，那么这样的九位数有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「相邻位受限 + 容斥」的综合题：先用传球法数出满足相邻限制的九位数，再用容斥去掉缺数字的情形。
关键切入点：关键把禁止的相邻对翻译成传球规则：不许出现 $12$ 说明「$1$ 不能传给 $2$」；不许 $21,22$ 说明「$2$ 只能传给 $3$」；不许 $31$ 说明「$3$ 不能传给 $1$」。于是末位为 $1$ 的新值 $=$ 上一行末位为 $1$ 的旧值；末位为 $2$ 的新值 $=$ 上一行末位为 $3$ 的旧值；末位为 $3$ 的新值 $=$ 上一行三数之和。第二问再用容斥减掉「缺某个数字」的情形。
方法概述：先用传球法列表递推求总数，再用容斥减去缺数字的情形。
规范步骤：
  1. 第 1 行：$(1,1,1)$（首位取 1、2、3）
  2. 递推到第 5 行：$(1,1,3)\to(1,3,5)\to(1,5,9)\to(1,9,15)$（按传球规则）
  3. 递推到第 9 行：$(1,15,25)\to(1,25,41)\to(1,41,67)\to(1,67,109)$（同上）
  4. 第一问求和：$1+67+109=177$（第 9 行三数相加）
  5. 缺数字的情形：\text{不含 }1:89;\ \text{不含 }2:10;\ \text{不含 }3:1（只用两种数字时的计数）
  6. 容斥：$(89+10+1)-(1+0+1)=98$（只用一种数字的被重复减）
  7. 第二问：$177-98=79$
第一套
题目：一个十一位数，它只由数字 $1$、$2$ 和 $3$ 组成，而且它的任意连续两位数不等于 $12$、$21$、$22$ 或 $31$。这样的自然数有多少个？如果还要求数字 $1$、$2$ 和 $3$ 每个数字都至少出现一次，那么这样的十一位数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（把禁止对变成传球规则）：$1$ 只能接 $1$ 或 $3$；$2$ 只能接 $3$；$3$ 只能接 $2$ 或 $3$。于是「末位 $1$」新值 $=$ 上一行末位 $1$ 的值；「末位 $2$」新值 $=$ 上一行末位 $3$ 的值；「末位 $3$」新值 $=$ 上一行三数之和。第 $1$ 行 $(1,1,1)$。
  2. 第 2 步（第 2~5 行）：第 2 行 $3$ 列 $=1+1+1=\underline{\quad}$，得 $(1,1,3)$；第 3 行 $3$ 列 $=1+1+3=\underline{\quad}$，得 $(1,3,5)$；第 4 行 $3$ 列 $=\underline{\quad}$，得 $(1,5,9)$；第 5 行 $3$ 列 $=\underline{\quad}$，得 $(1,9,15)$。
  3. 第 3 步（第 6~9 行）：$3$ 列依次为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$，即 $(1,15,25),(1,25,41),(1,41,67),(1,67,109)$。
  4. 第 4 步（第 10、11 行）：第 10 行 $3$ 列 $=1+67+109=\underline{\quad}$，得 $(1,109,177)$；第 11 行 $3$ 列 $=1+109+177=\underline{\quad}$，得 $(1,177,287)$。第一问答案 $=1+177+287=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（缺数字的情形）：不含 $1$ 时只用 $2,3$ 且不许 $22$，是斐波那契型，$11$ 位有 $\underline{\quad}$ 个；不含 $2$ 时只用 $1,3$ 且不许 $31$，只能形如 $1\cdots13\cdots3$，有 $\underline{\quad}$ 个；不含 $3$ 时只用 $1,2$ 且 $12,21,22$ 全禁，只剩全 $1$，有 $\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（容斥）：只用一种数字的（全 $3$、全 $1$ 各 $1$ 个，全 $2$ 不合法）被重复减了，故要去掉的是 $(233+12+1)-(1+0+1)=\underline{\quad}$ 个。
  7. 第 7 步（第二问）：$465-244=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：某密码由 $11$ 位构成，每位只能是 $1$、$2$、$3$，且相邻两位不能顺次出现 $12$、$21$、$22$、$31$。这样的密码有多少个？若还要求 $1$、$2$、$3$ 每个数字都至少用到一次呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（传球规则）：$1$ 只能接 $1,3$；$2$ 只能接 $3$；$3$ 只能接 $2,3$。第 $1$ 行 $(1,1,1)$。
  2. 第 2 步（第 2~5 行）：$3$ 列依次为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 6~9 行）：$3$ 列依次为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 10、11 行与总数）：$3$ 列为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$，总数 $=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（缺数字）：不含 $1$ 有 $\underline{\quad}$ 个；不含 $2$ 有 $\underline{\quad}$ 个；不含 $3$ 有 $\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（容斥）：要去掉 $\underline{\quad}$ 个。
  7. 第 7 步（第二问）：$\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：一个十位数，它只由数字 $1$、$2$ 和 $3$ 组成，而且它的任意连续两位数不等于 $12$、$21$、$22$ 或 $31$。这样的自然数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（传球规则）：末位 $1$ 的新值 $=$ 上一行末位 $1$ 的值；末位 $2$ 的新值 $=$ 上一行末位 $3$ 的值；末位 $3$ 的新值 $=$ 上一行三数之和。第 $1$ 行 $(1,1,1)$。
  2. 第 2 步（第 2~5 行）：$3$ 列依次为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 6~9 行）：$3$ 列依次为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$，第 9 行为 $(1,67,109)$。
  4. 第 4 步（第 10 行并求和）：$3$ 列 $=1+67+109=\underline{\quad}$，第 10 行为 $(1,109,177)$，答案 $=1+109+177=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：一个九位数，它只由数字 $1$、$2$ 和 $3$ 组成，而且它的任意连续两位数不等于 $12$、$21$、$22$ 或 $31$。在这样的九位数中，**恰好**用到两种不同数字的有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求总数）：用传球法递推，第 $9$ 行为 $(1,67,109)$，总数 $=1+67+109=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（恰好用一种数字）：全 $1$ 合法（$11$ 不在禁止对里），全 $2$ 不合法（出现 $22$），全 $3$ 合法。故恰好一种的有 $1+0+1=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（三种都用到）：不含 $1$ 的有 $89$ 个、不含 $2$ 的有 $10$ 个、不含 $3$ 的有 $1$ 个，容斥后要去掉 $(89+10+1)-(1+0+1)=\underline{\quad}$ 个，故三种都用到的有 $177-98=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（用「总数减两头」）：恰好两种 $=$ 总数 $-$ 恰好一种 $-$ 恰好三种 $=177-2-79=\underline{\quad}$ 个。
2. 【原题 ch12-chaoyue-02】（1）如果在一个平面上画出 $8$ 个三角形，最多可以把平面分成多少部分？（2）如果在一个平面上画出 $3$ 个四边形、$2$ 个圆、$1$ 条直线，最多可以把平面分成多少个部分？
详细思路
是哪类问题：这是「平面分割」的综合题：不同形状的图形混在一起，仍用「增量 = 新图形被切成的段数」逐个累加。
关键切入点：关键是分清两类增量：**封闭图形**（三角形、四边形、圆）新增的区域数就等于它与已有图形的交点数；**直线**新增的区域数等于交点数 $+1$。第 (1) 问中第 $n$ 个三角形与前面 $n-1$ 个三角形最多有 $6(n-1)$ 个交点；第 (2) 问先画直线更方便，再依次算每个封闭图形与已有全部图形的交点数。
方法概述：逐个添加图形，封闭图形增量 = 交点数，直线增量 = 交点数 + 1，累加求和。
规范步骤：
  1. 1 个三角形：$2$ 个部分（封闭图形把平面分成内外）
  2. 第 $n$ 个三角形的增量：$6(n-1)$（与前面每个三角形最多 6 个交点）
  3. 8 个三角形：$2+6\times(1+2+\cdots+7)=2+168=170$（累加）
  4. (2) 先画直线：$2$ 个部分（1 条直线）
  5. (2) 三个四边形：$+2,+10,+18$（与直线 2 点、与每个四边形 8 点）
  6. (2) 两个圆：$+26,+28$（与直线 2 点、与四边形各 8 点、与圆 2 点）
  7. (2) 求和：$2+2+10+18+26+28=86$
第一套
题目：（1）如果在一个平面上画出 $10$ 个三角形，最多可以把平面分成多少部分？（2）如果在一个平面上画出 $4$ 个四边形、$3$ 个圆、$2$ 条直线，最多可以把平面分成多少个部分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三角形的增量）：$1$ 个三角形把平面分成 $2$ 部分；第 $n$ 个三角形与前面 $n-1$ 个最多有 $6(n-1)$ 个交点，就被分成 $6(n-1)$ 段，新增 $6(n-1)$ 个区域。
  2. 第 2 步（(1) 求和）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$，故共 $2+6\times45=\underline{\quad}$ 个部分。
  3. 第 3 步（(2) 先画两条直线）：$1$ 条直线分成 $2$ 部分；第 $2$ 条与它交 $1$ 点、被分成 $2$ 段，新增 $2$ 个，共 $2+2=\underline{\quad}$ 个部分。
  4. 第 4 步（(2) 四个四边形）：一个四边形与一条直线最多 $2$ 个交点、与另一个四边形最多 $8$ 个交点。四个四边形的增量依次为 $2\times2=\underline{\quad}$、$4+8=\underline{\quad}$、$4+16=\underline{\quad}$、$4+24=\underline{\quad}$，合计 $4+12+20+28=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（(2) 三个圆）：一个圆与直线最多 $2$ 点、与四边形最多 $8$ 点、与圆最多 $2$ 点。增量依次为 $2\times2+4\times8=\underline{\quad}$、$36+2=\underline{\quad}$、$36+4=\underline{\quad}$，合计 $36+38+40=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（(2) 合计）：$4+64+114=\underline{\quad}$ 个部分。
第二套
题目：在一张大地图上划分区域：（1）画 $10$ 个三角形围栏，最多能把地图分成多少块？（2）画 $4$ 个四边形围栏、$3$ 个圆形围栏、$2$ 条笔直的公路，最多能把地图分成多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（增量规则）：封闭围栏的新增块数 $=$ 它与已有图形的交点数；公路（直线）的新增块数 $=$ 交点数 $+1$。
  2. 第 2 步（(1)）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$，共 $\underline{\quad}$ 块。
  3. 第 3 步（(2) 两条公路）：共 $\underline{\quad}$ 块。
  4. 第 4 步（(2) 四个四边形围栏）：增量依次 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$，合计 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（(2) 三个圆形围栏）：增量依次 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$，合计 $\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（(2) 合计）：$\underline{\quad}$ 块。
第三套
题目：如果在一个平面上画出 $8$ 个四边形，最多可以把平面分成多少个部分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起点）：$1$ 个四边形把平面分成 $2$ 个部分。
  2. 第 2 步（增量）：两个四边形最多有 $\underline{\quad}$ 个交点（每条边与另一四边形最多交 $2$ 点，$4$ 条边共 $8$ 点），故第 $n$ 个四边形与前面 $n-1$ 个最多有 $8(n-1)$ 个交点，新增 $8(n-1)$ 个区域。
  3. 第 3 步（求和）：$1+2+\cdots+7=\underline{\quad}$，增量合计 $8\times28=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（总数）：$2+224=\underline{\quad}$ 个部分。
第三套
题目：在一个平面上画出 $5$ 个三角形、$2$ 个圆和 $3$ 条直线，最多可以把平面分成多少个部分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先画直线）：$3$ 条直线最多把平面分成 $1+(1+2+3)=\underline{\quad}$ 个部分。
  2. 第 2 步（三角形与已有图形的交点）：一个三角形与一条直线最多 $2$ 个交点，与 $3$ 条直线共 $3\times2=\underline{\quad}$ 个；与另一个三角形最多 $6$ 个交点。
  3. 第 3 步（五个三角形的增量）：依次为 $6$、$6+6=\underline{\quad}$、$6+12=\underline{\quad}$、$6+18=\underline{\quad}$、$6+24=\underline{\quad}$，合计 $6+12+18+24+30=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（圆的增量）：一个圆与 $3$ 条直线最多 $6$ 点、与 $5$ 个三角形最多 $5\times6=\underline{\quad}$ 点、与另一个圆最多 $2$ 点。故两个圆依次新增 $6+30=\underline{\quad}$、$36+2=\underline{\quad}$，合计 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（合计）：$7+90+74=\underline{\quad}$ 个部分。
3. 【原题 ch12-chaoyue-03】如图 $12\text{-}3$ 所示，阴影部分是一个圆环，$4$ 条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分？
详细思路
是哪类问题：这是「圆环区域分割」问题：要数直线在**圆环内**（挖去小圆后的阴影）切出的有效段数。
关键切入点：关键在于：一条直线穿过圆环时，落在小圆内部的那一段**不算**在阴影里，所以段数要在「直线被大圆与已有直线截出的段数」里扣掉小圆内部那一段。第 $1$ 条直线把圆环分成 $2$ 部分；第 $2$ 条与大圆、与第 $1$ 条直线共 $5$ 个交点、形成 $4$ 条在圆内的线段，其中恰有 $1$ 条落在小圆内不计，故阴影内新增 $2$ 部分；第 $3$、$4$ 条同理各新增 $5$ 部分。
方法概述：逐条添加直线，数它在圆环阴影内的有效段数并累加。
规范步骤：
  1. 第 1 条直线：$2$ 个部分（把圆环切成两段）
  2. 第 2 条直线：$2+2=4$（在阴影内新增 2 部分）
  3. 第 3 条直线：$4+5=9$（与大圆及前两条直线共 6 个交点，阴影内新增 5 部分）
  4. 第 4 条直线：$9+5=14$（阴影内新增 5 部分）
  5. 写出答案：$14$
4. 【原题 ch12-chaoyue-04】用 $15$ 个 $1\times 2$ 的小纸片覆盖图 $12\text{-}4$，共有多少种不同的覆盖方法？
详细思路
是哪类问题：这是「特殊形状的骨牌覆盖」：图形是阶梯形，不能直接套 $n\times2$ 的斐波那契公式，要找阶梯层数与覆盖数之间的规律。
关键切入点：关键是从最简单的 $3\times2$ 方格表出发：它有 $3$ 种覆盖方法。观察阶梯形，每往上多加 $1$ 层，新增的那一层只能有固定的两种接法，于是覆盖方法数只增加 $2$ 种（不是成倍增长）。图 $12\text{-}4$ 的阶梯比 $3\times2$ 的方格表多 $6$ 层，故方法数为 $3+2\times6$。
方法概述：先算最简情形，再找出「每升高一层增加 2 种」的规律并累加。
规范步骤：
  1. 最简情形：$3\times2\ \text{方格表有}\ 3\ \text{种}$（斐波那契 $a_3=3$）
  2. 找增量规律：\text{每升高 }1\text{ 层增加 }2\text{ 种}（阶梯边缘的接法固定）
  3. 数层数：6\ \text{层}（图 12-4 比 $3\times2$ 多 6 层）
  4. 计算：$3+2\times6=15$
5. 【原题 ch12-chaoyue-05】对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 $2$，如果是奇数则加 $1$，如此进行下去直到得数为 $1$ 操作停止。问：经过 $9$ 次操作变为 $1$ 的数有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「逆向递推」题：正着枚举很难，倒过来从 $1$ 出发反推更清楚。
关键切入点：关键是把操作反过来看：能经过 $n$ 次操作变成 $1$ 的数，分两类——它是偶数时，它一定由「$n-1$ 步能变成 $1$ 的数」乘 $2$ 得到；它是奇数时，加 $1$ 后变成偶数，再往下走，恰好对应「$n-2$ 步能变成 $1$ 的数」。于是 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，是斐波那契型。先验算小情形：$a_1=1$（即 $2$），$a_2=1$（即 $4$），$a_3=2$（即 $3,8$）。
方法概述：逆向按奇偶两种来源分类，得斐波那契递推后列表推到第 9 项。
规范步骤：
  1. 小情形：$a_1=1,\ a_2=1,\ a_3=2$（分别是 2；4；3 和 8）
  2. 递推式：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$（偶数来源与奇数来源）
  3. 列表递推：$a_4=3,\ a_5=5,\ a_6=8$（递推）
  4. 继续递推：$a_7=13,\ a_8=21,\ a_9=34$（递推）
  5. 写出答案：$a_9=34$
第一套
题目：对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 $2$，如果是奇数则加 $1$，如此进行下去直到得数为 $1$ 操作停止。问：经过 $12$ 次操作变为 $1$ 的数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小情形）：$a_1=1$（这个数是 $2$），$a_2=1$（这个数是 $4$），$a_3=\underline{\quad}$（这两个数是 $3$ 和 $8$）。
  2. 第 2 步（逆向分类）：能 $n$ 步变成 $1$ 的数中，偶数由「$n-1$ 步能变成 $1$ 的数」乘 $2$ 得到，奇数对应「$n-2$ 步能变成 $1$ 的数」，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 12）：$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一台机器每处理一次货物：若件数是偶数就对半分走一半，若是奇数就先补进 $1$ 件（再等下一次处理）。一直处理到只剩 $1$ 件为止。问：恰好经过 $12$ 次处理后只剩 $1$ 件的初始件数有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小情形）：$a_1=1$（初始 $2$ 件），$a_2=1$（初始 $4$ 件），$a_3=\underline{\quad}$（初始 $3$ 或 $8$ 件）。
  2. 第 2 步（逆向分类）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 12）：$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 $2$，如果是奇数则加 $1$，直到得数为 $1$ 停止。问：经过 $11$ 次操作变为 $1$ 的数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小情形）：$a_1=1$，$a_2=1$，$a_3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（递推式）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 11）：$a_{11}=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 $2$，如果是奇数则加 $1$，直到得数为 $1$ 停止。问：经过**不超过 $9$ 次**操作就能变为 $1$ 的数（$1$ 本身不算）有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（明确要求）：现在要的是恰好 $1,2,\cdots,9$ 次的**全部**情形之和，而不是只取第 $9$ 项。
  2. 第 2 步（先列出每一项）：$a_1=1$，$a_2=1$，$a_3=\underline{\quad}$，$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（继续）：$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（不重复性）：一个数变成 $1$ 所需的次数是唯一确定的，所以各项之间没有重复，可以直接相加。
  5. 第 5 步（求和）：$1+1+2+3+5+8+13+21+34=\underline{\quad}$ 个。
6. 【原题 ch12-chaoyue-06】如图 $12\text{-}5$ 所示，用 $4$ 种不同的颜色给图 $12\text{-}5$ 中的圆圈分别涂色，要求有线段连结的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色，共有多少种涂法？（不允许旋转、翻转）
详细思路
是哪类问题：这是「复杂图形染色」题：把图中的圆圈按结构分成三类，分步染色再相乘。
关键切入点：关键是**分步**：①中央的圆圈 $A$ 与很多圆圈相邻，先定它的颜色，有 $4$ 种；②中环上的 $6$ 个圆圈首尾相接成一个环，用传球法递推——固定其中一个的颜色时得 $11+11=22$ 种，再由对称性乘 $3$ 得 $66$ 种；③角上的 $3$ 个圆圈各自只与两个已染色且异色的圆圈相邻，每个都有 $2$ 种选择，共 $2^3=8$ 种。最后按分步乘法原理相乘。
方法概述：按中央、中环、角上三类分步染色，中环用环形传球法，最后相乘。
规范步骤：
  1. 染中央圆圈：$4\ \text{种}$（4 种颜色任选）
  2. 中环 6 个圆圈（固定首色）：$11+11=22$（环形传球法递推）
  3. 中环用对称性：$22\times3=66$（首色有 3 种对称选择）
  4. 角上 3 个圆圈：$2\times2\times2=8$（每个各有 2 种选择）
  5. 分步相乘：$4\times66\times8=2112$（分步乘法原理）
7. 【原题 ch12-chaoyue-07】圆周上有 $15$ 个点 $A_1,A_2,\cdots,A_{15}$，以这些点为顶点连结 $5$ 个三角形，要求任意两个三角形没有公共点，共有多少种连结方式？
详细思路
是哪类问题：这是「不相交三角形」的卡塔兰型递推：$3n$ 个点连成 $n$ 个互不相交的三角形。
关键切入点：关键仍是盯住 $A_1$：$A_1$ 所在的三角形把其余点分成**三段**，每段的点数都必须是 $3$ 的倍数（否则那一段的点凑不成整数个三角形），且三段互不影响。设三段各含 $3a,3b,3c$ 个点（$a+b+c=n-1$），则方法数为 $t_a t_b t_c$，于是 $t_n=\sum_{a+b+c=n-1}t_a t_b t_c$（约定 $t_0=1$）。
方法概述：按 $A_1$ 所在三角形把其余点分成三段分类，得三重卷积递推后逐项累加。
规范步骤：
  1. 最小情形：$t_0=1,\ t_1=1$（3 个点只有 1 种）
  2. 递推式：$t_n=\sum_{a+b+c=n-1}t_at_bt_c$（三段互相独立）
  3. 6 个点：$t_2=3\times(1\times1\times1)=3$（$(a,b,c)$ 是 $1,0,0$ 的 3 种排法）
  4. 9 个点：$t_3=3\times3+3\times1=12$（按 $(2,0,0),(1,1,0),(1,1,1)$ 分类）
  5. 12 个点：$t_4=3\times12+6\times3+1\times1=55$（同上）
  6. 15 个点：$t_5=3\times55+6\times12+3\times9+3\times3=273$（按 $(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1)$ 分类）
第一套
题目：圆周上有 $18$ 个点 $A_1,A_2,\cdots,A_{18}$，以这些点为顶点连结 $6$ 个三角形，要求任意两个三角形没有公共点，共有多少种连结方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（递推式）：看 $A_1$ 所在的三角形，它把其余点分成三段，各段点数都必须是 $3$ 的倍数，设为 $3a,3b,3c$（$a+b+c=n-1$），三段互不影响，故 $t_n=\sum_{a+b+c=n-1}t_at_bt_c$，且 $t_0=t_1=1$。
  2. 第 2 步（先备好前几项）：$t_2=3\times1=\underline{\quad}$；$t_3=3\times3+3\times1=\underline{\quad}$；$t_4=3\times12+6\times3+1=\underline{\quad}$；$t_5=3\times55+6\times12+3\times9+3\times3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（$n=6$，按 $(a,b,c)$ 的取值分类）：$(5,0,0)$ 型有 $3$ 种排法，贡献 $3\times273=\underline{\quad}$；$(4,1,0)$ 型有 $6$ 种排法，贡献 $6\times55=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续分类）：$(3,2,0)$ 型有 $6$ 种排法，贡献 $6\times(12\times3)=\underline{\quad}$；$(3,1,1)$ 型有 $3$ 种排法，贡献 $3\times12=\underline{\quad}$；$(2,2,1)$ 型有 $3$ 种排法，贡献 $3\times(3\times3)=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求和）：$t_6=819+330+216+36+27=\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：$18$ 位同学围坐成一圈，要分成 $6$ 个三人小组，每组三人之间用绳子连成一个三角形，要求任意两个三角形的绳子都不接触（无公共点）。共有多少种分组方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化与递推式）：同学就是圆周上的点，绳子三角形就是不相交三角形，仍有 $t_0=t_1=1$，$t_n=\sum_{a+b+c=n-1}t_at_bt_c$。
  2. 第 2 步（前几项）：$t_2=\underline{\quad}$；$t_3=\underline{\quad}$；$t_4=\underline{\quad}$；$t_5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（$n=6$ 的前两类）：$(5,0,0)$ 贡献 $\underline{\quad}$；$(4,1,0)$ 贡献 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（其余三类）：$(3,2,0)$ 贡献 $\underline{\quad}$；$(3,1,1)$ 贡献 $\underline{\quad}$；$(2,2,1)$ 贡献 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求和）：共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：圆周上有 $15$ 个点 $A_1,A_2,\cdots,A_{15}$，连结 $5$ 个互不相交（无公共点）的三角形，且要求 $A_1A_2A_3$ 恰是其中一个三角形。共有多少种连结方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先固定）：$A_1A_2A_3$ 已定，它把其余点全部留在同一段里，即 $A_4\sim A_{15}$ 这 $12$ 个点。
  2. 第 2 步（化为子问题）：这 $12$ 个点要连成 $4$ 个互不相交的三角形，方法数就是 $t_4$。
  3. 第 3 步（算 $t_4$）：$t_2=3\times1=\underline{\quad}$；$t_3=3\times3+3\times1=\underline{\quad}$；$t_4=3\times12+6\times3+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出答案）：共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：圆周上有 $21$ 个点 $A_1,A_2,\cdots,A_{21}$，以这些点为顶点连结 $7$ 个三角形，要求任意两个三角形没有公共点，共有多少种连结方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（备好前几项）：$t_0=t_1=1$，$t_2=\underline{\quad}$，$t_3=\underline{\quad}$，$t_4=\underline{\quad}$，$t_5=\underline{\quad}$，$t_6=819+330+216+36+27=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（$n=7$，$a+b+c=6$，先看含大项的类）：$(6,0,0)$ 有 $3$ 种排法，贡献 $3\times1428=\underline{\quad}$；$(5,1,0)$ 有 $6$ 种，贡献 $6\times273=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（继续）：$(4,2,0)$ 有 $6$ 种，贡献 $6\times(55\times3)=\underline{\quad}$；$(4,1,1)$ 有 $3$ 种，贡献 $3\times55=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$(3,3,0)$ 有 $3$ 种，贡献 $3\times(12\times12)=\underline{\quad}$；$(3,2,1)$ 有 $6$ 种，贡献 $6\times(12\times3)=\underline{\quad}$；$(2,2,2)$ 只有 $1$ 种，贡献 $3\times3\times3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求和）：$t_7=4284+1638+990+165+432+216+27=\underline{\quad}$ 种。
8. 【原题 ch12-chaoyue-08】有一年级到六年级的同学各一人，排成一列领取糖果。如果某个高年级的同学排在一个低年级的同学前面，那么这个低年级的同学就会产生一次"怨言"（一个人可以有多次"怨言"）。在一种排列顺序里，我们把所有"怨言"的总数叫"怨言数"。例如：六位同学按下面的顺序排列：一年级、四年级、三年级、二年级、六年级、五年级，那么这六位同学产生的"怨言"次数依次为 $0,0,1,2,0,1$，这种排列的"怨言数"就是 $4$。请问：有多少种"怨言数"为 $7$ 的排列顺序？
详细思路
是哪类问题：这是「逆序数分布」的插入递推：把「怨言数」翻译成排列的逆序对个数，再用逐个插入最大数的方法列出分布表。
关键切入点：关键是插入法：已有 $n-1$ 个数的一个排列，把最大的数（第 $n$ 个人）插到某个位置——插在最后不增加逆序，插在倒数第 $2$ 个位置增加 $1$，……插在最前面增加 $n-1$。所以新表的第 $k$ 项 $=$ 旧表第 $k-(n-1)$ 项到第 $k$ 项之和（共 $n$ 项）。从 $n=1$ 的 $(1)$ 出发逐行递推到 $n=6$，读怨言数为 $7$ 的那一项。
方法概述：把怨言数看成逆序数，用「插入最大数」建立分布表并逐行递推。
规范步骤：
  1. $n=2$：$(1,1)$（逆序数 0、1 各 1 种）
  2. $n=3$：$(1,2,2,1)$（每项 = 上一行连续 3 项之和）
  3. $n=4$：$(1,3,5,6,5,3,1)$（每项 = 上一行连续 4 项之和）
  4. $n=5$：$(1,4,9,15,20,22,20,15,9,4,1)$（每项 = 上一行连续 5 项之和）
  5. $n=6$ 的第 7 项：$9+15+20+22+20+15=101$（上一行第 2~7 项之和）
  6. 写出答案：$101$
第一套
题目：有一年级到七年级的同学各一人，排成一列领取糖果。如果某个高年级的同学排在一个低年级的同学前面，那么这个低年级的同学就产生一次「怨言」。所有「怨言」的总数叫「怨言数」。请问：有多少种「怨言数」为 $9$ 的排列顺序？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：怨言数就是排列的**逆序数**（排在前面且更大的数对的个数）。
  2. 第 2 步（插入法的规则）：把最大的数插入已有 $n-1$ 个数的排列：插在最后加 $0$，倒数第 $2$ 位加 $1$，……最前面加 $n-1$。所以新行第 $k$ 项 $=$ 上一行第 $k-(n-1)$ 到第 $k$ 项之和（共 $n$ 项）。
  3. 第 3 步（前几行）：$n=1$ 行为 $(1)$；$n=2$ 行为 $(1,1)$；$n=3$ 行为 $(1,2,2,1)$；$n=4$ 行为 $(1,3,5,6,5,3,1)$。
  4. 第 4 步（$n=5$ 行）：第 $3$ 项 $=1+3+5=\underline{\quad}$，第 $4$ 项 $=1+3+5+6=\underline{\quad}$，第 $5$ 项 $=1+3+5+6+5=\underline{\quad}$，第 $6$ 项 $=3+5+6+5+3=\underline{\quad}$，整行为 $(1,4,9,15,20,22,20,15,9,4,1)$。
  5. 第 5 步（$n=6$ 行）：第 $4$ 项 $=1+4+9+15+20+22=\underline{\quad}$，第 $5$ 项 $=4+9+15+20+22+20=\underline{\quad}$，第 $6$ 项 $=9+15+20+22+20+15=\underline{\quad}$，整行为 $(1,5,14,29,49,71,90,101,101,90,71,49,29,14,5,1)$（下标从怨言数 $0$ 开始）。
  6. 第 6 步（$n=7$ 行取怨言数 $9$）：$=$ 上一行怨言数 $3\sim9$ 这 $7$ 项之和 $=29+49+71+90+101+101+90=\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：$7$ 本厚薄互不相同的书要摆成一排。如果一本厚书摆在一本薄书的左边，那么这本薄书就「抱怨」一次（一本书可以被抱怨多次）。所有抱怨次数的总和称为这排书的「抱怨数」。请问：抱怨数为 $9$ 的摆法有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：抱怨数就是排列的逆序数。
  2. 第 2 步（插入法规则）：把最厚的书插入已有排列，插在最右加 $0$，往左每移一位加 $1$；故新行第 $k$ 项 $=$ 上一行连续 $n$ 项之和。
  3. 第 3 步（前几行）：$(1)$；$(1,1)$；$(1,2,2,1)$；$(1,3,5,6,5,3,1)$。
  4. 第 4 步（$n=5$ 行）：第 $3\sim6$ 项分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（$n=6$ 行）：第 $4\sim6$ 项分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（$n=7$ 行取抱怨数 $9$）：$\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：有一年级到六年级的同学各一人排成一列，怨言数的定义同前。请问：有多少种「怨言数」为 $6$ 的排列顺序？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化与规则）：怨言数即逆序数；新行第 $k$ 项 $=$ 上一行连续 $n$ 项之和。
  2. 第 2 步（前几行）：$(1)$；$(1,1)$；$(1,2,2,1)$；$(1,3,5,6,5,3,1)$。
  3. 第 3 步（$n=5$ 行）：第 $3\sim6$ 项分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$，整行 $(1,4,9,15,20,22,20,15,9,4,1)$。
  4. 第 4 步（$n=6$ 行取怨言数 $6$）：$=$ 上一行怨言数 $1\sim6$ 这 $6$ 项之和 $=4+9+15+20+22+20=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：有一年级到七年级的同学各一人排成一列，怨言数的定义同前。请问：怨言数为 $7$ **或** $8$ 的排列顺序共有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（前几行）：$(1)$；$(1,1)$；$(1,2,2,1)$；$(1,3,5,6,5,3,1)$。
  2. 第 2 步（$n=5$ 行）：第 $3\sim6$ 项分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（$n=6$ 行）：第 $4\sim6$ 项分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$，整行 $(1,5,14,29,49,71,90,101,101,90,71,49,29,14,5,1)$。
  4. 第 4 步（$n=7$ 行、怨言数 $7$）：$=$ 上一行怨言数 $1\sim7$ 这 $7$ 项之和 $=5+14+29+49+71+90+101=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（$n=7$ 行、怨言数 $8$）：$=$ 上一行怨言数 $2\sim8$ 之和 $=14+29+49+71+90+101+101=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（两类相加，互不重叠）：$359+455=\underline{\quad}$ 种。
9. 【原题 ch12-tuozhan-01】老师给小高布置了 $12$ 篇作文，规定他每天至少写 $1$ 篇。如果小高每天最多能写 $3$ 篇，那么共有多少种写完作文的方法？
详细思路
是哪类问题：这是「三阶递推计数」类问题：把 $12$ 篇作文按天分成若干份，每份 $1$、$2$ 或 $3$ 篇。
关键切入点：关键仍是看**最后一天**写了几篇：写 $1$ 篇则前面写完 $n-1$ 篇，写 $2$ 篇则前面写完 $n-2$ 篇，写 $3$ 篇则前面写完 $n-3$ 篇，三类不重不漏，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。这与「每天吃 $1\sim3$ 块巧克力」是同一个模型。
方法概述：按最后一天写 1、2、3 篇分三类，得三阶递推后列表累加到 12。
规范步骤：
  1. 最小情形：$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=4$（枚举）
  2. 三阶递推式：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$（按最后一天分类）
  3. 列表递推：$a_4=7,\ a_5=13,\ a_6=24,\ a_7=44,\ a_8=81$（递推）
  4. 继续递推：$a_9=149,\ a_{10}=274,\ a_{11}=504,\ a_{12}=927$（递推）
  5. 写出答案：$a_{12}=927$
第一套
题目：老师给小高布置了 $15$ 篇作文，规定他每天至少写 $1$ 篇。如果小高每天最多能写 $3$ 篇，那么共有多少种写完作文的方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（按最后一天分类）：最后一天写 $1$、$2$ 或 $3$ 篇，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 15）：$a_{13}=\underline{\quad}$，$a_{14}=\underline{\quad}$，$a_{15}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：工厂接到 $15$ 台机器的检修任务，每天至少检修 $1$ 台、最多检修 $3$ 台，直到全部修完。共有多少种不同的检修安排？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$1$ 台 $1$ 种，$2$ 台 $2$ 种，$3$ 台 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（按最后一天分类）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 15）：$a_{13}=\underline{\quad}$，$a_{14}=\underline{\quad}$，$a_{15}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 $15$ 写成若干个 $1$、$2$、$3$ 相加的形式（加数的顺序不同算作不同的写法），共有多少种写法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：每个加数就是「一天写的篇数」，问题与 $15$ 篇作文完全相同。$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（按最后一个加数分类）：最后一个加数是 $1,2,3$ 之一，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 15）：$a_{13}=\underline{\quad}$，$a_{14}=\underline{\quad}$，$a_{15}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：老师给小高布置了 $15$ 篇作文，规定他每天至少写 $1$ 篇、最多写 $4$ 篇，那么共有多少种写完作文的方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，$a_4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（升为四阶）：最后一天可写 $1,2,3,4$ 篇，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-4}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 15）：$a_{13}=\underline{\quad}$，$a_{14}=\underline{\quad}$，$a_{15}=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch12-tuozhan-02】用 $10$ 个 $1\times 3$ 的长方形纸片覆盖一个 $10\times 3$ 的方格表，共有多少种覆盖方法？
详细思路
是哪类问题：这是「覆盖（铺砖）问题」类递推，但砖是 $1\times3$ 的，递推式变成隔三项相加。
关键切入点：关键仍看**最左一列**：要么竖放一块 $1\times3$ 正好盖住这一列（剩 $(n-1)\times3$），要么这一列只能由三块横放的砖铺成，且它们必须一起盖住最左的三列（剩 $(n-3)\times3$）。于是 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$。
方法概述：按最左一列竖放一块还是横放三块分类，得 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$，列表递推到 10。
规范步骤：
  1. 最小情形：$a_1=1,\ a_2=1,\ a_3=2$（$1\times3$、$2\times3$ 只能全竖放；$3\times3$ 有全竖或三横两种）
  2. 按最左一列分类：$a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$（竖放一块或横放三块）
  3. 列表递推：$a_4=3,\ a_5=4,\ a_6=6,\ a_7=9$（递推）
  4. 继续递推：$a_8=13,\ a_9=19,\ a_{10}=28$（递推）
  5. 写出答案：$a_{10}=28$
第一套
题目：用 $1\times 3$ 的长方形纸片覆盖一个 $13\times 3$ 的方格表，共有多少种覆盖方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=1$，$a_3=\underline{\quad}$（全竖放或三块横放）。
  2. 第 2 步（看最左一列）：或竖放一块盖住该列（剩 $(n-1)\times3$），或横放三块盖住最左三列（剩 $(n-3)\times3$），故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=2+1=\underline{\quad}$，$a_5=3+1=\underline{\quad}$，$a_6=4+2=\underline{\quad}$，$a_7=6+3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 13）：$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一面墙高 $3$ 块砖、长 $13$ 块砖，用 $1\times 3$ 的长条砖铺满（砖可横放也可竖放），共有多少种不同的铺法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：长 $1$、$2$ 时都只有 $1$ 种；长 $3$ 时有 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（看最左一列）：竖放一块或横放三块，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 13）：$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一条长 $12$ 米的小路，用长 $1$ 米和长 $3$ 米两种石板铺满（石板宽度都等于路宽，可任意先后排列），共有多少种铺法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：一块竖放砖 $\Leftrightarrow$ 一块 $1$ 米石板，三块横放砖 $\Leftrightarrow$ 一块 $3$ 米石板，于是仍有 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$，且 $a_1=1,a_2=1,a_3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列表递推）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（继续）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（推到 12）：$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一条长 $13$ 米的小路，用长 $1$ 米和长 $3$ 米两种石板铺满，且要求 $3$ 米的石板**至少用 $2$ 块**。共有多少种铺法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求总数）：由 $a_1=1,a_2=1,a_3=2$ 与 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$ 递推：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（继续推到 13）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（减去 $3$ 米石板用 $0$ 块的）：全用 $1$ 米石板只有 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（减去恰好用 $1$ 块的）：此时是 $1$ 块 $3$ 米加上 $10$ 块 $1$ 米，共 $11$ 块石板排成一排，只要定出那块 $3$ 米石板排在第几位即可，有 $\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步（用补集）：$88-1-11=\underline{\quad}$ 种。
11. 【原题 ch12-tuozhan-03】现有 $14$ 块糖，如果墨莫每天吃奇数块糖，直到吃完，共有多少种吃法？
详细思路
是哪类问题：这是「整数有序拆分成奇数」的递推计数：把 $14$ 拆成若干个奇数之和（顺序不同算不同吃法）。
关键切入点：关键是从小到大列表找规律：$1,1,2,3,5,8,\cdots$ 正是斐波那契，于是 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。可以这样理解：把最后一天吃的奇数块 $2k+1$ 与前面情形对应起来后，恰好得到「前一项 + 前两项」的关系。
方法概述：列表找出斐波那契型递推 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，再推到 14。
规范步骤：
  1. 小情形枚举：$a_1=1,\ a_2=1,\ a_3=2,\ a_4=3$（$1$；$1+1$；$3$、$1+1+1$；$1+3$、$3+1$、$1+1+1+1$）
  2. 发现递推：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$（斐波那契型）
  3. 列表递推：$a_5=5,\ a_6=8,\ a_7=13,\ a_8=21,\ a_9=34$（递推）
  4. 继续递推：$a_{10}=55,\ a_{11}=89,\ a_{12}=144,\ a_{13}=233,\ a_{14}=377$（递推）
  5. 写出答案：$a_{14}=377$
第一套
题目：现有 $16$ 块糖，如果墨莫每天吃奇数块糖，直到吃完，共有多少种吃法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（枚举小情形）：$1$ 块 $1$ 种；$2$ 块只有 $1+1$，$1$ 种；$3$ 块有 $3$、$1+1+1$，$\underline{\quad}$ 种；$4$ 块有 $1+3,3+1,1+1+1+1$，$\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（发现规律）：$1,1,2,3,\cdots$ 是斐波那契型，即 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 16）：$a_{14}=\underline{\quad}$，$a_{15}=\underline{\quad}$，$a_{16}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：仓库里有 $16$ 箱货物要搬完，工人每天搬走奇数箱（$1,3,5,\cdots$ 箱都可以），直到搬完。共有多少种不同的搬运安排？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（枚举小情形）：$1$ 箱 $1$ 种；$2$ 箱 $1$ 种；$3$ 箱 $\underline{\quad}$ 种；$4$ 箱 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（发现规律）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 16）：$a_{14}=\underline{\quad}$，$a_{15}=\underline{\quad}$，$a_{16}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一段楼梯共 $15$ 级台阶，每一步都要迈奇数级台阶（$1$ 级、$3$ 级、$5$ 级……都可以）。走完这 $15$ 级台阶共有多少种走法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：每步迈的级数就是「每天吃的块数」，仍是把 $15$ 有序拆成若干奇数之和。$a_1=1,\ a_2=1,\ a_3=\underline{\quad}$，$a_4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（递推）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 15）：$a_{14}=\underline{\quad}$，$a_{15}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：现有 $16$ 块糖，如果墨莫每天吃**偶数**块糖（每天至少吃 $2$ 块），直到吃完，共有多少种吃法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（想到转化）：每天吃的都是偶数块，把每天的块数都除以 $2$，问题就变成「把 $16\div2=\underline{\quad}$ 有序拆成若干个正整数之和」。
  2. 第 2 步（用挡板法）：把 $8$ 个单位排成一排，相邻单位之间有 $8-1=\underline{\quad}$ 个空隙，每个空隙可断可不断，断开处就是换一天。
  3. 第 3 步（分步乘法）：每个空隙有 $2$ 种选择，共 $2^{7}=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（写出答案）：共 $\underline{\quad}$ 种吃法。
12. 【原题 ch12-tuozhan-04】平面上有六条直线，这六条直线把平面分成了 $16$ 个区域。现在往该平面上添加第七条直线，请问：添加该直线后，平面上最多会增加多少个区域？
详细思路
是哪类问题：这是「平面分割」的增量问题：只问新添的一条直线最多能增加多少个区域。
关键切入点：关键在于「新增区域数 $=$ 新直线被切成的段数」：第七条直线与前面 $6$ 条最多交于 $6$ 个点，这 $6$ 个点把它切成 $7$ 段；每一段都落在某个原有区域内，把那个区域一分为二，所以最多新增 $7$ 个区域。注意题中「原来分成 $16$ 个区域」并不影响增量。
方法概述：新增区域数 = 新直线上的交点数 + 1（即被切成的段数）。
规范步骤：
  1. 算交点：$6\ \text{个}$（与前面 6 条直线各交 1 点）
  2. 算段数：$6+1=7\ \text{段}$（$k$ 个点把直线分成 $k+1$ 段）
  3. 每段增一个区域：$+7$（每段把一个原有区域一分为二）
  4. 写出答案：$7$
第一套
题目：平面上有十一条直线，现在往该平面上添加第十二条直线，请问：添加该直线后，平面上最多会增加多少个区域？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算交点）：第十二条直线与前面 $11$ 条直线最多各交于 $1$ 点，共 $\underline{\quad}$ 个交点。
  2. 第 2 步（算段数）：$11$ 个交点把这条直线分成 $11+1=\underline{\quad}$ 段。
  3. 第 3 步（每段增一个区域）：每一段都落在某个原有区域内，把它一分为二，故最多增加 $\underline{\quad}$ 个区域。
第二套
题目：一张大纸上已经画了 $11$ 条笔直的折线（都是直线），现在再画第 $12$ 条直线，最多能让纸面上的区域数增加多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算交点）：新直线与已有 $11$ 条直线最多交于 $\underline{\quad}$ 个点。
  2. 第 2 步（算段数）：被分成 $\underline{\quad}$ 段。
  3. 第 3 步（增量）：最多增加 $\underline{\quad}$ 个区域。
第三套
题目：平面上已经画了 $6$ 个圆，现在再添加第 $7$ 个圆，最多会增加多少个区域？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（算交点）：两个圆最多有 $2$ 个交点，故第 $7$ 个圆与前面 $6$ 个圆最多有 $6\times2=\underline{\quad}$ 个交点。
  2. 第 2 步（算段数）：圆周是**封闭**曲线，$12$ 个点把圆周分成 $\underline{\quad}$ 段弧（不像直线要 $+1$）。
  3. 第 3 步（增量）：每段弧把一个原有区域一分为二，故最多增加 $\underline{\quad}$ 个区域。
第三套
题目：平面上已经画了 $6$ 条直线和 $2$ 个圆，现在再添加第七条直线，最多会增加多少个区域？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（与直线的交点）：新直线与已有 $6$ 条直线最多各交 $1$ 点，共 $\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（与圆的交点）：一条直线与一个圆最多交于 $2$ 点，与 $2$ 个圆共 $2\times2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（算总交点与段数）：共 $6+4=\underline{\quad}$ 个交点，把新直线分成 $10+1=\underline{\quad}$ 段。
  4. 第 4 步（增量）：每段把一个原有区域一分为二，最多增加 $\underline{\quad}$ 个区域。
13. 【原题 ch12-tuozhan-05】如果在一个平面上画出 $8$ 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画 $8$ 个圆，最多可以把平面分成几个部分？
详细思路
是哪类问题：这是「平面分割」的累加问题：分别求 $n$ 条直线、$n$ 个圆最多把平面分成几部分。
关键切入点：关键是把上一题的增量结论逐个累加。直线：第 $k$ 条最多新增 $k$ 个区域，故 $1+(1+2+\cdots+n)$；圆：第 $k$ 个圆与前 $k-1$ 个圆最多交于 $2(k-1)$ 点，圆周被分成 $2(k-1)$ 段弧，故新增 $2(k-1)$ 个区域，从 $1$ 个圆的 $2$ 部分开始累加。
方法概述：逐个添加图形，把每次的增量累加起来。
规范步骤：
  1. 直线增量：$+1,+2,\cdots,+8$（第 $k$ 条被切成 $k$ 段）
  2. 直线累加：$1+(1+2+\cdots+8)=1+36=37$（等差数列求和）
  3. 圆的增量：$2,+2,+4,+6,\cdots,+14$（第 $k$ 个圆新增 $2(k-1)$）
  4. 圆累加：$2+(2+4+6+8+10+12+14)=2+56=58$（等差数列求和）
  5. 写出答案：$37\ \text{与}\ 58$
第一套
题目：如果在一个平面上画出 $12$ 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画 $12$ 个圆，最多可以把平面分成几个部分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（直线的增量）：第 $k$ 条直线与前面 $k-1$ 条最多交于 $k-1$ 点，被分成 $k$ 段，新增 $k$ 个区域。
  2. 第 2 步（直线求和）：$1+2+\cdots+12=\dfrac{12\times13}{2}=\underline{\quad}$，故共 $1+78=\underline{\quad}$ 个部分。
  3. 第 3 步（圆的增量）：第 $k$ 个圆与前面 $k-1$ 个圆最多交于 $2(k-1)$ 点，圆周被分成 $2(k-1)$ 段弧，新增 $2(k-1)$ 个区域。
  4. 第 4 步（圆求和）：新增量依次为 $2,4,6,\cdots,22$，$2+4+\cdots+22=\dfrac{(2+22)\times11}{2}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（圆的总数）：从 $1$ 个圆的 $2$ 部分起算，共 $2+132=\underline{\quad}$ 个部分。
第二套
题目：在一块很大的草坪上，用 $12$ 条笔直的绳子拉出分区，最多能把草坪分成几块？如果改用 $12$ 个圆形围栏呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（绳子的增量）：第 $k$ 条绳子最多新增 $k$ 块。
  2. 第 2 步（求和）：$1+2+\cdots+12=\underline{\quad}$，共 $\underline{\quad}$ 块。
  3. 第 3 步（围栏的增量）：第 $k$ 个圆形围栏最多新增 $2(k-1)$ 块。
  4. 第 4 步（求和）：$2+4+\cdots+22=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（总数）：共 $\underline{\quad}$ 块。
第三套
题目：如果在一个平面上画出 $10$ 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画 $10$ 个圆呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（直线求和）：$1+2+\cdots+10=\dfrac{10\times11}{2}=\underline{\quad}$，共 $1+55=\underline{\quad}$ 个部分。
  2. 第 2 步（圆的增量）：依次为 $2,4,6,\cdots,18$。
  3. 第 3 步（圆求和）：$2+4+\cdots+18=\dfrac{(2+18)\times9}{2}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（圆的总数）：$2+90=\underline{\quad}$ 个部分。
第三套
题目：在一个平面上先画 $8$ 条直线，再画 $8$ 个圆，最多可以把平面分成多少个部分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先画直线）：$8$ 条直线最多分成 $1+(1+2+\cdots+8)=1+36=\underline{\quad}$ 个部分。
  2. 第 2 步（每个圆与直线的交点）：一个圆与一条直线最多交 $2$ 点，与 $8$ 条直线共 $8\times2=\underline{\quad}$ 个点。
  3. 第 3 步（第 $k$ 个圆的增量）：再加上与前面 $k-1$ 个圆的 $2(k-1)$ 个交点，故第 $k$ 个圆新增 $16+2(k-1)$ 个区域，依次为 $16,18,20,22,24,26,28,\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（圆的增量求和）：$16+18+20+22+24+26+28+30=\dfrac{(16+30)\times8}{2}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（合计）：$37+184=\underline{\quad}$ 个部分。
14. 【原题 ch12-tuozhan-06】四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个。先由红衣人发球，并作为第 $1$ 次传球，经过 $8$ 次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
详细思路
是哪类问题：这是「传球法」类状态递推，只是人数由 $3$ 人变成 $4$ 人，状态列也变成 $4$ 列。
关键切入点：关键仍是状态转移：球传到某人手中，说明上一次球在**另外三人**手中，所以「新值 $=$ 另外三人的旧值之和 $=$ 上一行总和 $-$ 自己的旧值」。红衣人发球，起始行 $(1,0,0,0)$，推到第 $8$ 行读红那一列。
方法概述：列四列表做状态递推：新值 = 上一行总和减去自己，推到第 8 次读红色列。
规范步骤：
  1. 起始：$(\text{红},\text{黄},\text{绿},\text{蓝})=(1,0,0,0)$（红衣人持球）
  2. 第 1、2 次：$(0,1,1,1)\to(3,2,2,2)$（新值 = 另外三人旧值之和）
  3. 第 3、4 次：$(6,7,7,7)\to(21,20,20,20)$（同上）
  4. 第 5、6 次：$(60,61,61,61)\to(183,182,182,182)$（同上）
  5. 第 7、8 次：$(546,547,547,547)\to(1641,1640,1640,1640)$（同上）
  6. 读红色列：$1641$（要求球回到红衣人手中）
第一套
题目：四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个。先由红衣人发球（作为第 $1$ 次传球），经过 $10$ 次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表与规则）：记 $(\text{红},\text{黄},\text{绿},\text{蓝})$，起始 $(1,0,0,0)$；新值 $=$ 另外三人旧值之和。
  2. 第 2 步（第 1~3 次）：$(0,1,1,1)$；第 2 次红 $=1+1+1=\underline{\quad}$，得 $(3,2,2,2)$；第 3 次红 $=2+2+2=\underline{\quad}$，得 $(6,7,7,7)$。
  3. 第 3 步（第 4、5 次）：第 4 次红 $=7\times3=\underline{\quad}$，得 $(21,20,20,20)$；第 5 次红 $=20\times3=\underline{\quad}$，得 $(60,61,61,61)$。
  4. 第 4 步（第 6、7 次）：第 6 次红 $=61\times3=\underline{\quad}$；第 7 次红 $=182\times3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 8~10 次）：第 8 次红 $=547\times3=\underline{\quad}$；第 9 次红 $=1640\times3=\underline{\quad}$；第 10 次红 $=4921\times3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：四台服务器 $A,B,C,D$ 之间转发一个数据包，每台服务器都可以把它转发给另外三台中的任意一台。数据包从 $A$ 发出（作为第 $1$ 次转发），经过 $10$ 次转发后又回到 $A$。共有多少种不同的转发路径？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表与规则）：记 $(A,B,C,D)$，起始 $(1,0,0,0)$；新值 $=$ 另外三台的旧值之和。
  2. 第 2 步（第 1~3 次）：$(0,1,1,1)$；第 2 次 $A=\underline{\quad}$；第 3 次 $A=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 4、5 次）：$A$ 分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 6、7 次）：$A$ 分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 8~10 次）：$A$ 分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
第三套
题目：四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个。先由红衣人发球（作为第 $1$ 次传球），经过 $8$ 次传球后球在**黄**衣人手中，共有多少种不同的可能？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表）：起始 $(\text{红},\text{黄},\text{绿},\text{蓝})=(1,0,0,0)$，新值 $=$ 另外三人旧值之和。
  2. 第 2 步（第 1~3 次）：$(0,1,1,1)$；第 2 次黄 $=1+0+1=\underline{\quad}$，得 $(3,2,2,2)$；第 3 次黄 $=3+2+2=\underline{\quad}$，得 $(6,7,7,7)$。
  3. 第 3 步（第 4、5 次）：第 4 次黄 $=6+7+7=\underline{\quad}$，得 $(21,20,20,20)$；第 5 次黄 $=21+20+20=\underline{\quad}$，得 $(60,61,61,61)$。
  4. 第 4 步（第 6、7 次）：第 6 次黄 $=60+61+61=\underline{\quad}$；第 7 次黄 $=183+182+182=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 8 次并读黄列）：黄 $=546+547+547=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：五个人练习传球，每人都可以把球传给另外四个人中的任意一个。先由甲发球（作为第 $1$ 次传球），经过 $8$ 次传球后球仍然回到甲的手中，共有多少种不同的可能？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（改成五列）：记 $(\text{甲},\text{乙},\text{丙},\text{丁},\text{戊})$，起始 $(1,0,0,0,0)$；新值 $=$ **另外四人**旧值之和。
  2. 第 2 步（第 1~3 次）：$(0,1,1,1,1)$；第 2 次甲 $=1\times4=\underline{\quad}$，得 $(4,3,3,3,3)$；第 3 次甲 $=3\times4=\underline{\quad}$，得 $(12,13,13,13,13)$。
  3. 第 3 步（第 4、5 次）：第 4 次甲 $=13\times4=\underline{\quad}$，得 $(52,51,51,51,51)$；第 5 次甲 $=51\times4=\underline{\quad}$，得 $(204,205,205,205,205)$。
  4. 第 4 步（第 6、7 次）：第 6 次甲 $=205\times4=\underline{\quad}$，得 $(820,819,819,819,819)$；第 7 次甲 $=819\times4=\underline{\quad}$，得 $(3276,3277,3277,3277,3277)$。
  5. 第 5 步（第 8 次并读甲列）：甲 $=3277\times4=\underline{\quad}$ 种。
15. 【原题 ch12-tuozhan-07】如图 $12\text{-}2$ 所示，一个圆环被分成 $8$ 部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？
详细思路
是哪类问题：这是「环形相邻不同色」染色问题，用传球法沿环递推，最后用对称性放大。
关键切入点：关键分两步：第一步先**固定** $A$ 染红，沿 $A\to B\to \cdots \to H$ 逐格递推（每格某色的方法数 $=$ 上一格另外两色之和）；推到 $H$ 时因为 $H$ 与 $A$ 相邻，去掉红色那一项。第二步再用对称性：$A$ 染黄、染蓝与染红完全对称，所以总数是 $3$ 倍。
方法概述：先固定首格颜色做环上传球法递推，末格去掉与首格同色项，再乘颜色数 3。
规范步骤：
  1. 固定 $A$ 染红：$(1,0,0)$（先算 $A$ 为红的情形）
  2. $B\sim D$：$(0,1,1)\to(2,1,1)\to(2,3,3)$（新值 = 上一格另外两色之和）
  3. $E\sim G$：$(6,5,5)\to(10,11,11)\to(22,21,21)$（同上）
  4. $H$：$(42,43,43)$（同上）
  5. 去掉红色项：$43+43=86$（$H$ 与 $A$ 相邻不能同色）
  6. 用对称性：$86\times3=258$（$A$ 染三色对称）
第一套
题目：一个圆环被分成 $10$ 部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先固定首格）：设第 $1$ 部分染红，起始行 $(\text{红},\text{黄},\text{蓝})=(1,0,0)$；转移规则是「某格染某色的方法数 $=$ 上一格染另外两色的方法数之和」。
  2. 第 2 步（第 2~5 格）：$(0,1,1)$；第 3 格红 $=1+1=\underline{\quad}$，得 $(2,1,1)$；第 4 格黄 $=2+1=\underline{\quad}$，得 $(2,3,3)$；第 5 格红 $=3+3=\underline{\quad}$，得 $(6,5,5)$。
  3. 第 3 步（第 6~8 格）：第 6 格红 $=5+5=\underline{\quad}$，得 $(10,11,11)$；第 7 格红 $=11+11=\underline{\quad}$，得 $(22,21,21)$；第 8 格红 $=21+21=\underline{\quad}$，得 $(42,43,43)$。
  4. 第 4 步（第 9、10 格）：第 9 格红 $=43+43=\underline{\quad}$，得 $(86,85,85)$；第 10 格红 $=85+85=\underline{\quad}$，得 $(170,171,171)$。
  5. 第 5 步（首尾相邻 + 对称性）：第 $10$ 格不能染红，故首格为红时有 $171+171=\underline{\quad}$ 种；首格三色对称，总数 $=342\times3=\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：一个圆形转盘被均分成 $10$ 个扇形格，要给每格涂上红、黄、蓝三色之一，相邻两格颜色必须不同。共有多少种涂色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先固定首格为红）：起始行 $(1,0,0)$，转移规则同上。
  2. 第 2 步（第 2~5 格）：$(0,1,1)$；第 3 格红 $=\underline{\quad}$；第 4 格黄 $=\underline{\quad}$；第 5 格红 $=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 6~8 格）：红分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 9、10 格）：红分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（首尾相邻 + 对称性）：首格为红时 $\underline{\quad}$ 种，总数 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：一个圆环被分成 $8$ 部分，用红、黄、蓝三种颜色染色，相邻两部分颜色不同，且**第 $1$ 部分必须染红色**。共有多少种染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始行）：第 $1$ 部分染红，$(\text{红},\text{黄},\text{蓝})=(1,0,0)$。
  2. 第 2 步（第 2~5 格）：$(0,1,1)$；第 3 格红 $=\underline{\quad}$；第 4 格黄 $=\underline{\quad}$；第 5 格红 $=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 6~8 格）：第 6 格红 $=\underline{\quad}$；第 7 格红 $=\underline{\quad}$；第 8 格红 $=\underline{\quad}$，得 $(42,43,43)$。
  4. 第 4 步（首尾相邻）：第 $8$ 格与第 $1$ 格相邻不能染红，答案 $=43+43=\underline{\quad}$ 种（这一问不必再乘 $3$）。
第三套
题目：一个圆环被分成 $8$ 部分，现将每一部分染上红、黄、蓝、绿**四**种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列四列）：设第 $1$ 部分染红，起始行 $(\text{红},\text{黄},\text{蓝},\text{绿})=(1,0,0,0)$；某格染某色的方法数 $=$ 上一格染**另外三色**的方法数之和。
  2. 第 2 步（第 2~4 格）：$(0,1,1,1)$；第 3 格红 $=1+1+1=\underline{\quad}$，得 $(3,2,2,2)$；第 4 格红 $=2+2+2=\underline{\quad}$，得 $(6,7,7,7)$。
  3. 第 3 步（第 5、6 格）：第 5 格红 $=7\times3=\underline{\quad}$，得 $(21,20,20,20)$；第 6 格红 $=20\times3=\underline{\quad}$，得 $(60,61,61,61)$。
  4. 第 4 步（第 7、8 格）：第 7 格红 $=61\times3=\underline{\quad}$，得 $(183,182,182,182)$；第 8 格红 $=182\times3=\underline{\quad}$，得 $(546,547,547,547)$。
  5. 第 5 步（首尾相邻 + 对称性）：第 $8$ 格不能染红，首格为红时有 $547\times3=\underline{\quad}$ 种；首格有 $4$ 种对称选择，总数 $=1641\times4=\underline{\quad}$ 种。
16. 【原题 ch12-tuozhan-08】圆周上有 $10$ 个点 $A_1,A_2,\cdots,A_{10}$，以这些点为端点连结 $5$ 条线段，要求任两条线段之间都没有公共点，共有多少种连结方式？
详细思路
是哪类问题：这是「不相交弦」的卡塔兰型递推：$2n$ 个点两两连成 $n$ 条互不相交的弦。
关键切入点：关键在于盯住 $A_1$：$A_1$ 连出的那条弦必须把其余点分成**两段且每段点数都是偶数**（否则剩下的点无法两两配对）。设 $A_1$ 与它右边隔了 $2i$ 个点的那个点相连，则弦的一侧有 $2i$ 个点、另一侧有 $2(n-1-i)$ 个点，两侧各自独立地做同类问题，于是 $C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_i\,C_{n-1-i}$（约定 $C_0=1$）。
方法概述：按 $A_1$ 连向谁分类，两侧点数各为偶数、彼此独立，得卡塔兰递推后逐项累加。
规范步骤：
  1. 最小情形：$C_0=1,\ C_1=1$（0 个点 1 种（空）；2 个点只能连 1 条弦）
  2. 递推式：$C_n=C_0C_{n-1}+C_1C_{n-2}+\cdots+C_{n-1}C_0$（按 $A_1$ 所连的点分类）
  3. $4$ 个点：$C_2=1\times1+1\times1=2$（递推）
  4. $6$、$8$ 个点：$C_3=1+1+... =5,\ C_4=14$（递推）
  5. $10$ 个点：$C_5=14+5+4+5+14=42$（递推）
第一套
题目：圆周上有 $14$ 个点 $A_1,A_2,\cdots,A_{14}$，以这些点为端点连结 $7$ 条线段，要求任两条线段之间都没有公共点，共有多少种连结方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$C_0=1$（没有点，算 $1$ 种），$C_1=1$（$2$ 个点只能连 $1$ 条弦）。
  2. 第 2 步（递推式）：看 $A_1$ 连向谁——这条弦把其余点分成两段，两段点数都必须是偶数，两段互不影响，故 $C_n=C_0C_{n-1}+C_1C_{n-2}+\cdots+C_{n-1}C_0$。
  3. 第 3 步（$4$、$6$ 个点）：$C_2=1\times1+1\times1=\underline{\quad}$；$C_3=1\times2+1\times1+2\times1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（$8$、$10$ 个点）：$C_4=1\times5+1\times2+2\times1+5\times1=\underline{\quad}$；$C_5=1\times14+1\times5+2\times2+5\times1+14\times1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（$12$、$14$ 个点）：$C_6=1\times42+1\times14+2\times5+5\times2+14\times1+42\times1=\underline{\quad}$；$C_7=1\times132+1\times42+2\times14+5\times5+14\times2+42\times1+132\times1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：$14$ 位同学围坐成一圈做「两两击掌」游戏，每人恰好与另一人击掌一次（共 $7$ 对），且任意两对同学的手臂都不能交叉。共有多少种不同的配对方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：把同学看成圆周上的点，一次击掌就是一条弦，「手臂不交叉」就是「弦互不相交」。$C_0=1,\ C_1=1$。
  2. 第 2 步（递推式）：按第 $1$ 位同学与谁击掌分类，两侧人数都必须是偶数，故 $C_n=C_0C_{n-1}+\cdots+C_{n-1}C_0$。
  3. 第 3 步（$4$、$6$ 人）：$C_2=\underline{\quad}$；$C_3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（$8$、$10$ 人）：$C_4=\underline{\quad}$；$C_5=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（$12$、$14$ 人）：$C_6=\underline{\quad}$；$C_7=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $6$ 个左括号「$($」和 $6$ 个右括号「$)$」排成一排，要求从左往右数到任何位置时，右括号的个数都不超过左括号的个数（即括号能正确配对）。共有多少种排法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：把左括号看成弦的一个端点、右括号看成另一个端点，「括号正确配对」与「弦互不相交」是同一件事，仍有 $C_0=1,\ C_1=1$ 与 $C_n=C_0C_{n-1}+\cdots+C_{n-1}C_0$。
  2. 第 2 步（$2$、$3$ 对）：$C_2=\underline{\quad}$；$C_3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（$4$、$5$ 对）：$C_4=\underline{\quad}$；$C_5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（$6$ 对）：$C_6=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：圆周上有 $12$ 个点 $A_1,A_2,\cdots,A_{12}$，连结 $6$ 条互不相交（无公共点）的线段，且要求 $A_1$ 与 $A_2$ **不**相连。共有多少种连结方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求总数）：由 $C_0=C_1=1$、$C_n=C_0C_{n-1}+\cdots+C_{n-1}C_0$ 递推，$C_2=\underline{\quad}$，$C_3=\underline{\quad}$，$C_4=\underline{\quad}$，$C_5=\underline{\quad}$，$C_6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（数反面）：若 $A_1$ 与 $A_2$ 相连，这条弦把其余 $10$ 个点全留在同一侧，它们要连成 $5$ 条互不相交的弦，方法数就是 $C_5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（用补集）：所求 $=132-42=\underline{\quad}$ 种。
17. 【原题 ch12-tuozhan-09】由 $1,3,4$ 组成的各位数字之和为 $9$ 的多位数共有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「数字和固定的多位数计数」：每一位只能是 $1,3,4$，各位数字之和恰为 $9$，位数不限。
关键切入点：关键是把它看成「把 $9$ 有序拆成若干个 $1,3,4$ 之和」。按**最后一位**是 $1$、$3$ 还是 $4$ 分类，剩下的部分就是和为 $n-1$、$n-3$、$n-4$ 的同类问题，于是 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-4}$（约定 $a_0=1$，负下标记 $0$）。
方法概述：按最后一位是 1、3、4 分三类，得 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-4}$，列表递推到 9。
规范步骤：
  1. 最小情形：$a_0=1,\ a_1=1,\ a_2=1,\ a_3=2$（和为 3 时有 $1{+}1{+}1$ 与 $3$）
  2. 递推式：$a_n=a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-4}$（按最后一位分类）
  3. 列表递推：$a_4=4,\ a_5=6,\ a_6=9$（递推）
  4. 继续递推：$a_7=15,\ a_8=25,\ a_9=40$（递推）
  5. 写出答案：$a_9=40$
第一套
题目：由 $1,3,4$ 组成的各位数字之和为 $12$ 的多位数共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$a_0=1$，$a_1=1$，$a_2=1$，$a_3=\underline{\quad}$（$1{+}1{+}1$ 与 $3$）。
  2. 第 2 步（按最后一位分类）：最后一位是 $1$、$3$ 或 $4$，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-4}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=2+1+1=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 12）：$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：小胖用面值 $1$ 元、$3$ 元、$4$ 元的三种代金券去付款，恰好付清 $12$ 元。如果把交出代金券的先后顺序也算进去（顺序不同算不同付法），共有多少种付法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$a_0=1$，$a_1=1$，$a_2=1$，$a_3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（按最后一张券分类）：最后一张是 $1$ 元、$3$ 元或 $4$ 元，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-4}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 12）：$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：由 $1,2,5$ 组成的各位数字之和为 $9$ 的多位数共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$a_0=1$，$a_1=1$，$a_2=\underline{\quad}$（$1{+}1$ 与 $2$），$a_3=\underline{\quad}$（$1{+}1{+}1,\,1{+}2,\,2{+}1$）。
  2. 第 2 步（按最后一位分类）：最后一位是 $1$、$2$ 或 $5$，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-5}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=3+2=\underline{\quad}$，$a_5=5+3+1=\underline{\quad}$，$a_6=9+5+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_7=15+9+2=\underline{\quad}$，$a_8=26+15+3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 9）：$a_9=44+26+5=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：由 $1,3,4$ 组成的各位数字之和为 $12$ 的多位数中，**至少含有一个数字 $4$** 的有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求总数）：由 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-4}$（$a_0=a_1=a_2=1,\ a_3=2$）递推：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（继续推到 12）：$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（数反面：一个 $4$ 都不含）：这时只能用 $1$ 和 $3$，递推变成 $b_n=b_{n-1}+b_{n-3}$，$b_0=b_1=b_2=1$；于是 $b_3=\underline{\quad}$，$b_4=\underline{\quad}$，$b_5=\underline{\quad}$，$b_6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续推 $b$）：$b_7=\underline{\quad}$，$b_8=\underline{\quad}$，$b_9=\underline{\quad}$，$b_{10}=\underline{\quad}$，$b_{11}=\underline{\quad}$，$b_{12}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（用补集）：$169-60=\underline{\quad}$ 个。
18. 【原题 ch12-tuozhan-10】在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如 $1370$、$36712$ 等。请问：在 $1$ 至 $10000$ 中有多少个这样的多位数？
详细思路
是哪类问题：这是「按位数分类的数位计数」：统计 $1\sim10000$ 中奇数数字个数多于偶数数字个数的数。
关键切入点：关键是先按**位数**分类，再在每一类里按奇数位的个数计数。$k$ 位数中恰有 $j$ 个数位是奇数的个数为 $C_k^j\times5^k-C_{k-1}^{j}\times5^{k-1}$：前一项是把 $k$ 个位置随便填（奇位 $5$ 选 $1$、偶位也是 $0,2,4,6,8$ 共 $5$ 选 $1$），后一项减去首位为 $0$（$0$ 是偶数）的不合法情形。最后 $10000$ 只有 $1$ 个奇数位、$4$ 个偶数位，不满足。
方法概述：按位数分类，每类再按奇数位个数用「总数 - 首位为 0」计数后求和。
规范步骤：
  1. 一位数：$1,3,5,7,9$ 共 $5$ 个（奇 1 个 > 偶 0 个）
  2. 两位数：$5\times5=25$（两位都必须是奇数）
  3. 三位数：$(C_3^2\times5^3-C_2^2\times5^2)+5^3=350+125=475$（恰 2 个奇位或 3 个奇位）
  4. 四位数：$(C_4^3\times5^4-C_3^3\times5^3)+5^4=2375+625=3000$（恰 3 个奇位或 4 个奇位）
  5. 求和：$5+25+475+3000=3505$（$10000$ 不满足）
第一套
题目：在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多。请问：在 $1$ 至 $100000$ 中有多少个这样的多位数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分类标准）：按位数分类；$k$ 位数中恰有 $j$ 个奇数位的个数为 $C_k^j\times5^k-C_{k-1}^{j}\times5^{k-1}$（后一项扣掉首位为 $0$ 的）。
  2. 第 2 步（一、二位数）：一位数有 $5$ 个；两位数两位都是奇数，$5\times5=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（三位数）：恰 $2$ 个奇位 $C_3^2\times125-C_2^2\times25=3\times125-25=\underline{\quad}$，全奇 $125$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（四位数）：恰 $3$ 个奇位 $C_4^3\times625-C_3^3\times125=4\times625-125=\underline{\quad}$，全奇 $625$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（五位数）：恰 $3$ 个奇位 $C_5^3\times3125-C_4^3\times625=10\times3125-4\times625=\underline{\quad}$；恰 $4$ 个 $C_5^4\times3125-C_4^4\times625=5\times3125-625=\underline{\quad}$；全奇 $3125$。合计 $28750+15000+3125=\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（求和）：$100000$ 本身有 $1$ 个奇位、$5$ 个偶位，不满足，故共 $5+25+475+3000+46875=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：某系统给用户分配编号，编号从 $1$ 到 $100000$。若一个编号里奇数数字的个数比偶数数字的个数多，就称它为「幸运号」。共有多少个幸运号？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分类标准）：按位数分类，$k$ 位数中恰有 $j$ 个奇数位的个数为 $C_k^j\times5^k-C_{k-1}^{j}\times5^{k-1}$。
  2. 第 2 步（一、二位）：$5$ 个；$\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（三位）：$\underline{\quad}$ 与 $125$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（四位）：$\underline{\quad}$ 与 $625$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（五位）：$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$ 与 $3125$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（求和）：共 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：在有些多位数的各位数字中，偶数的个数比奇数的个数多，例如 $2408$、$1200$ 等。请问：在 $1$ 至 $10000$ 中有多少个这样的多位数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（换成数偶数位）：$k$ 位数中恰有 $j$ 个**奇数**位的个数仍是 $C_k^j\times5^k-C_{k-1}^{j}\times5^{k-1}$，现在要的是 $j$ 小的那些类。
  2. 第 2 步（一位数）：需 $j=0$，即数字是偶数且非零，共 $C_1^0\times5-C_0^0\times1=5-1=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（两位数）：需 $j=0$，$C_2^0\times25-C_1^0\times5=25-5=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（三位数）：$j=0$ 时 $125-25=\underline{\quad}$；$j=1$ 时 $3\times125-2\times25=\underline{\quad}$；共 $\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（四位数）：$j=0$ 时 $625-125=\underline{\quad}$；$j=1$ 时 $4\times625-3\times125=\underline{\quad}$；共 $\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（别忘了 $10000$）：它有 $1$ 个奇位、$4$ 个偶位，符合条件，要加上 $1$。合计 $4+20+425+2625+1=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：在 $1$ 至 $10000$ 中，既满足「各位数字里奇数的个数比偶数的个数多」，又本身是**偶数**的数共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（多一个限制）：数本身是偶数 $\Rightarrow$ 末位必是偶数数字，于是末位这一位一定算进「偶数位」里。
  2. 第 2 步（一、两位数）：一位数末位为偶，奇位 $0$ 个不多于偶位 $1$ 个，有 $0$ 个；两位数末位为偶，奇位最多 $1$ 个、偶位至少 $1$ 个，也有 $\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（三位数）：末位偶，要奇位多就必须前两位**都是奇数**，故有 $5\times5\times5=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（四位数）：末位偶，要奇位多（至少 $3$ 个）就必须前三位都是奇数，故有 $5\times5\times5\times5=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（$10000$）：它是偶数，但只有 $1$ 个奇位、$4$ 个偶位，不满足。
  6. 第 6 步（求和）：$0+0+125+625=\underline{\quad}$ 个。
19. 【原题 ch12-tuozhan-11】有些自然数存在相邻的两位数字顺次为 $7$ 和 $5$，例如 $1975$、$75\,675$ 等，但 $432\,579$ 不算在内。请问：具有这种性质的六位数有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「数字串子串计数」：统计六位数中存在相邻两位顺次为 $7,5$ 的个数。
关键切入点：关键是按 $75$ **首次**出现的位置分类，这样各类互不重复。若 $75$ 首次出现在第 $k,k+1$ 位，则前 $k-1$ 位必须是**不含 $75$** 的 $(k-1)$ 位数（首位非零），后面的位随便填。于是要先算出「$k$ 位数中不含 $75$ 的个数」：$N_1=9,\ N_2=90-1=89,\ N_3=900-19=881,\ N_4=9000-279=8721$。
方法概述：按 75 首次出现的位置分类，前缀用「不含 75 的位数计数」，后缀自由填，再求和。
规范步骤：
  1. $75$ 在第 1、2 位：$10^4=10000$（后四位任填）
  2. $75$ 在第 2、3 位：$9\times10^3=9000$（首位 $1\sim9$，后三位任填）
  3. $75$ 在第 3、4 位：$89\times10^2=8900$（前两位不含 $75$ 共 $89$ 种）
  4. $75$ 在第 4、5 位：$881\times10=8810$（前三位不含 $75$ 共 $900-19=881$ 种）
  5. $75$ 在第 5、6 位：$8721$（前四位不含 $75$ 共 $9000-279=8721$ 种）
  6. 求和：$10000+9000+8900+8810+8721=45431$（各类互不重复）
第一套
题目：有些自然数存在相邻的两位数字顺次为 $7$ 和 $5$，例如 $1975000$、$7567890$ 等。请问：具有这种性质的**七位数**有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分类标准）：按 $75$ **首次**出现的位置分类，这样各类不重复；前面的位必须不含 $75$，后面的位任填。
  2. 第 2 步（先备好「不含 75」的个数）：$N_1=9$；$N_2=90-1=\underline{\quad}$；$N_3=900-(10+9)=\underline{\quad}$；$N_4=9000-(100+90+90-1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（再算 $N_5$）：五位数中**含** $75$ 的个数按同样分类为 $1000+9\times100+89\times10+881=\underline{\quad}$，故 $N_5=90000-3671=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（逐位置计数）：$75$ 在第 $1,2$ 位有 $10^5=\underline{\quad}$ 个；在第 $2,3$ 位有 $9\times10^4=\underline{\quad}$ 个；在第 $3,4$ 位有 $89\times10^3=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（继续）：在第 $4,5$ 位有 $881\times100=\underline{\quad}$ 个；在第 $5,6$ 位有 $8721\times10=\underline{\quad}$ 个；在第 $6,7$ 位有 $\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（求和）：$100000+90000+89000+88100+87210+86329=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：某地车牌的号码部分是一个七位数（首位不为 $0$）。交管部门想统计「号码中存在相邻两位顺次为 $7$ 和 $5$」的车牌有多少个。请你算一算。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分类标准）：按 $75$ 首次出现的位置分类，前缀不含 $75$、后缀任填。
  2. 第 2 步（不含 75 的前缀个数）：$N_1=9$；$N_2=\underline{\quad}$；$N_3=\underline{\quad}$；$N_4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（$N_5$）：五位数中含 $75$ 的有 $\underline{\quad}$ 个，故 $N_5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（逐位置计数）：依次为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求和）：共 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：有些六位数存在相邻的两位数字顺次为 $0$ 和 $5$，例如 $105\,678$、$230\,512$ 等。请问：这样的六位数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（注意首位）：因为首位不能是 $0$，所以 $05$ **不可能**出现在第 $1,2$ 位，这一类是 $\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（备好「不含 05」的前缀个数）：$M_1=9$；两位数首位非零，一定不含 $05$，$M_2=\underline{\quad}$；三位数中含 $05$ 的只有 $\square05$ 共 $9$ 个，$M_3=900-9=\underline{\quad}$；四位数中含 $05$ 的有 $\square05\square$ 与 $\square\square05$ 各 $90$ 个，$M_4=9000-180=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（逐位置计数）：$05$ 在第 $2,3$ 位有 $9\times10^3=\underline{\quad}$ 个；在第 $3,4$ 位有 $90\times100=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（继续）：在第 $4,5$ 位有 $891\times10=\underline{\quad}$ 个；在第 $5,6$ 位有 $\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（求和）：$0+9000+9000+8910+8820=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：在存在相邻两位数字顺次为 $7$ 和 $5$ 的六位数中，是 $5$ 的倍数的有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（新限制）：是 $5$ 的倍数 $\Leftrightarrow$ 末位是 $0$ 或 $5$，即末位只有 $\underline{\quad}$ 种选择。仍按 $75$ 首次出现的位置分类。
  2. 第 2 步（$75$ 在第 $1,2$ 位）：第 $3,4,5$ 位任填、末位 $2$ 选 $1$，共 $10\times10\times10\times2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（$75$ 在第 $2,3$ 位、第 $3,4$ 位）：分别为 $9\times10\times10\times2=\underline{\quad}$ 个、$89\times10\times2=\underline{\quad}$ 个（前缀不含 $75$ 的个数分别是 $9$、$89$）。
  4. 第 4 步（$75$ 在第 $4,5$ 位）：前三位不含 $75$ 共 $881$ 种，末位 $2$ 选 $1$，共 $881\times2=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（$75$ 在第 $5,6$ 位）：此时末位本身就是 $5$，自动满足整除条件，前四位不含 $75$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
  6. 第 6 步（求和）：$2000+1800+1780+1762+8721=\underline{\quad}$ 个。
20. 【原题 ch12-tuozhan-12】用 $1$ 至 $9$ 这 $9$ 个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字。请问：这样的九位数共有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「逐位递推 + $2$ 的幂」类计数：$1\sim9$ 组成无重复数字的九位数，每一位要么大于前面所有数字、要么小于前面所有数字。
关键切入点：关键在于**倒着看**：把已排好的前 $k$ 位看成一个整体，它们一定是某一段连续的数？其实更简单的是**正着数选择**：从第 $2$ 位起，每一位只有「取当前还没用的数中最大的」或「取最小的」两种选择——因为它必须比前面所有数都大或都小。第 $1$ 位一旦定下，后面每位 $2$ 种选择；但最后一位没有选择余地。等价地：位数每增加 $1$，方法数乘 $2$，从 $1$ 位的 $1$ 种开始。
方法概述：发现每加一位只有「当前最大」或「当前最小」两种选择，方法数按 2 的幂增长。
规范步骤：
  1. 小情形：$1$ 位 $1$ 个；$2$ 位 $2$ 个；$3$ 位 $4$ 个（列举）
  2. 找规律：$a_n=2a_{n-1}$（每加一位有两种选择）
  3. 列表：$1,2,4,8,16,32,64,128,256$（位数 $1\sim9$）
  4. 写出答案：$a_9=2^8=256$
第一套
题目：把 $1$ 至 $10$ 这 $10$ 个数排成一行，要求每一个数要么大于它前面的所有数，要么小于它前面的所有数。这样的排法共有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小情形）：$1$ 个数有 $1$ 种；$2$ 个数有 $2$ 种；$3$ 个数有 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（找规律）：每多排一个数，这个数只能取「剩下的数中最大的」或「最小的」，共 $2$ 种选择，故 $a_n=2a_{n-1}$。
  3. 第 3 步（列表）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：$10$ 名同学身高互不相同，要排成一行拍照，要求每一名同学（从第 $2$ 名起）要么比他前面所有人都高，要么比他前面所有人都矮。共有多少种排法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小情形）：$1$ 人 $1$ 种；$2$ 人 $2$ 种；$3$ 人 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（找规律）：每加一人，他只能是「剩下人中最高的」或「最矮的」，$2$ 种选择，故 $a_n=2a_{n-1}$。
  3. 第 3 步（列表）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 $1$ 至 $10$ 这 $10$ 个数排成一行，要求每一个数要么大于它前面的所有数、要么小于它前面的所有数，且**最后一个数是 $1$**。这样的排法共有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（想清结构）：最后一个数是 $1$，说明它小于前面所有数，这是允许的；而前面 $9$ 个数正好是 $2\sim10$，它们自己也要满足同样的条件。
  2. 第 2 步（化为子问题）：$2\sim10$ 这 $9$ 个数的相对大小关系与 $1\sim9$ 完全一样，所以就是求 $9$ 个数的排法数。
  3. 第 3 步（用规律）：$a_n=2a_{n-1}$，$a_1=1$，故 $a_9=2^{8}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（写出答案）：共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：把 $1$ 至 $10$ 这 $10$ 个数排成一行，要求每一个数要么大于它前面的所有数、要么小于它前面的所有数。在所有这样的排法中，$1$ 排在 $10$ **前面**的有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求总数）：$a_n=2a_{n-1}$，$a_1=1$，故 $a_{10}=2^{9}=\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（找对称）：把每个数 $x$ 换成 $11-x$，「大于前面所有数」与「小于前面所有数」互换，所以合法排法仍然合法，这是一个一一对应。
  3. 第 3 步（对应关系）：在这个对应下，$1$ 与 $10$ 互换位置，于是「$1$ 在 $10$ 前面」的排法与「$10$ 在 $1$ 前面」的排法**一一配对**，个数相等。
  4. 第 4 步（对半分）：两类合起来正好是全部，故所求 $=512\div2=\underline{\quad}$ 种。
21. 【原题 ch12-tuozhan-13】一个七位数，每一位都是 $1$、$2$ 或者 $3$，并且没有连续的两个 $1$，这样的七位数一共有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「相邻位受限的数字串」计数，用传球法逐位递推：每位可填 $1,2,3$，但 $1$ 后面不能再跟 $1$。
关键切入点：关键是列三列表（末位为 $1$、$2$、$3$），第 $k$ 行表示前 $k$ 位排好且末位取该值的方法数。转移规则：末位为 $1$ 的新值 $=$ 上一行末位为 $2$、$3$ 的旧值之和（不能接在 $1$ 后面）；末位为 $2$、$3$ 的新值 $=$ 上一行三个数之和。
方法概述：列三列表按位递推，1 列只接收 2、3 两列，最后把第 7 行三数相加。
规范步骤：
  1. 第 1 位：$(1,1,1)$（首位可取 1、2、3）
  2. 第 2、3 位：$(2,3,3)\to(6,8,8)$（1 列 = 上行 2、3 列之和；2、3 列 = 上行总和）
  3. 第 4、5 位：$(16,22,22)\to(44,60,60)$（同上）
  4. 第 6、7 位：$(120,164,164)\to(328,448,448)$（同上）
  5. 求和：$328+448+448=1224$（第 7 行三数相加）
第一套
题目：一个九位数，每一位都是 $1$、$2$ 或者 $3$，并且没有连续的两个 $1$，这样的九位数一共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表与规则）：列三列（末位为 $1,2,3$），第 $1$ 行 $(1,1,1)$；末位为 $1$ 的新值 $=$ 上一行 $2,3$ 两列之和，末位为 $2$ 或 $3$ 的新值 $=$ 上一行三数之和。
  2. 第 2 步（第 2、3 行）：第 2 行 $1$ 列 $=1+1=\underline{\quad}$，$2$ 列 $=1+1+1=\underline{\quad}$，得 $(2,3,3)$；第 3 行 $1$ 列 $=3+3=\underline{\quad}$，$2$ 列 $=2+3+3=\underline{\quad}$，得 $(6,8,8)$。
  3. 第 3 步（第 4、5 行）：第 4 行 $(16,22,22)$，其中 $1$ 列 $=8+8=\underline{\quad}$，$2$ 列 $=6+8+8=\underline{\quad}$；第 5 行 $1$ 列 $=22+22=\underline{\quad}$，$2$ 列 $=16+22+22=\underline{\quad}$，得 $(44,60,60)$。
  4. 第 4 步（第 6、7 行）：第 6 行 $1$ 列 $=60+60=\underline{\quad}$，$2$ 列 $=44+60+60=\underline{\quad}$，得 $(120,164,164)$；第 7 行 $1$ 列 $=164+164=\underline{\quad}$，$2$ 列 $=120+164+164=\underline{\quad}$，得 $(328,448,448)$。
  5. 第 5 步（第 8、9 行）：第 8 行 $1$ 列 $=448+448=\underline{\quad}$，$2$ 列 $=328+448+448=\underline{\quad}$，得 $(896,1224,1224)$；第 9 行 $1$ 列 $=1224+1224=\underline{\quad}$，$2$ 列 $=896+1224+1224=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求和）：$2448+3344+3344=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：一条流水线要连续工作 $9$ 天，每天安排 $1$ 号、$2$ 号或 $3$ 号机组值班，但 $1$ 号机组不能连续两天值班。共有多少种排班表？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表与规则）：列三列（当天为 $1,2,3$ 号），第 $1$ 天 $(1,1,1)$；$1$ 号列的新值 $=$ 上一天 $2,3$ 两列之和，其余列 $=$ 上一天三数之和。
  2. 第 2 步（第 2、3 天）：$1$ 号列 $=\underline{\quad}$，$2$ 号列 $=\underline{\quad}$；再 $1$ 号列 $=\underline{\quad}$，$2$ 号列 $=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 4、5 天）：$1$ 号列 $=\underline{\quad}$、$2$ 号列 $=\underline{\quad}$；$1$ 号列 $=\underline{\quad}$、$2$ 号列 $=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 6、7 天）：$1$ 号列 $=\underline{\quad}$、$2$ 号列 $=\underline{\quad}$；$1$ 号列 $=\underline{\quad}$、$2$ 号列 $=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 8、9 天）：$1$ 号列 $=\underline{\quad}$、$2$ 号列 $=\underline{\quad}$；$1$ 号列 $=\underline{\quad}$、$2$ 号列 $=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求和）：$\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：一个七位数，每一位都是 $1$、$2$ 或者 $3$，并且**相邻两位不能相同**，这样的七位数一共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（限制变对称）：现在每一位都不能与前一位相同，三列的转移规则完全一样：某列新值 $=$ 上一行另外两列之和。
  2. 第 2 步（直接看选择数）：首位有 $3$ 种选择，此后每一位都只能在与前一位不同的 $\underline{\quad}$ 种数字中选。
  3. 第 3 步（分步乘法）：共 $3\times2^{6}=3\times\underline{\quad}=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（写出答案）：共 $\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：一个九位数，每一位都是 $1$、$2$ 或者 $3$，并且既没有连续的两个 $1$，也没有连续的两个 $2$。这样的九位数一共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转移规则变复杂）：$1$ 列新值 $=$ 上一行 $2,3$ 两列之和；$2$ 列新值 $=$ 上一行 $1,3$ 两列之和；$3$ 列新值 $=$ 上一行三数之和。第 $1$ 行 $(1,1,1)$。
  2. 第 2 步（第 2、3 行）：第 2 行 $1$ 列 $=1+1=\underline{\quad}$，$3$ 列 $=1+1+1=\underline{\quad}$，得 $(2,2,3)$；第 3 行 $1$ 列 $=2+3=\underline{\quad}$，$3$ 列 $=2+2+3=\underline{\quad}$，得 $(5,5,7)$。
  3. 第 3 步（第 4、5 行）：第 4 行 $1$ 列 $=5+7=\underline{\quad}$，$3$ 列 $=5+5+7=\underline{\quad}$，得 $(12,12,17)$；第 5 行 $1$ 列 $=12+17=\underline{\quad}$，$3$ 列 $=12+12+17=\underline{\quad}$，得 $(29,29,41)$。
  4. 第 4 步（第 6、7 行）：第 6 行 $1$ 列 $=29+41=\underline{\quad}$，$3$ 列 $=29+29+41=\underline{\quad}$，得 $(70,70,99)$；第 7 行 $1$ 列 $=70+99=\underline{\quad}$，$3$ 列 $=70+70+99=\underline{\quad}$，得 $(169,169,239)$。
  5. 第 5 步（第 8、9 行）：第 8 行 $1$ 列 $=169+239=\underline{\quad}$，$3$ 列 $=169+169+239=\underline{\quad}$，得 $(408,408,577)$；第 9 行 $1$ 列 $=408+577=\underline{\quad}$，$3$ 列 $=408+408+577=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求和）：$985+985+1393=\underline{\quad}$ 个。
22. 【原题 ch12-tuozhan-14】满足下面性质的四位数称为"好数"：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过 $3$。例如 $1346$、$2579$ 是好数，但 $1567$ 就不是好数。请问：一共有多少个好数？
详细思路
是哪类问题：这是「严格递增 + 相邻差受限」的四位数计数，用列表按位递推。
关键切入点：关键是列一张 $9$ 列的表（该位数字取 $1\sim9$），第 $k$ 行表示前 $k$ 位已填好且第 $k$ 位取该值的方法数。转移规则：第 $k+1$ 位取 $d$ 时，第 $k$ 位只能取 $d-1,d-2,d-3$（既保证递增，又保证差不超过 $3$），所以新值 $=$ 上一行这三格之和。
方法概述：列表按位递推，每格 = 上一行前面相邻三格之和，最后把第 4 行各格相加。
规范步骤：
  1. 千位：$(1,1,1,1,1,1,1,1,1)$（千位取 $1\sim9$ 各 1 种）
  2. 百位：$(0,1,2,3,3,3,3,3,3)$（取 $d$ 时上一位只能取 $d-1,d-2,d-3$）
  3. 十位：$(0,0,1,3,6,8,9,9,9)$（同上）
  4. 个位：$(0,0,0,1,4,10,17,23,26)$（同上）
  5. 求和：$1+4+10+17+23+26=81$（把第 4 行各格相加）
第一套
题目：满足下面性质的**五位数**称为「好数」：从左到右每一位都比它前一位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过 $3$。例如 $13\,469$ 是好数。请问：一共有多少个五位好数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表与规则）：列 $9$ 列（该位取 $1\sim9$）。第 $1$ 行（万位）为 $(1,1,1,1,1,1,1,1,1)$；下一位取 $d$ 时，上一位只能取 $d-1,d-2,d-3$，故新值 $=$ 上一行这三格之和。
  2. 第 2 步（第 2 行）：取 $2$ 时为 $\underline{\quad}$，取 $3$ 时为 $1+1=\underline{\quad}$，取 $4$ 及以上时都是 $1+1+1=\underline{\quad}$，得 $(0,1,2,3,3,3,3,3,3)$。
  3. 第 3 步（第 3 行）：取 $3$ 时 $=1$，取 $4$ 时 $=1+2=\underline{\quad}$，取 $5$ 时 $=1+2+3=\underline{\quad}$，取 $6$ 时 $=2+3+3=\underline{\quad}$，取 $7,8,9$ 时都是 $3+3+3=\underline{\quad}$，得 $(0,0,1,3,6,8,9,9,9)$。
  4. 第 4 步（第 4 行）：取 $4$ 时 $=1$，取 $5$ 时 $=1+3=\underline{\quad}$，取 $6$ 时 $=1+3+6=\underline{\quad}$，取 $7$ 时 $=3+6+8=\underline{\quad}$，取 $8$ 时 $=6+8+9=\underline{\quad}$，取 $9$ 时 $=8+9+9=\underline{\quad}$，得 $(0,0,0,1,4,10,17,23,26)$。
  5. 第 5 步（第 5 行）：取 $5$ 时 $=1$，取 $6$ 时 $=1+4=\underline{\quad}$，取 $7$ 时 $=1+4+10=\underline{\quad}$，取 $8$ 时 $=4+10+17=\underline{\quad}$，取 $9$ 时 $=10+17+23=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求和）：$1+5+15+31+50=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：一栋楼有 $1\sim9$ 层。电梯要依次停 $5$ 次，每次都比上一次停的楼层高，且相邻两次停靠的层数之差不超过 $3$ 层。共有多少种不同的停靠方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表与规则）：把每次停的楼层看成一位数字，问题变成「五位好数」。第 $1$ 行 $(1,1,1,1,1,1,1,1,1)$；新值 $=$ 上一行 $d-1,d-2,d-3$ 三格之和。
  2. 第 2 步（第 2 行）：取 $2$ 时 $\underline{\quad}$，取 $3$ 时 $\underline{\quad}$，取 $4$ 及以上时 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 3 行）：取 $4,5,6,7$ 时分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 4 行）：取 $5,6,7,8,9$ 时分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 5 行）：取 $6,7,8,9$ 时分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（求和）：共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：满足下面性质的四位数称为「降数」：它的个位比十位小，十位比百位小，百位比千位小，并且任意相邻两位数字的差都不超过 $3$。例如 $8641$、$9752$ 是降数。请问：一共有多少个降数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表与规则）：现在是严格递减，下一位取 $d$ 时上一位只能取 $d+1,d+2,d+3$（且不超过 $9$）。第 $1$ 行（千位，取 $1\sim9$）为 $(1,1,1,1,1,1,1,1,1)$。注意后面几位允许取 $0$。
  2. 第 2 步（第 2 行，取值 $0\sim9$）：取 $0\sim6$ 时都是 $1+1+1=\underline{\quad}$；取 $7$ 时 $=1+1=\underline{\quad}$；取 $8$ 时 $=\underline{\quad}$；取 $9$ 时 $=0$。得 $(3,3,3,3,3,3,3,2,1,0)$。
  3. 第 3 步（第 3 行）：取 $0\sim3$ 时都是 $3+3+3=\underline{\quad}$；取 $4$ 时 $=3+3+2=\underline{\quad}$；取 $5$ 时 $=3+2+1=\underline{\quad}$；取 $6$ 时 $=2+1+0=\underline{\quad}$；取 $7$ 时 $=1+0=\underline{\quad}$。得 $(9,9,9,9,8,6,3,1,0,0)$。
  4. 第 4 步（第 4 行）：取 $0$ 时 $=9+9+9=\underline{\quad}$；取 $1$ 时 $=9+9+8=\underline{\quad}$；取 $2$ 时 $=9+8+6=\underline{\quad}$；取 $3$ 时 $=8+6+3=\underline{\quad}$；取 $4$ 时 $=6+3+1=\underline{\quad}$；取 $5$ 时 $=3+1+0=\underline{\quad}$；取 $6$ 时 $=1$。
  5. 第 5 步（求和）：$27+26+23+17+10+4+1=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：满足下面性质的四位数称为「宽好数」：个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过 $4$。请问：一共有多少个宽好数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转移变宽）：下一位取 $d$ 时，上一位可取 $d-1,d-2,d-3,d-4$，每格最多有 $4$ 个来源。第 $1$ 行 $(1,1,1,1,1,1,1,1,1)$。
  2. 第 2 步（第 2 行）：取 $2$ 时 $=1$；取 $3$ 时 $=1+1=\underline{\quad}$；取 $4$ 时 $=1+1+1=\underline{\quad}$；取 $5$ 及以上时 $=1+1+1+1=\underline{\quad}$。得 $(0,1,2,3,4,4,4,4,4)$。
  3. 第 3 步（第 3 行）：取 $3$ 时 $=1$；取 $4$ 时 $=1+2=\underline{\quad}$；取 $5$ 时 $=1+2+3=\underline{\quad}$；取 $6$ 时 $=1+2+3+4=\underline{\quad}$；取 $7$ 时 $=2+3+4+4=\underline{\quad}$；取 $8$ 时 $=3+4+4+4=\underline{\quad}$；取 $9$ 时 $=4+4+4+4=\underline{\quad}$。得 $(0,0,1,3,6,10,13,15,16)$。
  4. 第 4 步（第 4 行）：取 $4$ 时 $=1$；取 $5$ 时 $=1+3=\underline{\quad}$；取 $6$ 时 $=1+3+6=\underline{\quad}$；取 $7$ 时 $=1+3+6+10=\underline{\quad}$；取 $8$ 时 $=3+6+10+13=\underline{\quad}$；取 $9$ 时 $=6+10+13+15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求和）：$1+4+10+20+32+44=\underline{\quad}$ 个。
23. 【原题 ch12-xingqu-01】一个楼梯共有 $10$ 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶。走完这 $10$ 级台阶，一共可以有多少种不同的走法？
详细思路
是哪类问题：这是「递推计数」类问题：走完 $n$ 级台阶的走法数，可以由更少台阶的走法数推出来，属于典型的斐波那契型递推。
关键切入点：关键在于看**最后一步**：最后一步要么迈 $1$ 级（此前已走完 $n-1$ 级），要么迈 $2$ 级（此前已走完 $n-2$ 级）。这两类互不重复、又不遗漏，所以 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。有了递推式，只要从最小情形出发列表往上推即可，不必逐条枚举。
方法概述：按最后一步迈 1 级还是 2 级分类，得到 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，列表递推到第 10 级。
规范步骤：
  1. 先算最小情形：$a_1=1,\ a_2=2$（1 级只有 1 种；2 级有 1+1 与 2 两种）
  2. 按最后一步分类得递推式：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$（最后一步迈 1 级或 2 级，两类不重不漏）
  3. 列表逐级递推：$a_3=1+2=3,\ a_4=2+3=5,\ a_5=3+5=8,\ a_6=5+8=13$（递推）
  4. 继续递推：$a_7=8+13=21,\ a_8=13+21=34,\ a_9=21+34=55,\ a_{10}=34+55=89$（递推）
  5. 写出答案：$a_{10}=89$
第一套
题目：一个楼梯共有 $12$ 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶。走完这 $12$ 级台阶，一共有多少种不同的走法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找最小情形）：$1$ 级只有 $1$ 种走法，$2$ 级有「$1+1$」和「$2$」共 $2$ 种走法，即 $a_1=1,\ a_2=2$。
  2. 第 2 步（看最后一步）：最后一步或迈 $1$ 级（前面走完 $n-1$ 级），或迈 $2$ 级（前面走完 $n-2$ 级），两类不重不漏，所以 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=1+2=\underline{\quad}$，$a_4=2+3=\underline{\quad}$，$a_5=3+5=\underline{\quad}$，$a_6=5+8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续递推）：$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到第 12 级）：$a_{11}=55+89=\underline{\quad}$，$a_{12}=89+144=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一只青蛙要跳过一条小溪，溪中排着 $12$ 块石头（终点是第 $12$ 块）。青蛙每次可以向前跳 $1$ 块或 $2$ 块石头。它跳到第 $12$ 块石头上，一共有多少种不同的跳法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：跳到第 $1$ 块有 $1$ 种，跳到第 $2$ 块有 $2$ 种，即 $a_1=1,\ a_2=2$。
  2. 第 2 步（看最后一跳）：最后一跳或从第 $n-1$ 块跳来，或从第 $n-2$ 块跳来，所以 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=\underline{\quad}$，$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（推到第 12 块）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：盘子里有 $12$ 块糖，墨莫每天吃 $1$ 块或 $2$ 块，直到吃完。共有多少种不同的吃法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：把「每天吃 $1$ 块或 $2$ 块」看成「每步迈 $1$ 级或 $2$ 级」，$12$ 块糖就相当于 $12$ 级台阶。
  2. 第 2 步（最小情形与递推）：$a_1=1,\ a_2=2$，按**最后一天**吃 $1$ 块还是 $2$ 块分类得 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=\underline{\quad}$，$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（推到 12）：$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个楼梯共有 $13$ 级台阶，规定每步可以迈一级、二级或三级台阶。走完这 $13$ 级台阶，一共有多少种不同的走法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$；$a_2=2$（$1+1$、$2$）；$a_3=\underline{\quad}$（$1+1+1,\ 1+2,\ 2+1,\ 3$ 共四种）。
  2. 第 2 步（看最后一步）：最后一步可迈 $1$、$2$ 或 $3$ 级，于是变成**三阶**递推 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=1+2+4=\underline{\quad}$，$a_5=2+4+7=\underline{\quad}$，$a_6=4+7+13=\underline{\quad}$，$a_7=7+13+24=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 13）：$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch12-xingqu-02】卡莉娅买了 $10$ 块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃 $3$ 块，直到吃完，共有多少种吃法？
详细思路
是哪类问题：这是「三阶递推计数」类问题：把 $10$ 块巧克力按天分成若干份，每份是 $1$、$2$ 或 $3$，求分法数。
关键切入点：关键仍是看**最后一天**吃了几块：吃 $1$ 块则前面吃完 $n-1$ 块，吃 $2$ 块则前面吃完 $n-2$ 块，吃 $3$ 块则前面吃完 $n-3$ 块。三类不重不漏，于是 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$，比斐波那契多一项。
方法概述：按最后一天吃 1、2、3 块分三类，得三阶递推后列表累加。
规范步骤：
  1. 枚举最小情形：$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=4$（1 块 1 种；2 块 2 种；3 块 4 种）
  2. 按最后一天分类：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$（最后一天吃 1、2 或 3 块）
  3. 列表递推：$a_4=7,\ a_5=13,\ a_6=24,\ a_7=44$（递推）
  4. 继续递推：$a_8=81,\ a_9=149,\ a_{10}=274$（递推）
  5. 写出答案：$a_{10}=274$
第一套
题目：卡莉娅买了 $13$ 块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃 $3$ 块，直到吃完，共有多少种吃法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=\underline{\quad}$（$1{+}1{+}1,\,1{+}2,\,2{+}1,\,3$）。
  2. 第 2 步（按最后一天分类）：最后一天吃 $1$、$2$ 或 $3$ 块，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=1+2+4=\underline{\quad}$，$a_5=2+4+7=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 13）：$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：图书馆有 $13$ 本新书要上架，管理员每天最少上 $1$ 本、最多上 $3$ 本，直到全部上完。共有多少种不同的上架安排？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$1$ 本有 $1$ 种，$2$ 本有 $2$ 种，$3$ 本有 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（按最后一天分类）：最后一天上 $1$、$2$ 或 $3$ 本，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（推到 13）：$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个楼梯共有 $13$ 级台阶，每步可以迈 $1$ 级、$2$ 级或 $3$ 级台阶。走完这 $13$ 级台阶共有多少种不同的走法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：每天吃 $1{\sim}3$ 块 $\Leftrightarrow$ 每步迈 $1{\sim}3$ 级，结构完全相同。
  2. 第 2 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（三阶递推）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$，于是 $a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（推到 13）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：卡莉娅买了 $13$ 块巧克力，她每天最少吃 $1$ 块、最多吃 $4$ 块，直到吃完，共有多少种吃法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，$a_4=\underline{\quad}$（每块之间的空隙断或不断，共 $2^3$ 种）。
  2. 第 2 步（按最后一天分类）：最后一天可吃 $1,2,3,4$ 块，于是升级为**四阶**递推 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-4}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_5=1+2+4+8=\underline{\quad}$，$a_6=2+4+8+15=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（推到 13）：$a_{12}=\underline{\quad}$，$a_{13}=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch12-xingqu-03】用 $1\times 2$ 的小方格覆盖 $7\times 2$ 的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？
详细思路
是哪类问题：这是「覆盖（铺砖）问题」类递推：用 $1\times2$ 骨牌铺满 $n\times2$ 的长方形，求铺法数。
关键切入点：关键是盯住**最右边一列**：要么竖放一块骨牌盖住这一列（剩 $(n-1)\times2$），要么在最右两列上下各横放一块（剩 $(n-2)\times2$）。这两种情形不重不漏，于是 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，正是斐波那契。
方法概述：按最右一列竖放还是横放两块分类，得 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，列表递推到 $n=7$。
规范步骤：
  1. 最小情形：$a_1=1,\ a_2=2$（$1\times2$ 只能竖放；$2\times2$ 有两竖或两横）
  2. 按最右一列分类：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$（竖放一块或横放两块）
  3. 列表递推：$a_3=3,\ a_4=5,\ a_5=8,\ a_6=13,\ a_7=21$（递推）
  4. 写出答案：$a_7=21$
第一套
题目：用 $1\times 2$ 的小方格覆盖 $11\times 2$ 的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：$1\times2$ 只有 $1$ 种铺法，$2\times2$ 有「两块都竖放」「两块都横放」共 $2$ 种，即 $a_1=1,\ a_2=2$。
  2. 第 2 步（看最右一列）：或竖放一块盖住最右列（剩 $(n-1)\times2$），或在最右两列上下各横放一块（剩 $(n-2)\times2$），故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=1+2=\underline{\quad}$，$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（推到 11）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一条走廊宽 $2$ 块砖、长 $11$ 块砖，用 $1\times 2$ 的长条地砖铺满（地砖可横放也可竖放），共有多少种不同的铺法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（最小情形）：长 $1$ 时 $a_1=1$，长 $2$ 时 $a_2=2$。
  2. 第 2 步（看最右一列）：竖放一块或横放两块，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=\underline{\quad}$，$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（推到 11）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一条长 $10$ 米的小路，要用长 $1$ 米和长 $2$ 米两种石板铺满（石板宽度都正好等于路宽，可任意先后排列），共有多少种不同的铺法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：$2\times n$ 长方形的一列相当于小路的 $1$ 米，一块横放骨牌相当于一块 $2$ 米石板，问题变成「把 $10$ 拆成若干个 $1$ 和 $2$ 依次排列」。
  2. 第 2 步（看最后一块）：最后一块是 $1$ 米（前面铺 $n-1$ 米）或 $2$ 米（前面铺 $n-2$ 米），故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，且 $a_1=1,\ a_2=2$。
  3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=\underline{\quad}$，$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$，$a_7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（推到 10）：$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $1\times 2$ 的小方格覆盖 $12\times 2$ 的长方形。（1）共有多少种覆盖方法？（2）其中「沿左起第 $6$ 列与第 $7$ 列之间竖直切一刀会切断骨牌」的覆盖有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求总数）：由 $a_1=1,\ a_2=2,\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ 递推，$a_3=\underline{\quad}$，$a_4=\underline{\quad}$，$a_5=\underline{\quad}$，$a_6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（继续推到 12）：$a_7=\underline{\quad}$，$a_8=\underline{\quad}$，$a_9=\underline{\quad}$，$a_{10}=\underline{\quad}$，$a_{11}=\underline{\quad}$，$a_{12}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（反面更好数）：先数「切不断」的。切不断意味着左右两半各自铺满，左半 $6\times2$ 有 $a_6$ 种、右半 $6\times2$ 有 $a_6$ 种，由乘法原理共 $13\times13=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（用补集得答案）：切得断的 $=$ 总数 $-$ 切不断的 $=233-169=\underline{\quad}$ 种。
26. 【原题 ch12-xingqu-04】如果在一个平面上画出 $4$ 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画 $20$ 条直线，最多可以分成几个部分？
详细思路
是哪类问题：这是「平面分割」类递推：求 $n$ 条直线最多把平面分成几部分。
关键切入点：关键在于算**增量**：画第 $k$ 条直线时，它与前面 $k-1$ 条直线最多有 $k-1$ 个交点，这些交点把第 $k$ 条直线切成 $k$ 段，每一段都把它经过的那个原有区域一分为二，所以最多新增 $k$ 个区域。于是区域数 $=1+(1+2+\cdots+n)$，用等差数列求和即可。
方法概述：算每条新直线带来的区域增量（等于它被切成的段数），再用等差数列求和累加。
规范步骤：
  1. 无直线时：$1$ 个区域（整个平面）
  2. 第 $k$ 条直线的增量：$k-1\ \text{个交点} \Rightarrow k\ \text{段} \Rightarrow +k\ \text{个区域}$（每段把一个区域一分为二）
  3. 得到通项：$1+(1+2+\cdots+n)$（累加增量）
  4. $n=4$：$1+(1+2+3+4)=1+10=11$（等差数列求和）
  5. $n=20$：$1+(1+2+\cdots+20)=1+210=211$（$\frac{20\times21}{2}=210$）
第一套
题目：如果在一个平面上画出 $6$ 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画 $30$ 条直线，最多可以分成几个部分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起点）：一条直线也不画时，平面本身是 $1$ 个部分。
  2. 第 2 步（算增量）：第 $k$ 条直线与前面 $k-1$ 条最多有 $k-1$ 个交点，被切成 $k$ 段，每段把一个区域一分为二，故最多新增 $k$ 个区域。
  3. 第 3 步（$6$ 条）：$1+(1+2+3+4+5+6)=1+\underline{\quad}=\underline{\quad}$ 个部分。
  4. 第 4 步（$30$ 条，用等差数列求和）：$1+2+\cdots+30=\dfrac{30\times31}{2}=\underline{\quad}$，所以共 $1+465=\underline{\quad}$ 个部分。
第二套
题目：一块很大的方形玻璃，用玻璃刀沿直线笔直地划 $6$ 刀（每刀都划到底），最多能把玻璃分成几块？如果划 $30$ 刀呢？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起点）：不划刀时是 $1$ 块。
  2. 第 2 步（算增量）：第 $k$ 刀与前面 $k-1$ 刀最多有 $k-1$ 个交点，被分成 $k$ 段，每段把一块玻璃切成两块，故最多新增 $k$ 块。
  3. 第 3 步（$6$ 刀）：$1+(1+2+3+4+5+6)=1+\underline{\quad}=\underline{\quad}$ 块。
  4. 第 4 步（$30$ 刀）：$1+2+\cdots+30=\underline{\quad}$，共 $1+465=\underline{\quad}$ 块。
第三套
题目：如果在一个平面上画出 $8$ 个圆，最多可以把平面分成多少个部分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起点）：$1$ 个圆把平面分成 $2$ 个部分。
  2. 第 2 步（算增量）：第 $k$ 个圆与前面 $k-1$ 个圆最多有 $2(k-1)$ 个交点，这些点把这个圆周分成 $2(k-1)$ 段弧，每段弧把一个区域一分为二，故新增 $2(k-1)$ 个区域。
  3. 第 3 步（逐个累加）：第 $2\sim8$ 个圆分别新增 $2,4,6,8,10,12,\underline{\quad}$ 个区域。
  4. 第 4 步（求和）：$2+4+6+8+10+12+14=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（总数）：$2+56=\underline{\quad}$ 个部分。
第三套
题目：在一个平面上先画 $10$ 条直线，再画 $3$ 个圆，最多可以把平面分成多少个部分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先画直线）：$10$ 条直线最多把平面分成 $1+(1+2+\cdots+10)=1+\underline{\quad}=\underline{\quad}$ 个部分。
  2. 第 2 步（第 1 个圆）：它与每条直线最多交于 $2$ 点，共 $10\times2=\underline{\quad}$ 个交点，圆周被分成同样多段弧，故新增 $20$ 个区域。
  3. 第 3 步（第 2 个圆）：与 $10$ 条直线交 $20$ 点，再与第 $1$ 个圆交 $2$ 点，共 $20+2=\underline{\quad}$ 个交点，新增 $22$ 个区域。
  4. 第 4 步（第 3 个圆）：与直线交 $20$ 点，与前 $2$ 个圆各交 $2$ 点，共 $20+4=\underline{\quad}$，新增 $24$ 个区域。
  5. 第 5 步（合计）：$56+20+22+24=\underline{\quad}$ 个部分。
27. 【原题 ch12-xingqu-05】甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个，先由甲发球（作为第 $1$ 次传球），经过 $6$ 次传球后球仍然回到甲的手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
详细思路
是哪类问题：这是「传球法」类状态递推：用一张表记录每次传球后球在各人手中的方法数，逐次往下推。
关键切入点：关键在于**状态转移**：一次传球后球在甲手中，说明上一次球一定在乙或丙手中，所以「甲的新值 $=$ 乙的旧值 $+$ 丙的旧值」，乙、丙同理。发球时球在甲手中记 $1$、乙丙记 $0$，逐行递推到第 $6$ 次，读甲那一列即可。
方法概述：列三列表（甲/乙/丙）做状态递推：新值 = 另外两人的旧值之和。
规范步骤：
  1. 初始（甲发球前）：$(\text{甲},\text{乙},\text{丙})=(1,0,0)$（球在甲手中）
  2. 第 1 次传球：$(0,1,1)$（甲只能传给乙或丙）
  3. 第 2、3 次：$(2,1,1)\to(2,3,3)$（新值 = 另外两人旧值之和）
  4. 第 4、5 次：$(6,5,5)\to(10,11,11)$（同上）
  5. 第 6 次：$(22,21,21)$（同上）
  6. 读甲那一列：$22$（要求球回到甲手中）
第一套
题目：甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个，先由甲发球（作为第 $1$ 次传球），经过 $10$ 次传球后球仍然回到甲的手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表与转移规则）：记 $(\text{甲},\text{乙},\text{丙})$，初始为 $(1,0,0)$；每传一次，**新值等于另外两人的旧值之和**。
  2. 第 2 步（前 3 次）：第 1 次 $(0,1,1)$；第 2 次甲 $=1+1=\underline{\quad}$，得 $(2,1,1)$；第 3 次乙 $=2+1=\underline{\quad}$，得 $(2,3,3)$。
  3. 第 3 步（第 4、5 次）：第 4 次甲 $=3+3=\underline{\quad}$，得 $(6,5,5)$；第 5 次甲 $=5+5=\underline{\quad}$，得 $(10,11,11)$。
  4. 第 4 步（第 6、7 次）：第 6 次甲 $=11+11=\underline{\quad}$，得 $(22,21,21)$；第 7 次甲 $=21+21=\underline{\quad}$，得 $(42,43,43)$。
  5. 第 5 步（第 8、9、10 次）：第 8 次甲 $=43+43=\underline{\quad}$；第 9 次甲 $=85+85=\underline{\quad}$；第 10 次甲 $=171+171=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（读甲那一列）：答案为 $\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：三个快递中转站甲、乙、丙之间转运一个包裹，每个站都可以把包裹转给另外两个站中的任意一个。包裹从甲站发出（作为第 $1$ 次转运），经过 $10$ 次转运后又回到甲站，共有多少种不同的转运过程？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表与转移规则）：记 $(\text{甲},\text{乙},\text{丙})$，初始 $(1,0,0)$；新值 $=$ 另外两站的旧值之和。
  2. 第 2 步（前 3 次）：第 1 次 $(0,1,1)$；第 2 次甲 $=\underline{\quad}$；第 3 次乙 $=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 4、5 次）：甲分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 6、7 次）：甲分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 8、9、10 次）：甲分别为 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个，先由甲发球（作为第 $1$ 次传球），经过 $8$ 次传球后球在乙的手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表）：初始 $(\text{甲},\text{乙},\text{丙})=(1,0,0)$，新值 $=$ 另外两人旧值之和。
  2. 第 2 步（逐次递推）：第 1 次 $(0,1,1)$；第 2 次 $(2,1,1)$；第 3 次乙 $=2+1=\underline{\quad}$，得 $(2,3,3)$。
  3. 第 3 步：第 4 次 $(6,5,5)$；第 5 次乙 $=6+5=\underline{\quad}$，得 $(10,11,11)$；第 6 次 $(22,21,21)$。
  4. 第 4 步：第 7 次乙 $=22+21=\underline{\quad}$，得 $(42,43,43)$；第 8 次乙 $=42+43=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（读乙那一列）：答案为 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：甲、乙、丙、丁四名同学练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个。先由甲发球（作为第 $1$ 次传球），经过 $8$ 次传球后球仍然回到甲的手中，共有多少种不同的可能？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（改列数与转移规则）：现在要列**四列** $(\text{甲},\text{乙},\text{丙},\text{丁})$，初始 $(1,0,0,0)$；每传一次，新值 $=$ **另外三人**旧值之和，即「总和减自己」。
  2. 第 2 步（前 3 次）：第 1 次 $(0,1,1,1)$；第 2 次甲 $=1+1+1=\underline{\quad}$，得 $(3,2,2,2)$；第 3 次甲 $=2+2+2=\underline{\quad}$，得 $(6,7,7,7)$。
  3. 第 3 步（第 4、5 次）：第 4 次甲 $=7+7+7=\underline{\quad}$，得 $(21,20,20,20)$；第 5 次甲 $=20\times3=\underline{\quad}$，得 $(60,61,61,61)$。
  4. 第 4 步（第 6、7 次）：第 6 次甲 $=61\times3=\underline{\quad}$，得 $(183,182,182,182)$；第 7 次甲 $=182\times3=\underline{\quad}$，得 $(546,547,547,547)$。
  5. 第 5 步（第 8 次并读甲列）：甲 $=547\times3=\underline{\quad}$ 种。
28. 【原题 ch12-xingqu-06】如图 $12\text{-}1$，用红、黄、蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一条边的两端点不能同色，且顶点 $A$ 必须染红色，请问：有多少种不同的染色方式？
详细思路
是哪类问题：这是「环形相邻不同色」染色问题，可以化成传球法：沿 $A\to B\to C\to D\to E$ 一路递推，最后再照顾 $E$ 与 $A$ 相邻的限制。
关键切入点：关键把「相邻不同色」翻译成传球规则：某顶点染某色的方法数 $=$ 前一顶点染**另外两色**的方法数之和。$A$ 固定红，起始行是 $(\text{红},\text{黄},\text{蓝})=(1,0,0)$。推到 $E$ 后，因为 $E$ 与 $A$ 相邻，$E$ 不能染红，所以只把 $E$ 行的黄、蓝两个数相加。
方法概述：把环形染色化成传球法列表递推，末端去掉与首端同色的一项。
规范步骤：
  1. 起始行 $A$：$(1,0,0)$（$A$ 必染红）
  2. $B$ 行：$(0,1,1)$（$B$ 不能与 $A$ 同色）
  3. $C$ 行：$(2,1,1)$（新值 = 前一行另外两色之和）
  4. $D$ 行：$(2,3,3)$（同上）
  5. $E$ 行：$(6,5,5)$（同上）
  6. 去掉红色项：$5+5=10$（$E$ 与 $A$ 相邻，不能染红）
第一套
题目：用红、黄、蓝三种颜色给一个七边形 $ABCDEFG$ 的各个顶点染色，同一条边的两端点不能同色，且顶点 $A$ 必须染红色，请问：有多少种不同的染色方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始行）：$A$ 必染红，记 $(\text{红},\text{黄},\text{蓝})=(1,0,0)$。
  2. 第 2 步（转移规则）：某顶点染某色的方法数 $=$ 前一顶点染**另外两色**的方法数之和。
  3. 第 3 步（$B\sim D$）：$B$ 行 $(0,1,1)$；$C$ 行红 $=1+1=\underline{\quad}$，得 $(2,1,1)$；$D$ 行黄 $=2+1=\underline{\quad}$，得 $(2,3,3)$。
  4. 第 4 步（$E\sim G$）：$E$ 行红 $=3+3=\underline{\quad}$，得 $(6,5,5)$；$F$ 行红 $=5+5=\underline{\quad}$，得 $(10,11,11)$；$G$ 行红 $=11+11=\underline{\quad}$，得 $(22,21,21)$。
  5. 第 5 步（去掉红色项）：$G$ 与 $A$ 相邻不能染红，答案 $=21+21=\underline{\quad}$。
第二套
题目：七个小朋友围成一圈做游戏，每人发一顶帽子，帽子有红、黄、蓝三色，相邻两人的帽子颜色必须不同。已知位置 $A$ 的小朋友戴红帽子，共有多少种发帽子的方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（起始行）：$A$ 戴红帽，记 $(\text{红},\text{黄},\text{蓝})=(1,0,0)$。
  2. 第 2 步（转移规则）：某人戴某色的方法数 $=$ 前一人戴另外两色的方法数之和。
  3. 第 3 步（逐位递推）：$B(0,1,1)$；$C$ 红 $=\underline{\quad}$；$D$ 黄 $=\underline{\quad}$；$E$ 红 $=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（继续）：$F$ 红 $=\underline{\quad}$；$G$ 红 $=\underline{\quad}$，得 $(22,21,21)$。
  5. 第 5 步（首尾相邻）：$G$ 与 $A$ 相邻不能戴红，答案 $=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用红、黄、蓝三种颜色给一个五边形 $ABCDE$ 的各个顶点染色，同一条边的两端点不能同色（顶点 $A$ 的颜色不作规定），共有多少种不同的染色方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先固定 $A$）：设 $A$ 染红，用传球法递推：$B(0,1,1)$，$C$ 红 $=\underline{\quad}$，$D$ 黄 $=\underline{\quad}$，$E$ 红 $=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（首尾限制）：$E$ 与 $A$ 相邻不能染红，故 $A$ 染红时有 $5+5=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（用对称性）：$A$ 染黄、染蓝的情形与染红完全对称，各有 $10$ 种。
  4. 第 4 步（相乘）：总数 $=10\times3=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：一个五边形 $ABCDE$ 的五个顶点，再加上五边形内部的中心点 $O$，且 $O$ 与 $A,B,C,D,E$ 都用线段相连。现用红、黄、蓝、绿四种颜色给这 $6$ 个点染色，有线段相连的两点必须异色，共有多少种染色方式？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分步）：先染中心点 $O$，再染外圈五个点。$O$ 与五个顶点都相连，所以 $O$ 定色后，外圈只能用**剩下的 $3$ 种**颜色。
  2. 第 2 步（$O$ 的选择）：$O$ 有 $\underline{\quad}$ 种染法。
  3. 第 3 步（外圈固定首色递推）：设 $A$ 用剩下三色中的某一种，用传球法：$B(0,1,1)$，$C$ 首色 $=\underline{\quad}$，$D$ 次色 $=\underline{\quad}$，$E$ 首色 $=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（首尾限制）：$E$ 与 $A$ 相邻不能同色，$A$ 固定时有 $5+5=\underline{\quad}$ 种；$A$ 有 $3$ 种选择，外圈共 $10\times3=\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步（分步乘法原理）：总数 $=4\times30=\underline{\quad}$ 种。
29. 【原题 ch12-xingqu-07】一个三位数，有相邻两个数字的和为 $16$，那么这样的三位数共有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「数字计数 + 重复计数去重」类问题：先按「哪一对相邻数字之和为 $16$」分类，再把两类都数到的数减掉。
关键切入点：关键有两点：一是审题——只要求**存在**一对相邻数字和为 $16$，不是全部；二是和为 $16$ 的相邻数字只有 $79$、$97$、$88$ 三种。分「百十位」和「十个位」两类计数会把 $797$、$979$、$888$ 各数两次，必须减掉。
方法概述：按相邻和为 16 的位置分两类计数，再减去被重复计算的数。
规范步骤：
  1. 列出和为 16 的数字对：$79,\ 97,\ 88$（两位数字都在 $0\sim9$ 且和为 16）
  2. 百位与十位和为 16：$3\times10=30$（个位可填 $0\sim9$）
  3. 十位与个位和为 16：$3\times9=27$（百位可填 $1\sim9$）
  4. 找重复的数：$797,\ 979,\ 888$（两对相邻和都是 16）
  5. 容斥去重：$30+27-3=54$（重复的数被数了两次）
第一套
题目：一个三位数，有相邻两个数字的和为 $15$，那么这样的三位数共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找数字对）：和为 $15$ 的两个数字（都在 $0\sim9$）有 $69,96,78,87$，共 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（百位与十位和为 15）：个位可填 $0\sim9$ 共 $10$ 种，故有 $4\times10=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（十位与个位和为 15）：百位不能为 $0$，可填 $1\sim9$ 共 $9$ 种，故有 $4\times9=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（找重复）：两对相邻和都是 $15$ 时首位与末位相同，即 $696,969,787,878$，共 $\underline{\quad}$ 个，它们各被数了两次。
  5. 第 5 步（容斥去重）：$40+36-4=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：某小区的门牌号都是三位数。物业发现有些门牌号「存在相邻两个数字之和为 $15$」，这样的门牌号一共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找数字对）：和为 $15$ 的数字对有 $69,96,78,87$，共 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（前两位是这样的对）：末位任填 $0\sim9$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（后两位是这样的对）：首位只能填 $1\sim9$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（去重）：$696,969,787,878$ 这 $\underline{\quad}$ 个被数了两次。
  5. 第 5 步（合计）：$\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：一个三位数，有相邻两个数字的和为 $17$，那么这样的三位数共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找数字对）：和为 $17$ 的数字对只有 $89,98$，共 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（百十位）：个位任填，$2\times10=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（十个位）：百位填 $1\sim9$，$2\times9=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（去重）：重复的是 $898,989$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（容斥）：$20+18-2=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：一个四位数，有相邻两个数字的和为 $16$，那么这样的四位数共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三个位置）：设 $A$：千位+百位 $=16$；$B$：百位+十位 $=16$；$C$：十位+个位 $=16$。和为 $16$ 的数字对仍是 $79,97,88$ 共 $3$ 种。
  2. 第 2 步（单个事件）：$|A|=3\times10\times10=\underline{\quad}$；$|B|=9\times3\times10=\underline{\quad}$；$|C|=9\times10\times3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（两两同时）：$A,B$ 同时成立需千位=十位，共 $3$ 种，个位任填，$|A\cap B|=3\times10=\underline{\quad}$；$B,C$ 同时需百位=个位，千位填 $1\sim9$，$|B\cap C|=9\times3=\underline{\quad}$；$|A\cap C|=3\times3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（三个同时）：需千位=十位、百位=个位且两者和为 $16$，共 $\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（三重容斥）：$(300+270+270)-(30+27+9)+3=\underline{\quad}$ 个。
30. 【原题 ch12-xingqu-08】一个各位数字互不相等的五位数不含数字 $0$，且数字和为 $18$，这样的五位数共有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「数字和的拆分 + 全排列」类计数：先定出可用的数字**组合**，再对每个组合做全排列。
关键切入点：关键是把「五位数」的计数拆成两步：第一步只关心**用了哪五个数字**（互不相等、非零、和为 $18$），这是一个有序性无关的拆分问题；第二步这五个数字互不相同且都非零，任意排列都是合法五位数，故每组恰好贡献 $5!=120$ 个数。$1+2+3+4+5=15$ 是最小和，只能在此基础上「加 $3$」，于是组合只有三种。
方法概述：先枚举满足条件的数字组合，再每组乘以 5 的全排列数。
规范步骤：
  1. 找出所有组合：$\{1,2,4,5,6\},\ \{1,2,3,4,8\},\ \{1,2,3,5,7\}$（五个互异非零数字且和为 18）
  2. 每组的排列数：$5!=120$（五个数字互不相同且非零，首位无限制）
  3. 相乘：$3\times120=360$（分类相加、分步相乘）
第一套
题目：一个各位数字互不相等的五位数不含数字 $0$，且数字和为 $20$，这样的五位数共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先找组合）：五个互异非零数字之和为 $20$，最小的和是 $1+2+3+4+5=\underline{\quad}$，所以要在此基础上多出 $5$。逐一列举得 $\{1,2,3,5,9\},\{1,2,3,6,8\},\{1,2,4,5,8\},\{1,2,4,6,7\},\{1,3,4,5,7\},\{2,3,4,5,6\}$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  2. 第 2 步（每组的排列数）：五个数字互不相同且都非零，任意排列都是五位数，故每组有 $5!=5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（相乘）：共 $6\times120=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：学校要给五个不同的社团各发一个编号牌，编号牌上是 $1\sim9$ 中互不相同的数字，且这五个数字之和为 $20$。把五个社团排成一排展示编号（顺序不同算不同方案），共有多少种展示方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先找数字组合）：五个互异非零数字最小和为 $1+2+3+4+5=\underline{\quad}$，要凑到 $20$，逐一列举得 $\{1,2,3,5,9\},\{1,2,3,6,8\},\{1,2,4,5,8\},\{1,2,4,6,7\},\{1,3,4,5,7\},\{2,3,4,5,6\}$ 共 $\underline{\quad}$ 组。
  2. 第 2 步（每组排队）：五个不同编号排成一排有 $5!=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（相乘）：$6\times120=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：一个各位数字互不相等的五位数不含数字 $0$，且数字和为 $19$，这样的五位数共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找组合）：五个互异非零数字最小和为 $\underline{\quad}$，要多出 $4$，列举得 $\{1,2,3,4,9\},\{1,2,3,5,8\},\{1,2,3,6,7\},\{1,2,4,5,7\},\{1,3,4,5,6\}$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  2. 第 2 步（每组排列）：$5!=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（相乘）：$5\times120=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：一个各位数字互不相等的五位数，数字和为 $18$（**允许含数字 $0$**），这样的五位数共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找组合）：五个互异数字（可含 $0$）之和为 $18$。含 $0$ 的组合相当于另外四个互异非零数字之和为 $18$，共 $11$ 组；不含 $0$ 的仍是 $\{1,2,4,5,6\},\{1,2,3,4,8\},\{1,2,3,5,7\}$ 共 $\underline{\quad}$ 组。
  2. 第 2 步（不含 0 的组）：每组任意排列都是五位数，有 $5!=\underline{\quad}$ 个，共 $3\times120=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（含 0 的组要去掉首位为 0 的）：全排列 $120$ 个中首位为 $0$ 的有 $4!=\underline{\quad}$ 个，故每组只有 $120-24=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步（含 0 的组合计）：$11\times96=\underline{\quad}$ 个。
  5. 第 5 步（总计）：$360+1056=\underline{\quad}$ 个。
31. 【原题 ch12-xingqu-09】一个十位数只含有数字 $1$ 或 $2$，且不含两个连续的数字 $1$，一共有多少个这样的十位数？
详细思路
是哪类问题：这是「不相邻插空」类组合计数：十个数位只填 $1$ 或 $2$，要求两个 $1$ 不相邻。
关键切入点：关键是按 **$1$ 的个数** 分类：若用了 $k$ 个 $1$，则剩下 $10-k$ 个 $2$ 先排成一排，形成 $10-k+1=11-k$ 个空隙，把 $k$ 个 $1$ 插进互不相同的空隙里就保证了两个 $1$ 不相邻，方法数为 $C_{11-k}^{k}$。$k$ 最多到 $5$，再多必出现相邻的 $1$。
方法概述：按 1 的个数分类，用「2 排好后插空」的组合数计数再求和。
规范步骤：
  1. 不含 1：$1$ 种（全是 2）
  2. 含 1 个 1：$C_{10}^{1}=10$（9 个 2 形成 10 个空隙）
  3. 含 2、3 个 1：$C_{9}^{2}=36,\ C_{8}^{3}=56$（插空）
  4. 含 4、5 个 1：$C_{7}^{4}=35,\ C_{6}^{5}=6$（插空；再多必相邻）
  5. 求和：$1+10+36+56+35+6=144$（分类相加）
第一套
题目：一个十二位数只含有数字 $1$ 或 $2$，且不含两个连续的数字 $1$，一共有多少个这样的十二位数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分类标准）：按 $1$ 的个数 $k$ 分类。$k$ 个 $1$ 与 $12-k$ 个 $2$，先把 $2$ 排好形成 $13-k$ 个空隙，再把 $1$ 插入不同空隙，方法数为 $C_{13-k}^{k}$。
  2. 第 2 步（$k=0,1,2$）：$1$ 种；$C_{12}^{1}=\underline{\quad}$；$C_{11}^{2}=\dfrac{11\times10}{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（$k=3,4$）：$C_{10}^{3}=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$；$C_{9}^{4}=\dfrac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（$k=5,6$）：$C_{8}^{5}=\dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$；$C_{7}^{6}=\underline{\quad}$。$k$ 再大就必出现相邻的 $1$。
  5. 第 5 步（求和）：$1+12+55+120+126+56+7=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：一排 $12$ 盏彩灯，每盏灯要么亮要么灭，但任意两盏相邻的灯不能同时亮。这排彩灯一共有多少种不同的明灭状态？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：把「亮」看作 $1$、「灭」看作 $2$，问题变成 $12$ 位的 $1/2$ 串且没有相邻的两个 $1$。按亮灯个数 $k$ 分类，方法数为 $C_{13-k}^{k}$。
  2. 第 2 步（$k=0,1,2$）：$1$；$C_{12}^{1}=\underline{\quad}$；$C_{11}^{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（$k=3,4$）：$C_{10}^{3}=\underline{\quad}$；$C_{9}^{4}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（$k=5,6$）：$C_{8}^{5}=\underline{\quad}$；$C_{7}^{6}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求和）：$\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：一排 $10$ 个座位，要安排若干名同学入座（也可以一个人都不坐），要求任意两名同学都不相邻。共有多少种不同的坐法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：把「坐人」记为 $1$、「空位」记为 $2$，问题就是 $10$ 位 $1/2$ 串且无相邻的 $1$。设坐 $k$ 人，空位 $10-k$ 个形成 $11-k$ 个空隙，方法数 $C_{11-k}^{k}$。
  2. 第 2 步（$k=0,1,2$）：$1$；$C_{10}^{1}=\underline{\quad}$；$C_{9}^{2}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（$k=3,4$）：$C_{8}^{3}=\underline{\quad}$；$C_{7}^{4}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（$k=5$）：$C_{6}^{5}=\underline{\quad}$，$k$ 再大必相邻。
  5. 第 5 步（求和）：$\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：一个十位数只含有数字 $1$ 或 $2$，不含两个连续的数字 $1$，且数字 $1$ 至少出现 $3$ 次。这样的十位数共有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分类标准）：仍按 $1$ 的个数 $k$ 分类，插空得方法数 $C_{11-k}^{k}$；但现在只保留 $k\ge3$ 的类。
  2. 第 2 步（$k$ 的上界）：$10$ 位里放 $k$ 个不相邻的 $1$ 需要 $11-k\ge k$，即 $k\le\underline{\quad}$，所以 $k$ 只能取 $3,4,5$。
  3. 第 3 步（逐类计算）：$k=3$ 时 $C_{8}^{3}=\underline{\quad}$；$k=4$ 时 $C_{7}^{4}=\underline{\quad}$；$k=5$ 时 $C_{6}^{5}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求和）：$56+35+6=\underline{\quad}$ 个。
32. 【原题 ch12-xingqu-10】一个六位数由 $1,2,3,4,5$ 组成，而且任意相邻两位数的数字之差都是 $1$，这样的六位数有多少个？
详细思路
是哪类问题：这是「相邻位受限的数字串」计数，用传球法逐位递推：把「相邻两位相差 $1$」看成「只能传给与自己相差 $1$ 的数」。
关键切入点：关键在于列一张 $5$ 列的表（末位分别是 $1,2,3,4,5$），第 $k$ 行表示前 $k$ 位已排好且第 $k$ 位取该值的方法数。转移规则是：末位为 $d$ 的新值 $=$ 上一行中 $d-1$ 与 $d+1$ 两列的旧值之和（$1$ 只能由 $2$ 来，$5$ 只能由 $4$ 来）。
方法概述：列表按位递推，每格 = 上一行相邻两格之和，最后把第 6 行各格相加。
规范步骤：
  1. 第 1 位：$(1,1,1,1,1)$（首位取 $1\sim5$ 各 1 种）
  2. 第 2 位：$(1,2,2,2,1)$（新值 = 上一行相邻两格之和）
  3. 第 3、4 位：$(2,3,4,3,2)\to(3,6,6,6,3)$（同上）
  4. 第 5、6 位：$(6,9,12,9,6)\to(9,18,18,18,9)$（同上）
  5. 求和：$9+18+18+18+9=72$（把第 6 行各格相加）
第一套
题目：一个八位数由 $1,2,3,4,5$ 组成，而且任意相邻两位数字之差都是 $1$，这样的八位数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表与规则）：列 $5$ 列（末位为 $1\sim5$）。第 $1$ 行为 $(1,1,1,1,1)$；转移规则是「末位为 $d$ 的新值 $=$ 上一行 $d-1$ 与 $d+1$ 两格之和」。
  2. 第 2 步（第 2、3 行）：第 2 行 $(1,2,2,2,1)$；第 3 行末位 $2$ 处 $=1+2=\underline{\quad}$，末位 $3$ 处 $=2+2=\underline{\quad}$，得 $(2,3,4,3,2)$。
  3. 第 3 步（第 4、5 行）：第 4 行末位 $2$ 处 $=2+4=\underline{\quad}$，得 $(3,6,6,6,3)$；第 5 行末位 $3$ 处 $=6+6=\underline{\quad}$，得 $(6,9,12,9,6)$。
  4. 第 4 步（第 6、7 行）：第 6 行末位 $2$ 处 $=6+12=\underline{\quad}$，得 $(9,18,18,18,9)$；第 7 行末位 $2$ 处 $=9+18=\underline{\quad}$，末位 $3$ 处 $=18+18=\underline{\quad}$，得 $(18,27,36,27,18)$。
  5. 第 5 步（第 8 行并求和）：第 8 行为 $(27,54,54,54,27)$，答案 $=27+54+54+54+27=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：一部电梯在 $1\sim5$ 层之间运行，每次只能上一层或下一层。它从某层出发，一共停靠 $8$ 次（含出发时所在的那一次），把这 $8$ 次停靠的楼层依次记下来，共有多少种不同的记录？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转化）：每次停靠的楼层就是一位数字，相邻两次相差 $1$，于是与「相邻数字差为 $1$ 的八位数」完全相同。第 $1$ 行 $(1,1,1,1,1)$。
  2. 第 2 步（第 2、3 行）：第 2 行 $(1,2,2,2,1)$；第 3 行 $2$ 处 $=\underline{\quad}$，$3$ 处 $=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第 4、5 行）：第 4 行 $2$ 处 $=\underline{\quad}$；第 5 行 $3$ 处 $=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第 6、7 行）：第 6 行 $2$ 处 $=\underline{\quad}$；第 7 行 $2$ 处 $=\underline{\quad}$，$3$ 处 $=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 8 行求和）：$\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：一个六位数由 $1,2,3,4,5,6$ 组成，而且任意相邻两位数字之差都是 $1$，这样的六位数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列表加一列）：现在要列 $6$ 列（末位 $1\sim6$），第 $1$ 行 $(1,1,1,1,1,1)$，转移规则不变。
  2. 第 2 步（第 2、3 行）：第 2 行 $(1,2,2,2,2,1)$；第 3 行 $3$ 处 $=2+2=\underline{\quad}$，$4$ 处 $=2+2=\underline{\quad}$，得 $(2,3,4,4,3,2)$。
  3. 第 3 步（第 4 行）：$3$ 处 $=3+4=\underline{\quad}$，得 $(3,6,7,7,6,3)$。
  4. 第 4 步（第 5 行）：$3$ 处 $=6+7=\underline{\quad}$，得 $(6,10,13,13,10,6)$。
  5. 第 5 步（第 6 行并求和）：$3$ 处 $=10+13=\underline{\quad}$，得 $(10,19,23,23,19,10)$，答案 $=10+19+23+23+19+10=\underline{\quad}$ 个。
第三套
题目：一个六位数由 $1,2,3,4,5$ 组成，而且任意相邻两位数字之差都是 $1$ 或 $2$，这样的六位数有多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转移规则变宽）：末位为 $d$ 的新值 $=$ 上一行中所有与 $d$ 相差 $1$ 或 $2$ 的格子之和（每格最多有 $4$ 个来源）。第 $1$ 行 $(1,1,1,1,1)$。
  2. 第 2 步（第 2 行）：$1$ 处 $=1+1=\underline{\quad}$（来自 $2,3$）；$2$ 处 $=1+1+1=\underline{\quad}$（来自 $1,3,4$）；$3$ 处 $=1+1+1+1=\underline{\quad}$，得 $(2,3,4,3,2)$。
  3. 第 3 步（第 3 行）：$1$ 处 $=3+4=\underline{\quad}$；$2$ 处 $=2+4+3=\underline{\quad}$；$3$ 处 $=2+3+3+2=\underline{\quad}$，得 $(7,9,10,9,7)$。
  4. 第 4 步（第 4 行）：$1$ 处 $=9+10=\underline{\quad}$；$2$ 处 $=7+10+9=\underline{\quad}$；$3$ 处 $=7+9+9+7=\underline{\quad}$，得 $(19,26,32,26,19)$。
  5. 第 5 步（第 5 行）：$1$ 处 $=26+32=\underline{\quad}$；$2$ 处 $=19+32+26=\underline{\quad}$；$3$ 处 $=19+26+26+19=\underline{\quad}$，得 $(58,77,90,77,58)$。
  6. 第 6 步（第 6 行并求和）：$1$ 处 $=77+90=\underline{\quad}$；$2$ 处 $=58+90+77=\underline{\quad}$；$3$ 处 $=58+77+77+58=\underline{\quad}$，答案 $=167+225+270+225+167=\underline{\quad}$ 个。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch12-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（把禁止对变成传球规则）：$1$ 只能接 $1$ 或 $3$；$2$ 只能接 $3$；$3$ 只能接 $2$ 或 $3$。于是「末位 $1$」新值 $=$ 上一行末位 $1$ 的值；「末位 $2$」新值 $=$ 上一行末位 $3$ 的值；「末位 $3$」新值 $=$ 上一行三数之和。第 $1$ 行 $(1,1,1)$。
    2. 第 2 步（第 2~5 行）：第 2 行 $3$ 列 $=1+1+1=\underline{3}$，得 $(1,1,3)$；第 3 行 $3$ 列 $=1+1+3=\underline{5}$，得 $(1,3,5)$；第 4 行 $3$ 列 $=\underline{9}$，得 $(1,5,9)$；第 5 行 $3$ 列 $=\underline{15}$，得 $(1,9,15)$。
    3. 第 3 步（第 6~9 行）：$3$ 列依次为 $\underline{25}$、$\underline{41}$、$\underline{67}$、$\underline{109}$，即 $(1,15,25),(1,25,41),(1,41,67),(1,67,109)$。
    4. 第 4 步（第 10、11 行）：第 10 行 $3$ 列 $=1+67+109=\underline{177}$，得 $(1,109,177)$；第 11 行 $3$ 列 $=1+109+177=\underline{287}$，得 $(1,177,287)$。第一问答案 $=1+177+287=\underline{465}$。
    5. 第 5 步（缺数字的情形）：不含 $1$ 时只用 $2,3$ 且不许 $22$，是斐波那契型，$11$ 位有 $\underline{233}$ 个；不含 $2$ 时只用 $1,3$ 且不许 $31$，只能形如 $1\cdots13\cdots3$，有 $\underline{12}$ 个；不含 $3$ 时只用 $1,2$ 且 $12,21,22$ 全禁，只剩全 $1$，有 $\underline{1}$ 个。
    6. 第 6 步（容斥）：只用一种数字的（全 $3$、全 $1$ 各 $1$ 个，全 $2$ 不合法）被重复减了，故要去掉的是 $(233+12+1)-(1+0+1)=\underline{244}$ 个。
    7. 第 7 步（第二问）：$465-244=\underline{221}$ 个。
    最终答案：（1）$465$ 个；（2）$221$ 个。
  2. 1. ch12-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（传球规则）：$1$ 只能接 $1,3$；$2$ 只能接 $3$；$3$ 只能接 $2,3$。第 $1$ 行 $(1,1,1)$。
    2. 第 2 步（第 2~5 行）：$3$ 列依次为 $\underline{3}$、$\underline{5}$、$\underline{9}$、$\underline{15}$。
    3. 第 3 步（第 6~9 行）：$3$ 列依次为 $\underline{25}$、$\underline{41}$、$\underline{67}$、$\underline{109}$。
    4. 第 4 步（第 10、11 行与总数）：$3$ 列为 $\underline{177}$、$\underline{287}$，总数 $=\underline{465}$。
    5. 第 5 步（缺数字）：不含 $1$ 有 $\underline{233}$ 个；不含 $2$ 有 $\underline{12}$ 个；不含 $3$ 有 $\underline{1}$ 个。
    6. 第 6 步（容斥）：要去掉 $\underline{244}$ 个。
    7. 第 7 步（第二问）：$\underline{221}$ 个。
    最终答案：（1）$465$ 个；（2）$221$ 个。
  3. 1. ch12-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（传球规则）：末位 $1$ 的新值 $=$ 上一行末位 $1$ 的值；末位 $2$ 的新值 $=$ 上一行末位 $3$ 的值；末位 $3$ 的新值 $=$ 上一行三数之和。第 $1$ 行 $(1,1,1)$。
    2. 第 2 步（第 2~5 行）：$3$ 列依次为 $\underline{3}$、$\underline{5}$、$\underline{9}$、$\underline{15}$。
    3. 第 3 步（第 6~9 行）：$3$ 列依次为 $\underline{25}$、$\underline{41}$、$\underline{67}$、$\underline{109}$，第 9 行为 $(1,67,109)$。
    4. 第 4 步（第 10 行并求和）：$3$ 列 $=1+67+109=\underline{177}$，第 10 行为 $(1,109,177)$，答案 $=1+109+177=\underline{287}$ 个。
    最终答案：$287$ 个。
  4. 1. ch12-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（先求总数）：用传球法递推，第 $9$ 行为 $(1,67,109)$，总数 $=1+67+109=\underline{177}$ 个。
    2. 第 2 步（恰好用一种数字）：全 $1$ 合法（$11$ 不在禁止对里），全 $2$ 不合法（出现 $22$），全 $3$ 合法。故恰好一种的有 $1+0+1=\underline{2}$ 个。
    3. 第 3 步（三种都用到）：不含 $1$ 的有 $89$ 个、不含 $2$ 的有 $10$ 个、不含 $3$ 的有 $1$ 个，容斥后要去掉 $(89+10+1)-(1+0+1)=\underline{98}$ 个，故三种都用到的有 $177-98=\underline{79}$ 个。
    4. 第 4 步（用「总数减两头」）：恰好两种 $=$ 总数 $-$ 恰好一种 $-$ 恰好三种 $=177-2-79=\underline{96}$ 个。
    最终答案：$96$ 个。
  5. 2. ch12-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（三角形的增量）：$1$ 个三角形把平面分成 $2$ 部分；第 $n$ 个三角形与前面 $n-1$ 个最多有 $6(n-1)$ 个交点，就被分成 $6(n-1)$ 段，新增 $6(n-1)$ 个区域。
    2. 第 2 步（(1) 求和）：$1+2+\cdots+9=\underline{45}$，故共 $2+6\times45=\underline{272}$ 个部分。
    3. 第 3 步（(2) 先画两条直线）：$1$ 条直线分成 $2$ 部分；第 $2$ 条与它交 $1$ 点、被分成 $2$ 段，新增 $2$ 个，共 $2+2=\underline{4}$ 个部分。
    4. 第 4 步（(2) 四个四边形）：一个四边形与一条直线最多 $2$ 个交点、与另一个四边形最多 $8$ 个交点。四个四边形的增量依次为 $2\times2=\underline{4}$、$4+8=\underline{12}$、$4+16=\underline{20}$、$4+24=\underline{28}$，合计 $4+12+20+28=\underline{64}$。
    5. 第 5 步（(2) 三个圆）：一个圆与直线最多 $2$ 点、与四边形最多 $8$ 点、与圆最多 $2$ 点。增量依次为 $2\times2+4\times8=\underline{36}$、$36+2=\underline{38}$、$36+4=\underline{40}$，合计 $36+38+40=\underline{114}$。
    6. 第 6 步（(2) 合计）：$4+64+114=\underline{182}$ 个部分。
    最终答案：（1）$272$ 个部分；（2）$182$ 个部分。
  6. 2. ch12-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（增量规则）：封闭围栏的新增块数 $=$ 它与已有图形的交点数；公路（直线）的新增块数 $=$ 交点数 $+1$。
    2. 第 2 步（(1)）：$1+2+\cdots+9=\underline{45}$，共 $\underline{272}$ 块。
    3. 第 3 步（(2) 两条公路）：共 $\underline{4}$ 块。
    4. 第 4 步（(2) 四个四边形围栏）：增量依次 $\underline{4}$、$\underline{12}$、$\underline{20}$、$\underline{28}$，合计 $\underline{64}$。
    5. 第 5 步（(2) 三个圆形围栏）：增量依次 $\underline{36}$、$\underline{38}$、$\underline{40}$，合计 $\underline{114}$。
    6. 第 6 步（(2) 合计）：$\underline{182}$ 块。
    最终答案：（1）$272$ 块；（2）$182$ 块。
  7. 2. ch12-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（起点）：$1$ 个四边形把平面分成 $2$ 个部分。
    2. 第 2 步（增量）：两个四边形最多有 $\underline{8}$ 个交点（每条边与另一四边形最多交 $2$ 点，$4$ 条边共 $8$ 点），故第 $n$ 个四边形与前面 $n-1$ 个最多有 $8(n-1)$ 个交点，新增 $8(n-1)$ 个区域。
    3. 第 3 步（求和）：$1+2+\cdots+7=\underline{28}$，增量合计 $8\times28=\underline{224}$。
    4. 第 4 步（总数）：$2+224=\underline{226}$ 个部分。
    最终答案：$226$ 个部分。
  8. 2. ch12-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（先画直线）：$3$ 条直线最多把平面分成 $1+(1+2+3)=\underline{7}$ 个部分。
    2. 第 2 步（三角形与已有图形的交点）：一个三角形与一条直线最多 $2$ 个交点，与 $3$ 条直线共 $3\times2=\underline{6}$ 个；与另一个三角形最多 $6$ 个交点。
    3. 第 3 步（五个三角形的增量）：依次为 $6$、$6+6=\underline{12}$、$6+12=\underline{18}$、$6+18=\underline{24}$、$6+24=\underline{30}$，合计 $6+12+18+24+30=\underline{90}$。
    4. 第 4 步（圆的增量）：一个圆与 $3$ 条直线最多 $6$ 点、与 $5$ 个三角形最多 $5\times6=\underline{30}$ 点、与另一个圆最多 $2$ 点。故两个圆依次新增 $6+30=\underline{36}$、$36+2=\underline{38}$，合计 $\underline{74}$。
    5. 第 5 步（合计）：$7+90+74=\underline{171}$ 个部分。
    最终答案：$171$ 个部分。
  9. 5. ch12-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（小情形）：$a_1=1$（这个数是 $2$），$a_2=1$（这个数是 $4$），$a_3=\underline{2}$（这两个数是 $3$ 和 $8$）。
    2. 第 2 步（逆向分类）：能 $n$ 步变成 $1$ 的数中，偶数由「$n-1$ 步能变成 $1$ 的数」乘 $2$ 得到，奇数对应「$n-2$ 步能变成 $1$ 的数」，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{3}$，$a_5=\underline{5}$，$a_6=\underline{8}$，$a_7=\underline{13}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{21}$，$a_9=\underline{34}$，$a_{10}=\underline{55}$。
    5. 第 5 步（推到 12）：$a_{11}=\underline{89}$，$a_{12}=\underline{144}$。
    最终答案：$144$ 个。
  10. 5. ch12-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步（小情形）：$a_1=1$（初始 $2$ 件），$a_2=1$（初始 $4$ 件），$a_3=\underline{2}$（初始 $3$ 或 $8$ 件）。
    2. 第 2 步（逆向分类）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{3}$，$a_5=\underline{5}$，$a_6=\underline{8}$，$a_7=\underline{13}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{21}$，$a_9=\underline{34}$，$a_{10}=\underline{55}$。
    5. 第 5 步（推到 12）：$a_{11}=\underline{89}$，$a_{12}=\underline{144}$。
    最终答案：$144$ 种。
  11. 5. ch12-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（小情形）：$a_1=1$，$a_2=1$，$a_3=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（递推式）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{3}$，$a_5=\underline{5}$，$a_6=\underline{8}$，$a_7=\underline{13}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{21}$，$a_9=\underline{34}$，$a_{10}=\underline{55}$。
    5. 第 5 步（推到 11）：$a_{11}=\underline{89}$ 个。
    最终答案：$89$ 个。
  12. 5. ch12-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（明确要求）：现在要的是恰好 $1,2,\cdots,9$ 次的**全部**情形之和，而不是只取第 $9$ 项。
    2. 第 2 步（先列出每一项）：$a_1=1$，$a_2=1$，$a_3=\underline{2}$，$a_4=\underline{3}$，$a_5=\underline{5}$，$a_6=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（继续）：$a_7=\underline{13}$，$a_8=\underline{21}$，$a_9=\underline{34}$。
    4. 第 4 步（不重复性）：一个数变成 $1$ 所需的次数是唯一确定的，所以各项之间没有重复，可以直接相加。
    5. 第 5 步（求和）：$1+1+2+3+5+8+13+21+34=\underline{88}$ 个。
    最终答案：$88$ 个。
  13. 7. ch12-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（递推式）：看 $A_1$ 所在的三角形，它把其余点分成三段，各段点数都必须是 $3$ 的倍数，设为 $3a,3b,3c$（$a+b+c=n-1$），三段互不影响，故 $t_n=\sum_{a+b+c=n-1}t_at_bt_c$，且 $t_0=t_1=1$。
    2. 第 2 步（先备好前几项）：$t_2=3\times1=\underline{3}$；$t_3=3\times3+3\times1=\underline{12}$；$t_4=3\times12+6\times3+1=\underline{55}$；$t_5=3\times55+6\times12+3\times9+3\times3=\underline{273}$。
    3. 第 3 步（$n=6$，按 $(a,b,c)$ 的取值分类）：$(5,0,0)$ 型有 $3$ 种排法，贡献 $3\times273=\underline{819}$；$(4,1,0)$ 型有 $6$ 种排法，贡献 $6\times55=\underline{330}$。
    4. 第 4 步（继续分类）：$(3,2,0)$ 型有 $6$ 种排法，贡献 $6\times(12\times3)=\underline{216}$；$(3,1,1)$ 型有 $3$ 种排法，贡献 $3\times12=\underline{36}$；$(2,2,1)$ 型有 $3$ 种排法，贡献 $3\times(3\times3)=\underline{27}$。
    5. 第 5 步（求和）：$t_6=819+330+216+36+27=\underline{1428}$ 种。
    最终答案：$1428$ 种。
  14. 7. ch12-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步（转化与递推式）：同学就是圆周上的点，绳子三角形就是不相交三角形，仍有 $t_0=t_1=1$，$t_n=\sum_{a+b+c=n-1}t_at_bt_c$。
    2. 第 2 步（前几项）：$t_2=\underline{3}$；$t_3=\underline{12}$；$t_4=\underline{55}$；$t_5=\underline{273}$。
    3. 第 3 步（$n=6$ 的前两类）：$(5,0,0)$ 贡献 $\underline{819}$；$(4,1,0)$ 贡献 $\underline{330}$。
    4. 第 4 步（其余三类）：$(3,2,0)$ 贡献 $\underline{216}$；$(3,1,1)$ 贡献 $\underline{36}$；$(2,2,1)$ 贡献 $\underline{27}$。
    5. 第 5 步（求和）：共 $\underline{1428}$ 种。
    最终答案：$1428$ 种。
  15. 7. ch12-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（先固定）：$A_1A_2A_3$ 已定，它把其余点全部留在同一段里，即 $A_4\sim A_{15}$ 这 $12$ 个点。
    2. 第 2 步（化为子问题）：这 $12$ 个点要连成 $4$ 个互不相交的三角形，方法数就是 $t_4$。
    3. 第 3 步（算 $t_4$）：$t_2=3\times1=\underline{3}$；$t_3=3\times3+3\times1=\underline{12}$；$t_4=3\times12+6\times3+1=\underline{55}$。
    4. 第 4 步（写出答案）：共 $\underline{55}$ 种。
    最终答案：$55$ 种。
  16. 7. ch12-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（备好前几项）：$t_0=t_1=1$，$t_2=\underline{3}$，$t_3=\underline{12}$，$t_4=\underline{55}$，$t_5=\underline{273}$，$t_6=819+330+216+36+27=\underline{1428}$。
    2. 第 2 步（$n=7$，$a+b+c=6$，先看含大项的类）：$(6,0,0)$ 有 $3$ 种排法，贡献 $3\times1428=\underline{4284}$；$(5,1,0)$ 有 $6$ 种，贡献 $6\times273=\underline{1638}$。
    3. 第 3 步（继续）：$(4,2,0)$ 有 $6$ 种，贡献 $6\times(55\times3)=\underline{990}$；$(4,1,1)$ 有 $3$ 种，贡献 $3\times55=\underline{165}$。
    4. 第 4 步（继续）：$(3,3,0)$ 有 $3$ 种，贡献 $3\times(12\times12)=\underline{432}$；$(3,2,1)$ 有 $6$ 种，贡献 $6\times(12\times3)=\underline{216}$；$(2,2,2)$ 只有 $1$ 种，贡献 $3\times3\times3=\underline{27}$。
    5. 第 5 步（求和）：$t_7=4284+1638+990+165+432+216+27=\underline{7752}$ 种。
    最终答案：$7752$ 种。
  17. 8. ch12-chaoyue-08 · 第一套
    1. 第 1 步（转化）：怨言数就是排列的**逆序数**（排在前面且更大的数对的个数）。
    2. 第 2 步（插入法的规则）：把最大的数插入已有 $n-1$ 个数的排列：插在最后加 $0$，倒数第 $2$ 位加 $1$，……最前面加 $n-1$。所以新行第 $k$ 项 $=$ 上一行第 $k-(n-1)$ 到第 $k$ 项之和（共 $n$ 项）。
    3. 第 3 步（前几行）：$n=1$ 行为 $(1)$；$n=2$ 行为 $(1,1)$；$n=3$ 行为 $(1,2,2,1)$；$n=4$ 行为 $(1,3,5,6,5,3,1)$。
    4. 第 4 步（$n=5$ 行）：第 $3$ 项 $=1+3+5=\underline{9}$，第 $4$ 项 $=1+3+5+6=\underline{15}$，第 $5$ 项 $=1+3+5+6+5=\underline{20}$，第 $6$ 项 $=3+5+6+5+3=\underline{22}$，整行为 $(1,4,9,15,20,22,20,15,9,4,1)$。
    5. 第 5 步（$n=6$ 行）：第 $4$ 项 $=1+4+9+15+20+22=\underline{71}$，第 $5$ 项 $=4+9+15+20+22+20=\underline{90}$，第 $6$ 项 $=9+15+20+22+20+15=\underline{101}$，整行为 $(1,5,14,29,49,71,90,101,101,90,71,49,29,14,5,1)$（下标从怨言数 $0$ 开始）。
    6. 第 6 步（$n=7$ 行取怨言数 $9$）：$=$ 上一行怨言数 $3\sim9$ 这 $7$ 项之和 $=29+49+71+90+101+101+90=\underline{531}$ 种。
    最终答案：$531$ 种。
  18. 8. ch12-chaoyue-08 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：抱怨数就是排列的逆序数。
    2. 第 2 步（插入法规则）：把最厚的书插入已有排列，插在最右加 $0$，往左每移一位加 $1$；故新行第 $k$ 项 $=$ 上一行连续 $n$ 项之和。
    3. 第 3 步（前几行）：$(1)$；$(1,1)$；$(1,2,2,1)$；$(1,3,5,6,5,3,1)$。
    4. 第 4 步（$n=5$ 行）：第 $3\sim6$ 项分别为 $\underline{9}$、$\underline{15}$、$\underline{20}$、$\underline{22}$。
    5. 第 5 步（$n=6$ 行）：第 $4\sim6$ 项分别为 $\underline{71}$、$\underline{90}$、$\underline{101}$。
    6. 第 6 步（$n=7$ 行取抱怨数 $9$）：$\underline{531}$ 种。
    最终答案：$531$ 种。
  19. 8. ch12-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（转化与规则）：怨言数即逆序数；新行第 $k$ 项 $=$ 上一行连续 $n$ 项之和。
    2. 第 2 步（前几行）：$(1)$；$(1,1)$；$(1,2,2,1)$；$(1,3,5,6,5,3,1)$。
    3. 第 3 步（$n=5$ 行）：第 $3\sim6$ 项分别为 $\underline{9}$、$\underline{15}$、$\underline{20}$、$\underline{22}$，整行 $(1,4,9,15,20,22,20,15,9,4,1)$。
    4. 第 4 步（$n=6$ 行取怨言数 $6$）：$=$ 上一行怨言数 $1\sim6$ 这 $6$ 项之和 $=4+9+15+20+22+20=\underline{90}$ 种。
    最终答案：$90$ 种。
  20. 8. ch12-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（前几行）：$(1)$；$(1,1)$；$(1,2,2,1)$；$(1,3,5,6,5,3,1)$。
    2. 第 2 步（$n=5$ 行）：第 $3\sim6$ 项分别为 $\underline{9}$、$\underline{15}$、$\underline{20}$、$\underline{22}$。
    3. 第 3 步（$n=6$ 行）：第 $4\sim6$ 项分别为 $\underline{71}$、$\underline{90}$、$\underline{101}$，整行 $(1,5,14,29,49,71,90,101,101,90,71,49,29,14,5,1)$。
    4. 第 4 步（$n=7$ 行、怨言数 $7$）：$=$ 上一行怨言数 $1\sim7$ 这 $7$ 项之和 $=5+14+29+49+71+90+101=\underline{359}$。
    5. 第 5 步（$n=7$ 行、怨言数 $8$）：$=$ 上一行怨言数 $2\sim8$ 之和 $=14+29+49+71+90+101+101=\underline{455}$。
    6. 第 6 步（两类相加，互不重叠）：$359+455=\underline{814}$ 种。
    最终答案：$814$ 种。
  21. 9. ch12-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=\underline{4}$。
    2. 第 2 步（按最后一天分类）：最后一天写 $1$、$2$ 或 $3$ 篇，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{7}$，$a_5=\underline{13}$，$a_6=\underline{24}$，$a_7=\underline{44}$，$a_8=\underline{81}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_9=\underline{149}$，$a_{10}=\underline{274}$，$a_{11}=\underline{504}$，$a_{12}=\underline{927}$。
    5. 第 5 步（推到 15）：$a_{13}=\underline{1705}$，$a_{14}=\underline{3136}$，$a_{15}=\underline{5768}$。
    最终答案：$5768$ 种。
  22. 9. ch12-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（最小情形）：$1$ 台 $1$ 种，$2$ 台 $2$ 种，$3$ 台 $\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步（按最后一天分类）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{7}$，$a_5=\underline{13}$，$a_6=\underline{24}$，$a_7=\underline{44}$，$a_8=\underline{81}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_9=\underline{149}$，$a_{10}=\underline{274}$，$a_{11}=\underline{504}$，$a_{12}=\underline{927}$。
    5. 第 5 步（推到 15）：$a_{13}=\underline{1705}$，$a_{14}=\underline{3136}$，$a_{15}=\underline{5768}$。
    最终答案：$5768$ 种。
  23. 9. ch12-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：每个加数就是「一天写的篇数」，问题与 $15$ 篇作文完全相同。$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=\underline{4}$。
    2. 第 2 步（按最后一个加数分类）：最后一个加数是 $1,2,3$ 之一，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{7}$，$a_5=\underline{13}$，$a_6=\underline{24}$，$a_7=\underline{44}$，$a_8=\underline{81}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_9=\underline{149}$，$a_{10}=\underline{274}$，$a_{11}=\underline{504}$，$a_{12}=\underline{927}$。
    5. 第 5 步（推到 15）：$a_{13}=\underline{1705}$，$a_{14}=\underline{3136}$，$a_{15}=\underline{5768}$。
    最终答案：$5768$ 种。
  24. 9. ch12-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，$a_4=\underline{8}$。
    2. 第 2 步（升为四阶）：最后一天可写 $1,2,3,4$ 篇，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-4}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_5=\underline{15}$，$a_6=\underline{29}$，$a_7=\underline{56}$，$a_8=\underline{108}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_9=\underline{208}$，$a_{10}=\underline{401}$，$a_{11}=\underline{773}$，$a_{12}=\underline{1490}$。
    5. 第 5 步（推到 15）：$a_{13}=\underline{2872}$，$a_{14}=\underline{5536}$，$a_{15}=\underline{10671}$。
    最终答案：$10671$ 种。
  25. 10. ch12-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=1$，$a_3=\underline{2}$（全竖放或三块横放）。
    2. 第 2 步（看最左一列）：或竖放一块盖住该列（剩 $(n-1)\times3$），或横放三块盖住最左三列（剩 $(n-3)\times3$），故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=2+1=\underline{3}$，$a_5=3+1=\underline{4}$，$a_6=4+2=\underline{6}$，$a_7=6+3=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{13}$，$a_9=\underline{19}$，$a_{10}=\underline{28}$。
    5. 第 5 步（推到 13）：$a_{11}=\underline{41}$，$a_{12}=\underline{60}$，$a_{13}=\underline{88}$。
    最终答案：$88$ 种。
  26. 10. ch12-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（最小情形）：长 $1$、$2$ 时都只有 $1$ 种；长 $3$ 时有 $\underline{2}$ 种。
    2. 第 2 步（看最左一列）：竖放一块或横放三块，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{3}$，$a_5=\underline{4}$，$a_6=\underline{6}$，$a_7=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{13}$，$a_9=\underline{19}$，$a_{10}=\underline{28}$。
    5. 第 5 步（推到 13）：$a_{11}=\underline{41}$，$a_{12}=\underline{60}$，$a_{13}=\underline{88}$。
    最终答案：$88$ 种。
  27. 10. ch12-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：一块竖放砖 $\Leftrightarrow$ 一块 $1$ 米石板，三块横放砖 $\Leftrightarrow$ 一块 $3$ 米石板，于是仍有 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$，且 $a_1=1,a_2=1,a_3=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（列表递推）：$a_4=\underline{3}$，$a_5=\underline{4}$，$a_6=\underline{6}$，$a_7=\underline{9}$。
    3. 第 3 步（继续）：$a_8=\underline{13}$，$a_9=\underline{19}$，$a_{10}=\underline{28}$。
    4. 第 4 步（推到 12）：$a_{11}=\underline{41}$，$a_{12}=\underline{60}$。
    最终答案：$60$ 种。
  28. 10. ch12-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（先求总数）：由 $a_1=1,a_2=1,a_3=2$ 与 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$ 递推：$a_4=\underline{3}$，$a_5=\underline{4}$，$a_6=\underline{6}$，$a_7=\underline{9}$。
    2. 第 2 步（继续推到 13）：$a_8=\underline{13}$，$a_9=\underline{19}$，$a_{10}=\underline{28}$，$a_{11}=\underline{41}$，$a_{12}=\underline{60}$，$a_{13}=\underline{88}$。
    3. 第 3 步（减去 $3$ 米石板用 $0$ 块的）：全用 $1$ 米石板只有 $\underline{1}$ 种。
    4. 第 4 步（减去恰好用 $1$ 块的）：此时是 $1$ 块 $3$ 米加上 $10$ 块 $1$ 米，共 $11$ 块石板排成一排，只要定出那块 $3$ 米石板排在第几位即可，有 $\underline{11}$ 种。
    5. 第 5 步（用补集）：$88-1-11=\underline{76}$ 种。
    最终答案：$76$ 种。
  29. 11. ch12-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（枚举小情形）：$1$ 块 $1$ 种；$2$ 块只有 $1+1$，$1$ 种；$3$ 块有 $3$、$1+1+1$，$\underline{2}$ 种；$4$ 块有 $1+3,3+1,1+1+1+1$，$\underline{3}$ 种。
    2. 第 2 步（发现规律）：$1,1,2,3,\cdots$ 是斐波那契型，即 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_5=\underline{5}$，$a_6=\underline{8}$，$a_7=\underline{13}$，$a_8=\underline{21}$，$a_9=\underline{34}$，$a_{10}=\underline{55}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_{11}=\underline{89}$，$a_{12}=\underline{144}$，$a_{13}=\underline{233}$。
    5. 第 5 步（推到 16）：$a_{14}=\underline{377}$，$a_{15}=\underline{610}$，$a_{16}=\underline{987}$。
    最终答案：$987$ 种。
  30. 11. ch12-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（枚举小情形）：$1$ 箱 $1$ 种；$2$ 箱 $1$ 种；$3$ 箱 $\underline{2}$ 种；$4$ 箱 $\underline{3}$ 种。
    2. 第 2 步（发现规律）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_5=\underline{5}$，$a_6=\underline{8}$，$a_7=\underline{13}$，$a_8=\underline{21}$，$a_9=\underline{34}$，$a_{10}=\underline{55}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_{11}=\underline{89}$，$a_{12}=\underline{144}$，$a_{13}=\underline{233}$。
    5. 第 5 步（推到 16）：$a_{14}=\underline{377}$，$a_{15}=\underline{610}$，$a_{16}=\underline{987}$。
    最终答案：$987$ 种。
  31. 11. ch12-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：每步迈的级数就是「每天吃的块数」，仍是把 $15$ 有序拆成若干奇数之和。$a_1=1,\ a_2=1,\ a_3=\underline{2}$，$a_4=\underline{3}$。
    2. 第 2 步（递推）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_5=\underline{5}$，$a_6=\underline{8}$，$a_7=\underline{13}$，$a_8=\underline{21}$，$a_9=\underline{34}$，$a_{10}=\underline{55}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_{11}=\underline{89}$，$a_{12}=\underline{144}$，$a_{13}=\underline{233}$。
    5. 第 5 步（推到 15）：$a_{14}=\underline{377}$，$a_{15}=\underline{610}$。
    最终答案：$610$ 种。
  32. 11. ch12-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（想到转化）：每天吃的都是偶数块，把每天的块数都除以 $2$，问题就变成「把 $16\div2=\underline{8}$ 有序拆成若干个正整数之和」。
    2. 第 2 步（用挡板法）：把 $8$ 个单位排成一排，相邻单位之间有 $8-1=\underline{7}$ 个空隙，每个空隙可断可不断，断开处就是换一天。
    3. 第 3 步（分步乘法）：每个空隙有 $2$ 种选择，共 $2^{7}=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=\underline{128}$ 种。
    4. 第 4 步（写出答案）：共 $\underline{128}$ 种吃法。
    最终答案：$128$ 种。
  33. 12. ch12-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（算交点）：第十二条直线与前面 $11$ 条直线最多各交于 $1$ 点，共 $\underline{11}$ 个交点。
    2. 第 2 步（算段数）：$11$ 个交点把这条直线分成 $11+1=\underline{12}$ 段。
    3. 第 3 步（每段增一个区域）：每一段都落在某个原有区域内，把它一分为二，故最多增加 $\underline{12}$ 个区域。
    最终答案：最多增加 $12$ 个区域。
  34. 12. ch12-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（算交点）：新直线与已有 $11$ 条直线最多交于 $\underline{11}$ 个点。
    2. 第 2 步（算段数）：被分成 $\underline{12}$ 段。
    3. 第 3 步（增量）：最多增加 $\underline{12}$ 个区域。
    最终答案：最多增加 $12$ 个区域。
  35. 12. ch12-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（算交点）：两个圆最多有 $2$ 个交点，故第 $7$ 个圆与前面 $6$ 个圆最多有 $6\times2=\underline{12}$ 个交点。
    2. 第 2 步（算段数）：圆周是**封闭**曲线，$12$ 个点把圆周分成 $\underline{12}$ 段弧（不像直线要 $+1$）。
    3. 第 3 步（增量）：每段弧把一个原有区域一分为二，故最多增加 $\underline{12}$ 个区域。
    最终答案：最多增加 $12$ 个区域。
  36. 12. ch12-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（与直线的交点）：新直线与已有 $6$ 条直线最多各交 $1$ 点，共 $\underline{6}$ 个。
    2. 第 2 步（与圆的交点）：一条直线与一个圆最多交于 $2$ 点，与 $2$ 个圆共 $2\times2=\underline{4}$ 个。
    3. 第 3 步（算总交点与段数）：共 $6+4=\underline{10}$ 个交点，把新直线分成 $10+1=\underline{11}$ 段。
    4. 第 4 步（增量）：每段把一个原有区域一分为二，最多增加 $\underline{11}$ 个区域。
    最终答案：最多增加 $11$ 个区域。
  37. 13. ch12-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（直线的增量）：第 $k$ 条直线与前面 $k-1$ 条最多交于 $k-1$ 点，被分成 $k$ 段，新增 $k$ 个区域。
    2. 第 2 步（直线求和）：$1+2+\cdots+12=\dfrac{12\times13}{2}=\underline{78}$，故共 $1+78=\underline{79}$ 个部分。
    3. 第 3 步（圆的增量）：第 $k$ 个圆与前面 $k-1$ 个圆最多交于 $2(k-1)$ 点，圆周被分成 $2(k-1)$ 段弧，新增 $2(k-1)$ 个区域。
    4. 第 4 步（圆求和）：新增量依次为 $2,4,6,\cdots,22$，$2+4+\cdots+22=\dfrac{(2+22)\times11}{2}=\underline{132}$。
    5. 第 5 步（圆的总数）：从 $1$ 个圆的 $2$ 部分起算，共 $2+132=\underline{134}$ 个部分。
    最终答案：$12$ 条直线最多 $79$ 个部分；$12$ 个圆最多 $134$ 个部分。
  38. 13. ch12-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（绳子的增量）：第 $k$ 条绳子最多新增 $k$ 块。
    2. 第 2 步（求和）：$1+2+\cdots+12=\underline{78}$，共 $\underline{79}$ 块。
    3. 第 3 步（围栏的增量）：第 $k$ 个圆形围栏最多新增 $2(k-1)$ 块。
    4. 第 4 步（求和）：$2+4+\cdots+22=\underline{132}$。
    5. 第 5 步（总数）：共 $\underline{134}$ 块。
    最终答案：绳子最多分成 $79$ 块；圆形围栏最多分成 $134$ 块。
  39. 13. ch12-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（直线求和）：$1+2+\cdots+10=\dfrac{10\times11}{2}=\underline{55}$，共 $1+55=\underline{56}$ 个部分。
    2. 第 2 步（圆的增量）：依次为 $2,4,6,\cdots,18$。
    3. 第 3 步（圆求和）：$2+4+\cdots+18=\dfrac{(2+18)\times9}{2}=\underline{90}$。
    4. 第 4 步（圆的总数）：$2+90=\underline{92}$ 个部分。
    最终答案：$10$ 条直线最多 $56$ 个部分；$10$ 个圆最多 $92$ 个部分。
  40. 13. ch12-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（先画直线）：$8$ 条直线最多分成 $1+(1+2+\cdots+8)=1+36=\underline{37}$ 个部分。
    2. 第 2 步（每个圆与直线的交点）：一个圆与一条直线最多交 $2$ 点，与 $8$ 条直线共 $8\times2=\underline{16}$ 个点。
    3. 第 3 步（第 $k$ 个圆的增量）：再加上与前面 $k-1$ 个圆的 $2(k-1)$ 个交点，故第 $k$ 个圆新增 $16+2(k-1)$ 个区域，依次为 $16,18,20,22,24,26,28,\underline{30}$。
    4. 第 4 步（圆的增量求和）：$16+18+20+22+24+26+28+30=\dfrac{(16+30)\times8}{2}=\underline{184}$。
    5. 第 5 步（合计）：$37+184=\underline{221}$ 个部分。
    最终答案：$221$ 个部分。
  41. 14. ch12-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（列表与规则）：记 $(\text{红},\text{黄},\text{绿},\text{蓝})$，起始 $(1,0,0,0)$；新值 $=$ 另外三人旧值之和。
    2. 第 2 步（第 1~3 次）：$(0,1,1,1)$；第 2 次红 $=1+1+1=\underline{3}$，得 $(3,2,2,2)$；第 3 次红 $=2+2+2=\underline{6}$，得 $(6,7,7,7)$。
    3. 第 3 步（第 4、5 次）：第 4 次红 $=7\times3=\underline{21}$，得 $(21,20,20,20)$；第 5 次红 $=20\times3=\underline{60}$，得 $(60,61,61,61)$。
    4. 第 4 步（第 6、7 次）：第 6 次红 $=61\times3=\underline{183}$；第 7 次红 $=182\times3=\underline{546}$。
    5. 第 5 步（第 8~10 次）：第 8 次红 $=547\times3=\underline{1641}$；第 9 次红 $=1640\times3=\underline{4920}$；第 10 次红 $=4921\times3=\underline{14763}$。
    最终答案：$14763$ 种。
  42. 14. ch12-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步（列表与规则）：记 $(A,B,C,D)$，起始 $(1,0,0,0)$；新值 $=$ 另外三台的旧值之和。
    2. 第 2 步（第 1~3 次）：$(0,1,1,1)$；第 2 次 $A=\underline{3}$；第 3 次 $A=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（第 4、5 次）：$A$ 分别为 $\underline{21}$、$\underline{60}$。
    4. 第 4 步（第 6、7 次）：$A$ 分别为 $\underline{183}$、$\underline{546}$。
    5. 第 5 步（第 8~10 次）：$A$ 分别为 $\underline{1641}$、$\underline{4920}$、$\underline{14763}$。
    最终答案：$14763$ 种。
  43. 14. ch12-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（列表）：起始 $(\text{红},\text{黄},\text{绿},\text{蓝})=(1,0,0,0)$，新值 $=$ 另外三人旧值之和。
    2. 第 2 步（第 1~3 次）：$(0,1,1,1)$；第 2 次黄 $=1+0+1=\underline{2}$，得 $(3,2,2,2)$；第 3 次黄 $=3+2+2=\underline{7}$，得 $(6,7,7,7)$。
    3. 第 3 步（第 4、5 次）：第 4 次黄 $=6+7+7=\underline{20}$，得 $(21,20,20,20)$；第 5 次黄 $=21+20+20=\underline{61}$，得 $(60,61,61,61)$。
    4. 第 4 步（第 6、7 次）：第 6 次黄 $=60+61+61=\underline{182}$；第 7 次黄 $=183+182+182=\underline{547}$。
    5. 第 5 步（第 8 次并读黄列）：黄 $=546+547+547=\underline{1640}$ 种。
    最终答案：$1640$ 种。
  44. 14. ch12-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（改成五列）：记 $(\text{甲},\text{乙},\text{丙},\text{丁},\text{戊})$，起始 $(1,0,0,0,0)$；新值 $=$ **另外四人**旧值之和。
    2. 第 2 步（第 1~3 次）：$(0,1,1,1,1)$；第 2 次甲 $=1\times4=\underline{4}$，得 $(4,3,3,3,3)$；第 3 次甲 $=3\times4=\underline{12}$，得 $(12,13,13,13,13)$。
    3. 第 3 步（第 4、5 次）：第 4 次甲 $=13\times4=\underline{52}$，得 $(52,51,51,51,51)$；第 5 次甲 $=51\times4=\underline{204}$，得 $(204,205,205,205,205)$。
    4. 第 4 步（第 6、7 次）：第 6 次甲 $=205\times4=\underline{820}$，得 $(820,819,819,819,819)$；第 7 次甲 $=819\times4=\underline{3276}$，得 $(3276,3277,3277,3277,3277)$。
    5. 第 5 步（第 8 次并读甲列）：甲 $=3277\times4=\underline{13108}$ 种。
    最终答案：$13108$ 种。
  45. 15. ch12-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（先固定首格）：设第 $1$ 部分染红，起始行 $(\text{红},\text{黄},\text{蓝})=(1,0,0)$；转移规则是「某格染某色的方法数 $=$ 上一格染另外两色的方法数之和」。
    2. 第 2 步（第 2~5 格）：$(0,1,1)$；第 3 格红 $=1+1=\underline{2}$，得 $(2,1,1)$；第 4 格黄 $=2+1=\underline{3}$，得 $(2,3,3)$；第 5 格红 $=3+3=\underline{6}$，得 $(6,5,5)$。
    3. 第 3 步（第 6~8 格）：第 6 格红 $=5+5=\underline{10}$，得 $(10,11,11)$；第 7 格红 $=11+11=\underline{22}$，得 $(22,21,21)$；第 8 格红 $=21+21=\underline{42}$，得 $(42,43,43)$。
    4. 第 4 步（第 9、10 格）：第 9 格红 $=43+43=\underline{86}$，得 $(86,85,85)$；第 10 格红 $=85+85=\underline{170}$，得 $(170,171,171)$。
    5. 第 5 步（首尾相邻 + 对称性）：第 $10$ 格不能染红，故首格为红时有 $171+171=\underline{342}$ 种；首格三色对称，总数 $=342\times3=\underline{1026}$ 种。
    最终答案：$1026$ 种。
  46. 15. ch12-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（先固定首格为红）：起始行 $(1,0,0)$，转移规则同上。
    2. 第 2 步（第 2~5 格）：$(0,1,1)$；第 3 格红 $=\underline{2}$；第 4 格黄 $=\underline{3}$；第 5 格红 $=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（第 6~8 格）：红分别为 $\underline{10}$、$\underline{22}$、$\underline{42}$。
    4. 第 4 步（第 9、10 格）：红分别为 $\underline{86}$、$\underline{170}$。
    5. 第 5 步（首尾相邻 + 对称性）：首格为红时 $\underline{342}$ 种，总数 $\underline{1026}$ 种。
    最终答案：$1026$ 种。
  47. 15. ch12-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（起始行）：第 $1$ 部分染红，$(\text{红},\text{黄},\text{蓝})=(1,0,0)$。
    2. 第 2 步（第 2~5 格）：$(0,1,1)$；第 3 格红 $=\underline{2}$；第 4 格黄 $=\underline{3}$；第 5 格红 $=\underline{6}$。
    3. 第 3 步（第 6~8 格）：第 6 格红 $=\underline{10}$；第 7 格红 $=\underline{22}$；第 8 格红 $=\underline{42}$，得 $(42,43,43)$。
    4. 第 4 步（首尾相邻）：第 $8$ 格与第 $1$ 格相邻不能染红，答案 $=43+43=\underline{86}$ 种（这一问不必再乘 $3$）。
    最终答案：$86$ 种。
  48. 15. ch12-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（列四列）：设第 $1$ 部分染红，起始行 $(\text{红},\text{黄},\text{蓝},\text{绿})=(1,0,0,0)$；某格染某色的方法数 $=$ 上一格染**另外三色**的方法数之和。
    2. 第 2 步（第 2~4 格）：$(0,1,1,1)$；第 3 格红 $=1+1+1=\underline{3}$，得 $(3,2,2,2)$；第 4 格红 $=2+2+2=\underline{6}$，得 $(6,7,7,7)$。
    3. 第 3 步（第 5、6 格）：第 5 格红 $=7\times3=\underline{21}$，得 $(21,20,20,20)$；第 6 格红 $=20\times3=\underline{60}$，得 $(60,61,61,61)$。
    4. 第 4 步（第 7、8 格）：第 7 格红 $=61\times3=\underline{183}$，得 $(183,182,182,182)$；第 8 格红 $=182\times3=\underline{546}$，得 $(546,547,547,547)$。
    5. 第 5 步（首尾相邻 + 对称性）：第 $8$ 格不能染红，首格为红时有 $547\times3=\underline{1641}$ 种；首格有 $4$ 种对称选择，总数 $=1641\times4=\underline{6564}$ 种。
    最终答案：$6564$ 种。
  49. 16. ch12-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（最小情形）：$C_0=1$（没有点，算 $1$ 种），$C_1=1$（$2$ 个点只能连 $1$ 条弦）。
    2. 第 2 步（递推式）：看 $A_1$ 连向谁——这条弦把其余点分成两段，两段点数都必须是偶数，两段互不影响，故 $C_n=C_0C_{n-1}+C_1C_{n-2}+\cdots+C_{n-1}C_0$。
    3. 第 3 步（$4$、$6$ 个点）：$C_2=1\times1+1\times1=\underline{2}$；$C_3=1\times2+1\times1+2\times1=\underline{5}$。
    4. 第 4 步（$8$、$10$ 个点）：$C_4=1\times5+1\times2+2\times1+5\times1=\underline{14}$；$C_5=1\times14+1\times5+2\times2+5\times1+14\times1=\underline{42}$。
    5. 第 5 步（$12$、$14$ 个点）：$C_6=1\times42+1\times14+2\times5+5\times2+14\times1+42\times1=\underline{132}$；$C_7=1\times132+1\times42+2\times14+5\times5+14\times2+42\times1+132\times1=\underline{429}$。
    最终答案：$429$ 种。
  50. 16. ch12-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：把同学看成圆周上的点，一次击掌就是一条弦，「手臂不交叉」就是「弦互不相交」。$C_0=1,\ C_1=1$。
    2. 第 2 步（递推式）：按第 $1$ 位同学与谁击掌分类，两侧人数都必须是偶数，故 $C_n=C_0C_{n-1}+\cdots+C_{n-1}C_0$。
    3. 第 3 步（$4$、$6$ 人）：$C_2=\underline{2}$；$C_3=\underline{5}$。
    4. 第 4 步（$8$、$10$ 人）：$C_4=\underline{14}$；$C_5=\underline{42}$。
    5. 第 5 步（$12$、$14$ 人）：$C_6=\underline{132}$；$C_7=\underline{429}$。
    最终答案：$429$ 种。
  51. 16. ch12-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：把左括号看成弦的一个端点、右括号看成另一个端点，「括号正确配对」与「弦互不相交」是同一件事，仍有 $C_0=1,\ C_1=1$ 与 $C_n=C_0C_{n-1}+\cdots+C_{n-1}C_0$。
    2. 第 2 步（$2$、$3$ 对）：$C_2=\underline{2}$；$C_3=\underline{5}$。
    3. 第 3 步（$4$、$5$ 对）：$C_4=\underline{14}$；$C_5=\underline{42}$。
    4. 第 4 步（$6$ 对）：$C_6=\underline{132}$ 种。
    最终答案：$132$ 种。
  52. 16. ch12-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（先求总数）：由 $C_0=C_1=1$、$C_n=C_0C_{n-1}+\cdots+C_{n-1}C_0$ 递推，$C_2=\underline{2}$，$C_3=\underline{5}$，$C_4=\underline{14}$，$C_5=\underline{42}$，$C_6=\underline{132}$。
    2. 第 2 步（数反面）：若 $A_1$ 与 $A_2$ 相连，这条弦把其余 $10$ 个点全留在同一侧，它们要连成 $5$ 条互不相交的弦，方法数就是 $C_5=\underline{42}$。
    3. 第 3 步（用补集）：所求 $=132-42=\underline{90}$ 种。
    最终答案：$90$ 种。
  53. 17. ch12-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（最小情形）：$a_0=1$，$a_1=1$，$a_2=1$，$a_3=\underline{2}$（$1{+}1{+}1$ 与 $3$）。
    2. 第 2 步（按最后一位分类）：最后一位是 $1$、$3$ 或 $4$，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-4}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=2+1+1=\underline{4}$，$a_5=\underline{6}$，$a_6=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_7=\underline{15}$，$a_8=\underline{25}$，$a_9=\underline{40}$。
    5. 第 5 步（推到 12）：$a_{10}=\underline{64}$，$a_{11}=\underline{104}$，$a_{12}=\underline{169}$。
    最终答案：$169$ 个。
  54. 17. ch12-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（最小情形）：$a_0=1$，$a_1=1$，$a_2=1$，$a_3=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（按最后一张券分类）：最后一张是 $1$ 元、$3$ 元或 $4$ 元，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-4}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{4}$，$a_5=\underline{6}$，$a_6=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_7=\underline{15}$，$a_8=\underline{25}$，$a_9=\underline{40}$。
    5. 第 5 步（推到 12）：$a_{10}=\underline{64}$，$a_{11}=\underline{104}$，$a_{12}=\underline{169}$。
    最终答案：$169$ 种。
  55. 17. ch12-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（最小情形）：$a_0=1$，$a_1=1$，$a_2=\underline{2}$（$1{+}1$ 与 $2$），$a_3=\underline{3}$（$1{+}1{+}1,\,1{+}2,\,2{+}1$）。
    2. 第 2 步（按最后一位分类）：最后一位是 $1$、$2$ 或 $5$，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-5}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=3+2=\underline{5}$，$a_5=5+3+1=\underline{9}$，$a_6=9+5+1=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_7=15+9+2=\underline{26}$，$a_8=26+15+3=\underline{44}$。
    5. 第 5 步（推到 9）：$a_9=44+26+5=\underline{75}$ 个。
    最终答案：$75$ 个。
  56. 17. ch12-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（先求总数）：由 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-4}$（$a_0=a_1=a_2=1,\ a_3=2$）递推：$a_4=\underline{4}$，$a_5=\underline{6}$，$a_6=\underline{9}$，$a_7=\underline{15}$，$a_8=\underline{25}$。
    2. 第 2 步（继续推到 12）：$a_9=\underline{40}$，$a_{10}=\underline{64}$，$a_{11}=\underline{104}$，$a_{12}=\underline{169}$。
    3. 第 3 步（数反面：一个 $4$ 都不含）：这时只能用 $1$ 和 $3$，递推变成 $b_n=b_{n-1}+b_{n-3}$，$b_0=b_1=b_2=1$；于是 $b_3=\underline{2}$，$b_4=\underline{3}$，$b_5=\underline{4}$，$b_6=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（继续推 $b$）：$b_7=\underline{9}$，$b_8=\underline{13}$，$b_9=\underline{19}$，$b_{10}=\underline{28}$，$b_{11}=\underline{41}$，$b_{12}=\underline{60}$。
    5. 第 5 步（用补集）：$169-60=\underline{109}$ 个。
    最终答案：$109$ 个。
  57. 18. ch12-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（分类标准）：按位数分类；$k$ 位数中恰有 $j$ 个奇数位的个数为 $C_k^j\times5^k-C_{k-1}^{j}\times5^{k-1}$（后一项扣掉首位为 $0$ 的）。
    2. 第 2 步（一、二位数）：一位数有 $5$ 个；两位数两位都是奇数，$5\times5=\underline{25}$ 个。
    3. 第 3 步（三位数）：恰 $2$ 个奇位 $C_3^2\times125-C_2^2\times25=3\times125-25=\underline{350}$，全奇 $125$，共 $\underline{475}$ 个。
    4. 第 4 步（四位数）：恰 $3$ 个奇位 $C_4^3\times625-C_3^3\times125=4\times625-125=\underline{2375}$，全奇 $625$，共 $\underline{3000}$ 个。
    5. 第 5 步（五位数）：恰 $3$ 个奇位 $C_5^3\times3125-C_4^3\times625=10\times3125-4\times625=\underline{28750}$；恰 $4$ 个 $C_5^4\times3125-C_4^4\times625=5\times3125-625=\underline{15000}$；全奇 $3125$。合计 $28750+15000+3125=\underline{46875}$ 个。
    6. 第 6 步（求和）：$100000$ 本身有 $1$ 个奇位、$5$ 个偶位，不满足，故共 $5+25+475+3000+46875=\underline{50380}$ 个。
    最终答案：$50380$ 个。
  58. 18. ch12-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（分类标准）：按位数分类，$k$ 位数中恰有 $j$ 个奇数位的个数为 $C_k^j\times5^k-C_{k-1}^{j}\times5^{k-1}$。
    2. 第 2 步（一、二位）：$5$ 个；$\underline{25}$ 个。
    3. 第 3 步（三位）：$\underline{350}$ 与 $125$，共 $\underline{475}$ 个。
    4. 第 4 步（四位）：$\underline{2375}$ 与 $625$，共 $\underline{3000}$ 个。
    5. 第 5 步（五位）：$\underline{28750}$、$\underline{15000}$ 与 $3125$，共 $\underline{46875}$ 个。
    6. 第 6 步（求和）：共 $\underline{50380}$ 个。
    最终答案：$50380$ 个。
  59. 18. ch12-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（换成数偶数位）：$k$ 位数中恰有 $j$ 个**奇数**位的个数仍是 $C_k^j\times5^k-C_{k-1}^{j}\times5^{k-1}$，现在要的是 $j$ 小的那些类。
    2. 第 2 步（一位数）：需 $j=0$，即数字是偶数且非零，共 $C_1^0\times5-C_0^0\times1=5-1=\underline{4}$ 个。
    3. 第 3 步（两位数）：需 $j=0$，$C_2^0\times25-C_1^0\times5=25-5=\underline{20}$ 个。
    4. 第 4 步（三位数）：$j=0$ 时 $125-25=\underline{100}$；$j=1$ 时 $3\times125-2\times25=\underline{325}$；共 $\underline{425}$ 个。
    5. 第 5 步（四位数）：$j=0$ 时 $625-125=\underline{500}$；$j=1$ 时 $4\times625-3\times125=\underline{2125}$；共 $\underline{2625}$ 个。
    6. 第 6 步（别忘了 $10000$）：它有 $1$ 个奇位、$4$ 个偶位，符合条件，要加上 $1$。合计 $4+20+425+2625+1=\underline{3075}$ 个。
    最终答案：$3075$ 个。
  60. 18. ch12-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（多一个限制）：数本身是偶数 $\Rightarrow$ 末位必是偶数数字，于是末位这一位一定算进「偶数位」里。
    2. 第 2 步（一、两位数）：一位数末位为偶，奇位 $0$ 个不多于偶位 $1$ 个，有 $0$ 个；两位数末位为偶，奇位最多 $1$ 个、偶位至少 $1$ 个，也有 $\underline{0}$ 个。
    3. 第 3 步（三位数）：末位偶，要奇位多就必须前两位**都是奇数**，故有 $5\times5\times5=\underline{125}$ 个。
    4. 第 4 步（四位数）：末位偶，要奇位多（至少 $3$ 个）就必须前三位都是奇数，故有 $5\times5\times5\times5=\underline{625}$ 个。
    5. 第 5 步（$10000$）：它是偶数，但只有 $1$ 个奇位、$4$ 个偶位，不满足。
    6. 第 6 步（求和）：$0+0+125+625=\underline{750}$ 个。
    最终答案：$750$ 个。
  61. 19. ch12-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（分类标准）：按 $75$ **首次**出现的位置分类，这样各类不重复；前面的位必须不含 $75$，后面的位任填。
    2. 第 2 步（先备好「不含 75」的个数）：$N_1=9$；$N_2=90-1=\underline{89}$；$N_3=900-(10+9)=\underline{881}$；$N_4=9000-(100+90+90-1)=\underline{8721}$。
    3. 第 3 步（再算 $N_5$）：五位数中**含** $75$ 的个数按同样分类为 $1000+9\times100+89\times10+881=\underline{3671}$，故 $N_5=90000-3671=\underline{86329}$。
    4. 第 4 步（逐位置计数）：$75$ 在第 $1,2$ 位有 $10^5=\underline{100000}$ 个；在第 $2,3$ 位有 $9\times10^4=\underline{90000}$ 个；在第 $3,4$ 位有 $89\times10^3=\underline{89000}$ 个。
    5. 第 5 步（继续）：在第 $4,5$ 位有 $881\times100=\underline{88100}$ 个；在第 $5,6$ 位有 $8721\times10=\underline{87210}$ 个；在第 $6,7$ 位有 $\underline{86329}$ 个。
    6. 第 6 步（求和）：$100000+90000+89000+88100+87210+86329=\underline{540639}$ 个。
    最终答案：$540639$ 个。
  62. 19. ch12-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（分类标准）：按 $75$ 首次出现的位置分类，前缀不含 $75$、后缀任填。
    2. 第 2 步（不含 75 的前缀个数）：$N_1=9$；$N_2=\underline{89}$；$N_3=\underline{881}$；$N_4=\underline{8721}$。
    3. 第 3 步（$N_5$）：五位数中含 $75$ 的有 $\underline{3671}$ 个，故 $N_5=\underline{86329}$。
    4. 第 4 步（逐位置计数）：依次为 $\underline{100000}$、$\underline{90000}$、$\underline{89000}$、$\underline{88100}$、$\underline{87210}$、$\underline{86329}$。
    5. 第 5 步（求和）：共 $\underline{540639}$ 个。
    最终答案：$540639$ 个。
  63. 19. ch12-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（注意首位）：因为首位不能是 $0$，所以 $05$ **不可能**出现在第 $1,2$ 位，这一类是 $\underline{0}$ 个。
    2. 第 2 步（备好「不含 05」的前缀个数）：$M_1=9$；两位数首位非零，一定不含 $05$，$M_2=\underline{90}$；三位数中含 $05$ 的只有 $\square05$ 共 $9$ 个，$M_3=900-9=\underline{891}$；四位数中含 $05$ 的有 $\square05\square$ 与 $\square\square05$ 各 $90$ 个，$M_4=9000-180=\underline{8820}$。
    3. 第 3 步（逐位置计数）：$05$ 在第 $2,3$ 位有 $9\times10^3=\underline{9000}$ 个；在第 $3,4$ 位有 $90\times100=\underline{9000}$ 个。
    4. 第 4 步（继续）：在第 $4,5$ 位有 $891\times10=\underline{8910}$ 个；在第 $5,6$ 位有 $\underline{8820}$ 个。
    5. 第 5 步（求和）：$0+9000+9000+8910+8820=\underline{35730}$ 个。
    最终答案：$35730$ 个。
  64. 19. ch12-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（新限制）：是 $5$ 的倍数 $\Leftrightarrow$ 末位是 $0$ 或 $5$，即末位只有 $\underline{2}$ 种选择。仍按 $75$ 首次出现的位置分类。
    2. 第 2 步（$75$ 在第 $1,2$ 位）：第 $3,4,5$ 位任填、末位 $2$ 选 $1$，共 $10\times10\times10\times2=\underline{2000}$ 个。
    3. 第 3 步（$75$ 在第 $2,3$ 位、第 $3,4$ 位）：分别为 $9\times10\times10\times2=\underline{1800}$ 个、$89\times10\times2=\underline{1780}$ 个（前缀不含 $75$ 的个数分别是 $9$、$89$）。
    4. 第 4 步（$75$ 在第 $4,5$ 位）：前三位不含 $75$ 共 $881$ 种，末位 $2$ 选 $1$，共 $881\times2=\underline{1762}$ 个。
    5. 第 5 步（$75$ 在第 $5,6$ 位）：此时末位本身就是 $5$，自动满足整除条件，前四位不含 $75$ 共 $\underline{8721}$ 个。
    6. 第 6 步（求和）：$2000+1800+1780+1762+8721=\underline{16063}$ 个。
    最终答案：$16063$ 个。
  65. 20. ch12-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（小情形）：$1$ 个数有 $1$ 种；$2$ 个数有 $2$ 种；$3$ 个数有 $\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步（找规律）：每多排一个数，这个数只能取「剩下的数中最大的」或「最小的」，共 $2$ 种选择，故 $a_n=2a_{n-1}$。
    3. 第 3 步（列表）：$a_4=\underline{8}$，$a_5=\underline{16}$，$a_6=\underline{32}$，$a_7=\underline{64}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{128}$，$a_9=\underline{256}$，$a_{10}=\underline{512}$。
    最终答案：$512$ 种。
  66. 20. ch12-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（小情形）：$1$ 人 $1$ 种；$2$ 人 $2$ 种；$3$ 人 $\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步（找规律）：每加一人，他只能是「剩下人中最高的」或「最矮的」，$2$ 种选择，故 $a_n=2a_{n-1}$。
    3. 第 3 步（列表）：$a_4=\underline{8}$，$a_5=\underline{16}$，$a_6=\underline{32}$，$a_7=\underline{64}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{128}$，$a_9=\underline{256}$，$a_{10}=\underline{512}$。
    最终答案：$512$ 种。
  67. 20. ch12-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（想清结构）：最后一个数是 $1$，说明它小于前面所有数，这是允许的；而前面 $9$ 个数正好是 $2\sim10$，它们自己也要满足同样的条件。
    2. 第 2 步（化为子问题）：$2\sim10$ 这 $9$ 个数的相对大小关系与 $1\sim9$ 完全一样，所以就是求 $9$ 个数的排法数。
    3. 第 3 步（用规律）：$a_n=2a_{n-1}$，$a_1=1$，故 $a_9=2^{8}=\underline{256}$。
    4. 第 4 步（写出答案）：共 $\underline{256}$ 种。
    最终答案：$256$ 种。
  68. 20. ch12-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（先求总数）：$a_n=2a_{n-1}$，$a_1=1$，故 $a_{10}=2^{9}=\underline{512}$ 种。
    2. 第 2 步（找对称）：把每个数 $x$ 换成 $11-x$，「大于前面所有数」与「小于前面所有数」互换，所以合法排法仍然合法，这是一个一一对应。
    3. 第 3 步（对应关系）：在这个对应下，$1$ 与 $10$ 互换位置，于是「$1$ 在 $10$ 前面」的排法与「$10$ 在 $1$ 前面」的排法**一一配对**，个数相等。
    4. 第 4 步（对半分）：两类合起来正好是全部，故所求 $=512\div2=\underline{256}$ 种。
    最终答案：$256$ 种。
  69. 21. ch12-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（列表与规则）：列三列（末位为 $1,2,3$），第 $1$ 行 $(1,1,1)$；末位为 $1$ 的新值 $=$ 上一行 $2,3$ 两列之和，末位为 $2$ 或 $3$ 的新值 $=$ 上一行三数之和。
    2. 第 2 步（第 2、3 行）：第 2 行 $1$ 列 $=1+1=\underline{2}$，$2$ 列 $=1+1+1=\underline{3}$，得 $(2,3,3)$；第 3 行 $1$ 列 $=3+3=\underline{6}$，$2$ 列 $=2+3+3=\underline{8}$，得 $(6,8,8)$。
    3. 第 3 步（第 4、5 行）：第 4 行 $(16,22,22)$，其中 $1$ 列 $=8+8=\underline{16}$，$2$ 列 $=6+8+8=\underline{22}$；第 5 行 $1$ 列 $=22+22=\underline{44}$，$2$ 列 $=16+22+22=\underline{60}$，得 $(44,60,60)$。
    4. 第 4 步（第 6、7 行）：第 6 行 $1$ 列 $=60+60=\underline{120}$，$2$ 列 $=44+60+60=\underline{164}$，得 $(120,164,164)$；第 7 行 $1$ 列 $=164+164=\underline{328}$，$2$ 列 $=120+164+164=\underline{448}$，得 $(328,448,448)$。
    5. 第 5 步（第 8、9 行）：第 8 行 $1$ 列 $=448+448=\underline{896}$，$2$ 列 $=328+448+448=\underline{1224}$，得 $(896,1224,1224)$；第 9 行 $1$ 列 $=1224+1224=\underline{2448}$，$2$ 列 $=896+1224+1224=\underline{3344}$。
    6. 第 6 步（求和）：$2448+3344+3344=\underline{9136}$ 个。
    最终答案：$9136$ 个。
  70. 21. ch12-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步（列表与规则）：列三列（当天为 $1,2,3$ 号），第 $1$ 天 $(1,1,1)$；$1$ 号列的新值 $=$ 上一天 $2,3$ 两列之和，其余列 $=$ 上一天三数之和。
    2. 第 2 步（第 2、3 天）：$1$ 号列 $=\underline{2}$，$2$ 号列 $=\underline{3}$；再 $1$ 号列 $=\underline{6}$，$2$ 号列 $=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（第 4、5 天）：$1$ 号列 $=\underline{16}$、$2$ 号列 $=\underline{22}$；$1$ 号列 $=\underline{44}$、$2$ 号列 $=\underline{60}$。
    4. 第 4 步（第 6、7 天）：$1$ 号列 $=\underline{120}$、$2$ 号列 $=\underline{164}$；$1$ 号列 $=\underline{328}$、$2$ 号列 $=\underline{448}$。
    5. 第 5 步（第 8、9 天）：$1$ 号列 $=\underline{896}$、$2$ 号列 $=\underline{1224}$；$1$ 号列 $=\underline{2448}$、$2$ 号列 $=\underline{3344}$。
    6. 第 6 步（求和）：$\underline{9136}$ 种。
    最终答案：$9136$ 种。
  71. 21. ch12-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（限制变对称）：现在每一位都不能与前一位相同，三列的转移规则完全一样：某列新值 $=$ 上一行另外两列之和。
    2. 第 2 步（直接看选择数）：首位有 $3$ 种选择，此后每一位都只能在与前一位不同的 $\underline{2}$ 种数字中选。
    3. 第 3 步（分步乘法）：共 $3\times2^{6}=3\times\underline{64}=\underline{192}$ 个。
    4. 第 4 步（写出答案）：共 $\underline{192}$ 个。
    最终答案：$192$ 个。
  72. 21. ch12-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（转移规则变复杂）：$1$ 列新值 $=$ 上一行 $2,3$ 两列之和；$2$ 列新值 $=$ 上一行 $1,3$ 两列之和；$3$ 列新值 $=$ 上一行三数之和。第 $1$ 行 $(1,1,1)$。
    2. 第 2 步（第 2、3 行）：第 2 行 $1$ 列 $=1+1=\underline{2}$，$3$ 列 $=1+1+1=\underline{3}$，得 $(2,2,3)$；第 3 行 $1$ 列 $=2+3=\underline{5}$，$3$ 列 $=2+2+3=\underline{7}$，得 $(5,5,7)$。
    3. 第 3 步（第 4、5 行）：第 4 行 $1$ 列 $=5+7=\underline{12}$，$3$ 列 $=5+5+7=\underline{17}$，得 $(12,12,17)$；第 5 行 $1$ 列 $=12+17=\underline{29}$，$3$ 列 $=12+12+17=\underline{41}$，得 $(29,29,41)$。
    4. 第 4 步（第 6、7 行）：第 6 行 $1$ 列 $=29+41=\underline{70}$，$3$ 列 $=29+29+41=\underline{99}$，得 $(70,70,99)$；第 7 行 $1$ 列 $=70+99=\underline{169}$，$3$ 列 $=70+70+99=\underline{239}$，得 $(169,169,239)$。
    5. 第 5 步（第 8、9 行）：第 8 行 $1$ 列 $=169+239=\underline{408}$，$3$ 列 $=169+169+239=\underline{577}$，得 $(408,408,577)$；第 9 行 $1$ 列 $=408+577=\underline{985}$，$3$ 列 $=408+408+577=\underline{1393}$。
    6. 第 6 步（求和）：$985+985+1393=\underline{3363}$ 个。
    最终答案：$3363$ 个。
  73. 22. ch12-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（列表与规则）：列 $9$ 列（该位取 $1\sim9$）。第 $1$ 行（万位）为 $(1,1,1,1,1,1,1,1,1)$；下一位取 $d$ 时，上一位只能取 $d-1,d-2,d-3$，故新值 $=$ 上一行这三格之和。
    2. 第 2 步（第 2 行）：取 $2$ 时为 $\underline{1}$，取 $3$ 时为 $1+1=\underline{2}$，取 $4$ 及以上时都是 $1+1+1=\underline{3}$，得 $(0,1,2,3,3,3,3,3,3)$。
    3. 第 3 步（第 3 行）：取 $3$ 时 $=1$，取 $4$ 时 $=1+2=\underline{3}$，取 $5$ 时 $=1+2+3=\underline{6}$，取 $6$ 时 $=2+3+3=\underline{8}$，取 $7,8,9$ 时都是 $3+3+3=\underline{9}$，得 $(0,0,1,3,6,8,9,9,9)$。
    4. 第 4 步（第 4 行）：取 $4$ 时 $=1$，取 $5$ 时 $=1+3=\underline{4}$，取 $6$ 时 $=1+3+6=\underline{10}$，取 $7$ 时 $=3+6+8=\underline{17}$，取 $8$ 时 $=6+8+9=\underline{23}$，取 $9$ 时 $=8+9+9=\underline{26}$，得 $(0,0,0,1,4,10,17,23,26)$。
    5. 第 5 步（第 5 行）：取 $5$ 时 $=1$，取 $6$ 时 $=1+4=\underline{5}$，取 $7$ 时 $=1+4+10=\underline{15}$，取 $8$ 时 $=4+10+17=\underline{31}$，取 $9$ 时 $=10+17+23=\underline{50}$。
    6. 第 6 步（求和）：$1+5+15+31+50=\underline{102}$ 个。
    最终答案：$102$ 个。
  74. 22. ch12-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（列表与规则）：把每次停的楼层看成一位数字，问题变成「五位好数」。第 $1$ 行 $(1,1,1,1,1,1,1,1,1)$；新值 $=$ 上一行 $d-1,d-2,d-3$ 三格之和。
    2. 第 2 步（第 2 行）：取 $2$ 时 $\underline{1}$，取 $3$ 时 $\underline{2}$，取 $4$ 及以上时 $\underline{3}$。
    3. 第 3 步（第 3 行）：取 $4,5,6,7$ 时分别为 $\underline{3}$、$\underline{6}$、$\underline{8}$、$\underline{9}$。
    4. 第 4 步（第 4 行）：取 $5,6,7,8,9$ 时分别为 $\underline{4}$、$\underline{10}$、$\underline{17}$、$\underline{23}$、$\underline{26}$。
    5. 第 5 步（第 5 行）：取 $6,7,8,9$ 时分别为 $\underline{5}$、$\underline{15}$、$\underline{31}$、$\underline{50}$。
    6. 第 6 步（求和）：共 $\underline{102}$ 种。
    最终答案：$102$ 种。
  75. 22. ch12-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（列表与规则）：现在是严格递减，下一位取 $d$ 时上一位只能取 $d+1,d+2,d+3$（且不超过 $9$）。第 $1$ 行（千位，取 $1\sim9$）为 $(1,1,1,1,1,1,1,1,1)$。注意后面几位允许取 $0$。
    2. 第 2 步（第 2 行，取值 $0\sim9$）：取 $0\sim6$ 时都是 $1+1+1=\underline{3}$；取 $7$ 时 $=1+1=\underline{2}$；取 $8$ 时 $=\underline{1}$；取 $9$ 时 $=0$。得 $(3,3,3,3,3,3,3,2,1,0)$。
    3. 第 3 步（第 3 行）：取 $0\sim3$ 时都是 $3+3+3=\underline{9}$；取 $4$ 时 $=3+3+2=\underline{8}$；取 $5$ 时 $=3+2+1=\underline{6}$；取 $6$ 时 $=2+1+0=\underline{3}$；取 $7$ 时 $=1+0=\underline{1}$。得 $(9,9,9,9,8,6,3,1,0,0)$。
    4. 第 4 步（第 4 行）：取 $0$ 时 $=9+9+9=\underline{27}$；取 $1$ 时 $=9+9+8=\underline{26}$；取 $2$ 时 $=9+8+6=\underline{23}$；取 $3$ 时 $=8+6+3=\underline{17}$；取 $4$ 时 $=6+3+1=\underline{10}$；取 $5$ 时 $=3+1+0=\underline{4}$；取 $6$ 时 $=1$。
    5. 第 5 步（求和）：$27+26+23+17+10+4+1=\underline{108}$ 个。
    最终答案：$108$ 个。
  76. 22. ch12-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（转移变宽）：下一位取 $d$ 时，上一位可取 $d-1,d-2,d-3,d-4$，每格最多有 $4$ 个来源。第 $1$ 行 $(1,1,1,1,1,1,1,1,1)$。
    2. 第 2 步（第 2 行）：取 $2$ 时 $=1$；取 $3$ 时 $=1+1=\underline{2}$；取 $4$ 时 $=1+1+1=\underline{3}$；取 $5$ 及以上时 $=1+1+1+1=\underline{4}$。得 $(0,1,2,3,4,4,4,4,4)$。
    3. 第 3 步（第 3 行）：取 $3$ 时 $=1$；取 $4$ 时 $=1+2=\underline{3}$；取 $5$ 时 $=1+2+3=\underline{6}$；取 $6$ 时 $=1+2+3+4=\underline{10}$；取 $7$ 时 $=2+3+4+4=\underline{13}$；取 $8$ 时 $=3+4+4+4=\underline{15}$；取 $9$ 时 $=4+4+4+4=\underline{16}$。得 $(0,0,1,3,6,10,13,15,16)$。
    4. 第 4 步（第 4 行）：取 $4$ 时 $=1$；取 $5$ 时 $=1+3=\underline{4}$；取 $6$ 时 $=1+3+6=\underline{10}$；取 $7$ 时 $=1+3+6+10=\underline{20}$；取 $8$ 时 $=3+6+10+13=\underline{32}$；取 $9$ 时 $=6+10+13+15=\underline{44}$。
    5. 第 5 步（求和）：$1+4+10+20+32+44=\underline{111}$ 个。
    最终答案：$111$ 个。
  77. 23. ch12-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（找最小情形）：$1$ 级只有 $1$ 种走法，$2$ 级有「$1+1$」和「$2$」共 $2$ 种走法，即 $a_1=1,\ a_2=2$。
    2. 第 2 步（看最后一步）：最后一步或迈 $1$ 级（前面走完 $n-1$ 级），或迈 $2$ 级（前面走完 $n-2$ 级），两类不重不漏，所以 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=1+2=\underline{3}$，$a_4=2+3=\underline{5}$，$a_5=3+5=\underline{8}$，$a_6=5+8=\underline{13}$。
    4. 第 4 步（继续递推）：$a_7=\underline{21}$，$a_8=\underline{34}$，$a_9=\underline{55}$，$a_{10}=\underline{89}$。
    5. 第 5 步（推到第 12 级）：$a_{11}=55+89=\underline{144}$，$a_{12}=89+144=\underline{233}$。
    最终答案：$233$ 种。
  78. 23. ch12-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（最小情形）：跳到第 $1$ 块有 $1$ 种，跳到第 $2$ 块有 $2$ 种，即 $a_1=1,\ a_2=2$。
    2. 第 2 步（看最后一跳）：最后一跳或从第 $n-1$ 块跳来，或从第 $n-2$ 块跳来，所以 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=\underline{3}$，$a_4=\underline{5}$，$a_5=\underline{8}$，$a_6=\underline{13}$，$a_7=\underline{21}$。
    4. 第 4 步（推到第 12 块）：$a_8=\underline{34}$，$a_9=\underline{55}$，$a_{10}=\underline{89}$，$a_{11}=\underline{144}$，$a_{12}=\underline{233}$。
    最终答案：$233$ 种。
  79. 23. ch12-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：把「每天吃 $1$ 块或 $2$ 块」看成「每步迈 $1$ 级或 $2$ 级」，$12$ 块糖就相当于 $12$ 级台阶。
    2. 第 2 步（最小情形与递推）：$a_1=1,\ a_2=2$，按**最后一天**吃 $1$ 块还是 $2$ 块分类得 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=\underline{3}$，$a_4=\underline{5}$，$a_5=\underline{8}$，$a_6=\underline{13}$，$a_7=\underline{21}$，$a_8=\underline{34}$。
    4. 第 4 步（推到 12）：$a_9=\underline{55}$，$a_{10}=\underline{89}$，$a_{11}=\underline{144}$，$a_{12}=\underline{233}$。
    最终答案：$233$ 种。
  80. 23. ch12-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$；$a_2=2$（$1+1$、$2$）；$a_3=\underline{4}$（$1+1+1,\ 1+2,\ 2+1,\ 3$ 共四种）。
    2. 第 2 步（看最后一步）：最后一步可迈 $1$、$2$ 或 $3$ 级，于是变成**三阶**递推 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=1+2+4=\underline{7}$，$a_5=2+4+7=\underline{13}$，$a_6=4+7+13=\underline{24}$，$a_7=7+13+24=\underline{44}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{81}$，$a_9=\underline{149}$，$a_{10}=\underline{274}$。
    5. 第 5 步（推到 13）：$a_{11}=\underline{504}$，$a_{12}=\underline{927}$，$a_{13}=\underline{1705}$。
    最终答案：$1705$ 种。
  81. 24. ch12-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=\underline{4}$（$1{+}1{+}1,\,1{+}2,\,2{+}1,\,3$）。
    2. 第 2 步（按最后一天分类）：最后一天吃 $1$、$2$ 或 $3$ 块，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=1+2+4=\underline{7}$，$a_5=2+4+7=\underline{13}$，$a_6=\underline{24}$，$a_7=\underline{44}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_8=\underline{81}$，$a_9=\underline{149}$，$a_{10}=\underline{274}$。
    5. 第 5 步（推到 13）：$a_{11}=\underline{504}$，$a_{12}=\underline{927}$，$a_{13}=\underline{1705}$。
    最终答案：$1705$ 种。
  82. 24. ch12-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（最小情形）：$1$ 本有 $1$ 种，$2$ 本有 $2$ 种，$3$ 本有 $\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步（按最后一天分类）：最后一天上 $1$、$2$ 或 $3$ 本，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_4=\underline{7}$，$a_5=\underline{13}$，$a_6=\underline{24}$，$a_7=\underline{44}$，$a_8=\underline{81}$。
    4. 第 4 步（推到 13）：$a_9=\underline{149}$，$a_{10}=\underline{274}$，$a_{11}=\underline{504}$，$a_{12}=\underline{927}$，$a_{13}=\underline{1705}$。
    最终答案：$1705$ 种。
  83. 24. ch12-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：每天吃 $1{\sim}3$ 块 $\Leftrightarrow$ 每步迈 $1{\sim}3$ 级，结构完全相同。
    2. 第 2 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（三阶递推）：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$，于是 $a_4=\underline{7}$，$a_5=\underline{13}$，$a_6=\underline{24}$，$a_7=\underline{44}$。
    4. 第 4 步（推到 13）：$a_8=\underline{81}$，$a_9=\underline{149}$，$a_{10}=\underline{274}$，$a_{11}=\underline{504}$，$a_{12}=\underline{927}$，$a_{13}=\underline{1705}$。
    最终答案：$1705$ 种。
  84. 24. ch12-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（最小情形）：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，$a_4=\underline{8}$（每块之间的空隙断或不断，共 $2^3$ 种）。
    2. 第 2 步（按最后一天分类）：最后一天可吃 $1,2,3,4$ 块，于是升级为**四阶**递推 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-4}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_5=1+2+4+8=\underline{15}$，$a_6=2+4+8+15=\underline{29}$，$a_7=\underline{56}$，$a_8=\underline{108}$。
    4. 第 4 步（继续）：$a_9=\underline{208}$，$a_{10}=\underline{401}$，$a_{11}=\underline{773}$。
    5. 第 5 步（推到 13）：$a_{12}=\underline{1490}$，$a_{13}=\underline{2872}$。
    最终答案：$2872$ 种。
  85. 25. ch12-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（最小情形）：$1\times2$ 只有 $1$ 种铺法，$2\times2$ 有「两块都竖放」「两块都横放」共 $2$ 种，即 $a_1=1,\ a_2=2$。
    2. 第 2 步（看最右一列）：或竖放一块盖住最右列（剩 $(n-1)\times2$），或在最右两列上下各横放一块（剩 $(n-2)\times2$），故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=1+2=\underline{3}$，$a_4=\underline{5}$，$a_5=\underline{8}$，$a_6=\underline{13}$，$a_7=\underline{21}$。
    4. 第 4 步（推到 11）：$a_8=\underline{34}$，$a_9=\underline{55}$，$a_{10}=\underline{89}$，$a_{11}=\underline{144}$。
    最终答案：$144$ 种。
  86. 25. ch12-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（最小情形）：长 $1$ 时 $a_1=1$，长 $2$ 时 $a_2=2$。
    2. 第 2 步（看最右一列）：竖放一块或横放两块，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=\underline{3}$，$a_4=\underline{5}$，$a_5=\underline{8}$，$a_6=\underline{13}$，$a_7=\underline{21}$。
    4. 第 4 步（推到 11）：$a_8=\underline{34}$，$a_9=\underline{55}$，$a_{10}=\underline{89}$，$a_{11}=\underline{144}$。
    最终答案：$144$ 种。
  87. 25. ch12-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：$2\times n$ 长方形的一列相当于小路的 $1$ 米，一块横放骨牌相当于一块 $2$ 米石板，问题变成「把 $10$ 拆成若干个 $1$ 和 $2$ 依次排列」。
    2. 第 2 步（看最后一块）：最后一块是 $1$ 米（前面铺 $n-1$ 米）或 $2$ 米（前面铺 $n-2$ 米），故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，且 $a_1=1,\ a_2=2$。
    3. 第 3 步（列表递推）：$a_3=\underline{3}$，$a_4=\underline{5}$，$a_5=\underline{8}$，$a_6=\underline{13}$，$a_7=\underline{21}$。
    4. 第 4 步（推到 10）：$a_8=\underline{34}$，$a_9=\underline{55}$，$a_{10}=\underline{89}$。
    最终答案：$89$ 种。
  88. 25. ch12-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（先求总数）：由 $a_1=1,\ a_2=2,\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ 递推，$a_3=\underline{3}$，$a_4=\underline{5}$，$a_5=\underline{8}$，$a_6=\underline{13}$。
    2. 第 2 步（继续推到 12）：$a_7=\underline{21}$，$a_8=\underline{34}$，$a_9=\underline{55}$，$a_{10}=\underline{89}$，$a_{11}=\underline{144}$，$a_{12}=\underline{233}$。
    3. 第 3 步（反面更好数）：先数「切不断」的。切不断意味着左右两半各自铺满，左半 $6\times2$ 有 $a_6$ 种、右半 $6\times2$ 有 $a_6$ 种，由乘法原理共 $13\times13=\underline{169}$ 种。
    4. 第 4 步（用补集得答案）：切得断的 $=$ 总数 $-$ 切不断的 $=233-169=\underline{64}$ 种。
    最终答案：（1）$233$ 种；（2）$64$ 种。
  89. 26. ch12-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（起点）：一条直线也不画时，平面本身是 $1$ 个部分。
    2. 第 2 步（算增量）：第 $k$ 条直线与前面 $k-1$ 条最多有 $k-1$ 个交点，被切成 $k$ 段，每段把一个区域一分为二，故最多新增 $k$ 个区域。
    3. 第 3 步（$6$ 条）：$1+(1+2+3+4+5+6)=1+\underline{21}=\underline{22}$ 个部分。
    4. 第 4 步（$30$ 条，用等差数列求和）：$1+2+\cdots+30=\dfrac{30\times31}{2}=\underline{465}$，所以共 $1+465=\underline{466}$ 个部分。
    最终答案：$6$ 条直线最多 $22$ 个部分；$30$ 条直线最多 $466$ 个部分。
  90. 26. ch12-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（起点）：不划刀时是 $1$ 块。
    2. 第 2 步（算增量）：第 $k$ 刀与前面 $k-1$ 刀最多有 $k-1$ 个交点，被分成 $k$ 段，每段把一块玻璃切成两块，故最多新增 $k$ 块。
    3. 第 3 步（$6$ 刀）：$1+(1+2+3+4+5+6)=1+\underline{21}=\underline{22}$ 块。
    4. 第 4 步（$30$ 刀）：$1+2+\cdots+30=\underline{465}$，共 $1+465=\underline{466}$ 块。
    最终答案：$6$ 刀最多 $22$ 块；$30$ 刀最多 $466$ 块。
  91. 26. ch12-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（起点）：$1$ 个圆把平面分成 $2$ 个部分。
    2. 第 2 步（算增量）：第 $k$ 个圆与前面 $k-1$ 个圆最多有 $2(k-1)$ 个交点，这些点把这个圆周分成 $2(k-1)$ 段弧，每段弧把一个区域一分为二，故新增 $2(k-1)$ 个区域。
    3. 第 3 步（逐个累加）：第 $2\sim8$ 个圆分别新增 $2,4,6,8,10,12,\underline{14}$ 个区域。
    4. 第 4 步（求和）：$2+4+6+8+10+12+14=\underline{56}$。
    5. 第 5 步（总数）：$2+56=\underline{58}$ 个部分。
    最终答案：$58$ 个部分。
  92. 26. ch12-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（先画直线）：$10$ 条直线最多把平面分成 $1+(1+2+\cdots+10)=1+\underline{55}=\underline{56}$ 个部分。
    2. 第 2 步（第 1 个圆）：它与每条直线最多交于 $2$ 点，共 $10\times2=\underline{20}$ 个交点，圆周被分成同样多段弧，故新增 $20$ 个区域。
    3. 第 3 步（第 2 个圆）：与 $10$ 条直线交 $20$ 点，再与第 $1$ 个圆交 $2$ 点，共 $20+2=\underline{22}$ 个交点，新增 $22$ 个区域。
    4. 第 4 步（第 3 个圆）：与直线交 $20$ 点，与前 $2$ 个圆各交 $2$ 点，共 $20+4=\underline{24}$，新增 $24$ 个区域。
    5. 第 5 步（合计）：$56+20+22+24=\underline{122}$ 个部分。
    最终答案：$122$ 个部分。
  93. 27. ch12-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（列表与转移规则）：记 $(\text{甲},\text{乙},\text{丙})$，初始为 $(1,0,0)$；每传一次，**新值等于另外两人的旧值之和**。
    2. 第 2 步（前 3 次）：第 1 次 $(0,1,1)$；第 2 次甲 $=1+1=\underline{2}$，得 $(2,1,1)$；第 3 次乙 $=2+1=\underline{3}$，得 $(2,3,3)$。
    3. 第 3 步（第 4、5 次）：第 4 次甲 $=3+3=\underline{6}$，得 $(6,5,5)$；第 5 次甲 $=5+5=\underline{10}$，得 $(10,11,11)$。
    4. 第 4 步（第 6、7 次）：第 6 次甲 $=11+11=\underline{22}$，得 $(22,21,21)$；第 7 次甲 $=21+21=\underline{42}$，得 $(42,43,43)$。
    5. 第 5 步（第 8、9、10 次）：第 8 次甲 $=43+43=\underline{86}$；第 9 次甲 $=85+85=\underline{170}$；第 10 次甲 $=171+171=\underline{342}$。
    6. 第 6 步（读甲那一列）：答案为 $\underline{342}$ 种。
    最终答案：$342$ 种。
  94. 27. ch12-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（列表与转移规则）：记 $(\text{甲},\text{乙},\text{丙})$，初始 $(1,0,0)$；新值 $=$ 另外两站的旧值之和。
    2. 第 2 步（前 3 次）：第 1 次 $(0,1,1)$；第 2 次甲 $=\underline{2}$；第 3 次乙 $=\underline{3}$。
    3. 第 3 步（第 4、5 次）：甲分别为 $\underline{6}$、$\underline{10}$。
    4. 第 4 步（第 6、7 次）：甲分别为 $\underline{22}$、$\underline{42}$。
    5. 第 5 步（第 8、9、10 次）：甲分别为 $\underline{86}$、$\underline{170}$、$\underline{342}$。
    最终答案：$342$ 种。
  95. 27. ch12-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（列表）：初始 $(\text{甲},\text{乙},\text{丙})=(1,0,0)$，新值 $=$ 另外两人旧值之和。
    2. 第 2 步（逐次递推）：第 1 次 $(0,1,1)$；第 2 次 $(2,1,1)$；第 3 次乙 $=2+1=\underline{3}$，得 $(2,3,3)$。
    3. 第 3 步：第 4 次 $(6,5,5)$；第 5 次乙 $=6+5=\underline{11}$，得 $(10,11,11)$；第 6 次 $(22,21,21)$。
    4. 第 4 步：第 7 次乙 $=22+21=\underline{43}$，得 $(42,43,43)$；第 8 次乙 $=42+43=\underline{85}$。
    5. 第 5 步（读乙那一列）：答案为 $\underline{85}$ 种。
    最终答案：$85$ 种。
  96. 27. ch12-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（改列数与转移规则）：现在要列**四列** $(\text{甲},\text{乙},\text{丙},\text{丁})$，初始 $(1,0,0,0)$；每传一次，新值 $=$ **另外三人**旧值之和，即「总和减自己」。
    2. 第 2 步（前 3 次）：第 1 次 $(0,1,1,1)$；第 2 次甲 $=1+1+1=\underline{3}$，得 $(3,2,2,2)$；第 3 次甲 $=2+2+2=\underline{6}$，得 $(6,7,7,7)$。
    3. 第 3 步（第 4、5 次）：第 4 次甲 $=7+7+7=\underline{21}$，得 $(21,20,20,20)$；第 5 次甲 $=20\times3=\underline{60}$，得 $(60,61,61,61)$。
    4. 第 4 步（第 6、7 次）：第 6 次甲 $=61\times3=\underline{183}$，得 $(183,182,182,182)$；第 7 次甲 $=182\times3=\underline{546}$，得 $(546,547,547,547)$。
    5. 第 5 步（第 8 次并读甲列）：甲 $=547\times3=\underline{1641}$ 种。
    最终答案：$1641$ 种。
  97. 28. ch12-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（起始行）：$A$ 必染红，记 $(\text{红},\text{黄},\text{蓝})=(1,0,0)$。
    2. 第 2 步（转移规则）：某顶点染某色的方法数 $=$ 前一顶点染**另外两色**的方法数之和。
    3. 第 3 步（$B\sim D$）：$B$ 行 $(0,1,1)$；$C$ 行红 $=1+1=\underline{2}$，得 $(2,1,1)$；$D$ 行黄 $=2+1=\underline{3}$，得 $(2,3,3)$。
    4. 第 4 步（$E\sim G$）：$E$ 行红 $=3+3=\underline{6}$，得 $(6,5,5)$；$F$ 行红 $=5+5=\underline{10}$，得 $(10,11,11)$；$G$ 行红 $=11+11=\underline{22}$，得 $(22,21,21)$。
    5. 第 5 步（去掉红色项）：$G$ 与 $A$ 相邻不能染红，答案 $=21+21=\underline{42}$。
    最终答案：$42$ 种。
  98. 28. ch12-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（起始行）：$A$ 戴红帽，记 $(\text{红},\text{黄},\text{蓝})=(1,0,0)$。
    2. 第 2 步（转移规则）：某人戴某色的方法数 $=$ 前一人戴另外两色的方法数之和。
    3. 第 3 步（逐位递推）：$B(0,1,1)$；$C$ 红 $=\underline{2}$；$D$ 黄 $=\underline{3}$；$E$ 红 $=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（继续）：$F$ 红 $=\underline{10}$；$G$ 红 $=\underline{22}$，得 $(22,21,21)$。
    5. 第 5 步（首尾相邻）：$G$ 与 $A$ 相邻不能戴红，答案 $=\underline{42}$。
    最终答案：$42$ 种。
  99. 28. ch12-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（先固定 $A$）：设 $A$ 染红，用传球法递推：$B(0,1,1)$，$C$ 红 $=\underline{2}$，$D$ 黄 $=\underline{3}$，$E$ 红 $=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（首尾限制）：$E$ 与 $A$ 相邻不能染红，故 $A$ 染红时有 $5+5=\underline{10}$ 种。
    3. 第 3 步（用对称性）：$A$ 染黄、染蓝的情形与染红完全对称，各有 $10$ 种。
    4. 第 4 步（相乘）：总数 $=10\times3=\underline{30}$ 种。
    最终答案：$30$ 种。
  100. 28. ch12-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（分步）：先染中心点 $O$，再染外圈五个点。$O$ 与五个顶点都相连，所以 $O$ 定色后，外圈只能用**剩下的 $3$ 种**颜色。
    2. 第 2 步（$O$ 的选择）：$O$ 有 $\underline{4}$ 种染法。
    3. 第 3 步（外圈固定首色递推）：设 $A$ 用剩下三色中的某一种，用传球法：$B(0,1,1)$，$C$ 首色 $=\underline{2}$，$D$ 次色 $=\underline{3}$，$E$ 首色 $=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（首尾限制）：$E$ 与 $A$ 相邻不能同色，$A$ 固定时有 $5+5=\underline{10}$ 种；$A$ 有 $3$ 种选择，外圈共 $10\times3=\underline{30}$ 种。
    5. 第 5 步（分步乘法原理）：总数 $=4\times30=\underline{120}$ 种。
    最终答案：$120$ 种。
  101. 29. ch12-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（找数字对）：和为 $15$ 的两个数字（都在 $0\sim9$）有 $69,96,78,87$，共 $\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步（百位与十位和为 15）：个位可填 $0\sim9$ 共 $10$ 种，故有 $4\times10=\underline{40}$ 个。
    3. 第 3 步（十位与个位和为 15）：百位不能为 $0$，可填 $1\sim9$ 共 $9$ 种，故有 $4\times9=\underline{36}$ 个。
    4. 第 4 步（找重复）：两对相邻和都是 $15$ 时首位与末位相同，即 $696,969,787,878$，共 $\underline{4}$ 个，它们各被数了两次。
    5. 第 5 步（容斥去重）：$40+36-4=\underline{72}$ 个。
    最终答案：$72$ 个。
  102. 29. ch12-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（找数字对）：和为 $15$ 的数字对有 $69,96,78,87$，共 $\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步（前两位是这样的对）：末位任填 $0\sim9$，共 $\underline{40}$ 个。
    3. 第 3 步（后两位是这样的对）：首位只能填 $1\sim9$，共 $\underline{36}$ 个。
    4. 第 4 步（去重）：$696,969,787,878$ 这 $\underline{4}$ 个被数了两次。
    5. 第 5 步（合计）：$\underline{72}$ 个。
    最终答案：$72$ 个。
  103. 29. ch12-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（找数字对）：和为 $17$ 的数字对只有 $89,98$，共 $\underline{2}$ 种。
    2. 第 2 步（百十位）：个位任填，$2\times10=\underline{20}$ 个。
    3. 第 3 步（十个位）：百位填 $1\sim9$，$2\times9=\underline{18}$ 个。
    4. 第 4 步（去重）：重复的是 $898,989$，共 $\underline{2}$ 个。
    5. 第 5 步（容斥）：$20+18-2=\underline{36}$ 个。
    最终答案：$36$ 个。
  104. 29. ch12-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（三个位置）：设 $A$：千位+百位 $=16$；$B$：百位+十位 $=16$；$C$：十位+个位 $=16$。和为 $16$ 的数字对仍是 $79,97,88$ 共 $3$ 种。
    2. 第 2 步（单个事件）：$|A|=3\times10\times10=\underline{300}$；$|B|=9\times3\times10=\underline{270}$；$|C|=9\times10\times3=\underline{270}$。
    3. 第 3 步（两两同时）：$A,B$ 同时成立需千位=十位，共 $3$ 种，个位任填，$|A\cap B|=3\times10=\underline{30}$；$B,C$ 同时需百位=个位，千位填 $1\sim9$，$|B\cap C|=9\times3=\underline{27}$；$|A\cap C|=3\times3=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（三个同时）：需千位=十位、百位=个位且两者和为 $16$，共 $\underline{3}$ 个。
    5. 第 5 步（三重容斥）：$(300+270+270)-(30+27+9)+3=\underline{777}$ 个。
    最终答案：$777$ 个。
  105. 30. ch12-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（先找组合）：五个互异非零数字之和为 $20$，最小的和是 $1+2+3+4+5=\underline{15}$，所以要在此基础上多出 $5$。逐一列举得 $\{1,2,3,5,9\},\{1,2,3,6,8\},\{1,2,4,5,8\},\{1,2,4,6,7\},\{1,3,4,5,7\},\{2,3,4,5,6\}$，共 $\underline{6}$ 组。
    2. 第 2 步（每组的排列数）：五个数字互不相同且都非零，任意排列都是五位数，故每组有 $5!=5\times4\times3\times2\times1=\underline{120}$ 个。
    3. 第 3 步（相乘）：共 $6\times120=\underline{720}$ 个。
    最终答案：$720$ 个。
  106. 30. ch12-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（先找数字组合）：五个互异非零数字最小和为 $1+2+3+4+5=\underline{15}$，要凑到 $20$，逐一列举得 $\{1,2,3,5,9\},\{1,2,3,6,8\},\{1,2,4,5,8\},\{1,2,4,6,7\},\{1,3,4,5,7\},\{2,3,4,5,6\}$ 共 $\underline{6}$ 组。
    2. 第 2 步（每组排队）：五个不同编号排成一排有 $5!=\underline{120}$ 种。
    3. 第 3 步（相乘）：$6\times120=\underline{720}$ 种。
    最终答案：$720$ 种。
  107. 30. ch12-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（找组合）：五个互异非零数字最小和为 $\underline{15}$，要多出 $4$，列举得 $\{1,2,3,4,9\},\{1,2,3,5,8\},\{1,2,3,6,7\},\{1,2,4,5,7\},\{1,3,4,5,6\}$，共 $\underline{5}$ 组。
    2. 第 2 步（每组排列）：$5!=\underline{120}$ 个。
    3. 第 3 步（相乘）：$5\times120=\underline{600}$ 个。
    最终答案：$600$ 个。
  108. 30. ch12-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（找组合）：五个互异数字（可含 $0$）之和为 $18$。含 $0$ 的组合相当于另外四个互异非零数字之和为 $18$，共 $11$ 组；不含 $0$ 的仍是 $\{1,2,4,5,6\},\{1,2,3,4,8\},\{1,2,3,5,7\}$ 共 $\underline{3}$ 组。
    2. 第 2 步（不含 0 的组）：每组任意排列都是五位数，有 $5!=\underline{120}$ 个，共 $3\times120=\underline{360}$ 个。
    3. 第 3 步（含 0 的组要去掉首位为 0 的）：全排列 $120$ 个中首位为 $0$ 的有 $4!=\underline{24}$ 个，故每组只有 $120-24=\underline{96}$ 个。
    4. 第 4 步（含 0 的组合计）：$11\times96=\underline{1056}$ 个。
    5. 第 5 步（总计）：$360+1056=\underline{1416}$ 个。
    最终答案：$1416$ 个。
  109. 31. ch12-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（分类标准）：按 $1$ 的个数 $k$ 分类。$k$ 个 $1$ 与 $12-k$ 个 $2$，先把 $2$ 排好形成 $13-k$ 个空隙，再把 $1$ 插入不同空隙，方法数为 $C_{13-k}^{k}$。
    2. 第 2 步（$k=0,1,2$）：$1$ 种；$C_{12}^{1}=\underline{12}$；$C_{11}^{2}=\dfrac{11\times10}{2}=\underline{55}$。
    3. 第 3 步（$k=3,4$）：$C_{10}^{3}=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=\underline{120}$；$C_{9}^{4}=\dfrac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1}=\underline{126}$。
    4. 第 4 步（$k=5,6$）：$C_{8}^{5}=\dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=\underline{56}$；$C_{7}^{6}=\underline{7}$。$k$ 再大就必出现相邻的 $1$。
    5. 第 5 步（求和）：$1+12+55+120+126+56+7=\underline{377}$ 个。
    最终答案：$377$ 个。
  110. 31. ch12-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：把「亮」看作 $1$、「灭」看作 $2$，问题变成 $12$ 位的 $1/2$ 串且没有相邻的两个 $1$。按亮灯个数 $k$ 分类，方法数为 $C_{13-k}^{k}$。
    2. 第 2 步（$k=0,1,2$）：$1$；$C_{12}^{1}=\underline{12}$；$C_{11}^{2}=\underline{55}$。
    3. 第 3 步（$k=3,4$）：$C_{10}^{3}=\underline{120}$；$C_{9}^{4}=\underline{126}$。
    4. 第 4 步（$k=5,6$）：$C_{8}^{5}=\underline{56}$；$C_{7}^{6}=\underline{7}$。
    5. 第 5 步（求和）：$\underline{377}$ 种。
    最终答案：$377$ 种。
  111. 31. ch12-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（转化）：把「坐人」记为 $1$、「空位」记为 $2$，问题就是 $10$ 位 $1/2$ 串且无相邻的 $1$。设坐 $k$ 人，空位 $10-k$ 个形成 $11-k$ 个空隙，方法数 $C_{11-k}^{k}$。
    2. 第 2 步（$k=0,1,2$）：$1$；$C_{10}^{1}=\underline{10}$；$C_{9}^{2}=\underline{36}$。
    3. 第 3 步（$k=3,4$）：$C_{8}^{3}=\underline{56}$；$C_{7}^{4}=\underline{35}$。
    4. 第 4 步（$k=5$）：$C_{6}^{5}=\underline{6}$，$k$ 再大必相邻。
    5. 第 5 步（求和）：$\underline{144}$ 种。
    最终答案：$144$ 种。
  112. 31. ch12-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（分类标准）：仍按 $1$ 的个数 $k$ 分类，插空得方法数 $C_{11-k}^{k}$；但现在只保留 $k\ge3$ 的类。
    2. 第 2 步（$k$ 的上界）：$10$ 位里放 $k$ 个不相邻的 $1$ 需要 $11-k\ge k$，即 $k\le\underline{5}$，所以 $k$ 只能取 $3,4,5$。
    3. 第 3 步（逐类计算）：$k=3$ 时 $C_{8}^{3}=\underline{56}$；$k=4$ 时 $C_{7}^{4}=\underline{35}$；$k=5$ 时 $C_{6}^{5}=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（求和）：$56+35+6=\underline{97}$ 个。
    最终答案：$97$ 个。
  113. 32. ch12-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（列表与规则）：列 $5$ 列（末位为 $1\sim5$）。第 $1$ 行为 $(1,1,1,1,1)$；转移规则是「末位为 $d$ 的新值 $=$ 上一行 $d-1$ 与 $d+1$ 两格之和」。
    2. 第 2 步（第 2、3 行）：第 2 行 $(1,2,2,2,1)$；第 3 行末位 $2$ 处 $=1+2=\underline{3}$，末位 $3$ 处 $=2+2=\underline{4}$，得 $(2,3,4,3,2)$。
    3. 第 3 步（第 4、5 行）：第 4 行末位 $2$ 处 $=2+4=\underline{6}$，得 $(3,6,6,6,3)$；第 5 行末位 $3$ 处 $=6+6=\underline{12}$，得 $(6,9,12,9,6)$。
    4. 第 4 步（第 6、7 行）：第 6 行末位 $2$ 处 $=6+12=\underline{18}$，得 $(9,18,18,18,9)$；第 7 行末位 $2$ 处 $=9+18=\underline{27}$，末位 $3$ 处 $=18+18=\underline{36}$，得 $(18,27,36,27,18)$。
    5. 第 5 步（第 8 行并求和）：第 8 行为 $(27,54,54,54,27)$，答案 $=27+54+54+54+27=\underline{216}$ 个。
    最终答案：$216$ 个。
  114. 32. ch12-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（转化）：每次停靠的楼层就是一位数字，相邻两次相差 $1$，于是与「相邻数字差为 $1$ 的八位数」完全相同。第 $1$ 行 $(1,1,1,1,1)$。
    2. 第 2 步（第 2、3 行）：第 2 行 $(1,2,2,2,1)$；第 3 行 $2$ 处 $=\underline{3}$，$3$ 处 $=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（第 4、5 行）：第 4 行 $2$ 处 $=\underline{6}$；第 5 行 $3$ 处 $=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（第 6、7 行）：第 6 行 $2$ 处 $=\underline{18}$；第 7 行 $2$ 处 $=\underline{27}$，$3$ 处 $=\underline{36}$。
    5. 第 5 步（第 8 行求和）：$\underline{216}$ 种。
    最终答案：$216$ 种。
  115. 32. ch12-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（列表加一列）：现在要列 $6$ 列（末位 $1\sim6$），第 $1$ 行 $(1,1,1,1,1,1)$，转移规则不变。
    2. 第 2 步（第 2、3 行）：第 2 行 $(1,2,2,2,2,1)$；第 3 行 $3$ 处 $=2+2=\underline{4}$，$4$ 处 $=2+2=\underline{4}$，得 $(2,3,4,4,3,2)$。
    3. 第 3 步（第 4 行）：$3$ 处 $=3+4=\underline{7}$，得 $(3,6,7,7,6,3)$。
    4. 第 4 步（第 5 行）：$3$ 处 $=6+7=\underline{13}$，得 $(6,10,13,13,10,6)$。
    5. 第 5 步（第 6 行并求和）：$3$ 处 $=10+13=\underline{23}$，得 $(10,19,23,23,19,10)$，答案 $=10+19+23+23+19+10=\underline{104}$ 个。
    最终答案：$104$ 个。
  116. 32. ch12-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（转移规则变宽）：末位为 $d$ 的新值 $=$ 上一行中所有与 $d$ 相差 $1$ 或 $2$ 的格子之和（每格最多有 $4$ 个来源）。第 $1$ 行 $(1,1,1,1,1)$。
    2. 第 2 步（第 2 行）：$1$ 处 $=1+1=\underline{2}$（来自 $2,3$）；$2$ 处 $=1+1+1=\underline{3}$（来自 $1,3,4$）；$3$ 处 $=1+1+1+1=\underline{4}$，得 $(2,3,4,3,2)$。
    3. 第 3 步（第 3 行）：$1$ 处 $=3+4=\underline{7}$；$2$ 处 $=2+4+3=\underline{9}$；$3$ 处 $=2+3+3+2=\underline{10}$，得 $(7,9,10,9,7)$。
    4. 第 4 步（第 4 行）：$1$ 处 $=9+10=\underline{19}$；$2$ 处 $=7+10+9=\underline{26}$；$3$ 处 $=7+9+9+7=\underline{32}$，得 $(19,26,32,26,19)$。
    5. 第 5 步（第 5 行）：$1$ 处 $=26+32=\underline{58}$；$2$ 处 $=19+32+26=\underline{77}$；$3$ 处 $=19+26+26+19=\underline{90}$，得 $(58,77,90,77,58)$。
    6. 第 6 步（第 6 行并求和）：$1$ 处 $=77+90=\underline{167}$；$2$ 处 $=58+90+77=\underline{225}$；$3$ 处 $=58+77+77+58=\underline{270}$，答案 $=167+225+270+225+167=\underline{1054}$ 个。
    最终答案：$1054$ 个。