六年级第13讲计数综合四

1. 【原题 ch13-chaoyue-01】某工厂生产一批玩具，玩具的一条圆环上均匀安装着 $13$ 个小球，其中 $3$ 个是红球，$10$ 个是白球。如果 $2$ 个圆环通过翻转可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的。那么一共可以生产多少种不同的圆环？

详细思路

是哪类问题：这是「环上计数＋整数无序拆分＋翻转去重」类题：圆环可翻转，本质上在数“不计顺序的三堆分法”。

关键切入点：$3$ 个红球把圆环分成 $3$ 段，$10$ 个白球要分到这 $3$ 段里（每段可为 $0$）。因为圆环可以旋转、翻转，三段的顺序不影响本质，所以只需数“把 $10$ 分成三个非负整数、不计顺序”的分法数。逐一枚举得 $14$ 种，每种唯一对应一种圆环。

方法概述：圆环可翻转 → 化为整数的无序拆分，枚举去重。

规范步骤：

红球定段：$3\ \text{红球}\to 3\ \text{段缝隙}$（环上分段）
枚举最小堆为 $0$ 的分法：$0+0+10,\ 0+1+9,\ 0+2+8,\ 0+3+7,\ 0+4+6,\ 0+5+5\ (6\ \text{种})$（无序拆分）
最小堆为 $1$：$1+1+8,\ 1+2+7,\ 1+3+6,\ 1+4+5\ (4\ \text{种})$（无序拆分）
最小堆为 $2$、$3$：$2+2+6,\ 2+3+5,\ 2+4+4\ (3\ \text{种});\ 3+3+4\ (1\ \text{种})$（无序拆分）
合计：$6+4+3+1=14$（加法原理）
写出答案：$14$

2. 【原题 ch13-chaoyue-02】对于由 $1$ 至 $6$ 组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字是 $1$，那么可以进行如下的 $1$ 次操作：记首位数字为 $k$，则将数字 $1$ 与第 $k$ 位上的数字交换。例如 $245136$ 可以进行两次操作：$245136\rightarrow 425136\rightarrow 125436$，直到它的首位数字为 $1$ 止。请问：可以进行 $5$ 次操作的六位数有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「乘法原理＋置换」类题：要求操作恰好能进行 $5$ 次，等价于对数字所在位置提出一串“不在第 $1$ 位”的限制。

关键切入点：每次操作把 $1$ 与首位数字 $k$ 所在的位置交换一次，能连做 $5$ 次说明这条“位置链”长度为 $5$。逐步分析：$1$ 不能在第 $1$ 位，有 $5$ 个位置可选；设 $1$ 在第 $k$ 位，则 $k$ 不能在第 $1$ 位（否则会提前结束），$k$ 有 $4$ 个位置可选；依次类推为 $3,2,1$。由乘法原理共 $5\times 4\times 3\times 2\times 1$ 个。

方法概述：把“能做 $5$ 次”翻译成一条长度为 $5$ 的位置链，逐位用乘法原理。

规范步骤：

$1$ 的位置：$5\ \text{种}$（1 不能在首位）
接下来各数的位置：$4,3,2,1\ \text{种}$（每一步都不能落到第 1 位）
乘法原理：$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$（分步计数）
写出答案：$120$

第一套

题目：对于由 $1$ 至 $8$ 组成的无重复数字的八位数，如果它的首位数字不是 $1$，记首位数字为 $k$，则把数字 $1$ 与第 $k$ 位上的数字交换，如此反复直到首位为 $1$ 为止。请问：可以进行 $7$ 次操作的八位数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译条件）：能连做 $7$ 次操作，说明位置链的长度是 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第一环）：$1$ 不能在第 $1$ 位，可选的位置有 $8-1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（后续各环）：此后每一步的数都不能落在第 $1$ 位，可选位置依次为 $6,5,4,3,2,1$。
第 4 步（乘法原理）：$7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$6$ 张写着 $1$ 至 $6$ 的卡片排成一行。若第 $1$ 张不是 $1$，记第 $1$ 张上的数为 $k$，则把卡片 $1$ 与第 $k$ 个位置上的卡片交换，如此反复直到第 $1$ 张是 $1$ 为止。请问：能恰好交换 $5$ 次的排法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译条件）：能连做 $5$ 次交换，说明位置链的长度是 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第一环）：卡片 $1$ 不能在第 $1$ 个位置，可选位置有 $6-1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（乘法原理）：此后可选位置依次为 $4,3,2,1$，共 $5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：对于由 $1$ 至 $7$ 组成的无重复数字的七位数，按同样的规则交换（首位为 $k$ 时把 $1$ 与第 $k$ 位交换），请问：可以进行 $6$ 次操作的七位数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译条件）：能连做 $6$ 次操作，位置链长度为 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第一环）：$1$ 不能在第 $1$ 位，可选位置有 $7-1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（乘法原理）：$6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：对于由 $1$ 至 $9$ 组成的无重复数字的九位数，按同样的规则交换，可以进行 $8$ 次操作的九位数有多少个？请把结果写成阶乘形式并算出具体数值。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译条件）：能连做 $8$ 次操作，位置链长度为 $\underline{\quad}$。
第 2 步（第一环）：$1$ 不能在第 $1$ 位，可选位置有 $9-1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（写成阶乘）：此后可选位置依次为 $7,6,5,4,3,2,1$，故答案为 $8!$。
第 4 步（算阶乘）：$8!=8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$。

3. 【原题 ch13-chaoyue-03】大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有 $2$ 枚、$2$ 枚、$3$ 枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能相邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？

详细思路

是哪类问题：这是「相邻限制排列＋翻转/环形去重」类题：颜色有重复，还要求同色不相邻，且翻转、旋转后相同算一种。

关键切入点：（1）穿成一串：翻转后相同算一种，用「平均公式」——不同实质串数 $=($ 满足“同色不相邻”的直串数 $N$ + 左右对称(回文)串数 $P) \div 2$。先以 $2$ 红 $2$ 黄的 $6$ 种基本排法为插空基座，把 $3$ 个蓝珠插入空隙（每空至多 $1$ 个，且红红/黄黄相邻处必须插蓝隔开）分类求得 $N=38$；再数回文串：$7$ 位回文中心必为奇数个的蓝，左半是 $B,R,Y$ 的排列去掉与中心蓝相邻者得 $P=4$；故 $(38+4)\div2=21$。（2）穿成一圈：先把 $3$ 个蓝珠放上圆周，剩下 $2$ 红 $2$ 黄放进 $3$ 个空里，由抽屉原理必有一空放 $1$ 红 $1$ 黄，这两颗有左红右黄、左黄右红 $2$ 种放法。

方法概述：同色不相邻先插空数直串 $N$，再用 $(N+P)\div 2$ 按翻转去重；成圈用抽屉原理。

规范步骤：

（1）翻转相同算一种，用平均公式：$\text{待求}=(N+P)\div 2$（翻转对称去重(Burnside)）
（1）先排 $2$ 红 $2$ 黄作插空基座：$\dfrac{4!}{2!\,2!}=6$ 种：RRYY, RYRY, RYYR, YRRY, YRYR, YYRR（相同色不加区分）
（1）每基座 $5$ 个空插 $3$ 蓝（每空至多 $1$ 个；红红/黄黄相邻处必须插蓝）：$RYRY,YRYR$ 无相邻各 $C_5^3=10$；$RYYR,YRRY$ 各锁 $1$ 空 $C_4^2=6$；$RRYY,YYRR$ 各锁 $2$ 空 $C_3^1=3$（分类＋插空）
（1）合法直串数 $N$：$10+10+6+6+3+3=38$（加法原理）
（1）回文串 $P$：中心必为奇数个的蓝，左半为 $B,R,Y$ 的排列 $3!=6$，去掉左半末位为蓝(与中心蓝相邻)的 $2$ 种：$6-2=4$（回文由左半决定）
（1）代入平均公式：$(38+4)\div 2=21$（翻转去重）
（2）圈上先放 $3$ 蓝，其余 $4$ 珠入 $3$ 空：$\text{必有一空放}\ 1\ \text{红}1\ \text{黄}$（抽屉原理）
（2）这两颗珠的左右次序：$2\ \text{种}$（环上去重后只剩两种）
写出答案：$（1）21\ \text{种};（2）2\ \text{种}$

4. 【原题 ch13-chaoyue-04】有 $8$ 个队参加比赛，采用如图 13-7 所示的淘汰制方式。问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？

详细思路

是哪类问题：这是「排列数＋对称去重」类题：先把队伍随意填进赛程表，再除掉“同一场对决左右交换”造成的重复。

关键切入点：$8$ 支队填进赛程表的 $8$ 个位置共 $8!$ 种填法。但同一场对决中把两队左右交换，得到的是同一份实质安排；图中共有 $4+2+1=7$ 场对决，每场都带来 $2$ 倍重复，所以要除以 $2^7$。

方法概述：先全排列，再按对决场数除以 $2$ 的相应次幂。

规范步骤：

全排列：$8!=40320$（8 个位置）
数对决场数：$4+2+1=7$（8 队淘汰赛共 7 场）
每场左右交换重复 $2$ 倍：$2^7=128$（对称去重）
相除：$40320\div 128=315$（去重）
写出答案：$315$

第一套

题目：有 $16$ 个队参加比赛，采用单淘汰制（第一轮 $8$ 场，之后依次 $4$ 场、$2$ 场、$1$ 场）。问：抽签时可以得到多少种实质不同的比赛安排表？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先随意排）：$16$ 支队填进赛程表的 $16$ 个位置，共 $16!=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（数对决场数）：$8+4+2+1=\underline{\quad}$ 场。
第 3 步（为什么要除）：每场对决左右交换得到的是同一安排，共造成 $2^{15}=\underline{\quad}$ 倍重复。
第 4 步（相除）：$20922789888000\div 32768=\underline{\quad}$。

第二套

题目：有 $8$ 支辩论队参加淘汰赛（第一轮 $4$ 场，之后 $2$ 场、$1$ 场）。抽签时可以得到多少种实质不同的对阵表？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先随意排）：$8$ 支队填进 $8$ 个位置，共 $8!=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（数对决场数）：$4+2+1=\underline{\quad}$ 场。
第 3 步（去重）：每场左右交换重复 $2$ 倍，共 $2^7=\underline{\quad}$ 倍。
第 4 步（相除）：$40320\div 128=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$8$ 支球队要两两配对进行第一轮的 $4$ 场比赛（只关心分成哪 $4$ 对，不分场次先后）。共有多少种不同的配对方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先随意排）：$8$ 支队排成一排共 $8!=\underline{\quad}$ 种，把相邻两支看成一对。
第 2 步（对内交换）：每一对内部左右交换不改变配对，$4$ 对共重复 $2^4=\underline{\quad}$ 倍。
第 3 步（对间交换）：$4$ 对之间的先后次序也不影响配对，重复 $4!=\underline{\quad}$ 倍。
第 4 步（相除）：$40320\div 16\div 24=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $8$ 个队参加单淘汰制比赛（第一轮 $4$ 场，之后 $2$ 场、$1$ 场）。若要求甲、乙两队不在第一轮相遇，共有多少种实质不同的比赛安排表？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总数）：不加限制时共 $8!\div 2^7=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（反面·甲乙首轮相遇）：固定甲的位置后，乙与甲同场的可能性是余下 $\underline{\quad}$ 支队中的 $1$ 支，故首轮相遇的安排占总数的 $\dfrac{1}{7}$，共 $315\div 7=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（补集相减）：$315-45=\underline{\quad}$。

5. 【原题 ch13-chaoyue-05】平面上 $8$ 个点构成一个凸八边形，将这 $8$ 个点中任意 $2$ 个点之间连结一条线段，已知任意 $3$ 条线段都没有交于一点，请问：（1）八边形内共连结了多少条线段？（2）这些线段在八边形内有多少个交点？（3）所形成的图形中最多可以数出多少个三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「凸多边形对角线／交点／三角形计数」类题：三问层层递进，都归结为“取几个顶点”。

关键切入点：（1）任意两顶点连一条线段共 $C_8^2$ 条，其中 $8$ 条是八边形的边，故内部对角线 $C_8^2-8=20$ 条。（2）内部每个交点都由两条对角线相交而成，而这两条对角线恰是某 $4$ 个顶点组成的四边形的一对对角线，所以交点数 $=C_8^4=70$。（3）三角形按“有几个顶点是八边形的顶点”分四类：$3$ 个的 $C_8^3$；$2$ 个的每个四点组给出 $4$ 个；$1$ 个的每个五点组给出 $5$ 个；$0$ 个的每个六点组给出 $1$ 个。

方法概述：把“线段/交点/三角形”统统翻译成“选几个顶点”。

规范步骤：

（1）对角线条数：$C_8^2-8=28-8=20$（扣掉八条边）
（2）交点数：$C_8^4=70$（四点组 ↔ 一个交点）
（3）三顶点都在八边形上：$C_8^3=56$（组合数公式）
（3）两顶点在八边形上：$C_8^4\times 4=280$（每个四点组给 4 个）
（3）一顶点在八边形上：$C_8^5\times 5=280$（每个五点组给 5 个）
（3）三顶点都不在八边形上：$C_8^6=28$（每个六点组给 1 个）
（3）相加：$56+280+280+28=644$（加法原理）
写出答案：$（1）20；（2）70；（3）644$

第一套

题目：平面上 $10$ 个点构成一个凸十边形，将任意 $2$ 点之间连一条线段，任意 $3$ 条线段不交于一点。请问：（1）十边形内共连结了多少条线段（对角线）？（2）这些线段在十边形内有多少个交点？（3）最多可以数出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一问）：任两点连线共 $C_{10}^{2}=\dfrac{10\times 9}{2\times 1}=\underline{\quad}$ 条，扣掉十边形的 $10$ 条边，对角线有 $45-10=\underline{\quad}$ 条。
第 2 步（第二问）：每个内部交点对应一个四点组，$C_{10}^{4}=\dfrac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第三问·分四类）：三顶点都在十边形上 $C_{10}^{3}=\underline{\quad}$ 个；两个在上 $C_{10}^{4}\times 4=\underline{\quad}$ 个；一个在上 $C_{10}^{5}\times 5=\underline{\quad}$ 个；都不在上 $C_{10}^{6}=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相加）：$120+840+1260+210=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某地有 $8$ 个哨所构成一个凸八边形，任意两个哨所之间架一条直的通信线，已知任意 $3$ 条线不交于一点。请问：（1）八边形内部共有多少条通信线（不含边界上的）？（2）内部有多少个交叉点？（3）图中最多可数出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一问）：任两哨所连线共 $C_8^2=\underline{\quad}$ 条，扣掉边界上的 $8$ 条，内部有 $28-8=\underline{\quad}$ 条。
第 2 步（第二问）：每个交叉点对应一个四点组，$C_8^4=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第三问·分四类）：$C_8^3=\underline{\quad}$、$C_8^4\times 4=\underline{\quad}$、$C_8^5\times 5=\underline{\quad}$、$C_8^6=\underline{\quad}$。
第 4 步（相加）：$56+280+280+28=\underline{\quad}$。

第三套

题目：平面上 $7$ 个点构成一个凸七边形，任意 $2$ 点之间连一条线段，任意 $3$ 条线段不交于一点。请问：（1）七边形内共有多少条对角线？（2）内部有多少个交点？（3）最多可数出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一问）：$C_7^2=\dfrac{7\times 6}{2\times 1}=\underline{\quad}$ 条，扣掉 $7$ 条边得 $21-7=\underline{\quad}$ 条。
第 2 步（第二问）：$C_7^4=\dfrac{7\times 6\times 5\times 4}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第三问·分四类）：$C_7^3=\underline{\quad}$、$C_7^4\times 4=\underline{\quad}$、$C_7^5\times 5=\underline{\quad}$、$C_7^6=\underline{\quad}$。
第 4 步（相加）：$35+140+105+7=\underline{\quad}$。

第三套

题目：平面上 $12$ 个点构成一个凸十二边形，任意 $2$ 点之间连一条线段，任意 $3$ 条线段不交于一点。请问：（1）内部共有多少条对角线？（2）内部有多少个交点？（3）最多可数出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一问）：$C_{12}^{2}=\underline{\quad}$ 条，扣掉 $12$ 条边得 $66-12=\underline{\quad}$ 条。
第 2 步（第二问）：$C_{12}^{4}=\dfrac{12\times 11\times 10\times 9}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第三问·分四类）：$C_{12}^{3}=\underline{\quad}$、$C_{12}^{4}\times 4=\underline{\quad}$、$C_{12}^{5}\times 5=\underline{\quad}$、$C_{12}^{6}=\underline{\quad}$。
第 4 步（相加）：$220+1980+3960+924=\underline{\quad}$。

6. 【原题 ch13-chaoyue-06】动物园的门票 $5$ 元 $1$ 张，每人限购 $1$ 张。现在有 $10$ 个小朋友排队购票，其中 $5$ 个小朋友只有 $5$ 元的钞票，另外 $5$ 个小朋友只有 $10$ 元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？

详细思路

是哪类问题：这是「格路标数法＋卡特兰型计数」类题：把“能否找开零钱”翻译成路径不越界。

关键切入点：把持 $5$ 元的小朋友买票记作向右一步，持 $10$ 元的记作向上一步，则“任何时刻都能找开”等价于“任何时刻向右步数不少于向上步数”，即从 $5\times 5$ 方格图左下角到右上角、不越过对角线的路径数，用标数法得 $42$ 条。再把两类小朋友各自区分开：持 $5$ 元的 $5$ 人可全排列 $5!$ 种，持 $10$ 元的同样 $5!$ 种。

方法概述：先把顺序问题化为不越界格路，再乘上同类人的全排列。

规范步骤：

翻译模型：$5\ \text{元}\to\text{右};\ 10\ \text{元}\to\text{上}$（找得开 ↔ 右步数≥上步数）
标数法求合法路径：$42$（不越对角线的格路数）
两类人各自全排列：$5!=120$（人是不同的）
乘法原理：$42\times 120\times 120=604800$（分步计数）
写出答案：$604800$

第一套

题目：门票 $5$ 元 $1$ 张，每人限购 $1$ 张。有 $12$ 个小朋友排队购票，其中 $6$ 人只有 $5$ 元钞票，另外 $6$ 人只有 $10$ 元钞票，售票员没有准备零钱。请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？（提示：$6$ 对括号的合法路径数为 $132$）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译模型）：持 $5$ 元记作向右，持 $10$ 元记作向上，“总能找开”就是任何时刻向右的步数不少于向上的步数，对应 $6\times 6$ 方格图中不越对角线的路径，共 $\underline{\quad}$ 条。
第 2 步（同类人排序）：持 $5$ 元的 $6$ 人可以互换位置，有 $6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种；持 $10$ 元的 $6$ 人同样有 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（乘法原理）：$132\times 720\times 720=\underline{\quad}$。

第二套

题目：电影院售票处每张票 $5$ 元，每人限购 $1$ 张。$10$ 位观众排队买票，其中 $5$ 人只带了 $5$ 元，另外 $5$ 人只带了 $10$ 元，售票员没有零钱。请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？（提示：$5$ 对的合法路径数为 $42$）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译模型）：带 $5$ 元记作向右、带 $10$ 元记作向上，“总能找开”对应不越对角线的格路，共 $\underline{\quad}$ 条。
第 2 步（同类人排序）：带 $5$ 元的 $5$ 人有 $5!=\underline{\quad}$ 种，带 $10$ 元的 $5$ 人也有 $120$ 种。
第 3 步（乘法原理）：$42\times 120\times 120=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$12$ 个小朋友排队买 $5$ 元一张的门票，其中 $6$ 人持 $5$ 元、$6$ 人持 $10$ 元，售票员没有零钱。若只关心“持 $5$ 元”“持 $10$ 元”的先后顺序（同种钞票的人不加区分），有多少种顺序能保证总找得开？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先算所有顺序）：在 $12$ 个位置中选 $6$ 个给持 $10$ 元的人，$C_{12}^{6}=\dfrac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（去掉不合法的）：不合法即某时刻持 $10$ 元的人数超过持 $5$ 元的人数，用反射法可知不合法的顺序数为 $C_{12}^{5}=\dfrac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（相减）：$924-792=\underline{\quad}$。

第三套

题目：门票 $5$ 元 $1$ 张，每人限购 $1$ 张。$10$ 个小朋友排队购票，其中 $5$ 人只有 $5$ 元、$5$ 人只有 $10$ 元。已知售票员一开始手里备有 $1$ 张 $5$ 元零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（新的不越界条件）：手里先有 $1$ 张 $5$ 元，所以任何时刻持 $10$ 元的人数最多可以比持 $5$ 元的人数多 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（先算所有顺序）：在 $10$ 个位置中选 $5$ 个给持 $10$ 元的人，$C_{10}^{5}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（反射法去掉不合法）：不合法即某时刻持 $10$ 元的人比持 $5$ 元的人多 $2$ 个，其个数为 $C_{10}^{3}=\underline{\quad}$ 种，故合法顺序有 $252-120=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘上两组全排列）：$132\times 120\times 120=\underline{\quad}$。

7. 【原题 ch13-chaoyue-07】经理要将打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面。秘书有一有空就从最上面拿一封信来打印，一天共有 $7$ 封信要打印，经理按 $1$ 号信、$2$ 号信、……、$7$ 号信的顺序交给秘书。午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了 $5$ 封信，她已经把 $5$ 号信打好了，但未透露上午工作的其他情况。（1）如果上午秘书已经把 $5$ 封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？（2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？

详细思路

是哪类问题：这是「栈的合法序列＋格路标数法」类题：信件后交先打，任何时刻已打印数不超过已交出数。

关键切入点：把“经理交一封信”看成向右一步、“秘书打印一封”看成向上一步，栈结构(后交先打)使任何时刻已打印数 ≤ 已交出数，合法打印顺序 ↔ 从左下到右上、不越过对角线的格路。（1）上午 $5$ 封全部打完对应 $5\times 5$ 的不越界格路，用反射法：所有单调格路 $C_{10}^5=252$ 条，减去越过对角线的 $C_{10}^6=210$ 条，得 $252-210=42$ 条（卡特兰数）。（2）上午没打完时，按“上午结束时还剩几封未打印”分成四类(剩 $4/3/2/1$ 封)，每类都是一张确定形状方格图上的不越界格路，用标数法逐格累加分别得 $20,56,54,20$，相加 $150$。

方法概述：交信/打印 ↔ 右/上两种步；(1) 用反射法算卡特兰数，(2) 按剩余封数分类逐类标数。

规范步骤：

建立模型：交信 $\to$ 右，打印 $\to$ 上：$\text{任何时刻上步数}\le\text{右步数}$（栈：已打印≤已交出）
（1）上午全打完 ↔ $5\times 5$ 不越对角线的格路；先数所有单调格路：$C_{10}^{5}=\dfrac{10\times 9\times 8\times 7\times 6}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=252$（$10$ 步中选 $5$ 步向上）
（1）反射法减去越过对角线的路径：$252-C_{10}^{6}=252-210=42$（反射法(卡特兰数)）
（2）上午没打完，按上午结束时还剩几封未打印分四类：$\text{剩}\ 4/3/2/1\ \text{封}$（分类依据）
（2）每类是一张确定形状方格图上的不越界格路，标数法逐格累加得各类路径数：$20,\ 56,\ 54,\ 20$（标数法逐类）
（2）四类互斥，分类相加：$20+56+54+20=150$（加法原理）
写出答案：$（1）42；（2）150$

8. 【原题 ch13-chaoyue-08】（1）将 $8$ 个黑球和 $20$ 个白球排成一圈，每 $2$ 个黑球之间至少有 $2$ 个白球的排列方法有多少种？（2）$8$ 名女生、$20$ 名男生站成一圈，要求每 $2$ 名女生之间至少有 $2$ 名男生，有多少种不同的站法？（经过旋转相同的算作一种排法，答案用阶乘表示）

详细思路

是哪类问题：这是「环形排列＋整数分拆＋旋转去重」类题：先满足最小间隔，再把剩余物体分配到各段并按旋转去重。

关键切入点：先在每两个黑球之间放 $2$ 个白球，用掉 $8\times 2=16$ 个，还剩 $20-16=4$ 个白球，要放进圆环上的 $8$ 堆里。因为旋转后相同算一种，需要按“$4$ 个白球分成几堆”分类枚举并去掉旋转重复：放成一堆 $1$ 种；放成两堆（$1+3$ 有 $7$ 种、$2+2$ 有 $4$ 种）；放成三堆 $21$ 种；放成四堆 $10$ 种，合计 $43$ 种。

方法概述：先满足最小间隔，剩余量作环上整数分拆，用“固定唯一堆消旋转 / 间隔定位 / Burnside 平均”逐类去重。

规范步骤：

先放足间隔：每两黑球间放 $2$ 白球：$8\times 2=16$（满足最小间隔）
剩余白球放进圆环 $8$ 堆(旋转相同算一种)：$20-16=4$（环上分拆＋旋转去重）
（一堆 $4$）$4$ 个全放一堆：$8$ 个位置旋转后彼此等价：$1\ \text{种}$（旋转去重）
（两堆 $1+3$）两堆球数不同，固定装 $3$ 个的堆为基准消除旋转，装 $1$ 个的堆在其余 $7$ 堆中任选：$8-1=7\ \text{种}$（唯一堆定基准）
（两堆 $2+2$）两堆各 $2$ 个且相同，只由两堆间隔决定，间隔取 $1,2,3,4$(更大者对称重复)：$8\div 2=4\ \text{种}$；两堆合计 $7+4=11$（间隔定位）
（三堆 $1+1+2$）固定装 $2$ 个的堆为基准，两个装 $1$ 个的堆在其余 $7$ 堆中选 $2$ 个：$C_7^2=\dfrac{7\times 6}{2\times 1}=21\ \text{种}$（唯一堆定基准＋组合）
（四堆 $1+1+1+1$）即 $8$ 位置选 $4$ 个的圈排列，Burnside 平均：不旋固定 $C_8^4=70$，旋 $2/6$ 格各固定 $2$、旋 $4$ 格固定 $6$：$(70+2+6+2)\div 8=10\ \text{种}$（Burnside 去重）
分类相加：$1+11+21+10=43$（加法原理）
写出答案：$43$

9. 【原题 ch13-tuozhan-01】在 $8\times 8$ 的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图 13-2 所示的由 $4$ 个单位小正方形组成的“L”型？

详细思路

是哪类问题：这是「对应计数法」类图形计数题：$4$ 个小正方形组成的“L”型不好直接数，把它装进固定的大框架里数。

关键切入点：$4$ 格的 L 型恰好是一个 $2\times 3$ 长方形挖去 $2$ 格，每个 $2\times 3$ 长方形中正好含 $4$ 个这样的 L 型。$2\times 3$ 长方形有竖放与横放两种姿态：竖放 $3\times 2$ 时位置有 $6\times 7$ 个，横放 $2\times 3$ 时位置有 $7\times 6$ 个，合计 $7\times 6\times 2=84$ 个。

方法概述：L 型 ↔ $2\times 3$ 长方形，先数长方形（含横竖两种）再乘 $4$。

规范步骤：

找对应：每个 $2\times 3$ 长方形含 $4$ 个 L 型：$1\ \text{个}2\times 3\leftrightarrow 4\ \text{个 L 型}$（对应计数法）
数 $2\times 3$ 长方形（横竖两种姿态）：$7\times 6\times 2=84$（乘法原理＋分类）
每个长方形贡献 $4$ 个：$4\times 84=336$（乘法原理）
写出答案：$336$

第一套

题目：在 $12\times 12$ 的方格棋盘中，一共可以数出多少个由 $4$ 个单位小正方形组成的“L”型？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找对应）：每个 L 型恰好落在一个 $2\times 3$ 的长方形里，一个 $2\times 3$ 长方形中含 $\underline{\quad}$ 个 L 型。
第 2 步（数框架）：$12\times 12$ 棋盘中，一种姿态的 $2\times 3$ 长方形有 $11\times 10=\underline{\quad}$ 个，横竖两种姿态共 $110\times 2=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（相乘）：$4\times 220=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一块 $10\times 10$ 的地砖拼图由同样大小的小正方形砖组成，要用 $4$ 块相邻的砖拼出一个“L”型图案，一共可以拼出多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找对应）：每个 L 型图案都落在一个 $2\times 3$ 的六砖长方形里，一个长方形中含 $\underline{\quad}$ 个 L 型。
第 2 步（数框架）：一种姿态的 $2\times 3$ 长方形有 $9\times 8=\underline{\quad}$ 个，横竖两种共 $72\times 2=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（相乘）：$4\times 144=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在 $8\times 8$ 的方格棋盘中，一共可以数出多少个由 $3$ 个单位小正方形连成一条直线的“$1\times 3$ 直条”？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：直条分横放与竖放两类，需要分别数再相加。
第 2 步（横放）：每行中 $1\times 3$ 的起点有 $8-3+1=\underline{\quad}$ 个位置，共 $8$ 行，横放有 $8\times 6=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（竖放）：同理竖放也有 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相加）：$48+48=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在 $8\times 8$ 的方格棋盘中，由 $4$ 个小正方形组成的“L”型与由 $3$ 个小方格组成的“L”形一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一类：$4$ 格 L 型）：$2\times 3$ 长方形共 $7\times 6\times 2=\underline{\quad}$ 个，每个含 $4$ 个 L 型，共 $4\times 84=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（第二类：$3$ 格 L 形）：$2\times 2$ 田字格共 $7\times 7=\underline{\quad}$ 个，每个含 $4$ 个 L 形，共 $4\times 49=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（分类相加）：两类图形形状不同、互不重复，合计 $336+196=\underline{\quad}$。

10. 【原题 ch13-tuozhan-02】如图 13-3，从 $A$ 点走到 $B$ 点，每次只能向右或向下走一步，有多少种不同的走法？你的计算结果是怎样的一个组合数？

详细思路

是哪类问题：这是「格路计数」类题：只能向右或向下走，求从 $A$ 到 $B$ 的路径数。

关键切入点：无论怎样走，向右的步数与向下的步数都是固定的（本题为 $10$ 步向右、$3$ 步向下），总步数 $13$ 步。一条路径完全由“哪几步向下”决定，所以路径数就是从 $13$ 步中选 $3$ 步的组合数。

方法概述：把路径写成一串“右/下”，转化为组合选取。

规范步骤：

算总步数：$10+3=13$（步数固定）
路径 ↔ 选出向下的 $3$ 步：$\text{路径}\leftrightarrow C_{13}^{3}$（一一对应）
算组合数：$C_{13}^{3}=\dfrac{13\times 12\times 11}{3\times 2\times 1}=286$（组合数公式）
写出答案：$286$

第一套

题目：在方格图上从 $A$ 点走到 $B$ 点，每次只能向右或向下走一步，其中共需向右走 $12$ 步、向下走 $4$ 步，有多少种不同的走法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总步数）：$12+4=\underline{\quad}$ 步。
第 2 步（转化）：一条路径由“哪几步向下”唯一确定，所以要在 $16$ 步中选出 $\underline{\quad}$ 步向下。
第 3 步（算组合数）：$C_{16}^{4}=\dfrac{16\times 15\times 14\times 13}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：城市街道呈方格状，小高从家去学校每次只能向东或向南走一个街区，共需向东走 $10$ 个街区、向南走 $3$ 个街区。他有多少条不同的上学路线？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总步数）：$10+3=\underline{\quad}$ 个街区。
第 2 步（转化）：路线由“哪几步向南”唯一确定，即在 $13$ 步中选 $\underline{\quad}$ 步向南。
第 3 步（算组合数）：$C_{13}^{3}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在方格图上从左上角走到右下角，每次只能向右或向下走一步，共需向右走 $8$ 步、向下走 $5$ 步，有多少种不同的走法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算总步数）：$8+5=\underline{\quad}$ 步。
第 2 步（转化）：在 $13$ 步中选出 $\underline{\quad}$ 步向下即可。
第 3 步（算组合数）：$C_{13}^{5}=\dfrac{13\times 12\times 11\times 10\times 9}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在方格图上从 $A$ 走到 $B$，每次只能向右或向下走一步，共需向右 $10$ 步、向下 $3$ 步。若途中必须经过点 $P$，而从 $A$ 到 $P$ 需向右 $4$ 步、向下 $1$ 步，有多少种不同的走法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分段）：路线被 $P$ 分成 $A\to P$ 和 $P\to B$ 两段，两段独立，用乘法原理。
第 2 步（前段）：$A\to P$ 共 $4+1=5$ 步，选 $1$ 步向下，$C_5^1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（后段）：$P\to B$ 还需向右 $10-4=\underline{\quad}$ 步、向下 $3-1=\underline{\quad}$ 步，共 $8$ 步选 $2$ 步向下，$C_8^2=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（相乘）：$5\times 28=\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch13-tuozhan-03】一次射击比赛中，$7$ 个泥制的靶子挂成 $3$ 列（如图 13-4）。一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个。若每次都遵循这一原则，则击碎全部 $7$ 个靶子共有多少种不同的顺序？

详细思路

是哪类问题：这是「分步计数＋多重集排列」类题：每列内部的击碎顺序被规则固定，只需决定每一次射击射的是哪一列。

关键切入点：由于每次都打该列最下面的靶子，同一列内的顺序没有自由度。于是一个击碎顺序就等于一个长度为 $7$ 的“列号序列”，其中第 $1$ 列出现 $3$ 次、第 $2$ 列 $2$ 次、第 $3$ 列 $2$ 次。分步选位置：先在 $7$ 次中选 $3$ 次给第 $1$ 列，再在剩 $4$ 次中选 $2$ 次给第 $2$ 列，最后 $2$ 次给第 $3$ 列。

方法概述：列内顺序固定 → 只排列号，分步用组合数相乘。

规范步骤：

选第 $1$ 列的射击次序：$C_7^3=35$（组合数公式）
在剩下 $4$ 次中选第 $2$ 列：$C_4^2=6$（组合数公式）
余下 $2$ 次给第 $3$ 列：$C_2^2=1$（只剩一种）
乘法原理：$35\times 6\times 1=210$（分步计数）
写出答案：$210$

第一套

题目：$9$ 个泥制的靶子挂成 $3$ 列，从左到右各列分别有 $4$ 个、$3$ 个、$2$ 个。射手每次先挑一列，再击碎该列尚未被击碎的靶子中最下面的一个。击碎全部 $9$ 个靶子共有多少种不同的顺序？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（为什么只排列号）：每列内部的先后被规则固定，一个顺序就等于一串长度为 $\underline{\quad}$ 的列号。
第 2 步（选第 $1$ 列）：在 $9$ 次射击中选 $4$ 次给第 $1$ 列，$C_9^4=\dfrac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（选第 $2$ 列）：在剩下 $9-4=5$ 次中选 $3$ 次，$C_5^3=\underline{\quad}$ 种；余下 $2$ 次给第 $3$ 列，$C_2^2=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘法原理）：$126\times 10\times 1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三摞盘子分别有 $3$ 个、$2$ 个、$2$ 个，服务员每次先挑一摞，然后取走该摞最上面的一个盘子。取完全部 $7$ 个盘子共有多少种不同的取法顺序？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（为什么只排摞号）：每摞内部的先后被规则固定，一个顺序就等于一串长度为 $\underline{\quad}$ 的摞号。
第 2 步（选第 $1$ 摞）：$C_7^3=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（选第 $2$ 摞）：在剩下 $4$ 次中选 $2$ 次，$C_4^2=\underline{\quad}$ 种；余下 $2$ 次给第 $3$ 摞。
第 4 步（乘法原理）：$35\times 6\times 1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$8$ 个靶子挂成 $3$ 列，各列分别有 $3$ 个、$3$ 个、$2$ 个。按“只能打本列最下面一个”的规则，击碎全部靶子共有多少种不同的顺序？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：一个顺序等于一串长度为 $\underline{\quad}$ 的列号。
第 2 步（选第 $1$ 列）：$C_8^3=\dfrac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（选第 $2$ 列）：在剩下 $5$ 次中选 $3$ 次，$C_5^3=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘法原理）：$56\times 10\times 1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$8$ 个靶子挂成 $4$ 列，各列分别有 $3$ 个、$2$ 个、$2$ 个、$1$ 个。按“只能打本列最下面一个”的规则，击碎全部靶子共有多少种不同的顺序？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：一个顺序等于一串长度为 $8$ 的列号，其中第 $1$ 列出现 $3$ 次、第 $2$、$3$ 列各 $2$ 次、第 $4$ 列 $\underline{\quad}$ 次。
第 2 步（选第 $1$ 列）：$C_8^3=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（选第 $2$ 列）：剩 $5$ 次选 $2$ 次，$C_5^2=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（选第 $3$ 列）：剩 $3$ 次选 $2$ 次，$C_3^2=\underline{\quad}$ 种；最后 $1$ 次给第 $4$ 列。
第 5 步（乘法原理）：$56\times 10\times 3\times 1=\underline{\quad}$。

12. 【原题 ch13-tuozhan-04】（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃 $4$ 次后回到起点。如果它每一次跳跃的长度都是 $1$ 分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为 $1$ 分米的方格纸上沿格线跳跃 $4$ 次后回到起点，每次跳跃的长度仍是 $1$ 分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

详细思路

是哪类问题：这是「往返计数＋分类计数」类题：跳若干次后回到起点，等价于各方向的步数互相抵消。

关键切入点：（1）直线上回到起点必须左、右各 $2$ 次，跳法由“哪 $2$ 步向左”决定，即 $C_4^2=6$。（2）方格纸上有左右上下四个方向，回到起点要求左与右次数相同、上与下次数相同。$4$ 步只有两类：四个方向各一次（全排列 $4!=24$）；只用一对相反方向各 $2$ 次（选哪一对有 $2$ 种，每种 $C_4^2=6$，共 $12$）。合计 $36$。

方法概述：抵消条件 → 按各方向次数分类，再用排列组合。

规范步骤：

（1）左右各 $2$ 次：$C_4^2=\dfrac{4\times 3}{2\times 1}=6$（组合数公式）
（2）第一类：四方向各一次：$4\times 3\times 2\times 1=24$（全排列）
（2）第二类：只用一对相反方向：$2\times C_4^2=2\times 6=12$（分类＋组合）
分类相加：$24+12=36$（加法原理）
写出答案：$（1）6；（2）36$

第一套

题目：（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃 $6$ 次后回到起点，每次跳跃长度都是 $1$ 分米，共有多少种可能的跳法？（2）如果它在方格边长为 $1$ 分米的方格纸上沿格线跳跃 $6$ 次后回到起点，共有多少种可能的跳法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（（1）抵消条件）：直线上回到起点要求向左与向右各 $6\div 2=\underline{\quad}$ 次。
第 2 步（（1）选步）：在 $6$ 步中选出向左的 $3$ 步，$C_6^3=\dfrac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（（2）分类）：设左右各 $i$ 次、上下各 $j$ 次，则 $i+j=\underline{\quad}$，共 $i=0,1,2,3$ 四类。
第 4 步（（2）逐类计数）：$i=0$ 时 $\dfrac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种；$i=1$ 时 $\dfrac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{1\times 1\times 2\times 2}=\underline{\quad}$ 种；$i=2$ 与 $i=1$ 对称也是 $180$ 种；$i=3$ 与 $i=0$ 对称也是 $20$ 种。
第 5 步（相加）：$20+180+180+20=\underline{\quad}$。

第二套

题目：（1）一个机器人在一条直线轨道上移动 $4$ 次后回到出发点，每次移动 $1$ 米，共有多少种可能的移动方式？（2）如果它在边长 $1$ 米的方格地砖上沿砖缝移动 $4$ 次后回到出发点，共有多少种可能的移动方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（（1）抵消条件）：直线上回到出发点要求左、右各 $\underline{\quad}$ 次。
第 2 步（（1）选步）：$C_4^2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（（2）第一类）：四个方向各一次，共 $4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（（2）第二类）：只用一对相反方向各 $2$ 次，有 $2\times C_4^2=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（相加）：$24+12=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一只青蛙沿着一条直线跳跃 $8$ 次后回到起点，每次跳跃的长度都是 $1$ 分米，共有多少种可能的跳法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抵消条件）：向左与向右的次数必须相等，各为 $8\div 2=\underline{\quad}$ 次。
第 2 步（选步）：跳法由“哪 $4$ 步向左”唯一确定，即在 $8$ 步中选 $\underline{\quad}$ 步。
第 3 步（算组合数）：$C_8^4=\dfrac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一只小虫在空间格点上爬行，每次沿东、西、南、北、上、下六个方向之一爬 $1$ 厘米，爬 $4$ 次后回到出发点，共有多少种可能的爬法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抵消条件）：三组相反方向中，每组的正反次数必须相等，$4$ 步只能分成两类。
第 2 步（第一类：用两组方向，各一正一反）：先选用到的两组方向，$C_3^2=\underline{\quad}$ 种；这 $4$ 步互不相同，排列数为 $4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种，本类共 $3\times 24=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第二类：只用一组方向，正反各 $2$ 次）：选方向组 $3$ 种，选哪 $2$ 步为正向 $C_4^2=\underline{\quad}$ 种，本类共 $3\times 6=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（分类相加）：$72+18=\underline{\quad}$。

13. 【原题 ch13-tuozhan-05】如图 13-5 所示，有两条平行线，如果每条直线上有 $3$ 个点，连出 $3$ 条线段，从图中最多可以数出 $7$ 个三角形；如图 13-6 所示，如果每条直线上有 $4$ 个点，连出 $4$ 条线段，从图中最多可以数出 $16$ 个三角形。如果每条直线上有 $10$ 个点，连出 $10$ 条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「三角形计数＋分类讨论」类题：图中的三角形按“是否有边落在平行线上”分成两类，分别用组合数计数。

关键切入点：两条平行线之间连出 $10$ 条线段（每条连接上、下各一点）。① 有一条边在平行线上的三角形：另外两条边取自 $10$ 条线段中的任意两条，而任意两条线段与上、下两条平行线各能围出 $1$ 个，共 $2\times C_{10}^{2}$ 个；② 三条边都不在平行线上：三条边取自 $10$ 条线段中的任意 $3$ 条，每 $3$ 条唯一确定一个，共 $C_{10}^{3}$ 个。

方法概述：按“边是否在平行线上”分类，分别取 $2$ 条、$3$ 条线段。

规范步骤：

第一类：一条边在平行线上：$2\times C_{10}^{2}=2\times 45=90$（任两条线段配上、下两条平行线各得 1 个）
第二类：三边都不在平行线上：$C_{10}^{3}=120$（任 3 条线段定 1 个）
分类相加：$90+120=210$（加法原理）
写出答案：$210$

第一套

题目：两条平行线上各有 $12$ 个点，在它们之间连出 $12$ 条线段（每条连接上、下各一点，任意 $3$ 条线段不共点），从图中最多可以数出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：按三角形是否有一条边落在平行线上分成两类。
第 2 步（第一类）：任取 $2$ 条线段，$C_{12}^{2}=\dfrac{12\times 11}{2\times 1}=\underline{\quad}$ 种，每种配上、下两条平行线各得 $1$ 个，共 $2\times 66=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第二类）：任取 $3$ 条线段唯一确定一个，$C_{12}^{3}=\dfrac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相加）：$132+220=\underline{\quad}$。

第二套

题目：舞台上下各挂着一排灯，上排 $10$ 盏、下排 $10$ 盏，用 $10$ 条细绳把上排的灯与下排的灯一一相连（任意 $3$ 条绳不交于一点）。若把两排灯所在的直线也看作两条线，图中最多可以数出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：按三角形是否有一条边落在两排灯所在的直线上分成两类。
第 2 步（第一类）：任取 $2$ 条细绳 $C_{10}^{2}=\underline{\quad}$ 种，每种可配上排或下排的直线，共 $2\times 45=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第二类）：任取 $3$ 条细绳唯一确定一个，$C_{10}^{3}=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（相加）：$90+120=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两条平行线上分别有 $6$ 个点和 $8$ 个点，从这 $14$ 个点中任取 $3$ 个作三角形的顶点，最多可以得到多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先不管共线）：从 $14$ 个点中任取 $3$ 个，$C_{14}^{3}=\dfrac{14\times 13\times 12}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（排除共线）：同在一条平行线上的 $3$ 点不能构成三角形，上面一条有 $C_6^3=\underline{\quad}$ 组，下面一条有 $C_8^3=\underline{\quad}$ 组。
第 3 步（相减）：$364-20-56=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两条平行线上各有 $10$ 个点，把这 $20$ 个点两两之间都连一条线段（同一条平行线上的点之间也连），任意 $3$ 条线段不共点。以这 $20$ 个点为顶点最多可以数出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总数）：从 $20$ 个点中任取 $3$ 个，$C_{20}^{3}=\dfrac{20\times 19\times 18}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（排除共线）：同在上面那条平行线上的 $3$ 点共线，$C_{10}^{3}=\underline{\quad}$ 组；下面那条同样有 $\underline{\quad}$ 组。
第 3 步（容斥相减）：$1140-120-120=\underline{\quad}$。

14. 【原题 ch13-tuozhan-06】把 $20$ 个苹果分给 $3$ 个小朋友，每个小朋友至少分 $1$ 个，一共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？

详细思路

是哪类问题：这是「插板法」类题，一题两问，正好对照“每组非空”和“允许空组”两种情形。

关键切入点：（1）每人至少 $1$ 个：$20$ 个苹果排一排有 $19$ 个空隙，分 $3$ 份插 $2$ 块板，$C_{19}^{2}=171$。（2）允许有人分不到：不能直接选空隙，先给每人虚借 $1$ 个，总数变为 $20+3=23$，再按“每人至少 $1$ 个”插板，$C_{22}^{2}=231$。

方法概述：非空直接插板；可空先添元素再插板。

规范步骤：

（1）数空隙：$20-1=19$（相邻空隙）
（1）选 $2$ 个空隙：$C_{19}^{2}=\dfrac{19\times 18}{2\times 1}=171$（组合数公式）
（2）添元素：$20+3=23$（每人虚借 1 个）
（2）选空隙：$C_{22}^{2}=\dfrac{22\times 21}{2\times 1}=231$（组合数公式）
写出答案：$（1）171；（2）231$

第一套

题目：把 $30$ 个相同的苹果分给 $4$ 个小朋友，每个小朋友至少分 $1$ 个，一共有多少种分法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一问·数空隙）：$30$ 个苹果排一排，空隙有 $30-1=\underline{\quad}$ 个，分成 $4$ 份需隔板 $\underline{\quad}$ 块。
第 2 步（第一问·选空隙）：$C_{29}^{3}=\dfrac{29\times 28\times 27}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第二问·添元素）：允许有人分不到，先给每人虚借 $1$ 个，总数变为 $30+4=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（第二问·选空隙）：$C_{33}^{3}=\dfrac{33\times 32\times 31}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：把 $25$ 本相同的练习本发给 $3$ 名同学，每人至少发 $1$ 本，有多少种发法？如果允许有人一本也发不到，又有多少种发法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一问·数空隙）：$25$ 本排一排空隙有 $25-1=\underline{\quad}$ 个，需隔板 $2$ 块。
第 2 步（第一问·选空隙）：$C_{24}^{2}=\dfrac{24\times 23}{2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第二问·添元素）：给每人虚借 $1$ 本，总数变为 $25+3=\underline{\quad}$ 本。
第 4 步（第二问·选空隙）：$C_{27}^{2}=\dfrac{27\times 26}{2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：把 $24$ 个相同的苹果分给 $4$ 个小朋友，每个小朋友至少分 $1$ 个，一共有多少种分法？如果可以有小朋友没有分到，共有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第一问）：空隙有 $24-1=\underline{\quad}$ 个，选 $3$ 个插隔板，$C_{23}^{3}=\dfrac{23\times 22\times 21}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（第二问·添元素）：虚借 $4$ 个，总数变为 $24+4=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第二问·选空隙）：$C_{27}^{3}=\dfrac{27\times 26\times 25}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：把 $20$ 个相同的苹果分给 $3$ 个小朋友，每个小朋友至少分 $1$ 个且最多分 $10$ 个，一共有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先不管上界）：每人至少 $1$ 个的分法共 $C_{19}^{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（算一个人超界的情形）：若某人分到的超过 $10$ 个，先给他预分 $10$ 个，再给三人每人至少 $1$ 个地分剩下的 $20-10=10$ 个，即 $C_{9}^{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（三个人分别超界）：超界的人有 $3$ 种可能，且两人同时超过 $10$ 个会超过 $20$ 个、不可能发生，故要减去 $3\times 36=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（容斥相减）：$171-108=\underline{\quad}$。

15. 【原题 ch13-tuozhan-07】小高有 $10$ 块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完。请问一共有多少种不同的吃法？

详细思路

是哪类问题：这是「插板法的二分法形态」：分成几天不确定，于是不再“选空隙”，而是对每个空隙独立决定“插”或“不插”。

关键切入点：$10$ 块糖排成一排有 $9$ 个空隙。若在某个空隙插板，表示当天到此为止、第二天接着吃。天数没有限制，所以每个空隙都有“插”与“不插”两种独立选择，由乘法原理共 $2^9$ 种，且每种插板方式对应一种吃法。

方法概述：空隙独立二选一，方法数为 $2^{n-1}$。

规范步骤：

数空隙：$10-1=9$（相邻空隙）
每个空隙插或不插：$2\ \text{种}$（独立二选一）
乘法原理：$2^9=512$（9 个空隙相乘）
写出答案：$512$

第一套

题目：小高有 $16$ 块大白兔奶糖，他从今天起每天至少吃一块，直到吃完。请问一共有多少种不同的吃法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数空隙）：$16$ 块糖排成一排，空隙有 $16-1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（为什么是二选一）：天数不限，每个空隙都可独立地“插板”或“不插板”，各有 $\underline{\quad}$ 种选择。
第 3 步（乘法原理）：$2^{15}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一本课外书共 $12$ 页，小高从今天起每天至少读 $1$ 页（按顺序读），直到读完。请问一共有多少种不同的读法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数空隙）：$12$ 页排成一排，空隙有 $12-1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（二选一）：每个空隙可独立决定“当天读到此为止”或“继续读”，各有 $\underline{\quad}$ 种选择。
第 3 步（乘法原理）：$2^{11}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：小高有 $10$ 块大白兔奶糖，他要恰好用 $3$ 天吃完，每天至少吃一块。请问一共有多少种不同的吃法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（判断类型）：天数被指定为 $3$ 天，隔板数就定死为 $3-1=\underline{\quad}$ 块，不再是每个空隙二选一。
第 2 步（数空隙）：$10$ 块糖排一排，空隙有 $10-1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（选空隙）：$C_9^2=\dfrac{9\times 8}{2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：小高有 $10$ 块大白兔奶糖，他从今天起每天至少吃一块，且要在 $4$ 天之内（含 $4$ 天）吃完。请问一共有多少种不同的吃法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类思路）：天数只能是 $1,2,3,4$ 天，按天数分类，天数为 $k$ 时隔板为 $k-1$ 块。
第 2 步（逐类计数）：$1$ 天时 $\underline{\quad}$ 种；$2$ 天时 $C_9^1=\underline{\quad}$ 种；$3$ 天时 $C_9^2=\underline{\quad}$ 种；$4$ 天时 $C_9^3=\dfrac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（加法原理）：$1+9+36+84=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch13-tuozhan-08】海淀大街上一共有 $18$ 盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的 $7$ 盏。但是为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？

详细思路

是哪类问题：这是「不相邻选取（插空法）」类题：要选出的对象两两不相邻，正面直接数很乱，改从“留下的”入手。

关键切入点：熄灭 $7$ 盏就还亮着 $18-7=11$ 盏。把这 $11$ 盏亮灯排好，它们之间和两端共有 $11+1=12$ 个空隙；熄灭的灯必须放进这些空隙且每个空隙至多一盏（否则会有两盏熄灯相邻）。于是方案数就是从 $12$ 个空隙中选 $7$ 个。

方法概述：先排“不选的”，再把“要选的”插进空隙，每空至多一个。

规范步骤：

算亮灯数：$18-7=11$（其余全亮）
数空隙（含两端）：$11+1=12$（n 个物体产生 n+1 个空隙）
从 $12$ 个空隙中选 $7$ 个：$C_{12}^{7}=792$（组合数公式）
写出答案：$792$

第一套

题目：一条街上一共有 $25$ 盏路灯，要熄灭其中的 $10$ 盏，且任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换角度）：熄灭 $10$ 盏，则还亮着 $25-10=\underline{\quad}$ 盏。
第 2 步（数空隙）：$15$ 盏亮灯之间和两端共有 $15+1=\underline{\quad}$ 个空隙。
第 3 步（为什么每空至多一盏）：若同一空隙放两盏熄灯，它们就相邻了，所以要在 $16$ 个空隙中选 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（算组合数）：$C_{16}^{10}=C_{16}^{6}=\dfrac{16\times 15\times 14\times 13\times 12\times 11}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：礼堂一排有 $20$ 个座位，要安排 $8$ 名同学就座，且任意两名同学不能相邻，共有多少种就座方案？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换角度）：坐 $8$ 人，则空座有 $20-8=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（数空隙）：$12$ 个空座之间和两端共有 $12+1=\underline{\quad}$ 个空隙。
第 3 步（每空至多一人）：在 $13$ 个空隙中选 $8$ 个放人，$C_{13}^{8}=C_{13}^{5}=\dfrac{13\times 12\times 11\times 10\times 9}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一排有 $15$ 个座位，要从中选出 $4$ 个互不相邻的座位，有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换角度）：选 $4$ 个，剩下 $15-4=\underline{\quad}$ 个座位没被选。
第 2 步（数空隙）：这 $11$ 个座位之间和两端共有 $11+1=\underline{\quad}$ 个空隙。
第 3 步（选空隙）：$C_{12}^{4}=\dfrac{12\times 11\times 10\times 9}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：街上一共有 $18$ 盏路灯，要熄灭其中的 $7$ 盏，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，并且第 $1$ 盏与第 $18$ 盏（两端的灯）必须亮着。请问：一共有多少种熄灯方案？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换角度）：熄 $7$ 盏则亮 $18-7=\underline{\quad}$ 盏，$11$ 盏亮灯共产生 $11+1=12$ 个空隙。
第 2 步（处理端点限制）：两端的灯必须亮，说明最左、最右这 $\underline{\quad}$ 个空隙不能放熄灯，可用的空隙只剩 $12-2=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（选空隙）：$C_{10}^{7}=C_{10}^{3}=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

17. 【原题 ch13-tuozhan-09】美国众议院 $435$ 名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过。表决结果是拒绝缴纳，试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？

详细思路

是哪类问题：这是「分类计数＋等差数列求和」类题：按赞成票数逐一分类，每类的可能情况数成等差数列。

关键切入点：提案通过要求赞成票多于总票数的一半，$435$ 的一半是 $217.5$，所以赞成票至少 $218$ 票，最多 $435$ 票。赞成票为 $a$ 时，反对与弃权共 $435-a$ 票，其分配有 $435-a+1$ 种。于是从 $a=218$ 到 $a=435$ 依次是 $218,217,\cdots,1$，用等差数列求和公式相加。

方法概述：按赞成票数分类，每类是一个等差项，再求和。

规范步骤：

确定赞成票下界：$435\div 2=217.5\Rightarrow a\ge 218$（多于半数）
赞成 $218$ 票时：$435-218+1=218\ \text{种}$（剩余票在两项间分配）
赞成 $435$ 票时：$1\ \text{种}$（剩余 0 票）
等差求和：$218+217+\cdots+1=\dfrac{218\times 219}{2}=23871$（等差数列求和）
写出答案：$23871$

第一套

题目：某议会 $501$ 名议员对一项提案投票，每人只能投赞同票、反对票或弃权票中的一种，只要赞成票多于总票数的一半提案就通过。已知提案通过，试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定下界）：$501$ 的一半是 $250.5$，所以赞成票至少 $\underline{\quad}$ 票。
第 2 步（逐类计数）：赞成票为 $a$ 时，其余 $501-a$ 票在反对与弃权两项间分配，有 $501-a+1$ 种。$a=251$ 时为 $501-251+1=\underline{\quad}$ 种，$a=501$ 时为 $1$ 种。
第 3 步（识别等差）：各类的种数依次为 $251,250,\cdots,1$，共 $\underline{\quad}$ 项。
第 4 步（等差求和）：$\dfrac{251\times 252}{2}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某社区 $435$ 位居民对一项改造方案投票，每人只能选“赞成”“反对”“弃权”中的一种，赞成票多于总票数的一半方案才通过。已知方案通过，共有多少种可能的三种票数的统计情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定下界）：赞成票至少 $\underline{\quad}$ 票。
第 2 步（逐类计数）：赞成 $218$ 票时其余 $217$ 票的分配有 $217+1=\underline{\quad}$ 种，赞成 $435$ 票时有 $1$ 种。
第 3 步（等差求和）：$218+217+\cdots+1=\dfrac{218\times 219}{2}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$100$ 名代表对一项提案投票，每人只能投赞成、反对、弃权中的一种，赞成票多于总票数的一半提案才通过。已知提案通过，共有多少种可能的三种票数的统计情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定下界）：$100$ 的一半是 $50$，赞成票必须多于 $50$，即至少 $\underline{\quad}$ 票。
第 2 步（逐类计数）：赞成 $51$ 票时其余 $49$ 票的分配有 $49+1=\underline{\quad}$ 种；赞成 $100$ 票时有 $1$ 种。
第 3 步（等差求和）：$50+49+\cdots+1=\dfrac{50\times 51}{2}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：美国众议院 $435$ 名议员对一项提案投票，每人投赞成、反对、弃权中的一种，赞成票多于总票数的一半提案才通过。若表决结果是提案未获通过，共有多少种可能的三种票数的统计情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算全部情况）：三种票数之和为 $435$ 且都可为 $0$，用添元素插板法，总数为 $C_{437}^{2}=\dfrac{437\times 436}{2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（算通过的情况）：赞成票至少 $218$ 票，由分类等差求和得 $\dfrac{218\times 219}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（补集相减）：未通过的情况为 $95266-23871=\underline{\quad}$ 种。

18. 【原题 ch13-tuozhan-10】有 $10$ 个小朋友排成一列，要从中选出 $3$ 个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？

详细思路

是哪类问题：这是「不相邻选取（插空法）」类题：从一排中选出互不相邻的若干个。

关键切入点：换个角度想：选出 $3$ 个后还剩 $10-3=7$ 个小朋友，把这 $7$ 个人排好，他们之间和两端共有 $7+1=8$ 个空隙。选出的 $3$ 个人各占一个空隙（每个空隙至多一人）就保证了互不相邻，而且这种放法与原来的选法一一对应。

方法概述：先排“没被选的”，再把“被选的”插入空隙。

规范步骤：

算剩下的人数：$10-3=7$（其余不被选）
数空隙（含两端）：$7+1=8$（n 个物体产生 n+1 个空隙）
选 $3$ 个空隙：$C_8^3=\dfrac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$（组合数公式）
写出答案：$56$

第一套

题目：有 $20$ 个小朋友排成一列，要从中选出 $5$ 个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换角度）：选出 $5$ 个后还剩 $20-5=\underline{\quad}$ 个小朋友。
第 2 步（数空隙）：$15$ 个小朋友之间和两端共有 $15+1=\underline{\quad}$ 个空隙。
第 3 步（选空隙）：每个空隙至多放一人才能互不相邻，$C_{16}^{5}=\dfrac{16\times 15\times 14\times 13\times 12}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：路边一排种着 $16$ 棵树，要从中选出 $4$ 棵互不相邻的树挂上彩灯，有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换角度）：选出 $4$ 棵后还剩 $16-4=\underline{\quad}$ 棵树。
第 2 步（数空隙）：$12$ 棵树之间和两端共有 $12+1=\underline{\quad}$ 个空隙。
第 3 步（选空隙）：$C_{13}^{4}=\dfrac{13\times 12\times 11\times 10}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一排 $12$ 个座位中要选出 $3$ 个互不相邻的座位放置花盆，有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换角度）：剩下 $12-3=\underline{\quad}$ 个座位。
第 2 步（数空隙）：$9$ 个座位之间和两端共有 $9+1=\underline{\quad}$ 个空隙。
第 3 步（选空隙）：$C_{10}^{3}=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $10$ 个小朋友手拉手围成一圈，要从中选出 $3$ 个互不相邻的小朋友（首尾两人也算相邻），有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（固定一人分类）：圆圈没有头尾，先看某个指定的小朋友甲。若甲被选中，与甲相邻的 $2$ 人都不能选，余下 $10-1-2=\underline{\quad}$ 人排成一条（首尾不再相邻），要从中选 $2$ 个互不相邻的。
第 2 步（甲被选中的情形）：$7$ 人中选 $2$ 个不相邻，剩 $5$ 人产生 $5+1=\underline{\quad}$ 个空隙，$C_6^2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（甲不被选中的情形）：去掉甲后余下 $9$ 人排成一条，选 $3$ 个不相邻的，剩 $6$ 人产生 $7$ 个空隙，$C_7^3=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（分类相加）：$15+35=\underline{\quad}$。

19. 【原题 ch13-tuozhan-11】一次自助餐共有 $10$ 种菜，每个人都有 $4$ 个盘子可以选菜，每个盘子只能放 $1$ 种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？

详细思路

是哪类问题：这是「可重复选取」类题：$4$ 个盘子彼此不区分（只看每种菜取了几盘），$10$ 种菜彼此不同、可重复取也可不取。

关键切入点：把问题倒过来看：把 $4$ 个相同的“盘子”分给 $10$ 种不同的菜，每种菜分到的盘数可以为 $0$。用插板法，需要 $10-1=9$ 块隔板把 $4$ 个盘子隔成 $10$ 组，于是把 $4$ 个盘子与 $9$ 块隔板共 $4+9=13$ 个位置排成一排，只要选出哪 $4$ 个位置放盘子即可。

方法概述：相同盘子分给不同菜（可空）→ 盘子与隔板混排，选位置。

规范步骤：

转化模型：$4\ \text{个相同盘子}\to 10\ \text{种不同菜（可空）}$（只看每种菜几盘）
需要的隔板数：$10-1=9$（分成 10 组）
盘子与隔板混排的位置数：$4+9=13$（共 13 个位置）
选放盘子的位置：$C_{13}^{4}=\dfrac{13\times 12\times 11\times 10}{4\times 3\times 2\times 1}=715$（组合数公式）
写出答案：$715$

第一套

题目：一次自助餐共有 $12$ 种菜，每个人有 $5$ 个盘子可以选菜，每个盘子只能放 $1$ 种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：相当于把 $5$ 个相同的盘子分给 $12$ 种不同的菜，每种菜可以分到 $\underline{\quad}$ 盘（即允许为空）。
第 2 步（数隔板）：分成 $12$ 组需要隔板 $12-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（混排选位置）：盘子与隔板共 $5+11=\underline{\quad}$ 个位置，选 $5$ 个放盘子。
第 4 步（算组合数）：$C_{16}^{5}=\dfrac{16\times 15\times 14\times 13\times 12}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：文具店有 $8$ 种不同的贴纸，小高的贴纸册上有 $4$ 个格子，每个格子只贴 $1$ 张贴纸，同一种贴纸可以重复贴。请问：共有多少种贴法？（只看每种贴纸各贴了几张）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：相当于把 $4$ 个相同的格子分给 $8$ 种不同的贴纸，每种贴纸可以分到 $\underline{\quad}$ 个（允许为空）。
第 2 步（数隔板）：分成 $8$ 组需要隔板 $8-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（混排选位置）：共 $4+7=\underline{\quad}$ 个位置，选 $4$ 个放格子，$C_{11}^{4}=\dfrac{11\times 10\times 9\times 8}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：冷饮店有 $5$ 种口味的冰淇淋球，小高要买 $6$ 个球，同一种口味可以买多个，也可以某些口味一个都不买。请问：共有多少种买法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：把 $6$ 个相同的球分给 $5$ 种不同口味，每种口味可以分到 $\underline{\quad}$ 个（允许为空）。
第 2 步（数隔板）：分成 $5$ 组需隔板 $5-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（混排选位置）：共 $6+4=\underline{\quad}$ 个位置，选 $6$ 个放球，$C_{10}^{6}=C_{10}^{4}=\dfrac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一次自助餐共有 $10$ 种菜，每个人有 $4$ 个盘子选菜，每盘只放 $1$ 种菜且可以重复选菜。若要求所选的菜中至少有两盘是同一种菜，共有多少种选菜方案？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总数）：不加限制时的方案数为 $C_{13}^{4}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（反面）：“没有任何两盘同菜”即 $4$ 盘互不相同，相当于从 $10$ 种菜中选 $4$ 种，$C_{10}^{4}=\dfrac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（补集相减）：$715-210=\underline{\quad}$。

20. 【原题 ch13-tuozhan-12】$3$ 个男生和 $7$ 个女生站成一排，要求每 $2$ 个男生之间至少有 $2$ 个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？

详细思路

是哪类问题：这是「插空法＋排列数」类题：先解决“位置结构”（谁挨着谁），再乘上同类人内部的全排列。

关键切入点：先把 $3$ 个男生的相对位置排好，在每两个男生之间强制放 $2$ 个女生（共用掉 $4$ 个），保证“每 $2$ 个男生之间至少 $2$ 个女生”。剩下 $3$ 个女生可以任意放进 $3$ 个男生形成的 $4$ 个空隙（含两端），按放进 $1$、$2$、$3$ 个空隙分类共 $4+12+4=20$ 种位置结构。最后男生之间、女生之间还可以互换，分别乘 $3!$ 与 $7!$。

方法概述：先定位置结构（插空＋分类），再乘各自的全排列。

规范步骤：

强制插入：$3\ \text{男生间共插}\ 2\times 2=4\ \text{个女生}$（满足最少间隔）
剩余女生数：$7-4=3$（还剩 3 个自由女生）
放进 $4$ 个空隙（分类）：$C_4^1+A_4^2+C_4^3=4+12+4=20$（分类计数）
乘各自全排列：$20\times 3!\times 7!=20\times 6\times 5040=604800$（排列数）
站成一圈：$A_3^2\times A_7^7=3\times 2\times 5040=30240$（环形排列固定一人破环）
写出答案：$604800\ \text{种};\ 30240\ \text{种}$

21. 【原题 ch13-tuozhan-13】一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是 $2310$，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体）

详细思路

是哪类问题：这是「质因数分解＋整数分配＋去重」类题：体积固定，把质因数分给长、宽、高三条棱。

关键切入点：$2310=2\times 3\times 5\times 7\times 11$ 恰有 $5$ 个互不相同的质因数。用 $(a,b,c)$ 表示长、宽、高各自分到的质因数个数（$a+b+c=5$），由于旋转后重合算同一个长方体，$(a,b,c)$ 不计顺序，只有 $(5,0,0),(4,1,0),(3,2,0),(3,1,1),(2,2,1)$ 五类。每类再数具体分法：有两条棱个数相同时要除以 $2$ 去重。

方法概述：先分解质因数，再按“个数分布”分类计数并对相同个数去重。

规范步骤：

质因数分解：$2310=2\times 3\times 5\times 7\times 11$（5 个不同质因数）
$(5,0,0)$ 类：$1$（全给一条棱）
$(4,1,0)$ 类：$C_5^1=5$（选 1 个给第二条棱）
$(3,2,0)$ 类：$C_5^2=10$（选 2 个给第二条棱）
$(3,1,1)$ 类：$C_5^3=10$（选 3 个给最长棱，余下两个各一条（两条棱对称））
$(2,2,1)$ 类：$C_5^2\times C_3^2\div 2=10\times 3\div 2=15$（两条棱个数相同要除以 2）
分类相加：$1+5+10+10+15=41$（加法原理）
写出答案：$41$

22. 【原题 ch13-tuozhan-14】用 $4$ 种颜色为一个正方体的 $6$ 个面染色，要求每个面只能用 $1$ 种颜色，且相邻面的颜色必须不相同。如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？

详细思路

是哪类问题：这是「正方体染色＋翻转旋转去重＋分类讨论」类题：相邻面不同色，按实际用了几种颜色分类。

关键切入点：只用 $3$ 种颜色时，相对的面必须同色，染法唯一，选色有 $C_4^3=4$ 种。用满 $4$ 种颜色时，必有一种颜色出现在一对面上：若这对面是相对面，侧面有 $3$ 种染法；若同色的两面不相对，则另一面的染法唯一，共 $3$ 种。三类相加。

方法概述：按“用了几种颜色”分类，每类固定一个面破除旋转对称。

规范步骤：

只用 $3$ 种颜色：$C_4^3\times 1=4$（相对面同色，染法唯一）
$4$ 种颜色全用·同色两面相对：$1\times 3=3$（侧面 3 种染法）
$4$ 种颜色全用·同色两面不相对：$3\times 1=3$（其余面染法唯一）
分类相加：$4+3+3=10$（加法原理）
写出答案：$10$

23. 【原题 ch13-xingqu-01】在 $8\times 8$ 的方格表中，取出一个如图 13-1 所示的由 3 个小方格组成的“L”形，一共有多少种不同的取法？

详细思路

是哪类问题：这是「对应计数法」类图形计数题：要数的小图形本身不好直接数，但它总能被装进一个固定的大框架里，于是把「数小图形」转化为「数大框架×每框内个数」。

关键切入点：关键是找到 L 形三格的「容身之所」：3 个小方格拼成的 L 形，恰好是一个 $2\times 2$ 田字格挖去 1 格，所以每个 L 形唯一对应一个田字格，而一个田字格里挖去哪一格有 4 种选择，即恰含 4 个 L 形。于是只要数出田字格个数。

方法概述：L 形 ↔ 田字格一一对应，先数田字格再乘 4。

规范步骤：

认出对应关系：每个 L 形恰在一个 $2\times 2$ 田字格内：$1\ \text{个田字格}\leftrightarrow 4\ \text{个 L 形}$（对应计数法）
数 $8\times 8$ 方格表中的田字格：横向 $7$ 个位置、纵向 $7$ 个位置：$7\times 7=49$（乘法原理）
每个田字格贡献 $4$ 个 L 形：$4\times 49=196$（乘法原理）
写出答案：$196$

第一套

题目：在 $12\times 12$ 的方格表中，取出一个由 $3$ 个小方格组成的“L”形，一共有多少种不同的取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找对应）：每个 L 形恰好是一个 $2\times 2$ 田字格挖去 $1$ 格，所以一个田字格里含 L 形的个数是 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（数框架）：$12\times 12$ 方格表中田字格横向有 $11$ 个位置、纵向有 $11$ 个位置，田字格共 $11\times 11=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（相乘）：$4\times 121=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一面 $10\times 10$ 的正方形瓷砖墙由同样大小的小正方形砖组成，工人要用 $3$ 块相邻的砖拼成一个“L”形图案，一共有多少种不同的拼法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找对应）：每个 L 形图案都落在一个 $2\times 2$ 的四砖小方块里，一个小方块中能拼出 $\underline{\quad}$ 个 L 形。
第 2 步（数框架）：$10\times 10$ 的墙面上 $2\times 2$ 小方块共 $9\times 9=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（相乘）：$4\times 81=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在 $6\times 9$ 的长方形方格表中，取出一个由 $3$ 个小方格组成的“L”形，一共有多少种不同的取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找对应）：一个田字格中含 $\underline{\quad}$ 个 L 形，方法与正方形棋盘时完全相同。
第 2 步（数框架）：$6$ 行 $9$ 列时，田字格竖向有 $5$ 个位置、横向有 $8$ 个位置，共 $5\times 8=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（相乘）：$4\times 40=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在 $8\times 8$ 的方格表中，一共可以取出多少个由 $3$ 个小方格组成的“L”形与 $2\times 2$ 的“田”字形？（两类图形的个数合计）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数田字格）：$8\times 8$ 方格表中 $2\times 2$ 田字格共 $7\times 7=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（第一类：L 形）：每个田字格含 $4$ 个 L 形，L 形共 $4\times 49=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第二类：田字形）：田字形本身的个数就是第 1 步的结果 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（分类相加）：两类图形互不重复，合计 $196+49=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch13-xingqu-02】小高妈妈每天让小高吃 $1$ 个鸡蛋或者 $1$ 个鸭蛋，那么小高吃完家里的 $4$ 个鸡蛋和 $4$ 个鸭蛋共有多少种吃法？

详细思路

是哪类问题：这是「组合数」类选取计数题：每天二选一，把整段时间看成一排位置，问题化为“在若干个位置中选出若干个”。

关键切入点：小高一共要吃 $4+4=8$ 天，每天的选择只有鸡蛋或鸭蛋两种；只要确定哪 $4$ 天吃鸡蛋，剩下 $4$ 天必然吃鸭蛋，吃法就完全定下来了。所以吃法与“从 $8$ 天中选 $4$ 天”一一对应。

方法概述：把二选一序列转化为组合选取，用 $C_8^4$。

规范步骤：

算总天数：$4+4=8$（每天吃 1 个）
确定对应关系：选出吃鸡蛋的 $4$ 天，其余自动是鸭蛋：$\text{吃法}\leftrightarrow \text{8 天中选 4 天}$（一一对应）
算组合数：$C_8^4=\dfrac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$（组合数公式）
写出答案：$70$

第一套

题目：妈妈每天让小高吃 $1$ 个鸡蛋或者 $1$ 个鸭蛋，那么小高吃完家里的 $5$ 个鸡蛋和 $5$ 个鸭蛋共有多少种吃法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算天数）：每天吃 $1$ 个，总天数为 $5+5=\underline{\quad}$ 天。
第 2 步（转化）：只要定下哪几天吃鸡蛋，其余天自动吃鸭蛋，所以要在 $10$ 天中选出 $\underline{\quad}$ 天吃鸡蛋。
第 3 步（算组合数）：$C_{10}^{5}=\dfrac{10\times 9\times 8\times 7\times 6}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：小高每天从果篮里拿 $1$ 个水果吃，家里有 $6$ 个苹果和 $6$ 个香蕉，他把水果全部吃完，共有多少种不同的吃法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算天数）：每天吃 $1$ 个，总天数为 $6+6=\underline{\quad}$ 天。
第 2 步（转化）：定下哪几天吃苹果，其余天就是香蕉，所以要在 $12$ 天中选出 $\underline{\quad}$ 天吃苹果。
第 3 步（算组合数）：$C_{12}^{6}=\dfrac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $6$ 个相同的红球和 $4$ 个相同的白球排成一排，共有多少种不同的排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找位置）：一共有 $6+4=\underline{\quad}$ 个位置。
第 2 步（转化）：球同色时无区别，只要定下哪 $4$ 个位置放白球即可，即在 $10$ 个位置中选 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（算组合数）：$C_{10}^{4}=\dfrac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：妈妈每天让小高吃 $1$ 个鸡蛋、$1$ 个鸭蛋或者 $1$ 个鹌鹑蛋，那么小高吃完家里的 $4$ 个鸡蛋、$4$ 个鸭蛋和 $4$ 个鹌鹑蛋共有多少种吃法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（算天数）：总天数为 $4+4+4=\underline{\quad}$ 天。
第 2 步（第一步选取）：先在 $12$ 天中选 $4$ 天吃鸡蛋，$C_{12}^{4}=\dfrac{12\times 11\times 10\times 9}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（第二步选取）：再在剩下的 $8$ 天中选 $4$ 天吃鸭蛋，$C_{8}^{4}=\underline{\quad}$ 种；余下 $4$ 天必吃鹌鹑蛋。
第 4 步（乘法原理）：两步相乘 $495\times 70=\underline{\quad}$。

25. 【原题 ch13-xingqu-03】$5$ 枚相同样式的DY奖章颁发给 $3$ 名学生，每个学生至少一枚，则有多少种颁奖方式？

详细思路

是哪类问题：这是「插板法」类相同物体分组题：若干个完全相同的物体分给若干个不同的对象，每个对象至少得一个。

关键切入点：把 $5$ 枚相同奖章排成一排，它们之间形成 $5-1=4$ 个空隙；每插入一块隔板就把队列切成一段，切成 $3$ 段需要 $3-1=2$ 块隔板。由于每人至少一枚，隔板不能插在两端也不能两块挤在同一空隙，所以就是“从 $4$ 个空隙中选 $2$ 个”。

方法概述：排成一排数空隙，选空隙插隔板，$C_4^2$。

规范步骤：

$5$ 枚奖章排一排，中间空隙数：$5-1=4$（相邻两枚之间一个空隙）
分给 $3$ 人需隔板数：$3-1=2$（每块隔板切一刀）
从 $4$ 个空隙中选 $2$ 个：$C_4^2=\dfrac{4\times 3}{2\times 1}=6$（组合数公式）
写出答案：$6$

第一套

题目：$12$ 枚相同样式的DY奖章颁发给 $4$ 名学生，每个学生至少一枚，则有多少种颁奖方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数空隙）：$12$ 枚奖章排成一排，中间空隙有 $12-1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（数隔板）：要分给 $4$ 人，需要隔板 $4-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（选空隙）：$C_{11}^{3}=\dfrac{11\times 10\times 9}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：图书馆把 $12$ 本完全相同的新书分给 $4$ 个学习小组，每个小组至少分到 $1$ 本，共有多少种分法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数空隙）：$12$ 本书排成一排，中间空隙有 $12-1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（数隔板）：分成 $4$ 份需要隔板 $4-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（选空隙）：$C_{11}^{3}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $10$ 写成 $3$ 个正整数相加的形式（如 $1+2+7$ 与 $7+2+1$ 算作不同），一共有多少种写法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：$10$ 写成 $3$ 个正整数的和，相当于把 $10$ 个相同的“$1$”分成 $\underline{\quad}$ 组，每组至少 $1$ 个。
第 2 步（数空隙与隔板）：$10$ 个“$1$”排一排有 $10-1=\underline{\quad}$ 个空隙，需要隔板 $3-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（选空隙）：$C_{9}^{2}=\dfrac{9\times 8}{2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$12$ 枚相同样式的DY奖章颁发给 $4$ 名学生，允许有的学生一枚也得不到，则有多少种颁奖方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（为什么不能直接插板）：允许空组时隔板可以插在两端、也可以两块相邻，不能直接选空隙，先给每人“借” $1$ 枚，把奖章总数虚增为 $12+4=\underline{\quad}$ 枚。
第 2 步（化为每人至少 $1$ 枚）：分 $\underline{\quad}$ 枚给 $4$ 人且每人至少 $1$ 枚，最后每人再还回 $1$ 枚即得原问题的分法，两者一一对应。
第 3 步（数空隙与隔板）：$16$ 枚排一排有 $16-1=\underline{\quad}$ 个空隙，需隔板 $4-1=3$ 块。
第 4 步（选空隙）：$C_{15}^{3}=\dfrac{15\times 14\times 13}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

26. 【原题 ch13-xingqu-04】常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜 $4$ 局即获得比赛的胜利。请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？

详细思路

是哪类问题：这是「分类计数＋对称性」类比赛过程计数题：先胜若干局者胜，问全部比赛过程的种数。

关键切入点：关键有两点：①对称性——常昊胜与古力胜的过程种数相同，只算一半再乘 $2$；②胜者必赢最后一局，若比赛共打 $k$ 局，则常昊在前 $k-1$ 局中恰好赢 $3$ 局，方式数为 $C_{k-1}^{3}$。按 $k=4,5,6,7$ 分类求和即可。

方法概述：按总局数分类，用“最后一局必胜”固定结尾，再由对称性乘 $2$。

规范步骤：

打 $4$ 局结束：$C_3^3=1$（前 3 局全胜）
打 $5$ 局结束：$C_4^3=4$（前 4 局中赢 3 局）
打 $6$ 局结束：$C_5^3=10$（前 5 局中赢 3 局）
打 $7$ 局结束：$C_6^3=20$（前 6 局中赢 3 局）
常昊获胜的过程数：$1+4+10+20=35$（分类加法原理）
由对称性乘 $2$：$2\times 35=70$（对称性）
写出答案：$70$

第一套

题目：两人进行围棋争霸赛，比赛没有平局，谁先胜 $5$ 局即获得比赛的胜利。请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用对称性）：两人获胜的过程数相同，先只算甲获胜的情形，最后再乘 $\underline{\quad}$。
第 2 步（固定结尾）：若比赛共打 $k$ 局，甲必赢最后一局，且在前 $k-1$ 局中恰好赢 $\underline{\quad}$ 局。
第 3 步（分类）：$k=5$ 时 $C_4^4=\underline{\quad}$；$k=6$ 时 $C_5^4=\underline{\quad}$；$k=7$ 时 $C_6^4=\underline{\quad}$；$k=8$ 时 $C_7^4=\underline{\quad}$；$k=9$ 时 $C_8^4=\underline{\quad}$。
第 4 步（加法原理）：甲获胜的过程共 $1+5+15+35+70=\underline{\quad}$ 种。
第 5 步（乘 $2$）：$2\times 126=\underline{\quad}$。

第二套

题目：两名乒乓球运动员进行冠军争夺赛，比赛没有平局，谁先胜 $4$ 局即夺冠。请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用对称性）：只算甲夺冠的过程数，最后乘 $\underline{\quad}$。
第 2 步（固定结尾）：甲必赢最后一局，若共打 $k$ 局，则甲在前 $k-1$ 局中恰赢 $3$ 局，方式数为 $C_{k-1}^{3}$。$k=4$ 时为 $\underline{\quad}$；$k=5$ 时为 $\underline{\quad}$；$k=6$ 时为 $\underline{\quad}$；$k=7$ 时为 $\underline{\quad}$。
第 3 步（加法原理）：甲夺冠过程共 $1+4+10+20=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘 $2$）：$2\times 35=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两人进行争霸赛，比赛没有平局，谁先胜 $4$ 局即获胜。请问：比赛恰好打满 $7$ 局才分出胜负的过程共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（理解“打满 7 局”）：打满 $7$ 局说明前 $6$ 局双方各胜 $\underline{\quad}$ 局，第 $7$ 局才决出胜负。
第 2 步（先算甲获胜）：甲赢第 $7$ 局，且在前 $6$ 局中恰赢 $3$ 局，$C_6^3=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（对称性）：乙获胜同理，共 $2\times 20=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：两人进行争霸赛，比赛没有平局，谁先胜 $4$ 局即获胜。请问：比赛打了 $6$ 局或 $7$ 局才结束的过程共有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总数）：不加限制时全部比赛过程共 $2\times(1+4+10+20)=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（去掉 $4$ 局结束）：$4$ 局结束即一方连胜 $4$ 局，共 $2\times C_3^3=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（去掉 $5$ 局结束）：胜者赢第 $5$ 局且前 $4$ 局中赢 $3$ 局，共 $2\times C_4^3=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（补集相减）：$70-2-8=\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch13-xingqu-05】$10$ 个相同的橘子放到 $3$ 个不同的盘子里，每个盘子至少放 $1$ 个，一共有多少种不同的放法？

详细思路

是哪类问题：这是「插板法」类相同物体分到不同盒子的题：物体相同、盒子不同、每盒至少一个。

关键切入点：$10$ 个相同橘子排成一排后有 $10-1=9$ 个空隙；分成 $3$ 份要切 $2$ 刀，即插 $2$ 块隔板，且每个空隙至多插一块（否则会出现空盘）。所以答案就是从 $9$ 个空隙中选 $2$ 个。

方法概述：排队数空隙，选空隙插隔板，$C_9^2$。

规范步骤：

$10$ 个橘子排一排的空隙数：$10-1=9$（相邻两个之间一个空隙）
分成 $3$ 份需隔板数：$3-1=2$（每块隔板切一刀）
选空隙：$C_9^2=\dfrac{9\times 8}{2\times 1}=36$（组合数公式）
写出答案：$36$

第一套

题目：$20$ 个相同的橘子放到 $3$ 个不同的盘子里，每个盘子至少放 $1$ 个，一共有多少种不同的放法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数空隙）：$20$ 个橘子排成一排，空隙有 $20-1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（数隔板）：分成 $3$ 份需隔板 $3-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（选空隙）：$C_{19}^{2}=\dfrac{19\times 18}{2\times 1}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$15$ 颗相同的糖果装入 $4$ 个不同的礼盒里，每个礼盒至少装 $1$ 颗，一共有多少种不同的装法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数空隙）：$15$ 颗糖排成一排，空隙有 $15-1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（数隔板）：分成 $4$ 份需隔板 $4-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（选空隙）：$C_{14}^{3}=\dfrac{14\times 13\times 12}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：方程 $x+y+z=12$ 有多少组正整数解？（$x,y,z$ 有顺序之分）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：求正整数解，相当于把 $12$ 个相同的单位分给 $\underline{\quad}$ 个未知数，每个至少 $1$。
第 2 步（数空隙与隔板）：$12$ 个单位排一排有 $12-1=\underline{\quad}$ 个空隙，需隔板 $3-1=2$ 块。
第 3 步（选空隙）：$C_{11}^{2}=\dfrac{11\times 10}{2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$20$ 个相同的橘子放到 $3$ 个不同的盘子里，每个盘子至少放 $2$ 个，一共有多少种不同的放法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化下界为 $1$）：先给每个盘子预先放 $1$ 个，用掉 $3$ 个，剩下 $20-3=\underline{\quad}$ 个橘子仍要求每盘至少 $1$ 个。
第 2 步（为什么可以这样做）：预放后“每盘至少 $2$ 个”与“剩下的每盘至少 $1$ 个”一一对应，问题化为把 $\underline{\quad}$ 个橘子分成 $3$ 份且每份非空。
第 3 步（数空隙）：$17$ 个橘子排一排有 $17-1=\underline{\quad}$ 个空隙，需隔板 $2$ 块。
第 4 步（选空隙）：$C_{16}^{2}=\dfrac{16\times 15}{2\times 1}=\underline{\quad}$。

28. 【原题 ch13-xingqu-06】一部电视连续剧共 $8$ 集，电视台要在周一到周四这 $4$ 天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？

详细思路

是哪类问题：这是「插板法（允许空组）」类题：$8$ 集按顺序播出，顺序固定不用排列，只需把 $8$ 集切成 $4$ 天的份额，且某天可以为空。

关键切入点：由于必须按顺序播完，$8$ 集本身没有排列的自由度，问题只剩“怎样切成 $4$ 段”，段可以为空。空组不能直接选空隙，于是采用添元素法：先给每天虚借 $1$ 集，总数变成 $8+4=12$，改为每天至少 $1$ 集，再用普通插板法。

方法概述：允许空组时先“每组借一个”化为每组非空，再插板。

规范步骤：

顺序固定，只需分段：$8\ \text{集}\to 4\ \text{天的份额}$（顺序固定不排列）
添元素化空组为非空：$8+4=12$（每天虚借 1 集）
$12$ 个排一排，空隙数：$12-1=11$（相邻空隙）
选 $3$ 个空隙插隔板：$C_{11}^{3}=\dfrac{11\times 10\times 9}{3\times 2\times 1}=165$（组合数公式）
写出答案：$165$

第一套

题目：一部电视连续剧共 $12$ 集，电视台要在 $5$ 天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（添元素）：允许某天不播，先给每天虚借 $1$ 集，总数变为 $12+5=\underline{\quad}$ 集。
第 2 步（化为非空）：现在把 $17$ 集分给 $5$ 天且每天至少 $1$ 集，空隙有 $17-1=\underline{\quad}$ 个，需隔板 $5-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（选空隙）：$C_{16}^{4}=\dfrac{16\times 15\times 14\times 13}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一份连载小说共 $10$ 篇稿件，报社要在连续 $4$ 期报纸上按顺序刊完，其中可以有某期不刊登，共有多少种刊登方案？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（添元素）：允许某期不刊，先给每期虚借 $1$ 篇，总数变为 $10+4=\underline{\quad}$ 篇。
第 2 步（化为非空）：把 $14$ 篇分给 $4$ 期且每期至少 $1$ 篇，空隙有 $14-1=\underline{\quad}$ 个，需隔板 $\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（选空隙）：$C_{13}^{3}=\dfrac{13\times 12\times 11}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一部电视连续剧共 $8$ 集，要在周一到周四这 $4$ 天内按顺序播完，且每天至少播 $1$ 集，共有多少种安排播出的方法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（判断类型）：每天至少播 $1$ 集，说明不允许空组，$\underline{\quad}$ 集直接排一排即可插板。
第 2 步（数空隙与隔板）：空隙有 $8-1=\underline{\quad}$ 个，分成 $4$ 段需隔板 $4-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（选空隙）：$C_{7}^{3}=\dfrac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一部电视连续剧共 $8$ 集，要在周一到周四这 $4$ 天内按顺序播完，其余各天可以不播，但周一必须至少播 $2$ 集，共有多少种安排播出的方法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（处理下界）：先把周一必播的 $2$ 集预先安排好，剩下 $8-2=\underline{\quad}$ 集可任意分到 $4$ 天（都允许为空）。
第 2 步（添元素）：允许空组，给每天虚借 $1$ 集，总数变为 $6+4=\underline{\quad}$ 集。
第 3 步（数空隙）：$10$ 集排一排空隙有 $10-1=\underline{\quad}$ 个，需隔板 $3$ 块。
第 4 步（选空隙）：$C_{9}^{3}=\dfrac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

29. 【原题 ch13-xingqu-07】某班 $40$ 名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择。请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？

详细思路

是哪类问题：这是「插板法（允许空组）」类统计计数题：只关心三个选项各有多少人（统计数字），不关心具体是谁选的。

关键切入点：统计结果由三个数字 $(a,b,c)$ 决定，$a+b+c=40$ 且都可以为 $0$。这正是“$40$ 个相同的人数分给 $3$ 个允许为空的选项”。允许空组要用添元素法：加 $3$ 个虚拟人数变成 $43$，改为每项至少 $1$，空隙 $42$ 个选 $2$ 个。

方法概述：统计数字 = 相同物体分到允许空的组，加元素后插板。

规范步骤：

写出模型：$a+b+c=40,\ a,b,c\ge 0$（只看统计数字）
添元素化为非空：$40+3=43$（每项虚借 1 人）
数空隙：$43-1=42$（相邻空隙）
选 $2$ 个空隙：$C_{42}^{2}=\dfrac{42\times 41}{2\times 1}=861$（组合数公式）
写出答案：$861$

第一套

题目：某年级 $60$ 名学生参加一项调查，每人均在“非常满意”“满意”“一般”“不满意”四个选项中做出唯一选择。请问：四个选项的统计数字共有多少种不同的可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写模型）：设四个选项人数为 $a,b,c,d$，则 $a+b+c+d=\underline{\quad}$，且每个数都可以为 $0$。
第 2 步（添元素）：允许为空，给每个选项虚借 $1$ 人，总数变为 $60+4=\underline{\quad}$。
第 3 步（数空隙与隔板）：$64$ 排一排空隙有 $64-1=\underline{\quad}$ 个，需隔板 $4-1=\underline{\quad}$ 块。
第 4 步（选空隙）：$C_{63}^{3}=\dfrac{63\times 62\times 61}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某餐厅请 $50$ 位顾客对新菜品打分，每人只能在“好评”“中评”“差评”中选一项。请问：三种评价的统计数字共有多少种不同的可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写模型）：三种评价人数之和为 $\underline{\quad}$，且每个数都可以为 $0$。
第 2 步（添元素）：给每项虚借 $1$ 人，总数变为 $50+3=\underline{\quad}$。
第 3 步（数空隙）：空隙有 $53-1=\underline{\quad}$ 个，选 $2$ 个插隔板。
第 4 步（选空隙）：$C_{52}^{2}=\dfrac{52\times 51}{2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $30$ 个相同的小球放进 $4$ 个不同的盒子里，允许有的盒子空着，一共有多少种不同的放法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（判断类型）：球相同、盒不同、允许为空，属于允许空组的插板问题，需添 $\underline{\quad}$ 个虚拟球（与盒子数相同）。
第 2 步（添元素）：总数变为 $30+4=\underline{\quad}$。
第 3 步（数空隙与隔板）：空隙有 $34-1=\underline{\quad}$ 个，需隔板 $3$ 块。
第 4 步（选空隙）：$C_{33}^{3}=\dfrac{33\times 32\times 31}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$。

第三套

题目：某班 $40$ 名学生就“超市是否应该提供免费塑料袋”在“应该提供”“不应该提供”“无所谓”三项中各选一项，已知选“应该提供”的至少有 $20$ 人。请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（处理下界）：先把“应该提供”的 $20$ 人固定下来，剩下 $40-20=\underline{\quad}$ 人可任意分到三项（都允许为 $0$）。
第 2 步（添元素）：给每项虚借 $1$ 人，总数变为 $20+3=\underline{\quad}$。
第 3 步（数空隙）：空隙有 $23-1=\underline{\quad}$ 个，选 $2$ 个插隔板。
第 4 步（选空隙）：$C_{22}^{2}=\dfrac{22\times 21}{2\times 1}=\underline{\quad}$。

30. 【原题 ch13-xingqu-08】数字和为 $9$，而且不含数字 $0$ 的三位数共有多少个？四位数共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「插板法＋数字和」类题：各位数字都不为 $0$（即每位至少 $1$），数字之和固定。

关键切入点：把数字和 $9$ 看成 $9$ 个相同的“$1$”，三位数就是把它们分给百、十、个三个不同的位置，每个位置至少 $1$（不含数字 $0$）。$9$ 个 $1$ 排一排有 $8$ 个空隙，选 $2$ 个插隔板得三位数；选 $3$ 个插隔板得四位数。因为 $9$ 个 $1$ 最多集中成 $9$，不会超过数字上限，所以不必再排除。

方法概述：数字和固定且各位非零 → 相同物体非空插板。

规范步骤：

转化模型：$a+b+c=9,\ a,b,c\ge 1$（各位不含 0）
$9$ 个 $1$ 排一排的空隙数：$9-1=8$（相邻空隙）
三位数：选 $2$ 个空隙：$C_8^2=\dfrac{8\times 7}{2\times 1}=28$（组合数公式）
四位数：选 $3$ 个空隙：$C_8^3=\dfrac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$（组合数公式）
写出答案：$28\ \text{个};\ 56\ \text{个}$

第一套

题目：数字和为 $11$，而且不含数字 $0$ 的三位数共有多少个？四位数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：把数字和看成 $11$ 个相同的“$1$”，每一位至少分到 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（数空隙）：$11$ 个“$1$”排成一排，空隙有 $11-1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（三位数）：选 $2$ 个空隙插隔板，$C_{10}^{2}=\dfrac{10\times 9}{2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（四位数）：选 $3$ 个空隙插隔板，$C_{10}^{3}=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：把 $9$ 个相同的球放进 $3$ 个不同的盒子里，每盒至少 $1$ 个，有多少种放法？放进 $4$ 个不同的盒子里、每盒至少 $1$ 个，又有多少种放法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数空隙）：$9$ 个球排成一排，空隙有 $9-1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（$3$ 个盒子）：需隔板 $3-1=\underline{\quad}$ 块，$C_8^2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（$4$ 个盒子）：需隔板 $4-1=\underline{\quad}$ 块，$C_8^3=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：数字和为 $10$，而且不含数字 $0$ 的五位数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：$10$ 个相同的“$1$”分给 $\underline{\quad}$ 个数位，每位至少 $1$ 个。
第 2 步（数空隙与隔板）：空隙有 $10-1=\underline{\quad}$ 个，需隔板 $5-1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（选空隙）：$C_{9}^{4}=\dfrac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：数字和为 $12$ 的三位数共有多少个？（此时十位、个位可以是 $0$，但首位不能是 $0$，且每一位都不超过 $9$）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位下界）：首位至少为 $1$，先给首位分 $1$，余下 $12-1=\underline{\quad}$ 要分给三位且都可以为 $0$。
第 2 步（添元素插板）：允许为 $0$，虚借 $3$ 个变成 $11+3=\underline{\quad}$，空隙 $13$ 个中选 $2$ 个，得 $C_{13}^{2}=\dfrac{13\times 12}{2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（排除首位超 $9$）：若首位 $\ge 10$，再扣掉 $9$ 后余 $2$ 分给三位可空，$C_{4}^{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（排除十位或个位超 $9$）：十位 $\ge 10$ 时余 $1$ 分给三位可空，$C_{3}^{2}=\underline{\quad}$ 种；个位同理也是 $3$ 种。
第 5 步（容斥相减）：不会同时有两位超 $9$，故共 $78-6-3-3=\underline{\quad}$ 个。

31. 【原题 ch13-xingqu-09】有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的 $5$ 节，每节用红、黄、蓝 $3$ 种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？

详细思路

是哪类问题：这是「相邻不同色涂色＋翻转对称去重」类题：先按直线排列算出所有染法，再处理“圆棒翻转后相同”造成的重复。

关键切入点：两步：①直线涂色用乘法原理，第一节 $3$ 种，之后每节只要与前一节不同各有 $2$ 种，共 $3\times 2^4=48$ 种；②圆棒可翻转，翻转后不变的染法（左右对称，即回文）只被算了一次，其余染法两两重复。对称染法由前 $3$ 节决定：$3\times 2\times 2=12$ 种。所以答案 $=(48+12)\div 2=30$。

方法概述：先直线计数，再按“对称的算一次、不对称的两两合并”去重。

规范步骤：

直线涂色总数：$3\times 2\times 2\times 2\times 2=48$（乘法原理）
翻转后不变（对称）的染法：$3\times 2\times 2=12$（由前 3 节决定）
不对称的染法两两重复：$48-12=36$（去掉对称的）
重复部分合并：$36\div 2=18$（两两算一种）
总数：$12+18=30$（对称的 12 种各算一种）
写出答案：$30$

第一套

题目：有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的 $7$ 节，每节用红、黄、蓝 $3$ 种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先当直线算）：第一节有 $3$ 种选择，之后每节只要与前一节不同各有 $2$ 种，共 $3\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（找对称染法）：翻转后不变即左右回文，由前 $4$ 节决定，共 $3\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（不对称部分）：$192-24=\underline{\quad}$ 种，它们两两因翻转重复，合并后为 $168\div 2=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（相加）：$24+84=\underline{\quad}$。

第二套

题目：手工课上用一段木条做书签，木条被均匀分成 $5$ 节，每节涂红、黄、蓝 $3$ 种颜色中的一种，相邻两节不能同色。把书签调转方向后花纹相同的算作同一种，那么共有多少种不同的书签？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先当直线算）：$3\times 2\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（找对称染法）：调转方向后不变的花纹由前 $3$ 节决定，共 $3\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（不对称部分）：$48-12=\underline{\quad}$ 种，两两重复，合并为 $36\div 2=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（相加）：$12+18=\underline{\quad}$。

第三套

题目：每根圆棒均匀划分成 $6$ 节，每节用红、黄、蓝 $3$ 种颜色中的一种涂色，相邻两节不能同色。翻转后相同算同一种，共可以染成多少种不同的圆棒？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先当直线算）：$3\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（判断对称染法）：节数为偶数时，翻转不变要求正中间相邻的第 $3$、$4$ 节同色，与“相邻不同色”矛盾，所以对称染法有 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（全部两两重复）：$96\div 2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：每根圆棒均匀划分成 $7$ 节，每节用红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色中的一种涂色，相邻两节不能同色。翻转后相同算同一种，共可以染成多少种不同的圆棒？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先当直线算）：第一节 $4$ 种，之后每节各 $3$ 种，共 $4\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（找对称染法）：回文由前 $4$ 节决定，共 $4\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（不对称部分）：$2916-108=\underline{\quad}$ 种，合并后为 $2808\div 2=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（相加）：$108+1404=\underline{\quad}$。

32. 【原题 ch13-xingqu-10】给一个正四面体的 $4$ 个面染色，每个面只允许用一种颜色，且 $4$ 个面的颜色互不相同。现有 $5$ 种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）

详细思路

是哪类问题：这是「正多面体染色＋旋转对称去重」类题：先选颜色，再算固定一组颜色下本质不同的染法。

关键切入点：分两步：①从 $5$ 种颜色中选出要用的 $4$ 种，$C_5^4=5$ 种；②用 $4$ 种指定颜色染正四面体的 $4$ 个面，旋转相同算一种时恰有 $2$ 种本质不同的方式（互为镜像的两种）。乘法原理相乘即可。

方法概述：先选色再定排法，旋转去重后每组配色对应 $2$ 种。

规范步骤：

选颜色：$C_5^4=5$（组合数公式）
固定 $4$ 色染 $4$ 面，旋转去重后：$2$（两种互为镜像）
乘法原理：$5\times 2=10$（分步计数）
写出答案：$10$

第一套

题目：给一个正四面体的 $4$ 个面染色，每个面只用一种颜色且 $4$ 个面颜色互不相同。现有 $6$ 种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（选颜色）：从 $6$ 种颜色中选出要用的 $4$ 种，$C_6^4=\dfrac{6\times 5\times 4\times 3}{4\times 3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（定排法）：$4$ 种指定颜色染 $4$ 个面，旋转相同算一种时本质不同的染法有 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（乘法原理）：$15\times 2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一个正四面体形状的帐篷有 $4$ 个面，每个面刷一种颜色且 $4$ 面颜色互不相同。现有 $5$ 种油漆可选，转动帐篷后花色相同的算同一种，共有多少种不同的刷法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（选颜色）：从 $5$ 种油漆中选 $4$ 种，$C_5^4=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（定排法）：固定这 $4$ 种颜色，旋转去重后本质不同的刷法有 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（乘法原理）：$5\times 2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $6$ 种不同的颜色给正方体的 $6$ 个面染色，每个面一种颜色且颜色互不相同。旋转后相同算同一种，共有多少种不同的染色方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先不去重）：$6$ 种颜色排到 $6$ 个面上共 $6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（数旋转）：正方体的旋转有 $6$ 个面朝上、每个面朝上又可绕轴转 $4$ 个方向，共 $6\times 4=\underline{\quad}$ 种旋转，每种染色被重复计算了这么多次。
第 3 步（去重）：$720\div 24=\underline{\quad}$。

第三套

题目：给一个正四面体的 $4$ 个面染色，$4$ 个面颜色互不相同。现有 $6$ 种颜色可选，且必须用到红色，旋转后相同算同一种，共有多少种不同的染色方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（处理限制）：红色必用，先把红色定下来，再从剩下的 $6-1=\underline{\quad}$ 种颜色中选 $3$ 种。
第 2 步（选颜色）：$C_5^3=\dfrac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（定排法）：固定 $4$ 种颜色，旋转去重后本质不同的染法有 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘法原理）：$10\times 2=\underline{\quad}$。

竞赛数学 · 六年级第13讲《计数综合四》举一反三练习卷

附录 · 答案

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