竞赛数学 · 六年级 第14讲《行程问题六》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch14-chaoyue-01】如图 $14\text{-}3$ 所示，$A$、$B$、$C$、$D$ 四个球按顺时针方向均匀分布在周长 $48$ 米的圆周上，分别以 $1$ 米/秒、$2$ 米/秒、$3$ 米/秒、$4$ 米/秒的速度做顺时针运动。当有两个球同时一起到的时候，两个球相互交换速度，但运行方向不变；当三个球碰到一起的时候，中间球的速度不变，两个球相互交换速度。请问：从同一秒开始时刻起，经过多少秒四个球第一次同时碰到一起？（不考虑球的半径）
详细思路
是哪类问题：这是「环形跑道多球碰撞」问题：关键的转化是把“两球相碰交换速度”看成“两球互相穿过、只交换编号”，这样每个球都变成匀速独立运动，问题化为周期与相遇时刻的公倍数问题。
关键切入点：关键在于两点：其一，碰撞等效为穿过，于是位置集合的演化只由四个匀速点决定；其二，四球初始均匀分布在周长 $48$ 米的圆上（相邻间隔 $12$ 米），速度分别为 $1,2,3,4$ 米/秒，要让四个位置重合，需要各对之间的路程差都是间隔的整数倍，取最早的公共时刻。
方法概述：把碰撞等效为穿过，转化为四个匀速点何时位置重合，求满足全部条件的最小时刻。
规范步骤：
  1. 四球均匀分布，相邻间隔：$48\div 4=12$（米）（均分圆周）
  2. 碰撞等效为互相穿过：各球独立匀速运动（等效转化）
  3. 相邻速度差为 $1$，追及 $12$ 米所需时间：$12\div 1=12$（秒）（追及）
  4. 综合各对条件取最早重合时刻：$t=36$（秒）（周期与公倍数）
  5. 写出答案：$36$ 秒
2. 【原题 ch14-chaoyue-02】$A$、$B$、$C$ 三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲、乙、丙分别从 $A$、$B$、$C$ 同时出发，甲、乙向东，丙向西。乙、丙在距离 $B$ 地 $18$ 千米处相遇，甲、丙在 $B$ 地相遇，而当甲在 $C$ 地追上乙时，丙已经走过 $B$ 地 $32$ 千米。试问：$A$、$C$ 间的路程是多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「三人同时出发、多次相遇」的比例问题：同一段时间里两人路程之比等于速度之比，把同一个速度比用两段不同时间写两次，就得到一个比例式，解出未知路程。
关键切入点：关键在于对乙、丙用两段时间写出同一个速度比：设乙、丙相遇时丙走了 $x$ 千米，则 $v_{乙}:v_{丙}=18:x$；此后乙再走 $x$ 千米到达 $C$（因为 $BC=18+x$，乙已走 $18$），同一段时间丙走了 $18+32=50$ 千米，故 $v_{乙}:v_{丙}=x:50$。两式相等得 $x^2=18\times 50=900$，$x=30$。
方法概述：用同一速度比的两种写法列出比例式求 $x$，再逐步求出 $BC$、速度比和 $AC$。
规范步骤：
  1. 设乙丙相遇时丙走 $x$ 千米：$v_{乙}:v_{丙}=18:x$（同时间路程比=速度比）
  2. 乙再走 $x$ 千米到 $C$ 时丙走 $18+32$：$v_{乙}:v_{丙}=x:50$（同时间路程比=速度比）
  3. 列比例式：$18\times 50=x^2=900\Rightarrow x=30$（比例中项）
  4. 求 $BC$：$BC=18+30=48$（千米）（相遇：路程和）
  5. 甲从 $B$ 到 $C$ 时丙走 $32$ 千米：$v_{甲}:v_{丙}=48:32=3:2$（同时间路程比=速度比）
  6. 甲、丙在 $B$ 地相遇，丙共走 $AC-? $ 用比例求 $AC$：$AC=48\times\dfrac{3+2}{2}=120$（千米）（按比例分配）
第一套
题目：$A$、$B$、$C$ 三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲、乙、丙分别从 $A$、$B$、$C$ 同时出发，甲、乙向东，丙向西。乙、丙在距 $B$ 地 $27$ 千米处相遇，甲、丙在 $B$ 地相遇；当甲在 $C$ 地追上乙时，丙已走过 $B$ 地 $48$ 千米。求 $A$、$C$ 间的路程。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一段时间）：设乙、丙相遇时丙走了 $x$ 千米，同一段时间乙走 $27$ 千米，故 $v_{乙}:v_{丙}=27:x$。
  2. 第 2 步（第二段时间）：乙从相遇处再走 $x$ 千米到 $C$，同一段时间丙走了 $27+48=\underline{\quad}$（千米），故 $v_{乙}:v_{丙}=x:75$。
  3. 第 3 步（列比例）：两式相等得 $x^2=27\times 75=\underline{\quad}$，故 $x=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（求 $BC$）：乙、丙相遇时两人合走 $BC$，$BC=27+45=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（甲丙速度比）：甲从 $B$ 走到 $C$ 的 $72$ 千米时，丙走了 $48$ 千米，故 $v_{甲}:v_{丙}=72:48=\underline{\quad}:2$。
  6. 第 6 步（求 $AC$）：甲、丙在 $B$ 地相遇，从出发到该时刻两人合走 $AC$，且路程比为 $3:2$，丙走的正是 $BC=72$ 千米，故 $AC=72\times\dfrac{3+2}{2}=\underline{\quad}$（千米）。
第二套
题目：$A$、$B$、$C$ 三个码头由西向东依次分布在同一条河上。甲、乙、丙三艘船分别从 $A$、$B$、$C$ 同时启航，甲、乙向东，丙向西。乙、丙在距 $B$ 码头 $27$ 千米处相遇，甲、丙在 $B$ 码头相遇；当甲在 $C$ 码头追上乙时，丙已驶过 $B$ 码头 $48$ 千米。求 $A$、$C$ 两码头的距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设乙、丙相遇时丙走 $x$ 千米，则 $v_{乙}:v_{丙}=27:x$。
  2. 第 2 步：乙再走 $x$ 千米到 $C$，同期丙走 $\underline{\quad}$ 千米，故 $v_{乙}:v_{丙}=x:75$。
  3. 第 3 步：$x^2=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步：$BC=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步：$v_{甲}:v_{丙}=72:48=\underline{\quad}:2$。
  6. 第 6 步：$AC=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：$A$、$B$、$C$ 三地由西向东依次分布，甲、乙、丙分别从 $A$、$B$、$C$ 同时出发，甲、乙向东，丙向西。乙、丙在距 $B$ 地 $20$ 千米处相遇，甲、丙在 $B$ 地相遇；当甲在 $C$ 地追上乙时，丙已走过 $B$ 地 $25$ 千米。求 $A$、$C$ 间的路程。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设乙、丙相遇时丙走 $x$ 千米，$v_{乙}:v_{丙}=20:x$。
  2. 第 2 步：乙再走 $x$ 千米到 $C$，同期丙走 $20+25=\underline{\quad}$ 千米，$v_{乙}:v_{丙}=x:45$。
  3. 第 3 步：$x^2=20\times 45=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步：$BC=20+30=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步：甲走 $BC=50$ 千米时丙走 $25$ 千米，$v_{甲}:v_{丙}=50:25=\underline{\quad}:1$。
  6. 第 6 步：$AC=50\times\dfrac{2+1}{1}=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：$A$、$B$、$C$ 三地由西向东依次分布，甲、乙、丙分别从 $A$、$B$、$C$ 同时出发，甲、乙向东，丙向西。乙、丙在距 $B$ 地 $27$ 千米处相遇，甲、丙在 $B$ 地相遇；当甲在 $C$ 地追上乙时，丙已走过 $B$ 地 $48$ 千米。（1）$AC$ 是多少千米？（2）$AB$ 是多少千米？（3）甲、乙、丙的速度连比是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $x$）：$x^2=27\times(27+48)=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$，故 $BC=27+45=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（求 $AC$）：$v_{甲}:v_{丙}=72:48=3:2$，$AC=72\times\dfrac{3+2}{2}=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（求 $AB$）：$AB=AC-BC=180-72=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（乙丙速度比）：$v_{乙}:v_{丙}=27:45=3:\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（连比）：把丙统一为 $10$，$v_{甲}:v_{丙}=3:2=15:10$，$v_{乙}:v_{丙}=3:5=6:10$，故 $v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=15:\underline{\quad}:10$。
  6. 第 6 步（检验）：甲从 $A$ 到 $C$ 走 $180$ 千米、乙从 $B$ 到 $C$ 走 $72$ 千米，用时相同，速度比 $180:72=\underline{\quad}:6$，与连比一致。
3. 【原题 ch14-chaoyue-03】甲、乙、丙同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，不断往返运动。已知山坡长 $360$ 米，甲、乙、丙的速度比为 $6:5:4$，并且甲、乙、丙的下山速度都是各自上山速度的 $1.5$ 倍。经过一段时间后，甲到达山顶时，看见乙正在下山，此时乙距离山脚不到 $180$ 米（乙不在山脚）。求此时丙离山顶的距离。
详细思路
是哪类问题：这是「往返运动的周期问题」：三人不停地上下山往返，各自一个来回的时间固定，取三个来回时间的最小公倍数即为公共周期，再在一个周期内列表逐一考查符合条件的时刻。
关键切入点：关键在于先算出各人一个来回的时间：设上山速度甲 $6$、乙 $5$、丙 $4$（米/秒），下山速度均为上山的 $1.5$ 倍。乙来回 $360\div 5+360\div 7.5=72+48=120$ 秒；同理甲、丙来回分别为 $100$ 秒、$150$ 秒，公共周期 $[100,120,150]=600$ 秒。再在 $600$ 秒内列出甲到达山顶的各时刻，逐一检查乙是否“正在下山且距山脚不到 $180$ 米”。
方法概述：求各人来回时间与公共周期，在一个周期内列表筛选符合条件的时刻，再定位丙的位置。
规范步骤：
  1. 各人上山速度取甲 $6$、乙 $5$、丙 $4$（米/秒），下山速度为上山的 $1.5$ 倍：$v_{乙上}=5,\ v_{乙下}=7.5$（速度比 $6:5:4$）
  2. 乙一个来回的时间（上山 $+$ 下山）：$360\div 5+360\div 7.5=72+48=120$（秒）（上下山分段）
  3. 甲、丙一个来回的时间：$360\div 6+360\div 9=100$（秒）；$360\div 4+360\div 6=150$（秒）（同法）
  4. 公共周期：$[100,120,150]=600$（秒）（最小公倍数）
  5. 甲到顶的各时刻（甲上山 $360\div 6=60$ 秒，周期 $100$）：$60,160,260,360,460,560$（秒）（周期内枚举）
  6. 逐一检验，$t=460$ 时乙已走 $460-3\times 120=100$ 秒（下山第 $100-72=28$ 秒），距山脚 $360-7.5\times 28=150$ 米（$<180$ 且不在山脚，符合）：$360-7.5\times 28=150$（米）（唯一符合）
  7. 此时丙走了 $460-3\times 150=10$ 秒，正在上山，离山顶：$360-4\times 10=320$（米）（丙位置）
4. 【原题 ch14-chaoyue-04】甲、乙、丙三人从 $A$ 地出发向 $B$ 地前进，$A$、$B$ 两地之间的距离为 $18.6$ 千米。已知甲步行速度为 $3$ 千米/时，骑车速度为 $15$ 千米/时，乙步行速度为 $6$ 千米/时，骑车速度为 $15$ 千米/时，丙步行速度为 $5$ 千米/时，骑车速度为 $18$ 千米/时。现在只有一辆自行车，请通过合理安排使得甲、乙、丙在最短时间内同时到达 $B$ 地，那么至少需要多少分钟？（骑车可以带人，但只能带一人）
详细思路
是哪类问题：这是「一辆车三个人、步行与骑车速度各不相同」的往返接送最优化问题：需要先判断“谁骑车、谁步行、怎样接送”，再在此方案下计算总时间。
关键切入点：关键在于三条判断：丙骑车最快（$18$ 千米/时），让他全程骑车且不浪费时间；乙步行最快（$6$ 千米/时），让乙尽量步行；甲步行最慢（$3$ 千米/时），让甲尽量骑车。于是最优方案是丙骑车往返接送甲，乙全程主要步行，安排三人同时到达 $B$ 地。
方法概述：先定最优分工：丙全程骑车、先载甲前行再折返接乙；甲先骑后走、乙先走后骑。设丙载甲 $x$ 千米后放下，由甲、乙同时到达列方程解出 $x$，再代回求总时间。
规范步骤：
  1. 定分工：丙骑车最快($18$)$\Rightarrow$ 全程骑车往返接送；甲步行最慢($3$)$\Rightarrow$ 尽量骑，乙步行最快($6$)$\Rightarrow$ 尽量走：丙始终骑车；甲先骑后走、乙先走后骑（择优分工）
  2. 丙载甲前行 $x$ 千米放下（甲改步行），用时 $\dfrac{x}{18}$；同一时间乙步行 $6\times\dfrac{x}{18}=\dfrac{x}{3}$：甲在 $x$、乙在 $\dfrac{x}{3}$（千米）（同段同时）
  3. 丙折返接乙：两者相距 $x-\dfrac{x}{3}=\dfrac{2x}{3}$，相向靠拢速度 $18+6=24$，相遇于 $\dfrac{x}{2}$ 处：相遇点 $\dfrac{x}{2}$（千米）（相遇：路程和）
  4. 此后丙载乙到 $B$。列“甲、乙同时到达”：甲用时 $\dfrac{x}{18}+\dfrac{18.6-x}{3}$，乙用时 $\dfrac{x}{12}+\dfrac{18.6-x/2}{18}$：两式相等（同时到达）
  5. 两边同乘 $36$ 去分母，整理：$223.2-10x=2x+37.2\Rightarrow 12x=186\Rightarrow x=15.5$（千米）（解方程）
  6. 代回求总时间（小时）：$\dfrac{15.5}{18}+\dfrac{18.6-15.5}{3}=\dfrac{341}{180}$（小时）（路程÷速度）
  7. 化成分钟：$\dfrac{341}{180}\times 60=113\dfrac{2}{3}$（分钟）（单位换算）
5. 【原题 ch14-chaoyue-05】商场里有一架自动扶梯，阿呆和阿瓜都从 $1$ 楼乘扶梯到 $2$ 楼。阿呆乘扶梯的同时还向前往上行走，阿瓜乘扶梯的同时还向后往下行走。两人到达 $2$ 楼的时候阿呆一共向上迈了 $18$ 级台阶，阿瓜一共向下迈了 $10$ 级台阶，已知阿呆往上走速度和阿瓜往下走速度的比为 $12:5$，请问：从 $1$ 楼到 $2$ 楼的扶梯一共有多少级台阶？
详细思路
是哪类问题：这是「同一扶梯上一人顺走、一人倒走」的问题：两人都从 $1$ 楼到 $2$ 楼，所以“人自己走的路程 $\pm$ 扶梯同期送的路程”都等于扶梯总长，把总长写两次并令其相等，就能解出扶梯速度与人速度的关系。
关键切入点：关键在于用“级/秒”统一表示：设扶梯 $x$ 级每秒、阿呆 $12y$、阿瓜 $5y$。阿呆迈 $18$ 级用 $\dfrac{18}{12y}$ 秒，这段时间人与扶梯同向，总长 $=\dfrac{18}{12y}(x+12y)$；阿瓜倒走 $10$ 级用 $\dfrac{10}{5y}$ 秒，扶梯把他向上带、他自己向下走，总长 $=\dfrac{10}{5y}(x-5y)$。两者相等得 $3(x+12y)=4(x-5y)$，即 $x=56y$。
方法概述：把扶梯总长用两人各自的时间写两次，令其相等解出速度关系，再回代求总长。
规范步骤：
  1. 设扶梯 $x$、阿呆 $12y$、阿瓜 $5y$（级/秒），写出阿呆的用时：$\dfrac{18}{12y}$（秒）（时间=级数÷速度）
  2. 阿呆一侧的总长：$\dfrac{18}{12y}(x+12y)$（同向：人+梯）
  3. 阿瓜一侧的总长：$\dfrac{10}{5y}(x-5y)$（逆向：梯−人）
  4. 令两者相等：$3(x+12y)=4(x-5y)$（总长唯一）
  5. 解得：$3x+36y=4x-20y\Rightarrow x=56y$（解方程）
  6. 回代求总长：$\dfrac{10}{5y}(56y-5y)=2\times 51=102$（级）（代入化简）
第一套
题目：阿呆和阿瓜都从 $1$ 楼乘同一架向上运行的自动扶梯到 $2$ 楼。阿呆乘梯的同时向上行走，阿瓜乘梯的同时向下行走。到达 $2$ 楼时阿呆共向上迈了 $27$ 级，阿瓜共向下迈了 $15$ 级。已知阿呆往上走的速度与阿瓜往下走的速度之比为 $12:5$，求从 $1$ 楼到 $2$ 楼的扶梯一共有多少级台阶。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设速度）：设扶梯速度为 $x$ 级/秒，阿呆 $12y$、阿瓜 $5y$ 级/秒。
  2. 第 2 步（阿呆一侧）：阿呆迈 $27$ 级用 $\dfrac{27}{12y}$ 秒，人与梯同向，扶梯总长 $=\dfrac{27}{12y}(x+12y)$，系数 $\dfrac{27}{12}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（阿瓜一侧）：阿瓜迈 $15$ 级用 $\dfrac{15}{5y}$ 秒，梯上人下，总长 $=\dfrac{15}{5y}(x-5y)$，系数 $\dfrac{15}{5}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（令两者相等）：$\dfrac{9}{4}(x+12y)=3(x-5y)$，两边同乘 $4$ 得 $9x+108y=12x-60y$，故 $3x=108y+60y=\underline{\quad}y$。
  5. 第 5 步（解出关系）：$x=168y\div 3=\underline{\quad}y$。
  6. 第 6 步（回代求总长）：总长 $=3(x-5y)=3\times(56-5)y\div y=\underline{\quad}$（级）。
第二套
题目：两名工人乘同一条向上运行的传送带从底层到顶层。小李站在带上还向前走，小赵站在带上却向后退。到达顶层时小李共向前迈了 $27$ 格，小赵共向后退了 $15$ 格。已知小李向前走的速度与小赵向后退的速度之比为 $12:5$，求传送带一共有多少格。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设传送带速度 $x$ 格/秒，小李 $12y$、小赵 $5y$ 格/秒。
  2. 第 2 步：小李一侧总长 $=\dfrac{27}{12y}(x+12y)$，系数 $\dfrac{27}{12}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：小赵一侧总长 $=\dfrac{15}{5y}(x-5y)$，系数 $\dfrac{15}{5}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：令两式相等并同乘 $4$，得 $3x=\underline{\quad}y$。
  5. 第 5 步：$x=\underline{\quad}y$。
  6. 第 6 步：总长 $=3\times(56-5)=\underline{\quad}$（格）。
第三套
题目：阿呆和阿瓜都从 $1$ 楼乘同一架向上运行的扶梯到 $2$ 楼，阿呆同时向上走、阿瓜同时向下走。到 $2$ 楼时阿呆向上迈了 $24$ 级，阿瓜向下迈了 $12$ 级，两人速度之比为 $8:3$。求扶梯一共有多少级台阶。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设速度）：扶梯 $x$ 级/秒，阿呆 $8y$、阿瓜 $3y$ 级/秒。
  2. 第 2 步（两侧总长）：$\dfrac{24}{8y}(x+8y)=\dfrac{12}{3y}(x-3y)$，两个系数分别为 $\dfrac{24}{8}=\underline{\quad}$ 与 $\dfrac{12}{3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（去括号）：$3x+24y=4x-12y$，故 $x=24y+12y=\underline{\quad}y$。
  4. 第 4 步（回代）：总长 $=4(x-3y)=4\times(36-3)=\underline{\quad}$（级）。
  5. 第 5 步（验算）：另一侧 $3(x+8y)=3\times(36+8)=\underline{\quad}$（级），两者一致。
第三套
题目：阿呆和阿瓜都从 $1$ 楼乘同一架向上运行的扶梯到 $2$ 楼，阿呆同时向上走、阿瓜同时向下走。到 $2$ 楼时阿呆迈了 $27$ 级、阿瓜迈了 $15$ 级，两人速度比为 $12:5$。（1）扶梯共多少级？（2）两人从 $1$ 楼到 $2$ 楼所用时间之比是多少？（3）扶梯速度与阿呆速度之比是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求关系）：由 $\dfrac{27}{12y}(x+12y)=\dfrac{15}{5y}(x-5y)$ 得 $3x=\underline{\quad}y$，即 $x=\underline{\quad}y$。
  2. 第 2 步（总长）：总长 $=3(x-5y)=3\times(56-5)=\underline{\quad}$（级）。
  3. 第 3 步（时间比）：阿呆用 $\dfrac{27}{12y}$、阿瓜用 $\dfrac{15}{5y}$，时间比 $=\dfrac{27}{12}:\dfrac{15}{5}=2.25:\underline{\quad}$，同乘 $4$ 得 $9:\underline{\quad}$，即 $3:4$。
  4. 第 4 步（扶梯与阿呆速度比）：$x:12y=56y:12y=56:\underline{\quad}$，化简为 $14:3$。
6. 【原题 ch14-chaoyue-06】$A$、$B$ 两地相距 $125$ 千米，甲、乙两人骑自行车分别从 $A$、$B$ 两地同时出发，相向而行。丙骑摩托车以每小时 $63$ 千米的速度，与甲同时从 $A$ 地出发，在甲、乙两人间来回穿梭（与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回）。若甲骑车速度为每小时 $9$ 千米，且当丙第二次回到甲处时（甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处），甲、乙两人相距 $45$ 千米。问：当甲、乙两人相距 $20$ 千米时，甲与丙相距多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「摩托车在两人之间来回穿梭」的等比缩小问题：每完成一次“甲$\to$乙$\to$甲”的往返，甲、乙之间的距离都按同一个比例缩小，于是相距的变化成等比数列。
关键切入点：关键在于两点：其一，每往返一次距离缩小的倍率由三人的速度关系决定，写成 $\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{7-x}{7+x}$ 的形式；其二，第二次回到甲处时甲、乙相距 $45$ 千米，即倍率的平方乘 $125$ 等于 $45$，开方得倍率 $\dfrac{3}{5}$，从而定出乙的速度为 $7$ 千米/时。最后用甲、丙的速度和与速度差之比换算所求距离。
方法概述：用等比缩小写出距离递推，开方定倍率求乙速，再用速度和差之比求甲丙距离。
规范步骤：
  1. 两次往返后距离缩为原来的倍率平方：$k^2\times 125=45\Rightarrow k^2=\dfrac{45}{125}=\dfrac{9}{25}$（等比缩小）
  2. 开方求倍率：$k=\dfrac{3}{5}$（开平方）
  3. 由倍率定出乙的速度：$v_{乙}=7$（千米/时）（代入速度关系）
  4. 甲丙速度和与速度差之比：$(9+7):(63-9)$ 化为 $2:9$ 的对应关系（和差比）
  5. 所求距离：$\dfrac{19}{5}\times\dfrac{9}{2}=17.1$（千米）（按比例换算）
7. 【原题 ch14-chaoyue-07】甲、乙、丙、丁四车同时在一条路上行驶：甲车 $12$ 点追上丙车，$14$ 点与丁相遇，$16$ 点与乙相遇；乙车 $17$ 点与丙相遇，$18$ 点追上丁。问：丙和丁几点几分相遇？
详细思路
是哪类问题：这是「四车相遇追及的路程和差」问题：以 $12$ 点甲追上丙的时刻为基准，各对车之间的距离都能用“速度和 $\times$ 时间”或“速度差 $\times$ 时间”表示，同一段距离用两种方式写出即得方程。
关键切入点：关键在于找出两条“同一段距离的两种写法”：$12$ 点到 $16$ 点甲、乙相遇走的路程和 $4(v_甲+v_乙)$，正是 $12$ 点到 $17$ 点乙、丙相遇的路程和 $5(v_乙+v_丙)$；$12$ 点到 $14$ 点甲、丁相遇的路程和 $2(v_甲+v_乙)$ 对应 $14$ 点到 $18$ 点乙追上丁的路程差 $4(v_乙-v_丁)$。解出 $v_丙$、$v_丁$ 关于 $v_甲$、$v_乙$ 的表达式后，丙丁相遇时间 $\dfrac{2(v_甲+v_丁)}{v_丙+v_丁}$ 与 $v_甲$、$v_乙$ 无关，恰为 $\dfrac{10}{3}$ 小时。
方法概述：以同一时刻为基准，把每段距离用速度和或速度差写两次列方程，再求丙丁的相遇时间。
规范步骤：
  1. 甲乙相遇与乙丙相遇的路程和相同：$4(v_甲+v_乙)=5(v_乙+v_丙)$（同一段距离）
  2. 甲丁相遇与乙追丁的关系：$2(v_甲+v_乙)=4(v_乙-v_丁)$（路程和与路程差）
  3. 解出丙、丁：$v_丙=\dfrac{4v_甲-v_乙}{5}$，$v_丁=\dfrac{v_乙-v_甲}{2}$（解方程组）
  4. $12$ 点时丙、丁相距：$2(v_甲+v_丁)=v_甲+v_乙$（代入化简）
  5. 丙、丁的速度和：$v_丙+v_丁=\dfrac{3(v_甲+v_乙)}{10}$（通分合并）
  6. 相遇时间：$\dfrac{v_甲+v_乙}{\frac{3}{10}(v_甲+v_乙)}=\dfrac{10}{3}$（小时）$=3$ 时 $20$ 分（路程和÷速度和）
  7. 求时刻：$12{:}00+3{:}20=15{:}20$（时刻推算）
第一套
题目：甲、乙、丙、丁四车同时在一条路上行驶：甲车 $12$ 点追上丙车，$15$ 点与丁相遇，$18$ 点与乙相遇；乙车 $20$ 点与丙相遇，$21$ 点追上丁。问：丙和丁几点几分相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（取基准）：以 $12$ 点甲追上丙（两车同位置）为基准时刻。
  2. 第 2 步（第一条等式）：$12$ 点到 $18$ 点甲、乙相遇，路程和 $=6(v_甲+v_乙)$；这同一段距离也是 $12$ 点到 $20$ 点乙、丙相遇的路程和 $\underline{\quad}(v_乙+v_丙)$。由此得 $6(v_甲+v_乙)=8(v_乙+v_丙)$，故 $v_丙=\dfrac{6v_甲-2v_乙}{8}$。
  3. 第 3 步（第二条等式）：$12$ 点到 $15$ 点甲、丁相遇，路程和 $=3(v_甲+v_乙)$（丁在 $12$ 点与乙同侧距离相同）；这同一段距离也是 $15$ 点到 $21$ 点乙追上丁的路程差 $\underline{\quad}(v_乙-v_丁)$，得 $v_丁=\dfrac{v_乙-v_甲}{2}$。
  4. 第 4 步（丙丁在 $12$ 点相距）：$3(v_甲+v_丁)=3\left(v_甲+\dfrac{v_乙-v_甲}{2}\right)=\underline{\quad}(v_甲+v_乙)$。
  5. 第 5 步（丙丁速度和）：$v_丙+v_丁=\dfrac{6v_甲-2v_乙}{8}+\dfrac{v_乙-v_甲}{2}=\underline{\quad}(v_甲+v_乙)$。
  6. 第 6 步（相遇时间）：$\dfrac{1.5}{0.25}=\underline{\quad}$（小时），故 $12$ 点过 $6$ 小时，即 $18$ 点相遇。
第二套
题目：甲、乙、丙、丁四艘船同时在同一条航道上航行：甲船 $12$ 点追上丙船，$15$ 点与丁相遇，$18$ 点与乙相遇；乙船 $20$ 点与丙相遇，$21$ 点追上丁。问：丙和丁几点几分相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：以 $12$ 点甲追上丙为基准。
  2. 第 2 步：$6(v_甲+v_乙)=\underline{\quad}(v_乙+v_丙)$。
  3. 第 3 步：$3(v_甲+v_乙)=\underline{\quad}(v_乙-v_丁)$。
  4. 第 4 步：$12$ 点丙丁相距 $\underline{\quad}(v_甲+v_乙)$。
  5. 第 5 步：$v_丙+v_丁=\underline{\quad}(v_甲+v_乙)$。
  6. 第 6 步：相遇需 $\underline{\quad}$（小时），即 $18$ 点相遇。
第三套
题目：甲、乙、丙、丁四车同时在一条路上行驶：甲车 $12$ 点追上丙车，$13$ 点与丁相遇，$15$ 点与乙相遇；乙车 $16$ 点与丙相遇，$17$ 点追上丁。问：丙和丁几点几分相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一条等式）：$3(v_甲+v_乙)=\underline{\quad}(v_乙+v_丙)$，故 $v_丙=\dfrac{3v_甲-v_乙}{4}$。
  2. 第 2 步（第二条等式）：$1\times(v_甲+v_乙)=\underline{\quad}(v_乙-v_丁)$，故 $v_丁=\dfrac{3v_乙-v_甲}{4}$。
  3. 第 3 步（$12$ 点丙丁相距）：$1\times(v_甲+v_丁)=v_甲+\dfrac{3v_乙-v_甲}{4}=\underline{\quad}(v_甲+v_乙)$。
  4. 第 4 步（速度和）：$v_丙+v_丁=\dfrac{3v_甲-v_乙+3v_乙-v_甲}{4}=\underline{\quad}(v_甲+v_乙)$。
  5. 第 5 步（相遇时间）：$\dfrac{0.75}{0.5}=\underline{\quad}$（小时）$=1$ 时 $30$ 分，故 $13$ 点 $30$ 分相遇。
第三套
题目：甲、乙、丙、丁四车同时在一条路上行驶：甲车 $12$ 点追上丙车，$15$ 点与丁相遇，$18$ 点与乙相遇；乙车 $21$ 点追上丁。已知丙、丁恰好在 $18$ 点相遇。问：乙车与丙车相遇是几点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（丁的关系）：$3(v_甲+v_乙)=(21-15)(v_乙-v_丁)$，得 $v_丁=\underline{\quad}(v_乙-v_甲)$（用分数表示）。
  2. 第 2 步（$12$ 点丙丁相距）：$3(v_甲+v_丁)=\underline{\quad}(v_甲+v_乙)$。
  3. 第 3 步（丙丁相遇用时）：$18-12=\underline{\quad}$（小时），故 $v_丙+v_丁=\dfrac{1.5}{6}=\underline{\quad}$ 倍的 $(v_甲+v_乙)$。
  4. 第 4 步（求丙）：$v_丙=0.25(v_甲+v_乙)-0.5(v_乙-v_甲)=\underline{\quad}v_甲-\underline{\quad}v_乙$。
  5. 第 5 步（乙丙相遇时刻）：由 $6(v_甲+v_乙)=T(v_乙+v_丙)$，其中 $v_乙+v_丙=0.75v_甲+0.75v_乙$，故 $T=6\div 0.75=\underline{\quad}$（小时），即 $12$ 点后 $8$ 小时，$20$ 点相遇。
8. 【原题 ch14-chaoyue-08】$3$ 月 $25$ 日正午 $12$ 点，甲、乙两艘轮船分别从 $A$、$B$ 两地同时出发，相向而行。航行中的每天正午 $12$ 点，这两艘轮船都会放出一只信鸽，以相同的速度飞向 $B$ 港报信。已知甲船 $3$ 月 $31$ 日放出的信鸽阿呆与乙船 $4$ 月 $1$ 日放出的信鸽阿瓜同时到达 $B$ 港，$4$ 月 $7$ 日正午 $12$ 点，乙船到达了 $A$ 港。此时乙船放出了它在整个航程中的最后一只信鸽，而该信鸽恰好与甲船放出的信鸽同时到达 $B$ 港。除阿呆与阿瓜之外，还有一对信鸽也是同时到达 $B$ 港的，请求出这对信鸽到达 $B$ 港的准确时间。
详细思路
是哪类问题：这是「两船相向 $+$ 每天放信鸽」的综合问题：把全程看作 $1$，用“船的分率速度”和“信鸽的分率速度”列方程组，再用不定方程筛选整数解。
关键切入点：关键在于三步：其一，由“阿呆与阿瓜同时到 $B$ 港”列出 $6\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{13}\right)+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{13}=1$；其二，由“乙船最后一只信鸽与甲船的信鸽同时到达”得 $x=13+y$；联立解得 $x=19.5$、$y=6.5$。其三，设乙船开出 $a$ 天后放的信鸽与甲船某只同时到达，列出 $\left(\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{19.5}\right)a-1=\left(\dfrac{1}{6.5}-\dfrac{1}{19.5}\right)b$，化简得 $5a-4b=39$，在 $a\le 13$ 内取整数解 $a=11$、$b=4$。
方法概述：用分率速度列方程组求出各自全程天数，再解不定方程筛出符合实际的整数解。
规范步骤：
  1. 由阿呆、阿瓜同时到港列式：$6\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{13}\right)+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{13}=1$（路程分率之和为 $1$）
  2. 由最后一只信鸽的条件：$x=13+y$（同时到达）
  3. 联立解得：$x=19.5,\ y=6.5$（解方程组）
  4. 设乙船第 $a$ 天放鸽、$b$ 天后追及：$\left(\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{19.5}\right)a-1=\left(\dfrac{1}{6.5}-\dfrac{1}{19.5}\right)b$（追及：路程差）
  5. 化简为不定方程：$5a-4b=39$（整理）
  6. 取符合 $a\le 13$ 的整数解：$a=11,\ b=4$（整数筛选）
  7. 求到港时刻：$11\times\dfrac{1}{13}\div\dfrac{2}{13}=5.5$（天），即 $4$ 月 $11$ 日 $0$ 点（路程÷速度）
9. 【原题 ch14-tuozhan-01】一辆轿车和一辆巴士都从 $A$ 地到 $B$ 地，巴士速度是轿车速度的 $\dfrac{4}{5}$。巴士要在两地的中点停 $10$ 分钟，轿车中途不停车。轿车比巴士在 $A$ 地晚出发 $11$ 分钟，早 $7$ 分钟到达 $B$ 地。如果巴士是 $10$ 点出发的，那么轿车超过巴士时是 $10$ 点多少分？
详细思路
是哪类问题：这是「速度比 $\to$ 时间比」并含中途停留的问题：先把停留时间从时间差中剔除，还原成“两车都不停”的纯行驶时间差，再用速度比的反比求出各自行驶时间。
关键切入点：关键在于把三条时间信息合成一个纯行驶时间差：轿车晚出发 $11$ 分、早到 $7$ 分，说明轿车行驶（含巴士停车）比巴士少花 $11+7=18$ 分；其中巴士停了 $10$ 分，所以纯行驶时间差是 $18-10=8$ 分。速度比 $4:5$（巴士 $:$ 轿车），时间比是反比 $5:4$，相差 $1$ 份 $=8$ 分钟。
方法概述：剔除停留还原纯行驶时间差，用速度比的反比求各自全程时间，再逐段推算到中点的时刻。
规范步骤：
  1. 纯行驶时间差：$11+7-10=8$（分钟）（剔除停留）
  2. 速度比 $v_{巴}:v_{轿}=4:5$，时间比取反比：$t_{轿}:t_{巴}=4:5$（时间与速度成反比）
  3. 相差 $1$ 份 $=8$ 分钟，求各自全程时间：$t_{轿}=8\times 4=32$，$t_{巴}=8\times 5=40$（分钟）（按份数求量）
  4. 巴士到中点并停留：$10{:}00+20=10{:}20$，停到 $10{:}30$（半程时间）
  5. 轿车到中点：$10{:}11+16=10{:}27$（半程时间）
  6. $10{:}27$ 在巴士停留时段内，此刻轿车超过巴士：$10{:}27$（比较位置）
第一套
题目：一辆轿车和一辆巴士都从 $A$ 地到 $B$ 地，巴士速度是轿车速度的 $\dfrac{5}{6}$。巴士要在两地中点停 $12$ 分钟，轿车中途不停。轿车比巴士在 $A$ 地晚出发 $14$ 分钟，早 $10$ 分钟到达 $B$ 地。若巴士 $10$ 点出发，轿车超过巴士时是 $10$ 点多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原纯行驶时间差）：轿车晚出发 $14$ 分又早到 $10$ 分，共比巴士少花 $14+10=\underline{\quad}$ 分钟；其中巴士停了 $12$ 分，纯行驶时间差 $=24-12=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（时间比）：速度比 $v_{巴}:v_{轿}=5:6$，时间与速度成反比，$t_{轿}:t_{巴}=5:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求全程时间）：相差 $6-5=1$ 份 $=12$ 分钟，故 $t_{轿}=12\times 5=\underline{\quad}$、$t_{巴}=12\times 6=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（巴士的中点时刻）：$10{:}00$ 出发，行 $72\div 2=\underline{\quad}$ 分钟到中点，即 $10{:}36$，停到 $10{:}48$。
  5. 第 5 步（轿车的中点时刻）：$10{:}14$ 出发，行 $60\div 2=\underline{\quad}$ 分钟到中点，即 $10{:}\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（比较）：$10{:}44$ 落在巴士停留的 $10{:}36$—$10{:}48$ 之间，故轿车在 $10$ 点 $44$ 分超过巴士。
第二套
题目：一列快车和一列慢车都从 $A$ 站开往 $B$ 站，慢车速度是快车速度的 $\dfrac{5}{6}$。慢车要在两站中点的小站停 $12$ 分钟，快车不停。快车比慢车晚发车 $14$ 分钟，早 $10$ 分钟到达 $B$ 站。若慢车 $10$ 点发车，快车超过慢车时是 $10$ 点多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：快车比慢车少花 $\underline{\quad}$ 分钟，剔除停留 $12$ 分后纯行驶时间差 $=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步：时间比 $t_{快}:t_{慢}=5:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$t_{快}=\underline{\quad}$、$t_{慢}=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步：慢车 $\underline{\quad}$ 分钟到中点（$10{:}36$），停到 $10{:}48$。
  5. 第 5 步：快车 $10{:}14$ 发车，$\underline{\quad}$ 分钟后到中点，即 $10{:}\underline{\quad}$，此刻超过慢车。
第三套
题目：一辆轿车和一辆巴士都从 $A$ 地到 $B$ 地，巴士速度是轿车的 $\dfrac{3}{4}$。巴士在中点停 $15$ 分钟，轿车不停。轿车比巴士晚出发 $12$ 分钟，早 $9$ 分钟到达。若巴士 $10$ 点出发，轿车超过巴士是 $10$ 点多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（纯行驶时间差）：$12+9=\underline{\quad}$ 分钟，减去停留 $15$ 分，得 $\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（时间比）：$t_{轿}:t_{巴}=3:\underline{\quad}$，相差 $1$ 份 $=6$ 分钟。
  3. 第 3 步（全程时间）：$t_{轿}=6\times 3=\underline{\quad}$、$t_{巴}=6\times 4=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（中点时刻）：巴士 $10{:}00+\underline{\quad}=10{:}12$，停到 $10{:}27$；轿车 $10{:}12$ 出发，$\underline{\quad}$ 分钟后到中点即 $10{:}21$。
  5. 第 5 步（比较）：$10{:}21$ 在巴士停留时段内，故 $10$ 点 $21$ 分超过。
第三套
题目：轿车和巴士都从 $A$ 地到 $B$ 地，巴士速度是轿车的 $\dfrac{5}{6}$。巴士在中点停 $12$ 分钟，轿车不停。轿车比巴士晚出发 $14$ 分钟，早 $10$ 分钟到达。已知轿车速度为 $90$ 千米/时，巴士 $10$ 点出发。（1）$A$、$B$ 相距多少千米？（2）轿车何时超过巴士？（3）超车地点距 $A$ 地多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（时间差）：$14+10-12=\underline{\quad}$（分钟），时间比 $t_{轿}:t_{巴}=5:6$，故 $t_{轿}=12\times 5=\underline{\quad}$、$t_{巴}=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（全程）：轿车 $60$ 分钟即 $1$ 小时跑完全程，全程 $=90\times 1=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（超车时刻）：巴士 $10{:}36$ 到中点、停到 $10{:}48$；轿车 $10{:}14$ 出发，$\underline{\quad}$ 分钟后到中点，即 $10$ 点 $\underline{\quad}$ 分超过。
  4. 第 4 步（超车地点）：中点距 $A$ 地 $90\div 2=\underline{\quad}$（千米）。
10. 【原题 ch14-tuozhan-02】一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相向开出，已知客车行完全程需 $10$ 小时，货车行完全程需 $15$ 小时。两车在中途相遇后，货车又行了 $90$ 千米，这时客车行完了全程的 $80\%$。求甲、乙两地的距离。
详细思路
是哪类问题：这是「相遇 $+$ 分率对应量」问题：先由全程时间比求速度比，再把相遇位置和相遇后的路程都化成“全程的几分之几”，最后用 $90$ 千米这个对应量求全程。
关键切入点：关键在于两步换算：其一，行完全程时间比 $10:15=2:3$，故速度比是反比 $3:2$，相遇时两车时间相同，客车走了全程的 $\dfrac{3}{5}$；其二，客车从 $\dfrac{3}{5}$ 走到 $80\%$，又走了全程的 $\dfrac{1}{5}$，同一时间货车走的是客车的 $\dfrac{2}{3}$，即全程的 $\dfrac{2}{15}$，这正是 $90$ 千米。
方法概述：时间比取反比得速度比，把各段路程统一成全程的分率，用对应量除以分率求全程。
规范步骤：
  1. 全程时间比 $10:15=2:3$，速度比取反比：$v_{客}:v_{货}=3:2$（时间与速度成反比）
  2. 相遇时时间相同，路程比等于速度比：$\dfrac{3}{3+2}=\dfrac{3}{5}$（客车走的分率）（按比例分配）
  3. 客车再走到全程的 $80\%$：$80\%-\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}$（分率作差）
  4. 同一时间货车走客车的 $\dfrac{2}{3}$：$\dfrac{1}{5}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{15}$（路程比=速度比）
  5. 对应量求全程：$90\div\dfrac{2}{15}=675$（千米）（分率对应量）
第一套
题目：一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需 $12$ 小时，货车需 $20$ 小时。两车相遇后货车又行了 $132$ 千米，这时客车行完了全程的 $90\%$。求甲、乙两地的距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度比）：行完全程时间比 $12:20$，速度与时间成反比，故 $v_{客}:v_{货}=20:12=\underline{\quad}:3$。
  2. 第 2 步（相遇位置）：相遇时两车用时相同，客车走了全程的 $\dfrac{5}{5+3}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（客车又走了多少）：$0.9-0.625=\underline{\quad}$（全程的分率）。
  4. 第 4 步（货车同期走了多少）：货车路程是客车的 $\dfrac{3}{5}$，即全程的 $0.275\times\dfrac{3}{5}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（对应量求全程）：这段就是 $132$ 千米，全程 $=132\div 0.165=\underline{\quad}$（千米）。
第二套
题目：一艘快艇和一艘货船同时从甲、乙两港相向开出，快艇走完全程需 $12$ 小时，货船需 $20$ 小时。两船相遇后货船又行了 $132$ 千米，这时快艇已走完全程的 $90\%$。求甲、乙两港的距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：时间比 $12:20$，速度比为反比 $\underline{\quad}:3$。
  2. 第 2 步：相遇时快艇走了全程的 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：快艇又走了全程的 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：同期货船走了全程的 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：全程 $=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需 $12$ 小时，货车需 $20$ 小时。相遇后货车又行了 $132$ 千米，这时客车行完全程的 $90\%$。求相遇地点距甲地多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度比）：$v_{客}:v_{货}=20:12=\underline{\quad}:3$。
  2. 第 2 步（相遇分率）：客车走全程的 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求全程）：客车再走 $0.9-0.625=0.275$，同期货车走 $0.275\times\dfrac{3}{5}=\underline{\quad}$，对应 $132$ 千米，全程 $=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（相遇点）：距甲地 $800\times 0.625=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需 $12$ 小时，货车需 $20$ 小时。相遇后货车又行了 $132$ 千米，这时客车行完全程的 $90\%$。（1）全程多少千米？（2）两车出发多少小时相遇？（3）相遇后货车还要多少小时才能到甲地？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（全程）：速度比 $5:3$，相遇时客车走 $\underline{\quad}$，再走 $0.275$ 对应货车 $\underline{\quad}$，全程 $=132\div 0.165=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（相遇时间）：把全程看作 $1$，速度和 $=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}=\underline{\quad}$，相遇用时 $=1\div\dfrac{2}{15}=\underline{\quad}$（小时）。
  3. 第 3 步（货车剩余路程）：相遇时货车已走全程的 $\dfrac{3}{8}$，还剩 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（剩余时间）：货车走完全程要 $20$ 小时，走 $\dfrac{5}{8}$ 需 $20\times\dfrac{5}{8}=\underline{\quad}$（小时）。
11. 【原题 ch14-tuozhan-03】某天早上 $8$ 点甲从 $B$ 地出发，同时乙从 $A$ 地出发追甲，结果在距离 $B$ 地 $9$ 千米的地方追上。如果乙把速度提高一倍，而甲的速度不变，那么会在距离 $B$ 地 $2$ 千米处追上。请问：$A$、$B$ 两地相距多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「同一追及过程两次比较」问题：甲速度不变，所以两次追及的时间比等于甲走的路程比；再结合乙两次速度比，得到乙两次路程比，用路程差对应实际距离差求解。
关键切入点：关键在于两条链：甲不变 $\Rightarrow t_1:t_2=9:2$；乙速度比 $1:2$ 且时间比 $9:2$ $\Rightarrow$ 乙路程比 $(1\times 9):(2\times 2)=9:4$。乙两次路程相差 $9-4=5$ 份，而实际相差 $9-2=7$ 千米，故 $1$ 份 $=1.4$ 千米。最后 $AB=$ 乙第一次路程 $-$ 甲第一次路程。
方法概述：用“甲速度不变”把时间比转成路程比，再用乙的速度比得乙的路程比，按份数求实际长度。
规范步骤：
  1. 甲速度不变，两次追及时间比等于甲的路程比：$t_1:t_2=9:2$（同速度时时间比=路程比）
  2. 乙两次速度比 $1:2$，路程 $=$ 速度 $\times$ 时间：$s_1:s_2=(1\times 9):(2\times 2)=9:4$（路程=速度×时间）
  3. 乙两次路程差 $5$ 份，对应实际差：$9-2=7$（千米）（位置作差）
  4. 求每份：$7\div(9-4)=1.4$（千米）（按份数求单位量）
  5. 乙第一次走的路程：$1.4\times 9=12.6$（千米）（份数还原）
  6. $AB$ 等于乙比甲多走的部分：$12.6-9=3.6$（千米）（追及：路程差）
第一套
题目：某天早上 $8$ 点甲从 $B$ 地出发，同时乙从 $A$ 地出发追甲，结果在距离 $B$ 地 $12$ 千米处追上。如果乙把速度提高一倍而甲速度不变，那么会在距离 $B$ 地 $3$ 千米处追上。求 $A$、$B$ 两地相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（时间比怎么来）：甲的速度两次都一样，所以两次追及的时间比等于甲走的路程比 $12:3=\underline{\quad}:1$。
  2. 第 2 步（乙的路程比）：乙两次速度比 $1:2$，时间比 $4:1$，路程 $=$ 速度 $\times$ 时间，故乙路程比 $=(1\times 4):(2\times 1)=\underline{\quad}:2$。
  3. 第 3 步（份数对应）：乙两次路程相差 $4-2=\underline{\quad}$ 份，而实际追上地点相差 $12-3=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（每份多少）：乙第一次路程 $=AB+12$、第二次 $=AB+3$，两者相差 $9$ 千米，正好对应 $2$ 份，故 $1$ 份 $=9\div 2=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（乙第一次走多远）：$4$ 份 $=4\times 4.5=\underline{\quad}$（千米）。
  6. 第 6 步（求 $AB$）：$AB=18-12=\underline{\quad}$（千米）。
第二套
题目：上午 $8$ 点，一只小船从码头 $B$ 顺流出发，同时一艘汽艇从码头 $A$ 出发去追它，结果在距 $B$ 码头 $12$ 千米处追上。如果汽艇速度提高一倍而小船速度不变，则在距 $B$ 码头 $3$ 千米处追上。求 $A$、$B$ 两码头相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：小船速度不变，两次时间比等于它走的路程比 $12:3=\underline{\quad}:1$。
  2. 第 2 步：汽艇速度比 $1:2$、时间比 $4:1$，路程比 $=\underline{\quad}:2$。
  3. 第 3 步：路程相差 $\underline{\quad}$ 份，实际相差 $\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步：$1$ 份 $=\underline{\quad}$（千米），汽艇第一次走 $\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步：$AB=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：甲从 $B$ 地出发，同时乙从 $A$ 地出发追甲，在距 $B$ 地 $15$ 千米处追上。如果乙把速度提高到原来的 $3$ 倍而甲速度不变，则在距 $B$ 地 $3$ 千米处追上。求 $A$、$B$ 两地相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（时间比）：甲速度不变，两次时间比 $=15:3=\underline{\quad}:1$。
  2. 第 2 步（乙路程比）：乙速度比 $1:3$，路程比 $=(1\times 5):(3\times 1)=\underline{\quad}:3$。
  3. 第 3 步（份数对应）：乙两次路程差 $5-3=\underline{\quad}$ 份，实际差 $15-3=\underline{\quad}$（千米），$1$ 份 $=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（乙第一次路程）：$5$ 份 $=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（求 $AB$）：$AB=30-15=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：早上 $8$ 点甲从 $B$ 地出发，同时乙从 $A$ 地出发追甲，在距 $B$ 地 $12$ 千米处追上；若乙提速一倍而甲不变，则在距 $B$ 地 $3$ 千米处追上。已知甲的速度是 $4$ 千米/时。（1）$A$、$B$ 相距多少千米？（2）第一次追上是几点？（3）乙原来的速度是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求 $AB$）：时间比 $12:3=4:1$，乙路程比 $4:2$，$1$ 份 $=9\div 2=\underline{\quad}$（千米），乙第一次走 $\underline{\quad}$（千米），$AB=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（第一次追及用时）：甲走 $12$ 千米，速度 $4$ 千米/时，用 $12\div 4=\underline{\quad}$（小时），故 $8$ 点出发后 $11$ 点追上。
  3. 第 3 步（乙的速度）：乙同期走 $18$ 千米，用同样的 $3$ 小时，速度 $=18\div 3=\underline{\quad}$（千米/时）。
  4. 第 4 步（检验）：速度差 $6-4=\underline{\quad}$（千米/时），追及 $6$ 千米需 $6\div 2=\underline{\quad}$（小时），与第 2 步一致。
12. 【原题 ch14-tuozhan-04】有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从某地出发同向而行。乙比丙晚出发 $10$ 分钟，出发后 $40$ 分钟追上丙；甲比乙晚出发 $20$ 分钟，出发后 $1$ 小时 $40$ 分钟追上丙。请问：甲出发多少分钟后才能追上乙？
详细思路
是哪类问题：这是「多车追及化为速度连比」问题：追上意味着两车从同一起点走了同样长的路，于是可以用“走相同路程所用时间比”得到速度的反比，两两求比后再合成连比。
关键切入点：关键在于把“晚出发多少分钟、出发后多少分钟追上”翻译成两车走同一段路各用的时间：乙用 $40$ 分、丙用 $40+10=50$ 分，故 $v_{乙}:v_{丙}=50:40=5:4$；甲用 $100$ 分、丙用 $100+20+10=130$ 分，故 $v_{甲}:v_{丙}=130:100=13:10$。以丙为桥梁把两个比统一成 $26:25:20$。
方法概述：用“相同路程时间比取反比”求两两速度比，统一成连比后再做一次追及。
规范步骤：
  1. 乙、丙走相同路程用时：$t_{乙}:t_{丙}=40:50=4:5$（追上=路程相同）
  2. 取反比得速度比：$v_{乙}:v_{丙}=5:4$（时间与速度成反比）
  3. 甲、丙走相同路程用时：$t_{甲}:t_{丙}=100:130=10:13$（追上=路程相同）
  4. 取反比得速度比：$v_{甲}:v_{丙}=13:10$（时间与速度成反比）
  5. 以丙为桥合成连比：$v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=26:25:20$（统一公共项）
  6. 甲、乙走相同路程时间比：$t_{甲}:t_{乙}=25:26$（反比）
  7. 甲比乙晚 $20$ 分，追及：$20\div(26-25)\times 25=500$（分钟）（份数法）
第一套
题目：甲、乙、丙三辆汽车各以一定速度从某地出发同向而行。乙比丙晚出发 $12$ 分钟，出发后 $48$ 分钟追上丙；甲比乙晚出发 $24$ 分钟，出发后 $2$ 小时追上丙。请问：甲出发多少分钟后才能追上乙？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乙丙同路程用时）：追上说明两车从同一地点走了同样远。乙用 $48$ 分，丙用 $48+12=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（乙丙速度比）：时间与速度成反比，$v_{乙}:v_{丙}=60:48=\underline{\quad}:4$。
  3. 第 3 步（甲丙同路程用时）：甲用 $2$ 小时 $=\underline{\quad}$ 分钟，丙用 $120+24+12=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（甲丙速度比）：$v_{甲}:v_{丙}=156:120=\underline{\quad}:10$。
  5. 第 5 步（合成连比）：以丙为公共项统一，$v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=26:\underline{\quad}:20$。
  6. 第 6 步（甲乙时间比）：走相同路程 $t_{甲}:t_{乙}=25:\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步（追及）：甲比乙晚出发 $24$ 分钟，$24\div(26-25)\times 25=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：甲、乙、丙三名长跑运动员先后从同一起点出发沿同一路线跑。乙比丙晚出发 $12$ 分钟，出发后 $48$ 分钟追上丙；甲比乙晚出发 $24$ 分钟，出发后 $2$ 小时追上丙。请问：甲出发多少分钟后才能追上乙？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：乙用 $48$ 分、丙用 $\underline{\quad}$ 分走完同一段路。
  2. 第 2 步：$v_{乙}:v_{丙}=\underline{\quad}:4$。
  3. 第 3 步：甲用 $\underline{\quad}$ 分、丙用 $\underline{\quad}$ 分走完同一段路。
  4. 第 4 步：$v_{甲}:v_{丙}=\underline{\quad}:10$。
  5. 第 5 步：连比 $v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=26:\underline{\quad}:20$，故 $t_{甲}:t_{乙}=25:\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：甲晚出发 $24$ 分，追上需 $\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：甲、乙、丙三辆车各以一定速度从同一地点出发同向而行。乙比丙晚出发 $10$ 分钟，出发后 $30$ 分钟追上丙；甲比乙晚出发 $15$ 分钟，出发后 $60$ 分钟追上丙。请问：甲出发多少分钟后追上乙？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：乙用 $30$ 分、丙用 $30+10=\underline{\quad}$ 分走完同一段路，故 $v_{乙}:v_{丙}=40:30=4:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：甲用 $60$ 分、丙用 $60+15+10=\underline{\quad}$ 分走完同一段路，故 $v_{甲}:v_{丙}=85:60=\underline{\quad}:12$。
  3. 第 3 步（统一丙）：把 $4:3$ 写成 $16:12$，得 $v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=17:\underline{\quad}:12$。
  4. 第 4 步：走相同路程 $t_{甲}:t_{乙}=16:\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：甲比乙晚 $15$ 分，追上需 $15\div(17-16)\times 16=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：甲、乙、丙三车同向而行：乙比丙晚出发 $12$ 分钟、出发后 $48$ 分钟追上丙；甲比乙晚出发 $24$ 分钟、出发后 $2$ 小时追上丙。已知丙的速度是 $400$ 米/分。（1）甲出发多少分钟追上乙？（2）甲的速度是多少？（3）甲追上乙时距出发点多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（连比）：由 $v_{乙}:v_{丙}=60:48$ 与 $v_{甲}:v_{丙}=156:120$，合成 $v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=26:\underline{\quad}:20$。
  2. 第 2 步（追及时间）：$t_{甲}:t_{乙}=25:26$，甲晚 $24$ 分，$24\div 1\times 25=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（甲的速度）：丙是 $20$ 份 $=400$ 米/分，每份 $400\div 20=\underline{\quad}$，甲 $=26\times 20=\underline{\quad}$（米/分）。
  4. 第 4 步（路程）：甲行 $600$ 分钟，走 $520\times 600=\underline{\quad}$（米）$=\underline{\quad}$（千米）。
13. 【原题 ch14-tuozhan-05】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的 $2$ 倍。甲与乙在离山顶 $400$ 米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。
详细思路
是哪类问题：这是「上下山变速 $+$ 相遇」问题：先用等效路程求出两人上山速度比，再分段研究“甲到顶后掉头下山、乙仍在上山”的一次相遇，把相遇路程化成全程的分率。
关键切入点：关键分两段：第一段用“甲回到山脚”与“乙下到半山腰”的时间相同，得上山速度比 $\dfrac{3}{2}:\dfrac{5}{4}=6:5$；第二段从甲到顶算起，此刻两人相距 $1-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{6}$ 全程，甲以 $2$ 倍速下山、乙继续上山，速度比 $12:5$，相向而行，甲分得 $\dfrac{12}{17}$，故甲下山 $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{12}{17}=\dfrac{2}{17}$ 全程时相遇，这就是 $400$ 米。
方法概述：先用等效路程求上山速度比，再用相遇按比例分配求相遇点到山顶的分率，最后用对应量求全程。
规范步骤：
  1. 甲的等效上坡（出发到回山脚）：$1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$（全程）（下山折半）
  2. 乙的等效上坡（同段时间）：$1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}$（全程）（乙只下半程）
  3. 上山速度比：$v_{甲}:v_{乙}=\dfrac{3}{2}:\dfrac{5}{4}=6:5$（同时间路程比=速度比）
  4. 甲到顶时两人相距：$1-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{6}$（全程）（路程差）
  5. 此后甲下山（速度 $12$）与乙上山（速度 $5$）相向：$\dfrac{1}{6}\times\dfrac{12}{12+5}=\dfrac{2}{17}$（全程）（相遇按比例分配）
  6. 对应量求全程：$400\div\dfrac{2}{17}=3400$（米）（分率对应量）
第一套
题目：甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，两人下山速度都是各自上山速度的 $3$ 倍。甲与乙在离山顶 $600$ 米处相遇；当甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（等效路程）：下山 $1$ 全程等效上坡 $\dfrac{1}{3}$ 全程。甲从出发到回山脚等效上坡 $1+\dfrac{1}{3}=\underline{\quad}$，乙同期等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\underline{\quad}$（全程）。
  2. 第 2 步（上山速度比）：时间相同，$v_{甲}:v_{乙}=\dfrac{4}{3}:\dfrac{7}{6}$，同乘 $6$ 得 $\underline{\quad}:\underline{\quad}$，即 $8:7$。
  3. 第 3 步（甲到顶时的差距）：乙走了 $\dfrac{7}{8}$ 全程，两人相距 $1-\dfrac{7}{8}=\underline{\quad}$（全程）。
  4. 第 4 步（此后的相遇）：甲下山速度是上山的 $3$ 倍即 $8\times 3=\underline{\quad}$，乙上山仍是 $7$，相向而行甲分得 $\dfrac{24}{24+7}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（相遇点到山顶）：甲下山走了 $\dfrac{1}{8}\times\dfrac{24}{31}=\underline{\quad}$（全程），这就是 $600$ 米。
  6. 第 6 步（求全程）：全程 $=600\div\dfrac{3}{31}=\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：两名消防员同时从楼底开始爬楼梯到楼顶，到顶后立即下楼，两人下楼速度都是各自上楼速度的 $3$ 倍。两人在离楼顶 $600$ 级台阶处相遇；当甲回到楼底时，乙刚好下到楼梯的一半处。求楼底到楼顶共有多少级台阶。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：甲等效上楼 $\underline{\quad}$、乙等效上楼 $\underline{\quad}$（全程）。
  2. 第 2 步：上楼速度比同乘 $6$ 得 $\underline{\quad}:\underline{\quad}$，即 $8:7$。
  3. 第 3 步：甲到顶时两人相距 $\underline{\quad}$（全程）。
  4. 第 4 步：甲下楼速度 $\underline{\quad}$，相向而行甲分得 $\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：相遇点距楼顶 $\underline{\quad}$（全程）$=600$ 级。
  6. 第 6 步：全程 $=\underline{\quad}$（级）。
第三套
题目：甲、乙两人同时从山脚爬山，到顶后立即下山，下山速度都是各自上山速度的 $2$ 倍。两人在离山顶 $400$ 米处相遇；当甲回到山脚时，乙刚好下到距山脚 $\dfrac{1}{3}$ 全程处。求山脚到山顶的距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（等效路程）：甲等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}=\underline{\quad}$；乙上山 $1$ 全程后又下了 $\dfrac{2}{3}$ 全程，等效上坡 $1+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}=\underline{\quad}$（全程）。
  2. 第 2 步（速度比）：$\dfrac{3}{2}:\dfrac{4}{3}$ 同乘 $6$ 得 $\underline{\quad}:\underline{\quad}$，即 $9:8$。
  3. 第 3 步（甲到顶时的差距）：$1-\dfrac{8}{9}=\underline{\quad}$（全程）。
  4. 第 4 步（相遇）：甲下山速度 $9\times 2=\underline{\quad}$，乙仍为 $8$，甲分得 $\dfrac{18}{18+8}=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（相遇点到山顶）：$\dfrac{1}{9}\times\dfrac{18}{26}=\underline{\quad}$（全程）$=400$ 米，全程 $=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：甲、乙同时从山脚爬山，到顶后立即下山，下山速度都是各自上山速度的 $2$ 倍。两人在离山顶 $400$ 米处相遇；甲回到山脚时乙刚好下到距山脚 $\dfrac{1}{3}$ 全程处。（1）山脚到山顶多少米？（2）乙到达山顶时，甲已下山多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度比）：甲等效上坡 $\dfrac{3}{2}$、乙等效上坡 $1+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}=\underline{\quad}$，速度比 $9:8$。
  2. 第 2 步（全程）：甲到顶时相距 $\dfrac{1}{9}$ 全程，相遇点距山顶 $\dfrac{1}{9}\times\dfrac{18}{26}=\underline{\quad}$（全程）$=400$ 米，全程 $=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（两人到顶的时间差）：以“走 $1$ 份路程用 $1$ 单位时间”计，甲到顶用 $\dfrac{1}{9}$、乙到顶用 $\dfrac{1}{8}$，差 $\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（甲这段时间下了多少）：甲下山速度 $18$，走 $18\times\dfrac{1}{72}=\underline{\quad}$（全程），即 $5200\times\dfrac{1}{4}=\underline{\quad}$（米）。
14. 【原题 ch14-tuozhan-06】甲、乙两车分别从 $A$、$B$ 两地同时出发相向而行，甲车速度为 $32$ 千米/时，乙车速度为 $48$ 千米/时，它们分别到达 $B$ 地和 $A$ 地后，甲车速度提高四分之一，乙车速度减少六分之一。如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距 $74$ 千米，那么乙比甲车早多少小时返回出发点？
详细思路
是哪类问题：这是「相遇 $+$ 到达端点后变速再相遇」的往返问题：两车各自到达对岸后速度改变，需要分段追踪两车位置，用两次相遇点相距 $74$ 千米这一条件列方程求全程。
关键切入点：关键在于先算出变速后的速度：甲 $32\times\dfrac{5}{4}=40$、乙 $48\times\dfrac{5}{6}=40$，变速后两车同速，这大大简化了第二次相遇的位置计算。第一次相遇点距 $A$ 地是全程的 $\dfrac{32}{32+48}=\dfrac{2}{5}$，再按分段行驶把第二次相遇点位置表示成全程的分率，两点相距 $74$ 千米即可解出全程 $240$ 千米。
方法概述：先求变速后速度，再把两次相遇点都表示成全程的分率，用距离差列方程。
规范步骤：
  1. 甲变速后速度：$32\times\left(1+\dfrac{1}{4}\right)=40$（千米/时）（提高四分之一）
  2. 乙变速后速度：$48\times\left(1-\dfrac{1}{6}\right)=40$（千米/时）（减少六分之一）
  3. 第一次相遇点距 $A$：$\dfrac{32}{32+48}=\dfrac{2}{5}$（全程）（按速度比分配）
  4. 由两次相遇点相距 $74$ 千米解得全程：$x=240$（千米）（列方程）
  5. 乙返回出发点还需的时间：$\dfrac{7}{24}\times 240\div 40=\dfrac{7}{4}$（小时）（路程÷速度）
  6. 甲返回出发点还需的时间：$\left(1-\dfrac{7}{24}\right)\times 240\div 40=\dfrac{17}{4}$（小时）（路程÷速度）
  7. 求时间差：$\dfrac{17}{4}-\dfrac{7}{4}=2.5$（小时）（作差）
15. 【原题 ch14-tuozhan-07】甲、乙两人从 $A$、$B$ 两地同时出发相向而行，相遇时乙比甲多行了 $100$ 米，如果甲出发后在距离 $AB$ 中点 $220$ 米处把速度提高到原来的 $3$ 倍，则相遇时甲比乙多行了 $100$ 米，求 $A$、$B$ 两地的距离。
详细思路
是哪类问题：这是「相遇途中一方提速」的路程差问题：两种情形下相遇时的路程差由“乙多 $100$ 米”变成“甲多 $100$ 米”，说明提速使相遇点移动，移动量对应路程差的 $200$ 米变化。
关键切入点：关键在于三点：①第一次乙多 $100$ 米，甲走 $\dfrac{L-100}{2}$，相遇点在中点前 $50$ 米；②第二次甲多 $100$ 米，相遇点在中点后 $50$ 米；③抓提速点 $P$（中点前 $220$ 米）到相遇点这一段——甲到 $P$ 时它与乙的间距 $G$ 在两种情形下相同，据此列方程解出 $v_{甲}:v_{乙}=4:5$，从而全程 $(4+5)\times 100=900$ 米。
方法概述：用“甲到 $P$ 时与乙的间距 $G$ 两情形相同”把两种相遇联系起来，解出速度比再按份数求全程。
规范步骤：
  1. 第一次相遇：乙比甲多 $100$ 米，甲走 $\dfrac{L-100}{2}$，相遇点在中点前 $\dfrac{L}{2}-\dfrac{L-100}{2}=50$ 米：$50$（米，中点前）（相遇路程和=全程）
  2. 提速后相遇：甲比乙多 $100$ 米，甲走 $\dfrac{L+100}{2}$，相遇点在中点后 $50$ 米：$50$（米，中点后）（相遇对称）
  3. 提速点 $P$ 在中点前 $220$ 米。设甲到 $P$ 时它与乙的间距为 $G$（两情形相同，因 $A\to P$ 甲都按原速）：记为 $G$（同段同速间距相同）
  4. 不提速时：从 $P$ 到相遇点甲以原速走 $220-50=170$ 米，乙走 $G-170$，故 $G=170\left(1+\dfrac{v_乙}{v_甲}\right)$：$G=170(1+r),\ r=\dfrac{v_乙}{v_甲}$（同段同时路程比=速度比）
  5. 提速时：从 $P$ 到相遇点甲以 $3$ 倍速走 $220+50=270$ 米，用时 $\dfrac{270}{3v_甲}=\dfrac{90}{v_甲}$，乙走 $G-270=90r$：$G=270+90r$（同段同时）
  6. 两式的 $G$ 相等，解速度比：$170(1+r)=270+90r\Rightarrow 80r=100\Rightarrow r=\dfrac{5}{4}$（消 $G$）
  7. 故 $v_甲:v_乙=4:5$；第一次相遇 $s_乙-s_甲=100$ 对应 $5-4=1$ 份：$1$ 份 $=100$（米）（路程差=份数）
  8. 全程：$\dfrac{5+4}{5-4}\times 100=900$（米）（按份数求全程）
16. 【原题 ch14-tuozhan-08】如图 $14\text{-}2$，$A$、$B$ 两地相距 $54$ 千米，$D$ 是 $AB$ 的中点。甲、乙、丙三人骑车分别同时从 $A$、$B$、$C$ 三地出发，甲骑车去 $B$ 地，乙骑车去 $A$ 地，丙则总是经过 $D$ 之后往甲、乙两人将要相遇的地方骑。结果三人在距离 $D$ 点 $5400$ 米的 $E$ 点相遇，$E$ 在 $B$、$D$ 之间。如果乙的速度提高到原来的 $3$ 倍，那么丙将提前 $52$ 分钟出发三人才能相遇，否则甲、乙相遇的时候，丙还差 $6600$ 米才到 $D$。请问：甲的速度是每小时多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「带行程图的三人相遇 $+$ 条件变更」问题：三个过程互相比较，用相遇点位置定速度比，再用丙的路程差求出丙的速度，最后回到甲。
关键切入点：关键在于三步：其一，$AD=BD=27$ 千米、$E$ 距 $D$ 为 $5.4$ 千米，故 $AE:EB=32.4:21.6=3:2$，甲、乙速度比 $3:2$；其二，乙提速 $3$ 倍后甲、乙速度比 $1:2$，相遇点 $F$ 距 $A$ 为 $18$ 千米，丙 $52$ 分钟走 $27000-18000+6600=15600$ 米，得丙速 $300$ 米/分；其三，两过程中丙路程差 $6600+5400=12000$ 米，对应时间差 $40$ 分钟，甲路程差 $9000+5400=14400$ 米，得甲速 $360$ 米/分。
方法概述：用中点性质与相遇点位置求速度比，再用两过程的路程差与时间差求出速度。
规范步骤：
  1. 中点性质：$AD=BD=\dfrac{54}{2}=27$（千米）（中点）
  2. 由 $E$ 的位置求甲乙速度比：$AE:EB=(27+5.4):(27-5.4)=3:2$（同时间路程比=速度比）
  3. 乙提速后甲、乙速度比 $1:2$，求 $AF$：$\dfrac{1}{1+2}\times 54=18$（千米）（按比例分配）
  4. 丙 $52$ 分钟走的路程：$27000-18000+6600=15600$（米）（路线累加）
  5. 丙的速度：$15600\div 52=300$（米/分）（路程÷时间）
  6. 两过程丙的路程差与时间差：$(6600+5400)\div 300=40$（分钟）（路程差÷速度）
  7. 甲的路程差与速度：$(9000+5400)\div 40=360$（米/分）$=21.6$（千米/时）（路程差÷时间差）
17. 【原题 ch14-tuozhan-09】甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车，每辆电车都是每隔 $4$ 分钟到达迎面开来的一辆电车。小张和小王分别骑车从甲、乙两地相向而行，相向而行的小张每隔 $5$ 分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔 $6$ 分钟遇到迎面开来的电车。如果电车行驶完全程需要 $56$ 分钟，那么小王与小张在途中相遇用了多少分钟？
详细思路
是哪类问题：这是「发车间隔」问题：同一方向相邻两辆电车之间的距离是固定的，把它当作“一段固定路程”，谁与迎面来车的相遇间隔越短，说明谁与电车的速度和越大。
关键切入点：关键在于用车速表示间隔距离：两辆电车迎面每 $4$ 分钟相遇一次，说明间隔距离 $=(v_{车}+v_{车})\times 4=8v_{车}$。小张每 $5$ 分钟遇一辆，$(v_{车}+v_{张})\times 5=8v_{车}$，得 $v_{张}=0.6v_{车}$；小王每 $6$ 分钟遇一辆，$(v_{车}+v_{王})\times 6=8v_{车}$，得 $v_{王}=\dfrac{1}{3}v_{车}$。全程 $=56v_{车}$，两人相向相遇时间 $=\dfrac{56v_{车}}{0.6v_{车}+\frac13 v_{车}}$。
方法概述：用“相邻两车间隔固定”把所有速度都折算成车速的倍数，再做一次相遇。
规范步骤：
  1. 两车迎面相遇间隔 $4$ 分钟，求间隔距离：$d=(1+1)\times 4=8$（以车速为 $1$）（相遇：路程和）
  2. 小张：$(1+v_{张})\times 5=8$：$v_{张}=\dfrac{8}{5}-1=0.6$（相遇：路程和）
  3. 小王：$(1+v_{王})\times 6=8$：$v_{王}=\dfrac{8}{6}-1=\dfrac{1}{3}$（相遇：路程和）
  4. 全程（电车 $56$ 分钟走完）：$L=56$（以车速为 $1$）（路程=速度×时间）
  5. 两人相向相遇：$56\div\left(0.6+\dfrac{1}{3}\right)=60$（分钟）（相遇：路程和÷速度和）
第一套
题目：甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车，每辆电车都是每隔 $5$ 分钟与迎面开来的一辆电车相遇。小张和小王分别骑车从甲、乙两地相向而行，小张每隔 $6$ 分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔 $8$ 分钟遇到迎面开来的电车。如果电车行完全程需 $66$ 分钟，那么小张与小王在途中相遇用了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间隔距离）：把车速记作 $1$。两辆电车迎面每 $5$ 分钟相遇一次，故同向相邻两车的间隔 $d=(1+1)\times 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（小张的速度）：小张迎着电车走，$(1+v_{张})\times 6=10$，故 $v_{张}=\dfrac{10}{6}-1=\underline{\quad}$（车速的几分之几）。
  3. 第 3 步（小王的速度）：$(1+v_{王})\times 8=10$，故 $v_{王}=\dfrac{10}{8}-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（全程）：电车 $66$ 分钟走完全程，故 $L=66\times 1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（两人相遇）：速度和 $=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\underline{\quad}$，相遇时间 $=66\div\dfrac{11}{12}=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：甲、乙两个客运站每隔一定时间同时对发一辆班车，每辆班车都是每隔 $5$ 分钟与迎面开来的一辆班车相遇。小张、小王分别骑车从甲、乙两站相向出发，小张每隔 $6$ 分钟遇到一辆迎面班车，小王每隔 $8$ 分钟遇到一辆迎面班车。班车跑完全程需 $66$ 分钟，两人在途中相遇用了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：车速记作 $1$，相邻两车间隔 $d=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$(1+v_{张})\times 6=10$，$v_{张}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$(1+v_{王})\times 8=10$，$v_{王}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：全程 $L=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：速度和 $=\underline{\quad}$，相遇 $=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：甲、乙两地是电车发车站，每辆电车每隔 $5$ 分钟与迎面开来的电车相遇。小张骑车从甲地出发，每隔 $6$ 分钟遇到一辆迎面开来的电车。电车行完全程需 $66$ 分钟，那么小张骑完全程需要多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（间隔距离）：车速记作 $1$，间隔 $d=(1+1)\times 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（小张速度）：$(1+v_{张})\times 6=10$，$v_{张}=\underline{\quad}$（车速的几分之几）。
  3. 第 3 步（全程）：$L=66$。
  4. 第 4 步（小张用时）：$66\div\dfrac{2}{3}=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：甲、乙两地是电车发车站，每辆电车每隔 $5$ 分钟与迎面来车相遇。小张、小王分别骑车从甲、乙相向出发，小张每隔 $6$ 分钟、小王每隔 $8$ 分钟遇到迎面电车。电车行完全程需 $66$ 分钟，电车速度是 $48$ 千米/时。（1）两人多少分钟后相遇？（2）甲、乙两地相距多少千米？（3）相遇点距甲地多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折算速度）：车速记作 $1$，间隔 $d=\underline{\quad}$；$v_{张}=\dfrac{10}{6}-1=\underline{\quad}$，$v_{王}=\dfrac{10}{8}-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（相遇时间）：$66\div\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\right)=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（全程长度）：电车 $48$ 千米/时行 $66$ 分钟，$48\times\dfrac{66}{60}=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（小张的真实速度）：$48\times\dfrac{2}{3}=\underline{\quad}$（千米/时）。
  5. 第 5 步（相遇点）：小张骑 $72$ 分钟即 $1.2$ 小时，走 $32\times 1.2=\underline{\quad}$（千米）。
18. 【原题 ch14-tuozhan-10】米老鼠从 $A$ 到 $B$，唐老鸭从 $B$ 到 $A$，米老鼠与唐老鸭的速度比为 $6:5$，$M$ 是 $A$、$B$ 的中点。在 $A$、$M$ 之间有一个 $C$ 点，距离 $M$ 点 $26$ 千米，此处有一个魔鬼，谁经过他都要减速 $25\%$；$B$、$M$ 之间有一 $D$ 点，距离 $M$ 点 $4$ 千米，此处有一个仙人，谁经过他都会加速 $25\%$。现在米老鼠和唐老鸭同时出发，且同时到达各自的目的地，请问：$A$、$B$ 两地相距多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「途中两点变速、同时出发同时到达」的方程问题：两人各自在 $C$、$D$ 两点先后变速，路线被分成三段，用“两人总用时相等”列一个方程解出未知段长。
关键切入点：关键在于把每个人的三段路程与对应速度写清楚：设 $AC=x$，则 $DB=x+26-4=x+22$，$CD=26+4=30$。米老鼠速度依次为 $6z$、$\dfrac{9}{2}z$（过 $C$ 减速 $25\%$）、$\dfrac{45}{8}z$（过 $D$ 加速 $25\%$）；唐老鸭速度依次为 $5z$、$\dfrac{25}{4}z$（过 $D$ 加速）、$\dfrac{75}{16}z$（过 $C$ 减速）。令两人总时间相等即可解出 $x=20$。
方法概述：分段写出路程与速度，用“同时出发同时到达”列方程求解。
规范步骤：
  1. 设 $AC=x$，写出各段长：$CD=26+4=30,\ DB=x+22$（线段关系）
  2. 米老鼠三段速度：$6z,\ \dfrac{9}{2}z,\ \dfrac{45}{8}z$（减速 $25\%$、加速 $25\%$）
  3. 唐老鸭三段速度：$5z,\ \dfrac{25}{4}z,\ \dfrac{75}{16}z$（加速 $25\%$、减速 $25\%$）
  4. 两人总时间相等列方程：$\dfrac{x}{6z}+\dfrac{30}{\frac92 z}+\dfrac{x+22}{\frac{45}{8}z}=\dfrac{x+22}{5z}+\dfrac{30}{\frac{25}{4}z}+\dfrac{x}{\frac{75}{16}z}$（同时到达）
  5. 去分母解得：$x=20$（解方程）
  6. 求全程：$AB=20+26+4+20+22=92$（千米）（线段求和）
19. 【原题 ch14-tuozhan-11】自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，走了 $150$ 级；乙从底部向上走到顶部，共走了 $75$ 级。如果甲的速度是乙的速度的 $3$ 倍，那么扶梯可见部分共有多少级？
详细思路
是哪类问题：这是「扶梯顺行与逆行」问题：逆行的人自己走的级数比可见级数多出“扶梯同期上送的级数”，顺行的人自己走的级数比可见级数少了“扶梯同期上送的级数”，两个差合起来正是两人级数之差。
关键切入点：关键在于两段时间内扶梯运行级数之比：甲、乙路程比 $150:75=2:1$，速度比 $3:1$，所以用时比 $\dfrac{2}{3}:1=2:3$。扶梯匀速，两段时间内扶梯走过的级数之比也是 $2:3$；而这两段扶梯级数之和恰为 $150-75=75$ 级，于是分别是 $30$ 级和 $45$ 级。
方法概述：用路程比与速度比求时间比，按时间比分配扶梯级数，再回到可见级数。
规范步骤：
  1. 两人时间比：$t_{甲}:t_{乙}=\dfrac{150}{3}:\dfrac{75}{1}=2:3$（时间=路程÷速度）
  2. 两段扶梯级数之比：$2:3$（扶梯匀速）
  3. 两段扶梯级数之和：$150-75=75$（级）（逆行多走、顺行少走）
  4. 分配：$75\div(2+3)\times 2=30$，$75-30=45$（级）（按比例分配）
  5. 求可见级数：$150-30=120$（级）（逆行：自走 $-$ 扶梯）
第一套
题目：自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，走了 $200$ 级；乙从底部向上走到顶部，共走了 $80$ 级。如果甲的速度是乙的 $5$ 倍，那么扶梯可见部分共有多少级？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（时间比怎么来）：把乙的速度记作 $1$，甲的速度是 $5$。时间 $=$ 路程 $\div$ 速度，$t_{甲}:t_{乙}=\dfrac{200}{5}:\dfrac{80}{1}=\underline{\quad}:80$，化简为 $1:2$。
  2. 第 2 步（扶梯级数之比）：扶梯匀速运行，两段时间内它送上去的级数之比也是 $1:2$。
  3. 第 3 步（两段扶梯级数之和）：甲逆行多走的与乙顺行少走的合起来 $=200-80=\underline{\quad}$（级）。
  4. 第 4 步（分配）：每份 $120\div(1+2)=\underline{\quad}$（级），故两段分别是 $40$ 级和 $\underline{\quad}$ 级。
  5. 第 5 步（求可见级数）：可见级数 $=200-40=\underline{\quad}$（级），也可用 $80+80=\underline{\quad}$ 级验证。
第二套
题目：机场的自动步道由后向前匀速移动。甲逆着步道从终点走回起点，走过 $200$ 块地砖；乙顺着步道从起点走到终点，走过 $80$ 块地砖。若甲的速度是乙的 $5$ 倍，步道可见部分共有多少块地砖？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$t_{甲}:t_{乙}=\dfrac{200}{5}:80=\underline{\quad}:80=1:2$。
  2. 第 2 步：两段时间内步道自身移动的地砖数之比也是 $1:2$。
  3. 第 3 步：两段之和 $=\underline{\quad}$（块）。
  4. 第 4 步：每份 $\underline{\quad}$ 块，两段为 $40$ 块与 $\underline{\quad}$ 块。
  5. 第 5 步：可见部分 $=\underline{\quad}$（块），验算 $\underline{\quad}$（块）。
第三套
题目：自动扶梯由下向上匀速运动，扶梯可见部分共 $180$ 级。乙从底部向上走到顶部共走了 $60$ 级，甲从顶部向下走到底部，甲的速度是乙的 $8$ 倍。求甲一共走了多少级台阶。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乙这段扶梯送了多少）：乙自走 $60$ 级，与扶梯同期送的级数之和为可见部分，故扶梯这段送了 $180-60=\underline{\quad}$（级）。
  2. 第 2 步（乙与扶梯的速度比）：同一段时间内路程比即速度比，$v_{乙}:v_{梯}=60:120=1:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（甲的速度）：$v_{甲}=8v_{乙}$，故 $v_{甲}:v_{梯}=8:\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（甲逆行）：甲自走的级数比可见部分多出扶梯同期送的级数，两者之比 $8:2=4:1$，设甲走 $4$ 份、扶梯送 $1$ 份，则 $4$ 份 $-1$ 份 $=180$，每份 $180\div(4-1)=\underline{\quad}$（级）。
  5. 第 5 步（求甲走的级数）：$4\times 60=\underline{\quad}$（级）。
第三套
题目：自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走了 $200$ 级到底部，乙从底部向上走了 $80$ 级到顶部，甲的速度是乙的 $5$ 倍。已知乙每秒走 $2$ 级。（1）扶梯可见部分多少级？（2）扶梯每秒运行多少级？（3）若有人站着不动乘扶梯，从底到顶需多少秒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（可见级数）：$t_{甲}:t_{乙}=\dfrac{200}{5}:80=1:2$，两段扶梯级数之和 $=200-80=\underline{\quad}$（级），按 $1:2$ 分得 $40$ 与 $80$，可见级数 $=200-40=\underline{\quad}$（级）。
  2. 第 2 步（乙用时）：乙自走 $80$ 级、每秒 $2$ 级，用 $80\div 2=\underline{\quad}$（秒）。
  3. 第 3 步（扶梯速度）：这 $40$ 秒里扶梯送了 $80$ 级，速度 $=80\div 40=\underline{\quad}$（级/秒）。
  4. 第 4 步（站着不动）：$160\div 2=\underline{\quad}$（秒）。
20. 【原题 ch14-tuozhan-12】四辆汽车分别停在一个十字路口的四条岔路上，它们与路口的距离都是 $18$ 千米，四辆车的最大时速分别为 $40$ 千米、$50$ 千米、$60$ 千米和 $70$ 千米。现在四辆汽车同时出发沿着公路行驶，那么最少要经过多少分钟，它们才能设法相聚在同一地点？
详细思路
是哪类问题：这是「多人相聚的最短时间」问题：四辆车都要到同一地点，所需时间由“最慢的一对”决定，让最慢的两辆车相向而行、在路上会合最省时。
关键切入点：关键在于抓住瓶颈：最快的两辆车总能更早到达任何会合点，真正卡住时间的是速度最小的两辆车。让它们沿相对的两条岔路相向行驶，两车相距 $18\times 2=36$ 千米，速度和 $40+50=90$ 千米/时，相遇需 $36\div 90=0.4$ 小时；这段时间内另外两辆车也能赶到该点，故 $24$ 分钟即可。
方法概述：找出速度最慢的两辆车作为瓶颈，用“路程和÷速度和”求相遇时间。
规范步骤：
  1. 最慢两车的速度和：$40+50=90$（千米/时）（相遇：速度和）
  2. 两车相距：$18\times 2=36$（千米）（分居路口两侧）
  3. 相遇时间：$36\div 90=0.4$（小时）（路程和÷速度和）
  4. 化成分钟：$0.4\times 60=24$（分钟）（单位换算）
第一套
题目：四辆汽车分别停在一个十字路口的四条岔路上，与路口的距离都是 $24$ 千米，四辆车的最大时速分别为 $45$、$55$、$65$、$75$ 千米。四辆车同时出发沿公路行驶，最少经过多少分钟它们才能相聚在同一地点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（谁决定时间）：最快的车总能更早赶到，真正的瓶颈是最慢的两辆，其时速为 $45$ 和 $55$。
  2. 第 2 步（速度和）：让它们沿相对的两条岔路相向行驶，速度和 $=45+55=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（路程和）：两车分居路口两侧，相距 $24\times 2=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（相遇时间）：$48\div 100=\underline{\quad}$（小时）。
  5. 第 5 步（化成分钟）：$0.48\times 60=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：四名同学分别站在一个十字路口的四条小路上，与路口的距离都是 $24$ 千米（骑行），四人骑行时速分别为 $45$、$55$、$65$、$75$ 千米。四人同时出发沿小路骑行，最少经过多少分钟他们才能相聚在同一地点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：瓶颈是最慢的两人，时速 $45$ 与 $55$。
  2. 第 2 步：速度和 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步：两人相距 $\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步：相遇 $=\underline{\quad}$（小时）。
  5. 第 5 步：即 $\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：四辆汽车分别停在十字路口的四条岔路上，与路口距离都是 $21$ 千米，最大时速分别为 $40$、$50$、$60$、$70$ 千米。同时出发，最少经过多少分钟能相聚于同一地点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（找瓶颈）：最慢的两辆时速为 $40$ 与 $50$，速度和 $=\underline{\quad}$（千米/时）。
  2. 第 2 步（路程和）：$21\times 2=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（相遇时间）：$42\div 90=\underline{\quad}$（小时）$=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：四辆汽车分别停在十字路口的四条岔路上，与路口距离都是 $24$ 千米，最大时速分别为 $40$、$60$、$80$、$120$ 千米。四车同时出发。（1）最少经过多少分钟能相聚于同一点？（2）在这个方案里，时速 $80$ 和 $120$ 千米的两辆车分别要在会合点等待多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（瓶颈与相聚时间）：最慢两辆速度和 $=40+60=\underline{\quad}$（千米/时），路程和 $=24\times 2=\underline{\quad}$（千米），相聚时间 $=48\div 100$ 小时 $=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（会合点在哪）：$0.48$ 小时里时速 $40$ 的车只行 $40\times 0.48=\underline{\quad}$（千米），距路口还差 $24-19.2=\underline{\quad}$（千米），所以会合点不在路口，而在距路口 $4.8$ 千米处（时速 $60$ 的车越过路口再行 $4.8$ 千米与它相遇）。
  3. 第 3 步（$80$ 千米/时的车）：它要先走完自己这条岔路 $24$ 千米、再越过路口 $4.8$ 千米，共 $24+4.8=\underline{\quad}$（千米），用 $28.8\div 80$ 小时 $=\underline{\quad}$（分钟），需等 $28.8-21.6=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（$120$ 千米/时的车）：同样要走 $28.8$ 千米，用 $28.8\div 120$ 小时 $=\underline{\quad}$（分钟），需等 $28.8-14.4=\underline{\quad}$（分钟）。
21. 【原题 ch14-tuozhan-13】某种小型飞机加满油最多能飞行 $1500$ 千米，但不能从 $A$ 地飞到 $B$ 地，如果从 $A$ 地派 $3$ 架这样的飞机，通过实现空中供油，可以使其中一架飞机飞到 $B$ 地，另两架安全返回 $A$ 地，那么 $A$、$B$ 两地最远相距多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「多机空中供油」的最优化问题：三架飞机同时起飞，先后有两架把多余的油转给主机后返航，要让主机飞得最远。
关键切入点：关键在于两次转油点都遵循同一条原则——转出的油恰好等于其余飞机能补进的油，一滴不浪费。第一次：三机同飞 $x$ 千米，丙返航还需 $x$，可转出 $1500-2x$，甲、乙各需补 $x$，共 $2x$，令 $1500-2x=2x$ 得 $x=375$；第二次：甲、乙从 $375$ 千米处再飞 $y$，乙返航需 $375+y$，可转出 $1500-(2y+375)$，甲需补 $y$，令 $1500-375-2y=y$ 得 $y=375$。此时甲在 $750$ 千米处满油，还能再飞 $1500$ 千米。
方法概述：按“转出的油恰等于能补进的油”依次求两个转油点，再加上主机满油续航。
规范步骤：
  1. 第一次转油点：$1500-2x=2x\Rightarrow x=1500\div 4=375$（千米）（不浪费一滴油）
  2. 第二次转油点（再飞 $y$）：$1500-375-2y=y\Rightarrow y=1125\div 3=375$（千米）（不浪费一滴油）
  3. 主机满油时所在位置：$375+375=750$（千米）（累加）
  4. 主机还能飞：$1500$（千米）（满油续航）
  5. 求最远距离：$750+1500=2250$（千米）（累加）
第一套
题目：某种小型飞机加满油最多能飞行 $1800$ 千米。从 $A$ 地派 $3$ 架这样的飞机，通过空中供油使其中一架飞到 $B$ 地，另两架安全返回 $A$ 地。$A$、$B$ 两地最远相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次转油）：三机同飞 $x$ 千米，第三架返航还要 $x$，最多能转出 $1800-2x$；另两架各需补 $x$，共需 $\underline{\quad}x$。令 $1800-2x=2x$，得 $4x=1800$，$x=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（第二次转油）：两架满油机从 $450$ 千米处再飞 $y$ 千米，供油机返航共需 $450+y$，能转出 $1800-(y+450+y)$；受油机需补 $y$。令 $1800-450-2y=y$，得 $3y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（主机满油位置）：$450+450=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（最远距离）：$900+1800=\underline{\quad}$（千米）。
第二套
题目：某型运输无人机满电最多飞行 $1800$ 千米。从基地派 $3$ 架，通过空中转电使其中一架飞到目标点，另两架安全返回基地。基地与目标点最远相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：三机同飞 $x$ 千米，返航机可转出 $1800-2x$，另两架共需补 $\underline{\quad}x$，故 $x=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步：再飞 $y$ 千米，$1800-450-2y=y$，$3y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步：主机满电位置 $\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步：最远 $=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：某种小型飞机加满油最多飞行 $1800$ 千米。从 $A$ 地派 $2$ 架这样的飞机，通过空中供油使其中一架飞到 $B$ 地，另一架安全返回 $A$ 地。$A$、$B$ 最远相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（转油点）：两机同飞 $x$ 千米，供油机返航还需 $x$，能转出 $1800-2x$；受油机需补 $x$。令 $1800-2x=x$，得 $3x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（最远距离）：主机在 $600$ 千米处满油，还能飞 $1800$ 千米，最远 $=600+1800=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：某种小型飞机加满油最多飞行 $1800$ 千米。从 $A$ 地派 $4$ 架这样的飞机，通过依次空中供油使其中一架飞到 $B$ 地，另三架安全返回 $A$ 地。$A$、$B$ 两地最远相距多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次转油）：四机同飞 $x$，返航机可转出 $1800-2x$，另三架共需补 $\underline{\quad}x$。令 $1800-2x=3x$，得 $5x=1800$，$x=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（第二次转油）：三架满油机从 $360$ 千米处再飞 $y$，供油机返航需 $360+y$，可转出 $1800-360-2y$，另两架共需 $2y$。令 $1800-360-2y=2y$，得 $4y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（第三次转油）：两架满油机从 $720$ 千米处再飞 $z$，供油机返航需 $720+z$，可转出 $1800-720-2z$，受油机需补 $z$。令 $1800-720-2z=z$，得 $3z=\underline{\quad}$，$z=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（主机满油位置）：$360+360+360=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（最远距离）：$1080+1800=\underline{\quad}$（千米）。
22. 【原题 ch14-tuozhan-14】现有两支球队同时从某地到 $9$ 千米外的体育馆进行比赛，但只有一辆汽车接送，且每次只能乘坐一支球队。已知队员步行速度均为 $6$ 千米/时；汽车满载的速度为 $27$ 千米/时，空载的速度为 $36$ 千米/时。请问：比赛最早会在两队出发后多少分钟开始？（两队均到场即可开始）
详细思路
是哪类问题：这是「一车接送两队、满载与空载速度不同」的优化问题：两队步行速度相同，所以要同时到场，两队步行路程必须相等、坐车路程也必须相等。
关键切入点：关键在于把返程看成一次相遇：设 $A$ 队坐车 $9$ 份路程，此时 $B$ 队步行了 $2$ 份（步行与满载速度比 $6:27=2:9$），车与 $B$ 队相距 $7$ 份；返程时车空载与人的速度比是 $36:6=6:1$，相遇时 $B$ 队再走 $1$ 份、车走 $6$ 份。于是 $B$ 队步行共 $3$ 份、坐车 $9$ 份，全程 $12$ 份 $=9$ 千米。
方法概述：用份数刻画“载人前进—空车返回相遇—再载人前进”，求出步行与坐车路程，再算时间。
规范步骤：
  1. 设 $A$ 队坐车 $9$ 份，同期 $B$ 队步行：$9\times\dfrac{6}{27}=2$（份）（同时间路程比=速度比）
  2. 此时车与 $B$ 队相距：$9-2=7$（份）（路程差）
  3. 空载返程相遇，速度比 $36:6=6:1$：$B$ 队再走 $7\times\dfrac{1}{7}=1$ 份，车走 $6$ 份（相遇按比例分配）
  4. $B$ 队步行共 $3$ 份、坐车 $9$ 份，全程 $12$ 份：$9\div 12=0.75$（千米/份）（按份数求单位量）
  5. $B$ 队步行与坐车路程：$3\times 0.75=\dfrac{9}{4}$，$9-\dfrac{9}{4}=\dfrac{27}{4}$（千米）（份数还原）
  6. 总时间：$\dfrac{9}{4}\div 6+\dfrac{27}{4}\div 27=\dfrac{5}{8}$（小时）$=37.5$（分钟）（时间=路程÷速度）
第一套
题目：两支球队同时从某地出发到 $32$ 千米外的体育馆比赛，只有一辆汽车且每次只能坐一支球队。队员步行速度都是 $5$ 千米/时，汽车满载速度 $25$ 千米/时、空载速度 $45$ 千米/时。比赛最早会在两队出发后多少分钟开始？（两队均到场即可开始）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同时到场意味着什么）：两队步行速度相同，要同时到场，两队步行路程必须相等、坐车路程也必须相等。设 $A$ 队坐车 $r$ 千米、步行 $32-r$ 千米，则 $B$ 队步行 $32-r$、坐车 $r$。
  2. 第 2 步（放下 $A$ 队时 $B$ 队走了多远）：时间相同，$B$ 队路程是 $r$ 的 $\dfrac{5}{25}=\underline{\quad}$ 倍。
  3. 第 3 步（空车返回是一次相遇）：此时两者相距 $r-0.2r=0.8r$，空载与步行速度比 $45:5$，$B$ 队分得 $\dfrac{5}{5+45}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程）：$B$ 队步行总路程 $32-r=0.2r+0.1\times 0.8r$，即 $32-r=\underline{\quad}r$，解得 $r=32\div 1.28=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（步行路程）：$32-25=\underline{\quad}$（千米）。
  6. 第 6 步（总时间）：坐车 $25\div 25=\underline{\quad}$（小时），步行 $7\div 5=\underline{\quad}$（小时），共 $\underline{\quad}$ 小时 $=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：两个乐团同时从驻地出发到 $32$ 千米外的音乐厅演出，只有一辆大巴且每次只能载一个乐团。团员步行速度都是 $5$ 千米/时，大巴满载 $25$ 千米/时、空载 $45$ 千米/时。演出最早会在出发后多少分钟开始？（两团均到场即可开始）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：两团步行速度相同，故步行路程相等、坐车路程相等。设坐车 $r$ 千米。
  2. 第 2 步：放下第一团时，第二团走了 $r$ 的 $\underline{\quad}$ 倍。
  3. 第 3 步：空车返回是相遇，第二团分得相距路程的 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$32-r=\underline{\quad}r$，解得 $r=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步：步行 $\underline{\quad}$（千米）。
  6. 第 6 步：坐车用 $\underline{\quad}$ 小时、步行用 $\underline{\quad}$ 小时，共 $\underline{\quad}$ 小时 $=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：两支球队同时从某地出发到 $24$ 千米外的体育馆，只有一辆汽车，每次只能坐一支球队。步行速度都是 $6$ 千米/时，汽车满载 $24$ 千米/时、空载 $48$ 千米/时。汽车应在距出发地多少千米处放下第一支球队，才能使两队同时到场？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对称性）：两队步行路程相等、坐车路程相等。设坐车 $r$ 千米、步行 $24-r$ 千米。
  2. 第 2 步（放下时另一队走了多远）：$\dfrac{6}{24}=\underline{\quad}$，即 $0.25r$ 千米。
  3. 第 3 步（返程相遇）：相距 $r-0.25r=0.75r$，另一队分得 $\dfrac{6}{6+48}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程）：$24-r=0.25r+\dfrac{1}{9}\times 0.75r$，即 $24-r=\underline{\quad}r$，解得 $r=24\div\dfrac{4}{3}=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：两支球队同时从某地出发到 $32$ 千米外的体育馆，只有一辆汽车且每次只能坐一支球队。步行速度都是 $5$ 千米/时，汽车满载 $25$ 千米/时、空载 $45$ 千米/时。（1）比赛最早在出发后多少分钟开始？（2）汽车一共行驶了多少千米？（3）汽车行驶总时间是多少小时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（坐车路程）：由 $32-r=0.2r+0.1\times 0.8r$ 解得 $r=\underline{\quad}$（千米），步行 $32-25=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（总时间）：$25\div 25+7\div 5=\underline{\quad}$（小时）$=\underline{\quad}$（分钟）。
  3. 第 3 步（汽车路线）：先满载前进 $25$ 千米，再空载倒回到接第二队处，倒回 $25-7=\underline{\quad}$（千米），最后满载前进 $\underline{\quad}$ 千米。
  4. 第 4 步（汽车总路程）：$25+18+25=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（汽车总时间）：$25\div 25+18\div 45+25\div 25=\underline{\quad}$（小时），与两队用时一致。
23. 【原题 ch14-xingqu-01】姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去博物馆，而他们回家则要从公园门口沿马路向西行。他们商量是先回家取车，再骑到博物馆，还是直接从公园门口走到博物馆。粗略算了一下：如果从公园到博物馆距离超过 $2$ 千米，则回家取车比较省时间；如果公园和博物馆的距离不足 $2$ 千米，那么直接走过去省时间。已知骑车与步行的速度比为 $4:1$，那么公园门口到他们家的距离是多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「行程中的临界条件」问题：题目给出“超过 $2$ 千米回家取车省时、不足 $2$ 千米直接走省时”，说明恰好 $2$ 千米时两种走法用时相等，这个“恰好相等”就是临界条件。
关键切入点：关键在于把“比较快慢”翻译成“临界时用时相等”。设家距公园 $x$ 千米，取步行速度为 $1$ 份，则骑车速度为 $4$ 份。回家取车的路线是：先步行 $x$ 千米回家，再骑车 $x+2$ 千米到博物馆；直接走的路线是步行 $2$ 千米。两者用时相等即可列出方程。
方法概述：设未知数，按“临界时两方案用时相等”列方程求解。
规范步骤：
  1. 设家与公园相距 $x$ 千米，步行速度记为 $1$，骑车速度为 $4$：$v_{步}=1,\ v_{骑}=4$（速度比 $4:1$）
  2. 列临界方程：取车方案用时 = 步行方案用时：$\dfrac{x}{1}+\dfrac{x+2}{4}=\dfrac{2}{1}$（临界条件）
  3. 两边同乘 $4$ 去分母：$4x+(x+2)=8$（去分母）
  4. 合并同类项：$5x=6$（移项合并）
  5. 解得：$x=\dfrac{6}{5}=1.2$（解方程）
第一套
题目：姐弟俩在公园门口，去博物馆要向东走，回家要向西走。他们发现：如果公园到博物馆超过 $3$ 千米，则先回家取车再骑过去省时间；若不足 $3$ 千米，则直接走过去省时间。已知骑车与步行的速度比为 $5:1$，那么公园门口到他们家的距离是多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓临界）：恰好 $3$ 千米时两种走法用时相等。设家距公园 $x$ 千米，步行速度记作 $1$，则骑车速度是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列方程）：取车方案先步行 $x$、再骑 $x+3$，用时 $\dfrac{x}{1}+\dfrac{x+3}{5}$；直接走用时 $\dfrac{3}{1}=\underline{\quad}$。两者相等。
  3. 第 3 步（去分母）：两边同乘 $5$，得 $5x+(x+3)=15$，左边 $x$ 的系数是 $5+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（移项）：常数搬到右边，$\underline{\quad}x=15-3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求解）：$x=\underline{\quad}$（千米）。
第二套
题目：快递员在中转站，送件要向东走，取电动车要向西回站点。他算过：若中转站到收件人处超过 $3$ 千米，则先回站点取车再骑过去省时间；若不足 $3$ 千米，直接走过去省时间。已知骑电动车与步行速度比为 $5:1$，那么中转站到站点的距离是多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓临界）：恰好 $3$ 千米时两方案用时相等。设中转站到站点 $x$ 千米，步行速度记作 $1$，骑车速度是 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列方程）：取车方案用时 $\dfrac{x}{1}+\dfrac{x+3}{5}$，直接走用时 $\underline{\quad}$，两者相等。
  3. 第 3 步（去分母）：同乘 $5$ 得 $5x+x+3=15$，即 $\underline{\quad}x=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求解）：$x=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：小明家在公园以西 $3$ 千米处。他从公园门口向东去图书馆，骑车与步行速度比为 $7:1$。若公园到图书馆的距离超过某个值，先回家取车再骑过去更省时间。这个临界距离是多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（抓临界）：设临界距离为 $d$ 千米，此时两方案用时相等。步行速度记作 $1$，骑车速度为 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（列方程）：取车方案 $\dfrac{3}{1}+\dfrac{3+d}{7}$，直接走 $\dfrac{d}{1}$，两者相等。
  3. 第 3 步（去分母）：同乘 $7$ 得 $\underline{\quad}+3+d=7d$，其中 $3\times 7=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（移项合并）：$(7-1)d=\underline{\quad}$，即 $\underline{\quad}d=24$。
  5. 第 5 步（求解）：$d=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：姐弟俩在公园门口，回家向西、去博物馆向东。若公园到博物馆超过 $3$ 千米则回家取车省时，不足则直接走省时。骑车与步行速度比为 $5:1$，步行速度是 $5$ 千米/时。（1）公园到他们家多少千米？（2）在临界情形下，两种走法各用多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求家距）：设家距公园 $x$ 千米，临界时用时相等，$\dfrac{x}{1}+\dfrac{x+3}{5}=3$，去分母得 $6x=\underline{\quad}$，故 $x=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（求骑车速度）：步行 $5$ 千米/时，速度比 $5:1$，骑车速度为 $5\times 5=\underline{\quad}$（千米/时）。
  3. 第 3 步（直接走的时间）：走 $3$ 千米，用 $\dfrac{3}{5}$ 小时 $=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（取车方案分两段）：步行 $2$ 千米用 $\dfrac{2}{5}$ 小时 $=\underline{\quad}$（分钟）；骑车 $2+3=5$ 千米用 $\dfrac{5}{25}$ 小时 $=\underline{\quad}$（分钟）。
  5. 第 5 步（合计）：取车方案共 $24+12=\underline{\quad}$（分钟），与直接走用时相同，验证临界成立。
24. 【原题 ch14-xingqu-02】萱萱去姥姥家，途中要经过上坡、平路和下坡各一段，路程比为 $1:2:1$。已知萱萱在三种路段上行走的速度比为 $3:4:6$，且在平路上行走的时间是 $25$ 分钟。那么萱萱去姥姥家路上一共花了多长时间？
详细思路
是哪类问题：这是「路程比、速度比推时间比」的正反比问题：三段路程比已知、三段速度比已知，时间 $=$ 路程 $\div$ 速度，所以时间比等于路程比与速度比对应相除。
关键切入点：关键在于时间比 $=\dfrac{\text{路程}}{\text{速度}}$ 逐段相除：$\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{4}:\dfrac{1}{6}$，同乘 $12$ 化成整数比 $4:6:2=2:3:1$。已知平路时间是 $25$ 分钟且平路占 $3$ 份，就能求出每份时间，再乘总份数。
方法概述：路程比除以速度比得时间比，再用已知的一段时间求每份，最后按总份数求总时间。
规范步骤：
  1. 逐段用“路程$\div$速度”写出时间比：$\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{4}:\dfrac{1}{6}$（时间=路程÷速度）
  2. 同乘 $12$ 化整：$4:6:2=2:3:1$（比的基本性质）
  3. 平路占 $3$ 份且为 $25$ 分钟，求每份：$25\div 3=\dfrac{25}{3}$（分钟）（按份数求单位量）
  4. 总份数 $2+3+1=6$，求总时间：$6\times\dfrac{25}{3}=50$（分钟）（按份数求总量）
第一套
题目：萱萱去姥姥家，途中经过上坡、平路、下坡各一段，路程比为 $2:3:2$，三种路段上的速度比为 $3:5:6$。已知她在平路上走了 $45$ 分钟，那么全程一共花了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（时间比怎么来）：时间 $=$ 路程 $\div$ 速度，逐段相除得时间比 $\dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{6}$。
  2. 第 2 步（化整数比）：三项同乘 $15$，依次得 $\dfrac{2}{3}\times15=\underline{\quad}$、$\dfrac{3}{5}\times15=\underline{\quad}$、$\dfrac{2}{6}\times15=\underline{\quad}$，即时间比为 $10:9:5$。
  3. 第 3 步（求每份）：平路占 $9$ 份，对应 $45$ 分钟，故每份 $45\div 9=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（求总时间）：总份数 $10+9+5=\underline{\quad}$ 份，总时间 $=\underline{\quad}$（分钟）。
第二套
题目：一艘游船依次经过逆流、静水、顺流三段航道，三段航程比为 $2:3:2$，船在三段上的速度比为 $3:5:6$。已知它在静水段航行了 $45$ 分钟，那么全程航行了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：时间 $=$ 路程 $\div$ 速度，时间比为 $\dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{6}$。
  2. 第 2 步（化整数比）：同乘 $15$ 得 $\underline{\quad}:\underline{\quad}:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求每份）：静水段占 $9$ 份 $=45$ 分钟，每份 $=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（求总时间）：共 $\underline{\quad}$ 份，总时间 $=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：一段路依次是上坡、平路、下坡，路程比为 $1:3:2$，行走速度比为 $2:5:4$。已知上坡走了 $40$ 分钟，全程一共走了多少分钟？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（时间比）：逐段“路程$\div$速度”得 $\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{4}$。
  2. 第 2 步（化整）：同乘 $10$，依次得 $\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$、$\underline{\quad}$，时间比为 $5:6:5$。
  3. 第 3 步（求每份）：上坡占 $5$ 份 $=40$ 分钟，每份 $=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（求总时间）：共 $5+6+5=\underline{\quad}$ 份，总时间 $=\underline{\quad}$（分钟）。
第三套
题目：萱萱去姥姥家经过上坡、平路、下坡三段，路程比为 $2:3:2$，速度比为 $3:5:6$，平路走了 $45$ 分钟，平路长 $9$ 千米。（1）全程用多少分钟？（2）全程多少千米？（3）全程平均速度是多少千米/时？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（时间比）：$\dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{6}$ 同乘 $15$ 得 $10:9:5$，每份 $45\div 9=\underline{\quad}$（分钟），总时间 $=\underline{\quad}$（分钟）。
  2. 第 2 步（路程每份）：路程比 $2:3:2$ 中平路占 $3$ 份 $=9$ 千米，每份 $9\div 3=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（全程路程）：共 $2+3+2=\underline{\quad}$ 份，全程 $=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（平均速度）：总时间化为小时 $120\div 60=\underline{\quad}$（小时），平均速度 $=21\div 2=\underline{\quad}$（千米/时）。
25. 【原题 ch14-xingqu-03】一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地出发相向而行。如果两车都在 $6{:}00$ 出发，那么会在 $11{:}00$ 相遇；如果客车和货车分别于 $7{:}00$ 和 $8{:}00$ 出发，那么会在 $12{:}40$ 相遇。现在客车和货车分别于 $10{:}00$ 和 $8{:}00$ 出发，它们将在什么时候相遇？
详细思路
是哪类问题：这是「出发时间不同的相遇」问题：用两次不同出发安排下的相遇情况作比较，先求出两车速度比，再用份数表示全程，最后算新安排下的相遇时刻。
关键切入点：关键在于比较两次过程：第一次两车各行 $5$ 小时相遇；第二次客车行 $5$ 小时 $40$ 分、货车行 $4$ 小时 $40$ 分也相遇。两次的路程和相同，所以客车多行 $40$ 分的路程恰好等于货车少行 $20$ 分的路程，于是 $40v_{客}=20v_{货}$，即 $v_{客}:v_{货}=1:2$。
方法概述：两次相遇作差求速度比，再用份数表示全程，按“剩余路程$\div$速度和”求相遇时间。
规范步骤：
  1. 第一次：都 $6{:}00$ 出发、$11{:}00$ 相遇，各行 $5$ 小时：$5v_{客}+5v_{货}=S$（相遇：路程和等于全程）
  2. 第二次：客车行 $5$ 时 $40$ 分、货车行 $4$ 时 $40$ 分：$\tfrac{17}{3}v_{客}+\tfrac{14}{3}v_{货}=S$（相遇路程和不变）
  3. 两式相减：客车多行 $40$ 分 $=$ 货车少行 $20$ 分：$\tfrac{2}{3}v_{客}=\tfrac{1}{3}v_{货}\Rightarrow v_{客}:v_{货}=1:2$（路程和相等作差）
  4. 设速度为 $1$ 份、$2$ 份，求全程份数：$S=(1+2)\times 5=15$（份）（份数法）
  5. 货车 $8{:}00$ 先行 $2$ 小时：$2\times 2=4$（份）（先行路程）
  6. $10{:}00$ 时剩余路程与相遇时间：$(15-4)\div(1+2)=\dfrac{11}{3}$（小时）$=3$ 时 $40$ 分（剩余路程÷速度和）
  7. 求相遇时刻：$10{:}00+3{:}40=13{:}40$（时刻推算）
第一套
题目：一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地相向出发。若两车都在 $6{:}00$ 出发，则 $12{:}00$ 相遇；若客车、货车分别于 $7{:}00$ 和 $9{:}00$ 出发，则 $13{:}20$ 相遇。现在客车、货车分别于 $11{:}00$ 和 $9{:}00$ 出发，它们将在什么时候相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次过程）：都 $6{:}00$ 出发、$12{:}00$ 相遇，各行 $12-6=\underline{\quad}$（小时）。
  2. 第 2 步（第二次过程）：客车从 $7{:}00$ 行到 $13{:}20$，共 $\underline{\quad}$ 分钟；货车从 $9{:}00$ 行到 $13{:}20$，共 $\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步（作差）：两次路程和都是全程，客车多行 $380-360=\underline{\quad}$ 分钟的路，恰好等于货车少行 $360-260=\underline{\quad}$ 分钟的路。
  4. 第 4 步（速度比）：$20v_{客}=100v_{货}$，所以 $v_{客}:v_{货}=100:20=\underline{\quad}:1$。
  5. 第 5 步（全程份数）：设货车 $1$ 份、客车 $5$ 份，全程 $=(5+1)\times 6=\underline{\quad}$（份）。
  6. 第 6 步（先行部分）：货车 $9{:}00$ 出发，到 $11{:}00$ 已行 $1\times 2=\underline{\quad}$（份）。
  7. 第 7 步（还需多久）：剩 $36-2=\underline{\quad}$ 份，还需 $34\div(5+1)$ 小时 $=\underline{\quad}$（分钟），即 $5$ 时 $40$ 分。
  8. 第 8 步（相遇时刻）：$11{:}00$ 再过 $5$ 时 $40$ 分，即 $16{:}40$ 相遇。
第二套
题目：两艘轮船分别从上游 $A$ 港和下游 $B$ 港相向开出。若都在 $6{:}00$ 起航，则 $12{:}00$ 相遇；若 $A$ 港、$B$ 港的船分别于 $7{:}00$ 和 $9{:}00$ 起航，则 $13{:}20$ 相遇。现在两船分别于 $11{:}00$ 和 $9{:}00$ 起航，它们将在什么时候相遇？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第一次两船各行 $12-6=\underline{\quad}$（小时）。
  2. 第 2 步：第二次 $A$ 船行 $\underline{\quad}$ 分钟，$B$ 船行 $\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步（作差求速度比）：$A$ 船多行 $\underline{\quad}$ 分钟的路等于 $B$ 船少行 $\underline{\quad}$ 分钟的路，故 $v_A:v_B=\underline{\quad}:1$。
  4. 第 4 步（份数）：全程 $=(5+1)\times 6=\underline{\quad}$ 份；$B$ 船先行 $2$ 小时为 $\underline{\quad}$ 份。
  5. 第 5 步：剩 $\underline{\quad}$ 份，还需 $\underline{\quad}$ 分钟，故 $16{:}40$ 相遇。
第三套
题目：客车、货车分别从甲、乙两地相向出发。若都在 $6{:}00$ 出发，则 $11{:}00$ 相遇；若分别于 $7{:}00$ 和 $8{:}00$ 出发，则 $12{:}40$ 相遇。若两车都在 $9{:}00$ 出发，它们几点相遇？相遇点距甲地是全程的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度比）：客车多行 $40$ 分的路等于货车少行 $20$ 分的路，$40v_{客}=20v_{货}$，得 $v_{客}:v_{货}=1:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（全程份数）：设客车 $1$ 份、货车 $2$ 份，全程 $=(1+2)\times 5=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（同时出发的相遇时间）：$15\div(1+2)=\underline{\quad}$（小时），故 $9{:}00$ 出发在 $14{:}00$ 相遇。
  4. 第 4 步（相遇点位置）：客车占路程和的 $\dfrac{1}{1+2}=\underline{\quad}$，即相遇点距甲地是全程的 $\dfrac{1}{3}$。
第三套
题目：客车、货车分别从甲、乙两地相向出发。若都在 $6{:}00$ 出发则 $11{:}00$ 相遇；若分别于 $7{:}00$、$8{:}00$ 出发则 $12{:}40$ 相遇。已知客车速度为 $60$ 千米/时。现在客车 $10{:}00$、货车 $8{:}00$ 出发：（1）几点相遇？（2）甲、乙两地相距多少千米？（3）相遇点距甲地多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度比）：$40v_{客}=20v_{货}$，得 $v_{客}:v_{货}=1:\underline{\quad}$，故 $1$ 份就是客车速度 $60$ 千米/时。
  2. 第 2 步（全程份数与实际长度）：全程 $=(1+2)\times 5=\underline{\quad}$（份），即 $15\times 60=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（货车先行）：货车 $8{:}00$ 出发，到 $10{:}00$ 行了 $2\times 2=\underline{\quad}$ 份。
  4. 第 4 步（还需多久）：剩 $15-4=\underline{\quad}$ 份，需 $11\div 3$ 小时 $=\underline{\quad}$（分钟），即 $3$ 时 $40$ 分，故 $13{:}40$ 相遇。
  5. 第 5 步（相遇点）：客车从 $10{:}00$ 行了 $220$ 分钟，路程 $=60\times\dfrac{220}{60}=\underline{\quad}$（千米）。
26. 【原题 ch14-xingqu-04】两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 $1200$ 米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发 $10$ 分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发 $100$ 分钟后，两人与十字路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？
详细思路
是哪类问题：这是「速度和与速度差的和差问题」：两人沿垂直方向行走，但比较的都是“与路口的距离”，因此可以把乙也看成沿同一条直线走，问题化为一维的相遇与追及。
关键切入点：把乙等效地看作从路口出发同向北行：出发 $10$ 分钟两人与路口距离相等，说明这 $10$ 分钟里甲走的加乙走的正好是 $1200$ 米（相遇型，路程和）；出发 $100$ 分钟再次相等，说明此时甲已追上乙，甲比乙多走 $1200$ 米（追及型，路程差）。由和与差即可求出两人速度。
方法概述：把二维化为一维，用路程和求速度和、用路程差求速度差，再解和差问题。
规范步骤：
  1. $10$ 分钟两人合走 $1200$ 米，求速度和：$1200\div 10=120$（米/分）（相遇：路程和）
  2. $100$ 分钟甲比乙多走 $1200$ 米，求速度差：$1200\div 100=12$（米/分）（追及：路程差）
  3. 和差问题求甲速：$(120+12)\div 2=66$（米/分）（和差公式）
  4. 求乙速：$66-12=54$（米/分）（差）
  5. 求此时乙与路口的距离：$54\times 100=5400$（米）（路程=速度×时间）
第一套
题目：两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 $1800$ 米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。两人同时出发 $10$ 分钟后与路口的距离相等；出发 $150$ 分钟后与路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化一维）：只比较“与路口的距离”，可把乙看成也从路口向北走。
  2. 第 2 步（第一次相等 = 相遇）：$10$ 分钟内两人合走 $1800$ 米，速度和 $=1800\div 10=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步（第二次相等 = 追上）：$150$ 分钟内甲比乙多走 $1800$ 米，速度差 $=1800\div 150=\underline{\quad}$（米/分）。
  4. 第 4 步（和差问题）：甲速 $=(180+12)\div 2=\underline{\quad}$（米/分），乙速 $=96-12=\underline{\quad}$（米/分）。
  5. 第 5 步（求距离）：此时距路口 $=84\times 150=\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：公园里两条小路成十字交叉。小敏从路口以南 $1800$ 米处向北慢跑，小强从路口处向东慢跑。两人同时出发 $10$ 分钟后与路口的距离相等；出发 $150$ 分钟后与路口的距离再次相等。此时他们距路口多少米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化一维）：只看与路口的距离，可把小强看成也从路口向北跑。
  2. 第 2 步：$10$ 分钟合走 $1800$ 米，速度和 $=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步：$150$ 分钟小敏比小强多走 $1800$ 米，速度差 $=\underline{\quad}$（米/分）。
  4. 第 4 步：小敏速度 $=\underline{\quad}$，小强速度 $=\underline{\quad}$（米/分）。
  5. 第 5 步：此时距路口 $=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：两条公路成十字交叉，甲从路口南 $2400$ 米处向北直行，乙从路口处向东直行。同时出发 $15$ 分钟后两人与路口距离相等；出发 $120$ 分钟后再次相等。求甲、乙两人的速度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相遇型）：$15$ 分钟合走 $2400$ 米，速度和 $=2400\div 15=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（追及型）：$120$ 分钟甲比乙多走 $2400$ 米，速度差 $=2400\div 120=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步（和差公式）：甲速 $=(160+20)\div 2=\underline{\quad}$（米/分）。
  4. 第 4 步：乙速 $=160-90=\underline{\quad}$（米/分）。
第三套
题目：两条公路成十字交叉，甲从路口南 $1800$ 米处向北直行，乙从路口处向东直行。同时出发 $10$ 分钟后两人与路口距离相等；出发 $150$ 分钟后再次相等。（1）两人速度各是多少？（2）甲出发多少分钟经过路口？（3）出发多少分钟后甲比乙多走 $900$ 米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：速度和 $=1800\div 10=\underline{\quad}$（米/分），速度差 $=1800\div 150=\underline{\quad}$（米/分）。
  2. 第 2 步（和差）：甲速 $=\underline{\quad}$（米/分），乙速 $=\underline{\quad}$（米/分）。
  3. 第 3 步（过路口）：甲要走完 $1800$ 米才到路口，用时 $1800\div 96=\underline{\quad}$（分钟）。
  4. 第 4 步（路程差）：甲每分钟比乙多走 $12$ 米，多走 $900$ 米需 $900\div 12=\underline{\quad}$（分钟）。
27. 【原题 ch14-xingqu-05】$A$、$B$、$C$、$O$ 四个小镇之间的道路分布如图 $14\text{-}1$ 所示，其中 $A$、$O$ 两镇相距 $20$ 千米，$B$、$O$ 两镇相距 $30$ 千米。某天甲、乙两人同时从 $B$ 镇出发，甲到达 $O$ 镇后再向 $A$ 镇走，到达 $A$ 镇后又立刻返回，而乙到达 $O$ 镇后直接向 $C$ 行进。丙从 $C$ 镇与甲、乙两人同时出发，在距离 $O$ 镇 $15$ 千米处与乙相遇。当丙到达 $O$ 镇后又向 $A$ 镇前行，在与 $O$ 镇相距 $6$ 千米的地方与甲相遇。已知甲、乙的速度比为 $8:9$，求 $O$、$C$ 两镇之间的距离。
详细思路
是哪类问题：这是「带路线图的多人行程」问题：$A$、$B$、$C$、$O$ 四镇的道路呈交叉形，三人从不同点出发，靠“同一段时间内各人路程之比等于速度之比”把未知路段一步步算出来。
关键切入点：关键在于分两段时间用速度比换算路程：从出发到乙、丙相遇，乙走 $30+15=45$ 千米，由 $v_{甲}:v_{乙}=8:9$ 得甲走 $45\times\dfrac{8}{9}=40$ 千米；从乙丙相遇到甲丙相遇，丙走 $15+6=21$ 千米、甲走 $10+14=24$ 千米，于是 $v_{甲}:v_{丙}=24:21=8:7$。三人速度连比为 $8:9:7$ 后，就能求出乙丙相遇时丙走的路程，进而得 $BC$ 与 $OC$。
方法概述：同一时间段内路程比等于速度比，先补全三人速度连比，再用“相遇时两人路程和等于全程”求 $BC$。
规范步骤：
  1. 乙到与丙相遇处共走：$BO+15=30+15=45$（千米）（路程累加）
  2. 同段时间甲走的路程：$45\times\dfrac{8}{9}=40$（千米）（路程比=速度比）
  3. 第二段时间丙走：$15+6=21$（千米）（路线累加）
  4. 同段时间甲走：$10+(20-6)=24$（千米）（甲折返路线）
  5. 得甲丙速度比：$v_{甲}:v_{丙}=24:21=8:7$（路程比=速度比）
  6. 乙丙相遇时丙走的路程：$40\times\dfrac{7}{8}=35$（千米）（速度连比 $8:9:7$）
  7. 乙丙相遇时两人合走全程 $BC$：$BC=45+35=80$（千米）（相遇：路程和）
  8. 求 $OC$：$OC=80-30=50$（千米）（线段相减）
28. 【原题 ch14-xingqu-06】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的 $2$ 倍。甲到山顶时，乙距山顶还有 $400$ 米；当甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。
详细思路
是哪类问题：这是「上下山变速」的等效路程问题：下山速度是上山速度的 $2$ 倍，意味着走同样长的一段路，下山所用时间只有上山的 $\dfrac{1}{2}$。于是可以把“下山 $1$ 个全程”折算成“上山 $\dfrac{1}{2}$ 个全程”，把整段行程统一成上坡路程来比较。
关键切入点：关键在于取“从出发到甲回到山脚”这段相同时间：甲走了上山 $1$ 全程 $+$ 下山 $1$ 全程，等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$；乙走了上山 $1$ 全程 $+$ 下山 $\dfrac{1}{2}$ 全程，等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}$。时间相同则路程比等于速度比，得上山速度比 $\dfrac{3}{2}:\dfrac{5}{4}=6:5$。
方法概述：把下山路程按速度倍数折算成等效上坡路程，由时间相同得速度比，再用“甲到顶时乙差 $400$ 米”定出全程。
规范步骤：
  1. 折算：下山 $1$ 全程 $=$ 等效上坡 $\dfrac{1}{2}$ 全程：$1\div 2=\dfrac{1}{2}$（同路程时间与速度成反比）
  2. 甲在“出发到回到山脚”内等效上坡：$1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$（全程）（等效路程）
  3. 乙在同样时间内等效上坡：$1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}$（全程）（乙只下到半山腰）
  4. 时间相同，路程比即速度比：$v_{甲}:v_{乙}=\dfrac{3}{2}:\dfrac{5}{4}=6:5$（同时间路程比=速度比）
  5. 甲到顶时乙走 $\dfrac{5}{6}$ 全程，差 $\dfrac{1}{6}$ 全程 $=400$ 米：$400\div(6-5)\times 6=2400$（米）（按份数求总量）
第一套
题目：甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，两人下山速度都是各自上山速度的 $3$ 倍。甲到山顶时，乙距山顶还有 $600$ 米；当甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折算）：下山速度是上山的 $3$ 倍，所以下山 $1$ 个全程等效于上坡 $1\div 3=\underline{\quad}$ 个全程。
  2. 第 2 步（甲的等效路程）：从出发到甲回到山脚，甲上 $1$ 全程、下 $1$ 全程，等效上坡 $1+\dfrac{1}{3}=\underline{\quad}$（全程）。
  3. 第 3 步（乙的等效路程）：同样时间内乙上 $1$ 全程、下 $\dfrac{1}{2}$ 全程，等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\underline{\quad}$（全程）。
  4. 第 4 步（上山速度比）：时间相同，$v_{甲}:v_{乙}=\dfrac{4}{3}:\dfrac{7}{6}$，两项同乘 $6$ 得 $\underline{\quad}:\underline{\quad}$，即 $8:7$。
  5. 第 5 步（求全程）：甲到顶时乙走了 $\dfrac{7}{8}$ 全程，相差 $8-7=\underline{\quad}$ 份就是 $600$ 米，全程 $=600\div 1\times 8=\underline{\quad}$（米）。
第二套
题目：两名快递员同时从楼底爬楼梯送件到顶层，送到后立即下楼，两人下楼速度都是各自上楼速度的 $3$ 倍。甲到顶层时，乙距顶层还有 $600$ 级台阶；当甲回到楼底时，乙刚好下到楼梯的一半处。求楼底到顶层共有多少级台阶。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折算）：下楼 $1$ 个全程等效于上楼 $\underline{\quad}$ 个全程。
  2. 第 2 步：甲在“出发到回到楼底”内等效上楼 $\underline{\quad}$（全程）。
  3. 第 3 步：同样时间内乙等效上楼 $\underline{\quad}$（全程）。
  4. 第 4 步：上楼速度比 $\dfrac{4}{3}:\dfrac{7}{6}$ 同乘 $6$ 得 $\underline{\quad}:\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：相差 $\underline{\quad}$ 份 $=600$ 级，全程 $=\underline{\quad}$（级）。
第三套
题目：甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到山顶后立即下山，下山速度都是各自上山速度的 $2$ 倍。当甲回到山脚时，乙刚好到达山顶；已知甲到山顶时乙距山顶还有 $800$ 米。求从山脚到山顶的距离。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（折算）：下山 $1$ 全程等效上坡 $1\div 2=\underline{\quad}$ 个全程。
  2. 第 2 步（甲）：从出发到甲回到山脚，甲等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}=\underline{\quad}$（全程）。
  3. 第 3 步（乙）：同样时间内乙刚好爬到山顶，等效上坡 $\underline{\quad}$ 个全程。
  4. 第 4 步（速度比）：$v_{甲}:v_{乙}=\dfrac{3}{2}:1$，同乘 $2$ 得 $\underline{\quad}:\underline{\quad}$，即 $3:2$。
  5. 第 5 步（求全程）：甲到顶时乙走 $\dfrac{2}{3}$ 全程，差 $3-2=\underline{\quad}$ 份 $=800$ 米，全程 $=800\div 1\times 3=\underline{\quad}$（米）。
第三套
题目：甲、乙同时从山脚爬山，到顶后立即下山，下山速度都是各自上山速度的 $3$ 倍。甲到山顶时乙距山顶 $600$ 米；甲回到山脚时乙刚好下到半山腰。（1）山脚到山顶多少米？（2）此时乙距山脚多少米？（3）两人各自往返一个来回，乙用的总时间是甲的多少倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度比）：甲等效上坡 $1+\dfrac{1}{3}=\underline{\quad}$、乙等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\underline{\quad}$，同乘 $6$ 得速度比 $8:7$。
  2. 第 2 步（全程）：差 $8-7=\underline{\quad}$ 份 $=600$ 米，全程 $=\underline{\quad}$（米）。
  3. 第 3 步（乙的位置）：甲回到山脚时乙在半山腰，距山脚 $4800\div 2=\underline{\quad}$（米）。
  4. 第 4 步（往返总时间）：往返一个来回等效上坡 $1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$ 个全程，时间与速度成反比，乙与甲的总时间比 $=8\div 7=\underline{\quad}$。
29. 【原题 ch14-xingqu-07】自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒向上移动 $1$ 级台阶。卡莉娅沿扶梯向上行走，每秒走两级台阶。已知自动扶梯的可见部分共 $120$ 级，卡莉娅沿扶梯向上走，从底部走到顶部的过程中，她共走了多少级台阶？
详细思路
是哪类问题：这是「扶梯行程」问题：人自己迈的台阶数与同一时间里扶梯送上来的台阶数之和，恰好是扶梯可见部分的总级数。
关键切入点：关键在于统一时间单位后求速度比：扶梯每 $2$ 秒 $1$ 级，即 $0.5$ 级/秒；卡莉娅每秒 $2$ 级。两者速度比 $2:0.5=4:1$。同一段时间内走过的级数与速度成正比，所以可见的 $120$ 级按 $4:1$ 分给人和扶梯。
方法概述：把两者速度化成同一单位求比，再按比例分配可见级数。
规范步骤：
  1. 扶梯速度化为“级/秒”：$1\div 2=0.5$（级/秒）（单位统一）
  2. 人的速度：$2$（级/秒）（已知）
  3. 速度比：$2:0.5=4:1$（同时间路程比=速度比）
  4. 两者共走完可见部分 $120$ 级，按 $4:1$ 分配：$120\div(4+1)\times 4=96$（级）（按比例分配）
第一套
题目：自动扶梯由下向上匀速运动，每 $3$ 秒向上移动 $2$ 级台阶。卡莉娅沿扶梯向上行走，每秒走 $3$ 级台阶。已知扶梯可见部分共 $165$ 级，那么她从底部走到顶部一共走了多少级台阶？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位）：扶梯速度 $=2\div 3=\underline{\quad}$（级/秒），卡莉娅速度 $=3$ 级/秒。
  2. 第 2 步（求速度比）：$3:\dfrac{2}{3}$，两项同乘 $3$ 得 $\underline{\quad}:\underline{\quad}$，即 $9:2$。
  3. 第 3 步（谁走了多少）：同一段时间内两者走的级数之和就是可见部分 $165$ 级，总份数 $9+2=\underline{\quad}$ 份。
  4. 第 4 步（按比例分配）：每份 $165\div 11=\underline{\quad}$（级），卡莉娅走 $15\times 9=\underline{\quad}$（级）。
第二套
题目：机场的自动步道由后向前匀速移动，每 $3$ 秒前进 $2$ 块地砖。旅客小林在步道上向前行走，每秒走过 $3$ 块地砖。已知步道全长共 $165$ 块地砖，那么他从起点走到终点自己走过了多少块地砖？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（统一单位）：步道速度 $=\underline{\quad}$（块/秒），小林速度 $=3$ 块/秒。
  2. 第 2 步（速度比）：同乘 $3$ 得 $\underline{\quad}:\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（总份数）：$\underline{\quad}$ 份对应 $165$ 块。
  4. 第 4 步（分配）：每份 $\underline{\quad}$ 块，小林走 $\underline{\quad}$（块）。
第三套
题目：自动扶梯由下向上匀速运动，每 $3$ 秒向上移动 $2$ 级。卡莉娅每秒走 $3$ 级，从底部走到顶部她自己走了 $135$ 级。扶梯可见部分共有多少级？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求时间）：她每秒 $3$ 级，走 $135$ 级用 $135\div 3=\underline{\quad}$（秒）。
  2. 第 2 步（扶梯送了多少）：扶梯 $\dfrac{2}{3}$ 级/秒，$45$ 秒送上 $45\times\dfrac{2}{3}=\underline{\quad}$（级）。
  3. 第 3 步（合计）：可见部分 $=135+30=\underline{\quad}$（级）。
第三套
题目：自动扶梯由下向上匀速运动，每 $3$ 秒向上移动 $2$ 级。卡莉娅每秒走 $3$ 级，可见部分共 $165$ 级。（1）她走到顶部自己走了多少级？（2）用了多少秒？（3）若她站着不动乘扶梯，从底到顶需要多少秒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（速度比）：扶梯 $\dfrac{2}{3}$ 级/秒、人 $3$ 级/秒，比为 $9:\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（分配）：总份数 $9+2=\underline{\quad}$，每份 $165\div 11=\underline{\quad}$（级），她走 $\underline{\quad}$（级）。
  3. 第 3 步（用时）：走 $135$ 级、每秒 $3$ 级，用 $135\div 3=\underline{\quad}$（秒）。
  4. 第 4 步（站着不动）：只靠扶梯走完 $165$ 级，需 $165\div\dfrac{2}{3}=\underline{\quad}$（秒）。
30. 【原题 ch14-xingqu-08】从甲市到乙市有一条公路，它分成三段：在第一段上，汽车速度是每小时 $40$ 千米；在第二段上，汽车速度是每小时 $90$ 千米；在第三段上，汽车速度是每小时 $50$ 千米。已知第一段公路的长恰好是第三段的 $2$ 倍。现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，$1$ 小时 $20$ 分钟后，在第二段公路上从甲到乙方向的 $\dfrac{1}{3}$ 处相遇。请问：甲、乙两市相距多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「分段变速的相遇」问题：公路分三段、各段速度不同，两车相向而行，要用“各段所需时间的份数”把相遇位置钉住，再折算成路程。
关键切入点：关键在于把各段行驶时间用份数表示：设第三段长 $1$ 份路程，则第一段长 $2$ 份。第一段 $\dfrac{2}{40}$、第三段 $\dfrac{1}{50}$，化成时间份数比 $5:2$。两车共行 $1$ 小时 $20$ 分 $=80$ 分钟：从甲出发的车用 $5$ 份时间走完第一段、再用 $3$ 份时间在第二段上走到 $\dfrac{1}{3}$ 处，共 $8$ 份 $=80$ 分钟，故 $1$ 份 $=10$ 分钟。
方法概述：用时间份数定位相遇点，再按“路程 $=$ 速度 $\times$ 时间”把三段长度加起来。
规范步骤：
  1. 设第三段 $DB$ 长 $1$ 份、第一段 $AC$ 长 $2$ 份，写第一、三段的行驶时间之比：$\dfrac{2}{40}:\dfrac{1}{50}=\dfrac{1}{20}:\dfrac{1}{50}=5:2$（时间份）（时间=路程÷速度）
  2. 相遇点 $E$ 在第二段从甲($C$)到乙($D$)方向的 $\dfrac{1}{3}$ 处，故 $CE:ED=1:2$；第二段两端同速 $90$，时间比也是 $1:2$：设 $CE$ 用 $a$ 份、$ED$ 用 $2a$ 份（同速下时间比=路程比）
  3. 两车同时出发、同时相遇，行驶时间相等：甲车走 $AC+CE$、乙车走 $DB+ED$：$5+a=2+2a\Rightarrow a=3$（行驶时间相同）
  4. 甲车共 $5+3=8$ 份时间 $=1$ 时 $20$ 分 $=80$ 分钟，求每份：$80\div 8=10$（分钟）$=\dfrac{1}{6}$（小时）（单位量）
  5. 第一段 $AC$ 长（$5$ 份时间 $\times 40$）：$\dfrac{5}{6}\times 40=\dfrac{100}{3}$（千米）（路程=速度×时间）
  6. 第二段 $CD$ 长（$CE$ 用 $3$ 份 $+ED$ 用 $6$ 份，共 $9$ 份 $\times 90$）：$\dfrac{3}{6}\times 90+\dfrac{6}{6}\times 90=135$（千米）（第二段同速 $90$）
  7. 第三段 $DB$ 长（$2$ 份时间 $\times 50$）：$\dfrac{2}{6}\times 50=\dfrac{50}{3}$（千米）（路程=速度×时间）
  8. 三段相加：$\dfrac{100}{3}+135+\dfrac{50}{3}=185$（千米）（求和）
31. 【原题 ch14-xingqu-09】一支轻骑摩托小分队奉命把一份重要文件送到距驻地很远的指挥部。每辆摩托车装满油最多能行 $150$ 千米，且途中无法补给加油。由于一辆摩托车无法完成任务，队长决定派两辆摩托车执行任务，由一辆摩托车负责把文件送到指挥部，另一辆则在中途供给油料后安全返回驻地。请问：指挥部距小分队驻地最远可能是多少千米？
详细思路
是哪类问题：这是「接力供油」的最优化问题：两辆车同时出发，中途一辆把多余的油转给另一辆后返回，要让送文件的那辆车走得最远。
关键切入点：关键在于算清“转油点”的位置。设在距驻地 $x$ 千米处转油：返回的那辆车往返共耗油 $2x$，最多能转出 $150-2x$；接受的那辆车此时已耗油 $x$，油箱最多只能补进 $x$。要不浪费一滴油，应有 $150-2x=x$，即 $x=50$ 千米。此时第一辆油箱加满，还能再走 $150$ 千米。
方法概述：设转油点，令“转出的油恰好等于能补进的油”解出转油点，再加满油续航。
规范步骤：
  1. 设转油点距驻地 $x$ 千米，返回车往返耗油：$2x$（往返路程）
  2. 返回车能转出的油：$150-2x$（总油量减往返耗油）
  3. 第一辆已耗油 $x$，最多能补进：$x$（油箱容量限制）
  4. 不浪费则两者相等：$150-2x=x\Rightarrow x=\dfrac{150}{3}=50$（千米）（列方程）
  5. 第一辆在 $50$ 千米处加满后再走 $150$ 千米：$50+150=200$（千米）（路程累加）
第一套
题目：每辆摩托车装满油最多能行 $240$ 千米，途中无法加油。派两辆摩托车执行任务：一辆负责把文件送到指挥部，另一辆在中途把多余的油转给它后安全返回驻地。指挥部距驻地最远可能是多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（设转油点）：设在距驻地 $x$ 千米处转油，返回的那辆往返共耗油 $2x$，最多能转出 $240-2x$。
  2. 第 2 步（能补进多少）：接受的那辆此时已耗油 $x$，油箱最多只能补进 $\underline{\quad}x$。
  3. 第 3 步（不浪费）：令 $240-2x=x$，即 $3x=\underline{\quad}$，解得 $x=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（加满再走）：在 $80$ 千米处加满后还能走 $240$ 千米，最远 $=80+240=\underline{\quad}$（千米）。
第二套
题目：两架无人机同时从基地起飞去投放物资，每架满电最多飞 $240$ 千米，途中无法充电。一架负责把物资送到目的地，另一架在中途把多余的电量转给它后安全返回基地。目的地距基地最远可能是多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：设在距基地 $x$ 千米处转电，返回的那架往返耗电相当于 $2x$，最多可转出 $240-2x$。
  2. 第 2 步：接受的那架已耗 $x$，最多补进 $\underline{\quad}x$。
  3. 第 3 步：$240-2x=x$，即 $3x=\underline{\quad}$，$x=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步：最远 $=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：派两辆同型号摩托车执行送信任务，一辆送信到指挥部，另一辆中途供油后返回驻地。已知指挥部距驻地最远可达 $300$ 千米。那么每辆摩托车装满油最多能行多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（回顾结构）：设单车满油可行 $L$ 千米，转油点在 $\dfrac{L}{3}$ 处，最远距离 $=\dfrac{L}{3}+L=\dfrac{4}{3}L$。
  2. 第 2 步（列式）：$\dfrac{4}{3}L=300$，故 $L=300\times\dfrac{3}{4}=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（回代检验）：转油点在 $225\div 3=\underline{\quad}$（千米）处，最远 $=75+225=\underline{\quad}$（千米），与题意相符。
第三套
题目：每辆摩托车装满油最多能行 $240$ 千米，途中无法加油。现派三辆摩托车出发，其中两辆先后在途中把多余的油转给第三辆后各自安全返回驻地，由第三辆把文件送到指挥部。指挥部距驻地最远可能是多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次转油）：三车同行 $x$ 千米，第三辆返回还需 $x$，可转出 $240-2x$；另两辆各需补 $x$，共需 $2x$。令 $240-2x=\underline{\quad}x$，得 $4x=240$，$x=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（第二次转油）：两辆满油车从 $60$ 千米处再前进 $y$ 千米，供油车返回共需 $60+y$，可转出 $240-(y+60+y)$；受油车需补 $y$。令 $240-60-2y=y$，得 $3y=\underline{\quad}$，$y=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（最后一程）：此时送信车在 $60+60=\underline{\quad}$（千米）处满油，还能再走 $240$ 千米。
  4. 第 4 步（求最远）：最远 $=120+240=\underline{\quad}$（千米）。
32. 【原题 ch14-xingqu-10】甲、乙两班学生到离校 $24$ 千米的飞机场参观，已知只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快到达飞机场，两个班商定：由甲班先坐车，乙班步行，同时出发；甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则立即返回接在途中步行的乙班学生。如果甲、乙两班学生步行速度相同，都为 $5$ 千米/时，汽车的速度为 $35$ 千米/时，请问：汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场？
详细思路
是哪类问题：这是「一车接送两班、要求同时到达」的优化问题：两班步行速度相同，所以要同时到达，两班坐车的路程必须相等、步行的路程也必须相等。
关键切入点：关键在于两点：一是“同时到达 $+$ 步行同速”$\Rightarrow$ 两班坐车路程相等、步行路程相等，设甲班坐车 $p$ 千米，则乙班步行也是 $24-p$ 千米；二是汽车放下甲后空车返回接乙是一次“相遇”，可求出相遇点在距校 $\dfrac{p}{4}$ 处，即乙班步行了 $\dfrac{p}{4}$。令 $\dfrac{p}{4}=24-p$ 解得 $p=19.2$ 千米，掉头处距飞机场 $24-19.2=4.8$ 千米。
方法概述：用“同时到达”确定坐车、步行路程相等，再用一次相遇关系定出下车(掉头)点。
规范步骤：
  1. 两班步行同速、要同时到达 $\Rightarrow$ 两班坐车路程相等、步行路程相等。设甲班坐车 $p$、步行 $24-p$：乙班步行 $=24-p$（千米）（同时到达对称）
  2. 汽车载甲前行 $p$ 千米放下甲，用时 $\dfrac{p}{35}$；同一时间乙班步行 $5\times\dfrac{p}{35}=\dfrac{p}{7}$：乙在 $\dfrac{p}{7}$ 处（同段同时）
  3. 汽车折返接乙（相向相遇）：相距 $p-\dfrac{p}{7}=\dfrac{6p}{7}$，靠拢速度 $35+5=40$，相遇于 $\dfrac{2\times 5\times p}{35+5}=\dfrac{p}{4}$ 处：相遇点 $\dfrac{p}{4}$（距校）（相遇：路程和）
  4. 乙班步行总路程就是到相遇点的 $\dfrac{p}{4}$，令它等于甲班步行 $24-p$：$\dfrac{p}{4}=24-p$（步行路程相等）
  5. 解出甲班下车(汽车掉头)点距学校的距离：$p=\dfrac{24\times(5+35)}{3\times 5+35}=19.2$（千米）（解方程）
  6. 汽车在距飞机场处返回接乙班：$24-19.2=4.8$（千米）（线段相减）
第一套
题目：甲、乙两班学生到离校 $36$ 千米的科技馆参观，只有一辆汽车，一次只能坐一个班。甲班先坐车、乙班步行，同时出发；甲班在途中某地下车步行去科技馆，汽车立即返回接乙班。两班步行速度都是 $6$ 千米/时，汽车速度 $42$ 千米/时。汽车应在距科技馆多少千米处返回接乙班，才能使两班同时到达？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（同时到达意味着什么）：两班步行速度相同，要同时到达，两班坐车的路程必须相等、步行路程也必须相等。设甲班坐车 $p$ 千米，则乙班步行也是 $36-p$ 千米。
  2. 第 2 步（汽车放下甲班时乙班走了多远）：这段时间相同，乙班走的路程是甲班坐车路程的 $\dfrac{6}{42}=\underline{\quad}$，即 $\dfrac{p}{7}$ 千米。
  3. 第 3 步（返程是一次相遇）：汽车与乙班相向而行，合走 $p-\dfrac{p}{7}$，乙班分得其中的 $\dfrac{6}{6+42}=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程）：乙班步行总路程 $36-p=\dfrac{p}{7}+\dfrac{1}{8}\times\dfrac{6p}{7}$，整理得 $p=\dfrac{36\times(6+42)}{3\times 6+42}=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步（求返回点）：汽车返回接人处距科技馆 $36-28.8=\underline{\quad}$（千米）。
第二套
题目：两支合唱队要到 $36$ 千米外的剧场演出，只有一辆中巴，一次只能载一支队伍。甲队先乘车、乙队步行，同时出发；甲队中途下车步行前往剧场，中巴立即返回接乙队。两队步行速度都是 $6$ 千米/时，中巴速度 $42$ 千米/时。中巴应在距剧场多少千米处返回接乙队，才能使两队同时到达？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：两队步行速度相同，要同时到达则两队坐车路程相等、步行路程相等。设甲队坐车 $p$ 千米。
  2. 第 2 步：中巴放下甲队时，乙队走了甲队坐车路程的 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：返程是相遇，乙队分得合走路程的 $\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：列方程解得 $p=\underline{\quad}$（千米）。
  5. 第 5 步：返回点距剧场 $\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：甲、乙两班到离校 $36$ 千米的科技馆，只有一辆汽车，一次只能坐一个班。甲班先坐车、乙班步行同时出发，甲班中途下车步行，汽车立即返回接乙班，要求两班同时到达。步行速度 $6$ 千米/时，汽车速度 $42$ 千米/时。求甲班的下车点距学校多少千米？甲班步行了多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对称性）：两班坐车路程相等、步行路程相等。设甲班坐车 $p$ 千米。
  2. 第 2 步（放下甲班时乙班的位置）：乙班走了 $\dfrac{6}{42}p=\underline{\quad}p$（千米）。
  3. 第 3 步（返程相遇）：列出 $36-p=\dfrac{p}{7}+\dfrac{6}{6+42}\times\dfrac{6p}{7}$，解得下车点 $p=\underline{\quad}$（千米）。
  4. 第 4 步（甲班步行）：$36-28.8=\underline{\quad}$（千米）。
第三套
题目：甲、乙两班到离校 $36$ 千米的科技馆，只有一辆汽车，一次只能坐一个班。甲班先坐车、乙班步行同时出发，甲班中途下车步行，汽车立即返回接乙班，要求两班同时到达。步行速度 $6$ 千米/时，汽车速度 $30$ 千米/时。（1）汽车应在距科技馆多少千米处返回？（2）两班到达科技馆共用多少小时？（3）汽车一共行驶了多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（下车点）：设甲班坐车 $p$ 千米，由 $36-p=\dfrac{6}{30}p+\dfrac{6}{6+30}\times\left(p-\dfrac{6}{30}p\right)$ 解得 $p=\dfrac{36\times(6+30)}{3\times 6+30}=\underline{\quad}$（千米）。
  2. 第 2 步（返回点）：距科技馆 $36-27=\underline{\quad}$（千米）。
  3. 第 3 步（总时间）：甲班坐车 $27$ 千米用 $27\div 30=\underline{\quad}$（小时），再步行 $9$ 千米用 $9\div 6=\underline{\quad}$（小时），共 $\underline{\quad}$（小时）。
  4. 第 4 步（汽车路程）：前进 $27$ 千米、倒回 $27-9=\underline{\quad}$ 千米、再前进 $27$ 千米，共 $27+18+27=\underline{\quad}$（千米）。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 2. ch14-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（第一段时间）：设乙、丙相遇时丙走了 $x$ 千米，同一段时间乙走 $27$ 千米，故 $v_{乙}:v_{丙}=27:x$。
    2. 第 2 步（第二段时间）：乙从相遇处再走 $x$ 千米到 $C$，同一段时间丙走了 $27+48=\underline{75}$（千米），故 $v_{乙}:v_{丙}=x:75$。
    3. 第 3 步（列比例）：两式相等得 $x^2=27\times 75=\underline{2025}$，故 $x=\underline{45}$（千米）。
    4. 第 4 步（求 $BC$）：乙、丙相遇时两人合走 $BC$，$BC=27+45=\underline{72}$（千米）。
    5. 第 5 步（甲丙速度比）：甲从 $B$ 走到 $C$ 的 $72$ 千米时，丙走了 $48$ 千米，故 $v_{甲}:v_{丙}=72:48=\underline{3}:2$。
    6. 第 6 步（求 $AC$）：甲、丙在 $B$ 地相遇，从出发到该时刻两人合走 $AC$，且路程比为 $3:2$，丙走的正是 $BC=72$ 千米，故 $AC=72\times\dfrac{3+2}{2}=\underline{180}$（千米）。
    最终答案：$180$ 千米。
  2. 2. ch14-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步：设乙、丙相遇时丙走 $x$ 千米，则 $v_{乙}:v_{丙}=27:x$。
    2. 第 2 步：乙再走 $x$ 千米到 $C$，同期丙走 $\underline{75}$ 千米，故 $v_{乙}:v_{丙}=x:75$。
    3. 第 3 步：$x^2=\underline{2025}$，$x=\underline{45}$（千米）。
    4. 第 4 步：$BC=\underline{72}$（千米）。
    5. 第 5 步：$v_{甲}:v_{丙}=72:48=\underline{3}:2$。
    6. 第 6 步：$AC=\underline{180}$（千米）。
    最终答案：$180$ 千米。
  3. 2. ch14-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步：设乙、丙相遇时丙走 $x$ 千米，$v_{乙}:v_{丙}=20:x$。
    2. 第 2 步：乙再走 $x$ 千米到 $C$，同期丙走 $20+25=\underline{45}$ 千米，$v_{乙}:v_{丙}=x:45$。
    3. 第 3 步：$x^2=20\times 45=\underline{900}$，$x=\underline{30}$（千米）。
    4. 第 4 步：$BC=20+30=\underline{50}$（千米）。
    5. 第 5 步：甲走 $BC=50$ 千米时丙走 $25$ 千米，$v_{甲}:v_{丙}=50:25=\underline{2}:1$。
    6. 第 6 步：$AC=50\times\dfrac{2+1}{1}=\underline{150}$（千米）。
    最终答案：$150$ 千米。
  4. 2. ch14-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $x$）：$x^2=27\times(27+48)=\underline{2025}$，$x=\underline{45}$，故 $BC=27+45=\underline{72}$（千米）。
    2. 第 2 步（求 $AC$）：$v_{甲}:v_{丙}=72:48=3:2$，$AC=72\times\dfrac{3+2}{2}=\underline{180}$（千米）。
    3. 第 3 步（求 $AB$）：$AB=AC-BC=180-72=\underline{108}$（千米）。
    4. 第 4 步（乙丙速度比）：$v_{乙}:v_{丙}=27:45=3:\underline{5}$。
    5. 第 5 步（连比）：把丙统一为 $10$，$v_{甲}:v_{丙}=3:2=15:10$，$v_{乙}:v_{丙}=3:5=6:10$，故 $v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=15:\underline{6}:10$。
    6. 第 6 步（检验）：甲从 $A$ 到 $C$ 走 $180$ 千米、乙从 $B$ 到 $C$ 走 $72$ 千米，用时相同，速度比 $180:72=\underline{15}:6$，与连比一致。
    最终答案：（1）$180$ 千米；（2）$108$ 千米；（3）$v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=15:6:10$。
  5. 5. ch14-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（设速度）：设扶梯速度为 $x$ 级/秒，阿呆 $12y$、阿瓜 $5y$ 级/秒。
    2. 第 2 步（阿呆一侧）：阿呆迈 $27$ 级用 $\dfrac{27}{12y}$ 秒，人与梯同向，扶梯总长 $=\dfrac{27}{12y}(x+12y)$，系数 $\dfrac{27}{12}=\underline{2.25}$。
    3. 第 3 步（阿瓜一侧）：阿瓜迈 $15$ 级用 $\dfrac{15}{5y}$ 秒，梯上人下，总长 $=\dfrac{15}{5y}(x-5y)$，系数 $\dfrac{15}{5}=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（令两者相等）：$\dfrac{9}{4}(x+12y)=3(x-5y)$，两边同乘 $4$ 得 $9x+108y=12x-60y$，故 $3x=108y+60y=\underline{168}y$。
    5. 第 5 步（解出关系）：$x=168y\div 3=\underline{56}y$。
    6. 第 6 步（回代求总长）：总长 $=3(x-5y)=3\times(56-5)y\div y=\underline{153}$（级）。
    最终答案：$153$ 级。
  6. 5. ch14-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步：设传送带速度 $x$ 格/秒，小李 $12y$、小赵 $5y$ 格/秒。
    2. 第 2 步：小李一侧总长 $=\dfrac{27}{12y}(x+12y)$，系数 $\dfrac{27}{12}=\underline{2.25}$。
    3. 第 3 步：小赵一侧总长 $=\dfrac{15}{5y}(x-5y)$，系数 $\dfrac{15}{5}=\underline{3}$。
    4. 第 4 步：令两式相等并同乘 $4$，得 $3x=\underline{168}y$。
    5. 第 5 步：$x=\underline{56}y$。
    6. 第 6 步：总长 $=3\times(56-5)=\underline{153}$（格）。
    最终答案：$153$ 格。
  7. 5. ch14-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（设速度）：扶梯 $x$ 级/秒，阿呆 $8y$、阿瓜 $3y$ 级/秒。
    2. 第 2 步（两侧总长）：$\dfrac{24}{8y}(x+8y)=\dfrac{12}{3y}(x-3y)$，两个系数分别为 $\dfrac{24}{8}=\underline{3}$ 与 $\dfrac{12}{3}=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（去括号）：$3x+24y=4x-12y$，故 $x=24y+12y=\underline{36}y$。
    4. 第 4 步（回代）：总长 $=4(x-3y)=4\times(36-3)=\underline{132}$（级）。
    5. 第 5 步（验算）：另一侧 $3(x+8y)=3\times(36+8)=\underline{132}$（级），两者一致。
    最终答案：$132$ 级。
  8. 5. ch14-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求关系）：由 $\dfrac{27}{12y}(x+12y)=\dfrac{15}{5y}(x-5y)$ 得 $3x=\underline{168}y$，即 $x=\underline{56}y$。
    2. 第 2 步（总长）：总长 $=3(x-5y)=3\times(56-5)=\underline{153}$（级）。
    3. 第 3 步（时间比）：阿呆用 $\dfrac{27}{12y}$、阿瓜用 $\dfrac{15}{5y}$，时间比 $=\dfrac{27}{12}:\dfrac{15}{5}=2.25:\underline{3}$，同乘 $4$ 得 $9:\underline{12}$，即 $3:4$。
    4. 第 4 步（扶梯与阿呆速度比）：$x:12y=56y:12y=56:\underline{12}$，化简为 $14:3$。
    最终答案：（1）$153$ 级；（2）时间比 $3:4$；（3）扶梯与阿呆速度比 $14:3$。
  9. 7. ch14-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（取基准）：以 $12$ 点甲追上丙（两车同位置）为基准时刻。
    2. 第 2 步（第一条等式）：$12$ 点到 $18$ 点甲、乙相遇，路程和 $=6(v_甲+v_乙)$；这同一段距离也是 $12$ 点到 $20$ 点乙、丙相遇的路程和 $\underline{8}(v_乙+v_丙)$。由此得 $6(v_甲+v_乙)=8(v_乙+v_丙)$，故 $v_丙=\dfrac{6v_甲-2v_乙}{8}$。
    3. 第 3 步（第二条等式）：$12$ 点到 $15$ 点甲、丁相遇，路程和 $=3(v_甲+v_乙)$（丁在 $12$ 点与乙同侧距离相同）；这同一段距离也是 $15$ 点到 $21$ 点乙追上丁的路程差 $\underline{6}(v_乙-v_丁)$，得 $v_丁=\dfrac{v_乙-v_甲}{2}$。
    4. 第 4 步（丙丁在 $12$ 点相距）：$3(v_甲+v_丁)=3\left(v_甲+\dfrac{v_乙-v_甲}{2}\right)=\underline{1.5}(v_甲+v_乙)$。
    5. 第 5 步（丙丁速度和）：$v_丙+v_丁=\dfrac{6v_甲-2v_乙}{8}+\dfrac{v_乙-v_甲}{2}=\underline{0.25}(v_甲+v_乙)$。
    6. 第 6 步（相遇时间）：$\dfrac{1.5}{0.25}=\underline{6}$（小时），故 $12$ 点过 $6$ 小时，即 $18$ 点相遇。
    最终答案：$18$ 点整。
  10. 7. ch14-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步：以 $12$ 点甲追上丙为基准。
    2. 第 2 步：$6(v_甲+v_乙)=\underline{8}(v_乙+v_丙)$。
    3. 第 3 步：$3(v_甲+v_乙)=\underline{6}(v_乙-v_丁)$。
    4. 第 4 步：$12$ 点丙丁相距 $\underline{1.5}(v_甲+v_乙)$。
    5. 第 5 步：$v_丙+v_丁=\underline{0.25}(v_甲+v_乙)$。
    6. 第 6 步：相遇需 $\underline{6}$（小时），即 $18$ 点相遇。
    最终答案：$18$ 点整。
  11. 7. ch14-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（第一条等式）：$3(v_甲+v_乙)=\underline{4}(v_乙+v_丙)$，故 $v_丙=\dfrac{3v_甲-v_乙}{4}$。
    2. 第 2 步（第二条等式）：$1\times(v_甲+v_乙)=\underline{4}(v_乙-v_丁)$，故 $v_丁=\dfrac{3v_乙-v_甲}{4}$。
    3. 第 3 步（$12$ 点丙丁相距）：$1\times(v_甲+v_丁)=v_甲+\dfrac{3v_乙-v_甲}{4}=\underline{0.75}(v_甲+v_乙)$。
    4. 第 4 步（速度和）：$v_丙+v_丁=\dfrac{3v_甲-v_乙+3v_乙-v_甲}{4}=\underline{0.5}(v_甲+v_乙)$。
    5. 第 5 步（相遇时间）：$\dfrac{0.75}{0.5}=\underline{1.5}$（小时）$=1$ 时 $30$ 分，故 $13$ 点 $30$ 分相遇。
    最终答案：$13$ 点 $30$ 分。
  12. 7. ch14-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（丁的关系）：$3(v_甲+v_乙)=(21-15)(v_乙-v_丁)$，得 $v_丁=\underline{0.5}(v_乙-v_甲)$（用分数表示）。
    2. 第 2 步（$12$ 点丙丁相距）：$3(v_甲+v_丁)=\underline{1.5}(v_甲+v_乙)$。
    3. 第 3 步（丙丁相遇用时）：$18-12=\underline{6}$（小时），故 $v_丙+v_丁=\dfrac{1.5}{6}=\underline{0.25}$ 倍的 $(v_甲+v_乙)$。
    4. 第 4 步（求丙）：$v_丙=0.25(v_甲+v_乙)-0.5(v_乙-v_甲)=\underline{0.75}v_甲-\underline{0.25}v_乙$。
    5. 第 5 步（乙丙相遇时刻）：由 $6(v_甲+v_乙)=T(v_乙+v_丙)$，其中 $v_乙+v_丙=0.75v_甲+0.75v_乙$，故 $T=6\div 0.75=\underline{8}$（小时），即 $12$ 点后 $8$ 小时，$20$ 点相遇。
    最终答案：乙车与丙车在 $20$ 点相遇。
  13. 9. ch14-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（还原纯行驶时间差）：轿车晚出发 $14$ 分又早到 $10$ 分，共比巴士少花 $14+10=\underline{24}$ 分钟；其中巴士停了 $12$ 分，纯行驶时间差 $=24-12=\underline{12}$（分钟）。
    2. 第 2 步（时间比）：速度比 $v_{巴}:v_{轿}=5:6$，时间与速度成反比，$t_{轿}:t_{巴}=5:\underline{6}$。
    3. 第 3 步（求全程时间）：相差 $6-5=1$ 份 $=12$ 分钟，故 $t_{轿}=12\times 5=\underline{60}$、$t_{巴}=12\times 6=\underline{72}$（分钟）。
    4. 第 4 步（巴士的中点时刻）：$10{:}00$ 出发，行 $72\div 2=\underline{36}$ 分钟到中点，即 $10{:}36$，停到 $10{:}48$。
    5. 第 5 步（轿车的中点时刻）：$10{:}14$ 出发，行 $60\div 2=\underline{30}$ 分钟到中点，即 $10{:}\underline{44}$。
    6. 第 6 步（比较）：$10{:}44$ 落在巴士停留的 $10{:}36$—$10{:}48$ 之间，故轿车在 $10$ 点 $44$ 分超过巴士。
    最终答案：$10$ 点 $44$ 分。
  14. 9. ch14-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步：快车比慢车少花 $\underline{24}$ 分钟，剔除停留 $12$ 分后纯行驶时间差 $=\underline{12}$（分钟）。
    2. 第 2 步：时间比 $t_{快}:t_{慢}=5:\underline{6}$。
    3. 第 3 步：$t_{快}=\underline{60}$、$t_{慢}=\underline{72}$（分钟）。
    4. 第 4 步：慢车 $\underline{36}$ 分钟到中点（$10{:}36$），停到 $10{:}48$。
    5. 第 5 步：快车 $10{:}14$ 发车，$\underline{30}$ 分钟后到中点，即 $10{:}\underline{44}$，此刻超过慢车。
    最终答案：$10$ 点 $44$ 分。
  15. 9. ch14-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（纯行驶时间差）：$12+9=\underline{21}$ 分钟，减去停留 $15$ 分，得 $\underline{6}$（分钟）。
    2. 第 2 步（时间比）：$t_{轿}:t_{巴}=3:\underline{4}$，相差 $1$ 份 $=6$ 分钟。
    3. 第 3 步（全程时间）：$t_{轿}=6\times 3=\underline{18}$、$t_{巴}=6\times 4=\underline{24}$（分钟）。
    4. 第 4 步（中点时刻）：巴士 $10{:}00+\underline{12}=10{:}12$，停到 $10{:}27$；轿车 $10{:}12$ 出发，$\underline{9}$ 分钟后到中点即 $10{:}21$。
    5. 第 5 步（比较）：$10{:}21$ 在巴士停留时段内，故 $10$ 点 $21$ 分超过。
    最终答案：$10$ 点 $21$ 分。
  16. 9. ch14-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（时间差）：$14+10-12=\underline{12}$（分钟），时间比 $t_{轿}:t_{巴}=5:6$，故 $t_{轿}=12\times 5=\underline{60}$、$t_{巴}=\underline{72}$（分钟）。
    2. 第 2 步（全程）：轿车 $60$ 分钟即 $1$ 小时跑完全程，全程 $=90\times 1=\underline{90}$（千米）。
    3. 第 3 步（超车时刻）：巴士 $10{:}36$ 到中点、停到 $10{:}48$；轿车 $10{:}14$ 出发，$\underline{30}$ 分钟后到中点，即 $10$ 点 $\underline{44}$ 分超过。
    4. 第 4 步（超车地点）：中点距 $A$ 地 $90\div 2=\underline{45}$（千米）。
    最终答案：（1）$90$ 千米；（2）$10$ 点 $44$ 分；（3）距 $A$ 地 $45$ 千米。
  17. 10. ch14-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（速度比）：行完全程时间比 $12:20$，速度与时间成反比，故 $v_{客}:v_{货}=20:12=\underline{5}:3$。
    2. 第 2 步（相遇位置）：相遇时两车用时相同，客车走了全程的 $\dfrac{5}{5+3}=\underline{0.625}$。
    3. 第 3 步（客车又走了多少）：$0.9-0.625=\underline{0.275}$（全程的分率）。
    4. 第 4 步（货车同期走了多少）：货车路程是客车的 $\dfrac{3}{5}$，即全程的 $0.275\times\dfrac{3}{5}=\underline{0.165}$。
    5. 第 5 步（对应量求全程）：这段就是 $132$ 千米，全程 $=132\div 0.165=\underline{800}$（千米）。
    最终答案：$800$ 千米。
  18. 10. ch14-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：时间比 $12:20$，速度比为反比 $\underline{5}:3$。
    2. 第 2 步：相遇时快艇走了全程的 $\underline{0.625}$。
    3. 第 3 步：快艇又走了全程的 $\underline{0.275}$。
    4. 第 4 步：同期货船走了全程的 $\underline{0.165}$。
    5. 第 5 步：全程 $=\underline{800}$（千米）。
    最终答案：$800$ 千米。
  19. 10. ch14-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（速度比）：$v_{客}:v_{货}=20:12=\underline{5}:3$。
    2. 第 2 步（相遇分率）：客车走全程的 $\underline{0.625}$。
    3. 第 3 步（求全程）：客车再走 $0.9-0.625=0.275$，同期货车走 $0.275\times\dfrac{3}{5}=\underline{0.165}$，对应 $132$ 千米，全程 $=\underline{800}$（千米）。
    4. 第 4 步（相遇点）：距甲地 $800\times 0.625=\underline{500}$（千米）。
    最终答案：$500$ 千米。
  20. 10. ch14-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（全程）：速度比 $5:3$，相遇时客车走 $\underline{0.625}$，再走 $0.275$ 对应货车 $\underline{0.165}$，全程 $=132\div 0.165=\underline{800}$（千米）。
    2. 第 2 步（相遇时间）：把全程看作 $1$，速度和 $=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}=\underline{0.133333333}$，相遇用时 $=1\div\dfrac{2}{15}=\underline{7.5}$（小时）。
    3. 第 3 步（货车剩余路程）：相遇时货车已走全程的 $\dfrac{3}{8}$，还剩 $\underline{0.625}$。
    4. 第 4 步（剩余时间）：货车走完全程要 $20$ 小时，走 $\dfrac{5}{8}$ 需 $20\times\dfrac{5}{8}=\underline{12.5}$（小时）。
    最终答案：（1）$800$ 千米；（2）$7.5$ 小时；（3）还需 $12.5$ 小时。
  21. 11. ch14-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（时间比怎么来）：甲的速度两次都一样，所以两次追及的时间比等于甲走的路程比 $12:3=\underline{4}:1$。
    2. 第 2 步（乙的路程比）：乙两次速度比 $1:2$，时间比 $4:1$，路程 $=$ 速度 $\times$ 时间，故乙路程比 $=(1\times 4):(2\times 1)=\underline{4}:2$。
    3. 第 3 步（份数对应）：乙两次路程相差 $4-2=\underline{2}$ 份，而实际追上地点相差 $12-3=\underline{9}$（千米）。
    4. 第 4 步（每份多少）：乙第一次路程 $=AB+12$、第二次 $=AB+3$，两者相差 $9$ 千米，正好对应 $2$ 份，故 $1$ 份 $=9\div 2=\underline{4.5}$（千米）。
    5. 第 5 步（乙第一次走多远）：$4$ 份 $=4\times 4.5=\underline{18}$（千米）。
    6. 第 6 步（求 $AB$）：$AB=18-12=\underline{6}$（千米）。
    最终答案：$6$ 千米。
  22. 11. ch14-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：小船速度不变，两次时间比等于它走的路程比 $12:3=\underline{4}:1$。
    2. 第 2 步：汽艇速度比 $1:2$、时间比 $4:1$，路程比 $=\underline{4}:2$。
    3. 第 3 步：路程相差 $\underline{2}$ 份，实际相差 $\underline{9}$（千米）。
    4. 第 4 步：$1$ 份 $=\underline{4.5}$（千米），汽艇第一次走 $\underline{18}$（千米）。
    5. 第 5 步：$AB=\underline{6}$（千米）。
    最终答案：$6$ 千米。
  23. 11. ch14-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（时间比）：甲速度不变，两次时间比 $=15:3=\underline{5}:1$。
    2. 第 2 步（乙路程比）：乙速度比 $1:3$，路程比 $=(1\times 5):(3\times 1)=\underline{5}:3$。
    3. 第 3 步（份数对应）：乙两次路程差 $5-3=\underline{2}$ 份，实际差 $15-3=\underline{12}$（千米），$1$ 份 $=\underline{6}$（千米）。
    4. 第 4 步（乙第一次路程）：$5$ 份 $=\underline{30}$（千米）。
    5. 第 5 步（求 $AB$）：$AB=30-15=\underline{15}$（千米）。
    最终答案：$15$ 千米。
  24. 11. ch14-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（求 $AB$）：时间比 $12:3=4:1$，乙路程比 $4:2$，$1$ 份 $=9\div 2=\underline{4.5}$（千米），乙第一次走 $\underline{18}$（千米），$AB=\underline{6}$（千米）。
    2. 第 2 步（第一次追及用时）：甲走 $12$ 千米，速度 $4$ 千米/时，用 $12\div 4=\underline{3}$（小时），故 $8$ 点出发后 $11$ 点追上。
    3. 第 3 步（乙的速度）：乙同期走 $18$ 千米，用同样的 $3$ 小时，速度 $=18\div 3=\underline{6}$（千米/时）。
    4. 第 4 步（检验）：速度差 $6-4=\underline{2}$（千米/时），追及 $6$ 千米需 $6\div 2=\underline{3}$（小时），与第 2 步一致。
    最终答案：（1）$6$ 千米；（2）$11$ 点；（3）乙原速 $6$ 千米/时。
  25. 12. ch14-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（乙丙同路程用时）：追上说明两车从同一地点走了同样远。乙用 $48$ 分，丙用 $48+12=\underline{60}$（分钟）。
    2. 第 2 步（乙丙速度比）：时间与速度成反比，$v_{乙}:v_{丙}=60:48=\underline{5}:4$。
    3. 第 3 步（甲丙同路程用时）：甲用 $2$ 小时 $=\underline{120}$ 分钟，丙用 $120+24+12=\underline{156}$（分钟）。
    4. 第 4 步（甲丙速度比）：$v_{甲}:v_{丙}=156:120=\underline{13}:10$。
    5. 第 5 步（合成连比）：以丙为公共项统一，$v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=26:\underline{25}:20$。
    6. 第 6 步（甲乙时间比）：走相同路程 $t_{甲}:t_{乙}=25:\underline{26}$。
    7. 第 7 步（追及）：甲比乙晚出发 $24$ 分钟，$24\div(26-25)\times 25=\underline{600}$（分钟）。
    最终答案：$600$ 分钟。
  26. 12. ch14-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步：乙用 $48$ 分、丙用 $\underline{60}$ 分走完同一段路。
    2. 第 2 步：$v_{乙}:v_{丙}=\underline{5}:4$。
    3. 第 3 步：甲用 $\underline{120}$ 分、丙用 $\underline{156}$ 分走完同一段路。
    4. 第 4 步：$v_{甲}:v_{丙}=\underline{13}:10$。
    5. 第 5 步：连比 $v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=26:\underline{25}:20$，故 $t_{甲}:t_{乙}=25:\underline{26}$。
    6. 第 6 步：甲晚出发 $24$ 分，追上需 $\underline{600}$（分钟）。
    最终答案：$600$ 分钟。
  27. 12. ch14-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步：乙用 $30$ 分、丙用 $30+10=\underline{40}$ 分走完同一段路，故 $v_{乙}:v_{丙}=40:30=4:\underline{3}$。
    2. 第 2 步：甲用 $60$ 分、丙用 $60+15+10=\underline{85}$ 分走完同一段路，故 $v_{甲}:v_{丙}=85:60=\underline{17}:12$。
    3. 第 3 步（统一丙）：把 $4:3$ 写成 $16:12$，得 $v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=17:\underline{16}:12$。
    4. 第 4 步：走相同路程 $t_{甲}:t_{乙}=16:\underline{17}$。
    5. 第 5 步：甲比乙晚 $15$ 分，追上需 $15\div(17-16)\times 16=\underline{240}$（分钟）。
    最终答案：$240$ 分钟。
  28. 12. ch14-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（连比）：由 $v_{乙}:v_{丙}=60:48$ 与 $v_{甲}:v_{丙}=156:120$，合成 $v_{甲}:v_{乙}:v_{丙}=26:\underline{25}:20$。
    2. 第 2 步（追及时间）：$t_{甲}:t_{乙}=25:26$，甲晚 $24$ 分，$24\div 1\times 25=\underline{600}$（分钟）。
    3. 第 3 步（甲的速度）：丙是 $20$ 份 $=400$ 米/分，每份 $400\div 20=\underline{20}$，甲 $=26\times 20=\underline{520}$（米/分）。
    4. 第 4 步（路程）：甲行 $600$ 分钟，走 $520\times 600=\underline{312000}$（米）$=\underline{312}$（千米）。
    最终答案：（1）$600$ 分钟；（2）$520$ 米/分；（3）$312$ 千米。
  29. 13. ch14-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（等效路程）：下山 $1$ 全程等效上坡 $\dfrac{1}{3}$ 全程。甲从出发到回山脚等效上坡 $1+\dfrac{1}{3}=\underline{1.333333333}$，乙同期等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\underline{1.166666667}$（全程）。
    2. 第 2 步（上山速度比）：时间相同，$v_{甲}:v_{乙}=\dfrac{4}{3}:\dfrac{7}{6}$，同乘 $6$ 得 $\underline{8}:\underline{7}$，即 $8:7$。
    3. 第 3 步（甲到顶时的差距）：乙走了 $\dfrac{7}{8}$ 全程，两人相距 $1-\dfrac{7}{8}=\underline{0.125}$（全程）。
    4. 第 4 步（此后的相遇）：甲下山速度是上山的 $3$ 倍即 $8\times 3=\underline{24}$，乙上山仍是 $7$，相向而行甲分得 $\dfrac{24}{24+7}=\underline{0.774193548}$。
    5. 第 5 步（相遇点到山顶）：甲下山走了 $\dfrac{1}{8}\times\dfrac{24}{31}=\underline{0.096774194}$（全程），这就是 $600$ 米。
    6. 第 6 步（求全程）：全程 $=600\div\dfrac{3}{31}=\underline{6200}$（米）。
    最终答案：$6200$ 米。
  30. 13. ch14-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步：甲等效上楼 $\underline{1.333333333}$、乙等效上楼 $\underline{1.166666667}$（全程）。
    2. 第 2 步：上楼速度比同乘 $6$ 得 $\underline{8}:\underline{7}$，即 $8:7$。
    3. 第 3 步：甲到顶时两人相距 $\underline{0.125}$（全程）。
    4. 第 4 步：甲下楼速度 $\underline{24}$，相向而行甲分得 $\underline{0.774193548}$。
    5. 第 5 步：相遇点距楼顶 $\underline{0.096774194}$（全程）$=600$ 级。
    6. 第 6 步：全程 $=\underline{6200}$（级）。
    最终答案：$6200$ 级。
  31. 13. ch14-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（等效路程）：甲等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}=\underline{1.5}$；乙上山 $1$ 全程后又下了 $\dfrac{2}{3}$ 全程，等效上坡 $1+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}=\underline{1.333333333}$（全程）。
    2. 第 2 步（速度比）：$\dfrac{3}{2}:\dfrac{4}{3}$ 同乘 $6$ 得 $\underline{9}:\underline{8}$，即 $9:8$。
    3. 第 3 步（甲到顶时的差距）：$1-\dfrac{8}{9}=\underline{0.111111111}$（全程）。
    4. 第 4 步（相遇）：甲下山速度 $9\times 2=\underline{18}$，乙仍为 $8$，甲分得 $\dfrac{18}{18+8}=\underline{0.692307692}$。
    5. 第 5 步（相遇点到山顶）：$\dfrac{1}{9}\times\dfrac{18}{26}=\underline{0.076923077}$（全程）$=400$ 米，全程 $=\underline{5200}$（米）。
    最终答案：$5200$ 米。
  32. 13. ch14-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（速度比）：甲等效上坡 $\dfrac{3}{2}$、乙等效上坡 $1+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}=\underline{1.333333333}$，速度比 $9:8$。
    2. 第 2 步（全程）：甲到顶时相距 $\dfrac{1}{9}$ 全程，相遇点距山顶 $\dfrac{1}{9}\times\dfrac{18}{26}=\underline{0.076923077}$（全程）$=400$ 米，全程 $=\underline{5200}$（米）。
    3. 第 3 步（两人到顶的时间差）：以“走 $1$ 份路程用 $1$ 单位时间”计，甲到顶用 $\dfrac{1}{9}$、乙到顶用 $\dfrac{1}{8}$，差 $\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}=\underline{0.013888889}$。
    4. 第 4 步（甲这段时间下了多少）：甲下山速度 $18$，走 $18\times\dfrac{1}{72}=\underline{0.25}$（全程），即 $5200\times\dfrac{1}{4}=\underline{1300}$（米）。
    最终答案：（1）$5200$ 米；（2）甲已下山 $1300$ 米。
  33. 17. ch14-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（间隔距离）：把车速记作 $1$。两辆电车迎面每 $5$ 分钟相遇一次，故同向相邻两车的间隔 $d=(1+1)\times 5=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（小张的速度）：小张迎着电车走，$(1+v_{张})\times 6=10$，故 $v_{张}=\dfrac{10}{6}-1=\underline{0.666666667}$（车速的几分之几）。
    3. 第 3 步（小王的速度）：$(1+v_{王})\times 8=10$，故 $v_{王}=\dfrac{10}{8}-1=\underline{0.25}$。
    4. 第 4 步（全程）：电车 $66$ 分钟走完全程，故 $L=66\times 1=\underline{66}$。
    5. 第 5 步（两人相遇）：速度和 $=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\underline{0.916666667}$，相遇时间 $=66\div\dfrac{11}{12}=\underline{72}$（分钟）。
    最终答案：$72$ 分钟。
  34. 17. ch14-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步：车速记作 $1$，相邻两车间隔 $d=\underline{10}$。
    2. 第 2 步：$(1+v_{张})\times 6=10$，$v_{张}=\underline{0.666666667}$。
    3. 第 3 步：$(1+v_{王})\times 8=10$，$v_{王}=\underline{0.25}$。
    4. 第 4 步：全程 $L=\underline{66}$。
    5. 第 5 步：速度和 $=\underline{0.916666667}$，相遇 $=\underline{72}$（分钟）。
    最终答案：$72$ 分钟。
  35. 17. ch14-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（间隔距离）：车速记作 $1$，间隔 $d=(1+1)\times 5=\underline{10}$。
    2. 第 2 步（小张速度）：$(1+v_{张})\times 6=10$，$v_{张}=\underline{0.666666667}$（车速的几分之几）。
    3. 第 3 步（全程）：$L=66$。
    4. 第 4 步（小张用时）：$66\div\dfrac{2}{3}=\underline{99}$（分钟）。
    最终答案：$99$ 分钟。
  36. 17. ch14-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（折算速度）：车速记作 $1$，间隔 $d=\underline{10}$；$v_{张}=\dfrac{10}{6}-1=\underline{0.666666667}$，$v_{王}=\dfrac{10}{8}-1=\underline{0.25}$。
    2. 第 2 步（相遇时间）：$66\div\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\right)=\underline{72}$（分钟）。
    3. 第 3 步（全程长度）：电车 $48$ 千米/时行 $66$ 分钟，$48\times\dfrac{66}{60}=\underline{52.8}$（千米）。
    4. 第 4 步（小张的真实速度）：$48\times\dfrac{2}{3}=\underline{32}$（千米/时）。
    5. 第 5 步（相遇点）：小张骑 $72$ 分钟即 $1.2$ 小时，走 $32\times 1.2=\underline{38.4}$（千米）。
    最终答案：（1）$72$ 分钟；（2）$52.8$ 千米；（3）相遇点距甲地 $38.4$ 千米。
  37. 19. ch14-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（时间比怎么来）：把乙的速度记作 $1$，甲的速度是 $5$。时间 $=$ 路程 $\div$ 速度，$t_{甲}:t_{乙}=\dfrac{200}{5}:\dfrac{80}{1}=\underline{40}:80$，化简为 $1:2$。
    2. 第 2 步（扶梯级数之比）：扶梯匀速运行，两段时间内它送上去的级数之比也是 $1:2$。
    3. 第 3 步（两段扶梯级数之和）：甲逆行多走的与乙顺行少走的合起来 $=200-80=\underline{120}$（级）。
    4. 第 4 步（分配）：每份 $120\div(1+2)=\underline{40}$（级），故两段分别是 $40$ 级和 $\underline{80}$ 级。
    5. 第 5 步（求可见级数）：可见级数 $=200-40=\underline{160}$（级），也可用 $80+80=\underline{160}$ 级验证。
    最终答案：$160$ 级。
  38. 19. ch14-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步：$t_{甲}:t_{乙}=\dfrac{200}{5}:80=\underline{40}:80=1:2$。
    2. 第 2 步：两段时间内步道自身移动的地砖数之比也是 $1:2$。
    3. 第 3 步：两段之和 $=\underline{120}$（块）。
    4. 第 4 步：每份 $\underline{40}$ 块，两段为 $40$ 块与 $\underline{80}$ 块。
    5. 第 5 步：可见部分 $=\underline{160}$（块），验算 $\underline{160}$（块）。
    最终答案：$160$ 块。
  39. 19. ch14-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（乙这段扶梯送了多少）：乙自走 $60$ 级，与扶梯同期送的级数之和为可见部分，故扶梯这段送了 $180-60=\underline{120}$（级）。
    2. 第 2 步（乙与扶梯的速度比）：同一段时间内路程比即速度比，$v_{乙}:v_{梯}=60:120=1:\underline{2}$。
    3. 第 3 步（甲的速度）：$v_{甲}=8v_{乙}$，故 $v_{甲}:v_{梯}=8:\underline{2}$。
    4. 第 4 步（甲逆行）：甲自走的级数比可见部分多出扶梯同期送的级数，两者之比 $8:2=4:1$，设甲走 $4$ 份、扶梯送 $1$ 份，则 $4$ 份 $-1$ 份 $=180$，每份 $180\div(4-1)=\underline{60}$（级）。
    5. 第 5 步（求甲走的级数）：$4\times 60=\underline{240}$（级）。
    最终答案：$240$ 级。
  40. 19. ch14-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（可见级数）：$t_{甲}:t_{乙}=\dfrac{200}{5}:80=1:2$，两段扶梯级数之和 $=200-80=\underline{120}$（级），按 $1:2$ 分得 $40$ 与 $80$，可见级数 $=200-40=\underline{160}$（级）。
    2. 第 2 步（乙用时）：乙自走 $80$ 级、每秒 $2$ 级，用 $80\div 2=\underline{40}$（秒）。
    3. 第 3 步（扶梯速度）：这 $40$ 秒里扶梯送了 $80$ 级，速度 $=80\div 40=\underline{2}$（级/秒）。
    4. 第 4 步（站着不动）：$160\div 2=\underline{80}$（秒）。
    最终答案：（1）$160$ 级；（2）$2$ 级/秒；（3）$80$ 秒。
  41. 20. ch14-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（谁决定时间）：最快的车总能更早赶到，真正的瓶颈是最慢的两辆，其时速为 $45$ 和 $55$。
    2. 第 2 步（速度和）：让它们沿相对的两条岔路相向行驶，速度和 $=45+55=\underline{100}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（路程和）：两车分居路口两侧，相距 $24\times 2=\underline{48}$（千米）。
    4. 第 4 步（相遇时间）：$48\div 100=\underline{0.48}$（小时）。
    5. 第 5 步（化成分钟）：$0.48\times 60=\underline{28.8}$（分钟）。
    最终答案：$28.8$ 分钟。
  42. 20. ch14-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步：瓶颈是最慢的两人，时速 $45$ 与 $55$。
    2. 第 2 步：速度和 $=\underline{100}$（千米/时）。
    3. 第 3 步：两人相距 $\underline{48}$（千米）。
    4. 第 4 步：相遇 $=\underline{0.48}$（小时）。
    5. 第 5 步：即 $\underline{28.8}$（分钟）。
    最终答案：$28.8$ 分钟。
  43. 20. ch14-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（找瓶颈）：最慢的两辆时速为 $40$ 与 $50$，速度和 $=\underline{90}$（千米/时）。
    2. 第 2 步（路程和）：$21\times 2=\underline{42}$（千米）。
    3. 第 3 步（相遇时间）：$42\div 90=\underline{0.466666667}$（小时）$=\underline{28}$（分钟）。
    最终答案：$28$ 分钟。
  44. 20. ch14-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（瓶颈与相聚时间）：最慢两辆速度和 $=40+60=\underline{100}$（千米/时），路程和 $=24\times 2=\underline{48}$（千米），相聚时间 $=48\div 100$ 小时 $=\underline{28.8}$（分钟）。
    2. 第 2 步（会合点在哪）：$0.48$ 小时里时速 $40$ 的车只行 $40\times 0.48=\underline{19.2}$（千米），距路口还差 $24-19.2=\underline{4.8}$（千米），所以会合点不在路口，而在距路口 $4.8$ 千米处（时速 $60$ 的车越过路口再行 $4.8$ 千米与它相遇）。
    3. 第 3 步（$80$ 千米/时的车）：它要先走完自己这条岔路 $24$ 千米、再越过路口 $4.8$ 千米，共 $24+4.8=\underline{28.8}$（千米），用 $28.8\div 80$ 小时 $=\underline{21.6}$（分钟），需等 $28.8-21.6=\underline{7.2}$（分钟）。
    4. 第 4 步（$120$ 千米/时的车）：同样要走 $28.8$ 千米，用 $28.8\div 120$ 小时 $=\underline{14.4}$（分钟），需等 $28.8-14.4=\underline{14.4}$（分钟）。
    最终答案：（1）$28.8$ 分钟；（2）时速 $80$ 的车等 $7.2$ 分钟，时速 $120$ 的车等 $14.4$ 分钟。
  45. 21. ch14-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（第一次转油）：三机同飞 $x$ 千米，第三架返航还要 $x$，最多能转出 $1800-2x$；另两架各需补 $x$，共需 $\underline{2}x$。令 $1800-2x=2x$，得 $4x=1800$，$x=\underline{450}$（千米）。
    2. 第 2 步（第二次转油）：两架满油机从 $450$ 千米处再飞 $y$ 千米，供油机返航共需 $450+y$，能转出 $1800-(y+450+y)$；受油机需补 $y$。令 $1800-450-2y=y$，得 $3y=\underline{1350}$，$y=\underline{450}$（千米）。
    3. 第 3 步（主机满油位置）：$450+450=\underline{900}$（千米）。
    4. 第 4 步（最远距离）：$900+1800=\underline{2700}$（千米）。
    最终答案：$2700$ 千米。
  46. 21. ch14-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步：三机同飞 $x$ 千米，返航机可转出 $1800-2x$，另两架共需补 $\underline{2}x$，故 $x=\underline{450}$（千米）。
    2. 第 2 步：再飞 $y$ 千米，$1800-450-2y=y$，$3y=\underline{1350}$，$y=\underline{450}$（千米）。
    3. 第 3 步：主机满电位置 $\underline{900}$（千米）。
    4. 第 4 步：最远 $=\underline{2700}$（千米）。
    最终答案：$2700$ 千米。
  47. 21. ch14-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（转油点）：两机同飞 $x$ 千米，供油机返航还需 $x$，能转出 $1800-2x$；受油机需补 $x$。令 $1800-2x=x$，得 $3x=\underline{1800}$，$x=\underline{600}$（千米）。
    2. 第 2 步（最远距离）：主机在 $600$ 千米处满油，还能飞 $1800$ 千米，最远 $=600+1800=\underline{2400}$（千米）。
    最终答案：$2400$ 千米。
  48. 21. ch14-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（第一次转油）：四机同飞 $x$，返航机可转出 $1800-2x$，另三架共需补 $\underline{3}x$。令 $1800-2x=3x$，得 $5x=1800$，$x=\underline{360}$（千米）。
    2. 第 2 步（第二次转油）：三架满油机从 $360$ 千米处再飞 $y$，供油机返航需 $360+y$，可转出 $1800-360-2y$，另两架共需 $2y$。令 $1800-360-2y=2y$，得 $4y=\underline{1440}$，$y=\underline{360}$（千米）。
    3. 第 3 步（第三次转油）：两架满油机从 $720$ 千米处再飞 $z$，供油机返航需 $720+z$，可转出 $1800-720-2z$，受油机需补 $z$。令 $1800-720-2z=z$，得 $3z=\underline{1080}$，$z=\underline{360}$（千米）。
    4. 第 4 步（主机满油位置）：$360+360+360=\underline{1080}$（千米）。
    5. 第 5 步（最远距离）：$1080+1800=\underline{2880}$（千米）。
    最终答案：$2880$ 千米。
  49. 22. ch14-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（同时到场意味着什么）：两队步行速度相同，要同时到场，两队步行路程必须相等、坐车路程也必须相等。设 $A$ 队坐车 $r$ 千米、步行 $32-r$ 千米，则 $B$ 队步行 $32-r$、坐车 $r$。
    2. 第 2 步（放下 $A$ 队时 $B$ 队走了多远）：时间相同，$B$ 队路程是 $r$ 的 $\dfrac{5}{25}=\underline{0.2}$ 倍。
    3. 第 3 步（空车返回是一次相遇）：此时两者相距 $r-0.2r=0.8r$，空载与步行速度比 $45:5$，$B$ 队分得 $\dfrac{5}{5+45}=\underline{0.1}$。
    4. 第 4 步（列方程）：$B$ 队步行总路程 $32-r=0.2r+0.1\times 0.8r$，即 $32-r=\underline{0.28}r$，解得 $r=32\div 1.28=\underline{25}$（千米）。
    5. 第 5 步（步行路程）：$32-25=\underline{7}$（千米）。
    6. 第 6 步（总时间）：坐车 $25\div 25=\underline{1}$（小时），步行 $7\div 5=\underline{1.4}$（小时），共 $\underline{2.4}$ 小时 $=\underline{144}$（分钟）。
    最终答案：$144$ 分钟。
  50. 22. ch14-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步：两团步行速度相同，故步行路程相等、坐车路程相等。设坐车 $r$ 千米。
    2. 第 2 步：放下第一团时，第二团走了 $r$ 的 $\underline{0.2}$ 倍。
    3. 第 3 步：空车返回是相遇，第二团分得相距路程的 $\underline{0.1}$。
    4. 第 4 步：$32-r=\underline{0.28}r$，解得 $r=\underline{25}$（千米）。
    5. 第 5 步：步行 $\underline{7}$（千米）。
    6. 第 6 步：坐车用 $\underline{1}$ 小时、步行用 $\underline{1.4}$ 小时，共 $\underline{2.4}$ 小时 $=\underline{144}$（分钟）。
    最终答案：$144$ 分钟。
  51. 22. ch14-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（对称性）：两队步行路程相等、坐车路程相等。设坐车 $r$ 千米、步行 $24-r$ 千米。
    2. 第 2 步（放下时另一队走了多远）：$\dfrac{6}{24}=\underline{0.25}$，即 $0.25r$ 千米。
    3. 第 3 步（返程相遇）：相距 $r-0.25r=0.75r$，另一队分得 $\dfrac{6}{6+48}=\underline{0.111111111}$。
    4. 第 4 步（列方程）：$24-r=0.25r+\dfrac{1}{9}\times 0.75r$，即 $24-r=\underline{0.333333333}r$，解得 $r=24\div\dfrac{4}{3}=\underline{18}$（千米）。
    最终答案：汽车应在距出发地 $18$ 千米处放下第一支球队。
  52. 22. ch14-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（坐车路程）：由 $32-r=0.2r+0.1\times 0.8r$ 解得 $r=\underline{25}$（千米），步行 $32-25=\underline{7}$（千米）。
    2. 第 2 步（总时间）：$25\div 25+7\div 5=\underline{2.4}$（小时）$=\underline{144}$（分钟）。
    3. 第 3 步（汽车路线）：先满载前进 $25$ 千米，再空载倒回到接第二队处，倒回 $25-7=\underline{18}$（千米），最后满载前进 $\underline{25}$ 千米。
    4. 第 4 步（汽车总路程）：$25+18+25=\underline{68}$（千米）。
    5. 第 5 步（汽车总时间）：$25\div 25+18\div 45+25\div 25=\underline{2.4}$（小时），与两队用时一致。
    最终答案：（1）$144$ 分钟；（2）汽车行驶 $68$ 千米；（3）$2.4$ 小时。
  53. 23. ch14-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（抓临界）：恰好 $3$ 千米时两种走法用时相等。设家距公园 $x$ 千米，步行速度记作 $1$，则骑车速度是 $\underline{5}$。
    2. 第 2 步（列方程）：取车方案先步行 $x$、再骑 $x+3$，用时 $\dfrac{x}{1}+\dfrac{x+3}{5}$；直接走用时 $\dfrac{3}{1}=\underline{3}$。两者相等。
    3. 第 3 步（去分母）：两边同乘 $5$，得 $5x+(x+3)=15$，左边 $x$ 的系数是 $5+1=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（移项）：常数搬到右边，$\underline{6}x=15-3=\underline{12}$。
    5. 第 5 步（求解）：$x=\underline{2}$（千米）。
    最终答案：$2$ 千米。
  54. 23. ch14-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（抓临界）：恰好 $3$ 千米时两方案用时相等。设中转站到站点 $x$ 千米，步行速度记作 $1$，骑车速度是 $\underline{5}$。
    2. 第 2 步（列方程）：取车方案用时 $\dfrac{x}{1}+\dfrac{x+3}{5}$，直接走用时 $\underline{3}$，两者相等。
    3. 第 3 步（去分母）：同乘 $5$ 得 $5x+x+3=15$，即 $\underline{6}x=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（求解）：$x=\underline{2}$（千米）。
    最终答案：$2$ 千米。
  55. 23. ch14-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（抓临界）：设临界距离为 $d$ 千米，此时两方案用时相等。步行速度记作 $1$，骑车速度为 $\underline{7}$。
    2. 第 2 步（列方程）：取车方案 $\dfrac{3}{1}+\dfrac{3+d}{7}$，直接走 $\dfrac{d}{1}$，两者相等。
    3. 第 3 步（去分母）：同乘 $7$ 得 $\underline{21}+3+d=7d$，其中 $3\times 7=\underline{21}$。
    4. 第 4 步（移项合并）：$(7-1)d=\underline{24}$，即 $\underline{6}d=24$。
    5. 第 5 步（求解）：$d=\underline{4}$（千米）。
    最终答案：$4$ 千米。
  56. 23. ch14-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（求家距）：设家距公园 $x$ 千米，临界时用时相等，$\dfrac{x}{1}+\dfrac{x+3}{5}=3$，去分母得 $6x=\underline{12}$，故 $x=\underline{2}$（千米）。
    2. 第 2 步（求骑车速度）：步行 $5$ 千米/时，速度比 $5:1$，骑车速度为 $5\times 5=\underline{25}$（千米/时）。
    3. 第 3 步（直接走的时间）：走 $3$ 千米，用 $\dfrac{3}{5}$ 小时 $=\underline{36}$（分钟）。
    4. 第 4 步（取车方案分两段）：步行 $2$ 千米用 $\dfrac{2}{5}$ 小时 $=\underline{24}$（分钟）；骑车 $2+3=5$ 千米用 $\dfrac{5}{25}$ 小时 $=\underline{12}$（分钟）。
    5. 第 5 步（合计）：取车方案共 $24+12=\underline{36}$（分钟），与直接走用时相同，验证临界成立。
    最终答案：（1）$2$ 千米；（2）两种走法都是 $36$ 分钟。
  57. 24. ch14-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（时间比怎么来）：时间 $=$ 路程 $\div$ 速度，逐段相除得时间比 $\dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{6}$。
    2. 第 2 步（化整数比）：三项同乘 $15$，依次得 $\dfrac{2}{3}\times15=\underline{10}$、$\dfrac{3}{5}\times15=\underline{9}$、$\dfrac{2}{6}\times15=\underline{5}$，即时间比为 $10:9:5$。
    3. 第 3 步（求每份）：平路占 $9$ 份，对应 $45$ 分钟，故每份 $45\div 9=\underline{5}$（分钟）。
    4. 第 4 步（求总时间）：总份数 $10+9+5=\underline{24}$ 份，总时间 $=\underline{120}$（分钟）。
    最终答案：$120$ 分钟。
  58. 24. ch14-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：时间 $=$ 路程 $\div$ 速度，时间比为 $\dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{6}$。
    2. 第 2 步（化整数比）：同乘 $15$ 得 $\underline{10}:\underline{9}:\underline{5}$。
    3. 第 3 步（求每份）：静水段占 $9$ 份 $=45$ 分钟，每份 $=\underline{5}$（分钟）。
    4. 第 4 步（求总时间）：共 $\underline{24}$ 份，总时间 $=\underline{120}$（分钟）。
    最终答案：$120$ 分钟。
  59. 24. ch14-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（时间比）：逐段“路程$\div$速度”得 $\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{4}$。
    2. 第 2 步（化整）：同乘 $10$，依次得 $\underline{5}$、$\underline{6}$、$\underline{5}$，时间比为 $5:6:5$。
    3. 第 3 步（求每份）：上坡占 $5$ 份 $=40$ 分钟，每份 $=\underline{8}$（分钟）。
    4. 第 4 步（求总时间）：共 $5+6+5=\underline{16}$ 份，总时间 $=\underline{128}$（分钟）。
    最终答案：$128$ 分钟。
  60. 24. ch14-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（时间比）：$\dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{6}$ 同乘 $15$ 得 $10:9:5$，每份 $45\div 9=\underline{5}$（分钟），总时间 $=\underline{120}$（分钟）。
    2. 第 2 步（路程每份）：路程比 $2:3:2$ 中平路占 $3$ 份 $=9$ 千米，每份 $9\div 3=\underline{3}$（千米）。
    3. 第 3 步（全程路程）：共 $2+3+2=\underline{7}$ 份，全程 $=\underline{21}$（千米）。
    4. 第 4 步（平均速度）：总时间化为小时 $120\div 60=\underline{2}$（小时），平均速度 $=21\div 2=\underline{10.5}$（千米/时）。
    最终答案：（1）$120$ 分钟；（2）$21$ 千米；（3）$10.5$ 千米/时。
  61. 25. ch14-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（第一次过程）：都 $6{:}00$ 出发、$12{:}00$ 相遇，各行 $12-6=\underline{6}$（小时）。
    2. 第 2 步（第二次过程）：客车从 $7{:}00$ 行到 $13{:}20$，共 $\underline{380}$ 分钟；货车从 $9{:}00$ 行到 $13{:}20$，共 $\underline{260}$ 分钟。
    3. 第 3 步（作差）：两次路程和都是全程，客车多行 $380-360=\underline{20}$ 分钟的路，恰好等于货车少行 $360-260=\underline{100}$ 分钟的路。
    4. 第 4 步（速度比）：$20v_{客}=100v_{货}$，所以 $v_{客}:v_{货}=100:20=\underline{5}:1$。
    5. 第 5 步（全程份数）：设货车 $1$ 份、客车 $5$ 份，全程 $=(5+1)\times 6=\underline{36}$（份）。
    6. 第 6 步（先行部分）：货车 $9{:}00$ 出发，到 $11{:}00$ 已行 $1\times 2=\underline{2}$（份）。
    7. 第 7 步（还需多久）：剩 $36-2=\underline{34}$ 份，还需 $34\div(5+1)$ 小时 $=\underline{340}$（分钟），即 $5$ 时 $40$ 分。
    8. 第 8 步（相遇时刻）：$11{:}00$ 再过 $5$ 时 $40$ 分，即 $16{:}40$ 相遇。
    最终答案：$16{:}40$。
  62. 25. ch14-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步：第一次两船各行 $12-6=\underline{6}$（小时）。
    2. 第 2 步：第二次 $A$ 船行 $\underline{380}$ 分钟，$B$ 船行 $\underline{260}$ 分钟。
    3. 第 3 步（作差求速度比）：$A$ 船多行 $\underline{20}$ 分钟的路等于 $B$ 船少行 $\underline{100}$ 分钟的路，故 $v_A:v_B=\underline{5}:1$。
    4. 第 4 步（份数）：全程 $=(5+1)\times 6=\underline{36}$ 份；$B$ 船先行 $2$ 小时为 $\underline{2}$ 份。
    5. 第 5 步：剩 $\underline{34}$ 份，还需 $\underline{340}$ 分钟，故 $16{:}40$ 相遇。
    最终答案：$16{:}40$。
  63. 25. ch14-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（速度比）：客车多行 $40$ 分的路等于货车少行 $20$ 分的路，$40v_{客}=20v_{货}$，得 $v_{客}:v_{货}=1:\underline{2}$。
    2. 第 2 步（全程份数）：设客车 $1$ 份、货车 $2$ 份，全程 $=(1+2)\times 5=\underline{15}$（份）。
    3. 第 3 步（同时出发的相遇时间）：$15\div(1+2)=\underline{5}$（小时），故 $9{:}00$ 出发在 $14{:}00$ 相遇。
    4. 第 4 步（相遇点位置）：客车占路程和的 $\dfrac{1}{1+2}=\underline{0.333333333}$，即相遇点距甲地是全程的 $\dfrac{1}{3}$。
    最终答案：$14{:}00$ 相遇；相遇点距甲地为全程的 $\dfrac{1}{3}$。
  64. 25. ch14-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（速度比）：$40v_{客}=20v_{货}$，得 $v_{客}:v_{货}=1:\underline{2}$，故 $1$ 份就是客车速度 $60$ 千米/时。
    2. 第 2 步（全程份数与实际长度）：全程 $=(1+2)\times 5=\underline{15}$（份），即 $15\times 60=\underline{900}$（千米）。
    3. 第 3 步（货车先行）：货车 $8{:}00$ 出发，到 $10{:}00$ 行了 $2\times 2=\underline{4}$ 份。
    4. 第 4 步（还需多久）：剩 $15-4=\underline{11}$ 份，需 $11\div 3$ 小时 $=\underline{220}$（分钟），即 $3$ 时 $40$ 分，故 $13{:}40$ 相遇。
    5. 第 5 步（相遇点）：客车从 $10{:}00$ 行了 $220$ 分钟，路程 $=60\times\dfrac{220}{60}=\underline{220}$（千米）。
    最终答案：（1）$13{:}40$ 相遇；（2）$900$ 千米；（3）相遇点距甲地 $220$ 千米。
  65. 26. ch14-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（化一维）：只比较“与路口的距离”，可把乙看成也从路口向北走。
    2. 第 2 步（第一次相等 = 相遇）：$10$ 分钟内两人合走 $1800$ 米，速度和 $=1800\div 10=\underline{180}$（米/分）。
    3. 第 3 步（第二次相等 = 追上）：$150$ 分钟内甲比乙多走 $1800$ 米，速度差 $=1800\div 150=\underline{12}$（米/分）。
    4. 第 4 步（和差问题）：甲速 $=(180+12)\div 2=\underline{96}$（米/分），乙速 $=96-12=\underline{84}$（米/分）。
    5. 第 5 步（求距离）：此时距路口 $=84\times 150=\underline{12600}$（米）。
    最终答案：$12600$ 米。
  66. 26. ch14-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（化一维）：只看与路口的距离，可把小强看成也从路口向北跑。
    2. 第 2 步：$10$ 分钟合走 $1800$ 米，速度和 $=\underline{180}$（米/分）。
    3. 第 3 步：$150$ 分钟小敏比小强多走 $1800$ 米，速度差 $=\underline{12}$（米/分）。
    4. 第 4 步：小敏速度 $=\underline{96}$，小强速度 $=\underline{84}$（米/分）。
    5. 第 5 步：此时距路口 $=\underline{12600}$（米）。
    最终答案：$12600$ 米。
  67. 26. ch14-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（相遇型）：$15$ 分钟合走 $2400$ 米，速度和 $=2400\div 15=\underline{160}$（米/分）。
    2. 第 2 步（追及型）：$120$ 分钟甲比乙多走 $2400$ 米，速度差 $=2400\div 120=\underline{20}$（米/分）。
    3. 第 3 步（和差公式）：甲速 $=(160+20)\div 2=\underline{90}$（米/分）。
    4. 第 4 步：乙速 $=160-90=\underline{70}$（米/分）。
    最终答案：甲 $90$ 米/分，乙 $70$ 米/分。
  68. 26. ch14-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步：速度和 $=1800\div 10=\underline{180}$（米/分），速度差 $=1800\div 150=\underline{12}$（米/分）。
    2. 第 2 步（和差）：甲速 $=\underline{96}$（米/分），乙速 $=\underline{84}$（米/分）。
    3. 第 3 步（过路口）：甲要走完 $1800$ 米才到路口，用时 $1800\div 96=\underline{18.75}$（分钟）。
    4. 第 4 步（路程差）：甲每分钟比乙多走 $12$ 米，多走 $900$ 米需 $900\div 12=\underline{75}$（分钟）。
    最终答案：（1）甲 $96$ 米/分、乙 $84$ 米/分；（2）$18.75$ 分钟；（3）$75$ 分钟。
  69. 28. ch14-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（折算）：下山速度是上山的 $3$ 倍，所以下山 $1$ 个全程等效于上坡 $1\div 3=\underline{0.333333333}$ 个全程。
    2. 第 2 步（甲的等效路程）：从出发到甲回到山脚，甲上 $1$ 全程、下 $1$ 全程，等效上坡 $1+\dfrac{1}{3}=\underline{1.333333333}$（全程）。
    3. 第 3 步（乙的等效路程）：同样时间内乙上 $1$ 全程、下 $\dfrac{1}{2}$ 全程，等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\underline{1.166666667}$（全程）。
    4. 第 4 步（上山速度比）：时间相同，$v_{甲}:v_{乙}=\dfrac{4}{3}:\dfrac{7}{6}$，两项同乘 $6$ 得 $\underline{8}:\underline{7}$，即 $8:7$。
    5. 第 5 步（求全程）：甲到顶时乙走了 $\dfrac{7}{8}$ 全程，相差 $8-7=\underline{1}$ 份就是 $600$ 米，全程 $=600\div 1\times 8=\underline{4800}$（米）。
    最终答案：$4800$ 米。
  70. 28. ch14-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（折算）：下楼 $1$ 个全程等效于上楼 $\underline{0.333333333}$ 个全程。
    2. 第 2 步：甲在“出发到回到楼底”内等效上楼 $\underline{1.333333333}$（全程）。
    3. 第 3 步：同样时间内乙等效上楼 $\underline{1.166666667}$（全程）。
    4. 第 4 步：上楼速度比 $\dfrac{4}{3}:\dfrac{7}{6}$ 同乘 $6$ 得 $\underline{8}:\underline{7}$。
    5. 第 5 步：相差 $\underline{1}$ 份 $=600$ 级，全程 $=\underline{4800}$（级）。
    最终答案：$4800$ 级。
  71. 28. ch14-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（折算）：下山 $1$ 全程等效上坡 $1\div 2=\underline{0.5}$ 个全程。
    2. 第 2 步（甲）：从出发到甲回到山脚，甲等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}=\underline{1.5}$（全程）。
    3. 第 3 步（乙）：同样时间内乙刚好爬到山顶，等效上坡 $\underline{1}$ 个全程。
    4. 第 4 步（速度比）：$v_{甲}:v_{乙}=\dfrac{3}{2}:1$，同乘 $2$ 得 $\underline{3}:\underline{2}$，即 $3:2$。
    5. 第 5 步（求全程）：甲到顶时乙走 $\dfrac{2}{3}$ 全程，差 $3-2=\underline{1}$ 份 $=800$ 米，全程 $=800\div 1\times 3=\underline{2400}$（米）。
    最终答案：$2400$ 米。
  72. 28. ch14-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（速度比）：甲等效上坡 $1+\dfrac{1}{3}=\underline{1.333333333}$、乙等效上坡 $1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\underline{1.166666667}$，同乘 $6$ 得速度比 $8:7$。
    2. 第 2 步（全程）：差 $8-7=\underline{1}$ 份 $=600$ 米，全程 $=\underline{4800}$（米）。
    3. 第 3 步（乙的位置）：甲回到山脚时乙在半山腰，距山脚 $4800\div 2=\underline{2400}$（米）。
    4. 第 4 步（往返总时间）：往返一个来回等效上坡 $1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$ 个全程，时间与速度成反比，乙与甲的总时间比 $=8\div 7=\underline{1.142857143}$。
    最终答案：（1）$4800$ 米；（2）$2400$ 米；（3）乙是甲的 $\dfrac{8}{7}$ 倍。
  73. 29. ch14-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（统一单位）：扶梯速度 $=2\div 3=\underline{0.666666667}$（级/秒），卡莉娅速度 $=3$ 级/秒。
    2. 第 2 步（求速度比）：$3:\dfrac{2}{3}$，两项同乘 $3$ 得 $\underline{9}:\underline{2}$，即 $9:2$。
    3. 第 3 步（谁走了多少）：同一段时间内两者走的级数之和就是可见部分 $165$ 级，总份数 $9+2=\underline{11}$ 份。
    4. 第 4 步（按比例分配）：每份 $165\div 11=\underline{15}$（级），卡莉娅走 $15\times 9=\underline{135}$（级）。
    最终答案：$135$ 级。
  74. 29. ch14-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（统一单位）：步道速度 $=\underline{0.666666667}$（块/秒），小林速度 $=3$ 块/秒。
    2. 第 2 步（速度比）：同乘 $3$ 得 $\underline{9}:\underline{2}$。
    3. 第 3 步（总份数）：$\underline{11}$ 份对应 $165$ 块。
    4. 第 4 步（分配）：每份 $\underline{15}$ 块，小林走 $\underline{135}$（块）。
    最终答案：$135$ 块。
  75. 29. ch14-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（求时间）：她每秒 $3$ 级，走 $135$ 级用 $135\div 3=\underline{45}$（秒）。
    2. 第 2 步（扶梯送了多少）：扶梯 $\dfrac{2}{3}$ 级/秒，$45$ 秒送上 $45\times\dfrac{2}{3}=\underline{30}$（级）。
    3. 第 3 步（合计）：可见部分 $=135+30=\underline{165}$（级）。
    最终答案：$165$ 级。
  76. 29. ch14-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（速度比）：扶梯 $\dfrac{2}{3}$ 级/秒、人 $3$ 级/秒，比为 $9:\underline{2}$。
    2. 第 2 步（分配）：总份数 $9+2=\underline{11}$，每份 $165\div 11=\underline{15}$（级），她走 $\underline{135}$（级）。
    3. 第 3 步（用时）：走 $135$ 级、每秒 $3$ 级，用 $135\div 3=\underline{45}$（秒）。
    4. 第 4 步（站着不动）：只靠扶梯走完 $165$ 级，需 $165\div\dfrac{2}{3}=\underline{247.5}$（秒）。
    最终答案：（1）$135$ 级；（2）$45$ 秒；（3）$247.5$ 秒。
  77. 31. ch14-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（设转油点）：设在距驻地 $x$ 千米处转油，返回的那辆往返共耗油 $2x$，最多能转出 $240-2x$。
    2. 第 2 步（能补进多少）：接受的那辆此时已耗油 $x$，油箱最多只能补进 $\underline{1}x$。
    3. 第 3 步（不浪费）：令 $240-2x=x$，即 $3x=\underline{240}$，解得 $x=\underline{80}$（千米）。
    4. 第 4 步（加满再走）：在 $80$ 千米处加满后还能走 $240$ 千米，最远 $=80+240=\underline{320}$（千米）。
    最终答案：$320$ 千米。
  78. 31. ch14-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步：设在距基地 $x$ 千米处转电，返回的那架往返耗电相当于 $2x$，最多可转出 $240-2x$。
    2. 第 2 步：接受的那架已耗 $x$，最多补进 $\underline{1}x$。
    3. 第 3 步：$240-2x=x$，即 $3x=\underline{240}$，$x=\underline{80}$（千米）。
    4. 第 4 步：最远 $=\underline{320}$（千米）。
    最终答案：$320$ 千米。
  79. 31. ch14-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（回顾结构）：设单车满油可行 $L$ 千米，转油点在 $\dfrac{L}{3}$ 处，最远距离 $=\dfrac{L}{3}+L=\dfrac{4}{3}L$。
    2. 第 2 步（列式）：$\dfrac{4}{3}L=300$，故 $L=300\times\dfrac{3}{4}=\underline{225}$（千米）。
    3. 第 3 步（回代检验）：转油点在 $225\div 3=\underline{75}$（千米）处，最远 $=75+225=\underline{300}$（千米），与题意相符。
    最终答案：$225$ 千米。
  80. 31. ch14-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（第一次转油）：三车同行 $x$ 千米，第三辆返回还需 $x$，可转出 $240-2x$；另两辆各需补 $x$，共需 $2x$。令 $240-2x=\underline{2}x$，得 $4x=240$，$x=\underline{60}$（千米）。
    2. 第 2 步（第二次转油）：两辆满油车从 $60$ 千米处再前进 $y$ 千米，供油车返回共需 $60+y$，可转出 $240-(y+60+y)$；受油车需补 $y$。令 $240-60-2y=y$，得 $3y=\underline{180}$，$y=\underline{60}$（千米）。
    3. 第 3 步（最后一程）：此时送信车在 $60+60=\underline{120}$（千米）处满油，还能再走 $240$ 千米。
    4. 第 4 步（求最远）：最远 $=120+240=\underline{360}$（千米）。
    最终答案：$360$ 千米。
  81. 32. ch14-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（同时到达意味着什么）：两班步行速度相同，要同时到达，两班坐车的路程必须相等、步行路程也必须相等。设甲班坐车 $p$ 千米，则乙班步行也是 $36-p$ 千米。
    2. 第 2 步（汽车放下甲班时乙班走了多远）：这段时间相同，乙班走的路程是甲班坐车路程的 $\dfrac{6}{42}=\underline{0.142857143}$，即 $\dfrac{p}{7}$ 千米。
    3. 第 3 步（返程是一次相遇）：汽车与乙班相向而行，合走 $p-\dfrac{p}{7}$，乙班分得其中的 $\dfrac{6}{6+42}=\underline{0.125}$。
    4. 第 4 步（列方程）：乙班步行总路程 $36-p=\dfrac{p}{7}+\dfrac{1}{8}\times\dfrac{6p}{7}$，整理得 $p=\dfrac{36\times(6+42)}{3\times 6+42}=\underline{28.8}$（千米）。
    5. 第 5 步（求返回点）：汽车返回接人处距科技馆 $36-28.8=\underline{7.2}$（千米）。
    最终答案：$7.2$ 千米。
  82. 32. ch14-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步：两队步行速度相同，要同时到达则两队坐车路程相等、步行路程相等。设甲队坐车 $p$ 千米。
    2. 第 2 步：中巴放下甲队时，乙队走了甲队坐车路程的 $\underline{0.142857143}$。
    3. 第 3 步：返程是相遇，乙队分得合走路程的 $\underline{0.125}$。
    4. 第 4 步：列方程解得 $p=\underline{28.8}$（千米）。
    5. 第 5 步：返回点距剧场 $\underline{7.2}$（千米）。
    最终答案：$7.2$ 千米。
  83. 32. ch14-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（对称性）：两班坐车路程相等、步行路程相等。设甲班坐车 $p$ 千米。
    2. 第 2 步（放下甲班时乙班的位置）：乙班走了 $\dfrac{6}{42}p=\underline{0.142857143}p$（千米）。
    3. 第 3 步（返程相遇）：列出 $36-p=\dfrac{p}{7}+\dfrac{6}{6+42}\times\dfrac{6p}{7}$，解得下车点 $p=\underline{28.8}$（千米）。
    4. 第 4 步（甲班步行）：$36-28.8=\underline{7.2}$（千米）。
    最终答案：下车点距学校 $28.8$ 千米，甲班步行 $7.2$ 千米。
  84. 32. ch14-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（下车点）：设甲班坐车 $p$ 千米，由 $36-p=\dfrac{6}{30}p+\dfrac{6}{6+30}\times\left(p-\dfrac{6}{30}p\right)$ 解得 $p=\dfrac{36\times(6+30)}{3\times 6+30}=\underline{27}$（千米）。
    2. 第 2 步（返回点）：距科技馆 $36-27=\underline{9}$（千米）。
    3. 第 3 步（总时间）：甲班坐车 $27$ 千米用 $27\div 30=\underline{0.9}$（小时），再步行 $9$ 千米用 $9\div 6=\underline{1.5}$（小时），共 $\underline{2.4}$（小时）。
    4. 第 4 步（汽车路程）：前进 $27$ 千米、倒回 $27-9=\underline{18}$ 千米、再前进 $27$ 千米，共 $27+18+27=\underline{72}$（千米）。
    最终答案：（1）$9$ 千米；（2）$2.4$ 小时；（3）汽车行驶 $72$ 千米。