六年级第15讲数论综合一

1. 【原题 ch15-chaoyue-01】有 $6$ 个互不相同且不为 $0$ 的自然数，其中任意 $5$ 个数的和都是 $7$ 的倍数，任意 $4$ 个数的和都是 $6$ 的倍数。请问：这 $6$ 个数的和最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「同余推导 + 最值构造」题：由“任意 5 个数之和是 7 的倍数、任意 4 个数之和是 6 的倍数”推出各数的整除结构，再构造使总和最小。

关键切入点：任取两组只差一个数的“$5$ 个数之和”，相减知任意两数模 $7$ 同余，故六数模 $7$ 全同余，记余数 $r$；又 $5r\equiv0\pmod7$ 得 $r=0$，即六数都是 $7$ 的倍数。同理由“$4$ 个数之和是 $6$ 的倍数”得六数模 $6$ 同余且 $4r'\equiv0\pmod6$，$r'=0$ 或 $3$。若都被 $6$ 整除则都是 $42$ 的倍数，最小六个和 $=42\times(1+\cdots+6)=882$；若都被 $6$ 除余 $3$ 则都是 $21$ 的奇数倍，最小六个 $21\times(1+3+5+7+9+11)=756$。取较小者 $756$。

方法概述：由“任意若干个数之和整除”推出各数模某数同余、进而都是某数的倍数，再取最小若干个构造和最小。

规范步骤：

任意 $5$ 数和是 $7$ 倍 $\Rightarrow$ 六数模 $7$ 同余且都被 $7$ 整除：$5r\equiv0\pmod7\Rightarrow r=0$（同余相减）
任意 $4$ 数和是 $6$ 倍 $\Rightarrow$ 六数模 $6$ 同余，$r'=0$ 或 $3$：$4r'\equiv0\pmod6$（同余）
情形一：都被 $6$ 整除（即 $42$ 的倍数）：$42\times(1+2+3+4+5+6)=882$（构造）
情形二：$21$ 的奇数倍：$21\times(1+3+5+7+9+11)=756$（构造）
取较小：$756<882$（比较）

第一套

题目：有 $7$ 个互不相同且不为 $0$ 的自然数，任意 $6$ 个数的和都是 $7$ 的倍数，任意 $5$ 个数的和都是 $6$ 的倍数。这 $7$ 个数的和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（模 $7$）：任意 $6$ 数和是 $7$ 倍，相减得七数模 $7$ 同余；又 $6r\equiv0\pmod7$ 得 $r=0$，七数都是 $7$ 的倍数。
第 2 步（模 $6$）：任意 $5$ 数和是 $6$ 倍，得七数模 $6$ 同余，$5r'\equiv0\pmod6$ 得 $r'=0$，七数都被 $6$ 整除，即都是 $42$ 的倍数。
第 3 步（构造最小）：取最小的七个 $42\times(1+2+\cdots+7)=42\times28=\underline{\quad}$。

第二套

题目：有 $6$ 张互不相同、面值均不为 $0$ 元的卡片，任意 $5$ 张面值之和都是 $7$ 的倍数，任意 $4$ 张面值之和都是 $6$ 的倍数。这 $6$ 张卡片面值之和最小是多少元？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（模 $7$）：由任意 $5$ 张和是 $7$ 倍得六个面值都是 $7$ 的倍数。
第 2 步（模 $6$）：由任意 $4$ 张和是 $6$ 倍得六面值模 $6$ 同余，余数为 $0$ 或 $3$。
第 3 步（两种构造）：都被 $6$ 整除时和 $=42\times(1+\cdots+6)=882$；$21$ 的奇数倍时和 $=21\times(1+3+5+7+9+11)=\underline{\quad}$。取较小者。

第三套

题目：有 $6$ 个互不相同且不为 $0$ 的自然数，任意 $5$ 个数的和都是 $7$ 的倍数，任意 $4$ 个数的和都是 $10$ 的倍数。这 $6$ 个数的和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（模 $7$）：同前，六数都是 $7$ 的倍数。
第 2 步（模 $10$）：任意 $4$ 数和是 $10$ 倍，得六数模 $10$ 同余，$4r'\equiv0\pmod{10}$ 得 $r'=0$ 或 $5$。
第 3 步（两种构造）：都被 $10$ 整除时是 $70$ 的倍数，和 $=70\times21=1470$；$35$ 的奇数倍时和 $=35\times(1+3+5+7+9+11)=\underline{\quad}$。取较小者。

第三套

题目：有 $6$ 个互不相同的**三位数**，任意 $5$ 个数的和都是 $7$ 的倍数，任意 $4$ 个数的和都是 $6$ 的倍数。这 $6$ 个数的和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定结构）：同原题推得六数要么都是 $42$ 的倍数、要么都是 $21$ 的奇数倍。
第 2 步（都是 $21$ 的奇数倍且为三位数）：最小的三位奇数倍是 $21\times5=105$，往上取 $21\times(5,7,9,11,13,15)$，和 $=21\times(5+7+9+11+13+15)=21\times60=\underline{\quad}$。
第 3 步（都是 $42$ 的倍数且为三位数）：最小六个是 $42\times(3,\dots,8)$，和 $=42\times33=1386$，更大。取较小者 $1260$。

2. 【原题 ch15-chaoyue-02】设 $N=301\times 302\times\cdots\times 2005\times 2006$，请问：（1）$N$ 的末尾一共会出现多少个连续的数字“$0$”？（2）用 $N$ 不断除以 $12$，直到结果不能被 $12$ 整除为止，一共可以除以多少次 $12$？

详细思路

是哪类问题：这是「层数法（勒让德公式）」题：求连乘积 $N=301\times\cdots\times2006$ 中某质因数的个数，用“逐层除”再作差。

关键切入点：$N$ 中质因数 $p$ 的个数 $=($ $1\sim2006$ 中 $p$ 的个数 $)-($ $1\sim300$ 中 $p$ 的个数 $)$，每部分用层数法 $\lfloor n/p\rfloor+\lfloor n/p^2\rfloor+\cdots$。（1）末尾 $0$ 由因数 $5$ 决定：$2006$ 段 $401+80+16+3=500$，$300$ 段 $60+12+2=74$，差 $426$。（2）除以 $12=2^2\times3$ 的次数由 $2$、$3$ 个数的瓶颈决定：$N$ 中 $2$ 有 $1998-296=1702$ 个、$3$ 有 $998-148=850$ 个，$\lfloor1702/2\rfloor=851\ge850$，瓶颈是 $3$，共 $850$ 次。

方法概述：用层数法分别求两端阶乘中各质因数个数再作差；末尾零看因数 5，除以合数看各质因子的瓶颈。

规范步骤：

层数法求 $1\sim2006$ 中因数 $5$：$401+80+16+3=500$（层数法）
减去 $1\sim300$ 中因数 $5$：$60+12+2=74$，差 $=426$（作差）
求 $N$ 中因数 $2$、$3$ 个数：$2$：$1702$；$3$：$850$（层数法）
除以 $12$ 的次数取瓶颈：$\min(\lfloor1702/2\rfloor,850)=850$（瓶颈分析）

第一套

题目：设 $M=401\times402\times\cdots\times3006$。（1）$M$ 末尾有多少个连续的 $0$？（2）$M$ 不断除以 $12$，最多能除多少次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（因数 $5$，$1\sim3006$）：$3006\div5=601$、$\div25=120$、$\div125=24$、$\div625=4$，共 $601+120+24+4=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（减 $1\sim400$）：$400$ 段因数 $5$ 有 $80+16+3=99$ 个；末尾零 $=749-99=\underline{\quad}$。
第 3 步（因数 $2$，作差）：$M$ 中因数 $2$ 共 $2997-397=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（$12=2^2\times3$ 取瓶颈）：因数 $3$ 有 $1305$ 个，而 $2600\div2=\underline{\quad}<1305$，故除以 $12$ 的次数由因数 $2$ 决定，为 $1300$ 次。

第二套

题目：某超大乘积 $N=301\times302\times\cdots\times2006$ 是流水线累乘的结果。（1）它的末尾有几个 $0$？（2）把它反复除以 $12$，最多能整除几次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（因数 $5$）：$1\sim2006$ 段 $401+80+16+3=\underline{\quad}$，$1\sim300$ 段 $60+12+2=74$，末尾零 $=500-74=\underline{\quad}$。
第 2 步（因数 $3$）：$N$ 中 $3$ 的个数 $998-148=\underline{\quad}$。
第 3 步（瓶颈）：$N$ 中 $2$ 有 $1702$ 个，$\lfloor1702/2\rfloor=851\ge850$，故除以 $12$ 的次数为 $\underline{\quad}$ 次。

第三套

题目：设 $2006!=1\times2\times\cdots\times2006$。（1）它末尾有多少个 $0$？（2）它最多能除以多少次 $12$？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（因数 $5$）：$401+80+16+3=\underline{\quad}$，即末尾 $500$ 个 $0$。
第 2 步（因数 $3$）：$668+222+74+24+8+2=\underline{\quad}$。
第 3 步（因数 $2$ 充足取瓶颈）：$998<\lfloor(1003+501+250+125+62+31+15+7+3+1)/2\rfloor$，故除以 $12$ 的次数为 $\underline{\quad}$ 次。

第三套

题目：设 $P=501\times502\times\cdots\times4008$。它最多能除以多少次 $24$？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（因数 $2$）：$1\sim4008$ 段减 $1\sim500$ 段，得 $P$ 中因数 $2$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（因数 $3$）：同法得 $P$ 中因数 $3$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（$24=2^3\times3$ 取瓶颈）：一次 $24$ 用 $3$ 个 $2$、$1$ 个 $3$，$\min(\lfloor3507/3\rfloor,1753)=\min(1169,1753)=\underline{\quad}$ 次。

3. 【原题 ch15-chaoyue-03】老师告诉贝贝和晶晶一个小于 $5000$ 的四位数。这个四位数是 $5$ 的倍数。贝贝计算出它与 $5!$ 的最小公倍数，晶晶计算出它与 $10!$ 的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的 $5$ 倍。请问：这个四位数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「最小公倍数与最大公约数倍数关系求数」题：四位数 $n$ 是 $5$ 的倍数，$[n,5!]=5\times(n,10!)$。

关键切入点：$n$ 的质因数必都小于 $10$（否则 $[n,5!]$ 含该质因数而 $(n,10!)$ 不含，破坏 $5$ 倍关系）。设 $n=2^a3^b5^c7^d$。$5!=2^3\cdot3\cdot5$，$10!=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7$。逐个质因子比较 $[n,5!]$ 与 $(n,10!)$ 的指数：只有 $5$ 这一维给出相差一个 $5^1$，其余维必须相等，解得 $a=3,b=1,c=3,d=0$，$n=2^3\times3\times5^3=3000$，且 $3000<5000$。

方法概述：限定 $n$ 的质因数都小于 10，把 $[n,5!]=5(n,10!)$ 转成各质因子指数方程求解。

规范步骤：

$n$ 的质因数都 $<10$：$n=2^a3^b5^c7^d$（倍数关系约束）
写出 $5!$、$10!$ 的分解：$5!=2^3\cdot3\cdot5,\ 10!=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7$（阶乘分解）
逐维比较指数得方程：只有因数 $5$ 相差一次（指数比较）
解得：$n=2^3\times3\times5^3=3000$（求解）
验证范围：$3000<5000$ √（范围核对）

第一套

题目：一个小于 $10000$ 的四位数是 $5$ 的倍数，它与 $5!$ 的最小公倍数恰是它与 $10!$ 的最大公约数的 $5$ 倍。求所有这样的四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（同原理）：满足指数方程的基础解是 $n=2^3\times3\times5^3=\underline{\quad}$。
第 2 步（找同类解）：把 $5$ 的指数保持、$n$ 乘以合适倍数仍满足关系的，只有 $3000$ 的“同结构倍数” $6000=2\times3000$、$9000=3\times3000$ 也在四位数内。
第 3 步（写出）：$3000,6000,9000$，其中 $6000\div3000=\underline{\quad}$、$9000\div3000=3$。

第二套

题目：老师给出一个小于 $5000$ 的四位数（是 $5$ 的倍数）。甲算它与 $5!$ 的最小公倍数，乙算它与 $10!$ 的最大公约数，发现甲的结果恰是乙的 $5$ 倍。这个四位数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（同原理）：$n$ 的质因数都小于 $10$，设 $n=2^a3^b5^c7^d$。
第 2 步（解指数方程）：得 $a=3,b=1,c=3,d=0$，$n=2^3\times3\times5^3=\underline{\quad}$。
第 3 步（验范围）：$3000<5000$ √，$3000\div5=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个小于 $5000$ 的四位数是 $5$ 的倍数，它与 $5!$ 的最小公倍数恰是它与 $10!$ 的最大公约数的 $10$ 倍。求所有这样的四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（原理）：$n=2^a3^b5^c7^d$，$10$ 倍关系要求某两维（$2$ 与 $5$）合计多出一个 $2$ 和一个 $5$。
第 2 步（解方程）：满足的基础解是 $n=2^2\times3\times5^3=\underline{\quad}$。
第 3 步（同类解）：$1500$ 与 $4500=3\times1500$ 都在四位数范围内，$4500\div1500=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个小于 $5000$ 的四位数是 $5$ 的倍数，它与 $5!$ 的最小公倍数恰是它与 $10!$ 的最大公约数的 $2$ 倍。求所有这样的四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（原理）：$n=2^a3^b5^c7^d$，$2$ 倍关系只在因数 $2$ 一维相差一次。
第 2 步（解方程并枚举）：得到的四位数基础解含 $n=2^2\times3^2\times5\times7=\underline{\quad}$（$=1260$），以及同结构的 $1620,2100,2700,3780$。
第 3 步（写全部）：共 $5$ 个，最小的是 $1260$，$1260\div5=\underline{\quad}$。

4. 【原题 ch15-chaoyue-04】一个正整数，它分别加上 $75$ 和 $48$ 以后都不是 $120$ 的倍数，但这两个和的乘积却能被 $120$ 整除。请问：这个正整数最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「乘积整除而各自不整除」题：$A+75$、$A+48$ 都不是 $120$ 的倍数，但它们的乘积能被 $120$ 整除，求最小的 $A$。

关键切入点：$120=2^3\times3\times5=8\times3\times5$。乘积被 $120$ 整除、而两因数都不被 $120$ 整除，说明 $8$、$3$、$5$ 这几块被两个和“分担”。分析得：一个是 $15$（$=3\times5$）的倍数，另一个是 $24$（$=8\times3$）的倍数（$3$ 可两边都占）。分两类：若 $A+75$ 是 $15$ 倍、$A+48$ 是 $24$ 倍，则 $A$ 同为 $15$、$24$ 的倍数，最小 $120$（但要排除使某个和被 $120$ 整除）；若 $A+75$ 是 $24$ 倍、$A+48$ 是 $15$ 倍，则 $A\div24$ 余 $21$、$A\div15$ 余 $12$，最小 $A=117$。取最小 $117$。

方法概述：把 120 拆成互质块，分析两个和如何分担质因子，分类用带余除法求最小。

规范步骤：

$120=8\times3\times5$：两因数分担 $8,3,5$（质因数分解）
一个含 $15$、一个含 $24$：两类讨论（分类）
类二：$A+75$ 被 $24$ 整除、$A+48$ 被 $15$ 整除：$A\div24\cdots21,\ A\div15\cdots12$（带余除法）
解同余得最小：$A=117$（求解）
验证：$192=24\times8,\ 165=15\times11$，积被 $120$ 整除，各自不被（验证）

第一套

题目：一个正整数加上 $135$ 和加上 $108$ 以后都不是 $120$ 的倍数，但这两个和的乘积能被 $120$ 整除。这个正整数最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆除数）：$120=8\times3\times5$，两个和分担这些因子。
第 2 步（分类求解）：让 $A+135$ 是 $24$ 的倍数、$A+108$ 是 $15$ 的倍数，得 $A\div24$ 余 $\underline{\quad}$（$24-135\%24$）、$A\div15$ 余 $12$，最小 $A=57$。
第 3 步（验证）：$57+135=192=24\times8$、$57+108=165=15\times11$，乘积 $192\times165\div120=\underline{\quad}$，各自不被 $120$ 整除。

第二套

题目：一个正整数，分别加上 $75$ 和 $48$ 后都不是 $120$ 的整数倍，但两个和相乘能被 $120$ 整除。求满足条件的最小正整数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆除数）：$120=8\times3\times5$。
第 2 步（分类）：取 $A+75$ 被 $24$ 整除、$A+48$ 被 $15$ 整除，得 $A$ 除以 $24$ 余 $21$、除以 $15$ 余 $12$，最小 $A=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证）：$117+75=192$、$117+48=165$，乘积能被 $120$ 整除（$192\times165\div120=\underline{\quad}$）。

第三套

题目：一个正整数加上 $195$ 和加上 $168$ 后都不是 $120$ 的倍数，但两个和的乘积能被 $120$ 整除。这个正整数最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆除数）：$120=8\times3\times5$。
第 2 步（分类）：取 $A+195$ 被 $24$ 整除、$A+168$ 被 $15$ 整除，得 $A$ 除以 $24$ 余 $21$、除以 $15$ 余 $12$，最小 $A=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证）：$117+195=312=24\times13$、$117+168=285=15\times19$，$312\times285\div120=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个正整数加上 $75$ 和加上 $48$ 后都不是 $240$ 的倍数，但两个和的乘积能被 $240$ 整除。这个正整数最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆除数）：$240=2^4\times3\times5=16\times3\times5$，比 $120$ 多一个因数 $2$。
第 2 步（分担）：两个和须分担 $16,3,5$；一个含 $48=16\times3$、另一个含 $5$（或更细）。分类求解得最小 $A=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证）：$117+75=192=16\times12$（被 $16$、$3$ 整除）、$117+48=165=5\times33$（被 $5、3$ 整除），乘积 $192\times165\div240=\underline{\quad}$，且各自不被 $240$ 整除。

5. 【原题 ch15-chaoyue-05】$a$、$b$、$c$ 是三个非零自然数。$a$ 和 $b$ 的最小公倍数是 $300$，$c$ 和 $a$、$c$ 和 $b$ 的最大公约数都是 $20$，且 $a>b>c$。请问：满足条件的 $a$、$b$、$c$ 共有多少组？

详细思路

是哪类问题：这是「公倍数公约数联合求组数」题：$[a,b]=300$，$(c,a)=(c,b)=20$，$a>b>c$，求组数。

关键切入点：先按 $[a,b]=300=2^2\times3\times5^2$ 枚举满足条件的 $(a,b)$；再用 $(c,a)=(c,b)=20$ 约束 $c$：$c$ 是 $20=2^2\times5$ 的倍数，且与 $a,b$ 的公因子恰为 $20$。结合 $a>b>c$ 逐一检验，共得 $7$ 组。

方法概述：先按最小公倍数枚举 $(a,b)$，再用“与 c 的最大公约数为 20”约束 c，结合大小关系计数。

规范步骤：

$300=2^2\times3\times5^2$，枚举 $(a,b)$：$\max$ 各质因子指数配平（最小公倍数分配）
$c$ 是 $20$ 的倍数且公因子恰为 $20$：$(c,a)=(c,b)=20$（最大公约数约束）
结合 $a>b>c$ 逐一验证：共 $7$ 组（枚举计数）

第一套

题目：$a,b,c$ 是三个非零自然数，$[a,b]=600$，$(c,a)=(c,b)=20$，且 $a>b>c$。满足条件的 $a,b,c$ 共有多少组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$600=2^3\times3\times5^2$，$20=2^2\times5$。
第 2 步（枚举 $(a,b)$ 并配 $c$）：按最小公倍数配平枚举 $(a,b)$，再让 $c$ 为 $20$ 的倍数且与 $a,b$ 公因子恰为 $20$，结合 $a>b>c$ 逐一检验。
第 3 步（计数）：共得 $\underline{\quad}$ 组。

第二套

题目：三根绳子长度 $a>b>c$（厘米，均为整数）。$a,b$ 的最小公倍数是 $300$，$c$ 与 $a$、$c$ 与 $b$ 的最大公约数都是 $20$。满足条件的长度组共有多少组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$300=2^2\times3\times5^2$，$20=2^2\times5$。
第 2 步（枚举）：先按 $[a,b]=300$ 枚举 $(a,b)$，再用 $(c,a)=(c,b)=20$ 约束 $c$，结合 $a>b>c$ 检验。
第 3 步（计数）：共 $\underline{\quad}$ 组。

第三套

题目：$a,b,c$ 是三个非零自然数，$[a,b]=180$，$(c,a)=(c,b)=12$，且 $a>b>c$。满足条件的组数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$180=2^2\times3^2\times5$，$12=2^2\times3$。
第 2 步（枚举与约束）：按 $[a,b]=180$ 枚举 $(a,b)$，$c$ 为 $12$ 的倍数且与 $a,b$ 公因子恰为 $12$，结合 $a>b>c$。
第 3 步（计数）：共 $\underline{\quad}$ 组。

第三套

题目：$a,b,c$ 是三个非零自然数，$[a,b]=900$，$(c,a)=(c,b)=30$，且 $a>b>c$。满足条件的组数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$900=2^2\times3^2\times5^2$，$30=2\times3\times5$。
第 2 步（枚举与约束）：按 $[a,b]=900$ 枚举 $(a,b)$（三个质因子都到平方，分配更多），$c$ 为 $30$ 的倍数且公因子恰为 $30$，结合 $a>b>c$。
第 3 步（计数）：共 $\underline{\quad}$ 组。

6. 【原题 ch15-chaoyue-06】有一类三位数，它们除以 $2、3、4、5、6$ 所得到的余数互不相同（可以含 $0$）。这样的三位数中最小的三个是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「多模余数互异 + 中国剩余定理」题：三位数除以 $2,3,4,5,6$ 的余数互不相同，求最小的三个。

关键切入点：先排除不可能的余数：$N$ 除以 $4$ 的余数不能是 $0$ 或 $1$（否则与除以 $2$ 的余数重复），$N$ 除以 $6$ 的余数不能是 $0$ 或 $1$（否则与除以 $3$ 重复）。再按奇偶分类，用物不知数（孙子定理）逐类求最小解，得三位数中最小的三个是 $118,119,155$。

方法概述：先用余数互异排除不可能的余数，再按奇偶分类用中国剩余定理求最小解。

规范步骤：

排除重复余数：除以 $4$ 余数 $\ne0,1$；除以 $6$ 余数 $\ne0,1$（余数互异）
偶数情形：除以 $2$ 余 $0$，解出最小 $118$（中国剩余定理）
奇数情形：除以 $2$ 余 $1$，解出 $119,155$（中国剩余定理）
取最小三个：$118,119,155$（比较）

第一套

题目：有一类三位数，它们除以 $2,3,4,5,6,7$ 所得的余数互不相同（可含 $0$）。这样的三位数中最小的三个是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（排除重复）：除以 $4$ 余数 $\ne$ 除以 $2$ 的余数，除以 $6$ 余数 $\ne$ 除以 $3$、除以 $2$ 的余数，六个余数要两两不同。
第 2 步（枚举验证）：从 $100$ 起逐个检验六个余数是否互异，最小的是 $118$（$118\%7=\underline{\quad}$）、次小 $119$。
第 3 步（第三个）：继续找到 $335$，其除以 $2\sim7$ 的余数 $1,2,3,0,5,6$ 互不相同，故第三个是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：某类三位数编号，除以 $2,3,4,5,6$ 所得余数互不相同。求最小的三个这样的编号。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（排除重复）：除以 $4$ 余数 $\ne$ 除以 $2$ 的余数，除以 $6$ 余数 $\ne$ 除以 $3$ 的余数。
第 2 步（求解）：偶数类最小解 $118$（$118\%4=\underline{\quad}$），奇数类解 $119,155$。
第 3 步（取三个）：最小三个是 $118,119,155$，其中 $155\%6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一类三位数，它们除以 $2,3,4,5$ 所得余数互不相同。求最小的三个。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（排除重复）：除以 $4$ 余数不能等于除以 $2$ 的余数。
第 2 步（枚举）：从 $100$ 起验证四个余数互异，最小 $118$（$118\%5=\underline{\quad}$）、次小 $119$。
第 3 步（第三个）：继续得 $147$，其除以 $2,3,4,5$ 余 $1,0,3,2$ 互异，故第三个是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一类四位数，它们除以 $2,3,4,5,6$ 所得余数互不相同。求最小的三个四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（排除重复）：与原题同，除以 $4$ 余数 $\ne$ 除以 $2$，除以 $6$ 余数 $\ne$ 除以 $3$。
第 2 步（在四位数范围枚举）：从 $1000$ 起找满足的数，最小 $1018$（$1018\%4=\underline{\quad}$）、次小 $1019$。
第 3 步（第三个）：继续得 $1055$，故最小三个是 $1018,1019,1055$，$1055\%6=\underline{\quad}$。

7. 【原题 ch15-chaoyue-07】有一个自然数除以 $15、17、19$ 所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于 $1$，那么这个自然数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「商余之和相等 + 建立方程」题：一个数除以 $15,17,19$ 所得的商与余数之和都相等，商余都大于 $1$。

关键切入点：设除以 $15$ 商 $a$ 余 $b$、除以 $17$ 商 $c$ 余 $d$、除以 $19$ 商 $e$ 余 $f$，则 $a+b=c+d=e+f$ 且 $15a+b=17c+d=19e+f$（都等于原数）。两式相减得 $14a=16c=18e$，取其为 $7\times16\times9\times t=1008t$，则 $a=72t,c=63t,e=56t$。代回得 $f-b=16t$，由 $1<b,f<19$ 只能 $b=2,f=18,t=1$，原数 $=15\times72+2=1082$。

方法概述：对三个带余除法列“商加余数相等、被除数相等”方程组，借最小公倍数解商，再用余数范围定参数。

规范步骤：

列方程：$a+b=c+d=e+f$，$15a+b=17c+d=19e+f$（带余除法建方程）
相减消余数：$14a=16c=18e$（消元）
用最小公倍数设参数：$a=72t,c=63t,e=56t$（最小公倍数）
由余数范围定 $t$：$f-b=16t$，$b=2,f=18,t=1$（余数范围）
求原数：$15\times72+2=1082$（回代）

第一套

题目：一个自然数除以 $19$、$21$、$23$ 所得的商与余数之和都相等，且商和余数都大于 $1$。这个自然数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列方程）：设三次分别商 $a,c,e$ 余 $b,d,f$，则商余和相等、被除数相等，相减得 $18a=20c=22e$。
第 2 步（设参数）：$[18,20,22]=1980$，取 $18a=20c=22e=1980t$，则 $a=110t,c=99t,e=90t$。
第 3 步（定 $t$）：由 $a+b=e+f$ 得 $f-b=(110-90)t=20t$，因 $1<b,f<19$… 实际余数上限为 $19-1=18$（除以 $19$），$f-b=20t$ 需 $t$ 使之可行，解得原数 $=19\times110+2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一个自然数，用 $15$、$17$、$19$ 去除，每次得到的“商 + 余数”都相等，且商与余数都大于 $1$。这个数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列方程）：设商 $a,c,e$、余 $b,d,f$，相减得 $14a=16c=18e$。
第 2 步（设参数）：$a=72t,c=63t,e=56t$。
第 3 步（定 $t$）：$f-b=16t$，由 $1<b,f<19$ 得 $b=2,f=18,t=1$，原数 $=15\times72+2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个自然数除以 $11$、$13$、$15$ 所得的商与余数之和都相等，且商和余数都大于 $1$。这个自然数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列方程）：设商 $a,c,e$、余 $b,d,f$，相减得 $10a=12c=14e$。
第 2 步（设参数）：$[10,12,14]=420$，取 $10a=12c=14e=420t$，则 $a=42t,c=35t,e=30t$。
第 3 步（定 $t$）：$f-b=(42-30)t=12t$，由 $1<b,f<11$（除以 $11$ 余数上限 $10$）得 $b=2,f=? $；解得原数 $=11\times42+2=\underline{\quad}$。

8. 【原题 ch15-chaoyue-08】有 $4$ 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的 $3$ 个数整除。请写出这 $4$ 个数。

详细思路

是哪类问题：这是「和被多数整除的构造」题：$4$ 个互不相同、首位数字相同的三位数，它们的和能被其中 $3$ 个数整除。

关键切入点：关键：被和 $S$ 整除的那 $3$ 个数都是 $S$ 的约数，而 $4$ 个数首位相同（都在 $\overline{k\,\ast\,\ast}$ 区间），和 $S$ 约在同一首位数字的若干倍附近。以首位 $1$ 试探：取 $108,117,135,180$，和 $S=540$，而 $540\div108=5$、$540\div135=4$、$540\div180=3$ 都整除，$540\div117$ 不整除，恰好 $3$ 个整除，满足要求。

方法概述：由“和被其中 3 个整除”知这 3 个数都是和 S 的约数，结合首位相同枚举构造。

规范步骤：

被整除的 $3$ 个数都是和 $S$ 的约数：$S=A+B+C+D$（约数与整除）
四数首位相同（如首位 $1$）：都在 $100\sim199$（首位限制）
试 $S=540$：$540=2^2\times3^3\times5$，其在 $100\sim199$ 的约数有 $108,135,180$（约数枚举）
补第四个数使和为 $540$：$540-108-135-180=117$（凑和）
验证：$540\div108=5,\ \div135=4,\ \div180=3$，恰 $3$ 个整除（验证）

9. 【原题 ch15-tuozhan-01】已知 $\overline{3a7}\times\overline{b0c}$ 是 $495$ 的倍数，其中 $a$、$b$、$c$ 分别代表不同的数字，请问：三位数 $\overline{abc}$ 是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「乘积整除型数字谜」：两个含未知数字的三位数之积是 $495$ 的倍数，反推各字母。

关键切入点：关键是把 $495=5\times9\times11$ 拆成互质因数，再分析这两个整除性各由哪个因数承担。$\overline{3a7}$ 个位是 $7$，不被 $5$ 整除；用被 $11$ 整除的“奇偶位数字和之差”判断，$\overline{3a7}$ 也不可能被 $11$ 整除。于是 $5$ 和 $11$ 都要由 $\overline{b0c}$ 提供——它同时是 $5$、$11$ 的倍数，形如 $\overline{b0c}$ 的只有 $605$。$605$ 不被 $9$ 整除，所以 $9$ 只能由 $\overline{3a7}$ 承担：$3+a+7$ 是 $9$ 的倍数，得 $a=8$，从而 $\overline{abc}=865$。

方法概述：把 $495$ 拆成 $5、9、11$，判断每个整除性由哪个因数承担，定出 $\overline{b0c}$ 后再求 $a$。

规范步骤：

分解除数：$495=5\times9\times11$（质因数分解）
$\overline{3a7}$ 不被 $5$、也不被 $11$ 整除：$5$、$11$ 都由 $\overline{b0c}$ 提供（整除特征）
$\overline{b0c}$ 是 $55$ 的倍数且中间为 $0$：$\overline{b0c}=605$（枚举）
$605$ 不被 $9$ 整除，故 $9$ 由 $\overline{3a7}$ 提供：$3+a+7=18\Rightarrow a=8$（被 9 整除特征）
得三位数 $\overline{abc}$：$865$，且 $387\times605=234135=495\times473$（回代验证）

10. 【原题 ch15-tuozhan-02】$11$ 个连续两位数乘积的末 $4$ 位都是 $0$，那么这 $11$ 个数的总和最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「末尾零个数 + 连续数求和」题：乘积末尾有几个 $0$ 由质因数 $2$、$5$ 中较少的一个决定，本题瓶颈在因数 $5$。

关键切入点：末 $4$ 位都是 $0$，要求乘积至少含 $4$ 个因数 $2$ 和 $4$ 个因数 $5$。连续 $11$ 个数里偶数至少 $5$ 个，因数 $2$ 绰绰有余；瓶颈是因数 $5$：连续 $11$ 个数里 $5$ 的倍数最多 $3$ 个，要凑够 $4$ 个因数 $5$，其中必须有一个数含 $2$ 个因数 $5$，最小的这种数是 $25$。故区间取 $15\sim25$，用等差求和 $(15+25)\times11\div2=220$。

方法概述：把“末 4 个 0”化为“至少 4 个因数 5”，锁定区间含 25，再用等差数列求和。

规范步骤：

末 $4$ 个 $0$ 需要 $4$ 个因数 $5$：因数 $2$ 足够，瓶颈是因数 $5$（末尾零原理）
连续 $11$ 数中 $5$ 的倍数最多 $3$ 个：必有一个含 $2$ 个因数 $5$，最小为 $25$（质因数分解）
确定区间：$15\sim25$（构造最小）
等差求和：$(15+25)\times11\div2=220$（等差数列求和）

第一套

题目：$11$ 个连续两位数（可含三位数）乘积的末 $5$ 位都是 $0$，那么这 $11$ 个连续自然数的总和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找瓶颈）：末 $5$ 个 $0$ 需要 $5$ 个因数 $5$。连续 $11$ 数中 $5$ 的倍数最多 $3$ 个，要凑 $5$ 个因数 $5$，必须包含一个含 $3$ 个因数 $5$ 的数，最小是 $125=5^3$。
第 2 步（定区间）：让 $125$ 落在这 $11$ 个数里且尽量靠前，取 $115\sim125$，其中 $120=5\times24$ 再添 $1$ 个、$125$ 添 $3$ 个，共 $\underline{\quad}$ 个因数 $5$，够用。
第 3 步（等差求和）：$(115+125)\times11\div2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：工厂给 $11$ 台连续编号（均为两位数）的机器编产量，全部产量之积的末 $4$ 位恰好都是 $0$。这 $11$ 个编号之和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找瓶颈）：末 $4$ 个 $0$ 需 $4$ 个因数 $5$，瓶颈在因数 $5$。
第 2 步（定区间）：连续 $11$ 数中须含一个 $2$ 倍因数 $5$ 的数，最小是 $25$，区间取 $15\sim25$，因数 $5$ 来自 $15,20,25$ 共 $1+1+2=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（等差求和）：$(15+25)\times11\div2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$13$ 个连续自然数（最小的是两位数）乘积的末 $4$ 位都是 $0$，这 $13$ 个数的总和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找瓶颈）：末 $4$ 个 $0$ 需 $4$ 个因数 $5$。连续 $13$ 个数中 $5$ 的倍数最多 $3$ 个，仍须含一个 $25$ 才够 $4$ 个因数 $5$。
第 2 步（定区间）：为使总和最小又含 $25$，取 $13\sim25$，因数 $5$ 来自 $15,20,25$ 共 $1+1+2=\underline{\quad}$ 个，够用。
第 3 步（等差求和）：$(13+25)\times13\div2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$11$ 个连续三位数乘积的末 $4$ 位都是 $0$，这 $11$ 个连续三位数的总和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找瓶颈）：仍需 $4$ 个因数 $5$，且这次每个数都要是**三位数**。
第 2 步（定区间）：最小的含“$2$ 倍因数 $5$”的三位数区间要含 $100=5^2\times4$。取 $100\sim110$，因数 $5$ 来自 $100(2\text{个}),105(1\text{个}),110(1\text{个})$ 共 $2+1+1=\underline{\quad}$ 个，够用。
第 3 步（等差求和）：$(100+110)\times11\div2=\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch15-tuozhan-03】有一个算式 $9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1$，小明在上式中把一些“$\times$”换成“$\div$”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「乘除符号替换求最值」类：在 $9\times8\times\cdots\times1$ 里把一些“$\times$”改成“$\div$”，结果仍为自然数且最小。

关键切入点：换号相当于把结果除以某数的平方，不改变任何质因数指数的奇偶性。$9\times8\times\cdots\times1=362880=2^7\times3^4\times5\times7$，指数为奇数的质因数是 $2,5,7$，所以结果必是 $2\times5\times7=70$ 的倍数。又 $362880\div70=5184=72^2$ 是完全平方数，说明可以“一半乘一半除”配平，最小值 $70$ 能取到（如 $9\times8\times7\div6\times5\div4\div3\times2\times1=70$）。

方法概述：用指数奇偶性求出结果必含的最小因数，再验证剩余是完全平方数即达最小。

规范步骤：

分解质因数：$362880=2^7\times3^4\times5\times7$（质因数分解）
奇指数质因数是 $2,5,7$：结果必是 $2\times5\times7=70$ 的倍数（奇偶不变原理）
验证 $70$ 可达：$362880\div70=5184=72^2$（完全平方数）
给出构造：$9\times8\times7\div6\times5\div4\div3\times2\times1=70$（构造）

第一套

题目：有一个算式 $11\times10\times9\times\cdots\times2\times1$，把其中一些“$\times$”换成“$\div$”，结果仍是自然数，最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$11!=39916800=2^8\times3^4\times5^2\times7\times11$。
第 2 步（奇偶不变）：指数为奇数的质因数是 $7$ 和 $11$，故结果必是 $7\times11=\underline{\quad}$ 的倍数。
第 3 步（验证可达）：$39916800\div77=\underline{\quad}$，它是完全平方数 $720^2$，故最小值 $77$ 能取到。

第二套

题目：小明用九张卡片 $9,8,7,6,5,4,3,2,1$ 按序连乘，允许把一些“$\times$”改成“$\div$”，但要保证结果仍是自然数。这个自然数最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$9\times8\times\cdots\times1=\underline{\quad}=2^7\times3^4\times5\times7$。
第 2 步（奇偶不变）：奇指数质因数是 $2,5,7$，结果必是 $2\times5\times7=\underline{\quad}$ 的倍数。
第 3 步（验证可达）：$362880\div70=\underline{\quad}$，是完全平方数 $72^2$，最小值 $70$ 可达。

第三套

题目：有一个算式 $8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1$，把其中一些“$\times$”换成“$\div$”，结果仍是自然数，最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$8!=40320=2^7\times3^2\times5\times7$。
第 2 步（奇偶不变）：奇指数质因数是 $2,5,7$，结果必是 $2\times5\times7=\underline{\quad}$ 的倍数。
第 3 步（验证可达）：$40320\div70=\underline{\quad}$，是完全平方数 $24^2$。

第三套

题目：有一个算式 $12\times11\times10\times\cdots\times2\times1$，把其中一些“$\times$”换成“$\div$”，结果仍是自然数，最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$12!=479001600=2^{10}\times3^5\times5^2\times7\times11$。
第 2 步（奇偶不变）：指数为奇数的质因数是 $3,7,11$，结果必是 $3\times7\times11=\underline{\quad}$ 的倍数。
第 3 步（验证可达）：$479001600\div231=\underline{\quad}$，它是完全平方数，故最小值 $231$ 能取到。

12. 【原题 ch15-tuozhan-04】由 $1$、$2$、$3$、$4$ 各一个组成四位数 $\overline{abcd}$，使得 $a$、$\overline{ab}$、$\overline{abc}$、$\overline{abcd}$ 这四个自然数都不是 $3$ 的倍数，那么 $\overline{abcd}$ 最大是多少，最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「被 3 整除特征 + 排列最值」题：用 $1,2,3,4$ 各一次排成四位数，使 $a,\overline{ab},\overline{abc},\overline{abcd}$ 都不是 $3$ 的倍数。

关键切入点：被 $3$ 整除只看数字和。逐位累加数字和：$a$、$a+b$、$a+b+c$、$a+b+c+d=10$（恒不被 $3$ 整除，天然满足）。求最大时从高位尽量放大数字并保证每个前缀和都不被 $3$ 整除；求最小时从高位尽量放小。贪心逐位确定即可。

方法概述：把整除性化为“前缀数字和不被 3 整除”，从高位贪心地放最大/最小的可行数字。

规范步骤：

被 $3$ 整除只看数字和，逐个前缀判断：$a,\ a+b,\ a+b+c,\ 10$ 都不被 $3$ 整除（被 3 整除特征）
求最大：$a=4,\ b=3$（和 $7$），$c$ 不能是 $2$（否则和 $9$）：$c=1,\ d=2$（贪心最大）
得最大：$4312$
求最小：$a=1$，$b$ 不能是 $2$（和 $3$），取 $b=3$，$c$ 不能是 $2$（和 $6$）：$c=4,\ d=2$（贪心最小）
得最小：$1342$

第一套

题目：由 $2,3,4,5$ 各一个组成四位数 $\overline{abcd}$，使 $a,\overline{ab},\overline{abc},\overline{abcd}$ 都不是 $3$ 的倍数，那么 $\overline{abcd}$ 最大是多少，最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$2+3+4+5=\underline{\quad}$，不被 $3$ 整除，所以整个四位数天然满足。
第 2 步（求最大）：$a=5$；$a+b$ 不被 $3$，$b$ 取次大 $4$（和 $9$ 不行），取 $b=\underline{\quad}$（和 $8$）；$a+b+c$ 不被 $3$，$c=2$（和 $10$）；$d=4$。得 $5324$。
第 3 步（求最小）：$a=2$；$b$ 不能使和为 $3$ 的倍数，$b=3$（和 $5$）；$c$ 取 $5$（和 $10$）；$d=4$。得 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：用写着 $1,2,3,4$ 的四张卡片排成一个四位数密码，要求从左往右读出的 $1$ 位、$2$ 位、$3$ 位、$4$ 位数都不是 $3$ 的倍数。这个密码最大是多少，最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+3+4=\underline{\quad}$，不被 $3$ 整除。
第 2 步（求最大）：$a=4,b=3$（和 $7$），$c$ 不能取 $2$（和 $9$），故 $c=1,d=2$，得 $\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小）：$a=1$，$b$ 取 $3$（和 $4$，$b=2$ 会得和 $3$），$c=4,d=2$，得 $1342$。

第三套

题目：由 $1,3,4,5$ 各一个组成四位数 $\overline{abcd}$，使 $a,\overline{ab},\overline{abc},\overline{abcd}$ 都不是 $3$ 的倍数，求最大与最小。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+3+4+5=\underline{\quad}$，不被 $3$ 整除。
第 2 步（求最大）：$a=5$；$a+b$ 不被 $3$，$b=4$（和 $9$ 不行）取 $b=3$（和 $8$）；$c=1$（和 $9$ 不行）取 $c=1$? 和 $9$——故 $c=4$? 和 $12$——只能 $c=1$ 与 $c=4$ 都被 $3$ 整除，改 $b=1$（和 $6$ 不行）… 正确路径：$a=5,b=3,c=4$? 和 $12$。逐一试得最大为 $4315$。
第 3 步（求最小）：$a=1$，$b=3$（和 $4$），$c=4$（和 $8$），$d=5$，得 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：由 $1,2,3,4,7$ 各一个组成五位数 $\overline{abcde}$，使 $a,\overline{ab},\overline{abc},\overline{abcd},\overline{abcde}$ 都不是 $3$ 的倍数，求最大与最小。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+3+4+7=\underline{\quad}$，$17$ 不被 $3$ 整除，整体天然满足。
第 2 步（求最大）：从高位贪心并保证每个前缀和都不被 $3$ 整除，得最大 $74321$。
第 3 步（求最小）：$a=1$，$b$ 不能使和为 $3$ 倍数……逐位贪心得最小 $\underline{\quad}$。

13. 【原题 ch15-tuozhan-05】在小于 $100$ 的正整数中，能被 $2$ 或 $3$ 整除，且不能被 $6$ 整除的数共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「容斥原理 + 整除计数」题：统计满足“被 $2$ 或 $3$ 整除，但不被 $6$ 整除”的个数。

关键切入点：被 $6$ 整除就是既被 $2$ 又被 $3$ 整除。要“被 $2$ 或 $3$ 整除但不被 $6$”，等于把被 $2$ 的、被 $3$ 的都数上，但被 $6$ 的那部分本该在“或”里算一次，如今要**完全排除**，所以要减两次。$1\sim99$ 中被 $2$ 的 $49$ 个、被 $3$ 的 $33$ 个、被 $6$ 的 $16$ 个，答案 $49+33-16\times2=50$。

方法概述：把被 6 整除的部分从并集里减两次（既不重复计、又要排除），即 $|A|+|B|-2|A\cap B|$。

规范步骤：

小于 $100$ 中被 $2$ 整除的个数：$99\div2=49$（整除计数）
被 $3$ 整除的个数：$99\div3=33$（整除计数）
被 $6$ 整除的个数：$99\div6=16$（整除计数）
容斥（被 6 的减两次）：$49+33-16\times2=50$（容斥原理）

第一套

题目：在小于 $200$ 的正整数中，能被 $2$ 或 $3$ 整除，且不能被 $6$ 整除的数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分别计数）：小于 $200$ 中被 $2$ 整除的有 $199\div2=99\cdots1$，即 $\underline{\quad}$ 个；被 $3$ 整除的有 $199\div3=66\cdots1$，即 $\underline{\quad}$ 个；被 $6$ 整除的有 $199\div6=33\cdots1$，即 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（容斥，被 $6$ 的减两次）：$99+66-33\times2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$1$ 到 $99$ 号储物柜中，凡编号能被 $2$ 或 $3$ 整除、但不能被 $6$ 整除的都要检修。一共有多少个柜子要检修？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分别计数）：被 $2$ 整除的 $\underline{\quad}$ 个，被 $3$ 整除的 $33$ 个，被 $6$ 整除的 $16$ 个。
第 2 步（容斥）：$49+33-16\times2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在小于 $300$ 的正整数中，能被 $2$ 或 $5$ 整除，且不能被 $10$ 整除的数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分别计数）：小于 $300$ 中被 $2$ 整除的 $\underline{\quad}$ 个，被 $5$ 整除的 $59$ 个，被 $10$（$=2\times5$）整除的 $29$ 个。
第 2 步（容斥，被 $10$ 减两次）：$149+59-29\times2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在小于 $200$ 的正整数中，能被 $2$、$3$、$5$ 中至少一个整除的数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（单个）：被 $2$ 的 $99$ 个、被 $3$ 的 $66$ 个、被 $5$ 的 $39$ 个。
第 2 步（两两交）：被 $6$ 的 $33$ 个、被 $10$ 的 $19$ 个、被 $15$ 的 $13$ 个。
第 3 步（三交）：被 $30$ 的 $6$ 个。
第 4 步（三集合容斥）：$99+66+39-33-19-13+6=\underline{\quad}$。

14. 【原题 ch15-tuozhan-06】有 $15$ 位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是 $1$ 号到 $15$ 号。$1$ 号同学写了一个自然数，$2$ 号说：“这个数能被 $2$ 整除”，$3$ 号接着说：“这个数能被 $3$ 整除”……依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除。$1$ 号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对。问：（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？（2）如果 $1$ 号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？

详细思路

是哪类问题：这是「整除连锁 + 最小公倍数」的逻辑题：只有两位编号连续的同学说错，其余编号都整除该数。

关键切入点：关键在“连锁性”：若某个小编号说错，会牵连它的倍数编号也说错，与“只有两个连续编号说错”矛盾。逐一排查发现只有去掉 $8$、$9$ 时，剩下的 $2\sim7,10\sim15$ 的整除性彼此相容（$2,3,4,6$ 由 $12$ 保证，$5$ 由 $10,15$ 保证等），所以说错的是 $8$、$9$ 号。第 (2) 问求其余编号的最小公倍数 $[2,3,\dots,15\setminus\{8,9\}]=60060$，恰是五位数。

方法概述：用整除连锁排除会牵连别人的情形锁定连续错号，再求其余编号的最小公倍数。

规范步骤：

错号必须连续且不牵连其它编号：排查得错号是 $8,9$（整除连锁）
其余编号：$2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15$（列举）
求最小公倍数：$[\dots]=60060$（最小公倍数）
验证是五位数：$60060$ 为五位数 √（范围核对）

第一套

题目：$17$ 位同学编号 $1$ 到 $17$。从 $2$ 号起每人说“这个数能被我的编号整除”，只有两位编号连续的同学说错，其余都对。求：（1）说错的两位是谁？（2）若这个数是这样情形下最小的自然数，它是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（锁定错号）：排查发现，去掉 $16$、$17$ 后剩下 $2\sim15$ 的整除性彼此相容，且它们连续，故错号是 $\underline{\quad}$ 号和 $17$ 号。
第 2 步（列其余编号）：$2\sim15$。
第 3 步（求最小公倍数）：$[2,3,\dots,15]=360360$，验算 $360360\div11=\underline{\quad}$、$360360\div13=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$15$ 张卡片编号 $1$ 到 $15$。老师写了一个数，除 $1$ 号外每张卡片都断言“这个数能被我的编号整除”，结果只有两张编号连续的卡片断言错误，其余都正确。（1）错的是哪两张？（2）若该数是五位数，它是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（锁定错号）：由整除连锁排查，错的是连续的 $\underline{\quad}$ 号与 $9$ 号。
第 2 步（求最小公倍数）：其余为 $2\sim7,10\sim15$，$[\dots]=60060$，验算 $60060\div7=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$20$ 位同学编号 $1$ 到 $20$，从 $2$ 号起每人说“这个数能被我的编号整除”，只有两位编号连续的同学说错。求：（1）说错的两位；（2）满足条件的最小自然数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（锁定错号）：排查得错号仍是连续的 $16$、$17$（去掉后 $2\sim15,18,19,20$ 相容）。
第 2 步（求最小公倍数）：$[2,\dots,20\setminus\{16,17\}]=6846840$，验算 $6846840\div19=\underline{\quad}$。

第三套

题目：承原题，这个五位数是 $60060$。（1）把它分解质因数；（2）它一共有多少个约数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$60060=2^2\times3\times5\times7\times11\times13$，验算 $4\times3\times5\times7\times11\times13=\underline{\quad}$。
第 2 步（约数个数公式）：各指数加 $1$ 相乘，$(2+1)\times(1+1)^5=3\times32=\underline{\quad}$。

15. 【原题 ch15-tuozhan-07】有 $2008$ 盏灯，分别对应编号为 $1$ 至 $2008$ 的 $2008$ 个开关。现在有编号为 $1$ 至 $2008$ 的 $2008$ 个人来按动这些开关。已知第 $1$ 个人按动的开关的编号是 $1$ 的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第 $2$ 个人按动的开关的编号是 $2$ 的倍数，第 $3$ 个人按动的开关的编号是 $3$ 的倍数……依次做下去，第 $2008$ 个人按动的开关的编号是 $2008$ 的倍数。如果开始的时候，灯全是亮着的，那么当这 $2008$ 个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？

详细思路

是哪类问题：这是「约数个数奇偶性 + 完全平方数」的开关灯问题：一盏灯被按的次数等于其编号的约数个数。

关键切入点：约数总是成对出现（$d$ 与 $n/d$），只有当 $d=n/d$ 即 $n$ 是完全平方数时才多出一个，使约数个数为奇数。被按奇数次的灯状态改变（由亮变灭），所以变灭的正是编号为完全平方数的灯。$1\sim2008$ 中完全平方数有 $44$ 个（$44^2=1936\le2008<2025=45^2$），故仍亮着的有 $2008-44=1964$ 盏。

方法概述：灯被按次数 = 编号约数个数，奇数次当且仅当编号是完全平方数，故灭灯数 = 平方数个数。

规范步骤：

灯被按次数等于编号约数个数：约数成对出现（约数配对）
约数个数为奇数 $\Leftrightarrow$ 完全平方数：平方数才多一个约数（奇偶性）
数 $1\sim2008$ 中的平方数：$44^2=1936\le2008<45^2$，共 $44$ 个（完全平方数计数）
仍亮着的灯：$2008-44=1964$（作差）

第一套

题目：有 $5000$ 盏灯与 $5000$ 个人，做法同原题（第 $k$ 人按编号是 $k$ 倍数的开关），灯起初全亮。按完后还有多少盏灯亮着？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（原理）：变灭的灯编号是完全平方数。
第 2 步（数平方数）：$70^2=4900\le5000<71^2=5041$，故 $1\sim5000$ 中平方数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（仍亮）：$5000-70=\underline{\quad}$。

第二套

题目：礼堂有 $2008$ 扇窗，编号 $1\sim2008$，起初全开。第 $k$ 个人去扳动编号为 $k$ 倍数的窗（开变关、关变开）。$2008$ 个人做完后，还有多少扇窗是开着的？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（原理）：一扇窗被扳次数等于编号约数个数，只有编号是完全平方数才被扳奇数次而改变状态。
第 2 步（数平方数）：$44^2=1936\le2008<45^2$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（仍开）：$2008-44=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $3000$ 盏灯，做法同原题，起初全亮。按完后还有多少盏亮着？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数平方数）：$54^2=2916\le3000<55^2=3025$，故平方数有 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（仍亮）：$3000-54=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $2008$ 盏灯，做法同原题。按完后：（1）有多少盏灯灭了？（2）灭掉的灯中，编号为偶数的有多少盏？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（灭灯数）：灭掉的灯编号为完全平方数，$1\sim2008$ 中共 $\underline{\quad}$ 盏。
第 2 步（其中偶数编号）：编号为平方数又是偶数，即 $(2k)^2$。$44^2=1936$ 内，$2k\le44$ 即 $k\le22$，故偶平方数有 $\underline{\quad}$ 个。

16. 【原题 ch15-tuozhan-08】狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 $4\frac{1}{2}$ 米，黄鼠狼每次跳 $2\frac{3}{4}$ 米，它们每秒钟都只跳一次。在比赛道路上，从起点开始每隔 $12\frac{3}{8}$ 米设有一个陷阱。请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

详细思路

是哪类问题：这是「分数化整 + 最小公倍数」的落点问题：所有距离都是 $\dfrac18$ 米的整数倍，换单位后用最小公倍数求首次落陷阱的时刻。

关键切入点：规定 $\dfrac18$ 米为 $1$ 新米：狐狸每跳 $4\dfrac12=\dfrac{36}8$ 米 $=36$ 新米，黄鼠狼每跳 $2\dfrac34=\dfrac{22}8$ 米 $=22$ 新米，陷阱每隔 $12\dfrac38=\dfrac{99}8$ 米 $=99$ 新米。狐狸落陷阱要 $36$ 的倍数又是 $99$ 的倍数，即 $[36,99]=396$ 新米，用 $396\div36=11$ 秒；黄鼠狼 $[22,99]=198$，用 $198\div22=9$ 秒。黄鼠狼先掉（$9<11$），此时狐狸跳了 $36\times9=324$ 新米 $=40.5$ 米。

方法概述：把带分数距离统一换成 1/8 米为单位的整数，用最小公倍数比较两者首次落陷阱的时刻。

规范步骤：

换单位（$\dfrac18$ 米 = 1 新米）：狐狸 $36$、黄鼠狼 $22$、陷阱 $99$ 新米（分数化整）
狐狸首次落陷阱：$[36,99]=396\Rightarrow 396\div36=11$ 秒（最小公倍数）
黄鼠狼首次落陷阱：$[22,99]=198\Rightarrow 198\div22=9$ 秒（最小公倍数）
黄鼠狼先掉，算狐狸路程：$36\times9=324$ 新米 $=324\div8=40.5$ 米（比较与换算）

第一套

题目：狐狸每次跳 $6\frac34$ 米，黄鼠狼每次跳 $3\frac34$ 米，每秒各跳一次；从起点起每隔 $16\frac78$ 米有一个陷阱。当其中一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换单位）：以 $\dfrac18$ 米为 $1$ 新米，狐狸 $\dfrac{54}8=54$、黄鼠狼 $\dfrac{30}8=30$、陷阱 $\dfrac{135}8=135$ 新米。
第 2 步（狐狸落陷阱）：$[54,135]=270$，$270\div54=\underline{\quad}$ 秒。
第 3 步（黄鼠狼落陷阱）：$[30,135]=270$，$270\div30=9$ 秒。狐狸先掉（$5<9$）。
第 4 步（算黄鼠狼路程）：$30\times5=150$ 新米 $=150\div8=\underline{\quad}$ 米。

第二套

题目：两只青蛙沿直线跳，甲每次跳 $4\frac12$ 米、乙每次跳 $2\frac34$ 米，每秒各跳一次；从起点起每隔 $12\frac38$ 米有一个荷叶洞。当有一只跳进洞里时，另一只跳了多少米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换单位）：$\dfrac18$ 米为 $1$ 新米，甲 $36$、乙 $22$、洞 $99$ 新米。
第 2 步（甲落洞）：$[36,99]=396$，$396\div36=\underline{\quad}$ 秒。
第 3 步（乙落洞）：$[22,99]=198$，$198\div22=9$ 秒，乙先掉。此时甲跳了 $36\times9=324$ 新米 $=324\div8=\underline{\quad}$ 米。

第三套

题目：甲每次跳 $6\frac14$ 米、乙每次跳 $3\frac34$ 米，每秒各跳一次；每隔 $9\frac38$ 米有一个陷阱。当有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（换单位）：$\dfrac18$ 米为 $1$ 新米，甲 $50$、乙 $30$、陷阱 $75$ 新米。
第 2 步（甲落陷阱）：$[50,75]=150$，$150\div50=\underline{\quad}$ 秒。
第 3 步（乙落陷阱）：$[30,75]=150$，$150\div30=5$ 秒，甲先掉（$3<5$）。此时乙跳 $30\times3=90$ 新米 $=90\div8=\underline{\quad}$ 米。

17. 【原题 ch15-tuozhan-09】一个偶数恰有 $6$ 个约数不是 $3$ 的倍数，恰有 $8$ 个约数不是 $5$ 的倍数。请问：这个偶数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「受限约数个数反求数」题：给出“不是 $3$ 的倍数的约数个数”“不是 $5$ 的倍数的约数个数”，反推这个偶数。

关键切入点：把数写成 $2^a\times3^b\times5^c\times\cdots$。“不是 $3$ 的倍数的约数”即 $3$ 的指数取 $0$，个数 $=(a+1)(c+1)\cdots$；“不是 $5$ 的倍数的约数”即 $5$ 的指数取 $0$，个数 $=(a+1)(b+1)\cdots$。由 $6=(a+1)(c+1)$、$8=(a+1)(b+1)$，且是偶数（$a\ge1$），解得 $a=1,b=3,c=2$，即 $2\times3^3\times5^2=1350$。

方法概述：把“不是某质数倍数的约数个数”转成去掉该质因子后的约数个数方程，联立求各指数。

规范步骤：

设 $N=2^a\times3^b\times5^c$：$a\ge1$（偶数）（质因数分解）
不是 $3$ 倍数的约数个数：$(a+1)(c+1)=6$（去掉 3 计数）
不是 $5$ 倍数的约数个数：$(a+1)(b+1)=8$（去掉 5 计数）
解方程组：$a=1,\ c=2,\ b=3$（联立求解）
写出数：$2\times3^3\times5^2=1350$（回代）

第一套

题目：一个偶数恰有 $6$ 个约数不是 $3$ 的倍数，恰有 $10$ 个约数不是 $5$ 的倍数。这个偶数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（设形式）：$N=2^a\times3^b\times5^c$，$a\ge1$。
第 2 步（列方程）：不是 $3$ 倍数的约数个数 $(a+1)(c+1)=\underline{\quad}$；不是 $5$ 倍数的约数个数 $(a+1)(b+1)=\underline{\quad}$。
第 3 步（解方程）：由 $(a+1)$ 同时整除 $6$ 和 $10$ 得 $a+1=2$，$a=1$；于是 $c+1=3,c=2$，$b+1=5,b=4$。
第 4 步（写数）：$2\times3^4\times5^2=2\times81\times25=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某仓库货物总数是偶数，它的约数中不是 $3$ 的倍数的恰有 $6$ 个，不是 $5$ 的倍数的恰有 $8$ 个。货物总数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（设形式）：总数 $N=2^a\times3^b\times5^c$，$a\ge1$。
第 2 步（列方程）：$(a+1)(c+1)=\underline{\quad}$，$(a+1)(b+1)=8$。
第 3 步（解）：$a+1=2$，$a=1,c=2,b=3$，$N=2\times27\times25=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个偶数恰有 $8$ 个约数不是 $3$ 的倍数，恰有 $6$ 个约数不是 $5$ 的倍数。这个偶数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（设形式）：$N=2^a\times3^b\times5^c$，$a\ge1$。
第 2 步（列方程）：$(a+1)(c+1)=\underline{\quad}$，$(a+1)(b+1)=6$。
第 3 步（解）：$a+1=2$，$a=1,c=3,b=2$，$N=2\times9\times125=\underline{\quad}$。

第三套

题目：承原题得这个偶数是 $1350$。（1）把它分解质因数；（2）它一共有多少个约数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$1350=2\times3^3\times5^2$，验算 $2\times27\times25=\underline{\quad}$。
第 2 步（约数个数公式）：$(1+1)(3+1)(2+1)=\underline{\quad}$。

18. 【原题 ch15-tuozhan-10】一个合数，其最大的两个约数之和为 $1164$。求所有满足要求的合数。

详细思路

是哪类问题：这是「约数之和反求合数」题：合数最大的两个约数之和给定，求所有满足的合数。

关键切入点：设合数 $=a\times b$，其中 $a$ 是次大约数、$b$ 是最小质因数，则最大两约数之和 $=ab+a=a(b+1)$。$1164=2^2\times3\times97$，$b$ 是最小质因数，$b+1$ 是 $1164$ 的因数。枚举：$b=2$（$b+1=3$）得 $a=388$，数 $=776$；$b=3$（$b+1=4$）得 $a=291$，数 $=873$；$b=11$（$b+1=12$）得 $a=97$，数 $=1067$。$b=5$（$b+1=6$）得数 $=970$，但 $970$ 的最小质因数是 $2$ 而非 $5$，舍去。

方法概述：把最大两约数之和写成 $a(b+1)$（$b$ 为最小质因数），分解后枚举并验证最小质因数。

规范步骤：

写成 $a(b+1)$：$ab+a=a(b+1)=1164$（约数结构）
分解：$1164=2^2\times3\times97$（质因数分解）
枚举 $b$（最小质因数）：$b=2,3,5,11$ 依次试（分类枚举）
验证并舍去矛盾解：$b=5$ 得 $970$（最小质因数为 $2$）舍去（验证）
写出全部解：$776,873,1067$（汇总）

第一套

题目：一个合数，其最大的两个约数之和为 $1452$。求所有满足要求的合数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写结构）：合数 $=a(b+1)$，$b$ 为最小质因数，$b+1$ 是 $1452$ 的因数。
第 2 步（分解）：$1452=2^2\times3\times\underline{\quad}$（即 $2^2\times3\times121=4\times3\times121$）。
第 3 步（枚举）：$b=2$（$b+1=3$）得 $a=484$，数 $=968$；$b=3$（$b+1=4$）得 $a=363$，数 $=\underline{\quad}$；$b=11$（$b+1=12$）得 $a=121$，数 $=\underline{\quad}$。$b=5$ 得 $1210$，最小质因数为 $2$，舍去。

第二套

题目：某展厅编号是一个合数，其最大的两个约数之和为 $1164$。所有可能的编号是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写结构）：编号 $=a(b+1)$，$b$ 为最小质因数。
第 2 步（分解）：$1164=2^2\times3\times\underline{\quad}$。
第 3 步（枚举）：$b=2$ 得 $776$，$b=3$ 得 $873$，$b=11$ 得 $1067$；$b=5$ 得 $970$（最小质因数为 $2$）舍去。合计 $776+873+1067=\underline{\quad}$（供核对）。

第三套

题目：一个合数，其最大的两个约数之和为 $1212$。求所有满足要求的合数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写结构）：合数 $=a(b+1)$，$b$ 为最小质因数。
第 2 步（分解）：$1212=2^2\times3\times\underline{\quad}$。
第 3 步（枚举）：$b=2$ 得 $a=404$、数 $808$；$b=3$ 得 $a=303$、数 $909$；$b=11$ 得 $a=101$、数 $\underline{\quad}$。$b=5$ 得 $1010$（最小质因数 $2$）舍。

第三套

题目：一个合数，其最大的两个约数之和为 $1164$。（1）求所有满足要求的合数；（2）求这些合数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举）：由 $a(b+1)=1164=2^2\times3\times97$ 枚举得 $b=2\to776$、$b=3\to873$、$b=11\to1067$（$b=5$ 得 $970$ 舍）。
第 2 步（求和）：$776+873+1067=\underline{\quad}$。
第 3 步（奇偶观察）：其中是偶数的只有 $776$（$b=2$ 那一个），奇数有 $873,1067$ 共 $\underline{\quad}$ 个。

19. 【原题 ch15-tuozhan-11】已知 $a$ 与 $b$ 是两个正整数，且 $a>b$。请问：（1）如果它们的最小公倍数是 $36$，那么这两个正整数有多少种情况？（2）如果它们的最小公倍数是 $120$，那么这两个正整数有多少种情况？

详细思路

是哪类问题：这是「给定最小公倍数求数对个数」题：两数最小公倍数已知，按各质因子最高次幂“由谁提供”计数。

关键切入点：两数都是最小公倍数的约数。对每个质因子 $p^e$，两数中 $p$ 的指数 $(x,y)$ 必须满足 $\max(x,y)=e$，这样的 $(x,y)$ 有 $2e+1$ 种（$x=e$ 时 $y$ 取 $0\sim e$ 共 $e+1$ 种，$y=e,x<e$ 再 $e$ 种）。各质因子相乘得**有序对**总数，减去 $a=b$ 的 $1$ 种再除以 $2$ 得 $a>b$ 的对数。$36=2^2\times3^2$：$(2\times2+1)(2\times2+1)=25$，$(25-1)\div2=12$；$120=2^3\times3\times5$：$7\times3\times3=63$，$(63-1)\div2=31$。

方法概述：对每个质因子按“谁提供最高次幂”数出 $2e+1$ 种，相乘得有序对，再化成 $a>b$ 的无序对。

规范步骤：

每个质因子 $p^e$ 的指数对有 $2e+1$ 种：$\max(x,y)=e$（最值分配计数）
$36=2^2\times3^2$：$(2\cdot2+1)(2\cdot2+1)=25$（有序）（乘法原理）
化成 $a>b$：$(25-1)\div2=12$（去掉相等再折半）
$120=2^3\times3\times5$：$7\times3\times3=63$，$(63-1)\div2=31$（同法）

第一套

题目：两个正整数 $a>b$，（1）若它们的最小公倍数是 $72$，有多少种情况？（2）若最小公倍数是 $360$，有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（$72=2^3\times3^2$）：有序对 $(2\times3+1)\times(2\times2+1)=7\times5=\underline{\quad}$。
第 2 步（化 $a>b$）：$(35-1)\div2=\underline{\quad}$。
第 3 步（$360=2^3\times3^2\times5$）：有序对 $7\times5\times3=\underline{\quad}$，$a>b$ 有 $(105-1)\div2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：两台机器的运转周期都是整数天，$a>b$。（1）若两周期的最小公倍数是 $36$ 天，有多少种可能？（2）若是 $120$ 天，有多少种可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（$36=2^2\times3^2$）：有序对 $(2\times2+1)(2\times2+1)=\underline{\quad}$，$a>b$ 有 $(25-1)\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步（$120=2^3\times3\times5$）：有序对 $7\times3\times3=63$，$a>b$ 有 $(63-1)\div2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两个正整数 $a>b$，最小公倍数是 $180$，共有多少种情况？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$180=2^2\times3^2\times5$。
第 2 步（有序对）：$(2\times2+1)(2\times2+1)(2\times1+1)=5\times5\times3=\underline{\quad}$。
第 3 步（化 $a>b$）：$(75-1)\div2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两个正整数 $a>b$，最小公倍数是 $144$。（1）共有多少种情况？（2）其中 $a$、$b$ 互质的有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$144=2^4\times3^2$。有序对 $(2\times4+1)(2\times2+1)=9\times5=\underline{\quad}$，$a>b$ 有 $(45-1)\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步（互质）：互质要求两数不共享质因子。无序对只有“$16$ 与 $9$”和“$144$ 与 $1$”，共 $\underline{\quad}$ 种（都满足 $a>b$）。

20. 【原题 ch15-tuozhan-12】已知 $a$ 与 $b$ 的最大公约数是 $14$，$a$ 与 $c$ 的最小公倍数是 $350$，$b$ 与 $c$ 的最小公倍数也是 $350$。满足上述条件的正整数 $a$、$b$、$c$ 共有多少组？

详细思路

是哪类问题：这是「公约数公倍数联合计数」题：对 $a,b,c$ 各质因子指数受最大公约数、最小公倍数约束分别计数，再乘法原理相乘。

关键切入点：$(a,b)=14=2\times7$，$[a,c]=[b,c]=350=2\times5^2\times7$。由 $(a,b)=14$ 且都是 $350$ 相关约数，可写 $a=2\times7\times5^x$、$b=2\times7\times5^y$，$x,y$ 至少一个为 $0$（否则最大公约数含 $5$）：$(x,y)$ 共 $5$ 种。$c=2^u\times7^v\times5^2$，$u,v\in\{0,1\}$ 共 $4$ 种。乘法原理 $5\times4=20$。

方法概述：把最大公约数、最小公倍数条件翻译成各质因子指数的取值约束，分别计数后相乘。

规范步骤：

由 $(a,b)=14$ 设 $a=2\cdot7\cdot5^x,\ b=2\cdot7\cdot5^y$：$x,y$ 至少一个为 $0$（最大公约数约束）
$(x,y)$ 的取法：$x=0$ 时 $y\in\{0,1,2\}$，$y=0$ 时 $x\in\{0,1,2\}$，共 $5$ 种（计数）
由 $[a,c]=[b,c]=350$ 设 $c=2^u\cdot7^v\cdot5^2$：$u,v\in\{0,1\}$，共 $4$ 种（最小公倍数约束）
乘法原理：$5\times4=20$（乘法原理）

第一套

题目：已知 $a$ 与 $b$ 的最大公约数是 $6$，$a$ 与 $c$、$b$ 与 $c$ 的最小公倍数都是 $450$。满足条件的正整数 $a,b,c$ 共有多少组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$6=2\times3$，$450=2\times3^2\times5^2$。
第 2 步（$a,b$ 计数）：设 $a=2\times3\times5^x$、$b=2\times3\times5^y$，$x,y$ 至少一个为 $0$，各可取 $0,1,2$，共 $3+3-1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（$c$ 计数）：$c=2^u\times3^v\times5^2$，$u\in\{0,1\}$、$v\in\{0,1,2\}$ 但需保证与 $a,b$ 的最小公倍数为 $450$，$v$ 可取 $0,1,2$ 共 $3$ 种、$u$ 取 $2$ 种，$c$ 共 $2\times3=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘法原理）：$5\times6=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三种齿轮 $a,b,c$ 的齿数满足：$a,b$ 的最大公约数是 $14$，$a$ 与 $c$、$b$ 与 $c$ 的最小公倍数都是 $350$。满足条件的齿数组 $(a,b,c)$ 共有多少组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$14=2\times7$，$350=2\times5^2\times7$。
第 2 步（$a,b$ 计数）：$a=2\times7\times5^x$、$b=2\times7\times5^y$，$x,y$ 至少一个为 $0$，共 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（$c$ 计数）：$c=2^u\times7^v\times5^2$，$u,v\in\{0,1\}$，共 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘法原理）：$5\times4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：已知 $a,b$ 的最大公约数是 $22$，$a$ 与 $c$、$b$ 与 $c$ 的最小公倍数都是 $550$。满足条件的 $a,b,c$ 共有多少组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$22=2\times11$，$550=2\times5^2\times11$。
第 2 步（$a,b$ 计数）：$a=2\times11\times5^x$、$b=2\times11\times5^y$，$x,y$ 至少一个为 $0$，共 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（$c$ 计数）：$c=2^u\times11^v\times5^2$，$u,v\in\{0,1\}$，共 $2\times2=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘法原理）：$5\times4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：已知 $a,b$ 的最大公约数是 $14$，$a$ 与 $c$、$b$ 与 $c$ 的最小公倍数都是 $350$，且 $a>b$。满足条件的 $a,b,c$ 共有多少组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先数无 $a>b$ 限制的 $(a,b)$）：共 $5$ 种，其中 $a=b$ 的只有 $x=y=0$ 那 $1$ 种。
第 2 步（去相等再折半）：$a>b$ 的 $(a,b)$ 有 $(5-1)\div2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（乘 $c$ 的 $4$ 种）：$2\times4=\underline{\quad}$。

21. 【原题 ch15-tuozhan-13】已知两个连续的两位数除以 $5$ 的余数之和是 $5$，除以 $6$ 的余数之和是 $5$，除以 $7$ 的余数之和是 $1$。求这两个两位数。

详细思路

是哪类问题：这是「连续整数余数关系」题：由两个连续两位数除以 $5,6,7$ 的余数之和反推第一个数。

关键切入点：设第一个数为 $n$，则 $n$ 与 $n+1$ 除以 $m$ 的余数通常相差 $1$（除非 $n+1$ 恰好被 $m$ 整除，此时后者余数变 $0$）。除以 $5$ 余数和为 $5$：常见情形是 $2+3=5$，即 $n$ 除以 $5$ 余 $2$。除以 $6$ 余数和为 $5$：$2+3$，$n$ 除以 $6$ 余 $2$。除以 $7$ 余数和为 $1$：只能 $0+1$，即 $n$ 被 $7$ 整除。满足“除以 $7$ 余 $0$、除以 $5$ 余 $2$”的两位数逐一验证第二个条件，得 $n=77$。

方法概述：由连续两数余数之和倒推第一个数对各模的余数，再在两位数范围枚举验证。

规范步骤：

除以 $5$ 余数和 $5$：$n\equiv 2\pmod 5$（连续数余数）
除以 $7$ 余数和 $1$：$n\equiv 0\pmod 7$（连续数余数）
满足前两条的两位数：$7,42,77$ 中的两位数 $42,77$（枚举）
验除以 $6$ 余数和 $5$：$77\div6=12\cdots5$，$78\div6=13\cdots0$，和 $5$ √（$42$ 不合）（验证）

第一套

题目：两个连续的两位数除以 $5$ 的余数之和是 $5$，除以 $6$ 的余数之和是 $3$，除以 $7$ 的余数之和是 $6$。求这两个两位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（除以 $5$）：余数和 $5=2+3$，故第一个数 $n\equiv 2\pmod 5$。
第 2 步（除以 $7$）：余数和 $6=3+\underline{\quad}$，故 $n\equiv 3\pmod 7$。
第 3 步（除以 $6$）：余数和 $3$，$n$ 除以 $6$ 余数与 $n+1$ 的余数之和为 $3$，即 $n\equiv 1\pmod 6$。
第 4 步（枚举验证）：同时满足 $n\equiv2(5),\ n\equiv3(7),\ n\equiv1(6)$ 的两位数是 $\underline{\quad}$，故两数为 $97,98$。

第二套

题目：两筐连续编号（两位数）的苹果，编号除以 $5$ 的余数之和是 $5$、除以 $6$ 的余数之和是 $5$、除以 $7$ 的余数之和是 $1$。求这两个编号。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（除以 $5$、$7$）：由余数和得 $n\equiv 2\pmod 5$、$n\equiv 0\pmod 7$。
第 2 步（枚举）：两位数中被 $7$ 整除又除以 $5$ 余 $2$ 的是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（验除以 $6$）：$77\div6=12\cdots5$、$78\div6=13\cdots0$，余数和 $5+0=\underline{\quad}$ √。

第三套

题目：两个连续的两位数除以 $7$ 的余数之和是 $1$，除以 $8$ 的余数之和是 $11$，除以 $9$ 的余数之和是 $11$。求这两个两位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（除以 $7$）：余数和 $1=0+1$，故 $n\equiv 0\pmod 7$。
第 2 步（除以 $8$）：余数和 $11=5+6$，故 $n\equiv 5\pmod 8$。
第 3 步（除以 $9$）：余数和 $11=5+6$，故 $n\equiv 5\pmod 9$，即 $n\equiv 5\pmod{72}$。
第 4 步（枚举）：被 $7$ 整除且除以 $72$ 余 $5$ 的两位数是 $\underline{\quad}$，故两数为 $77,78$。

第三套

题目：三个连续的两位数除以 $5$ 的余数之和是 $9$，除以 $7$ 的余数之和是 $15$，除以 $9$ 的余数之和是 $15$。求这三个两位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（除以 $5$）：三个连续数余数和 $9$，只可能是 $2+3+4$，故最小数 $n\equiv 2\pmod 5$。
第 2 步（除以 $7$）：余数和 $15=4+5+6$，故 $n\equiv 4\pmod 7$。
第 3 步（除以 $9$）：余数和 $15=4+5+6$，故 $n\equiv 4\pmod 9$。
第 4 步（枚举验证）：同时满足 $n\equiv2(5),\ n\equiv4(7),\ n\equiv4(9)$ 的两位数是 $\underline{\quad}$，故三数为 $67,68,69$。

22. 【原题 ch15-tuozhan-14】如图 $15-1$，在一个圆圈上有几十个孔（不到 $100$ 个）。小明像玩跳棋那样从 $A$ 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 $A$ 孔。他先试着每隔 $2$ 个孔跳一步，结果只能跳到 $B$ 孔。他又试着每隔 $4$ 个孔跳一步，也只能跳到 $B$ 孔。最后他每隔 $6$ 个孔跳一步，正好回到 $A$ 孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？

详细思路

是哪类问题：这是「环形跳棋同余」题：每隔 $k$ 个孔跳一步即步长 $k+1$，能否回到出发点取决于孔数与步长的整除关系。

关键切入点：每隔 $2$ 个孔跳（步长 $3$）只能到 $B$（差一步回不到 $A$），说明孔数除以 $3$ 余 $1$；每隔 $4$ 个孔跳（步长 $5$）也只到 $B$，说明孔数除以 $5$ 余 $1$；每隔 $6$ 个孔跳（步长 $7$）恰好回到 $A$，说明孔数被 $7$ 整除。满足“除以 $3$ 余 $1$、除以 $5$ 余 $1$”即除以 $15$ 余 $1$：$16,31,46,61,76,91$，其中被 $7$ 整除的只有 $91$。

方法概述：把“跳到 B / 回到 A”翻译成孔数对步长的余数条件，化成同余后在不到 100 的范围枚举。

规范步骤：

隔 $2$ 到 $B$：孔数 $\equiv 1\pmod 3$（同余）
隔 $4$ 到 $B$：孔数 $\equiv 1\pmod 5$（同余）
隔 $6$ 回 $A$：孔数 $\equiv 0\pmod 7$（整除）
枚举 $\equiv1\pmod{15}$ 且被 $7$ 整除：$16,31,46,61,76,91$ 中只有 $91$（枚举验证）

第一套

题目：圆圈上不到 $100$ 个孔。每隔 $4$ 个孔跳一步只能到 $B$，每隔 $8$ 个孔跳一步也只能到 $B$，每隔 $12$ 个孔跳一步恰好回到 $A$。共有多少个孔？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译）：隔 $4$（步长 $5$）到 $B$ 说明孔数 $\equiv 1\pmod 5$；隔 $8$（步长 $9$）到 $B$ 说明 $\equiv 1\pmod 9$；隔 $12$（步长 $13$）回 $A$ 说明被 $13$ 整除。
第 2 步（合并）：$\equiv1\pmod5$ 且 $\equiv1\pmod9$ 即 $\equiv1\pmod{45}$：$46,91$。
第 3 步（筛被 $13$ 整除）：$91\div13=\underline{\quad}$，故孔数是 $91$。

第二套

题目：一条环形跑道上均匀分布着不到 $100$ 个标志桩。运动员从 $A$ 桩出发，每隔 $2$ 个桩跳一步只能到 $B$，每隔 $4$ 个桩跳一步也只能到 $B$，每隔 $6$ 个桩跳一步恰好回到 $A$。跑道上有多少个标志桩？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译）：孔（桩）数 $\equiv1\pmod3$、$\equiv1\pmod5$、被 $7$ 整除。
第 2 步（合并前两条）：$\equiv1\pmod{15}$：$16,31,46,61,76,91$。
第 3 步（筛）：其中被 $7$ 整除的是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：圆圈上不到 $100$ 个孔。每隔 $3$ 个孔跳一步只能到 $B$，每隔 $6$ 个孔跳一步也只能到 $B$，每隔 $4$ 个孔跳一步恰好回到 $A$。共有多少个孔？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译）：隔 $3$（步长 $4$）到 $B$ 说明孔数 $\equiv1\pmod4$；隔 $6$（步长 $7$）到 $B$ 说明 $\equiv1\pmod7$；隔 $4$（步长 $5$）回 $A$ 说明被 $5$ 整除。
第 2 步（合并前两条）：$\equiv1\pmod4$ 且 $\equiv1\pmod7$ 即 $\equiv1\pmod{28}$：$29,57,85$。
第 3 步（筛被 $5$ 整除）：只有 $85$，$85\div5=\underline{\quad}$。

第三套

题目：圆圈上不到 $200$ 个孔且孔数为偶数。每隔 $2$ 个孔跳一步只能到 $B$，每隔 $4$ 个孔跳一步也只能到 $B$，每隔 $6$ 个孔跳一步恰好回到 $A$。共有多少个孔？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译）：孔数 $\equiv1\pmod3$、$\equiv1\pmod5$、被 $7$ 整除，即 $\equiv1\pmod{15}$ 且被 $7$ 整除。
第 2 步（在 $<200$ 内枚举）：满足 $\equiv1\pmod{105}$（$15$ 与 $7$ 的配合）的解为 $91,196$（因 $196=91+105$）。
第 3 步（取偶数）：$91$ 是奇数，$196$ 是偶数，故孔数是 $196$，$196\div7=\underline{\quad}$、$196-15\times13=\underline{\quad}$。

23. 【原题 ch15-xingqu-01】如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与 $1$ 的差是质数；②这个数除以 $2$ 所得的商也是质数；③这个数除以 $9$ 所得的余数是 $5$。那么我们称这个整数为“幸运数”。求出所有的两位幸运数。

详细思路

是哪类问题：这是「新定义数 + 枚举筛选」类数论题：题目用三条性质定义了“幸运数”，要求把两位数里满足全部三条的数找出来。

关键切入点：关键是先挑一条**筛选力最强、能一次砍掉大半候选**的条件先用。条件②说“这个数除以 $2$ 所得的商”，说明它必须能被 $2$ 整除，即是偶数；条件③把范围压到“除以 $9$ 余 $5$”，即形如 $9k+5$。两条合起来，两位数候选只剩 $14,32,50,68,86$ 五个，最后再用条件①（$n-1$ 是质数）和②（$n\div 2$ 是质数）逐个验证即可。

方法概述：先用整除性与余数把候选压到极少，再逐个验质数。

规范步骤：

由条件②知这个数能被 $2$ 整除：$n=2\times(\text{质数})$，$n$ 为偶数（商存在即整除）
由条件③写成带余除法形式：$n=9k+5$（带余除法）
两位数中形如 $9k+5$ 且为偶数的只有五个：$14,\ 32,\ 50,\ 68,\ 86$（枚举筛选）
逐个验条件①（$n-1$ 是质数）：$13$ 是质数；$31$ 是质数；$49=7\times7$ 不是；$67$ 是质数；$85=5\times17$ 不是（质数判定）
再验条件②（$n\div 2$ 是质数）：$14\div2=7$ 质数；$32\div2=16$ 不是；$68\div2=34$ 不是（质数判定）
只有 $14$ 三条全中：$14-1=13,\ 14\div2=7,\ 14\div9=1\cdots5$（综合验证）

第一套

题目：如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与 $1$ 的差是质数；②这个数除以 $2$ 所得的商也是质数；③这个数除以 $9$ 所得的余数是 $8$。那么称它为“吉祥数”。求出所有的两位吉祥数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先看哪条最好用）：条件②里出现“除以 $2$ 的商”，说明这个数一定能被 $2$ 整除，即它是 $\underline{\quad}$ 的倍数（偶数）。
第 2 步（把③翻译成算式）：除以 $9$ 余 $8$ 就是写成 $9k+8$。两位数中这样的偶数依次是 $9\times2+8=\underline{\quad}$、$9\times4+8=\underline{\quad}$、$9\times6+8=\underline{\quad}$、$9\times8+8=\underline{\quad}$、$9\times10+8=\underline{\quad}$。
第 3 步（用①筛）：算出各候选减 $1$：$26-1=\underline{\quad}$（$=5\times5$，不是质数，淘汰）；$44-1=\underline{\quad}$（质数，保留）；$62-1=\underline{\quad}$（质数，保留）；$80-1=79$、$98-1=97$ 也是质数，保留。
第 4 步（用②筛）：再算商：$44\div2=\underline{\quad}$（$=2\times11$，不是质数）；$62\div2=\underline{\quad}$（质数，通过）；$80\div2=40$、$98\div2=49=7\times7$ 都不是质数。
第 5 步（下结论）：三条全中的只有 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：某储物柜的密码是一个两位数，管理员给出三条提示：①密码减 $1$ 后是一个质数；②密码除以 $2$ 得到的商是质数；③密码除以 $9$ 余 $5$。请求出这个密码。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（由②定奇偶）：既然密码除以 $2$ 有商，它必是 $\underline{\quad}$ 的倍数，即偶数。
第 2 步（由③列候选）：密码形如 $9k+5$，两位数中的偶数候选为 $9\times1+5=\underline{\quad}$、$9\times3+5=\underline{\quad}$、$9\times5+5=\underline{\quad}$、$9\times7+5=\underline{\quad}$、$9\times9+5=\underline{\quad}$。
第 3 步（用①筛）：$50-1=\underline{\quad}$（$=7\times7$，淘汰）；$86-1=\underline{\quad}$（$=5\times17$，淘汰）；剩 $14,32,68$。
第 4 步（用②筛）：$32\div2=\underline{\quad}$、$68\div2=\underline{\quad}$ 都不是质数；$14\div2=\underline{\quad}$ 是质数。
第 5 步（下结论）：密码是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：若整数 $n$ 同时满足：①$n+1$ 是质数；②$n\div 2$ 的商是质数；③$n$ 除以 $7$ 余 $5$。求出所有的两位 $n$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定奇偶）：由②知 $n$ 是 $\underline{\quad}$ 的倍数，为偶数。
第 2 步（列候选）：$n=7k+5$，两位数中的偶数有 $7\times1+5=\underline{\quad}$、$7\times3+5=\underline{\quad}$、$7\times5+5=\underline{\quad}$、$7\times7+5=\underline{\quad}$、$7\times9+5=\underline{\quad}$、$7\times11+5=\underline{\quad}$、$7\times13+5=\underline{\quad}$。
第 3 步（用②筛：商必须是质数）：$12\div2=\underline{\quad}$（不是质数）、$26\div2=13$（质数）、$40\div2=20$（不是）、$54\div2=27$（不是）、$68\div2=34$（不是）、$82\div2=\underline{\quad}$（质数）、$96\div2=48$（不是），只剩 $26$ 与 $82$。
第 4 步（用①筛）：$26+1=\underline{\quad}$（$=27$，$=3^3$，不是质数，淘汰）；$82+1=\underline{\quad}$（质数，通过）。
第 5 步（下结论）：$n=\underline{\quad}$。

第三套

题目：仍按下述三条定义“幸运数”：①这个数与 $1$ 的差是质数；②这个数除以 $2$ 所得的商是质数；③这个数除以 $9$ 所得的余数是 $5$。请求出所有的**三位**幸运数，并求它们的总和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（缩小范围）：由②知这个数是偶数，由③知它形如 $9k+5$；$9k+5$ 为偶数要求 $k$ 是奇数，于是三位候选为 $k=11,13,15,\dots,99$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（用②强力筛）：$n\div2$ 必须是质数，说明 $n=2p$（$p$ 为质数），把候选进一步压缩。
第 3 步（逐个验证保留的数）：$158-1=\underline{\quad}$ 是质数且 $158\div2=\underline{\quad}$ 是质数；$194-1=193$、$194\div2=\underline{\quad}$ 都是质数。
第 4 步（继续验证）：$662-1=661$、$662\div2=\underline{\quad}$；$734-1=733$、$734\div2=\underline{\quad}$；$878-1=877$、$878\div2=\underline{\quad}$，均为质数。
第 5 步（核对③）：例如 $158=9\times17+\underline{\quad}$，余数确为 $5$。
第 6 步（求总和）：$158+194+662+734+878=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch15-xingqu-02】一个五位数 $8\square 25\square$，方格中的数未知。请问：（1）如果该数能被 $72$ 整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被 $55$ 整除，这个五位数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「整除特征型数字谜」：给定含空位的多位数，要求它被某个合数整除，反推空位数字。

关键切入点：关键是把合数**拆成互质的两个因数**，再分别用整除特征去卡一个空位。$72=8\times9$：被 $8$ 整除只看末三位，而末三位是 $25\square$，只含个位这一个未知数，能一举定下个位；定下个位后数字和只剩千位未知，用被 $9$ 整除（数字和是 $9$ 的倍数）即可定千位。$55=5\times11$：被 $5$ 整除定个位只能是 $0$ 或 $5$，再用被 $11$ 整除的“奇偶位数字和之差是 $11$ 的倍数”定千位。

方法概述：把除数拆成互质因数，先用只牵涉一个空位的特征定位，再用另一特征定另一位。

规范步骤：

$72=8\times9$，先用被 $8$ 整除看末三位：$\overline{25\square}$ 是 $8$ 的倍数，$250\div8=31\cdots2$，故个位为 $6$（$256=8\times32$）（被 8 整除看末三位）
再用被 $9$ 整除看数字和：$8+\square+2+5+6=21+\square$ 是 $9$ 的倍数，故 $\square=6$（被 9 整除看数字和）
得第 (1) 问答案：$86256=72\times1198$（回代验证）
$55=5\times11$，先用被 $5$ 整除定个位：个位为 $0$ 或 $5$（被 5 整除看个位）
再用被 $11$ 整除：从右起奇数位和减偶数位和是 $11$ 的倍数：$(\text{个}+\text{百}+\text{万})-(\text{十}+\text{千})=(\square_个+2+8)-(5+\square_千)$（被 11 整除特征）
个位取 $0$ 时 $10-5-\square_千=0$ 得千位 $5$；个位取 $5$ 时无解：$85250=55\times1550$（分类讨论并回代）

第一套

题目：一个五位数 $9\square 87\square$，方格中的数未知。请问：（1）如果该数能被 $72$ 整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被 $55$ 整除，这个五位数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆除数）：$72=8\times\underline{\quad}$，这两个因数互质，可以分开用整除特征。
第 2 步（用 $8$ 定个位）：被 $8$ 整除只看末三位 $\overline{87\square}$。$870\div8=108\cdots\underline{\quad}$，还差 $8-6=\underline{\quad}$ 才够一个 $8$，所以个位是 $2$，此时末三位 $872=8\times\underline{\quad}$。
第 3 步（用 $9$ 定千位）：数字和 $9+\square+8+7+2=26+\square$ 要是 $9$ 的倍数，最近的倍数是 $27$，故千位 $=27-26=\underline{\quad}$，第 (1) 问的数是 $91872$。
第 4 步（第 (2) 问拆除数）：$55=5\times\underline{\quad}$。被 $5$ 整除，个位只能是 $0$ 或 $5$。
第 5 步（用 $11$ 定千位）：从右起“奇数位和减偶数位和”$=(\square_个+8+9)-(7+\square_千)$。取个位 $=5$ 时该差为 $(5+8+9)-(7+\square_千)=\underline{\quad}-\square_千$，要它是 $11$ 的倍数，故千位 $=15-11=\underline{\quad}$。
第 6 步（验算）：$94875\div55=\underline{\quad}$，第 (2) 问的数是 $94875$。

第二套

题目：仓库一批货的批号是五位数 $8\square 25\square$，两个方格被磨掉了。（1）若批号能被 $72$ 整除，批号是多少？（2）若批号能被 $55$ 整除，批号是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆除数）：$72=8\times\underline{\quad}$，分别用被 $8$、被 $9$ 整除的特征。
第 2 步（用 $8$ 定个位）：末三位 $\overline{25\square}$ 要被 $8$ 整除，$250\div8=31\cdots\underline{\quad}$，补上 $8-2=\underline{\quad}$ 得个位 $6$。
第 3 步（用 $9$ 定千位）：$8+\square+2+5+6=21+\square$ 是 $9$ 的倍数，故千位 $=27-21=\underline{\quad}$，批号为 $86256$。
第 4 步（第 (2) 问）：$55=5\times11$，个位只能取 $0$ 或 $5$。取个位 $=0$ 时，奇数位和 $=0+2+8=\underline{\quad}$，偶数位和 $=5+\square_千$，两者之差为 $0$ 才是 $11$ 的倍数，故千位 $=10-5=\underline{\quad}$。
第 5 步（验算）：$85250\div55=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个五位数 $7\square 36\square$ 能被 $99$ 整除，求这个五位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆除数）：$99=9\times\underline{\quad}$，两个因数互质，可分别用整除特征。
第 2 步（被 $9$：数字和）：$7+a+3+6+b=16+a+b$ 要是 $9$ 的倍数，故 $a+b$ 只可能是 $18-16=\underline{\quad}$ 或 $27-16=\underline{\quad}$。
第 3 步（被 $11$：奇偶位差）：从右起奇数位和 $=b+3+7$，偶数位和 $=6+a$，差 $=(b+10)-(6+a)=b-a+\underline{\quad}$，要它是 $11$ 的倍数，故 $b-a=-4$ 或 $b-a=\underline{\quad}$。
第 4 步（联立求解）：取 $a+b=11$ 与 $b-a=7$，两式相加得 $2b=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$，$a=11-9=\underline{\quad}$。其余组合都得不到 $0\sim9$ 的整数。
第 5 步（验算）：$72369\div99=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个六位数 $8\square 258\square$ 能被 $792$ 整除，求这个六位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解除数）：$792=8\times9\times\underline{\quad}$，三个因数两两互质，需要同时满足三条整除特征。
第 2 步（用 $8$ 定个位）：末三位是 $\overline{58b}$，$580\div8=72\cdots\underline{\quad}$，补 $8-4=\underline{\quad}$ 得个位 $b=4$。
第 3 步（用 $9$ 限制千位）：数字和 $8+a+2+5+8+4=27+a$ 要是 $9$ 的倍数，故 $a=0$ 或 $a=\underline{\quad}$。
第 4 步（用 $11$ 定千位）：从右起奇数位和 $=4+5+a$，偶数位和 $=8+2+8=\underline{\quad}$，差 $=(9+a)-18=a-\underline{\quad}$，要它是 $11$ 的倍数，只能 $a=9$。
第 5 步（验算）：$892584\div792=\underline{\quad}$。

25. 【原题 ch15-xingqu-03】在小于 $5000$ 的自然数中，能被 $11$ 整除，并且所有数字之和为 $13$ 的数共有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「整除特征 + 数字和」的计数题：在给定范围里数出同时满足“被 $11$ 整除”和“数字和固定”的数的个数。

关键切入点：关键是把两个条件都翻译成“奇位和 $A$、偶位和 $C$”的方程：数字和 $A+C=13$；被 $11$ 整除要求 $A-C$ 是 $11$ 的倍数。由于 $A+C=13$ 是奇数，$A-C$ 必为奇数，故只能取 $\pm11$。于是 $\{A,C\}=\{12,1\}$，把大小分配到奇位、偶位两种情形，再按位数分类枚举即可。

方法概述：把“数字和”“被 11 整除”同时化为奇位和与偶位和的方程组，解出后分位数枚举。

规范步骤：

设奇位数字和为 $A$、偶位数字和为 $C$：$A+C=13$，$A-C$ 是 $11$ 的倍数（被 11 整除特征）
由奇偶性定 $A-C$：$A+C$ 为奇数 $\Rightarrow A-C$ 为奇数 $\Rightarrow A-C=\pm11$（奇偶分析）
解方程组：$\{A,C\}=\{12,1\}$（和差问题）
三位数（奇位 = 百位 + 个位，偶位 = 十位）：$319,418,517,616,715,814,913$，共 $7$ 个（分类枚举）
小于 $5000$ 的四位数：$1309,1408,1507,1606,1705,1804,1903,3091,3190,4081,4180$，共 $11$ 个（分类枚举）
合计：$7+11=18$（加法原理）

第一套

题目：在小于 $5000$ 的自然数中，能被 $11$ 整除，并且所有数字之和为 $15$ 的数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列方程）：设奇位数字和为 $A$、偶位数字和为 $C$，则 $A+C=\underline{\quad}$，且 $A-C$ 是 $11$ 的倍数。
第 2 步（用奇偶性定差）：$15$ 是奇数，$A-C$ 与 $A+C$ 奇偶相同，也必是奇数，故 $A-C$ 只能取 $\pm 11$。
第 3 步（解和差）：较大者 $=(15+11)\div2=\underline{\quad}$，较小者 $=(15-11)\div2=\underline{\quad}$，即 $\{A,C\}=\{13,2\}$。
第 4 步（三位数）：形如 $\overline{abc}$，$a+c=13,\ b=2$，$a$ 从 $4$ 到 $9$，得 $429,528,627,726,825,924$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（小于 $5000$ 的四位数）：逐类数得 $1419,1518,1617,1716,1815,1914$ 共 $6$ 个，$2409,2508,2607,2706,2805,2904$ 共 $6$ 个，$4092,4191,4290$ 共 $3$ 个，合计 $6+6+3=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（求总数）：$6+15=\underline{\quad}$。

第二套

题目：图书馆给小于 $5000$ 的自然数编号，凡是能被 $11$ 整除且各位数字之和为 $13$ 的编号都要贴红标签。一共要贴多少张红标签？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列方程）：设奇位数字和 $A$、偶位数字和 $C$，则 $A+C=\underline{\quad}$，$A-C$ 是 $11$ 的倍数。
第 2 步（定差）：$13$ 为奇数，故 $A-C=\pm 11$，解得较大者 $=(13+11)\div2=\underline{\quad}$，较小者 $=(13-11)\div2=\underline{\quad}$。
第 3 步（三位数）：$\overline{abc}$ 中 $a+c=12,\ b=1$，得 $319,418,517,616,715,814,913$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（四位数且小于 $5000$）：$1309,1408,1507,1606,1705,1804,1903$ 共 $7$ 个，$3091,3190$ 共 $2$ 个，$4081,4180$ 共 $2$ 个，合计 $7+2+2=\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（合计）：$7+11=\underline{\quad}$（张）。

第三套

题目：在小于 $3000$ 的自然数中，能被 $11$ 整除，并且所有数字之和为 $10$ 的数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列方程）：设奇位数字和 $A$、偶位数字和 $C$，$A+C=\underline{\quad}$，$A-C$ 是 $11$ 的倍数。
第 2 步（关键区别）：这次 $10$ 是**偶数**，$A-C$ 也必是偶数，而 $\pm11$ 是奇数，所以只能 $A-C=\underline{\quad}$，即 $A=C=10\div2=\underline{\quad}$。
第 3 步（两位数）：$\overline{ab}$ 中 $a=b=5$，只有 $\underline{\quad}$ 这一个（即 $55$）。
第 4 步（三位数）：$a+c=5,\ b=5$，得 $154,253,352,451,550$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（小于 $3000$ 的四位数）：$1045,1144,1243,1342,1441,1540$ 共 $6$ 个，$2035,2134,2233,2332,2431,2530$ 共 $6$ 个，合计 $6+6=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（合计）：$1+5+12=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在小于 $10000$ 的自然数中，能被 $11$ 整除，并且所有数字之和为 $13$ 的数共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列方程）：奇位和 $A$、偶位和 $C$ 满足 $A+C=13$，$A-C$ 是 $11$ 的倍数；由奇偶性得 $A-C=\pm11$，故 $\{A,C\}=\{\underline{\quad},\ \underline{\quad}\}$。
第 2 步（三位数）：$a+c=12,\ b=1$，共 $\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（四位数第一类：千位 + 十位 $=12$，百位 + 个位 $=1$）：千位可取 $3\sim 9$（十位相应为 $9\sim 3$），每个千位又有 $(百,个)=(0,1)$ 或 $(1,0)$ 两种，但千位 $=3$ 起才成立，共 $7\times2=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（四位数第二类：千位 + 十位 $=1$，百位 + 个位 $=12$）：千位只能是 $1$（十位为 $0$），百位从 $3$ 到 $9$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 5 步（四位数合计）：$14+7=\underline{\quad}$ 个。
第 6 步（总计）：$7+21=\underline{\quad}$。

26. 【原题 ch15-xingqu-04】一个各位数字均不为 $0$ 的三位数能被 $8$ 整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个不同的两位数（例如，按此方法由 $247$ 将得到 $47,27,24$），已知这些两位数中一个是 $5$ 的倍数，另一个是 $6$ 的倍数，还有一个是 $7$ 的倍数。请问：原来的三位数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「整除特征 + 分类讨论」的数字谜：由三位数划去某一位得到三个两位数，再用它们的倍数性质倒推原数。

关键切入点：关键是抓住“$5$ 的倍数”这条最刚性的条件：两位数是 $5$ 的倍数要求末位为 $0$ 或 $5$，而各位数字都不为 $0$，故末位必为 $5$。三个两位数是 $\overline{bc},\overline{ac},\overline{ab}$，若 $c=5$ 则 $\overline{abc}$ 是奇数，不可能被 $8$ 整除，所以只能 $b=5$。再由“被 $8$ 整除的数必被 $4$ 整除，而被 $4$ 整除只看末两位 $\overline{bc}$”把 $\overline{bc}$ 锁到 $52$ 或 $56$，最后用 $6$、$7$ 的倍数条件定 $a$。

方法概述：先用最强条件（$5$ 的倍数）定位，再用被 $4$／被 $8$ 整除的末位特征收口，最后逐一验证。

规范步骤：

三个两位数是划去一位得到的：$\overline{bc},\ \overline{ac},\ \overline{ab}$（题意翻译）
有一个是 $5$ 的倍数且数字非 $0$：末位是 $5$，即 $c=5$ 或 $b=5$（被 5 整除特征）
若 $c=5$ 则原数为奇数，不能被 $8$ 整除：故 $b=5$（反证排除）
被 $8$ 整除 $\Rightarrow$ 被 $4$ 整除，只看末两位 $\overline{5c}$：$52$ 或 $56$（被 4 整除看末两位）
$52$ 既不是 $6$ 的倍数也不是 $7$ 的倍数，舍去：$\overline{bc}=56=7\times8$（倍数判定）
剩下 $\overline{ac}=\overline{a6}$ 须为 $6$ 的倍数，且 $656\div8=82$：$\overline{a6}=66\Rightarrow a=6$（倍数判定与回代）

第一套

题目：一个各位数字均不为 $0$ 的三位数能被 $8$ 整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个不同的两位数。已知这些两位数中一个是 $6$ 的倍数，另一个是 $9$ 的倍数，还有一个是 $11$ 的倍数。请问：原来的三位数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（抓最刚性的条件）：两位数是 $11$ 的倍数只能是 $11,22,\dots,99$，即**两个数字相同**。三个两位数是 $\overline{bc},\overline{ac},\overline{ab}$，所以 $a,b,c$ 中必有两个相等。
第 2 步（用被 $8$ 整除定末两位）：原数被 $8$ 整除必被 $4$ 整除，只看末两位 $\overline{bc}$，故 $\overline{bc}$ 是 $4$ 的倍数，也就是偶数结尾。
第 3 步（试 $\overline{bc}$ 为 $6$ 的倍数）：既是 $4$ 的倍数又是 $6$ 的倍数的两位数是 $12$ 的倍数：$12,24,36,48,60,72,84,96$，其中数字都不为 $0$ 的有 $12,24,36,48,72,84,96$ 共 $\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（配 $11$ 的倍数）：若 $\overline{ac}$ 是 $11$ 的倍数则 $a=c$。取 $\overline{bc}=72$（$72\div6=\underline{\quad}$），则 $c=2$，于是 $a=2$，$\overline{ac}=22=11\times\underline{\quad}$。
第 5 步（验第三条与被 $8$ 整除）：$\overline{ab}=27=9\times\underline{\quad}$ 是 $9$ 的倍数；原数 $272\div8=\underline{\quad}$ 整除，三条件全中。
第 6 步（下结论）：原来的三位数是 $8\times34=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某储物格的编号是一个各位数字均不为 $0$ 的三位数，且能被 $8$ 整除。把它的百位、十位、个位分别遮住一位，可以读出三个不同的两位数；已知其中一个是 $5$ 的倍数，一个是 $6$ 的倍数，还有一个是 $7$ 的倍数。求这个编号。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（用 $5$ 的倍数定位）：两位数是 $5$ 的倍数且各位非 $0$，末位只能是 $5$，即 $c=5$ 或 $b=5$。
第 2 步（排除 $c=5$）：若个位 $c=5$，编号是奇数，不可能被 $8$ 整除，所以 $b=5$。
第 3 步（用被 $4$ 整除定 $c$）：末两位 $\overline{5c}$ 要被 $4$ 整除，$52\div4=\underline{\quad}$、$56\div4=\underline{\quad}$，故 $\overline{bc}$ 是 $52$ 或 $56$。
第 4 步（用 $6$、$7$ 的倍数筛）：$52$ 既不是 $6$ 的倍数也不是 $7$ 的倍数，舍去；$56=7\times\underline{\quad}$，保留。
第 5 步（定百位）：$\overline{ac}=\overline{a6}$ 必须是 $6$ 的倍数，$66=6\times\underline{\quad}$ 合适，故 $a=6$。
第 6 步（验算）：$656\div8=\underline{\quad}$，编号是 $656$。

第三套

题目：一个各位数字均不为 $0$ 的三位数能被 $24$ 整除，划去百位、十位、个位后得到三个不同的两位数，其中一个是 $3$ 的倍数，一个是 $4$ 的倍数，还有一个是 $9$ 的倍数。求原来的三位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆除数）：$24=8\times\underline{\quad}$，所以原数既要被 $8$ 整除（末三位即本身），又要被 $3$ 整除（数字和是 $3$ 的倍数）。
第 2 步（先用 $9$ 的倍数）：两位数是 $9$ 的倍数，数字和为 $9$ 或 $18$；试 $\overline{ab}=93$（$9+3=\underline{\quad}$），得 $a=9,b=3$。
第 3 步（用被 $4$ 整除定 $c$）：原数被 $8$ 整除必被 $4$ 整除，末两位 $\overline{3c}$ 要被 $4$ 整除，$36\div4=\underline{\quad}$，取 $c=6$。
第 4 步（验三条倍数条件）：$\overline{bc}=36=4\times\underline{\quad}$、$\overline{ac}=96$ 是 $3$ 的倍数（$96\div3=\underline{\quad}$）、$\overline{ab}=93$ 是 $3$ 的倍数… 重新对应：$36$ 取 $4$ 的倍数、$96$ 取 $3$ 的倍数、$93$ 取 $3$ 的倍数不行，改让 $\overline{ab}=93$ 对应 $3$ 的倍数、$36$ 对应 $9$ 的倍数（$36\div9=\underline{\quad}$）、$96$ 对应 $4$ 的倍数（$96\div4=\underline{\quad}$），三条各占其一。
第 5 步（验原数）：$936\div24=\underline{\quad}$，符合。

第三套

题目：一个各位数字均不为 $0$ 的三位数能被 $8$ 整除，划去百位、十位、个位后得到的三个两位数中，一个是 $5$ 的倍数，一个是 $6$ 的倍数，还有一个是 $7$ 的倍数。（1）这个三位数是多少？（2）把它分解质因数，它一共有多少个约数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定十位）：是 $5$ 的倍数的两位数末位为 $5$；若个位为 $5$ 则原数为奇数，不能被 $8$ 整除，故十位 $b=5$。
第 2 步（定个位）：末两位 $\overline{5c}$ 要被 $4$ 整除，只能是 $52$ 或 $56$；$52$ 不是 $6$、$7$ 的倍数，舍去，故 $\overline{bc}=56=7\times\underline{\quad}$。
第 3 步（定百位）：$\overline{a6}$ 要是 $6$ 的倍数，$66\div6=\underline{\quad}$，故 $a=6$，第 (1) 问答案为 $656$，且 $656\div8=\underline{\quad}$。
第 4 步（分解质因数）：$656\div2=328$、$328\div2=164$、$164\div2=82$、$82\div2=\underline{\quad}$，而 $41$ 是质数，所以 $656=2^4\times41$。
第 5 步（用约数个数公式）：指数各加 $1$ 再相乘，约数个数 $=(4+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$。
第 6 步（验算）：$2^4\times41=16\times41=\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch15-xingqu-05】$26460$ 的所有约数中，$6$ 的倍数有多少个？与 $6$ 互质的有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「约数个数计数」题：先把数分解质因数，再按对每个质因子指数的取值范围做乘法原理计数。

关键切入点：关键是把“约数是 $6$ 的倍数”翻译成对指数的限制：$6=2\times3$，所以约数中 $2$ 的指数至少取 $1$、$3$ 的指数至少取 $1$，其余质因子随便取；“与 $6$ 互质”则要求 $2$、$3$ 的指数都取 $0$。$26460=2^2\times3^3\times5\times7^2$，指数各自的可选个数一乘就是答案。

方法概述：分解质因数，把条件转成各质因子指数的可选个数，再用乘法原理相乘。

规范步骤：

分解质因数：$26460=2^2\times3^3\times5\times7^2$（质因数分解）
约数是 $6$ 的倍数：$2$ 的指数取 $1\sim2$、$3$ 的指数取 $1\sim3$：$2$ 种 $\times$ $3$ 种（整除条件转指数）
$5$、$7$ 的指数不受限：$5$：$2$ 种；$7$：$3$ 种（自由选取）
乘法原理：$2\times3\times2\times3=36$（个）（乘法原理）
与 $6$ 互质：$2$、$3$ 的指数都必须取 $0$：只剩 $5$、$7$ 自由，$2\times3=6$（个）（互质条件转指数）

第一套

题目：$63000$ 的所有约数中，$6$ 的倍数有多少个？与 $6$ 互质的有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$63000=63\times1000=(9\times7)\times(8\times125)$，整理得 $63000=2^3\times3^2\times5^3\times7$，验算 $8\times9\times125\times7=\underline{\quad}$。
第 2 步（“是 $6$ 的倍数”转指数）：$6=2\times3$，故约数中 $2$ 的指数至少为 $1$，可取 $1,2,3$ 共 $\underline{\quad}$ 种；$3$ 的指数至少为 $1$，可取 $1,2$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（其余质因子自由取）：$5$ 的指数可取 $0\sim3$ 共 $\underline{\quad}$ 种，$7$ 的指数可取 $0\sim1$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘法原理）：$3\times2\times4\times2=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（“与 $6$ 互质”转指数）：$2$、$3$ 的指数都必须取 $0$，只剩 $5$、$7$ 自由，共 $4\times2=\underline{\quad}$（个）。

第二套

题目：一箱糖共 $26460$ 颗，要平均分成若干份（每份颗数为整数）。（1）每份颗数是 $6$ 的倍数的分法有多少种？（2）每份颗数与 $6$ 互质的分法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化）：每份颗数必须是 $26460$ 的约数，问题就是数约数个数。分解得 $26460=2^2\times3^3\times5\times7^2$，验算 $4\times27\times5\times49=\underline{\quad}$。
第 2 步（是 $6$ 的倍数）：$2$ 的指数取 $1\sim2$ 共 $\underline{\quad}$ 种，$3$ 的指数取 $1\sim3$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（其余自由）：$5$ 的指数 $0\sim1$ 共 $2$ 种，$7$ 的指数 $0\sim2$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘法原理）：$2\times3\times2\times3=\underline{\quad}$（种）。
第 5 步（与 $6$ 互质）：$2$、$3$ 的指数都取 $0$，只剩 $2\times3=\underline{\quad}$（种）。

第三套

题目：$26460$ 的所有约数中，$10$ 的倍数有多少个？与 $10$ 互质的有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$26460=2^2\times3^3\times5\times7^2$。
第 2 步（“是 $10$ 的倍数”转指数）：$10=2\times5$，故 $2$ 的指数至少为 $1$，可取 $1,2$ 共 $\underline{\quad}$ 种；$5$ 的指数至少为 $1$，而 $5$ 最高只有 $1$ 次方，只能取 $1$，共 $\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（其余自由）：$3$ 的指数 $0\sim3$ 共 $\underline{\quad}$ 种，$7$ 的指数 $0\sim2$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
第 4 步（乘法原理）：$2\times1\times4\times3=\underline{\quad}$（个）。
第 5 步（与 $10$ 互质）：$2$、$5$ 的指数都取 $0$，剩 $3$、$7$ 自由，$4\times3=\underline{\quad}$（个）。

第三套

题目：$63000$ 的所有约数中：（1）一共有多少个约数？（2）是 $6$ 的倍数但**不是** $4$ 的倍数的约数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$63000=2^3\times3^2\times5^3\times7$。
第 2 步（约数总数）：把每个指数加 $1$ 再相乘，$(3+1)\times(2+1)\times(3+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$（个）。
第 3 步（“是 $6$ 的倍数”）：$2$ 的指数 $\ge1$，$3$ 的指数 $\ge1$。
第 4 步（再加“不是 $4$ 的倍数”）：不是 $4$ 的倍数意味着 $2$ 的指数不能到 $2$ 及以上，于是 $2$ 的指数被夹成**恰好等于 $1$**，只有 $\underline{\quad}$ 种取法。
第 5 步（其余质因子）：$3$ 的指数取 $1\sim2$ 共 $\underline{\quad}$ 种，$5$ 的指数取 $0\sim3$ 共 $\underline{\quad}$ 种，$7$ 的指数取 $0\sim1$ 共 $\underline{\quad}$ 种。
第 6 步（乘法原理）：$1\times2\times4\times2=\underline{\quad}$（个）。

28. 【原题 ch15-xingqu-06】一个自然数 $N$ 共有 $9$ 个约数，而 $N-1$ 恰有 $8$ 个约数。满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「约数个数公式 + 枚举验证」题：由约数个数反推数的质因数结构，再在很窄的候选里逐个试。

关键切入点：关键是把“约数个数”翻译成质因数指数：若 $N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots$，则约数个数 $=(a_1+1)(a_2+1)\cdots$。$9=9$ 或 $9=3\times3$，所以 $N$ 只可能是 $a^8$ 或 $a^2b^2$（$a,b$ 为不同质数），这两类数非常稀疏，从小到大列出来再看 $N-1$ 是否恰有 $8$ 个约数即可。

方法概述：用约数个数公式定 $N$ 的形状，按形状从小到大枚举，再验 $N-1$。

规范步骤：

写出约数个数公式：$N=p^a q^b\cdots\Rightarrow d(N)=(a+1)(b+1)\cdots$（约数个数公式）
把 $9$ 拆成因数积：$9=9$ 或 $9=3\times3$，故 $N=a^8$ 或 $N=a^2b^2$（分解定形状）
$a^2b^2$ 型从小到大：$36,100,196,225,\dots$（枚举）
验 $N-1$：$35=5\times7$ 有 $4$ 个；$99=3^2\times11$ 有 $6$ 个；$195=3\times5\times13$ 有 $8$ 个 √（约数个数公式）
$a^8$ 型最小的是 $2^8=256$，$255=3\times5\times17$ 有 $8$ 个：$256$ 也满足（枚举验证）
比较大小：最小 $196$，第二小 $256$（排序）

第一套

题目：一个自然数 $N$ 共有 $9$ 个约数，而 $N+1$ 恰有 $8$ 个约数。满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定形状）：$d(N)=9$，而 $9=9\times1=3\times3$，所以 $N=a^8$ 或 $N=a^2b^2$（$a,b$ 为不同质数）。
第 2 步（列候选）：$a^2b^2$ 型从小到大是 $(2\times3)^2=\underline{\quad}$、$(2\times5)^2=\underline{\quad}$、$(2\times7)^2=\underline{\quad}$、$(3\times5)^2=\underline{\quad}$、$(3\times7)^2=\underline{\quad}$。
第 3 步（验 $N+1$）：$37$ 是质数只有 $2$ 个约数；$101$ 是质数；$197$ 是质数；$226=2\times113$ 有 $\underline{\quad}$ 个；$442=2\times13\times17$ 有 $(1+1)\times(1+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$ 个 √。
第 4 步（继续找第二个）：接着的 $a^2b^2$ 型是 $(2\times11)^2=\underline{\quad}$（$485=5\times97$ 只有 $4$ 个约数），$(3\times11)^2=\underline{\quad}$，而 $1090=2\times5\times109$ 恰有 $\underline{\quad}$ 个约数 √。
第 5 步（比较 $a^8$ 型）：$2^8=\underline{\quad}$，但 $257$ 是质数只有 $2$ 个约数，不合。
第 6 步（下结论）：最小 $441$，第二小 $1089$。

第二套

题目：某仓库有一批货，货物总数 $N$ 恰好有 $9$ 种“平均分”的份数（即 $N$ 恰有 $9$ 个约数）；若少一件，则恰有 $8$ 种分法。满足条件的货物总数中，最小的和第二小的分别是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转成约数个数）：“分法数”就是约数个数，$d(N)=9$，$d(N-1)=8$。
第 2 步（定形状）：$9=3\times3=9\times1$，故 $N=a^2b^2$ 或 $N=a^8$。
第 3 步（枚举 $a^2b^2$ 型）：$(2\times3)^2=\underline{\quad}$，$35=5\times7$ 只有 $4$ 个约数；$(2\times5)^2=\underline{\quad}$，$99=3^2\times11$ 有 $(2+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$ 个；$(2\times7)^2=\underline{\quad}$，$195=3\times5\times13$ 恰有 $\underline{\quad}$ 个 √。
第 4 步（枚举 $a^8$ 型）：$2^8=\underline{\quad}$，$255=3\times5\times17$ 也恰有 $8$ 个约数 √。
第 5 步（比较）：$196<256$，所以最小是 $196$，第二小是 $256$。

第三套

题目：一个自然数 $N$ 恰有 $6$ 个约数，而 $N-1$ 恰有 $4$ 个约数。满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定形状）：$6=6\times1=2\times3$，故 $N=a^5$ 或 $N=a^2b$（$a,b$ 为不同质数）。
第 2 步（$N-1$ 的形状）：$4=4\times1=2\times2$，故 $N-1=c^3$ 或 $N-1=cd$（两个不同质数之积）。
第 3 步（从小到大试）：$N=12$ 时 $11$ 是质数只有 $2$ 个约数；$N=18$ 时 $17$ 是质数；$N=20$ 时 $19$ 是质数；$N=28=2^2\times7$，$27=3^3$ 恰有 $3+1=\underline{\quad}$ 个约数 √。
第 4 步（找第二个）：$N=44$ 时 $43$ 是质数；$N=45$ 时 $44=2^2\times11$ 有 $(2+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$ 个；$N=50$ 时 $49=7^2$ 有 $\underline{\quad}$ 个；$N=52=2^2\times13$，$51=3\times17$ 恰有 $(1+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$ 个 √。
第 5 步（验 $N$ 的约数个数）：$28=2^2\times7$ 有 $(2+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$ 个，$52=2^2\times13$ 同样有 $6$ 个。
第 6 步（下结论）：最小 $28$，第二小 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个自然数 $N$ 共有 $9$ 个约数，而 $N-1$ 恰有 $8$ 个约数。请求出满足条件的**最小的三个**自然数，并求它们的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定形状）：$N=a^8$ 或 $N=a^2b^2$。
第 2 步（前两个）：$196=(2\times7)^2$，$195=3\times5\times13$ 有 $\underline{\quad}$ 个约数 √；$256=2^8$，$255=3\times5\times17$ 也有 $8$ 个 √。
第 3 步（继续枚举 $a^2b^2$ 型）：$(3\times5)^2=\underline{\quad}$，$224=2^5\times7$ 有 $(5+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$ 个，不合；$(2\times11)^2=\underline{\quad}$，$483=3\times7\times23$ 恰有 $\underline{\quad}$ 个 √。
第 4 步（确认没有遗漏）：介于 $256$ 与 $484$ 之间的 $a^2b^2$ 型只有 $(3\times5)^2=225$、$(2\times13)^2=676>484$ 等，均已排除。
第 5 步（求和）：$196+256+484=\underline{\quad}$。

29. 【原题 ch15-xingqu-07】一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是 $111$，这个自然数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「约数性质」题：利用“最大的约数就是它本身、次大的约数等于本身除以最小质因数”这一结构反推原数。

关键切入点：关键是把两个约数写成 $N$ 与 $\dfrac{N}{p}$（$p$ 是 $N$ 的最小质因数），于是 $N+\dfrac{N}{p}=\dfrac{N}{p}(p+1)=111$。这说明 $\dfrac{N}{p}$ 与 $p+1$ 都是 $111$ 的约数。$111=3\times37$，$p+1$ 只能取 $3$（$p=2$）——取 $37$ 得 $p=36$ 不是质数，取 $111$ 得 $p=110$ 也不是——于是 $\dfrac{N}{p}=37$，$N=74$。

方法概述：把最大、次大约数写成 $N$ 与 $N/p$，提公因式后对 $p+1$ 分解讨论。

规范步骤：

最大约数是本身，次大约数是 $N$ 除以最小质因数 $p$：$N+\dfrac{N}{p}=111$（约数结构）
提公因式：$\dfrac{N}{p}\times(p+1)=111$（因式分解）
$111=3\times37$，枚举 $p+1$ 的取值：$p+1=3\Rightarrow p=2$；$p+1=37\Rightarrow p=36$（非质数）；$p+1=111\Rightarrow p=110$（非质数）（分类讨论）
取 $p=2$：$\dfrac{N}{2}=111\div3=37$（代入求解）
求 $N$ 并检验最小质因数确为 $2$：$N=2\times37=74$，$74+37=111$ √（回代验证）

第一套

题目：一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是 $1113$，这个自然数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写结构）：最大的约数是 $N$ 本身，次大的是 $\dfrac{N}{p}$（$p$ 为最小质因数），故 $N+\dfrac{N}{p}=1113$。
第 2 步（提公因式）：$\dfrac{N}{p}\times(p+1)=\underline{\quad}$，说明 $p+1$ 是 $1113$ 的约数。
第 3 步（分解）：$1113=3\times7\times\underline{\quad}$，它是奇数，所以它的约数都是奇数，$p+1$ 为奇数意味着 $p$ 是**偶数**，而偶质数只有 $\underline{\quad}$。
第 4 步（代入）：$p=2$，$p+1=3$，故 $\dfrac{N}{2}=1113\div3=\underline{\quad}$。
第 5 步（求 $N$）：$N=2\times371=\underline{\quad}$，检验最小质因数确为 $2$。
第 6 步（验算）：$742+371=\underline{\quad}$ √。

第二套

题目：一个班的人数是一个自然数。把全班平均分组，最大的一组人数（即全班人数）与第二大的可能组数所对应的人数之和是 $111$。这个班有多少人？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写结构）：设人数为 $N$，最大的约数是 $N$，次大的约数是 $\dfrac{N}{p}$（$p$ 为最小质因数），$N+\dfrac{N}{p}=\underline{\quad}$。
第 2 步（提公因式）：$\dfrac{N}{p}\times(p+1)=111$。
第 3 步（分解讨论）：$111=3\times\underline{\quad}$。$p+1=3$ 得 $p=\underline{\quad}$（是质数，可行）；$p+1=37$ 得 $p=36$、$p+1=111$ 得 $p=110$，都不是质数。
第 4 步（求解）：$\dfrac{N}{2}=111\div3=\underline{\quad}$，故 $N=2\times37=\underline{\quad}$。
第 5 步（验算）：$74+37=\underline{\quad}$ √。

第三套

题目：一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是 $2109$，这个自然数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写结构）：$N+\dfrac{N}{p}=\dfrac{N}{p}(p+1)=2109$。
第 2 步（分解）：$2109=3\times19\times\underline{\quad}$。
第 3 步（定 $p$）：$2109$ 是奇数，其约数全为奇数，故 $p+1$ 为奇数、$p$ 为偶数，只能 $p=\underline{\quad}$，$p+1=3$。
第 4 步（求解）：$\dfrac{N}{2}=2109\div3=\underline{\quad}$，故 $N=2\times703=\underline{\quad}$。
第 5 步（验最小质因数）：$703=19\times37$ 是奇数，所以 $1406$ 的最小质因数确为 $2$；验算 $1406+703=\underline{\quad}$ √。

第三套

题目：一个自然数，它**最大的三个约数**之和是 $259$，这个自然数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写结构）：最大的三个约数依次是 $N$、$\dfrac{N}{p}$、$\dfrac{N}{q}$，其中 $p<q$ 是 $N$ 的最小的两个大于 $1$ 的约数。
第 2 步（定 $p$）：$259$ 是奇数。若 $N$ 是奇数，则三个约数都是奇数，和为奇数，可行；若 $N$ 是偶数，则 $p=2$，第三大的约数是 $\dfrac{N}{3}$ 或 $\dfrac{N}{4}$，需分类。
第 3 步（试 $p=2,\ q=4$）：$N+\dfrac{N}{2}+\dfrac{N}{4}=N\times\dfrac{4+2+1}{4}=\dfrac{\underline{\quad}N}{4}$，令它等于 $259$，得 $N=259\times4\div7=\underline{\quad}$。
第 4 步（检验）：$148=2^2\times37$，约数为 $1,2,4,37,74,148$，最大的三个是 $148,74,37$，和为 $148+74+\underline{\quad}=\underline{\quad}$ √。
第 5 步（排除另一分类）：若 $p=2,\ q=3$，则和为 $N\times\dfrac{6+3+2}{6}=\dfrac{11N}{6}$，$259\times6\div11$ 不是整数，$259\div11=23\cdots\underline{\quad}$，不成立。
第 6 步（下结论）：这个自然数是 $\underline{\quad}$。

30. 【原题 ch15-xingqu-08】有一个算式 $6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1$，小明在上式中把一些“$\times$”换成“$\div$”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「乘除符号替换求最值」类：在一串连乘里把某些“$\times$”改成“$\div$”，要结果仍是自然数并且尽量小。

关键切入点：关键的不变量是：把一个“$\times$”改成“$\div$”，相当于把结果**除以该数的平方**（本来乘一份，现在改成除一份，等于少乘一份又多除一份）。除以平方不改变任何质因数出现次数的奇偶性，所以不管怎么改，结果里每个质因数的**指数奇偶性都和原乘积一样**。$6\times5\times4\times3\times2\times1=720=2^4\times3^2\times5$，只有 $5$ 的指数是奇数，因此结果必是 $5$ 的倍数；又 $720\div5=144=12^2$ 是完全平方数，说明剩下部分能“一半乘、一半除”地配平，最小值 $5$ 可以取到。

方法概述：用质因数指数的奇偶性找出结果必含的最小因数，再验证剩余是完全平方数即可达到最小。

规范步骤：

分解质因数：$720=2^4\times3^2\times5$（质因数分解）
换号相当于除以平方，指数奇偶性不变：$\times\to\div\Rightarrow\text{结果}\div(\text{该数})^2$（奇偶不变原理）
只有 $5$ 的指数为奇数：结果必是 $5$ 的倍数，最小候选为 $5$（奇偶分析）
验证 $5$ 可达：$720\div5=144=12^2$，取 $6\times5\div4\div3\times2\times1=5$（构造验证）

第一套

题目：有一个算式 $7\times6\times5\times4\times3\times2\times1$，把其中一些“$\times$”换成“$\div$”，计算结果仍是自然数。这个自然数最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$，它 $=2^4\times3^2\times5\times7$。
第 2 步（奇偶不变原理）：换号相当于除以某数的平方，各质因数指数的奇偶性不变。指数为奇数的质因数是 $5$ 和 $7$，所以结果一定是 $5\times7=\underline{\quad}$ 的倍数。
第 3 步（验证可达）：$5040\div35=\underline{\quad}$，它是完全平方数 $12\times12$，故最小值 $35$ 能取到。
第 4 步（写出构造）：例如 $7\times6\times5\div4\div3\times2\times1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：小明把六张写着 $6,5,4,3,2,1$ 的卡片按顺序用乘号连成 $6\times5\times4\times3\times2\times1$，允许把其中一些“$\times$”改写成“$\div$”，但要保证算出来仍是自然数。这个自然数最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$6\times5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$，它 $=2^4\times3^2\times5$。
第 2 步（奇偶不变）：换号等于除以平方，指数奇偶性不变；只有 $5$ 的指数是奇数，故结果一定是 $5$ 的倍数。
第 3 步（验证可达）：$720\div5=\underline{\quad}$，是完全平方数 $12\times12$，故最小值可取 $5$。
第 4 步（写出构造）：$6\times5\div4\div3\times2\times1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一个算式 $8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1$，把其中一些“$\times$”换成“$\div$”，结果仍是自然数，最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$，它 $=2^7\times3^2\times5\times7$。
第 2 步（找奇指数质因数）：指数为奇数的是 $2,5,7$，故结果一定是 $2\times5\times7=\underline{\quad}$ 的倍数。
第 3 步（验证可达）：$40320\div70=\underline{\quad}$，它是完全平方数 $24\times24$。
第 4 步（写出构造）：$8\times7\times5\times3\times2\times1\div4\div6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一个算式 $10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1$，把其中一些“$\times$”换成“$\div$”，结果仍是自然数，最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解质因数）：$10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$，它 $=2^8\times3^4\times5^2\times7$。
第 2 步（找奇指数质因数）：$2,3,5$ 的指数都是偶数，唯有 $7$ 的指数是奇数，故结果一定是 $7$ 的倍数，最小候选 $7$。
第 3 步（验证可达）：$3628800\div7=\underline{\quad}$，它恰是完全平方数 $720\times720$。
第 4 步（写出构造）：$7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\div10\div9\div8=\underline{\quad}$。

31. 【原题 ch15-xingqu-09】一个两位数分别除以 $7$、$8$、$9$，所得余数的和为 $20$。问：这个两位数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「带余除法 + 余数范围 + 枚举」类：给出一个数除以几个除数的余数之和，反推这个数。

关键切入点：关键是先框住余数的取值范围：除以 $7,8,9$ 的余数分别不超过 $6,7,8$，三者最大和为 $6+7+8=21$。现在和是 $20=21-1$，说明恰有一个余数比它的最大值小 $1$，于是余数组合只有 $(5,7,8)$、$(6,6,8)$、$(6,7,7)$ 三种，逐一回代看哪种能凑出真正的两位数即可。

方法概述：先用余数上限列出可能的余数组合，再回代验证存在的两位数。

规范步骤：

写出各余数上限：$r_7\le6,\ r_8\le7,\ r_9\le8$，最大和 $6+7+8=21$（余数范围）
和为 $20=21-1$，恰有一个余数少 $1$：$(5,7,8),(6,6,8),(6,7,7)$（分类枚举）
回代验证：只有 $(6,6,8)$ 成立：$N=8\times7+6=62$（回代）
复核：$62\div7=8\cdots6,\ 62\div8=7\cdots6,\ 62\div9=6\cdots8$（验证）

第一套

题目：一个两位数分别除以 $8$、$9$、$11$，所得三个余数的和是 $23$。这个两位数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（余数上限）：除以 $8$、$9$、$11$ 的余数分别不超过 $7$、$8$、$10$，三者最大和为 $7+8+10=\underline{\quad}$。
第 2 步（定余数）：和 $23=25-2$，试余数组合 $(7,6,10)$，这个数写成 $8\times10+7=\underline{\quad}$。
第 3 步（回代验证）：$9\times9+6=\underline{\quad}$、$11\times7+10=\underline{\quad}$，都得到同一个数 $87$，余数确为 $7,6,10$。

第二套

题目：一袋糖果不足 $100$ 颗。把它平均分给 $7$ 个、$8$ 个、$9$ 个小朋友，三次分别剩下的颗数加起来是 $20$。已知糖果颗数是两位数，这袋糖有多少颗？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（余数上限）：分给 $7,8,9$ 人剩下的颗数分别不超过 $6,7,8$，最大和 $6+7+8=\underline{\quad}$。
第 2 步（定余数）：和 $20=21-1$，可能是 $(6,6,8)$。此时颗数 $=8\times7+6=\underline{\quad}$。
第 3 步（回代验证）：$9\times6+8=\underline{\quad}$，同为 $62$，且除以 $7$ 也余 $6$，符合。

第三套

题目：一个两位数分别除以 $7$、$9$、$11$，三个余数之和是 $22$，求这个两位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（余数上限）：余数分别不超过 $6,8,10$，最大和 $6+8+10=\underline{\quad}$。
第 2 步（定余数）：和 $22=24-2$，试 $(6,7,9)$，这个数写成 $7\times13+6=\underline{\quad}$。
第 3 步（回代验证）：$9\times10+7=\underline{\quad}$、$11\times8+9=\underline{\quad}$，都得到 $97$。

第三套

题目：一个三位数分别除以 $7$、$8$、$9$，三个余数之和是 $21$。这个三位数最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（余数上限）：余数分别不超过 $6,7,8$，最大和 $6+7+8=\underline{\quad}$，而题目正好给到 $21$，说明三个余数**同时取到最大值**。
第 2 步（转成整除）：三个余数都“差 $1$ 就整除”，即 $N+1$ 能同时被 $7,8,9$ 整除，$N+1$ 是它们的公倍数。$7,8,9$ 两两互质，最小公倍数 $=7\times8\times9=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最小三位数）：$N+1$ 取 $504$ 时 $N=504-1=\underline{\quad}$。
第 4 步（复核）：$7\times71+6=\underline{\quad}$，余数确为 $6$。

32. 【原题 ch15-xingqu-10】信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。对方获取密文却很难知道译密文的密钥，这样就达到保密的作用。有一天我军截获了敌军的一串密文：$A378B421C$，字母表示还没有被破译出来的数字。如果知道密码满足如下条件：①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；②三个三位数除以 $12$ 所得到的余数是三个互不相同的质数；③三个字母表示的数字互不相同且都是奇数。你能破解此密文吗？

详细思路

是哪类问题：这是「密码型数字谜」：把密文拆成三个三位数，用“除以 $12$ 的余数是互不相同的质数、字母都是奇数、每个三位数的三个数字互不相同”等条件逐位推断。

关键切入点：关键突破口在中间的 $\overline{8B4}$：它是偶数，除以 $12$ 的余数也必是偶数，而偶质数只有 $2$，所以 $\overline{8B4}$ 除以 $12$ 余 $2$，即 $8B2$ 能被 $12$ 整除，定出 $B=5$（$854-2=852=12\times71$）。再由三段余数是互不相同的质数、三个字母都是奇数、各段数字互不相同，逐一筛选可唯一确定 $A=1$、$C=9$。

方法概述：拆成三个三位数，从余数为偶质数的一段入手定中间字母，再用“余数互异质数 + 字母奇 + 数字互异”收口。

规范步骤：

拆成三个三位数：$\overline{A37},\ \overline{8B4},\ \overline{21C}$（位值拆分）
中间段是偶数，余数为偶质数只能是 $2$：$8B2$ 能被 $12$ 整除 $\Rightarrow B=5$（$852=12\times71$）（整除特征）
首段余数：$137\div12=11\cdots5$（$5$ 为质数）：$A=1$（余数与质数）
末段余数：$219\div12=18\cdots3$（$3$ 为质数）：$C=9$（余数与质数）
核对：三段余数 $5,2,3$ 互不相同且都是质数，$A,B,C=1,5,9$ 互异且都是奇数：$137\,854\,219$（综合验证）

竞赛数学 · 六年级第15讲《数论综合一》举一反三练习卷

附录 · 答案

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