竞赛数学 · 六年级 第16讲《数字谜综合二》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch16-chaoyue-01】请在算式 $\frac{1}{\overline{\square\square 0}}+\frac{1}{\overline{\square\square 0}}=\frac{1}{105}$ 的每个方框中填入一个数字（即两个分母都是个位为 $0$ 的三位数），使其成为等式，请写出所有的可能。
详细思路
是哪类问题：「带三位数限制的单位分数拆分」：$\frac1A+\frac1B=\frac1{105}$，$A,B$ 都是个位为 $0$ 的三位数。
关键切入点：去分母配方 $(A-105)(B-105)=105^2=11025$（$A,B>105$）；枚举因数对，并保留使 $A,B$ 都是个位为 $0$ 的三位数的组，共 $4$ 组。
方法概述：配方 $(A-T)(B-T)=T^2$，枚举并按位数/末位筛选。
规范步骤：
  1. 配方：$(A-105)(B-105)=11025$（配方）
  2. 筛选合法因数对：$(15,735),(35,315),(45,245),(105,105)$（位数/末位筛选）
  3. 还原：$(120,840),(140,420),(150,350),(210,210)$（代回）
  4. 答案：共 4 组
第一套
题目：在算式 $\frac1{\overline{\square\square0}}+\frac1{\overline{\square\square0}}=\frac1{150}$ 中，两个分母都是个位为 $0$ 的三位数，写出所有可能。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：$\frac1A+\frac1B=\frac1{150}$ 通分整理得 $(A-150)(B-150)=150\times150=\underline{\quad}$（$A,B>150$）。
  2. 第 2 步（合法因数对）：设 $A=150+p,B=150+q\ (pq=22500)$，因 $A,B$ 个位为 $0$ 故 $p,q$ 都是 $10$ 的倍数，又 $A,B\le990$ 故 $p,q\le840$。满足的 $(p,q)$ 有 $(30,750),(50,450),(90,250),(150,150)$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原）：$(30,750)\to A=150+30=\underline{\quad}$，$B=150+750=\underline{\quad}$；$(90,250)\to A=150+90=\underline{\quad}$，$B=150+250=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{180}+\frac1{900}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{150}$），共 $\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：两根进水管，各自单独注满一个水池所需的分钟数都是个位为 $0$ 的三位数。若两管齐开，每分钟恰好注满水池的 $\frac1{105}$。求两管单独注满所需分钟数的所有可能。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列式配方）：设两管各需 $A,B$ 分钟，$\frac1A+\frac1B=\frac1{105}$，配方 $(A-105)(B-105)=105\times105=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（合法因数对）：$A=105+p,B=105+q\ (pq=11025)$，要 $A,B$ 都是个位 $0$ 的三位数，合法 $(p,q)$ 为 $(15,735),(35,315),(45,245),(105,105)$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原）：$(15,735)\to A=105+15=\underline{\quad}$，$B=105+735=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{120}+\frac1{840}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{105}$）。
第三套
题目：在算式 $\frac1{\overline{\square\square0}}+\frac1{\overline{\square\square0}}=\frac1{140}$ 中，两个分母都是个位为 $0$ 的三位数，写出所有可能。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：$(A-140)(B-140)=140\times140=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（合法因数对）：$A=140+p,B=140+q\ (pq=19600)$，$p,q$ 为 $10$ 的倍数且 $A,B\le990$。合法 $(p,q)$ 为 $(40,490),(70,280),(140,140)$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原）：$(40,490)\to A=140+40=\underline{\quad}$，$B=140+490=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{180}+\frac1{630}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{140}$），共 $\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：在算式 $\frac1{\overline{\square\square0}}+\frac1{\overline{\square\square0}}=\frac1{105}$（两分母都是个位为 $0$ 的三位数）的所有解中，出现的最大分母是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：$(A-105)(B-105)=105\times105=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（极值分析）：设 $A\le B$，$A=105+p$，$B=105+\frac{11025}p$。$B$ 最大当 $p$ 最小；使 $A$ 为三位整十数的最小 $p=15$（$A=120$），此时 $B=105+\frac{11025}{15}=105+735=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（验证）：$\frac1{120}+\frac1{840}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{105}$），故最大分母为 $840$。
2. 【原题 ch16-chaoyue-02】在图 16-14 的竖式（$\overline{abc}+\overline{def}=\overline{ghij}$，即三位数加三位数等于四位数）中用 $0$ 至 $9$ 各填一次，使竖式成立。请问：竖式结果的四位数最小可能是多少，最大可能是多少？
详细思路
是哪类问题：「弃九法 + 竖式极值」：$0\sim9$ 各一次填 $\overline{abc}+\overline{def}=\overline{ghij}$，求四位结果的最小、最大值。
关键切入点：由 $2\overline{ghij}=$ 全部数字之和 $45\Rightarrow\overline{ghij}$ 数字和是 $9$ 的倍数（$9$ 或 $18$），$g=1$；分类求得结果最小 $1026$、最大 $1602$。
方法概述：由结果数字和为 9 的倍数分类求极值。
规范步骤：
  1. 弃九：$\overline{ghij}$ 数字和为 $9$ 的倍数（弃九法）
  2. 最小：$489+537=1026$（构造）
  3. 最大：结果 $1602$（构造）
  4. 答案：最小 $1026$，最大 $1602$
3. 【原题 ch16-chaoyue-03】在图 16-15 所示的除法竖式中，只知道一个数字“$3$”，且商是一个循环小数。问被除数是多少？
详细思路
是哪类问题：「循环小数化分数 + 竖式还原」：除法竖式只知一个 $3$，商是循环小数，求被除数。
关键切入点：$\overline{ab}\div\overline{cd}=0.\dot h3\dot k=\frac{\overline{h3k}}{999}$，约分后分母须为 $27$ 或 $37$，故除数是其倍数 $27,54,81,37,74$；代回竖式只有 $37$ 成立，$16\div37=0.\dot43\dot2$。
方法概述：把循环小数化为分母 999 的分数，约分定除数后验证。
规范步骤：
  1. 化分数：$0.\dot h3\dot k=\frac{\overline{h3k}}{999}$（循环小数）
  2. 定除数：分母为 $27$ 或 $37$（约分）
  3. 验证：$16\div37=0.\dot43\dot2$（竖式）
  4. 答案：被除数 $16$
4. 【原题 ch16-chaoyue-04】图 16-16 中有 $11$ 条直线，请将 $1$ 至 $11$ 这 $11$ 个数分别填入图中的 $11$ 个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等。求这个相等的和以及标有 $*$ 的圆圈中所填的数。
详细思路
是哪类问题：「多直线等和数阵 + 列方程」：$1\sim11$ 填 $11$ 圆圈，每条直线和相等，求公共和与 $*$ 处的数。
关键切入点：对过五线交点 $a$ 求和 $5M=4a+66$、对过 $a$ 的四线求和 $4M=66+a$，相减得 $M=3a$，解出 $a=6,M=18$；再用各线和表示其他圆圈，由正性约束定 $*=7$。
方法概述：对经过公共点的直线求和列方程求解。
规范步骤：
  1. 列两方程：$5M=4a+66,\ 4M=66+a$（整体求和）
  2. 解得：$M=3a,\ 11a=66,\ a=6,\ M=18$（列方程）
  3. 定 *：由 $2x-12>0,\ 30-3x>0$ 得 $x=7$（约束）
  4. 答案：$M=18,\ *=7$
5. 【原题 ch16-chaoyue-05】将 $1$ 至 $12$ 这 $12$ 个自然数填入图 16-17 的“灯笼”中，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和均相等。这个和数最大是多少？请给出一种填法。
详细思路
是哪类问题：「灯笼数阵等和 + 估界构造」：$1\sim12$ 填灯笼，四椭圆与两竖线各数之和相等，求最大和。
关键切入点：两竖线之和 $2S=78-$（椭圆侧边 $6$ 数之和）$\le78-21=57$，故 $S\le28$；再构造出使六个和都为 $28$ 的填法。
方法概述：用两竖线之和等于总和减椭圆 6 数，放缩定上界后构造。
规范步骤：
  1. 整体关系：$2S=78-(\text{椭圆 6 数和})$（整体求和）
  2. 放缩：$2S\le78-21=57\Rightarrow S\le28$（估界）
  3. 构造：竖线 $8,11,9$ 与 $10,12,6$ 等
  4. 答案：最大和 $28$
6. 【原题 ch16-chaoyue-06】在图 16-18 的五个圆圈内各填入一个整数（可以填相同的数），使得图中八个三角形的顶点数字之和互不相同。满足这个条件的自然数有很多种，求使得所填五个数之和最小的一组。
详细思路
是哪类问题：「三角形顶点和互异 + 极值构造」：五圆圈填整数使 $8$ 个三角形顶点和互不相同，求五数之和最小。
关键切入点：先反证五数必互不相同；若和为 $15$（即 $1\sim5$），$8$ 个三角形和落在 $6\sim12$ 只有 $7$ 个值不够，故五数之和至少 $16$；取 $1,2,3,4,6$（中心 $4$）可使 $8$ 个和互异。
方法概述：先证五数互异，再排除和 15、构造和 16。
规范步骤：
  1. 五数互异：若两数相等则出现相同的三角形和（反证）
  2. 排除 15：和为 $15$ 时 $8$ 个和落在 $6\sim12$（仅 7 值），不够（计数）
  3. 构造 16：$1,2,3,4,6$（中心 $4$）（构造）
  4. 答案：最小和 $16$
7. 【原题 ch16-chaoyue-07】图 16-19 中共有 $9$ 条直线，每条直线上有 $3$ 个圆圈。现将 $1$ 至 $9$ 填入图中的圆圈内，能否找到满足下列要求之一的填法？如果能，请给出具体填法；如果不能，请说明理由。（1）使得每条直线上 $3$ 个圆圈内所填数之和都相等；（2）使得其中有 $8$ 条直线上 $3$ 个圆圈内所填数之和相等。
详细思路
是哪类问题：「九点九线数阵等和 + 存在性」：$1\sim9$ 填九圆圈，判能否每条直线（9 条）和相等 / 有 8 条相等。
关键切入点：整体求和 $9S=(1+\cdots+9)\times3=135\Rightarrow S=15$；但含 $9$ 的直线凑 $15$ 只有 $9+4+2$ 与 $9+5+1$ 两种，不足三条，故(1)不能；放宽到 8 条可构造。
方法概述：整体求和得每线必为 15，再由 9 的分拆不足否定(1)。
规范步骤：
  1. 求 S：$9S=135\Rightarrow S=15$（整体求和）
  2. 判(1)：含 $9$ 的三元和为 $15$ 只有 2 种，不足（分拆计数）
  3. 判(2)：放宽到 8 条可构造（构造）
  4. 答案：(1)不能；(2)能
8. 【原题 ch16-chaoyue-08】（1）请将 $1\sim 15$ 填入图 16-20 中左边的 $15$ 个圆圈中，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数），其中数字 $11$ 已填好。（2）能否将 $1\sim 21$ 这 $21$ 个自然数分别填入图 16-20 中右边的各个圆圈里，使得除了第一行以外，每个圆圈内的数都等于其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数）？如果能，请给出一种填法；如果不能，请说明理由。
详细思路
是哪类问题：「差三角（数字差金字塔）」：$1\sim15$ / $1\sim21$ 填三角，除第一行外每数为其肩上两数之差。
关键切入点：(1) 由顶层中间三数的最大者 $M\ge11+1+2=14$ 逐层构造，得一种填法及其左右对称；(2) 对 $1\sim21$ 由奇偶与大小分析证明不可能。
方法概述：由顶层最大数下界构造(1)，用奇偶/大小否定(2)。
规范步骤：
  1. 定界：$M\ge11+1+2=14$（极值）
  2. 构造(1)：第一行 $6,14,15,3,13$ …（构造）
  3. 否定(2)：奇偶与大小矛盾（反证）
  4. 答案：(1)两种；(2)不行
9. 【原题 ch16-tuozhan-01】自然数 $12$ 和 $60$ 是一对很有趣的数，它们的积 $12\times 60=720$，恰好是 $12+60=72$ 的 $10$ 倍。满足上述条件的数对还有哪些？请再举出 $3$ 对。
详细思路
是哪类问题：「配方化不定方程」：两数之积是两数之和的整数倍，配方成因数分解型方程。
关键切入点：由 $ab=10(a+b)$ 移项 $ab-10a-10b+100=100$，即 $(a-10)(b-10)=100$；枚举 $100$ 的因数分解就得全部数对。
方法概述：配方 $(a-k)(b-k)=k^2$，枚举因数分解。
规范步骤：
  1. 配方：$(a-10)(b-10)=100$（配方）
  2. 因数分解：$100=1\times100=2\times50=4\times25=5\times20=10\times10$（约数枚举）
  3. 还原：$(11,110),(12,60),(14,35),(15,30),(20,20)$（代回）
  4. 答案：共 5 对
第一套
题目：两个自然数的积恰好是它们和的 $12$ 倍，求所有这样的数对。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：设两数 $a\le b$，$ab=12(a+b)$ 移项配方 $(a-12)(b-12)=12\times12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（因数分解）：$144$ 写成 $p\times q\ (p\le q)$：$1\times144,2\times72,3\times48,4\times36,6\times24,8\times18,9\times16,12\times12$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原）：$a=12+p,\ b=12+q$。$p=1$：$a=12+1=\underline{\quad}$，$b=12+144=\underline{\quad}$；$p=6$：$a=12+6=\underline{\quad}$，$b=12+24=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证并计数）：$18\times36=\underline{\quad}$，$12\times(18+36)=\underline{\quad}$，二者相等，共 $\underline{\quad}$ 组。
第二套
题目：一个长方形的长和宽都是整数厘米，它的面积（平方厘米）恰好是周长（厘米）的 $5$ 倍。求长和宽的所有可能。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列式配方）：设长 $b$、宽 $a$，面积 $ab$、周长 $2(a+b)$，$ab=5\times2(a+b)=10(a+b)$，配方 $(a-10)(b-10)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（因数分解）：$100=1\times100=2\times50=4\times25=5\times20=10\times10$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原）：$a=10+p,\ b=10+q$，得 $(11,110),(12,60),(14,35),(15,30),(20,\underline{\quad})$。
  4. 第 4 步（验证）：$12\times60=\underline{\quad}$，$10\times(12+60)=\underline{\quad}$，相等。
第三套
题目：两个自然数的积恰好是它们和的 $15$ 倍，求所有这样的数对。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：$(a-15)(b-15)=15\times15=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（因数分解）：$225=1\times225=3\times75=5\times45=9\times25=15\times15$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原）：$a=15+p,\ b=15+q$。$p=9$：$a=15+9=\underline{\quad}$，$b=15+25=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$24\times40=\underline{\quad}$，$15\times(24+40)=\underline{\quad}$，相等。
第三套
题目：两个自然数的积恰好是它们和的 $10$ 倍，且这两个自然数都是两位数，求所有这样的数对。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方并枚举）：$(a-10)(b-10)=10\times10=\underline{\quad}$，还原得 $(11,110),(12,60),(14,35),(15,30),(20,20)$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  2. 第 2 步（两位数筛选）：要求 $a,b$ 都是两位数（$10\sim99$）。$(11,110)$ 中 $110$ 是三位数，舍去。
  3. 第 3 步（验证保留组）：$12\times60=\underline{\quad}$，$10\times(12+60)=\underline{\quad}$，相等；保留下来的共 $\underline{\quad}$ 组。
10. 【原题 ch16-tuozhan-02】将 $\frac{1}{6}$ 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案。
详细思路
是哪类问题：「单位分数拆分（埃及分数）」：$\frac16=\frac1a+\frac1b$ 化为因数分解型方程。
关键切入点：去分母得 $ab=6(a+b)$，配方 $(a-6)(b-6)=36$，枚举 $36$ 的因数对得全部拆法。
方法概述：配方 $(a-6)(b-6)=36$，枚举因数对。
规范步骤：
  1. 配方：$(a-6)(b-6)=36$（配方）
  2. 因数分解：$36=1\times36=2\times18=3\times12=4\times9=6\times6$（约数枚举）
  3. 还原：$(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)$（代回）
  4. 答案：共 5 种
第一套
题目：将 $\frac1{15}$ 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：$\frac1{15}=\frac1a+\frac1b$ 去分母配方 $(a-15)(b-15)=15\times15=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（因数分解）：$225=1\times225=3\times75=5\times45=9\times25=15\times15$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原）：$a=15+p,\ b=15+q$。$p=1$：$a=\underline{\quad}$，$b=15+225=\underline{\quad}$；$p=9$：$a=15+9=\underline{\quad}$，$b=15+25=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{24}+\frac1{40}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{15}$）。
第二套
题目：两个工程队合修一段路，各队单独修完都需整数天。若两队一起修，每天恰好完成全路的 $\frac16$，问两队单独各需多少天？给出所有可能。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列式配方）：设两队各需 $a\le b$ 天，$\frac1a+\frac1b=\frac16$，配方 $(a-6)(b-6)=6\times6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（因数分解）：$36=1\times36=2\times18=3\times12=4\times9=6\times6$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原天数）：$a=6+p,\ b=6+q$，得 $(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,\underline{\quad})$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{10}+\frac1{15}=\underline{\quad}$（应为 $\frac16$）。
第三套
题目：将 $\frac1{10}$ 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：$(a-10)(b-10)=10\times10=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（因数分解）：$100=1\times100=2\times50=4\times25=5\times20=10\times10$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原）：$a=10+p,\ b=10+q$。$p=4$：$a=10+4=\underline{\quad}$，$b=10+25=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{14}+\frac1{35}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{10}$）。
第三套
题目：将 $\frac1{14}$ 表示成两个自然数的倒数之和，且要求两个分母都是两位数，给出所有的答案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方并枚举）：$(a-14)(b-14)=14\times14=\underline{\quad}$，$196=1\times196=2\times98=4\times49=7\times28=14\times14$，还原得 $(15,210),(16,112),(18,63),(21,42),(28,28)$，共 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（两位数筛选）：分母须两位数（$10\sim99$）。$(15,210)$、$(16,112)$ 的 $210$、$112$ 都是三位数，舍去，只剩 $(18,63),(21,42),(28,28)$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（验证）：$\frac1{18}+\frac1{63}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{14}$）。
11. 【原题 ch16-tuozhan-03】求方程 $\frac{1}{a}+\frac{1}{35}=\frac{1}{b}$ 的所有正整数解。
详细思路
是哪类问题：「分数方程的正整数解」：$\frac1a+\frac1n=\frac1b$ 配方成因数分解型方程。
关键切入点：由 $\frac1b>\frac1n$ 知 $b<n$；两边乘 $nab$ 整理得 $(n+a)(n-b)=n^2$，枚举 $n^2$ 的因数分解（去掉 $n\times n$ 对应的 $b=0$）即得全部正整数解。
方法概述：配方 $(n+a)(n-b)=n^2$，枚举因数分解。
规范步骤：
  1. 配方：$(35+a)(35-b)=35^2=1225$（配方）
  2. 枚举 $d=35-b$：$d\in\{1,5,7,25\}$（$d=35$ 使 $b=0$ 舍）（约数枚举）
  3. 求解：$a=1225/d-35,\ b=35-d$（代回）
  4. 答案：$(1190,34),(210,30),(140,28),(14,10)$
第一套
题目：求方程 $\frac1a+\frac1{45}=\frac1b$ 的所有正整数解。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：由 $\frac1b>\frac1{45}$ 知 $b<45$；整理得 $(45+a)(45-b)=45\times45=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（枚举因数）：设 $d=45-b\ (1\le d\le44,\ d\mid2025)$，$2025$ 中小于 $45$ 的约数有 $1,3,5,9,15,25,27$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（求解）：$a=\frac{2025}d-45,\ b=45-d$。$d=1$：$a=2025-45=\underline{\quad}$，$b=45-1=\underline{\quad}$；$d=27$：$a=\frac{2025}{27}-45=\underline{\quad}$，$b=45-27=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{30}+\frac1{45}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{18}$）。
第二套
题目：甲、乙两个进水管，甲管单独 $a$ 小时注满水池、乙管单独 $b$ 小时注满。已知甲管与一根每 $35$ 小时注满的辅助管一起工作的进水速度，恰等于乙管单独工作的速度，即 $\frac1a+\frac1{35}=\frac1b$。求 $a,b$ 的所有正整数解。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：由 $\frac1b>\frac1{35}$ 知 $b<35$；整理得 $(35+a)(35-b)=35\times35=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（枚举因数）：$d=35-b$ 取 $1225$ 中小于 $35$ 的约数 $1,5,7,25$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（求解）：$a=\frac{1225}d-35,\ b=35-d$。$d=1$：$a=1225-35=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$；$d=25$：$a=\frac{1225}{25}-35=\underline{\quad}$，$b=35-25=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{14}+\frac1{35}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{10}$）。
第三套
题目：求方程 $\frac1a+\frac1{55}=\frac1b$ 的所有正整数解。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：$(55+a)(55-b)=55\times55=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（枚举因数）：$d=55-b$ 取 $3025$ 中小于 $55$ 的约数 $1,5,11,25$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（求解）：$a=\frac{3025}d-55,\ b=55-d$。$d=1$：$a=3025-55=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$；$d=25$：$a=\frac{3025}{25}-55=\underline{\quad}$，$b=55-25=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{66}+\frac1{55}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{30}$）。
第三套
题目：方程 $\frac1a+\frac1{40}=\frac1b$ 有多组正整数解，求其中 $a$ 最大的一组。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：$(40+a)(40-b)=40\times40=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（解的组数）：$d=40-b$ 取 $1600$ 中小于 $40$ 的约数 $1,2,4,5,8,10,16,20,25,32$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（极值分析）：$a=\frac{1600}d-40$ 随 $d$ 减小而增大，故 $d$ 最小 $=1$ 时 $a$ 最大：$a=1600-40=\underline{\quad}$，$b=40-1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{1560}+\frac1{40}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{39}$）。
12. 【原题 ch16-tuozhan-04】将 $\frac{1}{2}$ 写成三个自然数（可以相同）的倒数之和，共有多少种方法？
详细思路
是哪类问题：「三单位分数拆分（放缩定界 + 化归两项）」：$\frac12=\frac1a+\frac1b+\frac1c$（$a\le b\le c$）计数。
关键切入点：由 $\frac3a\ge\frac12$ 与 $\frac1a<\frac12$ 得 $3\le a\le6$；对每个 $a$，余下 $\frac1b+\frac1c$ 化归为两单位分数拆分：$a=3$ 得 $\frac16$（5 种）、$a=4$ 得 $\frac14$（3 种）、$a=5,6$ 各 1 种。
方法概述：放缩定最小分母范围，再化归为两单位分数子问题计数。
规范步骤：
  1. 定界：$3\le a\le6$（放缩）
  2. 分类化归：$a=3\to\frac16$（5）、$a=4\to\frac14$（3）、$a=5$（1）、$a=6$（1）（化归）
  3. 求和：$5+3+1+1=10$（计数）
  4. 答案：共 10 种
第一套
题目：将 $\frac13$ 写成三个自然数（可以相同）的倒数之和，共有多少种方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定界）：设 $a\le b\le c$，由 $\frac3a\ge\frac13$ 且 $a>3$ 得 $4\le a\le9$。
  2. 第 2 步（逐个 $a$ 化归两项）：$a=4$：$\frac1b+\frac1c=\frac13-\frac14=\frac1{12}$，有 $\underline{\quad}$ 种；$a=5$：$=\frac2{15}$，有 $\underline{\quad}$ 种；$a=6$：$=\frac16$，有 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（大 $a$）：$a=7,8,9$ 时各只有 $b=c$ 一种，共 $1+1+1=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（求和）：$8+5+5+3=\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：甲、乙、丙三个进水管各自单独注满水池都需整数小时（可以相同）。若三管同时开，每小时恰好注满水池的 $\frac12$，问三管单独注满各需的小时数有多少种不同的搭配？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定界）：设三管各需 $a\le b\le c$ 小时，$\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac12$，由放缩得 $3\le a\le6$。
  2. 第 2 步（分类化归）：$a=3$：$\frac1b+\frac1c=\frac12-\frac13=\frac16$，有 $\underline{\quad}$ 种；$a=4$：$=\frac14$，有 $\underline{\quad}$ 种；$a=5,6$ 各 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（求和）：$5+3+1+1=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：将 $\frac12$ 写成三个**互不相同**的自然数的倒数之和，共有多少种方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定界）：设 $a<b<c$，仍有 $3\le a\le4$（$a=5,6$ 时余下太小）。
  2. 第 2 步（$a=3$）：$\frac1b+\frac1c=\frac16$，拆成两个**不同**单位分数（$b>3$）：$(7,42),(8,24),(9,18),(10,15)$（去掉相等的 $12,12$），共 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（$a=4$）：$\frac1b+\frac1c=\frac14$，拆成两个不同单位分数（$b>4$）：$(5,20),(6,12)$（去掉 $8,8$），共 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（求和）：$4+2=\underline{\quad}$ 种。
第三套
题目：将 $\frac12$ 写成三个互不相同的自然数的倒数之和，共有多少种方法？其中分母最大的一组的最大分母是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（计数）：由分类（$a=3$ 有 $4$ 种、$a=4$ 有 $2$ 种）得共 $4+2=\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（找最大分母）：分母最大出现在 $a=3$、$\frac16$ 拆得 $\frac17+\frac1{42}$ 的一组，最大分母为 $\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（验证）：$\frac13+\frac17+\frac1{42}=\underline{\quad}$（应为 $\frac12$）。
13. 【原题 ch16-tuozhan-05】$\overline{ABCD}$ 表示一个四位数，$\overline{EFG}$ 表示一个三位数，$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$G$ 分别代表 $1$ 至 $9$ 中不同的数字。已知 $\overline{ABCD}+\overline{EFG}=1993$。请问：乘积 $\overline{ABCD}\times\overline{EFG}$ 的最大值与最小值相差多少？
详细思路
是哪类问题：「和定差积、极值 + 数字不重复」：$\overline{ABCD}+\overline{EFG}=1993$（数字取自 $1\sim9$ 且互不相同），求乘积的最大值与最小值之差。
关键切入点：和一定时“差小积大、差大积小”。乘积最大取 $\overline{ABCD}$ 最小 $=1234$，则 $\overline{EFG}=759$；乘积最小取两数差最大，$\overline{ABCD}=1759,\overline{EFG}=234$。
方法概述：用“差小积大”定最值时的两数（并保证数字不重复）。
规范步骤：
  1. 积最大：$1234\times759=936606$（差小积大）
  2. 积最小：$1759\times234=411606$（差大积小）
  3. 作差：$936606-411606=525000$（计算）
  4. 答案：$525000$
14. 【原题 ch16-tuozhan-06】从 $1$ 至 $9$ 中选出 $8$ 个数字填入算式“$\square\square\square\square+\square\square\square\square=13579$”的方框中，每个数字恰好填入一次，使等式成立。请问：（1）没有被选中的数字是多少？（2）两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？
详细思路
是哪类问题：「弃九法 + 进位极值构造」：$1\sim9$ 取 $8$ 个填 $\overline{ABCD}+\overline{EFGH}=13579$。
关键切入点：左右数字和模 $9$ 相等，$45-M\equiv25\equiv7\pmod9$ 得未选数字 $M=2$；再由逐位进位关系构造较大数最大 $9865$、最小 $7184$。
方法概述：弃九法定缺失数字，进位关系构造极值。
规范步骤：
  1. 弃九定 M：$45-M\equiv7\pmod9\Rightarrow M=2$（弃九法）
  2. 较大数最大：$9865+3714=13579$（进位构造）
  3. 较大数最小：$7184+6395=13579$（进位构造）
  4. 答案：$M=2$；最小 $7184$，最大 $9865$
15. 【原题 ch16-tuozhan-07】在两个算式 $\overline{ABBC}=D\times\overline{DDE}$，$\overline{CBBA}=D\times\overline{FFG}$ 中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求 $B+D+F$ 的值。
详细思路
是哪类问题：「乘法字母竖式 + 作差消元」：$\overline{ABBC}=D\times\overline{DDE}$，$\overline{CBBA}=D\times\overline{FFG}$，求 $B+D+F$。
关键切入点：两式相减得 $999(A-C)=D(\overline{DDE}-\overline{FFG})$，由 $999=3^3\times37$ 及 $D$ 为一位数知 $3\mid D$；逐一试 $D=3,6,9$，只有 $D=3$ 给出无重复解 $2001=3\times667$。
方法概述：作差得含 $999$ 的关系，由质因数限制定 $D$。
规范步骤：
  1. 作差：$999(A-C)=D(\overline{DDE}-\overline{FFG})$（作差消元）
  2. 定 D：$3\mid D\Rightarrow D\in\{3,6,9\}$（质因数分析）
  3. 验 D=3：$2001=3\times667$，$B=0,F=6$（枚举验证）
  4. 答案：$B+D+F=0+3+6=9$
16. 【原题 ch16-tuozhan-08】如图 16-7，已知第一行的数恰好是 $3$ 到 $9$ 各一个。将一行每相邻两数的最小公倍数填到它们下方的格子，得到第二行的 $6$ 个数；对于第二行每相邻两个数也将最小公倍数填到相应的格子，这样填出第三行的 $5$ 个数。如果第三行的五个数如图所示（依次为 $168,63,36,36,60$），请你填出第一行的 $7$ 个数。
详细思路
是哪类问题：「最小公倍数三角数阵逆推」：由第三行 $168,63,36,36,60$ 逆推第一行 $3\sim9$ 的排列。
关键切入点：用质因数特征逐位锁定：$168$ 含 $8$ 而 $63$ 不含 $\Rightarrow a=8$；$60$ 含 $5$ 而 $36$ 不含 $\Rightarrow g=5$；$63,36,36$ 都含 $9\Rightarrow d=9$；再由 $7$ 与 $3$ 的位置定出 $b=7,c=3$，试出 $e=4,f=6$。
方法概述：由第三行质因数特征逐位锁定第一行。
规范步骤：
  1. 定 a,g：$a=8,\ g=5$（质因数）
  2. 定 d：三数含 $9\Rightarrow d=9$（质因数）
  3. 定 b,c,e,f：$b=7,c=3,e=4,f=6$（逐位）
  4. 答案：$8,7,3,9,4,6,5$
17. 【原题 ch16-tuozhan-09】小明按照算式“乙组的数 $\square$ 甲组的数 $\bigcirc 1=$”对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号，他将计算结果填入图 16-8 的表中。有人发现表中 $14$ 个数中有两个数算错了，请改正，改正后的两个数的和是多少？
详细思路
是哪类问题：「统一运算法则找错」：按“乙组的数 $\square$ 甲组的数 $\bigcirc1$”（$\square$ 为乘或除、$\bigcirc$ 为加或减）逐格验算表中 $14$ 个数，找出错的两个并改正。
关键切入点：逐项复算发现 $2$ 应为 $1.5$、$4\frac5{16}$ 应为 $4\frac{15}{16}$，改正后两数之和 $1.5+4\frac{15}{16}=6\frac7{16}$。
方法概述：按统一法则逐格验算，找出不符者。
规范步骤：
  1. 找错：$2\to1.5$，$4\tfrac5{16}\to4\tfrac{15}{16}$（验算）
  2. 求和：$1.5+4\tfrac{15}{16}=6\tfrac7{16}$（分数加法）
  3. 答案：$6\frac7{16}$
18. 【原题 ch16-tuozhan-10】如图 16-9，请在这个 $3\times 6$ 方格表的每个空格中填入一个整数，使得对于第一行中的每个数，它在第二行中出现的次数恰好等于该列第三行所填的数，而它在第三行中出现的次数又恰好等于该列第二行所填的数。（例如第二行第一列中的 $3$，表示第三行中有 $3$ 个 $0$。）
详细思路
是哪类问题：「自指（自描述）数表」：$3\times6$ 表中第二、三行互相描述对方各数字出现的次数。
关键切入点：第二、三行各数之和都等于 $6$，据此枚举满足自洽的填法，唯一得第二行 $3,1,1,1,0,0$、第三行 $2,3,0,1,0,0$。
方法概述：用两行之和都为 6 的约束枚举并要求自洽。
规范步骤：
  1. 总和约束：两行各数之和都 $=6$（计数）
  2. 枚举自洽解：第二行 $3,1,1,1,0,0$（枚举）
  3. 反填验证：第三行 $2,3,0,1,0,0$（自洽）
  4. 答案：如上
19. 【原题 ch16-tuozhan-11】将 $1$ 至 $7$ 这 $7$ 个自然数填入图 16-10 中的 $8$ 个方格内，要求其中有一个数字用两次，其余数字各用一次，并使图中右下角的 $4$ 个方格中的每格内所填的数均等于它上方和左方相邻方格内两个数的平均数。请给出一种填法，并求出共有多少种填法。
详细思路
是哪类问题：「平均数关系 + 奇偶分析」：$1\sim7$（一个用两次）填 $8$ 格，使右下 $4$ 格各等于上、左相邻两数的平均数。
关键切入点：平均数关系迫使相关格奇偶一致；结合“一个数用两次、其余各一次”的限制分类枚举，得填法共 $4$ 种。
方法概述：由平均数迫使奇偶一致，分类枚举计数。
规范步骤：
  1. 奇偶约束：平均数两端奇偶相同（奇偶性）
  2. 分类枚举：共 4 种（计数）
  3. 给出一种：上 $1,2$；中 $7,4,3$；下 $6,5,4$
  4. 答案：共 4 种
20. 【原题 ch16-tuozhan-12】在图 16-11 所示的 $3\times 3$ 方格表中，“北、京、高、思、学、校、欢、迎、你”这 $9$ 个汉字分别表示 $1$ 至 $9$ 中的不同数字，并满足：①每一个“田”字形内 $4$ 个数之和都相等；②北$^2=$迎$^2+$你$^2$；③学 $>$ 校。请问：“北京DY欢迎你”所代表的九位数是多少？
详细思路
是哪类问题：「勾股数 + 田字和相等」：$3\times3$ 方格中九个汉字代表 $1\sim9$，满足田字四数和相等、北$^2=$迎$^2+$你$^2$、学$>$校。
关键切入点：由 $5^2=3^2+4^2$ 得北 $=5$、迎你为 $3,4$；由田字和相等推出京 $+$ 高 $=7$、欢 $+$ 迎 $=6$ 等一串等量关系，逐步定出全部字。
方法概述：由勾股关系定北，再用田字和相等逐步定字。
规范步骤：
  1. 定北：北 $=5$（勾股数）
  2. 等量关系：京 $+$ 高 $=$ 迎 $+$ 你 $=7$（田字和）
  3. 逐步定字：高 $6$，京 $1$，迎 $4$，欢 $2$，你 $3$，校 $7$，思 $8$，学 $9$（推理）
  4. 答案：$516897243$
21. 【原题 ch16-tuozhan-13】将 $1$ 至 $9$ 填入图 16-12 的圆圈内，使图中所有三角形（共 $7$ 个）的 $3$ 个顶点上数字之和都相等。求出它的一种填法。
详细思路
是哪类问题：「三角形数阵等和（整体求和）」：$1\sim9$ 填圆圈，使 $7$ 个三角形三顶点之和都相等。
关键切入点：用虚框把 $9$ 个圆圈分成三组、每组恰为一个三角形，三组合起来用满 $1\sim9$，总和 $45$，故每个三角形顶点和 $=45\div3=15$，据此构造。
方法概述：由分组用满 $1\sim9$ 求出公共和 15，再构造。
规范步骤：
  1. 分组：三组各为一个三角形，用满 $1\sim9$（整体求和）
  2. 求公共和：$45\div3=15$（计数）
  3. 构造：顶 $2,9$，中 $4$，中行 $7,5,6,1$，底 $3,8$
  4. 答案：每三角形和 $=15$
22. 【原题 ch16-tuozhan-14】图 16-13 中有大、中、小 $3$ 个正方形，组成了 $8$ 个三角形。现在先把 $1$、$2$、$3$、$4$ 分别填在大正方形的 $4$ 个顶点上，再把 $1$、$2$、$3$、$4$ 分别填在中正方形的 $4$ 个顶点上，最后把 $1$、$2$、$3$、$4$ 分别填在小正方形的 $4$ 个顶点上。请问：（1）能否使 $8$ 个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。（2）能否使 $8$ 个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。
详细思路
是哪类问题：「嵌套正方形三角形和的整除判别与构造」：大中小三正方形各填 $1,2,3,4$，判 $8$ 个三角形顶点和能否全相等/全不同。
关键切入点：$8$ 个和相加=大顶点各 $1$ 次、中各 $3$ 次、小各 $2$ 次 $=(1+2+3+4)\times6=60$，非 $8$ 的倍数故不能全相等；每个和在 $4\sim11$ 之间恰好 $8$ 个值，故可构造互不相同。
方法概述：整体求和 + 整除性否定(1)，取遍 $4\sim11$ 构造(2)。
规范步骤：
  1. 整体求和：$8$ 个和之和 $=(1+2+3+4)\times6=60$（重数求和）
  2. 判(1)：$60$ 不是 $8$ 的倍数，故不能全相等（整除）
  3. 判(2)：和取遍 $4\sim11$（8 个值），可全不同（构造）
  4. 答案：(1)不能；(2)能
23. 【原题 ch16-xingqu-01】将 $\frac{1}{4}$ 表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案。
详细思路
是哪类问题：「单位分数拆分（埃及分数）」：把 $\frac1n$ 写成两个自然数的倒数之和。
关键切入点：设 $\frac14=\frac1a+\frac1b$，去分母得 $ab=4(a+b)$，配方成 $(a-4)(b-4)=4^2=16$；只要枚举 $16$ 的因数对，就能一次得到全部拆法，避免盲目试数。
方法概述：配方 $(a-n)(b-n)=n^2$，枚举 $n^2$ 的因数对。
规范步骤：
  1. 去分母配方：$(a-4)(b-4)=4^2=16$（分数方程配方）
  2. 枚举 $16$ 的因数对 $p\le q$：$1\times16,\ 2\times8,\ 4\times4$（$3$ 组）（约数枚举）
  3. 还原 $a=4+p,\ b=4+q$：$(5,20),(6,12),(8,8)$（代回）
  4. 写出答案：$\frac14=\frac15+\frac1{20}=\frac16+\frac1{12}=\frac18+\frac18$（共 3 种）
第一套
题目：将 $\frac1{12}$ 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（去分母配方）：$\frac1{12}=\frac1a+\frac1b$ 去分母得 $ab=12(a+b)$，移项配方 $(a-12)(b-12)=12\times12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（枚举因数对）：把上式右边写成两个自然数之积 $p\times q\ (p\le q)$，有 $1\times144,2\times72,3\times48,4\times36,6\times24,8\times18,9\times16,12\times12$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原 $a,b$）：令 $a=12+p,\ b=12+q$。如 $p=1$：$a=12+1=\underline{\quad}$，$b=12+144=\underline{\quad}$；$p=6$：$a=12+6=\underline{\quad}$，$b=12+24=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证并计数）：检验 $\frac1{18}+\frac1{36}=\underline{\quad}$（应为 $\frac1{12}$），所以共 $\underline{\quad}$ 种。
第二套
题目：甲、乙两台水泵单独灌溉一块地，各需整数天。若两台一起干正好每天完成全田的 $\frac14$，问两台水泵单独工作各需多少天？给出所有可能。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列式）：设甲需 $a$ 天、乙需 $b$ 天，则每天灌 $\frac1a$、$\frac1b$，合作每天 $\frac1a+\frac1b=\frac14$，去分母配方 $(a-4)(b-4)=4\times4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（枚举因数对）：$16=1\times16=2\times8=4\times4$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原天数）：$a=4+p,\ b=4+q$，得 $(5,20),(6,12),(8,\underline{\quad})$。
  4. 第 4 步（验证）：检验 $\frac15+\frac1{20}=\underline{\quad}$（应为 $\frac14$）。
第三套
题目：将 $\frac19$ 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：$(a-9)(b-9)=9\times9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（枚举因数对）：$81=1\times81=3\times27=9\times9$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  3. 第 3 步（还原）：$a=9+p,\ b=9+q$。$p=1$：$a=\underline{\quad}$，$b=9+81=\underline{\quad}$；$p=3$：$a=9+3=\underline{\quad}$，$b=9+27=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{12}+\frac1{36}=\underline{\quad}$（应为 $\frac19$）。
第三套
题目：将 $\frac16$ 表示成两个自然数的倒数之和，且要求两个分母都是两位数，给出所有的答案。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（配方）：$(a-6)(b-6)=6\times6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（枚举全部拆法）：$36=1\times36=2\times18=3\times12=4\times9=6\times6$，还原得 $(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)$，共 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（两位数筛选）：分母须为两位数（$10\sim99$）。$(7,42)$ 中 $7$ 是一位数、$(8,24)$ 中 $8$、$(9,18)$ 中 $9$ 均一位数，都要舍去，只剩 $(10,15)$、$(12,12)$，共 $\underline{\quad}$ 组。
  4. 第 4 步（验证）：$\frac1{10}+\frac1{15}=\underline{\quad}$（应为 $\frac16$）。
24. 【原题 ch16-xingqu-02】在算式 $\frac{1}{18}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ 中，$a$、$b$、$c$ 分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可能是多少？
详细思路
是哪类问题：「单位分数放缩定界 + 枚举」：等式含若干未知单位分数，用最小分母的放缩逐个卡出范围再定值。
关键切入点：由 $\frac1a+\frac1b+\frac1c=1-\frac1{18}=\frac{17}{18}$，若最小分母 $a\ge3$ 则三项之和 $\le\frac13+\frac14+\frac15<\frac{17}{18}$，故 $a=2$；同理逐步放缩定出 $b=3,c=9$。
方法概述：对最小分母放缩定界，再逐层枚举。
规范步骤：
  1. 移项：$\frac1a+\frac1b+\frac1c=1-\frac1{18}=\frac{17}{18}\ (a<b<c)$（移项）
  2. 放缩定 $a$：$a\ge3\Rightarrow\le\frac13+\frac14+\frac15<\frac{17}{18}$，故 $a=2$（放缩）
  3. 定 $b,c$：$\frac1b+\frac1c=\frac{17}{18}-\frac12=\frac49\Rightarrow b=3,\ \frac1c=\frac19,\ c=9$（枚举）
  4. 求和：$a+b+c=2+3+9=14$
第一套
题目：在算式 $\frac1{24}+\frac1a+\frac1b+\frac1c=1$ 中，$a<b<c$ 是三个不同的自然数，求 $a+b+c$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（移项）：$\frac1a+\frac1b+\frac1c=1-\frac1{24}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（放缩定 $a$）：若 $a\ge3$，则三项之和 $\le\frac13+\frac14+\frac15<\frac{23}{24}$，故最小分母 $a=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（定 $b$）：$\frac1b+\frac1c=\frac{23}{24}-\frac12=\underline{\quad}$；若 $b\ge4$ 则 $\le\frac14+\frac15<\frac{11}{24}$，故 $b=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（定 $c$）：$\frac1c=\frac{11}{24}-\frac13=\underline{\quad}$，故 $c=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求和）：$a+b+c=2+3+8=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一项工程，师傅单独做需 $18$ 天。现请甲、乙、丙三名徒弟一起加入，四人（含师傅）合作每天恰好完成全工程，且三名徒弟单独完成各需的天数 $a<b<c$ 互不相同。求 $a+b+c$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列式移项）：四人每天效率之和为 $1$，即 $\frac1a+\frac1b+\frac1c=1-\frac1{18}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（放缩定 $a$）：若 $a\ge3$ 则三项之和 $<\frac{17}{18}$，故 $a=\underline{\quad}$（天）。
  3. 第 3 步（定 $b$）：$\frac1b+\frac1c=\frac{17}{18}-\frac12=\underline{\quad}$，放缩得 $b=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（定 $c$）：$\frac1c=\frac49-\frac13=\underline{\quad}$，$c=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（求和）：$a+b+c=2+3+9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在算式 $\frac1{20}+\frac1a+\frac1b+\frac1c=1$ 中，$a<b<c$ 是三个不同的自然数，求 $a+b+c$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（移项）：$\frac1a+\frac1b+\frac1c=1-\frac1{20}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（放缩定 $a$）：$a=\underline{\quad}$；则 $\frac1b+\frac1c=\frac{19}{20}-\frac12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举 $b$）：试 $b=3$：$\frac1c=\frac{9}{20}-\frac13=\underline{\quad}$，分子不为 $1$，舍；试 $b=4$：$\frac1c=\frac{9}{20}-\frac14=\underline{\quad}$，得 $c=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（求和）：$a+b+c=2+4+5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在算式 $\frac1{12}+\frac1a+\frac1b+\frac1c=1$ 中，$a<b<c$ 是三个不同的自然数，求 $a+b+c$ 的所有可能值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（移项）：$\frac1a+\frac1b+\frac1c=1-\frac1{12}=\underline{\quad}$，放缩得 $a=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（拆余下两项）：$\frac1b+\frac1c=\frac{11}{12}-\frac12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（枚举 $b$·两解都要）：$b=3$：$\frac1c=\frac{5}{12}-\frac13=\underline{\quad}$，$c=\underline{\quad}$，得一组和 $2+3+12=\underline{\quad}$；$b=4$：$\frac1c=\frac{5}{12}-\frac14=\underline{\quad}$，$c=\underline{\quad}$，得另一组和 $2+4+6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（下结论）：故 $a+b+c$ 可能是 $12$ 或 $17$。
25. 【原题 ch16-xingqu-03】如图 16-1，将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以 $12$，将所得的余数写在它们下一行相应的圆圈内。逐行依次进行上面的操作，最后得到最底端的一个数。请问：对于第一行中不同的自然数 $x$，最底端的数一共有多少种取值，分别是什么？
详细思路
是哪类问题：「杨辉三角系数 + 同余」：逐行相加取余的三角数阵，底端数等于各顶点乘以对应二项式系数之和。
关键切入点：顶层 $5$ 个数被累加到底端的次数依次是 $C_4^0,\dots,C_4^4=1,4,6,4,1$，故底端（先不取余）$=1\cdot1+x\cdot4+5\cdot6+7\cdot4+9\cdot1=4x+68$，再对 $12$ 取余，随 $x$ 变化余数取遍 $0,4,8$。
方法概述：用组合系数写出底端表达式 $4x+68$，再取模分析。
规范步骤：
  1. 写系数：顶层次数为 $1,4,6,4,1$（杨辉三角）
  2. 底端表达式：$1+4x+30+28+9=4x+68$（加权求和）
  3. 取模：$4x+68\equiv4x+8\pmod{12}$，随 $x$ 取遍 $0,4,8$（同余）
  4. 答案：共 $3$ 种：$0,4,8$
26. 【原题 ch16-xingqu-04】将最小的 $10$ 个合数填到图 16-2 的 $10$ 个空格中，要求满足以下条件：①填入的数能被它所在列的最上面给出的数整除；②第三行中每个数都比它上面那一格中的数大。请问：第三行中 $5$ 个数的和最小等于多少？
详细思路
是哪类问题：「整除约束下的极值构造」：把最小的 $10$ 个合数按“整除所在列首数、第三行大于第二行”填入，使第三行和最小。
关键切入点：先抓约束最强的列：$5$ 的倍数只有 $10,15$ 必在第 $4$ 列（$15$ 在第三行）；$3$ 的倍数 $6,9,12,18$ 必进第 $2$、$5$ 列（$18$ 在第三行、第三行另取 $9$）；余下 $4,8,14,16$ 使第三行取 $16,8$。
方法概述：先定受限最强的列，再让其余列的第三行尽量取小。
规范步骤：
  1. 列出最小 10 个合数：$4,6,8,9,10,12,14,15,16,18$（合数）
  2. 第 4 列（$5$ 的倍数）：$10,15$，第三行取 $15$（整除约束）
  3. 第 2、5 列（$3$ 的倍数）第三行：取 $18,9$（整除约束）
  4. 第 1、3 列第三行：取 $16,8$；总和 $15+18+9+16+8=66$（极值）
27. 【原题 ch16-xingqu-05】如图 16-3，在第一行填入适当的数，使得满足下面两个条件：①第一行的五个数是连续的整数（其中一个已填好 $100$）；②将第一行中相邻两数的最大公约数填入第二行对应的方格中，得到的第二行的数恰好是 $1$、$2$、$3$、$4$。请问第一行的五个数依次是多少？
详细思路
是哪类问题：「连续整数 + 最大公约数」：相邻公约数为 $1,2,3,4$，反推五个连续整数及排列。
关键切入点：公约数 $4$ 要求两数都是 $4$ 的倍数，而五连续数中至多一个 $4$ 的倍数，故这两数不相邻、必是首末；再由公约数 $3$ 卡出五数是 $96\sim100$，最后按相邻公约数 $1,3,4,2$ 定序为 $97,99,96,100,98$。
方法概述：由公约数 $3$、$4$ 的整除条件锁定五连续数及顺序。
规范步骤：
  1. 公约数 4 的位置：两个 $4$ 的倍数不相邻，位于首末（整除）
  2. 定五数：由公约数 $3$ 得五数为 $96\sim100$（整除）
  3. 定序：相邻公约数依次 $1,3,4,2$（最大公约数）
  4. 答案：$97,99,96,100,98$
28. 【原题 ch16-xingqu-06】请将数字 $1$ 至 $9$ 分别填入图 16-4 中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填的数的差（大减小）均为 $3$ 或 $4$。请给出一种填法，并求出填法的种数。
详细思路
是哪类问题：「约束着色 + 乘法原理计数」：每条线段两端差为 $3$ 或 $4$，先锁定被多重约束的固定位置，再乘法原理计数。
关键切入点：由三组三元约束比对锁定 $g=7,h=3$；$a,d$ 填 $1,8$（2 种），$c,e$ 填 $2,9$（2 种），中部 $5,9$ 与下部其余位随之确定，故填法数 $=2\times2\times2=8$。
方法概述：先定固定位，再乘法原理计数。
规范步骤：
  1. 锁定固定位：$g=7,\ h=3$（约束分析）
  2. 自由选择：$a,d$ 有 2 种，$c,e$ 有 2 种（分类）
  3. 乘法原理：$2\times2\times2=8$（计数）
  4. 给出一种填法：上 $1,5,2$；中 $8,9$；下 $4,7,3,6$
29. 【原题 ch16-xingqu-07】$6\square 0.3=\bigcirc$，$6\square\frac{1}{0.3}=\bigcirc$，$6\square 0.\dot 3=\bigcirc$，$6\square\frac{1}{0.\dot 3}=\bigcirc$。在上面 $4$ 个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除 $4$ 个运算符号（每个用一次），使 $4$ 个算式的得数之和尽可能大。请问：这个最大的和等于多少？
详细思路
是哪类问题：「填运算符号求极值」：四个算式各填 $+,-,\times,\div$ 一次，使四个得数之和最大。
关键切入点：四个操作数从小到大是 $0.3<0.\dot3=\frac13<\frac1{0.\dot3}=3<\frac1{0.3}=\frac{10}3$；要使和最大，应把大数用于乘、加，小数用于除、减，比较后取 $6\times\frac1{0.3}+(6+\frac1{0.\dot3})+6\div0.3+(6-0.\dot3)$。
方法概述：大数配乘加、小数配除减，比较后取最大。
规范步骤：
  1. 比较四数：$0.3<\tfrac13<3<\tfrac{10}3$（循环小数化分数）
  2. 分配符号：大数乘/加，小数除/减（极值分配）
  3. 求和：$20+9+20+5\tfrac23=54\tfrac23$（计算）
  4. 答案：$54\frac23$
30. 【原题 ch16-xingqu-08】请用 $0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$、$8$、$9$ 这 $10$ 个数字各一次，组成 $5$ 个自然数，使得它们依次是某个自然数的 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 倍。求出这 $5$ 个数。
详细思路
是哪类问题：「数字和整除 + 倍数构造」：$0\sim9$ 各一次组 $5$ 个数，依次是某数的 $1\sim5$ 倍。
关键切入点：五数都是两位数（最大是最小的 $5$ 倍不能跨位数），设最小为 $N$ 则五数为 $N,2N,\dots,5N$，$5N\le99$ 得 $N\le19$；总数字和 $45$ 是 $9$ 的倍数，故 $15N$ 是 $9$ 的倍数得 $N$ 为 $3$ 的倍数，$N\in\{12,15,18\}$，检验得 $N=18$。
方法概述：用位数限制与数字和为 $9$ 的倍数缩范围，再枚举检验。
规范步骤：
  1. 都是两位数：$10\le N\le19$（位数分析）
  2. 数字和整除：$15N$ 是 $9$ 的倍数 $\Rightarrow N$ 是 $3$ 的倍数（整除）
  3. 枚举检验：$N\in\{12,15,18\}$，取 $N=18$（检验）
  4. 答案：$18,36,54,72,90$
31. 【原题 ch16-xingqu-09】在如图 16-5 所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数。请问：第二行中的 $5$ 个数字各是多少？
详细思路
是哪类问题：「自指（自描述）计数」：第二行每格数等于其上方数字在第二行出现的次数。
关键切入点：第二行各数之和等于格数 $5$；逐一尝试满足自洽的只有 $2,1,2,0,0$：$0$ 出现 $2$ 次、$1$ 出现 $1$ 次、$2$ 出现 $2$ 次、$3,4$ 各 $0$ 次。
方法概述：用“各数之和等于格数”的约束配合尝试验证。
规范步骤：
  1. 总和约束：第二行各数之和 $=5$（计数）
  2. 尝试自洽解：$2,1,2,0,0$（尝试）
  3. 验证：$0$ 现 2 次、$1$ 现 1 次、$2$ 现 2 次（自洽）
  4. 答案：$2,1,2,0,0$
32. 【原题 ch16-xingqu-10】图 16-6 中相同字母表示相同数字，不同字母表示不同数字，且 $\overline{FIVE}$ 是 $5$ 的倍数，$\overline{FOUR}$ 是 $4$ 的倍数（竖式为 $\overline{FIVE}+\overline{FOUR}=\overline{NINE}$）。求 $\overline{NINE}$ 的所有可能值。
详细思路
是哪类问题：「字母加法竖式 + 整除特征」：$\overline{FIVE}+\overline{FOUR}=\overline{NINE}$，$\overline{FIVE}$ 是 $5$ 的倍数、$\overline{FOUR}$ 是 $4$ 的倍数。
关键切入点：末位 $E+R$ 个位为 $E$：由 $R=0$（无进位）且 $5\mid\overline{FIVE}$ 得 $E=5$；百位 $I+O+c$ 末位仍为 $I$ 需 $O+c\equiv0$，取 $O=9$、十位进 $1$；首位 $F+F+1=N$ 为奇数取 $N=3,F=1$，于是十位 $V+U=N+10=13$。未用数字里 $V+U=13$ 只有 $\{6,7\}$，而 $\overline{FOUR}$ 末两位为 $\overline{U0}=10U$，$4\mid\overline{FOUR}\Leftrightarrow 4\mid10U\Leftrightarrow U$ 为偶数，故 $U=6,V=7$（$\overline{FOUR}=1960$ 可被 $4$ 整除），$I\in\{2,4,8\}$。
方法概述：由整除特征定末位、首位，再由末两位的 $4$ 整除特征定 $V,U$，剩余数字给出 $I$。
规范步骤：
  1. 列竖式对位：$\overline{FIVE}+\overline{FOUR}=\overline{NINE}$ 按个、十、百、千位对齐（对位）
  2. 定个位 $R,E$：个位 $E+R$ 末位为 $E\Rightarrow R=0$（无进位）；又 $5\mid\overline{FIVE}$、末位为 $E\ne0$，故 $E=5$（5 的倍数）
  3. 定百位与进位：百位 $I+O+c$ 末位仍为 $I\Rightarrow O+c\equiv0\pmod{10}$，取 $O=9,\ c=1$，向千位进 $1$（进位分析）
  4. 定千位 $F,N$：千位 $F+F+1=N$ 为奇数，取 $N=2F+1=3,\ F=1$（进位）
  5. 由进位得 $V+U$：十位 $V+U=N+10\times1=13$（向百位进 $1$）（进位）
  6. 由 $4$ 的倍数定 $V,U$：未用数字中 $V+U=13$ 只有 $\{6,7\}$；$\overline{FOUR}$ 末两位 $\overline{U0}=10U$，$4\mid\overline{FOUR}\Leftrightarrow 4\mid10U\Leftrightarrow U$ 偶，故 $U=6,V=7$（$\overline{FOUR}=1960,\ 1960\div4=490$）（4 的倍数）
  7. 定 $I$ 并写答案：剩余 $I\in\{2,4,8\}$，$\overline{NINE}=\overline{3\,I\,35}=3235,3435,3835$（枚举）

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch16-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（配方）：$\frac1A+\frac1B=\frac1{150}$ 通分整理得 $(A-150)(B-150)=150\times150=\underline{22500}$（$A,B>150$）。
    2. 第 2 步（合法因数对）：设 $A=150+p,B=150+q\ (pq=22500)$，因 $A,B$ 个位为 $0$ 故 $p,q$ 都是 $10$ 的倍数，又 $A,B\le990$ 故 $p,q\le840$。满足的 $(p,q)$ 有 $(30,750),(50,450),(90,250),(150,150)$，共 $\underline{4}$ 组。
    3. 第 3 步（还原）：$(30,750)\to A=150+30=\underline{180}$，$B=150+750=\underline{900}$；$(90,250)\to A=150+90=\underline{240}$，$B=150+250=\underline{400}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{180}+\frac1{900}=\underline{1/180+1/900}$（应为 $\frac1{150}$），共 $\underline{4}$ 种。
    最终答案：共 $4$ 种：$\frac1{180}+\frac1{900}=\frac1{200}+\frac1{600}=\frac1{240}+\frac1{400}=\frac1{300}+\frac1{300}=\frac1{150}$。
  2. 1. ch16-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（列式配方）：设两管各需 $A,B$ 分钟，$\frac1A+\frac1B=\frac1{105}$，配方 $(A-105)(B-105)=105\times105=\underline{11025}$。
    2. 第 2 步（合法因数对）：$A=105+p,B=105+q\ (pq=11025)$，要 $A,B$ 都是个位 $0$ 的三位数，合法 $(p,q)$ 为 $(15,735),(35,315),(45,245),(105,105)$，共 $\underline{4}$ 组。
    3. 第 3 步（还原）：$(15,735)\to A=105+15=\underline{120}$，$B=105+735=\underline{840}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{120}+\frac1{840}=\underline{1/120+1/840}$（应为 $\frac1{105}$）。
    最终答案：共 $4$ 种（分钟数对）：$(120,840),(140,420),(150,350),(210,210)$。
  3. 1. ch16-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（配方）：$(A-140)(B-140)=140\times140=\underline{19600}$。
    2. 第 2 步（合法因数对）：$A=140+p,B=140+q\ (pq=19600)$，$p,q$ 为 $10$ 的倍数且 $A,B\le990$。合法 $(p,q)$ 为 $(40,490),(70,280),(140,140)$，共 $\underline{3}$ 组。
    3. 第 3 步（还原）：$(40,490)\to A=140+40=\underline{180}$，$B=140+490=\underline{630}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{180}+\frac1{630}=\underline{1/180+1/630}$（应为 $\frac1{140}$），共 $\underline{3}$ 种。
    最终答案：共 $3$ 种：$\frac1{180}+\frac1{630}=\frac1{210}+\frac1{420}=\frac1{280}+\frac1{280}=\frac1{140}$。
  4. 1. ch16-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步（配方）：$(A-105)(B-105)=105\times105=\underline{11025}$。
    2. 第 2 步（极值分析）：设 $A\le B$，$A=105+p$，$B=105+\frac{11025}p$。$B$ 最大当 $p$ 最小；使 $A$ 为三位整十数的最小 $p=15$（$A=120$），此时 $B=105+\frac{11025}{15}=105+735=\underline{840}$。
    3. 第 3 步（验证）：$\frac1{120}+\frac1{840}=\underline{1/120+1/840}$（应为 $\frac1{105}$），故最大分母为 $840$。
    最终答案：出现的最大分母是 $840$（对应 $\frac1{120}+\frac1{840}=\frac1{105}$）。
  5. 9. ch16-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（配方）：设两数 $a\le b$，$ab=12(a+b)$ 移项配方 $(a-12)(b-12)=12\times12=\underline{144}$。
    2. 第 2 步（因数分解）：$144$ 写成 $p\times q\ (p\le q)$：$1\times144,2\times72,3\times48,4\times36,6\times24,8\times18,9\times16,12\times12$，共 $\underline{8}$ 组。
    3. 第 3 步（还原）：$a=12+p,\ b=12+q$。$p=1$：$a=12+1=\underline{13}$，$b=12+144=\underline{156}$；$p=6$：$a=12+6=\underline{18}$，$b=12+24=\underline{36}$。
    4. 第 4 步（验证并计数）：$18\times36=\underline{648}$，$12\times(18+36)=\underline{648}$，二者相等，共 $\underline{8}$ 组。
    最终答案：共 $8$ 对：$(13,156),(14,84),(15,60),(16,48),(18,36),(20,30),(21,28),(24,24)$。
  6. 9. ch16-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（列式配方）：设长 $b$、宽 $a$，面积 $ab$、周长 $2(a+b)$，$ab=5\times2(a+b)=10(a+b)$，配方 $(a-10)(b-10)=\underline{100}$。
    2. 第 2 步（因数分解）：$100=1\times100=2\times50=4\times25=5\times20=10\times10$，共 $\underline{5}$ 组。
    3. 第 3 步（还原）：$a=10+p,\ b=10+q$，得 $(11,110),(12,60),(14,35),(15,30),(20,\underline{20})$。
    4. 第 4 步（验证）：$12\times60=\underline{720}$，$10\times(12+60)=\underline{720}$，相等。
    最终答案：共 $5$ 种（宽,长）：$(11,110),(12,60),(14,35),(15,30),(20,20)$（单位厘米）。
  7. 9. ch16-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（配方）：$(a-15)(b-15)=15\times15=\underline{225}$。
    2. 第 2 步（因数分解）：$225=1\times225=3\times75=5\times45=9\times25=15\times15$，共 $\underline{5}$ 组。
    3. 第 3 步（还原）：$a=15+p,\ b=15+q$。$p=9$：$a=15+9=\underline{24}$，$b=15+25=\underline{40}$。
    4. 第 4 步（验证）：$24\times40=\underline{960}$，$15\times(24+40)=\underline{960}$，相等。
    最终答案：共 $5$ 对：$(16,240),(18,90),(20,60),(24,40),(30,30)$。
  8. 9. ch16-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（配方并枚举）：$(a-10)(b-10)=10\times10=\underline{100}$，还原得 $(11,110),(12,60),(14,35),(15,30),(20,20)$，共 $\underline{5}$ 组。
    2. 第 2 步（两位数筛选）：要求 $a,b$ 都是两位数（$10\sim99$）。$(11,110)$ 中 $110$ 是三位数，舍去。
    3. 第 3 步（验证保留组）：$12\times60=\underline{720}$，$10\times(12+60)=\underline{720}$，相等；保留下来的共 $\underline{4}$ 组。
    最终答案：两数都是两位数的有 $4$ 对：$(12,60),(14,35),(15,30),(20,20)$。
  9. 10. ch16-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（配方）：$\frac1{15}=\frac1a+\frac1b$ 去分母配方 $(a-15)(b-15)=15\times15=\underline{225}$。
    2. 第 2 步（因数分解）：$225=1\times225=3\times75=5\times45=9\times25=15\times15$，共 $\underline{5}$ 组。
    3. 第 3 步（还原）：$a=15+p,\ b=15+q$。$p=1$：$a=\underline{16}$，$b=15+225=\underline{240}$；$p=9$：$a=15+9=\underline{24}$，$b=15+25=\underline{40}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{24}+\frac1{40}=\underline{1/24+1/40}$（应为 $\frac1{15}$）。
    最终答案：$\frac1{15}=\frac1{16}+\frac1{240}=\frac1{18}+\frac1{90}=\frac1{20}+\frac1{60}=\frac1{24}+\frac1{40}=\frac1{30}+\frac1{30}$，共 $5$ 种。
  10. 10. ch16-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（列式配方）：设两队各需 $a\le b$ 天，$\frac1a+\frac1b=\frac16$，配方 $(a-6)(b-6)=6\times6=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（因数分解）：$36=1\times36=2\times18=3\times12=4\times9=6\times6$，共 $\underline{5}$ 组。
    3. 第 3 步（还原天数）：$a=6+p,\ b=6+q$，得 $(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,\underline{12})$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{10}+\frac1{15}=\underline{1/10+1/15}$（应为 $\frac16$）。
    最终答案：共 $5$ 种（天数对）：$(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)$。
  11. 10. ch16-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（配方）：$(a-10)(b-10)=10\times10=\underline{100}$。
    2. 第 2 步（因数分解）：$100=1\times100=2\times50=4\times25=5\times20=10\times10$，共 $\underline{5}$ 组。
    3. 第 3 步（还原）：$a=10+p,\ b=10+q$。$p=4$：$a=10+4=\underline{14}$，$b=10+25=\underline{35}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{14}+\frac1{35}=\underline{1/14+1/35}$（应为 $\frac1{10}$）。
    最终答案：$\frac1{10}=\frac1{11}+\frac1{110}=\frac1{12}+\frac1{60}=\frac1{14}+\frac1{35}=\frac1{15}+\frac1{30}=\frac1{20}+\frac1{20}$，共 $5$ 种。
  12. 10. ch16-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（配方并枚举）：$(a-14)(b-14)=14\times14=\underline{196}$，$196=1\times196=2\times98=4\times49=7\times28=14\times14$，还原得 $(15,210),(16,112),(18,63),(21,42),(28,28)$，共 $\underline{5}$ 种。
    2. 第 2 步（两位数筛选）：分母须两位数（$10\sim99$）。$(15,210)$、$(16,112)$ 的 $210$、$112$ 都是三位数，舍去，只剩 $(18,63),(21,42),(28,28)$，共 $\underline{3}$ 组。
    3. 第 3 步（验证）：$\frac1{18}+\frac1{63}=\underline{1/18+1/63}$（应为 $\frac1{14}$）。
    最终答案：两分母都是两位数的有 $3$ 种：$\frac1{14}=\frac1{18}+\frac1{63}=\frac1{21}+\frac1{42}=\frac1{28}+\frac1{28}$。
  13. 11. ch16-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（配方）：由 $\frac1b>\frac1{45}$ 知 $b<45$；整理得 $(45+a)(45-b)=45\times45=\underline{2025}$。
    2. 第 2 步（枚举因数）：设 $d=45-b\ (1\le d\le44,\ d\mid2025)$，$2025$ 中小于 $45$ 的约数有 $1,3,5,9,15,25,27$，共 $\underline{7}$ 组。
    3. 第 3 步（求解）：$a=\frac{2025}d-45,\ b=45-d$。$d=1$：$a=2025-45=\underline{1980}$，$b=45-1=\underline{44}$；$d=27$：$a=\frac{2025}{27}-45=\underline{30}$，$b=45-27=\underline{18}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{30}+\frac1{45}=\underline{1/30+1/45}$（应为 $\frac1{18}$）。
    最终答案：共 $7$ 组：$(a,b)=(1980,44),(630,42),(360,40),(180,36),(90,30),(36,20),(30,18)$。
  14. 11. ch16-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步（配方）：由 $\frac1b>\frac1{35}$ 知 $b<35$；整理得 $(35+a)(35-b)=35\times35=\underline{1225}$。
    2. 第 2 步（枚举因数）：$d=35-b$ 取 $1225$ 中小于 $35$ 的约数 $1,5,7,25$，共 $\underline{4}$ 组。
    3. 第 3 步（求解）：$a=\frac{1225}d-35,\ b=35-d$。$d=1$：$a=1225-35=\underline{1190}$，$b=\underline{34}$；$d=25$：$a=\frac{1225}{25}-35=\underline{14}$，$b=35-25=\underline{10}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{14}+\frac1{35}=\underline{1/14+1/35}$（应为 $\frac1{10}$）。
    最终答案：共 $4$ 组：$(a,b)=(1190,34),(210,30),(140,28),(14,10)$（小时）。
  15. 11. ch16-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（配方）：$(55+a)(55-b)=55\times55=\underline{3025}$。
    2. 第 2 步（枚举因数）：$d=55-b$ 取 $3025$ 中小于 $55$ 的约数 $1,5,11,25$，共 $\underline{4}$ 组。
    3. 第 3 步（求解）：$a=\frac{3025}d-55,\ b=55-d$。$d=1$：$a=3025-55=\underline{2970}$，$b=\underline{54}$；$d=25$：$a=\frac{3025}{25}-55=\underline{66}$，$b=55-25=\underline{30}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{66}+\frac1{55}=\underline{1/66+1/55}$（应为 $\frac1{30}$）。
    最终答案：共 $4$ 组：$(a,b)=(2970,54),(550,50),(220,44),(66,30)$。
  16. 11. ch16-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（配方）：$(40+a)(40-b)=40\times40=\underline{1600}$。
    2. 第 2 步（解的组数）：$d=40-b$ 取 $1600$ 中小于 $40$ 的约数 $1,2,4,5,8,10,16,20,25,32$，共 $\underline{10}$ 组。
    3. 第 3 步（极值分析）：$a=\frac{1600}d-40$ 随 $d$ 减小而增大，故 $d$ 最小 $=1$ 时 $a$ 最大：$a=1600-40=\underline{1560}$，$b=40-1=\underline{39}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{1560}+\frac1{40}=\underline{1/1560+1/40}$（应为 $\frac1{39}$）。
    最终答案：$a$ 最大的一组是 $(a,b)=(1560,39)$。
  17. 12. ch16-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（定界）：设 $a\le b\le c$，由 $\frac3a\ge\frac13$ 且 $a>3$ 得 $4\le a\le9$。
    2. 第 2 步（逐个 $a$ 化归两项）：$a=4$：$\frac1b+\frac1c=\frac13-\frac14=\frac1{12}$，有 $\underline{8}$ 种；$a=5$：$=\frac2{15}$，有 $\underline{5}$ 种；$a=6$：$=\frac16$，有 $\underline{5}$ 种。
    3. 第 3 步（大 $a$）：$a=7,8,9$ 时各只有 $b=c$ 一种，共 $1+1+1=\underline{3}$ 种。
    4. 第 4 步（求和）：$8+5+5+3=\underline{21}$ 种。
    最终答案：共有 $21$ 种方法。
  18. 12. ch16-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（定界）：设三管各需 $a\le b\le c$ 小时，$\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac12$，由放缩得 $3\le a\le6$。
    2. 第 2 步（分类化归）：$a=3$：$\frac1b+\frac1c=\frac12-\frac13=\frac16$，有 $\underline{5}$ 种；$a=4$：$=\frac14$，有 $\underline{3}$ 种；$a=5,6$ 各 $\underline{1}$ 种。
    3. 第 3 步（求和）：$5+3+1+1=\underline{10}$ 种。
    最终答案：共有 $10$ 种搭配。
  19. 12. ch16-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（定界）：设 $a<b<c$，仍有 $3\le a\le4$（$a=5,6$ 时余下太小）。
    2. 第 2 步（$a=3$）：$\frac1b+\frac1c=\frac16$，拆成两个**不同**单位分数（$b>3$）：$(7,42),(8,24),(9,18),(10,15)$（去掉相等的 $12,12$），共 $\underline{4}$ 种。
    3. 第 3 步（$a=4$）：$\frac1b+\frac1c=\frac14$，拆成两个不同单位分数（$b>4$）：$(5,20),(6,12)$（去掉 $8,8$），共 $\underline{2}$ 种。
    4. 第 4 步（求和）：$4+2=\underline{6}$ 种。
    最终答案：共有 $6$ 种方法。
  20. 12. ch16-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（计数）：由分类（$a=3$ 有 $4$ 种、$a=4$ 有 $2$ 种）得共 $4+2=\underline{6}$ 种。
    2. 第 2 步（找最大分母）：分母最大出现在 $a=3$、$\frac16$ 拆得 $\frac17+\frac1{42}$ 的一组，最大分母为 $\underline{42}$。
    3. 第 3 步（验证）：$\frac13+\frac17+\frac1{42}=\underline{1/3+1/7+1/42}$（应为 $\frac12$）。
    最终答案：共有 $6$ 种方法；分母最大的一组是 $\frac12=\frac13+\frac17+\frac1{42}$，最大分母是 $42$。
  21. 23. ch16-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（去分母配方）：$\frac1{12}=\frac1a+\frac1b$ 去分母得 $ab=12(a+b)$，移项配方 $(a-12)(b-12)=12\times12=\underline{144}$。
    2. 第 2 步（枚举因数对）：把上式右边写成两个自然数之积 $p\times q\ (p\le q)$，有 $1\times144,2\times72,3\times48,4\times36,6\times24,8\times18,9\times16,12\times12$，共 $\underline{8}$ 组。
    3. 第 3 步（还原 $a,b$）：令 $a=12+p,\ b=12+q$。如 $p=1$：$a=12+1=\underline{13}$，$b=12+144=\underline{156}$；$p=6$：$a=12+6=\underline{18}$，$b=12+24=\underline{36}$。
    4. 第 4 步（验证并计数）：检验 $\frac1{18}+\frac1{36}=\underline{1/18+1/36}$（应为 $\frac1{12}$），所以共 $\underline{8}$ 种。
    最终答案：$\frac1{12}=\frac1{13}+\frac1{156}=\frac1{14}+\frac1{84}=\frac1{15}+\frac1{60}=\frac1{16}+\frac1{48}=\frac1{18}+\frac1{36}=\frac1{20}+\frac1{30}=\frac1{21}+\frac1{28}=\frac1{24}+\frac1{24}$，共 $8$ 种。
  22. 23. ch16-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（列式）：设甲需 $a$ 天、乙需 $b$ 天，则每天灌 $\frac1a$、$\frac1b$，合作每天 $\frac1a+\frac1b=\frac14$，去分母配方 $(a-4)(b-4)=4\times4=\underline{16}$。
    2. 第 2 步（枚举因数对）：$16=1\times16=2\times8=4\times4$，共 $\underline{3}$ 组。
    3. 第 3 步（还原天数）：$a=4+p,\ b=4+q$，得 $(5,20),(6,12),(8,\underline{8})$。
    4. 第 4 步（验证）：检验 $\frac15+\frac1{20}=\underline{1/5+1/20}$（应为 $\frac14$）。
    最终答案：三种：甲乙各需 $5$ 天和 $20$ 天，或 $6$ 天和 $12$ 天，或都需 $8$ 天。
  23. 23. ch16-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（配方）：$(a-9)(b-9)=9\times9=\underline{81}$。
    2. 第 2 步（枚举因数对）：$81=1\times81=3\times27=9\times9$，共 $\underline{3}$ 组。
    3. 第 3 步（还原）：$a=9+p,\ b=9+q$。$p=1$：$a=\underline{10}$，$b=9+81=\underline{90}$；$p=3$：$a=9+3=\underline{12}$，$b=9+27=\underline{36}$。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{12}+\frac1{36}=\underline{1/12+1/36}$（应为 $\frac19$）。
    最终答案：$\frac19=\frac1{10}+\frac1{90}=\frac1{12}+\frac1{36}=\frac1{18}+\frac1{18}$，共 $3$ 种。
  24. 23. ch16-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（配方）：$(a-6)(b-6)=6\times6=\underline{36}$。
    2. 第 2 步（枚举全部拆法）：$36=1\times36=2\times18=3\times12=4\times9=6\times6$，还原得 $(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)$，共 $\underline{5}$ 种。
    3. 第 3 步（两位数筛选）：分母须为两位数（$10\sim99$）。$(7,42)$ 中 $7$ 是一位数、$(8,24)$ 中 $8$、$(9,18)$ 中 $9$ 均一位数，都要舍去，只剩 $(10,15)$、$(12,12)$，共 $\underline{2}$ 组。
    4. 第 4 步（验证）：$\frac1{10}+\frac1{15}=\underline{1/10+1/15}$（应为 $\frac16$）。
    最终答案：两个分母都是两位数的拆法有 $2$ 种：$\frac16=\frac1{10}+\frac1{15}=\frac1{12}+\frac1{12}$。
  25. 24. ch16-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（移项）：$\frac1a+\frac1b+\frac1c=1-\frac1{24}=\underline{1-1/24}$。
    2. 第 2 步（放缩定 $a$）：若 $a\ge3$，则三项之和 $\le\frac13+\frac14+\frac15<\frac{23}{24}$，故最小分母 $a=\underline{2}$。
    3. 第 3 步（定 $b$）：$\frac1b+\frac1c=\frac{23}{24}-\frac12=\underline{23/24-1/2}$；若 $b\ge4$ 则 $\le\frac14+\frac15<\frac{11}{24}$，故 $b=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（定 $c$）：$\frac1c=\frac{11}{24}-\frac13=\underline{11/24-1/3}$，故 $c=\underline{8}$。
    5. 第 5 步（求和）：$a+b+c=2+3+8=\underline{13}$。
    最终答案：$a+b+c=13$（$a=2,b=3,c=8$）。
  26. 24. ch16-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（列式移项）：四人每天效率之和为 $1$，即 $\frac1a+\frac1b+\frac1c=1-\frac1{18}=\underline{1-1/18}$。
    2. 第 2 步（放缩定 $a$）：若 $a\ge3$ 则三项之和 $<\frac{17}{18}$，故 $a=\underline{2}$（天）。
    3. 第 3 步（定 $b$）：$\frac1b+\frac1c=\frac{17}{18}-\frac12=\underline{17/18-1/2}$，放缩得 $b=\underline{3}$。
    4. 第 4 步（定 $c$）：$\frac1c=\frac49-\frac13=\underline{4/9-1/3}$，$c=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（求和）：$a+b+c=2+3+9=\underline{14}$。
    最终答案：$a+b+c=14$（$a=2,b=3,c=9$ 天）。
  27. 24. ch16-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（移项）：$\frac1a+\frac1b+\frac1c=1-\frac1{20}=\underline{1-1/20}$。
    2. 第 2 步（放缩定 $a$）：$a=\underline{2}$；则 $\frac1b+\frac1c=\frac{19}{20}-\frac12=\underline{19/20-1/2}$。
    3. 第 3 步（枚举 $b$）：试 $b=3$：$\frac1c=\frac{9}{20}-\frac13=\underline{9/20-1/3}$，分子不为 $1$，舍；试 $b=4$：$\frac1c=\frac{9}{20}-\frac14=\underline{9/20-1/4}$，得 $c=\underline{5}$。
    4. 第 4 步（求和）：$a+b+c=2+4+5=\underline{11}$。
    最终答案：$a+b+c=11$（$a=2,b=4,c=5$）。
  28. 24. ch16-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（移项）：$\frac1a+\frac1b+\frac1c=1-\frac1{12}=\underline{1-1/12}$，放缩得 $a=\underline{2}$。
    2. 第 2 步（拆余下两项）：$\frac1b+\frac1c=\frac{11}{12}-\frac12=\underline{11/12-1/2}$。
    3. 第 3 步（枚举 $b$·两解都要）：$b=3$：$\frac1c=\frac{5}{12}-\frac13=\underline{5/12-1/3}$，$c=\underline{12}$，得一组和 $2+3+12=\underline{17}$；$b=4$：$\frac1c=\frac{5}{12}-\frac14=\underline{5/12-1/4}$，$c=\underline{6}$，得另一组和 $2+4+6=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（下结论）：故 $a+b+c$ 可能是 $12$ 或 $17$。
    最终答案：$a+b+c$ 有两种可能：$12$（$a,b,c=2,4,6$）或 $17$（$a,b,c=2,3,12$）。