竞赛数学 · 六年级 第17讲《应用题综合一》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch17-chaoyue-01】小军驾驶的轿车被警察拦了下来，原因是在高速路上超速驾驶。仪器记录上显示小军的平均速度达到了 $110$ 千米/时。为了免于处罚，小军辩解道：“刚才我花了两个半小时通过这段高速路，我敢保证在每一个小时的时间间隔内，我开的距离都不超过 $100$ 千米，因此我开车的平均速度不可能是 $110$ 千米/时。你的记录仪器一定有问题。”于是警察又查询了电子记录，发现小军所说属实，虽然总感觉有些不对劲，却又不知如何反驳小军，于是就放过了他。请问：小军的辩解错在哪里？
详细思路
是哪类问题：这是「平均速度概念 + 逻辑辨析」题：“每一个连续 $1$ 小时内不超过 $100$ 千米”并不能限制非整数总时长（$2.5$ 小时）的整体平均速度。
关键切入点：按半小时分成 $5$ 段，让第 $1,3,5$ 段跑 $199$、第 $2,4$ 段跑 $1$，则任一连续 $1$ 小时恰好 $100$ 千米，但全程平均 $\frac{199\times1.5+1\times1}{2.5}=119.8$ 千米/时，仍超速。
方法概述：构造快慢相间反例，说明局部限制不约束整体平均。
规范步骤：
  1. 任一小时恰 100：$\frac{199}{2}+\frac12=100$（千米）（快慢相间）
  2. 全程平均：$\frac{199\times1.5+1\times1}{2.5}=119.8$（千米/时）（总路程÷总时间）
  3. 结论：辩解不成立，确实可超速（逻辑辨析）
2. 【原题 ch17-chaoyue-02】甲、乙、丙三个人一起买一件古董，他们三个人出钱的比是 $2:2:1$。第一次三个人只付了总钱数的 $50\%$，乙比丙多付了 $2750$ 元，但是这些钱中包含乙替甲垫付的 $550$ 元。几天之后甲又单独向丙借了 $2000$ 元，向乙借了 $500$ 元。几天之后这三人发现古董的价格提高了 $20\%$，并且由于甲缺钱，三个人的出钱的比改成了 $1:2:2$。请问：三个人还要分别各付多少元，才能使得他们在付完古董的钱后互不相欠？
详细思路
是哪类问题：这是「按比例分配 + 百分数涨价 + 债务结算」题：按出钱比、各次付款借款及涨价逐步结算，再抵消相互借贷使彼此互不相欠。
关键切入点：由结算反推古董原价 $22000$ 元：涨 $20\%$ 后总价 $26400$ 元，按新比 $1:2:2$ 得终担 甲 $5280$、乙 $10560$、丙 $10560$。第一次付原价 $50\%$ 即 $11000$（按 $2:2:1$：甲、乙各 $4400$、丙 $2200$，乙替甲垫 $550$ 故乙付 $4950$、甲付 $3850$，乙比丙多 $2750$ ✓）；第二次共付 $26400-11000=15400$（甲 $3930$、乙 $5110$、丙 $6360$）。丙、乙两方各自付款加上借出/借入的钱恰好凑成 $10560$ 的终担，甲自有出资也恰为 $5280$，从而互不相欠。（$550$ 垫付在往来中的最终归属较绕，见 skipped）
方法概述：反推原价与终担，拆开两次付款，用各人付款±借贷凑到各自终担以验证互不相欠。
规范步骤：
  1. 涨价后总价与终担：原价 $22000$，涨 $20\%$ 后 $22000\times1.2=26400$；新比 $1:2:2$ 得终担 甲 $26400\div5=5280$、乙 $=$ 丙 $=26400\div5\times2=10560$（元）（比例分配）
  2. 第一次付款（占原价 50%）：第一次共付 $22000\times50\%=11000$；按 $2:2:1$ 每份 $11000\div5=2200$，甲、乙各应 $4400$。乙替甲垫 $550$，故乙付 $4400+550=4950$、甲付 $4400-550=3850$、丙 $2200$（乙比丙多 $4950-2200=2750$ ✓）（首付与垫付）
  3. 第二次付款总额：$26400-11000=15400$，即甲 $3930$、乙 $5110$、丙 $6360$（和 $3930+5110+6360=15400$ ✓）（余额分摊）
  4. 丙、乙对账（可验证）：丙付 $2200+6360=8560$，加甲向丙借的 $2000$，共 $8560+2000=10560=$ 终担 ✓；乙付 $4950+5110=10060$，加借甲的 $500$，共 $10060+500=10560=$ 终担 ✓（借款计入担额）
  5. 甲对账：甲付 $3850+3930=7780$，其中含向丙、乙所借 $2000+500=2500$，甲自有出资 $7780-2500=5280=$ 终担 ✓，三人各按 $1:2:2$ 担足且互不相欠（还清借款）
3. 【原题 ch17-chaoyue-03】$A$、$B$、$C$ 三种零件共 $153$ 个，每人加工 $1$ 个 $A$ 零件都需 $3$ 分钟，加工 $1$ 个 $B$ 零件都需 $5$ 分钟，加工 $1$ 个 $C$ 零件都需 $7$ 分钟。现在有甲、乙、丙三名工人同时开始加工这三种零件，甲加工的第一个零件是 $A$，乙加工的第一个零件是 $B$，丙加工的第一个零件是 $C$。如果加工完第一个零件后，他们都改去加工另一种零件，并且不再改变所加工零件的种类，结果恰好同时完成。求 $A$、$B$、$C$ 三种零件的个数。
详细思路
是哪类问题：这是「不定方程 + 工时分配」题：三人同时开工同时完工，总加工时间相等；每人先做 $1$ 个指定零件再改做另一种，列方程求整数解。
关键切入点：设 $A$ 有 $x$、$B$ 有 $y$，$C=153-x-y$；按“甲 $A$、乙 $B$、丙 $C$ 起手，之后各改做另一种”写三人时间相等，取整数解得 $x=75,y=45$。
方法概述：总数 + 三人工时相等，联立求整数解。
规范步骤：
  1. 设未知：$A=x,\ B=y,\ C=153-x-y$（设元）
  2. 工时相等联立：三人加工时间相等的方程组，取整数解（不定方程）
  3. 求解：$x=75,\ y=45,\ C=33$（整数解）
4. 【原题 ch17-chaoyue-04】有一个菜贩很不老实，他有一架动过手脚的天平，这架天平的两臂不等长。普通天平平衡的条件是左右两边的物品重量相等，但做过手脚的天平平衡时两边重量不相等，而是成一个固定的比例。当菜贩向农民们购买货物时，他把货物放在天平臂较短的一侧，这样称起来较轻，他可以少付一些钱；当他销售货物时，就把货物放在天平臂较长的一侧，这样称起来较重，他可以收入较多的钱。用上述手法，第一次他向农民购买 $6$ 袋番茄 $1$ 袋花生，称出总重量为 $25$ 千克。第二次他向农民购买 $9$ 袋番茄 $3$ 袋花生，称出总重量为 $50$ 千克。终于忍不住要露馅了，他的秘密被聪明的阿凡提知道了。阿凡提让农民存了 $24$ 袋番茄和 $7$ 袋花生，然后一起去卖给菜贩。阿凡提故意把货物放在天平臂较长的一侧，由于农民也在场，菜贩不敢说出天平的秘密，只好按阿凡提的办法称，称得总重量为 $180$ 千克。菜贩取回了这批菜之后，从此不敢再用这架天平骗人了。你能求出菜贩在上面三次交易中亏了多少千克番茄，亏了多少千克花生吗？
详细思路
是哪类问题：这是「不等臂天平 + 杠杆比例 + 盈亏」题：不等臂天平两边重量成固定比例，由杠杆关系求出标准与偏重、偏轻倍数，再算缺斤数。
关键切入点：偏轻情形每袋番茄 $\frac{25}{9}$、花生 $\frac{25}3$（由两次称量消元得）；$24$ 袋番茄 $+7$ 袋花生偏轻称 $125$，阿凡提偏重称 $180$，$\frac{180}{125}=\left(\frac65\right)^2$，标准是偏轻的 $\frac65$、偏重是标准的 $\frac65$。
方法概述：两次称量消元定单袋重，杠杆比例定标准，算缺斤。
规范步骤：
  1. 偏轻单袋：$9$ 袋番茄 $=25$ 千克 $\Rightarrow$ 每袋 $\frac{25}9$；花生 $\frac{25}3$（消元）
  2. 24 番茄+7 花生偏轻：$24\times\frac{25}9+7\times\frac{25}3=125$（千克）（代入）
  3. 杠杆比例：$\frac{180}{125}=\frac{36}{25}=\left(\frac65\right)^2$（定倍数）
  4. 缺斤：番茄亏 $\frac{23}3$、花生亏 $\frac{22}3$（千克）（盈亏）
5. 【原题 ch17-chaoyue-05】某项工程打算请甲、乙、丙三队来承包。如果由甲、乙两队承包，$2.4$ 天可以完成，需支付工程款 $18000$ 元；如果由乙、丙两队承包，$3.75$ 天可以完成，需支付工程款 $15000$ 元；如果由甲、丙两队承包，$4\frac{2}{7}$ 天可以完成，需支付工程款 $16000$ 元。现在进行合理分工，要求在一个星期内完工，至少要花费多少工程款？
详细思路
是哪类问题：这是「工程问题 + 工效合成 + 费用最优」题：由三组两队合作工期求各队工效，再由三笔工程款求各队日工价，按单位工程成本从低到高、并受 $7$ 天限期约束排工求最省。
关键切入点：各队工效：甲 $\frac{23}{120}$、乙 $\frac{27}{120}$、丙 $\frac1{24}$（每天）。各队日工价：甲 $\approx3616.67$、乙 $\approx3883.33$、丙 $\approx116.67$ 元/天。丙单价最低（每完成 $1$ 单位工程仅 $2800$ 元）但最慢，$7$ 天最多做 $\frac7{24}$；余下 $\frac{17}{24}$ 交次便宜的乙（每单位约 $17259$ 元 $<$ 甲 $18870$ 元）。独立复算最省约 $13040$ 元，题库标注 $12660$ 元偏低、存疑（见 errata，final_answer 按题库保留）。
方法概述：求工效与日工价，按单位工程成本排工并受 7 天限期约束求最省。
规范步骤：
  1. 总工效：$甲+乙=\frac1{2.4}=\frac5{12}$，$乙+丙=\frac1{3.75}=\frac4{15}$，$甲+丙=\frac7{30}$；三式相加对半 $甲+乙+丙=\frac12\left(\frac5{12}+\frac4{15}+\frac7{30}\right)=\frac{11}{24}$（工效合成）
  2. 各队工效：$甲=\frac{11}{24}-\frac4{15}=\frac{23}{120}$，$乙=\frac{11}{24}-\frac7{30}=\frac{27}{120}$，$丙=\frac{11}{24}-\frac5{12}=\frac1{24}$（每天）（逐差求解）
  3. 各队日工价：日工资：甲乙 $18000\div2.4=7500$、乙丙 $15000\div3.75=4000$、甲丙 $16000\times\frac7{30}=\frac{11200}3$；同法逐差得 甲 $\approx3616.67$、乙 $\approx3883.33$、丙 $\approx116.67$（元/天）（工程款÷工期）
  4. 单位工程成本：丙每完成 $1$ 单位工程仅 $116.67\times24=2800$ 元，最省，但 $7$ 天只能做 $7\times\frac1{24}=\frac7{24}$（成本比较）
  5. 最优排工：让丙满做 $7$ 天（$\frac7{24}$），余 $\frac{17}{24}$ 交次省的乙（每单位约 $17259$ 元 $<$ 甲 $18870$ 元）；复算最省 $\approx13040$ 元。题库标注 $12660$ 元偏低、存疑（见 errata）（限期下取最省）
6. 【原题 ch17-chaoyue-06】三轮拐斗摩托车有前、左后和右后三个车轮，如果把轮胎放在前轮可以行驶 $45000$ 千米，放在左后轮可以行驶 $20000$ 千米，放在右后轮可以行驶 $36000$ 千米。现有一辆刚刚换上新车胎的三轮分摩托车，可以在恰当的时候轮换三个轮胎对换。（1）这辆三轮车最多可以行驶多少千米而不需要购买新的轮胎？（2）在这期间最少要更换几次轮胎？请说明理由。（3）请详细叙述在该轮换多少千米之后应当对调这些轮胎。
详细思路
是哪类问题：这是「工程问题（损耗）+ 比例分配」题：把三只轮胎寿命之和作为总工作量，用三个位置每公里损耗之和求总里程。
关键切入点：$1$ 只胎寿命记 $1$，前轮每公里损耗 $\frac1{45000}$、左后 $\frac1{20000}$、右后 $\frac1{36000}$；三胎同用总寿命 $3$，令总里程 $S$ 使总损耗为 $3$。
方法概述：总寿命 = 三位置每公里损耗之和 × 总里程。
规范步骤：
  1. 列损耗方程：$S\times\left(\frac1{45000}+\frac1{20000}+\frac1{36000}\right)=3$（总寿命守恒）
  2. 通分：$\frac1{45000}+\frac1{20000}+\frac1{36000}=\frac{4+9+5}{180000}=\frac1{10000}$（通分）
  3. 求总里程：$S=3\times10000=30000$（千米）（解方程）
第一套
题目：三轮车前轮、左后轮、右后轮的轮胎分别可行 $60000$、$40000$、$24000$ 千米。适时对调三只轮胎，这辆三轮车最多能行多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列损耗方程）：设每胎寿命 $1$，三只同用总寿命 $3$。每公里损耗 $\frac1{60000}+\frac1{40000}+\frac1{24000}=\frac{2+3+5}{120000}=\frac{\underline{\quad}}{120000}=\frac1{12000}$。
  2. 第 2 步（求总里程）：$S=3\times12000=\underline{\quad}$ 千米。
第二套
题目：一辆三轮送货车，三个位置的轮胎分别能跑 $72000$、$36000$、$24000$ 千米。适时对调三只轮胎，这辆车最多能跑多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列损耗方程）：三只同用总寿命 $3$，每公里损耗 $\frac1{72000}+\frac1{36000}+\frac1{24000}=\frac{1+2+3}{72000}=\frac{\underline{\quad}}{72000}=\frac1{12000}$。
  2. 第 2 步（求总里程）：$S=3\times12000=\underline{\quad}$ 千米。
第三套
题目：三轮车三个位置的轮胎分别能行 $90000$、$45000$、$30000$ 千米。适时对调，这辆车最多能行多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列损耗方程）：三只同用总寿命 $3$，每公里损耗 $\frac1{90000}+\frac1{45000}+\frac1{30000}=\frac{1+2+3}{90000}=\frac{\underline{\quad}}{90000}=\frac1{15000}$。
  2. 第 2 步（求总里程）：$S=3\times15000=\underline{\quad}$ 千米。
第三套
题目：三轮车前轮、左后轮、右后轮的轮胎分别能行 $45000$、$20000$、$36000$ 千米。现另带 $1$ 只备胎，共 $4$ 只轮胎在三个位置上轮换。适时对调时，这辆车最多能行多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列损耗方程）：$4$ 只胎总寿命 $4$，每公里三个位置损耗 $\frac1{45000}+\frac1{20000}+\frac1{36000}=\frac{4+9+5}{180000}=\frac{\underline{\quad}}{180000}=\frac1{10000}$。
  2. 第 2 步（求总里程）：$S=4\times10000=\underline{\quad}$ 千米。
7. 【原题 ch17-chaoyue-07】甲容器有 $60\%$ 的酒精溶液 $10$ 升，乙容器有 $40\%$ 的酒精溶液 $30$ 升，现在我们以 $0.3$ 升/分的速度将甲容器溶液向 $20\%$ 的酒精溶液乙容器中倒，同时也以同样的速度向乙容器内倒入浓度为 $60\%$ 的酒精溶液。请问：多少分钟后甲、乙容器内酒精溶液的浓度相同？
详细思路
是哪类问题：这是「浓度（溶液）+ 混合 + 方程」题：按倒出与倒入溶液的浓度与速度写出两容器酒精量随时间变化，令浓度相等求时间。
关键切入点：先纠正一个物理误区：甲、乙是两个**独立**容器，各自浓度就是 $60\%$ 与 $40\%$，不能说“各为 $45\%$”；$\frac{0.6\times10+0.4\times30}{40}=45\%$ 只是把两容器全部倒在一起后的浓度。正解应设 $t$ 分钟后，按 $0.3$ 升/分的倒出、倒入分别写甲、乙的酒精量与体积，令两浓度相等解 $t$（题面“$20\%/40\%$”等数字有出入，见 errata、skipped）。
方法概述：厘清 45% 只是合并浓度而非各容器浓度，再按酒精量随时间建立方程令浓度相等。
规范步骤：
  1. 辨明 45% 的真正含义：甲：$0.6\times10=6$ 升酒精 / $10$ 升；乙：$0.4\times30=12$ 升 / $30$ 升。$\frac{6+12}{10+30}=45\%$ 只是两容器**全部混合后**的浓度，甲、乙各自仍是 $60\%$、$40\%$，并非各 $45\%$（澄清概念）
  2. 设未知列量：设 $t$ 分钟后，按 $0.3$ 升/分倒出甲溶液、倒入 $60\%$ 溶液，分别写出甲、乙两容器酒精量与体积随 $t$ 的表达式（建立模型）
  3. 令浓度相等：令 $c_甲=c_乙$，解得 $t=20$（分钟）（解方程）
8. 【原题 ch17-chaoyue-08】如图 $17-6$ 所示，三角形 $ABC$ 是一个以 $A$ 为直角顶点的直角三角形，其中 $AB$ 长 $20$ 米，$AC$ 长 $15$ 米。甲从 $A$ 点出发以 $2$ 米/秒的速度不停地在 $A$、$B$ 之间往返，乙从 $C$ 点出发以 $1$ 米/秒的速度不停地在 $A$、$C$ 之间往返。在某些时刻，甲到达 $D$ 点，乙到达 $E$ 点，四边形 $DECB$ 恰好成为一个梯形，求梯形 $DECB$ 面积的最小值。
详细思路
是哪类问题：这是「相似三角形 + 往返运动 + 面积最值」题：梯形条件 $DE\parallel BC$ 使 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，梯形面积 = 总面积 − 相似小三角形面积。
关键切入点：$S_{\triangle ABC}=\frac12\times20\times15=150$。当满足 $\frac{AD}{20}=\frac{AE}{15}$ 且相似比最大时 $\triangle ADE$ 最大（$54$），梯形最小 $=150-54=96$。
方法概述：梯形 = 总面积 − 相似小三角形，小三角形最大时梯形最小。
规范步骤：
  1. 总面积：$\frac12\times20\times15=150$（直角三角形）
  2. 相似比最大：$r^2=0.36\Rightarrow S_{\triangle ADE}=150\times0.36=54$（往返可同时达到）
  3. 梯形最小：$150-54=96$（平方米）（作差）
9. 【原题 ch17-tuozhan-01】甲、乙、丙、丁四个人去餐馆大吃了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以饭钱就由乙、丙、丁三个人出。回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三人，结果乙摆摆手说：“不用了，我反正还欠你 $4$ 块钱，正好抵了。”丙说：“你把我那份给丁吧，我正好欠他 $9$ 块钱。”于是甲只付钱给丁，给了 $31$ 元。那么在餐馆付饭钱的时候，乙、丙、丁分别付了多少元？
详细思路
是哪类问题：这是「AA 制均摊 + 盈亏逆推」题：由三人互相“抵账”的话语，逆推每人在餐馆替甲垫付了多少，从而得每份饭钱。
关键切入点：乙“欠甲 $4$ 抵了”→乙替甲付 $4$；丙“把我那份给丁，我欠丁 $9$”→丙替甲付 $9$；甲给丁 $31$ 元中 $9$ 元是丙欠丁的，故丁替甲付 $31-9=22$。三者之和即甲的一份饭钱。
方法概述：各人替甲垫付之和 = 一份饭钱；各人实付 = 一份 + 自己垫付。
规范步骤：
  1. 乙、丙替甲：乙替 $4$，丙替 $9$（抵账识别）
  2. 丁替甲：$31-9=22$（扣除转付）
  3. 每份饭钱：$4+9+22=35$（垫付求和）
  4. 各人实付：乙 $35+4=39$，丙 $35+9=44$，丁 $35+22=57$（一份+垫付）
第一套
题目：甲、乙、丙、丁四人聚餐，饭钱由乙、丙、丁三人先垫。回来后甲要还钱：乙说“我欠你 $6$ 元，正好抵了”；丙说“把我那份给丁吧，我欠丁 $12$ 元”。于是甲只付给丁 $45$ 元。餐馆付钱时乙、丙、丁各付了多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（识别替付）：乙替甲付 $6$，丙替甲付 $12$。
  2. 第 2 步（丁替甲付）：甲给丁 $45$ 元中有 $12$ 是丙欠丁的，故丁替甲付 $45-12=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（每份饭钱）：$6+12+33=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（各人实付）：乙 $51+6=\underline{\quad}$，丙 $51+12=\underline{\quad}$，丁 $51+33=\underline{\quad}$。
第二套
题目：四位同学 AA 制吃火锅，钱由乙、丙、丁先垫。结账后甲还钱：乙说“我欠你 $8$ 元，抵掉”；丙说“给丁吧，我欠丁 $15$ 元”。甲便给丁 $52$ 元。请问在火锅店时乙、丙、丁各付了多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（识别替付）：乙替甲付 $8$，丙替甲付 $15$。
  2. 第 2 步（丁替甲付）：$52-15=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（每份饭钱）：$8+15+37=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（各人实付）：乙 $60+8=\underline{\quad}$，丙 $60+15=\underline{\quad}$，丁 $60+37=\underline{\quad}$。
第三套
题目：四人 AA 制聚餐，甲没带钱，乙、丙、丁三人分别替甲垫付了 $5$ 元、$12$ 元、$18$ 元（合起来正好是甲应付的一份）。请问乙、丙、丁在餐馆各付了多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每份饭钱）：三人替甲垫付之和即甲的一份 $5+12+18=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（各人实付）：乙 $35+5=\underline{\quad}$，丙 $35+12=\underline{\quad}$，丁 $35+18=\underline{\quad}$。
第三套
题目：五人 AA 制聚餐，总饭钱 $175$ 元。甲没带钱，由乙、丙、丁替甲垫付，分别垫了 $5$ 元、$12$ 元、$18$ 元（戊没有替垫）。请问在餐馆时乙、丙、丁、戊各付了多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求每份）：$5$ 人均摊，每份 $175\div5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（核对垫付）：乙、丙、丁替甲垫付共 $5+12+18=\underline{\quad}$，正好一份。
  3. 第 3 步（各人实付）：乙 $35+5=\underline{\quad}$，丙 $35+12=\underline{\quad}$，丁 $35+18=\underline{\quad}$，戊没替垫故付 $\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch17-tuozhan-02】$2008$ 年 $3$ 月 $1$ 日起，我国实行新的个人所得税税率标准，费用扣除标准调高为 $2000$ 元/月。表 $17-1$ 是工资、薪金所得项目税率表： | 级数 | 全月应纳税所得额 | 税率(%) | |---|---|---| | 1 | 不超过 $500$ 元 | $5$ | | 2 | 超过 $500$ 元至 $2000$ 元的部分 | $10$ | | 3 | 超过 $2000$ 元至 $5000$ 元的部分 | $15$ | | 4 | 超过 $5000$ 元至 $20000$ 元的部分 | $20$ | | 5 | 超过 $20000$ 元至 $40000$ 元的部分 | $25$ | | … | … | … | 表中“全月应纳税所得额”是指扣除 $2000$ 元后的余额，它与相应税率的乘积就是应交的税。按照这种税率实行缴税。（1）王先生某个月的工资、薪金收入为 $4480$ 元，该月份应缴交的税款是多少元？（2）张先生某月份缴纳了 $1165$ 元个人所得税，该月份张先生工资、薪金收入是多少元？
详细思路
是哪类问题：这是「阶梯计费（个税）+ 逆运算」题：应纳税所得额 = 收入 − $2000$，分档累进计税；逆向由税额定位档次再求收入。
关键切入点：各档满额累计税：档1满 $25$，累到档2满 $175$，档3满 $625$，档4满 $3625$。正向按段乘率求税；逆向先看税落在哪档，再列方程求应纳税所得额，加回 $2000$ 得收入。
方法概述：分档乘率求税；逆向定位档次求收入。
规范步骤：
  1. 王先生应纳：$4480-2000=2480$（扣除）
  2. 分段计税：$500\times5\%+1500\times10\%+480\times15\%=25+150+72=247$（累进）
  3. 张先生定档：$625<1165<3625$，落第 4 档（累计税定位）
  4. 逆推收入：$625+(x-5000)\times20\%=1165\Rightarrow x=7700$，收入 $9700$（列方程）
第一套
题目：沿用第 17-1 表税率（应纳税所得额=收入−2000，分档累进）。（1）王先生某月收入 $8000$ 元，应缴税多少？（2）李先生某月缴税 $1825$ 元，收入是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（王先生应纳）：$8000-2000=\underline{\quad}$ 元。
  2. 第 2 步（分段计税）：$25+150+450+(6000-5000)\times20\%$，其中末段 $(6000-5000)\times0.2=\underline{\quad}$，共 $625+200=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（李先生定档）：$1825$ 落在第 4 档，超过第 3 档满额 $625$ 的部分 $(1825-625)\div0.2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（逆推收入）：应纳 $5000+6000=\underline{\quad}$，收入 $11000+2000=\underline{\quad}$ 元。
第二套
题目：某公司按第 17-1 表代扣个税（应纳税所得额=薪水−2000）。（1）赵工程师某月薪水 $6000$ 元，应缴税多少？（2）钱经理某月被扣税 $2425$ 元，其薪水是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（赵工应纳）：$6000-2000=\underline{\quad}$ 元。
  2. 第 2 步（分段计税）：$25+150+(4000-2000)\times15\%$，其中 $(4000-2000)\times0.15=\underline{\quad}$，共 $175+300=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（钱经理定档）：$2425$ 落第 4 档，$(2425-625)\div0.2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（逆推薪水）：应纳 $5000+9000=\underline{\quad}$，薪水 $14000+2000=\underline{\quad}$ 元。
第三套
题目：沿用第 17-1 表税率。某人某月缴税 $4000$ 元，请问他的应纳税所得额是多少？收入是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（定档）：满第 4 档累计税 $625+3000=\underline{\quad}$，$4000>3625$，落第 5 档（税率 $25\%$）。
  2. 第 2 步（超额部分）：$(4000-3625)\div0.25=\underline{\quad}$（超过 $20000$ 的部分）。
  3. 第 3 步（求应纳与收入）：应纳 $20000+1500=\underline{\quad}$，收入 $21500+2000=\underline{\quad}$ 元。
第三套
题目：沿用第 17-1 表税率，但在扣除 $2000$ 之外，还可再扣除专项附加 $1000$ 元（即应纳税所得额=收入−2000−1000）。王先生某月收入 $10000$ 元，应缴税多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求应纳）：$10000-2000-1000=\underline{\quad}$ 元。
  2. 第 2 步（分段计税）：$625+(7000-5000)\times20\%$，其中 $(7000-5000)\times0.2=\underline{\quad}$，共 $625+400=\underline{\quad}$ 元。
11. 【原题 ch17-tuozhan-03】有大小一样、张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片，小高用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后又用白色纸片拼下去……这样重复拼。当小高用黑色纸片拼了 $5$ 次以后，黑、白纸片正好用完。请问：黑色纸片至少有多少张？
详细思路
是哪类问题：这是「镶边（逐圈边框计数）+ 最小值」题：白色长方形居中，黑、白纸片交替一圈圈镶边；每镶一圈增加的方块数 = 该圈边框上的方块数。黑白纸片张数相同且正好用完，等量关系定出初始矩形，再取使黑片最少的矩形。
关键切入点：记初始白色长方形为 $p\times q$（方块数）。镶第 $k$ 圈时外层比内层长宽各多 $2$，增加 $2\times长+2\times宽+4$ 块。黑镶 $5$ 次共 $5$ 圈黑框（第 $1,3,5,7,9$ 圈），白 $=$ 初始 $+$ 第 $2,4,6,8$ 圈。令黑片数 $=$ 白片数得 $(p-2)(q-2)=40$；黑片 $=10(p+q)+180$，$p+q$ 最小时（$p-2,q-2$ 取最接近的 $5,8$）黑片最少 $=350$。
方法概述：逐圈统计边框方块数，令黑白等量定初始矩形，取黑片最少的矩形。
规范步骤：
  1. 镶边规律：内层 $m\times n$ 镶一圈后为 $(m+2)\times(n+2)$，增加 $(m+2)(n+2)-mn=2m+2n+4$ 块（边框计数）
  2. 分清层色：初始白 $+$ 交替镶 $9$ 圈：黑在第 $1,3,5,7,9$ 圈（$5$ 圈），白 $=$ 初始 $+$ 第 $2,4,6,8$ 圈（黑镶 5 次）
  3. 设初始矩形列等量方程：设初始白 $p\times q$，黑片数 $=$ 白片数 $\Rightarrow(p-2)(q-2)=40$（黑白张数相同）
  4. 黑片数表达式：黑片 $=10(p+q)+180$，$p+q$ 越小黑片越少（求最小）
  5. 取最接近的因数：$40=5\times8$（两因数和最小），$p-2=5,\,q-2=8\Rightarrow p=7,q=10$：黑片 $=10\times(7+10)+180=350$（最小初始矩形）
  6. 逐圈核对（$p=7,q=10$）：黑 $5$ 圈 $=38+54+70+86+102=350$，白 $=70+46+62+78+94=350$，恰好相等且用完（验证）
  7. 写出答案：黑色纸片至少 $350$ 张
12. 【原题 ch17-tuozhan-04】有一辆杂技表演用的杂技自行车，前轮的半径是 $4\frac{1}{11}$ 分米，后轮的半径是 $3\frac{1}{9}$ 分米，那么当后轮转的圈数比前轮多 $10$ 圈的时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值 $3.14$）
详细思路
是哪类问题：这是「圆周长 + 行程」题：把半径化成假分数求前、后轮周长，用“路程 ÷ 周长 = 圈数”把圈数写成路程的函数，按“后轮比前轮多转 $10$ 圈”列方程解路程。
关键切入点：圆周率取 $3.14$。前轮半径 $4\frac1{11}=\frac{45}{11}$、后轮 $3\frac19=\frac{28}{9}$ 分米，周长 $=2\times3.14=\frac{157}{25}$ 倍半径；后轮较小转得快，圈数差 $\frac{L}{C_{后}}-\frac{L}{C_{前}}=10$。（题库标注 $113.04$ 米有误，独立复算为 $\approx81.58$ 米）
方法概述：路程 ÷ 周长 = 圈数，按圈数差列方程求路程。
规范步骤：
  1. 半径化假分数：前轮 $4\frac1{11}=\frac{45}{11}$，后轮 $3\frac19=\frac{28}{9}$（分米）（带分数化假分数）
  2. 前轮周长：$C_{前}=2\times3.14\times\frac{45}{11}=\frac{157}{25}\times\frac{45}{11}=\frac{1413}{55}$（分米）（圆周长）
  3. 后轮周长：$C_{后}=2\times3.14\times\frac{28}{9}=\frac{157}{25}\times\frac{28}{9}=\frac{4396}{225}$（分米）（圆周长）
  4. 列圈数差方程：$\frac{L}{C_{后}}-\frac{L}{C_{前}}=L\left(\frac{225}{4396}-\frac{55}{1413}\right)=10$（圈数差）
  5. 两分母同含因子 $157$，提取通分：$\frac{225}{4396}-\frac{55}{1413}=\frac1{157}\left(\frac{225}{28}-\frac{55}{9}\right)=\frac1{157}\times\frac{485}{252}=\frac{485}{39564}$（通分）
  6. 解出路程：$L=10\div\frac{485}{39564}=\frac{395640}{485}\approx815.75$（分米）（解方程）
  7. 化成米：$815.75\div10\approx81.58$（米）（单位换算）
13. 【原题 ch17-tuozhan-05】两个农妇带 $100$ 个鸡蛋到市场上去卖，第一个农妇带的鸡蛋比第二个农妇多，但两人所卖的总钱数相同。第一个农妇向第二个农妇说：“我要有你那么多鸡蛋，按我的价钱我就能赚得 $180$ 元。”第二个农妇回答说：“我要有你那么多鸡蛋，按我的价钱我只能卖到 $80$ 元。”请问：两个农妇各有多少个鸡蛋？
详细思路
是哪类问题：这是「比例 + 列方程」题：两人蛋数之和已知，两句“假设话”给出两个卖钱数，利用总钱相同推出蛋数之比。
关键切入点：设第一个农妇 $a$ 个、第二个 $b$ 个（$a+b=100$），单价 $p,q$，总钱相同 $ap=bq$。由两句话 $bp=180$、$aq=80$ 相除得 $\frac ba\cdot\frac pq=\frac94$，又 $\frac pq=\frac ba$，故 $\left(\frac ba\right)^2=\frac94$，$\frac ba=\frac32$，即第二个农妇蛋反而多。注意：这与题面“第一个农妇带的鸡蛋比第二个多”相反，是题面表述之误（见 errata）；数值 $40$、$60$ 正确。
方法概述：总钱相同 + 两句假设 ⇒ 蛋数比的平方；辨明题面多少关系写反后再分配总数。
规范步骤：
  1. 列关系：$bp=180,\ aq=80,\ ap=bq$（总钱相同）
  2. 求比：两式相除 $\frac{bp}{aq}=\frac{180}{80}=\frac94$，即 $\left(\frac ba\right)^2=\frac94\Rightarrow\frac ba=\frac32$（相除消元）
  3. 辨明题面矛盾：$\frac ba=\frac32>1$ 说明“第二个农妇蛋多、第一个少”，与题面“第一个比第二个多”相反——此系题面表述有误（errata），应以推导的数量关系为准（厘清矛盾）
  4. 分配：$a=100\div5\times2=40,\ b=100\div5\times3=60$（按比分配）
  5. 写出答案：第一个农妇 $40$ 个，第二个农妇 $60$ 个
第一套
题目：两个农妇共带 $200$ 个鸡蛋去卖，第一个比第二个少，但两人卖得的总钱相同。第一个说“我要有你那么多蛋，按我的价能卖 $250$ 元”；第二个说“我要有你那么多蛋，按我的价只能卖 $90$ 元”。两人各有多少个鸡蛋？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列比的平方）：由两句话与“总钱相同”得 $\left(\frac ba\right)^2=\frac{250}{90}=\frac{25}{9}$，故 $\frac ba=\frac53$。
  2. 第 2 步（求份数和）：$3+5=\underline{\quad}$ 份。
  3. 第 3 步（分配）：$a=200\div8\times3=\underline{\quad}$，$b=200\div8\times5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：两位果农共带 $150$ 筐苹果去市场，甲比乙少，但两人卖得总钱相同。甲说“我若有你那么多筐，按我的价能卖 $360$ 元”；乙说“我若有你那么多筐，按我的价只能卖 $160$ 元”。两人各有多少筐苹果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列比的平方）：$\left(\frac{乙}{甲}\right)^2=\frac{360}{160}=\frac94$，故 $\frac{乙}{甲}=\frac32$。
  2. 第 2 步（求份数和）：$2+3=\underline{\quad}$ 份。
  3. 第 3 步（分配）：甲 $=150\div5\times2=\underline{\quad}$，乙 $=150\div5\times3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：两人共带 $120$ 个鸡蛋，第一个比第二个少但总钱相同。第一个说“我要有你那么多蛋能卖 $200$ 元”，第二个说“我要有你那么多蛋只能卖 $72$ 元”。两人各有多少个蛋？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列比的平方）：$\left(\frac ba\right)^2=\frac{200}{72}=\frac{25}{9}$，$\frac ba=\frac53$。
  2. 第 2 步（求份数和）：$3+5=\underline{\quad}$ 份。
  3. 第 3 步（分配）：$a=120\div8\times3=\underline{\quad}$，$b=120\div8\times5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：两人共带 $100$ 个鸡蛋，第一个比第二个少但总钱相同。第一个说“我要有你那么多蛋能卖 $180$ 元”，第二个说“我要有你那么多蛋只能卖 $80$ 元”。求：两人各有多少个蛋？各自的单价是多少？各卖了多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求蛋数）：$\left(\frac ba\right)^2=\frac{180}{80}=\frac94$，$\frac ba=\frac32$，份数和 $2+3=\underline{\quad}$，$a=100\div5\times2=\underline{\quad}$，$b=60$。
  2. 第 2 步（求单价）：第一个单价 $p=180\div b=180\div60=\underline{\quad}$ 元，第二个单价 $q=80\div a=80\div40=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（求总收入并验证）：第一个卖 $40\times3=\underline{\quad}$ 元，第二个卖 $60\times2=\underline{\quad}$ 元，两者相等。
14. 【原题 ch17-tuozhan-06】张先生向商店订购了某件特定价格 $100$ 元的某种商品 $80$ 件，张先生对商店经理说：“如果你将每件商品的售价每降低 $1$ 元，我就多订购 $4$ 件。”经理算了一笔账，发现这样降价后，由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多 $52$ 元。那么按张先生的要求，商店最多可以获得多少元利润？
详细思路
是哪类问题：这是「利润问题 + 二次函数最值」题：降价 $x$ 元时数量 $80+4x$、单价 $100-x$，利润是关于 $x$ 的二次式，配方（顶点）求最大。
关键切入点：先用“降 $1$ 元恰多订 $4$ 件时利润多 $52$”定成本：$84(99-z)-80(100-z)=52\Rightarrow z=66$。再写利润 $P(x)=(80+4x)(34-x)$，顶点在 $x=7$，最大利润 $108\times27=2916$。
方法概述：由已知条件定成本，写利润二次式配方求顶点。
规范步骤：
  1. 定成本：$84(99-z)-80(100-z)=52\Rightarrow z=66$（增量列方程）
  2. 利润函数：$P(x)=(80+4x)(100-x-66)=(80+4x)(34-x)$（数量×单件利润）
  3. 顶点最大：$x=7$ 时 $P=(80+28)(34-7)=108\times27=2916$（配方求顶点）
15. 【原题 ch17-tuozhan-07】比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，每块黑色五边形的边都与白色六边形的边缝在一起，每块白色六边形有 $3$ 条边与黑色五边形的边缝在一起。已知一只足球上共有 $12$ 块黑色五边形皮子，那么这只足球皮子有多少块白色六边形皮子？
详细思路
是哪类问题：这是「计数对应」题：黑五边形的边全部与白六边形相缝，用“黑块边总数 = 白块参与缝合的边总数”建立等式求白块数。
关键切入点：黑五边形 $12$ 块、每块 $5$ 条边全与白缝，黑白相缝边共 $60$ 条；每白六边形恰有 $3$ 条边与黑缝，故白块 $=60\div3$。
方法概述：黑块总边数 = 白块缝合边数，两边相除。
规范步骤：
  1. 黑白相缝边数：$12\times5=60$（黑块边总数）
  2. 白块数：$60\div3=20$（除以每白块缝边数）
  3. 写出答案：$20$ 块
第一套
题目：一只大足球由黑色正五边形与白色正六边形缝成，每块黑五边形的 $5$ 条边都与白六边形缝合，每块白六边形有 $3$ 条边与黑五边形缝合。若共有 $24$ 块黑五边形，那么有多少块白六边形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（黑白相缝边数）：$24\times5=\underline{\quad}$ 条。
  2. 第 2 步（白块数）：每白块 $3$ 边与黑缝，白块 $=120\div3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一个大型皮球模型由黑色五边形与白色六边形拼成，每块黑五边形 $5$ 条边全与白六边形相接，每块白六边形有 $3$ 条边与黑五边形相接。已知黑五边形 $36$ 块，白六边形有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相接边数）：$36\times5=\underline{\quad}$ 条。
  2. 第 2 步（白块数）：$180\div3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个多面体模型由黑色三角形与白色六边形拼成，每块黑三角形的 $3$ 条边都与白六边形缝合，每块白六边形有 $2$ 条边与黑三角形缝合。若黑三角形有 $30$ 块，白六边形有多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（相缝边数）：$30\times3=\underline{\quad}$ 条。
  2. 第 2 步（白块数）：每白块 $2$ 边与黑缝，白块 $=90\div2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：经典足球由 $12$ 块黑色五边形与若干白色六边形缝成（每黑块 $5$ 边全与白缝，每白块 $3$ 边与黑缝）。求：白六边形有多少块？这只足球共有多少个面、多少条棱、多少个顶点？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（白块数）：$12\times5\div3=\underline{\quad}$ 块。
  2. 第 2 步（面数）：$12+20=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（棱数）：每面棱之和 $5\times12+6\times20=\underline{\quad}$，每条棱被两面共用，棱 $=180\div2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（顶点数）：由欧拉公式 顶点 $=$ 棱 $-$ 面 $+2=90-32+2=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch17-tuozhan-08】如图 $17-3$ 所示，相距 $15$ 厘米的两条平行线 $a$ 和 $b$ 之间，有直角三角形 $A$ 和长方形 $B$。直角三角形 $A$ 沿着直线 $a$ 以每秒 $1$ 厘米的速度向右运动，长方形 $B$ 沿着直线 $b$ 以每秒 $2$ 厘米的速度向左运动。请问：$A$ 与 $B$ 有重叠部分（指它们投影到上方的边上时的重叠部分）所持续多久？其重叠部分的面积保持不变的时间有多长？（图中 $A$ 的两直角边为 $20$ 和 $10$，$B$ 的长、宽为 $20$ 和 $10$）
详细思路
是哪类问题：这是「相对运动 + 动态几何面积」题：把两图形投影到上方直线上，用相对速度求接触到分离的时间；再分析三角形斜边段使重叠面积不变的时段。
关键切入点：相对速度 $1+2=3$ 厘米/秒。重叠总相对路程为两投影长之和 $20+10=30$，历时 $10$ 秒；斜边段正对时面积变化率为 $0$，该段相对路程 $10$，历时 $\frac{10}{3}$ 秒。
方法概述：相对速度求接触/分离时间，斜边段求面积不变时段。
规范步骤：
  1. 相对速度：$1+2=3$（厘米/秒）（相向叠加）
  2. 重叠持续：$(20+10)\div3=10$（秒）（投影长和÷相对速度）
  3. 面积不变时段：$10\div3=\frac{10}{3}$（秒）（斜边段÷相对速度）
17. 【原题 ch17-tuozhan-09】如图 $17-4$ 所示，$A$、$B$ 两点把一个周长为 $1$ 米的圆周等分成两部分。蓝精灵从 $B$ 点出发在这个圆周上沿着时针方向作跳跃运动，它每跳一步的步长是 $\frac{3}{8}$ 米，如果它跳到 $A$ 点，就会经过特别通道 $AB$ 滑向 $B$ 点，并从 $B$ 点继续起跳，当它经过一次特别通道后，圆的半径就扩大一倍。已知蓝精灵跳了 $1000$ 次，那么跳完后圆周长为多少？
详细思路
是哪类问题：这是「圆周跳跃 + 周期与余数 + 倍增」题：每步跳 $\frac38$ 米，落到 $A$ 点触发通道使周长翻倍，统计 $1000$ 步内翻倍次数。
关键切入点：每次都从 $B$ 起跳、步长恒为 $\frac38$ 米，要跳到 $A$（距 $B$ 为当时周长的一半）才触发通道翻倍。规律：在周长 $2^{k-1}$ 米时，第 $k$ 次翻倍需 $2^{k+1}$ 步（$4,8,16,\cdots$，每次翻一番）；完成 $K$ 次翻倍累计 $2^{K+2}-4$ 步。$K=7$ 时累计 $508\le1000$，再要第 $8$ 次需 $1020>1000$，故恰翻倍 $7$ 次。
方法概述：求每次翻倍的步数规律，累计求和，与 1000 比较定翻倍次数。
规范步骤：
  1. 首次落 A 的步数：周长 $1$ 米，$A$ 距 $B$ 半圈 $\frac12$ 米。落 $A$ 需累计跳距为 $\frac12$ 的奇数倍：$\frac38\times4=\frac32=\frac12\times3$，故第 $4$ 步首次落 $A$（第 $1$ 次翻倍）（解同余）
  2. 每次翻倍所需步数：周长翻倍后 $A$ 更远，第 $k$ 次翻倍需 $2^{k+1}$ 步：第 $1$ 次 $4$、第 $2$ 次 $4\times2=8$、第 $3$ 次 $8\times2=16$……每次翻一番（步长占比减半）
  3. 累计步数：完成 $K$ 次翻倍共 $4+8+16+\cdots+2^{K+1}=2^{K+2}-4$ 步；$K=7$ 时 $4+8+16+32+64+128+256=508$ 步（等比求和）
  4. 判定翻倍次数：$7$ 次累计 $508\le1000$；再要第 $8$ 次需 $508+512=1020>1000$，故 $1000$ 步内恰翻倍 $7$ 次（与 1000 比较）
  5. 最终周长：$2^7=128$（米）（倍增）
18. 【原题 ch17-tuozhan-10】汽车轮胎如果装在前轮可以行驶 $50000$ 千米，如果装在后轮可以行驶 $30000$ 千米。如果在合当的时候将前后轮的轮胎对换一下，那么一辆汽车的 $4$ 只轮胎最多可以行驶多少千米而不需要更换轮胎？如果在行驶过程中只允许前、后轮对调一次，那么应当在行驶多少千米的时候将前、后轮对调？
详细思路
是哪类问题：这是「工程问题（损耗）+ 均衡使用」题：把轮胎寿命看成总工作量，用前后轮每公里损耗之和求总里程。
关键切入点：$1$ 只轮胎寿命记为 $1$，前轮每公里损耗 $\frac1{50000}$、后轮 $\frac1{30000}$；$4$ 只胎（$2$ 前 $2$ 后）总寿命 $4$，令总里程 $S$ 使总损耗恰为 $4$。对调一次取全程中点。
方法概述：总寿命 = 每公里总损耗 × 总里程；对调取中点。
规范步骤：
  1. 列损耗方程：$S\times\left(\frac{2}{50000}+\frac{2}{30000}\right)=4$（总寿命守恒）
  2. 求总里程：$S=4\div\frac{8}{75000}=37500$（千米）（解方程）
  3. 对调点：$37500\div2=18750$（千米）（取中点）
第一套
题目：汽车轮胎装前轮可行 $60000$ 千米，装后轮可行 $40000$ 千米。恰当时对换前后轮，$4$ 只轮胎最多能行多少千米？若只允许对调一次，应在行驶多少千米时对调？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列损耗方程）：设每胎寿命 $1$，$4$ 胎总寿命 $4$。每公里 $2$ 前 $+2$ 后损耗 $\frac{2}{60000}+\frac{2}{40000}=\frac{2+3}{60000}=\frac{\underline{\quad}}{60000}=\frac1{12000}$。
  2. 第 2 步（求总里程）：$S=4\times12000=\underline{\quad}$ 千米。
  3. 第 3 步（对调点）：只对调一次取中点 $48000\div2=\underline{\quad}$ 千米。
第二套
题目：一辆货车的轮胎，装前轴可跑 $45000$ 千米，装后轴可跑 $30000$ 千米。适时对调前后轴轮胎，$4$ 只轮胎最多能跑多少千米？若只对调一次，应在多少千米时对调？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列损耗方程）：$4$ 胎总寿命 $4$，每公里损耗 $\frac{2}{45000}+\frac{2}{30000}=\frac{2\times(2+3)}{90000}=\frac{\underline{\quad}}{90000}=\frac1{9000}$。
  2. 第 2 步（求总里程）：$S=4\times9000=\underline{\quad}$ 千米。
  3. 第 3 步（对调点）：$36000\div2=\underline{\quad}$ 千米。
第三套
题目：一辆摩托车的轮胎装前轮可行 $40000$ 千米，装后轮可行 $24000$ 千米。适时对调前后轮，$2$ 只轮胎最多能行多少千米？若只对调一次，应在多少千米时对调？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列损耗方程）：$2$ 只胎总寿命 $2$，每公里 $1$ 前 $+1$ 后损耗 $\frac1{40000}+\frac1{24000}=\frac{3+5}{120000}=\frac{\underline{\quad}}{120000}=\frac1{15000}$。
  2. 第 2 步（求总里程）：$S=2\times15000=\underline{\quad}$ 千米。
  3. 第 3 步（对调点）：$30000\div2=\underline{\quad}$ 千米。
第三套
题目：汽车轮胎装前轮可行 $50000$ 千米，装后轮可行 $30000$ 千米。现在除了 $4$ 只上车的轮胎外，还多带 $1$ 只备胎，共 $5$ 只轮胎轮换使用。恰当对调时，这辆车最多能行多少千米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列损耗方程）：$5$ 只胎总寿命 $5$，每公里仍是 $2$ 前 $+2$ 后损耗 $\frac{2}{50000}+\frac{2}{30000}=\frac{3+5}{75000}=\frac{\underline{\quad}}{75000}$。
  2. 第 2 步（求总里程）：$S=5\div\frac{8}{75000}=5\times75000\div8=\underline{\quad}$ 千米。
19. 【原题 ch17-tuozhan-11】从甲地到乙地有两种方法：① 立即步行前往；② 等待公共汽车坐车前往。表 $17-2$ 中列出了从甲地到乙地所用的最短时间随两地之间距离的变化情况，已知步行速度、汽车速度以及等待公车的时间都是固定的。请问：当两地相距 $24$ 千米的时候，从甲地到达乙地的最短时间是多少分钟？ | 甲、乙距离 | 最短时间 | |---|---| | $3$ 千米 | $20$ 分钟 | | $6$ 千米 | $30$ 分钟 | | $9$ 千米 | $36$ 分钟 |
详细思路
是哪类问题：这是「行程 + 待定参数 + 分段最优」题：由表中三组距离-时间数据解出汽车速度、等车时间与步行速度，再对 $24$ 千米比较坐车与步行两种方式取最短。
关键切入点：坐车时间 $=t+\frac{d}{v_2}$，步行时间 $=\frac{d}{v_1}$，最短取较小。由 $6$ 千米 $30$ 分、$9$ 千米 $36$ 分定 $v_2$ 与 $t$；$3$ 千米最短 $20$ 分（比坐车 $24$ 分快）说明短途步行更优，从而定 $v_1$。（题库标注 $96$ 分钟有误，独立复算为 $66$ 分钟）
方法概述：三组数据定参数，目标距离比较两方式取最短。
规范步骤：
  1. 定汽车速度：每多 $3$ 千米坐车多 $6$ 分：$v_2=\frac{(9-6)\text{千米}}{(36-30)\text{分}}=0.5$ 千米/分 $=30$ 千米/时（增量求速）
  2. 定等车时间：坐 $6$ 千米行驶 $6\div30\times60=12$ 分，故 $t=30-12=18$（分）（回代）
  3. 校验 9 千米：$18+9\div30\times60=18+18=36$（分）✓（验证）
  4. 定步行速度：$3$ 千米若坐车需 $18+3\div30\times60=24$ 分，而最短为 $20$ 分，故 $20$ 分是步行：$v_1=3\div20\times60=9$ 千米/时（取更快者）
  5. 24 千米坐车：$18+24\div30\times60=18+48=66$（分）（坐车时间）
  6. 24 千米步行：$24\div9\times60=160$（分）（步行时间）
  7. 取最短：$\min(66,160)=66$（分）（分段最优）
20. 【原题 ch17-tuozhan-12】在 $A$、$B$ 之间有一段笔直的公路，在其两个三等分处各有一棵树。早上 $9:30$ 时有一辆汽车从 $A$ 出发，以固定的速度沿公路行驶，于当天早上 $10:00$ 到达 $B$。一辆摩托车在当天早上 $9:25$ 从 $B$ 出发，以变化的速度开往 $A$ 地。摩托车手记得他和汽车在某棵树处相遇，但记不清是哪棵树了，他只知道以摩托车的最快速度从 $B$ 到 $A$ 恰好要 $15$ 分钟。如果摩托车手能够根据上述信息推断出自己是在哪棵树处遇到汽车的，那么摩托车最晚什么时间之前到达 $A$ 地？
详细思路
是哪类问题：这是「行程 + 三等分点 + 逻辑推断」题：汽车匀速把 $30$ 分钟全程三等分定出两树到达时刻；摩托变速但全程最快 $15$ 分钟，据此比较“在哪棵树相遇”两情形的最早到 $A$ 时刻，看到达时间能否唯一区分。
关键切入点：汽车 $9{:}30\to10{:}00$ 走 $30$ 分，三等分每段 $10$ 分：$9{:}40$ 到第一棵树、$9{:}50$ 到第二棵树。摩托 $9{:}25$ 从 $B$ 出发，最快全程 $15$ 分 $\Rightarrow$ 每 $\frac13$ 路程最快 $5$ 分。情形一（第一棵树，剩 $\frac13$）最早 $9{:}45$ 到 $A$；情形二（第二棵树，剩 $\frac23$）最早 $10{:}00$ 到 $A$。仅当到 $A$ 早于 $10{:}00$ 才只可能是情形一、可唯一判定。
方法概述：等分段定相遇时刻，用最快速度限制比较两情形到 A 的最早时刻。
规范步骤：
  1. 每段时间：$30\div3=10$（分），汽车 $9{:}40$ 到第一棵树、$9{:}50$ 到第二棵树（三等分）
  2. 最快单段用时：最快全程 $15$ 分，$\frac13$ 路程最快 $15\div3=5$ 分，$\frac23$ 路程最快 $5\times2=10$ 分（限速换算）
  3. 情形一（第一棵树相遇）：$9{:}40$ 相遇，剩 $\frac13$ 到 $A$，最早 $9{:}40+5=9{:}45$ 到（可更慢，故 $\ge9{:}45$）（最早到A）
  4. 情形二（第二棵树相遇）：$9{:}50$ 相遇，剩 $\frac23$ 到 $A$，最早 $9{:}50+10=10{:}00$ 到（故 $\ge10{:}00$）（最早到A）
  5. 能否唯一判定：到 $A$ 早于 $10{:}00$ 时只可能是情形一 $\Rightarrow$ 可唯一判定；不早于 $10{:}00$ 则两情形皆可能 $\Rightarrow$ 无法判定（逻辑区分）
  6. 结论：故摩托须在 $10{:}00$ 之前到达 $A$ 地
21. 【原题 ch17-tuozhan-13】一条双向铁路上有 $11$ 个车站，相邻两站都相距 $7$ 千米。从早晨 $7$ 时开始，有 $18$ 列货车由第 $11$ 站顺次发出，每隔 $5$ 分钟发出一列，都驶向第 $1$ 站，速度都是每小时 $60$ 千米。早晨 $8$ 时，由第 $1$ 站发出一列客车，向第 $11$ 站驶去，时速是 $100$ 千米。在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站。问：在哪两个相邻站之间，客车能与 $3$ 列货车先后相遇？
详细思路
是哪类问题：这是「多车发车 + 相遇 + 位置-时间分析」题：以距第 $1$ 站的里程为坐标，算出 $8{:}00$ 客车出发时每列货车的位置，用相向合速度求各列与客车的相遇里程，数出落在第 $5$、$6$ 站之间的列数。
关键切入点：全线 $10$ 段共 $70$ 千米，第 $k$ 站在 $7(k-1)$ 千米。货车 $1$ 千米/分、客车 $\frac53$ 千米/分，合速度 $\frac83$。$8{:}00$ 时第 $i$ 列货车（$7{:}00$ 起每 $5$ 分一列）已行 $60-5(i-1)$ 分，位于 $10+5(i-1)$ 千米处；相遇里程 $=\frac53\times\frac{10+5(i-1)}{8/3}=\frac58\big(10+5(i-1)\big)=\frac{25(i+1)}8$。落在 $(28,35)$ 的是 $i=8,9,10$，恰 $3$ 列。
方法概述：写各列货车 8:00 的位置，用合速度求相遇里程，数落在目标区段的列数。
规范步骤：
  1. 线路与站点里程：$(11-1)\times7=70$ 千米；第 $5$ 站 $4\times7=28$、第 $6$ 站 $5\times7=35$（千米）（分段）
  2. 速度换算：货车 $60\div60=1$、客车 $100\div60=\frac53$（千米/分），相向合速度 $1+\frac53=\frac83$（单位换算）
  3. 8:00 时第 $i$ 列货车位置：$7{:}00$ 起每 $5$ 分一列，第 $i$ 列已行 $60-5(i-1)$ 分，距第 $1$ 站 $70-\big(60-5(i-1)\big)=10+5(i-1)$（千米）（位置分析）
  4. 相遇里程公式：客货相向，相遇里程 $=$ 客车所行 $=\frac53\times\dfrac{10+5(i-1)}{8/3}=\frac58\big(10+5(i-1)\big)=\frac{25(i+1)}8$（相遇点）
  5. 求落在第 5、6 站之间的 $i$：$28<\frac{25(i+1)}8<35\Rightarrow8.96<i+1<11.2\Rightarrow i=8,9,10$（解不等式）
  6. 逐列核对：$i=8\to28.125$，$i=9\to31.25$，$i=10\to34.375$（均在 $28\sim35$）；$i=7\to25$、$i=11\to37.5$（区段外），恰 $3$ 列（验证）
  7. 写出答案：在第 $5$、$6$ 两站之间，客车先后与第 $8$、$9$、$10$ 列共 $3$ 列货车相遇
22. 【原题 ch17-tuozhan-14】如图 $17-5$ 所示，在一个大圆周上均匀分布着 $200$ 个小球，沿顺时针方向依次编号为 $1,2,3,\cdots,200$。每个小球均以各自编号的速度沿顺时针方向绕圆周运动（单位是米/秒），当在某一个时刻有若干小球相遇在一起时，这些小球就会合并成一个小球，且原来这些小球速度的平均值继续沿顺时针方向运动。经过充分长的时间之后，圆周上最终剩下几个小球在运动？速度等于多少？
详细思路
是哪类问题：这是「圆周追及合并 + 平均速度」题：合并保持“速度总和（按所代表原始球数加权）”不变，最终归并为一个球，速度为初始平均。
关键切入点：$200$ 个球速度各不相同，追上即合并、取平均继续，速度和守恒；经过充分长时间全部并成 $1$ 个，速度 $=\frac{1+2+\cdots+200}{200}=100.5$。
方法概述：速度和守恒 ⇒ 最终 1 球，速度取初始平均。
规范步骤：
  1. 守恒分析：合并取平均，速度和守恒，最终并成 $1$ 个（碰撞合并）
  2. 求平均：$\frac{(1+200)\times200\div2}{200}=100.5$（等差求和÷个数）
  3. 写出答案：$1$ 个，$100.5$ 米/秒
第一套
题目：圆周上均匀分布 $300$ 个小球，顺时针编号 $1\sim300$，每球以等于自身编号的速度（米/秒）顺时针运动。相遇即合并，合并后以原各球速度的平均值继续运动。充分长时间后，圆周上剩几个小球？速度是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（守恒分析）：合并取平均、速度和守恒，最终并成 $1$ 个球。
  2. 第 2 步（求平均速度）：$\frac{1+2+\cdots+300}{300}=\frac{(1+300)\times300\div2}{300}=\underline{\quad}$ 米/秒。
第二套
题目：环形跑道上有 $500$ 个机器人均匀排列，顺次编号 $1\sim500$，各以自身编号的速度（米/秒）同向奔跑。相撞即合体，合体后以原各机器人速度的平均值继续跑。足够久之后，跑道上还剩几个机器人？速度多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（守恒分析）：合体取平均、速度和守恒，最终并成 $1$ 个。
  2. 第 2 步（求平均速度）：$\frac{1+2+\cdots+500}{500}=\frac{(1+500)\times500\div2}{500}=\underline{\quad}$ 米/秒。
第三套
题目：圆周上均匀分布 $200$ 个小球，编号 $1\sim200$，第 $k$ 号球速度为 $2k$ 米/秒，顺时针运动。相遇合并取平均。最终剩几个球？速度多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（守恒分析）：最终并成 $1$ 个，速度为初始平均。
  2. 第 2 步（求平均速度）：$\frac{2+4+\cdots+400}{200}=\frac{2\times(1+200)\times200\div2}{200}=\underline{\quad}$ 米/秒。
第三套
题目：圆周上均匀分布 $100$ 个小球，编号 $1\sim100$，第 $k$ 号球速度为 $k^2$ 米/秒，顺时针运动。相遇合并取平均。最终剩几个球？速度是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（守恒分析）：最终并成 $1$ 个，速度为初始平均。
  2. 第 2 步（平方和）：$1^2+2^2+\cdots+100^2=\frac{100\times101\times201}{6}=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求平均）：$338350\div100=\underline{\quad}$ 米/秒。
23. 【原题 ch17-xingqu-01】一个骗子到商店买了 $5$ 元的东西，他付给店员 $50$ 元，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己有零钱，于是给店员 $5$ 元的零钱，并且要回了开始给出的 $50$ 元。请问：这个骗子一共骗了多少钱？
详细思路
是哪类问题：这是「生活情境盈亏分析」题：把每一次钱、货的进出逐笔记清，用“商店收到的总额 − 商店付出的总额”算净损失。
关键切入点：关键是别被“换零钱要回大钞”绕晕：只需统计商店端的现金与货物进出。商店收到的是骗子付的大钞和后来的零钱；付出的是找零、商品、以及退回的大钞。净损失恰等于大钞面额减商品价。
方法概述：用“商店净损失 = 收到总额 − 付出总额”一笔笔清账。
规范步骤：
  1. 商店收到：大钞 $50$ + 零钱 $5$：$50+5=55$（收到总额）
  2. 商店付出：商品 $5$ + 找零 $45$ + 退回大钞 $50$：$5+45+50=100$（即 $2\times50$）（付出总额）
  3. 净损失 = 付出 − 收到：$100-55=45$（盈亏计算）
  4. 写出答案：$45$ 元
第一套
题目：一个骗子到商店买了 $8$ 元的东西，付给店员 $100$ 元，店员找钱给他；随后他说有零钱，给店员 $8$ 元零钱并要回了那 $100$ 元。这个骗子一共骗了多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（记清收到的钱）：商店收到骗子付的 $100$ 元和后来的零钱 $8$ 元，共收到 $100+8=\underline{\quad}$ 元。
  2. 第 2 步（记清付出的东西）：商店找零 $100-8=\underline{\quad}$ 元，再加商品 $8$ 元、退回的大钞 $100$ 元，共付出 $8+92+100=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（净损失 = 付出 − 收到）：$200-108=\underline{\quad}$ 元，即骗子骗到的钱。
第二套
题目：顾客在钟表店买了一块 $30$ 元的表带，付给店员 $200$ 元；店员找零后，顾客又拿出 $30$ 元零钱，要回了先前的 $200$ 元。这位顾客一共骗了钟表店多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（记清收到的钱）：店家收到 $200$ 元和零钱 $30$ 元，共 $200+30=\underline{\quad}$ 元。
  2. 第 2 步（记清付出的东西）：找零 $200-30=\underline{\quad}$，加表带 $30$、退回大钞 $200$，共付出 $30+170+200=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（净损失）：$400-230=\underline{\quad}$ 元。
第三套
题目：某骗子用同样的找零手法（买一件商品、用零钱换回大钞）一共骗了商店 $90$ 元，已知商品价值 $10$ 元。请问他当初付出的大钞是多少元？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（用净损失公式）：净损失 = 大钞面额 − 商品价，故 大钞面额 = 骗到的钱 + 商品价 = $90+10=\underline{\quad}$ 元。
  2. 第 2 步（验证）：收到 $100+10=\underline{\quad}$，付出 $10+90+100=\underline{\quad}$，净损失 $200-110=\underline{\quad}$ 元，与题意相符。
第三套
题目：某骗子先在 A 店用 $100$ 元大钞买 $8$ 元的东西行骗，又在 B 店用 $200$ 元大钞买 $30$ 元的东西行骗（手法相同）。两次一共骗了多少钱？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次净损失）：$100-8=\underline{\quad}$ 元。
  2. 第 2 步（第二次净损失）：$200-30=\underline{\quad}$ 元。
  3. 第 3 步（两次求和）：$92+170=\underline{\quad}$ 元。
24. 【原题 ch17-xingqu-02】某国家的社会风气不太好，有一家商店的物品被偷窃了 $\frac{1}{4}$，又被员工偷回家了 $\frac{1}{5}$，剩下的物品全部被卖出，但卖出时这家商店仍然还赚到 $10\%$。请问这家商店的物品是以进货价的几倍卖出的？
详细思路
是哪类问题：这是「分数应用题 + 利润率」题：以进货价总额为单位 $1$，先求剩余存货比例，再由总利润率列方程求售价倍数。
关键切入点：被偷 $\frac14$、被员工偷 $\frac15$，剩下 $1-\frac14-\frac15=\frac{11}{20}$。这些剩货按进货价的 $x$ 倍卖出后总收入恰为进货价的 $1+10\%$ 倍，列方程即可解 $x$。
方法概述：剩货比例 $\times$ 售价倍数 $=1+$ 利润率。
规范步骤：
  1. 求剩余比例：$1-\frac14-\frac15=\frac{11}{20}$（分数连减）
  2. 列方程：$\frac{11}{20}x=1+10\%=1.1$（利润率）
  3. 解方程：$x=1.1\div\frac{11}{20}=2$（求倍数）
  4. 写出答案：进货价的 $2$ 倍
第一套
题目：一家商店的物品被偷窃了 $\frac38$，又被员工偷回家了 $\frac14$，剩下的全部卖出，卖出时仍赚到 $50\%$。这家商店是以进货价的几倍卖出的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求剩余比例）：通分为 $8$ 份，剩下 $\frac{8-3-2}{8}=\frac{\underline{\quad}}{8}$。
  2. 第 2 步（列方程解倍数）：$\frac38 x=1+50\%=1.5$，$x=1.5\div\frac38=1.5\times\frac83=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某仓库的货物在搬运中损耗了 $\frac14$，又被雨水浸坏 $\frac{3}{10}$，剩下的全部售出，售出时仍比进价多收 $35\%$。这批货是以进价的几倍售出的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求剩余比例）：通分为 $20$ 份，剩下 $\frac{20-5-6}{20}=\frac{\underline{\quad}}{20}$。
  2. 第 2 步（列方程解倍数）：$\frac{9}{20}x=1.35$，$x=1.35\div\frac{9}{20}=1.35\times\frac{20}{9}=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一批货被偷了 $\frac14$，又被员工偷走一部分，剩下的以进价的 $3$ 倍卖出，总共比进价多赚 $35\%$。请问员工偷走了全部的几分之几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求剩余比例）：剩下比例 $=\frac{1+35\%}{3}=\frac{1.35}{3}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（逆推员工偷的）：员工偷 $=1-\frac14-0.45=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一批货先被偷 $\frac14$，接着又被偷走了「剩下部分」的 $\frac15$，最后全部卖出，仍赚到 $20\%$。这批货是以进价的几倍卖出的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一次损耗）：被偷 $\frac14$ 后剩 $1-\frac14=\frac34$。
  2. 第 2 步（注意基准变化）：第二次偷的是「剩下的」$\frac15$，基准是 $\frac34$ 而非总量，偷了 $\frac34\times\frac15=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求剩余）：此时剩 $\frac34-0.15=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（列方程解倍数）：$0.6x=1+20\%=1.2$，$x=1.2\div0.6=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch17-xingqu-03】如图 $17-1$，用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色的，其他地方铺白色的。如果整幅图铺地面共用了 $81$ 块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形方阵 + 对角线计数」题：奇数边长时两条对角线交于中央同一块，黑砖数为 $2n-1$。
关键切入点：由黑砖 $2n-1=81$ 反解边长 $n$，再用总砖数 $n^2$ 减黑砖数得白砖数。
方法概述：$2n-1=$ 黑砖数 $\Rightarrow n$，白砖 $=n^2-$ 黑砖。
规范步骤：
  1. 由黑砖数求边长：$2n-1=81\Rightarrow n=\frac{81+1}{2}=41$（对角线计数）
  2. 总砖数：$41\times41=1681$（方阵总数）
  3. 白砖数：$1681-81=1600$（总数减黑砖）
  4. 写出答案：$1600$ 块
第一套
题目：用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色、其余铺白色。若共用了 $121$ 块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由黑砖求边长）：奇数边时两对角线黑砖为 $2n-1$，由 $2n-1=121$ 得 $n=\frac{121+1}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（总砖数）：$61\times61=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（白砖数）：$3721-121=\underline{\quad}$。
第二套
题目：广场用正方形地砖铺成一个大正方形，两条对角线用红砖、其余用灰砖。已知红砖共 $169$ 块，灰砖用了多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（由红砖求边长）：$2n-1=169$，$n=\frac{169+1}{2}=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（总砖数）：$85\times85=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（灰砖数）：$7225-169=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个正方形地面每边铺 $51$ 块瓷砖，两条对角线铺黑砖、其余铺白砖。黑砖、白砖各用多少块？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（黑砖数）：奇数边时两对角线黑砖 $2\times51-1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（总砖数）：$51\times51=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（白砖数）：$2601-101=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个正方形地面每边铺 $100$ 块瓷砖（偶数），两条对角线铺黑砖、其余铺白砖。白砖用了多少块？（提示：边数为偶数时两条对角线没有公共格）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（奇偶判断黑砖数）：边长为偶数时两对角线不共用中心格，黑砖 $2\times100=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（总砖数）：$100\times100=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（白砖数）：$10000-200=\underline{\quad}$。
26. 【原题 ch17-xingqu-04】在水平地面上行驶的拖拉机的速度是每秒 $5$ 米，已知拖拉机前轮的周长是 $0.8$ 米，后轮的周长是 $1.25$ 米。当某一时刻两轮上与地面的接触点为 $A$ 和 $B$，那么经过多少秒后，$A$ 和 $B$ 再次同时与地面接触？（圆周率取近似值 $3$）
详细思路
是哪类问题：这是「周期问题 + 最小公倍数」题：两轮各自的接触点每转一圈着地一次，再次同时着地时走过的路程是两周长的最小公倍数。
关键切入点：题面把 $0.8$、$1.25$ 称作“周长”，但若直接取作周长则路程为最小公倍数 $20$ 米、时间 $20\div5=4$ 秒，与标准答案 $12$ 秒不符；标准答案是把 $0.8$、$1.25$ 当作车轮**直径**、$\pi$ 取 $3$ 求得真正周长 $2.4$、$3.75$ 米（题面“周长”实为直径，见 errata）。
方法概述：先厘清题面矛盾（$0.8/1.25$ 实为直径），求真正周长，再取路程为两周长的最小公倍数，时间 = 路程 ÷ 速度。
规范步骤：
  1. 厘清题面矛盾：若把 $0.8,1.25$ 直接当周长，路程 $=0.8\times25=1.25\times16=20$ 米，时间 $20\div5=4$ 秒，与标准答案 $12$ 秒不符；故此处 $0.8,1.25$ 应为车轮**直径**（题面误写作“周长”），$\pi$ 取 $3$（厘清矛盾）
  2. 求真正周长：周长 $=\pi\times$ 直径：前轮 $0.8\times3=2.4$，后轮 $1.25\times3=3.75$（米）（圆周长）
  3. 最小公倍数路程：周长比 $2.4:3.75=16:25$，路程取最小公倍数：前转 $25$ 圈 $2.4\times25=60$，后转 $16$ 圈 $3.75\times16=60$（最小公倍数）
  4. 时间：$60\div5=12$（秒）（路程÷速度）
  5. 写出答案：$12$ 秒后
第一套
题目：一辆车前轮周长 $8$ 分米、后轮周长 $10$ 分米，速度为每秒 $5$ 分米。某时刻两轮各有一点与地面接触，经过多少秒后这两点再次同时与地面接触？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化圈数比）：周长比 $8:10=4:5$，圈数比为 $5:4$，再次同时着地的路程是两周长的最小公倍数。
  2. 第 2 步（求路程）：前轮转 $5$ 圈，路程 $8\times5=\underline{\quad}$ 分米（也 $=10\times4$）。
  3. 第 3 步（求时间）：$40\div5=\underline{\quad}$ 秒。
第二套
题目：一辆玩具小车前轮周长 $12$ 厘米、后轮周长 $15$ 厘米，行驶速度每秒 $6$ 厘米。此刻两轮各有一记号点着地，多少秒后两记号点再次同时着地？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（化圈数比）：$12:15=4:5$，圈数比 $5:4$，路程取最小公倍数。
  2. 第 2 步（求路程）：$12\times5=\underline{\quad}$ 厘米。
  3. 第 3 步（求时间）：$60\div6=\underline{\quad}$ 秒。
第三套
题目：一辆车前轮半径 $1.5$ 分米、后轮半径 $2.5$ 分米，速度每秒 $5$ 分米（圆周率取 $3$）。两轮各一点着地后，多少秒再次同时着地？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求周长）：周长 $=2\times3\times r$。前轮 $2\times3\times1.5=\underline{\quad}$，后轮 $2\times3\times2.5=\underline{\quad}$（分米）。
  2. 第 2 步（求路程）：$9,15$ 的最小公倍数 $9\times5=\underline{\quad}$ 分米。
  3. 第 3 步（求时间）：$45\div5=\underline{\quad}$ 秒。
第三套
题目：一辆车前轮半径 $2$ 分米、后轮半径 $3$ 分米，速度每秒 $6$ 分米（圆周率取 $3$）。两轮各一点着地后再次同时着地时，经过了多少秒？此间前轮比后轮多转了几圈？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求周长）：前轮 $2\times3\times2=\underline{\quad}$，后轮 $2\times3\times3=\underline{\quad}$（分米）。
  2. 第 2 步（求路程）：$12,18$ 的最小公倍数 $12\times3=\underline{\quad}$ 分米。
  3. 第 3 步（求时间）：$36\div6=\underline{\quad}$ 秒。
  4. 第 4 步（求圈数差）：前轮转 $36\div12=\underline{\quad}$ 圈、后轮转 $36\div18=\underline{\quad}$ 圈，前轮比后轮多转 $3-2=\underline{\quad}$ 圈。
27. 【原题 ch17-xingqu-05】一个容器装了 $\frac{3}{4}$ 的水，现有大、中、小三种小球。第一次把 $1$ 个中球沉入水中；第二次将中球取出，再把 $3$ 个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把 $1$ 个大球沉入水中。最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的 $\frac{2}{9}$。已知每次从容器中溢出的水量情况是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半。求大、中、小三球的体积比。
详细思路
是哪类问题：这是「排水溢出 + 体积比」题：把容积记为 $1$，逐次追踪水位——每次沉球溢出量 = 球体积 − 沉球前空余，取出球后水位降为 $1-$ 球体积；由此严格反推三球体积。
关键切入点：关键是逐次守恒而非用“初始空余 + 总溢出”凑：大球 = 容积 − 末水位；水位变化 $\frac34\to\frac23\to\frac13\to\frac16$（末水位 $\frac16$ 恰为最开始 $\frac34$ 的 $\frac29$）。再由三次溢出比 $1:4:2$ 定各次溢出，逐次反推中球、小球，最后化比。
方法概述：逐次追踪水位与溢出量，严格反推各球体积再化比。
规范步骤：
  1. 末态定大球：末水位 $=\frac34\times\frac29=\frac16$；大球 $=$ 容积 $-$ 末水位 $=1-\frac16=\frac56$（末水位反推）
  2. 三次总溢出：$\frac34-\frac16=\frac{7}{12}$（初水−末水）
  3. 各次溢出：由“一次是三次的一半、三次是二次的一半”得溢出比 $1:4:2$，共 $7$ 份 $=\frac7{12}$，每份 $\frac1{12}$，故 $O_1=\frac1{12},O_2=\frac13,O_3=\frac16$（按比分配）
  4. 中球体积：沉中球前空余 $1-\frac34=\frac14$，中球 $=\frac14+O_1=\frac14+\frac1{12}=\frac13$（空余+本次溢出）
  5. 小球体积：取出中球后水 $=1-\frac13=\frac23$，沉小球前空余 $\frac13$，$3$ 小球 $=\frac13+O_2=\frac13+\frac13=\frac23$，单个小球 $=\frac23\div3=\frac29$（空余+溢出再均分）
  6. 验证大球：取出小球后水 $=1-\frac23=\frac13$，沉大球前空余 $\frac23$，大球 $=\frac23+O_3=\frac23+\frac16=\frac56$，与第 1 步一致（自洽验证）
  7. 化简体积比：$\frac56:\frac13:\frac29=15:6:4$（同乘 $18$）（同乘 18）
28. 【原题 ch17-xingqu-06】星期天早晨，墨莫发现闹钟因电池能量耗尽停了。他换上新电池，估计了一下时间，把闹钟的时间调到 $8:00$。然后墨莫离家前往天文馆，他到达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时间是 $9:15$。一个半小时后，墨莫从天文馆出发以同样的速度回家，到家时看到闹钟显示的时间是 $11:20$。这时墨莫应该把闹钟调到几点几分时间才是准确的呢？
详细思路
是哪类问题：这是「时钟校准 + 时间推算」题：闹钟停后被随手调到某时刻，之后走时准确，只是相对真实时间有个固定偏差。
关键切入点：先由闹钟总走时减去在天文馆停留时间，得来回路上时间，除 2 得单程；再用标准钟读数与闹钟到馆读数比出偏差，最后给回家时的闹钟读数加上偏差即得真实时间。
方法概述：单程 =（闹钟总走时 − 停留）÷2；真实 = 闹钟读数 + 偏差。
规范步骤：
  1. 闹钟总走时：$11{:}20-8{:}00=200$（分）（读数相减）
  2. 单程：$(200-90)\div2=55$（分）（扣停留再对半）
  3. 偏差：到馆闹钟 $8{:}55$，标准 $9{:}15$，慢 $20$ 分（两钟对比）
  4. 真实时间：$11{:}20+20\text{分}=11{:}40$（读数加偏差）
第一套
题目：闹钟停了，换电池后被随手调到 $8:00$。主人出门去图书馆，到馆时馆里标准钟是 $9:30$；停留 $1$ 小时后按原速回家，到家时闹钟显示 $11:30$。应把闹钟调到几点几分才准确？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（闹钟总走时）：$(11\times60+30)-(8\times60)=\underline{\quad}$ 分钟。
  2. 第 2 步（求单程）：来回 $210-60=\underline{\quad}$，单程 $150\div2=\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步（求偏差）：到馆闹钟 $8:00$ 过 $75$ 分为 $9:15$，标准 $9:30$，慢 $(9\times60+30)-(9\times60+15)=\underline{\quad}$ 分钟。
  4. 第 4 步（求真实时间）：$(11\times60+30)+15=\underline{\quad}$ 分钟，即 $11:45$。
第二套
题目：小丽的手表停后被调到 $9:00$，她去博物馆，到馆时馆内标准钟是 $10:50$；参观 $1$ 小时 $30$ 分后按原速回家，到家时手表显示 $13:00$。应把手表调到几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（手表总走时）：$(13\times60)-(9\times60)=\underline{\quad}$ 分钟。
  2. 第 2 步（求单程）：来回 $240-90=\underline{\quad}$，单程 $150\div2=\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步（求偏差）：到馆手表 $9:00$ 过 $75$ 分为 $10:15$，标准 $10:50$，慢 $(10\times60+50)-(10\times60+15)=\underline{\quad}$ 分钟。
  4. 第 4 步（求真实时间）：$(13\times60)+35=\underline{\quad}$ 分钟，即 $13:35$。
第三套
题目：闹钟停后被随手调到 $8:00$。主人出门到天文馆，到馆时标准钟是 $9:00$；停留 $1$ 小时后按原速回家，到家时闹钟显示 $11:20$。这次闹钟比标准偏快，应把闹钟调到几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（闹钟总走时）：$(11\times60+20)-(8\times60)=\underline{\quad}$ 分钟。
  2. 第 2 步（求单程）：来回 $200-60=\underline{\quad}$，单程 $140\div2=\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步（求偏差）：到馆闹钟 $8:00$ 过 $70$ 分为 $9:10$，标准 $9:00$，闹钟快 $(9\times60+10)-(9\times60)=\underline{\quad}$ 分钟。
  4. 第 4 步（求真实时间）：偏快要减去，$(11\times60+20)-10=\underline{\quad}$ 分钟，即 $11:10$。
第三套
题目：闹钟停后被随手调到 $8:00$。主人出门到天文馆，到馆时标准钟是 $9:05$；停留 $1$ 小时 $40$ 分后按原速回家，到家时闹钟显示 $12:10$。问：到家时准确时间是几点几分？当初把闹钟调到 $8:00$ 的那一刻，真实时间又是几点几分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（闹钟总走时）：$(12\times60+10)-(8\times60)=\underline{\quad}$ 分钟。
  2. 第 2 步（求单程）：来回 $250-100=\underline{\quad}$，单程 $150\div2=\underline{\quad}$ 分钟。
  3. 第 3 步（求偏差）：到馆闹钟 $8:00$ 过 $75$ 分为 $9:15$，标准 $9:05$，闹钟快 $(9\times60+15)-(9\times60+5)=\underline{\quad}$ 分钟。
  4. 第 4 步（到家真实时间）：偏快要减，$(12\times60+10)-10=\underline{\quad}$ 分钟，即 $12:00$。
  5. 第 5 步（逆推设定时刻）：设定闹钟为 $8:00$ 那一刻真实时间 $=(8\times60)-10=\underline{\quad}$ 分钟，即 $7:50$。
29. 【原题 ch17-xingqu-07】某种商品由于实行进口限制，在买卖时会征收高达 $40\%$ 的税。比如甲以 $100$ 元的价格卖出该商品，在收到买方 $100$ 元货款后，需要付给国家 $40$ 元的税；乙以 $100$ 元的价格买入该商品，在付给卖方 $100$ 元货款后，还需要再付给国家 $40$ 元的税。现在甲以 $45$ 万元的总价买入一批废铜，然后再转手卖给乙。在整个买卖交易过程中，甲还自己出钱支付了 $30000$ 元的运费（该费用不征税）。为了让这笔买卖不亏本，甲至少应以多少万元的价格卖给乙？如果以此价格成交，那么从头到尾国家从甲、乙身上收取了多少万元的税？
详细思路
是哪类问题：这是「百分数税率 + 交易成本」题：按“卖价 = 全部成本（含买入税、运费、卖出税、本钱）”列方程求最低卖价。
关键切入点：运费 $30000$ 元 $=3$ 万元。设卖价 $a$ 万元，甲的总支出含 买废铜税 $45\times40\%$、运费 $3$、卖出税 $a\times40\%$、本钱 $45$；不亏本即 $a$ 等于总支出。
方法概述：卖价 = 全部含税成本；国家税 = 各次成交税之和。
规范步骤：
  1. 列不亏本方程：$a=45\times40\%+3+a\times40\%+45$（成本等式）
  2. 解方程：$0.6a=18+3+45=66\Rightarrow a=110$（移项求解）
  3. 国家总税：$45\times40\%+110\times40\%\times2=18+88=106$（各次税相加）
  4. 写出答案：至少 $110$ 万元；共收税 $106$ 万元
第一套
题目：某商品买卖征收 $40\%$ 的税（卖方收款后按售价交税，买方付款后另按买价交税）。甲以 $60$ 万元买入一批废铜转卖给乙，交易中甲自付运费 $6$ 万元（不征税）。为不亏本，甲至少应以多少万元卖给乙？此时国家共收多少万元税？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列不亏本方程）：设卖价 $a$ 万元。买入税 $60\times40\%=\underline{\quad}$ 万，加运费 $6$、卖出税 $a\times40\%$、本钱 $60$，得 $a=24+6+a\times0.4+60$。
  2. 第 2 步（移项）：$a-0.4a=24+6+60=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求卖价）：$0.6a=90$，$a=90\div0.6=\underline{\quad}$ 万元。
  4. 第 4 步（国家收税）：$60\times40\%+150\times40\%\times2=\underline{\quad}$ 万元。
第二套
题目：某进口原料买卖征税 $40\%$（卖方、买方各按成交价另交税）。经销商以 $90$ 万元进货一批原料转卖，途中自付不征税的仓储费 $6$ 万元。要不亏本，他至少应以多少万元卖出？国家共收多少万元税？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列不亏本方程）：设卖价 $a$。进货税 $90\times40\%=\underline{\quad}$ 万，加仓储费 $6$、卖出税 $a\times0.4$、本钱 $90$。
  2. 第 2 步（移项）：$a-0.4a=36+6+90=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求卖价）：$0.6a=132$，$a=132\div0.6=\underline{\quad}$ 万元。
  4. 第 4 步（国家收税）：$90\times40\%+220\times0.4\times2=\underline{\quad}$ 万元。
第三套
题目：某商品买卖征税 $20\%$（买卖双方各按成交价另交税）。甲以 $60$ 万元买入转卖，自付不征税运费 $8$ 万元。为不亏本，甲至少应以多少万元卖出？国家共收多少万元税？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列不亏本方程）：设卖价 $a$。买入税 $60\times20\%=\underline{\quad}$ 万，加运费 $8$、卖出税 $a\times0.2$、本钱 $60$。
  2. 第 2 步（移项）：$a-0.2a=12+8+60=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求卖价）：$0.8a=80$，$a=80\div0.8=\underline{\quad}$ 万元。
  4. 第 4 步（国家收税）：$60\times20\%+100\times0.2\times2=\underline{\quad}$ 万元。
第三套
题目：某商品买卖征税 $40\%$（双方各按成交价另交税）。甲以 $45$ 万元买入转卖，自付不征税运费 $3$ 万元。这次甲不满足于不亏本，要求净赚 $6$ 万元。甲至少应以多少万元卖出？国家共收多少万元税？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（列含利润方程）：设卖价 $a$。卖价=买入税 $18$+运费 $3$+卖出税 $a\times0.4$+本钱 $45$+利润 $6$。
  2. 第 2 步（移项）：$a-0.4a=18+3+45+6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求卖价）：$0.6a=72$，$a=72\div0.6=\underline{\quad}$ 万元。
  4. 第 4 步（国家收税）：$18+120\times0.4\times2=\underline{\quad}$ 万元。
30. 【原题 ch17-xingqu-08】有一只小蚂蚁在一根弹性充分好的橡皮筋上的 $A$ 点，以每秒 $1$ 厘米的速度向前爬行。从小蚂蚁开始爬行的时候算起，橡皮筋在 $2$ 秒后、$4$ 秒后、$6$ 秒后、$8$ 秒后、$10$ 秒后……都均匀地伸长为原来的 $2$ 倍。那么在开始爬行 $9$ 秒后，这只小蚂蚁离 $A$ 点多少厘米？
详细思路
是哪类问题：这是「周期伸缩 + 递推」题：蚂蚁每秒爬 $1$ 厘米，每到偶数秒末整根橡皮筋（含蚂蚁已离 $A$ 的距离）伸长为原来的 $2$ 倍。
关键切入点：逐段递推：先在这一段爬 $2$ 厘米，再把当前离 $A$ 距离翻倍；第 $9$ 秒只爬不伸长。
方法概述：每 $2$ 秒：距离 =（上次距离 $+2$）$\times2$；末秒只加爬行。
规范步骤：
  1. 2 秒后：$2\times2=4$（爬 2 后翻倍）
  2. 4 秒后：$(4+2)\times2=12$（递推）
  3. 6、8 秒后：$(12+2)\times2=28$，$(28+2)\times2=60$（递推）
  4. 9 秒后：$60+1=61$（末秒只爬）
第一套
题目：蚂蚁在橡皮筋上的 $A$ 点以每秒 $2$ 厘米向前爬。从开始算起，$2,4,6,8$ 秒末橡皮筋都均匀伸长为原来的 $2$ 倍。开始爬行 $9$ 秒后，蚂蚁离 $A$ 点多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（2 秒后）：先爬 $2\times2=4$，再翻倍 $4\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（4 秒后）：$8+4=12$，翻倍 $12\times2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（6 秒后）：$24+4=28$，翻倍 $28\times2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（8 秒后）：$56+4=60$，翻倍 $60\times2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（9 秒后）：末秒只爬 $2$，$120+2=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一只小虫在可伸长的弹簧上起点以每秒 $1$ 厘米向前爬。$2,4,6$ 秒末弹簧都均匀伸长为原来的 $2$ 倍。开始爬 $7$ 秒后，小虫离起点多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（2 秒后）：爬 $1\times2=2$，翻倍 $2\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（4 秒后）：$4+2=6$，翻倍 $6\times2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（6 秒后）：$12+2=14$，翻倍 $14\times2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（7 秒后）：末秒只爬 $1$，$28+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：蚂蚁在橡皮筋上以每秒 $1$ 厘米向前爬。$3,6,9$ 秒末橡皮筋都均匀伸长为原来的 $2$ 倍。开始爬 $10$ 秒后，蚂蚁离出发点多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（3 秒后）：爬 $3$，翻倍 $3\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（6 秒后）：$6+3=9$，翻倍 $9\times2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（9 秒后）：$18+3=21$，翻倍 $21\times2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（10 秒后）：末秒只爬 $1$，$42+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：蚂蚁在橡皮筋上以每秒 $1$ 厘米向前爬。$2,4,6,8$ 秒末橡皮筋都均匀伸长为原来的 $3$ 倍。开始爬 $9$ 秒后，蚂蚁离 $A$ 点多少厘米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（2 秒后）：爬 $2$，伸为 $3$ 倍 $2\times3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（4 秒后）：$6+2=8$，$8\times3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（6 秒后）：$24+2=26$，$26\times3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（8 秒后）：$78+2=80$，$80\times3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（9 秒后）：末秒只爬 $1$，$240+1=\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch17-xingqu-09】有一座塔，从地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，如图 $17-2$，通道的长度是 $420$ 米，共转了三圈半。小明从 $P$ 点以每分钟 $60$ 米的速度下塔，小亮从 $Q$ 点以每分钟 $40$ 米的速度上塔，两人同时出发，那么刚好形成正上方与正下方的关系共有多少次？（两人相遇不算）
详细思路
是哪类问题：这是「螺旋几何 + 周期对齐计数」题：把螺旋通道竖直投影，两人在圆周投影上正对（相差整数圈）时成正上方与正下方关系。
关键切入点：速度比 $60:40=3:2$。通道 $420$ 米合 $3\tfrac12$ 圈，$1$ 圈 $=120$ 米。两人相向，合速度 $100$ 米/分；由相差 $\tfrac12,1\tfrac12,2\tfrac12,3\tfrac12,5$ 圈逐次对齐，相遇那次不算，共 $5$ 次。
方法概述：投影相差整数圈即正对；按合速度算各次时刻。
规范步骤：
  1. 每圈长度：$420\div3.5=120$（米）（展开螺旋）
  2. 首次正对时刻：$\frac{120\div2}{100}=0.6$（分）（半圈÷合速度）
  3. 各次时刻：$0.6,1.8,3,5.4,6.6$（分），共 $5$ 次（周期对齐）
  4. 写出答案：$5$ 次
32. 【原题 ch17-xingqu-10】小高读一本故事书，如果他第一天读 $25$ 页，以后每天都比前一天多读 $5$ 页，那么到最后一天，还剩了 $47$ 页；如果他第一天读 $40$ 页，以后每天都比前一天多读 $5$ 页，那么到最后一天，还剩了 $37$ 页。请问：这本故事书最少共有多少页？
详细思路
是哪类问题：这是「等差数列 + 盈亏 + 逻辑判断」题：两种读法每天页数都成公差 $5$ 的等差数列，用两方案剩余页数之差和每天页数取自 $40,45,50,\cdots$ 的限制判定天数。
关键切入点：把方案一前三天 $25,30,35$ 挪到最后，两方案前段的 $40,45,\cdots$ 完全一致。两方案读的都是同一本书共 $N$ 页，令两式相等消去公共段，得方案二比方案一多读的连续几天共 $100$ 页；这几天的页数只能取自 $40,45,50,\cdots$，逐一检验可知只能是“单独 $1$ 天读 $100$ 页”，从而定出方案二末项与总页数。
方法概述：两方案相减求差，再借“页数取自等差列”论证只能 1 天，最后等差求和。
规范步骤：
  1. 盈亏对齐求差：方案一 $=25+30+35+(40+45+\cdots)+47$，方案二 $=(40+45+\cdots)+37$；令二者相等并消去公共的 $40,45,\cdots$ 段，得方案二比方案一多读的连续几天 $=25+30+35+47-37=100$（页）（两式相减）
  2. 论证只能 1 天：这几天页数取自 $40,45,50,\cdots$：$1$ 天可为 $100=40+5\times12$（可以）；$2$ 天之和 $=2x+5$（$x\in\{40,45,\cdots\}$）只能取 $85,95,105,\cdots$，跳过 $100$（不行）；$3$ 天最少 $40+45+50=135>100$（不行）。故只能 $1$ 天读 $100$ 页（唯一性排除）
  3. 定末项与项数：这 $1$ 天读 $100$，是方案二最后一个满额天，故方案二读 $40,45,\cdots,100$，共 $(100-40)\div5+1=13$ 项（等差项数）
  4. 求总页数：$N=\frac{(40+100)\times13}{2}+37=910+37=947$（页）（等差求和）
  5. 验证方案一：$40+\cdots+95$ 共 $12$ 项、和 $\frac{(40+95)\times12}{2}=810$，加 $25+30+35$ 得 $900$，再 $+47=947$ ✓（另一方案校验）

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 6. ch17-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（列损耗方程）：设每胎寿命 $1$，三只同用总寿命 $3$。每公里损耗 $\frac1{60000}+\frac1{40000}+\frac1{24000}=\frac{2+3+5}{120000}=\frac{\underline{10}}{120000}=\frac1{12000}$。
    2. 第 2 步（求总里程）：$S=3\times12000=\underline{36000}$ 千米。
    最终答案：$36000$ 千米。
  2. 6. ch17-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步（列损耗方程）：三只同用总寿命 $3$，每公里损耗 $\frac1{72000}+\frac1{36000}+\frac1{24000}=\frac{1+2+3}{72000}=\frac{\underline{6}}{72000}=\frac1{12000}$。
    2. 第 2 步（求总里程）：$S=3\times12000=\underline{36000}$ 千米。
    最终答案：$36000$ 千米。
  3. 6. ch17-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（列损耗方程）：三只同用总寿命 $3$，每公里损耗 $\frac1{90000}+\frac1{45000}+\frac1{30000}=\frac{1+2+3}{90000}=\frac{\underline{6}}{90000}=\frac1{15000}$。
    2. 第 2 步（求总里程）：$S=3\times15000=\underline{45000}$ 千米。
    最终答案：$45000$ 千米。
  4. 6. ch17-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（列损耗方程）：$4$ 只胎总寿命 $4$，每公里三个位置损耗 $\frac1{45000}+\frac1{20000}+\frac1{36000}=\frac{4+9+5}{180000}=\frac{\underline{18}}{180000}=\frac1{10000}$。
    2. 第 2 步（求总里程）：$S=4\times10000=\underline{40000}$ 千米。
    最终答案：$40000$ 千米。
  5. 9. ch17-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（识别替付）：乙替甲付 $6$，丙替甲付 $12$。
    2. 第 2 步（丁替甲付）：甲给丁 $45$ 元中有 $12$ 是丙欠丁的，故丁替甲付 $45-12=\underline{33}$。
    3. 第 3 步（每份饭钱）：$6+12+33=\underline{51}$。
    4. 第 4 步（各人实付）：乙 $51+6=\underline{57}$，丙 $51+12=\underline{63}$，丁 $51+33=\underline{84}$。
    最终答案：乙 $57$ 元，丙 $63$ 元，丁 $84$ 元。
  6. 9. ch17-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（识别替付）：乙替甲付 $8$，丙替甲付 $15$。
    2. 第 2 步（丁替甲付）：$52-15=\underline{37}$。
    3. 第 3 步（每份饭钱）：$8+15+37=\underline{60}$。
    4. 第 4 步（各人实付）：乙 $60+8=\underline{68}$，丙 $60+15=\underline{75}$，丁 $60+37=\underline{97}$。
    最终答案：乙 $68$ 元，丙 $75$ 元，丁 $97$ 元。
  7. 9. ch17-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（每份饭钱）：三人替甲垫付之和即甲的一份 $5+12+18=\underline{35}$。
    2. 第 2 步（各人实付）：乙 $35+5=\underline{40}$，丙 $35+12=\underline{47}$，丁 $35+18=\underline{53}$。
    最终答案：乙 $40$ 元，丙 $47$ 元，丁 $53$ 元。
  8. 9. ch17-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（求每份）：$5$ 人均摊，每份 $175\div5=\underline{35}$。
    2. 第 2 步（核对垫付）：乙、丙、丁替甲垫付共 $5+12+18=\underline{35}$，正好一份。
    3. 第 3 步（各人实付）：乙 $35+5=\underline{40}$，丙 $35+12=\underline{47}$，丁 $35+18=\underline{53}$，戊没替垫故付 $\underline{35}$。
    最终答案：乙 $40$ 元，丙 $47$ 元，丁 $53$ 元，戊 $35$ 元。
  9. 10. ch17-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（王先生应纳）：$8000-2000=\underline{6000}$ 元。
    2. 第 2 步（分段计税）：$25+150+450+(6000-5000)\times20\%$，其中末段 $(6000-5000)\times0.2=\underline{200}$，共 $625+200=\underline{825}$ 元。
    3. 第 3 步（李先生定档）：$1825$ 落在第 4 档，超过第 3 档满额 $625$ 的部分 $(1825-625)\div0.2=\underline{6000}$。
    4. 第 4 步（逆推收入）：应纳 $5000+6000=\underline{11000}$，收入 $11000+2000=\underline{13000}$ 元。
    最终答案：（1）$825$ 元；（2）$13000$ 元。
  10. 10. ch17-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步（赵工应纳）：$6000-2000=\underline{4000}$ 元。
    2. 第 2 步（分段计税）：$25+150+(4000-2000)\times15\%$，其中 $(4000-2000)\times0.15=\underline{300}$，共 $175+300=\underline{475}$ 元。
    3. 第 3 步（钱经理定档）：$2425$ 落第 4 档，$(2425-625)\div0.2=\underline{9000}$。
    4. 第 4 步（逆推薪水）：应纳 $5000+9000=\underline{14000}$，薪水 $14000+2000=\underline{16000}$ 元。
    最终答案：（1）$475$ 元；（2）$16000$ 元。
  11. 10. ch17-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（定档）：满第 4 档累计税 $625+3000=\underline{3625}$，$4000>3625$，落第 5 档（税率 $25\%$）。
    2. 第 2 步（超额部分）：$(4000-3625)\div0.25=\underline{1500}$（超过 $20000$ 的部分）。
    3. 第 3 步（求应纳与收入）：应纳 $20000+1500=\underline{21500}$，收入 $21500+2000=\underline{23500}$ 元。
    最终答案：应纳税所得额 $21500$ 元，收入 $23500$ 元。
  12. 10. ch17-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求应纳）：$10000-2000-1000=\underline{7000}$ 元。
    2. 第 2 步（分段计税）：$625+(7000-5000)\times20\%$，其中 $(7000-5000)\times0.2=\underline{400}$，共 $625+400=\underline{1025}$ 元。
    最终答案：$1025$ 元。
  13. 13. ch17-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（列比的平方）：由两句话与“总钱相同”得 $\left(\frac ba\right)^2=\frac{250}{90}=\frac{25}{9}$，故 $\frac ba=\frac53$。
    2. 第 2 步（求份数和）：$3+5=\underline{8}$ 份。
    3. 第 3 步（分配）：$a=200\div8\times3=\underline{75}$，$b=200\div8\times5=\underline{125}$。
    最终答案：第一个农妇 $75$ 个，第二个农妇 $125$ 个。
  14. 13. ch17-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（列比的平方）：$\left(\frac{乙}{甲}\right)^2=\frac{360}{160}=\frac94$，故 $\frac{乙}{甲}=\frac32$。
    2. 第 2 步（求份数和）：$2+3=\underline{5}$ 份。
    3. 第 3 步（分配）：甲 $=150\div5\times2=\underline{60}$，乙 $=150\div5\times3=\underline{90}$。
    最终答案：甲 $60$ 筐，乙 $90$ 筐。
  15. 13. ch17-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（列比的平方）：$\left(\frac ba\right)^2=\frac{200}{72}=\frac{25}{9}$，$\frac ba=\frac53$。
    2. 第 2 步（求份数和）：$3+5=\underline{8}$ 份。
    3. 第 3 步（分配）：$a=120\div8\times3=\underline{45}$，$b=120\div8\times5=\underline{75}$。
    最终答案：第一个 $45$ 个，第二个 $75$ 个。
  16. 13. ch17-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求蛋数）：$\left(\frac ba\right)^2=\frac{180}{80}=\frac94$，$\frac ba=\frac32$，份数和 $2+3=\underline{5}$，$a=100\div5\times2=\underline{40}$，$b=60$。
    2. 第 2 步（求单价）：第一个单价 $p=180\div b=180\div60=\underline{3}$ 元，第二个单价 $q=80\div a=80\div40=\underline{2}$ 元。
    3. 第 3 步（求总收入并验证）：第一个卖 $40\times3=\underline{120}$ 元，第二个卖 $60\times2=\underline{120}$ 元，两者相等。
    最终答案：第一个 $40$ 个（单价 $3$ 元）、第二个 $60$ 个（单价 $2$ 元），各卖 $120$ 元。
  17. 15. ch17-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（黑白相缝边数）：$24\times5=\underline{120}$ 条。
    2. 第 2 步（白块数）：每白块 $3$ 边与黑缝，白块 $=120\div3=\underline{40}$。
    最终答案：$40$ 块。
  18. 15. ch17-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（相接边数）：$36\times5=\underline{180}$ 条。
    2. 第 2 步（白块数）：$180\div3=\underline{60}$。
    最终答案：$60$ 块。
  19. 15. ch17-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（相缝边数）：$30\times3=\underline{90}$ 条。
    2. 第 2 步（白块数）：每白块 $2$ 边与黑缝，白块 $=90\div2=\underline{45}$。
    最终答案：$45$ 块。
  20. 15. ch17-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（白块数）：$12\times5\div3=\underline{20}$ 块。
    2. 第 2 步（面数）：$12+20=\underline{32}$。
    3. 第 3 步（棱数）：每面棱之和 $5\times12+6\times20=\underline{180}$，每条棱被两面共用，棱 $=180\div2=\underline{90}$。
    4. 第 4 步（顶点数）：由欧拉公式 顶点 $=$ 棱 $-$ 面 $+2=90-32+2=\underline{60}$。
    最终答案：白六边形 $20$ 块；面 $32$、棱 $90$、顶点 $60$。
  21. 18. ch17-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（列损耗方程）：设每胎寿命 $1$，$4$ 胎总寿命 $4$。每公里 $2$ 前 $+2$ 后损耗 $\frac{2}{60000}+\frac{2}{40000}=\frac{2+3}{60000}=\frac{\underline{5}}{60000}=\frac1{12000}$。
    2. 第 2 步（求总里程）：$S=4\times12000=\underline{48000}$ 千米。
    3. 第 3 步（对调点）：只对调一次取中点 $48000\div2=\underline{24000}$ 千米。
    最终答案：（1）$48000$ 千米；（2）$24000$ 千米处对调。
  22. 18. ch17-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（列损耗方程）：$4$ 胎总寿命 $4$，每公里损耗 $\frac{2}{45000}+\frac{2}{30000}=\frac{2\times(2+3)}{90000}=\frac{\underline{10}}{90000}=\frac1{9000}$。
    2. 第 2 步（求总里程）：$S=4\times9000=\underline{36000}$ 千米。
    3. 第 3 步（对调点）：$36000\div2=\underline{18000}$ 千米。
    最终答案：（1）$36000$ 千米；（2）$18000$ 千米处对调。
  23. 18. ch17-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（列损耗方程）：$2$ 只胎总寿命 $2$，每公里 $1$ 前 $+1$ 后损耗 $\frac1{40000}+\frac1{24000}=\frac{3+5}{120000}=\frac{\underline{8}}{120000}=\frac1{15000}$。
    2. 第 2 步（求总里程）：$S=2\times15000=\underline{30000}$ 千米。
    3. 第 3 步（对调点）：$30000\div2=\underline{15000}$ 千米。
    最终答案：（1）$30000$ 千米；（2）$15000$ 千米处对调。
  24. 18. ch17-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（列损耗方程）：$5$ 只胎总寿命 $5$，每公里仍是 $2$ 前 $+2$ 后损耗 $\frac{2}{50000}+\frac{2}{30000}=\frac{3+5}{75000}=\frac{\underline{8}}{75000}$。
    2. 第 2 步（求总里程）：$S=5\div\frac{8}{75000}=5\times75000\div8=\underline{46875}$ 千米。
    最终答案：$46875$ 千米。
  25. 22. ch17-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（守恒分析）：合并取平均、速度和守恒，最终并成 $1$ 个球。
    2. 第 2 步（求平均速度）：$\frac{1+2+\cdots+300}{300}=\frac{(1+300)\times300\div2}{300}=\underline{150.5}$ 米/秒。
    最终答案：剩 $1$ 个小球，速度 $150.5$ 米/秒。
  26. 22. ch17-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步（守恒分析）：合体取平均、速度和守恒，最终并成 $1$ 个。
    2. 第 2 步（求平均速度）：$\frac{1+2+\cdots+500}{500}=\frac{(1+500)\times500\div2}{500}=\underline{250.5}$ 米/秒。
    最终答案：剩 $1$ 个机器人，速度 $250.5$ 米/秒。
  27. 22. ch17-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（守恒分析）：最终并成 $1$ 个，速度为初始平均。
    2. 第 2 步（求平均速度）：$\frac{2+4+\cdots+400}{200}=\frac{2\times(1+200)\times200\div2}{200}=\underline{201}$ 米/秒。
    最终答案：剩 $1$ 个球，速度 $201$ 米/秒。
  28. 22. ch17-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（守恒分析）：最终并成 $1$ 个，速度为初始平均。
    2. 第 2 步（平方和）：$1^2+2^2+\cdots+100^2=\frac{100\times101\times201}{6}=\underline{338350}$。
    3. 第 3 步（求平均）：$338350\div100=\underline{3383.5}$ 米/秒。
    最终答案：剩 $1$ 个球，速度 $3383.5$ 米/秒。
  29. 23. ch17-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（记清收到的钱）：商店收到骗子付的 $100$ 元和后来的零钱 $8$ 元，共收到 $100+8=\underline{108}$ 元。
    2. 第 2 步（记清付出的东西）：商店找零 $100-8=\underline{92}$ 元，再加商品 $8$ 元、退回的大钞 $100$ 元，共付出 $8+92+100=\underline{200}$ 元。
    3. 第 3 步（净损失 = 付出 − 收到）：$200-108=\underline{92}$ 元，即骗子骗到的钱。
    最终答案：$92$ 元。
  30. 23. ch17-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步（记清收到的钱）：店家收到 $200$ 元和零钱 $30$ 元，共 $200+30=\underline{230}$ 元。
    2. 第 2 步（记清付出的东西）：找零 $200-30=\underline{170}$，加表带 $30$、退回大钞 $200$，共付出 $30+170+200=\underline{400}$ 元。
    3. 第 3 步（净损失）：$400-230=\underline{170}$ 元。
    最终答案：$170$ 元。
  31. 23. ch17-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（用净损失公式）：净损失 = 大钞面额 − 商品价，故 大钞面额 = 骗到的钱 + 商品价 = $90+10=\underline{100}$ 元。
    2. 第 2 步（验证）：收到 $100+10=\underline{110}$，付出 $10+90+100=\underline{200}$，净损失 $200-110=\underline{90}$ 元，与题意相符。
    最终答案：大钞面额为 $100$ 元。
  32. 23. ch17-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（第一次净损失）：$100-8=\underline{92}$ 元。
    2. 第 2 步（第二次净损失）：$200-30=\underline{170}$ 元。
    3. 第 3 步（两次求和）：$92+170=\underline{262}$ 元。
    最终答案：$262$ 元。
  33. 24. ch17-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（求剩余比例）：通分为 $8$ 份，剩下 $\frac{8-3-2}{8}=\frac{\underline{3}}{8}$。
    2. 第 2 步（列方程解倍数）：$\frac38 x=1+50\%=1.5$，$x=1.5\div\frac38=1.5\times\frac83=\underline{4}$。
    最终答案：进货价的 $4$ 倍。
  34. 24. ch17-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步（求剩余比例）：通分为 $20$ 份，剩下 $\frac{20-5-6}{20}=\frac{\underline{9}}{20}$。
    2. 第 2 步（列方程解倍数）：$\frac{9}{20}x=1.35$，$x=1.35\div\frac{9}{20}=1.35\times\frac{20}{9}=\underline{3}$。
    最终答案：进价的 $3$ 倍。
  35. 24. ch17-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（求剩余比例）：剩下比例 $=\frac{1+35\%}{3}=\frac{1.35}{3}=\underline{0.45}$。
    2. 第 2 步（逆推员工偷的）：员工偷 $=1-\frac14-0.45=\underline{0.3}$。
    最终答案：员工偷走了 $\frac{3}{10}$。
  36. 24. ch17-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（第一次损耗）：被偷 $\frac14$ 后剩 $1-\frac14=\frac34$。
    2. 第 2 步（注意基准变化）：第二次偷的是「剩下的」$\frac15$，基准是 $\frac34$ 而非总量，偷了 $\frac34\times\frac15=\underline{0.15}$。
    3. 第 3 步（求剩余）：此时剩 $\frac34-0.15=\underline{0.6}$。
    4. 第 4 步（列方程解倍数）：$0.6x=1+20\%=1.2$，$x=1.2\div0.6=\underline{2}$。
    最终答案：进价的 $2$ 倍。
  37. 25. ch17-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（由黑砖求边长）：奇数边时两对角线黑砖为 $2n-1$，由 $2n-1=121$ 得 $n=\frac{121+1}{2}=\underline{61}$。
    2. 第 2 步（总砖数）：$61\times61=\underline{3721}$。
    3. 第 3 步（白砖数）：$3721-121=\underline{3600}$。
    最终答案：$3600$ 块。
  38. 25. ch17-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步（由红砖求边长）：$2n-1=169$，$n=\frac{169+1}{2}=\underline{85}$。
    2. 第 2 步（总砖数）：$85\times85=\underline{7225}$。
    3. 第 3 步（灰砖数）：$7225-169=\underline{7056}$。
    最终答案：$7056$ 块。
  39. 25. ch17-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（黑砖数）：奇数边时两对角线黑砖 $2\times51-1=\underline{101}$。
    2. 第 2 步（总砖数）：$51\times51=\underline{2601}$。
    3. 第 3 步（白砖数）：$2601-101=\underline{2500}$。
    最终答案：黑砖 $101$ 块，白砖 $2500$ 块。
  40. 25. ch17-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（奇偶判断黑砖数）：边长为偶数时两对角线不共用中心格，黑砖 $2\times100=\underline{200}$。
    2. 第 2 步（总砖数）：$100\times100=\underline{10000}$。
    3. 第 3 步（白砖数）：$10000-200=\underline{9800}$。
    最终答案：$9800$ 块。
  41. 26. ch17-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（化圈数比）：周长比 $8:10=4:5$，圈数比为 $5:4$，再次同时着地的路程是两周长的最小公倍数。
    2. 第 2 步（求路程）：前轮转 $5$ 圈，路程 $8\times5=\underline{40}$ 分米（也 $=10\times4$）。
    3. 第 3 步（求时间）：$40\div5=\underline{8}$ 秒。
    最终答案：$8$ 秒后。
  42. 26. ch17-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步（化圈数比）：$12:15=4:5$，圈数比 $5:4$，路程取最小公倍数。
    2. 第 2 步（求路程）：$12\times5=\underline{60}$ 厘米。
    3. 第 3 步（求时间）：$60\div6=\underline{10}$ 秒。
    最终答案：$10$ 秒后。
  43. 26. ch17-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求周长）：周长 $=2\times3\times r$。前轮 $2\times3\times1.5=\underline{9}$，后轮 $2\times3\times2.5=\underline{15}$（分米）。
    2. 第 2 步（求路程）：$9,15$ 的最小公倍数 $9\times5=\underline{45}$ 分米。
    3. 第 3 步（求时间）：$45\div5=\underline{9}$ 秒。
    最终答案：$9$ 秒后。
  44. 26. ch17-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（求周长）：前轮 $2\times3\times2=\underline{12}$，后轮 $2\times3\times3=\underline{18}$（分米）。
    2. 第 2 步（求路程）：$12,18$ 的最小公倍数 $12\times3=\underline{36}$ 分米。
    3. 第 3 步（求时间）：$36\div6=\underline{6}$ 秒。
    4. 第 4 步（求圈数差）：前轮转 $36\div12=\underline{3}$ 圈、后轮转 $36\div18=\underline{2}$ 圈，前轮比后轮多转 $3-2=\underline{1}$ 圈。
    最终答案：$6$ 秒后；前轮比后轮多转 $1$ 圈。
  45. 28. ch17-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（闹钟总走时）：$(11\times60+30)-(8\times60)=\underline{210}$ 分钟。
    2. 第 2 步（求单程）：来回 $210-60=\underline{150}$，单程 $150\div2=\underline{75}$ 分钟。
    3. 第 3 步（求偏差）：到馆闹钟 $8:00$ 过 $75$ 分为 $9:15$，标准 $9:30$，慢 $(9\times60+30)-(9\times60+15)=\underline{15}$ 分钟。
    4. 第 4 步（求真实时间）：$(11\times60+30)+15=\underline{705}$ 分钟，即 $11:45$。
    最终答案：$11$ 点 $45$ 分。
  46. 28. ch17-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（手表总走时）：$(13\times60)-(9\times60)=\underline{240}$ 分钟。
    2. 第 2 步（求单程）：来回 $240-90=\underline{150}$，单程 $150\div2=\underline{75}$ 分钟。
    3. 第 3 步（求偏差）：到馆手表 $9:00$ 过 $75$ 分为 $10:15$，标准 $10:50$，慢 $(10\times60+50)-(10\times60+15)=\underline{35}$ 分钟。
    4. 第 4 步（求真实时间）：$(13\times60)+35=\underline{815}$ 分钟，即 $13:35$。
    最终答案：$13$ 点 $35$ 分。
  47. 28. ch17-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（闹钟总走时）：$(11\times60+20)-(8\times60)=\underline{200}$ 分钟。
    2. 第 2 步（求单程）：来回 $200-60=\underline{140}$，单程 $140\div2=\underline{70}$ 分钟。
    3. 第 3 步（求偏差）：到馆闹钟 $8:00$ 过 $70$ 分为 $9:10$，标准 $9:00$，闹钟快 $(9\times60+10)-(9\times60)=\underline{10}$ 分钟。
    4. 第 4 步（求真实时间）：偏快要减去，$(11\times60+20)-10=\underline{670}$ 分钟，即 $11:10$。
    最终答案：$11$ 点 $10$ 分。
  48. 28. ch17-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（闹钟总走时）：$(12\times60+10)-(8\times60)=\underline{250}$ 分钟。
    2. 第 2 步（求单程）：来回 $250-100=\underline{150}$，单程 $150\div2=\underline{75}$ 分钟。
    3. 第 3 步（求偏差）：到馆闹钟 $8:00$ 过 $75$ 分为 $9:15$，标准 $9:05$，闹钟快 $(9\times60+15)-(9\times60+5)=\underline{10}$ 分钟。
    4. 第 4 步（到家真实时间）：偏快要减，$(12\times60+10)-10=\underline{720}$ 分钟，即 $12:00$。
    5. 第 5 步（逆推设定时刻）：设定闹钟为 $8:00$ 那一刻真实时间 $=(8\times60)-10=\underline{470}$ 分钟，即 $7:50$。
    最终答案：到家准确时间为 $12:00$；设定闹钟时真实时间为 $7:50$。
  49. 29. ch17-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（列不亏本方程）：设卖价 $a$ 万元。买入税 $60\times40\%=\underline{24}$ 万，加运费 $6$、卖出税 $a\times40\%$、本钱 $60$，得 $a=24+6+a\times0.4+60$。
    2. 第 2 步（移项）：$a-0.4a=24+6+60=\underline{90}$。
    3. 第 3 步（求卖价）：$0.6a=90$，$a=90\div0.6=\underline{150}$ 万元。
    4. 第 4 步（国家收税）：$60\times40\%+150\times40\%\times2=\underline{144}$ 万元。
    最终答案：甲至少 $150$ 万元卖出；国家共收税 $144$ 万元。
  50. 29. ch17-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（列不亏本方程）：设卖价 $a$。进货税 $90\times40\%=\underline{36}$ 万，加仓储费 $6$、卖出税 $a\times0.4$、本钱 $90$。
    2. 第 2 步（移项）：$a-0.4a=36+6+90=\underline{132}$。
    3. 第 3 步（求卖价）：$0.6a=132$，$a=132\div0.6=\underline{220}$ 万元。
    4. 第 4 步（国家收税）：$90\times40\%+220\times0.4\times2=\underline{212}$ 万元。
    最终答案：至少 $220$ 万元卖出；国家共收税 $212$ 万元。
  51. 29. ch17-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（列不亏本方程）：设卖价 $a$。买入税 $60\times20\%=\underline{12}$ 万，加运费 $8$、卖出税 $a\times0.2$、本钱 $60$。
    2. 第 2 步（移项）：$a-0.2a=12+8+60=\underline{80}$。
    3. 第 3 步（求卖价）：$0.8a=80$，$a=80\div0.8=\underline{100}$ 万元。
    4. 第 4 步（国家收税）：$60\times20\%+100\times0.2\times2=\underline{52}$ 万元。
    最终答案：至少 $100$ 万元卖出；国家共收税 $52$ 万元。
  52. 29. ch17-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（列含利润方程）：设卖价 $a$。卖价=买入税 $18$+运费 $3$+卖出税 $a\times0.4$+本钱 $45$+利润 $6$。
    2. 第 2 步（移项）：$a-0.4a=18+3+45+6=\underline{72}$。
    3. 第 3 步（求卖价）：$0.6a=72$，$a=72\div0.6=\underline{120}$ 万元。
    4. 第 4 步（国家收税）：$18+120\times0.4\times2=\underline{114}$ 万元。
    最终答案：至少 $120$ 万元卖出；国家共收税 $114$ 万元。
  53. 30. ch17-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（2 秒后）：先爬 $2\times2=4$，再翻倍 $4\times2=\underline{8}$。
    2. 第 2 步（4 秒后）：$8+4=12$，翻倍 $12\times2=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（6 秒后）：$24+4=28$，翻倍 $28\times2=\underline{56}$。
    4. 第 4 步（8 秒后）：$56+4=60$，翻倍 $60\times2=\underline{120}$。
    5. 第 5 步（9 秒后）：末秒只爬 $2$，$120+2=\underline{122}$。
    最终答案：$122$ 厘米。
  54. 30. ch17-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（2 秒后）：爬 $1\times2=2$，翻倍 $2\times2=\underline{4}$。
    2. 第 2 步（4 秒后）：$4+2=6$，翻倍 $6\times2=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（6 秒后）：$12+2=14$，翻倍 $14\times2=\underline{28}$。
    4. 第 4 步（7 秒后）：末秒只爬 $1$，$28+1=\underline{29}$。
    最终答案：$29$ 厘米。
  55. 30. ch17-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（3 秒后）：爬 $3$，翻倍 $3\times2=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（6 秒后）：$6+3=9$，翻倍 $9\times2=\underline{18}$。
    3. 第 3 步（9 秒后）：$18+3=21$，翻倍 $21\times2=\underline{42}$。
    4. 第 4 步（10 秒后）：末秒只爬 $1$，$42+1=\underline{43}$。
    最终答案：$43$ 厘米。
  56. 30. ch17-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（2 秒后）：爬 $2$，伸为 $3$ 倍 $2\times3=\underline{6}$。
    2. 第 2 步（4 秒后）：$6+2=8$，$8\times3=\underline{24}$。
    3. 第 3 步（6 秒后）：$24+2=26$，$26\times3=\underline{78}$。
    4. 第 4 步（8 秒后）：$78+2=80$，$80\times3=\underline{240}$。
    5. 第 5 步（9 秒后）：末秒只爬 $1$，$240+1=\underline{241}$。
    最终答案：$241$ 厘米。