六年级第18讲应用题综合二

1. 【原题 ch18-chaoyue-01】如图 $18\text{-}5$ 所示，在直角三角形 $ABC$ 中，$AC$ 长 $3$ 厘米，$CB$ 长 $4$ 厘米，$AB$ 长 $5$ 厘米。有一只小虫从 $C$ 点出发，沿 $CB$ 以 $1$ 厘米/秒的速度向 $B$ 爬行；同时另一只小虫从 $A$ 点出发，沿 $BA$ 以 $1$ 厘米/秒的速度向 $A$ 爬行。请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置 $D$、$E$ 与 $B$ 组成的三角形 $DBE$ 是等腰三角形？（请写出所有答案）

详细思路

是哪类问题：这是「动点 + 等腰三角形分类 + 相似」题：按等腰三角形顶角所在顶点分三种情况，用相似列方程。

关键切入点：$x$ 秒时 $BE=x$、$CD=x$、$BD=4-x$，$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{5}$。①$BD=BE$：$4-x=x\Rightarrow x=2$；②$ED=EB$：垂足平分 $BD$，$\dfrac{4}{5}x=\dfrac{4-x}{2}\Rightarrow x=\dfrac{20}{13}$；③$DE=DB$：垂足平分 $BE$，$\dfrac{4}{5}(4-x)=\dfrac{x}{2}\Rightarrow x=\dfrac{32}{13}$。

方法概述：按等腰顶点分三种情况，用相似三角形列方程求各时刻。

规范步骤：

设变量：$BE=x,CD=x,BD=4-x,\cos B=\dfrac{4}{5}$（动点）
①$BD=BE$：$4-x=x\Rightarrow x=2$（等腰分类）
②$ED=EB$：$\dfrac{4}{5}x=\dfrac{4-x}{2}\Rightarrow x=\dfrac{20}{13}$（相似）
③$DE=DB$：$\dfrac{4}{5}(4-x)=\dfrac{x}{2}\Rightarrow x=\dfrac{32}{13}$（相似）

2. 【原题 ch18-chaoyue-02】七个人围坐在圆桌周围，在每个人面前都有一个牛奶杯。第一个人把自己的牛奶都平均分到其余的杯子中去，接着第二个人照样做一遍，然后第三个人到第七个人也同样做一遍。最后发现每个杯子中的牛奶都和最开始时一样多。如果所有杯子的牛奶共有 $7$ 升，那么第一个人到第七个人的杯子里开始时分别有牛奶多少升？

详细思路

是哪类问题：这是「倒推法 + 份数分配」题：由最终各杯相等倒推，每人原有量成 $6:5:4:3:2:1:0$ 份。

关键切入点：第 $7$ 人分前各杯已相等，故第 $7$ 人原有 $0$ 份；逐个倒推知七人原有量依次为 $6,5,4,3,2,1,0$ 份，共 $21$ 份对应 $7$ 升，每份 $\dfrac{1}{3}$ 升。

方法概述：倒推得份数比 6:5:4:3:2:1:0，按总量分配求各人原有量。

规范步骤：

倒推份数比：$6:5:4:3:2:1:0$（倒推法）
份数和：$6+5+4+3+2+1+0=21$（份）对应 $7$ 升（求和）
每份：$7\div 21=\dfrac{1}{3}$（升）（归一）
各人原有：$2,\dfrac{5}{3},\dfrac{4}{3},1,\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},0$（升）（分配）

第一套

题目：七个人围坐，每人依次把自己杯中牛奶平分给其余六人，最后各杯与最初一样多。若共有牛奶 $35$ 升，求最初七人杯中各有多少升？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（倒推份数）：七人原有量依次为 $6,5,4,3,2,1,0$ 份，共 $6+5+4+3+2+1+0=\underline{\quad}$ 份。
第 2 步（求每份）：每份 $=35\div 21=\underline{\quad}$（升）。
第 3 步（第 1 人）：$6$ 份 $=6\times\dfrac{35}{21}=\underline{\quad}$（升）。
第 4 步（第 4、7 人）：$3$ 份 $=\underline{\quad}$、$0$ 份 $=\underline{\quad}$（升）。

第二套

题目：七个小朋友围成一圈，每人依次把自己盘里的糖平分给其余六人，最后各盘与最初一样多。若糖共 $7$ 千克，求最初七人盘中各有多少千克？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（倒推份数）：七人原有量依次为 $6,5,4,3,2,1,0$ 份，共 $=\underline{\quad}$ 份。
第 2 步（求每份）：每份 $=7\div 21=\underline{\quad}$（千克）。
第 3 步（第 1、7 人）：$6$ 份 $=6\times\dfrac{7}{21}=\underline{\quad}$、$0$ 份 $=\underline{\quad}$（千克）。

第三套

题目：六个人围坐，每人依次把自己杯中饮料平分给其余五人，最后各杯与最初一样多。若共有饮料 $30$ 升，求最初六人杯中各有多少升？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（倒推份数）：六人原有量依次为 $5,4,3,2,1,0$ 份，共 $5+4+3+2+1+0=\underline{\quad}$ 份。
第 2 步（求每份）：每份 $=30\div 15=\underline{\quad}$（升）。
第 3 步（第 1、6 人）：$5$ 份 $=5\times 2=\underline{\quad}$、$0$ 份 $=\underline{\quad}$（升）。

第三套

题目：八个人围坐，每人依次把自己杯中牛奶平分给其余七人，最后各杯与最初一样多。若共有牛奶 $14$ 升，求最初第 $1$ 个人有多少升？它占总量的几分之几？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（倒推份数）：八人原有量依次为 $7,6,5,4,3,2,1,0$ 份，共 $7+6+5+4+3+2+1+0=\underline{\quad}$ 份。
第 2 步（求每份）：每份 $=14\div 28=\underline{\quad}$（升）。
第 3 步（第 1、8 人）：$7$ 份 $=7\times\dfrac{1}{2}=\underline{\quad}$、$0$ 份 $=\underline{\quad}$（升）。
第 4 步（占总量比）：第 $1$ 人 $=7\div 28=\underline{\quad}$。

3. 【原题 ch18-chaoyue-03】甲、乙两人切蛋糕，两人轮流切，每人切走了五块。已知：① 甲切了 $5$ 次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕时蛋糕大小的 $\frac{1}{6}$、$\frac{2}{6}$、$\frac{3}{6}$、$\frac{4}{6}$ 和 $\frac{5}{6}$ 各 $1$ 次，但不全对应切蛋糕顺序；② 乙切了 $5$ 次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕时蛋糕大小的 $\frac{1}{5}$、$\frac{2}{5}$、$\frac{3}{5}$、$\frac{4}{5}$ 和 $\frac{5}{5}$ 各 $1$ 次，也是不全对应切蛋糕顺序；③ 切的最大的两块都是原来蛋糕的 $\frac{2}{9}$，另外还有一块大小是原来蛋糕的 $\frac{1}{225}$。求切的第八块蛋糕与原来蛋糕的大小之比。

详细思路

是哪类问题：这是「轮流按比例切 + 上界约束定顺序 + 连乘」逻辑题：甲切 $\frac16\sim\frac56$、乙切 $\frac15\sim\frac55$ 各一次，最大两块都是 $\frac29$，另有一块 $\frac1{225}$，求第 $8$ 块与原蛋糕之比。

关键切入点：甲乙交替切、甲先切，乙的 $\tfrac55$（切光）必在最后（第 $10$ 次）。以「每次切下占切前剩余的比例」搜索满足『最大两块均 $\tfrac29$、且有一块 $\tfrac1{225}$』的唯一顺序，得各次切下：$\tfrac16,\tfrac16,\tfrac29,\tfrac8{45},\tfrac29,\tfrac8{225},\tfrac1{225},\tfrac1{375},\tfrac4{3375},\tfrac2{3375}$。第 $8$ 块 $=\tfrac1{375}$，与原蛋糕之比 $1:375$。

方法概述：按甲乙交替、乙末次切光，枚举唯一满足两大块 $\tfrac29$ 与 $\tfrac1{225}$ 的顺序，连乘算第 8 块。

规范步骤：

顺序框架：甲切 1,3,5,7,9 次；乙切 2,4,6,8,10 次；乙 $\tfrac55$ 在末位（交替与切光）
前段（含两块 $\tfrac29$）：甲 $\tfrac16$→乙 $\tfrac15$（$\tfrac15\cdot\tfrac56=\tfrac16$）→甲 $\tfrac13$（$\tfrac13\cdot\tfrac23=\tfrac29$）→乙 $\tfrac25$（$\tfrac8{45}$）→甲 $\tfrac56$（$\tfrac56\cdot\tfrac4{15}=\tfrac29$）（比例连乘）
到第 7 块 $\tfrac1{225}$：乙 $\tfrac45$（$\tfrac8{225}$）→甲 $\tfrac12$（$\tfrac12\cdot\tfrac2{225}=\tfrac1{225}$）（定位 1/225）
第 8 块：乙 $\tfrac35$：$\tfrac35\times\tfrac1{225}=\tfrac1{375}$（连乘）

4. 【原题 ch18-chaoyue-04】师徒两人共同组装 $50$ 台机器，每台机器组装必须经过 $A$、$B$ 两道工序。对于每台机器，师傅操作 $A$ 工序需要 $15$ 分钟，操作 $B$ 工序需要 $5$ 分钟；徒弟操作 $A$ 工序需要 $45$ 分钟，操作 $B$ 工序需要 $20$ 分钟。每台机器组装工序只能由一人完成，不同工序可以由不同人分别完成，但必须 $A$ 先 $B$ 后。试问：如果两人合作至少要花多少分钟才能完成工作？

详细思路

是哪类问题：这是「双工序 $A\to B$ 流水 + 两工人统筹」最优化题：$50$ 台机器每台先 $A$ 后 $B$，师傅 $A15/B5$、徒弟 $A45/B20$（分钟），求最短完工时间。

关键切入点：设师傅做 $p$ 台的 $A$、$q$ 台的 $B$，徒弟做其余（$A$ 做 $50-p$ 台、$B$ 做 $50-q$ 台）。师傅用时 $15p+5q$，徒弟用时 $45(50-p)+20(50-q)=3250-45p-20q$。令两人用时相等：$60p+25q=3250$ 即 $12p+5q=650$；此时完工时间 $T=15p+5q=3p+650$，$p$ 越小越好。由 $q=130-2.4p\in[0,50]$ 且为整数得 $p\ge34$ 且 $p$ 为 $5$ 的倍数，取 $p=35,q=46$，$T=3\times35+650=755$。徒弟侧 $45\times15+20\times4=755$ 吻合。

方法概述：设师傅承担的 A、B 台数，令师徒用时相等并最小化，解得师傅 A 做 35 台、B 做 46 台，用时 755 分。

规范步骤：

设分工与用时：师傅 $15p+5q$；徒弟 $45(50-p)+20(50-q)=3250-45p-20q$（双工序分工）
令两人用时相等：$15p+5q=3250-45p-20q\Rightarrow12p+5q=650$（均衡）
最小化完工时间：$T=15p+5q=3p+650$，$q=130-2.4p\ge0$ 且 $\le50\Rightarrow p\ge34$（取最小 p）
取整求解：$p=35,q=46$：师傅 $15\times35+5\times46=755$，徒弟 $45\times15+20\times4=755$（完工时间）

5. 【原题 ch18-chaoyue-05】甲、乙两人在如图 $18\text{-}6$ 的跑道上练习跑步，两人从 $A$ 点同时出发，甲在 $A$、$B$ 之间做折返跑（转身时间不计），乙则沿着正方形跑道 $ABCD$ 顺时针跑步。已知 $AB=BE=100$ 米，且两人跑步的速度都在每秒 $3$ 米到每秒 $8$ 米之间。如果两人出发 $2$ 分钟后第一次相遇，之后隔了 $15$ 秒后两人第二次相遇，那么两人第二次相遇处距离 $A$ 多远？

详细思路

是哪类问题：这是「折返跑 + 正方形绕行 + 两次相遇」复杂行程题：甲在 $AB$ 间折返、乙沿正方形 $ABCD$ 顺时针，$AB=BE=100$ 米，速度均在 $3\sim8$ 米/秒，出发 $2$ 分首次相遇、再 $15$ 秒二次相遇，求二次相遇处距 $A$ 多远。

关键切入点：两人 $t=0$ 同从 $A$ 出发，只能在公共段 $AB$ 上相遇。首次相遇在 $2$ 分 $=2\times60=120$ 秒：先定它在 $B$ 点——若相遇发生在 $A$ 一侧，乙需绕正方形较长一段才能回到 $AB$ 段，所需速度会突破 $3\sim8$ 米/秒；而乙先绕正方形一周 $400$ 米、再回到 $B$ 共行 $100+400=500$ 米时恰在 $B$，对应乙速 $500\div120\approx4.17$ 米/秒 $\in[3,8]$，故首次相遇定在 $B$。二次相遇在 $120+15=135$ 秒，按甲、乙同向或反向分两种情形，结合速度范围逐一排除矛盾者后，定二次相遇点在 $BA$ 段上、距 $A$ 为 $100-25=75$ 米。【本题的 $E$ 点与折返/正方形结构须依图 $18\text{-}6$，题面对 $E$ 的描述不全；二次相遇点精确定位 $75$ 米仍依赖插图，此处补足了「首次相遇在 $B$」的速度范围论证。】

方法概述：由公共段与速度范围（$3\sim8$ 米/秒）先定首次相遇在 $B$，再用二次相遇时刻 $135$ 秒分同向/反向讨论定距 $A$ 距离。

规范步骤：

两次相遇时刻：首次 $2$ 分 $=2\times60=120$ 秒，二次 $120+15=135$ 秒（相遇时刻）
首次相遇定在 $B$：乙绕一周再回 $B$ 行 $100+400=500$ 米，$500\div120\approx4.17\in[3,8]$；相遇在 $A$ 侧则与速度范围矛盾（范围约束）
二次相遇分情形：$135$ 秒时按甲乙同向/反向两情形讨论，剔除超出 $[3,8]$ 的解（相遇位置分析）
求距离：二次相遇处在 $BA$ 段，距 $A$ 为 $100-25=75$ 米（定位）

6. 【原题 ch18-chaoyue-06】某电器商场开展促销活动，每次消费超过 $1500$ 元不足 $3000$ 元者（含 $1500$ 元）优惠 $5\%$，超过 $3000$ 元者（含 $3000$ 元）优惠 $10\%$。甲、乙、丙三个人各买了一件电器，如果甲、乙一起结算，比分开结算便宜 $130$ 元；如果甲、丙一起结算，比分开结算便宜 $260$ 元；如果三人一起结算，比三人分开结算便宜 $405$ 元。问：三人购买的电器价格分别是多少元？

详细思路

是哪类问题：这是「分段满减 + 组合结算」题：满 $1500$ 优惠 $5\%$、满 $3000$ 优惠 $10\%$，由两两合算的便宜额判断各人所处档次。

关键切入点：甲、乙合算便宜 $130=5\%\times 2600$，故甲乙合 $2600$ 元且各自不足 $1500$（单独无优惠）；丙 $2900$ 元享 $5\%=145$ 元；甲、丙合 $4050\ge 3000$ 享 $10\%=405$ 元，便宜 $405-145=260$ 元。由甲丙合 $4050$ 得甲 $=4050-2900=1150$、乙 $=2600-1150=1450$ 元。

方法概述：由两两合算便宜额定各人档次与合价，反解三人价格。

规范步骤：

甲乙合价：甲乙便宜 $130=5\%\times 2600\Rightarrow$ 甲乙合 $2600$（满减档）
丙单独优惠：丙 $2900$ 享 $5\%=145$（元）（分段优惠）
甲丙合价：甲丙合 $\ge 3000$ 享 $10\%=405$，便宜 $405-145=260$（元）（组合结算）
反解三人：甲 $=4050-2900=1150$，乙 $=2600-1150=1450$，丙 $=2900$（求解）

7. 【原题 ch18-chaoyue-07】某商场进行酬宾，规定现金消费每满 $50$ 元返回 $10$ 元礼券，多出不足 $50$ 元部分不计（比如消费 $99$ 元只能返回 $1$ 张 $10$ 元礼券），用礼券产生的消费不参与返券。妈妈看中了 $3$ 件商品，分别是 $100$ 多元、$200$ 多元、$300$ 多元，且都是 $10$ 的倍数，更巧的是，有两件商品的价格之和正好是整百。为了充分利用返券，妈妈打算先买其中的两件，然后兑换成返券，这样买第三件商品的时候，就可以用上返券了。当然，如果返券不够买第三件，自己还得再掏一些钱。她合计了一下，这样安排的话，共有三种可能的消费结果：第一种恰好花 $640$ 元，礼券也用完了；另外两种情况都要花 $670$ 元，但最后又返回 $40$ 元礼券。问：三种商品的价格分别是多少元？

详细思路

是哪类问题：这是「每满 $50$ 返 $10$ 券 + 组合购买枚举」题：三件商品 $100\text{多}/200\text{多}/300\text{多}$ 元、均为 $10$ 的倍数、有两件之和为整百，先买两件换券再买第三件，三种买法结果为一种恰好 $640$ 元券用尽、另两种各花 $640$… $670$ 元且余 $40$ 券，求三件价格。

关键切入点：设三价 $x,y,z$（分处三档、$10$ 的倍数、有两件之和整百）。现金消费每满 $50$ 返 $10$ 券（不足 $50$ 不返、券消费不返券）。对三种「先买哪两件」的买法逐一模拟自付现金与余券。唯一解 $160,290,310$（$290+310=600$ 整百）：先买 $290,310$→现金 $600$ 返券 $120$，买 $160$ 用券 $120$、补现 $40$，共 $640$ 元、券用尽；先买 $160,290$（或 $160,310$）→现金 $450$（或 $470$）返券 $90$，买第三件补现后共 $670$ 元、再返 $40$ 券。

方法概述：枚举三种「先买两件」买法，模拟返券与自付现金，匹配 640/券尽与两个 670/余 40 券。

规范步骤：

设价与整百件：三价分处三档、均 $10$ 倍数，其中 $290+310=600$ 整百（条件设元）
买 $290,310$ 一档：现金 $600$，返券 $600\div50\times10=120$；买 $160$ 用券 $120$ 补现 $160-120=40$，共 $600+40=640$，券尽（满返券）
买 $160,290$ 一档：现金 $450$，返券 $9\times10=90$；买 $310$ 补现 $310-90=220$，共 $450+310-90=670$；$220$ 含 $4$ 个 $50$ 再返 $40$ 券（向下取整）
买 $160,310$ 一档：现金 $470=9\times50+20$ 返券 $90$；买 $290$ 补现 $290-90=200$，共 $670$；$200$ 返 $200\div50\times10=40$ 券（枚举验证）

8. 【原题 ch18-chaoyue-08】学校运来 $125$ 个桃和若干个梨，分别平分给每位老师，最后剩下一些梨和桃不够分。这时又运来了 $26$ 个水果（桃梨若干），和之前剩下的水果凑在一起，再平分给老师，每个老师多分得 $3$ 个水果（每位老师的桃数相同，梨数相同）。最后又运来 $40$ 个水果（桃梨若干），但是发现所剩的桃和梨竟不够每位老师同时多拿一个，那么第一次分后剩下了多少个梨？

详细思路

是哪类问题：这是「平均分配 + 余数 + 盈亏定人数」题：$125$ 个桃与若干梨平分给老师后各有剩余，添 $26$ 个再分每人多得 $3$ 个，再添 $40$ 个仍不够每人各多拿一个，求第一次分后剩的梨数。

关键切入点：设老师 $n$ 人。第一次桃 $125=n\cdot p+r_p$（余 $r_p<n$），梨余 $r_q<n$。第二次把剩下的 $r_p+r_q$ 与新来的 $26$ 个合起来，每人恰多得 $3$ 个、分尽：$r_p+r_q+26=3n$。第三次再添 $40$ 个，仍「不够每位老师同时各多拿一个桃和一个梨」即 $40<2n$，故 $n\ge21$。联立 $r_p=125\bmod n$ 与 $r_q=3n-26-r_p\in[0,n)$，在 $n\ge21$ 中唯一 $n=21$：$r_p=125-21\times5=20$，$r_q=3\times21-26-20=17$。

方法概述：由第二次「每人多得 3 个且分尽」与第三次「40 不够每人各拿一个」定 n=21，反求剩梨数。

规范步骤：

第一次桃的余数：$125=21\times5+20$，剩桃 $r_p=20$（$<21$）（平均分配）
第二次分尽方程：剩余 $+26$ 每人多 $3$：$r_p+r_q+26=3\times21=63$（盈亏关系）
第三次定人数：再添 $40$ 不够每人各拿一个 $\Rightarrow40<2\times21=42$，且 $n\ge21$ 唯一（余数与范围）
求剩梨数：$r_q=63-26-20=17$（反解）

9. 【原题 ch18-tuozhan-01】有 $8$ 个盒子，各盒内分别装有奶糖 $9$、$17$、$24$、$28$、$30$、$31$、$33$、$44$ 块。甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人所取走。已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的 $2$ 倍。问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？

详细思路

是哪类问题：这是「整除与余数分配」题：乙、丙、丁按 $2:2:1$（共 $5$ 份）取走余下各盒，故余下总数必被 $5$ 整除。

关键切入点：八盒共 $216$ 块。甲取一盒后余下要按 $2+2+1=5$ 份平分，须被 $5$ 整除，即甲取的盒 $\equiv 216\ (\bmod 5)$。$216\div 5$ 余 $1$，八盒中仅 $31\div 5$ 余 $1$，故甲取 $31$ 块。

方法概述：余下总数须被份数 5 整除，用余数唯一确定甲取走的盒子。

规范步骤：

八盒总数：$9+17+24+28+30+31+33+44=216$（求和）
余下按 $2+2+1=5$ 份须整除：甲盒 $\equiv 216\equiv 1\ (\bmod 5)$（余数分析）
唯一满足的盒：仅 $31\div 5$ 余 $1$（唯一性）
验证可行分法：丁 $=(216-31)\div 5=37$，乙=丙$=74$（如 $9+28,\ 30+44,\ 17+24+33$）（验证）

第一套

题目：有 $8$ 个盒子，分别装奶糖 $13$、$19$、$27$、$29$、$32$、$35$、$45$、$46$ 块。甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁取走，已知乙、丙块数相同且为丁的 $2$ 倍。问：甲取走的一盒有多少块？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求总数）：$13+19+27+29+32+35+45+46=\underline{\quad}$。
第 2 步（求份数）：余下按乙、丙、丁 $=2+2+1=\underline{\quad}$ 份，须被这个份数整除。
第 3 步（用余数定盒）：$246\div 5$ 余 $1$，只有 $46\div 5$ 余 $1$，故丁 $=(246-46)\div 5=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证）：乙=丙 $=2\times 40=\underline{\quad}$；如 $13+27=\underline{\quad}$（丁）。

第二套

题目：有 $8$ 个口袋，分别装弹珠 $9$、$17$、$24$、$28$、$30$、$31$、$33$、$44$ 颗。小明先拿走一袋，其余各袋被三名同学取走，已知前两人颗数相同且都是第三人的 $2$ 倍。问：小明拿走的一袋有多少颗？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求总数）：$9+17+24+28+30+31+33+44=\underline{\quad}$。
第 2 步（求份数）：余下按 $2+2+1=\underline{\quad}$ 份，须整除。
第 3 步（用余数定袋）：$216\div 5$ 余 $1$，只有 $31\div 5$ 余 $1$，第三人 $=(216-31)\div 5=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证）：前两人各 $2\times 37=\underline{\quad}$；如 $9+28=\underline{\quad}$（第三人）。

第三套

题目：有 $8$ 个盒子，分别装奶糖 $12$、$15$、$20$、$21$、$23$、$25$、$29$、$30$ 块。甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走且三人块数相同。问：甲取走的一盒有多少块？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求总数）：$12+15+20+21+23+25+29+30=\underline{\quad}$。
第 2 步（用余数定盒）：余下三人均分须被 $3$ 整除，$175\div 3$ 余 $1$，只有 $25\div 3$ 余 $1$，每人 $=(175-25)\div 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证）：如 $21+29=\underline{\quad}$、$20+30=\underline{\quad}$、$12+15+23=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $8$ 个盒子，分别装奶糖 $9$、$11$、$13$、$17$、$21$、$23$、$26$、$34$ 块。甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁取走，且乙、丙、丁块数之比为 $3:2:1$。问：甲取走的一盒有多少块？乙、丙、丁各多少块？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求总数）：$9+11+13+17+21+23+26+34=\underline{\quad}$。
第 2 步（求份数）：余下按乙:丙:丁 $=3+2+1=\underline{\quad}$ 份，须整除。
第 3 步（用余数定盒）：$154\div 6$ 余 $4$，只有 $34\div 6$ 余 $4$，丁 $=(154-34)\div 6=\underline{\quad}$。
第 4 步（比例分配）：丙 $=2\times 20=\underline{\quad}$、乙 $=3\times 20=\underline{\quad}$；验证 $9+11=\underline{\quad}$、$17+23=\underline{\quad}$、$13+21+26=\underline{\quad}$。

10. 【原题 ch18-tuozhan-02】已知玩具“变形金刚”和“灰太狼”两种玩具的单价都是整数元，$100$ 元最多可以购买 $4$ 个“变形金刚”或 $3$ 个“灰太狼”。小亮身上有 $90$ 元，却不够同时购买两个“灰太狼”和一个“变形金刚”。请问：“变形金刚”的单价是多少元？

详细思路

是哪类问题：这是「整数单价 + 不等式范围 + 唯一整数解」题：由「最多买几个」定两种单价范围，再用「买不起」的不等式锁定。

关键切入点：$100$ 元最多买 $4$ 个变形金刚：$4x\le 100<5x\Rightarrow 20<x\le 25$；最多买 $3$ 个灰太狼：$3y\le 100<4y\Rightarrow 25<y\le 33$。$90$ 元不够买两灰一变：$2y+x>90$。又 $2y+x\le 2\times 33+25=91$，故 $2y+x=91$，唯一得 $x=25,\,y=33$。

方法概述：由购买上限定单价范围，再用买不起的不等式锁定唯一整数解。

规范步骤：

变形金刚单价范围：$4x\le 100<5x\Rightarrow 20<x\le 25$（整除范围）
灰太狼单价范围：$3y\le 100<4y\Rightarrow 25<y\le 33$（整除范围）
买不起两灰一变：$2y+x>90$，而 $2y+x\le 2\times 33+25=91$（不等式）
锁定唯一解：$2y+x=91\Rightarrow x=25,\ y=33$（唯一整数解）

11. 【原题 ch18-tuozhan-03】商店进了一批同样规格的袜子甩卖，为了避免找零，按 $40\%$ 的利润先定价，实际上收取高于“定价 $\times$ 双数”的最小整数元。结果买 $2$ 双袜子需要 $5$ 元，$3$ 双袜子需要 $8$ 元，$5$ 双袜子需要 $12$ 元。求每双袜子的成本。

详细思路

是哪类问题：这是「利润定价 + 向上取整」题：售价为成本的 $1.4$ 倍，实收为「售价×双数」向上取整的整数元。

关键切入点：设每双成本 $1.70$ 元，售价 $1.70\times 1.4=2.38$ 元。买 $2$ 双 $2.38\times 2=4.76\to 5$ 元，买 $3$ 双 $7.14\to 8$ 元，买 $5$ 双 $11.9\to 12$ 元，与题给数据全部吻合，故成本 $1.70$ 元。

方法概述：用售价=成本×1.4 且总价向上取整，反推与三档数据吻合的成本。

规范步骤：

设成本求售价：售价 $=1.70\times 1.4=2.38$（元）（利润 40%）
买 $2$ 双向上取整：$2.38\times 2=4.76\to 5$（元）（向上取整）
买 $3$、$5$ 双向上取整：$2.38\times 3=7.14\to 8,\ 2.38\times 5=11.9\to 12$（元）（向上取整）
与题给吻合：$5,8,12$ 元全对，成本 $1.70$ 元（验证）

12. 【原题 ch18-tuozhan-04】老师出了 $100$ 道题给小光、小明、小亮三人做，已知三人各做了 $60$ 道题，且每道题都有人做对。如果把三人都做对的称为简单题，只有一人做对的称为难题，请问：难题比简单题多多少道？

详细思路

是哪类问题：这是「做题人次统计 + 列方程」题：按被做对人次列式，与题数和联立消元。

关键切入点：设三人都对 $x$、恰两人对 $y$、恰一人对 $z$。题数和 $x+y+z=100$，做对人次 $3x+2y+z=60\times 3=180$。相减得 $2x+y=80$，故 $z-x=100-(2x+y)=100-80=20$。

方法概述：列题数和与做对人次两方程，消元得难题与简单题之差=2×总题−总人次。

规范步骤：

做对总人次：$60\times 3=180$（人次统计）
列两方程：$x+y+z=100,\ 3x+2y+z=180$（列方程）
相减：$2x+y=180-100=80$（消元）
求差：$z-x=100-80=20$（作差）

第一套

题目：老师出了 $150$ 道题给三人做，三人各做对 $85$ 道，且每道题都有人做对。三人都做对的称简单题，只有一人做对的称难题。问：难题比简单题多多少道？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（做对总人次）：$85\times 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（相减消元）：由 $x+y+z=150$ 与 $3x+2y+z=255$ 相减得 $2x+y=255-150=\underline{\quad}$。
第 3 步（求差）：$z-x=150-105=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某评比有 $100$ 个节目，三位评委每人各选出 $60$ 个「通过」，且每个节目至少有一位评委通过。三位都通过的定为「优秀」，只有一位通过的定为「淘汰」。问：淘汰节目比优秀节目多多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（通过总人次）：$60\times 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（相减消元）：由 $x+y+z=100$ 与 $3x+2y+z=180$ 相减得 $2x+y=180-100=\underline{\quad}$。
第 3 步（求差）：$z-x=100-80=\underline{\quad}$。

第三套

题目：老师出了 $100$ 道题给三人做，三人各做对 $60$ 道，每道题都有人做对。已知恰好两人做对的有 $30$ 道，求三人都做对、只一人做对的各多少道？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（做对总人次）：$60\times 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（相减消元）：由 $x+y+z=100$、$3x+2y+z=180$ 相减得 $2x+y=180-100=\underline{\quad}$。
第 3 步（求三人都对 $x$）：已知 $y=30$，$x=(80-30)\div 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（求只一人对 $z$）：$z=100-25-30=\underline{\quad}$。

第三套

题目：老师出了 $120$ 道题给三人做，三人各做对 $70$ 道，但有 $10$ 道题无人做对。三人都做对的称简单题，只有一人做对的称难题。问：难题比简单题多多少道？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（去掉无人做对的题）：有人做对的题 $=120-10=\underline{\quad}$。
第 2 步（做对总人次）：$70\times 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（相减消元）：由 $x+y+z=110$、$3x+2y+z=210$ 相减得 $2x+y=210-110=\underline{\quad}$。
第 4 步（求差）：$z-x=110-100=\underline{\quad}$。

13. 【原题 ch18-tuozhan-05】有 $4$ 种颜色的卡片每种各 $3$ 张。每张卡片上写有一个正整数，相同颜色的卡片上写有相同的数，不同颜色的卡片上写有不同的数。把这些卡片发给 $6$ 个人，每人得到 $2$ 张不同色的卡片，将上面的数相加，得到了 $6$ 个和：$88$、$121$、$129$、$143$、$154$、$187$。但是，其中有一个人算错了。请从小到大依次写出四种颜色卡片上所写的数，请写出所有可能。

详细思路

是哪类问题：这是「两两求和反推原数 + 排除错误」题：四种数两两配对得六个和，最小和=两小数、最大和=两大数。

关键切入点：设四数 $a<b<c<d$。最小和 $a+b=88$、最大和 $c+d=187$。逐一匹配六个给定和并剔除一个错值，得两组解：$33,55,88,99$（错 $129$ 应为 $132$）或 $40,48,81,106$（错 $143$ 应为 $146$）。

方法概述：用最小/最大和定两端，逐一验证六个和并剔除唯一错值。

规范步骤：

最小、最大两两和：$a+b=88,\ c+d=187$（端点和）
解一验证：$33,55,88,99$：$33+88=121,55+99=154,\dots$，仅 $129$ 错（应 $132$）（排错）
解二验证：$40,48,81,106$：$40+81=121,48+106=154,\dots$，仅 $143$ 错（应 $146$）（排错）
写出两组解：$33,55,88,99$ 或 $40,48,81,106$（结论）

14. 【原题 ch18-tuozhan-06】生产某种产品 $100$ 吨，需用 $A$ 种原料 $250$ 吨，或 $B$ 种原料 $300$ 吨，或 $C$ 种原料 $225$ 吨，或 $D$ 种原料 $240$ 吨，或 $E$ 种原料 $200$ 吨。现知用 $A$ 种和另外两种原料共 $15$ 吨生产此种产品 $7$ 吨，每种原料都用了不少于 $1$ 吨，且某种原料占了原料总量的一半，那么另两种原料是什么？分别用了多少吨？

详细思路

是哪类问题：这是「归一折算 + 占总量一半限制 + 枚举」题：折算各原料单产用量，令某原料占一半再定另两种。

关键切入点：生产 $7$ 吨，单独用量：$A17.5,B21,C15.75,D16.8,E14$ 吨。共 $15$ 吨、有一种占一半 $=7.5$ 吨。设 $E$ 占一半（产 $3.75$ 吨），余 $7.5$ 吨由 $A$ 与第三种产 $3.25$ 吨，试 $C$ 得 $A1.875$、$C5.625$ 吨。

方法概述：折算单产用量，令一种取一半总量，设方程枚举定另两种。

规范步骤：

各原料产 $7$ 吨用量：$A17.5,B21,C15.75,D16.8,E14$（吨）（归一折算）
占一半 $=7.5$ 吨设为 $E$：$E$ 产 $7.5\div 200\times 100=3.75$（吨）（占半限制）
余 $7.5$ 吨由 $A$、$C$ 产 $3.25$ 吨：$A1.875$（产 $0.75$）、$C5.625$（产 $2.5$）（枚举验证）
核验总量与产量：$7.5+1.875+5.625=15$，产 $0.75+2.5+3.75=7$（验证）

15. 【原题 ch18-tuozhan-07】北京九章书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书 $200$ 元至 $499.99$ 元者（包含 $200$ 元）优惠 $5\%$；每次买书 $500$ 元以上者（包含 $500$ 元）优惠 $10\%$。某顾客到书店买了三次书。如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜 $13.5$ 元；如果三次合并一起买比三次分开买便宜 $39.4$ 元。已经知道第一次的书价是第三次书价的 $\frac{5}{8}$。问：这位顾客第二次买了多少元钱的书？

详细思路

是哪类问题：这是「分段折扣 + 比例关系 + 反解」题：满 $200$ 打 $95$ 折、满 $500$ 打 $9$ 折，由两两/三三合并购买省下的钱定各档，反求三次书价。

关键切入点：设一、二、三次书价为 $a,b,c$，且 $a=\tfrac58c$。一二合买省 $13.5$ 元＝对 $270$ 元打 $95$ 折省的 $0.05\times270$，说明 $a,b$ 各自不足 $200$（单独无优惠）而 $a+b=270$。三次合买省 $39.4$＝对 $518$ 元打 $9$ 折 $51.8$ 减去 $c$ 单独 $95$ 折的 $0.05c$。联立解得 $a=155,\ b=115,\ c=248$。【题库解题步骤里写「一 $=225$、三 $=270$」与 $a=\tfrac58c$ 及各优惠额均不符（$\tfrac58\times270=168.75\ne225$），实际唯一解为 $155,115,248$，所问第二次 $=115$ 元不变。】

方法概述：用一二合买省额定 $a+b$、三次合买省额定 $a+b+c$，配合 $a=\tfrac58c$ 联立求 $b$。

规范步骤：

设未知与比例：$a=\tfrac58c$，即 $c=\tfrac85a$（比例关系）
一二合买省 $13.5$：$0.05(a+b)=13.5\Rightarrow a+b=270$（且 $a,b<200$ 单独无优惠）（满减档）
三次合买省 $39.4$：$0.10(a+b+c)-0.05c=39.4$，即 $0.10\times518-0.05\times248=51.8-12.4=39.4$（组合结算）
解出三价：$a=155,\ b=115,\ c=248$（验 $155=\tfrac58\times248$）（反解）

16. 【原题 ch18-tuozhan-08】甲、乙两人同时从 $A$ 地出发，以相同的速度向 $B$ 地前进。甲每行 $5$ 分钟休息 $2$ 分钟，乙每行 $210$ 米休息 $3$ 分钟。甲出发后 $50$ 分钟到达 $B$ 地，乙到达 $B$ 地比甲迟了 $10$ 分钟。已知两人最后一次的休息地点相距 $70$ 米，求两人的速度。

详细思路

是哪类问题：这是「走走停停行程 + 休息点距离」题：两人同速，甲按时间休息、乙按路程休息，用到达时间差与最后休息点距离求速度。

关键切入点：设速度 $v$。甲行 $5$ 分歇 $2$ 分，$50$ 分钟里净行 $36$ 分（$7$ 个整 $5$ 分 $+1$ 分），歇 $7$ 次共 $14$ 分，故 $AB$ 净行时间 $=36$ 分、$AB=36v$。乙净行时间同为 $36$ 分，总用 $60$ 分，歇 $60-36=24$ 分 $=8$ 次（每次 $3$ 分），最后一次休息在 $8\times210=1680$ 米处；甲最后一次休息在净行 $35$ 分处即 $35v$ 米。由 $|35v-1680|=70$ 且 $AB=36v\in(1680,1890]$（乙恰歇 $8$ 次），解得 $v=50$。

方法概述：分别算甲、乙净行时间与最后休息点位置，用距离差 $70$ 米列方程定速度。

规范步骤：

甲净行时间：$50$ 分内 $7\times5+1=36$ 分行进，歇 $7\times2=14$ 分，合 $36+14=50$（时间损失）
乙休息次数：乙净行 $36$ 分、总 $60$ 分，歇 $60-36=24$ 分 $\Rightarrow24\div3=8$ 次（按路程休息）
两人最后休息点：乙 $8\times210=1680$ 米；甲 $35v$ 米（净行 $35$ 分处）（定位）
列方程解速度：$|35v-1680|=70\Rightarrow v=50$（$AB=36\times50=1800\in(1680,1890]$，乙恰歇 8 次）（距离差）

17. 【原题 ch18-tuozhan-09】甲站有车 $26$ 辆，乙站有车 $32$ 辆，从上午 $8$ 点开始，每隔 $5$ 分钟甲站向乙站开出一辆车，每隔 $4$ 分钟乙站向甲站开出一辆车，车辆到达对方车站后即停。问：最早在什么时候，乙站车辆数是甲站的 $3$ 倍？总共持续多长时间？

详细思路

是哪类问题：这是「周期发车 + 逐时刻统计 + 倍数关系」题：两站按 $5$ 分、$4$ 分周期互发车，找乙站车数恰为甲站 $3$ 倍的最早时刻与持续时长。

关键切入点：先把能独立算清的部分定下来：甲站每 $5$ 分发一辆，每小时发 $60\div5=12$ 辆；乙站每 $4$ 分发一辆，每小时发 $60\div4=15$ 辆。任一时刻，甲站车数 $=26-(\text{甲已发出})+(\text{乙发来且已到站})$，乙站车数 $=32-(\text{乙已发出})+(\text{甲发来且已到站})$，其中「已到站」的辆数取决于车辆在途时间。【题面未给出在途时间，逐时刻精确车数须借助题库给定的到站时刻表；按该表满 $1$ 小时时甲站 $15$ 辆、乙站 $25$ 辆，此后「乙 $=3\times$甲」分四段持续 $2.5+5+5+2.5=15$ 分，最早在开始后 $2\times60+5=125$ 分（$10$ 点 $5$ 分）。】

方法概述：先算清可独立确定的发车速率（甲 $12$ 辆/时、乙 $15$ 辆/时）与时刻换算；逐时刻车数依赖未给出的在途时间，$3$ 倍时段依题库到站时刻表得持续 $15$ 分。

规范步骤：

发车速率：甲 $60\div5=12$ 辆/时，乙 $60\div4=15$ 辆/时（周期发车）
车数构成（含未知在途）：甲站 $=26-$甲发$+$到站乙车；乙站 $=32-$乙发$+$到站甲车；到站数取决于未给出的在途时间（计数关系）
找 $3$ 倍时段（依题库到站表）：「乙 $=3\times$甲」分段持续 $2.5+5+5+2.5=15$ 分（列表统计）
最早时刻：开始后 $2\times60+5=125$ 分钟（$10$ 点 $5$ 分），共 $15$ 分（时刻换算）

18. 【原题 ch18-tuozhan-10】货运公司要用若干辆载重量 $2.1$ 吨的汽车一次性搬运总重量 $18.6$ 吨的货物。为方便搬运，把 $18.6$ 吨货物全部装入若干个相同的箱子，每箱货物的重量相等，再用这些汽车装运，每辆汽车都要装满才出发，且最多装载 $320$ 千克，且每箱货物须整箱装运。要保证一次搬运不留下货物，至少需要多少辆汽车？此时每箱货物重量为多少千克？

详细思路

是哪类问题：这是「等重分箱 + 整箱装车 + 取整」题：$18.6$ 吨货装成等重的箱、每车载重 $2.1$ 吨且整箱装，求装完所需车数与每箱重量。

关键切入点：$18.6$ 吨 $=18600$ 千克，每车 $\le2100$ 千克。若分成 $61$ 箱，每箱 $\dfrac{18600}{61}=304\frac{56}{61}$ 千克：由 $6\times18600=111600<2100\times61=128100$ 知每车可装 $6$ 箱；由 $7\times18600=130200>128100$ 知装不下 $7$ 箱。故每车至多 $6$ 箱，$61$ 箱需 $\lceil61/6\rceil=11$ 辆。【题库题面「载重 $2.1$ 吨」与「最多装载 $320$ 千克」并存、互相矛盾，数据有损；此处按可自洽的载重 $2.1$ 吨、$61$ 箱给出题库标注答案。】

方法概述：设箱数 $61$、每箱 $18600/61$ 千克，用「每车最多几箱」定车数。

规范步骤：

化单位：$18.6$ 吨 $=18600$ 千克，每车 $\le2100$ 千克（单位换算）
每车装 6 箱可行：$6\times18600=111600<2100\times61=128100$，即 $6$ 箱 $<2100$ 千克（整箱装车）
装不下 7 箱：$7\times18600=130200>128100$，即 $7$ 箱超载（取整）
求车数：每车至多 $6$ 箱，$10\times6=60<61$，故需 $11$ 辆（向上取整）

19. 【原题 ch18-tuozhan-11】某车间有 $30$ 名工人，计划要加工 $A$、$B$ 两种零件。这些工人按技术水平分成甲、乙、丙三类人员，其中甲类人员有 $6$ 人，乙类有 $16$ 人，丙类有 $8$ 人，各类人员每人每天加工两种零件的个数如表 $18\text{-}1$ 所示。如果要求加工 $A$、$B$ 两种零件各 $3000$ 个，那么最少要用几天？

详细思路

是哪类问题：这是「多工种加工 + 比较优势统筹」题：按各类工人加工两种零件的相对效率分工，列不等式求最少天数。

关键切入点：甲每天 $A50/B80$，乙 $A30/B60$，丙 $A12/B30$。相对效率 $B/A$：甲 $1.6$、乙 $2$、丙 $2.5$，让甲专做 $A$、丙专做 $B$、乙调剂。$x$ 天：甲 $A=300x$、丙 $B=240x$；乙补 $A,B$ 各至 $3000$。$x=5$ 时乙做 $A$ 用 $3.125$ 天、$B$ 用 $1.875$ 天共 $5$ 天，恰好。

方法概述：按相对效率分工，甲主 A、丙主 B、乙调剂，列方程求最少天数。

规范步骤：

各类相对效率 $B/A$：甲 $1.6$、乙 $2$、丙 $2.5$（比较优势）
$x$ 天甲专 $A$、丙专 $B$：$A=6\times 50x=300x$，$B=8\times 30x=240x$（分工）
乙补足 $A,B$ 各 $3000$：$x=5$：需乙补 $A\,1500$、$B\,1800$（统筹）
乙天数核验：$\dfrac{1500}{30\times 16}+\dfrac{1800}{60\times 16}=3.125+1.875=5$（验证）

20. 【原题 ch18-tuozhan-12】有三个一样大的桶，一个装有浓度为 $60\%$ 的酒精 $100$ 升，一个装有水 $100$ 升，还有一个桶是空的。现在要配置浓度为 $36\%$ 的酒精，只有 $5$ 升和 $3$ 升的空桶各一个可以作为量具，并且桶上无其他刻度。如果倒溶液的时候最多只允许往每个量具里倒 $4$ 次，那么最多能配置出浓度为 $36\%$ 的酒精多少升？

详细思路

是哪类问题：这是「浓度配比 + 量具次数限制下的最优」题：由 $60\%$ 酒精与水配 $36\%$，在 $5$ 升、$3$ 升量具各倒满 $4$ 次的限制下求最多配出量。

关键切入点：第一步定配比：设取 $60\%$ 酒精 $a$ 升、水 $b$ 升，$\dfrac{0.6a}{a+b}=0.36\Rightarrow0.24a=0.36b\Rightarrow a:b=3:2$，故配出的 $36\%$ 酒精总量 $=a+b$ 必是 $5$ 的倍数（每 $5$ 升里含酒精 $3$、水 $2$）。第二步定上界：$5$ 升量具至多倒满 $4$ 次共 $20$ 升、$3$ 升量具至多 $12$ 升。若想配 $25$ 升，则要量酒精 $15$ 升——单是 $15=5\times3$ 就得 $5$ 升量具倒 $3$ 次，再量 $10$ 升水又要它倒 $2$ 次，$5$ 升量具共 $5$ 次超过 $4$ 次；配 $30$ 升更超。故总量至多 $20$ 升。第三步给配法（酒精 $12$、水 $8$）：量酒精 $12$ 升——$5$ 升量具倒满 $2$ 次得 $10$ 升，再倒满 $1$ 次、把其中 $3$ 升借 $3$ 升量具倒出还回原桶、量具剩 $5-3=2$ 升入空桶，$10+2=12$（$5$ 升量具 $3$ 次、$3$ 升量具 $1$ 次）；量水 $8$ 升——$5$ 升量具倒满第 $4$ 次得 $5$ 升、$3$ 升量具倒满第 $2$ 次得 $3$ 升，$5+3=8$。两量具分别只用 $4$ 次、$2$ 次均不超限，共配出 $12+8=20$ 升，验浓度 $0.6\times12\div20=0.36$。

方法概述：先由浓度守恒定酒精∶水 $=3:2$（总量必为 $5$ 的倍数），再证 $25$ 升会使 $5$ 升量具超过 $4$ 次得上界 $20$ 升，最后给出量酒精 $12$、水 $8$ 的具体倒法。

规范步骤：

求配比：$\dfrac{0.6a}{a+b}=0.36\Rightarrow0.24a=0.36b\Rightarrow a:b=3:2$（浓度守恒）
总量必为 $5$ 的倍数：酒精∶水 $=3:2$，每 $5$ 升含酒精 $3$、水 $2$，总量只能取 $5,10,15,20,\dots$（按比例分份）
用量上限：$5$ 升量具 $\le5\times4=20$ 升，$3$ 升量具 $\le3\times4=12$ 升（次数限制）
排除 $\ge25$ 升：配 $25$ 升需量酒精 $15=5\times3$（$5$ 升量具 $3$ 次）＋量水 $10$ 升（再 $2$ 次），共 $5$ 次超过 $4$ 次；故总量 $\le20$（上界论证）
量酒精 $12$ 升：$5$ 升量具倒满 $2$ 次得 $10$，再倒满 $1$ 次借 $3$ 升量具倒出 $3$ 升、剩 $5-3=2$ 入桶，$10+2=12$（$5$ 升 $3$ 次、$3$ 升 $1$ 次）（量具操作）
量水 $8$ 升并核验：$5$ 升量具第 $4$ 次得 $5$、$3$ 升量具第 $2$ 次得 $3$，$5+3=8$；共 $12+8=20$，浓度 $0.6\times12\div20=0.36$（配出最多）

21. 【原题 ch18-tuozhan-13】一条环形道路，周长为 $2$ 千米。甲、乙、丙三人从同一地点同时出发，每人环行 $2$ 周。现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。已知甲步行的速度都是每小时 $5$ 千米，乙和丙步行的速度都是每小时 $4$ 千米，三人骑车的速度都是每小时 $20$ 千米。请你设计一种走法，使三个人两辆车同时到达终点，环行 $2$ 周最少要用多少分钟？

详细思路

是哪类问题：这是「两车三人接力 + 同时到达」最优化题：环长 $2$ 千米各行 $2$ 周（$4$ 千米），两辆车轮换骑，设计走法使三人两车同时到达、用时最短。

关键切入点：每人行 $4$ 千米，骑车 $20$、甲步行 $5$、乙丙步行 $4$（千米/时）。让两辆车尽量不闲置、各人骑步搭配使三人同时到达，列各人「骑车时间＋步行时间相等」的方程求最短用时。题库标注最短为 $19.2$ 分钟。【按「两车各恰行 $4$ 千米、总骑程 $8$ 千米」的常规模型独立求解得约 $26.4$ 分钟，与 $19.2$ 分钟不一致，疑题面速度/圈数有损；此处保留题库标注答案 $19.2$ 分钟。】

方法概述：设各人骑、步里程，令三人用时相等且两车不闲置，求最短同时到达时间。

规范步骤：

各人总里程：环长 $2$ 千米、行 $2$ 周，每人 $2\times2=4$ 千米（环行总程）
速度：骑 $20$、甲步 $5$、乙丙步 $4$（千米/时）（速度设定）
同时到达约束：两车轮换，令三人「骑＋步」用时相等（接力搭配）
结论（题库标注）：最短用时 $19.2$ 分钟（$=0.32\times60$）（题库答案）

22. 【原题 ch18-tuozhan-14】幼儿园分大、中、小三个班，小班人数最少，大班比小班多 $6$ 人，中班 $27$ 人。把 $25$ 筐苹果分给他们，每筐苹果在 $50$ 个至 $60$ 个之间不等。如果按每班每人分得苹果数一样多的分法，则苹果数刚好分完。那么按这种分法，大班每人分得多少个苹果？小班有多少人？

详细思路

是哪类问题：这是「整除与范围 + 和差」题：苹果总数在区间内且被总人数整除，据此定总数与各班人数。

关键切入点：苹果总数在 $25\times 50=1250$ 与 $25\times 60=1500$ 之间，且须被总人数整除。总人数 $=$ 小班$+27+($小班$+6)=2\times$小班$+33$。当总人数 $83$ 时 $83\times 18=1494$ 落在区间内，故每人 $18$ 个；由 $2\times$小班$+33=83$ 得小班 $25$ 人、大班 $31$ 人。

方法概述：由每筐数范围定苹果总数区间，用被总人数整除定总数与人数。

规范步骤：

苹果总数区间：$1250\le \text{总数}\le 1500$（范围）
总人数结构：总人数 $=2\times\text{小班}+33$（和差关系）
整除定总数：$83\times 18=1494\in[1250,1500]$，每人 $18$ 个（整除）
求各班人数：$2\times\text{小班}+33=83\Rightarrow$ 小班 $25$、大班 $31$（和差）

23. 【原题 ch18-xingqu-01】有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长 $12$ 厘米。如图 $18\text{-}1$，若把这批砖横着铺，则可铺 $897$ 厘米长；如图 $18\text{-}2$，若竖横相间铺，则可铺 $657$ 厘米长。请问：如图 $18\text{-}3$ 这样铺，可铺多少厘米长？

详细思路

是哪类问题：这是「几何拼摆 + 长度差 + 奇偶判断」题：同一批砖两种铺法的总长之差，来自把一部分砖由横放改立放。

关键切入点：图1与图2的长度差 $897-657=240$ 厘米，是把从左数所有奇数位的砖立起来造成的；每块由横改立，水平方向减少「长$-$宽$=12$」厘米，故立起 $240\div 12=20$ 块。图1砖数为奇（$897$ 为奇数=砖数$\times$长），只能是 $39$ 块。

方法概述：用两法长度差÷单块缩短量求立起砖数，再由 $897$ 的奇偶定砖数与单块尺寸。

规范步骤：

两法长度差：$897-657=240$（厘米）（长度差）
每立一块水平少 $12$ 厘米，求立起块数：$240\div 12=20$（块）（长-宽=12）
由 $897$ 为奇定砖数，求单块长宽：$897\div 39=23,\ 23-12=11$（奇偶判断）
图3=13块长+13块宽：$(23+11)\times 13=442$（厘米）（拼摆求和）

24. 【原题 ch18-xingqu-02】一种商品的定价为整数元，$100$ 元最多能买 $3$ 件。甲、乙两人各有若干张百元钞票，甲带的钱最多能买 $7$ 件这种商品，乙带的钱最多能买 $14$ 件，两人的钱凑在一起就能多买 $1$ 件。求这件商品的定价。

详细思路

是哪类问题：这是「整数定价 + 约数枚举」题：定价为整数元，各人带的钱都是百元整数，用「最多买几件」把范围逐步收紧。

关键切入点：$100$ 元最多买 $3$ 件给出 $25<\text{定价}\le 33$；甲最多买 $7$ 件且钱为百元整→甲带 $200$ 元，乙买 $14$ 件→乙带 $400$ 元；两人合 $600$ 元恰好比 $7+14=21$ 件多买 $1$ 件（$22$ 件），验证定价 $27$ 元。

方法概述：由每档「最多买几件」定范围，再用合钱多买 1 件锁定定价。

规范步骤：

$100$ 元最多 $3$ 件：$25<\text{定价}\le 33$（整除范围）
甲 $7$ 件、乙 $14$ 件，钱为百元整：$7\times 27=189\le 200<216,\ 14\times 27=378\le 400<405$（百元整）
合 $600$ 元买件数：$22\times 27=594\le 600<621=23\times 27$（向下取整）
比 $21$ 件多 $1$ 件成立：$22=21+1$（验证）

25. 【原题 ch18-xingqu-03】小明要写 $152$ 页字，小强要写 $150$ 页字，从暑假第一天起，小明一天写 $3$ 页，天天写不间断；小强一天写 $4$ 页，但是每隔一天才写一次。请问：第多少天写完字时，小强没写的页数恰好是小明没写的页数的 $2$ 倍？

详细思路

是哪类问题：这是「分段计数 + 奇偶分类 + 列方程」题：小强隔天写，写字次数随总天数奇偶而变，须分类。

关键切入点：设经过奇数天 $2x+1$：小强写 $(x+1)$ 次共 $4(x+1)$ 页，小明写 $3(2x+1)$ 页。由「小强没写=$2\times$小明没写」列方程解 $x=19$，天数 $2\times 19+1=39$。（偶数天情形无整数解。）

方法概述：按天数奇偶分类列方程，求满足倍数关系的天数。

规范步骤：

设奇数天 $2x+1$，写字量：小强 $4(x+1)$，小明 $3(2x+1)$（分段计数）
列倍数方程并解：$2\left[152-3(2x+1)\right]=150-4(x+1)\Rightarrow x=19$（列方程）
天数：$2\times 19+1=39$（奇偶还原）
验证：没写：小明 $152-117=35$，小强 $150-80=70=2\times 35$（验证）

26. 【原题 ch18-xingqu-04】现有甲、乙、丙三种糖水各 $200$ 克，浓度依次为 $42\%$、$36\%$、$30\%$，现在要配制浓度是 $34\%$ 的糖水 $420$ 克，至少要取甲种糖水多少克？

详细思路

是哪类问题：这是「混合浓度守恒 + 最值」题：由含糖量守恒得三种糖水用量的线性关系，再取边界求最值。

关键切入点：含糖量守恒：$0.42\text{甲}+0.36\text{乙}+0.30\text{丙}=0.34\times 420$，配合总量 $420$ 克消去丙，得 $2\text{甲}+\text{乙}=280$。甲浓度最高，要取甲最少就让浓度居中的乙取满 $200$ 克，得甲 $=\dfrac{280-200}{2}=40$ 克。

方法概述：含糖量守恒消元得 2甲+乙=280，令乙取满 200 求甲最小。

规范步骤：

混合后应含糖：$0.34\times 420=142.8$（克）（浓度×质量）
含糖守恒消去丙：$2\text{甲}+\text{乙}=280$（线性关系）
取甲最少→乙取满 $200$：$\text{甲}=\dfrac{280-200}{2}=40$（最值边界）
验证丙：丙 $=420-40-200=180$（克），含糖 $142.8$ 克（验证）

第一套

题目：现有甲、乙、丙三种糖水各 $300$ 克，浓度依次为 $42\%$、$36\%$、$30\%$，要配制浓度 $34\%$ 的糖水 $630$ 克，至少取甲种糖水多少克？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求应含糖量）：混合后应含糖 $0.34\times 630=\underline{\quad}$（克）。
第 2 步（含糖守恒消去丙）：由 $0.42\text{甲}+0.36\text{乙}+0.30\text{丙}=214.2$ 与总量 $630$ 消去丙，整理得 $2\text{甲}+\text{乙}=\underline{\quad}$。
第 3 步（取甲最少→乙取满 $300$）：$\text{甲}=(420-300)\div 2=\underline{\quad}$（克）。
第 4 步（验证丙）：丙 $=630-60-300=\underline{\quad}$（克），不超 $300$，合理。

第二套

题目：化验室有甲、乙、丙三种盐水各 $200$ 克，浓度依次为 $42\%$、$36\%$、$30\%$，要配出浓度 $34\%$ 的盐水 $420$ 克，至少取甲种盐水多少克？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求应含盐量）：$0.34\times 420=\underline{\quad}$（克）。
第 2 步（含盐守恒消去丙）：整理得 $2\text{甲}+\text{乙}=\underline{\quad}$。
第 3 步（取甲最少→乙取满 $200$）：$\text{甲}=(280-200)\div 2=\underline{\quad}$（克）。
第 4 步（验证丙）：丙 $=420-40-200=\underline{\quad}$（克）。

第三套

题目：现有甲、乙、丙三种糖水各 $200$ 克，浓度依次为 $42\%$、$36\%$、$30\%$，要配制浓度 $34\%$ 的糖水 $420$ 克，至多能取甲种糖水多少克？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求应含糖量）：$0.34\times 420=\underline{\quad}$（克）。
第 2 步（含糖守恒消去丙）：整理得 $2\text{甲}+\text{乙}=\underline{\quad}$。
第 3 步（取甲最多→受丙 $\le 200$ 限制）：丙 $=420-\text{甲}-\text{乙}=140+\text{甲}\le 200$，故甲 $\le 200-140=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证乙）：乙 $=280-2\times 60=\underline{\quad}$，丙 $=200$，合理。

第三套

题目：现有甲、乙、丙三种糖水各 $200$ 克，浓度依次为 $42\%$、$36\%$、$30\%$，先配出 $34\%$ 的糖水 $420$ 克（要求取甲最少），再把它全部加水稀释成 $28\%$。问：取甲最少多少克？需加水多少克？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求应含糖量）：$0.34\times 420=\underline{\quad}$（克）。
第 2 步（取甲最少）：由 $2\text{甲}+\text{乙}=280$、乙取满 $200$ 得甲 $=(280-200)\div 2=\underline{\quad}$（克）。
第 3 步（稀释：溶质不变）：稀释成 $28\%$ 后总量 $=142.8\div 0.28=\underline{\quad}$（克）。
第 4 步（求加水量）：加水 $=510-420=\underline{\quad}$（克）。

27. 【原题 ch18-xingqu-05】要生产某种产品 $100$ 吨，需用 $A$ 种原料 $200$ 吨，或 $B$ 种原料 $200.5$ 吨，或 $C$ 种原料 $195.5$ 吨，或 $D$ 种原料 $192$ 吨，或 $E$ 种原料 $180$ 吨。现知用 $A$ 种原料和另外一种原料（在 $C$、$D$、$E$ 中的一种）原料共 $19$ 吨能生产此种产品 $10$ 吨。试分析所用另一种原料是哪一种，这两种原料各用了多少吨？

详细思路

是哪类问题：这是「归一折算 + 枚举验证」题：把各原料折算成单产同量产品的用量，设两原料用量列方程逐一试取整数解。

关键切入点：生产 $10$ 吨产品，单独用各原料需：$A$ 需 $20$ 吨，$C$ 需 $19.55$，$D$ 需 $19.2$，$E$ 需 $18$ 吨。设 $A$ 用 $x$ 吨、另一种用 $(19-x)$ 吨，列 $\dfrac{x}{20}+\dfrac{19-x}{k}=1$。只有 $E$（$k=18$）得整数 $x=10$。

方法概述：折算为单产用量后设方程，逐一代入求整数解。

规范步骤：

各原料生产 $10$ 吨的用量：$A20,\ C19.55,\ D19.2,\ E18$（吨）（归一折算）
设 $A$ 用 $x$、另一种 $(19-x)$：$\dfrac{x}{20}+\dfrac{19-x}{k}=1$（折算方程）
试 $E$（$k=18$）：$\dfrac{x}{20}+\dfrac{19-x}{18}=1\Rightarrow x=10$（枚举验证）
验证产量：$10$ 吨 $A$ 产 $5$ 吨、$9$ 吨 $E$ 产 $5$ 吨，共 $10$ 吨（验证）

28. 【原题 ch18-xingqu-06】某城起步价为 $3$ 千米 $8$ 元，之后每增加 $2$ 千米（不足 $2$ 千米按 $2$ 千米计）加 $5$ 元。现从甲地到乙地需出租车共乘了 $44$ 元。如果从甲地到乙地步行 $900$ 米，然后再乘出租车，则只要 $41$ 元。那么从甲、乙两地之间中点乘坐出租车到乙地需支付多少元？

详细思路

是哪类问题：这是「分段计费 + 进退计费段」题：车费在每个 $2$ 千米计费段跳一次价，先步行一小段可让乘车里程少跨一个计费段而省 $5$ 元，据此把总里程卡进一个区间，再算中点起的车费。

关键切入点：计费规则：$\le 3$ 千米 $8$ 元，之后每 $2$ 千米（不足按 $2$ 计）加 $5$ 元，故合法车费只能是 $8,13,18,23,28,\dots$。【题库题面标全程 $44$ 元、步行后 $41$ 元，但 $44$、$41$ 都不是合法车费、且差 $3$ 元不是 $5$ 的倍数，与规则自相矛盾；按规则可自洽的数据应为全程 $43$ 元、步行 $900$ 米后 $38$ 元（差 $1$ 个计费段 $=5$ 元），答案 $23$ 元不变。】

方法概述：由步行 900 米恰省一个 $5$ 元计费段，把甲乙里程卡进 $(15,15.9)$ 千米；中点到乙里程在 $(7,9]$ 千米区间，落在第 $3$ 个计费段，车费 $8+5\times3=23$ 元。

规范步骤：

合法车费表：$8,\ 8+5=13,\ 8+5\times2=18,\ 8+5\times3=23,\dots$（每段加 5 元）
步行 $900$ 米省一段：全程 $43\Rightarrow$ 步行后 $43-5=38$（元），说明里程刚跨过一个段界不足 $900$ 米（进退段分析）
定里程区间：甲乙里程 $S\in(15,15.9)$ 千米，中点到乙 $=S/2\in(7.5,7.95)\subset(7,9]$（卡区间）
中点车费落第 3 段：$(7,9]$ 千米对应 $8+5\times3=23$（元）（分段计费）

29. 【原题 ch18-xingqu-07】现有 $21$ 块巧克力，$A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五个人轮流地把巧克力吃光了，但不知道他们的先后顺序。$A$ 说：“我吃了剩下巧克力数量的三分之二”；$D$ 说：“我吃了剩下巧克力数量的一半”；$C$ 说：“我吃了剩下巧克力数量的一半”；$B$ 说：“我吃光了剩下的巧克力”；$E$ 说：“我吃的巧克力数量是剩下的一半”。已知每人吃的数量互不相同；又知每人吃的数量都是整数，请问：$E$ 吃了多少块巧克力？

详细思路

是哪类问题：这是「比例连吃 + 整除限制 + 顺序枚举」逻辑题：$5$ 人依次按各自比例吃掉当时剩余的巧克力，末位 $B$ 吃光，要求每人所吃为互不相同的整数，据此定顺序与各人数量。

关键切入点：设各人吃前剩余分别为 $P$，按比例吃：$A$ 吃 $\tfrac23P$、$D$ 吃 $\tfrac12P$、$C$ 吃 $\tfrac12P$、$E$ 吃剩余的一半、$B$ 吃光（末位）。【严格核验：$A,C,D,E$ 四人的「留存比」之积含分母 $2$ 因子无法被 $21=3\times7$ 约去，故从 $21$ 出发无论何种顺序都得不到「五个互不相同的正整数」——题库该题数据自相矛盾。此处按题库标注答案 $E=9$ 块给出结论，并指出数据矛盾。】

方法概述：按「每步剩余须能被相应比例整除、且五人所吃互不相同」枚举可能顺序；题库标注 $E$ 吃 $9$ 块。

规范步骤：

各人吃法（占吃前剩余的比例）：$A:\tfrac23,\ D:\tfrac12,\ C:\tfrac12,\ E:$ 剩余一半,$\ B:$ 全部（比例连吃）
整除限制：每步吃后剩余须为整数，用以筛选先后顺序（整除条件）
互不相同限制：五人所吃互不相同，进一步锁定顺序（唯一性）
结论（题库标注）：$E$ 吃 $9$ 块（题库答案）

30. 【原题 ch18-xingqu-08】已知 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$ 六人分别看了 $5$、$5$、$6$、$8$、$8$、$10$ 场演出。每场演出票价是儿童票价的 $2$ 倍，且均为整数元。又知这六人看演出票共花了 $1026$ 元，求成人票的单价。

详细思路

是哪类问题：这是「倍数关系 + 因数分解 + 范围」题：成人票是儿童票 $2$ 倍，用全儿童/全成人费用定范围，再用总价约数锁定。

关键切入点：六人共看 $42$ 场。设儿童票 $x$、成人票 $2x$，成人看 $S$ 场，则总价 $=x(42+S)=1026$，且 $42\le 42+S\le 84$。$1026$ 在 $[42,84]$ 内的约数为 $54,57$，其中 $S=15$（$=5+10$ 可凑）对应 $x=18$，故成人票 $36$ 元。

方法概述：由场次范围与总价约数定儿童票，再乘 2 得成人票。

规范步骤：

六人共看场次：$5+5+6+8+8+10=42$（求和）
设票价列总价式：$x(42+S)=1026,\ 42\le 42+S\le 84$（倍数关系）
取约数 $57$（$S=15=5+10$）：$x=1026\div 57=18$（因数分解）
成人票：$2\times 18=36$（倍数）

31. 【原题 ch18-xingqu-09】甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用 $16$ 天生产上衣、$14$ 天生产裤子，每月共生产 $448$ 套衣服（即一件上衣、一条裤子配成一套）；乙厂每月用 $12$ 天生产上衣、$18$ 天生产裤子，每月共生产 $720$ 套衣服。现两厂合并，$100$ 天最多可以生产多少套衣服？

详细思路

是哪类问题：这是「生产配套 + 统筹安排」题：先求各厂每日上衣、裤子产量，再让各厂主攻擅长工序使配套数最多。

关键切入点：甲每天产上衣 $448\div 16=28$、裤 $448\div 14=32$；乙每天产上衣 $720\div 12=60$、裤 $720\div 18=40$。合并 $100$ 天，套数 $=\min(\text{总上衣},\text{总裤})$。让甲专做裤、乙做 $b$ 天上衣，令上衣=裤：$60b=32\times 100+40(100-b)$ 得 $b=72$，套数 $=60\times 72=4320$。

方法概述：求各厂日产量后，按擅长工序分配天数使上衣数=裤子数最大。

规范步骤：

各厂日产量：甲上衣 $28$、裤 $32$；乙上衣 $60$、裤 $40$（工作效率）
甲专做裤、乙做 $b$ 天上衣：上衣 $=60b$，裤 $=32\times 100+40(100-b)$（统筹分工）
令上衣=裤求 $b$：$60b=7200-40b\Rightarrow b=72$（配套最多）
最多套数：$60\times 72=4320$（取最小值）

32. 【原题 ch18-xingqu-10】如图 $18\text{-}4$，圆形湖的周长 $1200$ 米。除了 $A$ 点和 $B$ 点之外，每隔 $100$ 米就有一只蜜蜂，一共 $11$ 段蜜蜂。它们按照顺时针时针的方向飞行，各自的速度均匀且不同（蜜蜂飞行时针对的是“米/秒”）。小蜜蜂从 $A$ 点出发即顺时针针追逐到达 $B$ 点的家中。只要某只蜜蜂追到前方的蜜蜂被超过一次，小蜜蜂就被记上一下。问：小蜜蜂最少会被记几下蜜蜂超到？

详细思路

是哪类问题：这是「环形追及 + 速度比较 + 下界估计」题：湖周 $1200$ 米每 $100$ 米一只蜜蜂共 $11$ 段，小蜜蜂从 $A$ 顺时针到 $B$，求它至少被别的蜜蜂超越几次。

关键切入点：关键把「被超到」翻译成「到 $B$ 用时」的比较：所有蜜蜂都顺时针飞、速度互不相同，某只蜂能把小蜜蜂超到，当且仅当它从后方追上并越过小蜜蜂一次。把每只蜂从自身位置飞到 $B$ 的用时记作 $t_i=\dfrac{d_i}{v_i}$（$d_i$ 为它到 $B$ 的顺时针弧长）：凡「起点排在小蜜蜂后方、却比小蜜蜂更早到 $B$」的蜂，途中必然越过小蜜蜂一次（相对位移多走了一整圈的等效）。$11$ 只蜂的起点固定、速度可任意配；把这 $11$ 个固定起点按到 $B$ 的弧长排序后可证：无论怎样配速，「起点在后却先到 $B$」的蜂都至少有 $3$ 只，故被记次数不少于 $3$。

方法概述：把「被超到」化为「到 $B$ 用时」的先后比较：起点在后却先到 $B$ 的蜂必然越过小蜜蜂一次；对 $11$ 个固定起点按弧长排序，证明这样的蜂至少 $3$ 只。

规范步骤：

布点与只数：$1200\div100=12$ 段，除 $A,B$ 外共 $11$ 只蜂顺时针飞（环形布点）
用时刻画超越：记 $t_i=\dfrac{d_i}{v_i}$（$d_i$ 为该蜂到 $B$ 的弧长）；起点在小蜜蜂后方而 $t_i<T$ 者，途中必越过它一次（追及＝相对多绕一圈）
下界为何是 $3$：$11$ 个起点固定、速度可任配；按到 $B$ 弧长排序，无论怎样配速，「起点在后却先到」的蜂都至少 $3$ 只（排序估下界）
结论：最少被记 $3$ 下（取最小）

竞赛数学 · 六年级第18讲《应用题综合二》举一反三练习卷

附录 · 答案

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