六年级第20讲数论综合二

1. 【原题 ch20-chaoyue-01】有一些正整数，它可以表示成连续 $20$ 个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少 $2$ 个）的形式时，恰好有 $20$ 种方法。请问：这样的正整数最小是多少？（写出质因数分解）

详细思路

是哪类问题：这是「连续正整数之和的方法数与奇约数、质因数分解最小化」题。

关键切入点：“写成连续正整数（$\ge2$ 个）之和的方法数 $=$ 奇约数个数 $-1$”，由恰 $20$ 种得奇约数 $21$ 个；再由约数个数公式 $21=3\times7$ 让小质因子取高次，得最小数 $2\times3^6\times5^2=36450$。

方法概述：用“方法数 $=$ 奇约数个数 $-1$”得 $21$ 个奇约数，按约数个数公式取最小。

规范步骤：

方法数=奇约数-1：$20$ 种 $\Rightarrow21$ 个奇约数（结论）
约数个数公式：$21=(6+1)(2+1)$（最小化）
取最小：$2\times3^6\times5^2=36450$（配一个因子 $2$）

2. 【原题 ch20-chaoyue-02】有些自然数可以表示成两个合数相加再加一个合数的形式，例如：$33=4\times 6+9$。请问：不能表示成这种形式的自然数最大是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「合数乘加表示、枚举归纳」题：归纳大偶数、大奇数皆可表示。

关键切入点：把小合数列出，$4\times4+4=20$ 起可表示，逐一枚举发现大偶数用 $4\times4+$偶、大奇数用 $4\times6+(9+3k)$ 等表示，归纳出剩下最大不可表示数为 $35$。

方法概述：枚举小合数组合，归纳大偶数、大奇数皆可表示，剩余最大为 $35$。

规范步骤：

最小可表示：$4\times4+4=20$（枚举）
大数皆可：偶数 $4\times4+$偶；奇数 $4\times6+(9+3k)$（归纳）
最大不可：$35$（最大值）

3. 【原题 ch20-chaoyue-03】在给定的圆周上有 $100$ 个点。任取一点标上 $1$；按顺时针方向从标有 $1$ 的点往后数 $2$ 个点，标上 $2$；从标有 $2$ 的点再往后数 $3$ 个点，标上 $3$……以此类推，直至在圆周上标出 $100$。对于圆周上的这些点，有的点可能被标上多个数，有的点没有被标数。请问：标有 $100$ 的那个点上标出的数最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「环上累加标号、三角形数与同余」题：位置由累加和模 $100$ 决定。

关键切入点：标 $100$ 的点是从起点累计 $1+2+\cdots+100=5050$ 步的位置；该点上的其他标号 $n$ 满足 $\dfrac{n(n+1)}2\equiv5050\pmod{100}$，化为 $n(n+1)\equiv0\pmod{100}$，最小符合的是 $75$。

方法概述：把第 $n$ 个标记位置用累加和模 $100$ 表示，求与 $5050$ 同余的最小 $n$。

规范步骤：

位置=累加和：$1+2+\cdots+100=5050$（三角形数）
同余：$n(n+1)\equiv0\pmod{100}$（模 100）
最小 n：$n=75$（$75\times76$ 是 $100$ 的倍数）（枚举）

4. 【原题 ch20-chaoyue-04】三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏。小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安。小安告诉小强和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上。小安写好后，先把一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着 $2008$）。小安请小强和小花互相判断对方所选的数。小强首先宣告无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数。请问：小花所选的数是什么？

详细思路

是哪类问题：这是「和积逻辑推理、约数枚举」题：由两轮“无法确定”推出整除关系。

关键切入点：由两轮“无法确定”推知：小强的数与小花的数都整除 $2008$，且 $2008-$花也整除 $2008$；对 $2008=2^3\times251$ 的约数逐一检验，只有 $1004$ 满足，故小花选 $1004$。

方法概述：由两轮逻辑信息推出花与 $2008-$花都整除 $2008$，枚举约数确定。

规范步骤：

都整除 2008：花 $\mid2008$（逻辑推理）
补数也整除：$2008-$花 $\mid2008$（逻辑推理）
枚举约数：只有 $1004$ 满足（约数枚举）

5. 【原题 ch20-chaoyue-05】已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「等差数列乘积为完全平方数、最小和」题：由平方数限制质因子指数。

关键切入点：三数成等差 $(a-d,a,a+d)$ 且乘积为平方数；由平方数对各质因子指数的奇偶限制，证明三数只含质因子 $2,3$ 时最小，取 $(6,12,18)$，和 $36$。

方法概述：由乘积为平方数限制质因子指数，证明三数仅含 $2,3$ 时最小。

规范步骤：

想到雏形：$(1,2,3)$ 积 $6$，各扩 $6$ 倍（构造）
得 (6,12,18)：$6\times12\times18=1296=36^2$（乘积为平方）
和最小：$6+12+18=36$（最小值）

6. 【原题 ch20-chaoyue-06】是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字全都相同（至少是两位数）？如果存在，请写出一个；如果不存在，请说明理由。

详细思路

是哪类问题：这是「完全平方数各位数字全同的存在性」题：用个位性质与模 4 性质逐一排除。

关键切入点：各位数字全同的多位数形如 $a\times\overline{11\cdots1}$（$a=1\sim9$，至少两位）。利用两条平方数性质：其一，平方数的个位只能是 $0,1,4,5,6,9$；其二，平方数除以 $4$ 只余 $0$ 或 $1$（而末两位就决定除以 $4$ 的余数）。用它们可把 $a=1\sim9$ 逐一排除，只剩 $a=4$ 需再分离出平方因子 $4$、用“两位以上的重复单位数 $\overline{11\cdots1}$ 除以 $4$ 余 $3$、不是平方数”排除，从而这样的完全平方数不存在。

方法概述：先用平方数的个位性质与模 4 性质排除 $a\ne4$，再对 $a=4$ 分离平方因子后用模 4 排除重复单位数。

规范步骤：

写成通式：$\overline{aa\cdots a}=a\times\overline{11\cdots1}$（$a=1\sim9$，至少两位）（结构）
用个位性质初筛：平方数个位只能是 $0,1,4,5,6,9$，故先排除 $a=2,3,7,8$，只剩 $a\in\{1,4,5,6,9\}$（平方数的个位性质）
写出除以 4 的余数：末两位为 $\overline{aa}=11a$，因 $100\equiv0\pmod4$，故 $\overline{aa\cdots a}\equiv11a\equiv3a\pmod4$（末两位决定模 4 余数）
用模 4 性质再筛：平方数除以 4 余 0 或 1；而 $a=1,5,9$ 时 $3a\equiv3$、$a=6$ 时 $3a\equiv2$，均非 0 或 1，排除，只剩 $a=4$（平方数模 4 余 0 或 1）
处理 a=4：分离平方因子：$\underbrace{4\cdots4}=4\times\underbrace{1\cdots1}$，其中 $4=2^2$ 已是平方数，故须 $\overline{11\cdots1}$ 也是平方数（积为平方须去掉平方因子后仍为平方）
排除重复单位数：两位以上的 $\overline{11\cdots1}$ 末两位是 $11$，$11=2\times4+3\equiv3\pmod4$，不是平方数（平方数模 4 余 0 或 1）
结论：$a=1\sim9$ 全部排除，故不存在（存在性）

7. 【原题 ch20-chaoyue-07】有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成 $m$ 等份，再用蓝色刻度线将它分成 $n$ 等份，$m>n$。然后按所有刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到 $170$ 根长短不一的小棍，其中最长的小棍恰有 $100$ 根。求 $m$ 和 $n$。

详细思路

是哪类问题：这是「等分与重合、最大公约数、计数」题：由最长小棍根数定 $m$。

关键切入点：最长小棍长为原长的 $\frac1m$，共 $100$ 根定 $m=100+70\div2=135$；再由蓝、红刻度重合关系 $2(n-k)=70$ 与 $k=(m,n)$ 试得 $k=5,n=40$。

方法概述：由最长小棍根数定 $m$，再用蓝、红刻度重合关系求 $n$。

规范步骤：

定 m：$m=100+70\div2=135$（最长小棍计数）
重合关系：$2(n-k)=70$，$k=(m,n)$（最大公约数）
试解：$k=5,n=40$

8. 【原题 ch20-chaoyue-08】是否存在这样的自然数：在这个数后面重写一遍这个数，新组成的数是一个完全平方数？如果存在，请举例；如果不存在，请说明理由。

详细思路

是哪类问题：这是「重复数字构造完全平方数、$11$ 的整除特征」题：构造含平方因子。

关键切入点：把数 $N$ 重写一遍得 $N\times(10^k+1)$；要它是平方数需 $10^k+1$ 含平方因子，$10^{11}+1=11^2\times826446281$，取 $N=826446281\times10^2$ 即得完全平方数。

方法概述：把重写的数写成 $N\times(10^k+1)$，构造 $10^k+1$ 含平方因子 $11^2$。

规范步骤：

重写通式：$N\times(10^k+1)$（结构）
找平方因子：$10^{11}+1=11^2\times826446281$（整除特征）
构造：$N=826446281\times100=82644628100$

9. 【原题 ch20-tuozhan-01】有一个正整数，它加上 $100$ 后是一个完全平方数，加上 $168$ 后也是一个完全平方数。请问：这个正整数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「加常数为完全平方数、平方差分解」题：两式相减消去未知数。

关键切入点：设正整数 $n$，$n+100=b^2$、$n+168=a^2$，相减消去 $n$ 得 $a^2-b^2=68$；再把 $68$ 写成 $(a+b)(a-b)$ 的同偶配对求解。

方法概述：两式相减消 $n$，用平方差分解配对求解。

规范步骤：

相减消 n：$a^2-b^2=168-100=68$（消元）
同偶配对：$(a+b)(a-b)=68=34\times2$（$a+b,a-b$ 同偶）
解并回代：$a=18,b=16,\ n=16^2-100=156$

第一套

题目：一个正整数加上 $150$ 是完全平方数，加上 $258$ 也是完全平方数。这个正整数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：设为 $n$，$n+150=b^2$，$n+258=a^2$。相减 $a^2-b^2=258-150=\underline{\quad}$。
第 2 步：$(a+b)(a-b)=108$，取同偶配对 $a-b=2,a+b=54$，解得 $a=(54+2)\div2=\underline{\quad}$，$b=(54-2)\div2=\underline{\quad}$。
第 3 步：$n=b^2-150=26^2-150=\underline{\quad}$。

第二套

题目：仓库里一批货，数量加 $100$ 恰好能摆成正方形，加 $168$ 也能摆成正方形。这批货有多少件？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：设数量 $n$，$n+100=b^2$，$n+168=a^2$。相减 $a^2-b^2=168-100=\underline{\quad}$。
第 2 步：$(a+b)(a-b)=68$，取 $a-b=2,a+b=34$，$a=(34+2)\div2=\underline{\quad}$，$b=(34-2)\div2=\underline{\quad}$。
第 3 步：$n=16^2-100=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个正整数加 $100$ 是完全平方数，加 $216$ 也是完全平方数，求这个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$a^2-b^2=216-100=\underline{\quad}$。
第 2 步：$(a+b)(a-b)=116$，取 $a-b=2,a+b=58$，$a=(58+2)\div2=\underline{\quad}$，$b=(58-2)\div2=\underline{\quad}$。
第 3 步：$n=28^2-100=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个正整数加 $200$ 是完全平方数，加 $360$ 也是完全平方数。所有满足条件的正整数之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$a^2-b^2=360-200=\underline{\quad}$。
第 2 步：$(a+b)(a-b)=160$ 有两种同偶分解：$a-b=2,a+b=80\Rightarrow a=41,b=39$；$a-b=4,a+b=40\Rightarrow a=22,b=18$。分别得 $n=39^2-200=\underline{\quad}$、$n=18^2-200=\underline{\quad}$。
第 3 步：所有满足的 $n$ 之和 $=1321+124=\underline{\quad}$。

10. 【原题 ch20-tuozhan-02】如果三个整数 $a$、$b$、$c$ 满足 $a^2+b^2=c^2$，则称这三个数构成一个勾股数组 $(a,b,c)$。与 $5$ 有关的勾股数组有两组：$(3,4,5)$ 和 $(5,12,13)$，请问：与 $13$ 有关的勾股数组有哪些？

详细思路

是哪类问题：这是「勾股数组与平方差分解」题：分给定数作斜边、作直角边两种情况。

关键切入点：与 $13$ 有关分两种：$13$ 作斜边，直接得 $(5,12,13)$；$13$ 作直角边，由 $c^2-b^2=13^2=169=169\times1$ 平方差分解求另一直角边与斜边。

方法概述：分 $13$ 作斜边、直角边两种，用平方差分解求另一边。

规范步骤：

作斜边：$5^2+12^2=13^2$（已知勾股数）
作直角边：$c^2-b^2=169=169\times1$，$c=85,b=84$（平方差分解）
写出：$(5,12,13),(13,84,85)$

第一套

题目：与 $17$ 有关的勾股数组有哪些？（$a^2+b^2=c^2$）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$17$ 作斜边，找 $a^2+b^2=17^2=289$，得 $8^2+15^2=\underline{\quad}$，即 $(8,15,17)$。
第 2 步：$17$ 作直角边，$c^2-b^2=289=289\times1$，$c=(289+1)\div2=\underline{\quad}$，$b=(289-1)\div2=\underline{\quad}$，即 $(17,144,145)$。

第二套

题目：木工要做直角三角形木架，其中一条边长恰为 $13$。三边都是整数的做法（勾股数组）有哪些？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$13$ 作斜边，$5^2+12^2=\underline{\quad}$，即 $(5,12,13)$。
第 2 步：$13$ 作直角边，$c^2-b^2=169=169\times1$，$c=(169+1)\div2=\underline{\quad}$，$b=(169-1)\div2=\underline{\quad}$，即 $(13,84,85)$。

第三套

题目：与 $29$ 有关的勾股数组有哪些？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$29$ 作斜边，$20^2+21^2=\underline{\quad}$，即 $(20,21,29)$。
第 2 步：$29$ 作直角边，$c^2-b^2=841=841\times1$，$c=(841+1)\div2=\underline{\quad}$，$b=(841-1)\div2=\underline{\quad}$，即 $(29,420,421)$。

第三套

题目：与 $25$ 有关的勾股数组有哪些？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$25$ 作斜边，$7^2+24^2=\underline{\quad}$ 得 $(7,24,25)$；$15^2+20^2=\underline{\quad}$ 得 $(15,20,25)$。
第 2 步：$25$ 作直角边，$c^2-b^2=625=625\times1=125\times5$。由 $c+b=625,c-b=1$ 得 $c=(625+1)\div2=\underline{\quad}$，$b=312$；由 $c+b=125,c-b=5$ 得 $c=(125+5)\div2=\underline{\quad}$，$b=(125-5)\div2=\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch20-tuozhan-03】小高往一个水池里扔石子。第一次扔 $1$ 颗石子，第二次扔 $2$ 颗石子，第三次扔 $3$ 颗石子，第四次扔 $4$ 颗石子……他准备扔到水池的石子总数是 $106$ 的倍数。请问：小高最少需要扔多少次？

详细思路

是哪类问题：这是「三角形数与倍数、最小值」题：累计数为 $n(n+1)/2$。

关键切入点：累计石子数为 $\dfrac{n(n+1)}2$。$106=2\times53$，需 $n$ 或 $n+1$ 含因子 $53$；取 $n=52$（则 $n+1=53$）恰好使总数是 $106$ 的倍数。

方法概述：累计数为 $n(n+1)/2$，利用 $106=2\times53$ 取含因子 $53$ 的最小 $n$。

规范步骤：

累计公式：$\dfrac{n(n+1)}2$（三角形数）
分解 106：$106=2\times53$，需含 $53$（倍数分析）
取最小 n：$n=52$，$\dfrac{52\times53}2=1378=106\times13$（最小值）

第一套

题目：小高往水池里扔石子，第一次 $1$ 颗，第二次 $2$ 颗……第 $k$ 次 $k$ 颗。要使总数是 $214$ 的倍数，最少扔多少次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：扔 $n$ 次共 $\dfrac{n(n+1)}2$ 颗。$214=2\times107$，需 $n$ 或 $n+1$ 含因子 $107$，最小取 $n=107$（则 $n+1=108$ 提供因子 $2$）。验证总数 $=107\times108\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步：$5778\div214=\underline{\quad}$ 是整数，符合。

第二套

题目：一堆积木，第 $1$ 层放 $1$ 块，第 $2$ 层 $2$ 块……逐层往上摆。要使积木总数是 $106$ 的倍数，最少摆多少层？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$n$ 层共 $\dfrac{n(n+1)}2$ 块。$106=2\times53$，需含因子 $53$，最小 $n=52$（$n+1=53$）。总数 $=52\times53\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步：$1378\div106=\underline{\quad}$。

第三套

题目：逐次累加 $1,2,3,\cdots$，要使累计和是 $158$ 的倍数，最少加到第几个数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$158=2\times79$，需含因子 $79$，最小 $n=79$。累计 $=79\times80\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步：$3160\div158=\underline{\quad}$。

第三套

题目：逐次扔石子 $1,2,3,\cdots$ 颗，要使总数是 $254$ 的倍数。最少扔几次？此时石子总数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$254=2\times127$，需含因子 $127$，最小 $n=127$（$n+1=128$ 提供 $2$）。
第 2 步：最少次数下石子总数 $=127\times128\div2=\underline{\quad}$。
第 3 步：验证是 $254$ 的倍数：$8128\div254=\underline{\quad}$。

12. 【原题 ch20-tuozhan-04】已知两个自然数的最大公约数是 $6$，两数之和为 $1998$，请问：满足上述条件的数一共有多少组？

详细思路

是哪类问题：这是「已知最大公约数与和求组数」题：设两数为 $6a,6b$ 且互质。

关键切入点：设两数 $6a,6b$（$a,b$ 互质），$6a+6b=1998$ 即 $a+b=333=3^2\times37$；把 $333$ 拆成两数之和，用容斥扣除都含 $3$、都含 $37$ 的非互质拆分。

方法概述：设两数为 $6a,6b$ 且互质，求 $a+b=333$ 的互质拆分组数。

规范步骤：

设未知数：$a+b=1998\div6=333$（提公因数）
拆分总数：$\lfloor333/2\rfloor=166$ 种（$a<b$）
容斥扣非互质：$166-55-4+1=108$（$333=3^2\times37$）

第一套

题目：两个自然数的最大公约数是 $6$，两数之和为 $2862$。满足条件的数一共有多少组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：设两数 $6a,6b$（$a,b$ 互质），$a+b=2862\div6=\underline{\quad}$。
第 2 步：把 $477$ 拆成 $a<b$ 两数之和，共 $(477-1)\div2=\underline{\quad}$ 种。$477=3^2\times53$。
第 3 步：扣去不互质：都含 $3$ 的 $79$ 种、都含 $53$ 的 $4$ 种，都含 $159$ 的重复扣了 $1$ 种。互质组数 $=238-79-4+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：两队人数的最大公约数是 $6$，两队共 $1998$ 人。这样的两队人数搭配有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：两队为 $6a,6b$（$a,b$ 互质），$a+b=1998\div6=\underline{\quad}$。
第 2 步：拆分 $(333-1)\div2=\underline{\quad}$ 种，$333=3^2\times37$。
第 3 步：容斥 $166-55-4+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两个自然数最大公约数是 $6$，和为 $3186$，有多少组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$a+b=3186\div6=\underline{\quad}$。
第 2 步：拆分 $(531-1)\div2=\underline{\quad}$ 种，$531=3^2\times59$。
第 3 步：容斥 $265-88-4+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两个自然数的最大公约数是 $12$，两数之和为 $1260$。满足条件的数一共有多少组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：设两数 $12a,12b$（$a,b$ 互质），$a+b=1260\div12=\underline{\quad}$。
第 2 步：拆分 $a<b$ 共 $(105-1)\div2=\underline{\quad}$ 种。$105=3\times5\times7$（三个质因子）。
第 3 步：三重容斥——减都含 $3,5,7$ 的（$17,10,7$），加都含 $15,21,35$ 的（$3,2,1$），减都含 $105$ 的（$0$）：$52-(17+10+7)+(3+2+1)-0=\underline{\quad}$。

13. 【原题 ch20-tuozhan-05】数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫，聪明的墨莫仔细思考一下后算出了这个数。同学们，你们知道这个数可能是多少吗？

详细思路

是哪类问题：这是「由约数个数唯一确定的两位数」题：约数个数对应两位数须唯一。

关键切入点：墨莫仅凭约数个数就能确定这个两位数，说明该约数个数对应的两位数唯一。约数个数为 $7$ 的两位数只有 $2^6=64$，约数个数为 $9$ 的只有 $6^2=36$，二者唯一。

方法概述：由约数个数公式枚举两位数中表示唯一的情况。

规范步骤：

约数 7 个：$a^6$，两位数只有 $2^6=64$（唯一）
约数 9 个：$a^2b^2$，两位数只有 $36$（唯一）
其余个数不唯一或不存在：$\Rightarrow 64$ 或 $36$

14. 【原题 ch20-tuozhan-06】在一个正整数的所有约数中，个位数字为 $0,1,2,\cdots,9$ 的数都出现过，请问：这样的正整数最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「约数个位覆盖的最小构造」题：逐一保证以各数字结尾的约数存在。

关键切入点：要各约数个位取遍 $0\sim9$：个位 $0$ 需 $10$ 的倍数，个位 $9$ 需含 $9$ 或 $27$，个位 $7$ 需含 $7$ 或 $27$……逐一保证后比较，得最小为 $270$。

方法概述：逐一保证存在以各数字结尾的约数，找最小满足者。

规范步骤：

关键个位：含 $10$、$27$（个位 $0,7,9$）（约数个位）
候选：$270=2\times3^3\times5$、$630$（构造）
取最小：$270$（约数 $4,5$ 等齐备）（最小值）

15. 【原题 ch20-tuozhan-07】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位数是 $3456$。如果甲的数字和是 $8$，乙的数字和是 $14$，那么甲、乙两数之差是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数字和（弃九法）与乘积确定」题：先用弃九法定五位数。

关键切入点：甲、乙数字和 $8$、$14$，乘积数字和除以 $9$ 余 $4$，故五位数只能是 $43456$；分解 $43456=2^6\times7\times97$，凑出数字和合适的 $224,194$，差为 $30$。

方法概述：用弃九法定五位数首位，再分解质因数凑两三位数。

规范步骤：

弃九定首位：数字和 $\equiv4\pmod9\Rightarrow43456$（弃九法）
分解：$43456=2^6\times7\times97$（质因数分解）
凑数并求差：$224,194$，差 $30$

16. 【原题 ch20-tuozhan-08】求最小的正整数 $n$，使得 $2006+7n$ 是完全平方数。

详细思路

是哪类问题：这是「构造完全平方数、试值」题：从大于常数的最小平方数起逐个试。

关键切入点：从大于 $2006$ 的最小平方数起，逐个检查平方数减 $2006$ 是否为 $7$ 的倍数；$47^2=2209$，$2209-2006=203=7\times29$，故最小 $n=29$。

方法概述：从大于 $2006$ 的最小平方数起逐个试，使其减 $2006$ 能被 $7$ 整除。

规范步骤：

起点：$45^2=2025,46^2=2116$ 差非 $7$ 倍（试值）
命中：$47^2=2209,\ 2209-2006=203$
求 n：$203\div7=29$

第一套

题目：求最小的正整数 $n$，使得 $3000+7n$ 是完全平方数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：从大于 $3000$ 的平方数逐个试：$55^2=3025$ 差 $25$、$56^2=3136$ 差 $136$、$57^2=3249$ 差 $249$ 都不是 $7$ 的倍数，直到 $58^2=\underline{\quad}$，$3364-3000=\underline{\quad}$。
第 2 步：$364\div7=\underline{\quad}$ 是整数，故 $n=52$。

第二套

题目：一批零件每 $7$ 个装一盒，另有 $2006$ 个散件。要使散件加装盒零件的总数恰为完全平方数，最少要装多少盒？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：总数 $=2006+7n$。试大于 $2006$ 的平方数：$45^2=2025$ 差 $19$、$46^2=2116$ 差 $110$ 非 $7$ 倍，$47^2=\underline{\quad}$，$2209-2006=\underline{\quad}$。
第 2 步：$203\div7=\underline{\quad}$。

第三套

题目：求最小正整数 $n$，使 $2500+7n$ 是完全平方数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：从大于 $2500$ 的平方数试，$51^2,52^2,53^2,54^2$ 减 $2500$ 都非 $7$ 倍，直到 $55^2=\underline{\quad}$，$3025-2500=\underline{\quad}$。
第 2 步：$525\div7=\underline{\quad}$。

第三套

题目：使 $2006+7n$ 是完全平方数的正整数 $n$，最小的两个分别是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：最小的：$47^2=2209$，$(2209-2006)\div7=\underline{\quad}$。
第 2 步：平方数每隔一段（$k$ 增加使 $k^2$ 仍与 $2006$ 模 $7$ 同余）再次命中，下一个 $k=51$，$51^2=\underline{\quad}$，$(2601-2006)\div7=\underline{\quad}$。

17. 【原题 ch20-tuozhan-09】请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列。

详细思路

是哪类问题：这是「两位数最长等比数列构造」题：公比取最简分数使数列尽量长。

关键切入点：公比取最简分数 $\frac32$ 时，首项须为 $2^4=16$ 的倍数才能保证各项为整数；由此得 $16,24,36,54,81$ 共 $5$ 项，且更小公比无法更长。

方法概述：取公比 $3/2$、首项为相应幂次倍数，使数列尽量长且各项两位数。

规范步骤：

选公比：$q=\dfrac32$，首项含 $2^4$（整数条件）
生成：$16,24,36,54,81$（逐项 $\times3/2$）
验证最长：$5$ 项（更小公比更短）

18. 【原题 ch20-tuozhan-10】有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示。请问：这样的自然数中的最大一个是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「不能表示为三个不相等合数之和的最大数」题：分奇偶论证大数皆可表示。

关键切入点：最小三个不相等合数 $4,6,8$ 之和为 $18$；用更大偶数替换 $8$ 可表示所有大于 $18$ 的偶数，用 $4+6+9$ 起替换可表示所有大于 $19$ 的奇数，剩下的最大不可表示数是 $17$。

方法概述：由最小三合数和出发，分奇偶论证大数皆可表示。

规范步骤：

偶数：$4+6+8=18$，更大偶数可换 $8$（可表示性）
奇数：$4+6+9=19$，更大奇数可换 $6$（可表示性）
剩余最大：$17$（最大值）

19. 【原题 ch20-tuozhan-11】有些数既能表示成 $5$ 个连续自然数的和，又能表示成 $6$ 个连续自然数的和，还能表示成 $7$ 个连续自然数的和。例如：$105$ 就满足上述要求，$105=19+20+21+22+23$；$105=15+16+17+18+19+20$；$105=12+13+14+15+16+17+18$。请问：在 $1$ 至 $1000$ 中一共有多少个满足上述要求的数？

详细思路

是哪类问题：这是「多种连续自然数表示、倍数与奇偶」题：把三种连续和转化为倍数条件。

关键切入点：能表示成 $5$ 个连续数之和 $\Rightarrow5$ 的倍数；$7$ 个 $\Rightarrow7$ 的倍数；$6$ 个 $\Rightarrow3$ 的倍数且商为奇（即 $3$ 的奇数倍）。合起来即 $105$ 的奇数倍，在 $1\sim1000$ 中有 $5$ 个。

方法概述：把三种连续和转化为倍数与奇偶条件，求公共条件下的个数。

规范步骤：

转化条件：$5,7$ 的倍数；$3$ 的奇数倍（连续和性质）
合成：$105$ 的奇数倍（最小公倍数）
计数：$105,315,525,735,945$，共 $5$ 个（枚举）

第一套

题目：在 $1$ 至 $2000$ 中，既能表示成 $5$ 个、又能表示成 $6$ 个、还能表示成 $7$ 个连续自然数之和的数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$5$ 个 $\Rightarrow5$ 的倍数，$7$ 个 $\Rightarrow7$ 的倍数，$6$ 个 $\Rightarrow3$ 的奇数倍。合成为 $105$ 的奇数倍。
第 2 步：$1\sim2000$ 内 $105$ 的奇数倍，最大 $105\times19=\underline{\quad}$；奇数 $k=1,3,\dots,19$ 共 $(19+1)\div2=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：某数既能被均分给 $5$ 个、$6$ 个、$7$ 个班（对应表示成 $5,6,7$ 个连续自然数之和）。$1\sim1000$ 中这样的数有几个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：条件合成为 $105$ 的奇数倍。
第 2 步：$1\sim1000$ 内 $105\times1,\dots,105\times9$（$105\times11=1155>1000$），奇数 $k=1,3,5,7,9$ 共 $(9+1)\div2=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：在 $1$ 至 $3000$ 中，既能表示成 $5$ 个、$6$ 个、$7$ 个连续自然数之和的数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：合成为 $105$ 的奇数倍。
第 2 步：$1\sim3000$ 内最大 $105\times27=\underline{\quad}$；奇数 $k=1,3,\dots,27$ 共 $(27+1)\div2=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：在 $1$ 至 $3000$ 中，既能表示成 $5$ 个、$6$ 个、$7$ 个，又能表示成 $9$ 个连续自然数之和的数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：再添“$9$ 个连续 $\Rightarrow9$ 的倍数”。原条件为 $105$ 的奇数倍，与 $9$ 的倍数合并得 $\mathrm{lcm}(105,9)=315$ 的奇数倍。
第 2 步：$1\sim3000$ 内 $315$ 的奇数倍最大 $315\times9=\underline{\quad}$，奇数 $k=1,3,5,7,9$ 共 $(9+1)\div2=\underline{\quad}$ 个。

20. 【原题 ch20-tuozhan-12】一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数度数列。现在设定指针第一秒转动的角度为 $a$ 度（$a$ 为小于 $360$ 的整数），则第二秒转动 $a+1$ 度，第三秒转动 $a+2$ 度……如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么 $a$ 一共有几种设定方法？最小可以被设成多少？

详细思路

是哪类问题：这是「等差数列定和求项、因数分解」题：把累计角度化为 $n(2a+n-1)=720$。

关键切入点：转 $n$ 次累计角度 $=n\times(2a+n-1)\div2=360$，即 $n(2a+n-1)=720$；枚举 $720$ 的因数分解使 $a$ 为满足 $a<360$ 的正整数，得 $5$ 种，最小 $a=15$。

方法概述：把累计角度化为 $n(2a+n-1)=720$，枚举因数分解求整数 $a$。

规范步骤：

列方程：$n(2a+n-1)=720$（等差求和）
枚举因数：$720=2^4\times3^2\times5$（整数解）
得解：$5$ 种，$n=16$ 时 $a=(45-15)/2=15$ 最小（最小值）

第一套

题目：一个特殊钟表一圈是 $540$ 度，指针每秒转动连续自然数度数：第一秒 $a$ 度（$a<540$ 的整数），第二秒 $a+1$ 度……若第一圈内恰好指回起点，$a$ 有几种设定？最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：转 $n$ 次，$a+(a+1)+\cdots+(a+n-1)=n(2a+n-1)\div2=540$，即 $n(2a+n-1)=\underline{\quad}$。
第 2 步：$1080=2^3\times3^3\times5$，枚举得 $7$ 组；$a$ 最小时 $n$ 最大取 $27$，$2a+27-1=1080\div27=\underline{\quad}$，$a=(40-26)\div2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一台普通钟表（一圈 $360$ 度）的秒针每秒依次多转 $1$ 度：第一秒 $a$ 度（$a<360$ 整数），第二秒 $a+1$ 度……第一圈内恰好回到起点。$a$ 有几种？最小几度？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$n(2a+n-1)=360\times2=\underline{\quad}$。
第 2 步：$720=2^4\times3^2\times5$，得 $5$ 组；最小 $a$ 时 $n=16$，$720\div16=\underline{\quad}$，$a=(45-15)\div2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个特殊钟表一圈 $900$ 度，指针每秒转动连续自然数度数，第一秒 $a$ 度（$a<900$）……第一圈内恰好回到起点。$a$ 有几种？最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$n(2a+n-1)=900\times2=\underline{\quad}$。
第 2 步：$1800=2^3\times3^2\times5^2$，得 $8$ 组；最小 $a$ 时 $n=40$，$1800\div40=\underline{\quad}$，$a=(45-39)\div2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一台一圈 $360$ 度的钟表，指针每秒转连续自然数度数，第一秒 $a$ 度（$a<360$ 整数）……指针转动的角度和恰为 $720$ 度（正好两整圈）后回到起点。$a$ 有几种设定？最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：角度和 $720$，$n(2a+n-1)=720\times2=\underline{\quad}$。
第 2 步：$1440=2^5\times3^2\times5$，枚举得 $5$ 组；最小 $a$ 时 $n=32$，$1440\div32=\underline{\quad}$，$a=(45-31)\div2=\underline{\quad}$。

21. 【原题 ch20-tuozhan-13】某住宅区有 $12$ 家住户，他们的门牌号分别是 $1,2,3,\cdots,12$。他们的电话号码依次是 $12$ 个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被该家的门牌号整除。已知这些电话的首位数字都小于 $6$，并且门牌号是 $9$ 的这一家的电话号码能被 $13$ 整除。请问：这一家的电话号码是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「连续整除与同余」题：由连续整除得 $n$ 为 $27720$ 的倍数。

关键切入点：设第一家电话为 $n+1$，则 $n$ 被 $1\sim12$ 同时整除，$\mathrm{lcm}(1,\dots,12)=27720$，$n=27720m$；再由“门牌 $9$ 的电话被 $13$ 整除”解同余 $4m+9\equiv0\pmod{13}$ 得 $m=14$。

方法概述：由连续整除得 $n$ 为 $27720$ 的倍数，再用模 $13$ 条件定 $m$。

规范步骤：

连续整除：$n=27720m$（$\mathrm{lcm}(1..12)=27720$）
六位数限制：$m$ 在 $4\sim21$（首位 $<6$）
同余定 m：$4m+9\equiv0\pmod{13}\Rightarrow m=14$（同余）
求电话：$27720\times14+9=388089$

第一套

题目：$12$ 家住户门牌 $1\sim12$，电话是 $12$ 个连续六位数（首位都小于 $6$），每家电话能被自家门牌整除。门牌 $9$ 的这家电话能被 $17$ 整除，求这家的电话号码。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：设第一家电话为 $n+1$，则 $n$ 被 $1\sim12$ 整除，$\mathrm{lcm}(1,\dots,12)=2^3\times3^2\times5\times7\times11=\underline{\quad}$，故 $n=27720m$。
第 2 步：六位数且首位 $<6$ 使 $m$ 在 $4\sim21$。门牌 $9$：$27720m+9$ 被 $17$ 整除，$27720\div17$ 余 $10$，$10m+9\equiv0\pmod{17}$，试得 $m=11$。电话 $=27720\times11+9=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一排 $12$ 个储物柜编号 $1\sim12$，密码是 $12$ 个连续六位数（首位都小于 $6$），每个柜的密码能被自己编号整除。编号 $9$ 的柜密码能被 $13$ 整除，求这个密码。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：设第一个密码为 $n+1$，$n$ 被 $1\sim12$ 整除，$\mathrm{lcm}=2^3\times3^2\times5\times7\times11=\underline{\quad}$，$n=27720m$。
第 2 步：$m$ 在 $4\sim21$；$27720m+9$ 被 $13$ 整除，$27720\div13$ 余 $4$，$4m+9\equiv0\pmod{13}$，$m=14$。密码 $=27720\times14+9=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$12$ 家住户门牌 $1\sim12$，电话是 $12$ 个连续六位数（首位都小于 $6$）且每家电话被门牌整除。门牌 $11$ 的电话能被 $19$ 整除，求这家的电话。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$\mathrm{lcm}(1,\dots,12)=\underline{\quad}$，$n=27720m$，$m$ 在 $4\sim21$。
第 2 步：门牌 $11$：$27720m+11$ 被 $19$ 整除，$27720\div19$ 余 $18\equiv-1$，$-m+11\equiv0\pmod{19}$，$m=11$。电话 $=27720\times11+11=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$12$ 家住户门牌 $1\sim12$，电话是 $12$ 个连续六位数（首位小于 $6$）且被门牌整除。门牌 $9$ 的电话被 $13$ 整除。求门牌 $9$ 的电话；并指出这 $12$ 个电话中哪一家的电话能被 $11$ 整除。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：同前得 $m=14$，门牌 $9$ 电话 $=27720\times14+9=\underline{\quad}$。
第 2 步：$n=27720\times14=388080$ 本身能被 $11$ 整除（$27720$ 含因子 $11$），故 $12$ 个电话中被 $11$ 整除的是 $n+11=388080+11=\underline{\quad}$，即门牌 $11$ 那家。

22. 【原题 ch20-tuozhan-14】在等差数列 $1,8,15,22,29,36,43,\cdots$ 中，如果前 $n$ 个数乘积的末尾 $0$ 的个数比前 $n+1$ 个数乘积的末尾 $0$ 的个数少 $3$ 个，那么 $n$ 最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「乘积尾零个数、因子 5 与通项」题：尾零骤增说明某项含高次 5。

关键切入点：尾零由因子 $2\times5$ 决定，数列 $7k+1$ 中因子 $2$ 充足，故尾零骤增 $3$ 说明第 $n+1$ 项含 $5^3$（不含 $5^4$）且形如 $7k+1$；最小这样的项是 $750$，换算得 $n=107$。

方法概述：尾零增 $3$ 说明第 $n+1$ 项含 $5^3$，结合数列 $7k+1$ 求项。

规范步骤：

尾零来源：因子 $2$ 充足，看 $5$（尾零 $=\min(\#2,\#5)$）
定第 n+1 项：含 $5^3$ 且 $\equiv1\pmod7$，最小 $750$（$125\times6$）
换算项数：$n=(750-1)\div7=107$（通项 $7k+1$）

第一套

题目：等差数列 $1,8,15,22,\cdots$（通项 $7k+1$）中，前 $n$ 个数乘积末尾 $0$ 的个数比前 $n+1$ 个少 $4$ 个。$n$ 最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：因子 $2$ 充足，尾零骤增 $4$ 说明第 $n+1$ 项含 $5^4=625$（不含 $5^5$）且 $\equiv1\pmod7$。
第 2 步：$625\equiv2\pmod7$，$2t\equiv1\pmod7\Rightarrow t\equiv4$，最小满足的是 $625\times4=\underline{\quad}$。
第 3 步：它是第 $n+1$ 项，$n=(2500-1)\div7=\underline{\quad}$。

第二套

题目：编号 $1,8,15,22,\cdots$（$7k+1$）的卡片依次相乘。当乘到第 $n+1$ 张时，积末尾 $0$ 的个数突然比乘到第 $n$ 张时多了 $3$ 个。$n$ 最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：尾零看因子 $5$，突增 $3$ 说明第 $n+1$ 项含 $5^3=125$ 且 $\equiv1\pmod7$。
第 2 步：$125\equiv6\pmod7$，$6t\equiv1\pmod7\Rightarrow t\equiv6$，最小 $125\times6=\underline{\quad}$。
第 3 步：$n=(750-1)\div7=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列 $1,9,17,25,\cdots$（通项 $8k+1$）中，前 $n$ 个数乘积末尾 $0$ 的个数比前 $n+1$ 个少 $3$ 个。$n$ 最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：第 $n+1$ 项含 $5^3=125$ 且 $\equiv1\pmod8$。
第 2 步：$125\equiv5\pmod8$，$5t\equiv1\pmod8\Rightarrow t\equiv5$；$t=5$ 给 $625$ 含 $5^4$ 舍去，取 $t=13$，$125\times13=\underline{\quad}$。
第 3 步：$n=(1625-1)\div8=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列 $3,10,17,24,\cdots$（通项 $7k+3$，首项非 $1$）中，前 $n$ 个数乘积末尾 $0$ 的个数比前 $n+1$ 个少 $3$ 个。$n$ 最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：第 $n+1$ 项含 $5^3=125$ 且 $\equiv3\pmod7$。
第 2 步：$125\equiv6\pmod7$，$6t\equiv3\pmod7\Rightarrow t\equiv4$，取 $t=4$（不含 $5^4$），$125\times4=\underline{\quad}$。
第 3 步：由通项 $3+7n=500$（第 $n+1$ 项）得 $n=(500-3)\div7=\underline{\quad}$。

23. 【原题 ch20-xingqu-01】有 $4$ 个不同的正整数，它们中任意 $2$ 个数的和都是 $2$ 的倍数，任意 $3$ 个数的和都是 $3$ 的倍数。要使这 $4$ 个数的和尽可能小，请问：这 $4$ 个数应该分别是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「同余条件下的最小构造」题：先把“和是某数的倍数”翻译成“各数除以某数的余数关系”，再用最小的余数去构造。

关键切入点：任意 $2$ 个数的和是 $2$ 的倍数，说明任意两个数的奇偶性相同，即 $4$ 个数除以 $2$ 的余数全相同；任意 $3$ 个数的和是 $3$ 的倍数，取两组只差一个数的三元组作差可知任意两数之差是 $3$ 的倍数，即 $4$ 个数除以 $3$ 的余数也全相同。于是任意两数之差既是 $2$ 的倍数又是 $3$ 的倍数，必是 $6$ 的倍数。

方法概述：把条件译成“同余”，得到四个数成公差为 $6$ 的倍数的数列，首项取最小的正整数即可。

规范步骤：

由“任意 2 数之和是 2 的倍数”得四数同奇偶：$a\equiv b\pmod 2$（和为偶数当且仅当同奇偶）
由“任意 3 数之和是 3 的倍数”得四数除以 3 同余：$a\equiv b\pmod 3$（两个三元组作差消去公共项）
两数之差同时是 2、3 的倍数，故是 6 的倍数；要最小取公差恰为 6：$6=2\times 3$（最小公倍数）
取奇数组：首项取最小的正整数 1，依次加 6：$1,\;7,\;13,\;19$（首项越小和越小）
与偶数组比较：偶数组最小为 2、8、14、20，和更大：$1+7+13+19=40<2+8+14+20=44$（取较小者）
写出答案：$1,\;7,\;13,\;19$

第一套

题目：有 $6$ 个不同的正整数，它们中任意 $2$ 个数的和都是 $2$ 的倍数，任意 $3$ 个数的和都是 $3$ 的倍数。要使这 $6$ 个数的和尽可能小，这 $6$ 个数分别是多少？和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译条件）：任意 $2$ 数之和是 $2$ 的倍数 $\Rightarrow$ 六数同奇偶；任意 $3$ 数之和是 $3$ 的倍数 $\Rightarrow$ 六数除以 $3$ 同余。所以任意两数之差既是 $2$ 的倍数又是 $3$ 的倍数，公差最小取 $2\times 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（取首项）：要和最小，首项取最小的正整数 $1$，于是六个数为 $1$、$1+6=\underline{\quad}$、$7+6=\underline{\quad}$、$19$、$25$、$31$（第四个数 $13+6=\underline{\quad}$）。
第 3 步（与偶数组比较）：偶数组最小是 $2,8,14,20,26,32$，和为 $\underline{\quad}$；奇数组的和为 $1+7+13+19+25+31=\underline{\quad}$。
第 4 步（取较小者）：两组比较，较小的和是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：科技节要给 $4$ 个社团发放不同数量的徽章（每个社团都至少发 $1$ 枚，数量互不相同）。要求任意 $2$ 个社团的徽章总数是 $2$ 的倍数，任意 $3$ 个社团的徽章总数是 $3$ 的倍数。要使发出的徽章总数尽可能少，这 $4$ 个数分别是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译条件）：任意 $2$ 个数之和是 $2$ 的倍数 $\Rightarrow$ 四个数同奇偶；任意 $3$ 个数之和是 $3$ 的倍数 $\Rightarrow$ 四个数除以 $3$ 同余。故任意两数之差是 $\underline{\quad}$ 的倍数。
第 2 步（取奇数组）：首项取 $1$，依次加 $6$，得 $1$、$7$、$\underline{\quad}$、$19$，总数 $1+7+13+19=\underline{\quad}$（枚）。
第 3 步（取偶数组比较）：首项取 $2$，得 $2$、$8$、$14$、$20$，总数为 $\underline{\quad}$（枚）。
第 4 步（比较取小）：最少发出徽章 $\underline{\quad}$ 枚。

第三套

题目：有 $4$ 个互不相同的正整数，每个都大于 $20$，它们中任意 $2$ 个数的和都是 $2$ 的倍数，任意 $3$ 个数的和都是 $3$ 的倍数。这 $4$ 个数的和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译条件）：同上可得任意两数之差是 $\underline{\quad}$ 的倍数，四个数成公差 $6$ 的数列时和最小。
第 2 步（找首项）：首项要大于 $20$ 的最小正整数是 $21$，取奇数组 $21$、$27$、$\underline{\quad}$、$39$，和为 $21+27+33+39=\underline{\quad}$。
第 3 步（偶数组比较）：偶数组首项最小取 $22$，得 $22,28,34,40$，和为 $\underline{\quad}$。
第 4 步（取小）：最小的和是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $4$ 个互不相同的正整数，它们都是 $5$ 的倍数，且任意 $2$ 个数的和都是 $2$ 的倍数，任意 $3$ 个数的和都是 $3$ 的倍数。这 $4$ 个数的和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（原有条件）：由两两和为偶、任三和为 $3$ 的倍数，得任意两数之差是 $2\times 3=\underline{\quad}$ 的倍数。
第 2 步（叠加新条件）：四个数都是 $5$ 的倍数，故两数之差还要是 $5$ 的倍数；公差应取 $[6,5]=\underline{\quad}$。
第 3 步（取奇数组）：首项取最小的正奇数倍 $5$，得 $5$、$5+30=\underline{\quad}$、$65$、$95$，和为 $5+35+65+95=\underline{\quad}$。
第 4 步（取偶数组比较）：首项取 $10$，得 $10,40,70,100$，和为 $\underline{\quad}$。
第 5 步（取小）：最小的和是 $\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch20-xingqu-02】已知算式 $(1+2+3+\cdots+n)+2007$ 的结果可表示为 $n\ (n>1)$ 个连续自然数的和。请问：共有多少个满足要求的自然数 $n$？

详细思路

是哪类问题：这是「连续自然数之和 + 约数个数」题：把“表示成 $n$ 个连续自然数的和”化成一个整除条件，再数约数个数。

关键切入点：设这 $n$ 个连续自然数为 $a,a+1,\cdots,a+n-1$，其和为 $na+\frac{n(n-1)}{2}$；而原式为 $\frac{n(n+1)}{2}+2007$。两者相等即 $2007=n(a-1)$，所以 $n$ 必须是 $2007$ 的约数。可见问题等价于数 $2007$ 有几个大于 $1$ 的约数。

方法概述：把等式整理成 $2007=n\times(a-1)$，答案 = $2007$ 的约数个数 $-1$。

规范步骤：

写出 n 个连续自然数之和：$a+(a+1)+\cdots+(a+n-1)=na+\frac{n(n-1)}{2}$（等差数列求和）
写出原式：$\frac{n(n+1)}{2}+2007$（等差数列求和）
两式相等并化简：$2007=na-n=n(a-1)$（移项约分）
故 n 是 2007 的约数；分解质因数：$2007=3^2\times 223$（质因数分解）
数约数个数：$(2+1)\times(1+1)=6$（约数个数公式）
去掉 n=1：$6-1=5$（题目要求 $n>1$）

第一套

题目：已知算式 $(1+2+3+\cdots+n)+2025$ 的结果可表示为 $n\ (n>1)$ 个连续自然数的和。请问：共有多少个满足要求的自然数 $n$？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列等式）：设这 $n$ 个连续自然数从 $a$ 开始，则 $\frac{n(n+1)}{2}+2025=na+\frac{n(n-1)}{2}$，化简得 $2025=n\times(a-1)$，所以 $n$ 必须是 $2025$ 的**约数**。
第 2 步（分解质因数）：$2025=81\times 25$，写成质因数幂的形式即 $3^4\times 5^2$，其中 $3$ 的指数是 $\underline{\quad}$，$5$ 的指数是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（约数个数公式）：约数个数为 $(4+1)\times(2+1)=\underline{\quad}$。
第 4 步（去掉 $n=1$）：满足 $n>1$ 的有 $15-1=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：图书馆把 $1+2+3+\cdots+n$ 本旧书与新购的 $2025$ 本书合在一起，正好能分给 $n\ (n>1)$ 个班，且各班所得本数是连续自然数。请问：$n$ 有多少种可能？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列等式）：设最少的一个班分到 $a$ 本，则 $\frac{n(n+1)}{2}+2025=na+\frac{n(n-1)}{2}$，化简得 $2025=n\times(a-1)$，即 $n$ 是 $2025$ 的约数。
第 2 步（分解质因数）：$2025=3^4\times 5^2$，约数个数为 $(4+1)\times(2+1)=\underline{\quad}$。
第 3 步（去掉 $n=1$）：可能的班数有 $15-1=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：已知算式 $(1+2+3+\cdots+n)+2008$ 的结果可表示为 $n\ (n>1)$ 个连续自然数的和。请问：共有多少个满足要求的自然数 $n$？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列等式）：同样化简得 $2008=n\times(a-1)$，故 $n$ 是 $2008$ 的约数。
第 2 步（分解质因数）：$2008=8\times 251$，即 $2^3\times 251$（$251$ 是质数）。约数个数为 $(3+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$。
第 3 步（去掉 $n=1$）：满足条件的 $n$ 共 $8-1=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：已知算式 $(1+2+3+\cdots+n)+2016$ 的结果可表示为 $n\ (n>1)$ 个连续自然数的和，且 $n$ 是偶数。请问：这样的自然数 $n$ 有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列等式）：化简得 $2016=n\times(a-1)$，故 $n$ 是 $2016$ 的约数。
第 2 步（分解质因数）：$2016=2^5\times 3^2\times 7$，全部约数个数为 $(5+1)\times(2+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$。
第 3 步（数奇约数）：奇约数只由 $3^2\times 7$ 提供，个数为 $(2+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$。
第 4 步（求偶约数）：偶约数个数 $=36-6=\underline{\quad}$，且偶约数都大于 $1$，无需再去掉 $n=1$。
第 5 步：答案为 $\underline{\quad}$ 个。

25. 【原题 ch20-xingqu-03】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有 $4$ 种。请问：所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「质数与合数的拆分计数 + 最小值」题：要让拆法多，就得让参与的小质数、小合数都能配上对。

关键切入点：每一种拆法都用掉一个不同的质数，要有 $4$ 种拆法至少要用到 $4$ 个不同的质数；最小的四个质数是 $2,3,5,7$，最小的四个合数是 $4,6,8,9$。把它们两两配对，和最小且能配齐的正是 $2+9=3+8=5+6=7+4=11$。再逐一检验 $11$ 以下的数，拆法都不足 $4$ 种。

方法概述：用最小的四个质数与最小的四个合数配对，凑出同一个和。

规范步骤：

写出最小的四个质数：$2,\;3,\;5,\;7$（质数表）
写出最小的四个合数：$4,\;6,\;8,\;9$（合数表）
配对，使四组和相同：$2+9=3+8=5+6=7+4=11$（大配小，和才相同）
检验更小的数（如 $9$ 只有 $3+6$、$5+4$ 两种）：$9=3+6=5+4$（拆法不足 4 种）
写出答案：$11$

第一套

题目：有些自然数能写成一个质数与一个合数之和，且在不计加数顺序时这样的表示方法至少有 $6$ 种。请问：所有满足条件的自然数中最小的一个是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚下界）：每种拆法用掉一个不同的质数，要有 $6$ 种就至少要用到 $6$ 个不同的质数：$2,3,5,7,11,13$。
第 2 步（逐个试）：试 $N=17$，用这 $6$ 个质数分别去减：$17-2=\underline{\quad}$，$17-3=\underline{\quad}$，$17-5=\underline{\quad}$，$17-7=\underline{\quad}$，$17-11=\underline{\quad}$，$17-13=\underline{\quad}$。
第 3 步（检验）：上面六个差 $15,14,12,10,6,4$ 全是合数，所以 $17$ 恰有 $6$ 种拆法。
第 4 步（检验更小）：$11\sim 16$ 的拆法数分别是 $4,2,3,2,4,2$，都不足 $6$ 种，故答案是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：少年宫用两种颜色的珠子串手链：一串手链由“质数颗红珠 + 合数颗蓝珠”组成。若某个总颗数至少有 $4$ 种不同的红蓝配法（不计红蓝先后），求这样的总颗数最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想下界）：每种配法用掉一个不同的质数颗数，$4$ 种至少要用到 $4$ 个质数：$2,3,5,7$。
第 2 步（配对）：取总颗数 $11$，则蓝珠数依次为 $11-2=\underline{\quad}$，$11-3=\underline{\quad}$，$11-5=\underline{\quad}$，$11-7=\underline{\quad}$，都是合数。
第 3 步（检验更小）：$10$ 只有 $1$ 种，$9$ 只有 $2$ 种，都不够，所以最小总颗数是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：有些自然数能写成一个质数与一个合数之和，且不计顺序时这样的表示方法至少有 $8$ 种。请问：满足条件的最小自然数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（下界）：至少需要 $8$ 个不同的质数：$2,3,5,7,11,13,17,19$。
第 2 步（试 $N=23$）：$23-2=\underline{\quad}$，$23-3=\underline{\quad}$，$23-5=\underline{\quad}$，$23-7=\underline{\quad}$，$23-11=\underline{\quad}$，$23-13=\underline{\quad}$，$23-17=\underline{\quad}$，$23-19=\underline{\quad}$，八个差全是合数。
第 3 步（检验更小）：$21$ 有 $6$ 种、$22$ 有 $3$ 种，都不足 $8$ 种，故最小是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：能写成一个质数与一个合数之和、且不计顺序时至少有 $4$ 种表示方法的自然数中，最小的两个分别是多少？它们的和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找第一个）：最小的四个质数 $2,3,5,7$ 与最小的四个合数 $4,6,8,9$ 恰好配成同一个和 $7+4=\underline{\quad}$，所以第一个是 $11$。
第 2 步（逐个往后检验）：$12$ 有 $2$ 种、$13$ 有 $3$ 种、$14$ 有 $2$ 种；再看 $15$：$15-2=\underline{\quad}$，$15-3=\underline{\quad}$，$15-5=\underline{\quad}$，$15-7=\underline{\quad}$，其中 $13$ 是质数不算，$12,10,8$ 是合数，另有 $15-11=\underline{\quad}$、$15-13=2$（$2$ 是质数不算），故 $15$ 恰有 $4$ 种。
第 3 步（求和）：最小的两个是 $11$ 和 $15$，和为 $11+15=\underline{\quad}$。

26. 【原题 ch20-xingqu-04】甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小 $2008$，请问：满足上述条件的自然数有几组？

详细思路

是哪类问题：这是「提取公因数 + 约数配对」题：把文字条件写成等式后提公因数，转化为把一个数拆成两个因数之积。

关键切入点：设甲为 $x$、乙为 $y$，条件是 $x^2-xy=2008$，提出公因数得 $x\times(x-y)=2008$。于是 $x$ 与 $x-y$ 是 $2008$ 的一对互补因数；又乙是自然数且要求 $x-y>0$，所以必须 $x>\frac{2008}{x}$，即 $x$ 取 $2008$ 的“较大一半”的约数。

方法概述：化成 $x(x-y)=2008$，再枚举 $2008$ 的因数对。

规范步骤：

把条件写成等式：$x\times x-x\times y=2008$（“乘积比平方小 2008”）
提公因数：$x\times(x-y)=2008$（因式分解）
分解 2008：$2008=2^3\times 251=2008\times 1=1004\times 2=502\times 4=251\times 8$（质因数分解）
逐对求乙：$2008-1=2007,\;1004-2=1002,\;502-4=498,\;251-8=243$（$y=x-\frac{2008}{x}$）
另一半因数对（如 $x=8$）会使 $x-y<0$，舍去：$8-251<0$（乙须为自然数）
计数：$4$

第一套

题目：甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小 $2020$，请问：满足条件的自然数有几组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列式并提公因数）：设甲 $=x$、乙 $=y$，则 $x\times x-x\times y=2020$，提公因数得 $x\times(x-y)=2020$。
第 2 步（分解质因数）：$2020=2^2\times 5\times 101$，约数个数为 $(2+1)\times(1+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（配对）：因数对为 $2020\times 1$、$1010\times 2$、$505\times 4$、$404\times 5$、$202\times 10$、$101\times 20$，共 $12\div 2=\underline{\quad}$ 对，每对中较大的数作甲。
第 4 步（求乙，验证都是自然数）：$2020-1=\underline{\quad}$，$1010-2=1008$，$505-4=501$，$404-5=\underline{\quad}$，$202-10=192$，$101-20=\underline{\quad}$，都大于 $0$。
第 5 步：共有 $\underline{\quad}$ 组。

第二套

题目：一块正方形花坛的边长是甲米。园丁又量出一块长为甲米、宽为乙米的长方形草地（甲、乙均为自然数），发现草地面积比花坛面积小 $2008$ 平方米。请问：满足条件的甲、乙有几组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列式）：花坛面积 $=$ 甲 $\times$ 甲，草地面积 $=$ 甲 $\times$ 乙，故甲 $\times$ 甲 $-$ 甲 $\times$ 乙 $=2008$，提公因数得甲 $\times($甲 $-$ 乙$)=2008$。
第 2 步（分解）：$2008=2^3\times 251$，约数个数 $(3+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$，配成 $8\div 2=\underline{\quad}$ 对因数。
第 3 步（求乙）：$2008-1=\underline{\quad}$，$1004-2=1002$，$502-4=\underline{\quad}$，$251-8=243$，都是自然数。
第 4 步：共 $\underline{\quad}$ 组。

第三套

题目：甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小 $2016$，请问：满足条件的自然数有几组？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列式）：甲 $\times($甲 $-$ 乙$)=2016$。
第 2 步（分解质因数）：$2016=2^5\times 3^2\times 7$，约数个数为 $(5+1)\times(2+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（配对）：$2016$ 不是完全平方数，约数两两配对，共 $36\div 2=\underline{\quad}$ 对，每对取较大的数作甲，乙 $=$ 甲 $-\frac{2016}{\text{甲}}>0$ 都成立。
第 4 步：共有 $\underline{\quad}$ 组。

第三套

题目：甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小 $2020$。请问：满足条件的有几组？其中甲最小的一组，甲、乙各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列式分解）：甲 $\times($甲 $-$ 乙$)=2020=2^2\times 5\times 101$，约数个数为 $(2+1)\times(1+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$。
第 2 步（计数）：约数两两配对，较大者作甲，共 $12\div 2=\underline{\quad}$ 组。
第 3 步（找甲最小）：甲要尽量小，同时必须满足甲 $>\frac{2020}{\text{甲}}$，即甲 $\times$ 甲 $>2020$。由 $44\times 44=1936<2020<2025=45\times 45$ 知甲要大于 $44$，$2020$ 的约数中大于 $44$ 的最小的是 $\underline{\quad}$。
第 4 步（求乙）：乙 $=101-\frac{2020}{101}=101-20=\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch20-xingqu-05】两个不同两位数的乘积为完全平方数，请问：它们的和最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「乘积为完全平方数的最值讨论」题：把乘积为平方数化成两数含相同的非平方因子。

关键切入点：两数乘积为平方数，等价于两数写成 $a m^2$、$a n^2$（$a$ 不含平方因子）；对 $a=1,2,3,\cdots$ 分类，在两位数范围取最大的一对，比较得最大和。

方法概述：把乘积为平方数化为同含非平方因子 $a$，分类讨论求最大和。

规范步骤：

两数均为平方数：$81+64=145$（都是平方数则积为平方数）
同含非平方因子 $a=2$：$2\times7^2+2\times6^2=98+72=170$（$am^2\cdot an^2=(amn)^2$）
其他 $a$ 更小：$a=6$ 得 $96+54=150<170$（分类比较）
取最大：$170$（最大值）

28. 【原题 ch20-xingqu-06】$n$ 个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到 $2008$，请问：$n$ 最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「和与平均数之积、最小项数」题：把关系整理成 $n\times$平均数$^2=2008$。

关键切入点：设 $n$ 个数之和为 $S$、平均数为 $S/n$，则 $S\times\dfrac{S}{n}=n\times(\text{平均数})^2=2008$；要 $n$ 最小就让平均数尽量大，即平均数的平方取 $2008$ 最大的完全平方约数。

方法概述：由 $n\times$平均数$^2=2008$，取最大完全平方约数使 $n$ 最小。

规范步骤：

列关系：$n\times(\text{平均数})^2=2008$（和×平均=和²/n）
最大完全平方约数：$2008=2^3\times251$，最大完全平方约数 $=4$（平均数 $=2$）
求最小 $n$：$n=2008\div4=502$（最小值）

第一套

题目：$n$ 个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到 $2488$。$n$ 最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：由 $n\times(\text{平均数})^2=2488$，要 $n$ 最小就让平均数最大，即平均数² 取 $2488$ 最大的完全平方约数。$2488=2^3\times311$，最大完全平方约数 $=\underline{\quad}$，平均数 $=2$。
第 2 步：$n=2488\div4=\underline{\quad}$。

第二套

题目：若干名学生的分数之和乘以他们的平均分等于 $2008$。学生人数 $n$ 最少是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$n\times(\text{平均分})^2=2008=2^3\times251$，最大完全平方约数 $=\underline{\quad}$，平均分 $=2$。
第 2 步：$n=2008\div4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$n$ 个自然数的和乘以平均数得 $4472$，$n$ 最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$4472=2^3\times13\times43$，最大完全平方约数 $=\underline{\quad}$，平均数 $=2$。
第 2 步：$n=4472\div4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$n$ 个自然数的和乘以平均数得 $4024$。$n$ 最小是多少？此时这 $n$ 个数的和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$4024=2^3\times503$，最大完全平方约数 $=\underline{\quad}$，平均数 $=2$。
第 2 步：$n=4024\div4=\underline{\quad}$。
第 3 步：这 $n$ 个数之和 $=$平均数 $\times n=2\times1006=\underline{\quad}$。

29. 【原题 ch20-xingqu-07】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如 $16=5^2-3^2$，$16$ 就是一个“智慧数”。请问：从 $1$ 开始的自然数列中，第 $2008$ 个“智慧数”是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「平方差表示（智慧数）与计数」题：先归纳哪些数是智慧数，再按区间计数。

关键切入点：一个数能写成两正整数平方差 $(a+b)(a-b)$，当且仅当它是 $\ge3$ 的奇数或 $\ge8$ 的 $4$ 的倍数。$1\sim X$（$X$ 为 $4$ 的倍数）内智慧数共 $X/2+X/4-2$ 个，按区间定位第 $2008$ 个。

方法概述：归纳智慧数即 $\ge3$ 的奇数和 $4$ 的倍数，按区间计数定位。

规范步骤：

归纳规律：智慧数 $=\ge3$ 奇数 $\cup\ \ge8$ 的 $4$ 倍数（平方差分解）
区间计数：$1\sim2700$ 有 $2700/2+2700/4-2=2023$ 个（计数公式）
回退定位：第 $2008$ 个为 $2680$（$1\sim2680$ 恰 $2008$ 个）

第一套

题目：从 $1$ 开始的自然数列中，第 $3000$ 个“智慧数”（能表示成两个正整数平方差的数）是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：智慧数就是 $\ge3$ 的奇数和 $\ge8$ 的 $4$ 的倍数，$1\sim X$（$X$ 为 $4$ 的倍数）内有 $\dfrac X2+\dfrac X4-2$ 个。取 $X=4000$：$4000\div2+4000\div4-2=\underline{\quad}$。
第 2 步：还差 $3000-2998=\underline{\quad}$ 个。$4000$ 之后依次是 $4001$（奇，第 $2999$ 个）、$4003$（奇，第 $3000$ 个），故第 $3000$ 个为 $4003$。

第二套

题目：把所有“智慧数”（可写成两正整数平方差）从小到大排队，第 $2008$ 名是谁？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（归纳规律）：智慧数就是 $\ge3$ 的奇数与 $\ge8$ 的 $4$ 的倍数。当 $X$ 是 $4$ 的倍数时，$1\sim X$ 内智慧数共 $\dfrac X2+\dfrac X4-2$ 个。
第 2 步（列方程求 $X$）：设第 $2008$ 名恰好落在某个 $4$ 的倍数 $X$ 上，则 $\dfrac X2+\dfrac X4-2=2008$，即 $\dfrac34X=2008+2=2010$，解得 $X=2010\times4\div3=\underline{\quad}$，它是 $4$ 的倍数、也是智慧数，故排在第 $2008$ 名。

第三套

题目：从 $1$ 开始，第 $2500$ 个“智慧数”是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规律）：智慧数为 $\ge3$ 的奇数与 $\ge8$ 的 $4$ 的倍数；当 $X$ 是 $4$ 的倍数时，$1\sim X$ 内共 $\dfrac X2+\dfrac X4-2$ 个。
第 2 步（列方程求 $X$）：设第 $2500$ 个恰落在 $4$ 的倍数 $X$ 上，则 $\dfrac X2+\dfrac X4-2=2500$，即 $\dfrac34X=2500+2=2502$，解得 $X=2502\times4\div3=\underline{\quad}$，它是 $4$ 的倍数、也是智慧数，故为第 $2500$ 个。

第三套

题目：第 $2008$ 个“智慧数”是多少？它是第几个“$4$ 的倍数型”智慧数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：取 $X=2680$：$2680\div2+2680\div4-2=\underline{\quad}$，即第 $2008$ 个为 $2680$。
第 2 步：$2680$ 是 $4$ 的倍数。$4$ 的倍数型智慧数为 $8,12,16,\dots$，$2680$ 是其中第 $2680\div4-1=\underline{\quad}$ 个。

30. 【原题 ch20-xingqu-08】将 $100!-5$ 分别除以 $2,3,4,\cdots,100$，可以得到 $99$ 个余数（余数可能为 $0$）。请问：这 $99$ 个余数的和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「阶乘减常数的余数和」题：先用整除性把余数写成 $d-5$，再等差求和。

关键切入点：$100!$ 能被 $2\sim100$ 每个数整除，故 $100!-5$ 除以 $d$ 的余数，当 $d>5$ 时是 $d-5$；$d\le5$ 时单独由 $-5$ 取模。把 $d=6\sim100$ 的 $d-5$ 组成等差数列求和，再加小除数的余数。

方法概述：利用 $100!$ 被各数整除，余数 $=d-5$（小除数单列），再等差求和。

规范步骤：

大除数余数：$d>5$ 时余 $d-5$（$100!\equiv0\pmod d$）
小除数余数：$d=2,3,4,5$ 余 $1,1,3,0$，和 $=5$（由 $-5$ 取模）
等差求和：$5+\dfrac{(1+95)\times95}{2}=4565$（$d=6\sim100$ 的 $d-5=1\sim95$）

第一套

题目：将 $120!-7$ 分别除以 $2,3,4,\cdots,120$，得到 $119$ 个余数。这些余数的和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$d>7$ 时余数为 $d-7$；$d=2,3,4,5,6,7$ 单独算 $(-7)\bmod d$ 得 $1,2,1,3,5,0$，小除数余数和 $=1+2+1+3+5+0=\underline{\quad}$。
第 2 步：$d=8\sim120$ 余数 $d-7$ 即 $1,2,\cdots,113$，项数 $=120-7=\underline{\quad}$，和 $=\dfrac{(1+113)\times113}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：总余数和 $=12+6441=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某数 $M=100!-5$。把 $M$ 依次除以 $2,3,4,\cdots,100$ 记下余数，求这些余数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$100!$ 被 $2\sim100$ 整除，故 $d>5$ 时 $M$ 除以 $d$ 余 $d-5$；$d=2,3,4,5$ 余 $1,1,3,0$，和 $=1+1+3+0=\underline{\quad}$。
第 2 步：$d=6\sim100$ 余数 $1\sim95$，和 $=\dfrac{(1+95)\times95}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：总和 $=5+4560=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $100!-3$ 分别除以 $2,3,4,\cdots,100$，求 $99$ 个余数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$d>3$ 时余 $d-3$；$d=2,3$ 余 $1,0$，和 $=1+0=\underline{\quad}$。
第 2 步：$d=4\sim100$ 余数 $1\sim97$，项数 $=100-3=\underline{\quad}$，和 $=\dfrac{(1+97)\times97}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：总和 $=1+4753=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $200!-5$ 分别除以 $2,3,4,\cdots,200$，求这些余数之和；并求其中最大的余数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$d=2,3,4,5$ 余 $1,1,3,0$，和 $=1+1+3+0=\underline{\quad}$。
第 2 步：$d=6\sim200$ 余数 $d-5$ 即 $1\sim195$，项数 $=200-5=\underline{\quad}$，和 $=\dfrac{(1+195)\times195}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：总余数和 $=5+19110=\underline{\quad}$。
第 4 步：最大余数在 $d=200$ 处，为 $200-5=\underline{\quad}$。

31. 【原题 ch20-xingqu-09】卡莉娅、小高和墨莫三人经常去看电影，卡莉娅每隔 $3$ 天去一次，小高每隔 $4$ 天去一次，墨莫每隔 $6$ 天去一次。今天他们三人都去电影院，请问最早出现的三人都有人去电影院的连续三天是哪三天？

详细思路

是哪类问题：这是「周期与连续覆盖」题：写出各人到访日期序列，找最早覆盖连续三天的组合。

关键切入点：三人各按固定周期到访，写出各自的到访日期序列，找最早出现的、被三人分别覆盖的连续三天。

方法概述：分别写出三人到访日期序列，寻找最早覆盖连续三天的组合。

规范步骤：

卡莉娅序列：第 $4,7,10,\dots$ 天（周期）
小高、墨莫序列：小高 $6,11,\dots$；墨莫 $8,15,\dots$（周期）
找连续三天：第 $6,7,8$ 天分别有人（连续覆盖）

32. 【原题 ch20-xingqu-10】有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是 $10$、$9$、$8$ 的倍数。请问：这三个数中最小的一个是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「完全平方数因子与同余」题：平方数含某因子，则原数含相应因子。

关键切入点：平方是 $10,9,8$ 的倍数 $\Rightarrow$ 原数是 $10,3,4$ 的倍数。于是最小数是 $10$ 的倍数、除以 $3$ 余 $2$、除以 $4$ 余 $2$，用同余求最小。

方法概述：由平方的倍数性质推出原数的倍数与余数条件，求最小满足者。

规范步骤：

平方倍数 → 原数倍数：$10,3,4$ 的倍数（平方含因子则原数含）
写余数条件：$x\equiv0\ (10),\ x\equiv2\ (3),\ x\equiv2\ (4)$（同余）
求最小：$x=50$（$50,51,52$ 满足）

竞赛数学 · 六年级第20讲《数论综合二》举一反三练习卷

附录 · 答案

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