六年级第21讲数论综合三

1. 【原题 ch21-chaoyue-01】求出所有正整数 $n$，使得 $25+n$ 能整除 $25\times n$。

详细思路

是哪类问题：这是「整除变形求解」题：把 $25+n\mid25n$ 通过配凑常数，变成 $25+n$ 整除一个固定常数 $625$，再列约数求 $n$。

关键切入点：$25+n\mid25n$，而 $25+n\mid25(n+25)=25n+625$，两式相减 $25+n\mid625$。$625=5^4$ 的约数为 $1,5,25,125,625$。要 $n$ 为正整数须 $25+n>25$，取 $125,625$ 得 $n=100,600$。

方法概述：配凑成 25+n|625，列约数求 n。

规范步骤：

配凑常数：$25+n\mid25(n+25)=25n+625$（整除变形）
相减得固定整除：$25+n\mid625$（整除）
列约数求 $n$：$125-25=100,\ 625-25=600$（约数枚举）
写出答案：$n=100,600$

第一套

题目：求所有正整数 $n$，使得 $49+n$ 能整除 $49\times n$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（配凑）：$49+n\mid49(n+49)=49n+49^2$，与 $49n$ 相减得 $49+n\mid49^2$，即 $49+n\mid\underline{\quad}$（填 $49^2$ 的值）。
第 2 步（约数）：$2401=7^4$ 的约数中大于 $49$ 的有 $343,2401$，得 $n=343-49=\underline{\quad}$、$n=2401-49=\underline{\quad}$。

第二套

题目：某活动人数 $n$ 满足：$25+n$ 恰好整除 $25n$。问 $n$ 有哪些可能（正整数）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（配凑）：$25+n\mid25(n+25)=25n+\underline{\quad}$，相减得 $25+n\mid625$。
第 2 步（约数）：$625$ 大于 $25$ 的约数为 $125,625$，$n=125-25=\underline{\quad}$、$n=625-25=\underline{\quad}$。

第三套

题目：验证 $n=600$ 时 $25+n$ 确实整除 $25n$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$25+600=625$，$25\times600=\underline{\quad}$。
第 2 步：$15000\div625=\underline{\quad}$，整除成立。

2. 【原题 ch21-chaoyue-02】一个自然数至少有 $4$ 个约数，并且该数等于其最小的 $4$ 个约数的平方之和，请找出这样的自然数。

详细思路

是哪类问题：这是「约数平方和自指」题：某数等于它最小 $4$ 个约数的平方和。先用奇偶性锁定它是偶数（含约数 $1,2$），再分析结构。

关键切入点：最小约数是 $1$。若该数为奇数则四个约数全奇、平方和为偶，矛盾，故为偶数，最小两约数 $1,2$。设最小四约数 $1,2,p,q$，平方和为偶要求 $p,q$ 一奇一偶，取 $1,2,5,10$：$1+4+25+100=130$，而 $130=2\times5\times13$ 的最小四约数恰是 $1,2,5,10$，自洽。

方法概述：用奇偶性锁定含 1、2，再令平方和等于自身。

规范步骤：

奇偶性：该数为偶，含约数 $1,2$（奇偶分析）
设四约数并求和：$1^2+2^2+5^2+10^2$（平方和）
计算并自洽：$=1+4+25+100=130$（验证）
写出答案：$130$

3. 【原题 ch21-chaoyue-03】一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是 $63$，则原四位数可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数字调换与最大公约数」题：调换千位与个位后两数之差 $=999(a-d)$，由 $63\mid$ 该差先卡 $a-d$，再用 $63=9\times7$ 的整除特征枚举验证。

关键切入点：$\overline{abcd}-\overline{dbca}=999(a-d)$，$63\mid999(a-d)$，$\gcd(63,999)=9$ 使 $7\mid a-d$，故 $(a,d)=(8,1),(9,2)$ 等。再要 $9,7$ 同除两数、各位互不相同，枚举得 $1638,8631,2709,9702$。

方法概述：由 999(a-d) 卡首末位差，用 9、7 整除特征枚举。

规范步骤：

差结构：$\overline{abcd}-\overline{dbca}=999(a-d)$（位值原理）
卡首末位差：$7\mid a-d$（整除）
枚举验证：$\gcd(1638,8631)=63$（整除判定）
写出答案：$1638,8631,2709,9702$

第二套

题目：一个四位数各位数字互不相同，把千位与个位对调得新四位数，新数与原数的最大公约数是 $63$。原四位数可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（差结构）：对调千位个位，$\overline{abcd}-\overline{dbca}=999(a-d)$。取 $1638$ 与 $8631$：$8631-1638=\underline{\quad}$，$6993\div999=\underline{\quad}$。
第 2 步（验证公约数）：$1638\div63=\underline{\quad}$、$8631\div63=\underline{\quad}$，公约数正是 $63$。

第三套

题目：验证 $2709$ 与它对调千位个位后所得 $9702$ 的最大公约数是 $63$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$2709\div63=\underline{\quad}$、$9702\div63=\underline{\quad}$，都是整数。
第 2 步（差验证）：$9702-2709=\underline{\quad}$，$6993\div999=\underline{\quad}$。

4. 【原题 ch21-chaoyue-04】一个不超过 $200$ 的自然数，如果用四进制表示，那么它的数字和是 $5$；如果用六进制表示，那么它的数字和是 $8$；如果用八进制表示，那么它的数字和是 $9$。如果用十进制表示，那么这个数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「进位制数字和同余」题：核心用『$k$ 进制中一个数与它各位数字和模 $(k-1)$ 同余』，把三条数字和条件化为同余方程组。

关键切入点：四进制数字和 $5$：数模 $3$ 余 $5\bmod3=2$；六进制数字和 $8$：模 $5$ 余 $3$；八进制数字和 $9$：模 $7$ 余 $2$。解同余组并限 $\le200$：$23=(113)_4=(35)_6=(27)_8$，另一个 $128$ 不满足全部，故 $23$。

方法概述：用数≡各位数字和 (mod k-1) 化为同余组求解。

规范步骤：

三条同余：$N\equiv2(3),\ 3(5),\ 2(7)$（数字和模 k-1）
求解：$N=23$（$\le200$）（同余/枚举）
验证：$23=(113)_4=(35)_6=(27)_8$（进制展开）
写出答案：$23$

第二套

题目：某个不超过 $200$ 的自然数：四进制数字和 $5$、六进制数字和 $8$、八进制数字和 $9$。它的十进制是多少？（背景：三块进制显示屏）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数字和同余）：$N\equiv$ 数字和 $\pmod{k-1}$，故 $N$ 除以 $3$ 余 $5-3=\underline{\quad}$、除以 $5$ 余 $8-5=\underline{\quad}$、除以 $7$ 余 $9-7=\underline{\quad}$。
第 2 步（验证 $23$）：$23\div3$ 余 $23-3\times7=\underline{\quad}$、$23\div5$ 余 $23-5\times4=\underline{\quad}$、$23\div7$ 余 $23-7\times3=\underline{\quad}$，全部吻合。

第三套

题目：用「除基取余」把 $23$ 分别转换成四进制、六进制、八进制，并求出各自的数字和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（四进制·连除 4 取余）：$23\div4=5\cdots\underline{\quad}$，再 $5\div4=1\cdots\underline{\quad}$，余数倒序写得 $23=(113)_4$。
第 2 步（六进制·除 6 取余）：$23\div6=3\cdots\underline{\quad}$，商 $3<6$ 停，得 $23=(35)_6$。
第 3 步（八进制·除 8 取余）：$23\div8=2\cdots\underline{\quad}$，商 $2<8$ 停，得 $23=(27)_8$。
第 4 步（数字和）：四进制 $1+1+3=\underline{\quad}$、六进制 $3+5=\underline{\quad}$、八进制 $2+7=\underline{\quad}$。

5. 【原题 ch21-chaoyue-05】把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除。请问：这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「质数拼接与整除」题：把两个两位质数拼成四位数，用位值原理把整除条件化成 $\overline{ab}+\overline{cd}\mid198$，定出两质数之和为 $66$，再比较乘积。

关键切入点：设两质数 $p=\overline{ab},q=\overline{cd}$，$\frac{p+q}{2}\mid\overline{pq}=100p+q$，即 $p+q\mid2(100p+q)=200p+2q=198p+2(p+q)$，故 $p+q\mid198p$。$p+q$ 为偶且与 $p$ 互质，得 $p+q\mid198$，$p+q=66$。在和为 $66$ 的两位质数对中，乘积最大 $29\times37=1073$，最小 $13\times53=689$。

方法概述：化为 p+q|198，定 p+q=66，比较乘积。

规范步骤：

整除变形：$p+q\mid198p$（位值原理）
互质得固定整除：$p+q\mid198\Rightarrow p+q=66$（互质）
比较乘积：$29\times37=1073,\ 13\times53=689$（枚举比较）
写出答案：最大 $1073$，最小 $689$

第二套

题目：把一个两位质数接在另一个不同两位质数右边成四位数，它能被这两质数之和的一半整除。这两质数乘积最大、最小各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化简）：设两质数 $p,q$，条件化为 $p+q\mid198p$，因 $p+q$ 与 $p$ 互质得 $p+q\mid198$，$198\div3=\underline{\quad}$，取偶数解 $p+q=66$。
第 2 步（比较）：和为 $66$ 的质数对里，$29+37=\underline{\quad}$、乘积 $29\times37=\underline{\quad}$ 最大；$13\times53=\underline{\quad}$ 最小。

第三套

题目：验证：把质数 $37$ 接在 $29$ 右边得 $2937$，它能被 $29,37$ 之和的一半整除。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（半和）：$(29+37)\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步（整除）：$2937\div33=\underline{\quad}$，整除成立。

6. 【原题 ch21-chaoyue-06】用 $1,2,3,4,5$ 各一个可以组成 $120$ 个五位数，你能否从这 $120$ 个数里面找出 $11$ 个数来，使得它们除以 $11$ 的余数互不相同？如果五个数字是 $1,3,4,6,8$ 呢？

详细思路

是哪类问题：这是「全排列余数分析」题：判断固定五个数字组成的五位数，除以 $11$ 的余数能否取到 $11$ 种互不相同的值。关键是把『除以 $11$ 的余数』精确写成 $2O-S$（$O$ 为放在奇数位的三个数字之和、$S$ 为五个数字总和），$S$ 固定后余数完全由 $O$ 决定，而 $O$ 只能取有限个值，据此卡死余数种类的上界。

关键切入点：五位数 $\overline{d_1d_2d_3d_4d_5}$ 各位权 $10^4,10^3,10^2,10^1,10^0$ 模 $11$ 依次为 $1,-1,1,-1,1$（因 $10\equiv-1\pmod{11}$），故 $N\equiv d_1-d_2+d_3-d_4+d_5\pmod{11}$。记奇数位（第 $1,3,5$ 位）三数之和为 $O$、偶数位（第 $2,4$ 位）两数之和为 $E$，则 $N\equiv O-E\pmod{11}$；又 $O+E=S$ 为五个数字之和、是常数，故 $O-E=2O-S$，即余数只由 $O$（哪三个数字放奇数位）决定。于是余数的种类不超过 $O$ 的可能取值个数，而 $O$ 就是从五数字中挑三个之和，等价于看剩下两个（偶数位）之和 $E=S-O$：对 $\{1,2,3,4,5\}$，$S=15$，两数之和 $E$ 从 $1+2=3$ 到 $4+5=9$ 恰取遍 $3,4,5,6,7,8,9$ 共 $7$ 个值，故 $O$ 只有 $7$ 种、余数至多 $7$ 种；对 $\{1,3,4,6,8\}$，$S=22$，两数之和只能取 $4,5,7,9,10,11,12,14$ 共 $8$ 个值，故 $O$ 只有 $8$ 种、余数至多 $8$ 种。$7<11$、$8<11$，无论如何都凑不出 $11$ 个互不相同的余数，所以两种情况都不能。

方法概述：把余数写成 $2O-S$：$S$ 固定后余数种类=奇位三数之和 $O$ 的取值个数，两组分别只有 7、8 种，均 <11。

规范步骤：

用 $10\equiv-1\pmod{11}$ 展开各位权，写出余数：$N\equiv d_1-d_2+d_3-d_4+d_5\pmod{11}$（被 11 整除的特征）
设奇数位三数和 $O$、偶数位两数和 $E$，则余数 $\equiv O-E$；再用 $O+E=S$ 固定消去 $E$：$N\equiv O-E=2O-S\pmod{11}$（奇偶位数字和之差）
验证公式：以 $13524$ 为例，奇位 $1,5,4$ 和 $O=10$，$2O-S=2\times10-15=5$，正是 $13524\div11$ 的余数：$13524-11\times1229=5$（代入核对）
$\{1,2,3,4,5\}$：$S=15$，偶位两数和 $E$ 取遍 $3\sim9$（$1+2=3$ 到 $4+5=9$），$O=15-E$：$O$ 只有 $9-3+1=7$ 种，余数至多 $7$ 种（枚举两数之和）
$\{1,3,4,6,8\}$：$S=22$，两数之和只能取 $4,5,7,9,10,11,12,14$：$O$ 只有 $8$ 种，余数至多 $8$ 种（枚举两数之和）
两组余数种类都不足 $11$：$7<11,\ 8<11$（种类不够，无法互异）
写出答案：都不能

7. 【原题 ch21-chaoyue-07】用 $1,2,3,4,5,6$ 这 $6$ 个数字各一次组成两个三位数 $A$ 和 $B$，请问：$A$、$B$、$630$ 这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「最大公约数与最小公倍数构造」题：用数字和约束确定 $A,B$ 都被 $3$ 整除，先求公约数最大（取 $21$），再让 $A,B$ 尽量『薄』求最小公倍数最小。

关键切入点：$630=2\times3^2\times5\times7$。$A,B$ 数字和均取自 $1\sim6$、总和 $21$ 是 $3$ 的倍数，故 $3\mid A,B$。取 $A=231,B=546$（都被 $21$ 整除）使三数公约数达 $21$。再枚举使 $\mathrm{lcm}(A,B,630)$ 最小得 $6930$（如 $A=315,B=462$）。

方法概述：用数字和定 3 的整除，构造公约数 21、最小公倍数 6930。

规范步骤：

分解与数字和：$630=2\times3^2\times5\times7,\ 1+\cdots+6=21$（质因数分解）
公约数最大：$231,546$ 均被 $21$ 整除（构造）
最小公倍数最小：$\mathrm{lcm}=6930$（枚举）
写出答案：最大公约数 $21$，最小公倍数 $6930$

第二套

题目：用 $1\sim6$ 各一次组成两个三位数 $A,B$。求 $A,B,630$ 三数最大公约数的最大值，并给一组达到它的数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数字和）：$1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}$ 是 $3$ 的倍数，故 $A,B$ 都是 $3$ 的倍数。
第 2 步（构造 21）：取 $231,546$，$231\div21=\underline{\quad}$、$546\div21=\underline{\quad}$、$630\div21=\underline{\quad}$，三数公约数 $21$。

第三套

题目：验证 $A=315,B=462$ 时，$A,B,630$ 的最小公倍数是 $6930$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$6930\div315=\underline{\quad}$、$6930\div462=\underline{\quad}$、$6930\div630=\underline{\quad}$，都是整数，故 $6930$ 是三者的公倍数。
第 2 步（是最小）：$315=3^2\times5\times7,462=2\times3\times7\times11,630=2\times3^2\times5\times7$，取各质因数最高次 $2\times3^2\times5\times7\times11=\underline{\quad}$。

8. 【原题 ch21-chaoyue-08】我们将具有如下性质的自然数 $K$ 称为“DY数”：如果一个整数 $M$ 能被 $K$ 整除，则把 $M$ 的各位数字按相反顺序重写所得的数也能被 $K$ 整除。请求出所有的“DY数”。

详细思路

是哪类问题：这是「反序数整除性质」题：求所有 $K$，使得凡被 $K$ 整除的数，其反序数也被 $K$ 整除。

关键切入点：$M$ 与其反序数之差可由若干 $\underbrace{9\cdots9}$ 型数线性组合，它们都是 $9$ 的倍数、且与 $11$ 有关。要 $K\mid M'$ 对一切被 $K$ 整除的 $M$ 成立，$K$ 的质因数只能取自 $3$ 与 $11$，故 $K\in\{1,3,9,11,33,99\}$，逐一验证均成立。

方法概述：由 M 与反序数之差的因子结构，定 K 的质因数只能是 3、11。

规范步骤：

差由 $\underbrace{9\cdots9}$ 组合：都是 $9$ 的倍数（整除结构）
$K$ 质因数只能 $3,11$：$K\mid99$（整除）
枚举 99 的约数：$1,3,9,11,33,99$（约数）
写出答案：共 $6$ 个

9. 【原题 ch21-tuozhan-01】（1）求满足条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是 $20$；（2）求满足条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是 $04$；（3）求满足条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是 $20$、后两位是 $04$。

详细思路

是哪类问题：这是「完全平方数的首末位」题：首位约束用开方区间定，末位约束用模 $100$ 的整除条件解，再综合。

关键切入点：（1）平方前两位是 $20$：$44^2=1936$、$45^2=2025$，最小 $45$。（2）平方后两位是 $04$：$100\mid a^2-4=(a-2)(a+2)$，且 $a-2,a+2$ 不能同为 $25$ 倍数，故 $25\mid a-2$ 或 $25\mid a+2$，结合 $4$ 的整除，最小 $a=48$（$48^2=2304$）。（3）前 $20$ 后 $04$：综合搜得最小 $448$（$448^2=200704$）。

方法概述：首位用开方区间、末位用模 100 条件，最后综合。

规范步骤：

前两位 $20$：$44^2=1936,\ 45^2=2025$，最小 $45$（开方区间）
后两位 $04$：$48^2=2304$，最小 $48$（模 100）
前 $20$ 后 $04$：$448^2=200704$，最小 $448$（综合）
写出答案：$（1）45；（2）48；（3）448$

第一套

题目：（1）求最小自然数，使其平方的前两位是 $30$；（2）求最小自然数，使其平方的后两位是 $24$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（前两位 $30$）：$54^2=\underline{\quad}$（$2916<3000$）偏小，$55^2=\underline{\quad}$ 前两位为 $30$，故最小 $55$。
第 2 步（后两位 $24$）：逐个试完全平方，$18^2=\underline{\quad}$ 末两位为 $24$，故最小 $18$。

第二套

题目：广告牌编号要求：它的平方数以 $20$ 开头。求最小的编号。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$44^2=\underline{\quad}$ 前两位是 $19$，不合。
第 2 步：$45^2=\underline{\quad}$ 前两位是 $20$，故最小编号 $45$。

第三套

题目：求最小自然数，使它的平方前两位是 $20$、后两位是 $04$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（后两位 $04$ 的候选）：$48^2=\underline{\quad}$ 后两位 $04$ 但前两位 $23$，不合。
第 2 步（继续搜首位也是 $20$）：$448^2=\underline{\quad}$，前两位 $20$、后两位 $04$，故最小 $448$。

10. 【原题 ch21-tuozhan-02】已知 $n!+4$ 等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数 $n$ 的值。（$n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n$）

详细思路

是哪类问题：这是「阶乘与相邻乘积构造」题：相邻两自然数之积 $k(k+1)$ 除以 $3$ 只能余 $0$ 或 $2$，据此排除大 $n$，再验证小 $n$。

关键切入点：$n\ge3$ 时 $3\mid n!$，$n!+4\equiv1\pmod3$，不在 $\{0,2\}$ 内，排除。$n=2$ 时 $2!+4=6=2\times3$，符合。故 $n=2$。

方法概述：用相邻积模 3 只余 0/2 排除大 n，小 n 验证。

规范步骤：

相邻积模 3 余 0 或 2：$k(k+1)\bmod3\in\{0,2\}$（同余性质）
大 $n$ 排除：$n\ge3:\ n!+4\equiv1\pmod3$（整除）
验证 $n=2$：$2!+4=6=2\times3$（直接计算）
写出答案：$n=2$

第一套

题目：已知 $n!+10$ 等于两个相邻自然数的乘积，求自然数 $n$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（大 $n$ 排除）：$n\ge3$ 时 $3\mid n!$，$n!+10$ 除以 $3$ 余 $10-3\times3=\underline{\quad}$，不在 $\{0,2\}$，排除。
第 2 步（验证小 $n$）：$2!+10=\underline{\quad}=3\times4$，故 $n=2$。

第二套

题目：把 $n!+4$ 块糖排成一个长比宽多 $1$ 的长方形（相邻两自然数相乘）。问 $n$ 是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（模 3 排除）：长方形块数 $=k(k+1)$，除以 $3$ 只余 $0$ 或 $2$；$n\ge3$ 时 $n!+4\equiv\underline{\quad}\pmod3$（用 $1$ 表示），排除。
第 2 步（验证）：$2!+4=\underline{\quad}=2\times3$。

11. 【原题 ch21-tuozhan-03】找出三个小于 $20$ 的自然数，它们的最大公约数是 $1$，但是两两均不互质，请写出所有可能的情况。

详细思路

是哪类问题：这是「互质关系构造」题：要三数总体互质、却两两有公因数，就让每两个数共享一个质因数、而三者不共享同一个。

关键切入点：用三质数 $2,3,5$ 两两搭配：含 $\{2,3\}$、含 $\{2,5\}$、含 $\{3,5\}$ 各一个。小于 $20$ 内含 $\{2,5\}$ 的只有 $10$、含 $\{3,5\}$ 的只有 $15$、含 $\{2,3\}$ 的有 $6,12,18$。故所有解为 $(6,10,15),(10,12,15),(10,15,18)$。

方法概述：三质数两两搭配，枚举 20 以内的实现。

规范步骤：

每两数共享一质因数：$\{2,3\},\{2,5\},\{3,5\}$（质因数搭配）
$\{2,5\}\to10,\{3,5\}\to15$ 唯一：$10,15$（范围限定）
$\{2,3\}\to6,12,18$：$6,12,18$（枚举）
写出答案：$(6,10,15),(10,12,15),(10,15,18)$

第二套

题目：三支队伍的人数都小于 $20$，三队人数的最大公约数是 $1$，但每两队人数都有大于 $1$ 的公约数。写出所有可能的人数组合。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（搭配质因数）：让三对分别共享 $2\times3=\underline{\quad}$、$2\times5=\underline{\quad}$、$3\times5=\underline{\quad}$。
第 2 步（$\{2,3\}$ 的其它实现）：$2\times2\times3=\underline{\quad}$、$2\times3\times3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：验证 $10,12,15$ 三数的最大公约数是 $1$，但两两都不互质。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（两两公约数）：$\gcd(10,12)=2$、$\gcd(12,15)=3$、$\gcd(10,15)=5$，都大于 $1$。
第 2 步（整体）：三数同时含的质因数没有，故最大公约数 $=1$。乘积验证 $10\times12\times15=\underline{\quad}$。

12. 【原题 ch21-tuozhan-04】三个两位奇数，它们的最大公约数是 $1$，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有 $18$ 个约数。求所有满足要求的情况。

详细思路

是哪类问题：这是「约数个数与互质构造」题：由最小公倍数有 $18$ 个约数反推它的质因数结构，再用两位奇数两两不互质搭配。

关键切入点：$18=3\times3\times2$，故 $L=p^2q^2r$ 型。三数为两位奇数、两两有公质因数、整体互质。搜得 $(35,63,75)$：$L=3^2\times5^2\times7=1575$，约数个数 $(2+1)(2+1)(1+1)=18$；以及 $(55,75,99)$：$L=3^2\times5^2\times11=2475$，同为 $18$ 个约数。

方法概述：由约数个数 18 定 L 的质因数指数结构，再搭配两位奇数。

规范步骤：

$18=3\times3\times2$ 定结构：$L=p^2q^2r$（约数个数公式）
第一组：$35,63,75\Rightarrow L=1575=3^2\times5^2\times7$（构造）
第二组：$55,75,99\Rightarrow L=2475=3^2\times5^2\times11$（构造）
写出答案：$35,63,75$；$55,75,99$

第二套

题目：三张卡片上各写一个两位奇数，它们的最大公约数是 $1$、两两都不互质，三数的最小公倍数恰有 $18$ 个约数。已知这组数是 $35,63,75$，请验证。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最小公倍数）：$35=5\times7,63=3^2\times7,75=3\times5^2$，取各质因数最高次得 $L=3^2\times5^2\times7=\underline{\quad}$。
第 2 步（数约数个数）：指数 $2,2,1$，约数个数 $(2+1)\times(2+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$。

第三套

题目：验证 $55,75,99$ 也满足：两位奇数、最大公约数 $1$、两两不互质、最小公倍数有 $18$ 个约数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（最小公倍数）：$55=5\times11,75=3\times5^2,99=3^2\times11$，取最高次 $L=3^2\times5^2\times11=\underline{\quad}$。
第 2 步（约数个数）：$(2+1)\times(2+1)\times(1+1)=\underline{\quad}$。

13. 【原题 ch21-tuozhan-05】$1\times 4\times 7\times 10\times\cdots\times 2008$ 的末尾有多少个连续的零？

详细思路

是哪类问题：这是「阶乘型乘积末尾零」题：末尾零个数由乘积中因子 $5$ 的个数决定（因子 $2$ 充足），逐级统计 $5,25,125,625$ 的倍数项。

关键切入点：数列 $1,4,7,\dots,2008$ 首项 $1$、公差 $3$、共 $670$ 项。其中 $5$ 的倍数 $134$ 个、$25$ 的倍数 $27$ 个、$125$ 的倍数 $5$ 个、$625$ 的倍数 $1$ 个，因子 $5$ 共 $134+27+5+1=167$。因子 $2$ 远多于此，故末尾有 $167$ 个零。

方法概述：逐级统计 5、25、125、625 的倍数项累加。

规范步骤：

项数：$(2008-1)\div3+1=670$（等差数列）
逐级计数：$134,27,5,1$（因子 5 计数）
累加：$134+27+5+1=167$（求和）
写出答案：$167$

第一套

题目：$2\times5\times8\times11\times\cdots\times2009$ 的末尾有多少个连续的零？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（项数）：首项 $2$、公差 $3$、末项 $2009$，共 $(2009-2)\div3+1=\underline{\quad}$ 项。
第 2 步（逐级计数）：$5$ 的倍数 $134$ 个、$25$ 的倍数 $27$ 个、$125$ 的倍数 $6$ 个、$625$ 的倍数 $1$ 个。
第 3 步（累加）：$134+27+6+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：把 $1,4,7,10,\cdots,2008$ 这些数全部连乘，所得大数末尾一共有几个 $0$？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（项数）：$(2008-1)\div3+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（因子 5 累加）：$134+27+5+1=\underline{\quad}$。

14. 【原题 ch21-tuozhan-06】一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数。如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「带余除法构造数」题：用 $\overline{abcd}=100\,\overline{ab}+\overline{cd}$ 把余数条件化为 $\overline{cd}\mid99\,\overline{ab}$，再结合 $\overline{cd}$ 是质数定出它。

关键切入点：余数为 $\overline{ab}$：$\overline{abcd}-\overline{ab}=100\,\overline{ab}+\overline{cd}-\overline{ab}=99\,\overline{ab}+\overline{cd}$ 被 $\overline{cd}$ 整除，即 $\overline{cd}\mid99\,\overline{ab}$。又要余数 $\overline{ab}<\overline{cd}$ 且 $\overline{cd}$ 为质数，故 $\overline{cd}\mid99$，得 $\overline{cd}=11$。最小取 $\overline{ab}=10$，四位数 $1011$。

方法概述：化为 cd|99·ab，用质数条件定 cd=11 再取最小。

规范步骤：

拆位：$\overline{abcd}=100\,\overline{ab}+\overline{cd}$（位值原理）
余数条件：$\overline{cd}\mid99\,\overline{ab}$（带余除法）
质数且 $>\overline{ab}$：$\overline{cd}=11$（质数分析）
取最小：$\overline{ab}=10\Rightarrow1011$（最小化）
写出答案：$1011$

第二套

题目：一个四位数的储物柜密码，用它后两位组成的两位数去除这个四位数，余数恰好是前两位组成的两位数。若后两位是质数，最小的密码是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（化简）：$\overline{abcd}=100\,\overline{ab}+\overline{cd}$，余数为 $\overline{ab}$ 得 $\overline{cd}\mid99\,\overline{ab}$。
第 2 步（定 $\overline{cd}$）：$\overline{cd}$ 是质数且整除 $99=9\times11$，故 $\overline{cd}=11$。
第 3 步（取最小）：$\overline{ab}=10$，密码 $=100\times10+11=\underline{\quad}$，验证 $1011\div11$ 商 $91$ 余 $1011-11\times91=\underline{\quad}$。

第三套

题目：验证：$1011$ 除以它后两位组成的数 $11$，余数恰是它前两位组成的数 $10$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求商）：$1011\div11$ 的整数商是 $91$，因为 $11\times91=\underline{\quad}$。
第 2 步（求余）：$1011-1001=\underline{\quad}$，正是前两位 $10$。

15. 【原题 ch21-tuozhan-07】由数字 $a$、$b$、$c$ 各一个可以组成六个不同的三位数，其中五个三位数的和是 $2075$，那么 $a+b+c$ 是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数字全排列求和」题：$a,b,c$ 组成的六个三位数之和恒为 $222(a+b+c)$，由『五数和 + 被去掉的那个 $=222(a+b+c)$』反推 $a+b+c$。

关键切入点：六数和 $=222(a+b+c)$。设去掉的三位数为 $x$，则 $2075+x=222(a+b+c)$，故 $222(a+b+c)$ 是略大于 $2075$ 的 $222$ 倍数。取 $222\times10=2220$，$x=2220-2075=145$，其数字恰为 $1,4,5$ 且和为 $10$，自洽。故 $a+b+c=10$。

方法概述：用六数和 222(a+b+c) 反推，去掉数=222S-2075。

规范步骤：

六数之和：$222(a+b+c)$（全排列求和）
反推倍数：$222\times10=2220$（倍数判断）
去掉的数自洽：$2220-2075=145$，数字 $1,4,5$（验证）
写出答案：$a+b+c=10$

第一套

题目：由数字 $a,b,c$ 各一个组成六个不同的三位数，其中五个的和是 $2612$。求 $a+b+c$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和公式）：六数之和 $=222(a+b+c)$，是 $222$ 的倍数且略大于 $2612$。
第 2 步（反推）：$222\times13=\underline{\quad}$，去掉的数 $2886-2612=\underline{\quad}$。
第 3 步（自洽）：$274$ 的数字 $2,7,4$ 之和 $2+7+4=\underline{\quad}$，故 $a+b+c=13$。

第二套

题目：三个不同数字做成六张卡片式三位数，小丁把其中五个加起来得 $2075$。这三个数字之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：六个三位数之和 $=222(a+b+c)$。
第 2 步（反推）：$222\times10=\underline{\quad}$，被漏掉的一个 $=2220-2075=\underline{\quad}$。
第 3 步（自洽）：$145$ 的数字和 $1+4+5=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch21-tuozhan-08】任意一些末两位数是 $25$ 的数相乘，它们的乘积末两位数仍是 $25$，我们就把 $25$ 称为“变不掉的两位数尾巴”。显然 $000$ 是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”。

详细思路

是哪类问题：这是「自守数（幂尾不变）」题：三位尾巴 $\overline{abc}$『变不掉』等价于 $\overline{abc}^2$ 末三位仍是 $\overline{abc}$，即 $1000\mid\overline{abc}(\overline{abc}-1)$。

关键切入点：$1000=8\times125$，且 $\overline{abc}$ 与 $\overline{abc}-1$ 互质，故 $8,125$ 分居两因子。解 $8\mid x,125\mid x-1$ 等四类组合，得 $x=000,001,376,625$。验证 $376^2=141376$、$625^2=390625$ 末三位不变。

方法概述：化为 1000|x(x-1)，用 8 与 125 分居互质因子求解。

规范步骤：

变不掉即末三位不变：$1000\mid x(x-1)$（同余）
$1000=8\times125$，两因子互质：$8\mid x-1 或 x,\ 125\mid$ 另一（整除分解）
解得四个：$000,001,376,625$（分类）
验证：$376^2=141376,\ 625^2=390625$（完全平方）
写出答案：$000,001,376,625$

第一套

题目：若一个数的平方末四位与它本身相同，就叫四位自守数尾巴（如 $0000$）。请求出所有非零的四位自守数尾巴。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（条件）：$\overline{abcd}^2$ 末四位不变，即 $10000\mid x(x-1)$，$10000=16\times625$。
第 2 步（验证 $9376$）：$9376^2=87909376$，末四位 $87909376-87900000=\underline{\quad}$，不变。
第 3 步（验证 $0625$）：$625^2=390625$，末四位 $390625-390000=\underline{\quad}$，不变。

第二套

题目：密码学课上老师说：有些三位数，任意多个以它结尾的数相乘，乘积仍以它结尾。请把所有这样的三位尾巴找出来（含 $000$）。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（条件）：等价 $x^2$ 末三位为 $x$，即 $1000\mid x(x-1)$。
第 2 步（验证 $376$）：$376^2=141376$，末三位 $141376-141000=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证 $625$）：$625^2=390625$，末三位 $390625-390000=\underline{\quad}$。

17. 【原题 ch21-tuozhan-09】在 $3$ 和 $5$ 之间插入 $6,30,20$ 三个数，可以得到 $3,6,30,20,5$ 这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积。请你在 $4$ 与 $3$ 之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积。

详细思路

是哪类问题：这是「插数满足整除」构造题：先证『相邻两数 $a,b$ 满足 $a+b\mid ab$』等价于 $a+b\mid a^2$（也 $\mid b^2$），据此逐个卡口枚举。

关键切入点：$a+b\mid a(a+b)=a^2+ab$，减去 $ab$ 得 $a+b\mid a^2$。在 $4$ 与 $3$ 间插 $d,e,f$：由 $4+d\mid16$ 得 $d\in\{4,12\}$，$3+f\mid9$ 得 $f=6$，$e+6\mid36$ 得 $e\in\{3,6,12,30\}$，逐一验证得 $4,4,12,6,3$；$4,12,6,6,3$；$4,12,12,6,3$。

方法概述：由 a+b|a² 逐卡口枚举相邻数对。

规范步骤：

推出关键结论：$a+b\mid a^2$（整除变形）
两端卡口：$4+d\mid16,\ 3+f\mid9$（枚举）
中间卡口：$e+6\mid36$（枚举）
写出答案：$4,4,12,6,3;\ 4,12,6,6,3;\ 4,12,12,6,3$

18. 【原题 ch21-tuozhan-10】已知 $M$、$N$ 是互为反序的两个三位数，且 $M>N$。请问：（1）如果 $M$ 和 $N$ 的最大公约数是 $7$，求 $M$；（2）如果 $M$ 和 $N$ 的最大公约数是 $21$，求 $M$。

详细思路

是哪类问题：这是「反序数与最大公约数」题：反序两数之差 $M-N=99(a-c)$，由公约数整除该差先卡住首末位差 $a-c$，再枚举中间位验证。

关键切入点：$M=\overline{abc},N=\overline{cba}$，$M-N=99(a-c)$。（1）$7\mid M-N$ 且 $\gcd(7,99)=1$ 故 $7\mid a-c$，得 $(a,c)=(8,1)$ 或 $(9,2)$，枚举中间位验证唯有 $M=952$（$\gcd(952,259)=7$）。（2）$21\mid M-N$ 同样 $7\mid a-c$，验证唯有 $M=861$（$\gcd(861,168)=21$）。

方法概述：由 M-N=99(a-c) 卡首末位差，再枚举中间位。

规范步骤：

差的结构：$M-N=99(a-c)$（位值原理）
卡首末位差：$7\mid a-c\Rightarrow(a,c)=(8,1),(9,2)$（整除）
枚举验证：$\gcd(952,259)=7,\ \gcd(861,168)=21$（枚举）
写出答案：$（1）952；（2）861$

第二套

题目：$M,N$ 是互为反序的两个三位数且 $M>N$。若它们的最大公约数是 $7$，求 $M$；若是 $21$，求 $M$。（背景：车牌正反读）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（差结构）：$M-N=99(a-c)$。对 $\gcd=7$：$952-259=\underline{\quad}$，$693\div99=\underline{\quad}$（即 $a-c=7$）。
第 2 步（验证 7）：$952\div7=\underline{\quad}$、$259\div7=\underline{\quad}$，最大公约数正是 $7$。
第 3 步（验证 21）：$861\div21=\underline{\quad}$、$168\div21=\underline{\quad}$，最大公约数是 $21$。

第三套

题目：说明任何三位数与它的反序数之差都是 $99$ 的倍数，并求 $952$ 与 $259$ 之差是 $99$ 的几倍。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（作差）：$\overline{abc}-\overline{cba}=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$。
第 2 步（代入）：$952-259=\underline{\quad}$，$693\div99=\underline{\quad}$。

19. 【原题 ch21-tuozhan-11】用 $1,2,3,4,5,6$ 这六个数字组成两个三位数 $A$ 和 $B$，那么 $A$、$B$、$540$ 这三个数的最大公约数最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「最大公约数构造」题：三数公约数是 $540$ 的约数，用数字和与个位约束排除大约数，逼出上界再举例达到。

关键切入点：$540=2^2\times3^3\times5$。$A,B$ 个位至多一个是 $5$，故不能同为 $5$ 的倍数；数字和 $1+\cdots+6=21$ 不是 $9$ 的倍数，故不能同为 $9$ 的倍数。于是公约数至多 $2^2\times3=12$，例如 $132,456$ 达到。

方法概述：用个位与数字和约束排除 5、9，逼出上界 12。

规范步骤：

分解：$540=2^2\times3^3\times5$（质因数分解）
排除 5 与 9：数字和 $21$ 非 $9$ 倍数（数字和判整除）
上界并举例：$\gcd=12$，如 $132,456$（构造）
写出答案：$12$

第二套

题目：用 $1,2,3,4,5,6$ 各一次拼成两个三位数 $A,B$。问 $A,B,540$ 三数的最大公约数最大是多少？给一组例子。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数字和）：$1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}$，不是 $9$ 的倍数，故 $A,B$ 不能同为 $9$ 的倍数；个位至多一个 $5$，也不能同为 $5$ 的倍数。
第 2 步（上界）：公约数至多 $2^2\times3=\underline{\quad}$。
第 3 步（举例）：$132\div12=\underline{\quad}$、$456\div12=\underline{\quad}$。

20. 【原题 ch21-tuozhan-12】请将 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11$ 按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数。

详细思路

是哪类问题：这是「整除排列构造」题：把 $1\sim11$ 排成一行，使每个数都是它前面所有数之和的约数。用总和 $66$ 逐步安排前缀和被下一个数整除。

关键切入点：$1+2+\cdots+11=66$。一个可行排列是 $6,1,7,2,8,3,9,4,10,5,11$：前缀和依次 $6,7,14,16,24,27,36,40,50,55$，分别被下一个数 $1,7,2,8,3,9,4,10,5,11$ 整除，最后前 $10$ 项和 $55$ 被 $11$ 整除。

方法概述：用总和 66，逐步让前缀和被下一个数整除。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+11=66$（等差求和）
给出排列：$6,1,7,2,8,3,9,4,10,5,11$（构造）
逐项验证前缀和整除：$6\mid6,\ 55/11=5$（整除验证）
写出答案：一个排列如上

21. 【原题 ch21-tuozhan-13】请证明：（1）$11,111,1111,11111,\cdots$ 都不是完全平方数；（2）$69,669,6669,66669,\cdots$ 都不是完全平方数。

详细思路

是哪类问题：这是「完全平方数否定证明」题：用余数性质否定一整族数是完全平方数。

关键切入点：（1）$11,111,1111,\dots$ 末两位都是 $11$，除以 $4$ 余 $3$；而完全平方数除以 $4$ 只余 $0,1$，故都不是。（2）$69,669,6669,\dots$ 除以 $8$ 都余 $5$，而完全平方数除以 $8$ 只余 $0,1,4$，故都不是。

方法概述：用平方数模 4（模 8）的余数排除整族数。

规范步骤：

第(1)族末两位 $11$，模 4 余 3：$111=4\times27+3$（平方数模 4）
平方数模 4 只余 0/1，排除：$3\notin\{0,1\}$（余数性质）
第(2)族模 8 余 5：$669=8\times83+5$（平方数模 8）
平方数模 8 只余 0/1/4，排除：$5\notin\{0,1,4\}$（余数性质）

22. 【原题 ch21-tuozhan-14】一根红色的长线，将它对折，再对折……经过 $m$ 次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过 $n$ 次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线。已知红色短线比白色短线多，而且它们的数量之和是 $100$ 的倍数。请问：红色短线至少有多少条？

详细思路

是哪类问题：这是「对折剪线计数」题：先把对折 $m$ 次剪断后的段数写成 $2^m+1$，再由『红白段数之和是 $100$ 的倍数（含因子 $4$）』定出 $n=1$，最后求最小 $m$。

关键切入点：对折 $m$ 次剪断得 $2^m+1$ 段，故红 $2^m+1$、白 $2^n+1$。和 $2^m+2^n+2$ 是 $100$ 的倍数即含因子 $4$；若 $m,n$ 都 $\ge2$ 则 $2^m+2^n+2$ 只被 $2$ 整除不被 $4$ 整除，矛盾，故 $n=1$。于是 $2^m+4\equiv0\pmod{100}$，$2^{12}=4096$，$4096+4=4100$ 是 $100$ 的倍数，红 $=2^{12}+1=4097$。

方法概述：段数=2^m+1，由和含因子 4 定 n=1，再求最小 m。

规范步骤：

段数公式：红 $2^m+1$、白 $2^n+1$（对折计数）
和含因子 4 定 $n=1$：$2^m+2^n+2$（整除）
求最小 $m$：$2^{12}=4096,\ 4096+4=4100$（2 的幂）
红段数：$2^{12}+1=4097$
写出答案：$4097$（已确认最小）

第二套

题目：红绳对折 $m$ 次后从中间剪断得红段，白绳对折 $n$ 次剪断得白段。红段比白段多，两者段数之和是 $100$ 的倍数。红段至少多少条？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（段数）：对折 $m$ 次剪断得 $2^m+1$ 段。和 $2^m+2^n+2$ 含因子 $4$，逼出 $n=1$。
第 2 步（最小 $m$）：$2^{12}=\underline{\quad}$，$4096+4=\underline{\quad}$ 是 $100$ 的倍数。
第 3 步（红段）：$4096+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一根绳对折 $10$ 次后从中间剪断，一共得到多少段？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：对折 $10$ 次得 $2^{10}$ 个小段落叠在一起，剪断后段数 $=2^{10}+1$。
第 2 步：$2^{10}=\underline{\quad}$，段数 $1024+1=\underline{\quad}$。

23. 【原题 ch21-xingqu-01】（1）求所有满足条件的三位数：在它左边写上 $40$ 后所得的五位数是完全平方数。（2）求满足条件的最小自然数：在它左边写上 $80$ 后所得的数是完全平方数。

详细思路

是哪类问题：这是「完全平方数枚举构造」题：把已知数字放在待求数左边、结果是完全平方数，等价于把完全平方数限定在一段确定区间里，再对区间内的每个平方数开方枚举。

关键切入点：（1）把三位数 $\overline{xyz}$ 写在 $40$ 右边得五位数 $40\,000+\overline{xyz}$，它落在 $[40100,40999]$。对这段开方：$\sqrt{40000}=200$，故只需看 $201^2,202^2,\dots$。$201^2=40401$、$202^2=40804$、$203^2=41209$ 已超出，所以三位数为 $401,804$。（2）在最小自然数左边写 $80$：两位数区间 $80\square\square$ 内 $89^2=7921<8000$、$90^2=8100>8099$ 没有平方数；五位区间 $283^2=80089$（尾数 $089$ 有前导零不合法）、$284^2=80656$，故最小三位数尾巴 $656$。

方法概述：限定完全平方数所在区间，逐个开方枚举尾数。

规范步骤：

三位数写在 $40$ 右边落在区间 $[40100,40999]$，对边界开方 $200^2=40000$：$201^2=40401,\ 202^2=40804$（限定区间）
下一个平方数已越界：$203^2=41209>40999$（确定枚举止步）
取出尾三位得三位数：$40401-40000=401,\ 40804-40000=804$（位值原理）
第(2)问四位区间无平方（$89^2=7921,90^2=8100$），转五位区间：$284^2=80656$（缩小到合法区间）
取尾三位得最小自然数：$80656-80000=656$（去前导零后最小）
写出答案：$（1）401、804；（2）656$

第一套

题目：（1）求所有三位数：在它左边写上 $50$ 后所得五位数是完全平方数。（2）求最小自然数：在它左边写上 $87$ 后所得的数是完全平方数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定区间）：三位数写在 $50$ 右边落在 $[50100,50999]$，对左端开方 $\sqrt{50000}\approx 223.6$，从 $224$ 起试：$224^2=\underline{\quad}$、$225^2=\underline{\quad}$。
第 2 步（越界即止）：$226^2=\underline{\quad}$ 已超过 $50999$，停。
第 3 步（取尾三位）：$50176-50000=\underline{\quad}$、$50625-50000=\underline{\quad}$。
第 4 步（第 2 问·最小自然数）：$87$ 后接一位数 $[870,879]$、两位数 $[8700,8799]$ 都不含完全平方（$29^2=841,\ 30^2=900$；$93^2=8649,\ 94^2=8836$），故所求最小自然数为三位数，转到五位区间 $[87100,87999]$。
第 5 步（五位区间枚举）：$295^2=\underline{\quad}$，尾数 $025$ 有前导零、不是合法的三位自然数，舍去；$296^2=\underline{\quad}$ 落入区间，取尾三位 $87616-87000=\underline{\quad}$，即最小自然数。

第二套

题目：密码锁的口令是一个三位数。已知：在它前面接上 $40$ 得到的五位数恰是某个整数的平方。请求出所有可能的口令。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定区间）：五位数在 $[40100,40999]$，左端 $200^2=40000$，从 $201$ 起：$201^2=\underline{\quad}$、$202^2=\underline{\quad}$。
第 2 步（越界即止）：$203^2=\underline{\quad}$ 超界。
第 3 步（取口令）：$40401-40000=\underline{\quad}$、$40804-40000=\underline{\quad}$。

第三套

题目：求所有三位数：在它左边写上 $90$ 后所得五位数是完全平方数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定区间）：五位数在 $[90100,90999]$，左端 $300^2=\underline{\quad}$。
第 2 步（枚举）：$301^2=\underline{\quad}$ 落在区间，$302^2=\underline{\quad}$ 已超界。
第 3 步（取三位数）：$90601-90000=\underline{\quad}$。

第三套

题目：求所有三位数：在它左边写上 $196$ 后所得六位数是完全平方数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定区间）：六位数在 $[196100,196999]$，对左端开方 $\sqrt{196000}\approx 442.7$。
第 2 步（枚举）：$442^2=\underline{\quad}$ 偏小、$443^2=\underline{\quad}$ 落入区间、$444^2=\underline{\quad}$ 超界。
第 3 步（取三位数）：$196249-196000=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch21-xingqu-02】已知 $n!+3$ 是一个完全平方数，试确定自然数 $n$ 的值。（$n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n$）

详细思路

是哪类问题：这是「阶乘 + 完全平方数余数排除」题：无法直接枚举无穷个 $n$，关键是用完全平方数除以 $4$ 只能余 $0$ 或 $1$ 的性质，一刀切掉所有大 $n$，再对剩下的小 $n$ 逐一验证。

关键切入点：当 $n\ge 4$ 时 $n!$ 含因数 $4$（甚至 $8$），故 $n!\equiv 0\pmod 4$，$n!+3\equiv 3\pmod 4$，而完全平方数模 $4$ 只余 $0,1$，故 $n\ge 4$ 全部排除。剩下 $n=0,1,2,3$ 直接算：$0!+3=1!+3=4=2^2$、$2!+3=5$（非）、$3!+3=9=3^2$。所以 $n=0,1,3$。

方法概述：大范围用完全平方数模 4 余 0 或 1 排除，小范围逐一验证。

规范步骤：

大 $n$ 排除：$n\ge4$ 时 $4\mid n!$，故 $n!+3\equiv3\pmod4$，非平方：$4!+3=27,\ 27=4\times6+3$（平方数模 4 余 0/1）
小范围验证 $n=0,1$：$0!+3=1!+3=4=2^2$（直接计算）
验证 $n=2,3$：$2!+3=5(非),\ 3!+3=9=3^2$（直接计算）
写出答案：$n=0,1,3$

第一套

题目：已知 $n!+7$ 是完全平方数，求自然数 $n$。（$n!=1\times2\times\cdots\times n$）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（大 $n$ 排除）：$n\ge4$ 时 $4\mid n!$，$n!+7$ 除以 $4$ 的余数为 $7-4=\underline{\quad}$，而平方数模 $4$ 只余 $0,1$，排除。
第 2 步（小范围验证）：$0!+7=1!+7=\underline{\quad}$（非平方）、$2!+7=\underline{\quad}$、$3!+7=\underline{\quad}$（非平方）。
第 3 步（认出平方）：$2!+7=9=\underline{\quad}$，故 $n=2$。

第二套

题目：晶晶用 $n!+3$ 颗珠子恰好摆成一个正方形方阵（每边颗数相同）。问自然数 $n$ 可以是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（大 $n$ 排除）：能摆成正方形即珠子数是完全平方数；$n\ge4$ 时 $4\mid n!$，$n!+3\equiv\underline{\quad}\pmod4$（用 $3$ 表示），非平方。
第 2 步（小范围）：$0!+3=1!+3=\underline{\quad}=2^2$、$2!+3=\underline{\quad}$（非）、$3!+3=\underline{\quad}=3^2$。

第三套

题目：已知 $n!+4$ 恰是两个相邻自然数的乘积，求自然数 $n$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出模 3 性质）：相邻两数之积 $k(k+1)$ 除以 $3$ 只能余 $0$ 或 $2$。
第 2 步（大 $n$ 排除）：$n\ge3$ 时 $3\mid n!$，$n!+4$ 除以 $3$ 余 $4-3=\underline{\quad}$，不在 $\{0,2\}$ 内，排除。
第 3 步（小范围）：$2!+4=\underline{\quad}=2\times3$，故 $n=2$。

25. 【原题 ch21-xingqu-03】一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于 $7$。如果把组成它的每个数字都加上 $3$，便得到另外一个完全平方数。求原来的四位数。

详细思路

是哪类问题：这是「平方数 + 数字整体平移」题：关键把『每一位都加 $3$』翻译成整个数加 $3333$，于是问题变成——找两个相差 $3333$、且都是四位完全平方数、其中较小者各位都小于 $7$（保证加 $3$ 不进位）的数。

关键切入点：若原数 $=a^2$，每位加 $3$ 后 $=a^2+3333=b^2$，故 $b^2-a^2=(b-a)(b+a)=3333=3\times11\times101$。枚举四位平方数：$34^2=1156$，各位 $1,1,5,6$ 均 $<7$，$1156+3333=4489=67^2$，符合。故原四位数 $1156$。

方法概述：把每位加 3 转化为整体加 3333，枚举相差 3333 的两个四位平方数。

规范步骤：

每位加 $3$ 即整体加 $3333$：$\overline{abcd}+3333$（位值原理）
枚举较小平方数，各位 $<7$：$34^2=1156,\ 1,1,5,6<7$（不进位约束）
验证加 $3333$ 仍为平方：$1156+3333=4489=67^2$（完全平方数）
写出答案：$1156$

第一套

题目：一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于 $9$。如果把它的每个数字都加上 $1$，便得到另一个完全平方数。求原来的四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译）：每位加 $1$ 等于整体加 $\underline{\quad}$（四个 $1$ 拼成）。
第 2 步（枚举较小平方数，各位 $<9$）：试 $45^2=\underline{\quad}$，各位 $2,0,2,5$ 都小于 $9$。
第 3 步（验证）：$2025+1111=\underline{\quad}=56^2$，故原数 $=2025$。

第二套

题目：电子表上显示一个四位完全平方数，各位数字都小于 $7$。技术员把每一位都调大 $3$（不进位），屏幕上又是一个完全平方数。原来显示的四位数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（翻译）：每位加 $3$ 即整体加 $\underline{\quad}$。
第 2 步（枚举）：$34^2=\underline{\quad}$，各位 $1,1,5,6<7$。
第 3 步（验证）：$1156+3333=\underline{\quad}=67^2$。

第三套

题目：两个四位完全平方数相差 $3333$，较小的各位数字都小于 $7$。请求出这两个完全平方数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（因式分解）：设为 $a^2,b^2$，则 $(b-a)(b+a)=3333=3\times11\times\underline{\quad}$（补最大质因数）。
第 2 步（找 $a$）：枚举得 $a=34$，$a^2=\underline{\quad}$，各位 $<7$。
第 3 步（求 $b^2$）：$1156+3333=\underline{\quad}$，$b=67$。

26. 【原题 ch21-xingqu-04】请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除。

详细思路

是哪类问题：这是「整除构造数」枚举题：三位奇数说明各位都是奇数字，先缩小可用数字范围再枚举，避免盲目试 $900$ 个数。

关键切入点：奇数的各位必是奇数字 $1,3,5,7,9$。若含 $9$，则该数须被 $9$ 整除（数字和是 $9$ 的倍数），与各位互不相同的限制冲突，故只在 $1,3,5,7$ 中取三个不同数字组数，逐一验证被每位整除：得 $135,315,175,735$。

方法概述：缩小可用数字到 $\{1,3,5,7\}$，再枚举验证整除性。

规范步骤：

奇数各位为奇数字，排除 $9$：$\{1,3,5,7\}$ 中取三（整除限制）
验证 $135$：$135\div1,\div3,\div5$：$135=27\times5=45\times3$（被各位整除）
同法得 $315,175,735$：$315,175,735$（枚举验证）
写出答案：$135,315,175,735$

第二套

题目：某三位储物柜编号是奇数，三个数位上的数字互不相同，且编号能同时被这三个数字整除。请写出所有可能的编号。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（缩范围）：奇数各位为奇数字，含 $9$ 会强制被 $9$ 整除而矛盾，故取自 $\{1,3,5,7\}$。
第 2 步（验 $135$）：$135\div5=\underline{\quad}$、$135\div3=\underline{\quad}$，整除。
第 3 步（验 $175$）：$175\div5=\underline{\quad}$、$175\div7=\underline{\quad}$，整除。
第 4 步（验 $735$）：$735\div7=\underline{\quad}$、$735\div3=\underline{\quad}$，整除。

第三套

题目：验证三位数 $315$ 能被它的每一位数字整除，并写出 $315$ 的三个真商。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$315\div3=\underline{\quad}$。
第 2 步：$315\div1=\underline{\quad}$。
第 3 步：$315\div5=\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch21-xingqu-05】在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字 $0$，得到一个三位数（例如 $21$ 变成了 $201$），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除。请问：所有满足条件的两位数之和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「插入数字与整除」题：把『$\overline{a0b}$ 被 $\overline{ab}$ 整除』用位值原理拆开，化成一个只含 $a,b$ 的简单整除条件，再分类枚举求和。

关键切入点：$\overline{a0b}=100a+b$，$\overline{ab}=10a+b$，两者相减 $\overline{a0b}-\overline{ab}=90a$。故 $\overline{ab}\mid\overline{a0b}$ 等价于 $\overline{ab}\mid90a$，再减去 $9\times\overline{ab}=90a+9b$ 得 $\overline{ab}\mid9b$。$b=0$ 时所有整十数 $10,20,\dots,90$ 都满足；$b\ne0$ 时另有 $15,18,45$。求和 $450+78=528$。

方法概述：用位值原理化为 $\overline{ab}\mid9b$，再分类枚举求和。

规范步骤：

作差消去大部分：$(100a+b)-(10a+b)=90a$（位值原理）
再化简得整除条件：$\overline{ab}\mid9b$（整除性质）
$b=0$：整十数求和：$10+20+\cdots+90=450$（等差求和）
$b\ne0$：另有 $15,18,45$：$15+18+45=78$（枚举）
合计：$450+78=528$

第二套

题目：一台老式计价器把某个两位数的十位和个位之间挤进一个 $0$，就变成三位数（如 $21\to201$）。若这个三位数恰能被原两位数整除，求所有这样的两位数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（作差化简）：$\overline{a0b}-\overline{ab}=90a$，故 $\overline{ab}\mid90a$，进一步 $\overline{ab}\mid9b$。$b=0$ 时整十数 $10,\dots,90$ 全满足，其和 $10+20+30+40+50+60+70+80+90=\underline{\quad}$。
第 2 步（$b\ne0$ 的特殊解）：另有 $15,18,45$，其和 $15+18+45=\underline{\quad}$。
第 3 步（合计）：$450+78=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在两位数十位与个位间插入 $0$ 得三位数且被原数整除。请先求出其中所有个位为 $0$ 的两位数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：个位为 $0$ 即 $\overline{a0}\mid\overline{a00}$，对一切 $a$ 都成立，这些数是 $10,20,\dots,90$。
第 2 步（等差求和）：首项 $10$、末项 $90$、共 $9$ 项，$(10+90)\times9\div2=\underline{\quad}$。

28. 【原题 ch21-xingqu-06】用 $2,3,4,5,6,7$ 六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与 $540$ 的最大公约数尽可能的大，请问：这两个三位数应该分别是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「最大公约数构造」题：公约数一定是 $540$ 的约数，先分解 $540$ 找出较大的候选约数，再看能否用给定数字 $2\sim7$ 各一次拼出两个都被它整除的三位数。

关键切入点：$540=2^2\times3^3\times5$。取候选公约数 $108=2^2\times3^3$：$108\times3=324$、$108\times7=756$ 恰用掉 $3,2,4,7,5,6$ 六个数字各一次；或 $108\times4=432$、$108\times7=756$。故最大公约数可达 $108$。

方法概述：分解 540 取较大约数 108，用数字拼出它的倍数。

规范步骤：

分解 540：$540=2^2\times3^3\times5=5\times108$（质因数分解）
取候选 $108$：$108\times3=324,\ 108\times7=756$（构造倍数）
验证数字恰用一次：$3,2,4,7,5,6$ 各一次（组数约束）
写出答案：$324、756$ 或 $432、756$，公约数 $108$

第一套

题目：用 $2,3,4,5,6,7$ 六个数字各一次组成两个三位数，使它们与 $540$ 的最大公约数尽可能大。这个最大公约数是多少？请给出一组数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$540=2^2\times3^3\times5$，去掉不易同时满足的因子 $5$，取 $2^2\times3^3=\underline{\quad}$。
第 2 步（构造倍数）：$108\times3=\underline{\quad}$、$108\times7=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证）：$324\div108=\underline{\quad}$、$756\div108=\underline{\quad}$，且数字 $3,2,4,7,5,6$ 各一次。

第三套

题目：用 $1,2,3,4,5,6$ 六个数字各一次组成两个三位数 $A,B$，使 $A$、$B$、$630$ 三数的最大公约数尽可能大。最大是多少？给出一组数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分解）：$630=2\times3^2\times5\times7$。数字和 $1+2+\cdots+6=\underline{\quad}$ 是 $3$ 的倍数但不是 $9$ 的倍数，故 $A,B$ 是 $3$ 的倍数而非 $9$ 的倍数。
第 2 步（取候选 $21$）：$21\times11=231$、$21\times26=546$，验证 $231\div21=\underline{\quad}$、$546\div21=\underline{\quad}$，数字 $2,3,1,5,4,6$ 各一次。
第 3 步（结论）：三数最大公约数 $=\underline{\quad}$（$630\div30$ 与 $21$ 一致，取 $21$）。

29. 【原题 ch21-xingqu-07】一个自然数，它与 $99$ 的乘积的各位数字都是偶数。求满足要求的最小自然数。

详细思路

是哪类问题：这是「倍数与数字限制」题：先用『$99$ 的倍数其数字和是 $9$ 的倍数』与『各位全偶』两条推出乘积的数字和必是 $18$ 的倍数，再构造出最小的合规乘积后回除。

关键切入点：设 $99n=P$。$P$ 各位全偶，则奇数位与偶数位数字和都是偶数；又 $9\mid P$ 使数字和是 $9$ 的倍数，两者合起来数字和是 $18$ 的倍数。逐步搜得最小的各位全偶的 $99$ 倍数是 $228888$，于是 $n=228888\div99=2312$。

方法概述：由数字和是 18 的倍数缩小搜索，构造最小全偶乘积再回除。

规范步骤：

$99$ 的倍数数字和是 $9$ 的倍数：$9\mid P$（整除特征）
各位全偶使数字和为偶，合得 $18\mid$ 数字和：$18\mid S(P)$（奇偶分析）
最小全偶乘积：$P=228888$（构造）
回除得 $n$：$228888\div99=2312$（整除）
写出答案：$2312$

第一套

题目：一个自然数与 $999$ 的乘积的各位数字都是偶数。求满足要求的最小自然数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数字和判据）：$999$ 的倍数数字和是 $\underline{\quad}$ 的倍数（用 $9$ 表示），各位全偶又使数字和为偶，合得数字和是 $18$ 的倍数。
第 2 步（最小全偶乘积）：搜得 $P=222888888$，其数字和 $2+2+2+8+8+8+8+8+8=\underline{\quad}$，是 $18$ 的倍数（$54\div18=\underline{\quad}$）。
第 3 步（回除）：$n=222888888\div999=\underline{\quad}$。

第二套

题目：每套礼盒卖 $99$ 元。某天卖出若干套，总收入的每一位数字都是偶数。问最少卖出多少套？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（判据）：总收入 $=99\times$ 套数，是 $99$ 的倍数，数字和是 $9$ 的倍数；各位全偶又使数字和为偶，合得数字和是 $\underline{\quad}$ 的倍数（填 $18$）。
第 2 步（最小全偶收入）：$228888$ 的数字和 $2+2+8+8+8+8=\underline{\quad}$。
第 3 步（回除套数）：$228888\div99=\underline{\quad}$。

第三套

题目：求各位数字都是偶数的最小的六位 $99$ 的倍数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（判据）：它是 $99$ 的倍数，数字和是 $9$ 的倍数；各位全偶数字和为偶，合得是 $18$ 的倍数。
第 2 步（构造）：最小者是 $228888$，验证数字和 $2+2+8+8+8+8=\underline{\quad}$，且 $228888\div99=\underline{\quad}$ 为整数。

30. 【原题 ch21-xingqu-08】有 $3$ 个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除。请问：满足上述条件的 $3$ 个自然数之和最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「整除关系构造最小值」题：先证每个数至少含两种质因数，再用最小的三个质数 $2,3,5$ 两两搭配，使『两两互不整除、任两积被第三整除』，求得最小和。

关键切入点：若某数只含一种质因数则三数会成倍数链，违反『互不整除』。故每数至少两种质因数，用 $2,3,5$ 两两组合得最小三数 $6=2\times3,\ 10=2\times5,\ 15=3\times5$：互不整除，且 $6\times10=60$ 被 $15$ 整除、$6\times15=90$ 被 $10$ 整除、$10\times15=150$ 被 $6$ 整除。和为 $31$，且已由枚举确认最小。

方法概述：每数取两种最小质因数两两搭配，验证并求和。

规范步骤：

构造三数：$6=2\times3,\ 10=2\times5,\ 15=3\times5$（质因数搭配）
验证两两积被第三整除：$6\times10=60=15\times4$（整除）
求和：$6+10+15=31$（求和）
写出答案：$31$（已枚举确认最小）

第二套

题目：三个齿轮的齿数满足：任一个都不能整除另两个中的任何一个，但任意两个齿数之积都能被第三个齿数整除。求这三个齿数之和的最小值。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（构造）：用最小三质数两两组合，$2\times3=\underline{\quad}$、$2\times5=\underline{\quad}$、$3\times5=\underline{\quad}$。
第 2 步（验证）：$6\times10\div15=\underline{\quad}$、$10\times15\div6=\underline{\quad}$ 都是整数。
第 3 步（求和）：$6+10+15=\underline{\quad}$。

第三套

题目：验证 $6,10,15$ 两两互不整除、且任两数之积都能被第三个数整除。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$6\times10=60$，$60\div15=\underline{\quad}$。
第 2 步：$6\times15=90$，$90\div10=\underline{\quad}$。
第 3 步：$10\times15=150$，$150\div6=\underline{\quad}$。

31. 【原题 ch21-xingqu-09】小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是 $1$ 分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以 $3$，输的小朋友保持分数不变。最后小明获胜，他比小华多的分数是 $99$ 的倍数。那么他们至少玩了多少局？

详细思路

是哪类问题：这是「倍数游戏 + 指数同余」题：把两人分差写成 $3^b(3^{a-b}-1)$，由 $99=9\times11$ 拆成对 $9$ 和 $11$ 的整除，分别求出 $a,b$ 的最小要求。

关键切入点：小明得 $3^a$、小华得 $3^b$（$a$、$b$ 为各自胜局数），分差 $3^a-3^b=3^b(3^{a-b}-1)$。$99=9\times11$。$11\mid3^{a-b}-1$ 最小需 $a-b=5$（$3^5-1=242=11\times22$）；再要 $9\mid$ 分差，取 $b=2$ 即可（$9\mid3^2$）。故 $a=7,b=2$，总局数 $a+b=9$。

方法概述：分差写成 $3^b(3^{a-b}-1)$，对 9 与 11 分别定 a-b、b。

规范步骤：

分差因式：$3^a-3^b=3^b(3^{a-b}-1)$（提公因式）
$11\mid3^{a-b}-1$ 最小 $a-b=5$：$3^5-1=242=11\times22$（指数同余）
$9\mid$ 分差取 $b=2$：$a=7,\ b=2$（整除）
总局数：$a+b=7+2=9$
写出答案：$9$ 局（已枚举确认最小）

第二套

题目：两名棋手积分赛，初始各 $1$ 分。每局胜者积分变为原来的 $3$ 倍，负者不变。最终甲胜且甲比乙多的分数是 $99$ 的倍数。至少下了多少局？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分差因式）：设甲胜 $a$ 局、乙胜 $b$ 局，分差 $3^a-3^b=3^b(3^{a-b}-1)$。
第 2 步（对 11）：需 $11\mid3^{a-b}-1$，$3^5-1=\underline{\quad}$，$242\div11=\underline{\quad}$，故 $a-b=5$。
第 3 步（对 9）：取 $b=2$（$3^2=\underline{\quad}$ 被 $9$ 整除），则 $a=7$，总局数 $7+2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：求使 $3^k-1$ 能被 $11$ 整除的最小正整数 $k$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐个试）：$3^1-1=\underline{\quad}$、$3^2-1=\underline{\quad}$、$3^3-1=\underline{\quad}$、$3^4-1=\underline{\quad}$ 都不是 $11$ 的倍数。
第 2 步（命中）：$3^5-1=\underline{\quad}$，$242\div11=\underline{\quad}$，故最小 $k=5$。

32. 【原题 ch21-xingqu-10】对于一个自然数 $N$，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被 $N+1$ 整除。那么在 $1$ 至 $9$ 这 $9$ 个自然数中有多少个“破坏数”？

详细思路

是哪类问题：这是「整除性质判定」题：把 $N$ 接到自然数 $a$ 右端得 $a\cdot10^k+N$，问它是否恒不被 $N+1$ 整除。关键是 $a\cdot10^k+N\equiv0\pmod{N+1}$ 是否有解，取决于 $\gcd(10^k,N+1)$。

关键切入点：设 $N$ 有 $k$ 位。$a\cdot10^k+N\equiv0\pmod{N+1}$ 即 $a\cdot10^k\equiv1\pmod{N+1}$（因 $-N\equiv1$）。当 $\gcd(10^k,N+1)>1$ 时右边 $1$ 不是该公因数的倍数，无解——$N$ 是破坏数；当 $\gcd=1$ 时有解——不是。$N=1\sim9$ 时 $k=1$，看 $\gcd(10,N+1)$：$N+1$ 含因子 $2$ 或 $5$ 即为破坏数，得 $1,3,4,5,7,9$ 共 $6$ 个。

方法概述：化为 a·10^k≡1 (mod N+1)，由 gcd(10^k,N+1) 判有无解。

规范步骤：

添加即 $a\cdot10^k+N$：$\equiv a\cdot10^k+N\pmod{N+1}$（位值原理）
$-N\equiv1$，条件化为：$a\cdot10^k\equiv1\pmod{N+1}$（同余）
$\gcd(10,N+1)>1$ 无解即破坏数：$N+1$ 含 $2$ 或 $5$（整除分析）
枚举 $1\sim9$：$1,3,4,5,7,9$（分类）
写出答案：$6$ 个

竞赛数学 · 六年级第21讲《数论综合三》举一反三练习卷

附录 · 答案

竞赛数学 · 六年级 第21讲《数论综合三》举一反三练习卷

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